théorie de l'Échantillonnage numérisation du signal michel fiocchi novenbre 2003
TRANSCRIPT
Théorie de l'Échantillonnage
Numérisation du signal
Michel Fiocchi Novenbre 2003
Numérisation Acquisition
Du signal analogique,continu dans le temps et continu en amplitude...
... à un signal définit ponctuellement et quantifié.
Numérisation
Restitution Du signal numérique,discret et quantifié...
... à un signal continu dans le temps et quantifié en amplitude.
4
Numérisation
Échantillonnage
s(t) {s(nT)}
Quantification
s(nT) mq
Codagemq i
f(t)f(t)f(t)
Échantillonnage
Dans l'espace des temps le signal est remplacé par ces valeurs à des instants multiples entiers de la période d'échantillonnage T.
s(t) {s(nT)}
Échantillonnage Modèle mathématique
kee kTttsts )()(
f(t)
Échantillonnage Dans le plan des fréquences
kee kTttsts )()(
n eee T
nfT
fSfS 1
neee ffSffS
Échantillonnage
s t S f
se t S e f
Périodisation du spectre
Échantillonnage Périodisation du spectre
neee ffSffS
+fe-fe
Échantillonnage Périodisation du spectre
Pour une fréquence d'échantillonnage trop petite, le phénomène de recouvrement de spectre (ou de repliement ) modifie le signal.
f e 2 f mf e 2 f mf e 2 f m
Échantillonnage Théorème de Shannon
soit fm la fréquence telle que
fe=2 f
m est la fréquence critique d'échantillonnage (fréquence de Shannon ou de Nyquist)
S f
f m
0,, fSfff m
Échantillonnage Théorème de Shannon
Un signal qui ne contient pas de fréquences supérieures à f
mest entièrement déterminé par la
suite de ses valeurs prises à des instants régulièrement espacés de la durée
m
e fT
21
Échantillonnage Exemple:acquisition d’un signal sonore
Le son s(t) est supposé être composé de l’alternance de deux tonnalités placées à 1280 hz et 1620 hz;
ÉchantillonnageExemple
Application du théorème de Shanon:
fe >3240 hz
fréquence d’échantillonnage 3675 hz
Échantillonnage Exemple: spectre du signal physique
………Mais des harmoniques hautes fréquences ne sont pas négligeables……
ÉchantillonnageExemple
Le son se(t) est plus grave que le son réel bien que le chronogramme soit quasiment identique.
ÉchantillonnageExemple
K=1K=-1K=2K=-2……..
Périodisation du spectre à 3675 hz
ÉchantillonnageExemple
Des raies apparaissent en basse fréquence
Échantillonnage Exemple:limite de la bande passante par filtrage
Des raies hautes fréquences sont atténuées,….
….et plus audibles après repliement
ÉchantillonnageReconstruction
fSe fe
e ff 1,,0
fS
ÉchantillonnageReconstruction
ttstsffSfSe
ee
e ffe
F
ffe 1,,01,,0
1
ÉchantillonnageReconstruction
ke
ee
ee
ek
ee
ffe
kTtT
SinckTsts
tfSincf
fkTtkTsts
ttstse
e
1
1,,0
ÉchantillonnageReconstruction
se t
ÉchantillonnageReconstruction
Dans l’espace des Amplitudes, chaque valeur de s(nTe) est approchée par un multiple entier d’une quantité élémentaire q
s(nT) mq
Quantification
Quantification s(nT) mq
2qnq
2qnq
tetstsq
Bruit de Quantification
puissance du bruit
si p(e) est uniforme
2q
2q
deepeB
teEB
tstsEB
q
q
q
2
2
2
2
2
12
2qB
Quantification Dynamique de codage
2 N valeurs sur la dynamique totale du codeur soit:
En exprimant la puissance du signal:
A
A
qA n 12
Ncn
c BPqP 2
21
223
22
76.12.6223log10 2
N
BP N
dB
c
Numérisation des signaux réels
Signaux de durée limitéeEchantillonnage de durée finieNombre fini de points
Signaux de durée limitéeDomaine
temporel
1,,TT tsts
Signaux de durée limitée Domaine fréquentiel
0021 fffffS
0f0f
002ffffTfSinc
TfST
Signaux de durée limitée Cas
Général
TfSincTfSfST
N’est pas à support borné
Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur
eT
kee
kTtee
kTee
kT
kTee
kTtttsts
ttskTs
tdttskTs
tdtskTs
e
e
e
e
21
21
1
1
1,,0
1,,0
1,,2
Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur
k ee
fje T
kfT
efSincfSfS 1
modulation
fS fSincfS
Nombre fini de points
Soit N le nombre de points régulièrement espacés sur la période d’observation T .
Le signal est défini par une suite de N valeurs sk .
Le spectre du signal est estimé par une suite de N valeurs Sk .
Nombre fini de points
dtetsfS tfj
2)(
1
0
2)(~ N
k
kTfjek
eekTsfS
1
0
2)(
N
n
Nknj
ene
k enTsNfkS
Nombre fini de points TDF
TDF
TDF-1
Sk et sk sont N périodiques
1
0
21N
n
Nknj
nNk esN
S
1
0
2N
k
Nknj
kNn eSs
Echantillonnage du spectre
Sinus à 25,5 hz échantillonné à 100 hz sur 100 pointsSinus à 25 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points