teoria sistemelor automatetestul de controlabilitate x( t ) r n, a r nxn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......
TRANSCRIPT
TEORIA SISTEMELOR
AUTOMATE
Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 2
Cuprins_11
Proprietatile sistemelor
1. Controlabilitate
2. Observabilitate
3. Stabilitatea
a) Introducere
b) Raspunsul indicial si stabilitatea
c) Criteriul Hurwitz
d) Exemple
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 3
Introducere
PROCES TEHNIC
U (t)Y(t)
SAR = sistem de reglare automata:
• determinarea modelului matematic al procesului tehnic;
• obtinerea legilor de reglare necesare
Teoria reglarii:
• clasica
• moderna
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 4
Controlabilitate
Termenul de controlabilitate se referă la posibilitatea de a ghida
sistemul dintr-o stare iniţială x spre origine, într-un timp finit, prin
intermediul unei intrări bine definite, u.
)()(
)(
)(
)(
tutx
tx
dt
tdxdt
tdx
+
=
0
1
00
10
2
1
2
1
• Mărimea de intrare u(t) nu are nici un efect asupra variabilei de stare x2(t).
• Pentru o stare iniţială [x1(t), x2(t)]T, se poate alege o mărime de intrare u(t)
care să direcţioneze variabila x1(t) spre zero, pe când x2(t) rămâne
neschimbată;
• Mărimea de stare x1(t) este controlabilă, nu însă şi x2(t).
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 5
• Definitie: Un sistem are starea complet controlabila daca oricare ar
fi starea X(t0) poate fi gasit un vector U(t) care sa determine trecerea
sistemului in starea X(t1).
• Dacă toate mărimile din modelul de stare al unui sistem sunt
controlabile, atunci sistemul este complet controlabil.
• Absenţa controlabilităţii complete nu este sesizabilă în funcţia de
transfer, ci doar în modelul de stare.
• Controlabilitatea are un rol important în numeroase probleme de
reglare, cum ar fi stabilizarea unui sistem instabil prin feedback sau prin
control optimal.
• Controlabilitatea este o proprietate intrinseca a sistemelor, invarianta
fata de forma ecuatiilor matriceale de stare.
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 6
Testul de controlabilitate
nxnn RARtx ,)(
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxdt
tdx
+=
+=
Modelul este complet controlabil, dacă şi numai dacă matricea de
controlabilitate a sistemului, ΓC[A, B], definită de relaţia are rang
de linie complet (rangul matricii este egal cu numărul liniilor).
BABAABBBA n
c
12 ...],[ −=
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 7
Ce este rangul unei matrici ?
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
..
........
..
..
21
22221
11211Rangul matricii A = ordinul maximal
al minorului diferit de zero
−−
−
−−
−
=
54474
13110
24121
01342
A
012
342
−
−=D
1
110
121
342
3 =
−
−
−
=D
D4=0
Rang (A)=3
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 8
Exemplu_1
Sa se verifice controlabilitatea sistemului pentru care se cunosc
matricile:
=
=
0
1
00
10BA ,
=
+
+==
00
01
00100
01101],[ ABBBAc
1= )( cRang
Numărul liniilor matricii de controlabilitate a sistemului este 2
sistemul nu este complet controlabil
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 9
Exemplu_2
R1
C1
R2
R3
C3
AO
+
- Vi
Ve
V+
V-
)()( 11 titx R=
)()( 32 tVtx C=Variabile de stare
Care sunt conditiile care asigura controlabilitatea ?
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 10
( )+−= VVdt
dCi iC 11
1
1R
VVi iR
+−=
2
2R
ViR
+=
121 RRC iii −=
R1
C1
R2
R3
C3
AO
+
- Vi
Ve
V+
V-
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 11
( ))(
1)(
)(
211
1
211
211 tVRRC
tiRRC
RR
dt
tdiiR
R ++
−=
)()()( 11 tVtiRtV iR +−=+
)(1
)(1)(
3333
3
3tV
CRtV
CRdt
tdVC
C−+−=
)()( 3 tVtV Ce =
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 12
=
+
−−
+−
=
)(
)(10)(
)(1
1
)(
)(0
)(
)(
3
1
33
211
3
1
33
1
33
1
211
21
3
1
tV
titV
tV
CR
RRC
tV
ti
CR
R
CR
R
RRC
RR
dt
tdVdt
tdi
C
R
e
i
C
R
C
R
( )( )( )( )
+−
+−
==
12
2
33
3312
33
2
211
31
211
1
1
,
CRCR
CRCR
CR
RCR
RR
RCRABBBAC
( )( )
( )33112
21321
2,det CRCRCCRRR
RBAC +−=
Sistemul este controlabil daca 3311 CRCR
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 13
Observabilitatea starii
Definitie: un sistem liniar se numeste observabil dupa stare daca
vectorul de stare X(t) poate fi completat determinat pe baza vectorului
Y(t) si a vectorului de intrare U(t).
=
−
−=
)(
)(01)(
)(
)(
11
01
2
1
2
1
2
1
tx
txty
tx
tx
dt
dxdt
dx
y(t) – este determinat de x1(t) dar nu este influentat de x2(t)
Sistemul nu este complet observabil
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 14
iesire)de(ecuatia
stare)deladiferentia(ecuatia
uDxCy
uBxAdt
dx
+=
+=
=
1-n
O
CA
...
CA
C
CA,Γ
Sistemul este complet observabil daca rangul matricii este egal cu
numarul coloanelor
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 15
Exemplu_3
11
1
1
01
22
−=
=
−=
C
B
A
2301
2211 −=
−−=CA
Sistemul este complet observabil.
( ) 0det
23
11
−
−=
=
CA,Γ
CA
CCA,Γ
O
O
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 16
Exemplu_4
R3
C3
Vi
AO
+
-
V-
Ve
R1
C1
R2
V+
)()( 31 tVtx C=
)()( 12 titx R=
)(1
)(1)(
3333
3
3tV
CRtV
CRdt
tdViC
C +−=
)()( 3 tVtV C=+
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 17
( ))(
1)(
)(
211
1
211
211 tVRRC
tiRRC
RR
dt
tdiR
R−+
+−=
)()()( 11 tVtiRtV iRe +−=
−=
+
+−
−
=
)(
)(0)(
)(
0
1
)(
)(
1
01
)(
)(
1
3
1
331
3
211
21
121
33
1
3
ti
tVRtV
tVRCti
tV
RRC
RR
CRR
CR
dt
tdidt
tdV
R
C
e
i
R
C
R
C
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 18
+
−−
−
=
=
21
21
1233
1
11
1
,
RC
RR
CRCR
R
BACA
CΓ
O
( ) ( )3311
313
1det CRCR
CCR+−=BA,Γ
O
3311 CRCR
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 19
Stabilitatea. Introducere
Destinaţia sistemelor automate:
• a menţine o anumită mărime, numită mărime reglată, la o valoare
constantă;
• de a o varia marimea reglata după o lege anume, în condiţiile în care,
fie că variază mărimea perturbatoare ce acţionează asupra sistemului,
fie mărimea de intrare.
• dacă la varierea mărimii de intrare, sau la acţiunea unei
perturbaţii, sistemul nu revine în stare staţionară, el este instabil.
• dacă un sistem automat este slab stabil, o mică modificare a unui
parametru al sistemului l-ar putea împinge peste „graniţă”, în zona de
instabilitate;
• intenţia este de a proiecta sisteme cu o anumită rezervă („margine”)
de stabilitate. De aceea, e necesară şi o „măsură a stabilităţii”.
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 20
Mm Mr
M
Ω Ω0
M0
1
2
3
4 43
21
MM
MM
A
A – punct de functionare stabila
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 21
Mr Mm
M
Ω Ω0
M0
1
2
3
4 43
21
MM
MM
B
B – punct de functionare instabila
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 22
Raspunsul indicial al sistemului si
stabilitatea
• un mod general de a caracteriza stabilitatea sau instabilitatea
sistemului este analiza răspunsului la semnal treaptă unitară („răspunsul
indicial”);
• sistemul automat căruia i se aplică la intrare un semnal treaptă
unitară este stabil, dacă componenta tranzitorie a răspunsului se
anulează.
−
= = −+
−+==
in
k
i
i
q
k
k
ss
C
ss
C
s
C
s
sGsH
1 1
0
)(
)()(
G(s) – o functie de transfer
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 23
)()()( thhth t+=
Componenta de
regim stabilizat
Componenta de
regim tranzitoriu
tsi
i
in
k
ts
k
- ik etAAeCCsHth )....()]([)(1
1
1
0
1 −−
=
++++== L
)()( tSCh 10 ==
tsi
i
in
k
ts
k
-
tik etAAeCsHth ).....()]([)( 1
1
1
1 −−
=
+++== L
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 24
• Componenta tranzitorie se anulează numai dacă fiecare din
componentele sale se anulează:
0....21 === tsts ee
• Stabilitatea sistemului depinde de semnul rădăcinilor ecuaţiei
caracteristice, adică de semnul valorilor care anulează numitorul
funcţiei de transfer, adica de polii funcţiei de transfer.
;; kkkkkk jsjs −=+= +1
Forma generala a polilor:
Re Im
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 25
sk+1
sk
-s k
s
j?
t
xetk
-s k
s
j?
t
xetk
Ck
Ck
sk+1
sk
s k
s
j?
t
xetk
Ck
s
j?
t
xetk
Ck
sk=-s k
sk=-s k
a)
b)
c)
d)
Dacă toţi polii funcţiei de transfer sunt complex conjugaţi şi
au partea reală negativă, (adică σk<0), deci sunt localizaţi în
semiplanul stâng al planului s, sistemul este stabil (cazul a); la
acţiunea unei perturbaţii, efectuează oscilaţii amortizate
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 26
sk+1
sk
-σk
σ
jω
t
xetk
-σk
σ
jω
t
xetk
Ck
Ck
sk+1
sk
σk
σ
jω
t
xetk
Ck
σ
jω
t
xetk
Ck
sk=-σk
sk=-σk
a)
b)
c)
d)
Dacă toţi polii funcţiei de transfer sunt reali (adică
ωk=0) şi sunt negativi (adică σk<0), sistemul este de
asemenea stabil; amortizarea componentei tranzitorii
se realizează fără oscilaţii (cazul b);
Atât în cazul a, cât şi în cazul b, durata regimului
tranzitoriu este determinată de existenţa componentei xetk
cu | σk| cel mai mic, adică polii cei mai apropiaţi de axa jω,
numiţi poli dominanţi
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 27
sk+1
sk
-σk
σ
jω
t
xetk
-σk
σ
jω
t
xetk
Ck
Ck
sk+1
sk
σk
σ
jω
t
xetk
Ck
σ
jω
t
xetk
Ck
sk=-σk
sk=-σk
a)
b)
c)
d)
Dacă din cei n poli, cel puţin o pereche are σk>0, sistemul
este instabil; el efectuează oscilaţii cu amplitudine
crescătoare, teoretic, până la infinit (cazul c).
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 28
sk+1
sk
-σk
σ
jω
t
xetk
-σk
σ
jω
t
xetk
Ck
Ck
sk+1
sk
σk
σ
jω
t
xetk
Ck
σ
jω
t
xetk
Ck
sk=-σk
sk=-σk
a)
b)
c)
d)
Dacă din cei n poli, cel puţin unul este real şi pozitiv,
(σk>0, ωk=0), atunci sistemul este de asemenea instabil,
dar amplitudinea componentei tranzitorii tinde la infinit
fără oscilaţii (cazul d)
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 29
sk=0, (poli în origine), sau cel
puţin o pereche de poli complex
conjugaţi au σk=0 (poli pe axa
imaginară) şi restul de poli au σ<0
În primul caz (sk=0), după
amortizarea celor n-1 componente,
componenta tranzitorie rezultantă
este
ktkt Chth ==)(
Stabil neutru :
sistem inutil
+jωk
σ
jω
t
xetk
σ
jω
Ck
sk=0
b
a
-jωk
)sin()( kkkt tCth +=
Stabil
neutru
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 30
OBS.
Pentru ca sistemul automat să fie stabil, este necesar şi suficient ca toţi
polii funcţiei de transfer să fie localizaţi în semiplanul stâng al planului
complex s.
Determinarea polilor funcţiei de transfer a sistemului automat nu este
totdeauna o operaţie simplă.
Este necesară formularea unor criterii de stabilitate practice, care să
permită rezolvarea problemei de stabilitate conform criteriului general,
fără a fi necesară cunoaşterea polilor funcţiei de transfer;
Trebuie determinată influenţa asupra stabilităţii a diferitelor constante
fizice ce caracterizează sistemul.
Se cere de asemenea determinarea modului în care pot fi modificate
diferite constante fizice ale sistemului, astfel încât, stabil fiind, sistemul
să funcţioneze cu anumiţi parametri de calitate în regim tranzitoriu şi
staţionar.
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 31
Criteriul Hurwitz
• criteriul de stabilitate Hurwitz se bazează pe relaţia care trebuie să
existe între coeficienţii unei ecuaţii diferenţiale, pentru ca rădăcinile
acesteia să fie localizate în semiplanul complex stâng.
• este de tip algebric şi se mai numeşte „criteriul coeficienţilor”.
01
1
1210 ...))...()(()( asasassssssssP n
n
n
n +++=−−−= −
−
Fie numitorul funcţiei de transfer, P0(s) şi rădăcinile acestuia, s1, s2, ...sn
kkk
kkk
js
js
−−=
+−=
+1
22
1 )()]()][([ kkkkkkkk sjsjsss ++=−−−+−−= +
0ka Conditie necesara pentru stabilitate dar nu si
suficienta
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 32
????
????
????
????
????
4
3
2
1
−
−
−
−
=
n
n
n
n
a
a
a
a
H
• se formează diagonala principală din coeficienţii de la an-1 la a0
• se completează coloanele în celulele superioare diagonalei cu
coeficienţi în ordine descrescătoare, iar în celulele inferioare diagonalei
principale, cu coeficienţi în ordine crescătoare;
• în locul coeficienţilor ai căror indici sunt mai mici ca zero, sau mai
mari ca n, se scrie valoarea zero;
• se construiesc toţi determinanţii minori de nord-vest, adică acei minori
care au linia superioară şi coloana din stânga în coincidenţă cu cele ale
determinantului Hurwitz
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 33
42
531
642
7531
0
0
−−
−−−
−−−
−−−−
=
nnn
nnn
nnnn
nnnn
aaa
aaa
aaaa
aaaa
H
31
42
531
3
2
312
11
0 −−
−−
−−−
−
−−
−
=
=
=
nn
nnn
nnn
nn
nn
n
aa
aaa
aaa
H
aa
aaH
aH • Dacă toţi determinanţii minori H1,...Hn
sunt pozitivi, atunci toate rădăcinile ecuaţiei
P0(s)=0 sunt localizate în semiplanul stâng al
planului complex s.
• Sistemul având funcţia de transfer
este stabil
)(
)()(
sP
sQsG
0
0=
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 34
Exemplu_1
))(()( 111 223 ++=+++= ssssssP
• Cerinţa privind valorile strict pozitive ale tuturor coeficienţilor ak
este respectată:
1111 0223 ==== aaaa ,,,
110
011
011
0
0
0
02
13
02
==
aa
aa
aa
H
011
11
1
13
022
21
===
==
aa
aaH
aH
Deoarece minorul de ordinul doi, H2, nu respectă cerinţa de a fi strict
pozitiv, sistemul nu este stabil !!!
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 35
( )( )11
1)(
2 ++=
sssG
( )( )11
1)()(
2 ++==
ssss
sGsH
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 36
( )( )11)(
21++
=ss
ssG
( )( )11
1)()(
2
1
++==
sss
sGsH
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 37
Exemplu_2
12162
2
234 −−++
−=
ssss
ssG )(
)2s)(1s)(2s)(3s(12s16ss2s)s(P 234 −+++=−−++=
Criteriul Hurwitz
•coeficienţii a1 şi a0 sunt negativi !!!
2123 4321 +=−=−=−= ssss ,,,
• Aplicând criteriul general de stabilitate, rezultă că sistemul este
instabil, deoarece are un pol pozitiv, la s=2
280
1620
1211
0162
1816211
162
2
12110
01620
01211
00162
3
2
1
−=
−
−
−
=
=+=−
=
=
−
−
−
−
=
H
H
H
H
280
1620
1211
0162
1816211
162
2
12110
01620
01211
00162
3
2
1
−=
−
−
−
=
=+=−
=
=
−
−
−
−
=
H
H
H
H
Valoare
negativa
Sistem instabil
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 38
Dacă se simplifică însă funcţia de transfer prin s-2, deoarece s=2 este şi
un pol şi un zero, se obţine
6116
1
23 +++=
ssssG )(
• Aceasta are toţi coeficienţii numitorului ak pozitivi
60666111
66
6
660
0111
066
2
1
=−==
=
=
H
H
H
Sistemul pare stabil; în realitate, prin simplificarea unui pol cu un
zero, s-a pierdut informaţie din funcţia de transfer
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 39
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 40
Exemplu_3
1001023 23 +++=
sss
SsG )(
Ce valoare trebuie să aibă sensibilitatea mecanică S a sistemului
deschis, pentru ca sistemul cu feed-back unitar să fie stabil?
1102102 321 −=−−=+−= sjsjs ,,
s1
s2
s3
Im
Re
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 41
Ssss
S
sG
sGsGcl
++++=
+=
10010231 23)(
)()(
Coeficientii trebuie sa fie pozitivi:
Sa += 1000 100−S
SSS
H
H
S
S
H
−=−−=+
=
=
+
+
=
2061003061021
1003
3
10030
01021
01003
2
1 206S
206100 − S
Prof. dr. ing. Valer DOLGA 42
S = -100 S = 207S = 100