tesis 20112013 final

INSTITUTO POLITÉ CNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LOPEZ MATEOS

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

TESIS

Presentada para obtener el grado de

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

PRESENTA:

Ing. Jesús Francisco Reyes Díaz

Investigación del Procedimiento de muestreo – Cuantificación – Reconstrucción de los

Procesos Gaussianos

Dirigida por

Dr. Vladimir V. Kazakov

México, D.F. 20 de Noviembre de 2013

2

Resumen

Actualmente los sistemas de comunicación interactúan en nuestro entorno de manera casi

imperceptible. La evolución del hombre ha llevado consigo el perfeccionamiento en la forma de

comunicarse, esto con el fin de poder llevar un mensaje de un lugar a otro, hoy en día es posible

comunicarnos rápida y confiablemente de un extremo a otro del planeta.

En la base de los sistemas de comunicación hemos investigado una parte importante dentro del

proceso de comunicación, del cual se puede extraer un conjunto de características que nos

permitirán visualizar hacia dónde vamos respecto al futuro de los sistemas de comunicación, así

como el desarrollo y mejoras aplicables a los mismos para optimizar la calidad de nuestros

sistemas.

La base de nuestra investigación este cimentado sobre la teoría de la esperanza matemática

condicional, la cual nos ofrece un tema poco estudiado en el ámbito del estudio del

procedimiento de muestreo-cuantificación-reconstrucción, dicha teoría se desarrolla a través de

métodos estadísticos los cuales nos dan un panorama general del comportamiento de nuestro

proceso. Los conjuntos de realizaciones que pueden generarse dentro de un proceso son variados

podría decirse que se comporta como procesos infinitos, es por eso que se busca un método que

evalué estos procesos y los trate de una forma que se aproveche el máximo desempeño de dichos

procesos.

El algoritmo óptimo de un sistema de comunicacion se basa en definir sus principales

características, como parte importante dentro de este trabajo se estudió a fondo la función de

cuantificación en el tiempo y en diferentes niveles, los cuales aplican un error de reconstrucción

que no siempre será igual a cero.

Para poder desarrollar nuestras simulaciones se llevó a cabo un conjunto de programas

desarrollados sobre la plataforma de Matlab©, en la cual se obtuvieron diversos resultados los

cuales se muestran en la presente tesis.

3

Abstract

Currently the communication systems interact in our environment almost imperceptibly. The human

evolution has involved the improvement in the way people communicate, this in order to convey a

message from one place to another, it is now possible to communicate quickly and reliably from

one end to another planet.

On the basis of the communication systems we have investigated an important part of the

communication process, which can extract a set of features that allow us to see where we are going

for the future of communication systems and the development and improvement applicable to them

to ensure the quality of our systems.

The basis of our research is grounded on the theory of conditional expectation, which gives us a

little studied topic in the field of sampling procedure-quantization-reconstruction, this theory is

developed through statistical methods which give us a overview of the behavior of our process. Sets

of outputs that can be generated within a process are arguably infinite variety, that is why they are

looking for a method to evaluate these processes and the question in a way that takes advantage the

most from these processes.

In order to develop our simulations was carried out a set of programs developed on the platform of

Matlab ©, in which different results were obtained which are shown in this thesis.

4

Temario

Resumen ............................................................................................................................ 2

Abstract ............................................................................................................................. 3

Temario ............................................................................................................................. 4

Índice de Imágenes ............................................................................................................ 6

Objetivos ........................................................................................................................... 9

Justificación ..................................................................................................................... 10

Capítulo 1 ........................................................................................................................ 12

Procedimiento de Muestreo Reconstrucción de realizaciones de procesos gaussianos ....... 12

1.1 Historia del muestreo ......................................................................................... 12

1.2 Característica estadística condicional de los procesos aleatorios ........................ 14

1.2.1 Procesos Aleatorios ............................................................................................ 15

1.2.2 Función de covarianza ............................................................................................. 18

1.2.3 Densidad Espectral De Potencia .............................................................................. 20

1.2.4 Procesos gaussianos y sus propiedades ................................................................... 21

1.3 Procedimiento de muestreo reconstrucción de realización de procesos gaussianos

estacionarios .................................................................................................................... 22

1.3.1 Procesos Markovianos ............................................................................................ 23

1.3.4 PMR de realizaciones del proceso Gaussiano en la salida de un filtro RC de dos

etapas (No Markovianos) ................................................................................................. 27

1.3.5 PMR de realizaciones a la salida de un filtro RC de tres etapas (No Markoviano) ... 30

Conclusión ....................................................................................................................... 33

Capítulo 2 ........................................................................................................................ 34

Cuantificación - Reconstrucción de realizaciones de un proceso gaussiano....................... 34

2.1 Cuantificación ............................................................................................................ 34

Conclusión ....................................................................................................................... 38

Capítulo 3 ........................................................................................................................ 40

5

Procedimiento para el cálculo del error de reconstrucción utilizando Función de densidad

de probabilidad uniforme ................................................................................................. 40

3.1 Análisis PMCR .......................................................................................................... 40

3.2 PMCR de las realizaciones a la salida de un filtro RC de 1 etapa ............................... 42

3.3 PMCR de realizaciones a la salida de un Filtro RC de dos etapas ............................. 44

3.4 PMCR de realizaciones a la salida de un Filtro RC de Tres etapas ............................. 47

3.5 Resultados PMCR con diferentes funciones de covarianza a la salida de un filtro. ...... 49

Conclusión ....................................................................................................................... 52

Capítulo 4 ........................................................................................................................ 53

Procedimiento para el cálculo del muestreo cuantificación y reconstrucción (PMCR) de

procesos gaussianos ......................................................................................................... 53

4.1 Procesos Markovianos ................................................................................................ 53

4.2 Procesos no Markovianos ........................................................................................... 65

4.3 Procesos no Markovianos a la salida de un filtro RC de 3 etapas ............................... 74

Conclusión ..................................................................................................................... 85

Conclusiones Generales ............................................................................................. 87

Trabajos citados ............................................................................................................... 89

Publicaciones ................................................................................................................. 101

6

Índice de Imágenes

Fig. 1 Esperanza matemática condicional .................................................................................................... 15

Fig. 2 Conjunto de Posibles Realizaciones de un Procesos aleatorio dado ..................................................... 16

Fig. 3 Ejemplo de FDP en diferentes tiempos ............................................................................................... 17

........................................................................................................ Fig. 4 Grafica de un proceso suave

.................................................................................................................................................................. 18

Fig. 5 Función de covarianza para un proceso suave ................................................................................... 18

Fig. 6 Grafico de proceso caótico ................................................................................................................. 19

Fig. 7 Función de covarianza para un proceso caótico.................................................................................. 19

Fig. 8 Función básica para un proceso markoviano ...................................................................................... 24

Fig. 9 Función de reconstrucción para un proceso markoviano con ............................................... 25

Fig. 10 Error de reconstrucción para proceso markoviano ............................................................................ 25

Fig. 11 Función básica para un proceso markoviano con .............................................................. 26

Fig. 12 Función de error de reconstrucción de un proceso markoviano con ................................... 27

Fig. 13 Función básica para un proceso no Markoviano ................................................................ 28

Fig. 14 Función de reconstrucción para un proceso no Markoviano .............................................. 28

Fig. 15 Función de error de reconstrucción para un proceso no Markoviano ................................. 29

Fig. 16 Función básica para un proceso no markoviano ................................................................ 29

Fig. 17 Función básica de error de reconstrucción para un proceso no markoviano ....................... 30

Fig. 18 Función básica para filtro RC de tres con ......................................................................... 31

Fig. 19 Función de reconstrucción para filtro RC de tres etapas .................................................... 32

Fig. 20 Función de error de reconstrucción para filtro RC de tres etapas ....................................... 32

Fig. 21 Señal Gaussiana con 5000 muestras ................................................................................................ 35

Fig. 22 Función de covarianza de la señal gaussiana .................................................................................... 35

Fig. 23 Función de distribución de probabilidad de la señal gaussiana ......................................................... 36

Fig. 24 Realización de una sección de las muestras del proceso Gaussiano ................................................... 36

Fig. 25 Diferencia entre las muestras reales y las muestras de la cuantización ............................................ 36

Fig. 26 Procesos Gaussiano a la salida del filtro RC ...................................................................................... 37

Fig. 27 Proceso Gaussiano discretizado a la salida del filtro tomando una sección de 0s a 5s........................ 37

Fig. 28 Proceso Gaussiano a la salida del filtro RC cuantificado .................................................................... 38

Fig. 29 error de reconstrucción + error de cuantificación .......................................................... 41

Para el primer caso aplicando la función de distribución uniforme hallaremos error de reconstrucción de la

cuantificación dado que este valor es uniforme, será igual para todos los niveles. Para Fig. 30

obtenemos = 0.1875, aquí se suma el error de cuantificación obteniendo un nuevo valor de error de

reconstrucción máximo para cada intervalo. .............................................................................................. 42

Fig. 31 Error de reconstruccion mas error de cuantificacion con L=4............................................................ 42

Fig. 32 Error de reconstruccion mas error de cuantificacion con L=8 ............................................................ 42

Fig. 33 Error de reconstruccion mas error de cuantificacion con L=32 .......................................................... 43

Fig. 34 Error de reconstruccion mas error de cuantificacion con L=4 ............................................................ 43

Fig. 35 Error de reconstruccion mas error de cuantificacion con L=128......................................................... 44

Fig. 36 Filtro Rc 2 etapas con L=4 ............................................................................................... 44

7

Fig. 37 Filtro Rc 2 etapas con L=8 ................................................................................................ 45

Fig. 38 Filtro Rc 2 etapas con L=16 .............................................................................................. 45



Fig. 41 Filtro Rc 2 etapas con L=128 ............................................................................................ 46

Fig. 42 Filtro Rc 3 etapas con L=4 ................................................................................................ 47

Fig. 43 Filtro Rc 3 etapas con L=8 ................................................................................................. 47

Fig. 44 Filtro Rc 3 etapas con L=16 .................................................................................................... 48

Fig. 45 Filtro Rc 3 etapas con L=32 ..................................................................................................... 48

Fig. 46 Filtro Rc 3 etapas con L=64 .................................................................................................... 48

Fig. 47 Filtro Rc 3 etapas con L=128 ................................................................................................... 49

Fig. 48 Error de reconstrucción promedio ........................................................................................... 51

Fig. 49 Error de reconstrucción optimo por función .................................................................. 51

Fig. 50 Reconstrucción original vs Reconstrucción Cuantificada ................................................................... 54

Fig. 51 Error promedio de cuantificación .............................................................................................. 54

Fig. 52 Error de reconstrucción sin cuantificar ............................................................................................. 55

Fig. 53 Error de reconstrucción total ....................................................................................................... 56

Fig. 54 Reconstrucción original vs reconstrucción cuantificada .................................................................... 57

Fig. 55 Promedio en tiempo proceso Markoviano con L=8 ........................................................................... 57

Fig. 56 Error de reconstrucción total ....................................................................................................... 58

Fig. 57 Diferencia de reconstrucción para 16 niveles ................................................................................... 58

Fig. 58 Promedio en tiempo con L=16 .......................................................................................................... 59

Fig. 59 Error de reconstrucción total............................................................................................................ 59

Fig. 60 Diferencia de reconstrucción para 32 Niveles RC1 ............................................................................ 60

Fig. 61 Factor promedio de error de reconstrucción para 32 niveles RC1 ...................................................... 60

Fig. 62 Error de reconstrucción 0.1016 ................................................................................................ 61


Fig. 64 Factor promedio de error de reconstrucción ..................................................................................... 62

Fig. 65 Error de reconstrucción total 0.1001 ........................................................................................ 62

Fig. 66 Diferencia de reconstrucción para 128 Niveles RC1........................................................................... 63

Fig. 67 Factor promedio de error de reconstrucción para 128 Niveles .......................................................... 64

Fig. 68 Error de reconstrucción total 0.09977 ..................................................................................... 64

Fig. 69 Diferencia de reconstrucción RC2 4 Niveles ..................................................................................... 65


Fig. 71 Error de reconstrucción total 0.1635........................................................................................ 66

Fig. 72 Diferencia de reconstrucción para 8 Niveles RC2 .............................................................................. 67


Fig. 74 Error de reconstrucción total 0.04485 ...................................................................................... 68



Fig. 77 Error de reconstrucción total 0.0145 ........................................................................................ 69


Fig. 79 Factor promedio de error de reconstrucción .................................................................................... 70

8

Fig. 80 Error de reconstrucción total 0.005494 .................................................................................... 71


Fig. 82 Factor promedio del error de reconstrucción .................................................................................... 72


Fig. 84 Diferencia de reconstrucción para 128 Niveles ................................................................................. 73



Fig. 87 Diferencia de reconstrucción para 4 niveles RC3 ............................................................................... 75


Fig. 89 Error de reconstrucción total 0.1681........................................................................................ 76

Fig. 90 Diferencia de reconstrucción con 8 Niveles RC3 ................................................................................ 77



Fig. 93 Diferencia de reconstrucción para 16 Niveles RC3............................................................................ 78

Fig. 94 Factor promedio del error de reconstrucción .................................................................................... 79



Fig. 97 Factor de error promedio ................................................................................................................. 80



Fig. 100 Factor promedio del error de reconstrucción .................................................................................. 82

Fig. 101 Error de reconstrucción total 0.0007057 ................................................................................ 82

Fig. 102 Diferencia de reconstrucción para 128 Niveles RC3 ......................................................................... 83

Fig. 103 Factor promedio de error de reconstrucción ................................................................................... 83

Fig. 104 Error de reconstrucción total 0.000305 .................................................................................. 84

Fig. 105 Grafico general de resultados de errores de reconstrucción máximo (Entre más cerca del cero se

encuentre mejor será la reconstrucción) ...................................................................................................... 85

9

Objetivos

Evaluar el procedimiento de muestreo-cuantificación-reconstrucción de los procesos gaussianos en

base a la regla de la esperanza matemática condicional.

Los objetivos particulares para nuestro trabajo considerando funciones de covarianza de procesos

Markovianos y no Markovianos para los procesos cuantizados son los siguientes:

Estudio del modelo de procesos Gaussianos Markovianos y no Markovianos

Calculo de las funciones de reconstrucción, error de reconstrucción y error

promedio de reconstrucción de los procesos gaussianos.

Desarrollo del algoritmo computacional para el cálculo de la reconstrucción y error

de reconstrucción.

Desarrollo del algoritmo computacional para el algoritmo del proceso de

cuantificación

Desarrollo de algoritmo de procedimiento de muestreo-cuantificación-

reconstrucción con dos variantes:

Usando el método de la distribución uniforme (se considera un error por cada nivel)

Usando el error de cuantificación de la diferencia de la reconstrucción y la

reconstrucción cuantizada.

Desarrollo del algoritmo computacional para el muestreo cuantificación y

reconstrucción de procesos aleatorios en sus dos variantes.

10

Justificación

En el presente trabajo se abordaran temas en materia de procesamiento de señales, los cuales están

estrechamente ligados a procesos estocásticos, el análisis de estos procesos tiene cierta inexactitud

si intentamos verlo desde el lado del receptor en un sistema de comunicación, el cual evalúa el

desempeño de estas realizaciones. El desarrollo de esta metodología poco estudiada nos dará una

pauta para obtener un conjunto de recomendaciones para el uso y el correcto desempeño de estos

algoritmos, los cuales serán utilizados durante el desarrollo de este trabajo.

recomiendo ampliamente este trabajo para próximas investigaciones en el área de calidad de

reconstrucción de señales, para evaluar un nuevo método el cual comprende de una serie de

funciones estadísticas que evalúen el desempeño de nuestra función de reconstrucción en sistemas

de comunicación de origen estocástico, así mismo esperamos tener un alcance dentro de los

modelos de procesamiento de señales que se desarrollan actualmente, esto con el fin de dar muchas

más posibilidades para el desarrollo de nuevas tecnologías, los resultados aquí mostrados esperan

satisfacer la curiosidad del investigador y llenar un pequeño espacio dentro de nuestro universo de

preguntas.

11

La presente página se dejó intencionalmente en blanco.

12

Capí tulo 1

Procedimiento de Muestreo Reconstrucción de

realizaciones de procesos gaussianos

Una de las características deseables dentro de un sistema de comunicación seria buscar definir el

comportamiento de sus procesos, de tal forma que estos sean completamente descritos, para lo cual

se trabajara en la base de la regla de la esperanza matemática condicional para realizaciones de

procesos gaussianos, las cuales serán alimentados a la entrada de un filtro con ruido blanco. Para

este capítulo obtendremos un error de reconstrucción y una función de error de reconstrucción a

partir de la salida de un filtro lineal aplicando diferentes funciones de covarianza.

1.1 Historia del muestreo

El estudio del procesamiento de las señales durante muchos años ha obtenido grandes avances,

la investigación de la reconstrucción de una señal que pasa a través de determinados puntos,

(muestras) ha sido objeto de estudio y uno de los primeros trabajos de los cuales se tiene registro

fue presentado por J. L. Lagrange en sus lecciones en la Ecole Normale de parís en 1795 [1] el

cual describe que existe un polinomio interpolador que actúa directamente sobre cada

muestra.

∑ (1.1)

Donde, k=0,1, …, n,

(1.2)

Esta interpolación entre muestras de su misma función fue también propuesto por E.T. Whitakker

en su conocido artículo publicado en 1915 [2]. Su desarrollo describe la forma de encontrar los

valores de una función que pasan a través de determinados puntos , donde

, donde , son complejos y . El conjunto de las funciones se le

llamo conjunto cotabular, asociado con la secuencia { } de los valores conocidos. En su

investigación destaca una ecuación es especial la cual llamo función cardinal del conjunto

cotabular, donde es igual a

13

∑

(1.3)

En el año de 1993 el teorema del muestreo fue presentado en la unión soviética en un artículo de

Kotelnikov [3], del cual Shannon (1948) [4] [5] utilizo para demostrar que una señal analógica

limitada en banda es equivalente a la serie de sus muestras, tomadas a una distancia definida

(Teorema de Nyquist). En este artículo se citó de la misma forma el trabajo de Whitaker,

posteriormente se establecieron algunas pruebas al teorema que es hoy conocido como el

teorema de muestreo de Whittaker-Kotelnikov-Shannon (WKS) el cual dice:

Toda función de una señal definida en que esta limitada en banda dentro de un intervalo

(donde > 0) puede ser completamente reconstruida con respecto a toda

partiendo de sus valores muestreados que son tomados en los puntos (donde

) igualmente espaciados sobre el eje real , en términos de

∑ (

)

(1.4)

Este teorema es válido en muchas de sus generalizaciones las cuales son válidas para funciones

determinísticas con espectros limitado [11, 12, 13, 14]. Esta generalización es conocida para

procesos aleatorios [6] estacionarios y que son citados en algunos artículos [15,16] entre ellos el

artículo que presento A.V. Balakrishnan [8] en 1957. El ejemplo más claro del teorema de

muestreo para procesos estocásticos estacionarios con el espectro finito está dado por el

teorema clásico WKS que generaliza A. Balakrishnan [8]. Este teorema es llamado en ocasiones el

teorema de WKS para los procesos estocásticos.

El teorema de Balakrishnan es hasta el día de hoy mencionado en los libros de investigación

como parte fundamental en la teoría de las comunicaciones, por lo tanto es importante

mencionar su teorema el cual esta formulado de la siguiente manera [8]:

Sea un procesos estocástico evaluado real o complejo, estacionario en el

“sentido amplio” y que posee una densidad espectral la cual desaparece fuera del intervalo de la

frecuencia angular [-2πW, 2πW], entonces x(t) tiene la representación :

∑

(1.5)

Para cada , donde simboliza el límite en el sentido cuadrático medio.

Más explícitamente, esto significa

14

{[ ∑ (

)

] } (1.6)

… se asume que todos los procesos tienen sus varianzas y sus promedios finitos.

El teorema comentado anteriormente carece de propiedades estadísticas para la descripción del

procedimiento de Muestreo-Reconstrucción de los procesos estocásticos, lo cual no significa que

sea incorrecta.

A partir de esta información se cuestiona el teorema de Balakrishnan del cual se precisan

limitaciones y los alcances del mismo:

El teorema no utiliza una de las principales características estadísticas del proceso aleatorio, su

FDP o sus funciones características ya sea multidimensional o unidimensional. Además su función

básica, la cual se multiplica con cada muestra de la realización, está determinada por la función

para todos los tipos de procesos aleatorios, así como no depende del número de

muestras, este teorema no contiene alguna característica estadística importante en el tiempo, de

algún proceso estocástico en sus diferentes momentos. Por ejemplo, la ausencia de la función de

covarianza. Con el teorema de Balakrishnan es necesario considerar la realización del proceso

estocástico dado el intervalo infinito del tiempo, de esto se cuestiona el hecho de utilizar el

número infinito de muestras, Para el caso de la función de reconstrucción se cuestiona porque es

igual a cero para todos los procesos estocásticos. Para obtener una reconstrucción óptima

completa de alguna realización en todos los procesos estocásticos con un error de cero utiliza la

frecuencia límite . Finalmente una última observación la cual no incluye el procedimiento de

extrapolación en su formulación.

∑ (1.7)

Donde es la función base para las muestras , en este caso la función base es también

llamada función SINC

(1.8)

1.2 Característica estadística condicional de los procesos aleatorios

Analizaremos las principales propiedades estadísticas de los procesos aleatorios, las cuales son

fundamentales para comprender el desarrollo del Procedimiento de Muestreo-Reconstrucción

(PMR), pero el porqué de este término, ya que en algún momento estas funciones trabajan de una

15

forma dependiente, es imposible hablar de un término solamente como lo es la reconstrucción ya

que esta depende del muestreo y viceversa. Los procesos aleatorios dado un conjunto de

muestras, las cuales pasaran a través de determinados filtros lineales definen los efectos que

tienen a la salida de dichos filtros. Se busca establecer una descripción que sea completa a la

salida del filtro con lo cual, para los procesos aleatorios es conveniente trabajar con la función de

covarianza y con la función de densidad espectral . De esta forma se analizara la

relación Entrada-Salida de un sistema lineal. Para el análisis de reconstrucción trabajaremos muy

fuertemente con filtros pasa-bajas (Filtros RC de una, dos y tres etapas) del cual se hablara en las

siguientes páginas.

Fig. 1 Esperanza matemática condicional

Se plantearan las principales características que tiene la esperanza matemática condicional, como

un caso general en la reconstrucción de los procesos aleatorios, las muestras definirán las

condiciones para realizar la reconstrucción optima, por ejemplo, la función de covarianza o

función del espectro de potencia del proceso estocástico dado, su número de muestras y el

número actual del intervalo que existe entre cada muestra.

1.2.1 Procesos Aleatorios

Definimos un proceso aleatorio continuo como un conjunto de realizaciones

para los instantes de tiempo , donde es cualquier

entero positivo, cada una de estas realizaciones tiene una función probabilística descrita por sus

propiedades estadísticas que pueden ser expuestas bajo condiciones similares. Cada realización

puede ser definida como una continuidad de valores de sobre un intervalo finito o

dentro de un intervalo de .

|

16

Fig. 2 Conjunto de Posibles Realizaciones de un Procesos aleatorio dado

De la figura 2, las realizaciones están especificadas dentro de los intervalos ( ), ahora si

dividimos a x en un conjunto de L unidades , cada una con anchura y seleccionando un

intervalo ( ), si contamos el número de realizaciones que caen dentro

de ( ), por lo tanto es posible medir la probabilidad asociada en este intervalo:

(1.9)

Se pueden tomar los limites, cuando Y , de tal forma que obtenemos: la

probabilidad de que x en el tiempo cae en el intervalo

(1.10)

Iterando la formula anterior para cada unidad podemos encontrar la densidad de probabilidad

(FDP) deseada en cada intervalo. De esta misma forma podemos hallar la densidad de

probabilidad, esta existe en cada instante de tiempo , dentro de los intervalos de tiempo

( ) del proceso aleatorio y su función de densidad de probabilidad la

estructura de las realizaciones puede ser muy diferente en su diferentes tiempos, es por lo cual

17

muy importante tomar en cuenta los tiempos en la que estas probabilidades son

calculadas. Ya que sus estructura actual de su densidad puede ser diferente para tiempos

diferentes Fig. 3.

Fig. 3 Ejemplo de FDP en diferentes tiempos

Si conocemos su función de densidad de probabilidad en cada uno de sus tiempos ,

podremos obtener información estadística acerca del proceso, así como la función de la esperanza

matemática ⟨ ⟩ en sus instantes de tiempo , la función de la varianza

matemática ⟨ ⟩ y las funciones de sus momentos inicial y central de

orden n Tabla 1:

Función de esperanza matemática

⟨ ⟩ ∫

Función de la varianza:

⟨ ⟩ ∫ ( )

Función del momento inicial de orden n:

⟨ ⟩ ∫

Función del momento central de orden n:

⟨ ⟩ ⟨( ) ⟩ ∫ ( )

Tabla 1

18

1.2.2 Función de covarianza

La función de covarianza la cual describe al proceso como la relación de las diferentes

estructuras del tiempo, tal función es determinística con los dos argumentos del tiempo t1 y t2

que demuestran cómo el momento de covarianza cambia cuando la distancia entre estas dos

secciones cambia también.

⟨ ⟩ ∫ ( )( )

La función de covarianza define si una realización en la estructura de un proceso en el tiempo será

caótica o será suave, se detalla en Fig. 4 y Fig. 6. El proceso suave se observa cuando la función de

covarianza tiende a cero lentamente Fig. 5 , en cambio cuando la función de covarianza tiende a

cero rápidamente se dice que es un proceso caótico Fig. 7.

Fig. 4 Grafica de un proceso suave

Fig. 5 Función de covarianza para un proceso suave 𝝉 𝒕𝟐 𝒕𝟏

R ( = 0)

19

Fig. 6 Grafico de proceso caótico

Fig. 7 Función de covarianza para un proceso caótico

La función de covarianza es solo una función de la diferencia del tiempo cuando el

proceso es estacionario, por lo tanto la función de covarianza sera representada de la

siguiente forma , algunas propiedades que tiene esta funcionde covarianza son

las siguientes:

1) Tiene un valor máximo cuando t1=t2, en donde =t2-t1=0:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

2) Es una función par

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

20

3) Tiende a cero cuando

4) Existe una función de covarianza normalizada donde:

5) Su rango de valores está contenido en:

| | , por lo tanto | |

6) Tiene relación con un parámetro llamado tiempo de covarianza en función de

∫ | |

El tiempo de covarianza indica el tiempo en que existe dependencia o influencia entre los

mismos valores del proceso, es muy utilizado para medir las características de la respuesta de un

filtro. Cuando el proceso es caótico se tiene que el valor de del proceso es pequeño comparado

con el tiempo de covarianza de un proceso mas suave.

1.2.3 Densidad Espectral De Potencia

Ahora abordaremos una característica importante, de la cual se toman las propiedades espectrales

de los procesos aleatorios a partir de su distribución de potencia de cada armónico en función de

la frecuencia. Es claro, que esta función espectral debe determinar las propiedades de todas las

realizaciones del proceso aleatorio dado. El teorema de Wiener-Khintchine sugiere que la función

de covarianza o auto correlación para procesos aleatorios esté relacionada con la función de

densidad espectral mediante la transformada de Fourier.

Teorema de Wiener-Khintchine: donde x(t) es un proceso estacionario en sentido amplio.

∫

(1.16)

∫

(1.17)

Siempre que sea lo suficiente mente pequeña para valores grandes de para que

21

∫ | |

(1.18)

Este teorema es válido para procesos no estacionarios siempre que remplacemos por

. Se puede definir que para un proceso suave la densidad espectral de potencia es mas

estrecha y para un proceso caótico la densidad espectral de potencia es más ancha. Y debido a los

atributos espectrales de la función de covarianza su transformada de Fourier tiene

las siguientes propiedades:

1) Siempre es real

2)

3) Es una función simétrica:

1.2.4 Procesos gaussianos y sus propiedades

Un proceso aleatorio Gaussiano aplicado a un filtro lineal estable siempre obtendrá a la salida un

proceso aleatorio Gaussiano. Si consideramos un conjunto de variables aleatorias

dado un proceso aleatorio en cada instante de tiempo ,

además si este proceso es gaussiano, entonces este conjunto de variables aleatorias son conjunta

mente gaussianas para cada y descritas completamente por su matriz de covarianza ( ) de

orden

[ ‖ ‖ ]

{

∑ ∑

[ ( ) ( )]} (1.19)

Donde ( ) es el determinante de la matriz de covarianza

[

] (1.20)

Y ‖ ‖ es la inversa de la matriz de covarianza

‖ ‖ ‖ ‖

, ∑ ( ) (1.21)

(1.22)

22

Si fijamos el conjunto de muestras , entonces la FDP condicional

será Gaussiana también. Y las principales características estadísticas de este proceso condicional

están dadas por las siguientes expresiones, donde el proceso gaussiano condicional es

completamente descrito.

∑ ∑ [ ( )]

(1.23)

∑ ∑ ( )

(1.24)

∑ ∑ ( )

(1.25)

Donde son los elementos de la matriz de covarianza inversa Ecuación 1.26

[

] (1.26)

De las expresiones anteriores (1.23-25) obtenemos el proceso gaussiano condicional

completamente descrito, como podemos observar un proceso condicional es principalmente no

estacionario. La fórmula (1.23) muestra que es una función lineal de las muestras y de (1.24)

podemos observar que la función de error de reconstrucción no depende de lo valores de las

muestras , pero si depende del lugar o la posición en la que se encuentre la muestra.

1.3 Procedimiento de muestreo reconstrucción de realización de procesos

gaussianos estacionarios

Para los siguientes capítulos consideraremos varios ejemplos de los cuales debemos tener en

cuenta dos aspectos a tomar muy importantes, el primero de ellos es demostrar la aplicación de

las formulas generales en alguna realización de proceso concreto, en segundo lugar tenemos

algunas características del procedimiento de muestreo reconstrucción para ir creando una base de

recomendaciones prácticas. Tomaremos ejemplos con procesos de espectro finito e infinito.

Las formulas (1.23) y (1.24) pueden ser simplificadas en el caso estacionario,

, entonces tenemos la expresión para la función de reconstrucción:

23

∑ ∑ ( )

∑ ( )

(1.27)

∑ (1.28)

Donde es la función base, como podemos recordar esta no es la función SINC es muy simple

escribir la función base para procesos no estacionarios ahora observaremos la expresión del error

de reconstrucción.

∑ ∑ ( )

(1.29)

1.3.1 Procesos Markovianos

Como primer ejemplo se tomara el PMR mediante la regla de la esperanza matemática

condicional, consideraremos un proceso aleatorio Gaussiano Markoviano Unidimensional a la

salida de un filtro RC lineal cuando la entrada es alimentada con ruido blanco. La respuesta del

filtro está dada por la función de covarianza normalizada tipo exponencial.

| | (1.30)

Conforme se vallan desarrollando las principales características estadísticas que definen a un proceso en su totalidad trabajaremos con funciones de covarianza igual a la unidad, con el fin de determinar el tiempo de influencia entre los valores de un proceso:

∫ | ∫ | |

(1.31)

Debemos tomar en cuenta que el valor de , para que el tiempo de covarianza de

nuestro proceso sea igual a la unidad debemos considerar el valor de igual a 1, para el caso

Markoviano.

La función de covarianza tiene las propiedades de un proceso Markoviano en la descripción

del Procedimiento de Muestreo-Reconstrucción, entonces concretando las expresiones, para la

función básica, de reconstrucción y la función de error de reconstrucción tenemos:

∑ ∑ | |

(1.32)

∑ ( ) ∑ ∑ | |

(1.33)

∑ ∑ | | | |

(1.34)

24

De las funciones de error obtenidas anteriormente dependerán de la matriz inversa de

covarianza con elementos

‖ ‖ ‖ ( )‖ (1.35)

Si analizamos el comportamiento de reconstrucción en la región de interpolación es decir, cuando

donde i=1…,N. para el cual observaremos la función básica , la función de

reconstrucción y la función de error de reconstrucción . Si se consideran 8 valores de un proceso

aleatorio en los instantes de tiempo tal como se muestra en la tabla 2

VALOR DE LA MUESTRA

INSTANTE DE MUESTREO

.8

Tabla 2

Fig. 8 Función básica para un proceso markoviano

La función básica depende principalmente del comportamiento de la función de covarianza de la

cual existe una función básica por cada muestra Fig. 8.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Funció

n B

ásic

a

Tiempo (t)

Región de

Extrapolación Región de

Extrapolación

Región de Interpolación

25

Fig. 9 Función de reconstrucción para un proceso markoviano con

Para poder averiguar la calidad de la reconstrucción aplicamos la función de error de error de

reconstrucción la cual podemos observar en la Fig. 10 de la cual obtenemos intervalos dentro de

la región de interpolación la cual nos indica que en su valor máximo (la cresta) se encuentra el

error máximo de reconstrucción, además del comportamiento de la región de extrapolación,

claramente notamos que su asíntota tiende a 1.

Fig. 10 Error de reconstrucción para proceso markoviano

En nuestras primeras simulaciones observamos cómo se comporta el proceso markoviano con las

muestras espaciadas a cierta distancia, pero que pasa si reducimos la distancia entre las muestras

de nuestro proceso simulado. En la siguiente simulación mantendremos especial enfoque a la

función de error de reconstrucción. Para la siguiente simulación tomaremos las distancias o los

instantes de muestreo que se muestran en la Tabla 3

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5F

unción de R

econstrucción

Tiempo (t)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Funció

n de E

rror de R

econstrucció

n

Tiempo (t)

Región de

Extrapolación

Región de

Extrapolación



Región de

Extrapolación

Región de

Extrapolación

0.245 0.245

0.245

26

VALOR DE LA MUESTRA

INSTANTE DE MUESTREO

.8

Tabla 3

Podemos observar en la función básica Fig. 11 las muestras cómo se comportan dentro de los

instantes de muestreo dados, mantenemos como en la simulación anterior un punto de

interpolación y extrapolación bien definido en las secciones donde tiende a 0 en la primera y la

última muestra, por lo tanto para la función de reconstrucción obtendremos un comportamiento

similar.

Fig. 11 Función básica para un proceso markoviano con

Eh aquí donde el cambio es significativo y podemos observar el cambio en la magnitud máxima

de los intervalos de reconstrucción dentro de la región de interpolación, podemos notar que

debido a que las muestras se encuentran mucho más cerca estas se encuentra mayormente

relacionada, por lo cual nuestro error de reconstrucción Fig. 12 disminuye en comparación con la

simulación anterior.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-0.5

0

0.5

1

Función B

ásica

Tiempo (t)

27

Fig. 12 Función de error de reconstrucción de un proceso markoviano con

1.3.4 PMR de realizaciones del proceso Gaussiano en la salida de un filtro RC

de dos etapas (No Markovianos)

Ahora para un caso en la salida de un filtro RC de dos etapas, se tiene una respuesta más suave

cuando en la entrada se alimenta con ruido blanco. La respuesta de este filtro se muestra en la

siguiente figura y su función de covarianza normalizada está determinada por la siguiente

expresión:

| | | | (1.36)

El tiempo de covarianza de esta función es la siguiente

∫ | ∫ | | | |

(1.37)

De la misma forma observamos que el tiempo de covarianza depende del valor de , y

como se había comentado se esta trabajando con parámetros normalizados y con un tiempo de

covarianza unitario en la respuesta de los filtros lineales. Para lograr este tiempo es necesario

tomar en cuenta el valor de , dejando este valor establecido para esta sección.

Las expresiones de la función básica, la función de reconstrucción y la función de error de

reconstrucción para la función de covarianza de un filtro RC de dos etapas es la siguiente:

∑ ∑ | | | |

(1.38)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0

0.2

0.4F

unción de E

rror de R

econstrucción

Tiempo (t)

0.099 0.099

28

∑ ( ) ∑ ∑ | | | | | |

(1.40)

∑ ∑ | | | | | | | |

(1.41)

Para seguir el desarrollo de las simulaciones se ocuparan por segunda vez la Tabla 2 con sus

valores de las muestras y los instantes de muestreo pero ahora para el caso de un RC de 2 etapas,

aplicando la función básica, función de reconstrucción y la función de error de reconstrucción

obtenida anteriormente.

Podemos notar en la Fig. 13 como nuestra función se ha suavizado debido al paso de la realización

por un filtro RC de dos etapas, nos queda claro que así como nuestra función básica se ha

suavizado nuestra reconstrucción será mucho menos caótica en comparación con un proceso

markoviano.

Fig. 13 Función básica para un proceso no Markoviano

Fig. 14 Función de reconstrucción para un proceso no Markoviano

-5-7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12-0.5

0

0.5

1

1.5

Funció

n B

ásic

a

Tiempo (t)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Funció

n d

e R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

29

Fig. 15 Función de error de reconstrucción para un proceso no Markoviano

De la Fig. 15 podemos notar la disminución del error máximo de reconstrucción en nuestro

modelo de función de covarianza con el cual mejoramos la calidad de la reconstrucción.

Volvemos a aplicar la misma simulación con un decremento en el instante de muestreo para esta

nueva función de covarianza y veremos qué pasa.

Fig. 16 Función básica para un proceso no markoviano

Podemos observar el mismo comportamiento en esta función en general, pero una disminución

en el error máximo de reconstrucción es notable, el cual nos indica una mejor reconstrucción en la

calidad de esta señal.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Funció

n de E

rror de R

econstrucció

n

Tiempo (t)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Funció

n B

ásic

a

Tiempo (t)

0.0421

11

0.0421

11

30

Fig. 17 Función básica de error de reconstrucción para un proceso no markoviano

1.3.5 PMR de realizaciones a la salida de un filtro RC de tres etapas (No

Markoviano)

Ahora podemos agregar una etapa más al filtro RC anterior para poder observar los cambios que

sufre nuestra realización, es claro que con un filtro RC de tres etapas nuestra realización se

volverá mucho más suave con lo cual nuestro error de reconstrucción será muy ligero, tomaremos

la siguiente función de covarianza:

( | |

) | | (1.42)

Para esta función de covarianza tenemos un tiempo de covarianza mayor a los dos filtros

anteriores.

∫ | | ∫ | | |

| | |

(1.43)

Y por lo tanto para esta sección tomaremos a , y las expresiones de la función básica,

función de reconstrucción asi como la de el error de reconstrucción se mencionan a continuación

para poder definir nuestro siguiente conjunto de resultados:

∑ | |

| | (1.44)

∑ ∑ | |

| | (1.44)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Funció

n de E

rror de R

econstrucció

n

Tiempo (t)

0.00332 0.00332

31

∑ ∑ ( | |

) | | | |

| | (1.45)

Para aplicar las anteriores formulas debemos retomar los valores de la Tabla 2 y los resultados los

podemos observar en la Fig. 18

En la anterior simulación notamos como la dependencia entre las muestras del filtro RC de dos

etapas se puede ver fuertemente dentro del inicio y final del proceso. Para este caso podemos

notar una influencia es muy predominante hasta una tercera muestra más, la cual causa efectos

en la reconstrucción a los procesos aleatorios.

Fig. 18 Función básica para filtro RC de tres con

Con esta función podemos corroborar lo que hasta el momento hemos observado en las

anteriores simulaciones y lo cual nos dice que todo depende del comportamiento de la función de

covarianza .

32

Fig. 19 Función de reconstrucción para filtro RC de tres etapas

Podemos entonces concluir que entre más suave sea el proceso dentro de un filtro lineal, más

fuerte será la influencia entre cada muestra, como consecuencia tendremos un incremento en el

número de muestras y la resolución de la definición de la reconstrucción de la señal será cercana

a su forma original.

Fig. 20 Función de error de reconstrucción para filtro RC de tres etapas

Como ya habíamos mencionado anteriormente en Fig. 20 el error de reconstrucción podemos

notar como, en donde el error se vuelve cero es donde nuestra función coincide con el intervalo

de muestreo , pues ya conocemos el valor que debe tener el proceso en esos puntos

exactamente, su máximo error que puede tener cada muestra se encuentra en la parte más alta

del intervalo. Si notamos más a detalle esta figura podemos observar como en los extremos el

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.01431

Fu

nc

ión

d

e E

rro

r d

e R

ec

on

stru

cc

ión

T iempo (t)

0.0143

33

error es mucho más grande que en sus muestras aledañas, esto es debido a que la influencia que

se ejerce sobre sus muestras aledañas disminuyen o aumentan el error según su distancia entre

cada una de ellas.

Podremos estar seguros de que las muestras a la salida de un filtro RC de tres etapas con un

tendrá una mejor reconstrucción debido a la influencia tan cercana entre las muestras

que tendríamos.

Conclusión

Es importante aclarar que el error de reconstrucción no depende del conjunto de valores de

nuestras muestras, dentro de dichas muestras existe una tendencia la cual dice que, mientras cada

muestra se mantiene alejada mayor será nuestro error de reconstrucción.

34

Capí tulo 2

Cuantificación - Reconstrucción de realizaciones

de un proceso gaussiano

Podemos estar situados dentro del conversor A/D en estos momentos, dentro del

proceso de muestreo, el cual nos lleva a tratar el comportamiento de las muestras que

estamos obteniendo, para poder discretizarlas en tiempo, de esta forma será procesada

en el cuantificador y llevarlo a la salida del codificador.

Tendremos especial énfasis en conocer el método de cuantificación para este capítulo

ya que es importante para poder avanzar en nuestro procedimiento de reconstrucción,

como parte fundamental de un proceso de conversión de una señal de amplitud continua

en tiempo discreto.

2.1 Cuantificación

Estos rangos de la amplitud de entrada son convertidos en escalones discretos, todas las

muestras discretizadas caen en intervalos de cuantización particulares, dentro de cada

intervalo las cuales son reemplazadas por un valor único1.

Para nuestra simulación tendremos una señal Gaussiana, resultante a la salida de un filtro

RC de una etapa con y , con un tiempo de covarianza esta

señal estocástica contiene 50000 muestras para esta simulación Fig. 21, tales

características estadísticas son indispensables para poder realizar el PMCR, se tendrá

1 Ver apéndice de programas Cuantiz.M

Muestreador Cuantizador Codificador 01011

35

como primer punto el número de niveles que estará dado por 2 a la , donde son el

número de bits para el primer caso = 3 para el cual tendremos un total de 8 niveles

(000, 001,011…) con una cuantización no uniforme.

Fig. 21 Señal Gaussiana con 5000 muestras

Tiempo

Fig. 22 Función de covarianza de la señal gaussiana

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

-5

0

5

Tiempo(t)

Am

plitu

d

36

Tiempo

Fig. 23 Función de distribución de probabilidad de la señal gaussiana

Para este analisis solo se tomara una pequeña seccion del proceso x(t) Fig. 21, ademas

que es muy caotica y dificil de observar con mas precision se analizara en Fig. 24.

Fig. 24 Realización de una sección de las muestras del proceso Gaussiano

Fig. 25 Diferencia entre las muestras reales y las muestras de la cuantización

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06FDP calculada del proceso x(t)

Tiempo

FD

P

0 50 100 150 200 250 300 350-3

-2

-1

0

1

2

3

20 40 60 80 100 120 140

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

X: 43.99

Y: -1

X: 68.77

Y: 2.5

X: 72.9

Y: 0

X: 18.03

Y: 0

X: 33.96

Y: 2

X: 42.22

Y: 0.5

X: 99.45

Y: 1

X: 112.4

Y: -1

X: 134.3

Y: 0.5

X: 137.2

Y: -1.5

X: 127.8

Y: 2

37

Fig. 26 Procesos Gaussiano a la salida del filtro RC

Para observar a detalle lo que ocurre en la realización que obtuvimos ampliaremos la

vista y tomaremos una sección de la muestra de 0s a 5s, como se muestra en la figura

siguiente, con la cual se pretende observar el comportamiento de la discretizacion en

forma escalonada Fig. 28.

Fig. 27 Proceso Gaussiano discretizado a la salida del filtro tomando una sección de 0s a 5s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (t)

38

Fig. 28 Proceso Gaussiano a la salida del filtro RC cuantificado

Conclusión En el capítulo 2 se está considerando un problema de Muestreo-Reconstrucción de las

realizaciones de los procesos gaussianos de varios tipos. Se están investigando tres modelos de

procesos Gaussianos:

1) Modelo Markoviano. Este proceso fue formado en la salida del filtro RC de primera etapa,

cuando en la entrada existe ruido blanco.

2) Modelo no Markoviano. Este proceso está formado en la salida de dos filtros RC, cuando

en la entrada existe ruido blanco, este proceso se forma con filtros de dos etapas.

3) Modelo no Markoviano. Se forma en la salida de un filtro RC de tres etapas tal proceso

se llama un proceso en la salida de filtros con tres etapas.

Dichos procesos tienen diferentes funciones de covarianza. Cada proceso sería más suave cuando

la cantidad de etapas aumenta. La función de reconstrucción es una función lineal con

respecto de las muestras. La función de error de reconstrucción no depende de los valores de las

muestras, pero si depende de los intervalos de muestreo.

39

Para hacer la comparación correcta de los algoritmos se eligieron los parámetros iguales para

todos los procesos aleatorios con media igual a cero, =1 y . Para obtener un tiempo de

covarianza igual a 1 se necesita elegir el parámetro alfa de manera diferente para cada tipo

de proceso.

El resultado de nuestros cálculos muestra que el error de la reconstrucción sería menor cuando el

proceso es más suave. Además cuando el intervalo dentro de los muestreos es más grande, el

máximo de error de reconstrucción es más grande también.

40

Capí tulo 3

Procedimiento para el cálculo del error de

reconstrucción utilizando Función de densidad de

probabilidad uniforme

Se desarrolla un procedimiento para evaluar nuestra función de reconstrucción el cual

El error de cuantificación se ha estudiado en muy pocas investigaciones de las cuales no

se había tomado en cuenta la esperanza matemática, para efectos de reconstrucción es

el valor significativo el cual define una mejora en la reconstrucción de la señal.

3.1 Análisis PMCR

Para este capítulo analizaremos el cálculo del error de reconstrucción total, el cual se simula

mediante las muestras a intervalos no periódicos de 0.1, 0.3, 0.6 y 1.0, partiendo del primero

hasta el cuarto intervalo y aplicando el procedimiento de muestreo cuantificación y reconstrucción

para diferentes funciones de covarianza de un proceso Gaussiano. Aplicando la función de error de

reconstrucción (Ecuación 1.29) y sumando a dicho error el error de cuantificación en magnitud

podemos obtener un error máximo de reconstrucción.

(3.1)

(3.2)

Para el primer caso se tomó un rango de cuantificación con una FDP Gaussiana y

con N= 4 niveles de cuantificación.

Aplicando tenemos que para

41

(3.3)

Fig. 29 error de reconstrucción + error de cuantificación

En Fig. 29 podemos observar como al sumar el error de reconstrucción de una señal

aleatoria que pasa por Filtro RC de una etapa más el error de cuantificación este aumenta su

magnitud. Para analizar este comportamiento se definio un conjunto de intervalos no periodicos,

con una funcion de covarianza diferente e incrementos de Niveles de 4, 8, 16, 32, 64 y 128.

Para comenzar con la demostración aplicaremos los intervalos a la función de covarianza

| | , de tal manera iremos incrementando el número de niveles, observaremos que ocurre

con el error máximo de reconstrucción entre cada intervalo de muestreo ver Tabla 4.

Instante de Muestreo

Tabla 4

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Y: 0.6496

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.5674

Y: 0.4324

Y: 0.3849

Y: 0.3364

Y: 0.2872

Y: 0.2375

Y: 0.1875 Y: 0.1875

42

3.2 PMCR de las realizaciones a la salida de un filtro RC de 1 etapa

Para el primer caso aplicando la función de distribución uniforme hallaremos error de

reconstrucción de la cuantificación dado que este valor es uniforme, será igual para todos los

niveles. Para Fig. 30 obtenemos = 0.1875, aquí se suma el error de cuantificación

obteniendo un nuevo valor de error de reconstrucción máximo para cada intervalo.

Fig. 31 Error de reconstruccion mas error de cuantificacion con L=4

Para continuar con el análisis aplicaremos el algoritmo de error de cuantificación con 8 Niveles,

para este caso el error de cuantificación disminuye al aumentar el número de niveles en

comparación con el de 4 niveles. Por lo tanto el error de reconstrucción disminuye.


Hasta ahorita hemos visto como la varianza disminuye con el incremento de sus niveles, ahora

observaremos que pasa con 32 niveles, recordemos que estamos trabajando con funciones de

covarianza de 1ra etapa por lo tanto el error en cada intervalo es más grande a pesar de tener un

intervalo de muestreo pequeño.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Y: 0.6496

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.5674

Y: 0.4324

Y: 0.3849

Y: 0.3364

Y: 0.2872

Y: 0.2375

Y: 0.1875 Y: 0.1875 Y: 0.1875Y: 0.1875

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y: 0.5088

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Y: 0.4266

Y: 0.2914

Y: 0.2438

Y: 0.1958

Tiempo (t)

Y: 0.1465

Y: 0.09683

Y: 0.04688 Y: 0.04688 Y: 0.04688

43


Se obtiene un mejor resultado con en comparación con los niveles anteriores tenemos

= 0.0029 una disminución de la varianza la cual se observa a grandes rasgos y por lo tanto la

disminución del error de reconstrucción es notable. Para los siguientes niveles de 64 y 128

obtuvimos un mucho mejor disminución del error de reconstrucción, para un mejor análisis se

tabularon los resultados al final de este capítulo así como se graficaron los errores óptimos para

esta función.


Ya que hemos observado la disminución en nuestra varianza y por lo tanto el error de

reconstrucción también se hace notar en nuestro error de reconstrucción total.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y: 0.05289

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.1512

Y: 0.1998

Y: 0.2478

Y: 0.3829

Y: 0.4644

Y: 0.1026

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y: 0.05069

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.1004

Y: 0.1496

Y: 0.1981

Y: 0.2457

Y: 0.3807 Y: 0.4628

44


3.3 PMCR de realizaciones a la salida de un Filtro RC de dos etapas Para el caso de los filtros RC de dos etapas con su función de covarianza: | | | | (3.4)

Podemos notar mucho menos pronunciado cada intervalo del error máximo, una disminución

considerable del error en comparación de un proceso Markoviano.

Fig. 36 Filtro Rc 2 etapas con L=4

Conforme incrementamos los niveles obtenemos una disminución en el error total de

reconstrucción para esta función de covarianza.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y: 0.05014

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.09886

Y: 0.1491

Y: 0.1976

Y: 0.2451

Y: 0.3799 Y: 0.4623

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Y: 0.4094

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.3152

Y: 0.2267Y: 0.2078

Y: 0.1963Y: 0.1901Y: 0.188

45



Nuestro error tiende a cero considerablemente entre más aumentan los niveles de

reconstrucción.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.250.2688

Fu

nció

n d

e E

rro

r d

e R

eco

nstr

ucció

n

Tiempo (t)

0.1746

0.08607

0.067180.05563

0.049520.04737

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.01436

Fu

nció

n d

e E

rro

r d

e R

eco

nstr

ucció

n

Tiempo (t)

0.020470.03203

0.05091

0.1394

0.2336

0.01222

46


Nuestra función de covarianza nos dice que para suavizar el resultado de nuestro error de

reconstrucción se necesita hacer más chicos los escalones de nuestra realización.



-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Y: 0.2248

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.1306

Y: 0.04212

Y: 0.02324Y: 0.01169Y: 0.005574Y: 0.003427

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Y: 0.2226

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.1284

Y: 0.03993

Y: 0.02079Y: 0.009002Y: 0.003377Y: 0.001179

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0

0.05

0.1

0.15

0.2Y: 0.2221

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.1279

Y: 0.03938

Y: 0.02049Y: 0.008777

Y: 0.002827Y: 0.0006807

47

3.4 PMCR de realizaciones a la salida de un Filtro RC de Tres etapas

Para la función de covarianza para un filtro RC de tres etapas tenemos la expresión de la formula

( | |

) | | la cual hace mas suave y además disminuye el error de

reconstrucción mientras los escalones sean más y más chicos.

Podemos observar en las siguientes simulaciones la disminución del error de reconstrucción para

los niveles de 4,8,16,32,64 y 128 .



-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Y: 0.1877

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.1875 Y: 0.1884 Y: 0.1912 Y: 0.1986

Y: 0.2497

Y: 0.3333

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.50

0.05

0.1

0.15

0.2

Y: 0.1927

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.109

Y: 0.05795Y: 0.05057Y: 0.04782Y: 0.04703Y: 0.0469

48




-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Y: 0.1575

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.07388

Y: 0.02279Y: 0.01538Y: 0.01266Y: 0.01188Y: 0.01174

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0

0.05

0.1

0.15

Y: 0.002952

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.003872 Y: 0.006626Y: 0.014

Y: 0.06509

Y: 0.003087

Y: 0.1484

-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Y: 0.0007548

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.001675 Y: 0.004429Y: 0.01172

Y: 0.06289

Y: 0.1465

49


Podemos reunir los datos en las tablas para cada una de las funciones de covarianza, en la parte

superior de cada tabla tenemos el error de cuantificación , el cual menciona el incremento a

nuestro valor de reconstrucción, luego mencionamos por cada N niveles los errores de

reconstrucción total y hacia abajo los diferentes separaciones entre las muestras.

3.5 Resultados PMCR con diferentes funciones de covarianza a la salida de un

filtro.

Tabla 5 PMCR Markoviano

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

0

0.05

0.1

0.15

Y: 0.06234

Funció

n d

e E

rror

de R

econstr

ucció

n

Tiempo (t)

Y: 0.146

Y: 0.01126Y: 0.00388Y: 0.001043Y: 0.0003406Y: 0.0002054

Filtro RC de una etapa

0.1875 0.0469 0.0117 0.002929688 7.32E-04 1.83E-04

N

0.2375 0.09683 0.06168 0.05289 0.05069 0.05014

0.2872 0.1465 0.1114 0.1026 0.1004 0.09886

0.3353 0.1958 0.1606 0.1512 0.1496 0.1491

0.3849 0.2438 0.2091 0.1998 0.1981 0.1976

0.4309 0.2914 0.2566 0.2478 0.2457 0.2451

0.5674 0.4266 0.3896 0.3829 0.3807 0.3799

0.6496 0.5088 0.4738 0.4644 0.4628 0.4623

50

Tabla 6 PMCR NO Markoviano RC 2 Etapas

Tabla 7 PMCR NO Markoviano RC de 3 etapas

Filtro RC 2 etapas

0.1875 4.69E-02 0.01171875 2.93E-03 7.32E-04 1.83E-04

N

0.188 0.04737 0.01208 0.003427 0.001179 0.0006807

0.1901 0.01426 0.000574 0.003377 0.002827

0.1963 0.05563 0.02047 0.01169 0.009002 0.008777

0.2078 0.06718 0.03201 0.02324 0.02079 0.02049

0.2267 0.08607 0.05091 0.04212 0.03993 0.03938

0.3152 0.1746 0.1394 0.1306 0.1284 0.1279

0.4094 0.2688 0.2336 0.2248 0.2226 0.2221

Filtro RC de Tres etapas

0.1875 0.0469 0.01171875 0.0029 7.32E-04 0.000183105

N

0.1875 0.0469 0.01174 0.002952 0.0007548 0.0002054

0.1877 0.04703 0.01188 0.003087 0.0008843 0.0003406

0.1884 0.04782 0.01266 0.003872 0.001675 0.001043

0.1912 0.05057 0.01538 0.006626 0.004429 0.00388

0.1986 0.05795 0.02279 0.014 0.01172 0.01126

0.2497 0.109 0.07388 0.06509 0.06289 0.06234

0.3333 0.1927 0.1575 0.1487 0.1465 0.146

51

Fig. 48 Error de reconstrucción promedio

Los valores de error de reconstrucción óptimos fueron tomados de la segunda fila de las

tablas 5, 6 y 7.

Fig. 49 Error de reconstrucción optimo por función

4 8 16 32 64 128

RC1 0.413257143 0.272818571 0.23754 0.228798571 0.226855714 0.226142857

RC2 0.247642857 0.107024286 0.071818571 0.062350143 0.060754 0.060307814

RC3 0.219485714 0.078852857 0.04369 0.034903857 0.0326933 0.032152714

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Er

ror

de

re

con

stru

ccio

n p

rom

ed

io

4 8 16 32 64 128

RC1 0.2872 0.1465 0.1114 0.1026 0.1004 0.09886

RC2 0.1901 0.04952 0.01426 0.000574 0.003377 0.002827

RC3 0.1877 0.04703 0.01188 0.003087 0.0008843 0.0003406

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Erro

r d

e r

eco

nst

rucc

ion

max

52

Para poder explicar la Fig. 49 es necesario explicar cómo estamos tratando a nuestros

resultados, lo cual nos dice que para un proceso Markoviano (En nuestro caso RC1 ) de 4 hasta

128 Niveles existe una disminución del error del 4 hasta el nivel 32, del 64 al 128 las diferencias

son mínimas observadas en la tabla de magnitudes obtenidas.

En el caso de los procesos no Markovianos(RC2 y RC3) existe cierto comportamiento muy similar,

el error se disminuye considerablemente, en comparación de un proceso Markoviano este

comportamiento se realiza dentro del rango investigados de los niveles, donde la disminución es

considerable y casi precisa simulando hasta 128 Niveles.

Conclusión

En este capítulo analizamos los algoritmos de Muestreo-Cuantificación-Reconstrucción para todos

los procesos descritos en el capítulo 2 y para varios números de los niveles de reconstrucción (L=

4, 8, 16, 32,64 y 128).

Para los algoritmos de este capítulo se utilizó un método simple para describir el error de

cuantificación. Suponiendo que el error de cuantificación durante cualquier nivel tiene la FDP

uniforme con la varianza

. El error total está caracterizado con la suma de dos diferentes

errores:

1) El error descrito con la varianza condicional o el error usual. El cual se define como

parámetro importante dentro del algoritmo óptimo y su reconstrucción.

2) El error de la cuantificación es claro cuando el número de niveles aumenta, el valor de

disminiuria, de lo contrario entre menor sea el numero de niveles mas grande será

nuestro error.

Los gráficos obtenidos nos dan una posibilidad a elegir una manera más simple de obtener los

intervalos de muestreo y los niveles de la cuantificación para muchas variantes del procedimiento

de Muestreo-Cuantificación-Reconstrucción (PMCR).

53

Capí tulo 4

Procedimiento para el cálculo del muestreo

cuantificación y reconstrucción (PMCR) de

procesos gaussianos

En el presente capitulo investigaremos un algoritmo mas de PMCR el cual es más preciso pero un

mayor grado de complejidad, de hecho no se acepta una variante cuando la FDP de error de

cuantificación es uniforme (Capitulo Anterior). Es muy difícil determinar analíticamente la FDP

precisamente, por eso debemos usar el método usando los resultados de la simulación de las

realizaciones de varios procesos Gaussianos.

4.1 Procesos Markovianos

Para este capítulo tenemos que tomar en cuenta que se ocupara una sección de 0s a 40s de la

realización Gaussiana con esperanza matemática igual a cero, varianza igual a 1 y función de

covarianza | | , esto con el fin de hacer claro el comportamiento de la realización y del

cual obtendremos su descripción completa a través de dichas funciones.

Comenzaremos aplicando la función de reconstrucción a la salida del filtro RC con y L =

4 niveles para la función de reconstrucción (4.1).

∑ ∑ | |

(4.1)

Y lo compararemos con la función de reconstrucción del cuantificador (4.2), pondremos especial

énfasis en ( ), la cual se expresara para una muestra cuantificada como entonces nuestra función

queda de la siguiente forma:

∑ ∑ | |

(4.2)

Podemos observar cómo se representan (4.1) y (4.2) en la Fig. 50

54

Fig. 50 Reconstrucción original vs Reconstrucción Cuantificada

Donde el subíndice c de indica el resultado de la simulación de la muestra, la cual se evalúa

mediante el método de redondeo, donde la muestra se coloca en el nivel más próximo. Por ejemplo la

muestra que se encuentra en 2.458 se mueve al siguiente nivel más próximo por lo tanto esta muestra se

convierte en 2.9609. A partir de la diferencia entre la reconstrucción del proceso cuantificado con la

reconstrucción original (4.3), de las dos funciones anteriormente realizadas obtendremos:

(4.3)

En Fig. 51 graficaremos las diferencia de estas funciones para obtener un factor de error de

cuantificación.

Fig. 51 Error promedio de cuantificación

1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3

-1.5391

-0.0391

1.4609

2.96093

-0.7338

Dife

ren

cia

de

Re

co

nstr

uccio

ne

s

2.458

-0.09774

Tiempo (t)

Simulada

Cuantificada

0.1201

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

55

De la figura anterior observamos la nueva realización que obtuvimos con , ahora para poder sumarla al

error de reconstrucción debemos obtener el error promedio en el tiempo de mediante (4.4):

∫

(4.4)

0.1201

De esta manera adicionamos al error de reconstrucción (4.5) de un proceso Markoviano el error

de cuantificación (4.4), Con lo cual obtenemos nuestro error total en la reconstrucción de un

proceso Markoviano (4.6).

∑∑ | | ( | |)

De esta forma se obtuvo el error de reconstrucción sin cuantificar figura 51 y el error de reconstrucción total

con cuantificación Fig. 52.

Fig. 52 Error de reconstrucción sin cuantificar

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.09967

Fu

nció

n d

e E

rro

r d

e R

eco

nstr

ucció

n

Tiempo (t)

0.09867

56

Fig. 53 Error de reconstrucción total

Con la función de error de reconstrucción se obtuvo el siguiente error total de la figura 53 con

y un error máximo total 0.2198, no se realiza promedio ya que los intervalos para

este ejemplo son periódicos, para poder tener una amplia descripción del procedimiento que se

llevó anteriormente en las siguientes hojas simularemos para 8, 16, 32, 64 y 128 niveles aunado

a intervalos periódicos de , no pretendemos simular mas separaciones entre muestras

ya que este comportamiento fue ampliamente explicado en el capitulo anterior, ahora lo que nos

interesa es observar el comportamiento de nuestro error máximo de reconstrucción, el cual

disminuirá o incrementara según la cantidad de los niveles.

Para nuestro siguiente ejemplo trabajaremos con 8 niveles de los cuales trabajaremos con las

mismas condiciones para nuestro proceso, en Fig. 54 se observan los niveles del cómo se

distribuyen a lo largo del eje Y, las muestras se colocan en las separaciones a los niveles más

cercanos.

0 1 2 3 4 5 6 7

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.2198

Tiempo (t)

2

0.2198

57

Fig. 54 Reconstrucción original vs reconstrucción cuantificada

De la diferencia de estas dos funciones obtenemos el factor de error de cuantificación y a partir

de sus muestras obtenemos su promedio en el tiempo Fig. 55.

Fig. 55 Promedio en tiempo proceso Markoviano con L=8

Volvemos a obtener una suma del error de reconstrucción más el factor del error de cuantificación

y obtenemos nuestro valor máximo (error de reconstrucción máximo) igual a 0.133 para 8

niveles Fig. 56.

0 2 4 6 8 10 12-3

-2.25

-1.5

-0.75

0

0.75

1.5

2.25

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

2

Tiempo (t)

0.0334

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

58


En este caso tendremos 16 niveles observando que la respuesta de la función de cuantificación

está aproximándose a la función de reconstrucción, las muestras se asignan a los niveles más

cercanos y entre más chicos los niveles más se acerca a su forma original.

Fig. 57 Diferencia de reconstrucción para 16 niveles

Ahora podemos observar el factor promedio de error de reconstrucción en Fig. 58 de la diferencia

entre las dos reconstrucciones anteriores 0.009893, observamos una disminución

considerable la cual afecta directamente en el error de reconstrucción total.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.150.133

2

Tiempo (t)

0.133 0.133

0.03338 0.03338

0 1 2 3 4 5 6 7 8-3

-2.625

-2.25

-1.875

-1.5

-1.125

-0.75

-0.375

0

0.375

0.75

1.125

1.5

1.875

2.25

2.625

3

Dife

renc

ia d

e R

econ

stru

ccio

nes

Tiempo (t)

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

59

Fig. 58 Promedio en tiempo con L=16

Podemos observar el error de reconstrucción total 0.1095 en Fig. 59 con lo cual notamos la

disminución del error para 16 niveles.


Ahora consideraremos un nuevo escalamiento para 32 niveles Fig. 60, del cual notamos la ligera

semejanza con las diferencias de reconstrucción.

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

2

Tiempo (t)

0.009893

Tiempo

Tiempo

60

Fig. 60 Diferencia de reconstrucción para 32 Niveles RC1

Fig. 61 Factor promedio de error de reconstrucción para 32 niveles RC1

Por lo tanto el factor promedio ahora disminuye a comparación de las anterioes simulaciones

Markovianas Y por consecuencia su error también lo hace.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.001963

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

61

Fig. 62 Error de reconstrucción 0.1016

Para los siguientes niveles la resolución de la reconstrucción es mucho más fina debido a que

nuestros niveles aumentaron pero sus magnitudes de cada escalón disminuyeron.


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7-3

0

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

62

Fig. 64 Factor promedio de error de reconstrucción

A partir de esta cantidad de niveles empezaremos a hablar de resoluciones de y

comparados con los anteriores niveles.

Fig. 65 Error de reconstrucción total 0.1001

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x 10-3

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

2

Tiempo (t)

0.00040309

Tiempo

Tiempo

63

Llegamos al nivel más alto de nuestras simulaciones con 128 niveles Fig. 66 , comparado con las

anteriores simulaciones de 4, 16, 32 y 64 niveles, las diferencias entre estos fue más notable en los

dos primeros.


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-3

0

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

64

Fig. 67 Factor promedio de error de reconstrucción para 128 Niveles


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 10-4

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

2

Tiempo (t)

0.00010478

Tiempo

Tiempo

65

4.2 Procesos no Markovianos

Para esta sección utilizaremos el algoritmo de reconstrucción al proceso de cuantificación, pero

con la diferencia de que utilizaremos en la salida de un filtro de dos etapas con función de

covarianza | | | | , el cual hará que la reconstrucción sea más suave.

Analizaremos como se comporta con cada incremento de nivel y cuál es el efecto del PMCR en

cada una de nuestras simulaciones.

Fig. 69 Diferencia de reconstrucción RC2 4 Niveles

-2 0 2 4 6 8 10-3

-1.5

0

1.5

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

66


Si comparamos con el resultado de Fig. 51 se obtiene un resultado notable en la disminución de

su promedio. De igual forma el resultado del error de reconstrucción total se suaviza y disminuye

en comparación de un proceso Markoviano.


-2 0 2 4 6 8 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

2

Tiempo (t)

0.1608

Tiempo

Tiempo

Tiempo

67


Si aplicamos más niveles al proceso no Markoviano existirá una gran similitud entre cada proceso

dado el cual estará desfasado en tiempo, pero esto no es suficiente, si no podemos agregar más

niveles y obtener una mejor reconstrucción.


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-3

-2.25

-1.5

-0.75

0

0.75

1.5

2.25

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.05

0.1

0.15

2

Tiempo (t)

0.042109

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

68


A comparación con la Fig. 56 el error disminuye considerable mente. Las distancias que existen

entre cada nivel están disminuyendo con cada incremento de niveles, por lo tanto la relación

entre cada muestra de nuestro proceso se acerca más a nuestra señal original.


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

2

Tiempo (t)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2.625

-2.25

-1.875

-1.5

-1.125

-0.75

-0.375

0

0.375

0.75

1.125

1.5

1.875

2.25

2.625

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Tiempo

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

69



Se realizaron las mismas simulaciones para los niveles de 32, 64 y 128, como hemos podido

observar de las simulaciones anteriores la tendencia de cada función al aumentar el número de

niveles, el cual mejora su resolución y por lo tanto su reconstrucción comparado contra el proceso

original.

-2 0 2 4 6 8 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

14

16

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.011762

Tiempo

Tiempo

70



0 2 4 6 8 10-3

3D

ifere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

-2 0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.0027553

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

71



Las líneas horizontales nos indica la cantidad de niveles que estamos ocupando, una resolución un

tanto precisa, y mucho mejor que un proceso cuantificado a 32 Niveles.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10-3

2

Tiempo (t)

-2 0 2 4 6 8 10-3

0

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Tiempo

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

72

Fig. 82 Factor promedio del error de reconstrucción


-2 0 2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10-3

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.00053096

Tiempo

Tiempo

73

Fig. 84 Diferencia de reconstrucción para 128 Niveles


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

x 10-4

2

Tiempo (t)

0.00014711

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

74


Con el fin de comparar, evaluar e interpretar nuestros resultados, se generaron las tablas al final

de este capítulo teniendo algunos resultados muy interesantes.

4.3 Procesos no Markovianos a la salida de un filtro RC de 3 etapas

Para esta simulación notamos que en las regiones de extrapolación hay un incremento en las

curvas lo cual es un comportamiento normal para funciones en la salida de un filtro de tres

etapas con función de covarianza | |

| | , podríamos comprobar el

porqué de estos incrementos debido a la función exponencial que se encuentra dentro de la

función de reconstrucción Y la dependencia que existe entre cada muestra lo cual hace que en los

extremos el error sea mayor.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10-3

2

Tiempo (t)Tiempo

75

Fig. 87 Diferencia de reconstrucción para 4 niveles RC3

Para esta simulación notamos que en Fig. 87 pareciera un desfasamiento en la señal reconstruida,

lo que es en realidad el ajuste en el cambio de niveles al más cercano, esto debido al algoritmo

que estamos utilizando.


-2 0 2 4 6 8 10 12-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2

Tiempo (t)

0.16801

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

76


Comparando nuestros resultados de la Fig. 89 con Fig. 53 notamos una gran diferencia por encima

del Filtro RC de dos etapas el cual nos suavizo el proceso. Hasta ahorita esta es una de las gráficas

las cuales se considera la más suave al momento de aplicar nuestro algoritmo para la

reconstrucción cuantizada y no cuantizada.

0 1 2 3 4 5 6 7

0.1678

0.1679

0.168

0.1681

0.1682

0.1683

0.1684

0.1685

0.1683

2

Tiempo (t)

0.1682

0.1683

0.1682

Tiempo

77

Fig. 90 Diferencia de reconstrucción con 8 Niveles RC3


-2 0 2 4 6 8

-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

2

Tiempo (t)

0.0439

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

78



0 1 2 3 4 5 6 7

0.0438

0.0439

0.044

0.0441

0.0442

0.0443

0.0442

2

Tiempo (t)

0.044070.04405 0.04405

0.04407

-2 0 2 4 6 8 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Tiempo

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

79



0 1 2 3 4 5 6 70

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7

0.012

0.012

0.0121

0.0121

0.0122

0.0122

0.0123

0.0124

0.0124

0.0124

2

Tiempo (t)

0.01239

0.01223 0.01223

0.01239

0.012088

Tiempo

Tiempo

80

Ahora para nuestra siguiente simulación de 32 niveles se observara una similitud perfecta a la

señal reconstruida originalmente.


Fig. 97 Factor de error promedio

Con el error promedio de 29316x10-3 notamos que disminuye considerablemente.

-2 0 2 4 6 8 10

-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.0029316

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

81



La situación para esta nueva figura es muy visible que el error sea imperceptible para el ojo

humano, pero en nuestros resultados ciertas variaciones las tiene que haber. Para lo cual se

definieron las tablas de error máximo de reconstrucción al final del capítulo.

0 1 2 3 4 5 6 7

2.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

3.25

3.3

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.003227

0.003078 0.003078

0.003227

-2 0 2 4 6 8 10

-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

Tiempo

Tiempo

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

82



-2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10-3

2

Tiempo (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

x 10-4

2

Tiempo (t)

0.00055932

Tiempo

Tiempo

83



-2 0 2 4 6 8 10

-3

-2

-1

0

1

2

3

Difere

ncia

de R

econstr

uccio

nes

Tiempo (t)

-2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

x 10-3

2

Tiempo (t)

0.00015862

Dif

eren

cia

de

reco

nst

rucc

ión

Tiempo

Tiempo

84


Podemos notar en esta última figura la capacidad de resolución en la calidad del

proceso, con hasta 4 decimales a la izquierda podemos decir que en nuestra

reconstrucción influye la función de covarianza utilizada, la cual suaviza nuestro proceso

de una forma casi perfecta y la función de cuantizacion que se simula con 128 niveles, es

una resolucion muy grande por lo cual el error adicional es el mínimo.

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-4

2

Tiempo (t)

Tiempo

85

Conclusión

En el presente Capitulo 4 restringimos nuestro análisis con un intervalo de muestreo ,

esta variante es importante para la práctica.

En el análisis del error de reconstrucción se incluyen dos tipos de errores:

1. La varianza condicional El cual básicamente es nuestro error de reconstrucción o la

diferencia de nuestro proceso original contra el proceso reconstruido.

2. Error adicional el cual ocurre gracias a que la función de reconstrucción esta reconstruida

en la base no de los muestreos originales pero si en la base de los muestreos que

coinciden con los diferentes niveles de los intervalos de cuantificación. el análisis se

cumplió para los tres modelos de los procesos gaussianos, los resultados de los cálculos

fueron acumulados en las barras de la Fig. 105

La presente metodología nos da una posibilidad de calcular diferentes errores de PMCR, en la base

de los resultados obtenidos, podemos establecer las recomendaciones para elegir los parámetros

importantes del PMCR.

La comparación de los resultados de los cálculos de los errores de la reconstrucción en el capítulo

3 y capitulo 4, nos demuestran que la metodología simple (Capitulo 3) tiene pequeñas diferencias

las cuales se pueden considerar como no tan precisas, dependiendo del tipo de proceso que

deseamos observar.

Fig. 105 Grafico general de resultados de errores de reconstrucción máximo (Entre más cerca del cero se encuentre mejor será la reconstrucción)

4 8 16 32 64 128

RC1 0.2198 0.133 0.1095 0.1016 0.1001 0.09977

RC2 0.1635 0.04485 0.0145 0.005494 0.00327 0.002886

RC3 0.1683 0.04405 0.01223 0.003078 0.0007057 0.000305

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Erro

r d

e r

eco

nst

rucc

ion

max

.

86

Para tener más clara esta situación entre los dos métodos utilizados entre el capítulo 3 y 4

hemos resumido en un conjunto de tablas, cada una con su respectivo error de

reconstrucción al cuantificar y error de reconstrucción promedio, dado que son las

magnitudes que sumamos a nuestro error de reconstrucción en base a la esperanza

matemática condicional. La primera tabla muestra nuestros resultados a la salida de un

filtro RC de 1 etapa.

4 8 16 32 64 128

Tabla 8 Error de reconstrucción de la cuantificación comparado contra el error promedio para los

diferentes niveles aplicados de RC de 1 etapa

Podemos mostrar en la Tabla 8 Esta diferencia la cual resumimos, ya que de esta

magnitud depende nuestro error de reconstrucción total o máximo, en la primera línea

notaremos que estas magnitudes se vuelven a repetir tanto en la etapa 1, como en la dos

y por último en la tres, esta situación es un parámetro que conduce a definir el error de

cuantificación del capítulo 3 como un método más sencillo a diferencia del error promedio

que toma una definición más precisa en su algoritmo.

4 8 16 32 64 128


diferentes niveles aplicados de RC de 2 etapas

Entre la etapa 2 y la etapa 3 se nota una semejanza entre sus errores, pero aun así la

definición del filtro RC3 es un poco más pequeño, La tabla 8 y tabla 9 son casi

semejantes lo cual nos hace pensar que el algoritmo en sus dos últimas etapas puede ser

llevado a la práctica con la certeza de que el error será el mínimo en cualquiera de los dos

casos.

4 8 16 32 64 128


diferentes niveles aplicados de RC de 3 etapas

0.1875 0.0469 0.0117 0.00292969 7.32E-04 1.83E-04

0.1201 0.0334 0.009893 0.001963 4.03E-04 1.05E-04

0.1875 4.69E-02 0.01171875 2.93E-03 7.32E-04 1.83E-04

0.1608 0.042109 0.011762 0.0027553 5.31E-04 1.47E-04

0.1875 0.0469 0.01171875 0.0029 7.32E-04 0.00018311

0.16801 0.0439 0.012088 0.0029316 5.59E-04 1.59E-04

87

Conclusiones Generales

El procedimiento de muestreo cuantificación y reconstrucción juega un papel muy

importante en los procesos estocásticos, se convierte en un método muy práctico para

poder evaluar un sistema de reconstrucción óptimo para el proceso dado.

Con el algoritmo de cuantizacion esta reconstrucción se vuelve un método

extremadamente fino ya que al aumentar la cantidad de niveles, este procedimiento hace

que la resolución de nuestra grafica sea de una mejor calidad y el error de reconstrucción

disminuya consecuentemente.

Se trabajó en conjuntos de muestras, las cuales estarían separadas en tiempo para

poder evaluar los efectos de la relación entre cada muestra y sus efectos por cada nivel

de incremento. En nuestros resultados finales en las tablas se obtiene una perfecta

disminución del error de reconstrucción por lo cual se sugiere manejar filtros RC de 2 y 3

etapas para cuestiones de uso práctico ya que los filtros RC de 1 etapa están muy

alejados por debajo del error mínimo.

Para nuestros procesos hubo 3 diferentes funciones de covarianza. Cada proceso sería

más suave cuando la cantidad de etapas aumenta. La función de reconstrucción es

una función lineal con respecto de las muestras. La función de error de reconstrucción no

depende de los valores de las muestras, pero si depende de los intervalos de muestreo.

Para hacer la comparación correcta de los algoritmos se eligieron los parámetros iguales

para todos los procesos aleatorios con media igual a cero, =1 y . Para obtener un

tiempo de covarianza igual a 1 se necesita elegir el parámetro alfa de manera

diferente para cada tipo de proceso.

Para los algoritmos del capítulo 3 se utilizó un método simple para describir el error de

cuantificación. Suponiendo que el error de cuantificación durante cualquier nivel tiene la

FDP uniforme con la varianza

. El error total está caracterizado con la suma de

dos diferentes errores:

El error descrito con la varianza condicional

El error de la cuantificación es claro cuando el número de niveles aumenta, el valor de

disminiuria.

Para el Capítulo 4 el análisis del error de reconstrucción se incluye dos tipos de errores:

La varianza condicional

88

Error adicional, el cual ocurre gracias a que la función de reconstrucción no está

reconstruida en la base de los muestreos originales pero si en la base de los muestreos

que coinciden con los diferentes niveles de los intervalos de cuantificación.

El análisis se cumplió para los tres modelos de los procesos gaussianos, los resultados

de los cálculos de reconstrucción óptima fueron acumulados en las últimas tablas de este

trabajo.

La presente metodología nos da una posibilidad de calcular diferentes errores de PMCR

con dos diferentes métodos, dependiendo del nivel de precisión que se requiera en la

práctica, en la base de los resultados obtenidos, podemos establecer las

recomendaciones para elegir los parámetros importantes del PMCR.

89

Trabajos citados

1 Kazakov V. Sampling Reconstruction procedures of Gaussian Process Realizations.

Capitulo 9, Pag. 269-298. Probability Interpolation Theory and Aplications,

Edited By Y.S. Shmaliy Nova Science Publisher Inc. USA N.Y. 2012

2 Reyes J. F. Dr. V. Kazakov, “Investigación del procedimiento de muestreo

cuantificación y reconstrucción del proceso Gaussiano en la base de la simulación de

sus realizaciones” CNIES Congreso Nacional de Ingenieria electronica y de sistemas

IPN: 2013.

3 Reyes D. J. Francisco. Dr. V. Kazakov, “Análisis de Error de Reconstrucción del

Procesamiento de Cuantificación en la Base de la Regla de la Esperanza Matemática

Condicional”.IEEE Mexico Congreso ROC Acapulco; 2012.

4 Whittaker. ET. On the Fubctions which are represented by the expansion of the

interpolation Theory. Vol 35. edinburgh 1915.

5 Kotel´nikov VA. On the transmission Capacity of "Esther" and Wire in

electrocomunications. Moscow: iazd. Red. Upr. Suyasi RKKA; 1933.

6 Shannon CE. A mathematical Theory of comunication. Vol 27. Bell System Technical

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7 Shannon CE. Comunication in the Precense Of Noiise. Vol 37. Proc. IRE; 1949.

8 Whittaker JM. The Fourier Theory of the Cardinal Function. Vol 1. Edinburg: Math

Sociecity; 1929.

9 Nyquist H. Certain Topics in Telegraph Transmission Theory. Vol 47. AIEE Trans.;

1928.

10 Balakrishnan AV. A Note on the Sampling Principle For Continuos Signals. Vol IT-

3. IRE Trans on Inf. Theory; 1957.

11 D. P. Petersen and D. Middleton. “Sampling and Reconstruction of Wave Number-Limited Functions in N Dimensional Euclidean Spaces”, Information and Control, Vol. 5, pp. 279-323, 1962.

12 A. J. Jerri. "The Shannon Sampling Theorem - Its Various Extensions and

Applications: A Tutorial Review", Proc. IEEE, Vol. 65, No. 11, pp. 1565-1596,

1977.

13 R. J. Marks II, Editor, “Advanced Topics on Shannon Sampling and

Interpolation Theonf, Springer-Veriag, New York, 360 p.,1993.

14 F. Marvasti, Editor. “Nonurdform Sampling: Theory and Practice”, Kluwer

Academic/Plenum Publishers, New York, p. 924, 2001.

15 I. Zayed. “Advances in Shannon's Sampling Theonf, Boca Raton: CRC Press,

334 p., 1993.

90

16 F. J. Beut^er. “Sampling Theorem and bases in a Hilbert Space”, Information and

Control, Vol. 4, pj). 97-rl 17, 1961.

17 S’. P. Lloyd. “A Sampling Theorem for Stationary (Wide Sense) Stochastic

Processes", Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 92, pp. 1-12, 1959.

18 M. Zakai. “Band-Limited Functions and the Sampling Theorem”, Information and

Conirotr Vol. 8, ppt 143-158, 1965.

19 W. A. Gardner. “A Sampling Theorem for Nonstationary Random Processes”, IEEE

Trans, on Information theory, Vol. IT-18, pp. 808-809, Nov. 1972.

20 Z. A. Piranashvili. “On the Problem of Interpolation of Stochastic Processes”, Theory

of Probability and its Applications, Vol. 12, pp. 647-657, 1967.

21 B. D. Sharma and F. C. Metha. “A Generalized Sampling Theorem for

Nonstationary Processes”, J. Cybematics, pp. 87-95, 1974.

J. J. Clark, M. R. Palmer, P. D. Lawrence. “A Transformation Method for the

22 R.L. Stratonovich. “Topics in the Theory of Random Noise”, Vol. I, N.Y. Gordon &

Breach., 1963.

23 Walpole “Probabilidad y estadística para Ingenieros”, Prentice Hall, Sexta

Edición,1999, pp. 143-144.

24 Max J. “Quantizing For Minimum Distortion”. IEEE Trans. 1977, V. ASS pp.

25,115

25 Butzer AZaPL. Lagrange Interpolation And Sampling Therorems / NoUniform

sampling : Theory and Practice. Nueva York: F. Marvasti / Kluwer Academic;

2001.

91

Apé ndicé Programas

%% Calculo de la funcion de Recconstruccion y Error de reconstruccion

fprintf('PROGRAMA PARA CALCULAR LA FUNCIÓN DE RECONSTRUCCIÓN Y LA FUNCIÓN

DE ERROR DE RECONSTRUCCIÓN \nDE UN PROCESO GAUSSIANO') fprintf('\n\nCONTESTE LO SIGUIENTE:')

%etapa=input('\n\nTIPO DE FILTRO: \n 1. FILTRO RC DE UNA ETAPA \n 2.

FILTRO RC DE DOS ETAPAS \n 3. FILTRO RC DE TRES ETAPAS \n 4. FILTRO RC

IDEAL\n '); % N=input('\n\n Número de muestras: ');

%delta=input('\n\n Rango de separación entre muestras:');

for i=1:N fprintf('\n\n Valor de la muestra %d:', i) x(i)=input(' = '); end

delta=[0.0 0.1 0.3 0.6 1.0 1.5 2.3 3.3]; for i=1:N T(i)=delta(i); end

t=-5:0.01:(0.5.*(N+14));% para rc 1 etapas = -5 2 etapas -40 3 etapas

[m,n]=size(t); %Magnitud de t

%FILTRO RC DE UNA ETAPA if etapa==1 alfa=1; %Alfa %Matriz de covarianza a la entrada for i=1:N for j=1:N mce(i,j)=exp(-alfa.*abs(T(i)-T(j))); end end

92

%Matriz inversa mi=inv(mce); %Función básica for j=1:N fun=0; for i=1:N fun=fun+exp(-alfa.*abs(t-T(i))).*mi(i,j); end for i=1:n funbas(j,i)=fun(i); end end %Primer momento condicional a la entrada (Individual) for j=1:N unoentind=0; for i=1:N entind=exp(-alfa.*abs(t-T(i))).*mi(i,j).*x(j); unoentind=unoentind+entind; end for i=1:n uei(j,i)=unoentind(i); end end %Primer momento condicional a la entrada (Función de reconstrucción) unoent=0; for i=1:N for j=1:N ent=exp(-alfa.*abs(t-T(i))).*mi(i,j).*x(j); unoent=unoent+ent; end end

%Funcion de Cuantizacion recibimos la realizacion cuantizada y los %incrementos figure(4) [DeltaL, x1]=cuantizreyes(3,unoent,t); %error de reconstruccion cuantificada aplicando distribucion uniforme Ec=(DeltaL^2)/12;

%Varianza condicional a la entrada (Función de error de

reconstrucción) error=0; for i=1:N

for j=1:N

error=error+mi(i,j).*exp(-alfa.*abs(T(j)-t)).*exp(-

alfa.*abs(t-T(i))); %error=error+exp(-alfa.*abs(t-T(i))).*mi(i,j).*exp(-

alfa.*abs(T(j)-t)); % error=error+Ec; varent=1-error;

93

end % varent=varent+Ec; end end

%FILTRO RC DE DOS ETAPAS if etapa==2 alfa=2; %Alfa %Matriz de covarianza a la entrada for i=1:N for j=1:N mce(i,j)=(1+alfa.*abs(T(i)-T(j))).*exp(-alfa.*abs(T(i)-

T(j))); end end %Matriz inversa mi=inv(mce); %Función básica for j=1:N fun=0; for i=1:N fun=fun+(1+alfa.*abs(t-T(i))).*exp(-alfa.*abs(t-

T(i))).*mi(i,j); end for i=1:n funbas(j,i)=fun(i); end end %Primer momento condicional a la entrada (Individual) for j=1:N unoentind=0; for i=1:N entind=(1+alfa.*abs(t-T(i))).*exp(-alfa.*abs(t-

T(i))).*mi(i,j).*x(j); unoentind=unoentind+entind; end for i=1:n uei(j,i)=unoentind(i); end end %Primer momento condicional a la entrada (Función de reconstrucción) unoent=0; for i=1:N for j=1:N ent=(1+alfa.*abs(t-T(i))).*exp(-alfa.*abs(t-

T(i))).*mi(i,j).*x(j); unoent=unoent+ent; end end figure(4) [DeltaL, x1]=cuantizreyes(4,unoent,t); %error de reconstruccion cuantificada aplicando distribucion uniforme Ec=(DeltaL^2)/12;

94


reconstrucción) error=0; for i=1:N for j=1:N error=error+(1+alfa.*abs(t-T(i))).*exp(-alfa.*abs(t-

T(i))).*mi(i,j).*(1+alfa.*abs(T(j)-t)).*exp(-alfa.*abs(T(j)-t));

varent=1-error; end varent=varent+Ec; end

end

%FILTRO RC DE TRES ETAPAS if etapa==3 alfa=8/3; %Alfa %Matriz de covarianza a la entrada for i=1:N for j=1:N mce(i,j)=(1+alfa.*abs(T(i)-T(j))+(((alfa.^2).*((T(i)-

T(j)).^2))/3)).*exp(-alfa.*abs(T(i)-T(j))); end end %Matriz inversa mi=inv(mce); %Función básica for j=1:N fun=0; for i=1:N fun=fun+((1+alfa.*abs(t-T(i))+(((alfa.^2).*((t-

T(i)).^2))/3)).*exp(-alfa.*abs(t-T(i)))).*mi(i,j); end for i=1:n funbas(j,i)=fun(i); end end %Primer momento condicional a la entrada (Individual) for j=1:N unoentind=0; for i=1:N entind=((1+alfa.*abs(t-T(i))+(((alfa.^2).*((t-

T(i)).^2))/3)).*exp(-alfa.*abs(t-T(i)))).*mi(i,j).*x(j); unoentind=unoentind+entind; end for i=1:n uei(j,i)=unoentind(i); end end %Primer momento condicional a la entrada (Función de reconstrucción)

95

unoent=0; for i=1:N for j=1:N ent=((1+alfa.*abs(t-T(i))+(((alfa.^2).*((t-

T(i)).^2))/3)).*exp(-alfa.*abs(t-T(i)))).*mi(i,j).*x(j); unoent=unoent+ent; end end figure(4) [DeltaL, x1]=cuantizreyes(2,unoent,t); %error de reconstruccion cuantificada aplicando distribucion uniforme Ec=(DeltaL^2)/12;


reconstrucción) error=0; for i=1:N for j=1:N error=error+((1+alfa.*abs(t-T(i))+(((alfa.^2).*((t-

T(i)).^2))/3)).*exp(-alfa.*abs(t-T(i)))).*mi(i,j).*((1+alfa.*abs(T(j)-

t)+(((alfa.^2).*((T(j)-t).^2))/3)).*exp(-alfa.*abs(T(j)-t))); varent=1-error; end varent=varent+Ec; end end

% %FILTRO RC IDEAL if etapa==4 for i=1:N for j=1:N mce(i,j)=sin (2.*pi.*abs(T(i)-

T(j)))./(2.*pi.*abs(T(i)-T(j)));

if (i== j) mce(i,j)=1; end end end %Matriz inversa mi=inv(mce);

%Función básica for j=1:N fun=0; for i=1:N fun=fun+(sin (2.*pi.*(t-T(i))))./(2.*pi.*(t-T(i))).*mi(i,j); % fun=fun+sin (2.*pi.*(t(i)-T(j))); % fun=fun+fun; end for i=1:n funbas(j,i)=fun(i);

96

end end %Función de reconstrucción unoent=0; for j=1:N

ent=x(j).*((sin (2.*pi.*(t-T(j))))./(2.*pi.*(t-T(j)))); unoent=unoent+ent; end %funcion de error de reconstruccion error=0; for i=1:N for j=1:N error=error+((sin (2.*pi.*(t-T(i))))./(2.*pi.*(t-

T(i)))).*mi(i,j).*((sin (2.*pi.*(T(j)-t)))./(2.*pi.*(T(j)-t))); varent=1-error; end end

end

figure(1) %Función de reconstrucción plot(t,unoent) ylabel('Función de Reconstrucción') xlabel('Tiempo (t)') grid on

figure(2) %Función de error de reconstrucción hold on; plot(t,varent)

ylabel('Función de Error de Reconstrucción') xlabel('Tiempo (t)') grid on

figure(3) %Función básica hold on color=['r' 'b' 'c' 'y' 'g' 'm']; for i=1:N plot(t,funbas(i,:),color(i)) ylabel('Función Básica') xlabel('Tiempo (t)') grid on end

97

vmu=255; senal=unoent/max(abs(unoent));

Fx=sign(senal).*((log (1+(vmu*abs(senal))))/(log(1+vmu))); % haciendo la cuantificacion Fy=zeros(size(Fx)); for i=1: size(Fx)

if Fx(i)>0, b1=0; else b1=1; end up=1/8160; Fy(i)=abs(Fx(i)); end

%%calculo para el numero de niveles Cuantiz.M n=3; %Numero de Niveles N=5; %numero de muestras P=500; %numero de simulaciones T=10; %longitud del intervalo simulado delta=T/(N-1); %intervalo de muestreo alfa=1; mu=0; sigma=1; %alfa, media y varianza; NOTA. Es necesario

cambiar alfa de acuerdo a la etapa q se quiere simular t=0:delta:T; x=[-2.5 -0.3 1.5 2.6 2.5];

maximo=3/n; inter=-3:maximo:3; n=length(inter); N=n; for y=1:length(x) a=y; for i=1:N-1 % if (i==N-1 if (x(y)>=inter(i)) && (x(y)<inter(i+1)) op=(inter(i)+inter(i+1))/2; if x(y)<=op x1(y)=inter(i); else x1(y)=inter(i+1); end end end end plot(t,x,'b'); hold on;

98

plot(t,x1,'g--');

%%Programa para la simulacion de procesos aleatorios a la salida de

filtros %de una, dos y tres etapas y sus funciones de covarianza.

%% datos preliminares para el programa clear all N=25; %numero de muestras P=500; %numero de simulaciones T=40; %longitud del intervalo simulado delta=T/(N-1); %intervalo de muestreo alfa=1; mu=0; sigma=1; %alfa, media y varianza; NOTA. Es necesario

cambiar alfa de acuerdo a la etapa q se quiere simular t=0:delta:T; cero=zeros(1,N); x=zeros(1,N); %vector para el proceso x y=zeros(1,N); %vector para el proceso y e=zeros(1,N); %vector para el ruido

Rtx=zeros(1,N); %vector para la funcion de covarianza una etapa Rty=zeros(1,N); %vector para la funcion de covarianza dos etapas Rtz=zeros(1,N); %vector para la funcion de covarianza tres etapas

%% funciones de covarianza teoricas Rteorx=exp(-alfa*t); %RC UNA ETAPAS Rteory=(1+alfa*t).*exp(-alfa*t); %RC DOS ETAPAS Rteorz=(1+alfa*t+(alfa^2*t.^2/3)).*exp(-alfa*t);% RC TRES ETAPAS %% S=sqrt(1-exp(-2*alfa*(delta))); %factor del ruido

for c=1:P; %este for controla el número de simulaciones %% GENERACION DE PROCESOS %En esta parte se genera X = RC UNA ETAPA

e = normrnd(mu,sigma,N,1); %RUIDO CON DISTRIBUCION NORMAL; TAMBIEN SE

PUEDE UTILIZAR AWGN x(1)=mean(e); %solo es necesario definir el valor de la primer

muestra. esta se hace aleatoriamente

%este for genera el proceso a la salida del filtro RC de una etapa %ver tesis Belyaev

for i=2:N; x(i)=(exp(-alfa*delta)*x(i-1))+S*e(i); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%en esta parte se genera Y = RC DOS ETAPAS

a0=1-exp(-alfa*(delta)/2);

99

a1=a0*exp(-alfa*(delta)/2); b1=exp(-alfa*delta);

y(1)=x(1); %En este caso se elige la primer muestra del proceso X como la

primer muestra del proceso Y %es decir, alimentamos la segunda etapa con el proceso a la %salida del filtro de una etapa

for i=2:N-1 %se genera el proceso a la salida de la segunda etapa y(i)=x(i-1)*a0+x(i-1)*a1+y(i-1)*b1; end y=y/std(y); %es necesario dividir entre la desviación estandar porque

se pierde energia de filtro en filtro "SE NORMALIZA"

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%En esta parte se genera Z= RC TRES ETAPAS % for j=1:NE; EN ESTE FOR SE DETERMINA 2+NE numero de etapas %POR EJEMPLO; SI SE QUIERE SIMULAR 5 ETAPAS

NE=3 z=zeros(1,N); z(1)=y(1); % dsv=1; %la primer vez que corre el "for NE" la

desviacion % estandar es uno % for k=1:2; % z=z/dsv; for i=2:N-1; %se genera la tercer etapa o la NE+2 ETAPAS en

su caso z(i)=y(i-1)+b1*(z(i-1)-y(i-1)); end dsv=std(z); %en el caso que se active NE se emplea dsv para %normalizar el proceso en la divicion z=z/dsv % end % end

%% Calculo de funciones de covarianza

Rx=zeros(1,N); %se define el vector Rx de la covarianza por cuestiones

de velocidad Ry=zeros(1,N); %se define el vector Ry de la covarianza por cuestiones

de velocidad Rz=zeros(1,N); %se define el vector Rz de la covarianza por cuestiones

de velocidad

%%%%%%%%%%funcion de covarianza de una etapa

for i=0:N-1; g=1:N-i; h=1+i:N;

100

f=(x(g)).*(x(h)); Rx(i+1)=(sum(f))/length(g); end Rtx=Rtx+Rx/P;

%%%%%%%%%%función de covarianza de dos etapas

for i=0:N-1; g=1:N-i; h=1+i:N; f=y(g).*y(h) ; Ry(i+1)=sum(f)/length(g); end Rty=Rty+Ry/P;

%%%%%%%%%Función de covarianza de tres etapas z=z/std(z); %es necesario dividir entre la desviación estandar porque se

pierde energia de filtro en filtro "SE NORMALIZA"

for i=0:N-1; g=1:N-i; h=1+i:N; f=z(g).*z(h) ; Rz(i+1)=sum(f)/length(g); end Rtz=Rtz+Rz/P; c % MUESTRA EL NUMERO DE SIMULACION QUE SE

ENCUENTRA CALCULANDO end %% se grafican las curvas de la funcion de covarianza hold on; figure(1); plot(t,Rteorx,t,Rtx,'R');xlim([0 7]);

title(['FUNCIONDE COVARIANZA UNA ETAPA TEORICO Y SIMULADO CON

ALFA=',num2str(alfa)]); hold on; figure(2); plot(t,Rteory,t,Rty,'R');xlim([0 7]);

title(['FUNCIONDE COVARIANZA DOS ETAPAS TEORICO Y SIMULADO CON

ALFA=',num2str(alfa)]); hold on; figure(3); plot(t,Rteorz,t,Rtz,'R');xlim([0 7]);

title(['FUNCIONDE COVARIANZA TRES ETAPAS TEORICO Y SIMULADO CON

ALFA=',num2str(alfa)]); figure(4);plot(t,x,t,y,t,z); title('PROCESOS SIMULADOS PARA UNA DOS Y

TRES ETAPAS ');

101

Publicacionés

tesis 20112013 final

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