teoria e historia de las ecuaciones

8/7/2019 Teoria e Historia de Las Ecuaciones

1/6

Ecuacin

Ecuacin , declaracin de la igualdad entre dos expresiones, utilizada en casi todas las ramas delas matemticas puras y aplicadas, as como en las ciencias fsicas, biolgicas y sociales. Una

ecuacin suele incluir una o ms incgnitas, tambin llamadas variables. stas se denotanutilizando letras u otros smbolos, como en las ecuaciones x 2 + x - 4 = 8 ; y = sen x + x ; 3y = log x . Una ecuacin se nombra segn el nmero de variables que contenga, por lo que puede ser una ecuacin con una, dos, tres o ms variables.

Se dice que una ecuacin es satisfecha, o se cumple, para determinados valores de lasincgnitas, si al sustituir las variables por dichos valores la expresin que queda al lado izquierdodel signo igual es igual a la del lado derecho. Por ejemplo, la ecuacin 2 x + 5 = 13 se cumplepara x = 4. Si uno o ms valores de la variable no satisfacen la ecuacin, sta se denominacondicional. La ecuacin con dos incgnitas 3 x + 4y = 8 es condicional pues no se cumple para x = 1 e y = 3. Se dice que una ecuacin es una identidad si se cumple para todos los posiblesvalores de las variables. Por ejemplo, las ecuaciones ( x + y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 ; sen2 x + cos2 x = 1son identidades pues se cumplen para todos los posibles valores de las incgnitas. Una solucinde una ecuacin condicional es un valor de la variable, o conjunto de valores de las variables,que satisfacen la ecuacin; por eso, 3 es una solucin de la ecuacin x 2 - 2 x = 3, y x = 2, y = 4 esuna solucin de la ecuacin 3 x 2 + 4y = 28. Una solucin de una ecuacin con una sola incgnitase denomina normalmente raz de la ecuacin.

Una ecuacin polinmica tiene la forma

a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + +a n x n = 0

en la que los coeficientes a 0, a 1, , a n son constantes, y n es un entero positivo. El mayor

exponente, n, es el grado de la ecuacin. Las ecuaciones de primer, segundo y tercer gradotambin son conocidas como ecuaciones lineales, cuadrticas y cbicas, respectivamente.

Otros tipos de ecuaciones importantes son las ecuaciones algebraicas, como + = 7;trigonomtricas, como sen x + cos 2 x = ; logartmicas, como log x + 2 log ( x + 1) = 8, yexponenciales, como 3 x + 2 x - 5 = 0.

Las ecuaciones diofnticas son aquellas ecuaciones con una o ms incgnitas y con coeficientesenteros para las que se buscan soluciones enteras. Las ecuaciones de los clculos diferencial eintegral incluyen derivadas o diferenciales e integrales.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas.

Una solucin de dicho sistema es un conjunto de valores de las incgnitas que satisface todas ycada una de las ecuaciones simultneamente. Vase lgebra:Resolucin de Ecuaciones .1

1


2/6

Teora de ecuaciones

Teora de ecuaciones , rama de las matemticas que estudia la naturaleza de las races deecuaciones polinmicas y los mtodos de bsqueda de dichas races. La teora de las

ecuaciones tiene aplicaciones en todas las ramas de las matemticas y de las ciencias.Una ecuacin polinmica tiene la siguiente forma general

a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = 0

en donde los coeficientes a 0, a 1, , a n son cualquier nmero, excepto a n que debe ser distinto de0. El grado de una ecuacin polinmica es igual al nmero entero positivon. Una raz es un valor de la x tal que al sustituir dicho valor en la ecuacin polinmica se obtiene 0 = 0. Para resolver una ecuacin polinmica, hay que encontrar todas las races de la ecuacin.

Una ecuacin lineal es una ecuacin de primer grado que slo tiene una raz. La nica raz de la

ecuacin lineal ax + b = 0 es x = -b/a. La ecuacin cuadrtica, o de segundo grado, ax 2 + bx + c =0, tiene dos races, dadas por la frmula

Comienzos

Hasta el siglo XVII, la teora de ecuaciones estuvo limitada pues los matemticos no fueroncapaces de aceptar que los nmeros negativos y complejos podan ser races de ecuacionespolinmicas. Slo los antiguos matemticos indios, como Brahmagupta, conocan las races

negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficientes negativos en lospolinomios. En vez de un solo tipo de ecuacin de segundo grado, el mencionado ms arriba,haba seis tipos distintos, segn cules fueran los coeficientes negativos.

Un mtodo de resolucin de ecuaciones que puede encontrarse en antiguos libros egipcios ychinos, es el de la falsa posicin. Por ejemplo, para resolver la ecuacin x + x/7 = 19, primero setoma una aproximacin de la x que simplifique el clculo del primer trmino, como x = 7. Alsustituir la x por 7 en esta ecuacin, el resultado es 8 en vez de 19. Por tanto, se necesita unfactor corrector que se obtiene dividiendo 19 por 8. Este factor, 2 , se multiplica por el primer valor, 7, con lo que se encuentra que la raz de la ecuacin original es 16 . Los egipciosutilizaban el mtodo de la falsa posicin para encontrar una raz en ecuaciones de segundogrado sencillas. Para ecuaciones cuadrticas con un trmino en x, como x 2 - 5 x = 6, las primerassoluciones no se encuentran hasta en los libros de matemticas babilonios del 2000 a.C. Aunquelos babilonios no conocan las races negativas ni las complejas, su mtodo de bsqueda de lasraces positivas reales es el mismo que se utiliza en la actualidad.

Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los escritos delmatemtico y cientfico griegoHern de Alejandraen el siglo I, es un mtodo de aproximacinde la raz positiva de ecuaciones como x 2 = 2. En este mtodo, primero se toma unaaproximacin como para calcular una nueva aproximacin utilizando la regla [ + 2/( )]/2, o


3/6

17/12. Si se repite este procedimiento se obtiene 577/408, que es una buena aproximacin de .Estas aproximaciones y clculos repetidos se denominan iteraciones. Un mtodo iterativo muytil, que se encuentra en los trabajos de los matemticos chinos Liu Hui (en el siglo III) y ChuShih-Chieh (en el siglo XIII), fue redescubierto en Europa hacia 1800 por el matemtico ingls W.G. Horner. Tambin haba sido usado por el matemtico rabe Yamschid al-Kaschi. Entre otros

matemticos rabes que hicieron importantes contribuciones a la teora de ecuaciones seincluyenAl-Jw rizm y Omar Jayyam, que desarrollaron la primera teora de las ecuacionescbicas. Sin embargo, esta teora estaba definida en trminos geomtricos y era, por tanto,incompleta.

Soluciones generales

En 1545 el matemtico italiano Gerolamo Cardano public una solucin algebraica para lasecuaciones de tercer grado en funcin de sus coeficientes y Niccol Tartaglia la desarroll. Pocodespus, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontr una solucin algebraica para lasecuaciones de cuarto grado.

En 1629 el matemtico francs Albert Girard acept races de ecuaciones tanto negativas como

complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el an incompleto estudio que Franois Vite habarealizado sobre la relacin entre las races de una ecuacin algebraica y sus coeficientes. Vitehaba descubierto que si a y b son las races de x 2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a b.

Generalizando, Vite demostr que si el coeficiente del trmino de mayor grado de la ecuacin p ( x ) = 0 es la unidad, entonces el coeficiente del segundo trmino de mayor grado cambiado designo es igual a la suma de todas las races; el coeficiente del tercer trmino es igual a la sumade todos los productos formados al multiplicar las races de dos en dos; el coeficiente del cuartotrmino cambiado de signo es igual a la suma de todos los productos que resultan de multiplicar las races de tres en tres. Si el grado de la ecuacin es par, el coeficiente del ltimo trmino esigual al producto de todas las races; si es impar, es el producto de todas las races cambiado designo. Vite tambin aport importantes mtodos numricos para encontrar aproximaciones a lasraces de una ecuacin.

En 1635 el matemtico y filsofo francsRen Descartes public un libro sobre la teora deecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el nmero de races positivas ynegativas de una ecuacin. Unas cuantas dcadas ms tarde, el fsico y matemtico ingls IsaacNewtondescubri un mtodo iterativo para encontrar las races de ecuaciones. Hoy se denominamtodo Newton-Raphson, y el mtodo iterativo de Hern mencionado ms arriba es un casoparticular de ste.

A finales del siglo XVIII, el matemtico alemnCarl Friedrich Gauss demostr que cualquier ecuacin polinmica tiene al menos una raz. Sin embargo, quedaba an por saber si era posible

expresar esta raz con una frmula algebraica utilizando los coeficientes de la ecuacin, como sehaba encontrado para las de segundo, tercer y cuarto grado. El astrnomo y matemtico francsJoseph Lagrange dio un paso importante para resolver esta cuestin con su mtodo depermutacin de las races de una ecuacin para el estudio de sus soluciones. Este fructferoconcepto, junto con los trabajos del matemtico italiano Paolo Ruffini, del noruegoNiels Abelydel francs variste Galois, condujo a una teora completa de los polinomios. Entre otras cosas,esta teora demuestra que un polinomio slo se puede resolver utilizando una frmula algebraicageneral si es de cuarto grado o menor. El trabajo de Galois tambin sirvi para resolver dos


4/6

famosos problemas que se remontaban a los antiguos griegos: Galois demostr que es imposibledividir algunosngulos en tres partes iguales utilizando slo el comps y la regla recta, y que esimposible construir uncubo cuyo volumensea dos veces el de un cubo dado .2

Ecuacin diferencial

Ecuacin diferencial , ecuacin en la que figura una funcin y = f ( x ), y al menos una de susderivadas. La primera derivada de una funciny = f ( x ), o derivada de primer orden, f ( x ), es lavelocidad a la que cambia y con respecto a x. Si la funcin se representa grficamente, laprimera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segundaderivada, o derivada de segundo orden, f ( x ), es sencillamente la derivada de la derivada, y assucesivamente. Vase Clculo.

A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad deun determinado cambio. Una solucin de una ecuacin diferencial es una funcin y = f ( x ) que

satisface la ecuacin; la solucin general es una frmula que representa todas las solucionesposibles.

Una ecuacin diferencial de ordenn es una ecuacin en la que figura la derivada ensima,denotada por d ny/dx n = f (n)( x ), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo deecuacin diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x. Se ha demostradoque y disminuye a una velocidaddy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda;por tanto,

donde a es negativo puesto que y disminuye. La solucin general de esta ecuacin diferencialviene dada por y = ce ax , donde c es una constante igual a la masa de material en el momento

x = 0.

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos almovimiento bajo la influencia defuerzas. Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x,entonces dy/dx es su velocidad y d 2y/dx 2 es su aceleracin. Si el objeto tiene una masaconstante m y est sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (vase Mecnica) afirmaque

Si F es la fuerza gravitatoriamg, e y representa la distancia cada, entonces md 2y/dx 2 = F = mg,por lo que

2


5/6

Como se demuestra en clculo, la solucin general de (2) es

donde a y b son constantes, iguales respectivamente a la velocidad y la distancia en el momento x = 0. Como ilustran estos ejemplos, la solucin general de una ecuacin diferencial de ordennimplican constantes arbitrarias, como son c en (1), o a y b en (2).

Se dispone de muchos mtodos potentes para resolver distintos tipos de ecuacionesdiferenciales, pero no hay un mtodo nico que resuelva todas, y en algunos casos slo puedenhallarse soluciones aproximadas mediante tcnicas numricas. Las ecuaciones diferencialesparciales implican derivadas parciales de una funcin de dos o ms variables.3

Ecuacin indeterminada

Ecuacin indeterminada , en matemticas, nombre dado a una ecuacin carente de un conjuntonico de soluciones, por lo que no se puede resolver de forma nica. Una ecuacinindeterminada puede tener un nmero infinito de soluciones. Estas ecuaciones slo tienensolucin si se aaden restricciones adicionales al problema; una restriccin puede ser que lassoluciones deben ser nmeros enteros.

Un ejemplo sencillo de este tipo de problemas es el siguiente: cuntas monedas de cinco yveinticinco unidades se necesitan para tener cincuenta unidades? Algebraicamente, esteproblema se reduce a resolver la ecuacin 5 x + 25y = 50. Esta ecuacin tiene un nmero infinitode soluciones si se admiten soluciones fraccionarias, pero el enunciado del problema prohibeestas soluciones, pues un tercio de moneda de 5, por ejemplo, no tiene sentido. Con estarestriccin, est claro que hay tres y slo tres soluciones: diez monedas de 5 y ninguna de 25,cinco de 5 y una de 25, y ninguna de 5 y dos de 25. Algunos de estos problemas no tienensolucin, por ejemplo: cuntas monedas de 5 y 25 se necesitan para tener 37 unidades?

En problemas ms complejos, la solucin o soluciones no son tan fciles de encontrar, por lo queha sido necesario desarrollar un lgebra extensa para encontrar estas soluciones. El ms simplede estos problemas puede expresarse en forma de una ecuacin algebraica lineal con dosincgnitas (como la ecuacin mostrada en el prrafo anterior), que se resuelve utilizando elmtodo descubierto por los matemticos griegos Diofantey Euclides. Las soluciones, si existen,se encuentran calculando el mximo comn divisor de los coeficientes de la x y de la y en laecuacin. En la ecuacin anterior, los coeficientes eran 5 y 25, con lo que su mximo comn

divisor es 5. Si el mximo comn divisor es un submltiplo del segundo miembro de la ecuacin(50 es divisible por 5), la ecuacin tiene una o ms soluciones enteras.

Para ms informacin y ejemplos sencillos,vase Anlisis diofntico. Muchos de los grandesmatemticos, como el alemn Carl Friedrich Gauss dedicaron bastante tiempo a la bsqueda desoluciones enteras para ecuaciones indeterminadas complejas. 4

3


6/6

4

teoria e historia de las ecuaciones

Documents