text01 matbach2cs sistemas de ecuaciones

TEMA 1SISTEMASDEECUACIONES

JoslvarezFajardobajounalicenciaReconocimientoNoComercialCompartirIgual2.5SpaindeCreativeCommons

Contenidos

1. Ecuaciones lineales.2. Sistemas de ecuaciones lineales.3. Clasificacin de los sistemas de

ecuaciones.4. Sistemas equivalentes.5. Sistemas escalonados: mtodo de

Gauss.6. Ampliacin: interpretacin geo-

mtrica de sistemas lineales contres ecuaciones.

Tiempo estimado

8 sesiones

Criterios de Evaluacin

1. Domina los conceptos de ecua-cin lineal, soluciones de unaecuacin y de un sistema.

2. Es capaz de clasificar sistemasatendiendo al conjunto de sussoluciones e interpretarlos geo-mtricamente.

3. Dado un sistema, es capaz deobtener otro equivalente me-diante las transformaciones ele-mentales.

4. Resuelve por un mtodo apro-piado cualquier sistema lineal de,a lo sumo, cuatro ecuaciones y noms incgnitas.

5. Aplica la resolucin de sistemas aproblemas concretos de diversosmbitos.

MatesAplicadasII SistemasdeEcuaciones

1.Ecuacioneslineales.

Ecuacionesconvariasincgnitas.Intentemos resolver algebraicamente el siguiente problema: obtn dosnmerosrealessabiendoquesuman5.

Dar una solucin es sencillo. Observemos que una solucin no es unnmero,sinounaparejadenmeros.Porejemplo,unasolucineslaparejadenmeros 4 , 1 .

Intentemosencontrarlasolucingeneraldelproblema:llamamos x aunodelosnmeroseyalotro.Debeverificarse:

x+y=5

Estoesunaecuacinlinealcondosincgnitas.

Tieneinfinitassoluciones:

x , y = 4,1 , x , y=2,7 , x , y = 12 , 92 , Paraobtenersoluciones,despejamosunaincgnitaenfuncindelaotra:

xy=5 y=5x

Ahoradamosvaloresalaincgnitax:

Si x=1 y=4 Unasolucines x , y =1 ,4 Si x=5 y=0 Unasolucines x ,y =5 ,0

Si x=t y=5 t Unasolucines x , y = t ,5t

Lasolucingenerales,pues:

S={ t ,5t : t }

Ecuacioneslineales.La ecuacin que hemos estudiado antes es una ecuacin lineal. Otrasecuacioneslinealesson:

2 x5=0 ;3 x4 y=5; xyz=3

Nosonlinealesaquellasenlasquelasincgnitasvanelevadasapotencias,semultiplicanentres,.Porejemplo:

y x2=0; xy=1

Engeneral:

Unaecuacinlinealesunaecuacinpolinmicadeprimergradoconunaovariasincgnitas.

1JoslvarezFajardo


Interpretacingeomtrica.Hemosvistoquelaecuacinx+y=5tieneinfinitassoluciones,yquecadaunadelassolucionesesunpar x ,y denmerosquecumpley=5x.

Podemosrepresentarcadaparejasolucinenunosejesdecoordenadas:

x 1 0 1 2 3 4 5 6

y=5x 6 5 4 3 2 1 0 1

Obtenemos una recta, en la que las coordenadas de cada punto son unasolucindelaecuacinx+y=5.

Unaecuacinlinealdedosincgnitaspuedeinterpretarseenelplanocomounarecta,dondelospuntosdelarectasonlassolucionesdedichaecuacin.

Msadelanteveremoslainterpretacingeomtricadeunaecuacinlinealcontresincgnitas.

2.Sistemasdeecuacioneslineales.

Sistemasdeecuacioneslineales.Consideremos ahora el siguiente problema: Obtn dos nmeros reales,sabiendoquesusumaes5yquesudiferenciaes1.

Sillamamosxalprimernmeroeyalsegundo,tienenqueverificarse,alavez,lasdoscondicionessiguientes:

Susumaes5 xy=5Sudiferenciaes1 xy=1}

Ahtenemosunsistemadeecuaciones:eslaconsideracinsimultneadelasdosigualdades.

Lasolucindel sistemaes unpardenmerosquedebecumplir lasdosecuaciones.Porejemplo,elpar x ,y =5 ,0 noessolucindelsistema,siendoslosolucindelaprimeraecuacin.Esfcilobservarquelanicasolucines x ,y =3 ,2 .

Interpretacin geomtrica de unsistemade dosecuacionescondosincgnitas.Consideremoselsistemaanterior.

Sabemosquecadaecuacinserepresentacomounarecta.As:

cadapunto(x,y)delarectay=5xverificala1ecuacin.

cadapunto(x,y)delarectay=x1verificala2ecuacin.

Culserlasolucindelsistema?Hadeserunpuntodelasdosrectasparaqueseasolucindelasdosecuaciones:eselpuntodeinterseccin.

2JoslvarezFajardo

Repasa en tus apuntes decursos anteriores los mtodoselementales de resolucin desistemas de ecuaciones:sustitucin, igualacin yreduccin

y=5-xy=x-1

X

Y

X

Y


Definiciones.Vamosadarlasdefinicionesylasnotacionesusualesalahoradeestudiarlosllamadossistemaslinealesdeecuaciones:

Unsistemademecuacioneslinealesconnincgnitasesunconjuntodeigualdadesdelaforma:

[S]:{ a11x1a12 x2a1n xn = b1a21x1a22 x2a2 n xn = b2 = am1x1a

m2x2a

mnxn

= bm

Donde:

aijsonnmerosrealesdadosllamadoscoeficientes

bjsonnmerosrealesdadosllamadostrminosindependientes

x i sonlasincgnitas,esdecir,nmerosrealesdesconocidosquedebenverificarsimultneamentelasmigualdadesdelsistema.

Ejemplo : el sistema S es un sistema de dos ecuaciones con dosincgnitas.Observaquenoesunsistemalineal

S :{x4y=1x2y=5 Ejemplo :elsistemaS esunsistemadedosecuacioneslinealescontres

incgnitas.

S :{x4 y3 z=12 x3 yz=5Recordemosquesunasolucindeunsistemayquesresolverlo:

Diremosque lasucesindenmerosreales s1 , s2 , , sn esunasolucindelsistemaSsialsustituirenelsistemalaincgnitaxiporsiobtenemosmigualdadesnumricas.

Resolver un sistema es averiguar si un sistema tiene solucin,encontrandotodassussoluciones,silashubiera.

Ejemplo :compruebaquelasolucindeSes x , y=1, 3

S :{x2 y=53 xy=0xy=4 Ejemplo :razonaqueelsistemaSnotienesolucin

S ' : {xyz=1xyz=3

3JoslvarezFajardo


3.Clasificacindelossistemas.Lasiguienteclasificacindelossistemaslinealeseslaquecomnmenteseusa,atendiendoalnmerodesoluciones:

Unsistemadeecuacioneslinealessedicequees:

Incompatiblesinotieneningunasolucin.

Compatibledeterminadositienesolucinnica.

Compatibleindeterminadositieneinfinitassoluciones.

Ejemplo :Elsistemadetresecuacionescondosincgnitas

{ xy=1xy=5x3 y=3es compatible determinado. Podemos observar que la solucin esx , y=3, 2 .Estamosantetresrectassecantesenunpunto.

Ejemplo :Elsistemadetresecuacionescondosincgnitas

{ 2 x3 y=93 x5 y=45 x2 y=6esincompatible.Estamosantetresrectassecantesdosados,peroquenotienenningnpuntoencomn.

Ejemplo :Elsistemadedosecuacionescondosincgnitas

{xy=2xy=6es claramente incompatible: no pueden cumplirse a la vez ambasigualdades.Estamosantedosrectasparalelas.

4.Sistemasequivalentes

Concepto.Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen lasmismassoluciones.

Ejemplo :puedecomprobarsequelossistemassiguientes

S1:{ xy=3xy=1 S2 :{xy=32 x=2son equivalentes, ya que ambos tienen la misma nica solucinx ,y =1 ,2 .

4JoslvarezFajardo

Es importante observar que unsistema lineal con solucin, bienes compatible determinado bienindeterminado.

t

s

r

P

ts

r

s

r


Transformaciones vlidas en un sistema deecuaciones.Cuandoresolvemosunaecuacinounsistemalo transformamosenotroequivalente cuyaresolucinesperamosqueseams fcil, o inclusoalgotrivial.

Aclaremos cules son esas transformaciones vlidas a las que podremossometerunsistemadeecuaciones:

Sisometemosunsistemadeecuacionesalassiguientestransformacionesobtendremosunsistemaequivalente:

Permutarecuaciones.

Multiplicarlosdosmiembrosdeunaecuacinporunnmerodistintodecero.

Aadirosuprimirunaecuacinqueescombinacinlinealdeotras.

Sustituir una ecuacin por otra que es el resultado de aadirle unacombinacinlinealdeotrasecuaciones.

Ejemplo :Lossistemassiguientessonequivalentes:

S :{x2 y=1xy=3 e '1=e1e '2=e2e1 S ' :{x2 y=1y=2 Ejemplo :Lossistemassiguientessonequivalentes:

S :{x2 yz=1x y2 z=3 e '3=e1e2 S ' :{ x2 yz=1xy2 z=32 x3 yz=45.MtododeGauss.

Sistemasescalonados.Lossistemassiguientes

S1:{x3 y=12 y=6 yS2 :{x2 yz=1y2 z=24 z=8sedenominanescalonados.

Su resolucin es muy simple: la ltima ecuacin permite obtener unaincgnita,alsustituirstaenlaanteriorobtenemoselvalordeotra,yassucesivamente.

5JoslvarezFajardo

Resuelve los sistemasescalonados.Observa que son compatiblesdeterminados.


MtododeGauss.ElmtododeGaussesunprocedimientoparaconvertirtodosistemaenotroqueseaescalonado,usandolastransformacionesquevistasantes.

Ejemplo :observemoscmoseresuelveelsistema

S :{ x+ 2 yz=1x+ y+ z=32 x+ 4 yz=0 e '1=e1e '2=e2e1e '2=e32e1 S ' :{x+ 2 yz=1y+ 2 z=2

z=2

Ahoravamoshallandoelvalordelasincgnitasescalonadamente:

e3 z=2e2 y=22 z=6e1 x=12 yz=11 Ejemplo :observemoscmoseresuelveelsistema

S :{ x+ 2 yz=1x+ y+ z=32 x+ 4 y2z=0 e ' 1=e1e ' 2=e2e1e ' 2=e32 e1 S ' : {x+ 2 yz=1y+ 2 z=2

0=2

Como vemos, la tercera ecuacin se ha convertido en una igualdadabsurda, quenopuedecumplirsepara ningnvalorde las incgnitas.Estosignificaqueelsistemanotienesolucin.

Ejemplo :observemoscmoseresuelveelsistema

S :{ x+ 2 yz=1x+ y+ z=32 x+ 4 y2 z=2 e ' 1=e1e ' 2=e2e1e ' 2=e32 e1 S ' : {x+ 2 yz=1y+ 2 z=2

0=0

Vemosquelaterceraecuacinsehaconvertidoenunaidentidad,ynoshemosquedadoconmsincgnitasqueecuaciones.Pasemoslaincgnitaz alsegundomiembroyexpresemoslasotrasincgnitasenfuncindeella:

e3 z=te2 y=22 z=22te1 x=12 yz=53 tEscompatibleindeterminado.Todassussolucionesvienendadaspor

Solucin:{x=53 ty=22 tz=tdondeestunnmerorealcualquiera,denominadoparmetro.

6JoslvarezFajardo

Estamos ante un sistemacompatible determinado cuyanica solucin es:

x , y, z = 11 ,6, 2

Estamos ante un sistemaincompatible.

Observemos que estamos anteun sistema compatibleindeterminado. En ellos lasolucin queda expresada enfuncin de uno o msparmetros.


Sideseamosobtenersolucionesnumricasconcretas,damosatvaloresnumricosconcretos:

t=1 x , y , z = 2, 0, 1t=0 x , y , z = 5, 2, 0

Ejemplo :resolvamoselsistemasdedosecuacionescondosincgnitas

S :{x+ 2 y=33 x+ y=1 e '1=e1e '2=e23e1 S ' : {x+ 2 y=35y=10Ahoravamoshallandoelvalordelasincgnitasescalonadamente:

e2 y= 105=2e1 x=32 y=34=1 Nota:alahoradeaplicarelmtododeGausspodemosolvidarnosdelas

incgnitasytratarsloconloscoeficientesytrminosindependientes.Enelprimerejemplo:

(1 2 1 11 1 1 32 4 1 0) f 1f 2 f 1f 32 f 1 (1 2 1 10 1 2 20 0 1 2)

7JoslvarezFajardo

Estamos ante un sistemacompatible determinado cuyanica solucin es:

x , y =1,2


Ejercicios1. [S/99]Resuelvaelsistemadeecuaciones

{ x yz=0x2 z=1xy2 z=02. [S/99]Resuelvayclasifiqueelsiguientesistema:

{ x2 y3 z=1x4 y5 z=12 x2 y4 z=23. [S/99]Seaelsistemadeecuacioneslineales

xm yz=4x3 yz=5

mx yz=4}a) Resulvaloyclasifqueloparam=1

b) Resulvaloyclasifqueloparam=2.

4. [S/99]Resuelvaelsistemaparaelvalorm=1:

{2 x ymz=2x2 yz=2m y2 z=45. [S/00]Consideremoselsiguientesistema:

S :{x9 y5z = 33x3 yz = 9xyz = 5a) Resulvalo y clasifquelo segn el nmero de

soluciones.

b) Determinesiesonoposibleeliminarunadelasecuaciones,deformaqueelsistemaqueresulteseaequivalentealanterior.

6. [S/03]Clasifiqueyresuelvaelsistema

{2 x3 yz=4x2 yz=57. [S/01] Resuelva el siguiente sistema e interprete

grficamentesussoluciones

2 xy=54x2=12y1

8. [S/01] Resuelva el sistema siguiente en cuanto alnmerodesoluciones:

{3 x2 y2 z=3xz=12 yz=0Clasifquelosegnelnmerodesoluciones.

9. [S/03]Clasifiqueyresuelvaelsistema

{ x2 yz=02 xyz=54 x7 y5 z=1510.[S/04]Clasifiqueyresuelvaelsistema

{ x yz=22 x3 yz=24 xy3 z=211.[S/05]Seaelsistemadeecuaciones:

{xyz = 22 xz = 02 yz = 4a) Resulvaloyclasifquelo.

b) Obtenga,si existe,unasolucindel sistemaqueverifique x=2 y .

12.[S/05]Dadoelsistema

S :{ xyz = 02 x3 y z = 174 x5 yz = 17a) Resuelva el siguiente sistema y clasifquelo

atendiendoalnmerodesoluciones:

b) A la vista del resultado anterior, podemosafirmar que hay una ecuacin que escombinacinlinealdelasotrasdos?

13.[S/06]Elcajerodeunbancoslodisponedebilletesde10,20y50euros.Hemossacado290eurosdelbancoyel cajeronoshaentregadoexactamente8billetes.Elnmerodebilletesde10eurosquenoshadadoeseldobledelde20euros.

Planteeyresuelvaelsistemadeecuacioneslinealesasociadoaesteproblemaparaobtenerelnmerodebilletesdecadatipoquenoshaentregadoelcajero.

1JoslvarezFajardo


14.[S/06]Plantee,sinresolver,elsistemadeecuacionesque permita encontrar la solucin del siguienteproblema:

EnunexamendeMatemticasqueconstabadetresproblemas,unalumnoobtuvounacalificacintotalde7.2.Lapuntuacindelprimerproblemafueun40%msqueladelsegundo,yladeltercerofueeldobledelasumadelaspuntuacionesdelprimeroyel segundo. Cul fue la puntuacin de cadaproblema?

15.[S/07] Un taller de carpintera ha vendido 15muebles,entresillas,sillonesybutacas,poruntotalde1600euros.Sesabequecobra50eurosporcadasilla,150eurosporcadasillny200eurosporcadabutaca,yqueelnmerodebutacaseslacuartapartedelnmeroquesumanlosdemsmuebles.

Plantee, sin resolver, el sistema de ecuacionesadecuadoquepermitecalcularcuntosmueblesdecadaclasehavendidoesetaller.

16.[S/07] Resuelva y clasifique el sistema deecuaciones:

x y = 1z2 xz = 2y

y = z}17.[S/07]Clasifiqueyresuelvaelsistemaformadopor

lastresecuacionessiguientes:

x3 y2 z=0;2 xy z=0 ; x8 y5 z=0

18.Consideremoselsiguientesistema:

{ 2 xyz=0x2 yz=33 x2 y=1a) Resulvalo por el mtodo de Gauss y

clasifquelo.

b) Sifuesenecesario,cambieunadelasecuacionespara que el sistema resultante sea compatibleindeterminado.Razonelarespuesta.

19.Resuelvaelsiguientesistemadeecuaciones:

{ x y=2yz=3xyz=5

Es posible transformarlo en uno compatibleindeterminadocambiandoslolaterceraecuacin?

Razonelarespuestaypongaunejemplo.

20.Dadoelsiguientesistema:

2 x3 y3=02 x2 y12=0xy1=1 }

a) Resulvalo.

b) Clasifquelotendiendoalnmerodesoluciones.

c) Interpretelogeomtricamente.

21.Resuelvalossistemas,usandoelmtododeGauss,yclasifquelossegnelnmerodesoluciones:

a) { 2 xy4 z=1x2 y2 z=24 x7 y8 z=1b) {3 x2 yz=1x2 y3z=2x yz=1c) { xyz=12 xyz=0x5 yz=3

22.[S/97]Un tren transporta 470 pasajeros y larecaudacindel importedesus billetes asciendea6800

Calculacuntosviajeroshanpagadoelimportetotaldelbilletequeasciendea16,cuntoshanpagadoel80%delbilleteycuntosel50,sabiendoqueelnmerode viajeros quehanpagadoel 50% eslamitaddelnmerodeviajerosquepagaronel80%.

23.[S/98] Alumnosdedosgruposdistintos, A y B,realizan un mismo examen de MatemticasAplicadasalasCC.SS.II.SesabequelanotamediaenelgrupoAhasidode4'5puntosyde5'4puntosenelB.

Calculeelndealumnosdecadagrupo, sabiendoquelosdossuman72alumnosyquelanotamediadelos72alumnoshasido495puntos.

2JoslvarezFajardo


24.[S/98] Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, sonaficionados a la msica. Entre los tres poseen untotaldediscoscompactos(CD)comprendidosentre16y22.Marcospresta4CDaMiguel,Luispresta1CDaMarcosyMiguelpresta2CDaLuis,conlo cual los tres amigos tienen ahora el mismonmerodeCD.CuntosCDpuedentenerentotal?

25.[S/98]Unvendedordisponedetrestiposdepiensos:A,B y C.Aciertoganaderolecobra62cntimosel kilo de una mezcla formada por una parte depiensoA,dosdeBytresdeC.

Aotroganaderolecobra48cntimoselkilodeunamezclaformadapordospartesdelpienso A yunadeltipoB.

a) Averige el precio del kilo de una mezcla, apartesiguales,decadatipodepienso.

b) Hale el precio del kilo decada tipo de piensosabiendoquelamezcla,apartesiguales,delostiposByCcuesta65cntimoselkilo.

26.[S/98]Detrescantidadesdistintasr


35.[S/03]UninversorcompraccionesdelasempresasA , B y C por un valor total de 20000 euros,invirtiendoenCeldoblequeenA.AlcabodeunaolaempresaAlepagel6%debeneficio,laBel8%ylaCel10%.

Siel beneficio totalfuede1720euros,qudineroinvirtiencadaempresa?

36.[S/04]Sabemosqueelpreciodelkilodetomateseslamitadqueeldelkilodecarne.Ademselpreciodelkilodegambaseseldoblequeeldecarne.

Sipagamos18eurospor3kilosdetomates,1kilode carne y 250 gramos de gambas, cuntopagaramospor2kilosdecarne,1kilodetomatesy500gramosdegambas?

37.[S/04]Unmonederocontiene1euroenmonedasde2,5y10cntimos;entotalhay22monedas.Sabiendoqueelnmerodemonedasde5y10cntimosjuntasexcedeen2unidadesalnmerodemonedasde2cntimos, obtengael nmerodemonedasdecadatipoquehayenelmonedero.

38.[S/06]Plantee,sinresolver,elsistemadeecuacionesque permita encontrar la solucin del siguienteproblema:

EnunexamendeMatemticasqueconstabadetresproblemas,unalumnoobtuvounacalificacintotalde7.2.Lapuntuacindelprimerproblemafueun40%msqueladelsegundo,yladeltercerofueeldobledelasumadelaspuntuacionesdelprimeroyel segundo. Cul fue la puntuacin de cadaproblema?

39.[S/06]Elcajerodeunbancoslodisponedebilletesde10,20y50euros.Hemossacado290eurosdelbancoyel cajeronoshaentregadoexactamente8billetes.Elnmerodebilletesde10eurosquenoshadadoeseldobledelde20euros.

Planteeyresuelvaelsistemadeecuacioneslinealesasociadoaesteproblemaparaobtenerelnmerodebilletesdecadatipoquenoshaentregadoelcajero.

40.Un grupo de 20 personas se rene para ir deexcursin.Elnmerototaldehombresymujeresesigual al triple del nmero de nios. Adems, sihubieraacudidounamujerms,sunmeroigualaraaldehombres.Cuntasmujeres,niosyhombreshay?

41.Uncinehaproyectadounadeterminadapelculaslotres das: el lunes, el martes yel mircoles de lasemana pasada. Se sabe que el nmero deespectadoresdelmartesseincrementenun 12%respecto del lunes, que el mircoles ese nmerodisminuy un 12% respecto del martes y que ellunesesenmerosuperen36espectadoresaldelmircoles.

Calcule el nmero de espectadores que vieron lapelculacadaunodelostresdas.

42.Unatiendavendeunaclasedecalcetinesa12 elpar. Al llegar las rebajas, durante el primer mesrealizaun30%dedescuentosobreelprecioinicial,y en el segundo mes un 40% tambin sobre elprecioinicial.

Sabiendo que vende un total de 600 pares decalcetines por 5976 y que en las rebajas havendidolamitaddedichototal,acuntosparesdecalcetinesseleshaaplicadoeldescuentodel40%?

43.Mezclandotresproductos,digamos X, Y y Z,debemos obtener 10 kg. de pienso que contenga 19unidadesdehidratosdecarbonoy12unidadesdegrasa.

Sabiendoquecadakilode X contieneunaunidaddehidratosdecarbonoydosunidadesdegrasa,quecadakilodelproducto Y contienedosunidadesdehidratosdecarbonoyunidaddegrasa,yquecadakilodelproductoZcontienecuatrounidadesdehidratosdecarbonoynadadegrasa,cuntoskilosdecadaproductodebemosponer?

44.UnaganaderadaasuganadounamezcladedostiposdepiensosAyB.UnkilodepiensoAproporcionaaunaresel6%desusnecesidadesdiariasdeprotenasyel 14% desusnecesidadesdecarbohidratos.

Un kilo de B contiene el 35%del requerimientodiariodeprotenasyel15%decarbohidratos.

Silaganaderadeseaquesuganadotengacubiertas,perosinexcedentes,susnecesidadesdiariasdeprotenasycarbohidratos,cuntosKg.decadatipodepiensodeberproporcionaracadares?

4JoslvarezFajardo


45.En una cafetera, los ocupantes de una mesaabonaron335ptapor doscafs,unatostadaydosrefrescos; mientras que los de otra mesa pagaron655 pta por cuatro cafs, tres tostadas y tresrefrescos.

a) Cuntohandepagarlosclientesdeunaterceramesasihanconsumidodoscafsytrestostadas?

b) Con los datos que se dan, puedes calcularcuntovaleuncaf?Justificalarespuesta.

46.Dos marcas de detergente, Blancol y Lmpex, sedisputan el mercado de una cierta regin. Acomienzosdeaoambaslanzansendascampaasdepublicidadconobjetodecaptarclientes.

A lo largode lacampaa, Blancol lograatraer al20%delosclientesquetenaLmpexacomienzosdeao.Asuvez, Lmpex consiguecaptarel 30%de los clientes que tena Blancol a comienzos deao. Si al final de las campaas la marca Lmpextieneel55%delmercado,quporcentajetenaalcomienzo?

47.Una fbrica de electrodomsticos tiene unaproduccinsemanalfijade42unidades.Lafbricaabasteceatresestablecimientosdigamos A, B yC,quedemandantodasuproduccin.

Enunadeterminadasemanael establecimiento AsolicittantasunidadescomoByCjuntosy,porotrolado,Bsolicitun20%msquelasumadelamitaddeloquepidi A mslatercerapartedeloquepidiC.

Cuntasunidadessolicitcadaestablecimientodichasemana?

48.Al representar en el plano las ecuaciones de unsistemaformadoportresecuaciones(e1,e2,e3)ydosincgnitas,seobservaque e1 esunarectaparalelaalejeX,e1ye2secortanenelpunto 1, 2 ,e2ye3secortanenelpunto 2, 0 ye3esparalelaalejeY.Obtengalasecuacionesdelsistema.

49.Encasodequeelsiguientesistemaseacompatibleparaalgnvalordelparmetrot,resulvelo:

{xy=4xy=2 tt xy=2

50.DeterminaelvalordemparaqueStenga:

S : { x2 y=8xm y=4a) Solucinnica.

b) Solucinmltiple.

c) Ningunasolucin.

d) Lasolucinx=8.

e) Lasolucinx=0.

Cuestiones1. Escribetressistemasdetresecuacionescondosin

cgnitas cuya interpretacin geomtrica, en cadacaso,secorrespondaconlassiguientesrepresentaciones:

a) Tresrectasparalelas:

b) Tresrectassecantes:

c) Dos paralelas y una secante con cada una deellas:

2. Siaunsistemaincompatiblededosecuacionescondos incgnitas le aadimos una tercera ecuacin,podramoslograrquefuesecompatibleindeterminado?Razonalarespuesta.

3. Escribeunsistemadedosecuacionescontresincgnitasdemodoque x , y , z = 1, 2, 3 seaunasolucin.Resuelveluegoelsistema.

5JoslvarezFajardo


4. Escribe,cuandoseaposible,sistemasdeecuacionesquerespondanalascaractersticassiguientes:

a) Unsistemadetresecuacionescondosincgnitasquetengainfinitassoluciones.

b) Unsistemadedosecuacionescontresincgnitasqueseacompatibleydeterminado.

c) Unsistemadetresecuacionescontresincgnitasquenotenganingunasolucin.

d) Unsistemadetresecuacionescontresincgnitasquetengasolucinnica.

Razona,encadacaso,turespuesta.

5. SeanSySdossistemasdistintosdeecuacioneslinealesconlosmismoscoeficientes.

a) Justificaconunejemploque S puedesercompatibleySincompatible.

b) Silosdossistemassoncompatibles,puedetenerS solucin nica y S infinitas soluciones?Justificalarespuesta.

6. Un sistema detresecuacioneslinealescondos incgnitas,puedesercompatibleydeterminado?Encasoafirmativo,daunejemplo.

7. Hallelaposicinrelativadelasdosrectasdelplanodefinidasporlasecuaciones

x12y=6 , 2 xy=6

6JoslvarezFajardo


Autoevaluacin1. Resuelvepor el mtododereduccindeGauss el

sistemasiguiente:

{5 x2 y4 z=92 x2 yz=3x2 y2 z=3Clasifcaloatendiendoalnmerodesoluciones.

2. Consideraelsistemadeecuacioneslineales

S {xy2 z=1x2 yz=0a) Clasifcaloyresulvelo.

b) Aaderazonadamentea S unaterceraecuacinde forma que el sistema resultante seaincompatible.

c) Aaderazonadamentea S unaterceraecuacindeformaqueelsistemaresultanteseacompatibleindeterminado.

3. Dadoelsistemadeecuaciones:

S { xy=0x y=4x3 y=0a) Resulveloyclasifcalo.

b) Interpreta geomtricamente el sistema en unosejescartesianos.

4. Escribe, si es posible, un sistemaque cumpla lascondicionessiguientes:

a) Compatibledeterminadodedosecuacionescontresincgnitas.

b) Compatibledeterminadodetresecuacionescontresincgnitas.

c) Incompatible de dos ecuaciones con cuatroincgnitas.

d) Compatibleindeterminadodetresecuacionescontresincgnitas.

5. Una laboratorio farmacutico distribuyeenvasadostrestiposdecompuestos(A, ByC), utilizadosparaelaborarmedicamentos.

Los precios y pesos de los envases de cadacompuestovienendetalladosenlatablasiguiente:

Envasede Peso(g) Precio()

A 250 1

B 500 1'80

C 1.000 3'30

A una farmacia le ha suministrado un lote de 5envases,conunpesototalde2'5kgporunimportede8'90.

Cuntos envases de cada clase ha comprado lafarmacia?

7JoslvarezFajardo


Autoevaluacin1. AplicamoselmtododeGaussparaescalonar:

S : e3 e1 {x2 y2 z=32 x2 yz=35 x2 y4 z=9 e22 e1e35e1{x2 y2 z=36 y3 z=312 y6 z=6 e2 :3e32 e2 {

x2 y2 z=32 yz=1

0=0

Comopodemosapreciar, el sistemaes compatibleindeterminado.

Vamosaresolverlo:

e3 y=te2 2 yz=1 z=12 te1 x=12 t {x=12 ty=tz=12 t

2.

a) Restando a la segunda ecuacin la primeratendremosunsistemaescalonado:

S : e2e1 {x y2 z=13 yz=1Comopodemosapreciar,elsistemaescompatibleindeterminado.Haciendoy=t:

e2z=13 y z=13 te1 x=15 t {x=15 ty=tz=13 tb) Escribimosunaigualdadquenopuedacumplirse

a la vez, por ejemplo, que la primera. Unaposibilidades:

S ' : {xy2 z=1x2 yz=0xy2 z=2c) Bastaaadir una ecuacinqueseacombinacin

lineal delasdosprimeras.Sirveeldobledelasegundaecuacin:

S ' ' :{xy2 z=1x2 yz=02 x4 y2 z=0

3. Vamosconlatercera:

a) Resolvemos el sistema formado por las dosprimerasecuaciones,obteniendo

x ,y =2 ,2

Yahoracomprobamosesasolucinenlaterceraecuacin:

232=0 4=0 NO!

Comovemos,elsistemaesincompatible.

b) Cada ecuacinse representa en el planocomouna recta. Cada uno de sus puntos es unasolucindelacorrespondienteecuacin:

Setratadetresrectassecantesdosados.Perolastresnosonsecantesenningnpunto.

4.

a) Es imposible, ya que un sistema con msincgnitas queecuaciones bienes incompatiblebienescompatibleindeterminado.Nuncapuedetenersolucinnica.

b) Tomemos,porejemplo, x=1 , y=2 , z=3

Yescribamosunsistemaescalonadoconellos:

S :{x yz=6yz=5z=3c) Basta escribir dos igualdades que no puedan

cumplirsealavez:

{abcd=1abcd=28

JoslvarezFajardo

X

Y


d) Escribimos dos ecuaciones compatibles y leaadimos,porejemplo,lasumadeambas:

{xyz=6yz=52 y2 z=105. Pongamosquelafarmaciahacomprado

xenvasesdelcompuestoA

yenvasesdelcompuestoB

zenvasesdelcompuestoC

Comoentotalsoncincoenvases:

xyz=5

Comoelpesototalson2.500gramos:

250 x500 y1000 z=2500

Comoelpreciototalhasido890euros.:

x1'80 y3'30 z=8'90

Simplificando adecuadamente obtenemos elsiguientesistema:

{xyz=5x2 y4 z=1010 x18 y33z=89Resolviendo:

x , y , z =2, 2, 1 Resulta, pues, que ha comprado dos envases delcompuestoA,dosdelcompuestoByunodelC.

9JoslvarezFajardo

1. Ecuaciones lineales.Ecuaciones con varias incgnitas.Ecuaciones lineales.Interpretacin geomtrica.

2. Sistemas de ecuaciones lineales.Sistemas de ecuaciones lineales.Interpretacin geomtrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.Definiciones.

3. Clasificacin de los sistemas.4. Sistemas equivalentesConcepto.Transformaciones vlidas en un sistema de ecuaciones.

5. Mtodo de Gauss.Sistemas escalonados.Mtodo de Gauss.

text01 matbach2cs sistemas de ecuaciones

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