teoria potencial equações fundamentais modelo mais geral – equações de navier stokes onde

Teoria PotencialEquações Fundamentais

0)(

Vt

)(21)( VPgVV

t

V

)()( TKVpeVt

e

222222

2

z

V

y

V

z

V

x

V

x

V

y

V

z

V

y

V

x

V yzxzyXzyX

Modelo mais geral – Equações de Navier Stokes

onde


0 V

)(21)( VPgVV

t

V

)()( TKVpeVt

e

222222

2

z

V

y

V

z

V

x

V

x

V

y

V

z

V

y

V

x

V yzxzyXzyX

Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo:

onde

Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)

NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada

# de equações = 4

Incógnitas: PVVV zyX e ,,


0 V

PgVVt

V

1

)(


Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )

NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada

# de equações = 4



0 V

PgVVt

V

1

)(


Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )

# de equações = 4


VxxVV

VV

2)(

2Identidade matemática

0 V

PgVxxVV

t

V

1

2

2



Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )

0 xIdentidade

matemática 2

Definição de vorticidade

Vx

0ω

0 Vx

V

Logo, o campo de velocidades pode ser expresso através de uma função escalar ( ) , chamado de potencial de velocidades



Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )

Equações: 1Incógnitas: 0 V

PgVxxVV

t

V

1

2

2

0ω

0 Vx

V

V

0 Vx

0

02

PgV

t

V

1

2

2

NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada, devido a hipótese 1NOTA 2: A equação da QDM fica desacoplada da continuidade, devido a hipótese 3



Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )0ω

Ug

V

V

0 Vx

02

PgV

t

V

1

2

2

PU

V

t

2

2

cteP

UV

t

2

2

gZU onde

zzyx egeZ

Ze

Y

Ze

X

ZggZU

NOTA 3:

cteP

gZV

t

2

2

Equação de Bernoulli

Equação de Laplace (diferencial parcial linear)


Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )0ω

V0 Vx

0)(

Vt

)(21)( VPgVV

t

V

)()( TKVpeVt

e

Eq. Navier - Stokes

02

cteP

gZV

t

2

2

Modelo c/ hipóteses simplificadoras

Equações: 5 (escalares)

Incógnitas: TPVVV zyX e , ,,

Equações: 1 (escalar)

Incógnitas:

Teoria PotencialSoluções Simples da Equação de Laplace

02

cteP

gZV

t

2

2

Eq. diferencial parcial linear

1. Escoamento Uniforme

CzByAxzyx ),,(

2

2

2

2

2

22

zyx

Potencial de velocidades

Laplaciano em coordenadas cartezianas

02

Campo de velocidades:

V

Cz

V

By

V

Ax

V

z

y

x

Potencial de velocidades satisfaz a eq. de Laplace


2. Escoamento 2D que incide em uma parede

22),,( ByAxzyx

2

2

2

22

yx

Potencial de velocidades

Laplaciano em coordenadas cartezianas (2D)

BA 222

Campo de velocidades (2D):

VAy

yV

Axx

V

y

x

2

2

Potencial de velocidades satisfaz a eq. de Laplace, quando A = -B

22),,( yxAzyx


2. Escoamento 2D que incide em uma parede

Campo de velocidades (2D):

VAy

yV

Axx

V

y

x

2

2

22),,( yxAzyx

Linhas de corrente (2D):

yx V

dy

V

dx

Ay

dy

Ax

dx

22 ctexy Hiperboles equiláteras


3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D)

Campo de velocidades (3D) – coordenadas esféricas:

V

0sin

1

01

2

rV

rV

r

A

rVr

r

Ar ),,(

2

2

2222

22

sin

1sin

sin

11

rrr

rrr

Laplaceano – coordenadas esféricas:

Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção radial

Potencial de velocidades Fonte / sumidouro

NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima



Campo de velocidades (3D) Vazão volumétrica que flui pela superfície da esfera de raio r

0sin

1

01

2

rV

rV

r

A

rVr

r

S

dsnVQ

S

dsr

AQ

2

ddrds sin2

0

2

0

22

sin ddrr

AQ

4AQ

r

Qr

1

4),,(



Campo de velocidades (3D)Vazão volumétrica que flui pela superfície da esfera de raio r

0sin

1

01

2

rV

rV

r

A

rVr

r

S

dsnVQ

S

dsr

AQ

2

ddrds sin2

0

2

0

22

sin ddrr

AQ

4AQ

r

Qr

1

4),,(



Corpo semi-infinito (3D)

2

1

4 r

Q

rVr

r

r

Qr

1

4),,(

V∞V∞

Vr

Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace

Teoria Potencial

Corpo Fechado com simetria axial (3D)

2

1

4 r

Q

rVr

r1

r

Qr

1

4),,(

V∞

V∞

Vfr


Vsr

r2

F S


4. Escoamento tipo Dipolo (3D)

Potencial da fonte

11

1

4),,(

r

Qrf

Campo de velocidades gerado por dipolo

r1

Vfr

Vsr

r2

F SX

Y

Potencial do sumidouro

22

1

4),,(

r

Qrs

2

cos

4),,(

rr

0sin

1

sin

4

1

cos

2

3

3

rV

rrV

rrVr

r θ


Campo de velocidades sobre uma esfera

2

cos

4),,(

rr

xUzyx ),,(

r

V∞V∞

Vr

X

Y

θVθ

2

cos

4),,(

rXUr


Escoamento sobre a esfera


Campo de pressões sobre uma esfera

2

cos

4),,(

rXUr


2

cos

4cos),,(

rrUr

cosrX

0sin

1

sin

4cos

1

cos

2cos

3

3

rV

rU

rV

rU

rVr

Escoamento sobre a esfera

Teoria Potencial

Campo de pressões sobre uma esfera

Comparação com resultados experimentais Escoamento sobre a esfera



Campo de velocidades (2D) – coordenadas polares:

V0

1

rV

r

A

rVr

rAr ln),(

2

2

22 11

rr

rrr

Laplaceano – coordenadas polares:

Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção radial

Potencial de velocidades Fonte / sumidouro




Campo de velocidades (2D) Vazão volumétrica que flui pela superfície do cilindro de raio r

01

rV

r

A

rVr

S

dsnVQ

S

dsr

AQ

rdds

2

0rdr

AQ

2AQ

rQ

r ln2

),(


6. Escoamento tipo Dipolo (2D)

Potencial da fonte

11 ln2

),( rQ

rf

Campo de velocidades gerado por dipolo

r1

Vfr

Vsr

r2

F SX

Y

Potencial do sumidouro

22 ln2

),( rQ

rs

rr

cos

2),(

2

2

sin

2

1

cos

2

rrV

rrVr

r θ


Potencial de velocidades que descreve o escoamento sobre um cilindro

rr

cos

2),(

xUzyx ),,(

r

V∞V∞

Vr

X

Y

θVθ

rXUr

cos

2),(


Escoamento sobre o cilindro


rXUr

cos

2),(


rrUr

cos

2cos),,(

cosrX

2

2

sin

2sin

1

cos

2cos

rU

rV

rU

rVr

Escoamento sobre o cilindro


Escoamento sobre um cilindro - Visualização Escoamento sobre o cilindro

Teoria Potencial

Resultados Experimentais Escoamento sobre o cilindro


7. Escoamento tipo Vortice (2D)

Campo de velocidades (2D) – coordenadas polares:

V

r

A

rV

rVr

1

0 Ar ),(

2

2

22 11

rr

rrr

Laplaceano – coordenadas polares:

Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção tangencial

Potencial de velocidades de um vortice



Campo de velocidades (2D) Circulação ao longo do perímetro da circunferencia de raio r

r

A

rV

rVr

1

0

C

ldV

rdds

2A

2

),(

r

C

dlr

A

2

0

rdr

A

7. Escoamento tipo Vortice (2D)


Campo de velocidades sobre um cilindro

rr

cos

2),(

xUzyx ),,(

r

V∞V∞

Vr

X

Y

θVθ

2

cos

2),(

r

XUr


Escoamento sobre o cilindro com Circulação

2

),(

r

Esc. Uniforme

Dipolo

Vórtice



cosrX

rrU

rV

rU

rVr

2

sin

2sin

1

cos

2cos

2

2

Escoamento sobre o cilindro com circulação

2

cos

2),(

r

XUr

2

cos

2cos),(

r

rUr

Escoamentos com Vórtices

teoria potencial equações fundamentais modelo mais geral – equações de navier stokes onde

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