INVESTIGACION DE OPERACIONES TEORIA HAMILTONIANO Y PROBLEMA KONIGSBERG

IRENE MENEZES SERGIO LPEZ RICO

JULIO CESAR MURILLO

23 DE ABRIL

30104

CORPORACIN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIN SUPERIOR (CUN)ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVASTCNOLOGO EN PROCESOS ADMINISTRATIVOSBOGOTA D.C.2015

INTRODUCCINEl motivo de este trabajo es para saber la aplicacin de grafos y dems teoras como la de HAMILTONIANA y la KONIGSBERG en los diferentes campos o reas de trabajo, su historia y sus soluciones.El objetivo es conocer de las diferentes clases de teoras que hay; y cules empleamos en nuestro diario vivir de la universidad.

1. Teora de HAMILTONIANO

1.1. Objetivos generales

Realizar a profundizacin un anlisis de qu es y cmo se aplica en nuestros trabajos la teora de HAMILTONIANO y KONIGSBERG.

1.2. Objetivos especficos

Realizar una bsqueda que nos puedan llevar a crear el anlisis ms centrado de cmo se aplica a los diferentes campos de la vida. Saber cada representacin para aplicar en cada campo requerido.

1.3. Qu es la teora HAMILTONIANO?

Llamada la teora del control ptimo fue desarrollado por Lev Semenovich como parte de su principio mnimo. Fue inspirado la mecnica clsica, lo demostr una cosa necesaria para la solucin de un problema de control optimo es que el control debe ser elegido de modo que se minimice el HAMILTONIANO.

1.4. Planteamiento del problema:

Un control es que ser elegido a fin de minimizar la funcin objetivo

Donde es el estado del sistema, que evoluciona de acuerdo con las ecuaciones de estado

Y el control debe satisfacer las restricciones:

1.5. Definicin del HAMILTONIANO:

Donde es un vector de variables de co-estado de la misma dimensin que las variables de estado. Para obtener informacin sobre las propiedades del HAMILTONIANO

1.6. HAMILTONIANO en tiempo discreto:

Cuando se formula el problema en tiempo discreto, el HAMILTONIANO se define como:

Y las ecuaciones constate son:

(Tenga en cuenta que el HAMILTONIANO tiempo discreto en el tiempo t implica la variable co-estado en el momento Este pequeo detalle es esencial para que cuando nos diferenciamos con respecto a obtenemos un trmino que implica en el lado derecho de las ecuaciones constate. El uso de una convencin mal aqu puede conducir a resultados incorrectos, es decir, una ecuacin constate que no es una ecuacin en diferencias hacia atrs).

1.7. El HAMILTONIANO de control en comparacin con el HAMILTONIANO de la mecnica:William Rowan Hamilton define el HAMILTONIANO como una funcin de tres variables:

Dondese define implcitamente por

Hamilton entonces formul sus ecuaciones como:

En contraste el HAMILTONIANO de la teora de control (tal como se define por Pontryagin) es una funcin de las variables 4

Y las condiciones correspondientes para un mximo son

Esta diferencia es algo confuso, sin embargo, un problema especfico, tal como el Brachystochrone problema, puede resolverse mediante cualquiera de los mtodos.

1.8. Camino HAMILTONIANO:

Un camino HAMILTONIANO en el campo matemtico de la teora de grafos, una sucesin de aristas adyacentes, que visita todos los vrtices del grafo de una sola vez; adems si el ltimo vrtice visitado es adyacente al primero.

El problema de encontrar un camino HAMILTONIANO es un grafo arbitrario se sabe que es NP-completo.

Los caminos y ciclos ha miltonianos se llaman as en honor de William Rowan Hamilton, inventor de un juego que consista en encontrar un ciclo HAMILTONIANO en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvi este problema usando cuaterniones, aunque su solucin no era generalizable a todos los grafos.Un camino HAMILTONIANO es un camino que pasa por cada vrtice exactamente una vez. Un grafo que contiene un camino HAMILTONIANO se denomina un ciclo HAMILTONIANO si es un ciclo que pasa por cada vrtice exactamente una vez (excepto el vrtice del que parte y al cual llega). Un grafo que contiene un ciclo HAMILTONIANO se dice grafo HAMILTONIANO.Estos conceptos se pueden extender para losgrafos dirigidos los cuales son igual a un carro.

1.9. Ejemplos de ciclos HAMILTONIANO:

CICLO HAMILTONIANO

Definicin: Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos los vrtices de G. Un circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vrtice y pasa por cada vrtice una sola vez.Ejemplos:Cul de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano?

Solucin(a) No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el siguiente: Si se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se est en los dems vrtices, en el v5 se estar dos veces.

Si se empieza en v5, para luego ir a los vrtices v1 o v4 a v3 o v2 respectivamente, se tendr que pasar de nuevo por v5 (puesto que se empezar en v5). Para completar el circuito, se debe regresar a v5, por lo que se pasa tres veces por l.

(b) Un ciclo hamiltoniano es: v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1 Teorema. Sea G un grafo conexo con n vrtices, donde n3. Si la suma de los grados de cada par de vrtices no adyacentes es mayor o igual a n, entonces G tiene un circuito hamiltoniano.

Ejemplos:

A B C D E : Trayectoria Hamiltoniana, no es trayectoria de Euler pero no circuito

A B C D A: Circuito hamiltoniano, no es circuito de Euler

Teorema 2Sea m el nmero de aristasSea n el nmero de vrtices G es un circuito hamiltoniano si Ejemplo:

2. CUAL FUE EL PROCEDIMIENTO DE LA SOLUCION DE LOS 7 PUENTES DE KONIGSBERG

Se trata de un clebre problema resuelto matemticamente por Leonard Euler en 1736.

El ro Pregel, tambin llamado Pregolya, a su paso por Knigsberg (ciudad alemana de la Prusia Central en esos aos, y hoy Kaliningrado perteneciente a Rusia), se bifurcaba en varios ramales formando dos islas antes de seguir su curso de nuevo. En el siglo XVIII ambas islas se conectaban entre s y con las orillas del ro por siete puentes, tal y como muestra la Figura 1.

Figura 1. Mapa de Knigsberg en la poca de Leonhard Euler, que muestra dnde se encontraban los siete puentes (en verde claro) y las ramas del ro (en celeste).

Se dice que sus habitantes intentaron durante aos encontrar una ruta por la que cruzando una sola vez cada puente se pudiese regresar al punto de partida. Nunca lo encontraron. La cuestin es existe tal camino? Alguno dir: eso es posible, sin duda!, otros que: no, eso es imposible! Pero cmo demostrar quin tiene razn? En su propuesta Euler lo hizo de una forma general para cualquier nmero de puentes, sean siete o ms.

Era la primera vez que se haca referencia a una geometra basada en la estructura de los objetos y no en las medidas que suele ser lo habitual. Euler la llam geometriam situs, hoy ms conocida como Topologa, dando lugar a lateora de grafos o teora de las grficas. Un grafo se define como un conjunto de objetos llamados vrtices (o nodos) y una seleccin de aristas (o arcos). Se suele representar mediante una serie de puntos (los vrtices) conectados por lneas (las aristas).

El problema de los siete puentes de Knigsberg es un problema complejo pero con una solucin muy simple de entender. No vamos a entrar muy a fondo en la explicacin pero si en el modo de llegar a ella.

Figura 2

En la Figura 2 se muestran demanera esquemtica los 7 puentes, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7, y las cuatro zonas, A, B, C, D, incluidas las dos islas, Isla 1 e Isla 2, en que el ro Pregel divide a la ciudad.

Lo primero que hizo Euler para resolver el problema fue eliminar todo lo que no era importante. Convirti las cuatro zonas (A, B, C y D) en puntos (los llamados vrtices o nodos), y cada uno de los puentes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,) en lneas (aristas o arcos) que conectan los nodos (zonas). De esta manera obtuvo el grfico indicado en la Figura 3. El problema lo redujo a decidir si existe o no un camino que comience por uno de los puntos azules, transite por todas las lneas una sola vez, y regrese al mismo punto de partida.

La conclusin bsica de su teora, que no de su demostracin, es muy sencilla: Para cumplir con las condiciones del problema, si uno llega a un nodo (zona) a travs de una arista (puente) debe salir de l por una arista distinta (puente), lo que nos lleva a que en cada nodo (zona) el nmero de aristas que confluyen debe ser par.

En el caso de los puentes de Knigsberg esta premisa no se cumple en ningn caso: a los nodos (zonas) B, C y D llegan tres aristas (puentes), mientras que al nodo (zona) A llegan cinco. Segn la conclusin de Euler se trata de un problema irresoluble: no existe solucin que permita hacer el recorrido pasando una sola vez por cada uno de los puentes.

En resumen, para que el problema tenga solucin, una segunda conclusin es que:

a) La ruta se designe mediante ocho letras,b) En su distribucin se encuentren incluidas las secuencias de orden citadas antes.

Otro aspecto muy importante a tener en cuenta es el nmero de puentes de cada zona porque en funcin de ese dato sabremos el nmero de veces que deber estar repetida una letra determinada. En nuestro caso la zona A tiene 5 puentes, por lo que la letra A estara repetida 3 veces. Las tres zonas restantes B, C y D tienen 3, y estas letras estaran repetidas 2 veces cada una.

A la vista de lo expuesto podemos establecer una regla o tercera conclusin: Si el nmero de puentes que atraviesa una determina zona es impar, el nmero de veces que se repetira la letra de esa zona sera el equivalente a aadir a dicho nmero impar una unidad y dividir la suma obtenida por dos.

O sea:La letra A figurar(5 + 1)/2, o sea 3 veces;La letra B(3 + 1)/2, o sea 2 vecesLa letra C(3 + 1)/2, o sea 2 veces;La letra D(3 + 1)/2, o sea 2 veces;

Por tanto, en el caso de que passemos una sola vez por cada uno de los siete puentes, la ruta o trayecto tendra un total de 9 letras. Como tambin hemos dicho que para que el problema tenga solucin la asignacin del trayecto debera tener un mximo de 8 letras, est claro que existe una contradiccin y el problema de los siete puentes de Knigsberg es un problema irresoluble.

Significa esto que cuando tenemos una isla, dos brazos y siete puentes no existe solucin alguna? Claro que no. Hemos demostrado que no la tiene para una situacin concreta. Con otra ubicacin de los puentes la respuesta puede ser muy distinta.

3. ACONTECIMIENTOS DURANTE LA EPOCA DE LA SOLUCION DEL PUENTE DE KONIGSBERG

Kaliningrado fue fundada con el nombre de Knigsberg en 1255 por el Rey Ottokar II de Bohemia, que acudi en ayuda de los caballeros de la Orden Teutnica durante la conquista y cristianizacin de la regin histrica de Prusia, ocupada por los pueblos blticos. Durante gran parte de la Edad Media fue miembro de la Liga Hansetica. El nombre proviene de Knig = rey y Berg = monte, puede decirse que significa "Monterreal", en alemn; aunque la traduccin literal sera "Monte del Rey". Durante el siglo XIX y bien entrado el siglo XX, en ediciones acadmicas se latinizaba Knigsberg, capital de la Prusia Oriental, como Regimonte.2

Knigsberg fue posesin prusiana hasta la unificacin de Alemania, de la que pas a formar parte. Tras la Primera Guerra Mundial, el territorio prusiano, junto con Knigsberg (Prusia Oriental), qued aislado de Alemania por el corredor polaco de Danzig.

Durante la Segunda Guerra Mundial, sobre todo durante la ofensiva del Vstula-der entre enero y abril de 1945, se libraron duros combates en los alrededores de la ciudad entre el Ejrcito Rojo y fuerzas defensoras alemanas, que culminaron con la derrota alemana y la captura de casi 100 000 soldados alemanes, incluyendo cuatro generales, en la batalla de Knigsberg, en la que la ciudad qued prcticamente pulverizada, quedando en pie slo las ruinas de algunos edificios. Antes de la llegada del Ejrcito Rojo, miles de habitantes de Prusia Oriental haban sido evacuados hacia el oeste para evitar las probables represalias de las tropas soviticas.

La gran mayora de la poblacin perteneca a la Iglesia Luterana y otras denominaciones protestantes.

Nmero de habitantes, por ao:

a) 1900: 189.483 (incluidos los militares), entre los cuales eran 8.465 los catlicos romanos y los judos 3.975.b) 1905: 223.770, entre los que se encontraban 10.320 catlicos romanos, 4415 judos y 425 polacos.c) 1925: 279.930, entre los cuales estaban los catlicos 13.330, 4.050 judos y aproximadamente 6.000 otros.

3.1. PERSONAS FAMOSAS DE KALININGRADO (KNIGSBERG) Immanuel Kant, filsofo Johann Georg Hamann, filsofo E.T.A. Hoffmann, escritor y compositor David Hilbert, matemtico Christian Goldbach, matemtico Arnold Sommerfeld, fsico Gustav Kirchhoff, fsico Hannah Arendt no naci en la ciudad, pero creci en ella Kthe Kollwitz, pintora y escultora Carl Otto Nicolai, compositor Karl William Kapp, economista Wolfgang Harich, filsofo Joseph Krieger, arquitecto

4. como se aplica la teoria hamitoniana en nuestro trabajo (laboral )

Cibergrafia

http://www.bbc.com/news/world-europe-18284828 https://eltrasterodepalacio.wordpress.com/2011/12/01/euler-y-los-siete-puentes-de-konigsberg/ http://www.librosmaravillosos.com/matematicalife/capitulo08.html https://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rompecabezas/PuentesKonigsberg.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Kaliningrado http://ocw.uv.es/ciencias/2/1-2/112733mats50.pdf

Bibliografa

Alexanderson, Gerald (July de 2006). Euler and Knigsberg's bridges: a historical view. Bulletin of the American Mathematical Society. Volver arriba Pappas, T. "Knigsberg Bridge Problem & Topology." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 124-125, 1989. Volver arriba Taylor, Peter (diciembre de 2000). Australian Mathematics Trust, ed. What Ever Happened to Those Bridges?. Consultado el 12 de abril de 2010. Landau & Lifshitz: Mecnica, Ed. Revert, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6