theorie des graphes

Introduction la thorie des graphes

27 fvrier 2008

Table des matires1 Glossaire 2 Notation2.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.1 3.0.2 3.0.3 3.0.4 3.0.5 Joindre (join) . . . . . . . Une extrmit (endvertice Incident(e) (incident) . . Adjacent (adjacent) . . . Voisin (neighbor) . . . . . . . . . . . . . ou endpoint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 55 5

3 Terminologie

7

7 7 7 7 7

4 Dnition

4.1 Graphes et digraphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Un graphe (graph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 L'ensemble des sommets (vertex set) . . . . . . . . . . . . 4.1.3 L'ensemble des artes (edge set) . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Un sommet, ou point, ou noeud (vertex, point, ou node) . 4.1.5 Une arte, ou arc (edge ou arc) . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Un graphe simple (simple graph) . . . . . . . . . . . . . . 4.1.7 Un multigraphe (multigraph) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8 Un digraphe ou graphe orient (digraph ou directed graph) 4.1.9 Deux sommets adjacents (adjacent vertices) . . . . . . . . 4.1.10 Des artes adjacentes (adjacent edges) . . . . . . . . . . . 4.1.11 Le voisinage ou voisinage ouvert (neighbourhood ou open neighbourhood) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.12 Le voisinage ferm (close neighbourhood) . . . . . . . . . . 4.1.13 Un sommet isol (isolated vertex) . . . . . . . . . . . . . . 4.1.14 Le degr ou la valence (degree ou valence ) . . . . . . . . . 4.1.15 L'ordre d'un graphe (order) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.16 La taille d'un graphe (size) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.17 Le complment d'un graphe (complement) . . . . . . . . . 4.2 Graphes particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Graphe nul (null graph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Graphe trivial (trivial graph) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Graphe vide d'un graphe (empty graph) . . . . . . . . . . 1

8

8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11

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4.2.4 Graphe vide n-sommets (empty n-graph) . . . . . . . . 11 4.2.5 Un chemin (path) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2.6 Un cycle (cycle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2.7 Graphe complet (complete graph) . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.8 Graphe complet n sommets (complete n-graph) . . . . . 12 4.2.9 Graphe rgulier (regular graph) . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.10 Graphe k-rgulier (k-regular graph) . . . . . . . . . . . . . 12 4.2.11 Graphe biparti (bipartite graph) . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.12 Graphe biparti-complet (complet bipartite graph) . . . . . 13 4.2.13 Arbre (tree) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.14 Fort (forest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Oprations sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.4 Chemin, cycle et connexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4.1 Sommets indpendants (independent vertices) . . . . . . . 16 4.4.2 Artes indpendants ou couplage(independent edges ou matching) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4.3 Couplage maximum (maximum matching) . . . . . . . . . 16 4.4.4 Couplage complet (complete matching from U to V ou U/V-saturating) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4.5 Chemins indpendants (independent paths ou internaly disjoint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4.6 Chemin ou chane lmentaire (path) . . . . . . . . . . . . 16 4.4.7 Chane (walk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4.8 La distance ou l'cart (distance) . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4.9 Le diamtre (diameter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4.10 Un parcours ou une chane simple (Trail) . . . . . . . . . 18 4.4.11 Revouvrable (traversable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.4.12 Circuit ou cycle lmentaire (circuit) . . . . . . . . . . . . 18 4.4.13 Cycle (cycle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.4.14 Chemin/cycle/graphe hamiltonien (hamiltonian path/cycle/graph) 18 4.4.15 Parcours/circuit/graphe eulrien (eulerian graph, Euler trail/tour) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.4.16 Tableau synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.5 Graphe partiel, sous-graphes et composante . . . . . . . . . . . . 20 4.5.1 Sous-graphe (subgraph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.5.2 Sous-graphe couvrant, ou graphe partiel (spanning subgraph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.5.3 Sous-graphe induit (subgraph induced by ) . . . . . . . . . 20 2 page : 2

Introduction la thorie des graphes 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7 4.5.8 4.5.9 4.5.10 4.5.11 4.5.12 4.5.13

27 fvrier 2008 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21

Sous-graphe partiel (proper subgraph) . . . . . . . . . . . Clique ou sous-graphe complet (clique ou complete subgraph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stable ou sous-graphe vide (empty subgraph) . . . . . . . Connexe (connected) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composante connexe (component ou maximal connected subgraph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Point d'articulation (cutvertex) . . . . . . . . . . . . . . . Un ensemble d'articulation (vertex-cut) . . . . . . . . . . La connectivit des sommets ou connectivit (vertex connectivity ou connectivity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La connectivit des artes (edge-connectivity) . . . . . . . Un isthme ou un pont (bridge) . . . . . . . . . . . . . . .

5 Bibliographie 6 Logiciels

22 23

Document produit par Sbastien Cabot dans le cadre du cours Thorie des graphes donn l'Universit de Montral durant la session d'hiver 2008.3 page : 3


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1 GlossaireFranais parcours/cycle eulrien graphe eulrien arbre couvrant minimum Anglais Euler trail/cycle eulerian graph economical spanning tree directed / rooted tree traversable adjacent edges adjacent verticestree directed edge

arborescence graphe recouvrable des artes adjacentes deux sommets adjacents graphe est un arbre arc d'un graphe (orient) artes d'un graphe graphe biparti(-complet) chane chemin circuit composante (connexe) d'un graphe graphe complet graphe connexe/non-connexe couplage cycle digraphe ou graphe orient degr ou valence d'un sommet distance ou cart entre deux sommets extrmits d'une arte fort graphe sommets d'un graphe sommet incident une ou des artes arte(s) incidente(s) un sommet arte incidente deux sommets isthme sommet isol sommet pendant noeud d'un graphe (orient) graphe r-partie points d'un graphe parcours point d'articulation graphe k-rgulier sommet voisin d'un sommet voisinage (ouvert) d'un ou des sommets voisinage ferm d'un ou des sommet4

graphwalk path

edge s

(complete) bipartite

graph

circuit

graph

(connected) component

complete

connected / disconnected matching cycle digraph

graph

graph

vertex

ou

directed graph

degree

ou

valence

distance endpoints

forestgraph

ou

endvertice

graph

vertices

incident incident incident bridge isolated

vertex edge edge

vertex {de degr 1} graph node r-partite graph graph pointstrail cutvertex

k -regular graphneighbouring

vertex

(open) neighbourhood close neighbourhood

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2 Notation2.1 Ensemble

xA xA / AB AB (A) AB AB AB |A|2.2

L'unique ensemble vide {}. L'lment x est dans l'ensemble A. L'lment x n'est pas dans l'ensemble A. L'ensemble A est un sous-ensemble de B (ventuellement A = B). L'ensemble A est un sous-ensemble propre de B (A = B ). L'ensemble puissance de A (la collection de tous les sous-ensembles). L'union des ensembles A et B = {x | x A ou x B}. L'intersection des ensembles A et B= {x | x A et x B}. L'ensemle A moins l'ensemble B= {x | x A et x B}. / La cardinalit de l'ensemble A. Aussi not #A ou #{a, ...}.Graphe

Le graphe G, compos de l'ensemble des sommets V et de l'ensemble des artes E . V (G) ou VG L'ensemble des sommets du graphe G. E(G) ou EG L'ensemble des artes du graphe G. |G| ou n(G) L'ordre du graphe G (le nombre de sommets). e(G) La taille du graphe G (le nombre d'artes). uv Le sommet u est adjacent (ou voisin) au sommet v . dG (v) Dans le graphe G, le degr du sommet v (nombre de voisins de v ). d(u, v) La distance entre les sommets u et v . (G) ou G Le degr minimum dans le graphe G. (G) ou G Le degr maximum dans le graphe G. G (v) Dans le graphe G, les sommets voisins au sommet v . G (v) {v} Dans le graphe G, le voisinage ferm du sommet v . G (W ) Dans G, les sommets voisins l'ensemble de sommets W . G Le complment du graphe G = (V, E). 2 Remarque : G = (V (G), V (G) E(G))) G Le graphe dual de G. HG Le graphe H est un sous-graphe de G. Gv Eacer le sommet v du graphe G. G uv Eacer l'arte uv du graphe G. Gv Ajouter le sommet v au graphe G.G(V, E)

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Introduction la thorie des graphesG uv GH G + {v} G + {uv} G+H G/xy G/A

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Ajouter l'arte uv au graphe G. Union du graphe H et du graphe G. Joindre le sommet v au graphe G. Joindre l'arte uv au graphe G. Joindre le graphe H au graphe G. Dans le graphe G, contraction de l'arte xy . Dans le graphe G, contraction de l'ensemble des sommets A.Le

EG (U, W ) L'ensemble des artes qui joingnent un sommets de U un de W , o U et W sont deux sous-ensembles disjoints de V (G). Kn Kn,mRemarque :

En Gn G(m, n) G[U ] (G) (G) H Cn Pn G

artes Le graphe biparti-complet avec deux partitions de n et m sommets respectivement. Remarque : n m artes Le graphe vide E , n sommets et aucune arte. Remarque : Not plus souvent En = Kn Un graphe G arbitraire de n sommets. Un graphe G arbitraire de m sommets et n artes. Le sous-graphe de G induit par l'ensemble de sommet U V (G). La connectivit des sommets du graphe G. La connectivit des artes du graphe G. Le graphe H est un mineur de G. Un cycle de n sommets et de longeur n. Un chemin de n sommets.n 2

graphe complet d'ordre n.=n(n1) 2

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3 Terminologie3.0.1 Joindre (join)Deux sommets sont joints par une arte. Ou bien, une arte deux sommets. Ex. 1) uv joint u et v . Ex. 2) u et v sont joint par uv .

joint

3.0.2 Une extrmit (endvertice ou endpoint)Les deux sommets joints par une arte sont les extrmits de cette dernire. Ex. : u est une extrmit de uv .

3.0.3 Incident(e) (incident)Un sommet et une arte sont incidents, lorsque que le sommet est une extrmit de l'arte. Ex. 1) uv est incidente u et v . Ex. 2) u est incident uv .

3.0.4 Adjacent (adjacent)Deux sommets sont adjacents lorsqu'ils sont joints par une arte. Deux artes sont adjacentes lorsqu'elles ont exactement un sommet commun. Ex. 1) u et v sont adjacents, si uv E(G). Ex. 2) uv et vw sont adjacentes. Ex. 3) u est adjacent l'ensemble de sommets W .

3.0.5 Voisin (neighbor)Deux sommets voisins sont joints par une arte. Exemple : Dans le graphe G = ({u, v}, {uv}), le sommet u est voisin du sommet v .

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4 Dnition4.1 Graphes et digraphes

4.1.1 Un graphe (graph)G = graphe G = (V, E) o` E V 2 u

1. Un graphe G est un couple ordonn (V, E) de deux ensembles disjoints V et E . On crit G = (V, E). 2. Chaque lment de l'ensemble V est un sommet tandis que chaque lment de l'ensemble E est une arte. 3. L'ensemble, E , des artes, est un sous ensemble de V 2 , compos de couples sans distinction sur l'ordre des lments. 4. Un graphe pair(impair) contient uniquement des sommets de degr pair(impair). 5. G = graphe G = (V, E) o E V 2

4.1.2 L'ensemble des sommets (vertex set)V (G) = ensemble des sommets de G = V

1. Pour un graphe G = (V, E), on note V (G), l'ensemble des sommets du graphe G. On a V (G) = V . 2. Une notation alternative est VG .

4.1.3 L'ensemble des artes (edge set)1. Pour un graphe G = (V, E), on note l'ensemble de ses artes E(G). On a E(G) = E . 2. Une notation alternative est EG .

4.1.4 Un sommet, ou point, ou noeud (vertex, point, ou node) 1. On utilise plutot le terme noeud pour une sommet dans un graphe est2. v = sommet v v V (G) orient.

4.1.5 Une arte, ou arc (edge ou arc) 1. On reserve le terme arc lorsqu'il s'agit d'une arte dans un graphe orient. 2. uv = arte uv = [u, v] uv E(G) 3. uv = arc uv = (u, v) uv E(G)8 page : 8


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4.1.6 Un graphe simple (simple graph)1. Un graphe simple est un graphe sans boucle o il y a au plus une arte entre deux sommets.

4.1.7 Un multigraphe (multigraph)1. Un multigraphe est un graphe qui peut contenir des boucles et plus d'une arte entre ses sommets.

4.1.8 Un digraphe ou graphe orient (digraph ou directed graph)1. Un graphe orientes.

orient, ou digraphe, est un graphe dont ses artes sont

4.1.9 Deux sommets adjacents (adjacent vertices)1. Dans un graphe G, deux sommets adjacents u, v V (G) sont joints par une arte. 2. u v u adjacent v uv E(G)

4.1.10 Des artes adjacentes (adjacent edges)1. Dans un graphe G, des artes adjacentes possdent exactement une extrmit en commun. 2. uv adjacente vw v (u) v (w) 3. u1 v, u2 v, ..., un v sont adjacentes v n (ui ) i=1

4.1.11 Le voisinage ou voisinage ouvert (neighbourhood ou open neighbourhood)1. Dans le graphe G, le voisinage ou voisinage ouvert d'un sommet v est l'ensemble des sommets adjacents v . 2. G (v) = voisinage de v = {u V (G) | uv E(G)} 3. G (U ) = voisinage de l'ensemble de sommets U V (G) = uU G (u) ={v V (G) | u U et v E(G)}

4.1.12 Le voisinage ferm (close neighbourhood)1. Dans le graphe G = (V, E), le voisinage ferm du sommet v est l'ensemble des sommets adjacents v plus le sommet v lui-mme. 2. voisinage ferm de v (v) {v}

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4.1.13 Un sommet isol (isolated vertex)1. Dans un graphe, un sommet qui n'a aucun voisin est un 2. sommet isol v (v) =

sommet isol.

4.1.14 Le degr ou la valence (degree ou valence )1. Le degr (ou valence) d'un sommet v est le nombre d'artes qui ont pour extrmit v , autrement dit le nombre de voisins de v . 2. dG (v) = degr de v = |G (v)|

4.1.15 L'ordre d'un graphe (order)1. L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets. 2. |G| = ordre de G = |V (G)| = n

4.1.16 La taille d'un graphe (size)1. La taille d'un graphe est le nombre de ses artes. 2. e(G) = taille de G = |E(G)| = m

4.1.17 Le complment d'un graphe (complement)1. Pour un graphe G = (V, E), son complment G est un graphe avec le mme ensemble de sommets V tel que deux sommets sont adjacents dans G si et seulement si ils ne le sont pas dans G. 2. G = complment de G = (V, V 2 E)

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Introduction la thorie des graphes4.2 Graphes particulier

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4.2.1 Graphe nul (null graph)1. Un graphe nul est un graphe sans sommet et sans arte. 2. K0 = E0 = graphe nul = (, )

4.2.2 Graphe trivial (trivial graph)1. Un graphe trivial est compos d'un seul sommet et d'aucune arte. 2. K1 = E1 = graphe trivial = G({v}, )

4.2.3 Graphe vide d'un graphe (empty graph)1. Un graphe vide, est un graphe sans arte. 2. K = E = graphe vide = (V, ) 3. Remarque : Pour viter la confusion avec la notation de l'ensemble des artes E , on peut prfre utiliser la notation K pour identier un graphe vide.

4.2.4 Graphe vide

n-sommets (empty n-graph)

1. K n = En = graphe

vide n-sommets = ({v1 , ..., vn }, )

4.2.5 Un chemin (path)1. Deux signication possible la notation Pn . Soit le n reprsente la longueur, alors n+1 est le nombre de sommets. Soit le n reprsente le nombre de sommets, alors n 1 est la longeur. 2. Pn = chemin de n-sommets = ({v1 , ..., vn }, {v1 v2 , v2 v3 , ..., vn1 vn })

4.2.6 Un cycle (cycle)1. 2. 3. 4. 5. 6. Un cycle pair(impair) est de longeur pair(impair). Un cycle pair est un graphe bipartie.Cn =

cycle de n-sommets = ({v1 , ..., vn }, {vn v1 , v2 , v2 v3 , ..., vn1 vn })

Un cycle de 3 sommets est un triangle. Un cycle de 4 sommets est un carr. Un cycle de 5 sommets est un pentagone. Etc.

11

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4.2.7 Graphe complet (complete graph)1. Dans un graphe complet toutes les paires de sommets sont jointes par une arte. 2. Le K est en l'honneur de Kuratowski, pionnier de la thorie des graphes. 3. K = graphe complet = (V, {uv | u, v V u = v})

4.2.8 Graphe complet n sommets (complete n-graph)1. Dans un graphe complet Kn n sommets, il y a n = n(n1) artes. k 2 2. Dans un graphe complet Kn n sommets, le degr des sommets estn 1.

3. Un graphe complet Kn est un graphe rgulier, plus prcisment un graphe (n 1)-rgulier. 4. Kn = graphe complet d'ordre n = ({v1 , ..., vn }, {vi vj {v1 , ..., vn }2 |1 i < j n})

4.2.9 Graphe rgulier (regular graph)1. Un graphe est rgulier si tout ses sommets ont le mme degr. 2. G est rgulier u, v V (G), dG (u) = dG (v) 3. G est rgulier (G) = (G)

4.2.10 Graphe k-rgulier (k-regular graph)1. Un graphe est k-rgulier ou rgulier de degr k si tout ses sommet sont de degr k. 2. G k-rgulier v V (G), dG (v) = k 3. G k-rgulier (G) = (G) = k 4. G 0-rgulier est un graphe trivial 5. G 2-rgulier est un graphe compos d'un ou plusieurs cycles. 6. G connexe et 0-rgulier, graphe trivial d'un seul sommet. 7. G connexe et 1-rgulier, graphe de 2 sommets et 1 arte. 8. G connexe de 2-rgulier, le graphe est un cycle. 9. En particulier, on dit d'un graphe 3-rgulier qu'il est cubique. Puisque la somme des degrs d'un graphe est impair, un graphe 3-rgulier doit avoir un nombre pair de sommet, de mme pour les autres graphes k-rgulier avec k impair. 10. Un graphe k-rgulier de (k + 1) sommets et un graphe complet Kn+1 . 11. G 3-rgulier G cubique v V (G), dG (v) = 3 12 page : 12


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4.2.11 Graphe biparti (bipartite graph)1. Un graphe G = (V, E) est biparti si l'ensemble de ses sommets peut tre partitionn en deux sous-ensembles disjoints V et W tel que chaque arte de E a une extrmit dans V et l'autre dans W . 2. G est biparti V (G) = V W V W = vw E(G), v V, w W 3. G biparti = ((V W ) (W V ), {vw | v V w W })

4.2.12 Graphe biparti-complet (complet bipartite graph)1. Un graphe Kn,m est biparti-complet si chaque sommets dans une partition est joint par une arte chaque sommet dans l'autre partition. 2. Kn,m = Kn,m est biparti-complet = Kn + Km

4.2.13 Arbre (tree)1. Un graphe sans cycle et connexe est un arbre 2. m = n 1 3. Pour n 2 l'arbre possde au moins deux sommet de degr 1 (deux feuilles).

4.2.14 Fort (forest)1. 2. 3. 4. Un graphe sans cycle est une fort. On a m n 1, avec l'galit ssi la fret est forme d'un seul arbre. Chaque composante de la fort est un arbre. Une fort F est une union disjointe d'arbres Ti .n

F =i=1

Ti

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Introduction la thorie des graphes4.3 Oprations sur les graphes

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1.

Complment de GG = (V (G), V (G)2 E(G))

2. Dans G = (V, E),

contraction de l'arte uv V

G/uv = (V {u} , E (G u) {vu | u (u) et u = v})

3. Dans G = (V, E), contraction de l'ensemble des sommets V (contration of V to a vertex)G/V = (V V {x}, E(G V ) {xy | y (vV

G (v) V }))

4.

Eacer le sommet v du graphe G (deleting a vertex) lorsque v V (G)Gv = G{v} = G[V (G){v}] = (V (G){v}, E(G){uv E(G) | u v})

5.

Eacer les sommets de V du graphe G (deleting vertices) lorsque VV (G) G V = G[V (G) V ] = (V (G) V , {uw E(G) | u, v V }) /

6.

Eacer l'arrte uv du graphe G (deleting an edge) lorsque uv E(G)G uv = G {uv} = (V (G) {u, v}, E(G) uv)

7.

Eacer les arrtes deE(G)

E du graphe G (deleting edges) lorsque E

G E = (V (G) {u, v | uv E }, E(G) E )

8.

Ajout d'un sommet v au graphe G (adding vertex) lorsque v V (G) /G v = G {v} = (V (G) {v}, E(G))

9.

Ajout des sommets dans V au graphe G (adding vertices) lorsque VV (G) = G V = (V (G) V , E(G))

10.

Ajout d'une arte uv au graphe G (adding edge) lorsque uv E(G) /G uv = G {uv} = (V (G), E(G) {uv})

11.

Ajout des artes dansE(G) =

E au graphe G (adding edges) lorsque E

G E = (V (G), E(G) E )

14

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Introduction la thorie des graphes 12.

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Joindre un sommet v au graphe G (join of v to G) lorsque v V (G) /G + v = G + {v} = (V (G) {v}, E(G) {uv | u E(G)})

13.

Joindre les sommets de V au graphe G (joining vertices) lorsque VV (G) = G + V = (V (G) V , E(G) {vv | v V (G), v V })

14.

Joindre un graphe G un graphe G (join G + G )G + G = (V (G) V (G ), E(G) E(G ) {vv | v V (G), v V (G )})

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Introduction la thorie des graphes4.4 Chemin, cycle et connexit

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4.4.1 Sommets indpendants (independent vertices)1. Un ensemble indpendant de sommets dans un graphe est un ensemble o tous les sommets sont mutuellement non-adjacents. (aucun de ses sommets sont joints par une arte). 2. V indpendants v V, (v) V = ) 3. W V (G) est indpendant G[W ]est un stable (graphe vide)

4.4.2 Artes indpendants ou couplage(independent edges ou matching)1. Les artes d'un ensemble E sont idpendantes si elles sont toutes nonadjacente (pas de sommet commun). 2. E indpendants uv E, ab E \ {uv}, a = b = u = v)

4.4.3 Couplage maximum (maximum matching)1. Un couplage avec le nombre maximum d'artes.

4.4.4 Couplage complet (complete matching from U to V ou U/V-saturating)1. Dans un graphe G biparti, avec les partions U et W , il y a un couplage complet M de U V si tous les sommets de U sont prsents dans le couplage M .

4.4.5 Chemins indpendants (independent paths ou internaly disjoint)1. Un ensemble de chemins {P1 , P2 , ..., Pn } est indpendant si les seuls sommets communs entre deux chemins Pi et Pj sont leurs extrmits. 2. P1 , P2 , ..., Pn chemins x-y indpendants V (Pi )V (Pj ) = {x, y}, i = j

4.4.6 Chemin ou chane lmentaire (path)1. Un

Aucun rption de sommet, aucune rptition d'arte. 2. P est un chemin de v1 vn ou un chemin v1 -v2 . 3. La longueur du chemin est son nombre d'arte.Remarque :

chemin P est un graphe P (V, E) de la forme V = {v1 , v2 , ..., vn } E = {v1 v2 , v2 v3 , ..., vn1 vn }

longueur de P = e(P ) = |E(P )| = n 1

4.

Terminologie :

Les

extrmits du chemin sont v1 et v2 .16 page : 16

Introduction la thorie des graphes 5. 6. Le

27 fvrier 2008

Notation : Notation :

Pl est un chemin arbitraire de longeur l. chemin P = (1in

chemin P se note v1 v2 ...vn .{vi },

{vi vi+1 })1i

theorie des graphes

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