28/09/2012

1

SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS

Sample space Ω adalah sekumpulan semua sample points ω yang mungkin; dimana Sample space,Ω, adalah sekumpulan semua sample points,ω, yang mungkin; dimana ω∈Ω

Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:Ω={Gambar,Angka}Contoh 2. Menggelindingkan dadu: Ω={1,2,3,4,5,6}Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: Ω={0,1,2,…}Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): Ω={x∈ℜ⏐x>0}

Events A,B,C,… ⊂ Ω adalah himpunan bagian dari sample spaceContoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6}Contoh 2 Tidak ada pelanggan ang mengantri A {0}Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0}Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x∈ℜ⏐x>3}

Event yang pasti : sample space Ω

Event yang tidak mungkin : himpunan kosong (∅)

2

28/09/2012

2

KOMBINASI EVENT

Union (gabungan) :“A atau B” : A∪B={ω∈Ω⏐ω∈A atau ω∈B}

Irisan: “A dan B” : A∩B={ω∈Ω⏐ω∈A dan ω∈B}

Komplemen : “bukan A”:Ac={ω∈Ω⏐ω∉A}

Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A∩B=∅

Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika

(i) Bi ∩ Bj=∅ untuk semua i≠j(ii) ∪iBi =A

3

PROBABILITAS (PELUANG)

Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A)

P(A)∈[0,1]

Sifat-sifat peluang

Back to Six

4

28/09/2012

3

CONDITIONAL PROBABILITY (PELUANG BERSYARAT)Asumsikan bahwa P(B)>0

Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut

Dengan demikian

5

TEOREMA PROBABILITAS TOTAL

Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space ΩBila {Bi} merupakan partisi dari sample space ΩLalu {A∩Bi} merupakan partisi dari event A, maka

berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4

Kemudian asumsikan bahwa P(B )>0 untuk Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

6

28/09/2012

4

TEOREMA BAYES

Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ωi

Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5

Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh

Ini merupakan teorema Bayes

Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi

Peluang P(Bi⏐A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)

7

KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI EVENT (STATISTICAL INDEPENDENCE OF EVENT)

Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika

Dengan demikian

Demikian pula

8

28/09/2012

5

PEUBAH ACAK (RANDOM VARIABLES)

Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space Ω;X: Ω→ℜ

Setiap titik sample (sample points) ω∈Ω dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(ω)Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X

9

CONTOH

Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T)

Sample space:

Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut maka :tersebut, maka :

10

28/09/2012

6

PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (PDF)

Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: ℜ→ [0,1] yang didefinisikan p g X [ , ] y gsebagai berikut

PDF menentukan distribusi dari peubah acak

Sifat

11

KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI PEUBAH ACAK(STATISTICAL INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES)

Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y

Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

12

28/09/2012

7

PEUBAH ACAK DISKRIT

Definisi : himpunan A⊂ℜ disebut diskrit bila

Terbatas : A={x1,…,xn}, atauTak terbatas : A={x1,x2,…}

Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx⊂ℜp p p xsedemikian hingga

Maka

P{X=x} ≥ 0 untuk semua x ∈ Sx

P{X=x} = 0 untuk semua x ∉ Sx

Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)

13

PELUANG TITIK (POINT PROBABILITIES)

Misalkan X adalah peubah acak diskritp

Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi

Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: ℜ→ [0,1] yang didefinisikan sbb

Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

14

28/09/2012

8

CONTOH

15

KESALINGBEBASAN PEUBAH ACAK

Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi∈SX dan yj∈Sy

16

28/09/2012

9

EKSPEKTASI (HARAPAN,RATAAN)

Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan olehg p ( / ) y

Sifat-sifat

17

VARIANCE

Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

18

28/09/2012

10

COVARIANCE

Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbbDefinisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

19

PARAMETER LAIN YANG BERHUBUNGAN DENGAN DISTRIBUSI

Deviasi standard dari X

Momen ke-k dari X

20

28/09/2012

11

DISTRIBUSI BERNOULLI

Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin

Sukses (1)Gagal (0)

Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))

21

DISTRIBUSI BINOMIAL

Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli);

22

28/09/2012

12

DISTRIBUSI GEOMETRIK

Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)

p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

23

DISTRIBUSI POISSON

Limit dari distribusi binomial dimana n →∞ dan p → 0, sedemikian hingga np → ap , gg p

24

28/09/2012

13

CONTOH

Asumsikan

200 pelanggan terhubung ke sentral lokal200 pelanggan terhubung ke sentral lokalTrafik setiap pelanggan adalah 0.01Pelanggan saling bebas

Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)

Pendekatan Poisson X ≈ Poisson(2,0)

Peluang titik

25

PEUBAH ACAK KONTINU

Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:ℜ→ℜ+, sedemikian hingga untuk semua x∈ℜ

Fungsi fX disebut probability density function (pdf)Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set

Sifat-sifat

26

28/09/2012

14

CONTOH

27

EKSPEKTASI DAN PARAMETER LAIN

Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb

Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit

Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

28

28/09/2012

15

DISTRIBUSI UNIFORM (X~U(A,B), A<B)

29

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (X~EXP(Λ), Λ>0)

Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ≈ λdt)

30

28/09/2012

16

LATIHAN

1. Diketahui peubah acak kontinue memiliki pdf sbg berikut fx(x)=cx-3.

1.Hitunglah c.2.Mean dari peubah acak tsb.3.Fx(X)

2. Ukuran paket data pd internet dapat dimodelkan sbg peubah acak pareto yang memiliki persamaan,

1.Tentukan pdf dr peubah acak x2.Tentukan expected value dari x.3.Tentukan rentang nilai a agar expected value memiliki harga.

0,1,11)()( >≥−=≤= axx

xXPxF arx

31