théorie des plaques
TRANSCRIPT
![Page 1: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/1.jpg)
Objectifs:– Compréhension analytique et intuitive du comportement mécanique des structures – Ne pas concurrencer l’ordinateur– Choisir la bonne modélisation et apprécier les résultats d’une manière critique
Mécanique des Structures II
Contenu: – Plaques– Parois– Torsion non uniforme
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 1.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 2: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/2.jpg)
Dalles: éléments porteurs principalement en béton armé
– Bâtiment:
– Pont:
Fréquemment utilisés dans la construction, notamment dans:
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 2.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 3: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/3.jpg)
Flexion des plaques: définitions et hypothèses
Structures bidimensionnelles planes:
Hypothèses:– Normales au feuillet moyen restent normales (Bernoulli)– Le feuillet moyen ne subit aucune déformation dans son plan– Les contraintes normales au feuillet moyen peuvent être négligées– Matériau homogène et isotrope (béton, béton armé ?)– Matériau élastique linéaire (béton, béton fissuré ?)– Dalle mince d’épaisseur constante (L/h > 15)– Déformations faibles (w < 1/5 h)
Bibliographie:
– Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S.: Théorie des plaques et coques. Librairie Polytechnique CH. Beranger, 1968
– Pucher A.: Einflussfelder elastischer Platten. Springer-Verlag, 1977
– Favre R., Jaccoud J.-P., Burdet O., Charif H.: Dimensionnement des stuctures en béton. Traité de Génie Civil de l’EPFL, Volume 8
Plaques Voiles
charges: perpendiculaires à la surface dans le plan
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 3.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 4: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/4.jpg)
Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (c. f. TGC 2)Cinématique:(relations géométriques d’un petit élément isolé dans sa position déformée)
⇒dx′dx
r – yr=
yr= 1 –
dx′dx
dx′ – dxdx=
yr= –ε – 1 =
relations indépendantes du matériau: valables quelle que soit la loi constitutive
– Approximation des petites déformations:
– Expression des dilatations:
⇒= ≈r dθ ds dx21
r = d vdx2et dv
dxθ ≈tgθ =
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 4.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 5: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/5.jpg)
Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (suite)
Loi constitutive:
– loi de Hooke: ⇒ =E yr–σ=σ E ε
Principe d’équivalence:
Equations différentielles des poutres fléchies:
Equilibre:
dVdx – q=
dMdx – V= ⇒ =
2d Mdx2 q
=dx
4d v4 EI
q
⇒=Er=M –∫ σ y dA
A ∫ y dAA
2 =1r=
Er I
MEI
21r = d v
dx2MEI=
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 5.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 6: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/6.jpg)
Plaques: Cinématique
– relation dans le plan xz (y = const.):
– déformations dans le plan xy passant par D:
Conservation des sections planes (hypothèse de Bernoulli)
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 6.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 7: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/7.jpg)
Plaques: Cinématique
Déformation d’un élément dans son plan:
Déformations spécifiques:
Déformations d’un feuillet quelconque situé à z du feuillet moyen:
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 7.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 8: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/8.jpg)
Plaques: Relation d’état
Loi de Hooke à deux dimensions (c. f. TGC 3):
Contraintes:
avec les déformations déterminées auparavant:
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 8.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 9: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/9.jpg)
Plaques: Principe d’équivalence (c. f. TGC 2)
Distribution des contraintes dans la hauteur du profil:
Efforts internes correspondants:
Mécanique des Structures II P. Lestuzzi 9.EPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 10: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/10.jpg)
10.
Plaques: Principe d’équivalence
Relations entre les contraintes et les efforts internes:
avec les contraintes déterminées auparavant:
où B représente la rigidité de flexion:
∂y
2∂ w∂x
– (1–ν) Bmxy =
mx= + ν∂x
2∂ w2 ∂y
2∂ w2– B ( ) my= + ν∂y
2∂ w2 ∂x
2∂ w2– B ( )
Mécanique des Structures II P. LestuzziEPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 11: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/11.jpg)
11.
Plaques: Conditions d’équilibre
Forces et moments agissant sur l’élément:
Les accroissements s’expriment à l’aide des dérivées partielles:
∂mx∂x dx=dmx
∂my∂y dy=dmy
∂mxy∂x dx=dmxy
∂qx∂x dx=dqx
∂qy∂y dy=dqy
Mécanique des Structures II P. LestuzziEPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 12: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/12.jpg)
12.
Plaques: Conditions d’équilibre
Equilibre des forces verticales:
Equilibre des moments:
Combinaison des conditions d’équilibre:
après simplification:
Mécanique des Structures II P. LestuzziEPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010
![Page 13: théorie des plaques](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082216/55cf9c03550346d033a83bbe/html5/thumbnails/13.jpg)
13.
Plaques: Equation de Lagrange
en introduisant l’expression des moments:
dans la relation traduisant les conditions d’équilibre:
on obtient l’équation de Lagrange (1811):
Mécanique des Structures II P. LestuzziEPFL-ENAC-SGC semestre d’automne 2010