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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Observadores para sistemas singulares LPV

Presentada por:

Gloria Lilia Osorio GordilloIng. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Oaxaca

como requisito para la obtención del grado de:

Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Directores de tesis:

Dr. Carlos Manuel Astorga ZaragozaDr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Cuernavaca, Morelos, México 17 de Octubre de 2011

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Observadores para sistemas singulares LPV

Presentada por:

Gloria Lilia Osorio GordilloIng. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Oaxaca

como requisito para la obtención del grado de:

Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Jurado:

Dra. María Guadalupe López López - PresidenteDr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza - SecretarioDr. Víctor Manuel Alvarado Martínez - Vocal

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez - Vocal suplente

Cuernavaca, Morelos, México 17 de Octubre de 2011

Dedicatoria

A mi familia

i

Agradecimientos

A mis padres, que con sus palabras me motivan a crecer como persona y académicamente.

Los amo!!!

A mis hermanos, que siempre traen alegría a mi vida. Son geniales, todo un ejemplo co-

mo seres humanos. Los quiero mucho!!!

A mis asesores Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza y Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez,

por haberme guiado en este proceso, por su amistad, su confianza y el apoyo incondicional

que hallé en ustedes, mil gracias.

A los integrantes del comité revisor: Dra. Ma. Guadalupe López López y Dr. Víctor Manuel

Alvarado Martínez, por los valiosos comentarios que enriquecieron este trabajo.

A mis profesores: Dr. Astorga, Dr. Carlos Daniel, Dr. Juan Reyes, M.C. Pedro Rafael,

M.C. Martín, M.C. Madrigal, Dr. Quintero, Dr. Vela, Dr. Alejandro Palacios, Dr. Manuel

Adam, Dra. Ma. Guadalupe, Dr. Víctor Manuel, que durante el desarrollo de mi formación

académica estuvieron guiándome y apoyándome. Sinceramente gracias.

A mis compañeros y amigos del CENIDET, que me permitieron conocerlos y emprender

este camino juntos. A mis amigos del TEC que siempre confiaron en mí y me impulsaron

a seguir adelante desde Oaxaca. Y de manera muy especial a Lino Enriquez por su amor,

compañía y apoyo incondicional.

iii

Al Consejo Nacional de Ciencias y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico brindado

para poder realizar y culminar mis estudios de maestría.

Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET)

por brindarme los medios necesarios para mi formación académica, así como, por cada una

de las amables atenciones que recibí durante mi estancia.

iv

Resumen

Esta tesis presenta el diseño y la simulación de observadores para sistemas singulares LPV,

los cuales se obtuvieron de la extensión de observadores para sistemas singulares.

Dentro de los algoritmos de estimación que se desarrollaron, se encuentra un observador

de orden reducido para sistemas singulares LPV, que permite la estimación de los estados no

disponibles a la salida del sistema.

Usualmente las mediciones de variables en los procesos se encuentran susceptibles a per-

turbaciones, esto puede deberse a ruido de medición en el sensor, falta de calibración, entre

otros. Es por ello que otro de los algoritmos que se desarrolló fue un observador de estados y

ruido, que permite la estimación simultánea de los estados del sistema y el ruido de la salida

disponible.

Posteriormente, los observadores para sistemas singulares LPV diseñados se validaron por

medio de simulaciones numéricas y utilizando el modelo de una aplicación, de manera par-

ticular el modelo de un intercambiador de calor.

Finalmente, el desempeño de los observadores se evalúo a través de mediciones de error

de convergencia y de transitorio.

v

Abstract

This work presents the design and simulation of observers for descriptor LPV systems, which

were obtained from the extension of observers for descriptor systems.

Within the estimation algorithms that were developed, there is a reduced order observer

for descriptor LPV systems, which allows the estimation of the states that are not available

to the system output.

Usually the measurements of variables in processes are susceptible to disturbances; this may

be due to measurement noise in the sensor, calibration failure, among others. That is why

one of the algorithms that development was a state and noise observer, which allows simul-

taneous estimation of states of the systems and the noise of the available output.

Subsequently, the observers for descriptor LPV systems designed were validated through

numerical simulations and using the model of an application, particularly the model of a

heat exchanger.

Finally, the performance of observers was evaluated by measurement of convergence error

and transient error.

vii

Índice general

Índice de figuras XIII

Índice de tablas XVII

1. Introducción 1

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Aportación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6. Originalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7. Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Teoría de sistemas singulares y sistemas LPV 7

2.1. Sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Ejemplo de sistema singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Formulación politópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2. Ejemplo de sistema LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1. Observadores para sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ix

ÍNDICE GENERAL

2.3.2. Observador de orden completo para sistemas singulares politópicos LPV 19

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Diseño de observadores para sistemas singulares LPV 25

3.1. Observador de orden reducido para sistemas

singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. Diseño del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Observador de orden reducido para sistemas

singulares LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Observador de estados y ruido para sistemas

singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1. Diseño del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4. Observador de estados y ruido para sistemas singulares LPV . . . . . . . . . 41

3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Simulación de los observadores para sistemas singulares LPV 49

4.1. Observador de orden completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


4.3. Observador de estados y ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5. Simulación de los observadores para sistemas singulares LPV. Aplicación

a un intercambiador de calor. 81

5.1. Observador de orden completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


5.2. Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


x

ÍNDICE GENERAL

5.3. Observador de estados y ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


5.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6. Conclusiones generales 109

6.1. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Bibliografía 113

Anexos 116

A. Obtención del modelo singular LPV a partir de un modelo singular no

lineal de parámetros variables 117

B. Intercambiador de calor 123

B.1. Modelo de una celda del intercambiador de calor . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.2. Variaciones de la superficie de transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . 126

B.3. Modelo singular LPV propuesto del intercambiador de calor . . . . . . . . . 127

B.4. Parámetros del intercambiador de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C. Mediciones de error 137

D. Regiones LMI 139

E. Transformación de un observador de forma singular a observador de Luen-

berger para sistemas singulares y sistemas singulares LPV 143

xi

ÍNDICE GENERAL

xii

Índice de figuras

1.1. Esquema general de los sensores virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Circuito eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Conjunto compacto de variación de los parámetros ρ1(t) y ρ2(t). . . . . . . . 15

4.1. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden completo. 53

4.2. Simulación 1. Variación de parámetro ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Simulación 1. Funciones de ponderación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Simulación 1. Estimación del observador de orden completo. . . . . . . . . . 55

4.5. Simulación 1. Error de convergencia del observador de orden completo. . . . 55




4.9. Simulación 2. Error de estimación del observador de orden completo. . . . . 58

4.10. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden reducido. 62



4.13. Simulación 3. Estimación del observador de orden reducido. . . . . . . . . . . 64

4.14. Simulación 3. Error de estimación del observador de orden reducido. . . . . . 64




xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

4.18. Simulación 4. Error de estimación del observador de orden reducido. . . . . . 67

4.19. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de estados y ruido. 71

4.20. Simulación 5. Estado medido x1 + d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



4.23. Simulación 5. Estimación del observador de estados y ruido. . . . . . . . . . 73

4.24. Simulación 5. Error de convergencia del observador de estados y ruido. . . . 74

4.25. Simulación 6. Estado medido x1 + d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75





5.1. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden completo. 85

5.2. Simulación 7. Temperatura de entrada del lado frío, Tci. . . . . . . . . . . . . 86

5.3. Simulación 7. Variación del parámetro variable U(t). . . . . . . . . . . . . . 87



5.6. Simulación 7. Error de convergencia del observador de orden completo. . . . 88

5.7. Simulación 7. Error en el transitorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.8. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden reducido. 94

5.9. Simulación 8. Temperatura de entrada del lado frío, Tci(t). . . . . . . . . . . 95

5.10. Simulación 8. Variación de U(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95



5.13. Simulación 8. Error de convergencia del observador de orden reducido. . . . . 96


5.15. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de estados y ruido. 102

5.16. Simulación 9. Temperatura de entrada del lado frío, Tci(t). . . . . . . . . . . 102

xiv

ÍNDICE DE FIGURAS

5.17. Simulación 9. Temperatura medida Tco(t) + d(t). . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.18. Simulación 9. Variación del parámetro variable U(t). . . . . . . . . . . . . . 103





A.1. Variación del parámetro variable ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A.2. Funciones de ponderación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A.3. Comparación del sistema singular no lineal y el sistema singular LPV con u = 1.120

A.4. Comparación del sistema no lineal y el sistema singular LPV con u = 0.8 en

t ≥ 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.5. Comparación del sistema no lineal y el sistema singular LPV con u = 1.5 en

t ≥ 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.1. Modos de operación del intercambiador de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.2. Representación de una celda del intercambiador de calor. . . . . . . . . . . . 124

B.3. Variaciones del coeficiente de transferencia de calor. . . . . . . . . . . . . . . 126

B.4. Variación del coeficiente de transferencia de calor. . . . . . . . . . . . . . . . 129

B.5. Variación de la temperatura de entrada del lado frío, vc. . . . . . . . . . . . 131

B.6. Variación de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

B.7. Funciones de ponderación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

B.8. Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV. . . . . . . . . . 132

B.9. Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV con Tci = 32oC

en t ≥ 10 min. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

B.10.Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV con Tci = 36oC

en t ≥ 10 min. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B.11.Variación del flujo del lado frío vc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B.12.Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV con variaciones

en el flujo del lado frío vc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

xv

ÍNDICE DE FIGURAS

D.1. Ejemplos de regiones LMI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

D.2. Región LMI en forma de círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

xvi

Índice de tablas

4.1. Simulación 1. Evaluaciones de error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56









B.1. Parámetros del intercambiador de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

xvii

ÍNDICE DE TABLAS

xviii

CAPÍTULO 1

Introducción

Uno de los principales problemas en la Teoría de Control es la estimación de variables deestado de un sistema a partir del conocimiento de datos de entrada y salida.

Usualmente, en la simulación de procesos se supone que todas las variables de estado seencuentran disponibles para ser medidas, sin embargo, en la práctica esto no siempre sucede.Algunas causas son la imposibilidad de instalar sensores adecuados para medir directamentela variable del sistema o que los sensores requeridos son de alto costo.

Por consiguiente, la presencia de variables de estado desconocidas son un inconveniente quepuede ser solucionado al implementar los llamados sensores virtuales u observadores de es-tado.

Una manera de clasificar los observadores es de acuerdo al número de variables estimadasen función del número total de variables de estado de un sistema: los observadores de ordencompleto y los de orden reducido.

Los observadores de orden completo, como su nombre lo indica son aquellos utilizadospara estimar todas las variables de estado de un sistema, a partir de las variables deestado que pueden ser medidas directamente mediante el uso de sensores físicos.

Los observadores de orden reducido, son aquellos utilizados para estimar un subcon-junto del total de las variables de estado del sistema. En este caso, por lo general, elobservador no estima las variables que se encuentran disponibles (medibles) físicamentey que representan la salida medida del sistema.

A lo largo de los años, se han desarrollado algoritmos de estimación que han capturado laatención de muchos investigadores. Se han propuesto diversas técnicas para estimar las va-riables de estado dependiendo de la estructura matemática del modelo del proceso y de la

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

información disponible.

Los sensores virtuales basan su funcionamiento en el empleo de la información disponible deun proceso para deducir variables cuya medición presenta restricciones técnicas o económicas.En la Fig. 1.1 se muestra un esquema de un sensor virtual.

Proceso

Procesamiento

de señales

Método de

estimación

salidasentradas

Mediciones

variables

estimadas

Sensor virtual

Fig. 1.1. Esquema general de los sensores virtuales.

El sensor virtual se programa en un dispositivo digital por lo que las señales medidas pasan poruna etapa de procesamiento y normalización. A partir de esto, se obtiene una representacióndel proceso en general o en particular de las variables medidas. Estas representaciones sonmodelos dinámicos, los cuales permiten representar fenómenos que ocurren en un procesodeterminado mediante ecuaciones diferenciales, su complejidad está en función del nivel deaproximación que se requiera alcanzar (Salvador y Morales, 2008).

1.1. Planteamiento del problemaLos sistemas singulares surgen en procesos que son naturalmente modelados mediante un con-junto de ecuaciones diferenciales y algebraicas. Los modelos singulares de sistemas puedencaracterizar a una clase más general de sistemas que un modelo conformado solo de ecua-ciones diferenciales.

La mayoría de los procesos físicos, usualmente son descritos por modelos no lineales. Da-do que no existe un procedimiento general para el diseño de observadores para sistemas nolineales, muchos autores prefieren representar estos sistemas mediante el enfoque de sistemaslineales de parámetros variables (LPV, por sus siglas en ingles Linear Parameter Variant).La idea de este enfoque es representar el sistema como una combinación de modelos localeslineales.

2


Un enfoque para aproximar un sistema no lineal mediante sistemas LPV es la técnica deinterpolación que permite utilizar la estructura politópica. Esta estructura es un conjunto demodelos lineales regidos por una función convexa.

Hay procesos en los que es conveniente modelarlos en la forma singular lineal de parámetrosvariables (DLPV, por las siglas en inglés de Descriptor Linear Parameter Variant). Este tipode sistemas tiene la capacidad de representar sistemas no lineales expresando las no lineali-dades en términos del parámetro variable, o linealizándolos como se mostrará en el Anexo Apudiéndose tratar así como sistemas singulares lineales.

En la mayoría de los sistemas es indispensable tener conocimiento del comportamiento desus variables, con diferentes fines, tales como control, sistemas de supervisión, esquemas dedetección de fallas, estimación de fallas o el simple monitoreo de la variable.

Dado que en la literatura no existen muchos trabajos que aborden el desarrollo de algo-ritmos de estimación y control para sistemas singulares LPV, en este trabajo de tesis sepresentan algunas opciones que pueden ser aplicadas para realizar estimación de variables deestado en sistemas con representación singular LPV.

1.2. Hipótesis

El diseño de observadores de tipo LPV para sistemas singulares representa una alternativaviable para estimar variables de estado de sistemas singulares no lineales.

Una manera de generar algoritmos de estimación de variables de estado para sistemas sin-gulares LPV, puede ser mediante la extensión de técnicas de estimación reportadas en laliteratura para sistemas singulares a sistemas singulares LPV.

1.3. Objetivo general

Sintetizar observadores de estado para sistemas singulares LPV, partiendo de observadorespara sistemas singulares lineales invariables en el tiempo (LTI, por las siglas en inglés deLinear Time Invariant). Garantizando de alguna manera la convergencia y estabilidad delobservador.

3


1.3.1. Objetivos específicos

• Diseñar dos algoritmos de estimación de variables de estado para sistemas singularesLPV.

• Validar en simulaciones los observadores para sistemas singulares LPV diseñados.

• Evaluar a partir de los resultados de las simulaciones el desempeño de los observadorespara sistemas singulares LPV.

1.4. Alcance

• Diseño de un observador de orden reducido para sistemas singulares LPV y un obser-vador para la estimación de estados y ruido en sistemas singulares LPV.

• Implementación a nivel simulación de los observadores diseñados.

1.5. Aportación

En el trabajo de tesis se aborda la extensión de dos observadores de estados para sistemassingulares, los cuales son: observador de orden reducido y observador de estados y ruido.

En el estudio de observadores para sistemas lineales singulares se analizó el observador deorden reducido planteado por Darouach y Boutayeb (1995) de manera que se realizó la ex-tensión a observador de orden reducido para sistemas singulares LPV. El cual, complementael observador reportado por Astorga y col. (2011) que es extensión del observador de ordencompleto presentado por Darouach y Boutayeb (1995).

Dado que en los sistemas reales siempre se presenta algún tipo de ruido en la mediciónde variables, se planteó realizar la extensión del observador de estados y ruido para sistemaslineales singulares planteado por Gao y Ho (2006) a observador de estados y ruido para sis-temas singulares LPV, con la finalidad de poder desacoplar completamente el ruido, y demanera simultánea, estimar los estados y el ruido en los sensores de salida.

4


1.6. Originalidad

En el trabajo planteado aquí se muestra que la representación singular LPV partiendo demodelos singulares no lineales, presenta una buena aproximación y es una alternativa parapoder aplicar observadores para sistemas singulares LPV a sistemas no lineales.

Igualmente, los observadores fueron diseñados utilizando un modelo singular LPV, pero apli-cados a un sistema singular no lineal, de manera que en simulación se muestra la convergenciay estabilidad de estos esquemas de estimación.

1.7. Organización del documento

Los siguientes capítulos se encuentran organizados de la siguiente manera:

En el Capítulo 2 se presentan algunos conceptos básicos que definen a los sistemas sin-gulares y sistemas singulares LPV. Además se presenta el estado del arte, abarcando tantolos observadores para sistemas singulares que se han diseñado, así como los observadores parasistemas singulares LPV que han surgido recientemente.

En el Capítulo 3 se presenta el diseño de los observadores para sistemas singulares a losque se les realizó la extensión a observadores para sistemas singulares LPV con su respectivoanálisis de convergencia.

En el Capítulo 4 se presenta la validación de los observadores para sistemas singularesLPV propuestos mediante simulaciones, considerando un sistema singular no lineal numérico.

En el Capítulo 5 se presenta la validación de los observadores para sistemas singularesLPV propuestos mediante simulaciones, considerando el modelo de una aplicación.

En el Capítulo 6 se presentan las conclusiones y los trabajos futuros.

5


6

CAPÍTULO 2

Teoría de sistemas singulares ysistemas LPV

El objetivo de este capítulo es presentar un panorama general de lo que son los sistemassingulares y los sistemas Lineales de Parámetros Variables.

En la sección 2.1 se presentan algunas definiciones sobre los sistemas singulares y algunas delas propiedades más destacadas de este tipo de sistemas. También se presenta un ejemplo quemuestra la manera de obtener este tipo de representaciones a partir del modelado del sistema.

En la sección 2.2 se presentan algunas definiciones de los sistemas LPV. En particular seabordan los sistemas LPV politópicos.

En la sección 2.3 se presenta el estado del arte de lo que ha sido reportado en cuanto adiseño de observadores para sistemas singulares, diseño de observadores para sistemas LPVy diseño de observadores para sistemas singulares LPV. Finalmente en la sección 2.4 se pre-sentan algunas conclusiones.

2.1. Sistemas singulares

Una gran cantidad de procesos son naturalmente modelados por sistemas no lineales diferen-ciales en conjunto con ecuaciones algebraicas. Este tipo de sistemas se conoce como sistemasalgebro-diferenciales (DAE, por las siglas en inglés de Differential and Algebraic Equations),donde las ecuaciones diferenciales surgen de balances de masa y energía, mientras que lasecuaciones algebraicas típicamente consisten de relaciones algebraicas entre las variables delsistema.

Los sistemas singulares frecuentemente surgen en campos de ingeniería, específicamente enquímica, mecánica e ingeniería eléctrica.

7

CAPÍTULO 2. TEORÍA DE SISTEMAS SINGULARES Y SISTEMAS LPV

El modelado de un proceso físico complejo comienza con la selección de variables para definirla evolución del sistema. Una vez seleccionadas las variables, las condiciones matemáticasque las relacionan son dictadas por el comportamiento del sistema en cuestión. Esto puederesultar en un modelo singular del sistema cuando algunas de estas relaciones son dinámicasy otras son puramente estáticas (Briat, 2008).

De forma general un sistema singular lineal tiene la siguiente forma:

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

(2.1)

donde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rp y y(t) ∈ Rm son el vector de estados, la entrada y la salidarespectivamente. E ∈ Rl×n, A ∈ Rl×n; B ∈ Rl×p; C ∈ Rm×n y D ∈ Rm×p son matrices cono-cidas reales. El rango de la matriz E, ranka (E) = r, donde r es un número entero 0 < r < n.

Comúnmente, las matrices E y A se asumen cuadradas, es decir, l = n, solo en este ca-so el haz de matrices (en inglés matrix pencil), formado por (sE − A) es regular (Müller yHou, 1999a), es decir

detb (sE − A) 6= 0 (2.2)

Como lo ha mostrado Müller y Hou (1993), este tipo de suposiciones no es necesario para eldiseño de observadores.

El sistema (2.1) es llamado estable si todas las raíces del polinomio det (sE − A) = 0 seencuentran en la región estable, es decir, en el semiplano izquierdo del plano complejo, oequivalente rank(sE − A) = n, ∀s ∈ C+

c (Yoshiyuki y Henrique, 2002).

El sistema singular (2.1) es llamado libre-impulso (en inglés free-impulsive, lo cual impli-ca no tener polos que tiendan a infinito), si (sE − A)−1 es causal, siempre que (Yu y Wang,2003)

degd [det (sE − A)] = rank (E) (2.3)

o equivalentemente

rank[E 0A E

]= n+ rank(E)

arank. Rango de la matriz. Es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmenteindependientes.

bdet Determinante. Es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles en unamatriz.

cC+ denota el semiplano derecho del plano complejo.ddeg Grado. La más alta potencia de la variable en un polinomio.

8


El sistema singular (2.1) es detectable si

rank[sE − AC

]= n, Re(s) ≥ 0. (2.4)

Se dice que el sistema singular (2.1) es observable si

rank[sE − AC

]= n, ∀s ∈ C (2.5)

El sistema (2.1) es impulso-observable si (Müller y Hou, 1999a)

rank

E A0 C0 E

= n+ rank (E) (2.6)

o equivalentemente

rank[EC

]= n

Estas son algunas de las propiedades básicas de los sistemas singulares, y varias de ellasson necesarias para el diseño de observadores, tales como, estabilidad del sistema singular,observabilidad, impulso observabilidad y detectabilidad.

2.1.1. Ejemplo de sistema singular

Fig. 2.1. Circuito eléctrico.

El circuito eléctrico de la Fig.2.1 es controlado por el voltaje v(t), las corrientes i1(t) e i2(t)son medidas a través de las resistencias R1 y R2. La carga a través del capacitor C se denotacomo q(t) y una bobina L representa la inductancia (Koenig, 2009).

9


Elegimos como variables de estado q(t), i2(t) e i3(t) y como entrada el voltaje v(t). Haciendouso de las leyes de Kirchoff de corriente y voltaje podemos definir las siguientes relaciones:

i1(t) = i2(t) + i3(t) i3(t) = q(t) (2.7)

vC(t) = vR2(t) + vL(t) (2.8)

v(t) = vR1(t) + vC(t) (2.9)

vC(t) = 1Cq(t) vL(t) = Li2(t) vRj

(t) = ij(t)Rj ∀j ∈ 1, 2 (2.10)

sustituyendo las igualdades (2.10) en la Ec. (2.8), obtenemos:

1Cq(t) = i2(t)R2 + Li2(t) (2.11)

despejando Li2(t)

Li2(t) = 1Cq(t)− i2(t)R2 (2.12)

ahora sustituyendo (2.10) en la Ec. (2.9)

v(t) = i1(t)R1 + 1Cq(t)

v(t) = R1[i2(t) + i3(t)] + 1Cq(t)

(2.13)

igualando a cero

0 = R1i2(t) +R1i3(t) + 1Cq(t)− v(t) (2.14)

Expresando las ecuaciones enmarcadas en espacio de estado obtenemos

1 0 00 L 00 0 0

q

i2

i3

=

0 0 11C−R2 0

1C

R1 R1

q

i2

i3

+

00−1

v

10


donde la matriz E es singular (no invertible) ya que tiene una columna y fila de ceros, ademásde que el rank (E) = 2 y x(t) =

[q, i2, i3

]T∈ R3.

2.2. Sistemas LPV

Los procesos físicos son usualmente descritos por modelos no lineales. Dado que no existeun procedimiento general para el diseño de observadores para sistemas no lineales, muchosautores prefieren representar estos sistemas mediante el enfoque de sistemas LPV. Esto tienecomo ventaja poder utilizar (de manera extendida) cierto tipo de herramientas matemáticasque normalmente se dan para los sistemas lineales.

Un sistema LPV depende explícitamente de un parámetro o de un vector de parámetrosρ(t) que puede medirse en tiempo reale. Este tipo de sistemas es descrito por las siguientesecuaciones:

x(t) = A(ρ)x(t) +B(ρ)u(t)

ρ(t) = [ρ1(t), · · · , ρk(t)]T ∈ Ω ⊂ Rk(2.15)

Los puntos que conforman la trayectoria admisible pertenecen en todo instante al conjuntocompacto Ω ⊂ Rk, esto es, el vector de parámetros satisfacen en todo tiempo t la condición:

ρ(t) ∈ Ω = ρ(t) : ρi ≤ ρi(t) ≤ ρi ∀i = 1, 2, · · · , k ⊂ Rk (2.16)

Donde ρi y ρi son los limites inferior y superior del parámetro ρi(t), respectivamente. Elsistema LPV puede interpretarse como una generalización de un sistema Lineal Invariableen el Tiempo (LTI, por las siglas en inglés de Linear Time Invariant) cuando la variaciónparamétrica admisible, es constante ρ(t) = ρ0.

Una manera de obtener un modelo LPV, es a través de la linealización para producir modelosdel comportamiento local de una planta no lineal, descrita por:

x(t) = f(x(t), u(t), ρ(t))y(t) = g(x(t), u(t), ρ(t))

(2.17)

eEl hecho de que el parámetro variable o vector de parámetros sea medible, es una de las característicasindispensables de los sistemas tipo LPV.

11


siendo x el estado del sistema, u la entrada, y la salida y ρ el parámetro variable.

Pueden ser utilizados dos enfoques para construir los modelos locales lineales (Reberga ycol., 2005):

Linealización del sistema.

Identificación a partir de datos de entrada salida.

En este caso se tratará de manera particular la linealización del sistema no lineal (2.17) basa-da en expansión de series de Taylor, también llamada linealización Jacobiana. De maneraque se obtienen M = 2k modelos locales, siendo k el número de parámetros variables.

Al evaluar cada una de las M combinaciones de los límites de los parámetros variables en elsistema no lineal (2.17) se obtienen losM puntos de linealización piø = col (xø, uø, ρø), dondese considera que ρ(t) de la Ec. (2.17) es constante, de manera que (2.17) puede expresarsecomo:

x(t) = f(x(t), u(t))y(t) = g(x(t), u(t)) (2.18)

derivando parcialmente f y g con respecto a x(t) y u(t) se obtiene:

Ai = ∂f

∂x(piø), Bi = ∂f

∂u(piø), Ci = ∂g

∂x(piø), Di = ∂g

∂u(piø) (2.19)

las cuales son evaluadas en cada punto de linealización piø . Aplicando la expansión de seriesde Taylor de primer orden en f(x(t), u(t)) y g(x(t), u(t)) se obtiene:

x(t) = Ai(x− xø) +Bi(u− uø)y = Ci(x− xø) +Di(u− uø) + g(piø) (2.20)

Por lo que (2.20) puede ser visto como un modelo LTI local del sistema (2.18). Una vez quese obtienen los M modelos locales se puede formular el modelo LPV como:

x(t) =M∑

i=1εi(ρ(t))Aix+

M∑i=1

εi(ρ(t))Biu−∆x(ρ(t))

y(t) =M∑

i=1εi(ρ(t))Cix+

M∑i=1

εi(ρ(t))Diu−∆y(ρ(t))(2.21)

12


donde

∆x(ρ(t)) =M∑

i=1εi(ρ(t))(Aixø +Biuø)

∆y(ρ(t)) =M∑

i=1εi(ρ(t))(Cixø +Diuø − g(piø))

(2.22)

siendo εi(ρ(t)) funciones de ponderación para cada uno de los modelos locales LTI.

Un sistema LPV se puede clasificar en varias familias en función de cómo los parámetrosestán involucrados en las ecuaciones del sistema, existen tres técnicas globales para hacerfrente a los sistemas LPV.

Sistemas LPV

Formulación politópica

Formulación de parámetros dependientes

Formulación LFT

En el desarrollo de este tema de tesis se trató el caso de sistemas LPV en su representaciónpolitópica, ya que es una de más utilizadas en la literatura de sistemas LPV.

2.2.1. Formulación politópica

Un sistema politópico de parámetros variables es gobernado por la siguiente expresión (Briat,2008).

x = A(ρ)x+B(ρ)uy = C(ρ)x+D(ρ)u

(2.23)

donde [A (ρ) B (ρ)C (ρ) D (ρ)

]=

M∑i=1

εi(ρ(t))[Ai Bi

Ci Di

](2.24)

yM∑

i=1εi(ρ(t)) = 1, εi(ρ(t)) ≥ 0 y M = 2k con k igual al número de parámetros variables. Los

M modelos son obtenidos al evaluar los límites de los parámetros variables y sus combina-ciones.

El comportamiento de un sistema politópico LPV está regido por funciones de ponderación

13


εi(t), donde cada función pertenece al siguiente conjunto convexo Φ:

Φ =εi(ρ(t)) = εi(ρ, ρ, ρ(t)) : εi(ρ(t)) ≥ 0;

M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1

(2.25)

donde ρ es un vector con los limites inferiores de cada parámetro y ρ es un vector con loslimites superiores

ρ = [ρ1, ρ2, . . . , ρk]T , ρ = [ρ1, ρ2, . . . , ρk]T . (2.26)

Un polítopo es un polígono convexo, con lo que la estabilidad del sistema politópico puedeser caracterizada en términos de la estabilidad de los vértices del sistema.

A continuación se muestra como pueden ser obtenidas las funciones de ponderación:

εi(ρ(t)) = ϕdiag

[ 1δ1,

1δ2, . . . ,

1δk

]. diagα(i) . [f(α(i), ρ, ρ)− ρ]

(2.27)

donde ϕ es el producto de todos los elementos del vector v = [v1, v2, . . . , vs]T ,

ϕ(v) = v1 · v2 · · · vs =s∏

i=1vi

ρ y ρ de la ecuación (2.26).

δi = ρi − ρi

α(i) es un vector binario auxiliar, que asigna −1 al límite inferior y 1 al límite superior

α(1) =[−1 − 1 − 1 . . . − 1 −1

],

α(2) =[

1 − 1 − 1 . . . − 1 −1],

α(3) =[−1 1 − 1 . . . − 1 −1

],

...α(2k − 1) =

[−1 1 1 . . . 1 1

],

α(2k) =[

1 1 1 . . . 1 1],

(2.28)

14


y f(α(i), ρ, ρ) tiene la siguiente expresión

f(α(i), ρ, ρ) = 12[ρ+ ρ+ diagα(i) ·

[ρ− ρ

]]. (2.29)

De esta manera se obtienen las M funciones de ponderación que determinan la presencia decada uno de los modelos locales, dependiendo de la variación del parámetro variable.

2.2.2. Ejemplo de sistema LPV

Sea un sistema LPV con dos parámetros variables (Teppa, 2008):

x(t) = 0 1−ρ1(t) −ρ2(t)

x(t) + 0

1

u(t)

tales que ∀t ≥ 0, ρ1(t) ∈ [−1, 1] y ρ2(t) ∈ [−2, 2]. El conjunto de variación paramétrica semuestra en la Fig. 2.2.

Fig. 2.2. Conjunto compacto de variación de los parámetros ρ1(t) y ρ2(t).

Se propone el siguiente vector binario que muestra la combinación de los límites de losparámetros variables.

α(1) =[−1 −1

]α(2) =

[1 −1

]α(3) =

[−1 1

]α(4) =

[1 1

]15


A continuación obtenemos los siguientes vectores auxiliares en base a la Ec. (2.29)

f(α(1), ρ, ρ) = 12

[ρ1ρ2

]+[ρ1ρ2

]+[−1 00 −1

]·[ρ1 − ρ1ρ2 − ρ2

]

=[ρ1ρ2

]

f(α(2), ρ, ρ) =[ρ1ρ2

]

f(α(3), ρ, ρ) =[ρ1ρ2

]

f(α(4), ρ, ρ) =[ρ1ρ2

]

Por último haciendo uso de la Ec. (2.27) y las ecuaciones anteriores se obtienen las funcionesde ponderación como sigue:

ε1(ρ(t)) = ϕ

1ρ1 − ρ1

0

0 1ρ2 − ρ2

·[−1 00 −1

]·[ρ1 − ρ1(t)ρ2 − ρ2(t)

] = ϕ

ρ1(t)− ρ1ρ1 − ρ1ρ2(t)− ρ2ρ2 − ρ2

=ρ1(t)− ρ1ρ1 − ρ1

·ρ2(t)− ρ2ρ2 − ρ2

= ρ1(t) + 12 · ρ2(t) + 2

4

ε2(ρ(t)) = ρ1 − ρ1(t)ρ1 − ρ1

·ρ2(t)− ρ2ρ2 − ρ2

= 1− ρ1(t)2 · ρ2(t) + 2

4

ε3(ρ(t)) =ρ1(t)− ρ1ρ1 − ρ1

· ρ2 − ρ2(t)ρ2 − ρ2

= ρ1(t) + 12 · 2− ρ2(t)

4

ε4(ρ(t)) = ρ1 − ρ1(t)ρ1 − ρ1

· ρ2 − ρ2(t)ρ2 − ρ2

= 1− ρ1(t)2 · 2− ρ2(t)

4

16


2.3. Estado del arte

Los sistemas singulares fueron introducidos por Luenberger en 1977 ante el planteamientode la obtención de un modelo matemático, a partir de ecuaciones diferenciales y relacionesalgebraicas.

En (Luenberger, 1977) se formularon propiedades para sistemas singulares, algunas comoextensión de propiedades de los sistemas lineales, tales como resolubilidad, controlabilidad ydualidad; la observabilidad y estabilidad de sistemas singulares fueron tratadas por Yoshiyukiy Henrique (2002) y Cobb (1984) mediante el uso de funciones de Lyapunov.

Igualmente hay artículos como el de Müller y Hou (1999a), donde se hace una recopilación yclasificación de tipos de observabilidad definidas para sistemas singulares.

En cuanto al diseño de observadores en (Müller y Hou, 1999b) se presentan los observadoresde Luenberger y observadores de forma singular para sistemas singulares. En (Darouach yBoutayeb, 1995) se presentan observadores de orden completo y orden reducido para sistemassingulares, donde estos pueden ser rectangulares, ya que se basan en la separación de la partedinámica y la parte estática. En (Darouach, 2009) se presenta un observador para un sistemacon entradas desconocidas, estimando solo los estados del sistema, por otro lado, en (Liying yZhaolin, 2004) se presenta un observador para sistemas singulares con entradas desconocidas,estimando los estados del sistema y la entrada desconocida de manera independiente.

Gao y Ho (2006) presentan un observador de estados y ruido, ante sistemas con entradasdesconocidas y ruido de medición en los sensores de la salida, permitiendo así la estimación delos estados del sistema y el ruido del sensor de salida de manera independiente y simultánea.En (Nikoukhah y col., 1990) se presenta un filtro de Kalman para sistemas singulares, con lafinalidad de reducir el efecto del ruido en la estimación.

La formulación LPV de sistemas permite poder representar sistemas no lineales como sise tratara de sistemas lineales, con la facilidad de poder aplicar todas las propiedades linealesa este sistema; como en (Reberga y col., 2005) se presenta el modelo de un turbo-ventilador,cuyo modelo no lineal es aproximado a un sistema LPV utilizando el enfoque politópico.

Adentrándonos en la teoría de observadores para sistemas singulares LPV se ha reportadoen (Habib y col., 2010) un observador para un sistema singular multi-modelo que se generapartiendo de un sistema no lineal, y eligiendo p puntos de operación donde se linealiza. Eneste observador se contempla la existencia del vector del punto de operación, que repercuteen la forma y diseño del observador.

17


También en Marx y col. (2007) se plantea un observador para sistemas singulares tipo Takagi-Sugeno con entradas desconocidas aplicado al diagnóstico de fallas.

La diferencia entre los sistemas LPV y los multi-modelos o tipo Takagi-Sugeno es la ob-tención del modelo; dado que para los sistemas multi-modelos se realizan linealizaciones apartir de determinados puntos de operación, mientras que para los sistemas LPV los modelosse determinan al evaluar los límites de los parámetros variables y sus combinaciones.

En cuanto al diseño de observadores para sistemas singulares LPV en (Astorga y col., 2011)se presenta un observador de orden completo para sistemas singulares politópicos LPV, comouna extensión a LPV del observador propuesto por Darouach y Boutayeb (1995) que es solopara sistemas singulares LTI. Mediante el uso de funciones de Lyapunov y desigualdadesmatriciales lineales (LMI, por las siglas en inglés de Linear Matrix Inequalities) se demuestrala convergencia y estabilidad del observador.

En (Hamdi y col., 2009) se muestra un observador que considera entradas desconocidas en elsistema aplicado a la detección y aislamiento de fallas.

En esta revisión bibliográfica es evidente que la teoría de diseño de observadores para sis-temas singulares LPV es escasa, por lo que uno de los objetivos de este trabajo de tesis esproponer nuevos esquemas de estimación para este tipo de sistemas.

2.3.1. Observadores para sistemas singulares

Se sabe que para sistemas LTI, existe un observador capaz de reconstruir los estados delsistema si y solo si el sistema es detectable y observable; este observador puede ser un obser-vador de Luenberger.

En las últimas décadas se ha estudiado el problema de diseño de observadores para sistemassingulares lineales. A diferencia del caso de los sistemas LTI, para los sistemas singulareslineales se reportan de manera más extensa en la literatura dos tipos de observadores: obser-vadores de Luenberger y observadores de forma singular (Müller y Hou, 1999b).

Considere el sistema singular de la forma

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

(2.30)

18


donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ Rp el vector de entrada, y y(t) ∈ Rm es elvector de salida; E ∈ Rl×n, A ∈ Rl×n con rank E < n, B ∈ Rl×p, C ∈ Rm×n y D ∈ Rm×p

son matrices reales constantes.

En el diseño de observadores para sistemas singulares, la condición

rank[sE − AC

]= n (2.31)

∀s ∈ C+ es necesaria en todo caso.

A continuación se presenta el observador convencional de Luenberger:

w(t) = E1w(t) + E2u(t) + E3y(t), w ∈ Rp

x(t) = F1w(t) + F2u(t) + F3y(t)(2.32)

donde limt→∞ [x(t) − x(t)] = 0 para condiciones iniciales arbitrarias w(0) y Ex(0), es lla-mado observador de Luenberger para el sistema singular (2.30), donde p es el orden delobservador (Hou y Müller, 1995).

Para el caso general, el observador de forma singular se muestra a continuación:

E ˙x(t) = Ax(t) +Bu(t) + L(y(t)− Cx(t)−Du(t)) (2.33)

donde el diseño del observador se limita a encontrar la matriz de ganancias L de manera quela ecuación del error Ee(t) = (A+ LC)e(t), limt→∞e(t) = limt→∞ [x(t)− x(t)] = 0.

2.3.2. Observador de orden completo para sistemas singulares po-litópicos LPV

En esta sección se presenta el diseño de un observador de orden completo para sistemas singu-lares LPV propuesto por Astorga y col. (2011), solo que en este caso partimos de un modelosingular no lineal de parámetros variables y mediante el proceso de linealización llegamos aun modelo singular LPV.

19


Diseño del observador

Considere la siguiente representación singular no lineal de parámetros variables:

Ex(t) = F (x(t), u(t), ρ(t))y(t) = Cx(t)

(2.34)

donde x(t) ∈ Rn, es el vector de estados, u(t) ∈ Rp, el vector de entradas, y(t) ∈ Rm repre-senta el vector de las salidas medidas y ρ(t) ∈ Rk es el vector de k parámetros variables. E esuna matriz constante y rank(E) < n. La linealización de la función F (·) por series de Taylor,se realiza sobre el modelo no lineal al evaluar cada una de lasM combinaciones de los límitesde los parámetros variables, generando así un conjunto de modelos singulares locales, dondeM = 2k.

Si se supone que ρ(t) de la Ec. (2.34) es constante, entonces se puede definir un punto delinealización piø = col (xø, uø, ρø), i = 1, . . . ,M, de manera que (2.34) puede expresarsecomo:

Ex(t) = F (x(t), u(t))y(t) = Cx(t) (2.35)

Aplicando la expansión de series de Taylor de primer orden en F de la Ec. (2.35) se obtieneel siguiente conjunto de M modelos locales, escritos en su forma politópica como se muestraa continuación:

Ex(t) =M∑

i=1εi(ρ(t))(Aix(t) +Biu(t) + ∆xi)

y(t) = Cx(t)(2.36)

donde Ai ∈ Rl×n, Bi ∈ Rl×p son matrices jacobianas refiriéndose al i-ésimomodelo, E ∈ Rl×n,C ∈ Rm×n y ∆xi = Aixø + Biuø ∈ Rn, εi (ρ (t)) = ε

(ρi, ρi

, ρi (t) , t)(ρi y ρi

representan elvalor máximo y mínimo de ρi respectivamente).

Las siguientes condiciones son consideradas por Darouach y Boutayeb (1995):

(A1) rank (E) = r < n.

(A2) rank[EC

]= n

20


Considere que se verifica la suposición A2, entonces existe una matriz no singular ∆:

∆ =[a bc d

]

tal que

aE + bC = In

cE + dC = 0(2.37)

donde a, b, c y d son matrices constantes de dimensiones apropiadas las cuales pueden de-

terminarse por la descomposición en valores singulares de[EC

].

El observador propuesto para el sistema singular LPV politópico (2.36) tiene la siguienteforma:

z(t) =M∑

i=1εi(ρ(t))(Niz(t) + L1iy(t) +G1iu(t) + L2iy(t) + ∆zi)

x(t) = z(t) + by(t) +Kdy(t)(2.38)

donde z(t) representa el estado del observador. Las entradas del observador son las salidas delsistema y(t) y las entradas del sistema u(t). Las matrices Ni, L1i, L2i, G1i, ∆zi y K debenser determinadas de manera que las estimaciones de las variables de estado x(t) converjanasintóticamente a x(t). De ahora en adelante se omitirá el término (t) para simplificar lanotación.

Se define el error de estimación como:

e = x− x= x− z − bCx−KdCx

(2.39)

reemplazando bC y dC de la Ec.(2.37) en la Ec.(2.39)

e = x− z − (In − aE)x−K(−cE)x= (a+Kc)Ex− z

(2.40)

21


la dinámica del error de estimación está dada por la siguiente ecuación:

e = (a+Kc)Ex− z (2.41)

sustituyendo Ex y z de las Ecs.(2.36) y (2.38), obtenemos:

e = (a+Kc)(Aix+Biu+ ∆xi)− (Niz + L1iy +G1iu+ L2iy + ∆zi) (2.42)

despejando z de la Ec.(2.40) y agrupando los términos comunes con x, u y e, se obtiene unanueva expresión de (2.42)

e = Nie+[(a+Kc)Ai −Ni(a+Kc)E − L1iC − L2iC

]x+

[(a+Kc)Bi −G1i

]u+ (a+Kc)∆xi −∆zi

(2.43)

Se puede ver en (2.43) que si las siguientes condiciones se cumplen

0 = (a+Kc)Ai −Ni(a+Kc)E − L1iC − L2iC (2.44)

G1i = (a+Kc)Bi (2.45)

y∆zi = (a+Kc)∆xi (2.46)

entonces la Ec. (2.43) se reduce a

e = Nie (2.47)

Ahora, reemplazando aE y cE de (2.37) en la Ec. (2.44), es fácil deducir que

Ni = (a+Kc)Ai +[Ni(b+Kd)− L1i

]C − L2iC (2.48)

La siguiente suposición asegura que el segundo término del lado derecho de (2.48) sea cero:

L1i = Ni(b+Kd) (2.49)

22


y entonces, (2.48) queda

Ni = KcAi + aAi − L2iC (2.50)

Teorema 1. El sistema (2.38) es un observador para el sistema (2.36) si existen matricesapropiadas P, Q y Ri tal que

ATi c

TQT + ATi a

TP − CTRTi +QcAi + PaAi −RiC < 0 (2.51)

y consecuentemente x converge asintóticamente a x.

Demostración. Considerando la siguiente función candidata de Lyapunov V (e(t)) = eT (t)Pe(t)con P = P T > 0. La derivada de la función de Lyapunov a lo largo de la trayectoria delsistema (2.47) es:

V (e) = eTPe+ eTP e

= eTNTi P + PNie

(2.52)

La estabilidad cuadrática (Amato, 2006) es garantizada si V (e) < 0, ∀e 6= 0. Esta condiciónes satisfecha si

NTi P + PNi < 0 (2.53)

Si existe una matriz apropiada P simétrica, tal que NTi P + PNi < 0 se cumpla ∀i =

1, . . . ,M, entonces es evidente que (2.53) se cumple para toda εi(ρ(t)).

Sustituyendo el valor de Ni obtenemos la siguiente desigualdad bilineal matricial (BMI, porlas siglas en inglés de Bilinear Matrix Inequality):

ATi c

TKTP + ATi a

TP − CTLT2iP + PKcAi + PaAi − PL2iC < 0 (2.54)

Las BMI’s pueden ser transformadas en LMI’s considerando Q = PKi y Ri = PL2i, con locual obtenemos:

ATi c

TQT + ATi a

TP − CTRTi +QcAi + PaAi −RiC < 0 (2.55)

Si existen matrices apropiadas P, Q y Ri, entonces (2.55) se cumple y consecuentemente elsistema (2.47) es estable.

23


Las ganancias del observador pueden ser definidas a través de la colocación de polos delsistema (2.47) en una subregión del semiplano complejo izquierdo (Chilali y Gahinet, 1996),(véase Anexo D sobre regiones LMI).

Esto se consigue mediante la definición de una región LMI, denominada en este caso D.Esta región D puede ser por ejemplo un círculo con centro (−λ, 0) y de radio δ, donde sonubicados los valores propios de cada matriz Ni. En este contexto, la ubicación de polos delsistema (2.47) en la región D puede ser expresada como:

(−δP λP +W T

i

λP +Wi −δP

)< 0 (2.56)

donde Wi = PaAi +QcAi −RiC, ∀i = 1, . . . ,M.

2.4. Conclusiones

En este capítulo se presentaron primero algunos conceptos básicos de sistemas singulares yde sistemas LPV, también se presentó un ejemplo de sistema singular, probando así que estaclase de representación es obtenida de manera natural en el proceso de modelado del sistema;igualmente se mostró un ejemplo de sistema LPV donde la variación de un parámetro, definela presencia de cada uno de los M modelos locales y mediante funciones de ponderación.

También se presentó el estado del arte en cuanto al diseño de observadores para sistemassingulares LPV, empezando por la introducción de los sistemas singulares, diseño de obser-vadores para sistemas singulares, posteriormente sistemas LPV y observadores para sistemasLPV, abarcando por último la interacción entre los sistemas singulares y los sistemas singu-lares LPV y los observadores que se han diseñado para este tipo de sistemas.

Por último se presentó una clasificación general de los tipos de observadores diseñados parasistemas singulares y el desarrollo de un observador de orden completo para sistemas singu-lares LPV partiendo de un modelo no lineal de parámetros variables, presentado por Astorgay col. (2011), en el cual mediante la descomposición en valores singulares y el uso de LMI’sse logra determinar la convergencia y estabilidad del observador.

24

CAPÍTULO 3

Diseño de observadores para sistemassingulares LPV

El objetivo de este capítulo es realizar una extensión de los observadores de estados para sis-temas singulares a observadores de estados para sistemas singulares LPV. Esta extensión esposible, al asegurar ciertas condiciones de estabilidad y convergencia, en este caso, medianteel uso de funciones de Lyapunov.

Este capítulo se encuentra organizado de la siguiente manera: en la sección 3.1 se presenta elobservador de orden reducido para sistemas singulares propuesto por Darouach y Boutayeb(1995). Una extensión de este observador, para sistemas singulares LPV, se presenta en lasección 3.2, es importante mencionar que este observador puede ser aplicando tanto a sis-temas cuadrados (donde el número de variables de estado es igual al número de relacionesalgebraicas y diferenciales) o a sistemas rectangulares (donde el número de relaciones alge-braicas y diferenciales sea diferente al número de variables de estado).

En la sección 3.3 se presenta el observador de estados y ruido propuesto por Gao y Ho (2006).Una extensión a observador de estados y ruido para sistemas singulares LPV se presenta enla sección 3.4, este observador puede ser aplicado a sistemas cuadrados y rectangulares. Porúltimo en la sección 3.5 se presentan algunas conclusiones.

3.1. Observador de orden reducido para sistemassingulares

En esta sección se presenta el diseño de un observador de orden reducido para sistemas sin-gulares propuesto por Darouach y Boutayeb (1995).

Este observador se basa en la separación de la parte dinámica y estática del modelo delsistema, con lo que es posible calcular las ganancias del observador.

25

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE OBSERVADORES PARA SISTEMAS SINGULARES LPV

3.1.1. Diseño del observador

Considere el siguiente sistema singular lineal e invariable en el tiempo:

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)

(3.1)

donde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rp y y(t) ∈ Rm son el vector de estados, el vector de entrada, y elvector de salida, respectivamente. E ∈ Rl×n, A ∈ Rl×n, B ∈ Rl×p y C ∈ Rm×n son matricesconstantes. Se asume que rank (E) = r < n, y sin perder generalidad rank (C) = p. De ahoraen adelante de omitirá el término (t) para simplificar la notación.

Por lo tanto, se asume que

rank

E A

0 E

0 C

= n+ rank (E) (3.2)

Entonces, dado que el rank (E) = r, existe una matriz de transformación P no singular talque:

PE = E0

0

, PA = A0

A1

, PB = B0

B1

(3.3)

donde E0 ∈ Rr×n y rank (E0) = r.

El sistema (3.1) es un sistema equivalente (restricted system equivalent) a:

E0x = A0x+B0u

y0 = C0x(3.4)

donde y0 = −B1u

y

∈ Rq y C0 = A1

C

∈ Rq×n, con q = l − r +m.

26


Entonces, usando la transformación, se puede demostrar fácilmente que

rank

E0 A0

0 E0

0 C0

= n+ rank (E0) (3.5)

o equivalentemente

rank E0

C0

= n (3.6)

El objetivo es diseñar un observador de la forma:

w = Πw + Ly +Hu

x = Mw + Fy(3.7)

donde w ∈ Rn−q.

El problema de diseño del observador se limita a encontrar las matrices Π, L, H, M yF tal que la estimación x converja asintóticamente a x.

Asuma que T ∈ R(n−q)×r es una matriz tal que

TA0 − ΠTE0 = LC0 (3.8)

donde det[TE0C0

]6= 0.

Entonces paraH = TB0 (3.9)

y TE0

C0

[ M F]

= In−q 0

0 Iq

(3.10)

tenemos que x− x = MeΠt[w(0)− TEx(0)].

La convergencia del observador de orden reducido se obtiene cuando la matriz Π es estable.

27


A continuación se presenta el método para encontrar la matriz T . Se parte de la definiciónde la siguiente matriz no singular:

R

C0

= In−q K

0 Iq

TE0

C0

donde K ∈ R(n−q)×q es una matriz arbitraria y R ∈ R(n−q)×n es una matriz cuyo rango esigual al número de filas.

Entonces, tenemos [T K

] E0

C0

= R (3.11)

dado que rank[E0C0

]= n, la Ec. (3.11) tiene la siguiente solución:

[T K

]= R

E0

C0

+

+ Z

Im+p −

E0

C0

E0

C0

+ (3.12)

donde[E0C0

]+a = ∆

(ET

0 CT0

), ∆ =

(ET

0 E0 + CT0 C0

)−1, y Z es una matriz arbitraria

de dimensiones apropiadas.

A partir de la Ec. (3.12) se tiene:

T = R∆ET0 + Z

Ir − E0∆ET0

−C0∆ET0

(3.13)

y de (3.8), se obtieneΠ = TA0M (3.14)

L = TA0F (3.15)

El problema se limita ahora a encontrar una matriz T tal que Π sea una matriz estable.

aLa expresión [·]+ denota la pseudoinversa de una matriz.

28


Sustituyendo la Ec. (3.13) en la Ec. (3.14):

Π = Γ + ZΩ (3.16)

dondeΓ = R∆ET

0 A0M (3.17)

y

Ω =(Ir − E0∆ET

0

)A0M

−C0∆ET0 A0M

(3.18)

Si la dupla (Γ,Ω) es detectable, entonces se puede diseñar un observador de orden reducidocon el método estándar, con la forma (3.7).

Ahora se puede proponer el siguiente procedimiento de diseño que resume los pasos a seguirpara el diseño de un observador de orden reducido para sistemas singulares de la forma (3.7).

1. Elegir una matriz R de (n− q)× n tal que R

C0

sea no singular.

2. La matriz M puede ser obtenida de (3.10) y (3.11)

M = R

C0

−1 In−q

0

(3.19)

3. Si el par (Γ, Ω) es detectable, podemos encontrar una matriz Z tal que el observadorsea asintóticamente estable, entonces se puede deducir T de (3.13).

4. La matriz F puede ser obtenida de (3.10)

F = TE0

C0

−1 0Iq

(3.20)

5. Las matrices H y L pueden ser obtenidas de (3.9) y (3.15).

29


3.2. Observador de orden reducido para sistemassingulares LPV

En la siguiente sección se muestra la extensión a observador para sistemas singulares LPVque se desarrolló a partir del observador propuesto por Darouach y Boutayeb (1995) que semostró en la sección 3.1. Esta extensión es una de las principales aportaciones de este trabajode tesis, este observador permite trabajar con sistemas no lineales utilizando la representaciónsingular LPV, estimado solo los estados no disponibles a la salida.

En este diseño se parte del modelo singular no lineal de parámetros variables y medianteel proceso de linealización se obtiene un modelo singular LPV.


Ex(t) = F (x(t), u(t), ρ(t))y(t) = Cx(t)

(3.21)

donde x(t) ∈ Rn, es el vector de estados, u(t) ∈ Rp, el vector de entradas, y(t) ∈ Rm repre-senta el vector de las salidas medidas y ρ(t) ∈ Rk es el vector de k parámetros variables. E esuna matriz constante y rank(E) < n. La linealización de la función F (·) por series de Taylor,se realiza sobre el modelo no lineal al evaluar cada una de lasM combinaciones de los límitesde los parámetros variables, generando así un conjunto de modelos singulares locales, dondeM = 2k.


Ex(t) = F (x(t), u(t))y(t) = Cx(t) (3.22)


Ex(t) =M∑


y(t) = Cx(t)(3.23)

30


donde Ai ∈ Rl×n, Bi ∈ Rl×p son matrices jacobianas refiriéndose al i-ésimomodelo, E ∈ Rl×n,C ∈ Rm×n y ∆xi = Aixø +Biuø ∈ Rn son matrices constantes, εi (ρ (t)) = ε

(ρi, ρi

, ρi (t) , t)

(ρi y ρirepresentan el valor máximo y mínimo de ρi respectivamente), ∀i ∈ 1, . . . ,M.

Cabe remarcar que la función de ponderación εi(ρ) evoluciona dentro del conjunto convexodefinido por (Briat, 2008):

Φ =εi(ρ(t) = εi(ρ, ρ, ρ(t))) : εi(ρ(t)) ≥ 0;

M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1

(3.24)

Dado que el rank (E) = r, existe una matriz P no singular tal que (Darouach y Boutayeb,1995):

PE = E0

0

, PAi = A0i

A1i

, PBi = B0i

B1i

, P∆xi =[

∆x0i

∆x1i

](3.25)

donde E0 ∈ Rr×n y rank (E0) = r. Esta transformación hace posible la división de la parteestática y la dinámica del sistema singular de la Ec. (3.23). Agrupando la parte estática enlas ecuaciones de salida, el submodelo de (3.23) queda:

E0x =M∑

i=1εi (ρ) (A0ix+B0iu+ ∆x0i)

y0 = C0x

(3.26)

donde

y0 =

−M∑

i=1εi (ρ) (B1iu+ ∆x1i)

y

∈ Rj, C0 =

M∑

i=1εi (ρ)A1i

C

∈ Rj×n

j = l − r +m

El observador politópico propuesto para el modelo singular LPV de la Ec. (3.26) tiene lasiguiente forma:

31


ω =M∑

i=1εi (ρ) (Πiω + Liy0i +Hiu+ ∆ωi)

x =M∑

i=1εi (ρ) (Miω + Fiy0i)

(3.27)

donde ω ∈ Rn−j es el vector de estados del observador.

El problema de diseño del observador consiste en obtener las matrices Πi, Li, Hi, Mi yFi tal que la estimación x converja a x.

Para estimar las variables de estado del sistema (3.23), se asume de Müller y Hou (1999a)que:

rank AT

0i ET0 CT

0i

ET0 0 0

= n+ rank (E0) (3.28)

rank[sE0 − A0i

C0i

]= n,∀i = 1, . . . ,M (3.29)

Se define una matriz T ∈ R(n−j)×r, tal que:

ξ = ω − TE0x (3.30)

Despejando ω de (3.30), sustituyendo en (3.27) y considerando la igualdad (3.24), se obtiene:

x = Miξ +[Mi Fi

] TE0

C0i

x (3.31)

donde [Mi Fi

] TE0

C0i

= In−j 0

0 In

(3.32)

Simplificando la Ec. (3.31) tenemos x− x = Mi (ω − TE0x)

Del artículo de Darouach y Boutayeb (1995) se obtienen las siguientes relaciones:

Πi = TA0iMi (3.33)

32


Li = TA0iFi (3.34)

Fi = TE0

C0i

−1 0Ij

(3.35)

Si se elige una matriz R ∈ R(n−j)×n tal que[RC0i

]sea una matriz no singular, se ob-

tiene la matriz Mi:

Mi = R

C0i

−1 In−j

0

(3.36)

La ecuación dinámica de la Ec.(3.30) se define como:

ξ = ω − TE0x (3.37)

Ahora, sustituyendo ω y E0x de la Ec.(3.27) y (3.26) respectivamente, en la Ec. (3.37) yconsiderando la igualdad (3.24), se obtiene:

ξ =M∑

i=1εi(ρ)

(Πiω + Liy0i +Hiu+ ∆ωi

)− T

(A0ix+B0iu+ ∆x0i

)(3.38)

Despejando ω de la Ec. (3.30) y sustituyendo en la Ec.(3.38) se obtiene:

ξ =M∑

i=1εi(ρ)

[Πi(ξ − TE0x) + Li(C0ix) +Hiu+ ∆ωi

]− T

(A0ix+B0iu+ ∆x0i

)(3.39)

Agrupando los términos comunes con x, u y ξ, se obtiene:

ξ =M∑

i=1εi (ρ)

Πiξ +

(ΠiTE0 + LiC0i − TA0i

)x+

(Hi − TB0i

)u+ ∆ωi − T∆x0i

(3.40)

33


Si se satisfacen las siguientes condiciones:

ΠiTE0 + LiC0i − TA0i = 0 (3.41)

Hi = TB0i (3.42)

∆ωi = TAx0i (3.43)

la Ec.(3.40) es reducida a:

ξ =M∑

i=1εi (ρ) Πiξ (3.44)

La condición suficiente para garantizar la estabilidad de (3.27) está dada por el siguienteteorema.

Teorema 2. El observador politópico (3.27) es estable si existe una matriz común (válidapara cada uno de los modelos locales del sistema singular LPV) P = P T > 0 tal que

ΠTi P + PΠi < 0,∀i ∈ 1, . . . ,M (3.45)

Demostración. Considere la siguiente función candidata de Lyapunov

V (ξ) = ξTPξ

Su derivada a lo largo de las trayectorias del sistema (3.44) es:

V (ξ) = ξTPξ + ξTP ξ

= ξTM∑

i=1εi (ρ)

(ΠT

i P + PΠi

)ξ

(3.46)

La estabilidad del sistema (3.44) se garantiza si V (ξ) < 0, ∀ξ 6= 0. Con lo que se genera lasiguiente LMI: (

ΠTi P + PΠi

)< 0. (3.47)

34


Las ganancias del observador pueden ser definidas a través de la asignación de polos delsistema (3.27) en una subregión del semiplano complejo izquierdo (Chilali y Gahinet, 1996),(véase Anexo D sobre regiones LMI).

Esto se consigue mediante la definición de una región LMI, denominada en este caso D.Esta región D puede ser por ejemplo un círculo con centro (−λ, 0) y de radio δ, donde sonubicados los valores propios de cada matriz Πi. En este contexto, la ubicación de polos delsistema (3.27) en la región D puede ser expresada como:

−δP λP + ΠTi P

λP + PΠi −δP

< 0 (3.48)

sustituyendo Πi de (3.33) en (3.48), se obtiene:

−δP λP +MTi A

T0iT

TP

λP + PTA0iMi −δP

< 0 (3.49)

donde se puede observar que el término PT genera BMI’s, por lo que si se agrupan de lasiguiente manera:

K = PT

y además se considera

Qi = A0iMi

las BMI’s (3.49) puede tratarse como LMI’s, como se muestra a continuación:

−δP λP +QTi K

T

λP +KQi −δP

< 0 (3.50)

Esta última desigualdad es lineal comparada con las variables desconocidas P y K. Existensoftwares que contienen herramientas para la solución de LMI’s que pueden ser usadas pararesolver la desigualdad (3.50), tales como MATLAB, SCILAB, YALMIP, entre otros.

Finalmente, si se selecciona adecuadamente la matriz P , de tal forma que las desigualdades(3.50) se satisfagan, entonces el sistema (3.44) es estable.

35


Observaciones:

1. Si rank[EC

]= n los cálculos planteados aquí pueden ser aplicados directamente al

sistema (3.23) sin alguna transformación.

2. El orden reducido µ del observador es dado por µ = n− rank C.

3.3. Observador de estados y ruido para sistemassingulares

En esta sección se presenta el diseño de un observador de estados y ruido para sistemassingulares propuesto por Gao y Ho (2006), en el que se estiman los estados del sistema, elruido de la salida y las entradas desconocidas en el sistema.

El ruido es representado mediante una función desconocida d(t) que podría representar fa-llas, ruido en la medición, entradas exógenas, etc. En esta tesis nos limitaremos solamente ala síntesis de un observador que estime esta función d(t). Las aplicaciones las define el usuario.

El diseño se basa en aumentar el vector de variables de estado añadiendo como estado alruido, de manera que se puede estimar simultáneamente y separados los estados del sistemay el ruido.

3.3.1. Diseño del observador

Considere el siguiente sistema singular con incertidumbres desconocidas:

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t) +Bdd(t)y(t) = Cx(t) + d(t)

(3.51)

donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, u(t) ∈ Rp y y(t) ∈ Rm son el vector de entradas yel vector de salida, respectivamente; d(t) ∈ Rm es el ruido en la salida medida, y Bdd(t) enla ecuación dinámica caracteriza la entrada desconocida debida a incertidumbre o error demodelado. En este estudio, la matriz de disturbio Bd puede ser una matriz de rango bajo eincluso Bd puede llegar a ser cero. A partir de ahora se omitirá el término (t) para simplificarla notación.

36


Si se toma en cuenta un nuevo vector de estados x que consista en el vector de estados originalaumentado con la variable d, es decir:

x = x

d

, E = E 0

0 0m×m

, A = A 0

0 −Im

(3.52)

B = B

0m×p

, N = Bd

Ip

, C =[C Ip

]

entonces el sistema (3.51) puede ser representado de la siguiente forma:

Ex = Ax+Bu+Nd

y = Cx(3.53)

Ambos el vector de estados x y el ruido d son el vector de estado aumentado del sistema.Por lo tanto, si un observador de estados asintótico puede ser construido para el sistemaaumentado (3.53), entonces el observador es un estimador simultáneo de variables de estadoy ruido del sistema original (3.51).

A continuación, se desarrolla un nuevo observador de forma singular diseñado para el sistemaaumentado (3.53).

Considere el observador de estados y ruido de forma singular como sigue:

E ˙x = Ax+Kp(y − Cx) +Bu+Nd (3.54)

donde x ∈ Rn+m es la estimación del vector de estado singular x, d ∈ Rm es la estimacióndel ruido d, y Kp ∈ R(n+m)×m es la matriz de ganancia que se asignará.

Las condiciones que el sistema debe satisfacer para poder aplicar este observador son:

La tercia (E,A,C) es finitamente detectable si se verifica que:

rank[sE − AC

]= n, ∀s ∈ C+ (3.55)

37


Existe una matriz K tal que (E,A − KC) es internamente estable si y solo si el sistema(E,A,C) es finitamente detectable.

La tercia (E,A,C) es impulso observable si se verifica que:

rank AT ET CT

ET 0 0

= n+ rank (E) (3.56)

Teorema 3. Para el sistema (3.53), existe un observador de la forma (3.54) si y solo si elpar (E,A−BdC) es libre-impulso y estable.

Demostración. Definiendo Cd = [0m×n Im] y e = x − x, entonces d = Cdx, d = Cdx, yd− d = Cde. Restando (3.54) a (3.53), obtenemos:

Ee = (A−KpC)e+N(d− d)= (A+NCd −KpC)e

(3.57)

La ganancia Kp puede ser elegida tal que la dinámica del error de (3.57) sea regular, libre-impulso y estable si y solo si (E,A + NCd, C) es detectable finito e impulso observable, esdecir,

rank sE − A−NCd

C

= n+m, ∀s ∈ C+ (3.58)

rank

E 0

A+NCd E

C 0

= n+m+ rank(E)

(3.59)

De las definiciones de E, A, N, Cd y C dadas anteriormente, ambas condiciones (3.58) y(3.59) se cumplen si y solo si

rank A− sE Bd

C Im

= n+m, ∀s ∈ C+ (3.60)

38


rank

E 0 0A Bd E

C Im 0

= n+m+ rank (E) (3.61)

Observe que

rank A− sE Bd

C Im

= rank sE − A+BdC Bd

0 Im

= rank (sE − A+BdC) +m

(3.62)

y

rank

E 0 0A Bd E

C Im 0

= rank

E 0 0

A−BdC Bd E

0 Im 0

= rank E 0A−BdC E

+m

(3.63)

Sustituyendo (3.62) y (3.63) en (3.60) y (3.61) respectivamente, se obtiene

rank (sE − A+BdC) = n, ∀s ∈ C+ (3.64)

rank E 0A−BdC E

= n+ rank(E) (3.65)

Observación 1: En este desarrollo se ha considerado que el disturbio d(t) aparece en la saliday en la ecuación diferencial de los estados. El observador (3.54) también es factible para sis-temas singulares con solo ruido en la salida, es decir, el caso de que la matriz Bd = 0. Ademásel disturbio d(t) puede ser una señal de alta frecuencia y/o señales que varían lentamente.

Teorema 4. Un observador de la forma (3.54) puede ser diseñado para el sistema (3.53),si el par (E, A − BdC) es libre-impulso y estable, donde el parámetro de ganancia Kp =[K1K2

]∈ R(n+m)×m con K2 ∈ Rm×m siendo no singular (Gao y Ho, 2006).

39


Demostración. Con la ganancia Kp =[K1K2

], y usando la definición de E,N,C y Cd dadas

previamente, la dinámica del error (3.57) es

E 00 0

·e = A−K1C Bd −K1

−K2C −K2

e (3.66)

Debido a que la dupla (E,A − BdC) es internamente propia y estable, y K2 es no singular,entonces se puede deducir que

rank sE − A+K1C K1 −Bd

K2C K2

= rank sE − A+BdC (K1 −Bd)K−1

2

0 Im

= rank (sE − A+BdC) +m

= n+m, ∀s ∈ C+

(3.67)

deg

det sE − A+K1C K1 −Bd

K2C K2

= deg

det sE − A+BdC (K1 −Bd)K−1

2

0 Im

= det deg (sE − A+BdC)

= rank (E) = rank(E)

(3.68)Claramente, (3.67) y (3.68) muestran que la dinámica del error en (3.57) es regular, interna-mente propia, y estable.

Observación 2: El enfoque de diseño del observador (3.54) ha sido presentado por el teo-rema anterior. En el diseño del observador, el efecto del disturbio puede ser desacopladocompletamente de la dinámica del error. Además, el vector de estados x y el disturbio a lasalida d pueden ser estimados asintóticamente al mismo tiempo, es decir, x = [In 0n×m] xy d = [0m×n Im] x.

deg Grado. La más alta potencia de la variable en un polinomio.det Determinante. Es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles en unamatriz.

40


El observador de forma singular (3.54) puede ser reescrito como sigue:

E ˙x =[A+NCd −KpC

]x+Bu+Kpy

= A−K1C Bd −K1

−K2C K2

x+ B

0

u+ K1

K2

y (3.69)

Dado que el par (E, A+NCd −KpC) es considerado libre-impulso y estable, el observador(3.54) o (3.69) debe ser libre-impulso. En el siguiente teorema, se presenta el procedimientopara elegir las matrices transformadas para convertir el observador (3.54) o (3.69) en unobservador de Luenberger.

Teorema 5. Si el par (E, A−BdC) es libre-impulso y estable para el sistema (3.53), existeun observador de Luenberger de la siguiente forma:

˙xs = Asxs +Bsu+Ksy

x = Q1 Q2

xs

Bfu+Kfy

(3.70)

La demostración de cómo llegar a un observador de la forma (3.70) se muestra en el AnexoE.

3.4. Observador de estados y ruido para sistemas sin-gulares LPV

En este diseño se parte del modelo no lineal de parámetros variables dado por la Ec. (3.71)y mediante linealización se obtiene un modelo singular LPV.


Ex(t) = F (x(t), u(t), ρ(t))y(t) = Cx(t) + d(t)

(3.71)

donde x(t) ∈ Rn, es el vector de estados, u(t) ∈ Rp, el vector de entradas, y(t) ∈ Rm repre-senta el vector de las salidas medidas y ρ(t) ∈ Rk es el vector de k parámetros variables. E es

41


una matriz constante y rank(E) < n. La linealización de la función F (·) por series de Taylor,se realiza sobre el modelo no lineal al evaluar cada una de lasM combinaciones de los límitesde los parámetros variables, generando así un conjunto de modelos singulares locales, dondeM = 2k.


Ex(t) = F (x(t), u(t))y(t) = Cx(t) + d(t) (3.72)


Ex(t) =M∑


y(t) = Cx(t) + d(t)(3.73)

donde Ai ∈ Rn×n y Bi ∈ Rn×p son matrices jacobianas refiriéndose al i-ésimo modelo,E ∈ Rn×n, C ∈ Rm×n y ∆xi = Aixø + Biuø ∈ Rn son matrices constantes, εi (ρ (t)) =ε(ρi, ρi

, ρi (t) , t)(ρi y ρ

irepresentan el valor máximo y mínimo de ρi respectivamente),

∀i ∈ 1, . . . ,M.

Si se toma en cuenta un nuevo vector de estados x que consista en el vector de estadosoriginal aumentado con la variable d(t), es decir:

x = x

d

, E = E 0

0 0m×m

, Ai = Ai 0

0 −Im

, ∆xi =[

∆xi

0

]

Bi = Bi

0m×p

, N = 0Im

, C =[C Im

] (3.74)

entonces el sistema (3.73) puede ser representado de la siguiente forma:

Ex =M∑

i=1εi(ρ(t))

(Aix+Biu+Nd+ ∆xi

)y = Cx

(3.75)

42


Ambos el vector de estados x y el ruido d forman el nuevo vector de estados aumentado.Por lo tanto, si un observador de variables de estado asintótico puede ser construido parael sistema aumentado de la Ec.(3.75), entonces el observador es un estimador simultáneo devariables de estado y ruido del sistema (3.73).

Considere el siguiente observador de estados y ruido de forma singular como se muestraa continuación:

E ˙x =M∑

i=1εi(ρ(t))

(Aix+Kpi(y − Cx) +Biu+Nd+ ∆xi

)(3.76)

donde x ∈ Rn+m es la estimación del vector de estado singular x, d ∈ Rm es la estimacióndel ruido d, y Kpi ∈ R(n+m)×m es la matriz de ganancia que se asignará.

Una vez que se tiene el modelo singular LPV se asume que la tercia (E, Ai, C) sea finita-mente detectable si se verifica que:

rank[sE − Ai

C

]= n, ∀s ∈ C+ (3.77)

y que la tercia (E,Ai, C) sea impulso observable si se verifica que:

rank AT

i ET CT

ET 0 0

= n+ rank (E) . (3.78)

Definiendo Cd =[

0m×n Im

]y e = x − x, entonces d = Cdx, d = Cdx, y d − d = Cde.

Restando (3.76) a (3.75), se obtiene:

Ex− E ˙x = Aix+Biu+Nd+ ∆xi − Aix−Kpi

(y − Cx

)−Biu−Nd−∆xi

E(x− ˙x

)= Ai

(x− x

)−Kpi

(y − Cx

)+N

(d− d

)Ee = Aie−KpiC

(x− x

)+NCde

Ee = Aie−KpiCe+NCde

(3.79)

Ee =(Ai −KpiC +NCd

)e (3.80)

43


El diseño del observador se limita a encontrar las ganancias Kpi tal que el estado estimadox converja a x.

Teorema 6. El observador politópico (3.76) es asintóticamente estable si existe una ma-triz común (válida para cada uno de los modelos locales del sistema singular LPV) X ∈R(n+m)×(n+m) tal que

(Ai −KpiC +NCd

)TX +XT

(Ai −KpiC +NCd

)< 0, ∀i ∈ 1, · · · ,M (3.81)

Demostración. Considere la siguiente función cuadrática de Lyapunov, donde X no es nece-sariamente igual a XT , es decir, X no es necesariamente una matriz simétrica.

V (e) = eTXTEe, XTE ≥ 0 (3.82)

La derivada de la función de Lyapunov a lo largo de las trayectorias del sistema (3.80) es:

V (e) = eTXTEe+ eTXTEe (3.83)

si se considera que ETX = XTE ≥ 0, entonces la Ec. (3.83) se puede expresar como:

V (e) = eTE

TXe+ eTXTEe

= (Ee)TXe+ eTXTEe

= eT(Ai −KpiC +NCd

)TXe+ eTXT

(Ai −KpiC +NCd

)e

(3.84)

V (e) = eT(A

T

i X − CTK

T

piX + CT

dNTX +XTAi −XTKpiC +XTNCd

)e (3.85)

La estabilidad cuadrática (Amato, 2006) del sistema (3.80) se garantiza si V (e) < 0, ∀e 6= 0.Dicha condición se satisface si

(A

T

i X − CTK

T

piX + CT

dNTX +XTAi −XTKpiC +XTNCd

)< 0, ∀i ∈ 1, . . . , M

(3.86)

44


Como se puede observar se genera BMI entre las matrices Kpi y X, de forma que se puedetransformar en LMI si se considera Qi = K

TpiX. Bajo esta suposición, la desigualdad (3.86)

se transforma en:

(A

T

i X − CTQi + C

T

dNTX +XTAi −Q

T

i C +XTNCd

)< 0 (3.87)

Esta última desigualdad es lineal comprada con las variables desconocidas X y Qi. Existensoftwares que contienen herramientas para la solución de LMI’s que pueden ser usadas pararesolver (3.87), tales como MATLAB, SCILAB, YALMIP, entre otros.

Finalmente, si se selecciona adecuadamente una matriz X, de tal forma que las desigual-dades (3.87) se satisfagan, entonces el sistema (3.80) es estable.

La matriz de ganancia del observador puede ser determinada de la siguiente manera:

Kpi = X−TQTi (3.88)

donde el parámetro de ganancia Kpi =[K1i

K2i

]∈ R(l+m)×m con K2i ∈ Rm×m siendo no

singular.

El observador singular LPV (3.76) puede ser reescrito como sigue:

E ˙x =M∑

i=1εi(ρ(t))

( [Ai +NCd −KpiC

]x+Biu+Kpiy + ∆xi

)

=M∑

i=1εi(ρ(t))

([Ai −K1iC −K1i

−K2iC −K2i

]x+

[Bi

0

]u+

[K1i

K2i

]y +

[∆xi

0

]) (3.89)

Dado que el par (E,Ai − KpiC + NCd) es considerado libre-impulso y estable, el obser-vador de la Ec.(3.76) o (3.89) debe ser libre-impulso. En el siguiente teorema, se presenta elprocedimiento para transformar el observador de la Ec.(3.76) o (3.89) en un observador deLuenberger.

Teorema 7. Si (E,Ai) es libre-impulso y estable para el sistema (3.75), existe un observadorde Luenberger de la siguiente forma:

45


˙xs =M∑

i=1εi(ρ(t)) (Asixs +Bsiu+Ksiy + ∆si)

x =M∑

i=1εi(ρ(t))

Q1i Q2i

xs

Bfiu+Kfiy

(3.90)

La demostración de cómo llegar a un observador de la forma (3.90) se muestra en el AnexoE.

3.5. Conclusiones

En este capítulo se presentaron los observadores para sistemas singulares para los cuales seobtuvo una extensión a observadores para sistemas singulares LPV considerando la repre-sentación politópica.

Una de las contribuciones de esta tesis consistió en la obtención de una extensión al tra-bajo de Darouach y Boutayeb (1995), en la cual los autores presentan un observador deorden reducido para sistemas singulares, estimado solo los estados no disponibles a la salida.La convergencia de este observador es determinada a través de la elección de una matriz Πestable.

La extensión consiste en desarrollar un observador para sistemas singulares LPV a partirdel modelo singular no lineal, el cual es tratado por series de Taylor para la obtención demodelos locales lineales con los que se forma el modelo singular LPV. La convergencia delobservador de orden reducido se demuestra mediante una análisis de estabilidad basado fun-ciones de Lyapunov y además del uso de regiones LMI.

Otra de las contribuciones presentadas en este capítulo es la obtención de la extensión delobservador de estados y ruido para sistemas singulares de Gao y Ho (2006), donde los autoresconsideran un observador de forma singular, el cual puede ser transformado en un observadorde Luenberger mediante la descomposición de valores singulares de la matriz singular E delsistema.

En la extensión del observador de estados y ruido de Gao y Ho (2006) se desarrolló unobservador de estados y ruido para sistemas singulares LPV, el cual puede ser aplicado a sis-temas singulares no lineales, que son linealizados por series de Taylor, para formar el modelo

46


singular LPV. La convergencia del observador se demuestra mediante un análisis de esta-bilidad utilizando funciones de Lyapunov y regiones LMI. Este observador, al igual que elobservador para sistemas singulares, puede ser transformado en un observador de Luenberger.

Los observadores que son resultado de la extensión de observadores para sistemas singulares,aportan nuevas alternativas de estimación para sistemas singulares LPV, ya que actualmentehay pocas técnicas de estimación reportadas en la literatura.

47


48

CAPÍTULO 4

Simulación de los observadores parasistemas singulares LPV

En este capítulo se utiliza un modelo numérico singular no lineal de parámetros variables conel fin de mostrar el procedimiento de diseño de los observadores presentados en el capítulo an-terior. De esta manera, se muestra paso a paso la manera de llevar a cabo una implementaciónque el lector puede extrapolar a cualquier otra aplicación en particular que involucre sistemasmodelados en la forma singular LPV.

Este capítulo se encuentra organizado de la siguiente manera: en la sección 4.1 se presentael diseño, implementación y resultados de un observador de orden completo para un sistemasingular LPV. En la sección 4.2 se muestra el diseño, implementación y resultados de unobservador de orden reducido para sistemas singulares LPV. En la sección 4.3 se presentael diseño, implementación y resultados de un observador de estados y ruido para sistemassingulares LPV. Finalmente, en la sección 4.4 se presentan algunas conclusiones.

4.1. Observador de orden completo

Considere el siguiente sistema singular no lineal de parámetros variables:

x1(t) = −2x21(t) + 0.3x3(t) + u(t)

x2(t) = −3x2(t)− 0.2x1(t)0 = 5x1(t)x2(t)ρ(t)− x3(t)

y = x3(t)

(4.1)

donde x ∈ Rn es el vector de estados y ρ(t) ∈ Rk representa el parámetro variable, que varíadentro de ρ(t) ∈

[0.5, 1

], siendo k = 1 y n = 3. De ahora en adelante se omitirá el término

(t) para simplificar la notación.

49

CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN DE LOS OBSERVADORES PARA SISTEMAS SINGULARES LPV

Las funciones de ponderación se calculan como se mostró en la sección 2.2.1, donde la formageneral es:

εi(ρ) = ϕdiag

[ 1δ1,

1δ2, . . . ,

1δk

]. diagα(i) . [f(α(i), ρ, ρ)− ρ(t)]

(4.2)

Se proponen las siguientes funciones auxiliares:

α(1) = 1 f(α(1), ρ, ρ) = ρ δ1 = ρ− ρ

α(2) = −1 f(α(2), ρ, ρ) = ρ(4.3)

con las que se obtienen las siguientes funciones de ponderación para el sistema singular LPV(4.5):

ε1(ρ) = ρ− ρ(t)ρ− ρ

= 1− ρ(t)0.5

ε2(ρ) =ρ(t)− ρρ− ρ

= ρ(t)− 0.50.5

(4.4)

Los puntos de linealización son determinados al evaluar el sistema singular no lineal (4.1) encada uno de los límites del parámetro variable, obteniendo así M = 2k = 2 modelos localessingulares LPV.

Se linealiza el modelo singular no lineal (4.1) como se muestra en el Anexo A obteniendo asíel siguiente modelo singular LPV:

Ex =M∑

i=1εi(ρ(t)) (Aix+Biu+ ∆xi)

y = Cx

(4.5)

donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−2.7936 0 0.3−0.2 −3 0−0.1165 1.7460 −1

, B1 =

100

, ∆x1 =

0.9754−1.2× 10−4

0.0814

,ε1(ρ) = 1− ρ(t)

0.5

50


A2 =

−2.7604 0 0.3−0.2 −3 0−0.23 3.4505 −1

, B2 =

100

, ∆x2 =

0.9526−2× 10−5

0.1587

,ε2(ρ) = ρ(t)− 0.5

0.5

y = x3

Para poder aplicar el observador de orden completo al sistema singular LPV (4.5) es necesarioverificar las siguientes suposiciones:

(A1) rank (E) = r < n Ü rank (E) = 2 < 3

(A2) rank[EC

]= n Ü rank

[EC

]= 3

Una vez que el sistema satisface la condición A2 se determinan las matrices a, b, c y

d mediante la descomposición en valores singulares de[EC

]obteniendo así las siguientes

matrices:

a =

1 0 00 1 00 0 0

, b =

001

, c =[

0 0 −1], d = 0

El observador de orden completo para sistemas singulares LPV tiene la siguiente forma:

z(t) =M∑

i=1εi(ρ(t))

(Niz(t) + L1iy(t) +G1iu(t) + L2iy(t) + ∆zi

)x(t) = z(t) + by(t) +Kdy(t)

(4.6)

Para poder obtener las ganancias del observador, es necesario solucionar las siguientes LMI:

P = P T > 0 (4.7)

51


(−δP λP +W T

i

λP +Wi −δP

)< 0 (4.8)

donde Wi = PaAi +QcAi −RiC ∀i = 1, . . . ,M.

Utilizando la herramienta del software MATLAB se solucionaron las LMIa (4.8) considerandoλ = 3 y δ = 3, permitiendo así obtener las matrices que se muestran a continuación:

P =

13.71 0.06 00.06 13.73 0

0 0 13.79

, Q =

−0.070.06

0

, R1 = R2 =

4.040.0841.37

La estabilidad del observador se determina asegurando que e = Nie sea estable, siendoNi = KcAi + aAi − L2iC se obtienen las siguientes matrices:

N1 =

−2.794 0.009 0−0.199 −3.008 0

0 0 −3

, eig(N1) =

−2.803−2.999−3

N2 =

−2.761 0.018 0−0.198 −3.015 0

0 0 −3

, eig(N2) =

−2.776−3−3

con lo que se puede asegurar la convergencia de la dinámica del error de estimación a cero,ya que los valores propios de las matrices Ni son estables.

El resto de las ganancias del observador se muestran a continuación y se calcularon siguiendoel procedimiento que se mostró en la sección 2.3.2.

L11 = L12 =

000−3

, G11 = G12 =

100

, L21 = L22 =

0.2940.004

3

,

∆z1 =

0.97500

, ∆z2 =

0.95300

, K =

−0.0050.004

0

aEl programa se encuentra en el disco adjunto en el directorio: D: MATLAB\OC\numerico\main_OC.

52


4.1.1. Resultados de simulaciónb

Para evaluar el desempeño del observador de orden completo propuesto por Astorga y col.(2011) que se presentó en la sección 2.3.2, se realizaron dos simulaciones de acuerdo al esquemaque se muestra en la Fig. 4.1. Las simulaciones se realizaron utilizando el software MATLAB,el método de integración para resolver las ecuaciones del observador fue el método de Eulerde primer orden con un paso de integración fijo igual a 0.1 segundos.

Fig. 4.1. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden completo.

Simulación 1. Observador de orden completo para sistemas singulares LPV, con-siderando un incremento en el parámetro variable ρ.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (4.1), utilizando el observador de orden completo (4.6)diseñado con el modelo singular LPV, dado por la Ec. (4.5).

Para la simulación, la señal de entrada se consideró constante u = 1. Las condiciones inicialesdel sistema singular no lineal fueron; x1(0) = 0.72, x2(0) = −0.04 y x3(0) = 0, mientras quelas condiciones iniciales de los estados estimados del observador fueron: x1(0) = 0.7, x2(0) =−0.05 y x3(0) = 0.03.

En esta simulación suponemos que el parámetro ρ varía de acuerdo a la trayectoria mostradaen la Fig. 4.2.

bLos archivos correspondientes a esta simulación se encuentran ubicados en el directorio:D:MATLAB\OC\numerico \sim_num_OC, del disco adjunto.

53


0 20 40 60 80 1000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Tiempo

Fig. 4.2. Simulación 1. Variación de parámetro ρ.

Utilizando las funciones de ponderación de la Ec. (4.4) se obtuvieron las gráficas de la Fig.4.3.

0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo

ε1ε2

Fig. 4.3. Simulación 1. Funciones de ponderación.

Los resultados de la simulación se muestran en la Fig. 4.4, en la cual se comparan los estadosdel sistema singular no lineal y los estados estimados por el observador. Se puede apreciar quela variación del parámetro ρ influye en el comportamiento de los estados del sistema no lineal.

0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1

x1

0 20 40 60 80 100−0.0475

−0.047

−0.0465

−0.046

−0.0455

−0.045

Tiempo

x2

x2

(a) (b)

54


0 20 40 60 80 100

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3

x3

(c)

Fig. 4.4. Simulación 1. Estimación del observador de orden completo.

En general, la estimación de los estados x1 y x3 presenta un error menor al 0.001 % en estadoestable, mientras que el estado x2 presenta un desplazamiento del 0.04 % con respecto alestado del sistema no lineal.

0 2 4 6 8 10−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tiempo

x1 − x1

0 2 4 6 8 10

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

Tiempo

x2 − x2

0 2 4 6 8 10−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Tiempo

x3 − x3

(a) (b) (c)

Fig. 4.5. Simulación 1. Error de convergencia del observador de orden completo.

Los errores de convergencia se muestran en la Fig. 4.5, donde solo se grafican las primeras 10unidades de tiempo. En estas gráficas se pueden ver las diferencias (error) entre los valoresdel modelo simulado y los valores estimados por el observador tienden rápidamente a ceroa pesar de la continua variación del parámetro ρ, lo cual indica que los observadores fuerondiseñados de manera adecuada.

También se realizó una evaluación del observador a partir de mediciones de error, cuyosresultados se muestran en la Tabla 4.1.

55


Tabla 4.1. Simulación 1. Evaluaciones de error.

Mediciones de error x1 x2 x3Error Medio 6.595× 10−5 5.188× 10−5 −9.990× 10−5

Error Máximo 0.02 0.01 0.03Error Mínimo 1.415× 10−7 9.483× 10−6 0ITAE 0.155 0.090 0.002FIT% 99.86 99.09 98.92

Se puede notar que los valores de los errores medios se encuentran en el orden de 10−5, y queel error máximo se presenta durante la convergencia del observador a partir de las condicionesiniciales de la simulación, obteniendo un FITc en valores de alrededor de 99 %.

Simulación 2. Observador de orden completo para sistemas singulares LPV, con-siderando una variación aleatoria del parámetro variable ρ.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (4.1), utilizando el observador de orden completo (4.6)diseñado con el modelo singular LPV.

Para la simulación, la señal de entrada se consideró constante u = 1. Las condiciones inicialesdel sistema singular no lineal fueron; x1(0) = 0.72, x2(0) = −0.04 y x3(0) = 0, mientras quelas condiciones iniciales de los estados del observador fueron: x1(0) = 0.7, x2(0) = −0.05 yx3(0) = 0.03.

En esta simulación suponemos que el parámetro ρ varía de manera aleatoria como se muestraen la Fig. 4.6.

0 20 40 60 80 1000.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Tiempo


cFIT. Porcentaje correspondiente al parecido entre la señal del observador y la señal del proceso.

56


Utilizando las funciones de ponderación de la Ec. (4.4) se obtuvieron las siguientes gráficas:

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

ε1ε2


Los resultados de la simulación se muestran en la Fig. 4.8.

0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1

x1

0 20 40 60 80 100−0.0475

−0.047

−0.0465

−0.046

−0.0455

−0.045

Tiempo

x2

x2

(a) (b)

0 20 40 60 80 100−0.18

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

Tiempo

x3

x3

(c)


En las gráficas de la Fig. 4.8 se comparan los estados del sistema singular no lineal y losestados estimados por el observador. En general la estimación de los estados presenta unerror menor al 0.001 %.

57


El error de estimación entre los estados del sistema no lineal y los estados estimados por elobservador se muestran en la Fig. 4.9.

0 2 4 6 8 10−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tiempo

x1 − x1

0 2 4 6 8 10−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

Tiempo

x2 − x2

0 2 4 6 8 10−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tiempo

x3 − x3

(a) (b) (c)

Fig. 4.9. Simulación 2. Error de estimación del observador de orden completo.

Como se puede ver en las gráficas de la Fig. 4.9 el error de estimación tiende rápidamente acero a pesar de la continua variación del parámetro ρ.



Mediciones de error x1 x2 x3Error Medio 5.872× 10−5 5.202× 10−5 −9.990× 10−5

Error Máximo 0.02 0.01 0.03Error Mínimo 1.844× 10−9 1.303× 10−5 0ITAE 0.070 0.119 0.002FIT% 99.86 99.09 98.90

En la Tabla 4.2 se puede notar que el error máximo se presenta durante la convergencia delobservador a partir de las condiciones iniciales de la simulación, obteniendo un FIT en valoresde alrededor de 99 %.

58


4.2. Observador de orden reducidoConsidere el siguiente sistema singular no lineal de parámetros variables:

x1(t) = −2x1(t)2 + 0.3x3(t) + u(t)x2(t) = −3x2(t)− 0.2x1(t)

0 = 5x1(t)x2(t)ρ(t)− x3(t)

y = x2(t)

(4.9)


[0.5, 1



Las funciones de ponderación se calculan como se mostró en la sección 2.2.1, resultandoasí las mostradas en el modelo singular LPV (4.10).


Se linealiza el modelo singular no lineal (4.9) como se muestra en el Anexo A obtenien-do así el siguiente modelo singular LPV:

Ex =M∑


y = Cx

(4.10)

donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−2.7936 0 0.3−0.2 −3 0−0.1165 1.7460 −1

, B1 =

100

, ∆x1 =

0.9754−1.2× 10−4

0.0814

,ε1(ρ) = 1− ρ(t)

0.5

A2 =

−2.7604 0 0.3−0.2 −3 0−0.23 3.4505 −1

, B2 =

100

, ∆x2 =

0.9526−2× 10−5

0.1587

,ε2(ρ) = ρ(t)− 0.5

0.5y = x2

59


A continuación se evalúa la condición de rank[EC

]= n, resultando rank

[EC

]= 2, dado

que esta condición no se cumple al ser n = 3, es necesario transformar el sistema considerandouna matriz de transformación P = I3 no singular, que genera el siguiente modelo singularLPV transformado:

E0x =M∑

i=1εi(ρ(t)) (A0ix+B0iu+ ∆x0i)

y0i = C0ix

(4.11)

donde

E =[

1 0 00 1 0

], A01 =

[−2.79 0 0.3−0.2 −3 0

], B01 =

[10

], ∆x01 =

[0.97

0

],

ε1(ρ) = 1− ρ(t)0.5 , y01 =

[−0.0814

y

]

A02 =[−2.76 0 0.3−0.2 −3 0

], B02 =

[10

], ∆x02 =

[0.95

0

],

ε2(ρ) = ρ(t)− 0.50.5 , y02 =

[−0.1587

y

]

Para poder aplicar el observador de orden reducido al sistema singular LPV (4.10) es necesarioverificar las siguientes condiciones, siendo rank(E0) = 2 y n = 3:

rank[AT

0i ET0 CT

0i

ET0 0 0

]= n+ rank(E0) Ü rank

[AT

01 ET0 CT

01ET

0 0 0

]= 5,

rank[AT

02 ET0 CT

02ET

0 0 0

]= 5

rank[sE0 − A0i

C0i

]= n Ü rank

[sE0 − A01

C01

]= 3,

rank[sE0 − A02

C02

]= 3

Una vez que el sistema satisface las condiciones anteriormente mencionadas se obtienen lasganancias del observador.

60


De acuerdo con la Ec. (3.27) el observador de orden reducido para sistemas singulares LPVtiene la siguiente forma:

ω =M∑

i=1εi (ρ)

(Πiω + Liy0i +Hiu+ ∆ωi

)

x =M∑

i=1εi (ρ)

(Miω + Fiy0i

) (4.12)

El orden del observador µ está determinado por µ = n− rank(C), siendo en este caso µ = 2,lo que indica que el observador solo estimará 2 estados del sistema.

Para poder obtener las ganancias del observador, es necesario solucionar las siguientes LMIde acuerdo al procedimiento mostrado en la sección 3.2:

P = P T > 0 (4.13)

−δP λP +QTi K

T

λP +KQi −δP

< 0 (4.14)

donde K = PT y Qi = A0iMi ∀i = 1, . . . ,M.

Para solucionar las LMId (4.14) se consideró λ = 1.5 y δ = 1. Utilizando la herramientadel software MATLAB se obtienen los siguientes resultados:

P = 6.188× 108, K =[

3.26 0.23]× 108

La estabilidad del observador se determina asegurando que ξ = Πiξ sea estable, siendoΠi = TA0iMi se obtiene el siguiente resultado:

Π1 = Π2 = −1.5

con lo que se puede asegurar la convergencia de la dinámica del error de estimación a cero,ya que las ganancias Πi son estables.

dEl programa se encuentra en el disco adjunto en la dirección: D:MATLAB\OR\numerico \main_OR.

61


El resto de las ganancias del observador se muestran a continuación y se obtuvieron siguiendoel procedimiento que se mostró en la sección 3.2.

L1 =[−0.158 0.27

], H1 = 0.5277, ∆ω1 = 0.5147, M1 =

10

−0.116

, F1 =

0 −0.070 1−1 1.75

L2 =[−0.158 0.54

], H2 = 0.5275, ∆ω2 = 0.5025, M2 =

10

−0.23

, F2 =

0 −0.070 1−1 3.466

4.2.1. Resultados de simulacióne

Para evaluar el desempeño del observador de orden reducido que se presentó en la sección3.2, se realizaron dos simulaciones de acuerdo al esquema que se muestra en la Fig. 4.10. Lassimulaciones se realizaron utilizando el software MATLAB, el método de integración pararesolver las ecuaciones del observador fue el método de Euler de primero orden con un pasode integración fijo igual a 0.1 segundos.

Fig. 4.10. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden reducido.

Simulación 3. Observador de orden reducido para sistemas singulares LPV, con-siderando un incremento en el parámetro variable ρ.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (4.9), utilizando el observador de orden reducido (4.12)

eLos archivos correspondientes a esta simulación se encuentran ubicados en el directorio: D:MATLAB\OR\numerico \sim_num, del disco adjunto.

62


diseñado con el modelo singular LPV, que resultó de la linealización del sistema singular nolineal.

Para la simulación, la señal de entrada se consideró constante u = 1. Las condiciones ini-ciales del sistema singular no lineal fueron; x1(0) = 0.72, x2(0) = −0.04 y x3(0) = 0, mientrasque las condiciones iniciales de los estados estimados del observador fueron: x1(0) = 0.60 yx3(0) = −0.05.

En esta simulación suponemos que el parámetro ρ incrementa con el tiempo como se muestraen la Fig. 4.11.

0 20 40 60 80 1000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Tiempo



0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo

ε1ε2



63


0 20 40 60 80 1000.68

0.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

0.72

Tiempo

x1

x1

0 20 40 60 80 100

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3

x3

(a) (b)

Fig. 4.13. Simulación 3. Estimación del observador de orden reducido.

En las gráficas de la Fig. 4.13 se comparan los estados del sistema singular no lineal y losestados estimados por el observador. Dado que es un observador de orden reducido solo seestiman los estados no disponibles a la salida, siendo x1 y x3.

En general la estimación de los estados x1 y x3 presentan una buena estimación, aproxi-mándose al valor de los estados reales del sistema singular no lineal.

El error de convergencia entre los estados del sistema no lineal y los estados estimados porel observador se muestran en la Fig. 4.14.

0 2 4 6 8 10

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Tiempo

x1 − x1

0 2 4 6 8 10−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo

x3 − x3

(a) (b)

Fig. 4.14. Simulación 3. Error de estimación del observador de orden reducido.

Las diferencias (error) entre los valores del modelo simulado y los valores estimados por elobservador tienden rápidamente a cero a pesar de la continua variación del parámetro ρ, locual indica que los observadores fueron diseñados de manera adecuada.

64


También se realizó una evaluación del observador a partir de mediciones de error, cuyos re-sultados se muestran en la Tabla 4.3.


Mediciones de error x1 x3Error Medio 6.962× 10−4 7.190× 10−5

Error Máximo 0.117 0.058Error Mínimo 2.144× 10−7 3.119× 10−6

ITAE 0.262 0.485FIT% 99.02 98.43

Se puede notar que los valores de los errores medios son del orden de 10−5, y que el error má-ximo se presenta durante la convergencia del observador a partir de las condiciones inicialesde la simulación, obteniendo un FIT en valores de alrededor de 98 %.

Simulación 4. Observador de orden reducido para sistemas singulares LPV, con-siderando una variación aleatoria del parámetro variable ρ.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (4.9), utilizando el observador de orden reducido (4.12)diseñado con el modelo singular LPV.

Para la simulación, la señal de entrada se consideró constante u = 1. Las condiciones ini-ciales del sistema singular no lineal fueron; x1(0) = 0.72, x2(0) = −0.04 y x3(0) = 0, mientrasque las condiciones iniciales de los estados estimados del observador fueron: x1(0) = 0.60 yx3(0) = −0.05.

0 20 40 60 80 1000.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Tiempo


65


En esta simulación suponemos que el parámetro ρ varía de manera aleatoria (ver Fig. 4.15).

Utilizando las funciones de ponderación de la Ec. (4.11) se obtuvieron las siguientes grá-ficas:

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

ε1ε2


Los resultados de la simulación se muestran en la Fig. 4.17, donde se comparan los esta-dos del sistema singular no lineal y los estados estimados por el observador. En general laestimación de los estados x1 y x3 presenta un error menor al 0.001 % con respecto a los es-tados del sistema no lineal.

0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1

x1

0 20 40 60 80 100−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3

x3

(a) (b)



66


0 2 4 6 8 10

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Tiempo

x1 − x1

0 2 4 6 8 10−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tiempo

x3 − x3

(a) (b)

Fig. 4.18. Simulación 4. Error de estimación del observador de orden reducido.

En las gráficas de la Fig. 4.18 se puede apreciar que la diferencia entre el estado x1 del modelono lineal y el estado estimado x1 es menor a 8×10−5, mientras que para el estado x3 presentaligeras variaciones, pero en general convergiendo.



Mediciones de error x1 x3Error Medio 6.960× 10−4 −4.979× 10−6

Error Máximo 0.117 0.084Error Mínimo 8.211× 10−8 5.392× 10−8

ITAE 0.740 6.099FIT% 99.03 97.41

En la Tabla 4.4 puede notar que el error máximo se presenta durante la convergencia del ob-servador a partir de las condiciones iniciales de la simulación, obteniendo un FIT en valoresde alrededor de 98 %.

67


4.3. Observador de estados y ruido


x1(t) = −2x1(t)2 + 0.3x3(t) + u(t)x2(t) = −3x2(t)− 0.2x1(t)

0 = 5x1(t)x2(t)ρ(t)− x3(t)

y = x1(t) + d(t)

(4.15)


[0.5, 1





Se linealiza el modelo singular no lineal (4.15) como se muestra en el Anexo A obtenien-do así el siguiente modelo singular LPV:

Ex =M∑


y = Cx+ d

(4.16)

donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−2.7936 0 0.3−0.2 −3 0−0.1165 1.7460 −1

, B1 =

100

, ∆x1 =

0.9754−1.2× 10−4

0.0814

,ε1(ρ) = 1− ρ(t)

0.5

A2 =

−2.7604 0 0.3−0.2 −3 0−0.23 3.4505 −1

, B2 =

100

, ∆x2 =

0.9526−2× 10−5

0.1587

,ε2(ρ) = ρ(t)− 0.5

0.5

y = x1(t) + d(t)

68


A continuación se transforma el sistema singular LPV considerando un nuevo vector deestados x que consista del vector de estados original aumentado con la variable d(t), por loque se obtiene el siguiente sistema aumentado:

Ex =M∑

i=1εi(ρ(t))

(Aix+Biu+Nd+ ∆xi

)y = Cx

(4.17)

donde

E =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

, N =

0001

, ε1(ρ) = 1− ρ(t)0.5 , ε2(ρ) = ρ(t)− 0.5

0.5

A1 =

−2.79 0 0.3 0−0.2 −3 0 0−0.11 1.74 −1 0

0 0 0 −1

, B1 =

1000

, ∆x1 =

0.97

00.08

0

,

A2 =

−2.76 0 0.3 0−0.2 −3 0 0−0.23 3.45 −1 0

0 0 0 −1

, B2 =

1000

, ∆x2 =

0.95

00.15

0

,y = x1(t) + d(t)

Para poder aplicar el observador de estados y ruido al sistema singular LPV (4.16) es necesarioverificar las siguientes condiciones, siendo rank(E0) = 2 y n = 3:

rank[sE − Ai

C

]= n Ü rank

[sE − A1

C

]= 3,

rank[sE − A2

C

]= 3

rank[AT

i ET CT

ET 0 0

]= n+ rank(E) Ü rank

[AT

1 ET CT

ET 0 0

]= 5,

rank[AT

2 ET CT

ET0 0 0

]= 5

69


Una vez que el sistema cumple con estas condiciones se obtienen las ganancias del observador.De acuerdo con la Ec. (3.76) el observador de estados y ruido para el sistema singular LPV(4.16) tiene la siguiente forma:

E ˙x =M∑

i=1εi(ρ(t))


)(4.18)

Las ganancias del observador se calculan de acuerdo al procedimiento indicado en la sección3.4. En este caso las LMI que deben resolverse están dadas por la Ec. (4.19) y (4.20).

ETX = XTE ≥ 0 (4.19)

(A

Ti X − C

TQi + C

TdN

TX +XTAi −Q

Ti C +XTNCd

)< 0 (4.20)

donde Qi = KTpiX, ∀i = 1, . . . ,M.

Utilizando la herramienta del software MATLAB para resolver las LMIf (4.20), se obtuvieronlas siguientes matrices:

X =

2.21 −0.09 0 0−0.09 2.12 0 0

0 0 1.07 −0.160 0 −0.16 0

× 108

Q1 =[−2.07 −0.05 0.27 2.60

]× 108, Q2 =

[−2.05 −0.20 0.24 2.61

]× 108

La estabilidad del observador se determina asegurando que Ee = (Ai −KpiC + NCd)e seaestable; siendo Kpi = X−TQ

Ti se obtienen las siguientes matrices:

fEl programa se encuentra en el disco adjunto en la dirección: D:MATLAB\ON\numerico\main_ON.

70


Kp1 =

−0.94−0.06−15.86−105.33

, eig(A1 −Kp1C +NCd) =

−106.29−3.14−2.64−1.02

Kp2 =

−0.93−0.14−15.90−105.42


−106.38−3.20−2.49−1.07

con lo que se puede asegurar la convergencia de la dinámica del error de estimación a cero,ya que los valores propios de (Ai −KpiC +NCd) son estables.

4.3.1. Resultados de simulacióng

Para evaluar el desempeño del observador de estados y ruido que se presentó en la sección3.4, se realizaron dos simulaciones de acuerdo al esquema que se muestra en la Fig. 4.19. Lassimulaciones se realizaron utilizando el software MATLAB, el método de integración pararesolver las ecuaciones del observador fue el método de Euler de primer orden con un pasode integración fijo igual a 0.1 segundos.

Fig. 4.19. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de estados y ruido.

Simulación 5. Observador de estados y ruido para sistemas singulares LPV, con-siderando un incremento en el parámetro variable ρ.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (4.15) considerando ruido en la señal de salida, uti-

gLos archivos correspondientes a esta simulación se encuentran ubicados en el directorio:D:MATLAB\ON\numerico\sim_noise.

71


lizando el observador de estados y ruido (4.18) diseñado con el modelo singular LPV.

Para la simulación, la señal de entrada al sistema se consideró constante como u = 1. Mientrasque para el observador las señales de entrada son u(t) y el estado medido x1(t), mostrándoseen la Fig. 4.20.

0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1 + d

Fig. 4.20. Simulación 5. Estado medido x1 + d.

En la Fig. 4.20 el estado x1 del sistema presenta ciertas variaciones debido a que se le añadióuna señal de ruido de acuerdo con el diagrama de la Fig. 4.19.

Las condiciones iniciales del sistema singular no lineal fueron; x1(0) = 0.72, x2(0) = −0.04y x3(0) = 0, mientras que las condiciones iniciales de los estados estimados del observadorfueron: x1(0) = 0.71, x2(0) = −0.03 y x3(0) = −0.06.

En esta simulación suponemos que el parámetro ρ incrementa con el tiempo como se muestraen la Fig. 4.21.

0 20 40 60 80 1000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Tiempo


72



0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo

ε1ε2



0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1 + d

x1 + d

0 20 40 60 80 100−0.047

−0.0465

−0.046

−0.0455

−0.045

−0.0445

Tiempo

x2

x2

(a) (b)

0 20 40 60 80 100

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3

x3

0 20 40 60 80 100−4

−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

Tiempo

dd

(c) (d)

Fig. 4.23. Simulación 5. Estimación del observador de estados y ruido.

73


En las gráficas de la Fig. 4.23 se comparan los estados del sistema singular no lineal y elruido a su salida con los estados y ruido estimados por el observador.

El error de convergencia entre los estados del sistema no lineal y ruido de la salida conlos estados y ruido estimados por el observador se muestran en la Fig. 4.24.

0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−15

Tiempo

(x1 + d)− (x1 + d)

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−3

Tiempo

x2 − x2

(a) (b)

0 2 4 6 8 10−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo

x3 − x3

0 2 4 6 8 10

−0.01

−0.008

−0.006

−0.004

−0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Tiempo

d− d

(c) (d)

Fig. 4.24. Simulación 5. Error de convergencia del observador de estados y ruido.

En las gráficas de la Fig. 4.24 se puede ver que la diferencia entre los estados del modelono lineal y los estados estimados se presenta solo en la convergencia. En el caso de x1 elobservador presenta sobretiros en el momento de la variación del parámetro ρ, que convergenrápidamente a cero.

También se realizó una evaluación del observador a partir de mediciones de error, cuyosresultados se muestran en la Tabla 4.5, donde se puede notar que los valores de error mediose encuentran en el orden de 10−5, y el error máximo se presenta durante la convergencia,obteniendo así un FIT de alrededor de 98 %.

74



Mediciones de error x1 x2 x3 dError Medio 4.749× 10−5 3.545× 10−6 1.649× 10−4 −5.444× 10−5

Error Máximo 0.01 0.005 0.062 0.01Error Mínimo 1.699× 10−8 2.462× 10−6 2.089× 10−7 1.539× 10−7

ITAE 0 0.0863 0.649 0.142FIT% 99.92 99.49 98.38 98.26

Simulación 6. Observador de estados y ruido para sistemas singulares LPV, con-siderando una variación aleatoria del parámetro variable ρ.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (4.15) considerando ruido en la señal de salida, uti-lizando el observador de estados y ruido (4.18) diseñado con el modelo singular LPV.

Para la simulación, la señal de entrada al sistema se consideró constante como u(t) = 1.Mientras que para el observador las señales de entrada son u(t) y el estado medido x1(t),mostrándose en la Fig. 4.25.

0 20 40 60 80 1000.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1 + d

Fig. 4.25. Simulación 6. Estado medido x1 + d.

En la Fig. 4.25 el estado x1 del sistema presenta ciertas oscilaciones debido a que se le añadióuna señal de ruido de acuerdo con el diagrama de la Fig. 4.19.

Las condiciones iniciales del sistema singular no lineal fueron; x1(0) = 0.72, x2(0) = −0.04y x3(0) = 0, mientras que las condiciones iniciales de los estados estimados del observadorfueron: x1(0) = 0.71, x2(0) = −0.03 y x3(0) = −0.06.

75


En esta simulación suponemos que el parámetro ρ varía de manera aleatoria (ver Fig. 4.26).

0 20 40 60 80 1000.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Tiempo


Considerando la variación del parámetro ρ, tal como se mostró en la Fig. 4.26, y utilizandolas funciones de ponderación de la Ec. (4.17) se obtuvieron las siguientes gráficas:

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

ε1ε2



0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

Tiempo

x1 + d

x1 + d

0 20 40 60 80 100

−0.0465

−0.046

−0.0455

−0.045

−0.0445

Tiempo

x2

x2

(a) (b)

76


0 20 40 60 80 100−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3

x3

0 20 40 60 80 100−4

−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

Tiempo (min)

dd

(c) (d)


En las gráficas de la Fig. 4.28 se comparan los estados del sistema singular no lineal y elruido a su salida con los estados y ruido estimados por el observador.

El error de estimación entre los estados del sistema no lineal y ruido de la salida con losestados y ruido estimados por el observador se muestran en la Fig. 4.29.

0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−7

Tiempo

(x1 + d)− (x1 + d)

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−3

Tiempo

x2 − x2

(a) (b)

0 2 4 6 8 10

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Tiempo

x3 − x3

0 2 4 6 8 10

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

Tiempo

d− d

(c) (d)


77


En la Fig. 4.29 se puede apreciar la diferencia entre los estados del modelo no lineal y losestados estimados es mínima. En esta simulación x1 presenta ligeras variaciones manteniendoun error de −1.5× 10−7.



Mediciones de error x1 x2 x3 dError Medio 3.505× 10−5 4.006× 10−6 1.166× 10−4 −5.444× 10−5

Error Máximo 0.01 0.005 0.089 0.01Error Mínimo 5.401× 10−8 3.099× 10−7 1.132× 10−6 1.539× 10−7

ITAE 0 0.1177 6.108 0.477FIT% 99.92 99.48 97.48 98.10

Se puede notar que los valores de error medio se encuentran en el orden de 10−5, y el errormáximo se presenta durante la convergencia, obteniendo así un FIT de alrededor de 98 %.

4.4. Conclusiones

En este capítulo se presentaron las simulaciones de los observadores diseñados en el capítulo3 utilizando un sistema singular no lineal de parámetros variables numérico.

En la sección 4.1 se presentaron dos simulaciones evaluando el desempeño del observadorde orden completo de la Ec. 4.6. Una de las simulaciones fue ante variaciones suaves delparámetro ρ y entradas constantes, mientras la otra fue ante variaciones aleatorias de ρ yentradas constates.

Las ganancias del observador fueron calculadas usando el modelo singular LPV que fue pro-ducto de la linealización (véase Anexo A); este observador fue aplicado al sistema singularno lineal de la Ec.4.1 para evaluar los estados estimados.

En la sección 4.2 se presentaron dos simulaciones evaluando el desempeño del observadorde orden reducido, considerando las mismas condiciones que el observador de orden completode la sección 4.1.

78


En esta sección se mostró que cuando el sistema no cumple la condición de impulso-observabilidades posible transformar el sistema de manera que se pueda realizar la estimación de estados.

Por último en la sección 4.3 se mostró que aumentando el sistema al considerar un nue-vo vector de estados, es posible estimar de manera simultánea e independiente los estados yel ruido a la salida del sistema.

79


80

CAPÍTULO 5

Simulación de los observadores parasistemas singulares LPV. Aplicación aun intercambiador de calor.

En este capítulo se utiliza el modelo matemático de un intercambiador de calor propuestopor Szederkényi (1998), cuyas ecuaciones diferenciales fueron manipuladas con el fin de con-tar con un sistema singular LPV (ver el Anexo B.3). La validez de este modelo como unageneralización del modelo singular LPV para intercambiadores de calor no es el objetivo deesta tesis. Este modelo fue utilizado simplemente con el fin de mostrar el procedimiento dediseño de los observadores presentados en el capítulo anterior. De esta manera, se muestrapaso a paso la manera de llevar a cabo una implementación que el lector puede extrapolar acualquier otra aplicación, en particular que involucre sistemas modelados en forma singularLPV.

Este capítulo se encuentra organizado de la siguiente manera: en la sección 5.1 se presenta eldiseño, implementación y resultados de un observador de orden completo para sistemas singu-lares LPV aplicado al intercambiador de calor. En 5.2 se muestra el diseño, implementacióny resultados de un observador de orden reducido para sistemas singulares LPV aplicado alintercambiador de calor. En la sección 5.3 se presenta el diseño, implementación y resultadosde un observador de estados y ruido para sistemas singulares LPV aplicado al intercambiadorde calor. Finalmente, en la sección 5.4 se presentan algunas conclusiones.

5.1. Observador de orden completo

Considere la siguiente representación sistema singular no lineal de parámetros variables delintercambiador de calor:

81

CAPÍTULO 5. SIMULACIÓN DE LOS OBSERVADORES PARA SISTEMAS SINGULARES LPV. APLICACIÓN A UNINTERCAMBIADOR DE CALOR.

Tco(t) = vc

Vc

(Tci(t)− Tco(t)) + Q(t)cpcρcVc

Tho(t) = vh

Vh

(Thi(t)− Tho(t))−Q(t)

cphρhVh

0 = U(t)A(Tho(t)− Tci(t))− (Thi(t)− Tco(t))

ln

(Tho(t)− Tci(t)Thi(t)− Tco(t)

) −Q(t)

y(t) = Q(t)

(5.1)

donde el parámetro variable es el coeficiente de transferencia de calor (U(t)) debido a lavariación de las condiciones la superficie de transferencia de calor. Se considera que U(t)varía dentro de U(t) ∈

[1100, 1200

], siendo U = 1100W/m2oC y U = 1200W/m2oC los

límites inferior y superior respectivamente, de la variación del parámetro U(t).

En el Anexo B.4 se muestra la nomenclatura y los valores asignados a cada uno de losparámetros del intercambiador. De ahora en adelante se omitirá el término (t) para simpli-ficar la notación.


εi(U) = ϕdiag

[ 1δ1,

1δ2, . . . ,

1δk

]. diagα(i) . [f(α(i), U, U)− U ]

(5.2)


α(1) = 1 f(α(1), U, U) = U δ1 = U − Uα(2) = −1 f(α(2), U, U) = U

(5.3)

con las que se obtienen las siguientes funciones de ponderación para el sistema singular LPV:

ε1(U) = U − U(t)U − U

= 1200− U(t)100

ε2(U) = U(t)− UU − U

= U(t)− 1100100

(5.4)

Los puntos de linealización son determinados al evaluar el sistema singular no lineal (5.1)en cada uno de los límites del parámetro variable, obteniendo así M = 2k modelos localessingulares LPV, dado que solo hay 1 parámetro variable k = 1, haciendo que M = 2.

82


Se linealiza el modelo singular no lineal (5.1) como se muestra en el Anexo (B.3) obteniendoasí el siguiente modelo singular LPV del intercambiador de calor:

Ex =M∑

i=1εi(U) (Aix+Biu+ ∆xi)

y = Cx

(5.5)

donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−0.037 0 0.0010 −1.289 −0.015

−9.355 6.448 −1

, B1 =

0.037 00 1.289

−6.448 9.355

,

∆x1 =

00

5.203

× 10−4 ε1(U) = 1200− U(t)100

A2 =

−0.037 0 0.0010 −1.289 −0.015

−10.397 6.927 −1

, B2 =

0.037 00 1.289

−6.937 10.397

,

∆x2 =

00

3.325

× 10−4 ε2(U) = U(t)− 1100100

y = Q(t)

Para poder aplicar el observador de orden completo al sistema singular LPV (5.5) es necesarioverificar las siguientes suposiciones:

(A1) rank (E) = r < n Ü rank (E) = 2 < 3

(A2) rank[EC

]= n Ü rank

[EC

]= 3

Una vez que el sistema satisface la condición A2 se determinan las matrices a, b, c y

d mediante la descomposición en valores singulares de[EC

]obteniendo así las siguientes

matrices:

a =

1 0 00 1 00 0 0

, b =

001

, c =[

0 0 −1], d = 0

83


Según el procedimiento descrito en la sección 3.4, el observador de orden completo parasistemas singulares LPV tiene la siguiente forma, de acuerdo con la Ec. (3.76):

z(t) =M∑

i=1εi(U)

(Niz(t) + L1iy(t) +G1iu(t) + L2iy(t) + ∆zi

)x(t) = z(t) + by(t) +Kdy(t)

(5.6)

De acuerdo con el Teorema 1 de la sección 2.3.2, para poder obtener las ganancias del obser-vador es necesario solucionar las siguientes LMI:

P = P T > 0 (5.7)

(−δP λP +W T

i

λP +Wi −δP

)< 0 (5.8)

donde Wi = PaAi +QcAi −RiC ∀i = 1, . . . ,M.

Utilizando la herramienta del software MATLAB se solucionaron las LMIa (5.8) considerandoλ = 1 y δ = 5, permitiendo así obtener las matrices que se muestran a continuación:

P =

6.34 0.03 00.03 6.39 0

0 0 6.41

, Q =

−0.42−0.08

0

, R1 = R2 =

−0.41−0.196.41

La estabilidad del observador se determina asegurando que e = Nie sea estable, siendoNi = KcAi + aAi − L2iC. De esta forma se obtienen las siguientes matrices:

N1 =

−0.66 0.43 0−0.12 −1.20 0

0 0 −1

, eig(N1) =

−0.79−1.06−1

N2 =

−0.73 0.46 0−0.14 −1.19 0

0 0 −1

, eig(N2) =

−0.96 + 0.10i−0.96− 0.10i

−1

aEl programa se encuentra en el disco adjunto en el directorio:

D:MATLAB\OC\intercambiador\main_OC.

84


con lo que se puede asegurar la convergencia de la dinámica del error de estimación a cero,ya que los valores propios de las matrices Ni son estables.

El resto de las ganancias del observador se muestran a continuación y se obtuvieron siguiendoel procedimiento que se mostró en la sección2.3.2.

L11 = L12 =

00−1

, G11 =

−0.39 0.62−0.08 1.41

0 0

, G12 =

−0.42 0.69−0.09 1.43

0 0

, L21 = L22 =

−0.06−0.02

1

,

∆z1 =

0.340.07

0

× 10−4, ∆z2 =

0.220.04

0

× 10−4, K =

−0.06−0.01

0

5.1.1. Resultados de simulaciónb

Para evaluar el desempeño del observador de orden completo propuesto por Astorga y col.(2011) que se presentó en la sección 2.3.2, se realizó una simulación de acuerdo al esquemaque se muestra en la Fig. 5.1. La simulación se realizó utilizando el software MATLAB, elmétodo de integración para resolver las ecuaciones del observador fue el método de Euler deprimer orden con un paso de integración fijo igual a 0.1 segundos.

Fig. 5.1. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden completo.

bLos archivos correspondientes a esta simulación se encuentran ubicados en el directorio:D:MATLAB\OC\intercambiador\OC_1, del disco adjunto.

85


Simulación 7. Observador de orden completo, considerando variaciones en elparámetro U y variaciones de la entrada Tci.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (5.1), utilizando el observador de orden completo (5.6)diseñado con el modelo singular LPV dado por la Ec. (5.5), que resultó de la linealizacióndel sistema singular no lineal de la Ec. (5.1).

Para la simulación, las señales de entrada son la temperatura de entrada del lado frío yla temperatura de entrada del lado caliente, siendo esta última constante a Thi = 60oC.

Las condiciones iniciales del sistema singular no lineal fueron; Tco(0) = 44oC, Tho(0) = 55oCy Q(0) = 300W , mientras que las condiciones iniciales de los estados estimados del obser-vador fueron: Tco(0) = 40oC, Tho = 53oC y Q(0) = 310W .

La temperatura de entrada del lado frío (Tci) se propone de manera que vaya incremen-tando en el tiempo, Fig. 5.2.

0 20 40 60 80 100 12029

30

31

32

33

34

35

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Fig. 5.2. Simulación 7. Temperatura de entrada del lado frío, Tci.

En esta simulación suponemos que el parámetro variable U disminuye con el tiempo (verFig. 5.3). Esta variación, en un intercambiador de calor podría deberse por ejemplo a laacumulación de impurezas en los tubos del intercambiador.


86


0 20 40 60 80 100 120

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Tiempo (min)W

/m2 ºC

Fig. 5.3. Simulación 7. Variación del parámetro variable U(t).

0 20 40 60 80 100 120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (min)

ε1ε2


Los resultados de la simulación se muestran en la Fig.5.5.

0 20 40 60 80 100 12043

44

45

46

47

48

49

50

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco

Tco

0 20 40 60 80 100 12054

54.5

55

55.5

56

56.5

57

57.5

58

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho

Tho

(a) (b)

87


0 20 40 60 80 100 120260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q

Q

(c)


En las gráficas de la Fig. 5.5(a) se muestra la temperatura del lado fío Tco y su valor estima-do por el observador. En la Fig. 5.5(b) se muestra la temperatura del lado caliente Tho y suestimación por el observador. Finalmente en la Fig. 5.5(c) se muestra el Calor transferido Q,así como su valor estimado por el observador.

En general la estimación de los estados estimados convergen después de 10 seg. a los es-tados del sistema, lo que indica un diseño adecuado del observador.

El error de convergencia entre los estados del sistema singular no lineal del intercambia-dor de calor y los estados estimados por el observador se muestran en la Fig. 5.6.

0 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco − Tco

0 1 2 3 4 5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho − Tho

0 1 2 3 4 5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q− Q

(a) (b) (c)

Fig. 5.6. Simulación 7. Error de convergencia del observador de orden completo.

Como se puede apreciar en las gráficas de la Fig. 5.6 las diferencias entre los valores delmodelo y los valores estimados tienden rápidamente a cero a pesar de la continua variacióndel parámetro U .

88


En las gráficas de la Fig. 5.7 se muestran los errores que se presentan en el transitorio debidoa un cambio en la entrada del sistema. En este caso Tci pasa de 30oC Ý 32oC en t = 33.3 miny en t = 66.6 min Tci pasa de 32oC Ý 34oC, como se mostró en la Fig. 5.2.

20 40 60 80 100−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco − Tco

20 40 60 80 100−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho − Tho

20 40 60 80 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q− Q

(a) (b) (c)

Fig. 5.7. Simulación 7. Error en el transitorio.

En la Fig. 5.7 se puede notar que las temperaturas Tco y Tho presentan ligeros sobretiros enel transitorio, que son instantáneos.



Mediciones de error Tco (oC) Tho (oC) Q (W )Error Medio 11× 10−3 0.202× 10−3 −1× 10−3

Error Máximo 4 2 10Error Mínimo 7.984× 10−8 3.047× 10−7 0ITAE 1.352× 105 1026 9FIT% 99.90 99.97 99.97

Se puede notar que los valores de los errores medios se encuentran en el orden de 10−3 y queel error máximo se presenta durante la convergencia del observador, obteniendo así un FITen valores de alrededor de 99 %.

89


5.2. Observador de orden reducido


Tco(t) = vc

Vc


Tho(t) = vh

Vh


cphρhVh


ln


) −Q(t)

y(t) = Tho(t)

(5.9)

donde el parámetro variable es el coeficiente de transferencia de calor (U(t)) debido a lavariación de las condiciones la superficie de transferencia de calor. Se considera que U(t)varía dentro de U(t) ∈

[1100, 1200


límites inferior y superior respectivamente, de la variación del parámetro U(t).

En el Anexo B.4 se muestra la nomenclatura y los valores asignados a cada uno de losparámetros del intercambiador. De ahora en adelante se omitirá el término (t) para simpli-ficar la notación.



Se linealiza el modelo singular no lineal (5.1) como se muestra en el Anexo (B.3) obteniendoasí el siguiente modelo singular LPV del intercambiador de calor:

Ex =M∑

i=1εi(U(t)) (Aix+Biu+ ∆xi)

y = Cx

(5.10)

90


donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−0.037 0 0.0010 −1.289 −0.015

−9.355 6.448 −1

, B1 =

0.037 00 1.289

−6.448 9.355

,

∆x1 =

00

5.203

× 10−4, ε1(U) = 1200− U(t)100

A2 =

−0.037 0 0.0010 −1.289 −0.015

−10.397 6.927 −1

, B2 =

0.037 00 1.289

−6.937 10.397

,

∆x2 =

00

3.325

× 10−4, ε2(U) = U(t)− 1100100

y(t) = Tho(t)

A continuación se evalúa la condición de rank[EC

]= n, resultando rank

[EC

]= 2, dado

que esta condición no se cumple al ser n = 3, es necesario transformar el sistema considerandouna matriz de transformación P = I3 no singular, que general el siguiente modelo singularLPV transformado:

E0x =M∑

i=1εi(U(t)) (A0ix+B0iu+ ∆x0i)

y0i = C0ix

(5.11)

donde

E0 =[

1 0 00 1 0

], A01 =

[−0.03 0 0

0 −1.28 −0.01

], B01 =

[0.03 0

0 1.28

],

y01 =[

6.44Tci(t)− 9.35Thi(t)− 5.20× 10−4

y(t)

], ε1(U) = 1200− U(t)

100

A02 =[−0.03 0 0

0 −1.28 −0.01

], B02 =

[0.03 0

0 1.28

],

y02 =[

6.93Tci(t)− 10.39Thi(t)− 3.32× 10−4

y(t)

], ε2(U) = U(t)− 1100

100

91


Para poder aplicar el observador de orden reducido al sistema singular LPV (5.10) es necesarioverificar las siguientes condiciones (de acuerdo al procedimiento planteado en la sección 3.2),siendo rank(E0) = 2 y n = 3:

rank[AT

0i ET0 CT

0i

ET0 0 0


[AT

01 ET0 CT

01ET

0 0 0

]= 5,

rank[AT

02 ET0 CT

02ET

0 0 0

]= 5

rank[sE0 − A0i

C0i

]= n Ü rank

[sE0 − A01

C01

]= 3,

rank[sE0 − A02

C02

]= 3

Una vez que el sistema satisface las condiciones anteriormente mencionadas se obtienen lasganancias del observador.

De acuerdo a lo expuesto en la sección 3.2 el observador de orden reducido para sistemassingulares LPV tiene la siguiente forma, de acuerdo con la Ec. 3.27.

ω =M∑

i=1εi (U) (Πiω + Liy0i +Hiu+ ∆ωi)

x =M∑

i=1εi (U) (Miω + Fiy0i)

(5.12)

El orden del observador µ está determinado por µ = n− rank(C), siendo en este caso µ = 2,lo que indica que el observador solo estimará 2 estados del sistema.

El problema es ahora calcular las ganancias del observador Πi, Li, Hi, ∆ωi, Mi y Fi,que garanticen la convergencia del observador (5.12).

De acuerdo con el Teorema 2 de la sección 3.2, para poder obtener las ganancias del ob-servador es necesario solucionar las siguientes LMI:

P = P T > 0 (5.13)

92


−δP λP +QTi K

Ti

λP +KiQi −δP

< 0 (5.14)

donde Qi = A0iMi, y Ki = PTi ∀i = 1, . . . ,M.

Para solucionar las LMIc (5.14) se consideró λ = −0.1 y δ = 3. Utilizando la herramien-ta del software MATLAB se obtuvieron las siguientes matrices:

P = 0.69, K =[

1.88 0.21]

(5.15)

La estabilidad del observador se determina asegurando que ξ = Πiξ sea estable, siendoΠi = TA0iMi se obtiene el siguiente resultado:

Π1 = Π2 = −0.1

con lo que se puede asegurar la convergencia de la dinámica del error de estimación a cero,ya que las ganancias Πi son estables.

El resto de las ganancias del observador se muestran a continuación y se obtuvieron si-guiendo el procedimiento que se mostró en la sección 3.2.

L1 = L2 =[

0 −0.384], H1 = H2 =

[0.1 0.395

], ∆ω1 = 2.34× 10−18, ∆ω2 = 1.50× 10−18,

M1 =

10

−9.35

, M2 =

10

−10.39

, F1 =

0 −0.110 1−1 7.51

, F2 =

0 −0.110 1−1 8.10

5.2.1. Resultados de simulaciónd

Para evaluar el desempeño del observador de orden reducido que se presentó en la sección 3.2,se realizó una simulación de acuerdo al esquema que se muestra en la Fig. 5.8. La simulación se

cEl programa se encuentra en el disco adjunto en el directorio:D:MATLAB\OR\intercambiador\main_OR.

dLos archivos correspondientes a esta simulación se encuentran ubicados en el directorio:D:MATLAB\OR\intercambiador \OR_1, del disco adjunto.

93


realizó utilizando el software MATLAB, el método de integración para resolver las ecuacionesdel observador fue el método de Euler de primer orden con un paso de integración fijo iguala 0.1 segundos.

Fig. 5.8. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de orden reducido.

Simulación 8. Simulación del observador de orden reducido para sistemas sin-gulares LPV, considerando variaciones en el parámetro U y variaciones de laentrada Tci.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (5.9), utilizando el observador de orden reducido (5.12)diseñado con el modelo singular LPV, que resulto de la linealización del sistema singular nolineal dado por la Ec. (5.9).

Para la simulación, las señales de entrada son la temperatura de entrada del lado frío Tci

y la temperatura de entrada del lado caliente Thi, siendo esta última constante a Thi = 60oC.Las condiciones iniciales del sistema singular no lineal fueron; Tco(0) = 44oC, Tho(0) = 55oCy Q(0) = 300W , mientras que las condiciones iniciales de los estados estimados del obser-vador fueron: Tco(0) = 46.75oC y Q(0) = 310.63W .

La temperatura de entrada del lado frío se propone de manera que vaya incrementandoen el tiempo, Fig. 5.9.

94


0 20 40 60 80 100 12029

30

31

32

33

34

35

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Fig. 5.9. Simulación 8. Temperatura de entrada del lado frío, Tci(t).

En esta simulación suponemos que el parámetro variable U(t) disminuye con el tiempo (verFig. 5.10).

0 20 40 60 80 100 120

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Tiempo (min)

W/m

2 ºC

Fig. 5.10. Simulación 8. Variación de U(t).

Esta variación, en un intercambiador de calor podría deberse por ejemplo a la acumulaciónde impurezas en los tubos del intercambiador.

Considerando la variación del parámetro U(t), tal como se mostró en la Fig. 5.10, y uti-lizando las funciones de ponderación de la Ec. (5.11) se obtuvieron las gráficas de la Fig.5.11.

0 20 40 60 80 100 120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (min)

ε1ε2


95


Los resultados de la simulación se muestran en la Fig.5.12.

0 20 40 60 80 100 12043

44

45

46

47

48

49

50

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco

Tco

0 20 40 60 80 100 120260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q

Q

(a) (b)


En las gráficas de la Fig. 5.12 se comparan los estados del sistema singular no lineal y losestados estimados por el observador. En general la estimación de Tco presenta un error menora 0.005 oC, mientras Q presenta un error menor a 0.05 W .

El error de convergencia entre los estados del sistema no lineal y los estadas estimados porel observador se muestra en la Fig. 5.13.

0 1 2 3 4 5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco − Tco

0 1 2 3 4 5−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q− Q

(a) (b)

Fig. 5.13. Simulación 8. Error de convergencia del observador de orden reducido.

Como se puede ver en las gráficas de la Fig. 5.13 las diferencias entre los valores del modelosimulado y los valores estimados por el observador tienden en menos de 2 min a cero a pesarde la continua variación del parámetro U(t).

96


En las gráficas de la Fig. 5.14 se muestran los errores que se presentan en el transitoriodebido a un cambio en la entrada del sistema. En este caso Tci pasa de 30oC Ý 32oC ent = 33.3 min y en t = 66.6 min Tci pasa de 32oC Ý 34oC, como se mostró en la Fig. 5.9.

20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco − Tco

20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

−5

0

5

10

15

20

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q− Q

(a) (b)


En la Fig. 5.14(a) se aprecia que el estado estimado Tco presenta un sobretiro menor a 0.5oCdurante un cambio en la entrada, mientras que en la Fig. 5.14(b) el estado estimado Q pre-senta sobretiros menores a 15W .



Mediciones de error Tco (oC) Q (W )Error Medio −0.011 0.234Error Máximo 2.77 28.291Error Mínimo 1.342× 10−12 5.117× 10−7

ITAE 1.385× 105 2.094× 106

FIT% 99.74 99.57

Se puede notar que los valores de los errores medios se encuentran en valores de 0.01oC y0.3W , y que el error máximo se presenta durante la convergencia del observador a partir delas condiciones iniciales de la simulación obteniendo un FIT en valores de alrededor de 99 %.

97


5.3. Observador de estados y ruido


Tco(t) = vc

Vc


Tho(t) = vh

Vh


cphρhVh


ln


) −Q(t)

y(t) = Tho(t) + d(t)

(5.16)

donde el parámetro variable es el coeficiente de transferencia de calor U(t) debido a lavariación de las condiciones la superficie de transferencia de calor. Se considera que U(t)varía dentro de U(t) ∈

[1100, 1200


límites inferior y superior respectivamente. En el Anexo B.4 se muestra la nomenclatura ylos valores asignados a cada uno de los parámetros del intercambiador. De ahora en adelantese omitirá el término (t) para simplificar la notación.



Se linealiza el modelo singular no lineal (5.16) como se muestra en el Anexo (B.3) obte-niendo así el siguiente modelo singular LPV del intercambiador de calor:

Ex =M∑

i=1εi(U(t)) (Aix+Biu+ ∆xi)

y = Cx+ d

(5.17)

98


donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−0.037 0 0.0010 −1.289 −0.015

−9.355 6.448 −1

, B1 =

0.037 00 1.289

−6.448 9.355

,

∆x1 =

00

5.203

× 10−4, ε1(U) = 1200− U(t)100

A2 =

−0.037 0 0.0010 −1.289 −0.015

−10.397 6.927 −1

, B2 =

0.037 00 1.289

−6.937 10.397

,

∆x2 =

00

3.325

× 10−4, ε2(U) = U(t)− 1100100

y = Tco + d

A continuación se transforma el sistema singular LPV considerando un nuevo vector deestados x que consta del vector de estados original aumentado con la variable d(t), por loque se obtiene el siguiente sistema aumentado:

Ex =M∑

i=1εi(U(t))

(Aix+Biu+Nd+ ∆xi

)y = Cx

(5.18)

donde

E =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

, N =

0001

, ε1(U) = 1200− U(t)100 ε2(U) = U(t)− 1100

100

A1 =

−0.03 0 0 0

0 −1.28 −0.01 0−9.35 6.44 −1 0

0 0 0 −1

, B1 =

0.03 0

0 1.28−6.44 9.35

0 0

, ∆x1 =

00

0.520

× 10−3,

A2 =

−0.03 0 0 0

0 −1.28 −0.01 0−10.39 6.92 −1 0

0 0 0 −1

, B2 =

0.03 0

0 1.28−6.93 10.39

0 0

, ∆x2 =

00

0.330

× 10−3,

y(t) = Tco(t) + d(t)

99


De acuerdo al procedimiento descrito en la sección 3.4 para poder aplicar el observador deorden reducido al sistema singular LPV (5.17) es necesario verificar las siguientes condiciones,siendo rank(E0) = 2 y n = 3:

rank[AT

0i ET0 CT

0i

ET0 0 0


[AT

01 ET0 CT

01ET

0 0 0

]= 5,

rank[AT

02 ET0 CT

02ET

0 0 0

]= 5

rank[sE0 − A0i

C0i

]= n Ü rank

[sE0 − A01

C01

]= 3,

rank[sE0 − A02

C02

]= 3

Una vez que el sistema satisfacen las condiciones, y de acuerdo con lo expuesto en la sección3.4 se deduce que existe un observador de la forma dada por la siguiente ecuación:

E ˙x =M∑

i=1εi(U(t))


)(5.19)

De acuerdo con el Teorema 6, las ganancias del observador se calculan de acuerdo al proce-dimiento indicado en la sección 3.4. En este caso las LMI que se deben resolver están dadaspor las Ec. (5.20) y (5.21).

ETX = XTE ≥ 0 (5.20)

(A

Ti X − C

TQi + C

TdN

TX +XTAi −Q

Ti C +XTNCd

)< 0 (5.21)

donde Qi = KTpiX ∀i = 1, . . . ,M.

Utilizando la herramienta del software MATLAB para resolver las LMIe (5.21), se obtu-vieron las siguientes matrices:

eEl programa se encuentra en el disco adjunto en la dirección: D:MATLAB\ON\intercambiador\main_ON.

100


X =

6.34 −0.23 0 0−0.23 2.32 0 0

0 0 0.03 −0.310 0 −0.31 0

Q1 =[

1.847 −0.644 −0.018 2.15]×108, Q2 =

[1.939 −0.721 −0.033 2.197

]×108

La estabilidad del observador se determina asegurando que Ee = (Ai −KpiC + NCd)e seaestable; siendo Kpi = X−TQ

Ti se obtienen las siguientes matrices:

Kp1 =

0.28−0.24−6.83−0.76


−0.51−0.07

−1.13 + 0.28i−1.13− 0.28i

Kp2 =

0.29−0.28−6.98−0.73


−0.47−0.08

−1.13 + 0.3i−1.13− 0.3i

con lo que se puede asegurar la convergencia de la dinámica del error de estimación a cero,ya que los valores propios de (Ai −KpiC +NCd) son estables.

5.3.1. Resultados de simulaciónf

Para evaluar el desempeño del observador de estados y ruido que se presentó en la sección3.4, se realizó una simulación de acuerdo al esquema que se muestra en la Fig. 5.15.

La simulación se realizó utilizando el software MATLAB, el método de integración pararesolver las ecuaciones del observador fue el método de Euler de primer orden con un pasode integración fijo igual a 0.1 segundos.

fLos archivos correspondientes a esta simulación se encuentran ubicados en el directorio:D:MATLAB\ON\intercambiador \ON_1, del disco adjunto.

101


Fig. 5.15. Diagrama de bloques para las simulaciones del observador de estados y ruido.

Simulación 9. Simulación del observador de estados y ruido, considerando varia-ciones en el parámetro U y variaciones de la entrada Tci.

Objetivo. El objetivo de esta simulación es verificar el desempeño de la estimación de losestados del sistema singular no lineal (5.16) considerando ruido en la señal de salida, uti-lizando el observador de estados y ruido (5.19) diseñado con el modelo singular LPV dadopor la Ec. (5.17).

Para la simulación, las señales de entrada son la temperatura de entrada del lado frío Tci

y la temperatura de entrada del lado caliente Thi, siendo esta última constante a Thi = 60oC.Las condiciones iniciales del sistema singular no lineal fueron: Tco(0) = 44oC, Tho(0) = 55oCy Q(0) = 300W , mientras que las condiciones iniciales de los estados estimados del obser-vador fueron: Tco(0) = 44.3oC, Tho(0) = 54oC y Q(0) = 332.3W .

La temperatura de entrada del lado frío se propone de manera que vaya incrementandoen el tiempo, Fig.5.16.

0 20 40 60 80 100 12029

30

31

32

33

34

35

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Fig. 5.16. Simulación 9. Temperatura de entrada del lado frío, Tci(t).

102


En la Fig. 5.17 se pueden notar ciertas oscilaciones en la medición de la temperatura de salidaTco esto se puede deber al ruido de medición que se puede generar a partir del sensor querealiza la lectura de la temperatura.

0 20 40 60 80 100 12044

44.5

45

45.5

46

46.5

47

47.5

48

48.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Fig. 5.17. Simulación 9. Temperatura medida Tco(t) + d(t).

En esta simulación suponemos que el parámetro variable U(t) disminuye con el tiempo comose muestra en la Fig.5.18.

0 20 40 60 80 100 120

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Tiempo (min)

W/m

2 ºC

Fig. 5.18. Simulación 9. Variación del parámetro variable U(t).

Esta variación, en un intercambiador de calor podría deberse por ejemplo a la acumulaciónde impurezas en los tubos del intercambiador.

Considerando la variación del parámetro U(t), tal como se mostró en la Fig. 5.18, y uti-lizando las funciones de ponderación de la Ec. (5.18) se obtuvieron las gráficas de la Fig.5.19.

103


0 20 40 60 80 100 120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (min)

ε1ε2


Los resultados de la simulación se muestran el la Fig. 5.20.

0 20 40 60 80 100 12043

44

45

46

47

48

49

50

51

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco

Tco + d

0 20 40 60 80 100 12055

55.5

56

56.5

57

57.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho

Tho

(a) (b)

0 20 40 60 80 100 120260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q

Q

0 20 40 60 80 100 120−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

dd

(c) (d)


En las gráficas de la Fig. 5.20 se comparan los estados del sistema singular no lineal y losestados estimados por el observador. En general la estimación de los estados y de la señal deruido a la salida del sistema es estimada con un mínimo error, lo cual indica que el observadorha sido diseñado de manera apropiada.

104



0 1 2 3 4 5−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco − Tco

0 1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho − Tho

(a) (b)

0 1 2 3 4 5−40

−30

−20

−10

0

10

20

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q− Q

0 1 2 3 4 5−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

d− d

(c) (d)


En las gráficas de la Fig. 5.21 se puede apreciar que la diferencia entre los estados del mo-delo no lineal y los estados estimados es casi nula. En esta simulación Tco en la Fig. 5.21(a)presenta un desplazamiento constante de 0.01oC, mientras que la estimación del ruido d enla Fig. 5.21(d) presenta un error constante de −0.01oC.

20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco − Tco

20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho − Tho

(a) (b)

105


20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

−5

0

5

10

15

20

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

Q− Q

20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

d− d

(c) (d)


En las gráficas de la Fig. 5.22 se muestran los errores que se presentan en el transitorio debidoa un cambio en la entrada del sistema. En este caso Tci pasa de 30oC Ý 32oC en t = 33.3 miny en t = 66.6 min Tci pasa de 32oC Ý 34oC, como se mostró en la Fig. 5.16.

En la Fig. 5.22(a) se aprecia que los estados estimados Tco presentan sobretiros de valoresmenores a 0.05oC, en general el error de estimación converge. El mismo caso se presentapara Tco con sobretiros de 0.05oC durante los transitorios. En la Fig. 5.22(c) los sobretirosse encuentran en el orden de 15W , convergiendo a cero. Igualmente para el caso de la Fig.5.22(d) con sobretiros de menos de 0.05oC.



Mediciones de error Tco Tho Q dError Medio 3× 10−3 −1.813× 10−3 75× 10−3 −3× 10−3

Error Máximo 0.011 1 32.309 0.011Error Mínimo 0 7.667× 10−9 2.438× 10−7 1.276× 10−15

ITAE 1002 1.118× 104 9.172× 105 4.589× 104

FIT% 99.98 99.98 99.92 98.72

Se puede notar que los valores de los errores se encuentran en el orden de 10−3, y que el errormáximo se presenta durante la convergencia del observador, obteniendo un FIT en valoresde alrededor de 99 %.

106


5.4. ConclusionesEn este capítulo se mostró la manera de poder extrapolar los observadores propuestos a unaaplicación, de manera que se puedan estimar los estados del sistema.

En este capítulo se presentaron las simulaciones de los observadores para sistemas singu-lares LPV del capítulo 3, utilizando el modelo singular LPV propuesto del intercambiadorde calor (ver Anexo B.3).

En la sección 5.1 se implementó el observador de orden completo presentado en la sección2.3.2 del capítulo 2 propuesto por Astorga y col. (2011) mediante una simulación, en la quese hizo variar el parámetro variable U(t) y la entrada Tci.

Las ganancias del observador fueron calculadas usando un modelo singular LPV que représen-ta un intercambiador de calor; este observador fue aplicado al sistema no lineal de un inter-cambiador de calor para evaluar su desempeño.

En la sección 5.2 evaluó el observador de orden reducido presentado en la sección 3.2 delcapítulo 3 considerando como salida Tho y se demostró que cuando el sistema no cumple lacondición de impulso-observabilidad es posible realizar una transformación, de manera quese puede realizar la estimación de los estados.

Por último en la sección 5.3 se mostró que aumentando el sistema al considerar un nue-vo vector de estados, es posible estimar de manera simultánea e independiente los estadosy el ruido a la salida del sistema mediante el observador presentado en la sección 3.4 delcapítulo 3.

107


108

CAPÍTULO 6

Conclusiones generales

En este tema de tesis se realizó la extensión de dos observadores para sistemas singularespropuestos por Darouach y Boutayeb (1995) y Gao y Ho (2006) a observadores para sistemassingulares LPV.

Usualmente la representación singular es obtenida de manera natural en el proceso de mode-lado del sistema, y la forma LPV politópica permite representar un modelo con parámetrosvariables, mediante modelos locales lineales y el uso de funciones de ponderación para indicarla presencia de cada uno de los modelos lineales, con la finalidad de aproximarse al compor-tamiento del modelo no lineal.

Una razón para utilizar modelos LPV, es que este tipo de sistemas pueden expresar sis-temas no lineales representando las no linealidades mediante el uso de parámetros variables,o linealizandolos como se mostró en el Anexo A, pudiéndose tratar así como sistemas lineales.

En la sección 2.3.2 se mostró el observador de orden completo para sistemas singulares LPVpropuesto por Astorga y col. (2011), donde el diseño se restringe solo a sistemas que cumplanla condición de impulso-observabilidada.

Esta condición debe cumplirse ya que a partir de ella se realiza la descomposición en valores

singulares de las matrices[EC

], de manera que permite la obtención de las ganancias del

observador asegurando así la convergencia de los estados estimados al sistema; este obser-vador puede ser aplicado tanto a sistemas rectangulares como a sistemas cuadrados.

En cuanto al procedimiento de implementación, el observador de orden completo para sis-temas singulares LPV desarrollado por Astorga y col. (2011) presenta ciertos inconvenientesen cuanto a la sintonización del observador, ya que se requiere ubicar una región de solución

aimpulso-observabilidad. rank[EC

]= n, siendo n la dimensión del vector de estados.

109

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES GENERALES

de las LMI adecuada que permita que el error de estimación tienda a cero.

Uno de los observadores al que se le realizó la extensión a observador para sistemas sin-gulares LPV fue el observador de orden reducido propuesto por Darouach y Boutayeb (1995).

El observador de orden reducido para sistemas singulares LPV diseñado, utiliza la estructurade un observador de Luenberger, donde la dimensión de los estados del observador, determi-nan el orden del observador. Siendo en este caso µ = n − rank(C) por lo que el observadorestima los estados no disponibles a la salida.

Para poder aplicar el observador de orden reducido a algún sistema singular LPV es necesarioevaluar la condición de impulso-observabilidad, donde si el sistema no la cumple puede trans-formarse separando la parte dinámica de la estática, formando así un modelo transformadoque cumpla la condición de impulso-observabilidad.

Para determinar la convergencia y estabilidad del observador se utilizaron funciones de Lya-punov y la solución de regiones LMI, brindando así fiabilidad al diseño del observador. Apesar de ello, el proceso de sintonización del observador requiere ubicar la región de soluciónde las LMI de manera adecuada, con la finalidad de que el error de estimación converja, locual complicando un poco la obtención de las ganancias del observador.

En la sección 4.2 se muestran dos simulaciones del observador de orden reducido en unsistema numérico, donde se hace variar el parámetro variable se manera suave en una de lassimulaciones y de manera aleatoria en otra. También en la sección 5.2 se aplicó este obser-vador a un modelo singular LPV que representa un intercambiador de calor, donde se hizovariar la entrada y el parámetro variable simultáneamente.

El otro observador al que se le realizó la extensión fue el propuesto por Gao y Ho (2006) aobservador de estados y ruido para sistemas singulares LPV.

El observador de estados y ruido para sistemas singulares LPV, utiliza la estructura deun observador tipo singular, donde una ganancia pondera el error de estimación. En el diseñodel observador se transforma el sistema al proponer un nuevo vector de estados, conformadopor el vector de estados original más el vector de ruido a la salida del sistema. De maneraque este nuevo sistema aumentado permite separar el ruido del estado en el proceso de laestimación.

Para poder aplicar el observador de estados y ruido a algún sistema singular LPV es necesarioque cumpla las condiciones de impulso-observabilidad y detectabilidad.

110


La convergencia y estabilidad del observador de estados y ruido para sistemas singularesLPV fue demostrada mediante el uso de funciones de Lyapunov.

En cuanto a implementación del observador de estados y ruido para sistemas singularesLPV es sencillo ya que solo implica la solución de la LMI (3.76) sin necesidad de estableceruna región LMI, y por consecuente sin requerir sintonizar el observador.

En la sección 4.3 se muestran dos simulaciones donde se evaluó el desempeño del observador,siendo aplicado a un sistema singular LPV numérico, donde se hizo variar el parámetro entodo su rango. En esta simulación se consideró ruido a la salida del sistema, por lo que elobservador estimó los estados y el ruido.

En la sección 5.3 se aplicó el observador de estados y ruido a un modelo singular LPVque representa un intercambiador de calor, donde se hizo variar la entrada y el parámetrovariable simultáneamente, considerando ruido a la salida del sistema, así que el observadorestimo los estados y el ruido de manera independiente.

Finalmente, se concluye que la hipótesis plateada en la sección 1.2 se confirmó, al lograrla extensión de dos técnicas de estimación para sistemas singulares a sistemas singularesLPV, demostrando así que los observadores diseñados en el capítulo 3 son una alternativaviable para la estimación de variables de estado en un sistema singular LPV.

6.1. Trabajos futuros

Diversos trabajos de investigación a futuro pueden realizarse a partir de este trabajo, algunosde éstos se presentan a continuación:

Implementar los observadores diseñados en esta tesis en un sistema real con repre-sentación singular LPV natural.

Aplicar los observadores diseñados en esta tesis en un esquema de diagnóstico de fallas.

Desarrollar observadores de estado singular planteando un modelo singular LPV con laformulación de parámetros dependientes o LTF.

111


Desarrollar observadores de estado singular para sistemas singulares LPV politópicoconsiderando entradas desconocidas.

Desarrollar observadores adaptables para sistemas singulares LPV politópico, parapoder estimar parámetros que varían constantemente.

Desarrollar observadores continúo-discreto para sistemas singulares LPV politópico,para aquellos sistemas con dinámica lenta.

112

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113

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116

ANEXO A

Obtención del modelo singular LPV apartir de un modelo singular no linealde parámetros variables

En este Anexo se muestra como obtener el modelo singular LPV a partir del modelo singularno lineal con parámetros variables. El modelo singular LPV obtenido es el que se ocupó enlas simulaciones del capítulo 4.


x1(t) = −2x21(t) + 0.3x3(t) + u(t)

x2(t) = −3x2(t)− 0.2x1(t)0 = 5x1(t)x2(t)ρ(t)− x3(t)

(A.1)


[0.5, 1

], siendo k = 1 y n = 3.

Los puntos de linealización son determinados al evaluar el sistema singular no lineal (A.1) encada uno de los límites del parámetro variable, obteniendo así M = 2k = 2 modelos localessingulares LPV. De ahora en adelante se omitirá el término (t) para simplificar la notación.

Suponiendo que ρ(t) de la Ec. (A.1) es constante al tener el valor de alguno de los límites devariación de este parámetro, se pude determinar un punto de linealización piø = col (xø, uø, ρø).

117

ANEXO A. OBTENCIÓN DEL MODELO SINGULAR LPV A PARTIR DE UN MODELO SINGULAR NO LINEAL DEPARÁMETROS VARIABLES

Aplicando la expansión de series de Taylor de primer orden en (A.1) se obtiene:

1 0 00 1 00 0 0

x1x2x3

=

−4x1ø 0 0.3−0.2 −3 0

5ρøx2ø 5ρøx1ø −1

x1 − x1ø

x2 − x2ø

x3 − x3ø

+

100

u− uø (A.2)

donde uø es la entrada del punto de linealización, x1ø , x2ø , x3ø son los valores en estadoestable del sistema singular no lineal al considerar como entrada uø y ρø como uno de loslímites del parámetro variable.

Agrupando los términos constantes se obtiene la siguiente representación:

1 0 00 1 00 0 0

x1x2x3

=

−4x1ø 0 0.3−0.2 −3 0

5ρøx2ø 5ρøx1ø −1

x1x2x3

+

100

u+

4x21ø− 0.3x3ø − u0

0.2x1ø + 3x2ø

−5ρøx2ø − 5ρøx1ø − x3ø

(A.3)

A continuación se evalúa el modelos (A.3) en cada uno de los puntos de linealización deter-minados.

Modelo local 1. Si se considera uø = 1 y ρø = 0.5, entonces los estados del sistemasingular no lineal (A.1) en estado estable son x1ø = 0.6984, x2ø = −0.0466, x3ø = −0.0813,por lo que el modelo local singular puede ser expresado como:

1 0 00 1 00 0 0

x1x2x3

=

−2.7936 0 0.3−0.2 −3 0−0.1165 1.7460 −1

x1x2x3

+

100

u+

0.9754−1.2× 10−4

0.0814

(A.4)

Modelo local 2. Ahora, si se considera uø = 1 y ρø = 1, los estados del sistema singularno lineal (A.1) que se obtienen son x1ø = 0.6901, x2ø = −0.0460, x3ø = −0.1587, entoncesel modelo local singular puede ser expresado como:

1 0 00 1 00 0 0

x1x2x3

=

−2.7604 0 0.3−0.2 −3 0−0.23 3.4505 −1

x1x2x3

+

100

u+

0.9526−5× 10−5

0.1587

(A.5)


118


εi(ρ) = ϕdiag

[ 1δ1,

1δ2, . . . ,

1δk

]. diagα(i) . [f(α(i), ρ, ρ)− ρ]

(A.6)


α(1) = 1 f(α(1), ρ, ρ) = ρ δ1 = ρ− ρ

α(2) = −1 f(α(2), ρ, ρ) = ρ(A.7)

con las que se obtienen las siguientes funciones de ponderación para el sistema singular LPVformado por las Ec. (A.4) y (A.5).

ε1(ρ) = ρ− ρρ− ρ

= 1− ρ0.5

ε2(ρ) =ρ− ρρ− ρ

= ρ− 0.50.5

(A.8)

El modelo singular LPV se obtiene al unir las funciones de ponderación (A.8) y los sistemassingulares locales (A.4) y (A.5) como se muestra a continuación:

Ex =M∑

i=1εi(ρ(t)) (Aix+Biu+ ∆xi) (A.9)

donde

E =

1 0 00 1 00 0 0

, A1 =

−2.7936 0 0.3−0.2 −3 0−0.1165 1.7460 −1

, B1 =

100

, ∆x1 =

0.9754−1.2× 10−4

0.0814

,ε1(ρ(t)) = 1− ρ

0.5

A2 =

−2.7604 0 0.3−0.2 −3 0−0.23 3.4505 −1

, B2 =

100

, ∆x2 =

0.9526−2× 10−5

0.1587

,ε2(ρ(t)) = ρ− 0.5

0.5

119


Validación 1. Considere la siguiente variación del parámetro variable ρ, Fig. A.1.

0 20 40 60 80 1000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Tiempo

Fig. A.1. Variación del parámetro variable ρ.

Tomando en cuenta la variación de la Fig. A.1 al que fueron aplicadas las funciones de pon-deración de la Ec. (A.8) se obtienen las siguientes gráficas:

0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo

ε1ε2

Fig. A.2. Funciones de ponderación.

A continuación se muestra la comparación del sistema singular no lineal y el sistema singularLPV de la Ec. (A.9) al aplicar la variación que se mostró en la Fig. A.1 y considerar unaentrada constante u = 1.

0 20 40 60 80 1000.685

0.69

0.695

0.7

0.705

0.71

0.715

0.72

Tiempo

x1 NLx1 LPV

0 20 40 60 80 100−0.048

−0.047

−0.046

−0.045

−0.044

−0.043

−0.042

−0.041

−0.04

−0.039

Tiempo

x2 NLx2 LPV

0 20 40 60 80 100

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3 NLx3 LPV

Fig. A.3. Comparación del sistema singular no lineal y el sistema singular LPV con u = 1.

120


En las gráficas de la Fig. A.3 se puede ver como el sistema singular LPV converge al compor-tamiento del sistema singular no lineal. Donde el modelo singular no lineal aplica directamentela variación de ρ al modelo, mientras que en el modelo singular LPV aplica esta variación enlas funciones de ponderación de cada uno de los modelos.

Validación 2. Ahora considere la siguiente entrada y la variación de ρ de la Fig. A.1:

0 < t < 10 u = 1t ≥ 10 u = 0.8 (A.10)

con la que se obtiene la siguiente respuesta del sistema singular LPV de la Ec. (A.9)

0 20 40 60 80 100

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

Tiempo

x1 NLx1 LPV

0 20 40 60 80 100−0.047

−0.046

−0.045

−0.044

−0.043

−0.042

−0.041

−0.04

−0.039

Tiempo

x2 NLx2 LPV

0 20 40 60 80 100−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tiempo

x3 NLx3 LPV

Fig. A.4. Comparación del sistema no lineal y el sistema singular LPV con u = 0.8 en t ≥ 10.

En las gráficas de la Fig. A.4 se puede notar que la variación en la en entrada repercutedirectamente en la aproximación del sistema singular LPV al sistema singular no lineal, estose debe a que la linealización se realizó considerando la entrada constante.

Validación 3. Si la entrada ahora fuera la siguiente y la variación de ρ fuera la de laFig. A.1

0 < t < 10 u = 1t ≥ 10 u = 1.5 (A.11)

entonces se obtienen las siguientes gráficas que comparan el sistema singular no lineal y elsistema LPV de la Ec. (A.9).

121


0 20 40 60 80 100

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

Tiempo

x1 NLx1 LPV

0 20 40 60 80 100−0.06

−0.058

−0.056

−0.054

−0.052

−0.05

−0.048

−0.046

−0.044

−0.042

−0.04

Tiempo

x2 NLx2 LPV

0 20 40 60 80 100−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

Tiempo

x3 NLx3 LPV

Fig. A.5. Comparación del sistema no lineal y el sistema singular LPV con u = 1.5 en t ≥ 10.

En las gráficas de las Fig. A.5 se puede notar que después de realizar el cambio en la entrada,el sistema singular LPV no vuelve a converger al sistema singular no lineal, manteniendo undesplazamiento constante. Esto se debe a que el sistema singular LPV fue linealizado con-siderando una entrada constante, sin embargo se puede llegar a aproximar el comportamientodel sistema no lineal ante variaciones en la entrada, siempre y cuando la entrada sea acotaday se considere en la linealización del sistema.

122

ANEXO B

Intercambiador de calor

El proceso de intercambio de calor entre dos fluidos que están a diferentes temperaturas yseparados por una pared sólida, ocurre en muchas aplicaciones de ingeniería. El dispositivoque se utiliza para llevar a cabo este intercambio se denomina intercambiador de calor, ylas aplicaciones específicas se pueden encontrar en calefacción de locales y acondicionamientode aire, producción de potencia, recuperación de calor de desecho y algunos procesamientosquímicos (Incropera y DeWitt, 1999).

El intercambiador de calor de tubos concéntricos, consta de dos tubos de distinto diámetro,dispuestos uno dentro del otro. Por el tubo inferior circula un fluido, mientras que el otrofluido lo hace por el anillo circular. El fluido caliente o frío puede circular indistintamente porel tubo interior o el anillo circular, aunque si el fluido caliente lo hace por el tubo interior, elaprovechamiento de transmisión de calor es mejor (Ibarz y Barbosa, 2005).

La forma de operar de estos intercambiadores pueden ser de dos modos: en paralelo o encontracorriente como se ve en la Fig.B.1. En el primer caso, tanto el fluido frío como elcaliente circulan en la misma dirección y sentido; mientras que en contracorriente circulanen sentidos contrarios.

Fig. B.1. Modos de operación del intercambiador de calor.

Usualmente el tubo externo contiene el fluido usado para enfriar y puede ser nombrado como"lado frío", mientras que el fluido caliente será nombrado como "lado caliente". Un intercam-biador en contracorriente es modelado como una secuencia de celdas en cascada.

123

ANEXO B. INTERCAMBIADOR DE CALOR

B.1. Modelo de una celda del intercambiador de calor

Se asume que cada celda del intercambiador de calor consiste en dos tanques perfectamenteagitados con flujos de entrada y salida. Los dos tanques están conectados por un área detransferencia de calor. Además, se asume que el volumen del líquido es constante, tal que elflujo de entrada y salida es igual, en el lado frío y el lado caliente, no existe transferencia decalor entre el tubo externo y el medio ambiente, no hay almacenamiento de energía caloríficaen las paredes de los tubos y las propiedades físicas y químicas de los fluidos se mantienenconstantes.

El esquema de una celda del intercambiador de calor se muestra en la Fig. B.2. Las ecuacionesdel modelo para una celda consiste en el balance de masa y energía para el lado caliente y ellado frío, respectivamente (Szederkényi, 1998).

Fig. B.2. Representación de una celda del intercambiador de calor.

Lado frío El balance de energía del lado frío del intercambiador de calor, considerando unacelda, puede ser escrito como:

d(cpcρcVcTco(t))dt

= vcρccpcTci − vcρccpcTco(t) + U(t)A∆T (B.1)

Donde Tci, Tco(t) y Tho(t) son temperatura fría de entrada, fría de salida y caliente de salidadel intercambiador de calor, respectivamente, ρc y cpc son la densidad y calor específico dellíquido del lado frío, A es el área de transferencia de calor y U es el coeficiente de transferenciade calor.

Después de simplificar con cpc, ρc y Vc se tiene:

dTco(t)dt

= vc

Vc

Tci −vc

Vc

Tco(t) + U(t)AcpcρcVc

∆T (B.2)

124


Lado caliente El balance de energía del lado caliente se describe como

d(cphρhVhTho(t))dt

= vhρhcphThi − vhρhcphTho(t) + U(t)A∆T (B.3)

donde Thi es la temperatura de entrada del lado caliente, Vh, vh, ρh y cph son el volumen, elflujo, la densidad y el calor específico del líquido del lado caliente.

Con lo cual se tiene

dTho(t)dt

= vh

Vh

Thi −vh

Vh

Tho(t)−U(t)AcphρhVh

∆T (B.4)

La expresión del calor transferido en el intercambiador de calor es

Q(t) = U(t)A∆T (B.5)

La diferencia de temperaturas entre los fluidos ∆T en la Ec. (B.2) y (B.4), es la fuerzaconductora que da lugar a la transferencia de calor por convección. La fuerza conductora seexpresa en términos de (Bird y col., 1992):

Diferencia de temperaturas

∆TI = (Tho(t)− Tco(t)) (B.6)

Diferencia de temperaturas media aritmética

∆TA = ∆T2 + ∆T1

2 (B.7)

Diferencia de temperaturas media logarítmica

∆TL = ∆T2 −∆T1

ln∆T2

∆T1

(B.8)

125


con ∆T1 = (Thi − Tco(t)) y ∆T2 = (Tho(t) − Tci) para intercambiadores de calor en configu-ración contracorriente.

B.2. Variaciones de la superficie de transferencia decalor

Dentro de las condiciones normales de operación el coeficiente de transferencia de calor (U) esconstante o decrementa lentamente debido a una capa de material no deseable que se formaen la superficie de transferencia de calor (véase Fig. B.3.a).

En los intercambiadores de calor viejos, grandes piezas de este material sedimentado puedensepararse de la superficie causando daños en el equipo. Cuando el material sedimentado sedesprende, U ser someterá a saltos bruscos positivos.

Estos saltos pueden ser agrupados en dos diferentes tipos (Szederkényi, 1998).

1. En un principio cuando los saltos empiezan a ocurrir, son pequeños y poco frecuentesdebido a que son pequeñas piezas de Carbonato de calcio (CaCO3) que se desprendende la superficie de transferencia (véase Fig. B.3.b).

2. En las últimas etapas los saltos empiezan a ser largos y con mucha frecuencia cuandopedazos grandes de CaCO3 se desprenden (véase Fig. B.3.c).

(a) (b) (c)

Fig. B.3. Variaciones del coeficiente de transferencia de calor.

126


B.3. Modelo singular LPV propuesto del intercambia-dor de calor

Si consideramos las ecuaciones (B.2), (B.4) y (B.5) para proponer un sistema singular nolineal utilizando (B.8) como diferencia de temperatura en los fluidos se obtiene:

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Tco

Tho

Q

=

vc

Vc

Tci −vc

Vc

Tco + Q

cpcρcVc

vh

Vh

Thi −vh

Vh

Tho −Q

cphρhVh

U(t)A(Tho − Tci)− (Thi − Tco)

ln(Tho − Tci

Thi − Tco

) −Q

(B.9)

Una de las formas de obtener un modelo LPV es mediante la linealización de un sistema nolineal de parámetros variables en un punto de operación, evaluando los valores límite quepuede tomar el parámetro variable, formando así una representación LPV politótica (sección2.2.1)(Reberga y col., 2005).

Se puede notar que la expresión que presenta no linealidades es la de calor, por lo quemediante series de Taylor se busca llegar a una representación lineal.

Si consideramos la siguiente expresión no lineal de calor

Q = U(t)A(Tho − Tci)− (Thi − Tco)

ln(Tho − Tci

Thi − Tco

) (B.10)

y suponemos que U(t), que será considerado como el parámetro variable (Anexo B.2), semantiene constante tomando el valor de alguno de los límites de variación, la expresión(B.10) puede ser expresada como:

Q = UA(Tho − Tci)− (Thi − Tco)

ln(Tho − Tci

Thi − Tco

) (B.11)

127


Con estas suposiciones obtenemos la siguiente expresión, donde el calor Q se encuentra soloen función de las temperaturas de salida y entrada.

Q = g(Tco, Tho, Tci, Thi)

Linealizando por series de Taylor de primer orden se obtiene:

Q = g(Tcoø , Thoø , Tciø , Thiø) + ∂g

dTco

(Tco − Tcoø) + ∂g

dTho

(Tho − Thoø)

+ ∂g

dTci

(Tci − Tciø) + ∂g

dThi

(Thi − Thiø)(B.12)

siendo Tciø , Thiø , Tcoø y Thoø los valores en los que fue linealizado el sistema.

A continuación se muestra el resultado de las derivadas parciales al aplicar la linealización(B.12) en (B.10):

∂Q

∂Tco(t) = UA

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

) − UA(Tciø − Tcoø + Thiø − Thoø)

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

)2(Tcoø − Thiø)

∂Q

∂Tho(t) = UA

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

) − UA(Tciø − Tcoø + Thiø − Thoø)

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

)2(Tciø − Thoø)

∂Q

∂Tci=

UA(Tciø − Tcoø + Thiø − Thoø)

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

)2(Tciø − Thoø)

− UA

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

)∂Q

∂Thi=

UA(Tciø − Tcoø + Thiø − Thoø)

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

)2(Tcoø − Thiø)

− UA

ln

(Tciø − Thoø

Tcoø − Thiø

)

Igualando a cero la Ec. (B.12) se obtiene la siguiente expresión:

0 = ∂Q

∂Tco

Tco + ∂Q

∂Tho

Tho + ∂Q

∂Tci

Tci + ∂Q

∂Thi

Thi −Q+[g(Tcoø , Thoø , Tciø , Thiø)− ∂Q

∂Tco

Tcoø −∂Q

∂Tho

Thoø −∂Q

∂Tci

Tciø + ∂Q

∂Thi

Thiø

] (B.13)

128


Agrupando el término[g(Tcoø , Thoø , Tciø , Thiø)− ∂Q

∂TcoTcoø −

∂Q

∂ThoThoø −

∂Q

∂TciTciø+ ∂Q

∂ThiThiø

]co-

mo ∆Q, se puede obtener la siguiente representación singular local del intercambiador de calor,partiendo de (B.9).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Tco

Tho

Q

=

− vc

Vc

0 1cpcρcVc

0 − vh

Vh

−1cpcρcVc

∂Q

∂Tco

∂Q

∂Tho

−1

Tco

Tho

Q

+

vc

Vc

0

0 vh

Vh

∂Q

∂Tci

∂Q

∂Thi

Tci

Thi

+

00

∆Q

Es importante mencionar que en la tercera expresión se muestra la ecuación de calor igualadaa cero (B.13), mientras que Q es ponderada por cero en la matriz E del sistema singular, locual no implica que Q 6= 0.

En la Fig. B.4 se muestran los valores extremos del parámetro U que se eligieron para formarun modelo LPV politópico (sección 2.2.1).

Fig. B.4. Variación del coeficiente de transferencia de calor.

El modelo singular no lineal del intercambiador de calor (B.9) fue linealizado considerandolas entradas Tci variable y Thi constante.

Modelo local 1.

Los valores de linealización se obtuvieron a partir del modelo no lineal (B.9) considerandotemperaturas de entrada constantes, del lado frío Tciø = 30oC y del lado caliente Thiø = 60oCy coeficiente de transferencia de calor U = 1100W/m2oC, se obtuvieron como temperaturasde salida y calor Tcoø = 44.9927oC, Thoø = 56.2091oC y Qø = 309.3926W , por lo que elmodelo singular local puede ser expresado como:

[1 0 00 1 00 0 0

] [Tco

Tho

Q

]=[−0.037 0 0.001

0 −1.289 −0.015−9.355 6.448 −1

] [Tco

Tho

Q

]+[

0.037 00 1.289

−6.448 9.355

] [Tci

Thi

]+[

00

5.203

]× 10−4

(B.14)

129


Modelo local 2.

Ahora, si se considera Tciø = 34oC y Thiø = 60oC y el coeficiente de transferencia de caloren U = 1200W/m2oC, entonces se obtienen las siguientes temperaturas de salida y calorTcoø = 47.7391oC, Thoø = 56.5261oC y Qø = 283.5231W , por lo que el modelo singular localpuede ser expresado como:

[1 0 00 1 00 0 0

] [Tco

Tho

Q

]=[−0.037 0 0.001

0 −1.289 −0.015−10.397 6.927 −1

] [Tco

Tho

Q

]+[

0.037 00 1.289

−6.937 10.397

] [Tci

Thi

]+[

00

3.325

]× 10−4

(B.15)Las funciones de ponderación se calculan como se mostró en la sección 2.2.1, donde la formageneral es:

εi(U) = ϕdiag

[ 1δ1,

1δ2, . . . ,

1δk

]. diagα(i) . [f(α(i), U, U)− U ]

(B.16)


α(1) = 1 f(α(1), U, U) = U δ1 = U − Uα(2) = −1 f(α(2), U, U) = U

(B.17)

con las que se obtienen las siguientes funciones de ponderación para el sistema singular LPVformado por las Ec. (B.14) y (B.15)

ε1(U) = U − UU − U

= 1200− U100

ε2(U) = U − UU − U

= U − 1100100

(B.18)

El modelo singular LPV se obtiene al unir las funciones de ponderación (B.18) y los sistemassingulares locales (B.14) y (B.15) como se muestra a continuación:

Ex =M∑

i=1εi(U(t)) (Aix+Biu+ ∆xi) (B.19)

130


donde

E =

[1 0 00 1 00 0 0

], A1 =

[−0.037 0 0.001

0 −1.289 −0.015−9.355 6.448 −1

], B1 =

[0.037 0

0 1.289−6.448 9.355

], ∆x1 =

[00

5.203

]× 10−4

ε1(U(t)) =1200− U

100

A2 =

[−0.037 0 0.001

0 −1.289 −0.015−10.397 6.927 −1

], B2 =

[0.037 0

0 1.289−6.937 10.397

], ∆x2 =

[00

3.325

]× 10−4

ε2(U(t)) =U − 1100

100

Validación 1. Considere las temperaturas de entrada Thi = 60oC constante y Tci comose muestra en la Fig. B.5.

0 20 40 60 80 100 12029

30

31

32

33

34

35

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Fig. B.5. Variación de la temperatura de entrada del lado frío, vc.

También considere la siguiente variación del parámetro variable U , Fig. B.6

0 20 40 60 80 100 120

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Tiempo (min)

W/m

2 ºC

Fig. B.6. Variación de U .

131


Tomando en cuenta la variación de la Fig. B.6 al que fueron aplicadas las funciones de pon-deración de la Ec. (B.18) se obtienen las siguientes gráficas:

0 20 40 60 80 100 120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (min)

ε1ε2

Fig. B.7. Funciones de ponderación.

A continuación se muestra la comparación del sistema singular no lineal y el sistema singularLPV de la Ec. (B.19) y al aplicar la variación que se mostró en la Fig. B.6 y la entrada Tci

de la Fig. B.5.

0 20 40 60 80 100 12043.5

44

44.5

45

45.5

46

46.5

47

47.5

48

48.5

49

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco NLTco LPV

0 20 40 60 80 100 120

55

55.5

56

56.5

57

57.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho NLTho LPV

0 20 40 60 80 100 120260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

QNL

QLPV

Fig. B.8. Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV.

En las gráficas de la Fig. B.8 se puede ver como el sistema singular LPV converge al compor-tamiento del sistema singular no lineal. Donde el modelo singular no lineal aplica directamentela variación de U al modelo, mientras que en el modelo singular LPV se aplica a las funcionesde ponderación de cada uno de los modelos.

132


Validación 2. Ahora considere la siguiente comportamiento de las temperaturas de entraday la misma variación de U de la Fig. B.6

0 min < t < 10 min Tci = 30oC Thi = 60oCt ≥ 10 min Tci = 32oC Thi = 60oC (B.20)

es importante hacer notar que esta variación de la entrada Tci cae dentro de la cota devariación permitida sobre la que se linealizó, la cual fue 30oC ≤ Tci ≤ 34oC.

0 10 20 30 40 50 6045

45.5

46

46.5

47

47.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco NLTco LPV

0 10 20 30 40 50 60

55.6

55.8

56

56.2

56.4

56.6

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tho NLTho LPV

0 10 20 30 40 50 60290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

QNL

Q LPV

Fig. B.9. Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV con Tci = 32oC ent ≥ 10 min.

En las gráficas de la Fig. B.9 se puede notar que la variación en la temperatura de entradaTci no afecta en la aproximación que tiene el sistema singular LPV al sistema singular nolineal, por lo que en este caso el modelo singular LPV sigue siendo válido.

Validación 3. Ahora considere que la entrada es:


en este caso la variación cae fuera de la cota establecida en la linealización y la variación delparámetro U es la que se mostró en la Fig. B.6.

Con esta variación en la entrada se obtienen las siguientes gráficas que comparan el sis-tema singular no lineal y el sistema singular LPV de la Ec. (B.19).

133


0 10 20 30 40 50 6045

45.5

46

46.5

47

47.5

48

48.5

49

49.5

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco NLTco LPV

0 10 20 30 40 50 6055.5

56

56.5

57

57.5

Tiempo (min)T

empe

ratu

ra (

ºC)

Tho NLTho LPV

0 10 20 30 40 50 60

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

QNL

Q LPV

Fig. B.10. Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV con Tci = 36oC ent ≥ 10 min.

En las gráficas de la Fig. B.10 se puede notar que la variación en la temperatura de entradaTci, (que cae fuera de la cota en la que fue linealizado el sistema singular no lineal) no afectala aproximación del sistema singular LPV al sistema singular no lineal, por lo que en estecaso el modelo singular LPV aún es válido.

Validación 4. Considere la siguiente variación de la temperatura de entrada Tci:


y la misma variación del parámetro U que se mostró en la Fig. B.6.

Normalmente, un intercambiador de calor tiene como entradas físicas los flujos de entrada dellado frío y caliente, así como sus temperaturas. En esta validación se realiza simultáneamentela variación del flujo del lado frío como se muestra a continuación:

0 10 20 30 40 50 604.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5x 10

−6

Tiempo (min)

Flu

jo d

el lí

quid

o fr

ío (

m3 /s

eg)

Fig. B.11. Variación del flujo del lado frío vc.

134


con lo que se obtienen las siguientes gráficas de comparación:

0 10 20 30 40 50 6044

44.5

45

45.5

46

46.5

47

47.5

48

48.5

49

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Tco NLTco LPV

0 10 20 30 40 50 60

55.6

55.8

56

56.2

56.4

56.6

56.8

57

57.2

Tiempo (min)T

empe

ratu

ra (

ºC)

Tho NLTho LPV

0 10 20 30 40 50 60

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

Tiempo (min)

Cal

or (

W)

QNL

Q LPV

Fig. B.12. Comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV con variaciones en elflujo del lado frío vc.

Se puede notar en las gráficas de la Fig. B.12 que la variación del flujo es reflejada en elcomportamiento de las temperaturas de salida y calor del sistema singular no lineal, y queademás el sistema singular LPV responde de la misma manera ante el cambio de flujos, porlo que aún en este caso el sistema singular LPV sigue siendo válido.

B.4. Parámetros del intercambiador de calorEn la tabla B.1 se muestran los valores de los parámetros que se utilizaron para realizar lasvalidaciones de los observadores y la comparación entre modelos.

Tabla B.1. Parámetros del intercambiador de calor.

Parámetro Constantes Valores UnidadesDensidad del líquido frío ρc 988.8 Kg/m3

Densidad del líquido caliente ρh 973.7 Kg/m3

Calor específico del líquido frío cpc 4174 J/KgoCCalor específico del líquido caliente cph 4191 J/KgoCVolúmen del líquido frío Vc 134.99× 10−6 m3

Volúmen del líquido caliente Vh 15.512× 10−6 m3

Flujo del líquido frío vc 5× 10−6 m3/segFlujo del líquido caliente vh 5× 10−5 m3/segÁrea de transferencia de calor A 0.014 m2

135


136

ANEXO C

Mediciones de error

Para la validación y evaluación del desempeño de los observadores se realizaron diferentesmediciones de error. Las mediciones de error utilizadas a lo largo de esta tesis se tomaron de(Hidalgo, 2008) y se presentan a continuación.

Error medio: Devuelve la media del error.

e = 1n

n∑i=1

ei (C.1)

Error máximo: Permite conocer el valor máximo del error.

emax = max(|e|) (C.2)

Error mínimo: Permite conocer el valor mínimo del error.

emin = min(|e|) (C.3)

FIT: Indica el porcentaje, que tanto se parece la señal de salida del observador a la señal desalida del proceso.

FIT = 100(

1− ||y − y||||y − y||

)(C.4)

137

ANEXO C. MEDICIONES DE ERROR

ITAE. Reduce la contribución del gran error inicial al valor de la integral de comportamiento,así como para destacar los errores que se producen después de la respuesta.

ITAE =∫ T

t=0(|e|)t dt (C.5)

138

ANEXO D

Regiones LMI

La historia de LMI’s en el análisis de sistemas dinámicos viene desde hace más de 100 añosatrás. La historia inicia en 1890, cuando Lyapunov público su trabajo seminal introduciendolo que ahora llamamos Teoría de Lyapunov. Él mostró que la ecuación diferencial

d

dtx(t) = Ax(t) (D.1)

es estable (es decir, todas las trayectorias convergen a cero) si y solo si existe una matriz Ppositiva definida, tal que

ATP + PA < 0. (D.2)

Los requerimientos P > 0, ATP + PA < 0 es lo que conocemos como desigualdad de Lya-punov en P , la cual es una forma especial de LMI. Lyapunov también mostró que esta primerLMI podría ser resuelta explícitamente, eligiendo alguna matriz Q = QT > 0 y entonces re-solver la ecuación lineal ATP + PA = −Q para la matriz P , lo cual garantiza ser definida siel sistema (D.1) es estable (Boyd y col., 1994).

Definición 1. Una región S se llama región LMI si existe una matriz simétrica α y unamatriz β tal que:

S = z ∈ C : fs(z) < 0 (D.3)

donde fS(z) = α+ zβ + z∗βT . La notación z∗ denota el valor conjugado de z. fs(z) se llamafunción característica de S.

En otras palabras, una región LMI es una región en el plano complejo que se caracteriza poruna LMI en función de z y z∗, o a = Re(z) y b = Im(z). Las regiones LMI son conjuntosconvexos (Akhenak, 2004).

139

ANEXO D. REGIONES LMI

Ejemplos de regiones LMI

Al hacer a = Re(z) y b = Im(z), donde

a = z∗ + z

2 , y b = z − z∗

2j (D.4)

La mitad izquierda del plano se caracteriza por a < 0, la función característica del semiplanocomplejo izquierdo está dada por

fS(z) = z∗ + z (D.5)

Fig. D.1. Ejemplos de regiones LMI.

Considere las tres regiones del semiplano complejo izquierdo que se muestra en la Fig. D.1.La región S1 del plano complejo, a < −ζ, es una región LMI caracterizado por la función fS1

siguiente:fS1(z) = z∗ + z + 2ζ (D.6)

El círculo centrado en el origen del plano complejo S2 es una región caracterizada por lasiguiente relación:

z∗z − λ2 < 0 (D.7)

si utilizamos el complemento de Schur:

fS2(z) = −δ z

z∗ −δ

< 0 (D.8)

140


El sector S3, tan(θ) < −|b|, del plano complejo es una región LMI caracterizada por lasiguiente función fS3(z) (utilizando el complemento de Schur):

fS3(z) = sinθ(z + z∗) cosθ(z − z∗)cosθ(z∗ − z) sinθ(z + z∗)

< 0 (D.9)

Fig. D.2. Región LMI en forma de círculo.

Otra modalidad que se puede dar a la región LMI circular, es poder manipular su ubicacióndefiniendo un radio δ y centro (−λ, 0) particular Fig. D.2, sin la necesidad de restringirse aun círculo con centro en el origen. La función característica asociada a este caso es (Rodigues,2005):

fS4(z) = −δ λ+ z∗

λ+ z −δ

< 0 (D.10)

Si aplicamos esta región LMI a la desigualdad (D.2), donde la LMI asegura que los polos dela matriz A pertenecen a la región S4, entonces:

fS4(z) = −δP λP + PAT

λP + AP −δP

< 0 (D.11)

donde P > 0.

141


142

ANEXO E

Transformación de un observador deforma singular a observador deLuenberger para sistemas singulares ysistemas singulares LPV

Teorema. Si la dupla (E, Ai) del sistema singular LPV es libre-impulso y estable, existeun observador de Luenberger (E.2), como resultado de la transformación del observador deforma singular (E.1).

E ˙x =M∑

i=1εi(ρ(t))


)(E.1)

˙xs =M∑

i=1εi(ρ(t)) (Asixs +Bsiu+Ksiy + ∆si)

x =M∑

i=1εi(ρ(t))

Q1i Q2i

xs

Bfiu+Kfiy + ∆fi

(E.2)

Demostración. Dado que el rank(E) = r, existen dos matrices ortogonales U y V tal que Etiene la siguiente descomposición:

E = U

Ir 00 0

Σr 00 In−r

V T (E.3)

donde Σr = diag (σ1, σ2, ..., σr) con σi > 0, i = 1, 2, ..., r.

143

ANEXO E. TRANSFORMACIÓN DE UN OBSERVADOR DE FORMA SINGULAR A OBSERVADOR DE LUENBERGERPARA SISTEMAS SINGULARES Y SISTEMAS SINGULARES LPV

Se define

P1 = U−1 = UT

Q1 = V −T

Σr 00 In−r

−1

= V

(Σr)−1 00 In−r

(E.4)

de manera que se pueden obtener las siguientes matrices transformadas equivalentes:

P1EQ1 = Ir 0

0 0

, P1AiQ1 = A11i A12i

A21i A22i

(E.5)

donde A22i ∈ R(n−r)×(n−r) es una matriz no singular.

Si se seleccionan las siguientes matrices

P2i = Ir −A12i (A22i)−1

0 − (A22i)−1

, Q2i = Iq 0

− (A22i)−1A21i In−r

(E.6)

entonces se pueden realizar las siguientes transformaciones:

P2i

Ir 00 0n−r

Q2i = Ir 0

0 0n−r

P2i

A11i A12i

A21i A22i

Q2i = A11i − A12i (A22i)−1A21i 0

0 −In−r

= Asi 0

0 −In−r

(E.7)

A continuación se definen las siguientes matrices

P 1i = In −K1iK

−12i

0 Im

, Q1i = In 0−C K−1

2i

P 2i = P2iP1 0

0 Im

, Q2i = Q1Q2i 0

0 Im

(E.8)

144


con las que se pueden obtener

P 2iP 1iEQ1iQ2i = P2iP1EQ1Q2i 0

0 0m

= Ir 0

0 0n−r+m

(E.9)

P 2iP 1i

(Ai +NCd −KpiC

)Q1iQ2i =

P2iP1AiQ1Q2i 00 −Im

= Asi 0

0 −In+m−r

(E.10)

P 2iP 1iBi = Bsi

Bfi

, Bsi ∈ Rr×p, Bfi ∈ R(n−r)×p

P 2iP 1iKpi = Ksi

Kfi

, Ksi ∈ Rr×m, Kfi ∈ R(n−r)×m

(E.11)

P 2iP 1i∆xi =[

∆si

∆fi

], ∆si ∈ Rr, ∆fi ∈ R(n−r) (E.12)

Usando (E.9)-(E.11) y definiendo

xs

xf

=(Q1iQ2i

)−1x (E.13)

se obtiene la siguiente transformación equivalente para el observador de la Ec.(E.1) tal que

·xs =

M∑i=1

εi(ρ(t))(Asixs +Bsiu+Ksiy + ∆si)

xf =M∑

i=1εi(ρ(t))(Bfiu+Kfiy + ∆fi)

(E.14)

junto con

x =M∑

i=1εi(ρ(t))

(Q1iQ2i

) xs

xf

(E.15)

(E.14) forman un observador tipo Luenberger.

145


Observaciones:

1. El procedimiento presentado en el teorema anterior, de manera general trata los sis-temas singulares LPV, donde i = 1, . . . ,M, siendo M el número de modelos locales.

2. Para poder extrapolar este procedimiento de transformación a sistemas singulares, solose debe acotar i = 1.

3. Si se parte de un sistema naturalmente modelado como singular lineal, se considera queel término ∆xi del observador de forma singular (E.1) no forma parte del observador, yque la transformación (E.12) no es necesaria, por lo que el observador tipo Luenberger,después de la transformación queda como se muestra a continuación:

·xs = Asxs +Bsu+Ksy

xf = Bfu+Kfy(E.16)

146

tesisdemaestrÍaenciencias ... · agradecimientos a mis padres, que con sus palabras me motivan a...

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