teoria e strukturave bachelor

5/26/2018 Teoria e Strukturave Bachelor

1/61

TEMA 1

HYRJE N TEORIN E STRUKTURAVE. SISTEMET KONSTRUKTIVE, SKEMAT LLOGARITSE, ELEMENTT

KONSTRUKTIV DHE NYJET. ANALIZA KINEMATIKE DHE GJEOMETRIKE E STRUKTURAVE. SISTEMET

STATIKISHT T CAKTUARA DHE SISTEMET STATIKISHT T PACAKTUARA.

Teoria e strukturave eshte lenda baze per llogaritjen e strukturave dhe ajo studion zgjidhjen e skema

llogaritese. Skema llogaritese eshte skema reale e thjeshtuar , pra skema e formuar pa mosmarrjen

parasysh te atyre faktoreve qe nuk luajne nje ndikim te ndjeshem ne punen e te gjithe objektit. Teoria e

strukturave perfshin shume gjini qe jane : STATIKA E STRUKTURAVE , DINAMIKA E STRUKTURAVE DHE

QENDRUESHMERIA E STRUKTURAVE. te tria keto disiplina e shohin ne kendveshtrime te ndryshme

shtrimin e skemes llogaritese dhe ceshtjen e dhenies zgjidhje te problemeve kryesore qe jane forcat e

brendshme dhe deformacionet e elementave. Pavaresisht metodologjive teoria e strukturave bazohet

ne nje koncept qe eshte Statika e nje konstruksioni , ose e thene ndryshe ne inxhinierine e ndertimit

nuk studiohen skema mekanizmash.

SKEMAT LLOGARITESE.

Klasifikimi i skemes llogaritese nga ana gjeometrike:

Shuhrat (sisteme nje dimensionale) Pllakat (sistemet dy dimensionale) Masivet (sisteme tre dimensinale)

Klasifikimi i skemes llogaritese nga ana kinematike:

Sistemet gjeometrikisht te pandryshueshem. Sistemet gjeometrikisht te ndryshueshem. Sisteme gjeometrikisht te ndryshueshem ne cast.

Klasifikimi i skemes llogaritese nga drejtimet e reaksioneve te lidhjeve:

Sistemet pa reaksione horizontale. Sistemet me reaksione horizontale (qe lindin edhe nga forcat vertikale)

Klasifikimi i skemes llogaritese nga pozicioni qe zene ne hapesire:

Sisteme plane. Sisteme hapesinore.

NGARKESAT.

Klasifikimi i ngarkesave sipas kohes se veprimit:

Ngarkesa me veprim te perhershem. Ngarkesa me veprim te perkohshem per nje kohe te gjate.


2/61

Ngarkesa me veprim te perkohshem per nje kohe te shkurter. Ngarkesa katastrofike.

Klasifikimi i ngarkesave sipas menyres se veprimit:

Ngarkesa statike.

Ngarkesa dinamike. Ngarkesa te levizshme.

TIPET E LIDHJEVE.

Sharnierat e levizshme. Sharnierat e palevizshme. Lidhjet inkastrim. Lidhjet inkastrim te levizshem.


3/61

TIPET E STRUKTURAVE. ( strukturat me te zakonshme qe perdoren ne konstruksione jane )

Sistemet me shufra , elementet e te ciles punojne ne shtypje dhe ne terheqje. Keto strukturaquhen ndryshe edhe kapriata.

Sistemet Rama , ose sisteme me trare te thyer qe punojne ne shtypje terheqje dhe perkulje.Keto mund te jene rama plane ose rama hapsinore.

Sistemet e kombinuar Kollona-Diafragma. Perballimi i forcave te jashtme perballohet ngakollonat dhe diafragmat , te cilat keto te fundit e rrisin shtangesine e konstruksionit.

Membranat jane elemente plane te cilat nuk punojne mire ne perkulje ndaj atyre u jepen formate cilat te punojne ne shtypje.

Strukturat tredimensionale , jane konstruksione masive , aplikime te te cilave jane digat etj. Sistemet e varura , te aplikuara kryesisht te urat e varura bazohen mbi nje konstruksion i cili ka

nje element mbajtes qe eshte nje kavo e mbeshtetur mbi dy pika qe jane edhe pikat me te larta.

ANALIZA KINEMATIKE DHE GJEOMETRIKE E STRUKTURAVE

Kur flasim per analize kinematike te strukturave nenkuptojme percaktimin e shkalleve te lirise dhe e

lidhjeve qe ka nje konstruksion. Nderkohe ekzistojne edhe konstruksione te cilet mund te kene lidhjet

minimale te kerkuar qe sistemi te jete i qendrueshem (jo mekanizem) por qe nuk ka mjaftueshem lidhje

qe te sigurojne qendrueshmerine , ndaj ne te tilla raste eshte e nevojshme qe te realizohet edhe analiza

gjeometrike e cila ne menyre perfundimtare gjykon mbi qenien ose jo mekanizem te nje strukture. perte realizuar nje analize te tille duhet te japim disa koncepte:

DISK do te quajme nje element konstruktiv , deformimet e te cilit nen veprimin e ngarkesave te

jashtme jane brenda kufirit te proporcionalitetit pra i marre ne vecanti eshte gjeometrikisht i

pandryshueshem.


4/61

SHKALLE LIRIEdo te quajme numrin e parametrave te pavarur qe percaktojne pozicionin e nje trupi ne

plan ose ne hapesire.

Formula qe percaktohet numri i shkalleve te lirise se gjithe struktures:

= 3

2

0

Numri i sharneires percaktohet me formulen SH=n-1 (nnumri i disqeve te lidhur ne sharniere)

Numri i lidhjeve te teperta korespondon me numrin e shkalleve te lirise me shenje te kundert. L=-W.

W0)sistemi ka me shume lidhje se shkalle lirie. Sistem statikisht i pacaktuar.

W=0 (L=0)sistemi ka sa lidhje aq shkalle lirie. Sistem statikisht i caktuar.

W>0 (L


5/61

Analiza gjeometrike dhe kinematike e strukturave percakton skemat ne skema mekanizem qe nuk mund

te llogariten me ekuacionet e ekuilibrit statik dhe ne skeme statike te llogaritshme me ekuacionet e

ekuilibrit statik.

ANALIZIMI I STRUKTURAVE STATIKISHT TE CAKTUARA

Sisteme statikisht te caktuara jane sistemet me te thjeshta ne teorine e strukturave kundrejt aspektit te

zgjidhjes. Keto sisteme kane numrin minimal te lidhjeve qe struktura te jete kinematikisht e

qendrueshme , si dhe gjeometrikisht kjo strukture eshte e qendrueshme. Me zgjidhjen e sistemeve te

tilla nga veprimi i ngarkesave te cfaredoshme, nenkuptojme percaktimin e reaksioneve te lidhjeve te

struktures me token , si dhe percaktimi i forcave te brendshme M,Q,N ne cdo element te struktures.

Keto sisteme mund te zgjidhen vetem me zgjidhjen e ekuacioneve te ekuilibrit qe shtrohen per

strukturen ne teresi dhe te elementit ne vecanti, kur eshte ne marredhenie me elementet e tjere te

struktures. Duke u nisur nga ligjet e fizikes marrim:

nje trup ose nje sistem trupash ndodhet ne ekuiliber kur rezultantja e forcave te jashtme qe aplikohen

mbi kete sistem eshte e barabarte me zero , si dhe ne qofte se rezultantja e forcave te jashtme qe

veprojne ne nje sistem trupash eshte e barabarte me zero athere mund te themi qe sistemi eshte ne

ekuiliber

Cka thame me siper eshte principi baze qe aplikohet ne zgjidhjen e sistemeve statikisht te caktuar ,ne

perpilimin e ekuacioneve te ekuilibrit te cilat jane si me poshte:

= 0

= 0

= 0 = 0 = 0 = 0

Sic duket keto ekuacione per te gjitha shkallet e lirise te mundshme per nje element te struktures , ose

te struktures ne teresi.


6/61

TEMA 2

NGARKESAT E LVIZSHME. VIJAT INFLUENTE T FORCAVE T BRENDSHME. VIJAT INFLUENTE N

TRAR T MOMENTIT DHE FORCS PRERSE. VLERAT MAKSIMALE T FAKTORVE LLOGARITUR ME

NDIHMN E VIJAVE INFLUENTE.

Per llogaritjen e sistemeve statikisht te caktuara ekuivalent kjo me gjetjen e reaksioneve te

mbeshtetjeve dhe shperndarjen e M, Q, N ne elementet e struktures , mjaftojme ekuacionet e ekuilibrit

statik. Llogaritja e nje strukture jo gjithmone shtrohet ne aspektin e forcave te brendshme ne nje

strukture , duke e pare vetem ne marredhenien e elementave te struktures ne teresi, por ne disa raste

me e rendesishme mbetet ngarkesa. Nder rastet e ngarkesave te cilat ne tipologjine e tyre jane me te

rendesishme ne tipologjine e tyre se ne vleren e tyre jane ngaresat e levizshme, te automjeteve ne

rastet me pergjithesuese. Keto ngarkesa , sic do te evidentohet ne vazhdim te leksionit kane nje rendesi

me te madhe tek pjesa e pozicionimit dhe kombinimit te tyre sesa tek vlera qe ka kjo ngarkesa. Ngarkesa

te tille influencojne shume ne shperndarjen e forcave te brendshme ne strukture , duke ja atribuar

pikerisht sjelljes se struktures gjate ngarkimit te nje elementi kur kjo ngarkese mund te kete pozicione tecfaredoshme.

VIJAT INFLUENTE

Vija influente te nje faktori te cfaredoshem , quhet grafiku qe shpreh ligjin e ndryshimit te ketij faktoret

ne seksionin e dhene, kur forcat njesi leviz gjate hapesires se dhene te ndertimit. Duket qarte qe nga

perkufizimi , vijat influente llogariten per forcen P=1 (M=1) qe leviz. Ne struktura forcat levizese takohen

gjeresisht , ndaj studimi i tyre thjeshtezohet me studimin e vijave influente. Ne sistemet statikisht te

caktuara vijat influente ndertohen duke shfrytezuar ekuacionet e ekuilibrit.

VIJAT INFLUENTE TE REAKSIONEVE NE MBESHTETJE


7/61

VIJAT INFLUENTE TE FORCES PRERESE DHE TE MOMENTIT NE SEKSIONIN B

PROCEDURAT E ANALIZES

Procedura per konstruimin e vijave influente per reaksionet , forcat prerese dhe momentet perkulese ne

trare dhe rama duke perdorur ekuacionet mund te permblidhen si me poshte:

1. Zgjidhet nje origjine nga e cila do te filloje levizja e nje ngarkese te perqendruar dhe do tepercaktohet dhe largesia e cila do te jete dhe koordinata e kesaj ngarkese. Zakonisht eshte epershtatshme qe si pol te merret skaji i majte i struktures ose skaji i majte ku fillon te levizengarkesa.

2. Per te ndertuar vijen influente per reaksionin ne mbeshtetje :a. Vendoset ne pozicionin x larg skajit te majte ngarkesa levizese , hiqet lidhja e struktures per

reaksionin dhe zevendesohet me reaksionin. Shkruhen ekuacionet e ekuilibrit per sistemin eri ku reaksioni do te jete nje funksion i pozicionit x. Ne rastet kur kemi disa elemente , duhenshkruar ekuacionet e ekuilibrit per cdo element per te ndertuar vijen influente.

b. Ne momentin kur shprehjet e reaksionit ne mbeshtetje per te gjitha pozicionet e ngarkesesjane te llogaritura , ndertohet vija influente duke ndertuar grafikun e shprehjeve perkateseme ordinate sa vlera e reaksionit ne mbeshtetje dhe abshise sa pozicioni x i ngarkeses. Kjonenkupton qe ngarkesa levizese e pozicionuar ne pozicionin x , shkakton nje reaksion tebarabarte me ordinaten e grafikut ne ate pike.

c. Hapi dy perseritet per te gjitha pjeses e vijes se kalimit , ose levizjes se ngarkeses.


8/61

3. Ne pergjithesi per ndertimin e vijes influente te forces prerese dhe te momentit perkules

shfrytezohen vijat influente te reaksioneve ne mbeshtetje. Keshtu qe eshte e nevojshme qeparaprakisht eshte e nevojshme te ndertohen vijat influente te reaksioneve te mbeshtetjeve.a. Vendoset ngarkesa ne strukture ne pozcionin variabel x ne anen e majte seksionit te marre

ne konsiderate. Per te thjeshtuar shprehjet e llogaritjes se forces se brendshme ne seksion ,merret ekuilibri i forcave te brendshme ne anen e djathte seksionit. Kur ngarkesa levizdjathtas seksionit te marre ne shqyrtim , merret ana e majte e seksionit te marre neshqyrtim.

b. Duke marre ne konsiderate seksionet ne anen e kundert te vendodhjes se ngarkeses levizese, llogariten forcat e brendshme ne seksion ne funksion te variablit x , ku ndodhet ngarkesalevizese.

c. Duke shfrytezuar shprehjet per forcat e brendshme ne seksion ne funksion te x, ndertohengrafiku i vleres se forces se brendshme qe eshte dhe vija influente e faktorit perkates.

VIJAT INFLUENTE NE TRARET ME SHUME HAPESIRA DRITE

Ne traret statikisht e caktuar me shume hapesira drite eshte e rendesishme ndarja e trareve ne trarekryesore dhe ne trere sekondare , pasi kur ngarkesat veprojne mbi traret kryesore ndikimi i tyre mbi

trert sekondare eshte zero, ndersa veprimi i ngarkeses tek trau sekondar tejcohet edhe tek trau kryesor.

Kujtojme qe: trau kryesor eshte nje koncept relativ i nje trau te lidhur me nje tra tjeter i cili ka lidhjet e

duhura edhe ne qofte se traun lidhur me te e heqim. Tra sekondar eshte nje koncept relativ i nje trau te

lidhur me nje tra tjeter i cili nuk i ka lidhjet e duhura ne qofte se nuk lidhet me nje tra tjeter qe eshte

kryesor per traun ne fjale.

Duke u nisur nga keto perkufizime theksojme qe ne nje tra te vazhduar me shume hapesira drite, nje

element tra mund te jete tra sekondar per traun paraardhes por mund te jete tra kryesor per traun

pasardhes te mbeshtetur mbi te. Duhet patur parasysh qe numerimi te nise nga nje tra kryesor me

lidhjet e duhura.

VLERAT E FAKTORIT SK

Pasi eshte ndetuar vija influente e faktorit S , ne seksionin e kerkuar K lind nevoja e llogaritjes se

ketij faktori kur zbatohet nje force e cfaredoshme e perqendruar dhe rastin kur kemi disa forca , ose

forca te shperndara. Per kete do te bazohemi tek vija influente e faktoreve dhe tek parimi i pamvaresise

se veprimit te forcave.

Nga perkufizimi i vijes influente: ordinata e nje pike cfaredo ne grafikun e vijes influente te faktorit Sk

shpreh vleren e faktorit , kur forca njesi ndodhet ne abshisen e asaj pike.

Nga pamvaresia e veprimit te forcave: faktoret si pasoje e n forcave eshte e nje vlershme me shumen e

vleres se faktoreve shkaktuar prej secilit veprim.

= = 11 + 22 ++


9/61

Nga rasti i vecante eshte edhe veprimi i nje force te shperndare :

= ()() ; = Detyre tjeter e rendesishme eshte percaktimi i vleres maksimale te vleres se faktorit ne rastet kur njihet

vija influente e faktorit dhe ngarkimi i jashtem. Ngarkimi i jashtem do te jete ngarkese me nje skeme te

percaktuar (ngarkesat e percaktuara ne vlere dhe ne plan vendosje) , e cila do te pozicionohet ne

strukture ne menyre te tille qe te jape vlera maksimale. Duke provuar pozicione te ndryshme te

ngarkesave do te merret vlera maksimale e tyre.

Gjetja e pozicionit te vendosjes se ngarkesave ne menyre qe te marrim vlerat maksimale te faktoreve

nuk eshte nje proces i lehte dhe ne konstruksione te veshtira , kemi edhe volum llogaritjesh , per kete

arsye behen disa rekomandime:

a. Ngarkesat maksimale te skeme ngarkesave rekomandohet te vendosen pikerisht ne ordinatatmaksimale te vijave influente.

b. Grup ngarkesat e skemes se ngarkimit rekomandohen te pozicionohen ne abshisa qe kane vleratme te medha te ordinatave te vijes influente.

c. Vija influente rekomandohet qe te grupohet ne zona , te tilla qe levizja e skeme ngarkeses sipaste njejtit sens (majtas ose djathtas) te ruaje te njejten shenje te ndryshimit te vleres se faktorit

(rritje ose zvogelim).

d. Ndertohet nje ekuacion i pergjitheshem i vleres se faktorit ne funksion te pozicionit te skemengarkeses , dhe derivimi i kesaj shprehjeje do te jape ekstremumet e ketij funksioni.


10/61

TEMA 3

VIJAT INFLUENTE TEK KAPRIATAT. METODAT E ANALIZS : RIHTER, ME PROJEKSIONE DHE ME PRERJE

T NYJEVE.

Para se te fillojme studimin e vijave influente tek kapriatat po theksojme qe: kapriata eshte nje tra

ekonomik , i realizuar me elementa shufra te lidhura me sharniera dhe qe punojne vetem ne shtypje ose

ne terheqje , duke realizuar nje shperndarje me te mire te ngarkesave ne elementet e saj.

Kapriatat klasifikohen sipas konturit te jashtem :

1. KAPRIATA ME BREZA PARALEL2. KAPRIATA ME BREZA TREKENDOR3. KAPRIATA ME BREZ POLIGONAL

Kapriatat i klasifikojme sipas rrjetit te brendshem :

1. KAPRIATA ME RRJET TREKENDESH2. KAPRIATA ME RRJET DIAGONAL3. KAPRIATA ME RRJET GJYSEM-DIAGONAL4. KAPRIATA ME RRJETE ROMBIKE5. KAPRIATA ME SHPRENGELA


11/61

Llogaritja e vijave influente ne kapriata do te behet si tek traret , pra me nje ekuacion te ekuilibrit statik.

Nga mekanika e strukturave ne kemi tre menyra te zgjidhjes se kapriatave:

1. METODA RIHTER (METODA E SEKSIONEVE , PIKA E MOMENTIT ZERO)Kjo menyre konsiston ne prerjen e tre elementave te kapriates , dhe per te vleresuar faktoret

bejme nje shume momentesh kundrejt pikes rihter , aty ku priten dy elementet e tjere.


12/61

2. METODA E PROJEKSIONITMetoda e projeksioneve eshte e ngjashme me metoden e prerjes Rihter me ndryshimin qe ne

raste kur nuk kemi nje pike Rihter e cila te na jape zgjidhjen per faktorin ne fjale , atehere

shfrytezojme prerjen e kapriates dhe perdorim ekuacionet e ekuilibrit , shume forcash ne x dhe

shume forcash ne y.

3. METODA E PRERJES SE NYJESMetoda e prerjes se nyjeve bazohet ne prerjet ne cdo nyje dhe per secilen prej tyre zbatojme

ekuacionet e ekuilibrit.

KONCEPTI I ELEMENTIT ZERO

Ne kapriata ka elemente te cilet nga llogaritjet e tyre kane nje ngarkese te barabarte me zero. Ne te tilla

raste lind pyetja se perse duhen keto elemente ne strukture kur forcat e jashtme shkaktojne zero

sforcime ne keto elemente. Jane dy arse se perse keto elemente ndodhen ne sistemin kapriate dhe nuk

duhet te hiqen :

a) Arsye kryesore mbetet qendrueshmeria kinematike dhe gjeometrike e konstruksionit qe diktonnumrin dhe gjeometrine e konstruksionit. Pavaresisht ngarkeses qe merr nje element , prania e

tij diktohet dhe nga konditat e qendrueshmerise strukturore.

b) Mund te ndodhe qe ngarkesa e jashtme te ndryshoje drejtim , tipologji dhe vlere. Te tri ketofaktore mund te mund te shkaktojne aktivizimin e ketyre elementeve ne konstruksion. Per kete

arsye ai element duhet te ndodhet ne ate pozicion.

Ne kapriata eshte e rendesishme ndertimi i vijave influente te forcave te brendshme (forca normale)

pasi thjeshton llogaritjen qofte per ngarkesa te levizshme , qofte per ngarkesa te palevizshme.


13/61

Konkluzion : Abshica e pikeprerjes se deges se djathte me degen e majte perputhet me abshisen e pikes

Rihter.


14/61

KAPRIATAT ME SHPRENGEL

Shprengeli eshte nje kapriate e vogel qe i ngjitet elementave te kapriates se madhe. Arsyeja e kesaj

eshte qe te mos punojne elementet e kapriates ne perkulje. Duke shtuar shprengela forcat e

perqendruara ne meset e elementave kryesore (qe do te shkaktonin perkulje) do te merreshin ngaelementet e shprengelit ne menyre aksiale , per tu transmetuar ne nyjet e kariates. Kapriatat me

shprengela ka tre lloje elementesh :

1. Elemente vetem te kapriates kryesore2. Elemente vetem te shprengelit3. Elemente qe i perkasin edhe shprengelit edhe kapriates kryesore.


15/61


16/61


17/61

TEMA 4

SISTEMET ME TRE SHARNIERA. SISTEMET E VARURA DHE HARQET. EKUACIONI I HARKUT RACIONAL.

Sistemet me tre sharniera quhet sistemi i berbere nga dy disqe te lidhura me sharniere midis tyre dhe

me dy sharniera te lidhura me token. Ne qofte se sharniera lidhese ndodhet mbi vijen qe bashkon

sharnierat me token sistemiquhet hark ne rast te kundert sistemi quhet i varur. Sistemet me tre

sharniera kane nje vecanti qe ne to lindin reaksione horizontale nga veprimi i ngarkesave vertikale.

Ne sistemet me tre sharniera mund te perdoret Tiranti (element qe punon vetem ne terheqje) per te

marre ngarkesat horizontale. Ne kete rast hiqet nje lidhje me token.nder sistemet me tre sharniera me

te aplikuarit jane harqet me tre sharniera. Harqet ndertohen me ekuacione te ndryshme (rreth , parabol,

elips , hiperbole etj. ) per te arritur tek harku me ekonomik , qe eshte harku i cili punon vetem ne

shtypje. Me i perdorshmi eshte harku parabolik.

= 4( )2

LLOGARITJA ANALITIKE E HARKUT ME TRE SHARNIERA

Le te marrim nje hark me tre sharniera te ngarkuar me ngarkesa vertikale, dhe ne analogji nje tra te

thjeshte me po te njejten ngarkim.


18/61

Llogarisim reaksionet me ekuacioninet e ekuilibrit statik.

= 0 ; = 0 = 11 22 = 0 11 22 = 0

= 0 = 11 22 = 0 11 22 = 0 = 0

Konkludojme qe reaksionet vertikale te harkut me tre sharniera jane te barabarta me reaksionet

vertikale te traut te thjeshte korespondues.

= 0

=

=

= = 0 =

2 1

2 1 2

2 2 = 0 = 0

= 0


19/61

Perfundimisht harku do te quhej i llogaritur ne qofte se do te dihen dhe forcat e brendshme pergjate

harkut. Per te llogaritur forcat e brendshme i referohemi nje seksioni k te cfaredoshem. Me kkemi

shenuar kendin qe formon normalja e seksionit terthor k me horizontin.

FORCAT NORMALE

= + sin k 1 sin k 2 sin k+ cos k = 0 = sin k 1 sin k 2 sin k cos k =

FORCAT PRERESE

= cos k + 1 cos k + 2 cos k ++ sin k = 0 = cos k 1 cos k 2 cos k + sin k =

MOMENTI PERKULES

= + 1 1+ 2 2+ = 0 = ( 1 1 2 2+ )

=

Shprehjet e mesiperme jane tre shprehjet per llogaritjen e forcave te brendshme ne harkun me tre

sharniera , duke shfrytezuar ndertimin e traut ekuivalent. Ne praktike tentohet te arrihet trau racional , i

cili nuk punon ne perkulje, qe do te thote se momenti = , dhe ne kete rast harku do te punontevetem ne shtypje. Ekuacioni i harkut racional nxirret nga ekuacioni i mesiperm.

0 = 0 = 0

Ekuacioni i mesiperm eshte ekuacioni i harkut racional , ku shprehet ne funksion te momentit ne traunekuivalent , pjesetuar per reaksionin horizontal.


20/61

LLOGARITJA ANALITIKE E SISTEMEVE TE VARURA

Zakonisht ne konstruksionet inxhinierike perdoren kavot e varura ndermjet dy mbeshtetjeve skajore dhe

nen veprimi e ngarkesave vertikale te shperndara. Kavot sigurojne nje eficience te madhe ne

perballimin e ngarkesave te perhershme te urave te shtrira ne nje hapesire relativisht te madhe.

Problemi qe shtrohet ne keto konstruksione , si ne cdo konstruksion inxhinierik , eshte llogaritja eforcave te brendshme nen veprimin e forcave te jashtme , si dhe forma e deformuar e kavos. Kavoja nen

veprimin e forcave te jashtme dhe peshes vetjake merr nje forme te lakuar sipas ngarkeses qe perballon

si dhe forma e deformuar e kavos ndikon edhe ne forcat e brendshme po ne kavo.

Me poshte po shtrojme ekuacionet e ekuilibrit te cdo elementi elementar te kavos :

Duke derivuar shprehjet e mesiperme me dx ,

Duke integruar ekuacionet e mesiperme marrim FH= T:

Shprehja e mesiperme do te thote qe komponentja horizontale e tensionit te kavos ne cdo pike te kavos

mbetet konstante. Komponentja vertikale llogaritet me shprehjen , duke patur parasysh qe ne piken x=0

, komponentja vertikale eshte zero , meqenese tangentja e kavos ne ate pike eshte horizontale:


21/61

Duke njohur shprehjet dhe vlerat e komponenteve vertikale dhe horizontale te tensionit ne kavo ne

mund te llogarisim tangenten e kavos ne cdo pike dhe nga integrimi i se ciles te marrim edhe ekuacionin

e kavos. Tangentja ne cdo pike jepet me ekuacionin e meposhtem qe vjen si raport i dy shprehjeve te

mesiperme.

Duke integruar shprehjen e mesiperme kemi ekuacionin e aksit te deformuar te kavos. Ekuacioni i

meposhtem qe jep ekuacionin e kavos eshte nje parabole.

Per te llogaritur perberesen horizontale , mjafton te zevendesojme ne ekuacionin e mesiperm vleren

maksimale te shigjetes se traut h , hapesiren e ures L , dhe ngarkesen e shperndare w.

Vlera maksimale e vleres se sforcimit ne kavo jepet me shprehjet e meposhtme , qe meret ne piken kur

perberesja vertikale te marre vleren maksimale , meqense komponentja horizontale eshte

konstante.vlera maksimale e komponentes vertikale duke ju referuar shprehjeve te mesiperme merret

ne rastin kur kendi merr vleren maksimale , pikerisht ne piken e varjes se kavos.


22/61

TEMA 5

METODA ENERGJETIKE. PARIMI I ZHVENDOSJEVE T MUNDSHME. PARIMI I FORCAVE T MUNDSHME.

TEOREMA E NGARKESS NJSI. LLOGARITJA NE PLASTICITET E STRUKTURAVE DUKE SHFRYTEZUAR

METODEN ENERGJETIKE.

PUNA

Kur vepron nje force statike P ne nje strukture , qe do te thote kur kjo force rritet ne menyre statike nga

0 ne P0 , deformimet qe e shoqerojne veprimin e forces marrin vlere nga 0 ne U0. Marredhenia force-

deformim mund te jete lineare ose ne rastin e pergjithshem jolinear.

Ose meqenese puna e forcave te jashtme eshte e barabarte me energjine e deformimit te struktures

mund edhe te shkruajme :

Duke shfrytezuar marredheniet sforcim deformim mund te llogarisim energjite perkatese te deformimit.

Per llogaritjen e strukturave eshte e nevojshme te studiohet edhe puna plotesuese U* qe mund te

imagjinohet si nje plotese e punes per te formuar drejtkendeshin P 0U0. Si dhe ndryshimet qe pesojne

keto dy ndryshimet qe pesojne keto dy punet kur kemi zhvendosje elementare.


23/61

Energjia potenciale e deformimit , dhe energjia plotesuese llogaritet me shprehjet e meposhtme.

Shprehjet e mesiperme mund te shfrytezohen per te llogaritur forcat e nga derivimi i energjise se

deformimit me deformimet , ose te llogariten zhvendosjet duke bere derivimin e energjise plotesuese

me forcen.

Rastet e mesiperme jane te vlefshme per ngarkim te jashtem nga nje force , per rastin e ngarkimit me

disa forca shfrytezohet parimi i superpozimit.

ENERGJIA

Si rezultat i reagimit te struktures ndaj ngarkesave te jashtme te shkaktuara mbi te, do te lindin nderjet

dhe deformimet te cilat percaktpjne energjine potenciale te deformimit te struktures ose ndryshimin

e saj. Kjo energji do te quhet energji potenciale, ndersa kur ne vleresimin e energjise potenciale

perfshihen edhe ato te ngarkesave te jashtme do te quajme energjine e plote potenciale.

=

;

=

Duke iu referuar formulave dhe koncepteve te rendesishme do te nxjerrim tre parime te rendesishme

per llogaritjen e strukturave (trupave) te deformuar.


24/61

PARIMI I ZHVENDOSJEVE TE MUNDSHME

Per nje strukture te deformueshme qe ndodhet ne ekuiliber nen veprimin e nje sistemi ngarkesash te

jashtme , puna e mundshme e ketyre ngarkesave e llogaritur per nje sistem zhvendosjesh te mundshme

qe i jepen struktures , eshte e barabarte me energjine e mundshme potenciale qe u pergjigjet po atyre

zhvendosjeve.

PARIMI I FORCAVE TE MUNDSHME

Parimi i forcave te mundshme shprehte barazimin e punes se mundshme me energjine e mundshme

potenciale ndersa parimi i forcave te mundshme shpreh barazimin e punes se mundshme plotesuese me

energjine e mundshme plotesuese potenciale.

TEOREMA E NGARKESES NJESI

Kur parimi i forcave te mundshme perdoret per llogaritjen e vektorit te zhvendosjeve {u} ose zhvendosjet

ne pergjithesi eshte me e favorshme qe llogaritja te behet per nje sistem forcash te zevendesuara me nje

force njesi rP=1.

Shprehja e pergjithshme e deformimit eshte :


25/61

ANALIZA PLASTIKE E STRUKTURAVE

LLOGARITJA SIPAS AFTESISE MBAJTESE NE GJENDJEN KUFITARE

Analiza elastike eshte e rendesishme per sjelljen e strukturave ndaj ngarkesave te projektimit. Por nese

ne rrisim ngarkesat ne strukture elementet e tyre e kalojne kufirin e proporcionalitetit dhe shkojne drejt

futjes ne rrjedhshmeri, ne zona te caktuara ku sforcimet jane me te medha dhe rrjedhimisht dhe

deformimet jane me te medha dhe per pasoje deformimet kalojne ne fazen plastike. Dhe me rritje te

metejshme te ngarkeses shkohet ne gjendjen plastike. Ne keto raste ne strukture formohen sharnierat

plastike duke bere qe skema statike te kthehet ne mekanizem per sjtesa sado te vogla te ngarkimit.

Ngarkesa e shkaterrimit (ngarkesa kufitare) do te pranohet ne llogaritjet e projektimitte strukturave qe

mbajne ne gjendjen kufitare te aftesise mbajtese. Kjo metode shfrytezon aftesite plastike te materialit

dhe per thjeshtesi pranohen grafiket e idealizuar - , ku sforcimi i pragut te rrjedhshmerisepranohet

dhe si sforcimi kufitar elasto plastik, ndersa deformimi i rrjedhshmerise quhet deformim kufitar elastik,

ndersa deformimi kufitar e tejkalon deformimin elastik.

Gjate kalimit ne gjendjen plastike ndryshon edhe ligji i shperndarjes se nderjeve ne nje seksion terthor

te cfardoshem. Nga ligji linear i supozuar ne fazen elastike kalohet ne nje faze te ndermjetme me disa

dege dhe ne fazen e plasticitetit te plote , seksioni ndahet ne dy zona te vecanta qe jane totalisht ne

gjendje plastike, materiali ka kaluar ne rrjedhshmeri. Njera zone eshte ne shtypje dhe nje zone totalisht

ne terheqje.


26/61

SJELLJA PLASTIKE E NJE TRAU TE THJESHTE

Ne qofte do te studionim traun e thjeshte nen veprimin e ngarkeses w te shperndare ne nje tra

inkastruar ne dy anet. Fillojme nje


27/61

TEMA 6

SISTEMET STATIKISHT T PACAKTUARA. METODA E FORCAVE PR ZGJIDHJEN E SISTEMEVE STATIKISHT

T PACAKTUARA. KUSHTET E EKUILIBRIT.

Sistemet statikisht te pacaktuara jane ato sisteme me te panjohura (lidhje) te teperta , pasi numri i

lidhjeve me token dhe i forcave te brendshme eshte me i madh se numri i ekuacioneve te ekuilibrit

statik qe mund te shkruajme per sistemin ne fjale. Lidhjet e teperta qe hiqen duke mos u ndryshuar

qendrueshmeria gjeometrike , percakton dhe shkallen e pacaktueshmerise. Pacaktueshmerine statike te

cfaredo strukture e percaktojme me shprehjen analitike:

= 3K eshte numri i kontureve te mbyllura qe mund te formohen ne strukture pa u nderfutur tek njera

tjetra. SHeshte numri i sharnierave ne strukture dhe ato ne lidhje me token.

Meqenese keto sisteme kane me shume te panjohura se ekuacione statike te mundshme te pavarura

nga njera tjetra , nga pikepamja e zgjidhjes se problemit , matematikisht kemi nje pafundesi zgjidhjesh

qe te kenaqin kushtet statike te struktures , por ama vetem nje zgjidhje do te ishte e pranueshme. Kjo

zgjidhje kenaq edhe kushtin e minimumit te energjise se deformimit. Po ti referohemi rastit te

meposhtem te trat te inkastruar dhe atij te thjeshte , ne rastin e inkastrimit jane te papercaktueshme

momentet ne skaje , nderkohe qe shume e vlerave absolute te momenteve eshte e njejte me rastin e

traut te thjeshte. Shperndarja e momentit ne traun e inkastruar eshte e tille qe te plotesoje minimumin

energjetik dhe momneti ne skaje eshte dy here me i madh se momenti ne hapesire. Sic duket kur sistemi

eshte statikisht i pacaktuar ,forcat e brendshme jane me te vogla se ne rastin e traut te thjeshte. Nga

pikepamja konstruktive keto sisteme duken me te preferuara per arsyen e forcave me te vogla mbi

bazen e te cileve do te gjykohet mbi sasine dhe dimensionet e elementave.


28/61

KARAKTERISTIKAT E SISTEMEVE STATIKISHT TE PACAKTUARA

Sistemet statikisht te pacaktuara realizojne nje shperndarje me te mire te forcave te brendshmene elementet e struktures.

Sistemet statikisht te pacaktuara paraqesin ngurtesi me te madhe se nje sistem statikisht icaktuar me te njejten forme dhe permasa gjeometrike.

Shkaterrimi i disa lidhjeve mund te mos sjelle shkaterrim te gjithe struktures pasi sistemi mbetetgjeometrikisht i pandryshueshem.

Forcat e brendshme varen nga permasat dhe vetite e elementave te struktures ndryshimi i njeelementi sjell ndryshimin e forcave ne elementet e tjere.

Nga ndryshimet e temperatures ose cedime lindin forca te brendshme suplementare edhe pa ubere ngarkimi i struktures. Kjo veti shihet si nje e mete e rrezikshme e sistemeve te pacaktuara.

Per zgjidhjen e sistemeve statikisht te pacaktuara qe do te thote , percaktimi i forcave te brendshme ne

elementet e struktures nga veprimi i forcave te jashtme te dhena nga struktura. Per zgjidhjen e

strukturave statikisht te pacaktuara kemi disa metoda , dhe kryesisht bazohen ne ndertimin e nje sistemitjeter qe duhet te jete ekuivalent me sistemin e pare. Dy sisteme jane ekuivalente kur per te njejtin

sistem forcash marrim te njeta forca te brendshme dhe te njejtat deformime pavaresisht qe dy skemat

mund te kene numer te ndryshem lidhjesh ose elementesh. Principi i ndertimit te nje sistemi ekuivalent

diferencon dy metodat kryesore te zgjidhjes se ketyre sistemeve , METODA E FORCAVE dhe METODA E

DEFORMIMEVE.

METODA E FORCAVE

Metoda e forcave , eshte nje metode e zgjidhjes se sistemeve statikisht te pacaktuara ,qe bazohet mbi

evidentimin e lidhjeve te teperta ose te forcave te brenshme te teperta. Fillimisht procedura nis me

ndertimin e sistemit ekuivalent ose qe thuhet ndryshe, sistemi baze, i cili duhet te jete nje sistem

statikisht i caktuar i shoqeruar me kushte shtese ne deformacione.

- Fillimisht hiqen lidhjet e teperta dhe ne drejtimin e tyre vendosen forcat e panjohura.- Hapi i dyte eshte vendosja e kushteve fillestare te deformimeve , me te cilat ne i japim sistemit

baze te ndertuar ekuivalencen me sistemin statikisht te pacaktuar.

Supozojme qe kemi nje sistem statikisht te pacaktuar L=3K-SH here i pacaktuar. Kushtet e ekuilibrit do te

ishin n=L , qe korespondojne me ekuacionet e deformimeve te struktures sipas shkalleve te lirise qe

pengoheshin nga lidhjet e teperta. Meqenese skema reale ka lidhje sipas ketyre shkalleve te lirise ,

atehere keto deformime jane te barabarta me zero. Kur heqim lidhjet e teperta dhe i zevendesojme mereaksionet perkatese keto struktura statikisht te caktuara duhet te kene te njejtin deformim te

barabarte me zero me strukturen baze dhe kjo sigurohet nga aplikimi i reaksioneve te panjohura ne

strukture. problemi shtrohet ne gjetjen e reaksioneve te panjohura duke u bazuar ne njohjen e

deformimeve sipas shkalles se lirise se penguar nga lidhja e tepert. Ekuacionet do te kishin pamjen e

meposhteme:


29/61

12 = 1= 11 + 12 ++ 1 + 1= 02= 21 + 22 ++ 2 + 2= 0= 1 + 2 ++ + = 0 =

0

00

Nga pavaresia e veprimit te forcave kemi qe spostimi ne drejtesi te forces se panjohur x 1 , eshte si

shumatore i te gjitha deformimeve qe vijne nga forcat e tjera qofte te panjohura qofte te njohura.

= 1 + 2 ++ + = ,

, - zhvendosja ne drejtim te forces nga veprimi i forces = 1. Duke qene se struktura llogaritetbrenda kufirit te proporcionalitetit , parimi i superpozimit eshte i aplikueshem. Ne sistemin e

ekuacioneve te panjohurat jane forcat , ndersa koeficientet , llogariten me metoden e Mohrit oseme prodduktin e epjurave (duke ndertuar epjurat njesi nga veprimi i forcave njesi ne drejtim te te

panjohurave). - eshte deformimi sipas drejtimit te forces te shkaktuar nga veprimi i forcave tejashtme te dhena ne sistemin baze (statikisht te caktuar).

111 + 122 ++ 1 = 1211 + 222 ++ 2 = 211 + 22 ++ =

Sistemi i ekuacioneve te mesiperme mund te shkruhet ne trajte matricore si me poshte:

11

12

1

21 22 21 2 1

2

=1

2

Zgjidhja e sistemit te mesiperm te ekuacioneve eshte dhe zgjidhja e forcave te brendshme te struktures

statikisht te pacaktuar.


30/61

TEMA 7

SISTEMET STATIKISHT T PACAKTUARA. LLOGARITJET E KOEFIIENTVE T SISTEMIT STATIKISHT T

PACAKTUAR. KUSHTET E EKUILIBRIT.

Llogaritja e koeficientave behet duke shfrytezuar integralin e Mohrit. Nje koeficient nuk eshte asgje

tjeter vecse zhvendosje e pikes sipas te panjohures ne piken e aplikimit te se panjohures. Per te

llogaritur nje koeficient (zhvendosje) duhet ta llogarisim kundrejt nje veprimi te cilin do ta quajme

ngarkese vepruese , dhe nje ngarkese njesi sipas drejtimit te zhvendosjes qe kerkojme te llogarisim.

KONTROLLI I LLOGARITJES SE KOEFICIENTAVE

Per te kontrolluar nese jane llogaritur sakte korficientet behen kota kontrolle te koeficienteve:

KONTROLLI 1

1 + 2 ++ = Me S kemi shenuar epjuren shumatore nga forcat njesi sipas drejtimeve e te panjohurave te sistemit.

Pra shuma e produkteve te epjures njesi te se panjohures i me epjurat njesi te te gjithe te panjohurave

eshte e barabarte me produktin e epjures njesi te se panjohures i me epjuren shumare te epjurave

njesi. E thene ndryshe suma e koeficienteve para te panjohurave te nje rrjeshti duhet te jete e barabarte

me produktin e epjures i me epjuren totale s.

KONTROLLI 2

1 + 2 ++ =


31/61

= Shuma e gjithe koeficienteve para te panjohurave te sistemit eshte e barabarte me produktin me

vetveten te epjurave totale njesi.

KONTROLLI 3 1 + 2 ++ = Shuma e termav e te lire te sistemit eshte e barabarte me produktin e epjures shumare njesi me epjuren

e forcave te jashtme.

Pas kontrollit te koeficienteve , kur ato jane zgjidhur sakte (gje e cila nuk do te thote qe epjurat njesi

jane zgjidhur sakte, e per pasoje edhe sistemi do te jape vlerat e sakta te te panjohurave) fillon zgjidhja e

sistemit. Pasi zgjidhet sistemi dhe merren te panjohurat x1, x2, , xn ndertohen epjurat perfundimtare

te M,Q,N. per epjurat e M dote nisemi nga epjurat njesi te te panjohurave dhe do te bejme shumen e

tyre.

(M)=(M1)+(M2)+(Mn)+(Mp)

(M)=(M1)x1 +(M2)x2+(Mn)xn+(Mp)

Epjurat e forcave prerese do ta ndertojme nga epjura e momentave , duke shfrytezuar lidhjen midis tyre.

= ; = + 0Epjuren e forces normale do ta ndertojme duke gjetur fillimisht vlerat e forces normale. Meqenese

sistemi eshte ne ekuiliber edhe nyjat jane ne ekuiliber , fakt qe do te shfrytezohet per te llogaritur forcat

normale ne cdo element.

GRUPIMI I TE PANJOHURAVE

Ne qofte se eshte dhene nje skeme me aks simetrie , shohim qe nga produkti i epjurave simetrike me nje

epjure asimetrike produkti eshte zero , pra dhe koeficienti perkates eshte zero. Ne kete rast ne mund te

bejme ndarjen e te panjohurave ne te panjohura simetrike dhe te panjohura asimetrike. Nese nje e

panjohur nuk eshte as simetrike dhe as asimetrike vendosen forcat ne menyre te tille qe te realizohet

nje grupim i te panjohurave.

Tentohet qe te kemi sa me shume koeficienta zero duke ndare matricen e koeficientave ne kater blloqe.

Blloku me koeficientet e te panjohurave simetrike, blloku i koeficientave me te panjohurat asimetrike

dhe dy blloqe me zero. Ne kete menyre nga nje sistem me n tepanjohura zgjidhet me anen e dy

sistemeve me k dhe n-k te panjohura. Ne kete menyre ulet puna lllogaritese per sisemet me shume

te panjohura.


32/61

TEMA 8

APLIKIMI I METODES SE FORCAVE


33/61


34/61

TEMA 9

METODA E DEFORMACIONEVE NE SISTEMET STATIKISHT TE PACAKTUARA

Metoda e deformacioneve eshte nje menyre e llogaritjes se strukturave statikisht te pacaktuara. Ajo

bazohet ne llogaritjen e deformimeve te struktures nga veprimi i ngarkesave te jashtme ose spostimeve,

temperatures etj. Si te panjohura merren pikerisht deformimet qe mund te jene deformime rrotulluese

tek nyjet e ngurta ose deformime zhvendosese tek cepat e elementave. Fillimi i zgjidhjes fillon me

percaktimin e pacaktueshmerise kinematike te strukture:

= + - numri i rrotullimeve te mundshme ne strukture qe perkon me mumrin te nyjave te ngurta. - numri i zhvendosjeve te mundshme nqs struktura do te kthehej ne sistem kapriate.Ndertimi i sistemit baze eshte i kundert ne ndertimin e sistemit baze me metoden e forcave ku hiqen

lidhjet e teperta. Ne kete rast ne shtojme aq lidhje sa eshte pacaktueshmeria kinematike. Ne nyjet qe

rrotullohen ne vendosim inkastrim qe pengon rrotullimin por jo levizjen e nyjes dhe ne skaje ku kemi

zhvendosje translative vendosim shofra sipas drejtimit te zhvendosjes. Pasi kemi vendosur lidhjen e

nevojshme ne vendosim ekuivalencen e dy sistemeve duke shkruar kushtet fillestare. Forcat ne lidhjet e

vendosura jane zero.

Per nje sistem n-here kinematikisht ta pacaktuara shkruajme:

1

2

=

1 = 11 +12 ++1 +1 = 0

2 =

21 +

22 +

+

2 +

2 = 0

= 1 + 2 ++ + = 0 =

0

0

0

111 + 122 ++ 1 = 1211 + 222 ++ 2 = 211 + 22 ++ = +1,11 + +1,22 ++ +1, = 111 + 22 ++ =

- perfaqeson momentin ne lidhjen i nga zhvendosja e lidhjes se shtuar j me nje njesi . - perfaqeson momentin ne lidhjen i nga veprimi i ngarkesave te jashtme.Koeficientet e sistemit do te llogariten me nje nga ekuacionet e ekuilibrit, pas ndertimit te epjurave te

momentave njesi per deformimet njesi.


35/61


36/61

TEMA 10

APLIKIMI I METODS S DEFORMACIONEVE N STRUKTURA T NDRYSHME.


37/61


38/61


39/61


40/61


41/61

TEMA 11

TRART ME SHUM HAPSIRA DRITE. METODA E FORCAVE N LLOGARITJEN E TRARVE ME SHUM

HAPSIRA DRITE.


42/61


43/61

TEMA 12

PRINCIPET E DINAMIKS S STRUKTURAVE. BAZAT E LLOGARITJES DINAMIKE T STRUKTURAVE N

SISTEMET ME NJ SHKALL LIRIE.

PRINCIPET BAZ N DINAMIKN E STRUKTURAVE

Dinamika e strukturave studion sjelljen dhe komportimin e njstrukture nga ndikimi i parametrave t

ndryshueshm nkoh

veprimet e jashtme tkarakterit dinamik tndryshueshm nkoh goditjet makinerit trmeti

sjellja e brendshme e elementit dhe materialit Forcat e brendshme ne cdo cast te kohes

Deformimet dhe zhvendosjet ne cdo cast te kohes Kalimi nplasticitet i seksionit Kalimi nplasticitet e strukturs

Problemi i dinamiks sstrukturave

prcaktimi i veprimit tjashtm ( ekuacioni i ndryshimit tvlers sforcs me kalimin e kohs ) prcaktimi i forcave tbrendshme nga veprimi i forcave tjashtme ncdo cast tkohs prcaktimi i vlerave maksimale tforcave tbrendshme nga veprimi i forcave tjashtme prcaktimi i deformimeve tstrukturs ( zhvendosjet , rrotullimet)

Zgjidhja e problemeve tdinamiks sstrukturave metoda tprafruara bazuar mbi reduktimet e shkallve tliris metoda kineostatike ( ekuilibri kineostatikprincipi i dalamberit ) Metoda energjetike metodat numerike tintegrimit direkt ( integrali i dyhamelit ) Metoda e elementave tfundm

Arsyeja e studimit t dinamiks dhe sizmiks s strukturave

studimi i strukturave nn veprimit e forcave dinamike sht fakti q forcat dinamike ekzistojn

dhe nuk mund t shmanget veprimi i tyre n strukture. Dmet e regjistruara deri m sot nga veprimet

sizmike dhe studimet teorike flasin mbi karakterin e amplifikimit t forcs dinamike gjat veprimit nstruktur

Projektimi i strukturave nn veprimin e forcave dinamike Rritja e siguris s strukturave ndaj veprimeve sizmike


44/61

Koncepti i shkalls sliris

me shkall lirie do t kuptojm numrin e parametrave t pavarur t nevojshm pr t

prcaktuar tgjithsjelljen e strukturs ncdo pikdhe ncdo koh

njpiknplan ka dy shkalllirie ( koordinatat sipas x dhe y) njpiknhapsirka tre shkalllirie ( koordinatat sipas x, y dhe z ) nj vij e ngurt n plan ka tre shkall lirie ( koordinatat x , y t njrs pik dhe kndin e

rrotullimit )

njtrup nhapsirka gjashtshkalllirie ( tre koordinata translative dhe tre rrotullime )

Koncepti i mass

me mas, do tkuptojmvetininerciale tnjtrupi. Vetine njvllimi qtruajgjendjen

e lvizjes ose tprehjes , duke ju kundrvepruar impulseve tjashtme

masa shtveti e lnds pavarsisht pranissfushs sgravitetit , masa krijon fushgravitacionale rreth vetes

ndinamikn e strukturs masa sht parametr i vlersimit tinercisose tthemi ndryshe iforcs sinrcis

Koncepti i ngurtsistelementit / strukturs

me ngurtsi telementit / struktus kuptojmforcat e brendshme qlindin nelement ose n

elementt e strukturs kur elementi dhe struktura kannjkonfigurim tdeformimeve sipas shkallve t

liris


45/61

ngurtsite elemntave gjenden duke aplikuar deformimet njsi sipas shkallve tlirisdheduke llogaritur forcat e brendshme

njmnyrtjetr shtduke invertuar fleksibilitein e strukturs ( qllogaritet si deformime tstrukturs nga veprimi i forcave njesi )

Koncepti i fleksibilitetit telemntit / strukturs

me fleksibilitet telementit / struktus kuptojmdeformimet qpsojnnelementt ose

struktura nga veprimi i forcave njsi sipas shkallve tliris

fleksibiliteti i strukturs llogaritet nga llogaritja e deformimeve pr veprim tforcave njsi sipasshkallve tliris

Koncepti i veprimit dinamik

me veprim dinamik kuptojmveprim qndryshon vlern nkoh

goditjet( pcaktohet veprimi mbi bazn e ruajtjes simpulsit dhe ruajtjes enegjis) forcat vibruese nga makinerit( jepen nga pashaportat e makinerive nfunksion tmass s

makineris, xhirove dhe jashtqendrsis)

trmetet( ndrtohen spektra tmarrdhnies truall struktur) forca tcfardoshme( nuk janobjekt i dinamiks si prgjthsim i tyre por aplikohen ttilla

nstruktur)

Koncepti i rezonancs

me termin rezonanc nnkuptojm dukurin e amplifikimit t nj veprimi si rezultat i

prputhjes s frekuencs s veprimit dhe frekuencs vetjake t strukturs. Kur frekuenca e veprimit

sht pran vlers s frekuencs s strukturs forca reale vepruese sht shum her m e madhe se

amplituda e forcs vepruese

Perioda vetjake ( sht perioda e lkundjeve t lira t nj strukture kur nuk kemi pranin eveprimeve t jashtme , prvec nj ngacmimi fillestar )

Perioda e detyruar( sht perioda e veprimit t jashtm karakteristik e burimit t forcs) Koeficienti i amplifikimit( sht raporti i forcs faktike me amplitudn e forcs vepruese , dhe

varet nga raporti i frekuencs s forcs detyruese ndaj frekuencs vetjake dhe koeficientit tshuarjes )


46/61

Metodika e zgjidhjes ndinamikn e strukturave

diskretizohet struktura nelementa dhe shkalllirie tnevojshme pr tprshkruar sjelljen estrukturs

prcaktohen parametrat mekanike tstrukturs ( ngurtsia , fleksibiliteti , forcat etj. ) prcaktohen parametrat fizike tstrukturs ( masa , perioda etj. ) shkruhen ekuacionet e ekuilibrit , dhe ekuacionet energjetike zgjidhen kto ekuacione interpretohen rezultatet pr cdo element

Karakteristikat kryesore tsistmeve strukturor linearisht elastik qu nnshtrohet ngarkesave

dinamike jan

1. Masa e sistemit2. Parametrat elastike3. Mekanizamat e humbjes

Ne sistemet me nje shkalle lirie supozohet se secila nga keto karakteristika eshte e perqendruar ne nje

eleement te vetem fizik.

Ne sistemet me nje shkalle lirie menyra me e thjeshte e formulimit te ekuacioneve te levizjes eshte

perdorimi i parimit te dalamberit. Keshtu duke shprehur drejtperdrejt ekuilibrin e forcave qe veprojne

sipas drejtimit te zhvendosjes u shkruajme ekuacionin diferencial te levizjes.

Parimi i dalamberit nsistemet me njshkalllirie

P in + p c + p el = p(t)

M u + c u + k u = p(t)

P inforcat inerciale qe lindin nga dalja e gjendjes se meparshme te trupit

P c forcat e shuarjes , karakteristika fizike e sistemit , qe lindin nga levizja e sistemit

P elforcat elastike qe lindin nga zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit te sistemit

P(t) forcat dinamike , perfaqeson shumen e te gjitha forcave dinamike te jashtme qe veprojne mbi

masen e sistemit , nderkaq kahje pozitive e forces dinamike , do te pranohet e njejte me ate te

zhvendosjeve , shpejtesive dhe nxitimeve te mases.Lkundjet e lira

Ne mungese te forcave te jashtme , sistemet elastike mund te kryejne lekundje te lira si pasoje e

veprimeve fillestare me kohezgjatje te shkurter ( impulset , goditjet ) qe i zhvendosin ato nga pozicioni i

ekuilibrit ,ose pozicioni i qetesise. Kur nje sistemlekundes konsiderohet konservativ lekundjet nuk

shuhen , gje qe realisht nukndodh asnjehere. Dallojme dy raste te trajtimit teorik.


47/61

lkundje te lira pa shuarje ( c=0 ) lkundje te lira me shuarje ( c0 )

Lkundjet e lira pa shuarje

Ne rastin e nje sistemi qe kryen lekundje te lira qe mund te shuhen , forcat qe marrin pjese ne ekuilibrindinamik jane forcat e inercise dhe forcat elastike. Forcat e shuarjes jane zero sepse supozuam qe shuarja

e sistemit eshte zero. Forcat dinamike jane zero sepse jemi ne rastin e lekundjeve te lira , pa veprim te

jashtem. Ne kete rast thame qe vemprimi i jashtem eshte nje ngacmim i shkurter ne kohe.

M u + k u =0

Ekuacioni i dhene me siper pershkruan ekuilibrin dinamik te sistemit , pa veprim te forcave te jashtme.

Zgjidhja e ekuacionit te mesiperm , qe na jep pozicionin e sistemit ne cdo cast te kohes eshte i trajtes

sinusoidale me parametra vetjake te sistemit.

Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit eshte :

=

+

C1 , c2 jane konstante te cilat varen nga kushtet fillestare te sistemit. Ne ekuacionin e mesiperm

zevendesojme kushtet fillestare te sistemit , qe jane uo zhvendosja ne castin fillestar te ngacmimit ,

vo shpejtesia ne castin fillestar te ngacmimit. Nga me siper marrim:

2 = 0 ; 1 = 0


48/61

Duke zevendesuar ne ekuacionin e pergjhithshem kushtet fillestare marrim:

= (+) = (0)2 + (0 )2 Sin( + (00 ) )Shqyrtimi i shprehjes se mesiperme , na konkludon qe kemi te bejme me lekundje periodike mefrekuence . Frekuenca rrethore e lekundjeve te lira eshte nje karakteristike e brendshme e sistemit e

cila percaktohet nga formula:

= ; = Frekuenca e percaktuar si ne rastin e dyte perdoret kur njihet deformimi nga forca e rendeses.


49/61

TEMA 13

DINAMIKA E STRUKTURAVE N SISTEMET ME SHUM SHKALL LIRIE. LLOGARITJET E FORCAVE SIZMIKE

SIPAS KODIT SHQIPTAR.

EKUACIONET BAZE TE SISTEMEVE ME SHUME SHKALLE LIRIE

Pergjithesisht reagimi dinamik i cdo strukture reale nuk mund te pershkruhet ne menyre te sakte nga

modeli i nje sistemi me nje shkalle lirie. Analizat dhe zgjidhjet behen me te sakta kur levizja

perfaqesohet nga me shume shkalle lirie. Te tilla praktikisht pranohen zhvendosjet e disa pikave te

zgjedhura ne strukturen e meposhtme. Zgjedhja e pikave behet mbi parimin e reduktimit te shkalleve te

lirise.

Supozojme qe nje tra ndodhet nen veprimin e ngarkeses dinamike p(t) , dhe se levizja e traut

percaktohet nga zhvendosjet uj(t) te pikave nyje 1,2, ,j, , n , atehere kemi te bejme me nje sistem

me shumeshkalle lirie. Mund te shtohen rrotullimet e seksionit apo zhvendosjet gjatesore , qe do te

rrisnin shkallet e lirive.

Cdo kat pranohet te kete nje shkalle lirie

Ekuacioni i levizjes se sistemit mund te formulohet duke shprehur ekuilibrin e forcave qe lidhen me

secilen nga shkallet e lirive te tij. Keshtu per nje pike te cfardoshme , ekuacioni dinamik i forcave do te

jape barazimet e meposhtme , analog me sistemin me nje shkalle lirie. + + = Ku me : - forcat e inercise qe lindin ne piken j, , - respektivisht forcat e shuarjes dhe atoelastike qe lindin ne piken j.

= 11 +22 ++ ++


50/61

= 11 + 22 ++ ++ = 11 + 22 ++ ++

Mjishpreh forcen inerciale qe shfaqet sipas koordinatave j per shkak te levizjes sipas koordinatave i

me shpejtim njesi , me kusht qe te gjitha shpejtimet e tjera te jene zero. Duhet patur kujdes qe masa temos konceptohet si mase statike por si inerci e sistemit sipas asaj koordinate.

Cjishpreh forcen e shuarjes qe shfaqet sipas koordinatave j per shkak te levizjes sipas koordinates i

me shpejtesi njesi , me kusht qe te gjitha shpejtesite e tjera te jene zero.

Kjishpreh forcen elastike qe shfaqet sipas koordinatave j per shkak te zhvendosjes sipas koordinates

i me zhvendosje njesi , me kusht qe te gjitha zhvendosjet e tjera te jene zero.

- eshte ngarkesa e jashtme qe vepron sipas koordinatave jShkrimi i ekuacioneve te ekuilibrit te ekuacioneve te ekuilibrit per te gjitha pikat ( shkallet e lirise ) na

formulon nj sistem ekuacionesh diferenciale te levizjes se sistemit.

+ + = 11 12 1 21 22 2 1 2

12. + 11 12 1 21 22 2 1 2

12+ 11 12 1 21 22 2 1 2

12 = 12

Metoda e masave te perqendruara

Forma me e theshte e modelit te pasqyrimit te cilesive inerciale te nje strukture eshte perqendrimi imases se saj ne pikat nyje te zgjedhura. Elementet e ndryshem te struktures qe shqyrtohet mund te

kene nje shperndarje te cfaredoshme te mases ne gjatesine e tyre. Masat e perqendruara ne pikat nyje

per cdo element llogariten ne ngjashmeri me menyren e percaktimit te forcave ekuivalente nyjore ,

sipas parimit te ligjit te leves. Masa e pergjithshme ne cdo nyje merret si shuma e kontributeve nyjore

te te gjithe elementeve qe lidhen ne ate nyje.

Pranimi i modulit me masa te perqendruara con ne ate , qe si per elemente perberes ne vecanti ashtu

dhe per strukturen ne teresine e saj , matricat mases te jene diagonale. Fizikisht kjo shpjegohet me

faktin se shpejtimi qe ushtrohet ne njeren nga masat e perqendruara shkakton force inerciale vetem ne

ate mase dhe ne drejtimin e shpejtimit te dhene. Pra elementet mjkqe ndodhen jashte diagonalevekryesore ne matricen e mases [m] , jane te barabarta me zero , kurse termat e diagonales jane jozero

dhe te barabarta me masat statike te nyjeve.


51/61

Sistemi me dy shkalle lirie

Kur si shkalle lirie ne strukture pranohen edhe zhvendosjet kendore te nyjeve , atehere per modelin me

masa te perqendruara pikesore , termat ne diagonalen kryesore te matrices se mases , qe u

korrespondojne ketyre zhvendosjeve do te jene zero , natyrisht nese nje mase e ngurte ka moment

inercial te tille qe nuk mund te perfillet , termi ne diagonale do te kete vleren e momentit te inercise

fizike te mases.

Lekundjet e lira pa shuarje

Si ne rastin e sistemeve me shkalle lirie edhe ne rastin e sistemeve me shume shkalle lirie , struktura

mund te kaloje ne nje gjendje te qendrueshme lekundjesh ne rastet kur ajo ngacmohet dhe del nga

gjendja e ekuilibrit si dhe karakteristikat shuarese te sistemit jane zero. Ekuacionet e lekundjeve te lira

pa shuarje te nje sistemi me shume shkalle lirie merren nga sistemi i pergjithshem duke eliminuar

matricen e karakteristikes shuarese te sistemit , si dhe duke zevendesuar vektorin e forcave te jashtmeme zero.

+ = 0Matrica e mase dhe matrica e ngurtesise jane matrica simetrike ( matrica e mases eshte matrice

simetrike sepse eshte matrice diagonale , ndersa matrica e ngurtesise eshte diagonale nga zbatimi i

parimit te puneve reciproke , i cili zbatohet per cdo shkalle lirie.)

Si ne rastin e sistemit me nje shkallle lirie do te kerkohet nje zgjidhje e vecante ne formen e meposhtme:

=

Sin(

+

)

Pra si zgjidhje fizikisht supozohet nje levizje lekundes harmonike e thjeshte.

Po te zevendesojme ne ekuacionet e mesiperme zgjidhjet e sistemit marrim :

= 22+ = 0 2 = 0 ()


52/61

Shprehja (*) eshte shprehja baze e levizjes vetjake , te sistemit me shume shkalle lirie. Shprehja perben

nje sistem ekuacionesh algjebrike homogjene. Per te patur zgjidhje te ndryshme nga zero duhet qe

percaktori i sistemit te barazohet me zero.

2

=

0

(

)

Ekuacioni (**) eshte nje ekuacion algjebrik i grades n kundrejt parametrit te katrorit te frekuencesvetjake te strukturave 2 , per strukturat e qendrueshme , me matrica mase dhe ngurtesie katrore ,reale , simetrike dhe pozitivisht te caktuara , ky ekuacion jep n zgjidhje reale pozitive per2, qe do tethote sistemi ka n frekuenca vetjake natyrore.

Teresia e frekuencave quhet spektri i frekuencave.

Spektri i zhvendosjes , shpejtesise dhe shpejtimit

Ne problemet praktike te llogaritjeve ne sizmicitet nuk eshte e domosdoshme njohja per cdo moment

kohe e zhvendosjeve relative ut , shpesh eshte e mjaftueshme te percaktohet maksimumi i vleres

absolute qe zhvendosja arrin ne nje moment te caktuar te kohes. Nga kjo madhesi mund te percaktohetmandej vlera maksimale e forces inerciale sizmike qe shfaqet ne strukture. Nga zgjidhja e ekuacionit : = 1 Per te gjetur maksimumin sd(t,) e vleres absolute te zhvendosjeve marrim : = Max = 1MaxMadhesia sd quhetspektri i reagimit te zhvendosjeve relative , e cila zakonisht jepet ne formen e nje

kurbe duke ju referuar nje sistemi boshtesh koordinative me bosht abshisash perioden t dhe bosht

ordinatash vleren spektrale. Parimisht si me siper mund te marrim spektrat e zhvendosjeve ,

shpejtimeve dhe nxitimeve , mjafton qe te ndertojme integralin e shpejtesive nga integrimi i drejte

perdrejte me integralin e dyhamelit te nxitimit te truallit te marre ne nje akselerograme te termetit.

Madhesite spektrale te percaktuara me siper quhen madhesi pseudo-spektrale , pasi merren nga

marredhenie te shpejtesisenxitimit dhe zhvendosjes se nje pike ne nje cast te caktuar , nderkohe nga

integrimi i drejte perdrejte i shprehjeve do te perfitonim spektrat reale. Pseudo-spektrat japin vleresime

te sakta per madhesite spektrale , ne rastet kur madhesite e shuarjes se sistemit jane ne madhesi te

vogla. = = 2 Madhesite spektrale te nxitimeve shfrytezohen per llogaritjen e forcave sizmike maksimale qe mund te

veprojne ne strukture.

=

Spektri elastik dhe elasto-plastik

Spektri i reagimit te percaktuar me siper i referohen strukturat e me sjellje elastike. Ne tekniken e

projektimit te diteve te sotme , bazohemi mbi vetite plastike te materialeve te ndertimit dhe

elementeve konstruktive te projektuar sipas rregullave te projektimit plastik.

Dallojme dy raste:


53/61

Rasti i pare eshte kur zhvendosjet maksimale spektrale te fazes elastike dhe elasto-plastike. Kjo eshte

karakteristike per strukturat me perioda relativisht te medha , ku nga vrojtimet eshte konkluduar qe nuk

ndikon plasticiteti (duktiliteti) i pranuar per strukturen.

=

;

=

Rasti i dyte eshte kur zhvendosjet elastoplastike referuar nje shkalle te reduktimit te forcave te elastike

ne forca elasto-plastike , jane me te medha se madhesite spektrale elastike , ndaj deformimet kalojne

ato elastiket duke u bazuar ne principin e ruajtjes se energjise.

= 2 1 ; = Spektri shqiptar i projektimit

Referuar spektrit shqiptar te projektimit antisizmik te godinave kemi llogaritjen e spektrit me formulat e

meposhtme. = Ke- koeficienti i sizmicitetit qe eshte funksion i truallit dhe i intensitetit te termetit

Kr- koeficienti i rendesise se vepres

- koeficienti i struktures qe shpreh vetit plastike

- koeficienti dinamik i truallit.

Trualli 1 0.65 = 0.7 2.3Trualli 2 0.65

=

0.8

2.0

Trualli 3 0.65 =1.1

1.7Ke Vii Viii IxI 0.08 0.16 0.27

Ii 0.11 0.22 0.36

Iii 0.14 0.26 0.42


54/61


55/61


56/61


57/61


58/61

TEMA 14

BAZAT E LLOGARITJES N QNDRUESHMRI T STRUKTURAVE. NGARKESAT KRITIKE.

Gjate projektimit te strukturave nder faktoret qe merren parasysh per te siguruar per mos humbjen e

qendrueshmerise eshte edhe kombinimi i ngarkesave dhe gjendja e ndryshme te mundshme te

deformimit. Nga veprimi i ngarkesave te jashtme strukturat deformohen dhe dalja nga gjendja e

ekuilibrit quhet humbje e qendrueshmerise , ndersa ngarkesa qe shkakton kete gjendje do te quhet

ngarkese kritike.

Rastet e humbjes se ekuilibrit duhen parashikuar sakte , pasi edhe efekti qe ne pamje te pare jane te

vogla mund te kene ndikime te medha.

Ne figuren e meposhtme kemi shqyrtuar tre raste ku kombinohet gjeometria e struktures dhe ngarkimi i

struktures. Me nje shembull te thjeshte ne arrijme te japim shtrimin e problemit te rendit te dyte, dhe

ndikimin e forcave aksiale ne vlerat e forcave te brendshme.

. =

.

=

cos

. = cos +5sin

Rasti i pare : = =

Rasti i dyte : = cos =

Rasti i trete: = cos + 5 sin =


59/61

Po te krahasojme shprehjet e mesiperme te marredhenies Pl/K ne varesi te kendit marrim si konkluzion

qe per gjendjen e trete te ngarkimit (ngarkesa aksiale dhe perkulese) per forcat me te vogla kemi

deformime me te medha, ndaj kjo gjendje e ekuilibrit per ngarkim kritik me te vogla se rastet e tjera. Per

tiu referuar ekuilibrit te strukturave i referohemi energjise potenciale te struktures e cila derivatet e

pjeshshme te se ciles kundrejt zhvendosjeve sipas te gjitha shkalleve te lirise i ka te barabarta me zero

(gjendja e ekuilibrit). Nga derivatet e pjesshme te parat, zgjidhen ekuacionet perkatese gjejme pikat ne

te cilat struktura eshte ne ekuiliber.

Llogaritja e qendrueshmerise per gjetjen e gjendjes se ekuilbrit fillon me gjetjen e ekuacionit te energjise

potenciale dhe barazimin e derivatit te pare me zero. Ekuacionet varen nga numri i parametrave te

pavarur (shkallet elirise). Energjia potenciale e deformimit per sistemet me disa shkalle lirie mund te

shkruhet edhe ne forme te zberthyer me seri , sipas trajtes se meposhtme.

Dhe ne rastet kur struktura eshte ne pragun e humbjes se qendrueshmerise , derivatet e para jane te

barabarta me zero, dhe ndryshimi i energjise potenciale merret i barabarte me shumen e termave te

derivateve te dyta.

Duke gjykuar nga derivatet e dyta te energjise potenciale ne dallojme tre gjendje ekuilibri. A- gjendje e

qendrueshme ekuilibri (kur derivati i dyte eshte pozitiv), B gjendja e paqendrueshme e ekuilibrit (kur

derivati i dyte eshte negativ), C gjendja e ekuilibrit indiferent (kur derivati i dyte eshte i barabarte me

zero).

Per te marre zgjidhjen duhet te shtrohen aq ekuacione sa shkalle lirie ka sistemi, sa eshte

pacaktueshmeria e sistemit. Keto ekuacione nxirren nga ekuacionet e ekuilibrit ose te shprehjeve te

nxjerra prej tyre.


60/61

QNDRUESHMRIA E KOLLONAVE T THJESHTA. NDIKIMI I FORCS PRERSE N NGARKESN KRITIKE.

QNDRUESHMRIA E KOLLONAVE T RRJETZUARA.

Ne vazhdim po japim raste te ndryshme te llogaritjes se ngarkeses kritike ne kollone.

RASTI A

Momenti perkules nga veprimi i ngarkeses aksiale: = ; =

2

2

=

;

2

2

+

= 0 ;

2

2

+

2

= 0

Zgjidhjen e ekuacionit diferencial te mesiperm e kerkojme ne trajten: = cos + sinKoeficientet llogariten nga kushtet fillestare:

X=0y=0 ; = c o s 0 + sin 0 = = 0X=Ly=0 ; = cos + sin = sin = 0 sin = 0 = , = 1,2,3,Nga zgjidhjet e shumta ne interesohemi per ngarkesen me te vogel kritike , pasi ajo ka rendesi praktike

ndersa ngarkesat e tjera jane thjesht teorike.

=

2 = 2

2

=

= 2

2

Formula e mesiperme quhet edhe formula e Eulerit per ngarkesen kritike ne kollonat elastike. Parimisht

e njejta metodike aplikohet edhe ne rastet e tjera te kollonave per llogaritjen e ngarkeses kritike.

Ndryshimi qendron ne shtrimin e ekuacionit te momentit ne kollone si rezultat i forcave te brendshme.

RASTI B

Ne kete rast shprehja e momentit per kollonen e inkastruar nen veprimin e ngarkeses aksiale do te ishte: = + +


61/61

22 = + +Zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte i trajtes: = cos + sin + +Ngarkesa kritike e kollones ne rastin e lidhjes inkastrim eshte:

= 4 2 2 RASTI C

Ne kete rast shprehja e momentit per kollonen e inkastruar nen veprimin e ngarkeses aksiale do te ishte: = + 22 = + Zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte i trajtes: = cos + sin + Ngarkesa kritike e kollones ne rastin e lidhjes inkastrim eshte:

= 2 2

2 RASTI DRasti D mund te shihet si nje rrjedhim i rasti A. Forma e defomimit te kollones konsol nen veprimin e

ngarkeses aksiale ngjan me kollonen e lidhur me cerniere ne dy skajet nese kjo e fundit do te kishte

dyfishin e gjatesise se kollones konsol. Kollona konsol do te ishte e ngjashme me gjysmen e kesaj

kollone, rrjedhimisht kollona konsol do te ishte ekuivalente me nje kollone me cerniera. Per te llogaritur

ngarkesen kritike te kollones konsol shfrytezojme shprehjen e ngarkeses kritike te rastit A duke

zevendesuar gjatesine e kollones sa dyfishi i gjatesise se kollones tip konsol.

= 2

4 2

teoria e strukturave bachelor

Documents