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TEORÍA INGENUA DE CONJUNTOS
Presentación
¿Porqué comenzar el curso de fundamentos por aquí? Antes de ensayar
alguna respuesta analicemos la definición de límite finito de una función. Una opción puede
ser: * *
, , , ,lim ( ) / ( )a f ax a
f x E E D x E f x E
No bien nos fijamos en ella con cierto detenimiento vemos que está
fuertemente “contaminada” de conceptos y notación propia de la teoría de conjuntos (los
entornos que son conjuntos de reales, la inclusión, la pertenencia…)
Lo mismo nos ocurrirá si analizamos casi cualquier proposición matemática
contenida en un libro o un curso posterior a 1950. Encontraremos que ellas se estructuran
alrededor de conceptos elementales de la teoría de conjuntos y que además utilizan la
notación conjuntista para registrarlos.
La teoría de conjuntos le ha brindado a la matemática un lenguaje sencillo,
preciso y elegante con el cual expresar las ideas más sofisticadas. Dicha teoría tal como la
conocemos hoy, es relativamente reciente. Data del principio del siglo XX. Le sugerimos
busque información al respecto.
Aclaremos que presentaremos una aproximación intuitiva a la teoría de
conjuntos habitualmente denominada “teoría ingenua de conjuntos” El desarrollo formal de
dicha teoría en este momento, está fuera de alcance. La complejidad que tiene un
tratamiento estricto del tema excede largamente los requisitos y objetivos de este curso.
Introducción
Ya que vamos a conversar sobre conjuntos parece pertinente preguntarnos
en primer lugar: ¿Qué es un conjunto?
Podemos contestar “Un grupo de elementos” Frente a esta respuesta
tenemos derecho a preguntar ¿Y un grupo? A lo cual puede aparecer “Una colección” Y
podemos preguntar: ¿Y una colección? Contestando “ Una familia” ………..Seguramente en
algún momento diremos “Un conjunto” cerrando así el círculo vicioso.
Este hecho es inevitable si intentamos definir explícitamente todos los
conceptos con los cuales trabajaremos. Lo cual si se detiene a pensar, le debe haber
ocurrido al buscar palabras en un diccionario. Una palabra le conduce a otra, esa otra a una
tercera, …Hasta que al final vuelve a la primera palabra que buscó.
Para no caer en este círculo vicioso tomaremos algunos conceptos sin
definición explícita (los cuales suelen llamarse conceptos primitivos) y sí definiendo
explícitamente todos los otros conceptos de la teoría (estos últimos pueden denominarse
conceptos definibles).
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Al tratar con conceptos primitivos, podemos preguntarnos ¿Cómo trabajar con algo que no
aclaramos explícitamente que es? Permítaseme la siguiente imagen:
Referido al ajedrez, si nos preguntan: ¿Qué es una torre? No vamos a contestar que forma
tiene, ni de que material está construida, sino como se “mueve” Es más, si cambiamos la
ficha por una piedra y esta la movemos como una torre, es una torre. Con los conceptos
primitivos ocurre algo similar, quedarán caracterizados indirectamente por el resto de la
teoría.
En el caso de la teoría de conjuntos tomaremos como conceptos primitivos: conjunto,
elemento y pertenecer. El resto de los conceptos que aparezcan los definiremos
explícitamente.
Para empezar a conversar consideremos los siguientes conjuntos:
- A el conjunto formado por 6 y 8
- B el conjunto formado por a,b,c
- C el conjunto de los números naturales pares.
- D el conjunto de los naturales pares mayores que 5 y menores que 9
En primer lugar observemos que utilizamos dos estrategias diferentes para determinar
cada uno de los conjuntos (entendiendo por determinar brindar un criterio que nos permita
sin ambigüedad decidir si un elemento dado pertenece o no al conjunto). Para los dos
primeros nombramos todos y cada uno de sus elementos. Procedimiento que algunos
denominan determinación por extensión. En cambio para determinar los dos últimos
dimos una proposición que caracteriza al conjunto; en el sentido de que todo elemento del
conjunto verifica la proposición y recíprocamente todo elemento que verifica la proposición
pertenece al conjunto. En el caso del conjunto C, todo número natural par está en C y todo
elemento de C es un natural par. Este último procedimiento suele denominarse
determinación por comprensión.
El lector seguramente recuerda la notación:
6,8
, ,
/ 2
/ 2 5 9
A
B a b c
C x x
D x x x
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PRIMEROS COMENTARIOS SOBRE LÓGICA
Recién mencionábamos el término
proposición. Entendemos por tal a una oración o sentencia que puede ser verdadera o falsa
pero no ambas a la vez. Si decimos “El número 512 es par” “El 512 es múltiplo de 3”
ambas son proposiciones, en este caso verdadera la primera y falsa la segunda. Si en
cambio decimos ¿Qué hora es? Esta frase no es una proposición pues no tiene sentido decir
que es verdadera o falsa.
A las proposiciones las anotaremos con letras minúsculas (p,q,r etc.) y si son verdaderas
indicaremos (V) y en caso de ser falsas (F) Siendo V o F lo que llamamos valor de verdad.
Las proposiciones pueden clasificarse en simples o compuestas. Siendo estas últimas
compuestas por las primeras. Así por ejemplo la proposición que determina el conjunto D
( 2 y 5 9x x x
) puede descomponerse en 2 5 9x x x x
En este caso las cuatro proposiciones están vinculadas por la operación conjunción
definida formalmente a partir de su tabla de valores, que nos permiten determinar el
valor de verdad de la proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la conforman.
Observemos que p q es verdadera si y solo si tanto p como q son verdaderas. Lo
podemos leer coloquialmente como un “y”
Otra operación que suele realizarse con proposiciones es la disyunción definida por la
siguiente tabla
p q p q
V V V
F V F
V F F
F F F
p q p q
V V V
F V V
V F V
F F F
4
4
En este caso observemos que alcanza para que p q sea verdadera que una de las dos
proposiciones (p o q) lo sean. Y únicamente es falso cuando ambas lo son. Podemos leerlo
informalmente como y/o.
Presentemos también el condicional o implicación lógica definida por:
Seguramente le llama la atención que la única forma de que p q sea falsa es que p sea
verdadera y q falsa.
Analicemos las siguientes proposiciones: 1) , 4 3 6n n n
2) , 4 3 18n n n
Complete la siguiente tabla:
Justifique que 1) es verdadera y 2) falsa.
Al considerar p q la proposición p recibe el nombre de antecedente o premisa y q el de
consecuente.
Por último definimos la negación de una proposición p (que anotaremos p )
p q p q
V V V
F V V
V F F
F F V
n 4n
3 6n
3 18n
3
6
8
12
p p
V F
F V
5
5
Igualdad de conjuntos
Volviendo a los ejemplos
6,8
, ,
/ 2
/ 2 5 9
A
B a b c
C x x
D x x x
Otra observación que podemos realizar es que los conjuntos A y D son iguales. Y esto lo
decimos pues tienen los mismos elementos. Así que es razonable la siguiente
Definición
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
En otras palabras:
,
,
x x A x B
A B
x x B x A
Nota Acabamos de utilizar el símbolo “ ” el cual solemos leer “si y solo si”. Seamos un
poco más precisos: dos proposiciones p y q se dicen equivalentes cuando tienen los
mismos valores de verdad. Anotando: p q
En la definición de igualdad de conjuntos establecemos que la proposición A B
es equivalente a la proposición compuesta ,x x A x B x B x A
Nota
También aparece el símbolo “ ” que leemos “para todo” y se denomina en lógica
cuantificador universal. Símbolo que corresponde a una A invertida y proviene del
alemán “Algemanheit” (todo)
Ejercicios Comprobar utilizando tablas de verdad que:
i) p q p q
ii) (Ley de De Morgan)p q p q
iii) p p (Doble negación)
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De nuevo con los ejemplos, otra observación que podemos realizar es que todos los
elementos del conjunto A también lo son de C. Esto suele expresarse diciendo que A está
incluido o es un subconjunto de C. Concretamente:
INCLUSIÓN, SUBCONJUNTOS
Definición
Decimos que un conjunto A está incluido o es un subconjunto de un conjunto B
si y solo si todo elemento de A es también elemento de B. Anotamos A B
Sintéticamente: ,A B x x A x B
También suele anotarse: A B x A x B
Observemos
A B
A B
B A
Recuadramos esta proposición pues casi siempre que
hay que probar que dos conjuntos son iguales se demuestra la “doble” inclusión.
También podemos observar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo A A
Acabamos de definir lo que también podemos llamar “inclusión amplia” en donde un
conjunto está incluido en si mismo. Si queremos excluir la posibilidad de la igualdad,
podemos hablar de inclusión estricta. Concretamente:
Definición
Decimos que el conjunto A está estrictamente incluido o es un subconjunto
propio del conjunto B Anotamos A B
A B
A B
A B
Algunas veces los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. En estos casos puede
generarse una confusión entre que un conjunto pertenezca o esté incluido en otro. Para
ejemplificar encaremos los siguientes
7
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Ejercicios
1) Consideramos:
7,8 , 2.3,4 , 9,10 7,8,2,3,4,9,10 7 , 8 , 2 , 3 , 4 , 9 , 10I J K
Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
i) I J K ii) 7,8 I iii) 7,8 I iv) 7,8 J v) 7,8 J
vi) 7,8 K vii) 7,8 K viii) 7 I ix) 7 I x) 7 J
xi) 7 J xii) 7 K xiii) 7 K
2) Sabiendo que 1 y 1A B Analizar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
i) 1 A ii) 1 B iii) 1 A iv) 1 B v) 1 B vi) 1 A
El conjunto vacío
Si se da una propiedad P de elementos de un conjunto X tal que por lo
menos un elemento x X tenga tal propiedad, queda determinado el subconjunto de X de
los elementos x que tengan la propiedad P. Pero si P es una propiedad que no es satisfecha
por ningún elemento de X se tiene el caso excepcional de una propiedad que no define a un
conjunto. Se conviene en evitar formalmente esta excepción introduciendo el signo X
que se denomina conjunto vacio de X y que se supone indica intuitivamente “el
subconjunto de X que no contiene ningún elemento” Este signo X puede someterse a las
relaciones y operaciones usuales de la teoría de conjuntos, combinándolos con conjuntos
propios (no vacíos) y se demuestra en una teoría axiomática de conjuntos que estas
combinaciones y operaciones son lícitas, desde el punto de vista de la lógica matemática.
Por ejemplo si X es el conjunto de los números naturales no es extraño considerar el
subconjunto / 2C x x
Ahora la propiedad de ser menor que cero no es cumplida
por ningún número natural. Por lo dicho / 0x x lo anotaremos
Definición
Consideramos X un conjunto. Llamamos subconjunto vacío de X y se anota
X , al conjunto /X x X x x
8
8
Obs. Para definir el subconjunto vacío podríamos haber utilizado cualquier otra propiedad
que no fuera cumplida por ningún elemento de X. Como lo hicimos en . Elegimos
x x ya que esta última tiene la ventaja de ser aplicable a cualquier conjunto.
Teorema
X Y siendo X e Y dos conjuntos cualquiera.
Dem
Queremos probar: X Y lo que es equivalente a demostrar:
1) , 2) ,X Y Y Xx x x x x x
En cuanto a la proposición 1) esta es verdadera pues el antecedente Xx es falso.
Por el mismo motivo la proposición 2) también es verdadera. Y ya que 1) y 2) son
verdaderas, entonces 1) 2) lo es. Quedando probado que X Y
Según lo demostrado, existe un único conjunto vacio que por otra parte es subconjunto de
cualquier conjunto. Se lo designa simplemente con el símbolo , sin referirlo a ningún
conjunto en particular.
Ejercicios 1) Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i)
ii) iii) iv) v) vi)
2) Demuestre que:
A B
A C
B C
(Transitiva)
Nota
Volvamos a la definición de subconjunto: ,A B x x A x B
Intentemos escribir la negación A B
La proposición que define la inclusión de A en B x A x B podemos
considerarla compuesta por las proposiciones x A (a la que denominaremos p) y
la proposición x B (que llamaremos q)
Ahora:
p q p q
V V V
F V V
V F F
F F V
9
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Entonces la proposición p q es falsa (o sea A B ) solamente en el caso p
verdadera x A y q falsa x B . Nos queda “manejar” el cuantificador
universal . Parece razonable plantear: /A B x A x B
Entró en juego el símbolo “ ” (que leemos existe) denominado en lógica como
cuantificador existencial.
El cuantificador universal y el existencial se vinculan de la siguiente
manera: Sea ( )P x una proposición cuyo valor de verdad depende de x, la
proposición “ , ( )x P x ” es equivalente a la proposición “ , ( )x P x ”
Le sugerimos dé algún otro ejemplo de esta equivalencia.
Conjunto de partes
Definición
Dado un conjunto A, llamamos conjunto de partes de A (anotamos P(A) ) al
conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.
Ejemplos: Si ,A a b P(A) , , , ,a b a b
Si , ,A a b c P(A) , , , , , , , , , , ,a b a b a c b c a b c
Nota - P(A) y A P(A) cualquiera sea el conjunto A.
- Demostraremos posteriormente que si A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n
ALGO MAS SOBRE LÓGICA
Comencemos por algunas definiciones. Decimos que:
1) Una proposición compuesta es una tautología si y solo si es verdadera para todas las
asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.
2) Una proposición compuesta es una contradicción si y solo si es falsa para todas las
asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.
3) Una proposición compuesta es una contingencia si y solo si no es una tautología ni
una contradicción.
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Ejercicios 1) Analizar mediante tablas de verdad si las siguientes proposiciones son
tautologías, contradicciones o contingencias: i) p q r
ii) ( )p p
iii) p q q p
2) Probar utilizando tablas de verdad que las siguientes proposiciones son
tautologías. i) (Modus Ponens)p q p q
ii) (Modus Tollens)p q q p
iii) (Identidad)p p
iv) (Simplificación)p q p
v) (Adición)p p q
vi) (Silogismo disyuntivo)p q p q
vii) p q q r p r (Silogismo hipotético)
A estas tautologías se denominan reglas lógicas. Concretamente, llamamos regla lógica a
toda implicación que sea una tautología. Si p q es una regla lógica escribiremos p q
Presentemos una operación básica más. Consideramos p y q proposiciones, definimos
p q por la siguiente tabla
A la proposición p q la leemos “p implica doblemente a q” y se la denomina
bicondicional de las proposiciones p y q.
Si la proposición p q es una tautología la denominamos ley lógica y anotamos p q
Obsérvese que si p q , p y q tienen el mismo valor de verdad, o sea son equivalentes.
Por lo tanto es correcto utilizar la misma notación.
p q p q
V V V
F V F
V F F
F F V
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Ejercicios Probar que las siguientes proposiciones son leyes lógicas.
i) Idempotencia de la disyunciónp p p
ii) Idempotencia de la conjunciónp p p
iii) Conmutativa de la disyunciónp q q p
iv) Conmutativa de la conjunciónp q q p
v) Asociativa de la disyunciónp q r p q r
vi) Asociativa de la conjunciónp q r p q r
vii) Distrib. de la conj. resp a la disy.p q r p r q r
viii) Distrib. de la disy. resp a la conj.p q r p r q r
ix) ( ) siendo una tautologíap p t t
x) ( ) siendo una contradicción.p p c c
xi) siendo una tautologíap t p t
xii) siendo una contradicción.p c p c
xiii) siendo una contradicción.p c c c
xiv) Ley de De Morganp q p q
xv) Ley de De Morganp q p q
xvi) p q p q q p
Nota
Según lo probado en xix) tenemos que p q p q q p lo cual
justifica el nombre de bicondicional.
Seguramente alguna vez oyó: “recíproco” “contrarrecíproco” “condición necesaria”
“condición suficiente” “condición necesaria y suficiente”. Veamos de que se trata:
Como vimos la proposición p q es equivalente a la conjunción de las proposiciones
p q y q p . Si a la primera p q la denominamos directo, a la segunda q p
la llamaremos réciproco. Obsérvese que la segunda es recíproca de la primera y la primera
recíproco de la segunda. O sea son términos relativos y no absolutos.
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La proposición p q se le denomina contrario y a la proposición q p
contrarrecíproco del directo p q Volvemos a insistir en el carácter relativo de estos
términos.
Ejercicios
Comprobar mediante tablas de verdad:
1) El directo es equivalente al contrarrecíproco.
2) El directo no es equivalente al contrario.
En caso de que p q decimos que p es condición suficiente para q y q condición
necesaria para p. Entonces cuando p q , podemos afirmar que p es condición necesaria
y suficiente para q.
Por ejemplo: “ f continua en a” es condición necesaria pero no suficiente para “f derivable
en a” siendo f una función real de variable real y a . “ raíz de P” es condición
necesaria y suficiente para que “P divisible entre x ” siendo P un polinomio de
coeficientes reales y .
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión e intersección
Definición Consideramos A y B subconjuntos de U. Denominamos:
1) A unión B (anotamos A B ) al conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A y/o a B.
/A B x U x A x B
2) A intersección B (anotamos A B ) al conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A y a B
/A B x U x A x B
Ejemplos
1) Si , , y . . . entonces: , , , .A a b c B b c d e A B a b c d e y ,A B b c
2) Si A es el conjunto de puntos del plano interiores a la primera curva y B el de
los puntos interiores a la segunda entonces el conjunto unión es el de los puntos
sombreados en la primera figura y la intersección los sombreados en la
segunda.
A B A B
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Habitualmente se utilizan este tipo de diagramas para “visualizar” los resultados de
operaciones con conjuntos. Son conocidos bajo el nombre de diagramas de Venn.
Tengamos en cuenta que no son más que casos particulares, estamos trabajando con
conjuntos de puntos en lugar de conjuntos de otros elementos. Este comentario está
motivado para no confundirnos y pensar que los diagramas de Venn permiten demostrar
propiedades de las operaciones con conjuntos. No es así. Solo nos permiten una cierta
visualización. Volvemos a insistir, son casos particulares y por lo tanto a partir de ellos no
podemos asegurar que tal o cual propiedad sea cierta para todos los conjuntos.
Ejercicios
1) En los siguientes diagramas de Venn sombrear la unión y la intersección.
2) Probar: y siendo , conjuntos cualesquieraA A B A B A A B
3) Demostrar: P(A) P(B) P(A B ) y P(A) P(B) P(A B )
¿ P(A) P(B) P(A B )?
Teorema
Siendo A,B y C conjuntos se cumple:
1) A B B A Conmutativa
2) A B B A “
3) A B C A B C Asociativa
4) A B C A B C “
5) A B A B B
6) A B A B A
A manera de ejemplo demostremos 5)
H) T) A B A B B
Queremos demostrar: A B B lo que es equivalente a probar:
1) x A B x B
2) x B x A B
A B A B
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Ahora demostremos efectivamente las proposiciones 1) y 2)
1)
como A Bx A x B
x A B x B
x B
2) (*)
x A
x B x A B
x B
(*) Si llamamos p a la proposición x A y q a la proposición x B , tenemos que
si q es verdadera, necesariamente p q x A x B también es verdadera.
H) A B B T) A B
En este caso debemos probar que A B o lo que es equivalente que
x A x B
Ahora: (**) y como x A x A B A B B x B
(**) Tengamos presente que A A B
Ejercicios
1) Demostrar otras dos propiedades, una correspondiente a la unión y otra a la
intersección.
2) Probar: i) A A A ii) A A A iii) A A iv) A
(Sugerencia: tenga en cuenta que y que A A A )
3) Siendo A,B y C tres conjuntos cualesquiera, demostrar que:
i) (Distrib. de la " " respec. de la " ")A B C A B A C
ii) (Distrib. de la " " respec. de la " ")A B C A B A C
Diferencia
Definición
Dados los conjuntos A y B, llamamos diferencia A menos B al
conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.
Anotamos A B
Sintéticamente: /A B x A x B
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Ejemplos
1) Si , , , y , , , ,A a b c d B c d e f g entonces ,A B a b
2) Volviendo a los diagramas de Venn
A B corresponde a la zona sombreada.
Ejercicios
Siendo A,B y C tres conjuntos cualesquiera, demostrar:
1) A A
2) A A
3) A
4) A B B A A B
5) A B C A B C ¿ ?A B C A B C
6) A B C A B A C
7) A B C A B C
8) A B C A B C A
9) A B C A B A C
Complemento
Definición
Consideramos A y H dos conjuntos tales que A H .
Denominamos complemento de A con respecto a H, a la
diferencia H A Anotamos ( )HC A
( )
/HC A H A x H x A
Ejemplos
1) Si / 2 e / 2P x x I x x
Tenemos que ( )C P I
También ( )C I P
2) Nuevamente con los diagramas de Venn
( )HC A es la zona sombreada
A B
H A
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Nota
Al ( )HC A también lo podemos anotar C
HA y en el caso de que se desprenda del
contexto cual es el conjunto de referencia (nos referimos a H) se simplifica la notación
escribiendo solamente ó CA A Así volviendo al primer ejemplo e P I I P
Ejercicios
Consideramos A y B dos subconjuntos de H. Anotamos ( )H
A C A etc.
Completar: 1) .......A A
2) ......A A
3) .......A
4) ....A B A B
5) ....A B A B
Demostrarlas.
Nota Las últimas dos proposiciones se conocen bajo el nombre de Leyes de De-Morgan.
PAR ORDENADO, PRODUCTO CARTESIANO
Si estamos trabajando en un en un plano con un sistema de coordenadas cartesiano y
mencionamos los puntos de coordenadas 2,5 y 5,2 , nos estamos refiriendo a puntos
distintos. Asumimos que 2,5 5,2 ; importando en consecuencia el orden en que
aparecen el par de elementos 2 y 5. Entró en juego lo que denominamos habitualmente par
ordenado 2,5 y que anotamos 2,5 .
Es inmediato que , ,a b b a y por lo tanto , ,a b a b . Sin más preámbulos
Definición
Dados los elementos a y b denominamos par ordenado ab, al conjunto
, ,a a b Lo anotamos ,a b . En resumen: , , ,a b a a b
Observación , , , , , , ,a b a a b b a b a b
Si , , , , , ,a b a b a a b b a b a b b a
17
17
Con lo cual comenzamos a ver la utilidad de la definición dada. La cual se completa con el
siguiente teorema.
Teorema
, ,
a a
a b a b
b b
Dem. , , ,a b a a b y , , ,a b a a b
Si ,a b a b a es un conjunto unitario que por hipótesis es igual al
conjunto , , ,a b a a b y por lo tanto este último también debe
serlo. De donde se desprende que ,a a b a b
En este caso tenemos que ,a b a , ,a b a y como por
hipótesis ambos pares ordenados son iguales tenemos que:
a a a a a a
Como en este caso a b y ya vimos que a b , entonces b b
Si , , ,a b a b a a b es un conjunto con dos elementos. Como por
hipótesis , , , ,a b a b a a b este último conjunto también
tiene dos elementos. Así que a b
Ahora: Como , pues a a b a b a a a a
También , , ,a b a a b teniendo en cuenta que ,a b a ya
que en este caso a b , podemos afirmar que , ,a b a b
,b a b Además a b a a b a .
En consecuencia b b
A cargo del lector.
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Definición
Consideramos los conjuntos A y B. Llamamos producto cartesiano A por B al
conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y
segunda en B. Lo anotamos A B .
Así que , /A B x y x A y B
Ejemplos
1) Si , , y ,A a b c B d e
Entonces , , , , , , , , , , ,A B a d a e b d b e c d c e
2) 0 ,0 / 1 1, /x x y y
3) Siendo , y ,a b c d dos intervalos cerrados de reales
, , , /a b c d x y a x b c y d
Representar gráficamente los conjuntos de los ejemplos 2) y 3)
Ejercicios
1) Siendo 1,2,5,7 , 1,3,4 , 2,3,9 y 1,3,7A B C D Hallar:
i) A B C D ii) A B C D iii) B C D A D
2) Demostrar:
i) Si ,A B A B A B B A
ii) A B A B
iii) A B C A C B C
iv) A B C A C B C
v) A B C A C B C
Nota
Dados los conjuntos A,B y C llamamos producto cartesiano o simplemente producto
de A,B y C (anotando A B C ) al conjunto A B C . Cada uno de sus elementos
recibe el nombre de terna ordenada.
La notación A B C para el producto de tres conjuntos podría hacernos pensar que
A B C A B C Lo cual no es cierto pues los elementos del primer conjunto
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son pares ordenados de la forma , ,x y z y los del segundo , ,x y z .No obstante
no se hace distinción entre , ,x y z y , ,x y z Un desarrollo más detallado nos
permitiría ver que ambos pares ordenados a pesar de ser distintos se comportan como
si fueran iguales. Más adelante intentaremos aclarar este hecho.
De manera similar pueden definirse productos cartesianos con más de tres factores y
por lo tanto de enupla (también puede escribirse n-pla)
Ya que estamos con las notaciones, escribiremos nA en lugar de factores
...n
A A A
Bibliografía consultada para elaborar este material.
“Introducción a la teoría de conjuntos” de Lia Oubiñas por Editorial Eudeba
“Conjuntos, relaciones, funciones y lógica” de Franco, Olave, Ochoviet y Tosetti
Apuntes elaborados en el 2010 en el marco del departamento de matemática del IPA
Responsable
Daniel Siberio Marzo de 2012