Gravitazione

Testo di riferimento: •  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Gravitazione

Testo di riferimento: •  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

dal Programma o  Gravitazione

Campi di forze centrali (cenni): Proprietà e leggi di conservazione. La forza gravitazionale. Leggi di Keplero. Massa inerziale e gravitazionale. Legge di gravitazione universale. Campo e potenziale gravitazionale. Moto di un corpo soggetto alla forza gravitazionale.

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Definizione di forza centrale o  definizione di “forza centrale”. Forza agente

su un punto materiale che risulta sempre diretta sempre verso uno stesso “centro”

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d!Ldt

=!r ×!F = 0 →

!L = !r ×m!v = cost

Moto centrale: variabili o  conviene usare le coordinate polari

(riferendosi al centro O) della forza centrale

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!L = !r ×m!v = !r ×m(!vr +

!vθ ) =!r ×m!vθ

L =mrvθ =mr2 dθdt

L costante à è costante il prodotto r2 dθ/dt

dAdt

= 12 r ⋅ r

dθdt

=L2m

questa quantità è detta “velocità areale” ed è costante nel moto.

La traiettoria di un punto ch si muove in un campo di forze centrali giace in un piano fisso passante per il centro ed è percorsa con velocità areale costante

Moto centrale o  Se la traiettoria è chiusa (moto dei

pianeti attorno ad una stella), la costanza di dA/dt=C permette di calcolare C facilmente:

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C = A /T

T = 2mLA

A area totale percorsa in una rivoluzione, T periodo della rivoluzione

Per orbita circolare: A=πr2 per orbita ellittica: A=πab

Proprietà fondamentale delle forze centrali

o  Le forze centrali sono conservative

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W =!F ⋅d!s

A

B

∫ = F!ur ⋅d!s

A

B

∫

!ur ⋅d!s = dscosθ = dr

W = F drA

B

∫ = f (rB )− f (rA )

dr è la variazione del modulo di r durante lo spostamento ds

La forza di gravitazione Le tre leggi di Keplero: 1.  I pianeti descrivono orbite ellittiche intorno al

Sole, ed il Sole occupa uno dei due fuochi dell’ellissi.

2.  La velocità areale (con cui il raggio vettore che unisce il sole al pianeta) è costante

3.  Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse: T2=ka3

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Legge di gravitazione universale

o  dalle tre leggi di Keplero si può ricavare la legge di gravitazione universale (così fece Newton)

o Noi faremo il contrario

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F = γ m1m2

r2la formula da il modulo della forza. La forza è attrattiva

γ  è una costante “universale”: vale sia sulla terra (caduta della mela), sia tra corpi celesti

La prima misura di γ è stata effettuata da Cavendish col “pendolo di torsione”

γ = 6.67 10-11 m3/(Kg s2)

derivazione delle leggi di Keplero o  Poiché la forza gravitazionale è una forza centrale, la

prima e la seconda legge di Keplero sono soddisfatte. n  proprietà generale di tutte le forze centrali

o  La terza è peculiare della forma esplicita della legge di gravitazione n  la ricaviamo nel caso semplice di orbita circolare: T2/R3=cost

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F = γ mPMS

rP2 =mPaPianeta

centripeta =mPv2

rP

→ v2 = γMS

rP→ v = γMS

rP

La velocità è anche pari a:

v = 2πrPTP

Uguagliando le due velocità: TP2

rP3 =

4π 2

γMS

Massa inerziale e massa gravitazionale

o  le masse che compaiono nella formula precedente sono “masse gravitazionali”

o  Per un corpo che “cade” sulla terra

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F = γ mGmT ,G

r2=mIg

g = γ mT ,G

r2mG

mI

Sperimentalmente g è lo stesso per tutti i corpi: mG/mI=1 Massa gravitazionale e massa inerziale coincidono

g = γ mT

r2

Il “Campo” gravitazionale o  Nella seconda parte del corso utilizzeremo

di più il concetto di “campo” e un po’ meno quello di “forza”.

o  Si può già introdurre questo concetto per la forza gravitazionale.

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Definiamo il “campo” (è un vettore) nel punto in cui si trova la massa m, come il rapporto tra la forza che agisce su m (è un vettore) e la massa m

!F = γ mM

r2!ur

!G(P) = −γ M

r2!ur

Il “Campo” gravitazionale o  M può essere considerata la

“sorgente” del campo gravitazionale n  si può pensare che sia presente il campo

anche in assenza della massa m (nel punto P)

o  Se vi sono più “sorgenti del campo”, il campo è la somma dei campi

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!F = −γ mM

r2!ur

!G(P) = −γ M

r2!ur

!Gi (P) = −γ

Mi

ri2

!ui

!G(P) =

!Gi∑ = −γ

Mi

ri2

!ur⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∑

Energia potenziale gravitazionale o  la forza è conservativa

n  posso introdurre l’energia potenziale

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dW =!F ⋅d!s = −γ m1m2

r2!u1 ⋅d!s

!u1 ⋅d!s = dr

variazione del modulo della distanza tra m1 ed m2 a seguito dello spostamento ds

W = dWA

B

∫ = −γm1m2

r2dr

A

B

∫ = −γm1m2 −1rB+1rA

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= EP,A −EP,B

EP = −γm1m2

r

Esempio 11.4

o Calcolare la “velocità di fuga” di un corpo dalla terra n  minima velocità che un corpo deve avere

per allontanarsi dalla terra ½mv2 – γ mmT/rT = ½ mv0

2 (=0) à vF=√(2γmT/rT ) =√(2g rT) = 11.2 km/s

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Campi di forze centrali (cenni): Proprietà e leggi di conservazione. La forza gravitazionale. Leggi di Keplero. Massa inerziale e gravitazionale. Legge di gravitazione universale. Campo e potenziale gravitazionale. Moto di un corpo soggetto alla forza gravitazionale.

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