testiraestatistiqkihhipoteza - pmf.ni.ac.rs testiranje... · testiraestatistiqkihhipoteza...

Testiraǌe statistiqkih hipoteza

Testiraǌe statistiqkih hipoteza je vid statistiqkogzakǉuqivaǌa koji se primeǌuje u situacijama:

kada se unapred pretpostavǉa postojaǌe odre�ene vezeme�u izuqavanim pojavama,

kada se pretpostavǉa da posmatrano obele�je imaodre�enu raspodelu.

Statistiqka hipotezaStatistiqka hipoteza je svaka pretpostavka koja se odnosi naraspodelu obele�ja.

Statistiqka hipoteza mo�e biti taqna ili pogrexna.

Odluka o prihvataǌu ili odbacivaǌu statistiqke hipotezedonosi se na osnovu uzorka.

Statistiqki testStatistiqki test je postupak verifikovaǌa statistiqkehipoteze na osnovu uzorka.

Test statistikaStatistiqki test koristi neku statistiku koja se zove teststatistika.

Istovremeno se posmatraju dve hipoteze koje su jedna drugojsuprostavǉene.

Nulta hipotezaHipoteza koja se lakxe verifikuje se uzima za polaznu ili”nultu” hipotezu. Oznaqava se sa H0.

Alternativna hipotezaDruga hipoteza se zove alternativna hipoteza. Oznaqava se saH1 ili Ha.

Hipoteza mo�e biti:

prosta (u potpunosti odre�uje raspodelu obele�ja)

slo�ena.

Kritiqna oblastSkup C takav da se hipoteza H0 odbacuje ako realizovaniuzorak (x1, x2, . . . , xn) pripada skupu C zove se kritiqna oblast.

Mogu�e je naqiniti dve grexke:

grexku prve vrste,

grexku druge vrste.

Grexka prve vrsteGrexka prve vrste nastaje u situacijama kada je hipoteza H0odbaqena, a bila je faktiqki taqna.

Grexka druge vrsteGrexka druge vrste qini se kada se nulta hipoteza prihvati,a zapravo nije taqna.

grexku prve vrste,

grexku druge vrste.

grexku prve vrste,

grexku druge vrste.

grexku prve vrste,

grexku druge vrste.

Verovatno�a da se naqini grexka prve vrsteVerovatno�a da se uqini grexka prve vrste oznaqava se sa α:

α = PH0{(X1,X2, . . . ,Xn) ∈ C}.

Verovatno�a da se naqini grexka druge vrsteVerovatno�a da se naqini grexka druge vrste oznaqava se saβ:

β = PH1{(X1,X2, . . . ,Xn) 6∈ C}.

Prag znaqajnostiVerovatno�a α se zove i prag znaqajnosti testa.

Za prag znaqajnosti se najqex�e uzimaju vrednosti 0,1; 0,01i 0,05.

α = PH0{(X1,X2, . . . ,Xn) ∈ C}.

β = PH1{(X1,X2, . . . ,Xn) 6∈ C}.

α = PH0{(X1,X2, . . . ,Xn) ∈ C}.

β = PH1{(X1,X2, . . . ,Xn) 6∈ C}.

α = PH0{(X1,X2, . . . ,Xn) ∈ C}.

β = PH1{(X1,X2, . . . ,Xn) 6∈ C}.

Statistiqki testovi mogu biti:

parametarski,

neparametarski.

Parametarski testoviKod parametarskih testova raspodela test statistike zavisiod raspodele posmatranog obele�ja.

Neparametarski testoviKod neparametarskih testova raspodela test statistike nezavisi od raspodele posmatranog obele�ja.

parametarski,

neparametarski.

parametarski,

neparametarski.

Testiraǌe hipoteze o parametru m kada je σ2 poznato

Obele�je X ima normalnu N (m, σ2) raspodelu.

Postavǉa se pitaǌe da li se vrednost parametra mpromenila.

Testiramo nultu hipotezu H0(m = m0), gde je m0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H1(m 6= m0),H1(m > m0) ili H1(m < m0).

Posmatra se test statistika Z0 = X n−m0σ ·

√n, gde je X n

sredina posmatranog uzorka.

Ako je hipoteza H0 taqna, test statistika Z0 imastandardnu normalnu raspodelu.

√n, gde je X n

Kritiqne oblasti C zavise od alternativnih hipoteza iprikazane su u tabeli:

H0 H1 Cm = m0 m 6= m0 |z0| ≥ z0,5−α

m = m0 m > m0 z0 ≥ z0,5−αm = m0 m < m0 z0 ≤ −z0,5−α

Broj zα je rexeǌe jednaqine Φ(zα) = α i odre�uje se iztablice normalne raspodele.

Ako realizovana vrednost z0 upada u kritiqnu oblast C,tada odbacujemo nultu hipotezu H0 i prihvatamoalternativnu H1 da je doxlo do promene vrednostiparametra m.

U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H0, odnosnomo�emo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra m.

H0 H1 Cm = m0 m 6= m0 |z0| ≥ z0,5−α

m = m0 m > m0 z0 ≥ z0,5−αm = m0 m < m0 z0 ≤ −z0,5−α

H0 H1 Cm = m0 m 6= m0 |z0| ≥ z0,5−α

m = m0 m > m0 z0 ≥ z0,5−αm = m0 m < m0 z0 ≤ −z0,5−α

H0 H1 Cm = m0 m 6= m0 |z0| ≥ z0,5−α

m = m0 m > m0 z0 ≥ z0,5−αm = m0 m < m0 z0 ≤ −z0,5−α

Testiraǌe hipoteze o parametru m kada je σ2 nepoznato

Posmatra se test statistika tn−1 = X n−m0Sn

n − 1, gde je

X n sredina uzorka, a Sn standardna devijacija uzorka.

Ako je hipoteza H0 taqna, test statistika tn−1 imaStudentovu raspodelu sa n − 1 stepeni slobode.

Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistikatn−1 = X n−m0

S̃n·√

n, gde je S̃n popravǉena uzoraqkadisperzija.

n − 1, gde je

S̃n·√

n − 1, gde je

S̃n·√

n − 1, gde je

S̃n·√

n − 1, gde je

S̃n·√

n − 1, gde je

S̃n·√

n − 1, gde je

S̃n·√

H0 H1 Cm = m0 m 6= m0 |tn−1| ≥ tn−1;0,5−α

m = m0 m > m0 tn−1 ≥ tn−1;0,5−αm = m0 m < m0 tn−1 ≤ −tn−1;0,5−α

Broj tn−1;α se odre�uje iz tablice Studentove raspodele.

Ako realizovana vrednost tn−1 upada u kritiqnu oblastC, tada odbacujemo nultu hipotezu H0 i prihvatamoalternativnu H1 da je doxlo do promene vrednostiparametra m.

H0 H1 Cm = m0 m 6= m0 |tn−1| ≥ tn−1;0,5−α

Testiraǌe hipoteze o parametru σ2 kada je m nepoznato

Postavǉa se pitaǌe da li se vrednost parametra σ2

promenila.

Testiramo nultu hipotezu H0(σ2 = σ20), gde je σ2

0 konkretanbroj, protiv jedne od alternativnih H0(σ2 6= σ2

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

Posmatra se test statistika χ20 = nS

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

Ako je hipoteza H0 taqna, test statistika χ20 ima χ2

raspodelu sa n − 1 stepeni slobode.

Ako je uzorak mali, tada se koristi test statistika

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

n popravǉena uzoraqka disperzija.

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

σ20, gde je S

2n disperzija

uzorka.

χ20 = (n−1)S̃2

0, gde je S̃2

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χn−1;α2

∨χ2

0 ≥ χ2n−1;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n−1;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n−1;α

Broj χ2n−1;α se odre�uje iz tablice χ2 raspodele.

Ako realizovana vrednost χ20 upada u kritiqnu oblast C,

tada odbacujemo nultu hipotezu H0 i prihvatamoalternativnu H1 da je doxlo do promene vrednostiparametra σ2.

U suprotnom, prihvatamo nultu hipotezu H0, odnosnomo�emo smatrati sa pragom znaqajnosti α da nije doxlodo promene vrednosti parametra σ2.

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χn−1;α2

∨χ2

0 ≥ χ2n−1;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n−1;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n−1;α

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χn−1;α2

∨χ2

0 ≥ χ2n−1;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n−1;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n−1;α

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χn−1;α2

∨χ2

0 ≥ χ2n−1;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n−1;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n−1;α

Testiraǌe hipoteze o parametru σ2 kada je m poznato

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

Posmatra se test statistika χ20 =

n∑i=1

(Xi−m)2

raspodelu sa n stepeni slobode.

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

n∑i=1

(Xi−m)2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

n∑i=1

(Xi−m)2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

n∑i=1

(Xi−m)2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

n∑i=1

(Xi−m)2

promenila.

0),H0(σ2 > σ2

0) ili H0(σ2 < σ20).

n∑i=1

(Xi−m)2

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

∨χ2

0 ≥ χ2n;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

Broj χ2n;α se odre�uje iz tablice χ2 raspodele.

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

∨χ2

0 ≥ χ2n;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

∨χ2

0 ≥ χ2n;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

H0 H1 Cσ2 = σ2

0 σ2 6= σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

∨χ2

0 ≥ χ2n;1−α

σ2 = σ20 σ2 > σ2

0 χ20 ≥ χ2

n;1−ασ2 = σ2

0 σ2 < σ20 χ2

0 ≤ χ2n;α

Pirsonov χ2-test

Pirsonov χ2 test je neparametarski test koji se koristi zaispitivaǌe:

saglasnosti uzorka sa pretpostavǉenom raspodelom,

nezavisnosti dva obele�ja.

Ispitivaǌe saglasnosti uzorka sa pretpostavǉenomraspodelom

U zavisnosti od toga da li je obele�je diskretno iliapsolutno neprekidno, crta se trakasti dijagram ilihistogram relativnih uqestanosti.

Testira se nulta hipoteza da posmatrano obele�je X imaodre�enu raspodelu protiv alternativne hipoteze da nematu raspodelu.

Pirsonov χ2-test

Ako izabrana raspodela ima nepoznate parametre, tada seoni oceǌuju na osnovu uzorka.

Realna prava se deli na k disjunktnih intervala S1, S2,. . . , Sk qija je unija taqno R.

Vodi se raquna da svaki interval u sebi sadr�i najmaǌe5 elemenata realizovanog uzorka. Ako postoje intervalikoji sadr�e maǌe od 5 elemenata realizovanog uzorka,tada se oni pridru�uju susednim intervalima.

Izraqunavaju se teorijske verovatno�e

p0i = PH0{X ∈ Si}, i = 1,2, . . . , k

uz pretpostavku da je nulta hipoteza H0 taqna.

p0i = PH0{X ∈ Si}, i = 1,2, . . . , k

Izraqunavaju se oqekivane apsolutne uqestanosti f̂iuzorka obima n, u svakom intervalu Si

f̂i = n · p0i .

Izraqunava se realizovana vrednost test statistike

χ20 =

k∑i=1

(fi − f̂i)2

pri qemu je fi ostvarena apsolutna uqestanost u intervaluSi .

Test statistika χ20 ima χ2 raspodelu sa k − 1 stepeni

slobode.

f̂i = n · p0i .

χ20 =

k∑i=1

(fi − f̂i)2

slobode.

f̂i = n · p0i .

χ20 =

k∑i=1

(fi − f̂i)2

slobode.

Ako raspodela ima l nepoznatih parametara koje smoocenili na osnovu uzorka, tada test statistika ima χ2

raspodelu sa k − l − 1 stepeni slobode.

Odre�uje se kritiqna oblast C veliqine α

χ20 ≥ χ2

k−1;1−α ,

pri qemu se vrednost χ2k−1;1−α qita iz tablice χ2

raspodele.

U sluqaju l nepoznatih parametara raspodele, kritiqnaoblast je χ2

0 ≥ χ2k−l−1;1−α.

Donosi se zakǉuqak o prihvataǌu ili odbacivaǌu nultehipoteze na osnovu realizovane vrednosti test statistikeχ2

0 i dobijene kritiqne oblasti.

χ20 ≥ χ2

k−1;1−α ,

raspodele.

0 ≥ χ2k−l−1;1−α.

χ20 ≥ χ2

k−1;1−α ,

raspodele.

0 ≥ χ2k−l−1;1−α.

χ20 ≥ χ2

k−1;1−α ,

raspodele.

0 ≥ χ2k−l−1;1−α.

Ispitivaǌe nezavisnosti dva obele�ja

Nulta hipoteza je H0(X i Y su nezavisna obele�ja), aalternativna je H1(X i Y nisu nezavisna obele�ja).

Uzorak obima n je zadat tabelom kontingencijeX\Y J1 J2 . . . Js

∑I1 f11 f12 . . . f1s f1•I2 f21 f22 . . . f2s f2•...

......

. . ....

...Ir fr1 fr2 . . . frs fr•∑

f•1 f•2 . . . f•s ngde su I1, . . . , Ir , J1, . . . , Js konkretni brojevi iliintervali, fij je broj pojavǉivaǌa para (Ii , Jj) urealizovanom uzorku, fi• = fi1 + fi2 + · · ·+ fis if•j = f1j + f2j + · · ·+ frj .

Ispitivaǌe nezavisnosti dva obele�jaNulta hipoteza je H0(X i Y su nezavisna obele�ja), aalternativna je H1(X i Y nisu nezavisna obele�ja).

∑I1 f11 f12 . . . f1s f1•I2 f21 f22 . . . f2s f2•...

......

. . ....

...Ir fr1 fr2 . . . frs fr•∑

Ispitivaǌe nezavisnosti dva obele�jaNulta hipoteza je H0(X i Y su nezavisna obele�ja), aalternativna je H1(X i Y nisu nezavisna obele�ja).

∑I1 f11 f12 . . . f1s f1•I2 f21 f22 . . . f2s f2•...

......

. . ....

...Ir fr1 fr2 . . . frs fr•∑

Test statistika je oblika

χ20 =

r∑i=1

s∑j=1

(fij − f̂ij)2

f̂ij,

gde je f̂ij oqekivani broj parova (Ii , Jj) i izraqunava se poformuli

f̂ij =fi• · f•j

Statistika χ20 ima χ2 raspodelu sa (r − 1)(s − 1) stepeni

slobode.

Kritiqna oblast je χ20 ≥ χ2

(r−1)(s−1);1−α.

Na kraju donosimo zakǉuqak o odbacivaǌu iliprihvataǌu nulte hipoteze.

χ20 =

r∑i=1

s∑j=1

(fij − f̂ij)2

f̂ij,

slobode.

(r−1)(s−1);1−α.

χ20 =

r∑i=1

s∑j=1

(fij − f̂ij)2

f̂ij,

slobode.

(r−1)(s−1);1−α.

χ20 =

r∑i=1

s∑j=1

(fij − f̂ij)2

f̂ij,

slobode.

(r−1)(s−1);1−α.

testiraestatistiqkihhipoteza - pmf.ni.ac.rs testiranje... · testiraestatistiqkihhipoteza...

Documents