tfy 4104 fysikk - kompendium

Optimalisert for tosidig utskrift. Versjon: August 2008

Kompendium i emne

TFY4106 Fysikk

for studenter ved studieprogrammene

MTPROD, MTING, MTIØT ogMTBYGG

NTNU

Høsten 2008

Forord

Emne TFY4106 Fysikk undervises høsten 2008 for studieprogrammene MTPROD,MTING, MTIØT og MTBYGG.

Emnet foreleses som to paralleller med forskjellige timeplaner. Forelesere er professorJohan Skule Høye som foreleser for MTPROD og MTING og professor Asle Sudbøsom foreleser for MTIØT og MTBYGG.

Pa fagets hjemmeside under Institutt for fysikk vil en finne blant annet:

• Generell beskrivelse av emnet.

• Kompendiet (pdf-format).

• Obligatoriske øvingsoppgaver (pdf-format).

• Løsningsforslag (pdf-format) til obligatoriske øvingsoppgaver (tilgjengelig kunetter innleveringsfristen).

For a sikre at emnets innhold er mest mulig relevant, har skiftende faglærere oppgjennom arene jamnlig oppdatert utvalget av temaer, eksempler og øvinger i samradmed det emnemiljøet som studentene tilhører.

Emnet TFY4106 Fysikk, ogsa gitt høsten 2006 og 2007, har i det vesentlige sammeinnhold som emnene TFY4102 og TFY4125 gitt varen 2006.

Johan Skule HøyeAsle Sudbø

Innhold

1 Introduksjon 1

I Elementær mekanikk 3

2 Newtons 2. lov 5

2.1 Bevegelse av punktmasser som pavirkes av ytre krefter . . . . . . . 5

2.2 Kastbevegelse i homogent gravitasjonsfelt . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Lodd hengt opp i spiralfjær . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Statisk beregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Dynamisk beregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Arbeid og energi 13

3.1 Arbeid og kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Potensiell energi og konservative krefter . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Ikke-konservative krefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Vanlig tørr friksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Fluidfriksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.3 Friksjonsarbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Dreiemoment og vektstangprinsipp 23

4.1 Vektstang i skalvektkonfigurasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Løfting med spett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Dreiemoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Dreiemoment og arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Tyngdepunkt og massefellespunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Statisk likevekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5.1 Opplagret bjelke med last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Topartikkelsystemer 29

5.1 Separasjon av bevegelseslikningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Elastisk støt i en dimensjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Uelastisk støt i en dimensjon – ballistisk pendel . . . . . . . . . . . 33

6 Rotasjon av stive legemer 37

iii

iv INNHOLD

6.1 Beskrivelse vha. sylinderkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Baneakselerasjon og radialakselerasjon . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Rotasjonsenergi og treghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Rullende ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.2 Rullende massivt hjul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.3 Modellering av Galileis eksperiment . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Parallellakse-teoremet (Steiners sats) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3.1 Alternativ beregning av kinetisk energi for rullende hjul . . . 45

6.4 Spinn for punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5 Spinnet for stivt legeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.1 Gyroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.2 Bumerang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Elastisitet 53

7.1 Strekkelastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.2 Skjærelastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3 Volumelastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4 Sammenhengen mellom elastisitetsmodulene . . . . . . . . . . . . . 56

7.4.1 Poissons tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.4.2 Sammenhengen mellom volum- og strekkmodul . . . . . . . 56

7.4.3 Sammenhengen mellom skjær- og strekkmodul . . . . . . . . 57

7.5 Bøying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.5.1 Innspent bjelke med last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.6 Torsjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II Svingninger og bølger 65

8 Periodisk bevegelse 67

8.1 Masse og fjær . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2 Uniform rotasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3 Torsjonssvingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.4 Matematisk pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5 Fysisk pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.5.1 Tynn, homogen stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.6 Dempete svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.6.1 Løsning ved svak demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.6.2 Klassifisering etter dempningsgrad . . . . . . . . . . . . . . 78

8.7 Tvungne svingninger og resonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Mekaniske bølger 83

9.1 Harmoniske forløp i rom og tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.2 Standbølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3 Vandrebølger og fasehastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

INNHOLD v

9.4 Bølgelikninga – syntetisk utledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.5 Transversale bølger: Svingende streng . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.6 Longitudinale bølger: Lydbølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.6.1 Lydbølger i en stav av fast stoff . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.7 Effekt og intensitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.7.1 Svingende streng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.7.2 Lydbølge i væske eller gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.7.3 Lydtrykk og intensitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.7.4 Decibelskalaen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.8 Dopplereffekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.8.1 Dopplers formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.8.2 Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger . . . . . . . . . . 96

9.9 Staende bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.9.1 Staende bølger pa svingende streng . . . . . . . . . . . . . . 98

9.9.2 Longitudinale standbølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.9.3 Blaseinstrument med apen ende . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.10 Interferens og svevning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.10.1 Interferens mellom vandrebølger med samme frekvens . . . . 100

9.10.2 Lydbilde fra to høyttalere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.10.3 Svevning mellom bølger med nærliggende frekvenser . . . . . 102

III Termisk fysikk 105

10 Temperatur og varme 107

10.1 Temperatur og termisk utvidelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10.1.1 Temperaturskalaer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10.1.2 Termisk lengdeutvidelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.1.3 Termisk utvidelse av vann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.2 Varme og varmekapasitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10.2.1 Varmekapasitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.2.2 Varmetoning – latent varme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.3 Varmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.3.1 Varmeledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.3.2 Tilfrysing av en innsjø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.3.3 Varmestraling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

11 Kinetisk gassteori 123

11.1 Makroskopisk beskrivelse(kontinuumsbeskrivelse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.2 Mikroskopisk beskrivelse(atomær/molekylær beskrivelse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.3 Fra mikroskopisk til makroskopisk beskrivelse (kontraksjon) . . . . 125

11.4 Den ideelle gassloven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

vi INNHOLD

11.5 Varmekapasitet for ideell enatomig gass . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.5.1 Oppvarming ved konstant volum . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.5.2 Oppvarming ved konstant trykk . . . . . . . . . . . . . . . 129

11.6 Varmelæras 1. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11.7 Frihetsgrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7.1 Enatomig gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7.2 Toatomig gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7.3 Fleratomige gasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.8 Ekvipartisjonsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.8.1 Hydrogengass, H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.8.2 Faste stoffer: Dulong-Petits lov . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11.9 Adiabatiske prosesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.9.1 Ideell gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.9.2 Lydhastigheten i en ideell gass . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

11.9.3 Ruchardts eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

11.10Transportprosesser i ideelle gasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11.10.1Fri veglengde og fri tid mellom støt . . . . . . . . . . . . . . 138

11.10.2Varmeledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.10.3Viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

11.11Kondensasjon og kritisk punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

11.11.1van der Waals likning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

11.11.2Fasediagram og trippelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

12 Termodynamiske kretsprosesser 149

12.1 pV -diagrammer og arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12.1.1 Arbeidet er avhengig av banen . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.1.2 Kretsprosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.1.3 Prosesstyper – terminologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.1.4 Reversibel og ikke-reversibel prosess . . . . . . . . . . . . . . 152

12.1.5 Joule-Thomson effekten – og Lindes kjølemaskin . . . . . . . 153

12.2 Sykliske varmekraftmaskiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12.2.1 Termisk virkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.2.2 Otto-syklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12.2.3 Diesel-syklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

12.3 Kjølemaskiner og varmepumper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.3.1 Kjøleprinsipper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.3.2 Kjøleanlegg med kjølemedium i gass/væske likevekt . . . . . 160

12.4 Carnotprosessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.4.1 Carnotsyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.4.2 Carnotprosess i en ideell gass . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.4.3 Generell Carnotprosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.4.4 Konsekvenser for virkelige kraftverk . . . . . . . . . . . . . . 164

12.4.5 Carnotprosessen og temperaturdefinisjonen . . . . . . . . . . 165

INNHOLD vii

12.5 Varmelæras 2. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.6 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.6.1 Clausius ulikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

12.6.2 Definisjon entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.6.3 Entropien for en ideell, enatomig gass . . . . . . . . . . . . . 167

12.6.4 Entropien og 2. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.6.5 Misbruk av 2. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.6.6 Sluttord – om termodynamikk og kultur . . . . . . . . . . . 170

IV Elektrisitet og magnetisme 173

13 Elektromagnetiske grunnbegreper 175

13.1 Kort historisk bakgrunn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13.1.1 Fra gresk oldtid til James Clerk Maxwell . . . . . . . . . . . 176

13.1.2 Litt om enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.2 Elektrostatikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

13.2.1 Coulombs lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

13.2.2 Elektrisk felt→E og potensial V . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13.2.3 Gauss lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

13.2.4 Kapasitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.2.5 Elektrostatisk feltenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

13.2.6 Dielektrika og polarisasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.3 Statiske magnetfelt og elektrisk strøm . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.1 Elektrisk strøm og Ohms lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.2 Kraft pa leder i magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13.3.3 Lorentzkrafta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

13.3.4 Krefter mellom strømførende ledere – og enheten ampere . . 188

13.3.5 Magnetfeltet fra en rett leder . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

13.3.6 Amperes lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

13.3.7 Magnetfeltet i en lang, rett spole . . . . . . . . . . . . . . . 190

13.4 Magnetisk induksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.4.1 Faradays induksjonslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

13.4.2 Generering av vekselstrøm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

13.4.3 Teslas trefasegenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.4.4 Selvinduksjon og magnetisk feltenergi . . . . . . . . . . . . . 194

13.5 Enkle kretser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.5.1 RC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.5.2 Opplading av kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

13.5.3 RL-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

13.5.4 LC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.5.5 RLC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

INNHOLD 1

14 Elektromagnetiske bølger 203

14.1 Om elektromagnetiske bølger i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . 203

14.2 Forskyvningsstrøm og generalisert Amperes lov . . . . . . . . . . . 205

14.3 Maxwells likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

14.4 Bølgelikninga i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

A Fysiske og matematiske grunnprinsipp 211

A.1 Størrelser og enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A.2 Litt grunnleggende matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.3 Separasjon av sammensatte problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

2 INNHOLD

Kapittel 1

Introduksjon

Vi skal i dette kapittelet gi ei kort oversikt over hva kurset omfatter og hva somkreves av forkunnskaper.

Fra innholdslista vil man se at dette kurset spenner over emner som arbeid, energi,partikkeldynamikk, hydrostatikk, fluidmekanikk, mekaniske bølger, termisk fysikk,kinetisk teori og termodynamiske kretsprosesser. Dette kan ved første øyekast seut som temaer som har lite eller ingenting felles, men dette viser seg ikke a væreriktig. Den underliggende fellesnevneren for alle disse temaene er Newtons mekanikkfor masser som er sa sma at man kan se bort fra effekter som skyldes massenesutstrekning. Slike masser refereres til som massepunkter eller punktmasser. I detilfeller hvor man ønsker a studere fluider eller faste legemer med utstrekning,modellerer man de aktuelle systemene som ei samling av et større eller mindreantall vekselvirkende punktmasser.

Newtons mekanikk (1686) bygger pa Newtons1 bevegelseslikning publisert i “Prin-cipia”.

Einsteins spesielle relativitetsteori (1905) skiller seg fra Newtons mekanikk kun narpartikkelhastigheten blir en signifikant brøkdel av lyshastigheten, c = 300 000km/s.

Heisenberg og Schrodingers kvantemekanikk (1924) beskriver de spesielle fysiskeegenskapene som begynner a dominere nar ved termisk likevekt massen til punkt-massene er av samme størrelsesorden som massen til et hydrogenatom, eller mindre.

Hawkins (1980) beskrev hvordan alle kjente fysiske lover mister sin gyldighet inærheten av svarte hull (“uendelig” stor masse med “null” utstrekning).

Vi vil her ikke befatte oss med tre sistnevnte spesialtilfellene, og vil kun betrakte

1Sir Isaac Newton (1642(43)-1727), engelsk fysiker og matematiker. Den største viten-skapsmann i 17. arhundre med spesialomrader mekanikk, optikk og infinitesimalregning. Boka“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” regnes av mange som ei av de aller viktigste ivitenskapens historie.

1

2 KAPITTEL 1. INTRODUKSJON

objekter som A) har stor nok masse, B) beveger seg langsomt nok og C) befinner seglangt nok bort fra svarte hull til at Newtons mekanikk er gyldig. Dette innbefatter ipraksis de aller fleste systemer av interesse innen ingeniørvitenskap – inklusive ma-kroskopiske egenskaper som varmekapasitet og trykk ved gitt volum og temperaturfor de fleste atomære og molekylære gasser.

Det er ellers viktig a legge merke til at fysikkens “sprak” er matematikk – samtidigsom matematikk ogsa er et av fysikkens viktigste verktøy. Isaac Newton matte ien alder av 22-23 ar bokstavelig talt “finne opp” integral- og differensialregningfor a kunne beregne planetbanene rundt sola. For a ha størst mulig utbytte avde foreliggende fysikknotatene, er det derfor desto bedre jo “mer flytende mansnakker matematikk”. Ved eventuelle vansker er det derfor nyttig først a fa avklartom det dreier seg om kun et “sprakproblem” (matematikkproblem) – eller om deter selve fysikken som volder vansker. Erfaring viser at i førstearskurs fysikkemnerbunner studentenes problemer seg for en stor del i “sprakproblemer”. Det er derfora anbefale at studentene underveis i dette kurset stadig frisker opp det som de althar fatt gjennomgatt i matematikk. Se ellers Tillegg A i dette kompendiet.

OPPSUMMERING AV KAP. 1

• Newtons mekanikk er gyldig for alle systemer av interesse innen bygg- ogmiljøteknikk hvor A) Hastigheten er mye mindre enn lyshastigheten, og B)Massen er endelig og større enn hydrogenatomets masse. For systemer bestaendeav sterkt vekselvirkende punktmasser (f.eks. faste legemer og fluider) vil detofte være nyttig a innføre andre koordinater enn de som brukes for frie punk-tmasser.

Del I

Elementær mekanikk

3

Kapittel 2

Newtons 2. lov

Innhold2.1 Bevegelse av punktmasser som pavirkes av ytre krefter 5

2.2 Kastbevegelse i homogent gravitasjonsfelt . . . . . . . 8

2.3 Lodd hengt opp i spiralfjær . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Statisk beregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Dynamisk beregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Vi skal i dette kapittelet gjøre rede for Newtons 2. lov og se pa et par eksempler.

2.1 Bevegelse av punktmasser som pavirkes av

ytre krefter

Var grunnlikning – som nesten all annen mekanikk kan utledes fra – er Newtons 2.lov, som pa komponentform kan skrives

dpx

dt= Fx(x, y, z, t),

dpy

dt= Fy(x, y, z, t),

dpz

dt= Fz(x, y, z, t),

(2-1)

eller pa vektorform

d→p

dt=

→F (

→r , t), (2-2)

5

6 KAPITTEL 2. NEWTONS 2. LOV

hvor

→r = x, y, z = punktmassens posisjonsvektor,

m = massen

→p = px, py, pz = m

d→r

dt= m

→r = bevegelsesmengden, (2-3)

→v = vx, vy, vz =

→r =

d

dt

→r= hastigheten,

t = tid og

→F (

→r , t) = Fx(

→r , t), Fy(

→r , t), Fz(

→r , t) = ytre kraft. (2-4)

Vi definerer ogsa punktmassens akselerasjon→a gitt ved uttrykket

→a= ax, ay, az =

d

dt

→v=

d2

dt2→r=

→r =

1

m

→p. (2-5)

Fra Newtons 2. lov følger at krafta er en avledet størrelse→F= m

→a med enhet

(dimensjon)

[→F ] = [m] · [→a] = kilogram · meter

sekund2 =kg m

s2. (2-6)

Denne enheten defineres 1 newton:

newton = N =kg m

s2.

Se ellers Tillegg A i dette kompendiet.

Newtons 2. lov kan alternativt skrives som

d

dt

[m(t)

→r]

=→F (

→r , t). (2-7)

I det følgende vil vi kun befatte oss med systemer hvor massen er tidsuavhengig,men f.eks. for en rakett vil totalmassen reduseres etter hvert som rakettens drivstoffforbrennes, dvs. rakettmassen vil være en funksjon av tida.

For tidsuavhengig masse, dvs. m(t) = m = konstant, kan Newtons 2. lov skrives

→a =

1

m

→F (

→r , t), (2-8)

→F (

→r , t) = m

→a . (2-9)

Likning (2-8) kan brukes til a beregne akselerasjonen nar den ytre krafta er gitt,mens likning (2-9) kan brukes til a beregne den ytre krafta nar akselerasjonen er

2.1. BEVEGELSE AV PUNKTMASSER SOM PAVIRKES AV YTRE KREFTER7

gitt. Mens Newtons 2. lov (2-8) forteller hvor stor akselerasjon et legeme far nardet pavirkes av en kraft, er Newtons 1. lov et spesialtilfelle av denne: Nar ingenkrefter virker pa et legeme (i praksis: summen av alle krefter lik null), endres ikkehastigheten til et legeme. Dersom det er i ro forblir det i ro.

Kjært barn har, som kjent, mange navn. Slik er det ogsa for Newtons mekanikk:

norsk engelsk→p= m

→v bevegelsesmengde, driv, impuls momentum

d→p=

→F dt kraftstøt, impuls, impulsforandring impulse

For tidsuavhengige masser (m = konstant) har man i det generelle tilfellet beveg-elseslikningene

x =d2x

dt2=

1

mFx(x, y, z, t),

y =d2y

dt2=

1

mFy(x, y, z, t),

z =d2z

dt2=

1

mFz(x, y, z, t),

(2-10)

hvor akselerasjonen i f.eks. x-retning i det generelle tilfellet vil kunne avhenge avverdien til alle de tre komponentene til punktmassens posisjonsvektor

→r= x, y, z.

Dette gir tre koplede andreordens differensiallikninger for a bestemme de tre ukjentex, y og z nar de matematisk uttrykkene for Fx(x, y, z, t), Fy(x, y, z, t) og Fz(x, y, z, t)er kjente. Bevegelsen av en planet rundt sola er et eksempel pa et slikt system. Imange tilfeller er det ikke trivielt a løse de tre koplede differensiallikningene i (2-10). F.eks. er planetbanene rundt sola ellipser hvor sola befinner seg i det enebrennpunktet.

Viktig spesialtilfelle nar krafta i hver retning ikke er avhengig av andre retninger:

Fx(x, y, z, t) = Fx(x, t), (2-11)

Fy(x, y, z, t) = Fy(y, t), (2-12)

Fz(x, y, z, t) = Fz(z, t), (2-13)

med bevegelseslikningene

x =1

mFx(x, t), y =

1

mFy(y, t), z =

1

mFz(z, t), (2-14)

hvor komponentene av bevegelsen langs hver koordinatakse er uavhengig av kompo-nentene til bevegelsen langs de øvrige koordinataksene. Det vil si at man først kanberegne komponentene av bevegelsen langs de tre aksene hver for seg som om beveg-elsen langs de andre aksene ikke fant sted, og sa til slutt summere/superposisjonerebevegelsene. Dette refereres gjerne som superposisjonsprinsippet.


Nar superposisjonsprinsippet kan benyttes, fører dette som oftest til sterk forenk-ling av selve beregningene. Hvor vidt surperposisjonsprinsippet kan benyttes foret gitt system, avhenger ofte av orienteringa av “laboratoriekoordinatsystemet”. Ipraksis er det slik at hvor mye regnearbeid som trengs for a løse en gitt oppgave,ofte er sterkt avhengig av bade lokaliseringa av origo og orienteringa av laborato-riekoordinatsystemet. Normalt lønner det seg derfor a prøve seg litt fram før manplasserer et systems laboratoriekoordinatsystem. Dette er et typisk eksempel pa enarbeidsoppgave hvor øvelse – mer enn noe annet – gjør mester.

2.2 Kastbevegelse i homogent gravitasjonsfelt

Gitt at den ytre krafta pa punktmassen er1

→F (

→r , t) = 0, 0,−mg. (2-15)

Parameter g kalles “tyngdens akselerasjon” og er konstant i et homogent gravi-tasjonsfelt. Denne parameteren har blitt gitt dette navnet fordi

[g] =[Fz]

[m]=

N

kg=

m

s2, (2-16)

dvs. g har dimensjon akselerasjon. Legg merke til at m betyr meter, mens symboletfor masse er m. Videre ser vi fra likn. (2-16) at for en punktmasse er az = −g. Vedhavniva finner man at g ' 9, 82 m/s2.

Vektorkomponenten til partikkelhastigheten kan for dette spesialtilfellet finnes enkeltved integrasjon fordi akselerasjonen er konstant:

vx(t) = vx(0) +

∫ t

0

dvx

dtdt = vx(0) +

∫ t

0

1

mFxdt = vx(0), (2-17)

vy(t) = vy(0) +

∫ t

0

dvy

dtdt = vy(0) +

∫ t

0

1

mFydt = vy(0), (2-18)

vz(t) = vz(0) +

∫ t

0

dvz

dtdt = vz(0) +

∫ t

0

1

mFzdt = vz(0)− g t. (2-19)

Vi har videre at

→r (t) =

→r (0) +

∫ t

0

→v (t) dt, (2-20)

som sammen med likningene (2-17) – (2-19) gir følgende sett med bevegelses-likninger

x(t) = x(0) + vx(0) t,y(t) = y(0) + vy(0) t,z(t) = z(0) + vz(0) t− 1

2g t2.

(2-21)

1Merk at alle ledd i .. skal ha samme enhet (dimensjon). Siden “0” ikke har dimensjon er

en formelt riktigere mate a skrive dette pa:→F= 0 N, 0 N,−mg. Men nar maltallet er lik null

tillater selv de mest formelle fysikere a sløyfe enheten, den er underforstatt. Dette gjelder ogsa iuttrykk som vx(0), f.eks. i likning (2-17).

2.3. LODD HENGT OPP I SPIRALFJÆR 9

Man legger her merke til at partikkelbevegelsen ikke overraskende avhenger badeav hvor partikkelen befinner seg og hvilken hastighet den har ved tida t = 0.

Anta at vi har en kastbevegelse hvor partikkelen befinner seg i origo ved tida t = 0,at det ikke er noen bevegelse i y-retning, dvs. x(0) = y(0) = z(0) = 0 og2 atvy = 0. Ved a eliminere t fra likningene (2-21) finner man følgende likning forpartikkelbanen

z =vz(0)

vx(0)x− 1

2

g

v2x(0)

x2, (2-22)

dvs. banene til partikkelen er en parabel som ligger i planet gjennom x- og z-aksene.

2.3 Lodd hengt opp i spiralfjær

..........................................................................................................................................................................................................................................

```````

m.................

6

?

` ?

z Ei spiralfjær med fjærkonstant k og lengde `0 nar den er ube-lastet, henges opp vertikalt. Fjæra belastes deretter med etlodd med masse m slik at fjærlengden blir `. Massen til fjærakan neglisjeres. Systemet befinner seg i et homogent gravi-tasjonfelt med tyngdeakselerasjon g.

2.3.1 Statisk beregning

For a fa enklest mulig algebra velger vi a benytte et koordinatsystem med z-akseparallelt med og retta med tyngdekrafta. Koordinatsystemet plasseres slik at z = 0ved toppfestet og posisjonsvektoren til nedre ende av fjæra er

→r= 0, 0, z0 nar

fjæra er ubelastet.

Lokaliseringa og orienteringa av koordinatsystemet som benyttes, har ingenting asi for det endelige resultatet av beregningene. Men, hvor mye arbeid som kreves fora komme fram til svaret, avhenger ofte sterkt av hvor man plasserer koordinatsys-temet og hvordan det orienteres. Er man dum nok til f.eks. a orientere koordinat-systemet skratt i forhold til tyngdekrafta, blir uttrykkene unødige stygge.

Vi antar at fjærkrafta F (fjær) følger Hookes lov, dvs.

F (fjær)x = 0 F (fjær)

y = 0 F (fjær)z = −k(`− `0) = −k(z − z0), (2-23)

hvor k er fjærkonstanten. Vi setter minustegn foran krafta fordi den virker i negativ

z-retning nar z > z0. Den totale ytre krafta→F= Fx, Fy, Fz pa loddet blir da

Fx = 0 Fy = 0 Fz = F (fjær)z + F (tyngde)

z = −k(z − z0) + mg. (2-24)

2Legg her merke til at fordi x og vx har forskjellig dimensjon, har vi ikke satt de like selv omde begge er lik null.


Akselerasjonen av loddet er gitt av Newtons 2. lov og dermed av uttrykket

→r =

1

m

→F=

1

m0, 0,−k(z − z0) + mg. (2-25)

Loddet henger i ro (statisk likevekt) hvis→r =

→0 og

→r =

→0. For dette viktige spe-

sialtilfellet gir Newtons 2. lov at

→F= 0, 0, F (fjær)

z + F (tyngde)z =

→0 . (2-26)

Viktig resultat: I statisk likevekt er akselerasjonen lik null. Fra Newtons 2. lov følgerderfor at for dette spesielle tilfellet er summen av alle de ytre kreftene lik null.

Et lodd opphengt i spiralfjær faller derfor til ro ved

∆` = (z − z0) =mg

k. (2-27)

2.3.2 Dynamisk beregning

Fra likning (2-23) ser man at Fx = Fy = 0 og at det i følge Newtons 2. lov derforikke er noen akselerasjon i x- og y-retning. Hvis hastighetene vx = vy = 0 ved tidat = 0, vil det derfor ikke være noen bevegelse i x- og y-retning.

Før loddet faller til ro vil man fra bevegelseslikninga (2-25) for z-retninga finne

z =1

mFz =

1

m[−k(z − z0) + mg] , (2-28)

som gir følgende differensiallikning av andre orden med konstante koeffisienter tila bestemme tidsavhengigheten til den ene ukjente størrelsen z(t)

z(t) +k

m(z(t)− z0)− g = 0. (2-29)

De viktigste alternative matene a finne den analytiske løsningen til ei gitt differen-siallikning – hvis en analytisk løsning i det hele eksisterer – er:

A. Sla opp i ei lærebok eller et av de mange referanseverk som lister opp denanalytiske løsningen for de aller fleste av de mest vanlig forekommende differensial-likninger.

B. Kontakt en matematiker eller noen andre med den nødvendige kompetanse.

C. Hvis man kjenner et fysisk system som er beskrevet av differensiallikninga, vilman ofte ved enkel observasjon kunne erverve ei viss formening om hva dynamikkentil systemet er. Hvis systemet f.eks. svinger opp og ned nar man gir det en kakkslik at systemet kommer ut av statisk likevekt, bestar ofte løsningen av mer ellermindre dempede harmoniske (sinus og cosinus) svingninger. Dette kan sa benyttestil a sette opp en sakalt prøveløsning (gjettet løsning) som sa settes inn i likninga

2.3. LODD HENGT OPP I SPIRALFJÆR 11

for a se hva som ma til av tilpasninger for at prøveløsningen skal være en løsningav differensiallikninga.

D. Man kan selv prøve a integrere differensiallikninga analytisk.

I en arbeidslivssituajon er alternativene A eller B nesten alltid det beste valg.Ofte vil man ogsa kunne komme opp i den situasjonen at det ikke finnes noenanalytisk løsning. I slike tilfeller ma man ty til datamaskinbaserte (numeriske)løsningsmetoder.

Likning (2-29) hører til en klasse differensiallikninger som er godt kjent og som dereetter hvert vil stifte bekjentskap med i mange sammenhenger. Her skal vi derforkun sette opp svaret og vise at det er en løsning av likning (2-29).

For a fa likning (2-29) pa en enklere form innfører vi en ny variabel ξ (gresk bokstavsom uttales “ksi”) som er lik utsvinget fra den statiske likevektsverdien

ξ = z − (z0 + ∆`). (2-30)

Dette gir

z = ξ og z − z0 = ξ + ∆` = ξ + mg/k,

som innsatt i likning (2-29) gir

ξ(t) +k

mξ(t) = 0. (2-31)

Ved prøving ser man at den generelle løsningen til denne likninga er

ξ(t) = C1 sin

√k

mt + C2 cos

√k

mt, (2-32)

hvor C1 og C2 er integrasjonskonstanter som bestemmes av massens posisjon og has-tighet ved tida t = 0. Dette er rene harmoniske svingninger med periode (svingetid)

T = 2π

√m

k= 2π

√∆`

g, (2-33)

hvor man i den siste overgangen har benyttet at ∆` = mg/k. Dess mindre massener og dess stivere fjæra er, jo kortere er svingetida.



• Newtons 2. lov er grunnlikninga som nesten all mekanikk kan utledes fra:→F (

→r , t) = m

→a.

• Bevegelsesmengden(impulsen) for en punktmasse er lik masse · hastighet.

• Newtons 2. lov gir at impulsforandringa er lik kraft · tid.

• Newtons 1. lov er et spesialtilfelle av Newtons 2. lov, nar Σ→F= 0.

• Banen til en kastbevegelse avtegner deler av en parabel.

• Den dynamiske bevegelsen til en friksjonsfri masse koplet til ei fjær er har-monisk.

Kapittel 3

Arbeid og energi

Innhold3.1 Arbeid og kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Potensiell energi og konservative krefter . . . . . . . . 14

3.3 Ikke-konservative krefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Vanlig tørr friksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Fluidfriksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.3 Friksjonsarbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Vi skal i dette kapittelet gjøre rede for begrepene arbeid, kinetisk og potensiellenergi, og konservative- og ikke-konservative krefter. Vi vil ogsa se pa hva somkjennetegner henholdsvis stabile, ustabile og labile likevekter.

3.1 Arbeid og kinetisk energi

Begrepene arbeid og energi ble definert matematisk først i ca. ar 1800, av ThomasYoung, dvs. mer enn 100 ar etter Newtons Principia. Newton – og Galilei – nøydeseg med a betrakte størrelsen bevegelsesmengde.

Vi definerer arbeid W som

arbeid = (kraft) · (vei i kraftas retning) (3-1)

dvs. at nar utgatt vei settes lik d→s , far man at

dW =→F ·d→s . (3-2)

13

14 KAPITTEL 3. ARBEID OG ENERGI

Innsetting av→F= m d

→v /dt fra Newtons 2. lov gir

→F ·d→s=

(m

d→v

dt

)·(→v dt

)= m d

→v · →v= d

(1

2mv2

), (3-3)

hvor vi har brukt at d(v2) = d(v2x + v2

y + v2z) = 2(vxdvx + vydvy + vzdvz) ≡ 2

→v ·d→v .

For arbeid utført pa en punktmasse med masse m fas dermed

dW = d

(1

2m v2

)Arbeid pa punktmassen. (3-4)

Uttrykket i parantesen til høyre er den kinetiske energien til punktmassen,

Wk =1

2m v2 Punktmassens kinetisk energi. (3-5)

3.2 Potensiell energi og konservative krefter

La oss betrakte noen velkjente typer krefter→F , og tilhørende arbeid

→F ·d→s :

Fjærkraft: F = −k x dW = −kx dx = −12d(kx2)

Tyngdekraft: F = −m g dW = −mg dh = −d(mgh)Gravitasjon: F = −Gm1m2/R

2 dW = −Gm1m2 dR/R2 = +d(Gm1m2/R)

For alle tre tilfellene kan arbeidet uttrykkes som forandring i en størrelse som bareavhenger av posisjonen, og som vi vil kalle potensiell energi eller kraftpotensialV (

→r):

Fjær: V (x) = k 12x2

→F= (−dV/dx) eex

Tyngdefelt: V (h) = mg h→F= (−dV/dh) eeh

Gravitasjon: V (R) = −Gm1m2/R→F= (−dV/dR) eeR,

hvor eex, eeh og eeR er enhetsvektorene langs henholdsvis x, h og R. Kreftene gitt i detre eksemplene ovenfor, kan avledes av et kraftpotensial V (

→r) som i tre dimensjoner

med→r= x, y, z formelt kan uttrykkes som

→F= −∂V (

→r)

∂xeex −

∂V (→r)

∂yeey −

∂V (→r)

∂zeez = −∇V (

→r), (3-6)

hvor eex, eey og eez er enhetsvektoren langs henholdsvis x-, y- og z-aksen. Slike krefterkalles konservative krefter.

3.2. POTENSIELL ENERGI OG KONSERVATIVE KREFTER 15

Den partiellderiverte er definert slik at

dV (x, y, z, t)

dx

∣∣∣∣y,z,t=konst

=∂V (x, y, z, t)

∂x. (3-7)

Ved statisk likevekt er den konservative krafta lik null, hvilket svarer til minimum

i den potensielle energien, fordi→F= −∇V (

→r) =

→0.

Kraftpotensialet i likn. (3-6) satt inn i Newtons 2. lov (2-9) gir

md

dt

→v +∇V (

→r) =

→0 . (3-8)

Uttrykket ∇V (→r) ·d→

r bør være kjent fra matematikken som den retningsderiverte,

dvs. endring dV av V i retningen d→r . Med en forflytning d

→r i tida dt vil da

∇V (→r) · d

→rdt

= dV (→r)

dt. Ved a multiplisere likn. (3-8) med d

→rdt

far vi da ved a bruke

siste del av likn. (3-3) med d→rdt

=→v at

d

dt

(1

2m

→v

2+V (

→r)

)= 0, (3-9)

som betyr at

1

2m

→v

2+V (

→r) = total energi = konstant (3-10)

under bevegelsen av punktmassen. Dette er et meget viktig resultat.

Hvis begynnelsesenergi og begynnelsesposisjon er gitt, kan derfor den kinetiske en-ergien i en hvilken som helst posisjon bestemmes fra kjennskap til potensialet, utenat man trenger a løse bevegelseslikningene.

Legg ellers merke til at for et hvert “rimelig glatt” potensial gir Taylor-rekkeutviklingat følgende uttrykk

V (x) = V (x0) +dV

dx

∣∣∣∣x0

(x− x0) +1

2

d2V

dx2

∣∣∣∣x0

(x− x0)2 + . . . (3-11)

er en god tilnærmelse for sma verdier av (x − x0). Desto mindre (x − x0) er, jobedre er tilnærmelsen. Nar

dV

dx

∣∣∣∣x0

= 0, (3-12)

betyr det at potensialet enten har et minimum eller et maksimum for x = x0.

Nar likning (3-12) er oppfylt, kan potensialet for sma utslag om likevekt uttrykkessom

V (x) = V (x0) +1

2

d2V

dx2

∣∣∣∣x0

(x− x0)2 + . . . . (3-13)


Verdien x = x0 svarer til et minimum i potensialet hvis k > 0 og et maksimum ipotensialet hvis k < 0, hvor

k =d2V

dx2

∣∣∣∣x0

. (3-14)

Dette medfører at k > 0 og k < 0 svarer til henholdsvis ei stabil likevekt og ei labil(ustabil) likevekt for x = x0. Likning (3-13) har samme matematiske form sompotensialet for ei fjær med fjærkonstant k.

Likning (3-13) viser ogsa at for alle friksjonsfrie systemer er svingningene om eistabil likevekt harmoniske og beskrevet av likning (2-29) forutsatt at amplituden tilutsvingene er tilstrekkelig sma.

Hvis V (x)= konstant, er bade den første- og andrederiverte av potensialet lik null.I dette tilfellet har man likevekt (indifferent likevekt) for alle mulig verdier av x.Dette svarer til situasjonen hvor ei kule er plassert pa et horisontalt plan hvorgravitasjonskreftene er vertikale.

3.3 Ikke-konservative krefter

Ikke-konservative krefter er krefter som ikke kan avledes (assosieres) med kraft-potensial. Arbeidet som utføres av slike krefter, er ikke bare avhengig av begynnelses-og sluttpunkt, men ogsa av veien som følges. I Newtonsk mekanikk er friksjon-skrefter de typiske ikke-konservative krefter.1 Arbeidet som utføres av friksjon-skrefter, fører til oppvarming – og regnes i Newtons mekanikken som “tapt”. Atogsa varme er en form for mekanisk energi, ble først vist kvantitativt av James P.Joule2. Vi kommer tilbake til det seinere.

Studiet av friksjon – tribologi – er en egen vitenskap, med svært mange spesialtil-feller. Vi skal her ta med bare et par av de enkleste: Vanlig “tørr friksjon” (mellomet legeme og et plant og tørt underlag) og enkel “fluidfriksjon” (mellom et leg-eme og en gass eller væske – typisk luftmotstand eller friksjon mellom oljesmurtemaskindeler).

1I elektromagnetisme, termisk fysikk og relativistisk mekanikk opptrer ogsa andre ikke-konservative krefter.

2James P. Joule 1818-1889, engelsk fysiker.

3.3. IKKE-KONSERVATIVE KREFTER 17

3.3.1 Vanlig tørr friksjon

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6

→F n

?→F⊥

-→F ‖

→F f

-

6

......................................................................................................................

...............................................................................................................b

statisk

glidningFf

F‖

Betrakt en kloss som ligger pa et plant underlag, og trykkes mot underlaget med eikraft F⊥ (som kan være tyngdekrafta, eller en komponent av denne, hvis underlageter skratt). Den trekkes langs underlaget med ei ytre kraft F‖ (som ogsa kan væreen komponent av tyngdekrafta), og holdes igjen av ei friksjonskraft Ff som peker imotsatt retning. Normalkrafta Fn virker fra underlaget og er motsatt lik F⊥.

Sa lenge krafta F‖ er lita nok, blir klossen liggende i ro. Den totale akselererendekrafta pa klossen er dermed lik null, og Ff = −F‖. Nar F‖ økes, begynner plutseligklossen a gli – ved en verdi av F‖ proporsjonal med krafta fra underlaget Fn, ogfriksjonskrafta faller litt.

Statisk friksjon: Ff ≤ µsFn og |Ff | = |F‖|Glidende friksjon: Ff = µkFn

(3-15)

hvor µs er den statiske og µk den kinetiske (eller glidende) friksjonskoeffisienten.Det vil alltid gjelde at µk ≤ µs, som vi bl.a. nyttiggjør oss av ved klassisk skigang.

3.3.2 Fluidfriksjon

......................................................................................................................................................................................................................................................................................... -→v @@

@@ .......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

...........................................................................................................

...............................................................................................

...................................................................................

........................................................................

...........................................................................................................

...............................................................................................

...................................................................................

........................................................................

............................................................................................

....................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................

..........................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

.............................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................

...........................................

Et legeme beveger seg med hastighet→v i

ei væske eller gass (et fluid), med lav nokhastighet til at strømninga rundt legemeter laminær uten virvler som kommer og gar(turbulens).

Friksjonskrafta – som reduserer→v – er da proporsjonal med

→v ,

→F f= −kf

→v , hvor kf er en positiv konstant. (3-16)


3.3.3 Friksjonsarbeid

Nar et legeme beveger seg en strekning d→s og det er friksjon, gjør friksjonskrafta

Ff et arbeidWf =

∫→F f ·d

→s .

Dette arbeidet er alltid negativt da→F f og forflytningen d

→s alltid peker i motsatt

retning. Friksjonen tapper derfor legemet for energi, og energilikningen (3-9) marevideres. Totalenergien reduseres:

d

(1

2m

→v

2+V (

→r)

)= Wf . (3-17)

EKSEMPEL: Syklist i bratt bakke (Fra eksamen i fysikk/forkurs 8.1.99)

6

?

h

..........

.........

................................

θ

→vA

ee.......................... ...................................... .........................................

r En syklist med masse m setterutfor en bakke, med høyde h oghelningsvinkel θ – uten hverkena trakke eller bremse. Hva blirhastigheten vA ved bunnen avbakken? Og hvor lang tid tA tardet a komme seg ned bakken?

Etter krasj og sykehusopphold prøver syklisten seg igjen i samme bakke. Men nabremser han – klokere av skade – alt han kan, med ei konstant bremsekraft pa300 N. Hva blir denne gangen hastighten vB og tida tB?Se bort fra luftmotstanden. Sett inn tallverdier: m = 80 kg, h = 20 m, θ = 30.

Løsningsforslag:Det første man bør gjøre nar man star overfor en slik oppgave, er a bestemme detminste antall parametrer (frihetsgrader) som er nødvendig for a beskrive de egen-skapene til systemet som vi er interesserte i. Dette er blant annet viktig fordi antalluavhengige likninger som man ma gjøre seg bruk av, er lik antallet frihetsgradersom systemet har. Videre er det alltid lurt og tenke seg litt om før man bestem-mer seg for hvor man skal plassere og orientere det koordinatsystemet som manønsker a benytte. Det siste valget har ofte stor innvirkning pa hvor kompliserteselve beregningene blir.

I og med at all bevegelse av interesse foregar langs ei rett linje, star vi her overforet system med kun en frihetsgrad. Det vil si at vi kun trenger ei likning for a løseoppgaven. Hvis vi legger vart lokale koordinatstystem med origo akkurat i toppenav bakken og med x-aksen langs bakken, vil x fullt ut beskrive syklistens bevegelse.Hastigheten det spørres om i oppgaven, vil da være den tidsderiverte av x i bunnenav bakken.

I praksis har vi to likninger a velge mellom nar vi na skal besvare oppgaven: 1)Newtons 2. lov og 2) Likninga som holder regnskap med energiforbruket (enegrikon-


serveringslikninga). Vi vil her for illustrajonens skyld bruke begge de to alternativemetodene til a besvare oppgaven.

1) Fra teksten foran finner vi at den ytre krafta og dermed akselerasjonen er kon-stant. I det følgende angir indeks A størrelser uten friksjon og B størrelser medfriksjon. Hastigheten i bunnen av bakken er lik henholdsvis

vA = aAtA vB = aBtB (3-18)

Videre har vi at

L =1

2aA t2A L =

1

2aB t2B, (3-19)

tA =√

2L/aA tB =√

2L/aB, (3-20)

hvor bakkens lengde L = h/ sin θ. Newtons 2. lov gir at

aA = Fg/m aB = (Fg − Ff)/m, (3-21)

hvor komponenten av gravitasjonskrafta langs bakken er gitt som Fg = mg sin θ ogFf er friksjonskrafta. Ved a benytte de siste uttrykkene for akselerasjonen finnerman følgende svar pa oppgaven:

vA =√

2gh vB =√

2gh ·

√1− Ff

mg sin θ(3-22)

tA =1

sin θ

√2h

gtB =

1

sin θ

√2h

g· 1√

1− Ff/mg sin θ(3-23)

Innsetting av tallverdier m = 80 kg, h = 20 m, θ = 30, g ' 10 m/s2 og Ff = 300 Ngir

vA = 20 m/s = 72 km/time vB = 10 m/s = 36 km/time (3-24)

tA = 4, 0 s tB = 8, 0 s (3-25)

2) Ved bruk av energikonserveringslikninga far man direkte at

Wk + V = konstant ⇒ mgh =1

2mv2

A (3-26)

⇒ vA =√

2gh. (3-27)

Tida t kan vi finne hvis vi kjenner middelhastigheten v og lengden L; L = v t. Fordivi har konstant akselerasjon, fra v = 0, ma middelhastigheten være halvparten avtopphastighten. Vi har derfor

tA =L

vA=

h/ sin θ

vA/2=

1

sin θ·

√2h

g. (3-28)


Nar man har friksjon, gar noe av energien tapt til varme pga. friksjonsarbeid Ff s.Endring i energi (før – etter) er lik friksjonsarbeidet, som kan formuleres:

d (Wk + V ) =

∫Ff ds ⇒ mgh =

1

2mv2

B +Ffh

sin θ(3-29)

vB =√

2gh ·

√1− Ff

mg sin θ(3-30)

tB =L

vB=

h/ sin θ

vB/2=

1

sin θ

√2h

g

1

1− Ff/(mg sin θ)(3-31)

En ser at løsningen som baserte seg pa prinsippet om energibevarelse i dette tilfelletvar noe enklere, men for a komme fram matte vi benytte oss av et uttrykk formiddelverdien som bare kunne oppnas ved bruk av Newtons 2. lov.


• Arbeid = (kraft)·(utgatt vei i kraftas retning), dvs. dW =→F ·d→s .

• At noe “innholder” energi, vil si at dette noe kan utføre arbeid.

• Ved akselerasjon av en punktmasse med masse m utføres et arbeid. Arbeidetutført for a akselerere fra v = 0 til v er lik 1

2mv2. Uttrykket Wk = 1

2mv2 kalles

punktmassens kinetiske energi.

• Nar den ytre krafta pa en punktmasse er en funksjon kun av posisjonen, dvs.→F =

→F (

→r), vil ogsa det arbeidet som skal til for a flytte en punktmasse fra

origo til posisjonen→r , kun være en funksjon av posisjonen. Ei slik kraft kalles

ei konservativ kraft og arbeidet som kreves kalles potensiell energi.

• Den konservative krafta assosisert med en gitt potensiell energi, er for enhverposisjon

→r lik minus gradienten til potensielle energien i posisjon

→r , dvs.

→F= −∇V (

→r).

• For en punktmasse i et konservativt potensial svarer et minimum i potensiellenergi til stabil statisk likevekt (“hviler i bunnen”).

• For en punktmasse i et konservativt potensial svarer et maksimum i potensiellenergi til labil statisk likevekt (“balanserer pa toppen”).

• For en punktmasse i et konservativt potensial er summen av kinetisk og poten-siell energi posisjonsuavhengig (konstant) og lik punktmassens totale energi.

• Friksjonskrefter er eksempel pa ikke-konservative krefter. Mens konservativekrefter kun er avhengig av punktmassens posisjon, er friksjonskrefter avhengigogsa av bevegelsen.


• Ved tørr friksjon er glidefriksjonen mindre enn den statisk friksjonen, menellers hastighetsuavhengig.

• Friksjonskrafta for et sfærisk legeme som beveger seg tilstrekkelig langsomtgjennom et fluid (fluidfriksjon), er proporsjonal med hastigheten og har ret-ning motsatt retning av hastigheten.

Kapittel 4

Dreiemoment ogvektstangprinsipp

Innhold4.1 Vektstang i skalvektkonfigurasjon . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Løfting med spett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Dreiemoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Dreiemoment og arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Tyngdepunkt og massefellespunkt . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Statisk likevekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5.1 Opplagret bjelke med last . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Vi skal i dette kapittelet gjøre rede for vekstangprinsippet og begreper massefelles-punkt, dreiemoment og kravene til statisk likevekt.

“Gi meg et fast punkt, og jeg skal løfte jorda”, sa Arkhimedes1, oldtidens størstenaturviter og militæringeniør. Hva man kan gjøre med ei vektstang, har vært kjentfra tidenes morgen – men det ser ut til a ha gatt ut av pensum i dagens norskevideregaende skole. Vi skal derfor i det følgende gi ei kort innføring i “Arkhimediskeprinsipper”.

4.1 Vektstang i skalvektkonfigurasjon

La oss starte med a se pa en vanlig skalvektkonfigurasjon, i idealisert utgave:

1Arkhimedes (ca. 287 – 212 f.Kr.), gresk vitenskapsmann, Siracusa pa Sicilia (pa den tidaunder gresk herredømme). Berømt for sin forstaelse og bruk av vektarmprinsippet, legemers ogplans tyngdepunkt, legemers oppdrift i væsker og sine teknologiske bidrag til forsvaret av sinheimby.

23

24 KAPITTEL 4. DREIEMOMENT OG VEKTSTANGPRINSIPP

AA

e e.............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. ....................................................................................................................................................................................α

?F1 = m1g

?F2 = m2g

.........

.........

.........

.........

......

.........

.........

.........

.........

......

.........

.........

.........

.........

......- -`1 `2

T

To lodd, masser m1 og m2.Vektløs stang, lengde `.Opplagringspunkt T.Lengdene `1, `2 skal velges slikat systemet er i balanse.

Likevekt svarer, som nevnt tidligere, til et minimum i den potensielle energien.Dette har sammenheng med at for et minimum er den deriverte av potensialet liknull, hvilket innebærer at summen av ytre krefter er lik null – som i sin tur, i følgeNewtons 2. lov, betyr at det ikke er noen akselerasjon. Dvs. hvis systemet er i ro,vil det forbli i ro – hvilket er definisjonen pa at system er i likevekt.

Velger man a angi den potensielle energien i forhold til energien nar vektarmabefinner seg i horisontal stilling, far man at den potensielle energien til vekta ergitt som

V = F1∆h1 + F2∆h2 = F1`1 sin α− F2`2 sin α = (F1`1 − F2`2) sin α (4-1)

hvor ∆hi (i=1,2) er høyden til masse mi over horisontalplanet gjennom opplag-ringspunktet T. For at vinkel α = 0 skal svare til likevekt, ma man for α = 0 haat

dV

dα= (F1`1 − F2`2) cos α = 0. (4-2)

Nar vekta er plassert i et homogent gravitasjonsfelt (g = konstant), gir dette atman har likevekt nar

m1 `1 = m2 `2, (4-3)

– som enhver gammel fiskehandler vet.

Legg merke til at nar likning (4-3) er oppfylt, er den potensielle energien til vek-ta lik null for alle verdier av vinkel α. Det vil si at vekta er i likevekt for alleverdier av vinkel α, nar likning (4-3) er oppfylt. Matematisk sett er dette analogttil situasjonen nar man legger ei kule pa ei plan horisontal plate.

4.2 Løfting med spett

La oss sa se pa vektstanga brukt som løfteredskap, som illustrert nedenunder – ireell og idealisert modell.

4.3. DREIEMOMENT 25

Løfting med spett:

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq jM

?

→F

⇒

Modell:

............................................................

...........................................................

............................................................

...........................................................

...........................................................

............................................................

........................................................

uQQQ rotasjonsakse

?→F 1= M

→g

?→F 2

.........

.........

.........................

θ

................................

................................

................................

........................................................................................................................................

.........................................................

.......................................................................

.......................................................................

................................................................

.........................................................

....................................................

................................................

..............................................

.....

*

→` 1

→` 2

Den generelle likevektsbetingelsen blir som for skalvekta at

F1`1 cos θ = F2`2 cos θ. (4-4)

For løfting med spett har man dermed at

F1`1 = F2`2. (4-5)

Dvs. at med tilstrekkelig lang arm `2 kan massen M løftes med vilkarlig liten kraftF2 (forutsatt at spettet ikke brekker og opplagringspunktet taler belastinga ogligger i ro).

4.3 Dreiemoment

Med henvisning til likning (4-4) viser det seg nyttig a innføre vektoren→τ

∣∣∣→τ 1

∣∣∣ = F1`1 cos θ = F1`1 sin(π/2− θ) =∣∣∣→` 1 ×

→F 1

∣∣∣ (4-6)∣∣∣→τ 2

∣∣∣ = F2`2 cos θ = F2`1 sin(π/2− θ) =∣∣∣→` 2 ×

→F 2

∣∣∣ (4-7)

der π/2 − θ = vinkelen mellom→` og

→F . Vektoren kalles dreiemoment (engelsk:

“torque”) og pa full vektoriell form er den definert

→τ =

→` ×

→F . (4-8)

For det spesialtilfellet at retninga til krafta star vinkelrett pa retninga til arma,har man at

dreiemoment = kraft · arm. (4-9)

4.3.1 Dreiemoment og arbeid

Under diskusjonen av skalvekta fant vi at den potensielle energien knyttet til kraftF1 var gitt som V = F1`1 sin α. For konservative systemer er endringa i potensiell


energi dV lik utført arbeid dW slik at ved rotasjon er

dW = F1`1 cos α dα = | →τ1 | dα. (4-10)

Eller sagt med ord: Ved rotasjon har man at

arbeid = dreiemoment · vinkel, (4-11)

mens man for translasjon hadde at arbeid er lik kraft ganger vei. Dette betyrat ved rotasjon spiller dreiemomentet rollen som ei “generalisert kraft” mens ro-tasjonsvinkelen spiller rollen som “generalisert vei”.

4.4 Tyngdepunkt og massefellespunkt

Nar skalvekta er i likevekt, er virkninga av de to massene m1 og m2 den sammesom om det i steden var plassert en masse M = m1 + m2 i opplagringspunket.Opplagringspunktet sammenfaller i dette tilfellet med massenes tyngdepunkt.

Tyngdepunktet er nesten alltid likt massefellespunktet, sa la oss definere det først:For ei samling punktmasser er massefellespunktet gitt ved posisjonsvektoren

→rM

→rM=

∑Ni=1 mi

→r i∑N

i=1 mi

=

∑Ni=1 mi

→r i

M. (4-12)

der M er den totale massen til systemet.

For det vanlige forekommende spesialtilfellet at massens akselerasjon→g er konstant

over systemet, er tyngdepunktet og massefellespunktet sammenfallende. I praksiskan tyngdepunktet for et legeme finnes ved først a henge legemet opp i ett punkt ogsa trekke loddlinja gjennom opphengingspunktet. Deretter henger man opp legemeti et nytt punkt og trekker den nye loddlinja. Tyngdepunktet er skjæringspunktetmellom de to loddlinjene. Som vi altsa ogsa betrakter som massefellespunktet.

4.5 Statisk likevekt

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

@@R→F 3

)

→F 2

@@I→F 1

s?M

→g

Vi ser pa et utstrakt legeme medmasse M =

∑mk, pavirket av ytre

krefter→F i og tyngdekraft M

→g=∑

mk→g . Hva er betingelsene for at

legemet skal være helt i ro?

4.5. STATISK LIKEVEKT 27

Den første likevektsbetingelsen er at akselerasjonen er lik null som i følge Newtons2. lov innebærer at summen av alle krefter – inklusive tyngdekrafta – ma være liknull

∑

i

→F i=

→0 Betingelse for translasjonslikevekt. (4-13)

Den neste likevektsbetingelsen er at legemet ikke skal begynne a rotere – dvs. atsummen av dreiemomentene (om en hvilken som helst akse) skal være lik null

∑

i

→τ i=

∑

i

→r i ×

→F i=

→0 Betingelse for rotasjonslikevekt. (4-14)

De to siste likningene er begge avledninger av Newtons 2. lov og de er viktige f.eks.ved analyse av kreftene i en vid klasse bygningskonstruksjoner.

4.5.1 Opplagret bjelke med last

..............................

..............................

?F1 = m1g

?

F2 = m2g

-à

-`b

-à

En homogen bjelke med masse Mer opplagret som vist i figuren, ogbelastet med masser m1 og m2 iendepunktene.Hva er lagerkreftene pa venstre oghøyre lager, Fv og Fh?

Vi har her to ukjente, Fv og Fh og trenger derfor to uavhengige likninger for akunne bestemme disse to størrelsene:

Kraftbalanse:

∑ →F i=

→0 ⇒ Fv + Fh = (m1 + m2 + M)g. (4-15)

Dreiemomentbalanse om høyre lager (“vilkarlig valgt akse”):

∑ →τ i=

→0 ⇒ (à + `b)(m1g)− `bFv + (`b/2)(M g)− à(m2g) = 0. (4-16)

Likningene (4-15) og (4-16) gir de to likningene vi trenger for bestemmelse av deto ukjente kreftene. Litt standard algebra gir

Fv = 12Mg + m1g(1 + à/`b)−m2gà/`b

Fh = 12Mg + m2g(1 + `b/à)−m1g`b/à.

(4-17)

Hva blir situasjonen hvis det var tre i steden for to opplagringspunkter? Da harvi ikke nok likninger. Det hjelper ikke a sette opp flere momentlikninger fordi


det gir bare “null = null” type informasjon. Systemet er da “statisk ubestemt”,og det er nødvendig a ta de elastiske egenskapene til bjelken i betraktning fora finne opplagringskreftene. Matematisk sett analoge situasjoner opptrer i mangebygningskonstruksjoner. Det skal vi ikke ga nærmere inn pa i dette kurset.


• Dreiemoment = kraft · arm, nar retninga til krafta er normalt pa arma.

• I det generelle tilfellet er dreiemomentet en vektor og definert som→τ=

→` ×

→F ,

hvor vektoren→` angir bade armas lengde og retning, og

→F er krafta.

• Ei vekt er i statisk likevekt nar dreiemomentet om opplagringspunktet er liknull. I samsvar med Arkhimedes’ prinsipp gir dette for homgene gravitasjon-felt at m1`1 = m2`2, hvor m er masse, ` er lengda til arma og indeksen angirhenholdsvis vektskal 1 og vektskal 2.

• Ved rotasjon er arbeid= dreiemoment multiplisert med assosiert rotasjonsvinkel.

• I homogent gravitasjonsfelt er massefellespunktet og tyngdepunktet sammen-

fallende, som da er gitt ved→rM=

1

M

N∑

i=1

mi→r i, hvor

→r i er posisjonsvektoren

til punktmasse i med masse mi og M er total masse.

• Et stivt legeme er i statisk likevekt nar A) summen av de ytre kreftene er liknull og B) summen av alle momenter om en vilkarlig valgt akse er lik null.

Kapittel 5

Topartikkelsystemer

Innhold5.1 Separasjon av bevegelseslikningene . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Elastisk støt i en dimensjon . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Uelastisk støt i en dimensjon – ballistisk pendel . . . . 33

Vi skal i dette kapittelet vise hvordan man ved a innføre nye koordinater lettere kanberegne dynamikken til to punktmasser med sentralkrefter. Vi vil i hovedsak brukedenne kunnskapen til a beregne virkninga av elastiske og uelastiske støt mellom topunktmasser.

Topartikkelsystemer er systemer som kan modelleres som bestaende av to punkt-masser. Vi vil her videre anta at disse punktmassene vekselvirker bare med hveran-dre.

Eksempler pa hva som kan modelleres pa denne maten, med “god approksimasjon”,er

• To molekyler med masse >> et hydrogenatom, som støter sammen i en gass(brukes i mikroskopisk beskrivelse av varmelæra)

• To biljardkuler som støter sammen

• En bil som treffer en elg

• En planet som sirkler rundt sola

For topartikkelproblemet beskrevet over, har man bevegelse i 3 dimensjoner (x, y, z)for hver av partiklene, dvs. totalt 6 frihetsgrader (x1, y1, z1, x2, y2, z2). Man harderfor i prinsippet et sett med 6 koplede differensiallikninger, og ikke bare 3 somvist i likning (2-1) for kun en partikkel. Det kan ved første øyekast synes relativthapløst a skulle lykkes med a gjøre noe analytisk med denne typen problemer.

Det viser seg imidlertid at ved a foreta et gunstig valg av nye koordinater – som allekan uttrykkes ved de gamle koordinatene – man i stedet fa to uavhengige sett med

29

30 KAPITTEL 5. TOPARTIKKELSYSTEMER

koplede differensiallikninger, hvor hvert sett bestar av tre likninger. Dette viser sega innebære ei betydelig forenkling. Tre av de nye koordinatene beskriver bevegelsenav massefellespunktet til de to punktmassene, mens de resterende tre koordinatenebeskriver relativbevegelsen av de to punktmassene.

Dvs. at det opprinnelige 6-dimensjonale problemet er matematisk sett separabeltslik at man i steden far to 3-dimensjonale sett med differensiallikninger. Fordi dy-namikken beskrevet av de to nye likningssettene er uavhengig, kan dynamikkenfor henholdsvis massefellespunktet og relativbevegelsen regnes ut hver for seg. Dentotale resulterende dynamikken blir summen av massefellespunkt- og relativbeveg-elsen. Dette er et nytt eksempel pa gyldigheten av superposisjonsprinsippet hvordynamikken beskrevet vha. visse koordinater er matematisk sett separable fra dy-namikken beskrevet av de øvrige koordinatene, eller subsett av disse.

5.1 Separasjon av bevegelseslikningene

Vi tar for oss et topartikkelsystem (A, B), og skal i utgangspunktet tillate sentral-krefter mellom partiklene, og ytre krefter.1 Vi vil i løpet av behandlinga av prob-lemet se hva vi kan tillate av ytre krefter uten at problemet blir uløselig.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........

.........................

A T B

............

......................

→r Masser, posisjoner og krefter:

mA,→rA,

→F A=

→F AB +

→F AY

mB,→rB,

→F B=

→F BA +

→F BY

→F AB +

→F BA= 0 (actio reactio est)2

→F AB er kraft pa punktmasse A pga. vekselvirkning med punktmasse B og med

retning fra A til B.→F AY er kraft pa punktmasse A pga. ytre krefter.

Vi innfører na følgende nye koordinater

Relativkoordinat→r=

→rA −

→rB (5-1)

Massefellespunktkoordinat (fra likn. (4-12) med M = mA + mB):→RM=

mA

M

→rA +

mB

M

→rB . (5-2)

Dvs. at man har transformasjonen

→rA,→rB ⇐⇒

→RM,

→r, (5-3)

1Kreftene mellom punktpartikler er alltid sentralkrefter nar de kan avledes av et kraftpotensial.Eksempler er gravitasjonskraft, og elektrostatisk kraft (Coulombkraft). Magnetiske krefter mellomladde partikler er derimot ikke sentralkrefter.

2Newtons tredje lov: Kraft lik motkraft.

5.1. SEPARASJON AV BEVEGELSESLIKNINGENE 31

hvor

→r =

→rA −

→rB

→rA=

→RM +

mB

M

→r (5-4)

→RM =

mA

M

→rA +

mB

M

→rB

→rB=

→RM −

mA

M

→r . (5-5)

Utgangspunktet for beregning av bevegelsene i systemet er fortsatt Newtons 2. lov,som her blir

→F A =

→F AB +

→F AY= mA

d2 →rA

dt2(5-6)

→F B =

→F BA +

→F BY= mB

d2 →rB

dt2. (5-7)

Addisjon av likningene (5−6) og (5−7) og bruk av at→F AB +

→F BA= 0, gir følgende

likning for massefellespunktbevegelsen

(5− 6) + (5− 7)⇒→F AY +

→F BY︸︷︷︸ =

d2

dt2(mA

→rA +mB

→rB)︸︷︷︸

→F Y M

→RM

. (5-8)

Som man vel kunne vente, kan massefellespunktbevegelsen beregnes fra total ytre

kraft→F Y og total masse M , uavhengig av hva kreftene mellom partiklene matte

være:

→F Y =

d

dt

→P Bevegelseslikninga for massefellespunktbevegelsen, (5-9)

hvor→P = M d

dt

→RM= M

→V M= total bevegelsesmengde. Og – nota bene –

• Hvis summen av ytre krefter er lik null, er den totale bevegelsesmengden→P

en bevegelseskonstant

Ved a subtrahere likning (5-7)/mB fra likning (5-6)/mA far vi ei likning for relativ-bevegelsen

(5-6)

mA− (5-7)

mB⇒

→F AB +

→F AY

mA−

→F BA +

→F BY

mB=

d2

dt2(→rA −

→rB) (5-10)

Vi slar sammen→F AB og

→F BA leddene,

→F AB

mA−

→F BA

mB=

→F AB

mA+

→F AB

mB=

→F AB

mr, (5-11)

hvormr =

mAmB

(mA + mB)=

mAmB

M= den reduserte massen.


Multiplikasjon av likn. (5-10) med mr gir

→F AB +

mB

M

→F AY −

mA

M

→F BY= mr

d2 →r

dt2. (5-12)

Hvis de ytre kreftene enten er lik null eller er proporsjonale med massene (tyngde-

kraft→F= m

→g), forenkles dette til

→F AB=

mAmB

mA + mB

d2 →r

dt2= mr

d2 →r

dt2Bevegelseslikninga for relativbevegelsen.

(5-13)

Den kinetiske energien kan skrives som summen av energien til massefellespunkt-bevegelsen, og energien til relativbevegelsen:

Wk =1

2M V 2

M +1

2mr u2. (5-14)

Bevis følger. I uttrykket Wk =1

2mA v2

A +1

2mB v2

B setter vi inn→vA,B uttrykt ved

tyngdepunkthastighet→V M= d

→RM /dt og relativhastighet

→u= d

→r /dt

→vA=

→V M +

mB

M

→u ⇒ v2

A = V 2M + 2

mB

M

→V M ·

→g +

(mB

M

)2

u2 (5-15)

→vB=

→V M −

mA

M

→u ⇒ v2

B = V 2M − 2

mA

M

→V M ·

→g +

(mA

M

)2

u2 (5-16)

→V M ·

→u-leddene faller mot hverandre, og vi star etter litt opprydding igjen med

likn. (5-14).

5.2 Elastisk støt i en dimensjon

Vi tar for oss støt mellom to klosser som glir friksjonsløst pa et plant underlag.

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

mAmB-

→vA

→vB

Hastigheter før støt:→vA= vA eex→vB= vB eex (vB < 0 pa figuren)

Før støt:→vA,

→vB

→V M,

→u:=

→vA −

→vB (5-17)

Etter støt:→v′A,

→v′B

→V

′

M,→u

′:=

→v′A −

→v′B (5-18)

Vi skal finne hastighetene etter støt,→v′A= v′

A eex og→v′B= v′

B eex, dvs. to ukjente. Fora bestemme disse størrelsene trenger vi to uavhengige likninger.

5.3. UELASTISK STØT I EN DIMENSJON – BALLISTISK PENDEL 33

Den første likninga: Nar det ikke er ytre krefter i x-retningen er total bevegelses-mengde (i eex-retningen) konservert: P = MVM = konstant. Dette gir

V ′M = VM, dvs. V ′

M =mA

MvA +

mB

MvB. (5-19)

Den andre likninga: For elastisk støt er kinetisk energi i massefellespunktsystemetkonservert. Fra likning ((5-14)) følger

1

2M V 2

M +1

2mr u2 =

1

2M V ′2

M +1

2mr u′2. (5-20)

og da VM = V ′M følger

u2 = u′2 og, da→u skifter retning: u′ = −u = −(vA − vB) (5-21)

Vi har dermed

vA → v′A = V ′

M +mB

Mu′ =

mA −mB

MvA + 2

mB

MvB,

vB → v′B = V ′

M −mA

Mu′ =

mB −mA

MvB + 2

mA

MvA.

(5-22)

Vi ser spesielt at hvis massene er like, fører støtet til at klossene bytter hastighet(demonstrasjon i auditoriet).

Talleksempel (fra eksamen i fysikk/forkurs 8.1.99):mA = 2, 0 kg, mB = 3, 0 kg ; hvis vB = 0 og v′

A males til −2, 0 m/s, hva var da vA,og hva ble v′

B? Og hva var total kinetisk energi før og etter støtet?[Svar: vA = 10 m/s, v′

B = 8, 0 m/s, Wk = W ′k = 100 J].

5.3 Uelastisk støt i en dimensjon – ballistisk pen-

del

..........................................................................................

mB

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................v-mA,

→vA

.....................................................................................................................

......... ......... ......... .......... .........

.....................

.............................

.....................................................................................................................................................

...................

..................................

6

?

L

?6h

Ei kule med masse mA og ukjent hastighetvA skytes inn i ei tung blokk med masse mB,hengt opp i ei snor med lengde L – og blirsittende fast i blokka. Blokka svinger opp eihøyde h. Hva var vA?

Ved uelastisk støt avtar den totale kinetiske energien idet noe av energien gar overtil varme. Total bevegelsesmengde, derimot, er bevart. Dvs. farten til massemid-delpunktet er uendra gjennom støtet:


Før støt Etter støt

VM = mA

mA+mB· vA V ′

M = VM

u = vA u′ = 0

vB = 0 v′B = v′

A = V ′M = VM .

Etter støtet er relativhastigheten null, og den totale kinetiske energien er dermed

W ′k =

1

2M V 2

M =mA

mA + mB· 12mAv2

A. (5-23)

Forskjellen mellom W ′k og begynnelsesenergien 1

2mA v2

A er gatt til varme.

Den kinetiske energien etter støtet gar med til a løfte (blokk + kule) en høyde hmot tyngdekrafta (mA + mB) u, dvs.

V (h) = W ′k (5-24)

(mA + mB) gh =1

2

mA

mA + mBmAv2

A (5-25)

vA =

(1 +

mB

mA

)√2gh ≈ mB

mA

√2gh (5-26)


• Ved analyse av to-partikkelsystemer er det som oftest gunstig a benyttefølgende koordinater i steden for posisjonsvektorene

→rA og

→rB til de to punkt-

massene:I) Avstandsvektoren mellom de to punktmassene

→r=

→rA −

→rB, og

II) Posisjonsvektoren til massefellespunkt→RM= (mA/M)

→rA +(mB/M)

→rB.

Grunnen er at det viser seg a være matematisk separasjon mellom likningenesom beskriver relativbevegelse og massefellespunktbevegelse.

• Bevegelseslikninga for relativbevegelsen er: mr d2→r /dt2 =→F AB, hvor den re-

duserte massen er gitt som mr = mAmB/(mA + mB), og→F AB er krafta pa

punktmasse A pga. vekselvirkninga med punktmasse B med retning fra B tilA.

• Den kinetiske energien til to-partikkelsystemet er Wk = 12M V 2

M+ 12mr u2, hvor

totalmassen er lik M = mA + mB, VM er hastigheten til massefellespunktetog relativthastigheten er gitt som

→u= d

→r /dt.

5.3. UELASTISK STØT I EN DIMENSJON – BALLISTISK PENDEL 35

• Ved elastiske støt er bade energien i massefellespunktsystemet og den totalebevegelsesmengden konservert. Ved elastisk støt mellom punktmasser med likmasse, vil de to punktmassene som resultat av støtet bytte hastighet.

• Ved uelastisk støt avtar den totale kinetiske energien idet noe av energien garover til varme. Total bevegelsesmengde er bevart.

Kapittel 6

Rotasjon av stive legemer

Innhold6.1 Beskrivelse vha. sylinderkoordinater . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Baneakselerasjon og radialakselerasjon . . . . . . . . . . 38

6.2 Rotasjonsenergi og treghetsmoment . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Rullende ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.2 Rullende massivt hjul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.3 Modellering av Galileis eksperiment . . . . . . . . . . . 42

6.3 Parallellakse-teoremet (Steiners sats) . . . . . . . . . . 44

6.3.1 Alternativ beregning av kinetisk energi for rullende hjul 45

6.4 Spinn for punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5 Spinnet for stivt legeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.1 Gyroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.2 Bumerang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Vi skal i dette kapittelet vise hvordan man kan analysere dynamikken til stivelegemer med endelig utstrekning. Denne beskrivelsen vil inneholde begreper somrotasjonsenergi, treghetsmoment, dreiemoment og spinn.

Med begrepet stivt legeme forstar vi et legeme som har uforanderlig geometriskform. I prinsipp finnes ikke slike legemer, men i praksis er det svært ofte en godtilnærmelse a anta et legeme “stivt”. I et stivt legeme er alle relative posisjoneruforanderlige og legemet kan beskrives som ei samling av et stort antall punkt-masser. Dette gjør at en dynamisk beskrivelse kan forenkles drastisk.

Legemets bevegelse kan generelt beskrives som bestaende av to komponenter; enrotasjonsbevegelse om en rotasjonsakse, og en translasjonsbevegelse av denne ak-sen. Ofte - men langt fra alltid - vil aksen ga gjennom legemets massefellespunkt.Translasjonsbevegelsen kan for disse tilfellene beregnes som om legemet var enpunktmasse.

37

38 KAPITTEL 6. ROTASJON AV STIVE LEGEMER

Beskrivelse av rotasjon foregar mest hensiktsmessig i sylinderkoordinater med ro-tasjonsaksen som symmetriakse.

6.1 Beskrivelse vha. sylinderkoordinater

Vi betrakter et stivt legeme som roterer om en fast akse. Rotasjonsaksen velgessom var z-akse.

-

6

x

y

##

##

##

##

s

.........

..........................................

θ

r

P

.........................................................................

.........................................................

................................................

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

...................

.........................................................................................................................................................................................

Rotasjon om z-aksen.Hvert punkt P pa legemet er karakterisertved koordinater x, y = r cos θ, r sin θ.Stivt legeme ⇒ hvis θ → θ + ∆θ for ettpunkt P , er forandringa ∆θ den samme foralle P . Følgelig er vinkelhastigheten ∆θ/∆tden samme for alle P .

Vinkelhastighet : ω = θ =dθ

dt(positiv retning mot urviseren) (6-1)

Vinkelakselerasjon : α =dω

dt= θ (6-2)

Vinkelhastighet og -akselerasjon angis ofte som vektorer. Da far vi ogsa gitt rota-sjonsaksen og rotasjonsretningen: Vektoren har retning langs aksen – dvs. loddrettpa bevegelsen til punktene P , og positiv retning er definert ved høyrehandsregelen:

→ω = ω eez (6-3)

→α =

d→ω

dt. (6-4)

6.1.1 Baneakselerasjon og radialakselerasjon

Bevegelsen til en partikkel i krum bane kan instantant sees som del av en sirkelbe-vegelse om en akse gjennom krumningssenteret. Ren sirkelbevegelse om en fast akseer et spesialtilfelle av dette. Akselerasjonen til partikkelen kan da deles i to kompo-nenter; en baneakselerasjon i hastighetens retning, og en radialakselerasjon loddrettpa hastighet og krumningsakse. Og eventuelt en tredje komponent i krumnings-aksens retning – men det glemmer vi foreløpig.

Figuren som følger, viser hvordan vi finner uttrykk for radialakselerasjonen. Antaher at banehastigheten v er konstant.

6.2. ROTASJONSENERGI OG TREGHETSMOMENT 39

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................PPPPPPPPPPPP

.................................................................................................................................................................................................................................................

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.....

BBBBM

........................................................

..................................................................................... r

12∆θ

12∆θ

→v (θ − 1

2∆θ)

→v (θ + 1

2∆θ)

...................................

...................................

.........∆→v (∆θ)

Banehastighet: | →v | = v = r θ = r ωVinkel: θ − 1

2∆θ → θ + 1

2∆θ:

∆vr = |∆ →v (∆θ)|

= | →v (θ + 12∆θ)− →

v (θ − 12∆θ)|

= |→v | sin(12∆θ) · 2 ≈ v 1

2∆θ · 2 = v∆θ

Radialakselerasjonen blir dermed – med flere alternative uttrykk –

ar = −∆vr

∆t→ −dvr

dt= −v

dθ

dt= −vω = −v2

r= −ω2r, (6-5)

hvor vi setter inn minustegn fordi akselerasjonen er i motsatt retning av økender. Hvis partikkelen holdes i fast avstand r fra aksen med ei snor eller liknende, ersentripetalkraft assosiert med radialakselerasjonen lik

Fr = mar = −mv2

r= −mω2r, (6-6)

mens “det som strekker snora” av vanlige mennesker kalles “sentrifugalkraft”. Ifølge fysikk-spraklige purister er det siste uttrykket forbudt a bruke – men na harvi altsa skrevet uttrykket.

Hvis banehastigheten v ikke er konstant har vi en baneakselerasjonen som er lik

aθ =dv

dt= r

dω

dt= r α. (6-7)

6.2 Rotasjonsenergi og treghetsmoment

Vi betrakter et stivt legeme som roterer om en fast rotasjonsakse, og skal finne denkinetiske energien – rotasjonsenergien – uttrykt ved vinkelhastigheten.

Legemet kan betraktes som sammensatt av punktmasser Pi, hver med hastighet→v i

og kinetisk energi 12miv

2i . Den kinetiske energien for legemet som helhet ma dermed

kunne skrives

Wk =1

2

∑

i

miv2i =

∑

i

1

2mir

2i ω

2 =1

2

(∑

i

mir2i

)ω2 =

1

2I ω2 =

1

2I θ2,

(6-8)


hvor størrelsen I er legemets treghetsmoment om den gitte aksen,

I =∑

i

mir2i Treghetsmomentet. (6-9)

Ved beregning av rotasjonsbevegelser er det nesten alltid hensiktsmessig a bruketreghetsmoment og vinkelhastighet i stedet for masse og hastighet. Nar treghetsmo-mentet er beregnet, er summasjonen over massepunktene utført en gang for alle.

Analogier mellom translasjons- og rotasjonsbevegelser er vist i oppsummeringen tilslutt i dette kapittelet.

6.2.1 Rullende ring

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................... .............

.............................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................

...........................

-→v

Betrakt en tynn ring, med radius R og masseM , som ruller pa et plant underlag.Alle punkter pa ringen har samme avstand Rfra en akse gjennom sentrum av ringen (“masse-fellespunktaksen”).

Treghetsmomentet om massefellespunktaksen (ut av papirplanet) er følgelig1

IT = M R2. (6-10)

Vinkelhastigheten om massefellespunktaksen kalles ω. Periferien av ringen rullermed en lengde lik omkretsen 2πR i løpet av en periode T = 2π/ω, og hastighetentil ringen, v, og vinkelhastigheten ω er følgelig gitt av

v =2πR

T=

2πR

2π· ω = ωR. (6-11)

Den totale kinetiske energien til ringen er summen av translasjonsenergien til mas-sefellespunktet og rotasjonsenergien i massefellespunktsystemet:

Wk = Wtrans + Wrot =1

2M v2 +

1

2IT ω2 =

1

2M v2 +

1

2M ω2 R2. = M v2

(6-12)Den kinetiske energien er dobbelt sa stor som for en ring med samme translasjons-hastighet, men uten rotasjon. Dette er noe a tenke pa nar sykkelen skal akselereres:Masse i hjulfelgene og dekk teller dobbelt sa mye som sykkel (og kropp) ellers.

Vi har her løst opp rullebevegelsen i to komponenter, en rein translasjon og en reinsirkulær bevegelse. Hvis vi setter bevegelsene sammen igjen, og følger et punkt paperiferien av sirkelen, ser det hele mer komplisert ut, som vist nedenfor.

1Vi fører gjerne pa indeks T; IT, for a markere at treghetsmomentet er beregnet om aksegjennom massefellesspunktet (Tyngdepunktet).


............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

.................................................................... .............

.............................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................

.........................................

...............................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

..........................................

...

0 πR 2πR

“Rullepunktet” løftesopp loddrett fra un-derlaget.Banen blir ensykloide.

For a knytte dette til noe velkjent: Ventilen pa et sykkelhjul (pa flatt underlag) vilmed god approksimasjon beskrive en sykloidebane.

Ved “ideell rulling” hindres ringen i a skli pga. statisk friksjon: Hastigheten tilkontaktpunktet langs underlaget er derfor lik null. Ved statisk friksjon utføres detikke noe friksjonsarbeid.

Ved “reell rulling” deformeres underlaget litt av trykket av ringen, som dermedfar en liten “motbakke” hele tida. Deformasjonen gir opphav til friksjonsarbeid (ogoppvarming).

6.2.2 Rullende massivt hjul

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................... .............

.............................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

→R

-→v

Et massivt, jamntykt og homogent hjul med radius R ogmasse M ruller med hastighet

→v pa et plant underlag.

Hva er den kinetiske energien Wk?

Vi kan beregne Wk som i foregaende eksempel, men treghetsmomentet IT blir etannet, og ma finnes først.

Vi betrakter da hjulet som sammensatt av tynne ringer, hver med radius r, tykkelse∆r og samme bredde b; regner ut treghetsmomentet for hver av de tynne ringene,og sa det totale treghetsmomentet ved summasjon – dvs. integrasjon over ∆r → dr.

Hver ring har en masse gitt av totalmassen og forholdet mellom volumet av ringenog totalvolumet, og vi har dermed

Masse av en ring: ∆m = M ∆VV

= M2πr ∆r b

π R2 b=

2M

R2r ∆r

Treghetsmoment: ∆I = r2 ∆m =2M

R2r3∆r .


Treghetsmomentet til hjulet om hjulaksen blir

IT =∑

∆I →∫ R

r=0

dI =2M

R2

∫ R

0

r3 dr =1

2M R2, (6-13)

og den totale kinetiske energien er følgelig

Wk = Wtrans + Wrot =1

2M v2 +

1

2IT ω2 =

1

2M v2 +

1

4M ω2 R2 =

3

4M v2.

(6-14)

6.2.3 Modellering av Galileis eksperiment

Eksperimentet hvor Galilei (1564-1642) fant/demonstrerte akselerasjonsloven s =s0 + v0t + 1

2a t2, besto av en eikeplanke 12 alen lang, med et polert spor, hvor han

rullet bronsekuler. Den ene enden la pa gulvet, og den andre ble løftet en til to alenopp. Og sa malte han tida det tok for ei kule a rulle hele, halve og kvarte lengden.Tidsmalingen foregikk med et vannur – pendeluret var enna ikke oppfunnet – “meden nøyaktighet bedre en 1/10 pulsslag”, hevdet Galilei.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

..............................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

......................................z

....................................

....................................

..............................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

..............................................................................................

9

:

`

?

6

h

eikeplanke

bronsekule i spor

9......................................................................................................................................................................s

Malingene viste at tida t var proporsjonal med kvadratrota av lengden s. Men –hva var egentlig akselerasjonen og tida Galilei malte? La oss finne det ut, for s = `.

?Rr

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................ .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. ...............................

.........................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................... ..................

......................................................

...........................................................................................................

......................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

.........

.......

..........

.........

..........

..........

.........

......

..........

.....

..........

..........

..........

.........

..........

.........

.......

..........

..........

.........

......

@@

@@

@

Vi antar rettvinklet spor, som vist.Rulleradius blir daRr = R sin 45 = R/

√2

og hastigheten blirv = ωRr → ω = v

R

√2.

Energibevarelse; (Potensiell energi) → (kinetisk energi); gir

V = Mgh→Wk =1

2M v2 +

1

2IT ω2, (6-15)


dvs.

Mgh =1

2M v2

(1 +

2IT

MR2

)(6-16)

v2 =2gh

1 + 2IT/MR2(6-17)

v =1

2v(`) =

√gh

2(1 + 2IT/MR2)(6-18)

t =`

v=

√2

(1 +

2IT

MR2

)`2

gh. (6-19)

Pa grunn av rotasjonen – som spiser energi – gar det hele en faktor√

1 + 2IT/MR2

langsommere enn for en punktmasse som sklir “friksjonsfritt”.

For a komme videre, ma vi finne treghetsmomentet for ei homogen kule om en aksegjennom massefellespunktet.

..............................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......

.........

..........

..........

.........

..........

......

..........

.....

..........

..........

.........

..........

..........

.........

.......

..........

..........

.........

..........

..........

.....

..........

......

.........

..........

.....

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.....

.............

.............

.............

.............

.............

.............

..

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-x

R

?

6y(x)

Kula kan ses som sammensatt av tynne,homogene skiver, hver med tykkelse ∆xog radius y(x) =

√R2 − x2.

Treghetsmomentet for ei skive er somregnet ut i forrige eksempel,∆I = 1

2∆Mskivey

2

Massen ∆Mskive er lik (masse per volumenhet)·(volumet av skiva)

∆Mskive =M

4πR3/3· πy2 ∆x =

3M

4R3y2 ∆x, (6-20)

og treghetsmomentet for kula blir dermed

IT =∑

∆I =∑ 1

2∆Mskivey

2 =∑ 3

8

M

R3y4 ∆x, (6-21)

som med overgang∑→∫

og innsetting y(x) =√

R2 − x2 gir

IT =3

8

M

R3

∫ R

x=−R

(R2 − x2)2 dx

=3

8

M

R3

∫ R

−R

(R4 − 2R2x2 + x4) dx

=3

8

M

R3

[R4x− 2

3R2x3 +

1

5x5

]R

−R

(6-22)

IT =2

5MR2. (6-23)


Settes dette inn i uttrykket for tida t, far vi endelig

t =

√2

(1 +

4

5

)`2

gh=

√9

5t0, (6-24)

hvor t0 = `√

2gh

er tida et friksjonsløst massepunkt ville ha brukt. Pa grunn av

rullinga gar det en faktor√

9/5 ≈ 1, 34 langsommere – og akselerasjonen blirtilsvarende mindre.

Talleksempel:Setter vi inn Galileis lengde ` = 12 alen og bruker høyden h = 1 alen – med1 alen ≈ 0, 60 m,2 og antar g ≈ 9, 8 m/s2, finner vi t ≈ 5, 6 s.

6.3 Parallellakse-teoremet (Steiners sats)

Svært ofte vil den aktuelle rotasjonsaksen ikke ga gjennom legemets massefelles-punkt. Hvis vi kjenner treghetsmomentet IT om en akse gjennom massefellespunk-tet og parallell med rotasjonsaksen, er imidlertid beregningen av treghetsmomentetI om rotasjonsaksen triviell,

I = IT + MR2T Steiners sats, (6-25)

hvor M er legemets masse og RT rotasjonsaksens avstand fra massefellespunktet.Vi viser dette:

-

6y

x-..................................................................................................................T

→RT

..................................................................................................

...................................................................................................

..............:→r i mi

..............

................

....................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................

Parallelle akser, en gjennom massefelles-punktet og en rotasjonsakse parallell med ogi avstand RT fra massefellespunktaksen.

2En norsk alen var 0, 62 m, og en italiensk alen noe mindre.

6.3. PARALLELLAKSE-TEOREMET (STEINERS SATS) 45

Vi velger rotasjonsaksen som z-akse (x = y = 0), og har da

I =∑

i

mir2i =

∑mi(x

2i + y2

i ) (6-26)

IT =∑

i

mi(→r i −

→RT)2 =

∑mi

[(xi −XT)2 + (yi − YT)2

]

=∑

mi(x2i + y2

i )− 2∑

mixi︸︷︷︸

MXT

XT − 2∑

miyi︸︷︷︸

MYT

YT +∑

mi︸︷︷︸

M

(X2T + Y 2

T)

=∑

mi(x2i + y2

i )−M(X2T + Y 2

T) = I −M R2T – som skulle vises.

(6-27)

6.3.1 Alternativ beregning av kinetisk energi for rullendehjul

Vi skal igjen finne den kinetiske energien Wk for et massivt, jamntykt og homogenthjul med radius R og masse M , som ruller med hastighet

→v pa et plant underlag

– men vil na betrakte bevegelsen som en rein rotasjon om kontaktpunktet mellomhjul og underlag. Hjulet roterer altsa na om en akse i avstand R fra hjulets sentrum.Kontaktpunktet flytter seg altsa med hjulets hastighet v.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............

........................

...........................................................................................................................................................................................................................................

......................

-→v

RsI......................................................rotasjonsakse

Treghetsmomentet om tyngdepunktaksen erIT = 1

2M R2

og vi fant tidligere energien somWk = 1

2M v2 + 1

2ITω2 = 3

4M v2.

Nar vi ser pa bevegelsen som rotasjon om kontaktpunktet, blir den kinetiske en-ergien a beregne som rotasjonsenergi alene,

Wk =1

2I ω2, (6-28)

som med Steiners sats blir

Wk =1

2(IT + M R2) ω2

=1

2

(1

2M R2 + M R2

) ( v

R

)2

=3

4M v2; – som før. (6-29)


6.4 Spinn for punktmasse

For beskrivelse av rotasjonsdynamikk er det fordelaktig a formulere Newtons 2. lov

i sylinderkoordinater, og bruke dreiemomentet om rotasjonsaksen,→r ×

→F , i stedet

for krafta alene. Vi starter igjen med a se pa en punktmasse, og finner deretteruttrykk gjeldende for stive legemer ved a summere over punktmassene.

- x

6

y

hr eez

..........

..........

...................

θ

→r

xmBBBM...............................

.................................1

F⊥→F

F‖

Rotasjonsakse: eez (ut av papiret)→F= d

dt(m

→v) (Newtons 2. lov)

→r ×(Newtons 2. lov)⇒

→r ×

→F =

→r × d

dt(m

→v). (6-30)

Størrelsen til venstre i likn. (6-30) er

→τ =

→r ×

→F = rF⊥eez Dreiemomentet. (6-31)

Størrelsen til høyre omskriver vi til

→r ×d(m

→v)

dt=

d

dt(→r ×m

→v)−

= m→v×

→v=0︷︸︸︷

d→r

dt× (m

→v) =

d

dt(→r ×m

→v). (6-32)

Siden m→v er “bevegelsesmengden” kunne den siste parantesen i likningen kalles

“rotasjonsmengden”, men størrelsen kalles “spinnet”3, altsa:

→r × m

→v =

→r × →

p =→L Spinnet. (6-33)

Var nye bevegelseslikning,→r ×(Newtons 2. lov), kan dermed skrives

→τ=

d→L

dt; med

→τ=

→r ×

→F

→L=

→r × →

pSpinnlikninga. (6-34)

Ved a skue til Newtons 2. lov:→F=

d→p

dtser man at likning (6-34) gjerne kan kalles

Newtons 2. lov for rotasjon.

3Ogsa dette kjære barnet har mange navn: Spinn, dreieimpuls, drivmoment, bevegelsesmengde-moment. Engelsk: angular momentum eller moment of momentum.

6.5. SPINNET FOR STIVT LEGEME 47

6.5 Spinnet for stivt legeme

Vi ser sa pa et legeme sammensatt av punktmasser Pi med masser og posisjoner(mi,

→r i), og finner spinnlikninga for legemet ved a summere over massepunktene:

→τ =

∑ →τ i =

∑ →r i ×

→F i : totalt dreiemoment

→L =

∑ →Li =

∑ →r i ×mi

→v i : totalt spinn.

(6-35)

Bare ytre krefter bidrar til det totale dreiemomentet – kreftene mellom massepunk-tene kansellerer i summen som følge av Newtons 3. lov (kraft = motkraft).

Hvis det totale dreiemomentet er lik null,

er spinnet→L en bevegelseskonstant.

(6-36)

Vi spesialiserer sa til stivt legeme, og kan da uttrykke spinnet ved treghetsmomentetI og vinkelhastigheten

→ω. For alle punktene kan vi skrive

| →r i ×→v i | = rivi⊥ = r2

i ω – eller, pa vektorform (6-37)

→r i ×

→v i = r2

i

→ω . (6-38)

Det totale spinnet blir dermed

→L=

∑

i

→r i ×(mi

→v i) =

(∑

i

mir2i

)→ω= I

→ω, (6-39)

og spinnlikninga gar over til

→τ = I

d→ω

dtSpinnlikninga for stivt legeme, (6-40)

hvor d→ω /dt =

→α er vinkelakselerasjonen som gitt i likn. (6-4).

6.5.1 Gyroskop

Et hjul med masse M og radius r roterer med vinkelhastighet ω om en horisontalakse. Hjulakselen er hengt opp i en vertikal snor, i en avstand R fra hjulets midtplan.

Tyngdekrafta vil prøve a dreie hjulaksen til vertikal retning. Som man ser (demon-strasjon i forelesninga) skjer dette ikke; i stedet far hjulaksen en langsom rotasjonom snoraksen – en presesjon med vinkelhastighet ωp ω.


For de fleste vil vel dette se ut til a være helt i strid med hva man forventer – menhvis man holder i et roterende hjul og prøver a vri pa det, far man bedre følingmed hva slags krefter som er i spill.

Ved at det roterende hjulet preseserer om en vertikal akse med vinkelhastighetωp = dφ/dt gir et kraftmoment i vertikal retning som er akkurat nok til a motvirke

tyngden av hjulet. Dette kommer istand fordi hjulets spinn→L stadig endrer retning

og til dette kreves det ifølge likn. (6-34) et kraftmoment:

.................................................................................................................................................................................................................................................................................rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr..........................................................................

-6

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

..........................................

........................

..........................................

........................

..........

.........

.......-→R

..........................

6

?r

?M→g=

→F

z

x

Sett fra siden: Sett ovenfra:

snor

hjulakse

.................................................................................

→ω-

..........

......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

..........

......

..........

......

..........

......

..........

......

..........

......

..........

......

.........

.......

....

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr -x

6y

6→τ 6eeΦ

- -→L

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

..........................................

........................

..........................................

........................

.................................................................................

→ω.................................................................................Φ

.................

.................

.................

......................................................................

...................................

..................

..................................

................. .................. .................. ..................................

................................................

.................................................................I

Spinn:→L= I

→ω (x-retning pa figuren)

Dreiemoment:→τ =

→R ×

→F =

→R ×M

→g = MgR eeΦ

Spinnlikn. : d→L /dt =

→τ ⇒ Id

→ω /dt = MgR eeΦ

dvs. d→ω⊥→

ω

(6-41)

— Intet dreiemoment i→L-retning ⇒ |

→L | = Iω = konstant

— Dreiemoment ⊥→L roterer

→L i xy-planet med vinkelhastighet

→ωp⊥

→ω ⇒

1

-BB

BBM

..........

.........

.....................

∆Φ∆

→L

→L (t)

→L (t + ∆t)

∆→L =

→τ ∆t = MgR∆t eeΦ (6-42)

∆Φ =∆L

L=

MgR∆t

Iω. (6-43)

Presesjonsvinkelhastigheten

ωp =dΦ

dt=

MgR

Iω. (6-44)

For ring/felg: I = Mr2 og

ωp =gR

ωr2. (6-45)

Talleksempel:r = 0, 30 m, R = 0, 10 m, T = 0, 25 s og g = 9, 8 m/s2 ⇒ Tp = 14, 5 s.


Beregning av presesjonsvinkelhastigheten for et gyroskop gir en god illustrasjon avstyrken og elegansen til bruk av vektoralgebra og begrepene dreiemoment og spinn.Men for de som forsatt synes at det er merkelig at sykkelhjulet starter a preseserei steden for a bikke over, finnes det en alternativ mate som gir samme svar, mensom er mer intuitiv og kun gjør bruk av enkel Newtons mekanikk.

..........................................................................................

....................................

.........

.........

...........................

.........

.........

..................9

ZZZZZ~

@@@@@@@j

jj

j9=

9=

ZZ~

ZZ

?

6

→V 1

→V 2

→V 3

→V 4

→F 1

→F 2

m1

m2

m3

m4

r

r

r

r

.................................................................

........................... ................

ω R

................................................................................... ...-

eeT

...........................

................................................................................ ......1

ωP Felgen er i dette tilfellet erstattet avfire like kuler med samme masse (m =m1 = m2 = m3 = m4) som befinner segi avstand r fra rotasjonsaksen. Kuleneer koplet stivt til rotasjonsaksen. Totalmasse er M = 4m.

For at at rotasjonen om akse eeT skal være lik null (hjulet ikke falle ned), madreiemomentet om denne aksen være lik null, dvs.

MgR + rF1 − rF2 = 0 hvor F1 = mV 2

1

Rog F2 = m

V 22

R, (6-46)

hvor F1 og F2 er sentrifugalkrafta pa henholdsvis kule en og kule to,→V 1 og

→V 2 er

hastigheten for henholdvis kule en og kule to.

Den eneste maten som man kan fa oppfylt denne likninga pa, er ved a sørge for atV2 > V1. Her er det av interesse a legge merke til at nar presesjonsvinkelhastighetenωp er positiv, gir dette nettopp hva man er ute etter, nemlig en økning av V2

og samtidig en reduksjon av V1. Hastighetene har bidrag fra rotasjonen ω samtrotasjonen ωp, slik at

V1 = rω − Rωp og V2 = rω + Rωp (6-47)

Innsetting av disse uttrykkene i momentbalanseuttrykket gitt ovenfor og bruk av atM = 4m gir samme uttrykk for presesjonsvinkelhastigheten som vist i likn. (6-45).

Dvs. at dreiemomentet pga. MgR kanselleres fordi V2 > V1 som gir at F2 > F1.

6.5.2 Bumerang

En bumerang er et kasteredskap som brukes av urinvanerne i Australia4 og som harden fascinerende egenskap at nar det kastes horisontalt kommer vapenet tilbaketil utgangspunktet. En moderne variant av bumerangen som kan kjøpes i man-ge leketøysbutikker, er utformet som en standard fire-vingers klassisk flypropell.

4Ogsa kjent av oldtidens irakere.


Den kastes slik at den roterer om en horisontal akse vinkelrett pa kasteretnin-gen (Demonstrasjon i auditoriet?). Pga. translasjonshastigheten til bumerangengir propellbladene mer “løft” pa den sida hvor bladhastigheten pga. rotasjonen erparallell med hastigheten i kasteretningen. Dette gir et dreiemoment helt analogttil det gravitasjonen ga i eksempelet ovenfor. Dette gir en rotasjon av propellenom en vertial akse som medvirker dermed til at propellens translasjonshastighetendrer retning og etter hvert vender tilbake til utgangpunket. Denne vridninga giri sin tur opphav til ei kraft som far propellen til samtidig a legge seg over slik atløftet fra de roterende propellbladene medvirket til ogsa a holde propellen svevende.Denne siste effekten er ogsa en følge av Newtons 2. lov, men er litt mer kompliserta utdype kvantitativt.

For blant annet a unnga bumerangeffekten nar helikopteret flyr forover med storhastighet, blir skravinkelen til hvert rotorblad pa et helikopter justert etter hvertsom rotorbladet roterer. Bladet gis mindre stigevinkel nar det beveger seg medfartsretningen enn nar det beveger seg i bakover. Pa denne maten sikres at hvertrotorblad gir samme løft uavhengig av i hvilken retning bladet peker relativt he-likopterkroppen.


• Et stivt legeme bestar av et stor antall punktmasser hvor alle innbyrdes av-stander er tidsuavhengige.

• Ved rotasjon av et stivt legeme om en akse har alle punktmasser sammevinkelhastighet.

• Nar et stivt legeme roterer med vinkelhastighet ω om en akse, er radialak-selerasjonen for et punkt i avstand r fra rotasjonsaksen gitt ved uttrykketar = −ω2r.

• Treghetsmomentet ved rotasjon av et stivt legeme om en akse er I =∑

i mir2i ,

hvor mi er massen til punktmasse i og ri er avstanden fra rotasjonsaksen tilpunktmasse i.

• Treghetsmomentet til hjul med masse M , radius R og som roterer om sym-metriaksen, er I = 1

2MR2.

• Treghetsmomentet til kule med masse M , radius R og som roterer om aksengjennom massefellespunket, er I = 2

5MR2.

• Ved rotasjon av et stivt legeme med masse M om en akse som ikke gargjennom massefellespunktet er treghetsmomentet I = IT + MR2, hvor IT ertreghetsmomentet om en akse som er parallell med rotasjonsaksen og somgar gjennom massefellespunktet, og R er avstanden fra massefellespunktet tilrotasjonsaksen (Steiners sats).


• Den kinetiske energien til et stivt legeme som roterer med vinkelhastighet θer gitt ved uttrykket Wk = 1

2Iθ2.

• Spinnet til et stivt legeme som roterer med vinkelhastighet→ω, er lik

→L= I

→ω

• Newtons 2. lov tilpasset rotasjon lyder:d

→L

dt= I

d→ω

dt=

→τ , hvor

→τ er dreiemo-

mentet om rotasjonsaksen.

• Summa summarum: Formelle analogier mellom translasjons- og rotasjons-bevegelser:

Størrelse Trans Rot (vektor) Rot (skalar)

Stedkoord.→r θ

Hastighet→r =

→v

→θ =

→ω θ = ω

Akselerasjon→r =

→a

→θ =

→α θ = α

“Kraft”→F

→τ=

→r ×

→F τ = rF sin θ

“Masse” m I =∫

r2dm

Kin. energi Wk = 12m v2 Wk = 1

2I ω2

“Bev.mengde”→p= m

→r

→L=

→r × →

p= I→ω L = rp sin θ = I ω

Newton 2→F=

→p = m

→r

→τ=

→L = I

→θ τ = I θ

Kapittel 7

Elastisitet

Innhold

7.1 Strekkelastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.2 Skjærelastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.3 Volumelastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4 Sammenhengen mellom elastisitetsmodulene . . . . . . 56

7.4.1 Poissons tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.4.2 Sammenhengen mellom volum- og strekkmodul . . . . . 56

7.4.3 Sammenhengen mellom skjær- og strekkmodul . . . . . 57

7.5 Bøying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.5.1 Innspent bjelke med last . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.6 Torsjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Vi skal i dette kapittelet se pa sammenhenger mellom kraftpavirkning og defor-masjon. Dette vil omfatte bade frie og innspente bjelker. Vi vil ogsa analyserevridning og torsjonsstivhet.

Vi begrenser oss her til a studere materialer som følger Hookes lov, dvs. “defor-masjonen er proporsjonal med den mekaniske spenninga”.1

1Robert Hooke 1676: ut tensio sic vis. Legg ellers merke til at mekaniske spenninger involverermekaniske kraftfelt, mens elektriske spenninger involverer elektriske felt.

53

54 KAPITTEL 7. ELASTISITET

7.1 Strekkelastisitet

...............................

.................................................................................................................................................

....................................................................................

.................................................................................

........................................................................

................................................

.................................................................................

........................................................................

................................................

......

.........

..........

.........

..........

.....

......

.........

..........

.........

..........

.....

......

.....

...................................................................... A (m2)

-F F

.........

...................................

......

..........

.......

.........

.........

.......

..........

......

..........

.........

.......

.........

.......

..........

..........

......

..........

.......

.........

.........

.

- ` ∆`

Betrakt en rett, homogenstav, med lengde ` ogtverrsnitt A. Staven be-lastes med ei strekk-kraftF , og dette resulterer i enforlengelse ∆`.

For “elastisk lineære materialer” er den relative forlengelse (tøyninga) ε = ∆`/`proporsjonal med strekkspenninga T = F/A

ε = ∆`/` Tøyning (engelsk: “strain”)T = F/A Strekkspenning (Pa = N/m2) (engelsk: “stress”)T = E ε Hookes lov (for strekk/trykk),

hvor E er strekk-elastisitetsmodulen (strekkmodulen)

I engelsk litteratur betegnes strekk-elastisitetsmodulen gjerne Y , og kalles “Young’smodulus”.

For vanlige metalliske konstruksjonsmaterialer er strekkmodulen E av størrelsesorden1011 Pa (ca. 2 · 1011 Pa for stal). Slike materialene kan vanligvis strekkes elastisk et-ter Hookes lov til tøyningen blir av størrelsesorden 1%. Mer strekk gir varig plastiskdeformasjon (“flyting”), og tilslutt brudd, som illustrert nedenfor.

-

6

...........................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................

T

Pa

ε

...........................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.....................................................................................

............................................................

.........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................

Tf

TbStal

Betong

Elastomerer

................................................................................

......................................................................................................................................................................................................r

Brudd

Plastisk

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.....

....................................... ............. ....

< 1% 300%

.....................................................................................................................Hookes lov

Flytegrense Tf og “bruddstyrke” Tb er av samme størrelsesorden.

Talleksempel:For stal er Tb ∼ 109Pa. En staltrad med diameter 1, 0 mm vil følgelig ryke ved enbelastning pa ca. (π · (0, 001 m2)/4) · (109 N/m2) ∼ 103 N – dvs. den kan strekkesmed ei vekt m = F/g ∼ 100 kg uten a ryke.

Mange moderne polymerbaserte2 materialer (f.eks. polymerbaserte elastomerer) er

2Polymerer er lange kjedemolekyler.

7.2. SKJÆRELASTISITET 55

ikke bare vesentlig mykere, de framviser ofte lineær elastisistet for tøyning opp mot300% eller mer. Gummistrikk er eksempel pa dette. Nar elastisitetsmodulen for slikematerialer males ved bruk av periodisk tøyning (strain), avhenger de malte verdi-ene i mange tilfeller ogsa av oscillasjonsfrekvensen. Slike materialer framviser somoftest bade elastiske og viskøse egenskaper, og refereres derfor til som viskoelastiskematerialer.

7.2 Skjærelastisitet

Begrepet “skjærkraft” kan illustreres ved figuren under. En kloss er klemt fastmellom to parallelle plater, som trekkes i hver sin retning med kraft F . Dette girklossen en vinkeldeformasjon γ. (Engelsk: “shear” – skjære/klippe).

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

.................................................

.........

......................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

.................................................

.........

......................

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

.........

.......

...

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

.........

.......

...

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

F

-F

..........................................................................γ

.........

.........................-∆x

.................

.................

6

?

y

“Skjærspenning” er(kraft i x-retning)/(flate i y-retning) =T = F/A Skjærspenningγ = ∆x/y SkjærtøyningT = µγ Hookes lovhvor µ er skjær-elastisitetsmodulen

(skjærmodulen)

7.3 Volumelastisitet

Betrakt et legeme som er utsatt for et rent “hydrostatisk trykk”, som f.eks. eidykkerklokke nedsenket i havet. Kreftene star overalt loddrett pa overflata, og girlegemet ei volumforandring proporsjonal med “overtrykket” ∆p.

?

p

p

*p

“Trykkspenning” er det samme som “hydrostatiskovertrykk”

εV = ∆VV

Volumtøyning

T = ∆p Trykkspenning

∆p = −B ∆VV

Hookes lov (7-1)

hvor B er volum-elastisitetsmodulen (volum-modulen).

Typiske tallverdier for stal: E ∼ 200 GPa, µ ∼ 75 GPa og B ∼ 170 GPa.3

3G for “Giga” = 109.


7.4 Sammenhengen mellom elastisitetsmodulene

7.4.1 Poissons tall

Nar et fast legeme strekkes, far det bade ei forlengelse i retninga til strekk-krafta,og ei innsnevring i retningene loddrett pa strekk-krafta.

...........

...........

...........

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................T -T

-z

∆z: Forlengelse (‖ ~F )

∆x, ∆y: Innsnevring (⊥ ~F )∆x/x = ∆y/y = −σ ∆z/zd.v.s. εx = εy = −σ εz

hvor σ er Poissons tall

For de fleste metaller er Poissons tall σ ∼ 0, 30, mens betong har σ ∼ 0, 10.

Volumforandringen ved strekking av et materiale kan uttrykkes, om man antar enkloss med sidekanter x, y og z:

∆V = ∆(x y z) = (x + ∆x)(y + ∆y)(z + ∆z)− x y z

= V [(1 + εx)(1 + εy)(1 + εz)− 1]εi1≈ (εx + εy + εz) V (7-2)

= (−2σ + 1) εz V, (7-3)

hvor vi i siste overgang har innført Poissons tall σ. Dersom σ = 1/2, ser man atvolumforandringen er null.

7.4.2 Sammenhengen mellom volum- og strekkmodul

Et reint hydrostatisk trykk ∆p gir samme strekk4 T = −∆p og samme tøyningεx = εy = εz ≡ ε i alle retninger. Tøyningene kan sees som satt sammen av reinestrekk-tøyninger i trykk-kreftenes retninger og innsnevringer i retningene loddrettpa trykk-kreftene. Hvis vi f.eks. tar for oss tøyningen i z-retning skyldes den

1) Trykket i z-retningen som gir tøyning εz,z = Tz/E = −∆p/E,og ifølge definisjonen av Poissons tall σ gir

2) trykket i y-retningen tøyning εz,y = −σεz,z i z-retningen og3) trykket i x-retningen tøyning εz,x = −σεz,z i z-retningen.

Total tøyning i z-retningen blir summen av disse:

εz = εz,z − σεz,z − σεz,z = (1− 2σ)εz,z = −(1− 2σ)∆p/E. (7-4)

Tilsvarende ville vi finne samme verdi for εy og εz – de er jo alle like. Volumforan-dringa ved hydrostatisk trykk der da εx = εy = εz = ε ser vi fra likn. (7-2) er∆V ≈ 3 ε V . Fra definisjonen av volumelastisitetsmodulen B far vi dermed

B = − ∆p

∆V/V= −∆p

3ε= − ∆p

−3(1− 2σ)∆p/E, (7-5)

4trykk = negativt strekk.

7.5. BØYING 57

B =1

3

E

1− 2σ. (7-6)

Her ser man at B →∞ nar σ → 0, 5, dvs. σ = 0, 5 svarer til et materiale som ikkelar seg komprimere.

7.4.3 Sammenhengen mellom skjær- og strekkmodul

Denne sammenhengen er litt mer komplisert a finne slik at her vil vi hopper overutledninga og nøyer oss med a gi resultatet

µ =1

2

E

1 + σ. (7-7)

De tabellverdiene som man finner for E, µ og B, refererer oftest ikke til sammeprøve. Det ser man lett ved for eksempel a bruke E og en av de to andre til aberegne σ – og sa regne ut hva den tredje tabellverdien burde ha vært.

Sammenhengen mellom de mekaniske spenningene for et gitt fast legeme nar disserefereres til to koordinatsystemer som er rotert i forhold til hverandre, er komplisert,men godt kartlagt. Mekaniske spenninger (og deformasjoner) hører til en klassefysiske størrelser som kalles tensorer.

7.5 Bøying

Betrakt en rektangulær bjelke, med dimensjoner a · b · `. Vi velger bjelkeaksen somx-akse, og utsetter bjelken for et dreiemoment

→τ= τ eez, som vist pa figuren.


............

.............................................................

Rτ

.........................................................................τ6

?b

.........

.........................- `

.........

........

.................

*a

.........

.........................

...........................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

....................................

........................

............................................................

...................................................................

...................................................................

Nøytralplanet

@@@

y

6

r0

θ

`

......................

.......................

...................

......................

.......................

...................

......................

.......................

...................

......................

.......................

...................

..........

..........................................................................................................................................................................................................................................................................

-x

6y

z

Bjelke a · b · `.Rein bøying:Dreiemoment τ .Resultat:Jamn krumning –krumningsradiusr0 (±b/2).

Dreiemomentet bøyer alle deler av bjelken likt, slik at bjelkeaksen far en jamnkrumning, med krumningsradius r0.

Dreiemomentet gir strekk-krefter pa øvre del av bjelken, og like store trykk-krefterpa nedre del. Vi definerer nøytralplanet der det er null strekk og null forlengelseog definerer her y = 0. I en avstand y fra aksen blir lengden ` + ∆x(y), og vi skalvise at relativ forlengelse (tøyning) blir proporsjonal med y.

“Krumningsvinkelen” θ er den samme for alle y:

θ =`

r0=

` + ∆x(y)

r0 + y

⇒ ` r0 + ` y = ` r0 + ∆x(y) r0 (7-8)

dvs. relativ forlengelse (tøyning) er

ε(y) =∆x(y)

`=

y

r0. (7-9)

Strekk-spenninga blir dermed

T (y) = Eε = Ey

r0(negativ for y < 0). (7-10)

Betrakt sa kreftene pa et tverrsnitt (i yz-planet) av bjelken:

7.5. BØYING 59

CCCCCC

!!!

!!!

!!!

.......................... .......................... .................................................... ...

...................................................................................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

......................................................................∆A

PPPy

Pa et flateelement ∆A = a∆y virker ei strekk-kraft ∆F = T (y)∆A, og dette gir igjen et dreie-moment om z-aksen (y = 0)∆τ = y∆F = yT (y)∆A = (Ea/r0) y2∆y

Det totale dreiemomentet finnes ved a summere over ∆τ :

τ =∑ E

r0(y2∆A)→ E

r0

∫ b/2

y=−b/2

ay2 dy, (7-11)

τ =1

12

E

r0ab3. (7-12)

“Krumningsvinkelen” θ er dermed gitt av dreiemomentet og bjelkelengden ved

θ =`

r0=

τ

EIF` , hvor

IF =∫

y2 dA =1

12a b3 er flatetreghetsmomentet til bjelken.

(7-13)

Flatetreghetsmomentet er tatt om bøyningsaksen, dvs. z-aksen. Det funne ut-trykket for θ er gyldig ogsa for andre bjelkeprofiler, dersom det tilhørende uttrykketfor IF settes inn.

7.5.1 Innspent bjelke med last

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

..........................

..........................

6?δ

?~F

.........

.........................- `

En horisontal bjelke med lengde` er fast innspent i den ene en-

den, og patrykt ei vertikal kraft→F

i den frie enden. Vi vil finne ut-trykk for nedbøyinga av enden, δ.Bjelkens egenvekt neglisjeres – egen-nedbøyinga kan eventuelt beregnesseparat etterpa.

Betrakt et element av bjelken, fra posisjon x og ut til enden, med lengde `− x.


..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

..........................................

........................ ..........................................

........................

?~F..........

.........

.......-x

.................................................

6F

Vertikal kraftbalanse: Krafta F ba-lanseres av en tilsvarende motkraft iposisjon x.Momentbalanse: Momentet av F i xbalanseres av et momentτ(x) = (`− x) F

Vi har funnet sammenhengen mellom “krumningsvinkel” θ og bøyemoment τ , vedkonstant τ . Her er τ = τ(x), og vi kan da skrive θ/`→ dθ/dx = τ(x)/EIF.

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................... ......................................................... ......................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................. ......................................................................................

..................

..................................... θ′(x)

.........

..........

.......-xθ′ er den lokale hellinga til bjelken;θ′ = dδ/dxdδ = θ′ dx

θ(x) og nedbøying δ(x) finnes na ved integrasjon

θ(x) =

∫ x

x′=0

dθ(x′) =F

EIF

∫ x

0

(`− x′) dx′ =F

EIF(`x− x2/2)

(7-14)

δ(x) =

∫ x

x′=0

θ(x′) dx′ =F

EIF

∫ x

0

(`x′ − x′2/2) dx′

=F

EIF

(`x2/2− x3/6). (7-15)

og nedbøyinga av enden til bjelken (x = `) blir dermed

δ(`) =`3

3EIF

F. (7-16)

Alternativt kan nedbøyinga beregnes ved a legge merke til at

d2y

dx2= −1

rog

1

r=

τ

EIF, (7-17)

hvilket gir

d2y

dx2= − F

EIF

(`− x). (7-18)

Etter to gangers integrasjon av denne likninga far man videre at

y(x) = − F`

EIF

[1

2x2 − 1

6

x3

`

], (7-19)

7.6. TORSJON 61

hvor innsetting av x = ` gir likn. (7-16), med δ(`) = −y(`).

Vi har i beregninga over underslatt at belastninga ikke er ei rein bøying; i tilleggtil dreiemomentet er det ei konstant skjærkraft F , som ogsa gir deformasjon. Menskjær-deformasjonen gir essensielt bare en formforandring av bjelken fra rektangeltil parallellogram, det vil si et konstant bidrag til vinkelen θ, og ikke et bidrag somøker proporsjonalt med x2, slik dreiemomentet gir. Unntatt for meget korte bjelkerkan derfor skjær-deformasjonen vanligvis neglisjeres.

Talleksempel:Rektangulær stav av stal, a · b · ` = 5, 0 mm · 5, 0 mm · 1, 0 m, F = 1, 0 N, E =2, 0 · 1011 Pa og IF = ab3/12 = 5, 2 · 10−11 m4 ⇒ δ = 3, 0 cm.

7.6 Torsjon

Torsjon – vridning – ble først studert kvantitativt av den franske bygningsin-geniøren Charles Coulomb, som etter 10 ar med ansvar for utbygging av befestnin-gene pa Mauritius vendte tilbake til hjemlandet – og i 1776 skrev en prisoppgaveom emnet, belønnet av det franske vitenskapsakademiet. Han konstruerte deretterei følsom torsjonsvekt, som han sa brukte til a undersøke kreftene mellom elektriskeladninger. Det er det siste han er blitt mest kjent for.

Vi følger Coulomb, og tar for oss torsjon av sylindriske staver eller trader.

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

....

..........

.........

..........

..........

....

.........

.....

..........

..........

.........

..........

....

..........

....

.........

..........

..........

.........

.....

..........

....

..........

.........

..........

..........

....

.........

.....

..........

..........

.........

..........

....

..........

....

.........

..........

..........

.........

.....

..........

....

..........

.........

..........

..........

....

.........

.....

..........

..........

..........

.....

jrF j.................................................................... F

6z

En massiv, sylindrisk stav med diame-ter D = 2R og lengde ` er fast innspenti øvre ende. Den nedre enden vris medet kraftpar to like store, men motsattrettede krefter, som gir et dreiemomentτ om stavens akse. Stavens nedre endeblir dermed vridd en vinkel θ i forholdtil den øvre.

Vi tar for oss ei skive av staven, mellom posisjoner z og z +∆z, og ser pa et utsnittav denne skiva.


....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.........................

..........................................

.....................

.........................

...........................

....................

.........................

...........

...............................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..............................................................................................................................................................................................

.....................................................

...................∆z

.....................................................

................................∆r

..........................................................

...........................................................

................r

.............................................................

................... γ

............................................................................................... r∆θ

Utsnitt av skiva:Sektor med radius r < RSkiva vris en vinkel ∆θSkjærtøyninga er:γ(r) = r∆θ/∆z ∝ rog skjærspenninga er:T (r) = µγ = µr∆θ/∆z.

Dreiemomentet om aksen er (arm × kraft) = arm × (spenning · flate).

Pa et element ∆A av tverrsnittet, mellom r og r+∆r, virker derfor et dreiemoment

∆τ = r × (T (r)∆A) = µ∆θ

∆zr2∆A, (7-20)

hvor ∆A = 2πr∆r og det totale dreiemomentet er

τ =

∫ R

r=0

dτ = µ∆θ

∆z

∫ R

0

r2 dA

︸︷︷︸IFr

= µIr∆θ

∆z, (7-21)

τ = µ Irθ

`. (7-22)

IFr er det radielle flatetreghetsmomentet som for var sylindriske stav blir

IFr =

∫ R

0

r2 · (2πr dr) = 2π

∫ R

0

r3 dr = π R4/2. (7-23)

Inverterer vi uttrykket for τ , finner vi vridningsvinkelen som funksjon av dreiemo-mentet

θ =2

πµ

`

R4τ =

32

πµ

`

D4τ. (7-24)

Mest a merke er kanskje at “torsjonsstivheten” τ/θ øker med økende diameter somD4. Det vil si at det meste av vridningsstivheten kommer fra den ytterste delen avden sylindriske staven.

Talleksempel:Stalstav, ` = 30 cm og D = 0, 5 mm.Skjærmodul µstal = 7, 7 · 1010 Pa ⇒ θ/τ = 635 rad/(Nm).Det skal bare et dreiemoment pa (2π/635) ≈ 0, 01 Nm til for a vri enden av stavenen gang rundt (360)!

Legg ellers merke til at for samme materialforbruk gir lukkede, rørliknende kon-struksjoner mye bedre torsjonsstivhet enn apne profiler, som “H”- og “U”-bjelker.

7.6. TORSJON 63


• Strekkspenninga er gitt som T = F/A, med enhet N/m2 = Pa.

• Hookes lov for strekktøyning: T = E · ε, hvor ε = ∆`/` = tøyning (relativforlengelse) og E er strekk-elastisitetsmodulen (ogsa kalt Youngs modulus).

• Hookes lov for skjærtøyning: T = µ · γ, hvor γ = ∆x/y = skjærtøyning og µer skjær-elastisitetsmodulen.

• Hookes lov for volumtøyning: ∆p = −BεV , hvor εV = ∆V/V = volumtøyning(relativ forlengelse) og B er volum-elastisitetsmodulen.

• Ved nedbøying av en bjelke har man strekktøyning pa oversida av bjelkenog kompresjon (negativstrekktøyning) pa undersida. I et nøytralplan mellomdisse to ytterlighetene vil man ha null deformajon (null tøyning).

• Flatetreghetsmomentet til en bjelke er gitt som IF =∫

y2dA hvor y er avstan-den fra nøytralplanet.

• En bjelkes bøyestivhet er proporsjonal med bade flatetreghetsmomentet ogstrekkmodulen.

• Dreiemomentet ved torsjon er proporsjonal med det radielle flatetreghetsmo-

mentet, som for en sylinder med diameter D er gitt som IFr =∫ D/2

0r22πrdr =

πD4/32.

Del II

Svingninger og bølger

65

Kapittel 8

Periodisk bevegelse

Innhold8.1 Masse og fjær . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2 Uniform rotasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3 Torsjonssvingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.4 Matematisk pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5 Fysisk pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.5.1 Tynn, homogen stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.6 Dempete svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.6.1 Løsning ved svak demping . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.6.2 Klassifisering etter dempningsgrad . . . . . . . . . . . . 78

8.7 Tvungne svingninger og resonans . . . . . . . . . . . . . 79

Vi skal i dette kapittelet se lokaliserte bevegelser som er periodiske funksjoner avtida.

Mange fysisk sett svært ulike periodiske fenomener modelleres matematisk pasamme mate – slik at en og samme matematiske metode kan benyttes for a beskriveen vid klasse av periodiske fenomener.

Vi skal her først ta for oss periodisk bevegelse uten dempning, og vise at den mate-matiske beskrivelse for mange systemer kan føres tilbake til – eksakt eller tilnærmet– beskrivelsen av en uniform rotasjon.

Vi ser sa pa viskøst dempete systemer – dvs. systemer hvor friksjonskrafta er pro-porsjonal med hastigheten. Av de mer velkjente praktiske eksempler pa slike sy-stemer, er olje-dempete fjæringssystemer (støtdempere) i biler.

Tilslutt tar vi for oss patvungne svingninger – svingninger drevet og holdt vedlike aven periodisk ytre kraft (“padrag”). Vi vil vise hvordan utslagsamplituden varierer

67

68 KAPITTEL 8. PERIODISK BEVEGELSE

med frekvensen av padraget og at det finnes en resonanstopp hvor denne frekvensenfaller sammen med egenfrekvensen for systemet.

Vi tar først for oss to tilfeller av periodisk bevegelse som vi har sett pa tidligere idette kurset: ei fjærdrevet svingning og en jamn rotasjonsbevegelse, og vi viser atde matematisk sett er ekvivalente, med bevegelseslikning av samme form. Deretterviser vi hvordan løsningen av bevegelseslikninga finnes, for gitte startbetingelser.

8.1 Masse og fjær

m.....................................................................

..............................................

..............................................

..............................................

............................................................................................

..............................................

..............................................

..............................................

.......................

k

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-x

En masse m er festet i ei fjær med fjærkon-stant k, og glir pa friksjonsfritt underlag.Utslaget fra likevektsposisjon er x.

Fjærkrafta er retta mot utslagsretninga, og er

F = −kx Hookes lov. (8-1)

Innsatt i Newtons 2. lov gir dette

mx = −kx, (8-2)

som kan ordnes om til formen

x + ω20x = 0, (8-3)

hvor ω20 = k/m. I kap. 2 fant vi at løsningen kunne skrives pa formen

x(t) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t = r0 cos(ω0t + θ0), (8-4)

hvor r0 og θ0 samt C1 = r0 cos θ0 og C2 = −r0 sin θ0 er integrasjonskonstanter.

8.2. UNIFORM ROTASJON 69

8.2 Uniform rotasjon

.............. ........................................... .............. ......................................................... ........................................... ....................................................................... ........................................... ........................

..........

....

.........

..........

..........

.........

.....

..........

....

..........

.........

..........

..........

....

.........

.....

..........

..........

..........

.........

....

..........

....

.........

..........

..........

..........

....

.........

.....

..........

..........

.........

..........

....

..........

....

.........

.

-

6

..........

..........

...............................................................................................

..........................

................................

................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

.........

.......s......................................................................9

ω0

.........

.............................. θ

x

P

r0

Et punkt P roterer om en akse gjennom ori-go, med konstant vinkelhastighet ω0 og kon-stant baneradius r = r0.Vinkelen mellom radiusvektor og x-akse er θ,og øker lineært med tida,θ = ω0t + θ0.

Banen uttrykkes enklest i polarkoordinater,

r, θ = r0, ω0t + θ0.

I kartesiske koordinater tilsvarer dette

x, y = r cos θ, r sin θ = r0 cos(ω0t + θ0), r0 sin(ω0t + θ0).

Vi betrakter na bare x-projeksjonen av banen

x(t) = r0 cos(ω0t + θ0).

Uttrykket for x(t) er av samme form som vi fant for fjærbevegelsen.

Vil vi ha tak i x-akselerasjonen – for eksempel for a kunne bestemme vha. Newtons2. lov hva føringskrafta pa en masse m i punktet P matte være. Vi kan derivereuttrykket to ganger:

x(t) = −ω0r0 sin(ω0t + θ0) (8-5)

x(t) = −ω20r0 cos(ω0t + θ0) ≡ −ω2

0x. (8-6)

x-komponenten av føringskrafta, Fx = mx = −mω20x, er altsa proporsjonal med

x. Det var det samme som vi fant for krafta fra en fjær (Hookes lov) beskrevet ikap. 2.3 og spesielt i likn. (2-29). Ved sammenlikning ser vi da at føringskrafta irotasjonsbevegelsen tilsvarer fjærkrafta med fjærkonstant k = mω2

0. Vi ser altsa

x-projeksjonen av en ren rotasjonsbevegelse med vinkelhastighet ω0

og en endimensjonal fjærbevegelse med masse m og fjærkonstant k

er matematisk ekvivalente bevegelser, med ω0 ↔√

k

m.

Navnet for et system som er beskrevet av denne likninga er en udempet harmoniskoscillator

x + ω20x = 0. (8-7)


Bestemmelse av integrasjonskonstantene

Løsningen av harmonisk oscillator-likninga er av form

x = r0 cos(ω0t + θ0),

hvor r0 og θ0 er integrasjonskonstanter, som bestemmes av begynnelsesbetingelsene.

Bestemmelse av to konstanter krever to betingelser, vanligvis gitt som

x(t = 0) = x0

x(t = 0) ≡ v(t = 0) = v0,(8-8)

dvs. at man far to likninger for a løse de to ukjente størrelsene r0 og θ0.

(I) r0 cos θ0 = x0 (8-9)

(II) −ω0r0 sin θ0 = v0 (8-10)

(I)2 +

[(II)

ω0

]2

⇒ r20(cos2 θ0 + sin2 θ0) = x2

0 +

(v0

ω0

)2

⇒ amplituden: r0 =√

x20 + v2

0/ω20 (8-11)

(II)

(I)⇒ −ω0 sin θ0

cos θ0

=v0

x0

⇒ tan θ0 = − v0

ω0x0

⇒ fasevinkelen: θ0 = arctan

(− v0

ω0x0

)(8-12)

Men – i hvilken kvadrant ligger fasevinkelen θ0? Taster du inn tallverdier til arctanpa kalkulatoren, vil den gi som svar en vinkel i 1. kvadrant (θ0 ∈ [0, π

2]) hvis argu-

mentet er positivt, og i 4. kvadrant (θ0 ∈ [−π2, 0]) hvis argumentet er negativt. Men

hvis v0 er positiv og x0 negativ skal θ0 ligge i 3. kvadrant. Sa om kalkulatorvinkelenskal korrigeres med en ekstra π (180) ma du selv finne ut. Men dette er i grunnenganske enkelt:

-x

6

..........

..........

...........................................................................

...........................

.......................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................*

.........

......................θ0

.........

........

x0

........................................................................................

ω0

.........

.......

.........

.......

.........

.......

v0 ≡ x(0) er hastigheten i x-retning ved tid t = 0,x0 ≡ x(0) er x-posisjonen ved tid t = 0.Fra figuren skjønner vi da at:x0 > 0 og v0 < 0 ⇒ θ0 i 1. kvadrant.x0 < 0 og v0 < 0 ⇒ θ0 i 2. kvadrant.x0 < 0 og v0 > 0 ⇒ θ0 i 3. kvadrant.x0 > 0 og v0 > 0 ⇒ θ0 i 4. kvadrant.

8.3. TORSJONSSVINGNINGER 71

8.3 Torsjonssvingninger

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......

.........

..........

..........

.........

..........

......

..........

.....

..........

..........

.........

..........

..........

..........

......

.........

..........

..........

..........

.........

......

..........

.....

..........

..........

.........

..........

..........

..........

......

.........

..........

..........

..........

.........

......

..........

.....

..........

..........

.........

..........

..........

..........

......

..........

.........

..........

..........

.........

......

..........

.....

..........

..........

.........

.....

..............................................................................................................................................................................................................

-

`

...............................................................................................................................................................................

Kθ

-

D

...................................................

...................................................

...................................................

?

6

?

6

L/2

L/2

Som eksempel pa en harmonisk “fjærbevegelse”,hvor utslaget ikke er en lengde x men en vinkel θ,tar vi for oss ei relativt enkel torsjonssvingning.Det kan være passende i dette kurset – siden viallerede har vist sammenhengen mellom torsjon-smoment τ og dreiningsvinkel θ for en sylindriskstav/trad, som først gitt av Charles Coulomb.

En sylindrisk trad med lengde L og diameter Der fast innspent i begge ender.

Midt pa traden er festet en sylindrisk stav medlengde ` og diameter d: Traden gar gjennom ethull midt pa staven, med stav- og tradakse per-pendikulære pa hverandre.

Hvis staven roteres ut av likevektsposisjon, og sa slippes, vil utslagsvinkelen θvariere periodisk. Vi skal modellere denne periodiske bevegelsen, og finne uttrykkfor perioden T .

Vi vil anta traden tynn, slik at tradens treghetsmoment om tradaksen kan neglis-jeres i forhold til treghetsmomentet til staven.

Rotasjonsbevegelsen til staven følger dreiemomentlikninga vi hadde i likn. (6-40)(Newtons 2. lov pa rotasjonsform):

τ = Idω

dt≡ Iθ. (8-13)

hvor I er stavens treghetsmoment om tradaksen, og τ er dreiemomentet (torsjon-smomentet) fra den vridde traden. For a komme videre, ma vi finne uttrykk for τog for I.

Dreiemomentet

Staven pavirkes av dreiemoment fra to tradelementer, hver med lengde L/2 og vrid-ningsvinkel θ. Vi fant tidligere (kapitel 7.6) sammenhengen mellom vridningsvinkelog dreiemoment for en stav med lengde ` og diameter D;

θ =32`

µπD4τ, (8-14)

hvor µ er skjærmodulen. En liten sidebemerkning: Na ma vi passe pa fortegnet, ogsnu det – fordi positiv θ gir dreiemoment mot θ-retninga.1 For vart tilfelle med to

1Dreiemomentet er her reaksjonen fra traden, mens det i kapitel 7.6 var dreiemomentet somvred traden – derfor fortegnsskiftet.


tradelementer fas dermed

τ = τ1 + τ2 = −2µπD4

32(L/2)θ ≡ −κ θ, (8-15)

hvor torsjonsstivheten er gitt som

κ =π

8

µD4

L. (8-16)

Treghetsmoment

............

............

............................

.........

.........................

.........

........- x ∆x

................................................................................................

............

............

.................

.................

6

?d

.........

.........................

.........

........- -`/2 `/2

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Treghetsmomentet om rotasjonsaksen er,per definisjon, I =

∑r2 ∆m, hvor r er

avstand fra rotasjonsaksen.Hvis staven er tynn, d `, kan vimed god tilnærmelse anta at r er lik denlineære lengden x langs stavens akse, dvs.r ≈ x.

Massen til hele staven er M = ` ·πr2 ·ρ = ` ·π 14d2 ·ρ, hvor ρ er stavens massetetthet.

Massen til en liten bit ∆x er da ∆m = M ·∆x/`. Og dermed

I ≈∑

x2 ·M · ∆x

`−→ M

`

∫ `/2

x=−`/2

x2 dx

=M

`· 2 · 1

3

(`

2

)3

=1

12M`2

(=

π

48ρd2`3

)(8-17)

Bevegelseslikning

Fra likn. (8-13) og (8-15) finner vi da bevegelseslikninga for rotasjonsvinkelen θ:

Iθ = −κθ

θ + ω20θ = 0 (8-18)

med ω20 =

κ

I=

3

2π

µD4

LM`2

(=

6µD4

ρLd2`3

)(8-19)

og perioden T =2π

ω0(8-20)

Talleksempel:Trad av stal, med lengde L = 0, 60 m og diameter D = 0, 50 mm.Skjærmodulen for stal: µFe = 8, 0 · 1010 Pa.Stav av messing, med lengde ` = 110 mm og diameter d = 8, 0 mm.Massetettheten til messing ρMe = 8, 40 g/cm3.Dette gir ω2

0 = 69, 88 s−2 og T = 2π/ω0 = 0, 75 s.

8.4. MATEMATISK PENDEL 73

8.4 Matematisk pendel

................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................

....................................

AAAAAAAAAAAu

...........................................................

θ

?m→g

.................

.................?

6

`

En matematisk pendel bestar av en punkt-masse m hengt opp i ei vektløs snor medlengde `.Hvis massen trekkes ut til sida og slippes, viltyngdekrafta trekke den tilbake mot likevek-tsposisjonen, og den kommer i periodiske sv-ingninger.

Massen akselereres langs en sirkelbue av komponenten av tyngdekrafta langs sirkel-buen,

Fθ = −mg sin θ. (8-21)

Vi setter negativt fortegn pa krafta, fordi den virker i retning mot utslagsvinkelenθ. Etter Newtons 2. lov er Fθ = maθ, hvor akselerasjonen langs sirkelbanen, aθ, kanuttrykkes ved vinkelakselerasjonen θ og pendellengden,

aθ = ` θ. (8-22)

Bevegelseslikninga blir dermed

−mg sin θ = m ` θ, (8-23)

som vi skriver om til den eksakte bevegelseslikninga for en matematisk pendel

θ +g

`sin θ = 0. (8-24)

Dette er ikke likninga for harmonisk oscillator – en harmonisk oscillator-likningskulle hatt sin θ erstattet av θ. Men – for sma θ er harmonisk oscillator-likninga engod approksimasjon: Utvikler vi sin θ i MacLaurin-rekke2, far vi

sin θ = θ − θ3/6 + · · · = θ(1− θ2/6 + · · · ) (8-25)

og for vinkler sma nok til at θ2/6 1, kan vi uten merkbar feil erstatte sin θ med θ.

Vi far da

θ +g

`θ ≈ 0 (8-26)

2Det vil si Taylorrekke om null, f(x) = f(0) + x f ′(0) + (x2/2!)f ′′(0) + (x3/3!)f ′′′(0) + · · · , seellers Rottmann.


som er likninga for en harmonisk oscillator med

Vinkelfrekvens : ω0 =

√g

`

Periode : T =2π

ω0= 2π

√`

g

(8-27)

Merk at massen m er uten betydning for perioden.

En sakalt sekundpendel er en pendel hvor en halv periode (en “tikk” i “tikk-takk”)er lik ett sekund; det tilsvarer en pendellengde3 ` = 0, 994 m.

Hvor store utslag kan sa pendelen ha uten at perioden blir merkbart forandret?

For “store” θ blir vinkelakselerasjonen θ redusert med en faktor omtrent lik(1− θ2/6) – og med litt strev kan man fa med ogsa denne faktoren ved integrasjonav bevegelseslikninga. Med resultat

T ≈ 2π

√`

g

(1− θ2

max

16

), (8-28)

hvor θmax er utslagsamplituden (i radianer – finn for all del ikke pa a bruke graderi slike uttrykk – det gir vanvittige resultater).

Talleksempel:For et pendelur vil en θmax = 0, 10 rad (5, 7) gi en relativ feil i perioden paθ2max/16 = 0, 064%, det vil si en absolutt feil i løpet av ett døgn pa (24 · 60 · 60) s ·

0, 064% = 55 sekunder (for fort). Og det er vel litt mye – selv for et gammelt slagur– sa utslaget bør være en del mindre enn dette. – Eller korreksjonen ma tas innved a dimensjonere urpendelen litt lengre.

8.5 Fysisk pendel

Ingen pendler har virkelig all masse samla i ett punkt, som en matematisk pendel.En fysisk pendel er et stivt legeme som kan dreie seg – her antatt friksjonsfritt –om en horisontal rotasjonsakse.

3Som en kuriositet: Før Norge tiltradte meterkonvensjonen (i 1872), var lengdestandarden heri landet 1 norsk tomme, 1”, lik en Rhinlandsk tomme som er definert 1/38 av lengden av ensekundpendel ved 45 nordlig bredde, som da blir 26,15 mm.

8.5. FYSISK PENDEL 75

............

............

....................................................................................

...............................................................

EEEEEEEEE..............................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................

u

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................r................................................

.......................................

.............

.................................................

?mg

θ

.................

.................?

6

d

rotasjonsakse

QQQQQ tyngdepunkt

La legemets masse være m, avstandenfra rotasjonsaksen til tyngdepunktet d,treghetsmomentet om rotasjonsaksen I,og vinkelutslaget fra likevekt θ. Tyng-dekrafta m

→g gir et dreiemoment τ =

−mgd sin θ om rotasjonsaksen, og fradreiemomentlikninga τ = Iθ fas dermedfølgende eksakte bevegelseslikning for enfysisk pendel

θ +mgd

Isin θ = 0. (8-29)

Den eneste forskjellen fra matematisk pendel-likninga er atg

`er erstattet med

mgd

I.

For sma vinkler θ kan igjen sin θ settes tilnærmet lik θ, og man far ei harmoniskoscillator-likning

θ + ω20 θ = 0 hvor ω0 =

√mgd

I(8-30)

For en matematisk pendel er avstanden til tyngdepunktet lik snorlengden, d = `,

og treghetsmomentet om rotasjonsaksen er I = m`2. Dette gir ω0 =

√mg`

m`2=

√g

`,

som før. Om man bruker Newtons 2. lov eller dreiemomentlikningen, som er (→r ×

Newtons 2. lov), ma resultatet naturligvis bli det samme.

8.5.1 Tynn, homogen stav

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................

..........................................

.....

...........................................................

θ

.................

.................

.................

?

6

?y

`

Som eksempel pa en fysisk pendel skal vi ta entynn, homogen stav med lengde ` og masse m erhengt opp friksjonsfritt pa en aksling med sentergjennom det ene endepunktet. Avstanden fra ro-tasjonsaksen til tyngdepunktet er da d = `/2.

Treghetsmomentet til staven om rotasjonsaksen kan skrives som summen av treghetsmo-


mentene for elementer av aksen mellom y og y + ∆y;

I =∑

∆I =∑

y2 ∆m =∑

y2 ·m∆y

`

−→ m

`

∫ `

y=0

y2 dy =1

3m `2 (8-31)

Fra likn. (8-30) og med d = `/2 er da

ω0 =

√mgd

m`2· 3 =

√3g

2`, (8-32)

og svingetida, ved sma utslag, blir dermed

T =2π

ω0=

√2

3· 2π

√`

g, (8-33)

dvs.√

2/3 = 0, 817 ganger svingetida for en matematisk pendel med samme lengde.

8.6 Dempete svingninger

I vanlig makrofysikk vil harmoniske svingninger alltid være dempet av friksjons-krefter, og svingningsamplituden vil avta med tida.

Det enkleste a modellere matematisk er viskøs friksjon, med friksjonskraft pro-porsjonal med hastigheten. Dette finner man ved bevegelse av legemer i væske oggass ved ikke for store hastigheter. Et legeme med hastighet

→v vil da bremses med

en kraft→F f lik

→F f= −b

→v , (8-34)

der b kalles friksjonskoeffisienten. Vi kan som illustrativ modell velge et stempelsom beveger seg i en oljesmurt sylinder, og er festet til en spiralfjær.

.....................................................................

..............................................

............................................................................................

..............................................

.......................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

m

kFjærdrevet stempelmed oljedempning

La stempelutslaget fra likevekt være x, fjærkrafta −kx, friksjonskrafta −b vx medvx ≡ x, og stempelmassen m.

Newtons 2. lov gir da

F = −kx− bx = mx, (8-35)

som vi ordner til standardformen for viskøst dempede svingninger

x + 2δ x + ω20x = 0. (8-36)

8.6. DEMPETE SVINGNINGER 77

hvor vi har innført dempningskonstanten δ =1

2

b

m, og udempet egenfrekvens ω0 =

√k

msom før.

8.6.1 Løsning ved svak demping

Hvis dempninga forsvinner, det vil si δ = b/2m → 0, ma løsningen bli en renharmonisk svingning av form x = x0 cos(ω0t + θ0), som før.

En svak dempning vil gjøre at amplituden x0 avtar langsomt med tida. Dertil vilfriksjonen gjøre at det tar litt lengre tid fra en null-kryssing til den neste, sa vi maerstatte ω0 i den udempete løsningen med en “dempet egenfrekvens” ωd litt mindreenn ω0.

Den svakt dempete løsningen (prøveløsningen) ma dermed kunne forventes a kunneskrives pa form

x(t) = x0(t) cos(ωdt + θ0), (8-37)

hvor x0(t) avtar monotont med økende t.

Formen pa amplitudefunksjonen x0(t) og størrelsen pa ωd kan vi prøve a bestemmeved a sette vart “forventede uttrykk” for x(t) inn i svingelikninga.

Vi deriverer x(t) to ganger, setter inn, og ordner det resulterende uttrykket i ensinusdel og en cosinusdel (husk x0 er funksjon av t: x0(t)):

x(t) = x0 cos(ωdt + θ0)− ωdx0 sin(ωdt + θ0) (8-38)

x(t) = x0 cos(ωdt + θ0)− 2ωdx0 sin(ωdt + θ0)− ω2dx0 cos(ωdt + θ0) (8-39)

Innsetting i (8-36) gir

−2ωdx0 − 2δωdx0 sin(ωdt + θ0)

+ x0 − ω2dx0 + 2δx0 + ω2

0x0 cos(ωdt + θ0) = 0 (8-40)

Hvis uttrykket over alltid skal være lik null, ma leddene foran sinus- og cosinusfak-torene være lik null hver for seg. Vi sitter da igjen med

(I) x0 + δ x0 = 0(II) x0 + 2δx0 + (ω2

0 − ω2d)x0 = 0.

(8-41)

Likning (I) kan integreres direkte,

x0 ≡ dx0/dt = −δ · x0

⇒ dx0/x0 ≡ d ln x0 = −δ · dt

⇒ ln x0 = ln x0(0)− δ · t⇒ x0(t) = x0(0) e−δ·t. (8-42)


Setter vi dette inn i (II), far vi ei likning til bestemmelse av ωd:

δ2x0 + 2δ · (−δ)x0 + (ω20 − ω2

d) x0 = 0 dvs.

ω2d = ω2

0 − δ2.(8-43)

Løsningen kan dermed skrives pa form

x(t) = A e−δt cos(ωdt + θ0) hvor ωd =√

ω20 − δ2, (8-44)

hvor vi har skrevet A i stedet for x0(0).

Størrelsene A og θ0 bestemmes fra begynnelsesbetingelsene x(0) og x(0) tilsvarendesom for udempet svingning.

Løsningen er en oscillasjon med konstant vinkelfrekvens ωd, begrenset av “omhyll-ningskurver” ±A e−δt, som illustrert nedenfor.

Dempetharmonisksvingning

8.6.2 Klassifisering etter dempningsgrad

Løsningen x(t) funnet i det foregaende er apenbart bare gyldig hvis δ < ω0. Forδ > ω0 blir uttrykket for den dempete egenfrekvensen ωd imaginært – og dettebetyr rett og slett at dempninga da er sa sterk at systemet ikke svinger i det heletatt.

Det er lett a vise at løsningen i sa fall kan skrives som en sum av to eksponensial-funksjoner (transienter), som faller mot null med ulike tidskonstanter.

Likninga x + 2δ x + ω20x = 0 gir saledes opphav til to ulike typer løsninger;

δ < ω0, underkritisk dempet: x(t) = A e−δt cos(ωdt + θ0)

δ > ω0, overkritisk dempet: x(t) = A(+)e−α(+)t + A(−)e−α(−)t

med ωd =√

ω20 − δ2 og α(±) = δ ±

√δ2 − ω2

0.

8.7. TVUNGNE SVINGNINGER OG RESONANS 79

Grensetilfellet δ = ω0 betegnes kritisk dempning – og kan i praksis aldri imple-menteres eksakt.

8.7 Tvungne svingninger og resonans

Vi har til na bare betraktet frie svingninger – dvs. svingninger som etter a væresatt igang, fortsetter uforstyrret til evig tid.

Tvungne svingninger er svingninger – i et dempet system – som settes igang og/ellerholdes vedlike av ytre krefter.

Hvor store utslag som fas, avhenger ikke bare av størrelsen, men ogsa tidsforløpettil pa den ytre krafta.

urrrrrrrrrrrrrrrrrr

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................. ............................................................

...............................

.....*

Hvis den ytre krafta er periodisk med peri-ode nær den naturlige perioden for system-et, blir utslaget størst (ved gitt størrelse papadraget) – som vi alle vet fra et tidlig tid-spunkt i livet.Dette kalles resonans.

I stedet for korte, periodiske dytt – som i systemet illustrert ovenfor – skal vi herta for oss systemer patrykt en harmonisk ytre kraft av form Fy(t) = F0 cos ωt. Deter enklere a analysere.

Tar vi utgangspunkt i et vanlig dempet fjærsystem, gir da Newtons 2. lov

F = F0 cos ωt− kx− bx = mx, (8-45)

som med divisjon med m og rydding kan skrives pa standardformen for tvungnesvingninger med harmonisk padrag

x + 2δ x + ω20x = a0 cos ωt (8-46)

hvor δ og ω20 er som før, og a0 = F0/m.

Nar padraget a0 cos ωt har statt pa lenge, ma alle transientene i systemet ha blittdempet ut til null, og x(t) ma variere i takt med padraget. Vi ma dermed forventeen “stasjonær respons” av form

x(t)t→∞−→ x0 cos(ωt + φ). Stasjonær respons. (8-47)


Hvis padragsamplituden a0 holdes konstant og padragsfrekvensen ω varieres, mavi forvente at respons-amplituden x0(ω) varierer, og blir størst ved ω ≈ ω0. La ossvise at det blir slik.

For a finne funksjonen x0(ω), setter vi uttrykket over for x(t→∞) inn i differen-siallikninga, og ordner den i en del proporsjonal med cos ωt og en del proporsjonalmed sin ωt. Disse to delene ma hver for seg oppfylle differensiallikninga, og det giross de to likningene som skal til for a bestemme de to ukjente x0 og φ.

Vi skriver først om uttrykket for x(t→∞) til formen

x(t→∞) = x0 cos(ωt + φ) = (x0 cos φ)︸︷︷︸x1

cos ωt− (x0 sin φ)︸︷︷︸x2

sin ωt. (8-48)

Det er x0 vi skal finne, men gar veien om x1 og x2. Merker oss at

x21 + x2

2 = x20(cos2 φ + sin2 φ) = x2

0. (8-49)

Innsetting i differensiallikninga av

x(t→∞) = −ωx1 sin ωt− ωx2 cos ωt (8-50)

x(t→∞) = −ω2x1 cos ωt + ω2x2 sin ωt (8-51)

gir

(−ω2x1 − 2δωx2 + ω20x1) cos ωt

+ (−ω2x2 + 2δωx1 + ω20x2) sinωt = a0 cos ωt. (8-52)

Til bestemmelse av x1 og x2 har vi dermed

(ω20 − ω2)x1 − 2δ ωx2 = a0 (8-53)

(ω20 − ω2)x2 + 2δ ωx1 = 0. (8-54)

Vi kvadrerer hver av disse likningene og legger dem sammen. Leddene med x1 · x2

kansellerer hverandre, og etter opprydding sitter man igjen med

[(ω20 − ω2)2 + 4δ2ω2] (x2

1 + x22)︸︷︷︸

x20

= a20, (8-55)

dvs.

x0(ω) =a0√

(ω20 − ω2)2 + 4δ2ω2

. (8-56)

Vi kan ogsa finne fasevinkelen φ i løsningen (8-47), fra likn. (8-54):

tanφ =sin φ

cos φ=

x2

x1

= − 2ωδ

ω20 − ω2

. (8-57)

8.7. TVUNGNE SVINGNINGER OG RESONANS 81

Vi merker oss spesielt hvordan x0(ω) oppfører seg ved padragsfrekvens henholdsvislangt under, lik og langt over resonansfrekvensen ω0:

ω ω0 : x0 →a0

ω20

ω = ω0 : x0 =a0

ω20

· ω0

2δ

ω ω0 : x0 →a0

ω20

·(ω0

ω

)2 ω→∞−→ 0.

(8-58)

Størrelsenω0

2δangir hvor høy “resonanstoppen” blir i forhold til statisk respons

(respons for ω → 0), og kalles gjerne svingesystemets Q-verdi (Q for Quality factor).

Frekvensrespons forsystemer med Q-verdier:

Q =

1, 02, 55, 0



• x-projeksjonen av en ren rotasjonsbevegelse er lik svingningene til en udempetmasse i ei ideell fjær. Bevegelseslikning: x+ω2

0x = 0 med ω20 = k/m og løsning

x(t) = x0 cos(ω0t + θ0).

• Likninga for udempete torsjonsvingninger er helt analog: θ + ω20θ = 0 med

ω20 = κ/I.

• En matematisk pendel er en punktmasse med masse m hengt opp i ei masseløssnor med lengde `. Bevegelseslikninga for en udempet matematisk pendel er

eksakt θ +g

`sin θ = 0 og tilnærmet θ +

g

`θ = 0.

• En fysisk pendel er et stivt legeme som dreie seg friksjonsfritt om en horisontal

akse. Bevegelseslikninga for en fysisk pendel er eksakt θ +mgd

Isin θ = 0 og

tilnærmet θ +mgd

Iθ = 0.

• For en masse som henger i ei ideell fjær og i tillegg er utsatt for ei friksjonskraftFf = −bv, er bevegelseslikninga mx + bx + kx = 0, hvor k er fjærkonstanten.Ved svak dempning blir svingningen av form x(t) = Ae−δt cos(ωdt + θ0) medδ = b/(2m) og ωd =

√ω2

0 − δ2.

• Tvungne svingninger er svingningene som oppstar nar massen utsettes forei periodisk kraft, f.eks. a0 cos ωt. Bevegelseslikninga for et slikt system ermx + bx + kx = a0 cos ωt.

• Det viser seg at massebevegelsen beskrevet av den siste likninga kan væresterkt avhenging av vinkelfrekvensen ω. Ved lav dempning og konstant am-plitude a0 til padraget vil man ved en bestemt frekvens kunne fa f.eks. 100ganger sa sterkt utsving som ved sma verdier av ω. Denne frekvensen kallessystemets resonansfrekvens.

Kapittel 9

Mekaniske bølger

Innhold9.1 Harmoniske forløp i rom og tid . . . . . . . . . . . . . . 84

9.2 Standbølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3 Vandrebølger og fasehastighet . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.4 Bølgelikninga – syntetisk utledning . . . . . . . . . . . . 86

9.5 Transversale bølger: Svingende streng . . . . . . . . . . 87

9.6 Longitudinale bølger: Lydbølger . . . . . . . . . . . . . 89

9.6.1 Lydbølger i en stav av fast stoff . . . . . . . . . . . . . . 91

9.7 Effekt og intensitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.7.1 Svingende streng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.7.2 Lydbølge i væske eller gass . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.7.3 Lydtrykk og intensitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.7.4 Decibelskalaen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.8 Dopplereffekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.8.1 Dopplers formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.8.2 Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger . . . . . . . . 96

9.9 Staende bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.9.1 Staende bølger pa svingende streng . . . . . . . . . . . . 98

9.9.2 Longitudinale standbølger . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.9.3 Blaseinstrument med apen ende . . . . . . . . . . . . . 99

9.10 Interferens og svevning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.10.1 Interferens mellom vandrebølger med samme frekvens . 100

9.10.2 Lydbilde fra to høyttalere . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.10.3 Svevning mellom bølger med nærliggende frekvenser . . 102

83

84 KAPITTEL 9. MEKANISKE BØLGER

Vi skal i dette kapittelet se hvordan mekaniske forstyrrelser i et punkt brer segutover som mekaniske bølger langs en streng eller et fluid. Vart fokus vil bli pavibrasjonsbølger og trykkbølger (lydbølger), men det finnes ogsa en annen viktigklasse av mekaniske bølger som alle som har reist med bat eller som fulgte TV-nyhetene etter naturkatastrofa jula 2004, kjenner til: Bølger i grenseflata mellomvæske og luft.

Innen fysikk finnes det et utall av andre bølgefenomener, men disse skal vi ikkebeskrive i detalj i dette kurset. Av disse bølgefenomenene er det nok elektromag-netiske bølger det som har størst praktisk betydning. Trass i at det ved førsteøyekast kan virke forunderlig, er sa forskjellige fenomener som radiobølger (inklu-sive “TV- og mobiltelefonbølger”), mikrobølger (“mikrobølgeovn- og parabolanten-nebølger”), varmestraling, synlig lys, ultrafiolett straling, røntgenstraling og gam-mastraling (en type høyenergistraling knyttet til radioaktivitet) alle elektromag-netisk straling. Med unntak av lys er alle disse bølgene “usynlige” for mennesker.De tre siste typene av bølger – pluss overflatebølger i grenseflata mellom væske ogluft – kan lett skade levende vesener, inklusive mennesker. I tillegg har man blantannet temperaturbølger, materiebølger som beskriver atom-, molekyl- og kjernefy-siske fenomener, og gravitasjonsbølger i verdensrommet.

Matematisk “snille bølger” har pen og hyggelig cosinusform i rom og tid, og viskal her begrense oss til a se pa snille mekaniske bølger. Mindre snille mekaniskebølger er ogsa velkjente: Nar det bryter pa grunt vann og det frader pa toppene, ercosinusformen en darlig beskrivelse. Det samme gjelder sjokkbølger fra fly som gargjennom den sakalte “lydmuren”. Slikt er viktig, naturligvis – men altfor vanskeligfor oss i dette kurset.

9.1 Harmoniske forløp i rom og tid

Vi skal, for a finne fram til en beskrivelse av bølger, ta utgangspunkt i harmoniskesvingninger – allerede velkjente – og analoge harmoniske forløp i rommet:

-

6.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

....................................................................

...................................................

..............................................

.....................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................... .........

........

y

T t

Harmonisk svingning:

y = y0 cos ωt

ω: vinkelfrekvensen, [ω] =rad/s

ωT = 2π, der T = perioden

9.2. STANDBØLGER 85

-

6 .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

....................................................................

...................................................

..............................................

.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

y

λ x

Harmonisk romlig forløp:

y = y0 sin kx

k: bølgetallet, [k] =rad/m

kλ = 2π, der λ = bølgelengden

9.2 Standbølger

Kombinerer man de harmoniske forløpene i tid og rom direkte, ved a multipliseredem med hverandre, far man uttrykk for en standbølge – dvs. et harmonisk romligforløp som varierer harmonisk med tida1

y = y0 sin(kx) cos(ωt) Standbølgemønster. (9-1)

Det enkle standbølgemønsteret over – produktet av en sinus- og en cosinusfunksjon– kan med enkel trigonometrisk manipulasjon i stedet uttrykkes som en sum (su-perposisjon) av to sinusfunksjoner.

Vi skriver først ned de relevante trigonometriske uttrykkene:

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B+ sin(A− B) = sin A cos B − cos A sin B= sin(A + B) + sin(A−B) = 2 sin A cos B

(9-2)

Med A→ kx og B → ωt, kan med dette standbølga ovenfor skrives som

y = y0 sin(kx) cos(ωt) =1

2y0 sin(kx + ωt) +

1

2y0 sin(kx− ωt). (9-3)

9.3 Vandrebølger og fasehastighet

Standbølga vi gikk ut fra er na uttrykt ved to “lineært uavhengige signaler” avform

y = A sin(kx± ωt) = A sin φ(x, t)

hvor φ(x, t) = kx± ωt er fasene til bølgene.. (9-4)

Disse signalene representerer bølgemønstre som beveger seg i x-retning med hastigheter±ω/k, hva vi kaller vandrebølger. Vi vil na vise dette.

1Vi har – for enkelhets skyld – valgt nullpunkter i rom og tid slik at vi slipper a legge til“fasefaktorer”.


Velg et observasjonspunkt x(t) som følger bølga slik at fasen φ(x(t), t) forblir uen-dret (konstant). Hastigheten til dette observasjonspunktet vil vi kalle bølgemønsteretsfasehastighet, vf . Fasen φ(x, t) er konstant hvis kx±ωt er konstant. Dette er oppfylthvis x = ±(ω/k)t – dvs. hvis x flyttes med hastighet

vf = ±ω

kFasehastigheten. (9-5)

Standbølga kan dermed – som pastatt – oppfattes som en superposisjon av ei bølgeav form sin(kx− ωt), som beveger seg i positiv x-retning med hastighet ω/k, og eiav form sin(kx + ωt), som beveger seg med samme hastighet i negativ x-retning.

I stedet for a uttrykke fasehastigheten vf ved vinkelfrekvens ω og bølgetall k, kanvi uttrykke den ved perioden T = 2π/ω og bølgelengda λ = 2π/k;

|vf | =ω

k=

λ

T. (9-6)

For de enkle bølgene vi skal ta for oss i dette kurset, er fasehastigheten den enestehastigheten assosiert med bølga. Mer generelt kan man assosiere to hastigheter tilen bølge; hastigheten som gir konstant fase (vf , som her), og hastigheten energienflytter seg med, den sakalte gruppehastigheten vg. Disse to hastighetene trenger ikkevære like, og de framkommer av dispersjonsrelasjonen ω = ω(k), gitt av fysikkenbak problemet:

vf =ω

kog vg =

∂ω

∂k. (9-7)

Men for de bølgene vi studerer her, kan disse komplikasjonene glemmes, og vi vil idet følgende bruke “bølgehastigheten” for fasehastigheten.

9.4 Bølgelikninga – syntetisk utledning

Ved gitt bølgeform – f.eks. y(t) ∝ sin(ωt − kx) – kan vi spørre: Hvilken formmatte krafta ha i Newtons 2. lov F = my for a gi ei slik bølgeform? Vi stiltetilsvarende spørsmal da vi behandlet harmoniske svingninger, og fant fram til lik-ninga for udempete harmoniske svingninger pa den maten. Vi gjør na tilsvarendefor “udempede harmoniske bølger”.

Utgangspunktet ma være a derivere løsningen to ganger med hensyn pa tida, for afinne y. Men na varierer løsningen pa tilsvarende mate med posisjonen x som medtida t, og det vil være rimelig a se hvor vi kommer med a behandle variasjonen i

9.5. TRANSVERSALE BØLGER: SVINGENDE STRENG 87

tid og rom pa tilsvarende mate – som vist nedenfor:

y(x, t) = A sin φ(x, t) hvor φ(x, t) = kx− ωt

∂y

∂t= A cos φ(x, t) · ∂φ

∂t= A cos φ(x, t) · (−ω) = −ωA cosφ(x, t)

∂2y

∂t2= ωA sin φ(x, t) · ∂φ

∂t= ωA sin φ(x, t) · (−ω)

= −ω2A sin φ(x, t) = −ω2y(x, t)

∂y

∂x= A cos φ(x, t) · ∂φ

∂x= A cos φ(x, t) · (k) = kA cos φ(x, t)

∂2y

∂x2= −kA sin φ(x, t) · ∂φ

∂x= −kA sin φ(x, t) · (k)

= −k2A sin φ(x, t) = −k2y(x, t).

(9-8)

Vi observerer fellesskapen mellom de to andrederiverte idet

1

ω2

∂2y

∂t2− 1

k2

∂2y

∂x2= 0. (9-9)

Dette gir oss bølgelikninga

∂2y

∂t2− v2 ∂2y

∂x2= 0, (9-10)

hvor v2 = (ω/k)2 er bølgehastigheten i kvadrat. Denne likninga – som vi skal utledefra fysikalske betraktninger for to enkle tilfeller i de to neste avsnittene – beskriveren rekke bølgefenomener i naturen.

Vi tok utgangspunkt i harmoniske forløp i rom og tid, men man ser at løsningeneogsa kan være andre:

Alle to ganger deriverbare funksjoner av form

y = f(x± vt)

oppfyller bølgelikninga.

(9-11)

I dette kurset skal vi – for a holde matematikken enkelst mulig – begrense oss tilsinus-løsninger f(x± vt) ∝ sin(kx± ωt) = sin[k(x± vt)].

9.5 Transversale bølger: Svingende streng

Skolemodellen for utledning av bølgelikninga er hva vi kaller svingende streng – eilang, fleksibel snor strukket med ei passende strekk-kraft.


Vi skal her ta for oss det utenkelige tilfellet med ei uendelig lang snor – fordi daslipper vi a bry oss med hva som foregar i endene. Deretter skal vi seinere ta for osssnorer/strenger med endelig lengde, som for eksempel strengene pa en gitar, fiolineller gummistrikk med ekstra masser som i auditoriedemonstrasjonen.

Vi skal na benytte Newtons 2. lov pa et lengdeelement i snora my = Fy:

F -F

...................................

..................................

.. ....................................................

.....................................................................................................................

................. ..................... ................................................................ .................. ................................................................................................................................... ................ ........................................................................ ...............................................

.........

........ .................

..................................-

x x + ∆x

................................................................ -x

6y Ei lang, fleksibel snor, medtverrsnittsareal A og mas-setetthet ρ, strekkes medstrekk-kraft F .

Snora trekkes litt ut fra likevektsposisjon y(x) = 0, og slippes. Vi skal vise atsnor-svingningene y(x, t) følger bølgelikninga (9-10).

................. ....................................................... ................. ....................................................... ................. ....................................................... ................. ....................................................... ................. ....................................................... ................. ....................................................... ................. ....................................................... ................. ....................................................... ...............

F

6Fy(x + dx)

?Fy(x)?

6y(x)

:F

..........

..........

...........

............

.......................................................

.

θ

?

6

y(x + ∆x)

.....................................................................

.............................................................................................................

........................

..................................................................................................................................................................................

x x + ∆x

Betrakt et lite element av sno-ra/strengen, mellom x og x+∆x,og bruk Newtons 2. lov pa y-bevegelsen av elementet.

Elementet har lengde ∆`, med (∆`)2 = (∆x)2 + (∆y)2. Vi antar at snora alltid ernesten horisontal, dvs. ∆y/∆x 1, og vi kan da sette ∆` ≈ ∆x.

Bruk av Newtons 2. lov i y-retning gir

ρA dx y = Fy(x + dx)− Fy(x) = Fy(x) +∂Fy

∂xdx− Fy(x) =

∂Fy

∂xdx, (9-12)

som girρA y =

∂Fy

∂x. (9-13)

Vi har videre at

Fy = F sin θ ' F tan θ = F∂y

∂x. (9-14)

Innsatt i foregaende likning gir dette følgende bølgelikning for svingende streng

∂2y

∂t2− F

ρA

∂2y

∂x2= 0, (9-15)

9.6. LONGITUDINALE BØLGER: LYDBØLGER 89

som er den lovede bølgelikninga.

Bølgehastigheten v kan uttrykkes pa flere ekvivalente mater:

v =

√F

ρA

=

√T

ρhvor T =

F

Aer strekkspenninga

=

√F

µhvor µ = ρA =

∆m

∆`er masse/lengdeenhet

(9-16)

Talleksempel:

Staltrad 0, 50φ (dvs. diameter 0, 50 mm).A = π · (0, 25 · 10−3)2 = 1, 96 · 10−7 m2 og ρ = 7, 9 g/cm3

⇒ ρA = 1, 55 · 10−3 kg/m.F = 1, 0 N ⇒ v = (1/

√0, 00155) m/s ≈ 25 m/s.

F = 10 N ⇒ v =√

10 · 25 m/s ≈ 80 m/s.

9.6 Longitudinale bølger: Lydbølger

Vi tar na for oss trykkbølger i væsker og gasser – og skal vise at slike bølger følgerei bølgelikning av vanlig type, med bølgehastighet v =

√B/ρ, hvor B er volum-

elastisitetsmodulen, og ρ massetettheten. Med en liten modifikasjon, B → E, hvorE er strekkmodulen, kan resultatet brukes ogsa for trykkbølger i faste stoffer.

Trykkbølger med frekvenser i omradet 50 Hz til ca. 15 kHz kan registreres av “nor-male ører”, og kalles gjerne lydbølger. Trykkbølger med høyere frekvenser kallestilsvarende ultralyd.

Vi skal egentlig ta for oss trykkbølger i “uendelig medium”. Men det er enklere a be-gynne med bølger i et rør med konstant tverrsnitt – da er bølgeutbredelsesretningaeek gitt, og problemet er hyggelig og endimensjonalt. Det er trivielt a generalisereresultatet til tre dimensjoner seinere, om man sa skulle ønske.

.............. .................................................................................................... .............. ........................................... ....................................................................... ........................................... .............. ......................................................... ........................................... .......................................................

.............

.............

.............

.............

.............

.............

...

.............

.............

.............

.............

.............

.............

........................

.....................

-

.........

.......

..........

......

..........

..........

.......

.........

.......

.........

..........

......

..........

.......

.........

.........

..

.........

.......

..........

......

..........

..........

.......

.........

.......

.........

..........

......

..........

.......

.........

.........

..

-x

x x + ∆x

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Et langt rør med tverrsnittA er fylt med væske (ellergass) med likevektstetthetρ. Et stempel (eller enhøyttalermembran) i denene enden setter væsken ibevegelse i akseretning eex.

Vi vil se pa bevegelsen til et væskeelement med likevektsposisjon mellom x og


x + ∆x, som vist pa figuren. Forskyvninga, i x-retning, ut fra likevekt betegner viξ(x, t). Vi skal ved a bruke Newtons 2. lov for væskelementet finne ei bølgelikningfor ξ(x, t).

Massen innen væskeelementet – merket av mellom 1 og 2 pa figurene nedenfor – er∆m = ρ ∆V = ρ A ∆x.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq


..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-x .................

.........

.................................................................... ∆x

- p0 p0

1 2

Væskeelement i likevekt: Dethydrostatiske trykket er liklikevektstrykket p0 pa beggesider av elementet.



..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

.............. ........................................... .............. .................................................................................................... .............. ........................................... ....................................................................... ........................................... ....................................................................... ........................................... ....................................................................... ........................................... .............. ...............

-x + ξ .................

.........

....................................................................∆x + ∆ξ

p1 p2

- F1 F2

- dx

1 2

Væskeelement forskjøvetfra likevekt:Bade posisjon og tykkelse avelementet er forandret. Rela-tive volumforandringer pa deto sider av elementet kan væreulike, og de lokale trykkenepa overflata er heller ikke likestore.

Newtons 2. lov gir at

(ρ A dx)∂2ξ

∂t2= F2 − F1 = −A(p2 − p1) = −A(p1 +

∂p

∂xdx− p1) = −A

∂p

∂xdx

(9-17)

Vi har videre at det lokale trykkene pa overflata av det utvalgte volumelementeter gitt som (se likn. (7-1))

p = −BdV

V= −B

∂ξ

∂x, (9-18)

hvor det er viktig a merke seg at dV og V gjelder for et lite tenkt volum lokalisertnær overflata av de volumelement som vi beskriver i likning (9-17). Merk at A erkonstant og dermed dV = A · dξ.

Innsatt i foregaende likning gir dette følgende bølgelikning for longitudinelle bølger

∂2ξ

∂t2− B

ρ

∂2ξ

∂x2= 0, (9-19)

hvor fasehastigheten er gitt ved uttrykket

v =

√B

ρ. (9-20)

9.7. EFFEKT OG INTENSITET 91

Merk at rørarealet falt bort. Det vi har utledet, gjelder dermed for plane bølgergenerelt, uten begrensninger pa utstrekninga loddrett pa bølgeretninga.

Talleksempel:Lydbølge i vann ved 20 C. (F.eks. lyder fra kvaler og sonar). Volumelastisitetsmod-ulen er B = 2, 18·109 Pa og tettheten ρ = 1, 0·10−3 kg/m3. Dette gir bølgehastighetv =

√B/ρ =

√2, 18 · 106 m/s = 1,48 km/s.

For ideelle gasser kan volumelastisitetsmodulen B beregnes eksakt fra kinetisk gass-teori – og det skal vi gjøre i siste del av kurset. Man finner (se side 136) for ideellgass at lydfarten er

v =

√γkBT

m. (9-21)

hvor T er gasstemperaturen i grader Kelvin, m er molekylmassen, kB = 1, 38 ·10−23

J/K er Boltzmanns konstant, og γ har verdien 5/3 for enatomige gasser og 7/5 fornitrogen og oksygen ved vanlig romtemperatur. Side 136 er lydfarten beregnet til347 m/s ved romtemperatur.

9.6.1 Lydbølger i en stav av fast stoff

Beregninga blir nesten som lydbølger i væsker. Forskjellen bestar i at tverrsnittet istaven avtar hvis staven strekkes2, mens vi i væsker og gasser regnet med et kon-stant rørtverrsnitt. Forholdet mellom trykk- eller strekk-kraft og strekk-tøyninga∂ξ/∂x er dermed ikke gitt av volumelastisitetsmodulen B, men av strekkmodulenE,

v =

√E

ρ. (9-22)

Talleksempel:For en stalstav (for eksempel en jernbaneskinne), med E ≈ 20 · 1010 Pa og ρ ≈7, 9 g/cm3, gir dette en lydhastighet v ≈ 5 km/s – dvs. mer enn 10 ganger lyd-hastigheten i luft.

9.7 Effekt og intensitet

I ei mekanisk svingning veksler energien mellom kinetisk energi (mx2/2 for enpunktmasse med bevegelse i x-retning) og potensiell energi (kx2/2 for en tilsvarendefjær-bevegelse), med i middel like mye energi i hver energiform. Det samme gjelderfor mekaniske bølger, men forskjellen er at lokaliseringa av bade den potensielle ogkinetiske energien i bølger flytter seg med bølgehastighet v.

2Jfr. kapittel 7 om spenninger, tøyninger og elastisitetsmoduler.


Med en bølge med matematisk form y(x, t) = y0 sin(kx − ωt) blir hastigheteny ∝ ωy0, og kinetisk energi dermed ∝ ω2y2

0. Denne energien transporteres medhastighet v, slik at energien som passerer en gitt posisjon x per tidsenhet – det vilsi effekten P i bølga – blir av form

P ∝ v ω2 y20. (9-23)

Vi skal vise dette i detalj, og finne proporsjonalitetsfaktoren, for en svingende strengog for ei lydbølge.

For ei lydbølge kan vi i stedet for effekten operere med intensiteten, som er ef-fekt per flateenhet, og som kan relateres til lydtrykket. Lydintensitet angis gjerne idecibel, som er en logaritmisk enhet – og vi skal til slutt i dette avsnittet defineredecibelskalaen.

9.7.1 Svingende streng

.............. .................................................................................................... .............. ......................................................... ........................................... ....................................................................... ........................................... ....................................................................... ........................................... ..

..........

....

.........

..........

..........

.........

.....

..........

....

..........

.........

..........

..........

....

.........

.....

6

?ω -

x

6y

-v............................................

.................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

rrrrrrrrrrrrrrrrr∆m

6?y(x, t)

En “halvuendelig” sving-ende streng er eksitert avei “ristemaskin” i enden avstrengen, som indikert pafiguren.

Vi betrakter et element av strengen, med (horisontal) lengde ∆x, masse ∆m ogvertikal posisjon og hastighet

y(x, t) = y0 sin(kx− ωt) (9-24)

y(x, t) = −ω y0 cos(kx− ωt). (9-25)

Den totale energien ∆E til elementet – summen av kinetisk og potensiell energi –er uavhengig av tida, og kan dermed settes lik den kinetiske energien elementet harnar den potensielle energien er lik null,

∆E =

(1

2∆m y 2

)

max

=1

2∆m ω2y2

0 ≡1

2µ ∆x ω2y2

0, (9-26)

hvor µ = ∆m/∆x er masse per lengdeenhet for strengen. Energien flytter seg mothøyre med bølgehastigheten v, og effekten ma da kunne skrives som

P =∆E

∆t

∣∣∣∣∆x∆t

=v

=1

2µ v ω2y2

0, (9-27)

– og den søkte proporsjonalitetsfaktoren ble 12·(masse/lengdeenhet).

9.7. EFFEKT OG INTENSITET 93

9.7.2 Lydbølge i væske eller gass

.........................................

.............

.............

.............

.............

.............

.............

...

.............

.............

.............

.............

.............

.............

........................

.....................

-ω

..........

......

..........

.......

.........

.........

.......

..........

......

..........

.........

.......

.........

.......

..........

..........

.

..........

......

..........

.......

.........

.........

.......

..........

......

..........

.........

.......

.........

.......

..........

..........

.

- x + ξ @@∆x + ∆ξ

-v

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Et vibrerende stempel eksiterer etfluid med massetetthet ρ i et halv-uendelig rør med tverrsnitt A.Eksitasjons-vinkelfrekvensen erω, utslagsamplituden er ξ0 oghastighetsamplituden ωξ0.

Totalenergien ∆E i et element (∆m, ∆x) er lik den kinetiske energien ved maksi-mal hastighet,

∆E =1

2∆m (ωξ0)

2 =1

2(ρ A ∆x)(ωξ0)

2. (9-28)

Effekten P og intensiteten I (W/m2) blir med dette

P =∆E

∆t

∣∣∣∣∆x∆t

=v

=1

2ρ A v (ωξ0)

2

I =P

A=

1

2ρ v ω2ξ2

0 .

(9-29)

9.7.3 Lydtrykk og intensitet

Til “utslagsbølga” ξ(x, t) = ξ0 sin(kx−ωt) for lydbølger er det assosiert ei trykkbølge∆p(x, t) faseforskjøvet π/2 i forhold til utslagsbølga;

∆p = −B∆V

V= −B

∂ξ

∂x= kB ξ0 cos(kx− ωt). (9-30)

Trykkamplituden (∆p)max betegnes gjerne lydtrykk, og kan skrives som

plyd = (∆p)max = kB ξ0v2=B/ρ

= kv2ρ ξ0. (9-31)

Bruker vi dette til a uttrykke intensiteten I som funksjon av plyd i stedet for av ξ0,far vi

I =ρ

2

vω2

k2v4ρ2p2

lyd, (9-32)

som med ω/k = v =√

B/ρ kan skrives om til

I =1

2

p2lyd

ρv=

1

2

p2lyd√ρB

. (9-33)


9.7.4 Decibelskalaen

Den vanligste maleenhet for lydstyrke er dB (decibel), som er en log10-skala mednullpunkt valgt ved den sakalte “høregrensa”. Høregrensa er den svakeste lyd et“normalt øre” kan høre, ved en frekvens pa 1000 Hz.3

Den tilsvarende lydintensiteten er – eller er definert a være –

Imin = 10−12 W/m2. (9-34)

I luft ved atmosfæretrykk og 300 K – dvs. med ρ = 1, 2 kg/m3 og v = 343 m/s –tilsvarer dette lydtrykk og utslagsamplitude pa

pminlyd =

√2ρ v Imin = 2, 87 · 10−5 Pa ∼ 2, 8 · 10−10 atm (9-35)

ξmin0 =

pminlyd

k v2ρ=

pminlyd

ωvρ= 1, 1 · 10−11 m. (9-36)

Øret er et ganske fabelaktig følsomt instrument: Minste hørbare utslagsamplitude(ved 1000 Hz) er godt under en molekyldiameter i størrelse!

Smertegrensa er den sterkeste lyd et “vanlig menneske” kan tolerere. Den tilsvarer– igjen ved 1000 Hz – lydtrykk og utslagsamplitude pa henholdsvis

pmaxlyd ∼ 30 Pa ∼ 3 · 10−4 atm og ξmax

0 ∼ 10−5 m = 0, 01 mm (9-37)

En faktor 10 i intensitet ble opprinnelig gitt betegnelsen “en bel” (etter JohnGraham Bell - han med telefonen) – men dette ble funnet a være en uhensiktsmessigstor enhet, sa den ble delt inn i 10 deler, kalt decibel (dB).

Lydnivaet angis dermed som

β = 10 log10

I

Imin(dB) Lydniva, der Imin = 10−12 W/m2. (9-38)

En intensitetsforskjell pa 10 dB tilsvarer et forhold mellom intensitetene pa enfaktor 1010/10 = 10. En faktor 10 i amplitude gir en faktor 100 i intensitet, ogtilsvarer 20 dB.

Noen typiske lydnivaer er listet opp til høyre.For veibyggere og politikere kan det værenyttig a vite hvor pa skalaen lovlig grensefor trafikkstøy ligger – den er vanligvis rundt65± 10 dB – “avhengig av forholdene”.

Lydkilde dBHøregrense 0Raslende løv 10Hvisking 30Mygg-zzz 40Vanlig samtale 50Motorgressklipper 100Rockekonsert 110Smertegrensa 120

3Et normalt øre er mest følsomt ved f ∼ 1000 Hz. Vi skal ikke her ga inn pa hvordan lyd-skalaenberegnes ved andre frekvenser.

9.8. DOPPLEREFFEKTEN 95

9.8 Dopplereffekten

S M.............................................

............

.................................

.............................................

............

.............

....................

.............................................

............

.............

....................

.............................................

............

.............

....................

.............................................

............

.............

....................

-vS

-vB

-vM

En bølge sendes ut av en sender S, ogmottas av en mottaker M .S og M beveger seg med hastighetervS og vM i forhold til mediet bølga for-planter seg i, og bølgehastigheten i me-diet er vB.

Hvis senderen sender ut en bølge med frekvens fS = ωS/2π, vil mottakeren regi-strere en signalfrekvens fM = ωM/2π 6= fS – hvis vS 6= vB. Dette kalles Doppler-effekt.

Vi skal vise at sammenhengen mellom fS og fM er gitt ved

fS

fM

=1− vS/vB

1− vM/vB

Dopplers formel. (9-39)

Effekten har navn etter J.C. Doppler4, som i 1843 fant at bølgelengda til lyset fradobbeltstjerner varierte periodisk – og tilskrev variasjonen den periodiske variasjo-nen i vS som stammet fra rotasjonen av stjernene om hverandre. Han hadde littflaks – formelen over er ikke korrekt for lys, som Albert Einstein fant ut 62 arseinere. Men for vS/vB 1 blir det nesten riktig likevel.

Dopplereffekten er lett observerbar i dagliglivet: Hvis man befinner seg ved sidenav en veien, og der nærmer en utrykningsbil med ulende sirener, er tonen høy (høyfrekvens) nar bilen nærmer seg, og dypere (lavere frekvens) nar den har passert.

9.8.1 Dopplers formel

Vi starter med ei bølge – f.eks. ei lydbølge med utslag ξ(t) og hastighet vB = ω/ki positiv x-retning – av form

ξ(x, t) = ξ0 sin(kx− ωt). (9-40)

En observatør A som beveger seg med konstant hastighet vA langs bølga, vil ha enposisjon

xA(t) = xA(0) + vAt, (9-41)

4Johann Christian Doppler 1803-53, f. Salzburg, prof. i eksperimentalfysikk i Praha, Chemnitzog tilslutt i Wien.


og vil se et utslag

ξA(t) = ξ(xA(t), t)

= ξ0 sin[kxA(0) + kvAt− ωt]

= ξ0 sin[kxA(0)− ω(1− kvA/ω)t]ω/k=vB

= ξ0 sin[kxA(0)− ω(1− vA/vB)t], (9-42)

dvs. et utslag som varierer med vinkelfrekvens

ωA = ω(1− vA/vB). (9-43)

La det sa være to observatører – en som sender ut bølga (A→ S) og en som mottarbølga (A→M). Frekvensene disse to observerer, blir

ωS = ω

(1− vS

vB

)(9-44)

ωM = ω

(1− vM

vB

). (9-45)

og divisjon av disse to uttrykkene med hverandre gir

ωS

ωM

=fS

fM

=1− vS/vB

1− vM/vB

. (9-46)

som var hva vi skulle vise.

9.8.2 Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger

For elektromagnetiske bølger, herunder lys, blir det ovenforstaende galt.

Vi har antatt at bølga beveger seg i forhold til et ‘medium’, med hastighet vB iforhold til mediet – og implisitt at hastigheten i forhold til en observatør med enannen hastighet vA blir

vrel = vB − vA. (9-47)

Denne hastighetstransformasjonen, og tilhørende koordinattransformasjon for x(t),stammer fra Galilei, og kalles Galileitransformasjon.5

Na er ideen om et medium – “eteren” – for elektromagnetiske bølger forkastet -og i stedet for Galileitransformasjon bruker man en Lorentztransformasjon, som

5Det denne transformasjonen sier, er at hvis man befinner seg inne i en buss som kjørerframover med hastighet 60 km/time i retning Oslo og du gar framover langs midtgangen medhastighet 5 km/time, er din totale hastighet i retning Oslo 60 km/time + 5 km/time = 65km/time.

9.9. STAENDE BØLGER 97

transformerer bade sted og tid. Dette var en grunnide bak Einsteins spesielle rela-tivitetsteori – som vi ikke skal ga inn pa i dette kurset.

Resultatet nar det gjelder Dopplereffekten, er en sammenheng

fS

fM=

√1− v/c

1 + v/cElektromagnetisk bølge i vakuum, (9-48)

hvor v = vS− vM er relativ hastighet mellom sender og mottaker, og c er lyshastig-heten i vakuum. Denne formelen brukes – for eksempel – til a finne hastighetentil fjerne galakser ut fra rødforskyvningen av spektrallinjer, og dermed hvor fortuniverset utvider seg.

For sma verdier av v/c kan uttrykket utvikles i Taylorrekke til første orden i v/c,og gir da

fS

fM

vc→ 1− v

c. (9-49)

Tilsvarende far man det klassiske uttrykket, nar (vS, vM) vB,

fS

fM→ 1− vS − vM

vB, (9-50)

som med vB → c blir det samme. Hvilket som nevnt, var heldig for Doppler.

9.9 Staende bølger

Vi begynte dette kapitlet om mekaniske bølger med a ta utgangspunkt i formen tilen staende bølge eller standbølge, og viste at denne formen kunne oppfattes somsummen av en venstre- og høyregaende vandrebølge,

y(t) = y0 sin[k(x− x0)] cos[ω(t− t0)]

=1

2y0 sin[k(x− x0) + ω(t− t0)]

+1

2y0 sin[k(x− x0)− ω(t− t0)]. (9-51)

Vi har her generalisert lett fra hva vi gjorde tidligere, ved a ta med faseforskyv-ninger kx0 og ωt0.

Musikkinstrumenter kan i hovedsak sees som instrumenter for generering av stand-bølger med utvalgte frekvenser. Vi skal her svært kort ta for oss standbølger pasvingende streng – grunnlag for forstaelse av strengeinstrumenter – og longitudinalestandbølger i rør lukket i den ene eller begge ender – grunnlag for forstaelse avblaseinstrumenter.


9.9.1 Staende bølger pa svingende streng

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-L

.........

........ -x

En uniform streng med lengde L, tverrsnittA og massetetthet ρ er strukket med strekk-kraft F og fastspent i endene x = 0 og x = L.Vi antar en harmonisk formy(x, t) = y0 sin k(x− x0) cos ω(t− t0)pa utslaget – som indikert pa figuren.

La oss følge Kumbel6 – gjøre det hele litt matematisk, og bestemme bølgetall k ogx-nullpunkt x0 fra grensebetingelsene, dvs. fra

y(0, t) = y(L, t) = 0 for alle t. (9-52)

Vi har da

sin(−kx0) = 0 ⇒ kx0 = 0 , ogsin k(L− x0) = 0 ⇒ k(L− x0) = n · π , n = 0, 1, 2, 3, . . .

(9-53)

⇒ k L = n π (9-54)

Setter vi her inn k = 2π/λ, hvor λ er bølgelengden, tilsvarer dette

L = et helt antall halve bølgelengder = n · λ/2, (9-55)

som vi jo kan se direkte uten noen matematikk i det hele tatt.

Bølgehastighet v, bølgelengde λ og frekvens f henger sammen ved v = f · λ, ogfrekvensen til den n’te harmoniske kan dermed skrives

fn = n · v

2L, hvor n = 1, 2, 3 . . . Frekvenser for svingende streng (9-56)

Det totale svingebildet til en streng vil være en blanding av harmoniske – en grunn-frekvens f1 og overtoner fn>1.

9.9.2 Longitudinale standbølger

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................

...............................................

...............................................................................................................................................................j

.........

.........................-

L

JJ

Figuren viser skjematisk etblaseinstrument med lukketende.

Blasing inn til venstre setter opp longitudinale lydbølger, med utslagsamplitude

6‘Den som gjør det lette svært, viser best hva han har lært’ - fra Kumbels (Piet Hein) Gruk.

9.9. STAENDE BØLGER 99

ξ(x, t) = 0 ved den lukkede enden, og med maksimum nær blaseinngangen, somindikert pa figuren for de to laveste modene.

Trykkvariasjonene er π/2 faseforskjøvet i forhold til utslagsvariasjonene, og trykk-amplituden plyd har maksimum der utslagsamplituden har minimum, og vice versa7.

Ved betraktning av figuren og bruk av vanlig sunn fornuft ser man uten videre atbetingelsen for staende bølge er at

L = λ/4 + n · λ/2 (n = 1, 2, 3 . . . ), (9-57)

og vi far

laveste svingemode: L = λ/4 f = v/4L 1. harmoniskenest laveste: L = 3λ/4 f = 3v/4L 3. harmoniskegenerelt, bare odde harmoniske:

fn =v

4L· (2n− 1) , hvor n = 1, 2, 3 . . . Frekvenser for rør med en lukket ende

(9-58)Grensebetingelsen at utslagsamplituden er lik null i den lukkete enden, kan sessom en beskrivelse av hva som skjer nar en høyregaende vandrebølge nar enden:Den blir reflektert med uforandret tallverdi pa utslaget, men reversert retning,ξ(+)(L, t) → ξ(−)(L, t) = −ξ(+)(L, t). Dette er ogsa typen beskrivelse vi ma brukehvis vi vil se i detalj hvordan den staende bølga bygger seg opp - men det skal viikke ga inn pa her.

9.9.3 Blaseinstrument med apen ende

Et slikt instrument adskiller seg fra det med lukket ende ved grensebetingelsen ihøyre ende: Na er det trykkamplituden som blir null i eller nær ved enden - mensutslagsamplituden da far maksimum.

Dermed blir betingelsen for staende bølge tilsvarende som for svingende streng,L = n · λ/2, og

f = n · v

2L, hvor n = 1, 2, 3 . . . Frekvenser for rør med to apne ender

(9-59)

og spektret av overharmoniske – klangfargen – blir helt annerledes enn for et in-strument med lukket ende – fordi ogsa like harmoniske er med.

7Latin: I omvendt rekkefølge


9.10 Interferens og svevning

Vi skal tilslutt i dette kapittelet se pa et lite utvalg av fenomener knyttet til blandingav to vandrebølger – først blanding av to bølger med samme frekvens men ulikekildeposisjoner (interferens), og sa blanding av to bølger som har litt forskjelligefrekvenser (svevning).

9.10.1 Interferens mellom vandrebølger med samme fre-kvens

Interferens mellom bølger opprinnelig fra samme kilde, men med ulike signalveier,er noe vel alle har opplevd.

Ett eksempel er interferens mellom direkte og reflekterte radiobølger – ogsa omfat-tende fjernsynsfrekvenser – hvor interferensene gir stygge forløp i høyttalere og/ellerpa skjerm.

Et annet eksempel er dødpunkter i konsertsaler – eller, gjentagne ganger undersøktav hovedoppgavestudenter fra Gløshaugen innen akustikk – i Storsalen i Samfundet.

Vi skal her se litt pa enkle tilfelle av interferens mellom lydbølger.

∼

@@

?

@@6 h.................. .......................................................................................... .................. .................. ........................................................................ .................. .................. ........................................................................ .................. ..................

...................................................

..............................................

...............................................

...................................................

..............................................

...............................................

...................................................

.....................................

.............................................

..........

.........

..........

..........

......

.............................................

.........

..........

..........

..........

......

.............................................

..........

..........

..........

..........

.....

.............................................

..........

..........

.........

..........

......

.............................................

..........

.........

..........

..........

......

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

B

A

C

To høyttalere A og Bsender ut harmoniskesignal med sammefrekvens og fase. Sig-nalene registreres aven mottaker (øre ellermikrofon) i C.

Vi betrakter for enkelhets skyld høyttalerne som punktkilder, med posisjoner→rA

og→rB, og mottakeren som en punkt-mottaker i posisjon

→r .

Høyttalerene sender ut signaler som faller av omvendt proporsjonalt med avstan-den8. Ved mottakeren kan de to signalene dermed skrives som

A 1

|→r−

→rA|

sin[→kA ·(

→r − →

rA)− ωt]

B 1

|→r−

→rB|

sin[→kB ·(

→r − →

rB)− ωt]

|→kA | = |

→kB | = k (9-60)

og totalt mottatt signal finnes ved a addere dem.

8Effekten i signalet er konstant - og er lik intensitet·flate. ‘Flaten’ er en del av en kuleflate,og øker proporsjonalt med avstanden i kvadrat – følgelig vil intensiteten falle av som 1/r2. Og –siden intensiteteten er proporsjonal med amplituden i kvadrat, ma amplituden falle av som 1/r.

9.10. INTERFERENS OG SVEVNING 101

Faseforskjellen mellom de to signalene er

φAB = φA(→r , t)− φB(

→r , t) = [

→kA ·(

→r − →

rA)− ωt]− [→kB ·(

→r − →

rB)− ωt]

=→kA ·(

→r − →

rA)−→kB ·(

→r − →

rB). (9-61)

Hvis faseforskjellen er lik null, eller et helt antall ganger 2π, svinger de to signalenei takt ved mottakeren, og forsterker hverandre. Hvis den skulle være lik π, eller πpluss et helt antall ganger 2π, vil de derimot svinge i mottak, og svekke hverandremaksimalt

φAB = n · 2π : Konstruktiv interferens ; dvs. signaler i taktφAB = (n + 1

2) · 2π : Destruktiv interferens ; dvs. signaler i mottakt.

Destruktiv interferens er grunnprinsippet i det som kalles aktiv støydemping og somi enkleste versjon bestar i at f.eks. en maskinoperatør har pa seg øreklokker medinnebygd høyttaler. Disse høyttalerene sender i sanntid ut en lyd som er en “kopi”av støyen utenfor øreklokkene bortsett fra at lydtrykket er invertert, dvs. er 180grader ut av fase. Dette gir destruktiv interferens og ved a justere amplituden pasignalet fra høyttalerene inne i øreklokkene, gir dette en sterk reduksjon av denstøyen som personen hører. Teknikken er ogsa brukt til a lage et punkt inne iradiostudio hvor f.eks. gatestøy og liknende ikke høres. I dette punktet plasseres samikrofonene som brukes av radiostudioet i samband med studioets egne sendinger.

9.10.2 Lydbilde fra to høyttalere

Det er ofte enklere a visualisere betingelsene pa fasene ved a gjøre dem om tilbetingelser pa gangforskjellene rAC = | →r − →

rA | og rBC = | →r − →rB |:

Konstruktiv interferens: rAC − rBC = like antall halve bølgelengderDestruktiv interferens: rAC − rBC = odde antall halve bølgelengder :

s

s

s..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................

..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... ..................... ................................................... .....................

6

?

.........

........ -x

B

A

`

C

To høyttalere A og B medinnbyrdes avstand ` = 2 msender ut identiske signaler(samme amplitude og fase)med frekvens f = 1 kHz. Sig-nalene oppfanges av en mikro-fon C plassert i posisjon x somvist pa figuren.

Anta sa at høyttalerposisjonen x varieres. Ved hvilke posisjoner vil mottatt signalha minima?

Vi benytter betingelsen for destruktiv interferens, pa form Gangforskjellen skalvære et odde antall halve bølgelengder – dvs.

rAC − rBC =√

x2 + `2 − x = (n + 1/2)λ (n = 1, 2, 3 . . . ) (9-62)


Flytter vi ‘−x’ over pa høyre side og kvadrerer, far vi

x2 + `2 = x2 + 2x · (n + 1/2)λ + [(n + 1/2)λ]2. (9-63)

Leddet x2 kan strykes pa begge sider, og etter opprydding star vi igjen med

x =`

2

[`

(n + 1/2)λ− (n + 1/2)λ

`

]. (9-64)

Vi antar lydhastighet v ≈ 340 m/s (luft ved romtemperatur), som gir λ = v/f =0.34 m – og finner at det blir 6 lydminima:

n 0 1 2 3 4 5 Posisjoner forx/m 11,7 3,7 1,9 1,1 0,54 0,13 destruktiv interferens

9.10.3 Svevning mellom bølger med nærliggende frekvenser

I The Concise Oxford Dictionary - ei bok hvor man finner gode forklaringer pa defleste ord - er svevning (engelsk “beat”) beskrevet som pulsation due to combinationof two sounds or electric currents of (slightly) different frequencies.

Vi hører svevning ute i naturen om varen: Fugletriller som stiger og faller i intensitet– og mer prosaisk utnyttes det ved modulasjon og deteksjon av radiosignaler.

Anta at en observatør i posisjon→r lytter til en kombinasjon av to signaler med

nærliggende vinkelfrekvenser ωA og ωB,

S(→r , t) = A sinωAt + φA(

→r)+ B sinωBt + φB(

→r) (9-65)

Sa lenge observatøren ikke flytter seg, er fasene φA og φB konstanter, og vi kanuten a miste noe vesentlig anta begge lik null. For a holde det hele enkelt, antar viogsa at amplitudene er like, A = B – dvs. vi tar for oss et forenklet signal av form

S(t) = A[sin ωAt + sin ωBt]. (9-66)

I stedet for vinkelfrekvensene ωA og ωB innfører vi middelfrekvens ω0 og differanse-frekvens ωd, med sammenhengene:

ω0 = 12(ωA + ωB)

ωd = ωA − ωB

∣∣∣∣ ⇔∣∣∣∣

ωA = ω0 + ωd

2

ωB = ω0 − ωd

2

. (9-67)

Setter vi inn dette, og bruker

sin(ω0 ±

ωd

2

)t = sin ω0t cos

ωd

2t ± cos ω0t sin

ωd

2t, (9-68)

far vi9

S = 2A cosωd

2t sin ω0t (9-69)

9Dette er – pa et vis – den inverse prosedyren av den vi brukte først i dette kapitlet for a kommefra et produkt av sinus og cosinus til en sum av sinus’er – dvs. for a uttrykke en standbølge somen sum av vandrebølger

9.10. INTERFERENS OG SVEVNING 103

6

-

S

t

Signalet S sees somet signal med grunn-frekvens ω0, og am-plitudemodulert medfrekvens ωd/2.

Svevningsperioden – dvs. tida mellom intensitetsmaksima – blir halvparten av mod-ulasjonsperioden, dvs. 2π/ωd.

I radioteknikk eller ved ultralydkommunikasjon mellom dykkere under vann faessignaler av denne typen ved a multiplisere et audiosignal med frekvens ωd/2 idet hørbare omradet og en bærebølge med frekvens ω0 fra noen hundre kiloherzog oppover før sending – sakalt AM-modulasjon. Audiosignalet gjenvinnes ettermottaking ved a sende det hele gjennom en detektor som er for langsom til a følgemed de hurtige svingningene. Pianostemmere bruker ogsa svevningsfenomenet. Narman trykker pa en pianotangent slar hammeren samtidig pa to eller tre strengermed samme tonehøyde – unntatt for de dypeste basstoner. Hvis strengene ikke erstemt helt likt oppnas svevning.

Signalene som er vist her, er fullmodulert. Hvis amplitudene A og B ikke er like,far vi delvis modulerte signaler, hvor amplituden varierer mellom et maksimum oget minimum, uten a passere gjennom null.



• Bølger er mer eller mindre periodiske fenomener som varierer bade i tid ogrom – ikke bare i tid som svingningene beskrevet i foregaende kapittel.

• Ei vandrebølge kan generelt beskrives ved uttrykket y = f(kx − ωt), hvor fer en vilkarlig valgt, to ganger deriverbar funksjon. Fasen til bølga er definertsom φ = kx − ωt. Ei harmonisk vandrebølge beskrives ved uttrykket y =A sin(kx− ωt), hvor A er amplituden.

• Ei harmonisk standbølge har følgende utsving y = y0 sin(kx) cos(ωt), dvs. atutslaget i ethvert punkt er en harmonisk funksjon av tida med tidsuavhengigamplitude som er en funksjon av posisjonen x. De fleste musikkinstrumenter(bade strenge- og blaseinstrumenter) benytter seg av dette fenomenet.

• Den generelle bølgelikninga er gitt som∂2y

∂t2−v2 ∂2y

∂x2= 0, hvor v er bølgehastig-

heten.

• Transverselle bølger er bølger hvor utsvinget er normalt pa forplantningsret-ninga til bølga. Eks.: Svingende streng.

• Longitudinelle bølger er bølger hvor utsvinget er langs forplantningsretningatil bølga. Eks.: Lydbølger (trykkbølger).

• Effekten til ei bølge er energi som per tidsenhet passerer gjennom ei flatenormalt pa bølgas forplantningsretning. Intensiteten til ei bølge er effekt perflateenhet.

• Decibel er en maleenhet for maling av lydintensiteten (lydnivaet). For ei lyd-kilde som gir lyd med intensitet I er lydnivaet i desibel, β gitt ved uttrykketβ = 10 log(I/Imin), hvor Imin = 10−12 W/m2 svarer til høregrensa for “nor-maløret”. Høregrensa er altsa 0 dB.

• Dopplereffekten: Hvis f.eks. ei lydkilde beveger seg mot observatøren far detsom følge at observatøren registrerer at lydfrekvensen gar ned, og motsatthvis lydkilda beveger seg bort fra observatøren. Tilsvarende vil fargen til eistjerne avhenge av om stjerna beveger som mot oss eller fra oss.

• Registrerer man lyden fra to lydkilder som sender ut lyd med samme frekvens,vil intensiteten til den registrerte lyden endres om den ene av lydkildeneflyttes til et annet sted. Blir lyden sterkere har man konstruktiv interferens,og blir lyden svakere har man destruktiv interferens.

• Registrerer man lyden fra to lydkilder som sender ut lyd med nesten sammefrekvens, vil man i tillegg til de to tonene høre en tone med frekvens likdifferensen mellom de to tonene. Dette kalles svevning.

Del III

Termisk fysikk

105

Kapittel 10

Temperatur og varme

Innhold10.1 Temperatur og termisk utvidelse . . . . . . . . . . . . . 108

10.1.1 Temperaturskalaer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10.1.2 Termisk lengdeutvidelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.1.3 Termisk utvidelse av vann . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.2 Varme og varmekapasitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10.2.1 Varmekapasitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.2.2 Varmetoning – latent varme . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.3 Varmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.3.1 Varmeledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.3.2 Tilfrysing av en innsjø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.3.3 Varmestraling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Vi skal i dette kapittelet ta for oss noen grunnleggende begreper i varmelæra somtemperatur, termisk utvidelse, varme, varmekapasitet og varmetransport.

Alle har et visst begrep om hva forskjellen er, nar noe er kaldt eller varmt. De flestekan ogsa lese av et termometer og dermed finne temperaturen. Og man trengeringen dypere innsikt i hva varme og temperatur “egentlig” er, for a kunne tolkeslike avlesningene for praktisk bruk.

Historisk sett kom temperaturmalinger, nøyaktige termometre og temperaturskalaerlenge før man forstod hva varme kunne være for noe. Galilei gjorde de førstekjente temperaturmalinger i 1590-arene, med et grovt gasstermometer, og Fahren-heit,1 Celsius2 og Reaumur3 innførte nøyaktige væsketermometre og fikspunkt-baserte temperaturskalaer vel 100 ar seinere. Det at varme er uordnet, meka-

1Gabriel Fahrenheit 1686-1736, tysk/nederlandsk glassinstrumentmaker.2Anders Celsius 1701-1744, professor i astronomi i Uppsala.3Ferchault de Reaumur 1683-1757, fransk naturforsker.

107

108 KAPITTEL 10. TEMPERATUR OG VARME

nisk bevegelsesenergi pa atomær-molekylær lengdeskala ble allment akseptert førstetter Joules bestemmelse av varmens mekaniske ekvivalent pa slutten av 1840-arene. Kalorimetri – presisjonsmaling av varmemengder – var likevel utviklet tilen nøyaktig vitenskap nær 100 ar tidligere. Banebrytende teoretiske arbeider innentermodynamikk var gjort i perioden 1800-1830 – alt mens man trodde varme varforbundet med mer eller mindre magiske væsker eller partikler som flogiston ellerkalorier.4

10.1 Temperatur og termisk utvidelse

Et legemes temperatur T er et kvantitativt mal for hvor “varmt” et legeme er.Temperaturen er en tilstandsstørrelse for legemet.

T2

T1

T3T

T

T⇒..........

.......................................................................

....................

.........................

.....................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................

.....................................................................................................................................

..........

.......................................................................

.......................

................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................

...................................................................................................................

Karakteristisk for tempera-turen er at nar legemer medi utgangspunktet ulike tempe-raturer (T1, T2, T3, . . . ) bringesi termisk kontakt med hveran-dre – isolert fra omverdenen –vil de ved termisk likevekt alleha fatt samme temperatur T .

10.1.1 Temperaturskalaer

Praktiske temperaturskalaer har i utgangspunktet vært en-til-en koplet med væskerstermiske utvidelse. Fahrenheit og Celsius brukte kvikksølv, mens Reaumur brukteen vann-alkohol blanding.

......................................................................................................................................................

...........................

........................................................

.......................................................................................................................

..

............................... h(T )

V

.......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ........................

.......................... ......................... ...................................................

.......................... ......................... ...................................................

.......................... ......................... ...................................................

.......................... .......................... ......................... .............................................................................

T

Prinsippet er kjent av alle: Et volum av væska in-nesluttes i ei kule eller lignende som er avsluttetmed et tynt stigerør. Varmes volumet opp, stigervæska i stigerøret, og høyden h viser – kvantitativtog repeterbart – hvor varmt det er.

4Forestillinga om “brennstoff” - flogiston - ble avlivet av Lavoisier, som prompte erstattet den(i 1787) med hypotesen om kalori som et ekstra grunnstoff.

10.1. TEMPERATUR OG TERMISK UTVIDELSE 109

For a fastsette temperaturskalaen, brukte man to fikspunkter.5 Reaumur og Cel-sius brukte fryse- og kokepunkt for vann (ved atmosfæretrykk), som de satte til avære henholdsvis 0 R og 100 C for frysepunktet og 80 R og 0 C for kokepunktet.6

Fahrenheit brukte det kaldeste han visste om, ei is-vann-salmiakk-koksalt kulde-blanding (−17, 78 C) og temperaturen i armhulen (pa seg selv) – og satte dissetil henholdsvis 0 og 96 F. Og sa delte man inn skalaen i like lange biter mellomfikspunktene, eventuelt i biter tilsvarende like store relative volumforandringer.

La oss anta den siste inndelingsmetoden. Temperaturskalaen mellom fikspunkteneer da definert ved

∆T ∝ ∆V/V eller ∆V/V = β∆T, (10-1)

hvor β er volumutvidelseskoeffisienten for væska.7

Varmeutvidelseskoeffisienten β vil generelt være materialavhengig og variere medtemperaturen β = β(T ) – og ogsa med trykket p. En materialuavhengig temper-aturskala kan man fa ved a bruke en ideell gass som termometervæske. Gassenfølger Boyles8 lov:

pV = konstant ved konstant temperatur. (10-2)

Temperaturskalaen finnes ved a sette konstanten proporsjonal med temperaturen– som illustrert nedenfor.

-

6

............

.....

T0

............

.....

T1

............

.....

T2

u u

T

pV

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

............................................... Fikspunkter: T1 og T2.

Og sa definerer man T fra

pV = k1 · T + k2 = k1 · (T − T0)

Pa en Celsiusskala, med T1 = 0 C og T2 = 100 C, finner man ved ekstrapolasjonT0 = −273, 15 C. Og – hvis man her velger konstanten T0 = 0, har man en absolutttemperaturskala, som først foreslatt av den franske fysikeren Guillaume Amontons(1663-1705).9 Denne temperaturskalaen kalles Kelvinskalaen etter Lord Kelvin10,slik at 0 C og 100 C tilsvarer henholdsvis 273,15 K og 373,15 K, vanligvis avrundettil 273 K og 373 K.

5Referansefenomer med temperatur som lett lar seg reprodusere.6Dette er ikke skrivefeil. Celsiusskalaen ble snudd til (0, 100) C etter at Celsius var død (42 ar

gammel), av hans elev og etterfølger professor Marten Stromer – eller kanskje egentlig av deresinstrumentmaker Daniel Ekstrom.

7Pa var Celsiusskala er, ved 20 C, βC2H5OH = 1, 1 · 10−3 K−1, βHg = 0.18 · 10−3 K−1,βvann = 0, 21 · 10−3 K−1 βluft = 3, 4 · 10−3 K−1

8Robert Boyle 1627-1691, meget velstaende irsk naturforsker, som publiserte loven i 1660. Deter trolig at loven egentlig ble funnet av hans assistent – som i alle fall bygget apparaturen –Robert Hooke.

9Amontons eksperimentelle data gir et absolutt nullpunkt pa mellom −240 og −250 C.10William Thomson 1834-1907, adlet til Lord Kelvin av dronning Victoria.


I moderne drakt definerer vi pa linje med dette absolutt temperatur ut fra loven forideell gass:

pV = nRT, (10-3)

hvor n er antall mol,11 og R = 8, 314 J/(mol · K) er gasskonstanten.

Pa denne skalaen er origo gitt, og det trenges derfor bare ett fikspunkt for entydiga bestemme skalaen. Og dette fikspunktet er trippelpunktet for vann (den enestetrykk-temperatur kombinasjonen p, T hvor væske, damp og fast stoff (is) samek-sisterer i likevekt), med temperatur T = 273, 16 K = 0, 0098 C og p = 611 Pa.

Vi skal seinere se at den uordnede, mekaniske begelsesenergien til en gass er pro-porsjonal med T . Dette forklarer hvorfor T i prinsippet kan være lik null, men aldrinegativ. Vi skal ogsa pa slutten av kurset raffinere bildet av absolutt temperaturnoe. Var naværende vitenskapelige temperaturskala er i prinsipp uavhengig ogsaav gassloven.

10.1.2 Termisk lengdeutvidelse

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

......................

......................

-`(T ) Betrakt en homogen stav med lengde `, tem-peratur T og friksjonsfri “fri” opplagring.

Nar T → T + ∆T , vil ` → ` + ∆`, og hvis ∆T er liten nok blir ∆` proporsjonalmed bade ` og ∆T . Proporsjonalitetskoeffisienten er den lineære varmeutvidelses-koeffisienten

α =1

`

d`

dTLineær varmeutvidelseskoeffisient. (10-4)

Volumutvidelseskoeffisienten er likedan definert

β =1

V

dV

dTVolumutvidelseskoeffisient. (10-5)

Man ser lett at volumutvidelseskoeffisienten er tre ganger den lineære koeffisienten.La volumet være V = x · y · z slik at ∂V

∂x= yz osv. Da utvidelsen er lik i alle

11Antallet mol er antall atomer eller molekyler dividert med Avogadros tall, NA = 6, 02 ·1023 mol−1.

10.1. TEMPERATUR OG TERMISK UTVIDELSE 111

retninger far man

β =1

V

dV

dT

=1

V

(∂V

∂x

dx

dT+

∂V

∂y

dy

dT+

∂V

∂z

dz

dT

)

=1

x

dx

dT+

1

y

dy

dT+

1

z

dz

dT= α + α + α = 3α (10-6)

α/K−1

Al 24 · 10−6

Cu 20 · 10−6

Fe 10 · 10−6

Invar 0, 9 · 10−6

Varmeutvidelseskoeffisienten α for noen vanligemetaller er gitt til venstre. Invar er en Fe-Ni lege-ring, som blant annet brukes i LPG-skip (Fartøysom frakter nedkjølt, flytende naturgass).

Talleksempel:

................................................................................................

.................................................................. ............... ............... ............... ............... ............... ...............

...............................

................................................................................................. ............... ............... ............... ............... ...............

100 m± 2,5 cm←→ Stalbru, lengde ` = 100 m

∆T sommervinter ∼ 50 K

⇒ ∆` ∼ 5 cmsom pa figuren tas opp av et vippelager.

10.1.3 Termisk utvidelse av vann

Ferskvann (H2O) har en ganske unik oppførsel – ikke bare er fast fase (is) lettereenn væskefase (vann), og flyter oppa væska, men vann har ogsa negativ termiskutvidelseskoeffisient ved temperaturer rett over frysepunktet.

-

6

..................................

..................................

.................

.................

.................

.................

.................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Vrel

T/C1, 0000

1, 0002

0 2 4 6 8 10

Figuren viser relativt volum –skalaen er ikke av betydning.Vannet har størst tetthet vedT = 4, 0 C.Ved tilfrysing av en innsjøsynker det kalde vannet tilbunns inntil hele sjøen harfatt denne temperaturen – ogderetter blir det kaldeste van-net liggende og flyte pa top-pen, til det tilslutt fryser til is.

Dermed bunnfryser ikke innsjøer, noe de ville ha gjort hvis vannet hadde oppførtseg som væsker flest. I sa tilfelle ville livsmiljøet pa var planet sett svært forskjelligut fra det som er tilfellet i dag.


For de fleste stoff er massetettheten større i fast fase enn i væskefase ved sammetemperaturen. Dette er ikke tilfellet for H2O, is har lavere massetetthet enn vann.Disse anomaliteter er med pa a gjøre vann til ei meget spesiell væske. Fenomenetskyldes at vann i væskeform pa molekylært niva har mange flere likheter medstrukturen i fast fase enn de fleste andre stoff.

10.2 Varme og varmekapasitet

Begrepene varme12 og temperatur gikk ofte om hverandre fram til omlag 1750,da Joseph Black (1728-1799) introduserte kalorimetri – dvs. kvantitativ malingav varmer, samt begrepene spesifikk varme (eller varmekapasitet) og latent varme(smeltevarme, fordampingsvarme o.l.).

Hva varme egentlig var, var det delte meninger om. Boyle, Newton og Bernoullimente varme trolig hadde med partikkelbevegelser a gjøre, mens Black, Lavoisierm.fl. seinere vant fram med synet at det var et eget “varmestoff”.

Ei tilsynelatende klargjøring kom med grev Rumford13 pa 1790-tallet. Han ob-serverte glødende metallspon fra boring av messingkanoner, og gjorde en serie ni-tide undersøkelser for a finne ut hva som kunne være kilda til varmeutviklinga.Og konkluderte med at det syntes vanskelig eller umulig a forklare – “except it bemotion”.

Men Rumford fikk ikke gjennomslag for dette i sin levetid. Først med Joules eksperi-menter i 1840-arene, hvor Joule kvantitativt malte sammenhengen mellom arbeidmot friksjonskrefter og varmeutvikling,14 ble det endelig alment akseptert at varmeer (uordnet) energi pa atomær/molekylær lengdeskala, ogsa kalt indre energi.

Definisjon av varme:

Varme Q : Energi som overføres som følge av en temperaturforskjell.

Kombinert med prinsippet om energibevarelse faes

1. Varme er energi2. Total energi er bevart

Varmelæras 1. hovedsetning. (10-7)

12I fysikken kalles varmemengde bare varme.13Benjamin Thompson 1753-1814, amerikansk født, deltok pa engelsk side i uavhengighetskri-

gen, ble krigsminister i Bayern og der adlet til Graf von Rumford; seinere en av stifterne av ThePhysical Society i London.

14Oppvarming av ett pund vann en grad Fahrenheit krever et friksjonsarbeid pa 778 fot-pund– dette er enheten ‘Btu’ (British thermal unit), som man finner bl. a. i amerikanske lærebøker.

10.2. VARME OG VARMEKAPASITET 113

Med de fysiske størrelsene:

U Indre energi (systemets totale indre energi termisk sett)

Q Tilført varme

W Arbeid utført av systemet

kan dette for et system skrives:

∆U = Q−W Varmelæras 1. hovedsetning. (10-8)

10.2.1 Varmekapasitet

Varmemengder ble i utgangspunktet referert til som det som trengs for oppvarmingav vann. Gammel enhet for varme – som vi ikke vil bruke i dette kurset – er kalori:

1 cal er varmen som skal til for a varme opp 1,00 cm3 H2O fra 14,5 C til 15,5 C.

Og her er det god mulighet for forvirring: En “kostholdskalori” er 1000 av dissekaloriene, dvs. 1 kcal, men skrives ofte 1 kal!

Bestemmelse av varmens mekaniske ekvivalent ga, i SI-enheter:15

1 cal = 4, 1855 Nm = 4, 1855 J.

Vann kan følgelig16 ta opp 4,1893·103 J per kg og grad oppvarming– og vi siervannet har en varmekapasitet c = 4,19 kJ/(kg K). Dette er ved 15 C, andre tem-peraturer gir litt andre verdier for c.

Vi bruker begrepet varmekapasitet i noen ulike betydninger, betydningen gar somregel fram av sammenhengen:

– for et gitt legeme (totalt) Q = C∆T [C] = J/K– per masseenhet (spesifikk) Q = mc∆T [c] = J/(K kg)– per mol (molar) Q = nc′∆T [c′] = J/(K mol)– per molekyl Q = Ncm∆T [cm] = J/K.

Varmekapasiteten (ved 20 C) for noen stoff er gitt i tabell nedenfor.

c

J/(K kg)

c′

J/(K mol)

Cu 390 24,6

Al 910 24,8C2H5OH 2428 112,0Is 2000 36,5Vann 4182 75,3

Varmekapasiteten per mol er nær densamme for mange faste stoff,c′ ≈ 3R, hvor R = 8, 314 J/(K mol) ergasskonstanten (Dulong og Petits lov).

15Det er ulike standarder for definisjonen av 1 cal: “I.T.-kalori” = 4,1868 J ; “termokjemiskkalori” = 4,184 J; “15 C kalori” = (4,1855 ± 0,0005) J. Siste brukes her i teksten.

161,000 cm3 vann veier 0, 9991 g ved 15 C.


10.2.2 Varmetoning – latent varme

Utveksling av energi i form av varme opptrer ikke bare i forbindelse med tempera-turforandringer, men ogsa i forbindelse med faseomvandlinger – som smelting, for-damping, sublimering (fordamping fra fast fase) og rekrystallisasjon. Varmen vilda ofte opptas eller avgis ved konstant temperatur – smeltepunkt, kokepunkt m.m.

Smeltepunkt TS og kokepunkt TK ved atmosfæretrykk for noen stoff er gitt ne-denfor. Kokepunktet er den temperaturen hvor damptrykk over væska er lik ytrelufttrykk, da koker væska, dvs. damp dannes inne i selve væska. Ogsa de latentevarmer er gitt: LS = smeltevarme ved smeltepunktet og LK = fordampingsvarmeved kokepunktet.

TS

K

TK

K

LS

kJ/kg

LK

kJ/kg

N2 63 78 25,7 199

C2H5OH 159 351 109 879H2O 273,15 373,15 333,5 2257Pb 600,6 2024 24,7 858

Værfenomenet “fønvind” er basert pa at den latente varmen til vanndampen i luftafrigjøres nar fuktig luft avkjøles som følge av at vanndampen presses opp over eifjellkjede. Nar lufta kommer ned til normal høyde igjen, etter a ha passert fjellkjeda,kan den være opp til 10-15 grader varmere enn hva den var da den begynte opp-stigninga over fjellkjeda. Spesielt like nord for Alpene er dette et velkjent fenomen,men det opptrer fra tid til annen ogsa i Trøndelag nar det er vind fra sør og detregner grovt øverst i Østerdalen. Den latente varmen til vanndamp er ogsa grunnentil at man over litt lenger avstander i fjernvarmeanlegg ikke transporterer varmtvann, men vanndamp under høgt trykk og temperatur (“steam”).

Talleksempel:

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

b b

BBBB

-d

6

?

h

U

R

Vi modellerer en enkel elektrisk vannkoker.Et kar med med diameter d=100 mm fylles til en høyde h=127mm med vann fra springen, med temperatur T = 8, 0 C. Van-net i karet varmes med en varmespiral dyppet ned i vannet,og varmespiralen gir P = 1,36 kW = 1,36 kJ/s fra elektriskstrøm.

Første spørsmal: Hvor lang tid (t0) tar det a fa kokt opp kaffevannet?

10.3. VARMETRANSPORT 115

Andre spørsmal: Hvis kaffekokeren glemmes vil den sta og koke til vannet hardampet bort helt ned til filamentet. Og hvis det skjer, forsvinner kjølinga (100 C)for filamentet, og det brenner av. Hvor lang tid (t1) tar det – hvis toppen avfilamentet star h1 = 50 mm over bunnen av karet?

Vi modellerer dette veldig enkelt, og ser helt bort fra a) varmetap til omgivelsene.og b) varmekapasiteten til karet.

Vi ma finne1. Hvor mye vann som skal varmes opp (m0 i kg),2. hvor stor varme som trenges til dette (Q0 i J),3. hvor lang tida t0 er, beregnet fra P · t0 = Q0,4. hvor mye vann som skal kokes bort (m1),5. og hvor stor varme Q1 som trenges til fordampinga, og derav t1.

Konstanter som trenges til beregninga er

ρH20 = 1,00 kg/l Massetettheten til vanncH2O = 4,19 kJ/(K kg) Varmekapasiteten til vann (snitt mellom 8 og 100 C)LH2O = 2257 kJ/kg Fordampingsvarmen til vann (ved kokepunktet)

Og sa skulle det hele være rett fram:1. m0 = ρ V0 = ρ · (πd2/4) · h = (1, 00 kg/l) · 0, 997 l ≈ 1 kg2. Q0 = m0 · c ∆T = 1 kg · 4, 19 kJ/(K kg) · 92 K ≈ 385 kJ3. P · t0 = Q0

⇒ t0 = Q0/P = 385 kJ/1, 356 kW = 284 s ≈ 5 minutter4. m1 = m0 · (h− h1)/h = m0 · (1− h1/h) ≈ 0, 6 kg5. Q1 = m1 · LH2O = 0, 6 kg · 2257 kJ/kg ≈ 1, 37 MJ⇒ t1 = Q1/P = 1, 37 MJ/1, 356 kW = 1009 s ≈ 17 minutter

10.3 Varmetransport

Varmetransport er, som navnet sier, forflytning av energi i form av varme fra ettsted til et annet. Og dette foregar ved tre ulike mekanismer, konveksjon (strømning),varmeledning og varmestraling.

Ved konveksjon følger varmen med bevegelsen til et fluid, vanligvis vann eller luft.Og store varmer kan transporteres relativt hurtig.

“Relativt hurtig” – det er a tolke som i forhold til transport ved varmeledning,som er transport gjennom faste stoff, eller i fluider som pa et eller annet vis erforhindret i a strømme. Eksempler er varmetransport i jord – vannledninger i 2meters dybde kan gjerne fryse 4-5 maneder etter hard barfrost pa overflata – ogtransport gjennom luftlaget mellom glassene i dobbeltvinduer.

Varmestraling er nær instantan transport (tid sol-jord ca. 8 minutter) av varme iform av bredspektret elektromagnetisk straling, hovedsaklig i det infrarøde omradet.


Frekvensspektrum og intensitet av varmestralinga er gitt av og karakteristisk fortemperaturen til legemet som straler.

Vi skal her vesentlig ta for oss varmeledning, men ogsa ta med litt om varmestraling.Konveksjonsproblemer vil det føre for langt a ga inn pa.

10.3.1 Varmeledning

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

TH TL

........................................................................

Q

.........

.........................- `

Betrakt et system som vist til venstre.En stav med lengde ` og tverrsnitt Aer plassert mellom, og i god termiskkontakt med, to varmereservoar, medtemperaturer TH (høy temperatur) ogTL (lav temperatur). Vi antar ingenvarmetap til omgivelsene.

Fra TH til TL gar det en varmestrøm – det er varme per tidsenhet –

Φ ≡ dQ/dt Varmestrøm (J/s = W) (10-9)

Varmestrømmen vil være proporsjonal med temperaturdifferansen over staven ogtverrsnittet av staven, og omvendt proporsjonal med lengden,

Φ = λ · A (TH − TL)1

`, (10-10)

hvor proporsjonalitetsfaktoren λ er varmeledningsevnen for materialet i staven.

λ

WK−1m−1

Cu 401 Metall:Al 237 frieFe 80 elektronerGlass 0,8Kork 0,04Steinull 0,04H2 0,14 Gass:Luft 0,024 kinetiskAr 0,016 teori

Varmeledningsevnen for noen materialer,ved romtemperatur, er vist til venstre.I metaller bæres varmen vesentlig av led-ningselektronene (det er ogsa de som erarsaken til at metaller reflekterer lys, oger blanke).I gasser bæres varmen av enkeltmolekyler,og varmeledningsevnen kan beregnes medkinetisk teori – vi skal vise dette i nestekapittel.

Definisjonslikninga for varmeledning gitt ovenfor, likn. (10-10), forutsetter en stavav homogent materiale og med konstant tverrsnitt.

En mer generell sammenheng faes ved a betrakte varmestrømmen gjennom et liteelement av staven, med lengde ∆x og tverrsnitt ∆A, og med temperaturfall ∆T .For et slikt element far vi – nar vi tar med fortegn som viser at varmestrømmen


gar i retning fra høy til lav temperatur –

∆Φ = −λ · ∆A ∆T

∆x, (10-11)

og i “differensiell grense”

dΦ

dA= −λ

dT

dx

Φ

A= varmestrømtetthet. (10-12)

Størrelsen dΦ/dA – varme per tids- og flateenhet – kaller vi varmestrømtetthet, oggis symbolet jQ (W/m2).

Vi kan dermed skrive

jQ = −λ∂T

∂xFouriers lov for varmeledning. (10-13)

Temperaturen kan ogsa variere med tida – derfor partiellderivert i likninga.17

17Etter Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), fransk matematiker og fysiker. Kanskje mestkjent for sine Fourier-rekker. Varmeledningsloven stammer fra 1820. I 3 dimensjoner blir den→j Q= −λ∇T . Ogsa varmeledningslikningen pa formen (10-10) kalles Fouriers lov.


Talleksempel:

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

TH

100 C

TL

0 C

.........

.........................

.........

........-`Fe -

`Cu

Fe Cu

10 cm 20 cm

T0

En bolt, med tverrsnitt A = 2 · 2 cm2,er satt sammen av jern med en lengde`Fe = 10 cm og kopper med en leng-de `Cu = 20 cm, og plassert mellomto varmereservoarer med temperaturerTH = 100 C og TL = 0 C, som vist pafiguren.Hva er temperaturen i T0 i kontaktflatajern-kopper? Og hva er varmestrømmenΦ gjennom bolten?

Vi har to ukjente, T0 og Φ, og trenger dermed to likninger. Disse far vi ved a setteopp uttrykk for varmestrømmen Φ i bade venstre og høyre del av bolten – dette manødvendigvis være samme størrelse, ellers ville temperaturen endres i kontaktflata.

(I) Φ = ΦFe = λFe(A/`Fe)(TH − T0) = A ·KFe(TH − T0) (10-14)

(II) Φ = ΦCu = λCu(A/`Cu)(T0 − TL) = A ·KCu(T0 − TL) (10-15)

der KFe = λFe/`Fe er varmeoverføringskoeffisienten for jerndelen med tykkelse `Fe

og tilsvarende for kopperdelen.

[(I) - (II)] ⇒ 0 = (A ·KFeTH + A ·KCuTL)− (A ·KFe + A ·KCu)T0, dvs.

T0 =KFeTH + KCuTL

KFe + KCu. (10-16)

[KCu · (I) + KFe · (II)] ⇒ (KCu + KFe)Φ = A ·KFeKCu(TH − TL), dvs.

Φ = A · KFeKCu

KFe + KCu· (TH − TL) (10-17)

Merk at vi ogsa kan skrive

Φ = A ·Ktot · (TH − TL) med1

Ktot

=1

KFe

+1

KCu

(10-18)

Tallverdier:

KFe = λFe/`Fe = 800 WK−1m−2

KCu = λCu/`Cu = 2005 WK−1m−2

A = 4, 0 · 10−4 m2

⇒

Ktot = 572 WK−1m−2

Φ = 22, 9 WT0 = 28, 5 C

(10-19)

10.3.2 Tilfrysing av en innsjø

Vi tar som utgangspunkt en sjø som senhøstes er kjølt ned til 4 C – hvorpa luft-temperaturen faller til −10 C og blir der.


Hvor lang tid tar det før isen er blitt 10 cm tykk? Og 25 cm?Oppgitt for is: Varmeledningsevne λ = 1, 6 Wm−1K−1, massetetthet: ρ ≈ 0, 92 g/cm3,varmekapasitet: cis = 2, 17 kJ/(kg K).

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................6

6

?............................................................ ∆x

x

Luft, −10 C

Is

Vann, 0 C

Vi betrakter systemet litt ute i fryseprosessen,ved tid t.Istykkelsen er x, lufttemperaturen TL er −10 Cog vanntemperaturen rett under isen T0 er 0 C.Isens temperatur er −10 C i grensa mot luftaog 0 C i grensa mot vannet, med middeltem-peratur −5 C.

I et tidsintervall ∆t fryses et nytt sjikt is med tykkelse ∆x, og frysevarmen Lis = 334kJ/kg ma fraktes gjennom isen.

Dertil skal tilsvarende mengde vann kjøles ned fra 4 C til 0 C, og tilsvarendemengde is kjøles ned fra 0 C til isens middeltemperatur −5 C. Dette gir i tillegg∆L = (cH2O · 4 K + cis · 5 K) ≈ 27 kJ/kg, som ogsa ma fraktes opp til lufta.

Vi modellerer enkelt, og regner som om bare frysing til is spiller noen rolle (det er90 % av varmen) – men korrigerer ved a bruke en litt høyere effektiv frysevarmeL0 ≈ 360 kJ/kg.

La oss velge et utsnitt av isen med areal ∆A. Frysing av en tykkelse ∆x krever enfrysevarme

∆Q = L0∆m = L0ρ∆V = L0ρ∆x∆A hvor ρ er for is (10-20)

og varmestrømtettheten mot overflata ma være

jQ =∆Q

∆A∆t= L0ρ

∆x

∆t→ L0ρ

dx

dt. (10-21)

Denne ma være lik varmestrømtettheten etter Fouriers lov

jQ = −λ∂T

∂x= λ

T0 − TL

x≡ λ

∆T

xhvor ∆T = 10 K. (10-22)

Settes disse to like, faes en sammenheng

L0ρdx

dt= λ

∆T

x, dvs. x dx =

λ∆T

L0ρdt, som integreres til

1

2x2 =

λ∆T

L0ρt, eller t(x) =

L0ρ

2λ∆Tx2 (10-23)

Talleksempel:L0ρ

2λ∆T≈ 10, 3 · 106 s/m2

x = 10 cm gir: t ≈ 10, 3 · 104 s ≈ 29 h – dvs. ca. ett døgn

x = 25 cm gir: t ≈ (2, 5)2 · t10 cm = 6, 3 · 29 h – dvs. ca. ei uke.


10.3.3 Varmestraling

Alle flater vil p.g.a. temperaturen sende ut elektromagnetisk straling. Utstralt ef-fekt avhenger av flatas temperatur og overflateegenskaper (farge/blankhet). Svartelegemer straler ut mest. Varmestralinga øker sterkt med økende temperatur, sam-tidig som fargen gar fra usynlig infrarødt, gjennom svak rødglød ved ca. 800 C tilmer og mer hvitglødende. Handa var kan lett føle varme som utstrales fra over-flater i infrarødt-omrade, hvis legemet blir sa varmt at det gløder kan vi ogsa sestralingen. Stralingen kalles varmestraling, og hvis utstralt effekt er lik innfallendeeffekt er det termisk likevekt med omgivelsene.

Vi tar for oss hva vi kaller svart straling (“blackbody radiation”).

............

.....................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

..................................................................................

................................

................................

................................

......................................................................................................................................................................................................

.......................

...................

.......................

......................

...................

......................

...........................

.................*

-- svartstraling

TSkoleeksempelet pa svart straling ersakalt hulromstraling; stralinga kom-mer ut fra et hulrom i et legeme medtemperatur T , gjennom et lite hull.

Straling fra fiksstjerner – inklusive var sol – er i hovedsak svart straling, overlagretnoen absorpsjons- eller emisjonslinjer fra den ytre stjerneatmosfæren.

Samtidig med at bølgelengden endres nar temperaturen øker – som beskrevet oven-for – øker ogsa utstralt effekt betydelig nar temperaturen øker. Dette er kvantitativtuttrykt ved Stefan-Boltzmanns lov18 som sier at total utstralt effekt per flateenhet(j – ogsa kalt radians) øker med fjerde potens av temperaturen:

j = σ T 4 Stefan-Boltzmanns lov, (10-24)

hvor σ = 5, 67 · 10−8 W/(m2· K) er Stefan-Boltzmann-konstanten.

Den kvantitaive beskrivelsen av hvordan frekvensen til stralingen avhenger av tem-peraturen er gitt ved Plancks stralingslov19. Frekvensspekteret, dvs. stralingseffektper flateenhet per frekvensintervall dν, er gitt ved20

jν(ν, T ) =2πhν3

c2

1

ehν/kBT − 1Plancks stralingslov (10-25)

hvor c = 3, 00 · 108 m/s er lyshastigheten, kB = 1, 3806 · 10−23 J/K er Boltzmannskonstant og h = 6, 626 · 10−34 Js er Plancks konstant.

18Funnet eksperimentelt av Josef Stefan (1853-1893) i 1879, og utledet teoretisk av LudwigBoltzmann (1844-1906) i 1884; begge var da professorer i fysikk i Wien.

19Max Planck (1858-1947), tysk fysiker. Loven kom i 1900 – og Nobelprisen kom i 1920.20Det er vanlig a bruke ν i stedet for f som symbol for frekvensen til lys.


Sammenhengen mellom jν – radians per frekvensenhet – og total radians j er

∆j = jν ∆ν ; j =

∫ ∞

ν=0

jν dν. (10-26)

Planck fant ogsa at stralinga opptrer i kvanter, med energi per kvant E = hν.

-

6

.........

.........................

.........

.........................

.........

........

jν

hν/kBT0 1 2 3 4

Planck-kurven er vist til venstre, med jν

i vilkarlige enheter.Registrering av Planck-kurven forstralingen fra en fiksstjerne bestemmeroverflatetemperaturen til stjerna – f.eks.gjenom topp-punktet i kurva. Et anneteksempel: Temperaturen til smelten iferrosilisiumovner. eksempel.

Den kosmiske bakgrunnsstralinga gir perfekt overensstemmelse med Planck-kurven,og gir en temperatur pa 2 K – fotoner som er strukket av universets utvidelse sidendets skapelse.

For ikke-svarte stralere kan man modifisere Stefan-Boltzmanns stralingslov til

j = e σ T 4, (10-27)

hvor e ≤ 1 er emissiviteten. Sotete overflater har e pa ca. 0,95, rimelig gode“gra flater” 0,7 - 0,8, mens speilende kopper ca. 0,03. Det er derfor termoser harspeilende flater i tillegg til vakuum inne i dobbeltveggen til beholderen. Glødetradeni lyspærer bør ha høyest mulig emissivitet, men den er ikke høyere enn ca 0,5 vedglødetemperaturen.

Talleksempel:La oss se pa utstraling fra et menneske “in natura”.Overflata er – pa en middelstudent – A ≈ 1, 2 m2, og hudtemperaturen er TH ≈30 C ≈ 303 K.21 Vi antar emissiviteten e er omtrent lik en. Dette gir en totaltutstralt varmestrøm Φ = A · σ T 4

H = 1, 2 · 5, 67 · 10−8 · 3034 W≈ 570 W – dvs. merenn en halv kilowatt. Men – det er alltid betydelig innstraling ogsa, slik at nettotap blir som regel vesentlig mindre:

Hvis man for eksempel star inne i et kjølig soveværelse, si med (vegg)temperaturTS = 15 C ≈ 288 K, far man ei innstraling proporsjonal med T 4

S , og netto tapreduseres med en faktor 1 − (TS/TH)4 = 1 − (288/303)4 = 1 − 0, 82 = 0, 18, til

21Innfødte i Australia har hudtemperatur (om natten) pa bare ca. 27 C, det gir overlevelses-fordeler for folk som sover ute uten klær.


ca. 105 W. Med klær pa kroppen reduseres heldigvis tapet ytterlige, idet over-flatetemperaturen pa klærne nærmer seg omgivelsenes temperatur. Ute i sola envarm sommerdag – eller i ei badstu – er innstralingen større enn utstralingen.


• Varme er overføring av energi pga. temperaturforskjeller. Varme males i enhetsom energi, dvs. J = joule.

• Nar legemer som er isolert fra omverden og som i utgangspunktet har uliktemperatur, bringes i termisk kontakt, vil alle legemene ha samme temperaturnar legemene har nadd termisk likevekt.

• Alle stoffer utvider seg ved oppvarming (unntatt vann mellom 0 og 4 C).Temperaturskalaer er knyttet til stoffers utvidelse.

• Som referansetemperaturer benyttet man opprinnelig frysepunktet eller ko-kepunktet til valgte væsker. Seinere benyttet man det absolutte nullpunkt,0 K = −273, 15 C.

• En ideell gass følger loven: pV = nRT . Definisjonen av absolutt temperatur erbasert pa denne likningen ved ekstrapolasjon fra gasser rundt romtemperaturog ned til null volum V med tilhørende T = 0 K.

• Varmekapasiteten til et stoff angir hvor mye varme som trengs for a varmeopp f.eks. et kilogram av stoffet en grad, men varmekapasiteten kan ogsaregnes for et helt legeme, per mol, per atom eller molekyl.

• Varmetoning er utveksling av varme i samband med faseomvandling, f.eks.ved fordamping eller frysing.

• Varmetransport foregar ved konveksjon(strømning), varmeledning eller stra-ling.

• Varmeledning mellom to legemer er alltid proporsjonal med temperaturdif-feransen mellom legemene, gitt ved Fouriers lov.

• Varmestraling er en kvantefysisk effekt og er proporsjonal med fjerdepotensav den absolutte temperaturen, Stefan-Bolzmanns lov: j = eσT 4. Den er ogsaavhengig av overflatefarge og -struktur gjennom emissiviteten e.

Kapittel 11

Kinetisk gassteori

Innhold11.1 Makroskopisk beskrivelse

(kontinuumsbeskrivelse) . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.2 Mikroskopisk beskrivelse(atomær/molekylær beskrivelse) . . . . . . . . . . . 125

11.3 Fra mikroskopisk til makroskopisk beskrivelse (kon-traksjon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.4 Den ideelle gassloven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11.5 Varmekapasitet for ideell enatomig gass . . . . . . . . . 128

11.5.1 Oppvarming ved konstant volum . . . . . . . . . . . . . 128

11.5.2 Oppvarming ved konstant trykk . . . . . . . . . . . . . 129

11.6 Varmelæras 1. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11.7 Frihetsgrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7.1 Enatomig gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7.2 Toatomig gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.7.3 Fleratomige gasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.8 Ekvipartisjonsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.8.1 Hydrogengass, H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.8.2 Faste stoffer: Dulong-Petits lov . . . . . . . . . . . . . . 133

11.9 Adiabatiske prosesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.9.1 Ideell gass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.9.2 Lydhastigheten i en ideell gass . . . . . . . . . . . . . . 135

11.9.3 Ruchardts eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

11.10Transportprosesser i ideelle gasser . . . . . . . . . . . . 137

11.10.1 Fri veglengde og fri tid mellom støt . . . . . . . . . . . . 138

11.10.2 Varmeledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.10.3 Viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

123

124 KAPITTEL 11. KINETISK GASSTEORI

11.11Kondensasjon og kritisk punkt . . . . . . . . . . . . . . 143

11.11.1 van der Waals likning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

11.11.2 Fasediagram og trippelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . 146

Vi skal i dette kapittelet vise hvordan bruk av enkel kinetisk teori for ideelle gasserkan gi oss økt mikroskopisk forstaelse av varmelæra. Dette inkluderer loven forideell gass, varmekapasitet for en og fleratomige gasser, varmelæras 1. hovedset-ning, adiabatiske prosesser, transportkoeffisienter som varmeledning og viskositet,og fasediagram. Fundamentet som denne teorien bygger pa, er for en stor del New-tons mekanikk.

11.1 Makroskopisk beskrivelse

(kontinuumsbeskrivelse)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrp

V

T

Vi betrakter – for a gjøre det enkelt – hva vi kankalle et isolert termodynamisk system, uten hverkenenergi- eller partikkelutveksling med omverdenen, itermodynamisk likevekt.Systemet er da karakterisert ved 3 – og bare 3 – til-standsvariable, trykket p, volumet V og temperaturenT . Og disse er forbundet med ei eller anna tilstands-likning, av form f(p, V, T ) = 0

Eksempler pa tilstandslikninger er

Ideell gass: p V = nRT (n: # mol, R : gasskonstanten)

Fast stoff: V ≈ V0[1− β(T − T0)− k(p− p0)]

(For fast stoffer: lineær approksimasjon rundt (p0, V0, T0), med varmeutvidelse ogkompressibilitet til første orden.)

11.2. MIKROSKOPISK BESKRIVELSE(ATOMÆR/MOLEKYLÆR BESKRIVELSE)125

11.2 Mikroskopisk beskrivelse

(atomær/molekylær beskrivelse)


rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrN partikler

6N koordinater,x, y, z, vx, vy, vz

Vi betrakter det samme isolerte systemet som oven-for, men prøver na a følge hver av de N partiklene isystemet. For en full beskrivelse ma vi følge utviklin-ga med tida av 6N koordinater – 3 posisjonskoordi-nater (x, y, z) og 3 hastighetskoordinater (vx, vy, vz)for hver partikkel. Og det blir et ganske formidabeltproblem – selv de største datamaskiner greier ikkemer enn 105 til 106 partikler.

Hvor store partikkeltall det vanligvis dreier seg om, far man en ide om fra verdienav Avogadros tall (# per mol)1 og Loschmidts tall (# per m3 ved NTP2):

NA = 6, 02 · 1023 #mol

Avogadros tall

NL = 2, 69 · 1025(

#m3

)NTP

Loschmidts tall.

11.3 Fra mikroskopisk til makroskopisk beskriv-

else (kontraksjon)

Overgang fra beskrivelse med 6N koordinater til bare 3 tilstandsvariable betegneskontraksjon av beskrivelsen.

En kontraksjon er ikke mulig uten a kaste inn noen ekstra, forhapentligvis plausible,antakelser. Og sa far man sammenligne resultatet av antakelsene med virkeligheten– og har det gatt bra, er det trolig at gjetta hadde mye for seg.

Kontraksjonen kan forsøkes med direkte metode, ved at man prøver a følge par-tikkelbevegelser i tiden, og ved passende midling finne de makroskopiske størrelserman er ute etter; dette kalles gjerne kinetiske teorimetoder. En svakhet ved slikemetoder er at det kan være vanskelig a generalisere resultatene - mens en fordel erat det vil være noksa gjennomsiktig hva man egentlig har gjort.

En mer abstrakt gruppe av metoder benytter formell statistikk koplet med grunn-leggende hypoteser om systemers statistiske oppførsel, ofte uten a spesifisere i detaljhva slag system man egentlig behandler. Resultatene kan bli veldig generelle - ogganske imponerende - og fa forstar hva som egentlig gjøres. Denne statistiske fysikkskal vi ligge langt unna i dette kurset – de stakkars fysikkstudentene far den banketinn i hodet i 3. arskurs.

1Spesielt i engelskspraklig litteratur vil man finne ofte at # blir brukt som symbol/forkortelsefor “antall”.

2“Normal Temperature and Pressure” – som settes til 0 C og atmosfæretrykk


Vi skal her presentere enkel kinetisk teori, anvendt pa et enkelt system: en ideellgass. Og i tillegg til a finne tilstandslikninga ab initio3, skal vi demonstrere sam-menhengen mellom kinetisk energi og temperatur, og vise hvordan man finner framtil verdien av fenomenologiske koeffisienter som varmekapasitet, varmeledningsevneog viskositet.

11.4 Den ideelle gassloven

Vi tar for oss en enkel, mikroskopisk ideell gassmodell, som vist nedenfor:


rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrsHHjs*

s sBBN

sV

Isolert ideell gass

N partikler i et volum V , i posisjoner→r i og med

hastigheter→v i.

Partiklene regnes som sma og like kuler, med diame-ter d og masse m.Gassen er fortynnet – dvs. kulenes volum, πd3/6 perkule, okkuperer lite av totalvolumet:

N · (πd3/6) VVeggene er elastisk reflekterende, slik at total kinetiskenergi er konstant,

E =∑

mv2i /2 = konstant

Vi skal finne et uttrykk for trykket mot veggen, dvs. for midlere kraft per flateenhetsom følge av støt mellom vegg og gassmolekyler. Dette gjør vi ved først vilkarlig avelge ut en partikkel, finne hvor mye denne partikkelen midlet over lang tid bidrartil trykket – og sa multiplisere med antall partikler.

AAAAA

AAU

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......

.........

..........

.........

..........

.........

......

.........

......

..........

.........

......Til venstre er illustrert refleksjon av (var utvalgte) par-tikkel fra veggen. Den faller inn mot veggen med hastig-het

→v , som kan deles i en komponent

→v‖ langs veggen

og en komponent→v⊥ loddrett pa veggen. Ved støtet mot

veggen er→v‖ uforandret, mens

→v⊥→ −

→v⊥.

Impulsen overført til veggen ved støtet er dermed4

∆→P= 2m

→v⊥ eller ∆P⊥ = 2mv⊥ (11-1)

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................

..............................

....................................................................................................................S

SSS

SSSS

.................

.................

6

?∆h

∆A

Vi betrakter na et lite element ∆A av veggen, og etlite tidsintervall ∆t. For at “var partikkel” skal treffeveggen i løpet av tida (t, t + ∆t), ma den ved tida tvære en avstand mindre enn ∆h = v⊥∆t fra veggen,dvs. innenfor en sylinder med volum ∆V = ∆A ·∆h =v⊥∆A ·∆t.

3Latin: Fra begynnelsen.4Bruker stor P for impuls her, liten p reservert for trykk i termisk fysikk.

11.4. DEN IDEELLE GASSLOVEN 127

I middel kan partikkelen være hvor som helst i hele volumet V , sa sannsynlighetenS(V ) for a finne den i ∆V ved gitt tid t blir

S(V ) =∆V

V=

v⊥∆A∆t

V. (11-2)

Videre er, ved gitt tallverdi av→v⊥, sannsynligheten S(+) for at retningen skal være

mot veggen og ikke fra veggen

S(+) = 1/2. (11-3)

“Var partikkel” gir dermed, midlet over lang tid, en midlere impuls til ∆A i ei tid∆t

∆P⊥ = S(+) · S(V ) · (2mv⊥)

=1

2· v⊥∆A∆t

V· 2mv⊥

= mv2⊥

∆A∆t

V. (11-4)

Newtons 2. lov gir at kraft = impulsforandring/tidsenhet = d(mv)/dt, og videre ertrykk = kraft/flateenhet. Var partikkel gir dermed et bidrag til trykket mot ∆A pa

p =∆P⊥/∆t

∆A=

mv2⊥

V. (11-5)

Og sa gjør vi det samme for alle partiklene (i = 1, . . . N) i volumet V , og summererbidragene. Dermed blir det totale trykket

p =N∑

i=1

pi = mN∑

i=1

(v2⊥)i

V. (11-6)

Etter definisjonen av middelverdi kan summen her skrives som

N∑

i=1

(v2⊥)i = N v2

⊥. (11-7)

Hastigheten v⊥ er komponenten i en kartesisk retning. Na er total midlere kvadra-tiske hastighet lik summen av kvadratene av hastighetene i hver av tre retninger(Pythagoras), v2 = v2

x +v2y +v2

z , og nar ingen retning er preferert, blir midlere kva-

dratisk hastighet i en retning (v2⊥ =) v2

x = v2y = v2

z = v2/3. Uttrykket for (midlere)trykk p kan dermed skrives som

p =1

3N

mv2

V. (11-8)

Midlere kinetisk energi per partikkel er E = mv2/2 = (3/2) · (1/3)mv2. Bruker vidette, og flytter V over til venstre side av likninga, star vi igjen med5

p V = N · 23E hvor E =

1

2mv2. (11-9)

5Dette uttrykket ble funnet av Daniel Bernoulli (1700-1782) i 1738, men ble avvist av samtida.Det ble gjenoppdaget og akseptert først 100 ar seinere.


eller

p V = N Θ

Θ =2

3· mv2

2= mv2

x.(11-10)

hvor Θ er gassens temperatur – i enhet joule.

Temperaturen er 2 · midlere kinetisk energi per partikkel og retning i rommet.

For a komme over fra energiskala til Kelvinskala benytter vi sammenhengen

Θ = kB · T (11-11)

hvor kB = 1, 38 ·10−23 J/K er Boltzmanns konstant. Eventuelt kan vi ogsa uttrykkedet totale partikkeltallet N ved antall mol,6 nM, dvs. N = NA · nM, hvor NA erAvogadros tall, og bruke sammenhengen NA · kB = R, hvor R er gasskonstanten.Tilstandslikninga for ideell gass kan dermed skrives pa variantformene

p V = N Θ = N kBT = nMRT. (11-12)

11.5 Varmekapasitet for ideell enatomig gass

c cBBBB

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

..........................................................................................

..........................

....

p V T

Q

Betrakt en isolert, ideell, enatomig mengde gass. Gasseninneholder N atomer, og har tilstandsvariable p, V ogT . Man kan – om ønsket – variere volumet V (indik-ert med et flyttbart stempel). Gassen kan tilføres envarmemengde Q (indikert med en motstand, som kanfungere som varmeelement).

11.5.1 Oppvarming ved konstant volum

Vi antar først at volumet V holdes konstant, mens gassen tilføres varmen Q. All dentilførte energien ma da ga med til a øke den indre energien U = N ·(mv2/2) til gassen

6Velger i dette kapitlet a bruke nM for antall mol av et stoff. I tidligere kapitler har vi bruktn, men i dette kapitlet brukes n = N/V for antall partikler per volumenhet.

11.5. VARMEKAPASITET FOR IDEELL ENATOMIG GASS 129

– for det er ikke noe annet som kan ta opp energi. Og med (2/3) · (mv2/2) = kBT ,har vi dermed

Q = N ·∆(mv2/2) = N · (3/2)kB∆T. (11-13)

Varmekapasiteten per partikkel er per definisjon

cm =1

N

Q

∆T. (11-14)

Varmekapasitet per atom for enatomig gass ved konstant volum bli dermed (indeksV indikerer konstant volum)

cV,m =3

2kB = 2, 07 · 10−23 J/K (11-15)

Varmekapasiteten per mol faes ved a multiplisere med Avogadros tall NA = 6.02 ·1023 mol−1,

c′V = 32NAkB

≡ 32R = 12, 5 J/(mol K)

Varmekapasitet per mol forenatomig gass ved konstant volum

(11-16)

11.5.2 Oppvarming ved konstant trykk

Vi antar sa at trykket p holdes konstant - for eksempel ved at stempelet pa figurenbeveger seg friksjonsfritt mot et konstant ytre trykk. Tilføring av varme Q fører natil bade ei temperaturøkning ∆T og ei volumøkning ∆V ;

pV = NkBTp=konst−→ p∆V = NkB∆T. (11-17)

Den tilførte varmen brukes dermed ikke bare til økning av indre energi, men ogsatil trykkarbeid W . Anta for enkelhets skyld et stempel med areal A, som forskyvesen lengde ∆x. Trykkarbeidet blir da

W = (kraft · veg) = (p A) ·∆x. (11-18)

Her er A ·∆x = ∆V – og vi sitter igjen med det generelle uttrykket for trykkarbeid– gyldig ved enhver volumforandring –

W = p∆V Trykkarbeid. (11-19)

Energiregnskapet blir na

Q = ∆U + W, (11-20)

hvor ∆U = (3/2)NkB∆T , som før, og p∆V = NkB∆T , dvs.

Q = N ·[3

2+ 1

]kB ∆T =

5

2NkB∆T. (11-21)


Varmekapasiteten per atom er fremdeles definert som Q/(N ∆T ), og vi har dermed

cm,p =5

2kB = 3, 45 · 10−23 J/K (11-22)

og tilsvarende for varmekapasiteten per mol, c′p = 52R = 20, 8 J/(mol K).

Vi kan merke oss at uttrykket for trykkarbeidet er uavhengig av hva den indre en-ergien er. Vi vil derfor for alle ideelle gasser – ogsa molekylære – ha en sammenhengmellom varmekapasitetene ved konstant volum og konstant trykk

cm,p = cm,V + kB

c′p = c′V + R.(11-23)

Vi ser at varmekapasitet ikke er en ren materialegenskap, men ogsa avhenger avhvordan oppvarminga foregar.

11.6 Varmelæras 1. hovedsetning

Energiregnskapet satt opp foran kan ses som en kvantitativ formulering av varmelæras1. hovedsetning. Pa differensiell form kan energikonserveringa dermed skrives

dQ = dU + dW Varmelæras 1. hovedsetning, (11-24)

hvor arbeidet dW her er

dW = p dV Arbeid utført av trykk-krefter (11-25)

Hvis det finnes flere typer krefter, for eksempel elektromagnetiske, kommer andreledd i tillegg i uttrykket for dW . Og hvis partikkeltallet ikke er bevart, som vedkjemiske reaksjoner, kommer det ogsa inn andre tilleggsledd. Men – i dette kursetvil alt arbeid være p dV -arbeid.

For en enatomig gass fant vi en midlere indre energi per partikkel u = (3/2)kBT ,fordelt med kBT/2 pa hver bevegelsesretning. Og i en enatomig gass er dette allindre energi.

I molekylære gasser kan molekylene bade rotere og vibrere, og i tillegg til trans-lasjonsenergi kan de dermed ogsa oppta rotasjonsenergi og vibrasjonsenergi. Dettehar til følge at indre energi per partikkel, og dermed ogsa varmekapasiteten, blirstørre enn for en atomær gass.

11.7. FRIHETSGRADER 131

11.7 Frihetsgrader

Antallet frihetsgrader for et atom eller et molekyl er det minste antallet uavhengigeparametrer som ma til for beskrive atomet/molekylets dynamikk.

11.7.1 Enatomig gass

Hvert atom har tre mulige bevegelsesretninger, og inneholder i middel like myeenergi for bevegelse i hver retning.

Enatomig gass har tre translasjonsfrihetsgrader per atom, og hver frihetsgrad opptari middel en energi kBT/2.

11.7.2 Toatomig gass

z z.........................................................................................................

Y ωy

-z

6x

hsy

For et toatomig molekyl kan vi definere tre akser gjen-nom tyngdepunktet. Rotasjon om aksen som liggerlangs molekylaksen bidrar ikke til rotasjonsenergienfordi treghetsmomentet om den aksen er forsvinnendeliten. La oss si dette er z-aksen. Rotasjon om x-aksenog y-aksen (begge loddrett pa molekylaksene) harrotasjonsenergier gitt av treghetsmoment og vinkel-hastighet,

E(x)rot = Iω2

x/2 og E(y)rot = Iω2

y/2. (11-26)

Gassen har altsa to rotasjonsfrihetsgrader per molekyl, i tillegg til tre translasjons-frihetsgrader.

z z.................................................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

...........................................................................

................................

- ω0

km1 m2

Et toatomig molekyl kan i tillegg vibrere i akse-retninga – i god tilnærmelse som en harmonisk os-cillator med grunnfrekvens ω0 og fjærkonstant k:

ω20 = k/mr, hvor mr = m1m2/(m1 + m2).

Energien i en harmonisk oscillator er summen av potensiell og kinetisk energi,

Evib = kx2/2 + mrx2/2, (11-27)

og disse er – som vi har sett tidligere – i middel like store. Vi sier at gassen harto vibrasjonsfrihetsgrader per molekyl, i tillegg til translasjons- og rotasjonsfrihets-gradene.


11.7.3 Fleratomige gasser

Molekylene i en fleratomig gass kan ha uavhengige rotasjoner om tre akser gjennommassefellespunktet, og far dermed tre rotasjonsfrihetsgrader.

Antall mulige vibrasjonsmoder ma undersøkes nærmere for hvert enkelt molekyl;det er av og til svært mange muligheter.

11.8 Ekvipartisjonsprinsippet

Ekvipartisjonsprinsippet (likefordelingsprinsippet) sier

Ved likevekt er det for hver tilgjengelig frihetsgrad assosiert en midlereenergi 1

2kBT per molekyl, dvs. 1

2RT per mol.

Hva som menes med “tilgjengelige” frihetsgrader, skal vi komme tilbake til – detviser seg at vibrasjonsfrihetsgradene svært ofte er “frosset ut”, og ikke teller med.

La antall tilgjengelige frihetsgrader være nf . Da er etter ekvipartisjonsprinsippetvarmekapasitetene per mol av stoffet gitt ved

c′V = nf · 12R

c′p = cV + kB = (nf + 2) · 12R

c′pc′V≡ γ =

nf + 2

nf

,

(11-28)

hvor γ = adiabatkonstanten.

Antall tilgjengelige frihetsgrader kan i praksis finnes ved a male forholdet γ = cp/cV .

11.8.1 Hydrogengass, H2

-

6

............

............

............................

............

............

..

10 100 1000

..........................

..........................

..........................

..........................

1/2

3/2

5/2

7/2

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

c′V /R

T/K

Til venstre er skissert varme-kapasiteten ved konstant volumfor hydrogengass, som funksjonav temperaturen T . Gassenoppfører seg altsa kvalitativtulikt i ulike temperaturomrader.

11.8. EKVIPARTISJONSPRINSIPPET 133

Ved lave temperaturer er c′V som for atomær gass, nf = 3Ved romtemperatur er c′V som for “stiv rotor”, nf = 5Ved høye temperaturer er c′V som for “vibrerende rotor”, nf = 7

Det er tydelig at rotasjons- og vibrasjonsfrihetsgradene “fryses ut” ved lave tempe-raturer. Dette er kvanteeffekter. Analogt til at elektromagnetisk straling kommeri minste “kvanter” med energi hν (jfr. avsnitt om termisk straling), kommer ogsarotasjons- og vibrasjonsenergi i kvantiserte biter, med minste mulige energier. F.eks.for rotasjonsenergien far vi

E(min)rot ∼

(h

2π

)21

I, hvor I er treghetsmomentet.

Nar temperaturen er sa lav at den termiske energien kBT er mye lavere enn denneenergien, er molekylene “frosset i grunntilstanden”.

Av toatomige molekyler er det hydrogen som har det minste treghetsmomentet, ogdermed den høyeste terskelenergien E

(min)rot . Det betyr at alle andre molekyler har

terskeltemperatur for rotasjonseksitasjon som er lavere enn for hydrogen. Hydrogenhar terskeltemperatur pa 80-90 K (se grafen). Man har derfor at

ved romtemperatur kan man trygt regne med at rotasjonsfrihetsgradene skalvære med i beregning av varmekapasiteten for alle molekylære gasser.

Vibrasjonsenergien er det vanskeligere a generalisere om. For relativt lette moleky-ler kan man regne at vibrasjonsfrihetsgradene er “frosset ut” ved romtemperatur,men for tyngre molekyler kan de spille vesentlig rolle.

Varmekapasiteter og effektivt antall frihetsgrader for noen gasser ved romtempera-tur (300 K) er gitt nedenfor.

Gass c′V /kB nefff

He 1,50 3Ar 1,50 3


H2 2,46 4,92N2 2,50 5,00O2 2,54 5,08CO 2,51 5,02


CO2 3,42 6,84SO2 3,78 7,56H2S 3,12 6,24

11.8.2 Faste stoffer: Dulong-Petits lov

Den enkleste varmekapasitetsmodellen for et fast stoff bestar i a se pa stoffet somei samling av vibrerende atomer, dvs. ei samling av harmoniske oscillatorer. Hveroscillator kan vibrere i tre retninger, og har bade potensiell og kinetisk energi i hverav disse retningene.

Dermed blir antall frihetsgrader per atom nf = 6 – og varmekapasiteten per atom


i samsvar med Dulong-Petits7 lov

c′V ≈ 3 R Dulong-Petits lov, (11-29)

– og med c′p praktisk talt den samme (fordi faste stoffer utvider seg minimalt vedoppvarming i forhold til gasser).

c′V /RAl 2,96Be 2,13Cu 2,98Fe 3,16NaCl 6,18

I praksis stemmer det rimelig godt for de fleste metaller vedog over romtemperatur (300 K), men ikke for alle.

Varmekapasitet for noen faste stoffer ved 300 K til venstre.

11.9 Adiabatiske prosesser

11.9.1 Ideell gass

Adiabatiske prosesser8 er prosesser hvor det ikke foregar varmeutveksling, dvs. hvorQ = 0. I praksis kan prosesser ofte regnes som adiabatiske nar de gar sa fortat det ikke blir tid til varmetransport. Typiske eksempler er hurtige kompresjon-er/dekompresjoner i lydbølger og i stempelmotorer.

Nar vi har opplysninger om en termodynamisk prosess i tillegg til tilstandslikninga,kan vi bruke dette til f.eks. a eliminere en av de tilstandsvariable.

Vi skal vise at for en adiabatisk prosess i en ideell gass finner vi en sammenhengmellom trykk og volum av form pV γ = konstant, hvor γ = c′p/c

′V .

I utledningen far vi bruk for en viktig relasjon for ideell gass:

dU = CV dT = nM c′V dT. (11-30)

Bevis: For en ideell gass ved konstant V er dQ = CV · dT . Samtidig gjeldervarmelæras 1. hovedsetning: dQ = dU + pdV = dU (ved konstant V ). Dette girdU = CV · dT .9

7Etter Pierre Louis Dulong (1785-1838), fransk fysiker, kjemiker og lege, direktør ved EcolePolytechnique fra 1830 - og hans kollega Alexis Therese Petit – de fant at produktet av atomvektog spesifikk varme for elementer i fast tilstand er ca. 6 cal/C.

8Gresk adiabatos, a - ikke, diabaino - slippe gjennom, passere9Egentlig litt for enkelt bevis. Forutsetter ogsa at U ikke er avhengig av volumet, som gjelder

for ideell gass - der det ikke er vekselvirkning mellom molekyler. Da er dU =(

∂U∂T

)V

dU =(dQ/dT )V dT = CV dU . (En gass som har molekylvekselvirkning er f.eks. van der Waals gass, sekap. 11.11.1).

11.9. ADIABATISKE PROSESSER 135

For en adiabatisk prosess er dQ = 0, per definisjon, slik at varmelæras 1. hoved-setning gir energikonserveringslikninga

dU + p dV = 0. (11-31)

Trykket p setter vi inn fra tilstandslikninga – og bruker ogsa at R = c′p − c′V :

p = nM RT1

V= nM (c′p − c′V )T

1

V(11-32)

p dV = nM T (c′p − c′V )dV

V. (11-33)

Dette uttrykket samt dU fra likn. (11-30) settes inn i likn. (11-31), som gir

nM c′V dT + nM T (c′p − c′V )dV

V= 0. (11-34)

Ved divisjon av hele likninga med nM T c′V gar dette over i

dT

T+ (γ − 1)

dV

V= 0. (11-35)

Integrasjon gir ln T + (γ − 1) lnV =konstant, dvs.

T V γ−1 = konstant. (11-36)

Setter vi her inn for T fra p V = nM RT , far vi

p V · V γ−1

nM R= konstant, hvor nM R er konstant, dvs.

p V γ = konstant, hvor γ =Cp

CV. (11-37)

11.9.2 Lydhastigheten i en ideell gass

Vi har tidligere funnet at lydhastigheten i ei væske eller en gass er

vlyd =√

B/ρ, (11-38)

hvor ρ er massetettheten og B er volumelastisitetsmodulen, definert ved

∆p = −B∆V

V. (11-39)

Lydbølgene er hurtige kompresjoner og dekompresjoner – og det er ikke tid tilvarmeutveksling over lengde av størrelsesorden bølgelengden i løpet av en sving-ningsperiode. Ei lydbølge er følgelig ‘en adiabatisk prosess’.

For a finne vlyd, ma vi ha tak i B for en adiabatisk prosess.


Fra adiabatlikninga pV γ = konstant far vi ved derivasjon

dp · V γ + p · γ V γ−1dV = 0 , dvs.

dp = −γp · dV

V,

(11-40)

og følgelig er volumelastisitetsmodulen

B = −Vdp

dV= γ p = γ · nMRT

1

V. (11-41)

Na er nMR = NkB der N er antall molekyler. I uttrykket vlyd =√

B/ρ ovenfortrenger vi massetettheten ρ til luft. Med masse m per partikkel far vi ρ = N m

V, og

dermed er B

ρ= γ ·NkBT

1

V· V

N m=

γkBT

m, (11-42)

og lydhastigheten blir

vlyd =

√γkBT

mLydhastigheten i en ideell gass. (11-43)

Talleksempel:Luft ved 300 K:Toatomig gass, 3 translasjonsfrihetsgrader og to rotasjonsfrihetsgrader ⇒ nf = 5,og massetallet er (midlet over oksygen, nitrogen og litt argon) ca. 29.

γ = (nf + 2)/nf = 7/5 = 1, 4kBT = 1, 38 · 10−23 J/K · 300 K = 4, 14 · 10−21 Jm ≈ 29 · 1, 6605 · 10−27 kg = 4, 81 · 10−26 kg – og dermed faes

vlyd =√

1,4·4,14·10−21

4,81·10−26

√Jkg

= 347 m/s

11.9.3 Ruchardts eksperiment

Ruchardts eksperiment er et eksperiment – ofte brukt i studentlaboratorier – tilmaling av adiabatkonstanten γ.

11.10. TRANSPORTPROSESSER I IDEELLE GASSER 137

p, V, T

............................................

....... m

-................................................................................. d

Ei kule, med masse m og diameter d, er plassert innei et slipt glassrør, og kan svinge opp og ned inne iglassrøret pa ei “fjærende pute av gass”.I likevekt – dvs. nar kula ligger i ro – er volumet avden avstengte gassen V0, og temperatur og trykk T0 ogp0.Man maler svingeperioden for kula, τ , og finner fra denmalte verdien av τ adiabatkonstanten γ.

Kulas posisjon (høyde) relativt likevektposisjonenkaller vi y – og vi skal fra Newtons 2. lov finne ei svin-gelikning for y(t).

La oss kalle rørtverrsnittet A; vi kan seinere sette inn A = πd2/4. Krafta som virkerpa kula, er F = A ∆p, og uttrykk for ∆p finner vi fra adiabatlikninga (se f.eks.likn. (11-40)): ∆p = −γp∆V/V , hvor vi kan sette inn ∆V = A y. Vi antar avvikenefra likevekt er relativt sma, dvs. |∆V/V | 1 og |∆p/p| 1.

Newtons 2. lov F = my gir na

−A · γp · Ay/V = m y ⇒ y +γA2p

mVy = 0. (11-44)

Dette er ei standard svingelikning med ω20 = γA2p/mV , dvs. perioden til svingnin-

gene er

τ =2π

ω0= 2π

√mV

γA2p(11-45)

Talleksempel:Anta et volum V = 10 l = 0, 01 m3, fylt med luft – dvs. med γ = 1, 4. Diameteren parør og kule er d = 16 mm, og kula er av messing, med massetetthet ρ = 8, 4 g/cm3 =8, 4 ·103 kg/m3. Dette gir A = πd2/4 = 201 ·10−6 m2, og m = ρ ·πd3/6 = 0, 0180 kg.Trykket er p ≈ 1 atm ≈ 105 Pa.10 Innsetting i uttrykket for τ gir dermed τ = 1, 13 s.

11.10 Transportprosesser i ideelle gasser

Vi vil her prøve a gi et mikroskopisk innblikk i hva varmeledning og viskositetegentlig er for slags prosesser – og skal foreta halvkvantitative beregninger for enenkel ideell gassmodell.

10Vi skal strengt tatt legge til trykket som skyldes vekten av kula, δp = mg/A – dette blir ca.880 Pa, og gir mindre enn 1 % korreksjon til atmosfæretrykket.


Varmeledning innbefatter forflytning av energi gjennom molekylbevegelsene, og for-di varmeledning normalt foregar ved konstant trykk, ma energien som flyttes hamed varmekapasiteten Cp a gjøre.

Viskositet innbefatter forflytning av “ordnet impuls” = (masse)·(strømningshas-tighet) gjennom molekylbevegelsene.

I begge tilfeller er det forflytning av molekyler som er den underliggende transport-mekanismen. Vi starter derfor med a se pa hvor langt og fort molekyler vandrer ien gass før de stoppes ved kollisjon med andre molekyler.

11.10.1 Fri veglengde og fri tid mellom støt

Vi tar for oss en modellgass som bestar av like store harde kuler, alle med diameterd. Blant disse plukker vi ut en “testpartikkel”, med hastighet

→v , og følger den.

De øvrige partiklene i gassen vil ha hastigheter i alle retninger og med en fordelingav verdier, men i middel ligger de i ro. Sa nar vi regner ut hva som skjer medtestpartikkelen, regner vi her som alle de andre ligger i ro.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

q- →

v..................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

...........................

......................................................................................................................................................

...............................

...........................

.....................................................................................................................................................

................................

.............

.............

6

?d

6

?

2d Testpartikkel med hastighet→v og

diameter d = 2r.

Nar testpartikkelen beveger seg gjennom gassen, vil den treffe alle andre partikleri avstand mindre enn r + r = d fra testpartikkelens sentrum – dvs. partikler medsentrum i en sylinder om

→v -retning med tverrsnittsareal πd2. Vi sier at partiklene

har et støttverrsnitt σ = πd2,

σ = π d2 Støttverrsnittet. (11-46)

Hvor langt gar testpartikkelen i middel før den treffer pa en annen partikkel?

I løpet av ei tid ∆t vil partikkelen ga ei lengde ` = v∆t, og ha støtt pa de andrepartiklene som matte være innenfor et volum ∆V = σ` = σv∆t. Innenfor ∆V vildet i middel være n ∆V partikler, hvor n = N/V er antalltettheten til gassen – ogvi vil i middel ha fatt n ∆V = n σv∆t støt i denne tida.

Midlere fri veglengde før støt, `0, er definert ved

`0 =lengde

antall støt=

v ∆t

n σv∆t=

1

nσMidlere fri veglengde. (11-47)


Hva er midlere fri tid mellom to støt, τ , og tilsvarende midlere støtfrekvens ν = 1/τ?

Midlere fri tid: τ =tid

antall støt=

∆t

nσv∆t=

1

nvσ

Støtfrekvens: ν = 1/τ = nvσ.

(11-48)

Talleksempel:Diameteren for sma molekyler er av størrelsesorden noen tideler nanometer. Tasom typisk verdi d ∼ 0, 35 nm. Dette gir σ = πd2 ∼ 0, 4 (nm)2 = 40 · 10−20 m2.Ved NTP er n = 2, 6860 · 1025 m−3, og man far

`(NTP)

0 = 1/(nσ) ∼ 0, 1 µm.For luft er v ∼ 500 m/s, og midlere fri tid mellom støt blir da

τ (NTP)

luft = `(NTP)

0 /v ∼ 2 · 10−10 s = 0, 2 ns.

Og for sammenlikning – lyshastigheten er 30 cm/ns – sa mellom to støt gar lysetca. 6 cm. Stor kollisjonsaktivitet!

11.10.2 Varmeledning

-

6

T

x

Vi tar na for oss en gass som det eren temperaturforskjell gjennom. Laoss anta – i alle fall over et mindreomrade – at temperaturgradientener konstant, dvs. dT/dx = konstant.

Innstilling av trykklikevekt – det vi i termodynamikk kaller “mekanisk likevekt” –er en hurtig prosess i forhold til temperaturutjamning ved varmeledning, sa vi vilanta at trykket p =konstant.

Varmestrømmen vil prøve a jamne ut temperaturgradienten, og gar i retning motdenne. Etter Fouriers lov (10-13) og med λ = varmeledningsevnen, er varmestrøm-tettheten

jQ = −λdT

dx, (11-49)

Og hva blir na λ for var modellgass av stive kuler?

En grov beregningsmodell er skissert nedenfor:


-

6

x

T

.........

.........

.........

..........

.....

.........

.........

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

.........

.......

..........

......

.....

=⇒j+n

⇐= j−n

-............ -............`x `x

x0

Stiller man seg opp i en posisjon x0,vil man se partikler som strømmer mothøyre med strømtetthet j+

n , og par-tikler som strømmer mot venstre medstrømtetthet j−n .Hver partikkel frakter i middel medseg en varme cp,m T (x), hvor x erstedet partikkelen kommer fra og cp,m

er varmekapasitet per partikkel.

Vi vil late som om partiklene (i middel) alle kommer fra steder en fri veglengde `x

fra x0, dvs. fra x0 ± `x.

Partikkelstrømtetthetene j±n (enhet #/m2s) i en retning er gitt av produktet avantalltetthet n og hastighet vx i den retningen – med tillegg av en faktor 1/2 fordihalvparten av partiklene gar i motsatt retning. Varmestrømtetthetene j±Q (enhetJ/m2s) blir produktet av partikkelstrømtetthet og varme som fraktes per partikkel.

j±n (x) =1

2n(x) vx(x) (11-50)

j±Q(x) = j±n (x) · (cp,m T (x)) =1

2n(x) vx cp,m T (x). (11-51)

Ved bruk av ekvipartisjonsprinsippet finner vi at middelhastigheten vx med godtilnærmelse kan settes lik

vx ≈√

v2x =

√kBT

m. (11-52)

Vi antar i det følgende enatomig gass, dvs. nf = 3, slik at c′p = 52R og cp,m = 5

2kB.

Dermed har vi

j±Q(x) ≈ 5

4nkBT (x)

√kBT (x)

m. (11-53)

Bruk av ideell gasslov – nkBT = p som er antatt konstant – gir endelig

j±Q(x) ≈ 5

4p

√kB

m

√T (x), (11-54)

hvor den eneste størrelsen som varierer med posisjonen, er T (x).

Total varmestrømtetthet kan na skrives som

jQ(x0) = j+Q(x0 − `x)− j−Q(x0 + `x). (11-55)

Temperaturuttrykkene som inngar her, tilnærmer vi ved ei første ordens Taylor-rekke om x0,

f(x0 ± lx) ≈ f(x0) +df

dx0· (±lx) med f(x0) =

√T (x0) = T

12 (x0) :

T12 (x0 ± `x) ≈ T

12 (x0) +

1

2T− 1

2dT

dx0

· (±`x), (11-56)


og far da, nar vi tilbakesubstituerer for p fra ideell gasslov,

jQ(x0) ≈ −5

4nkBT

√kB

mT`x

︸︷︷︸λ

dT

dx0. (11-57)

Sammenlikning med Fouriers lov viser at vi na har funnet et uttrykk for varmeled-ningsevnen λ.

Vi skal rydde opp litt før vi er helt ferdige: Vi valgte x-retningen med fri veglengdelx. De andre retningene y og z har samme fri veglengde: lz = ly = lx, slik atsammenheng mellom lx og fri veglengde l0 i tre dimensjoner (som gitt ved likn.(11-47)) er

l20 = l2x + l2y + l2z = 3 l2x (11-58)

⇒ lx =l0√3

=1

nσ

1√3. (11-59)

Setter vi inn dette, star vi igjen med

λ =5

4√

3

√kBT

m

kB

σ. (11-60)

Vi hadde valgt en enatomig gass med cp,m = 52kB. For andre gasser vil 5 erstattes

av nf + 2 i likningen over. For den enatomige gassen er faktoren 54√

3= 0, 722.

En mer nøyaktig og innfløkt beregning pa denne modellen gir i stedet en faktor√1/π = 0, 564 – sa vi har kommet ut 28 % for høyt. For toatomige gasser og andre

gasser er feilen mindre, under 8 %. Sa vi har truffet godt trass i temmelig grovetilnærmelser.

Merk at gasstettheten n ikke er med i uttrykket for λ.11 Den fysikalske grunn tildette er at med økende tetthet blir det nok flere partikler til a frakte varmen,men de gar akkurat tilsvarende like mye kortere mellom støtene - sa effekten avforandring av partikkeltetthet pa transportert varme blir null.

11.10.3 Viskositet

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-

--

--

-ux(y)

6

?

b

-Fx

Fx -

6

x

y

-v0x

“Definisjonseksperimentet” for visko-sitet er vist til venstre, jfr. kap. ??

11Bare gyldig for systemer hvor l0 << L, hvor L er systemets karakteristiske lengde. For laveretrykk har gasser darlig varmeledningsevne, jamfør bruken av “vakuum” i termosflasker.


Ei væske er begrenset av to plane, parallelle plater med avstand b, som bevegerseg i forhold til hverandre med konstant relativ hastighet v0x. Dette gir væska enhastighet ux(y) som varierer lineært med posisjonen y : ux(y) = u0x · y/b.

Krafta per flateenhet som skal til for a bevege platene ble analysert i kap. ??, oger – etter Newtons 2. lov –

Txy =Fx

Ay

= ηu0x

b= η

∂ux

∂y, (11-61)

hvor η er skjærviskositeten og Txy skjærspenninga, som beskrevet i likn. (??).

La na væska erstattes av en ideell gass (viskositetsloven gjelder for alle fluider –ogsa gasser). Hva blir na η for var modell?

Den underliggende mekanismen bak viskositeten er transport av retta impuls mux(y)med molekylbevegelsene, i retning loddrett pa strømningsretningen eex. Og bereg-ninga blir svært mye den samme som ved beregning av varmeledning.

-

6

y

ux

.........

.........

.........

.........

......

.........

..........

.........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

..........

......

.........

.......

.....

=⇒j+n,y

⇐= j−n,y

-............ -............

`y `y

y0

Stiller man seg opp i en posisjon y0,vil man se partikler som strømmer mothøyre med strømtetthet j+

n,y = 12nvy,

og partikler som strømmer mot venstremed strømtetthet j−n,y = 1

2nvy.

Hver partikkel frakter i middel med segen retta impuls mux(y), hvor y er stedetpartikkelen kommer fra.Og vi antar at strømningshastighetenux er liten i forhold til midlere uordnethastighet pa gasspartiklene, ux v.

Impulsstrømtetthetene j±p,xy – dvs. strømtetthetene i y-retning av impuls p i x-retningen – er produkt av retta impuls per partikkel og partikkelstrømtetthet, dvs.

j±p,xy(y) = [mux(y)] · j±n,y = mux(y) · 1

2n vy. (11-62)

Total impulsstrømtetthet faes ved a ta differansen mellom høyrestrøm j+p,xy(y0−`y)

og venstrestrøm j−p,xy(y0+`y) – og det eneste som varierer med y er na strømningshas-tigheten ux(y). Ved bruk av ei 1. ordens Taylorrekke tilsvarende hva vi gjorde forvarmeledning, fas da

jp,xy = −m n vy `y∂ux

∂y. (11-63)

Det gjenstar da bare a tolke hva jp,xy er rent fysisk. Fra likn. (11-62) ser vi atdimensjonen er: [jp,xy] = (kg m/s) · (m−3 m/s) = (kg m s−2) · m−2 = N/m2, dvs.mekanisk spenning eller altsa skjærspenning. Det betyr at jp,xy er skjærspenningavæska bremser platene med – med motsatt fortegn av Txy, etter actio reactio est12.

12Etter Newton: Kraft er lik motkraft

11.11. KONDENSASJON OG KRITISK PUNKT 143

Proporsjonalitetsfaktoren foran ∂ux/∂y er følgelig viskositeten η. Med innsettingfor fri veglengde og middelhastighet som ved behandling av varmeledning, far vidermed at

η =1

σ

√m kBT

3. (11-64)

Merk at for gasser er viskositeten, slik som varmeledningsevnen, uavhengig av an-talltettheten n nar l0 << L.

11.11 Kondensasjon og kritisk punkt

Hvis temperaturen ikke er for høy, vil en gass som presses sammen, kondensere,enten til ei væske, eller direkte til et fast stoff.

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................... .......................................... ..........................................

.......................................... .......................................... .................................................................................... ..........................................

r r r rr r r rr r r r rr r r r rr r r r r

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

..........................................................................................

..........................

....

Illustrasjon av gass-væske likevekt:Ved kompresjon av gass – ved antatt konstant tempe-ratur – kondenseres gassen til væske i bunnen av karet.

Vi tar først for oss bare gass-væske overgangene, og betrakter en isolert mengde avmediet – dvs. et gitt antall mol.

-

6

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................

.............

............

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................

........................................................... kritisk punkt

V

p

T1

T2 = Tc

T3

T4 = Ttrip

væske

gassgass+væske

gass+fast

?....................................

...........................................................................................................

.................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................

......................................................................................

............................................................

....................................

........................

Tilstanden til mediet kan beskrives ved ategne isotermer13 i et pV -diagram, somvist til venstre.Øvre del av det skraverte omradet vis-er hvor gass og væske sameksisterer(gass-væske likevekt). I dette omradetkan volumet forandres uten forandringav trykket. Nedre del av det skraverteomradet viser hvor gass og fast stoffsameksisterer. De to skraverte omradeneskilles ved trippelpunktet, Ttrip, enestetemperatur der gass, væske og fast stoffkan sameksistere.

Til høyre for det skraverte omradet er alt gass, mens til venstre (over trippelpunk-tet) er alt væske, og det kreves svært stort trykk for a redusere volumet ytterligere.

Hvis temperaturen blir lik en kritisk temperatur Tc, forsvinner sameksistensomradet,

13Iso-term: Samme temperatur, T = konstant.


og ved høyere temperaturer har man bare en fase. dvs. – ved temperaturer T > Tc

kan gassen ikke kondenseres.

GassTc

K

pc

105 Pa

He 5,3 2,26H2 33,3 13N2 126,1 35O2 154,4 50,8CO2 304,2 72,9H2O 647,4 217,5

Kritisk temperatur Tc og tilhørende kritisktrykk pc for noen gasser er vist i tabellen tilvenstre.Trykket er vist i enheter 105 Pa, som er sværtnær en atmosfære, 1 atm = 1,013·105 Pa.

11.11.1 van der Waals likning

Mot slutten av 1900-tallet hadde man greid a kondensere en rekke gasser, men noengjensto, deriblant hydrogen og helium. Og man famlet en stund temmelig i blindefor a finne ut hva slag temperaturer man matte ned i, og hva slag trykk man mattebruke, for a komme fram.

van der Waals14 laget en modifisert tilstandslikning for gasser, som kunne brukesogsa nar gassen begynte a bli heller tett – dvs. nær det kritiske punkt. Den nyetilstandslikninga inneholdt to parametrer i tillegg til det man har for ideell gass.Ved a se pa trenden i disse to parametrene for gasser man hadde greid a kondensere,kunne man peile seg inn pa hvor kritisk punkt la ogsa for de to gassene som stoigjen.

Veiledet av van der Waals likning kondenserte Dewar15 hydrogen rett etter ar-hundreskiftet, og greide seinere ogsa a lage fast hydrogen. Helium ble kondensert avKamerlingh-Onnes16 i 1908. Kokepunketet for helium ved normalt atmosfæretrykker 4 K (-269 C). Kokepunketet for nitrogen ved normalt atmosfæretrykk er 77 K(-196 C).

Vi skal skissere utledninga av van der Waals likning. Utgangspunkt er den ideellegasslov,

pV = NkBT. (11-65)

I en ikke sa veldig fortynnet gass er det i første omgang to korreksjoner a gjøre tildenne:

– Hver partikkel tar opp et volum ∆V , tilsammen blir dette et volum N ∆V .

14Johannes Diederik van der Waals (1837-1923), professor i Amsterdam, likninga ble publiserti 1881, og Nobelprisen innkassert i 1910.

15James Dewar (1842-1923), professor i Cambridge og seinere direktør for The Faraday Labo-ratories – kanskje vel sa kjent for a ha oppfunnet termosflasken.

16Heike Kamerlingh-Onnes (1853-1926), professor i Leiden – ogsa oppdager av superfluiditet,Nobelpris i 1913.


Dette kommer til fradrag i volumet V hvor partiklene kan finne, dvs. V →V −N ∆V .

– Partiklene virker pa hverandre med tiltrekkende krefter (nar partiklene ernærme hverandre, men ikke helt i kontakt) – det er dette vi idag kaller vander Waalske krefter. Dette gjør at partiklene treffer veggen med mindre has-tighet enn de ville gjort i en ideell gass, og dermed at malt trykk p blirredusert med en (positiv) størrelse ∆p, som ma legges til trykket som inngari tilstandslikninga.

Den modifiserte gassloven kommer dermed pa form

(p + ∆p)(V −N ∆V ) = N kBT. (11-66)

Sa var det a finne et uttrykk for ∆p. Her ma man ta med to effekter:

– Hastigheten til partiklene som treffer veggen, reduseres med en faktor proporsjon-al med hvor mange partikler det er i nærheten, dvs. med en faktor proporsjonalmed antalltettheten n = N/V .

– Og antallet partikler som treffer veggen per tids- og flateenhet, er ogsa propor-sjonalt med antalltettheten.

Dermed blir midlere impuls til veggen per tids- og flateenhet – dvs. trykket –redusert fra ideell gass-trykket med en størrelse proporsjonal med (N/V )2, og viskriver ∆p = α (N/V )2.

Tilstandslikninga kommer dermed over pa form(

p + α

(N

V

)2)

(V − β N) = N kBT, (11-67)

hvor vi har substituert ∆V → β.

Hvis vi dividerer hele likninga med antall mol nM = N/NA, introduserer gassvolumper mol: vM = V/nM, volum som et mol av molekylene opptar: b = βNA ogomdefinerer a = αN2

A, kan dette i stedet skrives pa normalformen

(p +

a

v2M

)(vM − b) = RT van der Waals likning. (11-68)

Kritisk punkt har man der bade∂p

∂vMog

∂2p

∂v2M

er null – og litt derivasjonsarbeid gir

pc, Tc =

a

27b2,

8a

27Rb

. (11-69)

Tabeller over a og b for endel gasser kan finnes f.eks i kjemilærebok (Eks. S.S.Zumdahl, kap. 5).


11.11.2 Fasediagram og trippelpunkt

Det er ikke alltid et medium gar over fra gass til væske, nar det presses sammen– selv om temperaturen er under den kritiske temperatur. Det kan ogsa ga di-rekte over til fast stoff, og vise versa. Prosessen (kondensert fase) → (damp/gass)kalles da ikke fordamping, men sublimasjon. Dette skjer nar temperaturen er undertrippelpunktet.

............

......................

............

......................

............

......................

.................

.................

.................

.................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................

.................................................................................................

.....................................s

s............................................................................................................................................................................

200 400 600 K10−6

10−4

10−2

1, 0

atm

102

isvann

damp............................................................................ trippelpunkt

Dette illustreres gjerne i et pT -fasediagram, som vist til venstre forvann.Merk at trykkaksen her er logaritmisk– det er ikke mulig a fa med alt av in-teresse pa en lineær trykkskala.

Med dette slutter vi kapitlet om kinetisk gassteori – og overlater alt annet omfasediagrammer til “materialfag”.


• Kinetisk gassteori blir her presentert som enkle mekaniske modeller for beskriv-else av egenskapene til gasser. Malet til kinetisk gassteori er a gi sammenhen-gen mellom mikroskopisk (atomær/molekylær) beskrivelse og makroskopiskbeskrivelse (kontinuumsbeskrivelse) av gasser.

• Tilstandslikninger er likninger som gir sammenhengen mellom de paramet-rene som beskriver systemet pa makroskopisk niva.

• Den mest kjente tilstandslikningen, den ideelle gassloven, pV = nMRT , kanutledes ved bruk av kinetisk teori nar man bruker at trykk er lik impulsforan-dring per flate- og tidsenhet.

• Indre energi, U , for en gass er atomenes/molekylenes translasjonsenergi plussmolekylers rotasjons- og vibrasjonsenergi pluss eventuell vekselvirkningsen-ergi mellom atomene/molekylene.

• Varmelæras 1. hovedsetning er ei energikonserveringslikning: dQ = dU +dW ,hvor dQ er varme inn til systemet, dU er økning i systemets indre energi ogdW er arbeid utført av systemet pa omgivelsene.


• Antallet frihetsgrader for et atom eller molekyl er det minste antall parametresom skal til for a beskrive den newtonske dynamikken til en makroskopiskmodell av molekylet.

• Ekvipartisjonsprinsippet sier at for et ikke-kvantemekanisk system i termody-namisk likevekt er den indre energien per atom/molekyl lik 1

2kBT per frihets-

grad. Forutsetningen er at temperaturen er høy nok til at de kvantemekaniskeenergiene er eksitert.

• Adiabatkonstanten er gitt som γ = Cp/CV , hvor Cp og CV er varmekapasitetenfor prosesser med henholdsvis konstant trykk og temperatur.

• Adiabatiske prosesser er prosesser hvor det ikke foregar varmeutveksling medomgivelsene – eller varmeutvekslinga er mye langsommere enn de karakteris-tiske tidene til det fenomenet som man studerer. Her gjelder adiabatlikningenpV γ =konstant.

• Fri veglengde mellom støt angir hvor langt et atom/molekyl gar før det kol-liderer med et annet. Ved normalt atmosfæretrykk er denne lengden ca. 0,1µm, mens den ved 10−7 atm er ca. 1 m. Tid mellom støt i luft med normaltatmosfæretrykk er ca. 0,2 ns.

• Hvis man komprimerer en gass tilstrekkelig ved konstant temperatur som erlavere enn den sakalte kritiske temperatur, vil gassen etter hvert kondenseretil væske. Er temperaturen under trippelpunktet, vil gassen kondensere tilfast stoff.

• van der Waals likning for gasser inkluderer at gassatomene/molekylene haren visst volum og at de tiltrekker hverandre: (p + a/v2

M)(vM− b) = RT , hvora inneholder informasjon om tiltrekninga mellom atomene/molekylene og ber volumet til et mol av atomene/molekylene.

Kapittel 12

Termodynamiske kretsprosesser

Innhold12.1 pV -diagrammer og arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12.1.1 Arbeidet er avhengig av banen . . . . . . . . . . . . . . 151

12.1.2 Kretsprosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.1.3 Prosesstyper – terminologi . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.1.4 Reversibel og ikke-reversibel prosess . . . . . . . . . . . 152

12.1.5 Joule-Thomson effekten – og Lindes kjølemaskin . . . . 153

12.2 Sykliske varmekraftmaskiner . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12.2.1 Termisk virkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.2.2 Otto-syklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12.2.3 Diesel-syklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

12.3 Kjølemaskiner og varmepumper . . . . . . . . . . . . . . 159

12.3.1 Kjøleprinsipper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.3.2 Kjøleanlegg med kjølemedium i gass/væske likevekt . . 160

12.4 Carnotprosessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.4.1 Carnotsyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.4.2 Carnotprosess i en ideell gass . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.4.3 Generell Carnotprosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.4.4 Konsekvenser for virkelige kraftverk . . . . . . . . . . . 164

12.4.5 Carnotprosessen og temperaturdefinisjonen . . . . . . . 165

12.5 Varmelæras 2. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.6 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.6.1 Clausius ulikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

12.6.2 Definisjon entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.6.3 Entropien for en ideell, enatomig gass . . . . . . . . . . 167

12.6.4 Entropien og 2. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . 169

149

150 KAPITTEL 12. TERMODYNAMISKE KRETSPROSESSER

12.6.5 Misbruk av 2. hovedsetning . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.6.6 Sluttord – om termodynamikk og kultur . . . . . . . . . 170

Vi skal i dette kapittelet vesentlig ta for oss de deler av termisk fysikk som errelevante for forstaelsen av hvordan varmekraftmaskiner (bensinmotor, dieselmotor,dampmaskin) og kjølemaskiner (kjøleskap, varmepumper) virker. Til slutt legger vitil litt om entropi – en for mange litt magisk størrelse som gir et kvantitativt malfor uorden.

I tillegg formulerer vi varmelæras 2. hovedsetning – som alle sivilingeniører somen del av sitt kulturgrunnlag skal vite hva er .

Vi definerer deretter temperaturskalaen pa nytt – denne gang abstrakt og ikkeavhengig av noe medium – ikke engang ideell gass.

Noen grunnbegreper bør være pa plass før man setter igang:

* Termodynamisk tilstand : p, V, T (N partikler, nM = N/NA mol)

* Termodynamisk prosess : (p1, V1, T1)→ (p2, V2, T2)

* Positiv varmemengde : Q (J ) til systemet (fortegnskonvensjon)

* Arbeid ved volumforandring : dW = F ds = (pA)dx = pdV

* Indre energi : U = mikroskopisk (kin. + pot.) energi

* 1. hovedsetning : dQ = dU + dW (energikonservering)

* U = U(p, V, T ) er en tilstandsfunksjon.

Q, W er ikke tilstandsfunksjoner, de avhenger av prosessens “veivalg”.

12.1 pV -diagrammer og arbeid

-

6

..................................................................................................................................................................................................................................q

e1e2

p

V

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.....

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..

..................

..........................................

............................................................

...................................................................................

.....................................................................................................

.......................................................................................................................

....................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

.......................................................................................................................

.........................................................................................

............................................................

..............................

La oss ta for oss en prosess, (p1 V1)→ (p2 V2)langs en gitt bane, som vist. Utført arbeid iprosessen er W =

∫ 2

1dW =

∫ 2

1pdV som er

det skraverte arealet pa figuren.

Forutsetninga for at vi skal kunne beregne arbeidet som∫

pdV er, naturligvis, attrykket p er veldefinert langs hele banen, dvs. at banen gar gjennom veldefinerte ogkontinuerlige mellomtilstander (p, V, T ). I sa fall kan man i prinsipp snu prosesseni et hvilket som helst lite deltrinn: Prosessen er reversibel. Vi vil i det følgendeforutsette reversible prosesser, unntatt nar annet er sagt eksplisitt.

12.1. PV -DIAGRAMMER OG ARBEID 151

12.1.1 Arbeidet er avhengig av banen

-

6

V

p e1

e2qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq?

-

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.........

.......

..........

......

..........

......

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

WA

-

6

V

p e1

e2qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

?

-

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.......

.........

.......

..........

......

.........

.......

.........

.......

..........

......

..........

......

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

WB

Figuren over illustrerer hvordan to ulike baner mellom samme start- og slutt-tilstander gir ulikt arbeid, WA og WB.

12.1.2 Kretsprosess

-

6

V

p e1

e2.......................................................................................................

.......................................................................................................

R A

Ib ................................................................

............................................................

.....................................................

........................................................

...........

............................................................

.....................................................

...........................................

........................

En kretsprosess er en prosess hvor manstarter og slutter i samme punkt, som illustr-ert til venstre. Arbeidet i den viste prosessener

W =

∮pdV

= W A12 + W B

21

= W A12 −W B

12 = skravert areal

Retninga til prosessen bestemmer fortegnet pa arbeidet: I prosessen pa figuren erarbeidet positivt – dvs. prosessen har utført arbeid – og det ma ha vært tilførtvarme for a fa dette til. Prosessen er dermed typisk for ei varmekraftmaskin.

Hvis retningen snus, blir arbeidet negativt, dvs. prosessen er tilført arbeid, og madermed ha mistet varmemengde. Dette er typisk for kjølemaskiner og varmepumper.

12.1.3 Prosesstyper – terminologi

Noen “rendyrkete” typer prosesser har egne navn, som man forutsettes a forstabetydninga av:

T = konstant : isoterm prosessp = konstant : isobar prosessV = konstant : isokor prosessQ = 0 : adiabatisk prosess.


12.1.4 Reversibel og ikke-reversibel prosess

For a illustrere begrepene reversibel og ikke-reversibel prosess, tar vi for oss etrelativt enkelt eksempel: Adiabatisk ekspansjon av en ideell gass, dvs. økning avvolumet uten a tilføre varme.

Følg med pa figuren. Vi starter med et volum V1 av gassen, ved temperatur T1 ogtrykk p1, og lar det utvide seg adiabatisk til det doble volumet, V2 = 2 V1, og medslutt-temperatur T2 og slutt-trykk p2. La oss, for a ha noe litt konkret a holde osstil, anta at gassen er luft, med p1 = 1 atm og T1 = 300 K, og adiabatkonstantγ = 1, 4.

Og vi lar utvidelsen skje pa to mater:

A: Et stempel trekkes langsomt ut (langsomt i forhold til molekylhastighetene), tilvolumet er blitt lik V2.

B: Volumet V1 er i utgangstilstanden delt av med en tynn skillevegg (diafragma),fra et like stort volum hvor det er vakuum (p = 0). Og sa ryker skilleveggen, oggassen strømmer fritt ut og fyller hele rommet.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqp1

V1

T1

⇒ qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqp2

V2 = 2V1

T2 < T1

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

...........

...........

...........

...........

...........

...........p1

V1

T1

p = 0V1

⇒ qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

p2

V2 = 2V1

T2 = T1

A:Reversibeladiabatiskprosess

B:Irreversibeladiabatiskprosess

A: (p1, V1, T1)→ (p2, V2, T2) reversibelt og adiabatisk,pV γ = konstant ⇒ p2 = p1/2γ = p1/2, 64 = 0, 38 atmTV γ−1 = konstant ⇒ T2 = T1/2γ−1 = T1/1, 32 = 227 Kog det er utført pdV -arbeid lik forandringen i indre energi (idet Q = 0):W = NCV ∆T = N 5

2kB T1(1− 1/2γ−1) = 5

2(1− 1/2γ−1)p1V1 = 0, 6 p1V1.

B: Intet arbeid er utført og ingen varme tilført, følgelig er indre energi bevart.Fordi gassen er forutsatt ideell, er dermed temperaturen uforandret, T2 = T1,og trykket har falt til p2 = p1/2. Det arbeidet W som kunne vært trukket ut,er gatt tapt. Det gar alltid “mulig arbeid” tapt i irreversible prosesser.

Det er vel verdt det a ta seg litt ekstra tid til a reflektere over hva som egentlig erforskjellen pa det som hender i de to eksemplene beskrevet ovenfor.

12.2. SYKLISKE VARMEKRAFTMASKINER 153

12.1.5 Joule-Thomson effekten – og Lindes kjølemaskin

Bildet vi tegnet av den irreversible ekspansjonen ut i vakuum, er ikke helt korrektfor reelle gasser.

Ved ekspansjonen ma det utføres litt arbeid likevel – det krever energi a fjernegassmolekylene fra hverandre nar det er (van der Waalske) tiltrekningskrefter mel-lom gassmolekylene. Da det ikke tilføres energi(varme) ma energien tas fra indreenergi U , og dermed gar kinetisk energi ned, og gassen kjøles. Effekten er størst vedlitt høye trykk og lave temperaturer – og er oppkalt etter herrene Joule og Thomson(Lord Kelvin) – som samarbeidet med eksperimentet hvor den ble funnet.

Sa – hvis man erstatter diafragmaet med en dyse der gassen passerer fra høyt trykkut til et lavt trykk – og pumper den kjølte gassen rundt noe som skal kjøles, ogsa tilbake igjen, har man en kjølemaskin (Lindes kjølemaskin). Den søler bort noeganske vederstyggelig med effekt – men den virker ogsa ved svært lave temperaturer,hvor vanlige kjølemedier som fluorokarboner og CO2 fryser. Hos oss – ved Instituttfor fysikk ved NTNU – bruker vi en slik maskin til a produsere flytende nitrogen(78 K) for hele NTNU.

12.2 Sykliske varmekraftmaskiner

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr6

-

TH

TL

Erkeeksemplet pa en syklisk varmekraft-maskin – som vel har vært i tankene hos defleste av teoribyggerne pa første del av 1800-tallet – er James Watts1 dobbeltvirkendedampmaskin.

Varm vanndamp fra en dampkjel (temperatur TH) slippes inn pa den ene siden avet stempel, mens dampen pa den andre siden av stempelet blases ut og kondenserestil vann i et kaldt reservoar (temperatur TL). Og sa sørger Watts geniale sleideventilfor at inn- og utblasingssidene bytter funksjon.

1James Watt (1736-1819), skotsk instrumentmaker, nær venn av Joseph Black (1728-1799),kalorimetriens far. Patent pa den første virkelig brukbare dampmaskinen i 1769 – den tidligeremodellen til Thomas Newcomen var temmelig hapløs, og brukte nesten ufattelige mengder kull.En populær historie vil ha det til at det eneste Watt gjorde, var a automatisere ventillukkinga –men det er ikke sant – det var det en ung gutt ved navn Henry Potter (ikke Harry) som gjorde.


-

6

BBBBB B

BBBB

-

MN

p

V

@@@

@@

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

TH

QH

|QL|

W

TL

Skjematisk kan dette framstilles i et pV -diagram, som vist øverst til venstre.(Diagrammet vist her er ikke korrekt i detalj –rette linjer er brukt fordi de er lette a tegne.)Eller det kan framstilles i etvarmestrømdiagram, som vist nederst tilvenstre.En varmemengde QH tas fra et reservoar medhøy temperatur TH, mens en varmemengde|QL| avgis til et reservoar med lav temperaturTL. Merk at QL gar ut av systemet og er derfornegativ.Energibalanselikninga for prosessen er

W = QH + QL = QH − |QL| (12-1)

Ideelt skulle man helst ha

QL = 0W = QH

men dette er umulig – som erei formulering avVarmelæras 2. hovedsetning

(12-2)

12.2.1 Termisk virkningsgrad

Den termiske virkningsgraden e (“efficiency”) for en syklisk prosess defineres som2

e =W

QHTermisk virkningsgrad, (12-3)

og er alltid mindre enn en,

e =W

QH=

QH + QL

QH=

QH − |QL|QH

= 1− |QL|QH

< 1 (12-4)

Talleksempel:

QH = 10 kJ per syklus (forbrenningsvarmen til bensinen)W = 2 kJ per syklus (til hjulene)e = W/QH ∼ 20%

2Alle termiske virkningsgrader er definert etter prinsippet: (hva som er nyttig)/(hva somkoster). Gjelder ogsa kjølefaktor og varmepumpers virkningsgrad (tas opp seinere).


– og dette er ganske elendig. Med klampen i bann opp Okstadbakken i middels storbil (100 kW = 84 hestekrafters motor) gar ca. 80 kW tapt til varme (sammenlikndette tapet med energiforbruket (“strømforbruket”) i din egen hybel/leilighet)!

12.2.2 Otto-syklus

Otto3 bygde i 1876 den første fungerende 4-taktsmotor.

En arbeidssyklus for en vanlig 4-takts bensinmotor er vist nedenfor. Bensin-luft-blanding fra forgasseren suges inn i sylinderen (nedadgaende stempel, apen innsug-ningsventil). Blandinga komprimeres (oppadgaende stempel, lukkede ventiler). Tenn-pluggen slar gnist ved maksimal kompresjon og blandinga forbrenner nær momen-tant, og stemplet drives nedover og utfører arbeid. Tilslutt blases forbrente gasserut (oppadgaende stempel, apen utblasingsventil).

innsuging

ajqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqAA-bensin

luft qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq?

kompresjon

bjqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqq


qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 6

tenning

cjqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqq


qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqrrrrrrrrrrrrrrr......................................

...................................

...................................

......................................

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

arbeidsslag

djqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqq


qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq?

utblasing

ejbj aj


qqqqqqqqqqqq


qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq -eksos

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 6

En idealisert modell av en syklus er vist i pV -diagram nedenfor.

-

6

............

......................

p

V

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

.............

............

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

s

Y....................................................................................................................

..................................................................................................

..............................................................................

...............................................

......................................

..............

e

b

d

c

a

...........................................................

...........................................................

..............................

..............................

QH

...........................................................

...........................................................

..............................

..............................

|QL|

V0/r V0

Arbeidsslag.......................

..........................

Ventil apnes

......................................................................................................

Kompresjon ...............................................

Gnist + forbrenning...................................................................................................................................

Eksos ut + bensininnsuging

..............................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................-b bOtto-syklus.

Vi starter etter innsugninga, nar sylindervolumet V0 er fylt med gass-bensin bland-ing ved lav temperatur (punkt b i diagrammet, temperatur Tb).

3Nikolaus August Otto (1832-1891), tysk ingeniør


Gassen komprimeres sa adiabatisk b-c (pV γ = konstant), til et minste volum V0/r,hvor faktoren r er kompresjonen. Temperaturen er da blitt Tc.

Sa forbrenner gassen, fort, slik at stemplet ikke far flyttet seg – dvs. ved konstantvolum. Gassen tilføres da forbrenningsvarmen QH, c-d i diagrammet (temperaturTd).

Og sa kommer arbeidsslaget d-e, gassen ekspanderer adiabatisk tilbake til volumV0. Temperaturen faller til Te.

Tilslutt apnes eksosventilen, gassen blases raskt ut og trykket synker bratt til caatmosfæretrykket (e-b). Varmemengden |QL| avgis. Total utblasing b-a med apeneksosventil og innsuging a-b med apen innsugingsventil skjer ved konstant (atmos-fære)trykk (horisontale linjer i figuren). Sa begynner man pa nytt med sammemengde kald gass.

Virkningsgrad

Varmemengdene QH og QL er

QH = NCV(Td − Tc) [> 0] (12-5)

QL = NCV(Tb − Te) [< 0], (12-6)

hvor N er antall molekyler, og virkningsgraden kan dermed skrives

e =QH + QL

QH

=(Td − Tc) + (Tb − Te)

Td − Tc

. (12-7)

Vi bruker adiabatlikninga TV γ−1 =konst. til a uttrykke Tb ved Tc og Te ved Td,

TbVγ−10 = Tc(V0/r)

γ−1

TeVγ−10 = Td(V0/r)

γ−1

⇒ Tb = Tcr

1−γ

Te = Tdr1−γ

⇒ e =

(Td − Tc)(1− r1−γ)

Td − Tc,

(12-8)

som gir følgende virkningsgrad for en idealisert Otto-prosess:

e = 1− 1

rγ−1. (12-9)

Talleksempel:Kompresjonen r kan komme opp mot 10 i motorer med høyoktan bensin, og gass-bensin blandinga er vesentlig luft, med γ = 1, 4. Dette gir en ideell virkningsgrade = 1− 10−0,4 = 0, 60. I reelle biler er gjerne e ∼ 0, 25 – vi har kommentert det før.


Motorbank og oktantall

Hvis kompresjonen r økes, øker ogsa virkningsgraden e. Samtidig øker ogsa tempe-raturen pa den komprimerte gassen (Tc).

Men – ved tilstrekkelig høy temperatur vil gass-bensin blandinga selvantenne – ogdette vil da kunne skje før stempelet nar topp-posisjon. Dette er vel noe mange haropplevd nar de har kjørt pa sakalt lavoktan bensin, og motoren har arbeidet tungtog derfor har gatt varm. Dette gir selvantenning av drivstoffet og motorbank4.

Eksempelvis vil ved kompresjon r = 10 og innsugningstemperatur Tb = 300 K tem-peraturen etter kompresjon bli Tc = 753 K = 480 C – og all normal bensin vil haselvantent før tennpluggen aktiveres.

Kompresjonen r ma holdes altsa holdes sa lav at det ikke blir selvantenning. Dettebegrenser den teoretisk høyest oppnaelige virkningsgrad for en Otto-motor.

Bensin som drivstoff karakteriseres etter hvor stor kompresjon som tales før manfar selvantenning, med en temmelig indirekte metode:

Man sammenlikner bensinen med en blanding av iso-oktan (C8H18) og n-heptan(C7H16), i en motor hvor kompresjonen kan varieres. Først kjøres motoren pabensin, og kompresjonen økes inntil motoren banker. Sa erstattes bensinen med eniso-oktan/n-heptan blanding; man starter med mye iso-oktan og øker sa n-heptanandelen inntil motoren igjen banker.

Oktantallet til bensinen er lik prosentdelen iso-oktan i blandinga som banker vedsamme kompresjon som bensinen.

100-oktan bensin tilsvarer en kompresjon pa omlag 9,7, 98-oktan en kompresjon pa9,0. Og dette er cirka-verdier – hvilket oktantall man kommer fram til kan varierenoe med hvilken motor man bruker ved testinga, samt lufttemperatur og fuktighet.

Bensin og liknende brennstoffer er hydrokarboner CnHm, og de grovklassifiseresetter verdien av n:

Hydrokarboner CnHm

n ∼ 5 – 10 bensinn ∼ 10 – 18 parafin/flybensinn ∼ 15 –25 diesel/fyringsoljen > 25 asfalt

4De første tilløpene til selvantennelsen skjer alltid som en følge av overflatekatalyserte reak-sjoner. Grunnen til at man benytter bly i bensinen er at bly har en tilløp til a “forgifte” slikeoverflatekatalyserte reaksjoner – akkurat som bly forgifter eksosgass-katalysatoren i vanlige blyfriemotorer. I bensinmoterer er ogsa tenningen justert til avfyring litt før stempelet er i topposisjonen,optimalisert for normalt turtall. Ved lavt turtall kan dette i seg selv gi motorbank.


12.2.3 Diesel-syklus

Hovedideen bak utviklinga av dieselmotoren5 var a kunne øke kompresjonen vilkarlighøyt, og dermed fa vesentlig bedre virkningsgrad enn i en Otto-motor. Dette bleoppnadd ved følgende grep:

– Man komprimerer ren luft, uten brennstoff iblandet,

– og sa sprøytes brennstoff direkte inn i sylinderen, nær og kort etter maksimalkompresjon. I en ideell Dieselprosess skjer dette ved konstant trykk.

– Tenninga skjer ved selvtenning, høy kompresjon r ∼ 20 ⇒ T ∼ 600 C, satennplugg er unødvendig (selv om glødehode av og til brukes).

– Dertil, som nyere pafunn, brukes gjerne avgassen til a drive en turbin, sombrukes til a komprimere luft inn i sylinderen før kompresjonsslaget – og denneturboladninga gir mulighet for mer forbrenning per syklus, og dermed økteffekt.

Diesels første forsøk gikk ut pa a prøve a holde temperaturen konstant under for-brenninga – noe som teoretisk skulle være optimalt (ifølge Sidi Carnot – vi kommertilbake til dette seinere) – men det fikk han ikke til.

Dieselmotoren var i utgangspunktet vesentlig tyngre og mer komplisert enn enOtto-motor, og ble først bare brukt i ubater, seinere som skipsmaskineri. Men deter historie – idag leveres ogsa mindre biler med dieselmotor.

En idealisert Diesel-syklus er vist skjematisk nedenfor. En virkelig dieselmotor-syklus ser mer ut som en blanding av denne og en Otto-syklus.

-

6p

V

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

s

Y ..........................................................................................................................................................................

..................................................................................

................................................................

.........................................

....................................

....................................

.................................

..............................

................................................................................................................

V0/r V0/ε V0

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

a b

c d

e......................................................................................................................

..............................

..............................

|QL|

...........................................................

........................................................... ............................................................

QH

Arbeidsslag.......................

..........................

Kompresjon...................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................-b bDiesel-syklus.

Virkningsgraden for en idealisert Dieselsyklus kan utregnes til a bli

e = 1− 1

γ

Te − Tb

Td − Tc= 1− 1

γ

(r/ε)γ − 1

r/ε− 1

1

r(γ−1)≈ 1− 1

r(γ−1), (12-10)

5Rudolf Diesel (1858-1913), tysk maskiningeniør, stort teoretisk arbeid 1893, ledet sa (hosKrupp) arbeid med a utvikle dieselmotoren, patent 1898.

12.3. KJØLEMASKINER OG VARMEPUMPER 159

hvor ε = V0/Vd, r = V0/Vc og det i siste overgang er antatt r/ε = 1 + x, der x er etlite tall. Ved vanlige driftsforhold (r ∼ 20) er e ca. 70 %. Dieselmotorer er genereltmer drivstoffeffektive enn Ottomotorer.

12.3 Kjølemaskiner og varmepumper

En kjøleprosess er i prinsippet en invertert varmekraftprosess, som illustrert ne-denfor.

QQQ

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

TH

|QH|

QL

|W |

TL

Arbeid |W | tilføres6 prosessen, for a trans-portere en varmemengde |QL| fra et kaldtreservoar pa temperatur TL til et varmt reser-voar pa temperatur TH. Effektiviteten avprosessen karakteriseres ved en kjølefaktor K,

K =QL

|W | Kjølefaktor7. (12-11)

12.3.1 Kjøleprinsipper

Det finnes en rekke ulike kjølemetoder, som brukes til ulike formal. De viktigste erlistet opp nedenfor.

• Flytting av varme som fordampnings-/kondensasjonsvarme.Det benyttes et kjølemedium i gass/væske likevekt, og mediet flyttes mel-lom høyt og lavt trykk ved ekspansjonsventil/kompressor-kombinasjon. Dettebrukes i alle normale fryse- og kjøleanlegg, med ulike kjølemedier.

• Adiabatisk ekspansjon av gass.Dette benyttes som kjølemetode for jetfly (apent kaldluftanlegg), og for kon-densasjon av gasser med lavt kokepunkt. Viktig teknisk er produksjon avflytende nitrogen (kokepunkt 78 K), og – for forskningsformal – flytende heli-um (kokepunkt 4, 2 K). (Moderne maskiner bruker mer effektive metoder ennLindes kuldemaskin, som er basert pa Joule-Thomson effekten).

• Adiabatisk demagnetisering.Dette er for ekstreme lavtemperaturformal – temperaturer ned til 0,000 001 Ker oppnadd.

• Peltier-effekt.Dette er en termoelektrisk effekt. Et termoelement er i prinsipp to ledninger

7Her er W < 0, QL > 0 og QH < 0.7I engelsk litteratur brukes COP = Coefficient of performance.


av ulike metaller, loddet sammen i begge ender. Nar den ene enden plasseresved lav temperatur og den andre ved høyere temperatur, lager temperatur-forskjellen en spenning over kretsen. Tilsvarende vil man ved a drive enstrøm gjennom kretsen, generere en temperaturforskjell mellom loddepunk-tene. Denne effekten, Peltier-effekten, kan brukes til kjøling. Kjølingen er ikkespesielt effektiv, men er grei for sma systemer – for eksempel til kjøling avmikroprosessoren i datamaskiner.

• Kuldeblandinger.Dette er en “engangsprosess”; man blander for eksempel is og salt, og far entemperatur ned mot −20 C. Eller tørris (CO2) og sprit, og kommer ned mot−80 C: Greit for sma eksperimenter.

12.3.2 Kjøleanlegg med kjølemedium i gass/væske likevekt

Nedenfor er vist skjematisk et typisk kjøleanlegg, med amoniakk (NH3) som kjølefluid.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............

......................................................................................................................................................................................................................... .............................................

...................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................?

............

............

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

........................................

................................................................................... dyse/ekspansjonsventil

kompressor

kondenseringfordamping

-

............................................................

TL = −10 CpL = 2, 2 atm

(−20 C)............................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................... ......... .................. ..................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............

............

......

............

............

.

....................................................................................

....................................................................................

..................................................

.........................................

TH = 25 CpH = 10, 2 atm

...........................................................

...........................................................

..............................

..............................

Q

...........................................................

...........................................................

..............................

..............................

QEnkelt NH3-anlegg

Virkematen er i hovedsak som følger:

• NH3 (amoniakk) sirkulerer i lukket rørsystem.

• Rørspiraler brukes som varmevekslere.

• Gass-væske likevekt bade pa høytrykksida (TH, pH) og lavtrykksida (TL, pL).

• I kompressoren komprimeres dampen (adiabatisk) til høyt trykk pH.

• P.g.a. det høye trykket tvinges gassen over til væske. Dette skjer i konden-satorspiralen og det avgis kondensasjonsvarme til omgivelsene (som derforvarmes opp).

• I dysa ekspanderer væske til lavt trykk pL. P.g.a. det lave trykket fordampervæske, og fordampningsvarmen tas opp fra omgivelser (kalde del) gjennomfordampningsspiralen.

• Og sa komprimeres dampen i kompressoren igjen, klar til en ny runde.

Mange kjøleskap bruker hydrofluorokarboner, men mange av disse er miljøskadeligeved at de skader ozonlaget nar det spaltes av ultrafiolett lys i stratosfæren, og avgiratomært klor. Eksempel pa dette er freon CCl2F2 som er iferd med a fases ut; etmer miljøvennlig medium er C2H2F4.

12.3. KJØLEMASKINER OG VARMEPUMPER 161

Amoniakk brukes i en del større anlegg; sakalte absorpsjons-kjøleskap bruker ogsaammoniakk. Av miljøgrunner satses det betydelig i mange land for a løse de tekniskeutfordringer knyttet til overgang til bruk av CO2 som kjølevæske i kjøle- og fry-seanlegg.

-

6p

V

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................TL

................................................................................................................................ .........................................................................................................................................................................................................................................................TH

pH

pL ...... ...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................

..........................................................................................

.........................................

..............................................

-

Et pV -diagram for en typisk kjøleprosess ervist skjematisk til venstre.Isotermene T = TH og T = TL er tegnetinn, og ogsa omhylningskurva for sameksis-tensomradet for væske/damp-fase.Og ikke ta dette for bokstavelig: Diagrammeter ikke i realistisk skala.

Ei varmepumpe er i prinsipp akkurat det samme som en kjølemaskin,bare “sett fra den andre sida”:

QQQ

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

TH

|QH|

QL

|W |

TL

Na er det varme |QH| tilført f.eks. stua somer den nyttige størrelsen, mens fortsatt er|W | hva som koster. Varme |QL| tas fraet ytre reservoar med temperatur TL (sombør være høyest mulig). Varmepumpas effek-tivitet karakteriseres ved effektfaktoren (virk-ningsgraden) ε,

ε =

∣∣∣∣QH

W

∣∣∣∣ Effektfaktor . (12-12)

Kjølefaktoren K og effektfaktoren ε bør være en god del større enn en for a værenyttige, i praksis 3-5. Teoretisk maksimalt kan den bli 10-20 (avhengig av tempera-turforskjellen TH − TL, mer om dette under Carnotprosesser).

For ei varmepumpe: La kjølespiralen være plassert i et passende reservoar, foreksempel neddykket i en sjø, eller plassert dypt ned i et grunnvannsreservoar, og‘kondensatorspiralen’ sta inne i dagligstuen. Og det er det hele –.

En enda mer effektiv utnyttelse far man hvis fordamperspiralen legges ned i enskøytebane og kondensorspiralen i fjernvarmeanlegg – og vips, man kan selge en-ergien |QH| = |W |+ QL og tjene inn mer enn forbrukt elektrisitet W .

Kjølesystemer koplet med varmeleveranse er ogsa brukt med hell i tunnelprosjekter;ved 2-3 anlegg i Oslo er vannlekkasjer i tunneler tettet ved frysing, og sum avkjølevarme og tilført arbeid benyttes i fjernvarmeanlegg.


12.4 Carnotprosessen

Carnotprosessen8 er den teoretisk mest effektive termodynamiske kretsprosess somtenkes kan:

12.4.1 Carnotsyklus

For at en kretsprosess skal gi minimalt med tap, ma følgende være oppfylt:

• Prosessen ma være reversibel. Irreversible prosesser gir alltid ekstra ‘kaotiskenergi’. I praksis er dette energi som ikke kan utnyttes til arbeid. Eksempel:friksjon.

• Varmeledning drevet av et endelig temperaturfall ∆T er en irreversibel pros-ess. Varmeoverføring ma følgelig skje isotermt.

• Under de trinn i prosessen hvor ∆T 6= 0, ma det ifølge dette ikke overføresvarme, dvs. disse trinnene ma være adiabatiske.

En Carnotsyklus, i den enkleste form, vil dermed være sammensatt av to isotermeog to adiabatiske prosesser.

12.4.2 Carnotprosess i en ideell gass

-

6

V

p

eb

eced

ea

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................

................................................

.......................................................................................................................

...........................................................

........................................................... ............................................................

QH

...........................................................

........................................................... ............................................................|QL|

adiabatisk................................................

adiabatisk........................

...........

isoterm

................................

isoterm

...........................................

Til venstre er vist en Carnotprosessfor en ideell gass, tegnet med γ =Cp/CV = 5/3 (dvs. for en enatomiggass).

a–b: adiabatisk (pV γ = konst.)b–c: isoterm (pV = konst.)c–d: adiabatiskd–a: isoterm

Vi skal beregne virkningsgraden e =W

QH= 1− |QL|

QH.

8Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832), fransk reserveoffiser og naturviter. Faren var gen-eral og minister under Napoleon – slik at sønnen hadde fa karrieremuligheter under Bourbonene.Grunnleggende teoretisk arbeid i 1824: “Reflexions sur la puissance motrice du feu”.

12.4. CARNOTPROSESSEN 163

Isotermene b–c og d–a:Temperaturen er konstant, og følgelig er indre energi konstant og dU = 0. Dermeder arbeidet lik tilført varmemengde, dQ = dU + dW = dW , og vi har

dQ = dW = pdV =NkBT

VdV = NkBT d(ln V ). (12-13)

Brukt pa de to isotermene faes dermed

QH = NkBTH

∫ c

b

d lnV = NkBTH lnVc

Vb

QL = . . . = NkBTL lnVa

Vd[< 0].

(12-14)

Adiabatene a–b og c–d:

TV γ−1 = konst. , dvs. V ∝(

1

T

)1/(γ−1)

.

Dertil er (fra isotermene) Tc = Tb og Ta = Td, og volumene Vd og Va kan dermedskrives

Vd = Vc

(Tc

Td

)1/(γ−1)

= Vc

(Tb

Ta

)1/(γ−1)

Va = Vb

(Tb

Ta

)1/(γ−1)

(12-15)

og følgeligVa

Vd=

Vb

Vc.

For prosessen totalt far vi dermed, nar vi setter inn siste resultatet i uttrykkene forQH og QL (og bruker at ln x = − ln(1/x))

QL

QH

= −TL

TH

e = 1− TL

TH

Carnotprosess. (12-16)

Virkningsgraden e avhenger følgelig bare av temperaturforholdet TL/TH.

12.4.3 Generell Carnotprosess

Ved beregning av virkningsgraden e for en ideell gassprosess falt alt om prosessenbort, unntatt temperaturforholdet.

Nar slikt skjer, kan man ha berettiget hap om at man har funnet en sammenhengmer generell enn modellen man har brukt, skulle tilsi. Og slik er det i dette tilfelletogsa – men det vi avstar fra virkelig a vise det i dette innføringskurset.

Sa vi bare slar fast:


For alle Carnotprosesser – uansett arbeidsmedium – er

QL

QH

= −TL

TH

e = 1− TL

TH

Gyldig alle Carnot-varmekraftmaskiner.

(12-17)For alle andre prosesser mellom samme reservoartemperaturer er e ≤ eCarnot.

Som kjølemaskin eller varmepumpe som arbeider som Carnotprosess faes tilsvarende:

K =

∣∣∣∣QL

W

∣∣∣∣ =|QL|

|QH| − |QL|=

TL

TH − TLCarnot-kjøleskap,

ε = |QH

W| = |QH||QH| − |QL|

=TH

TH − TLCarnot-varmepumpe,

(12-18)

som igjen er det teoretisk høyest oppnaelige.

12.4.4 Konsekvenser for virkelige kraftverk

Temperaturen pa det kalde reservoaret er stort sett gitt fra naturens side, og kanregnes a ligge rundt 300 K.

For a fa opp virkningsgraden, ma man redusere irreversible tap mest mulig, ogdertil ha høyest mulig temperatur pa høytemperaturreservoaret.

I store, kullfyrte kraftverk – med dampmaskin og vann som arbeidsmedium –oppnas det siste ved a bruke trykk og temperatur i nærheten av kritisk punktfor vann, pc ∼ 217 atm og Tc ∼ 647 K. Man far dermed en teoretisk høyeste virk-ningsgrad emax ∼ (1−300/647) ∼ 0, 54 – og virkelige kullkraftverk kjøres idag medvirkningsgrad noe over 40 %.

I gassturbin-kraftverk kan temperaturen komme opp i TH ∼ 900 K, og teoretiskhøyeste virkningsgrad tilsvarende opp i emax ∼ 0, 75 – virkelige gasskraftverkoppnar gjerne i nærheten av 60 %.

Vi ser at i alle tilfeller gar mye av energien – grovt regnet halvparten – bort i spill-varme. Hvis temperaturen pa lavtemperaturreservoaret økes til si ca. 350 K, kosterdette ikke mye ekstra energi, men spillvarmen kan benyttes til fjernvarme o.l. I etslikt tilfelle blir den totale utnyttingsgraden (elektrisk energi + energi til varmean-legg) 80-90%. Varmekraftverk bør defor legges nær befolkningskonsentrasjoner ellervarmtvannskrevende storindustri. A legge varmekraftanlegg ute i øygarden og derbruke spillvarmen til a varme opp vannet for fiskene, er særdeles lite forutseende.

12.5. VARMELÆRAS 2. HOVEDSETNING 165

12.4.5 Carnotprosessen og temperaturdefinisjonen

Virkningsgraden for en Carnotprosess mellom to reservoartemperaturer TH og TL

ble funnet – med utgangspunkt i loven for ideell gass og dermed med temperaturdefinert ut fra denne – a være

eCarnot = 1− TL

TH

. (12-19)

Dette kan snues om, sa man lar temperaturen være definert ut fra Carnotprosessen– og man har da en medieuavhengig, absolutt temperaturskala.

Og dette er hva man gjør: Dagens vitenskapelige temperaturskala er definert padenne maten.

I praksis vil det si at man ved lave temperaturer bruker en adiabatisk magnetise-ring/demagnetisering som temperaturdefinerende prosess – det virker bra ned tiltemperaturer av størrelsesorden µK.

12.5 Varmelæras 2. hovedsetning

Varmelæras 2. hovedsetning sier at det er umulig a gjøre om “kaotisk varmeenergipa atomær-molekylær skala” til nyttig arbeid uten a legge inn tilleggsarbeid.

Noen alternative formuleringer:– Det er umulig a flytte varme fra et kaldt til et varmt reservoar uten a utførearbeid– Det er umulig a transformere varme til arbeid uten a fa spillvarme.– Det er umulig a lage en kretsprosess som er mer effektiv enn Carnotprosessen.– Perpetuum mobile av 2. art (“skape energi fra mikroskopisk termisk energi”) erumulig.

12.6 Entropi

Entropi – og kvantitativ formulering av 2. hovedsetning: Hvorfor er det ikke muliga gjøre om mikroskopisk energi til arbeid – slik uten videre? Det kommer nok utav beregningene vare – men forstar vi det?

Vi skal her ga litt i retning av forstaelse – dvs. hvordan Varmelæras 2. hovedsetningegentlig uttrykker hvordan verden alltid, overlatt til seg selv, blir mer og mer rotete– og “hvordan det alltid krever arbeid a rydde”.

Dette uttrykkes kvanititativt ved innføring av begrepet entropi 9, som er et mal

9Fra gresk en -i + trope-forandring


for uorden – eller kanskje heller et mal for manglende informasjon – og en lov omhvordan entropien utvikler seg med tida.

12.6.1 Clausius ulikhet

Clausius10 regnes som grunnlegger av kinetisk gassteori (1857) og har æren for a hatrukket Carnots arbeider ut av glemselen (1850). Clausius har ogsa æren og skyldafor innføring av begrepet entropi.

Vi fant for Carnotprosessen

QL

QH

= −TL

TH

, (12-20)

som kan skrives om til formen

QL

TL

+QH

TH

= 0. (12-21)

For hele kretsprosessen kan dermed skrives

∑ Q

T= 0

Gyldig for allereversible kretsprosesser.

(12-22)

For irreversible prosesser faes i stedet en ulikhet – la oss vise det.

Siden Carnotprosessen er den mest effektive, vil virkningsgraden for alle irreversiblekretsprosesser være mindre: eirr < eCarnot. Virkningsgraden for enhver prosess erdefinert i likning (12-4):

e =W

QH=

QH + QL

QH= 1 +

QL

QH(12-23)

og for Carnotprosessen har vi altsa na lært

eCarnot = 1− TL

TH

, (12-24)

som gir oss1 +

QL

QH≤ 1− TL

TH(12-25)

Enkel omskriving av denne ulikheten gir

QL

TL+

QH

TH≤ 0. (12-26)

10Rudolph Julius Emanuel Clausius (1822-1888), tysk fysiker, professor i Bonn fra 1869.

12.6. ENTROPI 167

Derfor, gyldig for alle kretsprosesser

∑ Q

T≤ 0 Gyldig for alle kretsprosesser. (12-27)

For en kontinuerlig kretsprosess erstatter vi summen med et lukket integral, og harda

∮dQ

T≤ 0 Clausius ulikhet (likhet for reversible prosesser). (12-28)

Og her er fortegnskonvensjonen viktig: dQ er varmemengde tilført systemet. Likhets-tegnet gjelder for reversible prosesser og ulikhetstegnet for irreverible prosesser.

12.6.2 Definisjon entropi

For en reversibel prosess ma følgelig integralet over dQ/T mellom to vilkarligetermodynamiske tilstander være uavhengig av integrasjonsveien – ellers kunne ikkedet lukkete integralet

∮dQ/T bli lik null generelt. Størrelsen dQrev/T er dermed

analog til differensialet av en potensialfunksjon V (~r) i mekanikken –∫

dV er ogsauavhengig av integrasjonsveien.

I termodynamikken kalles slike funksjoner tilstandsfunksjoner, og akkurat dennekalles entropi

∆S12 = S2 − S1 =

∫ 2

1

dQrev

Tentropiforandring. (12-29)

Analogt til potensialfunksjoner kan vi ogsa for entropien operere med vilkarlignullpunkt.

Vi definerer saledes entropiforskjellen mellom to tilstander ut fra en tenkt reversibelprosess mellom tilstandene, fra differensialet

dS =dQrev

TS : entropi. (12-30)

12.6.3 Entropien for en ideell, enatomig gass

La oss finne et uttrykk for entropien for et enkelt system: En enatomig, ideell gassmed N partikler – og se om vi blir noe klokere av a se pa hvordan uttrykket ser ut.


Utgangspunkt er

dQrev = dU + p dV : den termodynamiske identitetp = N kBT/V : tilstandslikningadU = NCV dT = N 3

2kBdT : varmekapasitet iflg. ekv.part.prinsipp

(12-31)

Av dette faes

dS =dQrev

T=

3

2NkB

dT

T+ NkB

dV

V

= NkB

(3

2

dT

T+

dV

V

)= NkB d ln(T 3/2 V ). (12-32)

Integrasjon gir sa entropien til en ideell gass

S(N, T, V ) = NkB ln(T 3/2V ) + konstant. (12-33)

Det første man ser, er at entropien er en ekstensiv størrelse – den totale entropienfaes som sum av entropiene per partikkel (i likhet med total indre energi).

Faktoren T 3/2V kan oppfattes som uttrykk for tilgjengelig volum for partikkelen idet 6-dimensjonale

→r × →

v-rommet. Jo større T og V er, dess mer plass har hverpartikkel a boltre seg pa, og jo mindre vet vi om hvor de enkelte partiklene er.

Skriver vi om uttrykket for entropien til formen

S = kB ln(T 3/2V )N

+ konstant (12-34)

kan vi dermed tolke faktoren (T 3/2V )N som

proporsjonal med antall ulike mater man kan putte N partikler i volumet V slikat temperaturen blir T , dvs. som et uttrykk for “sannsynligheten til tilstanden”.

Dette gir oss uttrykket som star inngravert pa Ludwig Boltzmanns gravstein i Wien

S = kB ln w, (12-35)

hvor w er lik den termodynamiske sannsynlighet. Denne størrelsen er proporsjonalmed antallet mikroskopiske (atomære/molekylære) mater som er forenelig med engitt termodynamisk tilstand.

Men – na har vi begynt a bevege oss inn i fagomradet statistisk fysikk – og detskulle vi holde oss unna i dette kurset. Sa dette far være nok av forsøk pa a tolkeentropibegrepet.

12.6. ENTROPI 169

12.6.4 Entropien og 2. hovedsetning

-

6

V

p ea

ebrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

.................. A

.....................................................................................................................................................................................................................IB

For en vilkarlig kretsprosess er ifølge Clau-sius

∮dQT≤ 0. Ta for oss en kretsprosess

aA→ b

B→ a, hvor A er en irreversibel ogB er en reversibel prosess. Da vil gjelde

∮dQ

T=

∫ (A)

b

a

dQ

T+

∫ (B)a

b

dQ

T≤ 0 (12-36)

Her er ∫ (B)a

b

dQ

T= −

∫ (B)

b

a

dQ

T= −∆Sab (12-37)

ifølge definisjonen (12-29) av entropi og at B er en reversibel prosess. Merk forrestenat ∫ (A)

b

a

dQ

T6= ∆Sab (12-38)

fordi definisjonen av ∆S krever en reversibel prosess. Fra ulikheten i (12-36) far vina ∫ (A)

b

a

dQ

T≤ ∆Sab. (12-39)

Hvis prosessen A foregar i et lukket system – dvs. system som ikke utveksler varmemed omgivelsene, altsa med dQ = 0, far vi:

0 ≤ ∆Sab for lukket systemClausius formulering av2. hovedsetning,

(12-40)

eller i ord:

Entropien for et lukket system vil aldri avta. (12-41)

Derav begrepet at alle systemer overlatt til seg selv gar mot “full uorden/kaos”. Ien viss forstand er dette ikke noe annet enn det som skjer hvis man har et brettmed like mange kvite som svare kuler, hvor brettet stadig utsettes for sma tilfeldigeristinger. Hvis man ved tida t = 0 har sortert kulene slik at alle de kvite er pa eiside av brettet og alle de svarte pa motsatt side, vil man etter et kortere ellerlenger tid finne at de kvite og svarte kulene er jamnt fordelt over brettet. I denatomære/molekylære verden er det de termiske bevegelsene nar T > 0 som star for“ristinga”. A definere entropi for alt annet enn systemer som i det minste befinnerseg tilnærmet i lokal termodynamisk likevekt er ei utfordring som teoretiske fysikereforsatt sliter med.


Entropien for et lukket system vil aldri avta er den mest presise formuleringa avvarmelæras 2. hovedsetning – men ogsa den mest abstrakte, mest misforstatte ogmest misbrukte.

12.6.5 Misbruk av 2. hovedsetning

Ei formulering man ofte hører, er at “varmelæras 2. hovedsetning sier at universetgar mot en varmedød”. Selv om universet kanskje er lukket, er det tvilsomt omman i det hele tatt kan definere entropien for universet pa fornuftig vis. En grunn-leggende forutsetning for en slik diskusjon – nemlig at at man har tilnærmet “lokaltermodynamisk likevekt” – er neppe oppfylt. Da er nok utviklinga til var nærmestestjerne (sola) en vel sa stor trussel for vare etterkommere – hvis de da klarer aholde det gaende de milliarder av arene det her er tale om.

Varmelæras 2. hovedsetning sier at orden ikke kan oppsta fra uorden. Med 2. hoved-setning som argument kan da enkelte motsi eller motbevise Darwins evolusjonsteori.Dette er apenbart et feil utsagn: Ingen levende vesener utgjør et termodynamisklukket system – og hvis vi blir “lukket”, dør vi alle i løpet av noen minutter.

I apne systemer kan entropien bade øke og avta, ved varmetransport, og dermed en-tropitransport. Og slik opptrer selvorganisering helt normalt i naturen – et skoleek-sempel i denne sammenheng er dannelse av iskrystaller i skyene. Entropien i vann-drapene avtar nar de fryser – og entropien eksporteres til lufta omkring som (fry-sevarme)/(temperatur). Det er ikke noe magisk ved det.

I levende systemer foregar en kontinuerlig entropitransport til omgivelsene – det erbetingelse for a opprettholde livet. Heller ikke det er det noe magisk med ut fra ettermodynamisk synspunkt.

Varmelæras 2. hovedsetning sier faktisk ingen ting hverken for eller imot Darwinsevolusjonsteori.

Begrepet entropi er en matematisk hjelpestørrelse som er viktig i samband medden detaljerte beskrivelsen av varmelæras 2. hovedsetning. Problemet er imidlertidat denne detaljerte beskrivelsen er sapass avansert at den kun blir en “selvfølge”etter flere ars studier og “modning” innen statistisk fysikk. All forsøk pa kjappeforklaringer er derfor noksa dødfødte fordi det man egentlig gjør, er a presentereenkle bilder/modeller som i beste fall gir tilhøreren/leseren en illusjon av a haforstatt hva som foregar. Fortvil derfor ikke om begrepet entropi fortsatt er noeullent selv etter en periode med intens eksamenslesing.

12.6.6 Sluttord – om termodynamikk og kultur

Et mal med siste delen av dette kurset kan formuleres som følger:

12.6. ENTROPI 171

Alle studentene skal forsta hvordan et kjøleskap virker.

Alle skal inntil et visst niva forsta varmelæras 2. hovedsetning.

Og – alle skal forsta at disse to tingene har noe med hverandre a gjøre.

Til ettertanke gjengis til slutt følgende snutt fra Sir Charles Percy Snows bok “Deto kulturer” (Cambridge 1959, norsk oversettelse Cappelen 1960):

“Mange ganger har jeg vært i selskap med folk som etter den tradisjo-nelle kulturens malestokk regnes for a ha en høy utdannelse, og sommed stor applomb kan gi uttrykk over sin forferdelse over naturviterenslitterære uvitenhet.

Et par ganger har jeg kjent meg provosert til a spørre gjestene hvormange av dem som kunne forklare termodynamikkens andre hovedset-ning. Reaksjonen var kjølig og avgjort negativ. Likevel var spørsmaletdet vitenskapelige motstykke til ‘Har De lest noe av Shakespeare?’.

Jeg tror jeg ma si at hvis jeg hadde stilt et enda klarere spørsmal –som for eksempel: hva menes med masse eller akselerasjon – hvilket erdet naturvitenskapelige motstykke til Kan de lese? – ville ikke mer ennen av ti av disse høyt utdannede menn hatt følelsen av at jeg snakketsamme sprak som dem.”


• En kretsprosess er en prosess som starter og slutter i samme termodynamisketilstand.

• Arbeidet utført av en kretsprosess er lik arealet innesluttet av kurven somavtegner seg i pV -diagrammet i løpet av en syklus.

• En del av en prosess er isoterm, isobar eller isokor avhengig om det er hen-holdsvis temperaturen, trykket eller volumet som er konstant under den ak-tuelle delen av prosessen.

• For en reversibel prosess kan retninga til prosessen snus og man far avtegnetnøyaktig samme kurve f.eks. i pV -diagrammet.

• For en ikke-reversibel prosess kan man ikke uten videre snu retninga til pros-essen. Slike prosesser er ellers kjennetegnet ved at arbeid som kunne ha værttrukket ut av prosessen gar tapt og i stedet gar med til a endre systemetsindre energi.

• Den termiske virkningsgraden til ei varmekraftmaskin er gitt som e = W/QH

hvor W er arbeid prodseret av maskina og QH er varme fra høgtemperatur-reservoaret. Legg ellers merke til at e = W/QH = (QH − |QL|)/QH < 1.


• Otto-syklusen beskriver virkematen til en vanlig fire-takts bensinmotor, mensDiesel-syklusen beskriver virkematen til en vanlig dieselmotor. Dieselmotorenkan benytte høyere kompresjon enn i Otto-motorer og dermed oppna bedrevirkningsgrad.

• Kjølemaskiner er i prinsippet varmekraftmaskiner kjørt “baklengs”, men detekniske løsningene er generelt helt forskjellige. Det viktigste kjøleprinsippeter flytting av varme som fordampnings-/kondensasjonsvarme.

• Kjølefaktoren er definert som K = |QL/W |.

• Carnotprosessen er den teoretisk maksimalt mest effektive termodynamiskekretsprosessen man kan tenke seg. Dette krever at alle deler av prosessen erreversible. I praksis ma prosessene da kjøres sa sakte at de har liten praksisinteresse. Min ikke desto større teoretisk interesse, for ingen kretsprosessenkan ha høyere virkningsgrad enn en Carnotprosess, en meget viktig begrensingfor varmekraftmaskiner.

• For alle Carnotprosesser er virkningsgraden e = 1− TL/TH, hvor TL og TH ertemperaturen til henholdsvis lavtemperatur- og høytemperatur varmereser-voaret.

• Varmelæras 2. hovedsetning har flere ekvivalente formuleringer, hvorav denviktigste er: Det er umulig a flytte varme fra et kaldt til en varmt reservoaruten a matte utføre et arbeid.

• Begrepet entropi er en matematisk hjelpestørrelse som er viktig i sambandmed den detaljerte beskrivelsen av varmelæras 2. hovedsetning.

• En viktig alternativ formulering av varmelæras 2. hovedsetning lyder: En-tropien til et lukket system vil aldri avta, hvor “lukket” betyr at det hverkenutveksles varme, arbeid eller materie (stoff) med omgivelsene: ∆S ≥ 0.

Del IV

Elektrisitet og magnetisme

173

Kapittel 13

Elektromagnetiske grunnbegreper

Innhold13.1 Kort historisk bakgrunn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13.1.1 Fra gresk oldtid til James Clerk Maxwell . . . . . . . . 176

13.1.2 Litt om enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.2 Elektrostatikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

13.2.1 Coulombs lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

13.2.2 Elektrisk felt→E og potensial V . . . . . . . . . . . . . . 179

13.2.3 Gauss lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

13.2.4 Kapasitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.2.5 Elektrostatisk feltenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

13.2.6 Dielektrika og polarisasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.3 Statiske magnetfelt og elektrisk strøm . . . . . . . . . . 184

13.3.1 Elektrisk strøm og Ohms lov . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.3.2 Kraft pa leder i magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13.3.3 Lorentzkrafta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

13.3.4 Krefter mellom strømførende ledere – og enheten ampere 188

13.3.5 Magnetfeltet fra en rett leder . . . . . . . . . . . . . . . 189

13.3.6 Amperes lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

13.3.7 Magnetfeltet i en lang, rett spole . . . . . . . . . . . . . 190

13.4 Magnetisk induksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.4.1 Faradays induksjonslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

13.4.2 Generering av vekselstrøm . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

13.4.3 Teslas trefasegenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.4.4 Selvinduksjon og magnetisk feltenergi . . . . . . . . . . 194

175

176 KAPITTEL 13. ELEKTROMAGNETISKE GRUNNBEGREPER

13.5 Enkle kretser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.5.1 RC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13.5.2 Opplading av kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

13.5.3 RL-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

13.5.4 LC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.5.5 RLC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.1 Kort historisk bakgrunn

13.1.1 Fra gresk oldtid til James Clerk Maxwell

Naturskapte elektriske og magnetiske fenomener har omgitt menneskene i all tid –og har i all tid hatt et slags magiens slør over seg. Idag er i tillegg vare omgivelserfylt opp med menneskeskapte “elektriske innretninger”, men følelsen av magi er velfremdeles stort sett den samme hos de fleste. Man ser at noe skjer, men i motsetningtil i mekanikken, ser man ikke hvorfor det skjer – elektrisitet og magnetisme liggerutenfor vare sanseorganers verden.

Ordet “elektrisk” ble innført av den engelske legen William Gilbert i ar 1600, ihans verk “De Magnete”. Han hadde undersøkt gnidningselektrisitet, det vil sihvordan endel stoffer nar de blir gnidd, kan fa, bokstavelig talt, haret til a reiseseg pa hodet til folk. Skoleeksemplet pa slike stoffer var rav (fossil harpiks) – greskelektron. Stoffer med tilsvarende “harreisende egenskaper” kalte Gilbert elektriske”– en latinisering av det greske ordet.

Ordet “magnet” stammer fra gresk oldtid. Naturlige permanente magneter (mi-neralet magnetjernstein [magnetitt]) ble funnet nær byen Magnesia i Anatolia.1

Stykker av mineralet kunne festes pa en korkbit eller et trestykke, og lot mandette flyte pa vann, hadde man et primitivt kompass. Helt magisk pa den tiden,naturligvis, og mineralet ble kalt stein fra Magnesia- pa gresk magnes-etos [etosfra lithos, stein].

Elektrisk strøm gjennom ledninger kunne man pa 1700-tallet fa til med brukav gnidningselektrisitet i “elektrifiseringsmaskiner”, og man kunne lagre denne isakalte Leidnerflasker, oppfunnet ved en tilfeldighet i 1745. Disse ga gjerne spen-ninger pa flere kilovolt, og var ikke helt ufarlige a bruke. Praktisk eksperimenteringmed elektriske strømmer ble mulig etter at italieneren Allesandro Volta2 i ar 1800fant opp det vi kaller “galvaniske elementer”. Navnet “galvanisk” stammer fraden italienske legen Luigi Galvani, som i 1780 gjorde elektriske eksperimenter medfladde froskelar – uten egentlig a forsta hva han gjorde og sa.

1Det var flere byer i Anatolia (Lilleasia) med det navnet, forøvrig.2Volta var greve, og professor i fysikk først i Como og sa i Padua.

13.1. KORT HISTORISK BAKGRUNN 177

At magnetisme og strøm hadde noe med hverandre a gjøre, ble vist av danskenHans Christian Ørsted i 1820. Det sies at han hadde funnet ut i eksperimenteri laboratoriet sitt at en strømførende leder ikke pavirket magneter. Sa skulle handemonstrere dette for sine fysikkstudenter ved Københavns universitet, i auditoriet– og stilte uforvarende magneten loddrett pa lederen i stedet for parallellt med, somhan hadde gjort før. Og dermed var det gjort!

Ørsteds oppdagelse ble raskt fulgt opp, allerede samme og neste ar, av en “hjer-netrust” ved College de France i Paris, Jean Baptiste Biot, Felix Savart – og denmest kjente av de tre, Andre Mari Ampere, som formulerte sammenhengene mellomstrøm, kraft og magnetfelt i “naturlovs form”.

Sa, i 1831, kom Michael Faraday med oppdagelsen av magnetisk induksjon –grunnlaget for nær all elektrisk kraftproduksjon. Senere innførte han “elektriskeog magnetiske feltlinjer”, som en anskueliggjørelse av hva andre gjemte i matema-tikk. Han var sønn av en Londonsk grovsmed, stort sett selvlært og ikke veldigsterk i matematikk – og ubestridt det 19. arhundrets fremste eksperimentalfysiker.

Det hele ble avrundet av skotten James Clerk Maxwell i 1865, med en samletmatematisk formulering av hele elektromagnetismen. Det kanskje mest forbløffendesom Maxwell kunne trekke ut av dette, var at likningene ga ei bølgeligning forelektriske og magnetiske felt, med bølgeforplantningshastighet som kom ut meden tallverdi lik den eksperimentelt bestemte lyshastigheten. Dette var lenge førradiobølger og slikt var produsert eller observert, og lenge før noen hadde kommetpa at lys kunne ha noe med elektromagnetisme a gjøre.

Vi gar først gjennom det klassiske grunnlaget for elektromagnetismen, stort settsom presentert fra Coulomb til Faraday. Dette er vel ogsa stort sett stoff som er,eller burde være, kjent fra videregaende skole.

Sa samler vi opp de fire viktigste likningene, “Maxwells likninger” – og skriver demom til kompakt formulering som gjort av Oliver Heaviside i 1880-arene, etter atMaxwell selv var vandret til det hinsidige. Og viser clouet: Den elektromagnetiskebølgelikninga.

Til slutt tar vi kort for oss elektriske kretser, og kommer litt inn pa blant annetvekselstrøm og elektriske svingekretser.

13.1.2 Litt om enheter

Før vi begynner for alvor: Litt om enheter. Elektromagnetismen dreier seg i ut-gangspunktet om vekselvirkning mellom elektriske ladninger, og det naturlige villevel ha vært a starte definisjon av elektromagnetiske størrelser med definisjon avenheten for ladning. Man kunne da ha definert

1 coulomb = 1 C =1

1, 60219 · 10−19× (den elektriske elementærladningen e)


hvor den elektriske elementærladningen er ladningen pa for eksempel et proton(H+). Men historisk gikk det ikke slik – da dette startet, visste man ikke engangsikkert at materien var bygd opp av atomer. Sa man startet istedet med definisjonav strøm, det vil si (ladning per tidsenhet) –

1 ampere = 1A.

og definerte denne enheten ut fra kraftvirkninga mellom strømførende ledere – somkunne males uten av man visste noe om hva ladninger egentlig var. Fra enheten am-pere avledet man sa andre enheter ved a kombinere denne ene “elektriske enheten”med enhetene i mekanikken, feks. 1C = 1 As.

Vi tar for oss enhetene etterhvert som de dukker opp, litt kaotisk som følge av enlitt kaotisk forhistorie.

13.2 Elektrostatikk

13.2.1 Coulombs lov

“Grunnlikninga” i elektrostatikken er Coulombs lov for krafta mellom to punkt-ladninger q1 og q2 i innbyrdes avstand r.

e rbbbbbbbbbbbbb

e

rr..........

..................................................................................

..........

.....................................

..................

.......................................................................................................

..........

q1

q2

r

..........

...................................

φT

Coulomb gjorde i 1876 eksperimen-ter hvor en ladet metallkule (q1) blehold fast, mens en annen (q2) varspent fast pa armen i en torsjonsvekt– et instrument han selv hadde kon-struert og analysert.

Og sa malte han sammenhengen mellom torsjonsmoment T og vinkel φ, og fant avdet hvordan krafta mellom ladningene avhang av ladningenes fortegn, størrelse oginnbyrdes avstand,

F ∝ q1q2/r2 (13-1)

Krafta regnes positiv nar ladningene har samme fortegn, det vil si at like ladningerfrastøter hverandre og at krafta da virker “i positiv

→r -retning”.

Med proporsjonalitetskonstanten tatt med, skrives dette idag – i SI-enheter – paform

→F=

q1q2

4πε0r2

→er Coulombs lov (13-2)

hvor ε0 er “dielektrisitetskonstanten for vakuum”,

ε0 = 8, 85 · 10−12C2/(Nm2) (13-3)

13.2. ELEKTROSTATIKK 179

13.2.2 Elektrisk felt→E og potensial V

Krafta pa den ene ladningen – f.eks. q2 – kan oppfattes som forarsaket av et elektrisk

vektorfelt→E (

→r), pa samme maten som tyngdekrafta pa en masse m kan oppfattes

som forarsaket av et tyngde- eller gravitasjonsfelt→g ;

→F = q2

→E1 Elektrisk felt – definisjon

→F = m

→g Tyngdefelt – definisjon

(13-4)

Det elektriske feltet rundt en punktladning q er dermed, i avstand r fra ladningen,

→E (

→r) =

q

4πε0r2

→er Coulombfeltet (13-5)

La oss sa anta at en “testladning” qt kan bevege seg i feltet→E (

→r) – uten at

feltet forstyrres (for eksempel flyttes i rom fordi sentret flyttes). Dette innebærerat massen til “testpartikkelen” ma være liten.Arbeidet som ladningen qt ma utføre mot feltet for a bevege seg fra r til r + dr er

dW = −Fdr = −qtE(r) dr

og arbeidet som ma utføres for a bevege seg fra “feltfritt rom” r→∞ til posisjonenr er

W (r) = −qt

∫ r

∞E(r′)dr′ ≡ qtV (r) (13-6)

hvor V (r) er “det elektriske potensialet” – det vil si potensiell energi per ladningsen-het (i Coulombfeltet). Enhet for elektrisk potensial er

1 volt = 1V = 1 Nm/C (13-7)

Det er kanskje lettere a huske dette via “enhet for energi” i elektriske enheter,

1 Nm = 1 J = 1 VC = 1 VAs (13-8)

“Coulombpotensialet” assosiert med en ladning q blir

V (r) = −∫ r

∞

q

4mπε0r2dr =

q

4πε0rCoulombpotensialet (13-9)


13.2.3 Gauss lov

+fq ..............................................................................................

.............................

..................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................HHHHjr

-qqqqqqqqq qqqqqqqqqHHjd→A

→E

Legg na ei tenkt kuleflate rundt en ladningq, som vist pa figuren, og beregn fluksen ΦE

til→E gjennom flata.

Fluksen til vektorfeltet→E (

→r) gjennom et flateelement d

→A er definert som

dΦE =→E (

→r) · d

→A (13-10)

hvor flatevektoren d→A er en vektor loddrett pa og ut av flata, det vil si dΦE =

E⊥dA, hvor E⊥ er komponenten av→E ut av flata.

Med ei kuleflate og radielt felt, som i dette tilfellet, far vi

dΦE = E(r) r2 dΩ (13-11)

hvor dΩ er romvinkelelementet. Innsatt for E(r) ∝ r−2 faes sa

dΦE = (q/4πε0) dΩ, (13-12)

det vil si et uttrykk uavhengig av r. Ved integrasjon av uttrykket over kuleflata Ωfas∫Ω

dΩ = 4π, og vi star igjen med

ΦE =

∫

Ω

→E · d

→A= q/ε0 (13-13)

Her “sees lett” at dette gjelder uansett hvordan den lukkete flaten ser ut; den trengerikke nødvendigvis være ei kuleflate. Og vi kan putte flere ladninger innenfor flaten– og far tilsvarende uttrykk i tillegg for hver ladning. Dermed har vi – nar vimultipliserer opp ε0 –

Q =∑

i

qi = ε0ΦE ≡ ε0

∫

Ω

→E · d

→A Gauss lov (13-14)

I ord:

Den totale ladningen innenfor ei lukket flate er ε0 ganger den totale

fluksen til→E ut av flata.


13.2.4 Kapasitans

............................................

....................................................................................................................................................................................................................

+

−V

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

+ + + + + + + +

− − − − − − − −? ? ? ? ? ? ? ?

→E

6

?..................................

..................................

d

.......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ........................................................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ..

.....................................................

. Figuren viser skjematisk enplatekondensator – to paral-lelle metallplater med arealA og avstand d, koplet til enspenningskilde V .

Med positiv spenning V vil den øverste plata bli ladet positivt og den nederstenegativt, med totale ladninger ±Q pa platene.

Ladningene pa den ene platen prøver a trekke til seg ladningene pa den andre plat-en, og ladninger blir derfor liggende pa plateoverflatene som vender mot hverandre,mens ytterflatene ikke har ladning.

Hvis vi ser bort fra “randeffekter” – det vil si regner platenes utstrekning stor iforhold til plateavstanden d, kan vi regne det elektriske feltet som homogent mellomplatene og null utenfor;

E ≈

V/d mellom platene0 utenfor

(13-15)

Dette gir, fra Gauss lov brukt over en lukket flate Ω som antydet stiplet pa figuren,en ladning

Q = ε0

∫

Ω

→E · d

→A≈ εoEA = (ε0A/d) V (13-16)

Proporsjonalitetsfaktoren mellom ladning Q og spenning over kondensatoren Vkalles kapasitans. For en ideell platekondensator som vist, med luft (vakuum) mel-lom platene, blir kapasitansen

C = Q/V = ε0A

dKapasitansen til en platekondensator (luft) (13-17)

Enheten for kapasitans er farad,

1 farad = 1 [F ] = 1 C/V = 1 As/V (13-18)

Uttrykt med denne enheten kan vi skrive dielektrisitetskonstanten ε0 som

ε0 = 8, 85 · 10−12 F/m = 8, 85 pF/m

Talleksempel:En platekondensator med areal A = 1 cm2 og plateavstand 1 mm vil ha en ka-pasitans C = (8, 85 · 10−12 · 10−4/10−3) F ≈ 0, 9 pF. Og det er temmelig lite, dekondensatorene man bruker i elektroniske kretser er vanligvis fra 10 pF til 100 µF.

For a fa større kapasitans, reduserer man d og øker arealet. En vanlig mate a gjøredette pa var tidligere a metallisere papir, og sa rulle det opp i en mangelags sylinder.Et papirareal pa 1 m2 og en papirtykkelse pa 0,01 mm ville da gi C ≈ 10 nF.


13.2.5 Elektrostatisk feltenergi

Hvor mye energi trenges for a lade opp en kondensator til en spenning V ?

For a tilføre kondensatoren en tilleggsladning dQ nar spenningen er V , kreves etarbeid

dW = V dQ

Fra sammenhengen mellom ladning og spenning, Q = CV , fas videre

dQ = CdV

Vi har dermed atW =

∫ V

0

CV ′ dV ′ =1

2CV 2 (13-19)

Dette tilførte arbeidet er lagret som elektrostatisk feltenergi i kondensatoren. Even-tuelt kan det uttrykkes ved ladningen i stedet for ved spenningen;

W =1

2CV 2 =

1

2Q2/C Lagret elektrostatisk energi (13-20)

Talleksempel:En kondensator med kapasitans 1 µF er ladet til en spenning V = 50 V. Lagretenergi er da

W =1

2· 10−6 · (50)2 F V2 = 1, 25 J

En Joule = 1 J = 1 NM. Energien kan sees som a være “nyttet til ladningene”eller a være “knyttet til feltet” – dette er to komplementære mater a se det pa.Det er stort sett greiest a bruke den siste maten – resultatet av beregninger blirdet samme.

Vi tar utgangspunkt i en ideell platekondensator, og har da

V 2 = E2d2

C = ε0A/d

W =

1

2ε0E

2 · (Ad)

Her er Ad volumet (hvor det elektriske feltet er konstant og forskjellig fra null), ogfaktoren foran kan oppfattes som “elektrostatisk feltenergi per volumenhet”,

Elektrostatisk energi per volumenhet =1

2ε0E

2 (13-21)


13.2.6 Dielektrika og polarisasjon

.............................................

...................................................................................................................................................................................................................

+

−V

+Q

−Q

Isolatormateriale

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

6

?..................................

..................................

d

Hvis man i en platekondensatorikke har luft (vakuum) mellomplatene, men i stedet en eller an-nen isolator, vil som regelen ka-pasitansen øke. Vi kan fenom-enologisk uttrykke dette veda tillegge isolatormaterialet en“dielektrisitetskonstant” forskjel-lig fra ε0, og sa bruke samme ut-trykket for kapasitansen som før;

C = εA/d = εrε0A/d (13-22)

Her er εr materialets relative dielektrisitetskonstant – εr = ε/ε0. Noen typiske verdierer gitt nedenfor.

Materiale εr

Glass 5 – 10Kvarts 3,7Hardgummi 2,5 – 3,5Etylalkohol 25,8 (200 C)Vann 81,1 (180 C)Luft 1,000576 (NTP)

Men hva er det egentlig som skjer? Jo, det patrykte (ytre) elektrisk feltet virkerpa molekylene i isolatoren – eller “dielektriket”, som vi gjerne kaller det i dennesammenhengen, og trekker ladningene pa molekylene fra hverandre. Gar vi i merdetalj, kan vi si at feltet deformerer elektronskyene rundt atomkjernene litt, slik atatomene blir “polarisert”:

Atom,→E= 0

++−−

6→E

Atom,→E 6= 0

Polarisasjon av et atom i et elek-trisk felt, skjematisk.

Hvis dielektriket bestar av molekyler hvor ladningene er separert allerede uten ytrefelt, som vi for eksempel har i vanlig salt, (NaCl) → (Na+ Cl−), gjør det ytrefeltet at disse “permanente dipolene” vris av de elektrostatiske kreftene, og vi faren sterkere resulterende polarisasjon av dielektriket enn for et dielektrikum utenpermanente dipoler.

ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

−Q

+Q

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

+− For et dielektrikum i plassert mel-

lom to plater med ladning ±Q farvi et bilde som vist pa figuren tilvenstre.


Forskyvningen av ladninger i dielektriket gir ingen netto volumladning, men detblir netto overflateladninger, si ±Q′, som sa gir et elektrisk felt motsatt rettet detladningene ±Q gir. Gauss lov, og uttrykket for ladningen pa en platekondensator,gir

Q−Q′ = ε0EA (Gauss lov) (13-23)

Q = εE A (13-24)

som gir oss et uttrykk for “den dielektriske polarisasjonen” P = Q′/A,

P = Q′/A = ε0(εr − 1)E ≡ χPE (13-25)

Materialkonstanten χP – proporsjonalitetsfaktoren mellom elektrostatisk felt ogpolarisasjon – kalles “dielektrisk susceptibilitet”.

13.3 Statiske magnetfelt og elektrisk strøm

13.3.1 Elektrisk strøm og Ohms lov

De elektriske strømmer vi møter i hverdagen, er for det aller meste resultat av enrettet bevegelse av elektroner i metall-ledninger og en spenning patrykt mellomendene av ledningene.

........................

........................

.......................

.............

.........

..........

.......

.........

..........

.......- ∆`

-`, V

A

............................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................

.....................................

..............................................................................................................................

.....................................

..............................................................................................................................

..................................... Ta som eksempel en kop-

perledning, med tverrsnittA og lengde `, patrykt enspenning V .

Kopper har massetetthet 8,92 g/cm3 og atomvekt 63,57. Den atomære masseen-heten er 1 amu = 1, 6605 · 10−27 kg. Antallet atomer per volumenhet i kopper erdermed

n = 8, 92 · 103(kg/m3)/(63, 57 · 1, 6605 · 10−27kg) = 8, 45 · 1028 m−3

I en ledning med tverrsnitt 1 mm2 (typisk for 10 A-kurs i husinstallasjon) er detderfor pa ei lengde ∆` = 1 mm et antall N = 8, 45 · 1019 Cu-atomer.

Cu-atomene i metallet er bundet sammen av “kjemiske krefter”, og de fleste avelektronene er last fast enten i disse bindingene eller i tett binding til atomkjer-nene. Men ett elektron per atom er ikke bundet pa denne maten, og er fritt til abevege seg mellom atomene, og transportere ladningen sin samtidig. Vi har dermedca. 8, 45 · 1019 “frie elektroner”, gjerne kalt ledningselektroner, i hver mm3 av kop-perledningen.

Settes det pa et elektrisk felt E = V/` langs lederen, akselereres hvert lednings-elektron av feltet, men samtidig bremses det av en “viskøs friksjonskraft”. Dette

13.3. STATISKE MAGNETFELT OG ELEKTRISK STRØM 185

resulterer i at elektronene “i stasjonær tilstand” far en middelhastighet proporsjon-al med feltet3

v = kE (13-1)

Strømmen I i ledningen4 kan uttrykkes som

I = e ne v A = enek(V/`)A (13-2)

hvor ne er antalltettheten av ledningselektroner, og e tallverdien av elektronladnin-gen.

Hvor stor er na denne middelhastigheten v “under vanlige forhold”? Ja, la oss antaA = 1 mm2 og I = 10 A – det vil si en “hjemmeledning” med maksimal tillattbelastning. Dette gir

v ≈ 10A/(1, 602 · 10−19As · 8, 45 · 1028m−3 · 10−6 m2) = 7, 4 · 10−4 m/s = 0, 74 mm/s

Ikke veldig mye – hvis vi hadde hatt likestrøm, ville det ta 22 ar for et elek-tron a komme fra Trondheim til Oslo med den farten. Na er ikke kraftnettetlikestrømsnett her i landet, men vekselstrømsnett, med periode pa vekselstrømmenpa (1/50)sekund. Elektronene flytter seg derfor i middel fram og tilbake med utslagca. 7 µm, under forhold som antatt her.

Kraftoverføring er ikke overføring av elektroner!

Ga sa tilbake til uttrykket for strømmen, og skriv det om pa formen

I = σAV/` (13-3)

Størrelsen σ(= kene) er konduktiviteten, klarere uttrykt som forholdet mellom elek-trisk strømtetthet j = I/A og elektrisk felt E = V/`,

σ = j/E =I/A

V/`Konduktiviteten [enhet A

V m] (13-4)

Forholdet mellom strøm I og spenning V er resistansen R til ledningsbiten (“Ohmskmotstand”),

R = V/I =1

σ

`

AResistans (13-5)

Sammenhengen mellom strøm gjennom en leder og spenninga over lederen kallesOhms lov,5

V = RI Ohms lov (13-6)

3For svært hurtig varierende felt fas ikke “stasjonær tilstand” – man kan i stedet se bort fradempingen og regne det hele tapsfritt. Og da kommer elektronene i mottakt med feltet, og slukkerut dette. Dette er mekanismen for eksempel nar lys reflekteres fra metalloverflater.

4Elektrisk strøm er lik elektrisk ladning som passerer et tverrsnitt av ledningen per tidsenhet.Eller sagt pa en annen mate: Elektrisk strøm er lik ladningstettheten multiplisert med volumet(v A) med ladninger som per tidsenhet passerer et valgt tverrsnintt i ledningen.

5Georg Simon Ohm (1787-1854), professor i fysikk ved den tekniske høgskolen i Nurnberg,fant loven eksperimentelt i 1826


Enheten for resistans er ohm: 1 Ω = 1 V/A.

Vi har her tatt utgangspunkt i en kopperledning, som i likhet med alle metaller harbare elektroner, med negativ ladning, som ladningsbærere. I andre ledere (lysrør,elektrolytter, halvledere) kan det ogsa være positive ladningsbærere – og lednings-evnen σ blir vesentlig mindre. Metaller har σ ∼ 108 A/(Vm), halvledere σ ∼ 104–10−7 A/(Vm) og “isolatorer” σ ∼ 10−12–10−20 A/(Vm).

13.3.2 Kraft pa leder i magnetfelt

S

N

S

N

.............................................................................................

.....................................................................................

.............................................................................................

.....................................................................................

?? ??

Tiltrekkende

S

N

N

S

............................

.........................

.....................................................

.....................................................

.....................................................--

Frastøtende

Hvis man plasserer to stavmagnetermed endene mot hverandre, vil detiltrekke hverandre hvis disse endene er“motsatte poler”, og frastøte hveran-dre hvis de er “samme type poler”– kalt “nordpol” (N) hvis tilsvarendepol pa en magnetnal peker mot nord,og “sørpol” (S) i motsatt fall. (Jordasmagnetiske nordpol er dermed en mag-netisk sørpol, og vice versa!) Og – leg-ger man en glassplate eller et papir ellerlignende oppa magnetene og drysserjernspon pa, retter sponene seg innlangs “magnetfeltlinjene”, som skissertpa figuren.

6 6 6→B

I

-→F

..................................

..................................

`

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrPlasserer man en strømførende leder iet slikt magnetfelt, langs magnetfeltlin-jene – ja, da skjer det ingen ting. Mensetter man lederen loddrett pa feltlin-jene i stedet, da far man en kraft palederen, loddrett pa bade magnetfelt ogleder, og proporsjonal med strømmen Iog lederens lengde loddrett pa feltet, `.

Vi lar proporsjonalitetsfaktoren i uttrykket for krafta definere magnetfeltet→B, og

skriver uttrykket pa formen →F= I

→` ×

→B (13-7)

eller, for krafta pa en bit d→` av lederen,

d→F= I d

→` ×

→B

Kraft pa lederelement

i magnetfelt→B

(13-8)


Enhet for magnetfelt er tesla; en tesla = 1 T = 1 N/(Am).

13.3.3 Lorentzkrafta

La oss prøve a fordele krafta→F i uttrykket

→F= I

→` ×

→B pa de enkelte ladnings-

bærerne i lederen. For enkelhets skyld antar vi at alle ladningsbærerne er av sammeslag, med ladning q.

Størrelsen→l er “lengde i strømmens retning”. Strømmen skriver vi som produkt

av strømtetthetsvektor→j og tverrsnittet av lederen, A, og uttrykket for krafta pa

lederen blir da →F=

→j (À)×

→B (13-9)

hvor À = V er volumet av lederen.

Strømtettheten→j er produktet av ladning per ladningsbærer, q, antalltetthet av

ladningsbærere, n, og ladningsbærernes middelhastighet→v . Vi har dermed at

→F= q(nÀ)

→v×

→B= q(nV)

→v×

→B (13-10)

Antalltetthet ganger volum gir totalt antall, nV = N – og middelhastigheten→v er

definert ved→v =

1

N

N∑

i=1

→v i (13-11)

Innsetting i uttrykket for krafta→F gir med dette

→F=

N∑

i=1

→F i=

∑

i

q(→v i ×

→B) (13-12)

Krafta pa lederen kan dermed oppfattes som en sum av magnetiske krefter→F B pa

de enkelte ladningsbærere →F B= q(

→v ×B) (13-13)

Hvis det i tillegg til magnetfeltet ogsa er et elektrisk felt→E, gir dette ei tilleggskraft

→F E= q

→E. Summen av disse to kreftene gir den totale “elektromagnetiske krafta”

pa en ladningsbærer, kalt Lorentzkrafta6

→F L= q(

→E +

→v ×

→B) Lorentzkrafta (13-14)

6Etter den nederlandske fysikeren Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)– som i 1895 postulerteat elektrisitet ble ledet av den gang uoppdagete partikler som han kalte “elektroner”. Lorentzfikk Nobelprisen i fysikk i 1902.


I et rent magnetfelt (og vakuum) gir Lorentzkrafta en sirkling av ladningene om

magnetfeltlinjene, med sirklings(vinkel)frekvens→ωc (“syklotronfrekvensen”)

→ωc= −q

→B /m (13-15)

Denne krafta far for eksempel elektronene i ionosfæren til a sirkle om magnet-feltlinjene mens de beveger seg fra oss og ned til Antarktis og tilbake igjen. Og denbrukes til a holde elektroner og ioner pa plass i partikkelakseleratorer i Cern, og istraleapparater pa sykehus. I kombinasjon med et radielt elektrisk felt, i magnetro-nen som star inne i mikrobølgeovnen og gir varm mat pa 5 minutter.

13.3.4 Krefter mellom strømførende ledere – og enhetenampere

............

............

..........

............

............

.......... -`

- I2

- I1

6

?r

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrPlasser to like lange og retteledere med lengde ` parallelt medhverandre og med avstand r, ogsend strømmer I1 og I2 gjennomdem. Det enkleste vil være a lageen strømsløyfe, som indikert pa fi-guren, med I1 = −I2.

Lederne vil tiltrekke hverandre hvis I1 og I2 gar i samme retning, og frastøte hveran-dre hvis de er motsatt rettet. Krafta mellom lederne er, som vist av Ampere, pro-porsjonal med produktet av strømmene og med lengden, og omvendt proporsjonalmed avstanden mellom lederne,

F ∝ −I1I2 `/r (13-16)

Dette uttrykket brukes til a definere strømenheten ampere (A):

F := −(2 · 10−7 N/A2) · I1I2 `/r Definisjon av enheten ampere (13-17)

Hvorfor tallet 2 · 10−7? Jo – dette stammer fra den tida da man brukte gramog centimeter som grunnenheter i stedet for kilogram og meter. kraftaheten ble da1 dyn = 1 g cm/s2 = 10−5 N – og 1A er strømmen som sendt rundt i en strømsløyfesom indikert ovenfor, med total lengde 2` = 1 m og lederavstand 1 cm, gir en kraftpa 1 dyn mellom lederne. Et greitt definisjonseksperiment, som hvermann kan setteopp enkelt i laboratoriet.

Proporsjonalitetskonstanten kaller vi, for a fa pene uttrykk senere, µ0/2π, hvorstørrelsen µ0 kalles “permeabiliteten i vakuum”:

µ0 = 4π · 10−7 N/A2 Permeabiliteten i vakuum (13-18)


13.3.5 Magnetfeltet fra en rett leder

Sammenlign krafta pa en rett leder med strøm I1 i et magnetfelt→B loddrett pa

→I 1, og krafta pa en rett leder med strøm I1, nar det er en annen parallell rett ledermed strøm I2 i en avstand r fra I1-lederen,

F = I1`B

F =µ0

2πI1I2

`

r= I1`

µ0I2

2πr(13-19)

Vi kan, i analogi med det elektrostatiske tilfellet, hvor vekselvirkninga kunne seessom a ga via et elektrostatisk felt, nar det gjelder vekselvirkning mellom strømførende

ledere se vekselvirkninga som a ga via et magnetisk felt – her satt opp av→I 2-lederen.

Men i motsetning til det elektrostatiske feltet, hvor feltet gar langs vektoren mellomladningene, ma det her være loddrett pa avstandsvektoren – det vil si, feltet mavære sirkulært, som vist nedenfor.

*

I2...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

-→B2

CCCCCO →r

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

→B2= µ0

→I 2 ×

→r

2πr2(13-20)

Dette kan generaliseres slik at man ser pa feltet→B2 som satt sammen av feltene

∆→B2 fra sma lederelementer ∆

→` . Vi gar ikke gjennom dette – som ble gjort av

Biot og Savart i 1821 – men her vil vi kun presentere resultatet

d→B2 (

→r) =

µ0

4πI2

d→` × →

r

r3Biot-Savarts lov (13-21)

hvor→r er avstandsvektoren fra lederelementet til stedet

→B2 skal beregnes.

En liten bemerkning tilslutt: Ovenstaende kan sees som et resultat av Einsteinsspesielle relativitetsteori. Beregner man Coulombkrefter mellom ladninger i beveg-else, far man inn ekstra ledd av orden (v/c)2, hvor v er ladningshastighet og c er

lyshastighet. Og da faller magnetfelt – og magnetiske krefter q→v ×

→B – direkte ut

av likningene, uten ekstra antagelser. Men dette er helt uhistorisk; de elektromag-netiske grunnlikningene ble satt opp før Einstein var født – og var “relativistiskriktige” lenge før relativitetsteorien hadde sett dagens lys.


13.3.6 Amperes lov

Magnetfeltlinjene rundt en strømførende leder (med strøm I) danner lukkete sirkler.Og hvis vi integrerer magnetfeltet langs en slik sirkel, far vi – nar vi bruker vinkelφ som integrasjonsvariabel –

∮→B ·d →

s=µ0

2πI

∮rdφ

r=

µ0

2πI · (2π) = µ0I (13-22)

Her “sees lett” (jamfør Gauss lov) at integralet blir det samme uansett hvilkenform den lukkete kurven har – og hvis det er flere strømførende ledere innenforintegrasjonsveien, adderes bare tilsvarende uttrykk til. Sa vi har, generelt,

∮→B · d→

s= µ0I Amperes lov (13-23)

hvor I er total strøm gjennom en flate begrenset av den lukkete integrasjonsveien.

Vi kunne ogsa prøve a gjøre som da vi fant Gauss lov (for elektriske felt), og inte-

grere magnetfeltet over en lukket flate d→A – og vi ser at siden magnetfeltlinjene

løper tilbake i seg selv, ma et slikt integral være lik null,

∮→B · d

→A= 0 (13-24)

Dette uttrykket er man faktisk ikke helt sikker pa er riktig – hvis det skulle væreforskjellig fra null, ville det bety av det fantes “isolerte magnetiske monopoler”, sien ren magnetisk nordpol uten noen magnetisk sydpol koplet til denne. Slike eraldri observert, men det er mange partikkelfysikere som tror (haper) at de finnes.Det er blant de eksotiske partiklene man stadig leter etter, foreløpig forgjeves.

13.3.7 Magnetfeltet i en lang, rett spole

.......................................

........................................

........................................

....................................

............................................

........................................

........................................

........................................

....................................

............................................

....................................

........................................

........................................

.......................................

............................................

.....

.........................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

.........................................

.............................................

qqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq -I

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq-ITilnærmet homogene magnet-felt med kontrollert verdi kanlages ved hjelp av “spoler”,strømførende ledere viklet opp paen eller annen kjerne. Til venstreer vist en lang, rett spole. Dennevil gi et nær konstant magnetfeltinne i spolen, mens tallverdien avmagnetfeltet faller raskt nar mankommer litt utenfor spolen.

13.4. MAGNETISK INDUKSJON 191

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ep ep ep ep ep ep ep ep ep epe.................................. e.................................. e.................................. e.................................. e.................................. e.................................. e.................................. e.................................. e.................................. e..................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................3

.............................................................................s

→B

............

............

..........

............

............

.......... -`

Vi tegner spolen om igjen, skje-matisk. Anta lengde `, og Nviklinger. Spoletverrsnittet (lod-drett pa spoleaksen) er A.Magnetfeltet inne i spolen antasomtrent konstant, og magnetfel-tet utenfor nær null – det vil av-ta minst som (1/r) med avstan-den fra spolen (og i virkelighetenlangt raskere).

Og sa bruker vi Amperes lov, med den stiplete integrasjonsveien, til a finne mag-netfeltet i spolen, B:

∮→B ·d →

s= µ0

∑I ⇒ B ` = Nµ0I (13-25)

Magnetfeltet i spolen er dermed

B = (µ0N/`)IMagnetfeltet i lang, rettluftfylt spole

(13-26)

Hvis spolen er fylt (i lengde `) med et eller annet noenlunde normalt materiale,ma vakuuumpermeabiliteten µ0 i uttrykket over erstattes med en fenomenologiskpermeabilitet µ = µrµ0, omlag som vi gjorde da det gjaldt kapasitans og dielek-trisitetskonstanten. Men for de aller fleste materialer er µr svært nær en – unntaketer sakalte ferromagnetiske materialer (nikkel, bløtt jern, ferritter). Vanlig bløtt stalhar en µr ≈ 4000 – og spoler med jern- eller ferrittkjerne brukes til a lage kraftigeelektromagneter.

Fenomenologisk er ferromagnetismen et resultat av at materialene pa mikroskopiskniva virker som samlinger av sma strømsløyfer, sakalte “magnetiske dipoler”. Mendette er en veldig lang historie, hvis man skal gi en brukbar forklaring – og viserverer ikke den historien i dette kurset.

13.4 Magnetisk induksjon

Vi har hittil bare tatt for oss systemer hvor strømmer og felt er konstante i tid. Naskal vi se pa hva som skjer i tidsvariable systemer.


13.4.1 Faradays induksjonslov

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................

I

-I

? ? ? ?→B

ε

Betrakt ei strømsløyfe plassert i

et tidsvariabelt magnetfelt→B (t).

Gjennom strømsløyfa gar det enmagnetisk fluks

ΦB =

∫

A

→B · d

→A Magnetisk fluks (13-1)

Maler man spenninga ε over utgangsklemmene for strømsløyfa, finner man7 at

ε = −dΦB/dt Faradays induksjonslov (13-2)

Størrelsen ε kalles gjerne “elektromotorisk kraft”. Og retningen – indikert medminuset i ligninga over – er slik at:

Den induserte elektromotoriske krafta som prøver a sette igang enstrøm I med retning slik at magnetfeltet som lages av denne strømmen,motvirker fluksforandringen (Lenz lov).8

Fluksforandringa dΦB/dt kan framkomme pa to ulike mater; Enten ved at→B (

→r , t)

varierer med tiden mens ledersløyfa er i ro, eller ved at ledersløyfa beveger seg(eventuelt skifter form), slik at fluksen gjennom sløyfa dermed forandrer verdi.

13.4.2 Generering av vekselstrøm

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................

....

.........................................................................................................

.........

...........................................

....... φ

...............................................................................................

..........ω---

→B

q

r

r

.........

.......

..........

.........

..........

..........

.........

......

..........

.....

..........

..........

.........

..........

..........

..........

......

.........

..........

..........

.........

..........

......

.........

......

.........

..........

..........

.........

..........

......

.........

......

..........

.........

..........

..

ε

?

6

`

-h

La en rektangulær strømsløyfemed tverrsnitt A = ` × h roteremed vinkelhastighet ω i et kon-stant magnetfelt, som vist pa fi-guren.

7Det vil si, Michael Faraday fant det i 18318Lenz lov – etter Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-65) er et spesialtilfelle av LeChateliers

prinsipp: Naturen reagerer pa forsøk pa forandringer med a motsette seg forandringene.


Fluksen gjennom sløyfa er

ΦB =

∫→B · d

→A= BA sin φ (13-3)

Dreiningsvinkelen er φ = ωt, og indusert spenning – som vi kaller V1(t) og gir engod dag i fortegnet pa – blir

V1(t) = AB∂ sin ωt

∂t= ABω cos ωt (13-4)

Hvis vi i stedet for bare en strømsløyfe hadde en flat, rektangulær spole med Nviklinger, ville den totale spenninga over spolen bli ei vekselspenning

V = NV1 = NABω cos ωt (13-5)

Det som er beskrevet ovenfor, er prinsippet for nesten all kraftproduksjon i ver-den idag. “Rotasjonsarbeidet” tilføres som mekanisk energi fra en vannturbin,gassturbin, en dampmaskin eller lignende.

Systemet kan ogsa “drives baklengs” – det vil si man kan sende vekselstrøm inn paen roterende spole, og ta ut mekanisk energi. Da er dette en synkronmotor.

13.4.3 Teslas trefasegenerator

I den virkelige verden benyttes stort sett ikke roterende spoler og faste magnetfelt,men man lar i stedet magnetfeltet rotere og lar spolene ligge fast,

(roterende spole + fast magnetfelt)→ (fast spole + roterende magnetfelt)

Dertil tar man ikke bare ut en vekselspenning, men tre, forskjøvet en fase 2π/3 iforhold til hverandre.

Prinsippet, som ble oppfunnet av Nikolai Tesla i 18889 er skissert nedenfor.

9Nikolai Tesla (1857-1943) var sønn av en ortodoks serbisk prest i Kroatia. Han ble ansatthos Edison, og foreslo at man laget en generator som vist her. Men Edison var ikke interessert –han ville satse pa likestrøm. Og Tesla gikk over til Westinghouse. Dette ble ett av de største varpWestinghouse noengang har gjort – mer enn 90 prosent av verdens kraftproduksjon kommer idagfra Tesla-type generatorer.


.........

.......

..........

.........

..........

..........

..........

.....

..........

......

.........

..........

..........

.........

..........

..........

......

..........

..........

..........

.........

..........

......

.........

......

..........

..........

....

....................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................

............

............

.......................................................................................................................................

................................

.....................................

.............................................

.......................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

................................................. .................................................

..................................................................................................

.................................................

.................................................

.................................................

.................................................

.................................................

.................................................

..............................

...................

.................................................

.............................................

............

.............

....................

............

.............

....................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

.............................................

........................................

...........................

.......................

.............................................

............

......................

..................................

..............

..................

..............

..................

..............

..................

..............

..................

ddddd

tttttddddd ddddd

ttttt ttttt

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

dddddddd tttttttt

a

a

b

b

c

c

N

S

.......................................................................................

Oω

Bade “rotor” og “stator” er laget avbløtt jern. Rotorviklingene tilføreslikestrøm. Nar rotoren drives rundt,fas et roterende magnetfelt, som giren variabel fluks i statorviklingene.

Utgangsspenningene blir – i forhold til det felles “jord-punktet” –

va(t) = V0 cos ωtvb(t) = V0 cos(ωt− 2π/3)vc(t) = V0 cos(ωt + 2π/3)

3-fase-spenninger (13-6)

I et sakalt “balansert nett” greier det seg med 3 ledninger for a føre strøm fra entrefasegenerator til forbruker – men for fa ar siden gikk ogsa Norge endelig over tilinternasjonal standard med 4 ledninger. Dette gir mindre ulykkesrisiko.

13.4.4 Selvinduksjon og magnetisk feltenergi

...............................................................................................................................................................................................................................................

.................................

.........................................

............

.......................................................................

..............................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................

-I

V+

−

Betrakt igjen ei strømsløyfe, men nauten noe ytre magnetfelt. Strømmen Iresulterer i et magnetfelt ΦB ∝ I gjen-nom strømsløyfa, og med dI/dt 6= 0fas dermed en “indusert spenning” overstrømsløyfa.

V ∝ −ε =dΦB

dt∝ dI

dt(13-7)

Den fysiske effekten – en tidsvariabel strøm induserer ei motspenning som motvirk-er tidsvariasjonen i strømmen – kalles selvinduksjon, og proporsjonalitetsfaktorenkalles (selv)induktans L.

V = −LdI

dt

SelvinduksjonL : induktans

(13-8)

Enheten for induktans er 1 henry = 1 H = 1 Vs/A.


Induktansen til en lang, rett spole

Betrakt en lang, rett og luftfylt spole, med tverrsnitt A og lengde `. Magnetfeltetinne i spolen fant vi tidligere fra Amperes lov; B = µ0IN/`, hvor I er strømmengjennom spolen.

Fluksen blir ΦB =∫ →

B · d→A= BA, og “selvindusert spenning” over spolen blir

dermedV = NdΦB/dt = N · µ0N` · dI/dt (13-9)

Induktansen er følgelig

L = N2µ0A/`Induktans forlang, rett spole

(13-10)

Talleksempel: Ta en papprull med lengde ` = 100 mm, diameter d = 40 mm og 200viklinger.10 Induktansen blir: L = 2002 · 4π · 10−7 · (π · 0, 042/4)/0, 1 = 0, 63 mH.

Lagret energi.

Energien lagret i en spole kan finnes pa tilsvarende mate som vi fant lagret energii en kondensator. For a flytte en ladning dQ over en spenning V kreves et arbeiddW = V dQ. Innsetting av V = LdI/dt og dQ = Idt gir

dW = V dQ = (LdI/dt) · (Idt) = LIdI (13-11)

Integrasjon av dette, fra I = 0, gir

W =1

2LI2 Lagret energi i en induktans (13-12)

For a komme fra dette uttrykket over til uttrykk for “magnetisk feltenergi pervolumenhet”, setter vi inn uttrykkene for L og I(B) for en lang, rett spole;

W = (1

2N2µ0A/`) ·

(B

µ0N/`

)2

=1

2(B2/µ0) (A`) (13-13)

Her er A` volumet (hvor det magnetiske feltet er konstant og forskjellig fra null),og faktoren foran blir da magnetisk feltenergi per volumenhet,

Magnetisk feltenergi per volumenhet =1

2B2/µ0 (13-14)

10For er par generasjoner siden laget man spolen for instilling av stasjonen pa sitt krystallap-paratet (batteriløs radiomottaker) pa denne maten, for a fa inn f.eks. den tids hovedsender forpopmelodier: Radio Luxemburg. Spolekjernen kunne f.eks. være fra en dorull.


13.5 Enkle kretser

13.5.1 RC-krets

En kondensator med kapasitans C lades ut gjennom en motstand R. Spenningaover kondensatoren er V0 = Q0

C. Se figuren under:

B

R-Q0

+Q0C

Bryteren lukkes og initiell strøm blir

I =V0

R=

Q0

RC(13-15)

Ladningen Q avtarI = −dQ

dt(13-16)

Summen av spenningsfall over kretsen er lik null

Q

C− RI = 0 ⇒ Q

C+ R

dQ

dt= 0 ⇒ dQ

Q= − dt

RC(13-17)

Integrasjon av ligninga gir

∫ Q

Q0

1

QdQ = −

∫ t

0

1

RCdt⇒ ln

Q

Q0

= − t

RC(13-18)

Dermed fas

Q = Q0 exp

(−t

RC

)hvor τ = RC er tidskonstanten (13-19)

Strømmen blir dermed

I = −dQ

dt=

Q0

τexp (−t/τ) = I0 exp (−t/τ) (13-20)

Strømkurven blir med verdier R = 10 kΩ og C = 10 µF

13.5. ENKLE KRETSER 197

0 0.1 0.2 0.3 0

0.5

1

tid [s]

Str

øm

I/I 0 [A

]

13.5.2 Opplading av kondensator

Ei spenningskilde V skal brukes til opplading av en kondensatoren.

B

RCV R+

-

Nar bryteren B lukkes fas at summen av spenningsfall over kretsen er lik null

V − RI − Q

C= 0 (13-21)

Initielt (t = 0) gjelder

Q0 = 0 og I0 =V

R(13-22)

Ladning tilføres kondensatoren. Strømmen I = dQ/dt, og vi kan skrive

dQ

dt+

Q

RC=

V

R(13-23)

Inspeksjon gir prøveløsning Q = Q′ exp (−t/RC)+V C, som med grensebetingelsenQ(t = 0) = 0, gir Q′ = −V C. Dermed fas

Q(t) = V C(1− exp (−t/RC)) og I(t) =dQ

dt=

V

Rexp (−t/RC) (13-24)


Ladningen øker som vist i kurven Tid [s]

Ladn

ing

Q

13.5.3 RL-krets

Spenningen over spolen er Vs = LdI/dt.

B

RV RL

+-

Nar bryteren B lukkes, fas at summen av spenningsfallene over kretsen er lik null

V − RI − LdI

dt= 0 (13-25)

For t = 0 fas

V = LdI

dt I=0(13-26)

Likninga blir den samme som for tilfellet med opplading av kondensator. Løsningener dermed

I(t) = I ′(

1− exp (−R

Lt)

)(13-27)

Konstanten I ′ finnes ved

dI

dt|I=0 =

I ′R

L=

V

L(13-28)


Dermed far vi

I(t) =V

R

(1− exp (−R

Lt)

)hvor tidskonstanten τ = L/R (13-29)

13.5.4 LC-krets

Initielt er kondensatoren oppladet. Se figur.

B

CL-Q

+Q

Nar bryteren B lukkes fas at summen av spenningsfall over kretsen er lik null

LdI

dt+

Q

C= 0 (13-30)

Som gir nar I = dQ/dt

Ld2Q

dt2+

Q

C= 0 (13-31)

som er en udempet svingelikning av form mx + kx = 0 med løsning

Q(t) = A cos (ωt + ϕ) (13-32)

hvor ω =√

1LC

er vinkelfrekvensen.

13.5.5 RLC-krets

Vi starter med kondensatoren oppladet.


B

CL-Q

+Q

R

Nar bryteren B lukkes, fas at summen av spenningsfallene over kretsen er lik null

LdI

dt+ RI +

Q

C= 0 (13-33)

Fordi I = dQ/dt gir dette

Ld2Q

dt2+ R

dQ

dt+

Q

C= 0 (13-34)

som er differensiallikninga for en dempede svinginger av form mx + bx + kx = 0.Løsningen til denne likninga er

Q(t) = A exp (−δt) cos (ωt + ϕ) (13-35)

hvor ω =√

1LC

er vinkelfrekvensen og δ = R/2L er dempningskonstanten.


• Coulombs lov F = q1q2/(4πε0r2) er det egentlige grunnlaget for all elektro-

statikk.

• Elektrisk felt er definert ved krafta pa en ladning q,→F= q

→E.

• Coulombfeltet fra og Coulombpotensialet ved en lading q er E = q/(4πε0r2)

og V = q/(4πε0r).

• Gauss lov (elektrostatisk) gir sammenhengen mellom ladning innenfor og elek-

trisk fluks ut av ei lukket flate, Q = ε0ΦE =∮

ε0

→E ·d

→A.

• Konduktiviteten til et stoff (en leder) er forholdet mellom strømtetthet og

elektrisk felt,→j= σ

→E.


• Resistansen til en motstandstrad med lengde ` og tverrsnitt A er R =σ−1`/A.

• Ohms lov gir sammenheng mellom strøm gjennom, og spenning over en re-sistans, V = R I.

• Krafta pa en lederbit med strøm I i et magnetfelt→B er d

→F= I d

→` ×

→B.

Dette kan sees som definisjonslikninga for magnetfelt.

• Lorentzkrafta er krafta pa en ladet partikkel i et elektromagnetisk felt,→F= q(

→E +

→v ×

→B).

• Amperes lov gir sammenheng mellom strøm innenfor og magnetfelt langs en

lukket kurve,∑

I =∮

µ−10

→B · d

→S.

• Faradays lov gir sammenheng mellom spenning (indusert elektromotoriskkraft) over og magnetisk fluks gjennom ei (nesten) lukket strømsløyfe,

ε = −dΦB/dt = −(d/dt)∫

A

→B ·

→A.

• I Faradays lov kan “d/dt” skyldes enten forandring av→B med tida, eller

forandring av strømsløyfa (areal, posisjon).

• Kapasitans og induktans:Q = dI/dt = CV (kapasitans C)V = LdI/dt (induktans L)

• Kapasitans for platekondensator og induktans for lang, rett spole (i vakuum)er

C = ε0A/d og L = µ0N2A/`.

• Dielektrisitetskonstanten i vakuum er ε0 = 8, 85 · 10−12 F/mPermeabiliteten i vakuum er µ0 ≡ 4π · 10−7 T/(Am).med 1/(µ0ε0) = c2, hvor c = 3 · 108 m/s er lyshastigheten.

• Elektrostatisk energi: W = 12CV 2 =

∫V

12ε0E

2 dV

• Magnetisk energi: W = 12LI2 =

∫V

12(B2/µ0) dV

• Dielektrika: ε0 → ε = εrε0

• Magnetiske materialer: µ0 → µ = µrµ0

Kapittel 14

Elektromagnetiske bølger

Innhold14.1 Om elektromagnetiske bølger i vakuum . . . . . . . . . 203

14.2 Forskyvningsstrøm og generalisert Amperes lov . . . . 205

14.3 Maxwells likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

14.4 Bølgelikninga i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

14.1 Om elektromagnetiske bølger i vakuum

Vi skal helt til slutt vise at elektriske og magnetiske felt i vakuum oppfyller enbølgeligning av form helt som de “vanlige bølgelikningene” vi har møtt tidligere.Vi skriver likninga i 3 romlige dimensjoner i stedet for bare en, det vil si ∂/∂x →∇,og har da

∂2

∂t2− 1

µ0ε0

∇2

(→E,

→B) = 0 (14-1)

Bølgelikninga er den samme for elektriske og magnetiske felt. Her er faktoren foran∇2 bølgehastigheten, som vanlig, og vi har

1

µ0ε0= c2 (14-2)

hvorc = 299792485 m/s = lyshastigheten i vakuum (14-3)

Historisk sett kom bølgelikninga før man hadde noen ide om at lys hadde medelektromagnetisme a gjøre, og det kom som en stor overaskelse at tallverdien av1/√

µ0ε0 kom ut lik den malte verdien av lyshastigheten.

Idag er lyshastigheten definert til a ha verdien gitt over – dette definerer lengdenpa meteren, nar tidsenheten sekund er gitt (fra frekvensen pa en spektrallinje i encesiumisotop).

203

204 KAPITTEL 14. ELEKTROMAGNETISKE BØLGER

Tar vi for oss plane bølger med forplantningsretning i x-retning (∇ → ∂/∂x ibølgelikninga), det vil si antar en løsning av form

→E=

→E0 cos(ωt− kx[+φ]) (14-4)

finner vi at løsningen har egenskapene

→E ⊥

→k

→B ⊥

→k

→B ⊥

→E

|E| = c |B|

Transversal e.m. bølge i vakuumω/k = c ≈ 3 · 108 m/s

(14-5)

Vektorene→E og

→B kan, med

→k= k

→ex, ha komponenter bade i y- og z-retning. Hvis

disse har ulike amplituder og faser, vil resultantvektorene (→E=

→Ey +

→Ez) rotere –

vi har det som kalles “elliptisk polarisert bølge”. Og med samme amplituder i y-og z-retning, blir ellipsen en sirkel, vi far “sirkulærpolarisert bølge”.

Det enkleste er a betrakte en bølge hvor si Ey ≡ 0. Bare By og Ez blir da forskjelligefra null, og vi har hva som kalles en planpolarisert bølge.

-

6

x

z

y

6

6

6

6

?

?

?

?

6

6

→B

→E

Planpolarisert elektromag-netisk bølge, skjematisk.

Det elektromagnetiske spektrum

Elektromagnetiske bølger i vakuum “sorteres” gjerne etter hvilke frekvens- ellerbølgelengdeomrader de opptrer i. Og for a minne om det, vi har generelt

λ = 2π/k Bølgelengdenf = ω/2π Frekvensenc = λ · f Lyshastigheten

Sorteringen i “bokser med navn” er i store trekk som illustrert nedenfor.

14.2. FORSKYVNINGSSTRØM OG GENERALISERT AMPERES LOV 205

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

...........................................

............

............

..........

............

............

..........

............

............

..........

............

............

.......... λ/m100 1 10−3 10−6 10−9 10−12

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

..............................

............

............

..........

............

............

..........

............

............

..........

............

............

..........

............

............

.......... f/Hz107 109 1012 1015 1018 1021

...................................................

...................................................

q..................................................................................................................synlig lys

røntgen- mikrobølger

-radiobølger -infrarødt -u.v. γ-straling

Det elektromagnetiske spektrum

14.2 Forskyvningsstrøm og generalisert Amperes

lov

-I

+Q

−QI

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

+ + + + + + + +

− − − − − − − −? ? ? ? ? ? ? ?

→E

6

?..................................

..................................

d

.......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ........................................................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ..

.....................................................

.La oss igjen betrakte en platekonden-sator, men na ogsa tegne inn tillednin-gene “med endelig tykkelse”.Platekondensatoren har areal Ak,plateavstanden er d, og dielektriket erluft (vakuum).Tilledningene har tverrsnitt A`.

Amperes lovε0

∮→E · d →

s= Q

gir oss, for denne konfigurasjonen og med integrasjonsveien vist pa figuren

Q = ε0EA = (ε0A/d) V = C V

I = dQ/dt = CdV/dt = ε0A dE/dt(14-1)

Hvordan skal vi forsta dette?Gar strømmen gjennom kondensatoren – kan strøm ga gjennom vakuum?

Ja, den strømmen som gar til den ene platen, gar ut fra den andre, sa pa ett viskan man vel si at det gar strøm gjennom vakuum – selv om det ikke er ladninger ibevegelse der:

I lederen:Ladningsstrøm,I` = −eneveA` = jcA`

hvor e er elektronladningen, ne elektrontettheten, ve midlere elektronhastighetog jc ladningsstrømtetthet.

I vakuum:Forskyvningsstrøm,


Id = ε0(dE/dt)Ak = jdAk

hvor jd er “forskyvningsstrømtettheten”.

Begrepet “forskyvningsstrøm” stammer fra betraktning av dielektrika: De blir po-larisert av feltet, og polarisasjonen representerer en forskyvning av ladningene paatomene eller molekylene ut fra likevekt. Nar polarisasjonen er tidsavhengig, girdenne variable polarisasjonen en netto ladningsstrøm i dielektriket.

Hva som skulle “polariseres” i vakuum, var og er ikke sa lett a forsta. Maxwell(1861) forsøkte a forklare dette ved a anta at vakuum var en materiell “eter”, sombesto av hvirvler med ladninger mellom. Men det var nok ikke riktig – vakuum ernoe underlig noe, som man heller ikke idag riktig forstar.

I alle fall – det sa ut til a stemme med alle likninger og faktisk oppførsel til strømmerog elektromagnetiske felt a regne denne “forskyvningsstrømmen” inn i likninga.

Og Maxwell foreslo – med stor suksess – at Amperes lov skulle forstaes som

(1/µ0)

∮→B · d →

s= Itotal = Ic + Id = Ic + ε0dΦE

dt

GeneralisertAmperes lov

(14-2)

hvor Ic er “ordentlig strøm” av ladningsbærere, og Id denne underlige forskyv-ningsstrømmen.

14.3 Maxwells likninger

Vi kan na samle sammen fra de foregaende avsnittene fire “grunnlikninger”, Fara-days induksjonslov, Amperes lov (generalisert), Gauss lov for elektrisk felt, og dentilsvarende “Gauss lov” for magnetisk felt.

Vi har da – nar vi i Faradays induksjonslov skriver den induserte elektromotoriskekraft i en sløyfe, ε, som integralet av elektrisk felt ganger veilengde rundt sløyfen –

∮ →E ·d →

s = dΦB/dt Faradays lov∮ →

B ·d →s = µ0Ic + µ0ε0dΦE/dt Amperes lov

∮ →E ·d

→A = Q/ε0 Gauss lov

∮ →B ·d

→A = 0 Gauss lov (magnetisk)

(14-1)

Disse likninga kalles gjerne “Maxwells likninger pa integralform”.

Vi skal mishandle dem sa de kommer over pa form av partielle differensiallikningeri stedet – det er det greieste utgangspunktet nar man skal vri ei bølgeligning ut avde.

14.3. MAXWELLS LIKNINGER 207

For a omforme likningene, bruker vi

Gauss divergens-teorem:∮ →

F ·d→A =

∫(∇·

→F ) dV

Stokes teorem:∮ →

F ·d →s =

∫(∇×

→F ) · d

→A

(14-2)

Gauss divergensteorem omformer uttrykket for fluksen av et vektorfelt gjennom enlukket flate til et volumintegral over divergensen av vektorfeltet, og Stokes teoremomformer et linjeintegral av et vektorfelt rundt en lukket kurve til et flateintegralover curl til vektorfeltet.

Faradays og Amperes lover – og Stokes teorem

Faraday:∮ →

E · d →s= −dΦB

dt

⇒∫

(∇×→E) · d

→A= − d

dt

∫ →B · d

→A

(14-3)

Dette skal være gyldig uansett hva flata→A er, og følgelig ma man ha

∇×→E= −∂

→B

∂t(14-4)

Ampere:∮ →

B · d →s= µ0Ic + µ0ε0dΦE/dt

⇒∫

(∇×→B) · d

→A +µ0

∫ →j c · d

→A +µ0ε0

ddt

∫ →E · d

→A

(14-5)

hvor vi har satt inn integralet over ladningsstrømtettheten→j c for ladningsstrømmen

Ic

Igjen skal uttrykket være gyldig uansett hva→A er, og vi far

∇×→B= µ0

[→j c +ε0

∂→E

∂t

](14-6)

Gauss lover – og Gauss teorem

Elektrisk: ε0

∮ →E · d

→A= Q

⇒ ε0

∫V(∇·

→E) dV =

∫V

ρe dV(14-7)

Vi har her satt ladningen Q lik volumintegralet over romladningstettheten ρe.For at dette skal være gyldig uansett hva volumet V er, ma man ha

ε0∇·→E= ρe (14-8)


Dette uttrykket er beæret med et eget navn: Poissons lov.1

Magnetisk:∮ →

B ·d→A= 0

⇒ (∇·→B) = 0

(14-9)

Og igjen – gyldighet uansett hva volumet er, krever at

∇·→B= 0 (14-10)

Maxwells likninger (differensialform)

Vi samler sammen resultatene av det ovenforstaende, og har da et fullstendig settav likninger til a beskrive elektromagnetiske fenomener.

∇×→E = −∂

→B /∂t

∇×→B = µ0

→j c +µ0ε0∂

→E /∂t

ε0∇·→E = ρe

∇·→B = 0

Maxwells likninger (14-11)

Hvis likningene skal brukes i materielle medier, er de riktige nok – hvis man tar medfeltene fra elektrisk og magnetisk polarisasjon ogsa. Men det er mer hensiktsmessiga modifisere dem litt, slik at man kan bruke fenomenologiske sammenhenger mellomfelt og polarisasjon (relative dielektrisitetskonstanter og permeabiliteter). Men detskal vi ikke gjør i dette kurset.

14.4 Bølgelikninga i vakuum

Med begrepet “vakuum” vil vi (akkurat her) forsta rom hvor det hverken er elek-

triske romladninger eller elektriske strømmer, det vil si hvor ρe ≡ 0 og→j c≡ 0.

Maxwells likninger forenkles da til

(I) ∇×→E = −∂

→B /∂t

(II) ∇×→B = µ0ε0∂

→E /∂t

(III) ∇·→E = 0

(IV) ∇·→B = 0

(14-1)

1Simeon Denis Poisson (1781-1840), fransk matematiker. Professor ved Ecole Polytechnique22 ar gammel, adlet av Napoleon.

14.4. BØLGELIKNINGA I VAKUUM 209

Vi kombinerer likningene (I) og (II), og eliminerer→B, slik at vi far en ligning for

→E alene. Dette gjør vi ved a ta curl til likning (I), og sa pa høyresiden sette inn for

curl→B fra (II):

∇× (I)

⇒ ∇× (∇×→E) = − ∂

∂t(∇×

→B)

= − ∂∂t

(µ0ε0∂∂t

→E)

⇒ ∇× (∇×→E) = −µ0ε0∂

2→E /∂t2

(14-2)

Sa bruker vi sammenhengen“curl curl = grad div - nabla-kvadrat”

det vil si∇× (∇×

→E) = ∇(∇·

→E)−∇2

→E (14-3)

Her er etter ligning (III) ∇·→E= 0, og vi star igjen med

−∇2→E= −µ0ε0∂

2→E /∂t2

Lett omstokking gir ei “bølgelikning pa normalform”,

∂2

∂t2

→E − 1

µ0ε0

∇2→E= 0

Bølgelikninga for elektro-magnetiske bølger i vakuum

(14-4)

Eliminasjon av→E gir samme likning for

→B.

Her er 1/µ0ε0 kommet der hvor bølgehastigheten i kvadrat skal være i bølgelikninga– det vil si bølgehastigheten er

c = 1/√

µ0ε0 ≈ 1/√

8, 85 · 10−12 · 4π · 10−7 = 3 · 108m/s

La oss her gjengi Maxwells egen kommentar til dette resultatet – fra 1862:

The velocity of light in air, as determined by M. Fizeau, is 70 843 leaguesper second (25 leagues to a degree) which gives

V = 314 858 000 000 millimetres = 195 647 miles per second

The velocity of transverse undulations in our hypothetical medium,calculated from the electromagnetic experiments of MM. Kohlrauschand Weber, agrees so exactly with the velocity of light calculated fromthe optical experiments of M. Fizeau, that we can scarcely avoid theinference that light consists in the transverse undulations of the samemedium which is the cause of electric and magnetic phenomena

At bølgene er transversale, det vil si loddrett pa bølgetallsvektoren→k, følger av

∇×- likningene, hvor ∇ × · · · →→k × . . . nar man setter inn planbølge-ansatser


(variasjon som cos(ωt − kx + φ)) for→E og

→B. Og med ∇× pa den ene siden av

likningene og bare ∂/∂t pa den andre (likning (I) og (II)), ma vi fa→E⊥

→B.

Vi gar ikke lenger enn dette med bølger og Maxwells likninger i dette kurset.

Tillegg A

Fysiske og matematiskegrunnprinsipp

A.1 Størrelser og enheter

Alle likninger innen fysikk angir relasjoner mellom symbolske uttrykk, men ofte erman ikke interessert bare i “bokstavuttrykk”. I praksis vil man i tillegg gjerne vitehva f.eks. akselerasjonen er, gitt i tall. Man kan f.eks. ønske a sammenlikne maksi-malakselerasjonen til to ulike bilmodeller. Spørsmalet som da straks melder seg, er:Hva er enheten (dimensjonen) til akselerasjonen? Er det meter per sekund, – ellerkanskje sekund per meter? Vi skal na se litt nærmere pa denne problemstillinga.

For enhver fysisk størrelse b har man at

størrelse = maltall · enhet (dimensjon)

b = b · [b].

Talleksempel:Lengde = 5 meter, hvor 5 er maltallet og meter er enheten (dimensjonen).

De viktigste grunnenhetene i Systeme International d’Unites (SI-systemet) er

kg = kilogram Et kilogram er massen til den internasjonale kilogramnormalen,

s = sekund Et sekund er 9 192 631 770 perioder av den stralinga som svarer tilovergangen mellom de to hyperfinnivaene i grunntilstanden for cesiumatomet133,

m = meter En meter er lengden som lys i vakuum gar i løpet av 1/(299 792 458)av et sekund.

A = ampere En ampere er den konstante strøm som frambringer ei kraft pa 2×10−7 newton per meter ledning nar denne strømmen gar gjennom hver av torettlinjede, parallelle og uendelig lange ledere med sirkulært og neglisjerbart

211

212 TILLEGG A. FYSISKE OG MATEMATISKE GRUNNPRINSIPP

lite tverrsnitt og nar lederne er anbrakt i 1 meters innbyrdes avstand i lufttomtrom.

VIKTIG: Alle ledd i ei likning ma ha samme enhet (dimensjon), dvs. f.eks.

a/c + bd = h2 ⇒ [a/c] = [bd] = [h2]. (A-1)

Her betyr “[x]” enheten/dimensjonen til parameter x. Det er en meget viktigarbeidsregel a sjekke regelmessig om alle ledd i ei likning har samme enhet (dimen-sjon). Dette vil f.eks. straks avsløre om man under utledninga av et uttrykk f.eks.har kommet i skade for a glemme/miste en faktor. Bruk av tid pa a se nærmerepa enheten/dimensjonen til en fysisk størrelse, vil ogsa uten unntak øke den fysiskeforstaelsen av hva en gitt fysisk størrelse egentlig star for.

Vi skal seinere se at hvis man har et fysisk system beskrevet av et gitt antallparametere a, b, c, d og f – hver med gitt dimensjon – kan man fra analyse avparametrenes dimensjoner bestemme eksponentene α, β, γ og δ

f = aαbβcγdδ (A-2)

ved hjelp av kun analyse av parametrenes dimensjoner (dimensjonsanalyse). Ienkelte tilfeller kan dette – med beskjeden arbeidsinnsats – gi viktig ny innsiktselv for relativt kompliserte systemer.

Til eksamen er det a synde mot likn. (A-1) FY av verste sort, men det er ogsaandre og viktigere grunner til a ta dette med enheter/dimensjoner alvorlig. F.eks.krasjlandet en av amerikanerenes marssonder og ble ødelagt fordi en del av teametsom kontrollerte sonden, benyttet MKSA-enheter1 mens den andre delen benyttetde engelske/amerikanske enhetene yards og pund. Moral: Det er all grunn til alære seg dette med enheter (dimensjoner) først som sist. Det er na engang slik atvoksenopplæring av sivilingeniører har lett for a bli kostbart!

Lengdeskalene vi bruker i dette kurset spenner meget vidt:

1 A = 0, 1 nm; størrelsen til atomer,

1 nm = 10−9 m; størrelsen til makromolekyler og nanopartikler,

1 µm = 10−6 m; størrelsen til bakterier,

1 lysar = lengden som lyset gar i løpet av ett ar.

Det samme gjelder tidsskalaen:

1 ps = 10−12 s; svingetida til molekylære svingninger,

0, 1 ns = 10−10 s; tid mellom gassmolekylstøt i vanlig luft,

1 ns = 10−9 s; lyset gar 30 cm i løpet av ett ns,

1 s = Typiske tider for innstilling av termisk likevekt

for makroskopiske systemer.

1meter, kilogram, sekund, ampere

A.2. LITT GRUNNLEGGENDE MATEMATIKK 213

A.2 Litt grunnleggende matematikk

Skalar = et enkelt maltall som f.eks. 5, 8, etc.Vektor = en størrelse som bade har størrelse (lengde) og retning:

→r= | →r | eer, hvor

| →r | = r er vektorens størrelse (lengde) og

eer = enhetsvektoren i retning→r med lengde |eer| = 1.

Husk at enhver fysisk størrelse (skalar eller vektor) har maltall og enhet, mensmatematiske størrelser ikke har enhet.

Ligger en vektor i xy-planet, har man at vektoren er gitt som

→r= rxeex + ry eey, (A-3)

hvor eex og eey er enhetsvektorene langs henholdsvis x- og y-aksen. Koordinatakseneforutsettes a sta vinkelrett pa hverandre. Parametrene rx og ry kalles henholdsvis

x- og y-komponenten til→r .

Vektoren vist i likn. (A-3) kalles todimensjonal fordi den har komponenter forskjelligfra null bare langs to koordinatakser. I et vanlig “laboratoriekoordinatsystem” harman tre koordinatakser som alle innbyrdes star vinkelrett pa hverandre. I dettetilfellet snakker man om tredimensjonale vektorer og har at

→r= rxeex + ry eey + rz eez. (A-4)

Vi vil ogsa benytte oss av følgende notasjon for tredimensjonale vektorer

→r= rx, ry, rz. (A-5)

I dette tilfellet er enhetsvektorene ikke angitt eksplisitt. Man kan lett generalisereden matematiske algebraen til vektorer av høyere orden enn tre, men det kan dabli stadig vanskeligere a se for seg det aktuelle matematiske objektet.

Summen av to vektorer er ogsa en vektor

→A +

→B= (Ax + Bx)eex + (Ay + By)eey + (Az + Bz)eez. (A-6)

Den deriverte av en funksjon f(x) er definert som

df(x)

dx= lim

∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x. (A-7)

Den partiellderiverte av en funksjon f(x, y, z) er definert som

∂f(x, y, z)

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y, z)− f(x, y, z)

∆x

∣∣∣∣y=konstantz=konstant

. (A-8)

En gradient er en vektor avledet av en skalar funksjon

∇f(x, y, z) =∂f(x, y, z)

∂xeex +

∂f(x, y, z)

∂yeey +

∂f(x, y, z)

∂zeez

(A-9)


Gradienten er en vektor som peker i den retninga i rommet hvor den skalarestørrelsen f(x, y, z) forandrer seg mest. Gradientens størrelse angir hvor stor denne

maksimale endringa er per lengdeenhet for punktet→r .

Skalarproduktet mellom de to vektorene→A og

→B er en skalar

→A ·

→B = |

→A | |

→B | cos θ = AxBx + AyBy + AzBz, (A-10)

hvor θ er vinkelen mellom de to vektorene→A og

→B.

Vektorproduket mellom de to vektorene→A og

→B er en vektor

|→A ×

→B | = |

→A | |

→B | sin θ. (A-11)

Vektorproduktet→A ×

→B har retning normalt pa bade

→A og

→B.

En parabel i xy-planet er kurven gitt av uttrykket

y = a(x− x0)2 + b. (A-12)

En ellipse i xy-planet er kurven gitt av uttrykket

x2

a2+

y2

b2= 1. (A-13)

A.3 Separasjon av sammensatte problem

Hvis den matematiske beskrivelsen av et komplisert fysisk problem kan deles inn iseparate enheter som kan løses hver for seg – uten a behøve a ta hensyn til hva somskjer med de andre enhetene – er dette nesten alltid til stor hjelp.

Viktige eksempel pa dette er alle de fysiske systemer som er beskrevet av lineæredifferensiallikninger

ad2y(x)

dx2+ b

dy(x)

dx+ c y(x) = f(x), (A-14)

hvor koeffisientene a, b og c er konstanter. Funksjonen f(x) er en kjent funksjon(f.eks. f(x) = sin x) og refereres ofte til som “padraget”.

En viktig egenskap til systemer beskrevet av lineære differensiallikinger med kon-stante koeffisienter, er at hvis f(x) = f1(x) + f2(x),

ad2y1(x)

dx2+ b

dy1(x)

dx+ c y1(x) = f1(x) (A-15)

og

ad2y2(x)

dx2+ b

dy2(x)

dx+ c y2(x) = f2(x), (A-16)

A.3. SEPARASJON AV SAMMENSATTE PROBLEM 215

sa er y(x) = y1(x) + y2(x) en løsning av likn. (A-14). Dette resultatet ses lett veda sette inn uttrykket y(x) = y1(x) + y2(x) i venstre side av likn. (A-14) og sa gjørebruk av likningene (A-15) og (A-16).

Dette at man for slike systemer kan finne responsen y(x) nar man har et padrag(“forstyrrelse”) som er en sum av flere bidrag (f(x) = f1(x) + f2(x) + . . . ), ved asummere resultatet av padragene hver for seg (y(x) = y1(x) + y2(x) + . . . ), er etmeget viktig resultat. Dette refereres gjerne til som

superposisjonsprinsippet. (A-17)

Et annet viktig eksempel pa oppdeling av den matematiske beskrivelsen i enhetersom er uavhengige, har man ved beskrivelse av akselerasjonen til punktmasser somfunksjon av tida, t

→r(t) = x(x, y, z), y(x, y, z), z(x, y, z). (A-18)

I mange – men pa langt nær alle tilfeller – vil man ved gunstig valg av origo ogretning av aksene til koordinatesystemet kunne oppna at

→r(t) = x(x), y(y), z(z), (A-19)

eller med andre ord: x = f1(x), y = f2(y) og z = f3(z), hvor f1(x), f2(y) og f3(z)alle er gitte funksjoner. I dette tilfellet har man fatt en beskrivelse hvor man kanregne ut – hver for seg – hva som foregar langs hver av de tre koordinataksene utena matte ta hensyn hva som skjer nar det gjelder de to øvrige koordinateaksene.Ogsa slike tilfeller refereres gjerne til som eksempler hvor superposisjonsprinsippeter gyldig. Kunnskap om hvordan man velger koordinatsystemet slik at man farforenklingene beskrevet ovenfor, kan stort sett kun erverves ved a erfaring, dvs.løsning av flest mulig eksempler/regneøvinger.

Ved analyse av fysiske systemer/regneøvinger er det viktig at man først kartleggerhvor mange “frihetsgrader” systemet har. Med ordet frihetgrader forstas i fysikkdet minste antall uavhengige parametrer som trenges for a beskrive systemet. Foren partikkel som bare kan bevege seg langs x-aksen, er antallet frihetsgrader liken. For en punktmasse som kan bevege seg i rommet uten føringer, er antalletfrihetsgrader lik tre (x, y, z). For mer kompliserte systemer er det ikke alltid likelett a se hva antallet frihetsgrader er, men det er viktig a bestemme dette talletfordi man for a kunne bestemme f.eks. dynamikken til systemet alltid trenger likemange likninger som man har uavhengige ukjente, dvs. antallet frihetsgrader. Hvisman ikke fra starten har bestemt antallet frihetsgrader, viser erfaring at det ogsafinnes tilfeller hvor man lett tar i bruk flere parametrer enn nødvendig og dermedgjør ting unødig vanskelig for seg selv.

Legg ellers merke til at de grunnlikningene som man benytter i eksemplene og reg-neøvingene i dette kurset, stor sett begrenser seg til Newtons 2. lov og konserver-ingslikningene (bevarelseslikningene) for henholdsvis masse, energi, translasjon-simpuls og rotasjonsimpuls (spinn). Nar man er pa jakt etter a finne like mange


likninger som det man har av frihetsgrader, er det blant disse likningene man førstog fremst skal lete. I visse tilfelle vil det ogsa vare aktuelt a benytte likninger sombeskriver geometrien til det problemet som skal analyseres.

Deterministiske prosesser er prosesser hvor resultatet (utfallet) av prosessen kanforutsis med vilkarlig stor nøyaktighet hvis man kjenner verdien til alle relevanteparametrer nar prosessen (eksperimentet) starter. Ballkast er et slikt eksempel:Kjenner man posisjonsvektoren og hastighetsvektoren i det ballen forlater handa(startbetingelsene), kan ballens bane forutsis.

Stokastiske prosesser er prosesser hvor man bare kjenner sannsynlighetsfordelinga tilutfallet av prosessen selv om man kjenner startbetingelsene med stor nøyaktighet.Kast med terning er et slikt eksempel: I prinsppet er kast med terning en determi-nistisk prosess, men pga. geometrien til objektet som kastes, er det i praksis likevelikke mulig a forutsi annet enn sannsynlighetsfordelinga for at terningen faller til romed f.eks. en “sekser” opp. I eksempelet med terningkast blir prosessen stokastiskfordi det skal sa lite til for a endre utfallet av prosessen at vi – fra kast til kast –ikke klarer a repetere startbetingelsene med tilstrekkelig nøyaktighet. Støtprosesser– spesielt pa molekylær lengdeskala – er et begrepsmessig viktig eksempel pa sto-kastiske prosesser. Et annet viktig eksempel er rask strømning i væsker, sa somvirveldannelse (turbulens) i elveløp og bak flyvinger og luftstrømmene knyttettil lav- og høytrykk. I de siste eksemplene skyldes prosessenes stokastiske naturdypereliggende matematiske egenskaper2 til de likningene som beskriver disse fy-siske prosessene.

OPPSUMMERING AV TILLEGG A

• Fullt fokus pa fysiske parametrers enheter/dimensjoner er viktig bade forden fysiske forstaelsen og ved beregning av fysiske parametrers numeriskestørrelse.

• For a kunne analysere dynamikken til et gitt system, kreves at antallet uav-hengige likninger som benyttes, er lik antall frihetsgrader for systemet. Delikningene som i dette kurset kommer til anvendelse i denne sammenheng, erstort sett Newtons 2. lov og konserveringslikningene (bevarelseslikningene)for henholdsvis masse, energi, translasjonsimpuls og spinn.

• Matematikk er bade fysikkens sprak og et av fysikkens viktigste verktøy. Deter derfor viktig av brukerne av dette kompendiet har et visst minste omfangav matematikkferdigheter.

2Hovedpoenget i denne sammenheng er at likningene som beskriver dynamikken til fluider(Navier-Stokes likninger), er ikke-lineære.

tfy 4104 fysikk - kompendium

Documents

summen av

summen av

oppsummering

som illustrert

mtit og mtbygg

det er umulig

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

det vil si