teorie miry

Mra a integrl

*****Pouze intern verze.*****

A.L.

26. dubna 2005This book fills a well needed gap in the literature. . . (MSQC)

Obsah

1 vod, pouit znaen 62% 21.1 vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Mnoiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Zobecnn reln sla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Zobrazen a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Zkladn pojmy teorie mry 71% 8

3 Konstrukce mr 70% 19

4 Lebesgueova mra v Rn 65% 29

5 Miteln funkce 70% 38

6 Abstraktn Lebesguev integrl 70% 47

7 Lebesguev integrl v Rn 70% 67

8 Souinov mry 30% 76

9 Integrly zvisl na parametru 55% 87

10 Vta o substituci 50% 94

1

Kapitola 1

vod, pouit znaen 62%

1.1 vod

Text vod do teorie mry a integrlu je uren pro distann formu bakal-skho a magisterskho studia Masarykovy university v Brn. Znalosti nutn k jehozvldnut jsou obsaeny v pedelch stech uebnho materilu jde o Analzu 1,Analzu 2 a Analzu 3. Tm jsou dny monosti textu, jeho clem je strun aelementrn seznmit se zklady obecn teorie mry a Lebesgueovy integrace. Text,vedle vodu vnovanho nkterm konvencm teorie mry, se zabv nsledujcmicelky:

1. Okruh, algebra, -algebra, Borelova algebra.

2. Mra a jej vlastnosti, nboj.

3. Vnj mra, Carathodoryho konstrukce mry, roziovac vty.

4. Miteln funkce.

5. Jednoduch funkce a jejich integrace.

6. Integrace nezpornch mitelnch funkc.

7. Integrace mitelnch funkc.

8. Souinov mry, integrace na kartzskch souinech, vta Tonelliho a Fubini-ova.

9. Integrly zvisl na parametru.

10. Vta o substituci.

Ponvad jde o text minimln a elementrn, lze doufat, e jeho teni si budouchtt zskan znalosti rozit. Z literatury dostupn v etin lze k tomuto eludoporuit:

2

KAPITOLA 1. VOD, POUIT ZNAEN 62% 3

R. Sikorski: Diferenciln a integrln poet. Funkce vce promnnch. Acade-mia Praha 1973.

A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin: Zklady teorie funkc a funkcionln analzy.SNTL Praha 1975.

W. Rudin: Analza v relnm a komplexnm oboru. Academia Praha 2003.Vn zjemci o hlub studium budou jist uspokojen knihou

H. Federer: Geometric Measure Theory. Springer 1996.

1.2 Mnoiny

Vdy budeme pracovat s podmnoinami jist zkladn mnoiny X, piem symbo-lem 2X budeme oznaovat systm vech jejch podmnoin. Symbol #A zna poetprvk mnoiny A ve smyslu #A = n N, resp. #A < , je-li poet prvk mno-iny A roven n, resp. je-li konen. V ostatnch ppadech peme #A = . Zejmnatedy je-li #A


Problm 1.2 Ukate, e vztahy (1.1), (1.2), (1.3) a (1.4) plat.

Problm 1.3 Nech (An) je posloupnost mnoin.

1. Ukate, e mnoina

lim supn

An :=

i1

(

ji

Aj

)

(te se limes superior posloupnosti (An)) je prv mnoina{x : x Aj pro nekonen mnoho index j}.

2. Mnoina limes inferior posloupnosti (An) je definovna jako

lim infn

An :=

i1

(

ji

Aj

)

.

Popite jej strukturu podrobn jako v pedelm ppad{x : x Aj . . . ???. . . }.

Poznamenejme, e pokud pro njakou posloupnost mnoin (An) plat

lim infn

An = lim supn

An,

nazvme tuto mnoinu limitou posloupnost An a zname ji limnAn.

1.3 Zobecnn reln sla

Vedle mnoiny relnch sel (reln osy) R zavdme mnoinu zobecnnch relnchsel (rozenou relnou osu) R tak, e k R pidme nekonen neboli nevlastnsla a +, R := R {} {+} a rozme obvykl uspodn z R naR vztahem < x < + pro libovoln x R. Pro zvraznn peme namstoR nkdy (,+) a namsto R peme [,+]. Je-li a R libovoln, pak propotn s nevlastnmi sly plat:

() = ,a+ () = () + a = ,

() + () = ,

a.() = ().a =

pro a > 0,0 pro a = 0, pro a < 0,

a

= 0.

Zapamatujme si zejmna, e

0.() = ().0 = 0


a e nejsou definovny vsledky operac typu

+, ++ .

Uveden konvence jsou typick pouze pro teorii mry, jinde je nutno potat s tm,e R s takto definovanmi operacemi nen tleso.

Kad neprzdn mnoina A R obsahuje jednak nejmen horn zvoru nebolisuprmum znaenou jako sup(A), jednak nejvt doln zvoru neboli infimum zna-enou jako inf(A). Je-li mnoina A := {a1, . . . , an} konen mluvme t o maximua minimu, tedy

max(a1, . . . , an) := sup(A), min(a1, . . . , an) := inf(A).

Z pedel vlastnosti R plyne, e kad posloupnost (an) v R m limes superior alimes inferior

lim sup an := infi1

(

supji

aj

)

, lim inf an := supi1

(

infji

aj

)

.

Posloupnost (an) konverguje v R prv tehdy, kdy

< lim inf an = lim sup an < +.

Z elementrn analzy je znmoTM, e kadou otevenou podmnoinu R lze jedno-znan vyjdit jako nejve spoetn sjednocen otevench a po dvou disjunktnchinterval (a, b). V ppad R lze ukzat, e kadou otevenou podmnoinu R lzejednoznan vyjdit jako nejve spoetn sjednocen otevench a po dvou dis-junktnch interval v R, tj. interval typu [, a), (a, b), (b,+], kde a, b R.

1.4 Zobrazen a funkce

Nech X a Y jsou dv mnoiny. Pipomeme, e pro kad zobrazen f : X Y apro libovoln mnoiny A X a B Y obrazem mnoiny A nazvme mnoinu

f(A) := {f(x) : x A} ,

vzorem mnoiny B nazvme mnoinu

f1(B) := {x X : f(x) B}

a e plat:

1. A1 A2 = f(A1) f(A2),

2. B1 B2 = f1(B1) f1(B2),

3. f(A1 A2) = f(A1) f(A2), obecnji f (

A) =

f(A),


4. f1(B1 B2) = f1(B1) f1(B2), obecnji f1(

B) =

f1(B),

5. f1(B1 B2) = f1(B1) f1(B2), obecnji f1(

B) =

f1(B),

6. f1(B1 \B2) = f1(B1) \ f1(B2), zejmna tedy f1(BC) = f1(B)C .

Je-li f navc prost, potom t

7. f(A1 A2) = f(A1) f(A2), obecnji f(

A) =

f(A),

8. f(A1 \ A2) = f(A1) \ f(A2).

Problm 1.4 Dokate, e pedel vztahy opravdu plat.

Problm 1.5 Na pkladech ukate, e vztahy

f(A1 A2) = f(A1) f(A2), obecnji f(

A) =

f(A),

f(A1 \ A2) = f(A1) \ f(A2),

obecn neplat.

Podobn jako v ppad mnoin i posloupnost lze pojmy limes superior a limesinferior zavst i pro funkce f : R R vztahy

lim supxa

f(x) := inf>0

(

sup0

Kapitola 2

Zkladn pojmy teorie mry 71%

Jednou z nejpozoruhodnjch vlastnost naeho svta je to, e je velmi dobe popsa-teln prostedky matematiky. Dleitm a asto skrvanm pedpokladem budovnmatematick teorie je vhodn motivace a vhodn model. Lze tedy oekvat, e z-kladem tch nejspnjch metod a teori je snaha eit abstraktn formulovanmodely praktickch loh. Jednou z nejstarch a zrove nejdleitjch loh jestanoven dlky, obsahu i objemu kivek, ploch i tles. V obecn matematickformulaci jde o nalezen mry mnoiny A, tj. sla (A) charakterizujcho danoumnoinu A.Pi konstrukci teorie, kter by byla schopna rozumn eit lohy tohoto typu, sevzhledem k motivaci pedpokld, e dobe zaveden mnoinov funkce bude mtnkter rozumn a intuitivn zejm vlastnosti.

K standardnm pedpokladm pat, aby mra byla nezporn, aby mra jed-notkovho intervalu, jednotkovho tverce, jednotkov krychle a jednotkov koulesouhlasila s dobe znmmi pojmy dlky, obsahu, resp. objemu a aby pro konenmnoho po dvou disjunktnch mnoin A1, . . ., An platilo, e mra sjednocen vechmnoin Ai je rovna soutu mr jednotlivch mnoin, tj.

(

n

i=1

Ai

)

=n

i=1

(Ai).

Pi budovn teorie mry se ukzalo, e je vhodn toto pravidlo rozit i na spoetnsystmy mnoin.

Vimnme si na okamik situace na reln pmce R. Z toho, co vme, lze usoudit,e mra jednotkovho intervalu [0, 1] by mla bt rovna jedn a pro libovoln Rby mlo bt ([0 + , 1 + ]) = ([0, 1]). Druh poadavek je natolik pirozen, ejej lze rozit na libovoln ohranien podmnoiny mnoiny R.

Je tedy pirozen poadovat, aby funkce piadila kad ohranien mnoinA R hodnotu (A) 0 a aby

i. ([0, 1]) = 1,

ii. vznikne-li mnoina B z mnoiny A translac, potom (B) = (A),

8

KAPITOLA 2. ZKLADN POJMY TEORIE MRY 71% 9

iii. jsou-li An, n N po dvou disjunktn ohranien podmnoiny mnoiny R, je(

nNAn)

=

n1 (An).

Snadno lze vak ukzat, e takovto funkce neme existovat. Lze oprvnnoekvat, e tento problm se objev v Rn pro libovoln n N, kde poadavek i.nahradme poadavkem (Q) = 1, kde Q := {x Rn : 0 xi 1 pro i = 1, . . . , n}je jednotkov krychle a pojem translace nahradme pojmem kongruence (mnoinaA Rn je kongruentn s mnoinou B Rn, jestlie B vznikne z A operacemitranslace, rotace a reflexe). Lze pedpokldat, e stejn problm se objev i v ppadkomplikovanjch zkladnch mnoin.

Problm 2.1 Dokate, e neexistuje nezporn mnoinov funkce s vlastnostmii., ii. a iii., kter by byla definovan na vech ohraniench podmnoinch R.

Jedinm diskutabilnm poadavkem na je poadavek iii.. Mohli bychom se ptt,co se zmn, pokud jej nahradme pvodnm poadavkem:

iii. jsou-li Ai, . . ., An po dvou disjunktn ohranien podmnoiny mnoiny R, je (ni=1Ai) =

ni=1 (Ai).

Jak pozdji uvidme, nen to vbec dobr ideavechny nae vsledky obsahujc po-jem limity, resp. spojitosti, budou zviset prv na aditivit platn pro posloupnosti,nicmn z prac Banacha1 plyne, e takovto konen aditivn mry existuj v Ra v R2. Situaci pro obecn n 3 rozeil Hausdorff2, kter dokzal, e pro n 3neexistuj konen aditivn mry definovan na vech ohraniench podmnoinchRn. Konen v r. 1924 Banach spolu s Tarskm3 dokzali tvrzen znme dnes jakoBanach-Tarskho paradox:Nech A a B jsou libovoln ohranien oteven podmnoiny Rn, n 3. Potom

existuje (konen!) k N a podmnoiny A1, . . . Ak, B1, . . . , Bk mnoiny Rn takov,e

1. mnoiny Ai jsou po dvou disjunktn a jejich sjednocenm je mnoina A;

2. mnoiny Bi jsou po dvou disjunktn a jejich sjednocenm je mnoina B;

3. Ai je kongruentn s Bi pro i = 1, . . . , k.

Dsledky tvrzen jsou ohromujc jednotkovou kouli lze rozdlit na konenmnoho dl a z nich sestavit jakkoli konen poet koul o libovolnch konenchpolomrech. . .

Tchto nkolik vsledk jasn ilustruje, e ji pouh prostory Rn obsahujnatolik podivn mnoiny, e nelze oekvat, e budeme schopni definovat geomet-ricky smyslupln pojem mry na vech podmnoinch Rn. Proto se musme omezit

1Stefan Banach, narozen: 30. bezna 1892 Krakov, Rakousko-Uhersko (dnes Polsko), zemel: 31.srpna 1945 Lvov, (dnes Ukrajina); funkcionln analza.2Felix Hausdorff, narozen: 8. listopadu 1868 Breslau, Nmecko (dnes Wroclaw, Polsko), zemel:

26. ledna 1942 Bonn, Nmecko; topologie, metrick prostory.3Alfred Tarski, narozen: 14. ledna 1902 Warsaw, Rusk csastv (dnes Polsko), zemel: 26. jna

1983 Berkeley, California, USA; teorie mnoin, logika.


na vhodn mnoinov systmy. Jeden z monch systm -algebra je zavedenv nsledujc definici.

Jet ne si definici -algebry uvedeme, je dobr si uvdomit, e zatmco pod-mnky i. a ii. maj zklad v geometrii euklidovskch prostor, podmnka iii. nageometrii zkladn mnoiny nezvis.

Teorie mry je v souasn dob zkladem pro teorii Lebesgueova4 integrlu, axio-matickou teorii pravdpodobnosti a objevuje se v ad oblast aplikac matematickanalzy (nap. dynamick systmy, globln analza, diferenciln rovnice).Funkce splujc podmnku podmnka iii. se objevuj i mimo matematiku ve fyzicese asto pracuje s funkc, kter oblasti piad jej hmotnost.

Vzhledem k naznaen rznorodosti pouit teorie mry nen vhodn se pi je-jm budovn omezit na konkrtn ppad mry. Vyjdme proto z toho, e je dnaabstraktn mnoina X, kterou nebudeme nijak konkretizovat, ponvad v rznchaplikacch nabv X zcela odlinch forem. Nap. X me bt reln pmka R,pouh interval [0, 1], mnoina sel celch Z := {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}, pirozenchN := {1, 2, 3, . . .}, rovina R2, Rn, i jin podstatn komplikovanj mnoina.

Definice 2.1 Nech X je neprzdn mnoina. Systm A podmnoin mnoiny Xse nazv -algebra na X, m-li tyto vlastnosti:(SA1) X A ,(SA2) A A = X \ A A ,(SA3) An A , pro n N =

nNAn A .

Plat-li namsto (SA3) pouze slab vlastnost A,B A = A B A , nazvse A algebra. Nkdy nelze zaruit, e zkouman systm obsahuje zkladn mnoinuX. Potom je vhodn pracovat s okruhem, tj. systmem A splujcm vlastnosti:(O1) A,B A = A \B A ,(O2) A,B A = A B A .Okruh kter je uzaven vzhledem k spoetnmu sjednocen se nazv -okruh.

Pklad 2.11. Nech A = 2X , pak A je -algebra.

2. Nech A = {, X}, pak A je -algebra.

3. Nech X = N a A = {,N, {1, 3, 5, . . .}, {2, 4, 6, . . .}}, pak A je -algebra.

4. Nech X = [a, b) R je pevn zvolen interval. Potom systm vech konenchsjednocen jeho subinterval [, ) [a, b) je algebra.

5. Nech X je nespoetn mnoina aA := {A X : A je nejve spoetn, nebo (X \ A) je nejve spoetn)},pak A je -algebra.

4Henri Lon Lebesgue, narozen: 28. ervence 1875 Beauvais, Oise, Picardie, France, zemel: 26.ervence 1941 Paris, France; teorie mry a integrace, teorie potencilu, topologie.


Problm 2.2 Dokate, e systm vech otevench interval (a, b) na R nen -algebra.

Problm 2.3 Pro nemus obecn platit tvrzen:Nech A je systm vech otevench podmnoin topologickho prostoru X. Pak Anen -algebra.

Lemma 2.1 Bu A -algebra na mnoin X. Potom plat1) A ,2) A1, A2, . . ., An A = A1 . . . An A ,3) A1, A2, . . ., An A = A1 . . . An A ,4) A1, A2, . . ., An. . . A =

nN An A ,5) A,B A = A \B A .Dkaz :

1) Podle (SA1) je X A , podle (SA2) = X \X A .2) Ponvad podle 1) A , t A1 . . .An = A1 . . .An . . . . . . A .4) Ponvad pro kad n N je An A , je t (SA2) X \An A a tedy i (SA3)

nNAn = X \(

X \nN An)

= X \nN (X \ An) A .3) Podle ji dokzan vlastnosti 4) A1. . .An = A1. . .AnX. . .X. . . A .5) Plat A \B = A (X \B), podle (SA2) je X \B A , tedy uitm ji dokzanvlastnosti 3) t A \B A .

Poznmka 2.1Vimnme si, e jsou-li A a B dv -algebry na X, t jejich prnik je -algebrana X, to plat obecnji.

Lemma 2.2 Nech A je -algebra na X pro kad I. Pak t systm

I A

je -algebra na X.

Dkaz : Ovme platnost axiom (SA1), (SA2) a (SA3).(SA1): Pro kad I je X A, tud X

I A a systm

I A jeneprzdn.(SA2): Je-li A I A, potom pro kad I je A A tedy i X \ A A,odtud X \ A I A.(SA3): Je-li An

I A pro n N, je pro kad I An A, tud pro kad I t nNAn A a tedy i

nN An

I A.

Nech S je libovoln systm podmnoin mnoiny X. Uvame systm vech -algeberna X, kter obsahuj S ; tento systm je neprzdn, ponvad obsahuje nap. -algebru 2X . Z lemmatu 2.2 plyne, e prnik vech -algeber obsahujcch S je tak-algebra obsahujc S . Tato -algebra, kterou ozname jako S, se nazv -algebra generovan systmem S . Zejm S spluje nsledujc podmnky:1) S S,2) je-li A libovoln -algebra na X takov, e S A , potom S A .


Pozor, S je definovna nekonstruktivn. Je-li toti M systm vech -algeber ob-sahujcch S , potom jsme S zavedli jako

S =

A M

A , (2.1)

ovem S se vyskytuje na obou stranch vztahu (2.1) (pro), zejmna tedy zna-mnko = nelze nahradit znamnkem :=, na co je teba dt pozor pi een pro-blm.

Pklad 2.2Nech X je spoetn mnoina, pak systm A := {A X : A je spoetn nebo X \Aje spoetn} je -algebra generovan systmem S vech konench podmnoin X.

Problm 2.4 Nech A je neprzdn podmnoina X. Ukate, e A := {X, , A,X \A} je nejmen -algebra obsahujc A.

Definice 2.2 Nech X je metrick prostor. -algebra B (resp. BX) na X gene-rovan systmem vech otevench podmnoin X se nazv Borelova algebra ajej prvky se nazvaj borelovskmi mnoinami prostoru X.

Borelova5 algebra B obsahuje oteven mnoiny, uzaven mnoiny, spoetn pr-niky otevench mnoin, spoetn sjednocen uzavench mnoin, atd. Mnoinu,kter je spoetnm prnikem otevench mnoin, nazvme mnoinou typu G,mnoinu, kter je spoetnm sjednocenm uzavench mnoin nazvme mnoinoutypu F. Podobn6 se dle zavd mnoinov typy G, F, G . . .

Pklad 2.3Je-li S := {(a, b) : a < b} systm vech otevench interval na R, potom BR = S.Tedy Borelova algebra na R je generovna systmem vech otevench interval.Vskutku, kad oteven interval je jako oteven mnoina obsaen v BR, tedyS BR. Naopak, kad oteven podmnoina R je nejve spoetnm sjednoce-nm otevench interval, tedy BR S.

Problm 2.5 Dokate, e Borelova algebra B na R je generovan t vemi uzave-nmi intervaly typu [a, b].

Zatmco v prvnm kroku jsme z mnoiny X vybrali vhodn systm podmnoin -algebru, nyn na tto -algebe sestrojme mnoinovou funkci mru, kter budeabstrakc naich pedstav o dlce, ploe, objemu. . . . Bude tedy pirozen pedpo-kldat jej nezpornost, aditivitu a to, e bude przdn mnoin piazovat 0. Proopravdu dobrou teorii budeme potebovat pouze nepatrn vc.

Ped vlastn definic si pipomeme, e mnoinovou funkc na systmu S pod-mnoin mnoiny X budeme rozumt zobrazen systmu S do R. Zejmna tedyme mnoinov funkce nabvat i hodnot a +. V ppad, e nevlastnch5Flix douard Justin mile Borel, narozen: 7. ledna 1871 Saint Affrique, Aveyron, Midi-

Pyrnes, France, zemel: 3. nora 1956 Paris, France; teorie funkc reln promnn, teorie her.6 (z nm. Durchschnitt) odpovd prniku, (z nm. Summe) odpovd sjednocen.


hodnot a + mnoinov funkce nenabv, budeme ji nazvat konenou mno-inovou funkc.

Definice 2.3 Nech X je neprzdn mnoina.Mrou na X rozumme mnoinovoufunkci definovanou na njak -algebe A na X, kter m nsledujc vlastnosti(M1) A A = 0 (A) +,(M2) () = 0,(M3) An A pro n N a An jsou po dvou disjunktn =

(

nNAn)

=

n1 (An).slo (A) nazvme mrou mnoiny A. Mnoiny, kter pat do -algebry A senazvaj miteln , pesnji -miteln . Uspodan dvojice (X,A ) se nazvmiteln prostor .

Poznmka 2.21. Vlastnost (M3) se nazv spoetn aditivita, nebo -aditivita mry .

2. Prvky mitelnho prostoru jsou miteln mnoiny.

Poznmka 2.3Je zejm, e mru lze definovat i na algebe nebo okruhu A . Ovem vlastnost (M3)m smysl pouze tehdy, kdy

n1An A .

Pklad 2.4Uveme si nkolik pklad mry:

1. Triviln mra: pro libovolnou neprzdnou mnoinu X a jej libovolnou -algebru polome (A) 0.

2.

(A) ={

0 pro A = ,+ pro A X,A 6= .

3. Diracova7 mra : pro libovolnou neprzdnou mnoinu X a pevn zvolen prvekx X polome

x(A) ={

1 pro x A,0 pro x 6 A.

4. Aritmetick mra, t potac mra: pro libovolnou neprzdnou mnoinu X ajej libovolnou -algebru polome (A) := #A

(A) =

{

cardA, je-li poet len A konen,+, je-li A nekonen.

5. Lebesgueova mra na R: pro X = R uvame Borelovu algebru BR. Lze ukzat,(viz. str. 27), e existuje jedin mra definovan na BR tak, e pro kadoteven interval (a, b) je jeho mra rovna jeho dlce ((a, b)) = b a.

7Paul Adrien Maurice Dirac, narozen: 8. srpna 1902 Bristol, Gloucestershire, England, zemel:20. jna 1984 in Tallahassee, Florida, USA; matematik, fyzik.


6. Lebesgue-Stieltjesova8 mra na R: pro X = R uvame Borelovu algebru BR aspojitou neklesajc funkci f . Lze ukzat, e existuje jedin mra f definovanna BR tak, e pro kad oteven interval (a, b) je f ((a, b)) = f(b) f(a).

Nech A je -algebra na X. Mra na A se nazv

konen, jestlie (X) < +,

-konen, jestlie existuj mnoiny A1, A2, . . . A takov, e (An) < +,n N a X = nN An,

pravdpodobnostn, jestlie (X) = 1.Vtina mr se ktermi se lze setkat jsou mry -konen. Pokud mra nen -konen, m zpravidla njak patologick vlastnosti. Nsledujc lemma popisujezkladn vlastnosti mry, kter budeme dle soustavn pouvat.

Lemma 2.3 Nech je mra na -algebe A na X. Potom plat:1) A,B A , A B = = (A B) = (A) + (B), (aditivita)2) A,B A = (A B) (A) + (B), (subaditivita)3) A,B A , A B = (A) (B), (monotonie)4) A,B A , A B, (A) < + = (B \ A) = (B) (A), (subtraktivita)5) An A , n = 1, 2, . . . =

(

n1An)

nN (An). (-subaditivita)Dkaz : 1) Nech A B = , potom (A B) = (A B . . .) =

(A) + (B) +

n1 () = (A) + (B).3) Je-li A B, potom B = (B \ A) A, kde mnoiny B \ A a A jsou disjunktn,tedy (B) = ((B \ A) A) = (B \ A) + (A) (A).2) (A B) = (A (B \ A)) = (A) + (B \ A) (A) + (B).4) (B) = ((B \ A) A) = (B \ A) + (A), ponvad je slo (A) konen, lzeje od obou stran pedel rovnosti odest (B \ A) = (B) (A).5) Definujme systm B := {Bi : i = 1, 2, . . .} takto

B1 := A1,

B2 := A2 \ A1,B3 := A3 \ (A1 A2),

. . .

Bn := An \ (A1 . . . An1),. . .

Potom B je systm po dvou disjunktnch mitelnch mnoin, B A , nNBn =

nNAn a (Bn) (An). Odtud

(

nN

An

)

=

(

nN

Bn

)

=

n1

(Bn)

n1

(An).

8Thomas Jan Stieltjes, narozen: 29. prosince 1856 Zwolle, Overijssel, The Netherlands, zemel:31 Dec 1894 in Toulouse, France; analza, etzov zlomky, teorie sel.


Problm 2.6 Ovte, e vlastnosti 3) a 4) z lemmatu 2.3 lze zapsat strunji jako

A,B A , A B = (B) (A) + (B \ A).

Pomrn zvanou vlastnost mry je jej polospojitost .

Vta 2.1 Nech je mra na -algebe A . Potom plat:

1. An A , A1 A2 . . ., = limn (An) = (

nN An)(polospojitost mry zdola),

2. An A , A1 A2 . . ., (A1) < +, = limn (An) = (

nN An)(polospojitost mry shora).

Dkaz : 1) Polome B1 := A1, B2 := A2\A1, B3 := A3\A2,. . . Bn := An\An1,. . .Potom mnoiny Bn jsou miteln, po dvou disjunktn a An = B1 B2 . . . Bn.Odtud

nNAn =

nNBn a tedy ze -aditivity mry

(

nN

An

)

=

(

nN

Bn

)

=

n=1

(Bn)

= limm

m

n=1

(Bn) = limm

(

m

n=1

Bn

)

= limm

(Am).

2) Polome Bn := A1 \ An, pro n = 1, 2, . . . Potom mnoiny Bn jsou miteln aB1 B2 . . ., take podle pedel sti dkazu

(

nNBn)

= limn (Bn).Uitm lemmatu 2.3 (subtraktivita mry) dostaneme (Bn) = (A1) (An).Ovem je

nNBn =

nN(A1 \ An) = A1 \

nN An, tud podle lemmatu 2.3(subtraktivita mry) je

(

nN

Bn

)

= (A1) (

nN

An

)

. (2.2)

Dosazenm do lev strany (2.2) dostaneme

(A1) (

nN

An

)

=

(

nN

Bn

)

= limn

(Bn)

= limn

[(A1) (An)] = (A1) limn

(An).

Ponvad (A1) < +, lze (A1) od obou stran odest, odtud (

nN An)

=limn (An).

Poznmka 2.4Pedpoklad (A1) < + je podstatn. Uvame nap. aritmetickou mru na N anech (An) je posloupnost takov, e An := {n, n+ 1, n+ 2, . . .}. Potom A1 A2 . . ., (An) = + pro n N a (

nN An) = () = 0.


Definice 2.4 Nech (X,A ) je miteln prostor s mrou . Mnoina A X senazv mnoina mry nula, jestlie A A a (A) = 0.

Ze subaditivity mry plyne, e sjednocen nejve spoetn mnoha mnoin mrynula je mnoina mry nula.

Pklad 2.5Nech je mra na -algebe A . Pak plat

1. A,B A , (A B) = 0 = (A B) = (A) + (B).

2. An A pro n N a (Am An) = 0 pro m 6= n = (

nN An)

=

n1 (An).

Nech A je -algebra na X. Mra na A se nazv pln, jestlie kad podmnoinamry nula je miteln.

Pklad 2.61) Lebesgueova mra je -konen, ale nen konen, pozdji dokeme, e je i pln.2) Diracova mra je pln a pravdpodobnostn mra.

Z toho, co bylo eeno, je zejm, e mra je dobrou abstrakc pojmu dlka, plocha aobjem. Nkdy je vak vhodn, aby men veliina mohla nabvat i zpornch hod-not. Tak je tomu napklad v ppad elektrickho nboje. Je zejm, e odpovdajcabstrakce povede na konstrukci mnoinov funkce, kter se bude chovat analogickyjako mra a na to, e nebude pouze nezporn.

Definice 2.5 Nech X je neprzdn mnoina. Nbojem na X rozumme kone-nou mnoinovou funkci definovanou na njak -algebe A na X, kter mnsledujc vlastnosti(N1) A A = < (A) < +,(N2) () = 0,(N3) An A pro n N a An jsou po dvou disjunktn =

(

nN An)

=

nN (An).slo (A) nazvme nbojem mnoiny A.

Ponvad hodnota lev strany (N3) nezvis na poad mnoin An, je zejm, eada na prav stran (N3) mus bt absolutn konvergentn pro vechna sjednocenpo dvou disjunktnch mitelnch mnoin.

Problm 2.7 Ukate, e souet a rozdl dvou nboj je nboj.

Doplujc cvien:

1. Ukate, e existuj -algebry na X, jejich sjednocenm nen algebra.

2. Ukate, e pokud sjednocen dvou -algeber na X je algebra, pak je to zrovei -algebra.


3. Ukate, e kad nekonen -algebra je nespoetn.

4. Dokate, e Borelova algebra na R je generovna systmem vech intervaltypu (a, b] := {x R : a < x b}.

5. Dokate, e Borelova algebra na R je generovna systmem vech intervaltypu (a,+] := {x R : x > a}.

6. (Rozen Cvien 2.2) Ukate, e systm S vech konench sjednocen mno-in tvaru (, b), (a, b), (a,+], [,+] nen mnoinov algebra na R.Ukate, e -algebra B, generovan systmem S , je Borelova algebra.

7. Nech X a Y jsou dv mnoiny a f : X Y zobrazen. Dokate, e je-li Y-algebra na Y , potom {f1(B) : B Y } je -algebra na X.

8. Nech je mra na -algebe A a nech Z = {A : A X, (A) = 0}.Rozhodnte, zda Z je -algebra. Ukate, e je-li (An) posloupnost prvk Z ,potom t

nN An Z . Dokate, e je-li A Z a B A , potom i AB Z .

9. Nech 1, . . ., n jsou mry na -algebe A a a1, . . ., an jsou nezporn relnsla. Dokate, e mnoinov funkce , definovan na A jako

(A) :=n

i=1

aii(A), A A ,

je mra na -algebe A .

10. Nech je konen mra na -algebe A . Ukate, e A neme obsahovatnespoetn mnoho disjunktnch mnoin A takovch, e (A) > 0.

11. Nech je konen aditivn mra na (X,A ). Ukate, e je mra prv tehdykdy je shora spojit.

12. Nech je konen aditivn mra na (X,A ) a (X) < +. Ukate, e jemra prv tehdy kdy je zdola spojit.

13. Nech (An)n1 je posloupnost -mitelnch mnoin takov, e (

n1An)

0 libovoln, z vlastnost in-fima plyne, e ke kadmu n N existuje posloupnost (Bmn )m=1 S takov, eAn

mN Bmn a e

m=1

(Bmn ) < (An) +

2n.

Systm {Bmn : n = 1, 2, . . ., m = 1, 2, . . .} je spoetn systm mnoin z S pokrvajcmnoinu A, take

(A)

m,n=1

(Bmn ) =

n=1

(

m=1

(Bmn )

)

0 bylo libovoln mal, je i (A) n=1 (An).

Problm 3.1 Pokuste se zdvodnit, pro jsme ve vt 3.1 poloili inf() = +.

Pklad 3.21. Nech X je libovoln neprzdn mnoina a S = {}. Potom () = 0 a je-liA X libovoln neprzdn mnoina, je (A) = +. Vimnme si, e jedokonce mra.

2. Nech X je nespoetn mnoina, S je systm vech jednoprvkovch podmno-in mnoiny X a (A) = 0 pro kad A S . Potom = 0, je-li A nejvespoetn, = +, je-li A nespoetn.

Problm 3.2 Nech mnoinov funkce z vty 3.1 je i vnj mra na neprzdnmnoin X a S = 2X . Dokate, e = .

Definice 3.2 Uspodan dvojice (S , ) z vty 3.1 se nazv pokrvacm systmemna X.

Jakkoli je konstrukce vnj mry elegantn a pouiteln na libovoln podsys-tm S mnoiny X, m jeden nedostatek zaveden vnj mra nen obecnaditivn, tm spe nen obecn -aditivn.

Pklad 3.3Nech X je libovoln nespoetn mnoina. Mnoinov funkce : 2X [0,+]definovan jako

(A) :=

{

0, je-li A nejve spoetn,1, je-li A nespoetn

je vnj mra na X, avak nen mra.

Pina problmu nen ve funkci sam, jako spe ve velikosti jejho defininhooboru 2X . Vdy lze toti urit systm S 2X tak, aby S byl -algebrou na Xa byla -aditivn na S , neboli aby : S [0,+] ji byla mrou.

KAPITOLA 3. KONSTRUKCE MR 70% 22

Tato mylenka se objevila poprv v pracch C. Carathodoryho1. V dalch vtchsi proto vimneme Carathodoryho konstrukce mry.

Definice 3.3 Nech X 6= a je vnj mra na X. Mnoina A X se nazv-miteln, jestlie pro kadou mnoinu T X plat

(T ) = (T A) + (T \ A).

Voln eeno mnoina A X je -miteln, je-li natolik separovna od svho do-plku, e aditivn dl libovolnou testovac mnoinu T . Vimnte si, e podmnku-mitelnosti lze zapsat v symetrickm tvaru

(T ) = (T A) + (T AC).Pklad 3.4 a X jsou -miteln pi libovoln me .Vznam -mitelnosti objasuje nsledujc vta.

Vta 3.2 (Carathodoryho vta) Nech X 6= a je vnj mra na X. Sys-tm S vech -mitelnch mnoin je -algebrou na X a je plnou mrou naS .

Dkaz :1) Nejdve dokeme, e S je -algebra:Vlastnost (SA1): Nech mnoina T X je libovoln, potom (TX)+(T \X) =(T ) + () = (T ), tedy X S .Vlastnost (SA2): A S je -miteln prv tehdy, kdy pro kadou mnoinuT X je

(T ) = (T A) + (T (X \ A)).Tato podmnka je symetrick vzhledem k mnoinm A a X \A, tedy i X \A S .Vlastnost (SA3): Nech (Bi) je posloupnost po dvou disjunktnch -mitelnchmnoin. Ukame, e pro libovoln n je t mnoina

ni=1Bi

-miteln, tedy epro kadou mnoinu T X plat

(T ) = (

T n

i=1

Bi

)

+ (

T \n

i=1

Bi

)

.

Vzhledem k subaditivit sta ukzat, e

(T ) (

T n

i=1

Bi

)

+ (

T \n

i=1

Bi

)

. (3.1)

Ponvad (T ni=1Bi) = (ni=1(T Bi))

ni=1

(T Bi), sta ukzatdokonce jen e

(T ) n

i=1

(T Bi) + (

T \n

i=1

Bi

)

. (3.2)

1Constantin Carathodory, narozen: 13. z 1873 Berlin, Germany, zemel: 2. nora 1950 Mu-nich, Germany; varian poet, teorie mry.


To dokeme indukc. Pro n = 1 jde o tvrzen

(T ) (T B1) + (T \B1), pro kad T X,

kter triviln plat ponvad B1 je -miteln. Pedpokldejme, e (3.2) plat pron = m. Pro libovolnou testovac mnoinu T X, je i T \mi=1Bi testovac mnoinaa ponvad podle pedpokladu Bm+1 S , plat

(

T \m

i=1

Bi

)

= ((

T \m

i=1

Bi

)

Bm+1)

+ ((

T \m

i=1

Bi

)

\Bm+1)

= (T Bm+1) + (

T \m+1

i=1

Bi

)

.

(Zde bylo nutno pedpokldat, e

Bi a Bm+1 jsou po dvou disjunktn.) Odtud

(T ) m

i=1

(T Bi) +[

(

T \m

i=1

Bi

)]

=m

i=1

(T Bi) +[

(T Bm+1) + (

T \m+1

i=1

Bi

)]

=m+1

i=1

(T Bi) + (

T \m+1

i=1

Bi

)

am+1i=1 Bi je

miteln, neboli (3.2) plat pro n = m + 1. Indukc dostvmeplatnost (3.2) pro kad n. Limitnm pechodem pro n dostaneme, e

(T )

i=1

(T Bi) + (

T \

i=1

Bi

)

, (3.3)

tedy t mnoinai=1Bi je

miteln.Je-li (Ai) je libovoln posloupnost -mitelnch mnoin, sta uvit posloup-

nost (Bi):

B1 := A1,

B2 := A2 \ A1,B3 := A3 \ (A1 A2),

Bi := Ai \ (A1 . . . Ai1),

Zejm (Bi) je systm po dvou disjunktnch mnoin takov, e pro kad n N jeni=1Bi =

ni=1Ai, tedy podle (3.1) plat i

(T ) (

T n

i=1

Ai

)

+ (

T \n

i=1

Ai

)


a

nN An S . Tedy S je -algebra.2) Dokame, e |S je mra:Ponvad je vnj mra, sta dokzat -aditivitu . Bu tedy (Bn) posloupnostpo dvou disjunktnch mnoin z S . Polome T :=

nN Bn, potom z (3.3) plyne,e

(

nNBn)

i=1 (Bi). Ze subaditivity vnj mry plyne (

nNBn)

i=1 (Bi), tj. je -aditivn a je to mra na S .

3) Dokame, e mra |S je pln:Nech A S je libovoln mnoina mry nula a B A. Potom (B) (A) = 0a sta ukzat, e B S . Ovem pro libovoln T X je

(T B) + (T \B) (B) + (T \B) = 0 + (T \B) (T ),

co spolu se subaditivitou dv -mitelnost mnoiny B.

Shrme strun pedel kroky Carathodoryho konstrukce. Chceme-li na njakneprzdn mnoin X sestrojit mru, potom zvolme mnoinovou funkci , po ktertm nic nepoadujeme (pouze nezpornost a to, e () = 0) a pomoc Carath-odoryho vty 3.2 sestrojme vnj mru , jej restrikce na vhodnou -algebru S

vech -mitelnch mnoin je ji pln mra.Zde se setkvme s monm problmem -algebra S by mohla obsahovat

mlo mnoin a n pokus o sestrojen rozumnmry by tak skonil nezdarem.Tato monost opravdu me nastat.

Problm 3.3 Nech X 6= , #X 2 a je definovna na 2X jako

(A) :=

{

1 pro A 6= ,0 pro A = .

Ukate, e:1) vnj mra nen mra,2) systm vech -mitelnch mnoin je prv S = {, X}.

Pinou monho nespchu v Carathodoryho konstrukci mry je pli velklibovle ve volb vnj mry . Proto jsou vznamn podmnky, kter zajiuj,e -algebra vech -mitelnch mnoin je dostaten velk a jej prvky jsourozumn, tj. vhodn pro zkoumn dalch vlastnost nap. spojitosti. Jedna zmonost je dna nsledujc definic, kde vyadujeme, aby zkladn mnoina Xmla strukturu metrickho prostoru s metrikou d. Pipomeme, e vzdlenost dvoumnoin A,B X je na metrickm prostoru (X, d) definovna jako

dist(A,B) := inf{d(a, b) : a A, b B}.

Problm 3.4 Rozhodnte, zda je mnoinov funkce dist(A,B) metrika.

Definice 3.4 Nech X je metrick prostor a je vnj mra na X. Vnj mra

se nazv metrick vnj mra, jestlie pro kad dv mnoiny A,B X takov,e dist(A,B) > 0, plat (A B) = (A) + (B).


Vznam tto definice plyne z vty

Vta 3.3 Nech je metrick vnj mra na metrickm prostoru X. Pak kadoteven podmnoina X je -miteln.

Pedel vsledky lze interpretovat i jinak. Ne jako konstrukci mry (na obecnmmnoinovm systmu S pomoc libovoln mnoinov funkce ), ale jako pokus orozen mry definovan na pedem danm okruhu S (tady pedpokldme oS a o trochu vc) na mru definovanou na njak -algebe S obsahujcokruh S tak, aby pro A S bylo (A) = (A) (mnohem vce dostvme). V ttointerpretaci lze Carathodoryho roziovac vtu vyslovit takto:

Vta 3.4 (Carathodoryho roziovac vta) Nech X 6= a je mra naokruhu S 2X . Pak systm S vech mitelnch mnoin je -algebra obsa-hujc okruh S a restrikce vnj mry na systm S je pln mra, kter jerozen mry .

Dkaz : Krom tvrzen, e S S a e pro kadou mnoinu A S je (A) =(A), plyne ve ostatn z Carathodoryho vty 3.2.1) Nejdve ukame, e pro libovolnou mnoinu A S je (A) = (A):: Je A A . . ., tedy

(A) (A) +

n1

() = (A).

: Je-li (Bn) S libovoln posloupnost mnoin takov, e A

nNBn, potom(A) n1 (A Bn)

n1 (Bn) a

(A) inf{

n1

(Bn) : Bn S , A

nN

Bn

}

=: (A).

2) Nyn je teba ukzat, e S S . K tomu sta ukzat, e mnoina A S je-miteln:Nech tedy T X je libovoln testovac mnoina. Ponvad vdy plat (T ) (T A) + (T \ A), sta dokzat platnost opan nerovnosti

(T ) (T A) + (T \ A). (3.4)

Bu > 0 libovoln mal a nech (Bn) je posloupnost mnoin z S takov, eT nN Bn (pokud takov neexistuje, je (T ) = + a (3.4) plat triviln) a e

n1

(Bn) (T ) + .

Ponvad T A nN(Bn A) a T \ A

nN(Bn \ A), t

(T A)

n1

(Bn A), (T \ A)

n1

(Bn \ A).


Z pedelch t nerovnost dostaneme

(T A) + (T \ A)

n1

(Bn A) +

n1

(Bn \ A)

n1

[(Bn A) + (Bn \ A)] =

n1

(Bn) (T ) + .

Ponvad bylo libovoln, plat poadovan nerovnost (3.4), tj. mnoina A je -miteln, jinak eeno A S .

Tedy kad mra na okruhu (a tm spe i na algebe S ) me bt vdyrozena na mru na -algebe S obsahujc okruh (i -algebru) S . Pitomnov mra je dokonce pln, pesnji je-li A S -nulov mnoina, je kadjej podmnoina B -miteln, tj. B S (a nutn (B) = 0).Obecn nen takovto rozen mry jednoznan. V ppad -konen mry ,nap. je-li pravdpodobnostn mra, zaruuje jednoznanost rozen Hahnova2

roziovac vta. (Pro je ve formulaci vty, e S je algebra?)

Vta 3.5 (Hahnova roziovac vta) Nech je -konen mra na algebeS . Potom existuje jedin rozen mry na -algebru vech -mitelnch mno-in S .

Dkaz : To, e existuje rozen 1 mry na -algebru vech 1-mitelnch

mnoin S plyne z Carathodoryho roziovac vty 3.4, dokonce bez pedpokladu-konenosti. Ukeme, e takovto rozen je jedin. Nech tedy 2 je libovolnmra na S takov, e 2 na S .

Pedpokldejme nejdve, e mra je konenpak t ob mry 1 a 2 jsou ko-

nen (pro). Je-li A S libovoln mnoina a (Bn) libovoln posloupnost mnoinz S takov, e A nNBn, potom, ponvad 2 na S , plat

2(A) 2

(

nN

Bn

)

n1

2(Bn) =

n1

(Bn).

Tedy 2(A) 1(A) pro kad A S . Z konen aditivity mr plyne pro kadA S

1(A) + 1(X \ A) = 1(X) = (X) = 2(X) = 2(A) + 2(X \ A).

Ponvad vechny leny v tomto vrazu jsou nezporn a konen, plat 1(A) =2(A), tj. je-li konen mra, je jej rozen jednoznan.

Je-li mra -konen, uvame neklesajc posloupnost mnoin (Bn) S ta-kovou, e (Bn) < + a e X =

nN Bn. Podle pedel sti dkazu plat prolibovolnou mnoinu A S 1(A Bn) = 2(A Bn). Odtud

1(A) = limn

1(A Bn) = limn

2(A Bn) = 2(A),

2Hans Hahn, narozen: 27. z 1879 Vienna, Austria, zemel: 24. ervence 1934 Vienna, Austria;funkcionln analza, varian poet.


take opt 1(A) = 2(A) a rozen mry na S

je jednoznan.

Zamysleme se nad situac na reln ose R. Zvolme za vchoz systm S systmvech konench sjednocen interval typu [, b), [a, b), [a,+), (,+). JistS nen -algebra, je to vak algebra (ovte). Jako vchoz mnoinovou funkci uijme dlku intervalu. (Je-li mnoina A S , potom ji lze vyjdit jako A =ni=1[ai, bi), kde vechny intervaly [ai, bi) jsou po dvou disjunktn, tedy (A) =

ni=1(bi ai).) Carathodoryho roziovac vta 3.4 zaruuje existenci jist vnj

mry takov, e systm L vech -mitelnch mnoin je -algebrou na R a je plnou mrou na L.Restrikci vnj mry na -algebru L nazvme Lebesgueovou mrou a budeme jiznait . Ponvad -algebra L obsahuje algebru S , obsahuje i vechny otevenmnoiny na R, tedy obsahuje i Borelovu algebru B. Restrikce Lebesgueovy mryna B se nazv Borelovou mrou. Pirozenou otzkou je nyn, zda neplat dokonce,e B = L neboli zda vechny lebesgueovsky miteln mnoiny jsou t borelovskymiteln. Tuto otzku (pedmt sporu mezi Lebesguem a Borelem), rozeil v r. 1914Suslin konstrukc pkladu lebesgueovsky miteln mnoiny, kter nebyla borelovskymiteln. Tento vznamn vsledek formulujme ve form vty:

Vta 3.6 Existuje lebesgueovsky miteln mnoina, kter nen borelovsky mi-teln.

Omezen na borelovsky miteln mnoiny znamen jist oslaben budovan teorieintegrace. Lze ukzat, e kad lebesgueovsky miteln mnoina A je obsaena vnjak borelovsk mnoin B te (Lebesgueovy) mry, tj. (A \B) = 0.

Poznamenejme, e ne kad podmnoina R je lebesgueovsky miteln. Prvnpklad lebesgueovsky nemiteln mnoiny sestrojil Vitali3. Konstrukce takovtomnoiny je netriviln a jak dokzal a r. 1970 Solovay, nutn uv axiomu vbru.

Doplujc cvien:

1. Nech X 6= a 1, 2 jsou dv vnj mry definovan na 2X . Ukate, e tjejich souet je vnj mra na 2X .

2. Rozhodnte, zda pedel doplujc cvien plat i pro mru.

3. Nech je vnj mra na X a (Ai)i=1 je posloupnost po dvou disjunktnch,-mitelnch mnoin. Potom pro kadou mnoinu A X je

(

A

i=1

Ai

)

=

i=1

(A Ai).

4. Dokate, e Lebesgueova mra kad nejve spoetn mnoiny na R je rovnanule.

3Giuseppe Vitali, narozen: 26. srpna 1875 Ravenna, Italy, zemel: 29. nora 1932 Bologna, Italy;teorie mry, teorie funkc.


5. Dokate, e je-li mnoina G R oteven, potom jej Lebesgueova mra(G) > 0 prv tehdy, kdy G 6= .

6. Dokate, e je-li mnoina K R kompaktn, potom jej Lebesgueova mra(K) < +.

7. Nech In := [n, n + 1) pro n = 0,1,2, . . .. Rozhodnte, zda existuje lebe-sgueovsky miteln mnoina A R konen mry ((A) < +) takov, eA In 6= pro vechna n.

8. Nech mnoina A R je lebesgueovsky miteln. Ukate, e k libovolnmalmu > 0 existuje oteven mnoina G A takov, e (A) (G) (A) + .

9. Nech mnoina B R je lebesgueovsky miteln a takov, e B In1 . . . Inm , kde In := [n, n + 1). Ukate, e k libovoln malmu > 0 existujekompaktn mnoina K B takov, e (K) (B) (K) + .

Kapitola 4

Lebesgueova mra v Rn 65%

Doposud jsme se zabvali abstraktn teori mry. Jinak eeno, zmrn jsme zapo-mnli na vechny takov vlastnosti zkladn mnoiny X, -algebry A , resp. mry kter nejsou pro mru podstatn. Vhodou takto budovan teorie je jej vestrannpouitelnost. Cenou, kterou za vy stupe abstrakce platme, je to, e nm stlechyb netriviln pklady mr.

Situaci napravme v tto kapitole, kde si ukeme pklad konstrukce dleitmry na Rn mry Lebesgueovy. Poznamenejme, e existuj dal, stejn vznamnmry na Rn, nap. mra Hausdorffova.

K tomu, abychom na Rn sestrojili mru, sta zvolit okruh S , na kterm jedefinovna njak mra a provst Carathodoryho konstrukci mry.

Nech S je systm mnoin, kter vedle przdn mnoiny obsahuje vechny po-looteven buky Rn, tj. mnoiny tvaru

B :={

(x1, . . ., xn) Rn : a1 x1 < b1, . . ., an xn < bn}

, (4.1)

kde a1, . . ., an, b1, . . ., bn R a vechna konen disjunktn sjednocen bunk.V pedel definici je podstatn to, e sla ai, bi jsou konen, naproti tomu

nerovnosti v (4.1) podstatn nejsou. Vechna nsledujc tvrzen by bylo monodokzat, pokud by systm S byl tvoen otevenmi bukami (vechny uvaovannerovnosti by byly ostr), uzavenmi bukami apod.Zejm kad buka je interval. Opak neplatnap. intervaly [, 1) nebo (0,+)nejsou buky.

Problm 4.1 Ovte, e S je okruh a e -algebra S generovan S obsahujevechny borelovsk mnoiny.

Pro kadou buku B tvaru (4.1) lze definovat jej n-rozmrn objem

vol(B) := (b1 a1)(b2 a2). . .(bn an).Pitom klademe vol() = 0.

Kadou mnoinu A S lze vyjdit jako disjunktn sjednocen konenho potubunk A = B1 . . . Bm. Polome

vol(A) :=m

i=1

vol(Bi).

29

KAPITOLA 4. LEBESGUEOVA MRA V RN 65% 30

Aby tato definice byla korektn, je teba ukzat, e hodnota vol(A) nezvis na kon-krtnm rozkladu A na buky. To je sice intuitivn zejm, nicmn docela pracn,je-li to teba udlat formln pesn. Pokuste se to dokzat alespo v R2.

Lemma 4.1 Funkce vol je -konen mra na okruhu S .

Dkaz : Sta dokzat, e vol je na okruhu S -konen a -aditivn.

1. vol je -konen:Polome Bi := [i, i) . . . [i, i). Potom Bi S , vol(Bi) = (2i)n < + aRn =

iNBi.

2. vol je -aditivn:Funkce vol je zejm aditivn a monotonn. Uvame libovolnou posloupnostmnoin (Ai)i=1 z S takovou, e A1 A2 . . . a e

iN Ai = . Ponvadfunkce vol je monotonn, seln posloupnost (vol(Ai)i=1) je nerostouc a zdolaohranien, tedy konvergentn. Ukame, e limi vol(Ai) = 0. Pedpokl-dejme naopak, e := limi vol(Ai) > 0.

Nech (Bi)i=1 je takov posloupnost mnoin z S , e

cl(Bi) Ai a e vol(Ai) vol(Bi)

2i.

Takovto posloupnost vdy existuje je-li nap. Ai sjednocenm bunk typu[a1, b1) . . . [an, bn), pak Bi je tvoena odpovdajcm sjednocenm bunktypu [a1 + , b1 ) . . . [an + , bn ) s dostaten malm .Polome Ci := B1 . . .Bi, potom jist cl(Ci) Ai, C1 C2 . . ., cl(C1) cl(C2) . . . a

iN cl(Ci)

iN Ai. Indukc ukeme, e

vol(Ci) vol(Ai) +

2i. (4.2)

Pro i = 1 je to zejm, proto pedpokldejme, e (4.2) plat pro i = 1, 2, . . ., k.Potom

vol(Ck+1) = vol(Ck) + vol(Bk+1) vol(Ck Bk+1)

(

vol(Ak) +

2k

)

+

(

vol(Ak+1)

2k+1

)

vol(Ak)

= vol(Ak+1) +

2k+1,

co znamen, e (4.2) plat pro libovoln i N. Zejmna tedy cl(Ci) Ci 6= .Ponvad jsou mnoiny cl(Ci) kompaktn, je jejich prnik neprzdn, tm spet

iN Ai 6= , co je spor.Tedy limi (Ai) = 0 a to znamen, e vol je -aditivn.


Problm 4.2 Nech je nezporn, konen aditivn funkce na -algebe A , () =0 takov, e je-li (An) libovoln posloupnost prvk z A pro kterou

n1An = ,potom limn (An) = 0.Dokate, e je mra na -algebe A .

Podle vty 3.1 je funkce definovan na 2Rn

jako

(A) := inf

{

i=1

vol(Bi), Bi S , A

iN

}

vnj mra, kter se v tomto ppad nazv vnj Lebesgueova mra. Navc podleCarathodoryho roziovac vty 3.4 existuje rozen mry vol definovan na okruhuS na mru definovanou na -algebe L vech mitelnch mnoin.

Definice 4.1 Mra := |L se nazv Lebesgueova mra na Rn (t n-rozmrnLebesgueova mra) a -algebra L se nazv -algebra lebesgueovsky mitelnchmnoin.

Poznmka 4.11) Pro libovolnou buku B Rn plat (B) = vol(B).2) Lebesgueova mra je metrick.

Ponvad S L, sestrojen -algebra lebesgueovsky mitelnch mnoin L obsa-huje vechny borelovsk mnoiny v Rn. Zejmna tedy L obsahuje vechny otevenmnoiny, uzaven mnoiny, mnoiny typu F a G. To znamen, e plat nsledujcvta.

Vta 4.1 Kad borelovsk mnoina v Rn je lebesgueovsky miteln.

Pklad 4.1Nech f : [a, b] [0,+) je spojit nezporn funkce. Potom mnoina

A :={

(x, y) R2 : a x b, 0 y f(x)}

je lebesgueovsky miteln a (A) = (R) b

af(x) dx, kde na prav stran je Rieman-

nv integrl.

Dkaz : Funkce f je na intervalu [a, b] spojit, tedy je zde spojit stejnomrn. Toznamen, e ke kadmu > 0 existuje = () > 0 takov, e jsou-li x1, x2 [a, b]takov, e |x1 x2| < , potom |f(x1) f(x2)| < . Pro libovoln dlen D : a =x0 < x1 < . . . < xn = b intervalu [a, b] definujme pro i = 1, . . ., n

mi := min {f(x) : xi1 x xi} , Mi := max {f(x) : xi1 x xi} .

Je-li D < , potom mi Mi mi + . Uvame funkci

g(x) :={

mi pro xi1 x < ximn pro x = xn.


Jist pro libovoln x [a, b] je g(x) f(x) g(x) + a plat b

a

g(x) dx =n

i=1

mi(xixi1) (A) n

i=1

(mi+)(xixi1) = b

a

g(x) dx+(ba).

Potom

b

a

f(x) dx (A)

b

a

f(x) dx b

a

g(x) dx

+

b

a

g(x) dx (A)

b

a

|f(x) g(x)| dx+ (b a)

2(b a).

Ponvad > 0 bylo libovoln mal, plat poadovan rovnost.Vimnme si zkladnch vlastnost Lebesgueovy mry.

Vta 4.2 Lebesgueova mra v Rn je pln a -konen.

Dkaz : Prvn st tvrzen plyne z Carathodoryho vty 3.2, druh z toho, e Rn

lze vyjdit jako spoetn sjednocen bunk.Lebesgueovsky miteln mnoiny lze charakterizovat adou vlastnost. Shrnut

podstatnho obsahuje nsledujc vta.

Vta 4.3 Nech A Rn, pak jsou ekvivalentn tato tvrzen:

1. Mnoina A je lebesgueovsky miteln.

2. Pro kad > 0 existuje oteven mnoina G Rn takov, e A G a(G \ A) < .

3. Pro kad > 0 existuje uzaven mnoina F Rn takov, e F A a(A \ F ) < .

4. Existuje mnoina H Rn typu G a mnoina Z Rn mry nula takov, eA = H \ Z.

5. Existuje mnoina K Rn typu F a mnoina Z Rn mry nula takov, eA = K Z.

Dkaz :1) 1) = 2):Nech A je lebesgueovsky miteln. Pedpokldejme nejdve, e (A) < +. Klibovolnmu > 0 existuje posloupnost otevench bunk (Ik) takov, e

A

kN

Ik,

(

kN

Ik

)

< (A) + .


Ozname-li G :=

kN Ik, pak G je oteven a A G, tedy (tady potebujeme aby(A) < +)

(G \ A) = (G) (A) < ((A) + ) (A) = .Je-li A libovoln lebesgueovsky miteln mnoina, pak ze -konenosti Lebes-gueovy mry plyne existence posloupnosti (Ai) mnoin konen mry takov, eA =

kNAk. Ke kad mnoin Ai i = 1, 2, . . . existuje, podle ji dokzanho,oteven mnoina Gi takov, e Ai Gi a (A \Gi) < 2i . Polome G :=

iN Gi.Potom je G oteven, A G a

G \ A =

iN

Gi \

jN

Aj =

iN

(

Gi \

jN

Aj

)

=

iN

jN

(Gi \ Aj)

iN

(Gi \ Ai) ,

co s pihldnutm k ji dokzanmu dv

(G \ A) = (

iN

(Gi \ Ai))

i=1

(Gi \ Ai) 0 pak existuje oteven mnoina G tak, e Rn \ A G a(G\(Rn \A)) < . Polome F := Rn \G, pak F je uzaven, Rn\A G = Rn \F ,tj. F A, a protoe

A \ F = A (Rn \ F ) = A G = G (Rn \ (Rn \ A)) = G \ (Rn \ A),je (A \ F ) = (G \ (Rn \ A)) < .5) 3) = 5):Plat-li (3), potom pro kad i N existuje uzaven mnoina Fi takov, e Fi A,(A \ Fi) < 1i . Polome K :=

jN Fj. Pak K je typu F a K A. Polome jetZ := A \K, potom Z = A \jN Fj A \ Fi pro i = 1, 2, . . . a z monotonie vnjmry plyne, e pro kad i plat

(Z) = (

A \

jN

Fj

)

(A \ Fi) 0 je libovoln. Z vlastnosti infimaplyne existence posloupnosti bunk (Bi)i=1 S takov, e

i1

vol(Bi) (A) + .

Je zejm, e kadou buku Bi tto posloupnosti lze nahradit otevenou bukouGi Rn takovou, e Bi Gi a (Gi) < (Bi) + 2i . Polome G :=

i1Gi. PotomG je oteven A G a

(A) (G)

i1

(Gi)

i1

(

(Bi) +

2i

)

(A) + 2.

2) Pedpokldejme nejdve, e A je omezen, tedy existuje r tak velik, e A jeobsaena v buce Br := [r, r) [r, r) . . . [r, r). Z ji dokzan sti plyne, e(cl(Br)\A) = inf{(G)}, kde infimum se bere ze vech otevench mnoin G Rntakovch, e (cl(Br) \ A) G. Pro kad takov G je mnoina V := cl(Br) Goteven v cl(Br), V cl(Br) \ A a tedy

(cl(Br) \ A) = inf{(V ) : V je oteven v cl(Br), (cl(Br) \ A) V }.

Mnoina F := cl(Br) \ V A je omezen a uzaven, tedy kompaktn. Ponvad zaditivity mry plyne (cl(Br)) = (A)+(cl(Br)\A), dostaneme uitm subtraktivitymry

(A) = (cl(Br)) inf((V )) = (cl(B)) [(cl(Br)) sup{(F )}] .

Tm je tvrzen dokzno v ppad omezen mnoiny A. V obecnm ppad sta uttoho, e Rn =

i=1Bi. Potom z polospojitosti mry zdola plyne (A) = limi (A

Bi).

Vta 4.4 (Invariance Lebesgueovy mry vzhledem k translaci) Nech a Rn a mnoina A Rn je lebesgueovsky miteln. Potom t mnoina A + a :={x+ a : x A} je lebesgueovsky miteln a (A+ a) = (A).


Dkaz : Je zejm, e pro kadou buku B plat

(B + a) = vol(B + a) = vol(B) = (B).

To znamena, e to plat pro vechny prvky okruhu S . Tedy pro libovolnou mnoimuA Rn plat

(A + a) = (A).

Je-li mnoina A lebesgueovsky miteln, potom podle vty 4.3 je A = KZ, kde Kje borelovsk a Z je mnoina mry nula. Ponvad translace je homeomorfismus, jet mnoina K + c borelovsk. To, e Z je mnoina mry nula je ekvivalentn s tm,e ke kadmu > 0 existuje posloupnost bunk (Bi)i1 takov, e C

i1Bia e

i1 vol(Bi) < . Je zejm, e t Z + a je mnoina mry nula. PonvadA+ a = (K + a) (Z + a), je t A+ a lebesgueovsky miteln neboli

(A+ a) = (A+ a) = (A) = (A).

Problm 4.3 Dokate, e translace mnoiny Lebesgueovy mry nula je opt mnoinaLebesgueovy mry nula.

Problm 4.4 Nech B je borelovsk mnoina v Rn a f : B Rn Rn je spojitfunkce. Ukate, e pro libovolnou borelovskou mnoinu A Rn je jej vzor f1(A)borelovsk mnoina v Rn.

Problm 4.5 Dokate, e homeomorfismus transformuje borelovsk mnoiny na bo-relovsk mnoiny.

Vta 4.5 (Invariance Lebesgueovy mry vzhledem k rotaci) Nech mno-ina A Rn je lebesgueovsky miteln a R : Rn Rn je ortogonln transfor-mace. Potom t mnoina R(A) je lebesgueovsky miteln a (A) = (R(A)).

Dkaz : Tato vta je zejmm dsledkem vty 4.6. Sta si jen uvdomit, e or-togonln transformace je reprezentovna ortogonln matic.

Vta 4.6 Nech mnoina A Rn je lebesgueovsky miteln a T : Rn Rn jelinern zobrazen. Potom t mnoina T (A) je lebesgueovsky miteln a

(T (A)) = | detT |(A).(Kde detT je determinant matice reprezentujc zobrazen T .)

Pklad 4.2Nech a1, a2, . . ., an Rn a aj = (a1j , . . ., anj). Potom objem rovnobnostnu

A := {t1a1 + + tnan : 0 ti 1, i = 1, . . ., n}

je vol(A) = (A) = | det(aij)|.


Doplujc cvien:

1. Nech B je buka v Rn. Ukate, e nsledujc vlastnosti jsou ekvivalentn.

(a) vol(B) = 0,

(b) int(B) = .

2. Mnoina vech racionlnch sel Q je spoetn, lze si ji tedy pedstavit jakoposloupnost Q = {q1, q2, q3, . . .}. Pro libovoln i = 1, 2, 3, . . . je oteven inter-val(

qi 122+i , qi + 122+i)

okolm racionlnho sla qi. Ponvad mnoina vechracionlnch sel je hust v R, je R i=1

(

qi 122+i , qi + 122+i)

a tedy

(R) (

i=1

(

qi 1

22+i, qi +

122+i

)

)

i=1

(

qi 1

22+i, qi +

122+i

)

=

i=1

222+i

=12

i=0

(

12

)i

= 1.

Tedy + = (R) = 1. Nebo ne?

3. Nech Z Rn je mnoina Lebesgueovy mry nula. Ukate, e existuje bore-lovsk mnoina B takov, e (B) = 0 a B N . Ukate, e B lze vybrat tak,aby byla typu G.

4. Uvete pklad lebesgueovsky miteln mnoiny A na R takov, e (A) > 0a e int(A) = .

5. Uvete pklad lebesgueovsky miteln mnoiny A na R takov, e A [0, 1]je uzaven, (A) > 0 a e int(A) = .

6. Rozhodnte, zda existuje lebesgueovsky miteln mnoina A na R takov, eA [0, 1] je uzaven, (A) = 1 a e int(A) = .

7. Dokate, e pro kad linern zobrazen T : Rn Rn existuje prv jedinmatice T du n takov, e pro kad x Rn plat

T (x) = Tx.

8. Nech F : Rn Rn a G : Rn Rn jsou linern zobrazen s odpovdajcmimaticemi F a G. Ukate, e jejich kompozice F G : Rn Rn je opt linernzobrazen, kter je ureno matic FG.

9. Dokate, e pro libovoln pevn a R je ({a} Rn) = 0.


10. Spotte technikou uitou v pkladu 4.1 Lebesgueovu mru mnoiny , kde

:={

(x, y) R2 :(x

a

)2

+(y

b

)2

1, a > 0, b > 0}

.

Nartnte.

Kapitola 5

Miteln funkce 70%

Ukzali jsme, jak lze vybudovat dostaten bohatou teorii mry. Pekvapivm zji-tnm bylo, e pi rozumnch poadavcch na vlastnosti mry nelze oekvat mitel-nost kad mnoiny. S podobnm jevem se setkme i pi tvorb teorie Lebesgueovaintegrlu, kdy se uke, e tda funkc je pli irok na to, aby bylo mono vytvo-it rozumnou teorii integrace, kter by obshla vechny funkce. Vymezen smysluplntdy je vnovna tato kapitola.

V cel kapitole budeme pedpokldat, e je dna neprzdn mnoina X s -algebrou M podmnoin mnoiny X. Pipomeme, e mitelnm prostorem rozu-mme uspodanou dvojici (X,M ), prvky mitelnho prostoru, tj. prvky -algebryM , nazvme miteln mnoiny. Pokud budeme vdt, e pracujeme pouze s jed-nou danou -algebrou na X, budeme strunji mluvit o mitelnm prostoru X (tak,jak je dobrm zvykem v teorii metrickch a topologickch prostor).Relnou funkc na mitelnm prostoru X rozumme zobrazen f : A X

[,+]. Je-li f : A X (,+), nazveme f konenou relnou funkc.Pokud nebude vslovn uvedeno jinak, budeme pedpokldat, e f je definovna nacelm X.

Definice 5.1 Nech (X,M ) je miteln prostor a f je reln funkce definovanna miteln mnoin A. Funkce f se nazv miteln, jestlie pro kadou ote-venou mnoinu G [,+] je mnoina f1(G) miteln.

Pmo z definice plyne

Pklad 5.11. Je-li M = 2X , je kad reln funkce miteln.

2. Je-li f c konstantn funkce, potom pro libovolnou otevenou mnoinu G [,+] je f1(G) =

{

, je-li c 6 GX, je-li c G a f je miteln.

3. Je-li M = {, X}, pak reln funkce f na X je miteln prv tehdy, kdyje konstantn.

38

KAPITOLA 5. MITELN FUNKCE 70% 39

Je-li X = Rn a je-li M -algebra vech lebesgueovsky mitelnch mnoin L, resp. -algebra vech borelovsky mitelnch mnoin B, mluvme o lebesgueovsky mitelnfunkci, resp. o borelovsky miteln funkci.

Problm 5.1 Nech f : R R je konen reln funkce. Ukate, e:1) Je-li f borelovsky miteln, je i lebesgueovsky miteln.2) Je-li f spojit, pak je i borelovsky miteln.

V kapitole 1 bylo v sti 1.3 uvedeno, jak vypad struktura otevench mnoin vR. Tato znalost nm dv monost odvodit uiten kritrium mitelnosti relnchfunkc.

Vta 5.1 Nech (X,M ) je miteln prostor a f je reln funkce na X definovanna miteln mnoin A. Pak f je miteln prv tehdy, kdy plat jakkoli znsledujcch podmnek:

1. pro kad a R je f1((a,+]) = {x A : f(x) > a} M ,

2. pro kad a R je f1([a,+]) = {x A : f(x) a} M ,

3. pro kad a R je f1([, a)) = {x A : f(x) < a} M ,

4. pro kad a R je f1([, a]) = {x A : f(x) a} M .

Dkaz : Vzhledem k topologii [,+] je implikace f -miteln = i) i=1,. . . ,4 triviln. Dokame platnost ostatnch implikac.1) = mitelnost:Bu R libovoln a nech (n) je posloupnost relnch sel n < takov, en pro n . Potom[, ) =

n1

[, n] =

n1

([,+] \ (n,+]) = [,+] \

n1

(n,+].

Tedy

f1([, )) = f1(

[,+] \

n1

(n,+])

= A \

n1

f1 ((n,+])

je miteln mnoina. Podobn pro , R libovoln je (, ) = [, )(,+]a f1 ((, )) = f1 ([, )) f1 ((,+]) je miteln mnoina. Ovem libo-volnou otevenou mnoinu G [,+] lze jednoznan vyjdit jako nejvespoetn sjednocen interval typu [, ), (, ), (,+]. Odtud, z toho, ef1 (

nAn) =

n f1 (An) a z toho, e M je -algebra, plyne, e f1 (G) M ,

tedy funkce f je miteln.3) = mitelnost:Dokazuje se zcela analogicky. Uvme posloupnost (n), n > , n , pron . Potom

f1((,+]) = f1(

[,+] \

n1

[, n))

= A \

n1

f1 ([, n]) M .


Ponvad (, ) = [, ) (,+] odtud

f1 ((, )) = f1 ([, )) f1 ((,+]) M

a tedy je-li G [,+] oteven, je f1(G) M .1) 2:Nech f spluje podmnku 1) a a R je libovoln, potom

f1([a,+]) = f1(

n1

(a 1n,+]

)

=

n1

f1((a 1n,+]) M

a podmnka 2) plat. Naopak pokud je podmnka 2) splnna a a R, potom

f1((a,+]) = f1(

n1

[a+1n,+]

)

=

n1

f1((a+1n,+]) M

a plat podmnka 1).3) 4 se doke zcela analogicky.

Problm 5.2 Dokate, e kad monotonn funkce f : R R je borelovsky mi-teln.

Ponvad hodnoty vraz typu + nejsou definovny, nastv problm, kdydv reln funkce f a g nabvaj v nkterm bod mnoiny U Dom(F )Dom(g)nekonench hodnot opanho znamnka a uvaujeme-li jejich souet (f + g) : U [,+]. Tento problm lze vyeit rznmi zpsoby. Jeden z nich, kter budemeuvat, je zaloen na mylence, e v problematickch bodech budeme definovat hod-notu (f + g) jako nulu.

To, e tato mylenka je dobr, plyne z nsledujcho lemmatu.

Lemma 5.1 Reln funkce f je miteln prv tehdy, kdy mnoiny M := {x X : f(x) = } a M+ := {x X : f(x) = +} nle M a konen relnfunkce f , definovan vztahem

f(x) :={

f(x) pro x 6M M+,0 pro x M M+,

je miteln.

Dkaz :1) Nech funkce f je miteln. Ponvad plat

M+ = {x X : f(x) = +} =

n1

{x X : f(x) > n} ,

M = {x X : f(x) = } = X \

n1

{x X : f(x) > n} ,


jsou ob mnoiny M a M+ miteln. Dle pro libovoln a R plat:

pokud a 0, potom {x X : f(x) > a} = {x X : f(x) > a} \M+,pokud a < 0, potom {x X : f(x) > a} = {x X : f(x) > a} M.

Tud funkce f je miteln.2) Nech naopak jsou mnoiny M a M+ miteln a f je miteln funkce, potom

pro a 0 je {x X : f(x) > a} = {x X : f(x) > a} M+,pro a < 0 je {x X : f(x) > a} = {x X : f(x) > a} \M,

tedy f je miteln.

Pklad 5.2Je-li A miteln mnoina a je-li f(x) c konstantn funkce na A, potom

f1([, a]) = {x A : f(x) a} ={

pro a < c,A pro a c ,

a tedy podle vty 5.1-4 je f miteln funkce.

Pklad 5.3Je-li A miteln mnoina, pak jej charakteristick funkce A, definovan jako

A(x) :=

{

1 pro x A,0 pro x 6 A

je miteln. Je toti {x X : A(x) > a} {, A,X} pro libovoln a R.

Pklad 5.4Nech B A M a funkce je restrikce charakteristick funkce B na mnoinuA,

(x) :=

{

1 pro x B,0 pro x 6 B, pro x A.

Potom je funkce miteln prv tehdy, kdy je miteln mnoina B. Je-li totifunkce miteln, potom B = 1((0,+]) = {x A : (x) > 0} je miteln.Je-li mnoina B miteln, potom

1([, a)) = {x A : (x) < a} =

A pro 1 < a,A \B pro 0 < a 1, pro a 0

je vdy miteln mnoina, tedy funkce je miteln.

Vta 5.2 Nech f a g jsou miteln funkce a c je reln slo. Potom t funkcecf, f 2, f + g, fg

jsou miteln.


Dkaz :1) mitelnost cf :

je-li c = 0, potom cf 0 je konstantn, tj. miteln,je-li c > 0, potom {x A : cf(x) > a} =

{

x A : f(x) > ac

}

M ,

je-li c < 0, potom {x A : cf(x) < a} ={

x A : f(x) < ac

}

M .

To znamen, e cf je miteln.2) mitelnost f 2:Plyne ihned z toho, e

{

x A : f 2(x) < a}

=

{

pro a 0,{x A : f(x) < a} {x A : f(x) > a} pro a > 0.

3) mitelnost f + g:Nech r R je libovoln. Z mitelnosti f a g plyne mitelnost mnoiny

Mr := {x X : f(x) > r} {x X : g(x) > a r} .

Ovem{x X : (f + g)(x) > a} =

rQ

Mr,

take t funkce f + g je miteln.5) mitelnost fg:Uijeme obratu asto zvanho polarizace, kdy souin fg zapeme ve tvaru

fg =14

(f + g)2 +14

(f g)2.

Nyn z ji dokzanch st 1), 2) a 3) plyne mitelnost funkce fg.

Poznmka 5.1Zejmna kad konen linern kombinace mitelnch funkc je miteln funkce.

Uvdomte si, e v ppad f + g jsme museli pout mluvy o soutu dvou relnchfunkc a lemma 5.1. Podobn je tomu i v ppad fg.

Je-li f : U [,+] reln funkce, pak jej nezpornou st, resp. nekladnoust, rozumme reln funkce f+, f definovan jako

f+ := max{f, 0}, f := max{f, 0}.

Plat f+ 0, f 0.

Dsledek 5.1 Je-li f miteln funkce, jsou i funkce f+, f a |f | miteln.


Dkaz : Pedevm je-li miteln funkce f , je miteln i funkce |f | ponvad

{x A : |f(x)| < a} ={

pro a 0,{x A : f(x) < a} {x A : f(x) > a} pro a > 0.

Zbytek je dsledek vty 5.2, ponvad

f = f+ f, (5.1)

|f | = f+ + f, f+ = 12

(|f | + f) , f = 12

(|f | f) .

Vimnme si, e vztahu (5.1) plyne, e f je miteln prv tehdy, kdy jsou mi-teln ob funkce f+ a f.

Lemma 5.2 Je-li (fn) posloupnost mitelnch funkc, jsou i funkce inf fn, lim infn fn,sup fn a lim supn fn, miteln.

Dkaz : Ponvad pro libovoln a R je

{x X : inf fn(x) a} =

n1

{x X : fn(x) a} M ,

{x X : sup fn(x) > a} =

n1

{x X : fn(x) > a} M ,

jsou funkce inf fn a sup fn miteln.Ponvad

lim infn

fn = supi1

{

infji

fj

}

a lim supn

fn = infi1

{

supji

fj

}

,

jsou miteln i funkce lim infn fn a lim supn fn.

Problm 5.3 Nech v lemmatu 5.2 jsou jednotliv leny posloupnosti (fn) definovnyna mnoinch An M . Rozhodnte, zda je mnoina A =

nNAn vdy miteln.

Z lemmatu 5.2 ihned plyne

Vta 5.3 Nech (fn) je posloupnost mitelnch funkc konvergujcch bodov namiteln mnoin A k funkci f . Pak funkce f je miteln.

Vimnme si, e prozatm jsme v tto kapitole vystaili s mitelnm prostorem(X,M ) a znt konkrtn mru na M jsme nepotebovali. ada vznamnch tvrzenvak podstatn pojmu mry pouv. Proto m smysl zavst termn prostor s mroujako uspodanou trojici (X,M , ), kde X je neprzdn mnoina s -algebrou Ma mrou na M .

V teorii mry je zvykem pouvat nsledujc terminologii. Nech (X,M , ) jeprostor s mrou. Je-li V vlastnost, kterou bod x X me, ale nemus mt a je-li


A M , pak vrok V plat skoro vude na A, i pro skoro vechny body z Aplat V, znamen, e mnoina vech bod x A, pro kter vlastnost V neplat, mmru nula. Spojen skoro vude, skoro vechny apod. oznaujeme zkratkou s.v..Nen-li zcela jasn, k jak me se vztahuje, mru explicitn uvdme nap. -skorovude, -s.v. apod.

Vta 5.4 (Jegorovova) Nech (X,M , ) je prostor s konenou mrou a (fn) jeposloupnost konench mitelnch funkc, kter na mnoin A M konvergujeke konen funkci f .Pro kad > 0 existuje takov mnoina B A, e (B \ A) < a e na B jefn f pro n .

Dkaz : Nech > 0 je libovoln mal. Pro m,n N polome

Bm,n :=

{

x A : |fj(x) f(x)| 0 existuje index m0 takov, e 1m0 < . Tedy na Bm0,n(m0) plat, e pro kadj n(m0) je |fj(x) f(x)| < 1m0 < . Ponvad B =

m1Bm,n(m) Bm0,n(m0),plat to na B. Tedy k libovolnmu > 0 existuje n0 takov, e pro kad n n0 naB plat |fn(x) f(x)| < , co znamen, e fn f na B.

Voln eeno zmnou posloupnosti (fn) na mnoin libovoln mal mry lzezlepit bodovou konvergenci na stejnomrnou konvergenci.Vznam Jegorovovy1 vty si snad nejlpe uvdomme tehdy, kdy si vzpomeneme,jak dleitou lohu m v matematick analze stejnomrn konvergence.

Definice 5.2 Nech (X,M , ) je prostor s mrou a f, f1, f2, f3, . . . jsou konenmiteln funkce definovan na miteln mnoin A. ekneme, e posloupnost (fn)konverguje podle mry k funkci f na mnoin A a peme fn f , jestlie pro kad > 0 plat

limn

({x A : |fn(x) f(x)| > }) = 0.

1Dimitri Fedorovi Jegorov, narozen: 22. prosince 1869 Moskva, Rusko, zemel: 10.z 1931Kaza, SSSR; diferenciln geometrie, integrln rovnice.


Vta 5.5 Nech A M je konen mry a (fn) je posloupnost konench funkc,kter na A konverguje -s.v. ke konen funkci f . Pak (fn) konverguje k f podlemry.

Problm 5.4 Pomoc Jegorovovy vty dokate vtu 5.5.

Doplujc cvien:

1. Nech a, b, c jsou reln sla a symbol mid{a, b, c} oznauje prostednhodnotu z tchto t sel. Ukate, e

mid{a, b, c} = inf{sup{a, b}, sup{a, c}, sup{b, c}}.

Ukate, e pokud funkce u, v, w jsou miteln, je miteln i funkce g(x) :=mid{u(x), v(x), w(x)}.

2. Nech A je miteln mnoina, (A) = 0 a mra je pln. Ukate, e kadfunkce f : A [,+] je miteln.

3. Nech f : A [,+] je miteln funkce a B A je miteln mnoina.Dokate, e f |B : B [,+] je miteln funkce.

4. Nech A =

An, kde An je nejve spoetn systm mitelnch mnoin.Nech f : A [,+] je reln funkce. Ukate, e je-li kad funkce f |Anmiteln, potom je miteln i funkce f .

5. Nech pro kad R je funkce f : X R R, f : (x, ) 7 (x, )miteln. Jestlie pro kad x X existuje lim f(x, ) =: f(x), potom ifunkce f : X R je miteln.

6. Nech f : R R je diferencovateln. Ukate, e jej derivace f je borelovskymiteln.

7. Nech f je miteln funkce a a R. Ukate, e mnoiny {x : f(x) = a} a{x : f(x) 6= a} jsou miteln.

8. Ukate, e jsou-li f a g miteln funkce, pak mnoiny {x : f(x) < g(x)},{x : f(x) g(x)} a {x : f(x) = g(x)} jsou miteln.

9. Sestrojte pklad -algebry M a funkce f : X R, kter nen miteln, alefunkce |f | a f 2 jsou miteln.

10. Nech funkce f : X R je miteln a funkce g : R R je spojit. Ukate,e jejich kompozice g f : X R je miteln funkce.

11. Dokate vtu 5.5 bez pouit Jegorovovy vty.


12. Nech X 6= . Neprzdn systm S 2X se nazv monotonn systm,jestlie pro kadou neklesajc posloupnost (An) z S a pro kadou nerostoucposloupnost (Bn) z S t

nN

An S a

nN

Bn S .

Dokate, e kad -algebra je monotonnm systmem a e ke kadmu sys-tmu S 2X existuje nejmen monotonn systm obsahujc S tzv. mono-tonn systm generovan S .

Kapitola 6

Abstraktn Lebesguev integrl70%

Z elementrnho kurzu analzyTMje znm pojem Riemannova1 integrlu v R i v Rn.Ji v R je mono se pesvdit, e tda riemannovsky integrovatelnch funkc je po-mrn mal, pipomeme, e ji tak elementrn funkce jako je funkce Dirichletovanen riemannovsky integrovateln. V ad dleitch aplikac je poadovna plnostjistch prostor integrovatelnch funkc a zde Riemannv integrl zcela selhv. To je pinou toho, e smysluplnou teorii Fourierovch ad a Fourierovy transfor-mace nen mono uspokojiv vybudovat pomoc Riemannova integrlu. V Rn se pakobjevuj dal problmy, spojen pedevm s tm, e Jordan2 -Peanv3 objem nen -aditivn, kter lze shrnout tak, e i relativn jednoduch mnoiny jsou nemiteln vJordan-Peanov smyslu. Konen tak nen jasn, jak jednodue penst Riemannvintegrl na jin zkladn mnoiny ne euklidovsk prostory.

Lebesguev integrl se s tmito problmy vyrovnv podstatn snze ne Rie-mannv integrl.

V tto kapitole podme jednu z monch konstrukc abstraktnho Lebesgue-ova integrlu. Budeme pitom vdy pedpokldat, e je dn jist prostor s mrou(X,M , ), kde je mra na -algebe mitelnch mnoin M . Konstrukce samabude provedena v nkolika krocch nejdve definujeme integrl pro nezporn jed-noduch funkce, potom jej limitnm pechodem rozme na nezporn mitelnfunkce. Nakonec uijeme toho, e kadou mitelnou funkci lze vyjdit jako rozdlnezporn a nekladn sti a po pekonn obt s vrazy typu + zave-deme integrl i pro obecn miteln funkce. Podobn jako v pedelch kapitolch,pokud nebude vslovn uvedeno jinak, budeme pedpokldat, e uvaovan funkcejsou definovny na cel mnoin X.

1Georg Friedrich Bernhard Riemann, narozen: 17. z 1826 Breselenz, Hanover (nyn Nmecko)zemel: 20. ervenec 1866 Selasca, Itlie; funkce komplexn promnn.2Marie Ennemond Camille Jordan, narozen: 5. ledna 1838 La Croix-Rousse, Lyon, France ze-

mel: 22. ledna 1922 Paris, France; topologie, konen grupy, teorie kivek.3Giuseppe Peano, narozen: 27. srpna 1858 Cuneo, Piemonte, Italy, zemel: 20. dubna 1932 Turin,

Italy; teorie mnoin, diferenciln rovnice.

47

KAPITOLA 6. ABSTRAKTN LEBESGUEV INTEGRL 70% 48

Definice 6.1 Konen reln miteln funkce f : X M (,+) nab-vajc pouze konen mnoho hodnot se nazv jednoduch funkce.

Nech f je jednoduch funkce, {a1, . . ., an} je mnoina vech navzjem rznchhodnot, kterch funkce f nabv a Ai := f1(ai) pro i = 1, . . ., n. Pak mnoiny Aijsou miteln, po dvou disjunktn a X = A1 . . . An. Zejm

f =n

i=1

aiAi . (6.1)

Naopak, jsou-li A1, . . . , An miteln mnoiny, X = A1 . . . An a a1, . . . , an jsoureln sla, je funkce f =

ni=1 aiAi jednoduch.

Pklad 6.11. Pkladem jednoduch funkce je charakteristick funkce A miteln mnoinyA.

2. Rovn Dirichletova4 funkce

f(x) =

{

1 pro x Q,0 pro x R \ Q,

je jednoduch funkce. Vimnte si, e mnoiny Ai opravdu nemus bt inter-valy.

Vimnme si, e jednoduch funkce f me mt mnoho formln rznch zpsobvyjden ve tvaru (6.1). Pedpokldme-li vak navc, e mnoiny A1, . . ., An jsoupo dvou disjunktn a e sla a1, . . ., an jsou navzjem rzn, je vyjden (6.1)jednoznan a nazv se kanonickm tvarem jednoduch funkce. Poznamenejme, ev kanonickm vyjden (6.1) me bt jedno z sel ai rovno nule. Je-li ai0 = 0,potom len ai0Ai0 je stle povaovn za st kanonickho tvaru jednoduch funkcef .

Pklad 6.2Uvame jednoduchou funkci f : [0, 3] [0,+) definovanou takto: OBR.

f(x) :=

0 pro 0 x < 1,3 pro 1 x < 2,1 pro 2 x 3.

Potom

f(x) = 0[0,1) + 3[1,2) + 1[2,3]= 0[0,1/2) + 0[1/2,1) + 3[1,3/2) + 3[3/2,2) + 1[2,3]= 0[0,1) + 2[1,2) + 1[1,3],

piem prvn dek je prv kanonickm tvarem jednoduch funkce f .4Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, narozen: 13. nora 1805 Dren, French Empire (dnes

Germany), zemel: 5. kvtna 1859 Gttingen, Hanover (dnes Germany); teorie sel, teorie poten-cilu, parciln diferenciln rovnice.


Problm 6.1 Rozhodnte, kter z nsledujcch funkc f je jednoduchou funkc naintervalu [0, 1], resp na R.1) f(x) := [x], kde [x] zna celou st z sla x,2) Riemannova funkce

R(x) :=

1n

pro x =m

n(kde sla m,n N jsou nesoudln)

0 pro x R \ Q.

V dalm budeme systm vech relnch mitelnch nezpornch funkc na Xznait jako L+ .

Z elementrnho kurzu analzyTMvme, e nabv-li pro kad x z interval [a, b]funkce f konstantn hodnoty c, pak pro Riemannv integrl plat (R)

[a,b]f(x) dx =

c(b a) = c. vol([a, b]). Obecnji je-li A = A1 . . . An, kde Ai jsou po dvou dis-junktn intervaly a pro x Ai je f(x) = ci, je Riemannv integrl (R)

Af(x) dx =

ni=1 ci vol(Ai). Tato vaha je inspirac pro nsledujc definici.

Definice 6.2 Nech f L+ je jednoduch funkce, kterou lze vyjdit v kano-nickm tvaru jako

ni=1 aiAi a A je miteln mnoina. Integrlem jednoduch

funkce f pes mnoinu A je zobecnn reln slo

A

f d :=n

i=1

ai(Ai A). (6.2)

Poznmka 6.1Je-li pro njak i {1, . . . , n} (Ai A) = +, potom je ai(Ai A) = 0, resp.+, je-li ai = 0, resp. ai > 0. Ponvad jsou vechna ai nezporn, m vraz (6.2)vdy smysl.

Pklad 6.31. Nech f(x) c je nezporn konstantn funkce na X a A M . Potom

Af d = c(A).

2. Jsou-li mnoiny A, B miteln a B A, potom

AB d = (B).

3. Nech f je jednoduch funkce z pkladu 6.2 a je Lebesgueova mra na R,potom

[0,3]

f d =

[0,3]

(0[0,1) + 3[1,2) + 1[2,3]) d

= 0([0, 1)) + 3([1, 2)) + 1([2, 3]) = 0 1 + 3 1 + 1 1 = 4.

4. Nech X = R a nech M je systm vech lebesgueovsky mitelnch mnoinna R a je Lebesgueova mra na M . Je-li f Dirichletova funkce, je f(x) = Qjednoduch a

Rf d =

RQ d = (Q) = 0.

Lemma 6.1 Nech f , g jsou jednoduch funkce z L+ a c R, c 0. Potom


1.

Xcf d = c

Xf d,

2.

X(f + g) d =

Xf d+

Xg d,

3. jestlie pro kad x je f(x) g(x), potom i

Xf d

Xg d.

Dkaz : 1) Je-li c = 0, je tvrzen zejm. Je-li c > 0 a f lze vyjdit jakon

i=1 aiAi , kde Ai jsou po dvou disjunktn miteln mnoiny, potom cf lze vy-jdit jako

ni=1(cai)Ai a tedy

X

cf d =n

i=1

cai(Ai) = cn

i=1

ai(Ai) = c

X

f d.

2) Nech jednoduch funkce f a g maj kanonick vyjden ve tvaru f =m

i=1 aiAia g =

nj=1 bjBj . Jejich souet f + g je opt jednoduch funkce tvaru

f + g =m

i=1

n

j=1

(ai + bj)AiBj .

Toto vyjden ovem obecn nen kanonick. Mnoiny Ai Bj jsou sice mitelna po dvou disjunktn, ale hodnoty ai + bj nemusej bt navzjem rzn. Nech tedyc1, c2, . . ., cd jsou prv vechny rzn prvky mnoiny

{ai + bj : i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}

a nech pro kad k = 1, . . . , d je mnoina Ck sjednocen vech tch neprzdnchprnik mnoin Ai Bj, na kterch ai + bj = ck. Pak mnoiny Ck jsou po dvoudisjunktn, tedy

(Ck) =

i=1,...,mj=1,...,nai+bj=ck

(Ai Bj).

Potom vyjden

f + g =d

k=1

ckCk

ji je kanonickm tvarem jednoduch funkce f + g. Podle definice 6.2

X

(f + g) d =d

k=1

ck(Ck) =d

k=1

i=1,...,mj=1,...,nai+bj=ck

ck(Ai Bj)

=d

k=1

i=1,...,mj=1,...,nai+bj=ck

(ai + bj)(Ai Bj) (6.3)


Naopak

X

f d+

X

g d =m

i=1

ai(Ai) +n

j=1

bj(Bj)

=m

i=1

n

j=1

ai(Ai Bj) +m

i=1

n

j=1

bj(Aj Bj)

=m

i=1

n

j=1

(ai + bj)(Ai Bj) (6.4)

a je zejm, e vztahy (6.3) a (6.4) jsou si rovny. Zde jsme vyuili v rovnosti = toho,emi=1Ai =

ni=1Bi = X, tud (Ai) =

nj=1 (Ai Bj) a podobn (Bj) =

mi=1 (Ai Bj).

3) Je-li f g, je g = f + (g f), piem g f je jednoduch funkce. Z definice 6.2plyne, e

X(g f) d 0, tud

X

g d =

X

f d+

X

(g f) d

X

f d.

Vimnme si, e pro libovoln mnoiny U, V X plat UV = UV . Odtudplyne, e je-li mnoina A miteln a f je jednoduch funkce s kanonickm vyjde-nm f =

mi=1 aiAi , pak funkce fA je opt jednoduch s kanonickm vyjdenm

fA =m

i=1 aiAiA.

Lemma 6.2 Nech f je jednoduch funkce z L+ a A je miteln mnoina, potom

A

f d =

X

fA d.

Dkaz : Je-li f =m

i=1 aiAi kanonick vyjden, plat

A

f d =

A

m

i=1

aiAi d=

m

i=1

ai(Ai A) =

X

m

i=1

aiAiA d

=

X

(

m

i=1

aiAi

)

A d =

X

fA d.

Lemma 6.3 Nech f je jednoduch funkce z L+, potom funkce : M [0,+],definovna jako

(A) :=

A

fA d,

je mra na M .


Dkaz : Je-li f jednoduch funkce s kanonickm vyjdenm f =m

i=1 aiAi ,potom

(A) =m

i=1

ai(Ai A) .

Snadno se lze pesvdit, e zobrazen A 7 (Ai A) je mra na M a e konenlinern kombinace zobrazen tohoto typu je opt mra na M . To znamen, e (A)je t mra.

Dsledek 6.1 Nech A = B C, kde B a C jsou disjunktn miteln mnoiny af je jednoduch funkce z L+. Potom

Af d =

Bf d+

Cf d.

Dkaz :

A

f d =

X

fA d =

X

f(B + C) d

=

X

fB d+

X

fC d =

B

f d+

C

f d

Problm 6.2 Dokate dsledek 6.1 pmo z definice integrlu jednoduch funkce bezpomoci lemmatu 6.1.

Zatm mme integrl definovn jen pro nezporn jednoduch funkce. Dalm krokembude rozen tto definice integrlu na ty miteln funkce, kter jsme schopni jis-tm zpsobem aproximovat nezpornmi jednoduchmi funkcemi. Konstrukce jednmon aproximace je hlavnm obsahem nsledujcho aproximanho lemmatu.

Lemma 6.4 Nech f : A M [0,+] je nezporn miteln funkce. Pakexistuje posloupnost (fn) jednoduchch funkc z L+ takov, e plat

1. 0 f1(x) . . . fn(x) fn+1(x) . . ., pro x A,

2. fn(x) f(x) pro n a pro kad x A.

Dkaz : Pro libovoln n = 1, 2, 3, . . . rozdlme interval [0,+] na dva subin-tervaly [0, n) a [n,+]. Prvn subinterval dle rozdlme na n2n stejn dlouhchsubinterval

[

0,12n

)

,

[

12n,

22n

)

, . . . ,

[

i 12n

,i

2n

)

, . . . ,

[

n2n 12n

, n

)

.

Ponvad f je miteln, jsou i mnoiny E in := f1([

i12n, i2n

))

, i = 1, . . . , n2n aFn := f1 ([n,+]) miteln, tedy

fn(x) :=n2n

i=1

i 12n

Ein + nFn =

{

i 12n

proi 1

2n f(x) < i

2n,

n pro n f(x),


jsou jednoduch funkce, kter spluj vlastnost 1), nebo pro libovoln indexy i a nje Ein = E

2i1n+1 E2in+1.

Sta tedy dokzat vlastnost 2). Volme x0 libovoln, ale pevn. Jestlie f(x0) = +,potom pro libovoln n je x0 Fn a

fn(x0) = n + = f(x0), pro n .

Jestlie f(x0) < +, potom pro vechna dostaten velk n je f(x0) < n, tedyexistuje index i {1, . . . , n2n} takov, e f(x0) Ein a tedy

|f(x0) fn(x0)| =

f(x0) i 1

2n

0 sta uvit neklesajcposloupnost nezpornch jednoduchch funkc (fn), kter na X konverguje k f .Takovto posloupnost podle lemmatu 6.4 vdy existuje. Pak (cfn) je neklesajcposloupnost konvergujc k cf a lemma 6.1 spolu s vtou 6.1 (jej pouit oznameLM=) dv:

X

cf d =

X

limn

cfn dLM= lim

n

X

cfn d

= c limn

X

fn dLM= c

X

limn

fn d = c

X

f d.

2) Podle lemmatu o aproximaci 6.4 existuj dv neklesajc posloupnosti nezpornchjednoduchch funkc (fn) a (gn), kter na X konverguj k funkci f a k funkce g.Je zejm, e posloupnost (fn + gn) je opt neklesajc posloupnost nezpornchjednoduchch funkc, kter na X konverguje k funkci f + g. Z lemmatu 6.1 plyne,e integrl nezporn jednoduch funkce je aditivn. To spolu s vtou 6.1 dv:

X

(f + g) d LM= limn

X

(fn + gn) d = limn

(

X

fn d+

X

gn d

)

LM=

X

f d+

X

g d.


Pedel dsledek zaruuje aditivitu integrlu nezporn miteln funkce. Snadnolze dokzat mnohem vc, toti e integrl nezporn miteln funkce je dokonce-aditivn a to bez jakchkoli dalch pedpoklad.

Dsledek 6.3 Nech (fn) je posloupnost nezpornch mitelnch funkce na X.Potom

X

(

n1

fn

)

d =

n1

X

fn d.

Dkaz : Polome pro libovoln n = 1, 2, 3 . . .

sn :=n

i=1

fi a s :=

i=1

fi.

Pak funkce sn a s jsou nezporn a miteln na X, navc posloupnost funkc snje neklesajc a konverguje na X k funkci s. Lze tedy ut Lebesgueovu vtu omonotnn konvergenci 6.1 (jej pouit ozname opt LM=), co dv:

X

s d =

X

limn

sn dLM= lim

n

X

sn d

= limn

X

n

i=1

fi d = limn

n

i=1

X

fi d =

i=1

X

fi d.

Dsledek 6.4 Nech f je nezporn miteln funkce. Je-li funkce : M [0,+] definovna jako

(A) :=

A

f d,

potom je mra.

Dkaz : Pedevm ihned se vid, e spluje vlastnosti (M1) a (M2), ponvadz definice integrlu nezporn miteln funkce plyne, e (A) 0 a je-li A = ,potom fA 0 a podle definice 6.3 je () = 0.Dokame vlastnost (M3)-aditivitu. Nech (An) je posloupnost po dvou disjunkt-nch mitelnch mnoin z X. Polome A :=

n1An a fn :=n

i=1 fAi. Pak (fn)je neklesajc posloupnost nezpornch mitelnch funkc konvergujcch k fA. ZLebesgueovy vty o monotnn konvergenci 6.1 plyne, e

(

i1

Ai) = (A) =

X

fA d

=

X

limn

fn dLM= lim

n

X

fn d = limn

X

n

i=1

fAi d

= limn

n

i=1

X

fAi d = limn

n

i=1

(Ai) =

i=1

(Ai).


Zobecnnm Lebesgueovy vty o monotnn konvergenci je Fatuovo7 lemma, umo-ujc nm pracovat s posloupnostmi nezpornch mitelnch funkc, kter nejsoumonotonn.

Vta 6.2 (Fatuovo lemma) Nech f je posloupnost nezpornch mitelnchfunkc na X. Pak plat

X

lim infn

fn d lim infn

X

fn d.

Dkaz : Polome gn := inf {fn, fn+1, . . .} pro n = 1, 2, 3, . . .. Ponvad{x X : gn(x) < a} =

in

{x A : fi(x) < a} M ,

je gn miteln. Dle 0 gn gn+1 a tedy existuje limn gn a plat limn gn =lim infn fn. Ponvad gn fn, je

Xgn d

Xfn d a podle Lebesgueovy vty

o monotnn konvergenci 6.1 je

X

lim infn

fn d =

X

limn

gn d

LM= limn

X

gn d = lim infn

X

gn d lim infn

X

fn d.

Problm 6.4 Na pkladu ukate, e nerovnost ve Fatuov lemmatu me bti iostr.

Je-li ve Fatuov lemmatu symbol lim inf nahrazen symbolem lim sup, pak tvrzenneplat a to pro jakoukoliv nerovnost. PKLAD

Dsledek 6.5 Nech f je nezporn miteln funkce. Potom f(x) = 0 -skorovude na X prv tehdy, kdy

X

f d = 0.

Dkaz : 1) Nech f = 0 -s.v., tedy je-li A := {x X : f(x) > 0}, je (A) = 0.Pro n = 1, 2, . . . uvame funkce fn := nA. Jist f lim infn fn a z Fatuovalemmatu 6.2 plyne

0

X

f d

X

lim infn

fn d lim infn

X

fn d = lim infn

n(A) = 0.

2) Nech

Xf d = 0. Polome An := {x X : f(x) > 1n} pro n = 1, 2, . . .. Jist je

0 1nAn f . To znamen, e

0 =

X

f d

X

1nAn d =

1n

An

d =1n(An),

neboli (An) = 0. Protoe je {x X : f(x) > 0} =

n1An je i (A) = 0.

7Pierre Joseph Louis Fatou, narozen: 28. nora 1878 Lorient, France, zemel: 10. srpna 1929Pornichet, France; matematik a astronom, teorie integrace a komplexn promnn.


Problm 6.5 Ukate, e je-li f L+ a

Xf d < +, potom mnoina {x X :

f(x) = +} je nulov.Definici 6.3 nyn zejmm zpsobem rozme na vechny miteln funkce. Pitombude teba jist opatrnosti, ponvad vrazy typu + nejsou definovny.

Definice 6.4 Nech f je miteln funkce definovan na mnoin A M . Je-li alespo jedna z funkc f+, f integrovateln, pak integrlem funkce f pesmnoinu A rozumme zobecnn reln slo znaen symbolem

A

f d :=

A

f+ d

A

f d. (6.9)

ekneme, e funkce f je integrovateln na A, jestlie

Af d existuje a je kone-

nm slem. Systm vech integrovatelnch funkc budeme znait symbolem L1,L1(X), nebo L1(X,M , ).

Poznmka 6.41. Integrl nezporn miteln funkce existuje vdy (je eventuln roven +).

Integrl miteln funkce, kter nabv kladnch i zpornch hodnot, nemusexistovat; pokud vak existuje a je konen, kme, e konverguje.

2. Funkce f je integrovateln na A prv tehdy, kdy jsou na A integrovatelnob funkce f+ i f.

3. Lemma 6.5 plat i pro miteln funkce, tedy

Af d :=

XfA d.

Problm 6.6 Nech funkce f je integrovateln a f = f1 f2, kde f1 a f2 jsounezporn integrovateln funkce. Ukate, e

A

f d =

A

f1 d

A

f2 d.

Problm 6.7 Nech f je miteln funkce. Dokate, e:1) Je-li f : X [0,+], potom

Xf dx0 = f(x0).

2) Je-li f : X [,+], potom funkce f je x0-integrovateln prv tehdy, kdyf(x0) R. V tomto ppad t

Xf dx0 = f(x0).

Lemma 6.7 Nech f je integrovateln funkce. Je-li funkce : M (,+)definovna jako

(A) :=

A

f d, (6.10)

potom je nboj.

Dkaz : Funkce f+, f jsou nezporn a miteln, tedy podle dsledku 6.4 jsoufunkce + a definovan jako

+(A) :=

A

f+ d, (A) :=

A

f d,

mry. Ponvad f je integrovateln, jsou ob mry konen mnoinov funkce. Ovem = + a odtud plyne, e je nboj.


Poznmka 6.51. Funkce z lemmatu 6.7 se zpravidla nazv neurit integrl funkce f vzhle-

dem k me .

2. Ponvad nboj je -aditivn, plyne odtud v ppad integrovateln funkce f -aditivita integrlu, tj. je-li (An) posloupnost po dvou disjunktnch mitelnchmnoin a A :=

n1An, potom

A

f d =

n1

An

f d.

Dsledek 6.6 Nech A1 A2 A3 . . . jsou miteln mnoiny, A = limnAna f je integrovateln funkce. Potom

Af d = limn

Anf d.

Dkaz : Polome B1 := A2, B2 := A2\A1, B3 := A3\A2, . . . Bn := An\An=+, . . ..Potom (Bn) je posloupnost po dvou disjunktnch mnoin, An = B1 . . . Bn aA =

n1Bn. Podle poznmky 6.5 plat

A

f d =

i1

Bi

f d = limn

n

i=1

Bi

f d = limn

B1...Bn

f d = limn

An

f d.

Dsledek 6.7 Je-li A = B C, kde B a C jsou miteln a disjunktn mnoiny,pak pro kadou mitelnou funkci f plat

Af d =

Bf d +

Cf d, m-li lev,

nebo prav strana tto rovnosti smysl.

Dkaz : Je-li f L+, tvrzen plyne z dsledku 6.4. Je-li f libovoln mitelnfunkce, potom f+, f L+, tedy

Af+ d =

Bf+ d +

Cf+ d,

Af d =

Bf d+

Cf d a odetenm tchto nerovnost od sebe (pokud m rozdl smysl)

dostaneme tvrzen.

Problm 6.8 Dokate pedel dsledek 6.7 pmo z definice integrlu jednoduchfunkce bez pomoci lemmatu 6.7.

Dsledek 6.8 Nech f a g jsou miteln funkce. Existuj-li integrly

Xf d a

Xg d a je-li f g, je

Xf d

Xg d.

Dkaz : Jsou-li f, g L+, plat 0 gf , tedy 0

Xgf d

Xg d

Xf d.

Jsou-li funkce f, g pouze miteln, je f+ g+ a f g, tedy

Xf+ d

Xg+ d,

Xf d

Xg d a odetenm tchto nerovnost od sebe (pokud m rozdl smysl)

dostaneme tvrzen.

Dsledek 6.9 Je-li (A) = 0, pak kad miteln funkce f je integrovateln na Aa plat

Af d = 0.


Dkaz : Nech (A) = 0 a funkce f je miteln na A. Ponvad f = f+f staukzat, e ob miteln nezporn funkce f+, f jsou integrovateln. Dokame tonapklad pro funkci f+.Podle definice

A

f+ d = sup{

A

s d, 0 s f+, s je jednoduch}

.

Ovem pro kadou jednoduchou funkci s L+ plat

0

A

s d =

A

n

i=1

aiAiA d =n

i=1

ai(Ai A) n

i=1

ai(A) = 0,

tedy i

Af+ d = 0.

Analogicky se uke, e

Af d = 0. To znamen, e f L1 a

Af d = 00 = 0.

Dsledek 6.10 Nech f je integrovateln funkce na miteln mnoin A a f = gs.v. na A. Potom g je integrovateln a

Af d =

Ag d.

Dkaz :

A

f d =

{f=g}

f d+

{f 6=g}

f d =

{f=g}

g d

=

{f=g}

g d+

{f 6=g}

g d =

A

g d.

Jinak eeno, zmnme-li integrovatelnou funkci na mnoin mry nula, jej integrlse nezmn. Tato vaha nm umouje rozit definici integrlu

Af d na ppad,

kdy integrovateln funkce f je definovna (pouze) s.v. na A. Ozname-li Z :=A \ Dom(f), lze formln poloit

A

f d :=

A\Z

f d. (6.11)

Uvme-li nyn libovoln rozen funkce f na celou mnoinu A, tedy funkci fdefinovanou jako

f(x) :=

{

f(x), pro x Dom(f),a, pro x A \ Dom(f), kde a [,+] je libovoln,

tak f je integrovateln na A a jej integrl

Af d je roven integrlu

Af d defino-

vanmu vztahem (6.11).Jinak eeno je-li f definovna s.v. na A, je jejm integrlem

Af d integrl libo-

volnho (mitelnho) rozen f na A.


Dsledek 6.11 Nech f je integrovateln funkce na mnoin A. Pak f je s.v. ko-nen.

Dkaz : Funkce f je integrovateln prv tehdy, kdy ob funkce f+ i f jsouintegrovateln. Z problmu 6.5 plyne, e mnoiny {x A : f+ = +}, {x A :f = +} jsou nulov. Je tedy f s.v. konen.

Integrl, kter m tu vlastnost, e z integrability funkce f plyne integrabilitafunkce |f |, se nazv absolutn konvergentn. Z elementrn analzy je znmoTM, eRiemannv integrl je absolutn konvergentn. Nsledujc vta ukazuje, e Lebes-guev integrl je absolutn konvergentn.

Vta 6.3 Miteln funkce f je integrovateln prv tehdy, kdy je funkce |f | in-tegrovateln. V tomto ppad plat

X

f d

X

|f | d.

Dkaz : Funkce f je integrovateln prv tehdy, kdy jsou integrovateln obfunkce f+ a f. Ponvad |f | = f+ + f, je integrovateln i |f | a plat prvn stvty. Dle

X

f d

=

X

f+ d

X

f d

X

f+ d+

X

f d =

X

|f | d.

Dsledek 6.12 Nech funkce f je miteln, funkce g integrovateln a |f | g.Potom funkce f je integrovateln a

X

|f | d

X

|g| d.

Podstatnm obsahem nsledujc vty je linearita Lebesgueova integrlu na prostoruintegrovatelnch funkc.

Vta 6.4 Nech f a g jsou integrovateln funkce a R. Pak plat

X

f d =

X

f d,

X

(f + g) d =

X

f d+

X

g d.

Dkaz : 1) Ukame, e

Xf d =

Xf d:

Jestlie

teorie miry

Documents