teste de hipÓteses -...

Embora com pouco tempo, devido à preparação da 3ª edição do livro Estatística – ESAF,

preocupado com os candidatos que farão a prova para Fiscal-RS em 19/08, resolvi, mesmo em

cima da hora, fazer um resumo sobre o assunto Teste de Hipóteses (que servirá também para

outros concursos), contando com a colaboração do meu filho, Márcio Bello, na digitação.

TESTE DE HIPÓTESES

Definição: É uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese

estatística com base em elementos amostrais.

Hipóteses: Teremos sempre duas hipóteses, H0 (Agá-zero), que é a hipótese nula ou

hipótese probanda e H1 ou HA (hipótese alternativa). Geralmente a hipótese alternativa (H1)

representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo a hipótese nula (H0) formulada com

o expresso propósito de ser rejeitada. Conseguindo rejeitar H0, a hipótese alternativa terá de ser

aceita, conseguindo então o pesquisador provar o que queria. A hipótese nula é sempre a

hipótese a ser examinada. Se a aceitarmos, implicitamente estaremos rejeitando H1 e se

rejeitarmos H0, então não podemos rejeitar H1, devendo esta ser aceita.

Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser cometidos num Teste de Hipóteses:

Erro Tipo I (α) A hipótese nula é verdadeira e o pesquisador a rejeita.

Erro Tipo II (β) A hipótese nula é falsa e o pesquisador a aceita.

Qual dos dois tipos de erro é o mais grave e que deve ser evitado? Façamos uma

analogia com a decisão de um Juiz de Direito: o que será mais grave? Condenar um inocente ou

absolver um culpado? É claro que será mais grave a condenação de um inocente. Rejeitar a

hipótese nula sendo ela verdadeira equivale a condenar um inocente, logo o Erro Tipo I é o mais

grave e deverá ser minimizada a probabilidade deste tipo de erro ser cometido. Essa

probabilidade chama-se Nível de Significância do Teste, dado por α. Já a probabilidade de β do

Erro Tipo II não pode ser calculada, a menos que se especifique um valor alternativo para μ. O

poder ou potência do teste é dado por (1 − β).

Podemos resumir as possibilidades do Teste num quadro:

Se a Hipótese Nula (H0) é:

VERDADEIRA FALSA

ACEITA H0

DECISÃO CORRETA

COMETE O ERRO TIPO II

(β)

O P

ESQ

UIS

AD

OR

REJEITA H0

COMETE O ERRO TIPO I

(α)

DECISÃO CORRETA

Teste de Hipóteses Pedro Bello Página 1

TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA:

1) Bicaudal ou Bilateral

H0: μ = μ0

H1: μ ≠ μ0

Onde: μ é a média populacional e μ0 é o valor suposto para a média populacional.

Gráfico do teste bilateral:

Onde: R.A. é a região de aceitação (da hipótese nula) e R.C. é a região crítica ou região

de rejeição. A fronteira entre essas regiões será dada por um valor tabelado (Tabela da

Distribuição Normal ou da Tabela da Distribuição t-Student) como veremos mais adiante.

2) Teste Unicaudal ou Unilateral à direita

H0: μ = μ0

H1: μ > μ0

Gráfico do teste:


3) Teste Unicaudal ou Unilateral à esquerda

H0: μ = μ0

H1: μ < μ0

Gráfico do teste:

OBS: Repare que na hipótese nula sempre temos uma igualdade (=) e na hipótese

alternativa uma desigualdade (<, > ou ≠).

Distribuição Normal ou t-Student? Qual usar para arbitrar o valor tabelado que será a fronteira entre as regiões de aceitação

e rejeição? Para esclarecer melhor, vamos fazer o seguinte quadro:

TAMANHO DA AMOSTRA

SE A VARIÂNCIA

POPULACIONAL (σ2) USO A DISTRIBUIÇÃO

É CONHECIDA NORMAL É GRANDE

(n ≥ 30) É DESCONHECIDA NORMAL

É CONHECIDA NORMAL É PEQUENO (n < 30) É DESCONHECIDA t-STUDENT

Vemos então, que só iremos utilizar a Distribuição t-Student (chamada de distribuição das

pequenas amostras) quando a amostra for pequena (o número de elementos é inferior a 30) e a

variância populacional for desconhecida. Se a amostra for grande (a partir de 30 elementos),

pouco importará ser conhecida a variância populacional e usaremos a Tabela da Distribuição

Normal para arbitrar o valor ZTAB (ZB TABELADO).


Assim, vemos que na maior parte dos casos usaremos a Distribuição Normal, pois basta que

uma das condições seja atendida: amostra grande (n ≥ 30) ou variância populacional conhecida.

Já para usar a Distribuição t-Student, duas condições terão de acontecer

simultaneamente: amostra pequena (n < 30) e variância populacional desconhecida.

Para procedermos ao teste, além de conhecer o valor tabelado (ZTAB se usarmos

Distribuição Normal ou tB

TAB B se usarmos Distribuição t-Student), temos que encontrar o

valor calculado (ZCALC ou tCALC), dado por:

n

XZCALC σμ−

= se o desvio padrão populacional (σ) for conhecido ou;

nS

XZCALCμ−

= , pois se a amostra for grande (n ≥ 30) e não soubermos o valor do desvio

padrão populacional (σ), usaremos o desvio padrão amostral (S).

Se a amostra for pequena (n < 30) e o desvio padrão populacional for desconhecido,

usaremos a Distribuição t-Student e teremos a estatística teste:

nS

XtCALCμ−

=

Supondo que usaremos a Distribuição Normal Padrão (Z):

1) Para o teste bilateral:

Se – ZTAB < ZB CALC < ZTAB B, aceitaremos H0.

Caso ZCALC < - ZTAB, ou ZTAB < ZCALC, rejeitaremos H0.

ZTAB- ZTAB


2) Para o teste unilateral à direita:

Se ZCALC < ZTAB, aceitaremos H0.

Se ZTAB < ZB CALC, rejeitaremos H0.

ZTAB

3) Para o teste unilateral à esquerda:

Se –ZTAB < ZB CALC, aceitaremos H0.

-ZTAB

Se ZCALC < ZTAB, rejeitaremos H0.

B

O mesmo raciocínio vale para os casos em que usarmos a Distribuição t-Student, com a

diferença que compararemos tCALC com tTAB. B


Para facilitar, vamos fazer o seguinte roteiro (receitinha de bolo, passo a passo) para

resolução de questões de Teste de Hipóteses e a seguir aplicá-lo em alguns exemplos:

1º Passo: Pelo enunciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H0) e a Hipótese

Alternativa (H1);

2º Passo: Também pelos dados do enunciado, definir a distribuição a ser utilizada

(Normal ou t-Student);

3º Passo: Utilizando a Tabela Normal Padrão ou a Tabela t-Student, encontrar o valor de

ZTAB ou tTAB; B

4º Passo: Fazer o desenho da curva, plotando no eixo das abscissas o valor tabelado,

que será a fronteira entre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica);

5º Passo: Calcular a estatística teste (ZCALC ou tCALC) utilizando uma das fórmulas dadas

anteriormente.

6º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e concluir pela aceitação ou

rejeição da Hipótese Nula.

Antes de partimos para os exemplos, vamos praticar um pouco o uso das tabelas com os

principais níveis de significância (α) geralmente adotados:

I) Na Tabela da Distribuição Normal Padrão:

I.1) Para o Teste Bilateral:

I.1.a) Se α = 1%, teremos α/2 = 0,5% = 0,005 (para cada lado) e a área de aceitação será

de 99% (0,99), sendo 0,495 à esquerda e 0,495 à direita do ponto máximo da curva (a Distribuição

Normal é simétrica). Verificando a Tabela Normal, temos 0,4949 para uma abscissa de 2,57 e

0,4951 para uma abscissa de 2,58. Logo, por interpolação, a abscissa correspondente à área de

0,495 será a média das duas abscissas, ou seja, 2,575. Mas para facilitar, vamos adotar, no teste

bilateral, quando α = 1%, ZTAB = 2,58. Vejamos o gráfico da curva normal:

2α 2

α

Nesse caso, H0 só será aceita se o valor de ZCALC estiver entre -2,58 e 2,58.


I.1.b) Se α = 5%, teremos α/2 = 2,5% = 0,025 (para cada lado) e a área de aceitação será

de 95% (0,95), sendo 0,475 à esquerda e 0,475 à direita. Verificamos, na Tabela Normal, que uma

área de 0,475 corresponde à abscissa 1,96. Logo, no teste bilateral, quando α = 5% então

ZTAB=1,96. Vejamos o gráfico da curva normal:

2

α 2

α

Aceitaremos H0 se: -1,96 < ZCALC < 1,96

I.1.c) Mesmo raciocínio para α = 10%, α/2 = 5% = 0,05 (para cada lado). Área de aceitação

igual a 0,90, sendo 0,45 à esquerda e 0,45 à direita. Na Tabela Normal uma área de 0,4495

corresponde à abscissa 1,64 e uma área de 0,4505 corresponde à abscissa de 1,65. Logo, com

precisão, a abscissa seria 1,645. Mas para facilitar vamos adotar no teste bilateral, quando α = 10%,

ZTAB = 1,64. Vejamos o gráfico da curva normal:

2α 2

α

Aceitaremos H0 se: -1,64 < ZCALC < 1,64


I.2) Para o teste unilateral (vamos considerar apenas o teste à direita, sabendo que vale o

raciocínio para o teste à esquerda, bastando inverter os lados).

I.2.a) Se α = 1% (0,01), a área de aceitação será de 99% (0,99) à esquerda. Mas até

a metade da curva (a Distribuição Normal é simétrica) temos 50% (0,5) de área. Logo,

queremos a abscissa correspondente a uma área de 0,49. Verificando, na Tabela Normal, o

valor mais próximo é de 0,4901, correspondente à uma abscissa de 2,33. Assim, no teste

unilateral à direita, quando α = 1%, teremos ZTAB = 2,33. e no teste unilateral à esquerda para

o mesmo α, -ZTAB = -2,33. Vejamos o gráfico da curva normal:

α

I.2.b) Se α = 5% (0,05), teremos área de aceitação = 0,95 à esquerda. Procuraremos, na

tabela normal a área de 0,45 (0,95 - 0,50), que corresponde à abscissa de 1,64. Portanto, no teste

unilateral à direita, quando α = 5%, então ZTAB = 1,64 e no teste unilateral à esquerda para o

mesmo α, -ZTAB = -1,64. Vejamos o gráfico da curva normal:

α


I.2.c) Se α = 10% (0,10), área de aceitação = 0,90 à esquerda. Na Tabela Normal o valor

mais próximo de 0,40 (0,90 – 0,50) é de 0,3997, que corresponde à abscissa de 1,28. Portanto, no

teste unilateral à direita, para α = 10%, ZTAB = 1,28 e no teste unilateral à esquerda, -ZTAB = -1,28.

Vendo o gráfico da curva normal:

α

II) Na Tabela da Distribuição t-Student:

Nesta tabela, temos que levar em consideração dois parâmetros: α (alfa), que é o nível

de significância e ϕ (fi) que é o número de “graus de liberdade” (g.l.) ou “degrees of freedom” (d.f.),

dado por: n (número de elementos da amostra) menos 1 unidade ou seja: ϕ = n – 1.

Temos que ter atenção também para o tipo de tabela, que pode ser: bilateral ou unilateral.

Aqui, a tabela que usaremos é bilateral, como pode ser notado no desenho da curva na própria

tabela (no final deste resumo). Assim, no teste bilateral o α da tabela será o próprio α utilizado no

teste. Mas para o teste unilateral teremos que procurar, nesta tabela, o dobro do α.

II.1) Teste bilateral, supondo uma amostra de 25 elementos (n = 25). Então, ϕ = 25 – 1 ⇒ ϕ = 24.

Para um α = 5%, vemos na tabela que a célula interseção de α = 0,05 e ϕ = 24 nos fornece

2,0639. Portanto: tTAB = 2,0639 para α = 5% e n = 25. Vejamos o gráfico:


II.2) Agora, se o teste for unilateral, com o mesmo tamanho de amostra, e o mesmo α,

não poderemos pegar diretamente a interseção de α=0,05 com ϕ = 24, pois o valor fornecido é

para um teste bilateral. Teremos que pegar a interseção de ϕ = 24 com α = 0,10, pois nesta tabela

(bilateral), α = 0,05 corresponde a 0,025 de cada lado. Teremos que pegar α = 0,10, que

corresponderá a 0,05 de cada lado. Assim a célula interseção de α = 0,10 com ϕ = 24 fornecerá

tTAB = 1,7109. Vejamos o gráfico:

Aqui, neste resumo foi mostrado apenas o Teste de Hipóteses para a Média, que é o

assunto explicitamente descrito no Edital para Fiscal-RS e os princípios básicos do que seja um

Teste de Hipóteses. Mas há outros tipos de Testes de Hipóteses, como: Teste de Hipóteses para

a Proporção, Teste de Hipóteses para a Variância, Teste de Hipóteses para a Diferença entre

Médias e outros tipos de Teste de Hipóteses. Os mesmos princípios descritos no início deste

resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as

tabelas a serem utilizadas. Por exemplo, no Teste de Hipóteses para a Variância, a Tabela a ser

utilizada é a da Distribuição de Qui-Quadrado; já no Teste de Hipóteses para a Proporção

utilizamos apenas a Tabela da Distribuição Normal, já vista aqui.

Em outra oportunidade poderei vir a falar especificamente dos outros Testes de

Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o entender bem, não terá

dificuldade em entender os demais Testes.

Vamos aos exemplos:


EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu:

X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40.

Resolução: Seguindo o roteiro, temos:

1º passo:

H0: μ = 40;

H1: μ > 40 (teste unilateral à direita);

2º passo: a amostra é grande (n ≥ 30). Logo, usaremos a Tabela Normal;

3º passo: o teste é unilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos 64,1ZTAB = ;

4º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;

α

5º passo: calcular a estatística teste.

nS

XZCALCμ−

= =

362,5

403,42 − =

62,53,2 =

2,58,13 = 2,65.

6º passo: ZCALC > ZTAB. B

Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 40. Logo, μ > 40.

EXEMPLO 2: Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu:

X = 53,4 e S = 7,5. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ = 50.

Resolução:

Hipóteses:

H0: μ = 50;

H1: μ ≠ 50 (teste bilateral);

A amostra é pequena (n < 30) e σ (desvio padrão populacional) é desconhecido. Logo, a

distribuição a ser utilizada é a t-Student, com n = 20 ⇒ ϕ = 19 e α = 0,05. Consultando a tabela,

encontraremos 0930,2tTAB = .


Desenhando a curva, temos:

nS

XtCALCμ−

= =

205,7

504,53 − ≅ 2,027.

2α 2

α

Como: -tTAB < tB CALC < tTABB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 50.

EXEMPLO 3: Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800;1.600).

Testar a hipótese de que μ = 800 contra a alternativa de μ ≠ 800 se uma amostra aleatória de 30

lâmpadas tem um tempo médio de vida de 788 horas. Adotar α = 0,05.

Resolução: As hipóteses já estão no enunciado:

H0: μ = 800;

H1: μ ≠ 800 (teste bilateral);

Além da amostra ter 30 elementos, a variância populacional é conhecida, σ2 = 1.600 ⇒ σ = 40.

α = 0,05 ⇒ 025,02=

α , pois o teste é bilateral. Para uma área de 0,475, 96,1ZTAB = .


2α 2

α

3040

800788

n

XZCALC−

=σμ−

= ≅ −1,64.

Como: -ZTAB < ZB CALC < ZTABB, ao nível de significância de 5% ACEITO H0: μ = 800.


EXEMPLO 4: Uma amostra de tamanho n = 18 de população normal tem média X = 31,5 e

desvio padrão S = 4,2. Ao nível de significância de 5%, estes dados sugerem que a média

populacional seja superior a 30?

Resolução:

Hipóteses:

H0: μ = 30;


Amostra pequena (n = 18) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 17 e α = 0,05. Mas como o

teste é unilateral e a tabela é bilateral, usaremos α = 0,10. Para este α e ϕ = 17 a tabela fornece:

7396,1tTAB = .


nS

XtCALCμ−

= =

182,4

305,31 − ≅ 1,515.

α

Resposta: Não, a média é igual a 30, pois como: tCALC < tTAB, B ACEITO H0: μ = 30.

EXEMPLO 5: Em uma amostra de 10 elementos a média da amostra observada foi de 230.

Sabe-se que a variância da população é igual a 160. Testar a hipótese de μ = 218 contra a

alternativa μ > 218 ao nível de significância de 10%.

Resolução: As hipóteses já estão no enunciado:

H0: μ = 218;


A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida. Por isso, usaremos a

Distribuição Normal. O teste é unilateral, com α = 0,10. Logo, para uma área de 0,40 (0,90 − 0,50)

encontraremos, na Tabela Normal 28,1ZTAB = .



α = 0,10

n

XZCALC σμ−

= =

10160

218230 − = 4

12 = 3. Vemos que ZCALC > ZTAB. B

Conclusão: ao nível de significância de 10%, REJEITO H0: μ = 218. Logo, μ > 218.

EXEMPLO 6: O diâmetro médio de parafusos em uma amostra de 400 parafusos forneceu o valor

de 25mm. Sendo 4mm o desvio padrão do processo de fabricação, pode-se afirmar, ao nível de

significância de 5%, que o diâmetro médio de todos os parafusos seja inferior a 25,4mm?

Resolução: Temos n = 400; X = 25; σ = 4; α = 5%.

Hipóteses:

H0: μ = 25,4;

H1: μ < 25,4 (teste unilateral à esquerda);

Distribuição: Normal, pois n = 400 (amostra grande). Teste unilateral à esquerda, com α = 0,05.

Então, para uma área de 0,45 (0,95 − 0,50) encontraremos, na Tabela Normal 64,1ZTAB −=− .

α = 0,05


n

XZCALC σμ−

= =

4004

4,2525 − =

204

4,0− = 48− = −2.

Como ZCALC < ZTAB, ao nível de significância de 5%, REJEITO H0: μ = 25,4.

Logo, o diâmetro médio é inferior a 25,4mm.

EXEMPLO 7: Um ensaio de tensões de ruptura de 6 cabos produzidos por uma companhia

mostrou a tensão média de ruptura de 7.750kg e o desvio padrão de 145kg, ao passo que o

fabricante declara que aquela tensão média é de 8.000kg. Será verdadeira a declaração do

fabricante, ao nível de significância α = 0,05?

Resolução: Neste problema as hipóteses não estão explícitas no enunciado e aqui deveremos

interpretá-lo. O que o pesquisador irá querer provar? Que o fabricante está falando a verdade ou

que está mentindo? Falamos anteriormente que H1 representa a suposição que o pesquisador

quer provar, sendo H0 formulada com o expresso propósito de ser rejeitada.

Logo, as hipóteses serão:

H0: μ = 8.000 (afirmação do fabricante);

H1: μ < 8.000 (suposição do pesquisador);

A amostra é pequena (n = 6) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 5 g.l. e α = 0,05. Mas o

teste é unilateral à esquerda e a tabela é bilateral. Portanto o nosso t tabelado será a célula

interseção de ϕ = 5 com α = 0,10, ou seja: 015,2tTAB −=− .

nS

XtCALCμ−

= =

6145

000.8750.7 − = 196,59

250− ≅ − 4,223.

α = 0,05

Como tCALC < tTAB, ao nível de significância de 5%, B REJEITO H0: μ = 8.000.

Portanto o fabricante está mentindo, pois μ < 8.000.


EXEMPLO 8: Suponhamos que em indivíduos normais quanto à visão, a pressão intra-ocular

seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 20 e variância 4 (em unidade

de mm de mercúrio). Um cientista, querendo por à prova a sua hipótese de que o glaucoma

causa um aumento tencional, mediu as pressões de 16 pacientes portadores de glaucoma,

obtendo uma média igual a 24. O cientista deve ou não manter sua hipótese, ao nível de

significância α = 0,005?

Resolução: Novamente, vamos interpretar o enunciado. O que o cientista quer provar?

Que o glaucoma causa aumento da pressão.

Logo, a hipótese alternativa (que o cientista quer provar) é que a média é superior a 20.

Portanto, as hipóteses são:

H0: μ = 20;


Temos: n = 16; X = 24; μ = 20; σ2 = 4; α = 0,005.

A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida (σ2 = 4) e σ = 2.

Portanto, usaremos a Tabela Normal, onde a área de 0,495 (0,995 − 0,500) corresponde a uma

abscissa de 2,58. Logo, 58,2ZTAB = .

α = 0,005

n

XZCALC σμ−

= =

162

2024 − =

424 =

216 = 8.

Como ZCALC > ZTAB, ao nível de significância de 0,5%, REJEITO H0: μ = 20.

Assim, aceito que μ > 20, ou seja, o cientista está correto e deve manter sua hipótese de que o

glaucoma aumenta a pressão intra-ocular.


EXEMPLO 9: Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos, com média de 5,2 e

desvio de 1,2. Com um curso de revisão ministrado pelo colega Joselias, pretende-se

aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que freqüentaram tal curso, a média foi

de 6,4. Pode-se dizer, ao nível de significância de 8%, que o curso é eficiente?

Resolução: Temos n = 36; X = 6,4; μ = 5,2; σ = 1,2; α = 0,08.

Hipóteses:

H0: μ = 5,2;

H1: μ > 5,2 (teste unilateral à direita);

Tabela: Normal, pois n = 36 (a amostra é grande). Para α = 0,08 teremos 41,1ZTAB = , abscissa

correspondente à área de 0,42 (0,92 − 0,50).

α = 0,08

n

XZCALC σμ−

= =

362,1

2,54,6 − =

62,12,1 = 6.

Como ZCALC > ZTAB, ao nível de significância de 8%, REJEITO H0: μ = 5,2 e aceito que μ > 5,2, ou

seja, o curso ministrado pelo professor Joselias é eficiente.

EXEMPLO 10: Questão da prova para Analista do BACEN-2005 - Área 4, elaborada pela FCC.

Uma amostra aleatória de 9 valores de salários extraída de uma população, considerada normal e

de tamanho infinito, apresentou média igual a R$800,00 com um desvio padrão igual a R$120,00.

Os registros históricos indicam que a média dos salários da população é igual a R$740,00.

Deseja-se testar a hipótese, ao nível de significância α, se o valor da média verificada na amostra

difere do valor de R$740,00. Seja H0 a hipótese nula do teste (μ = 740), H1 a hipótese alternativa

(μ ≠ 740) e tα/2 > 0 o quantil da distribuição "t" de Student, no nível de significância α, para testes

bicudais com 8 graus de liberdade. Sabendo-se que H0 foi rejeitada, tem-se que:


(a) tα/2 < 1,5.

(b) tα/2 > 1,5.

(c) para qualquer nível de significância H0 seria rejeitada, pois (800 − 740) ≠ 0.

(d) o valor da variável do teste (t calculado) obtido através da amostra e necessário para

comparação com −tα/2 e tα/2 é igual a 0,5.

(e) a um nível de significância β, β > α, H0 não teria sido rejeitada.

RESPOSTA: GABARITO LETRA A.

nS

XtCALCμ−

= =

9120

740800 − = 4060 = 1,5.

O gráfico do teste bicaudal:

O enunciado traz dois dados importantes:

0 tα/2−tα/2

2α 2

α

1) tα/2 > 0;

2) H0 foi rejeitada.

Vimos que tCALC = 1,5. Então, para H0 ser rejeitada:

tCALC tem que ser inferior a −tα/2 ou;

tCALC tem que ser superior a tα/2.

Mas tα/2 só pode ser positivo. Nesse caso, inferior a 1,5 (tCALC) para que H0 seja rejeitada.

tCALC = 1,5

tα/2


EXEMPLO 11: Questão da prova para o IBGE em 1999 elaborada pelo NCE-UFRJ.

Considere uma amostra aleatória de tamanho 36 de uma distribuição normal com média μ e

desvio padrão 1,8. Deseja-se testar H0: μ ≤ 10 versus H1: μ > 10. O teste uniformemente mais

poderoso de tamanho 1% rejeitará H0 se a média amostral for, no mínimo, igual a: (a) 10,7

(b) 11,1

(c) 11,5

(d) 11,9

(e) 12,3

RESPOSTA: GABARITO LETRA A.

No teste unilateral à direita, H0 será rejeitada se ZCALC > ZTAB. Para α = 1%, teremos, na Tabela

Normal (n > 30), ZTAB = 2,33. Substituindo ZCALC, na estatística teste, por 2,33 temos:

n

XZCALC σμ−

= ⇒

368,110X33,2 −

= ⇒ 3,010X33,2 −

= ⇒ 10X699,0 −= ⇒ 699,10X = .

Esse é o valor que iguala ZCALC a ZTAB e para um valor de média amostral superior a este, H0 será

rejeitada. Como o enunciado fala “no mínimo”, o menor valor será 10,7.

EXEMPLO 12: Questão da prova para Analista Técnico da SUSEP – 2006, elaborada pela ESAF.

Em uma distribuição de sinistro S, formulando-se a hipótese de que não há diferença entre a

freqüência esperada e a observada (hipótese nula: H0). Donde, segundo um determinado nível de

significância, podemos afirmar que ocorreu (a) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0.

(b) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0.

(c) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0, sendo esta correta.

(d) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta.

(e) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta.

RESPOSTA: GABARITO LETRA E.

Questão teórica facílima, como eu costumo dizer, essa é “di-grátis”. Só quem não sabia o mínimo

do assunto não a acertou. Basta ver o quadro à página 1 deste resumo para encontrar a resposta.

Desejo bons estudos e excelentes provas de estatística a todos! PROFESSOR PEDRO BELLO

Nas próximas páginas estão as TABELAS DAS DISTRIBUIÇÕES: NORMAL E t-STUDENT


TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas


TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT

Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas


teste de hipÓteses -...

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