tesis

Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del

Instituto Politcnico Nacional

Departamento de Fsica

Generacin de mezclas leptnicas por neutrinos

estriles en la simetra

Tesis que presenta:

Diana Carolina Rivera Agudelo

Para obtener el grado de:

Maestra en Ciencias

Director de tesis: Dr. Abdel Prez Lorenzana

Mxico, Distrito Federal Octubre, 2012

Agradecimientos

Quiero expresar mi ms sincero agradecimiento al Dr. Abdel Prez Lorenzana por

brindarme una excelente asesora para la elaboracin de este trabajo; por su paciencia,

su conanza, sus consejos y sus enseanzas.

Agradezco a los Drs. Gabriel Lpez Castro y Omar Gustavo Romagnoli por aceptar

ser los sinodales de este trabajo y por sus valiosas contribuciones.

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACyT) por el apo-

yo econmico otorgado para realizar los estudios de maestra, tambin por el apoyo

econmico a traves de los proyectos CONACyT-No 132061 y CONACyT-No 54576.

Agradezco al Cinvestav-IPN por su apoyo econmico y por la amabilidad de las

personas que trabajan en el.

Agradezco especialmente a las secretarias Elizabeth Mote, Patricia Villar, Rosemary

Ovando y Maria de la Luz Rodiguez por todas las atenciones que me brindaron en el

departamento de Fsica.

Agradezco tambin a quienes fueron mis profesores y a todas las personas que han

compartido conmigo sus valiosos conocimientos.

Agradezco a mis amigos y familiares que me apoyaron y entusiasmaron para cumplir

esta meta.

Gracias pap, mam y hermanas por el apoyo incondicional en todo momento.

Gracias por tu compaa.

Diana Carolina Rivera Agudelo

iii

Resumen

En el marco de simetra de la matriz de masa de neutrinos,en la base de sabor, se predice que los ngulos de mezcla leptnicos 13

y 23 son cero y 45 grados, respectivamente. Sin embargo, las observacio-

nes experimentales de oscilaciones de neutrinos indican que 13 8.3 yATM 23 41, lo cual sugiere que no es exacta, sino que esuna simetra aproximada. En este trabajo hemos estudiado la posibilidad

de que las mezclas del sector leptnico se deriven de la rotura de la sime-

tra , producida por el acoplamiento con un neutrino estril. Hemosmostrado que ste es un escenario viable, donde tambin, empleando los re-

sultados experimentales de oscilaciones de neutrinos, jamos los parmetros

del acoplamiento estril.

v

Abstract

On the symmetric framework for the weak avor neutrino massmatrix, the mixing angles 13 and 23 are predicted to be zero and 45

degrees, respectively. However, neutrino oscillation experiment observations

indicate that 13 8.3 and ATM 23 41, which suggests that is not an exact but rather a softly broken symmetry. We proposethat the source for the breaking of such a symmetry is an sterile neutrino,

whose nonsymmetric couplings provide the necessary ingredients that x

the above given mixing angles.

vii

Contenido

Introduccin xi

1. El Modelo Estndar 1

1.1. Formulacin del Modelo Estndar Electrodbil . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Campos de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Campos ferminicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Campo de Higgs y sus interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4. Bosones de norma masivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5. Interacciones de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Oscilaciones de neutrinos y experimentos 13

2.1. Formalismo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Oscilaciones entre slo dos sabores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Tipos de experimentos de oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . 17

2.4. Escenario de tres sabores e implicaciones de LSND . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Neutrinos estriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Masas de neutrinos y simetra 273.1. Neutrinos de Dirac y de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Masas de Dirac y de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1. Mecanismo seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3. Simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Correcciones a los ngulos de mezcla 35

4.1. Rompimiento de la simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.1. Lmite perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ix

x CONTENIDO

4.2. Inclusin de un neutrino estril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1. Eigenvectores de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.2. Ajuste de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.3. Ordenamiento Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.4. Ordenamiento invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Conclusiones y perspectivas 51

A. Casos no perturbativos 53

B. Otras regiones de solucin 57

Introduccin

El modelo estndar (ME) ha descrito exitosamente un amplio espectro de los fen-

menos debidos a las interacciones de las partculas fundamentales. Estas interacciones

son (excepto la gravitacional) la fuerte, dbil y electromagntica. Un gran nmero de

datos experimentales estn de acuerdo con las predicciones de ste. Sin embargo, al

menos un par de observaciones experimentales dan indicaciones inequvocas de que el

ME no es una teora completa. Por un lado el problema de las componentes oscuras

del universo (materia y energa) sugiere la existencia de elementos fundamentales no

includos en el ME. Por otro lado, el fenmeno de oscilaciones de neutrinos, objeto

de estudio de un nmero importante de experimentos, sugiere que los neutrinos son

masivos y se mezclan, contrariamente a lo que explica el mismo ME.

Es posible extender el ME mnimamente agregando nicamente tres singletes de

mano derecha para generar trminos de masa. Al considerar la conjugacin de carga

sobre espinores de Dirac se pueden generar otros escalares de Lorentz, llamados trmi-

nos de masa de Majorana, e implementar el mecanismo seesaw. Este mecanismo explica

muy bien la pequeez en la masa de los neutrinos pero no brinda un entendimiento

de las mezclas. Muchas ideas existen en la literatura para explicar la mezcla de los

neutrinos, especialmente aquellas basadas en simetras discretas de sabor.

En esta tesis estudiamos un modelo para la generacin de las mezclas leptnicas

basados en la simetra de intercambio . Esta simtria surge naturalmente del an-lisis de los datos experimentales asociados a las oscilaciones de neutrinos atmosfricos,

donde los son convertidos de manera muy eciente en , disminuyendo al 50% el

ujo esperado en los detectores. Esta observacin es particularmente indicativa de que

la mezcla entre estos sabores alcanza en este sector el punto de saturacin, con una

participacin nula de los e. sto quiere decir que los ngulo de mezcla 23 y 13 toman

los valores de 45 y 0, respectivamente, para los neutrinos atmosfricos, ambas predic-

xi

xii INTRODUCCIN

ciones inmediatas de la simetra . Sin embargo, experimentos recientes (Marzo de2012) con detectores cercanos a plantas nucleares en China, Corea y Francia, indican

que de hecho una pequea fraccin de e debera ser generada del ujo atmosfrico ,

lo cual slo es consistente si la simetra no es exacta, sino slo aproximada.Entender el origen del rompimiento de esta simetra, el cual es uno de los principales

objetivos en este trabajo, se convierte entonces en un medio para generar las mezclas

leptnicas observadas.

Hemos realizado un estudio detallado para entender qu tan rota est la simetra

, y a partir de ste sugerimos que el origen de tal rompimiento puede deberse ala mezcla entre los neutrinos activos y un neutrino estril ligero, el cual es consistente

con las observaciones de los experimentos LSND/MiniBooNE. El siguiente paso fue

implementar un modelo para incorporar este neutrino y encontrar los valores de los

parmetros de mezcla estril.

Este trabajo est estructurado de la siguiente forma:

En el primer captulo hacemos una breve revisin de la estructura del ME, enfocn-

donos en el modelo electrodbil ya que los neutrinos slo interactan debilmente. Al

nal de este captulo dejamos claro que dentro del ME los neutrinos son considerados

sin masa.

En el segundo captulo se explica el formalismo general del fenmeno de oscilaciones

de neutrinos en el vaco, mostrando como se aplica al caso de mezcla entre dos y

tres sabores. Finalizamos este captulo mostrando la clasicacin de los experimentos

de oscilaciones de neutrinos y mostramos los datos ms recientes de los observables

medidos en estos experimentos. Al nal de este captulo discutimos las implicaciones de

los experimentos LSND/MiniBooNE en la mezcla de sabores de los neutrinos onocidos

con un cuarto neutrino, el cual est en la escala de eV, y es nuestro candidato natural

a ser la fuente de rotura de la simetra .En el tercer captulo se muestra de manera somera como se construyen los trminos

de masa de Majorana y de Dirac y se da una introduccin del mecanismo seesaw.

Finalizando este captulo se explica en que consiste la simetra en el sector deneutrinos y la rotura de sta.

En el cuarto captulo se incluye la parte central de esta tesis. Como hemos men-

cionado anteriormente, intentarmos explicar las mezclas leptnicas; este captulo est

dividido en dos secciones. En la primera seccin se realiza un anlisis en el caso de los

xiii

tres neutrinos activos, incluyendo los datos experimentales a 1, del espacio de par-

metros en los que la simetra se rompe, separando los casos en los que la simetra se

rompe perturbativamente de aquellos en los que sto no ocurre (mostrado en un apn-

dice). Sugerimos que en el caso perturbativo es viable proponer que la contribucin

de la rotura viene de un neutrino estril ligero. En la segunda seccin se muestra la

manera en la que se incluye, en la matriz de masa de neutrinos, el acoplamiento del

sector activo con un neutrino estril, se encuentra la matriz de mezcla que diagonaliza

la matriz de masa de cuatro neutrinos usando teora de perturbaciones hasta segundo

orden. Tambin se obtienen restricciones experimentales (usando teora de oscilaciones

para cuatro neutrinos y el anlisis hecho en la primera seccin) sobre los parmetros de

acoplamiento. Finalmente se jan, usando el mtodo grco, los parmetros de mezcla

y se muestra que stos reproducen los datos experimentales a 1 de error, tanto para

el ordenamiento normal, como para el invertido.

En el quinto captulo se presentan las conclusiones y perspectivas a seguir en tra-

bajos futuros.

xiv INTRODUCCIN

Captulo 1

El Modelo Estndar

El Modelo Estandard (ME) es una teora de norma, basada en el grupo de simetra

SU(3)C SU(2)L U(1)Y , la cual describe las interacciones fuerte (grupo SU(3)C ),dbil y electromagntica. Estas dos ltimas interacciones se lograron unicar bajo el

modelo de Glashow-Weinberg-Salam (GWS) [1] y se le llam interaccin electrodbil

(grupo SU(2)L U(1)Y ). Ocho gluones y un fotn son los mediadores de las inter-acciones fuerte y electromagntica respectivamente, y tres bosones masivos, W y Z,

median la interaccin dbil. Ya que el presente trabajo se desarrolla bajo el marco de la

fsica de neutrinos, y stos no presentan interaccin fuerte, en este captulo nos enfoca-

remos en la descripcin del grupo G SU(2)L U(1)Y que describe las interaccioneselectrodbiles.

1.1. Formulacin del Modelo Estndar Electrodbil

El contenido de materia ferminica (6 leptones y 6 quarks) es clasicada en tres ge-

neraciones, que en la representacin fundamental del grupo G, aparecen como dobletes

de mano izquierda y singletes de mano derecha(e

e

)L

,

(

)L

,

(

)L

, eR, R, R

(u

d

)L

,

(c

s

)L

,

(t

b

)L

, uR, dR, cR, sR, tR, bR. (1.1)

1

2 CAPTULO 1. EL MODELO ESTNDAR

stos pueden ser clasicados por sus nmeros cunticos de isoespn I, tercera com-

ponente de isoespn, I3, e hipercarga dbil Y . Los campos de mano izquierda tienen

I = 12y se acomodan en dobletes, mientras los campos de mano derecha son singletes

con I = 0. La relacin entre I3, Y y la carga lectrica, Q, est dada por la ecuacin de

Gell-MannNishijima:

Q = I3 +Y

2. (1.2)

Los nmeros cunticos de los campos ferminicos fundamentales (primera genera-

cin) se muestran en la tabla 1.1 (para la segunda y tercera generacin, la tabla es

identica).

Esta estructura puede ser incluida en una teora de campo invariante de gauge (o

de norma) que unica la interaccin dbil y electromagntica, interpretando SU(2)LU(1)Y como el grupo de transformaciones de norma bajo el cual la lagrangiana es

invariante. Este grupo tiene cuatro generadores

Ta = Ia (a = 1, 2, 3) y T4 = Y , (1.3)

donde Y es la hipercarga abeliana e Ia son los operadores de isoespn, los cuales espe-

cican la siguiente lgebra:

[Ia, Ib] = i abc Ic , [Ia, Y ] = 0 . (1.4)

Esta simetra electrodbil se rompe en la simetra de gauge electromagntica, U(1)em;

si esto no fuera as, los bosones, W, Z, no tendran masa. En el ME esto se hace por

medio del mecanismo de Higgs, el cual se explicar ms adelante.

La densidad lagrangiana de la teora electrodbil, invariante de gauge y con rompi-

L eL eR uL dL uR dRI3 +1/2 -1/2 0 +1/2 -1/2 0 0Y -1 -1 -2 +1/3 +1/3 +4/3 -2/3Q 0 -1 -1 +2/3 -1/3 +2/3 -1/3

Tabla 1.1: Tercera componente de isoespn, I3, hipercarga, Y , y carga, Q, para leptonesy quarks de mano izquierda y derecha.

1.1. FORMULACIN DEL MODELO ESTNDAR ELECTRODBIL 3

miento espontneo de la simetra, se puede escribir como

LEW = LG + LH + LF + LY , (1.5)

donde el lado derecho incluye los trminos de los campos de norma, de Higgs, de

fermiones y de Yukawa, que mostraremos a continuacin.

1.1.1. Campos de norma

SU(2)LU(1)Y es un grupo no abeliano con generadores Ia, Y , donde, como hemosmencionado, Ia (a = 1, 2, 3) son los operadores de isoespn y Y es la hipercarga. Cada

una de estas cargas generalizadas est asociada con un campo vectorial: un triplete

de campos vectoriales W 1,2,3 con I1,2,3, y un singlete B con Y . El isotriplete Wa y el

isosinglete B dan lugar a los campos tensoriales

W a = Wa W a + g2 abcW bW c ,

B = B B. (1.6)

Existen dos constantes de acoplamiento independientes: g2 asociada a SU(2)L y g1

con U(1)Y . Teniendo en cuenta la ec. (1.6), la lagrangiana invariante de norma de los

campos tiene la forma

LG = 14W a W

,a 14BB

. (1.7)

Los trminos de masa son prohibidos por la invariancia de gauge. Las masas de

los bosones vectoriales de la interaccin dbil sern introducidas por el rompimiento

espontneo de la simetra junto con el mecanismo de Higgs, el cual se explicar ms

adelante.

1.1.2. Campos ferminicos

Hemos mencionado que los campos se pueden distinguir entre campos de mano

derecha e izquierda, pero an no los hemos denido. En la representacin quiral, se


denen de la siguiente forma:

L =1 5

2 , R =

1 + 52

. (1.8)

Donde 5 es diagonal en esta representacin y los espinores satisfacen la ecuacin

de Dirac. Los campos ferminicos de mano izquierda para cada familia de leptones y

quarks estn agrupados en dobletes izquierdos de SU(2)L y singletes derechos

jL =

(jL+jL

), jR, (1.9)

donde j denota cada generacin de familias, y = ; + para fermiones tipo u, parafermiones tipo d. Cada multiplete de mano izquierda o derecha es un eigenestado del

operador de hipercarga Y , que satisface la relacin (1.2) y con eigenvalores mostrados

en la tabla 1.1.

La derivada covariante es

DL,R = i g2 IL,Ra W a + i g1Y

2B, con I

La =

1

2a , I

Ra = 0, (1.10)

donde a, con a = 1, 2, 3, denotan las matrices de Pauli. Esta derivada induce la inter-

accin entre los campos de norma y de fermiones, por medio de la regla de sustitucin

mnma

LF =j

j

L iDL

jL +

j,

j

R iDR

jR . (1.11)

Note que la derivada covariante es diferente para los campos de mano izquierda y

derecha.

Tampoco hemos incluido trminos de masa de fermiones, estos trminos son de la

forma, me(eLeR + eReL) y rompen explcitamente la invariancia de gauge. stos se

introducen despus con ayuda de las interacciones (invariantes de gauge) de Yukawa

de fermiones con el campo de Higgs.


inv

noinv

Linv

LnoinvExplcitamente rota

Espont

aneam

ente R

ota

Simetra Exacta

Figura 1.1: Conexin entre los estados de vaco y el lagrangiano.

1.1.3. Campo de Higgs y sus interacciones

Antes de mostrar como se lleva a cabo este mecanismo, conviene mostrar la conexin

entre la invariancia del estado de vaco y la invariancia del lagrangiano ante un grupo

de transformaciones.

Si el estado de vaco es invariante, el lagrangiano es necesariammente invariante

(la invariancia del estado de vaco es la invariancia del universo). El caso en el

que el lagrangiano y el estado de vaco son ambos invariantes se dice que es un

caso de simetra exacta.

Si el estado de vaco no es invariante, el lagrangiano puede serlo o no. En ambos

casos, la simetra como un todo se encuentra rota. En el caso en el que ninguno

de los dos es invariante, se dice que la simetra est explcitamente rota. Si el

estado de vaco no es invariante pero el lagrangiano s, se dice que la simetra fue

espontneamente rota [2]. sto se muestra de manera esquemtica en la Fig. 1.1.

Ahora veamos cmo se lleva a cabo el rompimiento espontneo de la simetra SU(2)LU(1)Y , lo que conduce al sugrupo invariante de gauge U(1)em. Para este propsito,

consideremos el campo escalar complejo, doblete de isoespn (I = 12) con hipercarga

Y = 1,

(x) =

(+(x)

0(x)

), (1.12)


El acople a los campos de norma est dado por

LH = (D)(D) V () . (1.13)

De la ec. (1.10), la derivada covariante para el doblete (x) est dada por

D = i g2 a2W a + i

g12B . (1.14)

Ahora considermos el potencial de autointeraccin

V () = 2 + 4

()2 , (1.15)

donde 2 y son constantes.

El estado base se da cuando el potencial es mnimo. Considerando 2, > 0, el

mnimo no ocurre en = 0, de hecho, V es mnimo en una circunferencia de radio

denido por = 22/. El valor esperado de vaco se elije, entonces, tal que Q =0,

= 12

(0

v

)con v =

2. (1.16)

Aunque la lagrangiana es simtrica bajo transformaciones del grupo de norma

SU(2)L U(1)Y , la conguracin que toma en el vaco, , ya no lo es: la sime-tra ha sido espontneamente rota. Ahora es simtrico bajo transformaciones delsubgrupo U(1)em, el cual tiene como generador el operador de carga Q. As la simetra

de gauge electromagntica es preservada.

El campo (1.12) se puede escribir como

(x) =

(+(x)(

v +H(x) + i(x))/

2

), (1.17)

donde las componentes +, H, poseen valor de espectacin de vaco igual a cero.

Expandiendo el potencial (1.15), alrededor de la conguracin de vaco, en trminos

de estas componentes, obtenemos los trminos de masa para H, mientras +, y

permanecen sin masa.


Para que la lagrangiana permanezca invariante, las componentes + y se deben

eliminar usando una transformacin de gauge apropiada; esto signica que estos son

grados de libertad no fsicos (llamados bosones de Goldstone). Eligiendo esta transfor-

macin particular donde + = = 0, llamado gauge unitario, el doblete de Higgs toma

la forma

(x) =12

(0

v +H(x)

), (1.18)

y el potencial (1.15) es en consecuencia

V = 2H2 +2

vH3 +

2

4v2H4 =

M2H2H2 +

M2H2v

H3 +M2H8v2

H4 . (1.19)

El campo real, H(x), describe, entonces, un campo escalar neutro particular; el bosn

de Higgs, con masa

MH =

2 . (1.20)

As, el potencial V describe autointeracciones de tres y cuatro puntos con acoples

proporcionales aM2H . Los acoples a los campos de norma se siguen del trmino cintico

dado en (1.13) que dan origen a los vertices HWW, HZZ y HHWW, HHZZ de tres

y cuatro campos, respectivamente.

Para resolver el problema de la masa de los fermiones se introducen las interacciones

de Yukawa entre el campo de Higgs y los campos ferminicos. El trmino de Yukawa en

el lagrangiano, para una sola familia de leptones y quarks, es una expresin compacta

dada en trminos de los dobletes LL = (L, lL)T , QL = (uL, dL)

Ty el campo de Higgs,

, con su conjugado (de carga), c = i2 = (0,)T , donde es el adjunto de

+,

LY = Gl LL lR Gd QL dR GuQLc uR + h.c. (1.21)

En trminos de la componente neutra del campo de Higgs, (1.21) se expresa como

LY = GllL0lR +GddL0dR +GuuL0uR + h.c. (1.22)


La masa de los fermiones se obtiene de 0 en la ec. (1.18), relacionando las constantes

de acoplamiento de Yukawa, Gl,d,u, con la masa de los fermiones cargados mediante

mf = Gfv2. (1.23)

En la gauge unitaria (1.18) el lagrangiano de Yukawa adquiere la forma simple:

LY = f

mf ff f

mfvff H . (1.24)

Despus de que adquiere su valor esperado de vaco, las interacciones de Yukawa entre

los fermiones masivos y el campo de Higgs ocurren con constantes de acoplamiento

proporcionales a las masas de los fermiones.

Para el caso de ms familias, debe tomarse en cuenta la mezcla entre sabores en

el sector de quarks (en el ME no hay mezcla entre familias de leptones). La mezcla

entre familias de quarks tambin viene de la interaccin de Yukawa con el campo

de Higgs, pero los acoples de Yukawa son ahora matrices en el espacio de sabor con

entradas complejas, Gu = (Guij), Gd = (G

dij), y la generalizacin de (1.22) para el

sector de quarks, con la notacin QiL = (uiL, d

iL)Tpara tres dobletes de mano izquierda

(ui = u, c, t y di = d, s, b), queda:

LquarksY =Gdij Qi

L djR Guij Q

i

Lc ujR + h.c. (1.25)

El trmino de masa se obtiene al remplazar por su valor esperado de vaco, de (1.16),

v2Gdij d

i

LdjR 1

v2Guij u

iLu

jR + h.c. (1.26)

Este trmino bilineal en los campos de quarks puede ser diagonalizado con la ayuda

de cuatro matrices unitarias V qL,R (q = u, d), que conducen a los eigenestados de masas

realizando las siguientes transformaciones:

uiL,R = (VuL,R)ik u

kL,R, d

iL,R = (V

dL,R)ik d

kL,R . (1.27)


As, la matriz de masas diagonal para los quarks es

diag(mq) =v2V qL Gq V

q R , q = u, d . (1.28)

Al introducir los eigenestados de masa en la lagrangiana invariante de gauge para

fermiones (1.11), sta no cambia los trminos cinticos ni el trmino de interaccin

con el bosn de norma neutro debido a la unitariedad de las transformaciones (1.27).

Tambin se mantiene la estructura de la interaccin de Yukawa de campos de Higgs

con los quarks dada en (1.24). La nica modicacin se da en la interaccin de quarks

de sabor con los bosones vectoriales cargados dados en (1.11). As, al introducir los

eigenestados de masa de los campos de quarks de mano izquierda podemos denir la

matriz unitaria conocida como CKM, por Cabbibo-Kobayashi-Maskawa [3],

V uL Vd L VCKM . (1.29)

Dadas las constricciones de una matriz unitaria de dimensin tres, VCKM tiene cuatro

parmetros: tres ngulos y una fase.

1.1.4. Bosones de norma masivos

La interaccin de los campos de Higgs en la parte cintica de (1.13) originan los

trminos de los bosones vectoriales en la forma no diagonal

1

2

(g22v)2

(W 21 +W22 ) +

1

2

(v2

)2 (W 3 , B

)( g22 g1g2g1g2 g

21

)(W 3,

B

). (1.30)

Para identicar los campos fsicos realizamos una transformacin de los camposW a

y B de la siguiente forma

W =12

(W 1 iW 2) (1.31)

y (Z

A

)=

(cos W sin W

sin W cos W

)(W 3

B

). (1.32)


As, el trmino de masa (1.30) es diagonal y tiene la forma

M2W W+ W

+1

2(A, Z)

(0 0

0 M2Z

)(A

Z

), (1.33)

con

MW =1

2g2v , MZ =

v

2

g21 + g

22 . (1.34)

El ngulo de mezcla en la rotacin (1.32), conocido como ngulo de mezcla dbil,

est determinado por

cos W =g2g21 + g

22

=MWMZ

. (1.35)

Reemplazando la rotacin (1.32) en la parte de interaccin de LF en (1.11) e identi-cando A con el campo del fotn el cual se acopla por medio de la carga elctrica e al

electrn, e se puede expresar en trminos de los acoples de gauge de la siguiente forma:

e =g1g2g21 + g

22

, g2 =e

sin W, g1 =

e

cos W. (1.36)

La relacin de arriba nos permite reemplazar el conjunto de parmetros, g2, g1, , 2y

Gf , por un conjunto equivalente de parmetros fsicos, e,MW ,MZ ,MH ,mf , VCKM, don-

de cada uno de ellos puede (en principio) ser medido directamente en un experimento

apropiado.

Hasta el presente todos los parmetros han sido bien determinados experimental-

mente, excepto la masa del Higgs, MH . El reciente anuncio del descubrimiento de

una partcula que podra ser el Higgs completara el conjunto de estos parmetros,

sin embargo, es necesario esperar la llegada de nuevos resultados experimentales que

conrmen este hecho.

1.1.5. Interacciones de norma

La interacciones entre los campos de norma y los fermiones se encuentran contenidas

en el lagrangiano de la ec. (1.11); cuando se expresa en trminos de los campos fsicos,

aparecen interacciones denidas por la corriente electromagntica, Jem, la corriente


neutra dbil, JNC, y la corriente cargada dbil, JCC, con los correspondientes campos

vectoriales,

LFG = JemA + JNC Z + JCCW+ + JCCW , (1.37)

donde las corrientes estn dadas por

Jem = ef=l,q

Qf ff ,

JNC =g2

2 cos W

f=l,q

f (vf af5)f ,

JCC =g2

2

( i=1,2,3

i1 5

2ei +

i,j=1,2,3

ui1 5

2Vijd

j

). (1.38)

En analoga a la notacin para los campos de quarks en la ec. (1.25), las familias

leptnicas son etiquetadas por ei = e, , para los leptones cargados y por i =

e, , para los correspondientes neutrinos. Las constantes de acoplamiento de la

corriente dbil, a nivel rbol, en la ec. (1.38) se determinan por medio de la carga Qf

e isoespn If3 de fL,

vf = If3 2Qf sin2 W ,

af = If3 . (1.39)

Las cantidades Vij en la corriente cargada son los elementos de la matriz CKM (1.29),

que describe la mezcla entre familias en el sector de quarks.

Adems de las interacciones entre los bosones de norma y los fermiones, la natura-

leza no abeliana del grupo induce autointeracciones entre los bosones vectoriales. Estas

autointeracciones de gauge estn contenidas en la parte de los bosones de norma en el la-

grangiano de la ec. (1.7). Expresando los camposW a y B de la ec. (1.6), al sustituirlos

en la ec. (1.7), por los campos fsicos A, Z yW , conducen a autointeracciones de tres

y cuatro campos, los cuales, usando la notacin F = AA, Z = ZZ,


se pueden escribir de la siguiente manera,

LG,auto = e[(W

+ W+ )WA + W+ W F + h.c.

]+ e cot W

[(W

+ W+ )WZ + W+ W Z + h.c.

] e2/(4 sin2 W ) [(W W+ W W+ )W+ W + h.c.] e2/4 (W+ A W+ A)(WA WA) e2/4 cot2 W (W+ Z W+ Z)(WZ WZ)+ e2/2 cot W (W

+ A W+ A)(WZ WZ) + h.c. (1.40)

En el modelo estndar, los coecientes de los trminos de autointeraccin son de-

terminados por la simetra de gauge. Desviaciones de estos valores podran tener ni-

camente un origen no estndar, es decir, como remanentes de nueva fsica a alguna

escala de energa ms grande.

Como pudimos notar, en el ME los neutrinos no tienen masa y no hay mezclas en

el sector de leptones. Sin embargo, con la evidencia experimental de que los neutrinos

son masivos (ver captulo 2), uno puede generar masas de diversas formas. La manera

ms inmediata de generar masa para los neutrinos es agregando singletes de neutrinos

de mano derecha (ver cap. 3), entonces aparecern trminos anlogos a los del sector

de quarks tipo u, permitiendo la mezcla de sabor entre leptones.

Captulo 2

Oscilaciones de neutrinos y

experimentos

En el trabajo original de Weinberg acerca de la masa de los leptones, los neutrinos

no tienen masa, ya que en el contenido de partculas no hay un neutrino de mano

derecha y por consiguiente no hay un trmino de acoplamiento de Yukawa anlogo

al de quarks tipo u (ver captulo anterior). La ausencia de trminos de masa para el

neutrino es lo que hace que la corriente cargada, JCC , no mezcle familias en el sector de

leptones, mientras que en sector de quarks si lo hace. Esto sugiere que si los neutrinos

tienen masa deberan observarse oscilaciones entre fmilias; este fenmeno fue predicho

por Bruno Pontecorvo en 1957 [4] y en 1962 Maki, Nakagawa, y Sakata [5] consideraron

por primera vez un modelo donde se mezclaban diferentes sabores de neutrinos.

El mecanismo de oscilaciones es un fenmeno cuntico donde los neutrinos de sabor

son una superposicin coherente de eigenestados de masa. En la primera seccin de

este captulo comenzamos por explicar de manera general la teora de oscilaciones

en el vaco, despus consideraremos el caso de dos y tres neutrinos. Finalizamos con

una clasicacin de los experimentos de oscilaciones de neutrinos y los resultados ms

importantes de stos.

2.1. Formalismo general

En esta seccin derivaremos la probabilidad P de que un neutrino con sabor

, despus de recorrer cierta longitud, se convierta en un neutrino de sabor , y

13

14 CAPTULO 2. OSCILACIONES DE NEUTRINOS Y EXPERIMENTOS

discutiremos las condiciones para las cuales se observa dicha oscilacin.

Si no todos los autoestados de masa son cero, el estado de un neutrino de sabor,

|` (` = e, , ), producido en un proceso de interaccin dbil, es una superposicincoherente de estados de neutrinos con masa denida,

|` =i

Uì |i , (2.1)

donde |i es un autoestado del hamiltonianoH|i = Ei|i con momentum p y energa

Ei =p2 +m2i ' p+

m2i2p

, (2.2)

donde se ha hecho la aproximacin de un estado relativista p mi. La ecuacin deSchrdinger

id

dt|i(t) = H|i(t),

implica que un tiempo t despus de ser producido, el neutrino ya no es un estado puro

de sabor, sino que viene dado por el estado

|`t =i

Uì eiEit |i . (2.3)

U es una mtriz unitaria, por tantol

UliUlj = ij. (2.4)

Escribiendo el estado |`t en trminos de autoestados de interaccin dbil |`, tenemos

|`t =`|` A` ;`(t) , (2.5)

donde

A` ;`(t) =i

Uì eiEit Uì . (2.6)

As, si la mezcla sucede, el estado de neutrino producido en t = 0, que es un estado

de sabor denido, se convierte en un tiempo t > 0 en una superposicin de todos

los posibles estados de sabor de neutrinos. La cantidad A` ;`(t) es la amplitud de la

2.2. OSCILACIONES ENTRE SLO DOS SABORES 15

transicin ` ` durante el tiempo t. La probabilidad de oscilacin, P = |A|2,es por tanto

1

P =i,j

UiUiUjUj exp

(i m

2ijL

2p

), (2.7)

donde m2ij m2i m2j y L ' t es la distancia entre los puntos de produccin ydeteccin del neutrino. La expresin (2.7) es vlida, no slo para la transicin entre los

estados de sabor e, , , sino tambin para transiciones a un estado estril s. En

este caso el ndice s corre para valores de n > 3 (n es el nmero de neutrinos masivos)

y los ndices , corren sobre e, , , s1, . . ..

Como podemos ver de la Ec.(2.7), la probabilidad de transicin depende del par-

metro L/p, n 1 diferencias cuadradas de masas y de los elementos de U .Si todas las m2ij son tan pequeas que

m2ijL

2p 1, (2.8)

entonces, tenemos que P = y no ocurre oscilacin.

Suponiendo que no hay violacin de CP (U real), la Ec.(2.7) se convierte en

P = 4j>i

UiUiUjUj sin2

(m2ijL

4p

). (2.9)

2.2. Oscilaciones entre slo dos sabores

Consideremos el caso simple de dos neutrinos; en este caso

L = cos 1L + sin 2L

L = sin 1L + cos 2L , (2.10)

1

Estamos usando unidades naturales, ~ = c = 1.


donde es el ngulo de mezcla. De la Ec.(2.7), las probabilidades de transicin estn

dadas por

P = sin2 2 sin2

(m2L

4p

)( 6= ) (2.11)

P = 1 P = 1 sin2 2 sin2(

m2L

4p

), (2.12)

donde m2 m22m21. A las expresin dadas en (2.11) y (2.12) se les llama usualmenteprobabilidad de aparicin y probabilidad de supervivencia, respectivamente, stas son

frecuentemente empleadas en el anlisis de datos experimentales y denen dos tipos de

experimentos:

1. Experimentos de aparicin: Estos experimentos miden transiciones entre di-

ferentes sabores de neutrinos, es decir, el sabor nal detectado no est presente

en el haz inicial.

2. Experimentos de desaparicin: Estos experimentos miden la probablidad de

supervivencia de un sabor de neutrino contando el nmero de interacciones en

el detector y comparando con el esperado. Ya que, incluso en ausencia de oscila-

ciones, el nmero de eventos detectados tiene uctuaciones estadsticas, es muy

dcil asegurar una pequea desaparicin. Por lo tanto estos experimentos no son

muy ecientes para valores pequeos del ngulo de mezcla.

De (2.12) podemos ver que, para una energa ja (p E), la probabilidad detransicin es una funcin peridica de la distancia. Cuando el argumento del seno es

pi, a L se le llama longitud de oscilacin, y est dada por

Losc = 4piE

m2= 2.54

E (MeV)

m2 (eV2)m . (2.13)

La probabilidad de transicin es muy pequea si L Losc, y oscila muy rpidamentesi L Losc. Para observar oscilaciones de neutrinos m2 se debe satisfacer

m2 & EL. (2.14)

Se dice que un experimento es sensible a m2, cuando se cumple la condicin

anterior. Diferentes experimentos pueden ser designados para ser sensibles a diferen-

2.3. TIPOS DE EXPERIMENTOS DE OSCILACIONES DE NEUTRINOS 17

tes valores de m2, escogiendo valores apropiados de la razn L/E. Por ejemplo, en

reactores (L 100 m, E 1 MeV), aceleradores (L 1 km, E 1 GeV) y sola-res (L 1011 m, E 1 MeV) los valores mnimos m2 son 102 eV2, 1 eV2, 1011 eV2, respectivamente. En la siguiente seccin vamos a describir un poco estosexperimentos.

2.3. Tipos de experimentos de oscilaciones de neutri-

nos

Experimentos de corta distancia (SBL). Se dividen en:

Reactor SBL. Estos experimentos utilizan un gran ujo isotrpico de e produ-

cidos en reactores nucleares por decaimiento de ncleos pesados (principalmete

en fragmentos de sin de

235U,

238U,

239Pu,

241Pu). La energa tpica de los e

es del orden de pocos MeV y una distancia fuente-detector de varias decenas de

metros. El rango de L/E cubierto por reactores SBL y su sensitividad a m2 son

L

E. 10m/MeV m2 & 0.1eV2. (2.15)

Debido a que la energa del antineutrino es muy baja no se producen muones

o tauones, asi que en estos experimentos slo se mide la probabilidad de super-

vivencia de e por deteccin, en lquido centellador, a travs de la reaccin

inverso

e + p n+ e+, (2.16)

con una energa minma para e de Eth = 1.8 MeV. Experimentos de este tipo

son: ILL [6], Gsgen [7], Rovno [8], Krasnoyarsk [9], Bugey [10], Savannah River

[11], entre otros.

Acelerador SBL. Estos experimentos usan haces de neutrinos producidos por el

decaimiento de piones, kaones y muones creados por un haz de protones golpeando

un blanco, se clasican en:

Decaimiento del pion. Estos experimentos usan haces compuestos principal-

mente de o producidos por el decaimiento de kaones y piones. Estos decaen

en una distancia del orden de 100 m. En el caso de un haz de producidos por


pi+, K+ + + , existe alrededor de 1% de y de e debidos principalmenteal decaimiento + e+ + e + . La energa tpica de los neutrinos es del or-den de unos pocos GeV. La distancia tpica fuente-detector en aceleradores SBL

es del orden de kilmetros. El rango de L/E cubierto por estos experimentos y

sensitividad a m2 son

L

E. 1Km/GeV m2 & 1eV2. (2.17)

En el caso de , la energa debe ser de un orden de magnitud mayor(la energa mnima para la produccin de en la reaccin inverso es de 3.5

GeV), tal que L/E . 0.1Km/GeV m2 & 10 eV2. Experimentos de este tiposon: BEBC [12]( e), FNAL-E531 [13]( ), CDHSW [14]( ),CCFR [15]( , , , e, e ), CHARM [16]( , e, tau), BNL-E776 [17]( e), CHORUS [18]( , e ), NOMAND [19]( , e , e), LSND [20, 21]( e),MiniBooNE [22]( e).Decaimiento del muon. Estos experimentos usan haces compuestos de anti-

neutrinos del muon, los cuales se producen en el decaimiento

+ e+ + e + . (2.18)

Los + son producidos en el decaimiento del pion pi+ + + (los pi sonabsorbidos, en su mayora por el ncleo) y frenados en el blanco. Estos tienen

energas del orden de varias decenas de MeV y pueden ser usados para medir

transiciones de e, ya que podemos garantizar que estos no estn presentesen los productos del decaimiento de pi+ +. La distancia tpica fuente-detector

es del orden de varias decenas de metros, con un rango de L/E y una sensitividad

a m2 deL

E. 1m/MeV m2 & 1eV2. (2.19)

Algunos de estos son: LAMPF-0645 [23], LSND, KARMEN [24], MiniBooNE.

Experimentos de larga distancia (LBL). Las fuentes de estos experimentos

son similares a los de SBL, pero la distancia fuente-detector es de dos o tres

rdenes de magnitud mayor. Son clasicados como sigue:


Reactor LBL. En estos experimentos la distancia fuente-detector es del orden

de kilmetros. El rango L/E y la sensitividad a m2 son

L

E. 103m/MeV m2 & 103eV2. (2.20)

Experimentos de este tipo son: CHOOZ [25], Palo Verde [26], KASKA, Double

CHOOZ [27], Daya Bay, RENO, entre otros.

Acelerador LBL. Similar al acelerador SBL, los aceleradores LBL producen

haces de neutrinos o antineutrinos del muon, los cuales vienen del decaimiento

de piones y kaones. La distancia fuente-detector est alrededor de 102 103 Km,lo que implica un rango de L/E y una sensitividad a m2 de

L

E. 103Km/GeV m2 & 103eV2. (2.21)

Han sido pocos los experimentos de este tipo, algunos de ellos, que son ms bien

recientes, son: K2K [28]( , e), MINOS [29]( , e),ICARUS ( ), T2K2 ( e, e).

Experimentos de neutrinos ATMosfricos (ATM). Los rayos csmicos pri-

migneos interactan con la alta atmsfera, produciendo un gran ujo de piones

y kaones, los cuales decaen en muones y neutrinos. Adems muchos muones de-

caen en electrones y neutrinos antes de golpear la tierra. Los experimentos de

neutrinos atmosfricos detectan estos neutrinos. La energa detectable de estos

neutrinos cubre un amplio rango, alrededor de 500 MeV - 100 Gev. La distancia

fuente-detector es de 20 Km, para los neutrinos que vienen de arriba, y de 1.3 104 Km, para los que vienen de abajo, es decir, los que se produjeron delotro lado de la tierra. Los valores tpicos de L/E y la sensitividad a m2 es

L

E. 104Km/GeV m2 & 104eV2. (2.22)

Algunos experimentos de este tipo son: Kamiokande, IMB, NUSEX, Frejus, Super

Kamiokande, MACRO, Soudan-2, MINOS, INO, entre otros [30].

2

T2K es un experimento que an est en funcionamiento, ubicado en Tokio, el cual puede producir

un haz de mucha ms intensidad que los dems aceleradores que hemos descrito aqu. Para ms

informacin de este experimento se puede visitar la pagina web http://t2k-experiment.org/t2k/ .


Experimentos con neutrinos SOLares (SOL). Estos experimentos detectan

neutrinos generados en el centro del sol debido a las reacciones termonucleares.

La distancia tierra-sol es de 1.5 1011 m. Ya que la energa detectada paralos neutrinos en estos procesos est en entre 0.2-15 MeV, el rango de L/E y la

sensitividad a m2 es de

L

E. 1012m/MeV m2 & 1012eV2. (2.23)

As, estos experimentos son sensibles a valores extremadamente pequeos de

m2, mucho ms que los que ya hemos visto. Algunos experimentos que se

han hecho de este tipo son: Chlorine [31], Homestake [32], Kamiokande [33],

GALLEX[34], SAGE[35], GNO [36], SNO [37], KamLAND [38], entre otros.

Experimentos de muy larga distancia (VLB). Estos experimentos tienen

una distancia fuente-detector ms grande que los experimentos LBL, estos son:

Ractor VLB. Estos experimentos miden el ujo de muchos reactores en conjunto

a una distancia del orden de 100 Km. El rango de L/E y su sensitividad a m2

son

L

E. 105Km/MeV m2 & 105eV2. (2.24)

los experimentos de este tipo son KamLAND y Borexino.

Acelerador VLB. La distancia fuente-detector de estos experimentos es del

orden miles de kilmetros, comparables con el diametro de la tierra. El rango de

L/E y su sensitividad a m2 son

L

E. 104Km/GeV m2 & 104eV2. (2.25)

Los proyectos que existen en la actualidad para implementar estos experimentos

son : Super-Beam, Beta-Beam y Neutrino Factory.

Todos los experimentos mencionados arriba han trabajado a lo largo de muchos

aos, algunos de ellos ya han dejado de tomar datos y otros son recientes. Para obtener

una informacin del estatus experimental actual puede remitirse, por ejemplo, a las

referencias [39] y [40]. Ya comentamos en la seccin 2.2 que las probabilidades (2.11) y


Parmetro Mejor ajuste (1) 3 m2sol[10

5eV 2] 7.58+0.220.26 6.99 - 8.18|m2ATM |[103eV 2] 2.35+0.120.09 2.06 - 2.67sin2 0.312+0.0180.015 0.265 - 0.364sin2 ATM 0.42

+0.080.03 0.34 - 0.64

sin2 13 0.0251 0.0034 0.015- 0.036

Tabla 2.1: Mejor ajuste y rangos permitidos a 3 de los parmetros de oscilaciones deneutrinos tomados del PDG 2012 [39]. Para el valor de 13 el PDG promedi los tresresultados ms recientes [41].

(2.12) se usan para el anlisis de datos experimentales. Normalmente las probabilidades

de oscilacin son obtenidas directamente de los datos experimentales, as que podemos

decir que los lados izquierdos de (2.11) y (2.12) se conocen. Adems, el experimento

ja la razn L/E (y por tanto se sabe el rango de sensibilidad de m2). Los experi-

mentos reportan un grco en el plano sin2 2m2. Hasta la fecha tres intervalos dediferencias cuadradas de masas han sido medidas por diferentes experimentos; dos de

ellas se han establecido claramente a lo largo de los ltimos 10 aos y se les ha llamado

m2sol m2 y m

2ATM , con sus respectivos ngulos , ATM y un tercer ngulo,

medido por reactores VLB, visto en la escala de m2ATM , llamado 13, El mejor ajuste

de estos parmetros se puede ver en la tabla 2.1.

El paradigma de tres neutrinos cambi en 1995 por las observaciones de una seal

de SBL en la oscilacin e por el experimento LSND[20], la cual implica una oms diferencias cuadradas de masas mucho ms grandes que m2ATM y m

2sol. Este

experimento ha sido muy polmico, ya que era el nico, en su momento (tom datos

desde 1993 a 1998), que observaba un tercer rango de m2 el cual no se ajustaba al

esquema convencional de los tres neutrinos activos e, , , por esto tambin se le

conoce como la anomala LSND. Se esperaba que experimentos similares descartaran

dicha anomala, nalmente el experimento MiniBooNE[42], fabricado con una razn de

L/E similar a LSND, de Fermilab, report en 2010 coincidir3 con LSND [43] en un

rango de m2 mucho mayor que las ya observadas.

3

MiniBooNE no presenta una seal compatible con LSND en el modo neutrino, pero s en el modo

antineutrino. Esto podra dar evidencia de que CP es violada y an es un resultado bajo estudio.


En la siguiente seccin veremos cmo se pueden acomodar estos resultados a los

esquemas de tres y cuatro neutrinos.

2.4. Escenario de tres sabores e implicaciones de LSND

Considerando oscilaciones entre los tres sabores conocidos de neutrinos, la matriz

de mezcla, U , es de 3 3. Existen varias formas de parametrizar esta matriz [44],la ms comn en la literatura es de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata[4, 5], UPMNS,

dada por

UPMNS =

c12c13 s12c13 s13ei

s12c23 c12s23s13ei c12c23 s12s23s13ei s23c13s12s23 c12c23s13ei c12s23 c23s12s13ei c23c13

, (2.26)donde cij cosij y sij sinij. 12 , 13 13, 23 ATM son los tres ngulosde mezcla (0 |ij| pi/2) y se le llama fase de violacin CP de Dirac (0 2pi).Se tienen tambin tres diferencias del cuadrado de las masas, stas son

m221 m22 m21, m231 m23 m21, m232 m23 m22, (2.27)

pero slo dos de ellas son independientes, ya que

m221 + m232 m231 = 0. (2.28)

Como se dijo en la seccin anterior, diversos experimentos (sin considerar la anomala

LSND) han medido las diferencias del cuadrado de las masas: m2sol y m2ATM , con

una jerarqua entre ellas, la cual es

m2sol m2ATM . (2.29)

stas pueden acomodarse en dos tipos de ordenamientos mostrados en la Fig 2.1 , donde

m2sol = m221 y m

2ATM = |m231|. De la jerarqua dada en la Ec. (2.29), tenemosque, en la mayora de los experimentos, |m232| = m2ATM m2sol ' m2ATM .

2.4. ESCENARIO DE TRES SABORES E IMPLICACIONES DE LSND 23

m2

m2sol

m2ATM

m21

m22

m23

m2ATM

m23

m2sol m21

m22

m2

Normal Invertida

Figura 2.1: Los dos ordenamientos permitidos por la jerarqua m2sol m2ATM .

Ahora, los resultados de LSND/MiniBooNE, reavivaron el inters en la posibilidad

de que existan al menos 4 neutrinos masivos livianos (en la escala de eV) que puedan

generar las diferencias cuadradas de masas de experimentos SBL. Ya que m2LSND m2ATM , en el caso minimalista de cuatro neutrinos, podemos denir como m

2LSND

m241 m242 m243, de modo que los ordenamientos de m1, m2, m3, m4 se puedendar de dos maneras mostradas en el esquema de la Fig. 2.2. En la Fig.2.3 se puede

observar las regiones en el plano sin2 2em241 permitidas por los experimentos LSNDy MiniBooNE (curva azul oscura segmentada), dentro del esquema de 4 neutrinos.


m2

m2LSND

m21

m22

m24

m2LSND

m2

Normal Invertida

m23m21

m22

m23

m24

Figura 2.2: Ordenamientos posibles en el esquema de 4 neutrinos que se acomodan a

los resultados de LSND.

sin22e

m412

[eV

2 ]

104 103 102 101 1102

101

1

1099% C.L.ReactorsCDHSW + AtmDisappearanceLSND + MB

99% C.L.ReactorsCDHSW + AtmDisappearanceLSND + MB

Figura 2.3: Curvas de exclusin en el plano sin2 2e m241 (lneas azul clara ensegmentos y verde punteada). La curva en rojo es obtenida de experimentos de desapa-

ricin. Las regiones permitidas por LSND yMiniBooNE de datos con antineutrinos

estn delimitadas por la curva azul oscura en segmentos.

2.4. ESCENARIO DE TRES SABORES E IMPLICACIONES DE LSND 25

2.4.1. Neutrinos estriles

En este punto puede surgir la pregunta de cuntas familias de neutrinos existen,

pero el experimento LEP, a travs de la medida del ancho invisible del bosn Z del

ME, reporta que los datos son consistentes con Na = 2.9840 0.0082 3 [45] familiasde leptones que se acoplan al bosn Z (Fig. 2.4).

As, de existir otros neutrinos estos deben tener interaccin nula o despreciable con

este bosn, a este tipo de neutrinos se les llama neutrinos estriles. De esta manera

conclumos que LSND/MiniBooNE sugiere al menos un neutrino ms y que ste de-

be ser estril. En la actualidad existen otras anomalas que sugieren la existencia de

neutrinos estriles, las cuales se pueden consultar en la referencia [46].

Figura 2.4: Las curvas indican la seccin ecaz de la produccin de hadrones alrededor

de la resonancia Z predicha para dos, tres y cuatro familias de neutrinos [45].

Captulo 3

Masas de neutrinos y simetra

Por la discusin hecha en el captulo anterior sabemos que nalmente los neutri-

nos tienen masa [47], aunque slo dos valores de diferencias cuadradas son conocidas

(m2ATM y m2sol). En este captulo veremos cmo se pueden agregar trminos de ma-

sa que involucran slo una quiralidad (trminos de masa de Majorana) y trminos de

masa que involucran singletes de mano derecha para los neutrinos (trminos de masa

de Dirac) . Tambin daremos una introduccin al mecanismo seesaw, el cual explica

la pequeez de las masas de los neutrinos. Finalmente explicamos en que consiste la

simetra y cmo el rompimiento de sta podra provenir de un cuarto neutrinode naturaleza estril.

3.1. Neutrinos de Dirac y de Majorana

La forma de la corriente cargada JCC en la Ec.(1.38) nos permite entender la ob-

servacin experimental de que cuando un interacta con la materia, se produce un

y nunca un +, similarmente, si un es el que interacta, entonces se produce un

+ y nunca un . La explicacin convencional a este hecho es:

1. y son partculas distintas.

2. Existe un nmero cuntico llamado nmero leptnico l que es conservado du-

rante la interaccin. l = 1, +1 para y y 1 para + y .

Una explicacin alternativa consiste en postular que y son estados de helicidad

izquierda y derecha, respectivamente, de una misma partcula. En este caso no es nece-

sario introducir el nmero leptnico. La hipotsis anterior fue propuesta por Majorana.

27

28 CAPTULO 3. MASAS DE NEUTRINOS Y SIMETRA

Decimos que un neutrino es de Majorana si l es su misma antparticula. En contraste,

si las hipotesis 1 y 2 son correctas, el neutrino es llamado de Dirac.

3.2. Masas de Dirac y de Majorana

En el ME mnimamente extendido con Rs estados de neutrinos de mano derecha,

la lagrangiana que contiene el trmino de masa de Dirac para los neutrinos se escribe

de la forma

LD =

s=s1,sNs

=e,,

sRMDsL + h.c. (3.1)

donde los estados primados indican la base de interaccin, R no necesita ser pri-

mado, ya que como dijimos antes, stos no interactan dbilmente, por lo que tambien

resultan ser neutrinos estriles, de ah el subndice s.

La conjugacin de carga sobre los espinores de Dirac, , permite construir los

siguientes escalares de Lorentz: cc, c, c y sus hermticos conjugados, donde1

c = CC1. Con ellos podemos construir otros trminos de masa, llamados de Majo-

rana [48], tales como

LL = 12

,

LcML

L + h.c, (3.2)

LR = 12

s,s

sRcMRss

sR + h.c, (3.3)

donde las matrices de masas ML, MR y MD son complejas. Deniendo

N L (LR

c

), (3.4)

donde

1

Una representacin posible de C est dada por C = i02.

3.2. MASAS DE DIRAC Y DE MAJORANA 29

L

e

L

, R

s1

s2

s3.

.

.

R

. (3.5)

El trmino de masa de Dirac-Majorana, LD+M = LL + LR + LD, es

LD+M = 12N L

c MD+M N L + h.c. (3.6)

MD+M es una matriz N N , con N = 3 +Ns, que viene dada por

MD+M =

(ML M

DT

MD MR

), (3.7)

donde, ML es una matriz 3 3, MR es de Ns Ns y MD es de Ns 3.Una observacin importante es que la Ec.(3.6) tiene la forma de un trmino de

masa de Majorana, asi que podemos decir que los neutrinos masivos son partculas de

Majorana. La matriz dada en la Ec.(3.7) se puede diagonalizar realizando rotaciones

en los estados N L como se hizo en el capitulo 1 para el sector de quarks. Un mtodo

de diagonalizacin de esta matriz que explica la pequeez en la masa de los neutrinos

de mano izquierda es el llamado mecanismo seesaw, el cual veremos a continuacin.

3.2.1. Mecanismo seesaw

Este mecanismo hace las siguientes dos suposiciones para diagonalizar la matriz de

masa MD+M dada en la Ec.(3.7) :

ML = 0. Esta suposicin es razonable, ya que el trmino que contiene a ML en

la Ec.(3.6) est prohibido por las simetras del ME.

Los elementos de MD son mucho ms pequeos que los elementos de MR. MR

sera generado por una supuesta nueva fsica ms all del ME.


As que la diagonalizacin conduce a

MD+Mdiag =

(M 0

0 MR

),

donde las matriz M y MR estn dadas por

M MDT (MR)1MD, MR MR. (3.8)

Las masas pesadas estn dadas por los elementos de MR, mientras las masas livianas

estn dadas por M , pues se puede ver de (3.8) que los elementos de sta son mucho

ms pequeos que los elementos de MD. Sin embargo, los valores de los elementos de

M pueden variar sobre un amplio rango, dependiendo de los valores de MDy MR, de

este modo existen casos especiales del mecanismo seesaw. Para discutir en detalle se

puede consultar [49]. Despus de esta diagonalizacin por bloques, la lagrangiana en la

Ec. (3.6) queda de la forma

LD+M = 12

[LcML + RMRRc + h.c.] (3.9)

La mezcla entre sabores de neutrinos est dada en general por una matriz que

mezcla el sector leptnico con el sector de neutrinos, U = VlV , se debe resaltar que no

podemos elegir U = Vl y V = 1, pues ya hemos dicho que los neutrinos son masivos.

La mayora de los autores consideran el caso en el que Vl = 1, esto implica que la base

de interaccin coincide con la base de masas, en la cual la matriz de masa de leptones

cargados es diagonal y toda la informacin de la mezcla viene del sector de neutrinos,

as, tomaremos U = V .

Tanto en el captulo 2, como en este captulo se ha enfatizado el hecho de que los

neutrinos tienen masa debido a la suposicin de un estado de neutrino de mano derecha,

el cual no interacta debilmente con la materia, por lo que puede identicarse tambin,

como neutrino estril. En la literatura es ampliamente explorada la posibilidad de

oscilaciones de estados de neutrinos activos (e, , ) a estados estriles para elaborar

modelos que estn de acuerdo con los datos experimentales de oscilaciones de neutrinos.

En esta tesis se explora uno de dichos modelos.

3.3. SIMETRA 31

Algunas preguntas fundamentales que son tema de investigacin actual son las

siguientes:

1. Cules son los valores de las masas de los neutrinos ?

2. El espectro de masas es normal o invertido ?

3. Cules son los valores de la matriz de mezcla U ?

4. Son los neutrinos partculas de Majorana o de Dirac ?

5. Hay transiciones de neutrinos de sabor a neutrinos estriles ?

6. Hay violacin CP en el sector leptnico ?

3.3. Simetra Despus de la diagonalizacin de M , la lagrangiana (3.6) se escribe como

LD+M = 12

[LcM

dL + RM

dR

cR + h.c

]. (3.10)

El trmino de masa en la ecuacin anterior no es invariante bajo transformaciones

globales U(1), este hecho introduce tres fases a la matriz de mezcla U , la cual podra

considerarse con una sola fase si los neutrinos fueran de Dirac. Una forma comn de

escribir la matriz U es U = UDDM , donde UD es la matriz de mezcla (con tres ngulos

y una fase) que corresponde a neutrinos de Dirac y DM = Diag(1, ei1 , ei2). Las

fases 1 y 2 son llamadas fases de Majorana. Una parametrizacin comn de UD, es

UD = UPMNS, ya escrita en (2.26).

Para ver detalladamente la parametrizacin de esta matriz, puede consultarse, por

ejemplo, la referencia [44]. Abandonemos aqu esta discusin, y retomemos la matriz

M de la expresin (3.9). La diagonalizacin de M viene dada por Md = U

MU =

diag(m1,m2,m3), de donde,

M = UMdU. (3.11)


Se puede ver que M es simtrica, as que la podemos escribir como:

M =

mee me meme m mme m m

(3.12)Una propiedad ms de la matrizM es que sta puede ser invariante ante intercam-

bio de las etiquetas y , si consideramos una forma especial de U , la cual explicaremos

a continuacin.

Despus de que el experimento Super-Kamiokande [50] mostrara por primera vez en

1998 evidencia irrefutable de oscilaciones con neutrinos atmosfricos, diferentes expe-

rimetos (CHOOZ, PALO VERDE, MINOS y KamLand) sugeran que la mezcla entre

y en neutrinos atmosfricos era mxima [51], es decir, ATM = 45, y la mezcla

entre e y podra considerarse nula, 13 = 0.

)(22sin0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

)2 e

V-3

| (10

2m|

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5-310

MINOS best fit MINOS 2008 90%

MINOS 90% Super-K 90%

MINOS 68% Super-K L/E 90%

Figura 3.1: Regiones permitidas en la oscilacin de resultados de MINOSpublicados en 2011. Esta gura es tomada de la referencia [39].

3.3. SIMETRA 33

En la Fig. 3.1 podemos ver los resultados del experimento MINOS para la oscilacin

, donde se muestra que el mejor ajuste (sealado con un punto negro) para elsin2(2) es mxima. En la grca anterior representa a ATM .

Estas observaciones son consistentes con las predicciones de simetra en lamatriz de mezcla de sabor de neutrinos, M , y fueron la principal motivacin para que

muchos autores exploraran la idea de que los ngulos de mezcla podran obtenerse a

travs de la simetra [52].Veamos como lo contrario tambin es correcto, es decir, si elegimos 23 pi4 y

13 = 0, obtenemos simetra en la matriz M .Si imponemos las restricciones anteriores en la matriz de mezcla (2.26), obtenemos

lo siguiente

UBM =

c12 s12 0s122 c122 12s12

2c122

12

. (3.13)Todos los clculos de ahora en adelante se harn bajo la consideracin de que la fase

de violacin CP es cero. La matriz (3.13) es conocida como como matriz Bimxima.

Cuando sin2 12 =13, la matriz es llamada Tribimxima. Estos dos escenarios han

sido explorados en el marco de la simetra [53]. Si sustitumos (3.13) en (3.11),vemos que

M =

m1c

212 +m2s

212 (m2 m1) s2128 (m2 m1) s2128

(m2 m1) s2128 12(m1s212 +m2c212 +m3) 12(m1s212 +m2c212 m3)(m2 m1) s2128 12(m1s212 +m2c212 m3) 12(m1s212 +m2c212 +m3)

,(3.14)

donde se ha denido s212 sin(212). Podemos ver de esta ltima forma para la matrizM , que sta es invariante ante el intercambio , esto es, me = me y m = m .Etiquetaremos los elementos de M de la siguiente manera

M =


. (3.15)


Evidentemente los datos experimentales no arrojan los valores de 23 = pi4 y 13 = 02,pero si valores cercanos (ver tabla 2.1), sto sugiere pensar que la simetra es rota por

algn mecanismo. Trabajos anteriores se han dedicado a buscar cul podra ser la

fuente de tal rompimiento. Por ejemplo, en la referencia [54] se ha explorado la idea de

considerar la fuente de rotura proveniente del sector de leptones cargados sin involucrar

fsica ms all del ME mnimamente extendido. El resultado de dicho trabajo fue una

correccin muy pequea para 13, pero el valor de la medida ms reciente de este

parmetro [41] es mayor que esta correccin y por lo tanto necesitamos nueva fsica.

Si mantenemos la idea de que los sistemas fsicos parecen obedecer ciertas simetras,

como de isoespn, Lorentz, entre otras, que son rotas por diferentes mecanismos, el

sector de neutrinos no sera la excepcin y ste parece ser descrito por simetras .Implementar esta simetra en extensiones del SM, requiere introducir escalares extra

y no es una tarea fcil [55]. En el siguiente captulo abordaremos el tema central de

esta tesis, en la cual se propone que el rompimiento de la simetra proviene delacoplamiento entre los neutrinos activos, e, , , y un neutrino estril, s.

2

Note que se est denotando a los ngulos en la matriz de mezcla PMNS con la letra , mientraslos ngulos de mezcla experimentales se denotan con la letra .

Captulo 4

Rotura de por acoplamientocon s y correcciones a los parmetros

de mezcla

En el captulo anterior conclumos que la hiptesis de que la simetra estrota, en el sector de neutrinos, parece razonable y por lo tanto podemos preguntarnos:

qu tan rota est dicha simetra?. En la primera seccin de este captulo tratare-

mos de responder esta pregunta, en el esquema convencional de tres neutrinos activos,

usando los datos experimentales actuales a 1 de desviacin estndar (ver tabla 2.1)

para clasicar los casos de lmite perturbativo. En la segunda seccin se usa teora de

perturbaciones en el caso de cuatro neutrinos (3 activos + 1 estril), para ajustar las

predicciones del modelo con los valores experimentales actualmente reportados.

4.1. Rompimiento de la simetra

Consideremos la matriz de masa dada en (3.12), la cual podemos reescribir de la

siguiente forma

M = M + M =


+ 0 0 0 0 0

0

. (4.1)35

36 CAPTULO 4. CORRECCIONES A LOS NGULOS DE MEZCLA

donde se han denido los parmetros de rompimiento y como

= me me, = m m. (4.2)

La simetra se romper de manera perturbativa si

me 1,

m 1. (4.3)

Las contribuciones de estos parmetros ( y ) son las encargadas de corregir los ngulos

de mezcla predichos por la simetra .

4.1.1. Lmite perturbativo

En esta subseccin clasicaremos los casos en los que la condicin (4.3) se cumple.

Podemos escribir las ecs. (4.2) en trminos de cinco observables conocidos: 13, ATM ,

, m2ATM , m2sol, y de un parmetro, m3, el cual se puede acotar. De esta forma,

podemos hacer un grco de /meu y /m vs m3 como sigue.

De (3.11) tenemos que

me =3i=1

UeiUimi, me =3i=1

UeiUimi,

m =3i=1

UiUimi, m =3i=1

UiUimi. (4.4)

Si reemplazamos lo anterior en (4.2) obtenemos

me=

3i=1(UeiUi UeiUi)mi3

i=1 UeiUimi

m=

3i=1(UiUi UiUi)mi3

i=1 UiUimi. (4.5)

Estas expresiones estn en trminos de los tres eigenvalores de masas mi y de los tres

ngulos de mezcla (por medio de los elementos U dados en (2.26)). m1 y m2 pueden

4.1. ROMPIMIENTO DE LA SIMETRA 37

m1 m2 m3- - +

- + +

+ + +

+ - +

Tabla 4.1: Posibles combinaciones independientes de signos para las masas m1,m2,m3.

escribirse en trminos de las dos diferencias cuadradas m2ATM y m2, las cuales son

valores medidos experimentalmente, y dem3. Como se explic en el captulo 2, tenemos

dos ordenamientos permitidos por la jerarqua m2 m2ATM ; ordenamiento normaly ordenamiento invertido. Bajo estos dos esquemas |m1| y |m2| se pueden escribir como:

Ordenamiento normal:

|m1| =m23 m2ATM , |m2| =

m23 m2ATM + m2,

0.048 eV m3 0.4 eV. (4.6)

Ordenamiento invertido:

|m1| =m23 m2ATM m2, |m2| =

m23 m2ATM ,

0 eV m3 0.4 eV. (4.7)

La cota superior param3 se puede determinar a partir de resultados experimentales,

como se puede consultar en [39]. Adems, para cada ordenamiento, se deben tener en

cuenta los signos

1

de m1, m2 y m3, as, tenemos cuatro combinaciones independientes

mostradas en la tabla 4.1.

El comportamiento de /me y /m vs m3 se grac teniendo en cuenta las condi-

ciones del ordenamiento normal y ordenamiento invertido para los datos experimentales

a 1 y cada uno de los subcasos mostrados en la tabla 4.1. Se encontr que los casos

donde podra tenerse /me 1 y /m 1 son:

Ordenamiento Invertido, m1 < 0, m2 > 0 (ver Fig. 4.1).

1

Al tener en cuenta los signos de mi estamos considerando las fases de Majorana como 0 pi.


Ordenamiento Normal, m1 < 0, m2 > 0 (ver Fig. 4.2).

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

m 3

m

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

m 3

m e

Figura 4.1: /m vs m3 y /me vs m3 para ordenamiento invertido, m1 < 0,m2 > 0. Donde se han tomado los valores experimentales de la tabla 2.1 a 1, lagrca en rojo corresponde a los valores centrales.

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

m 3

m

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

m 3

m e

Figura 4.2: /m vsm3 y /me vsm3 para ordenamiento normal,m1 < 0,m2 > 0.Donde se han tomado los valores experimentales de la tabla 2.1 a 1, la grca en rojocorresponde a los valores centrales.

En la Fig. 4.1 se puede ver que para el esquema de ordenamiento invertido, con

m1 < 0 y m2 > 0, /m toma valores alrededor de 0.2 y /me est alrededor de 0.4.Para el esquema de ordenamiento normal, Fig. 4.2, vemos que (tambin con m1 < 0 y

m2 > 0 ) /m y /me toman valores alrededor de 0.2 y 0.3, respectivamente.As, podemos considerar que, para los valores reportados en la tabla 2.1, la brecha

de rotura es pequea y por tanto una aproximacin perturbativa al problema

4.2. INCLUSIN DE UN NEUTRINO ESTRIL 39

es adecuada para estos casos. Se debe resaltar que la condicin perturbativa (4.3), slo

se cumple en el caso de m1 < 0, m2 > 0, m3 > 0, las otras combinaciones de signos

resultaron ser no perturbativas, estas grcas se pueden ver en el apndice A, sto

podra dar un indicio de que las fases de Majorana se mueven alrededor de pi y 0 para

m1 y m2, respectivamente.

Como ya se ha mencionado anteriormente, en este trabajo se propone que la fuente

de rompimiento de proviene de la inclusin de un neutrino estril, lo cual vamosa desarrollar a continuacin.

4.2. Correcciones a los ngulos de mezcla por la in-

clusin de un neutrino estril

El objetivo principal de esta seccin es realizar las correcciones a los ngulos de

mezcla leptnicos

2

generados en el sector de neutrinos activos, debidos a la existencia

de un neutrino estril liviano.

La enseanza de la seccin anterior es que podemos considerar M = M + M ,

donde M es una pequea contribucin a los elementos de M . En otras palabras,

la fuente que genera el rompimiento de est en la misma escala de masas de losneutrinos activos, es decir, en la escala de eV. Las observaciones de LSND-MiniBooNE

sugieren que existe otro neutrino (estril) que se mezcla con los neutrinos activos (como

se explic en el captulo 2) y debe estar en la escala de eV. De este modo es viable

pensar que la fuente de rotura de es un neutrino estril liviano que se acomodaa las observaciones de LSND-MiniBooNE.

Es necesario enfatizar que trabajaremos bajo las siguientes ideas acerca del neutrino

aadido:

Es un neutrino liviano, por lo tanto ste no viene del mecanismo seesaw visto en

la seccin 3.2.1, ya que las masas convencionales de los neutrinos de mano derecha

de la matriz MR son muy grandes: M 1010 1012GeV . Numerosos esquemascon neutrinos livianos estriles han sido sugeridos. En este trabajo no nos con-

centraremos en explicar cmo podra surgir tal neutrino, ms bien analizaremos

2

Entre los ngulos de mezcla leptnicos contamos los tres ngulos ya mencionados , ATM , 13,y el obtenido por los resultados de LSND, discutido en el captulo 2.


las implicaciones de su existencia en el espectro de mezclas leptnicas.

Se aade de tal forma que se trata al mismo nivel que los neutrinos de sabor

e, , , de modo que ahora trabajaremos en la base (e, , , s).

Supondremos que no obedece simetra , pues ste no pertenece a la basede neutrinos activos. Por lo tanto, es razonable suponer que en el esquema de

tres neutrinos la simetra se cumple, y es el neutrino estril el causante de que la

simetra se rompa.

En la base (e, , , s), la matriz de masa puede ser escrita como

M =

mee me me mes

me m m ms

me m m ms

mes ms ms ms

, (4.8)

donde podemos identicar el bloque superior de 3 3 como la matriz M para el casode tres neutrinos activos que ya hemos estudiado. Denimos como

= (e, , )y

ms (mes,ms,ms), donde los parmetros l (l = e, , ) determinan la mezclaentre los neutrinos activos y estriles. Supondremos que l es razonablemente pequeo

y ms es el trmino de masa de Majorana para el neutrino estril.

Con la notacin anterior podemos reescribir la matriz M de la siguiente forma

M =

(M

ms ms ms

). (4.9)

Si suponemos que la rotura de la simetra proviene, principalmente, del neutrino estril,

entonces la matriz anterior se puede escribir como

M =

(M

ms ms ms

). (4.10)

Si consideramosms mucho mayor que el resto de los elementos deM , la diagonalizacin

por bloques de esta matriz da como resultado un bloque superior de la forma

(M ) ' (M ) ms, (4.11)


la cual nos muestra que el bloque superior de 3 3 se corrige por la presencia de lostrminos de mezcla con el neutrino estril. Ya que (4.11) dene un seesaw tipo II de

baja escala M , puede identicarse con M (que tambin provino de un seesaw) para

el caso de tres neutrinos, entonces, de (4.2), podemos notar que

mse( ), ms(2 2 ), (4.12)

donde vemos que, en efecto, los parmetros que proporcionan la fuente de rotura estn

en trminos de la masa del neutrino estril y de los parmetros l.

Otra forma de ver que el trmino no simtrico proviene del neutrino estril es

considerando la lagrangiana (3.9), pero con M reemplazado por M dado en (4.10) y

L reemplazado por

light

e

s

,as, el primer trmino de (3.9) se escribe como

Llight = c (M ) + c ms s + csmss, (4.13)

donde , corren sobre los ndices de sabor e, , . De (4.13) se observa que el primer

trmino corresponde al caso de simetra para los tres neutrinos livianos conoci-dos, mientras el segundo y tercer trmino vienen de la contribucin del neutrino estril

liviano que estamos proponiendo, y no cumplen con la simetra , ya que 6= .

4.2.1. Eigenvectores de M

La expresin (4.11) nos dice que las correcciones a los elementos de M estn da-

das, en buena aproximacin, hasta orden cuadrtico de , por lo que en esta seccin

encontraremos los eigenvectores de la matriz M por teora de perturbaciones hasta

segundo orden, tal que M = M0 + V . Este mtodo de diagonalizacin alternativo a

(4.11) permite determinar las mezclas corregidas a cada orden.


M0 =

(M

0

0 ms

), V =

(0 ms

ms 0

), (4.14)

donde denimos

0 = (0, 0, 0) , y el primer bloque superior de V es una matriz de

ceros 33. Trataremos a V como la perturbacin, ya que, como habiamos dicho antes,las componentes de

son consideradas pequeas.

Hasta segundo orden, los eigenvectores estn dados por [56]

n = n + k 6=n

kVknm0nk

+ 2

(k 6=n

l 6=n

kVklm0nk

Vlnm0nlk 6=n

kVnnVkn(m0nk)

2

), (4.15)

donde hemos usado la notacin: Vnk n|V |k, m0nk = m0n m0k, m0k y k son loseigenvalores y eigenvectores de la matriz M0, respectivamente.

Los eigenvectores normalizados estn dados por

Nn = Z1/2n n, Zn 1 2

k 6=n

|Vkm|2(m0nk)

2, (4.16)

los eigenvectores deM0 son conocidos, pues de (4.14) vemos queM0 contiene al bloque

superior M que se diagonaliza por UBM , dada en (3.13). De este modo la matriz

de eigenvectores es (UBM

0

0 1

), (4.17)

escribiendo explcitamente los eigenvectores de M0 tenemos

1

c12s12

2s12

2

0

, 2

s12c122

c122

0

, 3

01212

0

, 4

0

0

0

1

, (4.18)


As, de la expresin (4.15), con V y M0 dados en (4.14), se tiene que

1 1 +[ec12 s12

2( + )

]{2

m24m12 m14

[es12 +

c122

( + )

]+ 3

m24m13 m14

12

( ) + 4 m4m14

}, (4.19)

2 2 +[es12 +

c122

( + )

]{1

m24m21 m24

[ec12 s12

2( + )

]+ 3

m24m23 m24

12

( ) + 4 m4m24

}, (4.20)

3 3 +[

12

( )]{

1m24

m31 m34

[ec12 s12

2( + )

]+ 2

m24m32 m34

[es12 +

c122

( + )

]+ 4

m4m34

}, (4.21)

4 4 + 1 m4m41

[ec12 s12

2( + )

]+ 2

m4m42

[es12 +

c122

( + )

]+3

m4m43

12

( ). (4.22)

Hemos hecho la aproximacin m01,2,3,4 m1,2,3,4, y m4 = ms. m1,2,3,4 son los eigen-valores de M .

De (4.16), los factores de normalizacin estn dados por

Z1 1 m24

(m14)2

[ec12 s12

2( + )

]2, (4.23)

Z2 1 m24

(m24)2

[es12 +

c122

( + )

]2, (4.24)

Z3 1 m24

(m34)2

[12

( )]2, y (4.25)


Z4 1{

m24(m41)2

[ec12 s12

2( + )

]2+

m24(m42)2

[es12 +

c122

( + )

]2+

m24(m43)2

[12

( )]2}

.

(4.26)

La matriz unitaria de eigenvectores deM la denotaremos como U = (1,2,3,4),con elementos Ui (i = 1, 2, 3, 4 y = e, , , s). Sabiendo esto podemos construir unsistema de ecuaciones que ajuste los parmetros l a las observaciones experimentales

y preguntarnos si dicho sistema tiene solucin.

4.2.2. Ajuste de parmetros

Para ajustar los parmetros a los resultados experimentales de oscilaciones de neu-

trinos discutida en el captulo 2, usaremos la expresin (2.9), que volvemos a escribir

aqu, pero en trminos de los elementos de la matriz U , la cual diagonaliza (4.10), estoes,

P = 4j>i

UiUiUjUj sin2(

m2ijL

4p

). (4.27)

Recordemos que la escala de masa solar est determinada por msol = m22 m21.Fijndonos en esta escala y tomando la probabilidad de supervivencia del electrn en

(4.27), tenemos que el ngulo solar est dado por

sin2 2 = 4|Ue1|2|Ue2|2. (4.28)

Incluyendo (4.15) en (4.19) y (4.20), normalizados por (4.23) y (4.24), respectivamente,

tenemos que

Ue1 c12 + s12 m24

m12 m14

[es12 +

c122

( + )

] [ec12 s12

2( + )

]

c122

m24(m14)2

[ec12 s12

2( + )

]2, (4.29)


Ue2 s12 + c12 m24

m21 m24

[ec12 s12

2( + )

] [es12 +

c122

( + )

]

s122

m24(m24)2

[es12 +

c122

( + )

]2. (4.30)

Ahora, considerando tambin la probabilidad Pee en la ec. (4.27), pero ahora a

la escala atmosfrica, es decir, jndonos nicamente en los trminos que acompaan

a m223 m213 = m2ATM , tenemos que el ngulo 13, est dado por

sin2 213 = 4|Ue3|2(|Ue1|2 + |Ue2|2). (4.31)

Incluyendo (4.18) en (4.21), normalizado por (4.25), tenemos que

Ue3 12

( ){c12

m24m31 m34

[ec12 s12

2( + )

]+ s12

m24m32 m34

[es12 +

c122

( + )

]}. (4.32)

Para el ngulo atmosfrico consideramos la probabilidad de oscilacin de desaparicin

P en la ec. (4.27) a la escala atmosfrica, esto nos da como resultado

sin2 2ATM = 4|U3|2|U3|2. (4.33)

Similarmente a como se obtuvo Ue3, obtenemos las siguientes expresiones para U3 yU3 :

U3 12

+12

( ){ s12

2

m24m31 m34

[ec12 s12

2( + )

]+c12

2

m24m32 m34

[es12 +

c122

( + )

]}+

1

4

2

m24(m34)2

( )2, (4.34)


U3 12

+12

( ){ s12

2

m24m31 m34

[ec12 s12

2( + )

]+c12

2

m24m32 m34

[es12 +

c122

( + )

]} 1

4

2

m24(m34)2

( )2. (4.35)

Una cuarta restriccin viene de las observaciones de los experimentos LSND/MiniBooNE.

Fijndonos en la escala relevante de LSND

3

, es decir, teniendo en cuenta nicamente

los trminos que acompaan a m241 m242 m243 en la oscilacin Pe de laexpresin (4.27) obtenemos que

sin2 2e ' 4|Ue4|2|U4|2. (4.36)

De un ajuste global [57] a partir de la Fig. 2.3 se obtiene que, a 1, sin2 2e y m241

estn dados por

sin2 2e = 0.0023, |m241| = 0.89 eV2. (4.37)

Reemplazando (4.15) en (4.22), normalizado por (4.26) obtenemos Ue4 y U4, yreemplazando estas expresiones en (4.36) se concluye que

sin2 2e ' 4(m4m41

)22

2e, (4.38)

donde se ha hecho la aproximacin m41 m42 m43.Ya que las masas m1 y m2 se pueden escribir en trminos de m3 (que se ja dentro

de un rango permitido), m2ATM , m2sol (ver (4.6,4.7)) y m4 =

m241 +m

21 (donde

|m241| viene dado por (4.36)), las expresiones (4.28), (4.31), (4.33) y (4.38) tienencomo parmetros a determinar e, , y 12.

Debemos imponer otra restriccin ms, pues estos parmetros deben reproducir los

valores de /me y /m encontrados en la seccin 4.1.1 (guras 4.1 y 4.2). De la ec.

3

En el captulo 2 se explic brevemente este experimento en el cual aparece una tercera escala de

diferencias cuadradas de masas.


(4.11) esta restriccin viene dada por

memse

8( )

(m2 m1) sin 212 ;

m 2ms(

2 2 )

m1 sin2 12 +m2 cos2 +m3

. (4.39)

Ahora si jamos 12 a algn valor, adems de la ec. (4.38) escribimos e en trminos

de y las sustitumos en (4.28), (4.31), (4.33) y en (4.39) tendremos cinco expresiones

en trminos de y . Para saber si existe solucin, grcamos las cinco expresiones

que acabamos de mencionar en el plano - y buscamos una regin donde stas se

intersecten.

0.10 0.11 0.12 0.13 0.14

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Figura 4.3: Regiones de las ecuaciones (4.28) (Verde), (4.31)(Amarilla), (4.33)(Cyan)

y (4.39) (Rojo para /m y Gris para /me) bajo el esquema de ordenamientonormal en el plano - . Se usaron los valores experimentales, a 1 de error, de latabla 2.1, ms > 0, e < 0, m3 = 0.2 y 12 = pi/4.5. La regin de interseccin se puedever en color amarillo, delimitada por dos pequeas lneas negras, el punto negro indica

el centro de esta regin.


0.10 0.11 0.12 0.13 0.14

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Figura 4.4: Regiones de las ecuaciones (4.28) (Verde), (4.31)(Amarilla), (4.33)(Cyan)

y (4.39) (Rojo para /m y Gris para /me) bajo el esquema de ordenamientoinvertido en el plano - . Se usaron los valores experimentales, a 1 de error, dela tabla 2.1, ms > 0, e < 0, m3 = 0.2 y 12 = pi/4.5. La regin de interseccin sepuede ver en color amarillo, delimitada por dos pequeas lneas negras, el punto negro

indica el centro de esta regin.

Las grcas obtenidas se muestran en las guras 4.3 y 4.4, en stas podemos apreciar

la regin de interseccin para un valor jo de m3 = 0.2, 12 = pi/4.5, ms > 0 y e > 0.

A pesar de que se puede encontrar solucin para otros valores de 124

, es 12 = pi/4.5 el

que presenta una mayor densidad de lneas en la regin de interseccin, y por lo tanto

una regin ms conable. Tambien debemos tener en cuenta que tenamos libertad de

elegir los signos de 12, ms y e (por la ec. 4.37), encontrando que la combinacin de

signos ms apropiada es de +, + y , respectivamente. A continuacin haremos unanlisis de los resultados obtenidos bajo los dos ordenamientos.

4.2.3. Ordenamiento Normal

La grca 4.3 se hizo tambin para diferentes valores de m3 encontrndose que

los valores centrales de y , para los cuales hay solucin, aumentaban lentamente

cuando se incrementaba el valor de m3, esto se ilustra en la tabla 4.2. En ella podemos

4

Recuerde que 12 no representa un observable, sino que es un parmetro libre proveniente de lamatriz bimxima.


m3 e 13 ATM /me /m0.2 0.1174 0.2097 -0.2948 0.5952 0.1646 0.7034 -0.2487 0.1938

0.3 0.1291 0.2308 -0.3136 0.6012 0.1653 0.6876 -0.2059 0.1529

0.4 0.1422 0.2370 -0.3248 0.6072 0.1295 0.6952 -0.1569 0.1139

Tabla 4.2: Ordenamiento normal; Las primeras dos columnas son los valores de las coordenadas

(, ) centrales para diferentes regiones de solucin obtenidas para diferentes valores de m3. Latercera columna es el valor de e impuesto por la condicin de LSND/MiniBooNE, Eq. (4.38). Lascolumnas 4, 5 y 6 son los valores de los ngulos de mezclas de acuerdo a las ecuaciones (4.28),(4.31)

y (4.28), respectivamente. Las dos columnas nales corresponden a los valores de /me y /me deacuerdo a la ecuacin (4.39).

13 ATMResultados experimentales 0.5942 0.0178 0.1587 0.0109 0.7299 0.0555

Tabla 4.3: Rangos experimentales de los ngulos de mezcla (se pueden inferir de la

tabla 2.1).

ver que los valores de e, , y no varan mucho cuando m3 cambia de 0.2 a 0.4, lo

cual nos permite tener una mayor conabilidad en nuestro resultado. Adems podemos

ver como los parmetros de mezcla l se ajustan muy bien a los valores de los ngulos

de mezcla y a los rangos de /me y /me que provienen del anlisis para el caso de

desacople del neutrino estril hecho en la subseccin 4.1.1. En efecto, podemos ver que

los valores de las columnas 5, 6, y 7 de la tabla 4.2 caen dentro del rango experimental

a 1 (ver tabla4.3) y los valores de las columnas 8 y 9 caen dentro de los rangos

centrales observados en la Fig. 4.2, los cuales son

0.1 . me

. 0.6, 0.4 . m

. 0.1. (4.40)

As, hemos jado en la jerarqua normal, empleando los resultados experimentales

con neutrinos, todos los parmetros de acoplamiento estril de nuestro modelo.

4.2.4. Ordenamiento invertido

Podemos hacer observaciones similares a la que se hicieron en el caso de ordenamien-

to invertido, los resultados se muestran en la tabla 4.2. La Fig. 4.4 muestra una regin

de solucin ms pequea que la obtenida para el esquema de ordenamiento normal (lo


m3 e 13 ATM /me /m0.2 0.1198 0.2425 -0.2945 0.6090 0.1575 0.7048 -0.3640 0.2435

0.3 0.1315 0.2480 -0.3112 0.6108 0.1657 0.6863 -0.2484 0.1698

0.4 0.1394 0.2623 -0.3336 0.6087 0.1596 0.6736 -0.2155 0.15

Tabla 4.4: Ordenamiento invertido; Las primeras dos columnas son los valores de las coordenadas

(, ) centrales para diferentes regin de solucin obtenidas para diferentes valores dem3. La terceracolumna es el valor de e impuesto por la condicin de LSND/MiniBooNE, Eq. (4.38). Las columnas4, 5 y 6 son los valores de los ngulos de mezclas de acuerdo a las ecuaciones (4.28),(4.31) y (4.28),

respectivamente. Las dos columnas nales corresponden a los valores de /me y /me de acuerdo ala ecuacin (4.39).

mismo ocurri para otros valores de m3), sin embargo, los valores de los parmetros de

mezcla en ambos ordenamientos son aproximadamente los mismos. Esto es de esperar,

pues los rangos de /me y /m son mas estrechos, pero similares, que los del caso

de ordenamiento invertido, pues de la Fig. 4.1 podemos ver que

0.15 0 y m3 > 0, en

el rango m3 & 0.1 (en ambos ordenamientos) presenta tal comportamiento (ver guras4.1 y 4.2). De manera que es a este caso al que la teora desarrollada se puede aplicar.

En este punto es importante notar que la combinacin de signos encontradas podra

dar un indicio (en el caso en que la naturaleza se comporte as) de que las fases de

Majorana que acompaan a m1,m2,m3, estn alrededor de pi, 0, 0, respectivamente.

Valdra la pena explorar est posibilidad en trabajos futuros.

El anlisis anterior nos di la pauta para desarrollar la propuesta de que la fuente

del rompimiento de la simetra se originara del acoplamiento del sector activocon un neutrino estril, el cul debe estar en una escala de masas cercana a la de los

neutrinos activos, as que el candidato natural es el neutrino estril ligero sugerido por

las observaciones recientes de LSND/MiniBooNE.

Al producir el desacople, los elementos de la matriz de masas de neutrinos activos

est formada por una contribucin que es invariante ante intercambio de las etiquetas

51

52 CAPTULO 5. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

- mas una pequea correccin dada en trminos del cuadrado de los parmetros de

mezcla. Esto ltimo nos sugiri hacer la diagonalizacin de la martiz de masa, en la

base e, , , hasta segundo orden para imponer restricciones sobre los parmetros de

mezcla en trminos de los ngulos de mezcla observados.

Grcamente se encontraron los valores de los parametros de acoplamiento estril

que cumplan con estas ltimas restricciones, adems de la restriccin de que estos

parmetros deben reproducir la escala de rotura encontrada en el anlisis de tres neu-

trinos, y comprobamos que las aproximaciones tomadas en el modelo son razonables,

pues los valores que se obtuvieron para los ngulos de mezcla sol, ATM y 13 estn

dentro del intervalo experimental a 1 de error.

La solucin se obtuvo en

tesis

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