teorija linijskih nosa^a ii - gf.unsa.ba · pdf filesve glavne procedure koje se vr{e pri...

$: TEORIJA LINIJSKIH NOSAÂ II - gf.unsa.ba · PDF fileSve glavne procedure koje se vr{e pri kori{tenju metode deformacija su i dio metode kona~nih elemenata. ... 2 2 3 2 2 6 x EI T x$
Teorija linijskih nosa~a II Metoda deformacija

6. METODA DEFORMACIJA

Metoda deformacija je metoda kojom se mogu prora~unati svi stati~ki uticaji kod linijskih sistema, bez obzira na to kako su zadati rubni uvjeti. U su{tini metodom deformacija se ra~unaju pomjeranja odre|enih ta~aka linijskog sistema iz uslova ravnoteè unutra{njih i vanjskih sila. Obzirom da se i metodom kona~nih elemenata ra~unaju pomjeranja sloènijih sistema (linijskih, dvo- i trodimenzionalnih) iz uslova ravnoteè, poznavanje metode deformacija umnogome olak{ava shvatanje metode kona~nih elemenata, koja je danas u standardnoj primjeni pri analizi sloènih konstrukcija. Stoga je zna~aj detaljnog poznavanja metode deformacija u poslednje vrijeme veoma porastao. Sve glavne procedure koje se vr{e pri kori{tenju metode deformacija su i dio metode kona~nih elemenata.

6.1. Veza izme|u sila i pomjeranja {tapa. Matrica krutosti {tapa.

Jasno, da bi izra~unali pomjeranja iz uslova ravnoteè potrebno je izraziti unutra{nje sile preko pomjeranja, odnosno uspostaviti direktnu vezu izme|u pomjeranja i unutra{njih sila u pojedinim ta~kama osovine {tapa. Na osnovu pretpostavke o linearnim konstitutivnim i geometrijskim jedna~inama, dobili smo jedna~ine (3.15), (3.18), (3.22) i (3.23) za Bernoulli-jev model grede. Radi jednostavnijeg izvo|enja, odvoji}emo uticaje pomjeranja ~vorova od uticaja vanjskog optere}enja. Naime, svaki {tap je dio nekog sistema i kao takav ima pomjeranja u ~vorovima i moè biti izloèn vanjskom optere}enju. Ukoliko èlimo izra~unati sile na tom {tapu, moèmo iskoristiti princip superpozicije i izra~unati presje~ne sile od pomjeranja ~vorova i vanjskih uticaja odvojeno i poslije dobivene rezultate sabrati. U prvom koraku pretpostavi}emo da posmatrani {tap nije izloèn optere}enju i promjeni temperature, pa pomenute jedna~ine imaju oblik:

( ) xEANuxu i

xix +=

( ) ( xLEAN

uxu jxjx −−= )

( )

( ) 2

32

2

62

xEITx

EIMx

xEITx

EIMxuxu

iii

iiiyiy

−+=

−++=

ϕϕ

ϕ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

32

2

62

xLEIT

xLEIM

x

xLEIT

xLEI

MxLuxu

jjj

jjjyjy

−−−−=

−+−+−−=

ϕϕ

ϕ

Uvr{tavaju}i u prvu, tre}u i petu jedna~inu Lx = , a u preostale 0=x , dobivamo:

( xixjii

xixj uuL

EANLEANuu −=⇒+= )

( )xixjjj

xjxi uuEANLEAN

uu −=⇒−=

87


2

32

2

62

LEITL

EIM

LEITL

EIMLuu

iiij

iiiyiyj

−+=

−++=

ϕϕ

ϕ⇒

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=

Luu

LEIT

Luu

LEIM

yjyijii

yjyijii

26

322

2 ϕϕ

ϕϕ

2

32

2

62

LEIT

LEIM

LEIT

LEI

MLuu

jjji

jjjyjyi

−−=

++−=

ϕϕ

ϕ⇒

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

Luu

LEIT

Luu

LEIM

yjyijij

yjyiijj

26

322

2 ϕϕ

ϕϕ

Ove jedna~ine su dobivene pod pretpostavkom da su pozitivne sile M, T i N u skladu sa inìnjerskom konvencijom, koja je prikazana na slici 6.1. Po{to se u metodi deformacija postavlja ravnoteà kompletnog sistema, pogodno je predznake svih sila i pomjeranja definisati u odnosu na lokalni koordinatni sistem {tapa.

Mi

Ni Ti Tj

Nj

Mj

Slika 6.1.

To zna~i da pozitivne presje~ne sile na {tapu djeluju u pravcu koordinatnih osovina, kako je prikazano na slici 6.2. Ovakvu konvenciju za presje~ne sile }emo koristiti za metodu deformacija i ona je uobi~ajena za sve softverske pakete koji sluè za analizu konstrukcija. Napominje se da pravilo o crtanju momenata ostaje nepromijenjeno, tj. momenti se crtaju na onoj strani gdje su zategnuta vlakna.

Mi

Ni Ti Tj

Nj

Mj

x

y

Slika 6.2.

To zna~i da }e se u gornjim jedna~inama promijeniti predznaci za sile: , {to daje: iii TMN ,,

( xjxii uuL

EAN −= )

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

Luu

LEIT

Luu

LEIM

yjyijii

yjyijii

26

322

2 ϕϕ

ϕϕ

Ukoliko dobivene jedna~ine za presje~ne sile u ~vorovima napi{emo u matri~nom obliku, dobivamo:

88


⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

j

yj

xj

i

yi

xi

j

j

j

i

i

i

uu

uu

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

MTNMTN

ϕ

ϕ

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

(6.1)

ili:

(6.2) ⋅f = k u

Matrica k naziva se matrica krutosti {tapa. Matricom krutosti {tapa se povezuju presje~ne sile i pomjeranja osovine {tapa na njegovim krajevima u lokalnom koordinatnom sistemu, tj. koordinatnom sistemu koji vrijedi za taj {tap. Dimenzije matrice krutosti i njen oblik zavise od pretpostavljenog stepena slobode kretanja {tapa. Jedna~inom (6.1) je prikazana matrica krutosti za {tap u ravni, ~iji ~vorovi imaju po tri stepena slobode kretanja (dvije translacije i jedna rotacija). Ukoliko pretpostavimo da je {tap aksijalno krut, {to odgovara zanemarenju normalnih sila u metodi deformacija ( )A I , tada vektor pomjeranja {tapa ima samo ~etiri ~lana razli~ita od nule:

, , ,yi i yju u jϕ ϕ , pa se preko pomjeranja mogu izraziti samo momenti i transverzalne sile

(normalne sile ne moraju biti jednake nuli!):

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

i y

i i

j y

j j

EI EI EI EIL L L L

T uEI EI EI EIM L L L LT uEI EI EI EI

L L L LMEI EI EI EIL L L L

i

j

ϕ

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪= ⋅⎨ ⎬ ⎨⎢

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪⎪⎬⎥⎪⎪⎭

(6.3)

Dakle, pod pretpostavkom da {tap u ravni nema aksijalnu deformaciju, matrica krutosti {tapa se reducira na 4x4. Ukoliko posmatramo {tap re{etke u ravni, pretpostavljamo da je taj {tap optere}en samo aksijalnim silam, {to zna~i da ima isklju~ivo pomjeranja u pravcu x lokalnog koordinatnog sistema. To zna~i da svaki ~vor ima samo po jedan stepen slobode kretanja, tj. {tap ima ukupno dva stepena slobode kretanja. Posljedica je to da matrica krutosti ima dimenzije 2x2:

EA EAL LEA EAL L

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

k ⎥ (6.4)

89


[tap u prostoru ima ukupno 12 stepeni slobode kretanja, jer svaki ~vor ima po tri rotacije i tri translacije, tako da matrica krutosti takvog {tapa ima dimenzije 12x12. Veza izme|u presje~nih sila i pomjeranja se mo`e izraziti jedna~inom:

11 11

11 11

33 33

33 33

55 56 55 56

56 66 56 67

55 56

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0

i

j

xi

xj

yi

zi

yj

zj

zi

yi

zj

yj

N k kN k kM k kM k kT k k k kM k k k kT k k kMTMTM

−⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

55 56

56 67 56 66

77 78 77 78

78 88 78 89

77 78 77 78

78 89 78 88

0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

xi

xj

xi

xj

yi

zi

yj

zj

zi

yi

zj

yj

uu

u

ukk k k k

uk k k kk k k k

uk k k kk k k k

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎧⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅ ⎨⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

gdje je: 11EAkL

= , 33xGIk

L= , 55 3

12 zEIkL

= , 56 2

6 zEIkL

= , 664 zEIk

L= , 67

2 zEIkL

=

77 3

12 yEIk

L= , 78 2

6 yEIk

L= , 88

4 yEIk

L= , 89

2 yEIk

L= .

Da bi dobili kona~ne izraze za presje~ne sile na {tapu koji je izlo`en djelovanju optere}enja ili promjene temperature, posmatra}emo {tap prikazan na slici 6.3. Po{to su pomjeranja na krajevima {tapa jednaka nuli, prakti~no se radi o obostrano uklje{tenom {tapu. Za takav {tap }emo ponovo primijeniti jedna~ine (3.15), (3.18), (3.22) i (3.23), s tim da }e sada figurirati samo ~lanovi vezani za optere}enje.

( ) ( ) ( )00

1 0L

ix xj t x

Nu L u t L L s p s dsEA EA

α⎛ ⎞= = + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫

( ) ( )00

10 0L

jx xi t x

Nu u t L sp s ds

EA EAα

⎛ ⎞= = − + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

32 3 2

0

22

0

1 02 6 6

1 02 2

Li i

y yj y t

Li i

j y

M T tu L u L L L s p s ds LEI EI EI h

M T tL L L L s p s ds LEI EI EI h

α

ϕ ϕ α

Δ= = − + − + =

Δ= = − + − + =

∫

∫ t

( ) ( )

( ) ( )

2 3 3 2

0

2 2

0

10 02 6 6

10 02 2

Lj j

y yi y t

Lj j

i y

M T tu u L L s p s ds LEI EI EI h

M T tL L s p s ds LEI EI EI h

α

ϕ ϕ α

Δ= = + + + =

Δ= = − − − − =

∫

∫ t

90


Iz gornjih jedna~ina se jednostavno mogu dobiti vrijednosti presje~nih sila u ~vorovima i . Uzimaju}i u obzir konvenciju za metodu sila (promjena predznaka sila

i j, ,i i iM T N ) dobivamo:

( ) ( ) 00

1 L

i xN L s p s ds EA tL

α= − − + =∫ nt i

( ) 00

1 L

j x tN sp s ds EA tL

α= − − =∫ n j

( )2

0

1L

i y ts tM s p s ds EIL h

α Δ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ mi

( )2 3

0

1 3 2L

i ys sT pL L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ t is ds

( )2

0

1 1L

j ys tM s p s ds EI

L L hα Δ⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ mt j

( )2 3

0

3 2L

j y js sT pL L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ts ds

Dakle, gornjim jedna~inama su prikazani izrazi za presje~ne sile na krajevima obostrano uklje{tenog {tapa uslijed djelovanja vanjskog optere}enja i promjene temperature. Ove sile se obi~no i ra~unaju kao reakcije obostrano uklje{tene grede, a ne preko prikazanih jedna~ina.

Sada se mogu napisati jedna~ine za presje~ne sile na krajevima optere}enog {tapa preko pomjeranja:

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

i xi

i yi

i i

j xj

j yj

j

EA EAL L

EI EI EI EIN uL L L LT uEI EI EI EIM L L L LN uEA EA

L LT uEI EI EI EIM

L L L LEI EI EI EIL L L L

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ⋅⎨ ⎬ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − −⎩ ⎭ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

i

i

i

j

j

j jϕ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

n

t

m

n

t

m

(6.5)

ili: (6.6) ⋅ +f = k u f

Jedna~ine kojima se momenti izra`avaju preko pomjeranja nazivaju se jo{ i Takabey-eve jedna~ine. U jedna~ini (6.6) vektor f se naziva vektor optere}enja {tapa. Ova jedna~ina vrijedi za {tap koji je na oba kraja kruto vezan za neki drugi {tap. Posebni izrazi za presje~ne sile se mogu napisati za {tapove, koji na jednom kraju

91


imaju zadat rubni uvjet po silama. U su{tini takve jedna~ine se dobivaju tako da se iz zadatog rubnog uvjeta po silama izrazi pomjeranje koje je vezano za tu silu, i onda se taj izraz ubaci u ostale jedna~ine. Ovaj postupak se ina~e naziva stati~ka kondenzacija i njime se, u op{tem slu~aju, mogu iz sistema jedna~ina izbaciti sve jedna~ine ~iji je slobodni ~lan jednak nuli, uz eliminisanje svih nepoznatih koje se nalaze uz dijagonalne ~lanove izba~enih jedna~ina.

Pretpostavimo da je zadat sistem od n jedna~ina sa n nepoznatih:

( ) ( ) ( )1 1nxn nx nx=k u f

Ako m jedna~ina ima slobodan ~lan razli~it od nule, a k jedna~ina slobodan ~lan jednak nuli, tada gornju jedna~inu mo`emo napisati kao:

11

11

m mk mmxmxm mxk mx

km kk kkxkxm kxk kx

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⋅ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

fk k u0k k u

Iz druge matri~ne jedna~ine }emo izraziti pomjeranja koja su vezana za nulte slobodne

~lanove: 1

1 1k kk kmkx kxk kxm mx

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦u k k um

1i ubaciti ih u prvu: 1

1 1m m mk kk km mmxm mx mxk kxk kxm mx m

−

+⎡ ⎤− =⎣ ⎦k u k k k u f

( )1

1 1m mk kk km mmxm mxk kxk kxm mx mx

−⎡ ⎤− =⎣ ⎦k k k k u f k u⇒ ⋅ = f

Time je originalna matrica k kondenzovana u matricu k , ~iji je rang za manji od ranga originalne matrice. Naravno, kondenzovanim sistemom jedna~ina nije mogu}e izra~unati nepoznate koje su izba~ene. U statici i dinamici konstrukcija, ovaj postupak se koristi ukoliko `elimo izra~unati presje~ne sile u svim ta~kama nekog sistema i samo ona pomjeranja koja su neophodna za prora~un presje~nih sila. Ovo }emo pojasniti na slijede}im primjerima.

k

[TAP SA ZGLOBOM NA JEDNOJ STRANI

E,A,I,L i j

Iz poznate ~injenice da momenat u ta~ki mora biti jednak nuli, imamo: j

( ) ( )3 1 32 02 2

jj j i yi yj j j i yi yjM k u u u u

L Lϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛

k= + + − + = ⇒ = − + − −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

mm

⎞⎟⎠

, E2 IkL

=

( )11.52

ji i yi yj iM k u u

Lϕ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

mm

( ) 31.5 12

ji i yi yj i

kT u uL L L

ϕ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

mt+

( ) 31.5 12

jj i yi yj j

kT u uL L L

ϕ⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

tm

Prisustvo zgloba nema uticaja na normalne sile.

92


Jedna~ina {tapa u matri~noj formi ima oblik:

3 2 3

2 2

3 2 3

0 0 0 0

12 6 120 0 0

6 4 60 0 0

0 0 0 0

12 6 120 0 0

0 0 0 0 0 0

i

i xi i

i yi

i i

j xj

j yj

j j

EA EAL L

EI EI EIN uL L LT uEI EI EIML L LN u

EA EAT uL LM EI EI EI

L L L

ϕ

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⋅⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

t

+

32

2

32

0

j

ji

j

jj

L

L

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

m

mm

n

mt

(6.7)

[TAP SA NULTIM POLJEM ZA TRANSVERZALNU SILU

E,A,I,L i j

U su{tini primjenjujemo isti postupak. Transverzalna sila u ta~ki mora biti jednaka nuli:

j

( ) ( )3

2

26 02 12

yi yjj i j j yj yi i j

u uEI L LT u uL L

ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤−

= − + + + = ⇒ = + + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

t t jEI

( )2i i j i j

EI LML

ϕ ϕ= − + +m t

( )2j j i j j

EI LML

ϕ ϕ= − + +m t

i jT = +t ti

0 0 0 0

0 0 0 0 0 04 20 0 0 0

2

0 0 0 00

0 0 0 0 0 02 4 20 0 0 0

i

i xi j

i y

i ji

j x j

j y

j jj j

EA EAL L

N uT uEI EI LM L LN uEA EA

L LT uM L

EI EIL L

ϕ

ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎧⎢ ⎥ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫ +⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ +⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ +⎢ ⎥ ⎪⎩⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

t t

m t

n

m t

⎫i

i

i

j

j

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(6.8)

93


Na isti na~in se mogu dobiti jedna~ine {tapa i za druge rubne uvjete na krajevima ili za njihovu kombinaciju.

6.2. Identifikacija minimalnog broja nepoznatih pomjeranja sistema.

Sve prikazane jedna~ine {tapa i matrice krutosti su izvedene pod pretpostavkom da je {tap izme|u ~vorova i i prav, konstantnog popre~nog presjeka i bez nultih polja za bilo koju presje~nu silu. Drugim rije~ima, izme|u ~vorova i i linija pomjeranja je kontinualna i glatka. Ovim uvjetom se prakti~no definira minimalan broj ta~aka-~vorova u kojima je potrebno izra~unati pomjeranja da bi se dobili ta~ni rezultati metodom deformacija. Ukoliko ne postoje nulta polja za pomjeranja jedan ~vor ima dvije translacije i jednu rotaciju, tj. tri nepoznata pomjeranja ili tri stepena slobode kretanja. Na slici 6.3. prikazani su ~vorovi sa zglobovima (nultim poljem za momenat) i odgovaraju}i broj stepeni slobode kretanja. U principu {tap koji je zglobno vezan za neki ~vor u tom ~vor ima ugao zaokreta koji je neovisan o uglu zaokreta ~vora.

jj

SSK=4SSK=3 SSK=6

Slika 6.3.

Dakle, za neki zadati linijski sistem u ravni, ukupan broj pomjeranja se ra~una kao zbir slobodnih translacija - pomaka i rotacija - uglova zaokreta ~vorova. Broj pomaka je jednak broju ~vorova pomno`enom sa dva. Od ovog broja se oduzima broj pomaka koji je zadat rubnim uvjetima (pokretni i nepokretni oslonci). Broj uglova zaokreta je jednak broju ~vorova, uve}anom za broj zglobnih veza. Od ovog broja treba oduzeti broj ~vorova gdje je rubnim uvjetima definisano uklje{tenje. Sve ovo se mo`e predstaviti slijede}om jedna~inom:

; 2 ;p zSSK SP SU SP n r SU n s r= + = − = + − u

Primjeri:

a) n=6, rp =5, sz =0, ru=2, SP=7 SU=4 3 2 Nepoznata pomjeranja:

1 1 2 2 3 3 5, , , , , ,x y x y x y xu u u u u u u

Nepoznate rotacije: 1 2 3 5, , ,ϕ ϕ ϕ ϕ

1

4 5 6

b) n=6, rp =6, sz =2, ru=1, SP=6 SU=7

Nepoznata pomjeranja:

1 1 2 2 3, , , , , 3x y x y x yu u u u u u

Nepoznate rotacije: 1 2 1 2 5 2 3 3 4 5, , , , , ,ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − −

1 3

2

4 5 6

94


U nekim slu~ajevima mogu se uvesti dodatni ~vorovi, da bi se metoda deformacija mogla primijeniti. Tipi~an slu~aj je prora~un pomaka neke ta~ke obostrano uklje{tene grede metodom deformacija. Uvo|enjem novog ~vora na mjestu gdje se traì pomak dobivamo ukupno tri ~vora, a nepoznate su pomaci i ugao zaokreta ~vora 3.

1 3 2

Identifikacija nepoznatih pomjeranja je prvi korak pri primjeni metode deformacija. Prikazani metod utvr|ivanja broja nepoznatih pomjeranja zasniva se na pretpostavci da su svi {tapovi deformabilni. Metoda deformacija zasnovana na ovakvoj pretpostavci naziva se ta~na ili stroga metoda deformacija. Za razliku od nje postoji i tehni~ka metoda deformacija, gdje se pretpostavlja da su {tapovi aksijalno kruti. Opravdanje za primjenu ove metode deformacija je isto kao pri zanemarenju uticaja normalnih sila u metodi sila. Naime, u matrici krutosti {tapa, ~lanovi vezani za aksijalna pomjeranja i sile su mnogo ve}i od ostalih ~lanova. Utvr|ivanje broja nepoznatih pomaka je ne{to komplikovanije za tehni~ku metodu deformacija, jer broj nepoznatih pomjeranja zavisi od poloàja i broja {tapova. Po{to sada {tapovi imaju malu krutost na savijanje u odnosu na aksijalnu krutost, ovaj zadatak se moè svesti na utvr|ivanje stepena slobode kretanja mehanizma sa krutim {tapovima. Naime, u svaki ~vor sistema se moè ubaciti fiktivni zglob, ~ime se dobiva mehanizam koji se obi~no naziva zglobna {ema. Sada se broj nepoznatih pomaka jednak stepenu slobode kretanja takvog mehanizma. U primjeru a) bi postojala dva nepoznata pomaka i to: horizontalni pomak ~vora 5 i horizontalni pomak ~vorova 1,2 i 3. Jasno je da horizontalni pomak ovih ~vorova mora biti jedinstven radi aksijalne krutosti grede. Svi vertikalni pomaci su jednaki nuli radi toga {to su stubovi aksijalno kruti. Nepoznati uglovi zaokreta se odre|uju na isti na~in za tehni~ku i za ta~nu metodu deformacija.

Primjer:

Zglobna {ema

Prema ta~noj metodi deformacija prikazani sistem ima 8 nepoznatih pomaka - u svakom od slobodnih ~vorova po dva. Prema tehni~koj metodi deformacija isti sistem ima jedan nepoznati pomak, jer je zglobna {ema mehanizam sa jednim stepenom slobode kretanja, koje je {ematski prikazano na slici.

1 2

3

4

P2

2

1 3

95


6.3. Postavljanje uvjeta ravnoteè. Asembliranje matrice krutosti.

Kako je u uvodu ovog poglavlja re~eno, nepoznata pomjeranja se dobivaju iz sistema jedna~ina koji se formira iz uslova ravnoteè. Presje~ne sile na krajevima {tapova, dakle u ~vorovima, su izraène preko pomjeranja ~vorova. Optere}enja i promjene temperature koje djeluju na {tapove su, tako|er, redukovana na ~vorove preko vektora optere}enja za svaki {tap. Postavljaju}i uvjete ravnoteè za svaki ~vor koji ima pomjeranje dobivaju se jedna~ine u kojima su nepoznata pomjeranja. Uvjeti ravnoteè se mogu postaviti na vi{e na~ina: direktno - isijecanjem ~vorova i postavljanjem uvjeta da je suma sila (i momenata) za svaki ~vor jednaka nuli. Po{to se uslovi ravnoteè postavljaju u pravcu svakog nepoznatog pomjeranja, dobiva se onoliko jedna~ina koliko ima nepoznatih pomjeranja.

qPrimjer 1:

Prema ta~noj metodi deformacija ovaj sistem ima 5 nepoznatih pomjeranja:

2 2 3 2, , , ,X Y Xu u u 3ϕ ϕ . Uvjeti ravnoteè koji se mogu postaviti su:

0, 0, 0M X Y= =∑ ∑ ∑ = za ~vor 2 i 0, 0M X= =∑ ∑ za ~vor 3.

Rastavljaju}i sistem na ~vorove i {tapove, u ~vorovima postavljamo iste sile kao na krajevima {tapova, sa suprotnim predznakom. To zna~i da su sile koje djeluju na ~vor pozitivne ako: djeluju odozgo prema dolje, s desna u lijevo i u pravcu kazaljke na satu, {to je upravo suprotno od konvencije koja vrijedi za {tap.

Lokalni koordinatni sistem {tapa 1 je zarotiran za ugao α u odnosu na globalni. Po{to su jedna~ine {tapa izvedene u lokalnom koordinatnom sistemu, potrebno je pomjeranja prikazati u lokalnom koordinatnom sistemu {tapa 1 (vidi jedna~nu 2.18):

2 2 2 2 2 2 1

22 2 2 2

cos sin cos sincos sin sin cos

x X Y x X

yy Y X Y

u u u u uuu u u u

α α α αα α α α

−= + ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪⇒ = ⋅ ⇒ =⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎭

u T ⋅u

Radi kra}eg pisanja uve{}emo slijede}e oznake:

2 3

L2 21

L1 1 α

T3-2 T3-2 T2-3

N2-3

3M2-3

M2-3

2

N2-1

N2-1 T2-1

M2-1

M2-1 T2-1

N2-3

N3-2 M3-2 M3-2

96


1 1 1 12 31 1 1

4 6 1; ; ;M T N TEI EI EA EIk k k kL L L

= = = =1

2L

2 22 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 1 1

3 22 2 ; ;y yT N

u uEIxM T k N k u

L L Lϕ ϕ− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

Za {tap 2 imamo:

( )2 22 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3

2 2 2

3 22 2 ; ;Y YT N

u uEIX XM T k N k u u

L L Lϕ ϕ ϕ ϕ− − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦m t

( )2 23 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2

2 2 2

3 22 2 ; ;Y YT N

u uEIM T k NL L L

ϕ ϕ ϕ ϕ− − − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = − + + + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦m t X Xk u u

gdje su: 22 2

2 3 3 2 2 3 3 2;12 2qL qL

− − − −= − = = =m m t t

Uslovi ravnoteè:

( ) ( )22 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 30 cos s

2M

M M T T Y T XkM M k k k k u k uϕ ϕ α α− − −+ = ⇒ + + + − + + =min 0

( ) ( )2 1 2 3 2 1

2 21 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3

cos sin 0

sin cos sin sin cos 0T N T Y T N N X N

N N T

k k k u k k k u k uX

α α

αϕ α α α α− − −+ − = ⇒

+ − + + + − =

2 1 2 1 2 3sin cos 0N T Tα α− − −+ + = ⇒

( ) ( ) ( )2 22 1 2 2 3 2 1 1 2 1 2 2 2 3cos sin cos sin cos 0T T T T N T Y N T Xk k k k k k u k k uα ϕ ϕ α α α α −− + + + + + − +t =

23 2 2 3 2 2 2 3 20 0

2M

M T YkM k k uϕ ϕ− −= ⇒ + + + =m

3 2 2 3 2 20 0N X N XN k u k u− = ⇒ − =

( )

( )

21 2 2 1 1

2 2 322 2

3 3 2

2 2 32 1 2 33 1 1

2

31 1 1 44 2

2 2

cos sin 02

0 02

sin 2cos 02 0

sin 2 0sin 02

0 0 0

MM M T T T

MM T

YT T T N T

X

XT N T N

N N

kk k k k k

k k k

uk k k d k kuuk k k d k

k k

α α

ϕϕ

αα

αα

−

−

−

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⋅ +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

m

m

t

00000

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

ili: (6.9) ⋅ + =K u F 0

Matrica se naziva globalna matrica krutosti. To je uvijek simetri~na, kvadratna matrica ~iji je rang jednak broju nepoznatih pomjeranja. Globalna matrica krutosti je izvedena iz uvjeta ravnoteè, koji su postavljeni direktno. Jasno, na ovaj na~in se ne moè dobiti op{ti izraz za dobivanje globalne matrice krutosti.

K

97


Kako je pokazano u prethodnim poglavljima, uvjeti ravnoteè se mogu postaviti i na druge na~ine. Koriste}i Lagrange-ov princip virtuelnih radova ili energetski kriterij ravnoteè, dobili smo slijede}u jedna~inu ravnoteè u matri~nom obliku:

T Tδq kq +δq Q = 0 (6.10)

gdje se δ moè interpretirati ili kao vektor virtuelnih pomjeranja ili kao varijacija vektora pomjeranja kompletnog sistema. Po{to su nepoznata pomjeranja stvarna pomjeranja ona su ujedno i virtuelna. Ako traèna pomjeranja ~vorova prikaèmo preko vektora pomjeranja , matricu krutosti ozna~imo sa i vektor generalisanih sila koje odgovaraju traènim pomjeranjima sa , jedna~ina (6.10) se moè napisati kao:

q

u KkF

+T Tkδu Ku δu F = 0 (6.11)

Prvi sabirak jedna~ine (6.11) predstavlja rad unutra{njih sila na virtuelnim pomjeranjima ~vorova, a drugi rad vanjskih sila koje djeluju u ~vorovima. Unutra{nje sile u ~vorovima su prikazane pomo}u jedna~ine {tapa (6.6). U op{tem slu~aju linijski sistem se sastoji od n {tapova. Za svaki {tap moèmo napisati jedna~inu {tapa:

(6.12) i i i= ⋅ +f k u f i

T

U gornjoj jedna~ini je vektor unutra{njih sila, je matrica krutosti {tapa i ,

je vektor pomjeranja, a vektor optere}enja {tapa. Kompletna jedna~ina je data u

lokalnom koordinatnom sistemu {tapa. Virtuelni rad unutra{njih sila na pomjeranjima moè se izraziti kao suma virtuelnih radova unutra{njih sila na {tapovima. Pod pretpostavkom da se sistem sastoji od n {tapova, imamo:

if ik iu

if

(6.13) 1 1 1

n n n

i i i i i i ii i i= = =

= ⋅ ⋅ +∑ ∑ ∑T Tδu f δu k u δu f

Sada se Lagrange-ov princip ravnoteè moè napisati kombinovanjem jedna~ina (6.11) i (6.13):

(6.14) 011

=+⋅+⋅⋅ ∑∑==

kTTT Fδuδuukδu

n

iii

n

iiii f

Problem sa jedna~inom (6.14) je u tome da je rad unutra{njih sila dat preko vektora koji su definisani u lokalnim koordinatnim sistemima, a rad vanjskih sila preko vektora pomjeranja kompletnog sistema, tako da se ova jedna~ina na moè direktno iskoristiti za prora~un pomjeranja. Da bi to bilo mogu}e potrebno je vektore pomjeranja koji su dati u lokalnim koordinatnim sistemima prikazati preko jedinstvenog vektora pomjeranja koji se defini{e u jedinstvenom globalnom koordinatnom sistemu.

Prvi korak je na}i projekcije vektora pomjeranja {tapa u globalnom koordinatnom sistemu. Jedna~ine {tapa su izvedene u lokalnom koordinatnom sistemu, koji je u op{tem slu~aju zarotiran za ugao α u odnosu na globalni koordinatni sistem.

98


Y

αi

j

k

xy

X

Slika 6.4

Koriste}i jedna~ine za preslikavanje vektora iz lokalnog u globalni koordinatni sistem, koje su izvedene u drugom poglavlju, mo`emo izraziti vektor pomjeranja {tapa u globalnom koordinatnom sistemu:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

k

Yk

Xk

j

Yj

Xj

k

yk

xk

j

yj

xj

uu

uu

uu

uu

ϕ

ϕ

αααα

αααα

ϕ

ϕ

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

ili: (6.15) eiii uTu ⋅=

Matrica se naziva matrica transformacije {tapa iT i i zavisi isklju~ivo od nagiba

{tapa u odnosu na globalni koordinatni sistem. Vektor predstavlja vektor pomjeranja {tapa

eiu

i u globalnom koordinatnom sistemu. O~igledno, kada se lokalni i globalni koordinatni sistem poklapaju matrica transformacije je jedini~na. Istom matricom transformacije se preslikavaju i vektori virtuelnih pomjeranja iz lokalnog u globalni koordinatni sistem:

(6.16) Ti

Tei

Ti Tδuδu =

Uvr{tavanjem jedna~ina (6.14) i (6.15) u jedna~inu (6.13) dobivamo:

(6.17) 011

=+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ ∑∑==

kTTTTT FδuTδuuTkTδu

n

iii

ei

n

iiiii

ei f

U jedna~ini (6.17) vektori pomjeranja su dati u globalnom koordinatnom sistemu. Preostalo je vektore pomjeranja {tapova izraziti preko vektora pomjeranja kompletnog sistema. Svaki od {est ~lanova vektora predstavlja pomjeranje prvog ili drugog ~vora {tapa

eiu

i u pravcu osovina globalnog koordinatnog sistema. Po{to su pomjeranja svih ~vorova u globalnom koordinatnom sistemu sadr`ana u vektoru pomjeranja sistema, sve {to je potrebno uraditi je definisati mjesto svakog ~lana vektora

u vektoru pomjeranja sistema. To je mogu}e uraditi uspostavljanjem veze u obliku: eiu

(6.18) uLu ⋅= iei

99


Matrica naziva se matrica kompatibilnosti. Ova matrica ima {est vrsta, a broj kolona je jednak broju nepoznatih pomjeranja sistema. U svakoj vrsti ima najvi{e jedan ~lan koji je jednak 1, dok su ostali jednaki nuli. Broj kolone (npr. u drugoj vrsti) u kojoj se nalazi 1 jednak je broju vrste vektora pomjeranja sistema u kojoj se nalazi pomjeranje {tapa na koje se druga vrsta odnosi. Dakle, matrica kompatibilnosti jednog {tapa ima onoliko jedinica koliko ~vorovi {tapa imaju pomjeranja (zna~i maksimalno {est), a sve ostalo su nule. Ukoliko je neko pomjeranje {tapa sprije~eno rubnim uvjetima po pomjeranjima, tada su u odgovaraju}oj vrsti sve nule. Dakle, matrica kompatibilnosti zavisi isklju~ivo od poloàja {tapa u sistemu {tapova i rubnih uvjeta.

iL

Primjenjuju}i jedna~inu (6.18) na virtuelna pomjeranja i uvr{tavaju}i je u jedna~inu (6.17) dobiva se:

(6.19) 011

=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∑∑==

kTTTTTTT FδuTLδuuLTkTLδu

n

iiii

n

iiiiii f

Mnoè}i gornju jedna~inu sa dobivamo: 1Tδu −

(6.20) 011

=+⋅⋅+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅ ∑∑

==k

TTTT FTLuLTkTLn

iiii

n

iiiiii f

Izraz u uglastoj zagradi u jedna~ini (6.20) predstavlja zbir kvadratnih matrica dimenzija mxm, gdje je m broj nepoznatih pomjeranja. Druga suma je suma vektora odgovaraju}ih dimenzija. Ako uvedemo oznake:

(6.21) kTTTT FTLFLTkTLK +⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ∑∑

==

n

iiii

n

iiiiii

11f

moèmo napisati:

0FuK =+⋅ (6.22)

Jedna~ina (6.22) predstavlja sistem jedna~ina iz kojeg se ra~unaju nepoznata pomjeranja, tj. odre|uje se vektor . Matrica u K se naziva globalna matrica krutosti sistema, i kako smo vidjeli, dobiva se iz uvjeta ravnoteè. Proces dobivanja globalne matrice krutosti iz matrica krutosti {tapova naziva se asembliranje. Vektor je vektor slobodnih ~lanova i predstavlja vanjsko optere}enje redukovano u ~vorove.

F

Ovakav na~in formiranja sistema jedna~ina metode deformacija }emo pokazati na primjeru 1. Sistem se sastoji od dva {tapa. Za svaki {tap }emo napisati vektore sila, pomjeranja i optere}enja u lokalnom koordinatnom sistemu, te matrice krutosti, transformacija i kompatibilnosti. Koriste}i iste oznake primjenjene u primjeru 1., imamo:

1

1

1 11 2

1 1 1 11 2

1 1 11 2 2

1 12 1

1 1 1 12 1

1 1 12 1 2

0 0 0 0 00 0 00 0 0

; ;0 0 0 0 0

0 0 00 0 0

M

M

N N

T T T Tk

T M T

N N

T T T Tk

T T M

k kNk k k kTk k kM

k kNk k k kT

k k kM

−

−

−

−

−

−

−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪= = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪− − −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

−

⎪= ⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

1 1 1f k f

100


1

1

1

2

2

2

x

y

x

y

uu

uu

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1u ,

cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 cos sin0 0 0 sin cos0 0 0 0 0

α αα α

α αα α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1T0001

u

Matricu kompatibilnosti dobivamo na osnovu veze vektora pomjeranja {tapa 1 i vektora pomjeranja sistema:

1

1

1

2

2

2

X

Y

X

Y

uu

uu

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

e1 1u L ; 2

2

3

Y

X

X

uuu

ϕϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

2

3

u

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 01 0 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1L

Prve tri vrste su vezana za dva pomaka i rotaciju prvig ~vora {tapa 1. Po{to se u tom ~voru nalazi uklje{tenje (rubni uvjet) sva ova pojmjeranja su jednaka nuli, pa u ovim vrstama nema jedinica. ^etvrtom vrstom se definira mjesto horizontalnog pomjeranja drugog ~vora {tapa 1 (~vor 2). Po{to se to pomjeranja nalazi u 4. vrsti vektora pomjeranja sistema, jedinica se nalazi u 4. koloni. Istim rezonom se formiraju peta i {esta vrsta matrice kompatibilnosti {tapa 1.

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

sin 2 sin 2cos sin sin cos sin sin

2 2sin 2 sin 2

sin cos cos sin cos cos2 2

sin cos sin cos

N T N T T N T N T T

N T N T T N T N T T

T T M T T

T

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k

k k k k k

α α

1Mk

α α α α α

α α

α

α α α α α

α α α α

+ − − − − − −

− + − − −

− −

⋅ ⋅ =

+

+

T k T

α

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

/ 2

sin 2 sin 2cos sin sin cos sin sin

2 2sin 2 sin 2

sin cos cos sin cos cos2 2

sin cos / 2 sin cos

N T N T T N T N T T

N T N T T N T N T T

T T M T T

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k

k k k k k

α α

1Mk

α α α α α

α α

α

α α α α α

α α α α

− − − + + −

− + − − − − + −

− −

⎡⎢⎢⎢⎢

⎣

⎤

α

⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

101


( )

( )

2 21 1 1 1

1 1

1 1 1

11 1 1 1 1

2 21 1

sin 2sin cos

2sin 2

2

0 cos sin0 0 0 0

cos 0 0

sin 0 cos sin 0

0 0 0 0

N T N T

N T

M T T

T T T

T N

k k k k

k k

k k k

k

k k

αα α

α

α α

α

α α

+ −

−

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L T k T L

1

00

0

Tk α

2

2

2

2 22 3

22 2 2 22 3 2

2 2 22 3 22 2 2

2 23 2

2 2 2 23 2 2

2 2 23 2 222

0

0 0 0 0 20 00 0 12; ;

0 0 0 0 00 0

20 0

12

M

M

N N

T T T Tk

T M T

N N

T T T Tk

T T M

qLk kN

k k k kT qLk k kM

k kNk k k kT qL

k k kMqL

−

−

−

−

−

−

⎧⎪⎪−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪= = =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪− − −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪−⎩

f k f

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎭

2

2

22

3

3

3

x

y

x

y

uu

uu

ϕ

ϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

u , 2

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T I 2

0 0 0 1 00 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 1 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

[tap 2. ima sprije~eno samo vertikalno pomjeranje drugog ~vora (peta vrsta), a matrica transformacije je jedini~na. Stoga je:

2 2 2T ⋅ ⋅ =T k T k 2

2

22 2

22 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0 02

0 02

00 00 0 0

T

MM T

MM TT T

T T

N N

N N

k

kk k

kk k

k kk kk k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

L T k T L

22

22

2 2 22

12

12

200

T T

qL

qL

qL

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⋅ ⋅ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

L T f

Uvr{tavaju}i dobivene rezultate u jedna~inu (6.21) dobivamo matricu krutosti sistema i vektor ~vornih sila.

102


( )

( )

21 2 2 1 1

22 2

2 1 2 33 1 1

1 1 1 44 2Nk

2 2

cos sin 02

0 02

sin 2cos 02

sin 2sin 02

0 0 0

MM M T T T

MM T

T T T N T

T N T

N N

kk k k k k

k k k

k k k d k k

k k k d

k k

α α

αα

αα

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

K

22

22

2

12

12

200

qL

qL

qL

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

F

Kako je vidljivo, dobivena je ista matrica krutosti sistema, odnosno isti sistem jedna~ina metode deformacija, kao pri primjeni direktnih uslova ravnoteè (jedna~ina 6.9).

Prikazani na~in dobivanja matrice krutosti sistema iz matrica krutosti {tapova je jako pogodan za izradu softverskog modula. Na osnovu zadatih ulaznih podataka: koordinate ~vorova, karakteristika materijala i popre~nog presjeka za svaki {tap lako je izra~unati matrice krutosti i matrice transformacije za svaki {tap. Na osnovu geometrije sistema i rubnih uvjeta (veze izme|u {tapova i oslonci) lako se identificiraju nepoznata pomjeranja (sva pomjeranja ~vorova izuzev onih koji su sprije~eni osloncima), koja se smje{taju na proizvoljan na~in (prema numeraciji ~vorova) u vektor pomjeranja sistema. Ova pomjeranja se pridruùju pojedinim {tapovima i na osnovu toga se formiraju matrice kompatibilnosti za svaki {tap. Ostatak procesa asembliranja matrice krutosti i vektora ~vornih sila se svodi na mnoènje i sabiranje matrica.

6.4. Rje{avanje sistema jedna~ina.

Nakon formiranja sistema jedna~ina potrebno je system jedna~ina rije{iti da bi se dobila nepoznata pomjeranja sistema. Rje{avanje sistema jedna~ina obi~no oduzima najvi{e vremena u procesu prora~una. Sistem jedna~ina se moè rije{iti ili iterativnim ili direktnim metodama. Naj~e{}e kori{teni direktni metod jeste metod Gauss-ove eliminacije. Pretpostavimo da treba rije{iti sistem od n jedna~Ina sa n nepoznatih zadat u matri~nom obliku kao:

⋅ =K u F (6.23)

Metod Gauss-ove eliminacije se sastoji od tri faze. U prvoj fazi, koja se naziva triangularna dekompozicija matrica se zamjenjuje proizvodom dvije matrice. Jedna od njih je donja trougaona, a druga gornja trougaona. Ako prvu ozna~imo sa S , a drugu sa imamo:

K

R

;= ⋅K S R

( )

21

1 2 1

1 0 0 . . 01 0 . . 0

. 1 0 .

. . 0.

. 1. . 1n n n n

s

s s s −

.0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

11 12 1

22 2

1

. . .0 . . .0 0 .. . .. .

0 0 . . 0

n

n

n n

nn

r r rr r

r

r−

S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

103


Dakle, prva faza se sastoji u odre|ivanju matrica S i iz matrice . Ove matrice se odre|uju korak po korak. U prvom koraku se odre|uje prva vrsta matrice i prva kolona matrice R :

R KS

1 1 11 1 1 11

n

j k kj j j jk

k s r s r r r k=

= = = ⇒ =∑ 1 j

11k

1 1 1 11 1 11

/n

i ik k i i ik

k s r s r s k=

= = ⇒ = −∑

Prvu vrstu matrice , odnosno prvu kolonu matrice S , moèmo prikazati u obliku vektora:

R

11 11 11 11

12 12 21 211 1

11

1 1 1

1;

n n n n

r k s kr k s k

kr k s k

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

R SM M M M

1

U drugom koraku moèmo modifikovati originalnu matricu tako {to }emo od nje oduzeti proizvod :

K1T⋅1S R

( ) ( )21 1 1 1

11

1Tij ij i jk k k k

k= − ⇒ = −2K K S R (6.24)

Iz jedna~ine (6.24) vidi se }e u prvoj koloni i prvoj vrsti ove matrice biti samo nule, {to prakti~no zna~i da matrica ( )2K ima n-1 vrsta i kolona. Druga vrsta matrice moè se odrediti na osnovu izraza za drugu vrstu matrice :

RK

( )2(6.24)212 2 21 1 2 2 2 1 2

1 11

n

i k ki i i i i i ik

kk s r s r r r k k r kk=

= = + ⇒ = − ⎯⎯⎯→ =∑ 2i

Druga kolona matrice S dobiva se kao: ( )

( )

2(6.24)1 12 1 12 2

2 2 1 12 2 22 2 2 21 22 11 22 22

1ni i

i ik k i i i ik

s r k k kk s r s r s r s sr k r k=

= = + ⇒ = − = − ⎯⎯⎯→ = −∑ i

Obzirom da je prva vrsta matrice ( )2K jednaka nuli, ( )22ik su ~lanovi prve nenulte

vrste matrice ( )2K , a su ~lanovi prve nenulte kolone. To zna~i da se u drugom koraku druga vrsta i druga kolona matrica S i ra~unaju na isti na~ina kako je to ra|eno u prvom koraku, samo se umjesto originalne matrice , koristi modifikovana - kondenzovana matrica

( )22ik

RK

( )2K . Prema tome, ostale vrste i kolone se mogu izra~unati ponavljanjem drugog koraka. U poslednjem koraku kondenzovana matrica ima samo jedan ~lan razli~it od nule:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )

1 11 11

11 1

n nn n n nn n

nn nn nn n

k kk k

k

− −− −−−− −

= − (6.25)

Dekompozicijom matrice , koja se vr{i u n koraka zavr{ena je prva faza Gauss-ove metode eliminacije. Sada jedna~inu (6.23) moèmo napisati u obliku:

K

⋅ =S y F y R u= ⋅ (6.26)

104


Sistem jedna~ina se mo`e jednostavno rije{iti, tako {to }e se prvo rije{iti prva jedna~ina sistema, koja ima samo jednu nepoznatu:

⋅ =S y F

1 1y f=

Druga jedna~ina ima oblik:

21 1 2 2s y y f+ =

Koriste}i rje{enje prethodne jedna~ine i ovo je jedna~ina sa samo jednom nepoznatom , koju je lako izra~unati. Nakon toga se prelazi na slijede}u jedna~inu gdje se uz izra~unate i javlja opet samo jedna nepoznata . Postupak pronala`enja vektora

2y

1y 2y 3yy se zavr{ava kada se iz poslednje jedna~ine izra~una . Time

se zavr{ava druga faza Gauss-ovog metoda., koja se nazivca i prednja redukcija. ny

Tre}a, poslednja faza se naziva zadnja supstitucija i svodi se na rje{avanje sistema jedna~ina:

⋅ =R u y (6.27)

Po{to je vektor y poznat, ovaj sistem jedna~ina se rje{ava od poslednje jedna~ine koja ima oblik:

nnn n n n

nn

yr u y ur

= ⇒ =

Pretposlednja jedna~ina sada ima samo jednu nepoznatu , koja se lako izra~unava jednostavnim algebarskim operacijama. Ovaj postupak se nastavlja sve dok se iz prve jedna~ine ne izra~una {to je poslednja nepoznata datog sistema jedna~ina.

1nu −

1u

Primjer: Rije{iti sistem jedna~ina Gauss-ovom metodom.

1

2

3

4

2 4 0 1 264 5 2 3 160 2 1 4 121 3 4 6 36

uuuu

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Rje{enje:

Prva faza.

{ } { }1 12 4 0 1 ; 1 2 0 0.5T T= =R S ( )2

0 0 0 00 3 2 10 2 1 40 1 4 5.5

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

{ } { }2 13 32 20 3 2 1 ; 0 1T T= − = − −R S ( )3

7 143 3

35143 6

0 0 0 00 0 0 00 00 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

105


{ } { }7 143 33 30 0 ; 0 0 1 2T T= =R S ( )4

72

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

K

{ } { }4 470 0 0 ; 0 0 0 12

T T= − =R S

72 13 3

713 2

1 0 0 0 2 4 0 12 1 0 0 0 3 2 1

;0 1 0 0 0

0.5 2 1 0 0 0

−

−

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ −⎢ ⎥ ⎢= =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ −⎣ ⎦ ⎣

S R4

3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

2 13 31 2 3 426, 16 2 26 36, 12 36 12, 36 0.5 26 36 2 12 35y y y y= = − ⋅ = − = − ⋅ = − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

( )

( )

4

3

2

1

35 2 107

3 1412 10 14.867 3

1 36 2 14.86 10 18.573

1 26 10 4 18.57 19.142

u

u

u

u

⋅= − = −

⎛ ⎞= − + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − − ⋅ + =

= + − ⋅ = −

{to su rje{enja gornjeg sistema jedna~ina.

Prednost ove metode je {to se unaprijed zna broj ra~unskih operacija koje je potrebno izvr{iti za rje{avanje sistema jedna~ina, a samim tim i kompjuterskog vremena. Usavr{avanje ove metode ima cilj da se na najefikasniji na~in pohrajunjuju samo komponente razli~ite od nule, ~ime se posti`e zna~ajna u{teda u utro{ku kompjuterskog vremena i prostora za prora~un velikih sistema jedna~ina.

6.5. Prora~un presje~nih sila u {tapovima.

Rje{avanjem sistema jedna~ina dobivaju se pomjeranja svih ~vorova sistema, a samim tim i pomjeranja ~vorova svakog {tapa. Koriste}i jedna~ine {tapa mogu se izra~unati vektori presje~nih sila u svakom {tapu:

(6.28) i i i= ⋅ +f k u f i

Jedini problem je {to gornja jedna~ina podrazumijeva da je vektor pomjeranja dat u lokalnom koordinatnom sistemu i-tog {tapa, a rje{avanjem sistema jedna~ina dobili smo vektor pomjeranja sistema. Prema tome, potrebno je iskoristiti izraze kojima se povezuju vektori pomjeranja svakog {tapa sa vektorom pomjeranja sistema. Iz jedna~ina (6.15) i (6.18) dobiva se:

106


(6.29) i i i= ⋅ ⋅u T L u

Uvr{tavanjem (6.29) u (6.28) dobiva se:

(6.30) i i i i= ⋅ ⋅ ⋅ +f k T L u f i

Pomo}u jedna~ine (6.30) mogu se dobiti sve presje~ne sile na po~etku i na kraju {tapa jednostavnim ra~unskim operacijama sa matricama. Ukoliko su uslovi ravnoteè postavljeni direktno, tada se koriste pojedina~no jedna~ine za svaku presje~nu silu i tada je potrebno izra~unati projekcije pojedinih pomaka na osovine lokalnih koordinatnih sistema, koje osim uglova zaokreta figuriraju u tim jedna~inama.

Kada se sra~unaju sile u ~vorovima, iz uslova ravnoteè se lako mogu izra~unati i sile u svim presjecima {tapa i tako dobiti dijagrami presje~nih sila. Napominje se jo{ jednom da je i u ovoj fazi potrebno voditi ra~una da predznaci dobivenih presje~nih sila odgovaraju konvenciji koja vaì za metodu deformacija. Time se zavr{ava proces rje{avanja elasti~nog linijskog sistema ta~nom metodom deformacija.

107

teorija linijskih nosa^a ii - gf.unsa.ba · pdf filesve glavne procedure koje se vr{e pri...

Documents