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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea Triennale

Periodicità classica e quantistica per la buca di potenziale innita.

Relatore Candidato

Dott. Marco Rossi Emanuele Mendicelli

Matricola 126213

Anno Accademico 2010 2011

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A teche la ragione hai innalzato a tuo solo nume.

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.1. Una questione concettuale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Capitolo 1. Il limite classico della meccanica quantistica e WKB. . . . . . . . 7

1.1. Il limite classico della meccanica quantistica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Prima formulazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1.1. Teorema di Ehrenfest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Seconda formulazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2.1. Il limite classico dell'equazione di Schrödinger[5, 6]. . . . . . . . 9

1.2. Il metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Regola di quantizzazione di Bohr - Sommerfeld.[5] . . . . . . . . . . . . . 14

Capitolo 2. La buca di potenziale innita in Meccanica Classica e Quantistica. 16

2.1. Meccanica Classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1. Buca di potenziale innita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Proprietà del moto unidimensionale.[5, 6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Buca di potenziale nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3. Buca di potenziale innita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.4. Periodo quantistico della buca di potenziale innita. . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Applicazione della WKB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Dierenze nel periodo per le due teorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Capitolo 3. Il periodo classico come limite di quello quantistico. . . . . . . . . 25

3.1. Un approccio semplice ed ecace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. Periodo del valore medio della posizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2. Periodo del valore medio dell'impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.3. Periodo del valore medio dell'operatore x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Capitolo 4. Conclusioni e Applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1. Conclusioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Appendice A. Il processo di misura in meccanica quantistica . . . . . . . . . . 37

Appendice B. Calcolo del bra-ket < m|x|n > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Appendice C. Funzioni d'onda per stati quasi - classici. . . . . . . . . . . . . . . 41

Appendice D. Calcolo del bra-ket < m|p|n > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ringraziamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Prefazione

Il presente lavoro trae origine da uno stage trimestrale sotto la supervisione del Dott. Marco

Rossi, presso il dipartimento di sica dell'Università della Calabria sezione alte energie, ma è al

tempo stesso il suggello di un corso di studi triennale in sica che ha permesso in buona parte di

realizzarlo. Questo riguarda la periodicità classica e quantistica della buca di potenziale innita e

si concentra su le condizioni che ne permettano l'equivalenza. Mi sono profondamente sforzato di

rendere la trattazione semplice, pesando alla semplicità come conseguenza diretta della completezza,

pertanto ho ricavato e inglobato tutti i concetti utilizzati. Nella speranza di un'ecace compren-

sione ho limitato l'uso delle appendici solo ai casi caratterizzati da una mole di conti algebrici

privi d'interesse sico o quegli argomenti che avevano una valenza marginale nella trattazione ma

importanti dal punto di vista concettuale.

κόσvμος, Dicembre 2011

Emanuele Mendicelli

Introduzione

<<Longum iter est per praecepta,

breve et ecax per exempla >>1

La chiave di volta che suggella secoli di ricerche sperimentali e teoriche è stata posta nel-l'arco di tempo che va pressappoco dalla pubblicazione del De Revolutionibus di NiccolòCopernico, e cioè dal 1543, al 1687 quando Isaac Newton pubblica Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica, in letteratura si è ormai soliti indicare tale glorioso periodo come laRivoluzione Scientica. Il motore trainante di questa seconda rivoluzione trova le sue radicinella prima, ovvero nella Rivoluzione Astronomica la quale in Copernico, Tycho Brahe,Keplero e Galileo ha i rappresentati più prestigiosi che con i loro lavori hanno favorito lanascita della sica classica di Newton. Proprio in questo periodo l'italiano Galileo Galileipone le basi, in termini di sensate esperienze e necessarie dimostrazioni, di quel meto-do la cui validità è dimostrata dal progresso scientico e tecnologico corrente: Il MetodoScientico.[1]Da allora, la sica è soggetta ad un'incessante crescita accompagnata da una continuaevoluzione di se stessa tramite nuovi esperimenti e nuove idee teoriche.

0.1. Una questione concettuale.

La sica cresce grazie alla formulazione di nuove teorie le quali nella maggior parte dei casiestendono le teorie precedenti in quei range in cui non erano in accordo con i risultati sperimentali.C'è da rimarcare che nonostante una teoria sia in accordo con i risultati sperimentali non vuoledire che sia corretta in assoluto, ma soltanto che no ad ora è in accordo con gli esperimenti entroun certo grado di accuratezza. A riguardo sono più chiare le parole di Richard Feynman estratteda una sua lezione sul Metodo Scientico:

Immaginiamo di aver inventato una buona ipotesi, di averne calcolato tutte le conseguenze e

scoperto che tutte sono in accordo con gli esperimenti. La tua teoria a questo punto è giusta?

No, semplicemente non è provato che è sbagliata. Perché in futuro, con un numero maggiore di

esperimenti puoi calcolare un maggiore numero di conseguenze e puoi scoprire che l'ipotesi era

sbagliata. Questo è il motivo per cui le leggi di Newton per il moto dei pianeti sono rimaste valide

per tanto tempo. Lui ha ipotizzato la legge di gravitazione, ha calcolo tutti i tipi di conseguenze

per il sistema solare e cosi via, li ha comparati con gli esperimenti e ci volle diverse centinaia

di anni prima che un minuscolo errore nel moto di mercurio fosse osservato. Durante tutto quel

tempo nessuno era stato in grado di dimostrare che la teoria fosse sbagliata e poteva per tanto

essere considerata temporaneamente giusta, ma non può mai essere dimostrata giusta perché le

osservazioni di domani potranno svelare che quello che credevamo giusto è in realtà sbagliato. Per

questo non abbiamo mai la certezza di essere nel giusto, possiamo essere sicuri solo di esserci

sbagliati.

Consideriamo ora una generica teoria in accordo con degli esperimenti entro un certo rangee in disaccordo con altri; a causa di nuovi esperimenti o di nuove idee teoriche è formulata unateoria la quale riesce a descrivere i nuovi risultati sperimentali e i vecchi con maggiore o ugualeprecisione. Si è ora in possesso di una Nuova Teoria e di una Vecchia Teoria, è logico chiedersi

1 <<La via dell'apprendimento è lunga se si va per regole, breve ed ecace se si procede per esempi.>>(SenecaEpistole,VI,5)

Introduzione 3

se esista almeno una condizione tramite la quale la Nuova Teoria si riduce alla Vecchia. Se ciòavviene, la Nuova Teoria può in generale essere formulata indipendentemente dalla Vecchia, chesotto opportune condizioni ne risulta esserne un caso limite.

Figura 0.1.1. Diagramma che esprime concettualmente il passaggio che permette di collegare ledue teorie.

La nostra riessione è ormai indirizzata nella ricerca di quelle condizioni o della condizione percui la Nuova Teoria si riduce alla Vecchia, questo è un problema che deve essere necessariamentearontato specicamente per le due teorie.

Mostriamo due esempi di tale processo:

1. Dalla Meccanica Relativistica alla Meccanica Classica.[2]

La Teoria Speciale della Relatività può essere costruita a partire dai seguenti postulati:

a) Principio di Relatività: Le leggi della sica hanno la stessa forma in tutti i sistemi diriferimento inerziali.

b) Postulato della costanza della velocità della luce: La velocità della luce nel vuoto ha lostesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il principio di relatività, insieme al postulato della costanza della velocità della luce sono indicatiin letteratura come principio di relatività di Einstein.La prima conseguenza di queste assunzioni sono le nuove trasformazioni tra sistemi inerziali, letrasformazioni di Lorentz.

Consideriamo per brevità d'esposizione due sistemi Ω e Ω′, dove Ω′ abbia i tre assi spazialiparalleli a quelli di Ω, e che si muova di moto rettilineo uniforme a velocità v lungo l'asse x,inoltre scegliamo l'origine dei tempi in modo che all'istante iniziale, t = t' = 0, l'origine dei duesistemi O e O'coincidano. Le trasformazioni assumono la forma :

x′ = x−vt√1− v2

c2

y′ = y

z′ = z

t′ =t− v

c2x√

1− v2

c2

(0.1.1)

Le principali equazioni della meccanica relativistica sono:

Introduzione 4

−→F = d

dt

(m−→v√1− v2

c2

)

−→p = m−→v√1− v2

c2

K = mc2√1− v2

c2

−mc2

(0.1.2)

La condizione che permette il passaggio dalle trasformazioni di Lorentz a quelle di Galileo edalla meccanica relativistica a quella classica è:

v

c 1

Infatti espandendo γ = 1√1− v2

c2

in serie di potenze di Taylor rispetto a vc , otteniamo :

γ =

∞∑n=0

n∏k=1

(2k − 1)

2k

v2

c2= 1 +

1

2

v2

c2+

3

8

v4

c4+ · · · (0.1.3)

In tutti i casi, eccetto per l'energia cinetica, basta considerare solo l'ordine zero γ = 1. Perl'energia cinetica basta considerare no al primo ordine in

(vc

).

Infatti, K = mc2[1 + 1

2

(vc

)2+ 3

8

(vc

)4+ · · ·

]−mc2 = 1

2mv2(

1 + 34

(vc

)2+ · · ·

), trascurando

gli ordini superiori ritroviamo l'energia cinetica secondo la meccanica classica:

K =1

2mv2

2. Dalla Relatività generale alla Gravitazione di Newton.[2, 3]

La Teoria della Relatività generale può essere costruita a partire dal seguente principio:

a) Principio di equivalenza forte: Per ogni evento dello spazio - tempo, è sempre possibilescegliere un sistema di coordinate localmente inerziali, cioè tali che, in un intorno sucien-temente piccolo dell'evento, le leggi della sica abbiano la stessa forma che hanno in unsistema di riferimento inerziale, cioè obbediscano alla relatività speciale.2

La conseguenza del principio di equivalenza forte è rappresentata dall'equazione di campo di

Einstein, che descrive la gravitazione come conseguenza della curvatura dello spazio - tempo

ad opera della distribuzione della massa e dell'energia:

Rik =8πG

c4

(Tik −

1

2gikT

)(0.1.4)

dove :

• G è la costante di gravitazione; G = 6.6738× 10−11 N m2kg−2.

• gik è il tensore metrico, le cui componenti caratterizzano la metrica dello spazio - tempo.

2 Accanto al principio di equivalenza forte esiste anche quello debole : La massa gravitazionale di un corpo mg

e la massa inerziale mi sono uguali, a meno di una costante di proporzionalità. Questo principio è stato provatosperimentalmente in tempi recenti, dal gruppo di Dicke a Princeton (1964) e da Braginsky e Panov a Mosca (1972),con un precisione di meno di una parte su 1012.

Introduzione 5

• Rik è il tensore di Ricci ottenuto contraendo quello di Reinman (Rlikm) che descrive la curvatura

dello spazio tempo; la sua espressione è Rik = Rlilk =∂Γl

ik

∂xl − ∂Γlil

∂xk + ΓsikΓlsl − ΓsilΓlsk

• Γikl è il simbolo di Cristoel che è ausiliare al concetto di derivazione su spazi curvi; la sua

espressione è Γikl = 12gis(∂gsk∂xl + ∂gsl

∂xk − ∂gkl

∂xs

)• Tik è il tensore energia - impulso che descrive la distribuzione dell'energia e dell'impulso; la sua

espressione è Tik = (p+ ε)uiuk − pgik

• T è la traccia di Tik.

La condizione da imporre nella Relatività Generale per dedurre la Gravitazione Newtoniana è:

v2

c2 1 e

2φ

c2 1 (0.1.5)

cioè la velocità deve essere trascurabile rispetto a quella della luce, ma poiché vi può essereuna conversione di energia potenziale in energia cinetica bisogna imporre la condizione anchesul potenziale.Il tale approssimazione il tensore metrico assume la forma:

gik =

1 + 2φ

m−1

−1−1

(0.1.6)

Il quadrivettore velocità ha tutte le componenti spaziali nulle e la componente temporale ugualea 1:

ui = (1, 0, 0, 0)

In tale approssimazione, l'unica componente del tensore energia - impulso è:

T 00 = ρc2

L'equazione di campo (0.1.4) si riduce alla forma:

R00 =

4πG

c2ρ (0.1.7)

Calcolando la componente del tensore di Ricci R00 e sostituendola nella (0.1.7) otteniamo:

∇2φ = 4πGρ

questa è l'equivalente gravitazionale dell'equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico,pertanto la soluzione è:

φ = −Gˆρ

rdr′3 (0.1.8)

Se consideriamo una particella di massa m, il potenziale connesso con il campo generato dalladistribuzione di massa è:

φ = −Gmr

Poiché il campo è conservativo la forza si può esprimere come F = −m′∇φ, svolgendo il calcolootteniamo:

F = −Gmm′

r2r

Introduzione 6

che è appunto la legge di gravità di Newton.

Le due teorie presentate sono nate principalmente ad opera di Albert Einstein negli stessi decen-ni in cui è sta costruita la meccanica quantistica ad opera più menti. Tale teoria riesce a descriveretutta quella serie di esperimenti, dallo spettro del corpo nero all'esperimento di Stern e Gerlach,che la meccanica classica non riesce a descrivere, oppure descrive solo parzialmente. A dierenzadei due esempi precedenti, per i quali la nuova teoria può essere formulata indipendentemente dallavecchia ed è dotata di una condizione precisa che permette di riottenerla, la meccanica quantisticaha un rapporto peculiare con la meccanica classica.Il principio d'indeterminazione di Heisenberg rende impossibile la determinazione della traiettoriadi un oggetto. E' per tanto chiaro che per un sistema formato da oggetti esclusivamente quantisticinon può essere denita una meccanica, cioè uno studio completo del moto dei corpi. Infatti, perdescrivere quantitativamente il moto di un oggetto quantistico ho bisogno di oggetti sici che obbe-discano alla meccanica classica grazie alla quale posso conoscere con accuratezza la loro dinamica.Pertanto l'oggetto classico con cui uno quantistico interagisce funge da strumento di misura, eper misura s'intende qualsiasi processo d'interazione fra oggetto classico e oggetto quantistico, aprescindere e indipendentemente dall'osservatore.3

È evidente il rapporto ambivalente tra meccanica quantistica e meccanica classica, da una parte lameccanica quantistica ha bisogno della meccanica classica per la sua stessa formulazione e dall'altrala contiene in se come caso limite.

Figura 0.1.2. Diagramma che mostra il rapporto esistente tra la meccanica quantistica e lameccanica classica.

La meccanica quantistica contiene in se la meccanica classica come caso limite.

In che modo si realizza questo passaggio e qual è la condizione da imporre?

Nel prossimo capitolo risponderemo a tale domanda.

3 Il processo di misura in meccanica quantistica è esposto in appendice A a pagina 37.

Capitolo 1

Il limite classico della meccanica quantistica eWKB.

In questo capitolo saranno esposti i due metodi che permettono alla meccanica quantistica diapprossimarsi alla meccanica classica.[6]

1. Il limite classico ci permette di riottenere le leggi della meccanica classica dalla meccanicaquantistica, tramite talune analogie o mostrando che un sistema quantistico è una misturastatistica di sistemi classici.

2. La WKB è una tecnica per ottenere soluzioni approssimate dell'equazione di Schrödinger. Es-sa consiste nell'introduzione di un'espansione in potenze di ~ nella funzione d'onda e in unasuccessiva analisi dei vari ordini. In particolari regioni l'equazione di Schrödinger può esseresostituita dal suo limite classico. Tuttavia, rispetto al limite classico tale metodo è applicabileanche in quelle regioni dello spazio classicamente inaccessibili, dove l'interpretazione classicaperde di signicato.

1.1. Il limite classico della meccanica quantistica.

Il limite classico può essere formulato in due modi dierenti:

1. Consideriamo un sistema quantistico composto di un insieme di particelle, per ogni istante ditempo a ognuna di esse si può associare una coppia (qi, pi). Intuitivamente di tale sistema,il corrispettivo classico può essere ottenuto attribuendo ad ogni particella una posizione e unimpulso uguale ai rispettivi valori medi nel sistema quantistico, (< qi >;< pi >). Per far si chetale descrizione sia soddisfacente, è necessario che:

a) I valori medi sono descritti con buona approssimazione dalle leggi classiche del moto.b) Le dimensioni del pacchetto d'onda devono essere piccole rispetto alle dimensioni caratteri-

stiche del problema, durante tutto il moto. In generale, ad eccezione di pochi casi particolari,i pacchetti d'onda tendono a diradarsi durante il moto, appunto per questo la descrizioneclassica può essere eettuata solo in un intervallo nito di tempo.

2. Il secondo modo consiste nel trattare il sistema quantistico come un mix statistico di sistemiclassici. Dal punto di vista matematico questa seconda descrizione è più soddisfacente della pri-ma, perché permette di ricavare le equazioni della meccanica classica come limite dell'equazionedi Schrödinger.[6]

1.1.1. Prima formulazione.

1.1.1.1. Teorema di Ehrenfest.

Il teorema di Ehrenfest ci permette di concludere che per oggetti quantistici molto localizzati,i valori medi della posizione e dell'impulso seguono le leggi classiche del moto.

Teorema 1. Per un sistema quantistico le equazioni del moto dei valori medi delle osservabili qi edel suo momento coniugato pi sono formalmente identiche alle corrispondenti equazioni di Hamilton

in meccanica classica, se rimpiazziamo le quantità che compaiono nelle equazioni classiche con i

loro valori medi.

Capitolo 1. Il limite classico della meccanica quantistica e WKB. 8

Dimostrazione. Siano (q1 . . . qN ) le coordinate della pozione, (p1 . . . pN ) i rispettivi impulsi eH(qi; pi)l'Hamiltoniano del sistema.L'equazione del moto che descrive l'evoluzione temporale degli operatori non dipendenti esplicita-mente dal tempo nello schema di Heisenber è:

dAH

dt=

1

i~[AH , H

](1.1.1)

Questa equazione può essere comparata con l'equazione classica del moto nel formalismo delleparentesi di Poisson.

dA

dt= A, H (1.1.2)

Applicando l'equazione (1.1.1) agli operatori qi e piotteniamo :dqHidt = 1

i~[qHi , H

]= ∂H

∂pi

dpHidt = 1

i~[pHi , H

]= −∂H∂qi

Consideriamo il valore medio di tali equazioni:ddt < qHi >=< ∂H

∂pi>

ddt < pHi >= − < ∂H

∂qi>

Nonostante la somiglianza con le equazioni del moto di Hamilton, queste equazioni sono diverseperché nel secondo membro l'Hamiltoniano dipende ancora da qi e pi e non dal loro valore medio.L'uguaglianza:

< ∂H(qi;pi)∂pi

>= ∂H(<qi>;<pi>)∂pi

< ∂H(qi;pi)∂qi

>= ∂H(<qi>;<pi>)∂qi

è in generale falsa, ma può essere considerata corretta solo se le uttuazioni delle coordinate e degliimpulsi sono piccole rispetto ai loro valori medi.1

Sotto tali condizioni, l'equazione del moto dei valori medi degli operatori coincidono con quelleclassiche:

.< qi >= ∂H(<qi>;<pi>)

∂pi

.< pi >= −∂H(<qi>;<pi>)

∂qi

(1.1.3)

Applichiamo il teorema di Ehrenfest ad un pacchetto d'onda soggetto all'hamiltoniana:

H =p2

2m+ V (x)

Se consideriamo solo il moto del centro del pacchetto d'onda o osserviamo il pacchetto per un inter-vallo di tempo molto piccolo, tale per cui non ha il tempo di sparpagliarsi, possiamo disinteressarcidell'eetto di sparpagliamento ed utilizzare soltanto il teorema di Ehrenfest.Dal sistema (1.1.3) otteniamo:

.< xi >= <p(t)i>

m

.< pi >= −∂V (<x>)

∂qi=< Fi >

1 Esiste un caso particolare in cui tale equivalenza vale rigorosamente: Se la funzione Hamiltoniana del sistemaè un polinomio del secondo grado in qi e pi. Un esempio è rappresentato dall'oscillatore armonico.


Combinando le due equazioni, otteniamo in forma vettoriale:

md2

dt2< ~x >=< ~F >

che rappresenta in meccanica quantistica l'analoga della seconda legge di Newton.[7]

1.1.2. Seconda formulazione.

Cerchiamo di determinare la forma limite, che assume una funzione d'onda di un sistema quantisticoquando questo approccia il corrispettivo classico.Prima di fare ciò rimarchiamo le dierenze tra le due teorie nella descrizione di uno stesso fenomeno:Nella meccanica quantistica una particella è descritta da una funzione d'onda, mentre in meccanicaclassica è descritta come un punto materiale che si muove secondo una traiettoria completamentedeterminata dalle equazioni del moto.Tale passaggio può essere notevolmente semplicato se sfruttiamo l'analogia con il passaggiodall'ottica ondulatoria all'ottica geometrica.Nell'ottica ondulatoria le onde elettromagnetiche sono descritte dai vettori campo elettrico e cam-po magnetico. Mentre nell'ottica geometrica si assume che la luce si propaghi secondo traiettoriedeterminate, dette raggi. Se f è una qualsiasi componente del campo dell'onda elettromagnetica,essa può essere scritta nella forma f = Aeiϕ, dove A è l'ampiezza dell'onda e ϕ la fase. Il casolimite dell'ottica geometrica corrisponde a lunghezze d'onda piccole, il che equivale ad aermareche la fase (ϕ) subisce una grande variazione su piccole distanze, questo corrisponde ad aermareche la fase è grande in valore assoluto.Seguendo questa idea partiamo dal presupposto che al caso limite della meccanica classica corri-spondano in meccanica quantistica funzioni d'onda della forma Ψ(r, t) = Aeiϕ, dove A una funzionelentamente variabile, mentre ϕ varia molto rapidamente; quindi stiamo considerando un'onda moltooscillante.In ottica geometrica, il percorso dei raggi è determinato dal cosiddetto principio di Fermat secondoil quale il cammino ottico del raggio, cioè la dierenza delle sue fasi nei punti nale e iniziale delcammino, deve essere minimo. In meccanica classica la traiettoria delle particelle è determinata dalprincipio di Hamilton, secondo il quale l'azione (S) di un sistema meccanico deve essere minima.Seguendo quest'analogia, possiamo aermare che la fase (ϕ) della funzione d'onda, nel limiteclassico deve essere proporzionale all'azione meccanica classica (S). Poiché tale funzione d'ondadescrive entrambi i sistemi, deve contenere oltre all'azione classica una grandezza quantistica, cheper ragioni dimensionali deve avere le stesse dimensioni di un'azione, (Js). Inoltre deve essere unaquantità piccola rispetto alle grandezze classiche.La grandezza quantistica che rispetta queste condizioni è proprio la costante di Planck divisa per2π, ~.In conclusione la funzione d'onda di un sistema sico quasi - classico ha la forma:

Ψ(r, t) = A(r, t)ei~S(r,t) (1.1.4)

La costante di Planck assume un'importanza fondamentale in tutti i fenomeni quantistici. La suagrandezza rispetto all'azione classica determina il grado di quantizzazione del sistema sico inesame. Il passaggio dalla meccanica quantistica alla meccanica classica, caso limite corrispondentealle fasi grandi, può essere formalmente descritto come passaggio al limite per ~ −→ 0, analoga-mente il passaggio dall'ottica ondulatoria all'ottica geometrica corrisponde al limite per λ −→ 0.[5]

1.1.2.1. Il limite classico dell'equazione di Schrödinger[5, 6].

Per ottenere il limite classico dell'equazione di Schrödinger, consideriamo, per semplicità, unasingola particella soggetta a un generico potenziale U(r).L'equazione di Schrödinger è:

i~∂

∂tΨ(r, t) =

(− ~2

2m∇2 + U(r)

)Ψ(r, t)


Sostituiamo l'espressione della funzione d'onda nel limite classico (1.1.4) nell'equazione di Schrö-dinger:

A∂S

∂t− i~∂A

∂t=

~2

2m∇2A− 1

2mA(∇S)2 −AU(x) +

i~2m

A∇2S +i~m∇A∇S

separando la parte reale da quella immaginaria otteniamo:∂S∂t + 1

2m (∇S)2 + U − ~2

2m1A∇

2A = 0

∂A∂t + 1

2mA∇2S + 1

m∇A∇S = 0

Se nella prima equazione, parte reale, trascuriamo il termine quadratico in ~, otteniamo:

∂S

∂t+

1

2m(∇S)2 + U = 0 (1.1.5)

che non è altro che l'equazione di Hamilton - Jacobi per l'azione S della particella.Si osservi che nel limite per ~→ 0 la meccanica classica resta valida no a termini del primo ordinein ~, e non di ordine zero come si poteva erroneamente pensare.

Moltiplicando la seconda equazione, parte immaginaria, per 2A otteniamo:

∂A2

∂t+∇(A2∇S

m) = 0 (1.1.6)

Ricordando che A2 è la densità di probabilità di trovare la particella in una data regione dellospazio P (r), e ∇Sm = p

m ne segue che A2∇Sm è la densità di corrente J(r).

Pertanto la (1.1.5) non è altro che l'equazione di continuità che esprime la conservazione della norma(∂P (r)∂t +∇(J(r, t)) = 0

), analoga all'equazione di continuità classica, e mostra che la densità di

probabilità ha un moto con velocità classica v secondo le leggi della meccanica classica.

Pertanto nell'approssimazione classica, Ψ descrive un uido composto da particelle classiche dimassa m, non interagenti e soggette ad un potenziale V (r).2

1.2. Il metodo WKB

Supponiamo che il sistema sia composto di un insieme di particelle (N) le cui lunghezze d'onda dide Broglie sono piccole rispetto alle dimensioni caratteristiche del problema in esame (L), appuntoper questo le proprietà del sistema sono prossime a quelle classiche.[5]Consideriamo l'equazione di Schrödinger per un siatto sistema:

N∑l=1

~2

2ml∇2l ψ + (E − U)ψ = 0 (1.2.1)

l'espressione più generale che può assumere la funzione d'onda è:

ψ = ei~σ (1.2.2)

2 Albert Messiah nel testo Quantum Mechanics interpreta il sistema quantistico come una mistura statistica disistemi classici.


sostituendo nell'equazione (1.2.1) la (1.2.2) otteniamo:N∑l=1

~2

2mi

[i

~e

i~σ∇2

l ψ −1

~2e

i~σ(∇σ)2

]∇2l ψ + ψ = (U − E) e

i~σ

semplicando otteniamo:N∑l=1

1

2ml(∇σ)2 −

N∑l

i~2ml∇2l σ = E − U (1.2.3)

Poiché il sistema è supposto quasi - classico, sviluppiamo σ in serie di potenze di ~:

σ =

∞∑j=0

σj

(~i

)jConsideriamo dapprima il caso più semplice, il moto unidimensionale di una particella. L'equazione(1.2.3) assume la forma:

1

2mσ′2 − i~

2mσ′′ = E − U(x) (1.2.4)

Valutiamo tale equazione per dierenti ordini in ~:

• Ordine Zero:

Nell'equazione (1.2.3) trascuriamo tutti i termini di ordine ~, ottenendo:

1

2mσ′20 = E − U(x) (1.2.5)

Da cui ricaviamo l'espressione per σ0 = ±´ √

2m (E − U(x))dxRiconoscendo nell'integranda la quantità di moto classica della particella otteniamo:

σ0 = ±ˆp(x)dx (1.2.6)

Quindi all'ordine zero la funzione d'onda assume la forma ψ = e±i~´p(x)dx, che coincide con la

parte indipendente dal tempo della funzione d'onda nel limite classico ψ = ei~S .3

Alcune puntualizzazioni:Il passaggio dalla (1.2.3) alla (1.2.4) è consentito solo se il secondo termine della (1.2.4) è piùpiccolo del primo, in formule: ∣∣∣∣~σ′′σ′2

∣∣∣∣ 1 →∣∣∣∣ ddx

(~σ′

)∣∣∣∣ 1 (1.2.7)

All'ordine zero σ′ = p e utilizzando la relazione di de Broglie λ(x) = 2π~p(x) , otteniamo:

1

2π

∣∣∣∣dλdx∣∣∣∣ 1 (1.2.8)

Questa relazione esprime una condizione quantitativa di quasi - classicità: La lunghezza d'onda

della particella deve variare poco su distanze del suo stesso ordine.

Osservando che dpdx = d

dx

√2m (E − U(x)) = − m dU

dx√2m(E−U(x))

= −mp F , la condizione (1.2.7) può

essere riscritta in un forma più utile:∣∣∣∣ ddx(~p

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣h dpdx

p2

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣m~Fp(x)3

∣∣∣∣3 Infatti S =

´Ldt =

´K − U dt =

´2K − E dt = −E t ±

´p dx. Nella nostra espressione non compare il

termine −Et poiché la nostra funzione d'onda non dipendente dal tempo.


La condizione quasi - classicità (1.2.8) diviene:∣∣∣∣m~Fp(x)3

∣∣∣∣ 1 (1.2.9)

Dalla due espressioni equivalenti, (1.2.8) e (1.2.9), comprendiamo che l'approssimazione quasi -classica è inapplicabile in prossimità dei punti d'inversione del moto, laddove il moto si arrestaper riprendere in direzione opposta.

• Ordine Uno:

Nell'equazione (1.2.4) consideriamo solo i termini no al primo ordine in ~:

1

2m

(σ′0 +

~iσ′1

)2

− i~2m

σ′′0 = E − U(x) (1.2.10)

sostituendo l'espressione per l'ordine zero (1.2.4) e semplicando otteniamo:

σ′0σ′1 +

σ′′02

= 0

Esplicitando σ′1 e sostituendo la relazione (1.2.5) otteniamo:

σ′1 = − σ′′02σ′0

= − p′

2p(1.2.11)

Integrandola otteniamo

σ1 = −1

2log |p|+ C (1.2.12)

L'equazione per la funzione d'onda (1.2.2), al primo ordine in ~ assume la forma ψ = ei~σ0eσ1 ,

sostituendo le espressioni (1.2.6) e (1.2.12) otteniamo:

ψ =C1√|p|e

i~´p(x)dx +

C2√|p|e−

i~´p(x)dx (1.2.13)

dove le costanti devono essere determinate imponendo la condizione di normalizzazione dellafunzione d'onda.4

La probabilità di trovare la particella nell'intervallo x e x + dx è data dal |ψ|2 pertanto èproporzionale a 1

p . Questo è quanto ci aspettiamo per una particella quasi - classica.5

Piccola osservazione:Nelle regioni classicamente inaccessibili, la quantità di moto è immaginaria pura pertanto lafunzione d'onda assume la forma:

ψ =C1√|p|e−

1~´|p(x)|dx +

C2√|p|e

1~´|p(x)|dx (1.2.14)

Il grado di precisione usato per l'approssimazione quasi - classica non ci permette di conservarenella funzione d'onda entrambi i termini della (1.2.14), il termine da eliminare va determinatoin base al problema in esame.

Anche per il primo ordine in ~ valgono le stesse condizioni di validità dell'ordine zero.

• Ordine Due:

4 Ora risulta chiaro il perché non ci siamo preoccupati della costante C nella (1.2.12)5 Per una moto classico, il tempo speso dalla particella sul segmento dx è inversamente proporzionale alla

velocità.


Nell'equazione (1.2.3) consideriamo solo i termini no al secondo ordine in ~:

1

2m

(σ′0 +

~iσ′1 − ~2σ′2

)2

− i~2m

(σ′′0 +

~iσ′′1 − ~2σ′′2

)= E − U(x) (1.2.15)

Tramite le equazioni degli ordini precedentemente calcolati e con semplici passaggi algebriciotteniamo:

σ′21 + 2σ′0σ′2 + σ′′1 = 0

Esplicitiamo σ′2:

σ′2 = −1

2

(σ′21σ′0

+σ′′1σ′0

)sostituiamo le espressioni (1.2.6) e (1.2.12) degli ordini precedenti. Poiché i calcoli sono lunghie poco interessanti riportiamo solo il risultato:

σ′2 = −3

8

p′2

p3+

1

4

p′′

p2(1.2.16)

Integrandola otteniamo: σ2 = − 38

´p′2

p3 dx+ 14

´p′′

p2 dx

Calcoliamo il secondo integrale per parti:ˆp′′

p2dx =

p′

p2−ˆ

2p′2

p3

Dall'espressione per la forza F = dpdt = dx

dtdpdx = vp′ = pp′

m , ricaviamo che p′ = mFp .

Sostituendo le relazioni ricavate nella (1.2.16) otteniamo la forma nale di σ2:

σ2 =1

4

mF

p3+

1

8

ˆm2F 2

p5dx (1.2.17)

L'equazione per la funzione d'onda (1.2.2) assume la forma ψ = C ei~σ0+σ1+ ~

i σ2 .Poiché lontano dai punti d'inversione l'ultimo termine nell'esponenziale è più piccolo degli altridue, conviene svilupparlo no al primo ordine in ~.

Eseguiamo tale approssimazione ψ = C ei~σ0+σ1+ ~

i σ2 ≈ C ei~σ0+σ1

(1 + ~

i σ2

), sostituendo le

espressioni per σ0, σ1 e σ2 otteniamo:

ψ =1√|p|

(1− i~m

4

F

p3− i~m2

8

ˆF 2

p5dx

)(C1e

+ i~´p(x)dx + C2e

− i~´p(x)dx

)(1.2.18)

L'approssimazione quasi classica al secondo ordine in ~ è corretta, se i termini in parentesi sonominori di 1:

~m4

Fp3 1, coincide con la condizione precedentemente posta per l'ordine zero (1.2.9)

~m2

8

´F 2

p5 dx 1, se F 2 tende a zero abbastanza rapidamente al crescere della coordinatax.

Abbiamo accertato che anche i termini no secondo ordine in ~ rispettano la condizione diquasi - classicità (1.2.8).6 Pertanto possiamo concludere che la funzione d'onda di un oggettoquantistico, lontano dai punti d'inversione e la cui lunghezza d'onda durante il moto varia pocosu distanze del suo stesso ordine, può essere sostituita dalla sua espressione quasi - classica:

ψ =C1√|p|e−

i~´|p(x)|dx +

C2√|p|e

i~´|p(x)|dx (1.2.19)

6 Ciò non poteva essere dedotto a priori, come invece si trova in alcune trattazioni.


1.2.1. Regola di quantizzazione di Bohr - Sommerfeld.[5]

Per determinare la condizione che denisce i livelli quantistici dell'energia nel caso quasi - classico,facciamo ricorso ad un esempio concreto di sistema quantistico, cioè il moto nito e unidimensionaledi una particella in un buca di potenziale; la regione accessibile al moto −a2 ≤ x ≤

a2 è ovviamente

limitata da due punti d'inversione.Imponendo le condizioni al contorno nei punti d'inversione −a2 e a

2 , otteniamo rispettivamente ledue espressioni per la funzione d'onda:

ψ = C1√|p|

cos

1~

x

−a2

p dx − π4

ψ = C2√|p|

cos

(1~

a2

x

p dx − π4

)

Queste equazioni esprimono singolarmente la funzione d'onda in prossimità dei punti d'inversionee contengono le informazioni del sistema specico solo all'interno dell'impulso, pertanto i risultatiche otterremo sono del tutto generali e non dipendono dal sistema specico in esame.Per ottenere la funzione d'onda che descrive il moto, bisogna imporre che le due equazioni coinci-dano in tutta la regione compresa tra i punti d'inversione, cioè bisogna imporre l'uguaglianza trai coseni, pertanto la somma delle fasi deve essere un multiplo intero di π:

1

~

a2

−a2

p dx− π

2= nπ

semplicando otteniamo:

1

2π~

a2

−a2

p dx = n+1

2(1.2.20)

Poiché il moto è unidimensionale e limitato non può che essere periodico, pertanto:

2

a2

−a2

p dx =

˛p dx

La (1.2.20) diventa pertanto:1

2π~

˛p dx = n+

1

2(1.2.21)

questa corrisponde alla regola di quantizzazione di Bohr - Sommerfeld nella vecchia teoria quanti-stica.Normalizziamo per completezza la funzione d'onda:

ˆ|Ψ|2dx =

C2

2

a2

−a2

1

p(x)dx

l'uguaglianza vale solo se consideriamo la funzione coseno rapidamente variabile, questo succedeper stati che hanno un grande numero quantico n. Sfruttando ancora una volta la periodicità delmoto otteniamo:

π

2mωC2 = 1

La funzione d'onda per grandi numeri quantici assume la forma:

ψ =

√2ω

πvcos

1

~

x

−a2

p dx − π

4

(1.2.22)


In generale l'energia per livelli discreti è proporzionale al numero quantico n; se consideriamo ladierenza in energia tra due livelli energetici contigui, cioè che dieriscono per uno, otteniamo larelazione:

4EEn∼ 1

n

Poiché per stati quantistici con numero quantico grande4E è piccolo, possiamo eseguire la seguenteapprossimazione nella (1.2.21):

4E˛

∂p

∂Edx = 2π~

Ricordando che ∂E∂p = v, possiamo svolgere l'integrale e otteniamo:

4E =2π

T~ = ~ω (1.2.23)

Pertanto i livelli energetici contigui dello spettro quasi - classico sono equi - spaziati.Poiché per due livelli contigui la dierenza in energia è proporzionale alla costante di Plank, vista lasua piccolezza possiamo in molte situazioni quasi - classiche considerare lo spettro come continuo,che è tipico della meccanica classica; questo è possibile laddove le energie tipiche del sistema sonomolto grandi e ci permettono di usare una risoluzione energetica bassa, la quale non ci permettedi risolvere la discretizzazione dell'energia.In conclusione possiamo aermare che: Gli stati dello spettro discreto sono quasi - classici per

grandi valori del numero quantico n.

Capitolo 2

La buca di potenziale innita in MeccanicaClassica e Quantistica.

In questo capitolo sarà esposto e risolto il problema della buca di potenziale innita sia in MeccanicaClassica che in Meccanica Quantistica. Poiché il moto è periodico in entrambe le teorie, sarannoanalizzate le analogie e le dierenze in seno al periodo.

2.1. Meccanica Classica

Consideriamo un generico sistema unidimensionale soggetto ad un potenziale esterno costante, lalagrangiana per tale sistema assume la forma:

L(q,.q) =

1

2c(q)

.q

2 − U(q) (2.1.1)

dove c(q) è una funzione delle coordinate generalizzate q.Se trattiamo un punto materiale e q è una generica coordinata cartesiana diciamo x, la lagrangianaassume la forma:

L(q,.q) =

m

2

.x

2 − U(x) (2.1.2)

L'equazione del moto può essere derivata con semplicità dalla equazioni di Eulero - Langrangein forma del tutto generale. Risulta essere più interessante analizzare il problema dalla legge cheesprime la conservazione dell'energia meccanica. Pertanto:

E =m

2

.x

2+ U(x) (2.1.3)

Integrandola per separazione delle variabili otteniamo:

t =

√m

2

ˆdx√

E − U(x)+ k (2.1.4)

Poiché l'energia cinetica è una grandezza essenzialmente positiva, il moto può avvenire soltantonella regione dello spazio dove U(x) < E. I punti nei quali vale l'uguaglianza per la formulaprecedente sono denominati punti d'arresto e ssano i limiti del moto. Se la regione del moto èlimitata da due di questi punti (a, x1) e (a, x2), il moto è limitato nello spazio e pertanto è dettonito. Giacché il tempo oltre ad essere omogeneo risulta essere isotropo il moto è reversibile, percui il tempo impiegato per andare dal primo punto di arresto al secondo è uguale a quello inverso,ne segue che un moto unidimensionale è oscillatorio. Il periodo delle oscillazioni può essere espressoin funzione dell'energia totale tramite la (2.14):

T (E) =√

2m

x2(E)ˆ

x1(E)

dx√E − U(x)

= 2√

2m∂

∂E

x2(E)ˆ

x1(E)

√E − U(x)dx =

∂A

∂E(2.1.5)

dove x2(E) e x2(E) sono soluzioni dell'equazione U(x) = E, mentre A rappresenta la supercieracchiusa dalla traiettoria del moto nello spazio delle fasi (p, q).[8]


2.1.1. Buca di potenziale innita.

Per una buca di potenziale innita, il potenziale assume la forma:

U(x) =

0 −a2 < x < a

2∞ altrove

Il sistema è schematizzabile come una particella libera connata nello spazio(−a2 ; a2

), la cui energia

è E = P 2

2m .

Figura 2.1.1. Spazio delle fasi per la buca di potenziale innita.

Nello spazio delle fasi, il moto è rappresentato da una supercie chiusa rettangolare di areaA = 2a

√2mE come mostrato in gura.

Il periodo classico dalla (2.1.5) vale:

T (E)cl =∂A

∂E= a

√2m

E(2.1.6)

2.2. Meccanica Quantistica

2.2.1. Proprietà del moto unidimensionale.[5, 6]

Consideriamo il moto unidimensionale quantistico di una particella di massam, vincolata a muover-si lungo una direzione stabilita che faremo coincidere con l'asse x e sotto l'eetto di un potenzialeV (x).L'equazione di Schrödinger per il sistema è:

i~∂

∂tΨ(x, t) =

(− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

)Ψ(x, t) (2.2.1)

Occupiamoci della ricerca di soluzioni per stati stazionari. Se E è l'energia di uno stato stazio-nario, possiamo scrivere Ψ(x, t) = ψ(x)e

−iEt~ dove la funzione ψ(x) è la soluzione l'equazione di

Schrödinger indipendente dal tempo:(− ~2

2m

d2

dx2+ V (x)

)ψ(x) = Eψ(x) (2.2.2)

Tramite le seguenti sostituzioni V (x) = ~2

2mU(x) e E = ~2

2mε l'equazione può essere riscritta come:


ψ(x)′′ + [ε− U(x)]ψ(x) = 0 (2.2.3)

Questa è un'equazione dierenziale del tipo di Sturm - Liouville per la quale dovremmo cercaresoluzioni nite, continue e dierenziabili su tutto l'intervallo della variabile x, (−∞,∞).

Risulta essere istruttivo, considerare un generico potenziale che presenta n discontinuità del pri-mo ordine in determinati punti, e resta costante altrove; tale potenziale è denominato potenzialecostante a tratti. L'asse della variabile x risulta pertanto essere diviso in un certo numero n diintervalli, in ciascuno dei quali il potenziale assume un valore costante pre - determinato. L'e-sistenza di discontinuità del primo ordine per il potenziale U(x) non modica le condizioni diregolarità imposte alla funzione ψ(x). Infatti ad ogni discontinuità del potenziale, corrispondeuna discontinuità della ψ(x)” dello stesso ordine, mentre i sui integrali (ψ(x)′;ψ(x)) sono ovunquecontinui.

Sia Ui il valore che il potenziale assume nella regione i-esima, procedendo da sinistra verso destra.La soluzione generale in queste singole regioni è una combinazione lineare di esponenziali, il cuicomportamento dipende dalla positività o meno del fattore (ε− U(x)). Si presentano due casi:

• Se ε > U(x), sarà una combinazione di esponenziali immaginari eikix e e−ikix con ki =√ε− Ui;

pertanto il comportamento della soluzione sarà oscillante.

• Se ε < U(x), sarà una combinazione di esponenziali reali eξix e e−ξix con ξi =√Ui − ε; pertanto

il comportamento della soluzione sarà esponenziale.

La soluzione generale dell'equazione dierenziale (2.2.3) si ottiene come combinazione lineare deglin fattori esponenziali delle varie regioni. I 2n parametri della combinazione lineare sono stabilitirichiedendo la continuità di ψ(x)′ e ψ(x) nei punti di discontinuità, che sono n− 1.Considerando che per ogni regione bisogna imporre 2 condizioni, il numero di parametri arbitrarirestanti è 2.Inoltre la soluzione per essere accettabile come autofunzione deve essere normalizzabile.

In generale possono presentarsi tre casi che elencheremo velocemente, per ssare le idee sia Un > U1:

1. Se ε > Un: Per ciascun valore di E ci sono due autofunzioni indipendenti, lo spettro degli

autovalori è continuo e con degenerazione di ordine 2; il moto è illimitato nei due sensi;

2. Se U1 < ε < Un: Per ciascun valore di E esiste una sola autofunzione, lo spettro degli autovalori

è continuo e non c'è degenerazione; il moto è illimitato in un verso (per x→ =∞);

3. Se ε < U1: Solo per particolari valori discreti di E esiste una sola autofunzione, lo spettro degli

autovalori è discreto e non c'è degenerazione; il moto è limitato in entrambi i versi pertanto è

detto stato legato.


Altre utili proprietà del moto unidimensionale:

1. Se il potenziale è pari [V (x) = V (−x)], l'equazione di Schrödinger è invariante sotto la trasfor-mazione di parità, ovvero se ψ(x) è soluzione anche ψ(−x) lo è. Ci sono due sotto-casi:

a) Spettro non degenere: ψ(x) e ψ(−x) non sono indipendenti ma vale la relazione ψ(x) =

±ψ(−x), pertanto le autofunzioni di H hanno parità denita.

b) Spettro degenere: ψ(x) e ψ(−x) sono indipendenti pertanto le autofunzioni di H non hanno

parità denita.

2. Per le autofunzioni ψn(x) dello spettro discreto può essere enunciato il teorema delle oscilla-zioni: L'autofunzione del livello n-esimo ha n nodi e si annulla n volte per valori di x niti.(Il livello fondamentale è indicato come livello zero). Inoltre, ogni nodo dell'autofunzione dellivello (n+1)-esimo giace tra due nodi dell'autofunzione del livello n-esimo (se si consideranocome nodi anche x→ ±∞).

Combinando i risultati dei due punti possiamo concludere che per un sistema con [V (x) = V (−x)],l'autofunzione del livello fondamentale è pari, quella del I livello eccitato è dispari, quella del IIlivello eccitato è pari, e così via, in alternanza.

2.2.2. Buca di potenziale nita

Una buca di potenziale nita, simmetrica, di profondità V0 e larghezza a, è caratterizzata dalseguente potenziale:

V (x) =

V0 x < −a2 (regione I )0 −a2 < x < a

2 (regione II )V0 x > a

2 (regione III )

Per quanto visto nella sezione precedente la soluzione dell'equazione (2.2.3) per le singole regionisono rispettivamente:

ψI(x) = Aeξix

ψII(x) = B cos(kx+ ϕ)ψIII(x) = Ce−ξix

(2.2.4)

dove k =√

2mE~2 e ξ =

√2m(V0−E)

~2

e vale la relazione

(ak)2 + (aξ)2 =2ma2V0

~2(2.2.5)

Imponiamo le condizioni di raccordo nei punti di discontinuità, otteniamo i due sistemi: ψI(−a2 ) = ψII(−a2 )

ψ′I(−a2 ) = ψ′II(−a2 )

ψII(a2 ) = ψIII(

a2 )

ψ′II(a2 ) = ψ′III(

a2 )

(2.2.6)


Svolgendo i calcoli otteniamo:

ξ = k tan(ka2 − ϕ)ξ = k tan(ka2 + ϕ)

ne segue che:

tan(ka2 − ϕ) = tan(ka2 + ϕ) pertanto ϕ = nπ2 con nεZ.

Le condizioni di raccordo portano all'equazione per ξ:

ξ = k tan(ka

2+nπ

2) (2.2.7)

La soluzione completa del problema si ottiene risolvendo il sistema formato dalla (2.2.7) e dalla(2.2.5):

ξ = k tan(ka2 + nπ2 )

(ak)2 + (aξ)2 = 2ma2V0

~2

(2.2.8)

Tale sistema deve essere risolto gracamente valutando l'intersezione della circonferenza con latangente nel piano (ak; aξ). Tale sistema ammette sempre almeno una soluzione. In generale piùla buca e larga e profonda maggiore è il numero di stati legati. [6]

2.2.3. Buca di potenziale innita

Per ottenere la buca di potenziale innita eseguiamo il passaggio al limite V0 → +∞ nei sistemi(2.2.6) pertanto:

tan(ka2 − ϕ) = +∞ ovvero ϕ = 12 (ka− dπ) con d dispari.

Le autofunzioni delle regioni laterali sono nulle per le condizioni al contorno:

ψI(x) = ψII(x) = 0

pertanto l'unica funzione d'onda non nulla è quella della regione centrale:

ψII(x) = B cos(k(x+ a2 )− dπ

2 )) = B sin(k(x+ a2 )) sin(dπ2 ) = B sin(k(x+ a

2 ))

imponiamo che la funzione d'onda si annulli per x = a2 ottenendo che:

ka = nπ

pertanto

ψII(x) = B sin(πanx)) cos(nπ2 ) + B sin(nπ2 ) cos(πanx)

Questa equazione può essere riscritta tenendo conto del comportamento dell'indice n: ψn(x) = A sin(πanx) n pari

ψn(x) = C cos(πanx) ndispari(2.2.9)

Gli autovalori si ottengono dalla relazione ka = nπ, elevandola al quadrato e sostituendo a k il suovalore si ottiene:


En = n2 π2~2

2ma2(2.2.10)

L'altro caso tan(ka2 + ϕ) = +∞ porta alle stesse soluzioni.

Le costanti A e C sono determinate imponendo la normalizzazione della funzione d'onda:

1 = ‖ψn(x)‖2 pertanto A = C =√

2a ;

La forma denitiva delle autofunzioni e degli autovalori, della buca di potenziale innita sono:ψn(x) =

√2a sin(πanx) n pari

ψn(x) =√

2a cos(πanx) ndispari

0

−a2 < x < a2

altrove

; En = n2 π2~2

2ma2(2.2.11)

Completiamo la trattazione con alcune osservazioni:Lo spettro è discreto e non degenere, le autofunzioni hanno parità denita ovvero l'autofunzionedel livello fondamentale è pari e non ha nodi, quella del livello I eccitato è dispari con un nodointerno, ecc.

2.2.4. Periodo quantistico della buca di potenziale innita.

Calcoleremo il periodo dimostrando il seguente teorema di validità generale.[9]

Teorema 2. Una qualsiasi funzione d'onda in una buca di potenziale innita ritorna nelle condi-

zioni iniziali dopo un intervallo di tempo T = 2π~E1

= 4ma2

π~ .

Dimostrazione. Una generica funzione d'onda all'istante t=0 può essere scritta come una combi-nazione lineare delle autofunzioni della buca di potenziale:

ψ(x; 0) =

∞∑n=1

cnψn(x) (2.2.12)

Il generale può succedere che alcuni dei coecienti cn possono essere nulli1. Tale funzione d'ondaevoluta ad un generico istante di tempo t assume la forma:

ψ(x; t) =

∞∑n=1

cne(−iEnt

~ )ψn(x) (2.2.13)

Imponiamo la condizione di periodicità, ovvero ricerchiamo un intervallo di tempo T tale per cuiψ(x;T ) = ψ(x; 0); questo succede quando:

e(−iEnT~ ) = e−i(ϕ+2πNn) (2.2.14)

Dove ϕ è indipendente da n mentre Nnvaria con n.Il periodo è uguale a T = ~

En[2πNn + ϕ] ∀n , sostituendo la relazione tra gli autovalori En = n2E1

otteniamo:

T =~E1

[2πNnn2

+ϕ

n2

](2.2.15)

1 Se tutti i cn sono nulli eccetto uno, per ssare le idee sia ck, lo stato iniziale coincide con lo stato stazionarioψk(x) pertanto ogni intervallo di tempo è un periodo.


Ora bisogna imporre che il secondo membro sia indipendente da n. Il termine ϕn2 è palesemente in-

dipendente da n solo quando la fase è costantemente nulla, mentre Nn

n2 può essere reso indipendenteda n scegliendo Nn = kn2con k εN.L'equazione (2.2.15) assume la forma:

T =

[2π~kE1

](2.2.16)

Scegliendo l'intero k più piccolo otteniamo il periodo fondamentale, ossia il più piccolo intervallodi tempo che bisogna aspettare perché la funzione d'onda ritorni in quella iniziale. Sostituendo ilvalore di E1 otteniamo il periodo fondamentale nella sua forma denitiva:

Tq =2π~E1

=

[4ma2

π~

](2.2.17)

2.3. Applicazione della WKB.

In questa sezione, determiniamo la funzione d'onda della buca di potenziale innita per stati quasi- classici tramite il metodo della WKB.[10]

Consideriamo la forma generica della funzione d'onda in approssimazione quasi - classica secondola WKB:

ψ (x) =C1√|p|e−

i~´|p(x)|dx +

C2√|p|e

i~´|p(x)|dx (2.3.1)

Poiché il potenziale è innito al di fuori della buca, un generico oggetto non può uscirne, pertantole condizioni al contorno da imporre sono : ψ

(a2

)= 0

ψ(−a2)

= 0(2.3.2)

Conviene riscrivere la (2.3.1) in una formula che agevoli i calcoli, tramite la formula di Euleropassiamo dagli esponenziali a seno e coseno, ottenendo:

ψ (x) =K1√|p|

sin [θ(x)] +K2√|p|

cos [θ(x)] (2.3.3)

dove θ(x) = 1~

x

−a2

|p(x)| dx

Imponiamo le condizioni iniziali:K1√|p|

sin[θ(a2 )

]+ K2√

|p|cos[θ(a2 )

]= 0

K1√|p|

sin[θ(−a2 )

]+ K2√

|p|cos[θ(−a2)]

= 0

Poiché θ(−a2 ) = 0 la seconda equazione del sistema si riduce a K2 = 0, mentre la prima equazionediventa:

K1 sin[θ(a

2

)]= 0 (2.3.4)

pertanto θ(a2

)= nπ con n εN.


Svolgiamo l'integrale:

1

~

a2

−a2

|p(x)| dx =1

~pa

ma questo integrale dalla (2.3.4) deve essere pari a nπ, ne consegue che:

p =nπ~a

(2.3.5)

poiché siamo in una buca di potenziale p =√

2mE, sostituendo nella (2.3.5) otteniamo le energieammesse:

En = n2 π2~2

2ma2

Determiniamo le autofunzioni:

ψ (x) =K1√|p|

sin [θ(x)]

poiché p per la buca di potenziale è una costante, la funzione d'onda può essere riscritta come:

ψ (x) = K sin [θ(x)] (2.3.6)

Calcoliamo θ(x):

θ(x) =1

~

x

−a2

|p(x)| dx =nπ

a

(x+

a

2

)

considerando la parità di n, la (2.3.6), assume la forma: ψ (x) = W sin(nπa x)

se n pari

ψ (x) = V cos(nπa x)

se n dispari

Dalla condizione di normalizzazione otteniamo le costanti W e V , pertanto:ψ (x) =

√2a sin

(nπa x)

se n pari

ψ (x) =√

2a cos

(nπa x)

se n dispari

Nonostante la WKB determini le esatte autofunzioni e le corrispettive energie per la buca dipotenziale innita, non tutti gli stati hanno proprietà quasi - classiche, come vedremo nelle prossimesezioni, solo alcuni stati particolari hanno proprietà simili a quelle classiche.

2.4. Dierenze nel periodo per le due teorie.

Per una buca di potenziale innita classica, il punto materiale ritorna nelle condizioni inizialidopo degli urti perfettamente elastici con le pareti in un intervallo minimo di tempo pari a Tcl =


a√

2mE . Il periodo dipende dall'energia cinetica posseduta dal punto materiale, infatti al crescere

dell'energia il periodo diviene sempre più piccolo e la frequenza delle oscillazioni cresce.In meccanica quantistica, ogni stato indipendentemente dalla sua energia ritorna su se stesso dopoun intervallo di tempo Tq =

[4ma2

π~

]. Ad una prima analisi, il divario tra i due periodi sembra essere

insanabilmente incolmabile tanto da far pensare ad un paradosso. Il nostro obiettivo è quello dirispondere alla seguente domanda :

Sotto quali condizioni da imporre al sistema quantistico, il periodo classico può essere ottenuto

come limite di quello quantistico ??

Nel prossimo capitolo risponderemo a tale domanda.

Capitolo 3

Il periodo classico come limite di quelloquantistico.

A prescindere dalle motivazioni teoriche esposte nell'Introduzione, tale argomento no a venti annifa riceveva un interesse esclusivamente teorico poiché i periodi non erano apprezzabili sperimental-mente. L'attuale sviluppo nei campi delle nanostrutture a buca di potenziale quantistica e nei laserimpulsati al femtosecondo, ha reso questi risultati potenzialmente osservabili in laboratorio.[9]

3.1. Un approccio semplice ed ecace.

Un possibile collegamento tra le due teorie rispetto al periodo, deve essere ricercata tra le grandez-ze che possano, almeno concettualmente, presentare aspetti simili. Il periodo quantistico esprimel'intervallo dopo il quale tutta la funzione d'onda, di un'entità contenuta nella buca, riassume ilvalore dello stato iniziale, tuttavia classicamente non esiste un corrispettivo per ciò, non a casoi due periodi sono profondamente diversi. Le quantità quantistiche che più facilmente possonoessere paragonate con quelle classiche sono il valore medio della posizione e dell'impulso dell'entitànella buca. Il nostro scopo è ora quello di valutare il periodo del valore medio della posizione edell'impulso.[9]

3.1.1. Periodo del valore medio della posizione.

< x(t) >=< ψ(x; t)|x|ψ(x; t) > (3.1.1)

La ψ(x; t) conviene riscriverla, le autofunzioni (2.2.11) saranno espresse sotto forma di ket |n >pertanto:

< x(t) >=

[ ∞∑m=1

c?me( iEmt

~ ) < m|

]x

[ ∞∑n=1

cne(−iEnt

~ )|n >

]=

∞∑m=1

∞∑=1

c?mcne(i(Em−En)t

~ ) < m|x|n >

(3.1.2)

Il calcolo completo di < m|x|n > è presente in appendice B a pagina 39 , per il calcolo di < x(t) >è suciente:

< m|x|n >=

0 seψm(x) eψn(x) stessa parita

6= 0 altrimenti(3.1.3)

Sostituendo l'espressione (3.1.3) nella (3.1.2) otteniamo :

< x(t) >=∑

mpari

∑ndispari

c?mcne(i(Em−En)t

~ ) < m|x|n > +∑

mdispari

∑n pari

c?mcne(i(Em−En)t

~ ) < m|x|n >=

=∑

mpari

∑ndispari

2Rec?mcne

(i(Em−En)t

~ )< m|x|n >

(3.1.4)

Capitolo 3. Il periodo classico come limite di quello quantistico. 26

E' evidente che il valore medio della posizione è una somma di Fourier di termini il cui periodo,(Tm,n) può essere valutato similmente al periodo della buca di potenziale quantistica, il risultatoè:

Tm,n =2π~

|Em − En|=

2π~E1|(m2 − n2)|

=Tq

|m2 − n2|(3.1.5)

dove è stata usata la relazione En = n2E1 tra le autofunzioni e l'espressione per il periodo quan-tistico (2.2.17).

La (3.1.5) è massima quando il fattore al denominatore è minimo ovvero quando i due interidieriscono per l'unità.Poiché m è pari e n è dispari, introduciamo l'intero c, ne segue:

(m2 − n2) = (2c)2 − (2c− 1)2 = 4c− 1

c resta intero e diverso da zero solo se (m2 − n2) > 1.

Pertanto il periodo di ogni singolo fattore nella somma di Fourier è sempre inferiore a quello dellafunzione d'onda totale in formule Tm,n < Tq.

Calcoliamo alcuni di questi periodi:

m 2 4 . . .n1 Tq/3 Tq/15 . . .3 Tq/5 Tq/7 . . ....

......

. . .

Il periodo più grande ammesso coincide con Tq

3 .Tutti i periodi dei termini nella somma di Fourier dipendono fortemente dallo stato iniziale e quindidalla sua energia, questo è un comportamento ane a quello classico.

Introduciamo un utile risultato:

Se una funzione (F ) è una combinazione lineare di un numero nito di funzioni semplici (fi),ciascuna con periodo T

ni, dove ni è un intero, allora il periodo della funzione somma è pari a

τ = TMCD(ni)

Ne deduciamo che per una generica funzione d'onda, la periodicità del valore medio della posizionenon coincide in generale con il periodo classico. La corrispondenza tra la meccanica classica equantistica, va quindi ricercata in un insieme di autofunzioni che possano presentare comporta-mento quasi - classico.

Consideriamo pertanto uno stato iniziale quasi - classico1 composto da una combinazione linearenita di stati con n che varia da nc − r a nc + r, ovviamente r nc.Per facilitare i calcoli introduciamo due interi i e j rispettivamente pari e dispari che variano da−r a +r, pertanto la (3.1.5) diviene:

Ti,j =Tq

|(nc + i)2 − (nc + j)2|=

Tq|2nc(i− j) + i2 − j2|

1 In appendice C, a pagina 41, sono presenti alcuni casi di funzioni d'onda per stati quasi classici.


mettendo in evidenza i fattori comuni otteniamo:

Ti,j =Tq

2nc(i− j)[1− (i+j)

2nc

]

Poiché r nc ne consegue che i, j sono molto minori di nc, pertanto possiamo trascurare il termine(i+j)2nc

, Ti,j assume la forma:

Ti,j =Tq

|2nc(i− j)|(3.1.6)

Variando i e j otteniamo i periodi per gli stati quasi - classici.Per eseguire il calcolo conviene considerare n da subito solo i casi per cui (i− j) è positivo:

−r + 1Tq

2nc(2r−1)

......

... . .. ...

−3 · · · Tq

2nc(r+3)

−1 · · · Tq

2nc(r+1)

i 2 4 . . . rj

1Tq

2nc

Tq

2nc(3) . . .Tq

2nc(r−1)

3 . . .Tq

2nc(r−3)

......

.... . .

...

r − 1Tq

2nc

Gli unici termini diversi giacciono sull'ultima colonna, possiamo scriverli sinteticamente come:

Tq

2nc(2k−1) con 1 < k < r.

Il periodo del valore medio della posizione < x(t) > su gli stati quasi - classici dall'osservazioneprecedentemente fatta coincide con:

T<x> =Tq

MCD(2nc(2k − 1))=

Tq2ncMCD [(2k − 1)]

(3.1.7)

Poiché tra i (2k − 1) è presente più di un numero primo la (3.1.7) diviene:

T<x> =Tq2nc

(3.1.8)

Come è evidente, il periodo del valore medio della posizione è minore di quello quantistico e adierenza di quest'ultimo dipende dallo stato.Tramite la Enc

= n2cE1 la (3.1.8) diviene:

T<x> =Tq

2√

Enc

E1

(3.1.9)

Sostituiamo i valori per Tq ed E1 otteniamo:

T<x> = a

√2m

Enc

(3.1.10)

Che coincide con l'espressione del periodo per una buca di potenziale innita trattata classicamente.


3.1.2. Periodo del valore medio dell'impulso.

Procediamo similmente al caso precedente.

< p(t) >=< ψ(x; t)|p|ψ(x; t) > (3.1.11)

ovvero

< p(t) >=

[ ∞∑m=1

c?me( iEmt

~ ) < m|

]p

[ ∞∑n=1

cne(−iEnt

~ )|n >

]=

∞∑m=1

∞∑=1

c?mcne(i(Em−En)t

~ ) < m|p|n >

(3.1.12)

Il calcolo completo di < m|p|n > è presente in appendice D a pagina 44 , per il calcolo di < p(t) >è suciente:

< m|p|n >=

0 seψm(x) e ψn(x) stessa parita6= 0 altrimenti

(3.1.13)

Sostituendo l'espressione (3.1.13) nella (3.1.12) otteniamo:

< p(t) >=∑mpari

∑ndispari 2Re

c?mcne

(i(Em−En)t

~ )< m|p|n > (3.1.14)

Il valore medio dell'impulso presenta lo stesso fattore di fase del valore medio della posizione;poiché nella determinazione del periodo sono necessarie solo le fasi, tramite gli stessi ragionamentiotteniamo che il periodo del valore medio dell'impulso su stati quasi - classici vale:

T<p> = a

√2m

Enc

(3.1.15)

Che coincide con quello classico.Poiché sia < x > che < p > in approssimazione quasi - classica hanno lo stesso periodo, questoperiodo lo rinominiamo periodo quasi - classico e lo indichiamo con il simbolo Tqc.

3.1.3. Periodo del valore medio dell'operatore x2.

Tale calcolo può essere fatto similmente a quello per < x > con qualche piccola modica.

< x2 >=< ψ(x; t)|x2|ψ(x; t) > (3.1.16)

ovvero

< x2 >=

[ ∞∑m=1

c?me( iEmt

~ ) < m|

]x2

[ ∞∑n=1

cne(−iEnt

~ )|n >

]=

∞∑m=1

∞∑n=1

c?mcne(i(Em−En)t

~ ) < m|x2|n >

(3.1.17)

Per il calcolo di < x(t)2 > è suciente sapere che:

< m|x2|n >=

0 seψm(x) eψn(x) diversa parita

6= 0 altrimenti(3.1.18)


Sostituendo l'espressione (3.1.18) nella (3.1.17) otteniamo:

< x2 >=∑m;n

dispari

c?mcne

(i(Em−En)t

~ )< m|x2|n > +

∑m;npari

c?mcne

(i(Em−En)t

~ )< m|x2|n >

(3.1.19)

Similmente al calcolo fatto per il valore medio della posizione. Determiniamo il periodo del genericotermine nella somma di Fourier:

Tm,n =2π~

|Em − En|=

Tq|m2 − n2|

(3.1.20)

L'unica dierenza rispetto al calcolo del < x > sta in m e n, che questa volta hanno la stessaparità. Pertanto il denominatore è sempre pari.Anche in questo caso il periodo dei singoli termini di Fourier è più piccolo di quello quantistico,poiché il valore minimo del denominatore è 2.Calcoliamo alcuni di questi periodi:

m 0 2 4 . . .n0 Tq/2 Tq/4 . . .2 . . ....

......

.... . .

Consideriamo anche questa volta, uno stato iniziale quasi - classico composto da una combinazionelineare nita di stati con n che varia da nc − r a nc + r, dove r nc.Per facilitare i calcoli introduciamo due interi pari i e j che variano da −r a +r, pertanto la (3.1.20)diviene:

Ti,j =Tq

|(nc + i)2 − (nc + j)2|=

Tq|2nc(i− j) + i2 − j2|

eseguiamo la stessa approssimazione precedente, ne risulta:

Ti,j =Tq

|2nc(i− j)|

Poiché i e j sono entrambi pari la loro dierenza è ancora pari, pertanto usando la stessa osserva-zione precedente:

T<x2> =Tq

MCD(2nc(i− j))=

1

2

Tq2nc

(3.1.21)

Riconoscendo nella (3.1.21) l'espressione di T<x>, la (3.1.21) diventa:

T<x2> =1

2T<x>

Sostituendo il valore di T<x>, otteniamo la formula nale per T<x2>:


T<x2> =a

2

√2m

Enc

(3.1.22)

Anche questo risultato coincide con quanto ci aspettiamo classicamente, infatti:Se consideriamo una pallina in un buca di potenziale che oscilla tra le pareti, il periodo di tempodopo il quale il quadrato della posizione ritorna su se stesso è proprio pari alla metà del periododella posizione, poiché le posizioni opposte rispetto all'origine dieriscono solo per un segno, ma illoro quadrato è uguale.

Capitolo 4

Conclusioni e Applicazioni.

In questo capitolo saranno esposte succintamente le conclusioni dello studio eettuato sul periododella buca di potenziale innita, unitamente a ciò saranno presentate delle simulazioni. A marginedi tale sezione, presenteremo un'applicazione della periodicità quasi - classica in alcuni dispositivitecnologici.

4.1. Conclusioni.

Un sistema classico unidimensionale è descritto compiutamente da due grandezze, la coordinatae l'impulso ad essa collegata ovvero dalla coppia (q ; p); mentre quantisticamente una descrizionecompiuta è data dalla funzione d'onda.Dopo un intervallo pari al periodo classico (Tcl), lo stato classico ritorna esattamente su se stesso.Anche quantisticamente esiste un periodo quantistico (Tq) tale per cui tutta la funzione d'ondaassume lo stesso valore iniziale, ma se ci limitiamo a considerare solo stati quasi - classici esisteun periodo minore di quello quantistico, detto appunto periodo quasi - classico (Tqc), per cui soloi valori medi < x > e < p >assumono lo stesso valore iniziale, e gli altri osservabili assumono ingenerale un valore diverso da quello iniziale, poiché ritornano su se stessi solo dopo un intervallodi tempo pari al periodo quantistico (Tq).

E' interessante determinare il valore di nc per un determinato sistema sico per cui il periododi uno stato quantistico in approssimazione quasi - classica ripproccia quello classico. Nelle tresimulazioni l'andamento del periodo Tqc è stato gracato in funzione del numero quantico quasi -classico m secondo la relazione (3.1.8). Il valore di m per cui il periodo quasi - classico coincidecon quello classico rappresenta l'nc cercato.

• Consideriamo un elettrone in una buca di potenziale innita larga 100Å e con un'energia cineticadi 1eV :

Figura 4.1.1. Graco T (m) per una elettrone in una buca larga 100A e con energia di 1eV.

Capitolo 4. Conclusioni e Applicazioni. 32

In rosso è gracato il periodo classico che è indipendente da m, mentre in blu è gracato ilperiodo quasi - classico. I parametri della simulazione sono:

Tcl 3.38 · 10−14sTq 1.10 · 10−12s

Ecl 1.60 · 10−19JE1 6.00 · 10−22J

m 16− 17

S 5.19 · 10−33 Js

• Consideriamo un oggetto puramente classico ovvero una pallina da tennis, di massa 60 grammi,in una buca di potenziale innita larga quanto un campo da tennis, 24 m, e con velocità paria 35ms−1:

Figura 4.1.2. Graco T (m) per una pallina da tennis in una buca larga quanto un campo da tennis.


Tcl 1.37sTq 4.17 · 1035s

Ecl 36.75JE1 1.59 · 10−69J

m (15− 16) · 1034

S 48.95 Js

• Consideriamo inne un elettrone in una buca di potenziale di larghezza pari al raggio di Bohre con un'energia pari a quella del livello fondamentale dell'idrogeno.


Figura 4.1.3. Graco T (m) per un elettrone in una buca larga quanto il raggio di Bohr e con unenergia di 13.6 eV.


Tcl 6.14 · 10−17sTq 3.10 · 10−17s

Ecl 1.36 · 10−18JE1 2.14 · 10−17J

m (0.25− 0.30)

S 8.20 · 10−35 Js

Dai tre casi si evince che:Per i primi due casi, dove l'azione è molto maggiore di ~, la meccanica quantistica in approssi-mazione quasi - classica riesce a descrivere anche stati descritti compiutamente dalla meccanicaclassica per numeri quantici grandi in relazione al sistema; mentre per il terzo caso, dove l'azione èminore di ~, l'approssimazione quasi - classica perde la sua validità in quanto il numero quantico mrisulta essere minore dell'unita e pertanto non è rispettata la condizione che caratterizza gli statiquasi - classici.Questa simulazione ci permette di aermare che almeno per questo sistema la meccanica quantisticacontiene in se quella classica come caso limite.

In conclusione, richiedendo ad un sistema quantistico di approcciare il corrispettivo classico nellimite quasi - classico devo necessariamente limitarmi a:• Considerare sistemi non puramente quantistici1.• Considerare particolari stati con numeri quantici il cui valori devono essere sucientemente

grandi in relazione al sistema sico in esame.• Misurare solo gli operatori x e p tralasciando gli altri osservabili.

1 Per sistemi puramente quantistici si vuole indicare, in tale discussione, quei sistemi sici in cui non è trascura-bile la discrepanza tra gli esperimenti e le predizioni della teoria classica, mentre le predizioni della teoria quantisticasono in pieno accordo con gli esperimenti.


4.2. Applicazioni.

I lasers composti di semiconduttori sono molto stimolanti in ambiti di ricerca perché sono al tempostesso interessanti dal punto di vista sico e tecnologicamente importanti; questo è ampiamentevero per i laser a buca di potenziale. Sono ormai venti anni che le nanotecnologie permettono dicostruire buche di potenziale, tramite la crescita controllata di cristalli con un ben denita larghezzae profondità. Questi sistemi possono essere usati oltre che per dimostrare l'esistenza di semplicisistemi quantistici, ma anche per costruire ottimi laser. La loro popolarità è in crescita perché, inquasi ogni aspetto, sono migliori rispetto ai laser tradizionali. Uno dei vantaggi è la possibilità divariare la lunghezza d'onda del laser modicando la larghezza della buca di potenziale. Questo èpossibile agendo esternamente sul materiale che compone la buca. Uno dei vantaggi fondamentaliè che i laser a buca di potenziale hanno un guadagno maggiore per portatori iniettati2 rispetto ailaser convenzionali, ciò si traduce in minori correnti di soglia. Inoltre per il loro funzionamentorichiedono un numero minore di portatori iniettati, poiché i portatori iniettati sono in larga misuraresponsabili delle perdite interne, i laser a buca di potenziale sono più ecienti e in grado digenerare più potenza rispetto a quelli tradizionali.[11]

Determineremo per grandi linee, la funzione d'onda di un singolo elettrone nella cella del laser.Questa è composta da un solido in cui è stata precedentemete costruita una buca di potenziale.

Per semplicità, citeremo solo il caso del laser che sfrutta buche di potenziale costruite all'inter-no dei composti GaAs/AlGaAs, per questi sistemi sono stati compiuti un numero vastissimo diesperimenti. I solidi GaAs/AlGaAs sono ottenuti sotto forma di layers di etero giunzioni. Glielettroni contenuti in tali sistemi sono semplici da descrivere attraverso l'approssimazione dellamassa eettiva (EMA)[12]. Il moto degli elettroni all'interno della banda di tale solido può esseretrovata risolvendo la seguente equazione:(

~2

2

∂

∂z

1

m(z)

∂

∂z+

~2m//

∇2r + Veff (z)

)Ψ(r, t) = EΨ(r, t) (4.2.1)

dove m(z) è la massa eettiva perpendicolare all'etero - interfaccia, m// è la massa parallelaall'interfaccia, r è il vettore posizione parallelo all'interfaccia, e z è la direzione perpendicolareall'interfaccia.

La validità dell'approssimazione (EMA) richiede che la funzione d'onda Ψ(r, t) sia lentamentevariabile su dimensioni comparabili con quelle della buca.Poiché per sistemi composti da etero - giunzioni il potenziale (Veff (z)) varia solo lungo l'asse zl'equazione (4.2.1) è separabile, la soluzione assume la forma:

Ψ(r, t) = Ceik·rϕn(z) (4.2.2)

dove k è il vettore d'onda parallelo all'interfaccia.La soluzione corrisponde al moto libero di un elettrone nel piano parallelo all'interfaccia.La funzione d'onda unidimensionale ϕn(z) soddisfa l'equazione:(

~2

2

∂

∂z

1

m(z)

∂

∂z+ Veff (z)

)ϕn(z) = Enϕn(z)

L'energia totale relativa alla banda minima o massima è:

En;k =~2k2

2m//+ En

2 Per portatore iniettato si intende una generica entità che viene inserita nella buca, solitamente si usanoelettroni, ma esistono sistemi che usano fotoni.


dove la forma delle auto-energie En deve essere valutata in base alla forma della buca di potenziale.Il caso più semplice di stato legato si ottiene considerando una buca di potenziale formata da unsottile layer di GaAs di spessore L contenuto tra due layers di AlxGa1−xAs.[12]

Figura 4.2.1. Schema di una buca di potenziale AlGaAs/GaAs/AlGaAs

Nella gura è mostrato il gap tra la bande di valenza e quella di conduzione, l'elettrone è connatonel gap tra le due bande.Se assumiamo che alla buca di potenziale è associato un potenziale molto grande rispetto all'energiatipica degli stati legati elettronici (En), possiamo ottenere semplici soluzioni approssimando ilsistema ad una buca di potenziale innita.Pertanto ϕn(z) assume la forma delle autofunzioni della buca di potenziale innita:

ψn(z) =√

2a sin(πanz) n pari

ψn(z) =√

2a cos(πanz) ndispari

0

−a2 < z < a2

altrove

pertanto la funzione d'onda che descrive il moto dell'elettrone (4.2.2), assume la forma:Ψn(r, t) = Aeik·r sin(πanz) n pari

Ψn(r, t) = Beik·r cos(πanz) ndispari0

−a2 < z < a2

altrove

Questa è la funzione d'onda che descrive il moto di un singolo elettrone libero all'interno della bucadi potenziale.Mentre le auto-energie sono:

En;k =~2k2

2m//+ n2 π2~2

2mza2

Per descrivere le transizioni che avvengono tra le bande del solido, si deve considerare un numerogenerico di elettroni all'interno della buca, ciò comporta l'introduzione delle superci di Fermiunitamente ad altri concetti di sica dello stato solido che esulano da questo lavoro.In questa sede utilizzeremo la seguente gura:


Figura 4.2.2. Schema della

I layers sono soggetti ad un dierenza di potenziale, e la lunghezza d'onda del laser dipende dalletransizioni elettroniche che possono avvenire tra la banda di conduzione e la banda di valenza.

Appendice A

Il processo di misura in meccanica quantistica

Il processo di misura in meccanica quantistica è descritto dall'interazione tra lo strumento di misurae l'oggetto che deve essere misurato, che indicheremo come particella. Non è altresì possibiledenire un processo di misura che si svolga tutto nella meccanica quantistica, poiché il principiod'indeterminazione di Heisenberg rende impossibile la determinazione della traiettoria di un oggettoin movimento. Pertanto il processo di misura deve essere svolto concettualmente tra meccanicaclassica e meccanica quantistica. Il processo di misura è avvenuto quando la particella ha interagitocon lo strumento che è un oggetto classico, e quest'ultimo passa da uno stato pre-interazione a quelpost-interazione, da questa variazione è possibile, almeno in principio, determinare lo stato dellaparticella.Lo stato dello strumento è caratterizzato dal valore che assume una grandezza che lo caratterizza,o da più; ad esempio un metro a nastro, in un processo di misura, è contraddistinto dalla lunghezzache deve assumere per misurare un oggetto.Indichiamo con g la grandezza che caratterizza lo strumento e con gn i suoi auto valori, in generalelo spettro è continuo, ma per semplicare la notazione lo supporremo discreto. Ciò può ancheessere giusticato osservando che uno strumento ha una sensibilità sotto della quale non è possibilemisurare, pertanto il numero di valori dierenti che può assumere una misura se pur grande èsempre limitato; si pesi ancora una volta a un metro se una misura cade in prossimità di unatacca, attribuiamo la misura come se fosse caduta sulla tacca stessa.Lo stato dello strumento viene descritto dalle funzione d'onda quasi - classiche che indicheremo conΦn(ξ), dove l'indice n corrisponde all'autovalore o l'indicazione della misura gn dello strumento, eξ indica l'insieme delle sue coordinate.Il carattere classico dello strumento lo si ritrova nel fatto che, in ogni instante di tempo, si puòaermare con certezza che lo stato dello strumento si trovi in uno degli stati noti Φn(ξ) e assumeun valore determinato dalla grandezza g.Questo è evidentemente impossibile da realizzare in meccanica quantistica, sempre per via dellarelazione d'indeterminazione di Heisenberg posizione - impulso.Tutto ciò è quello che è necessario conoscere prima del processo di misura stesso, pertanto orapossiamo occuparcene:

Supponiamo che il sistema (Strumento + Particella) si trovi nello stato iniziale: Lo strumento nellostato Φ0(ξ) pre-interazione e la particella nello stato Ψ(q) dove q indica le coordinate.Poiché Φ0(ξ) e Ψ(q) appartengo a spazi dierenti, lo stato iniziale del sistema è descritto dal loroprodotto; Φ0(ξ) ·Ψ(q).Dopo l'interazione, lo stato del sistema, può essere descritto applicando le regole della meccanicaquantistica che ne permettono di seguire la variazione nel tempo. Pertanto potrà essere scritto comeuna combinazione lineare delle autofunzioni dello strumento con certi coecienti1, in formule:

∑n

An(q)Φn(ξ) (A.0.1)

Poiché lo stato dello strumento è noto a ogni istante con precisione suciente, possiamo aermareche lo stato del sistema sarà descritto non dall'intera somma (A.01) , ma soltanto da un terminecorrispondente all'indicazione ottenuta dallo strumento gm, pertanto il solo termine che resta è:

1 Stiamo supponendo che lo strumento sia ideale e privo d'interferenze interne, ciò si traduce in un set diautofunzioni ortonormali. In realtà gli strumenti reali hanno delle interferenze che si traducono in un set noncompletamente ortonormale. Noi supporremmo che lo strumento sia ideale o equivalentemente reale ma le cuiinterferenze interne siano trascurabili rispetto all'intero processo di misura.

Appendice A. Il processo di misura in meccanica quantistica 38

Am(q)Φm(ξ) (A.0.2)

Questo mostra il duplice ruolo della meccanica classica quale limite, e al tempo stesso, qualefondamento della meccanica quantistica.Spesso questo risultato è espresso dicendo che: Dopo la misura lo stato della particella collassa inquello della misura.La costante Am(q) contiene: Sia le informazioni sulle proprietà dello stato dell'elettrone dopo lamisura e sia la probabilità di avere l'm-esima indicazione dello strumento determinata dallo statoiniziale del sistema. Pertanto la costante è proporzionale alla funzione d'onda della particella dopola misura.Poiché l'equazione di Schrödinger è lineare, il legame tra Am(q) e la funzione d'onda inizialedell'elettrone (Ψ(q)) può essere espressa come un operatore integrale lineare:

Am(q) =

ˆKm(q, q′)Ψ(q′)dq′

dove Km(q, q′) è denominato nucleo e caratterizza il processo di misura.

Lo stato della particella dopo la misura, deve essere tale che le probabilità per tutte le grandezzesiano indipendenti dallo stato precedente. Ciò implica la non dipendenza di Am(q) dalla funzioned'onda iniziale dell'elettrone, pertanto la sua forma è determinata in ultima analisi dal processo dimisura stesso.Am deve quindi avere la forma:

Am(q) = amϕm(q)

dove ϕn(q) sono delle generiche funzioni che supporremo normalizzate e indipendenti dallo statoiniziale dell'elettrone; am dipendenti da questo.

Pertanto il un nucleo Km(q, q′) si scompone in prodotto di funzioni soltanto di q e di q′, ovvero:

Km(q, q′) = ϕm(q)Ψ∗m(q′)

La relazione esistente tra am e lo stato iniziale dell'elettrone Ψ(q) vale:

am =

ˆΨ(q)Ψ∗m(q) dq

dove le Ψm(q) sono funzioni d'onda dipendenti dal processo di misura.Pertanto le ϕm(q) sono le funzioni d'onda normalizzate della particella dopo la misura.

Tale formalismo matematico ci da la possibilità, almeno concettuale, di ottenere attraverso unprocesso di misura lo stato dell'elettrone descritto da una determinata funzione d'onda.

Appendice B

Calcolo del bra-ket < m|x|n >

In questa appendice è presente il calcolo del generico elemento della matrice rappresentativadell'operatore x, nella base composta dalle autofunzioni della buca di potenziale innita.Consideriamo il braket < m|x|n >, inseriamo due relazioni di completezza ottenendo:

< m|x|n >=

¨< ψ(x)m|x >< x|x|x′ >< x′|ψ(x′)n > dxdx′ =

ˆψ(x)∗m xψ(x)n dx (B.0.1)

ricordiamo che le autofunzioni sono reali pertanto:

< m|x|n >=

ˆψ(x)m xψ(x)n dx (B.0.2)

Sfruttiamo la parità delle autofunzioni:a2

−a2

ψ(x)m xψ(x)n dx eseguiamo la sostituzionex −→ −xdx −→ −dx pertanto:

a2

−a2

ψ(x)m xψ(x)n dx =

a2

−ˆ

− a2

ψ(−x)m xψ(−x)n dx

Se ψ(x)m e ψ(x)n hanno la stessa parità, cioè entrambi pari o entrambi dispari, allora:a2

−a2

ψ(x)m xψ(x)n dx = −

a2

−a2

ψ(x)m xψ(x)n dx

l'integrale è nullo.Consideriamo il caso in cui le autofunzioni hanno diversa parità, cioè siano una pari ed una dispari.La formula esplicita delle autofunzioni è:

ψn(x) =√

2a sin(πanx) n pari

ψn(x) =√


0

−a2 < x < a2

altrove

Fissiamo per comodità mpari e ndispari:

2

a

a2

−a2

sin(mxπ

a)x cos(mx

π

a) dx, (B.0.3)

Tramite la formula di Werner sinα cosβ = 12 [sin(α+ β) + sin(α− β)] la (B.0.3) diventa:

1

a

a2

−a2

sin[(m+ n)

π

ax]

+ sin[(m− n)

π

ax]

x dx =1

a

a2

−a2

sin[(m+ n)

π

ax]x dx+

1

a

a2

−a2

sin[(m− n)

π

ax]x dx

Appendice B. Calcolo del bra-ket < m|x|n > 40

Calcoliamo il generico integrale, per parti:

a2

−a2

sin (bx)x dx = 2

a2

0

sin (bx)x dx =2

b

− cos (bx)x

a2

|0

+

a2

0

cos (bx) dx

= −ab

cos

(ba

2

)+

2

b2sin

(ba

2

)

Pertanto l'integrale (5.1.3) ha per soluzione:

2a

2a2

(m+n)2π2 sin[(m+ n)π2

]− a2

(m+n)π cos[(m+ n)π2

]+ 2a

2a2

(m−n)2π2 sin[(m− n)π2

]− a2

(m−n)π cos[(m− n)π2

]Ricordiamo che la somma o la dierenza di un numero pari ed di uno dispari è pari.Pertanto tutti i coseni presenti sono nulli; riordinando, ciò che resta è:

4a

π2

1

(m+ n)2 sin

[1

2(m+ n)π

]+

1

(m− n)2 sin

[1

2(m− n)π

](B.0.4)

Riscriviamola esplicitando la funzione seno tramite l'equivalenza: sin(k π2)

= (−1)k+32 :

4a

π2

1

(m+ n)2 (−1)

m+n+32 +

1

(m− n)2 (−1)

m−n+32

Compattando le due frazioni e a seguito di semplici calcoli, otteniamo:

8a

π(−1)

m+n+12

nm

(m2 − n2)2 (B.0.5)

L'elemento della matrice rappresentativa di x è:

< m|x|n >=


8aπ (−1)

m+n+12 nm

(m2−n2)2altrimenti

Appendice C

Funzioni d'onda per stati quasi - classici.

In questa sono presentati i graci di alcune funzioni d'onda di stati quasi - classici.Nel caso della buca di potenziale innita, una generica funzione d'onda di uno stato quasi - classicopuò essere scritta come una combinazione lineare nita di stati con n che varia da nc − r a nc + r,ovviamente r nc, tale combinazione deve essere opportunamente normalizzata.

Ψ =

nc−r∑k=nc+r

ψk(x)

Se nella combinazione lineare sono presenti (N) funzioni d'onda e sono tutte equi-pesate, la costantedi normalizzazione vale 1√

N.

Mostriamo il graco per alcune di esse, per una buca di potenziale unitaria:

• Ψ = 1√3

[ψ9(x) + ψ10(x) + ψ11(x)]

Ψ =√

23 [cos(9πx) + sin(10πx) + cos(11πx)]

Figura C.0.1. Graco di Ψ =√

23 (cos(9πx) + sin(10πx) + cos(11πx))

• Ψ = 1√3

[ψ19(x) + ψ20(x) + ψ21(x)]

Ψ =√


Appendice C. Funzioni d'onda per stati quasi - classici. 42


23 (cos(19πx) + sin(20πx) + cos(21πx))

Se nella combinazione lineare aumentiamo il numero di termini, aumentiamo l'interferenza siadistruttiva che costruttiva tra le funzioni, pertanto la nuova funzione d'onda ha un massimo piùgrande e un minimo più piccolo rispetto alla precedente, inoltre sarà meno diradata all'internodella buca.

• Ψ = 1√3

[ψ99(x) + ψ100(x) + ψ101(x)]

Ψ =√




Appendice C. Funzioni d'onda per stati quasi - classici. 43

• Ψ = 1√5

[ψ98(x) + ψ99(x) + ψ100(x)ψ101(x) + ψ102(x)]

Ψ =√

25 [sin(98πx) + cos(99πx) + sin(100πx) + cos(101πx) + sin(102πx)]

Figura C.0.4. graco di Ψ =√

25 [sin(98πx) + cos(99πx) + sin(100πx) + cos(101πx) + sin(102πx)]

Appendice D

Calcolo del bra-ket < m|p|n >

In questa appendice è presente il calcolo dell'elemento della matrice rappresentativa dell'operatorep, nella base composta dalle autofunzioni della buca di potenziale innita.Consideriamo il braket < m|p|n >, inseriamo due relazioni di completezza:

< m|p|n >=

¨< ψ(x)m|x >< x|p|x′ >< x′|ψ(x′)n > dxdx′ = −i~

ˆψ(x)∗m

d

dxψ(x)n dx

(D.0.1)ricordiamo che le autofunzioni sono reali pertanto:

< m|p|n >=

ˆψ(x)mψ(x)′n dx (D.0.2)

Sfruttiamo la distinta parità delle autofunzioni:

−i~a2

−a2

ψ(x)mψ(x)′n dx eseguiamo la sostituzionex −→ −xdx −→ −dx pertanto:

−i~

a2

−a2

ψ(x)mψ(x)′n dx = (−i~)

a2

−a2

ψ(−x)mψ(−x)′n dx

Se ψ(x)m e ψ(x)′n hanno diversa parità, cioè una pari ed una dispari, allora:

−i~

a2

−a2

ψ(x)mψ(x)′n dx = − (−i~)

a2

−a2

ψ(x)mψ(x)′n dx

l'integrale è nullo.Poiché l'operazione di derivazione inverte la parità della funzione, l'integrale è nullo se ψ(x)m eψ(x)n hanno la stessa parità.Calcoliamo esplicitamente l'integrale, nel caso in cui le autofunzioni hanno diversa parità, cioèsiano una pari ed una dispari.La forma esplicita delle autofunzioni è:

ψn(x) =√

2a sin(πanx) n pari

ψn(x) =√


0

−a2 < x < a2

altrove

Fissiamo per comodità mpari e ndispari:

− 2i~a

a2

−a2

sin(mπ

ax) cos(m

π

ax)′ dx =

2i~πa2

n

a2

−a2

sin(mπ

ax) sin(m

π

ax) dx (D.0.3)

Tramite la formula di Werner sinα sinβ = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)] e la parità dell'integranda,

la (D.0.3) diventa:

2i~πa2

n

a2

0

cos[(m− n)

π

ax]− cos

[(m+ n)

π

ax]

dx

Appendice D. Calcolo del bra-ket < m|p|n > 45

Svolgendo i semplici integrali otteniamo:

2i~an

[sin[(m− n)π2

](m− n)

−sin[(m+ n)π2

](m+ n)

dx

]

Riscriviamo la funzione seno tramite l'equivalenza: sin(k π2)

= (−1)k+32 , otteniamo:

2i~an

[(m+ n) (−1)

m−n+32 − (m− n) (−1)

m+n+32

(m2 − n2)

]Compattando le due frazioni:

2i~a

(−1)m+n+3

2 n

[− (m+ n)− (m− n)

(m2 − n2)

]tramite semplici passaggi:

4i~a

(−1)m+n+3

2nm

(m2 − n2)2 (D.0.4)

L'elemento della matrice rappresentativa di p è:

< m|p|n >=


4i~a (−1)

m+n+12 nm

(m2−n2) altrimenti

Bibliograa

[1] Giovanni Reale e Dario Antiseri, Storia della Filosoa vol.4 (Bompiani, Milano,2008)

[2] Vincenzo Barone, Relatività principi ed applicazioni (Bollati Boringhieri, Torino, 2004)

[3] L. D. Landau e E. M. Lifshitz, Fisica Teorica 2: Teoria dei Campi (Editori Riuniti, Roma,2004)

[4] Albert Einstein, Il signicato della relatività (Newton Compton, Roma ,1997)

[5] L. D. Landau e E. M. Lifshitz, Fisica Teorica 3: Meccanica quantistica, teoria nonrelativistica (Editori Riuniti, Roma, 2010)

[6] Albert Messiah, Quantum Mechanics vol. I (North-Holland Publishing Company,Amsterdam, 1970)

[7] J.J. Sakurai, Modern QuantumMechanics (The Benjamin/Cummings Publishing Company,Menlo Park ,1985)

[8] L. D. Landau e E. M. Lifshitz, Fisica Teorica 1: Meccanica (Editori Riuniti, Roma, 2007)

[9] D.F. Styer, Quantum Revivals versus Classical Periodicity in the Innite Square Well,"Am. J. Phys. 69, 56-62 (2001)

[10] David J. Griths, Introduction to Quantum Mechanics (Prentice Hall, Upper SaddleRiver, 1995)

[11] Peter S. Zory, Quantum Well Lasers (Academic Press, San Diego, 1993)

[12] David K. Ferry e Stephen M. Goodnick, Transport in Nanostructures (CambridgeUniversity Press, Cambridge, 1997)

Ringraziamenti

<<Nos esse quasi nanos gigantium humeris

insidentes, ut possim plura eis et remotiora videre,

non utique proprii visus acumine aut eminentia corporis,

sed quia in altum subvehimur et extollimur magnitudine gigantea>>1

In questa sezione devo arontare il dicile compito di riconoscere i contributi che ho ricevuto inquesti anni sia per arontare pienamente i tre anni di corso di laurea triennale e sia per il suggellodi questo percorso, che è rappresentato da questo lavoro.

Questi ringraziamenti, non possono che iniziare da tutti quei grandi maestri che hanno contribuitoallo sviluppo della sica e conseguentemente della mia preparazione, ringrazio Galileo Galilei (1564- 1642), Sir Isaac Newton (1643 - 1727), Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), James Clerk Maxwell(1831 - 1879), Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906), Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), Albert Einstein (1879 - 1955), Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962), Erwin Rudolf JosefAlexander Schrödinger (1887 - 1961), Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976), Paul Adrien MauriceDirac (1902 - 1984), Lev Davidovich Landau (1908 - 1968), Evgeny Mikhailovich Lifshitz (1915- 1985), Richard Feynman (1918 - 1988). Questo elenco è certamente parziale, per due motivi:Uno perché senza le grandi personalità matematiche che hanno fornito ai sici il linguaggio concui quotidianamente ci esprimiamo, tutto quello che è stato fatto in questi secoli non sarebbe statopossibile; Due perché posso aver dimenticato qualche maestro.

Devo riconoscere felicemente la professionalità del Dott. Marco Rossi, che in questi mesi mi hapazientemente ascoltato, corretto e insegnato una quantità consistente di concetti. Gli devo rico-noscere un'invidiabile e immane pazienza unita a una calma titanica anche in quei momenti i cuii miei dubbi lo inondavano.

Negli anni del liceo, per mia fortuna ho avuto la possibilità di incontrare e conoscere l'amico eattuale Dott. Andrea Nava, con il quale ci siamo rincontrati nel corso di laurea in sica. Loringrazio per i sui squisiti consigli e i suoi preziosissimi appunti, senza dei quali non credo avreisuperato così celermente molti esami. Anche in lui ho ritrovato una disponibilità divina e un sensodi lantropia glorioso.

In questi tre anni ho frequentato profondamente, per via delle nostre inclinazioni teoriche e politi-che, il collega Mario Longo il quale ha sempre mostrato disponibilità ad ascoltare astruse esposizioniteoriche o enigmi matematici. Lo lodo per l'amicizia e i molti aiuti, anche nei momenti più disparatie dicili.

1

<<Siamo come nani sulle spalle di giganti, così che possiamo vedere più cose di loro e più lontane, noncerto per l'altezza del nostro corpo, ma perché siamo sollevati e portati in alto dalla statura dei giganti>>.(Bernardo di Chartres nell'opera di Giovanni di Salisbury, Metalogicon, III, IV)

Ringraziamenti 48

Ognuno di noi, come sosteneva già il Pascoli, ha un suo nido che per quanto tempestato è sempreil posto illibato dove l'individuo cresce intellettualmente solido. E' un posto che per quante oppo-sizioni un possa trovarvi e per quanti distingui porge in avanti, è sempre quello spazio libero dovel'intelletto vuole ritornare.

Non c'è stato dono più soave che il caso potesse concedermi, in questi tre anni. Mi ha permesso diconoscere e apprezzato n da subito la mia attuale compagna, Sara che in questi anni ha saputoassorbire con amore le mie crisi, le mie dicoltà, la mia ansia troppo spesso invadente e ha saputogioire con sobria compostezza dei miei successi.

Colgo quest'occasione felice per ringraziare i Fratelli Lavorini, Il Dott. Vincenzo e Il Dott. Adelmo,innanzi tutto per la sincera amicizia che si è accresciuta profondamente in questi tre anni, ma devoconcedergli maggiore nota per i molti consigli, gli innumerevoli libri segnalatimi e la pazienzamostratami nell'ascoltare l'esposizione di dubbi e incertezze spesso cruciali. È una coppia bizzarrapiena di antitesi: Il Vincenzo di propensione sperimentale e tecnica si oppone all'Adelmo teorico ematematico, ma il loro rapporto reciproco è come la parte in relazione al tutto, la loro sintesi creal'ottimo sico.

Sono ormai sedici anni che alla mia sinistra ho un amico, un consigliere leale e aettuoso chemi ha accompagnato in questi anni tra dicoltà e gioie. Attraverso le molte mete siamo cresciuti,acquistando consapevolezza e facoltà critica. Ringrazio per questo e per tutto quello che in questimargini non può essere contenuto l'Oreste De Luca.

Spero che questo risultato sia d'augurio per ritrovare un caro amico, un fratello che mio malgradoho perduto di vista, Il Daniele Petrassi. Abbiamo condiviso pochi momenti ma pieni di anitàintellettuale e scientica.

Inne ma non ultimo concettualmente, ringrazio la copisteria Lentini unitamente alle altre me-no note, per l'economico materiale didattico, senza la loro esistenza gli eccessivi costi avrebberorallentato se non arrestato del tutto questo straordinario percorso.

Non c'è qui posto per gli avidi detrattori.

tesi di laurea triennale - istituto nazionale di fisica nucleare tesi di laurea triennale...

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