tesis magister en ingenieria civil

TESIS MAGISTER EN INGENIERIA CIVIL

ENFASIS EN ESTRUCTURAS

“METODOLOGÍA SIMPLIFICADA PARA EL ANÁLISIS DINÁMICO

NO LINEAL DE EDIFICIOS CON AMORTIGUADORES VISCOSOS”

GABRIEL GUTIERREZ G.

COD 200427617

ASESORES:

JUAN CARLOS REYES

LUIS YAMIN

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL

MAGISTER EN INGENIERIA CIVIL

BOGOTA, FEBRERO 2006

MIC 2006-I-27

TABLA DE CONTENIDOS

PAG

1. INTRODUCCION Y JUSTIFICACION 1

1.1 OBJETIVO GENERAL 3

1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS 3

1.3. ALCANCE 4

2. AMORTIGUADORES VISCOSOS 5

2.1. DESCRIPCION 5

2.2. COMPORTAMIENTO 6

2.3. CONFIGURACION EN LA ESTRUCTURA 8

3. MARCO TEORICO 10

3.1. ECUACION BASICA EXCITACION EN LA BASE 10

3.2. ENERGIA DE UN AMORTIGUADOR 12

3.3. COMPORTAMIENTO INELASTICO 14

3.4. ANALISIS MATRICIAL 15

3.5. ANALISIS MODAL 17

3.6. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS 19

4. AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE 21

4.1. ESTRUCTURA EQUIVALENTE 21

4.2. OPTIMIZACION DE AMORTIGUAMIENTO 22

5. METODOLOGIA PROPUESTA 24

6. CASOS DE ESTUDIO 30

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6.1. PROPIEDADES DE LOS MODELOS 30

6.2. CARGAS APLICADAS 37

6.3. ANALISIS DE RESULTADOS 39

6.3.1. RESULTADOS DERIVA 40

6.3.2. ANALISIS INELASTICO CONTRA EL TIEMPO 52

6.3.3. CONFIGURACION ÓPTIMA 77

7. CONCLUSIONES 78

8. BIBLIOGRAFIA 79

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1

1. INTRODUCCION Y JUSTIFICACION

Por todas las catástrofes que han ocurrido y las grandes perdidas económicas, la ingeniería

se ha visto obligada a buscar nuevos modelos para el entendimiento de la respuesta

dinámica de la estructura ante las cargas sísmicas, así como analizar y buscar modelos

experimentales que expliquen mejor el comportamiento inelástico de la estructura a través

de la demanda de ductilidad y el factor de reducción de la fuerza sísmica.

De igual manera se hace necesario buscar nuevas tecnologías como disipadores, aisladores

de base y amortiguadores. Lo anterior, con la finalidad de lograr una reducción de fuerzas

adsorbidas por la estructura durante sismo.

Debido a las altas cargas asociadas al sismo, los edificios son diseñados inelásticamente

para cargas sísmicas reducidas por un factor (R); a cambio de eso, la estructura debe tener

una capacidad de disipación de energía. Es aquí donde entra el campo de los disipadores de

energía, logrando que el sismo, que posee una energía asociada, se disipe por medio de

disipadores causando el menor daño a la estructura, de tal manera que se puedan proteger

los elementos no estructurales y la vida humana.

Debido a la normativa para el diseño de estructuras cada día más exigente se hace vital

encontrar una metodología que logre diseños más eficientes y económicos de la estructura,

además de la rehabilitación de estructuras que fueron diseñadas con normas anteriores y

deben ser actualizadas para reducir su vulnerabilidad ante sismos.

En la primera parte de este trabajo se llevara a cabo una recolección teórica del análisis

sísmico de pórticos, también buscando bibliografía de los disipadores viscosos, asi como la

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2

forma de convertir los amortiguadores de una estructura en un amortiguamiento equivalente

para un sistema de un grado de libertad.

Para la segunda parte se llevaran a cabo modelos de edificios con pórticos planos, en los

cuales se analice el comportamiento del mismo ante sismos, con configuraciones de

amortiguadores viscosos que garanticen un amortiguamiento equivalente. Se comparan las

gráficas de desplazamiento de la estructura real y la de un sistema de un grado de libertad

con amortiguamiento equivalente.

MIC 2006-I-27

3

1.1 OBJETIVO GENERAL

Hallar la modelación de pórticos complejos utilizando la equivalencia entre un modelo de

múltiples grados de libertad (MDF) y un modelo de un grado de libertad (SDF), que estime

el comportamiento de la estructura. Para hallar dicha equivalencia se convierte el sistema

MDF a un sistema SDF convirtiendo una configuración de amortiguadores viscosos a un

amortiguamiento equivalente.

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

1.1. Recolectar la bibliografía de los disipadores viscosos para un tipo de fabricante

seleccionado.

1.2. Definir las variables relevantes para la elaboración del modelo conceptual.

1.3. Elaborar el modelo conceptual para el análisis de disipadores viscosos.

1.4 Realizar un análisis paramétrico para determinar la importancia de cada una de las

variables que intervienen en el problema.

1.5 Identificar la metodología que explique el comportamiento de los disipadores viscosos

para lograr la equivalencia de varios disipadores con un disipador equivalente.

1.6 Analizar edificios reales con sistemas de amortiguamiento y compararlos con el de un

sistema de un grado de libertad.

1.7 Elaborar conclusiones y recomendaciones

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4

1.3 ALCANCE

El alcance de la presente tesis es buscar un modelamiento simplificado de pórticos

utilizando disipadores viscosos equivalentes para obtener la respuesta dinámica del pórtico.

Se idealizara la estructura como un edificio de cortante para poder plantear la matriz de

amortiguamiento (la matriz de rigidez del edificio si considera flexibilidad en las vigas).

También se va a desarrollar el análisis para pórticos planos, y se manejará pequeños

amortiguamientos (menores al 20 %) para llevar a cabo la aproximación de la frecuencia

natural del sistema es la misma a la amortiguada del sistema.

)1( 2nd ξωω −= (1.1)

%20≤ξ (1.2)

nd ωω ≈ (1.3)

SUPUESTOS

• Pórticos planos

• Amortiguamiento concentrado en los dispositivos

• No amortiguamiento histerético

• Amortiguamiento lineal

• Modo fundamental

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5

2. AMORTIGUADORES VISCOSOS

2.1 DESCRIPCION

El disipador funciona por un pistón que está contenido en su interior (ver Figura 2.1) , el

cual al intentar moverse, encuentra la resistencia del fluido al pasar por los orificios del

mismo, disipando de esta manera la energía y convirtiéndola en calor. Esta energía es

irradiada al exterior del disipador.

Para el óptimo funcionamiento de los disipadores viscosos se selecciona el aceite de

silicona debido a que este fluido es químicamente inerte y no corrosivo además de no

presentar mayores cambios de viscosidad con la temperatura generada por la disipación de

la energía lo cual afectaría las propiedades del amortiguador.

Figura 2.1 Esquema de un disipador viscoso

Los disipadores, al estar colocados en la estructura, no cambian su periodo fundamental

pero si reducen en una amplia gama de periodos estructurales los valores de aceleración y

desplazamiento, por lo cual son muy útiles para reducir los valores de derivas y de fuerzas

inerciales en una estructura.

La mayoría de las estructuras poseen una amortiguamiento intrínseco entre el 1% y el 5%

del crítico, añadiéndole disipadores de energía se puede incrementar el nivel de

amortiguamiento disminuyendo los daños causados por los sismos. Los daños, en muchos

MIC 2006-I-27

6

casos, se presentan en los elementos no estructurales ya que se parte de la filosofía de

diseño que, para eventos extremos, se pierde la elasticidad de la estructura; es aquí donde

los amortiguadores juegan un papel importante en la rehabilitación de estructuras y en el

diseño de nuevas estructuras. Muchos ingenieros los prefieren por no cambiar las

propiedades de rigidez de la estructura y por ende su periodo. [Miyamoto, 2004]

2.2 COMPORTAMIENTO

La ecuación que describe el comportamiento de los amortiguadores (ver ecuación 2.1).

F=CVα (2.1)

La constante C depende de las dimensiones del pistón, la constitución del mismo y la

viscosidad del fluido. El parámetro α se relaciona con su conformación interna.

El exponente de la velocidad en los amortiguadores es un parámetro importante, ya que

posee la influencia en la reducción de las fuerzas inerciales.

Debido al valor del exponente, los amortiguadores se pueden clasificar como lineales

(α=1), no lineales (α<1) y superlineales (α>1). Como ya se menciona anteriormente el α

depende de la configuración interna, dependiendo este del fabricante, la bibliografía

recomienda valores entre 0.3 y 0.75. Para los sismos es claro que para la misma constante

de amortiguamiento C el amortiguador disipa mayor energía a mayor exponente, por lo que

las fuerzas axiales transferidas a los elementos de la estructura son mayores, debido a que

necesitan diseñarse para mayores cargas y asumiendo que no se deteriore el amortiguador

por flexiones inducidas. Las propiedades de los amortiguadores se deben revisar

cuidadosamente dado que para pequeños sismos, son mejores los amortiguadores nolineales

que los lineales, en razón a que las velocidades son pequeñas y, al estar elevadas a un

exponente que en este caso es menor de uno, se incrementa este término a diferencia de

valores mas altos de velocidad. Para sismos fuertes son mejores los amortiguadores lineales

por mayores velocidades relativas entre los pisos. [Yu, 2003]

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7

La mayoría de los ingenieros utilizan los dispositivos en diagonales para conectarlos con

los demás miembros de la estructura. Es muy importante la configuración del amortiguador

ya que su impacto puede reducir costos y sus implicaciones arquitectónicas en cuanto a

distribución de espacio. También se debe buscar que el amortiguador se añada a la

estructura por medio de articulaciones que garanticen la no transferencia de flexiones al

amortiguador y que solo se comporte con cargas axiales; lo anterior, buscando evitar la

aparición de esfuerzos adicionales.

Figura 2.2 Esquema conexión amortiguador a la estructura.

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8

2.3 CONFIGURACION EN LA ESTRUCTURA

Hay numerosas alternativas en la configuración del amortiguador. A continuación serán

definidas las variables:

u= movimiento piso

uD= movimiento amortiguador

F=Fuerza hecha por el amortiguador

FD= Fuerza en el amortiguador.

Se puede demostrar lo siguiente:

uD =ƒu

F =ƒFD

Donde ƒ es el factor de magnificación. Para las siguientes configuraciones se cuenta con

este factor.

Para amortiguadores lineales se puede demostrar que el coeficiente de amortiguamiento

para condiciones elásticas para un solo piso con peso W y periodo T es igual a (ver

ecuación 2.2):

WgTCf

πβ

4

2

= (2.2)

La ecuación 2.2 es de gran relevancia, ya que demuestra que el amortiguamiento es

proporcional al factor de magnificación al cuadrado, por lo que las configuraciones “toggle

brace y scissor jack” pueden tener valores de ƒ mayores que 1 [Constantinou, 2001]. Las

configuraciones mas comunes se muestran en la Figura 2.3 donde se muestra el valor de

magnificación.

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9

Figura 2.3 Diferentes configuraciones de amortiguadores

con valor de magnificación

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10

3. MARCO TEORICO

El marco teórico de soporte será el análisis de la respuesta dinámica de estructuras,

haciendo un recorrido por las ecuaciones básicas del comportamiento dinámico de

estructuras, para tener un punto de partida buscando llevar a cabo la equivalencia de las

propiedades dinámicas de un modelo complejo a propiedades equivalentes [CHOPRA

2001]

3.1 ECUACION BASICA EXCITACION EN LA BASE

ut

ug

Figura 3.1 Esquema de un pórtico idealizado sometido a una excitación en la base

Se tiene el siguiente esquema de un pórtico idealizado sometido a una excitación en la base

(ver Figura 3.1). Para empezar se tiene por el principio de D’Alambert [CHOPRA, 2001]

que un sistema sometido a fuerzas dinámicas debe estar en equilibrio en todo momento. La

suma de fuerzas que intervienen en la masa se pueden ver en la ecuación 3.1.

0=++ SDI fff (5.1)

Los desplazamientos totales son la suma de los relativos mas los de la base.

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11

)()()(

)()()(......

tututu

tututu

g

t

gt

+=

+= (3.2)

Se establece la ecuación de movimiento de un sistema SDF con excitación en la base (ver

ecuación 3.3):

)(),(......

tumuukucum g−=++ (3.3) Con las siguientes variables definidas en las ecuaciones 3.4 a 3.6.

rc

c=ξ (3.4)

nr mwc 2= (3.5) ξnmwc 2= (3.6)

Ahora se busca la solución de un sistema para unas condiciones iniciales. Si se toma un

SDF con condiciones iniciales se tiene el siguiente movimiento contra el tiempo, ver

Figura 3.1.

Variación desplazamiento contra el tie mpo

-1

1

-1 0 3 0

tiempo

Des

pla

zam

ien

to

Figura 5.1 Variación desplazamiento contra el tiempo

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12

Si se plantea la ecuación de movimiento [CHOPRA, 2001] en los picos de amplitud se

tiene lo siguiente (ver Ecuaciones 3.7 a 3.10)

)

1

2(

2

)()( ξ

πξ

−=+

eTtutu

D

(3.7)

2

1 1

2)ln(

ξ

πξ

−=

+i

i

uu

(3.8)

11 2 ≈−ξ (3.9)

2)ln(1

πξ=+i

i

uu

(3.10)

Esto permite conocer el nivel de amortiguamiento de estructuras con condiciones iniciales

de movimiento, cabe decir que esto aplica para pequeños amortiguamientos por la

aproximación de la raíz cuadrada de 1 menos el amortiguamiento al cuadrado.

3.2 ENERGIA DE UN AMORTIGUADOR

Si se plantea la Energía disipada por un amortiguador sujeto a una fuerza armónica en un

ciclo [CHOPRA, 2001]:

wtptp sin)( 0= (3.11) Como la Energía es la integral de la fuerza por el desplazamiento

∫ ∫== dtucdufE DD

2. (3.12)

[ ] 20

20

20 2)cos( uk

ww

cwudtwtwucn

∫ ==− πξπφ (3.13)

La relación encontrada es interesante ya que se observa que la energía disipada por un

amortiguador es proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la frecuencia de

excitación. Por lo que a mayores factores de amplificación de fuerza sísmica mayor

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13

respuesta del amortiguador, ya que tiene rangos en los cuales no sirve de mucho el

incremento del valor de amortiguamiento porque no lo refleja de forma significativa.

Ahora se plantea la Energía ingresada al sistema sujeto a una fuerza armónica en un ciclo:

∫ ∫== dtutpdutpEI

.)()( (3.14)

∫ =− φπφ sin)cos()(sin( 0000 updtwtwuwtp (3.15)

y

Dn

I

n

Ekuww

E

kpu

ww

==

=

20

0

0

2

/)2(sin

πξ

ξφ (3.16)

Pero que sucede con la energía potencial y la cinética lo que indica es que están en

equilibrio y son iguales, cuando la energía potencial es máxima la cinética es cero y

viceversa, cabe recordar que esta deducción fue hecha para un ciclo.

Ahora se tiene lo siguiente:

1

)(

)(sin

)cos()(

2

0

2

0

220

220

20

0

.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

−−=

−==

cwuf

uu

tuucwf

wtuucwf

wtcwutucf

D

D

D

D

φ

φ

(3.17)

Que es igual a la ecuación de una elipse cuya área es la energía disipada en un ciclo por un

amortiguador. De la relación anterior se obtiene que la energía disipada por el amortiguador

sea la misma que la disipada en un ciclo de histéresis, por lo que se puede plantear la

siguiente relación con un amortiguamiento equivalente.

so

D

neq E

Eww

πξ

41

= (3.18)

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14

Esta ecuación calcula el amortiguador equivalente luego de la estructura sufrir

deformaciones inelásticas.

3.3 COMPORTAMIENTO INELASTICO

Se sabe que los sismos producen fuerzas inerciales que se pueden modelar como fuerzas

horizontales aplicadas externamente, los materiales poseen un comportamiento elástico

hasta un esfuerzo llamado de fluencia después de lo cual la relación entre la deformación y

el esfuerzo no es lineal [CHOPRA, 2001]. Para el caso de diseño sísmico se sabe que las

fuerzas externas asociadas a un sismo son muy altas, por lo que diseñar una estructura

elástica para un sismo es sumamente costoso por lo que se deja que la estructura entre en su

rango inelástico y absorba parte de la energía asociada al sismo con energía de deformación

permitiendo diseñar para fuerzas menores. Para entender el comportamiento de un material

se tiene un comportamiento elastoplástico el cual después de llegar a fluencia el material no

puede resistir mas esfuerzo pero si deformarse, tenemos la fuerza elástica de diseño f0 y la

fuerza de diseño fy ver Figura 3.2

F f0 fy uy u0 um u

Figura 3.2 Curva Fuerza-Deformación Material Elastoplástico

Usando una relación entre la fuerza elástica y la fuerza de diseño (ver ecuación 3.19)

y

yyy

ff

R

uu

ff

f

0

00

=

== (3.19)

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15

Denominando ductilidad la relación entre la deformación máxima y la de fluencia se llega a

(ver ecuación 3.20)

Ru

uuu m

y

m µµ =⇒=

0

(3.20)

La ecuación diferencial de movimiento dividiendo por m queda (ver ecuación 3.21).

)(),(~

2...

2...

tuuufuwuwu gsynn −=++ ξ (3.21) con

y

ss f

uufuuf

),(),(

~.

.= (3.22)

3.4 ANALISIS MATRICIAL Para empezar se supone un edificio de cortante un modelo en el cual se supone las vigas

infinitamente rígidas en su plano (diafragma rígido) y en sentido transversal EI=α

[CHOPRA, 2001]. Ver Figura 3.3

P2(t) P1(t) Figura 3.3 Esquema de un pórtico de múltiples grados de libertad Planteando las ecuaciones dinámicas para ambas masas que por conveniencia se plantean

de forma matricial.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡)()(

2

1

2

1

2

1..

2

..

1

2

1

tptp

ff

ff

u

um

m

k

K

D

D (3.23)

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16

Suponiendo un comportamiento lineal las fuerzas se relacionan a los desplazamientos de

los pisos y haciendo equilibrio llegamos a la relación de una matriz de rigidez y

amortiguamiento

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

2

1

2

1

22

221

k

K

ff

uu

kkkkk

(3.24)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

2

1

2

.1

.

22

221

D

D

ff

uu

ccccc

(3.25)

donde

∑=col

i LEIc

k 3

12 (3.26)

En general para sistemas sin vigas infinitamente rígidas pero con diafragma rígido, hay más

grados de libertad por las rotaciones de los apoyos. Para la construcción de las matrices de

amortiguamiento y rigidez se imponen desplazamientos o velocidades unitarias y se

calculan las fuerzas que aparecen para mantener estos desplazamientos o velocidades. En

general al plantear las ecuaciones matriciales estas se pueden condensar para los grados de

libertad con las masas asociadas. Por comodidad se planteara el sistema sin matriz de

amortiguamiento (ver ecuaciones 3.27 a 3.29).

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0

)(000

0000

0..

0

..tp

uu

kkkk

u

um tt

t

ttttttt (3.27)

Donde el subíndice t representa los grados de libertad con masa y los 0 sin masa.

tt

tt

ttttttttt

ukku

ukuktpukukum

0001

0

0000

00

..

0)(

−−=

=+=++

(3.28)

Sustituyendo y reemplazando queda

t

Tttttt

tttttttt

ukkkk

tpukum

001

0

..

ˆ)(ˆ

−−=

=+ (3.29)

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17

3.5ANALISIS MODAL Se supone al sistema sin amortiguamiento y sin fuerza externa satisfaciendo condiciones

iniciales [CHOPRA, 2001] (ver ecuación 3.30).

0..

=+kuum (3.30) Suponiendo una solución del vector de desplazamiento de la siguiente forma, donde el

vector φn no varía con el tiempo y representa el vector de forma (deformada).

nn tqtu φ)()( = (3.31)

Derivando (3.31) y reemplazando en la ecuación se llega a la ecuación 3.32.

[ ] 02 =− nnmwk φ (3.32)

Donde el vector de forma no puede ser 0, para resolverlo se plantea el determinante a la

matriz de donde sale los valores y vectores propios de esta matriz. Los valores propios

representan las frecuencias naturales al cuadrado y sus vectores de forma asociados, al

organizarlas de menor a mayor la menor frecuencia corresponde al modo fundamental.

Ahora se muestra la matriz espectral que corresponde las frecuencias naturales, que es

diagonal.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Ω

2.

22

21

2

..

nw

ww

(3.33)

Y la matriz de los vectores de forma.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Φ

NNNN

N

N

φφφ

φφφφφφ

21

.

22221

11211

..

(3.34)

Con estas matrices se puede transformar la ecuación general por unas nuevas matrices las

cuales son diagonales (ver ecuación 3.35)

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18

nnn

T

T

MwKmMkK

2=

ΦΦ=ΦΦ=

(3.35)

Para los sistemas con amortiguamiento se puede plantear una matriz transformada de amortiguamiento la cual puede o no ser diagonal, dependiendo de la colocación de los

amortiguadores en el sistema, si la matriz es diagonal se conoce como amortiguamiento

clásico ya que las ecuaciones se pueden desacoplar, en cambio si la matriz no es diagonal se conoce como amortiguamiento no-clásico y las ecuaciones no se pueden desacoplar por

lo que toca resolver ecuaciones simultáneas.

ΦΦ= cC T (3.36)

Donde los términos de la diagonal son

nn

nn Mw

C2

=ξ (3.37)

Para los casos de amortiguamiento clásico se sugieren métodos de la construcción de

matrices de amortiguamiento que al ser premultiplicadas con la matriz de los vectores de

forma se obtiene una matriz diagonal, uno de los enfoques es la matriz de Rayleigh la cual la matriz se construye como una suma algebraica de las matrices de masa y rigidez.

kamac 10 == (3.38)

Se puede escoger el valor a0 para obtener un amortiguamiento para un modo específico

j

j

ii

wa

waξξ

22

1

0

=

= (3.39)

Volviendo al principal objetivo que es la ecuación general para sistemas de varios grados de libertad con excitación en la base se sabe, que se puede plantear en términos de matrices

de la siguiente forma, y con el cambio de variable se puede tener unas nuevas matrices que

para la masa y rigidez son diagonales y para el amortiguamiento puede o no ser diagonal, por lo que es importante concentrarse en la respuesta de un sistema de estos de forma

general con excitación en la base.

MIC 2006-I-27

19

(3.40)

Como se sabe la función de excitación de base que es comúnmente usada corresponde a un

acelerograma, por lo que no posee solución analítica y toca buscar la solución por métodos

numéricos, paso a paso. Se explicará el método de diferencias finitas.

3.6 METODO DE DIFERENCIAS FINITAS.

Este método se basa en plantear las ecuaciones diferenciales por medio de diferencias

finitas, a medida que se vuelve mas pequeño el intervalo mejora su exactitud. Para el

método toca hacer unos cálculos iniciales (Ecuaciones 3.41 a 3.47), que son la semilla de

las posteriores iteraciones.

Cálculos Iniciales.

ΦΦΦ

=mmuq T

noT

no (3.41)

ΦΦΦ

=mmvq T

noT

no

. (3.42)

00 pP TΦ= (3.43)

0

..

00

.

00

..qKqqCPqM →−−= (3.44)

Luego se supone un intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño

0

..2

0

.

01 2qtqtqq ∆

+∆−=− (3.45)

)(

)(

)()()(),(

.....

.....

......

tuKqqCqM

tumqkqcqm

tqtutumuukucum

gnnn

gT

nT

nT

nT

nn

g

α

γ

φγ

=++

Φ−=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ

=

−=++

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20

Ct

Mt

K∆

+∆

=211ˆ

2 (3.46)

Mt

KbCt

Mt

a 22

2;211

∆−=

∆−

∆= (3.47)

Con estos cálculos iniciales se procede a los cálculos para el paso i (ecuaciones 3.48 a 3.49)

11

1

ˆˆ

ˆ

++

−

⇒=

−−=

Φ=

iii

iiii

iT

i

qPqK

bqaqPP

pP

(3.48)

11

1112

..

11

.

)2(1

)(21

++

−−+

−+

Φ=

+−∆

=

−∆

=

iT

i

iiii

iii

qu

qqqt

q

qqt

q

(3.49)

MIC 2006-I-27

21

4. AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE

4.1 ESTRUCTURA EQUIVALENTE

Idealizando una estructura con sus masas como nodos, esta se puede convertir a un SDF.

Para llevar a cabo tal equivalencia se calcula el centroide sísmico de las fuerzas inerciales

que cause los mismos efectos en la estructura (ver ecuación 4.1) y que posea el periodo fundamental del modelo MDF. Adicionalmente se obtiene la curva de capacidad de la

estructura, para obtenerla se ingresan las propiedades inelásticas de los elementos y la

estructura se empuja registrando valores de carga y deformación de la cubierta. Esta curva se idealiza de comportamiento bilineal, convirtiendo esta curva a una rótula inelástica en el

modelo SDF (ver Figura 4.1).

Figura 4.1 Equivalencia entre sistema MDF y SDF

∑

∑ ∗Φ=

ii

iii

eq m

mh (4.1)

MIC 2006-I-27

22

Al hacer la equivalencia de modelos las energía ingresada al sistema y la energía disipada por el amortiguador debe ser equivalente, se conoce la energía total de un sistema SDF con

las propiedades conocidas y se entra a un proceso iterativo hasta obtener las propiedades de

los amortiguadores que disipen la misma cantidad de energía (ver Ecuaciones 4.2 y 4.3).

∑=

=pisosn

iiDGDLD EE

,

1,, (4.2)

∫ ∑ ∫=

⋅=⋅pisosn

iii dtvCdtvC

,

1

22 (4.3)

4.2 OPTIMIZACION DE AMORTIGUAMIENTO

Para el proceso de optimización de los dispositivos a colocarse en los diferentes pisos para

obtener el grado de amortiguamiento deseado (correspondiente al primer modo), se empezará planteándolo para un sistema de 4 pisos para luego extenderlo en general. Se

sabe que se usará solo el primer modo por lo que la matriz de forma se convierte

únicamente en un vector. En general la matriz transformada de amortiguamiento es de la forma (Ecuación 4.4).

ΦΦ= cC T (4.4)

Teniendo los siguientes vectores y matrices (Ver ecuación 4.5)

MIC 2006-I-27

23

[ ]4321

44

4433

3322

221

ttttt

cccccc

ccccccc

c

t =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+−−+

= (4.5)

Empezando la primera parte de la multiplicación de la ecuación 4.4

[ ]44344434323332321222211 )()()( tctctctcctctctcctctccctct t ⋅+⋅−⋅−++⋅−⋅−++⋅−⋅−+=⋅

)2()2()2()(

222

)()()(

2434

234

2323

223

2212

212

211

244344

234

233233

223

2221222

211

21

244434

3442

3433232332

232112122212

1

ttttcttttcttttctctct

tcttctctcttctctcttcctcttct

tcttc

ttctccttcttctccttcttcccttct

t

t

t

+⋅⋅−++⋅⋅−++⋅⋅−+=⋅⋅

⋅+⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅+⋅=⋅⋅

⋅+⋅⋅

−⋅⋅−++⋅⋅−⋅⋅−++⋅⋅−⋅⋅−+=⋅⋅

En general se puede plantear dependiendo de n pisos como (ver ecuación 4.6)

wamortttttctctctn

iiiiii

t *2*)2()(2

21

21

211 =+⋅⋅−+=⋅⋅ ∑

=−− (4.6)

El lado de la igualdad es el amortiguamiento requerido multiplicado por la frecuencia

natural y por 2, también se multiplica por la masa, pero como se tratan con modos ortonormalizados este valor es uno.

Teniendo la Ecuación 4.6 se debe buscar la combinación de valores de c que cumplan esta

ecuación y que además den la menor suma de c ya que a mayor c mayor costo. Los pisos donde debe colocarse mas amortiguadores para causar mayor amortiguamiento son los que

poseen mayor deriva, o mayor desplazamiento relativo del vector de forma.

MIC 2006-I-27

24

5. METODOLOGIA PROPUESTA

En este capitulo se revisará paso a paso la metodología que se propone para el análisis de

pórticos con disipadores viscosos. Esta metodología que se propone puede ser usada para

rehabilitación o diseño: 1. Obtener el periodo fundamental (T), el vector de forma ortonormalizado (φ) y la

masa participante en el primer modo (m) usando el análisis modal del sistema MDF.

2. Calcular el centroide de las fuerzas sísmicas con el vector de forma modal correspondiente al primer modo. Ver ecuación (5.1):

∑

∑ ∗Φ=

ii

iii

eq m

mh (5.1)

3. Calcular la curva de pushover del modelo MDF e idealizarla mediante un modelo bilineal. Generar un sistema SDF (ver Figura 5.1) como una columna en voladizo

con una rótula cerca al apoyo utilizando las ecuaciones 5.2 a 5.6.

mT

k *2 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π (5.2)

hdkM yy **= (5.3)

hdyy /=θ (5.4)

hVM uu *= (5.5)

hduu /=θ (5.6)

Donde k es la rigidez, My el momento de fluencia, θy la rotación elástica, Mu el

momento último y θu la rotación última.

MIC 2006-I-27

25

Figura 5.1 Conversión de un modelo MDF a SDF

4. Calcular los desplazamientos y la deriva inelástica de piso utilizando el modelo SDF

definido en el punto 3, para las señales de análisis. 5. Introducir en el modelo SDF un amortiguador equivalente y calcular el nivel de

amortiguamiento necesario para llegar al nivel de desempeño esperado, ya sea en

deriva de piso o en ductilidad demandada. Debido a que en principio se desconocen las propiedades del amortiguador se puede optar por uno de los siguientes métodos:

- Calcular en el espectro de desplazamientos de la señal de entrada el nivel de

amortiguamiento necesario para disminuir la deriva o la ductilidad demandada al límite permisible. En las Figuras 5.3 a 5.5 se construyen los espectros de de

reducción del desplazamiento de un nivel de amortiguamiento vs. el 5%

- Variar el nivel de amortiguamiento en el sistema SDF con el fin de construir una curva que relacione la deriva de piso o la ductilidad demandada con el

amortiguamiento. Entrando en esta curva con los límites permisibles de deriva o

ductilidad es posible obtener el amortiguamiento equivalente requerido.

6. Convertir el amortiguamiento equivalente del sistema SDF a cantidad de

amortiguadores en c/piso para el sistema MDF. Para esto se debe desarrollar el

siguiente procedimiento: - Calcular la velocidad relativa contra el tiempo procedimiento lineal dinámico

(LDP) en el modelo SDF para la señal de análisis.

MIC 2006-I-27

26

- Calcular la energía total disipada por el amortiguador equivalente utilizando la

ecuación (4.3). - Estimar los valores iniciales de C y el vector de configuración VC de acuerdo con

la ecuación (5.7). Se puede iniciar con el valor de amortiguamiento equivalente

definido en (5) del modelo SDF dividido por el número de pisos.

cVCC = (5.7)

Donde C es el vector de amortiguadores. El vector VC se puede suponer igual a

la diferencia de φ en el piso i con el φ en el piso i-1. - Calcular la velocidad relativa contra el tiempo en el modelo MDF para la señal de

análisis. Esto se hace multiplicando la velocidad del modelo SDF por el vector de

forma. - Calcular la energía disipada por los amortiguadores utilizando la ecuación (4.3).

- Comparar la energía disipada por el modelo SDF con la disipada por el modelo

MDF, si estas energías son iguales se tiene la configuración de amortiguadores, de lo contrario iterar hasta que ambas energías sean iguales. Este proceso se resume en

la Figura 4.2.

- Buscar la optimización de los dispositivos colocándolos principalmente en los pisos de mayor deriva.

Figura 7.2. Diagrama de Flujo para Obtener amortiguamiento Equivalente

MIC 2006-I-27

27

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

PERIODO (s)

RED

UCCI

ON

DES

PLAZ

AMIE

NTO

10%

15%

20%

Figura 7.3 Reducción de desplazamientos al cambiar de un amortiguamiento del 5% a otro valor de amortiguamiento para Sismo del centro

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28

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

PERIODO (s)

RED

UC

CION

DES

PLA

ZAM

IEN

T

10%

15%

20%

Figura 7.4 Reducción de desplazamientos al cambiar de un amortiguamiento del 5% a otro valor de amortiguamiento para Sismo de Méjico

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29

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

PERIODO (s)

RED

UC

CION

DES

PLA

ZAM

IEN

T

10%

15%

20%

Figura 7.5 Reducción de desplazamientos al cambiar de un amortiguamiento del 5% a otro valor de amortiguamiento para Sismo de Chile

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30

6. CASOS DE ESTUDIO

Para probar la metodología, se escogieron 8 modelos con tres sismos de análisis

(CENTRO, CHILE, MEJICO), y se escogieron las irregularidades en altura que define

la NSR-98 para probar la metodología

6.1 PROPIEDADES DE LOS MODELOS

PRIMER MODELO

Figura 6.1 Geometría Modelo 1

En la Figura 6.1 se muestra la geometría del Modelo 1, así como en la tabla 6.1 sus

propiedades

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Tabla 6.1 Propiedades modelo 1

PERIODO FUNDAMENTAL 0.62s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 77.54% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 75.26% CORTANTE DE FLUENCIA 19.8 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.138 m CORTANTE ULTIMO 68.2 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.98 m

SEGUNDO MODELO



propiedades Tabla 6.2 Propiedades modelo 2

PERIODO FUNDAMENTAL 1.0628 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 77.78% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 75.07% CORTANTE DE FLUENCIA 133.64 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.1608 m CORTANTE ULTIMO 410.14 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.98 m

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32

TERCER MODELO


En la Figura 6.3 se muestra la geometría del Modelo 3, así como en la tabla 6.3 sus propiedades

Tabla 6.3 Propiedades modelo 3

PERIODO FUNDAMENTAL 0.7703 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 80.14% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 78.5% CORTANTE DE FLUENCIA 193.55 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.051 m CORTANTE ULTIMO 1668 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.4 m

CUARTO MODELO


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33



PERIODO FUNDAMENTAL 1.89 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 64% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 73.27% CORTANTE DE FLUENCIA 56.68 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.1647 m CORTANTE ULTIMO 139.63 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.2 m

QUINTO MODELO


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SEXTO MODELO


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35




SEPTIMO MODELO


MIC 2006-I-27

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PERIODO FUNDAMENTAL 1.2 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 72% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 74.79% CORTANTE DE FLUENCIA 161.29 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.11 m CORTANTE ULTIMO 442 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.2 m

OCTAVO MODELO


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PERIODO FUNDAMENTAL 1.13 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 56% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 83% CORTANTE DE FLUENCIA 59.26 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.0804 m CORTANTE ULTIMO 171Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 0.996 m

6.2 CARGAS APLICADAS

Las cargas muertas aplicadas a los modelos fueron las siguientes (ver Tabla 6.9)

Tabla 6.9 Valores de Carga Muerta

MODELO CARGA MUERTA (Tonf/m) 1 4 2 3 3 5 4 4 5 3.5 6 5 7 2.5 8 5

Los sismos usados fueron los siguientes:

• Sismo Centro Am = 0.3484g, Duración 53.8s

• Sismo Chile (1985) Am = 0.3627g, Duración 56.35s

• Sismo Centro Am = 0.1712 g, Duración 180s

En las Figuras 6.10 a 6.12 se presentan los espectros de Fourier de los sismos analizados

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38

Figura 6.10 Espectro de Fourier Sismo el Centro

Figura 6.11 Espectro de Fourier Sismo Chile

Figura 6.10 Espectro de Fourier Sismo Méjico

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39

6.3 ANALISIS DE RESULTADOS

Los Resultados de correr los modelos, con los tres sismos de análisis fueron realizados en

SAP-2000 versión 8. Los resultados fueron los obtenidos por los desplazamientos en la

cubierta, para los sistemas SDF y su desplazamiento se multiplicó por el inverso de la altura equivalente sobre la altura total. Para la configuración óptima de amortiguadores se muestra

los pisos en los cuales se colocaron los dispositivos, cabe aclarar que los dispositivos tienen

el mismo valor en todos los pisos.

En la Tabla 6.10 se muestra el valor de amortiguamiento de acuerdo al modelo y el sismo.

Estos valores de amortiguamiento son los necesarios para disminuir la deriva al 1% aunque se puede usar cualquier otro criterio de control para establecer el nivel de amortiguamiento

de la estructura como el de limitar la ductilidad.

Tabla 6.10 Valor de Amortiguamiento necesario de acuerdo al modelo y sismo.

AMORTIGUAMIENTO REQUERIDO

MODELO SISMO CENTRO C SISMO CHILE C SISMO MEJICO C 1 10 10.4 10 10.4 10 10.4 2 10 119.8 18 214.4 5 59.9 3 18 411.2 25 569.6 5 114.0 4 5 74.8 11 163.5 50 746.9 5 5 68.7 7 95.9 32 439.1 6 15 137.4 15 137.4 15 137.4 7 7 192.8 13 365.9 5 135.9 8 17 149.1 25 220.1 22 194.9

En la Tabla 6.11 se muestra en el proceso de optimización de los dispositivos los valores

necesarios de la constante del amortiguador por piso para lograr el valor de

amortiguamiento necesarios, así como los pisos en los cuales se colocan los dispositivos.

MIC 2006-I-27

40

Tabla 6.11 Valor de Amortiguamiento necesario de acuerdo al modelo y sismo para optimización.

6.3.1 RESULTADOS DERIVA

En las Figuras 6.13 a 6.36 se presentan las derivas inelásticas obtenidas del análisis

dinámico para los sismos de análisis.

Figura 6.13 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 1)

PISOS DISPOSITIVOS CONFIGURACION OPTIMA MODELO SISMO CENTRO C SISMO CHILE C SISMO MEJICO C

1 2,3 22.44 2,3 22.44 2,3 22.44 2 2,3 203.36 2,3 368.24 TODOS 59.9 3 1,2,3 411.25 1,2,3 569.61 1,2,3 114 4 TODOS 74.84 6,7,8,9 359.68 2,3,4,5,6,7 979.49 5 TODOS 68.75 2,3,4 119.32 2,3,4 545.79 6 3,4,5,6 173.01 3,4,5,6 173.01 3,4,5,6 173.01 7 2,3,4,5,6 210.81 2,3,4,5,6 399.95 TODOS 135.94 8 3,4,5 172.31 3,4,5 254.37 3,4,5 225.34

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41

Figura 6.14 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 1)

Figura 6.15 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 1)

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43



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44



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45



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47



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48



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49



MIC 2006-I-27

50



MIC 2006-I-27

51



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52


En todas las Figuras de las derivas inelásticas se puede observar la reducción de los valores

de deriva conservando la forma de deformada.

6.3.2 ANALISIS INELASTICO CONTRA EL TIEMPO

En las Figuras 6.37 a 6.79 se presentan los desplazamientos de la cubierta contra el tiempo

para los modelos SDF y MDF, con y sin amortiguadores.

Figura 6.37 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro

Modelo 1)

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53

Figura 6.38 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo el Centro

Modelo 1)

Figura 6.39 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile

Modelo 1)

Figura 6.40 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile

Modelo 1)

Para el primer modelo para todos los sismos las curvas para los modelos SDF y MDF son

idénticas, esto se debe a que la estructura se comporta casi elásticamente por las bajas

derivas a las que esta sometida la estructura.

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54

Figura 6.41 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico

Modelo 1)

Figura 6.42 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Méjico

Modelo 1)


Modelo 2)

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55


Modelo 2)


Modelo 2)


Modelo 2) En la medida que la estructura ingresa en el rango inelástico las curvas empiezan a

diferenciarse como se ve en la Figura 6.45, esto se debe a la suposición únicamente de rótulas plásticas en las vigas y no en las columnas, ya que la estructura posee como resortes

que son las columnas.

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56


Modelo 2)


Modelo 3)


Modelo 3)

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57


Modelo 3)


Modelo 3)


Modelo 3)

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58


Modelo 4)


Modelo 4)


Modelo 4)

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59


Modelo 4)


Modelo 4)


Modelo 5)

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60


Modelo 5)


Modelo 5)


Modelo 5)

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61


Modelo 5)


Modelo 6)


Modelo 6)

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62


Modelo 6)


Modelo 6)


Modelo 6)

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63


Modelo 6)


Modelo 7)


Modelo 7)

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64


Modelo 7)


Modelo 7)


Modelo 7)

En la Figura 6.73 se puede observar como la estructura a falta de amortiguadores después

de sufrir el pico de desplazamiento desfasa la curva entre el modelo SDF y MDF

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65


Modelo 8)


Modelo 8)


Modelo 8)

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Modelo 8)


Modelo 8)


Modelo 8)

En las Figuras 6.80 a 6.95 se muestran los máximos desplazamientos inelásticos de la

cubierta para los modelos SDF y MDF

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Figura 6.80 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 1)


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69



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Figura 6.88 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 1)


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73



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74



Para la mayoría de los modelos los valores registrados por el modelo SDF y MDF

tienden a ser muy parecidos, además en la medida que la demanda de ductilidad es

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75

bajad se parecen aun mas. En la Figura 6.96 se presenta el error porcentual que existe

cuando el máximo registrado usando el sistema MDF es mayor al máximo registrado por el sistema SDF.

En la Figura 6.97 se presenta el error porcentual que existe cuando el máximo

registrado usando el sistema MDF es menor al máximo registrado por el sistema SDF.

Figura 6.96 Error porcentual que existe cuando el máximo registrado usando el sistema MDF es mayor al

máximo registrado por el sistema SDF.

Observando las Figuras 6.96 y 6.97 los errores entre usar el sistema SDF y MDF se

sitúan entre ± 10%, por lo que la metodología arroja resultados bastante satisfactorios

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76

Figura 6.97 Error porcentual que existe cuando el máximo registrado usando el sistema MDF es menor al

máximo registrado por el sistema SDF.

Figura 6.98 Porcentaje de casos cuando el valor del sistema MDF es mayor o menor al valor del sistema

SDF

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77

En la Figura 6.98 se muestra el porcentaje de las veces cuando el valor del MDF es mayor o

menor al valor del sistema SDF. Acá la conclusión mas importante es que no se observa ninguna tendencia de que el máximo desplazamiento registrado por el sistema MDF es

mayor al sistema SDF, por lo que en ciertos casos la metodología puede ser o no ser

conservadora.

6.3.3 CONFIGURACION ÓPTIMA

Con el proceso de la optimización de los dispositivos se busca disminuir la cantidad de amortiguadores, colocándolos principalmente en los pisos que presentan mayor deriva, que

normalmente tienden a ser los pisos intermedios.

La Figura 6.99 presenta la disminución porcentual en la cantidad de dispositivos que se obtiene cuando se optimiza la cantidad de dispositivos quitándolos de algunos pisos y

colocándolos en otros. Se observan reducciones de hasta el 50%. Sin embargo es

recomendable colocar amortiguadores en mínimo el 50% de los pisos porque se pueden

concentrar demasiado las fuerzas sísmicas y colapsar algunos modos de vibración.

Figura 6.99 Disminución porcentual de c entre amortiguadores en todos los pisos y optimización para los

sismos

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78

7. CONCLUSIONES

• En el proceso de optimización no se puede colocar todos los dispositivos en un piso

para valores altos de amortiguamiento ya que puede tender a valores muy altos de la constante C, causando el colapso del modo, haciendo que el modo fundamental sea

otro.

• Para la mayoría de los sismos con un amortiguamiento del 20 % entre rangos de periodo entre 0.5s y 1s se reduce el desplazamiento a cerca de la mitad, y para esta

rango son más sensibles los dispositivos.

• En el presente trabajo de investigacion se ha propuesto una metodología simplificada para realizar el análisis inelástico dinámico de edificios con

amortiguadores viscosos. Esta metodología permite establecer la cantidad de

dispositivos que se deben colocar en un edificio para cumplir con determinado límite de deriva o nivel de daño.

• El método propuesto fue probado con varios casos de estudio sometidos a diferentes

señales. En general, se presentaron errores del 10% entre los desplazamientos estimados con la metodología propuesta y con la metodología dinámica no lineal.

• En la modelación de la mayoría de las estructuras se encontró que con el primer

modo se tiene un margen de error aceptable por lo que en muchos casos puede ser suficiente.

• Para el proceso de optimización de los dispositivos, estos se deben colocar mínimo

en el 50% de los pisos de mayor deriva.

• Cuando el nivel de amortiguamiento necesario para lograr la deriva al 1% es

superior al 20% no es aconsejable utilizar un método elástico para estimar la

cantidad de dispositivos

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79

8. BIBLIOGRAFIA

1. STRUCTURAL PRACTICES, Seismic Dampers, H Kit Miyamoto, M.S., S.E, and

Robert D. Hanson, PhD, P.E. Julio 2004.

2. RESEARCH OF THE VELOCITY EXPONENT OF VISCOUS DAMPER, Chen Yu and Liu Weiqing, College of Civil Engineering, Nanjing University of

Technology, Nanjing, P.R., China, Julio 2003.

3. ANALYSIS AND DESIGN OF BUILDINGS WITH ADDED ENERGY DISSIPATOR DEVICES, Michael C. Constantinou, Gary F. Dargush, George C.

Lee, Andrei M. Reinborn, and Andrew S. Whitakker, MCEER monograph 2000-

2001 4. DYNAMICS OF STRUCTURES, 2 ed, New Jersey, Prentice Hall 2001, Chopra

Anil K.

tesis magister en ingenieria civil

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