UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTADDECIENCIASFISICASYMATEMATICASDEPARTAMENTODEFISICAGravitacion invariante de (A)dSen altas dimensionesTesisparaoptaralgradoacademicodeMagsterenCienciasconmencionenFsicaporEduardo Antonio Rodrguez SalgadoAgosto,2003DirectordeTesis : Dr.PatricioSalgadoComision : Dr.MauricioCataldoDr.GuillermoRubilarDr.RicardoTroncosoamimadreyalamemoriademipadreAgradecimientosQuisieraagradecer enprimer lugar aquienes hansidomis profesores. AJai-meAraneda,MauricioCataldo,SergiodelCampo,JuanRivera,LuisRoayCarlosSaavedra, por todas las clases ytodas las consultas ylabuenadisposicionpararecibirlas. MuyespecialmentetambienaEnriqueOelker, PatricioSalgadoyJorgeZanelli, aquienesdebomi conceptodeloqueunaclaseexcelentedebeser. Estoyendeudaconellosporesoyportodoslosconocimientosquemehantransmitidoduranteestosa nos.AgradezcoaRicardoTroncosopormuchasenriquecedorascon-versaciones, y a Guillermo Rubilar por su cuidadosa revision del borrador de la tesisysusvaliosassugerencias,ascomoporsuayudaconlosarcanosdeLATEX.Misinceroagradecimientovatambienamiscompa nerosdeestudios:aMarceloAlid, Carla Baldovin, Patricio Mella y Cesar Sanchez, por el buen humor, el apoyo, yel entusiasmo. A Ruth Sandoval, por el compa nerismo y la amistad, y por conservarsiempreunasonrisaenelfondodelalma.AFernando Izaurieta,porlasdiscusionesbizantinasylasnotanto,porlasincalculablesrisasyportodoloqueheaprendidode elycon el.Mi reconocimientotambienesparalassecretariasdel DepartamentodeFsica;MartaAstudillo, PatriciaLuarteyMarcelaSanhueza, as comotambienparalosauxiliares,HeraldoManrquezyVctorMora.Finalmente,mifamiliaymiesposahanconstituidoelbaluartedemivida,yaellosvamimasprofundoagradecimiento:amispadres,porsuapoyo,suamorysufeincondicionales; ami hermana, porsucari noysusonrisa. Estatesisnohabrasidoposiblesinel amor, el apoyoincondicional ylacomprensiondemi esposa. Aellavatodomiamor.Mi dedicacion exclusiva al Programa de Doctorado fue posible gracias a una becadedocenciadelaEscueladeGraduadosdelaUniversidaddeConcepcion(2001)yaunabecadelaComisionNacional deInvestigaci onCientcayTecnol ogica,CONICYT(2002-2003).iiiResumenEnestatesisconsideramosunaextensionalaTeoraGeneraldelaRelatividaddeEinsteinenunadimensiondpor mediodel formalismodeStelle-West. Eneltratamiento de primer orden para gravitaci on, el vielbein eay la conexion de spin absonconsideradoscomocamposindependientes.Enel contextodeesteformalismo,la gravitaci on ha podido ser escrita como una teora de gauge del grupo de (anti)-deSitter solo en dimensiones impares. En este trabajo introducimos una nuevo campo,llamado la Coordenada de (A)dSa, el cual transforma como vector bajo rotacioneslocalesdeLorentzyestrasladadobajounboostde(A)dS. Estecampoesusadopara construir nuevas variables Vay Wab, las cuales toman el lugar del vielbein y laconexiondespinenlaacciondeLanczos-Lovelock.Elresultadoesunateoradelagravitaci on en cualquier dimension cuya accion es invariante bajo el grupo de (A)dS.Loscoecientesdelosdistintosterminosdelaaccionsonlosmismosqueaquellosescogidosenlaref.[3],ygarantizanquelateoratengaun unicoestadovaco,concurvaturaconstante. Demostramos asimismoque lareducciondimensional de laaccion de Lovelock-Born-Infeld en cuatro dimensiones conduce a la accion de Euler-Chern-Simons en tres dimensiones. En dimensiones mas altas es necesario introducirunahipotesisadicional concernientealadependenciadel vielbeinenladimensionqueestasiendocompacticada.iiiivAbstractIn this thesis we consider an extension to Einsteins General Theory of Relativityinanydimensiondbymeans of theso-calledStelle-West formalism. Intherstorder approachtogravity, thevielbeineaandthespinconnectionabaretakentobeindependentelds. Withinthisformalism, gravityhasbeencastasagaugetheory for the (A)dS group in odd dimensions only. In this work we introduce a neweld called the AdS coordinateawhich transforms as a vector under local Lorentzrotations and gets shifted under an (A)dS boost. This eld is used to construct newvariablesVaandWab,whichtaketheplaceofthevielbeinandthespinconnectionintheLanczos-Lovelockaction. Theresultisatheoryofgravityinanydimensionwhichisinvariantunderthe(A)dSgroup.Thecoecientsofthedierenttermsoftheactionarethesameasthoseof ref. [3], andgauranteethatthetheoryhasauniquevacuumstate,withconstantcurvature.WealsoshowthatthedimensionalreductionoftheLovelock-Born-InfeldactioninfourdimensionsleadstotheEuler-Chern-Simons action in three dimensions. An additional hypothesis, concerning thedependence of the vielbein on the coordinate that it is being compactied, is neededinhigherdimensions.vviContenidosAgradecimientos IResumen IIIAbstract V1. Introduccion 12. VariedadesyCamposTensoriales 52.1. Variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. ElEspacioTangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. TensoresyFormasDiferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. BreveIntroduccionalasFormasDiferenciales . . . . . . . . . . . . . 102.5. LaderivadadeLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. RelatividadGeneral 153.1. RelatividadGeneralenelformalismodeEinstein . . . . . . . . . . . 153.2. ElVielbeinyelgrupodeLorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Torsi onyCurvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4. RelatividadGeneralenelformalismodeCartan . . . . . . . . . . . . 284. TeorasdeGauge 334.1. FormalismoGeneral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. ElgrupodePoincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375. Gravitaci onendimensionesmayores 415.1. MasalladeEinstein-Hilbert:loslagrangeanosdeLovelock . . . . . . 425.2. EcuacionesdemovimientoparalaacciondeLovelock . . . . . . . . . 445.3. Elproblemadeloscoecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46vii5.3.1. Coecientesparadimensionesimpares . . . . . . . . . . . . . 475.3.2. Coecientesparadimensionespares . . . . . . . . . . . . . . . 506. Gravitaci oninvariantebajoelgrupodePoincare 536.1. GravedadcuadridimensionalinvariantebajoelgrupodePoincare . . 546.2. GravedadendimensionesparesinvariantebajoelgrupodePoincare. 577. Gravitaci oninvariantebajoelgrupode(anti-)deSitter 597.1. Laconexionnolineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2. ElformalismodeStelleyWest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3. Gravitaci oninvariantebajoelgrupodeanti-deSitter . . . . . . . . . 647.3.1. EcuacionesdemovimientoparalaacciondeLovelock . . . . . 657.3.2. CargasconservadasparalaacciondeLovelock. . . . . . . . . 678. LaReduccionDimensional 718.1. MetodosdeReduccionDimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.1.1. MetodoI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.1.2. MetodoII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.2. Decuatroatresdimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.2.1. MetodoI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2.2. MetodoII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3. Ded = 2nad = 2n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3.1. MetodoI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3.2. MetodoII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.4. TerceraAlternativadeReduccionDimensional . . . . . . . . . . . . . 808.5. AnalisisdelaReduccionDimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A. NotacionyConvenciones 85B.Eltensor1r1r87C.Elgrupode(anti-)deSitter 89D. IdentidadesTriangulares 91E. CalculodeVayWab93F. CalculodeayhparaunboostdeAdS 95viiiG. Unarepresentaci onmatricialparaelgrupodetraslaciones 99H. ElTeoremadeNoether 101ixxCaptulo1IntroduccionDos interacciones fundamentales gravitaci on y electromagnetismo eran todocuanto se conoca a comienzos del siglo XX. Ambas tienen una historia conocida; elestudiodelainteracci ongravitacional seremontaaGalileoyNewton, siendoeste ultimoquienconcibiounateoramatematicaqueperduromasdedossiglosya unes referente obligado para todos quienes se aproximan al estudio de la fsica. Por sulado,elentendimientodelasinteraccioneselectromagneticasavanzodelamanodeFaraday y Maxwell, entre otros. En este caso fue Maxwell quien provey o de un marcoteorico unicado con el cual podan explicarse los fenomenos electricos y magneticos.Menos conocida es la historia de H. Weyl [21], quien en 1918 propuso una unicaciongeometricadelaTeoraGeneraldelaRelatividaddeEinsteinylaElectrodinamicadeMaxwell.AunquelateoradeWeylnoprosperoensuformaoriginal,stuvoelenormemeritodeintroducirlaideadeinvarianciadegaugecomounprincipiodesimetradelcualpodadeducirselateoraelectromagnetica.Cuatro interacciones fundamentales son actualmente reconocidas por la comuni-dadcientca.Alasyamencionadasinteraccionesgravitacionalyelectromagneticasehanagregadolasas llamadasinteraccionesdebil yfuerte. Estassehallanmuyseparadas de nuestra experiencia cotidiana, ya que son importantes solo en el domi-niosubatomico.Tantolaelectrodinamicacomolasinteraccionesdebilyfuertesonactualmente entendidas como teoras de gauge en el sentido originalmente dado porWeyl.Masa un,todasellashansidocuantizadasexitosamente.Estosignicaqueapartirdelateoraclasicaoriginal esposibleconstruirunateoracuanticaasocia-daquepermitecalcularcorreccionesalasprediccionesclasicas.Estasprediccionespuedenserhechasnitasenlenguajetecnico, lasteorassonrenormalizables,ynumerososexperimentos hanconrmadosuexactitud, enocasiones congradosasombrosos de precision. Nadade estoes validoparalagravitacion. Laversion12 CAPITULO1. INTRODUCCIONcuantica de la teora general de la relatividad conduce a innitos que no pueden sertratados perturbativamente, aun cuando la teora podra ser nita fuera del alcancedel analisis perturbativo. Esta crucial diferencia resulta particularmente sorprenden-tecuandonotamosquelarelatividadgeneral estaconstruidasobreel principiodeinvarianciabajotransformacionesgeneralesdecoordenadas,elcualesunasimetrasimilar a la simetra de gauge. Sin embargo, en el analisis nal notamos que el campofundamental delarelatividadgeneral, lametricadel espacio-tiempo, nopuedeserinterpretado como una conexion en un ber bundle, dado que es un campo que viveenlavariedadbase. Estasconsideracionespuedenparecerexcesivamentetecnicasparaserfundamentales, perolociertoesquelademostraciondelarenormalizabi-lidaddelasteorasdegaugedescansaengranmedidaenestaclasedepropiedades[29].Enel formalismodeprimer orden, el vielbeinylaconexionsonconsideradoscomocamposindependientes. El primerodescribelascaractersticasmetricasdelespacio-tiempo,entantoqueelsegundodacuentadesuspropiedadesanes.Estoscampos pueden ser interpretados como componentes de una conexion para el grupode Poincare o los grupos de de Sitter y anti-de Sitter. En este contexto, la formulaci ondelaRelatividadGeneralcomounateoradegaugefalladebidoaquelaacciondeEinstein-HilbertnoesinvariantebajotraslacioneslocalesdePoincare(oboostsde(A)dS,seg uncorresponda).En a nos recientes, la teora de cuerdas [22] se ha perlado como candidata a unateora unicada para las cuatro interacciones fundamentales. Por otro lado, la teorade Supergravedad[8] intentadar unaversi oncuanticade larelatividadgeneral,usandoel conceptodesupersimetra. Apesardelosdistintosenfoquesutilizados,todas estas teoras compartenlacaractersticadeestar formuladas enalgunadi-mensionespacio-temporal superioracuatro, comodiezuonce. As, laposibilidaddequeel espacio-tiempotengaunadimensionalidadmasaltahapasadoaconsti-tuir una hipotesis usual en la fsica de altas energas. Por supuesto, cualquier teoraformulada en una dimension superior debe ser capaz de reproducir la fenomenologacuadridimensionalqueobservamos;estoesllevadoacabopormediodeunprocesodereducciondimensional.En esta tesis tratamos una teora para la gravitaci on en d dimensiones utilizandouna generalizacion del lagrangeano de Einstein-Hilbert debida a D. Lovelock [16] (vertambien[6]). Encualquiern umerodedimensiones, el lagrangeanodeLovelockesunpolinomiolocaldelvielbeinylacurvatura,elcualesinvariantebajorotacioneslocales de Lorentz en el espacio tangente. En dimensiones impares existe una eleccionde los coecientes del polinomio tal que el lagrangeano adquiere invariancia (modulounaderivadatotal) bajoel grupocompletode(A)dS, ynosolobajorotaciones.3Enestoscasos, lateorapuedeserverdaderamenteinterpretadacomounateoradegauge. Unaeleccionanalogadecoecientesendimensionesparesproduce, sinembargo,unlagrangeanoqueconservasololainvarianciabajotransformacionesdeLorentz.Unodelosprincipalespropositosdeestatesisesmostrarcomo,mediantelautilizaciondeunformalismoapropiado, es posibleescribir unaaccionparalagravitaci oninvariantebajotransformaciones locales del grupode(A)dS, sinqueseanecesarioadoptar unconjuntoespeccodecoecientes enel lagrangeanodeLovelock.Latesisestaorganizadacomosigue. Enelcaptulo2,seintroducenbrevemen-telasherramientasmatematicasdel calculotensorial yformasdiferenciales. Enelcaptulo 3 revisamos la Teora General de la Relatividad de Einstein. Esto es llevadoacaboprimeroenelformalismotensorialusualyluegoapartirdelpuntodevistade Cartan, utilizando como campos fundamentales formas diferenciales denidas enelespaciotangente.Elcaptulo4estadedicadoapresentarlosfundamentosdelasteoras de gauge, as como la utilizacion del grupo de Poincare como grupo de gauge.Estecaptulosebeneciaenormementedelautilizaciondeformasdiferenciales;enparticular, la conexion para el grupo de gauge es una 1-forma valuada en el algebradeLiedel grupo. Enel captulo5exploramosendetallelasgeneralizacionesdelaacciondeEinstein-Hilbertparadimensionessuperioresacuatro.Analizamossepa-radamente los casos de dimensiones pares e impares. El captulo 6 esta dedicado a laconstruccion de una accion para gravitacion en d dimensiones invariante bajo trans-formacioneslocalesdel grupodePoincare. El captulo7contienelageneralizacional grupo de (anti-)de Sitter; la construccion esta basada en la teora de realizacionesnolinealesdegruposdeLie[4,7,24,28].Deducimoslasecuacionesdemovimientoparalateoraycalculamoslascargasconservadasasociadasalasdistintasinva-rianciasdelaaccion. Enel captulo8estudiamoslareducciondimensional delaacciondeLovelock-Born-Infeldrealizadanolinealmentedesdeunadimensionpararbitraria a la dimension impar inmediatamente inferior. Esta reduccion es llevada acabo utilizando tres metodos distintos [13, 14]. Estos constituyen un caso particularde reduccion de Kaluza-Klein en el cual los campos escalar y vectorial que surgen enlareduccionsonpuestosigualesacero. Todoel procesoesilustradoprimeroenelcaso de cuatro a tres dimensiones. Los apendices contienen la notacion y las conven-ciones, ademasdedetallesacercadeloscalculosinvolucradosenlatesis. Tambiensepresentanunaintroduccional grupode(anti-) deSitter yunadeducciondelTeoremadeNoether,elcualesutilizadoparaelcalculodelascargasconservadas.4 CAPITULO1. INTRODUCCIONCaptulo2VariedadesyCamposTensorialesNoentreaququiennosepageometra.(Platon,427a.C.-347a.C.)Enestecaptulorevisamosalgunosdelospreliminaresmatematicosnecesariospara los desarrollos posteriores. Las referencias relevantes son el libro de M. Nakahara[20]yelartculodeEguchi,GilkeyyHanson[10].Unaintroduccionpracticaalostensores y las formas diferenciales puede ser encontrada en el libro de S. Carroll, ref.[5].2.1. VariedadesUnavariedadesel conceptomatematicoprecisoparalaideaintuitivadeunasupercie suave. Ejemplos de variedades incluyenla2-esferaS2, el toroT2yel espaciode parametros de cualquier grupode Lie. Engeneral, una variedaddiferenciableMesunespaciotopologicoqueeslocalmentehomeomorco1a Rn[20], auncuandopuedandiferir globalmente. Este homeomorsmolocal permiteasignar coordenadas a los puntos de M. Cuando Mno es globalmente homeomorcaa Rn,puedesernecesariointroducirvariossistemascoordenados.Esdeestemodoposible que un punto enMtenga varias coordenadas. Requerimos que la transiciondeunacoordenadaalaotraseasuave. Esterequerimientopermitedesarrollarelcalculousual enunavariedad. Esdecrucial importancianotarquelaeleccionde1Denicion[20]:SeanX1yX2espaciostopologicos.Unmapeof: X1 X2esunhomeo-morsmo si es continuo y tiene un inversof1: X2 X1que tambien es continuo. Si existe unhomeomorsmo entreX1yX2, se dice queX1es homeomorco aX2y viceversa.56 CAPITULO2. VARIEDADESYCAMPOSTENSORIALESlascoordenadasescompletamentearbitraria, apartedelosrequerimientosbasicosdecontinuidadydiferenciabilidad.EstosecorrespondemuybienconlosprincipiosdelaTeoraGeneraldelaRelatividad,comoveremosmasadelante.2.2. ElEspacioTangenteConsideremos unpuntoPenunavariedaddiferenciableM, yel conjuntodetodas las curvas en Mque pasan por este punto. Cada una de ellas puede ser escritacomo x= x(), en donde x es un sistema coordenado local y es el parametrodelacurva. Esteparametroserausadoparaetiquetarlascurvas; as, x=x()yx=x()representandoscurvasatravesdeP. Losoperadoresdederivaci onalolargodeestascurvas, d/d, d/d, etc., calculadosenel puntoPencuestion,formanunespaciovectorial2. Estoes, si , yetiquetantrescurvasquepasanporP,entonceslossiguientesaxiomas[20]sonsatisfechos:1. d/d + d/d= d/d+ d/d.2. (d/d + d/d) + d/d = d/d + (d/d+ d/d).3. La curvax= x() = x(P) satisfaced/d +d/d= d/d, para toda curvax= x().4. Paracualquier curvadeparametroexisteotradeparametro tal qued/d + d/d () = 0.5. a (d/d + d/d) = ad/d + ad/d.6. (a +b) d/d = ad/d + bd/d.7. (ab) d/d = a (bd/d).8. 1 (d/d) = d/d.Aquaybsondosn umerosrealescualesquiera.Unaclaseparticulardederivadadireccionalocurreparaaquellascurvasenquesolounadelas funciones coordenadas es variable, ytodas las demas semantie-nenconstantes. Enestecasopodemosutilizaresta unicacoordenadavariableco-mo parametro de la curva, yescribir el operador de derivada direccional como2Estos operadores de derivacion act uan sobre funciones f: M R denidas en la variedad M.2.2. ELESPACIOTANGENTE 7/x. Este operador noes mas que lausual derivadaparcial del calculoenvariasvariables.Paraunacurvagenericax=x(),laregladelacadenanospermiteescribirdd=dxd. (2.1)Estosignicaqueel conjuntodelasderivadasparciales enunpuntoPdelavariedad constituye una basepara el espacio vectorial formado por todas las deriva-das direccionales en ese punto. Si d/d es un vector cualquiera en este espacio, la ec.(2.1) nos dice que sus componentesen la basecoordenada son dx/d. Adi-cionalmente,vemosqueladimensiondeesteespaciovectorial,llamadoelespaciotangenteenelpuntoP,esigualaladimensiondelavariedadM.Unvectoresunobjetogeometricoindependientedelascoordenadas; sinem-bargo, losvectoresdelabasecoordenada hansidoinducidos porel sistemacoordenadoquehemosescogido. Porlotanto, si cambiamosde xaunsistemacoordenado x,deberemosllamarbasecoordenadaalasderivadas

/x.UnvectorApuedeserescritodeestemodoencualquieradeestasbasescomoA = A= A

, (2.2)en donde Ay Ason sus componentes en las bases y_

_, respectivamente3.La conexion entre ambas bases proviene de la regla de la cadena del calculo en variasvariables4:x=xxx. (2.3)Las matrices (x/x) formanunarepresentaciondel grupodetransforma-ciones generales decoordenadas. Usando(2.3) en(2.2) encontramos quelascomponentesAyAestanrelacionadasmedianteA=xx A. (2.4)Vemos as que, mientras las componentes del vector transforman de acuerdo a la ma-triz (x/x), los vectores de la base transforman con la matriz inversa (x/x),demododeasegurarlainvarianciadelvectorA.3Notemosqueusamossuperndicesparalascomponentesdeunvector,enoposicionaloqueocurra con las bases. La convencion de sumar sobre ndices repetidos se aplica solo para ndicesen posiciones opuestas, como aqu.4A menos que se indique explcitamente lo contrario, todas las derivadas deben ser calculadasen el puntoPen cuestion.8 CAPITULO2. VARIEDADESYCAMPOSTENSORIALES2.3. TensoresyFormasDiferencialesUnavez que tenemos unespaciovectorial, siempre es posible construir otroespaciovectorial, llamadoel EspacioVectorial Dual. Si denotamos por TPalespacio tangente (consistente de todos los vectores tangentes en el punto P), entoncessu dual sera denotado por TPy llamado Espacio Cotangente. El espacio dual es elespacio de todos los mapeos linealesdesde el espacio vectorial original a los n umerosreales; esto es, si TPes un vector dual, su accion sobre la combinaci on lineal dedosvectoresV yWsatisface (aV+ bW) = a (V ) + b (W) , (2.5)en donde a y b son dos n umeros reales cualesquiera. Esta es la propiedad de linealidaddel mapeo . Dos mapeos lineales y pueden sumarse y multiplicarse por escalaresenformalineal;as,a + bestambienunmapeolinealdesdeelespaciovectorialoriginalalosn umerosrealesenelsentidoque(a + b) (V ) = a (V ) + b (V ) . (2.6)Estapropiedadhacequeestosmapeossatisfaganporsmismoslosaxiomasdeunespaciovectorial. Deestemodo, el espaciocotangenteesel conjuntodetodoslosmapeoslinealesdelaforma: TP R, con (aV+ bW) = a (V ) + b (W) . (2.7)Losvectoresdualesdel espaciocotangentesontambienllamados1-formas; larazonparaestaterminologaseracomprendidaunpocomas adelante. El primerejemplodeuna1-formaeselgradientedeunafuncionf,denotadopordf.Estesedeneapartirdesuaccionsobreunvectortangented/denlaformadf_dd_ =dfd. (2.8)Enpalabras,cuandola1-formadfact uasobreelvectortangented/delresultadoes un n umero real que corresponde a la derivada direccional de fen la direccion dadapor d/d. As como pudimos encontrar una base natural (la base coordenada) para elespaciotangente,tambienesposibleencontrarunabaseigualmentenaturalparaelespacio de 1-formas. Las funciones de punto mas simples en las que podemos pensarsonaquellasquenosentreganelvalordelascoordenadasdelpuntoP;esdecir,lasfunciones coordenadas mismas. Los gradientesde estas funciones coordenadas sirven2.3. TENSORESYFORMASDIFERENCIALES 9comounabaseparael espaciodelas1-formasenP; estoes, si esuna1-forma,entoncespodemosescribir= dx. (2.9)Mas a un, la base dx es dual a la base coordenada en el sentido que la acciondela1-formadxsobreelvectorestadadapordx_x_ =xx= . (2.10)Lareglaparalatransformaciondeloselementosdelabase dxbajoelgrupodetransformaciones generales de coordenadas es obtenida a partir de la expresion paraeldiferencialdeunafuncion,enestecasox= x(x):dx=xx dx. (2.11)Enperfectaanalogaconel casovectorial, lascomponentesdeuna1-formatransformanconlamatrizinversa,

=xx, (2.12)de modo de garantizar la invariancia de la 1-forma = dxbajo transformacionesgeneralesdecoordenadas.Unageneralizacioninmediatadelas ideas devector tangentey1-formaes lanocion de un tensor. Del mismo modo en que una 1-forma es un mapeo lineal desdeTPalos n umeros reales, untensor detipo(m, n) es unmapeomultilineal delaformaT: TPTP. .mTPTP. .nR, (2.13)donde denotaproductocartesiano, de modoque, por ejemplo, TP TPes elespaciodeparesordenadosdevectores. Lamultilinealidadsignicaqueel tensoract ualinealmentesobrecadaunodesusargumentos. Porejemplo, parauntensordetipo(1, 1)tenemosT (a + b, cV+ dW) = acT (, V )+adT (, W)+bcT (, V )+bdT (, W) , (2.14)donde y son dos 1-formas, Vy Wdos vectores y a, b, c y d son cuatro n umerosreales cualesquiera. En este contexto, un escalar es un tensor de tipo (0, 0), un vectoresuntensordetipo(1, 0)yuna1-formaesuntensordetipo(0, 1).10 CAPITULO2. VARIEDADESYCAMPOSTENSORIALESEl espaciodetodoslostensoresdetipo(m, n)denidosenunpuntoPdelavariedadformaunespaciovectorial. Paraconstruir unabase paraeste espacio,necesitamosdenirel productotensorial entredostensores, denotadocon . Si Sesuntensordetipo(k, )yTesuntensordetipo(m, n), entoncesel productotensorial STes un tensor de tipo (k + m,+ n) determinado por su accion sobreunconjuntode(k + m)1-formasy( +n)vectoresenlaforma(S T) (1, . . . , k, k+1, . . . , k+m, V1, . . . , V

, V+1, . . . , V+n)= S (1, . . . , k, V1, . . . , V

) T (k+1, . . . , k+m, V+1, . . . , V+n) . (2.15)Deacuerdoconestadenicion, cadatensoract uasobresuspropiosargumentosylosresultadossemultiplican(sondosn umerosreales). Notemostambienque, engeneral,S T ,= T S.Equipados con ambas bases coordenadas dx y , mas el producto tensorialque hemos denido, podemos escribir un tensor de tipo (m, n) como una combinacionlinealdelproductodirectodeestasbasesenlaformaT= T1m1ndx1 dxn1 m. (2.16)Las componentes de este tensor transforman tal como la ubicacion de los ndices nospermitepredecir:T1m1n=x1x1

xmxmx1x1

xnxnT1m1n. (2.17)2.4. BreveIntroduccionalasFormasDiferencia-lesElproductoexteriordedos1-formasysedenecomo , (2.18)yesllamadouna2-forma.Si= dxy= dx,entonces = (dxdxdxdx) =12 ( ) dx dx. (2.19)Este peque no calculo nos muestra que los productos exteriores dxdx, con < forman una base para el espacio vectorial de las 2-formas en el punto P. En general,unap-formaoformadiferencialdegradopseescribecomo =1p!1pdx1 . . . dxp, (2.20)2.4. BREVEINTRODUCCIONALASFORMASDIFERENCIALES 11dondeel productoexteriordep1-formasestadenidocomoel productotensorialtotalmenteantisimetrizadodx1 . . . dxp 1p1p dx1. . . dxp. (2.21)Aqu1p1pesladeltadeKroneckergeneralizada(verApendiceB).Resultaclaroque, sin perdida de generalidad, podemos considerar los coecientes 1pen (2.20)comototalmenteantisimetricos;estoes, 1p=[1p]. El espaciodetodaslasp-formasenunpuntoPdeunavariedadconstituyeunespaciovectorial,denotadoporp.Siladimensiondelavariedadesn,entoncesladimensiondepesdim(p) =_np_ =n!p! (n p)!. (2.22)Noexistenp-formasparap>n; debidoalaantisimetra, todassuscomponentesserancero.El producto exterior para formas diferenciales de grado arbitrario es obtenido enformaasociativaapartirdel productopara1-formas. Si Pesunap-formayQesunaq-forma,entoncessuproductosatisfaceP Q = (1)pqQ P, (2.23)demodoqueel productoexteriordedosformasdegradoimparesantisimetrico,mientrasquetodoslosdemasproductosexterioressonsimetricos.Laderivadadeunap-formaesuna(p + 1)-forma,denotadapord,concom-ponentesd 1p!1pxdx dx1 . . . dxp. (2.24)Estaderivada,llamadaderivadaexterior,satisfaceunaregladeLeibnizapropia-damente corregida con un signo para el caso de formas de grado impar. Si Pes unap-formayQesunaq-forma,entoncesladerivadaexteriordesuproductosatisfaced (P Q) = dP Q + (1)pP dQ. (2.25)Laimportanciadeladerivadaexteriorradicaenelhechoqueestambienunobjetogeometrico independiente de las coordenadas, al igual que la p-forma . Esto signicaquelascomponentesdela(p + 1)-formadtransformancovariantementebajoelgrupodetransformacionesgeneralesdecoordenadas.Unapropiedadcrucialdeladerivadaexterioresque,paracualquierformadife-rencial,d (d) = 0, (2.26)12 CAPITULO2. VARIEDADESYCAMPOSTENSORIALESlocual es amenudoescritosimb olicamentecomod2=0. Estaidentidades unaconsecuencia de la denicion de la derivada exterior, mas el hecho que las derivadasparcialessiempreconmutan, 0.A modo de ejemplo, analicemos los campos de formas diferenciales existentes enel espacioeuclideanotridimensional. Comohemosvisto, entresdimensionessoloexisten0,1,2y3-formas.Estaspuedenescribirsecomo(i) 0= f (x, y, z),(ii) 1= x (x, y, z) dx + y (x, y, z) dy + z (x, y, z) dz,(iii) 2= xy (x, y, z) dx dy +yz (x, y, z) dy dz + zx (x, y, z) dz dx,(iv) 3= xyz (x, y, z) dx dy dz.Laacciondeloperadordederivaci onexteriordsobrecadaunadeestasformasdiferencialesproduce(i) d0= (f/x) dx + (f/y) dy + (f/z) dz,(ii) d1= (y/x x/y) dx dy + (z/y y/z) dy dz++(x/z z/x) dy dz,(iii) d2= (yz/x + zx/y + xy/z) dx dy dz,(iv) d3= 0.Identicamos aqu laaccionde dsobre 0conel gradiente, sobre 1conelrotacional, y sobre 2con la divergencia. Vemos as que el formalismo de las formasdiferencialesyladerivacionexteriorreproducendemaneranatural losoperadoresdiferencialesusualesdelcalculovectorialen R3.2.5. LaderivadadeLieSea(x)uncampotensorial degradoarbitrario(suprimimostemporalmentelosndices). Bajounatransformacioninnitesimal de coordenadas xx=x+(x),lafuncion(x)cambiar aengenerala[23]

(x

) = (x) + (x) + (x) , (2.27)2.5. LADERIVADADELIE 13donde(x)

(x) (x) (2.28)es el cambiofuncional de. Enestaseccionestaremos interesados enescribirunaformulageneral parael cambiofuncional deunaformadiferencial degradoarbitrario.Unafuncionescalar (formadiferencial degrado0) es denidaapartir delrequerimiento

(x

) = (x) . (2.29)De (2.27) vemos que esta denicion es equivalente a decir que el cambio funcionalenbajoxx= x+ (x)puedeescribirseenlaforma(x) = (x) . (2.30)Una1-formaA = Adxpuedetambienserdenidaapartirdelaleydetrans-formacionde sus componentes, ec. (2.12). Paraunatransformacioninnitesimalxx= x+(x),estaecuaciontomalaformaA

(x

) = A (x) A (x) (x) . (2.31)Comparando con (2.27), vemos que el cambio funcional inducido en A (x) por estatransformacionesA= AA. (2.32)Laec.(2.32)puedeserreescrita(usandolaregladeLeibniz)comoA= _A_(AA) . (2.33)Estaecuacionmarcaralapautadelaformageneral deparaunap-forma.Notemos que ellainvolucraladerivadaexterior del productoA, as comolacontracci ondeconla2-formadA =12 (AA) dx dx.Denimos el operador de contraccion5Iapartir desuaccionsobreunap-forma =1p!1pdx1 dxp(2.34)porI 1(p 1)!11pdx2 dxp. (2.35)5Tambien conocido como productointerior y denotado por|.14 CAPITULO2. VARIEDADESYCAMPOSTENSORIALESNotemosqueIdisminuyeenunaunidadel gradodeunaformadiferencial. EsteoperadordecontraccionsatisfacelaregladeLeibniz: si Pesunap-formayQesunaq-forma,entoncesI (P Q) = IP Q + (1)pP IQ. (2.36)Al igual que la derivada exterior, el operador de contracci on es nilpotente: II= 0.La derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial de una forma diferencialdegradoarbitrarioesdenidacomoelanticonmutadordeladerivadaexterioryeloperadordecontraccion: dI + Id. (2.37)Estaderivadanocambiaelgradodeunaformadiferencial,ysatisface(comotodabuenaderivada)laregladeLeibniz: (P Q) = P Q + P Q. (2.38)Sudenicionpermiteescribirel cambiofuncional enunap-formabajolatrans-formacioninnitesimalxx= x+ (x)simplementecomo = . (2.39)Estaexpresionhasidovericadaparauna1-formaA=Adxyparauncampoescalar(0-forma)(enestecaso,I=0);delmismomodoesposiblecomprobarsuvalidezparaformasdiferencialesderangoarbitrario.Captulo3RelatividadGeneralTheres a rumor that only three people in the entire world understandEinsteinstheory, hesaid, andyoumustbeoneof them.Eddingtonlookedat himinsilenceforseveral seconds. Dont bemodest, Edding-ton, themansaid. Eddingtonshrugged. Not at all, saidEddington,Iwaswonderingwhothethirdmightbe.3.1. Relatividad General en el formalismo de Eins-teinLaTeoraGeneral de laRelatividadexplicalos fenomenos gravitaciona-lescomounamanifestaciondelacurvaturadel espacio-tiempo. Ensuformulacionoriginal, dadapor Einsteinen1915, ellahaceusodel aparatomatematicodelageometradeRiemann.Enestageometra,elobjetoprincipaleseltensormetrico,delcualtodaslaspropiedadesgeometricasdelespaciosondeducibles.ElprincipiofsicoclavetraslaTeoraGeneraldelaRelatividadeselPrincipiode Equivalencia. Para enunciar este principio necesitamos primero denir que enten-demos por un marcodereferencialorentziano. Este no es mas que la generalizacionrelativistadel marcodereferenciainercial newtoniano. As, unmarcode refe-rencialorentziano[19] esaquel enel quelavelocidaddelaluztomasuvalorestandar, ylosrayosdeluz, al igual quelaslneasdemundodelaspartculasdeprueba,sonrectos.El PrincipiodeEquivalenciaarmaque, encadapuntodelespacio-tiempo,essiempreposibleintroducirunmarcodereferencialorentzianolo-cal tal queenel las leyes delafsicatomanlamismaformaqueenRelatividadEspecial. Fue este principio el que motivo a Einstein a utilizar una variedaddiferen-1516 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALciablecomoarena.Unavariedaddiferenciablees,enpocaspalabras,unespaciotopologicoqueeslocalmentehomeomorcoa Rn.Lasimilitudentreambasconcep-ciones es clara; la variedad diferenciable del espacio-tiempo puede ser muy compleja,perolocalmenteesmapeablealespacio-tiempoplanodeMinkowski.Elhomeomor-smolocalnospermiteintroducircoordenadasenunavecindaddeunpunto; estasno son mas que un mapeo entre una vecindad abierta de la variedad y una vecindadabiertade Rn.Esclaroqueestemapeoesengranmedidaarbitrario,salvoporlosrequerimientosdecontinuidadydiferenciabilidad; luego, existeninnitasmanerasposibles de introducir coordenadas en una vecindad de un punto de la variedad. Porsupuesto, ningunacantidadfsicamenterelevantepuedeenterarsedealg uncambiorealizadoenlascoordenadasdelavecindad.Estosignicaquetodaslascantidadesconsentidofsicodebenserinvariantesbajoelgrupodetransformacionesgeneralesdecoordenadas.Porlotanto,nuestradescripciondelavariedaddebeusarobjetosgeometricoscomovectores,tensoresyformasdiferenciales,loscualessonindepen-dientesdelascoordenadasescogidas.En la geometra de Riemann, las propiedades metricas del espacio estan conteni-das en el tensormetrico1g: este provee de un medio para calcular el productopuntoentredos vectores AyB, denotadopor AB. Las componentes coorde-nadasdeestetensorcorrespondenal productopuntoentrelosvectoresdelabasecoordenada:g . (3.1)Suconocimientopermiteel calculodel productopuntoentredosvectorescuales-quieraatravesdeAB=AB( )=ABg. Unproductopuntoinducenaturalmenteunanormaenel espacio, locual justicael nombredemetricadadoaestetensor.Las propiedades metricas del espacionos hablanacercade longitudes, areas,vol umenes, etc. Encambio, propiedadesinvariantesdeescalatalescomoformasyangulos corresponden a la estructura afndel espacio [32]. Estas se hallan contenidasenlaconexionafn, lacual nospermitetrasladarunvectorparalelamentealolargodeunacurva. Estatraslacionparalela, asuvez, nospermitedenirunaderivada covariante Den la variedad. Para tener una derivada necesitamos un mo-doparacomparar vectores enpuntos cercanos delavariedad. Sinembargo, estonopuedeserhechodirectamente,dadoquevectoresenpuntosdistintospertenecenaespaciostangentesdistintos. Estopuedeser vistomasclaramentenotandoque1Estrictamente hablando,gson las componentesdel tensor metricog en la base coordenada. Sinembargo, seguiremosreriendonos, enformauntantoinexacta, agcomoel tensormetrico para evitar confusiones cong det (g).3.1. REL.GENERALENELFORMALISMODEEINSTEIN 17V(x + dx)V(x + dx; x)V(x)x + dxx//Figura3.1:RepresentacionEsquematicadelTransporteParalelo.lamatriz(x/x), quemediael cambioenlas componentes deunvector ba-jounatransformaciongeneral decoordenadas, esunafunciondepunto. As, dosvectoresV(x)yV(x + dx)transformanconmatricesdistintas,ysucontracci onnoformaunescalar(enel sentidodequenoesinvariantebajotransformacionesgeneralesdecoordenadas).Laconexionafnnospermitetrasladarparalelamenteelvector V(x + dx) en x +dx hasta x, donde es posible compararlo con V(x). Estatraslacionesprescritaseg unlaleyV

(x + dx; x) = V(x +dx) + dxV(x) . (3.2)As, el vectortrasladadoparalelamentedesdex + dxhastax, quedenotamosporV

(x + dx; x), es obtenidoapartir de laaccionde lamatrizdxsobre elvectorenx, V(x). Esimportantenotarquelaconexionafndenelanociondetransporteparaleloenunavariedad; dos conexiones anes distintas deniran, engeneral,nocionesdetransporteparalelodistintas.LaderivadacovariantedeVconrespectoalaconexion, denotadaporDV,quedadenidaatravesdelaecuaciondxDV= V

(x + dx; x) V(x) ,= V(x + dx) + dxV(x) V(x) ,= dx_V(x) + V(x),estoes,DV V+ V. (3.3)Para que esta derivada transforme tensorialmente bajo el grupo de transformacionesgenerales decoordenadas, es necesarioexigir quelaconexionafncambiedeacuerdoa=xxxxxxxxxx2xxx. (3.4)18 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALComo vemos, las componentes de la conexion afn transforman de modo no tensorial(oinhomogeneo)bajoel grupodetransformacionesgeneralesdecoordenadas; suleyde transformaciones tal, noobstante, que aseguraque lacombinacion(3.3)transformecovariantemente.Engeneral, unavariedadadmiteungrann umerodeconexionesquesatisfagan(3.4). En la geometra de Riemann, sin embargo, y por lo tanto tambien en Relativi-dad General, una de entre todas estas es singularizada a partir de los requerimientos= , (3.5)Dg= 0. (3.6)Laprimeradeestasecuacionesexpresalaanulaci ondeltensordetorsionT . (3.7)Notemosque(i)si transformacomoconexion, lomismoesvalidopara, yque (ii) la diferencia entre dos conexiones transforma como un tensor de tipo (1, 2).Luego, (3.7) dene a un honesto tensor (1, 2). El segundo requerimiento es conocidocomocompatibilidadmetrica, yexpresalapreservaci ondel productointernoentredos vectores bajo transporte paralelo. Esto quiere decir que la magnitud de un vectorespreservadaal sertransportadoparalelamente, as comotambienel anguloentredosvectores. LaconexionquecumpleconestosrequerimientosesconocidacomoconexiondeChristoel, y puede ser escrita en terminos del tensor metrico y susderivadasenlaforma=12g(g + gg) . (3.8)Engeneral, laconexionesel objetomatematicoquenospermitecuanticarlacurvaturadeunavariedad. UnadelasmanifestacionesdelacurvaturavienedadaporlanoconmutatividaddelasderivadascovariantesD.LamedidadelafaltadeconmutatividaddedosderivadascovariantesDyDesdadaporsuconmutador[D, D] DDDD. Usando la denicion (3.3) podemos calcular la accion delconmutadordedosderivadascovariantessobreunvectorV.Estaresultaser[D, D] V= RVTDV, (3.9)dondeTeseltensordetorsion(elcualseanulaparalaconexiondeChristoel),yResconocidocomoeltensordecurvaturadeRiemann:R + . (3.10)3.1. REL.GENERALENELFORMALISMODEEINSTEIN 19El tensor de Riemann mide la parte del conmutador entre dos derivadas covariantesquees proporcional al campovectorial mismo, mientras queel tensor detorsionmide aquella parte que es proporcional a la derivada covariante del campo vectorial;lasegundaderivadanoapareceenning unlado. Notemos quenonecesitamos delametricaparadenirel tensordeRiemann;esteesfuncionexclusivamentedelaconexion y sus derivadas parciales (las derivadas covariantes de la conexion no estandenidas:ellanoesuntensor!).EltensordeRiemanncontienetodalainformacionacercadelacurvaturadelavariedad. Informacionmasresumidapuedeencontrarseensuscontracciones; esen-cialmentela unicaquepuedeserhecha2esR R, (3.11)ecuacionquedeneal tensordeRicci. Latrazadel tensordeRicci entregaunamedidaescalardelacurvatura,yesconocidacomocurvaturaescalardeRicci:R gR. (3.12)Notemos que una variedad puede ser curva y no obstante el tensor de Ricci ser nulo;encambio, si algunacomponentedel tensordeRiemannesdistintadecero, estoindicainequvocamentelapresenciadecurvatura.A modo de ejemplo, consideremos una esfera de radio a, la cual parametrizamosconlosangulosydelascoordenadasesfericas.Lametricaenesteespacioesds2= a2_d2+ sin2d2_. (3.13)Las unicascomponentesnonulasdelaconexiondeChristoelson= sin cos , = =cos sin ,en tanto que una componente representativa del tensor de Riemann (todas las demaspuedenobtenerseapartirdeellaporsimetras)esR= sin2.2La unicidad del tensor de Ricci proviene de las simetras del tensor de curvatura de Riemann.De su denicion como conmutador de dos derivadas covariantes, es evidente queR = R.Cuando la conexion de Christoel es utilizada, tenemos las simetras adicionales R = R,R= R, yR[] = 0. Esto signica que el tensor de Riemann metrico (es decir, aquelderivado de la conexion de Christoel) puede ser visualizado como una matriz simetricaR[][],donde los pares antisimetricos y son considerados como ndices individuales. Por lo tanto, la unica contraccion posible es entre el primer y el segundo par de ndices, estando todas las demasrelacionadas con ella por un signo.20 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALEstacomponentenonulaesunreejodelacurvaturadelaesfera. LacurvaturaescalardeRicci esR=2/a2. Susignocorrespondeanuestraconcepcionintuitivadequeunaesferatienecurvaturapositiva.Notemostambienque, amedidaquea ,lacurvaturaescalardeRiccisehacecadavezmaspeque na.Estotambiensecorrespondeconnuestranocionintuitivadequeunaesferaderadiomuygrandesevelocalmentecasiplana:nuestropropioplanetaeselmejorejemplo!DeacuerdoaEinstein, ladistribuciondemateriayenergaenel universode-terminanlageometradeeste.CitandoaMisner,ThorneyWheeler[19],podemosdecirqueel espacioact uasobrelamateria, diciendolecomomoverse. Asuvez,lamateriareaccionasobreel espacio, diciendolecomocurvarse.Esdecirquelateoradelagravitaci ondeEinsteinesunateoradeladinamicadelageometra,ogeometrodinamica.LasecuacionesdecampodeEinsteinnosproveendelvnculocuantitativoentremateriaygeometra. Ellaspuedenserobtenidasapartirdeunprincipiovariacio-nal, aunquenofueesteel metodousadoporEinsteinmismoparadeducirlas. Ennoviembre de 1915, y en forma casi simultanea con el artculo denitivo de Einstein,el matematicoalemanDavidHilbertpropusounfuncional deaccionquepermitededucirlasecuacionesdecampo.EstaeslaacciondeEinstein-HilbertS(4)EH=_d4xgR, (3.14)donde g det (g) < 0 es el determinante del tensor metrico. Si adoptamos el puntode vista de Einstein, entonces la metrica es el unico campo fundamental y esta accionresulta ser un funcional de la metrica y sus derivadas. Ademas, el lagrangeano L(4)EH=R es un escalar, de modo que la accion es invariante bajo transformaciones generalesde coordenadas. De todos los escalares de curvatura (ejemplos: R, RR, RR,etc.) que pueden formarse en cuatro dimensiones, Hilbert escogio la curvatura escalardeRicci R, dadoqueesel unicoqueproveedeecuacionesdesegundoordenparalametrica. El requerimientodequeestaaccionseaestacionariafrenteapeque nasvariaciones g en la metrica nos conduce a las ecuaciones de campo de Einstein(enelvaco)R 12Rg= 0. (3.15)Hasta aqu hemos seguido la ruta de la Teora General de la Relatividad, la cualestaformulada, comohemosvisto, usandotensoresescritosenbasescoordenadasylaconexiondeChristoel. Enel caminofuenecesarioponerel tensordetorsionidenticamenteigual acero, locual fuehechosinmasjusticacionqueladepoderobtener unaconexionafnenterminos delametrica. Estoequivaleareducir las3.2. ELVIELBEINYELGRUPODELORENTZ 21caractersticasanesdeunespacioapropiedadespuramentemetricas.Engeneral,paralelismo y metricidad pueden ser considerados como nociones independientes. Nonecesitamos medirangulos ni distancias para denir el transporte paralelo [32]. As,resulta interesante buscar una formulacion de la Teora General de la Relatividad endondeestaindependenciaseatomadaencuenta.Esteformalismoexiste,yescono-cidocomometododePalatini,enlaformulaciontensorial,oformalismodeprimerorden,cuandotrabajamosconformasdiferenciales.Enlasseccionessiguientesnosaproximamos a este enfoque, el cual nos permite escribir no solo Relatividad Generalsinoquetodaunanuevaclasedeteorasquecompartensusmismosfundamentosgeometricos.3.2. ElVielbeinyelgrupodeLorentzLabasecoordenadaparaelespaciotangenteenunpuntoPestadisponibletanpronto como tenemos un sistema coordenado local en este punto, de modo que resultamuy natural recurrir a ella. Sin embargo, esta base no es, en general, ortogonal; masbien[cf.ec.(3.1)], = g, (3.16)donde gson las componentes del tensor metrico en la base coordenada en el puntoP. Por otro lado, siempre es posible encontrar, en cada punto Pde la variedad, unabaseortonormal eaquecumplaconea eb= ea ebg= ab, (3.17)dondeab=diag (1, +1, . . . , +1)eslametricadel espacio-tiempoplanodeMin-kowski. Esimportantenotarqueestabaseortonormal eslocal; estoes, suscom-ponenteseasobrelabasecoordenadasonfuncionesdepunto. Estascomponentesformanlamatrizdecambiodebasede a ea, enel sentidoqueea=ea .Paraqueestecambiodebasesealegtimo,debeserposibleescribirlosvectoresdelabasecoordenadaenterminosdelosea. Estosignicaquedebeexistirlamatrizinversa eatalque= eaea,con ea ea= , eb ea= ab. (3.18)Paraserconsistentecon(3.17),estamatrizdebesatisfacerlarelaciong= ea ebab. (3.19)22 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALUncalculodirectomuestraqueestamatrizinversaessimplemente ea= ea abebg, (3.20)enel sentidoqueeasatisfacelasecs. (3.18)y(3.19). As, podemosescribirlaec.(3.19)comoeaebab= g. (3.21)Estaecuacionllevaaunoadecirqueloseaformanlarazcuadradadel tensormetrico g. Como vemos, una vez conocidas las componentes de la matriz ea resultadirectocalcularlametricadelespacio-tiempoatravesde(3.21).Estosignicaqueestascomponentescontienentodalainformacionexistenteenel tensormetrico, yesporlotantoposiblerecurriraellasparaefectuarunadescripcionalternativadelagravitaci on.Enddimensiones,lametricatiened (d + 1) /2componentesindependientes,entantoqueeatiened2. Ladiferenciaseexplicaporel hechoque, si biengquedaunvocamenteespecicada[atravesde(3.21)] unavezqueconocemosea, laar-macion recproca no es cierta. Es decir que, para un tensor metrico gdado, existetoda una clase de equivalencia de eas que satisfacen (3.21). En efecto, notemos quesireemplazamoseaporea ea= abeb(3.22)en(3.21),obtenemoseaebab= eced_acbdab_. (3.23)Laec.(3.21)siguesiendovalidaparaeasilasmatricesabsatisfacenlacondicionacbdab= cd. (3.24)As, decimos que la metrica del espacio-tiempo ges invariante bajo las rotaciones(3.22)delabaseortonormal local easi lasmatricesderotacionabsatisfacenlacondicion(3.24).Todas las matrices decomponentes abquecumplencon(3.24) formanungrupo, llamado el grupodeLorentz. ElgrupodeLorentzeselgrupoderotacionesdelespaciodeMinkowski, y sus elementos son llamados transformacionesdeLo-rentz.Parademostrarlapropiedaddegrupo[11],resultamasconvenienteescribir(3.24) en forma matricial, deniendo Tcomo la matriz con elementos_T_ab= ab.As,(3.24)tomalaformaT = , (3.25)dondeeslamatrizdeelementosab. UnatransformaciondeLorentzes, enestelenguaje,unamatrizquecumplecon(3.25).Entonces:3.3. TORSIONYCURVATURA 231. Si1y2sontransformacionesdeLorentz,tambienloes12:(12)T (12) = T2_T11_2= T22= .2. ElproductodetransformacionesdeLorentzesasociativo:estosesigueinme-diatamentedelaasociatividaddelproductomatricial.3. LamatrizidentidadesunatransformaciondeLorentz:1T1 = .4. TodatransformaciondeLorentztieneunainversa, lacual estambienunatransformaciondeLorentz: tomandodeterminanteaambosladosde(3.25),vemosquedet () = 1 ,= 0,demodoqueesunamatrizinvertible.Deno-tamos su inversa por 1y multiplicamos por (1)Tdesde la izquierda y por1desdeladerecha:_1_T1=_1_T _T_1=_1_T_1_ = .EstosargumentosconcluyennuestrademostraciondelapropiedaddegrupodelastransformacionesdeLorentz.Notamosnalmenteque,enddimensiones,espo-sible realizar d (d 1) /2 rotaciones independientes. Este n umero corresponde preci-samente a la diferenciaentre el n umero de componentes del vielbein y de la metrica,dandocuentadelosgradosdelibertadperdidos.3.3. Torsi onyCurvaturaLacombinaci onea eadx(3.26)recibeel nombrede1-formavielbein, del alemanmuchaspiernas. Encuatrodimensiones es perspicazmente llamado vierbein, lo cual corresponde a cuatro pier-nas.Comohemosnotadoanteriormente,latransformaciondeLorentzeaea= abeb(3.27)dejainalteradalametricadel espacio-tiempog=eaebab. Estaecuacionexpre-saunaleydetransformacionquecorrespondeaunvector; porlotanto, podemosdecirqueel vielbeinsecomportacomounvectorbajotransformacioneslocalesde24 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALLorentz. Esimportanteenestepuntosubrayarel caracterlocal delastransforma-ciones; en cada punto del espacio-tiempo es posible realizar la transformacion (3.27)independientementeymantenersiemprelamismametricag.Queotrostensorespodemosconstruirapartirdelvielbein?Sitomamossude-rivada exterior dea, esta transforma bajo transformaciones locales de Lorentz como3dea(dea)

= dabeb+ abdeb. (3.28)Aqu dab= dxab es la derivada exterior de la 0-forma ab, la cual es una 1-forma.Vemos de (3.28) que el caracter local de las transformaciones de Lorentz ab destruyelatensorialidaddeladerivadaexterior del vielbein, introduciendoel terminonohomogeneodabebenlaleydetransformaciondedea. Estoconstituyeciertamenteuninconveniente,yaqueesperamosqueladerivadadeunobjetocualquieratengalas mismas propiedades de transformacion que el objeto original. Podemos remediaresteproblemaintroduciendounaderivadacovarianteexteriorD,yexigiendoque Deatransforme covariantemente bajo transformaciones locales de Lorentz; estoes,Dea(Dea)

= abDeb. (3.29)Conesterequerimientoenmente,denimosDea dea+ abeb, (3.30)donde ab es llamada la 1-forma conexion de spin, debido a que es tambien usadapara tomar derivadas covariantes de campos spinoriales. Determinaremos cual debeserlaleydetransformacionparaabdemododecumplircon(3.29).Escribiendo(Dea)

= (dea)

+ abeb,= dabeb+ abdeb+ abbcec,eigualandocon(3.29),encontramosdabeb+ abdeb+abbcec= ab_deb+ bcec_,obien,_abbcabbc + dac_ec= 0. (3.31)3En lo sucesivo, a menudo omitimos el smbolo usado para denotar producto exterior entreformas diferenciales. La simple yuxtaposicion de dos formas diferenciales debe entenderse de aqu enadelante como un producto exterior.3.3. TORSIONYCURVATURA 25Comoestodebeservalidoparacualquierea,hallamosnalmenteab= db accdcb dac, (3.32)dondehemosusadolamatrizinversaabparaaislarab. Estaeslaleydetrans-formacionparalaconexion. Notamos queel segundoterminocb daclahacenotensorial; estonodebesorprendernos, yaquehemosrequeridoquelacombinacionDeadea+ abebseatensorial, apesardeestarconstruidaapartirdeelementosno tensoriales. Esta derivada covariante puede ahora ser aplicada a cualquier vectorotensordelespaciotangente,produciendounaformadiferencialdeungradosupe-riorconlasmismaspropiedadestensorialesqueelobjetooriginal.As,Deaesuna2-formaquetransformacomounvectorbajotransformacioneslocalesdeLorentz.Resulta legtimo preguntarse acerca de derivadas covariantes exteriores de ordensuperior;adiferenciadeloqueocurraconladerivadaexteriord,laderivadacova-rianteexteriornoproduceunresultadonulocuandoesaplicadaenformasucesiva.As,tenemosqueparaelvielbein,porejemplo,DDea= d (Dea) + acDec= (dab + accb) eb, (3.33)dondehemos utilizado(3.30) yd2=0, ademas delaregladeLeibniz(2.25), lacualsiguesiendovalidaparaderivadascovariantesexteriores.Elladoizquierdode(3.33) es maniestamente tensorial; por lo tanto, el parentesis del lado derecho debetransformar como un tensor de tipo (1, 1) bajo transformaciones locales de Lorentz.Notemos que esta construido a partir de la 1-forma conexion, la cual es no tensorial;sinembargo, estacombinaci onparticularresultaenunobjetoconpropiedadesdetransformaciontensoriales.LlamandoTa Dea, (3.34)Rab dab +accb, (3.35)podemosescribir(3.33)enlaformaDTa= Rabeb. (3.36)Nada nos impide continuar tomando derivadas covariantes; usando la regla de Leib-nizparaD, vemosqueel unicotensornuevoqueapareceenDDTaesDRab. Sinembargo,DRab= dRab + acRcbcbRac 0, (3.37)usando(3.35). Luego, noes posibleobtener ning untensor nuevoapartir delasderivadascovariantessuperioresdelvielbein.26 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALLas 2-formas tensoriales Tay Rab denidas en (3.34) y (3.35) reciben los nombresdeTorsi onyCurvatura,respectivamente.Comohemosvisto,ellassatisfacenlasrelacionesDTa= Rabeb, (3.38)DRab= 0, (3.39)lascualessonconocidascomoidentidadesdeBianchi.Podemos justicar los nombres dados a Tay Rabanalizando sus componentes enunabasecoordenada .ComenzamosnotandoqueTa=12Tadx dx, (3.40)Rab=12Rabdx dx, (3.41)dondeTa= ea ea + abeb abeb, (3.42)Rab= ab ab + accb accb. (3.43)Paraproyectar estas componentes mixtassobrelabasecoordenadausamos lamatrizdecambiodebaseeaysuinversaea.EstonosconduceaT= ea Ta,= ea ea + ea ebabea eaea ebab, (3.44)R= ea ebRab,= ea eb_ab ab + accb accb_. (3.45)Quisieramosahorarelacionarestascomponentesconlostensoresdetorsionycur-vaturadelcalculotensorialusual,loscualesestandadospor[cf.ecs.(3.7)y(3.10)]T= , (3.46)R= + . (3.47)Comparando(3.44)con(3.46)vemosquelaidenticaci on= ea_ea + abeb_(3.48)3.3. TORSIONYCURVATURA 27permiteigualarel tensordetorsionprovenientedel calculotensorial usual conlascomponentes sobrelabasecoordenada dela2-formaTa=Dea. Mas a un,si reemplazamos(3.48)en(3.47)encontramos(usandoalgodeclarividenciaenelcamino) queel tensor decurvaturadeRiemannsecorrespondeexactamenteconlas componentes coordenadas dela2-formaRab=dab+ accb. Pareceentoncesquelaidenticaci on(3.48)funcionanotablementebien. Dehecho,ellatieneracesprofundas,puesprovienedelrequerimientoqueuntensorseaunobjetogeometricoindependiente de las coordenadas. Para visualizar esto, consideremos un vector Xysuscomponentesenunabasecoordenadayenunabaseortonormallocal,X= X= Xaea. (3.49)La derivada covariante de este vector es un tensor DX. Sus componentes sobre unabasecoordenada dxsonDX= (DX) dx=_X+ X_dx. (3.50)Enunabasemixta dxea,encambio,estemismotensoresescritocomoDX= (DXa) ea=_dXa+ abXb_ea=_Xa+ abXb_dxea. (3.51)Podemosconvertiresta ultimaexpresionaunabasepuramentecoordenadausandoea= ea :DX=_ea Xa+ ea abXb_dx. (3.52)Estascomponentesdeben, porsupuesto, coincidirconaquellasde(3.50). Sustitu-yendoXa= eaX,estosignicaexigirlaigualdadX+ X= ea eaX+ X+ ea abebX, (3.53)dondehemosutilizadolaidentidadea ea= .RecordandoqueestaecuaciondebeservalidaparacualquiervectorX,encontramoslarelacion= ea_ea + abeb_, (3.54)lacualesidenticacon(3.48).EstaecuacionpuedeserreescritaenlaformaDea= ea + abeb ea= 0, (3.55)expresandolaanulaci ondeladerivadacovariantemixtadelvielbein.Esteresul-tado, queesunaconsecuenciadirectadelanaturalezageometricadeladerivadacovariante deunvector, esconocidocomoLemadeWeyl.Notemos,sinembargo,quehemosasumidoimplcitamentequelamismaderivadacovarianteact uatantoenelespaciotangentecomoenlavariedadbase.28 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERAL3.4. Relatividad General en el formalismo de Car-tanHabiendo introducido los objetos geometricos con los que contamos para describirlocalmente la geometra del espacio-tiempo, pasamos ahora a escribir un principio deaccion que nos permita recuperar la Teora General de la Relatividad en este nuevoesquema. Siguiendo la losofa de considerar independientemente las caractersticasanes ylas caractersticas metricas del espacio-tiempo, tomamos comonuestroscamposfundamentalesparalagravitaci onel vierbeineaylaconexiondespinab.Laaccionde Einstein-Hilbert (3.14) encuatrodimensiones puede ser escritaenterminosdeestoscampossencillamentecomo4S(4)EH=_abcdRabeced. (3.56)Aqu la conexion de spin aparece a traves de la curvatura Rab, en tanto que el vierbeinentra explcitamente. Debemos recordar que la conexion abtransforma de modo notensorial bajo transformaciones locales de Lorentz, de manera que su inclusion en laaccion debe siempre hacerse en combinaciones que resulten tensoriales5, como ocurrecon Rab. Para comprobar la equivalencia de (3.56) con la accion de Einstein-Hilbert(3.14)solohacefaltaescribirexplcitamentelasbasesdeformasdiferencialesenlacurvaturayelvierbein.As,abcdRabeced= abcdRabeceddxdxdxdx.Usandoel vierbeinparatransformarlos ndiceslatinosdelacurvaturaen ndicesgriegos (es decir, escribiendosus componentes sobre labase ortonormal eaenterminosdesuscomponentessobrelabasecoordenada ),obtenemosabcdRabeced= abcdReaebeceddxdxdxdx.Ahoranotamosqueabcdeaebeced= det_ea_ =g,4Asescrita,laaccionresultanoseradimensional,dadoqueelvielbeineatienedimensionesde longitud. Esto puede repararse introduciendo una constante con dimensiones de [longitud]2enfrente de la integral; sin embargo, su inclusion resulta inesencial para la presente discusion, razonpor la cual la omitimos.5Esta armacion no es estrictamente cierta. Un lagrangeano que no sea invariante bajo trans-formaciones locales de Lorentz, pero que transforme como L L

= L+d, puede conducir a unaaccion invariante si las condiciones de borde son escogidas apropiadamente.3.4. REL.GENERALENELFORMALISMODECARTAN 29dondelasegundaigualdadsesiguedetomar determinanteaambos lados delarelacion[cf.ec.(3.21)]eaebab= g.Luego,abcdRabeced=gRdxdxdxdx.Porotrolado,esclaroquedxdxdxdx= dx0dx1dx2dx3= d4x,dedondeabcdRabeced=gRd4x,=gRd4x,= 2gRd4x,= 4gRd4x,= 4gRd4x.Esdecir,_abcdRabeced= 4_d4xgR. (3.57)EstecalculomuestralaequivalenciaentrelaacciondeHilbertescritaconformasdiferenciales(3.56)ylaformacontensores(3.14).Paraobtenerlasecuacionesdemovimientoquesededucendelaaccion(3.56),debemos exigir que ella tenga un valor estacionario frente a peque nas perturbacioneseayabenloscampos.Partimosevaluandolaaccionparaea+eayab+ab.EstaesS + S=_abcd_Rab+ Rab_(ec+ ec)_ed+ ed_,endondeRabySsonlas variacionesproducidas enRabyS, respectivamente,cuandocambiamoseaporea+eayabporab+ab.Asumiendoqueeayabsonvariaciones innitesimales, podemos obtener unaexpresioncorrectaaprimerordenparaS:S=_abcd_2Rabeced+ Rabeced_. (3.58)Para poder hacer mas progresos necesitamos tener una expresion para Raben termi-nosdeab(eanoentraenladeniciondeRab).De(3.35),Rab+ Rab= d_ab+ab_+ (ac + ac)_cb+ cb_. (3.59)30 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALDesarrollando esta expresion y conservando solo terminos de primer orden, hallamosRab= dab+ accb+ bcac. (3.60)Dado que la diferenciaentre dos conexiones s transforma tensorialmente bajo trans-formacioneslocalesdeLorentz,resultalegtimoescribirRab= D_ab_. (3.61)Introduciendo(3.61)en(3.58)yutilizandolaregladeLeibniz(2.25)encontramosS=_abcd_2Rabeced+D_ab_eced_,=_abcd_2Rabeced+D_abeced_+ abTcedabecTd_,= 2_abcdRabeced+ 2_abcdabTced+_d_abcdabeced_.Estavariaci onconstadetrespartes:laprimeraesproporcionalalavariacionenelvierbein,entantoquelasegundaesproporcionalalavariaci onenlaconexion.El ultimoterminoes, porel TeoremadeStokes, unterminodeborde:estepuedeseranuladoexigiendo,porejemplo,que(i)lavariaci ondeabseanuleenelbordedelespacio-tiempoo(ii)queel espacio-tiemponotengaborde. Encualquiercaso, laanulaciondeSparavariacionesarbitrariasdeeayabrequierequesesatisfaganlasecuacionesdemovimiento(enelvaco)abcdRabec= 0, (3.62)abcdTced= 0. (3.63)La primera de estas ecuaciones es equivalente a las ecuaciones de campo de Einstein(3.15), comopuedecomprobarseescribiendoexplcitamentelasbases. Lasegunda,encambio,puedeponerseenlaformaTT= 0, (3.64)endondeTsonlascomponentesdel tensordetorsionsobrelabasecoordenada. Contrayendo con hallamos T= 0, de modo que en realidad esta ecuacionexpresalaanulaci ondelatorsion,T= 0, (3.65)3.4. REL.GENERALENELFORMALISMODECARTAN 31obien,Ta= dea+ abeb= 0. (3.66)Esta ultimaecuacionpuederesolverseparaab,demodoquenalmenteunopuedetener la conexion de spin escrita en funcion del vierbein y sus derivadas. Sin embargo,esto constituye una ecuacion del movimiento caracterstica de la accion (3.56), y nounapropiedadgeneralquepuedaserinvocadaapriori.32 CAPITULO3. RELATIVIDADGENERALCaptulo4TeorasdeGauge4.1. FormalismoGeneralSeauncampoescalar yseaSunfuncional deaccionquenos entregasusecuaciones de movimiento clasicas. Asumamos que Ses invariante bajo las transfor-maciones

= ei, donde es una constante. La invariancia de la accion bajoestatransformacionconstituyeunasimetradelateora; dadoqueesconstante,decimos que esta simetra es global. Por otro lado, es un campo denido en todo elespacio-tiempo; de este modo, podra parecer demasiado restrictivo el verse obligadoarealizarlamismatransformacionencadapuntodelespacio-tiempo.Porejemplo,enMecanicaCuanticalafunciondeondaestaindeterminadaporunfactordefaseidenticoal quehemospropuesto. Signicaestoquesi escogemosunafasedeter-minadaparalafunciondeondadeunapartculaenunaregiondebemosescogerlamismaparatodoel restodel espacio-tiempo?Estetipodeconsideracionesnosllevaaproponerquelasimetradebeteneruncaracterlocal ; estoes, debemossercapacesdehacerlatransformacion

=ei(x)sinalterarlafsica(esdecir,dejandoinvariantelaaccion) enformaindependienteencadapuntodel espacio-tiempo. La realizacion de este paso nos presenta inmediatamente un problema. Paracualquiercampodinamico,laaccioncontendraterminosqueinvolucrenlasderiva-dasdel campo. Bajo

=ei(x), laderivadaexteriordetransformadeacuerdoad (d)

= d_ei_ = iei(d) + eid, (4.1)3334 CAPITULO4. TEORIASDEGAUGEdemodoqueterminoscineticoscomo1d dresultannoserinvariantesbajoel cambiodefaselocal. Unmododeremediarestoesintroduciruna1-formaAydenirunaderivadacovarianteD = d + A (4.2)talque,pordenicion,Dtransformecovariantementebajo

= ei(x);estoes,D (D)

= ei(x)(D) . (4.3)Paraconseguir estaleyde transformacionparaDes necesarioimponer que AtransformedeacuerdoaA A

= A id. (4.4)As,(D)

= d

+A

= eiD.Estaderivadacovariantepuedeser usadaahoraenlugar deladerivadaexteriorordinaria en el lagrangeano para garantizar la invariancia de la accion bajo la trans-formacionlocal.En cada punto del espacio-tiempo, el conjunto de todas las posibles transforma-ciones de fase forma un grupo, llamado U (1). En 1954, Yang y Mills [18] generaliza-ron este principio desde U (1) a un grupo de Lie arbitrario G. La principal diferenciacon el caso U (1) es que este ultimo grupo es abeliano, y tiene ademas un solo gene-rador. Parael casogeneral deungrupodeLiearbitrarioGconngeneradoresTa,a = 1, . . . , n,asumimosquelaaccionparauncampodebeserinvariantebajolastransformacionesdegauge2

= U, (4.5)donde U= exp (aTa) es un elemento del grupo G. Aqu a= a(x) son los parame-trosrealeslocalesnecesariosysucientesparadeterminarel elementoU. Deestemodo, Udepende de x a traves de los parametros a. Al igual que en el caso abeliano,laderivadadetransformainhomogeneamentebajo(4.5),d (d)

= (dU) + Ud, (4.6)1Aqurepresenta el dual de Hodge, el cual relaciona una p-forma =(1/p!) 1pdx1 dxpenunespaciodeddimensionesconuna(d p)-formaatravesde=(1/p! (d p)!)g1d1pdxp+1 dxd. Comosedesprende desudenicion, eldual de Hodge necesita la presencia de una metrica [20].2Estrictamentehablando, debemosespecicarlarepresentaciondeGalacual pertenece.Este punto no tiene mayor relevancia para el analisis que sigue.4.1. FORMALISMOGENERAL 35ylasolucionaesteproblemaestambienlamismaqueantes.Denimosunaderi-vadacovarianteDcomoD = d +A, (4.7)donde A es ahora una 1-forma que toma valores en el algebradeLiedel grupo; estoes,A = AaTa, (4.8)donde los coecientes Aa=Aadxde lacombinacionlineal son1-formas. Estaderivadacovarianteas denidaact uanaturalmentesobreobjetosdel espaciovec-torial asociado conlos generadoresTa; esto es,sobre objetos que transformancomo

=U. El requerimientoqueladerivadacovariantedetransformecova-riantementebajo(4.5),estoes,D (D)

= U (D) , (4.9)nosconduceaexigirqueAcambiebajo(4.5)seg unlaleyA

= UAU1(dU) U1. (4.10)Enefecto, si reemplazamos (4.5) y(4.10) enladeniciondederivadacovariante(4.7)hallamos(D)

= d

+ A

= U (D) . (4.11)La ec. (4.10) contiene la ley de transformacion para el campo de gauge A. Notemosque esta es no covariante justo en el modo necesario para asegurar que la combinaci onD = d +Atransformecovariantementebajoelgrupo.De este modo, podemos reemplazar las derivadas exteriores dque aparezcan enlaaccionparaporderivadascovariantesDenordendeasegurarlainvarianciadelaaccionbajolastransformacionesdegaugelocales(4.5). El precioquehemospagadoesquelaaccioncontieneahorauncampoextraquenotienedinamica; esdecir, ninguna derivada de A esta presente en la accion. Esta situacion es claramenteinsatisfactoria;quisieramosincluirtambienenlaaccionunterminocineticoparaelcampodegauge.Sinembargo,estodebeserhechoconcuidado;elcampodegaugetransformademodonotensorial,demaneraquesuderivadacovariantenisiquieraesta bien denida. Por lo tanto, lo que necesitamos es alg un objeto construido a partirdeAysusderivadasquetransformecovariantementebajoel grupo. Larespuestaaestab usquedavienedeconsiderarlaaccionsucesivadedosderivadascovariantes(4.7).EstaesDD= (d + A) (d +A) =_dA + A2_, (4.12)36 CAPITULO4. TEORIASDEGAUGEdonde en el camino hemos usado la regla de Leibniz (2.25) para formas diferenciales,lacualinvolucrauncambiodesignoparalasformasdegradoimpar.Mientrasqueuna 1-forma ordinaria es nilpotente, una 1-forma valuada en un algebra de Lie, comoA, no tiene por que serlo; de hecho, A2es una 2-forma valuada en la misma algebra,concomponentesA2=12AaAb [Ta, Tb] dx dx. (4.13)La presencia aqu del conmutador [Ta, Tb], originada en la antisimetra del productoexterior, es crucial para mantener a A2dentro del algebra. Del mismo modo que A2,dAesuna2-formavaluadaenelalgebradelgrupodegauge:dA =12_Aa Aa_Tadx dx. (4.14)Lacombinaci onF dA +A2, (4.15)quesurgenaturalmenteen(4.12), recibeel nombredeintensidaddecampoy,desudenicion, esuna2-formaquetransformacovariantementebajoel grupodegauge. Esto es, si escribimos F

= dA

+A2e introducimos la ley de transformacion(4.10)paraA,hallamos3F

= UFU1. (4.16)Laintensidaddecamposeprestaentoncesparaconstruirunterminocineticoparael campo de gauge: esta construido a partir de A y sus derivadas y transforma cova-riantemente bajo la accion del grupo. Una eleccion que ha resultado extremadamentefructferaparaesteterminocineticoesellagrangeanodeYang-Mills,LYM= F F) , (4.17)dondelosbrackets )denotanlatrazaoalgunaotraformamultilinealinvarian-tedel algebra. Enel casoabeliano, dondeel grupodegaugees U (1), podemosidenticarel campodegaugeAconel potencial vectorial Adelateoraelectro-magnetica. As, la intensidad de campo Fse corresponde con el tensor de MinkowskiF=A A,yellagrangeano(4.17)resultaserellagrangeanodeMaxwellL = 14FF. De este modo, vemos que el Principio de Gauge junto con la TeoraEspecialdelaRelatividadpermitendeducirtodalaElectrodinamicadeMaxwell.3Enestadeduccionhemos ocupadolaidentidaddU1= U1(dU) U1, lacual sesiguetrivialmente ded_UU1_ = 0.4.2. ELGRUPODEPOINCARE 374.2. ElgrupodePoincareResultadifcil nonotarlaextraordinariasimilitudentreel tratamientogeneralpara teoras de gauge dado enla seccion anterior y elformalismo de Cartanpara lagravitaci on dado en la seccion 3.3. Esto ha motivado numerosos intentos por escribirlateorageneral delarelatividadcomounateoradegaugeparaalg ungrupodeLie.Conestoenmente,revisamosahoraelgrupodePoincare,elcualjuegaunrolcrucialeneldesarrollodelagravitacioncomounateoradegauge.El grupode Poincarees el grupodeisometras del espaciodeMinkowski.Estosignicaque, enel espacio-tiempoplano, lametricadeMinkowski esdejadainvariantesicambiamoslascoordenadasxenunavecindaddeunpuntoPporxx= x+ a, (4.18)dondeyasonlosparametrosreales(globales)delatransformacion. Aqu corresponde a una transformacion de Lorentz, de modo que los coecientes debensatisfacer= . (4.19)La parte restante en la transformacion de Poincare (4.18) corresponde a una trasla-cionenadelascoordenadas.Resulta utilparaelanalisis quesigueelconsiderarunatransformaciondePoin-care arbitrariamente cercana a la identidad; esto es, una para la cual los parametrossean= + , a= , (4.20)donde [[ 1y [[ 1. El requerimiento(4.19) paraimponesobrelosparametrosinnitesimaleslacondiciondeantisimetra + = 0. (4.21)Enestecasopodemosescribirladiferenciaentrelascoordenadasxyxcomox= x+ . (4.22)Para las transformaciones innitesimales de Lorentz es posible introducir matri-cesSconlapropiedad=12(S) , (4.23)demaneraqueunatransformacioninnitesimal deLorentzpuedeescribirseenlaformax=12(S) x. (4.24)38 CAPITULO4. TEORIASDEGAUGEEsta ecuacion nos dice que las matrices S forman una representacion vectorial paralos generadores del grupo de Lorentz, dado que es posible escribir la transformacioninnitesimalcomo= +12(S) . (4.25)Esto quiere decir que para una transformacion de Lorentz nita con parametros tenemoslaexpresion = exp_12S_, (4.26)donde por comodidad hemos suprimido los ndices matriciales. Desde este punto devista, laec. (4.25)contienelosdosprimerosterminosdelaexpansionenseriede(4.26).LaformaexplcitadelasmatricesSesfacilmenteobtenidaapartirdesudenicion[cf.ec.(4.23)]:(S)= . (4.27)Usando esta representacion de los generadores calculamos el algebra de Lie del grupodeLorentz,lacualestadadaporlosconmutadores[S, S] = S S + SS. (4.28)Aqu hemos nuevamente suprimido los ndices matriciales, en el espritu de que estaalgebradebeservalidaparalosgeneradoresdel grupodeLorentzsinimportarlarepresentacion.Podemosdartambienunarealizaciondelgrupoenterminos deoperadoresdife-renciales; esta tiene la ventaja de que tambien podemos representar de esta maneraalosoperadoresdetraslacionP, demodoquepodemosencontrarlasrelacionesdeconmutaci onentreestosylasrotacionesdeLorentz. Enefecto, esdirectovericarqueesposibleescribirunatransformacioninnitesimaldePoincarecomox=_P12J_x, (4.29)donde los generadores de traslaciones y rotaciones son representados respectivamenteporlosoperadoresdiferencialesJ= xx, (4.30)P= . (4.31)Ademas, losgeneradoresJsatisfacenlasmismasrelacionesdeconmutaci onquelasmatricesS:[J, J] = J J + JJ. (4.32)4.2. ELGRUPODEPOINCARE 39Usando la representaci on (4.30) - (4.31) encontramos las relaciones de conmutacionentreJyP:[J, P] = PP. (4.33)Resumiendo,podemosescribirelalgebradeLiedelgrupodePoincarecomo[P, P] = 0, (4.34)[J, P] = PP, (4.35)[J, J] = J J +JJ. (4.36)Ahora nos abocamos a usar el grupo de Poincare como un grupo de gauge. Estegrupoactuarasobreloselementosdel espaciotangentedelavariedad; parahacerresaltar estehecho, usaremosndices latinos enlugar degriegos enloquesigue.Partimos deniendo una 1-forma conexion A valuada en el algebra de Lie del grupo.Introduciendo1-formaseayabvaluadasen RescribimosAcomoA =12abJab + eaPa. (4.37)Como sabemos de la seccion anterior, esta conexion debe transformar bajo el grupocomo[cf.ec.(4.10)]A

= UAU1(dU) U1. (4.38)ParaunatransformaciondePoincareinnitesimal, U=1 + u, estaleyadoptalaformaA = Du, (4.39)endondehemosdenidoA A

A. Aqu laderivadacovariantedel grupoDact ua sobre un elementou del algebra comoDu du +[A, u]. Sisustituimos ahorau =12abJab + aPa, (4.40)encontramosA = 12_Dab_Jab +_abebDa_Pa, (4.41)dondelasderivadascovariantesdeabyasontomadasdelamanerausual,Dab= dab+ accb+ bcac, (4.42)Da= da+ acc. (4.43)40 CAPITULO4. TEORIASDEGAUGEEstosignicaquelascomponentesabyeadelaconexiontienenleyesdetransfor-maciondadasporab= Dab, (4.44)ea= abebDa. (4.45)El pasologicosiguientees escribir laintensidaddecampoFasociadaaestaconexiondegauge.Deladenicion(4.15)paraF,hallamosF=12RabJab + TaPa, (4.46)dondehemosdenidoTa= dea+ abeb, (4.47)Rab= dab+ accb, (4.48)en perfecto acuerdo con las deniciones de torsion y curvatura (3.34) y (3.35) dadasenlaseccion3.3,siidenticamoseayabconelvielbeinylaconexiondespin,res-pectivamente.ElverdaderoproblemadeescribirlagravitacioncomounateoradegaugeradicaenencontrarunaaccionquerealicelasimetradelgrupodePoincare.Estaconstruccionsolohabasidollevadaacaboendimensionesimparesutilizandoel grupode(anti)-deSitter[3, 6]. Enlasseccionessiguientessemuestraunaposi-bilidad de realizar la simetra de Poincare (o anti-de Sitter) en cualquier n umero dedimensiones.Captulo5GravitacionendimensionesmayoresThere are really four dimensions, three which we call the three planesofSpace,andafourth,Time.Thereis,however,atendencytodrawanunreal distinctionbetweentheformer threedimensions andthelatter,becauseit happensthat ourconsciousnessmoves intermittentlyinonedirectionalongthelatterfromthebeginningtotheendofourlives.TheTimeMachine,H.G.Wells(1898).Nuestrosentidos parecenarmar que el espaciotiene tres dimensiones; sim-plementenopodemosconcebirmovimientosquenoocurranenalgunadelastresdireccionescartesianas.SerequiriodelgeniodeMinkowskiparacomprenderquelainterpretaci on del tiempo como una direccion adicional provea del marco apropiadoparalaformulaciondelateoraespecialdelarelatividad.Sinembargo,yaen1854Riemannsehabacuestionadoacercadeladimensionalidaddelespaciorealydelageometraadecuadaparadescribirlo.La hipotesis de que el espacio-tiempo pueda tener mas de cuatro dimensiones hallegadoaserusual enlafsicadealtasenergas. Porunlado, lasdistintasteorasdecuerdassolosonconsistentesendimensionesmasaltas,como26paralacuerdabosonicay10paralassupercuerdas[22].Porotrolado,lateoradesupergravedadesta formulada en 11 dimensiones [8], dado que es este el n umero maximo permitidoporlasupersimetra. Masa un, secreequelateoraunicadaquecontienevacompacticacion a las cinco teoras de cuerdas y a la supergravedad como lmitede bajas energas, conocida como Teora M, debe existir en 11 dimensiones. Todosestos indicios hacenque resulte imperativoel estudiar laextensionde lateora4142 CAPITULO5. GRAVITACIONENDIMENSIONESMAYORESgeneral delarelatividadadimensionesmasaltas. El presentecaptuloentregaloselementosesencialesdeestageneralizacion.5.1. Mas alla de Einstein-Hilbert: los lagrangeanosdeLovelockLa accion de Einstein-Hilbert (3.56), con o sin una constante cosmologica, pareceserlaeleccionmasrazonableparalageometradelespacio-tiempoentresycuatrodimensiones, pero no es claro que este sea el caso para dimensiones mayores. En 1971,D. Lovelockplante o, yresolvio[16], el problemadeencontrar todos los tensoresAque, enunadimensionarbitrariad, compartiesenconel tensor de EinsteinG R 12Rglassiguientespropiedades:1. Aessimetrico;estoes,A= A. (5.1)2. Aes funcion del tensor metrico gy de sus primeras y segundas derivadas,A= A (g, g, g) . (5.2)3. Atienedivergencianula:DA= 0. (5.3)Las ecuaciones de campo para la gravitaci on (en el vaco) son entonces asumidascomoA= 0.Enesteplanteamientoestaexplcitamenteausente el requerimientodequeladependencia de Asobre las segundas derivadas del tensor metrico sea lineal. ComoLovelockmuestraensuartculo,eltensordeEinsteinGylametricagsonlas unicassolucionesposiblesencuatrodimensiones(sinexigirdependencialineal enlas segundas derivadas), conduciendoalas ecuaciones deEinsteinconconstantecosmologicaR 12Rg + g= 0. (5.4)Endimensionesmayores,Lovelockencuentraunafamiliadetensoresconpotenciassuperiores del tensor decurvaturadeRiemannquesatisfacenlos requerimientosimpuestos, yentregaademasunlagrangeanodel cual estospuedenserobtenidos.5.1. LOSLAGRANGEANOSDELOVELOCK 43Enellenguajedeformasdiferencialesquehemosestadousando,estelagrangeano1puedeserescritocomo2L(d)LL=[d/2]

p=0pLp, (5.5)Lp= a1adRa1a2 Ra2p1a2pea2p+1 ead, (5.6)endondelospssonconstantesarbitrarias. DeacuerdoalodemostradoporLo-velock,estelagrangeanodalugaralasecuacionesdecampomasgeneralesposiblesenunadimensiondarbitrariaquecompartenlasmismascaractersticasquelaRe-latividadGeneral usual encuatrodimensiones. Notemossinembargoqueenesteanalisissehaasumidoquelatorsionesidenticamentenula.Desde un punto de vista moderno, parece mas natural exigir que un lagrangeanosea1. unad-formainvariantebajotransformacioneslocalesdeLorentz,2. unpolinomiolocal del vielbeinea, laconexiondespinabysus derivadasexteriores,3. construidosinusareldualdeHodge.La primera de estas condiciones corresponde a la nocion de que la accion debe serunfuncionaldeloscampos,demodoquepuedaescribirsecomolaintegraldeunad-forma(queeslo unicoqueunopuedeintegrarenunespaciodeddimensiones).Al ser unad-forma, el lagrangeano es automaticamente invariante bajo transforma-ciones generales de coordenadas; la invariancia de Lorentz corresponde a la libertaddeescogerlabaseortonormallocalenelespaciotangentedelmodoqueunodesee.La segunda condicion se reere a que el lagrangeano debe ser construido usando las unicas formas denidas naturalmente en el espacio tangente; esto es, el vielbein y laconexiondespin.Comohemosvisto,apartirdeestas1-formaspodemosconstruirlas2-formastorsionycurvatura, TayRab. Estoselementos, juntoconlostensores1El lagrangeano de la ec. (5.5) es a menudo llamado el lagrangeanodeLanczos-Lovelock(LL), en reconocimiento a una proposicion similar hecha por C. Lanczos [15] parad = 5 en 1938.2Aqu [x] es la parte entera de x, la cual es denida como el unico n umero entero n que cumpleconn x < n + 1.44 CAPITULO5. GRAVITACIONENDIMENSIONESMAYORESinvariantes3a1ad, abyab, seranlosbloquesdeconstruccionbasicosparael la-grangeano. Laterceracondicionaseguralaimposibilidaddequelasecuacionesdemovimientoparael vielbeinylaconexionresultendeunordensuperioral prime-ro; al estarausenteel dual deHodge, ningunaderivadadeordenmasaltopuedeaparecer, simplementeporqued2=0. Porotrolado, laintroducciondel dual deHodgerequierelapresenciadeunametricaenlavariedad, esdecir, deunmedioparacalcularel productopuntoentredosvectores. Si bienesposiblerecuperarlametricaapartir del vielbeinpor mediodeg=eaebab, suinclusionexplcitaenel lagrangeanorompeconunaformulaci onenterminosdecantidadesdenidasnaturalmenteenelespaciotangente.Ademas,lametricanopuedeserinterpretadacomo uncampodegaugeenelmismo sentido queelvielbeinyla conexionde spin.El problema de encontrar todos los lagrangeanos que, en una dimensiond dada,satisfaganestascondicionesfueresueltoporA.MardonesyJ.Zanellien[17].Ellosencontraronque,enausenciadetorsion,la unicasolucionposibleestadadaporloslagrangeanosdeLovelock(5.5),aexcepciondelasdensidadesdePontryaginTn= Ra1a2Ra2a3 Ran1anRana1, (5.7)lascualesexistensoloendimensionesparesd=2n, ysondistintasdecerosolosi d=4k, conkentero. Sinembargo, estasdensidadessonformascerradas4; porel lemadePoincare, ellaspuedenescribirselocalmentecomoderivadastotales, demodoquenocontribuyenalasecuacionesdemovimiento.Cuandopermitimoslapresenciadetorsionsurgenmuchasnuevasposibilidades,lascualesestanestudiadascondetalleen[17]. Enloquesigue, nosabocaremosaestudiarlaspropiedadesdeloslagrangeanosdeLovelockenformaexclusiva.5.2. EcuacionesdemovimientoparalaacciondeLovelockEnprimerlugar,analizamoslasecuacionesdemovimientoquesurgende(5.5).Comoeayabsoncamposindependientes, podemosconsiderarseparadamenteva-riaciones en uno y otro. Si hacemos la transformacion innitesimal eaea+eaen3El tensor de Levi-Civita es invariante (y tensor) solo bajo transformaciones de Lorentz propias,esto es, aquellas que satisfacen det () = +1. Este sera siempre el caso cuando hablemos de trans-formaciones de Lorentz. Las transformaciones impropias pueden ser consideradas separadamenteen las formas de reexion espacial (paridad) e inversion temporal.4Unap-forma se dice cerrada si satisfaced = 0.5.2. ECS.DEMOVIMIENTOPARALAACCIONDELOVELOCK 45(5.6),hallamosLp +Lp= a1adRa1a2 Ra2p1a2p(ea2p+1+ ea2p+1)(ead+ ead) .LacurvaturaRabnocambiabajoestatransformacion, yaquenodependedeea.Conservandosoloterminosdeprimerorden,podemosescribirLpenlaformaLp= (d 2p) a1adRa1a2 Ra2p1a2pea2p+1 ead1ead.Por lotanto, laconguraciondel sistemaque proporcionaunvalor estacionarioalaaccionbajovariacionesinnitesimalesarbitrariasenel vielbeinobedecealasecuacionesdemovimiento[(d1)/2]

p=0p (d 2p) a1adRa1a2 Ra2p1a2pea2p+1 ead1= 0. (5.8)Paratransformacionesenlaconexiondespin,abab+ ab,tenemosLp + Lp= a1ad (Ra1a2+ Ra1a2)(Ra2p1a2p+ Ra2p1a2p) ea2p+1 ead,dedondeLp= pa1adRa1a2 Ra2p3a2p2Ra2p1a2pea2p+1 ead.IntroduciendoRab= D_ab_[cf.ec.(3.61)],obtenemosLp= pa1adRa1a2 Ra2p3a2p2D(a2p1a2p) ea2p+1 ead= pD(a1adRa1a2 Ra2p3a2p2a2p1a2p) ea2p+1 ead,dondehemosusadolaidentidaddeBianchiDRab= 0yelhechoqueDa1ad= 0.UsamosahoralaregladeLeibnizparaescribirLp= d (pa1adRa1a2 Ra2p3a2p2a2p1a2pea2p+1 ead) ++pa1adRa1a2 Ra2p3a2p2a2p1a2pD(ea2p+1 ead) .Desarrollando la derivada covariante del producto de vielbeins y sustituyendoTa=Dea,hallamosnalmenteLp= d (pa1adRa1a2 Ra2p3a2p2a2p1a2pea2p+1 ead) ++ p (d 2p) a1ada1a2Ra3a4 Ra2p1a2pTa2p+1ea2p+2 ead. (5.9)46 CAPITULO5. GRAVITACIONENDIMENSIONESMAYORESEl primerterminoesunaderivadatotal, ynocontribuyealasecuacionesdemo-vimiento.Paraquelaacciontengaunvalorestacionariobajoestatransformacion,requerimosquesecumplanlasecuaciones[(d1)/2]

p=1pp (d 2p) a1adRa3a4 Ra2p1a2pTa2p+1ea2p+2 ead= 0. (5.10)Lasecuaciones(5.8)y(5.10)dictanladinamicadelageometraenlateoradeLovelock.Encuatrodimensionesespacio-temporales,ellassereducenalasecuacio-nes de Einstein con constante cosmologica mas una ecuacion que expresa la ausenciadetorsion.Endimensionessuperiores,sinembargo,lateoradeLovelockes,enge-neral, dinamicamentemuydiferentealadeEinstein, consolucionesquenosonnisiquieraperturbativamentecercanasalasdeesta ultima[3].5.3. ElproblemadeloscoecientesUnacaractersticaindeseabledelaacciondeLovelock(5.5)esqueellacontie-neuncierton umerodeconstantes arbitrarias p. Cadaptienedimensiones de[L](d2p), demodoque, endimensionespares, el ultimocoeciente, d/2, esadi-mensional. Estosignicaque, engeneral, tantolaaccionde Lovelockcomosusecuacionesdemovimientoasociadascontienenn=_d+12constantesdimensionalesarbitrarias. Esto presenta problemas en dos aspectos distintos. Primero, la dinamicadel sistema no estara bien denida para un conjunto generico de constantes. Esto esdebidoalapresenciadepotenciassuperioresdelasvelocidadesenel lagrangeano[3]. Ensegundolugar, laapariciondeconstantesdimensionalesenlaaccionhacemasimprobablelarenormalizabilidaddelateoracuanticaasociada[23].Estosdosproblemashacenqueseaaltamentedeseableparticularizarlasconstantesdealg unmodo. En[31], lospssonseleccionadosdeacuerdoal criterioquelascondicio-nesdeintegrabilidad(oconsistencia)paralasecuacionesdecampo(5.8)y(5.10)noimponganrestricciones algebraicas adicionales sobrelos tensores detorsionycurvatura. Nosotrosseguiremosestarutaendimensionesimpares; endimensionespares, en cambio, los coecientes seran seleccionados mediante el requerimiento quelateoraposeaun unicoestadovaco.5.3. ELPROBLEMADELOSCOEFICIENTES 475.3.1. CoecientesparadimensionesimparesParadimensionesimpares5, d=2n 1, lassumatoriasen(5.8)y(5.10)lleganhasta[(d 1) /2] = n 1.Deniendo[31]c(p)a aa2a2n1Ra2a3 Ra2pa2p+1ea2p+2 ea2n1, (5.11)c(p)ab aba3a2n1Ra3a4 Ra2p1a2pTa2p+1ea2p+2 ea2n1, (5.12)yca n1

p=0p (d 2p) c(p)a, (5.13)cab n1

p=1pp (d 2p) c(p)ab, (5.14)podemosescribirlasecuacionesdemovimiento(5.8)y(5.10)comoca= 0, (5.15)cab= 0. (5.16)Las (d 1)-formas cay cabson tensores de Lorentz independientes con el mismon umero de componentes que eay ab. Mas a un, dado que toda (d 1)-forma es dual(vael dual deHodge)auna1-forma, ambastienentambienel mismon umerodecomponentescoordenadas. Estoquieredecirquelasecuaciones(5.15)y(5.16)son necesarias y sucientes para determinar completamente los campos eay ab. Sinembargo, si hubiesen relaciones algebraicas entre ca y cab, entonces (5.15) y (5.16) noseranecuacionesindependientes,yalgunascomponentesdelvielbeinolaconexionquedaranindeterminadas.Porotrolado, tomandoladerivadacovariantede c(p)ayusandolasidentidadesdeBianchi,encontramoslasrelacionesDc(p)a= 2 (n 1 p) ebc(p+1)ba, (5.17)lascualessonvalidaspara0 p n 1.Enrealidad, c(p+1)banoestabiendenidopara p = n1, pero en este caso el lado derecho de (5.17) se anula de todos modos (lo5En general,n esta denido comon = _d+12. Esta denicion permite escribir las dimensionesimpares comod = 2n 1 y las pares comod = 2n.48 CAPITULO5. GRAVITACIONENDIMENSIONESMAYOREScualesconsistente,yaqueDc(n1)a= 0).Multiplicando(5.17)por(2n 1 2p) pysumandopara0 p n 1,hallamoslaidentidadDca=n1

p=1p1 (2n 2p) (2n 2p + 1) ebc(p)ba, (5.18)la cual debe anularse on-shell, por consistencia con la ecuacion de movimiento ca= 0.Masa un,tomandoelproductoexteriordeebcon cbaencontramosebcba=n1

p=1pp (2n 1 2p) ebc(p)ba, (5.19)lacual tambiendebeanularseon-shell, porconsistenciacon cab=0. Porlotanto,tenemoslascondicionesdeconsistencia(ointegrabilidad)n1

p=1p1 (2n 2p) (2n 2p + 1) ebc(p)ba= 0, (5.20)n1

p=1pp (2n 1 2p) ebc(p)ba= 0. (5.21)Paraunconjuntoarbitrariodecoecientesp,el unicomododesatisfacerlascon-diciones (5.20) y (5.21) simult aneamente sera exigir ebc(p)ba= 0 para algunos valoresdep, locual haraquealgunascomponentesdel vielbeinylaconexionquedasenindeterminadas. Para evitar esta posibilidad, requerimos que ambas ecuaciones seanrealmenteunasola,yqueebc(p)bapuedatomarcualquiervalor.Estoimplicaquelassumatoriasen(5.20)y(5.21)debenserproporcionalesterminoatermino:p1 (2n 2p) (2n 2p + 1) ebc(p)ba= pp (2n 1 2p) ebc(p)ba. (5.22)Aqu esunaconstantecondimensionesde[L2]. Estaecuacionnosconducealasiguienterelacionderecurrenciaparalosp:p= 2 (n p) (2n 2p + 1)p (2n 1 2p)p1, (5.23)con0 p n 1.Lasolucionaestaecuacionesp= 0(2n 1) (2)p(2n 1 2p)_n 1p_. (5.24)5.3. ELPROBLEMADELOSCOEFICIENTES 49As,delasnconstantesdimensionalesarbitrariasoriginalmentepresentesenlaac-cion,noshemosquedadocondos;0y.Resultaconvenientereparametrizarestasconstantesdeacuerdoa[31]0=(2n 1) 2n1, (5.25)= sgn () 22 , (5.26)dondeesunaconstantecondimensionesdeaccion(adimensional cuando =1)yesunaconstantecondimensionesdelongitud.Haciendolosreemplazoscorres-pondientesen(5.5),podemosescribirlaacciondeLanczos-Lovelockenlaforma6S(2n1)CS= _n1

p=0

(2n12p)(2n 1 2p)_n 1p_a1a2n1Ra1a2 Ra2p1a2pea2p+1 ea2n1.(5.27)La eleccion de coecientes que hemos hecho conlleva una notable recompensa: laaccion(5.27)esinvariantenosolobajolasusualesrotacioneslocalesdeLorentzea= abeb, ab= Dab, (5.28)sinoquetambienbajolosboostsdeanti-deSitterea= Da, ab=1

2_aebbea_. (5.29)EstopuedeservistonotandoqueellagrangeanoL(2n1)CS= n1

p=0

(2n12p)(2n 1 2p)_n 1p_a1a2n1Ra1a2 Ra2p1a2pea2p+1 ea2n1(5.30)eslaformadeEuler-Chern-Simonsparael grupodeanti-deSitterSO(2n 2, 2).Para demostrarlo, partimos acomodando eay aben una conexion ABpara el grupodeanti-deSitterenlaforma AB=_ ab a,2n 2n,b0_ =_abea/eb/ 0_.6Aqu hemos escogido < 0. En caso contrario, cada termino en la sumatoria va multiplicadopor un factor (1)p.50 CAPITULO5. GRAVITACIONENDIMENSIONESMAYORESLa consistencia de esta identicacion es vericada comprobando que las transforma-cionesdegauge AB= D AB(5.31)secorrespondenexactamentecon(5.28)y(5.29)sillamamosAB=_aba,2n2n,b0_ =_aba/b/ 0_.La derivada exterior del lagrangeano de Euler-Chern-Simons (5.30) corresponde en-toncesaladensidaddeEulerde2ndimensionesE2n,dL(2n1)CS=2nA1A2nRA1A2

RA2n1A2n,= E2n,dondelacurvaturadeAdSRAB d AB+ AC CBesdescompuestadeacuerdoaRAB=_RabRa,2nR2n,b0_ =_Rab+1

2eaebTa/Tb/ 0_. (5.32)Porlotanto,vemosquebajo(5.31)tendremos_dL(2n1)CS_ = 0 d_L(2n1)CS_ = 0,locualsignicaqueL(2n1)CSpuedeserescritolocalmentecomounaderivadatotal,L(2n1)CS= d.As,laaccionS(2n1)CS=_L(2n1)CSresultaserinvariantebajo(5.31).En resumen, podemos decir que existe una eleccion de coecientes para la accionde Lanczos-Lovelock en dimensiones impares que conduce a una teora de gauge parala gravitacion, en el sentido de que todos los campos independientes son componentesdeunaconexionparaelgrupoSO(2n 2, 2)ylaaccionS(2n1)CSesinvariantebajolastransformacionesdegauge AB= D AB.5.3.2. CoecientesparadimensionesparesEnestecasoseguimos unarutadistintaalarecorridaendimensiones impa-res, dondeloscoecientesfueronseleccionadosmedianteel requerimientoquelascondicionesdeintegrabilidadparalasecuacionesdemovimientonoimpusiesenres-triccionesadicionalesalostensoresdetorsionycurvatura.5.3. ELPROBLEMADELOSCOEFICIENTES 51ComenzamosnotandoqueellagrangeanodeLovelockend = 2ndimensionesL(2n)LL=n

p=0pa1a2nRa1a2 Ra2p1a2pea2p+1 ea2n(5.33)puedeserreescritocomoL(2n)LL= 0a1a2n (Ra1a21ea1ea2)(Ra2n1a2nnea2n1ea2n) , (5.34)dondelosssonlasracesdelpolinomiocuyoscoecientessonloss:0 +1x + . . . + nxn= 0 (x 1)(x n) . (5.35)Engeneral,losssonn umeroscomplejoscondimensionesde[L2],conlarestric-ciondeque(5.34)seareal.Notemosque0esrealyadimensional(cuando= 1).Las ecuaciones de movimientoparalaaccionque se obtiene del lagrangeano(5.34)permitenunmaximoden 1solucionesdecurvaturaconstante, lascualesrepresentandistintosestadosvacosdelateora. Losradiosdecurvaturadeestosespaciossonobtenidosapartirdelasracesdeunpolinomiodegradon 1queinvolucraaloscoecientes1, ..., n[9]. Estoconstituyeuninconveniente, yaquesignica que la teora posee un estado vaco n1 veces degenerado. La unica salidaconsisteenexigirquetodosloss(aexcepcionde0)seaniguales: 1==n 1/2, dondeesunaconstantecondimensionesdelongitud7. Estojaloscoecientespenterminosdey0 /2ncomop=2n_np_

(2n2p), 0 p n, (5.36)demodoqueellagrangeano(5.33)puedeserescritoenlaformaL(2n)BI=2na1a2n_Ra1a2+1

2ea1ea2_

_Ra2n1a2n+1

2ea2n1ea2n_. (5.37)Estaexpresioncorrespondeal Pfaano8delaformaZabRab+ eaeb/2, el cual7Esta eleccion implica escoger una constante cosmologica negativa. El caso > 0 es recuperadomediante el reemplazo i.8Engeneral,eldeterminantedeunamatrizantisimetricaAde2n2neselcuadradodeunpolinomio llamado el Pfaano deA y denotado por Pf (A). El Pfaano esta dado por [20]Pf (A) =(1)n2nn!

sgn () A(1)(2) A(2n1)(2n),donde es un elemento del grupo de permutaciones de 2n objetos.52 CAPITULO5. GRAVITACIONENDIMENSIONESMAYORESpuedeserescritosimbolicamentecomoL(2n)BI= 2n1(n 1)!det_Rab+1

2eaeb_. (5.38)Por esta razon, (5.37) es usualmente llamado el lagrangeano de Lovelock-Born-Infeld.NotemosqueestelagrangeanoincluyeladensidaddeEuleren2ndimensionesE2n= a1a2nRa1a2 Ra2n1a2n(5.39)conpeson=/2n. Laintegral deestadensidadentregael invariantetopologicodeEuler, el cual esinsensibleadeformacionescontinuasdelavariedad[20] ynocontribuyealasecuacionesdemovimiento.Supresenciaenlaaccion,sinembargo,garantizalacorrectadeniciondelascargasconservadas[1, 2] ylaasignaciondediferentesfasesadistintastopologasenlateoracuantica.Esto ultimoesdebidoaquelainclusiondeesteterminoenlaintegral funcional produceunfactordefasequedependesolodelatopologadelavariedad.Adiferenciadeloocurridoendimensionesimpares,laaccionS(2n)BI=2n_a1a2n_Ra1a2+1

2ea1ea2_

_Ra2n1a2n+1

2ea2n1ea2n_(5.40)es invariante solo bajo rotaciones locales de Lorentz, y no bajo boosts de AdS. Estafaltade invarianciaimpide larealizacionde lagravitaci onendimensiones parescomounagenuinateoradegaugedelgrupoSO(2n 2, 2).Captulo6GravitacioninvariantebajoelgrupodePoincareLaacciondeEinstein-HilbertS(4)EH= 2_abcdRabeced(6.1)es invariante bajodifeomorsmos (dadoque estaescritaenterminos de formasdiferenciales)ybajorotacioneslocalesdeLorentzenelespaciotangente.Podemosinclusoagregarunaconstantecosmologica = 3/2yunterminodesupercie1:S(4)BI=4_abcd_Rab+1

2eaeb__Rcd+1

2eced_. (6.2)Comodiscutimosenel captuloanterior, estaaccion, conocidacomolaacciondeLovelock-Born-Infeldencuatrodimensiones,nosproveedeunateoraconun unicoestadovaco,dadoporRab= (1/2) eaeb.EstapropiedadesunaconsecuenciadelaelecciondecoecienteshechaenlaacciondeLovelock, lacual permiteescribirS(4)BIdemodofactorizado,comoen(6.2).Sinembargo, laacciondeLovelock-Born-Infeld(6.2)noesinvariantebajolastraslacioneslocalesdePoincaretlpea= Da, tlpab= 0. (6.3)1Aqu es una constante adimensional (cuando= 1) relacionada con mediante = 2 . Laintroduccion de la escala de longitud es necesaria debido a que el vielbeineatiene dimensionesde longitud.5354 CAPITULO6. GRAVITACIONINVARIANTEDEPOINCAREEn efecto, el cambio en S(4)BIbajo las transformaciones innitesimales (6.3) esta dado(salvounterminodeborde)portlpS(4)BI=

2_abcd_Rab+3

2eaeb_Tcd. (6.4)Lainvarianciade(6.2)bajotraslacioneslocalesdePoincarerequiere,porejemplo,laexigenciao-shell Ta= 0,lacualesunaecuaciondelmovimientoparalaaccion(6.2). Esto quiere decir que las traslaciones (6.3) seran a lo mas una simetra on-shelldelaaccion(6.2). Lassimetrason-shell nosonverdaderassimetras, puestoque,cuando las ecuaciones de movimiento son satisfechas, la variaci on de cualquier accionbajocualquiertransformacioninnitesimalessiempreigualaunterminodeborde.EstosignicaquedebemosadmitirsinmasquelaacciondeLovelock-Born-Infeld(6.2)noesinvariantebajolastraslacioneslocalesdePoincare(6.3).Esteproblemasepresentaentodaslasdimensionesparesd=2n; laacciondeLovelock-Born-Infeld[cf.ec.(5.40)]S(2n)BI=2n_a1a2n_Ra1a2+1

2ea1ea2_

_Ra2n1a2n+1

2ea2n1ea2n_(6.5)noesinvariantebajolastraslacioneslocalesdePoincare(6.3).Enlasseccionessi-guientes presentamos unaalternativaparaconstruir unateoradelagravitaci oninvariantebajoel grupodePoincareencualquiern umerodedimensiones. Prime-rorevisamosel casocuadridimensional yluegosugeneralizacionaunadimensionarbitrariad.6.1. Gravedadcuadridimensional invariantebajoelgrupodePoincareNuestra teora de la gravitaci on en cuatro dimensiones tiene como caractersticaprincipal laintroducciondeunnuevocampoa(x), el cual secomportacomounvector bajo transformaciones del grupo de Poincare. El tratamiento que presentamosaquestabasadoenlasrefs.[26,12,13,28].Loscamposindependientesenestateorasonla1-formavielbeine