testi d'esame

Domanda Scritta di Controlli Automatici N.O. - 12/01/2009 Esercizio 1 (4 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

F (s)

y -

in cui: F (s) = s2 (s

K(s 2) 0.1)(s + 5)

Utilizzando il Criterio di Nyquist, studiare la stabilit` del sistema a ciclo chiuso, a al variare del parametro K = 0. Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

G(s)

d + ? - h-

P (s)

y-

in cui: P (s) =

(s2 + 6s + 13) ; s (s + 2) (s 4)

d(t) = 1 (t)

Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t); tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a 1. Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso: u(t) = (2t 1) 1 (t).


F (s)

y -

I diagrammi di Bode della funzione F (s) sono riportati nella gura seguente:

Tracciare il diagramma di Nyquist di F (s), e, sapendo che il numero di poli a parte reale positiva di F (s) ` pari a 1, studiare la stabilit` del sistema a ciclo chiuso. e a Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: d u + - h 6-

+ ? G(s) - h- P (s)

y-

in cui: P (s) =

(s + 3) , d(t) = 1 (t). (s + 5)2 (s 1)

Porre inizialmente G(s) = K, e tracciare il luogo positivo e negativo della funzione KP (s), determinando lintervallo di valori di K per cui il sistema a ciclo chiuso ` stabile; e successivamente, utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t), ed in modo che tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore di 3.

Domanda Scritta di Controlli Automatici N.O. - 20/04/2009 Esercizio 1 ` E dato il sistema in controreazione: u + - h 6 y -

-

F (s)

K(s + 1)(s2 + 16s + 65) in cui F (s) = , K IR. (s 2)(s + 7)2 (s + 10) Tracciare il luogo positivo delle radici; tracciare il luogo negativo delle radici; determinare per quali valori di K il sistema a ciclo chiuso ` asintoticamente e stabile; se K = 20, esiste la risposta a regime permanente a ciclo chiuso per un ingresso a gradino?

Esercizio 2 ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6 d + ? y- h

-

G(s)

-

P (s)

in cui: P (s) =

100(s + 2) ; (s + 10)2

d(t) = sin(t)

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: |1 | 0.016; e Mr 2 dB; B3 2.5 Hz.

|d (t)| 0.016 per 0.5 rad s1 , essendo yd (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d(t).

Domanda Scritta di Controlli Automatici N.O. - 29/06/2009 Esercizio 1 ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

F (s)

y -

in cui: F (s) =

K(1 s) s2 (s + 10)

Utilizzando il criterio di Nyquist, studiare la stabilit` del sistema a ciclo chiuso, a al variare dei parametri K IR, IR, K = 0, = 0, = 0.1.

Esercizio 2 ` E dato il sistema di controllo: d1 u + - h 6-

d2 P (s) +h - ? y -

G(s)

+ h- ?

in cui: P (s) =

600(s + 2) ; s(s + 20)2

d1 (t) = 1 (t);

d2 (t) = sin(t).

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: |d1 (t)| 0.05, essendo yd1 (t) la risposta a regime permanente al disturbo y d1 (t); Mr 3 dB; B3 7.5 Hz.

|d2 (t)| 0.022 per 1 rad s1 , essendo yd2 (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d2 (t). Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso u(t) = (2t 4) 1 (t).


G(s)

-

P (s)

y -

I diagrammi di Bode della funzione P (s) sono riportati sul retro. Sia inoltre F (s) = G(s)P (s). Porre inizialmente G(s) = 1, tracciare il diagramma di Nyquist di F (s), e studiare la stabilit` del sistema in catena chiusa; a successivamente, porre G(s) = 1 , tracciare i diagrammi di Bode di F (s) (su s quelli di P (s) gi` dati) e il diagramma di Nyquist di F (s), e studiare la stabilit` a a del sistema in catena chiusa;

K porre inne G(s) = , K > 0, e, utilizzando i diagrammi di Bode di F (s) tracs ciati al punto precedente, trovare lintervallo di valori di K per cui il sistema in catena chiusa ` stabile asintoticamente. e N.B. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate.

Esercizio 2 (5 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

G(s)

-

P (s)

y -

(s + 5) . + 8s + 17)(s + 2) Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: in cui: P (s) = (s2 il sistema sia di tipo 1, con |1 | 0.05; e tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore o uguale a 3. Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso u(t) = (3t + 4)1 (t).

120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 3 10 102

10

1

10

0

10

1

10

2

10

3

Diagramma di |P (j)| in dB

0

45

90

135

180

225

270

315

360 3 10

10

2

10

1

10

0

10

1

10

2

10

3

Diagramma di P (j) in gradi

2


-

F (s)

in cui F (s) =

K(s + 3)(s + 10)2 , K IR. (s 2)(s + 6)(s2 + 14s + 50)

Tracciare il luogo positivo delle radici; tracciare il luogo negativo delle radici; determinare per quali valori di K il sistema a ciclo chiuso ` asintoticamente e stabile; si ponga K = 1.5: esiste per tale valore di K la risposta a regime permanente a ciclo chiuso per un ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria? Motivare la risposta.

Esercizio 2 ` E dato il sistema di controllo: u + - h d1 +? - hd2 +? y - h -

-

6

G(s)

P (s)

in cui: P (s) =

0.07s + 5.6 ; s(s + 10)

d1 (t) = 1 (t);

d2 (t) = sin(t)

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: |d1 (t)| 0.05, essendo yd1 (t) la risposta a regime permanente al disturbo y d1 (t); Mr 2 dB; B3 7.5 Hz; |KG | 20; |d2 (t)| 0.07 per 3 rad s1 , essendo yd2 (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d2 (t).


F (s)

y -

in cui F (s) =

K(s 1) . Utilizzando il criterio di Nyquist, si studi la stabilit` del a s(s + p) sistema in controreazione, al variare di K, p IR, con K, p = 0, p = 0.5, sapendo che lunica intersezione del diagramma di Nyquist di F (s) con lasse reale negativo K si ha per K < 0, p > 0, e vale . p

Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h-

6

G(s)

d + ? - h-

P (s)

y-

s+2 , d(t) = 1 (t). Utilizzando il luogo delle radici, + 6s + 13) progettare G(s) in modo che: in cui P (s) = s(s2 il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t); lerrore a regime permanente e2 sia tale che: |2 | 0.05; e tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a 2. Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso u(t) = (t2 5t+1)1 (t).

Domanda Scritta di Controlli Automatici N.O. - 14/12/2009 Esercizio 1 (4 punti) ` E dato il sistema in controreazione: u + - h 6 y -

-

F (s)

in cui F (s) =

K(s 3)(s + 7)2 , K IR. (s + 2)(s + 10)(s2 + 10s + 41)

Tracciare il luogo positivo delle radici; tracciare il luogo negativo delle radici; determinare per quali valori di K, K > 0, il sistema a ciclo chiuso ` asintotie camente stabile; sapendo che per K = 8.25 un polo della funzione di trasferimento in catena chiusa ` circa uguale a 7j, determinare per quali valori di K, K < 0, il sistema e a ciclo chiuso ` asintoticamente stabile; e si ponga K = 2.5: esiste per tale valore di K la risposta a regime permanente a ciclo chiuso per un ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria? Motivare la risposta. Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6 d + ? y- h

-

G(s)

-

P (s)

in cui: P (s) = 800

s+3 ; (s + 20)2

d(t) = sin(t)

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: Mr 2 dB; B3 5 Hz;

|1 | 0.01, essendo e1 lerrore a regime permanente per un ingresso a rampa e unitaria; |d (t)| 0.032 per 2 rad s1 , essendo yd (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d(t).


F (s)

y -

in cui: F (s) = s2 (s

K(s 2) 0.1)(s + 5)

Utilizzando il Criterio di Nyquist, studiare la stabilit` del sistema a ciclo chiuso, a al variare del parametro K = 0. Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

G(s)

d + ? - h-

P (s)

y-

in cui: P (s) =

(s2 + 6s + 13) ; s (s + 2) (s 4)

d(t) = 1 (t)

Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t); tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a 1. Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso: u(t) = (2t 1) 1 (t).


F (s)

y -

I diagrammi di Bode della funzione F (s) sono riportati nella gura seguente:

Tracciare il diagramma di Nyquist di F (s), e, sapendo che il numero di poli a parte reale positiva di F (s) ` pari a 1, studiare la stabilit` del sistema a ciclo chiuso. e a Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: d u + - h 6-

+ ? G(s) - h- P (s)

y-

in cui: P (s) =

(s + 3) , d(t) = 1 (t). (s + 5)2 (s 1)

Porre inizialmente G(s) = K, e tracciare il luogo positivo e negativo della funzione KP (s), determinando lintervallo di valori di K per cui il sistema a ciclo chiuso ` stabile; e successivamente, utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t), ed in modo che tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore di 3.


-

F (s)

K(s + 1)(s2 + 16s + 65) in cui F (s) = , K IR. (s 2)(s + 7)2 (s + 10) Tracciare il luogo positivo delle radici; tracciare il luogo negativo delle radici; determinare per quali valori di K il sistema a ciclo chiuso ` asintoticamente e stabile; se K = 20, esiste la risposta a regime permanente a ciclo chiuso per un ingresso a gradino?

Esercizio 2 ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6 d + ? y- h

-

G(s)

-

P (s)

in cui: P (s) =

100(s + 2) ; (s + 10)2

d(t) = sin(t)

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: |1 | 0.016; e Mr 2 dB; B3 2.5 Hz.

|d (t)| 0.016 per 0.5 rad s1 , essendo yd (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d(t).

Domanda Scritta di Controlli Automatici N.O. - 29/06/2009 Esercizio 1 ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

F (s)

y -

in cui: F (s) =

K(1 s) s2 (s + 10)

Utilizzando il criterio di Nyquist, studiare la stabilit` del sistema a ciclo chiuso, a al variare dei parametri K IR, IR, K = 0, = 0, = 0.1.

Esercizio 2 ` E dato il sistema di controllo: d1 u + - h 6-

d2 P (s) +h - ? y -

G(s)

+ h- ?

in cui: P (s) =

600(s + 2) ; s(s + 20)2

d1 (t) = 1 (t);

d2 (t) = sin(t).

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: |d1 (t)| 0.05, essendo yd1 (t) la risposta a regime permanente al disturbo y d1 (t); Mr 3 dB; B3 7.5 Hz.

|d2 (t)| 0.022 per 1 rad s1 , essendo yd2 (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d2 (t). Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso u(t) = (2t 4) 1 (t).


G(s)

-

P (s)

y -

I diagrammi di Bode della funzione P (s) sono riportati sul retro. Sia inoltre F (s) = G(s)P (s). Porre inizialmente G(s) = 1, tracciare il diagramma di Nyquist di F (s), e studiare la stabilit` del sistema in catena chiusa; a successivamente, porre G(s) = 1 , tracciare i diagrammi di Bode di F (s) (su s quelli di P (s) gi` dati) e il diagramma di Nyquist di F (s), e studiare la stabilit` a a del sistema in catena chiusa;

K porre inne G(s) = , K > 0, e, utilizzando i diagrammi di Bode di F (s) tracs ciati al punto precedente, trovare lintervallo di valori di K per cui il sistema in catena chiusa ` stabile asintoticamente. e N.B. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate.

Esercizio 2 (5 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6-

G(s)

-

P (s)

y -

(s + 5) . + 8s + 17)(s + 2) Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: in cui: P (s) = (s2 il sistema sia di tipo 1, con |1 | 0.05; e tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore o uguale a 3. Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso u(t) = (3t + 4)1 (t).

120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 3 10 102

10

1

10

0

10

1

10

2

10

3

Diagramma di |P (j)| in dB

0

45

90

135

180

225

270

315

360 3 10

10

2

10

1

10

0

10

1

10

2

10

3

Diagramma di P (j) in gradi

2


-

F (s)

in cui F (s) =

K(s + 3)(s + 10)2 , K IR. (s 2)(s + 6)(s2 + 14s + 50)

Tracciare il luogo positivo delle radici; tracciare il luogo negativo delle radici; determinare per quali valori di K il sistema a ciclo chiuso ` asintoticamente e stabile; si ponga K = 1.5: esiste per tale valore di K la risposta a regime permanente a ciclo chiuso per un ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria? Motivare la risposta.

Esercizio 2 ` E dato il sistema di controllo: u + - h d1 +? - hd2 +? y - h -

-

6

G(s)

P (s)

in cui: P (s) =

0.07s + 5.6 ; s(s + 10)

d1 (t) = 1 (t);

d2 (t) = sin(t)

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: |d1 (t)| 0.05, essendo yd1 (t) la risposta a regime permanente al disturbo y d1 (t); Mr 2 dB; B3 7.5 Hz; |KG | 20; |d2 (t)| 0.07 per 3 rad s1 , essendo yd2 (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d2 (t).


F (s)

y -

in cui F (s) =

K(s 1) . Utilizzando il criterio di Nyquist, si studi la stabilit` del a s(s + p) sistema in controreazione, al variare di K, p IR, con K, p = 0, p = 0.5, sapendo che lunica intersezione del diagramma di Nyquist di F (s) con lasse reale negativo K si ha per K < 0, p > 0, e vale . p

Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h-

6

G(s)

d + ? - h-

P (s)

y-

s+2 , d(t) = 1 (t). Utilizzando il luogo delle radici, + 6s + 13) progettare G(s) in modo che: in cui P (s) = s(s2 il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t); lerrore a regime permanente e2 sia tale che: |2 | 0.05; e tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a 2. Calcolare inne la risposta a regime permanente allingresso u(t) = (t2 5t+1)1 (t).

Domanda Scritta di Controlli Automatici N.O. - 14/12/2009 Esercizio 1 (4 punti) ` E dato il sistema in controreazione: u + - h 6 y -

-

F (s)

in cui F (s) =

K(s 3)(s + 7)2 , K IR. (s + 2)(s + 10)(s2 + 10s + 41)

Tracciare il luogo positivo delle radici; tracciare il luogo negativo delle radici; determinare per quali valori di K, K > 0, il sistema a ciclo chiuso ` asintotie camente stabile; sapendo che per K = 8.25 un polo della funzione di trasferimento in catena chiusa ` circa uguale a 7j, determinare per quali valori di K, K < 0, il sistema e a ciclo chiuso ` asintoticamente stabile; e si ponga K = 2.5: esiste per tale valore di K la risposta a regime permanente a ciclo chiuso per un ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria? Motivare la risposta. Esercizio 2 (6 punti) ` E dato il sistema di controllo: u + - h 6 d + ? y- h

-

G(s)

-

P (s)

in cui: P (s) = 800

s+3 ; (s + 20)2

d(t) = sin(t)

Utilizzando la sintesi per tentativi in , progettare G(s) in modo che: Mr 2 dB; B3 5 Hz;

|1 | 0.01, essendo e1 lerrore a regime permanente per un ingresso a rampa e unitaria; |d (t)| 0.032 per 2 rad s1 , essendo yd (t) la risposta a regime y permanente al disturbo d(t).

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