tesis doctoral para cgpi

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ESTUDIO DE LA FRACTURA EN EL ROTOR DEL SISTEMA ROTOR-MASA-CHUMACERAS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

P R E S E N T A EL :

M. EN C. HOMERO JIMÉNEZ RABIELA

DIRECTOR DE TESIS:

DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN

México D.F. Diciembre de 2004

Tesis Doctoral – Doctorado en SEPI – ESIME-IPN Ciencias en Ingeniería Mecánica Diciembre de 2004

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A G R A D E C I M I E N T O S

La realización de este proyecto de investigación ESTUDIO DE LA FRACTURA

EN EL ROTOR DEL SISTEMA ROTOR-MASA-CHUMACERAS ha sido

posible con la colaboración de las personas e instituciones siguientes:

Dr. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN. Director de tesis y miembro de la Comisión Revisora de Tesis, principal

impulsor del programa de Doctorado en Ciencias en Ingeniería Mecánica.

Su apoyo orientación y confianza han sido trascendentes en mi formación

académica de posgrado.

Dr. LUIS HÉCTOR HERNÁNDEZ GÓMEZ. Profesor investigador de la SEPI – ESIME-IPN.

Su orientación en aspectos técnicos y académicos fue constante durante el

trabajo doctoral.

Dr. ORLANDO SUSARREY HUERTA. Profesor investigador de la SEPI – ESIME-IPN.

Su apoyo en temas relacionados con fatiga fue muy importante para lograr los

objetivos del trabajo doctoral.

Dr. ANTONIO DE ITA DE LA TORRE. Jefe del Área de Ciencia de Materiales, Departamento de Materiales, División

de Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma Metropolitana Unidad

Azcapotzalco. Su apoyo hizo posible efectuar fisuras, de espesor controlado y

profundidad exacta, por el proceso de electro erosión.


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Dr. LUCIO VÁZQUEZ BRISEÑO. Profesor investigador del Área de Ciencia de Materiales, Departamento de

Materiales, División de Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma

Metropolitana Unidad Azcapotzalco. Su apoyo hizo posible el estudio

metalurgico del rotor.

Dr. ALEXANDER BALANKIN. Dr. ALEJANDRO RODRÍGUEZ CASTELLANOS. Profesores investigadores de la SEPI – ESIME-IPN.

Su interés en el trabajo doctoral propició importantes comentarios y

observaciones en el campo de la fatiga.

Dr. JOSÉ RUBÉN DORANTES RODRÍGUEZ. Dr. CARLOS ALBERTO RIVERA SALAMANCA. Jefes del Departamento de Energía de la Universidad Autónoma Metropolitana

1998-2002 y 2002-2006, respectivamente.

Con el apoyo logístico y económico del primero fue posible terminar la maestría

e iniciar el doctorado. Con el apoyo del segundo me ha sido posible continuar

con mi trabajo doctoral.

Dr. JOSÉ SOLÍS ROMERO. Coordinador de Investigación del Instituto Tecnológico de Tlalnepantla.

Sus sugerencias en el aspecto molecular del crecimiento de la fractura mejoró

el trabajo doctoral.

Dr. JULIO CÉSAR GÓMEZ MANCILLA. Profesor investigador de la SEPI – ESIME-IPN.

Sus enseñanzas hicieron posible comprender con mayor detalle el

comportamiento de un rotor, fisurado, y desbalanceado.


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El capítulo tres inciso dos denominado ANÁLISIS DE UN ÁRBOL, SOBRE

CHUMACERAS RÍGIDAS, FRACTURADO Y DESBALANCEADO está basado

en el artículo ANÁLISIS Y EXPERIMENTOS DE VIBRACIÓN PARA

CARACTERIZAR/DETECTAR EJES FRACTURADOS, presentado en el GRAN

CONGRESO DE INGENIERÍA MECÁNICA efectuado en Septiembre de 2002

en Monterrey Nuevo León, organizado por la Sociedad Mexicana de Ingeniería

Mecánica, por la Asociación Mexicana de Ingenieros Mecánicos y Electricistas,

y por la Academia de Ingeniería, así como en el artículo TÉCNICA DE

RESONANCIAS LOCALES PARA DETECTAR FISURAS EN EJES

ROTATORIOS, presentado en el TERCER CONGRESO INTERNACIONAL DE

INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS efectuado en Noviembre

de 2002 en la Ciudad de México D. F. organizado por la Sección de Estudios

de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y

Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional; ambos artículos fueron elaborados

con la guía del Dr. Julio César Gómez Mancilla.

Dr. VALERI R. NOSSOV. Profesor investigador de la SEPI – ESIME-IPN.

Sus clases propiciaron el interés por conocer el desalineamiento, sus efectos y

su posible control a través de la presión del lubricante inyectado a las

chumaceras.

El capítulo tres inciso uno denominado ANÁLISIS DEL DESALINEAMIENTO

ENTRE ÁRBOL Y CHUMACERAS, está basado en el artículo CAMPO DE

PRESIÓN DEL LUBRICANTE EN CHUMACERAS DESALINEADAS DE

MÁQUINAS ROTATORIAS, presentado en el SEXTO CONGRESO NACIONAL

DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS efectuado en

Noviembre de 2001 en la Ciudad de México D. F., organizado por la Sección de

Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería

Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico; dicho artículo fue elaborado con

la guía del Dr. Valeri R. Nossov.


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Dr. JOSÉ ANGEL ORTEGA HERRERA. Profesor investigador de la SEPI – ESIME-IPN.

Sus enseñanzas propiciaron una mayor comprensión del Método de Elemento

Finito, sus alcances y limitaciones.

Dr. JESÚS FIGUEROA NAZUNO. Profesor investigador del CIC-IPN.

Su apoyo hará posible construir la boquilla, para suministrar lubricante a alta

velocidad.

Ing. MARIO GÓMEZ VILLEDA. Profesor investigador del Departamento de Energía, División de Ciencias

Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma Metropolitana Unidad

Azcapotzalco.

Su apoyo para maquinar piezas con tolerancias reducidas, y para acondicionar

chumaceras usando el procedimiento a la cera perdida, fue importante para

reducir la incertidumbre en las variables medidas y calculadas.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. Cuna de mi formación académica a nivel licenciatura y doctorado, cuyo lema

LA TÉCNICA AL SERVICIO DE LA PATRIA es guía en mi desempeño

profesional.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA. Su Unidad Azcapotzalco me abrió puertas en Mayo de 1980 y me ha apoyado

logística y económicamente para realizar estudios de posgrado. En sus aulas,

laboratorios, y talleres; además de hacer investigación, he formado a nuevas

generaciones de ingenieros, transformadores de los recursos naturales en bien

indiscriminado de la humanidad. Adicional a la docencia y a la investigación,

agradezco la oportunidad recibida para participar en la difusión de la cultura.


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SISTEMA DE TRANSPORTE COLECTIVO. En la Gerencia de Instalaciones Fijas colaboré en aspectos relacionados con la

operación, el servicio, y el mantenimiento. En su Gerencia de Ingeniería y

Desarrollo participe en diferentes proyectos tendientes a optimizar

automatismos y controles, para lograr el servicio rápido, eficiente, y seguro

estipulado en el decreto de creación. Es para mí, el invaluable punto de apoyo,

base para mi formación integral como profesionista y académico. Su apoyo

para realizar mis estudios de maestría será siempre grato recuerdo y motivo de

agradecimiento.

CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA. Sin su apoyo económico no habría sido posible realizar mi trabajo doctoral.

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE FORMACIÓN DE INVESTIGADORES (PIFI). La beca otorgada permitió vincularme estrechamente con el desarrollo de

proyectos de investigación de alto nivel académico.


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DEDICATORIAS

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A mis padres

CAMILO JIMÉNEZ CHÁVEZ

JOSEFINA RABIELA DE JIMÉNEZ

A mi esposa

FLORINDA MOJICA JIMÉNEZ

A mis hijos

ERIKA, FERNANDO, LILIANA, KARLA


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A mi nieto

FERNANDO ESTRELLO JIMÉNEZ

A mis hermanos

CAMILO, CUAUHTEMOC


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ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE DE FIGURAS 17 ÍNDICE DE TABLAS 21 TERMINOLOGÍA 23 RESUMEN 25 ABSTRACT 27 JUSTIFICACIÓN 29 OBJETIVO 31 INTRODUCCIÓN 33 1.- ESTADO DEL ARTE. 37 1.1.- REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 37

1.2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 42

1.3.- SUMARIO DEL CAPÍTULO 1. 43

Referencias del capítulo 1. 44 2.- MARCO TEÓRICO. 51 2.1.- EL ROTOR JEFFCOTT. 51

2.1.1.- El Rotor Jeffcott Sobre Chumaceras Soporte Rígidas. 52 2.1.1.1.- Caso 1: Masa Excéntrica. 52 2.1.1.2.- Caso 2: Rotor con Flecha. 60 2.1.2.- El Rotor Jeffcott Sobre Chumaceras Soporte Flexibles. 63 2.2.- SISTEMA ESTATOR ASIMÉTRICO Y NO LINEAL. 72 2.2.1.- Sistema Lineal Anisotrópico. 73

2.3.- VIBRACIÓN ANGULAR. 78

2.3.1.- Ecuaciones de Movimiento. 78


________________________________________________________________14

2.3.2.- Vibraciones Libres y Momentos Giroscópicos. 81

2.3.3.- Vibraciones Forzadas. 85

2.4.- VIBRACIONES NO LINEALES. 87 2.4.1.- Causas y Expresiones de no Linealidad Elástica. 88

2.4.2.- Ecuaciones de Movimiento Usando Coordenadas Físicas. 96 2.4.3.- Solución por el Método de Balance Armónico. 97

2.5.- VIBRACIONES DE UN ROTOR FRACTURADO. 104 2.5.1.- Características Elásticas. 105

2.5.2.- Varios Tipos de Resonancias Debidas a una Fractura. 108 2.5.3.- Resonancia Armónica. 109

2.6.- VIBRACIONES INDUCIDAS POR EL FLUJO. 114

2.6.1.- Vibraciones Auto – Excitadas. 114

2.6.2.- Ecuación de Reynolds. 118

2.6.3.- Fuerza de la Capa de Lubricante. 122

2.6.3.1.- Aproximación de Chumacera Corta. 123 2.6.3.2.- Aproximación de Chumacera Larga. 126 2.7.- MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 127 2.7.1.- Problemas en Ingeniería. 127

2.7.2.- Métodos Numéricos. 128

2.7.3.- El método del Elemento Finito. 129

2.7.4.- Pasos Básicos en el Método de Elementos Finitos. 130

2.7.5.- Formulación Directa. 131

2.7.6.- Formulación de Energía Potencial Total Mínima. 148

2.7.7.- Formulación de Residuos Ponderados. 151


Referencias del capítulo 2. 166


________________________________________________________________15

3.- ANÁLISIS GEOMÉTRICO Y MECÁNICO. 169 3.1.- ANÁLISIS DEL DESALINEAMIENTO ENTRE ÁRBOL Y CHUMACERAS. 169 3.1.1.- Modelo Matemático del Sistema Árbol-Chumaceras, con sus ejes longitudinales desalineados. 170 3.1.2.- Ecuación de Reynolds Para un Sistema Árbol-Chumacera con Ejes Desalineados. 179 3.1.3.- Solución de la Ecuación de Reynolds con Desalineamiento Angular. 181 3.2.- ANÁLISIS DE UN ÁRBOL, SOBRE CHUMACERAS RÍGIDAS, FRACTURADO Y DESBALANCEADO. 186 3.3.- SUMARIO DEL CAPÍTULO 3. 196

Referencias del capítulo 3. 200

4.- INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL. 201 4.1.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 201

4.2.- RESULTADOS. 209


Referencias del capítulo 4. 211 5.- TRABAJO EXPERIMENTAL. 213 5.1.- METODOLOGÍA. 213 5.2.- DESARROLLO. 213 5.3.- SUMARIO DEL CAPÍTULO 5. 217


________________________________________________________________16

6.- ESTUDIO ANALÍTICO. 219 6.1.- CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA. 219 6.2.- CÁLCULO DE LA FLEXIBILIDAD. 226 6.3.- SUMARIO DEL CAPÍTULO 6. 229 7.- VALIDACIÓN. 233 7.1.- COMPARACIÓN DEL DESALINEAMIENTO. 234

7.2.- COMPARACIÓN DE LA FLEXIBILIDAD. 234 7.2.1.- Comparación Documental Experimental. 235 7.2.2.- Comparación Experimental Analítica. 236 7.3.- SUMARIO DEL CAPÍTULO 7. 237 Referencias del capítulo 7. 238 8.- TRABAJO FUTURO. 239 9.- CONCLUSIONES. 241 10.- ANEXOS. 243

10.1.- ESTUDIO METALURGICO DEL ROTOR. 243 10.2.- CONDICIÓN DE CONTACTO. 246


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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.- Movimiento forward. 23

Figura 2.- Movimiento backward. 24

Figura 2.1a.- Rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte rígidas; la línea a- a -a

es el eje de rotación, el arco a- b -a es el eje elástico del rotor.

Distancia de a a b = s , distancia de b a c = q . 51

Figura 2.1b.- Rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte flexibles. 52

Figura 2.2a.- Respuesta al desbalance (excentricidad de masa q ) contra velocidad

de rotación -rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte rígidas. 54

Figura 2.2b.- Ángulo de fase contra velocidad de rotación –rotor Jeffcott

sobre chumaceras soporte rígidas. 55

Figura 2.2c.- Respuesta al desbalance (flecha s del rotor) contra velocidad de

rotación –rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte rígidas. 55

Figura 2.3a.- Diagrama vectorial, fuerzas y desplazamientos: rotor Jeffcott

sobre chumaceras soporte rígidas (excentricidad de masa q ). 57

Figura 2.3b.- Diagrama vectorial, fuerzas y desplazamientos: rotor Jeffcott sobre

chumaceras soporte rígidas (flecha s del rotor). 58

Figura 2.4.- Respuesta al desbalance contra velocidad de rotación –rotor Jeffcott

sobre chumaceras soporte flexibles. 66

Figura 2.5.- Diagrama vectorial, desplazamientos y fuerzas –rotor Jeffcott sobre

chumaceras soporte flexibles. 67

Figura 2.6.- Pico de respuesta al desbalance contra razón de amortiguamiento –rotor

Jeffcott sobre chumaceras soporte flexibles. 69

Figura 2.7.- Razón de velocidad en picos de respuesta contra razón de

amortiguamiento –rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte flexibles. 71

Figura 2.8.- Tres clases importantes de asimetría y no linealidad en la rigidez

del estator. 74

Figura 2.9.- Respuesta de un sistema lineal y anisotrópico. 75

Figura 2.10.- Ángulo de fase en la respuesta para ejes ortogonales de un

sistema con anisotropía. 77

Figura 2.11.- Rotor con dos grados de libertad para oscilación de inclinación. 79

Figura 2.12.- Vectores: (a) momentum angular (b) momento restaurador. 79

Figura 2.13.- Diagramas de frecuencias naturales (vibración de inclinación):

(a) caso II p > ; (b) caso II p < . 83


________________________________________________________________18

Figura 2.14.- Generación de momentos giroscópicos: (a) volteo forward de →

L ;

(b) dirección del momento giroscópico. 85

Figura 2.15.- Posiciones relativas de los ángulos τ y θ . 87

Figura 2.16.- Claro en chumaceras y características elásticas: (a) sistema rotor;

(b) rodamiento de bolas auto alineado de dos hileras; (c) rodamiento

de bolas de ranura profunda de una hilera. 89

Figura 2.17.- Distribución de energía potencial. 91

Figura 2.18.- Energía potencial del sistema con sólo la componente ( )1ε . 94

Figura 2.19.- Curvas equipotenciales: (a) caso con sólo una componente no lineal

asimétrica; (b) caso con sólo una componente no lineal simétrica. 94

Figura 2.20.- Curvas de resonancia a la velocidad crítica principal: (a) ángulo de

fase; (b) amplitud. 104

Figura 2.21.- Rotor fracturado (deflexión oscilación). 106

Figura 2.22.- Varias resonancias debidas a una fractura ( 1.0=pi , 1.0=τ ):

(a) desbalance localizado en el lado de la fractura; (b) desbalance

localizado en el lado opuesto de la fractura. 108

Figura 2.23.- Comparación de características elásticas. 111

Figura 2.24.- Resultado teórico para un modelo en series de potencias y resultado

numérico para un modelo parcialmente lineal

(desbalance grande, 1.0=τ ). 113

Figura 2.25.- Resultado teórico para un modelo en series de potencias y resultado

numérico para un modelo parcialmente lineal

(desbalance pequeño, 001.0=τ ). 114

Figura 2.26.- Rotor soportado por chumaceras: (a) sistema rotor – chumaceras;

(b) amplitud y frecuencia; (c) diagrama en cascada de un experimento

(c de Muszynska, 1988). 115

Figura 2.27.- Efecto inercial. 117

Figura 2.28.- Deducción de la velocidad whirling. 119

Figura 2.29.- Balance de Fuerzas en fluido: (a) vista agrandada; (b) balance de

fuerzas; (c) velocidades de fluido. 119

Figura 2.30.- Fuerza de la capa de lubricante y ubicación del muñón: (a) distribución

de presión; (b) distribución de presión y fuerza de la capa de lubricante;

(c) orbita de una posición de equilibrio. 122

Figura 2.31.- Condiciones de frontera: (a) condición de Sommerfeld; (b) condición de

Gumbel; (c) condición de Reynolds. 125

Figura 2.32.- Barra de sección variable sometida a carga axial. 131

Figura 2.33.- Subdividiendo la barra en elementos y nodos. 132


________________________________________________________________19

Figura 2.34.- Un elemento sólido de sección transversal uniforme sujeto

a una fuerza F . 133

Figura 2.35.- Diagramas de cuerpo libre de los nodos. 134 Figura 2.36.- Fuerzas transmitidas internamente a través de un elemento arbitrario. 138 Figura 2.37.- Fuerzas internas. 146

Figura 2.38.- Comportamiento elástico de un miembro sometido a una carga central. 148

Figura 3.1.- Árbol-chumacera: (a) ejes longitudinales colineales; (b) Ejes

longitudinales paralelos. 169 Figura 3.2.- Eje del árbol excéntrico con respecto al eje de la

chumacera, y girado alrededor de 1y . 171

Figura 3.3.- Eje del árbol excéntrico con respecto al eje de la chumacera, girado

alrededor de 1y y posteriormente girado alrededor de 2x . 172

Figura 3.4.- Eje del árbol, excéntrico con respecto al eje de la chumacera, girado

alrededor de 1y , y posteriormente girado alrededor

de 2x ; representación unifilar. 173

Figura 3.5.- Eje del árbol, excéntrico con respecto al eje de la chumacera, girado

alrededor de 1y , y posteriormente girado alrededor

de 2x ; representación unifilar; detalles para Z igual a cero

y para Z distinto de cero. 175

Figura 3.6.- Árbol-chumacera-disco; con ejes de árbol (en su posición sin flexar) y

chumacera colineales con el eje Z, y con el eje del disco paralelo al eje Z. 178

Figura 3.7.- Solución clásica de chumaceras cortas de Ocvirk. Aproximación de orden

cero. ( ) 5.00 =ε , βα tan0tan == , 5.0=DL/ , y 1000=l . 184

Figura 3.8.- Campo de presión con un desalineamiento vertical moderado, en

aproximación de orden mayor a uno pero menor de dos. ( ) 5.00 =ε ,

0tan =α , 0005.0tan =β , 5.0=DL/ , y 1000=l . 184

Figura 3.9.- Campo de presión para alto número de Sommerfeld, con

desalineamiento vertical únicamente, usando una aproximación

de orden mayor a uno pero menor de dos. ( ) 1.00 =ε ,

0tan =α , 0005.0tan =β , 5.0=DL/ , y 1000=l . 185

Figura 3.10.- Campo de presión con desalineamientos moderadamente altos.

( ) 1.00 =ε , 0004.0tan =α , 0008.0tan =β , 5.0=DL/ , 1000=l . 185

Figura 3.11.- Relación entre los sistemas de coordenadas. 186

Figura 3.12.- Estabilidad obtenida a partir de la ecuación (3.58c). 191


________________________________________________________________20

Figura 3.13.- Respuesta del sistema en condiciones de inestabilidad. 193

Figura 3.14.- Orbita en condiciones de inestabilidad. 193

Figura 3.15.- Respuesta del sistema en condiciones de estabilidad (árbol sin fractura). 194

Figura 3.16.- Orbita del sistema en condiciones de estabilidad (árbol sin fractura). 194

Figura 3.17.- Respuesta del sistema, con fractura y desbalance, en condiciones de

estabilidad debido a un alto amortiguamiento externo. 195

Figura 3.18.- Orbita del sistema, con fractura y desbalance, en condiciones de

estabilidad debido a un alto amortiguamiento externo. 195

Figura 4.1.- Modelo de sección transversal fracturada, en diferentes

posiciones angulares. 203

Figura 4.2.- Función adimensional de la profundidad de la fractura ( )µf contra la

profundidad adimensional de la fractura µ . 210

Figura 5.1a.- Diagrama físico del árbol fracturado, simplemente apoyado. 214 Figura 5.1b.- Diagrama físico del árbol fracturado, simplemente apoyado-vista frontal. 214

Figura 5.1c.- Detalle del árbol fracturado-vista frontal 215

Figura 6.1.- Características geométricas. 219, 229

Figura 6.2.- Sección transversal generada por la fractura cordal. 221 Figura 6.3.- Secciones transversales componentes. 222

Figura 6.4.- Áreas componentes del sector triangular. 223

Figura 6.5.- Áreas componentes del sector triangular para

2)( /πθ n= con ,......7,5,3,1=n 224

Figura 6.6.- Variación direccional local del momento de inercia. 225

Figura 6.7.- Diagrama unifilar del árbol fracturado simplemente apoyado. 226, 230

Figura 6.8.- Variación direccional de la flexibilidad. 228, 232

Figura 7.1.- Función adimensional de la profundidad de la fractura ( )µf contra la

profundidad adimensional de la fractura µ . 235

Figura A1.- Sección logitudinal completa macro atacada con ácido

clorhídrico 1:1 a 80 grados celsius durante 30 minutos. 244

Figura A2.- Sección logitudinal macro atacada con ácido clorhídrico 1:1 a

80 grados celsius durante media hora. 245

Figura A3.- Sección logitudinal atacada ligeramente con nital 2 % para

observar inclusiones. 245

Figura A4.- Micro Estructura de sección longitudinal a 100X atacada con nital 2 %.

Las manchas obscuras son inclusiones de sulfuros. 245

Figura A5.- Micro estructura de sección logitudinal a 500X, ataque con nital 2 %.

La micro estructura está formada por partículas globulares de

cementita, carburo de hierro (Fe3C) en una matriz de ferrita. 246


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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1.- Propiedades de los elementos en el problema. 142 Tabla 2.2.- Comparación de desplazamientos (in) resultantes por el método de

residuos ponderados. 158

Tabla 5.1.- Pesos medidos. 215

Tabla 5.2.- Deflexiones correspondientes al peso acumulado. 216

Tabla 5.3.- Deflexiones (mm.)correspondientes al peso (Kg.) acumulado. 216

Tabla 5.4.- Flexibilidad en milímetros sobre Kilogramo. 216

Tabla 5.5.- Variación de flexibilidad en milímetros sobre Kilogramo. 217

Tabla 5.6.- Función adimensional de la profundidad de la fractura. 228, 232

Tabla 6.1.- Variación direccional local del momento de inercia. 224

Tabla 6.2.- Variación direccional de la flexibilidad. 228, 232

Tabla 7.1.- Comparación de valores de flexibilidad. 236

Tabla 8.1.- Programación de trabajos futuros. 240


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TERMINOLOGÍA

Eje.- Lugar geométrico de todos los puntos que equidistan del contorno de

una pieza de sección transversal constante.

Rotor.- Pieza de sección transversal circular, sin masa, que gira alrededor

de su eje.

Árbol.- Pieza de sección transversal circular, con masa, que gira alrededor

de su eje.

Oil whirl.- Volteo del lubricante.

Oil whip.- Movimiento circular de vaivén del lubricante.

Movimiento forward.- Movimiento de volteo, véase Figura 1, de un cuerpo

alrededor de un eje (Z), combinado con un movimiento de rotación, en la

misma dirección y en el mismo sentido, alrededor del propio eje (Z/).

Figura 1.- Movimiento forward.


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Movimiento backward.- Movimiento de volteo, véase Figura 2, de un cuerpo

alrededor de un eje (Z), combinado con un movimiento de rotación, en la

misma dirección y en sentido contrario, alrededor del propio eje (Z/).

Figura 2.- Movimiento backward.


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RESUMEN

Esta tesis doctoral es el resultado de una investigación documental, de un

trabajo experimental, y de un estudio analítico. Describe los aspectos

conocidos hoy en día, en relación al comportamiento de la vibración del

sistema rotor-masa-chumaceras, con fractura transversal y al centro del claro

del rotor desbalanceado, y simplemente apoyado en sus extremos. El estudio

analítico se hace considerando comportamiento elástico; cuyos resultados se

comparan con los obtenidos en el trabajo experimental, elastoplástico,

efectuado en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI) de la

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto

Politécnico Nacional (IPN). Adicionalmente, los resultados anteriores se

comparan con los encontrados (experimentales) en la investigación

documental. Con rigor analítico se deducen relaciones funcionales para la

variación direccional local del momento de inercia en la fractura, en función de

su profundidad y ancho, a partir de las cuales se obtiene la variación

direccional de la flexibilidad del rotor. De la comparación de resultados

analíticos, experimentales, y documentales; se concluye que las expresiones

deducidas, que excluyen el comportamiento plástico, conducen a resultados

razonablemente aceptables, ya que las variaciones además de mínimas son

cualitativamente lógicas, considerando el comportamiento plástico presente en

los resultados experimentales y documentales, así como el comportamiento

geométrico direccionalmente distinto debido a la apertura y cierre de la fractura.

La deducción de las relaciones funcionales, para la variación direccional de la

flexibilidad del rotor, es una aportación de este trabajo al cúmulo de

conocimientos que sobre el tema se tenían hasta hoy. Es importante resaltar

que anteriormente, se había considerado la variación direccional de la

flexibilidad como función sólo de la profundidad de la fractura.


________________________________________________________________26


________________________________________________________________27

ABSTRACT

This doctoral thesis is the result of a documentary investigation, an

experimental work, and an analytical study. It describes the known aspects up

today, in relation to the behavior of the vibration of the rotor-mass-bearings

system, with transverse fracture and on the centre of the unbalance, and

support simply rotor. The analytic study it was done paying attention in the

elastic behavior, its results are compared with the elastic and plastic results that

were obtained in the experimental work, that was done in the Research and

Post – grade Studies Section (SEPI in Spanish), of the Electrical and

Mechanical Engineering Superior School (ESIME in Spanish), of the National

Polytechnic Institute (IPN in Spanish). In addition, the before results are

compared with those experimental results founded in the documentary

investigation. With analytical rigor, functional relations are deduced for the local

directional variation of the moment of inertia in the fracture, in function of its

depth and width, in order to this, the directional variation of the flexibility of the

rotor is obtained. Comparing analytics, experimental, and documentary results;

It can be emphasized that the deduce expressions, who exclude the plastic

behavior, conduct to acceptable results, because the variations are minimums

and logical qualitatively, considering the plastic behavior in the experimental

and documentary results, whereas the geometrical behavior distinct

directionally, because of the opening and closing of the fracture. The deduction

of the functional relations, for the directional variation of the rotor/s flexibility, is a

contribution of this work to the pile of knowledge about the topic knows up

today. It is very important to stand out, that before of this work, the directional

variation of the flexibility; it was only considering function of the fracture/s depth.


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JUSTIFICACIÓN

Para incrementar la productividad y hacerla más eficiente debido a razones de

globalización y competencia internacional, las compañías mexicanas han

requerido aumentar el tiempo entre inspecciones y revisiones, favoreciéndose

el aumento de fracturas por fatiga estable. Esta situación incrementa el riesgo

de que ocurran fallas catastróficas en máquinas, lo cual no es un problema

aislado, pero si pocas veces documentado.

El aumento del tiempo entre inspecciones debe estar basado en la historia

clínica de la máquina, dispositivo o instrumento, las revisiones deben implicar el

cambio de partes con cualquier nivel de daño, para reducir las fracturas por

fatiga estable.

En aquellos casos cuya importancia de la operación y o del servicio lo

ameriten, la inspección debe ser un proceso continuo a través del cual se

puedan programar revisiones, que eviten los procesos correctivos propiciando

procesos preventivos y o predictivos.


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OBJETIVO

El objetivo del estudio de la fractura en el rotor del sistema rotor-masa-

chumaceras es detectar, cualificar y cuantificar las particularidades de su

respuesta estática y dinámica.

La fractura se considera transversal y al centro del claro del rotor simplemente

apoyado en sus extremos.

Dada la imposibilidad de eliminar el desbalance, éste se considera presente en

la caracterización dinámica.


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INTRODUCCIÓN

El objetivo del estudio de la fractura en el rotor del sistema rotor-masa-

chumaceras es detectar, cualificar y cuantificar las particularidades de su

respuesta estática y dinámica. La fractura se considera transversal y al centro

del claro del rotor simplemente apoyado en sus extremos. Dada la

imposibilidad de eliminar el desbalance, éste se considera presente en la

caracterización dinámica. Para lograrlo se deduce la variación direccional del

árbol, considerándolo elástico, y se comparan cualitativa y cuantitativamente

los resultados con respecto a los obtenidos de manera experimental y

documental. En este trabajo analítico, experimental, y documental; se hace una

descripción, en el capítulo 1, del estado del arte en relación al comportamiento

de la vibración del sistema rotor-masa-chumaceras. En el capítulo 2 se

describe el comportamiento del rotor Jeffcott, así como el de un sistema estator

lineal anisotrópico. También se hace el análisis de vibraciones: angulares, no

lineales, de un rotor fracturado, e inducidas por el flujo de lubricante. Dada la

aplicación del método, adicionalmente se explican los pasos a seguir, en la

solución de problemas usando el método de los elementos finitos. En el

capítulo 3 se analiza el desalineamiento entre árbol y chumaceras,

caracterizando el campo de presiones generado por el rotor desalineado y

rotando; se incluye el análisis de un árbol, sobre chumaceras rígidas,

fracturado y desbalanceado. En el capítulo 4 se incluyen fundamentos teóricos

experimentales obtenidos de la investigación documental; los que

posteriormente se usan para verificar la reproducibilidad experimental de los

resultados. En el capítulo 5 se deducen relaciones funcionales para la variación

direccional local del momento de inercia; a partir de las cuales se obtiene la

variación direccional de la flexibilidad del árbol. La validación analítica-

experimental-documental se incluye en el capítulo 6, al comparar cualitativa,

física, geométrica, y cuantitativamente los distintos resultados. En los capítulos

7 y 8 se indican los trabajos futuros y las conclusiones, respectivamente.


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En el presente trabajo doctoral, para predecir la existencia de una fractura en

un árbol rotando, se hace un análisis del comportamiento dinámico y estático

del mismo, con la finalidad de caracterizar ambos comportamientos y buscar

parámetros cuya variación sea considerable y debida de manera unívoca a la

presencia de la fractura, así como a la profundidad y ancho de la misma.

Para una mayor claridad en la exposición, el término árbol se usa para referirse

a un elemento con masa y volumen, el término rotor se usa para un árbol con

masa concentrada y sin volumen, el término eje se usa para referirse a ejes de

simetría.

Para expertos conocedores del tema de la rotodinámica se recomienda omitir la

lectura de los capítulos 1 y 2, debido a que el primero es una reseña del estado

del arte sobre el tema, y el segundo es una descripción de conceptos

fundamentales.

El capítulo 3 incluye un análisis del desalineamiento entre árbol y chumaceras;

así como el análisis de un árbol, sobre chumaceras rígidas, fracturado y

desbalanceado. Ambos son producto de artículos publicados por el autor con el

Dr. Valeri Nossov y con el Dr. Julio César Gómez Mancilla.

Los capítulos 4 y 5 incluyen fundamentos teóricos y experimentos obtenidos del

artículo de Mayes y Davies de 1984, así como experimentos realizados en el

laboratorio de rotodinámica y vibraciones de la Sección de Estudios de

Posgrado e Investigación de la ESIME.

El capítulo 6 constituye la aportación del presente trabajo doctoral y es original

en tanto que agrega conocimiento al estado del arte sobre el tema. La variación

direccional de la constante de resorte no es presupuesta para determinar su

nivel de acertividad en función de datos experimentales. Por el contrario, es


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obtenida teóricamente considerando comportamiento elástico del árbol y

comparada con datos experimentales, obteniéndose desviaciones lógicas dado

el comportamiento elástico y plástico del árbol.

En el capítulo 7 se hace la comparación de los resultados experimentales

obtenidos en el laboratorio de rotodinámica y vibraciones, contra los obtenidos

por Mayes y Davies. Se hace también la comparación de los resultados

teóricos obtenidos en el capítulo 6 contra los resultados experimentales del

autor y de Mayes y Davies.

Puesto que la investigación es un proceso continuo, en el capítulo 8 se indican

los trabajos futuros del autor.

Las conclusiones al final de la tesis, son producto del análisis comparativo

entre resultados analíticos, experimentales y documentales.

En los anexos 1 y 2 se incluye el estudio metalúrgico del rotor y la condición de

contacto entre las caras de la fractura, respectivamente.


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1.- ESTADO DEL ARTE.

Como antecedente histórico se hace una revisión bibliográfica; y se plantea el

problema a resolver.

1.1.- REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.

Las investigaciones en roto dinámica tienen 135 años de historia, iniciando con

el artículo de Ranking sobre el movimiento de volteo de un rotor en 1869.

Progresaron significativamente a finales del siglo XIX. De Laval inventó una

turbina de vapor y logró su operación. Stodola [1] primero usó un rotor rígido,

después usó un rotor flexible y demostró que éste puede operar a una

velocidad de rotación igual a siete veces la velocidad crítica. Al inicio, el tema

principal para investigadores y diseñadores fue predecir la velocidad crítica,

porque lo que más interesaba a los diseñadores de maquinaria rotatoria era

evitar la resonancia. Dunkerley [2] derivó una formula experimental que daba la

velocidad crítica más baja para un sistema multirotor en 1894. Él fue el primero

en usar el término velocidad crítica para la velocidad rotacional de resonancia.

Holtzer [3] en 1921 propuso un método aproximado para calcular las

frecuencias y formas modales naturales de vibraciones torsionales.

El primer compendio de teoría fundamental de roto dinámica puede ser

encontrado en un artículo escrito por Jeffcott [4] en 1919. Podemos apreciar la

gran contribución de Jeffcott si recordamos que un rotor con un disco al centro

es llamado rotor Jeffcott. Este sistema rotor fundamental simplificado también

es llamado rotor Laval.

Los desarrollos hechos en roto dinámica al iniciar el siglo XX se describen en el

trabajo magistral de Stodola [1]. Este libro explica detalladamente


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todo lo relacionado con el campo de las turbinas de vapor. Además de otros

temas, este libro incluye la dinámica de rotores elásticos con discos, la

dinámica de rotores continuos considerando momento giroscópico, el balanceo

de rotores rígidos, y métodos para determinar valores aproximados de

velocidades críticas de rotores con sección transversal variable.

Posteriormente, se consideró otros efectos. Como la velocidad de rotación por

arriba de la velocidad crítica, la ocurrencia de vibraciones auto-excitadas

implicando serios problemas. En los años veinte (1924), Newkirk [5] y

Kimball[6] reconocieron que la fricción interna de los materiales puede causar

un movimiento de volteo inestable. En 1925 Newkirk y Taylor [7] investigaron

una vibración inestable llamada oil whip, debida a la capa de lubricante en las

chumaceras. Este fenómeno, en el cual la fricción, que ordinariamente

amortigua la vibración, causa vibración auto – excitada, atrajo la atención de

muchos investigadores.

Aproximadamente una década después, inició el estudio de sistemas rotores

asimétricos. Inicialmente sistemas con diferencia direccional en la rigidez del

rotor, y más tarde aquellos con diferencia direccional en la inercia del rotor.

Generadores de dos polos son ejemplo de tales sistemas. Esta diferencia

direccional en el rotor implicó la aparición de términos con coeficientes

constantes en las ecuaciones de movimiento. Estos sistemas son clasificados

como sistemas excitados paramétricamente. La propiedad más característica

de sistemas asimétricos es la aparición de vibraciones inestables en algún

rango de la velocidad de rotación. El artículo de Smith [8] en 1933 es un trabajo

pionero en este tópico. Varios fenómenos relacionados con la asimetría de

rotores fueron investigados activamente a mediados del siglo veinte por Taylor

[9], Foote [10], Brozen y Crandall [11], y Yamamoto y Ota [12, 13, 14].

Fenómenos no estacionarios durante el paso a través de las velocidades

críticas se han estudiado desde que Lewis [15] reportó su investigación sobre

el rotor Jeffcott en 1932. Numerosos reportes sobre este tópico son clasificados


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en dos grupos. (1) fenómenos no estacionarios que ocurren en un proceso con

aceleración constante y (2) aquéllos que ocurren con un torque impulsor

limitado. En el último caso, se debe considerar la interacción mutua entre el

torque impulsor y la vibración del árbol. Como el análisis teórico de tales

problemas transitorios es más difícil que el de las oscilaciones estacionarias,

muchos investigadores adoptaron la integración numérica. El desarrollo del

método asintótico de Mitropol´skii [16] en 1965 estimuló considerablemente la

investigación sobre este tema.

También fueron estudiadas las vibraciones de rotores con masas distribuidas

continuamente. El modelo de rotor continuo más simple, correspondiente a la

viga de Euler fue estudiado primero en el libro de Stodola(1924). En los 50 y

60, Bishop [17]; Bishop y Gradwell [18]; Bishop y Parkinson [19]; reportaron una

serie de artículos sobre la respuesta al desbalance de un rotor continuo.

Eshleman y Eubanks [20] dedujeron ecuaciones de movimiento más generales

considerando los efectos de la inercia de rotación, deformación cortante, y

momento giroscópico, e investigaron dichos efectos.

El más importante y fundamental procedimiento para amortiguar vibraciones

indeseables es eliminar el desbalance geométrico en el rotor. Las técnicas de

balanceo para un rotor rígido fueron establecidas relativamente temprano. Una

máquina de balanceo práctica basada en esta técnica fue inventada en 1909

por Miwa y Shimomura [21]. La aparición de máquinas rotatorias de alta

velocidad hizo necesario desarrollar técnicas de balanceo para rotores

flexibles. Dos teorías representativas fueron propuestas. Una fue el método de

balanceo modal propuesta en los 50 por Federn [22], y por Bishop y Gladwell

[18]. El otro es el método de coeficientes de influencia propuesto a principio de

los 60 y desarrollada principalmente en los E.E.U.U. con el progreso de las

computadoras.


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El oil Whip antes mencionado es una vibración representativa de rotores

inducida por el flujo. A mediados del siglo XX, Hori [23] logró explicar varias

características fundamentales del oil whip investigando la estabilidad de

árboles en movimiento y considerando fuerzas de presión debidas a la capa de

lubricante. Casi al mismo tiempo, otro tipo de vibraciones inducidas por el flujo

atrajo la atención de muchos investigadores. Uno de ellos fue una vibración

auto – excitada llamada volteo del vapor. El mecanismo de esta vibración fue

explicado: en turbinas por Thomas [24] en 1958 y en compresores por Alford

[25] en 1965. Estos fenómenos, por su importancia práctica, atraen todavía el

interés de muchos investigadores. La vibración de rotores huecos conteniendo

fluido es un problema relativamente nuevo de flujo induciendo vibraciones. En

1967, Ehrich [26] reportó que el fluido atrapado en árboles de máquinas induce

vibraciones asíncronas y también cambia la forma de las curvas de resonancia.

Un notable artículo sobre este fenómeno es el de Wolf [27], quien logró explicar

la aparición de un rango de velocidad inestable en una región súper crítica de

un sistema rotor conteniendo fluido no viscoso. Actualmente este tipo de

vibraciones auto – excitadas han sido estudiadas por muchos investigadores.

Cuando los rotores giran a altas velocidades, ocurren resonancias no lineales

tales como sub armónicas. Yamamoto [28 y 29] estudió varias clases de

resonancias no lineales reportando sub armónicas debidas a las bolas de los

rodamientos. Discutió sistemas con no linealidad débil que pueden ser

expresados por series de potencias de bajo orden. Además desde las

resonancias sub-armónicas, investigó también resonancias combinadas (las

llamó oscilaciones armónicas sumadas y diferenciales) y combinación de tonos.

En los 60, Tondl [30] estudió resonancias no lineales debidas a la capa de

lubricante en chumaceras. En 1966 Ehrich [31] reportó sub. armónicas

observadas en una turbina de gas. La causa de no linealidades fuertes en

turbinas de gas es el claro radial. Posteriormente, en 1988 y 1991 Ehrich [32 y

33] reportó la ocurrencia de varios tipos de resonancias sub armónicas de muy

alto orden y vibraciones caóticas en máquinas prácticas.


________________________________________________________________41

En el diseño práctico de maquinaria rotatoria, es necesario conocer

exactamente las frecuencias, modos, y respuestas forzadas naturales al

desbalance en sistemas rotores complejos. Las técnicas representativas

usadas para este propósito son el método de matriz de transferencia y el

método del elemento finito. En 1945 Prohl [34] usó el método de matriz de

transferencia en el análisis de un sistema rotor expandiendo el método de

Myklestad [35]. Este método analítico es particularmente útil para sistemas

rotores con muchas chumaceras y se ha desarrollado rápidamente desde los

60 por la contribución de muchos investigadores tales como Lund et al [36 y

37]. El método del elemento finito fue desarrollado primero en dinámica

estructural y luego usado en varios campos tecnológicos. La primera aplicación

del método del elemento finito a un sistema rotor fue hecha por Ruhl y Broker

en 1972 [38]. Luego, en 1976, Nelson y Mc Vaugh [39] lo generalizaron

considerando inercia rotativa, momento giroscópico, y fuerza axial.

En los 60, fueron encontradas fracturas en rotores de algunas turbinas de

vapor. Para prevenir serios accidentes se desarrollaron sistemas detectores de

fracturas, e iniciaron las investigaciones sobre vibraciones de árboles

fracturados. En 1976 Gasch [40], Henry y Okah-Avae [41] investigaron

vibraciones considerando la no linealidad en la rigidez debido a la apertura y

cierre del mecanismo. Ellos demostraron que una región inestable aparece y

desaparece en la velocidad crítica principal, dependiendo de la dirección del

desbalance.

El tópico más reciente en roto dinámica es un estudio de chumaceras

magnéticas, las cuales soportan un rotor sin tocarlo, y con amortiguamiento

activo. Este estudio ha recibido considerable atención desde que Schweitzer

[42] reportó su trabajo en 1975.


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1.2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

El presente trabajo doctoral tiene como objetivo la detección temprana de

fracturas en árboles rotores flexibles sobre chumaceras soporte rígidas, con

una masa al centro. Para ello se aceptará que un árbol no puede estar

totalmente balanceado. Por otro lado se considerará que no hay vibraciones

debidas a elementos mecánicos tales como pedestales de chumaceras o

coples, ni vibraciones auto –excitadas debido al contacto.

La fractura se considerará transversal y al centro del árbol simplemente

apoyado en sus extremos.

Las variables independientes a usarse para caracterizar el comportamiento

estático y dinámico serán la profundidad y el ancho de la fractura cordal. Todo

parámetro distinto a los anteriores se considerará constante.

Para detectar, cualificar y cuantificar las particularidades del comportamiento,

se hará un análisis teórico de la variación direccional local del momento de

inercia en la sección transversal coincidente con la fractura; a partir de la cual

se obtendrá la variación direccional de la flexibilidad del árbol. Esta última se

usará para calcular la función adimensional de la profundidad de la fractura.

Los resultados anteriores se compararán contra resultados experimentales,

tanto reportados en la bibliografía como contra los obtenidos en el laboratorio

de rotodinámica y vibraciones.

El efecto del desbalance y su orientación se cualificará como agente

incrementador o reductor de la amplitud de la vibración.

La validación se hará en función de los resultados teóricos y experimentales,

separando el comportamiento puramente elástico (teórico) de aquel elástico

plástico (experimental).


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1.3.- SUMARIO DEL CAPÍTULO 1.

Inicialmente el tema principal para investigadores y diseñadores fue predecir la

velocidad crítica, para evitar la resonancia. La presencia de momentos

giroscópicos y la condición de elasticidad se agregó a los rotores con discos.

La velocidad de rotación crítica dejó de ser límite para la velocidad de

operación de la maquinaria rotatoria. Las vibraciones inestables oil whirl y oil

whip debidas a la presión de la capa de lubricante han sido parcialmente

explicadas. Los estudios de sistemas asimétricos con diferencia direccional en

la rigidez y en la inercia del rotor, conocidos como sistemas excitados

paramétricamente, hicieron posible la detección y explicación de vibraciones

inestables en algún rango de la velocidad de rotación. Los fenómenos no

estacionarios durante el paso a través de las velocidades críticas se han

estudiado considerando aceleración constante y variable. El concepto de

masas concentradas fue sustituido por el de masas distribuidas continuamente.

Las vibraciones indeseables son minimizadas al balancear al rotor,

considerándolo rígido o flexible, usando el método de balanceo modal o el de

coeficientes de influencia. Los rotores a alta velocidad presentan resonancias

no lineales tales como sub armónicas, algunas de las cuales se deben a las

bolas de los rodamientos y/o al claro radial.

En el diseño práctico de maquinaria rotatoria, es necesario conocer

exactamente las frecuencias, modos, y respuestas forzadas naturales al

desbalance en sistemas rotores complejos. Las técnicas representativas

usadas para este propósito son el método de matriz de transferencia y el

método del elemento finito. El primer método es particularmente útil para

sistemas rotores con muchas chumaceras. El método del elemento finito fue

desarrollado primero en dinámica estructural y luego usado en varios campos

tecnológicos. La primera aplicación del método del elemento finito a un sistema

rotor fue hecha por Ruhl y Broker en 1972 [38]. Luego, en 1976, Nelson y Mc

Vaugh [39] lo generalizaron considerando inercia rotativa, momento

giroscópico, y fuerza axial.


________________________________________________________________44

En los 60, fueron encontradas fracturas en rotores de algunas turbinas de

vapor. Para prevenir serios accidentes se desarrollaron sistemas detectores de

fracturas, e iniciaron las investigaciones sobre vibraciones de árboles

fracturados. En 1976 Gasch [40], Henry y Okah-Avae [41] investigaron

vibraciones considerando la no linealidad en la rigidez debido a la apertura y

cierre del mecanismo. Ellos demostraron que una región inestable aparece y

desaparece en la velocidad crítica principal, dependiendo de la dirección del

desbalance.

El tópico más reciente en roto dinámica es un estudio de chumaceras

magnéticas, las cuales soportan un rotor sin tocarlo, y con amortiguamiento

activo.

La detección temprana y la prevención de fracturas en árboles rotores flexibles

sobre chumaceras soporte rígidas en línea es importante para evitar efectos

catastróficos sobre los recursos humanos y materiales empleados para

producir satisfactores (bienes y/o servicios). Ésta detección es el objetivo del

presente trabajo doctoral.

Referencias del capítulo 1.

[1] Stodola, A. (1924), Dampf- und Gas-Turbine, Verlag von Julius Springer,

Berlin; English translation (1927), Steam and Gas Turbines, Mc Graw-Hill, New

York.

[2] Dunkerley, S., On the whirling and Vibration of Shaft, Philos. Trans. R. Soc.

London, Ser. A, Vol. 185, 1894, pp.279-359.

[3] Holtzer, H., Die Berechnung der Drehschwingungen, Springer-Verlag, Berlin,

1921.


________________________________________________________________45

[4] Jeffcott, H. H., The lateral vibration of loaded shafts in the neighborhood of a

whirling speed: the effect of want of balance, Philos. Mag., Vol. 37, 1919, pp.

304-315.

[5] Newkirk, B. L., Shaft Whipping, Gen Electr. Rev., Vol. 27, No. 3, 1924,

pp.169-178.

[6] Kimball, A. L., Internal Friction theory of shaft whirling, Gen. Electr. Rev.,

Vol. 27, No. 4, 1924, pp.244-251.

[7] Newkirk, B. L., y Taylor, H. D., Shaft whirling due to oil action in journal

bearings, Gen. Electr. Rev., Vol. 28, No. 7, 1925, pp.559-568.

[8] Smith, D. M., The motion of a rotor carried by a flexible shaft in flexible

bearings, Proc. R. Soc. London, Ser. A., Vol. 142, 1933, pp.92-118.

[9] Taylor, H. D., Critical speed behavior of unsymmetrical shafts, J. Appl.

Mech., Vol. 7, No. 2, 1940, pp.71-79.

[10] Foote, W. R., Poritski, H., y Slade, J. J., Jr., Critical speeds so a rotor with

unequal shaft flexibilities, mounted in bearings of unequal flexibility, I, Trans.

ASME, J. Appl. Mech., Vol. 10, No. 2, 1943, pp.77-84.

[11] Brozen, S. H., y Crandall, S. H., Whirling of un symmetrical rotors, Trans.


[12] Yamamoto, T., y Ota, H., On the vibrations of a shaft carrying an

unsymmetrical rotating body, Bull. JSME, Vol. 6, No. 21, 1963a, pp.29-36.

[13] Yamamoto, T., y Ota, H., Unstable vibrations of the shaft carrying an

unsymmetrical rotating body, Bull. JSME, Vol. 6, No. 23, 1963b, pp.404-411.


________________________________________________________________46

[14] Yamamoto, T., y Ota, H., On the dynamically unstable vibrations of a shaft

carrying an unsymmetrical rotating body, Bull. JSME, Vol. 31, No. 3, 1964,

pp.515-522.

[15] Lewis, F. M., Vibrations during acceleration through a critical speed, Trans.

ASME, Vol. 54, No. 3, 1932, pp.253-261.

[16] Mitropol´skii, Y. A., Problems of the Asymptotic Theory of Non stationary

Vibrations, Israel Program for Science Translations, Jerusalem, 1965.

[17] Bishop, R. E. D., Vibration of rotating shafts, J. Mech. Eng. Sci., Vol. 1, No.

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[18] Bishop, R. E. D., y Gladwell, G. M. L., The vibration and balancing of an

unbalanced flexible rotor, J. Mech. Eng. Sci., Vol. 1, No. 1, 1959, pp.66-77.

[19] Bishop, R. E. D., y Parkinson, A. G., Second order vibration of flexible

shafts, Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A., Vol. 259, No. 1095, 1965, pp.1-

31.

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rotor, Trans. ASME, J. Eng. Ind., Vol. 91, No. 4, 1969, pp.1180-1188.

[21] Miwa, S., y Shimomura, G., Balancing of Rotating Machinery, Corona

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[22] Federn, K., Grundlagen einer Systematischen schwingungsentst..o rung

Wellenelastis-cher Rotoren, VDI Ber., Bd. 24, 1957, pp.9-25.

[23] Hori, Y., A theory of oil whip, Trans. ASME, J. Appl.Mech., Vol. 26, No. 2,

1959, pp.189-198.


________________________________________________________________47

[24] Thomas, J. J., Instabile Eigenschwingungen von Turbinenlaufern,

Angefacgt durch die Spaltstromungen, in Stopfbuchsen und Beschauflungen,

AEG-Sonderdruck, 1958, pp.1039-1063.

[25] Alford, J. S., Protecting turbo machinery from self-excited rotor whirl, Trans.

ASME, J. Eng. Power, Vol. 87, No. 4, 1965, pp.333-344.

[26] Ehrich, F. F., The influence of trapped fluids on high speed rotor vibration,

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[27] Wolf, J. A., Whirl dynamics of a rotor partially filled with liquid, Trans.


[28] Yamamoto, T., On the critical speed of a shaft of sub-harmonic oscillation,

Trans. JSME, Vol. 21, No. 111, 1955, pp. 853-858 en japones.

[29] Yamamoto, T., On the vibrations of a rotating shaft, Chap. II: Non-linear

and non-symmetrical spring characteristics of the shaft supported by single-row

radial ball bearings; Chap. III: On the critical speed of a shaft of sub-harmonic

oscillation and sub-harmonic oscillation on rectilinear vibrations, Mem. Fac.

Eng. Nagoya Univ., Vol. 9, No. 1, 1957a, pp.25-40.

[30] Tondl, A., Some Problems of Rotor Dynamics, Czechoslovak Academy of

Sciences, Prague, Czechoslovakia, 1965.

[31] Ehrich, F. F., Sub harmonic Vibration of Rotors in Bearing Clearance,

ASME paper 66-MD-1, American Society of Mechanical Engineers, New York,

1966.

[32] Ehrich, F. F., High order sub harmonic response of high speed rotors in

bearing clearance, Trans. ASME, J. Vib. Acoust. Stress Reliab. Des., Vol. 113,

No. 1, 1988, pp. 50-56.


________________________________________________________________48

[33] Ehrich, F. F., Handbook of Rotor dynamics, Mc Graw-Hill, 1991, New York.

[34] Prohl, M. A., A general method for calculating critical speeds of flexible

rotors, J. Appl. Mech., Vol. 12, No. 3, 1945, pp.142-148.

[35] Myklestad, N. O., A new method for calculating natural modes of uncoupled

bending vibrations of airplane wings and other types of beams, J. Aeronauti.

Sci., Vol. 11, No. 2, 1944, pp.153-162.

[36] Lund, J. W., y Orcutt, F. K., Calculation and experiments on the unbalance

response of a flexible rotor, Trans. ASME, J. Eng. Ind., Vol. 89, No. 4, 1967,

pp.785-795.

[37] Lund, J. W., Stability and damped critical speed of a flexible rotor in fluid-

film bearings, Trans. ASME, J. Eng. Ind., Vol. 96, No. 2, 1974, pp.509-517.

[38] Ruhl, R. L., y Booker, J. F., A finite element model for distributed parameter

turbo rotor system, Trans. ASME, J. Eng. Ind., Vol. 94, No. 1, 1972, pp.126-

132.

[39] Nelson, H. D., y Mc Vaugh, J. M., The dynamics of rotor bearing systems,

using finite elements, Trans. ASME, J. Eng. Ind., Vol. 98, No. 2, 1976, pp.593-

600.

[40] Gasch, R., Dynamic behavior of a simple rotor with a cross-sectional crack,

Proceeding of the International Conference on Vibrations in Rotating Machinery,

Institute of Mechanical Engineers, New York, 1976, pp.123-128.

[41] Henry, T. A., y Okah-Avae, B. E., Vibrations in cracked shaft, Proceeding of

the International Conference on Vibrations in Rotation Machinery, Institute of

Mechanical Engineers, New York, 1976, pp.15-17.


________________________________________________________________49

[42] Schweitzer, G., Stabilization of self-excited rotor vibrations by an active

damper, in Dynamics of Rotors, Springer-Verlag, New York, 1975, pp.472-493.


________________________________________________________________50


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2.- MARCO TEÓRICO.

En este capítulo se describen conceptos fundamentales para comprender el

comportamiento dinámico de rotores.

2.1.- EL ROTOR JEFFCOTT1.

Para establecer algunos conceptos y definiciones importantes que proveen

información de utilidad general, es conveniente considerar el rotor Jeffcott, un

modelo muy simplificado de un rotor a alta velocidad que retiene muchas de las

características esenciales de sistemas más complejos en su respuesta al

desbalance. En dicho rotor la masa central está instalada en un elemento

flexible sin masa, soportado sobre dos chumaceras. Se consideran dos

condiciones de las chumaceras soporte: (1) chumaceras soporte rígidas, como

en la Figura 2.1a, y (2) chumaceras soporte flexibles (representadas por un

arreglo axisimétrico de resortes y amortiguadores), como en la Figura 2.1b.

Figura 2.1a.- Rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte rígidas; la línea a- a -a es el eje de

rotación, el arco a- b -a es el eje elástico del rotor. Distancia de a a b = s ,

distancia de b a c = q

1 Fredric, F. Ehrich, Handbook of Rotodynamics, KRIEGER PUBLISHING COMPANY, MALABAR, FLORIDA 1997.


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Figura 2.1b.- Rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte flexibles.

2.1.1.- El Rotor Jeffcott Sobre Chumaceras Soporte Rígidas.

En este modelo se asumen soportes simples infinitamente rígidos para las

chumaceras del rotor. El único amortiguamiento es el derivado del medio fluido

circundando al rotor. Dos tipos de desbalance son considerados

separadamente, como se muestra en la Figura 2.1a: (1) desbalance debido a la

excentricidad de masa q y (2) desbalance debido a la flecha s del rotor.

2.1.1.1.- Caso 1: Masa Excéntrica.- El centro de masa c del disco está

separado del eje elástico del rotor una distancia radial q . El eje elástico

intercepta al disco en el punto b , el cual es llamado centro elástico del disco. El

punto b con rotor parado coincide con el eje de rotación a- a -a (flecha s del

rotor igual a cero). Cuando la velocidad de rotación crece, la fuerza centrífuga

de la masa excéntrica M hace que el punto b se mueva hacia fuera y voltee

alrededor del eje de rotación con un radio de volteo br . Una solución de estado

estable de las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema conduce,

para la respuesta al desbalance [1], a


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( ) ( )222

2

1

21 ζττ

τ

+−==

qr

w bb (2.1)

−

−=

212

arctanτ

ζτλb (2.2)

El factor de amplificación del volteo 1bw (el radio de volteo br normalizado por

la excentricidad de masa q ) y el ángulo de fase bλ (el ángulo de retraso del

vector desplazamiento con respecto al vector desbalance) son funciones de

dos variables adimensionales: (1) la razón de velocidad τ , la cual es igual a la

velocidad de rotación ω dividida entre la velocidad crítica no amortiguada ν

νω

τ = (2.3a)

donde MK r=ν (2.3b)

siendo rK y M la rigidez y masa del rotor, respectivamente, y (2) la razón de

amortiguamiento ζ , la cual es igual al amortiguamiento del sistema rB dividido

entre el amortiguamiento crítico νM2 , que es el valor máximo de

amortiguamiento por arriba del cual un sistema, al que se le aplica una carga

impulsiva, no oscila.

νζ

MBr

2= (2.4)

El factor de amplificación del volteo 1bw y el ángulo de fase bλ están graficados

contra la razón de velocidad τ en las Figuras 2.2a y 2.2b. Para bajos valores

de amortiguamientoζ y operación cercana a la velocidad crítica, el factor de

amplificación del volteo 1bw es muy grande. Con cero


________________________________________________________________54

amortiguamiento se hace infinito a la velocidad crítica ( 1=τ ). El ángulo de fase

es igual a 90 grados a la velocidad crítica –hecho que es útil al balancear el

rotor. A muy alta velocidad, el factor de amplificación del volteo se aproxima a

la unidad y el ángulo de fase se aproxima a 180 grados, lo cual significa que el

centro de masa, punto c , tiende a coincidir con el centro de rotación. Luego, la

operación supercrítica del rotor Jeffcott sobre chumaceras rígidas no posee

otro problema que el de acomodar el pico de amplitud encontrado al paso de la

región de velocidad crítica.

Figura 2.2a.- Respuesta al desbalance (excentricidad de masa q ) contra velocidad de rotación

-rotor Jeffcott sobre chumaceras soporte rígidas.


________________________________________________________________55

Figura 2.2b.- Ángulo de fase contra velocidad de rotación –rotor Jeffcott sobre chumaceras

soporte rígidas.

Figura 2.2c.- Respuesta al desbalance (flecha s del rotor) contra velocidad de rotación –rotor

Jeffcott sobre chumaceras soporte rígidas.


________________________________________________________________56

Los valores pico del factor de amplificación del volteo en la Figura 2.2a ocurren

en valores de la razón de velocidad pτ más grandes que la unidad cuando hay

amortiguamiento.

ζτ

21

1

−=p cuando 707.0=

21

<ζ (2.5)

Para 707.0≥ζ , no hay picos y la amplificación del volteo se aproxima a la

unidad, cuando la razón de velocidad se aproxima al infinito.

Un mejor entendimiento de las Figura 2.2a y 2.2b puede lograrse construyendo

un diagrama de fuerzas y desplazamientos para el sistema. En la Figura 2.3a,

los vectores de desplazamiento y fuerza son mostrados para un punto típico en

el diagrama de la Figura 2.2a ( 1.1=τ y 15.0=ζ ). El movimiento del rotor es un

volteo estable alrededor de la línea central de rotación (a- a -a), con los puntos

b (centro elástico) y c (centro de masa) describiendo orbitas circulares. La

fuerza centrífuga resultante es la suma de vectores de la fuerza inercial iF y la

fuerza de desbalance uF . Es igual y opuesta a la fuerza de restricción

resultante, la cual es el vector suma de la fuerza de resorte radial sF y la fuerza

de amortiguamiento tangencial dF .

qMFu2ω= (2.6)

bi rMF 2ω= (2.7)

brs rKF = (2.8)

brd rBF ω= (2.9)


________________________________________________________________57

Las dos fuerzas resultantes están separadas una de la otra y este torque

negativo es balanceado por el torque impulsor sobre el rotor.

Figura 2.3a.- Diagrama vectorial, fuerzas y desplazamientos: rotor Jeffcott sobre chumaceras

soporte rígidas (excentricidad de masa q ).


________________________________________________________________58

Figura 2.3b.- Diagrama vectorial, fuerzas y desplazamientos: rotor Jeffcott sobre chumaceras

soporte rígidas (flecha s del rotor).

El término de amortiguamiento ζτ2 en las ecuaciones (2.1) y (2.2) tiene

significado físico, ya que es igual a la razón de la fuerza de amortiguamiento

dF , entre la fuerza del resorte sF :


________________________________________________________________59

s

d

r

r

FF

KB

==2ω

ζτ (2.10a)

La reacción de las chumaceras sobre el rotor es la fuerza de restricción 0R ,

como se muestra en la Figura 2.3a:

( ) ( )220 += ds FFR (2.10b)

Un factor adimensional de reacción de las chumaceras se deriva desde la

ecuación (2.10a) después de sustituir sF y dF con las ecuaciones (2.8) y

(2.9):

( )21

0 21 ζτ+= br

wqK

R (2.10c)

Para el sistema no amortiguado ( 0=ζ ), el factor de reacción de las

chumaceras es igual al factor de amplificación del volteo 1bw . A velocidades

muy altas ( 1>>τ ), donde el centro de masa c coincide con el eje de rotación a-

a -a y el centro elástico b voltea con un radio q , la fuerza de reacción 0R se

hace igual a qK r . Ésta es la fuerza de resorte requerida para flexionar el eje

elástico una cantidad q .

El efecto del término de amortiguamiento en la ecuación (2.10b) es incrementar

el factor de reacción de las chumaceras, el porcentaje de cambio crece con el

incremento de velocidad. A muy alta velocidad ( 1>>τ ), el factor de reacción de

las chumaceras se aproxima a un valor infinito.

Es interesante examinar la naturaleza de la velocidad crítica más

detalladamente. Para el caso hipotético en el cual el rotor no tiene desbalance


________________________________________________________________60

( 0=q ) y no tiene amortiguamiento ( 0=ζ ), el balance entre la fuerza de inercia

y la fuerza de resorte es dada por

brb rKrM =2ω (2.11)

A la velocidad crítica, MK r /=ω , este balance de fuerzas es satisfecho para

todos los valores del radio de volteo br . En otras palabras, existe un estado de

equilibrio indefinido –el cual, por supuesto, es establecido en cualquier

situación real aún con cantidades ligeras de desbalance y amortiguamiento. La

velocidad crítica de un rotor puede estar definida por lo tanto como la velocidad

a la cual las fuerzas de inercia y las fuerzas de restitución elástica están en

perfecto balance para un sistema no amortiguado.

2.1.1.2.- Caso 2: Rotor con Flecha.- En este caso el centro de masa c se

asume coincidente con el centro elástico b ( 0=q ). El rotor estaría en perfecto

balance excepto por una flecha permanente en el eje elástico la cual sería

debida a daño físico o distorsión térmica durante la operación o a tolerancias

de manufactura. Luego, en paro, el centro elástico b estaría desplazado del eje

de rotación a- a -a por una distancia radial s , flecha en el rotor sin masa, como

se muestra en la Figura 2.1a. Con el incremento de velocidad desde el paro, el

punto b se mueve alejándose de su posición inicial /b bajo la influencia de la

fuerza centrífuga y voltea alrededor del eje de rotación con un radio de volteo

br . Una solución de estado estable de las ecuaciones diferenciales de

movimiento conducen a un factor de amplificación de volteo 2bw .

( ) ( )2222

21

1

ζττ +−==

sr

w bb (2.12a)


________________________________________________________________61

El ángulo de fase bλ está dado por la ecuación (2.2) como en el caso 1. El

factor de amplificación del volteo 2bw (el radio de volteo br normalizado por la

flecha s del rotor) es una función de la razón de velocidad τ y la razón de

amortiguamiento ζ (como en el caso 1) y está graficado en la Figura 2.2c. Una

comparación de la Figura 2.2c para el caso 2 con la Figura 2.2a para el caso 1

sugiere que:

Cuando la razón de velocidad τ se aproxima a cero, el factor de amplificación

del volteo bw tiende a cero para el caso 1 y a la unidad para el caso 2. Para

velocidades de rotación muy altas ( 1>>τ ) lo inverso es válido; es decir, el

factor de amplificación del volteo se aproxima a la unidad para el caso 1 y a

cero para el caso 2.

A la velocidad crítica no amortiguada ( 1=τ ), se obtienen valores idénticos del

factor de amplificación del volteo para los dos casos.

En la Figura 2.3b, un diagrama de fuerzas y desplazamientos se ha graficado

para un punto típico en la gráfica de la Figura 2.2c ( 1.1=τ y 15.0=ζ ). Alguna

percepción adicional en la naturaleza de la solución para el rotor flexado puede

lograrse desde el diagrama. Una solución trigonométrica para el

desplazamiento elástico d del centro elástico (desde /b en paro a b a una

razón de velocidad τ ) la cual hace uso de la ecuación (2.12a) para el radio de

volteo br y de la ecuación (2.2) para el ángulo de fase bλ conduce a

( )24 2+= ζττbrd (2.12b)

La fuerza resultante bR en el centro elástico b es el vector suma de la fuerza

de inercia iF dada por la ecuación (2.7) y la fuerza de amortiguamiento dF

dada por la ecuación (2.9):


________________________________________________________________62

( ) ( ) ( )2422 2+=+= ζττbrdib rKFFR (2.12c)

Una comparación de las ecuaciones (2.12b) y (2.12c) muestra que la fuerza

resultante bR es proporcional al desplazamiento elástico resultante d , con un

factor de proporcionalidad igual a la rigidez del rotor rK . El vector fuerza

resultante y el vector desplazamiento resultante son colineales, como se

muestra en la Figura 2.3b.

La fuerza de reacción de las chumaceras 0R ejercida sobre el rotor es igual y

opuesta a la fuerza resultante bR actuando en el centro elástico. El momento

debido a la separación de estas fuerzas es balanceado por el torque impulsor.

El factor adimensional de reacción de las chumaceras desde las ecuaciones

(2.12c), (2.12a), y (2.1) es entonces

2

1

22

20 2

12

1

+=

+=

τζ

τζ

τ bbr

wwsK

R (2.12d)

El factor de reacción de las chumaceras del caso 2 para el sistema no

amortiguado ( 0=ζ ) es igual al factor de amplificación del volteo 1bw , como

para el caso 1.

El efecto del término de amortiguamiento en la ecuación (2.12d) es incrementar

el factor de reacción de las chumaceras. Con amortiguamiento, los factores de

reacción de las chumaceras para los casos 1 y 2 son idénticos en sólo dos

razones de velocidad, 0=τ y 1=τ (la velocidad crítica no amortiguada). A

valores muy grandes de la razón de velocidad ( 1>>τ ), el centro elástico b

para el caso 2 se mueve hacia el eje de rotación a- a -a. Luego en este límite de

la razón de velocidad la fuerza de reacción 0R es simplemente igual a la fuerza

de resorte sK r que es requerida para enderezar completamente el rotor

flexado.


________________________________________________________________63

2.1.2.- El Rotor Jeffcott Sobre Chumaceras Soporte Flexibles.

En este modelo, tanto el rotor como las chumaceras se tratan como elementos

flexibles. El único amortiguamiento en el sistema es aquel asociado con las

chumaceras soporte. El amortiguamiento debido al fluido circundando al rotor

es considerado despreciable, como es generalmente el caso para cualquier

sistema práctico de alta velocidad.

Primero se derivará ciertos cálculos básicos desde un caso especial del

sistema mostrado en la Figura 2.1b, donde se asume infinitamente rígido al

rotor ( ∞=rK ). Este caso especial es matemáticamente idéntico al sistema de

la Figura 2.1a (el rotor flexible sobre chumaceras soporte rígidas). La velocidad

crítica no amortiguada µ es ahora dada por

MK s=µ (2.13)

donde sK es la rigidez de las chumaceras y M es la masa del rotor.

La nueva razón de velocidad σ es igual a la velocidad de rotación ω dividida

entre la velocidad crítica no amortiguada µ

µω

σ = (2.14)

y la nueva razón de amortiguamiento η es igual al amortiguamiento de las

chumaceras sB dividido entre el amortiguamiento crítico µM2

µη

MBs

2= (2.15)


________________________________________________________________64

Si σ es sustituido por τ y si η es sustituido por ζ , entonces las Figura 2.1a y

2.1b y las ecuaciones (2.1), (2.2), y (2.5), aplicadas a un rotor flexibles sobre

chumaceras soporte rígidas, pueden usarse para representar la respuesta al

desbalance del rotor rígido sobre chumaceras soporte flexibles.

Una solución de estado estable de las ecuaciones diferenciales de movimiento

para el sistema completo de la Figura 2.1b (rotor flexible y chumaceras

flexibles) conduce para la respuesta al desbalance a

( ) ( )223

21

2

+==

cccqr

w aa

σ (2.16)

−=

1

23arctanc

ccaλ (2.17)

( ) ( )23

2 ++1== kckwqr

w ab

b (2.18)

( ) ( )

++

−=

22

31

3

1arctan

kccck

cbλ (2.19)

donde ( ) 21 11 σkc +−= kc 2

2 1 σ−= ση23 =c

El factor de amplificación del volteo aw es igual al radio de volteo ar en la

localización de las chumaceras, normalizado por la excentricidad de masa q .

El ángulo de fase aλ es el ángulo relativo entre el vector desplazamiento ar y

el vector desbalance q . El factor de amplificación del volteo bw es igual al radio

de volteo br normalizado por la excentricidad de masa q . El ángulo de fase bλ

es el ángulo relativo entre el vector desplazamiento br y el vector desbalance


________________________________________________________________65

q . La razón de rigidez es igual a la rigidez de las chumaceras sK dividida entre

la rigidez del rotor rK :

r

s

KK

k = (2.20)

La razón k puede ser también considerada como razón de flexibilidad, definida

por la razón de la deflexión estática rδ en el rotor a la deflexión estática sδ en

las chumaceras, producida por el peso del rotor:

s

rkδδ

= (2.21a)

donde

rr K

W=δ (2.21b)

ss K

W=δ (2.21c)

=W Peso del rotor

No es posible representar la respuesta al desbalance dada por las ecuaciones

de la (2.16) a la (2.19) como un simple conjunto de gráficas, como en las

Figuras 2.2a y 2.2b. Por lo tanto, en la Figura 2.4 se presenta una gráfica

representativa de los factores de amplificación ( aw y bw ) y los ángulos de fase

( aλ y bλ ) como funciones de la razón de velocidad, para una simple

combinación de la razón de rigidez y de la razón de amortiguamiento ( 2=k y

1=η ). De particular interés en la Figura 2.4 son los valores pico de los factores

de amplificación del volteo para las chumaceras y para la masa en el rotor


________________________________________________________________66

( 26.1=bw y 01.5=aw ), los ángulos de fase correspondientes ( 0102−=bλ y

0143−=aλ y), y la razón de velocidad a la cual ocurren estos valores

( 65.0=pσ ). La velocidad a la cual se producen los picos de amplitud de volteo

es comúnmente referida como la velocidad crítica, amortiguada, o real.

Figura 2.4.- Respuesta al desbalance contra velocidad de rotación –rotor Jeffcott sobre

chumaceras soporte flexibles.


________________________________________________________________67

Figura 2.5.- Diagrama vectorial, desplazamientos y fuerzas –rotor Jeffcott sobre chumaceras

soporte flexibles.

El diseñador usa frecuentemente a la velocidad crítica ν como su punto de

referencia. En la Figura 2.4, una escala para la razón de velocidad τ es


________________________________________________________________68

incluida en adición a la escala para la razón de velocidad σ . La relación entre

estas dos razones de velocidad está dada por

kστ = (2.22)

En la Figura 2.5 es desplegado un diagrama vectorial para las fuerzas y

desplazamientos en el sistema de la Figura 2.4 a la velocidad crítica

amortiguada ( 65.0=pσ ). Como en el sistema simple de la Figura 2.3 (el rotor

sobre chumaceras rígidas) el movimiento de este rotor a cualquier velocidad

dada es un volteo estable alrededor de la línea central de rotación (a- a -a). Los

puntos a , b , y c voltean en orbitas circulares con una relación espacial fija

entre ellos. La fuerza de resorte de las chumaceras sF y la fuerza de

amortiguamiento de las chumaceras dF actúan sobre a mientras que la fuerza

de inercia iF y la fuerza de desbalance uF están aplicadas sobre c . La fuerza

resultante de chumaceras y la fuerza centrífuga resultante son de igual

magnitud, paralelas, y opuestas; el torque debido a la separación entre ellas

( qR0 ) y el torque debido a la fuerza de amortiguamiento de las chumaceras

( ad rF ) están balanceados por el torque impulsor sobre el rotor.

Las fuerzas centrífugas uF y iF están definidas por las ecuaciones (2.6) y

(2.7), mientras las fuerzas de las chumaceras son ahora dadas por

ass rKF = (2.23)

asd rBF ω= (2.24)

también σηω

2==s

s

s

d

KB

FF

(2.25)


________________________________________________________________69

De particular importancia para el diseñador es el pico de la respuesta al

desbalance del rotor sobre el rango de velocidad completo y el valor de la

velocidad a la cual ocurren. En la Figura 2.6 el valor pico del factor de

amplificación del volteo ( ) paw ha sido graficado como una función de la razón

de amortiguamiento η para una serie de valores constantes de la razón de

rigidez k .

Figura 2.6.- Pico de respuesta al desbalance contra razón de amortiguamiento –rotor Jeffcott

sobre chumaceras soporte flexibles.

Dos importantes conceptos son derivados desde esta gráfica: (1) Para

cualquier valor constante de la razón de amortiguamiento η , hay un dramático


________________________________________________________________70

aumento en el factor de amplificación del volteo ( ) paw con un incremento de la

razón de rigidez k . (2) Para cualquier valor asignado de la razón de rigidez, un

valor mínimo del factor de amplificación del volteo ocurre en algún nivel

intermedio de la razón de amortiguamiento. Cuando la razón de

amortiguamiento tiende a cero, el factor de amplificación del volteo para todos

los valores de la razón de rigidez se hace infinito debido a la ausencia de algún

sistema amortiguador. También cuando la razón de amortiguamiento tiende al

infinito, el factor de amplificación del volteo para todos los valores de la razón

de rigidez nuevamente se hace infinito debido a la rigidez de las chumaceras

soporte y la consiguiente pérdida de acción amortiguante. En la Figura 2.6 el

valor óptimo de la razón de amortiguamiento para mínima respuesta al

desbalance varía desde 0.707 para 0=k a 2.14 para 16=k .

En conjunción con la Figura 2.6 el valor de la razón de velocidad pσ a la cual el

valor pico del factor de amplificación del volteo ocurre ha sido graficado en la

Figura 2.7 contra la razón de amortiguamiento η para valores constantes de la

razón de rigidez k . Cuando la razón de amortiguamiento se aproxima a cero, la

razón de velocidad pσ tiene un límite de

kp +11

=σ (2.26)

el cual es la velocidad crítica no amortiguada. Cuando la razón de

amortiguamiento se aproxima al infinito, el valor límite para la razón de

velocidad pσ es

kp

1=σ (2.27)


________________________________________________________________71

Figura 2.7.- Razón de velocidad en picos de respuesta contra razón de amortiguamiento –rotor

Jeffcott sobre chumaceras soporte flexibles.

Si se desea hacer referencia a la velocidad crítica no amortiguada ν para

chumaceras rígidas, entonces, en virtud de la ecuación (2.22), el valor límite

para la razón de velocidad pτ cambia a

kk

p +1=τ cuando 0→η (2.28)

1=pτ cuando ∞→η (2.29)

Las curvas para el valor cero de la razón de rigidez k en las Figuras 2.6 y 2.7

son derivadas desde el caso especial de rotor rígido sobre chumaceras

soportes flexibles. Con un incremento de la razón de amortiguamiento, el valor

pico del factor de amplificación del volteo disminuye a la unidad en 707.0=η ,


________________________________________________________________72

mientras la razón de velocidad pσ se incrementa desde la unidad a un valor

infinito en 707.0=η y se mantiene en infinito para valores de η mayores de

0.707.

El valor cero para la razón de rigidez resulta de fijar ∞=rK (rotor rígido). Un

valor cero para sK , el cual también haría cero la razón de rigidez, no es

admisible para las formulaciones matemáticas simplificadas con las cuales

estamos tratando, puesto que µ se haría igual a cero y los parámetros de

diseño σ y η se harían infinitos.

2.2.- SISTEMA ESTATOR ASIMÉTRICO Y NO LINEAL2.

En el análisis de las vibraciones forzadas para el diseño de maquinaria rotatoria

normalmente se asume simetría axial y linealidad en

• Las rigideces del sistema rotor y estator; la fuerza de reacción es

simplemente proporcional a la deflexión e independiente de la

orientación angular.

• Los amortiguamientos de rotor y estator; la fuerza de reacción es

simplemente proporcional a la velocidad e independiente de la

orientación angular.

• Los momentos de inercia principales del rotor.

Ciertas desviaciones de estas premisas pueden jugar un papel significativo

causando vibración auto excitada (es decir, asimetría en la rigidez o momento

de inercia del rotor causando inestabilidad paramétrica) o modificando el

comportamiento de vibración autoexitada (es decir, incrementando rigidez y

amortiguamiento en grandes amplitudes, limitando la amplitud de volteo de 2 Fredric, F. Ehrich, Handbook of Rotodynamics, KRIEGER PUBLISHING COMPANY, MALABAR, FLORIDA 1997.


________________________________________________________________73

sistemas inestables; las rigideces anisotrópicas del estator afectando la

velocidad de establecimiento de ciertos tipos de volteo).

Asimetrías y no linealidades pueden también tener un profundo efecto sobre el

comportamiento de la vibración forzada de maquinaria rotatoria, causando

significativos ajustes en la amplitud y velocidad o frecuencia de picos de

amplitud a velocidad crítica. Ésto genera la aparición de picos de vibración a

velocidades seudo críticas, marcadamente diferentes de aquellas anticipadas

desde análisis lineal y de aquellas otras frecuencias sincronas (una por

revolución).

La Figura 2.8 muestra tres de las clases importantes de asimetría y no

linealidad en la rigidez del estator, comparándolas al caso axisimétrico lineal,

en términos de la relación fuerza – deflexión para los dos ejes de rigidez

principales del estator. Todas son comparadas a un sistema isotrópico

(axisimétrico) lineal donde ambos ejes tienen rigidez del estator lineal e igual.

1. Sistema lineal anisotrópico.- Ambos ejes del estator tienen rigidez lineal,

pero un eje es más rígido que el otro.

2. Sistema isotrópico (axisimétrico) no lineal.- Ambos ejes del estator

tienen la misma rigidez, pero es no lineal.

3. Sistema con asimetría plana.- Un eje del estator tiene una rigidez

asimétrica (fácil movimiento en un sentido y difícil movimiento en el otro

sentido). El otro eje tiene una rigidez lineal. 2.2.1.- Sistema Lineal Anisotrópico.

Un sistema tal se muestra en la Figura 2.8. Típicamente un estator montado

sobre un pedestal rígido tendrá una mayor rigidez en la dirección vertical que

en la dirección horizontal.


________________________________________________________________74

Figura 2.8.- Tres clases importantes de asimetría y no linealidad en la rigidez del estator.

Esta diferencia de rigidez implica cambios en la respuesta vibratoria forzada del

sistema desbalanceado, como se muestra en forma general en la Figura 2.9

para el rotor Jeffcott. Puede demostrarse matemáticamente que las respuestas

de estado estable horizontal y vertical a cualquier velocidad de rotación son

esencialmente independientes la una de la otra. Como con cualquier sistema

lineal, la frecuencia de ambas respuestas vibratorias estará en sincronía con la

velocidad de rotación (es decir, uno por revolución). Pero la velocidad crítica

correspondiente al pico de amplitud será mayor para el eje del estator con


________________________________________________________________75

mayor rigidez, mostrado en la Figura 2.9 como el eje vertical. Como

consecuencia de las diferentes amplitudes de vibración horizontal y vertical a

cualquier velocidad de rotación, la orbita de deflexión del rotor no será circular

–elongada en la dirección horizontal cuando pasa a través de la velocidad

crítica horizontal y elongada en la dirección vertical cuando pasa a través de la

velocidad crítica vertical.

Figura 2.9.- Respuesta de un sistema lineal y anisotrópico.


________________________________________________________________76

La desviación desde una orbita circular tiene una consecuencia de posible

significado. Cuando un rotor voltea en una orbita circular sincronizadamente

con la velocidad de rotación y en el mismo sentido que la rotación, se mueve

como un cuerpo con deflexión congelada en el marco de coordenadas del rotor.

Esto significa que los esfuerzos elásticos internos en el rotor son constantes, es

decir, las fibras del rotor no experimentan esfuerzos vibratorios y por lo tanto no

están sujetos a fatiga como consecuencia de la vibración forzada debida al

desbalance. Sin embargo, un rotor voltea con una orbita elíptica, sufrirá dos

deflexiones máximas y dos deflexiones mínimas en cada revolución, y por lo

tanto las fibras del rotor experimentarán esfuerzos de vibración a una

frecuencia doble de la velocidad de rotación. Debe tenerse mucho cuidado para

que estos esfuerzos vibratorios estén muy por abajo del límite de fatiga del

material del rotor.

Hay una segunda posible consecuencia de la anisotropía. Para el rotor Jeffcott,

el ángulo de fase de la respuesta con respecto al desbalance varía como una

función de la velocidad de rotación. A velocidades subcríticas bajas, las

deflexiones vibratorias están en fase una con otra. A la velocidad crítica, la

deflexión y el desbalance estarán defasadas 90 grados. A velocidades

supercríticas altas la deflexión y el desbalance estarán defasadas 180 grados.

Mientras las velocidades críticas vertical y horizontal sean idénticas, el cambio

de fase será idéntico a cualquier velocidad. Pero con anisotropía en el estator,

las velocidades críticas y, por lo tanto, el cambio de fase para los dos ejes

diferirán a cualquier velocidad de rotación, y de manera particular en el rango

de velocidades entre las dos velocidades críticas (ver Figura 2.10). Si la

diferencia entre los ángulos de fase de las vibraciones en los dos ejes a

cualquier velocidad de rotación es baja, el efecto es que los ejes mayor y

menor de la orbita se inclinen alejándose de los ejes elásticos principales del

estator. Si la diferencia entre los ángulos de fase es igual a 90 grados,

entonces la orbita es un movimiento elíptico degenerado. Si la diferencia entre

los ángulos de fase es mayor de 90 grados, el movimiento de volteo es en una


________________________________________________________________77

dirección opuesta al de rotación del rotor (es decir, el movimiento es backward),

como se indica en la orbita central mostrada en la Figura 2.9. Esto no tiene

mayores consecuencias prácticas, pero en el diseño es razonable asegurarse

que la vibración forzada debida al desbalance implique siempre movimiento de

volteo en una dirección igual al de rotación del rotor (es decir, movimiento

forward).

También se ha demostrado que la anisotropía en la rigidez del estator puede

aumentar sustancialmente la estabilidad del volteo de rotores.

Figura 2.10.- Ángulo de fase en la respuesta para ejes ortogonales de un sistema con

anisotropía.


________________________________________________________________78

2.3.- VIBRACIÓN ANGULAR3.

Se analizará la vibración angular de un rotor elástico con un disco en su centro.

2.3.1.- Ecuaciones de Movimiento.

Considere una vibración angular de un disco instalado en el centro de un rotor

flexible. Este sistema de dos grados de libertad es el sistema rotor más simple

que tiene un efecto giroscópico. Se establecerán las ecuaciones de movimiento

para la vibración angular suponiendo ángulo de inclinación pequeño del disco.

La Figura 2.11 muestra un sistema rotor y el sistema de coordenadas xyzO − .

El rotor tiene un desbalance dinámico τ . Suponiendo que el rotor sólo se

inclina sin deflexión lateral y que el centro geométrico M del disco siempre

está sobre la línea de centros de las chumaceras. El ángulo de inclinación del

rotor en la posición del disco es denotada por θ y la línea de centros OA del

disco se inclina desde la dirección tangencial OB un ángulo τ . Estos dos

ángulos θ y τ no son generalmente en el mismo sentido. El ángulo de

inclinación de la línea OA, la cual coincide con el eje principal del momento

polar de inercia del disco, pI , es denotado por 1θ . Las proyecciones del ángulo

θ sobre los planos xz y yz son denotadas por xθ y yθ , y las de 1θ son

denotadas por x1θ y y1θ , respectivamente. Si el ángulo θ es pequeño

( ) ϕθθ cos≅x (2.30a)

( ) ϕθθ seny ≅ (2.30b)

3 Toshio Yamamoto, y Yukio Ishida, Linear and Nonlinear Rotordynamics, Edit. Wiley, U.S.A. 2001.


________________________________________________________________79

donde ϕ es el ángulo entre la línea OB y el plano xz .

Figura 2.11.- Rotor con dos grados de libertad para oscilación de inclinación.

En el establecimiento de las ecuaciones de movimiento, el uso de los ángulos

Eulerianos es el más conveniente. Sin embargo, aquí usamos un procedimiento

más adecuado para describir el significado físico de cada cantidad.

Figura 2.12.- Vectores: (a) momentum angular (b) momento restaurador.


________________________________________________________________80

Introduciendo la representación vectorial, usando tornillo con cuerda a derecha,

la dirección y sentido de los vectores son como se indica en las Figuras 2.11 y

2.12.

Los vectores que representan el momentum angular correspondiente a la

Figura 2.11, son mostrados en la Figura 2.12a. Sean I e pI el momento de

inercia diametral y el momento polar diametral de inercia, respectivamente.

Cuando un rotor inclinado no está girando, xI 1

.θ es en el sentido positivo del

eje y e yI 1

.θ es en el sentido negativo del eje x . Si este disco está girando

alrededor del eje OA con la velocidad angular ω , ωpI es agregado en el

sentido OA. Para establecer las ecuaciones de movimiento, debemos obtener

primero los decrementos por unidad de tiempo de estos vectores. Suponga que

el vector ( )yx 111 ,θθθ→

cambia ( )yxd 111 ,θθθ→

en un tiempo pequeño dt .

Entonces aparecen las diferencias mostradas en la Figura 2.12a.

Concretamente, un incremento )( 1 yId.

θ aparece en el sentido negativo del eje

x debido al cambio en y1

.θ y )( 1 xId

.θ aparece en el sentido positivo del eje y

debido al cambio en x1

.θ . En adición, como el sentido del vector ωpI se mueve

cuando la magnitud de los ángulos x1θ y y1θ cambian, los incrementos

xp dI 1θω+ e yp dI 1θω+ aparecen en el sentido positivo de los ejes x y y ,

respectivamente. Por lo tanto, el incremento total por unidad de tiempo en el

sentido negativo del eje x es

dtd

Idt

Id xp

y 11 )( θω

θ−

.

y en el sentido positivo del eje y es


________________________________________________________________81

dt

dI

dtId y

px 11 )( θ

ωθ

+

.

Estos cambios son causados por el momento restaurador del rotor elástico. Las

componentes de este momento restaurador son xδθ en el sentido negativo del

eje y y yδθ en el sentido positivo del eje x , donde δ es la constante de

resorte del rotor para la inclinación. Aplicando la segunda ley de Newton

obtenemos

xypx II δθθωθ −=+ 11

... (2.31a)

yxpy II δθθωθ −=− 11

... (2.31b)

Sustituyendo las relaciones (ver Figura 2.11)

( ) txx ωτθθ cos1 += (2.32a)

( ) tsenyy ωτθθ +=1 (2.32b)

En las ecuaciones (2.31), obtenemos

( ) tIIII pxypx ωτωδθθωθ cos2−=++...

(2.33a)

( ) tsenIIII pyxpy ωτωδθθωθ 2- −=+...

(2.33b)

2.3.2.- Vibraciones Libres y Momentos Giroscópicos.

En ausencia del desbalance dinámico, las ecuaciones (2.33) cambian a


________________________________________________________________82

0=++ xypx II δθθωθ...

(2.34a)

0=+− yxpy II δθθωθ...

(2.34b)

Estas dos ecuaciones son acopladas debido a la existencia de los términos

giroscópicos.

Asumiendo que

( ) [ ]/βθ += ptAx cos (2.35a)

( ) [ ]/βθ += ptsenAy (2.35b)

Sustituyendo estas ecuaciones en las ecuaciones (2.34), se obtiene la

ecuación de frecuencia siguiente

02 =−− δωpIIp p (2.36)

Las raíces de esta ecuación, fp y bp , son dadas por

( )I

IIIp

pp

f 2

42 δωω ++= (2.37a)

( )I

IIIp

pp

b 2

4- 2 δωω += (2.37b)

Este resultado demuestra que las frecuencias naturales cambian como una

función de la velocidad de rotación ω . Si ω se asume positivo, fp es siempre

positivo y bp negativo. Esto significa que fp es la frecuencia natural de un


________________________________________________________________83

modo de volteo forward y bp es la frecuencia natural de un modo de volteo

backward. Adoptando la terminología usada en física para explicar el

movimiento de trompos, estos modos son algunas veces llamados precesión

forward (hacia delante) y precesión backward (hacia atrás), respectivamente.

Gráficas típicas de las frecuencias naturales fp y bp contra la velocidad de

rotación ω son mostradas en la Figura 2.13. La Figura 2.13a es un ejemplo de

un rotor con disco y la Figura 2.13b es un ejemplo de un rotor con cilindro.

Cuando la velocidad de rotación ω se incrementa, la frecuencia natural del

modo de volteo forward, fp , crece y se aproxima asintóticamente a la línea

recta ( )IIp p /ω= . Mientras que, el valor absoluto de la frecuencia natural del

modo de volteo backward, bp , decrece y tiende acero. Hay resonancias en el

punto de cruce de la línea ω=p y la curva fp .

Figura 2.13.- Diagramas de frecuencias naturales (vibración de inclinación): (a) caso II p > ;

(b) caso II p < .


________________________________________________________________84

La diferencia entre las ecuaciones para vibraciones laterales y las ecuaciones

(2.34) para vibraciones de inclinación es la existencia de ypI.

θω+ y xpI.

θω- ,

llamados términos giroscópicos y se deben al cambio direccional del vector

momentum angular ωpI . Los momentos expresados por estos términos pero

con el signo contrario son llamados momentos giroscópicos. En el caso de un

volteo circular con el ángulo de inclinación constante θ , la generación de los

momentos giroscópicos puede ser explicada físicamente como sigue: En la

Figura 2.14, →

L es un vector momentum angular en la dirección de la línea de

centros. La magnitud de este vector es ωpI . Suponga que el disco está

volteando en el sentido forward con la frecuencia natural p (.

ϕ= ). El vector →

L

se mueve desde OA a OB en un tiempo corto dt . El incremento de este

momentum angular, →→

= ABLd tiene la magnitud ( ) ϕωθϕ dIdMA p=____

, y su

dirección coincide con la línea tangente de la circunferencia en el punto A. Por

lo tanto, la variación por unidad de tiempo es ( ) ( ) pIdtdIdtdL pp ωθϕωθ == // . En

la posición mostrada en la Figura 2.14a, este vector tiene la componente

( ) xpp IsenpI.

θωϕωθ −= en el sentido negativo del eje x y la componente

( ) ypp IpI.

θωϕωθ −=cos en el sentido positivo del eje y . El momento

giroscópico gM→

es la inercia acoplada inducida por este cambio en el

momentum angular →

L . Este vector apunta en el sentido opuesto al vector →

AB y

tiene las componentes xpI.

θω− y ypI.

θω− en las direcciones x y y ,

respectivamente. La Figura 2.14b ilustra las direcciones de los momentos

giroscópicos para un volteo forward con frecuencia fp y un volteo backward

con frecuencia bp . En el caso de 0>= fpp , el momento giroscópico actúa

tendiendo a disminuir la inclinación del rotor, y por lo tanto la rigidez aparente

del rotor crece. Como este momento giroscópico es proporcional a ω , la

frecuencia natural fp crece con la velocidad de rotación. En el caso de


________________________________________________________________85

0<= bpp , el momento actúa en la dirección opuesta, y el valor absoluto de la

frecuencia natural bp decrece con la velocidad de rotación.

Figura 2.14.- Generación de momentos giroscópicos: (a) volteo forward de →

L ; (b) dirección del

momento giroscópico.

2.3.3.- Vibraciones Forzadas.

Las ecuaciones de movimiento de un sistema amortiguado son dadas como

sigue:

( )( ) tIIcII pxxypx ωτωδθθθωθ cos2−=+++....

(2.38a)

( )( ) tsenIIcII pyyxpy ωτωδθθθωθ 2−=++−....

(2.38b)


________________________________________________________________86

La fuerza de desbalance no actúa si pII = . Por ejemplo pII = en el caso de

un rotor con cilindro cuya longitud es ( )23/ veces su diámetro. Tal rotor con

cilindro es dinámicamente igual a una esfera.

La solución de las ecuaciones (2.38) puede asumirse en la forma

( ) ( )βωθ += tPx cos (2.39a)

( ) ( )βωθ += tsenPy (2.39b)

Sustituyendo (2.39) en (2.38) e igualando los coeficientes de las mismas

funciones trigonométricas en ambos lados, podemos obtener las ecuaciones

para la amplitud P y la fase β . En el caso de amortiguamiento cero ( 0=c ) son

dadas por

( )( ) 2

2

ωδ

τω

p

p

II

IIP

−−

−= (2.40a)

−=

πβ

0 para

c

c

ωωωω

><

(2.40b)

La velocidad crítica principal es la velocidad de rotación en la cual la amplitud

se hace infinita, y es dada por ( ) ( )pc II −= /δω la cual existe sólo para un

rotor con cilindro ( pII > ). En la Figura 2.13, esto corresponde al hecho de que

la línea recta ω=p intersecta con la curva fp sólo en el caso de que pII > .

La Figura 2.15 ilustra las configuraciones del rotor a varias velocidades de

rotación. Note ahora las posiciones relativas del desbalance dinámico τ y el


________________________________________________________________87

cambio en la inclinación θ de acuerdo a la velocidad de rotación. La fuerza F

es la fuerza centrífuga actuando en cada mitad del rotor, y estas fuerzas

constituyen un par que tiende a inclinar al rotor. El sentido de este par cambia

dependiendo de las magnitudes relativas de pI e I . Cuando la velocidad de

rotación se hace infinita, la línea de centros del rotor coincide con la línea de

centros de las chumaceras. Esto es llamado efecto de auto centrado.

Figura 2.15.- Posiciones relativas de los ángulos τ y θ .

2.4.- VIBRACIONES NO LINEALES4.

Cuando la deflexión se hace grande, pueden ocurrir fenómenos debidos a la no

linealidad. Algunos elementos mecánicos de un sistema rotor producen varios



________________________________________________________________88

tipos de no linealidad. Por ejemplo, claros en rodamientos, capa de lubricante

en chumaceras, y fuerza magnética entre rotor y estator, producen fuerzas de

restauración no lineales. Es sabido que la fricción entre elementos provoca

fuerzas de amortiguamiento no lineales. En sistemas no lineales, aparecen

fenómenos interesantes tales como saltos, resonancias subarmónicas,

resonancias combinadas, vibraciones caóticas, y ciclos límite.

2.4.1.- Causas y Expresiones de no Linealidad Elástica.

Cuando la fuerza de restauración es expresada como una función de la

deflexión, la no linealidad es frecuentemente clasificada en dos tipos. Es

llamada no linealidad débil cuando la desviación desde la relación lineal

llamada ley de Hooke es pequeña, y es llamada no linealidad fuerte cuando se

desvía apreciablemente de ella. En el primer caso, puesto que sus

características pueden ser aproximadas por series de potencias cuyos términos

tienen coeficientes pequeños, el tratamiento teórico es comparativamente fácil.

Sin embargo, el tratamiento teórico en el segundo caso es difícil en general.

Analizaremos el primer caso.

La Figura 2.16 muestra dos casos de características elásticas que son

obtenidas cuando el extremo inferior de un árbol elástico es soportado por dos

diferentes tipos de chumaceras. El extremo superior es soportado por un

rodamiento de bolas auto alineado de dos hileras en ambos casos. La Figura

2.16b es el caso donde el extremo inferior es soportado por un rodamiento de

bolas auto alineado de dos hileras. Como la superficie interior del anillo exterior

es esférica, el anillo interior puede girar libremente y la condición es de soporte

simple. En este caso, la elasticidad del árbol es lineal. La Figura 2.16c es el

caso donde el extremo inferior es soportado por un rodamiento de bolas de

ranura profunda de una hilera Yamamoto [2]. Debido a que las bolas ruedan en

las ranuras practicadas en ambos anillos interior y exterior, el anillo interior no

puede inclinarse en relación al exterior y por lo tanto la condición es de soporte


________________________________________________________________89

fijo. Sin embargo, debido a las pequeñas tolerancias en el anillo interior, bolas,

y anillo exterior, el anillo interior puede inclinarse un poco y la condición es

nuevamente de soporte simple. En la industria, los términos claro radial y axial

son comúnmente usados para expresar la exactitud de los rodamientos. Pero

como en el tratamiento de fuerzas de restitución es más conveniente expresar

el claro por el ángulo, se usará el término claro angular. Este último existe en

todas las direcciones y puede representarse por un cono como se muestra en

la Figura 2.16c. La condición es de soporte simple cuando la línea de centros

del árbol está localizada en este cono y cambia a soporte fijo cuando está fuera

del cono. Como un resultado, la fuerza de restitución es no lineal, como se

muestra en la Figura 2.16c. En la práctica, la transición de soporte simple a

soporte fijo ocurre gradualmente porque los claros alrededor de cada bola

desaparecen uno por uno cuando la inclinación del árbol crece. Por lo tanto, la

transición práctica es comparativamente suave y la elasticidad puede ser

aproximada por series de potencias de bajo orden. Esto es, la no linealidad es

débil.

Figura 2.16.- Claro en chumaceras y características elásticas: (a) sistema rotor; (b) rodamiento

de bolas auto alineado de dos hileras; (c) rodamiento de bolas de ranura profunda de una

hilera.


________________________________________________________________90

Ahora, consideremos un caso donde el extremo inferior es soportado por un

rodamiento de bolas de ranura profunda de una hilera. Si debido a

desalineamientos por ensamble el muñón se inclina un poco desde la línea de

centros de las chumaceras, la línea de centros del muñón cambia desde el

centro del cono, y las fuerzas de restauración difieren dependiendo de la

dirección. Por ejemplo, suponga que el anillo exterior se inclina en el plano yz

como se muestra en la Figura 2.16c, luego la elasticidad en la dirección x es

simétrica, pero en la dirección y es asimétrica. Sabemos desde tal ejemplo

que la elasticidad no lineal de un sistema rotor debe ser considerada en dos

dimensiones.

Para facilitar el tratamiento no lineal de la elasticidad, expresamos la elasticidad

en dos dimensiones por series de potencias de las deflexiones x y y del árbol

[2]. Aquí, los términos mayores que la tercera potencia son despreciados en las

fuerzas de restitución. Luego la energía potencial correspondiente es

representada por términos hasta de cuarto orden como expresa la ecuación

siguiente

3

032

122

213

302

02112

20 yxyyxxykxykxkV εεεε ++++++=

404

313

2222

331

440 yxyyxyxx βββββ +++++ (2.41)

donde ijk son constantes de resorte, y ijε y ijβ son los coeficientes de los

términos no lineales asimétricos y simétricos, respectivamente. Esta es la

expresión más general de las series hasta el cuarto orden.

Usaremos expresiones adimensionales para las ecuaciones de movimiento.

Suponga que todos los parámetros son adimensionalizados por un medio

apropiado. Adicionalmente, sea 011 =k por rotación del sistema de

coordenadas. Luego la ecuación (2.41) se transforma en


________________________________________________________________91

( ) 303

212

221

330

22

21

yxyyxxyxV εεεε +++++=

404

313

2222

331

440 yxyyxyxx βββββ +++++ (2.42)

La distribución de esta energía potencial ilustrada en la Figura 2.17 se desvía

irregularmente desde la parábola ( ) 222 /yxV += ( 0V≡ ). Las fuerzas de

restitución xF y yF se obtienen diferenciando parcialmente la ecuación (2.42)

con respecto a x y y como sigue:

( )xx NxxV

F +−=∂∂

−= (2.43a)

( )yx NyyV

F +−=∂∂

−= (2.43b)

donde los términos no lineales xN y yN están dados por

3

132

222

313

402

12212

30 23423 yxyyxxyxyxN x ββββεεε ++++++= (2.44a)

3

042

132

223

312

03122

21 43232 yxyyxxyxyxN y ββββεεε ++++++= (2.44b)

Figura 2.17.- Distribución de energía potencial.


________________________________________________________________92

Suponga que se logra el ensamble perfecto en la Figura 2.16b. Luego la línea

de centros del muñón se localiza en el centro del cono y la elasticidad no lineal

es la misma para todas las direcciones, esto es, isotrópica. Por lo tanto, cuando

el rotor voltea con un radio constante, la fuerza de restitución es constante y

aparentemente en este movimiento no aparece la no linealidad. En otras

palabras, el carácter de no linealidad aparece en el movimiento radial que no

sea circular. Desde tal consideración, encontramos que la expresión en

coordenadas polares es más propia que la expresión en coordenadas

rectangulares. Por lo tanto, usando la transformación

( ) ϕcosrx = (2.45a)

( ) ϕsenry = (2.45b)

expresamos la ecuación (2.42) en coordenadas polares ( ϕ,r ), con las

ecuaciones siguientes:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 333112 33coscos21

rsensenrV scsc ϕεϕεϕεϕε ++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 444220 44cos22cos rsensen scsc ϕβϕβϕβϕββ +++++ (2.46a)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 33

31

12 3coscos21

rrV ϕϕεϕϕε −+−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 44

42

20 4cos2cos rϕϕβϕϕββ −+−++ (2.46b)

Entre los coeficientes de la ecuación (2.42) y aquellos de la ecuación (2.46) son

válidas las relaciones siguientes:

( ) ( )12301 3

41

εεε +=c , ( ) ( )03211 3

41

εεε +=s , ( ) ( )12303

41

εεε −=c


________________________________________________________________93

( ) ( )03213

41

εεε −=s , ( ) ( )0422400 33

81

ββββ ++= , ( ) ( )04402

21

βββ −=c

( ) ( )13312

41

βββ +=s , ( ) ( )0422404

81

ββββ +−=c , ( ) ( )13314

81

βββ −=s (2.47)

( ) ( )[ ] ( )[ ]22 ns

nc

n εεε += , ( )

( )

= −

nc

ns

n ε

εϕ 1tan ( )3,1=n

( ) ( )[ ] ( )[ ]22 ns

nc

n βββ += , ( )

( )

= −

nc

ns

n β

βϕ 1tan ( )4,2=n

De la ecuación (2.46), encontramos que la energía potencial puede ser

descompuesta en componentes teniendo forma regular de distribución. Por

ejemplo, la Figura 2.18 muestra la distribución de energía potencial y la

variación de su magnitud en la posición .cter = en el caso de

( ) ( ) ( )[ ] 3112 cos2/1 rsenrV sc ϕϕε ++= , donde sólo existen los tres primeros

términos de la ecuación (2.46). En este caso, la magnitud de la energía

potencial cambia sólo mientras la dirección del ángulo ϕ cambia desde cero a

π2 . La Figura 2.19 muestra líneas equipotenciales, esto es, las secciones

transversales de la superficie curvada ( )ϕ,rV cortada por el plano horizontal

.cteV = . Cada Figura muestra el caso en el que sólo existe uno de ( )1ε , ( )3ε , ( )0β , ( )2β , y ( )4β . Vemos que las notaciones ( )nε y ( )nβ son los coeficientes

de términos no lineales que representan componentes cuya energía potencial

cambia n veces mientras la dirección del ángulo ϕ cambia desde cero a π2

con r constante. Esta componente no lineal es representada por la notación

( )nN .


________________________________________________________________94

Figura 2.18.- Energía potencial del sistema con sólo la componente ( )1ε .

Figura 2.19.- Curvas equipotenciales: (a) caso con sólo una componente no lineal asimétrica;

(b) caso con sólo una componente no lineal simétrica.

Asumamos que el sistema rotor está ensamblado sin desalineamiento. Luego

la elasticidad es isotrópica y la energía potencial V correspondiendo a la


________________________________________________________________95

ecuación (2.42) es representada por ( ) ( ) ( ) ...2/1 60402 +++= rrrV γβ , esto es,

una serie de potencias con sólo términos de la deflexión r elevados a

potencias pares. La magnitud de estos coeficientes generalmente tiene la

relación ( ) ( ) ...00 >>>> γβ . Cuando la posición de equilibrio cambia por a en la

dirección x debido a un desalineamiento, la elasticidad se hace asimétrica y la

energía potencial correspondiente es obtenida reemplazando x en 222 yxr +=

por ( )ax + . Puesto que términos a la potencia tercera o menor son inducidos

desde el término ( ) 40 rβ , términos a la potencia quinta o menor son inducidos

desde el término ( ) 60 rγ , y así, otras clases de componentes aparecen. Por

ejemplo, ( ) 40 rβ cambia a ( ) ( )[ ] =++2220 yaxβ (términos a la segunda

potencia o menor) ( ) ( )( ) ( ) ( )22202030 44 yxaxyax ++++ βββ . Por lo tanto, los

coeficientes en la ecuación (2.42) desde las ecuaciones (2.47) son dados por ( )a0

1230 4βεε == y 00321 == εε , y luego obtenemos ( ) ( )ac01 4βε = ,

( ) ( ) ( ) 0331 === scs εεε . Concretamente, la componente ( )1N aparece desde

( ) 40 rβ . En una forma similar, sabemos que las componentes ( )1N , ( )2N , y

( )3N aparecen desde ( ) 60 rγ .

En la práctica, es más deseable que aparezcan componentes derivadas desde ( )0β que aquellas derivadas desde ( )0γ , y es más deseable que aparezcan

componentes ( )0N y ( )1N con formas simples de distribución que las

componentes ( )3N y ( )4N con formas de distribución relativamente complejas.

Concretamente, resonancias no lineales debidas a ( )0N pueden aparecer con

apreciable intensidad cuando el ensamble es bueno, y aquellas debidas a ( )1N

pueden aparecer cuando hay desalineamiento.


________________________________________________________________96

2.4.2.- Ecuaciones de Movimiento Usando Coordenadas Físicas.

Las ecuaciones (2.38) representan el sistema rotor más simple con momento

giroscópico. En esta sección, investigaremos resonancias usando estas

ecuaciones de movimiento con la adición de términos no lineales.

Introduciendo un ángulo representativo 0τ que tiene una magnitud del mismo

orden que la amplitud de vibración, definimos las cantidades adimensionales

siguientes:

0

*

τθ

θ xx = ,

0

*

τ

θθ y

y = , 0

*

ττ

τ = , I

Ii p

p = , I

cc

−=

δ

*

(2.48)

Itt

−

=δ* ,

I−

=

δ

ωω * ,

−=

δ

τεε 0* ij

ij , −

=δ

τββ

20* ij

ij

Usando estos parámetros, las ecuaciones de movimiento son expresadas

como sigue:

( ) tFNci xxxypx ωθθθωθ θ cos=++++....

(2.49a)

( ) tsenFNci yyyxpy ωθθθωθ θ =+++−....

(2.49b)

donde ( ) 21 τωpiF −= y los términos no lineales xNθ y yNθ se obtienen

reemplazando x y y en xN y yN de las ecuaciones (2.44) por xθ y yθ . Los

parámetros adimensionales representados por asteriscos son eliminados en

estas ecuaciones.


________________________________________________________________97

La ecuación de frecuencias derivada desde las ecuaciones (2.49) es

( ) 01 2 =−+= ppipG p ω (2.50)

Las dos raíces fp ( 0> ) y bp ( 0< ) de esta ecuación tienen las relaciones

siguientes

ωpbf ipp =+ , 1−=bf pp (2.51)

2.4.3.- Solución por el Método de Balance Armónico.

Resolveremos las ecuaciones (2.49), escritas en coordenadas físicas, por el

método de balance armónico. En este método, asumiendo que existe una

solución periódica, representamos la solución en series de Fourier. Como

primera aproximación, almacenamos los términos que son considerados a

aparecer con magnitud apreciable y los sustituimos en las ecuaciones de

movimiento. Comparando los coeficientes de los términos con la frecuencia ω

sobre los lados derecho e izquierdo, obtenemos ecuaciones acopladas. En

sistemas rectilíneos ordinarios, estas ecuaciones dan las amplitudes y fases.

Sin embargo, en sistemas rotores, puesto que el número de tales ecuaciones

obtenidas desde las ecuaciones de movimiento en las direcciones xθ y yθ son

más que el número de incógnitas si aplicamos el método en una forma similar,

no se obtiene solución. Por ejemplo, asumamos la solución en la forma de las

ecuaciones (2.52) y consideremos que esta solución es exacta en ( )εO . Si la

sustituimos en las ecuaciones (2.49) y comparamos los coeficientes de

( )βω +tcos y ( )βω +tsen , obtenemos un total de cuatro ecuaciones. Puesto que

hay dos incógnitas P y β , no hay solución que satisfaga las cuatro ecuaciones

simultáneamente. Por lo tanto, tomando en cuenta las características de los

sistemas rotores, revisamos el método en la forma siguiente.


________________________________________________________________98

Primero, podemos asumir una solución de ( )0εO en la vecindad de la velocidad

crítica principal cω en la forma siguiente:

( ) ( )βωθ += tPx cos (2.52a)

( ) ( )βωθ += tsenPy (2.52b)

donde las magnitudes de P y β son de ( )0εO . Sustituyendo esto en las

ecuaciones de movimiento e igualando los coeficientes, obtenemos las mismas

expresiones desde las ecuaciones de movimiento en las direcciones xθ y yθ

para una exactitud de ( )0εO . Puesto que la magnitud de F es asumida de

( )εO , no puede permanecer en estas expresiones. En este caso, obtenemos

sólo una solución trivial 0=P , la cual no da resonancia. Luego debemos

asumir una solución para la exactitud de ( )εO en la cual se consideren

pequeñas desviaciones en la orbita.

Cuando la solución en la forma de las ecuaciones (2.52), representando un

movimiento circular con la velocidad angular ω es sustituida en las ecuaciones

(2.49), pequeñas componentes con varias frecuencias se derivan a través de

términos no lineales. Concretamente, la componente de ( )0εO con la

frecuencia ω+ produce componentes de ( )εO con valor constante y con ω± ,

ω2± , ω3± , …, donde + representa un volteo forward y – representa un volteo

backward. Para una exactitud de ( )εO , debemos incluir estas componentes de

orden alto en la solución asumida desde el principio. Cuando ponemos

atención sólo en la frecuencia ω , asumimos la solución incluyendo sólo los

términos con las frecuencias ω± como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2111 coscoscos δωδωεβωθ +−++++= tbtatPx (2.53a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2111 δωδωεβωθ +−++++= tsenbtsenatsenPy (2.53b)


________________________________________________________________99

Los términos segundo y tercero representan las componentes derivadas de

modos de volteo forward y backward. Para mostrar explícitamente que un

término tiene la magnitud de ( )εO , el parámetro pequeño ε es usado en las

expresiones. Puesto que las expresiones en las ecuaciones (2.53) son

inconvenientes debido a la existencia de muchos tipos de fase con la misma

frecuencia, usamos las expresiones equivalentes

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]βωβωεβωθ +++++= tsenbtatPx coscos (2.54a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]βωβωεβωθ +++++= tbtsenatsenPy cos// (2.54b)

Cuatro incógnitas 1aε , 1bε , 1δ , y 2δ en las ecuaciones (2.53) son

reemplazadas por cuatro incógnitas equivalentes aε , bε , /aε , y /bε en las

ecuaciones (2.54). Sustituimos las ecuaciones (2.54) en (2.49) e igualamos los

coeficientes de ( )βω +tcos y ( )βω +tsen en los lados derecho e izquierdo para

una exactitud de ( )εO . En esta derivación, las amplitudes P , a , b , /a , y /b y

el ángulo de fase β se asumen como funciones del tiempo variando

lentamente, y ésto se representa concretamente haciendo ( )0εOP = ,

( )εOP =.

, y ( )2εOP..

en el proceso analítico. Desde las ecuaciones (2.49),

obtenemos

( ) ( ) ( ) βεωεωωω θ senFNbibPcPi xspp =+−−+−− /2212.

(2.55a)

( ) ( ) ( ) ( ) βεωεωωβω θ cos12 /22 FNaiaPGPi xcpp =++−++−.

(2.55b)

( ) ( ) ( ) ( ) βεωεωωβω θ cos12 /22 FNaaiPGPi yspp =+−+++−.

(2.55c)

( ) ( ) ( ) βεωεωωω θ senFNbbiPcPi ycpp −=+−+−+− /22 12.

(2.55d)


________________________________________________________________100

donde xcN θ , xsN θ , ycN θ , y ysN θ son los coeficientes de

( ) ( ) ...cos ++++= βωβω θθθ tsenNtNN xsxcx y

( ) ( ) ...cos ++++= βωβω θθθ tsenNtNN ysycy

los cuales son obtenidos cuando los primeros términos de las ecuaciones

(2.54) son sustituidos en xN θ y yN θ en las ecuaciones (2.49). En tal análisis,

notamos que los coeficientes de términos no lineales son cantidades pequeñas

de ( )εO . Finalmente, obtenemos

32240 2

13 PN xc

+= ββθ , ( ) 313314

3PN xs ββθ += (2.56a)

( ) 313314

3PN yc ββθ += , 3

0422 321

PN ys

+= ββθ (2.56b)

La magnitud de ( )ωG dada por la ecuación (2.50) es ( )εO en la vecindad de la

velocidad crítica principal cω . A través de las ecuaciones (2.55) tenemos seis

incógnitas P , β , aε , bε , /aε , y /bε , las combinaciones (2.55b) + (2.55c),

(2.55a) – (2.55d) generan las ecuaciones (2.57), incluyendo sólo la amplitud P

y el ángulo de fase β si despreciamos los términos ( ) ( )/aaG +εω y

( ) ( )/bbG +εω de ( )2εO :

( ) ( ) ( ) ( ) βωβω θθ cos2222 FNNPGPi ysxcp =+++−.

(2.57a)

( ) ( ) ( ) βωω θθ senFNNPcPi ycxsp 2222 =−+−−.

(2.57b)


________________________________________________________________101

Sustituyendo las ecuaciones (2.56) en las ecuaciones (2.57) y transfiriendo los

coeficientes a aquellos en coordenadas polares usando las ecuaciones (2.47),

obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ββωβω cos42 30 FPPGPi p =++−.

(2.58a)

( ) ( ) βωω senFPcPi p =−−.

2 (2.58b)

En esta expresión, solamente se incluye ( )0β entre los coeficientes incluidos en

las ecuaciones (2.47). Esto significa que para una exactitud de ( )εO , sólo la

componente isotrópica ( )0N entre las componentes ( )0N ,..., ( )4N influye

esta resonancia armónica.

Haciendo 0=.P y 0=

.β en las ecuaciones (2.58) y rearreglandolas, obtenemos

las expresiones (2.59), las cuales dan las soluciones de estado estable 0PP = y

0ββ =

( ) ( ) ( ){ } ( )[ ]( ) 220

2220

04 FPcPG =++ ωβω (2.59a)

( ) ( )

+−= −

201

04

tanPG βω

ωβ (2.59b)

Gráficas fundamentales representando la inclinación de las curvas de

resonancia se obtienen haciendo 0=c y 0=F en las ecuaciones (2.59). Esta

expresión para una gráfica fundamental también da la relación entre la amplitud

y la frecuencia natural en un movimiento de volteo libre.


________________________________________________________________102

Desde un punto de vista práctico, en un problema importante además de la

existencia de la solución también importa su estabilidad, para investigarla

consideremos pequeñas variaciones ( )tξ y ( )tη de ( )εO como sigue:

ξ+= 0PP (2.60a)

ηββ += 0 (2.60b)

Si ( )tξ y ( )tη decrecen con el tiempo, la solución es estable; de lo contrario, la

solución es inestable. Sustituyendo las ecuaciones (2.60) en las ecuaciones

(2.58) y linealizando en las variaciones ( )tξ y ( )tη , despreciando los términos

pequeños de ( )3εO y menores, obtenemos

ηξη ** ba +=.

(2.61a)

ηξξ ** dc +=.

(2.61b)

donde

( ) ( )

( ) 0

20

0*

212

PiPG

ap ω

β−

+= ,

( )( ) pp i

cPi

senFb

−−

=−

=22 0

*

ωβ

(2.62)

pic

c−−

=2

* , ( )( )

( ) ( )[ ]( )ω

βωβ

pp iPPG

iF

d−

+−=

−

−=

24

2cos 0

20

00*

Asumiendo las soluciones de las ecuaciones (2.61) como ( ) stAet =ξ y

( ) stBet =η , obtenemos ecuaciones algebraicas en A y B. Las ecuaciones

tienen una solución no trivial si el determinante compuesto por los coeficientes

no es cero. Esta condición produce la ecuación característica siguiente:


________________________________________________________________103

( ) ( ) 0******2 =−−+− cbdascbs (2.63)

Desde el criterio de Routh-Hurwitz, conocemos que las partes reales de las

raíces s son positivas cuando se cumplen las condiciones

( ) 0** >+− cb (2.64a)

( ) 0**** >−− cbda (2.64b)

Como la condición (2.64a) es siempre válida, desde la condición (2.64b)

tenemos la condición de estabilidad siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 0412 2220

020

0 >+++ ωβωβω cPGPG (2.65)

Desde tal análisis, obtenemos las curvas de resonancia mostradas en la Figura

2.20. En esta figura, las curvas de resonancia se ilustran para varios valores de ( )0β en relación a componentes isotrópicos ( )0N . La curva de resonancia es

tipo resorte duro cuando ( ) 00 >β y es tipo resorte suave cuando ( ) 00 <β . En

estos casos, cuando el rotor es acelerado o desacelerado lentamente, la

amplitud salta desde la curva de resonancia de amplitud grande a aquella de

amplitud pequeña. En el caso de ( ) 00 =β , la forma de la curva de resonancia

es la misma como aquella de un sistema lineal aún si existen otras

componentes no lineales. Las curvas continuas e interrumpidas representan

solución estable y no estable, respectivamente. Los puntos con una tangente

vertical son la frontera de las condiciones estable e inestable. Esto puede ser

probado mostrando que la expresión obtenida diferenciando las ecuaciones

(2.59) con respecto a 0P y haciendo ( ) ( ) 00 =∂∂ P/ω coincide con la condición

de estabilidad de la ecuación (2.65) [3].


________________________________________________________________104

Figura 2.20.- Curvas de resonancia a la velocidad crítica principal: (a) ángulo de fase; (b)

amplitud.

2.5.- VIBRACIONES DE UN ROTOR FRACTURADO5.

Una fractura debida a fatiga es una de las principales causas de incidentes y

accidentes en rotores. En un rotor horizontal donde la fuerza de gravedad 5 Toshio Yamamoto, y Yukio Ishida, Linear and Nonlinear Rotordynamics, Edit. Wiley, U.S.A. 2001.


________________________________________________________________105

actúa, hay tensión en la parte inferior y compresión en la parte superior.

Cuando el rotor gira, fuerzas periódicas actúan y ocurre la fractura debida a

fatiga. Puesto que la detección temprana de esta fractura es importante para

prevenir desastres, se han estudiado las características vibratorias para

desarrollar sistemas de monitoreo en varios campos [4]. Aquí se enfoca el

fenómeno desde el punto de vista de vibración no lineal. Se ha tratado, un

sistema rotor vertical. Ahora analizaremos un sistema rotor horizontal, donde

aparecen más tipos de resonancias que en un sistema vertical [5].

2.5.1.- Características Elásticas.

Gasch [6], Henry y Okah–Avae [7] investigaron el fenómeno de la vibración de

un rotor fracturado usando el modelo Jeffcott mostrado en la Figura 2.21c. Las

fracturas en maquinaria real tienen formas variadas, pero sus características

físicas son representadas por un modelo tipo media luna mostrado en la Figura

2.21b. La rigidez a la flexión de un rotor fracturado difiere dependiendo de la

dirección y sentido de la deflexión. El nivel de rigidez es bajo cuando la fractura

abre y alto cuando cierra. Bajo estas circunstancias, si consideramos el sistema

de coordenadas // yxO − girando con el rotor fracturado, la elasticidad en la

dirección /y está representada en la Figura 2.21c. La elasticidad en la

dirección /x es lineal. Gasch, Henry y Okah-Avae establecieron ecuaciones de

movimiento y las resolvieron por computadora. Sin embargo, un sistema rotor

tiene resonancias forward y backward en sus modos de volteo que

generalmente muestran diferentes características aún si sus frecuencias son

las mismas. Usaremos un modelo de inclinación de dos grados de libertad con

un momento giroscópico.


________________________________________________________________106

Figura 2.21.- Rotor fracturado (deflexión oscilación).

Desde la Figura 2.21 conocemos que las características no lineales de un rotor

fracturado son representadas por

/

1/

xx kM θ=− (2.66a)

( )( )

∆+

∆−=− /

22

/22/

y

yy kk

kkM

θθ

00

/

/

<

>

y

y

θθ

(2.66b)

donde /xθ y /

yθ son las componentes del ángulo de inclinación definido en las

coordenadas rotando en la misma forma como en la Figura 2.11; /xM y /

yM son

las componentes del momento restaurador en los planos /zx y /zy .

Transformando esto en una expresión en coordenadas estáticas y conectando

con la ecuación de movimiento en la sección 2.3.1, podemos obtener las

ecuaciones de movimiento para un rotor fracturado. Además de las cantidades

adimensionales de las ecuaciones (2.48), adoptamos las siguientes


________________________________________________________________107

−

−

∆=∆

δ

δ*1 y

−

∆=∆

δ2

2*2

k (2.67)

las cuales están definidas por el promedio de las constantes de resorte

221 kk +

=−

δ y la diferencia entre ellas 2

21 kk −=∆

−

δ . Luego las ecuaciones de

movimiento son representadas como sigue:

( ) ( )( )tsentci yxxxypx ωθωθθθθωθ 22cos1 212 +∆±∆+∆+++ m....

( ) ( )αω += tM cos (2.68a)

( ) ( )( )ttsenci yxyyxpy ωθωθθθθωθ 2cos21 212 −∆±∆+∆++− m....

( ) ( ) 0MtsenM ++= αω (2.68b)

donde los parámetros adimensionales representados con asteriscos están

eliminados. 0M es un momento constante correspondiente a la gravedad. En

relación a los símbolos ± en las ecuaciones (2.68), tomar todos los signos

superiores dados por las expresiones para 0/ >yθ , y tomar todos los signos

inferiores dados por las expresiones para 0/ <yθ .

Estas ecuaciones de movimiento tienen, simultáneamente, las características

dinámicas siguientes:

• Rotor asimétrico con diferencia direccional en su rigidez.

• Rotación no lineal.

• Acción de un desbalance.

Dado que un rotor fracturado tiene simultáneamente estas tres características,

aparecen muchos fenómenos únicos.


________________________________________________________________108

2.5.2.- Varios Tipos de Resonancias Debidas a una Fractura.

Figura 2.22.- Varias resonancias debidas a una fractura ( 1.0=pi , 1.0=τ ): (a) desbalance

localizado en el lado de la fractura; (b) desbalance localizado en el lado opuesto de la fractura.

La Figura 2.22 muestra curvas de resonancia en las ecuaciones (2.68)

calculadas por el método de Runge-Kutta. Una es el caso donde un desbalance

está localizado en el lado de la fractura, y la otra es cuando este desbalance

está localizado en el lado opuesto de la fractura. Los círculos denotan valores

de amplitud obtenidos numéricamente, y las líneas son obtenidas

conectándolos suavemente. Un rotor simétrico sin fractura tiene resonancia


________________________________________________________________109

sólo en la velocidad crítica principal; sin embargo, este rotor fracturado tiene las

resonancias siguientes:

• Oscilación inestable en la velocidad crítica principal, dependiendo de la

ubicación del desbalance.

• Resonancia armónica de un modo de volteo backward [ ]ω− .

• Resonancias superarmónicas de un modo de volteo forward [ ]ω2+ y

[ ]ω3+ .

• Resonancia subarmónica de un modo de volteo forward ( )[ ]ω21/+ .

• Resonancia súper-subarmónica de un modo de volteo forward

( )[ ]ω23 /+ .

• Combinación de resonancias [ ]bf pp − .

A través de estos cambios de resonancias y dependiendo de la dirección y

magnitud del desbalance, es posible detectar la ocurrencia de una fractura si

ponemos atención a estas resonancias.

2.5.3.- Resonancia Armónica.

Un cambio notable aparece a la velocidad crítica principal, dependiendo de la

dirección del desbalance. Este tipo de resonancia es explicado aquí. La

expresión lineal de las ecuaciones (2.66) es inconveniente para tratamiento

teórico porque debemos usar expresiones diferentes para las fuerzas restantes

dependiendo de la deflexión. Por lo tanto, aproximamos tales características

elásticas por una serie de potencias como sigue:

///xxx kM θ=− (2.69a)

( ) ( ) ( ) ...4/4

3/3

2/2

/// ++++=− yyyyyy kM θεθβθεθ (2.69b)


________________________________________________________________110

Un resultado más exacto puede ser obtenido si términos de alto orden son

usados en la dirección /yθ , sin embargo, por simplicidad, la expresión está

limitada a términos de segundo orden. Después de transformar las ecuaciones

(2.69) por las expresiones obtenidas reemplazando /x , /y por /xθ , /

yθ en las

ecuaciones

tysentxx ωω += cos/ tytxseny ωω cos/ +−=

y sustituyéndolas en las ecuaciones (2.69), obtenemos las expresiones

siguientes:

( ) ( ) ( )αωωθωθθθωθ θ +=++∆+++ tMNtsentci xyxxypx cos22cos....

(2.70a)

( ) ( ) ( ) 02cos2 MtsenMNttsenci yyxyxpy ++=+−∆++− αωωθωθθθωθ θ

.... (2.70b)

con cantidades adimensionales, donde //

//

yx

yx

kk

kk

+

−=∆

representa la diferencia direccional en rigidez. Los términos no lineales xN θ y

yN θ están dados por

( )( ) ( ) ( )( )[ ]23131

231

2 234 yyxxx SSCCSSN θθθθ

εθ +−−++−= (2.71a)

( )( ) ( ) ( )( )[ ]23131

231

2 324 yyxyy SCSSCCN θθθθ

εθ +++−−= (2.71b)

donde las notaciones ( )tnCn ωcos= y ( )tnsenS n ω= son usadas por

simplicidad en la representación. En la Figura 2.23, una característica elástica


________________________________________________________________111

lineal es comparada con su aproximación por una serie de potencias hasta el

segundo orden. Estos valores son usados en los cálculos numéricos siguientes.

Figura 2.23.- Comparación de características elásticas.

Puesto que el rotor es horizontal, asumimos la solución armónica para una

exactitud de ( )εO como sigue.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]βωβωεβωθ ++++++= tsenbtaAtP xx coscos (2.72a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]βωβωεβωθ ++++++= tbtsenaAtsenP yy cos// (2.72b)

Estas expresiones son obtenidas agregando términos constantes a las

ecuaciones (2.54), las cuales son la solución de un sistema rotor con momento

giroscópico, con resonancia no lineal, y usando dos grados de libertad.


________________________________________________________________112

Sustituyendo las ecuaciones (2.72) en las ecuaciones (2.69) y usando el

método de balance armónico para una exactitud de ( )0εO , obtenemos 0/ =xA

y 0/ MAy = . Similarmente, para una exactitud de ( )εO , obtenemos las


( ) ( ) ( )[ ] ( )βεββ senMPPGPPA f2

02

2 2341

2cos ++∆+=.

( ) ( ) ( )βαβε −−− cos341 2

2 MsenP (2.73a)

( ) ( ) ( )[ ] ( )βεβω cos241

2 20

22 MPsenPPcPA f ++∆+−=

.

( ) ( ) ( )βαβε −++ senMP 3cos41 2

2 (2.73b)

donde ( ) 02 >−= ωpf iA y ( ) 221 ωωω −+= piG . Por el procedimiento de

balance armónico, podemos obtener las soluciones armónicas e investigar su

estabilidad.

Las curvas de resonancia son mostradas en las Figuras 2.24 y 2.25. La primera

de estas Figuras es un caso con un desbalance comparativamente grande y

corresponde a la Figura 2.22. En este caso, las formas de las curvas de

resonancia cambian significativamente, dependiendo de la dirección del

desbalance. Cuando está localizado en el mismo lado de la fractura, las curvas

de resonancia exhiben una región de gran amplitud y, como resultado, aparece

una zona inestable. Por el lado contrario, cuando el desbalance está de lado

opuesto al de la fractura, la región inestable desaparece y sólo aparecen

vibraciones de estado estable. La Figura 2.25 es un caso con desbalance

comparativamente pequeño. Una zona inestable aparece para cualquier

dirección del desbalance. Esto es debido al efecto de términos paramétricos en

las ecuaciones de movimiento porque predominan debido al desbalance

pequeño. Si el caso no desbalanceado ( 0=M ) es calculado, también son

obtenidas curvas de resonancia con una zona inestable [5].


________________________________________________________________113

En estas Figuras, los resultados de la simulación numérica usando un modelo

parcialmente lineal son ilustrados por círculos. De la comparación aseveramos

que la aproximación de segundo orden produce un resultado razonablemente

bueno.

Figura 2.24.- Resultado teórico para un modelo en series de potencias y resultado numérico

para un modelo parcialmente lineal (desbalance grande, 1.0=τ ).


________________________________________________________________114

Figura 2.25.- Resultado teórico para un modelo en series de potencias y resultado numérico

para un modelo parcialmente lineal (desbalance pequeño, 001.0=τ ).

2.6.- VIBRACIONES INDUCIDAS POR EL FLUJO6.

Las chumaceras con capa de fluido son ampliamente usadas en maquinaria

rotatoria porque tienen varias ventajas, tal como gran capacidad de carga, vida

infinita con buena lubricación, y gran amortiguamiento. Pueden ser

hidrodinámicas o hidrostáticas dependiendo de cómo sea creada la presión del

lubricante.

2.6.1.- Vibraciones Auto – Excitadas.

En la Figura 2.26a se muestra un rotor elástico soportado por chumaceras en

ambos extremos. La parte del rotor en la chumacera es llamada muñón. La

razón del claro radial (espesor de la capa de fluido) entre el diámetro del

muñón cuando la excentricidad es cero, generalmente es más pequeña que



________________________________________________________________115

0.001. En un rotor horizontal donde la gravedad influye, el muñón se mueve

hacia abajo y hace contacto en el punto A cuando el rotor no está girando.

Cuando el rotor gira, el lubricante fluye en la parte con forma de cuña y se crea

alta presión, la cual soporta al muñón y también lo desplaza un ángulo θ . La

capa de fluido trabaja de manera equivalente a un resorte y un amortiguador, y

el rotor vibra alrededor de esta posición de equilibrio.

Figura 2.26.- Rotor soportado por chumaceras: (a) sistema rotor – chumaceras; (b) amplitud y

frecuencia; (c) diagrama en cascada de un experimento (c de Muszynska, 1988).


________________________________________________________________116

Puesto que el efecto de amortiguamiento es muy grande, las resonancias en

respuesta al desbalance son minimizadas. Sin embargo, si el diseño es

inapropiado, pueden producir violentas vibraciones auto excitadas arriba de la

velocidad crítica principal. La Figura 2.26b muestra la amplitud y frecuencia de

vibración de un rotor como función de la velocidad de rotación ω , cuando ésta

se incrementa, una resonancia armónica debida al desbalance ocurre en la

vecindad de la velocidad crítica principal cω . Cuando la velocidad crece aún

más, una vibración auto excitada llamada volteo de lubricante (oil whirl) ocurre

por arriba de la velocidad de rotación aω . La frecuencia de esta vibración es

alrededor de un medio de ω . Cuando un oil whirl ocurre, el rotor voltea en

sentido hacia delante (forward) con pequeña amplitud sin deformación,

equivalente a un rotor rígido. Muszynska [8] reportó que la frecuencia real es

ligeramente más pequeña que la mitad de la velocidad de rotación aún cuando

este valor varia dependiendo del tipo de chumacera y excentricidad estática. El

umbral de velocidad aω algunas veces es menor que la velocidad crítica

principal (en relación a la Figura 2.26c, este diagrama tridimensional del

espectro de varias velocidades de rotación es llamado diagrama en cascada).

Cuando la velocidad de rotación crece aún más, una vibración violenta auto

excitada inicia en alrededor de dos veces la velocidad crítica principal y persiste

en un amplio rango de velocidad por arriba de la mencionada anteriormente.

Esta vibración es llamada movimiento circular de vaivén del lubricante (oil

whip). La frecuencia de un oil whip es aproximadamente igual a una frecuencia

natural del sistema. Al acelerar el rotor, algunas veces no aparece el oil whip

aún si la velocidad excede el doble de la velocidad crítica principal. Sin

embargo, una vez que el oil whip ocurre, no desaparece a menos que la

velocidad se reduzca a un valor menor al doble de la velocidad crítica principal.

Como resultado se tiene la curva de amplitud mostrada en la Figura 2.27

cuando se acelera y desacelera el rotor. Tal fenómeno de histéresis es llamado

efecto inercial.


________________________________________________________________117

Figura 2.27.- Efecto inercial.

El oil whip fue descubierto por Newkirk y Taylor [9]. Ellos dieron la explicación

siguiente. Asuma que el rotor está volteando con la velocidad angular ω y la

excentricidad e como muestra la Figura 2.28. Sea ν la velocidad del fluido en

la superficie del muñón y sea cero su velocidad en la superficie de la

chumacera estacionaria. Si se asume que la velocidad del fluido cambia

linealmente en la dirección radial considerando una capa de lubricante delgada,

la velocidad promedio sería 2/ν . Aquí consideramos el volumen del fluido

entrando y saliendo de la parte punteada ABDC durante la unidad de tiempo.

Sean 1, R , y c la longitud, radio interior, y claro radial de la chumacera,

respectivamente, y e la excentricidad del rotor. Luego los volúmenes del fluido

pasando a través de la sección AB (A y B se encuentran separados una

distancia c ) y CD (C y D se encuentran separados una distancia ec − ) por

unidad de tiempo son 2/cv y ( ) 2/vec − , respectivamente. Por lo tanto, el

exceso de lubricante es igual a 2/ev . Puesto que el lubricante es incompresible,

si no gotea, el muñón debe moverse para compensar la diferencia. Los

volúmenes de ABDC y EFBA son

22Re

c π- y

+22Re

c π ,


________________________________________________________________118

respectivamente, y su diferencia es 2/Reπ . Asumimos que el punto S rota el

ángulo θ por unidad de tiempo y la parte punteada toma en este incremento

2/ev . Luego, desde la relación

2

2

2Re

e

π

ν

πθ

= , tenemos 22ω

ν

θ == R .

esto muestra que la velocidad angular de precesión es 2/ω , esto es, la

velocidad angular de un oil whirl es la mitad de la velocidad de rotación.

Cuando la velocidad de rotación alcanza el doble de la velocidad crítica

principal durante la aceleración, la velocidad de precesión coincide con una

frecuencia natural forward, y un oil whip ocurre con gran amplitud por esta

estimulación. Sin embargo, notemos que ésta es una explicación cualitativa

muy elemental y no es una teoría completa. Por ejemplo, no se ha podido

explicar porque el oil whip persiste arriba de dos veces la velocidad crítica

principal ni porque ocurre el efecto inercial mostrado en la Figura 2.27.

2.6.2.- Ecuación de Reynolds.

Para obtener la fuerza actuando sobre el muñón debida a la capa de lubricante,

se debe conocer la distribución de presión en dicha capa. Para este propósito,

primero debe deducirse la ecuación de Reynolds. En la Figura 2.29 está una

vista agrandada de una parte de la capa de lubricante de la Figura 2.28. Se

asume que el lubricante es un fluido Newtoniano, incompresible y con flujo

laminar. El espesor de la capa de lubricante ( )txh , es tan delgado comparado

con el diámetro del muñón que la curvatura puede ser despreciada. El sistema

de coordenadas rectangular está ubicado como lo indica la Figura 2.29. La

superficie del muñón (radio igual a r ), girando a una velocidad ω , se mueve

con la velocidad circunferencial rU ω= .


________________________________________________________________119

Figura 2.28.- Deducción de la velocidad whirling.

Figura 2.29.- Balance de Fuerzas en fluido: (a) vista agrandada; (b) balance de fuerzas; (c)

velocidades de fluido.

Un pequeño paralelepípedo con dimensiones dx , dy , y dz es considerado en el

lugar geométrico ( )zyx ,, en la capa de lubricante como se muestra en la


________________________________________________________________120

Figura 2.29. Para deducir las ecuaciones de equilibrio de la presión p y del

esfuerzo cortante τ , se considera la segunda Ley de Newton despreciando la

inercia del fluido por ser suficientemente pequeña, en cuyo caso la relación

válida en la dirección x es la siguiente:

0=

∂∂

++−

∂

∂+− dxdzdy

ydxdzdydzdx

xp

ppdydzτ

ττ (2.74)

la que se reduce a yx

p∂∂

=∂

∂ τ (2.75)

Sean u , v , y w las velocidades del fluido en las direcciones x , y , y z , y µ la

viscosidad absoluta. Luego el esfuerzo cortante es dado por

yu

∂∂

= µτ (2.76)

Desde las ecuaciones 2.75 y 2.76, tenemos

2

2

yu

xp

∂

∂=

∂

∂µ (2.77)

Integrando (2.77) y asumiendo que la presión no cambia en la dirección y ,

obtenemos la expresión siguiente:

212

21

CyCyxp

u ++

∂∂

=µ

(2.78)

Al aplicar las condiciones de frontera 0=u en 0=y y Uu = en hy = se

obtiene


________________________________________________________________121

( ) yhU

yhyxp

u +−

∂

∂=

µ21

(2.79)

Similarmente obtenemos la velocidad w en la dirección z

( )yhyzp

w −

∂

∂=

µ21

(2.80)

A continuación, consideramos la continuidad del fluido concerniente al

elemento mostrado en la Figura 2.29c. Sean xq y zq las cantidades de fluido

por unidad de tiempo que pasan a través de las caras AEHD y DHGC en las

direcciones x y z , respectivamente. Desde las ecuaciones (2.79) y (2.80),

tenemos

+

∂∂

−== ∫ 212

3

0

Uhxph

dzudydzqh

x µ (2.81a)

∂

∂−== ∫ z

phdxwdydxq

h

z µ12

3

0 (2.81b)

Puesto que el lubricante es incompresible, el volumen de este elemento debe

crecer con h de tal manera que incluya el incremento del fluido en este

elemento durante el tiempo dt . Por lo tanto, debe valer lo siguiente:

dtth

dxdzdzdtz

qdxdt

xq zx

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂− (2.82)

Sustituyendo (2.82) en las ecuaciones (2.81), llegamos a la ecuación de

Reynolds siguiente:


________________________________________________________________122

th

xh

Uzph

zxph

x ∂∂

+∂∂

=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

12633

µµ (2.83)

2.6.3.- Fuerza de la Capa de Lubricante.

Figura 2.30.- Fuerza de la capa de lubricante y ubicación del muñón: (a) distribución de

presión; (b) distribución de presión y fuerza de la capa de lubricante; (c) orbita de una posición

de equilibrio.

La ecuación (2.83) permite obtener la distribución de presión. Si ésta es

conocida, podemos obtener la fuerza de reacción actuando sobre el muñón.

Sin embargo, puesto que es generalmente imposible resolver analíticamente

(2.83), debemos usar algún método aproximado o medios numéricos usando

computadora. Hori [10] simplificó el análisis asumiendo que la longitud de la

chumacera es infinita. El problema se reduce a dos dimensiones. Obtuvo la

expresión para la fuerza de la capa de lubricante y discutió la estabilidad del

sistema rotor completo. Funakawa y Tatara [11] mostraron que los resultados

teóricos deducidos asumiendo chumacera infinita poco pueden explicar los


________________________________________________________________123

resultados experimentales más precisos desde un punto de vista cuantitativo.

En chumaceras prácticas, la razón de su longitud entre el diámetro del muñón

(es decir, dl/ en la Figura 2.30) tiene un valor entre 1 y 2. Para tal valor

específico, la ecuación (2.83) debe ser resuelta numéricamente usando

computadora.

2.6.3.1.- Aproximación de Chumacera Corta.- En el análisis de chumacera

corta, consideramos que la variación de la presión en la dirección z es mucho

más grande que aquella en la dirección x

zp

xp

∂

∂<<

∂

∂

y se desprecia el primer término en el lado izquierdo de la ecuación (2.83).

Luego la ecuación de Reynolds se simplifica a

th

xh

Uz

ph∂∂

+∂∂

=∂

∂126

2

23

µ (2.84)

En las Figura 2.30a y 2.30b, adoptamos las condiciones de frontera siguientes:

0=∂

∂

zp

para 0=z y 0=p (presión atmosférica) para 2l

z ±= .

Poniendo Rx ϕ= y ωRU = e integrando la ecuación (2.84), obtenemos

−

∂∂

+∂∂

=4

23 3

23

lz

thh

hp

ϕω

µ (2.85)


________________________________________________________________124

Sean c , e , y cek /= el claro de la chumacera, la excentricidad, y la razón de

excentricidad, respectivamente. El espesor de la capa de lubricante es dado

por

( )ϕcos1 kch += (2.86)

Sustituyendo (2.86) en (2.85) se obtiene

( )

−

+−

+=

42cos2

cos1

3 22

32

lzsenkk

kcp ϕθωϕ

ϕ

µ .. (2.87)

donde reemplazamos .

ϕ por .

θ , porque conocemos la relación −ϕ ángulo

θ=BAOb desde la Figura 2.30b. Vemos que la presión en el punto A depende

también de las razones de cambio .k y

.θ cuando el rotor está volteando.

Conocemos desde esta expresión que cuando el muñón esta rotando en la

posición de equilibrio ( 0==..

ϕk ), la distribución de presión periférica en el plano

donde 0=z es simétrica alrededor de πϕ = , y es positiva en la zona desde

0=ϕ a πϕ = y negativa en la zona desde πϕ = a πϕ 2= en la Figura 2.30.

Esta distribución de presión es llamada condición de Sommerfeld y persiste

cuando la presión es muy pequeña. Sin embargo, en la práctica, la presión en

la zona desde πϕ = a πϕ 2= es casi cero (es decir, la presión atmosférica)

debido a la posibilidad de evaporación del lubricante y de aireamiento axial del

flujo. Tomando en consideración esta situación, la presión en la zona desde

πϕ = a πϕ 2= se establece como 0=p . Esta nueva distribución es llamada

condición de Gumbel. En la Figura 2.31 se muestran las dos distribuciones

anteriores, así como una tercera llamada condición de Reynolds, la cual

expresa la situación práctica con más precisión, sin embargo la condición de

Gumbel es usada ampliamente en análisis debido a su simplicidad.


________________________________________________________________125

Figura 2.31.- Condiciones de frontera: (a) condición de Sommerfeld; (b) condición de Gumbel;

(c) condición de Reynolds.

Si la condición de Gumbel es adoptada, las fuerzas de la capa de lubricante en

las direcciones mostradas en la Figura 2.30b son dadas por

∫ ∫+

−

−=2/

2/ 0

cosl

l

dzdpRNπ

ϕϕ (2.88a)

∫ ∫+

−

=2/

2/ 0

l

l

dzdpsenRTπ

ϕϕ (2.88b)

Sustituyendo la ecuación (2.87) en las ecuaciones (2.88), se obtienen [11]

( )( )

( )

−

++

−

+

=2/52

2

22

232

1

21

1

22

21

k

kk

k

k

Rl

cR

N

..

πθω

µ (2.89a)

( ) ( )

−+

−

+

=222/32

32

1

4

12

2

21

k

kk

k

k

Rl

cR

T.

.θωπ

µ (2.89b)


________________________________________________________________126

2.6.3.2.- Aproximación de Chumacera Larga.- Asumimos que la presión no

cambia en la dirección z (es decir, derivada de p respecto a z igual a cero) y

despreciamos el segundo término de lado izquierdo de la ecuación (2.83).

Cuando la condición de Gumbel es adoptada, se obtienen

( )( ) ( ) ( )

+−

−+

−+

−

=22/3222

22

28

21

212

226

kk

kkk

kRl

cR

Nπ

πθω

µ.

.

(2.90a)

( )( ) ( )( )

−++

−+

−

=2/1222/122

2

12

4

12

26

kk

kk

kk

kRl

cR

T.

.θωπ

µ (2.90b)

Cuando un rotor gira, las fuerzas de la capa de lubricante son generadas y el

muñón flota como muestra la Figura 2.30b. La posición de equilibrio ( )00 ,θkO j

del centro del muñón está determinada por el balance entre la carga de

gravedad 0F actuando hacia abajo y la fuerza de la capa de lubricante

( )00 ,TN , la cual se obtiene fijando ωθ =.

y 0=.k en las ecuaciones (2.89) y

(2.90). El resultado muestra que la posición de equilibrio está determinada por

la cantidad adimensional, llamada número de Sommerfeld:

mpn

cR

Sµ2

= (2.91)

donde n , en revoluciones por segundo, es la velocidad de rotación y

( ) ( )RlFp m 20 /= es la presión promedio en el muñón. Esto significa que aún si

la velocidad de rotación y la viscosidad del lubricante cambian, la posición de

equilibrio no cambia si el número de Sommerfeld es el mismo. La Figura 2.30c

muestra la ubicación de esta posición de equilibrio. La deflexión radial es


________________________________________________________________127

mostrada por la excentricidad adimensional k en esta figura. Cuando el rotor

no está girando (es decir, 0=S ), el muñón está en la parte más baja de la

chumacera. Cuando la velocidad de rotación crece (es decir, cuando S crece),

el centro del muñón flota y cambia su posición a lo largo de la circunferencia y

llega al centro de la chumacera cuando la velocidad de rotación se hace

extremadamente alta ( ∞=S ).

2.7.- MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO.

El método del elemento finito es un procedimiento numérico que puede ser

usado para obtener soluciones de un gran número de problemas de ingeniería

involucrando análisis de esfuerzos, transferencia de calor, electromagnetismo,

y flujo de fluidos. ANSYS es un paquete, de propósito general, para elemento

finito que será empleado para este efecto.

2.7.1.- Problemas en Ingeniería.

Los problemas en ingeniería implican resolver modelos matemáticos de

situaciones físicas, ecuaciones diferenciales con un conjunto correspondiente

de condiciones iniciales y de frontera. Dichas ecuaciones son obtenidas con las

leyes y principios de la naturaleza aplicados a un sistema o a un volumen de

control. Estas ecuaciones gobernantes representan balance de masa, fuerza, o

energía. Cuando son posibles, las soluciones exactas de estas ecuaciones

determinan con detalle el comportamiento de un sistema bajo un conjunto dado

de condiciones. Las soluciones analíticas se componen de dos partes: (1) una

parte homogénea y (2) una particular. En cualquier problema dado de

ingeniería, hay dos conjuntos de parámetros que influyen en la forma en la cual

se comporta un sistema. Primero, hay aquellos parámetros que proveen

información relacionada con el comportamiento natural del sistema. Éstos


________________________________________________________________128

incluyen propiedades tales como módulos de elasticidad, conductividad

térmica, y viscosidad.

Por otro lado, hay parámetros que producen disturbios en un sistema. Ejemplos

de éstos incluyen fuerzas externas, momentos, diferencias de temperatura a

través de un medio, y diferencias de presión en flujo de fluidos.

Los parámetros relacionados con el comportamiento natural del sistema

aparecen en la parte homogénea de la solución. En contraste, los parámetros

que causan disturbios aparecen en la solución particular. Es importante

entender la función de estos parámetros en el modelado de elementos finitos

en términos de su respectiva aparición en las matrices de rigidez o

conductancia y las matrices de carga o fuerza.

2.7.2.- Métodos Numéricos.

Hay muchos problemas prácticos en ingeniería para los cuales no se pueden

obtener soluciones exactas. Para tratar con tales casos, recurrimos a

aproximaciones numéricas. En contraste a soluciones analíticas, las cuales

muestran el comportamiento exacto en algún punto dentro del sistema, las

soluciones numéricas se aproximan a las exactas sólo en puntos discretos,

llamados nodos. El primer paso de cualquier procedimiento numérico es la

discretización. Este proceso divide al medio de interés en un número de

pequeñas subregiones y nodos. Hay dos clases comunes de métodos

numéricos: (1) método de diferencias finitas y (2) método del elemento finito.

Con el primer método, la ecuación diferencial se escribe para cada nodo, y las

derivadas son reemplazadas por diferencias. Esta aproximación conduce a un

conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. Aún cuando el método de

diferencias finitas es fácil de entender y aplicar en problemas simples, se hace

difícil su aplicación a problemas con geometrías o condiciones de frontera


________________________________________________________________129

complejas. Esta situación es también válida para problemas con propiedades

de material no isotrópicas.

En contraste, el método del elemento finito usa formulaciones integrales para

crear un sistema de ecuaciones algebraicas. Además, una función continua

aproximada es asumida para representar la solución en cada elemento. La

solución completa es luego generada conectando o ensamblando las

soluciones individuales, asegurando la continuidad en las fronteras entre

elementos.

Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el método de diferencias

finitas puede ser considerado como un caso particular del método del elemento

finito. También pueden ser considerados como tales los métodos siguientes:

Elemento frontera, Elemento banda, y Volumen finito.

2.7.3.- El método del Elemento Finito.

El método de elementos finitos es un procedimiento numérico que puede ser

aplicado para obtener soluciones a una variedad de problemas en ingeniería;

incluyendo sistemas estables, transitorios, lineales, o no lineales; al analizar

esfuerzos, transferencia de calor, flujo de fluidos, y electromagnetismo. El

origen del método moderno de elementos finitos se remonta a los inicios del

siglo veinte, cuando algunos investigadores aproximaron y modelaron un

continuo elástico usando barras elásticas equivalentes discretas. Sin embargo,

Courant [12] fue el primero en desarrollar el método. En un artículo publicado a

principios de los años cuarenta, Courant usó interpolación polinomial sobre

subregiones triangulares para investigar problemas de torsión.

Fue hasta 1960 cuando Clough [13] acuño el popular término “elemento finito”.

Durante los años sesenta, los investigadores comenzaron a aplicarlo a otras

áreas de la ingeniería, tales como transferencia de calor y problemas de


________________________________________________________________130

visualización de flujos. Zienkiewicz and Cheung [14] escribieron el primer libro

dedicado completamente al método. En los 70, aparecieron por primera vez los

paquetes comerciales. Éstos pueden analizar problemas estáticos, dinámicos,

de transferencia de calor, de flujo de fluidos, y electromagnéticos. Para

cualquier paquete de elemento finito es imperativo conocer los conceptos

básicos y limitaciones del método.

2.7.4.- Pasos Básicos en el Método de Elementos Finitos.

Los pasos básicos involucrados en cualquier análisis de elementos finitos son:

Fase de Preproceso

1. Crear y discretizar el dominio de la solución en elementos finitos; esto

es, subdividir el problema en nodos y elementos.

2. Asumir una función de forma para representar el comportamiento físico

de un elemento; es decir, una función continua aproximada es asumida

para representar la solución de un elemento.

3. Desarrollar ecuaciones para un elemento.

4. Ensamblar los elementos para presentar el problema completo.

Construir la matriz de rigidez global.

5. Aplicar condiciones de frontera, condiciones iniciales, y cargas.

Fase de Solución

6. Resolver simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas

lineales o no lineales para obtener resultados nodales, tales como

valores de desplazamiento o valores de temperatura en diferentes

nodos.


________________________________________________________________131

Fase de Posproceso

7. Obtener otra información importante a partir de los datos obtenidos en la

fase de solución.

En general, hay varias aproximaciones para formular problemas con elemento

finito: (1) Formulación Directa, (2) Formulación de Energía Potencial Total

Mínima, y (3) Formulación de Residuos Ponderados.

2.7.5.- Formulación Directa

El problema siguiente ilustra los pasos y el procedimiento involucrados en la

formulación directa.

y L

w1

P

2w

Figura 2.32.- Barra de sección variable sometida a carga axial.

Considere una barra de sección transversal variable soportando una carga P ,

como muestra la Figura 2.32. La barra está fija en un extremo y soporta la

carga P en el otro. Sean 1w y 2w el ancho en las partes superior e inferior,


________________________________________________________________132

respectivamente, t su espesor, y L su longitud. El módulo de elasticidad de la

barra será denotado por E . Estamos interesados en determinar que tanto se

deformará la barra en varios puntos a lo largo de su longitud cuando está sujeta

a la carga P . Despreciaremos el peso de la barra, asumiendo que la carga

aplicada es considerablemente más grande.

Fase de Preproceso

1. Discretización del dominio de la solución en elementos finitos.

L

P

1

2

3

4

5P

LA2

1A

3A

4A

l 1

2l

3l

4l

1u

L

P

1

elemento 1

u 2 elemento 22

u 3 elemento 33

u 4 elemento 44

u 55

Figura 2.33.- Subdividiendo la barra en elementos y nodos.


________________________________________________________________133

Iniciamos subdividiendo el dominio en 5 nodos y 4 elementos como muestra la

Figura 2.33. Nótese que se puede incrementar la exactitud de nuestros

resultados generando un modelo con nodos y elementos adicionales. La barra

dada es modelada usando cuatro segmentos individuales, teniendo cada uno

de ellos una sección transversal diferente. El área de la sección transversal de

cada elemento es representada por el área promedio de las secciones

transversales en los nodos que definen el elemento.

2. Asumir una solución que aproxime el comportamiento de un elemento.

Para estudiar el comportamiento de un elemento típico, considérese la

deformación de un miembro sólido con una sección transversal uniforme A que

tiene una longitud l cuando se sujeta a una fuerza F , como muestra la Figura

2.34.

F

ll

F

x

Figura 2.34.- Un elemento sólido de sección transversal uniforme sujeto a una fuerza F .

El esfuerzo promedio en el elemento es dado por

AF

=σ (2.92)

La deformación normalizada promedio ε del elemento es definida como el

cambio en longitud l∆ entre la longitud original l del elemento:


________________________________________________________________134

ll∆

=ε (2.93)

nodo 1:

P

R1

nodo 2:

nodo 3:

nodo 4:

nodo 5:

k (u - u )1 2 1

121k (u - u )

232k (u - u )

232k (u - u )

343k (u - u )

343k (u - u )

454k (u - u )

454k (u - u )

Figura 2.35.- Diagramas de cuerpo libre de los nodos.

En la región elástica, los esfuerzos y las deformaciones se relacionan por la

Ley de Hooke

εσ E= (2.94)

donde E es el módulo de elasticidad del material. Combinando las ecuaciones

(2.92), (2.93), y (2.94) y simplificando, se obtiene


________________________________________________________________135

ll

AEF ∆

= (2.95)

Nótese que la ecuación (2.95) es similar a la ecuación para un resorte lineal,

kxF = .

Luego, un elemento de sección transversal uniforme cargado centralmente

puede ser modelado como un resorte con una rigidez equivalente

∆

=lE

k eq (2.96)

Retornando nuestra atención al problema de ejemplo, notamos nuevamente

que la sección transversal de la barra varia en la dirección y . Como una

primera aproximación, modelamos la barra como una serie de elementos

cargados centralmente con secciones transversales diferentes, como muestra

la Figura 2.33. Luego, la barra es representada por un modelo compuesto por

cuatro resortes elásticos (elementos) en serie, y el comportamiento elástico de

un elemento es modelado por un resorte lineal equivalente de acuerdo a la

ecuación

( ) ( ) ( ) ( )iiii

iip

iieq uul

EAAuu

l

EAuukf −

+=−=−= +

+++ 1

111 2

(2.97)

donde la rigidez equivalente del elemento es dada por

( )l

EAAk ii

eq 21 +

= + (2.98)

iA y 1+iA son las áreas de las secciones transversales de los elementos en los

nodos i e 1+i , respectivamente, y l es la longitud de los elementos.

Empleando el modelo anterior, consideremos las fuerzas actuando sobre cada


________________________________________________________________136

nodo. Los diagramas de cuerpo libre de los nodos, se muestran en la Figura

2.35.

El equilibrio estático requiere que la suma de las fuerzas actuando en cada

nodo sea cero. Esto nos lleva a las cinco ecuaciones siguientes:

nodo 1: ( ) 01211 =−− uukR

nodo 2: ( ) ( ) 0232121 =−−− uukuuk

nodo 3: ( ) ( ) 0343232 =−−− uukuuk (2.99)

nodo 4: ( ) ( ) 0454343 =−−− uukuuk

nodo 5: ( ) 0454 =−− puuk

Rearreglando las ecuaciones de equilibrio dadas por (2.99) separando la fuerza

de reacción 1R y la fuerza externa aplicada P de las fuerzas internas,

tendremos la ecuación (2.100) siguiente:

Pukukukukukuk

ukukukukukukukuk

Rukuk

=−=−−=−−=−−

−=−

5444

54444333

43333222

32222111

12111

000

Presentando las ecuaciones (2.100) en forma matricial, se obtiene


________________________________________________________________137

−

=

−−+−

−+−−+−

−

P

R

uuuuu

kkkkkk

kkkkkkkk

kk

000

00000

0000000 1

5

4

3

2

1

44

4433

3322

2211

11

(2.101)

En la matriz de carga también es importante distinguir entre las fuerzas de

reacción y las fuerzas aplicadas. Por lo tanto, la relación matricial (2.101)

puede ser escrita como:

−

−−+−

−+−−+−

−

=

−

Puuuuu

kkkkkk

kkkkkkkk

kkR

0000

00000

0000000

0000

5

4

3

2

1

44

4433

3322

2211

111

(2.102)

Se puede demostrar que bajo cargas nodales adicionales y otras condiciones

de frontera, la relación dada por la ecuación (2.102) puede expresarse en la

forma general

{ } [ ]{ } { }FuKR −= (2.103)

La cual establece

{ } [ ]{ } { }carga de matrizentosdesplazami de matrizrigidez de matrizreacción de matriz −=

Retornando nuevamente nuestra atención al problema, encontramos que

debido a que la barra está fija en la parte superior, el desplazamiento del nodo

es cero. Luego, en el primer renglón del sistema de ecuaciones dado por

(2.101) se debe hacer 01 =u . Luego, la aplicación de la condición de frontera

conduce a la ecuación matricial siguiente:


________________________________________________________________138

=

−−+−

−+−−+−

Puuuuu

kkkkkk

kkkkkkkk

0000

00000

000000001

5

4

3

2

1

44

4433

3322

2211

(2.104)

La solución de la ecuación anterior conduce a los valores de desplazamiento

nodal.

3. Desarrollo de ecuaciones para un elemento

Debido a que cada uno de los elementos tiene dos nodos, y con cada nodo

tenemos asociado un desplazamiento, necesitamos crear dos ecuaciones para

cada elemento. Estas ecuaciones deben involucrar a los desplazamientos

nodales y a la rigidez del elemento. Considérese las fuerzas transmitidas

internamente if y 1+if y los desplazamientos extremos iu y 1+iu de un

elemento, las cuales se muestran en la Figura 2.36.

u i+1

1unodo i

nodo i+1y

oynodo i+1

nodo i

u i+1

1u

(a) (b)

f = k (u - u )i eq i+1 i

i+1ieqif = k (u - u )

f = k (u - u )i+1 eq ii+1ii+1eqi+1f = k (u - u )

Figura 2.36.- Fuerzas transmitidas internamente a través de un elemento arbitrario.


________________________________________________________________139

Las condiciones de equilibrio estático requieren que la suma de if y 1+if sea

cero. Nótese que la suma antes mencionada es cero sin importar cual de los

diagramas de la Figura 2.36 es seleccionado. Sin embargo, para ser

consistentes, usaremos el mostrado en la Figura 2.36(b), de tal manera que if

y 1+if están dirigidas en el sentido positivo del eje y . Luego, escribimos las

fuerzas transmitidas en los nodos i e 1+i como sigue:

( )1+−= iieqi uukf

(2.105)

( )iieqi uukf −= ++ 11

La ecuación (2.105) puede ser expresada en forma matricial por

−

−=

++ 11 i

i

eqeq

eqeq

i

i

uu

kkkk

ff

(2.106)

4. Ensamble de los elementos para presentar el problema completo.

Aplicando la descripción elemental dada por (2.106) a todos los elementos y

ensamblándolos llegamos a la matriz de rigidez global. La matriz de rigidez

para el elemento (1) es dada por

[ ]( )

−

−=

11

111

kkkk

K

y su posición en la matriz de rigidez global está dada por


________________________________________________________________140

[ ]( )

−

−

=

5

4

3

2

1

11

11

1

000000000000000000000

uuuuu

kkkk

GK

La matriz de desplazamientos nodales se muestra a un lado de la posición del

elemento (1) en la matriz de rigidez global para ayudar a observar la

contribución de un nodo a sus elementos vecinos. Similarmente, para los

elementos (2), (3) y (4), obtenemos las matrices de rigidez elemental y su

posición en la matriz de rigidez global indicadas a continuación

[ ]( )

−

−=

22

222

kkkk

K [ ]( )

−−

=

5

4

3

2

1

22

222

000000000000000000000

uuuuu

kkkk

GK

[ ]( )

−

−=

33

333

kkkk

K [ ]( )

−−=

5

4

3

2

1

33

333

000000000000000000000

uuuuu

kkkkGK

[ ]( )

−

−=

44

444

kkkk

K [ ]( )

−−

=

5

4

3

2

1

44

44

4

000000

000000000000000

uuuuu

kkkk

GK

La matriz de rigidez global final es obtenida ensamblando, o sumando, las

matrices de rigidez elementales.


________________________________________________________________141

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )GGGGG 4321 KKKKK +++=

[ ]( )

−−+−

−+−−+−

−

=

44

4433

3322

2211

11

00000

0000000

kkkkkk

kkkkkkkk

kk

GK (2.107)

Note que la matriz de rigidez global obtenida usando descripción elemental,

dada por (2.107), es idéntica a la matriz de rigidez global obtenida desde el

análisis de los diagramas de cuerpo libre de los nodos.

5. Aplicando condiciones de frontera y cargas.

La barra está fija en la parte superior, lo cual conduce a la condición de frontera

01 =u . La carga externa P es aplicada en el nodo 5. Aplicando estas

condiciones llegamos al conjunto de ecuaciones lineales siguiente:

=

−−+−

−+−−+−

Puuuu

kkkkkk

kkkkkkkk

00000

00000

000000001

5

4

3

2

44

4433

3322

2211

(2.108)

Nuevamente, debido a la condición de frontera, 01 =u , el primer renglón debe

contener un 1 seguido por cuatro ceros. También nótese que en problemas de

mecánica de sólidos, la formulación elemental finita conducirá siempre a la

formulación general siguiente:

[ ]{ } { }carga de matrizentosdesplazamidematrizrigidez de matriz =


________________________________________________________________142

Fase de Solución

6. Resolver simultáneamente un sistema de ecuaciones algebraicas.

Para obtener desplazamientos nodales numéricos, asumamos que E = 10.4 x

106 lb/in2 (aluminio), 1w = 2 in, 2w = 1 in, t = 0.125 in, L = 10 in, y P = 1000

lb. Mientras se sigue el proceso, es conveniente consultar la Tabla 2.1.

Tabla 2.1.- Propiedades de los elementos en el problema.

Elemento Nodos Área promedio de

la sección

transversal (in2)

Longitud

(in)

Módulo de

elasticidad

(lb/in2)

Coeficiente

de rigidez del

elemento

(lb/in)

1 1 2 0.234375 2.5 10.4 x 106 975 x 103

2 2 3 0.203125 2.5 10.4 x 106 845 x 103

3 3 4 0.171875 2.5 10.4 x 106 715 x 103

4 4 5 0.140625 2.5 10.4 x 106 585 x 103

La variación del área de la sección transversal de la barra en la dirección y

puede expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( ) yytyL

wwwyA 0125.025.0125.0

1021

2121 −=

−+=

−+= (2.109)

Usando la ecuación (2.109), podemos calcular el área (en in2) de la sección

transversal en cada nodo:

A1 = 0.25 A2 = 0.25 – 0.0125(2.5) = 0.21875

A3 = 0.25 – 0.0125(5.0) = 0.1875 A4 = 0.25 – 0.0125(7.5) = 0.15625


________________________________________________________________143

A5 = 0.125

A continuación los coeficientes de rigidez equivalentes (en lb/in2) para cada

elemento se calculan desde las ecuaciones

( )l

EAAk ii

eq 21 +

= +

( )( )( )

( )9755.22

104.1025.021875.0 6

1 =+

=k x 310

( )( )( )

( )8455.22

104.1021875.01875.0 6

2 =+

=k x 310

( )( )( )

( )7155.22

104.101875.015625.0 6

3 =+

=k x 310

( )( )( )

( )5855.22

104.1015625.0125.0 6

4 =+

=k x 310

y las matrices elementales son

[ ]( )

−

−=

−

−−=

975975975975

10 3

11

111

kkkk

K

[ ]( )

−

−=

−

−=

845845845845

10 3

22

222

kkkk

K

[ ]( )

−

−=

−

−=

715715715715

10 3

33

333

kkkk

K


________________________________________________________________144

[ ]( )

−

−=

−

−=

585585585585

10 3

44

444

kkkk

K

Ensamblando las matrices elementales se obtiene la matriz de rigidez global:

[ ]( )

−−+−

−+−−+−

−

=

585585000585585715715000715715845845000845845975975000975975

10 3GK

Aplicando la condición de frontera 01 =u y la carga 1000=P lb, obtenemos

=

−−−

−−−−

35

4

3

23

1000000

58558500058513007150007151560845000845182097500001

10

uuuu

Debido a la condición de frontera 01 =u , sólo necesitamos resolver la matriz de

4x4 siguiente:

=

−−−

−−−

35

4

3

2

3

10000

585585005851300715007151560845008451820

10

uuuu

La solución de desplazamientos, en pulgadas, es:

1u = 0, 2u = 0.001026 3u = 0.002210 4u = 0.003608, y 5u = 0.005317


________________________________________________________________145

Fase de Posproceso

7. Discretización Obtención de otra información.

Para este problema podemos interesarnos en obtener otra información, tal

como el esfuerzo normal promedio en cada elemento. Estos valores pueden

determinarse desde la ecuación

( ) ( )

−=

−=

−== +

++

luu

EA

uul

EA

A

uuk

Af ii

promedio

iipromedio

promedio

iieq

promedio

11

1σ (2.110)

Puesto que los desplazamientos de los nodos son conocidos, la ecuación

(2.110) pudo haberse obtenido directamente desde la relación entre los

esfuerzos y las deformaciones,

−== +

luu

EE ii 1εσ (2.111)

Empleando la ecuación (2.111) podemos calcular el esfuerzo normal promedio

(en lb/in2) para cada elemento como

( ) ( ) ( )4268

5.20001026.0104.10 6

121 =−

=

−=

luu

Eσ

( ) ( ) ( )4925

5.2001026.0002210.0104.10 6

232 =−

=

−=

luu

Eσ

( ) ( ) ( )5816

5.2002210.0003608.0104.10 6

343 =−

=

−=

luu

Eσ


________________________________________________________________146

( ) ( ) ( )7109

5.2003608.0005317.0104.10 6

454 =−

=

−=

luu

Eσ

f=P

P

f=P

PP

Ly

Figura 2.37.- Fuerzas internas.

En la Figura 2.37, notamos que para este problema, sin importar a través de

que sección cortamos la barra, la fuerza interna en la sección es igual a 1000

lb. Obteniendo los esfuerzos normales promedio (en lb/in2) por otro camino,

( ) 4267234375.010001 ===

promedioAf

σ

( ) 4923203125.010002 ===

promedioAf

σ

( ) 5818171875.010003 ===

promedioAf

σ

( ) 7111140625.010004 ===

promedioAf

σ


________________________________________________________________147

Ignorando los errores obtenidos por redondeo de nuestras respuestas,

encontramos que estos resultados son idénticos a los esfuerzos normales

promedio para cada elemento calculado desde la información de los

desplazamientos. Esta comparación nos permite aseverar que el cálculo de

nuestros desplazamientos para este problema es bueno.

La fuerza de reacción puede ser calculada por diferentes caminos. Primero, en

referencia a la Figura 2.35, notamos que el equilibrio estático en el nodo 1

requiere

( ) ( ) ( ) 10000001026.010975 31211 =−=−= uukR lb

Como se recordará, podemos también calcular las fuerzas de reacción desde la

ecuación de reacción general

{ } [ ]{ } { }FuKR −= 0

{ } [ ]{ } { }carga de matrizentosdesplazami de matrizrigidez de matrizreacción de matriz −=

Debido a la simplicidad del problema, realmente no es necesario hacer

operaciones con matrices para calcular las fuerzas de reacción. Sin embargo,

como una demostración, el proceso se muestra a continuación. Desde la

ecuación general, obtenemos

−

−−−

−−−−

−

=

3

3

5

4

3

2

1

100000

005317.0003608.0002210.0001026.0

0

585585000585130071500071515608450008451820975000975975

10

RRRRR

donde 1R , 2R , 3R , 4R , y 5R representan las fuerzas de reacción de los nodos

correspondientes. Desde la operación matricial, obtenemos


________________________________________________________________148

−

=

0000

1000

5

4

3

2

1

RRRRR

El valor negativo de 1R significa simplemente que el sentido de la fuerza de

reacción es hacia arriba (porque asumimos que el sentido positivo del eje y es

hacia abajo). Por supuesto, como es de esperarse, el enfoque es el mismo que

en nuestros cálculos iniciales, porque los renglones de la matriz anterior

representan las condiciones de equilibrio estático en cada nodo.

2.7.6.- Formulación de Energía Potencial Total Mínima.

dy

dz

dxyσ

σy

z

y

x

lAEF = ( ) l = K y

F

(sin carga)elongar

longitud siny

yl

l

F

Figura 2.38.- Comportamiento elástico de un miembro sometido a una carga central.


________________________________________________________________149

La formulación de energía potencial total mínima es una aproximación común

en la generación de modelos de elementos finitos en mecánica de sólidos. Las

cargas externas aplicadas a un cuerpo provocarán su deformación. Durante el

proceso, el trabajo hecho por la fuerza externa es almacenado en el material en

la forma de energía elástica, llamada energía de deformación. Considérese la

energía de deformación en un elemento sólido cuando está sujeto a una fuerza

central F , como muestra la Figura 2.38.

También se muestra en la Figura 2.38 un volumen diferencial de material del

miembro y el esfuerzo normal actuando en su superficie. Recientemente se

demostró que el comportamiento elástico del miembro puede ser modelado

como un resorte lineal. Cuando el miembro es elongado una cantidad

diferencial /dy , la energía almacenada en el material es

( ) //2/

0

//

0

/

21

21//

ykyykdykyFdydyy

====Λ ∫∫ (2.112)

Podemos escribir la ecuación (2.112) en función del esfuerzo normal y de la

deformación:

( ) dVdydxdzykyd y σεεσ21

21

21 // =

==Λ

Por lo tanto, para un miembro o un elemento sometido a carga axial, la energía

de deformación ( )eΛ es dada por

( ) ∫ ∫ ∫==Λ=ΛV V

e dVE

dVd22

2εσε (2.113)

donde V es el volumen del miembro. La energía potencial total Π para un

cuerpo compuesto de n elementos y m nodos es la diferencia entre la energía

de deformación total y el trabajo hecho por las fuerzas externas:


________________________________________________________________150

( ) ∑∑==

−Λ=Πm

iii

n

e

e uF11

(2.114)

El principio de la energía potencial total mínima establece simplemente que

para un sistema estable, el desplazamiento en la posición de equilibrio ocurre

de manera tal que el valor de la energía potencial total del sistema es un

mínimo.

( ) 011

=∂∂

−Λ∂∂

=∂

Π∂ ∑∑==

m

iii

i

n

e

e

ii

uFuuu

i = 1, 2, 3, ………., n (2.115)

Retornando nuestra atención al problema de la barra de sección transversal

variable, fija en uno de sus extremos y sometida a una carga axial en el otro.

Minimizando la energía de deformación con respecto a iu y 1+iu llegamos a

( )

( )1+−=∂Λ∂

iipromedio

i

e

uul

EA

u (2.116a)

( )

( )iipromedio

i

e

uul

EA

u−=

∂Λ∂

++

11

(2.116b)

y en forma matricial,

( )

( )

−

−=

∂Λ∂∂Λ∂

+

+

1

1

i

i

eqeq

eqeq

i

ei

e

uu

kkkk

u

u (2.117)

donde ( )

l

EAk promedio

eq = . Minimizando el trabajo hecho por las fuerzas externas

en los nodos i e 1+i de un elemento arbitrario ( )e , obtenemos


________________________________________________________________151

( ) iiii

FuFu

=∂∂

(2.118)

( ) 1111

++++

=∂

∂iii

i

FuFu

Para el problema, la formulación de la energía potencial total mínima conduce a

una matriz de rigidez global que es idéntica a la obtenida desde la formulación

directa:

[ ]( )

−−+−

−+−−+−

−

=

44

4433

3322

2211

11

00000

0000000

kkkkkk

kkkkkkkk

kk

GK

Además, considerando las cargas y aplicando las condiciones de frontera,

obtenemos

=

−−+−

−+−−+−

Puuuuu

kkkkkk

kkkkkkkk

0000

00000

000000001

5

4

3

2

1

44

4433

3322

2211

(2.119)

Los desplazamientos resultantes serán idénticos a los obtenidos con

anterioridad desde el método directo.

2.7.7.- Formulación de Residuos Ponderados.

El método de residuos ponderados está basado en asumir una solución

aproximada para la ecuación diferencial gobernante. Ésta debe satisfacer las


________________________________________________________________152

condiciones iniciales y de frontera del problema dado. Debido a que dicha

solución no es exacta, su sustitución en la ecuación diferencial conducirá a

algunos errores residuales. Establecido simplemente, cada método residual

requiere desvanecer el error sobre algún intervalo seleccionado o en algunos

puntos. Para mostrar este concepto, retornaremos nuestra atención al

problema de la barra. La ecuación diferencial gobernante y las condiciones de

frontera correspondientes son las siguientes:

( ) 0=− Pdydu

EyA con ( ) 00 =u (2.120)

A continuación, necesitamos suponer una solución aproximada. Teniendo en

mente que la solución asumida debe satisfacer la condición de frontera,

elegimos

( ) 33

221 ycycycyu ++= (2.121)

donde 1c , 2c , y 3c son coeficientes desconocidos. La ecuación (2.121)

ciertamente satisface la condición de frontera ( ) 00 =u . La sustitución de la

solución propuesta, en la ecuación diferencial gobernante, ecuación (2.120),

produce la función de error R :

( ) R=−++

−+ PycycctEy

Lww

w 2321

121 32 (2.122)

Sustituyendo para los valores de 1w , 2w , L , t , y E , del problema y

simplificando, obtenemos

( )( ) ( ) 62321 10154.96320125.025.0 −−++−= ycyccy

ER


________________________________________________________________153

Método de colocación.- En el método de colocación la función error, o residual,

R es forzada a ser cero en tantos puntos como coeficientes incógnita haya.

Porque la solución asumida en este problema tiene tres coeficientes incógnita,

forzaremos a la función error para que sea cero en tres puntos. Para este

efecto, elegimos a 3/Ly = , 3/2Ly = , y Ly = :

( ) 0,3/

==Ly

ycR

( ) 010154.963

103

310

23

100125.025.0 6

2

321 =−

+

+

−= −cccR

( ) 0,3/2

== Ly

ycR

( ) 010154.96320

3320

2320

0125.025.0 62

321 =−

+

+

−= −cccR

( ) 0, ==Ly

ycR

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 010154.96103102100125.025.0 62321 =−++−= −cccR

Este procedimiento crea tres ecuaciones lineales que podemos resolver para

obtener los coeficientes 1c , 2c , y 3c :

( ) 6321 10539.461

3100

320 −=++ ccc

( ) 6321 10924.576

3400

340 −=++ ccc

( ) 6321 10232.76930020 −=++ ccc


________________________________________________________________154

La solución de las ecuaciones anteriores conduce a ( ) 61 100776.423 −=c ,

( ) 152 1061.21 −=c , y ( ) 6

3 10153848.1 −=c . La sustitución de los coeficientes en la

ecuación (2.121) conduce al perfil de desplazamientos aproximados:

( ) ( ) ( ) ( ) 362156 10153848.11061.21100776.423 yyyyu −−− ++= (2.123)

Método del subdominio.- En el método del subdominio, la integral de la función

de error sobre algunos subintervalos seleccionados es forzado a ser cero. El

número de subintervalos elegidos debe ser igual al de coeficientes

desconocidos. Luego, para nuestra solución asumida, tendremos tres

integrales:

∫ =30

0L

dyR

( )( ) ( )[ ]∫ =−++− −30

62321 010154.96320125.025.0

L

dyycyccy

∫ =32

3

0L

L dyR

(2.124)

( )( ) ( )[ ]∫ =−++− −32

3

62321 010154.96320125.025.0

L

L dyycyccy

∫ =L

L dy3

2 0R

( )( ) ( )[ ]∫ =−++− −LL dyycyccy

32

62321 010154.96320125.025.0


________________________________________________________________155

La integración de las ecuaciones (2.124) producen tres ecuaciones lineales que

se pueden resolver para obtener los coeficientes desconocidos 1c , 2c , y 3c :

( ) ( ) ( ) ( ) 6321

3 10513333.3201018519.84691358.21088889.763 −− =++ ccc

( ) ( ) ( ) ( ) 4321 1020513333.34537041.471728395.6625.0 −=++ ccc

( ) ( ) ( ) ( ) 4321 1020513333.3694444.1000246917.84861111.0 −=++ ccc

Al resolver las ecuaciones anteriores se obtiene ( ) 61 1035088.391 −=c ,

( ) 62 10075.6 −=c , y ( ) 9


ecuación (2.121) conduce al perfil de desplazamientos aproximados:

( ) ( ) ( ) ( ) 39266 1061092.80910075.61035088.391 yyyyu −−− ++= (2.125)

Método de Galerkin.- El método de Galerkin requiere que el error sea ortogonal

a algunas funciones ponderadas iΦ , de acuerdo a la integral

0=Φ∫b

a i dyR i = 1, 2, …, N (2.126)

Las funciones ponderadas son elegidas como parte de la solución aproximada.

Debido a que hay tres incógnitas en la solución aproximada asumida para el

problema, necesitamos generar tres ecuaciones. Recordemos que la solución

asumida es ( ) 33

221 ycycycyu ++= ; luego, las funciones ponderadas

seleccionadas son y=Φ1 , 22 y=Φ , y 3

3 y=Φ . Esta selección conduce a las



________________________________________________________________156

( )( ) ( )[ ]∫ =−++− −Ldyycyccyy

0

62321 010154.96320125.025.0

( )( ) ( )[ ]∫ =−++− −Ldyycyccyy

0

62321

2 010154.96320125.025.0 (2.127)

( )( ) ( )[ ]∫ =−++− −Ldyycyccyy

0

62321

3 010154.96320125.025.0

La integración de las ecuaciones (2.127) producen tres ecuaciones lineales que

pueden resolverse para obtener los coeficientes desconocidos 1c , 2c , y 3c :

0048077.011251666667.104333333.8 321 =++ ccc

0320513333.08750750083333.52 321 =++ ccc

240385.057143.714283333.5833375 321 =++ ccc

Al resolver las ecuaciones anteriores obtenemos ( ) 61 10642.400 −=c ,

( ) 62 10006.4 −=c , y ( ) 6


ecuación (2.121) conduce al perfil de desplazamientos aproximado:

( ) ( ) ( ) ( ) 36266 10935.010006.410642.400 yyyyu −−− ++= (2.128)

Método de mínimos cuadrados.- El método de mínimos cuadrados requiere que

el error sea minimizado con respecto a los coeficientes desconocidos en la

solución asumida, de acuerdo a la relación

∫

b

adymínimo 2R


________________________________________________________________157

la cual conduce a

∫ =∂∂b

ady

c0

1

RR i = 1, 2, …, N (2.129)

Debido a que hay tres incógnitas en la solución aproximada del problema, la

ecuación (2.129) genera tres ecuaciones. Recordemos que la función de error

es

( )( ) ( ) 62321 10154.96320125.025.0 −−++−= ycyccy

ER

Diferenciando la función de error con respecto a 1c , 2c , y 3c y sustituyendo en

la ecuación (2.129), obtenemos:

( )( ) ( )[ ]( )∫ =−−++− −10

0

62321 00125.025.010154.96320125.025.0 dyyycyccy

( )( ) ( )[ ]( )∫ =−−++− −10

0

62321 020125.025.010154.96320125.025.0 ydyyycyccy

( )( ) ( )[ ]( )∫ =−−++− −10

0

262321 030125.025.010154.96320125.025.0 dyyyycyccy

La integración de las ecuaciones anteriores produce tres ecuaciones lineales

que podemos resolver para obtener los coeficientes incógnita 1c , 2c , y 3c :

000180289.025864583333.2364583333.0 321 =++ ccc

001602567.075.343333333.33864583333.2 321 =++ ccc

015024063.0928571.388375.34325 321 =++ ccc


________________________________________________________________158

La solución simultánea del conjunto de ecuaciones anterior conduce a

( ) 61 10773.389 −=c , ( ) 6

2 10442.6 −=c , y ( ) 63 10789.0 −=c . La sustitución de los

coeficientes en la ecuación (2.121) conduce al perfil de desplazamientos

aproximados:

( ) ( ) ( ) ( ) 36266 10789.010442.610733.389 yyyyu −−− ++= (2.130)

Comparación de resultados por residuos ponderados.- La Tabla 2.2 muestra la

exactitud de los métodos de residuos ponderados, comparando sus

desplazamientos resultantes con los valores de la solución exacta.

Tabla 2.2.- Comparación de desplazamientos (in) resultantes por el método de residuos

ponderados.

Localización

de un punto

a lo largo de

la barra (in)

Solución

exacta

Método de

colocación

Método del

subdominio

Método de

Galerkin

Método de

mínimos

cuadrados

0=y 0 0 0 0 0

5.2=y 0.001027 0.001076 0.001029 0.001041 0.001027

0.5=y 0.002213 0.002259 0.002209 0.002220 0.002208

5.7=y 0.003615 0.003660 0.003618 0.003624 0.003618

10=y 0.005333 0.005384 0.005330 0.005342 0.005331


Un rotor flexible sin masa, sobre dos chumaceras soporte, en el que se instala

un disco central; es conocido como rotor Jeffcott.


________________________________________________________________159

Si las chumaceras soporte son rígidas, el desbalance se debe a la

excentricidad de masa q y a la flecha s del rotor. Si además, la flecha del rotor

es cero (caso 1), para amortiguamientos pequeños y operación cercana a la

velocidad crítica, el factor de amplificación del volteo es muy grande; se hace

infinito, si el amortiguamiento es nulo y la razón de velocidad es unitaria. A la

velocidad crítica, el ángulo de fase es igual a 90 grados. A muy alta velocidad,

el factor de amplificación del volteo se aproxima a la unidad y el ángulo de fase

se aproxima a 180 grados. Los valores pico del factor de amplificación del

volteo ocurren cuando la razón de velocidad es igual al inverso de la raíz

cuadrada de la diferencia entre la unidad y el doble de la razón de

amortiguamiento.

Si las chumaceras soporte son rígidas, el desbalance se debe a la

excentricidad de masa q y a la flecha s del rotor. Si además el centro de masa

coincide con el centro geométrico (caso 2), cuando la razón de velocidad se

aproxima a cero, el factor de amplificación del volteo tiende a cero para el caso

1 y a la unidad para el caso 2. Para razones de velocidad muy altas el factor de

amplificación del volteo se aproxima a la unidad para el caso 1 y a cero para el

caso dos.

Si las chumaceras soporte son flexibles, se derivan dos importantes conceptos:

(1) Para cualquier valor constante de la razón de amortiguamiento, hay un

dramático aumento en el factor de amplificación del volteo al aumentar la razón

de rigidez. (2) Para cualquier valor asignado de la razón de rigidez, un valor

mínimo del factor de amplificación del volteo ocurre en algún nivel intermedio

de la razón de amortiguamiento. Adicionalmente, para razón de rigidez cero,

con un incremento en la razón de amortiguamiento, el valor pico del factor de

amplificación del volteo disminuye a la unidad cuando la razón de

amortiguamiento es igual a la raíz de 2, mientras la razón de velocidad

correspondiente se incrementa desde la unidad a un valor infinito,

manteniéndose en infinito para razones de amortiguamiento mayores a la raíz

de 2.


________________________________________________________________160

Típicamente un estator montado sobre un pedestal rígido tendrá una mayor

rigidez en la dirección vertical que en la horizontal. La velocidad crítica

correspondiente al pico de amplitud será mayor para el eje del estator con

mayor rigidez. Como consecuencia de las diferentes amplitudes de vibración

horizontal y vertical a cualquier velocidad de rotación, la orbita de deflexión del

rotor no será circular –elongada en la dirección horizontal cuando pasa a través

de la velocidad crítica horizontal y alongada en la dirección vertical cuando

pasa a través de la velocidad crítica vertical.

Cuando un rotor voltea en una orbita circular sincronizadamente con la

velocidad de rotación y en el mismo sentido que la rotación, se mueve como un

cuerpo con deflexión congelada en el marco de coordenadas del rotor. Esto

significa que los esfuerzos elásticos internos en el rotor son constantes, es

decir, las fibras del rotor no experimentan esfuerzos vibratorios y por lo tanto no

están sujetos a fatiga como consecuencia de la vibración forzada debida al

desbalance. Sin embargo cuando un rotor voltea con una orbita elíptica, sufrirá

dos deflexiones máximas y dos deflexiones mínimas en cada revolución, y por

lo tanto las fibras del rotor experimentarán esfuerzos de vibración a una

frecuencia doble de la velocidad de rotación. Debe tenerse mucho cuidado para

que estos esfuerzos vibratorios estén muy por abajo del límite de fatiga del

material del rotor.

Además, para el rotor Jeffcott, el ángulo de fase de la respuesta con respecto

al desbalance varía como una función de la velocidad de rotación. A

velocidades subcríticas bajas, las deflexiones vibratorias están en fase una con

otra. A la velocidad crítica, la deflexión y el desbalance estarán defasadas 90

grados. A velocidades supercríticas altas la deflexión y el desbalance estarán

defasadas 180 grados. Mientras las velocidades críticas vertical y horizontal

sean idénticas, el cambio de fase será idéntico a cualquier velocidad. Pero con

anisotropía en el estator, las velocidades críticas y por lo tanto el cambio de

fase para los dos ejes diferirán a cualquier velocidad de rotación, y de manera

particular en el rango de velocidades entre las dos velocidades críticas. Si la


________________________________________________________________161

diferencia entre los ángulos de fase de las vibraciones en los dos ejes a

cualquier velocidad de rotación es baja, el efecto es que los ejes mayor y

menor de la orbita se inclinen alejándose de los ejes elásticos principales del

estator. Si la diferencia entre los ángulos de fase es igual a 90 grados,

entonces la orbita es un movimiento elíptico degenerado. Si la diferencia entre

los ángulos de fase es mayor de 90 grados, el movimiento de volteo es en una

dirección opuesta al de rotación del rotor (es decir, el movimiento es backward),

como se indica en la orbita central mostrada en la Figura 2.9. Esto no tiene

mayores consecuencias prácticas pero en el diseño es razonable asegurarse

que la vibración forzada debida al desbalance implique siempre movimiento de

volteo en una dirección igual al de rotación del rotor (es decir, movimiento

forward).

Para vibración angular, Cuando la velocidad de rotación ω se incrementa, la

frecuencia natural del modo de volteo forward, fp , crece y se aproxima

asintóticamente a la línea recta ( )IIp p /ω= . Mientras que, el valor absoluto de

la frecuencia natural del modo de volteo backward, bp , decrece y tiende acero.

Hay resonancias en el punto de cruce de la línea ω=p y la curva fp .

Con momento giroscópico, un par es aplicado al rotor; para que dicho par

tienda a centrar al rotor es necesario que el momento de inercia sea menor al

momento polar de inercia. Dicho de otra manera, el disco instalado en el rotor

no debe tender a ser un cilindro, longitud menor o igual a su diámetro

multiplicado por la raíz de tres medios.

Desde el análisis de vibraciones no lineales, la curva de resonancia es tipo

resorte duro cuando los coeficientes de términos no lineales simétricos son

menor que cero y es tipo resorte suave cuando son mayores que cero. La

condición de inestabilidad se produce cuando la amplitud es menor; para

evitarla, el ángulo de fase debe ser mayor de 90 grados para velocidades

supercríticas y menor a 90 grados para velocidades subcríticas.


________________________________________________________________162

Un rotor simétrico sin fractura tiene resonancia sólo en la velocidad crítica

principal; sin embargo, un rotor fracturado tiene las resonancias siguientes:

• Oscilación inestable en la velocidad crítica principal, dependiendo de la

ubicación del desbalance.

• Resonancia armónica de un modo de volteo backward [ ]ω− .

• Resonancias superarmónicas de un modo de volteo forward [ ]ω2+ y

[ ]ω3+ .

• Resonancia subarmónica de un modo de volteo forward ( )[ ]ω21/+ .

• Resonancia súper-subarmónica de un modo de volteo forward

( )[ ]ω23 /+ .

• Combinación de resonancias [ ]bf pp − .

A través de estos cambios de resonancias y, dependiendo de la dirección y

magnitud del desbalance, es posible detectar la ocurrencia de una fractura si

ponemos atención a estas resonancias.

Para ecuaciones de movimiento considerando

• Rotor asimétrico con diferencia direccional en su rigidez.

• Rotación no lineal.

• Acción de un desbalance.

características que un rotor fracturado tiene simultaneamente, aparecen

fenómenos únicos.

Las curvas de resonancia con un desbalance comparativamente grande

cambian significativamente, dependiendo de la dirección del desbalance.

Cuando está localizado en el mismo lado de la fractura, las curvas de

resonancia exhiben una región de gran amplitud y, como resultado, aparece

una zona inestable. Por el lado contrario, cuando el desbalance está de lado


________________________________________________________________163

opuesto al de la fractura, la región inestable desaparece y sólo aparecen

vibraciones de estado estable. Para las curvas de resonancia con un

desbalance comparativamente pequeño, una zona inestable aparece para

cualquier dirección del desbalance. Esto es debido al efecto de términos

paramétricos en las ecuaciones de movimiento porque predominan debido al

desbalance pequeño. Si el caso no desbalanceado ( 0=M ) es calculado,

también son obtenidas curvas de resonancia con una zona inestable [5].

Las chumaceras con capa de fluido son ampliamente usadas en maquinaria

rotatoria porque tienen varias ventajas, tal como gran capacidad de carga, vida

infinita con buena lubricación, y gran amortiguamiento. Pueden ser

hidrodinámicas o hidrostáticas dependiendo de cómo sea creada la presión del

lubricante.

En un rotor horizontal donde la gravedad influye, el muñón se mueve hacia

abajo y hace contacto en el punto más bajo de la circunferencia interior de la

chumacera cuando el rotor no está girando. Cuando el rotor gira, el lubricante

fluye en la parte con forma de cuña y se crea alta presión, la cual soporta al

muñón y también lo desplaza un ángulo θ . La capa de fluido trabaja de manera

equivalente a un resorte y un amortiguador, y el rotor vibra alrededor de esta

posición de equilibrio.

Puesto que el efecto de amortiguamiento es muy grande, las resonancias en

respuesta al desbalance son minimizadas. Sin embargo, si el diseño es

inapropiado, pueden producir violentas vibraciones auto excitadas arriba de la

velocidad crítica principal. Cuando la velocidad de rotación se incrementa, una

resonancia armónica debida al desbalance ocurre en la vecindad de la

velocidad crítica principal cω . Cuando la velocidad crece aún más, una

vibración auto excitada llamada volteo de lubricante (oil whirl) ocurre por arriba

de la velocidad de rotación aω . La frecuencia de esta vibración es alrededor de

un medio de ω . Cuando un oil whirl ocurre, el rotor voltea en sentido hacia

delante (forward) con pequeña amplitud, sin deformación, equivalente a un


________________________________________________________________164

rotor rígido. Muszynska [8] reportó que la frecuencia real es ligeramente más

pequeña que la velocidad de rotación, aún cuando este valor varia

dependiendo del tipo de chumacera y excentricidad estática. El umbral de

velocidad aω algunas veces es menor que la velocidad crítica principal.

Cuando la velocidad de rotación crece aún más, una vibración violenta auto

excitada inicia en alrededor de dos veces la velocidad crítica principal y persiste

en un amplio rango de velocidad por arriba de la mencionada anteriormente.

Esta vibración es llamada movimiento circular de vaivén del lubricante (oil

whip). La frecuencia de un oil whip es aproximadamente igual a una frecuencia

natural del sistema. Al acelerar el rotor, algunas veces no aparece, aún si la

velocidad excede el doble de la velocidad crítica principal; sin embargo, una

vez que ocurre, no desaparece a menos que la velocidad se reduzca a un valor

menor al doble de la velocidad crítica principal. Como resultado se tiene el

fenómeno de histéresis llamado efecto inercial.

Conociendo la distribución de presión sobre el muñón, podemos obtener la

fuerza de reacción, debida al lubricante. Si la condición de Gumbel es

adoptada, para chumaceras cortas dicha fuerza de reacción es la suma de las

componentes siguientes:

( )( )

( )

−

++

−

+

=2/52

2

22

232

1

21

1

22

21

k

kk

k

k

Rl

cR

N

..

πθω

µ (2.89a)

( ) ( )

−+

−

+

=222/32

32

1

4

12

2

21

k

kk

k

k

Rl

cR

T.

.θωπ

µ (2.89b)

Para chumaceras largas, y la misma condición, las componentes son:


________________________________________________________________165

( )( ) ( ) ( )

+−

−+

−+

−

=22/3222

22

28

21

212

226

kk

kkk

kRl

cR

Nπ

πθω

µ.

.

(2.90a)

( )( ) ( )( )

−++

−+

−

=2/1222/122

2

12

4

12

26

kk

kk

kk

kRl

cR

T.

.θωπ

µ (2.90b)

Cuando un rotor gira, las fuerzas de la capa de lubricante son generadas y el

muñón flota. La posición de equilibrio ( )00 ,θkO j del centro del muñón está

determinada por el balance entre la carga de gravedad 0F actuando hacia

abajo y la fuerza de la capa de lubricante ( )00 ,TN . El resultado muestra que la

posición de equilibrio está determinada por la cantidad adimensional, llamada

número de Sommerfeld:

mpn

cR

Sµ2

= (2.91)

donde n , en revoluciones por segundo, es la velocidad de rotación y

( ) ( )RlFp m 20 /= es la presión promedio en el muñón. Esto significa que aún si

la velocidad de rotación y la viscosidad del lubricante cambian, la posición de

equilibrio no cambia si el número de Sommerfeld es el mismo. Cuando el rotor

no está girando (es decir, 0=S ), el muñón está en la parte más baja de la

chumacera. Cuando la velocidad de rotación crece (es decir, cuando S crece),

el centro del muñón flota y cambia su posición a lo largo de la circunferencia y

llega al centro de la chumacera cuando la velocidad de rotación se hace

extremadamente alta ( ∞=S ).


________________________________________________________________166


[1] Myklestad, N. O., Fundamentals of Vibration Analysis, Mc Graw-Hill, New

York, 1956.

[2] Yamamoto, T., Ishida, Y. y Kawasumi, J., Oscillations of a rotating shaft with

symmetrical nonlinear spring characteristics, Bull. JSME, Vol. 18, No. 123,

1977, pp965-975.

[3] Yamamoto, T. y Ota, H., Unstable vibrations of the shaft carrying an

unsymmetrical rotating body, Bull. JSME, Vol. 6, No. 23, 1963, pp.404-411.

[4] Dimarogonas, A. D. y Paipetis, S. A., Analytical Methods in Rotor Dynamics,

Applied Science Publishers, Parking, Essex, England, 1983.

[5] Ishida, Y., Yamamoto, T. y Hirokawa, I., Vibrations of a rotating shaft

containing a transverse crack (a major critical speed of a horizontal shaft),

Proceedings of the 4th International Conference on Rotor Dynamics, 1994,

pp.47-52.

[6] Gasch, R. Dynamic behavior of a simple rotor with a cross-sectional crack,

Proceedings of the International Conference on Vibrations in Rotating

Machinery, Institute of Mechanical Engineers, New York, 1976, pp.123-128.

[7] Henry, T. A. y Okah-Avae , B. E., Vibrations in cracked shaft, Proceedings of

the International Conference on Vibrations in Rotation Machinery, Institute of

Mechanical Engineers, New York, 1976, pp15-17.

[8] Muszynska, A. Tracking the mystery of oil whirl, Sound Vib., 1987, pp8-11.

[9] Newkirk, B. L. y Taylor, H. D., Shaft whirling due to oil action in journal

bearings, Gen. Electr. Rev., Vol. 28, No. 7, 1925, pp.559-568.


________________________________________________________________167

[10] Hori, Y. A theoryof oil whip, Trans. ASME, J. Appl. Mech., Vol. 26, No. 2,

1959, pp.189-198.

[11] Funakawa, M. y Tatara, A., Stability criterion o fan elastic rotor in journal

bearings, Trans. JSME, Vol.30, No. 218, 1964, pp.1238-1244 (en japonés).

[12] Courant, R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium

and Vibrations, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 49,

Providence, RI, 1943, pp.1-23.

[13] Clough, R. W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis,

Proceedings of American Society of Civil Engineers, 2nd Conference on

Electronic Computations, Vol. 23, Pittsburgh, 1960, pp.345-378.

[14] Zienkiewicz, O. C., and Cheung, Y. K. K., The Finite Element Method in

Structural and Continuoum Mechanics, McGraw-Hill, London, 1967.


________________________________________________________________168


________________________________________________________________169

3.- ANÁLISIS GEOMÉTRICO Y MECÁNICO.

En este capítulo se analiza el campo de presión del lubricante, y su efecto

sobre el muñón de un árbol cuyo eje está desalineado respecto al eje de su

chumacera. También se analiza la respuesta de un árbol sobre chumaceras

rígidas, fracturado y desbalanceado.

3.1.- ANÁLISIS DEL DESALINEAMIENTO ENTRE ÁRBOL Y CHUMACERAS7.

O

a)

J

b)

θ

Figura 3.1.- Árbol-chumacera: (a) ejes longitudinales colineales; (b) Ejes longitudinales

paralelos.

Si se considera colineales los ejes longitudinales de árbol y chumaceras (ver

Figura 3.1a), el espesor normalizado ( h ) de la capa de lubricante es expresado

como

7 Nossov, R. V., Gómez, M. J. C., Jiménez, R. H., Campo de presión de lubricante en chumaceras desalineadas de máquinas rotatorias, Sexto Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, SEPI – ESIME, México D. F., noviembre de 2001, pp.276-280.


________________________________________________________________170

1==rC

Hh (3.1)

donde H es el espesor de la capa de lubricante, y rC es el claro radial entre

árbol y chumacera con sus ejes longitudinales colineales.

El caso expresado por (3.1) es ideal, nunca ocurrirá, debido a:

• Flexión, por carga térmica y mecánica, en el árbol.

• Flexión por carga mecánica, en las chumaceras.

• Ensamble con desalineamiento entre árbol, chumaceras, y coples.

Al considerar paralelos a los ejes longitudinales de árbol y chumaceras (ver

Figura 3.1b), h variará de ε+1 a ε−1 para πθ ≤≤0 , donde la excentricidad

normalizada ε es la excentricidad ( =E distancia de O a J) entre rC . El espesor

normalizado de la capa de lubricante se puede expresar como

θε cos1+=h (3.2)

La ecuación (3.1) restringe fuertemente su capacidad de modelar

adecuadamente la realidad, debido a que es imposible evitar el

desalineamiento angular.

3.1.1.- Modelo Matemático del Sistema Árbol-Chumacera, con sus ejes longitudinales desalineados.

Para un modelo matemático más realista, considérense las Figuras 3.2, 3.3,

3.4, 3.5, y 3.6.


________________________________________________________________171

Figura 3.2.- Eje del árbol excéntrico con respecto al eje de la

chumacera, y girado alrededor de 1y .

Sea J un punto sobre el eje del árbol, en la sección transversal media de la

chumacera; y O el punto en la parte media del eje de la chumacera; ambos en

el plano XY. Considérese (ver Figura 3.4) los sistemas de coordenadas

siguientes:

1. El sistema (X, Y, Z) ubicado en O; con Z y Y coincidiendo con el eje de

la chumacera y con la gravedad, respectivamente.

2. El sistema ( 1x , 1y , 1z ) paralelo al 1 y ubicado en J.

3. El sistema ( r , θ , Z) con origen en O y donde r y θ son las

coordenadas polares en la sección transversal media de la chumacera.

El ángulo θ es medido desde la dirección de máxima distancia entre

árbol y chumacera.

4. El sistema ( 2x , 2y , 2z ) con el origen en J, es obtenido al girar ( 1x , 1y ,

1z ) un ángulo α alrededor de 1y .


________________________________________________________________172

5. El sistema ( 3x , 3y , 3z ) ubicado en J, se obtiene al girar ( 2x , 2y , 2z ) un

ángulo β alrededor de 2x .

Nótese que α es en el plano horizontal y β en el vertical. Adicionalmente el

sistema 4 se obtiene trasladando el sistema 1 de O a J y girando el ángulo α , y

el sistema 5 se obtiene trasladando el sistema 1 de O a J, girando el ángulo α ,

y girando el ángulo β .

Figura 3.3.- Eje del árbol excéntrico con respecto al eje de la chumacera, girado alrededor de

1y y posteriormente girado alrededor de 2x .

El eje 3z del sistema de coordenadas 5, coincide siempre con el eje del árbol.

Las fronteras axiales de la chumacera corresponden a Z 2/L−= y a Z 2/L= ,

donde L es la longitud de la chumacera. Físicamente, los ejes de árbol y

chumacera no se interceptan. Considérese el eje de la chumacera,


________________________________________________________________173

perpendicular al plano XY, descrito por las ecuaciones X = 0, y Y = 0. Si las

coordenadas de J son la excentricidad en X para Z = 0, ( )0xE , y la

excentricidad en Y para Z = 0, ( )0yE , el eje del árbol es una línea recta en el

espacio, pasando por J, representada por las ecuaciones:

xE (Z) = Z ( )0tan xE+α (3.3)

yE (Z) = Z ( )0tan yE+β (3.4)

donde α y β son valores pequeños.

Figura 3.4.- Eje del árbol, excéntrico con respecto al eje de la chumacera, girado alrededor de

1y , y posteriormente girado alrededor de 2x ; representación unifilar.


________________________________________________________________174

En la Figura 3.5, la distancia OA es igual a la excentricidad en X cuando Z = 0,

( )0xE , la distancia AJ es igual a la excentricidad en Y cuando Z = 0, ( )0yE .

De la misma figura se obtienen las relaciones siguientes:

( ) ( ) ( )000 222yx EEE += (3.5)

( ) ( ) ( )000 γsenEE x = (3.6)

( ) ( ) ( )0cos00 γEE y = (3.7)

( ) ( )( )00

0tany

x

EE

=γ (3.8)

La excentricidad local E (Z) en el plano Z 0≠ , para ≤−2L

Z 2L

≤ , es igual a

E (Z) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]22 0tan0tan yx EEEE +++=+= βα ZZZZ 2y

2x (3.9)

Las funciones trigonométricas del ángulo local ( )Zγ en el plano Z 0≠ , para

22 /Z/ LL ≤≤− , son:

( ) ( )( )0tan0tan

tany

x

EE

+

+=

βα

γZZ

Z (3.10)

( )( )

( )ZZ

ZE

E y=γcos (3.11)

( ) ( )( )ZZ

ZE

Esen x=γ (3.12)


________________________________________________________________175

Figura 3.5.- Eje del árbol, excéntrico con respecto al eje de la chumacera, girado alrededor de

1y , y posteriormente girado alrededor de 2x ; representación unificar; detalles para Z igual a

cero y para Z distinto de cero.

La restricción impuesta por la geometría de la chumacera, al movimiento del

árbol, implica una excentricidad máxima menor o igual a rC

rCL

E ≤

−2

(3.13a)

rCL

E ≤

2 (3.13b)

( ) ( ) ryx CEL

EL

≤

+

−+

+

−22

0tan2

0tan2

βα (3.14a)


________________________________________________________________176

( ) ( ) ryx CEL

EL

≤

+

+

+

22

0tan2

0tan2

βα (3.14b)

En el caso límite ( ) 00 =xE , y ( ) 00 =yE se obtiene un valor máximo de los

ángulos α y β .

( ) ( ) rCL

≤+ 22 tantan2

βα (3.15)

( ) ( )LD

RC

LC rr =≤+

2tantan 22 βα (3.16)

donde D y R son, el diámetro y el radio interiores, respectivamente, de la

chumacera.

En la práctica, la mayoría de las chumaceras cumplen con las desigualdades

siguientes:

5.01.0 ≤≤DL

(3.17)

002.0001.0 ≤≤R

C r (3.18)

Para el valor mínimo de R

C r (0.001), la desigualdad (3.17) es equivalente a

rr CLC 1000200 ≤≤ (3.19)

Además, para las chumaceras más cortas, 1.0=DL/ , de la desigualdad (3.16)

se obtiene


________________________________________________________________177

( ) ( ) ( ) 01.010001.0tantantan 22 =≤=+ γβα (3.20)

La excentricidad normalizada ( )Zε es igual a

( ) ( ) ( ) ( )ZZZ

Z 221yx

rr

EECC

E+==ε (3.21)

( ) ( )[ ] ( )[ ]22 0tan0tan yx EEE +++= βα ZZZ (3.22)

El espesor de la capa de lubricante depende de la coordenada axial Z, y del

ángulo θ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]0costan,tan,tan,tan, γγθβαβαθ +−+= ZECH r (3.23)

Nikolakopoulos y Papadopoulos [1], usaron para el espesor de la capa de

lubricante la expresión

( ) ( ) ( ) ( )[ ]00coscos01, ϕθψϕθψθεθ +++++= senh xyZZ

La cual es similar a nuestra expresión (3.23). La principal diferencia consiste en

la expresión utilizada para los parámetros de desalineamiento y también en que

nuestra [2] expresión es una función no lineal de Z.

La desigualdad (3.20) debe cumplirse, tanto en condiciones estáticas como en

condiciones dinámicas. Considérese la condición estática de la viga sometida a

una carga concentrada al centro (peso del disco igual a W ) y a una carga

uniformemente distribuida debida al propio peso del árbol ( q ). Por resistencia

de materiales

( ) ( )48

2324 243 xlqlWqxxWqlEIy

+−−+= (3.24)


________________________________________________________________178

En la que E es el módulo de elasticidad, I es el momento de inercia de la

sección transversal con respecto a un eje contenido en su plano neutro, l es la

longitud de la viga, y y es su deflexión a una distancia x de su extremo

izquierdo.

Derivando (3.24) con respecto a x :

( ) ( )48

23812 232 lqlWqxxWqldxdy

EI+−−+

= (3.25)

Figura 3.6.- Árbol-chumacera-disco; con ejes de árbol (en su posición sin flexar) y chumacera

colineales con el eje Z, y con el eje del disco paralelo al eje Z.


________________________________________________________________179

De las Figuras 3.3, 3.4, 3.5, y 3.6 se puede notar que si ( ) 00 =E , y 0=α ;

( ) βγ =Z ; por lo que, considerando la ecuación (3.20), la ecuación (3.25) se

puede escribir como

( ) ( )01.0arctan

4823812 232

≤+−−+

==EI

lqlWqxxWqldxdy

γ (3.26)

El peso del disco; el material, la sección transversal, y la densidad del árbol;

deberán ser tales que γ cumpla con la ecuación (3.26); teniendo un valor muy

por abajo del arco cuya tangente es 0.01; lo anterior para permitir su

incremento por fuerzas inerciales.

3.1.2.- Ecuación de Reynolds Para un Sistema Árbol-Chumacera con Ejes Desalineados.

Para un diseño de chumacera presurizada y controlable, se obtienen

expresiones que pueden ser usadas para reducir los problemas de amplitud de

vibración, adecuando la ubicación y la presión de inyección del lubricante.

La ecuación de Reynolds para posición de estado estable de árbol y

chumacera con ejes desalineados, y correspondiendo al espesor de capa de

lubricante dado por la ecuación (3.23), es la siguiente:

( )( ) ( ) ( )[ ]0

62

2323 γγθε

ωµθθ

+−−=

∂

∂

∂∂

+

∂

∂

∂∂ ZZ

ZZsen

C

rphr

ph

r

(3.27)

Aquí, p es el campo de presiones del lubricante en la chumacera, µ es la

viscosidad absoluta, r y ω son el radio y la velocidad angular del árbol. Los

ángulos ( )0γ , ( )Zγ están definidos por (3.8) y (3.10).


________________________________________________________________180

Como en la teoría clásica de chumaceras cortas de Ocvirk [3], suponemos que

el primer término en el lado izquierdo de la ecuación de Reynolds (3.27) puede

ser despreciado, y consideramos la ecuación de chumacera corta siguiente:

=

=

−

βαθβαθ

βαθ tan,tan,,tan,tan,,

tan,tan,,3-

-

-

-

-Z

Z

ZZ

Zf

d

pdh

d

d

( )

+

−

− 0tan,tan,tan,tan,6 γβαγθβαε

--ZZ sen (3.28)

En la ecuación (3.28)

µω

βαθβαθ

=

−

tan,tan,,tan,tan,,

-

-Z

Zp

p (3.29)

y rC

ZZ-

= (3.30)

son adimensionales.

Como condición de frontera para la ecuación (3.28) se usan las expresiones

clásicas

−==

−−

2,0

2,

lp

lp θθ (3.31)

con rC

Ll = (3.32)


________________________________________________________________181

La ecuación (3.28), con las condiciones de frontera dadas por (3.31) es el

modelo para chumaceras cortas, con los ejes de árbol y chumaceras

desalineados.

3.1.3.- Solución de la Ecuación de Reynolds con Desalineamiento Angular.

La solución de (3.28) puede obtenerse por integración directa, pero este

camino es suficientemente complicado, puesto que el lado derecho es una

función complicada de Z. Primero desarrollaremos el lado derecho de la

ecuación en series de los parámetros αtan , βtan

( ) ( ) ( ){ }

++−=

βθαθθεβαθ tantan06tan,tan,, 21 ggsenf

--ZZ

( )βα 22 tantan ++ O (3.33)

donde:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]00coscos01 γθθγθγθ +=+= sensenseng (3.34)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]0cos00cos2 γθθγθγθ −=−= sensenseng (3.35)

( ) ( )r

xx C

E 00 =ε (3.36)

( )( )r

yy C

E 00 =ε (3.37)

( ) ( )rC

E 00 =ε (3.38)


________________________________________________________________182

Integrando la ecuación (3.28) con respecto a la variable -Z con el lado derecho

expresado por (3.33), obtenemos

( )βαθβαθ

tan,tan,tan,tan,,

1Cd

dp=

-

-

Z

Z

( ) ( ) ( ){ }

+

+

− βθαθθεβαθ

tantan2

0tan,tan,,

621

2

3

ggsenh

-

-

-

ZZ

Z

(3.39)

Aquí, ( )βαθ tan,tan,1C es una constante de integración, no depende de -Z .

Expandamos ahora el lado derecho de (3.39) en series con respecto a los

parámetros αtan , βtan .

Integrando las series una vez con respecto a la variable -Z y usando las

condiciones de frontera impuestas para determinar las constantes de

integración, obtenemos la expresión final para la solución de la ecuación (3.28)

con las condiciones de frontera (3.31).

( )

−

=

=

−

22

0 2

tan,tan,,tan,tan,,

lg

pp

-

-

-Z

ZZ θ

µω

βαθβαθ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2222

43 tantan2

tantan2 βαβθαθ ++

−

++ O

lgg

--ZZ (3.40)

en la que

( ) ( )( )[ ]30

cos0106

θε

θεθ

+=

seng (3.41)


________________________________________________________________183

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ]443

cos01

005

cos01

0cos0cos0

θε

γθθε

θε

γθγεθ

+

−−

+

−+=

senseng (3.42)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ]444

cos01

005

cos01

000

θε

γθθε

θε

γθγεθ

+

−+

+

−−−=

sensensenseng (3.43)

Remarquemos que ambos términos en las series (3.40) satisfacen las

condiciones de frontera (3.31) separadamente, debido a la apropiada elección

de las constantes de integración. En el campo de presiones, con

desalineamiento, expresado por (3.40), el primer término corresponde a la

solución clásica para las chumaceras cortas de Ocvirk. El segundo término en

(3.40), son las correcciones de primer orden ocasionadas por los parámetros

perturbadores αtan , βtan y que sin embargo producen cambios significativos

en la configuración del campo de presión total. La anterior aproximación,

permite una alta precisión tanto en el campo de presión, como en el cálculo de

las fuerzas y momentos resultantes. Es importante observar también que

pequeños ángulos de desalineamiento (que sin embargo son grandes

comparándolos con el pequeño claro) producen alteraciones significativas en el

campo de presión.

Al comparar las Figuras 3.7, 3.8, 3.9, y 3.10; se observa que sin

desalineamiento angular (ver Figura 3.7), la línea en que la presión del

lubricante es igual a cero es paralela al eje Z, para πθ = . Por otro lado, con

desalineamiento angular (ver Figura 3.8, 3.9, y 3.10), en la Figura 3.8 la línea

deja de ser paralela al eje Z, y ahora pasa aproximadamente por 5.2=θ (en Z

= l5.0 ), y por 5.3=θ (en Z = l5.0− ). Esta misma observación se acentúa aún

más en los casos de las Figura 3.9 y 3.10 en donde la excentricidad producida

por un alto número de Sommerfeld es menor en magnitud.

Como se puede anticipar, el campo de presión del lubricante generará fuerzas

y momentos, que a su vez influirán sobre el equilibrio del sistema, provocando

nuevos valores de la estabilidad dinámica.


________________________________________________________________184

Figura 3.7.- Solución clásica de chumaceras cortas de Ocvirk. Aproximación de orden cero.

( ) 5.00 =ε , βα tan0tan == , 5.0=DL/ , y 1000=l .

Figura 3.8.- Campo de presión con un desalineamiento vertical moderado, en aproximación de

orden mayor a uno pero menor de dos. ( ) 5.00 =ε , 0tan =α , 0005.0tan =β , 5.0=DL/ , y

1000=l .


________________________________________________________________185

Figura 3.9.- Campo de presión para alto número de Sommerfeld, con desalineamiento vertical

únicamente, usando una aproximación de orden mayor a uno pero menor de dos. ( ) 1.00 =ε ,

0tan =α , 0005.0tan =β , 5.0=DL/ , y 1000=l .

Figura 3.10.- Campo de presión con desalineamientos moderadamente altos. ( ) 1.00 =ε ,

0004.0tan =α , 0008.0tan =β , 5.0=DL/ , 1000=l .


________________________________________________________________186

3.2.- ANÁLISIS DE UN ÁRBOL, SOBRE CHUMACERAS RÍGIDAS, FRACTURADO Y DESBALANCEADO8.

El sistema a analizar consta de un árbol desbalanceado flexible con un disco y

una fractura transversal al centro, soportado rígidamente en sus extremos.

Para este efecto, se usarán dos sistemas de coordenadas:

1. ( ZYX ,, ) cuyo eje Z es colineal con el eje de las chumaceras.

2. ( Z,,ηξ ) fijo al árbol.

Figura 3.11.- Relación entre los sistemas de coordenadas.

8 Gómez, M. J. C., Jiménez, R. H., Análisis y experimentos de vibración para caracterizar/detectar ejes fracturados, Gran Congreso de Ingeniería Mecánica, Asociación Mexicana de Ingenieros Mecánicos y Electricistas, Sociedad Mexicana de Ingenieros Mecánicos, Academia de Ingeniería, Monterrey Nuevo León, septiembre de 2002, pp.1-10.


________________________________________________________________187

Relacionados (ver Figura 3.11) por las expresiones siguientes:

( )βϕωξξ ++=Φ= tcoscosX (3.44)

( )βϕωηη ++=Φ= tcoscosY (3.45)

donde ω es la velocidad angular del árbol en radianes cada segundo y t es el

tiempo en segundos.

El modelo simplificado [4] para analizar las vibraciones es una masa

concentrada, soportada por un resorte lineal con un grado de libertad. La

primera frecuencia natural sería mkc /=ω donde, si el árbol es relativamente

rígido comparado con las chumaceras, la masa efectiva ( m ) es la masa total

del árbol y del disco, y la rigidez efectiva ( k ) es la rigidez de las chumaceras. Si

el árbol es flexible comparado con las chumaceras, la masa efectiva será,

principalmente, la del disco; y la rigidez efectiva será la del árbol. Este último

sistema se analizará a continuación.

Sea M el centro de masa del disco y J su centro geométrico (Figura 3.11). La

distancia entre J y M es el vector de desbalance U, el cual se normalizará con

respecto al claro radial rC .

rCU

u = (3.46)

Considerando un árbol soportado rígidamente, o con rigideces iguales en

ambos direcciones ortotrópicas; se tendrá el siguiente modelo matemático:


________________________________________________________________188

( )

( )

−−

−+

+

−+

−−

−−

−

−

η

ω

η

ξ

η

ξ

ωλωλ

ωλωλ

λω

ωλRR

R

R

R

R.

.

..

..

22

22

12

21

22

22

qD

Dq

D

D

e

e

=η

ξωUU2 (3.47)

donde

dm

kk

2ηξλ

+=

−

(3.48)

dm

kkq ηξλ

−=

− 2

2 (3.49)

d

ee m

cD =

−

λ2 (3.50)

d

ii m

cD =

−

λ2 (3.51)

ie DDD += (3.52)

R = respuesta del sistema.

q = ortotropía de rigidez del árbol.

eD = relación de amortiguamientos externos.

iD = relación de amortiguamientos internos.

ec = amortiguamientos externos.

ic = amortiguamientos internos.


________________________________________________________________189

dm = masa del disco.

−

λ = frecuencia natural, tomando en cuenta q .

ηξ

ηξ

kk

kkq

+

−= (3.53)

El tamaño de la grieta es directamente proporcional a q .

Para analizar la estabilidad del sistema, se usarán las coordenadas ( Z,,ηξ ).

Asúmase como solución a

stAe=ξR (3.54a)

stBe=ηR (3.54b)

El proceso de solución [5] del eigenproblema, conduce a la ecuación

característica

( ) sDDDsDsDs ie

−++

+++

+

−−−−− 222

234

42124 ωω

( ) 0412

222

=−

+

−

+

−−

qDe ωω (3.55)

en la que

λs

s =−

(3.56)

−

−

=λ

ωω (3.57)


________________________________________________________________190

Al aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, a las raíces de la ecuación

característica, se obtiene

( ) 02

>+

−

−

DDD ie ω (3.58a)

( )[ ] 02

1 222

242

>+

+

−+

−

−−

Dq

DDD

ii ωω (3.58b)

( ) 041 22

2

22

>−

+

−

−−

qDe ωω (3.58c)

Para el criterio de estabilidad dado por (3.58a). Si ei DD < , ω es imaginario y

no hay inestabilidad. Si ei DD = , ω es infinito y no existe inestabilidad. Si

ei DD > , ω es real positivo y existe inestabilidad arriba de ω . Este criterio

puede desecharse ya que (3.58b) y (3.58c) predicen velocidades de

inestabilidad más estrictas y realistas.

De (3.58b), es fácil comprobar que, para un valor constante de iD , la velocidad

arriba de la cual ocurre la inestabilidad es directamente proporcional a eD .

Para un valor de iD constante menor, el comportamiento es cualitativamente

similar, produciendo un umbral de velocidad mayor.

La ecuación (3.58c) predice dos valores de velocidad, es decir, un rango de

velocidad del árbol en el que ocurre la inestabilidad. El comportamiento es

inestable alrededor de la resonancia ( 1=−

ω ).

De la Figura 3.12 se infiere que para valores dados de eD y de q , al aumentar

la velocidad del árbol desde cero hasta la velocidad de operación, se pasa por


________________________________________________________________191

una zona de inestabilidad; después de la cual el comportamiento es

nuevamente estable.

Figura 3.12.- Estabilidad obtenida a partir de la ecuación (3.58c).

Para velocidad constante del árbol flexible soportado por chumaceras rígidas o

con ortotropía de rigidez, las ecuaciones de movimiento en el sistema (X, Y, Z)

son


________________________________________________________________192

( )

( )

−

+−

++

+

+

−−−

−−−

−

y

x

i

i

y

x

y

x

tqtsenqD

tsenqDtqD R

R

RR

RR

.

.

..

..

ωλωλωλ

ωλωλωλλ

2cos122

222cos12 22

22

=y

x

UU2ω (3.59)

las que al normalizarse se transforman en

−+−

+

+

+

+

−−−

−−

y

x

i

i

y

x

y

x

rr

tqtqsenD

tqsenDtq

rr

Drr

ωωω

ωωω

2cos122

222cos12 /

/

//

//

= −

−−

tsen

t

ω

ωω cos2

(3.60)

La solución [5] transitoria de (3.60) para 01.0== ie DD , 1=−

ω , y 25.0=q se

muestra en las Figuras 3.13 y 3.14. Puede verse el continuo y monotónico

incremento de la respuesta inestable. Asimismo, en las Figuras 3.15 y 3.16 se

observa la respuesta de un sistema estable, debido a que no tiene fractura.

En las Figuras 3.17 y 3.18, aún con fractura en el árbol, el amortiguamiento

externo suficientemente alto estabiliza el sistema.

En las Figuras de la 3.13 a la 3.18; el tiempo está normalizado al multiplicarlo

por la velocidad de operación ω en radianes cada segundo, la respuesta se

normalizó con respecto a la excentricidad.


________________________________________________________________193

Figura 3.13.- Respuesta del sistema en condiciones de inestabilidad.

Figura 3.14.- Orbita en condiciones de inestabilidad.


________________________________________________________________194

Figura 3.15.- Respuesta del sistema en condiciones de estabilidad (árbol sin fractura).

Figura 3.16.- Orbita del sistema en condiciones de estabilidad (árbol sin fractura).


________________________________________________________________195

Figura 3.17.- Respuesta del sistema, con fractura y desbalance, en condiciones de estabilidad

debido a un alto amortiguamiento externo.

Figura 3.18.- Orbita del sistema, con fractura y desbalance, en condiciones de estabilidad

debido a un alto amortiguamiento externo.


________________________________________________________________196


El espesor de la capa de lubricante depende de la coordenada axial Z, y del

ángulo θ







nuestra expresión es una función no lineal de Z.

La desigualdad (3.20) debe cumplirse, tanto en condiciones estáticas como en

condiciones dinámicas. Considérese la condición estática de la viga sometida a

una carga concentrada al centro (peso del disco igual a W ) y a una carga

uniformemente distribuida debida al propio peso del árbol ( q ). Por resistencia

de materiales

( ) ( )48

2324 243 xlqlWqxxWqlEIy

+−−+= (3.24)

En la que E es el módulo de elasticidad, I es el momento de inercia de la

sección transversal con respecto a un eje contenido en su plano neutro, l es la

longitud de la viga, y y es su deflexión a una distancia x de su extremo

izquierdo.

Derivando (3.24) con respecto a x :


________________________________________________________________197

( ) ( )48

23812 232 lqlWqxxWqldxdy

EI+−−+

= (3.25)

De las Figuras 3.3, 3.4, 3.5, y 3.6 se puede notar que si ( ) 00 =E , y 0=α ;

( ) βγ =Z ; por lo que, considerando la ecuación (3.20), la ecuación (3.25) se

puede escribir como

( ) ( )01.0arctan

4823812 232

≤+−−+

==EI

lqlWqxxWqldxdy

γ (3.26)

El peso del disco; el material, la sección transversal, y la densidad del árbol;

deberán ser tales que γ cumpla con la ecuación (3.26); teniendo un valor muy

por abajo del arco cuya tangente es 0.01; lo anterior para permitir su

incremento por fuerzas inerciales.

La solución de la ecuación de Reynolds, con desalineamiento angular entre

árbol y chumacera, está dada por

( )

−

=

=

−

22

0 2

tan,tan,,tan,tan,,

lg

pp

-

-

-Z

ZZ θ

µω

βαθβαθ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2222

43 tantan2

tantan2 βαβθαθ ++

−

++ O

lgg

--ZZ (3.40)

en la que

( ) ( )( )[ ]30

cos0106

θε

θεθ

+=

seng (3.41)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ]443

cos01

005

cos01

0cos0cos0

θε

γθθε

θε

γθγεθ

+

−−

+

−+=

senseng (3.42)


________________________________________________________________198

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( )[ ]( )[ ]444

cos01

005

cos01

000

θε

γθθε

θε

γθγεθ

+

−+

+

−−−=

sensensenseng (3.43)

Remarquemos que ambos términos en las series (3.40) satisfacen las

condiciones de frontera (3.31) separadamente, debido a la apropiada elección

de las constantes de integración. En el campo de presiones, con

desalineamiento, expresado por (3.40), el primer término corresponde a la

solución clásica para las chumaceras cortas de Ocvirk. El segundo término en

(3.40), son las correcciones de primer orden ocasionadas por los parámetros

perturbadores αtan , βtan y que sin embargo producen cambios significativos

en la configuración del campo de presión total. La anterior aproximación,

permite una alta precisión tanto en el campo de presión, como en el cálculo de

las fuerzas y momentos resultantes. Es importante observar también que

pequeños ángulos de desalineamiento (que sin embargo son grandes

comparándolos con el pequeño claro) producen alteraciones significativas en el

campo de presión.

Al comparar las Figuras 3.7, 3.8, 3.9, y 3.10; se observa que sin

desalineamiento angular (ver Figura 3.7), la línea en que la presión del

lubricante es igual a cero es paralela al eje Z, para πθ = . Por otro lado, con

desalineamiento angular (ver Figura 3.8, 3.9, y 3.10), en la Figura 3.8 la línea

deja de ser paralela al eje Z, y ahora pasa aproximadamente por 5.2=θ (en Z

= l5.0 ), y por 5.3=θ (en Z = l5.0− ). Esta misma observación se acentúa aún

más en los casos de las Figura 3.9 y 3.10 en donde la excentricidad producida

por un alto número de Sommerfeld es menor en magnitud.

Como se puede anticipar, el campo de presión del lubricante generará fuerzas

y momentos, que a su vez influirán sobre el equilibrio del sistema, provocando

nuevos valores de la estabilidad dinámica.

De la Figura 3.12 se infiere que para valores dados de eD y de q , al aumentar

la velocidad del árbol desde cero hasta la velocidad de operación, se pasa por


________________________________________________________________199

una zona de inestabilidad; después de la cual el comportamiento es

nuevamente estable.

Para velocidad constante del árbol flexible soportado por chumaceras rígidas o

con ortotropía de rigidez, las ecuaciones de movimiento en el sistema (X, Y, Z)

son

( )

( )

−

+−

++

+

+

−−−

−−−

−

y

x

i

i

y

x

y

x

tqtsenqD

tsenqDtqD R

R

RR

RR

.

.

..

..

ωλωλωλ

ωλωλωλλ

2cos122

222cos12 22

22

=y

x

UU2ω (3.59)

las que al normalizarse se transforman en

−+−

+

+

+

+

−−−

−−

y

x

i

i

y

x

y

x

rr

tqtqsenD

tqsenDtq

rr

Drr

ωωω

ωωω

2cos122

222cos12 /

/

//

//

= −

−−

tsen

t

ω

ωω cos2

(3.60)

La solución transitoria de (3.60) para 01.0== ie DD , 1=−

ω , y 25.0=q se

muestra en las Figuras 3.13 y 3.14. Puede verse el continuo y monotónico

incremento de la respuesta inestable. Asimismo, en las Figuras 3.15 y 3.16 se

observa la respuesta de un sistema estable, debido a que no tiene fractura.

En las Figuras 3.17 y 3.18, aún con fractura en el árbol, el amortiguamiento

externo suficientemente alto estabiliza el sistema.


________________________________________________________________200


[1] Nikolakopoulos, P. G., Papadopoulos, C. A., Controllable Misaligned Journal

Bearing, Lubricated with Smart Fluids, J. Intelligent Materials, Systems and

Structures. Vol. 8, 1997, pp.125-137.

[2] Nossov, V. R., Gómez, M. J. C., Jiménez, R. H., Campo de Presión del

Lubricante en Chumaceras Desalineadas de Máquinas Rotatorias, Sexto

Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, Vol. 1, No.

1, 2001, pp.273-280.

[3] Ocvirk, F., Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings, NACA TN

20808, 1952.

[4] Tesis Magistral de Rafael García Illescas dirigida por el Dr. Julio César

Gómez Mancilla. Análisis de Vibración para Caracterizar el Comportamiento de

Rotores Fracturados Operando en Línea. 2001.

[5] García, I. R., Gómez, M. J. C., Estabilidad Lineal y Respuesta Transitoria de

Ejes Rotatorios Fisurados, Quinto Congreso Nacional de Ingeniería

Electromecánica y de Sistemas, 2000.


________________________________________________________________201

4.- INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL.

El objetivo es desarrollar una técnica de cálculo, capaz de predecir con

seguridad la respuesta vibratoria de un sistema, para hacer posible que las

fracturas puedan ser detectadas monitoreando la vibración, antes de que

ocurran fallas catastróficas.

4.1.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS6.

Para esta sección [6] usaremos la nomenclatura siguiente:

=ija coeficientes de rigidez del soporte.

=ijb coeficientes de amortiguamiento del soporte.

=E Módulo de Young.

( ) =/, ssG Función de Green.

=I Momento de inercia de la sección transversal.

12 −=i .

=K Rigidez del árbol.

=cK Factor de concentración de esfuerzos.

2ηξ KK

K m

+= .

2ηξ KK

K−

=∆ .

=M Masa del árbol.

=fM Momento flexionante.

=m Masa por unidad de longitud.

=xp Componente en x , del vector fuerza externa.

=yp Componente en y , del vector fuerza externa.

=r Radio del árbol.


________________________________________________________________202

=s Posición axial.

=t Tiempo.

( ) =su n Enésima eigenfunción.

=

yx

Sistema de coordenadas estacionario.

( ) =sy Desplazamiento del árbol.

=

ηξ

Sistema de coordenadas rotando.

=∆ Pequeño cambio en el parámetro que precede.

=ν Relación de Poisson.

=λ Flexibilidad del árbol.

=ω Frecuencia angular.

=ϕ Ángulo del eje normal a la fractura con respecto a la

horizontal positiva.

=µ Profundidad adimensional, igual a la profundidad de la fractura

entre el radio del árbol.

=.

Derivada con respecto al tiempo.

=/ Derivada con respecto a la posición.

=m Medio.

=ξ En dirección del eje ξ .

=η En dirección del eje η .

=x En dirección del eje x .

=y En dirección del eje y .

La apertura y cierre de la fractura es una función del momento flexionante, de

la ubicación de la fractura, y de la posición de los ejes principales. Los cambios

de rigidez son función de la apertura y cierre de la fractura. Lo anterior se

ilustra en la Figura 4.1.


________________________________________________________________203

fracturadano

área

abiertascon carasfractura

cerradascon carasfracturaη

ϕ = 35o

ϕ = -35o

ϕ 75 o

ϕ = 0o

ξ

ξ

η

ϕ = 90o

ϕ = 30o

Figura 4.1.- Modelo de sección transversal fracturada, en diferentes posiciones angulares.

Cuando la fractura crece, las vibraciones del árbol pueden incrementarse a tal

nivel, que el momento flexionante adicional en la posición de la fractura,

interactuando con el momento flexionante debido al propio peso del árbol,

deberá ser tomado en cuenta. En este estado las fuerzas dinámicas trasmitidas

a las chumaceras serán del orden del peso del árbol, y no habrá duda de que la

máquina tiene un serio problema. Para determinar la profundidad de fractura

mínima que será detectable por monitoreo de la onda mecánica, se asume que

la apertura y cierre de la fractura, es dominada por la carga debida al propio

peso, y es por lo tanto una función periódica.

Asumiendo que para πϕ ≤≤0 , la parte de la fractura por arriba del diámetro

horizontal está cerrada, mientras que toda la fractura está totalmente abierta


________________________________________________________________204

para πϕ −≤≤0 . Este modelo implica que la dirección de los ejes principales

para πϕ ≤≤0 es una función de ϕ . Sin embargo, se percibe que este modelo

es un poco irreal debido a que las superficies de la fractura no cerrarán

abruptamente en el diámetro horizontal y que cerrará como se muestra en la

Figura 4.1. Para simplificar considérense los ejes principales fijos al árbol y en

las direcciones ( ηξ , ).

Las ecuaciones de movimiento de tal sistema fracturado son:

=

+

++

+

yx

aKaaaK

y

xbbbb

y

xM

M

m

m

2221

1211

2221

1211

00

.

.

..

..

+

∆−∆

∆∆−

y

x

pp

yx

tKtKsentKsentKωω

ωω2cos2

22cos (4.1)

obtenidas, transformando las coordenadas rotando ( ηξ , ) a coordenadas

estacionarias ( yx , ). El amortiguamiento externo se ha ignorado. xp , yp son

fuerzas aplicadas externamente como las debidas a la gravedad y a la capa de

lubricante.

La ecuación (4.1) es lineal con coeficientes periódicos y no es factible una

solución exacta. Es posible, sin embargo, obtener soluciones aproximadas si se

nota que el cambio fraccional en la rigidez ( K ) del árbol es siempre pequeño

(10 a 15 por ciento) para fracturas grandes. Términos de la forma ( )xtK∆

pueden ser removidos para la solución no homogénea de la ecuación (4.1) y

tratarlos como términos de fuerza adicional resolviendo la ecuación por

aproximaciones sucesivas.

Para lograrlo debe obtenerse una expresión analítica para la función ( )tK∆ , y

considerar la apertura y cierre de la fractura. Dada la periodicidad de la función

es claramente sensato expandirla como una serie de Fourier, el problema es la


________________________________________________________________205

elección de los coeficientes. Los resultados experimentales han indicado que

una función de la forma

( )21max ϕsenK −∆

(4.2)

es apropiada. Es cierto, sin embargo, que la apertura y cierre de la fractura

será una función de su profundidad, aún cuando el comportamiento dominante

será un efecto recíproco. La fractura causa cambios en la rigidez del árbol en

ambas direcciones ξ , y η , sin embargo el cambio en la dirección ξ es mayor.

No obstante, la variación en la dirección η no puede ser ignorada,

especialmente para fracturas grandes. Claramente el efecto de apertura y

cierre es en ambas direcciones y la misma función es usada, con diferente

maxK∆ .

La fractura es simulada por un cambio localizado en la geometría del árbol. Hay

dos variables asociadas con tal variación, la reducción de diámetro y de

sección transversal. Para relacionar las dos variables al tamaño de la fractura,

se debe determinar el efecto de dicha fractura sobre la rigidez del árbol. Esto

se ha discutido en la literatura (ver referencias al final del capítulo) y se

demostró cómo el cambio de rigidez de un cuerpo elástico está relacionado al

factor de concentración de esfuerzos en la fractura. Se ha considerado

fracturas circunferenciales, aquí se considera fractura cordal, ya que es más

realista.

Asumiendo que el factor de concentración de esfuerzos ( cK ), para una fractura

cordal en un árbol de sección transversal circular en flexión, es una función

sólo del momento flexionante en la fractura, por análisis dimensional este factor

puede escribirse como


________________________________________________________________206

( )µπ

µ fr

rMK c

3= (4.3)

donde ( )µf es una función adimensional a determinar; µ es la profundidad

normalizada, con respecto al radio ( r ) del árbol, de la fractura.

La deflexión y , en un punto s debido a la carga ( )/sP puede ser relacionada

por medio de la función de Green ( )/0 .ssG del sistema.

( ) ( ) ( ) ///

00 , dssPssGsy

L

∫= (4.4)

Puede demostrarse que la función de Green para el árbol fisurado es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )µπ

ν fssGssGrEI

ssGssG cc ,,4

1,, /0

3

22/

0/

....

−+= (4.5)

en la que ν es la relación de Poisson, E es el módulo de elasticidad, e I es el

momento de inercia del área, y donde

( ) ( ) ( ) //22//

0

2 µµµµµµµ

ν dfF −= ∫ (4.6)

En la ecuación (4.5), todas las propiedades del árbol están contenidas en la

expresión, multiplicando la función ( )µf , la cual es por lo tanto, para una

forma de fractura dada, una función universal de su profundidad adimensional.

La relación entre la expresión analítica (4.5) para la función flexibilidad, en un

sistema con fractura y en un sistema con reducción de rigidez localizada, se

encontrará igualando los cambios en la frecuencia natural del enésimo modo

de los dos sistemas.


________________________________________________________________207

El cambio en la frecuencia de un sistema conteniendo una fractura, como el

descrito por (4.5) es

( ) ( ) ( ) ( )cnn sufrEI 2

23

22 14

−

−=∆

..µν

πω (4.7)

Cuando se considera perturbación al sistema, es usual asumir que la elástica

es la misma que la del sistema sin perturbar. Esto es permisible para pequeñas

perturbaciones, puesto que puede demostrarse que la contribución debida al

cambio en la elástica es de segundo orden respecto a la debida a la

perturbación. Una modificación al método de Rayleigh se usará asumiendo que

la segunda derivada de las elásticas están definidas por

..yEIM f = (4.8)

Aún cuando las elásticas para los dos casos son asumidas idénticas, el

momento flexionante resultante desde las fuerzas inerciales cambiará, porque

la frecuencia angular (ω ) natural de vibración varía. Luego para el sistema

original tenemos

( )( )

( )sI

sMsyE f

0

00 =

.. (4.9)

y para el sistema perturbado

( )( ) ( )( ) ( )sIsI

sMsMsyE ff

∆−

∆−=

0

0.. (4.10)

Tenemos también


________________________________________________________________208

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ///

0

/200 dssysmsssM

s

f ∫ −= ω (4.11)

( ) ( ) ( ) ( ) //

0

//2 dssysmsssMs

f ∫ −∆=∆ ω (4.12)

donde la suposición de elástica invariante se ha hecho en la ecuación (4.12).

Usando las ecuaciones (4.9) a (4.12) en el método de Rayleigh, considerando

el cambio en I∆ , y asumiendo constante la segunda derivada de la forma

modal, sobre esta longitud, obtenemos:

( )

∆−−

∆−

∆

=∆

20

2

0

2

02 1

1 ω

ωω

II

IyE..

(4.13)

donde ( )sy 0

.. e ( )sI 0 se evalúan en la posición de la sección reducida. Si

consideramos sólo cambios de primer orden en 2ω∆ , para lo cual es válida la

ecuación (4.7), tenemos desde las ecuaciones (4.7) y (4.13)

( ) ( )µπ

νfI

LrIII

03

2

0

14

−=

∆−∆

(4.14)

la cual, para un árbol circular, cambia a

( ) ( )µν

fL

rII

I 2

0

1−=

∆−∆

(4.15)

Que es la relación deseada.


________________________________________________________________209

Debido a la falta de expresiones analíticas para el factor de concentración de

esfuerzos de una fractura cordal, y al rango limitado de valores calculados

usando análisis de esfuerzo por elemento finito, se decidió medir la función

( )µf experimentalmente. Para este propósito se usaron barras de acero de

magnitudes conocidas, simplemente apoyadas, con una fractura a la mitad del

claro. La carga fue aplicada en la zona adyacente a la fracturada y la deflexión

fue medida en esta posición. Si ( )/, ssG es evaluada, en el punto 2/ /Lss == ,

para un árbol simplemente apoyado; obtenemos

( ) ( )µπ

νλλ fErL

3

22

04

1−+= (4.16)

en donde λ (flexibilidad) es la inversa de la rigidez.

La cual puede ser usada para calcular ( )µf desde los datos experimentales.

4.2.- RESULTADOS.

Usando la ecuación (4.16) y después de medir experimentalmente la

flexibilidad del rotor sin y con fractura, variando la profundidad de la fractura,

Mayes graficó los resultados de la Figura 4.2. Para un valor de la profundidad

adimensional de la fractura 5.0=µ , la función adimensional, aproximada, de la

profundidad de la fractura es 0.89, obtenida experimentalmente.


________________________________________________________________210

Figura 4.2.- Función adimensional de la profundidad de la fractura ( )µf contra la profundidad

adimensional de la fractura µ .


Debido a la falta de expresiones analíticas para el factor de concentración de

esfuerzos de una fractura cordal, y al rango limitado de valores calculados

usando análisis de esfuerzo por elemento finito, se decidió medir la función


________________________________________________________________211

( )µf experimentalmente. Para este propósito se usaron barras de acero de 10

milímetros de diámetro, 405 milímetros de longitud, simplemente apoyadas,

con una fractura a la mitad del claro. La carga fue aplicada en la zona

adyacente a la fracturada y la deflexión fue medida en esta posición. Si

( )/, ssG es evaluada, en el punto 2/ /Lss == , para un árbol simplemente

apoyado; obtenemos

( ) ( )µπ

νλλ fErL

3

22

04

1−+= (4.16)

en donde λ (flexibilidad) es la inversa de la rigidez.

La cual puede ser usada para calcular ( )µf desde los datos experimentales.


[1] Paris, P. C., y Sih, G. C., Stress Analysis of Crack, ASTM, STP No. 381,

1965.

[2] Mayes, I. W., y Davies, W. G. R., The Vibrational Behaviour of a Rotating

Shaft System Containing a Traverse Crack, Paper C168/76, I. Mech. E.

Conference, Vibrations in Rotating Machinery, 1976.

[3] Gasch, R., Dynamic Behaviour of a Simple Rotor With a Cross-Sectional

Crack, Paper C178/76, I. Mech. E. Conference, Vibrations in Rotating

Machinery, 1976.

[4] Mayes, I. W., Crack Propagation in Rotating Shafts, paper 77-DET-164,

ASME Conference on Mechanical Vibrations, Chicago, 1977.


________________________________________________________________212

[5] Grabowski, B., The Vibrational Behaviour of a Turbine Rotor Containing a

Transverse Crack, ASME Design Engineering Technical Conference, Paper No.

79-DET-67, St. Louis, 1979.

[6] Mayes, I. W., y Davies, W. G. R., Analysis of the Response of a Multi-Rotor-

Bearing System Containing a Transverse Crack a Rotor, J. of Vib., Acoustics,

and Reliability in Design, Vol. 106/143, 1984.


________________________________________________________________213

5.- TRABAJO EXPERIMENTAL.

5.1.- METODOLOGÍA.

Del árbol apoyado simplemente sobre las chumaceras, como se ve en la Figura

5.1, se suspendieron sucesivamente discos usando un alambre. El peso de los

discos y del alambre fue medido. Para asegurar la perpendicularidad del eje del

árbol con respecto a la línea geodésica; se emplearon dos marmoles (patrones

de planicidad) para apoyar cada una de las chumaceras, la horizontalidad de

las superficies de apoyo de los marmoles y su pertenencia a un mismo plano,

se logró usando un nivel de burbuja. El árbol se colocó con la fractura hacia

arriba, horizontal, y hacia abajo, midiendose en cada caso la flexibilidad. Todas

las mediciones se efectuaron a temperatura constante y con instrumentos

previamente calibrados.

5.2.- DESARROLLO.

A árboles de acero de 10 milímetros de diámetro, 350.6 milímetros de longitud,

con una fractura controlada a la mitad del claro; se les midió la flexibilidad para

diferentes posiciones angulares de la fractura. Posteriormente, usando la

ecuación (4.16), se calculó ( )µf . La carga fue aplicada en la zona adyacente a

la fracturada y la deflexión fue medida en esta posición. Aquí se reportan los

resultados obtenidos para el árbol al que se le efectuó una fractura de 2.5

milímetros de profundidad, es decir 5.0=µ .

El diagrama físico, sin incluir al disco, se muestra en las Figuras 5.1.


________________________________________________________________214

Figura 5.1a.- Diagrama físico del árbol fracturado, simplemente apoyado.

350.6

7.312.7

Figura 5.1b.- Diagrama físico del árbol fracturado, simplemente apoyado-vista frontal.


________________________________________________________________215

2.5

0.06858

Figura 5.1c.- Detalle del árbol fracturado-vista frontal.

Para aplicar la carga se usó un disco y un alambre. Se pesaron con la balanza

TRIPLE BEAM marca OHAUS. Los pesos en gramos (Tabla 5.1) fueron:

Tabla 5.1.- Pesos medidos.

PIEZA ALAMBRE DISCO

PESO UNITARIO 1.3 806

Para medir la deflexión se usó un indicador de carátula (2937F-10) cuya

discriminación es de 0.0001 pulgadas. Las deflexiones, en diezmilésimas de

pulgada, correspondientes al peso acumulado en Kilogramos (Tabla 5.2)

fueron:


________________________________________________________________216

Tabla 5.2.- Deflexiones correspondientes al peso acumulado.

Peso acumulado Deflexión

0.8073 32.5 33 33.5

Fractura

Arriba

Fractura

horizontal

Fractura

abajo

En la Tabla 5.3 se indican las deflexiones en milímetros y los pesos en

Kilogramos.

Tabla 5.3.- Deflexiones (mm.) correspondientes al peso (Kg.) acumulado.

Peso acumulado Deflexión

0.8073 0.08255 0.08382 0.08509

Fractura

Arriba

Fractura

horizontal

Fractura

abajo

La flexibilidad, deflexión entre carga, se muestra en la Tabla 5.4.

Tabla 5.4.- Flexibilidad en milímetros sobre Kilogramo.

Peso acumulado Flexibilidad

0.8073 0.102254428 0.103827573 0.105400718

Fractura

arriba

Fractura

horizontal

Fractura

abajo

Considerando la flexibilidad original ( 0λ ) como aquella correspondiente a la

fractura arriba, y la flexibilidad ( λ ) como la correspondiente a la fractura abajo.


________________________________________________________________217

La variación de flexibilidad ( 0λλ − ) se puede calcular. La Tabla 5.5 indica esta

variación de flexibilidad.

Tabla 5.5.- Variación de flexibilidad en milímetros sobre Kilogramo.

Peso acumulado Variación de flexibilidad

0.8073 0.00314629

Conocida la variación de flexibilidad ( 0λλ − ), con L = 350.6 milímetros (ver

Figuras 4.2), =r 5 milímetros. Obteniendo ν = 0.303 y E = 2.1 x 106 Kg./cm2 =

2.1 x 104 Kg./mm2 del Manual del Ingeniero Mecánico de Marks. Con la

ecuación (4.16) se puede calcular ( )µf , ver Tabla 5.6.

Tabla 5.6.- Función adimensional de la profundidad de la fractura.

Peso acumulado ( )µf

0.8073 0.929687341

Todas las mediciones se efectuaron a una temperatura de 250 C.


Fueron fracturados árboles de manera controlada usando el proceso de electro

erosión. La fractura cordal (con profundidades de 5, 2.5, y 1.25 milímetros)

hecha en cada uno de tres árboles, se efectúo con una placa de cobre

(electrodo) de 0.0027 pulgadas. La flexibilidad ( λ ) del árbol fue calculada para

diferentes posiciones angulares de la fractura.

La Tabla 5.6 indica el valor de la función para 5.0=µ .


________________________________________________________________218

Tabla 5.6.- Función adimensional de la profundidad de la fractura.

Peso acumulado ( )µf

0.8073 0.929687341


________________________________________________________________219

6.- ESTUDIO ANALÍTICO.

Considerando un árbol con variación direccional local en su inercia, y con

variación direccional en su rigidez, se obtendrá la función universal de la

profundidad adimensional de la fractura en un árbol.

6.1.- CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA.

b

θ f

θm

iθ

α

DC

BA

O

y

x

Figura 6.1.- Características geométricas.

El momento de inercia de una sección transversal circular con respecto a uno

de sus diámetros esta dada por la expresión siguiente:

4

4rI stci π= (6.1)


________________________________________________________________220

donde stciI es el momento de inercia de la sección transversal circular integra, y

r es el radio correspondiente. Para un radio de 5 milímetros, stciI tiene un valor

igual a 490.873852

Para calcular el momento de inercia de una sección transversal circular,

reducida por la presencia de una fractura cordal, se usarán los sistemas de

coordenadas Cartesiano y polar (ver Figura 6.1).

Del triángulo rectángulo OAB, se obtiene el ángulo α

−=

rpr

arccosα (6.2)

donde p es la profundidad de la fractura cordal.

para distintas rectas, las ecuaciones son las siguientes:

Para la recta OA xmy i= (6.3a)

Para la recta OB xmy m= (6.3b)

Para la recta OC xmy f= (6.3c)

Para la recta AC bxm

ym

+−=1

(6.4)

Donde los subíndices i , m , y f , de la pendiente m , indican inicial, media, y

final, respectivamente; b es la ordenada al origen de la recta AC (ver Figura

6.1) y está dada por


________________________________________________________________221

( )msenpr

bθ

−= (6.5)

La ecuación de la circunferencia es 222 ryx =+ (6.6)

La sección transversal (asurada) generada por la fractura cordal se muestra en

la Figura 6.2, y es igual al área de la Figura 6.3a menos el área de la Figura

6.3b.

El área del sector angular OADC menos el área del sector triangular OABC es

igual al área de la Figura 6.3b.

La variación direccional local en la inercia de la sección transversal generada

por la fractura cordal ( stgfcI ), se puede obtener en función de los momentos de

inercia de la sección transversal circular integra, del sector angular, y del sector

triangular, con la expresión siguiente:

stsastcistgfc IIII +−= (6.7)

x

CB

A

y

Figura 6.2.- Sección transversal generada por la fractura cordal.


________________________________________________________________222

D

C

A

y y

O

AB

CD

x x

(a).- Sección transversal integra. (b) Sección transversal fracturada.

Figura 6.3.- Secciones transversales componentes.

En la ecuación (6.7) stciI es constante y está dado por la ecuación (6.1). El

segundo termino del segundo miembro de esta ecuación es el momento de

inercia del sector angular ( saI ), dependen del valor de mθ y está dado por

( )

−−

−=

−== ∫ 4

22

2442

244

442

4ifif

sa

sensenrsenrdsen

rI

f

i

f

i

θθθθθθθθ

θ

θ

θ

θ

−−

−=

4

22

24

4ifif

sa

sensenrI

θθθθ (6.8)

El tercer término del segundo miembro de la ecuación ( stI ) es el momento de

inercia del sector triangular. Se obtendrá en función de las áreas OEC y OEA

(ver Figura 6.4).


________________________________________________________________223

(b)(a)

A

O

y

xEE x

y

O

C

Figura 6.4.- Áreas componentes del sector triangular.

De las Figuras 6.4a y 6.4b, y por resistencia de materiales, stI es igual a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]33333

cos1212cos12cos ifm

i

m

f

mst sensen

rprrsenprrsenprI θθ

θθ

θ

θ

θ−

−=

−−

−=

( ) ( ) ( )[ ]333

cos12 ifm

st sensenrpr

I θθθ

−−

= (6.9)

para todo ( ) 2/πθ n≠ con ,......7,5,3,1=n

Si ( ) 2/πθ n= con ,......7,5,3,1=n , las dos áreas serían infinitas y su diferencia

nula.

Para tal condición el momento de inercia del sector triangular (ver Figuras 6.5a

y 6.5b) sería

( ) ( ) ( )iiist

prrprr

prrI θθθ cos

212cos2

3cos2

333 −=

−−

−= (6.10)


________________________________________________________________224

(b)(a)x

yC AAC

y

x(a)

Figura 6.5.- Áreas componentes del sector triangular para ( ) 2/πθ n= con ,......7,5,3,1=n

Tabla 6.1.- Variación direccional local del momento de inercia.

θm en

grados Istgfc

p=0.5

Istgfc

p=1.0

Istgfc

p=1.5

Istgfc

p=2.0

Istgfc

p=2.5

Istgfc

p=3.0

0 489.46 483.33 471.26 452.98 428.74 399.10

30 481.70 465.33 444.70 420.98 394.91 367.02

60 466.17 429.33 391.59 356.98 327.25 302.86

90 458.41 411.33 365.03 324.98 293.42 270.78

120 466.17 429.33 391.59 356.98 327.25 302.86

150 481.70 465.33 444.70 420.98 394.91 367.02

180 489.46 483.33 471.26 452.98 428.74 399.10

210 481.70 465.33 444.70 420.98 394.91 367.02

240 466.17 429.33 391.59 356.98 327.25 302.86

270 458.41 411.33 365.03 324.98 293.42 270.78

300 466.17 429.33 391.59 356.98 327.25 302.86

330 481.70 465.33 444.70 420.98 394.91 367.02

360 489.46 483.33 471.26 452.98 428.74 399.10

Si en la ecuación (6.7) sustituimos las ecuaciones (6.1) para stciI , (6.8) para

saI , y (6.9) o (6.10) para stI ; obtenemos la variación direccional local en el


________________________________________________________________225

momento de inercia de cualquier sección transversal localizada al centro del

árbol o a una distancia menor o igual a 2/A de dicho centro, siendo A el ancho

de la fractura. Dicha variación se muestra en la Tabla 6.1 y en la Figura 6.6;

para evitar una dimensión vertical excesiva de la tabla, se indican valores del

momento de inercia a cada 30 grados, la figura se hizo con variación unitaria

del ángulo mθ .

Los momentos de inercia en la tabla están dados en mm4, y se calcularon para

un radio del árbol igual a 5 mm, y una profundidad de fractura variable desde

0.5 mm hasta 3 mm de medio en medio milímetro.

Como se esperaba, al aumentar la profundidad de la fractura se disminuye el

momento de inercia; comparativamente se aumenta el rango de variación de

los momentos de inercia cuando ( ) 2/πθ nm = con n = 0, 2, 4, … y cuando

( ) 2/πθ nm = con n = 1, 3, 5, …

En la Figura 6.6 las series 1, 2, 3, 4, 5, y 6 corresponden a una profundidad de

fractura igual a 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, y 3.0 mm., respectivamente; se puede

notar que al variar la profundidad de la fractura, la variación del momento de

inercia es mayor cuando ( ) 2/πθ nm = con n = 1, 3, 5, …

MOMENTOS DE INERCIA

0

100

200

300

400

500

600

0 45 90 135 180 225 270 315 360

θm en grados

MIL

ÍMET

RO

S A

LA

CU

AR

TA P

OTE

NC

IA

Serie1Serie2Serie3Serie4Serie5Serie6

Figura 6.6.- Variación direccional local del momento de inercia.


________________________________________________________________226

6.2.- CÁLCULO DE LA FLEXIBILIDAD.

Para analizar la flexibilidad considérese la Figura 6.7, en la que se muestra un

diagrama unifilar del árbol fracturado simplemente apoyado. La distancia A

representa el ancho de la ranura, el cual está amplificado para mayor claridad.

L 1 A

L

Figura 6.7.- Diagrama unifilar del árbol fracturado simplemente apoyado.

Por resistencia de materiales se plantean las ecuaciones siguientes:

para 10 Lx ≤≤

xP

dxyd

EI stci 22

2

= (6.11)

12

4Cx

Pdxdy

EI stci += (6.12)

213

12CxCx

PyEI stci ++= (6.13)

para

+≤≤

211A

LxL


________________________________________________________________227

xP

dxyd

EI stgfc 22

2

= (6.14)

32

4Cx

Pdxdy

EI stgfc += (6.15)

433

12CxCx

PyEI stgfc ++= (6.16)

En el tramo 10 Lx ≤≤ , si 0=x luego 0=y , de donde

02 =C (6.17)

En el tramo

+≤≤

211A

LxL , si

+=21A

Lx luego 0=dxdy

, de donde

2

13 24

+−=A

LP

C (6.18)

Si 1Lx = , la derivada de y con respecto a x , así como y misma deben tener

el mismo valor sin importar el tramo al que pertenezcan, de donde

( ) ( )213

211 44

LP

II

CLP

Cstgfc

stci −

+= (6.19)

( ) ( ) 133

12113

14 1212LCL

PI

ICLCL

PC

stci

stgfc−−

++= (6.20)


________________________________________________________________228

Tabla 6.2.- Variación direccional de la flexibilidad.

θm en

grados (y/P)

p=0.5

(y/P)

p=1.0

(y/P)

p=1.5

(y/P)

p=2.0

(y/P)

p=2.5

(y/P)

p=3.0

0 0.087098 0.087098 0.087100 0.087102 0.087105 0.087109

30 0.087098 0.087100 0.087103 0.087106 0.087110 0.087115

60 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

90 0.087101 0.087107 0.087115 0.087124 0.087132 0.087139

120 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

150 0.087101 0.087106 0.087113 0.087120 0.087127 0.087134

180 0.087098 0.087098 0.087100 0.087102 0.087105 0.087109

210 0.087098 0.087100 0.087103 0.087106 0.087110 0.087115

240 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

270 0.087101 0.087107 0.087115 0.087124 0.087132 0.087139

300 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

330 0.087098 0.087100 0.087103 0.087106 0.087110 0.087115

360 0.087098 0.087098 0.087100 0.087102 0.087105 0.087109

FLEXIBILIDAD

0.087070

0.087080

0.087090

0.087100

0.087110

0.087120

0.087130

0.087140

0.087150

0 45 90 135 180 225 270 315 360

θm en grados

MIL

ÍMET

RO

S/K

g


Figura 6.8.- Variación direccional de la flexibilidad.


________________________________________________________________229

Con la ecuación (6.16) en la que se sustituyen las expresiones dadas para las

constantes de integración, y con los valores indicados a continuación

8073.0=P Kg., 6.350=L mm., 0027.0=A Pulgadas

A 06858.0= mm., y 21000=E Kg./mm2

se obtiene la Tabla 6.2 y la Figura 6.8.


b

θ f

θm

iθ

α

DC

BA

O

y

x

Figura 6.1.- Características geométricas.

La variación direccional local del momento de inercia de la sección transversal

generada por la fractura cordal, está dada por la ecuación (6.7), con los valores

dados por la ecuación (6.1) para el momento de inercia de la sección


________________________________________________________________230

transversal integra y por la ecuación (6.8) para el momento de inercia del sector

angular; El momento de inercia de la sección triangular está dado por la

ecuación (6.9) excepto cuando 2/πθ nm = con =n 1, 3, 5, … , en cuyo caso

está dado por la ecuación (6.10).

4

4rIstci π= (6.1)

stsastcistgfc IIII +−= (6.7)

−−

−=

4

22

24

4ifif

sa

sensenrI

θθθθ (6.8)

( ) ( ) ( )[ ]333

cos12 ifm

st sensenrpr

I θθθ

−−

= (6.9)

( )ist

prrI θcos

2

3−= (6.10)

L 1 A

L

Figura 6.7.- Diagrama unifilar del árbol fracturado simplemente apoyado.

La variación direccional local de la flexibilidad del árbol está dada por la

ecuación


________________________________________________________________231

433

12CxCx

PyEI stgfc ++= (6.16)

En la cual 3C y 4C se obtienen a partir de las ecuaciones

2

13 24

+−=A

LP

C (6.18)

( ) ( ) 133

12113

14 1212LCL

PI

ICLCL

PC

stci

stgfc−−

++= (6.20)

Las constantes de integración 1C y 2C se obtienen de las ecuaciones

( ) ( )213

211 44

LP

II

CLP

Cstgfc

stci −

+= (6.19)

02 =C (6.17)

P es la carga aplicada, stciI es el momento de inercia de la sección transversal

circular integra dado por la ecuación (6.1), stgfcI es el momento de inercia de la

sección transversal generada por la fractura cordal dado por la ecuación (6.7).

Con la ecuación (6.16) se obtiene la flexibilidad direccional, para diferentes

profundidades de ranura, como se muestra en la Tabla 6.2 y en la Figura 6.8.


________________________________________________________________232

Tabla 6.2.- Variación direccional de la flexibilidad.

θm en

grados (y/P)

p=0.5

(y/P)

p=1.0

(y/P)

p=1.5

(y/P)

p=2.0

(y/P)

p=2.5

(y/P)

p=3.0

0 0.087098 0.087098 0.087100 0.087102 0.087105 0.087109

30 0.087098 0.087100 0.087103 0.087106 0.087110 0.087115

60 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

90 0.087101 0.087107 0.087115 0.087124 0.087132 0.087139

120 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

150 0.087101 0.087106 0.087113 0.087120 0.087127 0.087134

180 0.087098 0.087098 0.087100 0.087102 0.087105 0.087109

210 0.087098 0.087100 0.087103 0.087106 0.087110 0.087115

240 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

270 0.087101 0.087107 0.087115 0.087124 0.087132 0.087139

300 0.087100 0.087105 0.087110 0.087117 0.087123 0.087129

330 0.087098 0.087100 0.087103 0.087106 0.087110 0.087115

360 0.087098 0.087098 0.087100 0.087102 0.087105 0.087109

FLEXIBILIDAD

0.087070

0.087080

0.087090

0.087100

0.087110

0.087120

0.087130

0.087140

0.087150

0 45 90 135 180 225 270 315 360

θm en grados

MIL

ÍMET

RO

S/K

g


Figura 6.8.- Variación direccional de la flexibilidad.


________________________________________________________________233

7.- VALIDACIÓN TEÓRICO EXPERIMENTAL.

Los resultados obtenidos se compararán entre si y con los establecidos en al

menos un artículo sobre el tema.

Para validar los resultados del análisis del desalineamiento entre árbol y

chumaceras, éstos se compararán con los encontrados en la investigación

documental.

La validación de la flexibilidad, se hará tomando como referencia la función

universal de la profundidad adimensional de la fractura, así como la flexibilidad

misma. Los valores de tal función, obtenidos en la investigación documental y

en el desarrollo experimental; así como la flexibilidad obtenida en el desarrollo

experimental y en el estudio analítico, se compararán cualitativa y

cuantitativamente.

En el aspecto cualitativo se considerará que los valores de la función obtenidos

del estudio analítico, consideran al árbol como totalmente elástico; es decir, no

consideran el comportamiento plástico que se presenta por fatiga y

concentración de esfuerzos en la zona de la fractura debido a su apertura y

cierre, que se repiten cíclicamente al girar el árbol.

Dado que la variación de la flexibilidad en la investigación documental y en el

desarrollo experimental, se considera desde su valor para cuando la fisura esta

arriba, con respecto a cuando la fisura está abajo (por ser máxima); en el

estudio analítico se considera tal variación desde su valor para cuando la fisura

está horizontal, con respecto a cuando la fractura está hacia abajo.


________________________________________________________________234

7.1.- COMPARACIÓN DEL DESALINEAMIENTO. El espesor de la capa de lubricante depende de la coordenada axial Z, y del

ángulo θ







nuestra [2] expresión es una función no lineal de Z.

7.2.- COMPARACIÓN DE LA FLEXIBILIDAD.

Los resultados obtenidos en el desarrollo experimental, se comparan contra los

obtenidos por Mayes [3], encontrados en la investigación documental. Se

tomará como referencia la función universal.

Los resultados obtenidos en el estudio analítico, se comparan contra los

obtenidos en el desarrollo experimental. Se tomará como referencia la

flexibilidad misma.


________________________________________________________________235

7.2.1.- Comparación Documental Experimental.

En la Figura 7.1 se muestran los resultados obtenidos por Mayes. Para un valor

de la profundidad adimensional de la fractura 5.0=µ , la función adimensional,

aproximada, de la profundidad de la fractura es 0.89.

Figura 7.1.- Función adimensional de la profundidad de la fractura ( )µf contra la profundidad

adimensional de la fractura µ .


________________________________________________________________236

Para el desarrollo experimental descrito en el capítulo 5, el valor obtenido para

dicha función fue de 0.929687341.

Se puede aseverar que los resultados de la investigación documental y del

desarrollo experimental, son comparativamente aceptables.

7.2.2.- Comparación Experimental Analítica.

En la Tabla 7.1 se muestran los resultados obtenidos en el desarrollo

experimental, así como los obtenidos en el estudio analítico, para un valor de la

profundidad adimensional de la fractura 5.0=µ .

Tabla 7.1.- Comparación de valores de flexibilidad.

Procedimiento Peso

acumuladoFlexibilidad con fractura

Teórico 0.8073 0.087105 0.087132

Experimental 0.8073 0.103827573 0.105400718

Factor de Concentración de

esfuerzos

1.19198412 1.20966978

Orientación de la fractura Fractura

Horizontal

Fractura

abajo

Para comparar la flexibilidad obtenida teóricamente, con la obtenida

experimentalmente, es necesario hacer referencia a la Tabla 7.1. Dado que el

análisis teórico se hizo considerando comportamiento elástico sin

concentración de esfuerzos, es de esperarse que las flexibilidades difieran. Si


________________________________________________________________237

la fractura es la misma estando horizontal o estando abajo, el factor de

concentración de esfuerzos debe ser el mismo para ambas posiciones. En la

tabla, este factor de concentración de esfuerzos se calculó dividiendo la

flexibilidad experimental entre la flexibilidad teórica. Nótese que los factores de

concentración de esfuerzos son comparativamente iguales. Adicionalmente,

dado que cuando la fractura está horizontal puede haber contacto entre las

caras, se esperaba que el factor de concentración de esfuerzos fuese menor

que cuando la fractura está abajo. Puesto que la diferencia entre los factores

de concentración de esfuerzo fue mínima y fue en el sentido esperado, se

puede aseverar que la separación del comportamiento elástico (teórico) y del

comportamiento elástico y plástico (experimental) es adecuada y los resultados

se validan mutuamente.


Dada la similitud de la ecuación obtenida para el claro radial en condición de

desalineamiento expresada por la ecuación


Con la reportada por Nikolakopoulos

( ) ( ) ( ) ( )[ ]00coscos01, ϕθψϕθψθεθ +++++= senh xyZZ .

Considerando que el valor experimental obtenido para la función adimensional

de la profundidad de la fractura (0.929687341) difiere muy poco con respecto al

reportado por Mayes (0.89).

Tomando en cuenta que la diferencia entre la flexibilidad obtenida por análisis

elástico, tanto para fractura orientada horizontalmente como para fractura


________________________________________________________________238

orientada verticalmente, difieren proporcionalmente respecto a las

correspondientes obtenidas experimentalmente.

Se puede concluir que los experimentos y los cálculos se validan mutuamente.


[1] Nikolakopoulos, P. G., Papadopoulos, C. A., Controllable Misaligned Journal

Bearing, Lubricated with Smart Fluids, J. Intelligent Materials, Systems and

Structures. Vol. 8, 1997, pp.125-137.

[2] Nossov, V. R., Gómez, M. J. C., Jiménez, R. H., Campo de Presión del

Lubricante en Chumaceras Desalineadas de Máquinas Rotatorias, Sexto

Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, Vol. 1, No.

1, 2001, pp.273-280.

[3] Mayes, I. W., y Davies, W. G. R., Analysis of the Response of a Multi-Rotor-

Bearing System Containing a Transverse Crack a Rotor, J. of Vib., Acoustics,

and Reliability in Design, Vol. 106/143, 1984.


________________________________________________________________239

8.- TRABAJO FUTURO.

Como trabajos complementarios, para ampliar el conocimiento sobre los

sistemas rotor – chumaceras, se efectuarán los siguientes:

1. Determinar analíticamente la constante de resorte dinámica y su

correspondiente variación direccional; de un árbol flexible,

simplemente apoyado sobre chumaceras rígidas,

desbalanceado, alineado y con fractura cordal transversal.

2. Determinar, por medio de elemento finito, la constante de

resorte dinámica y su correspondiente variación direccional; de

un árbol flexible, simplemente apoyado sobre chumaceras

rígidas, desbalanceado, alineado y con fractura cordal

transversal.

3. Determinar analíticamente la variación direccional de la

constante de resorte estática y dinámica; de un árbol flexible,

simplemente apoyado sobre chumaceras rígidas,

desbalanceado, alineado y con fractura cordal diagonal.

4. Determinar por medio de elemento finito, la variación direccional

de la constante de resorte estática y dinámica; de un árbol

flexible, simplemente apoyado sobre chumaceras rígidas,

desbalanceado, alineado y con fractura cordal diagonal.

5. Caracterizar, usando elemento finito, el comportamiento del

fluido (alta presión a la entrada y alta velocidad a la salida) en

una boquilla cónica para corte de materiales, y compararlo con

los resultados a partir de expresiones ya obtenidas

analíticamente.

A continuación se incluye un cronograma, por trimestres, en el que se

calendarizan las diferentes actividades a desarrollar.


________________________________________________________________240

Tabla 8.1.- Programación de trabajos futuros.

No.

TRIMESTRE

13121110987654321

5

4

3

2

1

Act.


________________________________________________________________241

9.- CONCLUSIONES.

La detección temprana de fracturas transversales y al centro de árboles

flexibles desbalanceados, con una masa al centro, rotando simplemente

apoyados sobre chumaceras soporte rígidas, sin vibraciones debidas a

elementos mecánicos tales como pedestales de chumaceras o coples, ni

vibraciones auto –excitadas debido al contacto; puede lograrse si se pone

atención a las resonancias armónicas, superarmónicas, subarmónicas, súper-

subarmónicas, y combinadas; que se generan por la variación direccional de la

flexibilidad del árbol.

El comportamiento elástico de un árbol se puede caracterizar, como una

función del ancho y de la profundidad de la fractura.

La variación direccional de la flexibilidad de un árbol es una función del

cuadrado del ancho de la fractura, así como del cociente del momento de

inercia de la sección transversal generada por la fractura cordal entre el

momento de inercia de la sección transversal circular integra, y de la inversa

del cociente anterior.

De la comparación de resultados analíticos, experimentales, y documentales;

se concluye que las expresiones deducidas, que excluyen el comportamiento

plástico, conducen a resultados razonablemente aceptables, ya que las

variaciones además de mínimas son cualitativamente lógicas, considerando el

comportamiento plástico presente en los resultados experimentales y

documentales, así como el comportamiento geométrico direccionalmente

distinto debido a la apertura y cierre de la fractura.

Las curvas de resonancia con un desbalance comparativamente grande y de

lado de la fractura, exhiben una región de gran amplitud y, como resultado,

aparece una zona inestable. Por el contrario, cuando el desbalance está de


________________________________________________________________242

lado opuesto al de la fractura, la región inestable desaparece y sólo aparecen

vibraciones de estado estable.

En las curvas de resonancia con un desbalance comparativamente pequeño

aparece una zona inestable para cualquier dirección del desbalance.


________________________________________________________________243

10.- ANEXOS.

10.1.- ESTUDIO METALURGICO DEL ROTOR. Este trabajo fue realizado por el Dr. Lucio Vázquez Briseño, en el Departamento de Materiales de la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco. Se proporcionó una barra de acero para la determinación de la dirección de laminado (rolado) y de la micro estructura. La barra presenta un acabado brillante propio de una barra laminada enfrío después de haber sido laminada en caliente. Se cortó una sección de la barra de un cm. de longitud y a continuación se corto longitudinalmente en dos mitades. Las dos mitades se montaron en baquelita, se pulieron a espejo con lijas de grados 240 hasta 600, a continuación se pulieron las dos secciones espejo con una suspensión acuosa de alúmina de 0.050 micras. Una mitad se macro atacó con ácido clorhídrico 1:1 a 80°C durante media hora y después de enjuagarse con agua y alcohol y secarse se tomaron dos fotografías, una de ellas de la sección completa (Figura A1) y otra de una sección a 10 aumentos (2). En las dos fotografías se observan las líneas de flujo del ataque de las trazas de las fronteras del grano austenítico producido a la temperatura de laminación en caliente. Las líneas de flujo indican la dirección de laminación y son paralelas a la dirección longitudinal de la barra. La Figura A2 muestra más claramente la direccionalidad. La segunda mitad se atacó ligeramente con una solución de ácido nítrico en alcohol (nital) al 2 % (2 % de ácido nítrico y 98 % de alcohol) y se fotografió a 100 aumentos, se pueden observar inclusiones alargadas redondeadas en los extremos. Las inclusiones se alargan durante la deformación en caliente y conservan esa forma aunque el material sea sujeto a tratamiento térmico. La micrografía a 100x de la Figura A3 muestra las inclusiones. Esta misma mitad se atacó más intensamente y se observó a 100 y a 500 aumentos. La Figura A4 a 100 aumentos muestra la micro estructura destacando la dirección de laminación en el sentido longitudinal de la barra. A 500 aumentos se aprecia que la micro estructura consiste de cementita esferoidizada en una matriz ferrítica, Figura A5. La ferrita es una solución de


________________________________________________________________244

carbono en hierro �, el hierro � tiene una estructura cúbica con átomos de Fe en las esquinas y en el centro de la celda cúbica. Los granos de ferrita no están deformados, lo cual muestra que la barra de acero después de ser deformada en frío fue recocida por muchas horas, entre 15 y 30 horas, en una atmósfera inerte o protegida con argón, a una temperatura entre 600 y 700°C. El contenido de carbono de la barra es alto, probablemente alrededor de 0.9 % de C. COMENTARIOS

- La resistencia a la fatiga aumenta por la introducción de esfuerzos residuales de compresión, un método importante de introducción de esfuerzos residuales es por laminado superficial en frío (rolling), en esta forma se aumenta el esfuerzo de cedencia al mismo tiempo que se introducen esfuerzos residuales de compresión, los cuales sirven para contrarrestar los esfuerzos externos de tensión, aumentando así la vida en fatiga de una flecha sujeta a esfuerzos repetitivos de flexión.

- La flecha analizada contiene pocas inclusiones tipo sulfuro. La

resistencia a la fatiga es afectada por el tamaño y forma de las inclusiones. La disminución en la resistencia a la fatiga es debida al aumento de la concentración de esfuerzos introducidos por las inclusiones. Si las inclusiones son paralelas a la dirección del esfuerzo el efecto sobre la resistencia a la fatiga es mínimo, si son perpendiculares a ella la resistencia a la fatiga se puede reducir seriamente. Es el caso de la flecha estudiada.

- La micro estructura del acero constituida por cementita globular en una

matriz ferrítica puede ayudar a que el avance de la grieta sea lento,

FIGURA A1. Sección longitudinal completa

macro atacada con ácido clorhídrico 1:1 a 80°C durante 30 minutos.


________________________________________________________________245

FIGURA A2. Sección longitudinal macro atacada con ácido clorhídrico 1:1 a 80°C durante 0.5 horas

FIGURA A3. Sección longitudinal atacada

ligeramente con nital 2 % para observar inclusiones.

FIGURA A4. Micro estructura de sección longitudinal

a 100 X atacada con nital 2%. Las manchas oscuras son inclusiones de sulfuros.


________________________________________________________________246

FIGURA A5. Micro estructura de sección longitudinal

a 500X, ataque con nital 2 %. La micro estructura está formada por partículas globulares de cementita,

carburo de hierro (Fe3C) en una matriz de ferrita.

10.2.- CONDICIÓN DE CONTACTO.

La condición de mayor probabilidad de contacto entre las caras de la fractura, es cuando 090=mθ . Para determinar si se tocan o no, de la ecuación (5.15) se puede calcular ( )dxdy / en 1Lx = y con 5.2=p milímetros; al hacerlo se obtiene ( ) =dxdy / 9.84335x10-7, valor que NO implica contacto entre las caras de la fractura. Para que el contacto exista sin cambiar la geometría, se requeriría que =E 0.194607226 Kg./mm2; es decir, se requeriría que la rigidez del material fuese muy baja.

tesis doctoral para cgpi

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