tesis matemáticas

ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DE

ENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARES

Jaime Eduardo Guzmán Moreno

9524533

UNIVERIDDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACUALTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Bogotá, Septiembre de 2004.



Jaime Eduardo Guzmán Moreno

9524533

Director

Jorge Rodríguez Bejarano

Trabajo de grado como requisito para optar el titulo de licenciado en matemáticas

UNIVERIDDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACUALTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Bogotá, Septiembre de 2004.



INDICE

CAPITULO 1: TITULO. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. ANTE CEDENTES.

METODOLOGIA. OBJETIVOS.

1.1. Titulo 4

1. 2. Problema 4

1. 3. Descripción del problema 4

1. 4. Área problemática. Antecedentes. Investigaciones sobre el uso de la historia

para la enseñanza de la derivada en contextos escolares 8

1. 4. 1. Antecedentes bibliográficos 13

1. 4. 2. Fases de la investigación 14

1. 4. 3. Metodología 19

1.5. Objetivos 20

CAPITULO 2: FUNDAMENTO Y MARCO CONCEPTUAL

2. 1. Introducción 21

2. 2. Enfoque sistémico de la didáctica de las matemáticas 21

2. 2. 1. Funcionamiento del sistema didáctico bajo la óptica de Chevallard 23

2. 2. 2. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado 31

2. 2. 3. Transposición didáctica, epistemología e historia 32

2. 3. Noción de obstáculo en los procesos de enseñanza – aprendizaje de

las matemáticas 34

2. 3. 1. Noción de obstáculo epistemológico en Didáctica de las Matemáticas 38

2. 3. 2. Epistemología y teoría de las situaciones didácticas 41

2. 4. Enfoque epistemológico genético 43

2. 4. 1. Teoría del desarrollo cognitivo 43

2. 4. 2. Pensamiento formal y aprendizaje de las ciencias 45

2. 5. Enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas 47

2. 6. Critica a la epistemología actual, y la teoría de la Ontología histórica de

Michael Foucault 49

2. 7. Problemática curricular 59

1. 7. 1. Concepto de Currículum 59

CAPITULO 3: ANALISIS DEL QUE SOMOS ACTUAL, VISTO DE SDE EL

TRATAMIENTO QUE SE HA DADO DE LA DERIVADA DESPUES D E SU

INCLUSIÓN EN LOS PROGRAMAS OFICIALES.


3. 1. 1. Primer libro de texto destinado a la enseñanza del cálculo 63

3. 1. 2. Los años setenta, variedad de publicaciones y nuevos enfoques 64

3. 1. 3. Los ochentas, continuidad en la concepción utilitarista de la enseñanza

del concepto de derivada 66

3. 1. 4. Los noventas, el sueño de un país nuevo 70

3. 1. 5. Libros de texto usados para la enseñanza del Cálculo después de la

Ley general de educación y los Lineamientos curriculares 75

3. 2. Uso de la historia como apoyo didáctico en el currículo 78

CAPITULO 4: EPISTEMOLOGÍA DEL CONCEPTO DE DERIVADA


4. 2. Concepto de derivada actualmente 85

4. 2. 1. Concepto de derivada asociada al trazado de una recta tangente

a una curva 85

4. 2. 2. Interpretación física de la derivada 88

4. 3. Ontología del concepto derivada 91

CAPITULO5: DESARROLLO HISTORICO DE LAS PRACTICAS Y DISCURSOS

ASOCIADOS AL CONCEPTO DE DERIVADA


5. 2. Pensamiento matemático en la antigüedad 93

5. 2. 1. Problemática alrededor del concepto de continuidad 95

5. 2. 2. Continuidad en la antigüedad 96

5. 3. Noción de infinito en Grecia 97

5. 3. 1. Entre Dionisos y Apolo 98

5. 3. 2. Finito, infinito negativo e infinito positivo 100

5. 3. 3. Lucha dual finito Vs. infinito - infinito positivo Vs. infinito negativo 101

5. 4. Matemática griega 105

5. 4. 1. Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C.) 105

5. 4. 2. Escuela Pitagórica 105

5. 4. 3. La sección Áurea 107

5. 4. 4. EUDOXO: Primera aproximación a la idea de límite 108

5. 4. 5. Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.): Separación entre la ciencia

de los números y la ciencia de las magnitudes 110

5. 4. 6. Aristóteles (384/383 – 322 a. C.): paradigma de la ciencia

antigua y medieval 111

5. 4. 7. ARQUÍMEDES (287 – 212 a. C.):

Segunda aproximación a la idea de límite 111

5. 5. Preestadios de la noción de función 117

5. 5. 1. Noción de función en las civilizaciones antiguas 117

5. 5. 2. Babilónicos 118

5. 5. 3. Griegos 123

5. 6. Pensamiento matemático en la Edad Media 123

5. 6. 1. Noción de infinito en la Edad Media 124

5. 6. 2. Neo platonismo 124

5. 6. 3. Cristianismo e infinito 124

5. 6. 4. Escolástica 125

5. 6. 4. Santo Tomás (1225 – 1274) 126

5. 7. Matemáticas del medioevo 126

5. 7. 1. Noción de función en la Edad Media 127

5. 7. 2. Nicolás Oresme (1320-1382) 130

5. 8. Pensamiento matemático en la Edad Moderna 134

5. 8. 1. Pensamiento moderno del infinito 134

5. 8. 3. Nicolás de Cusa (1401 – 1464) 135

5. 8. 4. Infinitismo en las matemáticas modernas 135

5. 8. 5. Rene Descartes (1596 – 1650) 136

5. 8. 6. Baruch Spinoza (1632 – 1677) 137

5. 8. 7. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 137

5. 9. Matemáticas modernas 138

5. 9. 1. Noción de función en los albores de la modernidad: (s. XV y XVI) 138

5. 9. 2. Galileo Galilei (1564-1642) 139

5. 10. La idea de límite en el siglos XVI 140

5. 10. 1.Francoise Viéte (1540 – 1603) 140

5. 10. 2. Ludolph Van Ceulen (1540 – 1610) 142

5. 10. 3. Stevin 142

5. 11. Introducción de la representación analítica. (s. XVII) 144

5. 12. La idea de límite en el s. XVII 147

5. 12. 1. Johannes Kepler (1571 – 1630) 147

5. 12. 2. Bonaventura Cavalieri 149

5. 12. 3. Fermat 150

5. 12. 4. Torricelli 153

5. 12. 5. James Gregory (1638 – 1675) 154

5. 12. 6. Isaac Barrow (1630 – 1677) 155

5. 12. 7. Newton: El primer intento de definición de límite 157

5. 12. 8. Gottfried Wilhem Leibniz (1647 -1716) 159

5. 13. Proceso de creación de las matemáticas variables 160

5. 13. 1. Método de Fluxiones de Newton 161

5. 14. Idea de Límite en el Siglo XVIII 164

5. 14. 1. La familia Bernoulli 164

5. 14. 2. Jacques Bernoulli (1554 – 1705) 165

5. 14. 3. Jean Bernoulli (1667 – 1748) 165

5. 14. 4. D´ Alembert 166

5. 15. El concepto de función se considera central en las matemáticas 168

5. 16. Problemática alrededor del concepto de continuidad incorporado

en las funciones discontinuas o mixtas 172

5. 17. Edad de oro en la matemática 174

5. 17. 1. Los inicios de la aritmetización 175

5. 17. 2. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857) 175

5. 17. 3. Bolzano (1781 – 1848) 179

5. 17. 4. Dirichlet 179

5. 18. Aritmetización de los procesos infinitos 180

5. 18. 1. Weierstrass: Definición refinada del concepto de límite 181

5. 18. 2. Dedekind 182

CAPITULO 6: OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS PRESENTES EN EL

DESARROLLO HISTORICO DEL CONCEPTO DE DERIVADA


6. 2. Obstáculos de tipo epistemológico 184

CAPITULO 7: DINAMIZACIÓN DE LA HISTORIA CONTADA PAR A CREAR

ELMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LA NESEÑANZA DE LA

DERIVADA


7. 2. Proceso de materialización del concepto de derivada 192

7. 3. Incorporación de la historia al currículo de matemáticas 197

CAPITULO 8: COCLUSIONES

Conclusiones 204

INTRODUCCIÓN

Debido a su carácter modelador y practico, el concepto matemático de derivada se

constituye hoy día en uno de los conceptos más importantes en la escuela, estando

presente en los currículos escolares colombianos desde mediados de los años cincuenta del

siglo pasado. Pese a esto son escasas las investigaciones que sean hecho acerca de su

enseñanza. Más aun, cuando este es un concepto complejo, que por ser una amalgama

complicada de nociones y conceptos matemáticos y no matemáticos, genera muy distintos

niveles de abstracción.

Reiterando lo anteriormente dicho, son difíciles de encontrar investigadores y trabajos

dedicados a estudiar los diversos aspectos relacionados con los procesos de enseñanza -

aprendizaje de dicho concepto. Y más escasas son aun todavía las investigaciones que

abordan la problemática que aquí nos acucia, tal y como es; la ausencia de la historia y la

epistemología de las matemáticas para pensar los procesos usuales de enseñanza del

concepto de derivada.

Para la elaboración de este trabajo se tendrán en cuenta la teoría del funcionamiento del

sistema didáctico de Chevallard, la teoría de los obstáculos epistemológicos de Bachelard,

Brousseau y Sierpinska, y el enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas.

Y como eje fundamental el método historiográfico de Foucault.

La investigación se organizara inicialmente en las generalidades del proyecto (Titulo,

Problema, ...), posteriormente se llevara a cabo una recopilación de los insumos teóricos

necesarios para la misma, enseguida se llevara a cabo una revisión del como se ha venido

enseñando el concepto de derivada, desde el exponente fundamental de la enseñanza

tradicional (el libro de texto), para luego hacer una descripción del objeto derivada hoy día,

el cual en el marco de la presente investigación, permitirá la deconstrucción de dicho

concepto. Posterior a esto se indagara por las practicas y discursos que han estado

asociados a la evolución histórica del concepto de derivada, para luego, identificar los

obstáculo epistemológicos presentes en su devenir histórico, y así relacionándolo con el

uso de la historia en los currículos, proponer elementos de uso de la historia para la

enseñanza de la derivada en contextos escolares.

En el primer capitulo se muestran las imaginaciones que guían esta investigación.

En el segundo capitulo se compilan los insumos teóricos necesarios para el desarrollo de la

presente investigación.

En el tercer capitulo se busca esencialmente hacer patente la ausencia de la historia para

pensar los procesos usuales de enseñanza del concepto de derivada en la escuela.

En el cuarto capitulo a partir de la exposición del como es entendida actualmente la

derivada, se buscara hacer una deconstrucción de dicho concepto por medio de una

descripción antológica del mismo.

En el quinto capitulo, se hará una reconstrucción histórica de los conceptos y nociones que

históricamente dieron lugar al concepto de derivada como es entendido hoy día.

En el sexto capitulo se pondrán en consideración algunos momentos y situaciones en la

evolución histórica de algunos conceptos, asociados al de derivada, que dada su

importancia para la formulación del concepto de derivada, su retrazo o las concepciones

asociadas a ellas se constituyen en un obstáculo epistemológico para la aparición del

concepto que nos ocupa.

En el séptimo capitulo se buscara la articulación de dichas historias alrededor del concepto

de derivada por medio la búsqueda de paralelismos en entre la génesis del concepto de

derivada y los estadios del desarrollo cognitivo planteados por Piaget. Y la ordenación de

dichas historias para su administración curricular.

En el ultimo capitulo, se llegara a algunas conclusiones acerca de la investigación misma,

como también a recomendaciones al respecto del uso de historia como herramienta

didáctica para la enseñanza del concepto de derivada.

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LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1 85

Figura 2 86

Figura 3 87

Figura 4 87

Figura 5 88

Figura 6 89

Figura 7 107

Figura 8 114

Figura 9 116

Figura 10 132

Figura 11 132

Figura 12 133

Figura 13 143

Figura 14 146

Figura 15 149

Figura 16 152

Figura 17 153

Figura 18 156

Figura 19 173

Figura 20 174

Figura 21 176

Figura 22 178

Figura 23 178

LISTA DE ANEXOS

pág.

Anexo A 210

4

1. TITULO. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. ANTECEDENTES .

METODOLOGIA. OBJETIVOS

1. 1. TITULO



1. 2. PROBLEMA

AUSENCIA DE LA HISTORIA COMO REFERENTE PARA PENSAR LOS

PROCESOS USUALES DE ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE DERIVADA.

1. 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Para comprender el problema que motiva la presente investigación, es necesario partir de

dos afirmaciones que hace Chevallard en su libro La transposición didáctica, del saber

sabio al saber enseñado, como son; primera, "Todo proyecto social de enseñanza y

aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de unos

5

contenidos de saberes como contenidos a enseñar"1. Segunda, es la sociedad u entorno la

que al "devenir vieja (desgastada), a través de sus niños, en relación con el saber"2

presiona a la noosfera para que "a falta de poder cambiar a los alumnos, se ... [cambie]...

el saber."3

Ahora bien, que esta tarea recaiga sobre las noosferas se debe a que en el modelo de

Chevallard estas son las instituciones de transposición de los saberes y por tanto tienen la

finalidad de tomar un saber particular de las instituciones de producción de saber, para

hacerlo llegar a las instituciones didácticas a través del proceso de transposición

didáctica. Siendo aquí donde tiene origen el problema a tratar en la presente investigación,

como es la ausencia de la historia para pensar los procesos usuales de enseñanza del


Ya que, cuando "un contenido de saber a enseñar, es designado a ser enseñado sufre a

partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto

para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza."4, siendo - como ya se dijo antes -

las instancias encargadas de procurar tales transformaciones, las noosferas. Las cuales en

el afán de modificar los saberes tomados del saber sabio para hacerlos aptos para ocupar

un lugar entre los objetos de enseñanza y así poder superar la "crisis de enseñanza"5,

"aísla ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su

origen, su sentido, su motivación y su empleo"6, teniendo esto como consecuencia, según

indica los Lineamientos curriculares, que sea eliminada completamente la historia de

esos conocimientos, es decir, la sucesión de dificultades y problemas que han provocado

la aparición de los conceptos fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, la

intromisión de técnicas y problemas nacidos de los progresos de otros sectores, el

1 CHEVALLARD, Y. Transposición didáctica, Buenos Aires, Aique, 1997. p. 45. 2 Ibid., p. 36. 3 Ibid., p. 37. 4 Ibid., p. 45. 5 Ibid., p. 37. 6 MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos curriculares. Matemáticas. Cooperativa editorial Magisterio. 1998. p. 27

6

rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a equivocaciones, y las innumerables

discusiones al respecto.

De la misma forma, según Chevallard, para el docente las cosas ocurren de otro modo,

ya que el reconocimiento por parte de él, de la "transposición didáctica supone

resquebrajar su participación armoniosa en el funcionamiento didáctico"7 en tanto que;

primero, el sistema didáctico no es el efecto de su voluntad, y segundo, su

funcionamiento supone que la relación ternaria enseñante - alumnos - saber, en cada uno

de sus componentes y lugares determinados a ocupar satisfaga ciertos requerimientos

didácticos específicos. Además, - como ya se ha mencionado antes -, para que la enseñanza

de un determinado elemento de saber sea posible, ese elemento deberá haber sufrido

ciertas transformaciones, que lo harán apto para ser enseñado. Así pues, "El saber - tal -

como - es - enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del saber -

inicialmente - designado - como - el - que - debe - ser - enseñado, el saber a enseñar."8

Siendo éste - según Chevallard -, el terrible secreto que esconde el concepto de

transposición didáctica, que es en si una brecha necesaria entre el saber enseñado y el

saber a enseñar.

Ahora bien, que el saber enseñado sea necesariamente distinto al saber inicialmente

designado a ser enseñado, es una clara contradicción con uno de los precepto básico de la

enseñanza, como es; que "para que la enseñanza dada aparezca legitimada, es preciso que

afirme fervorosamente su adecuación con el proyecto que la justifica y que la explícita. [es

decir], El saber enseñado debe aparecer conforme al saber a enseñar."9, lo cual como se

sabe no corresponde al saber que produce la transposición didáctica, ya que como afirma

Chevallard “este es un saber exiliado de sus orígenes y separado de su producción

histórica en la esfera del saber sabio, legitimándose, en tanto saber enseñado, como algo

que no es de ningún tiempo ni de ningún lugar, y no legitimándose mediante el recurso a la

7 CHEVALLARD. Op. cit., p. 16. 8 Ibid., p. 17. 9 Ibid., p. 17.

7

autoridad de un productor, cualquiera que fuere."10. Lo que, puede considerarse, según este

mismo autor, como una aversión de los manuales hacia todo lo que anclaría en una

historia el saber que ellos promueven.

En efecto, desde lo anteriormente dicho, se ve claramente que la transposición didáctica

vista como teoría y como practica del docente, que la historia y la epistemología de la

matemática esta siendo negada para pensar los procesos usuales de enseñanza de las

matemáticas (y por ende cuando se enseña la derivada), debido al uso (desde la teoría de la

transposición didáctica) irresponsable11 de ella. De esto dan también cuenta los

Lineamientos curriculares, cuando al referirse a la transposición didáctica advierten: "Es a

la vez inevitable, necesaria y en un sentido deplorable. Debe mantenerse vigilada."12

En el mismo sentido con respecto a la formación de docentes en matemáticas, en los

Lineamientos Curriculares en la sección "Elementos conceptuales en la formación de

maestros", nuevamente se reconoce la ausencia de la historia y la epistemología de las

matemáticas para pensar su enseñanza, aunque, la afirmación que se hace al respecto no

versa acerca de esta problemática, sino que se hace en el marco de formación de docentes,

diciendo: "el futuro maestro debe recibir una formación intrínsecamente interdisciplinaria

distinta a la que se ha venido realizando ... Así pues, por ejemplo, un curso de cálculo

debe incluir su historia, su epistemología, su didáctica"13, lo cual, si bien no es evidencia

10 Ibid., p. 18. 11"El docente en su clase, el que elabora los programas , el que hace los manuales, cada uno en su ámbito,

instituyen una norma didáctica que tiende a constituir un objeto de enseñanza como distinto del objeto

al que da lugar. De ese modo, ejercen su normatividad, sin asumir la responsabilidad - epistemológica - de

este poder creador de normas. Si esperan, a veces, la aprobación o el rechazo del especialista, sitúan esa

apreciación como algo exterior a su proyecto, y ajeno a su lógica interna. Esta apreciación es considerada

posteriormente o puede acompañar a dicha lógica, pero raramente se integra en ella, por imposibilidad de

tomarla en cuenta en sus implicaciones epistemológicas. Posee valor estético o moral , interviene en la

recepción social del proyecto. No informa de ello a la estructura ni a los contenidos sino de una manera

mimética y en un intento de acreditarlos frente a los poderes institucionalmente investidos." Ibid., p. 45. 12 LINEAMIENTOS. Op. cit., p. 27. 13 Ibid., p. 124.

8

suficiente para afirmar que la enseñanza de la matemática escolar se ha hecho hasta ahora,

sin hacer uso de la historia y la epistemología de la misma, si da a pensar, dentro del

contexto en que se inscribe dicha cita14, que el maestro que se ha venido formando en

las facultades de ciencias y educación colombianas, es un maestro el cual, no hace uso

para la enseñanza de la matemática, de su historia y epistemología, debido principalmente

a que no fue formado en dichas áreas, por tanto, es un maestro que con dificultad puede

"Comprender y asumir los fenómenos de la transposición didáctica"15, que es uno de los

preceptos básicos de las nuevas concepciones acerca de las matemáticas escolares.

En síntesis, la carencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensar

los procesos usuales de enseñanza de las matemáticas, es un fenómeno, el cual no solo

es puesto a la vista en el presente anteproyecto, sino que ha sido observado por las

Instituciones participantes en encuentros convocados por el grupo de matemáticas para

la construcción de los lineamientos, en sus distintas disertaciones en el ámbito de

referentes curriculares y elementos conceptuales en la formación de maestros, como

también, por teóricos de la transposición didáctica tales como Chevallard.

1. 4. Área problemática. Antecedentes. Investigaciones sobre el uso de la historia para

la enseñanza de la derivada en contextos escolares

Buscando hacer evidente la importancia de aportar algunos elementos de uso de la historia

de las matemáticas para los procesos de enseñanza aprendizaje del concepto de derivada,

en primer lugar, tratare de explicar qué busco con este estudio, el por qué y el como se va

a realizar dicha investigación. El objetivo de emprender un estudio epistemológico -

14 "Hacia una política de formación de maestros" 15 Ibid., p. 29.

9

histórico, es esencialmente el aportar información acerca de la evolución del concepto de

derivada, tratando de identificar las variables y factores condicionantes, es decir, las

discontinuidades que han determinado los distintos estadios de su desarrollo.

Por tanto, atañe al desarrollo mismo de esta investigación, el identificar las situaciones

problemáticas a las cuales las personas involucradas en su avance han dedicado sus

esfuerzos, así como también, los atributos, propiedades, características, el grado de

emergencia y las representaciones simbólicas asociadas al concepto en cuestión. De hecho

es necesario considerar cada momento histórico como definidor de una institución distinta,

un estudio de este tipo puede mejor ser definido como un análisis ecológico, en la

terminología de Chevallard (1989), o en otras palabras, cómo un estudio de la evolución del


Con esta investigación, se pretende primordialmente identificar las concepciones alrededor

del concepto de derivada y de algunos otros conceptos que están en estrecha relación a él, y

que históricamente sean dado como resistentes a su evolución y generalización, y por tanto,

pueden describirse como obstáculos epistemológicos, en la noción de obstáculo

epistemológico de Bachelard (1983). Siendo pues claro el papel que juega este estudio

para la didáctica de las matemáticas, ya que buscará aportar conocimiento relevante para

comprender los factores funcionales del acto mismo de conocer y por ende de los procesos

de enseñanza aprendizaje de este concepto a lo largo de los distintos niveles de enseñanza

y de transposición didáctica correspondientes.

10

A favor del uso didáctico de la historia de las matemáticas para su enseñanza, en la

actualidad, existen trabajos como los de Santos (1995), en donde al referirse a la enseñanza

de la matemática dice;

la mejor percepción de cualquier área del conocimiento, se logra de manera

amplia cuando se tiene también una perspectiva histórica. Las matemáticas no son

la excepción como bien argumenta D.J. Struik [11]. En el caso del Cálculo, por las

razones ya mencionadas en la introducción16, las referencias a la historia se

tornan casi imperativas."17

Colocando esto ultimo en realce, que las referencias a la historia del Cálculo para su

enseñanza deben ser un imperativo, ya que el conocimiento más profundo del saber

designado a ser enseñado por parte del docente, lo faculta para "Comprender y asumir

los fenómenos de la transposición didáctica."18 y por ende, para poder recomponer los

lazos rotos por ella. Más aún, cuando el saber alrededor del cual gira la presente

investigación, teórica y filosóficamente poco ha cambiado en los últimos doscientos años,

según Santos (1995).

16 "el Cálculo es una de las disciplinas tradicionales que más ha preservado su estructura original"..."Sin duda, el reconocimiento casi inmediato de las aplicaciones del Cálculo, y el hecho de que desempeñado un papel dominante como lenguaje cuantitativo de la ciencia en la era moderna, son factores preponderantes de esta realidad tan "conservada. "..."Su misma concepción filosófica parece haberse mantenido igual desde sus inicios" etc.” SANTOS, M. La enseñanza del Cálculo – Una cuestión de involucramiento. En: Educación Matemática. Vol. 7 - N° 7 - Abril 1995 p. 100 - 107. 17Ibid., p. 100 - 107. 18 LINEMIENTOS. Op. cit., p. 29.

11

En lo concerniente al uso de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensar

los procesos usuales de enseñanza de la matemática, su uso es adecuado principalmente por

tres motivos:

i. El hacer un uso didáctico de la historia para pensar los procesos usuales de

enseñanza de la matemática brinda la posibilidad al docente de hacer una

presentación dinámica del saber que enseña, pues el conocimiento de algunos

elementos de la historia de la matemática le "permite apreciar cómo sus

desarrollos han estado correlacionados con las circunstancias sociales y

culturales e interconectados con los avances de otras disciplinas”19 a su vez, esto

trae con consigo importantes implicaciones didácticas cómo la posibilidad para

el docente y para el estudiante que viene formándose bajo esta concepción

histórica de la matemática, de "conjeturar acerca de desarrollos futuros,

reflexión sobre limitaciones y alcances en el pasado, apreciación de las

dificultades para la construcción de nuevo conocimiento."20

ii. La visión histórica de la matemática es enriquecedora porque, como se indica

en Los lineamientos curriculares, hace la comprensión de ideas de una forma

significativa, por ejemplo, en lugar de abordar la derivada desde una

perspectiva netamente estructural a la cual se llegó después de casi cuatro siglos

de maduración, se podrían considerar aquellos momentos culminantes en su

desarrollo, logrando con esto, en el campo didáctico “proporcionar

19 Ibid., p. 30. 20 Ibid., p. 30.

12

aproximaciones más intuitivas a este concepto, poner de manifiesto formas

diversas de construcción y de razonamiento, enmarcar temporal y

espacialmente las grandes ideas y problemas junto con su motivación y

precedentes, señalar problemas abiertos de cada época, su evolución y

situación actual.”21

iii. Con el conocimiento de la historia y la epistemología de las matemáticas por

parte del docente y su consecuente uso para la enseñanza de la matemáticas, se

logra transformar "el conocimiento de áridos hechos y destrezas en

conocimiento ansiosa y tesoneramente buscado, constituido por seres humanos

que corren arduos y largos caminos, esto es, la perspectiva histórica conlleva

a concebir la matemática como una ciencia humana por ende no acabada

ni constituida por verdades infalibles, en ocasiones falible pero capaz de

corregir sus errores."22 Más aún, con el conocimiento de algunos elementos

de la historia y la epistemología de la matemática por parte del docente y su

posterior uso para la enseñanza de la derivada, se fomenta en el estudiante,

además, del aprendizaje del saber matemático derivada, el pensamiento

variacional, pues el pensamiento variacional:

presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados

y compartimentalizados para ubicarse en el dominio de un campo

conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y

21 Ibid., p. 30. 22 Ibid., p. 30.

13

vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente

situaciones y problemas tanto de la actividad practica del hombre, como

de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se

encuentre como sustrato de ellas.23

Siendo esto ultimo precisamente lo que se busca con una visión histórica del saber

matemático derivada que pudiese ser llevado en alguna ocasión a la escuela como saber

escolar.

1. 4. 1. Antecedentes bibliográficos

En el marco de la consulta bibliográfica que se ha adelantado para la presente

investigación, se han encontrado algunos trabajos que guardan cierta relación con el

problema que nos ocupa. Por un lado están dos monografías de la licenciatura en

matemáticas de la Universidad Nacional como son La derivada desarrollo histórico y

algunas aplicaciones de Vargas Heredia Tito, y Ayuda histórica para el profesor de

matemáticas en el bachillerato: Cálculo de Cuellar Franco, Fanny.

Acerca de estas dos monografías, en líneas generales son un compilado de datos

históricos que tienen como referencia a la derivada, que no presentan ningún aparente

criterio teórico para la selección de los mismos, el cual justifique su inclusión como

23 Ibid., p. 72.

14

herramientas históricas para la enseñanza del Cálculo en contextos escolares. Situación

similar acaece con otra monografía presentada en la Universidad de la Salle aspirando a

obtener el titulo de licenciado; El concepto de derivada.

Sin embargo, y pese a estos tres últimos trabajos, existen dos investigaciones que sin

lugar a dudas pueden ser útiles para la presente investigación, pues aunque no versan

estrictamente sobre el tema que aquí nos concierne, de ellas se puede hacer uso, en primer

lugar; de sus resultados en el área de la educación matemática. Y segundo lugar; de la

metodología y criterios que en ellas se siguen para seleccionar las historias que allí postulan

como útiles para la enseñanza. La primera de dichas investigaciones es la tesis doctoral La

noción de función: Análisis epistemológico y didáctico de Luisa Ruiz Higueras, y la

segunda es el ensayo Desarrollo histórico del concepto de límite de Romero Leocadia

y Serrano José Manuel.

Haciendo frente a la escasez de trabajos que atiendan a la temática que aquí nos concierne,

se tendrán en cuenta para la realización de la presente investigación, estas y otras

disertaciones que guardan cierta afinidad con la historia del concepto de derivada y se

retomaran algunos textos que hablen acerca de la enseñanza del concepto mismo de

derivada o de la construcción de conceptos previos a ella.

1. 4. 2. Fases de la investigación

15

La presente investigación es fundamentalmente de tipo expositivo más que crítico. Pues

aunque en ella se haga uso de la ontología histórica foucaultiana que es una filosofía

crítica construida sobre el concepto contemporáneo de crítica24, esta investigación no

busca esencialmente el mismo objetivo que tiene la filosofía critica de Foucault, como es, el

dictaminar el presente, ni tampoco se llevará a cabo con la misma paciencia y rigor que

este autor imprimió a su obra; como bien reconoce el historiador Veyne (1985), a

propósito del segundo tomo de la Historia de la sexualidad; “Existe gente [refiriéndose a

Foucault] capaces de aprender en cinco años lo que otros aprenden en veinte...”25

Sin embargo, de este método historiográfico se seguirán algunos de sus postulados

básicos al pie de la letra como aquel que versa acerca de la anulación del presente, claro

esta, sin la radicalidad que exige la filosofía crítica, más bien este postulado tendrá el

papel de evidenciar la ausencia de la historia para la enseñanza de la derivada en

contextos escolares, al preguntarse acerca de la práctica que tiene como objeto al objeto

matemático derivada que es enseñado en la escuela como matemática escolar.

Con lo cual en manera alguna se buscará diagnosticar el presente lo que hoy somos, lo

que significa decir lo que decimos, que en términos chevarianos es diagnosticar a la

24El cual es también compartido por Marx, Weber, Nietzsche, Lukacs, Husserl y Heidegger, en tanto que es “una crítica del positivismo, de la tecnificación de la existencia, de la identificación del conocimiento con la ciencia. ... [Es decir] la filosofía consiste hoy necesariamente en preguntarse por la actualidad ... Dicho de otro modo, la tarea crítica de la filosofía se identifica hoy con un diagnostico del presente. ... [Que en si] ... se constituye cada vez más [en] la gran tarea filosófica. ... [en tanto que] ... hoy día el objetivo principal no es descubrir, sino negar lo que somos ... [en aras de] ... construir lo que podríamos ser.” VÁZQUEZ, P. Foucault: la historia como crítica de la razón. Ed. Montesinos. España. 1995. p. 16, 17. 25VEYNE, P. Cómo se escribe la historia. Foucault revoluciona la historia. Alianza Editorial. Madrid. 1985. p. 155.

16

escuela en uno de sus saberes “sensibles”, como evidentemente lo es la derivada. Más,

sin embargo, con ello se pretende dar inicio al proceso de ontología histórica, es decir, se

hará una lectura del cómo se ha venido tratando en la escuela el saber matemático

derivada negando el lo que somos por el tratamiento que damos en la escuela de uno de

nuestros saberes sensibles. Claro esta, y reiterando nuevamente, sin convertirse tal tarea en

la meta de la presente investigación, a cambio de ello en esta investigación se pretende a

través de la reactivación del pasado, al rastrear en la historia del concepto derivada desde

la antigüedad hasta prácticamente el presente, aquellos momentos de ruptura

epistemológica en las prácticas de las cuales él procede.

Así, la tarea consistirá en rastrear en la historia como antropólogo (en la teoría de la

transposición didáctica) o como historiador (en la ontología histórica) haciendo más que

una descripción positivista de la escuela y del tratamiento que allí se ha dado del objeto

matemático derivada, pretendiendo, utilizando términos foucaultianos, tratar la enfermedad,

es decir, el como se ha venido enseñando éste saber matemático.

Ya en un tercer momento, se buscará la anulación del presente el lo que somos hoy por

los saberes y la forma como los enseñamos en nuestras escuelas, sin significar esto que

en la búsqueda de algunos elementos de la historia de la derivada para su enseñanza, se

opte por la creación de una utopía, más bien se elegirá el camino sin fin de las

heterotopias, buscando la verdad que nos constituye desde uno de nuestros saberes

sensibles como es la derivada, al remover nuestro pasado para, como dice Deluze: pensar

el pasado contra el presente en aras de un tiempo futuro. Anhelo este que no es otro

17

diferente al que tiene Chevallard con su crítica de la epistemología actual por el olvido

sobre el que se ha constituido.

No obstante, esto solo se logrará a través de la creación de una ficción que invalide el

lo que somos, por las prácticas presentes y el tratamiento que damos de los saberes que

enseñamos en la escuela, creando así un tiempo futuro. Estando la existencia de tal

ficción supeditada a la terminación de la presente investigación, pues con ella se pretende

dotar de algunos elementos de uso de la historia de la derivada que sirvan a algún docente

como herramientas históricas que den la posibilidad de cambiar desde la práctica

didáctica el lo que somos actual por el tratamiento que damos en la escuela de uno de

nuestros saberes sensibles.

Así, la investigación requerirá esencialmente de cuatro momentos para su desarrollo:

1. Análisis de la enseñanza del concepto de derivada desde los libros de texto.

El estudio de la evolución de la practica de enseñanza del concepto de derivada (currículos

- manuales escolares) es una parte muy significativa de las múltiples facetas de las

relaciones institucionales que se mantienen con dicha noción. El cual nos permitirá

conocer las diferentes condiciones y restricciones del tratamiento dado por el sistema de

enseñanza a dicha noción, así como también nos suministrara información acerca del

tratamiento que es dado en la escuela a uno de sus saberes sensibles tal como es el de

derivada.

18

2. Análisis del concepto de derivada hoy día

El estudio del concepto derivada en su configuración actual tiene la finalidad, para el

presente trabajo, de proporcionar, en principio una visión general del concepto mismo y de

las practicas a las que este es asociado actualmente. Asimismo tiene el carácter de ser el

hecho mismo que la reconstrucción histórica, que aquí se emprende, busca explicar.

3. Análisis epistemológico del concepto de derivada y de algunos sus conceptos

fundamentales.

El estudio de la evolución de la noción de derivada a través de su génesis histórica nos

va a proporcionar una visión profunda acerca de la diversidad de practicas y discursos que

se han suscitado alrededor de ella a lo largo de su desarrollo. Ello, a su vez, servirá de base

para la determinación de los obstáculos de índole epistemológica, es decir, los constitutivos

del propio saber, proporcionando claves para la identificación de las diferentes

concepciones asociadas a dichos obstáculos, presentes en los alumnos.

4. Aportes a la practica de enseñanza del concepto de derivada a partir de la

historia de su desarrollo.

A partir de la identificación de algunos de los obstáculos epistemológicos presentes en la

evolución histórica del concepto de derivada, se buscara con ellos, a través de un uso

19

didáctico de la historia, incorporarlos a la practica de enseñanza como; en primer lugar,

auxiliares a la practica docente; y en segundo lugar, como saberes que presentados al

estudiante podrían ser utilizados por él para superar aquellas concepciones asociadas a

dicho concepto, que en algunas ocasiones se constituyen en obstáculos epistemológicos

para el aprendizaje del concepto de derivada.

1. 4. 3. Metodología

Se trata esencialmente de una investigación de tipo cualitativo - interpretativo, en la

terminología utilizada por Erickson (1984). Para Kirk y Miller (1986), el análisis de los

documentos y rastros físicos que describen la historia de las personas es una categoría de

la investigación cualitativa. Scott por su parte (1988) indica que cuando en lugar de

estudiar directamente a las personas se hace indirectamente a través del análisis de

documentos, se trata de una este investigación es de tipo cualitativa. Asimismo Goetz y

Lecompte (1988) incluyen dentro de los estudios cualitativos la descripción y

reconstrucción analítica de creencias compartidas, prácticas y conocimiento popular de

un grupo de personas en un momento histórico determinado.

El estudio de los diversos documentos será de tipo descriptivo. En términos de Goetz y

Lecompte (1988). Asimismo se hará uso del modelo historiográfico de Foucault expuesto

por Veyne (1985), el cual tiene la cualidad de permitir abordar la estructura teórica y

práctica del hecho matemático derivada, juzgando los diferentes elementos que han

incidido en su procedencia, su desarrollo y la configuración de las principales técnicas,

teorías y conceptos alrededor de él. De la misma forma, éste modelo histórico en el

20

contexto de la presente investigación, permitirá establecer con nitidez el efecto de las

distintas corrientes de pensamiento que se dieron alrededor del objeto matemático derivada,

descubriendo nexos con otras disciplinas y permitiendo responder a problemas

contemporáneos de la profesión de docente y hacer una proyección de la ciencia

matemática.

1. 5. Objetivos

Objetivo general

Identificar elementos de uso didáctico de la historia del concepto de derivada para los

procesos de enseñanza.

Objetivos específicos

• Discriminar cada uno de los objetos matemáticos que constituyen al objeto

matemático derivada

• Identificar historias particulares de cada uno de los objetos matemáticos que

constituyen al objeto matemático derivada.

• Poner de relieve las discontinuidades entre una historia particular de cada objeto

constitutivo del concepto matemático de derivada y la historia de la derivada.

• Crear a partir de la recomposición de una historia particular del objeto

matemático derivada, un ambiente que pueda ser propicio para su enseñanza.

21

2. FUNDAMENTO Y MARCO CONCEPTUAL

2. 1. Introducción

En este capitulo realizare una recopilación de los fundamentos teóricos utilizados para

esta investigación. En primer lugar se analizara la noción de sistema didáctico así como su

diferentes componentes, posteriormente, se estudiara el proceso de transposición didáctica

señalando la influencia que tienen los imperativos debidos a la epistemología y la historia

de los conceptos matemáticos en la Didáctica de las Matemáticas, para luego señalar los

plintos epistemológicos e históricos que se utilizaran para recrear una historia alrededor del

concepto matemático de derivada.

2. 2. Enfoque sistémico de la didáctica de las matemáticas

Desde hace relativamente pocos años y bajo la promoción de eminentes investigadores

tales como Brousseau, Chevallard, Vergnaud, Artigue, entre otros, se ha constituido un

grupo de investigación, que emprendió una reflexión teórica sobre el objeto y los

métodos de investigación específicos en Didáctica de las Matemáticas. Como característica

esencial de esta línea - llamada por su autores <<fundamental>>- puede reconocerse el

interés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos y

métodos, así como su concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la

matemática y a las teorías especificas de aprendizaje. Acerca de los modelos que han

desarrollado, estos comprenden dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan

de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber matemático, los

alumnos y el profesor dentro del contexto particular del aula.

22

Una característica notable de este marco teórico, aunque no es original ni exclusiva, es su

consideración de los fenómenos de enseñanza – aprendizaje bajo un enfoque sistémico.

Bajo esta perspectiva, el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser

explicada por el estudio separado de cada uno de sus componentes. Así la Didáctica de las

Matemáticas se considera como “el estudio de la evolución de las interacciones entre un

saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de

apropiación de este saber por el sujeto”26. Que no es más que el estudio de un sistema –el

sistema didáctico-.

Según cita Ruiz (1998) de Godino (1992), en Didáctica de las Matemáticas el enfoque

sistémico es visiblemente necesario, como ocurre en general en todas las ciencias sociales,

pues además del sistema de enseñanza de las matemáticas en su conjunto, y de los propios

sistemas conceptuales, hay que estudiar los sistemas didácticos materializados en el aula,

los cuales están constituidos por el profesor, los alumnos y el saber enseñado, así como

las interacciones entre ellos.

Para Chevallard (1991) “Los sistemas didácticos son formaciones que aparecen cada año

hacia el mes de septiembre: en torno a un saber (designado ordinariamente por un

programa); un contrato didáctico se constituye alrededor de un proyecto compartido de

enseñanza y de aprendizaje que agrupa al profesor y a los alumnos en un mismo lugar. El

entorno próximo de un sistema didáctico esta en principio constituido por un sistema de

enseñanza, que reúne el conjunto de sistemas didácticos, y presenta un conjunto

diversificado de dispositivos estructurales que permiten el funcionamiento didáctico.”27.

En el sistema de enseñanza interviene todo un sistema complejo que Chevallard (1991)

llama <<noosfera>> donde confluyen todas aquellas personas que, en la sociedad, piensan

sobre los contenidos y los métodos de enseñanza, influyendo, por tanto, directa o

26 BROUSSEAU, G. Utilidad e interés de la didáctica para un profesor (Segunda parte), citado por RUIZ, Luisa. La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén. Colección Juan Pérez de Moya. 1998. p. 18. 27 CHEVALLARD. Op. cit., p. 23.

23

indirectamente sobre ella. Así, la finalidad que en el sistema de enseñanza desempeñan las

noosferas o "instituciones de transposición de los saberes"28 es; el tomar un saber

particular de "las instituciones de producción"29 de saber, para hacerlo apto para llegar a

las instituciones didácticas a través del "proceso de transposición didáctica”30.

Según Chevallard (1991) es en la noosfera, donde se desarrollan los problemas que nacen

del encuentro entre la sociedad y sus exigencias, donde se defienden y discuten sus

doctrinas, se conducen las negociaciones y se buscan las soluciones. Existiendo a su

interior una constante producción y debate de ideas, sobre lo que podría cambiarse y

sobre lo que sería necesario hacer-. Sin embargo, él mismo reconoce, los sistemas

didácticos están inmersos en un entorno social, cultural, tecnológico y científico que

influye y condiciona su funcionamiento.

2. 2. 1. Funcionamiento del sistema didáctico bajo la óptica de Chevallard.

Como ya se ha dicho antes, en el sistema de enseñanza interviene todo un sistema complejo

que Chevallard (1991) llama <<noosfera>> donde confluyen todas aquellas personas que,

en la sociedad, piensan sobre los contenidos y los métodos de enseñanza, influyendo, por

tanto, directa o indirectamente sobre ella. Teniendo la finalidad en el sistema de enseñanza

las noosferas o instituciones de transposición de los saberes; la de tomar un saber

particular de las instituciones de producción de saber, para hacerlo apto para llegar a las

instituciones didácticas a través del proceso de transposición didáctica.

Sin embargo, dicho proceso que es adelantado por las noosferas, tiene visibles

consecuencias sobre el saber que es transpuesto con intención didáctica. En general. "El

28Ibid., 158. 29Ibid., 158. 30Ibid., 158.

24

saber - tal - como - es - enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del saber -

inicialmente - designado - como - el - que - debe - ser - enseñado, el saber a enseñar."31 .

Que si bien, debe y tiene que ser una característica del saber designado a enseñar: "Para

que la enseñanza de un determinado elemento de saber sea meramente posible, ese

elemento deberá haber sufrido ciertas deformaciones, que lo harán apto para ser

enseñado. Este es el terrible secreto que el concepto de transposición didáctica pone en

peligro"32. Que involucra al docente en dos tipos de dificultades. La primera; de

legitimidad epistemológica (acerca del saber que él enseña y que los manuales

promueven), y la segunda; de legitimidad ontológica, ya que es inevitable que el saber

designado a ser enseñado sea distinto del saber que es enseñado en la escuela como

matemática escolar.

Chevallard (1991) en su trabajo La transposición Didáctica: del saber sabio al saber

enseñado, siendo conciente de tal contrariedad, ahonda en las implicaciones epistemologías

y ontológicas que tiene sobre el saber y por ende sobre la cultura las distintas formas de

manipulación que se hace del saber. Ya que es de la opinión que la producción, enseñanza

y transmisión del saber tiene un carácter preeminente en la construcción de la sociedad.

31 Ibid., p. 17. 32 Ibid., p. 17.

25

En esta obra Chevallard iniciando tal empresa, ubica a la didáctica de las matemáticas en

el campo de la antropología33, siguiendo este esquema:

Puesto que la didáctica de la matemática, "no sale de la nada: es el efecto de un retraso

histórico; el vástago tardío y aislado desde el inicio, de la empresa antropológica"34, ubica

su habitad en el Continente Antropológico. Siendo su objeto Lo didáctico. Luego, sobre

el mapa del Continente Antropológico sitúa un sub-continente al cual llama Antropología

cognitiva, acerca del cual dice; que éste está constituido por sujetos (X), objetos(O),

instituciones (I), relaciones de sujetos con objetos R(X,O), relaciones de instituciones

con objetos Ri(O) y también, génesis, cambios y evoluciones.

Concibiendo al sub-continente de la Antropología cognitiva como un sistema vivo.

"Existe [...] una vida del conocimiento y de los objetos - que son necesariamente,

ontológicamente, objetos de conocimiento."35.

"Puesto que lo didáctico habita en todas partes en la materia antropológica, [...] Es

preciso aprender a verlo, puesto que la cultura no nos ayuda para nada en ese sentido:

la "sensibilidad didáctica" es aquí la esencia de un oficio nuevo, él de Antropólogo

didáctico"36.

33 Siguiendo el modelo de ontología histórica de Michael Foucault, el cual más adelante se presentara. 34 Ibid., p. 147. 35 Ibid., p. 149. 36 Ibid., p. 150.

26

Oficio éste que según Chevallard da ocasión en el seno de la Antropología cognitiva, a la

Didáctica cognitiva, que es donde el Antropólogo didáctico siente Lo didáctico, es decir,

la intención didáctica, precisamente37. Si bien, para Chevallard esto no es suficiente en su

propósito de definir el campo de la didáctica de la matemática, por ello, define en el

mismo estrato de la Didáctica cognitiva a la Antropología de los saberes o la

Antropología epistemología, en donde habitan los saberes, que no son más, que hipóstasis

improbables38. Y que a su vez son "un tipo de objetos que sirven para designar,

correlativamente, en el campo de la antropología, el espacio de una Antropología de los

saberes"39 o Epistemología.

Ahora bien esta Epistemología o Antropología de los saberes está constituida por la

relaciones institucionales con un saber determinado, o lo que Chevallard llama Ri(S)

(problemática de I en relación con S). Reconociendo cuatro grandes tipos de

problemáticas relativas a S como son:

1. Problemática de utilización (en el caso de un ingeniero que utiliza la matemática).

2. Problemática de enseñanza (cuando I manipula a S para enseñarlo).

3. Problemática de manipulación de S para producir el saber S.

37"Existe lo didáctico cuando un sujeto Y tiene la intención de hacer que nazca o que cambie, de cierta manera , la relación de un sujeto X con un objeto O." Ibid., p.150. 38 "La cuestión de su existencia no está jamás enteramente asegurada, es siempre discutible y también un espacio de conflictos." Ibid., p.152. 39 Ibid., 153.

27

Acerca de estas tres primeras problemáticas relativas a S, Chevallard cree que la

epistemología tal como existe actualmente se ha "consagrado hasta ahora con pasión al

estudio casi excluyente de la producción de saberes y al estudio de sus productores; [...]

olvidado tanto su utilización como su enseñanza. Sin embargo, éstas no pueden ser

expulsadas de un estudio antropológico de los saberes"40. Por ello define que en el cruce

entre la Antropología de los saberes y la Antropología didáctica del conocimiento, se

sitúa la Antropología didáctica de los saberes o Didáctica "Cuyo objeto es la

manipulación de los saberes con intención didáctica y, en particular, la enseñanza de los

saberes."41.

Inmediatamente de haber equiparado la Antropología didáctica de los saberes con la

Didáctica y a haber definido su objeto, recuerda al lector que "una de las más sólidas

lecciones provistas por la didáctica [tradicional] es que la enseñanza de un saber, más

ampliamente, su manipulación didáctica en general, no puede comprenderse en muchos

de sus aspectos si se ignoran sus utilizaciones y su producción [Además] Desde el punto

de vista de la antropología, un saber se presenta como una totalidad, cuyos diferentes

momentos son igualmente vitales"42. Lo cual da lugar, a que este mismo autor, a partir de

la critica al "olvido sobre el que se ha construido la epistemología actual"43

antropoligize a la epistemología, diciendo que este olvido no es más que un hecho cuya

40 Ibid., 155. 41 Ibid., 155. 42 Ibid., 158. 43 Ibid., 156.

28

explicación corresponde a la antropología de los saberes"44 pues ésta es la que debe

estudiar el efecto que tiene sobre la cultura la forma de tratar a los saberes. Cuando

valoriza y prioriza su producción. Mientras que su utilización permanece opaca, ignorada.

Su enseñanza, más visible culturalmente que su utilización, es sin embargo subestimada,

considerada como una empresa contingente y un mal necesario.

Dando esto ultimo, obvias luces acerca la intención de Chevallard con su modelo

antropológico, que no es más, que a través de una nueva concepción de la epistemología,

superar "el enclaustramiento cultural de los saberes en la esfera de su producción, al que

la epistemología contribuye, no permitiendo sino con dificultad que las instituciones en

las que esas prácticas sociales se desarrollan, identifiquen o reconozcan sus necesidades

de saberes, su naturaleza y grado. En este aspecto, al ubicarse de entrada en un punto que

la epistemología tradicional descuida porque la cultura lo ignora, la antropología

didáctica de los saberes - la didáctica- produce un nuevo sonido, que la teoría de la

transposición didáctica amplifica."45.

Por ello y con miras a dicho propósito, Chevallard caracteriza al antropólogo didáctico

como quien abra de dilucidar la pregunta "¿de dónde provienen los saberes presente

en una institución dada?"46, ya que él reconoce que "en la mayor parte de los casos,

especialmente en los de instituciones "utilizadoras" [...] Los saberes allí presentes son

claramente exógenos. Viven en la institución a través de los agentes de ésta, que han

44 Ibid., 156. 45 Ibid., 156.

29

debido formarse en la institución para adecuar a ella sus gestos. Estos agentes deberán

continuar su formación, formarse con arreglo a nuevos saberes, formar a otras

personas"47. Estando tal formación a cargo de lo que Chevallard denomina las escuelas

profesionales, que no son otras que las instituciones, que las instituciones utilizadoras

han suscitado en su entorno más o menos próximo para exclusivamente estar

"consagradas a la enseñanza de los saberes requeridos"48 definiéndose precisamente en

esta relación la pertinencia epistemológica de un saber a enseñar.

Pero no solamente ésta es la tarea del antropólogo didáctico, a él también corresponde

contestar los interrogantes: ¿de dónde provienen los saberes enseñados? y ¿Cómo llegan

ahora hasta las instituciones didácticas?, a estas preguntas Chevallard tiene como

respuesta, que provienen de las instituciones de producción y que llegan a las instituciones

didácticas a través del proceso de transposición didáctica, el cual dentro de la antropología

de los saberes da lugar al cuarto tipo de manipulación del saber, la manipulación

transpositiva, teniendo ésta lugar, como ya se dijo antes, en las noosferas, que son las

instituciones de transposición de los saberes.

Sobre este punto, nuevamente Chevallard muestra su preocupación acerca del estudio que

debe hacerse de los efectos que tiene sobre la sociedad, las manipulaciones del saber ya

que para él los procesos transpositivos son "el resorte esencial de la vida de los

46 Ibid., 157. 47 Ibid., 157. 48 Ibid., 157.

30

saberes"49, en tanto que ayudan a su diseminación y funcionalidad adecuadas. Recalcando

además, que "nunca se subrayaría lo suficiente en ese sentido hasta que punto la

manipulación transpositiva de los saberes es una condición sine qua num del

funcionamiento de nuestras sociedades, cuyo descuido, particularmente en provecho de

la pura producción de saber puede ser criminal" 50.

Sintetizando hasta este cuarto tipo de manipulación del saber, es evidente como así lo

muestra Chevallard, que cada una de ellas abandona o deja de lado la historia del

saber que es utilizado, enseñado, producido o transpuesto según sea el caso, y cómo de

una u otra forma los saberes y su enseñanza tienen un papel crucial en la formación de

nuestras sociedades, por ello es importante saber qué lugar ocupan estos en la

"antropología (didáctica) de los saberes"51 y en la antropología.

Con vista a esto Chevallard introduce el concepto de escuela general, que precede a la

escuela profesional en tanto que el saber que allí se imparte es anterior al saber

profesional, pues es evidente que "no se accede directamente a un saber, sin otra

formación [...] Ningún sistema de formación lo permite. Todos suponen una cierta

homogeneidad de sus públicos; y esa homogeneidad relativa debe ser creada por una

formación previa. Ese es el objetivo esencial de toda enseñanza general.”52.

49 Ibid., 158. 50 Ibid., 159. 51 Ibid., 159. 52 Ibid., 159.

31

De la misma forma, esta enseñanza se distingue de la profesional por su mayor

visibilidad cultural y en principio por la pertinencia cultural de los saberes que allí se

imparten, que son saberes enseñados de bajo perfil, careciendo casi siempre, como

sostiene Chevallard, de legitimidad epistemológica, adolecen del carácter de saber

autentico que le brinda su credibilidad. Por tal razón, la educación general no debe ser

una cuestión que le ataña "a una institución particular - la de una "profesión", por

ejemplo - sino a la sociedad en su conjunto; o al menos, en un momento dado de su

historia, a todo cuanto para ella es importante. La escuela no se autoriza a si misma, y

menos todavía el docente. [...] La sociedad está con ella (y con él) o bien contra ellos.”53.

2. 2. 2. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado.

El término transposición didáctica denota el conjunto de transformaciones que sufre un

saber sabio con el fin de ser enseñado54. Siendo - como ya se dijo antes - la instancia

encargada de procurar tales transformaciones, la noosfera. La cual en el afán de

modificar los saberes tomados del saber sabio, para hacerlos aptos para ocupar un lugar

entre los objetos de enseñanza, y así poder superar la "crisis de enseñanza"55, "aísla

ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen,

su sentido, su motivación y su empleo"56. Como consecuencia, “esta presentación elimina

completamente la historia de los saberes, es decir, la sucesión de dificultades y preguntas

53 Ibid., 164. 54 Cuando "un contenido de saber a enseñar, es designado a ser enseñado sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza.". Ibid., p. 45. 55 "Todo proyecto social de enseñanza y aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de unos contenidos de saberes como contenidos a enseñar" (Ibid. p.36) y es la sociedad u entorno la que al "devenir vieja (desgastada), a través de sus niños, en relación con el saber" (Ibid. p.36) presiona a la noosfera para que "a falta de poder cambiar a los alumnos, se ... [cambie] ... el saber.”. Ibid., p. 37. 56M.E.N. Lineamientos. Op. cit., p. 27.

32

que han provocado la aparición de los conceptos fundamentales, su empleo para tantear

nuevos problemas, la introducción de técnicas y cuestiones nacidas de los progresos de

otros sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que han resultado falsos o

inadecuados y las innumerables discusiones que han ocasionado. Esta presentación

enmascara el verdadero funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar, para poner

en su lugar una génesis ficticia."57.

Sin embargo, según Chevallard (1991), "Para que la enseñanza de un determinado

elemento de saber sea meramente posible, ese elemento deberá haber sufrido ciertas

deformaciones, que lo harán apto para ser enseñado. ... [Siendo] ... Este es el terrible

secreto que el concepto de transposición didáctica pone en peligro"58. Y que - según él -,

es la brecha necesaria entre el saber sabio y el saber enseñado que es puesta al

descubierto por el concepto de transposición didáctica, y que a su ves, se constituye en

su primera herramienta para lograr el paso del saber sabio al enseñado.

“La existencia de estas transformaciones es un hecho conocido aunque aún muy poco

estudiado”59.

2. 2. 3. Transposición didáctica, epistemología e historia

Para Ruiz (1998) el estudio de la génesis de los conceptos constituye un método muy

fecundo en la Didáctica de las Matemáticas, donde no se plantea el reintroducir el método

histórico en la enseñanza, pero sí estudiar los procesos que han seguido los conceptos

matemáticos en su formación y desarrollo, los mecanismos de producción de estos saberes,

es decir, conocer las características de la actividad matemática.

57BROUSSEAU, Op. cit. p. 283, citadazo por RUIZ, Op. cit., p. 41. 58CHEVALLARD, Op. cit., p. 17. 59 ARSAC, G. La trasnposición didactique en Mathématiques, en phisique, et en Biologie, citado por RUIZ, Op. cit. p. 21.

33

A propósito de la necesidad que tiene el didacta de hacer un estudio epistemológico,

Artigue (1989) dice que radica en:

En un primer nivel el análisis epistemológico es necesario para el didacta puesto

que le ayuda a poner distancia y bajo control las <<representaciones

epistemológicas>> de las matemáticas inducidas por la enseñanza.

-ayudando a dar una historicidad a los conceptos matemáticos que la enseñanza

usual tiende a presentar como objetos universales tanto en el espacio como en el

tiempo.

-ayudando a dar igualmente una historicidad a nociones metamatemáticas que la

enseñanza usual cultiva con la ficción de un rigor eterno y perfecto en las

matemáticas.60

Precisamente, según anota Ruiz (1998), el estudio de la transposición didáctica tiene como

uno de sus objetivos poner de manifiesto todas las anteriores diferencias aspirando con

ello que el didacta tome conciencia de la distancia que separa la economía de los dos

sistemas: el sistema científico y el sistema de enseñanza. De la misma forma, el análisis

epistemológico permite también a la Didáctica “desprenderse de la ilusión de

transparencia de los objetos del saber que ella manipula, ayudando, con ello, al didacta a

liberarse de las representaciones epistemológicas erróneas que tiende a introducir su

practica de enseñanza”61.

De hecho, según Ruiz (1998), la epistemología se injiere asimismo de un modo muy

decisivo en la configuración de los elementos constitutivos de la significación de un

determinado concepto, analizando los diferentes sentidos con los que ha podido aparecer

y su adaptación más o menos eficiente a la resolución de distintos problemas.

60 ARTIGUE, M. Epistemologie et Didactique, citado por RUIZ, Op. cit., p. 41. 61 Ibid., p. 42.

34

Un análisis epistemológico de una establecida noción conducirá así, a la determinación

de toda una serie de concepciones históricas atadas a la misma, permitiendo ello, según

Artigue (1989), poner en evidencia:

toda la pluralidad de puntos de vista posibles que históricamente han estado

asociados, diferenciar las representaciones y modos de tratamiento que le han sido

asociados y observar su adaptación más o menos buena a la resolución de tal o

cual clase de problemas. ... Ayudará también al didacta a luchar contra la ilusión

de transparencia de la comunicación didáctica inducida por los modos empiristas

del aprendizaje, permitiéndole diferenciar el saber que la enseñanza quiere

transmitir y los conocimientos efectivamente construidos por los alumnos62.

2. 3. Noción de obstáculo en los procesos de enseñanza – aprendizaje de las

matemáticas.

Uno de los objetivos que apremia actualmente a la investigación en Didáctica de las

matemáticas es investigar las dificultades y los fracasos en la enseñanza. Intentando con

ello responder a las preguntas: ¿qué hay detrás de los errores de los alumnos?, ¿qué

tipo de errores se han de investigar?, ¿cuáles son los errores que tienen una importancia

significativa en una determinada población?.

Según cita Ruiz (1998) de Rico (1992):

Al cometer un error, el alumno expresa el carácter incompleto de su conocimiento,

... Los errores forman parte de las producciones de los alumnos durante su

aprendizaje de las Matemáticas. Los errores son datos objetivos que encontramos

62 Ibid., p. 42.

35

permanentemente en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas;

constituyen un elemento estable de dichos procesos.63

Pese a esto, no todos los errores han de investigarse, la Didáctica de las Matemáticas se

preocupa principalmente por aquellos que sus expresiones no son accidentales, sino

repetidas y resistentes y cuyo origen puede escapar al sujeto. En este caso se hablará de

obstáculo cognitivo.

Acerca de la naturaleza de los obstáculos que impiden al sujeto o al investigador un

conocimiento de las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, esta fue planteada por

vez primera en la Instauratio Magna de Francis Bacon, quien se propuso elaborar una

critica de los diversos obstáculos, demostraciones y doctrinas y filosofías que impiden el

conocimiento de la naturaleza. Gaitán (1991). No obstante, la noción de obstáculo

epistemológico o cognitivo se debe a G. Bachelard. Quien al plantear el problema del

conocimiento en términos de obstáculos, quiso más que referirse propiamente a

obstáculos externos, tales como la complejidad de los fenómenos, la debilidad de los

sentidos o del espíritu humano, afirmar que en el acto mismo de conocer aparecen, por

necesidad funcional, entorpecimientos y confusiones. Lo cual “lleva a señalar que siempre

se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal

adquiridos; a la base de esta idea, se encuentra una concepción de la ciencia como algo

que pertenece a lo construido, como una progresividad esencial que rompe con las

determinaciones de la experiencia cotidiana y de la utilidad.”64.

Más, sin embargo, la introducción de la noción de obstáculo en Didáctica de la

matemática se debe a Brousseau: “El error no solamente es efecto de la ignorancia, de la

incertidumbre, del azar, según se creía en las teorías empiristas o conductistas del

aprendizaje; sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés, su éxito, y que

63 RICO, L. Investigación sobre errores de aprendizaje en Educación Matemática, citado por RUIZ, Op. cit. p. 26. 64 GAITAN, C. Observaciones sobre la génesis de la noción de obstáculo epistemológico. En: Revista Facultad de Ciencias, Universidad Javeriana de Bogotá. Vol. 1 No. 4, 1991. p. 23.

36

ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos e

imprevisibles, se constituyen en obstáculos”65.

Analizando esta definición, según Ruiz (1998), se perfilan las características

fundamentales de todo obstáculo cognitivo:

- se trata siempre de un conocimiento y no de una ausencia de conocimiento;

-este conocimiento permite al alumno producir respuestas correctas en

determinados problemas o dominios de problemas;

-este mismo conocimiento engendra respuestas erróneas para ciertos problemas o

dominios de problemas;

-los errores producidos no son esporádicos sino muy persistentes;

-este tipo de errores producidos es muy resistente a la corrección. 66

Los obstáculos que se presentan en nuestros alumnos, según Brousseau (1983), pueden

ser debidos a distintas causas, es decir, su origen puede ser diferente:

-de origen ontogenético: Son debidos a las limitaciones del sujeto en un momento

de su desarrollo, es decir, están ligados al desarrollo de las capacidades cognitivas

de los alumnos en su proceso de aprendizaje.

-de origen didáctico: Están ligados al sistema de enseñanza en que se encuentran

inmersos nuestros alumnos. Son debidos a las decisiones del sistema educativo o

a las del profesor en el aula. Resultan, pues, de las elecciones didácticas hechas

para establecer la situación de enseñanza.

65 BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problemes en Mathématique, citado por RUIZ, Op. cit., p. 27. 66 RUIZ, Op., cit. p. 28.

37

-de origen epistemológico: Están ligados al conocimiento mismo . Se pueden

encontrar en la evolución histórica de los propios conceptos matemáticos, por lo

tanto deben ser considerados como parte del significado del concepto.67.

Según anota Brousseau (1983) en su teoría sobre los obstáculos en la Didáctica de las

Matemáticas, los alumnos poseen concepciones de una determinada noción que en algunas

ocasiones se revelan falsas, insuficientes, ineficaces o simplemente inadaptadas para la

solución de una situación problema, provocando errores repetitivos y resistentes. Estas

concepciones pueden hacer obstáculo a la emergencia de una nueva concepción.

El rechazo de una concepción y la adopción de una nueva no se hace por una

simple explicación del maestro, ... sino cuando el alumno se enfrenta a

situaciones especificas donde la nueva concepción aparece bien como solución

necesaria y única, bien como solución más económica, más segura, mejor

adaptada, óptima para su resolución.68

Para ello, según Ruiz (1998), es preciso que el alumno se encuentre ante un autentico

conflicto cognitivo y se produzca un salto informacional. Este decretara la existencia de

un obstáculo epistemológico poniendo de manifiesto los limites de una concepción

antigua.

Según las aportaciones de Artigue (1989), se pueden determinar diferentes procesos que,

tanto en historia de las matemáticas como en nuestros alumnos, se constituyen en

productores de obstáculos:

-la generalización abusiva: se manifiesta, por ejemplo, en ciertos errores de

nuestros alumnos cuando aplican propiedades de N a Q: entre 1,4 y 1,5 no existe

ningún numero;

67 Ibid., p.28.

38

-la regularización formal abusiva: Se identifica en los errores que presentan

los alumnos, tales como:

-la fijación sobre una contextualización o una modelización familiares: Lo

encontramos, por ejemplo, en la enseñanza cuando, de modo exclusivo, se

identifican las fracciones con el fraccionamiento de la unidad;

-la amalgama de nociones sobre un soporte común: es frecuente encontrarlo

en contextos geométricos, por ejemplo, los relativos a las medias de longitudes y

áreas: si el área de una superficie permanece constante, el perímetro también;

Si bien es verdad que estos procesos tiene consecuencias que pueden generar

obstáculos no podemos por ello atacar a los procesos en sí mismos ya que son

parte integrante del funcionamiento normal de la matemática ... y han sido

profundamente productivos en su evolución histórica.69

2. 3. 1. Noción de obstáculo epistemológico en Didáctica de las Matemáticas.

Para Ruiz (1998), el dispositivo de adquisición y evolución del conocimiento, tanto a nivel

cultural como personal, implican una constante interacción con los conocimientos

anteriores, sometiéndolos a examen, modificándolos o, incluso rechazándolos, hasta llegar

a formar conocimientos nuevos. “El mecanismo de adquisición de conocimientos, puede

aplicarse tanto a la epistemología o historia de las ciencias, como al aprendizaje o la

68 EL BOUAIZZAUI, H. Conceptions des eleves et des professeurs á propos de la notion de continuité d´une fonction, citado por RUIZ, Op. cit., p. 28. 69 ARTIGUE, M. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 28, 29.

39

enseñanza. Tanto en un caso como en el otro, la noción de obstáculo es fundamental para

plantear el problema del conocimiento científico.”70

Según afirma Ruiz (1998) hay una serie de investigadores que utilizan el análisis

epistemológico histórico, estableciendo concepciones y obstáculos ligados al desarrollo de

una noción matemática, como una herramienta para el análisis didáctico de las

concepciones y obstáculos que se pueden presentar en los alumnos. Entre los cuales

destaca a: Brousseau (1983), Sierpinska (1985,1989, 1992), Artigue (1984), Janvier y René

de Cotret (1989).

Así para Ruiz (1998), los obstáculos reconocidos en la génesis histórica de un concepto

son obstáculos epistemológicos: “tiene su origen en la propia constitución del

conocimiento. Se les puede encontrar en la propia historia del concepto.”71

Según cita Ruiz (1998) de Sierpinska (1992) se pueden distinguir varios niveles en el

origen de los obstáculos epistemológicos:

-nivel de actitudes, creencias y convicciones de nuestra visión del mundo: Este

tipo de conocimiento es explicito o explicable. Lo podemos siempre comunicar a

los demás, por ejemplo, cuando decimos afirmaciones tales como: las matemáticas

son el lenguaje de la ciencia. Pero esta clase de afirmaciones no exige ningún tipo

de justificación sino que más bien están autorizadas por la tradición o el sentido

común: es algo que todo el mundo reconoce.

-nivel de esquemas de pensamiento: Este tipo de conocimiento se usa, en su

mayor parte de forma inconsciente; está determinado por las diferentes formas

con las que podemos aproximarnos a la resolución de un problema, por la

manera de interpretar situaciones, por todo aquello que hemos aprendido en la

practica en el transcurso de nuestra socialización y educación.

70 BROUSSEAU, G. Op. cit., Los obstáculos epistemológicos y los problemas de las matemáticas, citado por RUIZ. Op. cit., p. 42.

40

-nivel de conocimiento técnico: Está formado por conocimientos explícitos,

lógicamente justificados, necesarios en diferentes profesionales; las personas que

lo poseen están asociadas, generalmente por un factor común, como puede ser

pertenecer a una misma profesión o a un mismo grupo social. 72

Según este mismo autor, citado por Ruiz, estos tres niveles no son independientes, los

diferentes enfoques técnicos con los que buscamos dar solución a un determinado

problema, pueden explicarse por los conocimientos que tenemos a nivel de nuestras

creencias o a nivel de esquemas de pensamiento, y dado el caso, nuestro conocimiento

técnico, en un cierto momento, puede mudar nuestras creencias e incluso, nuestros

esquemas de pensamiento.

“Si nuestras creencias son falsas creencias, y nuestros esquemas de pensamiento son

inconsistentes, pueden, muy bien, funcionar como obstáculos para nuestro pensamiento

en un nivel técnico.”73

Por ejemplo, según Ruiz (1998), la creencia de los matemáticos griegos y, principalmente

de los pitagóricos, en la inconmensurabilidad de todas las magnitudes geométricas se

constituyó en un obstáculo para el desarrollo de los números irracionales. La manifestación

de los obstáculos se hace a través de los errores que producen, pero estos errores no son

en ningún caso adjudicadles al azar, sino que son reproductibles y perseverantes durante

largo tiempo.

“Si un obstáculo no es propio de una sola persona, sino que es mucho más general ya que

puede estar presente en una cierta cultura durante algún período de tiempo, entonces se

llama obstáculo epistemológico”74. Convirtiéndose así la noción de obstáculo

epistemológico, en un útil primordial para plantear el problema del conocimiento

71 Ibid., p. 42. 72 SIERPINSKA, A. Un understanding the notion of function, citado por RUIZ. Op. cit., p. 43. 73 Ibid., p. 43. 74 SIERPINSKA, A. Op. cit., citado por RUIZ. OP. cit. p. 44.

41

científico. Y asimismo la noción de obstáculo epistemológico se convierte, luego, en un útil

concreto para el análisis de la matemática como ciencia en evolución.

No obstante según asevera Ruiz (1998) los obstáculos epistemológicos no se pueden

enumerar o precisar de un vez por todas. Ciertas ideas, ciertos esquemas pueden, a veces,

funcionar como obstáculos, o bien, pueden ser fuente de obstáculos en el desarrollo del

pensamiento científico, pero no se pueden considerar como obstáculos en el sentido

absoluto.

2. 3. 2. Epistemología y teoría de las situaciones didácticas

Según Artigue (1990), al didacta compete la construcción del conocimiento matemático

dentro de un medio constituido para este fin, por las noosferas. En este sentido, el se

enfrenta a un problema de elaboración (de tipo ingeniero - didáctica), donde su campo es el

análisis del génesis del conocimiento, por distinguirlo del génesis histórico, que a menudo

es calificado de génesis artificiales.

Ciertamente, según nos muestra la teoría de la transposición didáctica, las contradicciones

que gobiernan estos génesis no son idénticas a aquellas que han gobernado su génesis

histórica, pero este último permanece sin embargo, para el didáctico, como un punto de

anclaje del análisis didáctico, una clase de peñón de observación, del cual se sirve cuando

se preocupa por analizar un proceso de enseñanza dado.

Esto, por una razón evidente; como ya se ha dicho antes, puesto que los problemas que han

motivado la introducción de este u otro concepto, así como aquellos que han gobernado su

evolución, se constituyen, en si mismos como parte de la significación del concepto, el

didacta, mediante su análisis, esta necesariamente enfrentado a este problema de la

significación del concepto.

42

Mas allá del análisis conceptual, la epistemología, según Artigue (1990), interviene a este

nivel, sobre un plan más general porque aquello que dirige la enseñanza de las

matemáticas, no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos, es mas

globalmente la transmisión de una cultura. Se ocupa de hacer entrar a los estudiantes

dentro del juego matemático. Pero, ¿qué es el juego matemático? ¿Cuáles son los procesos

generales de pensamiento que lo rigen? Es el análisis epistemológico (no necesariamente

histórico a este nivel, aun si la aproximación histórica permite entender el aspecto

necesariamente histórico o espacial de esta cultura) el que esta encabezando lo concerniente

a estas preguntas.

Ella propone al didacta, un cierto número de preguntas globales y fundamentales para guiar

la producción de ingenierías didácticas como el análisis de la enseñanza usual:

• ¿Qué transponer dentro de la enseñanza de los constituyentes de esta cultura y de sus

interrelaciones?

• ¿Existe una transposición mínima o un conjunto de transposiciones mínimas a respetar

para no desnaturalizar el sentido de esta cultura?

• ¿Es posible? ¿Bajo que condiciones?

• ¿En que pueden o deben las transposiciones depender de los públicos a los cuales se

dirige la enseñanza?

• ¿Cuáles son los inconvenientes que presentan sobre las transposiciones actuales?

¿Cuáles son sus efectos?

Dentro de esta perspectiva, según Artigue (1990) el trabajo del didacta no solo se limita a

integrar estas cuestiones de naturaleza epistemológica a su actividad. Este consiste además

en construir los campos teóricos permitiendo el trabajo sobre tales cuestiones y la

capitalización de las experiencias didácticas.

43

En mi opinión, la teoría de los obstáculos epistemológicos elaborada por G. Brousseau y

algunos de los aportes de la epistemología genética de Piaget, son justamente las

construcciones que responden a esas necesidades.

2. 4. Enfoque epistemológico genético.

Si bien, algunos de sus postulados iniciales han sido ampliamente cuestionados por las

investigaciones posteriores, la teoría de Piaget del desarrollo evolutivo constituye hoy día

un punto de referencia imprescindible para entender el desarrollo evolutivo y su influencia

en los límites del aprendizaje. En este apartado se revisan los elementos fundamentales de

esta influyente teoría.

2. 4. 1. Teoría del desarrollo cognitivo

Piaget concibe el desarrollo evolutivo como un proceso dinámico que pasa por diversos

estados de equilibrio. El desarrollo se origina en gran parte por la actividad del sujeto y

debido a su interacción con el medio que le rodea mediante dos mecanismos: acomodación

y asimilación. La asimilación implica la inclusión en la estructura cognitiva de los sujetos

de elementos externos ajenos a la misma. La acomodación implica una modificación de los

elementos existentes.

Según Piaget, cada una de las etapas por las que se pasa durante el desarrollo evolutivo está

caracterizada por determinados rasgos y capacidades. Cada etapa incluye a las anteriores y

se alcanza en torno a unas determinadas edades más o menos similares para todos los

sujetos normales. Piaget definió una secuencia de cuatro estadios o grandes periodos por los

que en su opinión todos los seres humanos atravesamos en nuestro desarrollo cognitivo. En

cada uno de esos periodos, nuestras operaciones mentales adquieren una estructura

44

diferente que determina como vemos el mundo. Precisamente, como fruto de sus

observaciones detalladas sobre el desarrollo del niño, Piaget había observado que:

• a) en todos los seres se dan unos cambios universales a lo largo del desarrollo

cognitivo, unos (por decirlo así) momentos claramente distintos en el desarrollo, y

que

• b) esos cambios están relacionados con la manera en que el ser humano entiende el

mundo que le rodea en cada uno de esos momentos.

A esos distintos momentos en el desarrollo es a lo que Piaget denomina estadios de

pensamiento o estadios evolutivos. En la siguiente tabla, Flavell, Miller y Miller (1993)

resumen los cuatro estadios de desarrollo cognitivo definidos por Piaget:75

PERIODO EDAD DESCRIPCION

Sensoriomotor 0-2 Los bebes entienden el mundo a través de su acción sobre el. Sus acciones

motoras reflejan los esquemas sensoriomotores - patrones generalizados

de acciones para entender el mundo, como el reflejo de succión.

Gradualmente los esquemas se van diferenciando entre si e integrando en

otros esquemas, hasta que al final de este periodo los bebes ya pueden

formar representaciones mentales de la realidad externa.

Preoperacional 2-7 Los niños pueden utilizar representaciones (imágenes mentales, dibujos,

palabras, gestos) mas que solo acciones motoras para pensar sobre los

objetos y los acontecimientos. El pensamiento es ahora mas rápido, mas

flexible y eficiente y mas compartido socialmente. El pensamiento esta

limitado por el egocentrismo, la focalización en los estados preceptúales,

el apoyo en las apariencias mas que en las realidades subyacentes, y por la

rigidez (falta de reversibilidad).

Operaciones 7-11 Los niños adquieren operaciones - sistemas de acciones mentales internas

75FLAVELL * MILLER. Estadios del desarrollo cognitivo definidos por Piaget. [en línea] http://www.uv.es/~marcor/Piaget/Estadios.html

45

Concretas que subyacen al pensamiento lógico. Estas operaciones reversibles y

organizadas permiten a los niños superar las limitaciones del pensamiento

preoperacional. Se adquieren en este periodo conceptos como el de

conservación, inclusión de clases, adopción de perspectiva. Las

Operaciones pueden aplicarse solo a objetos concretos-presentes o

mentalmente representados.

Operaciones

Formales

11-15 Las operaciones mentales pueden aplicarse a lo posible e hipotético

además de a lo real, al futuro así como al presente, y a afirmaciones o

proposiciones puramente verbales o lógicas. Los adolescentes adquieren el

pensamiento científico, con su razonamiento hipotético-deductivo, y el

razonamiento lógico con su razonamiento interporposicional. Pueden

entender ya conceptos muy abstractos.

Tabla 1.

Si bien las edades son aproximadas, y pueden darse diferencias considerables entre las

edades de cada estadio entre niños de distintas culturas. Piaget defiende que la secuencia

es absolutamente invariable. Ningún estadio se puede saltar y el niño va pasando por cada

uno de ellos en el mismo orden. Cada estadio subsume estructuralmente al anterior, lo

presupone; es por esto que no se pueden dar alteraciones de la secuencia.

Acerca de la etapa de las operaciones formales, esta etapa constituye el último peldaño en

el desarrollo evolutivo. Por su interés para el aprendizaje de las ciencias conviene analizarla

con más detalle.

2. 4. 2. Pensamiento formal y aprendizaje de las ciencias.

El último de los estadios identificados por Piaget, el ajustado a las operaciones formales, se

caracteriza por unas destrezas que tienen especial relación con procesos de pensamiento

habituales en la ciencia. Esta etapa corresponde a los alumnos adolescentes y a la edad

46

adulta. Las particulares que definen el pensamiento formal pueden clasificarse en

funcionales y estructurales. Las primeras se refieren a los enfoques y estrategias para

abordar los problemas y tareas, mientras los rasgos estructurales se refieren a estructuras

lógicas que sirven para formalizar el pensamiento de los sujetos (Carretero, 1980, p. 3).

A continuación se detallan las características funcionales del estadio de las operaciones

formales tal como fueron propuestas inicialmente por Piaget:

• Lo real se concibe como un subconjunto de lo posible: a diferencia de los sujetos

que están todavía en el estadio de las operaciones concretas, los que han alcanzado

el estadio formal pueden concebir otras situaciones distintas de las reales cuando

abordan las tareas a que son sometidos. Por tanto, son capaces de obtener todas las

relaciones posibles entre un conjunto de elementos.

• Carácter hipotético deductivo: la hipótesis es el instrumento intelectual que se

utiliza para entender las relaciones entre elementos. Ello es así porque muchas de

las relaciones que el sujeto concibe no han sido comprobadas. Los sujetos estarían

capacitados para comprobar estas hipótesis mediante las deducciones

correspondientes y ello podría hacerse con varias hipótesis a la vez, de manera

simultánea o sucesiva.

• Carácter proposicional: las hipótesis se expresan mediante afirmaciones y lo sujetos

pueden razonar sobre estas afirmaciones mediante el uso de la disyunción, la

implicación, la exclusión y otras operaciones lógicas. Mientras los sujetos en el

estadio de las operaciones concretas realizarían estas operaciones directamente a

partir de los datos de la realidad, los sujetos formales convierten los datos en

proposiciones y actúan sobre ellas.

Las características estructurales que definen el estadio de las operaciones formales son

las siguientes:

47

• La combinatoria: las posibles combinaciones de unos elementos determinados

constituyen una estructura que representa la capacidad de los sujetos para concebir

todas las relaciones posibles entre los elementos de un problema.

• El grupo de las cuatro transformaciones: esta estructura representa la capacidad de

los sujetos formales para operar simultáneamente con la identidad, la negación, la

reciprocidad y la correlación. Estas operaciones formarían una estructura de

conjunto, ya que cualquiera de ellas puede expresarse como una combinación de las

restantes.

La propuesta inicial de Inhelder y Piaget añadía unas suposiciones adicionales sobre el

desarrollo del pensamiento formal que son relevantes para el aprendizaje de las ciencias

(Pozo y Carretero, 1987, p. 37):

• El pensamiento formal es cualitativamente distinto de las operaciones concretas.

• El pensamiento formal se desarrolla de modo espontáneo y sería universal. Este tipo

de pensamiento estaría generalizado a partir de los 14 o 15 años.

El pensamiento formal sería uniforme y homogéneo y permitiría resolver todo tipo de

tareas con independencia del contenido de las mismas.

2. 5. Enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas

El enfoque que se tiene como apoyo para el aprendizaje de las Matemáticas es el

constructivismo. Bustos (1994) puntualiza el constructivismo desde tres niveles:

• Constructivismo Epistemológico: en este el sujeto conoce las manifestaciones

del objeto, mediante una construcción que surge de la interacción sujeto – objeto.

En este nivel la realidad es una especie de límite matemático que el sujeto busca

apropiar para que se constituya en una realidad conocida, una ESTRUCTURA.

48

• Constructivismo Psicológico: en este el sujeto construye el objeto de

conocimiento, haciéndolo significativo gracias a la ACCIÓN – REFLEXIÓN.

• Constructivismo Didáctico: en este la interacción sujeto – objeto en un proceso de

aprendizaje parte de las estructuras previas del sujeto, de manera que mediante

situaciones desequilibrantes cree relaciones, transforme y obtenga generalidades

para construir modelos. La didáctica tiene en cuenta tanto el desarrollo del sujeto

tanto la evolución del objeto de conocimiento, así como también las

particularidades del ambiente y del docente que orienta la interacción.

Dado que el ser humano construye acciones, operaciones y conceptos. Vale la pena

definir cada uno de estos conceptos en el seno de esta teoría. Según Bustos (1994) las

acciones son formas de obrar como respuesta a una demanda del medio, por tanto son

conscientes y tiene una intencionalidad, una transformación que se puede captar por los

sentidos, tiene una construcción interna que es comprensible; en tal sentido no son

simples habilidades y de ellas se deriva todo el conocimiento pues sobre ellas se

piensa, se instauran en esquemas y posteriormente se formalizan en estructuras.

Los esquemas de acción son conjuntos de acciones que se acopian como un todo con

estructura propia, se pueden reproducir y aplicar a situaciones nuevas. El acopio

acumulativo de esquemas de acción conforma el saber actuar; si bien ese saber actuar

se puede y debe aprender por razón de situaciones problemáticas que le propone el

medio y le conducen a actuar.

La construcción de operaciones atañe a un acto inteligente de abstracción a partir de las

acciones y los esquemas de acción, de tal forma que consigue movilidad en relación con

sus elementos, con la disponibilidad pronta y segura en el repertorio de los esquemas de

acción. La operación es la conciencia de la abstracción, que se caracteriza por su

movilidad, por no ser acabada, por ser asociativa y reversible.

La construcción de los conceptos concierne a los momentos de concreción de un proceso

y tienen características fundamentales o dimensiones que permiten diferenciar unos de

49

otros, le son relevantes e inherentes y lo describen exhaustivamente. Dentro de un

modelo de red, como el de Zubiria (1992), el concepto corresponde a un nudo que

constituye un utensilio para conocer el mundo; en esta forma el concepto se materializa

en un resultado aunque lo trasciende y así se constituye en un útil para conocer el

mundo.

2. 6. Critica a la epistemología actual, y la teoría de la Ontología histórica de Michael

Foucault.

En desarrollo de la critica que hace Chevallard a la epistemología actual y a la enseñanza

actual, este autor deja entre ver cierta simpatía por los planteamientos post-estructuralistas,

en particular los de Foucault76 y su teoría de la Ontología histórica, en la que con aires

genealógicos nietzscheanos se busca "diagnosticar, y diagnosticar el presente, decir lo

que hoy somos, lo que significa decir lo que decimos"77. Que en la teoría de la

transposición didáctica tiene su equivalente en el diagnosticar a la escuela

Porque la Escuela es ante todo una vitrina de la sociedad, en la que ésta expone

sus saberes "sensibles"; un habitad con una ecología particularmente,

prioritariamente organizada en torno a ellos y que, contra los modernos

adoradores de la Escuela - centrada - en - el - niño, nos recuerda que los individuos

somos antes que nada seres sociales y por ende "escolentes."78

De ahí que la figura del historiador a la que apela Foucault desde su teoría y Chevallard

que inspira la suya en la primera, pretenda en cada una, ser un sujeto sobre el que recaiga

una tarea que estará:

76Para ver un esquema del funcionamiento del sistema didáctico según Chevallard (1991), revisar anexo 1 77HURTADO, V. M., MICHEL FOUCAULT (Un proyecto de Ontología Histórica). Editorial Librería Ágora. S.A. España. 1994. p.14. 78 CHEVALLARD, Y. Op. cit., p. 166.

50

más próxima al tratamiento de enfermedades que a la descripción positivista de

hechos. [...Siendo...] útil esta reflexión en tanto que nos conduce a descubrir lo

que somos, no para que nos contemplemos de manera narcisista en la imagen

recreada, sino para que, descubiertas las estrategias que nos han producido,

rompamos nuestra legitimidad ontológica y se haga posible el paso a formas

inéditas de ser.79

La teoría critica del presente que somos foucaultiana, se establece en pura praxis, en

tanto que ésta, está encaminada a convertir lo actual en caducado por el acto mismo de

pensarlo (ser actual), siendo además en términos nietzscheanos una ontología genealógica,

una batalla donde "escribir es luchar, resistir, [...], devenir", voluntad de verdad, voluntad

de poder.”80 Más Foucault no espera que de esta anulación del presente, emerja la

creación de una utopía, que sea medida de nuestros parámetros y meta de la acción

transformadora. Más que ello, "el historiador genealógico, conocedor de que todo

programa definido para un futuro equivale a la legitimación previa del presente aún no

llegado, rehuye las teorías instauradoras de totalidad y elige el camino sin fin de las

heterotopias."81 Luego el modelo bélico de Foucault, donde saber y poder se articulan

en el seno de las practicas sociales, <<la ontología de nuestras practicas sociales y por

79FOUCAULT, M. <<El sujeto y el poder>>, citado por HURTADO, Michel Foucault (un proyecto de Ontología Historica). Editorial Librería Ágora. S.A. España. 1994. p. 14. 80 DELUZE, G. Foucault, citado por HURTADO, Op. cit. p. 14. 81 HURTADO, Op. cit. p. 14.

51

ende nuestro ser presente>> buscará la verdad que nos constituye, removiendo nuestro

pasado.

Para esto, el historiador genealógico debe pensar el pasado contra el presente como

afirma Deluze, en aras de un tiempo futuro, o lo que es lo mismo "convirtiendo al

pasado en algo activo y presente a fuera para que por fin surja algo nuevo."82 Que

sería el objetivo supremo de Chevallard en su critica de la epistemología actual y su forma

de tratar las problemáticas relativas a S.

Por otra parte, como señala Hurtado (1994) "La empresa de la genealogía es, por tanto,

Historia y política al mismo tiempo"83, pues se hace política con la verdad que se

investiga. Dejando esto ultimo ver que el proyecto histórico foucaultiano, es ajeno a la

búsqueda desinteresada de la verdad. Pues éste proyecto de genealogía histórica no es más

ya, una reconstrucción objetiva de la realidad, porque (de siempre) el historiador ejerce

el poder de controlar y administrar el pasado bajo la aséptica apariencia del investigador

científico. Luego, para Foucault la historia será praxis que implica efectos de poder, pues

al presentar con presunta imparcialidad y fidelidad a nuestra verdad pasada, establece y

crea nuestra verdad presente84. Con lo dicho hasta este punto, se ve un poco más claro por

que Chevallard en su teoría sistémica de la didáctica de las matemáticas considera que el

descuido de los procesos de transposición de los saberes en provecho de la pura producción

de saber, es criminal.

82DELUZE, G. Op. cit., citado por HURTADO. Op. Cit., p. 15. 83Hurtado, Op. cit., p. 15.

52

Ahora bien, puesto que voluntad de saber y voluntad de poder se articulan en la filosofía

de Foucault, al tomar éste de Nietzsche que:

la moral ha inventado valores para la utilidad de la vida; pero con ello,

pretendiendo imponer valores fundados en la << verdad >>, ha ocultado desde

siempre el sentido mismo de las posiciones de valor, o sea, su arraigo en la

voluntad de poder de individuos y grupos. [...] todo es voluntad de poder. 85

Y como obviamente Chevallard es consiente de tal relación, no resta más que preguntar en

perspectiva chevariana, ¿hacia donde van nuestras sociedades con el tratamiento actual de

los saberes?. La respuesta a este interrogante pide ser dada desde el objetivo mismo de

esta genealogía histórica, como es dictaminar el estado actual del qué somos, creando así

como respuesta a esta pregunta no más que una ficción que invalide el lo que somos para

crear un tiempo futuro. Tal cosa en primera instancia se da desde la escritura de

ficciones que visto desde la óptica de Hermeneutica del sujeto es escribir lo real en

cuanto que todo lo real es construcción y todo es real en el enunciado.

Dando inicio teóricamente a este proyecto, es legitimo equiparar los conceptos "verdad"

nietzcheano y "autenticidad" chevallariano pues, por lo mencionado antes, juntos remiten a

84FOUCAULT, M. Genealogía del racismo, parafraseado por HURTADO. Op. cit. p.16. 85 VATTIMO, G. Introducción a Nietzsche. Ediciones Península. NeXos. Barcelona. 1990. p. 115.

53

la voluntad de poder de un individuo o grupo, llámese cultura o sociedad, además tal

sinonimia también es común en el concepto corriente de verdad.86

Hecho este introito, ahora si se está en posibilidad de estudiar la legitimidad epistemología

que tienen nuestros saberes en la escuela general, pues ésta está dada por la "autenticidad"

que le confiere la autoridad de un autor o su inserción en la historia. Asimismo, de la

filosofía de Foucault sabemos que lo que es considerado como verdad, como autentico,

deja de lejos, de ser una mera propiedad posible en las proposiciones y ajena a los

avatares históricos, pues ésta remite a reglas y relaciones de fuerza que deciden que

proposiciones deben ser tenidas como verdaderas, sucediendo lo mismo con los saberes

que son designados a ser enseñados. Constituyéndose así, el juego de la verdad en

términos wittgestianos en un juego de lenguaje87.

86"¿Qué se entiende habitualmente por "verdad"? Esta palabra "verdad", elevada y al mismo tiempo desgastada y casi hueca, alude a aquello que hace verdadero lo verdadero. ¿Qué es algo verdadero? Decimos por ej.: "es una verdadera alegría colaborar en el éxito de esta tarea". Pensamos: es una alegría pura, real (wirklich). Lo verdadero es lo real. De acuerdo con esto hablamos de oro verdadero a diferencia del falso. El oro falso no es realmente lo que parece. Es sólo una "apariencia" y por tanto irreal (unwirklich). Lo irreal es tenido como lo contrario de lo real. Pero el oro aparente es también algo real. Por este motivo diremos más claramente que el oro real es el oro autentico. "Real" es uno y otro, el oro auténtico no menos que el circulante inauténtico.". GARCIA, E. Ser verdad y fundamento. Ensayos. Monte Ávila editores. Caracas. 1968. p. 62, 63. 87"En el análisis del lenguaje y en la formación de conceptos de las Investigaciones Filosóficas, Wittgenstein utiliza la analogía o comparación: el lenguaje es como una "caja de herramientas", no hay un lenguaje sino "juegos" de lenguaje; la relación de semejanza de los juegos entre sí es como los "parecidos de familia” ... Los juegos de lenguaje (y sus reglas) son "ciegamente aceptados" y se fundan en "formas de vida aprobadas socialmente.". VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre las investigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein". En: Textos, N° 4. Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000. p. 165.

54

Teniendo presente la definición de juego de lenguaje, en la escuela también será posible

crear nuevos juegos de verdad88 que brinden la necesaria legitimidad epistemología a los

saberes que allí se enseñan. ¿Pero como se hará esto?, para intentar dar respuesta a esta

pregunta, se debe mencionar que Nietzsche entendía en un segundo sentido la voluntad de

poder:

la voluntad de poder es hermeneutica: ella, en cuanto modo de ver el mundo como

juego de apariencia y perspectivas en lucha, es una teoría entre otras, es una

interpretación y nada más. ... [Además, y en contra del positivismo, que según él]

se detiene en los fenómenos: [les dice] "sólo hay hechos" - yo diría: no,

precisamente no hay hechos, sino sólo interpretaciones. No podemos constatar

ningún hecho "en si"; tal vez sea un absurdo querer algo por el estilo. "Todo es

subjetivo", decís: pero ésta ya es una interpretación, el "sujeto" no es nada dado,

sólo algo añadido por la imaginación, algo añadido después. ¿Es, en fin necesario

poner todavía al interprete detrás de la interpretación? Ya esto es invención,

hipótesis. >> (7 [60], VIII, 1, 229.)89

Lo que en interpretación de Foucault en Hermeneutica del sujeto será que ningún

enunciado remite a instancia trascendente, pues todo es interpretación. Habrá de apelarse

en la búsqueda de la legitimidad epistemológica de los saberes que se imparten en la

escuela a la verdad y política de verdad que tiene cada sociedad, en tanto que "la verdad

88"Wittgenstein muestra que el lenguaje contiene la posibilidad de otros juegos, de otras frases, de otros discursos: "no hay lenguaje completo, el lenguaje es como una ciudad, está abierto a nuevos usos"(IF 18)." Ibid., p. 166. 89VATTIMO. Op. cit. p. 177.

55

del sujeto hombre, no reside en un cuerpo de enunciados bendecidos por un presunto

criterio científico, sino en la voluntad de saber que los sustenta."90

El método formulado para tal proceso habrá de ser la ontología histórica de Foucault, la

cual no será aquella:

consagrada a instituir esencias formales o materiales - como proponía aún la

fenomenología de Husserl -, o a construir sistemas de conceptos aptos para

aprender las realidades del mundo dadas en su ser incuestionable, la ontología

realizada por Foucault indaga cómo son constituidos, en el seno de las practicas de

cada momento histórico, los objetos, los conceptos [...] y los sujetos mismos,

puestos en circulación por estas practicas.91

Por tanto:

La ontología no es ya reflexión sobre los entes en su verdad, sino << análisis de

los juegos de verdad, de los juegos de verdadero y falso a través de los cuales el ser

se constituye históricamente como experiencia, es decir, como poderse y deberse

ser pensado>>92

De ahí que para Foucault el investigar nuestro ser presente es buscar la política de

verdad, que en el ámbito de la escuela general habrá de ser con respecto a los saberes allí

enseñados, restituir la legitimidad ontológica de los saberes, pues esta tarea se

constituye en buscar la voluntad de verdad que atraviesa nuestra historia y por ende

90HURTADO. Op. cit., p. 18. 91 Ibid., p. 18.

56

indagar por los juegos de verdad o de autenticidad de los saberes y practicas que allí se

enseñan y promueven.

La ontología histórica tiene dos momentos a saber; una ontología del presente "que nos

revela lo que somos (y posiblemente lo que ya estamos dejando de ser)”93 y una ontología

del porvenir "en cuanto apertura ilimitada hacia nuevas posibilidades de ser llamadas

a diferir permanentemente de si mismas.”94 En el mismo sentido, como se ha mencionado

antes, en la filosofía de Foucault poder y saber se articulan, luego también se articulan la

arqueología y genealogía, pues “la arqueología viene a ser una genealogía histórica del

discurso, o sea, <<un método para una genealogía histórica que toma como dominio de

análisis los discursos, los discursos considerados como acontecimientos >>”95

Siendo en El uso de los placeres, donde mejor se ve tal relación, cuando comenta

Foucault que existe una "dimensión arqueológica, que analiza las formas como el

hombre se cuestiona sus propias experiencias de ser, y una dimensión genealógica, que

estudia las practicas discursivas, sociales, políticas, éticas [...] que las motivan y su

modificaciones "96. Y en What is Enlightenment? donde también se encuentra alusión a

esta relación cuando dice: "la ontología histórica es arqueología en su método, que se

92 Ibid., p. 18. 93 Ibid., p. 20. 94 Ibid., p. 20. 95 Ibid., p. 20, 21. 96 FOUCAULT, M. El uso de los placeres, citado por HURTADO. Op. cit., p. 21.

57

cierne sobre instancias discursivas, y genealógica en su objetivo, por abrirnos a la

posibilidad de ir más allá de lo que pensamos, hacemos y somos"97.

En efecto, la historiografía que pretende Foucault será aquella que apele aun

pensamiento sin contradicciones, sin dialéctica sin negación del sujeto, donde el cogito se

funde así "mismo en algo que no sea ni el pensamiento divino ni la conciencia ni la razón

universal"98 que ha sido como aparece en la versión castellana de Eduardo García

Belsuce de los Ensayos, Ser, verdad y fundamento, "El concepto corriente de verdad"

arraigada en una "explicación teológica". Que como consecuencia ha reducido al cogito a

un afuera tejido por reglas discursivas y relaciones de poder, que la arqueo-genealogía

pretende hacer explícitas. Para ello, ésta nueva historiografía se basará en un

pensamiento libre de categorías de identidad, abandonando el viejo principio

epistemológico "del ser consigo mismo y de un logos que pretende conjurar la diferencia

mediante el concepto"99, la cual dirá "si a la divergencia, a la multiplicidad dispersa no

limitada ni reducida por las acciones de lo Mismo."100

Siendo la discontinuidad histórica un resultado del método epistemológico, y no un

presupuesto de ella. En aras de esta tarea la arqueología se constituirá en aquella que

97 FOUCAULT, M. What is Enlightenment?, citado por Ibid., p. 21. 98 Ibid., p. 30. 99 Ibid., p. 30, 31. 100 Ibid., p. 31.

58

"sin miedo a la discontinuidad, destruye el ultimo refugio de la conciencia en cuanto

sujeto de saber y de toda practica histórica [...y al...] sujeto, pero no la historia."101

En síntesis la historiografía de Foucault será aquella que supere el prejuicio continuativo

donde se ofrece el pasado como origen que lleva inevitablemente al presente,

desligándose de los efectos de poder que el implica, todo es voluntad de poder, apuntando

a una historia "que conciba cual serie de cambios calidoscópicos, no disimule las

discontinuidades, sino, antes bien, ponga al descubierto el paso de uno a otro tipo de

saber , de poder y de ser"102. Para ello, la ontología histórica no reconocerá objetos

previos a las practicas que los constituyen sino practicas que en distintos momentos

históricos, acercan objetos que guardan discontinuidad con las practicas de otras épocas.

Rechazando la vía fenomenológica como dice Veyne (1984): volver a <<las cosas

mimas>> como correlato de una conciencia primitiva y constituyente, sin tener en

cuenta que la conciencia misma es constituida en el seno de las practicas sociales.103 Y en

cambio pretenderá “superar la vieja oposición sujeto/objeto para tomar como único dato

primigenio las prácticas históricas , donde se constituyen objetos y sujetos , donde se

constituye nuestro ser presente como sujeto y objeto de las mismas.”104

101 Ibid., p. 31, 32. 102 Ibid., p. 32. 103 VEYNE. Op. cit., p. 235, 236, 238. 104HURTADO. Op. cit., p. 41.

59

2. 7. Problemática curricular

Este concepto que se constituye en la columna vertebral del trabajo a desarrollar, tiene,

según López (1999), en todas sus manifestaciones, un carácter polisémico que le otorga

una impronta problemática.

2. 7. 1. Concepto de Currículum

Sin intentar ser exhaustivos es de anotar que el concepto de currículo hizo su aparición

por vez primera en 1918 con la obra de F. Bobbitt, The Currículo ; a partir de allí, según

López (1999), “la proliferación de análisis, definiciones, concepciones, argumentaciones,

ha sido la característica fundamental de este campo conceptual.”105

Pese a ello, según este mismo autor, en las diferentes explicitaciones con respecto al

concepto de currículum, se pueden observar lugares comunes en las mismas, entre otros,

los siguientes:

Asumen una visión socio – política específica sobre la educación.

Concretizan una concepción sobre el conocimiento y su intencionalidad.

Explicitan una posición frente al cambio.

Caracterizan al estudiante y obviamente a la escuela.

Comportan un discurso regulativo y un discurso instruccional.106

De hecho para este mismo autor, si analizamos la “intencionalidad del currículum” ,

podría señalarse:

105LÓPEZ, N. Tendencias actuales del desarrollo curricular en Colombia. Instituto Tecnológico Metropolitano. Escuela de pedagogía. Ediciones ITM de la tekhne. N° 2 * 1999. p. 43.

60

que toda estructura curricular comporta una estructura de poder y de control, que

con frecuencia se oculta, se ignora, pretendiendo negar su esencia histórica, social y

crítica.

Todo proceso curricular maneja relaciones de poder, principio de control, crea

divisiones, genera relaciones sociales, se establecen principios jerárquicos, se dan

principios de comunicación, entonces bien podría preguntarse ¿cuál es la

intencionalidad del currículo?.107

Según López (1999) estudiosos de la problemática curricular han intentado una

sistematización y clasificación de las intenciones curriculares. Las cuales él interpreta así:

Se afirma que el currículo tradicional se caracteriza por una obsesión marcada

por los contenidos, el currículo denominado tecnológico centra su atención en los

objetivos; Polán afirma que el currículo centrado en el estudiante puede

catalogarse como espontaneista; Magendzo habla de el currículo de re-

construcción social, toda vez que advierte el carácter problematizador del diseño,

desarrollo y de la evaluación curricular.108

De lo anterior y retomando algunas palabras de este autor, resulta importante preguntarnos

por las obsesiones o pasiones que cada uno de nosotros tiene acerca de lo qué es un

currículum, y desde donde las defendemos, ya que estas son las guías de nuestra practica

docente. Por ello y sin animo de tomar una postura particular al respecto, cito algunas

acepciones y definiciones de lo que es un currículo.

Caswel y Campbell (1935) dicen que el currículo es un conjunto de experiencias

que los alumnos llevan a cabo bajo la orientación de la escuela. Según Bestor (1958)

el currículo es un programa de conocimientos verdaderos, válidos, esenciales, que se

transmiten sistemáticamente en la escuela para desarrollar la mente y entrenar la

106 Ibid., p. 44. 107 Ibid., p. 22.

61

inteligencia. Inlow (1966) dice que el currículo es el esfuerzo conjunto y planificado

de toda la escuela, destinado a conducir el aprendizaje de los alumnos hacia

resultados de aprendizaje predeterminados. Jonson (1967) el currículo es una serie

estructurada de objetivos del aprendizaje que se aspira a lograr. Wheeler (1967) el

currículo son las experiencias planificadas que se ofrecen al alumno bajo la tutela de

la escuela. Stenhouse (1981) un currículo es una tentativa para comunicar los

principios y rasgos esenciales de un propósito educativo, de forma tal que

permanezca abierto a discusión crítica y pueda ser trasladado efectivamente a la

práctica. Dieuzeide (1983) el currículo una organización sistemática de actividades

escolares destinadas a lograr la adquisición de un cierto número de conocimientos.

Zabala (1987) el currículo es el conjunto de los supuestos de partida, de las metas

que se desea lograr y los pasos que se dan para alcanzarlas; es el conjunto de

conocimientos, habilidades, actitudes, que se considera importante trabajar en la

escuela año tras año.109

108 Ibid., p. 57. 109SECRETARIA DE EDUCACIÓN DISTRITAL. [en línea] http://www.redacademica.edu.co/redacad/export/REDACADEMICA/ddirectivos/inspeccion__vigilancia/archivos/COMPONENTE_PEDAGOGICO_ED_NO_FORMAL.doc

62

3. ANALISIS DEL QUE SOMOS ACTUAL, VISTO DESDE EL TR ATAMIENTO

QUE SE HA DADO DE LA DERIVADA DESPUES DE SU INCLUSIÓN EN LOS

PROGRAMAS OFICIALES.

3. 1. Introducción.

El texto escolar según Escolano (1997) es el objeto esencial de la escuela tradicional y la

representación de todo un modo de concebir y practicar la enseñanza, asimismo, según

él, es:

un espejo que refleja en sus marcos materiales los rasgos de la sociedad que

produce, la cultura del entorno en que circula y la pedagogía que a modo de

sistema autorreferente, regula sus practicas de uso. Acceder al examen de este

exponente de la cultura material de la escuela, de la clásica y de la moderna, es

pues introducirse en uno de los núcleos sistemicos de la organización de la

enseñanza.110

De hecho según advierten Peña (1986) en su ensayo La importancia del libro de

texto111, los textos son soportes del currículo, en tanto son una representación del

conocimiento académico que las instituciones transmiten, un modelo deductivo de la

ciencia y de la cultura dispuesto conforme a los órdenes y géneros textuales identificados.

Más aun, el texto escolar más que una estructura del currículo es “un espacio de

memoria del grupo social que lo produce, que recoge como en un espejo el imaginario

colectivo de la cultura dominante en una época determinada, y también como la huella

110 ESCOLANO, B. Historia ilustrada del libro escolar en España del Antiguo Régimen a la segunda República. Madrid. fundación G. S. Ruipérez / Pirámide. 1997. p. 1.

63

o señal de los modos y procesos de comunicación pedagógica, esto es, el simulacro de

la racionalidad didáctica que implemente la gestión de clase”112. En consecuencia, los

libros de texto son una representación del mundo que los escribe y de la cultura que se

los apropia, es decir de la cognición de sus autores y de sus usuarios.

Dado este carácter que guardan los libros de texto con los discursos y practicas que los

producen, daré inicio al presente trabajo a partir del análisis de algunos de los textos

escolares que han servido para enseñar el concepto de derivada a más de cinco

generaciones de colombianos.

3. 1. 1. Primer libro de texto destinado a la enseñanza del cálculo

El texto Lecciones elementales de geometría y calculo quinto y sexto de Bachillerato

de Hernando Bedoya Fernández, que apareció publicado bajo la casa editorial Bedout de

Medellín en 1966, es el primer libro de texto a nivel escolar de Colombia, reflejándose

ello significativamente en el rol que le otorga el autor, al enmarcarlo en el anhelo “de

redactar un texto simple que sirviera de orientación, tanto a profesores como

estudiantes de la nueva asignatura”. Anhelo este que distó mucho de ser original, más

que ello fue la realización de una idea que había lanzado el M.E.N. en el nuevo programa

de matemáticas, a mediados de 1962, a los estudiantes de la especialización en

matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Antioquia.

La cual, según dice el autor, fue recibida por los estudiantes de la especialización con gran

entusiasmo, pero por razones que él no explica, nunca se tornó en realidad, convirtiéndose

este hecho en la principal causa que llevó a Bedoya (1966) a escribir el mencionado texto,

donde él, según sus propias palabras, para poder satisfacer una necesidad del bachillerato

de la época da un enfoque sencillo de esta rama de las matemáticas, que a su criterio,

111 PEÑA, L. La importancia del libro de texto. En: El educador. Bogotá. N° 7. * 1986. p.14 –20. 112 ESCOLANO, Op. cit., p 1.

64

consiste en suprimir algunos apartes del cálculo que le parecen muy complicados para

los estudiantes regulares, a los cuales dirige el texto, e incluyendo algunos temas que

anteriormente había suprimido en apéndices que deja al criterio del profesor el ser o no ser

enseñados.

Con respecto a la estructura del texto, este consta de dos partes; en la primera se ocupa del

tema de la Geometría Analítica, correspondiente al programa de quinto año de bachillerato

de la época. Y en la segunda, del Cálculo Infinitesimal, correspondiente al programa de

sexto año. Las dos partes integrantes del texto guardan entre si, como dice el autor,

alguna independencia, ya que los contenidos presentes en cada una de ellas pueden ser

enseñados de forma independiente a los presentes en la otra. Sin embargo, esto no es del

todo cierto, baste para ello ver la primera parte del texto en el capitulo II, el cual se refiere

a funciones y sus gráficas para notar que este es un claro requerimiento para la segunda

parte del texto.

Con respecto al tratamiento que se da allí de los temas, estos están divididos en capítulos

que guardan entre sí una estrecha concatenación desde el punto de vista disciplinar, con una

notoria inclinación formal que se percibe en la forma en que son presentados los temas y en

la manera como el autor propone al docente evaluar los temas de cada capitulo,

sugiriendo ejercicios estrictamente del orden matemático y sin ninguna aparente aplicación

práctica.

De ahí la siguiente conclusión, en los primeros años de la enseñanza del cálculo a nivel

escolar fue innegable la ausencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para

pensar los procesos de su enseñanza, ya que además de ser este texto el primero de su tipo

en Colombia, fue objeto de siete ediciones distintas, conocidas por el investigador, en las

cuales pocas cosas cambiaron más que su prologo.

3. 1. 2. Los años setenta, variedad de publicaciones y nuevos enfoques.

65

Acerca de la temática que nos ocupa, el decenio de los 70´s, fue especialmente interesante,

dado que en ella irrumpen gran variedad de nuevos títulos que tiene como fin la enseñanza

del Cálculo a nivel escolar, un ejemplo de ello son textos como; Cálculo 6º. Curso:

educación general básica, libro de consulta para el área de matemáticas (1971),

Curso de Cálculo programado (1975), Matemáticas en acción 6 (1976) y Lecciones de

Matemática para los cursos superiores del Bachillerato (1977). De estos títulos, hay

dos especialmente interesante, a saber; Matemáticas en acción 6 y Lecciones de

Matemática para los cursos superiores del Bachillerato.

Matemáticas en acción 6, es un texto que sobre sale, más que por su estrategia didáctica o

por el enfoque que allí es dado de la derivada, porque en su confección participó una de las

mujeres más conocedoras actualmente de la historia, la epistemología y de la filosofía de

las matemáticas María Falk de Losada. No obstante, este texto en el orden de la enseñanza

es un texto innovador, al introducirse allí un enfoque del Cálculo basado en una concepción

funcional, ya que, según palabras de los autores, desde esta perspectiva se puede

comprender mejor el Cálculo diferencial y el Integral, así como otros aspectos

fundamentales de las matemáticas.

Tal orientación es fácilmente reconocible a partir de la estructura que los autores imprimen

al texto, dedicando la primera unidad de esté al tema de funciones, la segunda a

sucesiones, tema este que al igual que el de funciones ven de suma importancia para el

estudio posterior de limites de funciones, la tercera unidad, por su parte tiene la finalidad,

como claramente es expuesto por los autores en el prólogo de dicho texto, de afianzar y

mecanizar el cálculo de las derivadas. Aspecto este último que pone al descubierto una

cierta tendencia utilitaria, al privilegiar allí un tratamiento puramente útil del concepto de

derivada, basado esencialmente, en como ellos mismos dicen; la mecanización del cálculo

de derivadas.

Por otra lado, el texto Lecciones de matemática para los cursos superiores del

bachillerato, de Hernando – Camargo, profesores de la Universidad Pedagógica Nacional

66

de Colombia, es un texto en el que, según sus propios autores, se hace énfasis en los

conceptos de relación, función y aplicación, utilizando una nomenclatura conjuntista a

todo lo largo del texto, simplificando al máximo la notación simbólica para facilitar su

lectura.

Acerca del tema del Cálculo, allí mismo se dice; que es solamente introductorio; se dan las

nociones de límite, continuidad, derivada e integral, de manera intuitiva y con aplicaciones

geométricas y físicas interesantes.

Si bien, estos dos textos marcan alguna diferencia con respecto al texto de Bedoya (1966),

al introducirse tanto en uno como en el otro algunas aplicaciones de la derivada como son:

el trazado de curvas y problemas de máximos y mínimos. También allí es sobre valorado el

carácter útil del Cálculo. Acerca de lo cual, esto permitiría pensar que la orientación

fundamental de estos dos textos es la formación de futuros estudiantes de ciencias

aplicadas, tecnológicas o ingeniería.

En relación con este ultimo aspecto, los dos textos comentados pese a introducir, cada uno

de ellos a su manera una presentación funcional del Cálculo que para la época era una

propuesta innovadora, y brindar un enfoque aplicado del concepto de derivada, debe

decirse; que en estos dos textos no se logra superar la presentación puramente disciplinar

de la derivada, cayendo en la misma dinámica que tuvo en la década anterior el libro de

Bedoya (1966), es decir, en estos dos no se apela a la historia o a la epistemología de los

conceptos allí explicados para su enseñanza. Esto tal vez a causa de que aún no se

reconocía en los contextos educativos colombianos la importancia que tiene en la

enseñanza de un saber particular su historia y epistemología.

3. 1. 3. Los ochentas, continuidad en la concepción utilitarista de la enseñanza del

concepto de derivada

67

Acerca de esta época antes de iniciar el comentario acerca de algunos de los textos

utilizados para la enseñanza de la derivada, debe señalarse como dato acerca del estado de

las publicaciones de cálculo a mediados de esta década, que la Biblioteca Luis Ángel

Arango de Bogotá en sus existencias de textos de Cálculo en la sala Colombia contaba con

apenas seis títulos de los cuales ninguno pertenecía a la década en cuestión y dos de ellos

eran el texto de Bedoya (1966) anteriormente comentado.

En este decenio en líneas generales no se presenciaron cambios significativos en la manera

como era enseñada la deriva en contextos escolares. Textos como Cálculo diferencial e

integral de Frank Ayres, JR. y Cálculo de Roland E. Larson y Robert P. Hostetler,

conservaron el espíritu que tuvo en la década pasada los textos de Falk (1976) y de

Hernando – Camargo (1977), siendo el ejemplo más excelso de dicha concepción el texto

Calculo diferencial e integral de Frank Ayres, Jr. el cual es un libro de teoría y

problemas resueltos que tiene como finalidad:

proporcionar a los alumnos que inician sus estudios de cálculo una serie de

problemas representativos, resueltos con todo detalle. Por sus características será

asimismo de gran utilidad para los estudiantes de ciencias e ingeniería que

necesiten consultar o repasar conceptos fundamentales de la teoría y encontrar el

modo de resolver ciertos problemas, relacionados con alguna aplicación practica.

Comentario este que Frank Ayres, JR. incluye en el prólogo de la segunda edición, y que

sintetiza muy bien la finalidad del mismo.

Que existan textos como este, <<con una marcada inclinación pragmática>>, se explica

en principio, posiblemente gracias a que el Cálculo como rama de las Matemáticas, nació y

se ha desarrollado a la par de sus aplicaciones practicas, y a que es una ineludible necesidad

de nuestras sociedades tecnológicas, el privilegiar el carácter puramente útil de algunos

saberes con altas potencialidades practicas. No obstante, el que estos textos sean tomados

en la escuela como libros de enseñanza lleva al extremo planteamientos como los de

68

Santos (1995), acerca de la utilidad para la enseñanza de un saber, de algunas de sus

aplicaciones. Trivializando los saberes que son presentados así, al dar mayor énfasis a su

aspecto practico en el orden disciplinar y al suprimir la infinidad de dificultades que

dieron sentido a la existencia de dicho saber.

En lo relativo al texto de Roland E. Larson y Robert P. Hostetler, este libro que es

escrito por dos maestros de The Pennsylvania State University, y que es traducido por

Eugenio Olmedilla, profesor titular de Métodos matemáticos de la universidad

Complutemse de Madrid, y que a su vez, es revisado y adaptado por Jorge E. Pérez

Alcázar Magister en matemáticas de la U. P. N., tal como se menciona en la nota del

editor reúne autores de trayectoria mundial en el ámbito de la enseñanza de las

matemáticas que Mc. Graw – Hill congregó buscando con ello más que dar

cumplimiento al programa del M. E. N. para undécimo grado, hacer que este programa

tenga las especificaciones técnicas, metodologías y pedagógicas que garanticen un

aprendizaje real, objetivo y con aplicaciones que posibiliten al estudiante la

interiorización y manipulación de las formulas matemáticas, que le permitan escoger

una carrera universitaria relacionada con la ciencia matemática sin que se vean

amenazados por ella.

Para tal fin, según se plantea allí mismo, se proyectan algunas innovaciones como el

enunciar las definiciones y teoremas de forma simple sin por ello sacrificar la

rigurosidad, incluyendo solo aquellas demostraciones que consideran útiles para el

estudiante que inicia el curso de Cálculo infinitesimal, la presentación de aplicaciones

las cuales buscan ser más integras con el tema al cual corresponden y que requerirán el

mínimo de conocimiento de otra disciplina, ejercicios que progresivamente van

aumentando su grado de dificultad, hasta demostraciones y aplicaciones acerca del

tema. Así como la inclusión de “Notas Históricas” las cuales pretenden mostrar al

estudiante las personas que intervinieron en el desarrollo del calculo infinitesimal y la

naturaleza de los problemas a que se enfrentó en cada momento.

69

Al respecto de esta ultima innovación, debe decirse, que el tipo de historia que es

utilizado allí es más de tipo enciclopédico y en algunos aspectos biográfica con las

consecuentes dificultades que tiene esta forma de presentar la historia con relación al

saber, pues como es bien sabido;

“<<La elección relativa del historiador se da siempre entre una historia

que informa más y explica menos y otra que explica más e informa

menos. La historia biográfica y anecdótica, que ocupa un lugar muy bajo

en la escala, es una historia débil que no contiene en sí misma su propia

inteligibilidad, pues la alcanza solamente cuando se transporta, en bloque,

al seno de una historia más fuerte que ella; sin embargo, nos

equivocaríamos si creyéramos que estos ajustes reconstituyen

progresivamente una historia total, pues, lo que se gana de una lado, se

pierde de otro. La historia biográfica y anecdótica es la menos explicativa,

pero es la más rica desde el punto de la información, puesto que considera

a los individuos en su particularidad y detalla, para cada uno de ellos, los

matices del carácter, los rodeos de sus motivos, las fases de sus

deliberaciones. Esta información se esquematiza, llegando a desaparecer,

cuando se pasa a historias cada vez más fuertes.>>”113

es decir, historia biográfica tiene la virtud de albergar un gran contenido de información,

a expensas de descuidar la especificidad, que es el campo en el cual es invocada en dicho

texto.

Asimismo, con respecto a la historia que es utilizada en este texto para develar la

naturaleza de los problemas a los cuales se enfrentó en su desarrollo el Cálculo

infinitesimal, en este texto se cae en la arbitrariedad de generalizar las practicas previas

al cálculo con la practica misma que se dio en llamar Cálculo, después de dos milenios

y medio de evolución.

70

Así pues, el enfoque que en este texto se hace de la historia como herramienta didáctica

para pensar la enseñanza del Cálculo es bastante precaria. Quedándose tan solo en el

ámbito de la pura información, al carecer de un hilo conductor claro que brinde un

perspectiva de su evolución histórica. Asimismo se queda en el mero afán de apoyar el

programa curricular de dicho año al olvidar la segmentación, los cortes, las

discontinuidades y las génesis ficticias que la transposición didáctica erige a su

alrededor para hacer posible la enseñanza en contextos escolares del saber matemático

derivada y de los conceptos asociados a ella.

3. 1. 4. Los noventas, el sueño de un país nuevo

La edición de libros de texto en el área del Cálculo en la década de los 90´s contrasta

significativamente con la de las dos décadas anteriores, textos como el de Julio A. Uribe

Cálad, Matemática una propuesta curricular, el cual como su nombre lo sugiere plantea

una propuesta curricular que tiene en cuenta las reformas que en 1990 venían

implementando el M.E.N. Si bien, como propuesta, este texto parte de una realidad a

todas luces evidente: “Una de las mayores dificultades que encontramos los profesores

de matemáticas es lo heterogéneo que son los grupos de estudiantes”, que, visto desde la

nota del autor, es un gran avance con respecto a textos de décadas anteriores, donde se

privilegiaba la enseñanza del concepto de derivada desde un enfoque básicamente

pragmático y utilitario, dejando de lado los intereses del estudiante en relación a los

saberes allí presentados.

113 VEYNE, Op. cit., p. 21.

71

En relación a este ultimo aspecto, aunque este autor desde la disciplina misma del Cálculo

brinda una estupenda herramienta tanto de enseñanza como de aprendizaje del mismo, su

visión acerca de los grupos de estudiantes es simplista, al concebir la heterogeneidad en los

grupos de estudiantes en términos de que hay estudiantes que les gusta la matemática y

otros a los que no, acentuando tal diferenciación al decir que su texto esta especialmente

dirigido a “algunos alumnos [que] traen buenas bases, les gusta la materia y están

motivados” cayendo en el mismo remedio que tuvo a bien tomar Bedoya (1966) en su ya

citado texto. De dejando para los otros, que por supuesto no tiene buena aptitud para las

matemáticas y no están motivados, “solo algunos contenidos – los estrictamente básicos -”,

o sea lo estrictamente exigido por el currículo.

Por otro lado, debe decirse acerca de la década en que se circunscribe este texto, que en

la primera parte de ella se asistió a un hecho de suma importancia en el orden social y

político de Colombia tal como fue la Carta Magna de 1991. Teniendo amplias

repercusiones en educación ya que ella “generó en torno al tema de la educación un

movimiento social nunca visto en la historia del país. La sociedad colombiana entendió

el papel de la educación en el desarrollo de los pueblos”114 y más en concreto en

aquellos momentos de cambio por los que atravesaba Colombia y aun sigue atravesando.

Teniendo como cúspide de dicho movimiento la sanción y promulgación, bajo el

gobierno de Cesar Gaviria, de la Ley general de educación el 8 de febrero de 1994.

114CARRO, L. Historia del debate. En: Ley general de educación, Alcances y Perspectivas. Fundación Social. Área de educación / Tercer Milenio educación para la nueva época. Colombia. 1996. p. 51.

72

Ley esta que cambió significativamente el ceño de las publicaciones en matemáticas a

nivel escolar y abrió otros escenarios de debate acerca de la educación en matemáticas

con las comisiones que redactaron los Lineamientos curriculares en matemáticas de

1998, en donde al igual que en la Carta magna y en la Ley general de educación se

reconoció que el estado de la educación de un país es el reflejo de lo que el país es y

viceversa. Es decir, a partir de estos tres hechos históricos acaecidos en la década pasada,

es priorizada la “intima relación existente entre sociedad y educación”115 y la

importancia estratégica que tiene la “educación como instrumento para la puesta en

práctica de un proyecto social” 116 que no es otro sino el que es propuesto en el preámbulo

de la nueva Carta magna.

Autores como Téllez (1996) interpretan dicho proyecto social como la ficción de “un país

diferente cimentado en valores, con base en la paz; solidaridad, la convivencia y la

participación” el cual tiene como ayudas en su consecución artículos como el 8° y el 10°

que atestiguan acerca de la riqueza cultural y natural de la nación idiomas, lenguas y

dialectos, el 27° acerca de la libertad de enseñanza y aprendizaje, investigación y cátedra,

el 67° acerca de la función social de la educación y el 366° la educación como objeto

fundamental del Estado así como otros en donde se reconoce el carácter multiétnico y

pluricultural del Estado colombiano.

115TÉLLEZ. J, Claves de lectura y proyección de la nueva Ley general de educación. En: Ibid., p. 64. 116 Ibid., p. 64.

73

La educación de hoy y del futuro somos nosotros mismos, cada uno de nosotros.

La educación no es sólo para los que vienen detrás, es para los que día a día

hacemos país. La educación no es un asunto ajeno; es un problema y un propósito

que nos concierne individual y socialmente porque somos nosotros mismos

quienes vivimos y sobre llevamos las lacras de este país, quienes lo hacemos

cotidianamente tal como es y quienes lo disfrutaríamos si fuera mejor.117

Así el papel que desde la ley es dado a la educación a partir de la década pasada es el de

ayudar a la construcción de este nuevo país. Para ello la ley pretende la humanización de la

educación a través del reconocimiento de la pluralidad y multidimencionalidad de la

persona humana, al privilegiar la formación en valores a la pura formación académica

pragmática y utilitaria de décadas anteriores.

Apartir de este momento en la historia de la educación en Colombia es reconocido el status

de sujetos históricos a los individuos beneficiarios de dicha Ley, que en este caso es todo el

pueblo colombiano, al pensarlos como sujetos que constituyen cultura y sociedad, y al

concebir a la educación como el proceso coayudante en la formación de la personalidad

del sujeto, por ello es quizás, parafraseando a Chevallard (1991), que el descuido por

parte de la sociedad de los saberes al privilegiar su pura producción se constituye en un

hecho criminal, de ello estaban ampliamente convencidos los integrantes e instituciones

participantes en la construcción de los Lineamientos curriculares en matemáticas.

117 RODRÍGUEZ, M. Para leer la Ley de educación. En: Ibid., p. 94.

74

Convencimiento este que se hace evidente en algunas secciones como la dedicada a

Elementos conceptuales en la formación de maestros, donde se al respecto se dice: "el

futuro maestro debe recibir una formación intrínsecamente interdisciplinaria distinta a la

que se ha venido realizando ... Así pues, por ejemplo, un curso de cálculo debe incluir

su historia, su epistemología, su didáctica"118, lo cual y aunado con los comentarios

anteriores de algunos libros de cálculo previos a la Ley general de educación y a los

Lineamientos mismos, permite afirma que la enseñanza de la matemática escolar hasta

dicho momento se ha hecho sin hacer uso de la historia y la epistemología de la misma, y a

su vez es presumible, dentro del contexto en que se inscribe dicha cita Hacia una política

de formación de maestros, que el docente que se ha venido formando en las facultades

de ciencias y educación colombianas es un maestro el cual no hace uso para la enseñanza

de la matemática, de su historia y epistemología.

En consecuencia es un docente que con dificultad puede "Comprender y asumir los

fenómenos de la transposición didáctica."119 Que es otro de los tópicos involucrados en el

uso didáctico de la historia en la enseñanza de las matemáticas y también uno de los

preceptos básicos de las nuevas "concepciones acerca de las matemáticas escolares."120

En síntesis, la carencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensar

los procesos usuales de enseñanza de las matemáticas es un fenómeno el cual no solo es

118 M.E.N. Lineamientos, Op. cit., p. 124. 119 Ibid., p. 29.

75

puesto a la vista en el presente trabajo, sino que ha sido observado por las Instituciones

participantes en encuentros convocados por el grupo de matemáticas para la

construcción de los lineamientos121, en sus distintas disertaciones en el ámbito de

Referentes curriculares y Elementos conceptuales en la formación de maestros,

como también, por teóricos de la transposición didáctica tales como Chevallard.

3. 1. 5. Libros de texto usados para la enseñanza del Cálculo después de la Ley general

de educación y los Lineamientos curriculares

Teniendo presente el panorama observado en la enseñanza del Cálculo a nivel escolar en las

cuatro primeras décadas después de su inclusión en los programas de educación secundaria,

es apropiado estudiar que sucedió después de la publicación de la Carta magna, la Ley

115 y los Lineamientos curriculares en matemáticas, para ello analizaremos el texto Alfa

11, Serie de Matemáticas para educación básica secundaria y media vocacional de

Vladimir Moreno Gutiérrez y Mauricio Restrepo López. Del Grupo editorial Norma

educativo. 2000. Y el texto Elementos de Cálculo –Reconstrucción para el aprendizaje

y su Enseñanza de Patricia Salinas, Juan A. Alanis, Ricardo Pulido y Francisco Santos.

Del Grupo Editorial Iberoamericana, S.A. de C. V. 2000.

Acerca del primer texto, la presentación que se hace en este de las diferentes lecciones

se basa, como dicen los autores, en la relación concepto - aplicación. La cual vista desde

120 Ibid., p. 29. 121 Ibid., p. 3.

76

la didáctica de la matemáticas indiscutiblemente aporta en la enseñanza significativa de

los conceptos a enseñar. Sin embargo, el desarrollo que se hace en este texto de dicha

relación es precaria, pues solo se limitan a incluir para tal fin en la apertura de cada

unidad tres matices acerca del concepto a enseñar: ¿Cómo surgió?, Me preparo y ¿En

que se aplica?. Haciéndose en el primero, como dicen los autores, una “Lectura corta y

motivante que hace referencia a aspectos interesantes relacionados con la historia de

la matemática, que te ubica dentro de los temas a desarrollar en la unidad”. En el

segundo se presentan ejercicios matemáticos variados previos a los nuevos conceptos a

enseñar. Y en el tercero se resalta la importancia que tienen estos conceptos en la vida

diaria.

Lo cual recordando nuevamente el papel que tiene los libros de texto como reguladores

de los currículos permite fácilmente observar que no se esta haciendo un uso didáctico de

la historia y de la epistemología de las matemáticas para su enseñanza, en contradicción

con lo consagrado en la Ley. Cabria preguntarse ¿a qué se debe tal incongruencia entre

lo expuesto en la ley y lo que se hace en la escuela a través de los libros de texto y por

ende por los docentes?, tal contradicción puede ser contestada desde una frase

premonitoria de Estanislao Zuleta al llamado a asamblea constituyente:

No es lo que declaren en la carta constitucional sino las relaciones

sociales, la manera como vive la gente; una sociedad vale tanto como las

77

relaciones que tienen los hombres unos con otros y no tanto lo que diga

algún papel, así sea la Constitución."122

Acerca del segundo texto, según explican sus autores en la introducción a dicho texto:

La idea central que subyace a la elaboración de este texto es la siguiente:

ofrecer una presentación de los contenidos matemáticos que resulte ser una

manera más cercana a su surgimiento natural. Nos referimos a que

estamos buscando enfatizar el origen de los contenidos matemáticos en la

necesidad de resolver problemas reales. (p.1).

Para ello, como proponen sus autores, se acude al uso de situaciones problemáticas como

plataforma o pretexto para generar aquel ambiente propicio en el que el estudiante

pueda interactuar con las ideas fundamentales del Cálculo.

Las situaciones – problema que se utilizan para esto son:

Predecir la posición de un objeto que se mueve en línea recta con cierta

velocidad...

Deducir la formula de la distancia recorrida por un objeto en caída libre.

Calcular la masa de una varilla, conociendo su densidad...

122ZULETA, E. Democracia y participación en Colombia. En: Revista foro. Bogotá. N° 6 * Jun. 1988. p.106.

78

...Construir una fórmula para calcular longitudes de arco, o áreas de

regiones planos, o volúmenes de sólidos de revolución.

Optimizar valores de una magnitud de interés...

...Predecir el valor de una magnitud de interés. (p. 1-2).

Situaciones todas estas que como bien dicen los autores comparten algo en común, el

hecho de que su solución requiere de parte del estudiante captar la relación que guarda

una magnitud con su razón de cambio. Ofreciendo una amplia gama de aplicaciones

posibles para el contenido matemático que es allí tratado. Sin embargo, el éxito en la

construcción de los Elementos del Cálculo, según plantean sus autores, esta supeditado o

mediado a la realización de una reflexión y análisis sobre dichos problemas y sus

relaciones.

Al respecto debe decirse que la propuesta que plantea este texto para la enseñanza del

Cálculo es cercana al del uso didáctico de la historia para la enseñanza de la matemática.

3. 2. Uso de la historia como apoyo didáctico en el currículo

Teniendo presentes las anteriores consideraciones, es oportuno discurrir acerca del papel de

la historia en el currículo, más aun cuando es presumible, que en los textos, entes

reguladores del currículo no se hace un uso didáctico de la historia para la enseñaza del

Cálculo y por ende de la derivada.

El término currículo tiene y ha tenido numerosas acepciones y definiciones, por eso algunos

autores lo definen como un término polisémico. Como así lo indica las distintas

definiciones que se han dado de él a lo largo de su historia.

Pese a esto, hoy día esta consensuado en nuestro sistema educativo que:

79

El currículo es el conjunto de criterios, planes de estudio, metodologías y procesos

que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad

cultural nacional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos,

académicos y físicos para poner en practica las políticas y llevar a cabo el

proyecto educativo institucional.123

De hay que sea algo ambiguo disertar en materia de currículo en general, acerca de la

incorporación a éste de la historia de los saberes que están en el presentes. Sin embargo,

existe un valioso estudio realizado en el marco del Seminario Orotava de Historia de la

Ciencia, donde se plantea Un currículo para el estudio de la historia de la ciencia en

secundaria. Allí se realiza un diagnostico acerca de las consecuencias para el escolar del

como se ha venido tratando los saberes presentes en los programas académicos en la

actualidad. Por su importancia y pertinencia para la presente investigación citare en su

totalidad dicho texto.

Introducción

El estudio formalizado de los saberes científicos, tal y como se plantea en

los programas académicos en la actualidad, presenta una serie de graves

inconvenientes. En primer lugar, su desconexión, obliga al alumnado a

tratar las distintas materias como si fueran unidades aisladas en si

mismas. El saber aparece así desvertebrado y atomizado ante la mente del

estudiante sin que éste tenga, en ningún momento, la oportunidad de

entrever una visión global de conjunto.

A través de esta percepción, su intelecto se va organizando en parcelas

autónomas, carentes de la necesaria conexión y relación. La

disciplinariedad se convierte así en un ámbito deformado de entender la

123 Decreto 230 de 2002, febrero 11. Capitulo 1. Articulo 2.

80

cultura y la realidad, carente de coherencia y sentido global. Es lo que se

denomina el cierre de la mente moderna, caracterizado por la incapacidad

para trascender el aislamiento y las particularidades disciplinarias.

El segundo de los inconvenientes proviene de la tendencia a convertir las

ciencias en simples saberes operativos. El carácter funcional y practico

que el saber científico tiene en nuestras sociedades pivota sobre la

operatividad del mismo y, en correlación con ello, el profesor tiende a

que el alumno aprenda primariamente a operar y formular y sólo

secundariamente a comprender. Las consecuencias inmediatas de tal

quehacer generan en los estudiantes una carencia de flexibilidad y de

profundidad reflexiva y una abundancia de mecanización y memorización

cuyo resultado último es la perdida del sentido del aprendizaje, el alumno

pierde el sentido al carecer de una perspectiva global, aquí lo pierde al

carecer de los mecanismos de comprensión y explicación para su hacer. Se

convierte de este modo en un mero peón de resolución de problemas

concretos. Se ahonda aún más el cierre de su mente.

El tercero es que, si bien explícitamente no se enseña la historia de la

ciencia como tal, implícitamente aflora a través de los distintos contenidos

y lo hace, en la mayor parte de las ocasiones, de forma inconexa y errada.

Se transmiten así visiones deformadas difíciles de erradicar posteriormente

y que acaban consolidándose como estereotipos o concepciones

ideológicas alienantes.

El carácter dado, formalizado y terminal con el que es presentado el

corpus científico, junto a los atributos de certeza y objetividad atribuidos a

la ciencia, configuran ésta como algo absoluto y cerrado. Prestigio, verdad

y objetividad desliza hacia el dogmatismo. La ciencia se transforma así en

un sustitutivo de las religiones en las sociedades tecnificadas.

81

Finalmente, la parcelación de los conocimientos, la ausencia de

inteligibilidad y de sentido y esa perspectiva deformada coadyuvan a

impedir que el alumno adquiera una visión clara y comprensiva de lo que

es una ciencia. Una de las consecuencias más evidentes de tal impotencia

es el enorme auge y crecimiento, en nuestros días y especialmente entre la

juventud, de las creencias en las pseudociencias, los fenómenos

paranormales, la magia y el ocultismo. La mente del alumno busca

explicaciones de conjunto a preguntas que son explicables desde la

ciencia pero que habitualmente no se abordan. La formalización y el

mecanicismo no satisfacen la inquietud de los jóvenes. Sólo una

intelección viva, dinámica, cualitativa e imaginativa puede frenar el rápido

avance de aquellas.

El uso de la historia de la ciencia como modo de enseñar la ciencia.

El diagnostico hecho en la introducción exige diseñar una estrategia

terapéutica que parte de la convicción de que, por un lado, la única forma

de aprender (y enseñar) de modo significativo descansa en la aprehensión

de la génesis y evolución de los conceptos científicos y, por otro, de la

conciencia clara de que éstos pertenecen la mundo de la historia y de la

cultura (¿podría alguien mantener que la geometría griega no tiene nada

que ver con los ideales de belleza y armonía d esta sociedad?, ¿o que la

revolución científica culminada en Newton no tuvo impacto alguno en la

idea de progreso que abanderó la Ilustración?, ¿se atrevería alguien a

negar las repercusiones que sobre la ética, la economía, la política o la

filosofía de nuestro siglo tienen las revoluciones cuántica, relativista e

82

informática?). La aceptación de estas ideas no implica, sin embargo, que

sean utilizadas por el profesorado en su practica educativa diaria. Las

razones hay que buscarlas en su incapacidad para hacerlo porque él

mismo es un producto de una educación fragmentada y especializada.

Una aproximación histórica a las ciencias implica, pues, un giro radical en

la forma de concebir éstas y en el modo de presentarlas y plantearlas al

estudiante.124

124 HERNÁNDEZ, M. * PÉREZ. J. Un currículo para el estudio de la historia de la ciencia en secundaria (la experiencia del seminario Orotova de historia de la ciencia). [en línea]. En: Historia y epistemología de las

83

4. EPISTEMOLOGÍA DEL CONCEPTO DE DERIVADA

4. 1. Introducción

Las construcciones nociones y procedimentales, según Romero – Serrano (1994), no se han

sucedido a lo largo de la historia de las matemáticas de una forma fortuita, sino de

acuerdo a un patrón ortogenético que, si bien implica una vección no previsible del

origen, es susceptible de una reconstrucción a posteriori. Por ello, es quizás, que

universalmente es aceptado que, en cualquier disciplina y con más veras en las

matemáticas, resulta imposible alcanzar una significación completa de un sistema

nocional sin volver a trazar su formación. Puesto que la estructura total de un

conocimiento no se distingue hasta haber logrado distinguir las situaciones de hecho

que sus elaboradores eligieron en una determinada línea de acción en lugar de otra (las

practicas).

Así lo significativo del análisis histórico se encuentra, según Romero – Serrano (1994), en

volver a encontrar cómo procedieron aquellos que iniciaron el trabajo de base, qué

procedimientos o experiencias mentales llevaron a cabo los que prepararon su construcción

y bajo que sistema interpretativo llegaron a imaginar tales experiencias y, finalmente, que

pasos se tuvieron que dar y qué teorías se debieron reformular y/o descartar para llegar a

la constitución actual de la noción. O lo que es lo mismo, qué variables y factores

condicionantes, que han determinado los distintos estadios de su desarrollo.

ciencias. Enseñanza de las ciencias. 2000. 18 (1). De: http://www.bib.uab.es/pub/ensenanzadelasciencias/02124521v18n1p105.pdf

84

Por ello es menester para el desarrollo de este análisis, identificar las dificultades que

tuvieron que salvar las personas involucradas en el avance del concepto de derivada, así

como también, los atributos, propiedades, características, el grado de emergencia y las

representaciones simbólicas asociadas al concepto mismo. De hecho, es necesario

considerar cada momento histórico como definidor de una institución distinta. Pudiéndose,

inclusive definir un estudio de este tipo, mejor como un análisis ecológico en la

terminología de Chevallard (1989) o un proceso de ontología histórica en términos de

Foucault.

Un desarrollo histórico reconstituido bajo esta óptica supone, según interpreta Romero

– Serrano (1994), un método de análisis epistemológico que se conoce como histórico –

critico. Consistiendo desde esta perspectiva el método histórico critico en establecer lo

que ocurre cuando un sistema nocional o procedimental reemplaza a otro, puesto que

como sabemos, una nueva teoría no implica la abolición total de las adquisiciones

anteriores.

Viéndonos abocados:

a la realización de una reflexión que nos conducirá a un análisis critico,

inverso al desarrollo de las nociones matemáticas, que llevaría aparejado no

sólo la evolución de las creaciones científicas, sino también el de las

filosofías en las cuáles éstas se traducen. Seria como dice Brunschvicg

(1912), poner en correspondencia las etapas de la filosofía matemática

con las etapas de la matemática propiamente dicha.125

Por ello comenzare haciendo una ontología de la noción actual de derivada, para luego

realizar una reconstrucción de la historia de la filosofía que estuvo alrededor de este

concepto y de las concepciones alrededor del mismo que históricamente sean dado como

125ROMERO, L. * SERRANO, J. Desarrollo histórico del concepto de Límite. Un ensayo de aplicación del análisis filogenético a la enseñanza. Universidad de Murcia 1994. p. 12.

85

resistentes a su evolución y generalización, y que, por tanto pueden describirse como

obstáculos epistemológicos, en la noción de obstáculo epistemológico de Bachelard

(1983). Siendo pues claro el papel que juega este estudio para la didáctica de las

matemáticas, ya que buscará aportar conocimiento relevante para comprender los factores

funcionales del acto mismo de conocer y por ende de los procesos de enseñanza

aprendizaje de este concepto a lo largo de los distintos niveles de enseñanza y de

transposición didáctica correspondientes.

4. 2. Concepto de derivada actualmente

El cálculo infinitesimal tiene dos vertientes fundamentales a saber; de un lado, el estudio

de la variación de una función, que dio origen a la noción de derivada, y la determinación

de las tangentes a una curva, y por otro, el cálculo de áreas de regiones planas o

cuadraturas, que dio origen a lo que hoy se conoce como calculo integral.

Ahora bien, con respecto a los aspectos que dieron origen al concepto de derivada, estos

proceden de problemas físicos, así como de problemas matemáticos, esencialmente

geométricos, por ello comenzaremos analizando tales problemas, vistos desde la óptica

de la noción actual de derivada.

4. 2. 1. Concepto de derivada asociada al trazado de una recta tangente a una curva

En la actualidad la determinación de una recta tangente a una curva a sido objeto de

toda una línea de formalización que a llevado a reevaluar la definición misma de recta

tangente “como una línea que corta la grafica solamente una vez”; por ser, como dice

Spivak (1975), tal definición a la vez demasiado restrictiva y demasiado amplia.

Acogiéndose por ello a la definición de tangente a partir del constructo matemático

Fig. 1

86

que representa la pendiente de una recta secante a una grafica, que corta la grafica en los

puntos “distintos” (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)).

Fig. 2

Estando detrás de dicha definición la noción de incremento, entendido como:

El incremento ∆x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta,

desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento ∆x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 +

∆x), la función y = f (x) se verá incrementada en ∆y = f (x0 + ∆x) - f (x0) a partir del

valor y = f (x0). El cociente

87

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo

comprendido entre x = x0 a x = x0 + ∆x.126

Así la “tangente” en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas “secantes”,

cuando h se aproxima a 0.

Fig. 3

Lo que da lugar a definir que: “La función f es derivable en a si

existe.

Fig. 4

126AYRES J.R., F. Cálculo diferencial e integral, Serie de compendios Schaum. Mc. Graw – Hill. 1980. p. 22.

88

En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a.

(Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de

f.)”.127

Es decir, “Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por

(a, f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está

definida si f es derivable en a.”128.

4. 2. 2. Interpretación física de la derivada

Consideremos una partícula que se mueve a lo largo de una recta

Fig. 5

sobre la cual hemos elegido un <<origen>> O, y una dirección en la cual las

distancias a partir de O se escribirán como números positivos, mientras que la

distancia a partir de O de los puntos de la otra dirección se escribirán como

números negativos. Sea s(t) la distancia de la partícula a O en el tiempo t ”129.

“Puesto que una distancia s(t) está determinada para cada número t, la situación física

nos suministra automáticamente cierta función s. La grafica de s indica la distancia de

127

SPIVACK, M. Calculus, Cálculo infinitesimal. Editorial Reverté. S. A. Barcelona. España. 1975. p. 185. 128 Ibid., p. 185. 129 Ibid., p. 185.

89

la partícula a O sobre el eje vertical, en términos del tiempo, indicado sobre el eje

horizontal.”130.

Fig. 6

El cociente

tiene una interpretación natural. Es la <<velocidad media>> de la partícula

durante el intervalo de tiempo a y a+h. Para cualquier partícula a, esta

velocidad media depende por supuesto de h. Por otra parte, el limite:

130 Ibid., p. 186.

90

depende solamente de a (así como de función particular s) y existen

importantes razones físicas para considerar este límite.131

Dado que:

la definición corriente de velocidad es en realidad una definición de

velocidad media; la única definición razonable de <<velocidad en el

tiempo a>> (la llamada <<velocidad instantánea>>) es el limite

Definimos así la velocidad (instantánea) de la partícula en a como s’(a).

Obsérvese que s’(a) puede muy bien ser negativa ; el valor absoluto recibe

a veces el nombre de rapidez (instantánea).132 (Ibid., p.187).

Siendo

importante darse cuenta de que la velocidad instantánea es un concepto

teórico, y una abstracción, que corresponde exactamente a ninguna

cantidad observable. Aunque no sería justo decir que la velocidad

instantánea no tiene nada que ver con la velocidad media, recuérdese que

s’(t) no es

para ningún h particular, sino únicamente el limite de estas velocidades

medias, cuando h tiende hacia 0. Así , pues , cuando las velocidades se

131 Ibid., p. 186. 132 Ibid., p. 187.

91

miden en física , lo que un físico mide realmente es una velocidad media

a lo largo de algún intervalo de tiempo (muy pequeño).133

4. 3. Ontología del concepto derivada

Etimológicamente, la ontología es el estudio del ente, entendiendo por tal lo existente en

cuanto existente. Se ocupa de la característica más común de todo cuanto existe, el ser, e

intenta responder a la pregunta de qué es necesario para que algo sea o exista y si hay

diversas maneras de existir o ser. Aunque pueda confundirse a veces con la metafísica y,

de hecho «el estudio del ente en cuanto ente» es la manera como Aristóteles define a la

filosofía primera, que la tradición llamó metafísica, la ontología ha conseguido su objeto

propio de estudio a lo largo de la historia.

En opinión de Martínez-Cortés (1991), con el positivismo lógico siguiendo una visión

iniciada por Hume, se considera falto de todo sentido cualquier supuesto enunciado

metafísico y, por ello mismo, y tras el auge de la filosofía analítica, las preguntas de tipo

ontológico no tienen, en muchos autores contemporáneos, más finalidad que plantearse qué

tipo de entidades son los referentes de las palabras usadas en un enunciado; son preguntas

acerca del significado. Siendo, según esto mismos autores, Quine quien en su ensayo

Acerca de lo que hay (1948), define a la ontología como el estudio de «lo que hay»,

hablando del compromiso ontológico que implica que toda teoría, y todo lenguaje, debe

decidir qué tipo de entidades o cosas constituyen sus referentes; en palabras suyas, «lo que

una teoría dice que existe». Que es el sentido del termino del cual se hará uso aquí.134

La derivada de una función [...] Junto con la integral constituye la fuente de la

cual deriva el cálculo su aroma particular. Si bien es verdad que el concepto de

133 Ibid., p. 187. 134 MARTÍNEZ, A. * CORTÉS, J. Diccionario de filosofía Herder. [CD – ROM]. Barcelona. ISBN 84 – 254 – 1991 – 3 Empresa Editorial Herder. S. A. Búsqueda bajo la palabra: ontología.

92

función es fundamental, que no puede hacer nada sin límites o continuidad, y que

las cotas superiores mínimas son esenciales, todo lo que hemos hecho hasta

ahora ha sido una preparación ... para las ideas verdaderamente luminosas que van

a venir, los penetrantes conceptos que son verdaderamente característicos del

cálculo infinitesimal.135

De este corto párrafo que Spivak extractado de introducción al capitulo 9 de su libro

“Calculus” (1975), se observa que él en esté otorga importancia capital a la construcción

previa de conceptos como; función, limite y continuidad, y cotas superiores mínimas. Esto

inclusive al punto de opacar, en un cierto sentido, lo que él llama las ideas verdaderamente

luminosas que van a venir (los conceptos de derivada e integral de una función). Sin

embargo, él allí mismo, restituye el vigor de dichos conceptos al decir; que lo que sea

hecho hasta ahora a sido una simple preparación para estos conceptos a los que el cálculo

debe su aroma particular.

Acerca de lo que Spivak allí llama; una preparación ... para las ideas verdaderamente

luminosas que van a venir (el concepto de función, el de límite, el de continuidad y las

cotas superiores mínimas), creo que, siguiendo la cadena de conceptos que plantea Spivak,

que un análisis histórico – critico de estos conceptos, nos situaría en el lugar más adecuado

para intentar plasmar el proceso de materialización seguido por el concepto de derivada a

través de los siglos.

Por ello iniciare tal análisis a partir del concepto de continuidad, que corre simultaneo al

de infinito, para en dado momento adentrarme al concepto de función, limite, al de derivada

de una función, al continuidad de funciones y finalmente al de limite de una función, hasta

llegar al concepto actual de derivada. Que me permitirá realizar un análisis histórico -

critico de tal concepto.

135 SPIVAK, Op. cit., p. 181.

93

5. DESARROLLO HISTORICO DE LAS PRACTICAS Y DISCURSO S

ASOCIADOS AL CONCEPTO DE DERIVADA

5. 1. Introducción

En este capitulo se realizara una breve exposición de de las practicas y discursos que han

estado ligados al desarrollo histórico del concepto de derivada. Para ello se recurrirá a la

historia de las distintas nociones y conceptos que actualmente dan la forma al concepto de

derivada. Identificando esencial mente cuatro periodos bien diferenciados en la evolución

histórica de la matemática, a saber; la Antigüedad, el Medioevo, la Modernidad y la época

Contemporánea.

5. 2. Pensamiento matemático en la antigüedad

A propósito del pensamiento matemático griego, La Torre (2003) plantea que tal y como

se manifiesta desde tiempos de Tales de Mileto y de Pitágoras, se adjudicó con claridad y

vigor una doble tarea intelectual: primero, fundamentar la matemática como un sistema

lógico deductivo; segundo, matematizar los fenómenos de la naturaleza, bajo el supuesto de

que ella está dotada de una estructura racional.

Para este mismo autor, la primera de dichas tareas alcanza su punto culminante con los

Elementos de Geometría, de Euclides, que no es más que una recopilación del

conocimiento matemático de su época (s. IV a.C.). En ella se toma como lugar de partida

una lista de diez proposiciones iniciales (postulados), complementada con las definiciones

que introduce al comienzo de cada libro. Los que utiliza para enunciar y demostrar

94

sucesivamente los teoremas y construir los distintos problemas, empleando para ello

exclusivamente el razonamiento deductivo.

La segunda tarea, por su parte, no consiste en una mera recopilación de datos de la

sensibilidad. Aunque indudablemente hay que recurrir a la observación y a la experiencia

para la recopilación de datos, esto apenas es el comienzo de la investigación natural. Una

vez recogidos los datos, es preciso ordenarlos mediante el entendimiento y, de manera

especifica a través del razonamiento matemático. Es decir, los datos sensibles deben ser

modelizados matemáticamente; colocando los conceptos matemáticos en la base de los

fenómenos observados.

En desarrollo de esta segunda tarea, según considera este mismo autor, los pitagóricos

consideraron a los números – que para ellos eran solamente los que hoy conocemos como

naturales- como añadidos de unidades, cada una de las cuales ocupaba una posición en el

espacio físico. Ordenando los puntos, obtenían las figuras geométricas. De esta manera,

concluyeron que los números eran los constituyentes últimos de las figuras geométricas.

Y estas, a su vez, eran para los pitagóricos los elementos últimos que constituyen las cosas

materiales y la naturaleza misma. Confundiendo así, según La Torre (2003), el mundo real,

el de los fenómenos y las sensaciones, con el mundo ideal de los conceptos de la

geometría.

Para los pitagóricos, la línea se compone de un número entero de unidades. Cuestión

esta que los llevo advertir, muy pronto, que no importaba cuán pequeña sea escogida la

unidad para medir el lado de un cuadrado, la diagonal no puede expresarse como un

arreglo de las mismas unidades que componen el lado. Quedando así claro que es

imposible encontrar un segmento tan pequeño que podamos tomarlo como unidad, de tal

forma que el lado del cuadrado y la diagonal del mismo puedan expresarse ambos como

múltiplos finitos de aquélla. Este descubrimiento, según La Torre (2003), puso en duda la

identificación pitagórica entre el reino de lo discreto, que es el número, y el reino de la

magnitud continua, que es la geometría.

95

No obstante, según este mismo autor, el intento de unificar estos dos reinos, ha persistido a

lo largo de la historia de las matemáticas, incluso entre los griegos. De esos intentos, son

de resaltar la teoría del atomismo matemático, creada posiblemente por Demócrito de

Abdera como una derivación de su doctrina materialista del atomismo físico. Según esta

concepción todas las cosas se componen de partículas indivisibles, cuya pequeñez las

hace imperceptibles por los sentidos y que exhibe variadas formas y tamaños.

El atomismo matemático intento explicar de nuevo la magnitud continua en términos de

lo discreto. Para ello, según La Torre (2003), planteaba la existencia de una mónada o

unidad tal que el lado del cuadrado y la diagonal del mismo estuvieran constituidos por

números indefinidos de tales mónadas. Con esta doctrina germinó la especulación acerca

de las magnitudes infinitesimales o infinitamente pequeñas, fijas e indivisibles, que sólo

pudieron ser expulsadas de la matemática en el siglo pasado cuando se construyeron los

conceptos rigurosos de derivada e integral.

5. 2. 1. Problemática alrededor del noción de continuidad

Según opina Álvarez – Barahona (2002), la continuidad entendida como propiedad de la

materia, de los fenómenos, o condición esencial de nuestra relación con el mundo, ha sido

desde la antigüedad una cualidad estudiada y al mismo tiempo aceptada y asumida por

distintas ciencias. Pese a ello no son pocos los dilemas que esta noción a originado al

interior de doctrinas como la filosofía y ciencias como las matemáticas y la física, -que sean

interesado en la problemática que está ofrece-, como para poder presumir que con ella se

denota un termino caduco.

En el mismo sentido, la aparente universalidad del dominio que caracterizamos como

<<continuo>>, en tanto, se refiere a una noción que ha aparecido en diversos dominios

del saber, bajo distintas formas, en las modalidades de aproximación a la naturaleza,

96

podría contrastarse a partir de la máxima aristotélica que “la naturaleza no da saltos”,

sobre la cual, según Álvarez – Barahona (2002), se modelaron las primeras ideas sobre

variación, los modelos cinemáticas elaborados hasta el s. XVII, los modelos ondulatorios

de la luz y la teoría Darwiniana de la evolución del s. XIX.

De hecho, a lo largo de la historia, la continuidad ha sido concebida como una propiedad

de la materia, del espacio y como una característica del tiempo, –de ahí también como

una cualidad de los procesos evolutivos-. Sin embargo, cómo anota Álvarez – Barahona

(2002) si ésta fuese la única diferencia señalada, de la naturaleza del <<continuo>>,

habría la necesidad de concluir que se trata en todos los casos del mismo problema: la

descripción de una cualidad que se manifiesta en distintos ámbitos. No obstante, es al

momento de identificar las propiedades que esta cualidad sugiere, cuando las diferencias

en los modos de abordarla se suscitan;

ya que si bien la caracterización aristotélica le asocia dos condiciones

intrínsecas –su vinculación con la contigüidad y con la divisibilidad ad

infinitud-, no parecen ser éstas las condiciones reclamadas necesariamente al

hablar de la continuidad en la historia o en los procesos de evolución.136

Más allá de intentar aquí mostrar la existencia de un debate con profundas raíces entre

continuistas y discontinuistas, entre continuistas y atomistas o entre mendelianos y

darwinistas, etc., al interior de distintas disciplinas científicas, la cuestión clave es aquí

exponer como este debate a dirigido, y, a resultado fundamental en la construcción de las

teorías y conceptos matemáticos vinculados al concepto actual de derivada.

5. 2. 2. Continuidad en la antigüedad

136 ÁLVAREZ, C. * BARAHONA, C. La continuidad en las ciencias. Ediciones científicas universitarias. Serie Texto Científico Universitario. Universidad Nacional Autónoma de México. Fondo de Cultura Económica. México. 2002. p. 8, 9.

97

Teóricamente la idea de continuo ha llevado a la de infinito. Esta relación se pone de

manifiesto ya con las primeras discusiones de la historia sobre los problemas del continuo:

la aparición de los números irracionales entre los pitagóricos, dada la inconmensurabilidad

entre la diagonal del cuadrado y su lado, y las paradojas de Zenón de Elea (ca. 450 a.C.),

que intentaban divulgar la noción de que el cambio era sólo aparente.

5. 3. Noción de infinito en Grecia

Llegará una época en la que una investigación diligente y prolongada sacará a la luz cosas que hoy están ocultas. La vida de una sola persona, aunque estuviera toda ella dedicada al cielo, sería insuficiente para investigar una materia tan vasta... Por lo tanto este conocimiento solo se podrá desarrollar a lo largo de sucesivas edades. Llegará una época en la que nuestros descendientes se asombrarán de que ignoráramos cosas que para ellos son tan claras... Muchos son los descubrimientos reservados para las épocas futuras, cuando se haya borrado el recuerdo de nosotros... La naturaleza no revela sus misterios de una vez para siempre.

Séneca.

Según Ferrater (1949) aunque el infinito pueda ser entendido de diversas formas, existen

dos de ellas que predominan sobre las otras, determinando de una forma substancial la

evolución histórica del concepto de infinito a partir de Grecia. Por un lado esta el infinito

entendido como algo negativo: como la ausencia de fin y termino. Y por otro el infinito

entendido como algo positivo: como el infinito completo, actual y enteramente dado.

Siendo el mayor o menor peso dado a cada una de estas nociones lo que a generado las

mayores discusiones acerca de lo que Grecia pensó acerca del infinito.

98

5. 3. 1. Entre Dionisos y Apolo

En interpretación de Ferrater (1949), mientras algunos autores como Heimsoeth (1946)

seducidos por el carácter “apolíneo”, cerrado y perfecto del arte griego, han supuesto, al

trasladar esta intuición a la filosofía, que Grecia nunca llego a poseer un concepto positivo

del infinito, otros autores como Mondolfo (1934) y Erich (1923) han señalado que no es

legitimo sostener todavía “la leyenda de una refracteriedad del genio helénico para la

comprensión del infinito”137 leyenda que según Mondolfo (1934), se debe a la ignorancia

de la esencia poliedricitá del genio griego.

Al respecto Erich (1923) advierte “cuán difícil resulta extirpar la falsa concepción según

la cual el espíritu griego se caracteriza, de manera singular, por su exigencia de la

limitación y la finitud, contrariamente a lo que pareciera ser el signo del espíritu

moderno transido, todo él, del concepto de infinito.”138 De hecho él a querido demostrar la

ilegitimidad de tan abstracta oposición en el terreno de los conceptos racionales, (la

historia de las matemáticas y la astronomía griegas), porque es en estos dos campos

donde precisamente le ha parecido griega la noción de infinito, así como lo son; el sistema

heliocéntrico y la intuición de la infinitud del universo, que son creaciones del

pensamiento antiguo, que luego la ciencia moderna se hizo adjudicar.

Con esto, como subraya Mondolfo (1934) en el prefacio de su libro L´infinito nel

pensiero dei Greci, Erich no pretende desconocer la característica esencial que

diferencia al espíritu moderno del espíritu griego como es su capacidad de comprensión

de lo infinito, aplicado no ya al concepto racional exacto, sino al del sentimiento subjetivo,

de la sensibilidad y de los valores estéticos.

137 MONDOLFO, R. L´ infinito nel pensiero dei Greci, citado por FERRATER, J. El infinito: Esquema para una historia de su idea. Universidad Nacional de Colombia. Revista trimestral de cultura moderna. N° 14. Abril. 1949. p. 9, 10. 138 ERICH, F. Plato und die sogenannten Pythagoreer, citado por MONDOLFO, R. El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica. Ediciones Imán. Buenos Aires. 1952. p. 13.

99

Así para Erich (1923) la idea muy difundida, de que en el genio griego hay por lo menos

un desvío entre la forma de vida, la concepción artística y la meditación filosófica, de tal

forma que las primeras se inclinarían a lo limitado, lo cerrado, lo perfecto, y la segunda

no dejaría de lado una meditación sobre el infinito y aun la afirmación de una supremacía

del infinito como algo actual y concluso, le parece inadmisible. Pues si en una misma

vida espiritual, el sentido de la medida y de la exigencia de un limite caracterizan al

espíritu griego, en el terreno de la intuición, de la valoración y la expresión artística, hasta

convertirse en una ineptitud para toda comprensión estética del infinito, resulta luego

evidente que dicho genio no puede ser caracterizado por una inmanente exigencia de

superación de todo limite, ni por la creación del concepto de infinito. Ya que la creación

de un concepto como este no puede ser obra de un espíritu que carezca de todo interés

con respecto de él, no pudiendo darse así una comprensión intelectual de lo infinito

desligada de toda comprensión estética del mismo. Luego, según Erich (1923 ) no puede

ser griego el concepto de infinito y no serlo a su vez139.

De opiniones como las de Erich (1923) o las de Mondolfo (1934) se ha llegado inclusive a

afirmar la congenialidad del espíritu griego con la idea del infinito, por lo que la primera de

las mentadas posiciones ha vuelto a insistir, en oposición a tan extrema concepción, en el

hecho de que, como indica Heimsoeth (1946), “por muchas criticas que merezcan algunas

teorías, harto simplistas, sobre el espíritu griego, la medula de esta observación , la de

que para el pensamiento y el sentimiento de la antigüedad, lo finito posee un valor

superior sobre lo infinito, permanece exacta.”140

Acerca de tal diferendo, Ferrater (1949) opina, por su parte, que no parece que pueda

sostenerse fácilmente que el pensamiento griego se inclinara hacia un extremo mientras

que el sentimiento se orientara hacia el otro, y que, por tanto, la solución a esta polémica

cuestión se halla en algo muy parecido al doble rostro - apolíneo – dionisiaco- que ya

Nietzsche, Rohde y Burckhardt habían descubierto en la existencia griega. Pues este

139 Ibid., p. 14.

100

doble rostro no significa que la tendencia hacia lo finito en la existencia griega sea

más o menos igual a su tendencia hacia lo infinito, lo que más bien ocurre es que hay

en cada una de las formas griegas, y primordialmente en las que conciernen al

pensamiento, una tendencia dual que permite alegar, según sea más o menos enfatizado,

uno de sus términos, la orientación hacia lo finito y lo infinito negativo o hacia el

infinito positivo.

5. 3. 2. Finito, infinito negativo e infinito positivo

Como señala Ferrater (1949), que la dualidad dionisiaco – apolínea quede en muchas

ocasiones encubierta por la primacía del carácter limitado del genio griego es porque al

trasparecer por todas partes la idea del infinito en la mente griega, es refrenada por la

concepción negativa y por la orientación hacia las formas limitadas, cerradas en sí

mismas, perfectas. Pues la carencia de límites fue entendida por la antigüedad griega como

una imperfección relacionada con la imposibilidad de la definición, la imposibilidad de

llegar a saber qué es una cosa, para los griegos el ser es un ser determinado y en

consecuencia la indeterminación del infinito relegaba al ser al reino negativo de lo

indeterminado existente. Y puesto que sólo lo finito tiene límite, proporción y medida, lo

infinito, siendo imperfecto se contrapone a la perfección de lo que puede ser abarcado

intelectualmente y formalmente delimitado. La tablilla pitagórica de las oposiciones ya

mostraba tal oposición.

Limite Ilimitado

Impar Par

Unidad Pluralidad

Derecho Izquierdo

Macho Hembra

En reposo En movimiento

140 HEIMSOETH, H. Los seis grandes temas de la metafísica occidental, citado por FERRATER, J. Op. cit., p. 10.

101

Recto Curvo

Bueno Malo

Cuadro Rectángulo.141

Sin embargo, la otra tendencia de la vida y del genio griego trasparece a cada instante,

en forma del infinito numérico, espacial, temporal y espiritual, a través del finito. Tras la

introducción del infinito matemático en los usos filosóficos, por los pitagóricos y eleatas.

Trasformándose bien pronto lo negativo del infinito en algo positivo, ineludible e

innegable, pasando a ser lo infinito, en rigor, sólo negativo por escapar a toda definición

y delimitación, al no poder ser mentalmente aprehendido, pero no porque no fuese

reconocido.

Así el infinito en la ultima época del helenismo paso a constituirse, en palabras de Ferrater

(1949), en el rasgo principal de ella, al en un primer momento concebir al infinito como el

fundamento del que emergen los seres finitos y más tarde como carácter de la realidad.

Dejando de ser considerado el infinito en Grecia en su aspecto negativo, y radicando lo

negativo, más bien, en la impotencia de la razón para abarcarlo. Que en la terminología

de Spengler, citada por Ferrater (1949), equivaldría a decir; que ya el alma antigua posee

una “tendencia apasionada, fáustica, hacia el infinito” 142.

5. 3. 3. Lucha dual finito Vs. infinito - infinito positivo Vs. infinito negativo

Tal y como lo interpreta Ferrater (1949) ésta ultima lucha es la que va a predominar en el

seno del platonismo y del neoplatonismo e incluso en el aristotelismo. Como ya de una

forma clara se advierte en Platón, y en la filosofía anterior de los pitagóricos, en aspectos

tales, como; que la comprensión acerca de la realidad tal y como se da a la intuición

inmediata es comprimida entre dos géneros: el infinito de la materia y del receptáculo

141 Aristóteles, Metafísica I, 5, 986ª. Gredos. Madrid.1994. p. 90. 142 FERRATER. Op. cit., p. 11.

102

vacío, indeterminado negativo, y el infinito de lo inteligible entendido como unidad, que

desborda toda determinada posición y sólo es asequible mediante una dialéctica

ascendente143 y acaso interminable.

El análisis aristotélico, según Ferrater (1949), por su parte tiende a eludir la dificultad que

plantea esta doble oposición, aunque sin éxito, pretendiendo encerrar la idea de infinito

dentro de los limites de una potencialidad. Teniendo aquí su lugar de origen las ideas de

infinito actual e infinito potencial, que tan decisiva importancia tendrá para la historia

posterior de la ciencia y la filosofía. Según Ferrater (1949), para Aristóteles el infinito

actual, completo, perfecto, no puede concebirse, mientras que el infinito potencial no puede

ser puesto en duda, al punto que Aristóteles inclusive pone en duda la idea de la serie

infinita, al sostener que todo tiene un fin, y que la serie de causas tiene su fin en un

primer principio incausado. Pues de no ser así el conocimiento seria imposible al haber

una serie infinita de causas.

El Estagirita, como ya se dijo antes, distinguía entre el infinito en potencia y el infinito en

acto, identificando al primero como el infinito posible, que se da, según Ferrater (1949),

en dos formas: el infinito por división, como ocurre con la línea, que es infinitamente

divisible, y el infinito por adición, que no puede terminar jamás de completarse.

Encontrándose ya aquí una idea en germen de lo que va a ser el cálculo diferencial e

integral. Y el segundo, como el infinito real, completo, terminado. Las precisiones que

Aristóteles realiza en el Physica muestran, por demás, de modo suficiente hasta que punto

el análisis del infinito no suprime a éste, pero si excluye su actualidad144. De hecho la

143 “En los primeros diálogos de Platón, la dialéctica aparece como el arte o esfuerzo de hallar definiciones, mediante el método socrático de preguntas y respuestas; en diálogos posteriores, la synagogé, la reunión, y la diáiresis, la separación, aparecen como los elementos definidores de la dialéctica platónica, en cuanto representa saber dividir por géneros y diferencias, hasta que Platón identifica su propia filosofía con la misma dialéctica: la última de las enseñanzas que recibe el filósofo-rey, o la visión de conjunto que adquiere quien logra ascender por todos los escalones de la opinión y la episteme hasta el conocimiento de las ideas.” MARTÍNEZ. * CORTÉS. Op. cit., búsqueda bajo la palabra: dialéctica . 144 “Ahora bien, el ser se dice o de lo que es en potencia o de lo que es en acto, mientras que el infinito es o por adición o por división. Y ya se ha dicho que la magnitud no es actualmente infinita, aunque es infinitamente divisible [...] Nos queda, entonces, por mostrar que el infinito existe potencialmente. [...]

103

definición que Aristóteles establece del infinito es; el infinito no es aquello más allá de

lo cual no hay nada, sino aquello más allá de lo cual hay algo, confirmando esto, según

Ferrater (1949), la tendencia a la consideración negativa, potencial, del infinito.

Sin embargo, Mandolfo (1934) señala algunos pasajes en que Aristóteles pareciera sostener

un significado positivo del infinito, por lo menos al referirse a la potencia causante de

Dios. A lo que agrega Ferrater (1949), que en la medida en que la potencia es susceptible

de una interpretación semejante, gracias a que no hay una unilateral interpretación estática

del Acto, no es justo el imputarle a Aristóteles demasiadamente la negatividad del infinito.

Siendo esto expresado por el mismo Aristóteles al referir, que el análisis del infinito no

equivale a suprimir la realidad de la que tratan los matemáticos, aun cuando éstos no

toman al infinito como actual y les basta postular una línea finita tan larga como se

quiera, haciendo clara referencia al segundo postulado del primer libro de Euclides.

Sin embargo, es innegable, según Ferrater (1949), que la negatividad del infinito prima en

Aristóteles sobre la positividad, a tal punto, que llega a negar al igual que la actualidad de

la serie infinita, la actualidad de la infinidad de puntos de una línea dada, ya que para que

sean infinitos deben ser contados. Siendo, la continua presencia de un alma, o sujeto

enumerante finito lo que hace, según Ferrater (1949), para Aristóteles evidente la

El infinito por adición es en cierto modo el mismo que el infinito por división. Pues en una magnitud finita el infinito por adición se produce en un proceso inverso al otro; porque en la medida en que una magnitud se ve dividida hasta el infinito, en la misma medida aparecen las adiciones con respecto a una determinada magnitud. Pues si en una magnitud finita tomamos una cantidad determinada, y tomamos luego otra en la misma proporción, aunque no en la misma cantidad del todo inicial, no lograremos recorrer la magnitud finita; pero si aumentamos la proporción de tal manera que las cantidades tomadas sean siempre iguales, entonces la recorreremos, porque toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracción de una cantidad determinada. Así pues, el infinito no tiene otro modo de realidad que éste: en potencia y por reducción. Y existe actualmente en el sentido en que decimos que el día o la competición existen; y existe potencialmente, como la materia; pero no existe por sí mismo, como existe lo finito. Hay también un infinito potencial por adición, el cual, como hemos dicho, es en cierto sentido de la misma manera que el infinito por división, pues siempre se podrá tomar algo fuera de él; pero lo que se tome nunca superará toda magnitud finita, a diferencia del infinito por división, en el que toda magnitud finita es superada en pequeñez y siempre quedará una parte más pequeña. [...] Ahora bien, lo infinito resulta ser lo contrario de lo que se nos dice que es: no es aquello fuera de lo cual no hay nada, sino que el infinito es aquello fuera de lo cual siempre hay algo.” ARISTOTELES. Física. Libro III, 6, 206a-206b. Gredos. Madrid. 1995. p. 202-206.

104

imposibilidad del infinito actual, no obstante, a plantearse ineludiblemente la cuestión de

su existencia en el momento en que se llega a suponer un motor que engendra, aunque

sólo sea por imitación, las realidades anteriores.

Luego la negación del infinito que, según Ferrater (1949), adelanta Aristóteles se refiere

solamente a la magnitud: ya que el motor primero no puede ser ni infinito ni finito, pues,

primero, no hay magnitud infinita, y segundo, una cosa finita no puede poseer una

fuerza infinita, ni tampoco el movimiento impreso por ella puede subsistir un tiempo

infinito (Fisica. VIII 267b p.24- 25). Así pues, aunque negada la infinitud en la

magnitud no así queda negada como causa infinita. Con ello es evidente que el análisis

aristotélico contiene todos los problemas que, relativos al infinito actual, persistirán a lo

largo de la edad media y la moderna, Ferrater (1949).

“en ultimo termino, podría decirse que Aristóteles admitirá para la

realidad movida un infinito actual si supiera a la vez la presencia de un

alma con actualidad infinita para la cual la visión de una línea, por

ejemplo, representara la total y simultanea enumeración de sus infinitas

partes.”145

Para Ferrater (1949), a pesar de este continuo traslucirse del infinito en el genio griego,

con Aristóteles y sus seguidores, a habido una innegable tendencia a reducirlo a su ser

potencial, por parte de los que han aspirado a un conocimiento de la realidad menos

basado en la dialéctica que en análisis.

El imperio de la idea de infinito se consolido, sobre todo con el desarrollo de las

tendencias implícitas en el platonismo. “ Ya en la matemática ya esto se hacia cada vez

más evidente. El método de reducción al infinito en la determinación por Arquímedes del

área del circulo, así como el “método de Exhaustivo” de Eudoxio apuntaban a ese

145 FERRATER. Op. cit., p. 14.

105

desarrollo.”146 Aunque desde el punto de vista propiamente filosófico, ese se manifiesta

principalmente en el neo platonismo.

5. 4. Matemática griega

5. 4. 1. Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C.).

Es poco lo que se sabe acerca del figura de Pitágoras, más que era un gran conocedor de la

geometría y astronomía de su época, y que fue el fundador de la Orden de los Pitagóricos.

Esto debido principalmente a que las bibliografías escritas sobre este pensador, entre ellas

la escrita por Aristóteles, se han perdido, y al carácter secreto y comunal de la Orden

fundada por él. Por tanto no se hablara tanto aquí de la obra de Pitágoras, sino de las

contribuciones de la Escuela Pitagórica.

5. 4. 2. Escuela Pitagórica

La Escuela Pitagórica presenta como característica más peculiar, junto con su

conservadurismo político y su estricto código de conducta, la confianza en la prosecución

de los estudios matemáticos como base moral para la dirección de la vida. Su lema

principal era “todo es número”y, de hecho, las palabras filosofía (amor a la sabiduría) y

matemática (aquello que se aprende) se deben a esta orden que las utilizo para describir su

actividad.

No es difícil entender el importante papel que jugo esta Escuela en el desarrollo de la

matemática griega, ni que sea precisamente en su seno donde se encuentre una primera

aproximación a procesos infinitos y a la idea de limite;

146 Ibid., p. 14.

106

debido a su familiar división de un segmento que denominaban,

simplemente, con el nombre de sección y por el cual, un segmento RS era

dividido en dos partes tales que la proporción entre el segmento y la parte

mayor era la misma, que la que existía entre la parte mayor y la parte

menor. Fue lo que, más tarde, más tarde se conocería como “la Sección

Áurea”.147

Como declaran Romero – Serrano (1994), una de las características más importantes de

este tipo de división es su capacidad de auto reproducción.

Así, si P1 divide al segmento RS en media y extrema razón, entonces R S /

R P1 = R P1 / P1 S. Si sobre R P1 tomamos un punto P2 tal que P1 P2 = P1

S, entonces el segmento R P1 queda subdividido a su vez en media y

extrema razón por el punto P2 , resultando de R P1 / R P2 = R P2 / P2 P1 .

Tomando de nuevo P3 sobre R P2 tal que RP3 = P2 P1 , se vuelve a repetir

el proceso.148

De hay según ellos, lo que se desgaja es que estamos ante un proceso iterativo, que por

ende se puede realizar cuantas veces se quiera, obteniendo como resultado un segmento

RPn cada vez más pequeño que quedará dividido por Pn+1 en media y extrema razón. Lo

que - según los autores- no podemos afirmar es si, verdaderamente, los pitagóricos se

dieron cuenta de que este proceso era perpetuo, deduciendo las consecuencias oportunas

del mismo. De cualquier manera, según Romero – Serrano (1994), y sea cual fuere el

grado de conciencia que tuvieran los pitagóricos acerca de esto, estamos ante un proceso

infinito que conduce a que la longitud del segmento RPn tendente a 0.

147 ROMERO * SERRANO. Op. cit. p. 28, 29. 148 Ibid., p. 29.

107

5. 4. 3. La sección Áurea

Es en esta época de la matemática griega es justamente cuando se descubrieron los

inconmensurables, y aun cuando los griegos no hubiesen reparado en ello, tal

descubrimiento lo que lleva implícito es nuevamente una aproximación a los procesos

infinitos, y a la noción de límite.

Se cree que los griegos llegaron al descubrimiento de este fenómeno por medio de lo que

ellos llamaron la Sección Áurea, consistente en una simple observación:

Si trazamos las 5 diagonales de un pentágono regular, estas diagonales

forman un pentágono regular más pequeño, cuyas diagonales forman, a su

vez, un tercer pentágono regular que es más pequeño aún149

Fig. 7

Este proceso según anota Romero – Serrano (1994) puede continuarse indefinidamente,

obteniéndose pentágonos que llegan a ser tan pequeños como se quiera y que llevan a la

conclusión que:

“la razón de la diagonal al lado en un pentágono regular no es un número racional.”150

149 Ibid., p. 31. 150 Ibid., p. 31.

108

La irracionalidad de esta razón es una consecuencia, según los autores, del proceso que

hemos visto al mostrar la aproximación al límite que realizo la Escuela Pitagórica a

través de la división de un segmente en sección, ya que aquí se demostraba que la

Sección Áurea se repetía una y otra vez. De haber sido así el hallazgo de los

inconmensurables, habría sido raíz de 5 y no de 2 como comúnmente se tiene entendido.

En este razonamiento, según apuntan Romero- Serrano (1994), vuelve a aparecer un

proceso infinito, propio de la noción de limite, que conduce a que, tras repetir el proceso

un número determinado de veces, el área del nuevo pentágono tienda a 0 y el pentágono a

un punto.

5. 4. 4. EUDOXO: Primera aproximación a la idea de límite.

Hacia el siglo IV a. C., los matemáticos griegos se agrupan en Atenas en la Academia de

Platón, convirtiéndose ésta en el médula matemática del mundo. De esta escuela brotaron

grandes hombres de ciencia, maestros e investigadores tales como Eudoxo que es preciso

destacar por su especial contribución a la idea de límite. Este eminente científico es más

conocido por lo que se ha venido a llamar la Reforma Platónica de la Matemáticas.

Entre sus principales aportaciones al campo de investigación que nos concierne esta; el

descubrimiento de un método que más tarde (s. XVII), sería denominado por Gregory de

Saint Vincente “Método de Exhausción” y al que Romero – Serrano (1994) consideran

como la primera aproximación a la idea de límite. Este método surge de la comparación

de las áreas de figuras curvilíneas y rectilíneas. Los matemáticos anteriores a Eudoxo ya

habían llegado a la conclusión de que era mejor inscribir y circunscribir las figuras

rectilíneas en curvilíneas, acrecentando indefinidamente el número de caras o lados, con lo

que las figuras rectilíneas se iban aproximando cada vez más a las curvilíneas. Sin

embargo, como anotan Romero – Serrano (1994), estos matemáticos no sabían, aún, cómo

cerrar el razonamiento por desconocer la noción de límite.

109

Según cuenta la historia, Arquímedes reconoció, que fue Eudoxo quien realmente

descubrió el lema que lleva su nombre y que sirvió de base al Método de Exhausción.

LEMA: Dadas dos magnitudes que tengan una razón (es decir que sean del

mismo tipo y ninguna de ellas sea cero) se puede encontrar un múltiplo de

cualquiera de ellas que exceda a la otra.151

Este lema, según Romero – Serrano (1994), constituye el equivalente griego del cálculo

integral. Además, a partir de este axioma el Método de Exhausción es simple de

demostrar.

MÉTODO DE EXAHUSCIÓN: Si de cualquier magnitud sustraemos una

parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no

menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción

terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier

magnitud del mismo tipo dada de antemano.152

Al punto, según Romero – Serrano (1994), que el método de Exhausción debe ser

considerado como la primera muestra en matemáticas de lo que en épocas posteriores de

ella habrá de recibir la denominación de límite.

Los griegos hicieron uso de este método para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras

curvilíneas, de hecho es a Eudoxo a quien se le atribuye la primera demostración de que

el volumen de un cono es igual a 1/3 del volumen de un cilindro. Y aunque con

anterioridad se había sugerido que el área de un circulo se podía llegar a agotar

inscribiendo en él un polígono regular y aumentando indefinidamente el numero de lados,

fue Eudoxo, quién a partir de su Método, lo hizo de forma rigurosa.

151 Ibid., p. 33. 152 Ibid., p. 33.

110

5. 4. 5. Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.): Separación entre la ciencia de los

números y la ciencia de las magnitudes.

Matemático griego, del que no se tiene ningún conocimiento biográfico. Al parecer era

ateniense y posiblemente fue alumno de la Academia. Hacia el año 300 a.C. (bajo el

reinado del primer Ptolomeo), era profesor en la escuela matemática de Alejandría, de la

cual probablemente fue su fundador. Su obra fundamental fue la suma euclidiana más

conocida como: los Elementos de geometría. Actualmente se le considera como el gran

sistematizador de la matemática en el mundo antiguo, ya que en los trece libros de los

Elementos expone la geometría como un sistema formal axiomático-deductivo, que consta

de definiciones, postulados, y teoremas demostrados.

Acerca del continuo, según Álvarez – Barahona (2002), en su obra Euclides tiene la

necesidad de plantear, desde el segundo postulado del primer libro, la posibilidad de

prolongar de manera continua a un segmento de recta dado, dando así origen a la idea

de que la continuidad es, por esencia, una propiedad inherente a los segmentos de línea y,

por ende, se encuentra en la base misma de la geometría. Así aun cuando los Elementos

marco la diferencia aparentemente insalvable (hasta el s. XVII) entre la ciencia de los

números y la ciencia de las magnitudes –entre la teoría de las cantidades discretas y la de

las cantidades continuas, entre aritmética y geometría-, de igual forma es cierto que la

propiedad de la continuidad no se restringe a una figura que se traza y se vuelve

inteligible en el corpus euclidiano a través de la teoría de proporciones desarrollada en el

libro quinto. Asumiendo el papel que desempeñaron los axiomas o la intuición ahora una

definición: la de proporcionalidad entre cuatro magnitudes.

En interpretación de Álvarez – Barahona (2002) esta definición trae consigo un axioma

implícito, que es usado por vez primera por Euclides en este mismo libro quinto, y que

habría de constituirse con el tiempo en el signo que caracterizaría a las magnitudes

continuas, el axioma que garantiza la existencia, dadas tres magnitudes, de la cuarta

proporcional. Dejando con ello la posibilidad de expresar la propiedad de continuidad en

111

manos de la teoría de las proporciones, y a la aritmética la posibilidad de expresar tan

sólo las razones entre magnitudes conmensurables.

5. 4. 6. Aristóteles (384/383 – 322 a. C.): paradigma de la ciencia antigua y medieval

Según entiende Martínez – Cortes (1991), Aristóteles entendía el continuo como «lo

divisible en partes siempre divisibles», en oposición a los atomistas153 que consideraban

que la extensión se componía de átomos indivisibles, asimismo rechazó aquellas paradojas

e intentó comprender el problema que planteaban, pero no pudo darles solución

satisfactoria. Como ya se dijo antes, diferenció dos clases de infinito: por división y por la

distancia entre extremos; éste es el llamado, en su forma de pensar, infinito actual (real),

mientras que aquél es el infinito potencial (mental), y concibe la distancia y el tiempo

compuestos de una forma semejante, a saber, finitos en extensión pero infinitos en división.

La infinitud que esto supone es meramente «potencial», atribuible a la cosa por la mente

que enumera, pero no «actual», o real, aplicando aquí su teoría de acto y potencia. La

manera aristotélica de entender el infinito y el continuo fue la predominante en el

occidente, hasta la llegada de la ciencia moderna.

5. 4. 7. ARQUÍMEDES (287 – 212 a. C.): Segunda aproximación a la idea de límite.

Si bien Alejandría fue, sin lugar a dudas, el centro de la actividad matemática durante

toda la época helenística. No obstante, el matemático más importante de esa época vivió

y murió en Siracusa. Arquímedes se cree que nació cerca del año 287 a. C. Siendo su

primer maestro su propio padre quien era astrónomo. A Arquímedes, según Romero –

Serrano (1994), se le podría llamar el padre de la física matemática, no solo por su obra

153 “Los primeros atomistas fueron los filósofos presocráticos griegos Leucipo y Demócrito y, más tarde, los epicúreos y Lucrecio, que plantearon la hipótesis puramente especulativa de que la realidad material estaba compuesta de átomos y vacío.” MARTÍNEZ * CORTÉS. Op. cit., búsqueda bajo la palabra: atomistas.

112

Sobre el equilibrio de los planos, sino también por su tratado, en dos volúmenes,

Sobre los cuerpos flotantes.

Acerca de los grandes descubrimientos de Arquímedes, donde primero se observa la

existencia de un proceso iterativo que pueda llevar a la idea de limite, son sus trabajos

destinados a la estimación aproximada de la razón de una circunferencia a su diámetro.

Partiendo del hexágono regular inscrito en la circunferencia, Arquímedes calcula

los polígonos obtenidos duplicando sucesivamente el número de lados hasta

llegar al polígono regular de 96 lados. El procedimiento utilizado por Arquímedes

es un proceso iterativo relacionado con lo que se ha denominado Algoritmo de

Arquímedes: Considera dos sucesiones una la pn, p2n, p4n ...relativa a los

perímetros de los polígonos regulares inscritos y Pn, P2n, P4n, ... para los

perímetros de los polígonos regulares circunscritos. Comenzando con el tercer

término de la sucesión, podemos calcular cualquier término a partir de los dos

anteriores tomando, alternativamente, sus medidas armónica y geométrica.154

Aunque el método de Arquímedes para calcular raíces cuadradas al determinar el

perímetro del hexágono circunscrito y para hallar medias geométricas era muy semejante

al que utilizaron los babilónicos. Romero – Serrano (1994). No obstante, el resultado de

los cálculos de Arquímedes sobre el circulo fue una mejor aproximación para el valor

de Β que la obtenida por los egipcios y los babilónicos. Tal aproximación viene

formulada por la desigualdad:

3( 10 / 71 ) < Β < 3( 10 / 70).

Es de resaltar, que ni Arquímedes, ni ningún otro matemático de esta época, utilizaron la

notación de Β, ni tampoco la idea de número como razón de la circunferencia al diámetro

en un circulo. Este resultado, según Romero- Serrano (1994), aparece tardíamente en la

154 ROMERO * SERRANO. Op. cit., p. 34.

113

Proposición 3 del tratado Sobre medida del círculo, que llego a ser una de las obras más

populares de este autor en la Edad Media.

Según apuntan estos mismos autores, Arquímedes se vio atraído, al igual que sus

predecesores, por los tres famosos problemas geométricos (1.- La cuadratura del círculo.

2.– La duplicación del cubo. Y 3.– La trisección del ángulo.), dando solución a dos de ellos

por medio su conocida <<espiral>> . En este sentido, como recalcan Romero – Serrano

(1994), aunque la matemática griega suela caracterizarse como estática, por su escasa

atención a la idea de variabilidad, las soluciones dadas por Arquímedes, en su estudio de

la espiral, parecen haber determinado la solución a la tangente a la curva por medio de

consideraciones cinemáticas que recuerdan al cálculo diferencial. Más aun, en su libro

Sobre las espirales, al tratar sobre la cuadratura de la parábola Arquímedes tiene una clara

aproximación a la noción de limite.

A la época de Arquímedes las cónicas ya contaban con un siglo de ser conocidas y, sin

embargo, no se había adelantado en lo que al cálculo de sus áreas se refiere. Siendo

necesario el talento del mayor genio de la antigüedad para cuadrar una sección cónica,

concretamente un segmento de parábola. Eso según anotan Romero – Serrano (1994) se

encuentra recogido en la Proposición 17 de la obra dedicada a dicha cuadratura. La

demostración la hace por el método de Exhausción, llegando a demostrar rigurosamente

que el área K de un segmento parabólico APBQC es 4/3 del área de un triángulo con la

misma base y la misma altura.

114

Fig. 8

En las últimas siete proposiciones del mencionado libro de Arquímedes hay otra

demostración del mismo teorema.

Demuestra, en primer lugar, que el área del mayor triangulo inscrito en ABC con

base AC es igual a 4 veces la suma de las áreas de los correspondientes triángulos

inscritos con bases AB y BC. Llamando T al área de base AC y T1 y T2 a las

áreas de los triángulos con base AB y BC respectivamente, se verificaría según lo

anterior que:

T = 4(T1+ T2)

Y, por tanto,

T1 + T2 = T / 4.

Análogamente, el área del triangulo de base AB representado por T1 , sería igual

a cuatro veces la suma de las áreas de los triángulos de bases AP y PB, que

podíamos representar por T3 y T4 , respectivamente; y el área del triangulo de base

BC, representado por T2 , sería igualmente la suma de las áreas de los triángulos

115

de base BQ y QC, que podíamos representar por T5 y T6 , respectivamente.

Siendo:

T1 = 4 (T3 + T4 )

T2 = 4 (T5 + T6 )

T = 42 (T3 + T4 + T5 + T6)

Y, por tanto,

T3 + T4 + T5 + T6 = T / 42.

Continuando el procedimiento llegaríamos a que el área K del segmento

parabólico APBQC vendría dado por la siguiente suma:

T + T/4 + T/42 + ... + T/4n + ... .155

Como expresan Romero – Serrano (1994), evidentemente, Arquímedes no llego nunca a

calcular dicha suma, puesto que se trata de la suma de una serie infinita y “los procesos

infinitos no se aceptaban en su época.”156 No obstante, si llego a demostrar, por

reducción al absurdo, que dicha suma no podía ser mayor ni menor que 4T / 3 que es el

mismo valor que obtendría hoy día si se verificara la suma de esa expresión.

Según este mismo autor, donde más próximo estuvo Arquímedes a la noción de límite fue

en su obra Sobre conoides y esferoides. En este trabajo, Arquímedes dedica un apartado

al cálculo de volúmenes de los segmentos que se obtienen al cortar un elipsoide,

paraboloide o hiperboloide por un plano perpendicular al eje principal, para ello obra de

forma muy similar a como lo hace el método de integración que utilizamos hoy día.

Sea un segmento recto de paraboloide de revolución ABC, de eje CD.

155 Ibid., p. 37. 156 Ibid., p. 37.

116

Fig. 9

Consideremos el cilindro circunscrito al sólido, cuyo eje es también CD y

dividamos el eje en n parte iguales de longitud h, trazando por los puntos de

división planos paralelos a la base.

Construyamos sobre los círculos en que estos planos cortan el paraboloide

cilindros inscritos, tal como indica la figura.

Arquímedes demostró que la diferencia entre los volúmenes de los sólidos inscrito

y circunscrito es igual al volumen de la rodaja inferior de los cilindros

circunscritos; de este modo si se hace crecer el número n de subdivisiones del eje

CD, cada rodaja se irá haciendo más delgada con lo que la diferencia entre los

sólidos inscrito y circunscrito podrá hacerse menor que cualquier magnitud dada

de ante mano, consecuentemente coincidente con el volumen del paraboloide de

revolución.157

En realidad, según expresan Romero – Serrano (1994),

la diferencia principal que podemos encontrar entre el método de Arquímedes y

los procedimientos de nuestro cálculo integral estriba, fundamentalmente, en que

157 Ibid., p. 37, 38.

117

el primero carecía del concepto de límite de una función; concepto, éste, al que el

matemático griego se aproximo peligrosamente, sin que, no obstante, pudiera

llegar a formularlo.158

5. 5. Preestadios de la noción de función

“Del pasado queremos solamente el fuego, no las cenizas.”

Jean Jaurés

En interpretación de Wussing (1989) pese a poder considerarse las tablillas de cálculo de

las matemáticas babilónicas, algunos desarrollos de la teoría de las cónicas de Apolonio o

las tablas astronómicas del Almagesto como etapas previas en la formación del concepto

de función, al igual que la teoría de latitudes de formas de Nicolás Oresme en la Edad

Media Europea. No se debe olvidar, al considerar estos preestadios del concepto de

función, que la irrupción del concepto real de las misma pudo acontecer sólo tras el paso

de una matemática de magnitudes considerada de forma estática, a una matemática de las

variables, es decir, solo después de qué, en el transito del siglo XVI al siglo XVII, Vieta,

Fermat y Descartes distinguieran de manera consiente entre magnitudes constantes y

variables.

5. 5. 1. Noción de función en las civilizaciones antiguas

En esta época aunque se llevan a cabo diversos estudios sobre dependencias entre

cantidades de diferentes magnitudes, como ya se dijo antes, no se llegan a aislar las

noción generales de cantidad, variable y de función. Siendo especialmente las culturas que

más aportaron al concepto matemático de función, los babilónicos y los griegos.

158 Ibid., p. 37.

118

5. 5. 2. Babilónicos

El cuarto milenio de nuestra era fue un periodo de gran desarrollo cultural, en el cual se

presencio el nacimiento de la escritura, el uso de la rueda y de los metales. Al igual que en

Egipto durante la primea dinastía, también en el valle de Mesopotámica había un alto

nivel de civilización. Estas civilizaciones mesopotámicas de la antigüedad suelen

llamarse, de manera ambigua y genérica, babilónicas, aunque tal designación no es

estrictamente correcta, dado que la ciudad de Babilonia no existió, ni desde los inicios de

la civilización entre los valles del Eúfrates y el Tigris, ni tampoco existió siempre a lo

largo de estas civilizaciones. Romero – Serrano (1994).

Acerca de los matemáticos babilónicos debe decirse; que estos estaban más interesados

en el cálculo de regularidades que en la búsqueda de expresiones generales de los mismos

como así lo demuestran los cientos de tablillas de arcilla, que han llegado hasta nosotros,

donde los matemáticos babilónicos primariamente interesados en los cálculos

astronómicos realizaron una compilación de efemérides del sol, de la luna y de los

planetas. De ellas, según Romero – Serrano (1994), también se tiene evidencia, que los

matemáticos babilónicos igualmente se dedicaron a estudiar problemas de variaciones

continuas, tales como la luminosidad de la luna en intervalos de tiempo iguales, los

periodos de visibilidad de un planeta en relación con el ángulo que este forma con el sol.

Haciendo uso para sus cálculos de tablas sexagesimales de cuadrados y raíces cuadradas,

de cubos y raíces cúbicas, así como potencias sucesivas de un numero dado, de forma

análoga a las actuales tablas de logaritmos. Así mismo, en estas tablillas, sean encontrado

tabulaciones de valores de n 2 + n para valores naturales de n. Como otras en las cuales se

hace evidente que conocían la suma de la progresión geométrica 1 + 2 + 22 + ... , para

sucesivos términos, así como la suma de la serie 12 + 22 + 32 + 42 + ... +n2 par valores

distintos de n. Ruiz (1998).

Sin embargo como dice Boyer (1986):

119

El hecho de que no se haya conservado ninguna formulación general de estas

tablas no significa necesariamente que no existieran en el pensamiento antiguo

prehelénico conciencia de la generalidad de dichas reglas o principios. Si no

hubiera, de una manera u otra, una regla general subyacente, sería muy difícil de

explicar la analogía entre los distintos problemas del mismo tipo.159

Lo cual en opinión de Pedersen (1974) citada por Ruiz (1998), se traduce en que los

matemáticos babilónicos poseyeron un autentico Instinto de funcionalidad, dado que una

función no es sólo una formula sino una relación más general que tiene como objeto el

asociar elementos entre dos conjuntos, cuestión esta que si esta presente en las

numerosas tablillas de cálculos babilónicas.

Acerca de este llamado instinto de funcionalidad, según afirma Ruiz (1998), este se hizo

patente en los trabajos y métodos que emplearon los matemáticos y astrónomos

babilónicos, esencialmente, en el uso que hicieron de los métodos cuantitativos en un

intento por aritmetizar observaciones difícilmente medibles, ya que no se limitaron sólo a

una tabulación de datos empíricos sino que usaron interpolaciones y extrapolaciones en

la búsqueda de regularidades. Siendo esta búsqueda de regularidades en sus tabulaciones,

quizás su más importante característica, aunque existe, según este mismo autor, una

distancia muy grande entre el instinto de función y la noción de función.

5. 5. 3. Griegos

Aunque ideas tales como cambio y cantidad variable no eran extrañas al pensamiento

griego. Y los problemas del movimiento, de la continuidad, del infinito ya eran objeto de

estudio desde la época de Heráclito y de Zenón, y una gran parte de la filosofía natural

aristotélica desde tiempo atrás estaba ya consagrada al estudio de dichas cuestiones. No así,

según Ruiz (1998) se podría afirmar, que en el pensamiento griego existiera una idea

159 BOYER, C. Historia de las Matemáticas. Madrid. Alianza universidad. 1986. p. 66.

120

primitiva de función implícita en las nociones de cambio y las relaciones entre magnitudes

variables. Esto debido principalmente a que los filósofos griegos consideraban al cambio y

el movimiento como algo externo a las matemática, de hecho en el Cap. VII, libro XI de

Metafísica, Aristóteles concibe a la física como una ciencia estrictamente teórica: Los

objetos de la matemática no están sujetos al movimiento con la sola excepción de aquellos

a los que se refiere la astronomía. Asimismo, en los Elementos de Euclides los objetos

matemáticos y las relaciones son estáticas.

Siendo esta filosofía estática de las Matemática la razón por la que a lo largo de mucho

tiempo los matemáticos griegos pensaron y hablaron en términos de incógnitas e

indeterminadas, más que en términos de variables. Lo que condujo naturalmente, según

Ruiz (1998) a las proposiciones y ecuaciones, y no a las funciones. Asimismo esta actitud

hacia las matemáticas estuvo aferrada en la mente de los matemáticos durante mucho

tiempo.

Según Ruiz (1998), los matemáticos griegos consideraron a las magnitudes físicas y las

proporciones entre ellas como algo diferente a las igualdades estrictamente numéricas.

Esta idea de variabilidad como característica exclusiva de las magnitudes físicas, según él,

puede considerarse como un claro obstáculo para el desarrollo de la noción de función.

Dado que esta idea estuvo fuertemente arraigada en la mente de los matemáticos griegos y

fue perpetuada a través de todo el Renacimiento e inicio de la Modernidad por Oresme,

Galileo y Leibniz.

Sin embargo, según cita Ruiz (1998) de René de Cotret (1985), las nociones que tuvieron

un mayor influjo negativo en la avance del concepto de función irrumpieron en la

matemática desde los tiempo de Pitágoras, y fueron los conceptos de proporcionalidad,

inconmensurabilidad y la fuerte división existente, en el mundo, griego entre número y

magnitud. Así, según explica Ruiz (1998), un proceso tan natural hoy día como es asociar

a cualquier cantidad de una magnitud una cierta medida numérica, para el pensamiento

griego era imposible dado que magnitudes y números eran dos cosas bien distintas.

121

Sin embargo, Pitágoras, y en general la escuela pitagórica, cuya afinidad con el

pensamiento babilónico era muy fuerte, Ruiz (1998), creía que “todo es numero”160. De

hecho para los pitagóricos, un número podía ser asociado a cualquier magnitud.

Aunque estos dos conceptos eran bien distintos, el numero correspondía a la

aritmética y teoría de números, y la magnitud a la geometría, sin embargo, reinaba

una voluntad de unificar el numero y la magnitud en la escuela pitagórica.161

Muestra de ello es que intentaron relacionar los números y las magnitudes a través de las

proporciones, lo que les permitió resolver algebraicamente muchos problemas

geométricos. Entendiendo las proporciones como la razón numérica que se puede

establecer entre dos cantidades de un misma magnitud.

Según cita Ruiz (1998) de René de Cotret (1985): “Esta costumbre de expresar todas las

relaciones entre las cosas bajo forma de proporciones es un obstáculo al desarrollo de la

noción de función.”162, ya que cuando se ocupan con proporciones les era muy dificultoso

160 “...y aun antes que ellos, los denominados Pitagóricos, dedicándose los primeros a las matemáticas, las hicieron avanzar, y nutriéndose de ellas, dieron en considerar que sus principios son principios de todas las cosas que son. Y puesto que en ellas lo primero son los números, y creían ver en éstos -más, desde luego, que en el fuego, la tierra y el agua- múltiples semejanzas con las cosas que son y las que se generan, por ejemplo, que tal propiedad de los números es la Justicia, y tal otra es el Alma y el Entendimiento, y tal otra la Oportunidad y, en una palabra, lo mismo en los demás casos, y además, veían en los números las propiedades y proporciones de las armonías musicales; puesto que las demás cosas en su naturaleza toda parecían asemejarse a los números, y los números parecían lo primero de toda naturaleza, supusieron que los elementos de los números son elementos de todas las cosas que son, y que el firmamento entero es armonía y número. Y cuantas correspondencias encontraban entre los números y armonías, de una parte, y las peculiaridades y partes del firmamento y la ordenación del Universo, de otra, las relacionaban entre sí sistemáticamente. Incluso, si echaban en falta algo, deseaban ardientemente añadirlo, de modo que toda su doctrina resultara bien trabada; quiero decir, por ejemplo, que basándose en que el número diez parece ser perfecto y abarcar la naturaleza toda de los números, afirman también que son diez los cuerpos que se mueven en el firmamento, y puesto que son visibles solamente nueve, hacen de la antitierra el décimo.”. ARISTOTELES. Metafísica, Op. cit., p.89-90. 161 DE COTRET, R. Etude historique de la notion de fonction: Analyse epistemologique et experimetation didactique. Citado por RUIZ. Op. cit., p. 109. 162 RUIZ. Op. cit. p. 109.

122

distinguir la relación entre magnitudes distintas, pues siempre comparaban magnitudes de

la misma naturaleza.

Así, por ejemplo, las áreas de los círculos o los volúmenes de las esferas son

proporcionales al cuadrado y al cubo, respectivamente, de sus radios; no admitían

que esta proporción pudiese ser valida para los radios simplemente, pues

pertenecían a una magnitud diferente, la longitud.163

Impidiéndoles este modo de pensar observar las relaciones de dependencia entre

magnitudes diferentes lo que les hubiese aproximado a pensar relaciones funcionales.

Ahora bien, la razón por la que los griegos instauraban de forma homogénea sus

proporciones, según Ruiz (1998), debe ser buscada en el significado geométrico que para

ellos tenían las magnitudes variables. Una variable correspondía a la longitud de un

segmento rectilíneo; el producto de dos variables, al área de un rectángulo; y el producto

de tres variables, al volumen de un paralelepípedo rectangular. Así este uso sistemático y

riguroso de la geometría para representar relaciones entre variables, hizo que siempre al

construir proporciones, se compararan longitudes con longitudes, áreas con áreas, y

volúmenes con volúmenes, careciendo de sentido una razón entre magnitudes distintas.

Según René de Cotret: “la homogeneidad que conducía a comparar siempre magnitudes

de la misma naturaleza, pudo ser también un obstáculo al desarrollo de la noción de

función”164, dado que ensombrecía e impedía hallar, de forma significativa, dependencias

entre variables de disímiles magnitudes, lo que es el germen de toda relación funcional.

Recordando lo que se dijo un poco antes, para los pitagóricos todo es numero, lo que los

llevó a pensar que existía una unidad, y que el mundo estaba compuesto por una multitud

de unidades indivisibles. Así, según esta escuela, hay elementos indivisibles de tiempo y

163 Ibid., p. 109. 164 DE COTRET. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 109.

123

espacio, y una multitud de ellos componen el tiempo y el espacio. Asimismo imaginaban

que existía una unidad muy pequeña e indivisible, que era el elemento generador de todas

las magnitudes. Esta tesis, según Ruiz (1998), tuvo un fuerte oponente como fue Zenón

con sus paradojas. Más, sin embargo, su principal adversario fue el problema de la

inconmensurabilidad. Dado que en el se mostraba la existencia de caos donde es imposible

encontrar una medida común para dos magnitudes.

Desde entonces, según Ruiz (1998) es absurdo expresar la razón entre dos magnitudes por

medio de números enteros.

se abre un autentico cisma entre números y magnitudes...Desde este momento los

números dejan de ser considerados como entes continuos, y las magnitudes

dejan de ser asociadas a los números; a partir de ahora y, hasta la aparición de los

irracionales, los números son discretos, y todo lo que es continuo deja de ser

numérico. Así pues, es imposible tener variables numéricas que representen

magnitudes, pues los números son discretos y las magnitudes continuas.165

Así pues, se puede afirmar, que la “inconmensurabilidad y las paradojas son obstáculos a

la noción de función, puesto que discretizan los números y esto impide que se

establezcan relaciones generales numéricas entre las magnitudes.”166 Y por ende debe

decirse, por ser este un concepto que esta próximo al estudio del movimiento, que en el

siglo XVII dio origen al Cálculo diferencial, a través del método de Fluxiones de Newton,

el retrazo en la aparición de dicho concepto debido a las paradojas, se constituye en un

obstáculo para el posterior desarrollo del concepto de derivada.

5. 6. Pensamiento matemático en la Edad Media

165 Ibid., p. 110. 166 Ibid., p. 110.

124

Según Martínez – Cortés (1991), la forma aristotélica de entender el continuo y el infinito

fue la que predominó hasta la llegada de la ciencia moderna, ello debido principalmente a

que escuelas como el Neo platonismo que buscaban la renovación del pensamiento de

Platón (interpretado especialmente desde una perspectiva religiosa) adoptaron la teoría del

acto y potencia aristotélicos, para fundamentar sus concepciones cosmológico-religiosas.167

5. 6. 1. Noción de infinito en la Edad Media

5. 6. 2. Neo platonismo

Esta escuela respecto del infinito, según interpretación de Ferrater (1949), precisa la

anterior distinción entre lo infinito negativo, potencial, de la materia, y el infinito

positivo, actual, de lo Uno. Aquí, aunque, la realidad dada al ser finito sigue siendo

finita, no obstante, es una finitud que se construye por su “comprensión” dentro de dos

infinitos. Alcanzando en este período el infinito positivo su preponderancia sobre su

contrario. Constituyéndose la materia en el último término de la procesión cósmico –

divina, lo cual es que; aun el mismo infinito potencial es engendrado por el actual y

depende de él. Y ello hasta tal punto, que puede inclusive decirse que todo lo que existe,

es, en ultima instancia, infinito.

5. 6. 3. Cristianismo e infinito

Con el cristianismo, lo infinito, más bien ahora la infinitud, pasa a ser, por obra de los

padres de la Iglesia, el atributo propio y exclusivo de Dios. Dándose un análogo primado

del infinito. Más sin embargo, según anota Ferrater (1949), aquí no se reduce todo ser a

infinito, pues hay algo esencialmente finito: lo creado. Ello gracias a no haber

167 “el emanatismo neoplatónico mantiene el continuo entre lo Uno y la materia informe, en una jerarquía de seres que forman esta gradación sin saltos, una gran cadena del ser” MARTÍNEZ * CORTÉS. Op. cit.,

125

identificación entre Dios y las criaturas, puede entonces afirmarse la existencia de lo

finito y de lo infinito, pero, en todo caso, la infinitud constituye una de las

características esenciales de la persona divina. Siendo precisamente uno de los

caracteres que permiten al cristianismo comprender un poco la inconmensurabilidad del

Creador, la contraposición de la infinitud de Este con la esencial finitud de lo creado.

Solo Dios es infinito. Pues como Santo Tomas dice, el propio Dios, con toda su

omnipotencia, no podría crear algo absolutamente infinito. Lo cual no significa que haya

entre Dios y las criaturas un abismo insondable como así lo ha expuesto la teología

dialéctica y la teología negativa, de inspiración neo platónica, en oposición hay teología

positiva que se refiere más a la comunidad de las personas que a la estructura cósmico-

metafísica de los entes.

5. 6. 4. Escolástica

Según interpreta Ferrater (1949), el desarrollo de la idea de infinito en esta escuela muestra

evidentemente el primado de la contraposición entre la infinitud del creador y la finitud

de lo creado, sin que ella excluya en absoluto la presencia de la ultima. Pues “cuando el

pensamiento se atiene a Dios, el infinito prima, y la actualidad de este infinito no es en

ningún caso negada.”168 No obstante los escolásticos a la hora de referirse a las

criaturas y lo creado, esto lo hacían a la Luz del análisis aristotélico. “El ser se

determina por lo que tiene de positivo; por lo tanto el ser de una realidad es su ser

“cerrado”.”169 Más, sin embargo, el ser de Dios, determinado también por lo que tiene

de positivo, no puede ser “cerrado”, aunque, este cerrarse alude a la posibilidad de un

infinito “completo” y por ello “determinado”. De hecho, los escolásticos admitían para lo

creado el infinito potencial, más no el actual, pues este sólo corresponde a Dios.

búsqueda bajo la palabra: continuo . 168 FERRATER. Op. cit., p 15. 169 Ibid., p. 15.

126

5. 6. 4. Santo Tomás (1225 – 1274)

Como máximo exponente de la escolástica, sostenía que si bien los antiguos filósofos no

mentían al decir que el primer principio es infinito, si se equivocaron cuando

convirtieron a este ultimo en un cuerpo. Según Ferrater (1949), en una clara alusión a la

doctrina aristotélica del infinito. Para él la materia es por principio limitada por la

materia que la individualiza. Siendo sólo Dios, forma pura, infinito, pero no entendido al

modo del infinito material. Así la infinitud que corresponde a Dios es absoluta. Santo

Tomás de hecho niega formalmente la existencia de un infinito actual distinto de la

absoluta infinitud de la pura forma Divina, es decir, un infinito actual en extensión o

magnitud cualesquiera. Pues aun cuando se supusiera que un cuerpo es infinito en

extensión, esto no implicaría que lo fuese por esencia, porque la esencia se limita

siempre a una especie por la forma y a una individualidad por la materia. Más tampoco

las cosas creadas son infinitas en extensión.

Haciendo evidente desde esta perspectiva las distinciones escolásticas entre lo finito y lo

infinito, así como las distintas clases de infinito que ellos postularon. Sin embargo,

ninguna de estas distinciones anula la clásica distinción entre el infinito absoluto y los

demás infinitos, que siendo de alguna manera potenciales, pertenecen metafísicamente al

orden infinito.

Apareciendo el pensamiento del infinito actual sobre todo cuando se suponía posible la

prueba de Dios por las condiciones implícitas en su ser. Pues sin la posibilidad misma de

pensar el infinito actual no podría poseer sentido la prueba antológica y a su vez no

tendría sentido hablar de una edad media , tanto en las direcciones más aristotelizantes.

5. 7. Matemáticas del medioevo.

127

Después de la desaparición de la sociedad antigua, la floración de la ciencia en los países

de cultura árabe no aporta conocimientos nuevos y significativos al tema que aquí nos

concierne. Sin embargo, es de destacar de esta época la enorme y fundamental labor de

traducción de obras de astronomía, alquimia y geometría provenientes de India y de la

antigua Grecia (Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio). Y las interesantes

aportaciones que realizaron en otros campos de las matemáticas, que Romero-Serrano

(1994) resumen en:

1.- Desarrollo de una aritmética, proveniente de la india.

2.- Desarrollo de un álgebra de orígenes griegos, indios y babilónicos, a la que le

proporcionaron una nueva forma más sistemática.

3.- Desarrollo de una trigonometría de origen griego, a la que los árabes dieron

forma hindú y ampliaron con nuevas formas y relaciones.

4.- Desarrollo de una geometría que provenía , igualmente, de Grecia y a la que

contribuyeron con diversas generalizaciones y con estudios críticos, tales, como los

relativos al axioma de las paralelas.170

5. 7. 1. Noción de función en la Edad Media

Aunque, como ya se dijo antes, después de la desaparición de la sociedad antigua fueron

pocos los aportes que brindaron los países de cultura árabe a la noción de lo que

posteriormente habrá de ser llamado derivada, es de resaltar, dos aportes característicos

de la matemática árabe, a saber; la separación del álgebra y la trigonometría como ciencias

particulares dentro de la matemática. En álgebra los árabes además de realizar una

clasificación exhaustiva de todo tipo de ecuaciones, crearon las bases para la

formalización de una teoría de las ecuaciones. En trigonometría, hicieron de ella más que

un conjunto de medios auxiliares de la astronomía, un estudio serio de todo tipo de

170 ROMERO * SERRANO. Op. cit. p. 48.

128

triángulos planos y esféricos. Al punto según Ruiz (1998) que en ambas ciencias falto tan

solo un paso para que adquirieran el aspecto analítico que tienen hoy día.

En el Viejo mundo las matemáticas aún siguen manteniendo la disociación entre

numero y magnitud, legada de de la filosofía de la matemática antigua, reflejándose esto

en sus concepciones cualitativas y cuantitativas del universo. Ruiz (1998). En esta misma

época, la matemática se convierte en la ciencia racional modelo, esto gracias a la

recuperación gradual de la lógica de Aristóteles y de la matemática griega y árabe. Los

científicos, siguiendo las ideas de Platón, mantenían que los sentidos son engañosos, y

que solo a través de la razón se podía alcanzar la verdad.

En el campo del estudio de la naturaleza una de las mayores preocupaciones de la Edad

Media fue el análisis de los fenómenos sujetos a cambio y movimiento. “Se preguntaban

por qué los planetas brillan, por qué el viento sopla, por qué se forma el arco iris, por qué

la lluvia cae, mientras que el fuego sube. Trataban de encontrar un modelo de universo que

correspondiese a estas cuestiones”.171

Investigando los fundamentos filosóficos para dar respuesta a dichas cuestiones en las

ideas de Aristóteles y de Platón. Los cuales indagaban la causa de los cambios

cualitativos del movimiento. Platón por su parte sostenía que las matemáticas podían servir

para definir la causa, mientras que Aristóteles era de la creencia que física y matemática

eran dos cosa bien distintas, dado que las matemáticas eran la ciencia de la cantidad

abstracta, y las causas del cambio había que buscarlas en las cosas materiales. Ruiz (1998).

“La historia nos va a mostrar que es unificando, fundiendo las dos concepciones , como

se van a poner las bases de la noción de función”.172

171 DE COTRET. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 111. 172 Ibid., p. 111.

129

A partir del siglo XII la ingerencia de las matemáticas en las ciencias de la naturaleza es

cada vez más importante , al punto de que se va poniendo cada vez más en duda la estricta

demarcación aristotélica entre ellas y las ciencias físicas. Según cita Ruiz (1998) de

Crombie (1979), la historia de las ciencias europeas, del siglo XII al XVII, pude ser

pensada como la inserción progresiva de las matemáticas, junto con el método experimental

en el domino que se creía que pertenecía exclusivamente a las ciencias físicas. De hecho la

noción de función se beneficiara con los aportes muy significativos de las escuelas de

filosofía de Oxford y Paris. Filósofos tales como Grossetest y Bacón, aseguran que las

matemáticas son el principal instrumento para estudiar los fenómenos naturales.

En esta época fenómenos sujetos al cambio, tales como, el calor, la densidad, la distancia,

la luz, la velocidad, llamados cualidades o formas en la filosofía de Aristóteles, son

estudiados planteándose no solo por qué suceden los cambios sino fundamentalmente

cómo suceden los cambios.

Muestra de ello es la teoría de la intensidad de formas, llamada también teoría de las

calculaciones, y su parte más importante, la cinemática, que fue desarrollada por los

ingleses Heytesbury y Swineshead, quienes siguieron una orientación cinemática –

aritmética, en Francia el principal agente de tal tendencia fue Oresme, quien siguió una

dirección geométrica.

Así el movimiento, respecto del cual había sido impotente la geometría griega –

concebida estáticamente-, era estudiado por vez primera matemáticamente,

conduciendo así a la fundación de la ciencia de la cinemática, esto es, al análisis

del movimiento en términos de distancia y tiempo.173

De hecho, según Ruiz (1998), los métodos de la física matemática fueron desarrollándose

en unión con la idea de relación funcional.

130

Existía una concepción sistemática de las variaciones concomitantes entre causa

y efecto; expresando el fenómeno que debía ser explicado (la variable

dependiente como la llamamos ahora) como una función de las condiciones

necesarias y suficientes de su producción (las variables independientes), se puede

mostrar exactamente cómo están relacionados los cambios de la primera con los

de la segunda.174

Según explica Ruiz (1998) para que este método fuese eficaz en la practica, debían

hacerse medidas muy sistemáticas, que en el periodo anterior al s. XVII, fueron muy

pocas. De hecho, “En el s. XVI la idea de relaciones funcionales fue desarrollada sin

medidas efectivas y solamente en principio.”175 Más, sin embargo, en este periodo se

desarrollaron principalmente dos métodos para expresar las relaciones funcionales. Uno

fue el llamado “álgebra de palabras”, desarrollado por Bradwardino de Oxford, en el que

se obtenía la generalización empleando las letras del alfabeto, en lugar de números, como

sucedáneo de las cantidades variables, mientras que las operaciones usuales entre números,

que eran realizadas con estas cantidades, se describían con palabras en vez de representarlas

con símbolos. Y el otro fue un método geométrico que hacia uso de graficas. Método este

que se hizo común en Oxford y Paris a principios del s. XIV, siendo su principal

exponente Oresme.

5. 7. 2. Nicolás Oresme (1320-1382)

Este filósofo, teólogo, científico y economista galo perteneciente a la corriente ockamista.

Nacido cerca de Caen, en Normandía. Desarrolló una gran actividad intelectual en muchos

y distintos campos de interés: como traductor, como economista, como matemático y como

físico. No obstante, sus trabajos más destacados son los que versan sobre física.

173 CROMBIE, A. Historia de la Ciencia, citado por RUIZ. Op. cit., p. 112. 174 Ibid., p. 112.

131

Para afrontar el estudio de las velocidades «instantáneas» de un móvil, realizó un

procedimiento matemático basado en un método gráfico de figuras bidimensionales para

representar el tiempo (que se ha considerado precursor de las coordenadas cartesianas). Con

el cual a su ves, también podía estudiar la extensión de una cualidad y las cualidades

intensivas. En cuanto a la explicación del movimiento defendió la teoría del ímpetus y, con

su teorema de la velocidad media y su descripción matemática del movimiento acelerado,

se avanzó implícitamente a la formulación del principio de inercia, preparando el camino,

según Ruiz (1998), para la formulación de una física matemática y no ya metafísica.

El objetivo principal de Oresme, con su método grafico, era el representar por una figura

las intensidades de una cualidad de una magnitud continua que depende de otra magnitud

análoga. Oresme, según cita Ruiz (1998) de D’hombres (1987), distinguía tres tipos de

figuras o de configuraciones diferentes: 1) Uniformemente uniformes, 2) Uniformemente

deformes y 3) Deformemente deformes.

Las cuales en interpretación de Ruiz (1998) consisten en:

1). Si consideramos la representación de la velocidad con respecto al tiempo, podemos

asociar una figura uniformemente uniforme para el caso en que la velocidad sea constante.

Oresme dibujaba una grafica velocidad tiempo en la que los puntos de una recta

horizontal representaban los sucesivos instantes de tiempo (longitudes) y, para

cada uno de estos instantes, traza un segmento (latitud) perpendicular a la recta en

dicho punto, cuya longitud representa la velocidad en ese instante. En este caso se

obtiene un rectángulo:176

175 Ibid., p. 112, 113. 176 RUIZ. Op. cit., p. 114.

132

Fig. 10

2) Una figura uniformemente deforme corresponde a una velocidad con aceleración

constante. En tal caso, según explica Ruiz (1998), la línea borde es una recta, y la figura

puede ser un triangulo o un trapecio, según la intensidad inicial de la cualidad:

Fig. 11

Según cita Ruiz (1998) de Youschevikch (1976); Oresme expresaba esta cualidad

diciendo: “es aquella en la que si tomamos tres puntos de la recta considerada, la razón

de la distancia entre el primero y el segundo, a la distancia entre el segundo y el

tercero, es como la razón del exceso de la intensidad del primer punto sobre el segundo

al exceso del segundo sobre el tercero.”177 La intensidad, como se observa en la figura,

dice Ruiz (1998), está significada por la hipotenusa de un triangulo rectángulo o por el

lado superior inclinado de un cuadrilátero que tenga dos ángulos rectos en la base.

177 YOUSCHEVITCH, A. The concepto f function up to the middle of the 19th century, citado por RUIZ. Op. cit., p. 115.

133

3) Las figuras deformemente deformes, estas corresponden a las aceleraciones no

constantes de la velocidad. Correspondiendo a estas todos los casos en donde la línea borde

no sea una recta:

Fig. 12

Según Ruiz (1998), si bien los términos latitud y longitud que usaba Oresme podrían ser

similares a los actuales conceptos de ordenada y abscisa respectivamente, y a pesar de

que sus representaciones graficas se parecieran mucho a nuestra geometría analítica;

La longitud horizontal de Oresme no era estrictamente equivalente a la abscisa

de la geometría analítica cartesiana: no estaba interesado en describir la posición

de los puntos con respecto de coordenadas rectilíneas, sino en la figura misma. En

su obra no hay asociación sistemática de una relación algebraica con una

representación grafica, en la que la ecuación de dos variables determina la curva

especifica formada por valores variables simultáneamente de longitud y latitud, y

viceversa. Sin embargo, su obra fue un paso adelante hacia la idea de

movimiento de la que había carecido la matemática griega.178

No obstante, se puede decir, siguiendo a Ruiz (1998), que Oresme fue capaz de captar

el principio esencial de que una función de una variable puede representarse por una

curva. Así mismo se puede decir con respecto a las representaciones de Oresme que estas

fueron más cualitativas que cuantitativas. Al punto de no poder ser consideradas como la

expresión de una dependencia, en el sentido actual, ello solo seria posible, según Ruiz

(1998), si nos concentrásemos únicamente en la línea superior o de intensidades, en su

178 CROMBIE. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 115.

134

derivada, es decir, en la forma de la variación, analizando el trabajo de Oresme se observa

que esta línea no aparece aislada sino que el fenómeno se representa a través de toda la

figura, por su forma, como ya se menciono antes, y por la superficie que queda bajo la

curva, es decir, por la integral de la curva.

Más aun, como agrega Ruiz (1998), las relaciones funcionales no estaban dadas de forma

analítica. Y por esto las representaciones graficas no podían ser utilizadas adecuadamente

para describir los fenómenos físicos. Así pues, “Podemos decir que Oresme ha tallado

el árbol del bosque que permitirá más tarde a Descartes y Galileo confeccionar la

rueda.”179

5. 8. Pensamiento matemático en la Edad Moderna

5. 8. 1. Pensamiento moderno del infinito

Tal y como apunta Ferrater (1949), la noción de infinito a través de la época moderna se

abre paso sobre todo en las meditaciones de Nicolás de Cusa y Giordano Bruno en una

contraposición a lo creado de la infinitud que la escolástica había reservado al ser

primero.

5. 8. 2.Giordano Bruno (1548 – 1600)

En Bruno, por un lado, según Ferrater (1949), hay una negación del marco mismo dentro

del cual se había desarrollado hasta entonces la teoría de los infinitos, al hacer coincidir

potencia y acto en una misma unidad, así ser y poder se encuentran en la eternidad. De

allí que no haya distinción entre el principio infinito y los mundos infinitos, que son en

rigor, la misma realidad contemplada desde dos puntos de vista , el de la natura naturans

135

y el de la natura naturata. “Si Dios tiene que intervenir en el mundo ha de ser, según

Bruno, inmanente al mundo, pero ello quiere decir que este mundo ha de ser, a su vez,

infinito y divino.”180

5. 8. 3. Nicolás de Cusa (1401 – 1464)

Por su parte, Nicolás de Cusa, el los planteamientos de Ferrater (1949), intenta superar las

contradicciones de lo finito desde la idea de infinito. La coincidencia de los opuestos, la

identidad de los opuestos en el Uno infinito componen un modo de pensar para el que

inicialmente la infinitud de todo lo real es algo positivo. Dicha concepción de Cusa es

proporcionada por las matemáticas. Pero como dice Ferrater (1949) es una pura ilustración.

Las concepciones del universo como la explicación de lo implicado, al modo del

neoplatonismo, se conjuga con la idea del origen inmediato del universo en un primer

principio. Así para Cusa la realidad del mundo no es la mezcla del infinito positivo y

del negativo, sino algo que posee una positividad infinita.

La coincidentia oppositorum, de Nicolás de Cusa, y la afirmación por Giordano

Bruno de que “el Universo es uno, infinito, inmóvil”, constituye, así, los plintos

sobre los cuales se montarán las especulaciones modernas acerca del infinito.

Esta son de tal modo insistentes , que se ha podido hablar de un infinitismo en la

concepción moderna del universo.181

5. 8. 4. Infinitismo en las matemáticas modernas

El infinito en las concepciones moderna acerca del universo, se advierte desde luego en el

avance de las matemáticas; complementando métodos ya usuales en ella como el método

179 DE COTRET. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 116. 180 FERRATER. Op. cit., p. 16.

136

reductivo y el método de exhaustivo, con nuevos métodos que van, en opinión de Ferrater

(1949), desde los indivisibles de Pascal, al cálculo de fluxiones de Newton y al calcul

des infiniment petits de Leibniz, pasando por la Geometría de los indivisibles de

Cavalieri y por la Aritmética de los infinitos de Jhon Wallis, que muestra no solamente

un claro progreso de la idea del infinito, sino de las posibilidades racionales de

capturarlo.

Así mismo, según Ferrater (1949), el calculo de funciones trascendentes y su reducción a

funciones algebraicas represento un primer paso para una efectiva “matemática del

movimiento”, tal como la que adelantaron Leibniz o Newton. Sin embargo, este infinitismo

y el acompañamiento de su ley formal no se manifestó tan solo en las matemáticas, sino

que también y especialmente, en la filosofía de toda la época moderna y en particular

en la metafísica del siglo XVII.

Como el cálculo infinitesimal descubrió en el orden de los seres matemáticos la

“ley del infinito”, la filosofía descubre esta ley en el orden de lo real. Por lo

pronto, considerando lo infinito en todos los géneros no como una determinación ,

sino como lo único que puede determinar, dándole sentido positivo, a un ente.182

Así para ser, la substancia necesita ser infinita.

5. 8. 5. Rene Descartes (1596 – 1650)

Según apunta Ferrater (1949), para este filosofo francés lo finito no es concebido mediante

la negación de lo infinito, sobreponiéndose a toda negatividad del infinito, sino que el

pensamiento del infinito, pensamiento puesto por Dios en el ente finito del hombre, que

demuestra la existencia de Dios mismo, es “una verdadera idea clara y distinta”, que

181 Ibid., p. 16. 182 Ibid., p. 17.

137

encierra más realidad objetiva que ninguna otra. Asimismo, según Ferrater (1949),

Descartes al igual que Nicolás de Cusa concibe a Dios como actualmente infinito, es decir,

como lo infinito dado, de igual forma, otorga al ser creado, en cuanto posee realidad, una

participación efectiva en la infinitud. De hecho, para Descartes al igual que Cusa,

identifican la diferencia entre la infinitud divina y la cósmica, en la ausencia de partes de

la primera. Así, según Ferrater (1949), la distinción entre los dos infinitos no es ya

entonces la que corresponde al positivo y al negativo, sino la que se refiere al absoluto y

al concreto.

5. 8. 6. Baruch Spinoza (1632 – 1677)

Por otro lado, según Ferrater (1949), para este filosofo holandés quien decididamente niega

realidad a todo lo no finito infinito. La substancia absoluta es infinita, y son infinitos

sus atributos. Los modos pueden ser, en cambio, finitos o infinitos. Con este filosofó,

según Ferrater (1949), desaparece todo residuo de distinción entre potencialidad y

actualidad del infinito; habiendo solo el infinito actual, y todo lo que no posea actualidad

queda eliminado.

5. 8. 7. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Tal y como apunta Ferrater (1949), el temperamento conciliador de Leibniz intentó

solucionar estas dificultades, al; por un lado, radicalizar la idea de lo infinito

extendiéndola a lo pequeño, la monadología, la que esta vinculada esencialmente con los

problemas de lo infinito y de lo infinitamente divisible en la realidad no formal-

monadologica; y por otro, al idear un instrumento de reducción del infinito.

Leibniz forjó un instrumento de reducción del infinito. Tanto el cálculo integral –

que suma los infinitamente pequeños; tales las líneas infinitamente pequeñas que

138

forman una curva- como el cálculo diferencial –que establece relaciones entre

magnitudes infinitamente pequeñas; tales que ocurren en la resolución de una

curva en tangentes o en la construcción de curvas –están encaminados a dicho

propósito, que no se limita al campo de la matemática, porque lo infinito

matemático no es sino la expresión de las condiciones del infinito concreto.183

5. 9. Matemáticas modernas

5. 9. 1. Noción de función en los albores de la modernidad: (s. XV y XVI)

Este que es denominado por algunos historiadores de las matemáticas como <<siglos

auxiliares>>, esto debido esencialmente a que durante estos siglos no se introdujeron en

las matemáticas, al parecer, ideas brillantes, ni grandes descubrimientos, así como tampoco

transformaciones radicales. Sin embargo, en el, según apunta Ruiz (1998), se distinguen

dos direcciones fundamentales en el desarrollo de las matemáticas, por un lado esta el

perfeccionamiento serio del simbolismo algebraico, y por otro la constitución definitiva

de la trigonometría como ciencia independiente.

Acerca de estas dos direcciones, ellas van a beneficiar, según Ruiz (1998), el desarrollo

del concepto de función, la primera con respecto a la simbolización y la segunda respecto

al estudio de las funciones trigonométricas. De hecho los progresos en la notación

contribuyeron a desarrollar la formulación y expresión de lo que hoy se conoce como

<<variable>> en una función o <<incógnita>> en una ecuación. Igualmente se

elaboraron sistemas de símbolos muy versátiles para todas las operaciones matemáticas,

perfeccionando las notaciones sincopadas de Disfanto (250 d. C) – padre del Álgebra- y de

Brahmagupta (589 d. C).

183 Ibid., p. 18.

139

Para el caso de la trigonometría, según Ruiz (1998), los éxitos en dicha ciencia fueron

consecuencia del desarrollo de la astronomía legada de la Grecia antigua y de la ciencia

árabe posterior. Haciendo esto ya posible en el siglo XV las navegaciones lejanas, y que

se acrecentara el interés por la astronomía.

En el año de 1461, el matemático alemán Müller (1436 – 1476), escribió la obra Cinco

libros sobre triángulos de cualquier tipo, en el que definitivamente es separada la

trigonometría de la astronomía, al ser tratada esta como ciencia independiente de las

Matemáticas. Müller elaboro múltiples tablas de funciones trigonométricas, destacándose

entre ellas las que recibirían en el siglo XVII la denominación de tangente y cotangente.

Según cita Ruiz (1998) de Valirón (1976, p. 165) “está fuera de duda que estos hábiles

calculistas matemáticos, tenían una clara idea de lo que nosotros llamamos continuidad

de funciones trigonométricas, ya que era muy alto el grado de aproximación que tenían

los valores suministrados por sus tablas.”184

5. 9. 2. Galileo Galilei (1564-1642)

Otro gran Matemático de este periodo es Galileo, quien fue el principal iniciador de la

revolución científica y de la ciencia moderna. Que en oposición a la teoría acerca del

infinito y el continuo aristotélico defendió, la posibilidad de que el continuo estuviera

formado por infinidad de elementos materiales, que llamó minima y átomos, sin resolver las

dificultades matemáticas que tal afirmación implicaba.185

Así mismo, a este magnánimo matemático, se debe, en el campo de la evolución del

concepto de función, su empeño en buscar los resultados y las relaciones que proviene

184 VALIRON, G. Formación y evolución del concepto de función analítica de una variable, citado por RUIZ. Op. cit., p. 117. 185 MARTÍNEZ * CORTÉS. Op. cit., búsqueda bajo la palabra: continuo.

140

de la experiencia más que las que provienen de la sola abstracción. Sobre este punto,

según Ruiz (1998) reside su diferencia fundamental con Oresme, para quien la teoría

pura, libre de experiencia, era suficiente. Acerca de la época en que vivió, esta se

caracterizo por un especial interés en las mediciones, que se tradujo en nuevos y más

precisos instrumentos de medida. Lo cual facilito a Galileo la experimentación,

introduciendo con ello aspectos cuantitativos en campos en los que antes no se podía

hablar más que de forma cualitativa, verbo y gracia, el calor y el frió.

Según apunta Ruiz (1998), a diferencia de Oresme, los gráficos de Galileo proceden de la

experiencia y de la medida. Las relaciones de causa efecto están expresadas de forma

cuantitativa y verificable.

Puesto que el principal campo de estudio de Galileo fue el movimiento, él se preocupo

especialmente de problemas relativos a la velocidad, la aceleración y el desplazamiento.

Buscando relacionar estos diferentes conceptos a partir de leyes que están inspiradas por

la experiencia y la observación. Sin embargo, al momento de formular sus leyes volvió

al viejo estilo de las proporciones. No obstante, según R. De Cotret (1985), esta

insistencia de Galileo en estudiar los movimientos de forma cuantitativa, por medio de la

experimentación, contribuyo enormemente a la evolución de la noción de función. Ya

que la pretensión de Galileo de relacionar de forma funcional las causas y los efectos, es

un factor esencial en la construcción de la noción de variable independiente.

5. 10. La idea de límite en el siglos XVI

5. 10. 1.Francoise Viéte (1540 – 1603)

Según apuntan Romero – Serrano (1994), Francoise Viéte puede ser considerado como la

figura central y más brillante de la transición del Renacimiento al mundo Moderno,

aunque no fue lo que se podría llamar un profesional de la matemática -a la que solo

141

dedicaba su tiempo de ocio-, son destacables sus contribuciones en campos de la

aritmética, el álgebra, la trigonometría y la geometría.

“La obra de Viéte hunde sus raíces en dos hechos concretos:

a). la recuperación de los antiguos clásicos griegos y

b). los desarrollos, relativamente nuevos, del álgebra medieval y de comienzos de

la época moderna.”186

Este autor fue uno de los primeros en utilizar el termino análisis como sinónimo de

álgebra, a la par, que fue uno de los primeros analistas en el sentido actual del termino:

aquél que estudia procesos infinitos. Romero – Serrano (1994).

Antes de la época de Viéte, - como ya se he dicho-, se habían brindado aproximaciones

de la razón existente entre una circunferencia y su diámetro, algunas de las cuales

resultaban bastante acertadas. Sin embargo, es Francoise Viéte el primero que llega a

calcular Β con diez decimales exactos. No obstante, no es este valor calculado para Β su

aportación más importante, sino la expresión numérica, teóricamente exacta, que obtiene

para Β, bajo la forma de un proceso infinito que puede escribirse como:

2 / Β = (½)( ½) + (½)( ½)(½) + (½)( ½) + (½)( ½)

Este eminente matemático obtuvo su producto infinito inscribiendo un cuadrado en un

circulo dada y aplicando la siguiente formula recursiva:

a 2n = an sec Β/n


142

donde a es el área del polígono regular inscrito de n lados , y donde n se hace crecer

indefinidamente. Donde según Romero – Serrano (1994), nos volvemos a encontrar aquí

con un proceso infinito cuyo límite es el valor de Β.

5. 10. 2. Ludolph Van Ceulen (1540 – 1610)

Tal y como explica Romero – Serrano (1994), Ludolph Van Ceulen continua con los

trabajos de Viete , en busca de la obtención de una buena aproximación de Β, en una

senda en la que está implícita la noción de límite. Llegando a obtener un valor de Β con

20 decimales exactos, en una primera ocasión. Para ello partió del polígono regular de

quince lados y duplico sucesivamente el numero de lados por un total de treinta y siete

veces, hasta llegar al cálculo de treinta decimales exactos en un trabajo posterior, en el

que utilizo un número de lados aun mayor.

5. 10. 3. Stevin

A pesar de ser un gran admirador de los tratados teóricos de Arquímedes, este autor

era un matemático de mentalidad practica que creía de escaso interés los aspectos más

especulativos de la ciencia matemática. Por consiguiente, según apuntan Romero – Serrano

(1994), en toda su obra se refleja una corriente de tipo practico, más en concordancia con

las características renacentistas que con las propias de la antigüedad clásica.

De hecho este autor ejerció una gran influencia en la economía y la ingeniería de su

tiempo, y suscitó el uso de las notaciones matemáticas con su libro: De Thiende,

publicado en Leyden en 1585.

Stevin al igual que sucedería también con Kepler y Galileo, recurrió a los métodos

utilizados por Arquímedes para la solución de sus problemas, si bien intentando evitar a

143

toda costa las sutilezas del método de Exhausción. Lo cual, según Romero – Serrano

(1994), trajo con consigo interesantes modificaciones de los antiguos métodos

infinitesimales que desembocarían en la creación del Cálculo infinitesimal.

Viéndose esto claramente reflejado en el hecho de que casi un siglo antes de que Isaac

Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, publicaran sus versiones del Cálculo, Stevin, en su

obra Stática (1586), demostraba que el centro de gravedad de un triangulo está situado

sobre la mediana.

Fig. 13.

Método utilizado por Stevin:

Inscribía en el triángulo ABC un conjunto de paralelogramos todos de la misma

altura y cuyos lados eran, dos a dos, paralelos a uno de los lados del triangulo

(AB), y la mediana trazada desde el vértice opuesto a este lado (CD). Haciendo

uso del principio arquimediano según el cual las “figuras bilateralmente

simétricas están en equilibrio”, el centro de gravedad de la figura formada por la

reunión de todos los paralelogramos inscritos estará sobre la Mediana. Ahora

bien, como en el triangulo se pueden inscribir un numero infinito de

144

paralelogramos y como a mayor número de paralelogramos menor es la diferencia

entre la figura inscrita y el triangulo (diferencia que puede hacerse tan pequeña

como se quiera), el centro de gravedad estará sobre la mediana.187

Según Romero – Serrano (1994) el razonamiento anterior ofrece una aproximación a la

idea de Límite, en cuanto que lo que se pone de manifiesto en él es, que en el límite, el

área de la figura inscrita y el área del triangulo coinciden.

5. 11. Introducción de la representación analítica. (s. XVII)

El desarrollo de la teoría de funciones, que anuncia, según Ruiz (1998), el nacimiento de

las matemáticas variables, se basó fundamentalmente en tres pilares: 1) el crecimiento

vehemente de los cálculos matemáticos, 2) la creación del álgebra simbólico – literal, y

3) la extensión del concepto de número, no solo en el campo de los reales sino también de

los imaginarios y los complejos.

A principios del s. XVII, aflora una nueva concepción de las leyes cuantitativas de la

naturaleza, que incidirá notablemente en la noción de función (y por ende en la

construcción del concepto de derivada). A su vez, este poderoso instrumento algebraico

permitirá a Fermat (1601 – 1665) y a Descartes (1586 – 1650) el descubrimiento de la

representación analítica. Con la cual comenzó a configurarse la geometría analítica cómo

método para la expresión de las relaciones numéricas de las dimensiones, las formas y

propiedades de los objetos geométricos, haciendo uso básicamente del método de las

coordenadas. Ruiz (1998).

La importancia de este método -la geometría analítica- utilizado por Fermat y Descartes,

radica, según Ruiz (1998), en que permite traducir cualquier problema de la geometría

187 Ibid., p. 55.

145

plana en uno equivalente de tipo algebraico. Constituyéndose en el puente entre dos

áreas diferentes de las matemáticas. Que las rectas, los círculos y las cónicas de un plano

se pudieran llevar a ecuación, condujo de modo natural en matemáticas a que se fijara la

mirada en el estudio de ecuaciones de este tipo pero, como anota Ruiz (1998), sin reservas

de grado. Naciendo así la geometría analítica.

Como método, según apunta Ruiz (1998), esta nueva área de las matemáticas sirvió para

demostrar de forma más versátil los teoremas de la geometría a partir de la demostración

de un teorema equivalente de álgebra o análisis, trayendo esto consigo el descubrimiento

de resultados geométricos nuevos e insospechados.

Según Diudonné (1989) “El método de las coordenadas constituye también el fundamento

de los otros dos grandes progresos realizados en el s. XVII: la introducción de la noción

de función y el cálculo infinitesimal.”188

En interpretación de Ruiz (1998), la obra de Descartes fue de gran importancia en el campo

de la teoría de funciones. En su libro Discourse de la método pour bien conduire sa

raison et chercher la verita dans les sciences, Descartes inicia con una explicación de

algunos de los principios de la geometría analítica, demostrando, según Ruiz (1998), un

adelanto con respecto a los matemáticos griegos. Dado que para éstos, según se dijo

antes, una variable correspondía a la longitud de un segmento rectilíneo, el producto de

dos variables al área de un rectángulo y el producto de tres variables al volumen de un

paralelepípedo rectangular. No hiendo los griegos sobre este tema más lejos. Por el

contrario para Descartes un expresión como X 2 no sugería un área, sino el cuarto término

de la proporción 1 : X = X : X 2 y, como tal, puede representarse por un segmento de recta

que se construye fácilmente cuando se conoce X.

Con este concepto aritmético de la Geometría, según Ruiz (1998), Descartes, en La

Geometrie, toma X en un eje dado y después una longitud Y que forma un determinado

146

ángulo con dicho eje, tratando así de determinar puntos cuyos X e Y satisfagan una

relación dada.

Fig. 14.

Relacionando una curva plana algebraica con la ecuación entre las coordenadas de sus

puntos Descartes escribía; según toma Ruiz (1998) de Youschkevits (1976): “Tomando

sucesivamente infinitas diversas magnitudes para la línea X, encontraremos también

infinitas para la línea Y, y así tendremos una infinidad de diversos puntos por medio de

los cuales descubriremos la línea curva pedida.”189

Asimismo según cita Ruiz (1998) de Youschkevits (1979), es aquí donde por primera vez,

y, de manera completamente clara, se sostiene la idea de que una ecuación en X e Y es

un medio para introducir una dependencia entre dos cantidades variables, de tal forma

que permite el cálculo de valores de una de ellas con respecto a la otra.

El efecto que tuvo la introducción de funciones bajo la forma de ecuaciones, según

parafrasea Ruiz (1998) de Youschkevits (1976), fue revolucionario en el desarrollo de las

matemáticas. Al abrir nuevos horizontes totalmente nuevos a la matemática, con la

introducción y utilización de expresiones analíticas junto con las reglas para operar

entre ellas.

Según anota Ruiz (1998) de “Sierpinska (1989b):

188 DIUDONNÉ, J. En honor del espíritu humano, citado por RUIZ. Op. cit., p. 119. 189 YOUSCHKEVITS. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 120.

147

el desarrollo de la notación simbólica y de la resolución de ecuaciones fue tan

significativo que, por medio de él, se fue superando el obstáculo epistemológico

de la diferenciación existente entre números y magnitudes. Las letras usadas en

Álgebra van haciendo la noción de magnitud cada vez más abstracta, así para

las matemáticas, el hacer una distinción entre magnitudes y proporciones, por una

parte, y, números e igualdades, por otra, está cada vez menos justificada.190

5. 12. La idea de límite en el s. XVII

El hombre, si quiere ser realmente,

debe existir y limitarse hasta el fin.

Hegel.

Acerca de esta época, según mencionan Romero – Serrano (1994), hubo todo un

movimiento de matemáticos que iniciaron a resolver los problemas del infinito matemático

-los infinitesimales-, desarrollando los antiguos métodos de las «fluxiones» de los

matemáticos griegos, sobre todo de Eudoxo y Arquímedes. Contándose entre dichos

matemáticos Kepler, Cavalieri y Torricelli.

5. 12. 1. Johannes Kepler (1571 – 1630)

Mientras que Stevin -en el siglo anterior- se preocupo en las aplicaciones físicas de la

idea de infinitos elementos infinitamente pequeños, Kepler los necesito para aplicarlos a

la astronomía. En concordancia, se ve como en 1604 se vio forzosamente conducido al

estudio de las secciones cónicas en sus trabajos sobre óptica y sobre las propiedades de

los espejos parabólicos. Romero – Serrano (1994). Considerando cinco tipos de cónicas,

pertenecientes todas ellas a una misma familia o genero.

148

Con una sorprendente imaginación y un claro sentido pitagórico de la armonía,

este científico desarrollo en su obra Ad Vitellionem paralipomena, escrita en1604,

lo que podría ser llamado un principio de continuidad. A partir de la sección

cónica formada simplemente por un par de rectas que se cortan, en la que los

dos focos coinciden con el punto de intersección, se para gradualmente por un

conjunto infinito de hipérbolas, a medida que uno de los focos va alejándose

más y más del otro. Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no

existe ya una hipérbola con sus dos ramas, sino una parábola. Según el foco

móvil traspasa el punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado,

se va pasando por un conjunto infinito de elipses, hasta que, cuando los dos

focos coinciden de nuevo, se tiene una circunferencia como quinto y último tipo

de cónica.191

En su obra: Astronomía Nova (1609) Kepler proclama sus dos primeras leyes

astronómicas:

1. Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas elípticas uno de

cuyos focos es dicho astro.

2. El radio vector que va del sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos

iguales.192

En los problemas relativos a áreas, tales como el expuesto por Kepler en su segunda ley

astronómica, conjeturaba el célebre matemático que el área en cuestión estaba formada

por triángulos infinitamente pequeños, con un vértice en el sol y los otros dos vértices en

puntos infinitamente próximos a la orbita del planeta. De este modo Kepler aplicó un

calculo integral tosco mediante el que halló, el área del circulo del siguiente modo:

190 RUIZ. Op. cit., p. 120, 121. 191 ROMERO * SERRANO. Op. cit., p. 55.

149

Considero el circulo dividido en triángulos que tenían un vértice en el centro del

circulo y los otros dos vértices sobre la circunferencia y extremadamente

próximos el uno del otro; de este modo, al ser los triángulos muy estrechos,

tomaba las alturas de los triángulos iguales al radio del circulo. Llamando a las

bases extremadamente pequeñas: b1, b2 , ..., bn ,..., entonces el área del circulo

coincidirá con la suma de las áreas de todos los triángulos.

Fig. 15.

A(círculo) = Suma de las áreas de los triángulos.

Por haber tomado la altura igual al radio, dicha suma será:

½ b1 r + ½ b2 r + ... + ½ bnr = ½ r (b1 + b2 + ... + bn + ...) = ½ r C

por ser: b1 + b2 + ... + bn + ... = C (longitud de la circunferencia).193

5. 12. 2. Bonaventura Cavalieri

Este matemático que fue discípulo de Galileo, se sentía atraído, tanto por la

Estereometría de Kepler, como por las concepciones antiguas y medievales, lo que, junto

192 Ibid., p. 56. 193 Ibid., p. 56, 57.

150

con el animo que le infundirá Galileo para organizar sus ideas acerca de los infinitésimos

en forma de libro, le llevo a publicar en 1635 una obra con el titulo de Geometría

indivisibilibus continuorum. Este texto según sostienen Romero – Serrano (1994) se basa

en una idea fundamental: la de que un área se puede considerar formada por segmentos

rectilíneos o “indivisibles” y un volumen sólido por secciones o áreas que son

indivisibles o “volúmenes causi-atómicos”.

5. 12. 3. Fermat

Aunque no fue un matemático profesional, sino que, por el contrario, estudio derecho en

Toluse, incorporándose luego a las tareas del Parlamento local, he de decir que este fue

uno de los más grandes matemático del s. XVII y quien estuvo, según Romero – Serrano

(1994), más próximo a la noción de límite que hoy tenemos. Como es bien sabido, la obra

de Fermat no se publico sino hasta después de su muerte, circunstancia ésta que hizo que

muchos de sus descubrimientos fueran atribuidos inicialmente a otros autores, como por

ejemplo, la contribución de la Geometría a Descartes.

No obstante, es muy probable que Fermat estuviera ya en posesión de su geometría

analítica en 1629, dado que por esta época hizo importantes descubrimientos relacionados

con sus trabajos sobre lugares geométricos; uno de los cuales retomara posteriormente en

el tratado Methodus ad disquirendan maximam et miniman o método Para hallar

máximos y mínimos, en donde, según Romero – Serrano (1994), es posible apreciar una

estrecha relación con la actual conceptualización de límite.

Este autor descubrió un método muy ingenioso para hallar los puntos en los que

la función y = f(x) (siendo ésta una curva polinómica) toma un valor máximo o

un valor mínimo. Para ello comparaba el valor que tomaba f(x) en un cierto

punto con el valor de f(x+E) en un punto próximo; en general, estos valores han

de ser claramente distintos, pero en una “cumbre” o en el fondo de un “valle” de

151

una curva “lisa” la diferencia será prácticamente nula. De aquí que para hallar los

puntos correspondientes o valores máximos o mínimos de la función, Fermat

igualara f(x) a f(x+E), puesto que estos valores, pese a no ser iguales, son “casi

iguales”. Cuanto más pequeño sea el intervalo E entre los dos puntos, más cerca

estará dicha igualdad de ser una verdadera igualdad, por lo que Fermat divide todo

por E y hace E = 0.194

Los resultados obtenidos de este procedimiento le permitieron a Fermat calcular las

abcisas de los puntos máximos y mínimos de la función polinómica.

En este razonamiento, según Romero – Serrano (1994), se puede ver claramente la esencia

del concepto de diferenciación, razón ésta por la que Fermat es considerado como el

descubridor del Cálculo Diferencial. El procedimiento consistente en cambiar levemente

el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido,

desde entonces, la verdadera esencia del Análisis Infinitesimal.

Por la misma época Fermat descubrió cómo aplicar su procedimiento de los valores

próximos de la variable al cálculo de la tangente a una curva algebraica de la forma

y = f(x). La línea de ideas era el siguiente:

Sea P un punto de la curva donde deseamos hallar la tangente, de coordenadas (a,

b), y sea P, un punto sobre la curva, de coordenadas (x,y) con x = a + E e y = f(a

+ E), este punto P´ estará tan próximo a la tangente que podemos considerarlo a

la vez situado sobre la curva y sobre la tangente, por aproximación.195

194 Ibid., p. 58. 195 Ibid., p. 59.

152

Fig. 16.

Otra de las aportaciones de Fermat a la construcción del Análisis se desprende del

camino utilizado para el cálculo de áreas. En el año 1629 Fermat descubrió un teorema

relativo al área encerrada bajo una curva del tipo y = x ,́ pudiéndose aplicar tanto para

valores enteros del exponente como para valores enteros como para valores

fraccionarios. Que Romero – Serrano (1994) describen de la siguiente manera:

Sea la curva la curva y = x´. Supongamos que queremos calcular el área

comprendida bajo la curva entre los valores x = 0 y x = a. Para ello, Fermat

subdividía el intervalo de x = 0 a x = a en un número infinito de subintervalos

tomando los puntos de abcisas a, aE, aE2, aE3, ..., aEn, ..., en donde E es un

número menor que la unidad; en estos puntos consideraba las ordenadas de los

correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio

de los rectángulos circunscritos.

153

Fig. 17

La áreas de los rectángulos empezando por el mayor viene dadas por los

siguientes términos:

an(a-aE), anEn(aE- aE2 ), a2nE2n(aE2-aE3),...,

y así sucesivamente.196

5. 12. 4. Torricelli

Según Romero – Serrano (1994), Torricelli fue uno de los matemáticos más brillantes del

s. XVII. El cual se ocupo principalmente de aquellos problemas de la ciencia matemática

que necesitaban para su solución de métodos infinitesimales, cuestión en la que este autor

se destacó.

De entre su obras es de subrayar su obra De dimensione parabolas, donde presenta

veintiuna demostraciones diferentes de la cuadratura de la parábola, a partir de una serie

de razonamientos que se debaten entre el uso de indivisibles y el método de

Exhausción.

196 Ibid., p. 60, 61.

154

Según anotan Romero – Serrano (1994), si Torricelli hubiera aritmetizado sus métodos en

este contexto, habría estado sumamente cercano al concepto de limite moderno, sin

embargo, debido a la fidelidad que este guardo de la influencia de Cavalieri, que no dejó,

no logro avanzar en el descubrimiento del concepto de límite.

5. 12. 5. James Gregory (1638 – 1675).

Este matemático escocés mantuvo a través de toda su vida contactos con grandes

matemáticos de su tiempo tales como algunos seguidores de Torricelli, entre ellos, Angeli

del que fuera discípulo, estudiando con él varios años. La obra de Angeli trató

principalmente de los métodos infinitesimales, con un especial interés en la cuadratura de

espirales, parábolas e hipérbolas. De ahí, posiblemente, como apuntan Romero – Serrano

(1994), que Gregory llegase a advertir la potencia que muestran los desarrollos de

funciones en series infinitas y, en general, todos los procesos infinitos.

Como resultado inmediato de tales experiencias, a lo largo del año 1667, aparece en

Padua una publicación de Gregory, Vera circuli et hiperbolae cuadratura, que

muestra resultados en Análisis infinitesimal de gran importancia y donde se ponen de

manifiesto conexiones con la noción de límite.

Allí, según Romero – Serrano (1994), Gregory extendía el Algoritmo Arquimediano a la

cuadratura de elipses e hipérbolas del siguiente modo:

Consideraba un triangulo inscrito de área a0 y un cuadrilátero circunscrito de área

A0, duplicando el número de lados de estas figuras iba construyendo la sucesión:

a0, A0, a1, A1, a2, A2, ...,

155

de este modo se obtenían dos sucesiones, la de las áreas inscritas y la de las áreas

circunscritas, las cuales convergían al área del sector de la cónica en cuestión.197

Según Romero – Serrano (1994) este proceso en la actualidad podría quedar formalizado,

acudiendo a la noción de límite. Sin embargo, Gregory, aun obteniendo muy buenas

aproximaciones de sectores elípticos e hiperbólicos, no llegó nunca a expresar esta noción

pese a trabajar con procesos infinitos. Probablemente ello se debió a que Gregory

prefería expresarse en forma geométrica y no de forma analítica.

5. 12. 6. Isaac Barrow (1630 – 1677)

Este prelado que dedico su vida a la enseñanza de las matemáticas, ocupando importantes

puestos como el de profesor de geometría en el Gresham Collage de Londres (1662) y en

1964 lucasian profesor de esta misma disciplina en Cambridge, donde ocupó la cátedra

creada por Henry Lucas, que más tarde ocupara su sucesor Newton.

Como puede deducirse de su carrera docente, desde el punto de vista matemático, este

autor era conservador, partidario de la geometría, al que no degustaba usar el formalismo

propio del álgebra; lo que consideran Romero – Serrano (1994), funesto para sus

descubrimientos de carácter analítico. Asimismo, dada su gran admiración por los

geómetras antiguos, se ocupó de la edición de las obras de Apolonio, Euclides y

Arquímedes, tanto como de las suyas propias y, entre éstas ultimas es de resaltar

Lecciones opticae (1669) y Lectione geometricae (1670).

Acerca de sus temas de interés, los problemas que más lo preocupaban eran los relativos a

tangentes y cuadraturas, que eran los más trabajados por esa época, “de ahí que Barrow los

197 Ibid., p. 63.

156

tratase en su obra, mostrándose, para estos temas, más partidario de las concepciones

cinemáticas de Torricelli que de la aritmética estática de Wallis.”198

Barrow desarrollo un método para la determinación de tangentes, prácticamente idéntico

al que usado en el cálculo diferencial, siendo bastante parecido al de Fermat si bien, en este

nuevo método aparecen dos cantidades en lugar de la cantidad única que Fermat

representa por la letra E. Estas cantidades se concuerdan, en términos modernos, con

∆ x y ∆ y.

La explicación dada por Barrow era como sigue:

Si M es un punto de una curva dada por una ecuación polinómica f(x, y) = 0 (en

notación moderna) y T es el punto de intersección de la tangente buscada MT con

el eje X, entonces considera “un arco infinitamente pequeño MN de la curva”, las

ordenadas correspondientes a los puntos M y N, y el segmento MR de la curva”,

las ordenadas correspondientes a los puntos M y N, y el segmento MR paralelo al

eje X.

Fig. 18.

198 Ibid., p. 64.

157

Llamando m a la ordenada conocida de M, t a la subtangente buscada PT y a y e

a los catetos vertical y horizontal respectivamente del triangulo MNR, el autor

percibe que la razón de a a e es la misma que la de m a t:

a / e = m / t

lo que trasladado a nuestro lenguaje matemático actual seria equivalente a decir,

cuando los dos puntos estén infinitamente próximos, la razón de a a e es la

pendiente de la curva.199

Situando esta exposición a Barrow como el más cerca no predecesor del análisis que se

avecinaba. “En su obra se intuye el reconocimiento del carácter inverso de los problemas

relativos a tangentes y cuadraturas, que se vio frenado por su negativa a trabajar en el

campo algebraico.”200

5. 12. 7. Newton: El primer intento de definición de límite

Isaac Newton nació en Woolsthorpe en el año 1642, graduado de Cambridge, llegando a

formar parte del Trinity Collage en 1661. Estudio las obras de Euclides, Descartes,

Kepler, Vieta, Galileo, Fermat y Barrow, entre otros, en el año 1664 había alcanzado la

cima de los conocimientos matemáticos de su época y se encontraba en una posición

inmejorable para realizar una atribución en este campo del saber.

Las primeras aportaciones de este autor, datan del año 1665, donde trata de expresar

funciones en términos de series infinitas que era algo sobre lo cual estaba trabajando

Gregory (desarrollo en serie del arco tangente y cálculo del valor de Β). Asimismo

trabajó a lo largo de estos mismos años, sobre la velocidad de cambio o fluxión de

199 Ibid., p. 64, 65.

158

magnitudes que varían de manera continua o fluyentes, tales como longitudes, áreas,

volúmenes, distancias, etc., llegando Newton a asociar de manera conjunta e indisociable

estos dos problemas (series infinitas y velocidades de cambio) bajo el nombre común de

método.

Debido a la peste, durante la mayor parte del bienio 1665/1666, el Trinity College estuvo

cerrado, cuestión esta que, según Romero – Serrano (1994), Newton aprovecho para

dedicar mucho tiempo a sus investigaciones, siendo este, sin lugar a dudas, el periodo de

mayor fecundidad intelectual en su longeva vida. De este periodo, según explican Romero

– Serrano (1994), datan descubrimientos como:

1. El teorema binomial.

2. El cálculo.

3. La ley de gravitación.

4. La naturaleza de los colores.

Trabajando mediante ejemplos concretos Newton descubrió que el análisis mediante

series infinitas tenía la misma consistencia interna que el álgebra de cantidades finitas y

que estaba regido por las mismas leyes generales. En consecuencia, las series infinitas no

debería considerarse exclusivamente como recursos de aproximación, sino como formas

alternativas de las funciones a las que representan. Resultado también de estos intensos

años de trabajo será su obra De analysis per aequationes numero terminorum

infinitas (1669) sobre la base de ideas que venia madurando desde hacia cuatro años. En

esta obra es precisamente, según dicen Romero – Serrano (1994), donde Newton

descubre el cálculo al ser capaz de llegar a ver la relación inversa existente entre

pendiente y área a través de su análisis infinito.

En esta obra escribía:

200 Ibid., p. 65.

159

...y todo lo que el Análisis ordinario lleva a cabo por medio de ecuaciones con un

número finito de términos, este nuevo método puede siempre conseguirlo por

medio de ecuaciones infinitas, Así que no he tenido ningún inconveniente en

darle, por analogía, el mismo nombre de Análisis. Pues los razonamientos en este

no son menos seguros que en el otro, ni las ecuaciones menos exactas, aunque

nosotros los mortales cuya potencia de razonamiento está confinada dentro de

estrechos límites, no podemos ni expresar ni tampoco concebir todos los

términos de estas ecuaciones como para conocer exactamente a partir de ellas las

cantidades que queremos... para terminar, podemos considerar todo esto como

perteneciente con justicia al Arte Analítica, con cuya ayuda pueden ser

determinadas de manera exacta y geométrica las áreas, las longitudes, etc., de

curvas.201

A partir de ese mismo momento, en interpretación de Romero – Serrano (1994), los

matemáticos renunciarán ha evitar los procesos infinitos, que dando superada, de una vez

por todas, la antigua tradición griega y pasando a ser legitimo el uso de tales procesos

para el desarrollo de las teorías matemáticas.

5. 12. 8. Gottfried Wilhem Leibniz (1647 -1716)

Según afirman Romero – Serrano (1994) en la obra temprana de Leibniz, al igual que en

la obra de Newton, tuvieron un papel muy importante las series infinitas y en el caso

concreto de Leibniz, las numéricas. Más tarde Leibniz concentraría su atención en la

lectura de la obra de Pascal sobre el cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal.

Precisamente según anotan estos mismos autores, al leer la carta de Amos Dattonville

sobre el Traite de sinus du quart de cercle se da cuenta, hacia el año 1673, de que el

cálculo de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las

201 Ibid., p. 67.

160

ordenadas y las abcisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias, a la

par probó como las cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los

rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área. Advirtiendo, según Romero –

Serrano (1994), que son problemas inversos en geometría los de las tangentes y las

cuadraturas, siendo la conexión entre ambos el triangulo infinitesimal o “característico”

que ya habían usado Pascal, en la cuadratura del seno, y Barrow, en problema del trazado

de las tangentes.

La primera exposición del cálculo diferencial hecha por este autor tuvo lugar en 1648,

bajo el título de Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua

nec fractas hec irrationales quantitates moratur. En esta obra, según Romero – Serrano

(1994), Leibniz expone un conjunto de fórmulas para el cálculo de la diferencial de una

función, así como su aplicación geométrica. Dos años después, publicó en el Acta

Eruditorum una exposición del Cálculo Integral, en el que muestra que las cuadraturas,

con un caso especial, son un método inverso del de las tangentes; haciendo especial

énfasis en la relación inversa que existe entre diferenciación e integración. Según

Romero – Serrano (1994), en 1676 Leibniz ya había llegado a la conclusión a la que

Newton había llegado pocos años antes, como fue la de estar en posesión de un método

de gran trascendencia por su generalidad, si bien lo que hizo que los matemáticos de la

época se sintiesen más atraídos por la obra de Leibniz que por la de Newton fue,

esencialmente, su notación.

5. 13. Proceso de creación de las matemáticas variables

Acerca de esta época debe señalarse la existencia de una tendencia entre los filósofos y

matemáticos de esta época, a rechazar todo tipo de explicaciones fundamentadas en la

metafísica o que implicaran suposiciones arbitrarias o gratuitas. A la cual no fue inmune

el pensamiento de Newton. De hecho Newton interpretaba la imposibilidad de traducción

en formulas como un hecho desfavorable, mientras que se mostraba complacido con

161

cualquier concepción que, expresada en formulas permitiese abordar lo real de manera

eficaz.

Así mismo el deseo de precisión en las medidas cuantitativas tales como el calor o la

presión, que se vivió en esta época, con llevo a variadas experiencias y observaciones,

apoyadas en numerosos instrumentos científicos. Entre las ciencias de este periodo la

Mecánica se encuentra en un primer plano, y junto a ella, una de sus principales ramas, la

Dinámica. Siendo el estudio de la relación entre el movimiento curvilíneo y las fuerzas

que lo afectan, el principal problema de esta ciencia. Esto hizo que aparecieran algunos

nuevos problemas en el análisis infinitesimal que requerían de solución a través de

respuestas numéricas.

Asimismo la aparición en el campo de las matemáticas de la Geometría analítica estimulo

la formación del análisis infinitesimal. Ruiz (1998). Que se convirtió en un elemento

imprescindible en la construcción de la Mecánica de Newton , Lagrange y Euler. En el

campo de las matemáticas dicho adelanto significo el nacimiento del germen para el

universo del análisis de las variedades.

De hecho, según apunta Ruiz (1998) de Ribnikov (1974):

el nacimiento del Análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso,

cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación

teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de series.

Elementos que Ruiz identifica como: 1) existencia del álgebra, 2) la introducción

en las matemáticas de la variable y del método de las coordenadas y 3) la

asimilación de las ideas infinitesimales de los antiguos, fundamentalmente las de

Arquímedes. Las causas que motivaron este proceso fueron los problemas de la

mecánica, la astronomía y física. Estas ciencias no sólo planteaban a las

matemáticas problemas, sino que la enriquecían con sus representaciones de

magnitudes continuas y movimientos continuos y, sobre todo, con la esencia y

162

forma de las dependencias funcionales. En una estrecha interacción de las

matemáticas y las ciencias contiguas se elaboraron los métodos infinitesimales

que son la base de las matemáticas variables.202

Según Ruiz (1988) la primera etapa en la existencia del análisis fue la conformación del

calculo diferencial e integral. Surgiendo este ultimo como una parte independiente de las

matemáticas, casi simultáneamente de dos métodos diferentes, a saber; la teoría de

fluxiones de Newton y el cálculo de los diferenciales de Leibniz.

5. 13. 1. Método de Fluxiones de Newton

Según apunta Ruiz (1998), el principio sobre el cual Newton baso su método de fluxiones

es el siguiente:

No considero las magnitudes matemáticas como formadas por partes, por

pequeñas que sean, sino descritas por un movimiento continuo. Las líneas son

descritas y engendradas, no por yuxtaposición de sus partes, sino por el

movimiento continuo de puntos; las superficies por el movimiento de líneas; los

sólidos por el movimiento de superficies; los ángulos por la rotación de sus lados;

los tiempos por un fluir constante. Considerando, pues, que las magnitudes que

crecen en tiempos iguales son mayores o menores, según que crezcan con mayor

o menor velocidad, busqué un método para determinar las magnitudes por las

velocidades de los movimientos o crecimientos que los engendran; y llamando

fluxiones a las velocidades de estos movimientos o crecimientos , mientras que las

magnitudes engendradas toman el nombre de fluentes, dí con el método de

fluxiones. (Newton)203

202 RUIZ. Op. cit., p. 121, 122. 203 BRUNET, P. Ojeadas Sobre el pensamiento matemático de Newton, citado por RUIZ. Op. cit., p. 122.

163

Según Ruiz (1998) Newton en un parte de los Principios, consagrada al método de las

fluxiones, asevera que ha mezclado este método con el de las seres infinitas (desarrollos

en serie por medio de expresiones algebraicas convergentes). La idea sobre la cual se

basa es la de aproximación. Este método de aproximación, junto con el de interpolación

(método por el cual, una curva, por complicada que sea, siempre puede intercalarse entre

dos curvas más simples, cuyo conocimiento exacto permitirá calcular aproximadamente

la curva buscada) apoyaron de manera directa la creación del cálculo infinitesimal, y eran

esenciales para el pensamiento newtoniano.

Así pues, es evidente que la concepción mecanicista está presente en la invención del

Cálculo diferencial. Según sostiene Ruiz (1998), Newton, como su maestro Barrow,

eligieron al tiempo como noción universal e interpreto las variables dependientes como

cantidades que transcurren de forma continua y poseen una velocidad de cambio. Que en

su terminología es: la función es un fluyente, es decir, una cantidad que transcurre en el

tiempo, siendo la derivada, la velocidad o fluxión, sirviendo esta para estudiar las

variaciones de la fuente. Sin embargo, como ya hemos visto, es a Leibniz a quien se debe

la definición y las reglas del Cálculo Diferencial, situándose, bajo una concepción

geométrica; considero siempre elementos geométricos ligados a una curva. Es así como

describe la diferencial (dy) de una ordenada de una curva cualquiera como un segmento

cuya relación a (dx), es igual a la relación que existe entre la ordenada y la

subtangente,

dy / dx = y / S1

A Leibniz también se debe la idea general de dependencia funcional, y del termino

<<función>>, el cual introdujo por primera vez en sus manuscritos de 1673 Methodus

tangentium inversa, seu de functionibus. Si bien, en principio;

Leibniz no utiliza el termino función para designar la relación formal entre la

ordenada de un punto de una curva y su abscisa, en el sentido que le dan los

164

matemáticos actuales, sino más bien, en el sentido corriente que describe la

función de un órgano en un organismo, o en una maquina.204

Más tarde, según expresa Ruiz (1998), la noción de función dada por Leibniz en sus

manuscritos se identificará con ciertas longitudes tales como abscisas, ordenadas,

tangentes, normales, etc. asociadas con la posición de un punto en una curva. Noción esta

de la cual Jean Bernoulli (1664) se hará heredero.

5. 14. Idea de Límite en el Siglo XVIII

Los grandes descubrimientos llevados a cabo por Newton no pasaron automáticamente a

formar parte de la cultura y la conciencia matemática, si no que, y por infortunio,

permanecieron largo tiempo desconocidos fuera de Inglaterra, siendo necesario que otros

matemáticos se interesasen por ellos y los estudiasen desde distintos puntos de vista

clarificándolos, generalizándolos y extrayendo sus consecuencias.

Probablemente, según sostienen Romero - Serrano (1994), la causa de tal demora se debió

principalmente al carácter de Newton, el cual era poco dado a comunicar sus

descubrimientos. Todo lo contrario de lo que ocurrió con la obra de Leibniz, la cual

rápidamente encontró discípulos entusiastas que la aprendieron y difundieron

rápidamente. Entre estos discípulos es preciso hacer una mención especial de los

hermanos Bernoulli.

5. 14. 1. La familia Bernoulli

204 RUIZ. Op. cit. p. 123.

165

Como ya suficientemente se ha dicho antes, los descubrimientos llevados a cabo por

Leibniz encontraron en dos de los hermanos Bernoulli un amplio reflejo. Estos fueron

Jacques y Jean Bernoulli.

5. 14. 2. Jacques Bernoulli (1554 – 1705)

Este ilustre matemático perteneciente a una famosa casta de científicos, físicos y

matemáticos, fue el primero en destacar. De hecho su inquietud científica le convirtió

prontamente en un inagotable viajero en busca de contactos con estudiosos de otros

países.

Tras estudiar a Wallis y a Barrow, se intereso por la obra de Leibniz, llegando a dominar

los nuevos métodos. Aunque la mayoría de sus descubrimientos aparecieron publicados en

revistas como en el Acta Eruditorum , también escribió un tratado clásico, titulado Ars

conjectandi publicado en 1783, ocho años después de su muerte. En la segunda parte de

este tratado Jacques incluye una teoría general sobre permutaciones y combinaciones, en

la que, según sostienen Romero - Serrano (1994), se aproxima a la noción actual de

limite y que está relacionada con el desarrollo de (1 + 1/n)n; a partir de él, propuso

calcular el interés compuesto continuo, que no es otra cosa que hallar el límite cuando

n tiende a infinito de (1 + 1/n)n.

5. 14. 3. Jean Bernoulli (1667 – 1748).

Hermano menor de Jacques Bernoulli, escribió su tesis doctoral en 1690 sobre la

efervescencia y la fermentación. No obstante, al año siguiente empezó a interesarse por

el cálculo al punto que durante los años 1691 y 1692 escribió dos libros de texto sobre

cálculo diferencial e integral. También hizo una contribución al tema que nos ocupa. Según

cuentan algunos historiadores, durante su estancia en París en 1692, se dedico, entre otras

166

cosa, a la instrucción de un joven marqués francés llamado G. F. A. de L´ Hopital (1661 -

1704), con quien se comprometió, por un salario, a enviarle sus descubrimientos en

matemáticas. Como consecuencia de este acuerdo, el descubrimiento que hizo Jean

Bernoulli es hoy conocido como regla de L´ Hopital. Regla esta que se aplica para

límites indeterminados y que fue uno de los principales descubrimientos de este autor.

si f(x) y g(x) son funciones diferenciables en x = a, tales que f(a) = g(a) = 0 y

existe el límite para x ϖ a de f´(x) / g´(x), entonces existe el límite de f(x) / g(x)

para x ϖa y su valor es el mismo que el anterior205

Esto expresado en lenguaje matemático actual, ya que, por aquella época, aun no se

utilizaba el vocablo límite.

Esta regla, en la actualidad tan conocida, fue expresada por L´ Hopital en el primer texto

impreso de cálculo diferencial de la historia, denominado Analyse des infiniment petits

publicado en 1696.

5. 14. 4. D´ Alembert

Este matemático que es sin lugar a dudas el matemático francés más importante de

mediados del siglo XVIII. Es para el presente trabajo de enorme importancia, dadas sus

aportaciones, entre otras cosas, porque fue el primero en utilizar la palabra límite.

Según comentan Romero - Serrano (1994) en este virtuoso de las matemáticas converge

una “extraña combinación de prudencia y audacia en la forma de enfocar los problemas

matemáticos, no estando satisfecho con el uso que de las series divergentes hacía Euler.

D´Alembert tuvo la genial idea de que la verdadera metafísica del cálculo había que

hallarla en la idea de límite.”206

205 ROMERO * SERRANO. Op. cit. p. 78. 206 Ibid., p. 80.

167

En un articulo que DÁlembert escribió para la Encyclopédie o Dictionnaire raisonné

des Sciences, des Arts et des Métiers, titulado Diferencial, afirmaba que:

“La diferenciación de ecuaciones consistía simplemente en hallar los límites de las

razones de diferencias finitas de dos variables incluidas en la ecuación.”207

Resistiéndose a los puntos de vista de Leibniz y Euler, DÁlembert, insistía en sus criticas

en los siguientes términos:

“Una cantidad es algo o nada; si es algo aún no se ha desvanecido, si es nada ya se ha

desvanecido literalmente. La suposición de que existía un estado intermedio entre estos

dos es una pura quimera. ”208

Esta concepción terminaría por excluir la noción de las diferenciales como magnitudes

infinitamente pequeñas; sosteniendo DÁlembert que la notación de las diferenciales no

es más que una manera conveniente de hablar que depende, para su justificación, del

lenguaje de los límites.

En un articulo de la Enciclopedia que acabamos de mencionar, bajo la denominación de

Diferencial DÁlembert, haciendo referencia expresa a la obra de Newton De

quatratura curvarum , interpreta las expresiones razones primeras y últimas de

Newton con límites y no como una primera o última razón de dos cantidades que están

exactamente surgiendo (al ser) o desvanecerse.

En otro articulo escrito y publicado también para la Enciclopedia, bajo el titulo de Límite ,

DÁlambert llama a una primera cantidad límite de una segunda cantidad variable, si la

segunda puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier

207 Ibid., p. 80. 208 Ibid., p. 80.

168

cantidad dada (sin llegar nunca a coincidir con ella). En este enfoque existe, según

anota Romero - Serrano (1994), una grave imprecisión formal que vino a eliminarse

gracias a los matemáticos del siglo XIX.

No obstante, a la importancia de las aportaciones de D´Alambert en el campo del Cálculo

estas no fueron aceptadas por los matemáticos de su época, puesto que estos continuaron

con las concepciones de Leibniz y Euler. Esta actitud de falta de adhesión, e incluso de

rechazo, tuvo quizás su origen en la imprecisión lingüística de su formulación y a la falta

de exactitud para llegar a hacerlas operativas.

5. 15. El concepto de función se considera central en las matemáticas

Desde los últimos años del s. XVII, con Leibniz y Jean Bernoulli el concepto de función

es escindido de muchas consideraciones aledañas y toma una forma analítica que, pese a,

permanecer vaga en los escritos de Bernoulli, se precisa en gran parte de los de Euler.

La primera consideración de una función como expresión analítica tiene su paternidad en

un articulo de Jean Bernoulli que data de de 1718en donde este genio de la matemática

plantea: “llamamos función de una magnitud variable a una cantidad compuesta de

cualquier manera que sea de esta magnitud variable y de constantes.”209

En este mismo articulo, según plantea Boyer (1986), Bernoulli propone la letra griega f

para designar la característica de una función, termino debido a Leibniz, describiendo

todavía el argumento sin paréntesis: f x.

En interpretación de Youschkevitch (1976) que es citada por Ruiz (1998), pese a no verse

en la definición de Bernoulli el modo de constituirse las funciones a partir de la variable

independiente, en esta época se consideraba a las funciones como expresiones analíticas.

169

Lo cual esta en estrecha relación con la directriz que se dio en el análisis infinitesimal, que

aun conservando e, incluso, reforzando sus relaciones con la geometría, la mecánica y la

física, durante todo el s. XVIII, se va convirtiendo cada vez más en una disciplina

independiente de la matemática misma.

El avance posterior del concepto de función según tienen consensuado importantes

historiadores de la matemáticas tales como: Boyer (1986), Youschkevitch (1976) y

D´Hombres y col (1987), se considera obra exclusiva de Euler, quien fue discípulo de Jean

Bernoulli. En el Capitulo 1 del volumen 1 de su Introductio in análisis infinitorum , este

gran matemático analiza detenidamente el concepto de función. Empieza definiendo las

nociones primordiales que empleo en su definición su mentor Jean Bernoulli: una

constante es una cantidad definida que toma siempre un solo y único valor, mientras que

una variable puede tomar valores en un conjuntote números complejos.

Una cantidad variable es una cantidad indeterminada, o si se quiere, una cantidad

universal, que comprende todos los valores determinados... Una cantidad

variable comprende todos los valores en ella misma, tanto positivos como

negativos, los números enteros y fraccionarios, los racionales, trascendentes. No

debemos excluir ni el cero ni los números imaginarios.210

La influencia de Jean Bernoulli en la obra de Euler se ve claramente en la definición que

plantea Euler del concepto de función, la cual sigue en líneas generales la que dio su

maestro, con la diferencia que en la suya Euler remplaza el termino cantidad por el de

expresión analítica: “Una función es una expresión analítica compuesta de cualquier

forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades constantes.”211

Según afirma Ruiz (1998), Euler para dar a esta definición la mayor posibilidad de

generalidad, admitía tanto valores reales como imaginarios del argumento.

209 BOYER. Op. cit., p. 531. 210 D´HOMBRES, J. Mathematiques au fils des ages, citado por RUIZ. Op. cit., p. 126.

170

Según Euler una función conceptuada simplemente como una expresión analítica se forma

mediante una clase de operaciones admisibles en las que entran las operaciones

aritméticas, las potencias y raíces. Según Ruiz (1998) la clasificación que Euler realizaría

de las funciones la haría en correspondencia con la definición de este concepto:

Las funciones se dividen en algebraicas y trascendentes; las primeras están

formadas por operaciones algebraicas solamente, y las últimas necesitan para su

formación operaciones trascendentes. (...) Las funciones algebraicas se subdividen

en racionales e irracionales. En las ultimas la variable está afectada por radicales,

y en las primeras no está afectada(...). Las funciones racionales, por último se

dividen en enteras y fraccionarias.212

En interpretación de Ruiz (1998) la clasificación de las funciones realizada por Euler

significo una nueva etapa en la evolución de este concepto.

El lo que se dice al respecto de la notación del concepto de función, Euler fue el primero

en utilizar f(x), en los Comentarii de San Petersburgo de 1734. Según Boyer (1986), se

puede afirmar que nuestro presente sistema de notación en matemáticas se debe en gran

medida a Euler, más que a cualquier otro matemático a lo largo de toda la historia.

No obstante, el papel central del concepto de función en matemáticas, en entendimiento de

Ruiz (1998), se alcanzo cuando Euler apoyándose en el cálculo diferencial de Leibniz y en

el Método de Fluxiones de Newton, funda lo que desde entonces es conocido como

Análisis (el estudio de los procesos infinitos). Sus trabajos en este campo se encuentran

recogidos en Introductio in Anlysin infinitorum (1748), piedra angular del nuevo

Análisis. Desde ese momento, la idea de función pasó a ser la idea fundamental del

análisis.

211 Ibid., p. 127. 212 Ibid., p. 126.

171

Acerca también de la teoría y funciones, por esta misma época el matemático francés

Lagrange (1736 – 1813) contribuyó con dos grandes tratados sobre funciones: Teoría de

la funciones analíticas y Lecciones sobre el Cálculo de las funciones, donde según Ruiz

(1998), desarrolla una tentativa muy ambiciosa como es: dotar al Cálculo de un

fundamento sólido reduciéndolo al Álgebra. En la definición que propone Lagrange de

la noción de función; la identifica como toda expresión del calculo:

Llamamos función de una o varias cantidades a roda expresión del cálculo en

la cual estas cantidades entran de cualquier manera, mezcladas o no, con otras

cantidades que consideramos como valores dados e invariantes, mientras que

las cantidades de la función pueden recibir todos los valores posibles. Así, en las

funciones no consideramos más que las cantidades que suponemos variables, sin

ninguna consideración a las constantes que pueden ser mezcladas. (Lagrange)213

También por esta época, la noción de de función estaba estrechamente ligada a la noción

de curva. De hecho para Euler, según asegura Ruiz (1998), existían dos tipos de curvas

continuas y discontinuas o mixtas. Para Euler continuidad significaba persistencia,

invarianza de la ley de la ecuación determinante de la función en todo el dominio de

valores de la variable, mientras que la discontinuidad de una función significaba un cambio

de la ley analítica, la existencia de leyes diferentes sobre dos intervalos, o más, de su

dominio.

5. 16. Problemática alrededor del concepto de continuidad incorporado en las

funciones discontinuas o mixtas.

Según Ruiz (1998) toda la teoría de la continuidad desarrollada en el siglo XIX por

Cauchy, Riemann y Weiertrass, tiene sus raíces en los trabajos de Euler y D´Alembert.

213 GRATANN * GUINNESS. Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630 – 1910, citado por RUIZ. Op. cit., p. 127.

172

Si bien, en general los matemáticos del s. XVIII no dan ninguna definición de la

continuidad o de la discontinuidad de las funciones, esto se debió según Youschkevitch

(1976), a que no tenían necesidad de tal, porque la solían expresar de forma descriptiva;

verbo y gracia la descripción que hace Euler del comportamiento de la función

discontinua.

X = 1/ (1- x2)1/2

en la vecindad del punto x = 1 diciendo que un crecimiento muy pequeño de x produce un

cambio extremadamente grande de la función X, pero no utilizan nunca el termino

continuidad.

De hecho, según Ruiz (1998) no había nada más ambiguo en tiempos de Euler que la

expresión fonctio continua.

Prácticamente, desde Newton y Leibniz, los geometrías trabajaron con

expresiones analíticas (algebraicas y trascendentes) a las cuales aplicaban las

operaciones de derivación e integración y a las que podían representar por medio

de curvas continuas (salvo en ciertos puntos excepcionales). No concebían otras

funciones que aquellas que sabían definir y manejar de esta manera, a las que

llamaban fonctiones continuae, sin duda, para destacar el hecho de que eran

siempre perfectamente determinadas, indefinidamente derivables, desarrollables

por medio de una serie de Taylor, integrables y representables mediante una

curva algebraica o trascendente.214

Sin embargo, esta tendencia se vio afectada hacia finales del s. XVII, al hacerse evidente,

según Ruiz (1998), que la noción de correspondencia funcional abarcaba mucho más de

lo que implicaba la expresión analítica que, generalmente, la traducía.

214 RUIZ. Op. cit., p. 130.

173

Las primeras criticas al concepto de función mixta o discontinua de Euler las formulo

Charles en 1780 al ofrecer un ejemplo de funciones que están definidas por expresiones

analíticas diferentes en regiones diferentes de un intervalo, que pueden ser representadas

por una sola ecuación. Cauchy en 1844 propuso, al respecto, el siguiente ejemplo:

Consideremos la función:

Fig. 19.

sería discontinua en el sentido de Euler; pero al mismo tiempo, también puede ser

representada por una sola ecuación para todo – x +, de tal modo que sería así

<<continua>>. De esta manera tan simple Cauchy hizo insostenible la

discriminación de Euler entre funciones continuas y mixtas.215

Según Ruiz (1998), la critica a estas nociones eulerianas se hizo muy fuerte también en el

ámbito de la teoría de de las series trigonométricas. Siendo Fourier en 1822, quien

superando las tradiciones existentes en el s. XVIII, afirma que una serie trigonométrica

puede ser utilizada para representar toda una función mixta o no continua en el sentido

dado por Euler. El cual fue un resultado de un estudio mucho más profundo acerca de la

ecuación de las cuerdas vibrantes, que lo condujo a mostrar que ciertas funciones no

continuas pueden ser representadas por medio de una serie trigonométrica convergente de

la forma:

215 Ibid., p. 130.

174

Fig. 20.

donde los coeficientes a n y b n se pueden determinar.

Con este avance según interpreta Ruiz (1998), se logro un grado de generalidad aun mayor,

en cuanto al tipo de funciones que se pueden aplicar, que el que permite la serie de Taylor.

Incluso según afirma Ruiz (1998), si hay muchos puntos en los que no exista la derivada o

en los que la función no sea continua, la función puede tener un desarrollo en serie de

Fourier. Con esto las funciones ya no necesitaba de ser de tan buen comportamiento en

su forma como las que los matemáticos habían manipulado hasta entonces. Avance este

que según Ruiz (1998) planteo un nuevo interrogante: ¿en qué condiciones es convergente

la serie trigonométrica asociada a una función dada?. Interrogante este que implica,

según palabras de Dirichlet, la sustitución de las ideas del cálculo, y ante todo, una

definición de la correspondencia funcional independiente de toda forma de expresión

analítica.

5. 17. Edad de oro en la matemática

El siglo XIX es considerado es considerado en general por los historiadores de las

matemáticas como la Edad de Oro de las Matemáticas, siendo según Romero – Serrano

(1994), el rigor la característica esencial de este periodo.

5. 17. 1. Los inicios de la aritmetización

175

Con la llegada del siglo XIX se produce un proceso de cambio, que en interpretación de

Romero – Serrano (1994), conducirá a tres elementos básicos para el desarrollo de la

disciplina matemática el rigor, la aritmetización y la clarificación del concepto de función.

En este empeño, las figuras de Cauchy, Bolzano y Dirichlet, contribuyeron con los

elementos básicos que permitieron la consolidación del ulterior desarrollo.

5. 17. 2. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857)

Cauchy fue un gran maestro que disfrutaba con la enseñanza. Practicó su profesión de

maestro en la Ecole Polytechnique, donde existía la tradición de que todo profesor debía

escribir su libro de texto, no estando exento de ello ni siquiera este gran matemático. De

esta época son sus Cours d’ analyse de l’ Ecole Politechnique (1829) y Resume des

lecons sur le calcul infinitesimel (1823) y Lecons sur le calcul differentiel (1829).

Donde Cauchy le dio al cálculo infinitesimal elemental la forma que tiene hoy día. Para

esto tomo como elemento fundamental el concepto de limite de D’Alambert, si bien lo

dotó de todos los matices necesarios para grabarle un carácter mucho mas aritmético que

pudiera contribuir a conseguir una mayor precisión conceptual. Para ello, según explican

Romero – Serrano (1994), prescindió tanto de la geometría como de los infinitésimos y de

las velocidades de cambio, llegando a generar una formulación de su definición casi tan

rigurosa y precisa como la que utilizamos actualmente.

Asimismo según Romero – Serrano (1994) hay que otorgar a Cauchy el gran paso de

pensar un infinitésimo, no como un número constante muy pequeño, sino como una

variable.

176

De hecho, según estos mismos autores, Cauchy en la construcción de su Cálculo toma

como elementos básicos y fundamentales los conceptos de función y límite de una

función, construyendo una rama de las matemáticas a partir de los mismos.

En relación a la noción de derivada crea una definición basada en el concepto de límite.

Siendo el proceso que desarrolla el siguiente:

Dada la función y = f(x), para hallar la derivada con respecto a x, le otorga a la

variable x un incremento x = i y forma el cociente

Fig. 21.

y al límite de este cociente de diferencias, cuando i tiende a cero, lo define como

la derivada f´(x) de y con respecto a x.216

Sin embargo, según apuntan Romero – Serrano (1994), y pese a saber que en el campo

operativo era de gran utilidad, Cauchy la deja en un segundo plano.

No obstante, el concepto de diferencial llegó a ser definido por Cauchy de la siguiente

manera:

Si dx es una cierta cantidad finita, entonces dy, siendo y = f(x), vendrá definida

por f´(x)dx.217

En el campo de la teoría de funciones, según explican Romero – Serrano (1994), Cauchy

adelanto una definición de función, que es similar a la de hoy día:


177

La función f(x) es continua entre límites dados de la variable x si , entre estos

límites, un incremento infinitamente pequeño de i de la variable x da lugar a un

incremento infinitamente pequeño f(x + i) – f(x) de la función misma.218

En lo referente a la integración, allí también Cauchy imprimió su sello personal, como ya

se ha mencionado antes, durante todo el siglo XVIII se la había considerado como la

operación inversa de la diferenciación, no obstante la definición dada por Cauchy acerca

de la derivada ponía en evidencia el hecho que aunque no existiese la derivada en punto

anguloso o en un punto donde la función fuese discontinua, existía la integral, es decir

esta no presentaba dificultad alguna.

Basándose en esta consideraciones, según Romero – Serrano (1994), Cauchy decidió

recuperar el significado geométrico de la integral como área y, para ello, conceptualizó la

integral definida en términos del límite de las sumas integrales, de un modo muy parecido

al que hoy día es utilizado en la mayor parte de los textos elementales;

Sea Sn = (x1 – x0)f(x0) + (x2 - x1)f(x1) +...+(xn – xn-1)f(xn-1), entonces el

límite S de estas sumas Sn , según las longitudes de los intervalos (xi - xi-1) que

disminuyen indefinidamente, es, por definición, la integral definida de la función

f(x) en el intervalo que va desde x = x0 a x = X.219

Esta interpretación geométrica de la integral definida, proporcionada por Cauchy, es la

base para las más numerosas generalizaciones modernas acerca de la idea de integral.

Según Romero – Serrano (1994), Cauchy precisaba demostrar la relación existente entre

esta concepción de la integral y la, hasta ese entonces vigente, concepción generada a

través de la antiderivada. Según estos mismos autores, la consecución de estas metas vino

217 Ibid., p. 87. 218 Ibid., p. 87. 219 Ibid., p. 87.

178

de la mano del teorema del valor medio, que no era más que una generalización del

Teorema de de Rolle, ya conocido desde hacia un siglo, y que según Romero – Serrano

(1994), pude ser enunciado de la siguiente manera:

Si f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo

abierto (a, b), entonces existe al menos un valor x0 tal que a < x0 < b y que220

Fig. 22.

Según Romero – Serrano (1994) a partir de Cauchy, el teorema del valor medio ha jugado

rol muy importante en el campo del Análisis, de tal manera que se ha venido a conocer

con el nombre de Teorema del valor medio de Cauchy a la forma más general:

Fig. 23.

con las restricciones necesarias y adecuadas sobre f(x) y g(x) en el intervalo abierto [a, b].

5. 17. 3. Bolzano (1781 – 1848)

220 Ibid., p. 88.

179

Con respecto a los fundamentos del cálculo, la obra de Bernhard Bolzano guarda ciertas

similitudes con los trabajos de Cauchy. Bolzano fue un sacerdote checoslovaco de ideas

poco ortodoxas, y cuya obra matemática, en términos generales, fue ignorada por sus

contemporáneos.

Hacia el año de 1817 Bolzano publicó un texto, denominado Rein analytischer Beweis,

donde dedica sus hojas a dar una demostración aritmética del teorema del valor medio para

funciones continuas. Planteamientos estos que exigían de parte de Bolzano, según Romero

– Serrano (1994), un planteamiento no geométrico de la idea de continuidad en una

función o de una curva.

Según este mismo autor, las semejanzas con la obra de Cauchy en su aritmetización del

cálculo, en sus definiciones de límite, derivada, continuidad y convergencia, fueron solo

una coincidencia. No obstante, existen determinados campos en los que Bolzano se

aproximo más a las matemáticas modernas que Cauchy. Tal y como es el caso, que

Bolzano hacia el año 1840 llegó a darse cuenta de la diferencia existente entre la

infinitud de los números reales y la infinitud de los números naturales. De hecho según

explican Romero – Serrano (1994), gran cantidad de los descubrimientos hechos por

Bolzano tuvieron que ser redescubiertos y por ende fueron adjudicados a otros grandes

matemáticos. Tal es el caso, de la construcción de la primera función continua pero no

diferenciable en ningún punto, atribuida a Weiertrass.

5. 17. 4. Dirichlet

Si bien Bolzano había intentado efectuar demostraciones puramente aritméticas de

ciertas proposiciones, no menos cierto es, según Romero – Serrano (1994), que la palabra

clave del análisis es la de función y es, precisamente en la clarificación de este concepto

que fue surgiendo la aritmetización. La contribución de Dirichlet de hecho se encuentra

en este rumbo, en el año 1837 expuso una definición de función que, coincide

180

prácticamente, con la actual, utilizando para sus demostraciones, tanto el vocablo límite,

como su significado.

5. 18. Aritmetización de los procesos infinitos

Nombres como los de Méray (1835 – 1911), Weiertrass (1815 – 1897), Heine (1821 –

1881), Cantor (1845 – 1918) y Dedekind (1831 – 1916). Representan según Romero –

Serrano (1994) la culminación de medio siglo de investigaciones alrededor de la idea de

función y la de número, que había iniciado, en el primer cuarto de siglo con el intento de

reducir todo el análisis a la aritmética efectuado por Matín Ohm (1792 – 1872), en su

obra Versuch eines vollständig Konsequenten Systems der Mathematik (1822).

Según Romero – Serrano (1994), existe dos razones manifiestamente diferenciadas que

contribuyen a explicar que se demorara este hecho:

1) En un primer lugar, la falta de confianza que experimentaban los

matemáticos cuando trabajaban con series infinitas (no parecían

tener nada claro, ni siquiera si una serie de funciones, por ejemplo,

de potencias o de senos y cosenos, convergía siempre o no hacia

la función de la que se había obtenido).

2) En segundo lugar, la falta de una definición precisa del concepto

de número real, que es la esencia de cualquier proceso de

aritmetización.221

5. 18. 1. Weierstrass: Definición refinada del concepto de límite

221 Ibid., p. 91.

181

Los aportes en el campo de la teoría de números y en la formalización del concepto de

límite debidos a este matemático no son pocos. Weiertrass quien se educo en el seno de

una familia católica, devota pero al mismo tiempo liberal, con un padre muy autoritario.

Estudio derecho en la Universidad de Bonn, aunque nunca llego a graduarse. Hecho este

que lo llevo a pensar en prepararse para ser profesor de enseñanza secundaria, haciéndolo

en Münster donde un instructor, Christph Gudermann (1798 – 1851), lo tomo bajo su

protección.

Gudermann era un matemático interesado especialmente en las funciones elípticas e

hiperbólicas, el cual logró persuadir a su discípulo de la conveniencia que tenia el

desarrollo de una función en serie de potencias, siendo en este dominio en el que

Weiertrass produjo, siguiendo la huella de Abel, su obra más importante.

Weiertrass trataba de separar el Análisis de la Geometría y basar el primero única y

exclusivamente en el concepto de número. En acuerdo con las ideas de Méray llegó a la

conclusión de que era necesario divorciar el concepto de número irracional del concepto

de límite, ya que, según Romero – Serrano (1994), hasta ese momento, la idea de límite

había supuesto la idea de número irracional. Para ello tuvo que resolver el error lógico

planteado por el razonamiento de Cauchy, para ello consideró el problema de la existencia

del límite de una sucesión convergente identificando la sucesión misma con el número

límite.

Pese a ser el esquema de Weiertrass demasiado complejo para ser expuesto aquí, de

cualquier manera, lo importante es que Weiertrass, en su tarea de la aritmetización del

Análisis, proporciono al mundo matemático:

1. Una definición satisfactoria de número real.

182

2. Una definición depurada del concepto de límite.222

5. 18. 2. Dedekind

La obra de Dedekind, es en algunas facetas muy parecida a la de Weiertrass, tras dedicar

grandes esfuerzos al estudio de los números racionales, llegó a la conclusión en 1858 de

que el concepto de límite había que desarrollarlo de una manera puramente aritmética, es

decir; sin referencia alguna a la Geometría, como era usual en su tiempo, si quería que este

concepto se constituyera en un concepto riguroso.

Tal reto es asumido por Dedekind en su libro titulado Stetigkeit und die

Irrrationalzahlen (continuidad y números racionales) de 1872, donde como nos lo

expone el propio titulo del libro, lo que pretendía era encontrar qué es lo que diferencia

a las magnitudes geométricas de los números racionales.

Pues como es de recordar, tanto Galileo como Leibniz habían pensaban que la

continuidad de los puntos de una recta era el resultado de su densidad, en otras palabras,

del hecho de que entre dos puntos distintos cualesquiera existe siempre otro. Sin

embargo, los racionales gozan de este propiedad a pesar, de cómo es bien sabido, no

formar un continuo.

Reflexionando sobre este problema, Dedekind llegó a la conclusión de que la particularidad

de la continuidad de un segmento no se debe a una más o menos vaga cohesión, sino a

una propiedad justamente opuesta a ésta: la de la posibilidad de división de un segmento

en dos partes por un punto del segmento. En efecto, en cualquier división de los puntos

del segmento en dos clases tales que cada punto pertenezca a una y sólo a una de las dos

clases, y tal todo punto de una de las dos clases de esté a la izquierda de cualquier

punto de la otra clase, hay uno y solo un punto que produce la división.

222 Ibid., p. 94.

183

Razonando en este sentido, Dedekind aprecio que podía extender el dominio de los

números racionales para formar un continuo de números reales, si se admite el axioma

conocido hoy día como el axioma de Cantor - Dedekind que afirma que los puntos de

una recta se pueden poner en correspondencia biunívoca con los reales.

Para esta elaboración, según Romero – Serrano (1994), necesito construir formalmente

los números reales a partir de lo que se conoce hoy día como Cortaduras de Dedekind.

Al respeto Dedekind, afirma que con esta nueva definición de número real es posible

probar los teoremas referentes a límites con todo rigor y sin hacer uso de la intuición

geométrica.

En este sentido, según apuntan Romero – Serrano (1994), es posible afirmar que si la

Geometría fue el instrumento que mostró el camino para una definición adecuada de la

idea de continuidad, al final del proceso quedó totalmente excluida de la definición

aritmética formal del concepto.

184

6. OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS PRESENTES EN EL DESARROLLO

HISTORICO DEL CONCEPTO DE DERIVADA


En este apartado intentare llevar a cabo un análisis de los principales obstáculos

epistemológicos ligados al desarrollo histórico de la noción de derivada. Para ello, me

basare en algunas de las aportaciones teóricas que aparecen en el Capitulo 1: (1. 3. 1.) y las

disertaciones de Ruiz (1998) y Romero – Serrano (1994), que identifican, cada uno por

separado, distintos tipos de obstáculo cognitivos; el primero, asociados a la evolución

histórica de la noción de función y el segundó, alrededor del desarrollo histórico del

concepto de límite.

6. 2. Obstáculos de tipo epistemológico

Como ya se dijo antes, al estar estos ligados al conocimiento mismo, y al poder ser

encontrados en la evolución histórica de los propios conceptos matemáticos, estos deben

ser considerados como parte del significado del concepto mismo. En relación al concepto

matemático que nos ocupa, son diversos los obstáculos vinculados a conceptos que a

través de la historia de las matemáticas han dado forma al actual concepto derivada. Entre

los cuales están:

• A nivel de creencias

Concepción estática de las matemáticas

185

Aun que la idea más primitiva función estaba contenida en las nociones de cambio y

relación entre magnitudes variables. No obstante, según sostiene Ruiz (1998), la tradición

matemática después de Euclides, considero a los entes matemáticos como algo estático. De

hecho los matemáticos de esta época consideraron las magnitudes físicas y las proporciones

entre ellas como algo disímil a las igualdades estrictamente numéricas. “Esta concepción

de la <<variabilidad>> como característica exclusiva de las magnitudes físicas puede

considerarse como un claro obstáculo epistemológico para el desarrollo del concepto de

función.”223 Asimismo por la cercanía que guarda este concepto con el de derivada, tanto

en sus raíces históricas como en su constitución actual, evidentemente, la concepción

estática de la matemática que perduro hasta Leibniz (cofundador del cálculo) es también un

obstáculo epistemológico para el desarrollo del concepto de derivada.

La no aceptación de los procesos infinitos

Aunque bien pronto en la historia de la cultura matemática, matemáticos como Eudoxo y

Arquímedes se aproximaron a la idea de límite, a través; del lema de Arquímedes (el

equivalente griego del cálculo integral), el método de Exhausción y el Algoritmo de

Arquímedes. Sin embargo, no se estuvo más cerca a este concepto que lo que estuvieron los

estudios de Arquímedes acerca de la cuadratura de la parábola, expuestos en su libro

Sobre las espirales. No obstante, a recordar el método allí expuesto los actuales métodos

del cálculo integral, Arquímedes nunca llegaría a calcular el área de la parábola, puesto

que para ello debía calcular una suma de infinitos sumandos y los procesos infinitos no se

aceptaban en su época.

Disociación entre magnitudes y números

223 RUIZ. Op. cit., p. 142.

186

Aunque hoy por hoy asociemos de forma natural a cierta cantidad de una magnitud una

cierta medida numérica, para el pensamiento griego esto era inconcebible, ya que números

y magnitudes eran dos cosa bien distintas. Al respecto de dicha disociación, La Torre

(2003) afirma; la aceptación en la tradición matemática antigua de que los números son

una imagen de lo discreto y que la línea lo es del continuo, a partir del problema de la

inconmensurabilidad del lado del cuadrado con respecto a su diagonal “inició la

especulación acerca de las magnitudes infinitesimales o infinitamente pequeñas, fijas e

indivisibles, que sólo pudieron ser desterradas de la matemática en el siglo pasado

cuando se encontraron los conceptos rigurosos de derivada e integral.”224

Para Ruiz (1998) esta profunda disociación condujo a no observar las leyes físicas como

funciones matemáticas y por ende se constituye en un obstáculo epistemológico en el

desarrollo histórico del concepto de derivada.

• A nivel de esquemas de pensamiento

La inconmensurabilidad y las paradojas

La inconmensurabilidad y las paradojas, se constituyen en un obstáculo para el desarrollo

del concepto de función, puesto que discretizan los números y esto impide que se

establezcan relaciones generales numéricas entre las magnitudes.

El no haber reparado en el descubrimiento de los inconmensurables

Se cree que los griegos llegaron al descubrimiento de los inconmensurables, que lleva

implícito el concepto de límite, a través de la Sección Aurea, sin embargo, el que los

224 LA TORRE. Op. cit., p. 28, 29.

187

griegos no hubiesen reparado en tal descubrimiento se constituye en un obstáculo para

el desarrollo del concepto de límite.

El uso de las razones o proporciones

Según plantea Ruiz (1998) desde los griegos hasta el siglo XV, la proporción se escribía

de forma discursiva y no como un igualdad en forma de fracciones, con lo cual el aspecto

funcional de la proporción quedó completamente oculto por su carácter estrictamente

escalar. Por ello se le considera como un obstáculo epistemológico para el desarrollo de la

noción de variable, y en consecuencia para la noción de función.

La homogeneidad de las proporciones

La homogeneidad arrastraba siempre a comparar magnitudes de la misma naturaleza y

esto coartaba encontrar, de forma significativa, dependencias entre variables de

diferentes magnitudes, germen de la relación funcional.

La concepción geométrica de las variables.

En la geometría griega se fue configurando un obstáculo con una fuerte dependencia de la

geometría. El que hubiesen construido un Álgebra Geométrica cuyos elementos primarios

eran los segmentos de recta. Se explica, según Ruiz (1998) gracias al sentido geométrico

que para ellos tenían las variables. Así, una variable correspondía a la longitud de un

segmento rectilíneo; el producto de dos variables, al área de un rectángulo; y el producto de

tres variables, al volumen de un paralelepípedo rectangular.

El obstáculo creado con esta identificación solo llegaría a ser superado con Fermat y

Descartes. Para Descartes, el producto de dos o más cantidades variables no se identificaba

con áreas o volúmenes, sino que se establece un isomorfismo entre los segmentos y los

números reales. La suma, diferencia, producto o cociente de segmentos es siempre otro

188

segmento. El concepto de variable obtiene así otra significación diferente. Se comienza

a estudiar las propiedades de los puntos de una curva a través de las relaciones entre las

coordenadas de éstos.

El poner siempre en términos geométricos los resultados.

Que matemáticos como Gregory reconociendo la potencia que muestran los desarrollos

de funciones de series infinitas y, en general todos los procesos infinitos. Más aun pese ha

mostrar resultados en Análisis infinitesimal, donde se pone de manifiesto la noción de

limite, nunca llega a formalizar sus métodos, (próximos al actual cálculo integral) se debió

en primer lugar, a que careció de la noción de limite y en segundo lugar, porque aun

teniendo muy buenas aproximaciones de sectores elípticos e hiperbólicos, no llego a

expresar esta noción pese a trabajar con procesos infinitos. Probablemente ello se debió a

que no el gustaba expresarse de forma analítica, sino que prefería la forma geométrica.

Negativa de Barrow a trabajar en el campo algebraico.

Pese a haberse interesado por los problemas de las tangentes y las cuadraturas, y ha haber

hecho aportes interesantes al primer campo, con la complementación del cálculo diferencial

de Fermat, intuyendo en su obra el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes

y cuadraturas, este se vio frenado por su negativa a trabajar en el campo algebraico.

• A nivel de conocimiento técnico

El mero interés en la parte practica del cálculo.

Una primera aproximación a la idea de límite se dio en el algoritmo para la extracción de

raíces cuadradas. Este algoritmo mesopotámico iterativo, que es conocido con el nombre

189

de Algoritmo de Newton, pudo haber servido para poner en contacto a los babilónicos

con los procesos infinitamente largos. Sin embargo, esto no fue así, porque a ellos, como a

los egipcios , sólo les llegó a interesar la parte practica del cálculo.

Concepción algebraica

Según Ruiz (1998) la simbolización algebraica hizo que apareciera un obstáculo en el

desarrollo del concepto de función, a saber; en el siglo XVII se define: Una función de

una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de alguna manera por esa

cantidad variable y números o cantidades constantes. Extremándose esta definición,

según apunta Ruiz (1998), se llego ha pensar que las únicas relaciones dignas de estudio

eran aquellas que podían ser descritas por medio de expresiones algebraicas y ecuaciones.

Concepción mecánica de la curva

Después de las aportaciones de Oresme en el campo del desarrollo del concepto de función,

dicho concepto estaría acompañado de la noción de curva. No obstante, en principio, las

curvas no fueron consideradas como gráficos de la relación funcional, sino, que fueron

tenidas como trayectorias de puntos en movimiento (curvas mecánicas), concepción esta

que estuvo presente en la mente de los más grandes matemáticos tanto del s. XVI como

del XVII. No permitiendo observar a dichas curvas como un conjunto de puntos que

satisfacen condiciones dadas por la relación funcional. Por un lado este obstáculo retrazo

la aparición del concepto de función y por otro evidentemente, sesgo los desarrollos del

cálculo al puro estudio del movimiento, no favoreciendo su desarrollo como ciencia

independiente de la física y la dinámica.

190

7. DINAMIZACIÓN DE LA HISTORIA CONTADA PARA CREAR ELEMENTOS

DE USO DE LA HISTORIA PARA LA NESEÑANZA DE LA DERIV ADA.


Según Rivaud (1996) para un docente de matemáticas no sólo es interesante sino

conveniente conocer el desarrollo histórico de los conceptos matemáticos a través del

tiempo. Ello no sólo le proporciona buenos ejemplares, sino que también en muchas

ocasiones le permite darse cuenta del por qué de las dificultades de los alumnos en la

adquisición de algunos conceptos.

“Por ejemplo, en el caso del concepto de función, con frecuencia se introduce éste en toda

su generalidad, pero después se usa exclusivamente en el marco del cálculo diferencial e

integral”225 suprimiendo completamente la historia de dicho concepto, es decir, la sucesión

de dificultades y problemas que han provocado su aparición, su uso para plantear nuevos

problemas, la intrusión de técnicas y problemas nacidos de los progresos de otros

sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a mal entendidos, y las

innumerables discusiones al respecto.

Con respecto a la temática que nos ocupa, según explica Wussing (1989):

A menudo, en una exposición superficial, se alude a Newton y Leibniz como

únicos inventores del cálculo diferencial e integral. Pero esta afirmación no se

corresponde con los hechos históricos: hubo, por el contrario, toda una larga lista

de precursores que prepararon el terreno, así como una gran cantidad de intentos

225 RIVAUD, J. Del cálculo al análisis: Desarrollo del concepto de función. En: Perspectivas en educación matemática. Centro de investigación y estudios avanzados de IPN. Departamento de matemática educativa. Grupo editorial Iberoaméricana S. A. de C. V. México. 1996. p. 117.

191

fallidos, antes de que los problemas que surgían en el estudio de las variables y

los límites fueran superados y presentados en forma manejable.226

Cuestión esta que, según creo, de alguna manera, debe estar ya bien clara, a partir de la

historia que se busco recrear en el Capitulo 5, donde se esbozo el desarrollo histórico de las

practicas y conceptos matemáticos que se encuentran alrededor del concepto de derivada y

que a su vez constituyen parte del desarrollo histórico del mismo.

Sin embargo, como el objetivo primordial de la presente investigación es el crear algunos

elementos de uso de la historia susceptibles de ser llevados al aula para la enseñanza del

concepto de derivada, la cuestión que se desarrollara aquí, es el cómo dinamizar dicha

historia alrededor del concepto de derivada para su administración en un contexto escolar.

Para ello, opino que es pertinente traer a colación algunos de los planteamientos que al

respecto hace Rivaud (1996) acerca de las practicas y problemas que vinieron a dar origen

a lo que en el s. XVII se dio en llamar Cálculo, y que, como es bien sabido de los trabajos

de Santos (1995), poco a cambiado hasta nuestros días.

Los últimos años del siglo XVII presenciaron el nacimiento del Cálculo

Diferencial e integral, cuyo desarrollo inicial estuvo a cargo de Isaac Newton y

Wilhelm Gottfried. Leibniz vino a unificar el tratamiento de buena parte de los

diversos problemas que ocupaban a los matemáticos de ese momento. Algunos

de éstos son:

• Calculo de longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad.

• A partir de conocer la posición en cada momento, determinar la velocidad

instantánea y, recíprocamente, cuando se conoce la velocidad en cada momento,

calcular la distancia recorrida.

226 WUSSING, H. Lecciones de historia de las matemáticas. Ed. Siglo XXI. España. 1989. p. 137.

192

• Determinación de máximos y mínimos.

En ese momento, eran ya de conocimiento común entre los matemáticos, los

elementos indispensables para el desarrollo del cálculo, es decir:

• El álgebra y la trigonometría elemental.

• La geometría analítica.

Asimismo, eran usuales desde principios del siglo XVII los argumentos que

hacían uso de “infinitesimales” o “indivisibles.

Otro elemento relevante, que hay que señalar, es el rompimiento con la filosofía

de Aristóteles y el surgimiento de una nueva actitud en el que se tiene el

convencimiento de que la naturaleza está matemáticamente diseñada.”227

Problemas estos que a criterio de la presente investigación pueden resumir en buena

forma, la manera de llevar un desarrollo coherente de la evolución histórica y los

conceptos asociados al desarrollo histórico del concepto de derivada, que podrían ser

llevados a la escuela como elementos de uso didáctico de la historia para la enseñanza de

conceptos presentes en el concepto de derivada y para la enseñanza del concepto mismo.

7. 2. Proceso de materialización del concepto de derivada.

Como se ha insistido en la presente investigación, el análisis histórico critico de las

características del llevado a cabo aquí, nos sitúa en lugar más adecuado para intentar

plasmar el proceso de materialización del saber de derivada a través de los siglos.

Así proponiendo en el plano conceptual, ontogenético, se distinguen esencialmente en el

desarrollo histórico de la noción de derivada tres etapas bien diferenciadas:

193

1. Etapa geométrica

Esta primera etapa, hablando de forma general en el ámbito de las matemáticas, se

caracteriza por la resolución de ejercicios en el plano concreto. En ella podemos

diferenciar:

a) Un estadio inicial, donde la idea de límite y la de función muy ligada a la de límite,

aparecen unidas a la de aproximación y a la practica común en la época de la

observación concomitante de fenómenos enlazados por una relación aritmética,

como es el caso de los periodos de visibilidad de un planeta y la distancia angular

de un planeta al Sol. (Como hemos visto que sucedía en las civilizaciones antiguas

de Egipto y Mesopotámica).

b) Un segundo estadio, donde la noción de límite se encuentra más confeccionada,

aunque sigue siendo pensada como una aproximación, sería proporcionado por el

método de Exhausción que hace su incursión con la matemática griega.

Esta etapa abarco tanto la antigüedad así como también la edad media en la historia de las

matemáticas.

2. Etapa geométrico – aritmética.

Esta segunda etapa se caracteriza esencialmente por la incorporación de los antiguos

métodos utilizados por los griegos, si bien con algunas modificaciones que desembocaron

en esta época en la creación del Cálculo Infinitesimal; pasando de la resolución de los

ejercicios en lo concreto (plano geométrico) a la formalización de los conceptos, aunque

de manera poco rigurosa.

227 RIVAUD. Op. cit., p. 117.

194

En esta etapa, como en la anterior es posible diferenciar dos estadios:

a) El primer estadio se concerniría con los descubrimientos de diversos matemáticos,

fundamentalmente con; Stevin , Descartes, Fermat y Barrow, que trabajaron durante

el s. XVII. En sus trabajos aparece una constante que permite englobarlos en el

mismo estadio conceptual, se trata particularmente de llegar a la noción de límite a

partir de la elaboración de un método para calcular la tangente a una curva o el

área bajo una curva. Origen del actual cálculo Diferencial e Integral.

b) El segundo estadio estaría representado, primordialmente, ahora sí, por los trabajos

de Newton y Leibniz, quienes coincidían, como ya hemos visto, en el fondo aunque

hubieran diferencias en la forma de representar sus conclusiones. Es de recordar

como Newton hablaba de de fluxiones, mientras que Leibniz lo hacia de

diferenciales. Es precisamente a partir de estos dos autores que dejan de evitarse

los procesos infinitos y se comienza a trabajar con ellos, lo que fue esencial para

la definición de límite y por ende para el concepto actual de derivada. A este estadio

lo único que se le puede objetar es su vaguedad formal, que es claramente evidente

en expresiones utilizadas por Newton tales como razones primeras y últimas o

desvanecerse en sus exposiciones, que se corresponden más a un ámbito filosófico.

3. Etapa Aritmética.

Esta etapa se caracteriza por la formalización definitiva del concepto de derivada a través

de la formalización de conceptos que están en estrecha relación a este concepto, como

son; el concepto de límite y el de función, cuya definición se hará primero de manera

precisa y después de manera rigurosa.

Como en los casos anteriores, aquí también se distinguen dos estadios bien diferenciados.

195

a) En el primer estadio se asiste a la aparición de la palabra límite y , por tanto, a su

materialización. Consecuencia de la interpretación que hizo D´Alembert, de las

razones primeras y ultimas de Newton como límites, así como también de las

cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Sin embargo, es de

anotar, en esta época correspondiente a las aportaciones de D´Alembert, seguía

ignorándose el infinito completo y el actual, en la medida en que todavía se

pensaba en términos de magnitudes geométricas y no en términos de la teoría de

conjuntos.

b) En el segundo estadio, se asiste a la definición definitiva del concepto de límite,

por parte de Cauchy, y después, a la rigurización del mismo por parte de

Weiertrass. Que configuro el actual concepto de derivada.

Llegados a este punto, y recordando lo dicho en la introducción a este capitulo, como es;

que para un docente de matemáticas no sólo es interesante sino conveniente conocer el

desarrollo histórico de los conceptos matemáticos a través del tiempo. Ya que ello no sólo

le proporciona buenos ejemplares, sino que también en muchas ocasiones le permite

darse cuenta del por qué de las dificultades de los alumnos en la adquisición de algunos

conceptos. Podríamos intentar una ultima reflexión en nuestro análisis, posterior y

complementaria a la tarea que hizo en el Capitulo 6, de registrar los obstáculos

epistemológicos asociados al desarrollo histórico del concepto de derivada, tal y como es

una que busque identificar posibles paralelismos entre el desarrollo ontogenético y

filogenético de los conocimientos. En efecto, y sin que ello suponga aceptar, en ningún

momento el principio haeckeliano de que la ontogénesis recapitula la filigénesis228,

228

Principio formulado por el biólogo alemán y darwinista convencido Haeckel, Ernst (1834-1919), quien,

basándose en parte en los estudios embriológicos de Fritz Müller, formulo la ley biogenética según la cual la

evolución del individuo (ontogénesis) reproduce la evolución de la especie (filogénesis): “la ontogénesis, es

decir, el desarrollo del individuo, es una breve y rápida recapitulación de la filogénesis o evolución de la

estirpe a la que pertenece, de los precursores que forman la cadena de los progenitores del individuo mismo,

196

parece evidente que la evolución histórica de la noción de derivada, y de algunos de los

conceptos relacionados a él, sigue una línea paralela con su desarrollo en el campo del

saber matemático.

En este sentido, si designamos “representación” a la formación del concepto, tanto a lo

largo de su historia como en el sujeto, encontramos como en ambos casos, se siguen tres

etapas bien diferenciadas y muy similares desde el punto de vista estructural:

• En la primera etapa que llamaremos de iniciación – que se correspondería, en el

sujeto, con el pensamiento preoperacional- encontramos un primer estadio,

representado por las civilizaciones antiguas de Egipto y Mesopotámica, cuyo

razonamiento alrededor de nociones tales como función y límite presenta las

características propias del preconcepto; y un segundo estadio intuitivo,

representado por la matemática desarrollada en Grecia.

• En la segunda etapa, que llamaremos de formación y concretización se asiste, en la

filogénesis a transformaciones paralelas a las que se producen en el pensamiento

operacional concreto del niño. Durante esta etapa, un primer estadio se caracteriza

por la construcción del límite, representada por las aportaciones de matemáticos

como Stevin, Fermat, Barrow, por otro lado, y en esta misma etapa se introduce,

por parte de Descartes y Fermat, al mundo, en el universo de la representación

analítica, utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Que como se

sabe constituye el fundamento de otros dos grandes descubrimientos del s. XVII.

La introducción de la noción de función y el cálculo infinitesimal. Mientras, en un

segundo estadio, encauzado a través de las aportaciones de Newton y Leibniz, se va

a producir la <<reorganización y generalización>> de lo construido previamente.

repetición que está determinada por las leyes de la herencia y de la adaptación”. MARTÍNEZ * CORTÉS. Op.

cit., búsqueda bajo la palabra: Haeckel.

197

• Finalmente, en una tercera etapa que llamaremos de formalización – y que

constituye el equivalente filogenético del pensamiento operacional formal

asistimos, en un primer estadio, a una nueva construcción del concepto, de límite,

representado por los trabajos de A´Lembert; y en un segundo estadio, a la

<<reorganización y generalización >> de estas construcciones previas, en manos de

Cauchy, Bolzano y Weierstrass, que dio lugar al concepto actual de derivada.

7. 3. Incorporación de la historia al currículo de matemáticas. (Creación de la ficción).

En efecto, el currículo no debe entenderse solamente como una etapa inicial,

operativa e instrumental, de distribuir contenidos a lo largo de un nivel, grado o

programa, sino como un proceso que se genera desde la cultura y la ciencia, lo cual

implica:

I. Comprender el currículo en si mismo como una investigación, como proceso de

evaluación permanente que lleven a la toma de decisiones enriquecedoras de

este proceso pedagógico.

II. Concebir en el diseño de la estructura curricular la articulación de los momentos

evolutivos de los estudiantes, los supuestos básicos, los énfasis, los ejes y los

temas.

III. Entender esta estructura con la máxima flexibilidad y movilidad, para que

siempre esté subordinada a los intereses y necesidades de la comunidad.

IV. Destacar en los temas que deben desarrollarse en cada período lectivo o

programa, la calidad, la profundidad y la pertinencia de los contenidos.

V. Elaborar las propuestas de trabajo para cada período lectivo, haciendo explícitos

las intenciones, los temas, las actividades, las metodologías y los recursos.

198

VI. Generar espacios y tiempos exclusivos al interior de la institución educativa.229

Por ello y en virtud de la autonomía escolar ordenada por el articulo 77 de la ley 115 de

1994, por la cual, los establecimientos educativos que ofrezcan la educación formal,

gozan de la autonomía para organizar las áreas obligatorias y fundamentales.

Propongo los siguientes criterios para la organización de un currículo en matemáticas:

Dado que el aprendizaje de las Matemáticas se orienta más a la adquisición del

pensamiento matemático, que al aprender contenidos, así sea el que aquí nos ocupa. La

cuestión estará más por el lado de cómo potenciar la adquisición de dicho pensamiento,

entendiendo a este como un proceso que “pretende la economía de los procesos lógicos

por medio de la capacidad de realizar transformaciones sobre los símbolos, sin necesidad

de llevara a cabo las acciones sobre los objetos.”230

Dentro de este enfoque y teniendo en cuenta la teoría de Piaget, los apuntes de Bustos

(1999) y algunos de los aportes de Chevallard (1991), el objeto que el estudiante edifica

son las herramientas del conocimiento, plasmadas por los conceptos matemáticos

centrales, y a través de la experiencia física y la experiencia lógico – matemática, por

cuanto:

• Una cosa es el discurso disciplinar que se dá en un campo de producción, éste se

mueve en un campo de producción discursiva, discurso que se debe a los grandes

teóricos que están trabajando los últimos avances de dicho saber, y otra cosa es el

discurso escolar de la matemática. De hay que la matemática pura no es el

conocimiento que se pretende a nivel escolar.

229 SECRETARIA DE EDUCACIÓN DISTRITAL. [en línea] De: http://www.redacademica.edu.co/redacad/export/REDACADEMICA/ddirectivos/inspeccion__vigilancia/archivos/COMPONENTE_PEDAGOGICO_ED_NO_FORMAL.doc

199

• Es propio a la matemática el aprendizaje en si mismo de las relaciones y

transformaciones que se pueden constituir entre conceptos y estructuras, de

manera que el estudiante elabore conexiones entre ellos.

• Los contenidos que sirven de mediadores para el ascenso al pensamiento

matemático, tiene estructuras similares a las estructuras de pensamiento y a redes

de conceptos.

Por todo lo anterior y recordando que la actividad matemática permite tomar conciencia

de las relaciones y las transformaciones en si mismas, independientemente del contexto

particular y ulteriormente permite comunicarlas. La primera fase de dicho proceso

comprende prolongaciones de las acciones reales; la segunda fase es una formalización

que exige simbolización, y no necesita realizar las acciones que soportan la actividad. De

hecho la actividad matemática, según palabras de Latorre- Suarez (1997);

avanza hacia el pensamiento matemático en la medida en que transita de lo

perceptual y activo hacia lo abstracto; en tal sentido si la verbalización de las

acciones se desprende muy rápidamente de estas, el símbolo carecerá del realismo

que lo sostiene y habrá de recurrir con frecuencia a las situaciones concretas y a

las acciones; de cualquier manera la comunicación es importante pues no solo

demuestra que se ha percibido y comprendido lo que se enuncia sino que

también permite un dialogo del que se obtiene nuevas relaciones.231

Según estos mismos autores, el Plan de Estudios para el aprendizaje de las Matemáticas

está constituido en sistemas. Siguiendo las aportaciones de Vasco (1994), en su articulo El

enfoque de sistemas en el nuevo programa de matemáticas, en Un nuevo enfoque

para la didáctica de las matemáticas Un SISTEMA MATEMÁTICO es una

estructura formada por un conjunto con elementos que se operan o transforman y entre

230 LATORRE, H. * SUÁREZ, P. Las matemáticas en la educación básica y media. Acción pedagógica 12. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Centro de Investigaciones Científicas y Extensión de la Facultada de Educación – CIEFED. Tunja. 1997. p. 19. 231 Ibid., p. 20

200

los que se establecen relaciones. La estructura matemática está conformada por los

sistemas numérico, geométrico, lógico, métrico, algebraico y de datos, y cada uno tiene

intrínsecamente un sistema concreto, otro conceptual y otro simbólico.

En el sistema concreto según Latorre- Suárez (1997) se tiene un estructura formada por

elementos que el estudiante ya ha apropiado y le son familiares; con ellos realiza acciones

y transforma los objetos, compone relaciones de semejanza y diferencia, introduce algunas

clasificaciones y una organización propia.

En el sistema conceptual se fabrican preguntas y se inquiere respuestas, generalidades y

particularidades, se discuten puntos de vista y las conclusiones que surgen. Es permite

una construcción grupal. Al pensarse sobre las acciones y las relaciones establecidas se

interioriza la acción, se construyen operaciones.

En el sistema simbólico se establecen formas comunes de representación, se generalizan

las propiedades que determinan los elementos así como las leyes que rigen las

operaciones y las relaciones construidas.

Teniendo presente esto y ultimo, y colocándolo en relación con los planteamientos

expuestos en 7.2. acerca de los posibles paralelismos entre la evolución histórica de la

noción de derivada, y de algunas de las nociones relacionadas a ella, con su desarrollo en

el campo del saber matemático. Pongo en consideración;

Ya que en el nivel PREESCOLAR, se pretende esencialmente, según palabras de Latorre-

Suárez (1997), “que los niños superen satisfactoriamente su etapa sensorio motriz e

inicien una fase preoperatoria”.232 Y dado que el énfasis de este nivel “se centra en la

adquisición de las nociones de clase y serie sobre conjuntos”.233 Aunque en el presente

trabajo no se contemple el uso de la historia para apoyar el paso satisfactorio del niño de la

232 Ibid., p. 21. 233 Ibid., p. 21.

201

etapa sensorio motriz a la fase preoperatoria, no obstante se podría pensar en un tipo de

historia que sirviese como apoyo a esta primera aproximación del niño a las nociones de

clase y serie sobre conjuntos, ya que de ellas dependerá de forma significativa tanto la

construcción del concepto mismo de número así como también su paso eficaz a la fase

preoperatoria, donde dichas nociones jugaran un papel fundamental en la construcción de

su pensamiento matemático.

Acerca de la BASICA PRIMARIA , ya que su objetivo es “propiciar el transito de un

pensamiento nocional a un pensamiento conceptual, para construir operaciones directas

e inversas, establecer relaciones de orden y parte y todo entre cantidades discretas y

continuas, favorecer la formación del concepto de proporcionalidad”.234 El papel que

jugara la historia en este nivel estará más por el lado de brindar al docente de matemáticas

buenos ejemplares para la introducción así como para el desarrollo de una temática de

clase en particular, verbo y gracia, algunos de los aportes de las civilizaciones antiguas de

Egipto y Mesopotámica, cuyo razonamiento, hablando de forma general en el ámbito de las

matemáticas, se caracterizo por la resolución de ejercicios en el plano concreto.

En un estadio inicial del desarrollo matemático de estas civilizaciones, la idea de límite y

la de función muy ligada a la de límite, aparecen sujetas a la de aproximación y a la

practica común en la época de la observación concomitante de fenómenos enlazados por

una relación aritmética, como es el caso de los periodos de visibilidad de un planeta.

(Como hemos visto que sucedía en las civilizaciones antiguas de Egipto y Mesopotámica).

En un segundo estadio, que podría articularse en la administración curricular con los cursos

finales de la BASICA PRIMARIA, podría trabajarse la noción de limite a partir de la

noción aproximación, a través de su equivalente filogenético el cual es proporcionado por

el método de Exhausción que hace su incursión con la matemática griega.

234 Ibid., p. 22.

202

Dado que en la BASICA SECUNDARIA se “pretende consolidar el pensamiento

conceptual y favorecer su desequilibrio para hacia la Educación Media ascienda a la

formación de redes conceptuales, para construir modelos, establecer hipótesis, y llevar a

cabo procesos de inducción y deducción.”235. El aporte que puede brindar la historia

alrededor del concepto que aquí nos ocupo, consiste en ayudar a la formación y

concretización de algunas de las nociones que en la BASICA PRIMARIA, se vieron de

forma intuitiva, tal y como es el caso de las relaciones funcionales, la noción de

convergencia y aproximación, que históricamente, luego de ser apoyadas a través de

herramientas tan valiosas como el Álgebra, permitieron en su época, en primer lugar; que

Descartes y Fermat, introdujeran al mundo, en el universo de la representación analítica,

utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Que como bien se sabe constituye

el fundamento de otros dos grandes descubrimientos del s. XVII. La introducción de la

noción de función y el Cálculo infinitesimal. Lo que significo en el campo del desarrollo

histórico de la matemática el paso de la resolución de los ejercicios en lo concreto (plano

geométrico) a la formalización de los conceptos, aunque aun de manera poco rigurosa. En

un segundo estadio, que en la construcción curricular podría corresponderse con el ultimo

año de BASICA SECUANDARIA, encauzado por las aportaciones de Newton y Leibniz,

se va a producir la <<reorganización y generalización>> de lo construido previamente.

El objetivo como -ya se menciono antes- de la EDUCACIÓN MEDIA es “la formación

de redes conceptuales, para construir modelos, establecer hipótesis, y llevara a cabo

procesos iniciales de inducción y deducción.” Para ello la historia juega aquí un papel

fundamental, la etapa histórica que presumiblemente se corresponde con este nivel es la

Etapa Aritmetica, etapa esta que se caracteriza por la formalización definitiva del

concepto de derivada a través de la formalización de conceptos que están en estrecha

relación a este concepto, como son; el concepto de límite y el de función, cuya definición

se hará primero de manera precisa y después de manera rigurosa. En esta etapa, que aquí

235 Ibid., p. 22.

203

llamamos de formalización – y que constituye el equivalente filogenético del

pensamiento operacional formal-, se asiste en un primer estadio a una nueva construcción

del concepto, de límite, abandonando ya definitivamente las consideraciones intuitivas

anteriores acerca de el, representado por los trabajos de A´Lembert; y en un segundo

estadio, a la <<reorganización y generalización >> de estas construcciones previas, en

manos de Cauchy, Bolzano y Weierstrass, que dio lugar al concepto actual de derivada.

204

8. CONCLUSIONES

i. Desde los libros de texto revisados en desarrollo de la presente investigación, se

observa que no se hace un uso didáctico de la historia para la enseñanza de la

derivada, y en tanto, el texto escolar, como plantea Escolano (1997), es el objeto

esencial de la escuela tradicional y la “representación de todo un modo de

concebir y practicar la enseñanza”, es plausible que tampoco se este haciendo un

uso didáctico de la historia para la enseñanza del concepto de derivada en el aula.

ii. Bajo un enfoque tradicional del currículo, el concepto de derivada es visto como

un contenido al final de la educación media.

iii. Para la adecuada construcción del concepto de derivada por parte del estudiante,

su enseñanza debe ser pensada como un proceso que inicia en los primeros cursos

de básica primaria con: la introducción de problemas y actividades en el plano

concreto que lleven de manera natural a la idea de límite y función a través de la

observación de fenómenos sujetos a una relación aritmética. Que alcanzara su

culmen con la formalización de dicho concepto en el segundo año de

educación media tras haber: formalizado y concretizado algunas de las nociones

que en la BASICA PRIMARIA, se vieron de forma intuitiva, tal y como es el caso

de las relaciones funcionales, la noción de convergencia y aproximación, que

históricamente, luego de ser apoyadas a través de herramientas tan valiosas como el

Álgebra, permitieron en su época, en primer lugar; que Descartes y Fermat,

introdujeran al mundo, en el universo de la representación analítica, utilizando

esencialmente el método de las coordenadas. Que como bien se sabe constituye el

fundamento de otros dos grandes descubrimientos del s. XVII. La introducción de

la noción de función y el Cálculo infinitesimal.

205

iv. Este es un ejercicio conveniente para el docente, que debe involucrar en términos

de insumo teórico para el diseño de las actividades que lleva al aula para la

enseñanza del concepto de derivada.

tesis matemáticas

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