tesis presion de sobrecarga

8/18/2019 tesis presion de sobrecarga

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADOMAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA

TRABAJO DE GRADO

ALGORITMO PARA EL CÁLCULO AUTOMÁTICODE LA PRESIÓN DE PORO

Por:

Dicson Rafael Cañizalez Vásquez

Febrero del 2006


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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA

ALGORITMO PARA EL CÁLCULO AUTOMÁTICODE LA PRESIÓN DE PORO

Trabajo de Grado presentado ante la Universidad Simón Bolívar por:

Dicson Rafael Cañizalez Vasquez

Como requisito parcial para optar al grado de

MAGISTER EN INGENIERÍA MECÁNICA

Realizado con la Asesoría del Prof.

Horacio Flórez Guzmán

Febrero del 2006


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i

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADOMAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA

Este Trabajo de grado ha sido aprobado por la Universidad Simón Bolívar por

el siguiente jurado examinador:

PresidenteProf. Armando Blanco.

Miembro Principal ExternoCarmen Ferrebus.

SERVICIOS HALLIBURTON DE VENEZUELA, S.R.L.

Miembro Principal-TutorProf. Horacio Flórez.

6 de Febrero del 2006


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ii

DEDIC TORI

La Universidad no tiene como único fin dar

títulos, sino él de dar hombres Honrados al servicio de

la Sociedad.

Juan Pablo II.


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iii

AGRADECIMIENTOS

Le doy especialmente gracias a Dios por creer en mí y brindarme su apoyoincondicional a pesar de las circunstancias adversas en que nos enfrentamos; “GRACIAS”

por todo Señor.

A mis Padres ese regalo tan especial de Dios, que con su apoyo y confianza me

permiten lograr nuevamente esta meta que nos planteamos.

A mis hermanas y a mis sobrinas, que sirvieron de motivación para lograr este

objetivo.

A mis amigos de la “Residencia” gracias por el apoyo y la compañía; ahora recuerdo

en este momento a una persona que con su amistad verdadera y su compañía aquí en

Caracas, me permite no solo graduarme sino cumplir también con otros objetivos

personales que me había fijado, gracias amigo.

Al profesor Horacio Flórez por su abnegación y dedicación, para culminar con éxito

esta Maestría así como también por sus consejos en los momentos importantes de mi vida,

“GRACIAS”.

Al Guía y amigo “GRACIAS”, y a todas aquellas personas que han estado

relacionadas con mi persona y que me han ayudado y que me ayudan ahora y siempre.

Muy especialmente debo agradecer también al programa Agenda Petróleo del

Fonacit, por brindarme la ayuda económica necesaria para culminar con éxito esta

Maestría, gracias.


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RESUMEN

La Presión de Poro (PP) es clave en la perforación de pozos petrolíferos, su predicción es empleada por los ingenieros de perforación para hacer el diseño de la tuberíade revestimiento y para la obtención de la densidad del lodo apropiada en la perforación.

El siguiente proyecto consiste en el desarrollo de un algoritmo para el cálculoautomatizado de la PP, en donde el mismo será implantado en el lenguaje de programaciónC++. El algoritmo procesará registros petrolíferos en formato LAS (Log ASCII Standard),identificará automáticamente los registros existentes a partir de sus acrónimos y se

especializará en la completación del registro de densidad, aplicando los ajustes yaconocidos en la literatura, para determinar luego por medio de integración numérica elgradiente de sobrecarga (OBG). Luego se propondrá una tendencia de compactaciónnormal (LCN) óptima a partir de una semilla de iteración inicial, tal que minimice ladiscrepancia entre la PP medida en campo y la calculada numéricamente por los métodosde Eaton, y los valores de los parámetros A,B y U para el caso de Bowers, utilizando paraello la teoría de los mínimos cuadrados.

La principal ventaja del algoritmo es la minimización de la intervención del usuariodurante el cálculo de la PP, y la determinación de la misma en nuevos pozos en formaautomática, reduciendo los costos y aumentando la eficiencia de los trabajos de perforación.

Para nuestro caso se tomó como base de estudio un pozo costa afuera (real), la cualfue analizado con el algoritmo de optimización, para obtener la presión de poro calculada(PPc) utilizando el método de Eaton y de Bowers, lográndose excelentes resultados ya quela PPc se encontró por debajo de la densidad del lodo utilizada en la perforación de este pozo.

PALABRAS CLAVES: presión de poro, gradiente de sobrecarga, optimización,

geopresión, esfuerzos.


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ÍNDICE GENERAL

APROBACIÓN DEL JURADO: ........................................................................................... i

DEDICATORIA....................................................................................................................iiAGRADECIMIENTOS........................................................................................................iii

RESUMEN...........................................................................................................................iv

ÍNDICE GENERAL..............................................................................................................v

ÍNDICE DE FIGURAS .......................................................................................................vii

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS ................................................................... ix

INTRODUCCIÓN.................................................................................................................1COMENTARIOS PRELIMINARES. .................................................................................1

ANTECEDENTES..............................................................................................................4

OBJETIVOS........................................................................................................................7

OBJETIVOS PRINCIPALES ..................................................................................7OBJETIVOS ESPECIFICOS...................................................................................7

CAPÍTULO I: CONCEPTOS................................................................................................ 9

1.1 REGISTROS.............................................................................................................9

1.1.1 LOG ASCII STANDARD (LAS)................................................................91.1.2 CLASIFICACIÓN.....................................................................................10

1.2 REGISTROS SINTÉTICOS. ..................................................................................12

1.2.1 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE MILLER. .......................................121.2.2 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE LA LEY DE POTENCIA..............141.2.3 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE GARDNER....................................151.2.4 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE GARDNER-MODIFICADO.........15

1.3 REGISTRO COMPUESTO....................................................................................161.4 PRESIONES. DEFINICIONES Y ORÍGENES. ....................................................17

1.4.1 PRESIÓN HIDROSTÁTICA. ...................................................................171.4.2 PRESIÓN DE PORO.................................................................................191.4.3 ESFUERZO EFECTIVO...........................................................................191.4.4 ESFUERZO DE SOBRECARGA.............................................................191.4.5 PRESIÓN NORMAL. ...............................................................................211.4.6 PRESIÓN DE PORO ANORMAL............................................................23

1.5 MÉTODOS UTILIZADOS PARA EL CÁLCULO DE LA PP. ............................271.5.1 MÉTODO DE EATON [15]......................................................................27


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1.5.2 MÉTODO DE BOWERS [5].....................................................................29

CAPÍTULO II: OPTIMIZACIÓN...................................................................................... 10

2.1 OPTIMIZACIÓN DE LA LCN (NCT)...................................................................10

2.1.1 MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON [4]. ..............................................35CAPÍTULO III: METODOLOGÍA.................................................................................... 45

3.1 DATOS DE ENTRADA PARA EL ALGORITMO. .............................................45

3.1.1 COMPLETACIÓN DEL REGISTRO DE DENSIDAD...........................453.1.2 DETERMINACIÓN DEL GRADIENTE DE SOBRECARGA. ..............423.1.3 OPTIMIZACIÓN DE LA LÍNEA DE TENDENCIA DE

COMPACTACIÓN NORMAL. ................................................................42

CAPÍTULO IV: RESULTADOS Y ANÁLISIS................................................................. 55

REGISTROS DE ENTRADA PARA EL ALGORITMO......................................55

COMPLETACIÓN DEL REGISTRO DE DENSIDAD. .......................................55

OPTIMIZACIÓN DE LA LÍNEA DE TENDENCIA DE COMPACTACIÓN

NORMAL..............................................................................................................57

CAPÍTULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................66

5.1 CONCLUSIONES................................................................................................ 66

5.2 RECOMENDACIONES ......................................................................................66


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ÍNDICE DE FIGURAS

Figuras Pag

Figura 1. 1: Representación de los registros en el formato LAS......................................... 10

Figura 1. 2: Representación de un registro sónico (DTCO) versus profundidad (MD). ..... 11

Figura 1. 3: Representación de la completación del registro de densidad en la parte superior

con el ajuste propuesto por Miller. .................................................................... 13

Figura 1. 4: Representación del registro de densidad, donde los círculos indican valores

ausentes que el algoritmo debe completar.........................................................16

Figura 1. 5: Representación donde se muestra que la presión hidrostática es dependiente

solamente de la altura vertical y de la densidad de la columna de fluido.......... 17

Figura 1. 6: Representación que muestra la diferencia entre la longitud medida a lo largo de

la tubería (MD) y la profundidad total vertical verdadera (TVD)..................... 18

Figura 1. 7: Representación de los esfuerzos presentes en la formación. ........................... 19

Figura 1. 8: Modelo de compactación del sedimento en una dimensión [26]. ....................21

Figura 1. 9: Representación de los diferentes gradientes de presión normal para distintas

zonas [26]. .........................................................................................................21

Figura 1. 10: Efectos de la PP sobre las propiedades de la roca [27]..................................24

Figura 1. 11: Representación de los diferentes mecanismos de origen de presión dentro de

la formación [17]. .............................................................................................. 26

Figura 1. 12: Representación de la línea de tendencia de compactación normal (LCN ó

NCT).................................................................................................................. 28

Figura 1. 13: Representación de la curva velocidad (Sónico) versus esfuerzo efectivo [5].29

Figura 1. 14: Representación de los diferentes valores que puede tomar la variable de

comportamiento elástico de los sedimentos U . ................................................ 31

Figura 1. 15: Representación de la curva ( )s ft v / versus , )( psiefect σ para obtener el

parametro de descarga U [5].............................................................................. 32

Figura 2. 1: Representación del registro de velocidad Interválica donde se muestra los

puntos de velocidad a optimizar. ..................................................................34iv


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viii

Figura 3. 1: Representación del registro de densidad con las respectivas zonas a completar.

........................................................................................................................... 42

Figura 3. 2: Representación de la Línea de Tendencia de Compactación Normal, donde se

indica los puntos de quiebra de la velocidad interválica a optimizar. ...............44

Figura 4. 1: Representación de los registros de entrada para el algoritmo del pozo

analizado............................................................................................................ 54

Figura 4. 2: Representación del registro de densidad donde se visualiza las distintas zonas

vacías (color azul).............................................................................................. 55

Figura 4. 3: Representación de los ajustes obtenidos por Miller y Ley de Potencia. .......... 56

Figura 4. 4: Representación del registro de Densidad Compuesto......................................57

Figura 4. 5: Representación de los distintos puntos (en rojo) de Velocidad Interválica que

se seleccionaron del registro.............................................................................. 58

Figura 4. 6: Representación del error local (epsilon) en función del número de iteraciones

para el Método de Eaton....................................................................................59

Figura 4. 7: Representación de la norma de la desviación del ajuste (delta), en función del

número de iteraciones........................................................................................ 59

Figura 4. 8: Representación donde se muestra la variación de la Velocidad Interválica,

para cada iteración, desde la semilla inicial (círculo rojo) hasta la convergencia

final (círculo morado). .......................................................................................60

Figura 4. 9: Representación de la optimización, para el caso de la PP C obtenida por Eaton,

y del registro de densidad del Lodo (MW), Gradiente de Sobrecarga (OBG) y

de la PPm. ...........................................................................................................61

Figura 4. 10: Representación de la norma del error global del ajuste (delta), en función del

número de iteraciones, para el caso de Bowers................................................. 62

Figura 4. 11: Representación del registro de la PP por Bowers y de los registros de Peso del

Lodo (MW), Gradiente de Sobrecarga (OBG) y de PPm . ................................. 63

Figura 4. 12: Representación donde se muestra la optimización de la PP determinadas para

el caso de Eaton y de Bowers............................................................................ 64


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ix

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

A, B PARÁMETROS OBTENIDOS POR AJUSTES

Depth PROFUNDIDAD (M)

Dmv PROFUNDIDAD A LA CUAL OCURRE LA

DESCARGA DE LOS SEDIMENTOS

(M/S)

DTCO ACRONIMO DEL REGISTRO SÓNICO

COMPRESIONAL

(MICROS/

FT)

G GRAVEDAD

G/C3 GRAMOS CENTÍMETROS CÚBICOS

GR GAMMA RAY (GAPI)

K PARÁMETRO DE AJUSTE (MILLER)

LAS LOG ASCII STANDARD

LCN ò

NCT

LÍNEA DE TENDENCIA DE COMPACTACIÓN

NORMAL

MD LONGITUD DE GUAYA (PROFUNDIDAD MEDIDA)

MW PESO EQUIVALENTE DE LODO (PPG)

ne, n EXPONENTE DE EATON Ó PARÁMETRO DE

AJUSTE (MILLER)

OBG,

OVRBDG

GRADIENTE DE SOBRECARGA (PSI/FT)

P PRESIÓN (PSI)

PP PRESIÓN DE PORO (PSI Ó

PSI/FT)

Ppg LIBRAS POR GALÓN

Ph PRESIÓN HIDROSTÁTICA (PSI)

PPn PRESIÓN DE PORO NORMAL (PSI)

PPc PRESIÓN DE PORO CALCULADA (PSI)

PPm PRESIÓN DE PORO MEDIDA (PSI)

RHOB ,

RHOZ

ACRÓNIMO DEL REGISTRO DE DENSIDAD (G/CM3)

S, OB ESFUERZO DE SOBRECARGA

TVD PROFUNDIDAD TOTAL VERTICAL VERDADERA (M Ó FT)


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x

U COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DEL SEDIMENTO

Z ALTURA DE LAS COLUMNAS DE AGUA (M Ó FT)

Zw ALTURA DE LOS SEDIMENTOS (M Ó FT)

VInt VELOCIDAD INTERVÁLICA (FT / S)

Vml VELOCIDAD INTERVÁLICA EN LA LÍNEA DEL

LODO

(FT / S)

vi VELOCIDAD DONDE OCURRE EL CAMBIO DE LA

PENDIENTE DEL REGISTRO

(FT / S)

φ POROSIDAD

δn DESVIACIÓN LOCAL

εn ERROR LOCAL

ρ ó ρ b DENSIDAD (G/CM3)

ρf ó ρw DENSIDAD DEL AGUA O DEL FLUIDO (G/CM3)

ρmax DENSIDAD DEL SÓLIDO (G/CM3)

ρo DENSIDAD INICIAL (G/CM3)

ρoo DENSIDAD FINAL (G/CM3)

t Δ TIEMPO DE TRÁNSITO

σefect ESFUERZO EFECTIVO (PSI)σmax ESFUERZO MÁXIMO (PSI)

σZ ESFUERZO EN FUNCIÓN DE LA PROFUNDIDAD (PSI)


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INTRODUCCIÓN

COMENTARIOS PRELIMINARES.

En la industria petrolera, y con mayor énfasis en ingeniería de yacimientos, la

ausencia de datos experimentales o “datos duros” que reflejen el comportamiento del

yacimiento como activo, es la norma. Esta carencia hace que la mayoría de los procesos de

exploración y producción padezcan de una gran incertidumbre. La definición del plan deexplotación de un yacimiento tiene como punto medular la ubicación óptima de los pozos.

Las prácticas típicas al descubrir un nuevo activo involucran la perforación de pozos

exploratorios, que permiten obtener información dura de los registros petrofísicos, como el

cambio de propiedades tales como: la densidad, porosidad, permeabilidad, etc., en función

de la profundidad. La cuestión central es como la información de unos pocos pozos

exploratorios, aunado a la sísmica, puede ser extrapolada y aplicada a vastas regiones

cubiertas por el activo.

Lo común durante la perforación de un pozo, (una vez determinada una localización

tentativa, siendo esto otro problema) es basarse en las mejoras prácticas de perforaciones

realizadas en pozos vecinos. Como regla general no se procesa con el debido detalle la

información dura obtenida en los pozos exploratorios, ni siquiera se estudia con

detenimiento el comportamiento mecánico e hidráulico del yacimiento. Esta omisión de las

consideraciones geomecánicas hace que durante la perforación del pozo se presenten

muchos eventos indeseados, debido a que el proceso se hace “tanteando” lo que pueda

encontrarse en el subsuelo.

Debido a los altos costos de las operaciones de los taladros en los pozos, se exige la

proposición de algoritmos que permitan sistematizar el cálculo de los parámetros de

perforación. Este requerimiento propone el reto de masificar las mejoras prácticas en

geomecánica petrolera entre los perforadores, quienes no son expertos en el área

precisamente, así que se requieren métodos de cálculo robustos y automáticos que

permitan, una mejor planificación de sus operaciones.


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2

La PP es la presión del fluido en el medio poroso, ejercida sobre los granos de la

matriz de roca que se encuentran alrededor de él [1], la determinación de la PP es de suma

importancia para las actividades de perforación: estabilidad del hoyo, en el diseño de la

tubería de revestimiento, planificación del proceso de cementación y por razones de

seguridad del personal y de protección del medio ambiente [16].

En la actividad de perforación cuando la PP encontrada en situ es superior a la

predicha, tienden a haber problemas en los equipos y variación en la velocidad de

perforación [22], lo que afecta la realización del pozo en los lapsos de tiempo establecidos

según la planificación, incrementando los costos respectivos [21].

Los ingenieros de perforación requieren a su vez conocer la PP y los diferentes

cambios en la misma que se puedan producir a las distintas profundidades del pozo, con elobjeto de controlar la densidad del lodo que va a ser introducido en el hoyo, para garantizar

la estabilidad del mismo y evitar la pérdida de fluido de circulación dentro de la formación.

Los problemas de estabilidad de pozos generan una serie de problemas operacionales,

que se traducen en costos adicionales que restan rentabilidad y en algunos casos pueden

llegan incluso a imposibilitar la producción de un pozo determinado. Entre los costos

generados por la inestabilidad están los asociados a una mayor necesidad de limpieza del

pozo, de inyección de más fluido de perforación debido a la pérdida del mismo (pérdidade circulación) y el posible atascamiento de la tubería. Estos problemas en determinados

niveles pueden ser tratados, permitiendo que se continúe la perforación, pero aunque esto

suceda los daños ocurridos ya causaron un retraso que representa pérdidas en la

rentabilidad del pozo.

Además la PP es un parámetro a considerar para el diseño de la tubería de

revestimiento ya que la misma va a estar sometida a diferentes condiciones de esfuerzos en

el interior del hoyo [16], y para su colocación óptima en las distintas profundidades de

interés, y para una buena planeación del proceso de cementación [24].

Con respecto a la seguridad del personal encargado de la perforación del pozo, es de

suma importancia conocer muy bien las distintas presiones que se encuentren en el

subsuelo, para utilizar los equipos y la densidad (peso) del lodo apropiada, previniendo así

posibles arremetidas del fluido que se encuentra dentro de la formación y el eventual

reventón del pozo, evitando la pérdida de vidas humanas y garantizando la protección del

medio ambiente.


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3

Otro aspecto importante a considerar es el procesamiento de los registros para el

cálculo de la PP, dado que las mediciones de los mismos por lo general no se encuentran

completas o vienen segmentadas en tramos en toda la profundidad del pozo, no pudiéndose

estimar la PP en toda la longitud del hoyo, aumentando con ello el riesgo de padecer los

problemas comentados anteriormente.

Por todo lo mencionado anteriormente, la industria petrolera requiere determinar la

PP de la forma más precisa posible de manera de tener un mejor control de las actividades

de perforación, por ende lo importante de desarrollar un programa de cálculo automatizado

de la PP que complete los registros, y que masifique su uso a grandes cantidades de pozos,

para lograr un mayor rendimiento y minimización de los costos asociados a los trabajos de

perforación.Por ende se propone la realización de un algoritmo para el cálculo automático de la

PP, donde el mismo cargará el archivo LAS (Log ASCII Standard) de un pozo específico y

a su vez identificará el registro de densidad, y el sónico a partir de sus acrónimos o de sus

unidades más comunes, para luego obtener los ajustes desarrollados por diferentes

investigadores (Gardner, Gardner Modificado, Miller y la Ley de Potencia) para completar

el registro de densidad en toda la profundidad de interés si es necesario, y determinar luego

el gradiente de sobrecarga mediante integración numérica, parámetro importante paradeterminar la PP. Las constantes para los diferentes ajustes de la densidad serán obtenidas

a partir de la teoría de mínimos cuadrados.

El reto del algoritmo es la optimización de la Línea de Compactación Normal (LCN),

tal que sea mínima la discrepancia entre la PPm y la PP c a una misma profundidad, para

ello se empleará la teoría de mínimos cuadrados para implantar la función objetivo de tal

manera que la suma de los cuadrados de los errores de la PPm menos la PP c, en los puntos

donde se cuenten con mediciones debe ser mínima.

Para el caso de la PP Pc por Eaton lo que se desea es determinar los valores de la

velocidad que siguen la línea de tendencia de compactación normal de tal manera de

definir la LCN óptima. En el caso de Bowers se exige determinar los valores de las

constantes con que cuenta su ecuación. El criterio de parada para el algoritmo será que la

función objetivo tienda a un valor mínimo.

Este problema de optimización se resolverá mediante la solución del sistema de

ecuaciones no lineales respectivo, mediante los algoritmos ya conocidos de la literatura [4].


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5

A su vez Gardner propone la relación entre la densidad de la formación y la

velocidad interválica, siendo la densidad necesaria para determinar el gradiente de

sobrecarga, utilizada en las ecuaciones de Eaton y Bowers [1].

En el año 1975 Ben Eaton propone la predicción de la ecuación de geopresión de losdatos de registros de pozos localizados en el Sur de Louisiana que tenían muchos

problemas en la perforación.

En este estudio se desarrollaron cuatro ecuaciones para predecir la magnitud de la

geopresión y se considera solamente el mecanismo de formación del yacimiento debido a

la subcompactación. Cada ecuación viene en función de diferentes parámetros como la

resistividad, conductividad, el tiempo de viaje del sónico y del exponente corregido “d”.

Estas ecuaciones se basan en la ecuación propuesta por Terzaghi para el cálculo de la PP.

Concluyéndose que la exactitud de cada ecuación para predecir el gradiente de PP

depende de la calidad de los datos de entrada, si la ecuación es usada con conocimiento y

cuidado es posible predecir PP menores al 0.5 ppg (lb/gal) de diferencia con respecto a la

real (medida) [15].

Luego Bowers presenta un método para estimar la PP a partir de la velocidad sónica,

que considera la causa de la presión, ya que en métodos anteriores la PPm es muy diferente

a la PPc, pudiéndose presentar diferencias hasta de 4 ppg dependiendo de como el exceso

de presión fue generado. No obstante el método es también aplicable para predecir la PP de

la velocidad interválica obtenida a partir de datos provenientes de la sísmica. En esta

publicación Bowers presenta un resumen de los métodos más utilizados para el cálculo de

la PP como son el de Hottman y Jhonson, el de la profundidad equivalente y el de Eaton

original y mejorado [5].

Por otra parte Chikao Yoshida desarrolla un estudio de recientes tecnologías usadas

para predecir, detectar y evaluar formaciones de presión anormal y presiones de fractura en

el norte y sur de América. El principal objetivo de este estudio fue el de determinar los

métodos más comúnmente usados para calcular la PP para propósitos de la planeación del

pozo antes de la perforación, donde la ecuación más usada para trabajar la PP es la

ecuación de Eaton, mientras que para determinar las presiones de fractura el método más

popular es el de Mathews y Kelly [10].


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Li Qiuguo Helliot en su caso estudio la estructura compleja y las fracturas en

formaciones de carbonato en el Este Sichuan China a datos de tres pozos, para predecir la

PP y la estabilidad del hoyo.

La detección de la PP se basó en un método que toma en cuenta la razón entre laonda compresional y la de corte, el esfuerzo efectivo y el coeficiente de Poisson. La

interpretación de los resultados obtenidos por este método fue buena en comparación con

la presión medida obtenida, donde el esfuerzo efectivo vendría dado por . Se

graficaron varias curvas para determinar los valores de m y n, para obtener luego el

esfuerzo efectivo y después la PP

nxmePe =

c que estuviera más cercana de la medida.

Para ello se graficaron varias curvas de esfuerzo efectivo versus razón de la onda

compresional y de corte, esfuerzo efectivo versus coeficiente de Poisson (medida ydeterminada), para obtener una ecuación del esfuerzo efectivo a partir de un ajuste de Ley

de Potencias. Obteniéndose buenos resultados, pero consideraron que era necesario trabajar

más sobre los mecanismo de generación de alta presión en formaciones de carbonato, y

considerar más factores para lograr mejores estimados. Dicha metodología fue

implementada en un software comercial llamado “ROXAN” [23].

A. Draou y Sonatrach, proponen un nuevo método para estimar la presión de la

formación y el gradiente de fractura en pozos. El primer método usa el principio de la

compactación, donde la porosidad varia exponencialmente con el esfuerzo vertical efectivo

y el segundo método utiliza la relación de la Ley de Potencia. Para ello se utilizaron

registros sónicos de cinco pozos en los campos de Ouargla y Garet El Bouib (Argelia) para

validar los métodos propuestos. Para obtener la PP se basaron en el método de la

profundidad equivalente que toma en cuenta sólo el mecanismo de formación del

yacimiento debido a la subcompactación.

Los resultados mostraron que los métodos acústicos tienen un grado de exactitud para

la predicción de la PP de +− 0.05 psi/ft. La desviación entre la PPc y la PP m para el primer

método vario de 3% a 6%, mientras que para el segundo fue del 1% a 3% [13].

C.M Sayers; G.M. Jhonson, y G. Denyer estudiaron la predicción de la PP usando

datos sísmicos, mostrando que la PP debe ser estimada utilizando datos de velocidad

sísmicas confiables para obtener resultados precisos. En este artículo varios métodos para

determinar la velocidad interválica fueron comparados a partir de la sísmica, resultando

que la velocidad más confiable es la obtenida por tomografía, para la determinación de la


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7

PP debido a su mejor resolución. Utilizándose para predecir la PP la ecuación de Bowers y

la relación de Amoco para determinar la densidad y por ende el gradiente de sobrecarga

[10].

Tonna Calvo describe en su trabajo de grado la predicción de las presiones de poro para un pozo perteneciente al área de la Plataforma Deltana, Venezuela, mediante el uso de

la técnica de análisis convencional de datos sísmicos basada en la ecuación de Dix, así

como las técnicas de actualización de velocidades interválicas como tomografía de

reflexión y tomografía basada en horizontes, que tienen mayor resolución espacial que el

método convencional. En la cual las PP estimadas basadas en sísmica de superficie son

mayores que las estimadas con datos de pozo en un rango de 1 – 1.2 ppg, lo cual es

esperado, ya que la predicción se hizo a partir de velocidades provenientes del análisis dela velocidad convencional [1].

Es así que en el año 2002 se publica un importante trabajo de la PP donde aparecen

un estudio de los diferentes mecanismos de generación de presión y una aclaratoria de los

conceptos y otras investigaciones desarrolladas por diferentes autores como Carcione [2],

Bowers [6] y [9], Bruce [1], Dutta [14] y Huffman [18].

Hoy en día se están realizando estudios referentes a los valores de entrada que

utilizan las ecuaciones para determinar la PP, principalmente lo relativo a las velocidadesobtenidas a partir de registros sísmicos, con el objeto de mejorar la precisión en los

cálculos obtenidos.

OBJETIVOS.

OBJETIVOS PRINCIPALES

Automatizar el cálculo de la PP aplicado a la geomecánica petrolera.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Cargar los datos de los pozos a procesar de manera automática (Archivos Log ASCII

Standard “LAS”).

Identificar los registros relevantes, para el cálculo de la PP, en forma automática en

base a sus acrónimos y/o unidades.


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Completar el registro de densidad en caso de que sea necesario empleando los

métodos disponibles en la literatura.

Proponer una estrategia para el cálculo de la PP en base a los datos duros cargados.

Proponer una Línea de Compactación Normal (LCN) óptima a partir de la Velocidad

Interválica (VInt).

Minimizar la discrepancia entre la PP Pm (medida en campo) y la PP c optimizando la

Línea de Tendencia de Compactación Normal, definiendo un “funcional” cuya

minimización, por la teoría de los mínimos cuadrados, sistematizará el problema de

obtener la LCN idónea.

Validar el algoritmo con algún caso de interés práctico.


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CAPÍTULO I

CONCEPTOS

1.1 REGISTROS.

Un registro de pozo, es una medida continua de algún parámetro geofísico a lo largo

de la profundidad de un pozo petrolero. El principal formato para presentar un registro

petrolífero es el LAS (Log ASCII Standard), el cual es usado por los más importantes

proveedores de servicios de pozo y que será descrito a continuación.

1.1.1 LOG ASCII STANDARD (LAS).

Este formato fue lanzado originalmente en 1989 por el comité de discos flexibles de

la Sociedad Canadiense de Perfilajes de Pozos (CWLS, por sus siglas en inglés), que

diseñó un formato ASCII estándar para datos de registros de pozos individuales en discos

flexibles, conocido como formato LAS (Log ASCII Standard). El formato LAS comprendearchivos de datos individuales escritos en ASCII. Representa el encabezado del registro del

pozo y las curvas ópticas en forma digital. Reconocido por tener el tamaño justo y por ser

portátil, accesible y fácil de usar, el formato LAS se ha convertido en un método

ampliamente aceptado por parte de las compañías de exploración y producción (E&P) para

el envió rápido de registros de pozos en el mundo entero. Su estructura simple, con simples

columnas que se asemejan a las de una hoja de cálculo, donde los datos están ordenados

según la profundidad, es fácil de usar y de cargar en la mayoría de las aplicaciones. Gracias

a la estructura de archivo ASCII todos los sistemas operativos de computadoras pueden

leer y abrir los archivos LAS. Una de las características más apreciadas por los usuarios es

la posibilidad de abrir el archivo con cualquier editor extrayendo luego información sobre

el pozo en forma visual (Ver Figura 1. 1).


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Figura 1. 1: Representación de los registros en el formato LAS.

1.1.2 CLASIFICACIÓN.

1.1.2.1 REGISTROS SÓNICOS.

El registro sónico es un registro en función del tiempo identificado como DT en los

archivos LAS, y es el tiempo que requiere una onda sonora para atravesar un pie de

formación. Este es conocido como tiempo de tránsito ( t Δ ), donde t es el inverso de la

velocidad (velocidad interválica) de la onda sonora. El tiempo de tránsito para una

formación determinada depende de su litología y de su porosidad.

La onda medida es la onda compresional u onda P (DTCO), donde el diseño de la

herramienta permite captar la velocidad de esta onda en la formación a ser medida. La

onda compresional es aquella, en la cual las partículas vibran en la dirección del sentido

del movimiento.

Normalmente el tiempo de tránsito sónico decrece en las arcillas al aumentar la

profundidad o en las arenas cuando hay migración de fluido, y viene en las siguientes

unidades ∆t ( ft s / ) (ver Figura 1. 2).


23/81

11

Principales Usos.

Cuantitativamente el registro sónico es utilizado para evaluar la porosidad en la

matriz porosa. Como una ayuda de la interpretación sísmica puede ser usado para

determinar las velocidades interválicas, y puede ser calibrado con la sección sísmica.

Cualitativamente, para los geólogos, el registro sónico es sensible a variaciones de la

textura de la formación (de la cual la porosidad es solamente una propiedad) en ambas

arenas y lutitas.

Puede ayudar a identificar la litología, la roca fuente, la compactación normal y la

sobre presión y en algunas extensiones la fractura de la formación [20] .

Figura 1. 2: Representación de un registro sónico (DTCO) versus profundidad

(MD).


24/81

12

1.1.2.2 REGISTRO DE DENSIDAD.

Es el registro continuo de la densidad total de la formación. Esta densidad total de la

roca que incluye la matriz sólida y el fluido encerrado en los poros. Geológicamente la

densidad total es función de los minerales que forman una roca (roca matriz) y delvolumen de fluido libre encerrado (porosidad) [20].

Principales Usos.

Cuantitativamente, el registro de densidad es usado para calcular la porosidad e

indirectamente la densidad del hidrocarburo y viene identificado en los archivos LAS

como RHOB ó RHOZ con diferentes tipos de unidades, donde la más común es de gramos

sobre centímetros cúbicos (g/cm3). Cualitativamente, es útil como indicador de la litología,

y puede ser usado para identificar ciertos minerales que pueden contribuir a determinar la

roca fuente y el contenido de materia orgánica, así como también las sobre presiones y

rocas fracturadas.

En nuestro caso se utiliza para determinar el esfuerzo de sobrecarga necesario para

el cálculo de la PP.

1.2 REGISTROS SINTÉTICOS.

Son registros que se obtienen para una profundidad total o intervalo de interés a

través de fórmulas empíricas, y que tienen como argumentos otros registros ya conocidos.

A continuación se mostraran los diferentes tipos de correlaciones propuestos por diferentes

autores para la completación del registro de densidad.

1.2.1 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE MILLER.

Se puede generar un registro sintético por medio de una correlación a través de un

registro de porosidad versus profundidad para sedimentos de agua profunda, usando unmétodo desarrollado por Miller. Donde esta correlación es más confiable para sedimentos

entre profundidades por debajo de la línea del lodo entre 1000 ft y 2000 ft, pero puede ser

usado a rangos de profundidades mayores si no hay datos disponibles. No obstante dicha

correlación se utiliza normalmente desde la superficie (profundidad = 0) hasta el primer

valor donde se encuentre definido el registro de densidad (Ver Figura 1. 3) [19].


25/81

13

Figura 1. 3: Representación de la completación del registro de densidad en la

parte superior con el ajuste propuesto por Miller.

Porosidad a partir del registro de densidad.

Para una formación limpia con una matriz de densidad conocida ma ρ , que tenga una

porosidad φ , y que contenga un líquido de densidad promedio f ρ , la densidad total de la

formación b ρ será:

( ) ma f b ρ φ φρ ρ −+= 1 (1. 1)

Que es la ecuación base para determinar la densidad por dicho método.

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −+= ∞∞ ndepthk

1

0 )*(exp ρ ρ ρ ρ ( g/cm3) (1. 2)


26/81

14

b ρ ó

ρ

: Densidad “density bulk” en g/cm3.

0 ρ : Densidad inicial “density bulk inicial” en g/cm3.

ma ρ : Densidad de la matriz de sólido (típicamente; 2,68 g/cm3 para lutita

“shale”.

f ρ : Densidad del agua en el poro (típicamente; 1,03 g/cm3).

∞ ρ : Valor al comienzo del registro de densidad.

k : Parámetro de ajuste (por defecto: 0,0035 para aguas profundas del golfo

de México).

n : Parámetro de ajuste (por defecto: 1,09 para aguas profundas del golfo de

México)

depth : Altura en donde comienza la formación por debajo de la línea del lodo

(en el fondo del mar, ft) [19].

1.2.2 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE LA LEY DE POTENCIA.

Este método propuesto por el Dr. Adolfo Rodríguez (comunicación personal),

correlaciona los datos del registro de densidad en función de la profundidad, para

determinar las constantes A y B por mínimos cuadrados, y así obtener el ajuste de la

densidad para la parte superior del registro o en otras profundidades de interés.

b ρ = ( g/cm( )B

0 ZA+ ρ 3) (1. 3)

b ρ : Densidad “density bulk” en g/cm3.

0 ρ : Densidad inicial en g/cm3.

Z : Profundidad (ft ó m).

A y B : Obtenidos por medio del ajuste de los datos.


27/81

15

1.2.3 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE GARDNER.

Correlaciona la velocidad obtenida a partir de los datos del registro sónico con

respecto a la densidad por medio de una ecuación de potencia, obtenida a partir de un

ajuste por mínimos cuadrados; obteniéndose así un promedio de la densidad para losdiferentes tipos de rocas sedimentarias .[17]

b ρ = ( g/cm( )B

IntVA3) (1. 4)

b ρ : Densidad “density bulk” en g/cm

3.

0 ρ : Densidad inicial “density bulk inicial” en g/cm3.

0V :

Velocidad interválica inicial (ft/s).intV

: Velocidad interválica (ft/s).

A y B : Obtenidos por medio del ajuste de los datos (típicamente 0.23 y0.25).

1.2.4 DENSIDAD POR EL MÉTODO DE GARDNER-MODIFICADO.

Este método propuesto por el Dr. Adolfo Rodríguez y la Dra. Marisela Sánchez

(comunicación personal), consiste en una correlación similar a la de Gardner y a la Ley de

Potencia, ajustándose mejor a los datos reales del registro sónico versus densidad,

utilizando para ello el método de los mínimos cuadrados para determinar los exponentes A

y B.

A continuación se muestran la fórmula empírica desarrollada por dichos

investigadores.

b ρ = ( g/cm( B0Int0 VVA −+ ρ ) 3) (1. 5)

b ρ : Densidad “density bulk” en g/cm

3.

0 ρ : Densidad de referencia (density bulk inicial)en g/cm3.

0V : Velocidad interválica de referencia (ft/s).

intV : Velocidad interválica (ft/s).

A y B : Obtenidos por medio del ajuste de los datos.


28/81

16

1.3 REGISTRO COMPUESTO.

Como su nombre lo indica se refiere a la unión de diferentes tipos de registros para

completar parcial o totalmente un registro.

En nuestro estudio para determinar la PP es necesario conocer el registro de densidad

en toda la profundidad de interés, para ello se utilizará el método de Miller, la Ley de

Potencia, el de Gardner o el de Gardner Modificado; en los intervalos donde no este

definido dicho registro ó donde el archivo LAS indique valores ausentes (Ver Figura 1. 4).

Donde los métodos mencionados anteriormente necesitan como parámetros las

velocidades obtenidas del registro sónico o en su caso del registro de velocidad interválica

derivado de la sísmica.

Figura 1. 4: Representación del registro de densidad, donde los círculos indican

valores ausentes que el algoritmo debe completar.


29/81

17

1.4 PRESIONES. DEFINICIONES Y ORÍGENES.

1.4.1 PRESIÓN HIDROSTÁTICA.

Es la presión ejercida por una columna de fluido en reposo o en condiciones

estáticas (Ver Figura 1. 5). Todos lo fluidos en el interior del agujero del yacimiento

ejercen una presión hidrostática, donde la misma es función de la densidad y de la altura

vertical de la columna de fluido .[26]

Figura 1. 5: Representación donde se muestra que la presión hidrostática es

dependiente solamente de la altura vertical y de la densidad de la columna de

fluido.La presión hidrostática (Ph) es la presión ejercida por la columna de fluido sobre

cualquier punto del pozo y es igual en todas las direcciones.

Esta puede ser expresada como:

Ph = 0.052* TVD f * ρ (psi). (1. 6)

Factor deconversión

0.052 Constante para obtener la presión (Ph) en psi.

ρ f : Densidad del fluido ó peso del lodo (MW)

( gallb ).

TVD : Profundidad Vertical Total Verdadera (ft) (Ver


30/81

18

Nota: Si ρ f viene en las unidades (3

ft lb ), hay que cambiar el factor 0.052 por

0.007 para obtener Ph en psi.

Figura 1. 6: Representación que muestra la diferencia entre la longitud medidaa lo largo de la tubería (MD) y la profundidad total vertical verdadera (TVD).

La línea hidrostática da la presión debida a una columna de agua. La cual es de 0.433

psi/ft para agua pura, pero es usualmente 0.45-0.465 para fluido de formación [26]. Un

aspecto a considerar es que para una simple roca con los espacios de los poros

continuamente interconectados a la superficie (un sistema abierto), la presión del fluido en

el espacio de la roca es solo la presión ejercida por el peso de la columna de agua [1].

Tabla 1. 1: Diferentes gradientes de presión para distintas zonas [26].

Campos Petroleros Gradiente de Presión

(psi/ft)

Densidad de agua

equivalente (g/cm3)

Venezuela (Cuenca de

Barinas)0.465 1.074

Oeste Texas 0.433 1.000

Golfo de la línea de

México0.465 1.074

Mar del Norte 0.452 1.044

Malasia 0.442 1.021

Mackenzie Delta 0.442 1.021

Oeste del Africa 0.442 1.021

Anadarko Basin 0.433 1.000

Rocas Montañosas 0.436 1.007

California 0.439 1.014


31/81

19

1.4.2 PRESIÓN DE PORO.

Es la presión de fluido en el espacio vacío de la roca (Ver Figura 1. 7). La

profundidad en la cual la presión excede la presión hidrostática se denomina tope de sobre presión. Un concepto importante es que la PP no debe alcanzar o exceder el esfuerzo de

fractura, ya que si lo supera habrá fracturamiento de la roca y liberación de la presión

interna del fluido.

La PP se puede encontrar en el subsuelo en forma normal o anormal [9].

Figura 1. 7: Representación de los esfuerzos presentes en la formación.

1.4.3 ESFUERZO EFECTIVO.

Es la diferencia entre la presión de sobrecarga y la PP, esencialmente es la cantidad

de esfuerzo de sobrecarga que es soportado por el grano de la roca, cuando la PP es normal(hidrostática) el esfuerzo efectivo incrementa con la profundidad. En la cual estudios de

laboratorios han confirmado que el esfuerzo efectivo actualmente controla la compactación

del yacimiento [9].

1.4.4 ESFUERZO DE SOBRECARGA.

Es la presión ejercida por el peso total de la roca y de los fluidos de una formación.

También se conoce como carga litostática. Algunos consideran que el gradiente de

sobrecarga por debajo de la línea del fondo del mar tiene una pendiente de


32/81

20

aproximadamente 1 psi/ft, pero el gradiente depende de la densidad de la roca y de la

profundidad aumentando en función de esta. En la Figura 1. 8 puede observarse el modelo

propuesto por diferentes autores para explicar el comportamiento de la PP como función

del gradiente de sobrecarga y del esfuerzo efectivo, en donde en dicho modelo el gradiente

de sobrecarga se considera que actúa como un pistón mientras es soportado por el grano de

la roca y el fluido de la formación; si la válvula no se abre (porosidad casi nula) el fluido es

atrapado dentro de la formación y no podrá salir produciéndose una presión anormal,

donde este modelo trata de explicar el principio de generación anormal de la formación

debido a la sub compactación [17].

Sobrecarga “Overburden”. [1]

OB(z) = (psi)⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +∫ ∫w

w

Z Z

Z

w dz zdzg0

)(* ρ ρ

(1. 7)

Gradiente de Sobrecarga “Overburden

Gradient” [1]

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +== ∫ ∫

w

w

Z Z

Z

zw dzdz zg

z zOB zOBG

0

)(*)()( ρ ρ (psi/ft)

(1. 8)

Donde:

g : Aceleración debido a la gravedad en unidades consistentes ( 2s ft ) ó

( 2sm ).

Z : Espesor de los sedimentos.

w ρ : Densidad del agua.

w z : Altura de la columna de agua (ft ó m).


33/81

21

Figura 1. 8: Modelo de compactación del sedimento en una dimensión [26].

1.4.5 PRESIÓN NORMAL.

Se dice que una formación esta normalmente presurizada si la PP es igual a la presión

hidrostática. El valor del gradiente de PP normal, se considera de aproximadamente 0.465

psi/ft (Ver Figura 1. 9). Presiones mayores al valor de la presión normal se conocen como

presión anormal.

Normalmente las zonas presurizadas son capaces de mantener comunicación

hidráulica con la superficie durante la sedimentación. Consecuentemente el fluido que se

encuentra en el espacio poroso puede ser fácilmente sacado fuera de los espacios porosos

de la roca para el reacomodo de la compactación, es así que la PP normal sigue la curva de

presión hidrostática, para agua de formación.

Figura 1. 9: Representación de los diferentes gradientes de presión normal para

distintas zonas [26].


34/81

22

1.4.5.1 PROPIEDADES DE FORMACIONES PRESURIZADAS

NORMALMENTE.

Con el objeto de detectar y de predecir la magnitud de presiones anormales, debemos

entender las propiedades de las formaciones normalmente presurizadas, es así que cuandointentamos detectar y predecir la presión de la formación, debemos prestar mucha más

atención a las formaciones de lutitas, que a las arenas ó que los carbonatos por un número

de razones, tales como:

1. La zona de transición ocurre más frecuentemente en las lutitas.

2. Las propiedades de las lutitas limpias son justamente más homogéneas a cierta

profundidad, y pueden ser predichas con algún grado de exactitud.

3. Una desviación de la tendencia normal en un registro de densidad, de resistividad

ó sonico compresional en una lutita, puede ser interpretado como un cambio en el

gradiente de presión.

4. Desviaciones fuera de la tendencia normal en un registro de resistividad, de

densidad ó sonico compresional mientras perforamos lutitas, puede darnos una

advertencia de un temprano incremento de presión, y podemos frecuentemente

evitar pérdidas de fluido de perforación dentro de la formación.

• POROSIDAD.

Como las formaciones de lutitas son encontradas a diferentes profundidades y el

esfuerzo de sobrecarga se incrementa, las formaciones sufren compactación. Si el fluido

que se encuentra dentro de los poros puede escapar, la presión normal será mantenida

dentro de los mismos. Como las formaciones son compactadas, el pequeño espacio se

reduce resultando en un decrecimiento de la porosidad en una lutita normalmente

presurizada.

• DENSIDAD.

Como la porosidad decrece durante la compactación normal, la densidad de la

formación se incrementará con la profundidad. Si la densidad es dibujada con respecto a la

profundidad en un papel semi-logarítmico, la curva formará una línea recta en la sección

de presión normal del agujero. Alguna desviación de esta tendencia es signo de que una

zona de presión anormal esta presente.


35/81

23

• CONDUCTIVIDAD.

Rocas secas no conducen corriente eléctrica (tienen una conductividad cercana a

cero). La conductividad de una roca depende del contenido de agua presente en el espacio

poroso de la formación. En una zona de lutita normalmente presurizada, la formación escompactada con la profundidad, es así que decreciendo la porosidad, el agua es forzada a

salir fuera de la formación, donde la reducción de la cantidad de agua presente reducirá la

conductividad de la formación.

• RESISTIVIDAD.

La resistividad de la formación es el inverso de la conductividad, la resistividad de

lutitas normalmente presurizadas se incrementará con la profundidad, y graficando el

registro de resistividad versus la profundidad resultará en una línea recta en la porción

presurizada del agujero, mientras una desviación de la tendencia normal indicará presión

anormal.

• TIEMPO DE VIAJE DE LA ONDA EN EL REGISTRO SÓNICO.

La onda de sonido a través de un medio es función de la densidad del medio. Es así

que la densidad de una lutita normalmente presurizada incrementa con la profundidad al

igual que la velocidad. Así que graficando el tiempo de tránsito versus la profundidad, semostrará una línea recta que decrece en la porción del agujero normalmente presurizado,

mientras una presión anormal es indicada por una desviación de la línea recta.

1.4.6 PRESIÓN DE PORO ANORMAL.

Es la cantidad de PP mayor a la presión hidrostática para una profundidad dada.

Cuando esto ocurre los fluidos son atrapados en los poros y llevan parte del peso de los

sólidos suprayacentes (Ver Figura 1. 10).


36/81

24

Figura 1. 10: Efectos de la PP sobre las propiedades de la roca [27].

Dicha presión depende de los procesos físicos y químicos que haya sufrido un área

determinada. Perforaciones dentro de zonas anormalmente presurizadas es una de las

causas más comunes de pérdidas de circulación del fluido dentro de la formación, estas

zonas anormalmente presurizadas deben ser identificadas para establecer la profundidad ala cual debe asentarse la tubería de revestimiento.

Al entender como la presión anormal es generada, y la característica de las zonas

que se encuentran sometidas a presión normal y anormal, este será un camino para

comprender y detectar cuando una formación dada se encuentre presurizada.

Es así que un completo conocimiento detallado de la presión de la formación

permitirá realizar:

Compactación Anormal. Compactación Normal.

• Esfuerzos efectivos bajos.• PP Alta.

• Menor Densidad.• Menor Velocidad.• Contacto entre granos deficiente.

• Esfuerzos efectivos altos.• PP Baja.

• Mayor Densidad.• Mayor Velocidad.• Contacto entre granos suficiente.

1. Una efectiva planeación del pozo.

2. Maximizar la tasa de penetración con perforación de bajo balance.

3. Selección segura y más económica de los puntos donde se colocará la tubería

de revestimiento.

4. Minimizar los problemas debido a pérdidas de circulación.

5. Mejorar la ingeniería de producción y los equipos de prueba.


37/81

25

6. Entender mejor la geología local y los peligros que se pueden encontrar

durante la perforación.

7. Analizar de manera más precisa los datos provenientes de la perforación y de

los registros eléctricos.

1.4.6.1 ORIGEN DE LA PRESIÓN ANORMAL.

Es originada por diferentes medios, entre las cuales se encuentran:

• COMPACTACIÓN.

Como las formaciones son enterradas cada vez a más altas profundidades, el esfuerzo

de sobrecarga (debido al peso del sólido y el fluido) se incrementa. El incremento

compactará la formación, forzando que los granos individuales estén cada vez más juntos,y que el fluido dentro de los poros salga de dicho espacio (Ver Figura 1. 10). Mientras

haya una comunicación con la superficie hay un medio de escape del fluido de la

formación, mientras es compactada. Si el fluido es forzado a salir fuera del espacio poroso

la presión anormal no será desarrollada, no obstante si el fluido permanece atrapado en el

lugar y no puede escapar, el fluido comenzará a tomar sobre si mismo parte del esfuerzo de

sobrecarga. Ahora la presión del fluido de la formación no será solamente función de la

presión hidrostática sino también del esfuerzo de sobrecarga, resultando en una formaciónanormalmente presurizada [26].

• EXPANSIÓN DEL FLUIDO.

Mecanismos como presión de aguas termales, maduración de hidrocarburos,

transferencia de presiones y expulsión o expansión de agua, en procesos diagenéticos de

las arcillas también son causa de sobrepresiones. Con este mecanismo la sobrepresión se

origina, cuando la matriz de la roca restringe al fluido a medida que este incrementa de

volumen (Ver Figura 1. 11).

De forma contraria a la subcompactación, la expansión de fluido puede originar una

mayor tasa de incremento de la PP frente al esfuerzo de sobrecarga, es decir, evita la

sobrestimación de los valores de esfuerzo efectivo y por consiguiente la subestimación de

los valores de la PP [26].


38/81

26

Figura 1. 11: Representación de los diferentes mecanismos de origen de presión

dentro de la formación [17].

Diagenesis

Cuando las lutitas se encuentran a grandes profundidades y la temperatura alcanza los

200 y 300 °F, la presión y la temperatura causa en la arcilla, contenida en la lutita, cambios

químicos. La alteración química se llama diagénesis. El agua estará presente en la

formación como agua libre y agua de hidratación. Cuando la diagénesis ocurre, es que laarcilla se deshidrata, liberando el agua de deshidratación dentro del espacio poroso

ocupado por agua fresca. Si la permeabilidad es suficientemente baja el agua liberada no

podrá escapar resultando en un incremento en la PP.

Efectos Térmicos.

La alta temperatura encontrada en áreas geotérmicas, puede causar un incremento

anormal en el gradiente de la PP.


39/81

27

En un sistema cerrado un incremento de la temperatura resultará en un incremento de

la presión (el incremento de la temperatura causará expansión del fluido).

Otra teoría dice que el fluido de hidrocarburo puede sufrir cambios químicos,

resultando en un incremento de la PP dentro de la formación, es así que las reaccionesquímicas pueden incrementar siempre el volumen de fluido en la formación causando un

incremento de la PP.

1.5 MÉTODOS UTILIZADOS PARA EL CÁLCULO DE LA PP.

Existen diversos métodos para el cálculo de la PP antes y después de la perforación.

Nuestro enfoque estará centrado en la detección de la presión de poro antes de la

perforación, utilizándose para ello las correlaciones empíricas que proponen diferentes

autores. Entre los diversos métodos para el cálculo de la PP se encuentran el método de la

profundidad equivalente “D”, el de Hottman y Jhonson, el de Eaton y el de Bowers, entre

otros [5].

Entre los métodos que se estudiaron se encuentran los de Eaton y de Bowers, debido

a que toman en cuenta los diferentes mecanismos que pueden producir presión anormal en

la formación.

1.5.1 MÉTODO DE EATON [15].

• Línea de Tendencia de Compactación Normal.

Para estimar las presiones de poro aplicando la correlación de Eaton es necesario

determinar la línea de tendencia de compactación normal (LCN ó NCT) (Figura 1. 15),

según la cual las velocidades ó tiempos de tránsito del registro sónico, que no se ajustan a

la línea modelada por mínimos cuadrados, de los datos normales, son indicativas de

sobrepresión, esta línea deberá ser optimizada con el objeto de obtener la LCN adecuada

que minimice la diferencia entre la PPm y la calculada [1].


40/81

28

Figura 1. 12: Representación de la línea de tendencia de compactación normal

(LCN ó NCT).

La compactación causada por el esfuerzo de sobrecarga fue descrito en el libro demecánica de suelo por Terzaghi y Peck en 1948, mostrando que el esfuerzo de sobrecarga

(S) soporta el esfuerzo efectivo ( efect σ ) más la PP.

Pefect PS += σ (1. 9)

Es obvio que si S se incrementa y el fluido puede escapar, el esfuerzo efectivo debe

incrementarse mientras que la PP permanecerá como la presión hidrostática. No obstante si

el fluido no puede escapar, la PP debe también incrementarse como S.Es así que datos empíricos de registros de pozos fueron utilizados para desarrollar

una correlación que considera sólo el mecanismo de formación del yacimiento llamado

sub-compactación, para determinar el gradiente de la PP como una función de la

resistividad y del gradiente de sobrecarga. Una idea similar fue empleada en conjunto con

otros tipos de registros para desarrollar una formula empírica ahora en función del tiempo

de viaje del registro sónico o de la velocidad interválica.

En la cual la formula desarrollada por Eaton, viene dada por:


41/81

29

( )( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΔΔ

−−=ne

o

nn

t

t PPOBGOBGPP ; ppg. (1. 10)

PP : Gradiente de la PP (psi/ft or lb/gal), (kPa/m or g/cc).OBG : Gradiente de sobrecarga (psi/ft or lb/gal), (kPa/m or g/cc).

PPn : Gradiente de presión normal (psi/ft or lb/gal), (kPa/m or g/cc).

(Típicamente 0.465 psi/ft)

ot Δ : Tiempo de trànsito observado, (µs/ft), (µs/m).

nt Δ : Tiempo de trànsito normal, (µs/ft), (µs/m).

ne : Exponente de Eaton, por defecto es 3.

1.5.2 MÉTODO DE BOWERS [5].

Este método es una aproximación a la curva velocidad de tránsito del registro sónico

versus esfuerzo efectivo (Figura 1. 13), conformada por un tramo de curva virgen que toma

en cuenta la compactación normal de los sedimentos y la otra que considera el retroceso de

la velocidad de onda debido a la expansión del fluido, maduración del hidrocarburo,

diagénesis de las arcillas y cambios del fluido a otras zonas. Aquí el esfuerzo efectivo es

restado del esfuerzo de sobrecarga para obtener la PP [5].

)( psiefect σ

)( s ft V

Retroceso delaVelocidadCurva

Virgen

Curva dedescarga

Figura 1. 13: Representación de la curva velocidad (Sónico) versus esfuerzo efectivo

[5].


42/81


43/81

31

∞se reduce a la curva virgen. U = , corresponde a una deformación completamente

irreversible, desde V = para todo valor del esfuerzo efectivo menor quemaxV (maxσ Figura

1. 14). Típicamente en la practica U se encuentra entre 3 y 8.

U= ∞

)( psiefect σ

)( s ft V

U= 3

U= 1

CurvaVirgen

Curva de

Descarga

Inversiónde la

Velocidad

Figura 1. 14: Representación de los diferentes valores que puede tomar la

variable de comportamiento elástico de los sedimentos U [5].

Así para determinar la PP se tiene que:

( )( ) ( )[ ]

z

AV V OBGPP zd

B

U

mlU

mv

−−=⇒≤ −1maxσ

(1. 15); psi/ft.

Solución para U.

Considerando que la velocidad es igual en la intersección de la curva virgen y de

descarga (Figura 1. 15) se pueden igualar las ecuaciones número (1. 11) y (1. 13), paraobtener:

U

vc

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

maxmax σ

σ

σ

σ ; y

B

ml

A

vvvc

1

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=σ (2. 1); psi.


44/81

32

En la cualvc

σ es el esfuerzo a la cual la velocidad corriente intercepta la curva

virgen (

v

Figura 1. 15).

)( psiefect σ

)( s ft V

v

vcσ σ maxσ

maxv

Inversión de la

Velocidad

Curva Virgen

Curva de descarga

( )s ft v /Figura 1. 15: Representación de la curva versus , )( psiefect σ para obtener

el parametro de descarga U [5].


45/81

CAPÍTULO II

OPTIMIZACIÓN

2.1 OPTIMIZACIÓN DE LA LCN (NCT).

El reto del algoritmo para el cálculo de la PP utilizando las ecuaciones de Eaton es la

optimización de la LCN y para el de Bowers la determinación de las constantes de su

ecuación, de tal manera que sea mínima la discrepancia entre la PPm c y la PP , por los

métodos de optimización, a una misma profundidad. Para ello se empleará la teoría de

mínimos cuadrados y se propondrá una “función objetivo” ( Φ ) idónea que será definida a

continuación:

∑=

−=Φm

i

C

i

M

in PPPP x x x1

221 )(),,,( L (Por mínimos Cuadrados)

(2. 1)

R Rn

→Φ :

);( i M M

i zPPPP = ⎩⎨⎧

= Bowers

Eaton zPPPP i

C C

i )(

donde:

M

iPP : Presión de poro medida.

C

iPP : Presión de poro calculada por Eaton o Bowers.

:i x Parámetro a ser optimizado, depende del tipo de método.

m:m Número total de puntos de PP conocidos a priori (lecturas empíricas) [4].


46/81

34

Lo que se desea es que las derivadas parciales de la función Φ (ecuación (2. 1))

respecto a sus argumentos sean iguales a cero individualmente, para determinar la

velocidad interválica en toda la profundidad de interés y calcular la PP por Eaton, a

partir de dichas velocidades , que identifican los cambios de tendencia queexperimenta la curva de velocidad interválica (Ver

)(v

)(i

i v x =Figura 2. 1).

Pto1:(2

v 2, z2)

Pto2:( v3, z3)

Pto3:( v4, z4)

Pton:( vn, zn)

Pto0:( v1, z1)

Velocidad Interválica (m/s)

ProfundidadZ (m)

Figura 2. 1: Representación del registro de velocidad Interválica donde se

muestra los puntos de velocidad a optimizar.iv

Así para el caso de Eaton se tiene que:

021 =

∂Φ∂

∂Φ∂

=∂Φ∂

nvvv

L

Resultando en un sistema de ecuaciones no lineales:

nnv

f ∂

Φ∂=

11v

f ∂Φ∂

=22

v f

∂Φ∂

= ,,33 Lv

f ∂

Φ∂= R R f ni →= ; , ,


47/81

35

0),,,(

0),,,(

0),,,(

21

212

211

=

=

=

n

n

n

n

vvv f

vvv f

vvv f

L

M

L

L

Usando notación vectorial se concluye que:

{ }{ } { }0=vF .

Para resolver dicho sistema de ecuaciones no lineales se empleará el método de

Newton-Raphson, para obtener los parámetros (v ) óptimos.nvv L21 ,

Existen diferentes tipos de métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales,

entre los cuales él más conocido es el método de Newton-Raphson, mismo que se describea continuación.

2.1.1 MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON [4].

La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es:

( )

( )

( ) ,0,,,

,0,,,

,0,,,

21

212

211

=

=

=

nn

n

n

x x x f

x x x f

x x x f

KM

K

K

en notación vectorial puede escribirse:

{ }( ){ } { },0= xF

donde:

{ } ( )

{ } ( ) ,,,,,

,,,,,

321

321

t

n

t

n

f f f f F

x x x x x

K

K

=

=

donde las funciones son denominadas coordenadas de y el superíndice

t denota que los vectores fila respectivos deben ser transpuestos para generar vectores

columna.

{ }F n f f f f ,,,, 321 K

( ) ( ) ( ), x f x x xg ⋅−= φ Sea

El método de Newton en una sola dimensión involucra que:

( ) ( ).1 x f x ′=φ


48/81

36

Usando una aproximación similar en el caso n-dimensional, se tiene una matriz:

{ }( )[ ]

{ }( ) { }( ){ }( ) { }( )

{ }( ) { }( )

,

1

221

111

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

xa xa

xa xa

xa xa

x A

nnn

n

n

M

K

K

{ }( ) xaijndonde cada una de las entradas es una función de ℜ en ℜ. El procedimiento

requiere que:

{ }( ){ } { } { }( )[ ] { }( ){ },1 xF x A x xG ⋅−= −

Esta fórmula proporciona una tasa de convergencia cuadrática a la solución de

, si y solo si no es singular en el Punto Fijo de{ }( ){ } {0= xF } ]{ }( )[ x A { }G .

Surge aquí una pregunta interesante, cual es la forma de la matriz [ , para responder

esta interrogante a continuación se presenta la respuesta en forma de un teorema.

] A

Teorema: Suponga que { es una solución de}P { }( ){ } { } x xG = para alguna función

, transformando ℜn n{ }( ){ } ( t nggg xG ,...,, 21= ) en ℜ , Si existe un número 0>δ tal

que:

j

i

x

g

∂∂

{ } { } δ


49/81

37

{ }( )[ ] x APara utilizar el teorema anterior, suponga que es una matriz de funciones

de ℜn en ℜ en la forma discutida anteriormente, donde las entradas específicas se

determinarán luego. Se asume entonces que [ { }( )] x A no es singular:

{ }( ){ } { } { }( )[ ] { }( ){ } [ ] { }( )[ ] , , 11 −− =⋅−= x A B xF x A x xG

en notación de subíndices se puede escribir:

{ }( ) { }( ) { }( ) , 1

x f xb x xg j

n

j

ijii ⋅−= ∑=

al derivar parcialmente respecto a la k-ésima dirección, se tiene que:

{ }( ) { }( ) { }( ) { }( )

{ }( ) { }( ) { }( ) { }( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≠∂

∂⋅+⋅

∂

∂−

=∂

∂⋅+⋅∂∂−

=∂∂

∑

∑

=

=

k ik

x f xb x f x

k

b

k ik x f xb x f xb

k

k

g

j

ij j

n

j

ij

j

ij j

n

j

ij

i

;

; 1

1

1

el teorema anterior implica necesariamente que:

{ }( ) , ,...,1,0 nk i p x

g

k

i =⇒=∂

∂

esto significa para i=k que:

{ }( ) { }( )

{ }( ) { }( )

, 1

, 01

1

1

=∂

∂

=∂

∂−

∑

∑

=

=

k

in

j

ij

k

in

j

ij

x

p f pb

x

p f pb

análogamente, para i≠ k se tiene que

{ }( ) { }

01

=∂

∂∑=

n

j k

i

ij x

p f pb

definiendo la matriz como:{ }( )[ x J ]

{ }( )[ ] ,

....

....

....

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

nnn

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x J


50/81

38

las ecuaciones anteriores implican que:

{ }( )[ ] { }( )[ ] [ ][ ] [ ] J A

I p J p A

=

=−1

entonces la fórmula para el Método de Newton se transforma en:

{ }( ){ } { } { }( )[ ] { }( ){ } xF x J x xG 1−−=

la fórmula de iteración es en definitiva:

{ } { } { }( )[ ] { }( ){ } , 111 nnnn xF x J x x ⋅−= −++

como regla general, debe evitarse la necesidad de invertir una matriz, así que un

tratamiento alternativo de dos pasos es presentado a continuación:

{ }( ) { } { }( ) { } { }( ){ }{ }( )[ ] { } { }( )

{ }

{ }( ){ }

{ }( )[ ] { } { }( ){ }{ } { } { }

,

,

,

1

1

1

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==⋅

=−⋅

+⋅−=⋅−

+

+

+

y x x

xF y x J

xF x x x J

xF x x J x x J

nn

nn

n

y

nnn

nnnnn

4 434 421

El problema significativo del método de Newton para resolver un sistema de

ecuaciones no lineales es el requerimiento, en cada iteración, de la evaluación de la matriz

Jacobiana, además de tener que resolver un sistema de ecuaciones lineales de n x n con esta

matriz involucrada. La matriz Jacobiana asociada a un sistema de n ecuaciones no lineales

de la forma { requiere el cálculo de derivadas parciales. En muchas

situaciones, la evaluación simbólica de tales derivadas parciales es inconveniente y en

muchas aplicaciones incluso imposible. Esta dificultad puede ser superada al usar

diferencias finitas para aproximar a las derivadas parciales:

{ }( )} { }0= xF 2n

{ } { }( ),1;


51/81

);

1

1

−

−

−

−=

k

pj

k

i pjik

ij

x x

x f x f x J

donde:

{ } j fila

x

x

x

x

x

k

n

k

j

k

k

pj

1

12

11

→

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

M

K

El inconveniente de tal método es que se requieren de al menos 2 estimadosiniciales para arrancar el esquema iterativo, en vez de sólo una semilla de iteración, donde

los criterios de parada para este método vienen definidos como:

{ } { } 1−−= nnn x xε Error Local =

{ }( ){ } ,...2,1 ; == n xF nnδ Desviación =


52/81

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1 DATOS DE ENTRADA PARA EL ALGORITMO.

El dato de entrada para el algoritmo es el “Pozo” a ser estudiado, el cual se cargará

automáticamente, los registros relevantes serán el de densidad (RHOZ), el sónico

compresional (DTCO) y la velocidad interválica (VInt), está última viene en un archivo

externo. Dichos registros son identificados automáticamente a partir de sus acrónimos o de

las unidades ya previamente cargadas en el programa (Ver Tabla 3. 1).

Tabla 3. 1: Identificación de los acrónimos y de las unidades de los registros

analizados.

Nombre del Registro Acrónimos Comunes Unidades Comunes

Sónico DTCO US/FT, US/F, US/M

Densidad RHOZ, RHOB G/CC,G/C3, GR/CC

Velocidad Interválica

(archivo externo)VInt M/S

3.1.1 COMPLETACIÓN DEL REGISTRO DE DENSIDAD.

Uno de los registros necesarios para poder realizar el cálculo de la PP es el de la

densidad, ya que si no se encuentra, el algoritmo enviará un mensaje de error indicando la

ausencia del registro y se detendrá.

En el caso de que el archivo de densidad se encuentre de manera incompleta, en

la librería del programa implantado en C++, se cuenta de antemano con el método de

Miller, Gardner Modificado ó la Ley de Potencia descritos en el punto 1.2 para completar

el registro de densidad, en toda la profundidad de interés.


53/81

41

Donde los pasos que se requieren para completar dicho registro son los siguientes:

Se identifican los intervalos en la cual no se encuentren datos o donde el archivo LAS

indique valores ausentes (-999 ó -99999), que son las zonas vacías a llenar.

Para ello el algoritmo divide el registro de densidad en tres partes que ha

continuación describiremos (Ver Figura 3. 1).

Zona Tope: Esta zona se identifica desde el tope de la formación hasta los

primeros valores donde se encuentre definido el registro de densidad, aquí el

algoritmo cuenta con ajustes ya definidos por orden de prioridad a saber la “Ley de

Potencia” y segundo el de “Miller”.

Zona Media: Esta zona comprende desde los primeros valores del registro de

densidad hasta el último valor del mismo, aquí se llenará el registro de densidad a

partir del método de Gardner Modificado, teniendo como prioridad el obtenido por el

registro sónico y luego la velocidad interválica.

Zona del Fondo: Comprende desde la última profundidad donde se encuentra

definido el registro de densidad hasta el último valor de la profundidad prescrito

(manual o automáticamente). En esta zona el ajuste por excelencia es el Gardner

Modificado obtenido de la velocidad interválica, en caso de que no este el registro de

velocidad interválica el algoritmo llenará esta zona con una “Ley de Potencia”.

Después de haberse completado el registro de densidad compuesto se carga en el

pozo, para proceder luego al cálculo del gradiente de sobrecarga.


54/81

42

TOPE

MEDIO

FONDO

Figura 3. 1: Representación del registro de densidad con las respectivas zonas a

completar.

3.1.2 DETERMINACIÓN DEL GRADIENTE DE SOBRECARGA.

Con el registro de densidad ya completado se integra numéricamente el mismo, para

obtener el gradiente de sobrecarga utilizando para ello la regla del trapecio, soportada en la

librería de cálculo del programa, debido a que con este método se obtiene el grado de

aproximación adecuado, no requiriéndose para ello métodos más elaborados.

3.1.3 OPTIMIZACIÓN DE LA LÍNEA DE TENDENCIA DE COMPACTACIÓN

NORMAL.

Luego de haberse obtenido el gradiente de sobrecarga se procede a la optimización

para el caso de Eaton y de Bowers, definiéndose en primer lugar la función objetivo a


55/81

43

mminimizar, de tal manera que la suma de los cuadrados de la PP menos la calculada sea

mínima (Ver ecuación (3. 1)), utilizándose para ello los algoritmos de optimización

obtenidos en la literatura, que para nuestro caso es el método de Newton-Raphson para

múltiples variables.

( ) ( )∑=

−=Φm

i

C

i

M

i PPPPv1

2 (3. 1)

m ( ) que se tengan. M iPPEn donde i= 1...m; y m indica el número de puntos de PP

M

iPP : Presión de poro medida.

C iPP : Presión de poro calculada por Eaton.

:v Velocidad Interválica normal que sigue la tendencia de compactación normal.

Método de Eaton.Método de Bowers.

Curva Virgen.

( )( )

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −−=⇒<

i

Bmli

i

C

imv z

AvvOBGPP zd

1

( )

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−=

3

v

vPPOBGOBGPP inii

C

i

Curva de Descarga.

( )i

mli

U

i

C

imv z

A

vv

OBGPP zd

B

U

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−=⇒> −1maxσ

B

ml

A

vv1

max

max

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=σ

En el caso de que fuera un pozo costa afuera a la PP calculada debe agregársele el

término referente a la columna de fluido.

A continuación se describirá la estrategia de optimización empleada para cada caso

en particular.


56/81

44

3.1.3.1 MÉTODO DE EATON.

En este método se considerara:

1. El gradiente de presión normal (PP normal) es igual a 0.465 psi/ft

2. El parámetro ne del subíndice de la ecuación se considerara igual a 3 aún cuando

dicho parámetro puede oscilar entre los valores de 63 ≤≤ n , y a su vez puede ser

una variable a optimizar por el algoritmo.

La función objetivo para Eaton vendrá definida por:

( )( )

2

121 ),,(

∑=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−−−

m

i

ne

n

o

normal

M

ivvvv

vPPOBGOBGPP

L

(3. 2)=Φ ),,,( 21 nvvv L

Para un primer caso lo podemos obtener a partir de un polinomio de interpolación,

definido a partir de los cambios de pendiente que experimente la curva de la velocidad

interválica ( ).

v

iv

Pto1:( v2, z2)

Pto2:( v3, z3)

Pto3:( v4, z4)

Pton:( vn, zn)

Pto0:( v1, z1)

Velocidad Interválica

L1

Profundidadz

L2

L3

L4

Figura 3. 2: Representación de la Línea de Tendencia de Compactación Normal,

donde se indica los puntos de quiebra de la velocidad interválica a optimizar.

Es decir que el algoritmo ajustará los valores de velocidad interválica ( ) a través de

la función de optimización, representada por los puntos 1, 2,3,…,n, (Ver

iv

Figura 3. 2), hasta

conseguir que el gradiente del funcional definido sea aproximadamente igual a cero.


57/81

45

( )nvvvv ,,, 21 LObteniéndose la función para determinar la velocidad interválica en todo el

rango de interés.

Para esto se utilizarán líneas poligonales (L1, L2, L3, L4) (Ver Figura 3. 2), para

identificar a que profundidad ( ) se debe evaluar la velocidad interválica de tal manera de

establecer cual función poligonal utilizar.

i z

Donde cada segmento de recta de la poligonal vendrá definido por:

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+= ∑

−

=

1

1

)(n

j

i j

j

i j zv zmv α (3. 3)

1+


58/81

46

( )( )

( )k

m

ine

n

j

i j

j

i j

ne

ini

C

i

M

i

v

NCT

zv zm

vPPOBGPPPPne

∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

−−∑

∑=

+−

=

)(

)(

**21

11

1

α

=∂

Φ∂k

v = 0

Sabiendo que k se refiere a cualquiera de los puntos donde haya cambio de pendiente

tesis presion de sobrecarga

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