the foundations: logic and proofs · 2017-04-25 · bir kümenin diğer bir kümenin alt kümesi...
TRANSCRIPT
1
Bölüm Özeti Kümeler
Kümelerin Dili Küme İşlemleri Küme Özdeşlikleri
Fonksiyonlar Fonksiyon Tipleri Fonksiyonlar Üzerindeki İşlemler Hesaplanabilirlik
Diziler ve Toplamlar Dizilerin Tipleri Toplamları Formülleştirme
Bir Kümenin Büyüklüğü Sayılabilir Kümeler
Matrisler Matris Aritmetiği
2
3
Özet Kümelerle İlgili Tanımlar
Kümelerin Gösterimi Listeleme Yöntemi
Küme Kurma Gösterimi
Matematikteki Bazı Önemli Kümeler
Boş Küme ve Evrensel Küme
Alt Kümeler ve Küme Eşitliği
Kümelerin Büyüklükleri
Demetler (Tuples)
Kartezyen Çarpım
4
Giriş Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından
biridir
Sayma problemleri için önemli
Programlama dillerinin kümelerle ilgili fonksiyonları bulunur
5
Kümeler Bir küme, nesnelerin sırasız bir topluluğudur
sınıftaki öğrenciler
odadaki sandalyeler
Bir kümedeki nesnelere elemanlar ya da üyeler denir. Bu kümeye de bu elemanları içeriyor denir.
a ∈ A gösterimi a nesnesinin A kümesinin bir elemanı olduğunu ifade eder.
Eğer a nesnesi A kümesinin elemanı değilse a ∉ A yazılır
6
Bir kümeyi tanımlama: Listeleme Yöntemi S = {a,b,c,d}
Sıra önemli değil
S = {a,b,c,d} = {b,c,a,d}
Her bir ayrık nesne üyedir ya da değildir. Birden fazla yazmak birşeyi değiştirmez.
S = {a,b,c,d} = {a,b,c,b,c,d}
Eğer bir kümenin deseni biliniyorsa bazı elemanları göstermek için (…) kullanılabilir
S = {a,b,c,d, ……,z }
7
Listeleme Yöntemi İngiliz alfabesindeki sesli harflerin kümesi:
V = {a,e,i,o,u}
10’dan küçük tek pozitif tamsayıların kümesi:
O = {1,3,5,7,9}
100’den küçük bütün pozitif tamsayıların kümesi:
S = {1,2,3,……..,99}
0’dan küçük bütün tamsayıların kümesi:
S = {…., -3,-2,-1}
8
Bazı Önemli Kümeler N = doğal sayılar = {0,1,2,3….}
Z = tamsayılar = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Z⁺ = pozitif tamsayılar = {1,2,3,…..}
R = gerçek sayılar kümesi
R+ = pozitif gerçek sayılar kümesi
C = karmaşık sayılar kümesi
Q = rasyonel sayılar kümesi
9
Küme Kurma Gösterimi Her bir üyenin sağlaması gereken özellikleri belirt:
S = {x | x 100’den küçük pozitifi tamsayıdır}
O = {x | x 10’dan küçük pozitif tek tamsayıdır}
O = {x ∈ Z⁺ | x tektir ve x < 10}
Bir yüklem de kullanılabilir:
S = {x | P(x)}
Örnek: S = {x | Asal(x)}
Pozitif rasyonel sayılar:
Q+ = {x ∈ R | x = p/q, bazı pozitif tamsayılar p,q için}
10
Aralık Gösterimi
[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}
[a,b) = {x | a ≤ x < b}
(a,b] = {x | a < x ≤ b}
(a,b) = {x | a < x < b}
Kapalı aralık [a,b]
Açık aralık (a,b)
11
Evrensel Küme ve Boş Küme Evrensel küme U, üzerinde çalışılan bütün nesneleri
içeren kümedir.
Hiçbir elemanı olmayan küme
Boş kümedir. ∅ ile gösterilir, bazen
{} kullanılır.
U
Venn Diagram
a e i o u
V
John Venn (1834-1923) Cambridge, UK
12
Unutulmaması gerekenler Kümeler bir başka kümenin elemanı olabilir
{{1,2,3},a, {b,c}}
{N,Z,Q,R}
Boş küme, boş kümeyi içeren bir küme ile aynı şey değildir.
∅ ≠ { ∅ }
13
Küme Eşitliği Tanım: Ancak ve ancak iki küme aynı elemanlara
sahipse eşittir.
A ve B iki küme olsun,
A ve B eşit kümelerse A = B yazılır.
{1,3,5} = {3, 5, 1}
{1,5,5,5,3,3,1} = {1,3,5}
14
Alt küme Tanım: A kümesinin bütün elemanları B kümesinin
de elemanıysa, A kümesi B kümesinin alt kümesidir.
Gösterim A ⊆ B
ise
A ⊆ B gösterimi sağlanır
1. Because a ∈ ∅ is always false, ∅ ⊆ S ,for every set S.
2. Because a ∈ S → a ∈ S, S ⊆ S, for every set S.
15
Bir kümenin diğer bir kümenin alt kümesi olduğunu ya da olmadığını göstermek A kümesinin B kümesinin alt kümesi olması: A
kümesinin bütün elemanlarının B kümesinin de elemanları olduğunu göstermek yeterli.
A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmaması : A kümesinin elemanı olup, B kümesinin elemanı olmayan en az bir eleman bulmak yeterli. (x ∈ A x ∈ B) önermesi için ters örnek bulmak gibi
16
Küme eşitliğine bir başka bakış İki kümenin eşitliğinin gösterimi
A = B, iff
Mantıksal denklikleri kullanalım
Sonuç:
A ⊆ B and B ⊆ A
17
Öz alt küme Tanım: Eğer A ⊆ B ise, fakat A ≠B ise A kümesi B
kümesinin öz alt kümesidir denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A ⊂ B ise
Venn Diagram
U B
A
18
Küme Büyüklüğü Tanım: n, negatif olmayan tamsayı olmak üzere eğer S
kümesinde n adet farklı eleman varsa S kümesi sonludur. Diğer durumda ise sonsuzdur.
Tanım: Sonlu bir A kümesinin büyüklüğü, |A|, A kümesindeki farklı elemanların sayısıdır.
Örnekler: 1. |ø| = 0 2. S kümesi İngiliz alfabesinin harflerinin kümesi olsun. |S| = 26 1. |{1,2,3}| = 3 2. |{ø}| = 1 3. Tamsayılar kümesi sonsuzdur.
19
Kuvvet Kümeleri Tanım: Bir A kümesinin bütün alt kümelerini içeren
küme. P(A) ile gösterilir ve A’nın kuvvet kümesi olarak okunur.
Örnek: A = {a,b}
P(A) = {ø, {a},{b},{a,b}}
Eğer bir küme n elamana sahipse kuvvet kümesinin büyüklüğü 2ⁿ olur.
20
Demetler (Tuples) Sıralı n-demet (a1,a2,…..,an) a1 ‘in ilk eleman olduğu,
a2 ‘nin ikinci eleman olduğu ve an ‘in n. eleman olduğu sıralı bir yapıdır.
İki n-demet ancak ve ancak ilgili bütün elemanları eşitse birbirine eşittir.
2-demet sıralı çift olarak anılır.
Sıralı çiftler(a,b) ve (c,d) ancak ve ancak a = c ve b = d ise eşittir.
21
Kartezyen Çarpım Tanım: A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı A × B ile
gösterilir ve (a,b) sıralı çiftlerinin kümesidir. Burada a ∈ A ve b ∈ B .
Örnek: A = {a,b} B = {1,2,3} A × B = {(a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3)} Tanım: A × B kartezyen çarpımının bir alt kümesi olan
R A kümesinden B kümesine bir ilişki olarak tanımlanır.
René Descartes (1596-1650)
22
Kartezyen Çarpım Tanım: A1,A2,……,An kümelerinin kartezyen çarpımı
A1 × A2 × …… × An şeklinde gösterilir ve sıralı (a1,a2,……,an) n-demetlerin bir kümesidir. Burada ai nesnesi i = 1, … n için Ai kümesinin bir elemanıdır
Örnek: A × B × C kartezyen çarpımını bulunuz. A = {0,1}, B = {1,2} and C = {0,1,2}
Çözüm: A × B × C = {(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2),(0,2,0), (0,2,1), (0,2,2),(1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,1,2)}
23
Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler P yüklemi ve D alanı için, P’nin doğruluk kümesi D’nin
içinde P(x)’in doğru olduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x)’in doğruluk kümesi şu şekilde gösterilir.
Örnek: D alanı bütün tamsayılarsa ve P(x) “|x| = 1” ise P(x)’in doğruluk kümesi {-1,1} olur.
24
25
Bölüm Özeti Küme İşlemleri
Birleşim
Kesişim
Tümleme
Fark
Küme Büyüklüğü
Küme Eşitlikleri
Eşitliğin İspatı
Üyelik Tabloları
26
Birleşim Tanım: A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerinin
birleşimi A ∪ B ile gösterilir.
Örnek: {1,2,3} ∪ {3, 4, 5}?
Çözüm: {1,2,3,4,5}
U
A B
Venn Diagram for A ∪ B
27
Kesişim Tanım: A veB, kümelerinin kesişimi A ∩ B ile
gösterilir
Note if the intersection is empty, then A and B are said to be disjoint.
Örnek: {1,2,3} ∩ {3,4,5} ?
Çözüm: {3}
Örnek:
{1,2,3} ∩ {4,5,6} ?
Çözüm : ∅
U
A B
Venn Diagram for A ∩B
28
Tümleyen Tanım: A bir küme ise, A kümesinin tümleyeni (U’ya
göre), Ā ile gösterilir ve U – A’ya eşittir.
Ā = {x ∈ U | x ∉ A}
Örnek: Eğer U 100’den küçük pozitif tam sayılar ise,
{x | x > 70} kümesinin tümleyeni nedir?
Çözüm: {x | x ≤ 70}
A
U
Venn Diagram for Complement
Ā
29
Fark Tanım: A ve B iki küme olsun. A’nın B’den farkı, A – B
şeklinde gösterilir; ve A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesi olarak tanımlanır.
A – B = {x | x ∈ A x ∉ B} = A ∩B
U A
B
Venn Diagram for A − B
30
Birleşim Kümesinin Büyüklüğü • |A ∪ B| = |A| + | B| - |A ∩ B|
U
A B
Venn Diagram for A, B, A ∩ B, A ∪ B
31
Sorular Örnek: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5}, B ={4,5,6,7,8}
1. A ∪ B
Çözüm: {1,2,3,4,5,6,7,8}
2. A ∩ B
Çözüm : {4,5}
3. Ā
Çözüm : {0,6,7,8,9,10}
4.
Çözüm : {0,1,2,3,9,10}
5. A – B
Çözüm : {1,2,3}
6. B – A
Çözüm : {6,7,8}
32
Simetrik Fark Tanım:
Örnek:
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5} B ={4,5,6,7,8}
Çözüm: {1,2,3,6,7,8}
U
A B
Venn Diagram
33
Küme Eşitlikleri Identity laws
Domination laws
Idempotent laws
Complementation law
Continued on next slide 34
Küme Eşitlikleri Commutative laws
Associative laws
Distributive laws
Continued on next slide 35
Küme Eşitlikleri De Morgan’s laws
Absorption laws
Complement laws
36
Küme Eşitliklerini İspatlamak Farklı yollar var:
1. Eşitliğin her iki tarafının, diğer tarafın alt kümesi olduğunu göster.
2. Küme kurma gösterimini ve önermeler mantığını kullan.
3. Üyelik Tabloları
37
İkinci De Morgan Kuralının İspatı Örnek: eşitliğini ispatlayın
Çözüm: Birbirlerinin alt kümeleri olduğunu göster:
1) ve
2)
Continued on next slide 38
İkinci De Morgan Kuralının İspatı 1. AŞAMA:
Continued on next slide 39
İkinci De Morgan Kuralının İspatı 2. AŞAMA:
40
Küme Kurma Gösterimi İle İkinci De Morgan Kuralının İspatı
41
Üyelik Tablosu
A B C
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Örnek:
Çözüm:
Dağıtım kuralının doğru olduğunu göstermek için üyeli tablosu oluşturun.
42
Genelleştirilmiş Birleşim ve Kesişim A1, A2 ,…, An indekslenmiş bir küme grubu olsun.
43
44
Bölüm Özeti Bir Fonksiyonun Tanımı
Tanım kümesi, Değer kümesi
Görüntü, Ön görüntü
birebir, örten, birebir örten
Ters fonksiyon
Fonksiyonların bileşimi
Fonksiyonların gösterimi
Taban, Tavan, Faktöriyel
45
Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A’dan B’ye bir f
fonksiyonu f: A → B ile gösterilir ve A’nın her bir
elemanını B’nin sadece bir elemanı ile eşleştirir.
f(a) = b
Fonksiyonlara
haritalama veya
dönüşüm de denir.
A
B
C
Students Grades
D
F Kathy Scott
Sandeep Patel
Carlota Rodriguez
Jalen Williams
46
Fonksiyonlar f: A → B fonksiyonu A×B çarpımının bir alt kümesi
olarak da tanımlanabilir. Bu alt kümedeki hiçbir sıralı ikilinin ilk elemanı aynı olamaz.
47
Fonksiyonlar f: A → B için: f A’yı B’ye haritalar denir
A f’nin tanım kümesidir. B f ’nin değer kümesidir. Eğer f(a) = b ise
b a’nın f altındaki görüntüsüdür. a b’nin ön görüntüsüdür.
İki fonksiyon, tanım ve değer kümeleri aynı ise ve aynı zamanda tanım kümesindeki her bir elemanı değer kümesindeki aynı elemanla eşleştiriyorsa aynıdır.
48
Fonksiyonların Gösterimi Farklı gösterimler var:
Eşleştirme durumlarının açıkça gösterilmesi.
Öğrenciler ve notlar gibi.
Bir formül ile.
f(x) = x + 1
Bir bilgisayar programı ile
49
Sorular f(a) = ? A B
a
b
c
d
x
y
z
z
d’nin görüntüsü? z
Tanım kümesi? A
Değer kümesi? B
y’nin ön görüntüsü? b
{a,c,d} z’nin ön görüntüleri? 50
Sorular Eğer ise ve S, A’nın bir alt kümesi ise
A B a
b
c
d
x
y
z
f {c,d} is ?
{y,z} f {a,b,c,} is ?
{z}
51
Birebir (Injections) Tanım: Ancak ve ancak f(a) = f(b) eşitliği bütün a ve b
elemanları için a = b eşitliğini gerektiriyorsa f fonksiyonu birebirdir.
v
w
A B a
b
c
d
x
y
z
52
Örten (Surjections) Tanım: Ancak ve ancak bütün elemanları için
yapan en az bir varsa f fonksiyonu örtendir.
A B a
b
c
d
x
y
z
53
Birebir Örten (Bijections) Tanım: Bir fonksiyon aynı anda birebir ve örten
özellikleri gösteriyorsa.
A B a
b
c
d
x
y
z
w 54
Ters Fonksiyonlar Tanım: f A’dan B’ye birebir ve örten bir fonksiyon
olsun. f’nin tersi ile gösterilir ve B’den A’ya tanımlı bir fonksiyondur.
Birebir ve örtenlik yoksa neden fonksiyonun tersi olamaz?
55
Ters Fonksiyonlar A B
a
b
c
d
V
W
X
Y
f A B
a
b
c
d
V
W
X
Y
56
Sorular Örnek: f {a,b,c} kümesinden {1,2,3} kümesine bir
fonksiyon olsun. f(a) = 2, f(b) = 3, and f(c) = 1 ise f fonksiyonunun tersi alınabilir mi?
57
Sorular Örnek: f: Z Z ve f(x) = x + 1 ise f fonksiyonunun
tersi alınabilir mi? Alınabilirse neden? Tersi nedir?
Çözüm: Evet. Birebir örten olduğu için. Tersif-1 (y) = y – 1.
58
Sorular Örnek: f: R → R
Çözüm: Tersi yoktur. Birebir değil.
59
Bileşim Tanım: f: B → C, g: A → B.
Bileşke fonksiyon : A → C
60
Bileşim
A C a
b
c
d
i
j
h
A B C a
b
c
d
V
W
X
Y
g
h
j
i
f
61
Bileşim Örnek1: ve ,
ise
ve
62
Bileşke Fonksiyonlarla İlgili Sorular Örnek 2: g, {a,b,c} kümesinden kendine bir
fonksiyon olsun. Yani, g(a) = b, g(b) = c, and g(c) = a. f, {a,b,c} kümesinden {1,2,3} kümesine bir fonksiyon olsun. Yani, f(a) = 3, f(b) = 2, and f(c) = 1.
f ve g bileşke fonksiyonu ile g ve f bileşke fonksiyonu nedir?
Çözüm: The composition f∘g is defined by f∘g (a)= f(g(a)) = f(b) = 2.
f∘g (b)= f(g(b)) = f(c) = 1.
f∘g (c)= f(g(c)) = f(a) = 3.
g∘f tanımlanabilir mi?
63
Fonksiyonların Grafiksel Gösterimi f A kümesinden B kümesine bir fonksiyon olsun. F
fonksiyonunun «grafı» sıralı çiftlerin bir kümesidir. {(a,b) | a ∈A and f(a) = b}.
Z’den Z’ye tanımlı f(n) = 2n + 1 ‘in grafiği
Z’den Z’ye tanımlı f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği
64
Bazı Önemli Fonksiyonlar Taban fonksiyonu
x’e eşit veya x’den küçük en büyük tam sayı.
Tavan fonksiyonu
x’e eşit veya x’den büyük en küçük tam sayı.
Örnek:
65
Taban ve Tavan Fonksiyonları
Taban (a) ve Tavan (b) fonksiyonların grafikleri
66
Faktöriyel Fonksiyon Tanım: f: N → Z+ , f(n) = n! İlk n pozitif tamsayının
çarpımı.
f(n) = 1 ∙ 2 ∙∙∙ (n – 1) ∙ n, f(0) = 0! = 1
Örnekler:
f(1) = 1! = 1
f(2) = 2! = 1 ∙ 2 = 2
f(6) = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3∙ 4∙ 5 ∙ 6 = 720
f(20) = 2,432,902,008,176,640,000.
Stirling’s Formula:
67
68
Bölüm Özeti Seriler
Örnekler: Geometrik İlerleme, Aritmetik İlerleme
Özyineli İlişkiler
Örnek: Fibonacci Dizisi
Toplamlar
69
Giriş Seriler, elemanların sıralı listeleridir
1, 2, 3, 5, 8
1, 3, 9, 27, 81, …….
Seriler botanikten müziğe, bilgisayar bilimine kadar birçok yerde karşımıza çıkar.
Serilerin gösterimi için temel terminoloji ve serideki elemanların toplamı ile ilgili konular üzerinde duracağız.
70
Seriler Tanım: Bir Seri, tam sayıların bir alt kümesinden
(genellikle {0, 1, 2, 3, 4, …..} ya da {1, 2, 3, 4, ….} gibi) bir S kümesine tanımlanan bir fonksiyondur.
an terimi, n sayısının görüntüsü için kullanılır. an ‘I f(n) fonksiyonunun sonucu gibi düşünebiliriz. Burada f {0,1,2,…..} kümesinden S kümesine bir fonksiyondur. an ‘e serinin bir elemanı denir.
71
Seriler Örnek: serisini göz önünde bulunduralım.
72
Geometrik İlerleme Tanım: Bir geometrik ilerleme,
şeklindeki bir seridir. Başlangıç terimi olan a ve ortak oran r reel sayılardır.
Örnekler: 1. a = 1 ve r = −1. ise:
2. a = 2 ve r = 5. ise:
3. a = 6 ve r = 1/3. ise:
73
Aritmetik İlerleme Tanım : Bir aritmetik ilerleme
şeklindeki bir seridir.
Başlangıç terimi olan a ve ortak fark d reel sayılardır. Örnek:
1. a = −1 ve d = 4:
2. a = 7 ve d = −3:
3. a = 1 ve d = 2:
74
Strings (Dizi, Katar) Tanım: Bir string sonlu bir kümedeki (bir alfabe)
sonlu karakterlerin serisidir.
Karakter serileri veya bit serileri bilgisayar bilimi için önemlidir.
Boş string λ ile gösterilir.
abcde stringinin uzunluğu 5’tir.
75
Özyineli İlişkiler Tanım: {an} serisi için bir özyineli ilişki, an terimini
seride kendinden önce gelen bir ya daha fazla terimle gösteren bir eşitliktir. Yani, a0, a1, …, an-1, bütün n tamsayıları için; n ≥ n0, ve n0 pozitif bir tamsayı.
Eğer bir serinin elemanları bir özyineli ilişkiyi sağlıyorsa, bu seriye özyineli ilişkinin çözümü denir.
Bir seri için başlangıç koşulları, ilk elemandan önce gelen ve özyineli ilişkiyi başlatan terimlerdir.
76
Özyineli İlişkilerle İlgili Sorular Örnek 1: {an} , an = an-1 + 3 for n = 1,2,3,4,…. Özyineli
ilişkisini sağlayan bir seri olsun ve a0 = 2 olsun. a1 , a2 ve a3 nedir?
[Burada a0 = 2 başlangıç koşuludur.]
Çözüm: Özyineli ilişkinin şöyle olduğunu görürüz:
a1 = a0 + 3 = 2 + 3 = 5
a2 = 5 + 3 = 8
a3 = 8 + 3 = 11
77
Özyineli İlişkilerle İlgili Sorular Örnek 2: {an} , an = an-1 – an-2 özyineli ilişkisini sağlayan
bir seri olsun. Burada n = 2,3,4,…. ve a0 = 3 ve a1 = 5.
a2 ve a3 nedir?
[Burada başlangıç koşulları a0 = 3 ve a1 = 5. ]
Çözüm: Özyineli ilişkinin şöyle olduğunu görürüz:
a2 = a1 - a0 = 5 – 3 = 2
a3 = a2 – a1 = 2 – 5 = –3
78
Fibonacci Serisi Tanım: Fibonacci serisi, f0 ,f1 ,f2,…, :
Başlangıç koşulları: f0 = 0, f1 = 1 Özyineli ilişki: fn = fn-1 + fn-2
Örnek: f2 ,f3 ,f4 , f5 ve f6 elemanlarını bulunuz . Cevap: f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1, f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2, f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3, f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5, f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8.
79
Özyineli İlişkileri Çözmek Bir özyineli ilişki tarafından oluşturulmuş olan bir
serinin n. elemanını bulmak, özyineli ilişkiyi çözmek olarak adlandırılır.
Böyle bir formüle kapalı formül denir.
Bölüm 8’de özyineli ilişkilerle ilgili kapsamlı bilgi bulunmakta.
Burada, iterasyon yöntemi ile düzen çıkarmaya çalışacağız.
80
İteratif Çözüm Örneği Yöntem 1: Yukarıya doğru çalışma, ileriyi doğru yerine
koyma. {an} , an = an-1 + 3 for n = 2,3,4,…. İlişkisini sağlayan bir seri
olsun ve a1 = 2 olsun. a2 = 2 + 3 a3 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3 ∙ 2 a4 = (2 + 2 ∙ 3) + 3 = 2 + 3 ∙ 3 . . .
an = an-1 + 3 = (2 + 3 ∙ (n – 2)) + 3 = 2 + 3(n – 1)
81
İteratif Çözüm Örneği Yöntem 2: Aşağıya doğru çalışma, geriye doğru yerine
koyma. {an} , an = an-1 + 3 for n = 2,3,4,…. İlişkisini sağlayan bir
seri olsun ve a1 = 2 olsun. an = an-1 + 3 = (an-2 + 3) + 3 = an-2 + 3 ∙ 2
= (an-3 + 3 )+ 3 ∙ 2 = an-3 + 3 ∙ 3 . . . = a2 + 3(n – 2) = (a1 + 3) + 3(n – 2) = 2 + 3(n – 1)
82
Finansal bir uygulama Örnek: Bir kişi bir bankaya yıllık %11 bileşik faiz ile
$10,000 yatırıyor. 30 yıl sonunda ne kadar parası olur?
Pn 30 yıl sonraki para olsun. Pn aşağıdaki özyineli ilişkiyi sağlar:
Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = (1.11) Pn-1
başlangıç koşulu P0 = 10,000
Devam 83
Finansal bir uygulama Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = (1.11) Pn-1
başlangıç koşulu P0 = 10,000
Çözüm: İleriye doğru yerine koyma
P1 = (1.11)P0
P2 = (1.11)P1 = (1.11)2P0
P3 = (1.11)P2 = (1.11)3P0
:
Pn = (1.11)Pn-1 = (1.11)nP0 = (1.11)n 10,000
Pn = (1.11)n 10,000 (Tümevarım ile ispat edilebilir. Bölüm 5)
P30 = (1.11)30 10,000 = $228,992.97
84
Faydalı Seriler
85
Toplamlar
serisindeki terimlerinin toplamı Gösterim:
şunu ifade eder:
j değişkeni, toplamın indeksi olarak isimlendirilir. Alt sınır
olan m’den başlar ve n’ye kadar ilerler.
86
Toplamlar Daha genel olarak bir S kümesi için:
Örnek:
87
Geometrik Serileri Bir geometrik ilerlemedeki terimler toplamı
İspat: Let Sn ‘i hesaplamak için ilk olarak eşitliğin her iki tarafını r ile çarpın ve daha sonra çıkan toplam sonucunu şu şekilde yazın
Devam
88
Geometrik Serileri
Toplamın indeksini bir kaydır. k = j + 1.
k = n + 1 . Terimi çıkar ve k = 0 terimini ekle.
Toplam formülünü elde etmek için S’yi yerine koy.
∴
eğer r ≠1
eğer r = 1
Önceki slayttaki ifade
89
Bazı Faydalı Toplam Formülleri
90
91
Bölüm Özeti Büyüklük (Nicelik/Eleman Sayısı)
Sayılabilir Kümeler
92
Büyüklük Tanım: A kümesinin büyüklüğü B kümesinin
büyüklüğü ile aynı ise bu şu şekilde gösterilir:
|A| = |B|,
Ancak ve ancak A’dan B’ye birebir-örten ilişki varsa bu durum doğrudur.
Eğer A’dan B’ye birebir ilişki varsa A’nın eleman sayısı B’nin eleman sayısından küçüktür ya da ona eşittir. |A| ≤ |B|.
|A| ≤ |B| durumunda, A ve B kümeleri farkı büyüklüklere sahipse, |A| < |B| durumu oluşur.
93
Kolaylıkla görülebilecek bazı durumlar:
1. S kümesi S kümesinin alt kümesi ise ve sonsuzsa S kümesi de sonsuzdur.
2. Sonlu bir kümenin bütün al kümeleri sonludur.
3. Eğer f : S T birebirse ve S sonsuzsa, bundan dolayı T de sonsuzdur.
4. Eğer S sonsuz bir küme ise P(S) de sonsuzdur.
5. Eğer S ve T sonsuz kümelerse, S T sonsuzdur.
6. Eğer S sonsuzsa ve T , ise S T sonsuzdur.
7. Eğer S sonsuzsa ve T , ise T’den S’ye tanımlanabilecek fonksiyonların kümesi de sonsuzdur.
94
95
Bölüm Özeti Bir matrisin tanımı
Matris Aritmetiği
Transpoz ve Aritmetik Üs
Sıfır-Bir Matrisleri
96
Matrisler Matrisler kullanışlı ayrık yapılardır. Örneğin, şunlar
için kullanılabilirler:
Lineer dönüşümlerin tanımlanması.
Graf düğümlerinin tanımlanması
Matrisleri şunlar için kullanacağız:
Ulaştırma sistemleri
Haberleşme ağları
Bu bölümde matrislerin temellerini göreceğiz.
97
Matris Tanım: Bir matris, sayılardan oluşan dikdörtgen bir
dizidir. m tane satır ve n tane sütundan oluşan bir matris mxn matris olarak anılır. Satır ve sütun sayıları eşitse kare matris adını alır.
Aynı satı ve sütun sayılarına sahip olup, ilgili hücreleri eşit olan matrisler birbirlerine eşittir.
3 2 matrix
98
Gösterim m ve n pozitif tamsayılar olsun.
A matrisinin i. Satırı 1xn bir matrisdir. [ai1, ai2,…,ain].
j. sütunu mx1 bir matrisdir:
Bir matrisi şu şekilde gösterebiliriz: A = [aij ]
99
Matris Aritmetiği: Toplama Tanım: A = [aij] ve B = [bij] olsun
A + B = [aij + bij] olur
Örnek:
100
Matris Çarpımı Tanım: A mxk matris ve B kxn matris olsun. Çarpımları:
AB = [cij] then cij = ai1b1j + ai2b2j + … + akjb2j. olur
Örnek:
İlk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit değilse matris çarpımı tanımsızdır.
101
Matris Çarpımının Gösterimi A = [aij] ve B = [bij] matrislerinin çarpımı
102
Matris Çarpımının Değişme Özelliği Yoktur Örnek:
AB = BA?
Çözüm:
AB ≠ BA
103
Birim Matris ve Matrislerin Kuvveti Tanım: n boyutlu bir birim matris mxn bir matristir
In = [ij], burada ij = 1 eğer i = j ve ij = 0 eğer i≠j.
AIn = ImA = A
A mxnbir matris
Kare matrislerin kuvvetleri tanımlanabilir. A n n bir matris olsun:
A0 = In Ar = AAA∙∙∙A
r defa 104
Matrislerin Transpozu Tanım: A = [aij] mxn bir matris olsun. A’nın
transpozu, At ile gösterilir, nxm bir matristir ve A matrisinin sütun ve satırlarının yer değiştirmesi ile elde edilir.
Eğer At = [bij], ise bij = aji bütün i =1,2,…,n için ve j = 1,2, ...,m. için
105
Matrislerin Transpozu Tanım: A bir kare matris olsun. Eğer A = At ise A
matrisine simetrik matris denir.
Yani A = [aij] simetriktir, eğer aij = aji ise, i ve j
1≤ i≤ n and 1≤ j≤ n.
106
Sıfır-Bir Matrisler Tanım: Bütün elemanları sıfır ve birlerden oluşan
matrislerdir.
Sıfır ve birler mantıksal değerler oldukları için bu tip matrisler üzerinde mantıksal işlemler yapılabilir.
107
Sıfır-Bir Matrisler Tanım: A = [aij] ve B = [bij] m n sıfır-bir matrisler
olsun.
A ve B matrislerin join işlemi aij ∨ bij olarak tanımlanır ve A ∨ B şeklinde gösterilir.
A ve B matrislerin meet işlemi aij ∧ bij olarak tanımlanır ve A ∧ B şeklinde gösterilir.
108
Sıfır-Bir Matrisler Üzerinde join ve meet işlemleri Örnek: Aşağıdaki matrislerin join ve meet sonuçlarını
bulunuz.
Çözüm: A ve B join işlemi
A ve B meet işlemi
109
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı Tanım: A = [aij] mxk sıfır-bir matris ve B = [bij] kxn
sıfır-bir matris olsun. A ve B matrislerinin ikili çarpımı, A ⊙ B ile gösterilir; (i,j). elemanı aşağıdaki şekilde hesaplanan mxn sıfır-bir matristir.
cij = (ai1 ∧ b1j)∨ (ai2 ∧ b2j) ∨ … ∨ (aik ∧ bkj).
Örnek: A ve B matrislerinin ikili çarpımını bulunuz
110
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı Çözüm:
111
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı Tanım: A sıfır-bir kare matris olsun. r pozitif bir
tamsayı. A matrisinin r. İkili çarpımı A[r] şeklinde gösterilir.
112
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Kuvvetleri Örnek:
An bütün pozitif n tamsayıları için hesaplayınız.
Çözüm:
113