teoria probabilidad 3 sys upc
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TEMA
Procesos Aleatorios
Densidad Espectral de Potencia
CURSO
Señales y Sistemas
Facultad de Ingeniería
Carrera de Ingeniería Electrónica Carrera de Telecomunicaciones y Redes
PROFESOR
Ing. Christian del Carpio Damián
PROCESOS
ALEATORIOS
2
CONCEPTO DEL PROCESO ALEATORIO
3
Una variable aleatoria “X” es, por definición, una función de
los resultados posibles “s de un experimento, ahora será
función tanto de s como del tiempo.
Se asigna a cada resultado s, de acuerdo con algún tipo de
regla, una función del tiempo.
),( stx
El conjunto de todas las funciones, designada por X(t,s), se
denomina proceso aleatorio.
4
• Un proceso aleatorio X(t,s) representa un conjunto de
funciones temporales cuando t y s son variables.
• Cada función temporal se denomina función muestra.
• Un proceso aleatorio también representa una sola función
temporal cuando t es una variable y s se fija en un valor
específico.
• Un proceso aleatorio también representa una variable
aleatoria cuando se fija t y s se considera una variable.
CONCEPTO DEL PROCESO ALEATORIO
5
Un proceso aleatorio se dice que es estacionario si todas sus
propiedades estadísticas no cambian con el tiempo.
Estacionaridad de primer orden
Un proceso aleatorio estacionario de primer orden implica
que:
1 1 1 1( ; ) ( ; )X Xf x t f x t
ESTACIONARIEDAD
6
Estacionariedad de segundo orden y en sentido amplio
Un proceso aleatorio estacionario de segundo orden implica
que:
1 2 1 2 1 2 1 2( , ; , ) ( , ; , )X Xf x x t t f x x t t
Por lo tanto las medidas estadísticas de segundo orden
permanecen invariantes en el tiempo si el intervalo de
separación entre las variables permanecen constantes.
ESTACIONARIEDAD
7
Para estacionaridad de segundo orden se tiene
1 2 1 2 1 21 2 1 1( , ) ( , ) ( )X X X X X XR t t R t t R
En forma general
ESTACIONARIEDAD
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )XXR E X t X t X t X t
8
En un proceso aleatorio estacionario en el sentido amplio
(WS) se cumple que:
[ ( )] constante
[ ( ) ( )] ( )XX
E X t X
E X t X t R
ESTACIONARIEDAD
Un proceso aleatorio estacionario de segundo orden es un
proceso estacionario en el sentido amplio.
9
Ejemplo 1
Demostrar que el proceso aleatorio
es estacionario en sentido amplio si suponemos que A y ωo
son constantes y Θ es variable aleatoriamente
uniformemente distribuida en el intervalo (0, 2π).
0( ) cos( )X t A t
ESTACIONARIEDAD
10
La función de autocorrelación de un proceso aleatorio X(t) es
la correlación E[X1X2] de dos variables aleatorias X1=X(t1) y
X2=X(t2) definidas para el proceso en los instantes t1 y t2
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
1 2 1 2( , ) [ ( ) ( )]XXR t t E X t X t
( , ) [ ( ) ( )]XXR t t E X t X t
( ) [ ( ) ( )]XXR E X t X t
11
Propiedades de la autocorrelación
Para procesos WS, se tiene que:
2
(1) | ( ) | (0)
(2) ( ) ( )
(3) (0) [ ( )]
XX XX
XX XX
XX
R R
R R
R E X t
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
2
| |
(4) Si E[X(t)]=X 0 ( ) es ergódico
con componentes no periódicos entonces
( ) [ ]XX
y X t
lim R E x
12
Propiedades de la autocorrelación
Para procesos WS, se tiene que:
XX(5) Si X(t) tiene una componente periódica entonces R ( )
tendrá una componente periódica con el mismo periodo
| |
(6) Si X(t) es un proceso ergódico con valor medio igual a cero y
no tiene componentes periódicas entonces
lim ( ) 0
(7) ( ) no puede tener
XX
XX
R
R
forma arbitraria
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
13
Se define el coeficiente de autocorrelación como:
( ) ( ) , 1 ( ) 1
(0)
XXXX XX
XX
R
R
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
14
Ejemplo 2
Un proceso estacionario WS X(t) presente una función de
autocorrelación de la siguiente figura. Si la varianza del
proceso es igual a 0.25. Se pide graficar la media E[X(t)] en
el tiempo.
LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
RXX
()
2
15
Ejemplo 3
Dada la siguiente función de autocorrelación para un proceso
ergódico estacionario con componentes no periódicas
Halle la varianza del proceso.
2
4( ) 25
1 6XXR
ESTACIONARIEDAD
16
CORRELACIÓN CRUZADA
( , ) [ ( ) ( )]XYR t t E X t Y t
( ) [ ( ) ( )] XYR E X t Y t
Si X(t) e Y(t) son al menos conjuntamente estacionarios en
sentido amplio, entonces
17
CORRELACIÓN CRUZADA
Propiedades de la correlacion cruzada:
(1) Si ( , ) 0
entonces X(t) e Y(t) se dice que son procesos ortogonales
XYR t t
(2) Si dos procesos son estadísticamente independientes, entonces
( , ) [ ( )] [ ( )]
Si, además de ser independientes X(t) e Y(t) son al menos
estac
XYR t t E X t E Y t
ionarios en sentido amplio, entonces ( ) XY
XYR
18
PROCESOS ERGÓDICOS
Media Temporal
• Sea X(t) un proceso aleatorio
• Se define la media temporal como
1lim ( )
2
T
TT
x x t dtT
1
0
1( )
N: número de muestras
N
n
x x nN
19
PROCESOS ERGÓDICOS
Valor cuadrático medio Temporal
• Sea X(t) un proceso aleatorio
• Se define el valor cuadrático medio temporal como
2 21lim ( )
2
T
TT
x x t dtT
12 2
0
1( )
N: número de muestras
N
n
x x nN
20
PROCESOS ERGÓDICOS
Autocorrelación temporal
• Sea X(t) un proceso aleatorio
• Se define la función temporal de autocorrelación como
1( ) lim ( ) ( )
2
T
TT
x t x t dtT
1
0
1( ) ( ) ( )
N
n
m x n x n mN
21
PROCESOS ERGÓDICOS
Todos los promedios temporales son iguales a los
correspondientes promedios estadísticos
[ ]
[ ( )] ( )XX
E x X
E R
22
PROCESOS ERGÓDICOS
Ejemplo 4
Si se tiene la siguiente figura, hallar la autocorrelación
temporal RXX(m)
( )x n
n1
1
0 2
3
2
23
PROCESOS ERGÓDICOS
Ejemplo 5
Una señal X(t) es modelada como un proceso aleatorio
ergódico de distribución uniforme en el rango [-5 15]. De
acuerdo a ello se pide determinar la potencia media del
proceso.
24
EL PROCESO ALEATORIO GAUSSIANO
11[ ] [ ] [ ]
2
1 2 1 2( , ,...., ; , ,...., )(2 ) | [ ] |
TXx x C x x
X N NN
X
ef x x x t t t
C
1 1 2 1
2 1 2
1 2
2
2
2
N
N N N
X X X X X
X X X
X
X X X X X
C C
CC
C C
11
22X.
Nn
x X
x Xx
x X
25
EL PROCESO ALEATORIO GAUSSIANO
Varianza: si es alta, el proceso se despega mucho de la
media.
Covarianza: alta correlación entre muestras representa alta
covarianza
26
PROCESOS DETERMINÍSTICOS
Un proceso es determinístico si valores futuros de una
función muestra pueden ser predecidos por valores
pasados.
27
PROCESOS DETERMINÍSTICOS
Ejemplo 6
El proceso aleatorio
Ejemplo 7
Sea x(t)=A donde A es una v.a. con fA(A) de finido como:
0( ) cos( )X t A t
( )Af A
-5 5
1/10
DENSIDAD
ESPECTRAL DE
POTENCIA
28
29
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
t
-T T
x(t)
( ) ( )
0 en otro caso T
x t T t Tx t
30
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
( ) ( ) ( )T T
j t j t
T TT T
X x t e dt x t e dt
2 2( ) ( ) ( )T T
TT T
E T x t dt x t dt
La energía contenida en x(t) en el intervalo (-T, T)
2 21( ) ( ) | ( ) |
2
T
TT
E T x t dt X d
Por el teorema de Parseval se tiene:
La transformada de Fourier de xT(t) será
31
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
22 | ( ) |1 1
( ) ( )2 2 2
TT
T
XP T x t dt d
T T
La potencia media P(T) de x(t) en el intervalo (-T, T) será
La función anterior no representa la potencia de una función
muestra completa
32
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Potencia media
22 | ( ) |1 1
lim ( ) lim2 2 2
T
TXX
T TT
XP x t dt d
T T
2| ( ) |1lim
2 2
TXX
T
XP d
T
2| ( ) |( ) lim
2
TXX
T
XS
T
33
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Para procesos aleatorios, se tiene que:
22 [| ( ) | ]1 1
lim [ ( )] lim2 2 2
T
TXX
T TT
E XP E x t dt dt
T T
Por tanto se tiene que:
2[| ( ) | ]( ) lim
2
TXX
T
E XS
T
34
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Propiedades de la DEP
2
2
(1) ( ) 0
(2) S ( ) ( ) X(t) real
(3) S ( )
1(4) ( ) [ ( )] (0)
2
1 1(5) ( ) lim [ ( )]
2 2
XX
XX XX
XX
XX XX XX
T
XX XXT
T
S
S
es real
S d E X t R P
P S d E x t dtT
35
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
Para procesos WS, se tiene
( ) ( )
( ) ( )
1( ) ( )
2
F
XX XX
j
XX XX
j
XX
R S
S R e d
R S e d
2 21 ( ) ( ) (0)
2XX XX XXP S d E x t x R
36
Ejemplo 8
Para
Donde Θ es variable aleatoriamente uniformemente
distribuida en el intervalo (0, 2π). Determinar la DEP del
proceso
0( ) cos( )X t A t
DENSISDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
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PROCESO ALEATORIO BLANCO
Una función muestra n(t) de un proceso aleatorio de ruido
estacionario en sentido amplio N(t) se denomina ruido
blanco si la DEP de N(t) es una constante a todas las frecuencias. Por tanto se tiene
0 ( ) / 2NNS N
38
PROCESO ALEATORIO BLANCO – pasa bajas
0
0
42 P
2nn
NB
N B
0
2 R ( )
2nn
sen BN B
B
B es el ancho de banda en Hz
39
PROCESO ALEATORIO BLANCO – pasa banda
0 Pnn N B
0 R ( ) cos( )nn
sen BN B
B
B es el ancho de banda en Hz
40
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
ENTRADA/SALIDA
( )H
Sistema Lineal
X( )t Y( )t
Proceso Aleatorio
entrada
Proceso Aleatorio
salida
( )YYS ( )XXS ( )H
Sistema Lineal
41
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
ENTRADA/SALIDA
2 ( ) ( ) ( )YY XXS H S
42
Additive White Gaussian Noise (AWGN)
y( ) ( ) ( )t x t n t
Se asume en la mayoría de los casos como siendo WS
+ y( ) ( ) ( )t x t n t ( )x t
( )n t
AWGN
SEÑAL
43
Relación Señal / Ruido
SNR (Signal to Noise Ratio)
10log10 XXdB
nn
PSNR
P
:
:
XX
nn
P Potencia de la señal
P Potencia del Ruido
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Relación Señal / Ruido
SNR (Signal to Noise Ratio)
Receptor
FILTRO
H(w) z( )t+
y( )t( )x t
( )n tAWGN
z( ) '( ) '( )t x t n t
45
FUENTE:
PEYTON Z. PEEBLES, Jr. “Principios de probabilidad,
variables aleatorias y señales aleatorias” McGraw-
Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, 4ª ed., 2006