DEPARTAMENTO DE EXPLOTACIÓN Y PROSPECCIÓN DE MINAS

TESIS DOCTORAL

ASPECTOS GRÁFICOSEN LA

PREDICCIÓN DE SUBSIDENCIA

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AUTOR:26���7� �����/)�� �����"����!( "

OVIEDO 1995

8:9<;>=@?@=A;CBEDFBE9G?AH�=@IEn primer lugar, quisiera expresar mi más profunda gratitud a los Doctores:

D. Celestino González Nicieza, D. Joaquín B. Ordieres Meré y D. Agustín Menéndez

Díaz, sin cuya cooperación, apoyo y valiosa ayuda, no habría sido posible la realización

de este trabajo.

A los miembros del Área de Seguridad Minera del Instituto Tecnológico

Geominero de España, especialmente a D. Arturo Ochoa Bretón, por su inestimable

ayuda y colaboración.

Para la realización de este trabajo se ha contado con los medios informáticos del

Servicio Común de Informática Gráfica perteneciente a la Universidad de Oviedo.

B�?AHJ8:=AK@LA;>;>BEM@?N�OQPSRUTWV X�Y-Z

En los últimos tiempos, las necesidades crecientes de mayores perforaciones y

cavidades subterráneas, tanto en el ámbito minero como en el de la obra civil, han

supuesto un agravamiento del problema de los hundimientos de la superficie del

terreno, lo que se traduce en un incremento de los posibles daños y, en general, de los

costes de perforación, si no se toman necesarias medidas de control.

Como es bien sabido, el vacío creado por una gran extracción subterránea de

material motiva el desplazamiento de la masa de roca situada en los alrededores de la

perforación. Esto se traduce, inicialmente, en los problemas de sustentación de la propia

excavación, interfiere luego con el resto de los trabajos de explotación y, por último, se

refleja en la subsidencia de la superficie del terreno, fenómenos generalmente

indeseados. Esta deformación de la superficie puede producir daños en las estructuras

(edificios, obras lineales e instalaciones en general) situadas sobre ella, que no están

pensadas en muchos casos para soportar estos efectos.

Las medidas de control de este fenómeno pueden agruparse en tres etapas:

- Predicción.

- Prevención.

- Protección.

La eficacia de las medidas preventivas y protectoras depende en gran medida de la

exactitud con que se realice la predicción y la determinación de los distintos parámetros

o magnitudes que caracterizan la subsidencia, tales como el hundimiento, pendiente y

curvatura máximos de la cubeta de hundimiento y las tensiones de tracción y

compresión asociadas que permitirán evaluar los posibles daños causados en las

estructuras situadas en la superficie.

En este trabajo se pretende analizar la problemática asociada a cada una de estas

etapas, tanto desde el punto de vista formal como desde el punto de vista aplicado. Así,

para el cálculo de todos los parámetros se ha desarrollado una metodología de trabajo,

que permite realizar la primera etapa de predicción con la mayor fiabilidad posible,

mediante la determinación de la cubeta de hundimiento producida por las labores

subterráneas. Se mejorará así la eficacia de las restantes medidas de control, facilitando

el diseño de las labores subterráneas, desde un punto de vista geométrico, con el fin de

reducir sus efectos perjudiciales en las estructuras existentes en superficie (prevención).

Por otro lado, la cuantificación de estos efectos define las características que han de

3

reunir las nuevas estructuras que se ubiquen en la zona para que no se vean afectadas

por la deformación de la superficie (protección).[ R-TWY-\QY-]^Y-_a`cbA la par que se hace un estudio pormenorizado de las cuestiones relacionadas con

los parámetros que caracterizan el fenómeno de la subsidencia, se propone una solución

informática de carácter general que resuelva estos problemas. Para ello se procederá a:

1. Definir una estructura de datos consistente, basada en un modelo vectorial, para el

almacenamiento de la información geométrica, tanto del terreno como de las

labores subterráneas, así como de las distintas construcciones situadas en la zona a

estudiar. Esta información se obtiene a partir de un proceso de digitalización

basado en los correspondientes planos topográficos y de labores de la explotación.

En esta etapa se incluye también toda la información gráfica que el usuario

considere oportuna con el fin de facilitar la interpretación de los resultados del

proceso.

2. Introducir una serie de generalizaciones en los principios básicos que conducirán

a un modelo más general del fenómeno de la subsidencia

3. Proponer una estrategía automática de correción de parámetros mediante un

proceso de optimización basado en técnicas de inteligencia artificial.

4. Desarrollar el programa informático encargado de la realización de los cálculos a

partir de la información recogida en la primera etapa. Este estará compuesto

básicamente por tres módulos: el primero de ellos encargado de la generación de

los modelos digitales del terreno y de las labores, el segundo dedicado al proceso

de integración discreta sobre los modelos anteriores de las funciones de influencia

propuestas y, el tercero, encargado de la generación de todos los resultados

gráficos necesarios para la correcta interpretación del fenómeno estudiado.

5. Evaluar las posibilidades presentes y futuras de esta tecnología, planteando

mejoras al modelo desarrollado en este trabajo y despejando posibles vías de

investigación. Se determinará el equipo informático con las prestaciones

necesarias para afrontar el análisis de información geométrica y se darán las

claves para valorar el coste de una instalación de estas características.

6. Analizar el fenómeno mediante el uso de un programa comercial, basado en el

método de los elementos finitos, especialmente diseñado para el tratamiento de

problemas geomecánicos con el fin de comprobar la fiabilidad del modelo

propuesto y de los parámetros escogidos para el desarrollo del programa

4

informático. Para ello se empleará una serie de casos sencillos que servirán de

contraste de la estrategia propuesta.d ]ebgf<\QR0hjikbQOQbQPlYEl presente trabajo se ha estructurado en las siguientes etapas:

1. Recopilación bibliográfica (Estado del arte) y seguimiento de las técnicas

relacionadas con la predicción del fenómeno de la subsidencia, escogiendo la más

apropiada para su implementación informática.

2. Análisis de los problemas teóricos subyacentes y estudio de las soluciones

propuestas en los diferentes ámbitos de aplicación, con el fin de establecer un

modelo más general del fenómeno, dando una visión tridimensional del mismo.

3. Investigación sobre las técnicas de Inteligencia Artificial en el área de

modelización de parámetros. El objetivo será proporcionar un sistema automático,

robusto y fiable para aplicar el modelo adoptado.

4. Selección del modelo formal que representa de una forma más coherente el

fenómeno y definición del modelo discreto que contiene toda la información

necesaria para la realización del estudio. Por último, desarrollo de un entorno

informático para la creación, almacenamiento y manipulación de la estructura de

datos elegida.

La implementación informática del algoritmo derivado del modelo discreto

elegido se desarrollará en lenguaje C, tratando de realizar módulos lo más portables

posibles entre diferentes sistemas operativos (DOS, OS/2, UNIX).

5

m ?AK@B�;>9on@9<?@9<8Gprq

s tvu4w�x�yzu4y [>{ h y}|~w {v�CAPÍTULO I: ESTADO DEL ARTE E INTRODUCCIÓN .....................................................14

ESTADO DEL ARTE...................................................................................................................16

PRINCIPIOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES DE INFLUENCIA.............................................36Principio de simetría rotacional................................................................................................36Principio del ángulo límite........................................................................................................37Principio de equivalencia..........................................................................................................39Principio de superposición........................................................................................................40Principio de reciprocidad..........................................................................................................40Principio de la constancia del volumen.....................................................................................41Principio de transitividad..........................................................................................................41Implementación analítica..........................................................................................................43

CAPÍTULO II: PROPUESTA DE MODELIZACIÓN DE LA SUBSIDENCIA .......................47

MODELO PROPUESTO..............................................................................................................48Modificaciones en la estructura de la Función de Influencia propuesta.....................................60

IMPORTANCIA DEL FACTOR TIEMPO...................................................................................63Métodos Propuestos..................................................................................................................65Relaciones Subsidencia-Tiempo...............................................................................................65Fases de la Subsidencia.............................................................................................................69

CAPÍTULO III: ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA

BASADA EN TÉCNICAS DE INTELIGENCIA ARTIFICIAL ......................71

EL PROBLEMA DE LA OPTIMIZACIÓN..................................................................................72

INTRODUCCIÓN A LOS ALGORITMOS EVOLUTIVOS..........................................................77

IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO EVOLUTIVO............................................................79Algoritmo Genético..................................................................................................................79Estrategia Evolutiva..................................................................................................................90

COMPROBACIÓN ANALÍTICA .................................................................................................98

APLICACIÓN PRÁCTICA.........................................................................................................119

OTRAS APLICACIONES...........................................................................................................123

CAPÍTULO IV: IMPLEMENTACIÓN INFORMÁTICA DE LAS HERRAMIENTAS

PARA LA PREDICCIÓN DE LA SUBSIDENCIA .........................................124

Módulo DIGSUB........................................................................................................................129

Módulo PARSUB........................................................................................................................134

Módulo CALSUB.......................................................................................................................137

Módulo GENRES........................................................................................................................139

APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA SUBSID...........................................................153

CAPÍTULO V: CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS DE FUTURO...................................163

CONCLUSIONES.......................................................................................................................164

PERSPECTIVAS DE FUTURO..................................................................................................165

7

ANEXO ..........................................................................................................................................166

ALGORITMOS GENÉTICOS (AG)...........................................................................................167

PROGRAMACIÓN EVOLUTIVA (PE)......................................................................................170

ESTRATEGIA EVOLUTIVA (EE).............................................................................................173

SISTEMAS CLASIFICADORES (SC)........................................................................................177Reglas Internas.......................................................................................................................178

PROGRAMACIÓN GENÉTICA (PG)........................................................................................181

CRITERIOS DE DAÑO..............................................................................................................182Criterios de daño propuestos...................................................................................................184

LISTADOS................................................................................................................................. 187

BIBLIOGRAFÍA ...........................................................................................................................188

8

s tvu4w�x�yzu4yz��w����-| {v�Subsidencia sobre una explotación minera (después de Goldreich).............................................1-17

Área de influencia......................................................................................................................2-18

Zona de influencia.....................................................................................................................3-18

Esquema de una explotación tabular..........................................................................................4-27

Función de influencia con distribución normal (1; después de Whittaker, 1989) ydistribución no normal (2; después de Liao, 1993).....................................................................5-32

Método de los rayos proyectivos................................................................................................6-34

Cubeta elemental creado por la extracción de un elemento dA...................................................7-36

Principio del ángulo límite.........................................................................................................8-37

Influencia del elemento extraído en los horizontes H1 y H2 ........................................................9-38

Principio de equivalencia.........................................................................................................10-39

Principio de reciprocidad.........................................................................................................11-41

Evolución temporal de la presión en los estratos......................................................................12-42

Modelos teóricos empleados para caracterizar los parámetros a, k y n......................................13-49

Cubetas de hundimiento para el modelo 1 en función de a .......................................................14-51

Cubetas de hundimiento para el modelo 1 en función de k .......................................................15-52

Cubetas de hundimiento para el modelo 1 en función de n .......................................................16-53

Cubetas de hundimiento para el modelo 2 en función de a .......................................................17-54

Cubetas de hundimiento para el modelo 2 en función de k .......................................................18-55

Cubetas de hundimiento para el modelo 2 en función de n .......................................................19-56

Cubetas de hundimiento para el modelo 3 en función de a .......................................................20-57

Cubetas de hundimiento para el modelo 3 en función de k .......................................................21-58

Cubetas de hundimiento para el modelo 3 en función de n .......................................................22-59

Valores característicos del parámetro a ....................................................................................23-61

Geometría del área explotada con un único frente....................................................................24-66

Traslación del área de explotación...........................................................................................25-68

Desarrollo temporal de la subsidencia en una explotación hipotética por tajo largo..................26-69

Creación de la población reproductiva en un AG canónico.......................................................27-81

Ejemplo de Cruce Simple.........................................................................................................28-81

Ejemplo de Cruce Doble..........................................................................................................29-82

Cruce Multipunto.....................................................................................................................30-82

Datos que componen las peticiones al programa gserver..........................................................31-87

Diagrama del proceso distribuido de evaluación de cromosomas..............................................32-88

Efectos de mutaciones simples (izquierda) y mutaciones correladas (derecha).........................33-94

Modelo I evaluado con el programa COSMOS/M....................................................................34-99

Modelo II evaluado con el programa COSMOS/M.................................................................35-100

Modelo III evaluado con el programa COSMOS/M................................................................36-100

9

Mallado del Modelo I generado con GEOSTAR.....................................................................37-102

Mallado del Modelo II generado con GEOSTAR...................................................................38-102

Mallado del Modelo III generado con GEOSTAR..................................................................39-103

Hundimiento del terreno en el modelo I.................................................................................40-103

Hundimiento del terreno en el modelo II................................................................................41-104

Hundimiento del terreno en el modelo III...............................................................................42-104

Comparación de resultados para el modelo I con 3 parámetros...............................................43-105

Comparación de resultados para el modelo II con 3 parámetros.............................................44-106

Comparación de resultados para el modelo III con 3 parámetros............................................45-106

Comparación de resultados para el modelo I con 4 parámetros...............................................46-107

Comparación de resultados para el modelo II con 4 parámetros.............................................47-107

Comparación de resultados para el modelo III con 4 parámetros............................................48-108

Comparación de resultados para el modelo II con 5 parámetros.............................................49-109

Comparación de resultados para el modelo III con 5 parámetros............................................50-110

Error Total a lo largo de la variedad unidimensional P-Q.......................................................51-111

Error Total a lo largo de la variedad unidimensional P-R.......................................................52-112

Error Total a lo largo de la variedad unidimensional Q-R.......................................................53-112

Error Total a lo largo de la variedad bidimensional PQR........................................................54-113

Líneas de Isovalores del Error en la variedad bidimensional PQR..........................................55-113

Comparación de desplazamientos horizontales para el modelo I.............................................56-114

Comparación de desplazamientos horizontales para el modelo II...........................................57-114

Comparación de desplazamientos horizontales para el modelo III..........................................58-115

Comparación de pendientes para el modelo I.........................................................................59-115

Comparación de pendientes para el modelo II........................................................................60-116

Comparación de pendientes para el modelo III.......................................................................61-116

Desplazamientos estimados para el modelo I..........................................................................62-117

Desplazamientos estimados para el modelo II........................................................................63-117

Desplazamientos estimados para el modelo III.......................................................................64-118

Puntos de control del problema evaluado...............................................................................65-121

Modelo digital de las zonas explotadas...................................................................................66-121

Módulos que constituyen la implementación informática.......................................................67-125

Información digitalizada en la primera fase............................................................................68-126

Perspectiva de la información................................................................................................69-127

Ángulos límites α y β.............................................................................................................70-128

Menú de selección de parámetros de las zonas explotadas......................................................71-130

Identificación de los puntos de la retícula...............................................................................72-132

Interpolación de cota en puntos de la retícula.........................................................................73-132

Modelo digital (derecha) de una superficie definida por sus líneas de nivel (izquierda)..........74-133

Esquema de las diferentes etapas del módulo PARSUB.........................................................75-134

10

Tira de 32 bits para la representación de un número entero....................................................76-134

Ejemplo de cromosoma compuesto por seis parámetros.........................................................77-135

Proceso de cruce de una pareja de cromosomas......................................................................78-135

Esquema de las diferentes etapas del módulo CALSUB .........................................................79-137

Proceso de obtención de las pendientes, deformaciones horizontales unitarias y curvaturas....80-138

Esquema de las diferentes etapas del módulo GENRES.........................................................81-140

Proceso de obtención de un segmento de isolínea...................................................................82-141

Isolíneas de hundimiento........................................................................................................83-142

Isolíneas de desplazamientos horizontales..............................................................................84-143

Isolíneas de desplazamientos horizontales según el eje OX....................................................85-144

Isolíneas de desplazamientos horizontales según el eje OY....................................................86-145

Isolíneas de Pendientes...........................................................................................................87-146

Isolíneas de Deformaciones Unitarias.....................................................................................88-147

Isolíneas de Curvatura............................................................................................................89-148

Corte A-A' con las curvas de cada uno de los siete parámetros estudiados..............................90-149

Sombreados de los distintos tipos de construcciones...............................................................91-151

Zona con hundimientos inferiores a 150 mm..........................................................................92-151

Zona con desplazamientos horizontales inferiores a 30 mm...................................................93-152

Zona con deformaciones unitarias horizontales de compresión...............................................94-152

Información gráfica de partida...............................................................................................95-153

Isolíneas de Hundimiento con 3 parámetros...........................................................................96-154

Isolíneas de Desplazamiento Horizontal con 3 parámetros.....................................................97-155

Isolíneas de Pendientes con 3 parámetros...............................................................................98-155

Isolíneas de Deformación Unitaria con 3 parámetros..............................................................99-156

Isolíneas de Curvatura con 3 parámetros..............................................................................100-156

Isolíneas de Hundimiento con 5x2 parámetros......................................................................101-157

Isolíneas de Desplazamiento Horizontal con 5x2 parámetros................................................102-158

Isolíneas de Pendientes con 5x2 parámetros.........................................................................103-158

Isolíneas de Deformación Unitaria con 5x2 parámetros........................................................104-159

Isolíneas de Curvatura con 5x2 parámetros..........................................................................105-159

Isolíneas de Hundimiento con 5x2x4 parámetros..................................................................106-160

Isolíneas de Desplazamiento Horizontal con 5x2x4 parámetros............................................107-161

Isolíneas de Pendientes con 5x2x4 parámetros.....................................................................108-161

Isolíneas de Deformación Unitaria con 5x2x4 parámetros....................................................109-162

Isolíneas de Curvatura con 5x2x4 parámetros.......................................................................110-162

11

s tvu4w�x�yzu4y h {v����{��Tiempos comparativos de ejecución del programa SubGa..........................................................1-89

Módulos del programa COSMOS/M..........................................................................................2-98

Errores totales empleando la función de influencia con 3 y 4 parámetros.................................3-108

Errores máximos empleando la función de influencia con 3 y 4 parámetros.............................4-108

Errores totales empleando la función de influencia con 5 parámetros.......................................5-109

Errores máximos empleando la función de influencia con 5 parámetros...................................6-109

Mejoras porcentuales conseguidas según el número de parámetros...........................................7-110

Óptimos obtenidos para el modelo III.......................................................................................8-111

Coeficiente corrector de la pendiente para cada modelo...........................................................9-116

Errores totales obtenidos con los modelos de función de influencia propuestos......................10-122

Nombre y contenido de los Layers empleados por SUBSID...................................................11-131

Categorías de Edificios Propuestas.........................................................................................12-184

Parámetros de la Subsidencia.................................................................................................13-185

Valores Máximos de los Parámetros.......................................................................................14-186

Criterios de Daño en Estructuras: Límites de los parámetros..................................................15-186

12

s tvu4w�x�yzu4y � w � h { u N �Pseudo código genérico de un Algoritmo Evolutivo...................................................................1-77

Fichero de opciones del programa SubGa..................................................................................2-84

Fichero de datos con los mallados de la explotación...................................................................3-84

Fichero de datos con los puntos de control.................................................................................4-85

Rutina principal del programa SubGa........................................................................................5-86

Fichero de identificación del programa gserver..........................................................................6-88

Fichero de preferencias del programa SubEE.............................................................................7-95

Rutina principal del programa SubEE........................................................................................8-96

Fichero de control del programa GEOSTAR............................................................................9-101

Fichero de puntos de control..................................................................................................10-119

Fichero de celdas...................................................................................................................11-120

Hundimiento estimado en cada hito con 5x2x4 parámetros....................................................12-122

Pseudo código de la etapa de integración del módulo CALSUB.............................................13-137

Fichero de opciones del programa SUBCRI...........................................................................14-151

Resultados numéricos con 3 parámetros.................................................................................15-154

Resultados numéricos con 5x2 parámetros.............................................................................16-157

Resultados numéricos con 5x2x4 parámetros.........................................................................17-160

Pseudo código genérico de un Algoritmo Genético................................................................18-169

Pseudo código genérico de una Programación Evolutiva........................................................19-172

Pseudo código genérico de una Estrategia Evolutiva..............................................................20-174

Pseudo código de un Sistema Clasificador Sin Aprendizaje....................................................21-180

Pseudo código de un Sistema Clasificador Con Aprendizaje..................................................22-180

13

;Jp:� m HJL@qJ= Ba�9GI6H6prK@= KA9Gq�p:8rHJ9o9�B�?AHJ8r=@KAL@;>;>BEM@?

En este capítulo se presenta una perspectiva histórica, por orden cronológico, de

las aportaciones realizadas por múltiples investigadores al estudio de la subsidencia. A

la vista de la bibliografía recopilada y de acuerdo con los objetivos establecidos para

este trabajo, las principales líneas de investigación presentadas son tres:

- Métodos Empíricos: Se basan en la experiencia obtenida a partir de un gran

número de medidas sobre el terreno.

- Funciones de Influencia: Estos métodos hacen uso de diferentes tipos de

funciones para reflejar la influencia en superficie de las labores subterráneas.

- Modelos Teóricos: Son de naturaleza analítica y están basados en las

propiedades reológicas de los materiales sometidos a la subsidencia.

Por último, se presenta en detalle la línea de investigación escogida y los

principios básicos que la rigen.

15

y � h { u N u4y ��{ | h yEl fenómeno de subsidencia de la superficie terrestre ha sido reconocido en

Europa desde principios del siglo XV, debido particularmente a los daños producidos en

las estructuras asentadas en las zonas afectadas por explotaciones mineras, y que

motivaron gran número de litigios que exigían la presencia de una opinión experta.

Aparentemente, ya entonces, los procesos judiciales eran una gran motivación para la

realización de estudios.

Los primeros intentos para analizar sistemáticamente los mecanismos asociados

con la subsidencia, fundamentalmente de origen minero, datan del año 1800,

centrándose en la realización de numerosos estudios de campo con el fin de cuantificar

los desplazamientos superficiales causados por la minería.

En la bibliografía, la primera fórmula relacionada con este fenómeno fue

propuesta por Dumont en 1871 y permite obtener el hundimiento w generado sobre el

centro de un panel de carbón explotado:

w m= cosα (1)

donde m es la potencia de la capa y α es el ángulo de inclinación del estrato

(Kratzsch [66]). Según esto, la subsidencia generada por una capa horizontal (α ≈ 0)

sería igual a su potencia.

Por otro lado, la fórmula:

w amz= (2)

utilizada alrededor de 1895 para la determinación del daño proporcional producido por

dos explotaciones vecinas, tenía ya en cuenta, mediante los factores empíricos a y z, el

método de extracción y la edad de las labores. Más tarde, la cantidad de carbón extraído

se relacionó con la magnitud del hundimiento en superficie, y se introdujo la

profundidad de la explotación como parámetro, así como un coeficiente de

esponjamiento que valoraba el aumento de volumen de los estratos afectados por este

fenómeno (Goldreich [1]).

16

� � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � �� � �� � �� � �� � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � �� � �� � �� � �� � �

Terciario

Carbonífero

DesplazamientosCompresión Tracción

M

γ γ

�j� �����e�~��� �j��������� �� �¡�¢£� �~��¤����¥ ~��¡��~ c¦j§�¨ ¤ª©l��¢£� «�¡~¬­� ¡� ��e�~®¥�� ���§���¯��$�� ~°$¤�¨ ���¥ �� ¢�±�²En 1899, la investigación de la subsidencia minera recibió un fuerte impulso con

la creación en la cuenca del Ruhr de la Emschergenossenschaft, una asociación dedicada

al drenaje en el distrito minero situado en los alrededores del río Emscher, un afluente

del Rhin. Para asegurar un encauzamiento seguro de las aguas, se llevaron a cabo

observaciones regulares de la superficie del terreno y se instituyeron los cálculos para

prever la subsidencia. Como resultado de estas observaciones se concluyó que el área de

la zona de extracción estaba relacionada con un valor reducido de la potencia de la capa,

que era tenido en cuenta mediante la relación existente entre el área de extracción y el

área de influencia presentado en la figura 2.

Sin embargo, los desplazamientos horizontales no empiezan a considerarse hasta

1900, después de observar los cambios sufridos por las cimentaciones de los edificios, y

las tensiones de tracción y compresión aparecidas en las vías de tren situadas en la zona

afectada. Desde esa fecha, las teorías han avanzado en un intento de explicar el

mecanismo por el cual los movimientos del terreno se transmiten desde la zona de

excavación hasta la superficie a través de los distintos materiales que componen el

sustrato de la zona afectada (Shadbolt [62]).

La necesidad de controlar tales movimientos ha estimulado un extenso estudio

multidisciplinar de la predicción de los desplazamientos del terreno y de la

correspondiente subsidencia ocasionada en superficie.

La curiosidad por los efectos en profundidad de las perforaciones mineras aparece

más tarde. El principal motivo de esta atención fue, el vertiginoso aumento del estallido

de las rocas (rockburst) en la minería metálica (Cook [35]). Posteriormente, el rápido

crecimiento del interés por la minería de tajo largo consolidó y diversificó el estudio de

otros efectos en profundidad de las labores subterráneas.

La investigación de los fenómenos superficiales y profundos se llevó a cabo

virtualmente por separado, aunque es difícil entender hoy cuál fue la razón de esta falta

17

de coordinación. Mientras los investigadores persistieron en su empeño de trabajar

aisladamente sus progresos fueron, necesariamente, reducidos.

Los ingenieros relacionados con la minería de carbón consiguieron, sin embargo,

avances interesantes. A principios de la década de los 1950 el concepto de área de

influencia era ampliamente aceptado. Para precisar esta idea, examínese un caso muy

sencillo, suponiendo que, en la zona de interés, tanto la capa de carbón como la

superficie son horizontales. Según este concepto un punto P de la superficie se ve

influido únicamente por la zona minada en el interior de un cono circular recto, cuyo

eje es vertical y su vértice es el punto P. El ángulo en el vértice γ se denomina ángulo

de derrumbe, ángulo límite o ángulo de influencia.

�³� �����¥�~´�� �£µ$�¥ ��~�¶ ~� ¡ª·l¨ �� �¡�¢�� �Una generalización obvia del concepto de área de influencia consiste en construir

la envolvente de todos los conos de derrumbe, es decir, una superficie apoyada en el

límite de la explotación y que forme un ángulo con la vertical igual al ángulo de

derrumbe. La curva que resulta de la intersección de esta superficie con el terreno

delimita la llamada zona de influencia de las labores subterráneas. Sólo los puntos del

terreno situados en el interior de esa región se verán afectados por las labores.

�³� �����¥�~¸�� �j¹³¤�¡��~�� �� ¡ª·l¨ �� �¡�¢�� �Aunque este concepto es teóricamente cuestionable, el concepto de área de

influencia se ha mostrado como un método muy útil a la hora de calcular los

desplazamientos de los puntos de la superficie. La sugerencia comúnmente hecha de

que la envolvente descrita anteriormente contiene todos los desplazamientos inducidos

en cualquier horizonte por las labores subterráneas es claramente irreal. Sólo en el caso

de minas poco profundas, donde las roturas del techo de las labores se transmiten

18

directamente a la superficie, se pueden despreciar los desplazamientos originados en el

exterior de dicha región por ser mucho más pequeños que los ocasionados en su

interior.

El objetivo de los primeros investigadores era determinar y luego predecir los

perfiles de las distribuciones de los desplazamientos horizontales u y verticales w sobre

labores de forma rectangular. Las observaciones realizadas han permitido establecer

también la forma general de las curvas que definen las cubetas de pendiente T y de

deformación horizontal plana ε.

Los procedimientos empleados en la búsqueda de métodos para la predicción de la

subsidencia incluyen el modelado físico a escala de laboratorio (King [6]), el ajuste

empírico de curvas (Marr [16]), la representación adimensional de las observaciones de

campo (NCB [38]) y el desarrollo del método de la zona de cálculo, que luego daría

lugar al método de la función de influencia.

En 1925, Keinhorst (Keinhorst [2]) propuso que los desplazamientos verticales en

un punto P de la superficie podían ser estimados a partir de la siguiente expresión:

( )( )( )( )

w m t e e

s t e e

i o

m i o

= − ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ + ⋅

κ τ

τ

0 66 0 34

0 66 0 34

. .

. .(3)

donde, m es la potencia de la capa, s mm = κ es la máxima subsidencia que puede darse

en el punto P una vez extraída toda el área de influencia y el tiempo transcurrido desde

la finalización de la explotación, t, ha sido el suficiente para permitir el completo

desarrollo de los desplazamientos. Además, ( )τ t es el factor de tiempo, cuya forma más

genérica es: ( ) ( ) ( )τ τ τt e tct= − < ≤ ∞ =−1 0 1; , siendo c un coeficiente temporal

determinado empíricamente. Por otro lado, ei y eo son los ratios que denotan la

proporción de área extraída frente a la total en la zona interior (inside) y exterior

(outside) de influencia, respectivamente. Con este método, denominado de integración

por recintos, se tenía en cuenta por primera vez, que la subsidencia no sólo depende del

tamaño del área extraída sino también de la posición relativa de los puntos de la

superficie respecto a las labores.

Esta aproximación fue bastante popular e hizo que durante las siguientes décadas

fueran propuestas nuevas aproximaciones, en la misma dirección, por Bals (Bals [3]) y

otros (Schleier [7]). Este proceso de mejora del planteamiento inicial de Keinhorst ha

conducido, según la terminología moderna, al denominado método de la función de

influencia. Así, en 1931 Kolmogoroff (Jarosz [107]) propone una nueva relación entre

el tiempo y la subsidencia :

( ) ( )ºw t V w x= ⋅ ′ (4)

19

donde

( ) ( )»w t

w t

t= ∂

∂ es la velocidad de subsidencia

( ) ( )′ =w tw x

x

∂∂

V = Cambio en el origen

Por otro lado, Bals introdujo en 1932 varias zonas de explotación con sus propios

ratios individuales y puede ser considerado como el primer investigador que empleó el

método de la función de influencia.

En 1940, Aviershin (Jarosz [107]) introduce una nueva expresión para la

velocidad de subsidencia:

( ) ( )¼expw t a btc= (5)

donde a, b y c son parámetros empíricos.

En 1942, Adamek y Jeran en su método de precálculo (Adamek [77]) también

comprobaron la necesidad de introducir el concepto de coeficiente de subsidencia

variable. En virtud de la variabilidad de las características de los materiales situados por

encima del panel explotado, ellos opinaban que no se podía suponer constante el

coeficiente de subsidencia a lo largo de todo el panel. Desafortunadamente, los autores

definieron el coeficiente de subsidencia variable, κ i , en un punto Pi , debido a un área

minada A, de forma que no puede ser justificado desde un punto de vista físico. Ellos

propusieron, en términos de la convención de signos y notaciones empleadas aquí, que

κ ii

i

w

me= −

(6)

donde wi es la subsidencia medida en Pi , m es la potencia de la capa y ei , que no debe

confundirse con el anterior, es ahora el coeficiente de eficiencia. En términos de lo visto

previamente para el método de la función de influencia, ei es la subsidencia en Pi

inducida por la extracción de un panel de potencia unitaria sobre el área A. En otras

palabras, el coeficiente de subsidencia variable no es más que la relación entre la

subsidencia normalizada en Pi y la subsidencia predicha por el método de la función de

influencia en el mismo punto para un valor unitario del hundimiento máximo, sm =1.

Después de la Segunda Guerra Mundial los métodos estocásticos

(Litwiniszyn [11]), el uso de computadoras para la obtención de curvas de perfil

20

(Niederhofer [25]) y la aplicación del método de los elementos finitos dieron un nuevo

impulso al estudio del fenómeno de la subsidencia.

En 1947, se produjo una importante aportación para la obtención de la ley de

tracciones por Aviershin (Love [5]), que relacionaba la distribución de desplazamientos

verticales y horizontales. Esta aproximación llegó a ser muy popular entre otros

investigadores (Salamon [26], King [6], Wardell [17]):

u x y Kw

x′ ′ =

′, *

½ ¾ ∂∂

(7)

donde u es el desplazamiento horizontal del punto estudiado

El factor de proporcionalidad, K * , es una constante que tiene unidades de

longitud. El razonamiento físico empleado para proponer la relación recogida en la

ecuación 7 no está claro. Quizás se basó simplemente en las observaciones de campo

que indicaban que la forma de las curvas de desplazamientos horizontales y tensiones se

asemejaba bastante a la de las curvas de pendientes y curvaturas respectivamente. Un

razonamiento alternativo es que el investigador supuso que el recubrimiento de la zona

explotada estaba sometido a un plegamiento. En una memoria publicada en 1705, James

Bernoulli ya sugería que la resistencia de una varilla doblada era debida a la extensión y

contracción de sus fibras longitudinales y que dicha resistencia era proporcional a la

curvatura de la varilla (Love [5]). Como la curvatura causada por la subsidencia es

pequeña, puede ser aproximada en un plano vertical paralelo al eje x por la segunda

derivada de w respecto a x. Por tanto, la hipótesis de Bernoulli conduce a la siguiente

relación entre la deformación horizontal, ε x , y la curvatura:

ε ∂∂

∂∂x

u

xK

w

x= = *

2

2(8)

que es matemáticamente idéntica a la dada en la ecuación 7.

En 1948, Perz (Jarosz [107]) define el valor de la subsidencia en función del

tiempo como:

( ) ( ) ( )w t z t w x xx vtt= ′

=

∫ d0 (9)

donde ( )z t es una función de tiempo. Poco después, en 1951 Salustowicz propone una

nueva expresión de la velocidad de subsidencia, suponiendo constante la subsidencia

final w f :

( ) ( )[ ]¿w t c w w tf= −

(10)

donde c es un coeficiente de tiempo.

21

Por su parte, Knothe (Jarosz [107]) retoma esta expresión en 1953 y supone que

el valor de la subsidencia final varía con el tiempo, expresando la ecuación anterior de

la forma:

( ) ( ) ( )[ ]Àw t c w t w tf= −

(11)

Otra relación entre la distribución de desplazamientos verticales y horizontales,

quizás menos conocida que la sugerida por Aviershin, parece haber sido propuesta por

Martos (Martos [13]) que, basándose en unas detalladas observaciones realizadas en

1955 en las cuencas mineras húngaras, observó que el vector desplazamiento de un

punto situado en la superficie tendía a apuntar hacia el centro de gravedad o centroide

de la zona minada. Cuando el área explotada es pequeña esta observación conduce a una

útil relación:

u

w

r

H= (12)

donde H es la profundidad constante de la capa explotada y r es la distancia del punto

de la superficie al elemento extraído.

Por lo que se refiere al estudio de las acciones de las explotaciones mineras sobre

las construcciones situadas en superficie, Luetkens fue el primero en iniciar estos

trabajos en 1957 para, poco más tarde, publicar directrices a seguir en el caso de que se

deseasen proteger edificios situados en zonas mineras (Luetkens [12]).

Hasta aquí, los ratios de extracción se habían obtenido de forma experimental o

mediante el uso de algún método gráfico de integración. En 1961, Maassen se plantea

por primera vez el cálculo analítico de los distintos parámetros incluidos en la función

de influencia (Kratzsch [66]). Para ello se apoyó en la siguiente función de influencia:

d d dw ce x yx y

k=− +2 2

22 (13)

donde dw es el desplazamiento vertical diferencial generado en un punto P(0,0) por un

elemento extraído dxdy, siendo c y k los parámetros que se tratan de determinar. Para

ellos obtuvo los siguientes valores:

cam

kk

H= =2

0 32952π γ; ,

tan(14)

donde am es la subsidencia crítica1 y γ es el ángulo límite.

1 En la bibliografía estudiada, cuando se realiza un estudio bidimensional de la subsidencia, sedemonima área crítica de extracción a la anchura del taller que produce el hundimiento máximo en unsolo punto de la superficie, que sufre el mayor desplazamiento vertical posible, denominadosubsidencia crítica o total. Cuando la longitud del taller es menor o mayor que la crítica, el área deextracción de denomina subcrítica o supercrítica, respectivamente.

22

Quizás, el mejor resumen del método de la función de influencia fue realizado en

1963 por Daunesse y Rambaud (Daunesse [27]). Ellos definieron dos funciones, que

correspondían a los desplazamientos verticales, ( )F x′ , y horizontales ( )G x′ que se

presentan en un problema bidimensional. De nuevo, se suponía que la estratificación era

horizontal y asumían que se había explotado una capa de potencia m para todos los

puntos con x<0, no existiendo ningún tipo de explotación para x>0. Ellos proponían que

la subsidencia vertical, w, y los desplazamientos horizontales, u, estaban dados por:

u x u G x

w x s F x

m

m

′ = ′

′ = − ′

ÁàÁ�ÂÁàÁà(15)

donde s mm = κ , um es el máximo desplazamiento horizontal y ′ =x x H . Aquí las

funciones ( )F x′ y ( )G x′ son consideradas como las funciones de perfil. Los autores

establecieron también que, en general para el caso tridimensional, los desplazamientos

podían ser expresados en términos de las siguientes integrales:

u x y u g A

w x y s f A

mA

mA

′ ′ =

′ ′ = −

ÄÄ, d *

, d *

*

*

Å Æ ÅÇÆÅ Æ ÅÇÆρ

ρ(16)

donde ρ = r H . Obviamente, aquí la función ( )f ρ y la empleada en la ecuación 19 son

idénticas, suponiendo que A A H* = 2 y τ =1.

Las funciones ( )f ρ y g ρÈ<É

son denominadas funciones de influencia, y están

estrechamente relacionadas con la funciones ( )F ρ y ( )G ρ de la ecuación 15:

G x xg

F x f

′ = ′ − ′ ′

′ = ′ ′

−∞

∞

−∞

−∞

∞

−∞

ÊÊÊÊ

ËÍÌ Î Ï ËÐÌËÍÌ ËÑÌ

ξψ

ψη ξ

ψ η ξ

d d

d d

0

0

(17)

donde ( )[ ]ψ ξ η= ′ − ′ + ′x2 2

1

2 .

En cuanto a la evolución temporal del fenómeno de la subsidencia, Martos en

1967 propone una nueva función de tiempo:

( ) ( )z t bt= − −1 2exp(18)

donde b es un factor temporal empírico.

En 1968, Hiramatsu y Oka (Hiramatsu [42]) realizan otra buena exposición de la

formulación del problema planteada por el método de la función de influencia. Ellos

23

propusieron que el desplazamiento vertical en un punto P, con una estratificación

horizontal, podía ser expresado como sigue:

( ) ( ) ( )w x ym t

Hf r H

A, d d= − ∫

κ τ ξ η2 (19)

donde ( ) ( )r x y2 2 2= − + −ξ η , H es la profundidad de la explotación, ( )f r H es la

función de influencia y A es el área extraída. Además x, y son las coordenadas de P,

mientras que ξ, η son variables auxiliares. Es fácil establecer una relación directa entre

el estimador de la ecuación 19 y el correspondiente al método de la zona de cálculo de

la ecuación 3.

Póngase el origen de ambos sistemas de coordenadas en el punto P (es decir, x=0

e y=0), siendo Rn y Rn−1 el radio interior y exterior respectivamente de la n-sima zona

y denotando por kn el peso de la misma. Tomando derivadas y haciendo uso de

coordenadas polares:

( ) ( )k f fn R

R

R

R

n

n

n

n= =′

′

′

′

− −∫∫ ∫ρ ρ ρ θ π ρ ρ ρ

πd d d

1 10

22 (20)

Aquí, se han introducido la notación ′ =R R Hn n . Usando los pesos kn y los ratios

de extracción e n Nn, ,2,=1 Ò , la subsidencia en el punto P viene dada por:

( ) ( )w P m t k en nn

N

= −=

∑κ τ1

(21)

donde, N es el número de zonas empleadas. Se postula que cuando τ =1, la subsidencia

es w P m sm

ÓÕÔ= =κ si todos los en =1. Entonces,

knn

N

=∑ =

1

1 (22)

Por lo tanto, la función de influencia debe verificar el siguiente criterio:

2 10

π ρ ρ ρα

f ÖÇ× dtan

∑ = (23)

Por lo que se refiere a los métodos basados en modelos teóricos, estos pretenden

predecir el comportamiento del macizo rocoso situado sobre las labores a partir de leyes

mecánicas o estadísticas, con el fin de determinar el desplazamiento producido en la

superficie. A lo largo de esta década, se proponen diferentes tipos de comportamientos

del macizo rocoso: elástico, plástico, sin cohesión o incluso estocástico, que componen

de forma homogénea los estratos afectados por la subsidencia. Así, Gil propone en 1966

un modelo compuesto por dos zonas, la primera constituida por un medio estocástico

24

situado inmediatamente encima de la explotación y una zona superior elástica

(Kratzsch [66]). También, en 1966 Cernyi propone un modelo plástico, donde sólo es

justificable calcular los desplazamientos finales de la superficie de un semiplano

vertical (Cernyi [34])

Por otro lado, se plantea en 1967 la posibilidad de analizar el fenómeno de

subsidencia global del macizo rocoso a partir del comportamiento de elementos

individuales del mismo (Zienkiewicz y Cheung [41]) o elementos finitos.

De los estudios de la subsidencia alrededor de los años 60 puede concluirse con

un par de observaciones. En primer lugar, el avance en el entendimiento del fenómeno

fue suficiente para formular e implementar con considerable éxito un buen número de

medidas para combatir el daño producido por la subsidencia. Estas medidas incluyen

(1) el uso del relleno para reducir la magnitud de los efectos en superficie, (2) el empleo

de métodos de explotación armónicos, donde la geometría de la explotación se

distribuía para superponer deformaciones o pendientes de sentidos opuestos, en un

intento de contrarrestar unas con otras y conseguir unas deformaciones y pendientes

resultantes nulas o lo más pequeñas posibles y (3) la práctica de la explotación parcial

por tajo largo para reducir los efectos en superficie consiguiendo, a pesar de ello, unos

porcentajes de explotación razonablemente altos (NCB [21]).

En segundo lugar, los principios subyacentes detrás de estos métodos de control

han permanecido intactos frente al paso del tiempo. Todos ellos, especialmente los

basados en las explotaciones parciales por tajo largo, se siguen empleando en la

actualidad.

Existe, sin embargo, una falta de discusión en la vasta bibliografía relacionada

con el fenómeno de subsidencia sobre los supuestos básicos que constituyen el método

de la función de influencia. Estos no son triviales e incluyen (1) la aceptación de los

modelos lineales que describen la deformación de las masas rocosas, (2) el supuesto de

que el comportamiento de las masas rocosas es invariante respecto a la rotación

alrededor de un eje vertical (las capas, superficies y estratificación se suponen

horizontales), y (3) el reconocimiento de dos únicos estados para cualquier porción de

la capa, explotada o no explotada.

La primera suposición no fue nunca propuesta explícitamente, sino que surgió del

uso del principio de superposición. La consecuencia del último supuesto es que tan

pronto como una porción de la capa es extraída, se espera de ella que aporte la totalidad

de su influencia a la subsidencia de la superficie. Como se verá más tarde, esta premisa

cae rápidamente en desuso con la introducción del factor tiempo en los distintos

métodos predictivos. De estos, el método de la función de influencia es el que mejor

acepta esta modificación

25

Se sugiere, aparentemente por vez primera en 1961 (Salamon [22]), que el

desplazamiento y las tensiones inducidas por la explotación de un cuerpo mineralizado

tabular o una capa pueden ser predichas a partir de la distribución de la convergencia o

desplazamiento relativo entre las partes superior e inferior de la explotación,

independientemente de la complejidad de las labores. Esta generalización representa

una relación crítica entre el pasado y los nuevos métodos de predicción del

comportamiento del terreno.

Es una relación con el pasado porque representa una lógica generalización del

método de la función de influencia. Introduce la noción de que la contribución de una

pequeña parte de la capa al desplazamiento de un punto cualquiera de la masa rocosa no

es del tipo todo/nada, sino que es proporcional a la magnitud de la convergencia

reinante en cualquier momento. Esta formulación elimina inmediatamente un número

de incongruencias aparecidas cuando se empleaba el método de la función de influencia

en la predicción de la subsidencia del terreno. Así, este planteamiento conduce a un

valor de la subsidencia sobre el borde de un panel ancho que es menor de la mitad del

máximo desplazamiento posible. El método de la función de influencia siempre da en

este punto un valor del 50% de la subsidencia máxima (Salamon [22]).

El método que hace uso de la distribución de la convergencia está relacionado

también con los nuevos desarrollos, porque es una extensión lógica del trabajo de

Hackett (Hackett [15]), Berry (Berry [18]) y Sales (Sales [19]). Estos investigadores

iniciaron la aplicación de modelos elásticos en la predicción de los movimientos del

terreno. Una faceta importante de esta iniciativa fue la idea, aparentemente propuesta

por Hill, de representar las explotaciones tabulares como discontinuidades de los

desplazamientos en la capa (Hackett [15]).

En la mitad de la década de los años 70, (Salamon [54]) realizó un estudio

bastante general del problema planteado por las explotaciones de forma tabular, donde

la altura de la explotación es pequeña en comparación con su largo y ancho. Supóngase

que el techo y el muro de una pequeña región de la capa de área ∆A han sido

desplazados uno respecto al otro. Si el origen del sistema de coordenadas se sitúa en la

capa y el eje positivo x3 apunta hacia el techo, las componentes del vector

desplazamiento relativo están definidas por:

s u u ii i i= − =+ − 1 2 3, , (24)

donde ui+ y ui

− representan el desplazamiento del techo y del muro respectivamente.

26

�j� �����¥�~Ø�� �jÙÚ��Û��� �¬~�~�� ~��¡��~ ª¦Ü§�¨ ¤ª©l��¢£� «�¡E©l������¨ ���Las componentes del vector s paralelas a la capa son las componentes de

cabalgamiento y la componente perpendicular a la capa es la convergencia propiamente

dicha. Si la situación de ∆A en la capa está definida por ( )ξ ξ1 2, , el desplazamiento del

punto P situado en ( )x x x1 2 3, , es:

∆ ∆u P s U x x x Ai k ik

ÝßÞ à á à ágà áâ ã= − −ξ ξ ξ ξ1 2 1 1 2 2 3, , , (25)

donde, Uik representa los desplazamientos inducidos por volúmenes unitarios de

desplazamientos puntuales.

En lo que sigue los argumentos de si , Ui y aquellos de cualquier otra función se

omitirán, si no es necesaria su presencia, para evitar ambigüedades. También se hará

uso de la notación tensorial para mayor brevedad2.

El desplazamiento total en el punto P puede ahora expresarse como:

u P s Ui k ik

A

äæå= ç d dξ ξ1 2 (26)

donde A es el área explotada.

Teniendo en cuenta la ecuación 25 y las relaciones usuales entre las componentes

de desplazamiento y deformación, las deformaciones infinitesimales en P debidas a un

área elemental son:

∆ ∆ ∆ ∆ε ij i j j i k i jk

j iku u s U U A= + = +1

2

1

2, , , ,

è é è é(27)

Si la conocida ley de Hooke se expresa:

τ εij ijlm

lmc= (28)

2 Por tanto, los subíndices y superíndices repetidos hacen referencia a un sumatorio y las comasseguidas de un subíndice, por ejemplo, j, hacen referencia a la diferenciación respecto a xj. Esto supone

que la ecuacion 19 define nueve ecuaciones Uik .

27

las tensiones en P debidas al área elemental extraída pueden ser expresadas de la

siguiente forma:

( )∆ ∆ Γ ∆τ ij k ijlm

l mk

m lk

k ijks c U U A s A= + =

12 , ,

(29)

donde las funciones Γijk son las funciones de influencia para la tensión. Las tensiones en

P pueden ser obtenidas ahora mediante la integración:

τ ξ ξik k ijk

AP s

êÕë= ì Γ d d1 2 (30)

Es necesario destacar en este punto que en las ecuaciones 18 a 24 los

desplazamientos, deformaciones y tensiones son las componentes inducidas por la

extracción del área A.

La aplicación práctica de estos resultados formales exige la solución de dos

problemas básicos. Primero, es necesario obtener las funciones Uik , que se determinan

usualmente de forma analítica. Las condiciones de contorno escogidas son si = 0 fuera

de las áreas elementales, desplazamientos nulos en el infinito y esfuerzos nulos en la

superficie del terreno. La ventaja de este conjunto de condiciones de contorno es su

inherente adaptabilidad para la superposición. Las funciones de desplazamientos

elementales han sido obtenidas para un número variado de modelos elásticos. Estos

incluyen los modelos laminares sin fricción (Salamon [22,26,28]), modelos multi-

membrana (Salamon [26,28]), modelos homogéneos isotrópicos (Salamon [26,28,31])

y modelos homogéneos transversalmente isotrópicos (Salamon [28]).

El segundo problema fundamental supone la determinación de las componentes de

convergencia y cabalgamiento. Esto se consigue con la ayuda de la ecuación 30.

Trabajando formalmente sólo con excavaciones tabulares abiertas, es obvio que el

esfuerzo de tracción inducido en este caso es igual a −Tiv( ) , esto es, el vector de sentido

opuesto al vector original de esfuerzos. Por tanto, la condición de contorno adopta la

forma (Cook [35], Salamon [54,32]):

− = =→ íT s Ai

viv

xk i

k

A

( ) ( ) lim dτ 3 0 33

Γ (31)

que, en general, representa un sistema de tres ecuaciones integrales para la distribución

sk .

En la práctica, las ecuaciones integrales recogidas en la ecuación 31 son resueltas

numéricamente mediante la sustitución de las integrales por sumatorios. Esto se lleva a

cabo subdividiendo A en n áreas elementales y calculando luego la fuerza según la

28

dirección i en el elemento k, inducida por el volumen unidad de desplazamientos

relativos según la dirección j en el elemento l. Este proceso conduce a las relaciones:

T si j

k l nik

ijkl

jl= −

==

î

γ, ,2,

, ,2,

1 3

1 î (32)

donde el signo negativo surge de la convención de signos empleada, que supone

positivas la convergencia y las tensiones de compresión, y que la fuerza normal de

tracción inducida origina convergencia.

Teniendo en cuenta el teorema de reciprocidad y que la energía de deformación es

positiva, la matriz γ ijkl de la ecuación anterior es simétrica y definida positiva

(Salamon [46,54]).

Una serie intensiva de investigaciones de campo llevadas a cabo en África del Sur

en los años 60 han demostrado que la teoría elástica, contrariamente a lo esperado por

muchos, puede describir cuantitativamente el comportamiento de las masas rocosas

tanto en minería metálica a grandes profundidades como en minería de carbón, siempre

que las deformaciones sean pequeñas (Salamon [48], Oravecz [52]).

Todos estos apartados han sido confirmados por varios investigadores

(Karmis [74], Steed [81]), incluso (Jones [79]) empleando funciones de influencia

hiperbólicas ha obtenido resultados más precisos que los obtenidos con el método de los

elementos finitos.

En los últimos años se ha hecho evidente que los modelos funcionales son los que

permiten de una forma más realista y fiable la predicción de la subsidencia. No sólo

permiten el tratamiento de explotaciones con geometrías complejas, sino que permiten

la inclusión en el estudio del factor tiempo. En este último caso, los distintos factores

propuestos por los investigadores son idénticos al propuesto originalmente por

Keinhorst, con pequeñas diferencias. Así, en 1972 Trojanowski introduce un nuevo

factor de tiempo en este modelo, quedando de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ïw t c t w t w tf= −

(33)

Sin embargo, (Sroka [63], Schober [89]) haciendo uso del método de la función

de influencia propuesto por Knothe, consiguió determinar una solución específica en el

tiempo para un panel rectangular con avance en uno de sus lados. La fórmula propuesta

por este investigador es:

( ) ( ) ( )∆ ∆M t a Vc

ctc

ct= +

−− −

−−

1

ξξ ξ

ξexp exp (34)

29

donde ( )∆M t es la variación de la subsidencia en un determinado instante t, a es el

coeficiente de subsidencia, ∆V es el volumen elemental extraído, c el factor de tiempo

y ξ es el factor de compactación temporal.

Por lo que refiere a los estudios de subsidencia realizados en nuestro país, el más

completo, donde se recogen los distintos métodos vistos anteriormente y su aplicación a

casos concretos en las cuencas mineras españolas es el publicado por el Instituto

Tecnológico Geominero de España (Ramírez [86]). En este estudio, se propone que las

curvas de influencia presentes en la bibliografía pueden representarse de forma general

por funciones exponenciales como:

w C e n eC C= ⋅ + ⋅

−

−

12

2

3

2

πρ π ρ

(35)

El valor de w en la función de influencia es el hundimiento creado en superficie

por una unidad de área infinitesimal explotada, ρ es la distancia horizontal, C1 es una

constante definida por las condiciones geométricas, C2 y C3 son funciones de la

profundidad y caracterizan la disminución del hundimiento a medida que el punto

estudiado se aleja del volumen extraído; pueden interpretarse como integrales de las

propiedades mecánicas de los estratos situados entre el nivel de la explotación y la

superficie.

Parece ser que las relaciones lineales de la forma C2=kh y C3=2kh son lo

suficientemente aproximadas para la mayoría de los tipos de funciones de influencia

estudiadas, aunque no existe una información tal que permita una aceptación definitiva.

Por lo tanto, la ecuación anterior queda de la forma:

w C e n ekh kh= ⋅ + ⋅

−

−

12

2 2

π ρ π ρ

(36)

donde k y n son parámetros independientes.

El factor C1 depende de la extensión lateral de la cubeta de hundimiento, esto

conduce y lleva al problema de la incidencia del ángulo límite. Un ángulo límite, como

se ha visto, puede definirse por el punto de hundimiento cero si existe una transición

desde la zona de hundimiento a la de elevaciones verticales en los extremos de la cubeta

de subsidencia. Es posible que tal elevación ocurra siempre, pero por lo general es de

una magnitud muy reducida para poder ser detectada fácilmente. La existencia de

elevaciones del terreno viene expresada por valores negativos de n ( − ≤ ≤1 0n ) en la

ecuación anterior. A una distancia finita R (radio crítico de extracción), w toma un

30

valor nulo y puede decirse que la relación R h es la cotangente del ángulo límite. Así,

la constante C1 queda definida por la condición geométrica:

w w rR

max d= ∫20

π ρ(37)

Existen ahora dos alternativas: la primera posibilidad hace referencia a la

ecuación 35, considerándola válida para valores positivos de w, esto es, en el intervalo

0 ≤ ≤ρ R, siendo w R= >0 para ρ . En este caso, el ángulo límite es, al menos

matemáticamente, independiente de la geometría de las labores y de la potencia de la

capa. La segunda posibilidad incluye valores negativos de w. Esto conduce a cubetas de

hundimiento con pequeñas elevaciones fuera del área de subsidencia, pero la posición

del punto de hundimiento nulo varía con la geometría del área de explotación.

Finalmente, cabe indicar que las condiciones límite son diferentes cuando se

asume que el hundimiento nulo ocurre sólo en el infinito. Este supuesto es inherente a

todas las teorías convencionales presentadas.

Las funciones de influencia pueden ser expresadas, entonces, para la ecuación 35

con n ≥ 0 de la siguiente forma:

( )( )w

w

n khe n ekh kh=

+⋅ + ⋅

−

−

max

1 4 22

2 2

πρ

πρ

(38)

donde los parámetros k y n caracterizan las condiciones de los estratos y las

formaciones geológicas.

La inclusión de funciones complementarias completa la caracterización de los

diferentes parámetros que definen este fenómeno. Así, (Sutherland [67] y

Munsion [91]) han incorporado la influencia de las zonas minadas y no minadas a la

predicción de la subsidencia, lo que es especialmente útil en las explotaciones por

cámaras y pilares. Ellos han sugerido también la inclusión de formulaciones que tengan

en cuenta el comportamiento de los materiales afectados, así como sus propiedades

geológicas. (Tandanand y Powell [68]) han intentando evaluar el efecto de la

distribución litológica de las rocas duras y blandas, pero todavía es necesario ahondar

en este planteamiento.

Otro factor corrector ha sido propuesto por (Heasley y Saperstein [78]), que

incluyen en su modelo el efecto de borde en la zona próxima al punto de inflexión de la

cubeta de hundimiento. Una medida similar fue sugerida por (Ren, Reddish y

Whittaker [88]) basándose en la experiencia de la NCB (National Coal Board). Por su

parte, (Hellewell [95]) ha introducido una fórmula empírica para tener en cuenta las

fallas geológicas, recomendando un estudio más detallado del problema.

31

El avance más reciente dentro del ámbito de los métodos funcionales, se debe a

Liao que propone el uso de funciones de influencia difusas (fuzzy), que tengan en

cuenta el efecto de las masas rocosas situadas en los bordes del panel explotado

(Liao [127]). Frente a las funciones tradicionales, este tipo de funciones varía su forma

y el valor de los parámetros, según la posición del punto del terreno evaluado y la

posición del elemento de volumen extraído, como se observa en la figura 5.

ðjñ ò�ó�ôeõ~ö�÷ ø³ðjó�ù�ú£ñ û�ù~ü�ý~ñ ùªþlÿ ó�ý�ù�ú£ñ õ~ú���ù~ü�ñ ���lôeñ ��ó�ú£ñ û�ù~ù���ô��~õ�ÿ�����ü�ý�� �ó���� ü�ý�����ñ ���lõ���ý�ô��������������ü�ñ ���lô¥ñ ��ó�ú�ñ û�ù~ù��~ù���ô��~õ�ÿ�����ü�ý�� �ó����$ü�ý���ñ õ����������! ��La fórmula propuesta por Liao, para la función de peso difusa en un problema

plano, es:

( ) ( ) ( )f P

k P k X

R

k P L k X L

Rw = − − +

− − − + −

1 11

22

2

21

22

2

2exp expπ π (39)

Por lo tanto, la función de influencia y la subsidencia quedan de la forma:

( ) ( )F PR

f PP X

Rw w= − −

1 2

exp π (40)

( ) ( )w X agR

f PP X

LPw

L

= − − −

∫

1

0

exp π d (41)

donde k1 es el coeficiente de influencia de la masa rocosa alrededor de los extremos del

panel; k2 es el coeficiente de posición del punto de la superficie considerado; L es la

longitud del panel; R es el radio de influencia principal; a es el factor de subsidencia; y

g es la potencia extraída. Este método supone una considerable mejora en la precisión

de los resultados obtenidos, tanto para los desplazamientos verticales como para los

horizontales.

En cuanto a los modelos teóricos, el método de los elementos finitos sigue siendo

el más empleado, aunque se ha comprobado que los modelos sencillos son incapaces de

32

simular el complejo funcionamiento de los estratos afectados por la subsidencia, como

pudieron comprobar (Dahl y Choi [50]) durante un estudio realizado en Pennsylvania,

en el que comparaban las medidas de campo con las obtenidas con un modelo

tridimensional elasto-plástico. Así, Jones y Kohli (Jones y Kohli [79]) usando este

método han conseguido obtener perfiles de subsidencia con diferencias próximas al

15% de las medidas reales. Por otro lado, Siriwardane (Siriwardane [80]) usando una

idealización bidimensional y unidimensional del comportamiento de las explotaciones

de tajo largo, concluyó que estos métodos son incapaces de predecir adecuadamente la

subsidencia siendo necesarias mejoras significativas. Este mismo investigador obtuvo

posteriormente mejores resultados empleando el método de los desplazamientos

discontinuos (Siriwardane [98]). Resultados similares han sido obtenidos en China por

(Sugawara et al [82]). Las discrepancias, en este último caso, fueron atribuidas a la

imposibilidad de tener en cuenta el comportamiento reológico y las fracturas de los

niveles de rocas situados por encima de las labores.

Dahl y Choi, sugirieron también que la resistencia y el módulo de elasticidad de

una gran parte de los materiales del Carbonífero y las rocas subyacentes deberían

reducirse drásticamente, con el fin de tener en cuenta las juntas que existen in situ en

tales materiales, que luego no aparecen en las muestras empleadas en los laboratorios

para la medición de estos parámetros. Ya que esta reducción es arbitraria y, en cierto

sentido, manipuladora con el objetivo de obtener resultados parecidos a los valores

medidos, su campo de aplicación está claramente limitado.

Por otro lado, (Coulthard y Dutton [92]) han empleado los métodos de los

elementos continuos y elementos discontinuos para el análisis de las tensiones asociadas

a la subsidencia, comprobando que las cubetas obtenidas de esta forma son

sensiblemente menos profundas que las reales. De nuevo, se atribuyó está diferencia a la

elección arbitraria de las propiedades de los materiales y las diaclasas de la zona

afectada.

Algunos investigadores han empleado el método de los elementos de contorno en

problemas bidimensionales y tridimensionales (Lavie y Denekamp [76], McNabb [87]),

y sugieren, como conclusión, que el coeficiente de Poisson (0,25) disminuye con la

profundidad, teniendo valores mayores a profundidades más pequeñas. Otros, han

utilizado de forma conjunta el método de los elementos de contorno y un medio

laminado para crear un modelo numérico tridimensional, cuyos resultados han sido

razonablemente precisos (Salamon [123]). Posteriormente, este modelo ha sido

mejorado para tener en cuenta de forma simultánea no sólo la subsidencia sino también

la inestabilidad de las labores incluyendo la interacción entre el techo y el suelo a través

de los pilares de protección (Yang [129]).

33

Más recientemente, se han implementado nuevos tipos de elementos con

comportamientos no lineales, que han permitido mejorar las predicciones (Pariseau y

Duan [102]). Estos investigadores, para posibilitar la comparación de los resultados

numéricos con las medidas de campo, multiplicaron por un factor corrector el módulo

de elasticidad de los materiales medido en el laboratorio. Sin embargo, no existe una

teoría general aceptable que permita elegir correctamente estos factores de escala.

Dentro de este mismo campo, (Najjar [128]) ha propuesto un modelo

bidimensional mejorado basado el método de los elementos finitos no lineales

iterativos-incrementales. Este modelo destaca por describir de forma precisa el

comportamiento no lineal de los estratos afectados y simular acertadamente las

secuencias de extracción. También, (Yao [131]) ha introducido modificaciones en un

modelo creado en la Universidad de Nottingham, basado en un medio transversalmente

isotrópico (Whittaker [105]), para tener en cuenta la inclinación de las capas en la

predicción de la subsidencia producida por ellas. Por otro lado, (Shu [124]) ha

estudiado la influencia de la inclinación del terreno sobre la subsidencia mediante la

comparación de un modelo bidimensional basado en los elementos finitos con los

resultados obtenidos con un modelo plano, aplicando sobre él la teoría de rayos

proyectivos presentada en la figura 6, que consiste en la proyección de la subsidencia a

lo largo de una superficie horizontal equivalente sobre el terreno inclinado.

ðjñ ò�ó�ôeõ#"�÷ ø%$��&�'��ü��~ü�ý~ÿ ���$ôeõ&�(���) �ô��*�jý�ú��lñ +(���Otro modelo de gran interés es el propuesto por (Hao [118]) que generaliza la

teoría de difusión y migración de huecos para obtener una ecuación diferencial de

carácter tridimensional, que puede ser resuelta mediante la definición de varias

características del macizo rocoso. Así, en una explotación por cámaras y pilares, Hao

supone que las características de los estratos afectados por las labores subterráneas no

varían ni antes ni después de la explotación. Por lo tanto, es factible suponer que el

34

coeficiente de difusión de huecos y el factor de convección son constantes en un plano

horizontal lo que permite resolver la ecuación diferencial. Por otro lado, en las

explotaciones por tajo largo los efectos de la fracturación de los estratos afectan

decisivamente al fenómeno de la subsidencia, por lo que Hao propone un modelo

bidimensional sencillo que tiene en cuenta las diferencias de fracturación existentes

entre las zonas minadas y las no minadas.

Por su parte, (Bravo [111]) ha realizado modificaciones en un modelo

tridimensional basado en el método de las diferencias finitas, con el fin de tener en

cuenta el flujo de agua en el área cercana a Houston (USA). Las condiciones de

contorno para el flujo de agua fueron estimadas a partir de la ley de Darcy.

Desde este mismo punto de vista hidrogeológico, (Rivera [112]) ha propuesto un

modelo no lineal para simular el flujo de agua y la subsidencia total producida en un

medio multiestrato, para ello acopla la solución numérica de la ecuación del flujo

subterráneo con la ecuación de consolidación unidimensional basada en el concepto de

presión efectiva.

Como resultado de esta recopilación bibliográfica, se puede concluir que el

método de las funciones de influencia contiene una cierta racionalización de los

mecanismos involucrados en el fenómeno de la subsidencia y es el único método capaz

de ser generalizado con el fin de predecir los desplazamientos originados por unas

labores de geometría genérica. Este tipo de labores con geometrías complejas, fallas,

fracturas, dislocaciones, etc. son difíciles de modelar mediante el método de los

elementos finitos debido a la necesidad de incluir numerosos parámetros físicos que en

la mayoría de los casos es imposible cuantificar. Sin embargo, las funciones de

influencia recogen globalmente todos estos factores facilitando su aplicación.

A la vista de esto, este trabajo va a profundizar en la idea de la predicción de la

subsidencia basada en el método de la función de influencia. Este método se analizará

en detalle a continuación, para recoger en el capítulo segundo las diferentes mejoras

propuestas en este trabajo.

35

,�-#.�/102.�,3.�46587:915;.�024<58=?>8@BA158CEDF/10G.�4</1>;58=?>8.�/1CE@BDF>;/10G.�ATeniendo en cuenta las investigaciones realizadas, se deduce que el método de la

función de influencia es el más realista y fiable para la predicción de la subsidencia. No

sólo permite el tratamiento de geometrías complejas, sino también la inclusión del

factor tiempo.

Como se ha visto, las funciones de influencia describen el efecto kz ejercido en la

superficie por los elementos infinitesimales que constituyen el área de extracción. El

elemento dA de una explotación, situado a una profundidad H, da lugar a la formación

en el terreno de una pequeña cubeta (cubeta elemental), cuyo punto más profundo está

situado en la vertical del elemento extraído y cuyo margen está definido por el ángulo

límite γ. El valor de la subsidencia de un punto P, que se mueve radialmente dentro de

la cubeta, puede expresarse como una función del ángulo ζ o de la distancia radial r

desde el centro de la cubeta o de la distancia oblicua f desde el elemento extraído.

ðjñ ò�ó�ôeõ#H�÷ ø%I ó���ý&�lõ~ý�ÿ ý��~ý�ù&�lõ�ÿ£ú�ôeý�õ�ü��# ���ô³ÿ õ~ý&J��lô¥õ�ú£ú�ñ û�ù~ü�ý~ó�ù~ý�ÿ ý��~ý�ù&�'�~ü!KEste método está basado en siete hipótesis básicas, que simplifican el proceso de

cálculo y lo hacen universalmente aplicable (Kratzsch [66]). Estos principios se

presentan a continuación:

Principio de simetría rotacional

La influencia producida por la extracción de un volumen elemental de material,

para cualquier ángulo ζ, puede suponerse idéntica en todas las direcciones horizontales,

asumiendo que la masa rocosa afectada presenta una estratificación horizontal, tiene un

comportamiento isotrópico y no presenta fallas o discontinuidades.

36

La cubeta elemental producida, definida horizontalmente por un círculo, puede ser

generada mediante la rotación de cualquiera de sus perfiles transversales o su

correspondiente función kz .

De igual forma, todos los elementos situados en la misma dirección ζ desde el

punto P de la superficie, tiene en todas las direcciones horizontales una misma

influencia sobre el punto P.

Principio del ángulo límite

Este principio supone que el ancho de la cubeta de hundimiento sobre las labores

está limitado por sendas líneas rectas trazadas desde el extremo de la zona extraída, que

forman un ángulo constante γ con la vertical, denominado ángulo límite, que es

independiente de la profundidad y el tamaño de la explotación.

Por tanto, esta relación entre el área de las labores y la cubeta se puede aplicar a

un punto P de la superficie y un volumen elemental de la explotación dA como se

observa en la figura 8. Así, las áreas extraídas A1 y A2 , que influyen de igual forma en

el punto P de la superficie, aumentan de tamaño linealmente con la profundidad de las

labores H1 y H2 , siempre dentro del cono de influencia definido por el ángulo límite.

ð³ñ ò�ó�ô¥õ#��÷ ø%L�ôeñ ù�ú�ñ �ñ �~ü¶ý�ÿ�M�ù�ò�ó�ÿ �~ÿ N �~ñ �lýMientras tanto, las cubetas de hundimiento B1 y B2 producidas por la extracción

de un elemento de volumen dA crecen, manteniendo su volumen constante, en función

de la profundidad, de tal forma que A1 es igual que B1 y A2 igual que B2 .

Teniendo en cuenta que el ángulo en el vértice del cono de influencia es

independiente de la profundidad del elemento, se puede afirmar que la influencia de

dicho elemento se manifiesta siguiendo la ley de proyección central recogida en la

figura 9.

37

ð³ñ ò�ó�ô¥õ#��÷ ø%O ùªþlÿ ó�ý¶ù�ú�ñ õ~ü�ý�ÿ�ý¶ÿ ý��~ý�ù&�'��ý&J�lôeõ�N ü��~ý�ù�ÿ ���P����ô¥ñ Q��ùR�lý��H1

�H2

Como cualquier fuerza o radiación que emana desde un punto central (por

ejemplo, la intensidad lumínica), la influencia debida a la extracción de un elemento de

volumen en una zona de área constante dentro de los límites del cono de influencia es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Esto es aplicable a cualquier

cono individual con un ángulo ϕ en el vértice. Así, las influencias kz1 y kz2 por cm2 en

las áreas A1 y A2 a las distancias H1 y H2 verifican la relación:

k

k

A

A

f

fz

z

1

2

1

2

22

12= = (42)

Esta ley de radiación, con

1 1 1 1

12 2 2 2 2f r H H r

H

=+

=+

(43)

puede escribirse de la siguiente forma:

( )k rH

gr

Hz = +

−1

12

2 1

(44)

38

donde g es una función que liga la disminución de la influencia kz con el ángulo ζ

dentro del cono de influencia3.

Principio de equivalencia

Todos los volúmenes elementales dA extraídos a una misma profundidad H1 o

H2 tienen el mismo cono de influencia y, también, las mismas funciones de influencia.

Por tanto, todos los elementos que componen la capa tienen una influencia equivalente

en la superficie.

ðjñ ò�ó�ô¥õ#��S�÷ øTL�ôeñ ù�ú£ñ �ñ �~ü�ý~ý�U�ó�ñ +Üõ�ÿ ý�ù�ú�ñ õDado un ángulo direccional ζ, que es el ángulo que forma la línea que une el

elemento extraído y P con la vertical, la influencia en esa dirección ( )kz ζ es la misma

para todos los elementos. Por ejemplo, como se observa en la figura 10, la influencia delos elementos 1 y 1’ situados a una profundidad H1

y H2, respectivamente, sobre un

punto P de la superficie es idéntica, ya que el ángulo de dirección de P es el mismo. Lo

mismo ocurre con 2-2’, 3-3’ y 4-4’. Dentro del cono ϕ, cuyo vértice es el punto P, las

áreas explotadas A1, A2,... influyen de la misma forma sobre P, ya que aumentan de

tamaño con el cuadrado de su distancia, f al punto P.

3 Por ejemplo, ( ) ( )k r r Hz = −exp λ 2 2 después de (Neuhaus [56]), con λ H 2 0 5= , despúes de

(Ehrhardt y Sauer [20])

39

Principio de superposición

Con el fin de simplificar el estudio del fenómeno de subsidencia, se supone que

cada elemento extraído dentro del cono límite de un determinado punto P de la

superficie, influye sobre este último sin verse afectado por los elementos vecinos. Así,la influencia individual kzi en el punto P, debida a cada uno de los elementos que

componen la zona explotada, se superponen unos a otros para producir la subsidencia

final.

Esto es válido, también, para los casos en que la capa presenta varias áreas

explotadas o existen varias capas. La cubeta de hundimiento se calcula de forma

individual para cada uno de los paneles explotados, sumándose para obtener la cubeta

combinada.

Principio de reciprocidad

De los principios mencionados hasta aquí se deduce que es lo mismo calcular de

forma individual la subsidencia final de cada uno de los puntos de la superficie, que

determinar primero cada una de la cubetas elementales generadas en toda la superficie

por cada uno de los elementos extraídos, y combinarlas para obtener la cubeta

definitiva.

Por tanto, en una representación bidimensional, como la reflejada en la figura 11,

el perfil de una cubeta elemental (1) es la imagen especular de la función de influencia

(3). Los elementos d d dA A A1 2 5, , ,V de la zona explotada actúan sobre el punto P de la

superficie con los valores k k k1 2 5, , ,W de acuerdo con la función de influencia ( )k Pz

mostrada en la parte inferior de la figura 12. Según el principio de equivalencia de

todos los elementos de la capa, el elemento central dA3 ejerce la misma influencia

k k k1 2 5, , ,X en los puntos e, d, P, c y b, respectivamente, que los elementos

d d dA A A1 2 5, , ,Y sobre el punto P.

40

ð³ñ ò�ó�ô¥õ#�!��÷ ø%L�ô¥ñ ù�ú£ñ �ñ �~ü�ý~ô¥ý�ú�ñ �ô���ú�ñ ü�õ�üLa cubeta elemental debida a dA3 , se obtiene restando a los puntos de la

superficie el valor:

′ =k wk

kii

máx3

(45)

Los puntos a y f por estar situados en el límite del cono de influencia del elemento

dA3 no se ven afectados por la extracción de este.

Principio de la constancia del volumen

Como se ha visto hasta ahora (ecuación 3), tanto la subsidencia como el resto de

los parámetros de la cubeta están relacionados linealmente con la potencia de la capa m

y con un factor κ que depende básicamente del método de explotación. Además, el

volumen de la cubeta de hundimiento generado en la superficie ha de ser igual al

volumen de la convergencia de las labores.

Principio de transitividad

Este principio estipula que la cubeta debida a un área de extracción crítica debe

poder obtenerse a partir de las cubetas generadas por áreas más pequeñas, o subcríticas;

y recíprocamente, las cubetas debidas a una área de extracción subcrítica deben poder

obtenerse a partir de la cubeta generada por una área crítica, por la misma ley.

En la práctica, estos siete principios no son totalmente correctos. Por ejemplo, las

áreas críticas que afectan al punto P están limitadas, de acuerdo con las últimas

41

observaciones realizadas, no por líneas rectas sino por curvas (Szpetkowski [55]) según

la expresión:

R c H= (46)

que corresponde a funciones de influencia de la forma (Neuhaus [58]):

( )k rH

gr

Hz =

1

(47)

Por otro lado, el principio de equivalencia ignora el hecho de que la convergencia

del elemento extraído depende de la convergencia en los elementos vecinos y también

de la potencia de la zona explotada, ya que la presión vertical aumenta hacia el centro

del taller y también con el área de la zona de extracción, como se observa en la

siguiente figura.

ðjñ ò�ó�ôeõ#�!��÷ øTZ[+(��ÿ ó�ú£ñ û�ù��lý��# ���ôeõ�ÿ�ü�ý~ÿ õ# �ô¥ý���ñ û�ù~ý�ù~ÿ ���$ý����lô¥õ&�'���En esta figura se representan tres fases de la explotación de un taller: las fases 1 y 2

corresponden al avance del frente, lo que se traduce en una rápida variación de

localización e intensidad de la presión. Mientras, que la fase 3 corresponde al estado de

equilibrio temporal que se alcanza transcurridos varios años después la finalización de

la explotación del taller.

El comportamiento parcialmente plástico de la roca fisurada conduce, aún en

estratificaciones horizontales, a cubetas asimétricas dependiendo de la dirección del

avance y de las direcciones de las distintas familias de fisuras. Tampoco el principio de

superposición se verifica en la realidad. Sobre la línea que divide dos talleres explotadas

uno a continuación del otro se crea, al contrario de lo supuesto por este principio, una

elevación residual del terreno. Incluso en un medio elástico isotrópico, la explotación de

una segunda capa, de igual potencia que la primera, no da lugar a una cubeta de doble

profundidad, como se puede comprobar fácilmente mediante la aplicación del método

de los elementos finitos.

42

El principio de constancia de volumen ignora el hecho de que el aumento de

volumen debido a la expansión vertical del material situado sobre la explotación, puede

ser mayor que la reducción de volumen debida a la compresión del mismo sobre la zona

no explotada aún. Incluso, la redisposición de los bloques de estratos afectados por la

subsidencia puede originar una cubeta de mayor volumen que el de la convergencia de

las labores.

A pesar de todas estas contradicciones, el método de las funciones de influencia

ha demostrado su utilidad en la práctica. Con ciertas suposiciones adicionales este

método, que está basado fundamentalmente en la linealidad del comportamiento de los

materiales afectados por la subsidencia, puede ser adaptado al comportamiento no lineal

de la masa de roca fisurada.

Implementación analítica

Todos estos principios se traducen de forma analítica en lo siguiente. Para ser

consistente con la presentación realizada en el estado del arte, se aceptará de nuevo que

la estratificación, incluyendo la capa y la superficie del terreno, es horizontal y que el

comportamiento de la masa rocosa es invariante respecto a una rotación alrededor de un

eje vertical. Bajo estas circunstancias las componentes de cabalgamiento del vector de

desplazamiento relativo de techo y muro son despreciables, es decir, s s1 2 0= = . La

única componente no nula de este vector es la convergencia, es decir, s s3 0= = . En lo

que sigue se omitirá el subíndice 3 para mayor brevedad y el origen del sistema de

coordenadas x, y, z se sitúa en la superficie con el eje z apuntando hacia abajo. Por

tanto, el pequeño desplazamiento horizontal radial, ∆ur , y el vertical, ∆w , inducidos en

un punto ( )P x y, ,0 por la extracción del material correspondiente a un elemento de área

centrado en ξ, η están dados por:

∆ ∆

∆ ∆

u Ps

g A

w Ps

f A

r \̂ ] _ `\̂ ] _ `

=

= −

πρ ρ

πρ

2

2

*

*(48)

donde las notaciones son las mismas que las empleadas anteriormente, pero

considerando que las funciones f y g son funciones de las potencias pares de ρ. La

obtención de las componentes rectangulares de ∆ur es sencilla

∆ ∆

∆ ∆

u Ps

x g A

v Ps

y g A

a^b c dfe gahb a bfe g= ′ − ′

= ′ − ′

πξ ρ

πη ρ

2

2

*

*(49)

Estas expresiones permiten calcular los desplazamientos totales en P:

43

u x y s x g A

v x y s y g A

A

A

′ ′ = ′ ′ ′ − ′

′ ′ = ′ ′ ′ − ′

ii, , d *

, , d *

*

*

j k l m�l mon pj k l m j kfn p

1

1

2

2

πξ η ξ ρ

πξ η η ρ

(50)

w x y s f AA

′ ′ = − ′ ′q

, , d **

r s t uwv x1 2

πξ η ρ

(51)

Estos resultados son directamente comparables con los obtenidos en la ecuación

16. La mayor disparidad entre los dos conjuntos de integrales radica en la diferencia

entre los integrandos. En la primera, las funciones de influencia son integradas

directamente sobre el área explotada. En las ecuaciones 38 y 39 las funciones de

influencia son primero ponderadas con el valor de la convergencia y luego integradas

sobre A. La otra diferencia está relacionada con los argumentos de las funciones de

influencia, pero esta se discutirá de una forma más apropiada junto con las componentes

de la deformación.

De las ecuaciones 38 y 39 se pueden obtener por derivación paramétrica la

deformación, ε xx , la distorsión, ε xy , y la pendiente, Tx4:

ε ∂∂ π

ξ η ρ ξ ρxx A

u

x Hs g x g A= = ′ ′ + ′ − ′ ′

y122 2 2, d *

* z { | } z { | } (52)

ξ ∂∂

∂∂xy

u

x

u

y= +

~�� ����1

2 (53)

( )( )( ) ( )επ

ξ η ξ η ρxy AHs x y g A= ′ ′ ′ − ′ ′ − ′ ′∫2 2, d *

* (54)

Tw

x Hs x f Ax A

= = − ′ ′ ′ − ′ ′�∂

∂ πξ η ξ ρ2 2, d *

* � ��� � � � (55)

Las componentes ε yy y Ty pueden ser obtenidas a partir de las ecuaciones 40 y 43,

respectivamente, reemplazando ( )′ − ′x ξ por ( )′ − ′y η .

Si se supone que la convergencia es uniforme a lo largo de la zona explotada, es

decir, si ( )s smξ η, = en A y ( )s ξ η, = 0 en cualquier otro punto, los resultados obtenidos

a partir de las ecuaciones 38 a 43 son iguales a los conseguidos mediante el método de

la función de influencia.

Para evitar las incongruencias en los resultados obtenidos por cualquiera de los

dos métodos es importante que todas las funciones de influencia reúnan una serie de

4 donde ( ) ( )′ =f fρ ρ ρ2 2 2d d y ( )′g ρ2 están definidas de manera análoga.

44

requisitos, que se derivan de la naturaleza física del problema. El campo de

desplazamientos inducidos por la explotación de una pequeña área de la capa debe ser

similar al originado por las áreas elementales. Claramente, las distribuciones de los

desplazamientos y de las deformaciones deben estar libres de singularidades y

discontinuidades. Estos requisitos exigen un determinado comportamiento de las

funciones f, g y de sus primeras derivadas.

La distribución de los desplazamientos verticales constituye una cubeta con

simetría axial, cóncava desde arriba y con un valor extremo regular en su centro, es

decir, ∂ ∂ ∂ ∂∆ ∆w x w y= = 0 en r = 0. Los desplazamientos horizontales son radiales y,

a una distancia determinada del centro de la cubeta, tienen la misma magnitud,

apuntando todos hacia o desde el centro de la cubeta de hundimientos. Por esto, las

componentes ortogonales de los vectores de desplazamiento horizontal deben ser

funciones impares de las correspondientes coordenadas cartesianas. Las condiciones de

simetría se cumplen y se evitan las discontinuidades y singularidades si ∆w y ∆ur son

funciones continuas, en el intervalo [ )0,∞ , siendo funciones pares e impares de ρ

respectivamente. Las definiciones propuestas en la ecuación 48 satisfacen estos

requisitos. Es tentador sugerir que ambas funciones f y g deben ser monótonas

decrecientes respecto a ρ2 , es decir, se debe tener d df ρ2 0< , d dg ρ2 0< . Estos

supuestos han sido aceptados anteriormente en todos los intentos de creación de

medidas de control de la subsidencia. Existen hoy, sin embargo, algunos resultados no

publicados que sugieren que la función f no necesita ser siempre monótona. Si la masa

rocosa está laminada y el módulo de Young de las láminas no es el mismo en cada una

de ellas, los desplazamientos verticales elementales pueden oscilar alrededor de cero a

medida que la distancia r se aproxima a infinito (Salamon [96]).

Las investigaciones de campo realizadas prueban que los desplazamientos

verticales alcanzan su valor máximo en un punto P si se ha explotado una gran área

inmediatamente debajo de él, es decir, ( )w P sm= cuando la zona explotada es grande.

Esta evidencia conduce al siguiente criterio

f t t���

d =∞�

10

(56)

También estas observaciones indican que no debe existir deformación en el punto

P si se ha extraído una zona supercrítica de la capa respecto a dicho punto. Estos y otros

requisitos similares exigen que ( )ρ ρ2 2f y ( )ρ ρ3 2g permanezcan acotadas a medida

que ρ se aproxima a infinito.

Se supone en toda la zona que las funciones de influencia se aproximan

asintóticamente a cero a medida que ρ tiende a infinito. En otras palabras, esto significa

45

que no se tiene en cuenta el concepto de ángulo de derrumbe o ángulo límite. De hecho,

el uso de este ángulo, que en ningún caso puede ser definido conceptualmente, no

supone ninguna ventaja. En la práctica una función de influencia bien elegida dará un

peso despreciable a cualquier zona minada fuera del área central de influencia.

46

�6�����;�6���6� ���:������������� 2�¡� ¢��¤£¥��¢¦���6��§¨���o�;©�ª ¢��¤�¡�  ¡��«o 2��¢���ª��o�¬�

­o4<=?>�@®4¯,3-:46,�D°>�5;±%4Como se vio en el capítulo I (ecuación 38), Ramírez propone un modelo genérico

en el que se recogen de alguna forma las distintas expresiones de funciones de

influencia que aparecen en la bibliografía consultada. Para tener en cuenta la potencia m

de las labores subterráneas, se expresa el valor de la subsidencia máxima en función de

aquella, afectándola de un factor corrector a, que depende básicamente del tratamiento

del taller que se realiza con posterioridad al término de la explotación.

( )( )w

a m

n khe n ekh kh= ⋅

+⋅ + ⋅

−

−

1 4 22

2 2

π ρ π ρ

(57)

Con el fin de determinar la importancia e influencia de cada uno de los

parámetros presentes en esta expresión, se han estudiado tres modelos sencillos de

explotación, representados esquemáticamente a continuación. En todos los casos se

supone una superficie del terreno y una capa de carbón planas, variando el ángulo que

forman con la horizontal en los modelos 2 y 3. Por otro lado, se ha asignado un valor de

1,5 m a la potencia de la capa, siendo la longitud de la proyección horizontal de la zona

explotada de 100 m.

$#��ü�ý¶ÿ �#�

$#��ü�ý¶ÿ �#�

48

$#��ü�ý¶ÿ �# ð³ñ ò�ó�ô¥õ#�! �÷ øT$#��ü�ý�ÿ ���²�lý�û�ô¥ñ ú���$ý��# �ÿ ý�õ�ü!���P �õ�ôeõ~ú�õ�ô¥õ�ú��lý�ôeñ Q�õ�ôjÿ ���) �õ�ô�M��~ý*�lô�����³���´E�¶µPara cada uno de los modelos propuestos se han generado las cubetas de

hundimiento correspondientes a los siguientes rangos de los parámetros:

[ ] [ ] [ ]a k n∈ − ∈ − ∈ −2 2 2 2 2 2, ; , ; , (58)

ya que desde un punto de vista analítico los valores negativos de los parámetros parecen

apropiados, aunque no lo sean tanto desde un punto de vista físico. Por ejemplo, en el

caso del parámetro a, parece ilógico que el tratamiento posterior a la explotación del

taller de lugar a la divergencia del techo.

Para su estudio comparativo se han escogido nueve ejemplos de cada modelo, en

los que se recoge la variación de la cubeta de hundimiento en función de cada

parámetro (nueve valores dentro del rango), siendo constantes los otros dos. En las

figuras 13 a 21, se presentan los resultados gráficos de cada uno de estos estudios.

Según estos datos, se puede concluir que el parámetro a tiene una efecto

básicamente multiplicativo, sin ningún efecto cualitativo sobre la cubeta, manteniéndose

su forma al variar el valor de a. Únicamente existe una influencia cuantitativa sobre el

valor máximo del hundimiento, que varía linealmente con a.

En cuanto al parámetro k, este influye directamente sobre la forma que adopta la

cubeta de hundimiento. Para valores crecientes de k, la cubeta se hace menos profunda

pero más ancha, invirtiéndose este comportamiento para valores pequeños. Para k=0, la

cubeta de hundimiento no existe. Como se observa fácilmente en la expresión de la

función de influencia analizada, esta es una función cuadrática en k, por lo que los

valores negativos de este parámetro podrían descartarse. Así mismo, valores elevados

de este parámetro tienen efectos concentradores sobre la cubeta, mientras que valores

pequeños hacen que la subsidencia tengan una mayor distribución sobre la superficie,

aumentado el ángulo límite.

Por último, el parámetro n afecta localmente a la forma de la cubeta presentado

una discontinuidad para el valor n = −0,25, momento en el que la cubeta cambia su

49

forma drásticamente. Para valores de n grandes, tanto negativos como positivos la

cubeta adopta una forma normal. Sin embargo, para n ≈ −2 la cubeta cambia su

comportamiento en los puntos centrales y pasa de presentar una forma cóncava a formar

una convexidad que crece a medida que se acerca a n = −0,25.

A parte del estudio específico de cada parámetro, en este análisis se puede

apreciar el efecto que la inclinación, tanto de las labores mineras como de la propia

superficie del terreno, tiene sobre la forma de la cubeta de hundimiento. Es patente, a la

vista de estas figuras, que el primero de estos efectos tiene mayor importancia para

valores negativos de n, mientras que la inclinación del terreno se refleja en una perdida

de la simetría vertical de la cubeta, manifestándose incluso para valores genéricos de los

parámetros a y k. Esta deformación se acentúa a medida que la profundidad de la capa

disminuye.

En la práctica, de estos dos efectos, la falta de horizontalidad del terreno parece

ser el más importante a la hora de caracterizar la forma asimétrica de las cubetas de

hundimiento.

50

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 200 400 600 800 1000

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(m)

A:-2.00 K: 0.50 N: 1.00A:-1.50 K: 0.50 N: 1.00A:-1.00 K: 0.50 N: 1.00A:-0.50 K: 0.50 N: 1.00A: 0.00 K: 0.50 N: 1.00A: 0.50 K: 0.50 N: 1.00A: 1.00 K: 0.50 N: 1.00A: 1.50 K: 0.50 N: 1.00A: 2.00 K: 0.50 N: 1.00

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 200 400 600 800 1000

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A:-2.00 K:-1.00 N: 0.50A:-1.50 K:-1.00 N: 0.50A:-1.00 K:-1.00 N: 0.50A:-0.50 K:-1.00 N: 0.50A: 0.00 K:-1.00 N: 0.50A: 0.50 K:-1.00 N: 0.50A: 1.00 K:-1.00 N: 0.50A: 1.50 K:-1.00 N: 0.50A: 2.00 K:-1.00 N: 0.50

-0.025

-0.02

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0

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A:-2.00 K: 1.00 N:-0.50A:-1.50 K: 1.00 N:-0.50A:-1.00 K: 1.00 N:-0.50A:-0.50 K: 1.00 N:-0.50A: 0.00 K: 1.00 N:-0.50A: 0.50 K: 1.00 N:-0.50A: 1.00 K: 1.00 N:-0.50A: 1.50 K: 1.00 N:-0.50A: 2.00 K: 1.00 N:-0.50

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-0.02

-0.018

-0.016

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

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0 200 400 600 800 1000

De

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0

0.005

0.01

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0 200 400 600 800 1000

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-0.02

-0.01

0

0.01

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-0.014

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-0.01

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-0.002

0

0.002

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-0.1

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0 200 400 600 800 1000

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0

0.005

0.01

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0.02

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-0.02

-0.018

-0.016

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

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0

0 200 400 600 800 1000

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A: 0.50 K:-2.00 N: 1.00A: 0.50 K:-1.50 N: 1.00A: 0.50 K:-1.00 N: 1.00A: 0.50 K:-0.50 N: 1.00A: 0.50 K: 0.00 N: 1.00A: 0.50 K: 0.50 N: 1.00A: 0.50 K: 1.00 N: 1.00A: 0.50 K: 1.50 N: 1.00A: 0.50 K: 2.00 N: 1.00

0

0.005

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0 200 400 600 800 1000

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0 200 400 600 800 1000

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0

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De

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)·

(m)

A: 0.50 K:-2.00 N: 1.00A: 0.50 K:-1.50 N: 1.00A: 0.50 K:-1.00 N: 1.00A: 0.50 K:-0.50 N: 1.00A: 0.50 K: 0.00 N: 1.00A: 0.50 K: 0.50 N: 1.00A: 0.50 K: 1.00 N: 1.00A: 0.50 K: 1.50 N: 1.00A: 0.50 K: 2.00 N: 1.00

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 200 400 600 800 1000

De

spla

zam

ien

to V

ert

ica

l (m

)·

(m)

A:-1.00 K:-2.00 N: 0.50A:-1.00 K:-1.50 N: 0.50A:-1.00 K:-1.00 N: 0.50A:-1.00 K:-0.50 N: 0.50A:-1.00 K: 0.00 N: 0.50A:-1.00 K: 0.50 N: 0.50A:-1.00 K: 1.00 N: 0.50A:-1.00 K: 1.50 N: 0.50A:-1.00 K: 2.00 N: 0.50

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0 200 400 600 800 1000

De

spla

zam

ien

to V

ert

ica

l (m

)·

(m)

A: 1.00 K:-2.00 N:-0.50A: 1.00 K:-1.50 N:-0.50A: 1.00 K:-1.00 N:-0.50A: 1.00 K:-0.50 N:-0.50A: 1.00 K: 0.00 N:-0.50A: 1.00 K: 0.50 N:-0.50A: 1.00 K: 1.00 N:-0.50A: 1.00 K: 1.50 N:-0.50A: 1.00 K: 2.00 N:-0.50

ðjñ ò�ó�ôeõ#�!��÷ ø%I ó���ý&�lõ��$ü¶ý#��ó�ù�ü�ñ �~ñ ý�ù&�'�: �õ�ô¥õ�ý�ÿ�#��ü�ý�ÿ �# ~ý�ù�þló�ù�ú�ñ û�ù~ü�ý�´58

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0 200 400 600 800 1000

De

spla

zam

ien

to V

ert

ica

l (m

)·

(m)

A: 0.50 K: 1.00 N:-2.00A: 0.50 K: 1.00 N:-1.50A: 0.50 K: 1.00 N:-1.00A: 0.50 K: 1.00 N:-0.50A: 0.50 K: 1.00 N: 0.00A: 0.50 K: 1.00 N: 0.50A: 0.50 K: 1.00 N: 1.00A: 0.50 K: 1.00 N: 1.50A: 0.50 K: 1.00 N: 2.00

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 200 400 600 800 1000

De

spla

zam

ien

to V

ert

ica

l (m

)·

(m)

A:-1.00 K: 0.50 N:-2.00A:-1.00 K: 0.50 N:-1.50A:-1.00 K: 0.50 N:-1.00A:-1.00 K: 0.50 N:-0.50A:-1.00 K: 0.50 N: 0.00A:-1.00 K: 0.50 N: 0.50A:-1.00 K: 0.50 N: 1.00A:-1.00 K: 0.50 N: 1.50A:-1.00 K: 0.50 N: 2.00

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 200 400 600 800 1000

De

spla

zam

ien

to V

ert

ica

l (m

)·

(m)

A: 1.00 K:-0.50 N:-2.00A: 1.00 K:-0.50 N:-1.50A: 1.00 K:-0.50 N:-1.00A: 1.00 K:-0.50 N:-0.50A: 1.00 K:-0.50 N: 0.00A: 1.00 K:-0.50 N: 0.50A: 1.00 K:-0.50 N: 1.00A: 1.00 K:-0.50 N: 1.50A: 1.00 K:-0.50 N: 2.00

ð³ñ ò�ó�ô¥õ#�!��÷ ø%I ó���ý&�lõ�� ü�ý#��ó¶ù�ü�ñ �~ñ ý�ù&�'�# �õ�ôeõ~ý�ÿ��#��ü�ý�ÿ �# ~ý�ùEþló�ù¶ú�ñ û¶ù~ü�ý�µ59

Es necesario destacar también que en la práctica habitual, bien empleando el

manual de la NCB u otras técnicas similares, los rangos de los parámetros empleados en

la función de influencia son bastante limitados, variando de una expresión a otra de la

función de influencia. En general, los valores más empleados en la bibliografía

(Ramírez [86]) son:

[ ]a k n∈ ≥ ≥01 0 0, ; ;

Este estudio, permite observar que los valores negativos de n presentan un gran

interés y no se puede descartar su empleo.

Modificaciones en la estructura de la Función de Influencia propuesta

Desde un punto de vista formal y teniendo en cuenta las hipótesis formuladas

anteriormente, en este trabajo se presentan varias innovaciones en la expresión final de

la función de influencia tendentes a relajar algunas de la condiciones impuestas. En

primer lugar se propone una generalización del problema plano visto hasta ahora,

pasando a ser tridimensional lo que supone una relajación del principio de simetría

rotacional. En segundo lugar, se elimina el término 1 4+ n lo que se traduce en una

relajación de la constancia de volumen, incluyendo la posible variación dentro del

parámetro a.

Así, para la realización de este trabajo, la función de influencia teórica elegida,

por su carácter más genérico, es la siguiente:

( ) ( )∆ ∆

∆ ∆

w hm a A

k he n e

v wh

k h k hρ θ

ρ

θ

θ

π ρ

θ

π ρ

θ θ, , = ⋅ ⋅ + ⋅

=

−

−

22

2 2

(59)

donde m, ∆A son la potencia y el área, respectivamente, del elemento extraído, aθ es el

coeficiente de subsidencia y kθ , nθ son parámetros independientes, función todos de la

dirección θ desde el punto P de la superficie al centro de gravedad del elemento

analizado.

Se supone con esto que el macizo rocoso afectado se comporta de forma

ortotrópica, lo que supone una mejora de la caracterización de sus propiedades, ya que

este generalmente no tendrá un comportamiento isotrópico, como se proponía en el

principio de simetría rotacional. Debe recordarse aquí que las propiedades del terreno se

caracterizan, de alguna forma, mediante los parámetros a, k y n; de ahí que se pretenda

introducir en ellos cierta variabilidad con el fin de mejorar el ajuste.

60

¹�º�» ¹θ

¼º�»

½¿¾ÁÀ ¾ÁÀθ

ðjñ ò�ó�ôeõ#�! �÷ øTÂ�õ�ÿ ��ô¥ý��$ú£õ�ôeõ�ú��lý�ô�N ���lñ ú���$ü�ý�ÿ� �õ�ô�M��~ý&�lô���³El valor de cada parámetro se puede expresar de la siguiente forma, en función de

sus valores característicos, representados en la figura 23 para el caso del parámetro a

( a axp yp, ):

( ) ( )a a axp ypθ θ θ= +cos sin2 2

(60)

donde el origen del sistema de coordenadas coincide con el centro de gravedad del

elemento de volumen evaluado en cada momento.

Desde un punto de vista físico el modelo propuesto supone el estudio de la

subsidencia en dos planos ortogonales verticales que pasan por el centro de gravedad de

cada elemento de volumen explotado. La continuidad del fenómeno en los distintos

planos comprendidos entre ambos se proporciona a través de una variación suave de los

parámetros de la función de influencia, obtenida a partir de los valores característicos de

cada parámetro.

Para evitar la discontinuidad de la función de influencia para valores de n

próximos a -0,25, como se verá más adelante, se propone la introducción de un nuevo

factor en la expresión de la función de influencia que sustituya al término 1 4+ nθ

à Ä.

Esto permite que el algoritmo optimizador, descrito en el capítulo III, no encuentre

valores característicos del parámetro n, que luego podrían dar lugar a una

indeterminación en alguno de los puntos que componen el modelo digital del terreno

sobre el que se realiza la integración de la función de influencia.

Es obligado destacar aquí la relajación de la constancia de los parámetros en todas

las zonas explotadas (principio de equivalencia), pues la aproximación propuesta

supone dicha constancia únicamente dentro de cada zona individual, pudiendo variar el

conjunto de parámetros de una a otra. Esto permite acomodar el modelo de una forma

más precisa a las singularidades del macizo rocoso, ya no a su comportamiento

ortotrópico que es una propiedad global de todo el macizo afectado. De esta forma, es

61

posible tener en cuenta factores locales existentes en el entorno de la zona explotada

como fracturas, fallas, etc.

El único inconveniente que podría presentar la formulación del problema de la

subsidencia sugerida en este trabajo, es la dificultad de encontrar y ajustar un número

elevado de parámetros del mejor modo posible. En el siguiente capítulo se propone un

método novedoso para resolver este problema

62

.�­o,34<-:±TA1/102.�AÅ=?>�@�CÆAÇ0G±T4<-ȱ%.�>�­o,34Los métodos predictivos presentados anteriormente están basados, como se ha

visto, en el estado final de los movimientos del terreno afectado por las labores

subterráneas. En la minería de carbón, este proceso puede completarse en un período de

tiempo que varía entre 6 meses y 5 años después del término de la explotación, pero en

las explotaciones por cámaras y pilares de la minería metálica, este proceso puede tardar

en producirse más de 100 años. Por lo tanto, en la planificación y protección de las

estructuras que pueden verse afectadas por una explotación minera, debe ocupar un

lugar importante el desarrollo intermedio de la subsidencia, resultado del continuo

avance de la explotación y de su efecto a largo plazo.

Como es bien sabido, los valores locales de la subsidencia, pendiente y curvatura

del terreno, así como los desplazamientos horizontales y las tensiones de compresión y

tracción, varían durante el transcurso de la explotación. Así, por ejemplo, una estructura

determinada que finalmente quede sometida a un estado de compresión puede haber

atravesado un estado intermedio de tracción.

El factor de tiempo c, que expresa la relación existente entre la subsidencia final

wf (asintótica) y la subsidencia dinámica wd en un determinado instante:

cw

wd

f

=(61)

tiene un significado práctico importante para determinar:

- el instante en el tiempo en que los efectos de las labores empiezan a ser

peligrosos, con el fin de establecer medidas preventivas contra las previsibles

dificultades operativas que aparecerán.

- cuándo el movimiento del terreno alcanzará su punto final, para establecer

medidas correctoras de los efectos.

- dónde se producirá la mayor tensión que afecte a una estructura, para controlar

su magnitud y los efectos sobre la misma.

- los desplazamientos intermedios, con el fin de corregir en el tiempo los

hundimientos producidos en carreteras y puentes o realizar trabajos correctores

en los cauces de los ríos, canales, diques o drenajes.

- la interacción de distintos hundimientos causados por varias labores subterráneas

en una misma zona de la superficie, para establecer planes operativos que

minimicen la curvatura, pendiente y deformación lineal en dicha zona,

reduciendo con ello los daños.

63

- los desplazamientos verticales, compresiones e inclinación intermedios de los

pozos de extracción, con el fin de juzgar el posible daño que se podría producir

en la alineación del pozo con las consiguientes repercusiones negativas en las

labores de extracción.

La creación de un hueco o abertura subterráneo no da lugar inmediatamente a la

aparición de una cubeta de hundimiento de igual volumen en la superficie. Esta cubeta

se forma gradualmente, extendiéndose en la dirección del avance de la explotación y

profundizándose incluso después de la finalización de las labores. Esta subsidencia

retrasada de los estratos situados por encima de la explotación tiene su origen, por un

lado, en los siguientes fenómenos:

- la estabilidad de las labores subterráneas hasta el momento de realizar un nuevo

avance.

- el colapso gradual del techo de la excavación, que llena el hueco abierto.

- la compactación lenta pero creciente de los materiales de relleno y los

fragmentos caídos del techo, en los métodos de explotación con relleno.

- la convergencia de los pilares, que depende del tiempo y la carga soportada, en

aquellas explotaciones por cámaras y pilares.

y, por otro, en la relación temporal existente entre la imposición y liberación de la

carga, expansión vertical y contracción, pandeo de estratos, propagación de fracturas,

separación de estratos, y deslizamiento (plástico) de los estratos situados encima y

debajo de la explotación.

Es cierto, que en las explotaciones de carbón donde las capas se extraen en

grandes talleres sin pilares de soporte, la subsidencia ha podido ser medida en el rango

de centímetros inmediatamente después que el vano abierto alcanza un tamaño mínimo

y el techo se colapsa. En tales casos, los estratos superiores se hunden simultáneamente

como un solo grupo. También, tiene lugar una reducción de la tensión sobre la zona

explotada, pero en la dirección perpendicular a los estratos minados, lo que da lugar a

una expansión y abertura vertical que se traduce en una disminución y ralentización del

hundimiento a medida que la subsidencia se traslada hacia arriba.

Por tanto, antes que la convergencia del área de extracción se refleje en la

superficie en forma de una cubeta de hundimiento, después de atravesar todos los

estratos afectados, transcurre un período de tiempo más o menos largo. Si el área de

extracción aumenta de tamaño, las tensiones y deformaciones en el macizo rocoso se

alteran consecuentemente, lo que origina un incremento local de la subsidencia en

superficie, mientras que la magnitud de la pendiente, curvatura y deformación unitaria

disminuye e incluso cambia de signo, dependiendo de la posición respecto al frente de

la explotación. Sólo cuando en el frente se ha detenido definitivamente, la excavación

64

se ha cerrado y el material de relleno se ha compactado completamente debido a la

presión de los estratos superiores, es posible alcanzar un nuevo equilibrio de fuerzas en

el macizo rocoso afectado por la subsidencia, lo que se refleja en la forma definitiva de

la cubeta de hundimiento.

Métodos Propuestos

La mayoría de los métodos desarrollados para predecir el movimiento del terreno

debido a explotaciones subterráneas se han concentrado, en general, en el estado final

(asintótico) de las deformaciones. En el caso de Estados Unidos, el limitado trabajo

llevado a cabo para describir este proceso como dependiente del tiempo, no permite la

determinación de índices de deformación en las etapas intermedias de la subsidencia. El

diseño apropiado de las labores, así como una correcta planificación de las medidas

estructurales para prevenir o minimizar el daño en las estructuras situadas en la

superficie afectada necesitan, sin embargo, métodos predictivos capaces de evaluar el

avance de la subsidencia con el tiempo.

Las soluciones propuestas, independientes del tiempo, ignoran frecuentemente

muchos datos valiosos obtenidos durante el proceso de control de la subsidencia. El

desarrollo de un método dependiente del tiempo permitiría hacer uso de tales datos para

conseguir métodos más precisos.

A continuación se comentan algunos métodos existentes para la predicción de la

subsidencia en el tiempo, desarrollados principalmente en las explotaciones europeas de

tajo largo.

Relaciones Subsidencia-Tiempo

Las relaciones entre la subsidencia y el tiempo han sido desarrolladas tanto

empíricamente como teóricamente, las más aceptadas se han presentado en el estado del

arte. Como allí se vio, la función que representa la influencia del tiempo durante el

desarrollo de la subsidencia puede ser expresada como:

( ) ( )z t ct= − −1 exp (62)

De aquí se deduce que las relaciones recogidas en las ecuaciones 3, 4, 5, 9, 11, 33

(si ( )c t = const. ) y 34 (si ξ = ∞ ) recogidas en el estado del arte, son idénticas, y pueden

ser expresadas bajo la forma de una ecuación diferencial como:

( ) ( ) ( )[ ]ÉS t c S t S tf= −

(63)

donde

( )Ê

S t = velocidad de subsidencia

( )S tf = subsidencia final (asintótica) en el instante t

65

( )S t = subsidencia actual en el instante t

( ) ( )[ ]S t S tf − = subsidencia potencial en el instante t

c = factor de tiempo

La solución de la ecuación anterior es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S t S t ct S cf ft

= − − ∫exp Ë exp dλ λ λ0 (64)

La forma final de la solución depende de la relación utilizada para describir el

estado final (asintótico) de la subsidencia ( )S tf .

Por ejemplo, si la subsidencia final se describe haciendo uso del método de la

función de influencia, basado en la distribución normal de las influencias elementales

(Knothe [10]), entonces es posible obtener la solución específica para una explotación

rectangular (Sroka [63]) con un único lado en avance, próximo a la explotación por tajo

largo, como se recoge en la figura 24.

Ì&ÍÏήРÎÒÑ Ó

Ô

Ó�ÕÓ�ÖÔ�×

Ô¬ØÙ

Ú�Û�ÎÚ

ðjñ ò�ó�ôeõ#�!¸�÷ ø%Ü$ý����~ý&�lô�N õ~ü�ý�ÿM�ôeý�õ~ý&J( �ÿ �&�lõ�ü�õ~ú��ù~ó�ù#Ý�ù�ñ ú�Eþlôeý�ù&�lýSuponiendo que el origen del sistema de coordenadas está situado en el punto

P(0,0), donde se calculará la subsidencia, y que la excavación avanza con velocidad

constante v según la dirección del eje x, con un ancho constante y2-y1, entonces el área

en un instante t puede describirse por las coordenadas

x x x vt

y yt0 0

1 2

,

,

= +

(65)

66

La subsidencia final para esta excavación puede expresarse como:

( )S x x y y zS

r

x y

rx yf

tz z

y

y

x

xt

, , , , exp d dmax0 1 2 2

2 2

21

2

0

= − +

∫∫ π

(66)

donde

Smax = subsidencia máxima calculada a partir de la relaciónS ammax = −

a = factor de subsidencia

m= potencia extraídarz = radio de influencia en el horizonte z

La subsidencia en el punto P(0,0), en cualquier instante t, puede ser calculada

haciendo uso de la siguiente ecuación, que ha sido obtenida incorporando la relación

expresada en la ecuación 5 en la ecuación 66.

( ) ( )

( ) ( )[ ]

S x x y y z t S x x y y z

u u x

rS x

r ux

r uy y z

S x x y y z c t

tf

t

z z t

z

ft

z z z z

ft

, , , , , , , , ,

exp exp , , , ,

, , , , exp

0 1 2 0 1 2

2

0 1 2

0 1 2

4 2 2

1

∆

∆ ∆

= −

−

+ +

+

+ − −

π π π

(67)

donde

Sf = subsidencia final (asintótica) en el instante t

v = velocidad de avance del frentecz = coeficiente de tiempo en el horizonte z

∆t = tiempo transcurrido desde el término de la

excavaciónuz = parámetro calculado a partir de la relación:

uc r

vzz z= −

(68)

La ecuación 67 permite distinguir las siguientes tres etapas en el proceso de

desarrollo de la subsidencia:

- Subsidencia desarrollada durante el avance del frente a velocidad constante,

representada por los primeros dos términos.

- Subsidencia desarrollada después que el frente se ha detenido, hasta que se

alcanza el hundimiento máximo local, que está representada por los tres

términos.

- Subsidencia final (asintótica), representada únicamente por el primer término de

la ecuación.

67

Los cálculos para la primera etapa pueden llevarse a cabo de acuerdo con el

siguiente esquema:

( ) ( ) ( )S A S A f ux

rS Af

zt

zf= −

′,

(69)

donde

- f ux

r

u u x

rzt

z

z z t

z

, exp exp

=

2

4π;

- el área de la explotación ′A se traslada respecto al contorno real de la

explotación A, como se recoge en la figura 25;

- la magnitud de la traslación es r uz z

2π; y

- la traslación se realiza en el sentido contrario al avance del frente.

Þ�ß'à¬á à�â ã

ä

ã Õã�Öä ×

äåØæ

ç�è%àç

éëêTì*í π éëê%ìîí πã ÕïTéëê%ìîí π

ð ð:ñðjñ ò�ó�ôeõ#��ö�÷ ø�ò ô¥õ���ÿ õ�ú�ñ û�ù~ü�ý�ÿ�M�ôeý�õ~ü�ý~ý&J( �ÿ �&�lõ�ú£ñ û�ù

Utilizando las relaciones presentadas en las ecuaciones 10 y 11, el desarrollo de la

subsidencia en el tiempo ha sido calculado para un caso hipotético, cuyos resultados se

recogen en la figura 26.

68

Subsidencia Inicial Subsidencia Principal Subsidencia Residual

-30 0 30 9060

Tiempo (días)

S(t

)/S

00.0

-1.0

-0.5

t=r/v+1/c∆

ðjñ ò�ó�ôeõ#�!"�÷ øTó ý��£õ�ô¥ô���ÿ ÿ ���lý��# ���ô¥õ�ÿ£ü�ý~ÿ õ#�£ó�����ñ ü�ý�ù�ú£ñ õ~ý�ù~ó�ù�õ~ý&JT �ÿ �&�lõ�ú£ñ û�ù#��ñ ��&�'�&�lñ ú£õ# ���ô��lõ&ô��~ÿ õ�ôeò��Fases de la Subsidencia

El desarrollo de la subsidencia en un punto de la superficie del terreno o

perteneciente a cualquiera de los horizontes del macizo rocoso situado por encima de la

explotación, puede dividirse en tres grandes fases:

I- subsidencia inicial: se extiende desde el comienzo de la explotación hasta que

el frente de extracción pasa por debajo del punto estudiado.

II- subsidencia principal: sigue a la fase I, y se extiende durante un intervalo ∆t

que depende de la velocidad de extracción v, del radio de influencia r y del

coeficiente de tiempo c.

∆tr

v c≅ + 1

(70)

III- subsidencia final (residual): sigue a la fase II y finaliza cuando el punto

alcanza la subsidencia final o asintótica.

Estas tres fases del proceso de subsidencia están presentes en la figura 26. De esta

figura, se puede observar fácilmente que la velocidad de subsidencia máxima puede ser

aproximada mediante la expresión:õmaxS

Sr

v c

S

rv

c

vo o=+

=+1

(71)

Para c = ∞ , es decir, cuando no existe demora en el proceso de subsidencia, la

ecuación anterior se transforma en:

69

ömaxS

S

rvo=

(72)

Por otro lado, si la subsidencia sobre el frente de extracción Sr es inferior al 10%

de la subsidencia final S0 , es decir S Sr 0 01< , , entonces la subsidencia en cualquier

instante t puede aproximarse por la ecuación:

( ) ( )( ) ( )S t S e t tc t t= − ∈ ∞− −0 01 0∆ ∆; para ,

(73)

donde

t = tiempo transcurrido desde el momento en que el

frente de extracción pasa por debajo del punto

estudiado

∆t0 = factor corrector de tiempo debido al efecto de borde

existente en el frente de extracción, que crea una

demora adicional en el proceso de subsidencia

La ecuación anterior describe de forma bastante precisa las fases II y III del

fenómeno de subsidencia, es decir, aproximadamente el 90% de la subsidencia.

Cabe destacar, para finalizar este apartado, que la mayor dificultad que se

encuentra al intentar predecir de forma precisa la subsidencia, es la evaluación de la

subsidencia final S0 y el coeficiente de tiempo c. La subsidencia final puede calcularse

de forma precisa mediante el uso del método de la función de influencia, si los

parámetros empleados en el modelo se establecen adecuadamente para cada caso a

partir de datos sobre la subsidencia medida en la zona.

En este trabajo, para la inclusión del factor temporal en el modelo propuesto se

hará uso de la expresión recogida en la ecuación 63. Esta refleja, como se ha visto,

todas las aportaciones realizadas a lo largo de los años al estudio de la influencia del

tiempo en el fenómeno de la subsidencia.

70

�6�����;�6���6� �����:��� 2�6�;£÷���o�;©�ª �ø������£¥ù��6���;�6�«6�� ¨��¢o� ��ª �6ù��oª����6�� ú¢��¤�;ª��6���<��û���ª¦�o�¬�¤�����6�;ü6�;�o�¬���

>�@�,3-:4<7#@B>�­oAÅ=?>8@BAÅ4<,3±%.�­o.�ýþA102.�ÿ</En este capítulo se plantea la problemática de la estimación de los parámetros de

la función de influencia que mejor permiten adaptar esta al comportamiento del macizo

rocoso afectado. Con este objetivo, se hará uso de técnicas de optimización, analizando

antes las distintas filosofías y seleccionado luego la más adecuada.

En primer lugar, es necesario definir los modelos digitales que caracterizan las

distintas superficies involucradas en cualquier problema de subsidencia, es decir, el

terreno y las labores subterráneas. En este trabajo, cada superficie está definida por una

retícula cuadrada de lados paralelos a los ejes de coordenadas elegidos, como en el

ejemplo presentado en la figura 74. Para la creación de cada una de estas retículas es

necesario digitalizar previamente toda la información topográfica y geométrica

disponible de la zona a estudiar y de la explotación. Una vez almacenada esta

información en el ordenador se obtienen los correspondientes mallados o modelos que

permitirán la integración discreta de la función de influencia en cada uno de los puntos

de la retícula que define el terreno, teniendo en cuenta los elementos de volumen o

celdas que constituyen las distintas zonas explotadas. En el siguiente capítulo, se

presenta en detalle cada una de estas etapas, ya que los modelos digitales obtenidos son

los mismos, tanto para la optimización de los parámetros como para la integración

propiamente de la función de influencia.

Se trata ahora, como se ha visto en el capítulo anterior, de determinar los valores

característicos de los parámetros a, k, y n empleados en la función de influencia

escogida para la realización de este trabajo: ( a a k k n nxp yp xp yp xp yp, ; , ; , ), teniendo en

cuenta, también, que este conjunto de parámetros varía de una a otra de las zonas

explotadas, siendo constantes dentro de cada una de ellas. Estos valores, una vez

insertados en dicha función, han de hacer mínima la suma de los valores absolutos de

las diferencias entre el desplazamiento vertical en los N puntos de control o hitos

definidos para cada problema y el valor obtenido mediante la aplicación del método de

la función de influencia. De forma analítica:

min w wi ie

i

N

−=∑

1 (74)

donde, wi es el desplazamiento vertical medido en cada punto de control, y wie es el

valor estimado a partir de la función de influencia. Un punto de control es aquel punto

del terreno del que se ha realizado un seguimiento con el fin de conocer las distintas

posiciones que ocupa durante las distintas etapas de la subsidencia.

72

Para resolver este problema, se puede adquirir un mayor conocimiento del

funcionamiento interno de la función de influencia o explotar el que ya tenemos. Si la

función objetivo resultase ser continua y diferenciable, se pueden emplear técnicas de

descenso basadas en el gradiente de la función de coste.

Si esto no es aconsejable, como en este caso, por tratarse de una función cuyo

dominio de definición incluye los puntos de control (tres coordenadas y el

desplazamiento vertical) y los elementos de volumen extraídos (tres coordenadas de su

centro de gravedad, potencia efectiva y zona explotada a la que pertenece), siendo la

función resultante muy sensible a pequeños cambios en los valores de estas variables, lo

que la hace mutimodal (rugosa). Otra alternativa sería recurrir a la fuerza bruta y

proceder a enumerar la totalidad del espacio de búsqueda. Pero con el número de

posibilidades creciendo de forma exponencial con el número de valores a determinar,

esto se hace inabordable incluso para conjuntos de parámetros pequeños.

Es importante señalar, que la optimización planteada pretende seleccionar un

operador:

f n n np c z: � �4 5 7+ →

donde np es el número de puntos de control situados en la superficie afectada, nc es el

número de elementos que componen el modelo de la explotación y nz es el número de

zonas explotadas diferentes dentro de las labores subterráneas.

Este operador, del que se pretende encontrar la mejor estimación, no debe

confundirse con la propia función de influencia:

g nz: � �7 →

A la vista de esto, los matemáticos han desarrollado teorías para determinados

tipos de problemas que conducen a procesos de optimización específicos. Estos métodos

funcionan bien, siempre y cuando la función evaluada reúna todos los requisitos

exigidos por cada uno de ellos.

Todos los métodos deterministas mencionados hasta ahora, no manejan el

concepto de deterioro intermedio, por lo que la búsqueda finaliza cuando se dejan de

producir mejoras. En un entorno multimodal, como el estudiado en este trabajo, estos

algoritmos plantean descensos monótonos desde sus puntos de arranque respectivos, por

lo que, únicamente pueden converger hacia un óptimo local.

El método Newton-Raphson puede incluso diverger si se produce una cierta

discrepancia entre su modelo interno y la realidad. Por supuesto, estos métodos resultan

inmejorables si la tarea abordada cumple todas las condiciones impuestas. Sin tener en

cuenta las derivadas, los métodos poliédricos, la búsqueda de patrones y la búsqueda

73

por rotación de coordenadas deben ser mencionados aquí, ya que constituyen unos

algoritmos muy robustos para la optimización no lineal (Schwefel [64]).

Generalmente, en los problemas técnicos de optimización es muy difícil definir de

forma explicita la función objetivo. Es necesario recurrir a un modelo de simulación

con el fin de captar la realidad. Incluso, en este caso no se debe esperar que el proceso

se comporte de forma continua, por lo tanto, las derivadas no existen. Por esto, se han

desarrollado los algoritmos de optimización que manejan funciones mal planteadas. Sin

embargo, el aumento de la aplicabilidad de estos algoritmos tiene un coste elevado en la

velocidad de convergencia, comparados con los algoritmos especialmente diseñados

para la tarea encomendada. Más aun, ya no existe la garantía de poder encontrar el

óptimo global de la función objetivo.

En un intento de crear herramientas con distintos fines, la humanidad ha copiado,

más instintivamente que de forma genial, las soluciones inventadas por la naturaleza.

Hoy en día, se puede probar que en algunos casos determinadas formas o estructuras no

sólo están bien adaptadas a su entorno, sino que han alcanzado su óptimo (Rosen [40]).

Esto es debido a que las leyes de la naturaleza han permanecido estables durante los

últimos 3.500 millones de años. Por ejemplo, en los puntos de bifurcación de un sistema

de vasos sanguíneos, la relación medida entre los diámetros de los vasos se acerca al

óptimo teórico ( 2 1 3− ) indicado por las leyes de la dinámica de fluidos. Esto sólo

representa, por supuesto, un punto de vista limitado de la naturaleza. En general, la

naturaleza realiza adaptaciones, no optimizaciones.

La idea de imitar los principios básicos de los procesos naturales en los

procedimientos de búsqueda del óptimo se inicio hace más de tres décadas (Box [8],

Fraser [9], Friedman [14], Bremermann [23], Holland [24]). Aunque estos algoritmos

habían demostrado ser herramientas de optimización robustas y directas, ha sido

únicamente en los últimos cinco años cuando han captado la atención de los

investigadores. Esto es debido a que mucha gente todavía ve la evolución orgánica

como un gigantesco juego de dados; ignorando, por lo tanto, el hecho de que este

modelo evolutivo nunca podría haber funcionado: una célula humana contiene

aproximadamente 50 genes, compuesto cada uno de ellos por 300 tripletes de bases

nucleicas. A pesar de que las 4 bases existentes sólo codifican 20 aminoácidos

diferentes, tendrían que evaluarse 20 1015 000 000 19 500 00. . . .≈ genotipos diferentes en sólo

1017 segundos, la edad de nuestro planeta. Por lo tanto, el simple hecho de tirar los

dados no podría haber producido la diversidad de los complejos sistemas vivos actuales.

De acuerdo con esto, la elección aleatoria de muestras en el espacio

multidimensional de los parámetros de la función objetivo, con el fin de obtener el

óptimo global fracasará necesariamente (método de Monte-Carlo). Pero si consideramos

74

la evolución como un proceso acumulativo, altamente selectivo, cuyos resultados pasan

de una selección a otra ligeramente modificados, entonces la asombrosa variedad y

eficiencia existente en la Tierra no parece tan milagrosa. Cuando se construye un

modelo, el objetivo es aislar los mecanismos principales que han conducido al mundo

actual y que, igualmente, han estado sometidos a evolución. Inevitablemente, la

naturaleza ha dado lugar a un mecanismo que permite a los individuos de una

determinada especie intercambiar entre ellos porciones de su información genética

(recombinación o cruce), de tal forma que puedan adaptarse lo mejor posible a las

condiciones cambiantes del entorno.

Por otro lado, los algoritmos evolutivos se han ensayado ya en contextos muy

variados. En la Universidad de Illinois, se han desarrollado algoritmos que aprenden a

controlar una red ficticia de conducciones de gas, modelada sobre la red auténtica que

conecta los centros productores del sudoeste de los Estados Unidos con los

consumidores del Nordeste. El complejo consta de muchas ramificaciones, que

transportan distintas cantidades de gas; los únicos elementos de gobierno son

compresores, que permiten aumentar la presión en cualquier rama de la red, y válvulas,

que regulan el flujo de gas desde y hacia los tanques de almacenamiento. Dado el

importante desfase que separa la manipulación de las válvulas y compresores de los

cambios reales de presión en las tuberías, no se dispone de soluciones analíticas del

problema y los controladores humanos, como le sucede al propio algoritmo han de

aprender con la práctica. Su sistema no sólo atiende a la demanda de gas con costes

comparativos a los conseguidos en la práctica, sino que ha desarrollado una jerarquía de

meta-reglas capaces de dar respuesta adecuada a las perforaciones de las conducciones

(lo que ocurre con frecuencia en la realidad por culpa de máquinas excavadoras

despistadas). Técnicas similares se han empleado para el diseño de redes de

comunicaciones; en este caso los programas tratan de portar el máximo posible de datos

con un mínimo de líneas de transmisión y de conmutadores para interconectarlas.

Investigadores de General Electric y del Instituto Politécnico Rensselaer han

aplicado un algoritmo evolutivo al diseño de una turbina polietápica de alta velocidad,

como la de los motores que impulsan los aviones comerciales. Las turbinas -formadas

por una multitud de sistemas de álabes, estáticos unos y en veloz rotación los otros,

alojados todos ellos en el interior de un conducto más o menos cilíndrico- constituyen el

problema central del desarrollo de motores, proyectos que pueden durar cinco años o

más y llegar a consumir hasta 2000 millones de dólares.

El diseño de una turbina comporta al menos cien variables, cada una de las cuales

toma distintos intervalos de valores. El espacio de búsqueda resultante contiene más de

10387 puntos. La adecuación de la turbina depende de lo bien que cumpla un conjunto

75

de unas 50 restricciones, entre las que se cuentan las formas suaves y lisas de sus

paredes interior y exterior o la presión, velocidad y turbulencia del flujo en diversos

puntos del interior del cilindro. La evaluación de cada caso requiere hacer funcionar una

simulación de un motor durante unos 30 segundos en una estación informática para

diseño ingenieril.

Un ingeniero, trabajando solo, suele tardar unas ocho semanas en conseguir un

diseño satisfactorio. Los programas conocidos como sistemas expertos, que se valen de

reglas de inferencia basadas en la experiencia técnica para pronosticar los efectos de un

cambio en una o dos variables, pueden resultar muy útiles, pues orientan al diseñador en

la búsqueda de modificaciones convenientes. Un segundo ingeniero, ayudándose de uno

de ellos, tardó menos de un día en proyectar un motor con doble número de mejoras que

el diseño efectuado manualmente en ocho semanas.

Pero los sistemas expertos se atascan pronto allí donde la consecución de

ulteriores progresos requiere modificar simultáneamente muchas variables. La razón de

que existan tales puntos muertos es que resulta prácticamente imposible aislar y

clasificar la totalidad de efectos asociados a diferentes cambios múltiples y, más aún,

especificar las regiones del espacio de diseño en que continúa siendo válida la

experiencia previa.

Para eludir estos puntos muertos, el proyectista ha de hallar nuevos elementos de

solución. Aquí es donde interviene el algoritmo evolutivo. Proporcionándole como base

inicial las soluciones producidas por el sistema experto, una ingeniero tardó solos dos

días en hallar un diseño con tres veces más mejoras que la versión manual.

En definitiva, con el uso de los algoritmos evolutivos se consigue una mejora

sensible en la evaluación de los distintos parámetros empleados en la función de

influencia. Hasta este momento, dicha evaluación se realizaba de una forma más

imprecisa, mediante el uso de ábacos previamente establecidos para una determinada

explotación y se asumía su validez para explotaciones de similares características. Con

el método propuesto en este trabajo, como se verá, la determinación de estos parámetros

se realiza dinámicamente, siendo posible en cualquier momento la inclusión de puntos

de control adicionales, que mejoran el proceso de cálculo implementado.

76

.�/1±T-:4<=?D°0G0G.�ÿ</ÅA^@B4658A1@��<4<-#.�±T­o4<58>��?4<@BDF±T.��?4<5Los algoritmos evolutivos (AE) hacen uso de modelos computacionales basados

en procesos evolutivos como elementos clave del diseño e implementación de los

sistemas asistidos por ordenador para la resolución de problemas. Han sido muchos los

modelos evolutivos propuestos, pero todos comparten una misma base conceptual que

consiste en simular la evolución de estructuras individuales mediante procesos de

selección, mutación y reproducción. Estos procesos dependen de la realización o

adaptación de cada estructura individual según las condiciones establecidas por el

entorno.

De forma más precisa, los AE mantienen una población de estructuras, que

evolucionan de acuerdo con las reglas de la selección y otros operadores, denominados

operadores de búsqueda u operadores genéticos, como la recombinación y la mutación.

A cada individuo de esta población se le asigna una medida de su adaptación al entorno.

Así, la reproducción se centra en aquellos individuos mejor adaptados, haciendo

hincapié en las características disponibles de dicha adaptación. Posteriormente, la

recombinación y mutación deforman estos individuos dando paso a la exploración.

Aunque esto parezca sencillo desde un punto de vista biológico, estos algoritmos

son suficientemente complejos para constituirse en potentes y robustos mecanismos

adaptativos de búsqueda.

En el siguiente listado se recoge el pseudo-código correspondiente a un algoritmo

evolutivo genérico:

Un Algoritmo AE es// empieza con un tiempo inicialt := 0;// inicia un población de individuos, generalmente de forma aleatoriaIniciaPoblación P(t);// evalúa la adaptación de los individuos iniciales de la poblaciónEvalúa P(t);// verifica la condición de finalización (tiempo, adaptación, etc.)mientras no Acabado haz

// incrementa el contador de tiempot := t + 1;// selecciona la sub-población para la producción de descendientesP' := SeleccionaPadres P(t);// recombina los “ genes ” de los padres seleccionadosRecombina P'(t);// modifica la sub-población de forma estocásticaMuta P'(t);// evalúa la nueva adaptación y analiza si el proceso ha acabadoEvalúa P'(t);// selecciona los supervivientes entre los adaptados actualesP := Sobrevive P,P'(t);

fin mientrasfin EA. ��ñ ���lõ�ü��#��÷ øTLå�£ý�ó�ü��~ú�û�ü�ñ ò��­ò�ý�ù���ôeñ ú�~ü�ý~ó�ù�K�� ���� � ��������� ��� ���

77

Los algoritmos evolutivos, según la guía de la Computación Evolutiva de

(Heitkoetter [135]), se pueden dividir en las siguientes clases:

- Algoritmos Genéticos

- Programación Evolutiva

- Estrategias Evolutivas

- Sistemas Clasificadores

- Programación Genética

En el anexo de este trabajo se presentan brevemente cada una de estas técnicas.

78

.�­o,3@B>;­o>�/1±TA102.�ÿ</Å=?>�@�A1@��64<-:.�±%­o4 >��?46@BDF±T.��?4De todos los algoritmos evolutivos estudiados, los empleados con más asiduidad

para la optimización de funciones son los algoritmos genéticos y las estrategias

evolutivas. Ambos presentan bastantes características comunes, aunque en el primer

caso el proceso de aprendizaje tiene lugar al nivel de la población, mientras que en el

segundo se realiza al nivel de los parámetros o variables estratégicas.

En este trabajo se han implementado los dos tipos de algoritmos, comprobando

como se verá posteriormente, que el método que mejores resultados ofrece en este caso

son las estrategias evolutivas, debido principalmente a la gran rugosidad de la superficie

de respuesta. A continuación se presenta cada una de las implementaciones creadas.

Algoritmo Genético

Generalmente un algoritmo genético hace uso de tres operaciones: selección,

cruce y mutación. La selección está formulada a partir del principio darwiniano de la

supervivencia del mejor, las operaciones de cruce y mutación se han inspirado en los

mecanismos de la mutación genética y la recombinación de cromosomas que pueden

encontrarse en Biología. Su papel computacional es introducir diversidad en la

población de cromosomas para probar nuevas regiones no exploradas por el mecanismo

de selección.

En este trabajo, cada cromosoma o individuo está constituido por un conjunto de

números enteros (genes) que representan los valores de los parámetros de la función de

influencia. El tamaño de estos conjuntos varía según el número de zonas explotadas que

se estudian y, también, con la expresión de la función de influencia empleada.

Frente a la notación binaria tradicional empleada en la codificación de los

cromosomas, más adecuada para el tratamiento de problemas combinatorios, en los

problemas de optimización paramétrica se hace uso de una notación en coma flotante.

Sin embargo, el uso de esta notación se traduce en un espacio de búsqueda de la

solución considerablemente más grande. Por ello, para expresar el valor de cada

parámetro se ha empleado una notación de precisión fija, que permite al usuario del

algoritmo indicar el número de decimales con que desea obtener los valores

característicos de dichos parámetros, así como el rango de valores que tendrá cada uno

de ellos.

La selección de los individuos que posteriormente se emparejarán para producir la

siguiente generación, está basada en la adaptación de cada individuo al entorno que le

rodea. En este caso, la adaptación de cada cromosoma es inversamente proporcional al

error cometido al calcular los desplazamientos verticales de los puntos de control,

79

mediante la inserción en la función de influencia de los parámetros contenidos en dicho

cromosoma. Así la probabilidad de que un individuo sea seleccionado viene dada por la

expresión:

pe e

e ecc= −

−max

max min (75)

donde emax y emin son el error máximo y mínimo cometidos durante la evaluación de

todos los cromosomas que componen la población.

De esta forma, al cromosoma con el máximo error le corresponde una

probabilidad de supervivencia nula, mientras que el cromosoma con menor error tiene

una probabilidad unidad.

Una vez determinada la probabilidad de supervivencia de toda la población se

produce la selección. Esta puede realizarse de varias formas (Goldberg [101]):

- Ruleta: Este método se denomina así por su similitud con hacer girar un ruleta.

En efecto, una ruleta imaginaria se construye asignando una porción a cada uno

de los individuos de la población, pero las porciones son de diferentes tamaños,

permitiendo que algunos individuos tengan más posibilidades que otros de ser

seleccionados. Haciendo que el tamaño de la porción asignada a un determinado

cromosoma sea proporcional a su probabilidad de supervivencia, se consigue

que los individuos mejor adaptados tengan más oportunidades de ser

seleccionados para la reproducción. La ruleta se hace girar una vez por cada

individuo que hace falta para el proceso de reproducción, esto permite que

algunos cromosomas sean elegidos más de una vez, mientras que otros no se

escogen nunca.

- Valor Esperado: Existe un problema potencial en el modelo anterior debido a su

naturaleza estocástica. En otras palabras, su carácter aleatorio permite que

algunos individuos sean seleccionados más (o menos) veces de las que su grado

de adaptación merece. Para evitarlo, a cada individuo se le asigna un número

entero que corresponde al número de veces que será seleccionado para la

reproducción. Se define de esta forma el denominado AG canónico:

np

pcc

c

=(76)

donde nc es el número de veces que el cromosoma es seleccionado y pc es el

valor medio de la probabilidad de supervivencia previamente calculada.

80

Cromosoma 1

Cromosoma 2

Cromosoma 3

Cromosoma 4

Cromosoma 1

Cromosoma 2

Cromosoma 2

Cromosoma 4

Selección

Generación Actual Generación Intermediaðjñ ò�ó�ô¥õ#��H�÷ øTI ô¥ý�õ�ú�ñ û�ù~ü�ý­ÿ õ# �����ÿ õ�ú�ñ û�ù~ôeý� �ô���ü�ó�ú�� ñ +Üõ~ý�ù~ó�ù���Ü�ú£õ�ù�û�ù�ñ ú�Una vez creada la población de padres reproductivos, la selección de las parejas

de cromosomas que recombinarán su material genético se realiza de forma aleatoria.

Cada pareja seleccionada es eliminada de la población intermedia para que los

individuos no puedan ser elegidos de nuevo.

En la bibliografía han sido propuestos diferentes esquemas heurísticos de

recombinación o cruce, en aquellos casos donde se ha empleado una notación binaria

para la codificación del problema. Así, dados dos padres, el cruce simple consiste en

escoger aleatoriamente un punto de intersección e intercambiar las porciones situadas a

la derecha de ese punto, obteniendo de esta forma dos descendientes como se observa

en la figura 28.

Padre A

Padre B

Hijo AB

Hijo BA

Punto de Intersección

��� ���� �!�"�#�$ %'&)(+*),�-�. /10�*�23 ���45*�67� ,�-�. *

Un segundo tipo de cruce, es el cruce doble. En este caso, se escogen

aleatoriamente dos puntos del cromosoma y se intercambia el segmento comprendido

entre ellos, como se recoge en la figura 29. Así, el cruce simple puede considerarse un

caso especial de este en el que uno de los puntos de intersección está situado en uno de

los extremos del cromosoma

81

Padre A

Padre B

Hijo AB

Hijo BA

Punto de Intersección

��� ���� �!�"98�$ %'&)(+*�,�-�. /�0�*�23 ���45*�:3/�;�. *

Una extensión natural de este modelo es el esquema de cruce multipunto donde se

eligen varios puntos de intersección, como se recoge en la figura 30.

Padre A

Padre B

Hijo ABA...B

Hijo BAB...A

Puntos de Intersección

...

...

...

...

��� ���� �!�<�=�$ %�23 ���4>*�?���. @A� -���BC@A/

Por último, el cruce uniforme representa el caso extremo del esquema anterior, ya

que en este caso se intercambian todas y cada una de las parejas de bit según una

determinada probabilidad (Syswerda [104]).

A pesar de las diferencias operacionales, una característica que tienen en común

todas estas operaciones de cruce es que conservan los patrones comunes de los padres,

permitiendo que los patrones buenos, que han sobrevivido al proceso de selección de

una generación a otra, se conserven mientras se siguen buscando nuevas posibilidades

mediante el cruce de las regiones no comunes a ambos. Brevemente, la operación de

cruce de cromosomas mantiene un adecuado equilibrio entre la explotación de las

regiones buenas ya conocidas y la exploraciones de nuevas regiones, donde se puedan

encontrar mejores soluciones.

Esta observación ha conducido a (Holland [56]) a la definición del concepto de

esquema como cualquier tipo posible de patrón, o como hiperplanos en el espacio de las

tiras de bits. Holland mantiene que los esquemas son entidades esencialmente

funcionales que son procesadas por los algoritmos genéticos.

El teorema de los esquemas, revela que los subespacios con probabilidades

superiores a la media son evaluados un número de veces que crece exponencialmente

con el tiempo, mientras los esquemas con probabilidades inferiores a la media se

evalúan cada vez en menos ocasiones.

82

Por lo que se refiere a la mutación, esta previene la pérdida permanente de un

determinado bit o alelo. Después de varias generaciones es posible que la selección

conduzca a todos los bits de una determinada posición a un valor único: 0 ó 1. Si esto

ocurre sin que el algoritmo haya convergido hacia una solución satisfactoria, entonces

el algoritmo ha convergido prematuramente. Esto puede ser una gran problema cuando

se trabaja con poblaciones pequeñas. Sin la operación de mutación, no existe la

posibilidad de reintroducir el valor perdido del bit.

La recombinación y la mutación pueden adoptar otras formas cuando los

cromosomas no hacen uso de una representación binaria, como en este trabajo. Así, en

el caso que estén constituidos por números enteros o reales existen varios tipos de

operadores:

- Operadores Combinatorios:

Media: se toma la media aritmética de dos de los genes paternos.

Media Geométrica: se toma la raíz cuadrada de los productos de los dos valores.

Extensión: se toma la diferencia de los dos valores, y se le suma al mayor o se

resta del más pequeño.

- Operadores Mutantes:

Sustitución Aleatoria: se sustituye un valor por otro generado aleatoriamente.

Ruido: se suma o resta al valor una pequeña cantidad obtenida aleatoriamente.

Ruido Geométrico: se multiplica el valor por un valor aleatorio cercano a la

unidad.

En los dos últimos casos, el número aleatorio puede presentar diferentes tipos de

distribuciones: uniforme dentro de un rango, exponencial, normal, binomial, etc.

Una vez obtenida la población de hijos es necesario colocar cada uno de los

nuevos individuos en la población existente. Para ello, se pueden emplear los siguientes

métodos:

- Completa: La población de padres es sustituida totalmente por sus

descendientes.

- Al azar: Se escoge aleatoriamente un individuo de la población existente que es

sustituido por un descendiente, y se procede de igual forma hasta que se han

introducido todos los hijos.

- Por Superioridad: Sólo los descendientes cuyo error es menor que el máximo

existente en la población en cada momento son insertados, reemplazando al

cromosoma peor adaptado.

- Por Torneo: Se escogen aleatoriamente un determinado número (1 o más) de

padres y se compara su error con el del individuo que tratamos de introducir en

83

la población. Si el error de este es menor que el de alguno de los padres, se

sustituyen uno por otro.

- Por Similitud: Este método previene la convergencia prematura del algoritmo.

Así, la probabilidad de que un individuo sea reemplazado por un cromosoma

hijo depende del grado de similitud que exista entre ellos. Escogido uno de los

descendientes se compara (bit a bit) con un grupo de padres elegidos al azar. El

que se parezca más al hijo es sustituido por este.

Todas estas modelos de recombinación, mutación y selección han sido incluidos

en el algoritmo genético desarrollado para este trabajo, denominado SubGa. La

selección de las distintas opciones se realiza desde un fichero de texto, como el que se

recoge en el siguiente listado, que puede ser fácilmente modificado por el usuario con el

fin de especificar la configuración del algoritmo que desee en cada momento:

# FCEL FCONTcuad.dat cont.dat

# Dbg His N.Gen N.Cro MaxIter0 0 6 250 1

# SaltoM Paso IterPaso10 10 5

# E.Min MinV MaxV0.1 0.0 3.0

# T. Sust.: 0-TOTAL 1-SUPER. 2-TORNEO 3-AZAR 4-SIMILITUD# T. Cruce: 0-1PUNTO 1-2PUNTO 2-UNIFORME# T. Comb.: 0-MEDIA 1-MGEOM 2-EXTENSION# T. Muta.: 0-SUST 1-RUDIO 2-RGEOM# T. Esca.: 0-SINESC 1-LINEAL 2-CUADRA.

1 1 0 0 0# PCruce PMuta

0.75 0.15# IterEnvej. IterCatac.

0 10 D � E�@A!�0�/1"9$ %��'� 45F�*� �/�0�*G/�-�45� /�B�*9EH0�*9.>-� �/��� �!�,�!GI�J�KML7N

El contenido detallado de este fichero es el siguiente:

- FCEL: Nombre del fichero que contiene los datos correspondientes a los

mallados de las zonas explotadas. Su formato es el siguiente:

# NCEL NAREAn m

# XCGMYCGMZCGM POT AREAx1 y1 z1 p1 a1x2 y2 z2 p2 a2

...xn yn zn pn anD � E�@A!)0�/�<9$ %'�'� 45F)*� �/�0�*�0�!C@O/�E�45/)B�. /�EH,G!). . !�0�/)E�0�*�. !�*CPQ-�. /C@A!�45� R�B

Así, en primer lugar se indica el número de celdas contenidas en el fichero y el

número de zonas explotadas que se han mallado. A continuación, para cada una

de las celdas se indican las coordenadas de su centro de gravedad, la potencia

efectiva de dicha celda o elemento de volumen y, por último, se recoge el índice

de la zona explotada a la que pertenece cada celda.

84

- FCONT: Nombre del fichero que contiene los datos correspondientes a los

puntos de control o hitos. Su formato es el siguiente:

# NHITn

# X Y Z DX DY DZx1 y1 z1 dx 1 dy 1 dz 1x2 y2 z2 dx 2 dy 2 dz 2

...xn yn zn dx n dy n dz nD � E�@A!�0�/�S�$ %��'� 4>F�*9 �/�0�*�0�!C@A/�E�4>/�B�. /�E�-���BC@A/�EH0�*�45/�BC@A �/�.

En primer lugar se presenta el número de puntos de control contenidos en el

fichero. A continuación, para cada unos de los hitos se recogen sus coordenadas

y los desplazamientos en el espacio.

- DBG: Variable lógica (0/1) que desactiva/activa el modo de depuración del

programa, en el que se detalla cada uno de los pasos que se están realizando.

- HIS: Variable lógica (0/1) que desactiva/activa la generación de histogramas en

los que se detalla las distribución de los individuos en cada generación según su

adaptación y la probabilidad de supervivencia.

- N.GEN.: Número de genes que componen cada cromosoma.

- N.Cro: Número de cromosomas de cada población.

- MaxIter: Número máximo de iteraciones que se ejecutará el proceso evolutivo.

Para evitar el fenómeno de convergencia prematura se propone una técnica

específica, denominada cataclismo, que consiste básicamente en la búsqueda de un

individuo mejor adaptado mediante la mutación aleatoria del mejor de los individuos

obtenidos hasta el momento. Si, después de un determinado número de mutaciones

(IterPaso), no se obtiene mejora se disminuye el umbral de ruido en una cantidad

prefijada (Paso). El valor inicial del umbral viene dado por el cociente MaxV/SaltoM.

Se procede así de forma sucesiva hasta que se obtenga un individuo más adaptado o se

alcance el mínimo prefijado del umbral de ruido. Si ocurriese esto último, el algoritmo

genético se detiene.

- E.Min: Error mínimo que se desea obtener, si durante la ejecución del programa,

el error correspondiente a alguno de los cromosomas es inferior a este valor, el

proceso se detiene.

- MinV: Valor mínimo de los parámetros que se tratan de determinar.

- MaxV: Valor máximo de los parámetros que se tratan de determinar.

- T.Sust.: Tipo de sustitución que se lleva a cabo a la hora de insertar los nuevos

individuos en la generación precedente.

- T.Cruce: Tipo de cruce que se emplea para obtener nuevos individuos a partir de

los padres elegidos. Este mecanismo se emplea únicamente cuando los

parámetros a determinar se denotan en formato binario.

85

- T.Comb.: Tipo de combinación que se emplea para obtener nuevos individuos

cuando los parámetros se almacenan en coma flotante.

- T.Muta.: Tipo de mutación empleada.

- T.Esca.: Tipo de escala que se aplica a la magnitud (error) que mide la

adaptación de cada individuo o cromosoma a su entorno. Este operador permite,

en cierta medida, la convergencia prematura del algoritmo

- PCruce: Porcentaje de los individuos de cada generación que se combinan para

dar lugar a nuevos cromosomas.

- PMuta: Porcentaje de los cromosomas de cada población que son sometidos a

mutación para la introducción en el proceso evolutivo de nuevo material

genético.

- IterEnvej.: Número de iteraciones que un individuo se mantiene en el proceso

evolutivo sin ver alterada su carga genética. Después de alcanzado este valor, se

sustituye por un nuevo individuo obtenido de forma aleatoria.

- IterCatac.: Número de iteraciones que han de transcurrir sin que el proceso

evolutivo genere un individuo mejor adaptado, para que active el proceso de

cataclismo anteriormente expuesto.

En el siguiente listado se recoge el código, en lenguaje C, de la rutina principal

del programa SubGa.

{Poblacion P;

if (LeeDatos ("gas.dat") != BIEN)exit (1);

ImpDatos();IniAlea();

IniPob (&P, Dat.nc);ErrPob (&P);GenHis (&P);

while (Acabado(&P) == FALSO) {P.iter++;Recombina (&P);Muta (&P);Envejece (&P);ErrPob (&P);GenHis (&P);

if (Cataclismo (&P) == NOVALE)break;

}

ImpVal (&(P.bc)); /* Impresión de los resultados */} D � E�@A!)0�/�T9$ %'U3�C@A� B�!�-� �� B)45� -�!�.>0�*�.5-) �/��� �!�,�!GV�W�XZY7[

El algoritmo genético desarrollado como núcleo del programa SubGa, permite no

sólo la optimización de los parámetros de los que depende una determinada función,

como es el caso presentado en este trabajo; sino también la resolución de problemas de

maximización y minimización de una función de n variables. Para ello, se han

86

implementado una serie de herramientas que facilitan la resolución de problemas

genéricos, lo que ha permitido además la verificación del algoritmo a partir de las

funciones encontradas en la bibliografía y propuestas a tal efecto.

Por otro lado, con el fin de acelerar el proceso de evaluación del error de cada

cromosoma o conjunto de parámetros, se ha distribuido la etapa de integración de la

función de influencia entre diferentes máquinas conectadas a través de una red de

comunicación de ordenadores. Con ello se consigue que cada máquina evalúe un

determinado número de cromosomas simultáneamente, dependiendo de la carga que

tenga en cada momento. Es decir, el programa SubGa durante la etapa de evaluación de

la adaptación de cada cromosoma, envía una petición a la máquina que esté en ese

momento disponible para que calcule el error que le corresponde a ese determinado

conjunto de parámetros.

Esto ha exigido el desarrollo de un programa independiente o servidor, que se

ejecuta en cada una de los ordenadores de la red diseñados como servidores. Este es el

encargado de realizar la integración de la función de influencia a partir de los modelos

digitales del terreno y de los parámetros definidos en cada una de las peticiones del

proceso cliente. El programa gserver, una vez activado, se limita a escuchar un

determinado puerto (socket) definido previamente, por el que recibe las peticiones del

programa cliente. Esta petición consiste en una estructura de datos como la recogida en

la figura 31. Una vez realizada la evaluación el servidor devuelve la misma estructura

de datos, pero con el error del cromosoma debidamente actualizado.

int id

int num_par

double error

double par1

double par2

....

double parN

�'� ���� �!�<9\�$ %':Z!C@A/�E�]���*�45/�,�-�/�B�*�BG. !�E�-�*C@A� 45� /9B�*�EH!9.>-� �/��� �!�,�!���E5*� Q̂*�

En primer lugar, se identifica la generación a la que pertenece el cromosoma que

se evalúa, con esto se evita que las posibles peticiones viejas que no hayan sido

atendidas por el cliente se mezclen con las actuales. Luego, se indica el número de

parámetros que componen la petición, de esta forma se consigue una implementación

genérica del proceso que facilita la utilización de distintos modelos de funciones de

influencia. A continuación se recoge el error resultante de la evaluación y , por último,

87

se indican los valores de los distintos parámetros que caracterizan la función de

influencia.

En detalle, el proceso cliente-servidor comienza con la identificación de las

máquinas que están ejecutando el programa gserver. El nombre de cada una de estas

máquinas, el número del puerto en el que se instalado el servidor y el número de

procesos que se pueden ejecutar simultáneamente se recogen en un fichero, como el

presentado en el siguiente listado.

# HOST SOCKET NPROCzeus 9994 4electra 9994 1metis 9994 1afrodita 9994 1D � E�@A!�0�/1_9$ %'��� 45F�*� �/�0�*�� 0�*�BC@A� `A� 4>!�45� R�B10�*�.5-� �/��� �!�,�!Ga�b9c�dfeCc9d

Para cada una de las entradas de este fichero, el cliente intenta establecer tantas

conexiones como las reflejadas en la columna NPROC, para ello el servidor crea una

copia de si mismo que se encargará de las peticiones recibidas a través de cada una de

estas conexiones.

g'hjilk m

gser ver 9994 gser ver 9994

# HOST SOCKET NPROC zeus 9994 4 el ect r a 9994 1 af r odi t a 9994 1 met i s 9994 1

nlojprq

s5t k hluri�h

gser ver 9994 gser ver 9994

gser ver gser ver gser ver gser ver gser ver

gser ver gser ver

h t h s ilvfw

w5xlv5y{z5k i�w

��� ���9 �!�<9"�$ %�:3� !��� �!�,G!�0�*�.5-� �/�45*�E5/�0�� E�@A �� ;��9� 0�/�0�*G*C^�!�. ��!�45� R�B�0�*�45 �/�,�/�E5/�,�!�E

88

Una vez establecidas todas las conexiones posibles, el programa SubGa continua

ejecutándose de forma normal hasta alcanzar la rutina ErrPob. En esta, se preparan

ahora cada una de las estructuras de datos correspondientes a las peticiones de

evaluación de todos los cromosomas que componen la población.

A continuación, comienza el dialogo cliente-servidor en el que se intenta que

todas las conexiones establecidas previamente acepten una petición diferente. Una vez

realizadas las primeras peticiones, comienza el proceso de escucha en el que se recogen

las peticiones procesadas por los servidores. Cada vez que se recibe una petición con el

error debidamente calculado se realiza una nueva petición. Este proceso se repite hasta

que se han recibido todas las peticiones. Con esta implementación, cada uno de los

conjuntos de parámetros puede ser evaluado por uno o más servidores, lo que permite

que el proceso de evaluación no se retrase si una determinada máquina se sobrecarga

circunstancialmente. Si esto ocurriese, las peticiones procesadas por el servidor

instalado en ella se descartarían al estar evaluados con antelación por otro servidor.

Con la distribución de la integración de la función de influencia en diferentes

máquinas se consigue una mejora considerable en los tiempos de cálculo. De hecho, las

mejoras conseguidas no son lineales, es decir, con cuatro servidores el proceso no tarda

cuatro veces menos sino que el tiempo empleado es algo mayor. Para la determinación

de unos valores comparativos se ha empleado el siguiente problema:

Número de Genes: 3Número de Cromosomas: 50Número de Iteraciones: 100

Número de Servidores Duración (min:seg)

1 (zeus) 8:20

2 (zeus) 4:31

2 (zeus,afrodita) 4:36

3 (zeus) 3:13

3 (zeus, afrodita) 3:08

4 (zeus) 3:07

4 (zeus, afrodita) 2:31

4 (zeus, electra) 2:40

4 (zeus, afrodita, electra) 2:27

4 (zeus, afrodita, electra, metis) 1:41

5 (zeus, afrodita, electra, metis) 1:31

6 (zeus, afrodita, electra, metis) 1:30

7 (zeus, afrodita, electra, metis) 1:35|Z!�;�. !1\9$ %}|~� *�,�-�/�EH45/�,�-�!� �!C@A� ^�/�E�0�*�*C(+*�45��4>� R�B�0�*�.5-� �/��� �!�,�!GV�W'X~Y7[

89

Los resultados recogidos en la tabla 1 se han obtenido durante una día de trabajo

normal de la red, es decir, con las máquinas dedicadas a otra serie de tareas y no

exclusivamente a la ejecución del problema presentado. Por ello, los tiempos obtenidos

pueden verse afectados por la carga de trabajo de cada una de las máquinas en un

determinado instante. Los tiempos reflejados corresponden al mejor de los obtenidos en

cinco ejecuciones.

Una vez implementado el algoritmo genético presentado anteriormente, se evaluó

su comportamiento con datos reales. Con el fin de contrastar los resultados obtenidos se

desarrolló un nuevo programa basado, en este caso, en las estrategias evolutivas cuyo

funcionamiento se detalla a continuación.

Estrategia Evolutiva

Las estrategias evolutivas (Rechenberg [53]), se han desarrollado paralelamente a

los algoritmos genéticos, pero hasta la década de los 90 no ha habido contactos entre las

dos comunidades de investigadores. Estas estrategias están basadas en conjuntos de

variables que toman valores reales con modificaciones normalmente distribuidas de

media cero. Las primeras aplicaciones experimentales en problemas de optimización se

realizaron en la década de los 60 en la Universidad Técnica de Berlín. Allí se realizaban

estudios hidrodinámicos donde se intentaba optimizar la forma de las tuberías acodadas.

El algoritmo empleado en aquel caso era un sencillo esquema de mutación-selección

que trabajaba sobre un único individuo, que producía un solo descendiente mediante un

proceso de mutación. El mejor de los dos, padre e hijo, era seleccionado

determinísticamente para sobrevivir hasta la siguiente generación.

El programa SubEE, permite la realización de estrategias EE(µ+λ) y EE(µ,λ). Ha

sido desarrollado a partir de la estrategia evolutiva propuesta por (Schwefel [59,64]).

En este modelo, µ vectores de parámetros (puntos de comprobación en el espacio de

búsqueda) son utilizados para generar λ nuevos vectores mediante la aplicación de

cambios normalmente distribuidos. De estos, µ son empleados como puntos de origen

en la siguiente generación (iteración). En ese mismo instante los parámetros o variables

estratégicos también se modifican. Estos últimos son en realidad los parámetros de las

distribuciones normales de las longitudes de los ejes principales (desviaciones estándar

= pasos) y la orientación angular del hiperelipsoide de mutación en el espacio de

búsqueda n-dimensional. La selección se traduce en una adaptación de la topología local

si la relación λ/µ es lo suficientemente grande, generalmente superior a 5 ó 6.

La variación aleatoria de los ángulos de inclinación del hiperelipsoide se consigue

mediante la adición de números normalmente distribuidos, mientras que la modificación

de los pasos se obtiene mediante su multiplicación por números aleatorios generados

según una distribución log-normal.

90

De forma analítica, las estrategias evolutivas son métodos de optimización

paramétrica restringida o no de una función objetivo f n: � �→ y para problemas con

condiciones adicionales gi ≥ 0. La finalidad de este proceso es encontrar un vector

x n* ∈ � tal que ( ) ( )∀ ∈ ≤x f x f xn�: * si el fin es minimizar la función. El vector x*

recibe el nombre de óptimo global.

En general, las funciones objetivo no lineales presentan múltiples óptimos. Un

mínimo local �x se define como:

( ) ( )∃ > ∀ ∈

− < ⇒ ≤

ε

ε

0 x

x x f x f x

n�� �

(77)

Incluso si existe un solo óptimo local, puede ser difícil encontrar un camino hacia

él si la función presenta discontinuidades. Intentar garantizar una convergencia global

del proceso conduce a una búsqueda más o menos exhaustiva del espacio paramétrico.

De esta forma, este método puede describirse como:

( )EE , , , , , , , , , , ,= P r m s f g Tg0 µ λ σ σ θ∆ ∆ ∆

(78)

donde

( )P a a I010 0= ∈,..., µ

µpoblación

µ ∈ � número de padres

λ ∈ � número de descendientes, λ µ>

r I I: µ → operador de recombinación

m I I: → operador de mutación

s I I: λ µ→ operador de selección

∆σ ∈ � parámetro de control de los saltos∆σ g ∈ � parámetro de control de los saltos

∆θ ∈ � parámetro de control de la correlaciónf n: � �→ función objetivo

gjn: � �→ funciones restrictivas, { }j q∈ 1,...,

{ }T I: ,µ → 01 criterio de terminación

donde P0 denota la población inicial de µ padres que da lugar a λ descendientes en cada

generación. ∆σ y ∆θ son parámetros que controlan la mutación de las variables

objetivo x n∈ � . La información genética de un individuo ( )a x I= ∈, ,σ θ consiste en

tres partes, el conjunto de las variables objetivo x n∈ � , el conjunto de las desviaciones

estándar σ ∈ � n para la mutación de las variables objetivo x, y un vector de ángulos de

inclinación ( )θ ∈ = −� w w n n; 1 2 que se emplean para controlar las mutaciones

91

correladas de las variables objetivo x. Los dos últimos se denominan variables o

parámetros estratégicos, ya que controlan los efectos del operador m para cada

individuo.

Una estrategia evolutiva trabaja de forma similar que un autómata abstracto que

atraviesa secuencialmente un conjunto de estados (generaciones) hasta que se verifica

un determinado criterio de terminación T. El término generación se refiere al lapso de

tiempo comprendido entre dos estados sucesivos y, también, a la población Pt en el

instante t. Los λ descendientes se reducen a los µ padres de la siguiente generación

mediante la aplicación del operador de selección s:

( )( )

( )( ) ( )

P s P

P a a I

a m r P g g g a

t t

t t t

kt t

g j j kt

+ = ′

′ = ′ ′ ∈

′ = ∀ ∈ ′ ≥

1

1

0

,...,

, , , ; :

λλ

σ σ θ∆ ∆ ∆(79)

Un descendiente que no satisface todas las condiciones gj es simplemente

ignorado como una mutación letal. Cuando se realiza el proceso de selección basado en

la supervivencia del mejor adaptado, el operador s se define de la siguiente forma:

( ) ( )∀ ∈ /∃ ′ ∈ ′ ′ <+a P a P f a f at t1 : (80)

En este esquema de selección, el tiempo de vida de cada individuo de la población

está restringido a una sola generación (selección pura). Este tipo de estrategia evolutiva

es la denominada EE(µ,λ), mientras que una variante de estas, que permite la

supervivencia indefinida de los padres gracias a su incorporación al proceso selectivo,

se denomina estrategia elitista o EE(µ+λ).

El operador de recombinación r se emplea para generar nuevos descendientes

mediante la mezcla de la información contenida dentro de los diferentes individuos de

la población. Pueden ser varios los esquemas de recombinación:

( ) ( )r P a x It = ′ = ′ ′ ′ ∈, ,σ θ(81)

( )

( )

′ = +

+

î

x

x

x o x

x x

x o x

x x

i

a i

a i b i

a i b i

a i b i

a i b i

i

i

,

, ,

, ,

, ,

, ,

12

12

(A) no hay recombinación

(B) discreta

(C) intermedia

(D) global, discreta

(E) global, intermedia

donde, los índices a b b Pit, , ∈ denotan padres que han sido escogidos con idéntica

probabilidad por el operador r. Debe destacarse, que en la recombinación global los

92

padres progenitores de una componente ′xi se escogen de forma individual para cada

una de ellas. Esto da como resultado una mezcla de la información genética mayor que

en el caso normal (B):

De forma análoga, se define la recombinación de los otros dos componentes de

cada individuo de la población: ′σ y ′θ . Este proceso es similar, de alguna forma, al

cruce multipunto presentado para los algoritmos genéticos, lo que aumenta virtualmente

el espacio de búsqueda cubierta por la población.

Los esquemas (A), (B) y (C) pueden encontrarse en la naturaleza cuando se

observa la reproducción asexual de las bacterias o la reproducción sexual de los seres

vivos superiores. Sin embargo, los esquemas (D) y (E) son artificiales.

El operador de mutación m supone la introducción de nueva información en la

población. Modifica de forma aleatoria tanto la información objetivo como la

información estratégica contenida en cada individuo.

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) { }{ }

m a a x I

z N z N

N j w

x x N i n

i i g g g

j j

i i

= ′ = ′ ′ ′ ∈

′ = ⋅ + =

′ = ⋅ ∈

′ = + ∈

, ,

exp , ; ,

exp , ; ,...,

( , ) ; ,...,

σ θ

σ σ σ σ

θ θ θ

0 0

0 1

0 1

∆ ∆

∆

A (82)

donde, N(c,d) representa un número aleatorio independiente generado según una

distribución normal de varianza d2 y media c. Por otro lado, N(0,A) denota un vector de

números aleatorios de valor medio 0 y densidad de probabilidad:

( )( )

p z z zn= ⋅ −

detexp TA

A2

1

2π(83)

Los elementos diagonales de la matriz de covarianza A-1 son las varianzas

independientes ′σ i2 de las componentes xi del vector de decisión x, mientras que el

resto de los miembros de la matriz representan las covarianzas ci j, de los cambios.

Schwefel restringe las áreas de igual densidad de probabilidad a hiperelipsoides

n-dimensionales, que están caracterizados por un conjunto de ángulos de inclinación

′ ∈θ � w para los ejes principales del hiperelipsoide (Schwefel [59]). Las desviaciones

estándar ′σ i actúan como una especie de media de los saltos a lo largo de dichos ejes.

Existen, por lo tanto, dos parámetros que controlan la mutación de los saltos

σ ∈ � n . Por un lado, ∆σ g denota un factor de escala común a todos los pasos, mientras

que ∆σ controla la variación individual de cada salto σ i .

93

La introducción de los parámetros estratégicos: σ y θ en el proceso de

mutación-selección es una característica fundamental de las estrategias evolutivas. Esto

permite que una población, con su conjunto de parámetros estratégicos, se adapte

dinámicamente a la topología local de la función objetivo. En general, unos valores

adecuados de los parámetros estratégicos suponen una mejor adaptación del individuo

de acuerdo con f. Por tanto, la selección favorece automáticamente las mejores

configuraciones de estos parámetros. Se ha demostrado, (Schwefel [90]) que en el

proceso de búsqueda directa de las estrategias evolutivas se utilizan pasos cercanos a los

óptimos, lo que resulta en un mayor grado de convergencia. El efecto de las mutaciones

correladas se presenta en la figura 33, donde se esboza mediante el contorno de una

elipse un conjunto de mutaciones igualmente probables para un determinado individuo.

La longitud de los ejes representa los diferentes valores de σ i . Con las mutaciones

simples los ejes de las elipses son paralelos al sistema de coordenadas elegido, mientras

que en el caso de mutaciones correladas una elipse puede estar orientada libremente en

el espacio, lo que supone una mejor adaptación a los angostos valles del espacio de

búsqueda.

Línea de igual probabilidad de generación de un descendiente

��� ���� �!�<9<�$ %�&)`A*�4�@A/�E�0�*�,���@A!�4>� /�B�*9EHE5� ,�-�. *�E���� �5]���� *� �0�!��}��,���@A!�4>� /�B�*9EH45/� � �*�. !�0�!9EH��0�*� �*�45F�!��

Por lo que se refiere a la implementación informática de este proceso, en el

siguiente listado se presentan las distintas opciones incluidas en el programa SubEE,

estas se recogen en un fichero de preferencias configurable por el usuario.

94

# N.Gen N.Padres N.Hijos TipoEE TipoR TipoM3 5 50 1 112 1

# N.Pasos PasoMin PasoMax3 2 1

# MaxIter MinError100 0.01

# DS DI DP0.4083 0.5373 0.087266

# N.Rang3

# minv maxv ndec iniv0.00 2.00 3 -0.01 2.00 3 -0.00 5.00 3 -D � E�@A!�0�/���$ %��'� 45F�*� �/�0�*�-� �*C`A*� �*�B�45� !�E�0�*�.5-� �/��� �!�,G! V�W'X����

De forma detallada, las opciones recogidas en este fichero son:

- N.Gen: Número de variables o parámetros objetivo que definen cada uno de los

individuos de la población.

- N.Padres: Número de individuos que componen cada una de las generaciones.

- N.Hijos: Número de individuos que se obtienen por mutación y combinación a

partir de los padres en cada iteración del algoritmo.

- TipoEE: Tipo de estrategia evolutiva implementada [0: EE(µ,λ) 1: EE(µ+λ)].

- TipoR: Tipo de recombinación que se realiza para cada una de las variables del

problema: variables objetivo, variables estratégicas y ángulos de inclinación.

Cada dígito indica la recombinación a emplear para cada una de estas variables.

0- Sin recombinación.

1- Recombinación discreta de los padres, es decir, se coge uno u otro

aleatoriamente.

2- Recombinación intermedia, se obtiene la media aritmética.

3- Recombinación discreta global, para cada gen del cromosoma se escoge una

pareja de padres diferentes.

4- Recombinación intermedia global.

- TipoM: Tipo de mutación

0- Mutación simple.

1- Mutación correlada

- N.Pasos: Número de variables estratégicas a emplear mayor que cero.

- PasoMín: Valor mínimo de las variables estratégicas. Si durante su mutación,

una variable estratégica alcanza un valor inferior al mínimo, este se sustituye por

PasoMín.

- PasoMáx: Valor máximo inicial de las variables estratégicas. A cada una de las

variables estratégicas se les asigna una valor inicial según una distribución

uniforme entre 0 y PasoMáx.

95

- MaxIter: Número máximo de iteraciones o generaciones que se van a considerar.

Si el proceso alcanza esta iteración sin conseguir un error inferior al umbral

exigido, el proceso se detiene.

- MinError: Error mínimo que se desea obtener con el proceso de optimización.

- DS: La mutación de las variables objetivo xi, está controlada por un conjunto de

desviaciones estándar o pasos σ i , que son mutados a su vez antes de aplicarse a

las variables objetivo.

- DI: Desviación estándar de la distribución log-normal que se aplica a las

variables estratégicas σ i .

- DP: Desviación estándar de la distribución log-normal que se aplica a las

variables estratégicas θ i .

- N.Rang: Número de rangos especificados a continuación. Este número es menor

o igual que el número de genes que componen cada individuo. Así, se puede

especificar un único intervalo de valores para todos los parámetros que tratamos

de determinar, o bien se pueden detallar estos intervalos individualmente.

Para cada rango especificado se indican el valor máximo y mínimo del

parámetro correspondiente, el número de decimales con que se va a trabajar en

cada caso y, por último, se recoge el valor inicial del parámetro. Si este último

campo está vacío el gen se inicializa con un valor aleatorio comprendido en el

rango. Se facilita de esta manera la ejecución del algoritmo desde un punto del

espacio de búsqueda, obtenido con anterioridad, que no presente el error deseado

inicialmente.

En el siguiente listado se recoge el código, en lenguaje C, de la rutina principal

del programa SubEE.

{Poblacion P;

IniAlea();if (LeeDatos ("subee.dat") != BIEN)

exit (1);ImpDatos();IniCliente(Dat.nh);

IniPob (&P);ErrPob (&P, PADRES);

do {Muta (&P);ErrPob (&P, HIJOS);Selecciona (&P);

ImpVal (P.vp, CIERTO);P.iter++;

} while (!Acabado(&P));

ImpVal (&P.bc, FALSO);return BIEN;

} D � E�@A!)0�/�#9$ %'U3�C@A� B�!�-� �� B)45� -�!�.>0�*�.5-) �/��� �!�,�!GV�W�X'���

96

Al igual que la implementación del algoritmo genético, presentado anteriormente,

el programa SubEE hace uso de la técnica cliente-servidor para la realización de los

cálculos involucrados en la evaluación de la adaptación al entorno de los individuos de

cada generación.

97

����� �¢¡1�¤£1¥¦�¨§�©�ª«¥¦ª¦¥¦¬®­�¯�§���¥

Con el fin de evaluar el modelo de función de influencia propuesto, se ha

realizado un análisis del fenómeno mediante el uso de un programa comercial, basado

en el método de los elementos finitos. Se pretendía con esto realizar un análisis

comparativo de los resultados obtenidos que permitiese caracterizar las propiedades del

macizo rocoso sometido a la subsidencia y comprobar también la fiabilidad de los

parámetros escogidos para el desarrollo del programa informático.

Este planteamiento tiene gran interés en aquellos casos donde se realiza por

primera vez un estudio de la subsidencia. Así, será posible modelizar de una forma

genérica el problema mediante el uso de un programa comercial, como el empleado en

este trabajo, para determinar posteriormente los parámetros que caracterizan el modelo

según la expresión de influencia propuesta. De esta forma, se consigue una

aproximación inicial a la cubeta de hundimiento que podrá corregirse más tarde a

medida que se realiza el seguimiento de los movimientos del terreno afectado por las

labores subterráneas.

El programa elegido para la realización de esta comprobación ha sido

COSMOS/M®, que es un sistema de elementos finitos completo, auto contenido y

modular desarrollado por Structural Research and Analysis Corporation. El programa

incluye módulos para resolver problemas estructurales lineales y no lineales, estáticos y

dinámicos, además incorpora módulos para la resolución de problemas de transferencia

de calor, mecánica de fluidos, electromagnetismo y optimización estructural.

En la tabla 2 se recogen los distintos módulos que constituyen COSMOS/M®.

Módulo Tipo de AnálisisSTAR Estático Lineal

DSTAR Amortiguamiento, Frecuencias y Modos PropiosFSTAR FatigaASTAR Dinámico Lineal Avanzado

OPTSTAR Optimización EstructuralNSTAR Estático y Dinámico No LinealHSTAR Transferencia Térmica

FLOWSTAR Dinámica de FluidosESTAR Electromagnetismo|~!�;). !�"�$ %�?�R�0���. /�EH0�*�.5-� �/��� �!�,�!±°3²³V7´µ²³V{¶A´�·

El sistema COSMOS/M® consta de pre- y postprocesador, varios módulos de

análisis, entornos de trabajo, traductores y utilidades. El programa es completamente

modular, lo que permite al usuario cargar únicamente los módulos que necesite para

cada problema.

98

El programa pre- y postprocesador se denomina GEOSTAR. Es un modelador

geométrico interactivo totalmente tridimensional, así como generador de mallados. Sin

necesidad de abandonar este módulo, el usuario puede crear la geometría del modelo,

mallarlo, suministrar toda la información relacionada con el análisis, realizar el tipo de

análisis deseado y revisar e imprimir los resultados, tanto gráficos como numéricos.

Teniendo esto en cuenta, se ha desarrollado en lenguaje C un pequeño programa,

denominado gencmos, encargado de la generación de los ficheros de comandos para el

programa GEOSTAR, a partir de la geometría propuesta para cada modelo. Este

programa se encarga también de la creación de los modelos digitales del terreno y las

labores subterráneas que se emplearán posteriormente en el programa SubEE para la

determinación de los parámetros característicos de cada modelo.

En las siguientes figuras se representa la geometría de cada uno de los tres

problemas estudiados con el programa COSMOS/M®. En todos los casos, se ha

modelado una única capa carbón de potencia 2 m., variando la longitud de la zona

explotada. También se ha variado el ángulo que forma el terreno, supuesto plano, con la

horizontal así como el buzamiento de la capa.

�'� ���� �!�<9S�$ %'?�/�0�*�. /�¸�*C^�!�. ��!�0�/�4>/�B�*�.5-� �/��� �!�,�!±°3²³V�´¹²³V)¶O´ ·

99

�'� ���� �!�<9T�$ %'?�/�0�*�. /1¸ ¸�*C^Q!�. ��!�0�/�45/�B1*�.5-� �/��� �!�,�!±°3²³V�´¹²³V)¶O´�·

�'� ���� �!�<9_�$ %'?�/�0�*�. /�¸ ¸ ¸�*C^�!�. ��!�0�/145/�B�*�.>-� �/��� �!),G!µ°3²³V�´¹²³V)¶O´�·

Para cada uno de estos tres modelos, se generó un fichero de control como el

recogido en el siguiente listado:

100

C*C* Modelo de subsidencia planaC*C* a: 0C* b: 0C* h: 50C* p: 2C* w: 15C*VIEW,0.0,0.0,1.0CLS,1PLANE,Z,0.0,1EGROUP,1,TRIANG,,,2,,5CURDEF,TIME,1,1,0,0.0,20,1.0MPROP,1,EX,1e8MPROP,1,DENS,200.0MPROP,1,NUXY,0.45MPROP,1,FRCANG,27.27MPROP,1,COHESN,100000.0MPROP,2,EX,5e7MPROP,2,DENS,175.0MPROP,2,NUXY,0.4MPROP,2,FRCANG,10.0MPROP,2,COHESN,10000.0PT,1,-50,-35.94,0.0PT,2,50,-35.94,0.0PT,3,-50,-2.6,0.0PT,4,50,-2.6,0.0PT,5,-50,-0.6,0.0PT,6,50,-0.6,0.0PT,7,-50,50,0.0PT,8,50,50,0.0PT,9,-7.5,-2.6,0.0PT,10,7.5,-2.6,0.0PT,11,-7.5,-0.6,0.0PT,12,7.5,-0.6,0.0CRLINE,1,1,2CRLINE,2,2,4CRLINE,3,4,6CRLINE,4,8,6CRLINE,5,8,7CRLINE,6,7,5CRLINE,7,5,3CRLINE,8,1,3CRLINE,9,3,9CRLINE,10,9,10CRLINE,11,10,4CRLINE,12,5,11CRLINE,13,11,12CRLINE,14,12,6CRLINE,15,7,11CRLINE,16,8,12

CRLINE,17,1,9CRLINE,18,2,10CRLINE,19,9,11CRLINE,20,10,12PARASSIGN,NEL,INTEGER,10CTNU,1,4,1,2*NEL,17,NEL,10,NEL,18,NELCTNU,2,3,8,NEL,9,NEL,17,NELCTNU,3,3,2,NEL,11,NEL,18,NELCTNU,4,4,7,1,9,NEL,19,1,12,NELCTNU,5,4,10,NEL,19,1,13,NEL,20,1CTNU,6,4,11,NEL,20,1,14,NEL,3,1CTNU,7,4,13,NEL,15,2*NEL,5,3*NEL,16,2*NELCTNU,8,3,6,NEL,12,NEL,15,2*NELCTNU,9,3,14,NEL,16,2*NEL,4,NELRG,1,1,1RG,2,1,2RG,3,1,3RG,4,1,4RG,5,1,5RG,6,1,6RG,7,1,7RG,8,1,8RG,9,1,9SCALEACTSET,EG,1ACTSET,MP,1MA_RG,1,3,1,2MA_RG,7,9,1,2ACTSET,MP,2MA_RG,4,4,1,2MA_RG,6,6,1,2NMERGE,1,,1,0.0001,0,0DCR,2,UX,0.0,4,1DCR,6,UX,0.0,8,1DCR,1,UY,0.0,1,1ACTSET,LC,1ACTSET,TC,1ACEL,0,-9.81,0TIMES,0,100,10NL_PRINT,10A_NONLINEAR,S,1,1,20,0.001,1,G,0R_NONLINEARLISTLOG,1,h11.pto,0NLISTLISTLOG,0,h11.ptoLISTLOG,1,h11.des,0DISLISTLISTLOG,0,h11.desLISTLOG,1,h11.str,0STRLISTLISTLOG,0,h11.strQUITD � E�@A!�0�/189$ %'��� 4>F�*� �/�0�*�45/�BC@A �/�.>0�*�.5-� �/��� �!�,G!±Y³��²³V�º}»3¼

La ejecución de cada uno de estos ficheros de control permite no sólo la creación

de la geometría básica de cada modelo, sino también el mallado, con elementos

triangulares, de cada una de las regiones en las que se han dividido. Se especifica

además el tipo de análisis a realizar, que en este caso se trata de un análisis estático no

lineal en deformación plana. El comportamiento de los elementos se ha supuesto

elástico, perfectamente plástico, según el modelo Drucker-Prager, en el ámbito de las

pequeñas deformaciones.

Los mallados obtenidos en cada caso se recogen en la siguientes figuras,

generadas a partir de los listados de elementos y nudos, creados por el programa

GEOSTAR. Para facilitar su comparación, se presentan los tres casos con los mismos

rangos de coordenadas tanto en el eje horizontal como en el vertical.

101

-100

-50

0

50

100

150

200

-150 -100 -50 0 50 100 150

��� ���� �!�<���$ %�?�!�. . !�0)/�0�*�.5?�/)0�*�. /�¸)��*�B�*� �!�0�/�45/�B�½�¾7¿�À7Á�Â3Ã

-100

-50

0

50

100

150

200

-150 -100 -50 0 50 100 150

��� ���� �!�<�#�$ %�?�!). . !�0�/�0�*�.>?�/�0�*�. /�¸ ¸���*)B�*� �!)0�/�45/�B ½�¾7¿�À7Á�Â3Ã

102

-100

-50

0

50

100

150

200

-150 -100 -50 0 50 100 150

��� ���� �!�<�8�$ %'?�!�. . !�0�/�0�*).5?�/�0�*). /�¸Ä¸ ¸���*�B�*) �!�0)/�45/�B ½�¾7¿�À7Á�Â3ÃPara la obtención de los desplazamientos verticales de los puntos del terreno, se

ha realizado una ejecución previa del análisis, suponiendo que la explotación de la capa

no había comenzado aún. Esto permite descontar de los desplazamientos obtenidos con

el modelo definitivo, en el que si aparece la explotación, el hundimiento debido a la

compactación propia del terreno. Los resultados obtenidos se recogen en los siguientes

gráficos, donde las ordenadas indican los hundimientos calculados (no deben

confundirse con el correspondiente desplazamiento vertical que tendría signo contrario)

y las abscisas representan la posición horizontal de cada punto de control:

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14-60 -40 -20 0 20 40 60

compactacionsubsidencia sin compac.

subsidencia con compac.

�'� ���� �!�S9=�$Ä%�Å3��B�0)� ,�� *�BC@A/�0)*�.�@O*� � �*�B�/1*�B�*�.>,�/�0�*�. /�¸

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

compactacionsubsidencia sin compac.

subsidencia con compac.

�'� ���� �!�S9\�$Ä%�Å3��B)0�� ,�� *�BC@A/10�*�.�@A*� � �*�B�/�*�B1*�.>,�/�0�*�. /�¸ ¸0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

compactacionsubsidencia sin compac.

subsidencia con compac.

�'� ���� �!�S9"�$Ä%�Å3�)B�0�� ,1� *�BC@O/�0�*�.�@A*) � �*�B�/1*�B�*�.>,�/�0)*�. /1¸ ¸ ¸

104

Posteriormente, se procedió a la determinación de los parámetros característicos

de la función de influencia para cada uno de estos modelos. La función de influencia

empleada se recoge en la siguiente ecuación:

( ) ( )∆

∆w h

m a A

k he n ek h k hρ θ θ

θ

πρ

θ

πρ

θ θ, , =⋅ ⋅

+ ⋅

−

−

22

2 2

(84)

Sin embargo, debido al carácter bidimensional del problema analizado se ha

descartado el comportamiento ortotrópico del material, es decir, los valores

característicos de cada parámetro se suponen iguales en este estudio.

a a k k n nx y x y x y= = =; ;

Los resultados obtenidos con el método de la función de influencia se recogen en

las siguientes figuras, donde se comparan con los calculados con el programa

COSMOS/M® para los distintos modelos estudiados.

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

-60 -40 -20 0 20 40 60

subeecosmos

��� ���� �!�S9<�$ %�23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*� �*�E>��. @A!�0�/�E�-�!� �!�*9.>,�/�0�*�. /�¸�45/�B�<�-�!� �Æ�,G*C@A �/�E

105

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���� �!�S9S�$ %�23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*� �*�E5��. @A!�0�/�EH-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸�45/�B�<�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���� �!�S9T�$ %�23/�,�-�!� �!�45� R�B�0�*� �*�E5��. @A!�0�/�E�-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸ ¸�4>/�B�<�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

106

Los resultados conseguidos con el modelo escogido de la función de influencia no

parecían demasiado satisfactorios, por lo que se introdujo un nuevo parámetro con el fin

de mejorar la adaptación del segundo término de la función a las variaciones observadas

en los modelos. Así la función de influencia modificada queda de la forma:

( ) ( )∆ ∆

w ha m A

khe n ekh

bkhρ

π ρ π ρ

, = ⋅ ⋅ + ⋅

−

−

22

2 2

(85)

donde b es el nuevo parámetro. Los resultados obtenidos con esta nueva expresión de la

función de influencia fueron:

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

0.017

0.018

0.019

-60 -40 -20 0 20 40 60

subeecosmos

��� ���� �!�S9_�$ %�23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*� �*�E>��. @A!�0�/�E�-�!� �!�*9.>,�/�0�*�. /�¸�45/�B�S�-�!� �Æ�,G*C@A �/�E

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���� �!�S9��$ %�23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*� �*�E5��. @A!�0�/�EH-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸�45/�B�S�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

107

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���� �!�S9#�$ %�23/�,�-�!� �!�45� R�B�0�*� �*�E5��. @A!�0�/�E�-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸ ¸�4>/�B�S�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

A la vista de esto, se observa como el modelo I, donde el terreno y la zona

explotada son horizontales, queda perfectamente aproximado mediante el uso de la

nueva función de influencia recogida en la ecuación 85. Sin embargo, en los otros dos

modelos se aprecia una ligera mejoría aunque esta es despreciable en el último caso. En

las siguiente tablas se recogen los errores totales y máximos (acumulado en un solo

punto de control) obtenidos con las dos expresiones de la función de influencia

presentadas anteriormente.

Número de Parámetros

Modelo 3 (ec. 84) 4 (ec. 85)I 0,017785 0,001210II 0,724150 0,685652III 0,055471 0,053379|Z!�;�. !�<�$ %'&� � �/� �*�E³@A/C@A!�. *�EH*�,�-�. *�!�B�0�/�. !�`A��B�45� R�B�0�*1� BC`A. ��*�B�4>� !�4>/�B�<���S�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

Número de Parámetros

Modelo 3 (ec. 84) 4 (ec. 85)I 0,002193 0,000118II 0,007092 0,084789III 0,005254 0,005305|~!�;). !�S�$ %�&7 � �/� �*�EH,GÆCP�� ,�/�E�*�,�-�. *�!�B�0�/�. !�`A��B�4>� R�B�0�*�� BC`A. ��*�B�45� !�45/�B�<���S�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

En un último intento de mejorar el comportamiento de la función de influencia,

esta se modifica para incluir un nuevo término lineal, función de la distancia vertical

108

entre el elemento extraído y los puntos de la superficie. Así la nueva expresión de la

función queda de la siguiente forma.

( ) ( )∆ ∆

w hm a A

khe n e c hkh

bkhρ

π ρ π ρ

, = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

−

−

2

2 2

(86)

donde c es el quinto parámetro que se incluye en la función de influencia.

Número de Parámetros

Modelo 5 (ec. 86)II 0,118869III 0,001840|Z!�;�. !1T9$ %'&� � �/� �*�E7@A/C@A!�. *�EH*�,�-�. *�!�B�0�/�. !�`A��B�4>� R�B�0�*�� BC`A. ��*�B�45� !�45/�B�T�-�!� ��,G*C@A �/�E

Número de Parámetros

Modelo 5 (ec. 86)II 0,011760III 0,000280|Z!�;�. !�_�$ %'&� � �/� �*�EH,GÆCP�� ,�/�E�*�,�-�. *�!�B�0�/�. !�`A��B�45� R�B�0�*�� BC`A. ��*�B�4>� !�45/�B�T�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

En las siguientes figuras se presenta la comparación de los métodos evaluados

para los modelos II y III, ya que la inclusión del parámetro c en el modelo I no supone

una mejora apreciable en la aproximación obtenida anteriormente.

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���� �!�S98�$ %�23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*� �*�E5��. @A!�0�/�EH-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸�45/�B�T�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

109

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���� �!�T9=�$ %�23/�,�-�!� �!�45� R�B�0�*� �*�E5��. @A!�0�/�E�-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸ ¸�4>/�B�T�-�!� �Æ�,�*C@A �/�E

Modelo Número de Parámetros Porcentaje de Ajuste3 100,00

I 4 6,805 -3 100,00

II 4 94,685 16,413 100,00

III 4 96,235 3,32|Z!�;�. !��9$ %'?G*C(+/� �!�E�-�/9 �45*�BC@A��!9. *�E�45/�B�E5*������ 0�!�E�E5*���Ç9B�*�.5B�Ç�,�*� �/�0�*G-�!� �Æ9,�*C@A �/�E

Como valor de referencia, para la construcción de esta tabla, se toman los errores

totales obtenidos para cada modelo mediante la aplicación de la expresión de la función

de influencia con tres parámetros. Los errores obtenidos con las otras expresiones de

esta función se expresan respecto a aquellos.

Para conseguir todos estos resultados, ha sido necesario ejecutar el programa

SubEE una número suficiente de veces (hasta 10 veces para el modelo II, donde la

aproximación no fue tan buena como en los otros dos modelos) con el fin de obtener el

óptimo global de la función de error. Esto es debido a que dicha función presenta una

hipersuperficie rugosa de È È5 → , con varios mínimos locales que dificultan la

búsqueda del óptimo. Dada la imposibilidad de representar una superficie de este

número de dimensiones, se representan únicamente las variedades unidimensionales que

unen los diferentes óptimos encontrados en las ejecuciones realizadas.

110

El caso presentado a continuación corresponde a tres óptimos obtenidos para el

modelo III. Los valores correspondientes a los parámetros en cada uno de estos puntos

se recogen en la siguiente tabla.

Punto a k n b c Error TotalP 4,32584 1,06592 -2,62521 0,05638 0,02821 0,001840

Q 1,51560 0,82830 -3,84050 -0,00410 0,04910 0,001898

R 1,43066 1,01077 1,72276 1,31735 0,01609 0,042662|Z!�;�. !�#9$Ä%'É�-C@A� ,�/�EH/�;C@O*�B�� 0�/�EH-�!� �!�*�.>,�/�0)*�. /1¸ ¸ ¸

Como se observa en la tabla anterior, no sólo existen diferentes óptimos para cada

modelo evaluado, sino que estos pueden tener errores totales similares (puntos P y Q)

pero con valores de los parámetros muy alejados entre si.

Así, en las siguientes figuras se recoge el error total obtenido para el modelo III

en función del parámetro t que caracteriza cada una de las variedades unidimensionales,

según las ecuaciones paramétricas:

( )( )( )

Ê Ê Ê ÊÊ Ê Ê ÊÊ Ê Ê Ê

S P t Q P

S P t R P

S R t Q R

= + ⋅ −

= + ⋅ −

= + ⋅ −(87)

donde ËS es el vector de posición de un punto genérico de la correspondiente variedad

unidimensional. En las tres figuras, se puede apreciar claramente la presencia de los

diferentes óptimos encontrados en este estudio.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

��� ���� �!�T�\�$ %�&� � �/� >|Z/C@A!�.5!�. /�. !� ���/�0�*�. !�^Q!� �� *�0�!�0���B�� 0�� ,�*�B�E5� /�B�!�.5Ì�%�Í

111

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

��� ���9 �!�T9"�$ %'&� � �/� }|~/C@A!�.>!�. /�. !� ���/�0�*�. !�^Q!� �� *�0�!�0���B�� 0�� ,�*�B�E>� /�B�!�.5Ì7%�U

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

�'� ���� �!�T9<�$ %'&� � �/� }|~/C@O!�.5!�. /1. !� ���/�0�*�. !�^�!� �� *�0�!�0���B�� 0�� ,�*�B�E5� /�B�!�.5�%�U

Para este mismo caso, se ha obtenido el error correspondiente a la porción de

variedad bidimensional definida por los tres puntos PQR y que está comprendida entre

ellos. En las siguientes figuras se presenta el error total correspondiente a cada uno de

los puntos de esta variedad bidimensional, en función de sus coordenadas paramétricas

t, u según la ecuación:

112

( ) ( )Î Î Î Ï Î ÏS P t Q P u R P= + ⋅ − + ⋅ −

(88)

donde ÐS es el vector de posición de un punto genérico de la correspondiente variedad

bidimensional.

-1-0.5

00.5

10

0.5

1

0

0.5

1

1.5

�'� ���� �!�T9S�$ %'&� � �/� >|Z/C@A!�.>!�. /�. !� ���/10�*�. !�^�!� �� *�0�!�0�;�� 0�� ,�*�B�E>� /�B�!�.>��U

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

��� ���� �!�T�T�$ % D�Ñ B�*�!�E�0�*�¸ E>/C^Q!�. /� �*�E�0�*�.>&� � �/� '*�B�. !�^Q!� �� *�0�!�0�;�� 0�� ,�*�B�E5� /�B�!�.>Ì�Í�U

Por lo que se refiere a los desplazamientos horizontales, los resultados obtenidos

con el modelo propuesto en la bibliografía, presentado en la ecuación 59, no fueron tan

positivos como los obtenidos para los desplazamientos verticales. En las siguientes

figuras se comparan los desplazamientos horizontales para cada uno de los tres

113

modelos, obtenidos haciendo uso de la última expresión de la función de influencia

propuesta.

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

-60 -40 -20 0 20 40 60

subeecosmos

�'� ���� �!�T9_�$ %'2Z/�,�-�!� �!�45� R�B�0�*�0�*�E5-�. !��>!�,�� *�BC@A/�E�F�/� �� �>/�BC@A!�. *�EH-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

�'� ���� �!�T9��$ %'23/�,G-�!� �!�45� R�B�0�*�0�*�E5-�. !��5!�,�� *�Bf@A/�E�F�/� �� �5/�BC@A!�. *�E�-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸

114

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

�'� ���� �!�T9#�$ %'23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*�0�*�E>-�. !��>!�,G� *�BC@A/�E�F)/� �� �5/�BC@A!�. *)E�-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /�¸ ¸ ¸

Estos gráficos parecían sugerir que la pendiente de la cubeta de hundimiento tenía

una relación directa con los desplazamientos horizontales. Por tanto, se representaron

las pendientes de cada modelo frente a los desplazamientos horizontales obtenidos con

COSMOS/M®, como se observa en los siguientes gráficos.

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

-60 -40 -20 0 20 40 60

subeecosmos

��� ���9 �!�T98�$ %'2Z/�,�-�!� �!�45� R�B�0�*�-�*�B�0�� *�BC@A*)E�-�!� �!�*�.5,�/�0�*�. /1¸

115

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���9 �!�_9=�$ %'2Z/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*�-�*�B�0�� *�BC@A*�EH-�!� �!�*�.>,�/�0�*�. /1¸ ¸

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

��� ���9 �!�_9\�$ %'23/�,�-�!� �!�4>� R�B�0�*1-�*�B�0�� *�BC@O*�E�-�!� �!�*�.>,�/�0�*�. /�¸ ¸Ä¸

La aproximación mejoró sensiblemente, pero fue necesario afectar la pendiente

calculada de un coeficiente corrector que varía de un modelo a otro. Un valor inicial de

este parámetro puede ser el cociente entre el desplazamiento máximo y la pendiente

máxima. En la siguiente tabla se recogen estos valores, así como su cociente.

Modelo Pendiente Máxima Despl. Máximo Factor CorrectorI 0,000277257 0,003214 11,59 (11,4)II 0,00178927 0,025015 13,98 (23,2)III 0,000119789 0,002664 22,24 (23,6)|ZÒ�Ó�Ô Ò�Õ�Ö ×�Ø3Ù�ÚCÛAÜ Ý>Ü Ú�ÞCßAÚ�Ý5Ù�à�à�Ú�Ý�ßAÙ�à�á�Ú�Ô Ò�â�Ú9Þ�á�Ü Ú�ÞCßAÚ�â�Ò�à�Ò�Ý>Ò9á�Ò�ã�Ù�á�Ú�Ô Ù

116

En la última columna, entre paréntesis, se recoge el valor óptimo del factor

corrector. Este factor se ha obtenido mediante una búsqueda lineal que minimice la

suma de las diferencias entre los desplazamientos obtenidos con el programa

COSMOS/M® y las pendientes multiplicadas por dicho factor.

En las siguientes figuras pueden apreciarse los buenos resultados obtenidos con

esta aproximación.

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

-60 -40 -20 0 20 40 60

subeecosmos

ä�Ü å�æ9à�Ò�ç9è�Ö ×'é3Ú�ê5â�Ô Ò�ë5Ò�ã�Ü Ú�ÞCßAÙ�êHÚ�ê�ßAÜ ã�Ò�á�Ù�ê�â)Ò�à�Ò�Ú)Ô5ã�Ù�á�Ú�Ô Ù�ì

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

ä�Ü å�æ9à�Ò�ç9í�Ö ×'é3Ú�ê5â�Ô Ò�ë5Ò�ã�Ü Ú�ÞCßAÙ�êHÚ�ê�ßAÜ ã�Ò�á�Ù�êHâ�Ò�à�Ò�Ú�Ô>ã�Ù�á�Ú�Ô Ù�ì ì

117

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

subeecosmos

ä�Ü å�æ9à�Ò�ç9î�Ö ×'é3Ú�ê5â�Ô Ò�ë>Ò�ã�Ü Ú�ÞCßOÙ�ê�Ú�ê�ßAÜ ã�Ò�á�Ù�êHâ�Ò�à�Ò�Ú�Ô>ã�Ù�á�Ú�Ô Ù1ì ì ì

Como resultado de este estudio comparativo se pueden extraer las siguientes

conclusiones:

Con el fin de mejorar la adaptación de los términos exponenciales de la función

de influencia, se incluye un nuevo parámetro que afecta al exponente del segundo

término de la función, lo que mejora considerablemente la aproximación.

La función de influencia debe ser modificada, también, para tener en cuenta los

efectos que sobre la subsidencia tienen la inclinación relativa entre la superficie del

terreno y la explotación. Esto se traduce en la inclusión de un nuevo término lineal

dependiente de la distancia existente entre la superficie y las labores subterráneas.

Si se tiene en cuenta, además, el comportamiento anisotrópico del macizo rocoso

en un caso genérico tridimensional, es necesario introducir una cierta variabilidad de los

parámetros. Para ello se recurre a la definición de los valores característicos de cada

parámetro como se ha visto anteriormente, figura 23.

De esta forma la expresión definitiva de la función de influencia queda de la

siguiente forma:

(89)

118

ï¦ð¢ñ�ò�ó¨ï¦ó�ò�ô�õöð¢÷�ø¦ó�ù�ò�ó¨ï

Una vez implementados los dos algoritmos evolutivos se comprobó que la

estrategia evolutiva era el método que mejor se adaptaba al problema de optimización

presentado en este trabajo.

A continuación se presentan los resultados obtenidos con el programa SubEE

para distintos modelos de la función de influencia. En los siguientes listados se recogen

los datos que definen el problema evaluado.

# NHIT25# X Y Z DX DY DZ 301.841 868.966 257.657 -0.009 0.041 0.006 580.591 1020.112 248.995 0.006 -0.035 0.055 698.080 832.693 290.504 0.018 0.070 0.008 727.510 763.469 328.031 -0.002 0.078 0.007 763.451 787.956 298.164 -0.002 0.060 0.011 763.451 787.956 259.880 -0.002 0.060 0.024 680.004 1236.691 352.511 0.060 -0.286 0.347 749.681 1135.582 296.968 -0.036 -0.165 0.129 790.027 1101.983 283.180 -0.061 0.010 0.152 938.613 857.299 251.849 -0.020 0.084 0.037 994.287 774.175 253.817 -0.059 0.050 0.041 855.578 1159.468 335.086 -0.081 -0.065 0.099 1007.686 928.321 262.392 -0.024 -2.903 0.047 1041.605 877.085 262.962 -0.054 0.014 0.036 1052.812 844.344 259.729 -0.059 0.009 0.038 1053.031 1120.311 333.596 -0.094 0.015 0.083 1173.285 947.857 309.581 -0.061 0.034 0.044 1190.277 922.184 305.811 -0.078 0.034 0.045 1079.305 657.548 256.510 -0.012 100.028 0.002 492.955 918.839 248.248 0.015 -0.002 0.019 631.939 942.252 249.081 -0.036 -0.005 0.022 853.107 985.575 250.897 -0.009 0.047 0.049 957.368 1005.837 277.237 -0.066 0.037 0.062 331.092 1256.239 291.379 100.029 -0.051 0.004 523.752 1108.414 248.092 0.033 -0.092 0.108ú Ü ê�ßAÒ�á�Ù�û9ü�Ö ×'ä�Ü Ý>ý�Ú�à�Ù�á�Ú�â�æ�ÞCßAÙ�ê�á�Ú�Ý5Ù�ÞCßAà�Ù�Ô

# NCEL AREA 319 1600.# XCGM YCGM ZCGM POT ZONA 980. 1300. -150.721458 0.867 1 980. 1340. -168.148838 0.756 1 1020. 1300. -138.017816 0.846 1 1020. 1340. -157.348872 0.834 1 1060. 1300. -129.470350 0.738 1 1060. 1340. -143.125901 0.837 1 1060. 1380. -160.393203 0.807 1 1100. 1340. -133.437444 0.735 1 1100. 1380. -145.890973 0.845 1 1100. 1420. -161.940979 0.794 1 1140. 1380. -135.125212 0.736 1 1140. 1420. -147.552012 0.843 1 1140. 1460. -163.588601 0.784 1 1180. 1420. -137.289990 0.736 1 1180. 1460. -150.547344 0.847 1

860. 1100. -143.287493 1.557 2 860. 1140. -163.276296 1.581 2 860. 1180. -186.040427 1.680 2 860. 1220. -211.632317 1.722 2 860. 1260. -232.849412 1.491 2 900. 980. -77.828505 1.375 2 900. 1020. -88.906109 1.622 2 900. 1060. -110.539275 1.592 2 900. 1100. -130.842761 1.562 2 900. 1140. -150.229235 1.561 2 900. 1180. -170.498410 1.614 2 900. 1220. -193.961013 1.708 2 900. 1260. -219.684998 1.707 2 940. 1020. -80.593251 1.397 2 940. 1060. -96.558312 1.608 2 940. 1100. -117.544617 1.589 2 940. 1140. -137.401089 1.557 2 940. 1180. -156.545808 1.556 2

860. 940. -142.505784 1.540 3 860. 980. -161.374992 1.529 3 860. 1020. -182.132609 1.281 3 860. 1060. -205.310041 1.308 3 860. 1100. -226.966192 1.243 3 900. 940. -136.761435 1.389 3 900. 980. -150.920786 1.534 3 900. 1020. -170.145450 1.564 3 900. 1060. -191.403096 1.298 3 900. 1100. -214.095360 1.300 3 900. 1140. -233.170382 1.175 3 940. 940. -129.572217 1.369 3 940. 980. -139.097145 1.556 3 940. 1020. -157.784932 1.542 3 940. 1060. -177.472417 1.277 3 940. 1100. -199.290752 1.307 3 940. 1140. -221.878170 1.307 3 980. 980. -131.976238 1.385 3

1180. 1500. -166.384484 0.769 1 1220. 1460. -140.760443 0.737 1 1220. 1500. -154.560040 0.849 1 1260. 1460. -128.911058 0.734 1 1260. 1500. -139.564552 0.857 1 1260. 1540. -159.353321 0.818 1 1300. 1500. -132.276278 0.748 1 260. 940. -179.078220 1.866 2 260. 980. -213.384148 1.697 2 300. 940. -178.834157 1.854 2

940. 1220. -177.891799 1.643 2 940. 1260. -202.785155 1.710 2 940. 1300. -226.723341 1.585 2 980. 1060. -87.967566 1.388 2 980. 1100. -103.104093 1.607 2 980. 1140. -123.468740 1.589 2 980. 1180. -143.070765 1.578 2 980. 1220. -163.115930 1.599 2 980. 1260. -185.858234 1.692 2 980. 1300. -211.326682 1.735 2

980. 1020. -145.490283 1.537 3 980. 1060. -163.777431 1.558 3 980. 1100. -183.944690 1.297 3 980. 1140. -206.213506 1.317 3 980. 1180. -227.253854 1.242 3 1020. 1020. -133.384106 1.528 3 1020. 1060. -150.907676 1.530 3 1020. 1100. -169.195223 1.570 3 1020. 1140. -190.305023 1.318 3 1020. 1180. -213.709800 1.319 3

119

300. 980. -212.779533 1.692 2 340. 940. -178.049036 1.819 2 340. 980. -211.014235 1.688 2 340. 1020. -233.466524 1.444 2 380. 940. -176.201199 1.739 2 380. 980. -206.957659 1.678 2 380. 1020. -231.257785 1.505 2 420. 940. -171.400579 1.681 2 420. 980. -200.017456 1.686 2 420. 1020. -227.007354 1.612 2

980. 1340. -232.487311 1.497 2 1020. 1060. -76.803090 1.381 2 1020. 1100. -87.294066 1.624 2 1020. 1140. -108.019740 1.607 2 1020. 1180. -128.251151 1.595 2 1020. 1220. -148.160354 1.590 2 1020. 1260. -168.878883 1.636 2 1020. 1300. -192.246605 1.719 2 1020. 1340. -217.571887 1.734 2 1060. 1100. -77.503625 1.389 2

1020. 1220. -233.268538 1.174 3 1060. 1020. -126.157746 1.376 3 1060. 1060. -138.564066 1.531 3 1060. 1100. -155.938325 1.530 3 1060. 1140. -175.073361 1.282 3 1060. 1180. -198.025773 1.348 3 1060. 1220. -222.619256 1.318 3 1100. 1060. -130.967207 1.376 3 1100. 1100. -143.241452 1.534 3 1100. 1140. -160.708265 1.551 3

460. 900. -136.447388 1.643 2 460. 940. -162.933307 1.653 2 460. 980. -190.578349 1.693 2 460. 1020. -219.244225 1.694 2 500. 900. -127.868687 1.634 2 500. 940. -153.704566 1.634 2 500. 980. -180.434187 1.680 2 500. 1020. -208.598112 1.704 2 500. 1060. -231.943855 1.495 2

1060. 1140. -92.531303 1.605 2 1060. 1180. -113.085888 1.597 2 1060. 1220. -133.261005 1.589 2 1060. 1260. -153.271610 1.586 2 1060. 1300. -174.628809 1.645 2 1060. 1340. -193.738889 1.728 2 1100. 1140. -82.994291 1.386 2 1100. 1180. -97.900171 1.615 2 1100. 1220. -118.806199 1.590 2

1100. 1180. -181.091072 1.333 3 1100. 1220. -205.746191 1.397 3 1100. 1260. -228.749834 1.246 3 1140. 1100. -135.419595 1.374 3 1140. 1140. -147.562739 1.526 3 1140. 1180. -165.515624 1.561 3 1140. 1220. -187.403811 1.354 3 1140. 1260. -213.137424 1.396 3 1140. 1300. -233.692023 1.180 3

540. 900. -119.089281 1.627 2 540. 940. -144.293014 1.628 2 540. 980. -169.958561 1.653 2 540. 1020. -197.241722 1.698 2 540. 1060. -224.476689 1.641 2

1100. 1260. -138.826828 1.580 2 1100. 1300. -158.571777 1.601 2 1140. 1180. -88.517444 1.392 2 1140. 1220. -103.925669 1.619 2 1140. 1260. -124.415082 1.579 2

1180. 1140. -134.414038 1.549 3 1180. 1180. -152.001869 1.543 3 1180. 1220. -171.032356 1.607 3 1180. 1260. -193.751889 1.377 3 1180. 1300. -217.492487 1.381 3

580. 860. -84.169693 1.643 2 580. 900. -109.970492 1.609 2 580. 940. -134.688818 1.626 2 580. 980. -159.949318 1.631 2 580. 1020. -186.247434 1.672 2 580. 1060. -213.507484 1.691 2 580. 1100. -234.083302 1.447 2 620. 860. -83.530878 1.434 2 620. 900. -101.956297 1.575 2 620. 940. -125.509437 1.604 2

1140. 1300. -143.472013 1.564 2 1140. 1340. -160.578109 1.507 2 1180. 1220. -87.141540 1.664 2 1180. 1260. -109.157716 1.627 2 1180. 1300. -129.176284 1.565 2 1180. 1340. -147.181870 1.553 2 1180. 1380. -158.363169 1.520 2 1220. 1220. -78.150019 1.405 2 1220. 1260. -101.078810 1.404 2 1220. 1300. -122.004001 1.387 2

1220. 1140. -125.041418 1.377 3 1220. 1180. -136.968492 1.574 3 1220. 1220. -163.170210 1.383 3 1220. 1260. -184.009848 1.127 3 1260. 1180. -120.321789 1.350 3 580. 820. -150.414017 1.032 4 580. 860. -167.266279 0.944 4 620. 780. -133.486469 0.904 4 620. 820. -143.616509 1.023 4 620. 860. -162.726188 0.994 4

620. 980. -149.733519 1.623 2 620. 1020. -174.499623 1.652 2 620. 1060. -200.268275 1.681 2 620. 1100. -225.238958 1.609 2 660. 860. -83.350481 1.357 2 660. 900. -94.233963 1.563 2 660. 940. -116.225731 1.578 2 660. 980. -138.720548 1.598 2 660. 1020. -161.686782 1.619 2 660. 1060. -186.123087 1.679 2 660. 1100. -212.178810 1.698 2 660. 1140. -233.188967 1.472 2 700. 900. -85.662968 1.553 2 700. 940. -106.615885 1.556 2 700. 980. -127.813069 1.575 2 700. 1020. -149.431701 1.585 2 700. 1060. -171.997157 1.630 2

420. 900. -227.258799 1.312 3 460. 860. -188.636406 1.425 3 460. 900. -221.245311 1.407 3 500. 860. -179.953312 1.348 3 500. 900. -210.819297 1.434 3 540. 860. -171.188498 1.610 3 540. 900. -199.214863 1.416 3 540. 940. -227.939998 1.295 3 580. 780. -131.769393 1.354 3 580. 820. -141.950851 1.530 3 580. 860. -162.563241 1.546 3 580. 900. -187.943564 1.379 3 580. 940. -218.518647 1.412 3 620. 820. -134.667443 1.532 3 620. 860. -154.566415 1.533 3 620. 900. -177.538438 1.317 3 620. 940. -205.786822 1.402 3

660. 820. -135.916369 1.023 4 660. 860. -156.182741 1.024 4 700. 820. -133.354898 0.938 4 700. 860. -148.916228 1.015 4 700. 900. -166.039397 0.961 4 740. 820. -132.071359 0.904 4 740. 860. -141.489113 1.011 4 740. 900. -160.165833 1.008 4 780. 860. -133.148387 1.015 4 780. 900. -152.037094 1.012 4 780. 940. -167.376744 0.943 4 820. 860. -128.026487 0.922 4 820. 900. -142.338281 1.035 4 820. 940. -160.909457 1.001 4 860. 900. -136.817681 0.929 4 860. 940. -151.498629 1.022 4 860. 980. -167.159796 0.948 4

700. 1100. -196.818267 1.695 2 700. 1140. -222.257379 1.657 2 740. 900. -81.524731 1.396 2 740. 940. -96.683338 1.545 2 740. 980. -116.669483 1.562 2 740. 1020. -137.387538 1.585 2 740. 1060. -158.729869 1.593 2 740. 1100. -181.825091 1.662 2 740. 1140. -207.114048 1.697 2 740. 1180. -229.667859 1.535 2 780. 900. -76.161970 1.364 2 780. 940. -86.214954 1.553 2 780. 980. -105.974166 1.537 2 780. 1020. -126.054000 1.559 2 780. 1060. -146.767022 1.568 2 780. 1100. -168.237239 1.599 2 780. 1140. -192.105372 1.672 2 780. 1180. -217.859879 1.673 2 820. 940. -79.320014 1.387 2 820. 980. -94.491674 1.595 2 820. 1020. -115.360320 1.558 2 820. 1060. -135.557558 1.559 2 820. 1100. -155.660156 1.569 2 820. 1140. -177.505737 1.650 2 820. 1180. -202.452920 1.715 2 820. 1220. -226.531575 1.590 2 860. 980. -87.138804 1.401 2 860. 1020. -103.081342 1.591 2 860. 1060. -123.534479 1.568 2

620. 980. -231.018636 1.221 3 660. 820. -131.568896 1.401 3 660. 860. -146.944274 1.526 3 660. 900. -167.691203 1.568 3 660. 940. -193.145996 1.379 3 660. 980. -221.621344 1.354 3 700. 820. -129.593289 1.357 3 700. 860. -139.327645 1.526 3 700. 900. -158.796356 1.527 3 700. 940. -181.514889 1.321 3 700. 980. -208.441533 1.372 3 700. 1020. -231.692000 1.209 3 740. 860. -131.947084 1.507 3 740. 900. -150.669892 1.516 3 740. 940. -170.573691 1.569 3 740. 980. -194.366224 1.350 3 740. 1020. -220.722367 1.347 3 780. 860. -129.120055 1.388 3 780. 900. -142.944831 1.503 3 780. 940. -161.139797 1.508 3 780. 980. -182.431354 1.292 3 780. 1020. -207.479117 1.326 3 780. 1060. -230.342711 1.221 3 820. 900. -134.455028 1.518 3 820. 940. -152.595276 1.513 3 820. 980. -171.911778 1.564 3 820. 1020. -194.661633 1.324 3 820. 1060. -219.557648 1.332 3 860. 900. -128.818452 1.381 3

900. 900. -130.238376 0.912 4 900. 940. -140.364560 1.046 4 900. 980. -159.856467 1.018 4 940. 940. -133.539113 0.928 4 940. 980. -148.679890 1.049 4 940. 1020. -166.010073 0.967 4 980. 980. -136.113946 1.047 4 980. 1020. -156.305855 1.050 4 1020. 980. -128.644075 0.923 4 1020. 1020. -143.045366 1.052 4 1020. 1060. -161.308349 1.002 4 1060. 1020. -134.579865 0.923 4 1060. 1060. -148.723892 1.058 4 1060. 1100. -165.389517 0.967 4 1100. 1060. -139.827174 0.923 4 1100. 1100. -153.812182 1.054 4 1140. 1060. -129.996497 0.913 4 1140. 1100. -139.855941 1.046 4 1140. 1140. -158.929368 1.024 4 1180. 1100. -130.565824 0.923 4 1180. 1140. -144.841460 1.086 4 1180. 1180. -163.295376 0.991 4 1220. 1140. -134.047725 0.929 4 1220. 1180. -149.628383 1.103 4 1220. 1220. -167.008844 0.961 4 1260. 1180. -140.809366 0.938 4 1260. 1220. -162.906987 0.930 4ú Ü ê�ßAÒ�á�Ù�û9û�Ö ×'ä�Ü Ý>ý�Ú9à�Ù�á�Ú�Ý5Ú�Ô á�Ò�ê

En las siguientes figuras se presenta gráficamente la información contenida en los

listados anteriores.

120

ä'Ü å�æ�à�Ò�ç9þ�Ö ×'ÿ�æ�ÞCßAÙ�ê�á�Ú�Ý>Ù�ÞCßAà�Ù�Ô>á�Ú9Ô>â�à�Ù�Ó�Ô Ú�ã�Ò�Ú��QÒ�Ô æ�Ò�á�Ù

ä'Ü å�æ�à�Ò�ç9ç�Ö ×���Ù�á�Ú�Ô Ù�á�Ü å�Ü ßAÒ�Ô>á�Ú�Ô Ò�êHë5Ù�Þ�Ò�êHÚ���â�Ô ÙCßAÒ�á�Ò�ê

121

En este problema, como puede observarse en el listado de los elementos que

definen las labores subterráneas, el número de zonas explotadas es cuatro. Esto ha

permitido definir dos tipos de análisis claramente diferenciados:

a) Las distintas zonas explotadas tienen los mismos parámetros, cuyo número

varía desde 3 en el modelo primitivo, hasta 5 en el modelo propuesto en este trabajo. E

cada caso, es posible hablar de un comportamiento ortotrópico del macizo lo que se

traduce en doble número de parámetros. Por lo tanto, los casos estudiados en este

apartado según el número de parámetros son: 3, 3x2, 4, 4x2, 5 y 5x2.

b) Cada grupo de parámetros varía de una zona explotada a otra, lo que ha

supuesto multiplicar por 4 el número de parámetros evaluados en cada uno de los casos

vistos en el apartado anterior. Así, los casos estudiados en este apartado según el

número de parámetros son: 3x4, 3x2x4, 4x4, 4x2x4, 5x4 y 5x2x4.

Los resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla:

Número de parámetros Error mínimo3 0,882092

3x2 0,7920173x4 0,453580

3x2x4 0,3782114 0,881755

4x2 0,7856864x4 0,419933

4x2x4 0,3485995 0,804197

5x2 0,7509515x4 0,587401

5x2x4 0,245413�ZÒ�Ó�Ô Ò1û9ü�Ö ×���à�à�Ù�à�Ú�ê7ßAÙCßAÒ�Ô Ú�ê�Ù�ÓCßAÚ�Þ�Ü á�Ù�êHÝ5Ù�Þ�Ô Ù�êHã�Ù�á�Ú�Ô Ù�ê�á�Ú�ÛAæ�Þ�Ý>Ü ��Þ�á�Ú�Ü ÞCÛAÔ æ�Ú�Þ�Ý5Ü Ò�â�à�Ù�â�æ�Ú�ê�ßAÙ�êZonas: 4número de parametros: 5x2Hitos: 25# X Y Z DZ_ESTIMADO DZ_MEDIDO 301.841 868.966 257.657 -0.0091615065 ( 0.006) 580.591 1020.112 248.995 0.0579244354 ( 0.055) 698.080 832.693 290.504 0.0038587956 ( 0.008) 727.510 763.469 328.031 0.0072702415 ( 0.007) 763.451 787.956 298.164 0.0135698240 ( 0.011) 763.451 787.956 259.880 0.0104603322 ( 0.024) 680.004 1236.691 352.511 0.3468415952 ( 0.347) 749.681 1135.582 296.968 0.1288593435 ( 0.129) 1079.305 657.548 256.510 0.0020024617 ( 0.002) 492.955 918.839 248.248 0.0190003024 ( 0.019) 631.939 942.252 249.081 0.0285820369 ( 0.022) 853.107 985.575 250.897 0.0489998980 ( 0.049) 957.368 1005.837 277.237 0.0566825975 ( 0.062) 331.092 1256.239 291.379 0.0087968922 ( 0.004) 523.752 1108.414 248.092 0.0567230156 ( 0.108)---Error Total: 0.245413Error Max. : 0.080849Desp. Max. : 0.346842ú Ü ê�ßAÒ�á�Ù�û9è�Ö ×�3æ�Þ�á�Ü ã�Ü Ú�ÞCßOÙ�Ú�ê�ßAÜ ã�Ò�á�Ù�Ú�Þ�Ý>Ò�á�Ò�ý�Ü ßAÙ�Ý>Ù�Þ�þ��Qè���î�â�Ò�à��ã�ÚCßAà�Ù�ê

122

� ù'÷�ï� ï¦ð¢ñ�ò�ó�ï¦ó¨ò � õ��� Otra de las aplicaciones donde el algoritmo presentado tiene gran interés, debido a

su flexibilidad, es en la predicción de la subsidencia en un determinado instante de

tiempo a partir de los resultados obtenidos con anterioridad. Para ello, es necesario

disponer de datos sobre desplazamientos en los puntos de control correspondientes a

diferentes instantes del fenómeno.

Para la determinación de estos parámetros es necesario tener en cuenta que el

modelo de función de influencia propuesto no depende del tiempo, sino que permite

obtener la subsidencia final que se produciría si la explotación se detuviese en el

momento de tomar las medidas sobre el terreno, dado que la información disponible se

limita a los desplazamientos de ciertos puntos del terreno en momento concretos.

Esto exige la creación de un nuevo algoritmo evolutivo en el que la función a

minimizar ya no es la diferencia de los desplazamientos estimados y los medidos, sino

que ahora se pretende inferir los parámetros que generan un desplazamiento en un

tiempo lejano de tal forma que la subsidencia calculada con estos parámetros en el

momento actual sea la más próxima posible a la deformación medida. Así, la expresión

que se trata de minimizar en este caso es la siguiente:

( )min �*w w wki k kie

kii

N

k

M

− −==∑∑ η

11 (90)

donde M es el número de intervalos de tiempo en los que se conocen los

desplazamientos de los puntos de control, N es el número de hitos, wki* es la subsidencia

medida en el hito i en el instante k, η k es un coeficiente de asentamiento que varía de un

instante a otro, wkie es la subsidencia estimada mediante la función de influencia del

punto de control i en el instante k y �wki es la velocidad de subsidencia en el instante k

en el hito i definida a partir de las medidas tomadas en los instantes anteriores.

De esta forma, es posible obtener 5x2xnzxM parámetros que caracterizan el

modelo temporal explícito en el tiempo que permite predecir el valor de la subsidencia

en un punto genérico de la superficie en cualquier instante de tiempo. Esta expresión de

la subsidencia en el tiempo sería entonces:

( ) ( ) ( )w h w h w hk k ke

kρ θ η ρ θ ρ θ, , , , � , ,= − (91)

Obviamente, para que la implementación de este algoritmo sea posible es

necesario disponer de los correspondientes desplazamientos de los puntos de control en

cada instante de tiempo.

123

��������������� "!$# �%&����'(%)'(*��+���, �-�* �*�.���/0%210�3 ����4 '5�+��687$'�/�/��0%& 9'(*:�+��6�;�0/�� �+� ��/�' 4 9�,�, 9-�* 4 '5�+� 6<�:=,6< 4 '�*��, >�

El programa SUBSIB se ha desarrollado en lenguaje 'C/C++' sobre una estación

de trabajo HP Apollo 720, siendo comprobado su correcto funcionamiento en un

ordenador personal bajo MS-DOS. Este programa permite determinar los

desplazamientos verticales, y horizontales, pendientes, curvaturas y las deformaciones

unitarias de la superficie de terreno afectada por labores subterráneas. Está basado,

como se presentó en el capítulo anterior, en el método de la función de influencia.

El proceso consta fundamentalmente de los siguientes módulos:

- DIGSUB: Introducción de los datos de partida.

- PARSUB: Caracterización de los parámetros del problema.

- CALSUB: Cálculo de la cubeta de hundimiento.

- GENRES: Generación de los resultados gráficos y numéricos.

El diagrama de flujo de la aplicación se presenta en la figura 67, en ella se puede

apreciar como los módulos que la componen se ejecutan secuencialmente, de forma que

los resultados de uno constituyen los datos de entrada del siguiente, pudiendo ejecutar

varias veces un mismo módulo sin necesidad de iniciar el proceso desde el primero de

ellos.

ä�Ü å�æ�à�?�çA@�Ö ×��B�)á�æAC Ù�êED�æ�Ú�Ý>Ù�Þ�ê�ßAÜ ßAæ�F�Ú�ÞBC ?�Ü ã�âGC Ú�ã�Ú�ÞCßH?)Ý5Ü ��Þ�Ü ÞfÛAÙ�à�ãBCßOÜ ÝI?A continuación, se describen brevemente cada uno de estos módulos, para detallar

su funcionamiento de forma individual más adelante.

En el primer módulo, DIGSUB, se realiza la digitalización de las curvas de nivel

correspondientes al terreno del que se desea conocer su hundimiento o subsidencia, y se

representan también las labores subterráneas causantes del fenómeno. Por otro lado, se

digitalizan las plantas de las distintas construcciones situadas en la superficie cuyos

posibles daños se pretende evaluar. Esta información se recopila a partir de los planos

topográficos de la zona de interés, así como de los planos de labores de la explotación.

El proceso de digitalización se realiza en una tableta de tamaño A0, sobre la que

se colocan los diferentes planos, y se emplea para ello un programa comercial de Dibujo

Asistido por Computadora (DAC).

125

Cada uno de los conjuntos de líneas digitalizadas se sitúa en un layer5 diferente,

dentro del entorno gráfico, lo que permite diferenciarlos de una forma cómoda. Se

posibilita, de esta forma, el tratamiento individualizado de cada uno de estos conjuntos

en las siguientes etapas del estudio.

En la figura 68 se presenta la información preliminar digitalizada para un caso

concreto. Así, se pueden observar las líneas de nivel que definen la zona del terreno que

se desea estudiar, los contornos de las construcciones que pueden resultar dañadas, las

trazas horizontales de las capas objeto del análisis (se identifican además, dentro de

cada capa, las distintas zonas explotadas, así como su potencia media). Esto se completa

con toda la información auxiliar que el usuario considere adecuada para una fácil

interpretación de los gráficos como: ríos, carreteras, vías de tren, rejillas UTM, etc.

ä�Ü å�æ�à�?�çAJ�Ö ×�ìÄÞCÛAÙ�à�ãB?)Ý5Ü �)Þ�á�Ü å�Ü ßH?AC Ü ëK?)áA?�Ú�ÞBC ?�â�à�Ü ã�Ú�àL?�ÛH?�ê>ÚToda esta información tiene carácter tridimensional y se maneja dentro del

programa SUBSID en formato vectorial, como se refleja en la figura 69 mediante una

perspectiva de la información presentada en la figura anterior. Todas las figuras

presentadas en este trabajo han sido creados dentro del entorno gráfico de la aplicación,

en un formato apropiado para su inserción en el documento.

5 El concepto de layer o capa es similar al concepto de transparencia empleado en muchasaplicaciones de diseño. El usuario puede asignar cualquier porción del dibujo a diferentes layers, ypuede definir el numéro de estos que necesite. Los layers permiten visualizar o imprimir distintosaspectos del dibujo de forma separada o combinados.

126

ä'Ü å�æ�à�?�ç9Õ�Ö ×'ÿ�Ú�à�ê5â�Ú�Ý�ßAÜ �M?�á�ÚBC ?�Ü ÞCÛAÙ�à�ãB?�Ý5Ü ��ÞEste módulo se completa con la generación de los mallados o modelos digitales

correspondientes a la superficie del terreno y a las labores subterráneas, que se

emplearán en las etapas posteriores.

El módulo PARSUB, es el encargado de la determinación de los parámetros que

definen la función de influencia empleada en cada uno de los estudios. Para ello, es

necesario conocer los desplazamientos, verticales y horizontales, inducidos por la

explotación en un serie de puntos de control o hitos. Estos datos son evaluados por un

algoritmo genético que determina los valores de los parámetros más apropiados para

cada caso, como se desprende de lo establecido en el capítulo anterior.

El módulo CALSUB se encarga de la computación de los desplazamientos

verticales y horizontales del terreno haciendo uso del método de la función de

influencia. Para ello, la zona explotada se descompone en elementos diferenciales de

área, convirtiéndose la integral que estima el hundimiento recogida en la ecuación 89,

en un sumatorio en el que se acumulan los efectos de todos los elementos de volumen

extraídos para cada uno de los puntos del terreno. Una vez calculados los

desplazamientos (horizontales y verticales) de cada uno de los puntos del mallado de la

superficie, se obtienen el resto de las magnitudes de interés para cada uno de estos

puntos: pendiente, curvatura, deformación unitaria, etc.

127

En esta etapa se determinan también los valores de los ángulos límite superior e

inferior para los distintos cortes especificados por el usuario. Por ángulo límite inferior

(superior) se entiende el ángulo que forma con la vertical la línea recta que une el punto

del corte de la capa de cota inferior (superior) con el punto del corte del terreno con

hundimiento 1 mm. Para permitir la comparación de ambos ángulos con los resultados

recogidos en la bibliografía, los puntos situados sobre el terreno se sitúan a una misma

cota de referencia arbitraria que, en este caso, corresponde a la cota del punto de

hundimiento máximo (ver figura 70).

ä'Ü å�æ�à�?B@9ü�Ö ×ON�Þ�å)æAC Ù)êEC PÄã�Ü ßOÚ�êαF

β

La cuarta etapa, GENRES, es la encargada de la generación de las líneas de

isovalores correspondientes a cada uno de las magnitudes estudiadas: hundimientos,

desplazamientos horizontales según los ejes del dibujo, pendientes, deformaciones

horizontales unitarias, curvaturas, etc..

Las líneas de isovalores se representan sobre la topografía original en el mismo

entorno gráfico empleado el primer módulo, lo que permite su edición y la obtención de

cortes en cualquier dirección definida por el usuario. Todos los resultados gráficos

previamente generados pueden presentarse en papel a la escala deseada mediante

impresora o plotter.

A continuación se detalla la arquitectura y modo de funcionamiento de cada uno

de los módulos que componen el programa SUBSID:

128

Q,RTSVUXWZY\[^]K_<`baBcEl programa SUBSID hace uso del programa comercial AutoCAD®R12 como

entorno de trabajo. Tanto los datos de entrada, como los resultados son manipulados

con la ayuda de este programa, con el que se crean todos los ficheros necesarios para el

intercambio de información entre los diferentes módulos de la aplicación

Para la obtención de la información se recurre, como se ha visto, a un proceso de

digitalización y edición de las líneas de nivel del terreno y de las distintas trazas

conocidas de las capas. Esta información debe de ser introducida siguiendo un

determinado proceso con el fin de permitir la posterior aplicación del programa de

predicción.

Veamos ahora la disposición que debe ocupar esta información en cada caso.

El proceso comienza con la obtención de los planos topográficos necesarios para

la reconstrucción del relieve de la zona sometida a estudio. Una vez delimitada la zona

de interés, se procede a la digitalización de las líneas de nivel contenidas en dicha zona.

La equidistancia entre las distintas líneas digitalizadas debe estar de acuerdo con el

ajuste que se desee para los resultados, es decir, a menor equidistancia y por tanto

mayor detalle, los valores en SUBSID serán más fiables que si se hace uso de una

topografía de menor detalle. Todas las líneas digitalizadas correspondientes a la

superficie del terreno se han de dibujar en un layer denominado LSUP. Tiene gran

interés la generación de una línea auxiliar que, siguiendo el contorno de la zona del

terreno a estudiar, una los extremos de las líneas de nivel digitalizadas, ya que de esta

forma, se consiguen mejores resultados durante la generación de los perfiles del terreno

a partir de los cuales se interpola la cota de los puntos intermedios del mismo.

De la misma forma se introducen las trazas horizontales que definen las capas de

carbón que originan la subsidencia que tratamos de predecir. En este caso las polilíneas

se introducen en un layer denominado PSUP#, donde # es el número de la orden

asignado a cada una de las capas estudiadas. En el caso de que tengamos una sola capa,

la identificación numérica puede obviarse. Como caso particular, dentro de las trazas

que definen las capas de carbón, están aquellas que constituyen las intersecciones de

dichas capas con el terreno. No siendo horizontales (con cota constante), estas trazas no

pueden digitalizarse aplicando el método presentado. Para evitar al operador la

necesidad de introducir con el teclado cada una de las cotas individuales de todos los

puntos de la traza, se asigna a estas polilíneas una cota por defecto de -999 lo que le

indica al programa SUBSID (cuando son identificadas) que deben de ser proyectadas

sobre el terreno para obtener la verdadera traza.

129

Una vez definidas espacialmente todas y cada una de las capas de interés, se

definen las distintas zonas explotadas y sus potencias medias dentro de cada una de

ellas. Para ello se representa el contorno de cada una de las zonas explotadas mediante

una polilínea cerrada cuya cota o elevación corresponde a la cota media de la zona. Se

debe señalar que esta potencia media se ve afectada por el coeficiente de postaller que

depende del tipo de tratamiento que se le de al taller (hundimiento, relleno manual,

relleno hidráulico, etc.). Los contornos correspondientes a cada capa se recogen en su

correspondiente layer denominado ZSUP# donde # es el número de orden asignado a la

capa PSUP# en el apartado anterior.

La definición de cada una de las zonas explotadas, dentro de las diferentes capas,

se completa con la asignación de los correspondientes parámetros

( )a a k k n n b b c cx y x y x y x y x y, , , , , , , , , de la función de influencia, empleados en el módulo

CALSUB. Se pretende con esto, realizar una evaluación individualizada de la influencia

de los elementos extraídos pertenecientes a cada zona. La inserción de estos parámetros

no es posible hasta su obtención en el módulo PARSUB, por lo que será necesario hacer

uso de nuevo de AutoCAD® para asignar sus valores, una vez que estos son obtenidos

en el siguiente módulo.

Para la asignación de estos parámetros se hace uso de la sección de atributos

extendidos que poseen las entidades gráficas utilizadas por AutoCAD®. Para ello se ha

desarrollado una pequeña aplicación en el entorno de desarrollo (ADS) del propio

programa que facilita su definición mediante el empleo del menú presentado en la

figura 71.

Selección de Parámetros

ax

ay

kx

ky

nx

ny

bx

by

cx

cy

ä�d å�æ9àL?B@9û�Ö e��Bf�ÞAg�áAf�êKfAC fAhIhKd ��Þ�áAf�âA?�à��ãBfCßAàLi�ê�áAfBC ?�ê�ëKi�ÞA?�êEf��QâAC iCßH?�áA?�êLa introducción de los datos, dentro de este primer módulo, finaliza con la

representación de los edificios contenidos en la zona estudiada. Estos se representan

mediante polilíneas cerradas de elevación nula que se recogen en un layer denominado

CSUP.

El resto de la información auxiliar puede colocarse en diferentes layers

(generalmente el 0), siempre y cuando sus nombres no coincidan con los nombres

reservados que se presentan en la tabla 11.

130

LAYER CONTENIDO

LSUP Líneas de nivel del terreno

PSUP# Trazas de las capas de carbón

ZSUP# Límites de las zonas explotadas dentro de cada capa

CSUP Edificios

DXLIN Isolíneas de desplazamiento horizontal según OX

DYLIN Isolíneas de desplazamiento horizontal según OY

DZLIN Isolíneas de desplazamientos verticales

DHLIN Isolíneas de desplazamientos horizontales

CLIN Isolíneas de curvaturas

PLIN Isolíneas de pendientes

DULIN Isolíneas de deformación�j?AkAC ?�û9û�Ö e�lmi�ãBk�àLfnFohKi�ÞCßHf�ÞAd áAi�áAfBC i�ê ú ?pF�f�à�êEf�ãGâAC fA?�áAi9êHâAi�àMqsrutnq"vxwUna vez finalizada la digitalización y la definición topográfico-geométrica del

problema, se prepara el fichero que se procesará posteriormente, para la generación de

los modelos del terreno y las labores. Para ello se hace uso del comando DXFOUT, que

genera automáticamente dicho fichero con formato DXF (Data eXchange Format).

La creación de los mallados se realiza de forma independiente para cada uno de

los conjuntos de polilíneas definidas en la etapa de digitalización. Este proceso

comienza con la definición por parte del usuario de la longitud del lado e de la retícula

que se va a crear. Con este valor y las dimensiones de la zona que se va a estudiar se

calcula el número de divisiones que presentará la retícula en las direcciones de los ejes

de coordenadas. Se solicita, a continuación, al sistema operativo la memoria necesaria

para contener la información de todos los puntos del mallado, como son sus

coordenadas y los valores de las magnitudes estudiadas: desplazamientos verticales y

horizontales, pendientes, deformaciones unitarias, etc.

Posteriormente se efectúa la identificación de las polilíneas que corresponden al

layer analizado en cada caso (terreno y labores). Una vez identificada la polilínea, se

analiza cada uno de los segmentos que la definen, verificando si dicho segmento

intersecta alguno de los perfiles de la retícula, como se observa en la figura 72. Si fuese

así, cada uno de los puntos de intersección se añade al perfil correspondiente. De esta

forma, los puntos P1, P2, P4, P5 y P7 son añadidos a la lista de puntos pertenecientes a

los perfiles, paralelos a OY, pxi, pxi+1, pxi+2, pxi+3 y pxi+4 respectivamente. Mientras, P3,

P6 y P8 se incluyen en los perfiles pyj+1, pyj+2 y pyj+3.

131

ä�d å�æ�à�?B@9è�Öxe�ì áGf�ÞCßHd yHd hI?AhKd ��Þ�áAfbC i�êHâ�æ�ÞCßzi�ê�áAfbC ?1à�fCßHPxh5æAC ?Finalizado el análisis de todas las polilíneas contenidas en un determinado layer,

se procede a la ordenación de los puntos asignados a cada uno de los perfiles del

mallado. A continuación se realiza la interpolación lineal de las cotas de los puntos de

la retícula, como se presenta en la figura 73, partiendo de los perfiles definidos

anteriormente. Así, la cota de un punto P de la retícula está dada por la expresión:

zz z z z

P

P P P P=+

++

0 52 2

1 2 3 4,(92)

ä�d å�æ�à�?B@�í�Ö e�ì ÞCßzf�à�âAiAC ?AhKd ��Þ�áAfBhIiCßH?Bf�Þ�â�æ�ÞCßHi�êHáAfBC ?�à�fCßzP h5æAC ?De esta forma, los modelos de las distintas superficies manipuladas por el

programa SUBSID no están definidos únicamente a partir de los puntos de intersección

de los perfiles de la retícula, sino que los puntos de las polilíneas empleados como base

de la interpolación también forman parte del mallado.

Se obtiene así un modelo reticular de la superficie del terreno, como en el ejemplo

presentado en la figura 74, y de las labores subterráneas, como se ha visto en la figura

132

66, que facilita la integración discreta de las funciones de influencia que se realiza en

los módulos PARSUB Y CALSUB.

ä�d å�æ�à�?B@9î�Ö e��Bi�áAfAC i�áAd åAd ßH?ACK{�áAf�àLfAh5ýA?A|'áAf�æ�ÞA?�ê5æ�âAf�à yHd hKd f�áAf�yHd ÞAd áA?�âAi�à�ê>æ�êsC P ÞAfA?�êHáAf�ÞAd �MfACI{�d ëKD�æAd f�à�áA?A|

133

Q,RTSVUXWZY\}�~��B`�a�cPara la determinación de los seis parámetros que caracterizan la función de

influencia en cada una de las zonas explotadas de un determinado problema, se ha

desarrollado en lenguaje C++ un algoritmo genético cuyo esquema se recoge en la

figura 75.

Número de IteracionesError mínimo

Modelos Digitales de lasLabores Subterráneas

Puntos de Control

Obtención PrimeraPoblación Cromosomas

Evaluación del error

Cruce

Se sobrepasa elnúmero máximo de iteraciones

o el error es menor que el umbral ?

No

Generación del Fichero de Resultados

Si

Mutación

Inversión

ä�d å�æ�à�?B@9þ�Ö e���êID�æAf�ãB?�áAfBC ?�ê�áAd yHf�àLf�ÞCßHf�êEfCßH?�âA?�ê�áAfGC5ãB��á�æAC i��"�n�nqsr�tEn primer lugar, se crea una población formada por tiras de bits que representan

tantos números enteros de 32 bits como párametros definen el modelo de función de

influencia que se desea evaluar. Cada uno de ellos se convierte en un número real,

mediante una transformación lineal teniendo en cuenta el rango de valores especificado

para cada parámetro. Se obtienen así los valores particulares de los parámetros que se

tratan de calcular. Cada una de estas tiras de enteros recibe el nombre de cromosoma.

b0b3 b2 b1b4b7 b6 b5bb b bbb b b ... .31 24252627282930

entero

ä�d å�æ�à�?B@�ç�Ö eI�jd à�?�áAf�í�èBkAd ßAê�âA?�àL?BC ?�àLf9â�àLf�êKf�ÞCßH?AhKd ��ÞGáAf�æ�Þ�ÞAg�ãBf�à�iBf�ÞCßHf�àLi134

entero

B3B2B1B01 1 1 1 B3B2B1B0

2 2 2 2 B3B2B1B03 B3B2B1B0B3B2B1B0B3B2B1B0

3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6entero entero entero entero entero

ä�d å�æA�L?B@�@�Ö e��G��fA���AC iB�Af�hI��iA�Bi�êKiA�B?BhKiA�B��æAf�ê��HiB�AiA�'êKfAd ês�A?A�LA�Bf��H��i�êA continuación, se extraen de cada uno de los cromosomas los valores numéricos

y se determina el error cometido durante la integración de la función de influencia,

comparando los resultados con los valores medidos en los puntos de control o hitos.

Para la distribución de errores obtenida se determina su suma en valor absoluto, de

acuerdo con la expresión:

w wi ie

i

N

−=∑

1 (93)

donde, wi es el desplazamiento vertical medido en cada punto de control, y wie es el

valor calculado a partir de la función de influencia para el hito i.

A cada uno de estos cromosomas se le asigna una probabilidad de supervivencia

inversamente proporcional al error cometido, así el cromosoma que produce un error

mínimo tiene una probabilidad unidad de sobrevivir, mientras que el cromosoma que

presenta un error máximo tiene probabilidad nula.

Una vez evaluados todos los cromosomas se procede a cruzarlos, para ello se

escoge al azar un determinado porcentaje de la población inicial, teniendo en cuenta la

probabilidad de supervivencia de cada cromosoma. En el algoritmo desarrollado para

este trabajo, el cruce de cromosomas se realiza por parejas, intercambiando cada una de

las partes que resultan de dividir los cromosomas de la pareja por la mitad.

Padre A

Padre B

Hijo AB

Hijo BA

Punto de Intersecciónä�d å�æA��?B@AJ�Ö e'ÿ"��iAhKf�êKiB�Af�hI��æAhKfB�AfGæ�ÞA?B��?A�Lf���?��AfBhK�Li��Bi�êKiA�B?�ê

Finalizada la etapa de cruce, se evalúa la nueva población y realizamos un nuevo

cruce. Se procede así, sucesivamente, hasta alcanzar el número máximo de iteraciones

establecido de antemano o hasta que alguno de los cromosomas genere un error inferior

al umbral especificado al inicio del proceso.

135

Dentro de este mismo programa se han implementado otros procedimientos para

la obtención de nuevas poblaciones como la mutación, donde se altera de forma

aleatoria un bit de un determinado porcentaje de cromosomas de la población original, o

la inversión, que consiste en cambiar unos por ceros y viceversa.

Una vez obtenidos los valores óptimos de los parámetros para cada caso, estos se

almacenan en un fichero de texto denominado calsub.dat, para que puedan ser

identificados posteriormente por el módulo CALSUB. Se facilita también, de esta

forma, la edición de estos valores por parte del usuario si fuese necesario en alguna

etapa del estudio. El listado de este fichero es el siguiente:

# Pdef: Potencia por defecto de aquellas capas de las que se desconocen# los límites de la zona explotada.

1.0## Valores de los parámetros en el eje principal X:# axp kxp nxp

0.50 0.75 0.41# Valores de los parámetros en el eje principal Y:# ayp kyp nyp

0.35 0.65 0.32#

donde las líneas que empiezan con el símbolo # son comentarios explicativos, que

aclaran el significado de los distintos valores numéricos recogidos en este fichero.

136

Q,RTSVUXWZY���~��>`baBcLa primera etapa dentro de este módulo, como se presenta en la figura 79,

consiste en la lectura de los mallados correspondientes a la superficie del terreno y las

labores subterráneas, generados por el módulo DIGSUB. En esta misma etapa se leen,

desde el fichero de texto creado en el módulo anterior, los valores de los distintos

parámetros que se van a emplear en la función de influencia.

INTEGRACIÓNFUNCIÓN DE INFLUENCIA

MODELOS DIGITALES

PÁRAMETROS ÓPTIMOS

DESPLAZAMIENTOSVERTICALES Y HORIZONTALES

PENDIENTESCURVATURAS Y

DEFORMACIONES

ä�d å�æA�L?B@9Õ�Ö e���êKD�æAfA�B?b�AfBC ?�êE�Ad yHfA�Lf�Þ��Hf�êEf��H?A�A?�êE�AfACK�B�G��æAC i��u�n��q�rutEn la segunda etapa, se realiza la integración propiamente de la función de

influencia presentada en el capítulo anterior, ecuación 89. A continuación se presenta el

pseudo-código de este algoritmo:

El módulo CALSUB esPara cada punto del terreno (P) hacer

// se ponen a cero las componentes del vector desplazamientoVx[P] = Vy[P] = Vz[P] = 0Para cada zona explotada (Z) hacer

Para cada elemento (E) de la zona j hacer// se calcula la distancia horizontal y verticalr = dh(P,E)h = dv(P,E)// se calcula los parámetros en este elemento a partir// de sus valores caracteristicos para la zona(aE, kE, nE, bE, cE) = ParEle (P,E, aZ, kZ, nZ, bZ, cZ)// se determina el hundimiento del punto i de acuerdo// con la expresión de la función de influencia propuestaw = FunciónInfluencia(r, h, aE, kE, nE, bE, cE)// se acumula la influencia de cada elemento extraidoVz[P] = Vz[P] + w// se determinan los desplazamientos horizontalesDespHor (Vx[P], Vy[P])

siguiente Esiguiente Z

siguiente Pfin CALSUB. ú d ê��H?A�Ai1û9í�Ö e�ÿ7êKf�æA�AiBhI�A�Ad åAib�AfBC ?Bf��H?A�G?B�AfBd Þ��Hf�åA�L?AhId ��ÞB�AfACI�B�A��æAC i �u�n��q�rut

137

Se obtienen, así, los desplazamientos verticales y horizontales de todos los puntos

definidos en el modelo digital del terreno. A continuación, se calculan las pendientes,

deformaciones unitarias horizontales y curvatura en cada uno de esos puntos. Estas

magnitudes tienen carácter direccional, por lo que su cálculo se ha realizado a lo largo

de la dirección de desplazamiento de cada punto.

ä�d å�æ��L?BJ9ü�Ö e�ÿ"�LiAhKf�êKiB�AfBiAk��Hf�ÞAhKd ��ÞB�AfBC ?�ês�Af�ÞA�Ad f�Þ��Hf�êK�A�Af�yHiA���B?AhKd i�ÞAf9êHýAiA��d ëIi�Þ���?AC f�ê�æ�ÞAd �H?A��d ?�ê�FXh5æA� �M?��AæA��?�êEn la figura 80 se muestra la porción de retícula correspondiente a un

determinado punto P de la superficie del terreno del que se desea conocer su pendiente

y deformación unitaria horizontal. En dicho punto se han calculado ya los

desplazamientos vertical y horizontal, definiendo el vector de desplazamientos �v .

Tomando como origen el punto P se determinan sobre la retícula, según la dirección del

vector �v , los puntos Q1 y Q2; y se calculan sus respectivos vectores de desplazamiento�v1 y �v2 mediante una interpolación lineal a partir de los resultados obtenidos para los

puntos de la retícula. Por último, se asignan los valores de pendiente y deformación

unitaria horizontal en el punto P según las siguientes ecuaciones:

( ) ( )

( ) ( )

pv v

PQ

v v

PQ

d

q v p v q v p v PQ

PQ

p v q v p v q v PQ

PQ

cPQ PQ

v v

PQ

v v

PQ

Pz z z z

P

x x x x y y y y

x x x x y y y y

Pz z z z

= ⋅ − + −

= ⋅

+ − − + + − − −+

++ − − + + − − −

=+

− − −

0 5

0 5

2

1

1

2

2

1 1

2

1 1

2

1

1

2 2

2

2 2

2

2

2

1 2

1

1

2

2

,

,

(94)

donde pP, dP y cP son la pendiente media, la deformación horizontal unitaria media y la

curvatura en el punto P, según la dirección de desplazamiento.

138

Q,RTSVUXWZY�_+�����B��`La generación de los resultados numéricos y gráficos está caracterizada por un

conjunto de valores o preferencias, establecidos por el usuario, que se recogen en un

fichero de texto denominado genres.dat, cuyo listado se presenta a continuación:

# Fichero que preferencias empleado por el programa SUBSID## Ampliación de los desplazamientos# Tamaño del texto relativo a las dimensiones máximas del dibujo#

150. 0.0075## Separación entre las isolíneas.# Se indica también cada cuantas líneas se desea una línea maestra, y el# tipo de valores que se van a representar (0-Positivos 1-Negativos).# El ultimo valor de cada línea indica el factor de escala con el que se# generan los números que identifican las isolíneas.# HLIN (m) Los valores en milímetros.# PLIN# DXLIN (m)# DYLIN (m)# UDEF# DHLIN (m)# CLIN# SEP NMTIPO ESC 0.050000 1 0 0.001 0.000500 1 0 0.00001 0.005000 1 1 0.001 0.005000 1 1 0.001 0.000500 1 1 0.00001 0.001000 1 0 0.001 0.000005 1 0 0.000001## Identificamos los planos verticales según los cuales se realizarán los# distintos cortes de la cubeta de subsidencia. Para cada plano se genera# un fichero independiente.## Num. Planos 1## Par de puntos por los que pasa la traza horizontal de cada plano# x0 y0 x1 y1 nom_fich SPLINE 0.0 0.0 672.3 543.4 corte.dxf 1

En este listado se observa, además de las preferencias propiamente dichas, una

serie de comentarios identificados por la presencia del carácter # en la primera posición

de cada línea. El programa SUBSID descarta todas estas líneas durante la lectura del

fichero.

En primer lugar, se identifica el factor de ampliación de los desplazamientos que

facilita la visualización de los resultados gráficos en aquellos casos en los que el

desplazamiento de la superficie es pequeño. En la misma línea aparece el tamaño de los

textos que se emplearán en la generación de los gráficos finales.

A continuación, para cada uno de los siete tipos de isolíneas que genera el

programa, se detallan la separación entre los valores que dan lugar a la generación de

una isolínea. Se indica también, el número de líneas que separan una línea maestra de

otra. Estas son las que aparecen en el gráfico acompañadas de un número que representa

139

su valor. Luego se indica el tipo de valores que se van a representar (0-Positivos

1-Negativos). Al final de cada línea, se recoge el factor de escala con el que se generan

los números que identifican las isolíneas.

Por último, en el fichero genres.dat se indica el número de cortes que se desea

obtener, señalando para cada uno de ellos la línea de corte, el nombre del fichero donde

se guardará y el tipo de polilíneas que se emplearán para la representación de las

intersecciones (0-Líneas poligonales 1-Líneas suavizadas).

En la figura 81 se presenta un esquema de las distintas etapas que componen este

módulo.

OBTENCIÓNSEGMENTOS ELEMENTALES

MODELOS DIGITALES

PREFERENCIASgenres.dat

IDENTIFICACIÓN ISOLÍNEAS

ETIQUETADO ISOLÍNEAS

ä�d å�æA��?BJ9û�Ö e���êID�æAfA�B?B�AfBC ?�ês�Ad yHfA�Lf�Þ��Hf�êEf��H?A�A?�ês�AfGCK�B�A��æAC i� �¡�¢ � ¡ qUna vez leídas las preferencias del usuario para cada uno de estos valores desde el

fichero genres.dat, se procede a la obtención de los segmentos elementales que

constituyen cada una de estas líneas mediante la intersección de la superficie de

ecuación z=f(xi,yi), con el plano horizontal de valor z constante como se recoge en la

figura 82. El valor de corte varía para cada uno de los grupos de isolíneas, de acuerdo

con la información contenida en el fichero de preferencias.

Los segmentos así obtenidos, cuyos extremos coincidan, se enlazan para formar

una sola entidad o isolínea. Una vez definida esta, si se trata de una línea maestra, se le

asigna la correspondiente etiqueta en la que se indica el valor de corte con que se ha

generado, afectada de la correspondiente escala asignada en el fichero genres.dat.

140

ä�d å�æA��?BJ9è�Ö e'ÿ"�LiAhKf�êKiB�AfBiAk��Hf�ÞAhId ��ÞB�Af�æ�Þ�êKf�åA�Bf�Þ��HiB�AfBd êIiAC P ÞAfA?La información gráfica obtenida en este módulo se guarda en ficheros con

formato DXF, susceptibles de ser editados con AutoCAD®. Esto permite la

superposición de la información original con cada uno de los conjuntos de isolíneas

como puede apreciarse en las siguientes figuras:

141

ä�d å�æA�L?BJ9í�Ö e'ì êKiAC P ÞAfA?�êE�Af�ý�æ�ÞA�Gd �Bd f)Þ��Hi

142

ä�d å�æ��L?BJ9î�Ö e�ìÄêKiAC P ÞAfA?�êE�AfB��f�êI�AC ?�ëI?A��d f�Þ��Hi�ê�ýAiA�Ld ëKi�Þ��H?AC f�ê

143

ä�d å�æA�L?BJ9þ�Ö e�ì êIiAC P ÞAfA?)ês�AfB�Af�êI�AC ?�ëK?A�Bd f�Þ��Hi�ê�ýAiG��d ëKi�Þ��H?AC f)ê�êKf�åAg�ÞbfACKf���fB£s¤

144

ä�d å�æA�L?BJ9ç�Ö e�ì êIiAC P ÞAfA?)ês�AfB�Af�êI�AC ?�ëK?A�Bd f�Þ��Hi�ê�ýAiG��d ëKi�Þ��H?AC f)ê�êKf�åAg�ÞbfACKf���fB£�¥

145

ä�d å�æ��L?BJ�@�Ö e'ì êKiAC P ÞAfA?�ês�Af�ÿ�f�ÞA�Ad f�Þ��Hf�ê

146

ä�d å�æA��?BJ�J�Ö e'ì êKiAC P ÞAfA?�ês�Af�énf�yHiA�L�B?AhKd i�ÞAf�ês¦3ÞAd �H?A�Ld ?�ê

147

ä�d å�æA��?BJ9Õ�Ö e'ì êKiAC P ÞAfA?�ês�AfB§3æA� ��?��AæA��?148

ä�d å�æA��?�Õ�ü�Ö e�§niA� �Hf9¨�e ¨�©ªhKi�ÞBC ?�êEh5æA� ��?�ês�AfBhK?A�A?�æ�ÞAiB�AfBC i�êHêKd f��HfB�A?A�LA��f��H�Li�êsf�ê��AæA�Ad ?A�Ai�ê

149

Dada la gran flexibilidad de la herramienta informática presentada en este

capítulo, esta puede ser de gran ayuda para el proyectista a la hora de evaluar

situaciones de posible riesgo. Gracias a la generación de los diferentes tipos de

isolíneas, es posible delimitar las zonas del terreno con valores críticos de los

parámetros que generalmente estarán incluidas en el interior de la correspondiente

isolínea. Por ejemplo, teniendo en cuenta las deformaciones unitarias obtenidas en el

módulo GENRES se puede analizar la relación entre las distintas zonas sometidas a

compresiones y tracciones, para estudiar la influencia relativa y su efecto sobre una

determinada edificación.

Cada una de estas zonas críticas puede ser definida gráficamente, lo que facilita la

identificación de las construcciones que puedan verse sometidas a los posibles daños

ocasionados por los desplazamientos del terreno. Para la identificación de estas zonas se

ha desarrollado un pequeña aplicación (Bello [132]) en el entorno ADS (AutoCAD

Development System™) de AutoCAD® denominada SUBCRI.

Al igual que las librerías estandard del lenguaje C, el entorno ADS está definido

por un conjunto de librerías y ficheros de encabezamiento. Estos ficheros están

disponibles para la mayoría de las plataformas (tanto máquinas como sistemas

operativos) que actualmente soportan AutoCAD. Debido a esto, las aplicaciones que

hacen uso del entorno ADS son fácilmente portables, a nivel de código, desde una

plataforma a otra. En este caso, la aplicación se ha desarrollado en el entorno PC, para

luego ser portada a estaciones de trabajo SGI y HP sin ninguna modificación.

El proceso se basa en los contornos de las construcciones situadas en la superficie

afectada que han sido digitalizadas en el módulo DIGISUB. Cada una de ellas se

representan mediante una polilínea cerrada lo que permite su posterior identificación. A

cada una de estas polilíneas se le asocia una categoría, de acuerdo con la tabla 12

recogida en el anexo de este trabajo, mediante la inserción en la zona de atributos

extendidos de cada entidad el correspondiente valor. Este proceso se lleva a cabo

mediante el comando categoría implementado dentro de SUBCRI. A continuación, se

muestra un ejemplo de uso de este comando:

Command: categoríaNueva categoría <0>: 1Selecciona una polilínea: picar polilíneaSelecciona una polilínea: picar polilínea...

Una vez asignada la categoría a una determinada polilínea esta se sombrea

mediante una trama característica (hatch), facilitando la identificación de los tipos de

construcciones presentes en la zona afectada. En la siguiente figura se presenta un

ejemplo de este tipo de identificación.

150

ä�d å�æA��?�Õ9û�Ö e�«"iA�BkA��fA?A�Ai�ês�AfBC i�ês�Ad ê¬�Hd Þ��Hi�ê��Hd �Ai�ês�AfBhKi�Þ�ê¬�H��æAhKhId i�ÞAf�êEl programa SUBCRI se encarga luego del agrupamiento de las distintas

construcciones según el daño estimado a partir de los valores recogidos en el anexo.

Así, cada uno de los grupos de daño identificados se coloca en un layer diferente, lo que

permite su identificación individualizada. Esta tarea se completa con la identificación de

las zonas de la superficie donde alguna de las magnitudes estudiadas supera los valores

indicados por el usuario. El rayado de estas zonas se realiza aplicando la trama asignada

en un fichero de opciones, como el presentado el siguiente listado

# TRAMA ANG ESC PARAM COND LAYER ANSI31 0 100 DZ <150 DZ150 ANSI31 90 100 DH <25 DH30 ANSI31 45 100 DU <0 DUCOMPú d ê��H?A�Ai�û�î�Ö e'ä�d h5ýAfA��iB�AfBiA�AhKd i�ÞAf�ês�AfACK�A��i�åA�L?A��?�qsrut��u�9v

ä�d å�æA��?�Õ9è�Ö e�­�i)ÞA?BhKi�Þ�ý�æ�ÞA�Ad �Bd f�Þ��Hi�êEd Þ�yHfA�Ld iG��f�êE?�û�þ�üB�B�151

ä�d å�æA��?�Õ9í�Ö e�­�i�ÞA?BhIi�ÞB�Af�êK�AC ?�ëI?A�Bd f�Þ��Hi�ê�ýAiA�Ld ëIi�Þ��H?AC f�êsd Þ�yHfA��d iA��f�êE?�è�þB���

ä�d å�æ��L?�Õ9î�Ö e�­�i�ÞA?�hIi�ÞB��f�yHiA�L�B?�hId i�ÞAf�ê�æ�ÞAd �H?A��d ?�ê�ýAiA��d ëKi�Þ��H?AC f�ês�AfBhKiA�B�A��f�êKd ��Þ

152

ï¦ð¢ñ�ò�ó¨ï¦ó�ò�ô�õöð¢÷�ø¦ó�ù�ò�ó¨ï¯®^��ñ ð¢÷ �3°3±b² Q ² `baBcb`�]¬[Se recogen a continuación, partiendo de los mismos datos que se emplearon en el

capítulo anterior para la evaluación del programa SUBEE, los resultados obtenidos para

alguno de los modelos presentados en la tabla 10.

En primer lugar se presenta la información digitalizada en el modulo DIGISUB

correspondiente al problema estudiado, para luego indicar los resultados numéricos

generados por el módulo CALCSUB para cada modelo. Por último, se muestran los

gráficos generados en cada caso por el módulo GENRES.

³�´ µA¶A·�¸B¹�º�Ö »�¼ ½�¾H¿A·LÀB¸AÁK´ ÂA½bµA·�Ã�¾H´ ÁK¸BÄAÅBÆA¸A· ÇH´ ÄA¸

153

[ZSUP1]Max. Hund. : 0.002 Pos. [X,Y,Z]: 1080.000 1241.921 387.500Max. D.Hor.: 0.003 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1086.334 250.000Max. Desp.X: -0.003 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1161.908 250.000Max. Desp.Y: -0.002 Pos. [X,Y,Z]: 980.000 679.061 250.000

[ZSUP2]Max. Hund. : 0.038 Pos. [X,Y,Z]: 810.000 1004.904 250.000Max. D.Hor.: 0.022 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.X: -0.018 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.Y: 0.013 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500

[ZSUP3]Max. Hund. : 0.062 Pos. [X,Y,Z]: 830.000 998.844 250.000Max. D.Hor.: 0.036 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.X: -0.029 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.Y: 0.022 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500

[ZSUP4]Max. Hund. : 0.071 Pos. [X,Y,Z]: 840.000 997.019 250.000Max. D.Hor.: 0.042 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.X: -0.034 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.Y: 0.026 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500

Max. Pend.: 0.000420 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1351.135 300.000Max. DefU.: 0.000754 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1377.946 300.000Max. Curv.: 0.000038 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1337.729 300.000È ´ ɬÇH¸AÄA¿BÊ�º�Ö »�ËnÅAÉK¶AÌ ÇH¸AÄA¿AÉs½A¶AÀBÍA·�´ ÁK¿AÉsÁK¿A½BÎBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

³�´ µA¶A·�¸B¹�Ï�Ö »�¼ ÉK¿GÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄGÅBÑm¶A½AÄA´ ÀB´ ÅA½�ÇH¿BÁI¿A½BÎBÆA¸A·LÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

154

³�´ µA¶A·L¸B¹�Ò�Ö »�¼ ÉI¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉEÄAÅBÓmÅAÉIÆAÌ ¸AÔK¸AÀB´ ÅA½�ÇH¿BÑn¿A·�´ ÔI¿A½�ÇH¸AÌKÁI¿A½BÎBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·L¿AÉ

³�´ µA¶A·L¸B¹�Õ�Ö »�¼ ÉI¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÖ"ÅA½AÄA´ ÅA½pÇHÅAÉEÁK¿A½BÎBÆA¸A·LÃ�ÀBÅ�ÇH·L¿AÉ

155

³�´ µA¶A·�¸B¹�¹�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÓnÅ�¾H¿A·LÀB¸AÁK´ ÂA½B×n½A´ ÇH¸A·�´ ¸BÁK¿A½BÎBÆA¸A·LÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

³�´ µA¶A·�¸BÊ�ØAØ�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½�ÅA¸AÉEÄ�ÅBÙn¶A· Ú�¸�Ç�¶A·L¸BÁK¿A½BÎBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

156

[ZSUP1]Max. Hund. : 0.005 Pos. [X,Y,Z]: 800.000 1366.919 437.500Max. D.Hor.: 0.027 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 859.611 250.000Max. Desp.X: -0.023 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 859.611 250.000Max. Desp.Y: -0.014 Pos. [X,Y,Z]: 240.000 856.433 250.000

[ZSUP2]Max. Hund. : 0.047 Pos. [X,Y,Z]: 1330.000 1210.393 425.000Max. D.Hor.: 0.106 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 859.611 250.000Max. Desp.X: -0.097 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 859.611 250.000Max. Desp.Y: 0.060 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500

[ZSUP3]Max. Hund. : 0.075 Pos. [X,Y,Z]: 1350.000 1152.347 415.625Max. D.Hor.: 0.150 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.X: -0.116 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.Y: 0.095 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500

[ZSUP4]Max. Hund. : 0.085 Pos. [X,Y,Z]: 1380.000 1131.594 425.000Max. D.Hor.: 0.180 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.X: -0.139 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500Max. Desp.Y: 0.115 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1589.000 287.500

Max. Pend.: 0.001658 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1377.946 300.000Max. DefU.: 0.003048 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1377.946 300.000Max. Curv.: 0.000063 Pos. [X,Y,Z]: 230.000 1270.700 300.000È ´ É�ÇH¸GÄA¿BÊ�Ï�Ö »�ËnÅAÉK¶AÌ ÇH¸AÄA¿AÉs½A¶AÀ�ÍA·L´ ÁK¿AÉsÁI¿�½Bº�ÛMÜBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

³�´ µA¶A·�¸BÊ�ØAÊ�Ö »�¼ ÉI¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉEÄAÅBÑm¶A½AÄA´ ÀB´ ÅA½�ÇH¿BÁK¿A½bº�ÛMÜBÆA¸A·LÃAÀ�Å�ÇH·L¿AÉ

157

³�´ µA¶A·�¸BÊAØ�Ü�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉEÄAÅBÓmÅAÉIÆAÌ ¸AÔK¸AÀB´ ÅA½�ÇH¿BÑm¿A·L´ ÔI¿A½�ÇH¸AÌKÁK¿A½Bº�Û�ÜBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·L¿AÉ

³�´ µA¶A·�¸BÊAØ�Î�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÖ"ÅA½AÄA´ Å�½�ÇHÅAÉEÁK¿A½Bº�ÛMÜBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·L¿AÉ

158

³�´ µA¶A·�¸BÊ�ØAÝ�Ö »�¼ ÉI¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÓnÅ�¾H¿A·LÀB¸AÁK´ ÂA½B×n½A´ ÇH¸A·L´ ¸BÁI¿A½Bº�ÛMÜBÆA¸A·LÃAÀ�Å�ÇH·L¿AÉ

³�´ µA¶�·L¸BÊ�ØAº�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÙm¶A· ÚM¸�ÇH¶A·�¸BÁK¿A½Bº�ÛMÜBÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

159

[ZSUP1]Max. Hund. : 1.596 Pos. [X,Y,Z]: 970.000 1317.156 431.250Max. D.Hor.: 0.343 Pos. [X,Y,Z]: 550.000 1391.592 350.000Max. Desp.X: 0.343 Pos. [X,Y,Z]: 550.000 1391.592 350.000Max. Desp.Y: 0.122 Pos. [X,Y,Z]: 920.000 1268.988 406.250

[ZSUP2]Max. Hund. : 1.567 Pos. [X,Y,Z]: 970.000 1317.156 431.250Max. D.Hor.: 0.361 Pos. [X,Y,Z]: 550.000 1391.592 350.000Max. Desp.X: 0.361 Pos. [X,Y,Z]: 550.000 1391.592 350.000Max. Desp.Y: 0.129 Pos. [X,Y,Z]: 920.000 1268.988 406.250

[ZSUP3]Max. Hund. : 1.638 Pos. [X,Y,Z]: 970.000 1317.156 431.250Max. D.Hor.: 0.393 Pos. [X,Y,Z]: 560.000 1383.336 350.000Max. Desp.X: 0.393 Pos. [X,Y,Z]: 560.000 1383.336 350.000Max. Desp.Y: -0.124 Pos. [X,Y,Z]: 1340.000 1553.084 525.000

[ZSUP4]Max. Hund. : 1.622 Pos. [X,Y,Z]: 970.000 1317.156 431.250Max. D.Hor.: 0.351 Pos. [X,Y,Z]: 560.000 1383.336 350.000Max. Desp.X: 0.351 Pos. [X,Y,Z]: 560.000 1383.336 350.000Max. Desp.Y: -0.108 Pos. [X,Y,Z]: 1330.000 1537.302 525.000

Max. Pend.: 0.033870 Pos. [X,Y,Z]: 960.000 1314.495 431.250Max. DefU.: 0.002695 Pos. [X,Y,Z]: 1020.000 1251.937 393.750Max. Curv.: 0.000379 Pos. [X,Y,Z]: 1380.000 1472.878 550.000È ´ É�ÇH¸AÄA¿bÊ�Ò�Ö »�ËnÅ�ÉI¶AÌ ÇH¸AÄ�¿AÉs½A¶AÀBÍA·�´ ÁI¿AÉsÁK¿A½BºpÛ�Ü�ÛMÝBÆ�¸A·LÃAÀ�Å�ÇH·L¿�É

³�´ µA¶�·L¸BÊ�ØAÏ�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÑn¶A½AÄA´ ÀB´ ÅA½�ÇH¿BÁI¿A½Bº�ÛMÜ�ÛMÝBÆA¸A·LÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

160

³�´ µA¶A·�¸BÊAØ�Ò�Ö »�¼ ÉI¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÓnÅAÉKÆAÌ ¸AÔK¸AÀB´ ÅA½�ÇH¿BÑn¿A·�´ ÔK¿A½�ÇH¸AÌKÁI¿�½Bº�Û�Ü�ÛMÝBÆA¸A·LÃ�ÀBÅ�ÇH·L¿AÉ

³�´ µA¶A·�¸BÊAØ�Õ�Ö »�¼ ÉI¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÖ"ÅA½AÄA´ ÅA½�ÇHÅAÉsÁK¿A½Bº�ÛMÜ�Û�Ý�ÆA¸A·LÃAÀBÅpÇH·L¿AÉ

161

³�´ µA¶�·L¸BÊ�ØA¹�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸AÉsÄAÅBÓnÅ�¾H¿A·�ÀB¸AÁK´ ÂA½B×m½A´ ÇH¸A·�´ ¸�ÁI¿A½Bº�ÛMÜ�ÛMÝBÆA¸A·LÃAÀBÅ�ÇH·�¿AÉ

³�´ µA¶A·L¸BÊ�Ê�Ø�Ö »�¼ ÉK¿AÌ Ð ½AÅA¸�ÉEÄAÅ�Ùn¶A· Ú�¸pÇH¶A·L¸�ÁI¿A½�º�ÛMÜ�Û�Ý�ÆA¸A·LÃAÀ�Å�ÇH·L¿�É

162

Þ�ß�à�á�â�ã�ä�åçæéèÞ,å�ê�Þ,ä�ã�ë+ì�å:ê�í�ëïîðà�í�ñ�ë+à(í�Þ,â�ìòæ�ß0ëôó:í5õ3ã:â3ã:ñ0å

163

öø÷3ù�ö<ú>ûTü�ý¬÷3ùÿþ�üLas conclusiones obtenidas tras la realización de este trabajo pueden resumirse en

los siguientes apartados:

1. Los modelos empíricos y los teóricos no son suficientemente flexibles para ser

generalizados a los distintos tipos de explotación, ni a las diferentes propiedades y

características de los macizos rocosos. Por el contrario, el modelo propuesto en

este trabajo, aunque es necesario definir con detalle la topografía del terreno y de

las labores subterráneas, no exige un conocimiento exhaustivo de las propiedades

del macizo lo que le dota de una gran flexibilidad desde un punto vista práctico.

2. En esta formulación se considera, dentro del mismo modelo, el comportamiento

evolutivo de la subsidencia. Esto permite plantear la evolución de la superficie en

el tiempo, incluso al finalizar la explotación, convirtiendo al programa en una

herramienta muy útil para la predicción del posible daño ocasionado por la

explotación.

3. La formulación presentada en este trabajo permite al técnico separar las etapas de

evaluación del modelo, predicción de su comportamiento y obtención de la

información gráfica. Esto le permite valorar la desviación en el tiempo que un

determinado conjunto de parámetros provoca o la idoneidad de una nueva

estrategia frente a otra. Todo ello redunda en una mayor capacidad de

intervención del usuario.

4. El proceso de optimización adoptado en este trabajo, basado en técnicas de

Inteligencia Artificial, es el más adecuado para resolver problemas de esta

complejidad, caracterizados por un gran espacio de búsqueda de los parámetros y

una superficie de error muy rugosa, con varios óptimos locales y una sensibilidad

elevada. Todo esto impide la aplicación de las técnicas convencionales de

descenso.

5. La generalización de las herramientas gráficas de cálculo de curvaturas,

pendientes, deformaciones unitarias, etc. al entorno tridimensional permite un

gran avance respecto al tratamiento clásico, dotando al técnico de la información

suficiente y correctamente organizada para que pueda interpretar fácilmente los

resultados.

6. Por lo que se refiere a las estrategias evolutivas, las técnicas propuestas en este

trabajo suponen una mayor velocidad de convergencia hacia el mínimo que

aquellas que no mantiene una correlación en los patrones que controlan la

distribución probabilística de alteración de los genes

164

� þ��bü � þ�ö���ý�����ü^þ�jû���û �B÷Como futuras líneas de investigación que continúen la presentada en este trabajo,

se pueden destacar las siguientes:

1. Avanzar en el estudio del método de la función de influencia para tener en cuenta

las irregularidades del macizo rocoso afectado por la subsidencia, como fallas,

diaclasas, distintos tipos de estratificación, etc. Por otro lado, haciendo uso de la

misma metodología presentada en este trabajo, proponer un modelo de función de

influencia independiente que permita obtener los desplazamientos horizontales de

los puntos del terreno.

2. Mejorar el estudio teórico de las Estrategias Evolutivas, haciendo especial

hincapié en la teoría estadística, para obtener una algoritmo de optimización más

rápido que el propuesto en este trabajo. Parece interesante, así mismo, el uso de

otros tipos de funciones de influencia, por ejemplo, no asintóticas de la forma

( ) ( )x a b x− −α β , que permitirían la distribución asimétrica de la influencia de los

elementos extraídos sobre los puntos de la superficie.

3. Incluir en el programa propuesto en este trabajo, la caracterización de las zonas de

posible riesgo, definidas según unos criterios racionales de daño en las estructuras

situadas en superficie. Para ello, se propone realizar un estudio analítico de los

diferentes efectos perjudiciales que sobre dichas construcciones tiene el fenómeno

de la subsidencia.

165

ß�ê:í��,å

166

��ú��3÷��Bý����,÷3ü�3þ�ù�����ý�öø÷3ü��������

Son modelos informáticos de pensamiento que derivan su comportamiento de una

metáfora basada en los procesos evolutivos de la naturaleza. Esto se logra mediante la

creación en el interior de la computadora de una población de individuos representados

por cromosomas, en esencia un conjunto de cadenas de caracteres análogas a los

cromosomas que constituyen nuestro ADN. Posteriormente, cada uno de los individuos

que constituye esta población es sometido a un proceso evolutivo.

Es importante comprender que la evolución, en la naturaleza o en cualquier otro

sitio, no es un proceso dirigido que tenga un propósito determinado a priori. Es decir,

no existe ninguna evidencia que avale la afirmación de que el objetivo de la evolución

es la Humanidad. De hecho, los procesos de la naturaleza parecen conducir hacia la

creación de diferentes individuos que compiten por los recursos de su entorno. Algunos

son mejores que otros. Aquellos que son mejores tienen más posibilidades de sobrevivir

y propagar su material genético.

En la naturaleza, se observa que la codificación de la información genética

(genoma) se realiza de forma que admita la reproducción asexual, lo que conduce

generalmente a la obtención de descendientes genéticamente iguales a sus padres. Por

otra parte, la reproducción sexual permite la creación de descendientes radicalmente

distintos a sus padres pero pertenecientes a su misma especie.

De una manera muy simplificada, lo que ocurre a nivel molecular es que un par

de cromosomas chocan entre si, intercambian porciones de información genética y se

separan. Esta es una operación de recombinación, que recibe el nombre de cruce dentro

de la jerga de los programadores de AG, por la forma en que la información genética

cruza de un cromosoma a otro.

La operación de cruce tiene lugar en un entorno donde la selección de los

cromosomas que encuentran pareja es función de la adaptación de cada individuo, es

decir, de lo bueno que es cada individuo compitiendo con los demás en su entorno.

Algunos algoritmos genéticos hacen uso de una función simple de la medida de su

adaptación para seleccionar (probabilísticamente) a los individuos que serán sometidos

a la operación de cruce o reproducción (propagación de material genético inalterado).

Otras implementaciones, utilizan un modelo en el que un conjunto de individuos

escogidos al azar compiten entre si y se selecciona al mejor adaptado. Esto recibe el

nombre de selección por torneo, y es la forma de selección que se observa en la

naturaleza cuando un grupo de machos pelea entre si por el privilegio de aparearse con

una hembra. Los dos procesos que contribuyen en mayor medida a la evolución son el

cruce y la selección/reproducción basada en la adaptación de los individuos.

167

Existen pruebas matemáticas que indican que el proceso de reproducción en

función de la adaptación está, de hecho, cerca del óptimo en ciertos sentidos.

La mutación también juega un gran papel en todo este proceso, aunque no sea el

papel dominante que se le da popularmente a la evolución, es decir, mutación aleatoria

y supervivencia del mejor. Un AG (como simulación de un proceso genético) no es una

búsqueda aleatoria de la solución (individuo altamente adaptado) de un determinado

problema. Los AG hacen uso de procesos estocásticos, pero el resultado es claramente

no aleatorio.

Los AG son empleados en un gran número de aplicaciones. Un ejemplo de esto es

el problema de la optimización multidimensional en el que la cadena de caracteres del

cromosoma se emplea para codificar los valores de los diferentes parámetros que se

desea optimizar.

En la práctica, por tanto, se puede implementar este modelo genético de

computación mediante tiras o matrices de bits o caracteres que representan los

cromosomas. La operaciones sencillas de manipulación de bits permiten la

implementación de las operaciones de cruce, mutación y otras. A pesar de que se ha

realizado un gran esfuerzo investigador acerca de las cadenas de bits de longitud

variable, la mayoría del trabajo realizado con AG está enfocado en las cadenas de

longitud fija. En este punto, se debe destacar la importancia de estos dos aspectos: la

longitud fija de las cadenas y la necesidad de codificar la representación de la solución

buscada como una cadena de caracteres, lo que diferencia a los AG de la programación

genética, que no hace uso de una representación de longitud fija y, generalmente, no se

codifica el problema.

Cuando se implementa un algoritmo genético suele seguir el siguiente ciclo:

- Evaluación de la adaptación de los individuos de la población.

- Creación de una nueva población mediante operaciones como el cruce, la

mutación y la reproducción en función de la adaptación.

- Descarte de la población vieja e iteración de la nueva población.

Cada iteración de este bucle recibe el nombre generación aunque no existe una

razón teórica para esto. De hecho, no se observa este tipo de comportamiento en las

poblaciones existentes en la naturaleza como un todo, sin embargo la implementación

de este modelo tiene sus ventajas.

La primera generación de este proceso actúa sobre una población obtenida de

forma aleatoria. De aquí en adelante, las operaciones genéticas, de acuerdo con las

medidas de la adaptación de cada individuo, actúan para mejorar la población.

168

Un ejemplo de pseudo-código correspondiente a un AG se recoge en el siguiente

listado:

El algoritmo AG es// empieza con un tiempo inicialt := 0;// inicia una población de individuos, generalmente de forma aleatoriaIniciaPoblación P(t);// evalúa la adaptación de todos los individuos de la población inicialEvalúa P(t);// comprueba el criterio de terminación (tiempo, adaptación, etc.)mientras no acabado haz

// aumenta el contador de tiempot := t + 1;// selecciona una sub-población para la obtención de descendientesP' := SeleccionaPadres P(t);// recombina los "genes" de los padres seleccionadosRecombina P'(t);// modifica estocásticamente la población emparejadaMuta P'(t);// evalúa la nueva adaptaciónEvalúa P'(t);// selecciona los supervivientes por su adaptaciónP := Sobrevive P,P'(t);

fin mientrasfin AG

È ´ É�ÇH¸AÄA¿bÊ�Õ�Ö »�Ö"ÉIÅ�¶AÄA¿BÁKÂAÄA´ µA¿�µAÅA½AÍA·L´ ÁK¿BÄAÅB¶A½���� "!"#%$ & '(! )+*","-"& $ ./!

169

� �B÷����(���0��öøý�13ùéþ2�^÷3úuû ��ý����3� � þ2�La programación evolutiva es una estrategia de optimización estocástica similar a

los algoritmos genéticos, pero emplea como criterio de búsqueda, tanto las

representaciones genómicas como las operaciones de cruce.

Al igual que los AG, la PE es útil en los problemas de optimización donde otros

métodos como el del gradiente o el método analítico directo no pueden emplearse. Esta

técnica es de gran interés en los problemas de optimización de funciones combinatorias

o de valores reales donde la superficie de optimización o entorno de adaptación tiene

un aspecto rugoso, es decir, presenta múltiples soluciones localmente óptimas.

La PE, de forma similar a lo visto para los AG, se basa en la suposición que un

entorno de adaptación puede ser caracterizado por un conjunto de variables, y que existe

una solución óptima del problema en términos de dichas variables. Por ejemplo, si se

trata de determinar el camino más corto en el problema del viajante, cada solución sería

un camino. La longitud de ese camino podría ser expresada como un número, que

podría servir como medida de la adaptación. El entorno de adaptación de este problema

podría definirse como la hipersuperficie proporcional a la longitud de los caminos en un

espacio de caminos posibles. El objetivo sería encontrar el camino de menor longitud en

dicho espacio.

La PE básica se compone de las siguientes tres etapas, que se repiten hasta que el

número de iteraciones alcanza un valor máximo establecido de antemano o se encuentra

una solución adecuada:

- Elección de una población inicial de forma aleatoria. El número de soluciones

en una población influye de manera decisiva en la velocidad del proceso de

optimización, pero no existen respuestas sobre cual es el número de soluciones

apropiadas y cuál es excesivo.

- Cada solución se replica en una nueva población. Cada uno de estos

descendientes se modifican de acuerdo con la distribución de los tipos de

mutaciones, desde el mínimo cambio posible hasta el máximo.

- Se determina la adaptación de cada una de las nuevas soluciones y se conservan

las n mejores o las n primeras, escogidas al azar entre las mejores, para

constituir la siguiente población.

Existen dos claras diferencias entre la programación evolutiva y los algoritmos

genéticos. Primero, no existe ninguna restricción en la representación. El AG típico

supone la codificación de las soluciones del problema como una cadena de elementos o

tokens representativos, el denominado genoma. Por el contrario, en la PE la

representación se deriva del propio problema. Por ejemplo, una red neuronal puede ser

170

representada de la misma forma en que es implementada, ya que la operación de

mutación no exige una codificación lineal.

En segundo lugar, la operación de mutación simplemente modifica determinados

aspectos de la solución de acuerdo con una distribución estadística que da más peso a

las pequeñas variaciones en los descendientes, y menos importancia a los cambios

significativos a medida que se acerca al óptimo global. Existe en esta afirmación una

tautología implícita: si el óptimo global no es conocido aún, ¿cómo puede ser

amortiguado el efecto de las mutaciones a medida que nos acercamos a él? Para resolver

esta dificultad, se han propuesto e implementado varias técnicas, la más extendida es la

meta-evolutiva, en la que la varianza de la distribución de las mutaciones está sometida

a modificación según un operador mutante de varianza fija, evolucionando de esta

forma con la solución.

Las operaciones de cruce como abstracción de la recombinación sexual ha sido

cuestionada en varios frentes por la comunidad PE.

Así, (Atmar [109]) critica el uso de esta terminología, ya que el cruce es un

proceso que tiene lugar antes que el sexo durante la división meiótica de la célula y su

papel en la evolución no está todavía muy claro. Más allá de la mera cuestión

semántica, frente a la concepción comúnmente aceptada, en la que el sexo actúa como

un acelerador de la diversidad, él propone que el sexo actúa como un mecanismo de

eliminación de los defectos genéticos contenidos en la herencia.

Argumenta, además, que la codificación simplista de los parámetros en los

problemas de optimización realizada por los algoritmos genéticos, donde un rasgo es

equivalente a un determinado patrón o conjunto de símbolos del genoma, no representa

adecuadamente el proceso de la selección natural y oculta causa y efecto. Él propone,

por el contrario, una selección al nivel del fenotipo. Así, Atmar caracteriza el

planteamiento PE por la variación a este nivel, sin tener en cuenta la representación a

niveles más bajos, mientras que los AG celebran el alcance de una solución óptima

mediante la exclusión potencial de los detalles en la codificación.

Se han realizado varias evaluaciones sobre la importancia de la operación de

cruce, pero todas sugieren que el valor de esta operación no está claro todavía.

Un ejemplo de pseudo-código correspondiente a un PE se recoge en el siguiente

listado:

171

El algoritmo PE es// empieza con un tiempo inicialt := 0;// inicia una población de individuos, generalmente de forma aleatoriaIniciaPoblación P(t);// evalúa la adaptación de todos los individuos de la población inicialEvalúa P(t);// comprueba el criterio de terminación (tiempo, adaptación, etc.)mientras no acabado haz

// aumenta el contador de tiempot := t + 1;// modifica estocásticamente toda la poblaciónP' := Muta P(t);// evalúa la nueva adaptaciónEvalúa P'(t);// selecciona los supervivientes por su adaptaciónP := Sobrevive P,P'(t);

fin mientrasfin PE

È ´ ɬÇH¸AÄA¿BÊ�¹"4 »�Ö�ÉKÅA¶AÄA¿�ÁIÂAÄA´ µA¿BµAÅA½�ÍA·L´ ÁK¿BÄAÅB¶A½A¸�5�#%!" "#%6"'(6"./$ 78,(92:�!8� ;"& $%:�6En este punto cabe indicar que la PE no hace uso del proceso de cruce como

operador genético.

172

þ�ü��<�(����þ2�3ý��¯þ��^÷3ú>û���ý����3�pþ�þ��En 1963, dos estudiantes de la Universidad Técnica de Berlín (TUB) se

conocieron y pronto empezaron a colaborar en experimentos que empleaban el túnel de

viento del Institute of Flow Engineering. Durante la búsqueda de formas óptimas para

los objetos introducidos en un flujo, que por aquel entonces era una cuestión de

laboriosa experimentación intuitiva, concibieron la idea de operar estratégicamente. Sin

embargo, las estrategias basadas en las coordenadas o el gradiente simple no tuvieron

ningún éxito. Entonces, uno de los estudiantes tuvo la idea de introducir cambios

aleatorios en los parámetros que caracterizaban la forma del objeto, siguiendo el

ejemplo de las mutaciones en la naturaleza. Nacía así la estrategia evolutiva. Un tercer

estudiante se unió a ellos y comenzaron la construcción de un experimentador

automático, que trabajaría de acuerdo con unas reglas simples de mutación y selección.

Por tanto, la estrategia evolutiva (Rechenberg [53]) fue inventada para resolver

problemas técnicos de optimización, siendo una técnica conocida sólo por los

ingenieros civiles como solución alternativa a los planteamientos convencionales.

Generalmente no existe una función analítica objetiva para la solución de estos

problemas, por lo que no existe un determinado método de optimización aplicable en

cada caso, salvo la propia intuición del ingeniero.

Los primeros intentos para imitar la evolución orgánica mediante el uso de

computadoras todavía recuerdan los métodos de optimización iterativos conocidos hasta

la época. En una estrategia evolutiva de dos miembros o EE(1+1), cada padre produce

un descendiente en cada generación mediante la aplicación de mutaciones normalmente

distribuidas, es decir, los pasos pequeños son más probables que los pasos grandes,

hasta que un hijo lo hace mejor que su padre y ocupa su lugar. Debido a esta estructura

tan sencilla, se pueden obtener resultados teóricos sobre la velocidad de convergencia y

el control de la magnitud de los pasos. Así, una de las reglas descubiertas durante la

experimentación para dos funciones objetivo unimodales (el modelo esférico y el

modelo de tunel) es que la relación entre las mutaciones exitosas y el total de

mutaciones debía ser de 1/5. Esta relación ha sido confirmada posteriormente por otros

investigadores (Voigt y Born [115]).

Este primer algoritmo, que hace uso únicamente de la mutación, ha sido mejorado

para obtener una EE(µ+1) donde se hace uso de la recombinación gracias a la existencia

de µ padres. El esquema de mutación y el control de la magnitud de los pasos se

trasladó de un método a otro sin modificación.

Posteriormente, se generalizaron estas estrategias imitando los siguientes

principios de la evolución orgánica: una población posibilita el proceso de

173

recombinación con un emparejamiento aleatorio, mutación y selección. Así, en la

EE(µ+λ), la generación parental es tenida en cuenta durante el proceso de selección,

mientras que en la EE(µ,λ) únicamente los descendientes sufren el proceso de selección.

Generalmente, se denota por µ el tamaño de la población, y por λ el número de

descendientes producidos en cada generación. Para expresarlo de otra forma:

El algoritmo EE es// inicia una población de individuos, generalmente de forma aleatoriaIniciaPoblación P(t);// evalúa la adaptación de todos los individuos de la población inicialEvalúa P(t);// comprueba el criterio de terminación (tiempo, adaptación, etc.)mientras no acabado haz

// modifica estocásticamente toda la población P' := Muta_Recombina P(t);

// evalúa la nueva adaptaciónEvalúa P'(t);// selecciona los supervivientes por su adaptaciónsi EE( µ, λ) haz

P := Sobrevive P'(t);si EE( µ+λ) haz

P := Sobrevive P,P'(t);fin mientras

fin EEÈ ´ É�ÇH¸AÄA¿bÜ�Ø"4 »�Ö"ÉKÅA¶AÄA¿BÁKÂAÄA´ µA¿BµAÅA½AÍA·�´ ÁK¿BÄAÅB¶A½�¸�9>=/& #?6"& *" "$ 6(9@:�!"� ;"&A$B:�6

Sin embargo, el trabajo con EE puede resultar arduo debido a la gran cantidad de

teoría probabilística y estadística aplicada que es necesario dominar para comprender

sus entresijos. Por ello, se presenta a continuación un sencillo ejemplo que explica de

una manera sencilla la forma de trabajo de este tipo de algoritmo evolutivo.

Un individuo perteneciente a la población de un problema EE está constituido por

el siguiente genotipo, que representa un punto en el espacio de búsqueda:

- Variables objeto: las variables reales xi deben ser sintonizadas mediante

recombinaciones y mutaciones de tal forma que la función objetivo alcance su

óptimo global

- Variables estratégicas: las variables σi o pasos medios determinan la mutabilidad

de las xi. Ellas representan la desviación estándar de una distribución normal

N(0, σi) siendo añadidas a las xi como una mutación indirecta. Con un valor

nulo de la esperanza, los padres producirán una descendencia con características

medias similares a las de ellos. Por otro lado, con el fin de que la magnitud de

los pasos crezca o disminuya con la misma probabilidad, los valores σi mutan,

de una generación a otra, siguiendo una distribución normal exponencial (eN).

Estos valores cambiantes ocultan el modelo interno que la población ha hecho de

su entorno, es decir, la auto adaptación ha reemplazado el control externo de las

EE(1+1).

Este concepto funciona porque, tarde o temprano, la selección prefiere a

aquellos individuos que han construido un buen modelo de la función objetivo,

174

produciendo con ello una mejor descendencia. Por lo tanto, el aprendizaje tiene

lugar en dos niveles diferentes: 1) al nivel del genotipo, es decir, al nivel de las

variables objeto y estratégicas, y 2) al nivel del fenotipo, es decir, al nivel de la

adaptación.

Dependiendo del valor de las xi para cada individuo, la función objetivo

resultante ( )f x , donde x denota el vector de variables objetivo, sirve como

fenotipo (adaptación) en la etapa de selección. En una EE(µ+λ), los µ mejores

de los µ+λ individuos sobreviven para convertirse en padres de la siguiente

generación. Sin embargo, en la EE(µ,λ) la selección tiene en cuenta sólo a los λindividuos que constituyen la descendencia. Este segundo esquema es más

realista y por lo tanto más exitoso, ya que ningún individuo puede sobrevivir

para siempre, lo que teóricamente puede ocurrir en las EE(µ+λ). Aunque no es

típico su uso dentro de los problemas convencionales de optimización, una

EE(µ,λ) que permita el deterioro intermedio funciona mejor. Únicamente

mediante el descarte de los individuos altamente adaptados puede tener lugar

una adaptación permanente de la magnitud de los pasos y, por lo tanto, se evitan

largas fases de estancamiento debidas a valores de σi desadaptados. Esto

significa que tales individuos han construido un modelo interno que no es

apropiado para un progreso futuro de la población, por lo que debe ser

descartado.

Mediante la selección de una determinado proporción µ/λ se puede determinar la

convergencia de la EE: Si se desea una convergencia rápida, pero local se debe

elegir un proceso de selección corto y duro, p.e. (5,100); pero si desea obtener

un valor óptimo global se debe buscar una selección más blanda, p.e. (15,100).

La auto adaptación dentro de la EE depende de los siguientes agentes:

- Aleatoriedad: No se puede implementar la mutación como un simple proceso

aleatorio. Esto significaría que un hijo es completamente independiente de sus

padres.

- Tamaño de la población: La población ha de ser lo suficientemente extensa. No

se debe permitir únicamente la reproducción de los mejores, sino la de un

conjunto de individuos válidos. Los biólogos han acuñado el termino variedad

requerida para indicar la necesidad de una variedad genética que prevenga a las

especies de una degeneración genética creciente que acabaría con ellas

eventualmente.

- Cooperación: Con el fin de explotar los efectos de una población compuesta por

más de un individuo, estos deben recombinar sus conocimientos (cooperar) ya

que no se debe esperar que el conocimiento se acumule sólo en los individuos

mejor adaptados.

175

- Deterioro: La mejora del desarrollo futuro depende de los modelos internos de

cada individuo (magnitud de los saltos mutantes), por lo que se debe permitir un

determinado deterioro de una generación a otra. En la naturaleza, una forma de

vida limitada no es un signo de fracaso, sino un importante medio de prevenir el

congelamiento genético de la especie.

Las EE han demostrado su éxito frente a otros métodos iterativos en un gran

número de problemas (Schwefel [59]). Son muy adaptables a casi todos los tipos de

problemas de optimización, ya que requieren muy poca información acerca del

problema; por ejemplo, no es necesario conocer las derivadas de la función objetivo. La

función objetivo puede incluso no estar definida en dominios cerrados, como es el caso

de las funciones derivadas de los procesos de simulación. Esto es aplicable también a

las restricciones que pueden representar el resultado de un estudio por el método de los

elementos finitos. Las EE han sido adaptadas también a problemas de optimización

vectorial (Kursawe [121]), y pueden servir como proceso heurístico en los problemas

combinatorios np-completos como el problema del viajante o problemas con una

superficie de repuesta ruidosa o cambiante.

176

ü�ý�ü2��þ2�0�ÿü öøú���ü�ý�� ý¬ö���^÷��bþ�ü���ü�öC�La forma más sencilla de explorar la naturaleza de los sistemas clasificadores, sin

entrar a discutir las ideas propuestas por (Holland [56,60,84,85,106,119]), es seguir la

línea animat (animal + robot = animat) propuesta por (Booker [65]) en 1982 y

estudiada más a fondo posteriormente por (Wilson [83]), quien acuño el término

animat. El trabajo en este ámbito continua hoy en día, pero bajo el epígrafe de Vida

Artificial y no de computación evolutiva.

Sin embargo, los sistemas clasificadores pueden considerarse como descendientes

directos de las ideas de Holland, y pueden verse como una de las primeras aplicaciones

de los AG, donde se emplea este tipo de algoritmos evolutivos para adaptar el sistema a

los cambios del entorno, como se explica con mayor detalle a continuación.

Holland deseaba un sistema de conocimiento capaz de clasificar los

acontecimientos que tenían lugar en su entorno y luego reaccionar frente a ellos

apropiadamente. Entonces, ¿qué era necesario para construir tal sistema? Obviamente,

era necesario (1) un entorno, (2) receptores que informaran al sistema de los

acontecimientos exteriores, (3) actuadores que permitieran al sistema manipular su

entorno, (4) el propio sistema, de momento una caja negra, que tendría conectados a él

(2) y (3), y que vive en (1).

En el planteamiento animat, 1) es un mundo digital creado de forma artificial,

como la malla bidimensional propuesta por Booker en el sistema Gofer, que contiene

comida y veneno. Donde el propio Gofer trata de (a) aprender a distinguir entre estos

dos tipos de objetos, y (b) sobrevivir bien alimentado.

Imagínese un animat muy simple, por ejemplo, un modelo simplificado de rana,

que tiene por entorno una pequeña charca (1). Este modelo tiene ojos, es decir,

detectores sensoriales de entrada (2); manos y piernas, es decir, manipuladores del

entorno (3); es un dispositivo de detección y captura de moscas, es decir, una rana (4);

por lo tanto, se tienen ya todas las piezas necesarias.

La caja negra más primitiva que se puede imaginar es una computadora. Tiene

dispositivos de entrada (2), de salida (3), y un sistema de transmisión de mensajes entre

los dos que convierte (es decir, computa), determinados mensajes de entrada en

mensajes de salida, de acuerdo con un conjunto de reglas, generalmente denominadas

programa de la computadora. De la teoría de las Ciencias de Computación, se toma la

más sencilla de las estructuras de programación, esto es, algo llamado sistema de

producción, o SP para abreviar. (Post [4]), y posteriormente (Minsky [39]) demostraron

que un SP era computacionalmente completo. A pesar que sólo está constituido por un

conjunto de reglas si-entonces, se parece bastante a una computadora completa.

177

Cada una de las reglas si-entonces recibe el nombre de clasificador, y debe tener

una representación que permita un fácil manejo, por ejemplo, como cadenas binarias. El

conjunto de todas las reglas se denomina población de clasificadores. Es obvio

entonces, como se pueden obtener nuevas reglas para este sistema, basta hacer uso de un

AG para generar nuevas reglas/clasificadores a partir de la población actual.

Todo lo que queda ahora, son los mensajes que atraviesan la caja negra. Estos

deben ser también sencillas cadenas de ceros y unos, que se guardarán en una estructura

de datos llamada lista de mensajes.

Con todo esto, se puede imaginar el funcionamiento interno de la caja negra como

sigue: El dispositivo de entrada (2) genera mensajes, es decir, cadenas de 0/1, que se

escriben en la lista de mensajes. Luego, todos estos mensajes son contrastados con la

parte condicional de cada uno de los clasificadores para averiguar qué acciones deben

ser activadas. A continuación se vacía la lista de mensajes, siendo ocupada por las

acciones codificadas, que son también mensajes. Por último, el dispositivo de salida (3)

extrae de la lista aquellos mensajes que afectan a los actuadores, comenzando de nuevo

el ciclo.

Cabe destacar, que con esta configuración es posible tener mensaje internos, ya

que la lista de mensajes no se vacía después que (3) la ha comprobado, por lo que, los

mensajes procedentes del dispositivo de entrada en el siguiente ciclo son añadidos al

final de la lista.

La idea general de los SC es empezar desde cero, sin ningún conocimiento previo,

empleando una población de clasificadores generada al azar, permitiendo que el sistema

aprenda por inducción su propio programa (Holland [85]). Esto reduce la cadena de

entrada a un conjunto de patrones recurrente, que debe ser repetido una y otra vez, para

permitir que el animat clasifique su situación/contexto actual y reaccione de forma

apropiada a los acontecimientos.

Reglas Internas

Por ejemplo, el comportamiento de la rana consiste básicamente en moverse

aleatoriamente en la micronaturaleza digital que constituye su entorno. Siempre que un

pequeño objeto volador aparece, si no tiene franjas, la rana debe comerlo, porque es

muy posible que sea una jugosa mosca o cualquier otro insecto volador. Si tiene franjas,

es mejor dejar en paz al insecto, porque podría tratarse de una abeja o una avispa. Sin

embargo, si la rana se tropieza con un objeto sospechosamente grande, debe utilizar sus

actuadores inmediatamente para alejarse de él lo más posible.

Estas pautas de comportamiento pueden representarse por las siguientes

condiciones si-entonces:

178

SI objeto pequeño, volador a la derecha ENTONCES enviar @SI objeto pequeño, volador a la izquierda ENTONCES enviar %SI objeto pequeño, volador en el centro ENTONCES enviar $SI objeto grande, sospechoso ENTONCES enviar |SI no objeto grande, sospechoso ENTONCES enviar *SI * y @ ENTONCES girar la cabeza 15 grados a la derechaSI * y % ENTONCES girar la cabeza 15 grados a la izquierdaSI * y $ ENTONCES avanzar en la dirección actualSI | ENTONCES avanzar rápidamente en la dirección opuesta a la actual

Ahora, este conjunto de reglas debe ser codificado para poder ser empleado dentro

de un sistema clasificador. Una posible codificación puede ser la siguiente, la parte

condicional está compuesta por dos condiciones que pueden ser combinadas mediante

un Y lógico, de tal forma que ambas deben verificarse para que la acción asociada se

active. Esta estructura necesita un operador NO, (por lo tanto, se emplea un operador

NAND y es bien sabido que cualquier computadora puede construirse únicamente con

operadores NAND), que en la notación empleada se indica por el prefijo ‘-’:

IF THEN 0000, 00 00 00 00 0000, 00 01 00 01 0000, 00 10 00 10 1111, 01 ## 11 11-1111, 01 ## 10 00 1000, 00 00 01 00 1000, 00 01 01 01 1000, 00 10 01 10 1111, ## ## 01 11

Obviamente, la cadena ‘0000 ’ denota pequeño, y ‘00 ’ en la primera parte de la

segunda columna indica volador. Los últimos dos bits de la segunda columna indican la

dirección de acercamiento del objeto, donde ‘00 ’ significa derecha, ‘01 ’ significa

izquierda, etc.

En la regla número 4, se emplea el símbolo no importa ‘#’ que acepta ambos

valores, 0 y 1, es decir, la posición del objeto grande y sospechoso es completamente

indiferente. Un sencillo hecho que puede salvar la vida digital de la rana.

Un ejemplo de pseudo-código de sistema clasificador sin aprendizaje se recoge en

el listado 21.

Para convertir este algoritmo en otro con aprendizaje son necesarias las siguientes

dos etapas (Holland [84]):

- El ciclo principal debe ser cambiado para que la activación de cada clasificador

dependa de algunos parámetros adicionales, que serán modificados como

resultado de la experiencia, es decir, existe un refuerzo desde el entorno de

determinadas acciones.

- y/o cambiar el contenido de la lista de clasificadores, o sea, generar nuevas

reglas/clasificadores mediante la eliminación, adición o combinación de las

acciones y condiciones correspondientes a los clasificadores existentes.

179

Un Algoritmo SCs es// empieza con un tiempo inicialt := 0;// crea la lista de mensajes vacíaIniciaListaMensajes LM(t);// genera al azar una población de clasificadoresIniciaPoblaciónClasificadores P(t);// verifica la condición de finalización (tiempo, adaptación, etc.)mientras no Acabado haz

// incrementa el contador de tiempot := t + 1;// 1.- comprueba si hay mensajes de entradaLM := LeeDetectores (t);// 2.- compara LM con los clasificadores y guarda las comparaciones// positivasLM’ := ComparaClasificadores ML,P(t);// 3.- procesa los nuevos mensajes a través de los dispositivos de// salidaML := EnviaActuadores ML’(t);

fin mientrasfin SCs

È ´ É�ÇH¸AÄA¿bÜ�Ê"4 »�Ö"ÉIÅA¶AÄA¿BÁKÂAÄA´ µA¿BÄAÅB¶A½�D>$ =/&A*"'(6 E<� 6"=/$ F $ .G6"H"!"#<D�$ ,(�>I"#%*","H"$ J/6LK%*El algoritmo anterior quedaría de la siguiente manera:

Un Algoritmo SCc es// empieza con un tiempo inicialt := 0;// crea la lista de mensajes vacíaIniciaListaMensajes LM(t);// genera al azar una población de clasificadoresIniciaPoblaciónClasificadores P(t);// verifica la condición de finalización (tiempo, adaptación, etc.)mientras no Acabado haz

// incrementa el contador de tiempot := t + 1;// 1.- comprueba si hay mensajes de entradaLM := LeeDetectores (t);// 2.- compara LM con los clasificadores y guarda las comparaciones

// positivasLM’ := ComparaClasificadores ML,P(t);// 3.- los clasificadores con mayor prioridad recogidos en LM’ ganan// la carrera y envían sus mensajesLM’ := SeleccionaClasificadoresPrioritarios ML’,P(t);// 4.- penaliza la fuerza de los clasificadores que envían mensajesLM’ := PenalizaClasificadores ML’,P(t);// 5.- procesa los nuevos mensajes a través de los dispositivos de

// salidaML := EnviaActuadores ML’(t);// 6.- recibe la respuesta del entorno (refuerzo)R := RecibeRefuerzo (t);// 7.- distribuye el refuerzo entre los clasificadoresP’ := DistribuyeRefuerzo R,P(t);// 8.- eventualmente, dependiendo de t, un AE (generalmente un AG)// se aplica a la población de los clasificadoressi criterio entonces

P := GeneraNuevasReglas P’(t);sino

P := P’fin mientras

fin SCcÈ ´ É�ÇH¸GÄA¿BÜ�Ü"4 »�Ö�ÉKÅA¶AÄA¿BÁKÂAÄA´ µA¿BÄAÅB¶A½�D�$ =G& *"'(6 E<� 6"=/$ F $ ./6"HM!"#NEO!",(��I"#?*","H"$ JG6LKB*

180

� �B÷����(���0��öøý�13ùP�3þ�ùQ�2��ý¬ö��3� � �R�

La programación genética es la extensión del modelo de aprendizaje genético en

el espacio de los programas. Es decir, los objetos que constituyen la población no son

cadenas de longitud fija donde se codifican las posibles soluciones del problema, sino

que son programas que, cuando son ejecutados, generan las posibles soluciones del

problema. Estos programas se representan en programación genética como arboles de

control, y no como líneas de código propiamente.

Así, por ejemplo, un simple programa como ‘a+b*c’ se representaría como:

a

b c

+

*

³�´ µA¶A·�¸BÊ�ÊAÊ"4 »�SMT�ÅAÀ�ÆAÌ ¿BÄAÅBÃA·%UA¿AÌKÄAÅBÁK¿A½�ÇH·L¿AÌKÆA¸A·L¸BÌ ¸B¿AÆAÅA·�¸AÁK´ ÂA½B¸"VWU"XzÁo, de una forma más precisa, como un conjunto de estructuras de datos adecuadas que

se conectan entre si para conseguir un determinado efecto. Ya que esto se puede realizar

de una forma muy sencilla en el lenguaje Lisp, la mayoría de los programadores que

hacen uso de esta técnica recurren a él. Sin embargo, esto es un mero detalle de la

implementación. Existen métodos más directos que no emplean el Lisp como entorno

de programación.

Los programas que constituyen la población están compuestos por elementos

escogidos entre el conjunto de las funciones y el conjunto de símbolos, que son

generalmente conjuntos fijos de símbolos seleccionados por su idoneidad para la

solución de problemas dentro del dominio de interés.

En la programación genética, la operación de cruce se implementa mediante la

elección aleatoria de sub-árboles, de acuerdo con la adaptación de cada individuo, que

se intercambian posteriormente. Cabe indicar, que la PG no hace uso generalmente de la

mutación como operador genético.

181

öC�bý���þ��bý�÷3ü^þ���Y�÷Las estructuras situadas en la superficie pueden verse afectadas por la subsidencia,

que está caracterizada por los siguientes parámetros:

- Desplazamiento vertical.

- Desplazamiento horizontal.

- Pendiente de la cubeta, es decir, la derivada del desplazamiento vertical respecto

a la horizontal.

- Deformaciones horizontales, es decir, la derivada de los desplazamientos

horizontales respecto a la horizontal.

- Curvatura vertical, que puede ser aproximada por la derivada de la pendiente o

por la segunda derivada del desplazamiento vertical respecto a la horizontal.

El daño producido en las estructuras es debido generalmente a una combinación

de estos fenómenos básicos. Estos parámetros, por lo tanto, constituyen la base para la

predicción de daño en las estructuras.

Limitar la deformación del terreno hace referencia únicamente a aquellos

parámetros de la subsidencia que no dan lugar a daños permanentes en las estructuras,

independientemente del futuro uso que se haga de ellas. Por lo tanto, de esta definición

se extrae que sí es posible un mínimo movimiento del terreno y que sus límites están

condicionados por las características constructivas de la estructura, así como por su

futuro uso. En otras palabras, las restricciones deben ser más severas en estructuras

críticas como las estaciones de seguimiento de satélites, los edificios públicos, los

monumentos, los asentamientos industriales, etc., mientras que en estructuras poco

usadas, los límites pueden ser menos exigentes. Incluso, estas restricciones pueden ser

eliminadas en aquellas estructuras construidas para resistir los efectos de la subsidencia.

Las estructuras sometidas a los movimientos originados por los fenómenos de

subsidencia pueden experimentar flexiones, distorsiones, torsiones, contracciones o

extensiones, inclinaciones y traslaciones en diferentes grados dependiendo de las

condiciones del lugar. Generalmente estos movimientos se manifiestan como diferentes

tipos de daños. Usualmente la naturaleza y el grado de las deformaciones estructurales

varía a lo largo de la estructura en respuesta a los cambiantes movimientos del terreno.

Se ha observado que la deformación de los edificios originada por movimientos

del terreno comienza al nivel de la cimentación propagándose al resto de la superes-

tructura posteriormente. Esta transmisión depende de la naturaleza de la estructura, en

particular, de su continuidad y del tipo de uniones.

El desarrollo de unos criterios de daño en superficie apropiados implica las

siguientes cuatro etapas, muy relacionadas entre si:

182

1. Formulación de las condiciones de daño: La definición de las condiciones que

supondrán un daño en las estructuras es un requisito previo, ya que permitirá definir que

daño causará en cada uno de los tipos de estructuras que puede estar afectado por la

subsidencia. Se pueden definir, entonces, como aquellas condiciones que conducen a un

uso perjudicial o amenazan la seguridad de la estructura

2. Selección de los parámetros apropiados: La mayoría de las estructuras

presentan diferentes grados de susceptibilidad frente a los distintos tipos de

movimientos del terreno. Por ejemplo, una estructura de gran altura se verá más

afectada por la inclinación del terreno, mientras que una estructura de poca altura y más

alargada será más susceptible a las deformaciones horizontales. Es, por tanto, necesario

seleccionar un conjunto de parámetros que permitan predecir el impacto de la

subsidencia en una determinada construcción.

3. Cuantificación de los movimientos del terreno permisibles: Esta etapa supone

establecer los límites cuantitativos de los parámetros escogidos en la etapa anterior para

los tipos fundamentales de edificios y grados de daño. Generalmente es difícil

establecer un límite definitivo, por lo que se recurre a un rango de valores.

4. Correlación de los efectos en superficie y las labores subterráneas: Una

aplicación fundamental de los criterios de daño reside en el diseño de las labores

subterráneas en zonas ocupadas por estructuras y edificios que pueden ser dañados. Esto

supone la correlación de los movimientos del terreno con la geometría de las labores,

con los métodos de explotación en el caso de labores mineras y con la geología de la

zona afectada. La eficacia de los criterios de daño en superficie depende en gran medida

de la buena correlación entre los movimientos del terreno y la geometría de las labores

subterráneas.

Es bien sabido que sólo una fracción de las deformaciones y distorsiones del te-

rreno son transferidas a la estructuras. El grado de transferencia es función de un

conjunto de variables complejas como las características propias del suelo y de las

estructuras. Los criterios expuestos no tienen en cuenta esta interacción

suelo-estructura, así como tampoco se detallan las características de los distintos

componentes estructurales. Por tanto la aplicabilidad de estos criterios varía de una

estructura a otra.

Por otro lado, la categorización de los edificios se ha basado únicamente en las

características de la superestructura, existiendo discrepancias en aquellos casos en los

que aparecen daños en otras partes del edificio. Tampoco se han realizado distinciones

entre las deformaciones a tracción o a compresión del terreno. Generalmente, son las

deformaciones a tracción las que causan un mayor daño en los edificios, por lo que son

183

estas las que más se han tenido en cuenta al evaluar los datos sobre deformaciones

horizontales.

En definitiva, cabe señalar que los límites cuantitativos recogidos en estos

criterios son aproximados y sirven sólo como guías a la hora de establecer el posible

daño que causará en los edificios afectados una determinada explotación.

Criterios de daño propuestos

Como paso previo al establecimiento de los criterios de daño, se realizará una

tipificación tanto de las instalaciones como de los posibles daños que estas puedan

presentar.

Las instalaciones pueden dividirse en cuatro grandes grupos:

Descripción Categoría

- Estructuras de ladrillo y poca envergadura. 1

- Estructuras de acero y hormigón armado. 2

- Estructuras flexibles (madera). 3

- Estructuras de gran rigidez. 4Zm¸"UAÌ ¸BÊ�Ü"4 »�Ùm¸�ÇHÅAµA¿A·LÐ ¸AÉsÄAÅ(S"ÄA´ ¾H´ ÁK´ ¿AÉsÖ"·L¿AÆA¶AÅAÉ�ÇH¸AÉ

Como la principal aplicación de estos criterios es la estimación de los posibles

daños debidos a la subsidencia de una zona amplia de terreno, esta clasificación permite

agrupar las instalaciones de la zona afectada de una forma sencilla y rápida.

Por lo que se refiere a los daños, estos pueden agruparse de forma genérica en los

siguientes tres grupos:

- Daños arquitectónicos caracterizados por la presencia de grietas de pequeño

tamaño en el recubrimiento de paredes, ventanas y puertas.

- Daños de tipo funcional caracterizados por la inestabilidad de algunos elementos

estructurales como puertas y ventanas atascadas, rotura de cristales, etc.

- Daños de tipo estructural caracterizados por el deterioro y posible colapso de los

elementos primarios de la estructura. Estos suponen generalmente una reconstrucción a

gran escala, incluso total, de la estructura.

Es importante resaltar que aunque el riesgo de colapso de la estructura se asocia

en esta clasificación únicamente con el nivel de daño estructural, el grado de distorsión

asociado a los otros tipos de daño pueden suponer un riesgo para las personas en

algunos casos.

Por otro lado, los parámetros escogidos para la definición de los criterios de daño

son:

184

Parámetro Símbolo Unidades

- Distorsión Angular DA x 10-3

- Deformación horizontal DH x 10-3

- Flexión F x 10-3

- Radio de Curvatura RC KmZm¸"UAÌ ¸BÊAÎ"4 »�Ö"¸A·LÃAÀ�Å�ÇH·L¿AÉsÄAÅBÌ ¸(["¶"UAÉI´ ÄAÅA½AÁK´ ¸

Es ventajoso el uso de varios parámetros ya que, dependiendo de su aplicación,

unos pueden tener más importancia que otros. Así, la distorsión angular se distingue de

los asentamientos diferenciales en que estos no tienen en cuenta las rotaciones de los

cuerpos rígidos, mientras que la distorsión angular da una indicación de las deforma-

ciones verticales relativas.

Por último los límites cuantitativos obtenidos a partir de la documentación

examinada se recogen en la tabla 14. En algunos casos, la categoría de la estructura a la

que se refería un determinado dato no ha podido ser determinada por lo que se ha

omitido.Fuente Localización Categoría de la

InstalaciónCategoría del

DañoTipo de

MovimientoValores Permitidos

NIEMCZYK (1949) ALEMANIA 1.0-2.0

MEYERHOFF (1953) 0.5-1.0

SKEMPTON & McDONALD (1957) 1.0-2.0

POLSHIN & TOKAR (1957) C.E.I. 1.0

SOWERS (1962) EE. UU. 1 ARQU. DA 1.0-2.0

O'ROURKE (1976) EE. UU. 1.0

ATTEWELL (1977) EE. UU. 1.0

BOSCARDIN (1980) EE. UU. 1.2

NIEMCZYK (1949) ALEMANIA 0.6

BEEVERS & WARDELL (1954) REINO UNIDO 0.4

POLSHIN & TOKAR (1957) C.E.I. 0.5

PRIEST & ORCHARD (1958) REINO UNIDO 0.8

GOTO (1968) JAPÓN 1 ARQU. DH 0.5

SINGH & GUPTA (1968) INDIA 0.4-0.5

LITTLEJOHN (1975) REINO UNIDO 0.25

NCB (1975) REINO UNIDO 0.5-1.0

O'ROURKE (1975) EE. UU. <0.75

ATTEWELL (1977) REINO UNIDO 0.5-1.0

CORDING ET AL (1978) EE. UU. 1.0-1.5

YOKEL (1978) EE. UU. 0.5

BOSCARDIN (1980) EE. UU. 0.5

POLSHIN & TOKAR (1958) C.E.I. 0.3-0.7

GRANT (1974) EE. UU. 1 ARQU. F 1.0

BURLAND & WROTH (1975) REINO UNIDO 0.4

MEYERHOFF (TERZAGHI) (1953) EE. UU. 3.5

SKEMPTON & McDONALD (1956) EE. UU. 3.3

VNIMI (1958) C.E.I. 4.0-6.0

BJERRUM (1963) EE. UU. 2.0

GRANT (1974) EE. UU. 3.3

STARZEWSKI (1974) POLONIA 1 FUNC. DA 3.3-5.0

ULRICH (1974) 3.0

BROMS ET AL (1976) SUECIA 2.0-3.3

THORBURN & REID (1977) REINO UNIDO 2.7

ADAMEK ET AL (1982) POLONIA 2.5

NISHIDA ET AL (1982) JAPÓN 3.0-6.0

185

VNIMI (1958) C.E.I. 2.0-4.0

ULRICH (1974) 1 FUNC. DH 1.0

CORDING ET AL (1978) EE. UU. 2.5-3.5

ADAMEK ET AL (1982) POLONIA 1.5

RIGBY & DEKOMA (1952) 0.14-0.22

WOOD (1952) 1 FUNC. F 0.25

HORNE & LAMBE (1964) EE. UU. 0.6

VNIMI (1958) C.E.I. 3-20

ULRICH (1974) 1 FUNC. RC 20

ADAMEK (1982) POLONIA 20

NISHIDA ET AL (1982) JAPÓN 13

O'ROURKE ET AL (1977) EE. UU. 1 ESTRUC. DA 7.0-8.0

NCB (1975) REINO UNIDO 1 ESTRUC. DH 3.5

BOSCARDIN (1980) EE. UU. 2.75

SKEMPTON & McDONALD (1956) EE. UU. 1.0-2.0

POLSHIN & TOKAR (1956) C.E.I. 2.0

SOWERS (1962) EE. UU. 2.0-2.5

BRETH & CHAMBOSSE (1975) 2 ARQU. DA 2.2

O'ROURKE (1976) EE. UU. 1.3

ATTEWELL (1977) EE. UU. 2.0

THOMAS (1953) 2.5-3.3

SKEMPTON & McDONALD (1956) EE. UU. 2 FUNC. DA 3.3-6.6

STARZEWSKI (1974) POLONIA 3.3-5.0

MAHAR & MARINO (1981) EE. UU. 3 ARQU. DA 2.0

GOTO (1968) JAPÓN 3 ARQU. DH 1.0

STARZEWSKI (1974) POLONIA 3 FUNC. DA 5.0-10.0

BROMS & FREDRIKSSON (1976) SUECIA 3.3-5.0

Zm¸"UAÌ ¸bÊ�Ý"4 »�\"¸AÌ ¿A·�ÅAÉ^]�Ã�Û�´ ÀB¿AÉsÄAÅBÌ ¿AÉsÖ"¸A·LÃAÀBÅ�Ç�·L¿AÉLos criterios propuestos se recogen en la tabla 15. Así, para una determinada cate-

goría de edificio y un nivel dado de daño se señala el rango de valores admisible para

cada uno de los cuatro parámetros evaluados. Cabe señalar que los criterios propuestos

están basados en los datos obtenidos en la bibliografía manejada, por lo que la validez

de estos depende en gran medida de la fiabilidad de las distintas fuentes consultadas.DA (x 10-3) DH (x 10-3) F (x 10-3) RC (Km)

Categoría

Edificio

Nivel de Daño Rango deValores

ValorRecomendado

Rango deValores

ValorRecomendado

Rango deValores

ValorRecomendado

Rango deValores

ValorRecomendado

1ARQU.FUNC.

ESTRUC.

0.5-2.02.0-6.07.0-8.0

1.02.5-3.0

7.0

0.25-1.51.0-4.02.75-3.5

0.51.5-2.0

3.0

0.3-1.00.14-0.6

-

0.30.5-

-3-20

-

-20-

2ARQU.FUNC.

ESTRUC.

1.0-2.52.5-6.6

-

1.33-3-

---

---

---

---

---

---

3ARQU.FUNC.

ESTRUC.

2.03.3-10.0

-

1.53.3-5.0

-

1.0--

1.0--

---

---

---

---

4ARQU.FUNC.

ESTRUC.

---

---

---

---

---

---

---

---

- Indica dato no disponible.Zj¸"UGÌ ¸BÊ�º"4 »�Ùn·�´ ÇHÅA·�´ ¿AÉsÄAÅBÓn¸"_A¿BÅA½(S"ɬÇH·�¶AÁ¬ÇH¶A·�¸AÉG` È Ð ÀB´ ÇHÅAÉEÄAÅBÌ ¿AÉEÆA¸A·�ÃAÀBÅ�ÇH·L¿AÉ

186

ú>ý¬ü��<�Q^÷3üEn las siguientes páginas se recogen los listados de los programas informáticos

desarrollados en este trabajo.

187

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