Thermodynamisches Gleichgewicht

Alle Prozesse mit ihren Umkehrprozessen im Gleichgewicht

Elementarprozesse und Ratengleichungen:

'''1 eeAeA ZZ

'*

eAeA ZZ

Stoßionisation Dreierstoßrekombination

Stoßanregung Stoßabregung

*ZZ AhA

Strahlungsanregung spontane Emission

Elementarprozesse und Ratengleichungen (2)

'eAehA ZZ

Photoionisation Strahlungsrekombination

eAhA ZZ 1

Photoabsorption Bremsstrahlung

Ratengleichungen: SenkenQuellendt

dn

Vollständiges thermodynamisches Gleichgewicht

Geschwindigkeitsverteilung = Maxwell-Verteilung

z

x

dVol(x)=dxdydz mit dN >>1

Ortsraum, N Teilchen

vz dVol(v)=dvxdvydvz

mit dN(v) >>1

vx

vy

Geschwindigkeits-raum, dN Teilchen

y

333 /

11)v(

v smmf

d

dn

Geschwindigkeitsverteilung

333 /

11)v(

v smmf

d

dn 0dimv)v(

v)v(

dwn

df

n

dn

Verteilungsfunktion normierte Verteilungsfunktion

Annahme1: statistische Unabhängigkeit der Geschwindigkeitskomponenten

vvvv

dwdwdwdw zzyyxx

Annahme2: Isotropie der Geschwindigkeitsverteilung zyx www

)v()v()v()vvv()v()v( 2222222zyxzyx gggggw

2v)v( ew

Lösung:

Normierung:

22 vvv)v(1v)v( eff

def

dwunddw

2

2/3

v2

3

eff

und

kTm def

eff 2

3v

22

kTm

ekT

mw

/2

v2/3 2

2)v(

bestimmt die Koeffizienten:

Definition der Temperatur:

Geschwindigkeitsverteilung:

Geschwindigkeitsverteilung

kTm

ekT

mw

/2

v2/3 2

2)v(

vx

vy

v_ dv

_

vzvy

vx

dvx

vx

kTm

x

x

ekT

mw

/2

v 2

2)v(

Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeitskomponente

Boltzmann-Faktor

Geschwindigkeitsverteilung

Betrag der Geschwindigkeit: Maxwell-Verteilung

vx

dv

vz

vy

|v|kT

m

ekTm

w/

2

v2/322

/2

v

v

14|)v(|

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

Ekin/kT

w ( )Ekin/kT

Energieverteilung

Geschwindigkeitsverteilung

Geschwindigkeitsdefinitionen

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

1thermische

Geschwindigkeit

vtherm

w(v/vtherm.)

v/vtherm

wahrscheinlichste Geschwindigkeit

vwahrsch.

m

kTvtherm

mkT

vwahrsch 2

”Thermische”Geschwindigkeit Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

0v)v( d

dw

Geschwindigkeitsdefinitionen

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

1thermische

Geschwindigkeit

vtherm

effektive Geschwindigkeit

veff

w(v/vtherm.)

v/vtherm

mittlereGeschwindigkeit

v

wahrscheinlichste Geschwindigkeit

vwahrsch.

m

kTveff 3

mkT

v 8

Mittlere Geschwindigkeit Effektiv-Geschwindigkeit

0

v)v(|v|v dw2/1

0

2 v)v(vv

dweff

Vollständiges thermodynamisches Gleichgewicht

Besetzung der Energieniveaus nach der Boltzmannverteilung:

Tk

EE

l

k

l

k B

lk

eg

g

n

n

Schwarzkörperstrahlung (Plancksches Strahlungsgesetz):

)(

1

122

3

TB

ec

hI

Tk

h

B

Abgestrahlte Leistung pro Fläche (Stefan-Boltzmann-Gesetz):

4~ TEges =5.67 10-8 W/(m2K4)

Ionisationsgleichgewicht e + n0 e + e + i

TkWanr Banren

n /

0

Boltzmann-Statistik:

3

32

0

2/1

exph

dVpdmpW

Tkn

dnion

B

e

für Ionisation: e

ionanr m

pWW

2

2

Anzahl der Elektronen im Phasenraumvolumen h3:

e

ion

kT

W

eeie ekTC

n

n

n

nn

2/3

0

2

0

(für Z=1)Saha-Gleichung:

       

 

Lokales thermodynamisches Gleichgewicht

Aber: mittlere freie Weglänge der Photonen nicht klein gegen Gradientenlänge keine Schwarzkörperstrahlung

Mittlere freie Weglänge der Teilchen klein gegen Gradientenlänge Maxwell-Verteilung, Boltzmannbesetzung, Saha-Gleichung

Beispiel: Fusionsplasmen

Betrachte kugelförmiges Fusionsplasma: r=1m, T=10 keV, n= 1020 m-3

Nach Stefan-Boltzmann-Gesetz abgestrahlte Leistung:

WTrP 2642 104.14

Gespeicherte Energie: JTnkrE B63 1024

wäre in 10-20s abgestrahlt!

       

 

Lokales thermodynamisches Gleichgewicht

mittlere freie Weglänge der Photonen nicht klein gegen Gradientenlänge keine Schwarzkörperstrahlung

Strahlungstransportgleichung?

I

dr

dI)(

: Emissionskoeffizient (spontane Emission): Absorptionskoeffizient: Emissionskoeffizient (induzierte Emission)

       

 

Strahlungstransport

I

dr

dI

''

1

)(

1

12

' 2

3

TB

ec

h

Tk

h

B

Kirchhoffscher Satz

Strahlungstransport-Gleichung:

ITB

dr

dI )(

'

1

Optische Dicke: 0

)('r

r

dxx

)1)(()( eTBI

       

 

Optische Dicke

Strahlungstransport-Gleichung: )1)(()( eTBI

<<1: optisch dünnes Plasma (z.B. Kontinuumsstrahlung)>>1: optisch dickes Plasma (z.B. Resonanzlinien)

       

 

Absorptionslinien

Fraunhofer-Linien

“Temperatur” des kontinuierlichen Spektrums, Intensität und Breite der Absorptionslinien geben Aufschluss über Temperatur (Doppler-Effekt)

Breite (in den Linienflügeln) gibt auch Aufschluss über Dichte (Druckverbreiterung)

       

 

Spektralklassen

Spektralklassen

O T~ 50000 K

B T~ 25000 K

A T~ 10000 K

F T~ 7500 K

G T~ 6000 K

K T~ 5000 K

M T~ 3500 K

       

 

Linienstrahlung zur Plasmadiagnostik

Messung von: - Plasmatemperatur- Plasmadichte- elektrische Felder (Stark-Effekt)- magnetische Felder (Zeeman-Effekt)

Korona-Gleichgewicht

e + n0 e + e + i

Für Rückreaktion ist Dreier-Stoß nötig, daher ergibt sich Saha-Gleichgewicht erst bei hohen Dichten (~ne

2)

Bei geringen Dichten: Zweierstoßrekombination

e + e + i e + n0

+ h e + i

       

 

Auch kein Gleichgewicht mehr für stoßbestimmte Prozesse

Korona-Gleichgewicht: )(0

ee Tf

n

n

Korona-Ionisations-Gleichgewicht

       

 

Nicht-Gleichgewichts-Plasmen

       

 

Ratengleichungen müssen gelöst werden!

Beispiele: - Wandrekombination wenn

- Plasmachemie

- keine Maxwell-Verteilung der Elektronen (kinetische Theorie!)

auslauf

e

erekomb L

dtdn

nv/

/