tez

1

PORTFÖY OPTİMİZASYONU

Habip TAYLAN

Abdülfettah UYGUR

Danışman:

Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU

KÜTAHYA-2012

2

T.C.

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

İSTATİKSEL ANALİZ PROJESİ


Habip TAYLAN

Abdülfettah UYGUR

Danışman:

Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU

KÜTAHYA-2012

3

KABUL ve ONAY SAYFASI

Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100

tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur.

Danışman : ..................................................................................

Jüri Üyesi : ...................................................................................

Jüri Üyesi : ....................................................................................

4


ÖZET

Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiyle

birlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Buna

enflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi de

eklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırım

araçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçları

seçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler.

Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hisse

senedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bu

belirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri için

daha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiri

dengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hisse

senedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföy

seçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföy

oluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansı

verilir.

Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel Yöntemlerle Portföy Optimizasyon

i

5

TEŞEKKÜR

Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç bir

zaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman her

konuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.

ii

6

İÇİNDEKİLER

Sayfa

iii

8

TABLOLAR DİZİNİ

Sayfa Tablolar

v

9

ŞEKİLLER DİZİNİ

vi

Sayfa Şekiller

10

KISALTMALAR DİZİNİ

Kısaltmalar : Açıklamalar

ADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A)

AKENR ....................................................................................................................Ak Enerji

ATEKS ................................................................................................................ Akın Tekstil

AKSA .............................................................................................................................. Aksa

ALARK .......................................................................................................... Alarko Holding

ALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent Teltaş

ANACM ............................................................................................................ Anadolu Cam

AYEN ................................................................................................................... Ayen Enerji

BANVT ........................................................................................................................ Banvit

BOYNR ..................................................................................................... Boyner Mağzacılık

BURVA ............................................................................................................ Burçelik Vana

BUCIM ............................................................................................................ Bursa Çimento

CRDFA ................................................................................................... Creditwest Factoring

CELHA .................................................................................................................. Çelik Halat

DERİM ...................................................................................................................... Derimod

DITAS ................................................................................................................. Ditaş Doğan

DGZTE ....................................................................................................... Doğan Gazetecilik

ECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı Yapı

ESCOM ......................................................................................................... Escort Teknoloji

FFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir.

IHGZT ........................................................................................................... İhlas Gazetecilik

IZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir Çelik

KLMSN ..............................................................................................................Klima Sanayi

KORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol

vii

11

KOZAA ........................................................................................................ Koza Madencilik

LINK................................................................................................................ Link Bilgisayar

MUTLU .................................................................................................................. Mutlu Akü

PINSU ........................................................................................................................ Pınar Su

PIMAS ........................................................................................................................... Pimaş

SANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama

viii

12

1.GİRİŞ

Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeli

Doğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarından

birisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıyla

Nobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyine

ulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindeki

portföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini

karşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır.

Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüş

ve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarca

kişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazip

gelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirler

elde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısı

kadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ek

olarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarının

fiyatları da değişmektedir.

Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırım

enstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırım

yapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımı

yapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedefler

doğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür.

En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırım

araçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 li

yıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler ve

bilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir.

En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırım

enstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerin

çözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok

13

üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarının

alım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgari

sınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsal

kısıtların modellerde içerilememesidir.

Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap haline

getirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisinin

başlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslar

matrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü ise

elde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir.

Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları, T x ve CxT olarak ifade edilir.

Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi ve

minimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuza

değişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Daha

sonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için 푑 x doğrusal ifadesi de

eklenmiştir.(Pogue 1970)

N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak bu

analizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modelleri

değiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıca

senaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton ve

Gruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur.

Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçek

hayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue

1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayan

çalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. Yine

Francis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediği

makaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerine

anlamlı bir çalışmadır.

Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırı

bulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla

14

başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan Von

Hohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğer

algoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşın

optimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler.

Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryans

matrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir,

ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinin

tümü simpleks kökenli algoritmalardır.

Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılan

en kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyans

modelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993,

Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatı

daha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çok

önemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde de

yapılmaktadır.

Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramları

açıklayarak, bu kavramlar;

Dönemlik simetri

Beklenen getiri

Varyans

Standart sapma

Yarı varyans

Kovaryans

Korelasyon

Vektör ve Matris gösterimleri

Portföyün beklenen getirisi

Portföy varyansı sayılabilir

Daha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;

15

Standart ortalama varyans portföy seçim modeli

Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli

Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli

Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli

Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli

Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama

varyans portföy seçim modeli

Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi

Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri

Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz

üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel

hem de lingoda çözümler yapılacaktır.

2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlar

açıklanacaktır. Bu kavramlar ;

2.1.Dönemlik Getiri:

Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar

DBD

DBDKPDSDGD

[ 1],[ 2 ]

DG : Dönemlik Getiri,

DBD : Yatırım dönem başı değeri,

DSD : Yatırımın dönem sonu değeri,

KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )

16

Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık baza

indirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit,

bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir.

2.2.Basit getiri hesaplaması:

Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğini

varsayar.

DBD

DBDKPDSDt

basitGD .1 [ 1],[ 2 ]

basitGD : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,

T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,

2.3.Bileşik getiri hesaplanması:

Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekrar

yatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar.

Nt

D DBDDBDKPDSDNbileşilG

.1

.

[ 1],[2 ]

G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,

t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,

N : Bir yıl içindeki dönem sayısı

17

Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuz

sayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, ana

para ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır.

DBD

KPDSDt

sürekliGD .ln1 [ 1],[2 ]

2.4.Beklenen Getiri:

Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir;

][GE

N

iii GO

1. [ 1],[2]

µ : Beklenen getiri, E[G],

Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı,

Gi : i senaryosunun beklenen getirisi,

N : olası senaryo sayısı,

Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, bu

varlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır.

Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı

Senaryo Olasılık Getiri

1 1/3 50%

2 1/3 30%

3 1/3 16%

][GE %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32

Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; iki

getirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşit

olmasıdır.

18

211

221

11

221

1121

).().(

)..(][

N

iii

N

iii

ii

N

iii

GOGO

GOGOGGE [ 3],[4]

İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirinin

beklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır.

N

iii

N

iii sGOsGOGsE

11.).(.).(].[ [ 3],[4]

2.5. Sapma Ölçütleri: i. Ortalama mutlak sapma:

Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar için

çok uygun bir hesaplama değildir.

).(1

N

iii GOOMS [3],[4]

Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır.

Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri

1 1/3 50%

2 1/3 30%

3 1/3 16%

OMS 1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|= . . . = 0.12

19

ii. Varyans ve Standart Sapma:

Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ile

hesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarak

genellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır.

2

1

2 .)(

i

N

ii GOGVar [ 3],[4]

Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.

2 1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195

Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiri

serisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir.

)var()( GGsVar [ 3],[4]

Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serinin

varyansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir.

)var(.).( 2 GsGsVar [ 3],[4 ]

20

iii. Yarı Varyans:

Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleri

toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyansla

orantılıdır.

N

iii GOGYarı

1

2,0min.)var( [ 4],[5]

Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır.

Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.0087

2.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri:

i. Kovaryans:

İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütü

kovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir.

221

112,1 ..

i

N

iii GGO [ 3],[4]

Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yönde

olursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların

ortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklar

arasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır.

Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksa

da, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.

21

İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyansları

ve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir.

212121 ,var.2varvar)( GGkoGGGGVar [ 3],[4]

2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı:

Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesi

sonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareket

etmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse,

çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematik

olmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktan

oluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıkların

ortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğü

gibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıkların

getirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklar

kombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir.

Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonu Dönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B)

1 14 -11 9

2 9 9 9

3 4 29 9

Ortalama Getiri 9 9 9

Varyans 25 400 0

Standart sapma 5 20 0

22

3.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ

Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama-

Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkin

varlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’in

çalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959).

Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak,

ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusunda

oluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacak

ve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır.

Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyon

modellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümde

değinilecektir.

3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli:

Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli,

oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldeki

fonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesine

ulaşılması kısıtlardır.

Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır:

i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir.

ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile

orantılıdır.

iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını

model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.

23

iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri

düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de

ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir.

Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum

varyanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonu

yukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekilde

gösterilir.

N

iijj

N

ji xxMin

1 1

. [ 7],[8],[9]

Bu matematiksel ifadede,

N : Mevcut varlık sayısını,

ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N),

ix , jx : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır.

Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacak

olursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halinde

daha rahat yorumlanabilir.

1

1 1

2

1

2 2..N

i

N

ijijjii

N

ii xxxMin [7],[8],[9]

Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklar

arası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaç

fonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra,

birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye de

gidilmektedir.

Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi,

hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematiksel

ifadedir.

24

Rx i

N

ii

1

. [7],[8],[9]

Burada;

i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N),

R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır.

Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıkları

toplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir.

N

iix

11 [7],[8],[9]

Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel

model elde edilir.

,10

1

.

..

...

1

1

1 1

i

N

ii

N

iii

N

i

N

jijji

x

x

Rx

ts

xxMin

[8],[9]

Burada,

N : Mevcut varlık sayısı,

i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N),

ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),

: i=j için i varlığının varyans değeri,

25

R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi,

ix : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),

Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlama

formundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tipteki

modellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafından

geliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır.

Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesini

temel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temel

elde etmektedir.

3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği:

Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitz

portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve

çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10

dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir.

Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi.

Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000

Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800

Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300

Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000

Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400

Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500

Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300

Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900

Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500

Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500

26

Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen 퐆퐃 =퐃퐒푫 퐃퐁퐃

퐃퐁퐃

formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen

N

iii GOGE

1. formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu

hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir.

Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri. Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

Dönem 1

Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0

Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4

Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3

Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0

Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1

Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6

Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3

Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1

Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0

Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2

Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri

ikinci bölümde verilen 2

1

2 .var

i

N

ii GOG formülü ile ve kovaryans

değerleri de yine ikinci bölümde verilen 2,21,11

2,1 .

ii

N

ii GGO [10] formülü

kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.

27

Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri.

Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını,

diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisin

diagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır.

Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri ve

varyans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’luk

getiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur.

Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142

X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ²

Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10

X + X + X + X + X = 1

X ,X ,X ,X ,X ≥ 0

Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindeki

oranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisinden

oluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getiri

kadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasını

sağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları model

eklenerek model tamamlanmıştır.

Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de

modellenmiştir.

Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064

Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144

Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032

Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035

Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323

28

Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi

B C D E F G H

2

3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

4 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000

5 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800

6 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300

7 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000

8 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400

9 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500

10 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300

11 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900

12 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500

13 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500

14

15 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

16 Dönem 1

17 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0

18 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4

19 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3

20 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0

21 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1

22 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6

23 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3

24 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1

25 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0

26 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2

27

28 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

29 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064

30 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144

31 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032

32 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035

33 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323

34 Toplam

35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

36

37 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 0

38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0

39

29

C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde

=(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tüm

yatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.

C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde

=AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde

edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığına

kopyalanmıştır.

C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29

hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için

beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29

satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülü

kullanılarak yapılmıştır.

Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarların

hesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ile

optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’e

eşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine

=SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıt

da, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır.

Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde ki

hedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine

=SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrı

vektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur.

Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamaları

Aralık Tanım

C4:G13 Kapanış Değerleri

C17:G25 Aylık Getiriler

C26:G26 Ortalama Getiriler

C29:G33 Varyans-Kovaryans Matrisi

C35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki Payı

H35 Portföy Payları Toplamı

D37 Portföy Getirisi

D38 Hedeflenen Getiri

H37 Portföy Varyansı

H38 Portföy Standart Sapması

30

Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüller Hücre Formül

C17 =(C5-C4)/C4

C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.

C26 =AVERAGE(C17:C25)


C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25)


C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25)


C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25)


C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25)


C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25)


H35 =SUM(C35:G35)

D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35)

H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35)

H38 =SQRT(H37)

Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’de

görülmektedir.

Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde,

=SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir.

Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38

hücresinde,

=SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır.

Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye

hazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.

31

Şekil 3.1. Solver parametreleri

“Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin

hazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipi

maksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda risk

minimize edilmektedir.

“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin

değerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints

(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak

kısıtlar tanımlanır.

Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan

H35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karar

değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model

Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim

modeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10

hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.

32

Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü

Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun

%23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da

4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırım

yapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarak

minimize edilmiştir.

3.3. Etkin Sınır:

Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeli

çözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir.

Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerin

varyansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleri

birleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğin

farklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo

3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’de

oluşturulmuştur.

B C D E F G H

3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

34 Toplam

35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %100

36

37 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.005354

38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172

33

Tablo 3.8. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıkları

Hedeflenen

Getiri

Portföy

Varyansı

Hisselerin Portföydeki Ağırlıkları

Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

%5.3 0.007179 1.000

%5.5 0.005889 0.970 0.030

%6.0 0.003642 0.879 0.077 0.045

%6.5 0.002010 0.782 0.119 0.095 0.004

%7.0 0.000989 0.685 0.161 0.144 0.010

%7.5 0.000580 0.588 0.203 0.193 0.016

%8.0 0.000749 0.477 0.222 0.041 0.246 0.015

%8.5 0.001324 0.352 0.222 0.117 0.301 0.008

%9.0 0.002280 0.228 0.222 0.192 0.356 0.001

%9.5 0.003618 0.104 0.221 0.267 0.408

%10.0 0.005354 0.235 0.329 0.436

%10.5 0.008169 0.333 0.328 0.339

%11.0 0.012440 0.428 0.326 0.238 0.008

%11.5 0.018167 0.522 0.323 0.137 0.017

%12.0 0.025349 0.617 0.320 0.036 0.027

%12.5 0.034189 0.757 0.243

%13.0 0.045745 0.924 0.076

%13.2 0.051944 0.998

34

Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği

Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyi

azaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföy

varyansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından A

noktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için C

noktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı risk

düzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanın

nedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki

Rx i

N

ii

1

. [13]

Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırda

istenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında bu

yaklaşım izlenmiştir.

Rx i

N

ii

.1

[13],

Hedeflenen Getiri

Risk (Portföy Varyansı) %4.0

0.01 0.02 0.03 0.04

%6.0

%8.0

%10.0

%12.0

%14.0

-0.01 0 0.05

C B

A

35

Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyi

gözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerinde

karşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse

5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş ve

portföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur.

Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi 34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam

35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 1

36

37 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.006651

38 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.081552

39

%7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyü

belirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve model

çözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyü

belirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksek

getirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belli

olduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarak

yer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimize

edilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan model

çözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Bu

portföy A ile aynı varyansa sahiptir.

36

Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması.

Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması

Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ile

karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarak

arttırmaktadır.

HedeflenenGetiri

Risk (Portföy Varyansı) 0.04

0.01 0.02 0.03 0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

-0.01 0 0.05

A

B

C

7.7

10.3

X1=0.55 X2=0.22 X3=0.0 X4=0.21 X5=0.02

0.000588

X1=0.5 X2=0.0 X3=0.0 X4=0.0 X5=0.5

X1=0.0 X2=0.29 X3=0.33 X4=0.38 X5=0.0

0.0066

HedeflenenGetiri Risk (Portföy Varyansı)

0.04

0.01 0.02 0.03 0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

-0.01 0 0.05

Hisse 1

Hisse 3 Hisse 5

Hisse 4

Hisse 2

37

3.4. LINGO ile Modelleme:

Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans

portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda

da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük

ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek

sağlayabilmesidir.

LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili

kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy

seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer

alan bileşenler açıklanmıştır.

MODEL:

! Standart Markowitz Portföy Modeli;

SETS:

HISSE/1..5/: ORT, X;

KOVMAT(HISSE,HISSE): V;

ENDSETS

DATA:

! Veri Setleri;

! Hisse senetlerinin beklenen getirisi;

ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;

! Kovaryans matrisi;

V =

0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064

-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144

0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032

-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035

-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;

! Portföyün hedeflenen getirisi;

GETIRI = 0.10;

ENDDATA

! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;

[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));

! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;

[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI;

! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı;

[YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END

38

3.5.Model ile İlgili Açıklamalar:

Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen

HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,

HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)

elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır.

Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hisse

senetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelin

karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), i

hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir.

Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç

fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.

MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18]

Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki

gibi gösterilmiştir.

@SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18]

Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki

ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerinin

portföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır.

@SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18]

Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hisse

senetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ün

üzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.

39

4. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ

Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyans

portföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işlemin

belli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerde

yatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek için

model bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içeren

model tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini de

içerecek şekilde çözülecektir.

4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi:

Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yeni

değişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföye

alınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranları

da modelde mi ile gösterilecektir.

İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılan

varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması

kısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken,

portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-gider

korunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir.

01.1.11

N

iiai

N

iisi mxmx [20], [21]

Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri elde

edilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş ve

bunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıda

görülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.

40

Ni

xxbx siaiii

,...,10

[20], [21]

Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını, 푥

şlemlerden sonra elde kalan oranını, 푥 ve 푥 ’de i varlığından alınan ve satılanların

oranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir.

00

01.1.

.

..

...

11

1

1 1

i

siaiii

N

iiai

N

iisi

i

N

ii

ij

N

ij

N

ji

xxxbx

mxmx

Rx

ts

xxMin

[20], [21]

Burada,

N : mevcut varlık sayısı,

µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N),

ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N),

: i = j için i varlığının varyans değeri,

R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi,

ib : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N),

ix : karar değişkenleri,

: i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N),

six : karar değişkenleri,

: i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ six ≤ 1), (i = 1,..,N),

aix : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ aix ≤ 1),

(i = 1,..,N),

im : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),

41

4.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği:

Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5

adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitz

portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve

çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5

hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleri

yapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık hali

aşağıda görülmektedir.

Min. 0.0072X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519X ² +

0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111X ² +

0.0070 X .X + 0.0323 X ²

Kısıtlar,

0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10

0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X –

1.01X ≥ 0

X – 0.30 - X + X = 0

X – 0.10 –X + X = 0

X – 0.10 – X + X = 0

X – 0.20 – X + X = 0

X – 0.30 –X + X = 0

X ,X , X ,X , X ≥ 0

Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçim

modeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklı

olarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarak

eklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıkların

oranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.

42

Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin Excel’de gösterimi

B C D E F G

2

3 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

4 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2

5 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.0

6 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.0

8

9 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5

10 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064

11 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144

12 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032

13 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035

14 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323


16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3

17 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0

18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7

19 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.0

20

21 Portföy Getirisi %10.0

22 Hedeflenen Getiri %10.0

23

24 Portföyden Satışlar %58.7

Portföy Varyansı 0.0058

25 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.0759

26 Nakit Akış Dengesi %-0.0

C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin

1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse

1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıç

portföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşit

olması sağlanmıştır.

C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye

alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresinde

portföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1-

C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan

43

alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17)

formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25

formülüyle elde edilmiştir.

Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’de

görülmektedir.

Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül

C4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16


C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18)

C6:G6 Başlangıç Portföy

Yapısı

C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16)

C10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17)

C16:G16 Portföyden

Çıkanlar

(Karar D.)

C26 =C24-C25

C17:G17 Portföye Alınanlar

(Karar D.)

G24 =SUMPRODUCT

(MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18)

C18:G18 Yeni

Portföy (Karar D.)

G25 =SQRT(G24)

C19:G19 Denge Eşitlikleri

C21 Portföy Getisi

C22 Hedeflenen Getiri

C24:C26 Nakit Akış Dengesi

G24 Portföy Varyansı

G25 Portföy Standart

Sapması


hazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.

44


“Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin

hazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi

minimizasyon olarak belirtilir.

“By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin

değerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints

(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacak

kısıtlar tanımlanır.

Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0,

portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklara

ödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını

sağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan

C16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır.

Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak

portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içeren

Markowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10,

0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.

45

Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü

Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamen

satılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı

%15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla

%32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahip

olmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföy

içerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir.

Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğu

fark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetleri

nedeniyle yok olmasıdır.


Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans

portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda

da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük

ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek

sağlayabilmesidir.


kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy



B C D E F G


16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3

17 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0

18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7

46

MODEL:

! Standart Markowitz Portföy Modeli;

SETS:

HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X;

KOVMAT(HISSE,HISSE): V;

ENDSETS

DATA:

! Veri Setleri;

! Hisse senetlerinin 1 dönem sonraki beklenen getirisi;

ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;

! Kovaryans matrisi;

V =

0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064

-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144

0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032

-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035

-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;

! İşlem maliyetleri;

MLYT = 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01;

! Portföyün başlangıç durumu;

START = 0.30 0.10 0.10 0.20 0.30;

! Portföyün hedeflenen getirisi;

GETIRI = 0.10;

ENDDATA

! Model;

! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;

[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));

! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;

[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT(ı) * X(ı)) >= GETIRI;

! Bütçe Kısıtı: Satislar, alimlar ve islem maliyetlerini karsilamali;

@SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) >= 0;

!Her hisse icin denge esitlikleri;

@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I););

END

4.4.Model ile ilgili açıklamalar:

Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen

HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,

47

HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)

elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır.

Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. START

başlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren kara

değişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karar

değişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenen

getirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmak

için tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım

yüzdesine karşılık gelmektedir.

Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç

fonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.

MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25]

Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı

aşağıdaki gibi gösterilmiştir.

@SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25]

Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki

ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların,

alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır.

@SUM(HISSE(I):

SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25]

Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir.

@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25]

Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır.

Modelin çözümü ektedir.

48

5. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSK ÖLÇÜTLERİ

Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları göz

önünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si),

yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getiri

listesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adet

senaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir.

Şekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu.

Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryoları

belirlemesi gerekmektedir. Her bir js senaryosu n adet enstrümanın o senaryo

doğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla ijr i varlığının j senaryosuna göre

getirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya da

bunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföy

optimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.

Fiyat Düzeyi

Portföy kararı

Rassal Getiriler

Senaryo 1

Senaryo 2

Senaryo m t t +1 Dönem

Senaryo 3

49

5.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu:

Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföy

getirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir js senaryosunun gerçekleşmesi sonucu elde

edilecek portföy getirisi, jr , o senaryo altında varlıkların getirileri, ijr , ile varlıkların

portföy ağırlıklarının ix çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir.

jr =

N

iiij xr

1

. (j = 1,…,M) [26]

Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici,

gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını bir

değişken olarak modele dahil etmelidir. Bu jd değişkenlerinin her bir senaryo için

senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdaki

gibi oluşturulur.

jd = jr – R (j = 1,…,M) [26]

Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda jd negatif

değer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır.

Bu nedenle jd değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır.

Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, jr , ile gerçekleşme olasılıklarının, jp ,

çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen bir

diğer kısıttır.

M

jjj rp

1

. R [26]

50

Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı da

aşağıdaki şekilde oluşturulur.

N

iix

1

= 1 [26]

Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesi

olarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenen

getiriden sapmasını gösteren jd değişkenleri ile senaryoların gerçekleşme

olasılıklarının, jp , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaç

fonksiyonu olarak gösterilebilir.

Min.

M

jjj dp

1

2).( [26]

Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel

model elde edilir.

Min.

M

jjj dp

1

2).(

s.t.

jr =

N

iiij xr

1

. (j = 1,…,M)

jd = jr – R (j = 1,…,M)

N

iix

1

= 1 [26], [27]

M

jjj rp

1

. R

51

ix 0, i = 1,…,N

jd , sınırsız j = 1,…,M

Burada,

N mevcut varlık sayısı,

M senaryo sayısı,

jp j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),

jr r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),

ijr i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),

R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,

ix i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),

jd senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j =

1,…,N)

Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaç

fonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ile

kolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin her

biri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföy

optimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynı

çıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföy

seçim modelinin farklı bir gösterimdir.

5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği:

Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adet

hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her

biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak

Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.

52

Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda,

senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryoların

gerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt her

bir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarının

çarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıt

ise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındaki

fark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1

olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasını

sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenen

getirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsız

olarak tanımlanmıştır.

Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üst

sınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir.

Min. 0.111 2

1d + 0.111 2

2d + 0.111 2

3d + 0.111 2

4d + 0.111 2

5d + 0.111 2

6d + 0.111 2

7d + 0.111

28d + 0.111

29d

Kısıtlar,

1r – ( 0.10 1x + 0.20 2x + 0.10 3x + 0.014 4x + 0.20 5x ) = 0

2r – ( 0.036 1x + 0.146 2x + 0.152 3x – 0.07 4x – 0.104 5x ) = 0

3r – ( 0.14 1x - 0.273 2x - 0.132 3x + 0.167 4x + 0.163 5x ) = 0

4r – ( -0.077 1x + 0.475 2x + 0.212 3x + 0.039 4x + 0.28 5x ) = 0

5r – ( 0.117 1x + 0.085 2x + 0.075 3x – 0.063 4x – 0.141 5x ) = 0

6r – ( -0.03 1x + 0.156 2x – 0.116 3x + 0.267 4x – 0.036 5x ) = 0

7r – ( 0.154 1x - 0.189 2x + 0.289 3x + 0.158 4x + 0.113 5x ) = 0

8r – ( -0.067 1x + 0.40 2x + 0.122 3x + 0.091 4x + 0.441 5x ) = 0

9r – ( 0.10 1x + 0.19 2x + 0.218 3x + 0.125 4x + 0.00 5x ) = 0

1d - 1r = -0.10

2d - 2r = -0.10

3d - 3r = -0.10

53

4d - 4r = -0.10

5d - 5r = -0.10

6d - 6r = -0.10

7d - 7r = -0.10

8d - 8r = -0.10

9d - 9r = -0.10

1x + 2x + 3x + 4x + 5x = 1

0.111 1r + 0.111 2r + 0.111 3r + 0.111 4r + 0.111 5r + 0.111 6r + 0.111 7r + 0.111 8r + 0.111 9r 0.10

1x , 2x , 3x , 4x , 5x 0

1r , 2r , 3r , 4r , 5r , 6r , 7r , 8r , 9r 0

1d , 2d , 3d , 4d , 5d , 6d , 7d , 8d , 9d , sınırsız

Tablo 5.1’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de

modellenmiştir.

Tablo 5.1. Senaryo optimizasyon modelinin Excel’de gösteri

B C D E F G H I J K

2 Senaryo Senaryo Hedeften Denge

3 Senaryolar Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi Fark Kısıtları

4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %-1.4 0%

5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %11.1 %5.3 %-4.7 0%

6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %11.1 %-3.5 %-13.5 0%

7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %11.1 %19.9 %9.9 0%

8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %11.1 %1.7 %-8.3 0%

9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %11.1 %11.5 %1.5 0%

10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %11.1 %12.0 %2.0 0%

11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %11.1 %17.4 %7.4 0%

12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %11.1 %17.1 %7.1 0%

54

13

14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam

15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%

16

17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535

18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317

Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir.

Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9

H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15)

I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4

K4:K12 aralığına kopyalanmıştır J4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen

Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)

H15 =SUM(C15:G15)

K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar

Değişkeni) K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12)

H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17) D17 Portföy Getirisi D18 Hedeflenen Getiri K17 Portföy Varyansı K18 Portföy Standart Sapması


hazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.

55

Şekil 5.2. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin

hazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi


“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının

hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların

hesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)”

bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.

Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1,

hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını,

senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karar

değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model

Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim

modeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin

%10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir.

Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H I J K

14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam

15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%

16


18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317

56

Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşit

alındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ile

aynıdır.

5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski:

Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryoların

beklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysa

senaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir risk

unsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenen

getirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımda

amaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek iki

ölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf

(downside) riskidir.

Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan jd sapma değişkeni,

hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. jd

hedeften pozitif yönde sapmayı, jd ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir.

Dolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir.

jd = jd +

jd [19]

Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçim

modelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.

57

Min. 2

1

).(

jj

M

jj ddp [19]

Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanın

altındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir.

Min. 2

1

).(

j

M

jj dp [19]

Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur.

Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır.

Min.

j

M

jj dp .

1

[19]

Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen

getirinin farkı olduğunu gösteren jd = jr - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir.

jj dd = jr - R (j=1,…,M) [19]

Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsız

olarak tanımlanması gerekmektedir.

Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryo

tabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeli

istediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir.

Min. 2

1

).(

jj

M

jj ddp ya da

58

Min. 2

1

).(

j

M

jj dp ya da

Min.

j

M

jj dp .

1 [20],[23], [24]

kısıtlar

jr =

N

iiij xr

1

. (j = 1,…,M)

jj dd = jr - R (j=1,…,M)

N

iix

1

= 1

M

jjj rp

1

. R [20],[23], [24]

ix 0, i = 1,…,N

jd 0, i = 1,…,M

Burada,

N mevcut varlık sayısı,

M senaryo sayısı,

jp j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),

jr r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),

ijr i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),

R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,

ix i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),

jd senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni)

(j = 1,…,N) jd senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni)

(j = 1,…,N)

59

5.4. Farklı Risk Ölçütleri ile Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği:

Bu kısımda, ele alınacak hisse senetleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse

senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri,

gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak

Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Amaç fonksiyonu olarak ise

yarı varyans kullanılmıştır. Karar verici alt taraf riskini de amaç fonksiyonu olarak

tanımlayabilir.

Min. 0.111 21 )( d + 0.111 2

2 )( d + 0.111 2

3 )( d + 0.111 24 )( d + 0.111

25 )( d + 0.111

26 )( d +

0.111 2

7 )( d + 0.111 2

8 )( d + 0.111 2

9 )( d

Kısıtlar,

1r – ( 0.10 1x + 0.20 2x + 0.10 3x + 0.014 4x + 0.20 5x ) = 0

2r – ( 0.036 1x + 0.146 2x + 0.152 3x – 0.07 4x – 0.104 5x ) = 0

3r – ( 0.14 1x - 0.273 2x - 0.132 3x + 0.167 4x + 0.163 5x ) = 0

4r – ( -0.077 1x + 0.475 2x + 0.212 3x + 0.039 4x + 0.28 5x ) = 0

5r – ( 0.117 1x + 0.085 2x + 0.075 3x – 0.063 4x – 0.141 5x ) = 0

6r – ( -0.03 1x + 0.156 2x – 0.116 3x + 0.267 4x – 0.036 5x ) = 0

7r – ( 0.154 1x - 0.189 2x + 0.289 3x + 0.158 4x + 0.113 5x ) = 0

8r – ( -0.067 1x + 0.40 2x + 0.122 3x + 0.091 4x + 0.441 5x ) = 0

9r – ( 0.10 1x + 0.19 2x + 0.218 3x + 0.125 4x + 0.00 5x ) = 0

11 dd - 1r = -0.10

22 dd - 2r = -0.10

33 dd - 3r = -0.10

44 dd - 4r = -0.10

55 dd - 5r = -0.10

66 dd - 6r = -0.10

60

77 dd - 7r = -0.10

88 dd - 8r = -0.10

99 dd - 9r = -0.10

1x + 2x + 3x + 4x + 5x = 1

0.111 1r + 0.111 2r + 0.111 3r + 0.111 4r + 0.111 5r + 0.111 6r + 0.111 7r + 0.111 8r + 0.111 9r 0.10

1x , 2x , 3x , 4x , 5x 0

1r , 2r , 3r , 4r , 5r , 6r , 7r , 8r , 9r 0

1d ,

2d ,

3d ,

4d ,

5d ,

6d ,

7d ,

8d ,

9d ≥ 0

1d ,

2d ,

3d ,

4d ,

5d ,

6d ,

7d ,

8d ,

9d ≥ 0

Tablo 5.4’te senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de

modellenmiştir.

61

Tablo 5.4. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyonun Excel’de gösterimi

Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.5’te görülmektedir.

B C D E F G H I J K L

2 Senaryo Senaryo Hedeften Fark Denge

3 Senaryo Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi (+) (-) Kısıtları

4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %1.1 - 0%

5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %4.1 %5.3 - %5.9 0%

6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %-2.0 %-3.5 - %12.0 0%

7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %21.5 %19.9 %11.5 - 0%

8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %1.0 %1.7 - %9.0 0%

9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %9.2 %11.5 - %0.8 0%

10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %9.3 %12.0 - %0.7 0%

11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %21.1 %17.4 %11.1 - 0%

12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %14.7 %17.1 %4.7 - 0%

13

14 Portföy Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam

15 Dağılım %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 100%

16


18 Hedeflenen Getiri 10% Portföy Yarı-Varyansı 0.0029

19 Portföy AltTaraf Riski 0.03163

62

Tablo 5.5. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9

H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15)

I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri L4 =I4-$D$18-J4+K4

L4:L12 aralığına kopyalanmıştır J4:K12 Senaryo Getirilerinin

Hedeflenen Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)

H15 =SUM(C15:G15)

L4:L12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı

(Karar Değişkeni) L17 =SUMPRODUCT(((J4:J12)+(K4:K12))^2,H4:H12)

H15 Portföy Payları Toplamı L18 =SUMPRODUCT(H4:H12,(K4:K12)^2) D17 Portföy Getirisi L19 =SUMPRODUCT(H4:H12,K4:K12) D18 Hedeflenen Getiri L17 Portföy Varyansı L18 Portföy Yarı Varyansı L19 Portföy Alt Taraf Riski


hazırdır. Şekil 5.3’da Solver parametreleri görülmektedir.


“Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin

hazırlandığı L18 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi


63

“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının

hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların

hesaplanacağı J4:K12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)”

bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.

Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan

H15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo

sapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren L4:L12 = 0 ve karar

değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 ve J4:K12 ≥ 0

kısıtlarıdır.

Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak

portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.5’de senaryo tabanlı portföy

optimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için farklı risk ölçütleri ile

çözümünün sonuçları görülmektedir.

Tablo 5.6. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyon modelinin çıktıları Amaç Fonksiyonu Portföy Ağırlıkları

Kriteri Değeri Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Varyans 0.005354 - %23.5 %32.9 %43.6 -

Yarı-Varyans 0.002898 %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 Alt Taraf Riski 0.028227 %6.5 %28.1 %30.4 %35.0 -


Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Senaryo optimizasyon

modeli portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama

platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel

motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha

etkin destek sağlayabilmesidir.


kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Senaryo optimizasyon modeli portföy



64

MODEL:

! Senaryo optimizasyon modeli;

SETS:

SENARYO/1..9/: OLASI, R, USTS, ALTS;

HISSE/1..5/: X;

SXH( SENARYO, HISSE): SE;

ENDSETS

DATA:

HEDEF = 0.10;

! Senaryo Getirileri;

SE =

0.10 0.20 0.10 0.01 0.20

0.04 0.15 0.15 -0.07 -0.10

0.14 -0.27 -0.13 0.17 0.16

-0.08 0.48 0.21 0.04 0.28

0.12 0.08 0.08 -0.06 -0.14

-0.03 0.16 -0.12 0.27 -0.04

0.15 -0.19 0.29 0.16 0.11

-0.07 0.40 0.12 0.09 0.44

0.10 0.19 0.22 0.13 0.00

! Tüm senaryoların olasılıkları birbirine eşittir;

OLASI= 0.11111;

ENDDATA

! Ortalama getiri;

ORT = @SUM( SENARYO: OLASI * R);

! Hedef getirinin sağlanması kısıtı;

ORT >= HEDEF;

! Senaryo getirileri;

@FOR( SENARYO (J): R(J) = @SUM( HISSE(I): SE(J;I) * X(I)));

! Denge Kısıtları;

@FOR( SENARYO (J): USTS(J) – ALTS(J) = R(J) – ORT);

! Bütçe Kısıtı;

@SUM( HISSE: X) = 1;

! Risk Ölçütleri;

[VARYANS] VAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (USTS + ALTS)^2);

[SVARYANS] SVAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (ALTS)^2);

[ALTBRISK] ALTRISK = @SUM( SENARYO: OLASI * ALTS);

! Amaç Fonksiyonu;

[AMAC] MIN = SVAR;

END

Model LINGO çözücüsünde yarı varyansı minimize edecek şekilde çözüldüğünde

aşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Modelin çözümü ektedir.

65

6. MATERYAL ve METOD

6.1. Materyal

6.1.1. İMKB’de Hisse Senedi Endeksleri ve Hisse Senetleri Endeksleri

Borsanın Sermaye Piyasası Kanununa ve İMKB Teşkilat Görev ve Çalışma

Esasları Yönetmeliği hükümlerine göre çeşitli tanımları yapılabilir. Sermaye piyasası

araçlarının işlem göreceği borsalar, özel kanunlarında yazılı esaslar çerçevesinde

teşkilatlanarak, menkul kıymetlerin ve diğer sermaye piyasası araçlarının güven ve

istikrar içinde, serbest rekabet şartları altında kolayca alınıp satılabilmesini sağlamak ve

oluşan fiyatları tespit ve ilan etmekle yetkili olarak kurulan kamu tüzel kişiliğine haiz

kurumlardır.

Ayrıca başka bir tanımda İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB), Menkul

Kıymetler Borsaları hakkında 91 sayılı KHK ile kuruluş yetkilerini kendi sorumluluğu

altında bağımsız olarak kullanan ve Sermaye Piyasası’nın gözetim ve denetimi altında

olan tüzel kişiliği haiz kamu kurumlarıdır. Menkul kıymet borsalarının kuruluşu,

SPK’nın önerisi üzerine Maliye Bakanlığı’nın iznine bağlıdır. Menkul kıymetler

borsaları SPK’nın gözetim ve denetimine tabidir. Borsaların malı devlet malı

hükmündedir.

İMKB Hisse Senedi Pazar Endeksleri, Borsa’da işlem gören hisse senetlerinin

fiyat ve getirilerinin bütünsel ve sektörel baz da performanslarının ölçülmesi amacıyla

oluşturulmuştur. İMKB fiyat endeksleri tüm seans süresince, getiri endeksleri ise sadece

seans sonunda hesaplanmakta ve yayınlanmaktadır.

66

6.1.2.İMKB Ulusal 30 Endeksi’nde Optimum Portföy Oluşturma

Vadeli işlemler Pazarı’nda kullanılmak üzere menkul değer yatırım ortaklıkları

hariç Ulusal Pazar’da işlem gören ortaklıklardan, hisse senetlerinin seçim ölçütlerine

göre seçilen 30 pay senedinden oluşmaktadır. .

Endeks, birçok veriyi dikkate alarak hızlı ve doğru bir şekilde sonuca

ulaşılmasını sağlayan indikatör olarak tanımlanabilir. Bir veya daha fazla değişkenin

hareketlerinden ibaret olan oransal değişimi ölçmeye yarayan bir göstergedir. Karmaşık

olayların tek bir rakama indirgenmesini sağlayan, olaylar ve sonuçları hakkında

yaklaşık bilgi verebilen bir araç olan endeks değerleri kullanılırken kapsamı, temsil

yeteneği, hesaplama yöntemi ve sıklığı, avantajları, dezavantajları ile endeks üzerine

yansımayan diğer faktörlerin neler olduğu iyi bilinmelidir. Endeksi “belirli bir kollektif

olayın aldığı değerlerde zaman süresince veya mekan içinde meydana gelen değişmeleri

göstermek amacıyla hesaplanan oransal bir ölçü” şeklinde tanımlayabiliriz. Farklı

zaman dilimi içindeki iki veya daha fazla değişkeni karşılaştırma imkanı veren

endeksler, içerisine dahil olan değişken ve değişkenlerin yönü, değişimi ve gidişatını

belirlemede bize yardımcı göstergelerdir ve bu sebeple tahmin aracı olarak da

kullanılmaktadırlar. Endekslerden; üretim, fiyatlar, geçim, işçi gündelikleri, dış ticaret

ve borsa gibi daha pek çok alanda yararlanılmaktadır. Yukarıdaki tanımlamalarda da

belirtildiği gibi endeksler farklı zaman dilimleri içinde veya farklı mekanlarda bulunan

bir veya birden fazla değişkeni mukayese etme imkanı sağlayan göstergelerdir. Gerekli

mukayese ve tahmin çalışmalarını sağlıklı bir şekilde yapabilmemiz için endeksleri

oluştururken bazı noktalara dikkat edilmelidir;

• Temsil etmesi hedeflenen değişkenler iyi tanımlanmalıdır.

• Endeksleri hesaplamada kullanılacak verilerin sürekliliği ve

karşılaştırılabilirliğine özen gösterilmelidir. Böylece, hesaplanan endekslerin

zaman içinde sürekliliği sağlanmış olur.

• Kapsama alınacak örnekler endeksin amacıyla uyumlu olacak ve değişkenleri

hedeflenen şekilde temsil edecek örnekler olmalıdır.

• Endeksler, serideki değerlerden birini baz alıp, diğerlerinin bu baza göre değişim

oranını gösterdiği için baz döneminin tesbiti önemlidir.

67

• Endeksi oluşturan değerlere verilmesi gereken ağırlıkların seçimi ve zaman

içinde değiştirilmesi veya sabitliği de önemlidir.

• Endeksin hesaplama yöntemi, serideki değişimleri doğru göstermesi bakımından

endeksin başarısını etkiler.

Çalışmamızda bizi yakından ilgilendiren Hisse Senedi Endeksleri olacaktır.

Hisse senedi piyasasının genel bir göstergesi olan hisse senedi endeksleri fiyatlar baz

alınarak oluşturulmakta ve genellikle piyasanın anlık durumu hakkında bize fikir

vermektedir. Oluşturulan bu endekslere "Fiyat Endeksleri" denmekte ve menkul kıymet

borsalarına kote olan şirketlerin oluşturdukları endüstri ve sektör gruplarının

performansının ölçülmesine yardımcı olmaktadır. 1884 yılından beri kullanılmakta olan

hisse senedi endeksleri (stock indexes and averages) dünyadaki çeşitli yatırım

kuruluşları ve borsalar tarafından farklı farklı hesaplanmaktadır.

6.1.3. Amaç, Kapsam ve Varsayımlar

Bu uygulamanın amacı Ocak 2011- Haziran 2011 ve Ocak 2011- Ocak 2012

dönemleri içerisinde İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetlerinden farklı beklenen

getiri ve risk düzeylerinde, Markowitz’in ortaya koymuş olduğu etkinlik sınırı üzerinde

yer alan farklı portföy bileşimleri elde etmektir. İMKB 30 endeksinde yer alan hisse

senetleri belirli dönemlerde değişiklik göstermektedir. Bu değişiklikler İMKB

tarafından duyurulmaktadır. Uygulamada kullanılan hisse senetleri, çalışmanın son

dönemi olan Ocak 2012 itibariyle İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleridir.

Çalışmanın varsayımları şunlardır:

1. Yatırım İMKB 30 endeksiyle sınırlıdır.

2. Yatırımcılar riskten kaçma eğilimindedir. Aynı beklenen getiri düzeyinde en düşük

riski, aynı risk düzeyinde ise en yüksek getiriyi seçecektir.

3. Portföyde yer alan hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı 1’dir.

68

4. Hisse senedi getirileri ile ilgili vergiler, alım-satım komisyonları ve transfer

maliyetleri sıfırdır.

5. Tüm yatırımcılar için risksiz faiz oranı aynıdır.

6. Yatırımcılar bilgiye anında ve serbestçe ulaşabilmektedir.

7. Yatırımcılar homojen beklentilere sahiptir.

8. modelin uygulanmasında açığa satışın olmadığı varsayılmıştır.

6.2. METOD

Rasyonel davranan yatırımcılar en yüksek getiriyi en düşük risk ile elde etmek

isterler. Fakat beklenen getiri düzeyinin yükseldiği durumlarda riskde yükselecektir.

Yatırımcı kendine öyle bir nokta seçmelidir ki; bu noktada getiri en yüksek ve risk en

düşük düzeyde olsun. Bu oluşumu sağlayacak noktalar bütünü bizi etkin sınıra

ulaştıracaktır. Etkin sınır üzerinde yatırımcının seçeceği nokta kendisinin fayda eğrisine

bağlıdır. Bu eğrilerin kişilerin tercihlerine göre değişebileceğini düşünürsek optimum

portföyü oluşturacak noktaların da kişiden kişiye değişebileceği sonucuna ulaşabiliriz.

Optimum portföylerin oluştukları noktalar birbirlerinden farklı olabilir. Ancak temelde

bütün tercih sahipleri getiri-risk ilişkisini ve tercih edecekleri senedin pazar

hareketlerine ne yönde tepki gösterdiğini dikkate alır. Bu noktadan hareketle optimum

portföyü oluştururken iki farklı yöntem kullanılacak. Birincisi getiri-risk ilişkisi diğeri

ise beta faktörüdür.

6.2.1. Getiri Risk İlişkisi

Optimum portföyü getiri-risk ilişkisini kullanarak oluşturmayı denersek,

ulaşmamız gereken bir takım değerler vardır. Öncelikle optimum portföyü oluşturacak

kıymetlerin getirileri ve bu getirilerin ortalama Pazar getirisinden ne kadar sapma

69

gösterdikleri (riskleri) bulunacaktır. Bir getiri değerine ulaşılabilmesi için en az iki

dönem arasında ki fiyat değişimlerinin bilinmesi gerekir. Bunun için bir tam yıl iki eşit

parçaya bölünmüştür. Oluşturulan üç tarih noktasında İMKB-30 Endeksi’nde bulunan

hisse senetlerin fiyatları belirlenmiştir. 21.06.2011 tarihiyle başlayıp 21.12.2011

tarihiyle son bulan aralık birinci dönemi, 21.12.2011 tarihiyle başlayıp 21.06.2012

tarihiyle son bulan aralık ise ikinci dönemi oluşturmaktadır.

Tablo 6.1’de İMKB-30 Endeksini oluşturan hisse senetlerinin iki dönemlik

getirileri aşağıda verilen formüllere bağlı olarak hesaplanmıştır.

Pazarın riski= Bütün risklerin ortalamasıdır. [ 21 ], [ 28]

Pazarın beklenen getirisi= tüm ortalama getirilerin toplamı / ortalama getirilerin sayısı

[ 21] , [ 28]

Risksiz faiz oranı= Eğer enflasyon beklenmiyorsa, geri ödenmeme riski olmayan hazine

bonolarının faiz oranı.

Ortalama getiri = (1.dönem getiri + 2.dönem getiri)/2 [21], [28]

70

Tablo 6.1: Hisse senetleri kapanış verileri ve hesaplanan getiri değerleri Sayı Şirket

Kodları 21.06.2011 21.12.2011 21.06.2012 1.Dönem Getiri 2.Dönem Getiri Ortalama Getiri

1 ADANA 5.70 4.63 3.64 -0.187719298 -0.213822894 -0.200771096 2 AKENR 3.11 3.75 2.09 0.205787781 -0.442666666 -0.118439442 3 ATEKS 3.50 5.01 3.85 0.431428571 -0.231536926 0.099945822 4 AKSA 3.79 5.56 4.51 0.467018469 -0.18884892 0.139084774 5 ALARK 3.49 3.45 3.16 -0.011461318 -0.086705202 -0.04908326 6 ALCTL 3.12 4.08 3.07 0.307692307 -0.247549019 0.030071644 7 ANACM 3.18 3.95 2.97 0.242138364 -0.248101265 0.0029814505 8 AYEN 3.02 2.86 1.27 -0.052980132 -0.555944055 -0.304462093 9 BANVT 4.91 4.36 3.08 -0.112016293 -0.293577981 -0.2022870455 10 BOYNR 3.74 3.68 2.82 -0.01604278 -0.233695652 -0.124869216 11 BURVA 3.04 3.34 4.27 0.09868421 0.278443113 0.188563661 12 BUCIM 4.82 5.16 4.37 0.070539419 -0.153100775 -0.041280678 13 CRDFA 3.04 3.90 3.02 0.282894736 -0.225641025 0.028626855 14 CELHA 3.82 4.56 3.27 0.193717277 -0.282894736 -0.044588729 15 DERIM 4.19 4.69 3.31 0.119331742 -0.29424307 -0.087455664 16 DITAS 3.22 3.40 2.76 0.055900621 -0.188235294 -0.066167336 17 DGZTE 3.20 2.65 1.66 -0.171875 -0.373584904 -0.272729952 18 ECYAP 3.05 3.20 3.02 0.049180327 -0.05625 -0.0035348365 19 ESCOM 4.97 8.60 6.92 0.730382293 -0.195348837 -0.195348837 20 FFKRL 3.45 3.78 3.85 0.095652173 0.018518518 0.018518518 21 IHGZT 4.59 2.78 1.52 -0.394335512 -0.45323741 -0.423786461 22 IZMDC 4.30 3.84 3.74 -0.106976744 -0.026041666 -0.066509205 23 KLMSN 3.34 4.07 2.43 0.218562874 -0.402948402 -0.092192764 24 KORDS 3.62 4.76 3.76 0.314917127 -0.210084033 0.052416547 25 KOZAA 4.33 4.83 3.82 0.115473441 -0.20910973 -0.046818144 26 LINK 4.65 5.82 3.82 0.251612903 0.251612903 -0.046014854 27 MUTLU 4.61 5.20 4.40 0.127982646 -0.153846153 -0.012931753 28 PINSU 4.59 4.80 3.47 0.045751633 -0.2770833333 -0.11566585 29 PIMAS 4.17 3.56 4.17 -0.146282973 0.171348314 0.01253267 30 SANKO 4.72 4.82 3.80 0.02118644 -0.211618257 -0.095215908 Σ 117.28 129.09 101.84

Bu hesaplama yapılırken iki tarihte oluşan fiyatlar arasında ki fark, ilk tarihteki

fiyata bölünmüştür. Bunu 1 numaralı hisse senedimiz olan ADANA ÇİMENTO‘nun

üzerinde örnekleyelim.

21.06.2011 tarihli fiyat = 5,70

21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63

1.DÖNEM GETİRİ = (4,63-5,70)/5,70

=-0,187 Yaklaşık %19’luk azalış

71

21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63

21.06.2012 tarihli fiyat = 3,64

2.DÖNEM GETİRİ = (3,64-4,63)/4,63

= -0,213 Yaklaşık % 21’lik bir azalış

İki döneme ait getiriler hesaplandıktan sonra her bir senedin pazar getirisinden

ne kadar sapma gösterdiklerini bulmaya sıra geliyor. Bu sapmayı bulabilmek için ilk

önce pazarın ortalama getirisine ihtiyacımız olacak. Pazarın ortalama getirisi, kendisini

oluşturan hisse senetlerinin getirilerinin ortalamasıdır. Hisse senetlerine ait bulduğumuz

getirilerin ortalaması alınarak tek bir getiri değerine ulaşılmıştır.

ADANA ÇİMENTO Hisse Senedinin ortalama getirisi aşağıdaki gibi hesaplanır;

Ortalama Getiri = (1.Dönem Getiri+2. Dönem Getiri)/2

= (-0,187+(-0,213))/2

=-0,200 Yaklaşık % 20 azalış

Diğer hisse senetlerinin ortalama getirileri de aynı şekilde bulunarak tablo 6.1’de

gösterilmiştir.

Tablo 6.1‘de gösterildiği gibi 1.dönem getiriler ve 2.dönem getiriler

hesaplandıktan sonra, hesaplanan bu getiriler yardımıyla Tablo 6.2’ de Risk değerleri

daha sonraki aşamalarda portföy seçiminde hisse senetlerinin getirilerini

belirleyebilmede kullanmak için hesaplanmıştır. Risk değerleri aşağıdaki formüle göre

hesaplanmıştır.

Risk tanımı= (1.dönem getiri – 2.dönem getiri)/2 [ 21], [ 28]

72

Tablo 6.2: Hisse senetlerinin hesaplanan ortalama getiri ve risk değerleri

Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk

1 ADANA -0.200771096 0.013051798

2 AKENR -0.118439442 0.324227223

3 ATEKS 0.099945822 0.331482748

4 AKSA 0.139084774 0.327933694

5 ALARK -0.04908326 0.037621942

6 ALCTL 0.030071644 0.277620663

7 ANACM 0.0029814505 0.245119814

8 AYEN -0.304462093 0.251481961

9 BANVT -0.2022870455 0.090780844

10 BOYNR -0.124869216 0.108826436

11 BURVA 0.188563661 -0.089879451

12 BUCIM -0.041280678 0.111820097

13 CRDFA 0.028626855 0.25426788

14 CELHA -0.044588729 0.238306006

15 DERIM -0.087455664 0.206787406

16 DITAS -0.066167336 0.122067957

17 DGZTE -0.272729952 0.100854952

18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163

19 ESCOM 0.267516728 0.462865565

20 FFKRL 0.057085345 0.057085345

21 IHGZT -0.423786461 0.029450949

22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539

23 KLMSN -0.092192764 0.310755638

24 KORDS 0.052416547 0.26250058

25 KOZAA -0.046818144 0.162291585

26 LINK -0.046014854 0.297627757

27 MUTLU -0.012931753 0.140914399

28 PINSU -0.11566585 0.161417483

29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643

30 SANKO -0.095215908 0.116402348

73

6.2.2. Beta’nın Hisse Senetleri Getirileri Üzerindeki Etkisi

Piyasadaki değişmelerin ışığında hisse senedi seçiminde Beta katsayılarından

yararlanılır. Daha öncelerde de ayrıntılı bir biçimde incelediğimiz risk, bir hisse senedi

getirisinin piyasa portföyünde ki dalgalanmalara duyarlılığı ile ölçülebilir.

Bu duyarlılık hisse senedinin betasıdır. Piyasada bir yükselme bekleniyorsa en

büyük beta katsayısına sahip hisse senetleri, piyasada bir düşme bekleniyorsa en küçük

Beta katsayısına sahip hisse senetleri portföye alınmalıdır. Şimdi ayrı ayrı İMKB-30

endeksine tabi hisse senetlerinin betalarını bulmaya çalışacağız.

Bulduğumuz bu beta değerlerini sermaye pazarı doğrusu formülünde yerine

koyarak beklenen getiri oranlarını bulacağız. Beklenen getiriyi bulduktan sonra

optimum portföyümüzü oluşturmamız sadece kişisel tercihimize kalacak. Hangi risk

değeri için ne kadar bir beklenen getiri istiyoruz. İşte bunun cevabı bizim optimum

portföyümüzü oluşturacaktır.

Betanın tanımı= ortalama getiri/pazarın riski [ 27]

74

Tablo 6.3: Hisse senetlerin beta değerlerinin hesaplanan değerleri

Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk Beta

1 ADANA -0.200771096 0.013051798 -1,251240138

2 AKENR -0.118439442 0.324227223 -0,738135054

3 ATEKS 0.099945822 0.331482748 0,62287962

4 AKSA 0.139084774 0.327933694 0,866800328

5 ALARK -0.04908326 0.037621942 -0,305895351

6 ALCTL 0.030071644 0.277620663 0,187411678

7 ANACM 0.0029814505 0.245119814 0,018580914

8 AYEN -0.304462093 0.251481961 -1,897460337

9 BANVT -0.2022870455 0.090780844 -1,260687798

10 BOYNR -0.124869216 0.108826436 -0,778206515

11 BURVA 0.188563661 -0.089879451 1,175161296

12 BUCIM -0.041280678 0.111820097 -0,257268313

13 CRDFA 0.028626855 0.25426788 0,178407503

14 CELHA -0.044588729 0.238306006 -0,277884658

15 DERIM -0.087455664 0.206787406 -0,545038799

16 DITAS -0.066167336 0.122067957 -0,412366263

17 DGZTE -0.272729952 0.100854952 -1,699700155

18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 -0,022029711

19 ESCOM 0.267516728 0.462865565 -1,217447684

20 FFKRL 0.057085345 0.057085345 0,115410601

21 IHGZT -0.423786461 0.029450949 -2,641110402

22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 -0,41449685

23 KLMSN -0.092192764 0.310755638 -0,574561224

24 KORDS 0.052416547 0.26250058 0,326668971

25 KOZAA -0.046818144 0.162291585 -0,291778757

26 LINK -0.046014854 0.297627757 -0,2867725515

27 MUTLU -0.012931753 0.140914399 -0,080592917

28 PINSU -0.11566585 0.161417483 -0,720849549

29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 0,078105763

30 SANKO -0.095215908 0.116402348 -0,59340198

75

7. BULGULAR

Daha önceden bulmuş olduğumuz hisse sentlerine ait risk değerlerini pazarın

riskine oranladığımızda beta katsayılarına ulaşabilmekteyiz. Betalar daha önceleri de bir

çok kez üzerinde durduğumuz gibi pazarın genelinde meydana gelen bir değişiklikten

bir tek hisse senedinin nasıl etkilendiği sorusunun cevabıdır. Risk alabilirliği yüksek

olan bir yatırımcı, portföyünü betası 1’den büyük olan senetlerden oluşturacaktır. Oysa

tam tersi karakterdeki bir yatırımcı 1,8, 9, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 26 numaralı gibi betası

negatif olan senetleri tercih edecektir.

İMKB-30 Endeksinde ki senetlerin tek tek beklenen getirilerini bulalım. Bunun

için risksiz faiz oranını % 20 kabul ederek şirketlerin hisse sentlerinin dönem getirileri,

riskleri ve betalarını (hisse senetlerinin portföydeki dalgalanmalarının duyarlılığı) göz

önüne alınarak hisse senetleri getirileri hesaplanmıştır.

1. ADANA ÇİMENTO (A) = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.25) = 0.95

2. AK ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0,73) = 0.638

3. AKIN TEKSTİL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.62) = -0.172

4. AKSA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.86) = -0.316

5. ALARKO HOLDİNG = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.30) = 0.38

6. ALCATEL LUCENT TELETAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.18) = 0.092

7. ANADOLU CAM = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.01) =0.194

8. AYEN ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.89) =1.334

9. BANVİT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.26) = 0.956

10. BOYNER MAĞAZACILIK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.77) = 1.262

11. BURÇELİK VANA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(1.17) = -0.502

76

12. BURSA ÇİMENTO = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.25) = 0.35

13. CREDITWEST FAKTORING = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.17) = 0.098

14. ÇELİK HALAT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.27) = 0.362

15. DERİMOD = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.54) = 0.524

16. DİTAŞ DOĞAN = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446

17. DOĞAN GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.69) = 1.214

18. ECZACIBAŞI YAPI = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.02) = 0.202

19. ESCORT TEKNOLOJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.21) = 0.926

20. FİNANS FİN. KİR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.11) = 0.134

21. İHLAS GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-2.64) = 1.784

22. İZMİR DEMİR ÇELİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446

23. KLİMASAN KLİMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.57) = 0.542

24. KORDSA GLOBAL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.32) = -0.008

25 KOZA MADENCİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.29) = 0.374

26. LİNK BİLGİSAYAR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.28) = 0.368

27. MUTLU AKÜ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.08) = 0.248

28. PINAR SU = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.72) = 0.632

29. PİMAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.07) = 0.158

30. SANKO PAZARLAMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.59) = 0.554

77

Görüldüğü gibi risksiz faiz oranı pazarın ortalama getirisinden yüksek olduğunda ya da

başka bir deyişle endeksin ortalama getirisi risk almadan elde edilebilecek getiri

düzeyinin altında kaldığında (pazar düşüşte olduğunda zaman) betası negatif olan hisse

senetlerinin getirileri risk almaya değer gözükmektedir. Oysa pazar yükselişte olsa idi

beta katsayıları pozitif olan senetler risksiz faiz oranının üzerinde getiri sağlayacaktı.

Buradan hareketle diyebiliriz ki son 1 yıllık verileri göz önüne aldığımız da optimum

portföyü oluştururken en fazla getiri sağlayan dokuz tane şirketlerin hisse sentleri

çoktan aza doğru sıralanmıştır. AYEN ENERJİ, BOYNER MAĞAZACILIK, DOĞAN

GAZETECİLİK, İHLAS GAZETECİLİK, ADANA ÇİMENTO, BANVİT, ESKORT

TEKNOLOJİ, AK ENERJİ, PINAR SU ile oluşturabiliriz.

78

8. SONUÇ VE ÖNERİLER

Portföy yönetim tekniklerinden geleneksel yaklaşımda, portföyde yer alan hisse

senedi sayısının arttırılması ve bu şekilde yalın çeşitlendirme yoluyla portföy riskinin

azaltılabileceği anlayışı hakimdir. Oysa Markowitz’in temellerini attığı modern portföy

teorisinde, sadece yalın çeşitlendirme yoluyla riskin azaltılamayacağı, portföy içinde yer

alan hisse senetlerinin aralarındaki ilişkilerinde risk üzerinde etkili olduğu ortaya

konmuştur. Markowitz’in modelini ortaya koymasının ardından Sharpe, Mossin,

Lintner’in çalışmalarıyla bu modele alternatifler geliştirilmiştir. Daha önceleri de

üzerinde durulduğu gibi Markowitz’in modelinde ortaya çıkan çok sayıda verinin

hesaplanmasının güçlüğü Finansal Varlık Fiyatlama Modeli ve Arbitraj Fiyatlama

Modeli gibi alternatif modellerin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Ancak gelişen teknoloji

sayesinde bu hesaplama güçlüğü ortadan kalkmıştır. Bunun yanında alternatif

modellerin geçerliliği çok güçlü varsayımlara bağlıdır. İşte sayılan bu nedenlerden

Markowitz modeli geçerliliğini yitirmemiştir.

Bu çalışmanın amacı, portföy çeşitlendirmesinin ve optimizasyonunun İMKB’de

çalışabilirliğini test edebilmektir. Çalışmada İMKB 30 endeksi hisse senetlerinin

sistematik riskleri (beta katsayıları) ve beklenen getirileri hesaplanmış ve yatırımcının

karını maksimum düzeye getirmeye çalışılmıştır. Çeşitlendirilmiş portföyler yatırımın

riskini en aza indirmeye yararken karşılığında yüksek getiri sağlamaya çalışırlar. Burada

amaç portföy oluştururken en iyi çeşitlendirmeyi yapabilmektir. İyi çeşitlendirme ise

Markowitz’in Modern Portföy Teoremi ve etkin sınırdaki optimal portföyün seçimiyle

olacaktır. Risk altında yatırımcının karar vermesi oldukça güçtür. Hisse senedi

piyasasında her yatırımcının amacı düşük riskle yüksek getiri elde etmektir. Yatırımcı,

kendi portföyünü oluştururken çesitli kişisel kriterler ortaya koyar. Yatırım yapmadan

önce hisse senedi piyasasını bir şekilde değerlendirir. Bu değerlendirme bir gözlem

olabilir, bir araştırma olabilir veya bir analiz olabilir. Özellikle gelişmekte olan ülkelerin

hisse senedi piyasalarında çeşitli hesaplar ve analizlerle seçilen portföyler her zaman

mükemmel getiriler sağlamayabilir. Genellikle ülke ekonomisi ve siyasetinin pozitif

yönde eğilim göstermesi hisse senedi piyasalarına da pozitif olarak yansımaktadır. Aynı

şekilde ülke ekonomisinin negatif yöne doğru gidişi, hisse senedi piyasasında negatif

olarak algılanır.

79

2011 yılı İMKB için iyi bir yıl olmuş borsa endeks bazında yılı karla

kapatmıştır. Sonuç olarak hisse senetlerine yapılan yatırımlar bu yıl yüksek getiriyle

sonuçlanmıştır. Optimizasyon zararın olduğu durumlarda çalışacağı gibi karın olduğu

durumlarda da kendini gösterecektir. Sonuçta Markowitz Portföy Teoremi ve

Optimizasyon, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası’nda ki hisse senetlerine yapılacak

yatırımlarda portföy oluşturmak için seçilen hisseler için kullanılabilecek en iyi

yöntemdir. Böylece hem bireysel yatırımcılar, hem de kurumsal yatırımcılar optimize

edilmiş portföylerini oluşturduklarında oldukça yüksek getiri sağlamış olacaklardır.

Markowitz, portföy riskinin portföyü oluşturan varlıkların riskinden daha az

olabileceğini ve sistematik olmayan riskin sıfır olabileceğini göstermiştir. Bunun

yanında, menkul kıymet seçiminde kullanılmak üzere etkin sınırı bulmuş, bu sınırın

karesel programlama ile elde edilebileceğini göstermiştir. Ancak yaklaşımı başarılı

sonuçlara ulaştırmanın temel şartı yatırımcının içinde faaliyet gösterdiği ekonomik ve

endüstriyel çevrenin sürekli olarak incelenmesi ve portföy analizi ile devamlı olarak

gözden geçirilmesidir. Çalışmadan çıkarılabilecek en önemli sonuç, risk ile getiri

arasında aynı yönlü güçlü bir ilişkinin olduğudur. Yatırımcının portföy içinde

çeşitlendirme yaparak portföyün riskini azaltması mümkündür. Bireysel ve kurumsal

yatırımcılar açısından optimize edilmiş portföyler sağlanabildiği ölçüde yüksek getiri

elde etmek mümkün olacaktır.

80

KAYNAKLAR DİZİNİ

[1] AKMUT, O., Sermaye Piyasasý Analizleri ve Portföy Yönetimi, Ankara,.36-52,92-

103, 1989.

[2] AKKAYA, O., “Ortalama Varyans Yöntemi ile Portföy Optimizasyonu”, Yüksek

Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 21-40 (1996).

[3] CEYLAN, Ali , “Borsada Uygulamalı Portföy Yönetimi” ,BURSA, 12-31, 1995.

[4] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve

İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri

Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005.

[5] DAĞLI Hüseyin, Sermaye Piyasası ve Portföy Analizi, Derya Yayıncılık, Trabzon,

2000.

[6] DING Yuanyao, “Portfolio Selection Under Maximum Minimum Criterion”,

Quality & Quantity, 40, 2006.

[7] KONURALP Gürel, Sermaye Piyasaları Analizler, Kuramlar ve Portföy Yönetimi,

Alfa Yayınları, İstanbul, 2005, s.314.

[8] JEFF GROVER, Angeline M. LAVIN, “Modern Portfolio Optimization: A

Practical.

[9] KANALICI Hülya, Hisse Senedi Fiyatlarının Tespiti ve Tesir Eden Faktörler, SPK

Yayınları, Yayın No:77, Ankara, 1997.

[10] KARAN Mehmet Baha, Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi, Gazi Kitabevi,

2004.

[11] OĞUZ, Y., (2001), Portföy Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik

Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.

81

[12] DEMİRTAŞ Ö., GÜNGÖR Z., “ Portföy Yönetimi ve Portföy Seçimine Yönelik

Uygulama”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt:1, Sayı:4, Temmuz

2004, s.104.

[13] PUELZ, Amy V., (2001), "Value-at-Risk Based Portfolio Optimization",

Stochastic Optimization: Algorithms and Applications, Uryasev,S. ve Pardalos,P.M.

editör, Kluwer Academic Publishers, s. 279–302.

[14] RUBINSTEIN Mark, “Markowitz’s Portfolio Selection: A Fifty-Year

Retrospective”, The Journal Of Finance, Vol:VLII, No:3, June 2002.

[15] SİMON Z. BENNINGA, Financial Modeling, (Massachusetts Institute Of

Technology Press Published, 2000), s.161.

[16] ULUCAN, A., “Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Model nin,

Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün Elde

Edilmesinde Kullanımı”, Hacettepe Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi

Dergisi, 20:141-153(2002).

[17] YERLİKAYA İ., Ö., (2001), Portföy Analizi, Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir

Uygulama, Yüksek Lisans Tezi, T.C. Dokuz Eylül Üniversitesi, Sosyal Bilimler

Enstitüsü, İşletme Anabilim Dalı, İzmir.

[18] ZHİDONG BAI, Huixia LIU, Wing-Keung WONG, “Making Markowitz’s

Portfolio Optimization Theory Practically Useful”, 2006, s.2Approach Using an Excel

Solver Single-Index Model” The Journal Of Wealth Management, Summer 2007,

s.61.

[19] ALAKURT Zeynep; Portföy Seçim Modelleri ve İMKB’ye Bir Uygulama,

Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans

Tezi, İstanbul : 2002

[20] ALAN Mehmet Ali, YEŞİLYURT Cavit; Doğrusal Programlama Problemlerinin

Excel İle Çözümü, Cumhuriyet Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi

Dergisi Cilt 5 Sayı 1

82

[21] ALGÜR Birol; Farklı Risk Ölçümlerine Göre Portföy Seçimi, Marmara

Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi,

İstanbul : 2003

[22] ATAN Murat; Karesel Programlama İle Portföy Optimizasyonu, Ankara : 2005

[23] BEYAZIT Mehmet Fuat; İMKB Betaları, Korelasyon Tahmini ve Değişkenlik,

Doğuş Üniversitesi Dergisi, İstanbul : 2005

[24] BOZDAĞ Nihat, ALTAN Şenol, DUMAN Sibel; Minimaks portföy Modeli ile

Markowitz Ortalama Varyans Portföy Modelinin Karşılaştırılması, Gazi Üniversitesi,

İ.İ.B.F.,Ekonometri Bölümü, Ankara

[25] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve

İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri

Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005

[26] EROĞLU E., KIYILAR M.; Tek Endeks Modeli ve Modelin İMKB’de uygulanışı,

2004

[27] KÜÇÜKKOCAOĞLU Güray; Optimal Portföy Seçimi ve İMKB Ulusal 30

Endeksi Üzerine Bir Uygulama, Ankara : Eylül-Ekim 2002

[28] ULUCAN Aydın; Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim

Modelinin Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün

Elde Edilmesinde kullanılması, Hacettepe Üniversitesi, Ankara : 2004

[29] YALÇINER Kürşat, ATAN Murat, BOZTOSUN Derviş; Markowitz Karesel

Programlama İle Portföy Seçim Modelinin İMKB 100 Endeksine Uygulanması,

Endeks İle Aynı Getiriye Sahip Portföy Oluşturulması, Ankara : 2004

[30] YERLİKAYA Özgür; Portföy Analizi Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir

Uygulama, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Bölümü Yüksek

Lisans Tezi, İzmir:2001

[31] http://www.akbank.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)

[32] http://www.borsadirekt.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)

83

[33] http://www.capital.com.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012)

[34] http://www.imkb.gov.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012)

[35] http://www.riskglossary.com (Erişim Tarihi: 23.02.2012)

[36] http://www.spk.gov.tr (Erişim Tarihi: 24.02.2012)

[37] http://www.tspakb.org.tr (Erişim Tarihi: 29.02.2012)

84

EKLER

3.6. Modelin Çözümü:

Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosu

elde edilmiştir.

Local optimal solution found. Objective value: 0.5410777E-02 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 X( 1) 0.000000 0.1362886E-02 X( 2) 0.2380340 0.000000 X( 3) 0.3266793 0.000000 X( 4) 0.4352867 0.000000 X( 5) 0.000000 0.3224834E-03 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5410777E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4245479

85

YUZDEYUZ 0.000000 0.3163323E-01

Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan

0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X , %23.8 X , %32.7X , %43.5

X ve %0.0 X kompozisyonundan oluşmuştur.

4.5.Modelin Çözümü:

Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda ki gibi bir tablo oluşacaktır.

Local optimal solution found. Objective value: 0.5820165E-02 Infeasibilities: 0.1387779E-16 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 START( 1) 0.3000000 0.000000 START( 2) 0.1000000 0.000000 START( 3) 0.1000000 0.000000 START( 4) 0.2000000 0.000000 START( 5) 0.3000000 0.000000 AL( 1) 0.000000 0.7438410E-03 AL( 2) 0.1545109 0.000000 AL( 3) 0.2205568 0.000000 AL( 4) 0.2021829 0.000000 AL( 5) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 1) 0.3000000 0.000000 SAT( 2) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 3) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 4) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 5) 0.2889123 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 MLYT( 1) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 2) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 3) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 4) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 5) 0.1000000E-01 0.000000 X( 1) 0.000000 0.2562708E-02 X( 2) 0.2545109 0.000000 X( 3) 0.3205568 0.000000 X( 4) 0.4021829 0.000000 X( 5) 0.1108775E-01 0.000000 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000

86

V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5820165E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4875800 3 0.000000 -0.3719205E-01 4 0.000000 0.3682013E-01 5 0.000000 0.3756397E-01 6 0.000000 0.3756397E-01 7 0.000000 0.3756397E-01 8 0.000000 0.3682013E-01

4.6.Model ile ilgili açıklamalar:

Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan

0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X %25.4 X , %32.05 X , %40.2

X ve %11.08 X kompozisyonundan oluşmuştur.

5.6. Lingo ile Çözümü:

Local optimal solution found. Objective value: 0.2865172E-02 Infeasibilities: 0.1339467E-13 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost HEDEF 0.1000000 0.000000 ORT 0.1000000 0.000000 VAR 0.6500488E-02 0.000000 SVAR 0.2865172E-02 0.000000 ALTRISK 0.3341467E-01 0.000000

87

OLASI( 1) 0.1110000 0.000000 OLASI( 2) 0.1110000 0.000000 OLASI( 3) 0.1110000 0.000000 OLASI( 4) 0.1110000 0.000000 OLASI( 5) 0.1110000 0.000000 OLASI( 6) 0.1110000 0.000000 OLASI( 7) 0.1110000 0.000000 OLASI( 8) 0.1110000 0.000000 OLASI( 9) 0.1110000 0.000000 R( 1) 0.1186089 0.000000 R( 2) 0.2761530E-01 0.000000 R( 3) 0.000000 0.4751429E-01 R( 4) 0.2198686 0.000000 R( 5) 0.000000 0.4569090E-01 R( 6) 0.9468841E-01 0.000000 R( 7) 0.7666322E-01 0.000000 R( 8) 0.2300853 0.000000 R( 9) 0.1333712 0.000000 USTS( 1) 0.1860887E-01 0.000000 USTS( 2) 0.000000 0.1606940E-01 USTS( 3) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 4) 0.1198686 0.000000 USTS( 5) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 6) 0.000000 0.1179173E-02 USTS( 7) 0.000000 0.5180766E-02 USTS( 8) 0.1300853 0.000000 USTS( 9) 0.3337121E-01 0.000000 ALTS( 1) 0.000000 0.000000 ALTS( 2) 0.7238470E-01 0.000000 ALTS( 3) 0.1000000 0.000000 ALTS( 4) 0.000000 0.000000 ALTS( 5) 0.1000000 0.000000 ALTS( 6) 0.5311591E-02 0.000000 ALTS( 7) 0.2333678E-01 0.000000 ALTS( 8) 0.000000 0.000000 ALTS( 9) 0.000000 0.000000 X( 1) 0.8494465E-01 0.000000 X( 2) 0.2678628 0.000000 X( 3) 0.1590336 0.000000 X( 4) 0.2999648 0.000000 X( 5) 0.1881942 0.000000 SE( 1, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 2) 0.2000000 0.000000 SE( 1, 3) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 4) 0.1000000E-01 0.000000 SE( 1, 5) 0.2000000 0.000000 SE( 2, 1) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 2, 2) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 3) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 4) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 2, 5) -0.1000000 0.000000 SE( 3, 1) 0.1400000 0.000000 SE( 3, 2) -0.2700000 0.000000 SE( 3, 3) -0.1300000 0.000000 SE( 3, 4) 0.1700000 0.000000 SE( 3, 5) 0.1600000 0.000000 SE( 4, 1) -0.8000000E-01 0.000000 SE( 4, 2) 0.4800000 0.000000 SE( 4, 3) 0.2100000 0.000000 SE( 4, 4) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 4, 5) 0.2800000 0.000000 SE( 5, 1) 0.1200000 0.000000 SE( 5, 2) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 3) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 4) -0.6000000E-01 0.000000

88

SE( 5, 5) -0.1400000 0.000000 SE( 6, 1) -0.3000000E-01 0.000000 SE( 6, 2) 0.1600000 0.000000 SE( 6, 3) -0.1200000 0.000000 SE( 6, 4) 0.2700000 0.000000 SE( 6, 5) -0.4000000E-01 0.000000 SE( 7, 1) 0.1500000 0.000000 SE( 7, 2) -0.1900000 0.000000 SE( 7, 3) 0.2900000 0.000000 SE( 7, 4) 0.1600000 0.000000 SE( 7, 5) 0.1100000 0.000000 SE( 8, 1) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 8, 2) 0.4000000 0.000000 SE( 8, 3) 0.1200000 0.000000 SE( 8, 4) 0.9000000E-01 0.000000 SE( 8, 5) 0.4400000 0.000000 SE( 9, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 9, 2) 0.1900000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.3834170 2 0.000000 -0.4502463 3 0.000000 0.4255929E-01 4 0.000000 0.5862869E-01 5 0.000000 0.1122736 6 0.000000 0.4255929E-01 7 0.000000 0.1104502 8 0.000000 0.4373846E-01 9 0.000000 0.4774005E-01 10 0.000000 0.4255929E-01 11 0.000000 0.4255929E-01 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.1606940E-01 14 0.000000 0.2220000E-01 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.2220000E-01 17 0.000000 0.1179173E-02 18 0.000000 0.5180766E-02 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.3929429E-01 VARYANS 0.000000 0.000000 SVARYANS 0.000000 -1.000000 ALTBRISK 0.000000 0.000000 AMAC 0.2865172E-02 -1.000000

tez

Documents