Theory of Relativity & Analytic Dynamics:Handwritten Notes

by

Prof.(Rtd) Asmat Ullah

Government College, Sargodha

These notes cover few topics of first section ‘‘theory of relativity", so it is advised to be

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P C

1 Theory of Relativity1. Lorentz Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Effect of Lorentz Transformation on our Motion of Time and Space . . . . . . . . . . . . 3

3. Relaitivity of Simultoncity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Relativistic Law of Addtion of Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5. Minkowski Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

6. World Time or Proper Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7. Mass and Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8. Momentum Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

9. The 4 Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

10. The Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11. Transformation Equation for the Force Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12. Motion with Variable Proper Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Analytic Dynamics1. Rule of Cancellation of Dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. System of n-particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Generalized co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Degree of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5. Classification of Dynamical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1

6. Sclernomic or Pheonomic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7. Holonomic or Non-Holonomic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

8. Conservative and Non- Conservative System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

9. D-Alembert’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

10. Lagrange Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

11. The Equation related to the Lagranges Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

12. Equation of Motion of Particle in Space under Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

13. Principle of Least Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

14. Delafield Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

15. Lagrange Equation for Non- Holonomic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

16. Canonical or Conjugate Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

17. Cyclic or Ignorable Co-ordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

18. Conservation of Momentum and Displacement of the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

19. Hamiltonian Function and total Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

20. Hamiltonian Formulation of Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

21. Legendre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

22. Hamiltonâ™s Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

23. Routhâ™s Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

24. Equation of Hamiltonâ™s Equation to central Force problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

25. Derivation of Hamiltonian Equations from Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . 38

26. Hamiltonâ™s Principle of Least Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

27. Different forms of Principle of Least Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

28. Canonical Terms Formation or Contact Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

29. Examples of Canonical Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

30. More General Form of Equation A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

31. Application to Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

32. Hamiltonian Formulism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

33. Orthogonal Point Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

34. The Poincare Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

35. Lagrange Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

36. The Poisson Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

37. Poisson Brackets of Arbitrary Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

38. Equation of Motion and Poisson Brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

39. Infinitesimal Contact Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2

40. Infinitesimal Canonical Transformation and Poisson Brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

41. Jacobi Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

42. Hamilton Jacobi Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

43. Application of Hamilton Jacobi Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

44. Stockelâ™s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

45. Gauge Vitiate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

46. Nother’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

47. Poisson’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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