The generalized Dice measures for multiple attribute decision making

under simplified neutrosophic environments

Abstract

Keywords:

1. Introduction

E-mail address:

2. The Dice measures of SNSs

Definition 1 S X

XxxvxuxtxS SSS tS x X uS x X vS x X

x S tS x uS x vS x x X

x tS x uS x vS x S sx tx ux vx

tx ux vx tx ux vx

Ux

Lxx ttt U

xLxx uuu

Ux

Lxx vvv U

xUx

Ux vut

Definition 2 S s s s n S s s s n s j t j, u j, v j

s j t j, u j, v j j n j S S

S S

n

j jjjjjj

jjjjjjn

j jj

jjSVNN vutvut

vvuutt

nss

ss

nSSD

s j t j, u j, v j s j t j, u j, v j j n j S S

S S

n

j

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

n

j jj

jjINN

vutvut

vutvut

vvvvuuuutttt

n

ss

ss

nSSD

DSVNN S S DINN S S

DSVNN S S DSVNN S S DINN S S DINN S S

DSVNN S S DINN S S

DSVNN S S DINN S S S S

Uij

Lijij ttt U

ijLijij uuu U

ijLijij vvv i j n

sij i j

n W w w wn sij i j n wj

n

j jw

n

j jjjjjj

jjjjjjj

n

j jj

jjjWSVNN vutvut

vvuuttw

ss

sswSSD

n

j

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

j

n

j jj

jjjWINN

vutvut

vutvut

vvvvuuuuttttw

ss

sswSSD

3. Another form of the Dice measures of SNSs

Definition 3 S s s s n S s s s n s j t j, u j, v j s j

t j, u j, v j j n j S S

S S

n

j jjj

n

j jjj

n

j jjjjjj

SVNNvutvut

vvuutt

SS

SSSSD

s j t j, u j, v j s j t j, u j, v j j n j S S

S S

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Lj

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Lj

n

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

INN

vvuutt

vvuutt

vvvvuuuutttt

SS

SSSSD

DSVNN S S DINN S S

DSVNN S S DSVNN S S DINN S S DINN S S

DSVNN S S DINN S S

DSVNN S S DINN S S S S

Proof:

abba

S S s j s j j n |S | |S | DSVNN S S

DINN S S

sij i j n W

w w wn sij i j n wjn

j jw

n

j jjjj

n

j jjjj

n

j jjjjjjj

ww

wWSVNN

vutwvutw

vvuuttw

SS

SSSSD

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Ljj

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Ljj

n

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Ljj

ww

wWINN

vvuuttw

vvuuttw

vvvvuuuuttttw

SS

SSSSD

4. The generalized Dice measures of SNSs

Definition 4. S s s s n S s s s n s j t j u j v j

s j t j u j v j j n j S S

S S

n

j jjjjjj

jjjjjj

n

j jj

jjSVNN

vutvut

vvuutt

n

ss

ss

nSSG

n

j jjj

n

j jjj

n

j jjjjjj

SVNN

vutvut

vvuutt

SS

SSSSG

n

j jjj

jjjjjjn

j j

jjSVNN vut

vvuutt

ns

ss

nSSG

n

j jjj

jjjjjjn

j j

jjSVNN vut

vvuutt

ns

ss

nSSG

n

j jjj

n

j jjjjjj

SVNNvut

vvuutt

S

SSSSG

n

j jjj

n

j jjjjjj

SVNNvut

vvuutt

S

SSSSG

sij i j n

W w w wn sij i j n wjn

j jw

n

j jjjjjj

jjjjjjj

n

j jj

jjjWSVNN

vutvut

vvuuttw

ss

sswSSG

n

j jjjj

n

j jjjj

n

j jjjjjjj

ww

wWSVNN

vutwvutw

vvuuttw

SS

SSSSG

Definition 5 S s s s n S s s s n s j t j u j v j

s j t j u j v j j n j S S

S S

n

j

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

n

j jj

jjINN

vutvut

vutvut

vvvvuuuutttt

n

ss

ss

nSSG

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Lj

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Lj

n

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

INN

vvuutt

vvuutt

vvvvuuuutttt

SS

SSSSG

Uij

Lijij ttt U

ijLijij uuu

Uij

Lijij vvv i j n

n

jU

jU

jU

jL

jL

jL

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

n

j j

jjINN

vutvut

vvvvuuuutttt

n

s

ss

nSSG

n

jU

jU

jU

jLj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

n

j j

jjINN

vutvut

vvvvuuuutttt

n

s

ss

nSSG

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Lj

n

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

INN

vvuutt

vvvvuuuutttt

S

SSSSG

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Lj

n

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

INN

vvuutt

vvvvuuuutttt

S

SSSSG

sij i j n

W w w wn sij i j n wj n

j jw

n

j

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Uj

Lj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

j

n

j jj

jjjWINN

vutvut

vutvut

vvvvuuuuttttw

ss

sswSSG

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Ljj

n

j

Uj

Lj

Uj

Lj

Uj

Ljj

n

j

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Lj

Uj

Uj

Lj

Ljj

ww

wWINN

vvuuttw

vvuuttw

vvvvuuuuttttw

SS

SSSSG

5. Decision making-methods based on the generalized Dice measures

S S S Sm R

R R Rn Rj j n wj wj

n

j jw Rj j n

Si i m iniii sssS sij tij uij vij

tij uij vijUij

Uij

Uij vut j n i m

D sij m n

iji

iji

iji

jjjj vutvuts

Uij

i

Lij

i

Uij

i

Lij

i

Uij

i

Lij

ijjjj vvuuttvuts j

n i m

nsssS jjjj vuts j

Si

i m S

Si i m

S Si

6. Decision-making example of manufacturing schemes

S= S S S S

R

R R R

W

Rj j Si i

D

iji

iji

iji

jjjj vutvuts j i

ssssS

Si i S

GWSVNN S S GWSVNN S S GWSVNN S S GWSVNN S S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

GWSVNN S S GWSVNN S S GWSVNN S S GWSVNN S S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S S S

Si S S

Si S S

S Si S S

Rj j Si i

D

Uij

i

Lij

i

Uij

i

Lij

i

Uij

i

Lij

ijjjj vvuuttvuts

j i

nsssS

Si i S

GWINN S S GWINN S S GWINN S S GWINN S S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

GWINN S S GWINN S S GWINN S S GWINN S S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S �S �S �S

S S S

Si S S

Si S S

S Si S

7. Conclusion

References

Applied Mathematical Modelling 37

Multispace

and Multistructure 4

Science World Journal 2014

Neural Computing and Applications

Applied Soft Computing 25

International Journal of Systems

Science

International Journal of General Systems 42

Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 26

Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 26

Journal of Intelligent and Fuzzy

Systems 27

International Journal of Fuzzy Systems 16

Applied

Mathematical Modelling 38

Journal of Intelligent and

Fuzzy Systems 28

Fuzzy Sets and Systems 20

Fuzzy Sets and Systems 31

Neutrosophic Sets and Systems 1

International Journal of Fuzzy

Systems 16

Neural Computing and Applications 25

Neural Computing and Applications

Journal of Intelligent

and Fuzzy Systems

Neural Computing and Applications