Teorie signálů poskytuje společný teoretický základ

pro řadu různých oborů:

•telekomunikační technika

•radiotechnika

•akustika

•seismologie

•biomedicíncké inženýrství

•energetika

•chemické technologie

•elektronické zpracování řeči, hudby a obrazu

Seznam doporučené literatury

1. J. Uhlíř, P. Sovka, Číslicové zpracování signálů, ČVUT Praha, 2002

2. J. Pospíšil, Analýzy a přenosové aspekty signálů, UP Olomouc (skriptum), 1994

3. Yeung, R. W., A First Course in Information Theory, Springer, New York, USA 2002

4. Angot, A., Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry , SNTL Praha 1972

5. Young, P. H., Electronic communication techniques,

Ch.E.Merrill Publ. Comp. and Bell - Howel Comp. Columbus 1985

6. Ertinger, Z., Sklenář, J., Signály a soustavy, VUT Brno (skriptum) 1980

7. Levin, B.R., Teorie náhodných procesů a její aplikace v radiotechnice , SNTL Praha 1965

8. Hoffner, V., Úvod do teorie signálů , SNTL Praha 1987

9. Bajcsy, J., Vítovec, J., Telemetria a prenos údajov , Alfa Bratislava a SNTL Praha 1988

10. Bogr, J., Čajka, J., Šebesta, V., Teorie přenosu zpráv , SNTL Praha 1975

Signál je časový průběh určité determinované nebo náhodné fyzikální veličiny.

Klasifikace:

Spojitý signál – je definován pro všechny hodnoty nezávislé proměnné

Diskrétní signál – nezávislá proměnná nabývá pouze celočíselných hodnot

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

y(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

y(t

)

Analogový signál – je přímým obrazem fyzikálních jevů (např. signál z mikrofonu)

Číslicový (digitální) signál – signál vyjádřený konečnou řadou číslic

Signál deterministický – popsán funkcí nebo posloupností, jejíž každou hodnotu lze

pro daný časový okamžik přesně vypočítat

(zpravidla podle nějakého matematického předpisu)

Signál náhodný – nelze určit, jakých hodnot nabude v jednotlivých časových

okamžicích

- hodnoty jsou interpretovány jako soustava náhodných proměnných

nebo je průběh signálu popsán statistickými charakteristikami

(stř. hodnota, stř. kvadratická hodnota, rozptyl, autokorelační funkce,

spektrální hustota, koherenční funkce)

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t

y(t

)

y=t*sin(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y(t

)

Signály periodické: existuje T > 0 ... perioda, y(t) = y(t+T) pro všechna t

základní perioda T0 ... nejmenší z period

Periodický signál je součtem harmonických signálů, přičemž poměr libovolných

dvou frekvencí je racionální číslo.

možnost vyjádření pomocí Fourierovy řady

Není-li poměr frekvencí harmonických složek racionální,

jedná se o téměř periodický signál.

1

)2sin()(n

nnn tfAty

Signály s konečnou energií (např. signály vzniklé vyjmutím jedné periody z periodického

signálu, signály s konečnou dobou trvání)

Signály s nekonečnou energií (např. náhodné stacionární signály,

periodické a téměř periodické signály)

Komplexní exponenciála x(t) = Ceat, a, C ... komplexní čísla

a, C reálná reálná exponenciála (klesající, rostoucí)

např. při popisu přechodných dějů v elektrických obvodech

a = 0 konstantní signál

a ... ryze imaginární periodický signál

základní perioda T0 = 2/|0|, 0 ... základní úhlová frekvence signálu

reálná část komplexní exponenciály harmonický signál

příklad signálu s komplexními hodnotami a, C:

- exponenciálně tlumený sinusový signál

tCetx 0j

tCetx rt

0cos

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

x(t

)

a = -1, C = 2

0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x(t

)C = 2, 0 = , = /6, r = -0,5

x(t) = Ceat tCetx rt

0cos

Jednotkový skok (Heavisideova funkce)

x(t) = 0 pro t 0

x(t) = 1 pro t > 0

- není spojitý v bodě t = 0

-4 -2 0 2 4 6-0.5

0

0.5

1

1.5

t

x(t

)

Jednotkový impulz (Diracova delta funkce)

0pro0 tt

0pro tt

1dtt

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

x(t

)

ilustrační graf:

Jednotkový skok (Heavisideova funkce)

x[n] = 0 pro n < 0

x[n] = 1 pro n 0

-5 0 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

n

x(n

)

Jednotkový impuls (Diracova delta funkce)

x[n] = 0 pro n ≠ 0

x[n] = 1 pro n = 0

-5 0 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

n

x(n

)

příklad užití – součin signálu s impulsní funkcí dává

hodnotu signálu v čase n pomocí hodnoty v čase nula

x[n] [n] = x[0] [n]

obecně: x[n] [n-n0] = x[n0] [n]

př.: vyjádření jednotkového skoku

0k

knnx

Signál může sloužit k přenosu sdělení (zprávy, instrukce, informace)

sdělovací signál

Sdělovací kanál – prostředí, ve kterém probíhá přenos sdělovacího signálu

z vysílače do přijímače

Spojení – přenos sdělení od odesílatele k příjemci; spojení může podléhat rušení

a zkreslení

Rušení – souhrn vnějších a vnitřních rušivých vlivů, včetně šumu, které působí

na sdělovací soustavu stále i za nepřítomnosti signálu

Zkreslení – vzniká pouze při přenosu signálu přenosovou soustavou

Odesílatel působí sdělením na snímací měnič (např. mikrofón), jehož výstupem je

primární (nízkofrekvenční) signál.

Vysílač přetváří primární signál v sekundární (vysokofrekvenční) signál vhodný

k dalšímu přenosu (modulace, užití kódového klíče).

V přijímači se sdělovací signál převádí zpět na sdělení (demodulace)

Sdružovač – zařízení pro uspořádání jednotlivých sdělení ve společný

mnohocestný signál

Rozdělovač – vyčleňuje jednotlivá sdělení do patřičných sdělovacích cest

Přeslech – rušení signály sousedních sdělovacích cest nežádoucím přechodem

energie z jedné do druhé sdělovací cesty

Teorie sdělování – studuje přenos a zpracování determinovaných a náhodných

sdělovacích signálů a při tom sleduje hledisko vlivu zkreslení a rušení.

Reálný periodický signál s(t) lze rozložit ve Fourierovu řadu:

n

tjn

neats 1~

na~ ... komplexní Fourierova amplituda

... základní úhlová frekvence

... množina ortogonálních funkcí

1

tjne 1

nj

nn eaa

~~

na~ ... reálná Fourierova amplituda

... Fourierova fáze n

2/

2/1

1

1

1 d)(1~

T

T

tjn

n tetsT

a

1

1

1

10 cossinn

n

n

n tnBtnABts

2/

2/1

0

1

1

d)(1

T

T

ttsT

B

2/

2/

1

1

1

1

tdsin)(2

T

T

n tntsT

A

2/

2/

1

1

1

1

tdcos)(2

T

T

n tntsT

B

Dílčí reálné Fourierovy amplitudy:

Reálná periodická funkce s(t) je schopna Fourierovy analýzy,

jestliže splňuje Dirichletovy podmínky:

1. s(t) má nejvýše konečný počet nespojitostí

2. s(t) má nejvýše konečný počet extrémů

3. je splněna podmínka absolutní integrovatelnosti funkce s(t) na intervalu

(-T1/2, T1/2)

Střední výkon signálu

n

n

T

T

attsT

P2

2/

2/

2

1

~d)(1

1

1

2~na ... Fourierovy intenzity; výkonové Fourierovo spektrum

Jednorázový impulz - vykazuje konečnou energii:

- konečná doba trvání impulzu se nevyžaduje

- předpokládá se splnění Dirichletových podmínek

- limitní případ periodického signálu:

tts d)(

ndn

T

T

1

11

1

,d/2

,

d~2

1~ aan

2/

2/1

1

1

1 d)(1~

T

T

tjn

n tetsT

a

tetsa tj d)(~

- přímá Fourierova transformace

n

tjn

neats 1~

d~π2

1)( tjeats

- Fourierův integrál

- zpětná Fourierova transformace

Jiný zápis přímé a zpětné Fourierovy transformace:

Vlastnosti FT:

1. Linearita (princip superpozice)

2. Změna měřítka času

3. Dualita

4. Posun v čase

5. Posun ve frekvenční oblasti

tetstsfS ftj dF)(~ π2

fefSfSts ftj d~~

F)( π21

fHbfGatbhtag~~

F

k

fS

kkts

~1F

)(~

F fstS

ftjefStts 0π2

0 )(~

F

tfjetsffS 0π2

0

-1 )(~

F

6. Plocha impulzu

7. Plocha spektra

8. Spektrum n-té derivace

9. Spektrum komplexně sdružené funkce

10. Spektrum sudé a liché funkce

0~

d)(

fStts

0d)(~

tsffS

fSfjtsnn ~

2F

fSts ** ~~F

tfttsjtfttsfS dπ2sindπ2cos~

Definiční vztahy pro konvoluci:

Konvoluce má význam při popisu časově invariantních lineárních systémů

pomocí impulzové odezvy.

Konvoluční teorém:

yyxgyhxgxh d

k

knykxnynx

fHfGthtg~~

F

fHfGthtg~~

F

Střední výkon jednorázového impulzu je nulový:

Celková energie impulzu:

Rayleighův teorém – závislost mezi celkovou energií W a amplitudovým

Fourierovým spektrem jednorázových impulzů

0d1

lim

2/

2/

2

T

TT

ttsT

P

ffSttsttPW d~

dd22

fS~

... spektrální hustota energie 2~

fS

1. Jednotkový impulz

2. Jednotkový skok (Heavisideova funkce)

3. Obdélníkový impulz

4. Konstantní signál

5. Gaussovský impulz

6. Harmonický signál s konečnou dobou trvání

-5 0 5-4

-2

0

2

4

6

8

10

f

S(f

)

tts

ttttfhts

hodnotyostatnípro,0

2/2/pro),π2cos( 1

fft

fft

fft

fftthfS

1

1

1

1

π

πsin

π

πsin

2

~

-6 -4 -2 0 2 4 6-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

s(t

)

h = 2, f1 = 1, t = 10

11π2cos tfAts

1

2~

~~~

1

1

*

111

je

Aa

ffaffafS

- dva jednotkové impulzy násobené

konstantami

- periodický signál rozložíme ve Fourierovu řadu

n

n nffafS 1~~

Posloupnost jednotkových impulzů opakujících se s periodou T1:

Čárové spektrum:

n

nTtt 1

1

2/

2/

2

1

1d

1~1

1

1

Ttet

Ta

T

T

tfjn

n

n

nffT

fS 1

1

1~

- ve frekvenční oblasti jde opět o posloupnost impulzů

Konvoluce signálu s(t) a jednotkového impulzu (t – t0):

00000 dd ttsttttsttsttts

- vede k posunutí signálu o t0

Konvoluce signálu s(t) s nekonečnou posloupností jednotkových impulzů v bodech nT1:

nnn

nTtsnTtsnTtstts 111 dd

-konvoluce jednorázového impulzu s posloupností (t) jednotkových impulzů

vede k vytvoření periodické posloupnosti jednorázových impulzů

Aplikace: určení Fourierova spektra periodické posloupnosti jednorázových impulzů

n

nffnfST

tfStts 11

1

~1F

~F

- výpočet transformačního integrálu

- provedení časových derivací signálu

- využití vztahu mezi Fourierovým spektrem jednorázového impulzu a jeho periodické

posloupnosti

-numerický výpočet – diskrétní Fourierova transformace

-rychlá Fourierova transformace

- mnohé součiny se během výpočtu opakují

Příklad: Fourierova transformace trojúhelníkového impulzu

n

i

n

kij

sss eiTsTkfS0

1

2~

n

i

n

kij

sss eifSfkTs0

1

2~

1

1

nfT ss

Korelace je měřítkem podobnosti mezi dvěma signály, které jsou vzájemně posunuty

o čas

Vzájemná korelace

(vzájemná korelační funkce)

-obecně není komutativní (narozdíl od konvoluce)

Vzájemná korelační funkce pro dva reálné periodické signály:

Souvislost korelace s konvolucí

-položíme-li t = -y, lze odvodit

hghgRgh )(

Fourierova transformace vzájemné korelační funkce:

tthtgtthtgRgh dd

fHfGRgh

*~~F

2/

2/

2/

2/

d1

d1

T

T

T

T

gh tthtgT

tthtgT

R

Autokorelace – měřítkem rychlosti změn hodnot signálu v čase

g(t) = h(t)

- je sudou funkcí

Platí

Fourierovo spektrum:

- není obsažena informace o fázi

ttgtgttgtgRgg dd

ttgRR gggg d0 2

2~

F fGRgg

Autokorelační funkce je periodická pro periodický signál

(podobně pro vzájemnou korelaci)

Sdělovací soustava – produkuje alespoň jeden výstupní signál jako odezvu na

alespoň jeden vstupní signál

Přenosové charakteristiky – vztahy mezi vstupními a výstupními signály

4 typy analogových přenosových soustav:

- s více vstupy a více výstupy

- s více vstupy a jedním výstupem

- s jedním vstupem a jedním výstupem

- s jedním vstupem a více výstupy

Charakteristická přenosová rovnice soustavy s jedním vstupem a jedním výstupem:

xaxaxaxaybybybyb n

n

n

n

m

m

m

m 01

)1(

1

)(

01

)1(

1

)( ......

soustava lineární, nelineární, časově proměnná

fH~

t

fX~

fY~

x(t) y(t)

h(t)

Odezva v časové oblasti – je vyjádřena konvolucí impulzní odezvy h(t) a vstupního signálu:

ddx txhthty

h(t) ... impulzní odezva – odezva lineární přenosové soustavy (LPS) na jednotkový

impulz (t)

Normovací podmínka: 1d

h

Stabilita LPS: výstupní signál je ohraničený, jestliže je ohraničený vstupní signál

dh

Odezva ve frekvenční oblasti fHfXfY~~~

... funkce přenosu, přenosová funkce thfH F~

Exponenciální tvar přenosové funkce: )(~~ fjefHfH

fH~

... modul )( f ... fáze

Logaritmické vyjádření funkce přenosu

fjfafjfHfHfZ ~

ln~

ln~

fZ~

... logaritmická míra přenosu

... zisk fa

fHfa~

log20 10dB

Sériové spojení LPS fH1

~ fH2

~

fHfHfH 21

~~~

Paralelní spojení LPS

fH1

~

fH2

~

fHfHfH 21

~~~

Lineární zkreslení

Podmínka pro nezkreslený lineární přenos:

- ve frekvenční oblasti:

tKxty

fjKefH 2~

ffKfH 2,~

Lineární zkreslení - amplitudové

- fázové

konst~

fH

konst

f

f

fH~ fHC

~

Korekce amplitudového a fázového zkreslení

tx ty

fX~ fY

~

fj

C KefHfH 2~~

fH

KefH

fj

C ~~

2

- nelze zavést funkci přenosu

- odezva se stanovuje řešením nelineární charakteristické přenosové diferenciální

rovnice

- numerické řešení (např. metoda linearizace)

- popis soustavy algebraickou rovnicí, převodními charakteristikami

- neplatí princip superpozice

Nelineární zkreslení harmonického signálu

- koeficient harmonického zkreslení

1

2

3

2

2

1

...

Y

YYk

nebo

...

...

2

2

2

1

2

3

2

2

2

YY

YYk

Yi ... max. hodnota i-té harmonické složky výstupního signálu

vzájemné působení více harmonických signálů – intermodulační zkreslení

částečné potlačení nelineárního zkreslení – pomocí tzv. kompandoru

Absolutní úroveň výkonu signálu

0

ln2

1

P

PwNp

0

log10P

PwdB

P0 = 1 mW ... referenční výkon

Relativní úroveň výkonu signálu

Útlum soustavy

Míra zisku

1www Mrel

21 wwb

12 wwb

Charakteristické funkce a veličiny

Distribuční funkce (jednorozměrná, n-rozměrná)

Hustota pravděpodobnosti (jednorozměrná, n-rozměrná)

Momenty náhodného procesu

- obecný moment s-tého řádu

- středovaný (centrovaný) moment s-tého řádu

Autokorelační funkce

Kovarianční funkce

Vzájemná korelační funkce

Vzájemná kovarianční funkce

Matice korelačních funkcí

Časové parametry realizací náhodných procesů

- střední hodnota v čase

- autokorelační funkce v čase

- vzájemná korelační funkce v čase

Stacionarita v užším smyslu – distribuční funkce se nemění při změně počátku,

od něhož počítáme čas

Stacionarita v širším smyslu – stř. hodnota je konstanta a autokorelační funkce

závisí jen na časovém posunutí

Regulární náhodný proces – charakteristické funkce a veličiny (časové parametry)

jsou pro všechny realizace stejné

Stacionarita a regulárnost jsou nezávislé.

Ergodicita náhodného procesu – střední hodnota přes soubor realizací je rovna

časové střední hodnotě

-charakteristické funkce a veličiny lze vyšetřit analýzou jediné realizace

Spektrální hustota výkonu Sxx(f) náhodného procesu X(t)

Spektrální hustota výkonu sxx(f) realizace x(t) náhodného procesu

Stacionární náhodný proces – Wienerovy-Chinčinovy rovnice

Rušení - diskrétní (selektivní)

- impulzové

- šumové (rušení fluktuačním šumem)

- souvislá řada nahodilých impulzů nahodilé amplitudy

- souvislé a široké spektrum

- projevuje se fluktuacemi char. hodnot signálu

1) Šumy elektrických obvodů

a) Tepelný šum

- původ v tepelném pohybu elektronů ve vodiči

R – rezistance

B – šířka frekvenčního pásma, v němž šum sledujeme

modelování – náhradní zdroj šumového napětí (sériově)

- náhradní zdroj šumového proudu (paralelně)

kTRBtuš 42

kTGBtiš 42 R

UP š

š

4

2

b) Výstřelový šum

- v elektronkách, nepravidelná emise elektronů z katody (při nízké teplotě)

BeImti aaš

22 2

Ia ... střední hodnota anodového proudu

m ... zahrnuje vliv prostorového náboje v elektronce

B ... šířka frekvenčního pásma

- podobně pro triodu, bipolární tranzistor atd.

2) Gaussovský šum

- vykazuje gaussovskou distribuci hodnot

- uplatnění centrálního limitního teorému

- hustota pravd.

- distribuční funkce

- vyjádření pomocí chybové funkce

2

2

2

12

1x

xmx

x

exf

x mv

x

vexF x

x

d2

1 2

2

2

1

u

v veuerf0

d2 2

21

2

11

x

xmxerfxF

- pro diodu BGkTti ikaš 4,22

3) Bílý šum

-stacionární a ergodický náhodný proces vykazující konstantní spektrální

hustotu výkonu v celém rozsahu frekvencí

konst2

0 N

fSxx

N0 ... šumový výkon vztažený k frekvenčnímu pásmu 1 Hz

ekvivalentní teplota šumu

Autokorelační funkce

Přenos lineární přenosovou soustavou

Autokorelační funkce šumu na výstupu ideální dolní propustnosti

kB

P

k

NT

š

e 0

2

0NBxx

2

~ 02 N

fHfSyy

BffH

BffH

pro0~

pro1~

B

BBNByy

π2

π2sin0

Spolehlivost přenosu - pravděpodobnost, že sdělení bude přeneseno bez závad

pr

ss

t

tq

ts... užitečný provozní čas – jakost přenosu nevybočí z předem zadaných mezí

tpr ... celkový provozní čas

ps = 1 – qs ... pravd. narušení sdělení

Poměr signálu k šumu

Odstup šumu od signálu

Šumové číslo

Průměrné zesílení výkonu

šP

P

N

SSNR

šP

Pr log10

yy

xx

y

x

NS

NS

SNR

SNRF

/

/

x

y

S

SA

BAkT

NF

e

y

Výsledné šumové číslo při sériovém spojení dvou přenosových soustav

1

21

1

A

FFF

Výsledné šumové číslo při sériovém spojení více přenosových soustav

...111

321

4

21

3

1

21

AAA

F

AA

F

A

FFF

Ekvivalentní teplota šumu přenosové soustavy Ts

- teplota fiktivního zdroje šumu na vstupu přenosové soustavy

Platí:

e

s

T

TF 1

Číslicový (digitální) signál – konečná řada číslic vyskytujících se v určitých

časových okamžicích nT

časové intervaly (n-1)T až nT ... jednotkové intervaly

Digitální signál je většinou vyjádřen pomocí binárních číslic (bitů) ... 0 a 1

-velký podíl nízkých frekvencí ve spektru číslicového signálu

→ signál není možné přenášet v jeho základním frekvenčním pásmu

- posun spektra k vyšším frekvencím pomocí modulace

NRZ – nevracející se k nule - unipolární

- bipolární

RZ – vracející se k nule

Pseudoternární signály – mají tři úrovně

- sequence polarity control

- time polarity control

Diferenciální signál

-číslicové signály jsou odolné vůči šumům

- přenos prostřednictvím číslicových kanálů

Volba tvaru binárního číslicového signálu

- ideální obdélníkový impulz konstantní doby trvání, vzdálenost mezi impulzy T

- spektrum je nekonečně široké

- průběh typu (sin x)/x, x = t/T

- Fourierovo spektrum obdélníkové, v rozsahu BT = 1/(2T)

- NEVÝHODY: - signál nelze generovat

- tzv. mezisymbolová interference

→ kompromis: lichá symetrie spektra vzhledem k bodu f = BT

Definování prahové hodnoty pro stanovení hodnot 0 a 1

Předp. - stacionární gaussovský šum o nulové střední hodnotě, popsán prom. v

- bipolární číslicový signál typu NRZ, hodnoty –A, A

chyba detekce P10 = P(y1 < 0), přitom byla vyslána hodnota 1

P01 = P10

- platnost i pro jiné reprezentace binárních číslicových signálů

- předpoklad stacionárního gaussovského šumu je příliš silný

22

110

v

AerfcP

0, xxRT

TART xx

1, 2

Autokorelační funkce

Spektrální hustota výkonu 2

2 sin

Tf

TfTAfSxx

- velký podíl malých frekvencí ve spektru

Skládá se: kodér, modulátor, číslicový přenosový kanál, demodulátor, obnovovací

zařízení, dekodér

Chybovost číslicového kanálu se eliminuje kódováním (užití kodéru a dekodéru)

- přidání nadbytečných bitů

- po přenosu je signál zkreslen a obsahuje šum → obnovovací zařízení, dekodér

matematický model: chybová posloupnost

A ... odeslaná posloupnost

B ... přijatá posloupnost

EAB ... operace neekvivalence

Stanovení přenosem testovací posloupnosti

1. Četnost chyb – podíl počtu chybných bitů a celkového počtu bitů

- může kolísat s časem

- shlukování

2. Distribuční funkce četnosti chyb – pravd., že náhodně proměnná četnost chyb

není větší než daná hodnota četnosti p

- odhaluje přítomnost shluků

3. Distribuční funkce bezchybných intervalů – pravd., že náhodně proměnný interval

mezi dvěma chybami má délku menší než daná zvolená hodnota

- užitečné při volbě délky kódového slova

4. Koeficient shlukování – kvantitativní míra shlukování nezávislých chyb

pn(1-a) – pravd. výskytu alespoň jedné chyby v kódovém slově délky n

5. Distribuční funkce shluků chyb – pravd., že hustota chyb neklesne pod určitou

zvolenou hodnotu h.

Hustota chyb – poměr počtu chyb ve shluku a délky shluku

3. Střední asymetrie chyb – vystihuje symetrii číslicové přenosové soustavy

- stejná četnost obou typů chyb ... asymetrie je nulová