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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

Ismael Aldama Barrera Pgina 2

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TABLA DE CONTENIDO

NDICE PAG.INTRODUCCIN .......................................................................................................................................................................................... 6

ANTECEDENTES .......................................................................................................................................................................................... 8

TIPOS DE MAQUINARIA ............................................................................................................................................................................ 10

MQUINAS RECIPROCANTES ................................................................................................................................................................... 10

MQUINAS CENTRFUGAS ....................................................................................................................................................................... 11

MQUINAS DE IMPACTO ......................................................................................................................................................................... 11

MQUINAS SOPORTADAS POR ESTRUCTURAS ....................................................................................................................................... 12

MQUINAS ESPECIALES ........................................................................................................................................................................... 12

CONCEPTOS BSICOS DE DINMICA APLICADOS A LAS CIMENTACIONES ............................................................................................... 12

DEFINICIONES ........................................................................................................................................................................................... 12

MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE........................................................................................................................................................... 15

1.- ACCIONES SOBRE UNA CIMENTACIN DE MAQUINARIA .................................................................................................................... 18

1.1 ACCIONES PERMANENTES .................................................................................................................................................................. 18

1.2 ACCIONES VARIABLES ......................................................................................................................................................................... 18

1.3 ACCIONES TRMICAS .......................................................................................................................................................................... 18

1.4 CARGA DE PAR TORQUE NORMAL ..................................................................................................................................................... 18

1.5. CARGAS DINMICAS .......................................................................................................................................................................... 19

1.5.1 FUERZA DINMICA EN MQUINAS CENTRFUGAS .......................................................................................................................... 19

1.5.2 FUERZA DINMICA EN MQUINAS RECIPROCANTES ...................................................................................................................... 22

2.- CRITERIOS DE DISEO ......................................................................................................................................................................... 30

2.1 ESTADO LMITE DE FALLA DEL SUELO ................................................................................................................................................. 31

2.2 ESTADO LMITE DE FALLA DE LA CIMENTACIN................................................................................................................................. 32

2.3 ESTADO LMITE DE SERVICIO POR VIBRACIN DE MAQUINARIA ....................................................................................................... 32

2.4 ESTADO LMITE POR RESONANCIA ..................................................................................................................................................... 33

2.5 ESTADO LMITE POR TRANSMISIN DE VIBRACIONES ....................................................................................................................... 35

2.6 REVISIN DEL PROBLEMA .................................................................................................................................................................. 35

2.7 ECUACIN DE MOVIMIENTO .............................................................................................................................................................. 36

3.- PARMETROS DEL SUELO ................................................................................................................................................................... 38

3.1. VELOCIDAD DE APLICACIN DE LA CARGA ........................................................................................................................................ 39

3.2 CARGAS REPETIDAS ............................................................................................................................................................................ 40

3.3. TCNICAS DE LABORATORIO PARA OBTENER LAS PROPIEDADES DINMICAS ................................................................................. 42

3.3.1 ENSAYE DE PULSOS ULTRASNICOS ................................................................................................................................................ 43

3.3.2 ENSAYE DE COLUMNA RESONANTE ................................................................................................................................................ 44

3.3.3 ENSAYE DE PNDULO DE TORSIN ................................................................................................................................................. 47

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3.3.4 ENSAYE TRIAXIAL CCLICO ............................................................................................................................................................... 50

3.3.5 ENSAYE DE CORTE SIMPLE CCLICO ................................................................................................................................................. 55

3.3.6 ENSAYE DE MESA VIBRATORIA ........................................................................................................................................................ 58

3.3.7 TCNICAS DE CAMPO ...................................................................................................................................................................... 59

3.3.7.1 ENSAYES UP-HOLE Y DOWN-HOLE ............................................................................................................................................... 59

3.3.7.2 ENSAYE CROSS-HOLE .................................................................................................................................................................... 61

3.5 CORRELACIONES CON EL MDULO DINMICO G .............................................................................................................................. 63

3.5.1 CLCULO DEL MDULO DINMICO G ............................................................................................................................................. 66

3.6 COEFICIENTES DE RIGIDEZ DINMICOS .............................................................................................................................................. 74

3.6.1 COEFICIENTES DE RIGIDEZ DINMICA VERTICAL ............................................................................................................................. 75

3.6.2 COEFICIENTES DE RIGIDEZ DINMICA HORIZONTAL ...................................................................................................................... 79

3.6.2.1 RIGIDEZ DINMICA EN LA DIRECCIN CORTA " Y " ..................................................................................................................... 79

3.6.2.2 RIGIDEZ DINMICA EN LA DIRECCIN LONGITUDINAL " X " ....................................................................................................... 81

3.6.3 COEFICIENTES DE RIGIDEZ DINMICA POR CABECEO .................................................................................................................... 83

3.6.3.1 RIGIDEZ DINMICA POR CABECEO EN LA DIRECCIN DEL EJE CORTO " Y " ................................................................................. 83

3.6.3.2. RIGIDEZ DINMICA POR CABECEO EN DIRECCIN DEL EJE LONGITUDINAL X............................................................................. 84

3.6.4 RIGIDEZ DINMICA POR TORSIN ................................................................................................................................................... 86

4.- ANLISIS DINMICO DE CIMENTACIN DE MAQUINARIA ................................................................................................................. 88

4.1 RIGIDEZ DEL SUELO REPRESENTADO POR RESORTES EQUIVALENTES................................................................................................ 89

4.2 VIBRACIN VERTICAL EN EL BLOQUE DE CIMENTACIN ................................................................................................................... 92

4.3 VIBRACIN HORIZONTAL EN EL BLOQUE DE CIMENTACIN .............................................................................................................. 95

4.4 VIBRACIN POR CABECEO EN EL BLOQUE DE CIMENTACIN ............................................................................................................ 96

4.5 VIBRACIN POR TORSIN EN EL BLOQUE DE CIMENTACIN .......................................................................................................... 101

4.6 VIBRACIN SIMULTNEA VERTICAL, DESLIZAMIENTO HORIZONTAL Y CABECEO EN EL BLOQUE

DE CIMENTACIN ................................................................................................................................................................................... 103

4.6.1 FRECUENCIAS NATURALES DEL SISTEMA ...................................................................................................................................... 105

4.6.2 AMPLITUDES DE MOVIMIENTO DEL SISTEMA ............................................................................................................................... 109

5.- EJERCICIO DE APLICACIN: ANLISIS DE LA CIMENTACIN DINAMICA DE UN COMPRESOR RECIPROCANTE PARA

LA REFINERIA "LA RBIDA" EN HUELVA, ESPAA .................................................................................................................................. 115

5.1 GEOMETRA DE LA CIMENTACIN ................................................................................................................................................... 115

5.2 PARMETROS DEL SUELO ................................................................................................................................................................ 116

5.2.1 ESTRATIGRAFA DEL SUELO .......................................................................................................................................................... 116

5.2.2 PARMETROS DINMICOS DEL SUELO ........................................................................................................................................ 1175.3 PROPIEDADES GEOMTRICAS DE LA CIMENTACIN ....................................................................................................................... 117

5.4 PARMETROS DE LA MQUINA ...................................................................................................................................................... 118

5.5 CLCULO DE COEFICIENTES DE RIGIDEZ DINMICOS ..................................................................................................................... 118

5.5.1 RIGIDEZ DINMICA VERTICAL ....................................................................................................................................................... 119

5.5.2 RIGIDEZ DINMICA HORIZONTAL, LADO CORTO (DIRECCIN Y) ................................................................................................ 119

5.5.3 RIGIDEZ DINMICA HORIZONTAL, LADO LARGO (DIRECCIN X) ................................................................................................. 120

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5.5.4 RIGIDEZ DINMICA POR CABECEO, LADO CORTO (ALREDEDOR DEL EJE X) ................................................................................ 120

5.5.5 RIGIDEZ DINMICA POR CABECEO, LADO LARGO (ALREDEDOR DEL EJE Y) ................................................................................ 121

5.5.6 RIGIDEZ DINMICA POR TORSIN (ALREDEDOR DEL EJE Z) ......................................................................................................... 121

5.6 DATOS PARA CLCULO (MODULOS DE CIMENTACIN) ................................................................................................................. 122

5.7 GEOMETRA PARA CLCULOS ......................................................................................................................................................... 123

5.8 DETERMINACIN DEL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SISTEMA ........................................................................................................ 126

5.9 CALCULO DINMICO DE LA CIMENTACIN ..................................................................................................................................... 128

5.9.1 MOMENTO DE INERCIA DE MASA ALREDEDOR DEL EJE "Y" ........................................................................................................ 129

5.9.2 CLCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y AMPLITUDES DE VIBRACIN ..................................................................................... 133

5.9.3 REVISIN VERTICAL (MODOS DESACOPLADOS) .......................................................................................................................... 134

5.9.4 REVISIN HORIZONTAL DIRECCIN "X" ....................................................................................................................................... 134

5.9.5 REVISIN POR CABECEO ALREDEDOR DEL EJE "Y" ....................................................................................................................... 135

5.9.6 REVISIN POR TORSIN, ALREDEDOR DEL EJE Z ......................................................................................................................... 136

5.9.7 VIBRACIN SIMULTNEA, DESLIZAMIENTO HORIZONTAL Y CABECEO ALREDEDOR DEL EJE Z ................................................... 137

5.9.8 COMBINACIN FINAL DE AMPLITUDES DE VIBRACIN ............................................................................................................... 139

5.9.9 TABLA DE RESULTADOS, REVISIN DEL EFECTO DE RESONANCIA Y COMPARATIVA DE VIBRACIONES CALCULADAS CONTRA

VIBRACIONES PERMISIBLES .................................................................................................................................................................. 140

5.9.10 TABLA DE RESULTADOS UTILIZANDO LA HERRAMIENTA SAP 2000, REVISIN DE EFECTO DE RESONANCIA COMPARATIVA DEVIBRACIONES CALCULADAS CONTRA VIBRACIONES PERMISIBLES .141

6.- CONCLUSIONES ............................................................................................................................................................................... 142

REFERENCIAS 147

ANEXOS

ANEXO A. ESTUDIO DE MECNICA DE SUELOS ...................................................................................................................................... 148

ANEXO B. PLANOS DEL FABRICANTE DEL EQUIPO .................................................................................................................................. 157

ANEXO C. CORRIDA PROGRAMA DE COMPUTADORA SAP2000 ............................................................................................................ 165

ANEXO D. PLANOS FINALES DE DISEO ................................................................................................................................................. 182

ANEXO E. REPORTE FOTOGRFICO ........................................................................................................................................................ 185

OBJETIVOS: El objetivo principal de esta tesis, es disear una cimentacin sujeta a cargas estticas y

dinmicas (de operacin) paso a paso, tomando en cuenta los parmetros del suelo, la geometra del equipo

y las cargas de operacin proporcionadas por el fabricante (DRESER RAND). Las dimensiones de lacimentacin para soportar el equipo resultan de un anlisis dinmico utilizando el mtodo del semiespacio;

dicha cimentacin se construy para un compresor reciprocante en la refinera CEPSA-LA RBIDA en

Huelva, Espaa. Como complemento, se realiza un anlisis por computadora utilizando un programa

comercial comparando los resultados. El equipo actualmente se encuentra en operacin y formando parte de

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los procesos de produccin de la refinera mencionada, la cimentacin es estable y cumple con los

parmetros de diseo que marca la normatividad vigente en materia de equipo dinmico.

INTRODUCCIN

Dentro de la ingeniera civil aplicada a la industria, existe una parte importante que tiene que ver con la

cimentacin de maquinaria y equipos mecnicos. Tanto en el sector energtico, minero, siderrgico,

petroqumico, etc., por lo general nos encontramos con la necesidad de cimentar este tipo de equipos,

los cuales aparte de su peso esttico, estn sujetos a fuerzas dinmicas que pueden llegar a ser

importantes. Compresores, motores, turbinas, bombas, martillos neumticos, gras viajeras, son algunos

ejemplos de dichos equipos.

Los equipos estticos por lo general pueden ser resueltos aplicando la ingeniera de cimentacionesconvencional, cumpliendo con los estados lmite de falla y de servicio, para lo cual se necesita conocer

las propiedades mecnicas del suelo de apoyo.

Sin embargo, los equipos dinmicos, los cuales, aunado a su peso propio, generan fuerzas dinmicas

producto de su operacin, las cuales a su vez inducen esfuerzos y deformaciones ( vibraciones ) que

pueden llegar a afectar el correcto funcionamiento de la mquina si no se hace un diseo adecuado de

su cimentacin.

El presente trabajo tiene como fin, proponer un procedimiento de clculo para resolver cimentaciones

sujetas a cargas dinmicas cclicas, basado en el mtodo conocido como semiespacio, ya que de

manera general toma en cuenta la rigidez del suelo sobre el que se desplanta la cimentacin, la cual

junto con las propiedades inerciales del bloque de concreto y los datos de la mquina (velocidad de

operacin, fuerzas dinmicas, peso propio ) permiten resolver las ecuaciones de comportamiento del

sistema: suelo-cimentacin-mquina.

El objetivo principal del diseo dinmico de una cimentacin es cumplir con los estados lmite de servicio

y de falla, dicho de otra manera, que las deformaciones y vibraciones del conjunto mquina-cimentacin-

suelo (en operacin) cumpla con lo que marca la norma vigente y adems que tenga la suficiente

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capacidad para resistir las fuerzas a las que estar sujeta en su vida til (estticas, sismo, viento,

temperatura, etc.).

En resumen de los temas que se tratarn son:

En el captulo 1, se exponen los conceptos bsicos de la teora de vibraciones, los tipos de mquinas

sujetas a fuerzas dinmicas, las cuales normalmente nos encontramos en la prctica profesional de la

ingeniera, tambin se describen las fuerzas a las que normalmente est sujeta una cimentacin de

maquinaria, poniendo especial atencin a las cargas por vibracin.

En el captulo 2 se presentan los criterios de diseo contenidos en la normatividad vigente tantonacionales como internacionales.

El captulo 3, presenta los mtodos para determinar los parmetros dinmicos del suelo, necesarios para

disear dinmicamente una cimentacin.

En el captulo 4 se presentan los procedimientos analticos para la solucin de una cimentacin sujeta a

cargas dinmicas, los cuales sirven de base para el desarrollo del captulo 5, donde se resuelve unacimentacin real para un compresor reciprocante perteneciente a la Refinera La Rbida que se ubica

en Huelva, Espaa.

Finalmente en el captulo 6 se dan las conclusiones del trabajo y se comparan los resultados obtenidos

con el mtodo del semiespacio con los que arroja el programa comercial SAP-2000, cuya corrida se

adjunta en el anexo E de este trabajo.

En los anexos pueden consultarse: el estudio de mecnica de suelos, los planos del proveedor, los

resultados de la corrida del programa de computadora con un programa comercial, los planos finales de

diseo y un reporte fotogrfico final.

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ANTECEDENTES

Los primeros procedimientos de clculo aplicados a cimentaciones de maquinaria aparecen hacia la

dcada de los 50s y 60s, fueron propuestos por la DEGEBO (German Research Society for Soil

Mechanics) en Alemania (ref. 1), la cual mediante estudios experimentales propusieron reglas

semiempricas basadas en conceptos como Masa en fase ; Frecuencia natural reducida de

Tschebotarioff y el mdulo de reaccin dinmico. (ref. 2).

Un mtodo ms racional, que incorpora soluciones analticas basadas en la representacin del suelo

mediante un semiespacio elstico fue introducido despus de los 60s. Con este mtodo ya se empieza

a utilizar los conceptos de rigidez y amortiguamiento del suelo, inclua la disipacin de energa a travs

del amortiguamiento geomtrico y calculaba las amplitudes de vibracin asociadas a la frecuencia de

resonancia. En la teora del semiespacio, se introdujeron ciertas simplificaciones matemticas, que enrigor no fueron muy realistas, pero que sirvieron de base para estimar las constantes de rigidez y

amortiguamiento que deben de ser incorporadas en un clculo de sistema vibratorio masa-resorte-

amortiguador.

La teora del semiespacio tuvo su apoyo en los estudios de Lysmer (1965), el cual mostr que la

respuesta de vibraciones verticales en una zapata circular rgida apoyada sobre un semiespacio elstico,

puede representarse con bastante precisin siempre y cuando las constantes del resorte y amortiguadorsean elegidas correctamente. Otros investigadores como Richard y Whitman (1967), reforzaron la teora

del semiespacio y mostraron que el comportamiento dinmico de una cimentacin puede ser resuelto

mediante la misma.

Gazetas (ref. 3) ha incorporado algunas mejoras al modelo, lo que ha permitido evaluar los coeficientes

dinmicos de rigidez y de amortiguamiento del sistema de cimentacin. Paralelo a ello, se han propuesto

mtodos aproximados simples, ecuaciones y cartas que nos permiten de manera rpida y confiable

calcular los coeficientes de rigidez y amortiguamiento del suelo, estos mtodos estn basados en la

teora del semiespacio y han sido calibrados con mtodos ms elaborados de cmputo.

El primero de estos mtodos fue el de un sistema de un grado de libertad, propuesto por Lysmer y

Richard en 1966, el cual consider la rigidez y el amortiguamiento como independientes de la frecuencia

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y se enfoc a solucionar la respuesta de una cimentacin circular desplantada sobre un semiespacio

elstico. Posteriormente se resolvi el caso de una zapata circular con otros modos de vibracin, todo

ello llev a proponer lo que conocemos como el crculo equivalente el cual nos permite calcular

cimentaciones circulares y no circulares.

A partir de la dcada de los 80s tiene su auge los mtodos simples para cimentaciones superficiales,

embebidas con geometra arbitraria y geometra circular, en ambos casos desplantadas sobre un

semiespacio elstico. Dobry y Gazetas (ref. 4) realizaron estudios tericos y experimentales para

determinar los coeficientes de amortiguamiento y de rigidez del suelo. Como resultado de sus

investigaciones, Dobry y Gazetas presentaron un mtodo simplificado mediante cartas y ecuaciones para

la determinacin de la rigidez y el amortiguamiento del sistema de cimentacin, parmetros que

dependen de la frecuencia de exitacin para los seis modos principales de vibracin del sistema.

En las cimentaciones de maquinaria debe tenerse presente que adems de las cargas estticas tales

como el peso de la mquina y su cimentacin, tambin actan cargas debidas al funcionamiento de la

maquinaria las cuales son de naturaleza dinmica, es decir fuerzas de tipo cclico en el caso de

maquinaria reciprocante . Dichas fuerzas dinmicas estn asociadas con las partes mviles de la

maquinaria y son pequeas en comparacin con las estticas.

En un equipo vibratorio, una accin dinmica es aplicada sobre un largo periodo de tiempo, dependiendo

su vida til (30 aos por lo general), y aunque su magnitud sea pequea, el nmero de ciclos de carga es

en general muy grande, por lo que se requiere que el comportamiento del suelo sea elstico, de otra

manera la deformacin se incrementar con cada ciclo de carga y el suelo puede presentar fallas por

esfuerzo cortante y hundimientos diferenciales que podran poner en riesgo el funcionamiento de la

mquina.

En el clculo de una cimentacin de equipo vibratorio, las amplitudes de vibracin del sistema suelo-

cimentacin-mquina debidas a las acciones dinmicas propias del funcionamiento de la maquinaria y la

revisin del fenmeno de resonancia (relacin frecuencia de la mquina a frecuencia natural del

sistema), son los dos aspectos ms importantes por definir.

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TIPOS DE MAQUINARIA

La clasificacin de diversos tipos de maquinaria que ms interesa al ingeniero civil es de acuerdo al tipo

de vibracin que stas generan:

Mquinas reciprocantes

Mquinas centrfugas

Mquinas de impacto

Mquinas que se mueven sobre las estructuras como son: gras viajeras.

Mquinas especiales como: molinos, prensas, trituradoras y rodillos de laminacin.

MQUINAS RECIPROCANTES

Estas mquinas trabajan logrando la expansin violenta de un gas mediante la combinacin de mbolos,

bielas y manivelas. El movimiento alternante del mbolo (de tipo armnico o cclico) se transforma porla accin de la biela en un movimiento circular de la manivela. Por lo general son mquinas de baja

velocidad. A este grupo pertenecen las mquinas de combustin interna, compresoras de pistn,

mquinas de vapor y todas aquellas que involucren mecanismos de manivela. La velocidad de operacin

de este tipo de mquinas es menor a 600 rev/min ( RPM ).

En el diseo de este tipo de cimentacin se debe considerar que las fuerzas desbalanceadas siguen una

variacin senoidal o cosenoidal, distinguindose los siguientes tipos:

Mquinas de vapor: Este tipo de equipos, por lo general, consta de uno o dos cilindros, los cuales

pueden ser horizontales o verticales. El vapor generado en una caldera impulsa el mbolo de cada

cilindro.

Bombas de mbolo:Este tipo de equipo puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la posicin de

los cilindros o bien de accin sencilla o doble.

Motores diesel y de gasolina:Por lo general los motores constan de ms de tres cilindros, pueden ser

de dos o cuatro tiempos. Se le denomina Ciclo diesel al ciclo bsico presin volumen de los

motores a base de diesel y Ciclo de Otto a los motores a base de gasolina. El impulso se debe a la

expansin de gases producto de la explosin de una mezcla de combustible y aire.

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Compresores de mbolo: Generalmente constan de uno o varios pasos de compresin y estn

asociados a motores diesel o de gasolina.

MQUINAS CENTRFUGAS

La caracterstica principal de estas mquinas es que sus partes mviles describen un desplazamiento de

trayectoria circular. Su movimiento est regido por la ley de accin y reaccin, al desplazar un fluido

entre los alabes de una o ms ruedas, en otros casos se debe a la existencia de un conductor en un

campo magntico variable. Este tipo de maquinara por lo general trabaja a velocidad constante y son:

turbinas, (utilizadas en las termoelctricas), bombas centrfugas, compresores centrfugos, ventiladores y

turbogeneradores.

La velocidad de operacin de estas mquinas est entre 3000 RPM a 10000 RPM e incluso pueden

sobrepasar este ltimo valor, por lo general son de alta velocidad. Podemos distinguir los siguientes

tipos:

Bombas y compresores centrfugos:En estas mquinas las partes mviles (generalmente accionadas

por un motor externo) impulsan un fluido (agua, aceite, aire, etc.) que circula entre los alabes y se

desplaza en determinada direccin. En algunos casos estas mquinas pueden operar indistintamentecomo turbinas o como bombas, invirtindose el sentido del flujo del fluido.

Turbogeneradores: En este tipo de mquinas el agua o el vapor, al desplazarse entre los alabes,

impulsan la turbina, misma que est acoplada con el campo mvil (rotor) de un generador elctrico.

Motores elctricos: En este tipo de mquinas, un campo magntico variable hace que los conductores

del rotor se desplacen, producindose un movimiento circular.

MQUINAS DE IMPACTO

Las mquinas de impacto, como su nombre lo dice, produce cargas de impacto, y son: martinetes de

forja, cizallas de impacto, mquinas punzadoras, martillos neumticos, estampadoras.

La caracterstica principal de estas mquinas, es que sus cargas pueden considerarse como impulsos

singulares, dado que su efecto termina antes que ocurra la siguiente carga, lo que provoca una vibracin

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de tipo transitoria. Para evaluar la respuesta de una cimentacin sujeta a ste tipo de cargas se requiere

conocer la informacin de fuerza-tiempo para cada impulso, normalmente esta informacin la da el

proveedor del equipo.

MQUINAS SOPORTADAS POR ESTRUCTURAS

Este tipo de mquinas, por general gras viajeras, transmiten a las estructuras que las soportan

vibraciones importantes en el arranque, frenado y descarga, por lo general los reglamentos sugieren

considerar factores de impacto con el fin de tomar en cuenta estos efectos.

MQUINAS ESPECIALES

En la industria siderrgica se emplean mquinas muy pesadas como molinos, prensas, trituradoras y

rodillas de laminacin. Este tipo de maquinara por lo general impulsadas por un motor acoplado, loscuales en conjunto provocan vibraciones a la cimentacin que los soporta.

En el anexo E se puede ver un conjunto de fotografas para mayor claridad de las mquinas descritas.

CONCEPTOS BSICOS DE DINMICA APLICADOS A LAS CIMENTACIONES

En una cimentacin de maquinaria las cargas son de tipo peridico, y pueden representarse por una

funcin armnica senoidal o coseinodal. El bloque de cimentacin que se propone para efectos de

anlisis tiene seis grados de libertad. A continuacin se presentan algunos conceptos bsicos de lateora de vibraciones.

DEFINICIONES

Vibracin: Es el movimiento peridico de un cuerpo o sistema de cuerpos interconectados que se

desplazan desde una posicin de equilibrio.

Perodo:S un movimiento se repite en el mismo intervalo de tiempo a este se le llama movimiento

peridico. El tiempo que tarda en producirse un movimiento completo se le llama perodo y se mide en

unidades de tiempo (segundo).

Movimiento no peridico:Es aqul movimiento que no se repite en el mismo intervalo de tiempo.

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Ciclo:Se le llama as a un movimiento completado durante un perodo determinado.

Frecuencia:Es el nmero de ciclos que se dan en un determinado tiempo.

Frecuencia natural:Si un sistema oscilatorio vibra bajo la accin de las fuerzas inherentes al sistema y

no acta una fuerza externa, la frecuencia con la que vibra es conocida como su frecuencia natural.

Vibracin forzada:Es la vibracin que es provocada por fuerzas externas peridicas o intermitentes

aplicadas a un sistema.

Vibracin libre: Ocurre cuando el movimiento se mantiene debido a fuerzas de restauracin

gravitacionales o elsticas, como el movimiento oscilatorio de un pndulo o la vibracin de una varillaelstica.

Amplitud de movimiento:Es la distancia mxima que experimenta un cuerpo durante las vibraciones

desde su posicin en reposo.

Grados de libertad:Es el nmero de coordenadas independientes necesarias para definir el movimiento

de un sistema.En la fig. 2.1a se muestra un pndulo simple de un grado de libertad, conociendo el ngulo definimos el

sistema y podemos representarlo como n=1.

En la fig.2.1b se requieren conocer dos variables: el ngulo y el desplazamiento X por lo tanto es

un sistema de dos grados de libertad n=2.

En la fig. 2.1c se requiere conocer tres desplazamientos Z1, Z2 y Z3 por lo tanto se trata de tres grados

de libertad n=3.

En la fig. 2.1d para una viga elstica se requiere un nmero infinito de grados de libertad para definir el

sistema n=

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n=1

Pendulo simple

(a )

Posicin:en equilibrio

k1

k2

z

n=2

m

m1

m2

m3

z1

z2

z3

n=3

(c )

(b )

n

(d )

Figura 2.1. Sistemas de grados de libertad: (a) n=1, (b) n=2, (c) n=3, (d) n=

Resonancia: Si la frecuencia de excitacin (de la mquina) coincide con alguna de las frecuenciasnaturales del sistema (mquina-cimentacin-suelo) entonces se dice que se alcanz una condicin de

resonancia. Las amplitudes de movimiento son excesivas cuando hay resonancia, de ah la importancia

de calcular las frecuencias naturales del sistema.

Relacin de frecuencias: Es la relacin de frecuencia de la mquina a la frecuencia del sistema

(mquina-cimentacin-suelo).

Modo principal de vibracin:Un sistema con n grados de libertad vibra en una forma tan compleja que

la amplitud y las frecuencias no parecen seguir un patrn fijo. Entre este conjunto desordenado de

movimientos, existe un tipo especial simple que se ha denominado modo principal de vibracin, en el

cual cada punto del sistema vibra con la misma frecuencia, que es una de las frecuencias naturales del

sistema.

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Modo Normal de vibracin:Cuando la amplitud de movimiento de un punto del sistema de vibracin en

uno de los principales modos e igual a la unidad, el movimiento se llama modo normal de vibracin.

Amortiguamiento: El amortiguamiento est asociado con la disipacin de energa y se opone a las

vibraciones libres de un sistema. Si la fuerza de amortiguamiento es constante, se denomina

amortiguamiento de Coulomb. Si la fuerza de amortiguamiento es proporcional a su velocidad, se

denomina amortiguamiento viscoso.

MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE

Fig. 2.2 Representacin vectorial de un movimiento armnico simple

Las fuerzas dinmicas de una mquina en operacin pueden representarse por medio de una funcin

seno o coseno como la siguiente:

z= Z sen t (2.1)

En la ecuacin anterior es la frecuencia circular en rad/seg, z es la proyeccin vertical del vector Z

que est rotando a una velocidad angular constante ver fig. 2.2

Como el movimiento se repite despus de 2 radianes (vuelta completa), el ciclo del movimiento se

completa cuando:

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T = 2 (2.2a)

Despejando T

T=

2 (seg) (2.2b)

En donde T es el perodo en segundos. La frecuencia f es el inverso del perodo y podemos escribirla

as:

2

1

Tf (rad/seg) (2.2c)

Para obtener la velocidad del movimiento diferenciamos la ecuacin 2.1 con respecto al tiempo como

sigue:

2

cos.

tZsentZz (2.4)

Diferenciando la ecuacin anterior obtenemos la aceleracin, y es:

tZsentZsenz 22

..

(2.5)

Si combinamos las ecuaciones (2.1) y (2.5) escribimos la aceleracin as:

2..

z z (2.6)

Las ecuaciones (2.4) y (2.5) representan la velocidad y aceleracin respectivamente de un movimiento

armnico y pueden ser representados por los vectores Z y Z con una rotacin igual a en unidadesrad/seg. Los vectores Z y Z forman un ngulo con el vector Z de y

respectivamente.

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En la figura (2.3) puede verse la proyeccin vertical de los vectores mencionados con respecto al tiempo

t. Los ngulos entre vectores son conocidos como ngulos de fase, por lo tanto el vector velocidad

respecto al vector desplazamiento est a 90o y el vector aceleracin respecto al vector desplazamiento

se encuentra a 180oy 90 respecto al vector velocidad.

Fig. 2.3 Representacin de los vectores: desplazamiento (z), velocidad ( .

z) y aceleracin (. .

z).

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1.- ACCIONES SOBRE UNA CIMENTACIN DE MAQUINARIA

Como toda cimentacin, todas las cargas que actan sobre ella, debern resistirse sin ningn problema

durante toda su vida til. Las acciones que se generan sobre una cimentacin de maquinaria pueden

variar de un equipo a otro, dependiendo del tipo y sobre todo, de su velocidad de operacin. A

continuacin presentamos de manera general las acciones que gravitan sobre una cimentacin de

maquinaria.

1.1 ACCIONES PERMANENTES

Las acciones permanentes son: el peso de la cimentacin, el peso de la maquinaria, el peso de las

tuberas y/o racks, el peso de plataformas, contenedores propios del equipo, proteccin antifuego.

Antiguamente se tena la idea de que la masa de la cimentacin debera ser de 3 a 5 veces la masa de la

mquina, regla que es totalmente obsoleta porque puede modificar la frecuencia natural y acercarse alfenmeno de resonancia.

1.2 ACCIONES VARIABLES

Las acciones variables son las cargas vivas a las que estar sujeta la cimentacin, los valores de dichas

cargas podemos encontrarlos en los cdigos aplicables o reglamentos locales.

1.3 ACCIONES TRMICASLos cambios de temperatura en condiciones de operacin de la mquina causan expansiones y

contracciones, estos movimientos se transmiten a los apoyos, los cuales si no estn bien lubricados

inducen esfuerzos adicionales a la cimentacin.

Generalmente no tomamos en cuenta los esfuerzos y deflexiones originadas por el gradiente trmico

dentro de la cimentacin debido a las elevadas temperaturas en las superficies cercanas a la mquina.

Por lo general el fabricante del equipo evala estas deflexiones y esfuerzos e incorpora en el diseo de

los soportes de la mquina elementos para tomar en cuenta estas acciones adicionales.

1.4 CARGA DE PAR TORQUE NORMAL

La carga de par de torque normal se presenta en los turbogeneradores, como producto de la operacin

de la mquina, generando un par de fuerzas sobre los soportes, de direccin contraria a la rotacin del

rotor. La magnitud del par depende de la velocidad, masa y potencia de la mquina.

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1.5. CARGAS DINMICAS

Las fuerzas dinmicas por lo general las da el fabricante del equipo, son producto de la operacin de la

mquina y representan los valores de algn desbalanceo de fuerzas internas en la mquina. Las fuerzas

dinmicas que produce una mquina se originan por diversas causas, las cuales dependen del tipo,

potencia, velocidad de operacin, modelo, instalaciones y mantenimiento de la mquina.

Las causas ms comunes que producen la vibracin de una mquina son:

El desbalanceo debido a que el centro de masas no coincide exactamente con el centro o eje de

rotacin de la mquina.

La rotacin de uno o ms elementos de la mquina, lo cual genera una fluctuacin de fuerzas internas

que actan sobre los apoyos del equipo.

El desgaste de las piezas da lugar a un desbalanceo que produce fuerzas y momentos internos quepueden llegar a ser significativos.

Las deformaciones y asentamientos de la cimentacin de la maquinaria o el movimiento del equipo o

estructuras complementarias.

La correcta determinacin de la magnitud, tipo de fuerza dinmica y la direccin en la que acta en el

sistema, es muy importante para el anlisis y diseo de la cimentacin. A continuacin describimos lascaractersticas principales de las fuerzas de desbalanceo en mquinas centrfugas y reciprocantes.

1.5.1 FUERZA DINMICA EN MQUINAS CENTRFUGAS

Las mquinas centrfugas estn diseadas para operar a velocidades constantes por largos perodos de

tiempo, a este grupo pertenecen: turbinas, compresores axiales, bombas centrfugas, turbogeneradores y

ventiladores.

Tericamente casi siempre es posible balancear las partes mviles con el fin de evitar fuerzas por

desbalanceo, En la prctica existe siempre una porcin cuya magnitud depende de factores que

involucran el montaje, la fabricacin, el diseo y el mantenimiento del equipo. Estos elementos pueden

incluir un eje de rotacin que no pasa por el centro de gravedad de los componentes mviles o un eje de

rotacin que no pasa por el eje principal de inercia del equipo, estos ejes rotacionales originan: pares

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longitudinales, deflexiones en el rotor, desalineamiento durante la instalacin y desgaste de las partes

mviles.

Como ya se mencion, las fuerzas transmitidas a la cimentacin son de tipo senoidal y podemos

expresarlas as ( ref. 5 pg. 10 ):

Q= Qo sen (t) (2.7)

La fuerza Qo est dada por:

2emQo e (2.8)

En donde:

Qo: Fuerza desbalanceada, constante o una funcin de la frecuencia de rotacin ()

:em Masa total desbalanceada

e: Excentricidad

Frecuencia de excitacin

En la fig. 2.4 se muestra una forma comn de disminuir las fuerzas ms simples por desbalanceo.

Figura 2.4 Procedimiento tpico de balanceo

La masa total y la frecuencia son propias del sistema y las proporciona el fabricante, as que bastar con

determinar la excentricidad para estimar la magnitud de la fuerza de desbalanceo. Hay casos en los que

el origen de las fuerzas de desbalanceo es complicado por ello el fabricante utiliza instrumentacin

especial para detectar las causas y medir la magnitud de dichas fuerzas dinmicas (fuerzas

desbalanceadas).

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Cuando se tiene una sola masa rotatoria (ver figura 2.5) se desarrolla una fuerza centrpeta que puede

representarse grficamente por un vector dirigido haca el centro de rotacin y por la ecuacin 2.8.

Figura 2.5. Fuerza centrpeta de una masa girando

Cuando se tienen dos masas girando en ejes paralelos dentro de un mismo sistema, se puede produciruna fuerza oscilatoria en una direccin determinada. Si vemos la figura 2.6, dos masas que giran en

sentido opuesto pueden sincronizarse de manera que los componentes horizontales se cancelen, no as

las verticales, que se sumarn, por lo tanto si cada masa vale m1 y la excentricidad es e la fuerza

vertical producida es:

tsenemQ 212 (2.9)

Figura 2.6. Fuerza de dos masas que giran en sentido opuesto

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En el mecanismo de varios vibradores es comn utilizar cuatro masas excntricas iguales que se

arreglan de manera que exista una de ellas en cada extremo de dos ejes paralelos. El fabricante del

equipo puede darle arreglos diferentes a estas masas produciendo una fuerza cclica vertical (figura

2.7a), un par torsionante (figura 2.7b) y un momento de cabeceo (figura 2.7c). La ecuacin que

representa los dos ltimos casos es:

tsend

emM 212

4 (2.10)

Donde:

d: Es la distancia entre los extremos de cada eje

Si observamos las ecuaciones 2.8, 2.9 y 2.10 vemos que si la excentricidad se mantiene fija la magnitud

de las fuerzas o pares vara en funcin del cuadrado de la frecuencia de excitacin.

a) Vertical b) Torsin c) Cabeceo

Figura 2.7. Fuerzas excitadoras con masas rotatorias

1.5.2 FUERZA DINMICA EN MQUINAS RECIPROCANTES

Las fuerzas reciprocantes son producto de un mecanismo manivela-pistn, mismo que est presente en

mquinas reciprocantes como compresores, bombas de pistn y motores de combustin interna (autos).

El mecanismo de manivela transforma un movimiento reciprocante en un movimiento rotatorio y

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viceversa. El fabricante del equipo, una vez que ha determinado el peso y el centro de gravedad de cada

una de las parte mviles procede a evaluar las fuerzas dinmicas resultantes.

En la figura 2.8 se muestra un mecanismo bsico de manivela. Las partes que lo componen son: un

pistn que se mueve verticalmente dentro de un cilindro que sirve de gua, una manivela de longitud r

que gira alrededor de eje o y una varilla de longitud L, unida al pistn en el punto K y a la manivela en

el punto A. Como puede verse en la figura 2.8, mientras el punto K se mueve longitudinalmente el punto

A, por consecuencia, se mueve circularmente a una velocidad del resultado de este movimiento los

puntos intermedios tendrn un movimiento elptico.

Figura 2.8. Mecanismo de manivela-pistn para mquinas reciprocantes

S conocemos la velocidad angular de la manivela, podemos determinar el desplazamiento del pistn

en cualquier instante de tiempo t y como consecuencia podemos obtener la velocidad y la aceleracin

con las ecuaciones siguientes:

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t

L

rtr

L

rrZp 2cos

4cos

4

2

(2.11)

tsenLrtsenrZp 2

2

.

(2.12)

tL

rtrZp 2coscos

2..

(2.13)

Donde:

Zp: Desplazamiento del pistn (mm)

r: Longitud de la manivela (mm)

L: Longitud de la varilla (mm)

Frecuencia circular de operacin de la mquina (rad/s)

t: Tiempo (s)

Si multiplicamos las expresiones 2.12 y 2.13 por la masa del pistn, se obtienen respectivamente, las

fuerzas de impacto y de inercia que el pistn produce al moverse.

Si vemos las ecuaciones 2.12 y 2.13, notamos que el primer trmino vara con la frecuencia de rotacin

mientras que el segundo trmino vara con el doble de dicha frecuencia y su valor depende de la relacinr/L. Al primero de estos trminos se le conoce como trmino primario y al segundo como trmino

secundario.

En el segundo trmino el factor r/L tiene una importancia en la interpretacin fsica de dichas ecuaciones

(2.12 y 2.13), por ejemplo si la longitud L tiende a infinito el segundo trmino desaparece y el pistn se

mueve en movimiento armnico simple. En cambio, si la longitud de la varilla L es finita, el movimiento

del pistn es peridico pero no armnico.

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Figura 2.9. Aceleracin del pistn como funcin del ngulo de rotacin de la manivela, para r/L= 0.25

En la figura 2.9, se puede ver la influencia que tiene en la aceleracin del pistn el trmino secundario

sobre el primario para relaciones:

25.0L

r

En este tipo de mquinas existen fuerzas de desbalanceo en la flecha, stas pueden ser sustituidas por

el efecto de una masa concentrada en el punto A, la cual produce las mismas fuerzas de inercia que el

sistema original.

La ecuacin que representa el movimiento vertical del punto A de acuerdo a la figura 2.8 es:

trZc cos1 (2.14)

La velocidad de operacin de ese punto ser entonces la derivada del desplazamiento:

tsenrZc .

(2.15)

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Asimismo la aceleracin es la segunda derivada del desplazamiento:

trZc cos2..

(2.16)

Si proyectamos el punto A sobre el eje Y las componentes horizontales en trminos de desplazamiento,

velocidad y aceleracin, seran:

trsenYc (2.17)

trYc cos.

(2.18)

tsenrYc 2..

(2.19)

Si asumimos que una parte de la masa de la barra L forma parte del pistn y la otra forma parte de la

masa que gira en la articulacin C, la masa total del mecanismo manivela-pistn se puede dividir en una

masa que se mueve en forma reciprocante mrec y en otra que se mueve en forma rotatoria mrot.

Para estas consideraciones y tomando en cuenta las ecuaciones de aceleracin 2.13, 2.16 y 2.19, la

fuerza de inercia vertical es:

tL

rmtrmmF recrotrecz 2coscos

22

2 (2.20)

Asimismo la fuerza horizontal es:

tsenrmF roty 2

(2.21)

Si analizamos la ecuacin 2.20 la fuerza vertical Fz tiene un componente primario actuando a la misma

velocidad de rotacin (primer trmino) y un componente secundario actuando al doble de esa frecuencia.

La fuerza Fy solo tiene un componente primario (ecuacin 2.21).

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Finalmente el momento que acta en el eje de rotacin (alrededor del eje O figura 2.8) est dado por:

tL

rt

L

rtsenrmM rec 2cos

2

3cos

2

22 (2.22)

El fabricante del equipo, normalmente recurre a lo que se llama contrabalanceo, mediante el cual la

fuerzas de inercia debido a las masas rotatorias pueden ser reducidas o eliminadas completamente.

Normalmente esto se hace en el diseo de mquinas de combustin interna, en los compresores y en las

bombas. No obstante, las masas reciprocantes an producen desbalanceo en un sistema sencillo como

el que se muestra en la figura 2.8., de ah que una mquina de un solo cilindro es siempre

desbalanceada.

En la tabla 1 ( Richart 1970), se muestran las fuerzas desarrolladas por mquinas de varios cilindros para

diferentes arreglos de manivela y nmero de cilindros.

Por lo general en mquinas y compresores de varios cilindros es posible arreglar los cilindros de manera

que se minimicen las fuerzas desbalanceadas. Estas fuerzas dinmicas, incluyendo los momentos de

cabeceo y torsional, deben ser proporcionadas por el fabricante del equipo debido a que estas

cantidades fueron empleadas en el diseo de la mquina.

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Tabla No. 1 Fuerzas desbalanceadas y pares de fuerzas para diferentes arreglos de manivelas (Richart, 1970)

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2.- CRITERIOS DE DISEO

De acuerdo a los reglamentos vigentes, toda cimentacin debe cumplir con los estados lmite de servicio

(desplazamientos, asentamientos, deformaciones, vibraciones) y con los de falla (capacidad de carga,

volteo, deslizamiento).

Normalmente una mquina en operacin, por su naturaleza rotatoria, transmite a su cimentacin y al

suelo vibraciones, por lo que el objetivo de un diseo dinmico es evitar que dichas vibraciones

produzcan daos a la mquina, que no ocasionen molestias al personal que labora en la planta, ni a las

estructuras o instalaciones cercanas. El correcto diseo de una cimentacin de maquinaria debe

apegarse a los lmites de vibraciones especificados en los reglamentos.

En el presente captulo, se presentan los criterios de diseo para determinar los efectos que pueden

producir las vibraciones de una mquina en operacin sobre los humanos y las estructuras vecinas, se

indican tambin los valores lmites establecidos, los cuales son el marco de referencia para evaluar el

comportamiento satisfactorio del conjunto mquina-cimentacin-suelo.

Para analizar una cimentacin sujeta a vibraciones, se propone modelarla como un bloque rgido

desplantado directamente sobre el suelo. Una vez que actan sobre dicho bloque las fuerzas dinmicas,

dependiendo de su magnitud, se pueden producir giros y desplazamientos en cualesquiera de los seisgrados de libertad principales (ver figura 3.1). Los desplazamientos se asocian con la direccin de cada

eje de referencia y los giros a un par alrededor de cada eje.

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Figura 3.1 Grados de libertad de un bloque de cimentacin

Cuando diseamos una cimentacin de maquinaria el objetivo principal es llegar a un sistema suelo-

cimentacin que sea estructuralmente suficiente para darle soporte. El criterio de diseo normalmente

aceptado est relacionado con la respuesta dinmica de la cimentacin. La condicin de falla se alcanza

cuando el movimiento excede un valor lmite fijado por los reglamentos vigentes, el cual es expresado en

trminos de velocidad, aceleracin o amplitud del desplazamiento de la cimentacin.

En los siguientes prrafos presentamos los estados lmite de falla y de servicio, que toda cimentacin de

maquinaria debe cumplir a fin de asegurar su estabilidad

2.1 ESTADO LMITE DE FALLA DEL SUELO

En este estado de falla, lo que se busca es que el terreno sobre el cual se apoya la cimentacin, no

sobrepase su resistencia al corte cuando est sujeto a las solicitaciones estticas y dinmicas

producidas por la mquina-cimentacin que soporta. Para hacer esta revisin debe tomarse en cuanta lo

que marca los cdigos aplicables.

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2.2 ESTADO LMITE DE FALLA DE LA CIMENTACIN

Debe revisarse tambin que la estructura de la cimentacin, no rebase ningn estado limite de falla

(flexin, cortante, torsin), cuando se le someta a solicitaciones estticas y dinmicas producidas por la

maquina que soporta. La revisin se har en base al clculo de estructuras y apegado a los cdigos

aplicables.

2.3 ESTADO LMITE DE SERVICIO POR VIBRACIN DE MAQUINARIA

Una mquina para que funcione correctamente requiere que bajo condiciones de operacin, no se

encuentre sujeta a movimientos excesivos. Los movimientos mximos aceptables por lo general los

define el fabricante del equipo, este especifica los lmites para desplazamientos en direcciones y puntos

especficos.

Las vibraciones excesivas en toda mquina, pueden poner en riesgo su propio funcionamiento llevando a

desgastes heterogneos y prematuros, que aumentan el costo del mantenimiento y disminuyen la vida

til del equipo.

En la figura 3.2 se muestran los valores de la amplitud del desplazamiento en relacin con la frecuencia,

los cuales deben de considerarse en el criterio para evaluar la respuesta dinmica del conjunto mquina-

cimentacin suelo. En dicha figura pueden apreciarse las curvas que limitan los niveles de percepcin devibraciones por los seres humanos, desde no percibido por las personas hasta severo. As mismo

tambin se presentan curvas que limitan el efecto de estos factores sobre la maquinaria, cimientos o

estructuras a fin de evitar dao en ellas.

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100 200 500 1,000 2,000 5,000 10,000

2.540.1

Easilynoticeabletopersons

DisplacementAm

plitude

microns

25.4

254

2540

1.0

10

100

mils

Barelynoticeabletopersons

Notnoticeabletopersons

Dangerto

structures

Cauti

ontostructures

Limitfo

rmachinesand--

Severeto

persons

Troublesometoperson

s

--Mach

inefo

undatio

ns

Frequency, rpm

Figura 3.2 Lmites de amplitud del desplazamiento en funcin de la frecuencia, ACI 351.3R-22.

(Richart, Hall y Woods 1970).

2.4 ESTADO LMITE POR RESONANCIAUna vez calculadas la frecuencias naturales del conjunto mquina-cimentacin-suelo para los seis

modos principales de vibrar, si alguna de estas coincide con alguna de las frecuencias de operacin de la

mquina entonces se presenta el fenmeno de resonancia. El problema de resonancia se caracteriza por

producir desplazamientos excesivos, que pueden daar la mquina y/o causar molestias a los

operadores, por lo que el objetivo del diseo de la cimentacin es evitar que se presente.

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Si la relacin frecuencia de la mquina a frecuencia del sistema mquina-cimentacin-suelo es igual a la

unidad entonces se produce el fenmeno de resonancia, tal como se ilustra en la siguiente grfica:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

1

2

3

4

5

6

Undamped

10% 25%

100%

Amp

lifica

tion

Frecuency Ratio ( fo/fm )

Figura 3.3 Fenmeno de resonancia. Relacin de frecuencia de la mquina a la frecuencia del

sistema mquina-cimentacin-suelo. Tomada del ACI 351.3R-23.

Se recomienda limitar la relacin de frecuencias para evitar tener riesgo de entrar en resonancia ( ref. 5pg. 22 ), la siguiente ecuacin es aplicable para el diseo dinmico de maquinaria.

2.18.0 0 mf

f

3.1

Donde:

0f : Frecuencia de la mquina en RPM (proporcionada por el fabricante del equipo)

mf : Frecuencia del conjunto mquina-cimentacin-suelo

Como puede verse en la ecuacin 3.1, si aseguramos en el clculo que se cumpla dicha desigualdad, es

decir que la relacin frecuencia de la mquina a frecuencia del conjunto mquina-cimentacin-suelo est

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por debajo de 0.8 o por arriba de 1.2, entonces podemos afirmar que no tenemos resonancia en nuestra

cimentacin, es decir cumplimos con este estado lmite, no hay efecto de resonancia, la cimentacin es

estable. Este es un punto muy importante en la revisin dinmica de una cimentacin.

2.5 ESTADO LMITE POR TRANSMISIN DE VIBRACIONES

En este estado se revisa que las vibraciones del conjunto mquina-cimentacin-suelo resultantes de

dicha combinacin bajo condiciones de servicio, por ningn motivo debern ser molestas a las personas

que se requiere permanezcan cerca del equipo, ni debern afectar el funcionamiento de otras mquinas

o estructuras vecinas.

2.6 REVISIN DEL PROBLEMA

En el anlisis del problema se considera a la cimentacin como un bloque masivo apoyado sobre elsuelo representado por un medio elstico semi-infinito. Las siguientes hiptesis de clculo se plantean

para resolver el problema:

1.- Existe una relacin lineal entre el suelo que reacciona sobre la cimentacin que est vibrando y el

desplazamiento de la misma.

2.- El suelo no tiene propiedades inerciales, solo elsticas.

3.- El bloque de cimentacin solo tiene propiedades inerciales y no elsticas. Es decir el bloque se

mueve rgidamente, como un todo nico.

4.- Si el bloque de cimentacin se encuentra parcial o totalmente embebido en el terreno, las reacciones

elsticas del suelo actan en la base de la cimentacin y a lo largo de las superficies laterales.

Si observamos la Figura 3.1, las fuerzas dinmicas que pueden actuar sobre el bloque de cimentacin

rgido son seis:

Una fuerza horizontal en direccin longitudinal a la cimentacin Pz

Una fuerza horizontal en direccin transversal a la cimentacin Px

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Una fuerza vertical Py

Un momento de cabeceo Mz, alrededor del eje longitudinal Z

Un momento de cabeceo Mx, alrededor del eje longitudinal X

Un momento torsionante My , alrededor del eje vertical Y

De acuerdo a la figura 3.1 la respuesta del bloque de cimentacin a las solicitaciones antes

mencionadas para los seis grados de libertad, es:

Desplazamiento en Z

Desplazamiento en X

Desplazamiento en Y

Giro en ZGiro en X

Giro en Y

A los primeros tres grados de libertad se les conoce como: modos de vibracin traslacionales y a los

tres giros se le llama: modos rotacionales.

En este tipo de cimentaciones se asume que la reaccin del suelo pasa por el centroide de la superficie

de contacto de la cimentacin. Por lo general, es posible que el centro de gravedad del sistema mquina-cimentacin no coincida con el centro de gravedad de la superficie de contacto, por lo que los seis

modos de vibrar estn acoplados y se debern estudiar juntos.

2.7 ECUACIN DE MOVIMIENTO

En general toda cimentacin de maquinaria es un bloque rgido de concreto reforzado, el cual responde a

las fuerzas dinmicas a partir de las deformaciones del terreno que la soporta.

Si observamos la figura 4.1, la cimentacin representada con geometra arbitraria parcial

o totalmente embebida en un semiespacio elstico y homogneo est sometida a fuerzas y momentos

armnicos de la forma:

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)(

0

tieVV ( 3.2 )

Donde:

V: Fuerza armnicaVo: Amplitud de la fuerza

e: Base de logaritmos naturales

: Frecuencia circular ( rad/seg )

: ngulo de fase en radianes

t: Tiempo en segundos

i: 1

Figura 4.1. Cimentacin real y su modelo de anlisis

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3.- PARMETROS DEL SUELO

Para disear una cimentacin sujeta a cargas dinmicas o conocer el comportamiento de una masa de

suelo ante un sismo de cualquier magnitud, se requiere determinar los parmetros dinmicos de suelo

para rangos de deformacin diferentes. En la prctica de la ingeniera de cimentaciones, requerimos de

las siguientes propiedades dinmicas de los suelos ( ref. 6 ):

Mdulo dinmico de Young, E ( Ton/m2)

Mdulo dinmico al esfuerzo cortante, G ( Ton/m2)

Mdulo dinmico de deformacin volumtrica, K

Relacin de Poisson,

Amortiguamiento,

Propiedades esfuerzo-deformacin

Parmetros de licuacinResistencia al esfuerzo cortante en funcin de la velocidad de aplicacin de carga

Para determinar las propiedades anteriores disponemos de tcnicas de laboratorio o bien mediante

tcnicas de campo.

Las ventajas de las tcnicas de laboratorio son:

Bajos costos en su ejecucin

Relativa facilidad al manejar las variables de ensayeDefinicin clara de las variables de frontera

La desventaja principal que se tiene es: la alteracin del suelo provocada por los procedimientos de

muestreo, su transporte, almacenamiento y el ensaye mismo en cierta forma.

Las ventajas de las tcnicas de campo son:

El ensaye se hace en un mayor volumen de suelo

La alteracin de suelo prcticamente es nula

Las desventajas principales de las tcnicas de campo son: dificultad para controlar las condiciones de

frontera y los bajos niveles de deformacin que se pueden alcanzar.

El ensaye de los suelos tiene dos objetivos:

1.- Proporcionar la informacin bsica para el anlisis y diseo de las cimentaciones.

2.- Obtener la base experimental que permita el desarrollo de ecuaciones constitutivas.

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En relacin al primer objetivo debe decirse que los ensayes tanto de laboratorio como de campo nos dan

una aproximacin de la condicin real de trabajo del suelo, en cuanto al segundo objetivo, lo que se

pretende es; entender, predecir y explicar el comportamiento de los suelos ante condiciones generales.

En cuanto a las tcnicas de laboratorio, las variables importantes son la medicin precisa de: la carga, la

deformacin y la presin de poro. Las dos primeras por lo general se determinan sin problema, en

cambio, la presin de poro depende del tipo de suelo a ensayar, concretamente de su permeabilidad, no

es lo mismo ensayar un material granular permeable que una arcilla de baja permeabilidad, por lo tanto

la medicin de presin de poro en las fronteras puede no ser el promedio del espcimen en suelos

arcillosos. La presin de poro depende adems del tipo de suelo y la permeabilidad, de la magnitud de la

carga o de la velocidad de deformacin y de las condiciones de drenaje del ensaye.

3.1. VELOCIDAD DE APLICACIN DE LA CARGA

De acuerdo a investigaciones realizadas ( ref. 6 ), la resistencia al esfuerzo cortante de los suelos se

incrementa con el aumento de la velocidad de aplicacin de la carga. Se puede expresar dicha

resistencia mediante la siguiente ecuacin:

( mx )dinmica = ( mx )esttica (FVC ) ( 4.1 )

En donde:

FVC: Factor de velocidad de aplicacin de carga

Como puede verse en la ecuacin anterior, a la resistencia esttica se le aplica un factor para obtener el

esfuerzo cortante mximo dinmico de un suelo. La figura 4.1 nos muestra resultados experimentales de

cmo cambia dicho esfuerzo.

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21 3 4 5 6 7 8 9 10

0Deformacion unitaria, %

Prueba dinamica

Prueba estatica

Esfuerzo,0'

Esfuerzo,0'

( a )

( b )

1% Rapidamente

1 min

Presion de poro, u

o'

o3

o3o'

1%Lentamen

te

500m

in a

a'

u

Deformacion axial, %

o'

u

0

Figura 4.1 Efecto de la velocidad de aplicacin de carga

Las investigaciones (Whitman 1970 y Richart 1970) nos indican que:

Para arenas secas el FVC puede estar comprendido entre 1.1 y 1.15 para velocidades de deformacin

comprendidas entre 0.02% por segundo y 1000 % por segundo, respectivamente.

Para suelos cohesivos saturados el FVC est comprendido entre 1.5 y 3.

Para suelos parcialmente saturados el factor est comprendido entre 1.5 y 2.

3.2 CARGAS REPETIDAS

La vibracin de maquinaria produce cargas cclicas sobre la masa del suelo, ello provoca cambios en el

estado de esfuerzos de dicho suelo, lo cual se ve reflejado en un incremento de la deformacin y la

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o'1

( a ) ( b )

o'

o'

p

o

a

bd e

a

b

c c

T

presin de poro, por consiguiente aparecen asentamientos, ablandamiento del suelo y prdida de la

resistencia al esfuerzo cortante.

La figura 4.2a representa un ensaye de carga repetida tpico. La muestra de suelo se sujeta a un

esfuerzo o en condiciones estticas, posteriormente se somete a un esfuerzo cclico de magnitud p y

periodo T, las deformaciones se presentan en la figura 5.2b en la cual se ve que estas se incrementan

con el nmero de ciclos de aplicacin de carga.

Figura 4.2 Efecto de la carga repetida

Como puede notarse, del tipo de suelo, la magnitud de los esfuerzos esttico o y cclico p asi como

del nmero de ciclos, depender el resultado final del ensaye. En general, si la suma de o+ p es muy

pequea comparada con la resistencia esttica, la deformacin del suelo, despus de un cierto nmero

de ciclos tiende a un estado de equilibrio y la deformacin no se incrementar ms ( Fig. 4.3 ). Por el

contrario, si la suma de esfuerzos es cercana a la resistencia esttica, la deformacin se incrementar

ciclo a ciclo y ocurrir una falla conocida por carga cclica ( Fig. 4.3c ).

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Figura 4.3 Efecto de la amplitud del esfuerzo cclico

3.3. TCNICAS DE LABORATORIO PARA OBTENER LAS PROPIEDADES DINMICAS

Las tcnicas de laboratorio son muy tiles para determinar las propiedades dinmicas de los suelos, se

ha inventado equipo, tcnicas y procedimientos para tal fin, pero debemos aceptar que no existe un

aparato, procedimiento tcnica nica que cubra todo el rango de inters de la dinmica de suelos, para

cada aplicacin deber escogerse el tipo de ensaye ms apropiado.

A continuacin se describen de manera general, las tcnicas de laboratorio ms comunes que se utilizan

para determinar propiedades dinmicas de suelos.

o'

o'

o'

( b )

( a )

( c )

Ensaye estatico

Ensaye estatico

Ensaye estatico

Fallo dinamico

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3.3.1 Ensaye de pulsos ultrasnicos

Este ensaye consiste en generar, utilizando cristales piezoelctricos, ondas ultrasnicas longitudinales

de torsin y medir el tiempo, t, necesario para la propagacin del pulso elstico generado, a travs del

espcimen de suelo de longitud L, ello permite determinar la velocidad de propagacin del pulso

generado en el espcimen a estudiar.

La piezoelectricidad es un fenmeno que se presenta en cristales (cuarzo, turmalina, bario-titanio, fosfato

amnico) cuando se ejerce una presin sobre ellos. La presin produce una deformacin que origina un

desplazamiento del centro de aplicacin de las cargas negativas respecto al de las positivas,

produciendo as en el cristal una polarizacin que depende de la presin aplicada (efecto piezoelctrico

directo).

De manera contraria, si se aplica un campo elctrico al cristal, se producen deformaciones que dependen

de la intensidad del campo aplicado (efecto piezoelctrico inverso).

Resumiendo el mtodo, se aplica un pulso de carga repentinamente en un extremo del espcimen de

suelo mediante un cristal piezoelctrico, la deformacin del espcimen debido a la carga se propaga a

travs de l mediante ondas de esfuerzo. La llegada del pulso de carga al extremo opuesto delespcimen al igual que la aplicacin del pulso se registra en un osciloscopio, ver figura 4.4.

Cuando el pulso aplicado es de compresin, la velocidad Vc podemos obtenerla mediante la ecuacin

siguiente:

t

LVc ( 4.2 )

El mdulo equivalente de Young se obtiene mediante la siguiente ecuacin:

2

22

cceq t

LVE

( 4.3 )

Si el pulso aplicado es de torsin, la velocidad Vses entonces:

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ss t

LV ( 4.4 )

El mdulo al esfuerzo cortante G, se obtiene mediante la ecuacin:

2

22

ss t

LVG

( 4.5 )

El ensaye de pulsos se considera no destructiva, ya que las deformaciones unitarias que se producen

son del orden de 10-4 a 10-3 en porcentaje.

Figura 4.4 Esquema del equipo utilizado en el ensaye de pulsos. (Whitman y Lawrence, 1963)

3.3.2 Ensaye de columna resonante:

La columna resonante data desde 1937 (Ishimoto e Iida), Bishopp (1959), Hardin (1965), Drnevich, Hall y

Richard (1967) fundamentaron la teora en que se basa la interpretacin de los resultados del equipo de

la columna resonante.

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El ensaye de columna resonante consiste en someter un espcimen cilndrico de suelo a un estado de

vibracin forzada longitudinal torsional, variando la frecuencia de excitacin hasta lograr la resonancia

del espcimen.

El mdulo dinmico de rigidez al corte G se calcula con la frecuencia de resonancia F n, la geometra del

espcimen ( ver figura 4.5 ) y las caractersticas del equipo.

Figura 4.5 Principios bsicos del ensaye de columna resonante

La columna resonante consiste en colocar un espcimen de suelo cilndrico sobre una base rgida, este

puede ser slido hueco, en su parte superior se coloca un dispositivo que comunica la excitacin

torsional y/o longitudinal, con ello se logra que el espcimen de suelo se fije en su extremo inferior y este

libre en el superior. La respuesta del suelo se mide mediante un acelermetro, cuya salida se observa en

el eje Y de un osciloscopio.

El ingeniero encargado del ensayo controla la frecuencia de vibracin, lo cual le permite realizar un

barrido de frecuencias hasta encontrar la de resonancia fn, esta frecuencia depende tanto del espcimen

del suelo como del aparato utilizado.

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La grfica del osciloscopio ( figura X-Y ) permite conocer cuando el sistema est es resonancia. En la

figura 4.6 se muestra en forma esquemtica una versin moderna de la columna resonante.

Figura 4.6 Esquema del aparato de columna resonante a torsin

Los factores que afectan los resultados de la prueba son:

La amplitud de deformacin angular,

La presin de confinamiento, c

La relacin de vacos, e

La ecuacin que relaciona la velocidad de propagacin de ondas de esfuerzo cortante, V s con la

frecuencia de resonancia fnes:

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s

ns

LfV

2

( 4.6 )

En donde:

L: Longitud del espcimen

s: Raz de la ecuacin de frecuencias

oss J

J tan ( 4.7 )

En donde:

J: Momento de inercia del espcimen

Jo: Momento de inercia de la cabeza del sistema

El valor del mdulo de rigidez al corte G, se calcula con la siguiente ecuacin:

2sVG ( 4.8 )

En donde:

: densidad de masa del espcimen

3.3.3 Ensaye del pndulo de torsin:

En este ensaye se somete un espcimen cilndrico de suelo a un impulso que le provoque un vibracin

torsional libre. En la figura 4.7 se muestra el aparato utilizado, consiste en una cmara triaxial

modificada, en donde se somete el espcimen a diferentes presiones de confinamiento c lo cual nos

lleva a conocer la variacin del mdulo de rigidez al corte G.

Como puede verse en la figura, un vstago unido a una barra horizontal atraviesa la tapa de la cmara

transmitiendo vibracin torsional libre al extremo superior de la muestra.

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Al brazo horizontal se le colocan masas en forma simtrica con respecto al eje del espcimen, ello da

lugar a un sistema de un grado de libertad. Para que el sistema vibre libremente se le da al brazo un

pequeo impulso inicial.

Figura 4.7 Pndulo de torsin de vibracin libre (Zeevaert, 1967)

Ante el impulso, la respuesta del suelo (vibracin) es registrada por un graficador dotado de dos

plumillas: una registra la vibracin libre del sistema y la otra las marcas del tiempo. En la figura 4.8 se

puede ver para diferentes tipos de suelo la: amplitud, periodo y decremento logartmico de la vibracin

libre amortiguada del sistema aparato-suelo. De acuerdo a la informacin obtenida del ensaye el mdulo

G se calcula con la siguiente expresin:

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2

22

2

)1(1

ad

sdas

sd CG

( 4.9 )

Donde:

C = Jah/Ip

Ja =Momento de inercia de masas

h = Altura del espcimen

Ip = D4/32

D = Dimetro del espcimen

sd = Frecuencia circular amortiguada del sistema

ad = Frecuencia circular amortiguada de calibracin

s y a =Representa las relaciones de amortiguamiento del sistema y del instrumento

respectivamente.

Figura 4.8 Registros tpicos obtenidos con el ensaye de pndulo de torsin

Arcilla muy suave

t

Arcilla rigida

t

Arena confinada

t

Marcas de tiempo

1ap

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3.3.4 Ensaye triaxial cclico:

Este ensaye tiene como finalidad investigar el comportamiento esfuerzo-deformacin y la resistencia al

esfuerzo cortante de un espcimen cilndrico de suelo, sometido a cargas axiales cclicas.

Por medio de este ensaye, a una muestra de suelo se le aplica un esfuerzo de confinamiento, 3c, hasta

lograr su consolidacin y posteriormente se le aplica un esfuerzo axial cclico ( esfuerzo desviador ), d, a

una frecuencia determinada, ver figura 4.9.

Figura 4.9 Cmara triaxial cclica

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Un estado de esfuerzos se presenta en la figura 4.10, el espcimen es sometido a consolidacin

isotrpica de magnitud, 3c (figura 4.10a), como segunda etapa (en condiciones no drenadas), se

cambia el estado de esfuerzos, de tal forma que el esfuerzo axial se incremente en una cantidad igual a

1/2d, y el esfuerzo radial se disminuye en una cantidad igual a 1/2 d, entonces resulta un estado de

esfuerzos como el mostrado en la figura 4.10b, el mismo estado de refuerzos resulta si se incrementa el

esfuerzo axial en una cantidad igual a dy simultneamente se disminuye la presin confinante en un

valor igual a 1/2d, ver figura 4.10c.

o3c

= +

X

Y

X

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

45 45

45 45

( a )

( b )

( c )

Polo

Y

3c

3c

3c

13c 2 d

1

3c 2 d

12

d

12d

3c

1

3c 2 d

1

3c 2 d

3c d

12 d

12 d3c

3c

1

3c 2 d

12 d

3c 1

2 d

1

3c 2 d

Figura 4.10 Estado de esfuerzos en un ensaye triaxial cclico

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Como puede verse, la condicin descrita, produce esfuerzos cortantes, = d en planos con

inclinacin a 45o con respecto a la horizontal.

Un caso similar pero aplicando esfuerzos diferentes se representa en la fig. 4.11, a partir de la condicin

isotrpica (fig. 4.11) y en condiciones no drenadas, se decrementa el esfuerzo axial en un valor igual a

d, simultneamente se incrementa la presin de confinamiento en un valor igual a d (figura 4.11b), el

estado de esfuerzos final produce esfuerzos cortantes en un valor igual a d igualmente en planos con

una inclinacin de 45o con respecto a la horizontal. Como puede verse, en este caso los esfuerzos

cortantes resultan ser contrarios a los generados en la figura 4.10.

= +

X

Y

X

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

45 45

45 45

Y

3c

3c3c

13c 2 d

1

3c 2 d

3c

1

2

d

12d

3c

13c 2 d

13c 2 d

3c d

12 d

12 d

3c

13c 2 d

12 d 3c

1

2 d

13c 2 d

Polo

3c

Figura 4.11 Estado de esfuerzos en un ensaye triaxial cclico

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Si las dos condiciones descritas anteriormente se repiten cclicamente, los esfuerzos normales se

mantienen constantes pero se producen esfuerzos cortantes que cambian de direccin.

Con el ensaye triaxial cclico, se obtienen los registros continuos de la variacin de: la carga axial

aplicada, p, la deformacin axial producida, , y la presin de poro, u, la cual se genera durante la

aplicacin de la carga cclica. En la figura 4.12 se muestra el esquema de registro de un ensaye de las

variables mencionadas.

Figura 4.12 Registros de un ensaye traxial cclico

Un lazo tpico de histresis de un ensaye triaxial cclico se muestra en la figura 4.13, en la misma se

presenta el estado inicial de consolidacin del espcimen , la variacin del esfuerzo axial cclico, qcy la

variacin de la deformacin axial cclica, c.

Carga axial ( P )

Deformacion axial ( a )

Presion de poro ( U )

0

0

0

TiempoPc

Pe

Ciclo 1 Ciclo 2 Ciclo 3

e

c

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Figura 4.13 Lazo tpico de histresis y definiciones

La pendiente de la lnea que une los puntos extremos del lazo de histresis (figura 4.13), nos permite

calcular el mdulo equivalente de Young, Eeqy por consiguiente podemos calcular el valor de G con la

siguiente ecuacin:

12

eqEG ( 4.10 )

Igualmente podemos calcular la relacin de amortiguamiento equivalente, , con la siguiente expresin:

Deformacioninicial C

BD

AT

=1A Lazo

4 AT

Es

fuerzo

Deformacin

Esfuerzo

inicial

eq

1

a

qc

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Planta

( a ) ( b )

Membrana reforzada

con alambreCorte

BCDtringulodelrea

histresisdelazodelrea

4

1 ( 4.11 )

3.3.5 Ensaye de corte simple cclico:

El objetivo de esta prueba es investigar el comportamiento esfuerzo-deformacin y la resistencia al

esfuerzo cortante de un espcimen de suelo sometido a una condicin de esfuerzos de corte simple, ver

figura 4.14.

Figura 4.14 Deformacin de corte simple de un elemento prismtico

Esta prueba, en la actualidad, se puede hacer con dos tipos de aparatos de corte simple, los

especimenes a utilizar son: uno de paredes rgidas y forma prismtica de aproximadamente 5x5x2.9 cm(fig. 4.15) y otro de forma cilndrica, con dimensiones de 71 mm de dimetro y 20 mm de altura, para

este caso, el espcimen se coloca dentro de una membrana reforzada con alambre de acero en espiral

(fig. 4.15b), ello con la finalidad de lograr que el desplazamiento relativo entre la parte superior y la

inferior de la muestra defina una lnea recta.

Figura 4.15 Tipos de especimenes de suelo para el ensaye de corte simple

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Bsicamente, el ensaye de corte simple consiste en aplicar una fuerza cortante cclica a una muestra de

suelo, como las mostradas en la figura 4.15, envuelta en una membrana de hule, que a su vez es

confinada por un resorte plano o un recipiente de paredes mviles. El procedimiento para confinar el

espcimen fue desarrollado por Rendn y Casagrande (1973).

En la figura 4.16 se muestra el aparato de corte simple ideado por Finn y Vaid (1977) para ensayes a

volumen constante, este aparato tiene el propsito de reducir los efectos del cambio de volumen de la

muestra debido a la deformacin del equipo.

Figura 4.16 Aparato de corte simple cclico (Finn y Vaid, 1977)

El trabajo de los distintos tipos de aparatos de corte simple es similar, al espcimen de suelo se le aplica

un esfuerzo vertical v de consolidacin, una vez consolidada, a travs de la tapa de la muestra, la

probeta se somete a una fuerza cortante cclica usando un gato neumtico. Durante la prueba se mide la

fuerza cortante y el desplazamiento horizontal, con estos datos, se trazan las curvas esfuerzo cortante-

deformacin para cada ciclo de carga, la figura que resulta es como la mostrada en la figura 4.13 una vez

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obtenida dicha curva, se calcula el mdulo G y la relacin de amortiguamiento utilizando las ecuaciones

4.10 y 4.11, respectivamente.

Como puede verse, el espcimen utilizada es pequeo, los investigadores Daz-Rodrguez, Weckmann e

Iturbe (1973) disearon un aparato de corte simple de paredes rgidas para muestras de

tesis

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