D O C U M E N T O D E T R A B A J O

Instituto de EconomíaTESIS d

e MA

GÍSTER

I N S T I T U T O D E E C O N O M Í A

w w w . e c o n o m i a . p u c . c l

Elección de Portafolio en Presencia de Mercados Ilíquidos

Luis Felipe Varas Greene.

2005

Elección de Portafolio en Presencia de Mercados

Ilíquidos

Luis Felipe Varas Greene1

1Agradezco los comentarios de Rodrigo Cerda, Ricardo Guzmán, Victor Lima, FelipeZurita y todos lo participantes en el Seminario de Titulo de Economía Financiera delInstituto de Economía de la Pontificia Universidad Católica de Chile

Resumen

El objetivo de esta tesis es estudiar el efecto que tiene la liquidez en las decisiones de

portafolio de los individuos. Para esto analizo un modelo de elección de portafolio en

el cual existe la posibilidad de que el individuo no sea capaz de realizar transacciones

del activo ilíquido en cada período porque el mercado de este puede encontrarse

cerrado en un determinado momento. En este contexto encuentro que la probabilidad

de que el mercado esté abierto y la persistencia con que éste se encuentra abierto o

cerrado son determinantes importantes en la elección de portafolio. Mientras menor

sea la probabilidad de apertura y mayor sea la persistencia de los shocks de liquidez,

menor es la inversión en el activo ilíquido. Por último, calculo el efecto en bienestar

de la iliquidez y encuentro el descuento implícito en el precio del activo producto de

la iliquidez de este.

Índice

1. Introducción 2

2. Importancia de la Liquidez 3

3. Problema de Elección de Portafolio 53.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Liquidez del Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Metodología Numérica 8

5. Valor de los Parámetros 8

6. Resultados 106.1. Shocks de Liquidez Independientes en el Tiempo . . . . . . . . . . . . 10

6.2. Shocks de Liquidez con Autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.3. Descuento en Precio por Liquidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7. Conclusiones 21

Apéndice 23

A. Apróximación del Proceso de Precios delActivo Riesgoso 23

B. Cálculo Distribución Estacionaria 27B.1. Distribución Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

B.2. Coeficiente de Autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Anexo 31

1

1. Introducción

En esta tesis estudio el problema de elección de portafolio de un consumidor que

enfrenta mercados de activos ilíquidos. Para esto analizo el efecto que tiene en la

elección de portafolio el hecho de que en ciertas ocasiones el mercado, por ciertos

activos, enfrente shocks de liquidez que hagan que no sea posible para el consumidor

alterar la composición de su cartera en lo que a dichos activos se refiere. Esto implica

que junto con el riesgo asociado a los pagos del activo, el consumidor también debe

considerar el riesgo de no poder cambiar su posición en el futuro cuando así lo desee.

Uno de los supuestos fundamentales de la teoría tradicional de elección de portafo-

lio (Samuelson (1969); Merton(1969)) es que los individuos pueden transar en cada

momento del tiempo la cantidad de activos que deseen, de esta manera pueden

controlar la proporción de su riqueza que invierten en cada activo. Las estrategias

de inversión óptimas en dichos modelos requieren que los consumidores realicen

una gran cantidad de transacciones en cada período, sin embargo, en presencia de

mercados ilíquidos puede que dichas estrategias ya no sean factibles y que los con-

sumidores no puedan realizar las transacciones requeridas de manera instantánea.

Producto del carácter irreversible de las inversiones en activos poco líquidos, los

individuos consideran no sólo el riesgo asociado al pago de los activos sino también

el riesgo de no poder modificar su posición en dichos activos. En dichos ambientes

puede que la estrategia óptima de inversión difiera de la estrategia no restringida y

que el consumidor invierta menos en dichos activos debido al riesgo asociado a la

incapacidad de modificar su cartera en el futuro.

Para estudiar el efecto de la liquidez en la demanda de activos, analizo un mo-

delo intertemporal de elección de portafolio con un activo libre de riesgo líquido y un

activo riesgoso ilíquido. En cada período existe la probabilidad de que el mercado del

activo ilíquido se encuentre cerrado y el consumidor no pueda realizar transacciones

de dicho activo. Esto hace que la inversión en el activo riesgoso tenga cierto grado

de irreversibilidad ya que el individuo no sabe cuando el mercado volverá a estar

abierto y será posible realizar transacciones nuevamente.

La probabilidad de que el mercado esté cerrado tiene dos posibles interpreta-

ciones: la primera es que el consumidor enfrenta la posibilidad de que exista un

shock de liquidez en el mercado del activo de manera que no sea posible realizar

transacciones en éste (esto es consistente con lo sucedido en varios mercados luego

de crisis financieras); la segunda interpretación es que las transacciones no se pueden

realizar de manera instantánea y que el tiempo que le toma vender un activo es

incierto para el consumidor.

En este contexto encuentro que mientras menor sea la probabilidad de apertura

2

del mercado menor es la demanda por el activo. Además encuentro que la magnitud

del efecto de la ilíquidez en la demanda de activos depende de la persistencia de los

shocks de liquidez que enfrenta el mercado. Mientras mayor sea la autocorrelación

de los shocks de liquidez que enfrenta el mercado mayor será el efecto de ésta en la

demanda de activos. Si dichos shocks presentan suficiente autocorrelación entonces

el efecto de estos puede ser considerable.

2. Importancia de la Liquidez

La liquidez es un tema que ha sido considerado por los economistas desde hace

muchos años. Keynes fue uno de los primeros en referirse a la preferencia por liquidez

como uno de los principales determinantes de la demanda por dinero y define ésta

como la capacidad de vender un activo en un corto tiempo sin incurrir en mayor

pérdida. Como muestra esta definición la liquidez ha estado asociada desde un prin-

cipio con la necesidad de flexibilidad frente a la llegada de nueva información. En

la misma linea Marschak (1949) entiende la liquidez en términos del grado de irre-

versibilidad de la inversión y estudia el efecto que tiene ésta en el nivel de inversión

realizado. Él encuentra que mientras más iliquido sea el activo menor es la inver-

sión en éste, además encuentra que mientras mayor sea la incertidumbre respecto

al futuro mayor será el efecto de la iliquidez. Kreps (1979) señala que una de las

condiciones necesarias para que las personas presenten preferencias por flexibilidad

es que exista incertidumbre respecto al futuro y a las decisiones que tomaremos en

éste. Así observamos que uno de los principales beneficios de la liquidez es aumen-

tar el conjunto de elecciones disponibles en el futuro lo que nos permite reaccionar

de mejor manera a la llegada de nueva información. De esta manera, una de las

principales razones por las cuales demandamos liquidez es porque queremos tener la

flexibilidad necesaria para adaptarnos a lo que nos ocurra en un futuro desconocido.

En relación más directa con la elección de portafolio, y siguiendo la linea anterior,

Hahn (1990) señala que mientras mayor sea la incertidumbre que los agentes esperan

se resuelva en el futuro mayor será la liquidez que demanden y que los principales

efectos de la falta de ésta es la incapacidad de asegurarnos frente a futuros cambios

en nuestro entorno. Baldwin y Meyer (1979) analizan el caso en el cual los agentes

deben tomar decisiones de inversión las cuales son temporalmente irreversibles. De

esta manera, al elegir una inversión hoy renuncio a la posibilidad de realizar otra

mejor mañana. En este contexto encuentran que los inversionistas exigirán un pre-

mio por liquidez el cual será creciente respecto a la duración de la irreversibilidad.

Una línea alternativa de investigación es la desarrollada por Longstaff (2001). Él

3

estudia la elección de portafolio cuando los consumidores están restringidos en el

número de acciones que pueden transar en cada período, de manera que la propor-

ción de cada activo en la cartera ya no es una variable que éste pueda controlar. En

este caso los individuos se comportarán de manera muy distinta a la predicha por

la teoría tradicional de elección de portafolio. Encuentra que generalmente los indi-

viduos invertirán una menor fracción de su riqueza en el activo respecto al caso en

que no enfrentan restricciones en la cantidad que pueden transar. En una dirección

similar Longstaff (2004) analiza un modelo de equilibrio general en el que existen

períodos de iliquidez en los que no es posible realizar transacciones de ningún activo.

La imposibilidad de modificar la composición de la cartera hace que el equilibrio sea

considerablemente distinto al caso en que los mercados son completamente líqui-

dos, los consumidores ya no demandan la cartera de mercado sino que invierten en

carteras muy poco diversificadas.

Un enfoque alternativo para estudiar la liquidez ha sido el estudio de los efectos

de los costos de transacción en las decisiones de portafolio y en el equilibrio del

mercado (Constantinides y Magill (1976); Constantinides (1986)). Estos autores

encuentran que la presencia de costos de transacción implica la existencia de un

rango de precios en el cual el consumidor no participa en el mercado. En este caso

el consumidor solamente realiza transacciones cuando el precio del activo es muy

alto o muy bajo. Esto produce que los agentes solamente realicen transacciones de

manera esporádica y a intervalos irregulares de tiempo.

Un aspecto común en los modelos anteriores es que la iliquidez implica un grado

de irreversibilidad de la inversión en el activo. En este aspecto, mi tesis difiere a los

trabajos anteriores ya que considera el caso en que la duración de dicha irreversi-

bilidad es desconocida por el consumidor y difiere entre activos.

Por otro lado, existe una gran cantidad de evidencia de que la liquidez de un

activo es un importante determinante del valor de éste y que los consumidores e-

xigen un premio considerable por mantener activos ilíquidos. Por ejemplo, Pastor

y Stambaugh (2003) estudian si la liquidez puede explicar el corte transversal del

retorno de los activos. Estos autores encuentran que aquellos activos que son más

sensibles a la liquidez del mercado presentan mayores retornos. Amihud y Mendelson

(1991) encuentran que instrumentos de renta fija con la misma madurez e idénticos

flujos que difieren solamente en el grado de liquidez tienen una diferencia de retornos

promedio de más de 35 puntos base. Esta evidencia implica que la liquidez es un

importante determinante de las decisiones de inversión y debe ser considerado al

analizar el problema de elección de cartera de los individuos.

Por lo anterior el estudio de la elección de portafolio cuando existen merca-

4

dos ilíquidos puede dar alguna luz sobre distintos puzzles asociados a la baja par-

ticipación de las personas en los mercados de activos. Mankiw y Zeldes (1991) y

Bertaut (1998) encuentran que apróximadamente un cuarto de las personas en Es-

tados Unidos posee acciones, y aquellas personas que participan en el mercado fi-

nanciero solamente invierten una pequeña cantidad de su riqueza en éste. Por otro

lado, Guiso, Sapienza y Zingales (2005) muestran evidencia de que el nivel de par-

ticipación sería aún menor en otros países desarrollados como Alemania, Canadá,

Francia e Italia.

Esta baja participación se mantiene incluso cuando se consideran solamente las

personas de altos ingresos y no ha podido ser explicada por la existencia de costos

de transacción. En este aspecto la consideración de la liquidez de los mercados en

las decisiones de inversión puede arrojar un poco de luz sobre las causas de la baja

participación de las personas en estos mercados.

3. Problema de Elección de Portafolio

3.1. Modelo

Supongamos que existen solamente dos activos en la economía, un activo libre

de riesgo y un activo riesgoso. En cada período el activo libre de riesgo entrega un

retorno bruto cierto de (1+ r) y los precios del activo riesgoso siguen una cadena de

markov. En cada período el mercado del activo riesgoso se encuentra en el estado

st ∈ {0, 1}, donde st = 0 indica que el mercado del activo riesgoso se encuentra

cerrado y st = 1 indica que el mercado de éste se encuentra abierto. La evolución

del estado st está dado por las probabilidades de transición

Pr(st+1 = 1 | st = 0) = π0 y Pr(st+1 = 1 | st = 1) = π1 (1)

En cada período el agente tiene un ingreso laboral constante y. Además recibe

ingreso del retorno en las inversiones en bonos y en el activo riesgoso. Para sim-

plificar el análisis supondré que el activo riesgoso no entrega dividendos de manera

que las ganancias por su mantención se deben exclusivamente a las ganancias de

capital asociadas a éste. El agente transa estos dos activos con el objeto de suavizar

su consumo a través del tiempo. Las transacciones de estos dos activos no tienen

ningún costo. Las transacciones que puede realizar el individuo están limitadas por

restricciones a la venta corta y al endeudamiento.

5

En el período t , las preferencias del individuo sobre el consumo están dadas por

Ut ≡ E

( ∞Xt=0

βtc1−γt − 11− γ

| Ft

)(2)

donde Ft es el conjunto de información en el período t generado por las variables de

estado (pt, st).

En cada fecha t el agente elige el nivel de consumo ct, la cantidad demandada

del activo riesgoso at y la cantidad de dinero mantenida en bonos bt de manera de

maximizar (2) sujeto a la siguiente restricción presupuestaria

ct + bt ≤ y + pt(at−1 − at)st + (1 + r)bt−1 (3)

las restricciones a la venta corta y al endeudamiento

at ≥ 0 t = 1, 2, . . . (4)

bt ≥ −φ t = 1, 2, . . . (5)

y la restricción de que en el estado en que el mercado del activo a se encuentra

cerrado se debe cumplir que at−1 = at

El consumidor tiene una riqueza inicial dada por y, a0, b0 y enfrenta un precio

inicial para el activo riesgoso p0.

El término multiplicativo st en la restricción (3) refleja el hecho de que cuando

el mercado del activo a se encuentra cerrado no es posible realizar transacciones de

dicho activo y por lo tanto el individuo no puede modificar su ingreso mediante la

compra o venta de éste.

Sea vs(at−1, bt−1, pt) la función de valor asociada a las estrategias óptimas de

(ct, at, bt) cuando el mercado se encuentra en el estado s. Entonces el problema de

maximización del individuo se puede expresar a través de las siguientes ecuaciones

de Bellman.

v0(at−1, bt−1, pt) = max(ct,at,bt)

c1−γt − 11− γ

+ β

(π0E [v1(at, bt, pt+1) | pt ] +

(1− π0)E [v0(at, bt, pt+1) | pt ]

)

sujeto act + bt+ ≤ y + (1 + r)bt−1

at = at−1bt ≥ −φ

6

y

v1(at−1, bt−1, pt) = max(ct,at,bt)

c1−γt − 11− γ

+ β

(π1E [v1(at, bt, pt+1) | pt ] +

(1− π1)E [v0(at, bt, pt+1) | pt ]

)

sujeto act + bt + ptat ≤ y + ptat−1 + (1 + r)bt−1

at ≥ 0bt ≥ −φ

Del problema anterior se encuentran las estrategias óptimas de consumo e inver-

siónct = c(at−1,bt−1,pt, st)

at = a(at−1,bt−1,pt, st)

bt = b(at−1,bt−1,pt, st)

las cuales nos dan el nivel de consumo y la elección de portafolio óptima a partir de

las variables de estado (at−1,bt−1,pt, st).

A partir de las funciones de política podemos definir el porcentaje de la riqueza

invertido en el activo riesgoso como w = ptatptat−1+(1+r)bt−1+y

. Más adelante analizaré el

efecto que tiene el grado de liquidez del activo en la fracción de la riqueza invertida

en el activo riesgoso.

3.2. Liquidez del Mercado

En este modelo el grado de iliquidez de un activo está definido como la probabi-

lidad de que su mercado se encuentre cerrado y no sea posible realizar transacciones.

Sea T el primer período que abre el mercado luego de t, o sea:

T = mın {τ > t : sτ = 1} (6)

Entonces el tiempo T que pasa antes de que se abra el mercado por primera vez

es un stopping time y la esperanza de T es una función decreciente de la probabilidad

de apertura del mercado. Por lo tanto, ésta definición de liquidez es consistente con

la dada por Lippman y McCall (1986) quienes definen la liquidez de un activo como

el tiempo esperado para que el agente venda el activo dada una política de venta

óptima. En este contexto un activo es más líquido mientras menor es el tiempo

esperado de venta. Esto es consistente con que un activo es más líquido mientras

mayor sea la probabilidad de apertura del mercado.

7

4. Metodología Numérica

Para simular el modelo discretizaré el espacio de estados y luego utilizaré el

método de iteración de la función de valor (Ljungqvist y Sargent (2004)). Uno de

los principales problemas del método de discretización del espacio de estados es la

llamada maldición de la dimensionalidad. Esta señala que al aumentar la dimensión

del problema el número de operaciones requeridas por los métodos de discretización

hace que los tiempos computacionales aumenten de manera exponencial. Dado el

gran número de variables de estados presentes en este modelo el tiempo requerido

para su simulación es considerable. Debido a lo anterior he utilizado una grilla

con un número de puntos más bien reducido que contiene solamente 75 puntos.

El principal problema asociado al tamaño de la grilla es la dificultad para poder

distinguir entre óptimos locales y globales. Existen métodos alternativos a la discre-

tización del espacio de estados que podrían evitar la maldición de la dimensionalidad,

en particular, se podría utilizar una apróximacion de la función de valor mediante

la utilización de un spline que preserve la concavidad de ésta (vease Judd (1998)).

Sin embargo, la utilización de dichos métodos se encuentra fuera del alcance de esta

tesis.

5. Valor de los Parámetros

La selección de parámetros la haré tomando un intervalo de tiempo real entre

dos períodos consecutivos de un trimestre. La elección de dicho intervalo se debe

principalmente a dos motivos. Primero, un trimestre parece un intervalo de tiempo

razonable para estudiar el efecto de la líquidez en la elección de portafolio. La se-

gunda razón para elegir dicho intervalo es por conveniencia númerica. Si tomo una

distancia temporal muy pequeña entre dos períodos consecutivos la convergencia

del operador de Bellman es muy lenta producto del bajo factor de descuento entre

períodos.

Lo primero que necesito hacer es calibrar la cadena de markov de los precios

del activo riesgoso. Para esto aproximaré los precios por un proceso autorregresivo

para luego discretizarlo utilizando el método desarrollado por Tauchen (1986). Un

problema que presenta este método de aproximación es que solamente permite la

aproximación de procesos estacionarios. Por otro lado, es un hecho bien documentado

que los precios de las acciones siguen procesos no estacionarios, sin embargo, si podré

utilizar el estimador puntal del proceso.

El supuesto de estacionaridad de precios no es fundamental ya que los resultados

detrás del modelo no dependen de éste. Para entender esto resulta conveniente revi-

8

sar el efecto que tiene la clausura de los mercados sobre la elección de portafolio

en el modelo estándar. Merton (1969) y Samuelson (1969) encuentran que si los

momentos de la distribución de retornos del activo riesgoso son constantes en el

tiempo y los individuos tienen preferencias con aversión relativa al riesgo constante,

entonces, el porcentaje invertido en cada activo también será constante. El hecho de

que los precios y la riqueza sean aleatorios hacen que sea necesario realizar un gran

número de transacciones en cada período para mantener una proporción constante

invertida en cada activo. Por lo tanto, la restricción impuesta por la clausura de

los mercados es activa debido a que la estrategia de inversión original ya no es

factible. Esto implica que la estrategia de inversión se verá modificada cuando e-

xiste la posibilidad de que el mercado se encuentre cerrado en algunos períodos.

Esto sucede independientemente de si los precios son estacionarios o no (i.e. si los

retornos son independientes en el tiempo o no).

Para estimar los momentos de la cadena de markov estimaré el siguiente proceso

autorregresivo.

log(pt) = µ+ λ log(pt−1) + t , t ∼ N(0, σ2) (7)

Para estimar los parámetros del proceso anterior utilicé datos mensuales entre

diciembre de 1996 y julio del 2005 del índice de precios construido por Morgan Stan-

ley para el mercado accionario chileno. Los valores estimados de (7) y la cadena de

markov finita utilizada en las simulaciones se encuentran en el apéndice. El retorno

anual promedio de dicho índice es de apróximadamente un 7%, cabe señalar que

dicho valor se encuentra influenciado por una gran caída en los retornos durante

el período comprendido entre fines del año 1997 y principios de 1999. Por último,

consideraré un retorno anual de un 5% para el activo libre de riesgo.

El suavizamiento intertemporal del consumo se puede ver afectado por restric-

ciones a la cantidad de activos que un individuo puede transar, estas restricciones

están representadas en (4) y (5). El supuesto de que no se permiten las ventas cor-

tas está motivado por la observación de que los individuos rara vez toman tales

posiciones producto de su alto costo y de los márgenes de mantenimiento exigidos.

Calibrar la cota inferior al endeudamiento es una tarea un poco más difícil ya

que no existe un límite obvio para éste. Siguiendo a Heaton y Lucas (1996) supondré

un límite al endeudamiento igual a un 10 por ciento del ingreso. Cuando el mercado

del activo riesgoso se encuentra abierto esta cota casi no es restrictiva, la restricción

toma un mayor rol cuando el mercado del activo riesgoso se encuentra cerrado, ya

que en este caso el endeudamiento es la única forma de suavizar el shock. También

analicé el caso en el que el consumidor no tiene la posibilidad de endeudarse, sin

9

embargo, esto no tuvo efectos significativos en los resultados.

Para los parámetros que representan las preferencias utilizaré un factor de des-

cuento anual β igual a 0,96 y un coeficiente de aversión al riesgo γ igual a 2. Este

coeficiente de aversión al riesgo está en el rango de valores generalmente utilizados

en la literatura (por ejemplo, Heaton y Lucas (1996), Carrol (1997), Longstaff (2001,

2004)).

Una razón adicional para utilizar un coeficiente de aversión al riesgo relativa-

mente reducido es para poder centrarme exclusivamente en el efecto de la irreversi-

bilidad y poder separar el efecto de ésta del efecto de la aversión al riesgo.

6. Resultados

6.1. Shocks de Liquidez Independientes en el Tiempo

En esta sección presento los resultados de la simulación del modelo presentado

anteriormente para el caso en que los shocks de liquidez no tienen persistencia en el

tiempo, o sea, son independiente (i.e. π0 = π1 = π). A continuación se presentan los

resultados promedios para el estado en que ambos mercados se encuentran abiertos,

donde el promedio se toma respecto a todas las variables de estado del problema.

Para ver el efecto de la iliquidez en la elección de portafolio, analizaré el comporta-

miento del portafolio cuando ambos mercados se encuentran abiertos. Como se ve en

el cuadro 1 mientras menor sea la liquidez del mercado (i.e., menor valor de π) menor

es el porcentaje promedio w invertido en el activo ilíquido. Esto se debe a que una

menor probabilidad de que el mercado se encuentre abierto implica un mayor grado

de irreversibilidad, lo cuál disminuye las posibilidades de cambiar de posición frente

a la llegada de nueva información. Esto le agrega una dimensión intertemporal a la

evaluación del riesgo del activo distinta a la del caso líquido. Cuando los mercados

son completamente líquidos solamente me importa el riesgo asociado a los pagos del

próximo período ya que luego de eso puedo hacer los cambios en mi cartera que yo

estime convenientes dada la nueva información. Por lo tanto, para mi decisión en t

solamente influyen mis expectativas respecto a t+1. En cambio, cuando el mercado

es ilíquido el agente debe considerar sus expectativas respecto a todo el período

esperado de mantención, o sea, debe considerar el riesgo asociado a los pagos entre

t + 1 y T , donde T se define de acuerdo a (6). Una manera alternativa de ver

el problema está asociada con el efecto de la liquidez en el conjunto de elecciones

factibles que dispondrá el consumidor en el futuro si compra el activo. Mientras más

ilíquido sea el activo, menor es el conjunto de alternativas que tendrá en el futuro ya

10

Cuadro 1: Porcentaje promedio invertido en el activo riesgoso

π E(T ) w

1 1 0,42830,9 1,11 0,42500,5 2 0,41130,25 4 0,38800,1 10 0,34010 ∞ 0

Porcentaje promedio invertido en el activo riesgoso para distintos valores de la probabilidad π de

apertura del mercado.

que puede que no sea posible realizar transacciones de éste, por lo tanto, se demanda

una menor cantidad.

Para entender el efecto de unamenor probabilidad de apertura del mercado es útil

analizar la distribución de probabilidad del tiempo T antes que abra el mercado por

primera vez. Dado el supuesto de independencia T sigue una distribución geométrica

con una función de probabilidad P (T ) = (1 − π)T−1π. Por lo tanto, el tiempo

esperado para que el mercado esté abierto está dado por.

E(T ) =∞Xτ=1

τ(1− π)τ−1π =1

π

De manera que el tiempo esperado antes de que abra el mercado es una función

decreciente de la probabilidad de apertura. Esto implica que el riesgo asociado al

período esperado de mantención del activo aumenta a medida que π disminuye. Esto

produce que el agente invierta menos en el activo mientras menor sea el valor de π.

Cuando los shocks son independientes en el tiempo el efecto no es económica-

mente significativo. En el cuadro 1 se aprecia que cuando el tiempo esperado antes

de que abra el mercado es de un semestre, el porcentaje invertido en el activo dismin-

uye solamente un 1%, y cuando este tiempo esperado es igual a un año disminuye

solamente 4% respecto al caso en que los mercados son completamente líquidos.

Otro aspecto que es interesante analizar es la concavidad de w respecto a π. La

figura 1 muestra claramente que el efecto marginal de una mayor probabilidad de

apertura es decreciente. En el cuadro 1 podemos notar que cuando la probabilidad

de apertura disminuye desde 1 hasta 0.5, el porcentaje invertido en el activo ilíquido

disminuye en poco más de un 1% frente a una disminución de un 7% cuando la

probabilidad de apertura disminuye desde 0.5 a 0.1.

11

Esto se debe a que el tiempo esperado de apertura es una función convexa de la

probabilidad de apertura. La figura 2 muestra que el aumento en el tiempo esperado

al pasar desde una probabilidad de apertura de 1 a una probabilidad de apertura

de 0.5 es mucho mayor que el aumento de pasar de una probabilidad de apertura

de 0.5 a una de 0.1. Por ejemplo, al pasar de una probabilidad de 1 a una de 0.5

el tiempo esperado aumenta de 1 período a 2 períodos. En cambio, al pasar de una

probabilidad de apertura de 0.5 a una de 0.1 el tiempo esperado aumenta desde 2 a

10 períodos. Esto hace que el aumento en el riesgo asociado de una disminución en

la probabilidad de apertura de 1 a 0.5 es mucho menor que el aumento en el riesgo

asociado en una disminución de la probabilidad desde 0.5 a 0.1.

En la figura 3 se grafica el porcentaje invertido en el activo ilíquido en función

del tiempo esperado antes de que abra el mercado por primera vez. Como se puede

observar se da una relación casi lineal entre ambas variables. Esto refleja que la

concavidad de w respecto a π se explica por la convexidad del tiempo esperado E[T ]

respecto a π .

12

Figura 1: Efecto de la probabilidada de apertura en el porcentaje promedio invertido en el activoriesgoso.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Probabilidad Apertura

w

13

Figura 2: Tiempo esperado para que el mercado del activo riesgo se encuentre abierto en funciónde la probabilidad de apertura.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

Probabilidad Apertura

E[T

]

14

Figura 3: Portafolio promedio en función del tiempo esperado para que abra el mercado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

E[T]

w

15

6.2. Shocks de Liquidez con Autocorrelación

Como se vió en la sección anterior el efecto de la iliquidez no es muy significa-

tivo cuando los shocks de liquidez son independientes en el tiempo, el paso natural

entonces es considerar el caso en que el proceso de la variable st no es independiente

en el tiempo (i.e. π0 6= π1). En particular, en esta sección analizaré el caso en que los

shocks son persistentes π1 > π0, o sea, la probabilidad de que mañana el mercado

se encuentre abierto es mayor si hoy día el mercado está abierto.

Para realizar el análisis de estática de comparativa modificaré la distribución

estacionaria del proceso st manteniendo constante el coeficiente de autocorrelación

de éste. Dadas la probabilidades de transición π0 y π1 se obtiene que la distribución

estacionaria del proceso está dada por la probabilidad de apertura.

πss =π0

1 + π0 − π1(8)

El siguiente paso consiste en calcular el coeficiente de autocorrelación, para esto

se necesita la distribución conjunta Pr(st+1, st). La distribución conjunta en estado

estacionario la puedo obtener mediante el Teorema de Bayes utilizando la distribu-

ción estacionaria encontrada anteriormente y las probabilidades de transición dadas

por (1). Luego, utilizando dicha distribución conjunta calculo el coeficiente de au-

tocorrelación ρ para la distribución estacionaria. Realizando los pasos señalados

anteriormente encuentro que el coeficiente de autocorrelación está dado por.

ρ = π1 − π0 (9)

(En el apéndice se encuentran los cálculos de la distribución estacionaria y del

coeficiente de autocorrelación).

Claramente si fijo πss y ρ las ecuaciones (8) y (9) determinan π0 y π1 de acuerdo

a las siguientes expresiones.

π0 = (1− ρ)πss

π1 = πss + ρ(1− πss)

A continuación analizo el efecto que tiene en la elección de portafolio una dis-

minución de la probabilidad de apertura en estado estacionario πss manteniendo el

coeficiente de autocorrelación ρ constante. Esto me permite ver el efecto que tiene

una menor probabilidad de apertura del mercado cuando la apertura de éste tiene

16

Cuadro 2: Inversión promedio en activo riesgoso con shocks s autocorrelacionados

πss ρ = 0,9 ρ = 0,5 ρ = 0

1 0,4283 0,4283 0,42830,9 0,4238 0,4229 0,42500,5 0,3767 0,3995 0,41130,25 0,3315 0,3674 0,38800,1 0,3072 0,3126 0,34010 0 0 0

Porcentaje promedio invertido en el activo riesgoso para distintos valores de la probabilidad

estacionaria de apertura πss y distintos coeficientes de autocorrelación ρ del proceso de apertura

del mercado del activo riesgoso st.

distintos grados de persistencia.

El cuadro 2 muestra el porcentaje promedio w invertido en el activo ilíquido para

distintos valores de πss y ρ. Como se puede ver la persistencia del shock afecta la

decisión de elección de portafolio del individuo.

El cuadro 2 muestra que en el caso de shocks independientes la disminución en

el porcentaje invertido cae en apenas un 1% cuando la probabilidad de apertura cae

de 1 a 0.5. En cambio cuando el shock tiene una autocorrelación de 0.9 el individuo

disminuye el porcentaje invertido en el activo ilíquido en un 5% frente a la misma

disminución de la probabilidad de apertura. Más aun, cuando la probabilidad de

apertura es igual a 0.25 el individuo disminuye el porcentaje invertido en un 9%

cuando existe persistencia frente a un 4% cuando no la hay. Así mismo tambien se

puede ver que para una misma probabilidad de apertura el efecto es mayor mientras

mayor sea la persistentencia. Este mayor efecto disminuye en los extremos del rango

de πss, i.e. a medida que πss se acerca a cero o a uno. Esto sucede ya que a medida

que la distribución se degenera, i.e. colapsa en un punto, la varianza del proceso

tiende a cero. Por lo tanto, en estos casos la persistencia del shock pierde sentido.

Esto hace que a medida que πss se aproxima a los extremos el efecto de la persistencia

sea menor.

La figura 4 muestra como la persistencia de los shocks de liquidez afecta la

decisión del inidividuo y como cuando dichos shocks son persistentes la liquidez

puede tener efectos económicamente significativos.

El mayor efecto de los shocks de liquidez cuando estos son persistentes es bastante

intuitivo. Si el shock presenta persistencia entonces la probabilidad de que el mercado

se encuentre cerrado mañana dado que hoy está cerrado es mucho mayor. Esto

17

Figura 4: Efecto de la probabilidada de apertura en el porcentaje promedio invertido en el activoriesgoso para distintos coeficientes de autocorrelación de st. La linea continua representa la inversiónpara ρ = 0,9 mientras que la linea punteada representa los valores para ρ = 0.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Probabilidad Apertura

w

rho = 0rho = 0.9

18

produce que períodos largos en que el mercado del activo ilíquido se encuentra

abierto sean seguidos por períodos largos en que éste se encuentra cerrado. Esto

hace que el efecto en el bienestar una vez que se cierra el mercado sea mayor. Por lo

tanto, el riesgo asociado a la iliquidez también es mayor. El individuo espera tener

aún menos flexibilidad para modificar su cartera en el futuro y por lo tanto el riesgo

asociado a la mantención del activo es mayor. Esto hace que la inversión en el activo

ilíquido sea menor cuando los shocks de liquidez presentan persistencia.

6.3. Descuento en Precio por Liquidez

A continuación analizaré cuál es el efecto que tiene la iliquidez del activo riesgoso

en el bienestar del individuo, para esto calcularé el excedente de éste para distintas

especificaciones del proceso de apertura y clausura del mercado del activo riesgoso.

Denotemos vπ1 (at−1, bt−1, pt, y) como la función de utilidad indirecta asociada al

problema de optimización del individuo cuando el mercado se encuentra abierto,

existe una probabilidad π de apertura y el ingreso laboral es y. Sea ηπ la utilidad

marginal del ingreso en el estado en que el mercado se encuentra abierto y la proba-

bilidad de apertura es π, entonces, por el teorema de la envolvente sabemos que la

utilidad marginal del ingreso está dada por:

∂vπ1 (y)

∂y= ηπ (10)

(Donde por simplicidad de ahora en adelante omitiré (at−1, bt−1, p))

Utilizando la expresión anterior puedo calcular la pérdida de excedente cuando

existe una probabilidad π de que el mercado se encuentre cerrado. La pérdida de

excedente está dada por:

∆ECπ =v11(y)

η1− vπ1 (y)

ηπ(11)

O sea, la diferencia en los niveles de utilidad escalados por la utilidad marginal del

ingreso. Dado que la utilidad marginal del ingreso está expresada en utiles por peso,

entonces, al dividir el nivel de utilidad del individuo por su utilidad marginal del

ingreso dejo expresado todo en una medida monetaria (pesos).

Lo primero que debo hacer para poder calcular numéricamente el excedente es

calcular la utilidad marginal del ingreso aproximando numéricamente la derivada en

(10). Para esto aproximaré la derivada a través de la diferencia ∂vπ1 (y)

∂y$ vπ1 (y+1)−

vπ1 (y).

Tal como se puede ver en el cuadro 3 mientras menor es la probabilidad de

apertura menor es el excedente del consumidor. Esto es natural ya que mientras

19

Cuadro 3: Variacion porcentual excedente del consumidor

πss ρ = 0,9 ρ = 0

0,9 0,06 0,010,5 0,3 5 0,100,1 1,06 1,02

Variacion porcentual excedente del consumidor para distintos valores de la probabilidad

estacionaria de apertura πss y distintos coeficientes de autocorrelación ρ del proceso de apertura

del mercado del activo riesgoso st.

menor sea la probabilidad de apertura menor es el conjunto de asignaciones factibles

para el consumidor. Por lo tanto, menor debe ser el nivel de utilidad que obtenga

el individuo. Además, se observa que el efecto marginal de una mayor probabilidad

de apertura es decreciente. Al igual que antes, esto se debe a que el efecto de una

mayor probabilidad de apertura en el tiempo esperado antes de que abra el mercado

también es decreciente.

También se observa, al igual que en el caso de la demanda por el activo riesgoso,

que el grado de persistencia de los shocks de liquidez influye en el efecto que estos

tienen en el bienestar del individuo.

La restricción impuesta en el agente por la posibilidad de que el mercado del

activo riesgoso no se encuentre abierto en cada período disminuye su bienestar. Esto

implica que el ingreso del agente debe ser aumentado en ∆%ECπ para compensarlo

por la falta de liquidez1. Dado que el agente tiene una aversión relativa al riesgo cons-

tante, la cantidad de acciones demandadas es proporcional al ingreso. Esto implica

que un aumento del ingreso de ∆%ECπ puede entenderse como una disminución del

precio del activo riesgoso por un factor de 11+∆%ECπ , lo cual implica un descuento

porcentual en el precio igual a 1− 11+∆%ECπ .

A continuación en el cuadro 4 se muestran los descuentos por iliquidez asociados

a las variaciones en el excedente del consumidor.

El cuadro 4 muestra que los descuentos por liquidez pueden ser significativos. Por

ejemplo, cuando existe una probabilidad de apertura de 0,5 y la autocorrelación del

proceso de apertura y clausura del mercado tiene un coeficiente de autocorrelación

de 0,9 el descuento por iliquidez es igual a 0,35%. Estos valores se encuentran en

el mismo orden de magnitud que los resultados obtenidos por Longstaff (2001). Por

otro lado, estos resultados se encuentran dentro del rango de valores encontrados

1Debido a la existencia de efecto ingreso la compensación exacta para dejarlo indiferente difieredel excedente del consumidor. Sin embargo, utilizaré ∆%ECπ como una aproximación.

20

Cuadro 4: Descuento porcentual por iliquidez

πss ρ = 0,9 ρ = 0

0,9 0,06 0,010,5 0,3 5 0,10,1 1,05 1,01

Descuento porcentual por iliquidez para distintos valores de la probabilidad estacionaria de

apertura πss y distintos coeficientes de autocorrelación ρ del proceso de apertura del mercado del

activo riesgoso st.

por Amihud y Mendelson (1991) para el caso de los bonos del gobierno de Estados

Unidos. Estos autores encuentran que la diferencia promedio en el retorno de bonos

con la misma madurez pero distintos grados de liquidez es 0,38%. Tal como se señaló

anteriormente el efecto de la iliquidez es mayor mientras mayor sea la persistencia

de ésta. Esto se puede observar en el cuadro 4 donde se ve que mientras mayor sea

la autocorrelación del shock de liquidez mayor es el descuento en el precio.

7. Conclusiones

El objeto de esta tesis ha sido analizar el efecto de la iliquidez en las decisiones

de portafolio de los individuos. Para esto he estudiado un modelo de elección de

portafolio en el cuál los agentes enfrentan la posibilidad de que en algún momento

del tiempo no sea factible realizar transacciones de un determinado activo. Con esto

intento rescatar el grado de irreversibilidad que caracteriza a las inversiones poco

líquidas y el efecto que dicha irreversibilidad tiene en las decisiones de inversión.

En este contexto encuentro que mientras menor sea la liquidez de un activo, o sea,

mientras menor sea la probabilidad de que el mercado del activo se encuentre abierto

menor es la demanda por éste. Esto sucede ya que al disminuir la probabilidad de

apertura del mercado aumenta el tiempo esperado antes de que éste abra nuevamente

lo cual le agrega una nueva dimensión temporal a la evaluación del riesgo por parte

del consumidor. Basicamente se considera el riesgo de no poder rebalancear la cartera

frente a la llegada de nueva información. Esto produce que los individuos tomen

posiciones más conservadoras respecto a la inversión en activos ilíquidos.

Uno de los principales resultados que encuentro es que el efecto que la iliquidez

tenga en la elección de portafolio depende en parte de la persistencia de ésta. Mien-

tras mayor sea la persistencia de los shocks de líquidez mayor será el efecto de ésta

en la elección de portafolio, esto sucede porque al aumentar la persistencia aumenta

21

el riesgo asociado a la imposibilidad de modificar la cartera en el futuro. Encuentro

que cuando los shocks de liquidez son persistentes la liquidez puede tener efectos

significativos en la decisión de cartera.

Por último calculo el premio por líquidez implícito en el problema de elección

del consumidor. Encuentro que mientras menor sea la probabilidad de apertura del

mercado del activo ilíquido mayor es el premio por liquidez. Además encuentro que

el premio por liquidez es una función creciente del nivel de persistencia que muestren

los shocks de liquidez que enfrenta el mercado. Al calcular este premio encuentro

que si los shocks son suficientemente persistentes entonces el modelo desarrollado

puede racionalizar los descuentos por liquidez observados en los precios de ciertos

activos.

Una extensión al modelo anterior que sería interesante de analizar es la inclusión

de riesgo no diversificable en el ingreso laboral. En particular, considerar el caso en

que la probabilidad de que el ingreso laboral sea cero es positiva. Cuando esto suceda

la liquidez de los activos será muy valorada ya que en dicho escenario la venta de estos

es la única forma de que el individuo pueda tener un consumo positivo. En este caso la

liquidez de los activos influirá en la composición que toma la cartera, distinguiéndose

de manera más clara el ahorro por motivos de sustitución intertemporal y el ahorro

por motivos precautorios. Claramente para cumplir su objetivo el ahorro precautorio

debe darse en activos completamente líquidos.

Tal como señala Kreps en su artículo, la flexibilidad es valorada mientras mayor

sea nuestra incertidumbre respecto a las decisiones que vayamos a tomar en el futuro.

Por lo tanto, mientras mayor sea la incertidumbre respecto al escenario en el cuál

nos tocará desenvolvernos en el futuro, mayor será el efecto que la iliquidez tenga

en nuestras decisiones.

22

Apéndice

.

A. Apróximación del Proceso de Precios del

Activo Riesgoso

EL siguiente cuadro muestra los valores de los parámetros utilizados para aprox-

imar la cadena de markov del proceso de precios, para estimar estos parámetros se

utilicé el índice de precios de acciones elaborado por Morgan Stanley para el perío-

do comprendido entre diciembre de 1996 y julio del 2005. Dicho índice presentó una

rentabilidad anual promedio de aproximadamente un 7%, dicho valor se ve influen-

ciado por la caída de los precios entre fines del año 1997 y comienzos de 1999, tal

como se puede ver en la figura 5.

Cuadro 5: Proceso de precios del activo riesgoso

∆ log(pt) = µ+ (λ− 1) log(pt−1) + t , t ∼ N(0, σ2)

µ λ σ0,14 0,97 0,096

Datos: Indice MSCI, Diciembre 1996-Julio 2005.

En la figura 6 se presenta el retorno mensual del IPSA y del índice desarrollado

por M&S. Como se observa ambos índices presentan un comportamiento similar

durante el período en cuestión.

El cuadro 6 presenta la matriz de transición del proceso de precios del activo

riesgoso. La discretización se realizó utilizando el método desarrollado por Tauchen

(1986). Para aproximar el proceso consideré una grilla de precios con 9 puntos y

utilicé un rango de 3 desviaciones estándar para determinar los puntos máximos y

mínimos de la grilla de precios. Estos valores son los recomendados por Tauchen en

su artículo.

23

Figura 5: Retorno mensual del índice elaborado por M&S entre diciembre de 1996 y junio del 2005.

-.4

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

97 98 99 00 01 02 03 04 05

24

Figura 6: Retorno mensual del índice elaborado por M&S y del IPSA entre diciembre de 1996 yjunio del 2005. La linea continua corresponde al retorno del índice elaborado por M&S mientrasque la linea punteada correspande al IPSA.

-.4

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

97 98 99 00 01 02 03 04 05

25

Cuadro 6: Aproximación finita del proceso de precios

Precios 0.2673 0.3851 0.5548 0.7992 1.1513 1.6585 2.3892 3.4418 4.9582

0.2673 0.9433 0.0567 0.0000 0 0 0 0 0 0

0.3851 0.0174 0.9340 0.0486 0.0000 0 0 0 0 0

0.5548 0.0000 0.0209 0.9376 0.0415 0.0000 0 0 0 0

0.7992 0.0000 0.0000 0.0250 0.9398 0.0352 0.0000 0 0 0

1.1513 0.0000 0.0000 0.0000 0.0298 0.9405 0.0298 0.0000 0 0

1.6585 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0352 0.9398 0.0250 0.0000 0

2.3892 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0415 0.9376 0.0209 0.0000

3.4418 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0486 0.9340 0.0174

4.9582 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0567 0.9433

Matriz de transición obtenida con el método de Tauchen utilizando un rango de 3 desviaciones

estándar.

26

B. Cálculo Distribución Estacionaria

B.1. Distribución Estacionaria

Sea P la matriz de transición del shock de liquidez st con probabilidades de

transición dadas por Pr(st+1 = 1 | st = 0) = π0 y Pr(st+1 = 1 | st = 1) = π1 de

manera que

P =

"1− π0 π0

1− π1 π1

#y sea π = (1− πss, πss)

0 la distribución estacionaria del proceso, entonces, sabemos

que π satisface la siguiente ecuación

π0P = π0

de manera que π es la solución del sistema de ecuaciones

(I − P 0)π = 0

donde I es la matriz identidad y 0 es un vector de ceros.

Reemplazando P el sistema anterior es igual al siguiente sistema de ecuaciones."π0 −(1− π1)

−π0 (1− π1)

#"1− πss

πss

#=

"0

0

#

Resolviendo el sistema anterior obtenemos la siguiente expresión para la distribución

estacionaria del proceso de st."1− πss

πss

#=

"1−π1

1+π0−π1π0

1+π0−π1

#

B.2. Coeficiente de Autocorrelación

A continuación obtengo el coeficiente de autocorrelación de st para la distribución

estacionaria. Lo primero que necesito obtener para esto es la distribución conjunta

Pr(st+1, st), para lo cual utilizaré la matriz de transición P y la distribución esta-

cionaria π. Por el teorema de Bayes sabemos que Pr(st+1, st) = Pr(st+1 | st) Pr(st)utilizando esto encontramos la siguiente matriz de probabilidades conjuntas.

Π =1

1 + π0 − π1

"(1− π0)(1− π1) π0(1− π1)

π0(1− π1) π0π1

#

27

además se obtiene que las distribuciones marginales Π0 y Π1 son idénticas a la

distribución estacionaria, o sea, Π0 = Π1 = π.

Usando la definición de la covarianza obtengo la autocovarianza del proceso.

E [st+1st]−E [st+1]E[st] =π0π1

1 + π0 − π1−µ

π01 + π0 − π1

¶2De manera análoga obtengo la varianza.

V [st] = E£s2t¤− E[st]

2 =π0

1 + π0 − π1−µ

π01 + π0 − π1

¶2Dada la simetría de la distribución obtengo que V [st] = V [st+1], por lo tanto,

el coeficiente de autocorrelación está dado por

ρ =

π0π11+π0−π1 −

³π0

1+π0−π1

´2π0

1+π0−π1 −³

π01+π0−π1

´2Simplificando la expresión anterior obtengo que el coeficiente de autocorrelación

está dado por

ρ = π1 − π0

28

Referencias

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30

Anexo

Resultados sin Endeudamiento

A continuación presento el cuadro con los portafolios promedio para el caso

en que el shock de liquidez st distribuye independientemente y está restringido el

endeudamiento. Los resultados presentan los resultados cuanda la restricción bt ≥−φ toma los valores φ = 0 y φ = 0,1y

Cuadro 7: Porcentaje promedio invertido en el activo riesgoso

π E(T ) φ = 0,1y φ = 0

1 1 0,4283 0,42760,9 1,11 0,4250 0,42450,5 2 0,4113 0,41070,25 4 0,3880 0,38760,1 10 0,3401 0,34070 ∞ 0 0

Porcentaje promedio invertido en el activo riesgoso para distintos valores de la probabilidad de

apertura del mercado π para el caso en que los shocks de liquidez st son independientes en el

tiempo. El parámetro φ representa la restricción de endeudamiento bt ≥ −φ .

Programas de Matlab

A continuación presento los códigos de Matlab utilizados en las simulaciones.

Código para Resolver la Ecuación de Bellman

Este es el código para resolver el modelo presentado en la sección 3.1.

%numero de puntos en el grid

N =75;

%preferencias

gamma = input ;

beta= input ;

%dinamica del precio del activo riesgoso

mu= input;

lambda=input;

sigma= input;

31

%retorno activo libre de riesgo

R = input; %R es igual a (1+r)

Y = input; %ingreso

%autocorrelacion y distribucion estacionaria de s

rho = input;

piss = input;

pi0 = (1-rho)*piss;

pi1 = piss + rho*(1-piss);

%discretizar cadena de markov precio activo riesgoso

m=3;

M=9;

[P,s,probst,alambda,asigmay]=markovappr(lambda,sigma,m,M);

q=exp(s+mu);

%determinar cotas

AMAX = Y/min(q);

AMIN = 0;

A = linspace(AMIN,AMAX,N)’;

BMAX = Y;

BMIN = -0.1*Y;

B = linspace(BMIN,BMAX,N)’;

%iteracion de la funcion de valor

v1 = zeros(N,N,M);

v0 = zeros(N,N,M);

Ev1=zeros(N,N,M);

Ev0=zeros(N,N,M);

vn1 = v1;

vn0 = v0;

crit = 1;

while crit > 0.1

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

for k=1:N

for h=1:N

c1 = (A(i)-A(k))*q(t) + R*B(j)-B(h) + Y;

c0 = R*B(j)-B(h)+Y;

if c1 <=0

32

vab1(k,h)=-100000000000000000;

else

vab1(k,h)=(1/(1-gamma))*(max(0.000001,(A(i)-A(k))*q(t)+...

R*B(j)-B(h)+Y)^(1-gamma)-1)+beta*(pi1*Ev1(k,h,t)+(1-pi1)*Ev0(k,h,t));

end

if c2<=0

vab0(k,h)=-10000000000000000;

else

vab0(k,h)=(1/(1-gamma))*(max(0.000001,R*B(j)-B(h)+Y)^...

(1-gamma)-1) +beta*(pi0*Ev1(i,h,t)+(1-pi0)*Ev0(i,h,t));

end

end

end

vn1(i,j,t)=max(max(vab1));

vn0(i,j,t)=max(max(vab0));

end

end

end

crit = max(max(max(max(abs(vn1-v1),[],3),[],2)),...

max(max(max(abs(vn0-v0),[],3),[],2)))

v1=vn1;

v0=vn0;

Ev11=zeros(N,N,M);

for r=1:M

for l=1:M

Ev11(:,:,r)=Ev11(:,:,r)+P(r,l)*v1(:,:,l);

end

end

Ev00=zeros(N,N,M);

for r=1:M

for l=1:M

Ev00(:,:,r)=Ev00(:,:,r)+P(r,l)*v0(:,:,l);

end

end

Ev1=Ev11;

Ev0=Ev00;

end

33

%obtener funciones de politica

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

for k=1:N

for h=1:N

vab1(k,h)=(1/(1-gamma))*(max(0.000001,(A(i)-A(k))*q(t)+...

R*B(j)-B(h)+Y)^(1-gamma)-1)+beta*(pi1*Ev1(k,h,t)+(1-pi1)*Ev0(k,h,t));

end

end

[v1(i,j,t) Indb1(i,j,t)]=max(max(vab1,[],1),[],2);

[v1(i,j,t) Inda1(i,j,t)]=max(max(vab1,[],2),[],1);

end

end

end

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

for k=1:N

for h=1:N

vab0(k,h)=(1/(1-gamma))*(max(0.000001,R*B(j)-B(h)+Y)^...

(1-gamma)-1) +beta*(pi0*Ev1(i,h,t)+(1-pi0)*Ev0(i,h,t));

end

end

[v0(i,j,t) Indb0(i,j,t)]=max(max(vab2,[],1),[],2);

end

end

end

%acciones

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

Ap1(i,j,t)=A(Inda1(i,j,t));

end

end

34

end

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

Ap0(i,j,t)=A(i);

end

end

end

%bonos

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

Bp1(i,j,t)=B(Indb1(i,j,t));

end

end

end

for i=1:N

for j=1:N

for t=1:M

Bp0(i,j,t)=B(Indb0(i,j,t));

end

end

end

Código Discretización Cadena de Markov

El código para discretizar la cadena de Markov usando el método de Tauchen fue

desarrollado por Ljungqvist y Sargent (2004) y se encuentra disponible en el sitio

web de Thomas Sargent (http://homepages.nyu.edu/~ts43/).

function [Tran,s,probst,alambda,asigmay]=markovappr(lambda,sigma,m,N)

% the simple case of approximating first-order

% autoregressive process with Markov chain

% y_t = lambda * y_(t-1) + u_t

% u_t is a Gaussian white noise process with standard deviation sigma.

% m determines the width of discretized state space, Tauchen uses m=3

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% ymax=m*vary,ymin=-m*vary, ymax and ymin are two boundary points

% N is the number of possible states chosen to appróximate

% the y_t process, usually N=9 should be fine

% Tran is the transition matrix of the Markov chain

% s is the discretized state space of y_t

% alambda is the theoretical first order autoregression coefficient

% for Markov chain

% asigma is the theoretical standard deviation for Markov chain Y_t

% discretize the state space

stvy = sqrt(sigma^2/(1-lambda^2)); % standard deviation of y_t

ymax = m*stvy; % upper boundary of state space

%ymin = mu - m*stvy;

ymin = -ymax; % lower boundary of state space

w = (ymax-ymin)/(N-1); % length of interval

s = ymin:w:ymax; % the discretized state space

% calculate the transition matrix

for j=1:N;

for k=2:N-1;

Tran(j,k)= normcdf(s(k)-lambda*s(j)+w/2,0,sigma)...

- normcdf(s(k)-lambda*s(j)-w/2,0,sigma);

end

Tran(j,1) = normcdf(s(1)-lambda*s(j)+w/2,0,sigma);

Tran(j,N) = 1 - normcdf(s(N)-lambda*s(j)-w/2,0,sigma);

end

if sum(Tran’) ~= ones(1,N)

str = find(Tran’-ones(1,N)); % find rows not adding up to one

disp(’error in transition matrix’);

disp([’rows ’,num2str(str),’ does not sum to one’]);

end

% calculate the invariant distribution of Markov chain

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Trans= Tran’;

probst = (1/N)*ones(N,1); % initial distribution of states

test = 1;

while test > 10^(-8);

probst1 = Trans*probst;

test=max(abs(probst1-probst));

probst = probst1;

end

meanm = s*probst; % mean of invariant distribution

varm = ((s-meanm).^2)*probst; % variance of invariant distribution

midaut1 = (s-meanm)’*(s-meanm); % cross product of deviation from the

% mean of y_t and y_t-1

probmat = probst*ones(1,N); % each column is invariant distribution

midaut2 = Tran.*probmat.*midaut1; % product of the first two terms is

% the joint distribution of (Y_t-1,Y_t)

autcov1 = sum(sum(midaut2)); % first-order auto-covariance

% calculate the asymptotic second moments of Markov chain

disp(’lambda of original process v.s that of Markov chain’)

lambda

disp(”)

alambda = autcov1/varm % theoretical lambda

disp(’standard deviation of true process v.s that of Markov chain’)

stvy

disp(”)

asigmay = sqrt(varm)

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