3

1

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC

Phần một: Các dạng hệ cơ bản I. Hệ phương trình đối xứng. 1.Phương trình đối xứng loại 1. a)Định nghĩa

Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗiphương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổib) Tính chấtNếu x0 , y0 là một nghiệm thì hệ y0 , x0 cũng là nghiệm

S x yc) cách giải

P x.yđiều kiện S 2 4P

Ta biến đổi đưa hệ đã cho (1) về hệ 2 ẩn S, P (2) (x;y) là nghiệm của (1) khi và chỉ khi(S,P) là 1 nghiệmc của (2) thoải mãn điều kiện: S 2 4P 0 với mỗi (S;P) tìm được ta có(x;y) là nghiệm của phương trình: X 2 SX P 0 .Giả sử phương trình có 2 nghiệm là X1, X2.

+ Nếu 0 thì X1 X 2 nên hệ (1) có 2 nghiệm phân biệt X1; X 2 ; X 2 ; X1 + Nếu 0 thì X1 X 2 nên hệ có nghiệm duy nhất X1; X 2 .+ Hệ có ít nhất một nghiệm thoả mãn

nghiệm (S;P) thoả mãn. S 2 4P 0S 0P 0

VD 1: Giải hệ phương trìnhx2 y 2 xy 7

x 0 khi và chỉ khi hệ (2) có ít nhất 1

x y xy 5

Hệ có nghiệm là (1;2), (2;1)

VD2: Định m để hệ sau có nghiệmx y xy mx

2 y 2 mĐS: 0 m 8

2) Hệ phương trình đối xứng loại 2.-Một hệ phương trình 2 ẩn x, y được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình tađổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia.

VD: x x 2 y 10 y

b) Tính chất. y

3 y 2 x 10x

2

- Nếu x0 ; y0 là 1 nghiệm của hệ thì y0 ; x0 cũng là nghiệmc) Cách giải

3

- Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạngx y f x; y 0

x y 0 f x; y 0

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:3x3 x2 2 y2

3y3 y2 2x2

HD: Trừ hai phương trình của hệ ta thu được

3(x3 y3 ) (x2 y2 ) (x y)[3(x2 y2 xy) x y] 0Hệ đã cho tương đương vớix y 03y3 y2 2x2

(I )Giải (I) ta được x=y=0 hoặc x=y=13(x2 y2 xy) x y 0

3y3 y2 2x2(II )

Xét (II) Từ giả thiết ta suy ra x, y không âm . Nếu x, y dương thì hệ vô nghiệm suy ta hệcó nghiệm duy nhấtx=y=0Kết luận: Hệ có 2 nghiệm x=y=0 và x=y=1

3) Hệ phương trình vế trái đẳng cấp bậc IIa) Các dạng cơ bản.ax2 bxy cy2 d

. a x2 b xy c y2 d 1 1 1 1

b) Cách giải.+ Xét trường hợp y=0 xem có phải là nghiệm hay không+ Đặt x=ty thay vào hệ rồi chia 2 phương trình của hệ cho nhau ta được phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình tìm t sau đó thế vao một trong hai phương trình của hệ để tìm x,yPhương pháp này cũng đúng khi vế trái là phương trình đẳng cấp bậc n.

x2 3xy y2 1Ví dụ: Giải hệ

x2 2xy 2 y2 1+ Dễ thấy y=0 không phải là nghiệm

t2 y2 3ty2 y2 1

+ Đặt x=ty thế vào hệ ta có t2 y2 2ty2 2 y2 1

chia 2 phương trình của hệ cho nhau ta

có

t 2 3t 1t 2 2t 2

t 1 1 2t 2 t 1 0

t

x y1 1 x y

từ đó thế hai trường hợp vào

2 2một trong hai phương trình của hệ để giải.

4

PHẦN HAI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯỜNG DÙNG TRONG GIẢI HỆ

I) PHƯƠNG PHẤP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGPhương pháp này chủ yếu là dùng các kỹ năng biến đổi phương trình cuả hệ để dưa vềphương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình kháccủa hệTa xét ví dụ sau:Loại 1) Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc ẩn y. Khi đó ta rút x theo y hoặc y theo x để thế vào phương trình còn lại

x2 ( y 1)(x y 1) 3x2 4x 1(1)

Ví dụ 1) Giải ghệ phương trình xy y 1 x2 (2)

HD: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) từ phương trình (2) ta cóx2 1

y 1 thay vào phương trình (1) ta cóx

2 2

x2 x 1 x1

x 3x2 4x 1 x 12x3 2x2 x 1 x 13x 1

x

x

x 12x3 2x2 4x 0

Ví dụ 2) Giải hệ phương trình:

Giải: Ta có x=y=0 là nghiệm.

x y xy 2x y 5xy

x y xy 3x y 4xy

Các cặp số (x,y) với x=0, y 0 hoặc x 0, y=0 không là nghiệm. 1

1 2x y 5

x yXét xy 0. chia 2 vế phương trình cho xy 0 ta được

1

1 3x y 4

xy

Suy ra 5 2x y 1

1 4 y 3x x 2 y 1

x yThay x=2y-1 vào phương trình thứ hai ta thu được:

2 y 1 y y 2 y 15 y 3 4 2 y 1 y 3y 1 y 10 y2 11y 3 8 y2 4 y

10 y3 19 y2 10 y 1 0 y 110 y2 9 y 1 y 1; y

9 41

; y 9 41

20 20

5

y 1; x 1 9 Đáp số: y

41 ; x 41 1

20 10 9 41 41 1 y ; x 20 10

Loại 2) Một phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích của 2 phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi đó ta đưa về giải 2 hệ phương trình tương đương

xy x y x2 2 y2

(1)Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau

x

2 y y x 1 2x 2 y(2)

Điều kiện là y 0; x 1 x y

Phương trình (1) (x+y)(x-2y-1)=0 từ đó ta có

vào phương trình (2) để giải x 2 y 1

thay lần lượt hai trường hợp

Ví dụ 2)Giải hệ phương trình: x y x y 1 x2 y2 (1)

Giải: Điều kiện x y 0 x

y 1(2)

(1) ( x y 1) x y 1 0x y 1

Hệ đã cho tương đương với: x

y 1

x y 1

x y 1

x y 1

giải

x 1

x 0 và

x

y 1 y 0 y 1

giải x y 1

x 1

x

y 1 y 0

Đáp số: x=1,y=0 và x=0, y=1.

Ví dụ 3) Giải hệ phương trình:

x y

x y

6

x 3 y 3

(1)

x

x x 3(2)

Giải: Điều kiện

Ta có: (1)

x 0, y 3y 3

y 3

x y x 3 x

❖ Với y=3 ta có 2 x 3 0 x 3 (loại)

xy x2 y2

4xy x2 y2 40

7

❖ Với y 3 ta có

x y

x y

x 3 x

x x 3

Suy ra x 3 x x y x x 3

Suy ra x 3 x 1

x 3 x 1 thay vào (2) ta được: y 1 3 y 8

Đáp số: y 8

Chú ý: Trong một số bài toán nhiều khi các em cần cộng hoặc trừ 2 phương trình của hệ sau đó mới xuất hiện phương trình dạng tích

x4 y4 6x2 y2 41Ví dụ 4) Giải hệ phương trình :

Giải: Sử dụng hằng đẳng thức: x y4 x4 y4 4xy x2 y2 6x2 y2

x4 y4 6x2 y2 41HD: Hệ đã cho tương đương với

cộng vế với vế 2 phương trình ta thu được:

x4 y4 4xy x2 y2 6x2 y2 81 x y 4 81 x y 3

x y 3

xy x2 y2 10

hệ đã cho tương đương với

x y 3

x y 3

xy x2 y2

10

x y 3x y 3

a)Xét

xy x2 y2 10

xy x y2 2xy 10

xy 9 2xy 10

x y 3 x y 3

b)Xét

xy x2 y2 10

xy 9 2xy 10

Loại 3) Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn chẳng hạn x làẩn. Khi đó ta coi y như là tham số giải x theo y.

Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau y

2 (5x 4)(4 x)5x2 y2 4xy 16x 8 y 16 0

12

HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo ẩn y ta có (2) y2 –4(x+2)y- 5x2+16x+16=0

3 x y 2 x y 2

y

8

y 5x 4Giải y theo x ta có

y 4 xđược các nghiệm của hệ

thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình ta sẽ giải

2x2 2xy y 5Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau:

y2 xy 5x

7

Trừ hai phương trình của hê cho nhau ta có 2x2 y2 xy y 5x 2 0 x

y 12x2 ( y 5)x y2 y 2 0; ( y 5)2 8( y2 y 2) (3y 3)2 2

Thay lần lượt 2 trường hợp vào hệ ta giải được x, yII) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

x 2 y

Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ẩn phụ u=f(x,y) và v=g(x,y) ngay trong từng phương trình của hệ hoặc sau các phép biến đổiThông thường các phép biến đổi thường xoay quanh việc cộng, trừ 2 phương trìnhcủa hệ hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của hệ để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt thành ẩn phụ

Ví dụ 1) Giải hệ phương trình saux2 1 y( y x) 4

yx2 1 y x 2 y

(1)

(2)

HD: Ta thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y ta có hệ tương đương sau x2 1 x y 4 x2 1 u v 2

x2 1 Đặt u= ; v=x+y-2 ta có hệ sau y uv 1 Giải hệ tìm u,v( )(x y 2) 1

ysau đó tìm x, y.

Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau

4xy 4(x2 y2 )

3 7

x y 2

Điều kiện x+y 02x

1 3

x y

Khi đó ta có hệ sau

3 7

x y 2

Đặt u x y 1

; v x y

Với u 2

x y

1x y

x y 3x y

3u2 v2 13Thay vào ta có

u v 3

9

Giải hệ tìm u;v sau đó thay vào tìm x; y

x2 y2 1 x2 y2 208x2 y2

y x

10

Ví dụ 3) Giải hệ phương trình:x3 y2 x 3x2 y2 3x 2 y 1 02 y3 xy2 y2 3x 3 0

x 13 x 1 y2 2 y

Giải: Hệ phương trình tương đương với x 1 y2 2 y3 3 x 1

đặt u=x+1u3 uy2 2 y

Ta có hệ mới uy2 2 y3 3u

Dễ thấy u=y=0 là một nghiệmXét y 0 đặt u=ty thế vào hệ sau đó chia hai vế phương trình cho nhau ta được phương trình một ẩn t.( Đây là một biến thể của hệ phương trình đồng bậc)

x y1 xy 18xy

Ví dụ 4) Giải hệ phương trình:

Giải: Ta có x=y=0 lànghiệm. Xét

xy 0 . Hệ phương trình tương đương với

x y1

1 18

xy 1 1 u v 18 . Đặt u x , v y ta được 2 2 x2 y2 1 1

208 x y u v 208

x2 y2

x y 1 1

5Ví dụ 5)Giải hệ phương trình

xy

Giải:

Điều kiện

xy 1

4 xy

xy 0 . Đặt u x 1

, v y 1

ta được hệ u v 5

y x

x

y x y 15

Ví dụ 6) Giải hệ phương trình :

uv 6

x2 y2 x2 y2 85

y2 x2

Giải: Đặt u x

y , v x y .Ta có:

y x

x2 y2 u2 2

y2 x2

x2 y2 x y 2 2xy v2 2xy

11

u x 2 y2

xy u.xy x2 y2

2

Suy ra u.xy v2 2xy xy v

u 2

Suy ra x2 y2 v2 2v2 uv2

15v ( vì uv=15)

uv 15

u 2 u 2 u 2

Ta được hệ u2 2 15v 85 u 2

x2 y 2 y x 4xyVí dụ 7) Giải hệ:

1 1 x

Giải: Điều kiện

2

xy 0 .

xy y3

x

1

1

1 4

hệ phương trình tương đương với

x x y.

x

1 1

1 4

x x y

Đặt u x 1

, v 1

1 ta được:

u v 4 u 2

x x y uv 4x

1 2

v 2

x

Hệ phương trình tương đương với 1 1 2 x y

x 1, y 1

III) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐLoại 1) Một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y). Một phương trình cho ta biết tậpgiá trị của x hoặc y. Từ đó suy ra hàm f(x) đơn điệu suy ra x=y

Ví dụ 1) Giải hệ phương trình saux3 5x y3 5 yx8 y4 1

12

Từ phương trình (2) ta suy ra x , y 1 Xét phương trình f (x) x3 5x với

x 1;1; f '(x) 3x2 5 0x 1;1 nên f(x) là hàm nghịch biến suy ra x=y thay vào phương trình (2) ta dễ dàng giải được nghiệmLoại 2) Hệ đối xứng mà sau khi biến đổi thừơng đưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=0trong đó f là hàm đơn điệu

Ví dụ 1) Giải hệ phương trình saux

y

12

x2 2x 2 3y 1 1

y2 2 y 2 3x1 1

1 2

y x

2

13

u HD: Đặt x-1=u; y-1=v ta có hệ

v

u2 1 3v

v2 1 3u

Trừ theo vế hai phương trình trên ta được

u u2 1 3u v v2 1 3v Xét hàm số

f (x) x x2 1 3x ; f '(x) 1x

x2 1 3x ln 3 0x u v . Thay vào (1) ta có

u u2 1 3u ln u u2 1 u ln 3 ; f (u) ln(u u2 1) u ln 3 ta có

1f '(u)

u

uu2 1 ln 3 u2 1

1

u2 1- ln 3 0u f (u) là hàm số nghịch biến. Ta có

khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghiệm duy nhất x=y=1 là nghiệm duy nhất của hệban đầu

x3 3x2 2 y3 3y 2Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau:

log x

2 y log x 2011

y 1 x 2

Giải: Đặt y=u-1 thay vào phương trình (1) của hệ ta có toán xác định khi0 y 1

0 x 2

x3 3x2 u3 3u2 . Ta thấy bài

x 2 y 1

Trong cả hai trường hợp ta thấy hàm số f (x) x3 3x2 f '(x) 3x(x 2)

luôn đơn điệu nênTa có x u x y 1 thay vào phương trình (2) của hệ ta có x=2011 là nghiệm.Chú ý: Trong bài tập này ta cũng có thể biến đổi trực tiếp phương trình đầu của hệ vềdạng

x3 3x2 y 13 3( y 1)2

4x2 1 x ( y 3) 5 2 y 0Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau:

4x2 y2 2 3 4x 7

HD: Đặt5 t 2

5 2 y t y thay vào phương trình (1) của hệ ta có2

4x3 x t(3 5 t

2) 8x3 2x t3 t Xét f (x) x3 x f '(x) 3x2 1 suy ra hàm

5 4x2

số f (x) luôn đồng biến từ đó suy ra t 2x 5 2 y 2x y thế vào2

phương trình (2) của hệ ta có

10

2g(x) 4x2 5 4x 2

2 3 4x 7 0 với x 0; 3

.

2 4

Dễ thấy x=0 hoặc x=3/4 đều không phải là nghiệmg '(x) 8x 8x

5 2x2

4 4x(4x2 3)

4 0 với x

0;

3 Ta có 2 3 4x 3 4x 4

g( 1

) 0 x 1

; y 22 2

là nghiệm duy nhất của hệ.

IV) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁVới phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm tronghệ, qua đó vận dụng các bất đẳng thức để đánh giá

Ví dụ 1) Giải hệ phương trình

x y

2xy

3x2 2x 9 2xy

3 y2 2 y 9

x2 y

y2 x

HD:Cộng 2 vế của hai phương trình với nhau ta có

2xy 3 x2 2x 92xy

3 y2 2 y 9 x2 y2 Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ

Có 3 x2 2x 9 3 (x 1)2 8 2 VT 2xy; x2 y2 2xy VP 2xy . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1Kết luận: Hệ có 2 ngiệm x=y=0 và x=y=1

y x3 3x 4Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau

x 2 y3 6 y 2

y 2 (x 1)2 (x

2)Hệ đã cho tương đương với

x 2 2 y 12 ( y

2)

1(2)

Nếu y > 2 từ (1) suy ra x<2. Nhưng điều này là vô lý vì (2) vô nghiệm Lập luận tương tự cho trường hợp y<2Kết luận x=y=2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

(1 x)(1 x2 )(1 x4 ) 1 y7

Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau: (1 y)(1 y2 )(1 y4 ) 1 x7

HD: Dễ thấy x=y=0 hoặc x=y=-1 là nghiệm Xét x>0 ta có(1 x)(1 x2 )(1 x4 ) 1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 x7

y x

1 y y2 y3 y4 y5 y6 y7 1 x x2 x3 x4 x5 x6 y7 1 y7 x y

11

Vậy hệ vô nghiệm. Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm

Xét x<-1 1 x7 0 1 y 0 y 1

12

Ta có 1 (x x2 ) (x3 x4 ) (x5 x6 ) x7 1 x7 y x . Tương tự khi y<-1 ta có x>y . Vậy hệ vô nghiệmXét trường hợp -1<x<0 chứng minh tương tự ta có hệ vô nghiệm.Kết luận: x=y=0 hoặc x=y=-1V) GIẢI HỆ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CÙNG BẬCCơ sỏ của pp này là khi 2 phương trình của hệ có thể đưa về dạng phương trình cùng bậc so cới x,y thì ta đặt x=ty sau đó đưa về phương trình một ẩn số và giải như bình thường

2x 3y x2 3xy y2

Ví dụ1) Giải hệ phương trình sau x2 2 y2 x 2

yHD: Rõ ràng ban đầu hệ không thuộc dạng đặc biệt nào cả nhưng quan sát kỹ Hs sẽ thấyđiểm mấu chốt của bài toán nằm ở vấn đề sau Ta thấy x=y=0 là một nghiệm của hệXét trường hợp x, y 0 hệ đã cho tương đương với

(2x+3y)(x2 +2y2 )=(x+2y)(x2 +3xy+y2 ) x3 4 y3 3xy2 2x2 y 0Đặt x=ty thế vào phương trình ta có

t 1

t3 2t2 3t 4 0 (t 1)(t2 `t 4) 0 t 1 17

2

t 1 17

2Từ đó ta giải hệ theo 3 trường hợp của t. Sau khi giải xong chú ý việc thử nghiệm đểchọn nghiệm chính xác

Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau:2x2 y2 x2 2x 22x2 y x2 y2 2xy 1

2(xy)2 (x 1)2 3

HD: Ta thấy hệ tương đương với 2xy(x 1) xy2 1

Đặt xy=u;x+1=v Ta được hệ

đồng bậc2u2 v2 32uv u2 1

Trong một số bài tập việc đưa về hệ đồng bậc nhiều khi đòi hỏi những kỹ thật tương đối khó nhưng sau đó ta thường thu được cách giải hệ khá hay. Ta xét ví dụ sau:

x2 y2 xy 2 y x 2Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau:

2x2 y2 2 y 2 0

13

HD:Đặt x=u+a,y=y+b thay vào phương trình đầu của hệ ta có

2

4

2

2 3 3

2

14

u a 2 v b2

(u a)(v b) 2(v b) u a 0 Để hệ phương trình đòng bậc thì

điều kiện cần là trong phương trình không có số hạng bậc nhất.2a b 1 0

Suy ra 2b a 2 0

a 0 b 1

x2 u2 xu 3Đặt y=u-1 ta có hệ sau:

2x2 u2 1

MỘT SỐ BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHBiên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

x 2 y x3 y xy 2 xy

5

1)

42)

x 2x3 y x 2 y 2 2x 9

x 4

y 2 xy1 2x 5

4x 2 2xy 6x 6

3) xy x y x - 2 y 2 x2

4) y 2 x y 4

x

2 y y x 1 2x 2 y xx y 1 yy 1 2

5)

x y 2 xy 7

6)

1 x

y

19x3

x4 y 4 x2 y 2 21

y xy 2 6x 2

1 x y1

52

7) 2

xy 2 1

8) xy 3y2xy y 2

- x 4 y 7- 2x 2 y 1 0

x y 1

x 2 y 49

9)

x y x y 2 x3 2xy 2 12 y 010)

x2 y 2

x2 y 2 4 8 y 2 x2 12

x

11) x x2 y 2 x

x2 y 2 x

x2 y 2

x2 y 2 17 4 12)2x

5xy 2 y 2 x y 1 0

xx y

x2 xy 4 52x2 y 2 4xy 12x 12 y 10 0

2

15

13)x

y 2 x 2 y 2 14)

2 (x y) xy

x2 y 2 2x 2 y 11

x2 y2 3

x2 y2

15) 2xy 1x y 16)

y x2

y2

482 2

x y x2 y x y

x y 24

2xy 3x 4 y 6 x y

2 y 2

17)x2 4 y2 4x 12 y 3 18)

x2xy 2 y2 x 0

25)

34)

x

16

x2 y2 xy 319) x2 2xy 7x 5 y 9x2 y2 xy 3

21) y

2 xy 5x 4 y 92x2 2 y2 1 2x y

23) 2 y2 2x y 1 6xy

x2 y 2x 3y 620) 3xy x y 52x2 y2 x2 2x 2

22) 2x2 y x2 y2 2xy 1x2 y2 y4 1 3y2

24) xy2 x 2 y

2 y x 6 y2 y x 2 y 0

26)x y x y 2 y

x

x 2 y x 3y 2 x

5 y 3

x 2 y xy 02x2 x

1 2

27) 28) y

x 1

2 y 1 1 y y2 x 2 y2 2

x2 y y 2 3 2 2 229)

130)x y x

3x y 3x 2 y 1 0

x2 x2 y2 3

2 y3 xy2 y2 3x 3 0

31)

x2

x y x 3 y 3

(1)x

32) x y x y 1 x2 y2 (1)

x y x x 3(2) x

y 1(2)

4xy 4(x2 y2 )

33)

3 7

x y 2 x2 y 2 y x 4xy 1

1 x 32x

1 3

x y 2

x

xy y

2xy x2 yx

35) y

x2 2x 2 3y 1 1

y2 2 y 2 3x1 1

36 )

y

3 x2 2x 9 2xy

3 y2 2 y 9 y2 x

xy x2 y2

17

x y xy 2x y 5xy

37) x y xy 3x y 4xy

x2 y y3 x4 x6

39)

x4 y4 6x2 y2 4138)

x3 4 y y3 16x

40)

(x 2)

y 1 (x 1)21 y2 5(x2 1)

x2 y2 xy 1 4 y41)

y(x y)2 2(x2 1) 7 y

x2 y2 x2 y2 1 2xy42)x x2 y xy y xy2 1

2

3 3

18

3 2 3

4x2 x x ( y 3) 5 2 y 0

x 3x y 3y 2

43) 4x2 y2 2 3 4x 7

ex y

si n x

44) log

x 2 y log y 1

y 1 3

x x 3 x 2

45) sin y x, y

0;

4 3 8x2 3 1 6 2 y2 2 y 1 8 y

1 x2

1 42 x y 512 x y 1 22 x y 1 2 x 2 y

xy3

46)

y3 4x 1 ln y2 2x 0 47) 2 (x2 y 2x)2 2x2 y 1 4x 0

2 1 2

2x 1 48)

8 y 4 2 3(2 y x ) 49)

x2 y2 xy 2 y x 2

2 32( x y ) x y

72x2 2 y2 2 y

2 2x2 2 y2 2x 8 y 6 0

50) x2 xy y 4x 1 0

x2 y2 2x 3

x2 xy y2 351) x3 2 y3 y 2xx2 y2 xy 3

52) 2(x3 y3 ) 6x2 5 3(x2 y2

)

53) x5 y5

x y 31 7

x2 y2 5

54)

55) x2 8x 9 3 xy 12 6x 1

x4 y4 6x2 y2 20xy 81

2(x y)2 10x 6 y 12 y x 2

y2 (4x 1)2 3 4x(8x

1)

y y 2x xy x y

56) 57)

6 3

2

2 2

140x2 x y

14x 1 4xy3 y3 2x2 1 2x y 2

3x 1 2

1 2 x y

58) 7 y 1

1 4 2 x y

19

Trong bài viết có sử dụng một số tư liệu trích từ bài viết của thầy Nguyễn Minh Nhiên, thầy Nguyễn Tất Thu.Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy.

x

20