Tema III. Captulo 1. Espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Algebra Lineal I. Departamento de M etodos Matematicos y de Representacion. UDC.Tema III 1.2 Propiedades1. 0=0, para cualquier IK.Espacios vectorialesPrueba: Se tiene: 0= (0+0)= 0+ 0 0=0.1. Espacios vectoriales y subespaciosvectoriales. 2. 0 x =0, para cualquier x V .Prueba: Se tiene:1 Espacios vectoriales. 0 x =(0+0) x =0 x +0 x 0 x =0.1.1 Denicion. 3. x =0 =0, o x =0.Prueba: Si x =0 y =0 entonces6 tiene inverso y:Denicion 1.1 Sea IK un cuerpo conmutativo y V un conjunto no vaco. Se diceque V tiene estructura de espacio vectorial sobre IK si cumple: 1 1 1 x =1 x =( ) x = ( x)= 0=0.1. Existeunaoperacioninterna(quesellamasuma)conlacual V tieneestructura4. (1) x = x, para cualquier x V .de grupo abeliano, es decir, se verica:Prueba: Basta tener en cuenta que:(a) Propiedadasociativa: x+(y+z)=(x+y)+z,paracualesquiera x, y, z V .

(b) Elemento neutro: 0 V tal que 0+x = x +0= x, para cualquier x V . (1) x +x =(1+1) x =0 x =0 x =(1) x.(c) Elemento opuesto: para cualquier x V , (x) V con x +(1) x =(1 1) x =0 x =0x +(x)=(x)+x =0.5. () x = (x)= ( x), para cualesquiera IK, x V .(d) Conmutativa: x +y = y +x, para cualesquiera x, y V . Prueba: Por las propiedades anteriores:2. Existe una operacion externa ():IK V V vericando: () x =(1) ( x)= ( x).(a) 1 x = x para cualquier x V . () x =() ((1) x)= (x).(b) () x = ( x), para cualesquiera , IK y x V .6. Si =0 y6 x = y entonces x = y.(c) ( + ) x = x + x, para cualesquiera , IK y x V .Prueba: Si =0 entonces tiene inverso y:6(d) (x +y)= x + y, para cualesquiera x, y V y IK.1 1 x = y ( ) x = ) y x = y.A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores.7. Si x 6=0 y x = x entonces = .Algunos de los ejemplos mas usuales de espacios vectoriales son:Prueba: Se tiene:1. V =IK es un espacio vectorial sobre IK. x = x ( ) x =0.2. V = Mmn(IK) es el espacio vectorial sobre IK de matrices m n.3. V = Snn(IK) es el espacio vectorial sobre IK de matrices simetricas n n. Como x =0, por las propiedades anteriores deducimos que:4. V = Pn(IK)eselespaciovectorialdepolinomiosconcoecientesenIKdegradomenor o igual que n. =0 = .24

Tema III. Captulo 1. Espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Algebra Lineal I. Departamento de M etodos Matematicos y de Representacion. UDC.2 Subespacios vectoriales. 2.2 Interseccion de subespacios vectoriales.Proposicion 2.4 Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales de V , la interseccion2.1 Denicion y caracterizaciones.S1 S2 es un subespacio vectorial.Denicion 2.1 Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo IK, un subconjuntoS V no vaco se dice un subespacio vectorial de V si S es un espacio vectorial Prueba: Enprimerlugartenemosencuentaque S1S2 esnovaco,porque0 S1 ysobre IK con la restriccion de las operaciones de V . 0 S2. Ahoracomprobamoslacondiciondesubespaciovectorial. Sean x, y S1S2y , IK. Se tiene:

En realidad para identicar los subespacios vectoriales se suele utilizar una de las x, y S S x, y S x + y S1 2 1 1siguientes caracterizaciones: x+y S1S .2x, y S1 S2 x, y S2 x + y S2Teorema 2.2 Sea V unespaciovectorialsobre IK y S V unsubconjuntono vaco.S es un subespacio vectorial precisamente si se verica:2.3 Suma de subespacios vectoriales.1. x +y S, para cualesquiera x, y S.2. x S, para cualquier IK, x S. Enprimerlugarobservemosquelauniondesubespaciosvectorialesnotieneporqueser un subespacio vectorial. Por ejemplo consideramos:Equivalente, si se verica:2 2 2V =IR ; S1 = {(x, 0) IR , x IR}; S2 = {(0,y) IR , y IR}.a. x + y S, para cualesquiera x, y S, , IK.Sitomamos(1, 0) S1 S2 y(0, 1) S1 S2,setiene(1, 0)+(0, 1)=(1, 1) 6 S1 S2Prueba: Si se cumplen las condiciones 1 y 2 las operaciones interna y externa y por tanto la union de S1 y S2 no es un subespacio vectorial.de V restringen a S. Por tanto por ser V espacio vectorial tambien lo es S.Sin embargo, dados dos subespacios vectoriales si podremos denir el subespacioRecprocamente, si S es subespacio vectorial de V , las operaciones han de restringirsuma, mayor que la union.y se cumplen las condiciones 1 y 2.Por otra parte veamos la equivalencia entre las condiciones 1,2 y la condicion a. Denicion 2.5 Sean S y S dos subespacios vectoriales de V , denimos la suma1 21,2 a: de S1 y S2 como:x S e IK x S. S1 + S2 = {x1 +x2 con x1 S1 y x2 S2}Por la condicion 2:y S e IK y S.Proposicion 2.6 Lasumadedossubespaciosvectorialesesunsubespaciovectorial.Y ahora:

x S Prueba: Sean S ,S1 2 V dossubespaciosvectorialesde V . Tomemos x, y S1 +S2Por la condicion 1: x + y S. y , IK. Se tiene: y Sx S1 + S2 x = x1 +x ,2 con x1 S ,1 x2 S2a 1,2: y S1 + S2 y = y1 +y ,2 con y1 S ,1 y2 S2Tomando en la condicion a, =1, =1 obtenemos la condicion 1, x +y S.por tantoTomando en la condicion a, =0 obtenemos la condicion 2, x S. x + y = (x1 +x2)+ (y1 +y2)= x1 + y1 + x2 + y2 S1 + S .2| {z } | {z }S1 S2Observacion 2.3 En todo espacio vectorial V siempre hay dos subespacios vecto-riales llamados triviales, el total V y el subespacio cero {0}.25

Tema III. Captulo 1. Espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Algebra Lineal I. Departamento de M etodos Matematicos y de Representacion. UDC.Proposicion 2.7 La suma de dos subespacios vectoriales es el menor subespacio Denicion 2.11 Sean S ,S1 2 ...,Sk subespaciosvectorialesde U. Si (S1+...+Si)vectorial que contiene a union. Si+1 = {0} paracualquier i, 1 i k1 entoncesalespaciosuma S1+S2+...+Skse le llama suma directa de S ,S ,...,S1 2 k y se denota por:Prueba: Sean S ,S1 2 V dos subespacios vectoriales de V . En primer lugar estaS1 S2 ... Sk.claro que S1 S2 S1 + S2. Ahora sea S un subespacio conteniendo a S1 S2 yveamos que S1 + S2 S. Proposicion 2.12 Sean S ,S ,...,S1 2 k subespacios vectoriales de U. La suma S1 +x1 S1 S1 S2 S S2 + ... + Sk es una suma directa si y solo si todo elemento de S1 + S2 + ... + Sk sex S1+S2 x = x1+x2 con x = x1+x2 S.x2 S2 S1 S2 S descompone de manera unica como suma de elementos de S ,S ,...,S1 2 k.Prueba: Supongamos que la suma es directa. Sea x S1 + ... + Sk y supongamosEsteconceptodegeneralizademaneranaturalparaunnumeronitodesubespa-que tenemos dos descomposiciones distintas de x:cios.x = x1 + ... +xk = y1 + ... +yk, x ,i yi S ,i i =1, 2,...,k.Denicion 2.8 Sean S ,S ,...,S1 2 k subespacios vectoriales de V , denimos suEntoncesaplicandoque(S1+...+Sk1)+Sk esunasumadirectavemosque xk = yk,suma como:y:S1 + S2 + ... + Sk = {x1 +x2 + ... +xk con x1 S ,1 x2 S ,2 ,..., xk Sk} x1 + ... +xk1 = y1 + ... +yk1.Utilizandoahoraque(S1 +...+Sk2)+Sk1 esunasumadirectavemosque xk1 =yk1,2.4 Suma directa.x1 + ... +xk2 = y1 + ... +yk2.Denicion 2.9 Sean S ,S dos subespacios vectoriales de U. Si S S = {0}, Repitiendo el proceso deducimos que xi = yi para i =1, 2,...,k.1 2 1 2entonces al espacio suma S1 + S2 se le llama suma directa de S1 y S2 y se denota Recprocamente supongamos que la descomposicion es unica. Veamos que parapor: cualquier i =2,...,k, (S1 + ... + Si)+ Si+1 es una suma directa.S1 S .2Cualquier x S1 + ... + Si se escribe como suma de elementos de S ,...,S1 i. Porhipotesis esta descomposicion es unica. Aplicando la Proposicion 2.10 deducimosProposicion 2.10 Sean S ,S1 2 dos subespacios vectoriales de U. La suma S1 + S2 que la suma es directa, es decir, (S1 + ... + Si) Si+1 = {0}.es una suma directa si y solo si todo elemento de S1 + S2 se descompone de maneraunica como suma de un elemento de S1 y otro de S2.2.5 Subespacios suplementarios.Prueba: Supongamosenprimerlugarquelasumaesdirecta,esdecir S1S2 = {0}.Veamos que entonces la descomposicion es unica. Sea x S1 + S2. Si: Denicion 2.13 Sean S ,S1 2 dos subespacios vectoriales de V . Se dice que sonsuplementarios si cumplen:x = x1 +x2 = y1 +y2 con x ,1 y1 S1 y x ,2 y2 S2S1 S2 = {0}entoncesS1 + S2 = Vx1 y1 = y2 x2 S1 S2 x1 y1 = y2 x2 =0 x1 = y ,1 x2 = y .2o equivalentemente:S1 S2 = V.Ahorasupongamosqueladescomposicionesunicayveamosquelasumaesdirecta.Hayquecomprobarque S1 S2 = {0}. Sea x S1 S2;puededescomponersecomo:Si S ,S1 2 son subespacios suplementarios sabemos que un vector x V cualquierax = x +0 con x S ,1 0 S ,2 y tambien x =0+x con 0 S ,1 x S .2 se descompone de manera unica como x = x +x , con x S y x S :1 2 1 1 2 2Por la unicidad de la descomposicion deducimos que x =0. x1 se llama la proyeccion de x sobre S1 paralelamente a S2.Este concepto puede ser generalizado a mas de dos subespacios. x2 se llama la proyeccion de x sobre S2 paralelamente a S1.26

Tema III. Captulo 1. Espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Algebra Lineal I. Departamento de M etodos Matematicos y de Representacion. UDC.De esta forma podemos denir la siguientes funciones proyeccion:p1 : V V p2 : V Vx x1 x x2Estas funciones verican las siguientes propiedades:1. p1 + p2 = Id.2. p1 p1 = p1 y p2 p2 = p2.3. p1 p2 = p2 p1 =0.27