teoria do consumidor: escolha envolvendo...

Teoria do Consumidor:Escolha Envolvendo Risco

Roberto Guena de Oliveira

USP

13 de agosto de 2010

Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 1 / 60

Estrutura da aula

1 Loterias

2 Utilidade Esperada

3 Posturas diante do riscoDefiniçõesRepresentações gráficasPrêmio do riscoMedida de aversão ao risco

4 Maximização de utilidade esperadaExemplosComportamento de indivíduos avessos ao risco

5 Problemas com a utilidade esperada

6 Utilidade média variânciaO modelo CAPM


Loterias

Exemplos

1 Um bilhete de loteria representa alguns milhões a mais oualguns reais a menos.

2 Quando você sai de casa com um guarda-chuva você levaconsigo apenas um peso a mais para carregar (caso nãochova) ou proteção contra a chuva (caso chova).

3 Quando você aluga uma casa na praia, você compra umfim-de-semana sob o sol ou um fim-de-semana jogandobaralho.

4 Quando você faz seguro de seu caso você comprareembolso de despesas com acidentes (caso elesocorram) ou dinheiro jogado fora (caso nada aconteça).


Loterias

Loterias

Definição

Uma loteria é um conjunto de prêmios alternativos emutuamente excludentes, c1, c2, . . . , cn sendo que o prêmio i

(para i = 1,2, . . . , n) é associado a uma probabilidade deocorrência πi de tal sorte que

∑n

i=1πi = 1. Os prêmios podem

ser cestas de bens, prêmios monetários ou outras loterias.

notação

(c1, c2, . . . , cn;π1, π2, . . . , πn)


Loterias

Valor esperada de uma loteria

Caso uma loteria

(c1, c2, . . . , cn;π1, π2, . . . , πn)

ofereça apenas prêmios monetários, é possível definir o valoresperado dessa loteria por

VE = π1c1 + π2c2 + . . .+ πncn =n∑

i=1

πici


Loterias

Exemplo

Uma pessoa investiu toda sua riqueza w em ações de umaempresa que podem, em um ano, valorizar-se 20% comprobabilidade 3/4 ou desvalorizar-se 10% com probabilidade1/4. A riqueza dessa pessoa daqui a um ano pode serrepresentada pela loteria

(1.2w,0.9w;0.75,0.25).

O valor esperado dessa loteira, ou seja o valor esperado desua riqueza para daqui a um ano, é

0.75× 1.2w+ 0.25× 0.9w = 1.125w.


Utilidade Esperada

Utilidade Esperada

John Von Neumann e Oskar Morgenstern 1 mostraram que,dadas algumas hipóteses razoáveis sobre as preferências doconsumidor entre loterias, tais preferências podem serrepresentadas por uma função de utilidade U(·) com aseguinte propriedade:

U(c1, c2;π1, π2) = π1u(c1) + π2u(c2).

na qual u(c1) e u(c2) são as utilidade de se ganhar os prêmiosc1 e c2, respectivamente, com 100% de certeza. Qualquerfunção de utilidade com essa propriedade é chamada defunção de utilidade de Von Neumann e Morgenstern ou defunção de utilidade com propriedade utilidade esperada.

1Theory of Games and Economic Behavior. Princeton Un. Press,

1943.Roberto Guena de Oliveira (USP) Risco 13 de agosto de 2010 7 / 60

Utilidade Esperada

Transformações afim

Definição

Caso tenhamos V(·) = a+ bU(·) com a,b ∈ R e b> 0. Dizemosque V(·) é uma transformação monotônica afim de U(·).

Propriedade da utilidade esperada

U(·) e V(·) são funções de utilidade que representam asmesmas preferências e têm propriedade utilidade esperada,se, e somente se, forem transformações monotônicas afimuma da outra.

ConcavidadeNote que a concavidade ou convexidade de uma função épreservada por transformações monotônicas afim.


Utilidade Esperada

Exemplo:

Um indivíduo tem uma riqueza não nula e sua função deutilidade von Neumann-Morgenstern tem a forma funcionalu(x) = K − a/x, em que a e K são constantes positivas e x > a/K.Este indivíduo é convidado a participar de uma loteria quetriplica sua riqueza com probabilidade p e a reduz à terçaparte com probabilidade 1− p. Qual deve ser o valor mínimode p para que o indivíduo aceite participar da loteria?Multiplique a probabilidade encontrada por 100. R:75


Posturas diante do risco

Estrutura da aula

1 Loterias







Posturas diante do risco Definições

Estrutura da aula

1 Loterias







Posturas diante do risco Definições

Definições

Aversão ao riscoDiz-se que um consumidor é aveso ao risco caso ele prefira ovalor esperado dos prêmios de uma loteria com prêmiosmonetário a essa loteria.

Propenção ao risco

Diz-se que um consumidor é propenso ao risco caso eleprefira uma loteria com prêmios monetário ao valor esperadodos prêmios dessa loteria.

Neutralidade frente ao riscoDiz-se que um consumidor é risco neutro caso ele sejaindiferente entre uma loteria com prêmios monetário e o valoresperado dos prêmios dessa loteria.


Posturas diante do risco R. gráficas

Estrutura da aula

1 Loterias








Aversão ao risco: representação gráfica

Riqueza

Utilidade

c1 c2

u(c1)

u(c2)

u(π1c1 + π2c2)

π1c1 + π2c2

U(c1,c2;π1, π2)



Propensão ao risco: representação gráfica

Riqueza

Utilidade

c1

u(c1)

c2

u(c2)

u(π1c1 + π2c2)U(c1,c2;π1, π2)



Neutralidde frente ao risco: representaçãográfica

Riqueza

Utilidade

c1

u(c1)

c2

u(c2)

π1c1 + π2c2

U(c1,c2;π1, π2) =U(π1c1 + π2c2)


Posturas diante do risco Prêmio do risco

Estrutura da aula

1 Loterias








Definições

Equivalente Seguro

O equivalente seguro de uma loteria monetária é o valor100% seguro que o consumidor considera indiferente àloteria.

Prêmio do riscoO prêmio do risco de uma loteria monetária é a diferençaentre o valor esperado dessa loteria e seu equivalente seguro.



Representação gráfica

Riqueza

Utilidade

c1 c2

u(c1)

u(c2)

u(π1c1 + π2c2)

Valor espe-rado:π1c1 + π2c2

U(c1,c2;π1, π2)

Equivalente Seguro

Prêmio do risco



Exemplo numérico

Função de utilidade V. Neumann - Morgenstern: u(w) =pw

Valores que w pode assumir: 9 com 50% de chance ou 25com 50% de chance.

Valor esperado: VE =9+ 25

2= 17

Utilidade esperada: UE =3+ 5

2= 4

Equivalente seguro:p

ES = 4⇒ ES = 16

Prêmio do risco: PR = VE− ES = 17− 16 = 1



Exemplo

Um consumidor tem uma função utilidade de vonNeumann-Morgenstern representada por u(z) = log2 z. Elepossui uma riqueza inicial de R$ 128 e participarágratuitamente de uma loteria que pagará R$ 384,00 comprobabilidade 1

2 e R$ 0 com probabilidade 12 . O menor valor

que o consumidor estaria disposto a receber em troca dobilhete de loteria é de 2β. Qual o valor de β?


Posturas diante do risco Med. avers.

Estrutura da aula

1 Loterias








Medidas de aversão ao risco

Aversão absoluta

−u′′(w)

u′(w)

Aversão relativa

−wu′′(w)

u′(w)

Funções de utilidade com aversão ao risco constante

Absoluta

u(w) = −e−αwRelativa

u(w) =w1−α − 11− α

para α 6= 1

u(w) = lnw para α = 1



Exemplo

Um indivíduo possui riqueza W = $100 e se depara com umaloteria que pode acrescentar $44 a sua riqueza, comprobabilidade 1/4, ou subtrair $36, com probabilidade 3/4.Sua utilidade, do tipo Von Neumann-Morgenstern (VNM), édada por u(x) =

px .

Qual é sua aversão absoluta ao risco?

Qual é sua aversão relativa ao risco?

Qual o valor máximo que ele estaria disposto a pagarpara se livrar desse risco?


Maximização Exemplos

Estrutura da aula

1 Loterias







Maximização Exemplos

Exemplo:

Um fazendeiro tem a opção de cultivar trigo e batatas. Sefizer sol, cada hectare gerará um lucro de 200 se plantadocom trigo e de 100 se plantado com batata. Se chover cadahectare de trigo gerará um lucro de 120 e cada hectare debatata gerará um lucro de 200. A utilidade do fazendeiro édada por U(Y) = lnY, sendo Y o lucro obtido. As probabilidadesde fazer sol e de chover são iguais. Que proporção de suaterra o fazendeiro deverá destinar ao plantio de cada produto?

Resposta: 75% de trigo e 25% de batata.


Maximização Comport.

Estrutura da aula

1 Loterias








Justiça atuarial

Loterias atuarialmente justas

Loterias atuarialmente justas são loterias que geram umganho esperado líquido igual a zero.

Exemplos1 Não pagar nada para entrar no seguinte jogo: se o

resultado do lançamento de uma moeda não viciada forcara, você receberá R$10,00, se for coroa, você pagaráR$10,00.

2 Um seguro com preço de R$1.000,00 contra o roubo deum automóvel que vale R$10.000,00 cuja probabilidade éde 10%.



Quanto segurar

Suponha que um consumidor avesso ao risco tenha umariqueza w que poderá ser reduzida de um valor L, porexemplo, em virtude do roubo de seu automóvel, comprobabilidade π. Se uma seguradora oferecer segurarqualquer parcela dessa perda a uma taxa atuarialmente justa,ou seja, cobrando γ = π reais por real segurado, quanto esseconsumidor deverá segurar?



Solução (a)

Seja K o montante segurado. A riqueza esperada doconsumidor será

we = π(w− L+ K − γK) + (1− π)(w− γK)

Simplificando,we = w− π(L− K)− γK

Como, por hipótese, γ = π,

we = w− πL

Portanto, a riqueza esperada não é afetada pelo valorsegurado K, caso o seguro seja atuarialmente justo.



Solução (b)

Caso o consumidor segure todo o valor L, todo o riscoserá eliminado.

Qualquer outro valor para L envolverá algum risco, poissua riqueza em caso de ocorrência da perda serádiferente de sua riqueza caso essa perda não ocorra.

Como o consumidor é avesso ao risco e como o valoresperado da riqueza não é afetado, quando γ = π, pelaescolha de K. Ele deve preferir K = L a qualquer outraalternativa.



Quando investir em um ativo de risco?

Um consumidor com aversão a risco pode dividir sua riquezaw em dois ativos: um livre de risco e com retorno rf e outroativo que dará um retorno r0 com probabilidade π e umretorno r1 com probabilidade 1− π. Sob que condições eledeverá investir parte de sua riqueza no ativo com risco?



Solução (a)

Sejam x a parcela de sua riqueza que o consumidor investeno ativo de risco, ρf = 1+ rf , ρ0 = 1+ r0 e ρ1 = 1+ r1. Então:

UE =πU�

ρf (1− x)w+ ρ0xw�

+ (1− π)U�


Se UE for crescente em relação a x em x = 0, o consumidordeve investir parte de sua riqueza no ativo de risco.

∂UE

∂x= w�

π(ρ0 − ρf )U′�


+ (1− π)(ρ1 − ρf )U′�

ρf (1− x)w+ ρ1xw��

Calculando em x = 0

∂UE(x = 0)

∂x= w{[πρ0 + (1− π)ρ1]− ρf}U′(ρfw)



Solução (b)

Portanto, vale a pena investir mais do que zero no ativo derisco caso

πρ0 + (1− π)ρ1 > ρf

isto é, casoπr0 + (1− π)r1 > rf .

Ou seja , sempre que o retorno esperado do ativo com riscofor maior do que o retorno do ativo livre de risco.


Problemas com a utilidade esperada

Estrutura da aula

1 Loterias


3 Posturas diante do risco

4 Maximização de utilidade esperada


6 Utilidade média variância



O Paradoxo de Allais

Primeira escolha:

Prêmio Probabilidades

(R$ milhões) Alternativa 1 Alternativa 2

0 0,00 0,011 1,00 0,895 0,00 0,10

Segunda escolha:

Prêmio Probabilidades

(R$ milhões) Alternativa 1’ Alternativa 2’

0 0,89 0,901 0,11 0,005 0,00 0,10




A maioria das pessoas declara preferir a alternativa 1 àalternativa 2 e preferir a alternativa 2’ à alternativa 1’.




Suponha que alguém declare preferir a alternativa 1 àalternativa 2. Então,

u(1) > 0,01u(0) + 0,89u(1) + 0,1u(5)

Se somarmos 0,89u(0) e subtrairmos 0,89u(1) dos dois ladosda desigualdade, ficamos com

0,11u(1) + 0,89u(0)> 0,9u(0) + 0,1u(5)

Portanto, quem prefere a alternativa 1 à alternativa 2, deveriapreferir a alternativa 1’ à alternativa 2’.


Utilidade média variância

Estrutura da aula

1 Loterias


3 Posturas diante do risco

4 Maximização de utilidade esperada





Distribuições paramétricas

Algumas distribuições de probabilidade são perfeitamentedescritas por um ou mais parâmetros. Por exemplo, adistribuição normal é totalmente descrita por sua média epor seu desvio padrão.

Nesse caso, pode-se pensar uma função de utilidade quetenha como argumento esses parâmetros.




Função de utilidade decorrente de uma alocação deriqueza: U(μ, σ) na qual μ é o retorno esperado da riquezae σ é o desvio padrão (uma medida de risco).

Deve-se esperar, para um consumidor com aversão aorisco, que μ seja um bem e σ seja um mal.



Exemplo: Carteira de investimento com umativo com risco

Suponha um consumidor que deve alocar sua riqueza emdois ativos: um livre de risco com rentabilidade rf e umcom risco, rentabilidade esperada rm e desvio padrão σm.Caso o consumidor opte por aplicar uma parcela x de suarenda no ativo com risco, ele terá uma carteira deinvestimentos com:

Rentabilidade esperada: rx = xrm + (1− x)rfDesvio padrão: σx = xσm

A relação entre rx e x será

rx = rf +rm − rfσm

σx

(rm − rf )/σm é chamado preço do risco; [(rm − rf )/σm]σx é oprêmio do risco.



Equilíbrio

σx

rx

rx = rf +rm−rfσm

σx

Curva de indiferença

b

Prêmiodo risco

Preço do risco



Alavancagem financeira

Caso seja possível tomar recursos emprestados à taxa dejuros rf , então, o investidor poderá escolher x > 1 tomandoemprestado um valor igual a x− 1 vezes sua riqueza einvestindo toda sua riqueza mais o valor emprestado no ativocom risco. Sua rentabilidade esperada será

rx = xrm − (x− 1)rf = xrm + (1− x)rf .

O desvio padrão de sua rentabilidade será

σx = xσm

Consequentemente, a linha de mercado continua além doponto descrevendo a rentabilidade e o risco do ativo de risco.



Alavancagem financeira – representação gráfica

σx

rx

rx = rf +rm−rfσm

σxposições nãoalavancadas

posiçõesalavancadas

brm

σm

rf


Utilidade média variância O modelo CAPM

Escolha entre dois ativos

Hipóteses

Dois ativos com risco com rentabilidades esperadas r1 er2 e variâncias σ2

1e σ2

2e um ativo livre de risco com

rentabilidade rf .

Só é possível criar portifólios contendo apenas um ativode risco combinado com o ativo livre de risco.

É possível obter recursos extras à taxa rf

Principal conclusão

Deverá ser escolhido o ativo de risco que paga o maior preçodo risco. Por exemplo, para que o ativo a seja escolhido, épreciso que

r1 − rfσ1≥r2 − rfσ2



Ilustração: Ativo 1 domina o ativo 2

rf

br2

σ2

br1

σ1



Combinando dois ativos com risco

Ativos iniciais

Ativo rent. esperada variância1 E(r̃1) = r1 σ1

2

2 E(r̃2) = r2 σ22

Portfólio composto

z = (α,1− α)sendo que α (0 ≤ α ≤ 1) representa a participação em valordo ativo 1 no portfólio. Consequentemente esse ativo terá

Retorno esperado E(r̃z) = rz = αr1 + (1− α)r2Variância σz

2 = α2σ12 + (1− α)2σ22 + 2α(1− α)σ1,2



Redução de risco via diversificação

Lembrando queσ1,2 ≤ σ1σ2

Chegamos a

σz2 = α2σ1

2 + (1− α)2σ22 + 2α(1− α)σ1,2≤ α2σ1

2 + (1− α)2σ22 + 2α(1− α)σ1σ2= [ασ1 + (1− α)σ2]2

Consequentemente,σz ≤ σ1 + (1− α)σ2.Em particular, caso tenhamos r1 = r2 = r̄ e σ1 = σ2 = σ̄ com r̃1e r̃2 não apresentando correlação linear perfeita e positiva(σ1,2 < σ1σ2), teremos

σz < σ̄



Diversificação: representação gráfica

desv. pad.

rendimento

ρ=−1,0ρ=−0,5ρ= 0,0ρ= 0,5ρ= 1,0

br1

σ1

br2

σ2



Melhor combinação de dois ativos com risco

desv. pad.

rendimento

br2

σ2

br1

σ1

rf

b

bMelhorcombinaçãodos doisativos



A fronteira eficiente

Definição

A fronteira eficiente ou conjunto eficiente de Markowitz é oconjunto de todos os portfólios de ativos com risco queoferecem a maior rentabiliade possível dado o seu risco.

Propriedade importante

Devido ao fato de que o risco é reduzido quando dois ativossão combinados, a fronteira eficiente deve formarconcavidade à direita.



A melhor combinação de ativos

desv. pad.

rendimento

rf

b

σo

ro Melhorcombinaçãode ativoscom risco

Fronteiraeficiente



Fronteira eficiente e um ativo individual – I

Sejam

m = (s1, s2, s3, . . . , sn) o portfólio de ativos com risco ótimono qual∑n

i=1si = 1

rm o retorno esperado de m e σm o desvio padrão desseretorno.

a = (1,0, . . . ,0) um portfólio composto apenas pelo ativo1, de tal sorte que seu retorno esperado é r1 com desviopadrão σ1

x(α) = αa+ (a− α)m



Fronteira eficiente e um ativo individual – II

Nessas condições teremos

x(0) =m e x(− s11−s1 ) = (0, 1

1−s1s2,1

1−s1 s3, . . .1

1−s1sn) =m\1O retorno esperado de x(α) será rα = αr1 + (1− α)rmO desvio padrão seráσα =Æ

α2r21+ (1− α)2r2

m+ 2α(1− α)σ1,m

A curva que descreve a trajetória de (σα, rα) com respeitoa variações em α nunca ficará à direita da fronteiraeficiente (x(α) é no máximo eficiente) e tocará essafronteira quando α = 0 (x(0) =m é eficiente).

Assim, essa curva deverá ser tangente à fronteiraeficiente no ponto (σm, rm)



Fronteira eficiente e um ativo individual – III

σ

rendimento

brm\1

σm\1

bra

σ1

rf

b

σm

rmαa+ (1− α)m

Fronteiraeficiente



Relação entre a fronteira eficiente e um ativoindividual – IVAs inclinações das duas curvas

A inclinação da fronteira eficiente no portfólio ótimo é

rm − rfσm

(1)

A inclinação da curva azul é drα /dα

dσα /dα

=

d

dα(αr1 + (1− αrm))

d

dα

Æ

α2σ21+ (1− α)2σ2

m+ 2α(1− α)σ1,m

=r1 − rm

ασ21−(1−α)σ2

m+σm,1−2ασm,1

Æ

α2σ21+(1−α)2σ2

m+2α(1−α)σ1,m

(2)



Relação entre a fronteira eficiente e um ativoindividual – V

Quando α = 0, (1) é igual a (2), assim,

r1 − rmσm,1

σm− σm

=rm − rfσm

Resolvendo para r1, obtemos

r1 = rf +σm,1

σ2m

(rm − rf )

Convencionando β =σm,1

σ2m

, ficamos com

r1 = rf + β(rm − rf )



Modelo CAPM

Hipóteses

Os mercado são perfeitamente competitivos, a informação écomum, todos os investidores são aversos a risco e estimamas mesmas distribuições de probabilidade para todos osativos e é possível emprestar e tomar emprestado à taxa rf .

Principal conclusão

Nessas condições, para todos os investidores, o portfólioótimo dos ativos com risco é o portfólio de mercado, ou sejacada ativo deve participar, em valor, do portfólio ótimo namesma proporção que ele participa, em valor, do mercado.



Modelo CAPM – a linha de mercado

Beta

rendim

ento

b

rf

rm

βm = 1

br1

β1

b

β2

r2

br3

β3


teoria do consumidor: escolha envolvendo...

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