these de doctorat - École polytechnique

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TH ` ESE de DOCTORAT de l’UNIVERSIT ´ E PARIS 6 Sp´ ecialit´ e: Math´ ematiques appliqu´ ees pr´ esent´ ee par Olivier Pantz pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´ E PARIS 6 Sujet de th` ese : QUELQUES PROBL ` EMES DE MOD ´ ELISATION EN ´ ELASTICIT ´ E NON LIN ´ EAIRE Soutenue le 18 janvier 2001 devant le jury compos´ e de : M. Gr´ egoire ALLAIRE M. Philippe G. CIARLET M. Herv´ e LE DRET Directeur de Th` ese M. Giuseppe GEYMONAT Rapporteur Mme Annie RAOULT Rapporteur

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Page 1: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

THESE de DOCTORAT

de l’UNIVERSITE PARIS 6

Specialite :

Mathematiques appliquees

presentee par

Olivier Pantz

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS 6

Sujet de these :

QUELQUES PROBLEMES DE MODELISATIONEN ELASTICITE NON LINEAIRE

Soutenue le 18 janvier 2001 devant le jury compose de :

M. Gregoire ALLAIREM. Philippe G. CIARLETM. Herve LE DRET Directeur de TheseM. Giuseppe GEYMONAT RapporteurMme Annie RAOULT Rapporteur

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A Calou,

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Remerciements

En premier lieu, je tiens a remercier tres vivement M. Herve Le Dret qui a dirige cettethese. Il a toujours ete tres disponible et n’a jamais compte son temps lors des nombreusesdiscussions que j’ai eues avec lui. Il s’est de plus revele etre un lecteur assidu des differentesversions de cette these. Cette page etant la seule a avoir echappe a son impitoyable stylocorrecteur.

Mes remerciements s’adressent egalement a Mme Annie Raoult et M. Giuseppe Geymonatqui ont genereusement accepte d’etre les rapporteurs de cette these.

M. Philippe Ciarlet et M. Gregoire Allaire me font l’honneur de faire partie de ce jury.Je leur en suis tres reconnaissant.

C’est un peu au hasard que j’ai force la porte de M. Fabien Morel afin d’obtenir lesreponses a mes nombreuses interrogations en topologie algebrique. Il m’a accueilli chaleureu-sement. Je tenais a l’en remercier.

J’exprime toute ma gratitude a M. Francois Laudenbach. Il a eu la gentillesse, malgreson emploi du temps tres charge, de s’interesser a mes recherches. Il m’a ete d’un soutienprecieux.

Merci a tous les membres du laboratoire. L’ambiance conviviale que chacun sait entretenirest une arme redoutable contre la celebre deprime du thesard. Je remercie en particulier MmeBoulic et Mme Ruprecht ainsi que M. David et bien sur les thesards et jeunes docteurs Anne,Pascal, Saıma, Daad, Stephane, Paul, Herve, Basarab, Karim, Jerome, Samuel, Georgiana,Celine, Adel, Cristinel, Raphael, Nicolas, Eric et Sylvie. Remerciement special a ma sœur delutte Marjo pour sa bonne humeur et son amitie.

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Introduction I

Introduction

Cette these est consacree a l’etude de divers problemes de modelisation en elasticite nonlineaire. Les deux premieres parties portent sur la justification des modeles bidimensionnelsde plaques non lineaires. La motivation est commune, mais les approches, developpementasymptotique formel dans un cas, Γ-convergence dans l’autre different. Le dernier chapitretraite de la modelisation des solides elastiques sans auto-intersection, avec auto-contacts sansfrottement et ne se limite pas a l’etude des structures minces. Apres un bref rappel concer-nant la modelisation du comportement d’un solide hyperelastique, on s’attache a donner unreflet des travaux anterieurs portant sur les sujets abordes. Notre objectif n’est nullement derestituer un panorama complet de la recherche actuelle dans ces domaines, mais de montrerquelles sont les diverses sources qui ont pu motiver cette these. En dernier lieu, on decrit lesresultats obtenus. Dans la mesure du possible, on a restreint dans cette introduction l’usagede formules mathematiques, afin d’en rendre la lecture plus conviviale. On espere cependantn’avoir pas excessivement perdu en rigueur.

Sur la modelisation des solides hyperelastiques

Le comportement d’un solide hyperelastique sous l’action de diverses contraintes endeplacement et en force peut-etre decrit tres simplement par une formulation variationnelle.On note Ω l’espace occupe par le solide au repos. La deformation ψ du solide est une ap-plication de Ω a valeurs dans R3 qui a chaque point x du solide associe sa position ψ(x).Considerons un solide encastre sur une partie ∂Ωφ du bord de Ω. A chaque deformation ψ,on associe l’energie J(ψ) difference entre l’energie interne I(ψ) et le travail `(ψ) des forcesexterieures.

J(ψ) = I(ψ)− `(ψ).

Pour un solide hyperelastique homogene, l’energie interne I(ψ) s’exprime comme l’integralesur Ω d’une densite d’energie W (Dψ) ne dependant que du gradient de la deformation.

I(ψ) =∫

ΩW (Dψ) dx.

L’expression de W depend du type de materiau constituant le solide. Si on considere un solideisotrope, homogene et tel que la configuration de reference est naturelle, la densite d’energieW est de la forme

W (F ) =λ

2(trE)2 + µ tr(E2) + o(|E|2), (1)

ou E est le tenseur de deformation

E =12

(F TF − I)

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Introduction II

et les coefficients λ et µ sont les coefficients de Lame du solide. Ainsi, les materiaux elastiquesnon lineaires les plus simples sont ceux de type Saint Venant-Kirchhoff pour lesquels le dernierterme dans l’expression (1) de W est nul. Notons cependant que ces derniers ne sont pasphysiquement realistes lorsque le tenseur de deformation E n’est pas proche du tenseur nul.En particulier, il est possible de comprimer un solide en un point ou sur un volume nul avecune energie finie. Afin d’obtenir une modelisation plus vraisemblable, il est donc preferablede choisir W tel que

W (F )→ +∞ si det(F )→ 0+.W (F ) = +∞ si det(F ) ≤ 0.

(2)

Si le solide est soumis a des forces mortes volumiques f et a des forces mortes surfaciquesf sur la partie ∂Ωσ = ∂Ω−∂Ωφ du bord, le travail des forces exterieures s’exprime egalementsous une forme integrale sur la configuration de reference.

`(ψ) =∫

Ωf.ψ dx+

∫∂Ωσ

f.ψ dA.

Un etat d’equilibre est alors decrit comme un minimiseur ϕ sur un espace de deformationsadmissibles de la fonctionnelle J(ψ).

J(ϕ) = infψJ(ψ). (3)

L’existence de solutions a ce probleme de minimisation est etablie, si W verifie certainesconditions de croissance, de coercivite et est quasi-convexe. Une densite d’energie W est quasi-convexe si pour toute application lineaire F, la deformation homogene ϕ(x) = F.x minimisel’energie interne sur l’ensemble des deformations ψ telles que ψ(x) = F.x sur ∂Ω. Prouverqu’une densite d’energie W est ou n’est pas quasi-convexe est souvent difficile. On possedecependant des moyens pratiques permettant de repondre a cette question dans certaines si-tuations (polyconvexite et non rang 1-convexite). Une densite d’energie est polyconvexe sielle est convexe par rapport aux mineurs de F. La polyconvexite implique la quasi-convexite.Dans ce cadre, Ball [3] a prouve l’existence de solutions. Par la suite, on s’interesse plus par-ticulierement a des solides elastiques de type Saint Venant-Kirchhoff, pour lesquels la densited’energie W n’est pas quasi-convexe et les problemes d’existence ou de non existence sontencore largement ouverts.

A propos des plaques elastiques

Les plaques sont des solides cylindriques minces. Au repos, une plaque d’epaisseur constanteoccupe un ouvert de la forme

Ωε = ω×]− ε,ε[

de R3. Constituees d’un materiau hyperelastique, leur comportement peut-etre decrit a l’aidedu modele precedemment expose. Cependant, il est naturel de considerer une plaque commeun objet bidimensionnel et de rechercher la deformation de la surface moyenne de la plaque,application de ω a valeur dans R3. Cette approche possede de nombreux avantages. En effet,

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Introduction III

un modele bidimensionnel se prete plus facilement a une analyse physique et mathematiquepermettant d’en deduire des proprietes qualitatives specifiques aux plaques. De plus, dansl’optique d’effectuer des simulations numeriques, la resolution d’un probleme bidimension-nel semble moins couteuse que celle du probleme tridimensionnel complet, d’autant plusdelicate que l’epaisseur de la plaque est faible (voir Bernadou [32]). Il existe de nombreuxmodeles bidimensionnels : modele de Naghdi, de Koiter, membranaire, inextensionnel, de vonKarman. La diversite des modeles s’explique par la variete des situations rencontrees (naturedu materiau constitutif de la plaque, ordre de grandeur des forces appliquees, etc). On noteϕε les solutions du probleme tridimensionnel P ε pose sur Ωε ;

Jε(ϕε) = infψεJε(ψε)

ouJε(ϕε) = Iε(ϕε)− `ε(ϕε).

Afin de justifier l’emploi de modeles bidimensionnels, on souhaite montrer qu’ils constituentune bonne approximation du modele initial, c’est-a-dire que les solutions ϕε de la suite deprobleme P ε convergent (en un sens a preciser) vers une solution ϕ du modele bidimensionnel :

ϕε?−→ϕ.

Dans le cas lineaire, on possede des resultats de convergence forte qui valident l’emploi desequations lineaires classiques de plaques. On citera ainsi les travaux de Morgenstern [34],Ciarlet et Destuynder [14] pour le cas des plaques de Kirchhoff-Love, de Raoult [35] pourle cas correspondant de l’elastodynamique. Dans le cadre de l’elasticite non lineaire qui doitetre employee des que l’on considere de grands deplacements (‖Dϕ−I‖ de l’ordre de l’unite),on ne possede pas de resultats aussi forts.

Une etape importante dans la justification des modeles de plaques non lineaires a ete ef-fectuee par Fox, Raoult et Simo. Ces auteurs derivent divers modeles de plaques non lineairesconstituees d’un materiau de Saint Venant-Kirchhoff a l’aide d’une analyse formelle. Cettemethode est basee sur l’Ansatz 1 que les solutions ϕε de la suite de problemes tridimensionnelsP ε admettent un developpement en puissances de ε. Si cette approche permet d’identifierformellement des modeles limites, elle ne fournit aucun resultat de convergence.

Une autre demarche est basee sur l’usage de la Γ-convergence, qui est une notion deconvergence sur les fonctionnelles. Elle permet d’obtenir des resultats de convergence dequasi-minimiseurs de Jε vers une solution du probleme bidimensionnel. C’est aussi une etapenaturelle avant de tenter d’etablir des resultats plus forts. Cette methode a ete developpeepour les plaques par Le Dret et Raoult [31], par Ben Belgacem [5] pour le cas des plaquesconstituees d’un materiau verifiant les conditions (2) et Acerbi, Buttazzo, Percivale pour lescordes [1].

1. On differencie le terme d’Ansatz de celui d’hypothese. L’Ansatz designe un artifice, permettant d’effec-tuer une analyse. On souligne par ce terme le fait que l’etude realisee est formelle. On ne cherche notammentpas a justifier un Ansatz, comme on peut le faire pour une hypothese.

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Introduction IV

Pour un solide constitue d’un materiau de Saint Venant-Kirchhoff, lorsque le travail desforces exterieures est de l’ordre de grandeur de l’epaisseur de la plaque (`ε = ε`), les deuxmethodes (developpement asymptotique formel et Γ-convergence) conduisent a des modelesmembranaires, c’est-a-dire tels que l’energie interne associee a une deformation ψ de la plaqueω ne depend que de la metrique DψTDψ de la surface deformee. Lorsque le travail des forcesexterieures est de l’ordre de grandeur du cube de l’epaisseur (`ε = ε3`), Fox, Raoult et Simoobtiennent un modele non lineaire en flexion pure. Une solution est decrite comme etant unminimiseur d’une fonctionnelle sur l’espace des deformations isometriques, c’est-a-dire tellesque DψTDψ = I. L’energie ne depend cette fois que de la seconde forme fondamentale quimesure la courbure de la surface. Le tableau ci-dessous donne un recapitulatif rapide des cesresultats.

Developpementasymptotique formel

Γ-convergence

`ε = ε` Membranaire Membranaire`ε = ε3` En flexion ???

Recapitulatif des resultats anterieurs obtenus pardeveloppement asymptotique formel et Γ-convergence

Description des resultats du premier chapitre

Bien que pour un certain ordre de grandeur des forces appliquees, les deux methodesevoquees precedemment donnent lieu a des modeles membranaires, ces derniers ne sontpas compatibles. On s’attendrait a ce que l’energie obtenue formellement restitue apresquasi-convexification l’energie issue de l’analyse par Γ-convergence. Ce n’est pas le cas. Ledeveloppement asymptotique formel effectue par Fox, Raoult et Simo impose une limita-tion sur l’ensemble des deformations admissibles qui a pour effet d’interdire les trop grandesextensions de la membrane. Dans le premier chapitre, on met en place une procedure dedeveloppement asymptotique formel proche de celle qu’ils effectuent. Plusieurs differencesnotables sont neanmoins a souligner. Tout d’abord, on resout une suite de problemes de mi-nimisation, alors que Fox, Raoult et Simo resolvent la suite des equations d’Euler-Lagrangeassociees. Ceci nous permet d’utiliser un ensemble de deformations admissibles plus grand,et par la suite de retrouver une energie membranaire en accord avec le resultat derivant del’analyse par Γ-convergence. Les modeles obtenues par Fox, Raoult et Simo sont soit membra-naire, soit en flexion, ces effets s’excluant l’un l’autre. Dans le but d’obtenir un modele mixte,on pousse le developpement asymptotique formel aux ordres superieurs sans faire l’hypotheseque les solutions du probleme membranaire sont triviales, c’est-a-dire sans supposer que cesont des deformations isometriques. Suite a cette analyse, on propose un nouveau modele deplaque non seulement compatible avec les resultats issus de l’analyse par Γ-convergence maispresentant une resistance a la compression due aux termes de flexion (les membranes issuesde l’analyse par Γ-convergence n’opposent aucune resistance a la compression). Ce modeleest a comparer au modele de coques de Koiter [29] evidemment valable pour le cas particulierdes plaques. A ce sujet, on peut consulter Ciarlet [11] et les travaux de Ciarlet et Roque-fort [16], qui etudient un modele analogue a celui propose par Koiter mais, contrairement a

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Introduction V

celui-ci, correctement defini. La difference essentielle avec le modele de Koiter, outre le faitque l’expression de l’energie differe, est que notre probleme consiste a rechercher un mini-miseur sur un espace qui n’est pas affine. Ce dernier exclut notamment les deformations encompression pure, physiquement instables. Cependant, le modele obtenu presente quelquesaspects desagreables. En particulier, l’energie n’est pas coercive pour la norme W 2,2. Enconsequence, les limites des suites minimisantes peuvent sortir de l’ensemble, ferme pour latopologie W 2,2 faible, des deformations admissibles. Ce probleme est une consequence del’utilisation d’un materiau de type Saint Venant-Kirchhoff. On conjecture que l’analyse ef-fectuee dans ce chapitre, appliquee a un materiau plus realiste, verifiant les conditions (2),doit fournir un modele ne presentant pas cet inconvenient.

Description des resultats du deuxieme chapitre

Dans ce chapitre, on se propose de deduire du probleme tridimensionnel le modele deplaque non lineaire en flexion par un calcul de la Γ-limite des fonctionnelles Jε. On effectueun calcul partiel. Le calcul complet semble difficile et bute sur des problemes de nature es-sentiellement geometrique. Il fournirait un resultat de convergence. De plus, on en deduiraitl’existence de solutions au probleme de plaque non lineaire en flexion, existence qui a deja eteetablie par Coutand [17]. On montre que l’energie de flexion non lineaire majore la Γ-limitede l’energie (apres changement d’echelle). On etablit de plus l’egalite des deux energies pourles deformations de classe C2 . Cette analyse est basee en grande partie sur des estimationsde l’ecart d’une deformation a l’ensemble des deformations rigides en terme du tenseur dedeformation E = 1

2(DψTDψ− I). Ces estimations sont dues a John [27] et Kohn [28]. Signa-lons enfin que notre methode doit s’adapter a l’etude des poutres en flexion-torsion. Dansce cas, les problemes de type geometrique sont plus simples et il est probablement beaucoupplus aise d’effectuer le calcul complet de la Γ-limite.

A propos des modeles avec auto-contacts sans frottement, sans auto-intersection

Lors de la presentation du modele d’elasticite tridimensionnel, on a omis de preciserl’espace des deformations admissibles. Sans precaution particuliere, on s’expose a quelquesdeconvenues. Le choix le plus simple consiste a minimiser sur un espace affine. Une telleformulation presente un inconvenient majeur : certaines deformations, possedant des auto-intersections, sont d’energie finie et peuvent de ce fait etre solution du probleme de minimi-sation. Par exemple, une deformation ψ telle que det(Dψ) > 0 dont deux domaines distincts

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Introduction VI

ont la meme image n’est pas physiquement admissible.

Lorsque la deformation est imposee sur la totalite de la frontiere Ω, l’injectivite globale a eteetablie par Ball pour certains solides hyperelastiques, voir [4]. L’injectivite est obtenue commeconsequence du fait suivant . Si une deformation reguliere ϕ : Ω→ R

3 preserve l’orientation(det(Dϕ) > 0) et est egale a une deformation injective ϕ sur le bord du domaine Ω, alorselle est elle meme injective sur Ω. Dans un autre esprit, Giaquinta, Modica et Soucek [25][24] definissent un espace de deformation admissible abstrait obtenu comme adherence desdeformations injectives. Une autre approche a ete developpee par Ciarlet et Necas [15] puispar Tang Qi [36]. Ceux-ci imposent la contrainte

Vol(ϕ(Ω)) ≥∫

Ωdet(Dϕ) dx

a l’ensemble des deformations admissibles et etablissent l’equivalence partielle du problemevariationnel avec les equations d’Euler-Lagrange associees.

Description des resultats du dernier chapitre

Dans ce chapitre, on propose une nouvelle modelisation de solides sans auto-intersection,avec auto-contacts sans frottement. Cette derniere est applicable quelles que soient les di-mensions du solide et de l’espace dans lequel il se deforme. L’idee essentielle est que lesauto-intersections d’une deformation ϕ a valeurs dans Rn peuvent etre bien mieux decritespar un element d’un groupe de cohomologie que par l’intersection geometrique, ensemble deselements x et y du solide ayant la meme image par ϕ. On definit ainsi un critere algebriqueexplicite tel que

– Les plongements verifient notre critere.– L’ensemble des deformations admissibles ainsi defini est suffisamment ferme, de sorte

que si le probleme initial, sans contrainte de non auto-intersection, etait bien pose, ilen soit de meme pour le nouveau probleme de minimisation.

– Quitte a supposer que la solution est suffisamment reguliere, on retrouve les equationsd’Euler-Lagrange (sauf dans le cas d’une surface se deformant dans R3 pour lequel onn’a pas obtenu de reponse definitive).

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Introduction VII

Dans un premier temps, on se limite a l’etude d’un cercle se deformant dans R2. On definitl’ensemble des deformations admissibles de deux manieres differentes : a l’aide d’un criterealgebrique, puis par un critere geometrique. On demontre l’equivalence partielle des deuxdefinitions. On explicite alors la formulation variationnelle du probleme et on etablit sonequivalence (pour les immersions) avec les equations d’Euler-Lagrange associees. On construitenfin un probleme penalise permettant la mise en place d’applications numeriques dans uneetape ulterieure. Par la suite, on donne une generalisation en toutes dimensions du modeleprecedemment etudie. Applique aux cas des solides de volumes non nul, notre critere est plusfort que celui introduit par Ciarlet et Necas [15]. Ainsi, notre modele herite des resultatsqu’ils ont obtenus. Notons que notre demarche est applicable meme si la densite d’energieW ne verifie pas de conditions du type (2), et ce contrairement aux travaux precedemmentcites. On conclut sur la possibilite d’etendre notre approche a des problemes d’evolution.

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Table des matieres

1 Sur la justification des modeles de plaques non lineaires pardeveloppement asymtotique formel 21 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Resolution des premiers problemes variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Modele membranaire non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Poursuite du developpement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Justification partielle du modele de plaques non lineaires en flexion parΓ-convergence 281 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Une estimation de la deformation en fonction de l’energie . . . . . . . . . . . 393 Calcul d’une borne inferieure pour la G-limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 Calcul de la G-limite pour les deformations regulieres . . . . . . . . . . . . . 585 Demonstration du theoreme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Un modele de solide avec auto-contacts, sans frottements,sans auto-intersection 741 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752 Intersection geometrique, physique et cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . 773 Ensemble des deformations admissibles d’un cercle dans le plan . . . . . . . . 824 Modelisation d’un cercle elastique contenu dans un plan . . . . . . . . . . . . 1165 Penalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246 Cas des dimensions superieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477 Quelques remarques complementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 2

Chapitre 1

Sur la justification des modeles deplaques non lineaires pardeveloppement asymtotique formel

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Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 3

1 Introduction

Afin de deduire du modele tridimensionnel d’elasticite non lineaire les equations regissantune plaque elastique, deux approches differentes ont ete mises au point : developpementasymptotique formel par Fox, Raoult et Simo [23] et Γ-convergence par Le Dret et Raoult [31].Pour un certain ordre de grandeur des forces appliquees, les deux methodes conduisent a desmodeles membranaires non lineaires. Il est surprenant de constater que l’energie obtenue for-mellement ne redonne pas, apres quasi-convexification, l’energie obtenue par Γ-convergence.Dans ce chapitre, on met en place une procedure de developpement asymptotique formelproche de celle utilisee dans [23]. Plusieurs differences notables sont toutefois a soulignerpar rapport a la demarche suivie par Fox, Raoult et Simo. Tout d’abord, on resout unesuite de problemes de minimisation, alors que ces derniers resolvent la suite d’equationsd’Euler-Lagrange associees. De plus, on pousse le developpement aux ordres superieurs sansfaire l’hypothese que les solutions du probleme membranaire sont triviales, c’est-a-dire sanssupposer que ce sont des deformations isometriques. Enfin, on utilise comme ensemble dedeformations admissibles un espace un peu plus grand que celui retenu dans [23]. Ce dernierpoint permet notamment de retrouver une energie membranaire compatible avec celle obte-nue par Γ-convergence dans [31]. Ce chapitre est organise comme suit :

La procedure de developpement asymptotique formelle est decrite dans la section 2. Apreschangement d’echelle, on montre que si les donnees admettent un developpement en fonctiondes puissances de l’epaisseur de la plaque ε, et s’il en est de meme pour les solutions ϕ(ε) duprobleme tridimensionnel, alors ϕ(ε) est la solution d’une suite de problemes de minimisationPn.Les sections suivantes sont consacree a la resolution des problemes Pn, pour n inferieurou egal a 3. Pour etre plus precis, on montre que ces problemes, quitte a effectuer deshypotheses raisonnables, sont equivalents a des modeles bidimensionnels de plaque. L’etudedes problemes P−3 a P0 (section 3) conduit a formuler des hypotheses sur l’ordre de grandeurdes forces applicables a une plaque. Un modele de membrane non lineaire apparaıt lors del’integration du probleme P1 (section 4). Le probleme P2 engendre un modele de membraneinextentionnelle comme peut l’etre un drapeau. Enfin, dans la section 5.2, le probleme P3

donne lieu a un modele faisant intervenir des termes de flexion. Dans le cas ou les forcesappliquees sont de l’ordre de grandeur du cube de l’epaisseur, on retrouve le modele deplaques non lineaires en flexion obtenu par Fox, Raoult et Simo.

2 Mise en œuvre

On adopte la convention de sommation des indices repetes. Les indices grecs prennent lesvaleurs 1 ou 2, les indices latins 1, 2 ou 3. On se donne une base orthonormee de R3 (ei)i=1,2,3.La derivation d’une quantite ψ suivant le vecteur ei est notee ψ,i et, si ψ est un champ devecteurs, son gradient est note Dψ.

Page 14: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 4

2.1 Formulation du probleme tridimensionnel

Dans son etat de reference, la plaque occupe le domaine

Ωε = ω×]− ε,ε[,

ou ω est un ouvert de R2 et ε est petit face aux dimensions de ω. Les coordonnees d’un pointX de la configuration de reference Ωε sont

X = (X1,X2,X3), ou (X1,X2) ∈ ω et X3 ∈]−ε,ε[.

L’element de volume est note dX = dX1 dX2 dX3, tandis que dA = dX1 dX2 designel’element de surface .La frontiere ∂ω de ω est composee de deux parties

∂ω = ∂ωσ ∪ ∂ωφ.

On note Γε = ∂ω×]− ε,ε[ et

Γεσ = ∂ωσ×]− ε,ε[ Γεφ = ∂ωφ×]− ε,ε[Γε+ = ω × +ε Γε− = ω × −ε

La plaque est soumises a des forces mortes volumiques bε, a des forces mortes surfaciques gε+,gε− sur les faces superieures et inferieures Γε+ et Γε− et hε sur la partie laterale Γεσ. D’autrepart, la deformation est imposee par ϕε ∈ C(Ωε;R3) sur Γεφ.L’espace des deformations admissibles est

Qε =ψε ∈ C(Ωε;R3) : ψε|Γεφ = ϕε|Γεφ

,

ou C(Ωε;R3) designe un espace de fonctions assez regulieres tel que toutes les expressions oules elements de Qε interviennent, aient un sens.Pour un materiau hyperelastique, on peut associer a toute deformation ψε l’energie

Jε(ψε) = Iε(ψε)− `ε(ψε)

La forme lineaire `ε est le travail des forces exterieures

`ε(ψε) =∫

Ωεbε.ψε dX +

∫Γε+∪Γε+

gε.ψε dA+∫

Γεσ

hε.ψε dA,

tandis que Iε(ψε) est l’energie interne

Iε(ψε) =∫

ΩεW (Dψε) dX.

Pour un materiau de Saint Venant-Kirchhoff, la densite d’energie interne W est de la forme

W (F ) =λ

8(tr(F TF − I))2 +

µ

4tr((F TF − I)2) pour tout F matrice 3× 3.

Page 15: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 5

On rappelle que le tenseur de deformation de ψε : Ωε → R3 est defini par

Eε(ψε) =12

[DψεTDψε − 1

].

La densite d’energie interneW (Dψε) ne depend que du tenseur de deformation. Plus precisement,on a

W (Dψε) =12CijklEε(ψε)ijEε(ψε)kl.

ouCijkl = λδijδkl + µ(δikδkl + δilδjk).

L’etat d’equilibre de la plaque d’epaisseur 2ε est decrit comme etant la solution du problemeP ε :

ϕε ∈ Qε et Jε(ϕε) = infψε∈Qε

Jε(ψε).

Dans le cas general, il n’existe pas de solution ϕε au probleme variationnel presente. Cecitient entre autre au fait que la fonctionnelle energie Jε n’est pas semi continue inferieurefaible pour la topologie W 1,4(Ωε;R3). D’autres types de solides hyperelastiques pourraientetre choisis afin de resoudre ce probleme. Cependant, l’expression de la densite d’energie West alors plus complexe et plus difficile a manipuler que pour un materiau de type SaintVenant-Kirchhoff, qui constitue les solides hyperelastiques non lineaires les plus simples.Fox, Raoult et Simo imposent la contrainte det(Dψε) > 0 lors de la definition de l’ensembledes deformations admissibles, ce qui est physiquement naturel : On ne peut ni retournerlocalement l’espace, ni contracter un solide en un ensemble de volume nul. Cependant, ellen’apparaıt pas a priori dans le modele de Saint Venant-Kirchhoff. En particulier, elle n’estpas prise en compte par Le Dret et Raoult dans [31]. On propose enfin une methode pourobtenir un modele de plaque correct combinant les effets membranaires et en flexion.

2.2 Mise a l’echelle

Les solutions ϕε du probleme tridimensionnel sont definies sur un ouvert Ωε dependant deε. Afin de realiser une analyse asymptotique, il est utile d’effectuer un changement d’echelleafin de se ramener a un domaine fixe. On definit l’operateur πε par

(πεf)(X1,X2,ξ) = f(X1,X2,εξ).

Pour toute fonction fε et toute fonctionnelle Gε, on pose

f(ε) = π−1ε fε

G(ε)(ψ) = Gε(π−1ε ψ).

On noteΩ = Ω1 = ω×]− 1,1[,

Γσ = Γ1σ = ∂ωσ×]− 1,1[ Γφ = Γ1

φ = ∂ωφ×]− 1,1[Γ+ = Γ1

+ = ω × +1 Γ− = Γ1− = ω × −1

Page 16: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 6

Les coordonnees d’un element de Ω sont notees (X1,X2,ξ).Le probleme P ε est equivalent au probleme consistant a trouver ϕ(ε) telle que

ϕ(ε) ∈ Q(ε) et J(ε)(ϕ(ε)) = infψ(ε)∈Q(ε)

J(ε)(ψ(ε));

ou l’espace des deformations admissibles est

Q(ε) =ψ(ε) ∈ C(Ω;R3) : ψ(ε)|Γφ = ϕ(ε)|Γφ

.

2.3 Procedure du developpement asymptotique

Le modele presente precedemment donne lieu a la formation de couches limites aux voi-sinages des parties encastrees de la plaque. Celles-ci ne sont pas prises en compte par laprocedure de developpement asymptotique formelle decrite ci-dessous. Aussi est-il utile d’af-faiblir les contraintes en deplacement imposees sur la partie Γφ du domaine, afin d’assurer lacoherence de notre analyse. On definit φ ∈ C(ω;R3) par

φ(ε)(X1,X2) =12

∫ 1

−1ϕ(ε)(X1,X2,ξ) dξ.

On note P (ε) le probleme consistant a determiner ϕ(ε) tel que

ϕ(ε) ∈ Q(ε) et J(ε)(ϕ(ε)) = infψ(ε)∈Q(ε)

J(ε)(ψ(ε));

ou l’espace des deformations admissibles est

Q(ε) =ψ(ε) ∈ C(Ω;R3) :

12

∫ 1

−1ψ(ε)|Γφ dξ = φ(ε)|Γφ

.

De plus, on suppose que φ(ε) est independant de ε :Ansatz 1. Il existe φ ∈ C(ω;R3) tel que pour tout ε,

φ(ε) = φ.

Enfin, on suppose que toutes les autres donnees du probleme P (ε), ainsi que les solutionsϕ(ε) admettent un developpement asymptotique en ε

Ansatz 2. Les donnees du probleme P (ε) admettent le developpement en puissances de εsuivant :

b(ε) = b0 + εb1 + ε2b2 + ... dans Ω,g(ε) = g0 + εg1 + ε2g2 + ... sur Γ+ ∪ Γ−,h(ε) = h0 + εh1 + ε2h2 + ... sur Γσ.

On notefn =

∫ 1−1 b

n dξ + gn+ + gn− ; fn =∫ 1−1 h

n dξ

etTn =

∫ 1−1 ξb

n dξ + gn+ − gn− ; Tn =∫ 1−1 ξh

n dξ

Remarque 1. Les notations retenues sont redondantes. Par exemple, bs designe a la fois unterme du developpement asymptotique de b(ε) (si s est entier) et les forces volumiques mortesexercees sur la plaque dans le probleme Ps. Cependant, le contexte rend clair l’usage de cettenotation et ne prete pas a confusion.

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Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 7

Ansatz 3. Les solutions ϕ(ε) peuvent etre developpees en puissances de ε,

ϕ(ε) = ϕ0 + εϕ1 + ε2ϕ2 + ...

A toute fonctionnelle G(ε), on associe la fonctionnelle

G(ε)(ψ0,ψ1, · · · ) = G(ε)(ψ0 + εψ1 + · · · ).

Par la suite, ψ et ϕ designeront respectivement les suites (ψi)i∈N et (ϕi)i∈N.Proposition 1. La fonctionnelle J(ε) admet un developpement asymptotique en puissancesde ε.

J(ε)(ψ) =∞∑

n=−3

Jn(ψ)εn

On repousse la demonstration de cette proposition a la section 2.4. On peut alors refor-muler la suite de problemes P (ε) comme une suite de problemes ((simples)).Proposition 2. La solution ϕ(ε) = ϕ0 + ϕ1ε + · · · de la suite de problemes P (ε) est telleque

ϕ ∈∞⋂

n=−3

Qn

ou

Qn+1 =

ψ ∈ Qn : Jn(ψ) = inf

eψ∈QnJn(ψ)

,

et

Q−3 =

ψ ∈ C(Ω;R3)N :

∑n

ψnεn ∈ Q(ε)

.

On designe par Pn le probleme consistant a determiner l’ensemble des minimiseurs de Jn

sur Qn. La proposition 2 signifie simplement que ϕ(ε) est solution de la suite recursive desproblemes variationnels Pn.

Preuve de la proposition 2La demonstration s’effectue par recurrence. On note Pn la proposition

ϕ ∈n⋂

p=−3

Qp = Qn.

D’apres l’Ansatz 3, P−3 est vraie. Il suffit donc de montrer que

Pn ⇒ Pn+1.

Pour tout ψ ∈ Qn, d’apres la proposition 1,

J(ε)(ψ) =

n∑p=−3

Jp(ψ)εp

+ εn

Jn(ψ) + ε

∞∑p=0

Jn+1+p(ψ)εp

. (1.1)

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Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 8

De plus, pour tout p < n, comme ψ ∈ Qp+1,

Jp(ψ) = infeψ∈Qp

Jp(ψ). (1.2)

On pose

Mn(ε) =n∑

p=−3

infeψ∈Qp

Jp(ψ)εp

D’apres (1.1) et (1.2) , pour tout ψ ∈ Qn,

J(ε)(ψ) = Mn(ε) + εn

Jn(ψ) + ε

∞∑p=0

Jn+1+p(ψ)εp

. (1.3)

On rappelle que ϕ est defini par l’Ansatz 3. Supposons que Pn soit vraie. Dans ce cas, pourtout ε > 0,

J(ε)(ϕ) = infψ∈Qn

J(ε)(ψ).

De (1.3), on deduit que pour tout ε > 0,

Jn(ϕ) + ε

∞∑p=0

Jn+1+p(ϕ)εp = infψ∈Qn

Jn(ψ) + ε

∞∑p=0

Jn+1+p(ψ)εp

(1.4)

Pour tout α > 0, il existe ψα ∈ Qn tel que

infψ∈Qn

Jn(ψα) ≤ infψ∈Qn

Jn(ψ) + α.

D’apres (1.4) on a donc pour tout ε

Jn(ϕ) + ε∞∑p=0

Jn+1+p(ϕ)εp ≤

Jn(ψα) + ε∞∑p=0

Jn+1+p(ψα)εp

≤ inf

ψ∈QnJn(ψ) + α+ ε

∞∑p=0

Jn+1+p(ψα)εp

et faisant tendre ε vers 0, il vient

Jn(ϕ) ≤ infψ∈Qn

Jn(ψ) + α

etJn(ϕ) ≤ inf

ψ∈QnJn(ψ)

c’est-a-dire, comme ϕ ∈ Qnϕ ∈ Qn+1

et Pn+1 est vraie. 2

Page 19: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 9

2.4 Calcul des termes du developpement asymptotique de l’energie

On rappelle que Eε est le tenseur de deformation, que E(ε) est defini par

E(ε)(ψ(ε)) = Eε(ψε)

et queE(ε)(ψ) = E(ε)(ψ0 + εψ1 + · · · ).

Lemme 1. E(ε) admet un developpement asymptotique en puissances de ε

E(ε)(ψ) =∞∑

n=−2

En(ψ)εn,

De plus, les composantes Enij sont de la forme

E0αβ(ψ) = 1

2(ψ0,α.ψ0,β − δαβ) ; E0

33(ψ) = 12(ψ1,ξ.ψ

1,ξ + 2ψ0,ξ.ψ2,ξ − 1)

Pour n 6= 0,

Enαβ(ψ) = 12

∑np=0 ψ

p,α.ψn−p,β ; En33(ψ) = 1

2

∑n+2p=0 ψ

p,ξ.ψ

n+2−p,ξ

Pour tout n,

Enα3(ψ) =12

n+1∑p=0

ψp,α.ψn+1−p,ξ

PreuveIl suffit d’effectuer le calcul. On rappelle que

ψ(ε)(X1,X2,ξ) = ψε(X1,X2,εξ).

Tout d’abord, on calcule le developpement asymptotique de Dψε. On a

Dψε = (ψ(ε),1|ψ(ε),2|ψ(ε),ξ/ε).

Comme,

ψ(ε) =∞∑p=0

ψpεp

on en deduit que

Dψε = (0 | 0 |ψ0,ξ)ε−1 +

∞∑p=0

(ψp,1|ψp,2|ψ

p+1,ξ )εp

Le tenseur de deformation E(ε)(ψ) est uniquement fonction de Dψε. En effet,

E(ε)(ψ) = E(ε)(ψ(ε)) = Eε(ψε) =12

(DψεTDψε − I)

Page 20: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 10

ainsi,

Eij(ε)(ψ) =12

(ψε,i.ψε,j − δij).

On deduit du developpement asymptotique de Dψε que

Eαβ(ε)(ψ) =12

∞∑n=0

n∑p=0

ψp,α.ψn−p,β

εn − δαβ

E3α(ε)(ψ) =

12

∞∑n=−1

n∑p=0

ψp,α.ψn+1−p,ξ

εn

E33(ε)(ψ) =12

∞∑n=−2

n∑p=0

ψk,ξ.ψn+2−p,ξ

εn − 1

.

et chaque composante de E(ε) admet le developpement en puissances de ε annonce. 2

On rappelle que Iε(ψε) est l’energie interne associee a la deformation ψε et que

Iε(ψε) =∫

ΩεCijklEεij(ψ

ε)Eεkl(ψε) dX. (1.5)

De plus, I(ε) est defini par

I(ε)(ψ) = I(ε)(ψ0 + εψ1 + · · · ).

Lemme 2. I(ε) admet un developpement en puissances de ε

I(ε)(ψ) =∞∑

n=−3

In(ψ)εn

et

In(ψ) =∫

Ω

n+1∑p=−2

CijklEpijE

n−1−pkl dAdξ.

PreuveD’apres l’equation (1.5),

I(ε) =∫

ΩεCijklE(ε)ijE(ε)kl dX.

Il suffit alors de remplacer E(ε) par son developpement en puissances de ε, puis d’effectuerle changement de variable (X1,X2,X3) = (X1,X2,εξ) afin d’obtenir l’expression annoncee. 2

Lemme 3. ˆ(ε) admet un developpement en puissances de ε

ˆ(ε)(ψ) =∞∑n=0

`n(ψ)εn

et

`n(ψ) =∫

Ω

n−1∑p=0

bp.ψn−1−p dX1 dX2 dξ +∫

Γ+∪Γ+

n∑p=0

gp.ψn−p dA+∫

Γσ

n−1∑p=0

hp.ψn−1−p dsdξ

Page 21: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 11

PreuveOn a

ˆ(ε)(ψ) =∫

Ωεbε.

∞∑p=0

εpψp

dX+∫

Γε+∪Γε+gε.

∞∑p=0

εpψp

dA+∫

Γεσ

hε.

∞∑p=0

εpψp

dsdX3.

Il suffit d’effectuer le changement de variable X3 = εξ dans chacune des integrales et derassembler les termes de meme degre. 2

Preuve de la proposition 1Comme

J(ε) = I(ε)− ˆ(ε),

la conclusion decoule des lemmes 2 et 3. De plus,

Jn = In − `n.

2

3 Resolution des premiers problemes variationnels

Dans cette section, on resout les problemes Pn pour n negatif. Les problemes P−3 a P−1

sont independants des forces appliquees. On montre que les solutions de ces problemes sontles elements ψ tels que

ψ0,ξ = 0.

Le probleme P0 est le premier ou des termes de forces exterieures interviennent. Saresolution impose la condition

g0+ + g0

− = 0.

Dans le cas contraire, on obtient Q1 = ∅. Ceci illustre le fait qu’on ne peut exercer surune plaque une force surfacique independante de l’epaisseur sans risquer de la dechirer. Parcommodite, on imposeAnsatz 4.

g0+ = g0

− = 0.

Ces resultats sont similaires a ceux obtenus par Fox, Raoult et Simo dans [23].

3.1 Problemes sans forces exterieures

Proposition 3.

J−3(ψ) =λ+ 2µ

8

∫Ω

(|ψ0,ξ|)4 dAdξ

PreuveD’apres la section precedente,

J−3(ψ) =12

∫ΩCijklE−2

ij E−2kl dAdξ.

Page 22: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 12

D’apres le lemme 1, seuls les termes E−233 sont non nuls

E−233 =

12|ψ0,ξ|2.

On a doncJ−3(ψ) =

12

∫ΩC

3333E−233 E

−233 dAdξ.

Enfin,C

3333 = λ+ 2µ

d’ou la conclusion. 2

Les elements ψ de Q−2 qui minimisent J−3 sont donc les elements tels que

ψ0,ξ = 0 (1.6)

appartenant a

Q−3 =

ψ ∈ C(Ω;R3)N :

∑n

ψnεn ∈ Q(ε)

=

ψ ∈ C(Ω;R3)N :

12

∫ 1

−1ψ0|∂ωφ dξ = φ|∂ωφ et

∫ 1

−1ψp|∂ωφ dξ = 0 pour tout p ≥ 1

C’est a dire

Q−2 =ψ ∈ C(Ω;R3)N : ψ0,ξ = 0 ;

12

∫ 1−1 ψ

0|∂ωφ dξ = φ|∂ωφ et∫ 1−1 ψ

p|∂ωφ dξ = 0 pour tout p ≥ 1

ou encore

Q−2 =ψ ∈ C(Ω;R3)N : ∃ϕ0 ∈ C(ω;R3) tel que ψ0(X1,X2,ξ) = ϕ0(X1,X2) ;

ϕ0|∂ωφ = φ|∂ωφ et∫ 1−1 ψ

p|∂ωφ dξ = 0 pour tout p ≥ 1

Par la suite, on ne fera pas de distinction entre ψ0 et ϕ0. On verifie aisement que pour toutψ ∈ Q−2,

E−233 (ψ) = E−1

33 (ψ) = E−1α3 (ψ) = 0.

D’apres les expressions de J−2 et J−1, ceci implique

J−2 = 0 et J−1 = 0 sur Q−2.

Tous les elements de Q−2 sont des minimiseurs de J−2 sur Q−2. En d’autres termes, Q−1 =Q−2 de meme, Q0 = Q−1.

Q0 = Q−1 = Q−2

Page 23: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 13

3.2 Resolution du probleme P0

C’est le premier probleme pour lequel les forces exterieures appliquees a la plaque inter-viennent. De nouveau, pour tout ψ ∈ Q0,

I0(ψ) = 0.

Ainsi,

J0(ψ) = −`0(ψ) = −∫

Γ+∪Γ+

g0.ϕ0 dA = −∫ω(g0

+ + g0−).ϕ0 dA

Comme annonce, J0 admet des minimiseurs sur Q0 si et seulement si

g0+ + g0

− = 0.

Cette condition verifiee, le probleme P 0 est alors trivial :

Q1 = Q0

4 Modele membranaire non lineaire

On montre que le probleme P1 est equivalent a la resolution d’un modele de membranenon lineaire. Pour etre plus precis,Theoreme 1. Si (ϕ0,ϕ1, · · · ) est une solution du probleme P1, le premier terme ϕ0 dudeveloppement asymptotique de la deformation minimise l’energie J1

∗ definie par

J1∗ (φ

0) =∫ωW0(Dφ0) dA−

∫ωf0.φ

0 dA−∫∂ωσ

f0.φ0 ds

ouW0(F ) = C

αβγδEαβ(F )Eγδ(F ) +

14(λ+ 2µ)

[λh(F )− (λ+ 2µ)]2+

sur l’ensemble des deformations φ0 : ω → R3 telles que

φ0|∂ωφ = φ|∂ωφ

ou• Eαβ est le tenseur de deformation, c’est-a-dire

Eαβ(F ) =12

(F TF − I)

• Cαβγδ = 2µλλ+2µδ

αβδγδ + µ(δαγδβδ + δαδδβγ)

• h((a1|a2)) = |a1|2 + |a2|2 − 2• f0 =

∫ 1−1 b0 dξ + g+

1 + g−1 et f0 =∫ 1−1 h0 dξ.

Page 24: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 14

La preuve de ce theoreme ainsi que celle des deux propositions suivantes sont effectueesdans la section suivante. Pour tout r ∈ R, on note

[r]+ =(r + |r|)

2et [r]− = [−r]+.

En particulier,r = [r]+ − [r]−.

Proposition 4. Les solutions ψ du probleme P1 sont les elements de Q2 ou

Q2 =ψ ∈ C(Ω;R3) : ∃ϕ0, u1 et v1 ∈ C(ω;R3) tels que

ψ0(X1,X2,ξ) = ϕ0(X1,X2) et J1∗ (ϕ

0) = infφ0∈Q1

1

J1∗ (φ

0),

ψ1(X1,X2,ξ) = u1(X1,X2) + ξv1,

|v1| = η(ϕ0)

v1.ϕ0,1 = v1.ϕ0,2 = 0

u1|∂ωφ = 0 ; ϕ0|∂ωφ = φ|∂ωφ et∫ 1

−1ψp|∂ωφ dξ = 0 pour tout p ≥ 2

.

avec

η(ϕ0) =

√[(λ+ 2µ)− λh]+

λ+ 2µ

ouh = 2δαβE0

αβ = |ϕ0,1|2 + |ϕ0,2|2 − 2.

On poseS33

0 = λδαβE0αβ + (λ+ 2µ)E0

33.

Proposition 5. Pour tout element ψ ∈ Q2,

S330 =

12

[(λ+ 2µ)− λh]−.

en particulier,S33

0 ψ1,ξ = 0

4.1 Integration du probleme variationnel le long de l’epaisseur

Cette section est consacree a la preuve du theoreme 1. Dans un meme temps, on demontreles propositions 4 et 5. Soit φ0 ∈ C(ω;R3), tel que φ0|∂ωφ = φ|∂ωφ . On pose

J1∗ (φ

0) = inf(ψ1,ψ2,··· ) : (φ0,ψ1,··· )∈Q1

J1(,hi0,ψ1, · · · )

.

Page 25: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 15

Si (ϕ0,ϕ1, · · · ) est solution du probleme P1,

J1∗ (ϕ

0) = infψ∈Q1

J1(ψ)

= infφ0 :φ0|∂ωφ=φ0

inf

(ψ1,ψ2,··· ) : (φ0,ψ1,··· )∈Q1J1(φ0,ψ1, · · · )

= inf

φ0 :φ0|∂ωφ=φ0J1∗ (φ

0).

Pour completer la preuve du theoreme 1, il suffit donc de montrer que J1∗ (φ

0) est bien dela forme annoncee. Tout d’abord, on integre l’energie totale le long de l’epaisseur. On poseψ = (φ0,ψ1, · · · ). La contribution des forces exterieures est

`1(ψ) =∫

Ωb0.φ0 dAdξ +

∫Γ+∪Γ−

g1.φ0 dA+∫

Γσ

h0.φ0 dsdξ =∫ωf0.φ

0 dA+∫∂ωσ

f0.φ0 ds,

tandis que la contribution due a l’energie interne est

I1(ψ) =12

∫ΩCijklE0

ijE0kl dAdξ

=∫ωCαβγδE0

αβE0γδ dA+

∫Ω

λ+ 2µ2

(E033)2 + 2µ(E0

α3)2 + λE033(E0

11 + E022) dAdξ,

ou

E0αβ(ψ) =

12

(φ0,α.φ0,β − δ,αβ)

E033(ψ) =

12

(|ψ1,ξ|2 − 1)

E0α3(ψ) =

12φ0,α.ψ

1,ξ.

On pose

J10 (ψ) =

∫ωCαβγδE0

αβE0γδ dX1 dX2 −

∫ωf0.ϕ

0 dA−∫∂ωσ

f0.ϕ0 ds

et

J11 (ψ) =

∫ω

λ+ 2µ2

(E033)2 + 2µ(E0

α3)2 + λE033(E0

11 + E022)dX1dX2. (1.7)

On aJ1(ψ) = J1

0 (ψ) + J11 (ψ).

De plus, J10 (ψ) ne depend que de φ0 et J1

1 (ψ) que de (φ0,ψ1). Ainsi,

J1∗ (φ

0) = J10 (φ0) + inf

ψ1∈Q11(φ0)

J11 (φ0,ψ1),

Page 26: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 16

ou

Q11(φ0) =

ψ1 ∈ C(Ω;R3) : ∃(ψ2,ψ3, · · · ) tel que (φ0,ψ1,ψ2, · · · ) ∈ Q1

=

ψ1 ∈ C(Ω;R3) :

∫ 1

−1ψ1 dξ|∂ωφ = 0

En remplacant dans (1.7) les termes E0

ij par leur expression, on obtient

J11 (φ0,ψ1) =

∫B

(|ψ1,ξ|2 − 1)8

((λ+ 2µ)(|ψ1,ξ|2 − 1) + 2λ(|ϕ0,1|2 + |ϕ0,2|2 − 2))

2(ϕ0,α.ψ

1,ξ)2dX1dX2dξ

Il est aise de calculer que le minimum de J11 (φ0,.) a φ0 fixe est atteint pour une fonction ϕ1

verifiant : ϕ1,ξ.φ

0,α = 0

|ϕ1,ξ| = η(1.8)

ou

η =

√[(λ+ 2µ)− λh]+

λ+ 2µ(1.9)

eth = 2δαβEαβ = |φ0,1|2 + |φ0,2|2 − 2.

De plus,

infψ1J1

1 (φ0,ψ1) =∫ω− λ2

2(λ+ 2µ)(δαβE0

αβ)2 +1

4(λ+ 2µ)[h− (λ+ 2µ)]2+ dA

Reste a montrer qu’il existe ϕ1 ∈ Q11, verifiant les conditions (1.8). Soit n un champ de

vecteurs unitaires sur ω tel quen.φ0,1 = n.φ0,2 = 0.

Si φ0,1(X1,X2) et φ1,2(X1,X2) sont lineairement independants pour tout (X1,X2), n estentierement determine au signe pres par ces relations :

n = ± φ0,1 ∧ φ1,2|φ0,1 ∧ φ1,2|

.

Dans le cas contraire, plusieurs champs sont admissibles. On pose

ϕ1(X1,X2,ξ) = ηξn(X1,X2).

Page 27: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 17

La fonction ϕ1 verifie les conditions (1.8) et appartient a Q11. On a donc

infψ1∈Q1

1

J11 (φ0,ψ1) =

∫ω− λ2

2(λ+ 2µ)(δαβE0

αβ)2 +1

4(λ+ 2µ)[h− (λ+ 2µ)]2+ dA

et

J1∗ (φ

0) =∫ω(Cαβγδ − λ2

2(λ+ 2µ)(δαβ)E0

αβE0γδ +

14(λ+ 2µ)

[λh− (λ+ 2µ)]2+dX1dX2

−∫ωf0.φ

0 dA−∫∂ωσ

f0.φ0 ds

ce qui acheve la demonstration du theoreme 1. On a de plus prouve la proposition 4. Lapreuve de la proposition 5 est alors aisee :

S330 = λδαβE0

αβ + (λ+ 2µ)E033

= λh/2 +(λ+ 2µ)

2(|ψ1,ξ|2 − 1)

=12

(λh+ [(λ+ 2µ)− λh]+ − (λ+ 2µ))

=12

[(λ+ 2µ)− λh]−.

4.2 Equations d’Euler-Lagrange

Theoreme 2. Pour tout element ϕ ∈ Q2,(Nαβ

0 ϕ0,β

),α

+ f0 = 0 dans ω

etNαβ

0 ϕ0,βνα = f0 sur ∂ωσ

ou

Nαβ0 = 2CαβγδE0

γδ +λδαβ

(λ+ 2µ)[2λδγδE0

γδ − (λ+ 2µ)]+.

PreuvePour toute fonction

∗ϕ0 ∈ C(ω;R3) telle que

∗ϕ0 |∂ωφ = 0, pour tout reel h,

J1∗ (ϕ

0 + h∗ϕ0 |∂ωφ) ≥ J1

∗ (ϕ0). (1.10)

Or J1∗ est differentiable en ϕ0 et

Dϕ0J1∗ (∗ϕ0) =

∫ωNαβ

0 (ϕ0,α.∗ϕ0,β) dA−

∫ωf0.∗ϕ0 dA−

∫∂ωσ

f0.∗ϕ0 ds.

Page 28: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 18

De (1.10), on deduit que Dϕ0J1∗ (∗ϕ0) = 0, puis par integration par parties, on obtient∫

ω

((Nαβ

0 ϕ0,α),β + f0

).∗ϕ0 dA+

∫∂ωσ

(f0 −N

αβ0 ϕ0,βνα

).∗ϕ0 ds = 0. (1.11)

Notons que la derivation par parties ci-dessus est licite si ϕ0 est reguliere. En effet, si u estune fonction W 1,∞(ω;R), [u]+ est elle meme W 1,∞(ω;R) et

([u]+),β = H(u)u,β ;

ou H est la fonction de Heavside, c’est-a-dire

H(x) =

+1 si x ≥ 00 sinon

Si ϕ0 est reguliere, Nαβ0 ϕ0,α est un element de W 1,∞(ω;R3), ce qui est plus qu’il n’en faut

pour que l’integration par parties precedente soit correcte. Enfin, de (1.11), on en deduit quepour presque tout x de ω, ((

Nαβ0 ϕ0,β

),α

+ f0

)(x) = 0

puis queNαβ

0 ϕ0,βνα = f0 sur ∂ωσ.

2

4.3 Comparaison des differents modeles membranaires

4.3.1 Modele membranaire de Fox, Raoult et Simo

Le modele obtenu par Fox, Raoult et Simo consiste a minimiser

J1FRS(φ0) =

∫ωWFRS(Dφ0) dA−

∫ωf0.φ

0 dA−∫∂ωσ

f0.φ0 ds

ouWFRS(F ) = C

αβγδEαβ(F )Eγδ(F )

sur l’ensemble des deformations telles que

(λ+ 2µ)− λh(ϕ0) > 0. (1.12)

Aussi, le terme [λh− (λ+ 2µ)]+ n’apparaıt pas dans l’expression de l’energie interne de leurmodele. La difference essentielle entre les deux approches est due au fait que Fox, Raoultet Simo resolvent non pas une suite de problemes de minimisation mais la suite d’equationsd’Euler-Lagrange associees. Afin d’y parvenir, ils introduisent une hypothese supplementaire,a savoir

(ϕ0,1 ∧ ϕ0,2).ψ1,ξ > 0. (1.13)

Page 29: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 19

Or, comme nous l’avons montre,

|ψ1,ξ| =

√[(λ+ 2µ)− λh]+

λ+ 2µ.

Ainsi, si (λ+ 2µ)− λh ≤ 0, la fonction ψ1,ξ s’annule et la condition (1.13) n’est plus verifiee.Remarquons que les deux approches devraient fournir les meme resultats si l’on consideraitun solide constitue d’un materiau physiquement plus realiste, c’est-a-dire tel que la densited’energie interne W (F ) tende vers l’infini lorsque le determinant de F converge vers 0. Eneffet, les differences entre les deux methodes apparaissent lorsque det(ϕ0,1,ϕ

0,2,ϕ1,ξ) = 0, ce

qui ne se produirait pas.Remarque 2. Quitte a choisir ϕ,1 ∧ ϕ,2 6= 0 comme Ansatz au lieu de (ϕ,1 ∧ ϕ,2).ψξ > 0, onpeut retrouver le terme [λ−(λ+2µ)]+ dans l’expression de l’energie interne par une approchebasee sur les equations d’Euler-Lagrange.

4.3.2 Modele membranaire de Le Dret et Raoult

Le modele obtenu par Le Dret et Raoult par Γ-convergence consiste a minimiser l’energie

JΓ(ϕ0) =∫ωQW0(Dφ0) dA−

∫ωf0.φ

0 dA−∫∂ωσ

f0.φ0 ds,

ou QW0 est l’enveloppe quasi-convexe de W0. On retrouve donc ici l’energie obtenue par LeDret et Raoult avant la quasi-convexification, laquelle ne semble pouvoir etre prise en comptepar une analyse asymptotique formelle a une seule echelle.

QW(F)=W(F)0 0

QW(F)=W(F)/0 0

v(F)

v(F)1

2

On note v1 et v2 les valeurs propres de la premiere forme fondamentale ϕ0,α.ϕ0,β. On

a hachure dans la figure ci-dessus la region du plan (v1,v2) ou la densite d’energie interneque nous avons obtenu ne coıncide pas avec le resultat de Γ-convergence, c’est-a-dire oul’enveloppe quasi-convexe de l’energie interne W0 differe de W0. Les courbes representeessont les ellipses d’equation v2

1 + νv22 = 1 + ν et νv2

1 + v22 = 1 + ν, ou ν est le coefficient de

Poisson ν = λ2(µ+λ) .

Page 30: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 20

5 Poursuite du developpement asymptotique

Afin de poursuivre le developpement aux ordres superieurs, il est utile de limiter notreanalyse aux elements de Q2 tels que

ϕ0,1 ∧ ϕ0,2 6= 0

et(ϕ0,1 ∧ ϕ0,2).ψ1,ξ ≥ 0.

On note Q+2 l’ensemble des elements de Q2 verifiant ces contraintes supplementaires et

(P+n )n≥2 la suite de problemes variationnels obtenus en remplacantQ2 parQ+

2 dans la suite deproblemes (Pn)n≥2. Grace a cette hypothese supplementaire, la fonction ψ1,ξ est entierementdeterminee par ϕ0,1 et ϕ0,2. Ainsi,

Q+2 =

ψ ∈ C(Ω;R3) : ∃ϕ0, u1 ∈ C(ω;R3) tels que

ψ0(X1,X2,ξ) = ϕ0(X1,X2) et J1∗ (ϕ

0) = infφ0∈Q1

1

J1∗ (φ

0),

ψ1(X1,X2,ξ) = u1(X1,X2) + ξη(Dϕ0)n(Dϕ0)

u1|∂ωφ = 0 ; ϕ0|∂ωφ = φ0|∂ωφ et12

∫ 1

−1ψp|∂ωφ dξ = 0 pour tout p ≥ 2

.

ou

n(Dϕ0) =ϕ0,1 ∧ ϕ0,2|ϕ0,1 ∧ ϕ0,2|

;

η(Dϕ0) =

√[(λ+ 2µ)− λh(Dϕ0)]+

λ+ 2µ

eth(Dϕ0) = |ϕ0,1|2 + |ϕ0,2|2 − 2.

5.1 Modele sans energie interne

Dans cette partie, on resout le probleme P+2 . On obtient un modele sans contraintes

internes.Theoreme 3. Les solutions (ϕ0,ψ1, · · · ) au probleme P+

2 . sont les minimiseurs de l’energieJ2∗ sur Q+

2 ou

J2∗ (ψ) = −

∫ωf1.ϕ

0 + ηT0.ndA−∫∂ωσ

f1.ϕ0 + ηT 0.nds.

Page 31: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 21

PreuveLes solutions de P+

2 sont le elements de ψ ∈ Q+2 minimisant J2(ψ).

Soit ψ = (ϕ0,ψ1, · · · ) ∈ Q2+, avec ψ1 = u1 + ηξn,

I2(ψ) =12

∫Ω

1∑p=0

CijklEpijE

1−pkl dAdξ

=∫

Ω(CαβγδE0

γδ + δαβλE033)E1

αβ + (λδαβE0αβ + (λ+ 2µ)E0

33)E133 dX1 dX2 dξ

−∫

Γ+∪Γ+

ψ1−p ds

D’apres la proposition 5,

(λδαβE0αβ + (λ+ 2µ)E0

33)E133 = S33

0 ψ1,ξ.ψ2,ξ = 0

Ainsi,

I2(ψ) =∫

Ω(CαβγδE0

γδ + λE033δ

αβ)E1αβ dX1 dX2 dξ =

12

∫ΩNαβ

0 ϕ0,α.ψ1,β dX1 dX2 dξ

=∫ωNαβ

0 ϕ0,α.u1,β dX1 dX2 dξ

Comme u1|∂ωφ = 0, on deduit de le theoreme 2 que

I2(ψ) =∫ωf0.u

1 dA+∫∂ωσ

f0.u1 ds.

On calcule maintenant la contribution du travail des forces exterieures,

`2(ψ) =∫

Ω

1∑p=0

bpψ1−p dAdξ +∫

Γ+∪Γ+

2∑p=0

gpψ2−p dA+∫

Γσ

1∑p=0

hpψ1−p ds

=∫ωf1.ϕ

0 dA+∫∂ωσ

f1.ϕ0 ds+

∫Ωf0.(u1 + ξv1) dAdξ +

∫Γσ

f0.(u1 + ξv1) dsdξ

=∫ωf1.ϕ

0 + f0.u1 + T0.v

1 dA+∫∂ωσ

f1.ϕ0 + f0.u

1 + T 0.v1 ds

On a donc

J2(ψ) = −∫ωf1.ϕ

0 + ηT0.ndA−∫∂ωσ

f1.ϕ0 + ηT 0.nds = J2

∗ (ψ).

Ce qui acheve la demonstration. 2

Page 32: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 22

5.2 Modele avec flexion

On introduit une hypothese supplementaire, a savoir,Ansatz 5. Les forces b0 et h0 sont independantes de ξ et g1 = 0.

En particulier, les moments d’ordre zero sont nuls, c’est-a-dire

T0 = 0.

Le resultat principal de cette section est le suivant:Theoreme 4. Toute solution (ϕ0,ψ1, · · · ) du probleme P+

3 , ou

ψ1 = u1 + ξv1 et v1 = ηn,

minimise sur Q+3 l’energie

J3∗ (ϕ

0,u1) =∫ω

13Cαβγδ(ϕ0,αβ .v

1)(ϕ0,γδ.v1) +

16Nαβ

0 v1,α.v1,β

+Nαβ

0

2u1,α.u

1,β + Cαβγδ(ϕ0,α.u1,β)(ϕ0,γ .u

1,δ) dA

−∫ω+(ϕ0)

λ2

(λ+ 2µ)δαβ(ϕ0,α.u

1,β)(ϕ0,γ .u1,δ) dA

−∫ωf2.ϕ

0 + f1.u1 + T1.v

1 dA−∫∂ωσ

f2ϕ0 + f1u

1 + T 1.v1 ds

ou

ω+(ϕ0) = x ∈ ω : (λ+ 2µ)− λh(Dϕ0)(x) > 0

PreuveSoit ψ un element de Q+

3 . Il existe ϕ0, u ∈ C(ω;R3) telles que

ψ0 = ϕ0 et ψ1 = u1 + ξv1(Dϕ0).

ouv1(Dϕ0) = η(Dϕ0)n(Dϕ0)

Dans un premier temps, on calcule l’expression de J3(ψ) en remplacant ψ0 et ψ1 par leurexpression en termes de ϕ0 et u1. On rappelle que

J3(ψ) = I3(ψ)− `3(ψ).

Il suffit donc d’effectuer cette operation sur chacun des termes de droite. Le terme issu dutravail des forces exterieures est le plus simple a calculer. On a

`3(ψ) =∫

Ω

P∑0

bpψ2−p dAdξ +

∫Γ+∪Γ−

3∑0

gpψ3−p dA+

∫Γσ

2∑0

hpψ2−p dsdξ.

Page 33: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 23

D’apres l’hypothese 5, on obtient apres integration dans l’epaisseur

`3(ψ) =∫ωf2.ϕ

0 + f1.u1 + T1.v

1 dA+∫∂ωσ

f2ϕ0 + f1u

1 + T 1.v1 ds

+∫

Ωb0ψ

2 dAdξ +∫

Γσ

h0.ψ2 dsdξ. (1.14)

On effectue la meme operation sur le terme issu de l’energie interne. On rappelle que

I3(ψ) =∫

Ω

2∑1

12CijklEPijE

2−pkl dAdξ

On obtient

I3(ψ) =12

∫ωNαβ

0 u1,α.u1,β +

13Nαβ

0 v1,α.v1,α dA

+∫ωCαβγδ(u1,α.ϕ

0,β)(u1,γ .ϕ0, delta) +

13Cαβγδ(v1,α.ϕ

0,β)(v1,γ .ϕ0, delta) dA (1.15)

+∫

Ω

Nαβ0

2ϕ0,α.ψ

2,β + λδαβE1αβE

133

+2µδαβE1α3E

1β3 +

λ+ 2µ2

(E133)2 +

S330

2|ψ2,ξ|2 dAdξ

ouNαβ

0 = 2(CαβγδE0γδ + λδαβE0

33).

D’apres le theoreme 2,

12

∫ΩNαβ

0 ϕ0,α.ψ2,β dAdξ =

12

[∫Γ(Nαβ

0 ϕ0,β)ψ2να dξ ds−∫

Ω(Nαβ

0 ϕ0,β),α.ψ2 dAdξ]

=12

[∫Γφ

(Nαβ0 ϕ0,β)ψ2

να dξ ds+∫

Γσ

f0.ψ2 dξ ds+

∫Ωf0.ψ

2 dAdξ

]

=12

[∫Γσ

f0.ψ2 dξ ds+

∫Ωf0.ψ

2 dAdξ]

(1.16)

D’apres les equations (1.14), (1.15) et (1.16), il vient

J3(ψ) =12

∫ωNαβ

0 u1,α.u1,β +

13Nαβ

0 v1,α.v1,α dA

+∫ωCαβγδ(u1,α.ϕ

0,β)(u1,γ .ϕ0, delta) +

13Cαβγδ(v1,α.ϕ

0,β)(v1,γ .ϕ0, delta) dA

+∫

ΩλδαβE1

αβE133 + 2µδαβE1

α3E1β3 +

λ+ 2µ2

(E133)2 +

S330

2|ψ2,ξ|2 dAdξ

−∫ωf2.ϕ

0 + f1.u1 + T1.v

1 dA−∫∂ωσ

f2ϕ0 + f1u

1 + T 1.v1 ds

−∫

Ω(b0 −

f0

2)ψ2 dAdξ −

∫Γσ

(h0 −f0

2).ψ2 dsdξ

Page 34: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 24

D’apres l’hypothese 5, b0 = f0

2 et h0 = f02 . Ainsi,

J3(ψ) =12

∫ωNαβ

0 u1,α.u1,β +

13Nαβ

0 v1,α.v1,α dA

+∫ωCαβγδ(u1,α.ϕ

0,β)(u1,γ .ϕ0, delta) +

13Cαβγδ(v1,α.ϕ

0,β)(v1,γ .ϕ0, delta) dA

+∫

ΩλδαβE1

αβE133 + 2µδαβE1

α3E1β3 +

λ+ 2µ2

(E133)2 +

S330

2|ψ2,ξ|2 dAdξ (1.17)

−∫ωf2.ϕ

0 + f1.u1 + T1.v

1 dA−∫∂ωσ

f2ϕ0 + f1u

1 + T 1.v1 ds

Pour tout a et b dans R3 × R3, pour tout c dans R3, tels que a1 ∧ a2 6= 0, on pose

W3(a,b,c) = λδαβ(aα.bβ)(v(a).c) + 2µδαβ(aα.c+ bα.v(a))(aβ.c+ bβ .v(a))

+λ+ 2µ

2(v(a).c)2 +

12

[(λ+ 2µ)− λh(a)]−|c|2.

ou on rappelle que

v(a) =

√[(λ+ 2µ)− λh(a)]+

λ+ 2µ

(a1 ∧ a2

|a1 ∧ a2|

).

eth(a) = |a1|2 + |a2|2 − 2.

On pose

J30 (ϕ0,u1) =

12

∫ωNαβ

0 u1,α.u1,β +

13Nαβ

0 v1,α.v1,β dA

+∫ωCαβγδ(u1,α.ϕ

0,β)(u1,γ .ϕ0, delta) +

13Cαβγδ(v1,α.ϕ

0,β)(v1,γ .ϕ0, delta) dA(1.18)

−∫ωf2.ϕ

0 + f1.u1 + T1.v

1 dA+∫∂ωσ

f2ϕ0 + f1u

1 + T 1.v1 ds

J31 (ϕ0,ψ1,ψ2) =

∫ΩW3((ϕ0,1|ϕ0,2),(ψ1,1|ψ1,2),ψ2,ξ) dAdξ.

En remplacant les termes Epij par leur expression en fonction des ψp dans (1.17), il vient

J3(ψ) = J03 (ϕ0,u1) + J1

3 (ϕ0,ψ1,ψ2).

On pose

J3∗ (ϕ

0,u1) = inf(ψ2,ψ3,··· ):(ϕ0,u1+ξv1(Dϕ0),ψ2,··· )∈Q+

3 J3(ϕ0,u1 + ξv1(Dϕ0),ψ2, · · · ). (1.19)

Comme J30 ne depend que de ϕ0 et u1, et J3

1 que de ψ2,

J3∗ (ϕ

0,u1) = J30 (ϕ0,u1) + inf

ψ2 :R 1−1 ψ

2|∂ωφ dξ=0J3

1 (ϕ0,ψ1,ψ2). (1.20)

Page 35: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 25

De (1.19), on deduit que

infψ∈Q+

3

J3∗ (ϕ

0,u1) = infψ∈Q+

3

J3(ϕ0,ψ1,ψ2,...).

Ainsi, la preuve du theoreme sera complete si l’on montre que J3∗ est bien de la forme

annoncee. On cherche dans un premier temps a determiner un minimiseur m(a,b) deW3(a,b,.)pour tout a et b fixes. Deux cas sont envisageables : (λ+2µ)−λh(a) ≤ 0 et (λ+2µ)−λh(a) > 0.Supposons (λ+ 2µ)− λh(a) > 0, dans ce cas,

W3(a,b,c) =[λδαβ(aα.bβ) +

λ+ 2µ2

(v(a).c)]

(v(a).c) + 2µδαβ(aα.c+ bα.v(a))(aβ.c+ bβ.v(a))

et (a1|a2|v(a)) forme une base directe de R3. Le minimum est atteint pour c = m(a,b) ou

m(a,b).aα = −bα.v(a)

etm(a,b).v(a) = − λ

λ+ 2µδαβ(aα.bβ)

De plus,

W3(a,b,m(a,b)) = − λ2

2(λ+ 2µ)(δαβ(aα.bβ))2.

Si (λ+ 2µ)− λh(a) ≤ 0, alors v(a) = 0 d’ou

W3(a,b,c) =12

[(λ+ 2µ)− λh(a)]−|c|2.

Le minimum est alors atteint pour m(a,b) = 0, et

W3(a,b,m(a,b)) = 0.

On deduit de cette analyse que le minimum de J31 (ϕ0,ψ1,.) est atteint en ψ2 = ξm((ϕ0,1|ϕ0,2),(ψ1,1|ψ1,2)).

Pour tout ϕ ∈ C(ω;R3), on pose

ω+(ϕ) = x ∈ ω : (λ+ 2µ)− λh(Dϕ)(x) > 0

etω−(ϕ) = x ∈ ω : (λ+ 2µ)− λh(Dϕ)(x) ≤ 0.

D’apres l’analyse precedente, on a

infψ2J3

1 (ϕ0,ψ1,ψ2) = −∫ω+(ϕ0)×]−1,1[

λ2

2(λ+ 2µ)(δαβϕ0,α.ψ

1,β)2 dAdξ

= −∫ω+(ϕ0)

λ2

(λ+ 2µ)

[(δαβϕ0,α.u

1,β)2 +13

(δαβϕ0,α.v1,β)2

]dA

Page 36: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 26

Comme v1.ϕ0,α = 0 et ϕ0,α.v

1,β = −ϕ0,αβ .v1 on a

infψ2J3

1 (ϕ0,ψ1,ψ2) = −∫ω+(ϕ0)

λ2

(λ+ 2µ)(δαβϕ0,α.u

1,β)2 dA−∫ω+(ϕ0)

λ2

3(λ+ 2µ)(δαβϕ0,αβ .v

1)2 dA.

Enfin, comme v1 = 0 sur ω−(ϕ0), on obtient finalement

infψ2J3

1 (ϕ0,ψ1,ψ2) = −∫ω+(ϕ0)

λ2

(λ+ 2µ)(δαβϕ0,α.u

1,β)2 dA−∫ω

λ2

3(λ+ 2µ)(δαβϕ0,αβ .v

1)2 dA.

De (1.20), (1.18) et cette derniere equation, on conclut que J3∗ est bien de la forme annoncee.

2

5.3 Commentaires sur le modele avec flexion

Supposons que les elements de Q+3 soient tels que les valeurs propres de Nαβ

0 soientpositives ou nulles. Si de plus f1 = 0 et f1 = 0, alors toute solution de P+

3 minimise l’energie

JF (ϕ0) =13

∫ωCαβγδ

η2(ϕ0,αβ .n)(ϕ0,γδ.n) +Nαβ0 (ηn),α.(ηn),β dA

−∫ωf2.ϕ

0 + ηT1.ndA−∫∂ωσ

f2ϕ0 + ηT 1.nds

sur l’espaceQ3. En particulier, si les solutions du probleme membranaire sont les deformationsisometriques on retrouve le resultat de Fox Raoult et Simo (η = 1 et Nαβ

0 = 0).Notre modele ne semble pouvoir decrire correctement les deformations pour lesquelles Nαβ

0

possede une valeur propre strictement negative. Dans ce cas, suite a la presence du termeNαβ

0 u1,α.u1,β, l’energie J3

∗ n’est pas bornee inferieurement. Ce dernier point est a mettre enparallele avec le fait que l’energie obtenue pour les plaques membranaires par developpementasymptotique formel n’est pas correcte comme le montre l’analyse par Γ-convergence. Laregion du plan (v1(F ),v2(F )) ou Nαβ

0 possede des valeurs propres strictement negatives estprecisement la zone sur laquelle l’energie membranaire derivant de notre analyse et celle ob-tenue par Γ-convergence ne coıncident pas. Afin de resoudre ce probleme, la solution pourraitetre de choisir comme espace de minimisation non pas Q+

3 mais l’ensemble des elements deQ3 pour lesquelles Nαβ

0 ne possede pas de valeurs propres strictement negatives. En effet,les deformations n’appartenant pas a cet ensemble paraissent physiquement instables, ce quisemble etre une consequence de W0 6= QW0. Elles ne peuvent donc pas etre des minimiseursde l’energie elastique. On peut s’en convaincre en essayant de comprimer une membraneelastique. A chaque tentative, la membrane s’echappe. Elle se met en flexion, mais n’est pascontractee.Il serait assez interessant d’avoir un modele bien pose de plaque non lineaire combinant a lafois les effets membranaires et en flexion. Une idee naturelle consiste a essayer de minimiserl’energie

J∗(ϕ0) = J1∗ (ϕ

0) + εJ2∗ (ϕ

0) + ε3JF (ϕ0) (1.21)

Page 37: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Justification de modeles de plaques non lineaires par DV asymptotique formel 27

sur l’ensemble des deformations ϕ0 telles que en tout point,Nαβ0 (ϕ0) ne possede pas de valeurs

propres strictement negatives. Cet ensemble est ferme pour la topologie W 2,2 faible. Ainsi,si J∗ etait coercive pour la norme W 2,2 et sequentiellement semi continue inferieure pour latopologie W 2,2 faible, on aurait un modele correct de plaque combinant effets membranaireset en flexion. Cependant, J∗ ne verifie pas ces conditions. En particulier, J∗ n’est pas coercivepour la norme W 2,2. En effet, des que λh < (λ + 2µ), on a η = 0 et les termes en flexiondisparaissent. De plus, JF (ϕ0) n’est correctement defini que pour les deformations telles queϕ0,1 et ϕ0,2 soient lineairement independants. Ces deux problemes sont dus au fait que le modelede Saint Venant-Kirchhoff permet la compression d’un volume en un point avec une energiefinie, ce qui n’est pas physiquement admissible. Afin d’obtenir un modele correct combinanteffets membranaires et en flexion, il faudrait effectuer une analyse pour un solide constitued’un materiau ayant une loi de comportement plus realiste. L’energie J∗ est comparable acelle de Koiter [29]. Cependant, l’expression differe notamment par la presence du terme∫ωN

αβ0 (ηn),α.(ηn),β dA. La difference essentielle entre notre modele et celui de Koiter reside

dans le fait qu’on recherche les minimiseurs dans un espace qui n’est pas affine.

Page 38: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 28

Chapitre 2

Justification partielle du modele deplaques non lineaires en flexion parΓ-convergence

Notations

Mi,j Ensemble des matrices reels comportant i lignes, j colonnes.O(n) Matrices orthogonales de Mn,n

Bn(x,r) Boule euclidienne fermee de Rn de centre x et de rayon r.Un(x,r) Boule euclidienne ouverte de Rn de centre x et de rayon r.Rn(x,r) Cube dans Rn de centre x et de cote 2r dont les aretes sont paralleles

aux axes de coordonnees.p2 Projection de R3 sur R2. p2(x1,x2,x3) = (x1,x2).Dψ Differentielle de la fonction ψ.ψ,i Derivee de ψ par rapport a la variable xi.|x| Norme euclidienne de x ∈ Rn.‖F‖ Norme sur Mn,n definie par ‖F‖2 = tr(F TF ).|||F ||| Norme sur Mn,n definie par |||F ||| = sup

x6=0

|F.x||x| .

Λn−1(F ) comatrice de F ∈Mn,n.Lp(Ω;Mn,n) Espace des fonctions de Ω a valeurs dans Mn,n, muni de la norme

‖F‖Lp(Ω;Mn,n) =(∫

Ω ‖F‖p dx

)p.

W 1,p(Ω;Rn) Espace de Sobolev de fonctions de Ω a valeurs dans Rn, muni de la norme‖ψ‖W 1,p(Ω;Rn) = ‖ψ‖Lp(Ω;Rn) + ‖Dψ‖Lp(Ω;Mn,n).

xy Segment reliant les points x et y de Rn.Hp Mesure de Hausdorff p-dimensionnelle de Rn.|A| Mesure de Lebesgue d’une partie mesurable A de Rn.

Page 39: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 29

Dans tout ce chapitre, on adopte la convention de sommation standard sur les indices repetes.Les indices latins prennent les valeurs 1,2 ou 3. Les indices grecs 1 ou 2.C designe une constante susceptible de changer de ligne en ligne.

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Plaques en flexion et Γ-convergence 30

1 Introduction

1.1 Motivation

Les plaques sont des structures cylindriques minces dont la surface moyenne est inclusedans un plan. Leur comportement sous l’action d’un chargement peut etre decrit a l’aided’un modele tridimensionnel. Determiner la position d’equilibre d’une plaque constituee d’unmateriau hyperelastique, soumise a des forces mortes, consiste a minimiser une fonctionnellede la forme

Jε(ψε) =∫

Ωε

W (Dψε) dx− `ε(ψε),

c’est a dire a trouver une deformation ϕε telle que

J(ϕε) = minψε

J(ψε).

ou– Ωε est le domaine occupe par le solide au repos. Dans le cas des plaques, Ωε = ω×]−ε,ε[

ou ω est un ouvert de R2 et 2ε est l’epaisseur de la plaque.– ψε : Ωε → R

3 est la deformation. Elle associe a chaque point de l’etat de reference saposition a l’etat d’equilibre.

– `ε est une application lineaire dependant des forces appliquees a la plaque. Par exemple,si elle est soumise a des forces volumiques fε,

`ε(ψε) =∫

Ωε

ψε.fε dx.

L’espace de minimisation depend de la fonctionnelle W et des conditions imposees sur lebord de Ωε. La figure ci-dessous represente une plaque d’epaisseur 2ε, soumise a des forcesvolumiques fε, encastree au bord sur la partie grisee.

×= ; []-R 3

f

Fig. 2.1 – Deformation d’une plaque 3D

Dans le cas des plaques, ε est tres petit face aux dimensions caracteristiques de ω. Un modelebidimensionnel pourrait convenir et devrait constituer une simplification du probleme initial.On souhaiterait donc decrire la plaque comme occupant un ouvert ω de R2. On recherchealors la deformation a l’equilibre ϕ : ω → R

3, comme solution d’un nouveau probleme deminimisation de la forme

J0(ϕ) = minψJ0(ψ).

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Plaques en flexion et Γ-convergence 31

f

R

Fig. 2.2 – Deformation d’une plaque 2D

Il existe de nombreux modeles bidimensionnels decrivant le comportement d’une plaqueconstituee d’un materiau hyperelastique. La diversite des modeles s’explique par les differentessituations rencontrees : nature du materiau constitutif de la plaque, ordre de grandeur desforces appliquees, etc. L’objectif principal consiste a prouver que lorsque l’epaisseur 2εconverge vers zero, les solutions ϕε du modele tridimensionnel convergent, en un sens apreciser, vers une solution du modele bidimensionnel.

ϕε?→ ϕ. (2.1)

On aimerait egalement montrer que, toujours en un sens a preciser, les fonctionnelles Jεconvergent vers J0.

Jε?→ J0. (2.2)

1.2 Quelques resultats anterieurs

On possede beaucoup de resultats du type (2.1) et (2.2) dans le cas de l’elasticite lineaire.Le cas non lineaire est plus complexe. Une etape importante dans la justification des modelesnon lineaires de plaques a ete effectuee par Fox, Raoult et Simo [23]. Ces auteurs derivent di-vers modeles non lineaires modelisant le comportement d’une plaque constituee d’un materiaude type Saint Venant-Kirchhoff a l’aide d’une analyse asymptotique formelle. Malheureu-sement, cette approche ne donne aucun resultat de convergence. Une autre demarche estbasee sur les outils de Γ-convergence. L’analyse par Γ-convergence nous permet d’obtenir desresultats de convergence assez faibles et donc relativement “faciles” a demontrer. C’est ainsiune etape naturelle avant de tenter d’etablir des resultats plus forts.

Pour des forces de l’ordre de grandeur de l’epaisseur, Le Dret et Raoult [31] ont montre queles solutions ϕε du probleme tridimensionnel convergeaient vers une solution d’un problemebidimensionnel. Le probleme bidimensionnel ainsi obtenu se formalise d’une maniere analogueau probleme tridimensionnel. Si ψ : ω → R

3 decrit la deformation de la plaque ω, une solutiond’equilibre est un minimiseur d’une fonctionnelle J0, de meme forme que Jε:

J0(ψ) =∫ωQW0(Dψ) dx− L0(ψ).

Le modele obtenu est membranaire, c’est a dire que la densite d’energie interne QW0(Dψ)ne depend que de la premiere forme fondamentale DψTDψ, metrique de la surface deformee.

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Plaques en flexion et Γ-convergence 32

On obtient de plus qu’une telle plaque, sous certaines conditions sur W , ne resiste pas a lacompression. Ce n’est donc pas une plaque au sens usuel, mais une membrane elastique.

Pour des forces de l’ordre de grandeur du cube de l’epaisseur, Fox, Raoult et Simo ob-tiennent un modele non lineaire en flexion. Une solution est decrite comme etant un mini-miseur d’une fonctionnelle energie sur l’espace des fonctions isometriques (c’est a dire tellesque DψTDψ =identite). L’energie interne ne depend cette fois que de la seconde forme fon-damentale bαβ = ψ,αβ .n (n est la normale a la surface), qui mesure la courbure de la surfacedeformee. Le modele obtenu est dit en “flexion”. Malheureusement, il decoule d’un calcul for-mel, sans resultat de convergence. Cependant, Coutand et Ciarlet ([18],[13],[12]) ont prouveque ce modele est correct au sens ou il admet au moins une solution. Ceci constitue un indicefavorable laissant a penser que la Γ-limite de l’energie, apres changement d’echelle, convergevers l’energie de flexion non lineaire obtenue par Fox, Raoult et Simo. Le calcul complet dela Γ-limite semble etre un probleme difficile. Il donnerait un resultat de convergence. Dansce chapitre on en effectue un calcul partiel.Le tableau ci-apres donne un recapitulatif rapide des resultats precedemment obtenus pourun materiau non lineaire de type St Venant-Kirchhoff.

Developpementasymptotique formel

Γ-convergence

fε = O(1) Membranaire Membranairefε = O(ε2) En flexion ???

1.3 Rappels et outils mathematiques

1.3.1 1.3.1Modelisation d’une plaque non lineaire en flexion

Dans cette section, on decrit le modele obtenu par developpement asymptotique formelpour des forces de l’ordre de grandeur du cube de l’epaisseur par Fox, Raoult et Simo.Soit ω un domaine borne de R2. On suppose que la plaque est soumise a des forces mortessurfaciques f ∈ L1(ω;R3). La plaque est encastree sur un ouvert non vide ωφ ⊂ ω. Onnote VF (ω) l’ensemble des deformations isometriques de vecteur normal H1, verifiant lesconditions d’encastrement imposees:

VF (ω) =ψ ∈W 1,∞(ω;R3) : DψTDψ = I2;n(ψ) = ψ,1 ∧ ψ,2 ∈ H1(ω);ψ(x) = x sur ωφ

.

Remarque 3. La condition d’encastrement n’est pas celle retenue habituellement. On imposeen general ψ(x) = x et Dψ.ν = ν sur une partie du bord, ou ν designe la normale a ∂ω.Notre choix permet de supprimer toute consideration technique sur ∂ω.Remarque 4. Dans [12], Ciarlet et Coutand definissent l’espace des deformations admissiblescomme etant l’ensemble des deformations isometriques H2. L’egalite des deux espaces semblenaturelle, car pour les deformations isometriques regulieres,

ϕ,αβ = −(ϕ,α.n,β)n.

En d’autres termes, VF (ω) contient les deformations isometriques H2, mais la reciproquereste un probleme ouvert.

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Plaques en flexion et Γ-convergence 33

Pour tout ψ ∈ VF (ω), on note n(ψ) la normale a la surface deformee:

n(ψ) = ψ,1 ∧ ψ,2

on note bαβ(ψ) la seconde forme fondamentale:

bαβ(ψ) = −ψ,α.n(ψ),β .

Par commodite, sauf ambiguıte, on omettra la dependance de n et bαβ en ψ. Un etatd’equilibre est decrit comme etant le minimum sur VF de la fonctionnelle JF ,

JF (ψ) =∫ω

13Cαβγδ

bαβbγδ dx− `(ψ);

`(ψ) =∫ωf(x).ψ(x) dx;

etCαβγδ =

2µλλ+ 2µ

δαβδγδ + µ(δαγδβδ + δαδδβγ);

ou λ et µ designent les modules de Lame pour lesquels on suppose µ > 0 et λ ≥ 0. Ce modeleest un modele en flexion pure, c’est a dire que l’energie interne ne depend que de la secondeforme fondamentale. Les seuls cas interessants sont ceux pour lesquels VF ne se reduit pas aun element.

1.3.2 G-convergence

On rappelle qu’une suite de fonctionnelles Gε definies sur un espace metrique X a valeursdans R est dite Γ-converger vers G0 pour la topologie de X si les deux conditions suivantessont satisfaites pour tout x ∈ X :

∀xε → x, lim inf Gε(xε) ≥ G0(x),∃yε → x, Gε(yε)→ G0(x).

Si la suite gε est Γ-convergente, sa Γ-limite est egalement definie par

G0(x) = minlim inf Gε(xε);xε → x.

L’ensemble des fonctions deX a valeurs dans R possede une propriete de compacite sequentiellepour la Γ-convergence. En effet, de toute suite Gε : X → R, on peut extraire une sous-suitequi Γ-converge. L’interet principal de la Γ-convergence reside dans le fait que si les minimi-seurs de Gε restent dans un compact de X pour tout ε, alors leurs points d’adherence sontdes minimiseurs de G0.En fait, on a un peu mieux : Si xε est une suite d’elements de X telle que,

|Gε(xε)− inf Gε| → 0,

si de plus xε reste dans un compact de X, alors les points d’adherence de xε sont des mi-nimiseurs de G0. Cette propriete peut donc etre utilisee meme si l’infimum de Gε n’est pasatteint (voir De Giorgi et Franzoni [20], Attouch [2], Dal Maso [19]).

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Plaques en flexion et Γ-convergence 34

1.3.3 Modele de St Venant-Kirchhoff

Un materiau de type St Venant-Kirchhoff est determine par la donnee des constantes deLame λ et µ. L’energie interne est alors definie par

W (F ) =µ

4tr((F TF − I)2) +

λ

8(tr(F TF − I))2.

ou encoreW (F ) =

12CijklEijEkl,

avecE =

12

(F TF − I),

etCijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δil deltajk).

La fonction W satisfait des conditions de croissance et de coercivite (voir Ciarlet [7]):∃C > 0,∀F ∈M3,3, |W (F )| ≤ C(1 + ‖F‖4),∃α > 0,∃β ≤ 0,∀F ∈M3,3,|W (F )| ≥ α‖F‖4 − β.

Remarquons qu’il est possible de comprimer un solide constitue d’un materiau de St Venant-Kirchhoff en utilisant une energie nulle. Une telle propriete est conservee par passage a laΓ-limite. Illustrons ce phenomene a l’aide d’un exemple:Soit r : R→ R defini par

r(t) = −1 sur ]3m,3m+ 1],r(t) = +1 sur ]3m+ 1,3m+ 3] pour tout entier m.

1

-1

1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1

Soit ψn :]− 1,1[2×]− 1/n,1/n[→ R3 defini par

ψn(x1,x2,x3) =(∫ x1

−1r(n.t) dt,x2,x3

).

Pour tout n, ∫Ωε

W (Dψn) dx = 0 (2.3)

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Plaques en flexion et Γ-convergence 35

La suite ψn converge faiblement vers ψ :]− 1,1[2→ R3 defini par

ψ(x1,x2) = (x1/2,x2).

Enfin, l’equation (2.3) implique que la Γ-limite de l’energie appliquee a ψ est nulle !Il est donc necessaire de modifier le modele de St Venant-Kirchhoff. A cet effet, on va

restreindre l’ensemble des deformations admissibles.

1.3.4 Estimations de la distance d’une deformation a une deformation rigide

On rappelle dans cette section des resultats dus a John [27] et Kohn [28]. On enonceegalement un nouveau resultat, proche de celui etabli par Kohn, adapte a notre probleme,ainsi qu’une conjecture.

On definit l’ensemble des deformations rigides de Rn par

R(n) = ϕ : Rn → Rn;ϕ(x) = g.x+ d avec g ∈ O(n) et d ∈ Rn.

Soit Ω un ouvert connexe, Lipschitzien de Rn. Pour toute application ϕ : Ω → Rn, on

poseGϕ(x) = (Dϕ(x)TDϕ(x))

12 ,

Eϕ(x) = Gϕ(x)− I.Eϕ est nulle si est seulement si ϕ est une deformation rigide. F. John et R. Kohn se sontinteresses a la sensibilite de ϕ par rapport a Eϕ : Si Eϕ est proche de zero, ϕ est-elle proched’une deformation rigide? Ils ont obtenu les resultats suivants :

Pour tout δ > 0, on definit

IΩ,δ = ϕ : Ω→ Rn : ϕ est un C1 diffeomorphisme et ‖Eϕ(x)‖ < δ pour tout x ∈ Ω..

Dans le cas ou Ω est un cube, F. John a montre queTheoreme 5. (F. John) Pour tout p > 1, il existe δ = δ(p,n) > 0, et C = C(p,n) tel quesi Ω est un cube de Rn, et ϕ ∈ IΩ,δ, alors il existe une matrice g ∈ O(n) telle que

‖Dϕ− g‖Lp(Ω) ≤ C(p,n)‖Eϕ‖Lp(Ω)

Soit λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn les valeurs singulieres de Dϕ. On definit

e1(ϕ) = (λn − 1)+

e2(ϕ) = (λ2 · · ·λn − 1)+

e3(ϕ) = |det(Gϕ)− 1|

ete(ϕ) = e1(ϕ) + e2(ϕ) + e3(ϕ).

Kohn montre que:Theoreme 6. (R. Kohn) Soit Ω un domaine Lipschitzien de Rn (n ≥ 2). Soit p ≥ 1,p < n, alors il existe une constante C(Ω,p) telle que pour toute fonction bi-Lipschitzienneϕ : Ω→ R

n, il existe un mouvement rigide γ ∈ R(n) tel que

‖ϕ− γ‖Lq(Ω) ≤ C(Ω,p)‖e(ϕ)‖Lp(Ω)

ou q = npn−p

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Plaques en flexion et Γ-convergence 36

On n’utilisera pas cette estimation telle quelle. On aura en fait besoin du theoreme suivant:Soit

ep(ϕ) = e1(ϕ) + e2(ϕ) + Tp(e3(ϕ)).

ou

Tp(x) =x si x < 1x1/p si x ≥ 1.

Theoreme 7. Soit Ω un domaine Lipschitzien de Rn (n ≥ 2). Soit p ≥ 1, p < n, alors ilexiste une constante C(Ω,p) dependant uniquement de Ω et p telle que pour toute applicationϕ : Ω→ R

n bi-Lipschitzienne, il existe γ ∈ R(n) tel que

‖ϕ− γ‖Lq(Ω) ≤ C(Ω,p)‖ep(ϕ)‖Lp(Ω)

ou q = npn−p

Lemme 4. Il existe C tel que pour tout ϕ ∈W 1,4(Ω;R3), on a

|e2(ϕ)|2 ≤ CW (Dϕ).

Le theoreme 7, ainsi que le lemme precedent impliquentTheoreme 8. Soit Ω un domaine Lipschitzien de R3. Il existe une constante C(Ω) dependantuniquement de Ω telle que pour toute application ϕ : Ω → R

3 bi-Lipschitzienne, il existe unmouvement rigide γ ∈ R(3) tel que

‖ϕ− γ‖2L6(Ω) ≤ C(Ω)∫

ΩW (Dϕ) dx.

La demonstration du theoreme 7 est tres proche de celle du theoreme 6 du a Kohn. Elleest effectuee dans la section 5. La preuve du lemme 4 est effectuee en annexe.Conjecture 1. Soit R =]−1,1[3. Il existe C telle que pour tout ϕ : R→ R

3 bi-Lipschitzienne,il existe g ∈ O(3) tel que:

‖Dϕ− g‖2L2(R) < C

∫RW (Dϕ) dx.

Kohn conjecture dans [28] l’existence d’une estimation de ce type. Elle est utilisee demaniere explicite dans le theoreme 10 et le corollaire 4. Aucune autre proposition de cechapitre n’y fait reference.

1.4 Formulation du probleme

Cette section est consacree a la formulation de notre probleme. On definit notammentles suites de fonctionnelles I(ε) et I(ε) sur lesquels vont porter nos resultats. I(ε) et I(ε)sont toutes deux l’energie associee a une deformation d’une plaque d’epaisseur 2ε, apreschangement d’echelle. Leur definition introduit des restrictions (differentes) sur l’ensembledes deformations admissibles. En particulier, on veut pouvoir utiliser les estimations de lasection 1.3.4.

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Plaques en flexion et Γ-convergence 37

On note Mi,j l’ensemble des matrices comportant i lignes, j colonnes. Bn(x,r) et Un(x,r)designent respectivement la boule euclidienne fermee et ouverte de Rn, de centre x et rayonr et Rn(x,r) le cube de centre x de cote 2r, dont les aretes sont paralleles aux axes descoordonnees.

Pour tout ε > 0, on pose Ωε = ω×]−ε,ε[ ou ω est un ouvert borne Lipschitzien de R2. Onsuppose que notre solide est soumis a l’action de forces mortes volumiques fε ∈ L1(Ωε;R3)et surfaciques gε ∈ L1(Sε) ou Sε = ω×−ε; ε sont les faces laterales. Soit ωφ un ouvert nonvide de ω. On suppose que la plaque est encastree sur Γφε = ∂(ω×]− ε; ε[) ∩ ∂(ωφ×]− ε; ε[),libre sur le reste du bord. On pourrait envisager d’autres types de conditions au bord.Pour tout ouvert Ω, on definit

Vε(Ω) = ψ ∈W 1,4(Ω;R3) : ψε bi-Lipschitzienne sur R3(x,ε) ∩ Ω pour tout x;det(Dψ) > 0 presque partout

etV φε = ψε ∈ Vε(Ωε) : ψε(x) = x sur Γφε.

On definit la fonctionnelle Jε : L4(Ωε)→ R par

Jε(ψε) =

∫ΩεW (Dψε) dx− `ε(ψε) pour ψε ∈ V φ

ε

+∞ pour ψε /∈ V φε

(2.4)

ou`ε(ψε) =

∫Ωε

ψε.fε dx+∫Sεψε.gε dσ.

Soit δ(2,3) donne par le theoreme 5 pour n = 3 et p = 2. On pose

V φε = ψε ∈W 1,4(Ωε;R3) : ψε C1 diffeomorphisme sur R3(x,ε) ∩ Ωε pour tout x ∈ Ωε;

‖Eψε(x)‖ < δ(2,3) pour tout x ∈ Ωε;ψε(x) = x sur Γφε

On definit la fonctionnelle Jε : L4(Ωε)→ R par

Jε(ψε) =

ΩεW (Dψε) dx− `ε(ψε) pour ψε ∈ V φ

ε

+∞ pour ψε /∈ V φε

(2.5)

Parler de la Γ-limite de Jε ou Jε n’a aucun sens. En effet l’espace sur lequel ces fonctionnellessont definies depend de ε. Par un changement de variable classique, on se ramene a un espaceindependant de ε.

On pose Ω = ω×] − 1,1[. On definit π(ε) : Ω → Ωε par π(ε)(x1,x2,x3) = (x1,x2,εx3).Enfin, on definit ψ(ε) = ψε π(ε), J(ε)(ψ(ε)) = Jε(ψε) et J(ε)(ψ(ε)) = Jε(ψε).

On s’interesse au cas ou l’energie est de l’ordre du cube de l’epaisseur. Pour cela, on posedonc

I(ε)(ψ(ε)) =J(ε)(ψ(ε))

ε3; I(ε)(ψ(ε)) =

J(ε)(ψ(ε))ε3

.

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Plaques en flexion et Γ-convergence 38

On suppose que le travail des forces appliquees est egalement de l’ordre de ε3,

`(ε)(ψ(ε)) = ε3`(ψ(ε)) (2.6)

ou ` est une forme lineaire independante de ε. Notons que

`(ε)(ψ(ε)) = ε

∫Ωfε π(ε)(x)ψ(ε) dx+

∫ω×+1,−1

gε π(ε)(x)ψ(ε) dx.

Ainsi, l’hypothese (2.6) est equivalente a supposer qu’il existe f : Ω → R3 et g : ω ×

−1; +1 → R3 telles que

fε π(ε) = ε2fgε π(ε) = ε3g.

C’est a dire que les forces volumiques sont de l’ordre de ε2 et surfaciques de l’ordre de ε3. Ona ainsi construit deux suites de fonctionnelles I(ε) et I(ε) definies sur L4(Ω) a valeurs dansR. Les resultats presentes dans la section suivante portent sur la Γ-limite de ces suites.

Remarque 5. Notons que V φε ⊂ V φ

ε , et donc que I(ε) ≤ I(ε).Remarque 6. Il peut paraıtre surprenant de definir I(ε) et I(ε) sur L4(Ω;R3) et non surW 1,4(Ω;R3). Ce choix est motive par la volonte de travailler dans un espace metrique afin depouvoir utiliser les resultats de Γ-convergence (voir section 1.3.2). W 1,4(Ω;R3) muni de satopologie faible serait l’espace naturel a retenir. Cependant, ce n’est pas un espace metrisable,sauf si l’on se restreint a ses bornes.Remarque 7. Dans [23], le modele derive par developpement asymptotique formel prendegalement en compte des termes de moments dus aux forces volumiques d’ordre de gran-deur ε, et surfaciques d’ordre de grandeur ε2. Nous n’etudions pas cette possibilite. A priori,il n’y a pas de difficulte majeure pour integrer ce type de forces a notre analyse.

1.5 Resultats principaux

De toute sous-suite de I(ε), on peut extraire une sous-suite qui Γ-converge. Soit I(εn)une telle sous-suite. On note I0 sa Γ-limite. Par commodite, on notera I(ε) au lieu de I(εn).On effectue de meme pour I(ε). On note I0 la Γ-limite de la suite extraite. En general, lesfonctionnelles I(ε) et I(ε) ne possedent pas de minimiseurs. Cependant, on rappelle que si lesquasi-minimiseurs de ces fonctionnelles restent dans un compact de L4(Ω), les suites extraitesconvergentes de quasi-minimiseurs convergent vers des minimiseurs de I0 et I0 (voir section1.3.2).

On rappelle que VF (ω) designe l’ensemble des deformations isometriques de normale H1

verifiant les conditions d’encastrement et que JF est l’energie de flexion non lineaire (voirsection 1.3.1).Theoreme 9. Pour tout ϕ0 ∈ L4(Ω;R3) tel que I0(ϕ0) < +∞, alors il existe ϕ : ω → R

3 telque ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2). De plus,

ϕ ∈ VF (ω) et JF (ϕ) ≤ I0(ϕ0)

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Plaques en flexion et Γ-convergence 39

Theoreme 10. Pour tout ϕ0 ∈ L4(Ω;R3) tel que I0(ϕ0) < +∞, alors il existe ϕ : ω → R3

tel que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2). De plus,

DϕTDϕ = I2.

Enfin, si la conjecture 1 est exacte,

ϕ ∈ VF et JF (ϕ) ≤ I0(ϕ0).

Remarque 8. Au vu du theoreme 9, le theoreme 10 peut sembler superflu, d’autant plusqu’une partie repose sur une conjecture. Cependant, I(ε) introduit dans sa definition des res-trictions sur l’ensemble des deformations admissibles beaucoup plus faibles que celles retenuespour I(ε). C’est donc un cas plus interessant mais plus ardu.

Le chapitre est organise comme suit : Dans la section 2, on etablit des estimations dela distance d’une deformation a une deformation rigide en fonction de l’energie interneet du parametre ε. La section 3 est consacree a la demonstration des theoremes 9 et 10.Avant d’etablir ces resultats, on demontre dans un premier temps que les deformationsd’energie interne nulle sont rigides (section 3.1), puis que les deformations d’energie finiesont isometriques (section 3.2). Dans la section 4, on effectue le calcul complet de la Γ-limitepour les deformations C2(ω;R3). Le theoreme 7 est demontre dans la section 5. Enfin, on apris le parti, afin de rendre la premiere lecture plus conviviale, de reporter en section annexecertaines demonstrations.

2 Une estimation de la deformation en fonction de l’energie

On pose Rε =]− 1,1[2×]− ε,ε[. Le but de cette section est d’evaluer la constante C(Rε)du theoreme 8. Plus precisement, on prouve:Theoreme 11. Il existe C > 0 telle que pour tout ε, 1/4 > ε > 0, pour toute fonctionϕε ∈ Vε(Rε;R3), il existe une deformation rigide γε ∈ R(3), telle que

‖ϕε − γε‖2L2(Rε)

ε≤ C

(∫RεW (Dϕε) dxε3

)

Dans un premier temps, on va s’attacher a demontrer un theoreme similaire pour lespoutres Iε = I×]− ε,ε[2 ou I =]− 1,1[. On montre notamment queTheoreme 12. Il existe C > 0 telle que pour tout 1/4 > ε > 0, pour toute ϕε ∈ Vε(Iε), ilexiste γε deformation rigide telle que

‖ϕε − γε‖2L6(Iε)

ε2/3≤ C

(∫IεW (Dϕε) dx

ε4

)

La demonstration du theoreme 11 utilise le corollaire 1 de la section 2.1

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Plaques en flexion et Γ-convergence 40

2.1 Cas des poutres

On demontre dans cette section le theoreme 12, ainsi que d’autres estimations du memetype.

Soit ε, 1/4 > ε > 0, soit N ∈ N tel que

2ε− 2 ≤ N <

2ε− 1. (2.7)

On pose

δ =2− 2εN

.

Il est facile de voir que

6ε7≤ δ ≤ ε. (2.8)

On definit la famille de points (xi)i=0,··· ,N et de cubes (Qi)i=0,··· ,N par

xi = ε+ δi− 1

etQi =]xi − ε,xi + ε[×]− ε,ε[2.

La famille des cubes Qi est un recouvrement de Iε. L’entier N , les familles (xi)i=0,··· ,N et(Qi)i=0,··· ,N dependent de ε. On ne fait pas apparaıtre cette dependance dans les notationspar simple commodite.Lemme 5. Il existe C telle que pour tout ε, pour toute application ϕε :] − ε,ε[3→ R

3 bi-Lipschitzienne, il existe γε ∈ R(3), deformation rigide, telle que

‖ϕε − γε‖2L6(]−ε,ε[3;R3) < C

∫]−ε,ε[3

W (Dϕε) dx.

PreuveD’apres le theoreme 8 applique au cas Ω =] − 1,1[3, n = 3, p = 2, il existe une constanteC > 0 telle que pour tout ϕ :]− 1,1[3→ R

3, il existe γ ∈ R(3), deformation rigide telle que

‖ϕ− γ‖2L6(]−1,1[3;R3) < C

∫]−1,1[3

W (Dϕ) dx. (2.9)

Soit ε > 0, ϕε une application de ]−ε,ε[3 vers R3, bi-Lipschitzienne. On definit ϕ(ε) :]−1,1[3→R

3 par

ϕ(ε)(x) =ϕε(εx)ε

.

ϕ(ε) est une application bi-Lipschitzienne, il existe donc une deformation rigide γε ∈ R(3)realisant (2.9). Or

‖ϕ(ε)− γε‖L6(]−1,1[3;R3) =‖ϕε − γε‖L6(]−ε,ε[3;R3)

ε3/2

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Plaques en flexion et Γ-convergence 41

xi xi+1

yi

Qi

Fig. 2.3 – Recouvrement de Iε par ∪Qi.

et ∫]−1,1[3

W (Dϕ(ε)) dx =

∫]−ε,ε[3 W (Dϕε) dx

ε3,

d’ou‖ϕε − γε‖2L6(]−ε,ε[3;R3) ≤ C

∫]−ε,ε[3

W (Dϕε) dx.

2

Si ϕε ∈ Vε(Iε), ϕε est bi-Lipschitzienne sur tout cube Qi. D’apres le lemme precedent, ilexiste une famille de deformations rigides (γi)i=1···N , telle que

‖ϕε − γi‖2L6(Qi;R3) ≤ C‖W (Dϕε)‖L1(Qi) pour tout i. (2.10)

On va montrer queProposition 6. Il existe C > 0 telle que pour tout reel ε, 1/4 > ε > 0, pour tout entier n,n ≤ N , pour toute deformation ϕε ∈ Vε(Iε), et pour toute deformation rigide γ,

‖ϕε − γ‖L6(Iε;R3)

ε1/3≤ C

‖W (Dϕε)‖1/2L1(Iε)

ε2+‖γn − γ‖L6(Qn;R3)

ε3/2

Page 52: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 42

Corollaire 1. Il existe C > 0 telle que pour tout reel ε, 1/4 > ε > 0, pour tout entier n,n ≤ N , pour toute deformation ϕε ∈ Vε(Iε), et pour toute deformation rigide γ,

‖ϕε − γ‖L2(Iε;R3)

ε≤ C

‖W (Dϕε)‖1/2L1(Iε)

ε2+‖γn − γ‖L6(Qn;R3)

ε3/2

Preuve du corollaire 1D’apres les inegalites de Holder,

‖ϕε − γ‖L2(Iε) ≤(∫

1 dx)1/3

‖ϕε − γ‖L6(Iε)

≤ ε2/3‖ϕε − γ‖L6(Iε)

il suffit alors d’appliquer la proposition 6 pour conclure. 2

On poseA =

g : R3 → R

3 : g(x) = c.x+ d; c ∈M3,3; d ∈ R3

Afin de demontrer la proposition 6, on aura besoin du lemme suivant:Lemme 6. soit g ∈ A, il existe C2 telle que pour tout ε > 0, pour tous x0,y0 ∈ R3,

‖g‖L6(]x0−ε,x0+ε[×]−ε,ε[2) ≤ C2

(1 +|x0 − y0|

ε

)‖g‖L6(]y0−ε/2,y0+ε/2[×]−ε,ε[2)

Preuve du lemme 6Ce lemme est similaire au lemme 4.11 de [28] du a R. Kohn. Voir l’annexe. 2

Preuve de la proposition 6On commence par estimer les differences entre deux deformations rigides voisines. Pour

tout k entier naturel, k < N, on a

‖γk+1 − γk‖L6(Qk+1∩Qk) ≤ ‖γk+1 − ϕε‖L6(Qk+1∩Qk) + ‖γi − ϕε‖L6(Qk+1∩Qk)

≤ C(‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk+1)+ ‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk)

).

Soit yk = xk+1+xk2 le milieu de xk et xk+1. D’apres (2.7), on a (voir la figure 2.3)

]yk − ε/2,yk + ε/2[×]− ε,ε[2⊂ Qk+1 ∩Qk. (2.11)

D’apres le lemme 6 et (2.11), pour tout i entier, i ≤ N,

‖γk+1 − γk‖L6(Qi) ≤ C

(1 +|xi − yk|

ε

)‖γk+1 − γk‖L6(]yk−ε/2,yk+ε/2[×]−ε,ε[2)

≤ C

(1 +|xi − yk|

ε

)‖γk+1 − γk‖L6(Qk+1∩Qk)

≤ C

(1 +|xi − yk|

ε

)(‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk+1)+ ‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk)

).

Page 53: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 43

Comme|xi − yk| = |(i− k − 1/2)δ| ≤ |i− k − 1/2|ε,

on obtient

‖γk+1 − γk‖L6(Qi) ≤ C(1 + |k − i|)(‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk+1)+ ‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk)

). (2.12)

Pour tout n et i, on va estimer la difference d’une deformation rigide γi avec une deformationrigide quelconque γ en fonction de ‖W (Dϕε)‖L1(Iε) et de la difference entre γn et γ.Soit i > n; en appliquant a nouveau le lemme 6,

‖γ − γn‖L6(Qi) ≤ C(

1 +|xn − xi|

ε

)‖γ − γn‖L6(Qn).

Or |xn−xi|ε ≤ |n− i| d’ou

‖γ − γn‖L6(Qi) ≤ C(1 + i− n)‖γ − γn‖L6(Qn). (2.13)

On applique l’inegalite triangulaire afin de majorer la difference entre γ et γi.

‖γ − γi‖L6(Qi) ≤ ‖γ − γn‖L6(Qi) + ‖γn − γn+1‖L6(Qi) + · · ·+ ‖γi−1 + γi‖L6(Qi).

D’apres les inegalites (2.12) et (2.13),

‖γ − γi‖L6(Qi) ≤ C(1 + i− n)‖γ − γn‖L6(Qn)

+Ci∑

k=n−1

(1 + i− k)(‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk+1)+ ‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Qk)

)≤ C

[(1 +N))‖γ − γn‖L6(Qn) +

i∑k=n−2

(1 + i− k)‖W (Dϕε)‖1/2L1(Qk+1)

],

puis par l’inegalite de Schwarz,

‖γ − γi‖L6(Qi) ≤ C

[(1 +N))‖γ − γn‖L6(Qn)

+

(i∑

k=n−2

(1 + (i− k))2

)1/2( i∑k=n−2

‖W (Dϕε)‖L1(Qk+1)

)1/2 ]. (2.14)

Pour tout element x ∈ Qk, |x− xk| < 2ε ainsi,

x ∈ Dk et x ∈ Dk′ ⇒ |kδ − k′δ| < 4ε⇒ |k − k′|δ < 4ε

⇒ |k − k′|ε2< 4ε,

d’ou|k : k ∈ n− 2,...,i;x ∈ Qk| ≤ 7.

Page 54: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 44

On en deduit que

i∑k=n−2

‖W (Dϕε)‖L1(Qk+1) =∫W (Dϕε)|k : k ∈ n− 2,...,i;x ∈ Qk|dx

≤ 7‖W (Dϕε)‖L1(Iε).

On applique cette inegalite a (2.14):

‖γ − γi‖L6(Qi) ≤ C(

(N + 1)‖γ − γn‖L6(Qn) + (N + 1)3/2‖W (Dϕε)‖1/2L1(Iε)

).

Comme (N + 1) < 1/ε,

‖γ − γi‖L6(Qi) ≤ C

‖γ − γn‖L6(Qn)

ε+‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Iε)

ε3/2

. (2.15)

Le probleme etant invariant par la symetrie (x,y,z) → (−x,y,z), qui envoie Qi sur QN−i,cette majoration reste valable pour i ≤ n. Le resultat final en decoule :

‖ϕε − γ‖6L6(Iε)≤

N∑i=0

‖ϕε − γ‖6L6(Qi)≤ C

N∑i=0

(‖ϕε − γi‖6L6(Qi)

+ ‖γi − γ‖6L6(Qi)

)≤ C

( N∑i=0

‖W (Dϕε)‖3L1(Qi)

)+ (N + 1)

‖γ − γn‖L6(Qn)

ε+‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Iε)

ε3/2

6d’apres (2.10) et (2.15)

≤ C(N + 1)

‖W (Dϕε)‖3L1(Iε)+

(‖γ−γn‖L6(Qn)

ε +‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Iε)

ε3/2

)6

≤ C

ε

‖γ − γn‖L6(Qn)

ε+‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Iε)

ε3/2

6

.

Ainsi,

‖ϕε − γ‖L6(Iε) ≤C

ε1/6

‖γ − γn‖L6(Qn)

ε+‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Iε)

ε3/2

et

‖ϕε − γ‖L6(Iε)

ε1/3≤ C

‖γ − γn‖L6(Qn)

ε3/2+‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Iε)

ε2

.

Ce qui acheve la demonstration. 2

Preuve du theoreme 12L’estimation decoule de la proposition 6 appliquee a γ = γn, avec n quelconque. 2

Remarque 9. Afin de demontrer le theoreme 12, il n’est pas utile d’introduire la deformationrigide γ. Son role n’apparaıt que dans la demonstration du theoreme 11 effectuee dans lasection suivante.

Page 55: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 45

2.2 Cas des plaques carrees

Cette section est consacree a la demonstration du theoreme 11.On considere a nouveau ε > 0, ε < 1/4 et N ∈ N tel que

2ε− 2 ≤ N <

2ε− 1.

On pose

δ =1− 2εN

;

xi = ε+ iδ − 1;xi,j = (xi,xj).

etQi,j =]xi − ε,xi + ε[×]xj − ε,xj + ε[×]− ε,ε[.

La famille de cubes Qi,j recouvre Rε. Soit ϕε ∈ Vε(Rε). D’apres le lemme 5, il existe unefamille de deformations rigidifiantes γi,j telle que

‖ϕε − γi,j‖2L6(Qi,j)≤ C‖W (Dϕε)‖L1(Qi,j)

Preuve du theoreme 11

On pose Li =N⋃j=0

Qi,j et Tj =N⋃i=0

Qi,j . Comme

N∑i=0

‖W (Dϕε)‖L1(Ti) ≤ 7‖W (Dϕε)‖L1(Rε), (2.16)

il existe n ∈ 0, · · · ,N tel que

‖W (Dϕε)‖L1(Tn) ≤7

N + 1‖W (Dϕε)‖L1(Rε).

Il existe donc une constante C telle que

‖W (Dϕε)‖1/2L1(Tn)

≤ Cε1/2‖W (Dϕε)‖1/2L1(Rε)

. (2.17)

En appliquant l’inegalite (2.15) a la poutre Tn avec Qi = Qi,n; γi = γi,n et γ = γn = γ0,n,il vient

‖γ0,n − γi,n‖L6(Qi,n) ≤ C‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Tn)

ε3/2

Ainsi, d’apres (2.17)

‖γ0,n − γi,n‖L6(Qi,n) ≤ C‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Rε)

ε1/2(2.18)

Page 56: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 46

D’apres le corollaire 1 et (2.18),

‖ϕε − γ0,n‖L2(Li) ≤ C

‖W (Dϕε)‖1/2L1(Li)

ε2+‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Rε)

ε3/2

ε

‖ϕε − γ0,n‖2L2(Rε)≤

N∑i=0

‖ϕε − γ0,n‖2L2(Li)(2.19)

≤ C

N∑i=0

(‖W (Dϕε)‖L1(Li)

ε4+‖W (Dϕε)‖L1(Rε)

ε3

)ε2 (2.20)

De (2.16) et (2.20), il vient

‖ϕε − γ0,n‖2L2(Rε)≤ C

(‖W (Dϕε)‖L1(Rε)

ε4+‖W (Dϕε)‖L1(Rε)

ε4

)ε2

≤ Cε‖W (Dϕε)‖L1(Rε)

ε3

Ainsi,‖ϕε − γ0,n‖L2(Rε)

ε1/2≤ C‖W (Dϕε)‖1/2

L1(Rε)

ε3/2.

Ce qui acheve la demonstration. 2

3 Calcul d’une borne inferieure pour la G-limite.

3.1 Les deformations d’energie interne nulle sont des deformations rigides.

On pose

Rσ = γ : R2 → R3 : γ(x) = c.x+ b; c ∈M3,2; cT c = I2; b ∈ R3

etRΣ = γ : R3 → R

3 : γ = γ p2 : γ ∈ RΣ.

ou p2 est la projection de R3 sur ses deux premieres composantes. Rσ est l’ensemble desdeformations rigides d’une plaque. RΣ lui est canoniquement isomorphe.Lemme 7. Il existe C > 0 tel que quel que soit ϕ(ε) ∈W 1,4(R1;R3), suite convergente dansL4(R1) fort, ϕ0 = lim

ε→0ϕ(ε), il existe γ ∈ RΣ tel que

‖ϕ0 − γ‖L2(R1) ≤ C lim inf

(∫RεW (Dϕε) dxε3

)1/2

Page 57: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 47

PreuveOn peut supposer que

lim inf

(∫RεW (Dϕε) dxε3

)<∞.

Effectivement, dans le cas contraire, il n’y a rien a demontrer. D’apres le theoreme 11, ilexiste γε ∈ R(3), tel que

‖ϕε − γε‖L2(Rε)

ε1/2≤ C

(∫RεW (Dϕε) dxε3

)1/2

On rappelle que γ(ε) = γε π(ε) et ϕ(ε) = ϕε π(ε) ou π(ε)(x1,x2,x3) = (x1,x2,εx3). On adonc

‖ϕ(ε)− γ(ε)‖L2(R1) ≤ C

(∫RεW (Dϕε) dxε3

)1/2

(2.21)

Il existe une suite εn → 0 telle que

limn→+∞

∫Rεn

W (Dϕεn) dx

ε3n

= lim inf

∫RεW (Dϕε) dxε3

.

D’apres la definition de R(3), il existe gε ∈ O(n), dε ∈ R3, tels que

γ(εn)(x) = gεn(x1,x2,εx3) + dεn .

Comme O(n) est compact, et dεn reste dans un borne de R3, on peut extraire de εn unesous-suite tel que gεn converge vers un certain g et dεn vers un certain d. On alors

γεn → g.(x1,x2,0) + d dans L2(R1).

La limite γ = g.(x1,x2,0)+d est un element de RΣ. On conclut en passant a la limite lorsquen tend vers +∞ dans (2.21), avec ε = εn. 2

Dans le cas ou ω est un carre, on en deduitCorollaire 2. En l’absence de forces exterieures, c’est a dire si ` = 0, toute deformationϕ0 ∈ L4(R1;R3) telle que I0(ϕ0) = 0 est un element de RΣ.

PreuveSoit ϕ0 ∈ L4(R1;R3) telle que I0(ϕ0) = 0. Il existe ϕ(ε)→ ϕ0 dans L4(R1;R3) fort telle que

lim

∫RεW (Dϕε) dxε3

= lim I(ε)(ϕ(ε)) = 0.

d’apres le lemme 7, il existe donc γ ∈ RΣ tel que

‖ϕ0 − γ‖L2(R1) ≤ lim inf

∫RεW (Dϕε) dxε3

= 0.

2

Remarque 10. Le but de ce corollaire consiste uniquement a illustrer la portee du lemme 7.Il pourrait etre generalise au cas ou ω est un ouvert Lipschitzien quelconque.

Page 58: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 48

3.2 Les deformations d’energie finie sont isometriques.

Cette section est consacree a la demonstration de la proposition suivante:Proposition 7. Soit ϕ0 ∈ L4(Ω) tel que I0(ϕ0) <∞, alors

– il existe ϕ ∈W 1,4(ω) telle que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2).– ϕ est une deformation isometrique, c’est a dire

DϕTDϕ = I2.

Preuve du premier point de la proposition 7Soit ϕ0 ∈ L4(Ω;R3) telle que I0(ϕ0) < +∞. Il existe une suite ϕ(ε)→ ϕ0 dans L4(Ω;R3)

fort telle quelim I(ε)(ϕ(ε)) < +∞.

α

∫Ω‖(ϕ(ε),1|ϕ(ε),2|ε−1ϕ(ε),3)‖4 dx ≤ ε−1

∫Ωε

W (Dϕε) dx+ β

≤ ε−1

[∫Ωε

W (Dϕε) dx− `ε(ϕε)]

+ ε−1`ε(ϕε) + β

≤ ε2I(ε)(ϕ(ε)) + ε2`(ϕ(ε)) + β

≤ ε2I(ε)(ϕ(ε)) + ε2C‖ϕ(ε)‖W 1,4(Ω) + β. (2.22)

Ainsi, des que ε < 1,∫Ω‖Dϕ(ε)‖4 dx ≤ ε2I(ε)(ϕ(ε)) + ε2C‖ϕ(ε)‖W 1,4(Ω) + β. (2.23)

On rappelle qu’il existe une constante C, dependant uniquement de Ω et Γφ telle que pourtout ψ ∈W 1,4(Ω;R3),

‖ψ‖W 1,4(Ω;R3) ≤ C(‖Dψ‖L4(Ω) + ‖ψ‖W 3/4,4(Γφ;R3)

).

Comme ϕ(ε)(x1,x2,x3) = (x1,x2,εx3) sur Γφ, l’inegalite de Poincare ci-dessus, combinee avecl’estimation (2.23) implique que ϕ(ε) reste bornee dans W 1,4(Ω;R3) et donc que ϕ0est unelement de W 1,4(Ω;R3).

De plus, comme |ϕ(ε),3| ≤ ε‖(ϕ(ε),1|ϕ(ε),2|ε−1ϕ(ε),3)‖, on deduit de (2.22) que

ϕ(ε),3 → 0 dans L4 fort

et queϕ0,3 = 0.

On conclut en appliquant le corollaire 5 (voir annexe). 2

On a egalement montre queLemme 8. Si ϕ(ε) ∈ L4(Ω;R3) est une suite telle que I(ε)(ϕ(ε)) reste borne, alors ϕ(ε) estbornee dans W 1,4(Ω;R3).

Page 59: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 49

L’ouvert ω etant Lipschitzien, il existe un operateur de prolongement Rω de W 1,4(ω;R3)versW 1,4(R3;R3) continu, lineaire. Pour tout d > 0, on note Sω(d) l’application deW 1,4(ω;R3)a valeurs dans W 1,4(ω×I2;R3) definie par : quels que soient x ∈ I2, y ∈ ω et v ∈W 1,4(ω;R3)

Sω(d).v(y,x) =Rω(v)(dx+ y)− Rω(v)(y)

d

Lemme 9. Pour tout v ∈W 1,4(ω),

Sω(d).v d→0−−→ Dyv.x dans L4(ω × I2;R3) fort.

PreuveSoit u ∈ C∞0 (R2;R3), ∣∣∣∣u(dx+ y)− u(y)

d−Dyu.x

∣∣∣∣ d→0−−→ 0.

De plus,∣∣∣u(dx+y)−u(y)

d −Dyu.x∣∣∣ est majore par une fonction L1 independante de d. Ainsi,

d’apres le theoreme de Lebesgue,∥∥∥∥u(dx+ y)− u(y)d

−Dyu.x

∥∥∥∥L4(R2×R2)

d→0−−→ 0. (2.24)

Soit v ∈W 1,4(ω;R3). Pour tout δ > 0, il existe uδ ∈ C∞0 (R2;R3) tel que

‖Rω(v)− uδ‖W 1,4(R2;R3) ≤δ

3√

2(2.25)

‖Dyv.x− Sω(d).v‖L4(ω×I2;R3) ≤ ‖Dyv.x−Dyuδ.x‖L4 +∥∥∥∥Dyuδ.x−

uδ(dx+ y)− uδ(y)d

∥∥∥∥L4

+∥∥∥∥Sω(d).v − uδ(dx+ y)− uδ(y)

d

∥∥∥∥L4

(2.26)

D’apres (2.25), on a

‖Dyv.x−Dyuδ.x‖L4(ω×I2;R3) ≤√

2‖Dyv −Dyuδ‖L4(ω;M3,3) ≤δ

3. (2.27)

De plus (2.24) implique que pour d assez petit,∥∥∥∥Dyuδ.x−u(dx+ y)− u(y)

d

∥∥∥∥L4(ω×I2)

≤ δ

3(2.28)

Page 60: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 50

Enfin,∥∥∥∥Sω(d).v − u(dx+ y)− u(y)d

∥∥∥∥L4(ω×I2)

=∥∥∥∥∫ 1

0Ddt+y(Rω(v)− uδ).xdt

∥∥∥∥L4(ω×I2)

≤(∫

ω×I2

∫ 1

0|Ddt+y(Rω(v)− uδ).x|4 dtdxdy

)1/4

≤(∫

R2×I2

∫ 1

0|Ddt+y(Rω(v)− uδ).x|4 dtdxdy

)1/4

≤(∫

R2×I2

∫ 1

0|Dy(Rω(v)− uδ).x|4 dt dxdy

)1/4

≤(∫

R2×I2

‖Dy(Rω(v)− uδ)‖4 dxdy)1/4

≤√

2‖Dy(Rω(v)− uδ)‖L4(R2;M3,3)

≤ δ

3.

De (2.26), (2.27), (2.28) et cette derniere majoration, on en deduit que

‖Dyv.x− Sω(d).v‖L4(ω×I2;R3) ≤ δ

des que d est assez petit. 2

Preuve du deuxieme point de la proposition 7On definit pour tout δ > 0

ωδ = x ∈ ω : dist(x,R2 − ω) >√

2δ.

Soit ϕ0 tel que I0(ϕ0) <∞. Il existe M < +∞ et ϕ(ε)→ ϕ0 dans L4(Ω) fort tels que

I(ε)(ϕ(ε)) < M.

D’apres le lemme 8, la suite ϕ(ε) est bornee dans W 1,4(Ω). Ainsi,

ϕ(ε) ϕ0 dans W 1,4(Ω;R3) faible.

On en deduit grace au theoreme de Rellich-Kondrachov que

ϕ(ε)→ ϕ0 dans C(Ω;R3). (2.29)

Soit δ > 0 et d < δ, on definit

ϕε,d : ωδ × I2×]− ε/d,ε/d[ → R3

(y,x,x3) 7→ ϕε(dx+y,dx3)−ϕε(y,0)d

La convergence (2.29) de ϕ(ε) dans C(Ω;R3) et la definition de Sω(d) impliquent que pourtout y ∈ ωδ,

(ϕε,d(y)) π(ε) ε→0−−→ (Sω(d).ϕ(y)) p2 dans C(R1;R3) donc dans L4(R1;R3) fort.

Page 61: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 51

On applique le lemme 7 a la suite ϕε,d(y) π(ε). Il existe donc γd(y) ∈ RΣ, tel que

‖Sω(d).ϕ(y))− γd(y)‖L2(R1) ≤ C lim infε→0

(∫Rε/d

W (Dϕε,d(y)) dx

(ε/d)3

)1/2

.

En elevant cette inegalite au carre, puis par integration et application du lemme de Fatou,on obtient∫

ωδ

∫x∈I2

|Sω(d).ϕ(y)(x)− γd(y).x|2 dxdy ≤ C lim inf∫y∈ωδ

∫Rε/d

W (Dϕε,d(y))ε3

d3 dxdy.

On cherche une majoration du membre de droite∫y∈ωδ

∫Rε/d

W (Dϕε,d)ε3

d3 dxdy =∫y∈ωδ

∫Rε/d

W (Dϕε(dx+ (y,0)))ε3

d3 dxdy

=∫y∈ωδ

∫x∈I2

∫ ε/d

x3=−ε/d

W (Dϕε(dx+ y,dx3))ε3

d3 dx3 dxdy.

On effectue le changement de variable par l’application suivante

ωδ × I2×]− 1,1[ →⋃y∈ωδ

R2(y; d)× I2×]− 1,1[

(y,x,x3) 7→ (z,x,y) = (dx+ y,x,x3).

Comme⋃y∈ωδ

R2(y; d) ⊂ ω, il vient

∫y∈ωδ

∫Rε/d

W (Dϕε,d)ε3

d3 dxdz ≤∫z∈ω

∫x∈I2

∫ ε/d

x3=−ε/d

W (Dϕε(y,dx3))ε3

d3 dx3dxdy

= 4∫z∈ω

∫ ε

x3=−ε

W (Dϕε(y,x3))ε3

d2 dx3 dz = 4d2I(ε)(ϕ(ε)).

Finalement, on obtient donc∫ωδ

∫x∈I2

|Sω(d).ϕ(y)(x)− γd(y).x|2 dxdy ≤ Cd2 lim inf I(ε)(ϕ(ε)) ≤ Cd2M.

D’apres la proposition 9, lorsque d tend vers zero,

Sω(d).ϕ→ Dyϕ.x dans L2(ωδ × I2) fort.

Ainsi, γd converge dans L2(ωδ × I2;R3) vers Dyϕ.x.Soit cd(y) ∈ L2(ωδ;M3,2) et bd ∈ L2(ωδ;R3) tels que pour presque tout y, γd(y).x = cd(y).x+bd(y). On vient de montrer que pour presque tout x ∈ I2,

cd.x+ bd → Dyϕ.x dans L2(ωδ;R3).

Page 62: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 52

On en deduit quebd → 0 dans L2(ωδ;R3)

etcd → Dyϕ dans L2(ωδ;M3,2).

En particulier,cTd cd → Dyϕ

TDyϕ dans L1(ωδ;M2,2).

Or quel que soit d, cd ∈ RΣ, d’oucTd cd = I2.

On a donc pour presque tout y ∈ ωδ que

DyϕTDyϕ = I2.

La conclusion generale resulte du fait que

ω =⋃δ

ωδ.

2

Corollaire 3. Soit ϕ(ε)→ ϕ0 dans L4(Ω) fort , telle qu’il existe M > 0 tel que

I(ε)(ϕ(ε)) < M

pour tout ε, alors ϕ(ε) converge vers ϕ0 dans W 1,4(Ω;R3) fort.Preuve du corollaireD’apres le lemme 8 ϕ(ε) est bornee dans W 1,4, d’ou

ϕ(ε) ϕ0 dans W 1,4(Ω;R3) faible.

Pour tout (f1|f2|f3) ∈M3,3,

(|f1|2 − 1)2 + (|f2|2 − 1)2 ≤ 4µW ((f1|f2|f3)).

Ainsi,∫Ω

(|ϕ(ε),1|2 − 1)2 + (|ϕ(ε),2|2 − 1)2 dx ≤ 4µ

∫ΩW ((ϕ(ε),1|ϕ(ε),2|ε−1ϕ(ε),3)) dx

=4µε−1

∫Ωε

W (Dϕε) dx

=4µε2(I(ε)(ϕ(ε)− `(ϕ(ε)))

≤ 4µε2(M + C‖ϕ(ε)‖W 1,4(Ω;R3)

).

Comme ‖ϕ(ε)‖W 1,4(Ω;R3) est borne,

|ϕ(ε),1|2 → 1 dans L2(Ω)|ϕ(ε),2|2 → 1 dans L2(Ω).

Page 63: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 53

On rappelle que ϕ(ε),3 → 0 dans L4 fort. Ainsi,∫Ω|Dϕ(ε)|2 dx→ 2|Ω|.

D’apres la proposition 7, ∫Ω|Dϕ0|2 dx =

∫Ω

2 dx = 2|Ω|.

On a montre que‖ϕ(ε)‖W 1,4(Ω;R3) → ‖ϕ0‖W 1,4(Ω;R3).

La boule unite de W 1,4 etant uniformement convexe, la convergence faible et la convergencedes normes impliquent la convergence forte. 2

On definit l’operateur h(ε) : W 1,4(Ω;R3) → L4(Ω;R3) qui a toute fonction ϕ(ε) ∈W 1,4(Ω;R3) associe

h(ε)(ϕ(ε)) = D(ϕ(ε) π(ε)−1) π(ε) = Dϕε π(ε).

Par commodite, h(ε)(ϕ(ε)) sera note simplement h(ε).Proposition 8. Soit ϕ(ε) → ϕ0 dans L4(Ω;R3) fort tel qu’il existe une constante M < ∞telle que I(ε)(ϕ(ε)) < M, alors

hα(ε)→ ϕ0,α dans L4(Ω;R3),h3(ε)→ n dans L2(Ω;R3),

ou n = ϕ0,1 ∧ ϕ0,2.

PreuveNotons que hα(ε) = ϕ(ε),α. Ainsi, le premier point de la proposition n’est qu’une reformula-tion d’une partie du corollaire 3.On note G(ε) la matrice definie positive telle que G(ε)2 = h(ε)Th(ε). Pour presque toutx ∈ Ω, il existe une unique matrice C(ε)(x) ∈ O(3), telle que

h(ε) = C(ε).G(ε).

D’apres la definition de V φε , det(Dxϕ(ε)) > 0 pour presque tout x ∈ Ω. On en deduit que

det(h(ε)(x)) > 0 et det(C(ε)(x)) > 0 presque partout, d’ou C(ε)(x) ∈ SO(3).Notons que,

‖h(ε)− C(ε)‖2 = ‖G(ε)− I‖2 ≤ CW (h(ε)).

Ainsi,

‖h(ε)− C(ε)‖2L2(Ω;M3,3) ≤ C

∫ΩW (h(ε)) dx

=C

ε

∫Ωε

W (Dϕε) dx ε→0−−→ 0. (2.30)

Or, hα(ε)→ ϕ0,α dans L4(Ω;R3) et donc a fortiori dans L2(Ω;R3). On a donc Cα(ε)→ ϕ0,αdans L2(Ω;R3) fort. Quitte a extraire une sous-suite, les suites Cα(ε) convergent presque

Page 64: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 54

partout. Comme C(ε)(x) ∈ SO(3), C3(ε)(x) = C1(ε)(x) ∧ C2(ε)(x). Ainsi, C3(ε)(x) convergevers ϕ0,1(x) ∧ ϕ0,2(x) pour presque tout x ∈ Ω. Comme |C3(ε)| est majore par 1, d’apres letheoreme de convergence domine de Lebesgue,

C3(ε)→ ϕ0,1 ∧ ϕ0,2 = n dans L2(Ω;R3) fort.

La limite ne dependant pas de la suite extraite, toute la suite converge. La conclusion decoulealors de (2.30). 2

3.3 L’energie de flexion non lineaire minore la G-limite

Tous les theoremes, propositions et lemmes des sections 3.1 et 3.2 restent valables si onremplace I(ε) par I(ε) et I0 par I0 car I(ε) ≤ I(ε).

Soit ϕ(ε) ∈W 1,4(Ω;R3), on definit E(ϕ(ε)), tenseur des deformations de Green-Lagrangede ϕε apres changement d’echelle, par

E(ϕ(ε)) =12

((h(ε))Th(ε)− I3).

Par commodite, on notera E(ε) pour E(ϕ(ε)).Lemme 10. Soit ϕ(ε)→ ϕ0 dans L4(Ω;R3) fort, tel que I(ε)(ϕ(ε)) reste borne, alors ϕ0 ∈W 1,∞, n ∈ H1

loc(ω). De plus il existe une sous-suite extraite toujours notee ε, et il existewαβ ∈ L2(ω;R3) tels que

Eαβ(ε)ε

wαβ(x1,x2) +x3

2(n,α.ϕ0,β + n,β .ϕ

0,α) dans L2(Ω;R3) faible.

PreuveOn a

I(ε)(ϕ(ε)) =1

2ε2

∫ΩCijklEij(ε)Ekl(ε) dx− `(ϕ(ε)).

La coercivite de l’energie implique que pour tout i et j, Eij(ε)ε est borne dans L2(Ω). Quitte aextraire une sous-suite, on peut donc supposer que E(ε)

ε converge faiblement dans L2(Ω;M3,3).Soit δ > 0 et ε > 0 tels que

√2ε < δ. On pose

Rε,i,j =]ε(i− 1),ε(i+ 1)[×]ε(j − 1),ε(j + 1)[.

On definit de plus S = (i,j) ∈ N× N : Rε,i,j ⊂ ω. On a

ωδ ⊂⋃s∈S

Rε,s.

La figure ci-dessous represente en gras les elements Rε,s tels que s ∈ S. On a grise l’elementRε,i,j .

D’apres le theoreme 5, il existe une fonction gε ∈ L2(⋃s∈S

Rε,s;O(3)) telle que sur chaque

carre Rε,s.

Page 65: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 55

i

j

Fig. 2.4 – Recouvrement de ωδ par la famille de carres (Rε,s)s∈S

‖Dϕε − gε‖L2(Rε,s×]−ε,ε[;M3,3) ≤ C∫Rε,s ti]−ε,ε[

W (Dϕε).

Par changement de variable, il vient:

ε‖h(ε)− g(ε)‖2L2(Rε,s×]−1,1[;M3,3) ≤ C∫Rε,s×]−ε,ε[

W (Dϕε).

En sommant sur tous les carres, on obtient

ε‖h(ε)− g(ε)‖2L2(ωδ×]−1,1[;M3,3) ≤ C∫ω×]−ε,ε[

W (Dϕε)

et (‖h(ε)− g(ε)‖L2(ωδ×]−1,1[;M3,3)

ε

)2

≤ qC(I(ϕ(ε)) + ‖ϕ(ε)‖W 1,4(Ω;R3)). (2.31)

Le terme de droite etant borne, quitte a extraire une sous-suite, h(ε)−g(ε)ε converge faiblement

dans L2(ωδ×]− 1,1[;M3,3). On note Ξ cette limite.On a (

hα(ε)− gα(ε)ε

),3

=hα(ε),3

ε= h3(ε),α.

Orh3(ε)→ n dans L2(ωδ×]− 1,1[;R3) fort .

Page 66: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 56

Ainsi,Ξα,3 = n,α.

Comme n,3 = 0, Ξα,33 = 0, d’apres de lemme 17 (voir section 6.1), n,α ∈ L2(ωδ) et il existevα ∈ L2(ωδ) tel que

Ξ = vα + x3Ξα,3 = vα + x3n,α.

ainsi,

hα(ε)− gα(ε)ε

vα(x1,x2) + x3n,α dans L2(ωδ×]− 1,1[;R3) faible. (2.32)

Notons que gα → ϕ0,α dans L2(ω) fort et que g3 → n dans L2(ωδ) fort. On ecrit E(ε) sousla forme:

E(ε) =12

(h(ε)Th(ε)− I) =(h(ε)− g(ε))T

2g(ε) + h(ε)T

h(ε)− g(ε)2

.

et on conclut grace a (2.32) que(Eαβ(ε)ε

) vα.ϕ

0,β + vβ.ϕ0,α +

x3

2(n,α.ϕ0,β + n,β.ϕ

0,α) dans D′(ωδ×]− 1,1[)

et (Eαβ(ε)ε

),3

12

(n,α.ϕ0,β + n,β.ϕ0,α) dans D′(ωδ×]− 1,1[). (2.33)

La limite dans (2.33) etant independante de δ, on a la convergence dans D′(Ω). D’ou laconclusion par application du lemme 17. 2

Lemme 11. 3.3 Quel que soit F ∈M3,3 symetrique,

Cαβγδ

FαβFγδ ≤ CijklFijFkl.

PreuveOn a

CijklFijFkl = C

αβγδFαβFγδ + (λ+ 2µ)F 233 + 2µF33(F11 + F22) + 4µ(F 2

13 + F 223.

La fonction t→ (λ+ 2µ)t2 + µt(F11 + F22) atteint son minimum en t = −µ(F11 + F22)λ+ 2µ

. On

a donc

CijklFijFkl ≥ C

αβγδFαβFγδ −µ2

λ+ 2µ(F11 + F22)2

= CαβγδFαβFγδ −

µ2

λ+ 2µδαβδγδFαβFαβ

= (Cαβγδ +µ2

λ+ 2µδαβδγδ)FαβFαβ = C

αβγδFαβFγδ

Page 67: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 57

2

Proposition 9. Soit ϕ0 ∈ L4(Ω;R3) telle que I0(ϕ0) < ∞, alors il existe ϕ ∈ H1(ω),n(ϕ) ∈ H1(ω), ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2) et

I0(ϕ0) ≥ 13

∫ωCαβγδ(n,α.ϕ,β)(n,γ .ϕ,δ)

PreuveSoit ϕ0 ∈ L4(Ω;R3) telle que I0(ϕ0) < +∞. D’apres la proposition 7, ϕ0(x1,x2,x3) =ϕ(x1,x2). Il existe ϕ(ε)→ ϕ0 fortement dans L4(Ω;R3) telle que

lim I(ε)(ϕ(ε)) = I0(ϕ0).

CommeI(ε)(ϕ(ε)) =

∫Ω

12CijklEij

ε

Eklε

dx,

d’apres le lemme ,

I(ε)(ϕ(ε)) ≥∫

Ω

12CαβγδEαβ

ε

Eγδε

dx

Par passage a la limite, d’apres le lemme 10, le terme de droite etant sequentiellement continueinferieur faible pour la topologie L2(Ω) par rapport aux Eαβ(ε),

I0(ϕ0) ≥∫ω

∫ 1

−1

12Cαβγδ(wαβ +

x3

2(n,α.ϕ,β + n,β.ϕ,α)) · · ·

· · · (wγδ +x3

2(n,γ .ϕ,δ + n,δ.ϕ,γ)) dx

≥∫ω

∫ 1

−1

12Cαβγδ

x23(n,α.ϕ,β)(n,γ .ϕ,δ) dx3 dx1 dx2

=13

∫ωCαβγδ(n,α.ϕ,β)(n,γ .ϕ,δ) dx. (2.34)

Reste a prouver que n ∈ H1(ω). Pour l’instant, on sait uniquement que n ∈ H1loc(ω).

Notons que comme ϕ,α ∈ L2(ω), il est facile de montrer que la derivation du produit ci-dessous a un sens et est licite.

0 = (n.ϕ,β),α = n.ϕ,αβ + n,α.ϕ,β .

Ainsi,

n,α.ϕ,β = n,β.ϕ,α. (2.35)

Or, si F ∈M2,2, et F symetrique,

Cαβδγ

FαβFδγ ≥ 2µ‖F‖. (2.36)

De l’inegalite (2.34), de (2.35) et (2.36), on en deduit que n,α.ϕ,β ∈ L2(ω). Enfin, pourpresque tout x,

|n,α|2 = δβγ(n,α.ϕ,β)(n,α.ϕ,γ).

Page 68: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 58

Le terme de gauche etant dans L1(ω), n ∈ H1(ω). 2

Proposition 10. Soit ϕ0 ∈ L4(Ω) telle que I0(ϕ0) < ∞, alors il existe ϕ ∈ W 1,∞(ω;R3)telle que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ0(x1,x2), et

ϕ(x1,x2) = (x1,x2,0) sur ωφ

PreuveIl existe ϕ(ε) → ϕ0 fortement dans W 1,4(Ω;R3) telle que I0(ϕ0) = lim I(ε)(ϕ(ε)). Or, pourtout ε,

ϕ(ε)(x1,x2,1) = (x1,x2,ε) sur ωφ × 1.Ainsi, par passage a la limite, ϕ(ε) convergeant dans C(Ω;R3),

ϕ0(x1,x2,1) = (x1,x2,0) sur ωφ × 1.

On sait d’ores et deja qu’il existe ϕ ∈ W 1,∞(ω) telle que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2) pourpresque tout x. Ainsi,

ϕ(x1,x2) = (x1,x2,0) sur ωφ.

2

Preuve des theoremes 9 et 10Le theoreme 9 decoule des propositions 9 et 10. La demonstration du theoreme 10 est

identique, le lemme 10, les propositions 9 et 10 etant toujours valable en remplacant I par Imodulo la conjecture 1. 2

4 Calcul de la G-limite pour les deformations regulieres

Proposition 11. Soit ϕ ∈ VF ∩C2(ω;R3), et ϕ0 ∈ C2(Ω) tels que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2),alors

I0(ϕ0) ≤ JF (ϕ),

etI0(ϕ0) ≤ JF (ϕ).

On en deduit, d’apres les theoremes 9 et 10, le corollaire suivant:Corollaire 4. Soit ϕ ∈ VF ∩ C2(ω;R3), ϕ0 ∈ C2(Ω) tels que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2), alors

I0(ϕ0) = JF (ϕ),

de plus, modulo la conjecture 1,I0(ϕ0) = JF (ϕ).

Preuve de la proposition 11Notons tout d’abord que comme I0 ≤ I0, il suffit de prouver la premiere inegalite. Soit

ϕ ∈ V φF ∩ C2(ω;R3) et ϕ0 ∈ C2(Ω) tels que ϕ0(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2).

Soit ψ ∈ D(ω − ωφ;R3). On definit Φ(x1,x2,ξ) = ϕ(x1,x2) + ξn(x1,x2) + ξ2ψ.

1. Comme DΦTDΦ(x1,x2,x3)− I = O(x3), il existe ε telle que

‖EΦ(x)‖ ≤ δ pour tout x ∈ Ω×]− ε; ε[.

ou δ = δ(2,3) du theoreme 5.

Page 69: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 59

2. Φ etant C1 et DΦ de rang maximum sur ω × 0, des que ε est assez petit, Φ est undiffeomorphisme local sur ω×]− ε,ε[. Quitte a choisir ε plus petit encore, Φ est un C1

diffeomorphisme sur R3(x,ε) pour tout x ∈ Ωε.

On definit alors ϕε : Ωε → R3 par ϕε = Φ. On a

ϕε(x) = x sur ωφ×]− ε,ε[.

De cette derniere equation, ainsi que des points 1 et 2, on en deduit que

ϕε ∈ V φε .

On pose alors ϕ(ε)(x1,x2,x3) = ϕ(x1,x2,εx3). On a ϕ(ε) → ϕ0 fortement dans W 1,4(Ω;R3).De plus,

I(ε)(ϕ(ε)) =1ε3

∫ω

∫ ε

−εW (Dϕε) dx− `(ϕ(ε));

Comme ϕ(ε)→ ϕ0 fortement dans L∞,

`(ϕ(ε)) ε→0−−→ `ϕ0).

Enfin,ϕε,α = ϕ,α + x3n,α + x2

3ψ,α.

ϕε,3 = n+ x3ψ.

d’ou

ϕε,α.ϕε,β − δαβ = −2n.,six3 + o(x3)

= −2bαβx3;ϕε,3.ϕ

ε,α = ψ.ϕ,αx3 + o(x3);ϕε,3.ϕ

ε,3 − 1 = 2ψ.nx3 + o(x3).

Ainsi,

1ε3

∫ω

∫ ε

−εW (Dϕε) dx =

12ε3

∫ω

∫ ε

−εCαβγδbαβbγδx

23 − 2Cαβ33bαβψ.nx

23

+2Cα3β3ψ.ϕ,αψ.ϕ,βx23 + C3333(ψ.n)2x2

3 + o(x23) dx

=13

∫ωCαβγδbαβbγδ − 2Cαβ33bαβψ.nx

23

+2Cα3β3(ψ.ϕ,α)(ψ.ϕ,β) + C3333(ψ.n)2 dx+ o(1).

Ainsi, pour tout ψ ∈ D(ω − ωφ;R3),

I0(ϕ0) ≤ 13

∫ωCαβγδbαβbγδ − 2Cαβ33bαβψ.nx

23

+2Cα3β3(ψ.ϕ,α)(ψ.ϕ,β) + C3333(ψ.n)2 dx+ `(ϕ0).(2.37)

Page 70: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 60

Pour tout α et β, ϕ,αβ = 0 sur ωφ. L’application ϕ etant C2, on a ϕ,αβ = 0 sur ωφ. Il existedonc une suite d’elements ψn de D(ω−ωφ;R3) qui converge vers λ

λ+2µδαβϕ,αβ dans L2(ω;R3)

fort. Ainsi, en passant a la limite dans (2.37), il vient

I0(ϕ0) ≤ 13

∫ωCαβγδbαβbγδ −

2λλ+ 2µ

Cαβ33bαβ(δγδϕ,γδ.n)

+2(

λ

λ+ 2µ

)2

Cα3β3(δγδϕ,γδ.ϕ,α)(δγδϕ,γδ.ϕ,β)

+C3333

λ+ 2µ

)2

(δγδϕ,γδ.n) dx+ `(ϕ0)

=13

∫ωCαβγδbαβbγδ −

Cαβ332λλ+ 2µ

δγδbαβbγδ +C

3333λ2

(λ+ 2µ)2δαβδγδbαβbγδ dx+ `(ϕ0)

=13

∫ωCαβγδbαβbγδ −

2λ2

λ+ 2µδαβδγδbαβbγδ +

λ2

λ+ 2µδαβδγδbαβbγδ dx+ `(ϕ0)

=13

∫ω

(Cαβγδ − λ2

λ+ 2µδαβδγδ

)bαβbγδ dx+ `(ϕ0)

=13

∫ωCαβγδ

bαβbγδ dx+ `(ϕ0) = JF (ϕ).

Remarque 11. Si l’on parvenait a montrer que la proposition 11 est egalement valable pourles deformations ϕ ∈ VF (ω), on aurait prouve que toute la suite I(ε) Γ-converge vers JF . Lameconnaissance de la structure de VF est le principal obstacle a l’obtention d’un tel resultat.La densite de VF ∩ C2 dans VF nous permettrait de conclure, mais il n’est pas clair quecelle-ci ait bien lieu, ni comment l’obtenir.

2

5 Demonstration du theoreme 3

La demonstration est similaire a celle du theoreme 6 du a R. Kohn ([28]). Elle s’effectue entrois etapes. Dans un premier temps, on demontre une estimation dans le cas des boules. Onen deduit a l’aide d’un argument de recouvrement l’estimation souhaitee pour les domaines Ω,images bi-Lipschitziennes d’une boule. Enfin, on etend ce resultat aux domaines Lipschitziensquelconques.

5.1 Un theoreme d’approximation sur les boules.

Le but de cette section est de demontrer le theoreme suivantTheoreme 13. Pour tout p, n > p ≥ 1, il existe Γ1(n) ≥ 1 et C1(n,p) tels que si x ∈ Rn,r > 0 et ϕ : Bn(x,Γ1r) → R

n est bi-Lipschitzienne, alors il existe γ ∈ R(n) deformationrigide telle que

‖ϕ− γ‖Lq(Bn(x,r)) ≤ C1‖ep(ϕ)‖Lp(Bn(x,Γ1r))

La preuve de ce theoreme est identique a celle du theoreme (3.1) de [28]: Il suffit deremplacer e par ep pour constater que ce resultat decoule du theoreme suivant

Page 71: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 61

Theoreme 14. Pour tout p, p ≥ 1, il existe Γ2 ≥ 1 et C2(n,p) tels que pour tout x ∈ Rn,r > 0 et ϕ : Un(x,Γ2r) → R

n bi-Lipschitzienne, alors, il existe γ ∈ R(n) deformation rigidetelle que

‖ϕ− γ‖Lp(Un(x,r)) ≤ C2r‖ep(ϕ)‖Lp(Un(x,Γ2r))

Le reste de cette section est destinee a prouver le theoreme 14. On rappelle quelquespropositions dues a Kohn (propositions (3.5),(3.6),(3.8),(3.9) et (3.10) de [28]). Si a et b sontdes elements de Rn, ab designe le segment joignant a a b. Si L ∈ Mn,n, Λn−1(L) designe lacomatrice de L.Proposition 12. Soit U = Un(0,1), U ′ = Un(0,1/7), et ϕ : U → R

n bi-Lipschitzienne. Soitx,y ∈ U ′ tels que x 6= y, et

H1(ϕ(x)ϕ(y) ∩ ϕ(U − U0)

)= 0.

Soitα =

1|ϕ(x)− ϕ(y)|

∫ϕ(x)ϕ(y)∩ϕ(U)

(‖Dϕ−1(s)|)− 1)+ ds.

L’une de ces propositions est vraie:1.

|ϕ(x)− ϕ(y)| ≥ 2|x− y|,

2.α ≥ 1

2,

3.|x− y|

|ϕ(x)− ϕ(y)|− 1 ≤ α.

Lemme 12. Soit A ⊂ Rn mesurable et f : Rn → R une fonction non negative integrable.Alors ∫

A×A

(1

|x− y|

∫xyf dH1

)dxdy ≤ 2−nHn(A)

∫Rnf dHn.

Lemme 13. Soit Ω un ouvert de Rn, et ϕ : Ω→ Rn une application bi-Lipschitzienne, alors

pour tout sous ensemble X mesurable de Ω× Ω,

|H2n(X)−H2n(ϕ× ϕ(X))| ≤ 2Hn(Ω)‖e3(ϕ)‖L1(Ω) + ‖e3(ϕ)‖2L1(Ω).

Lemme 14. Soit L : Rn → Rn une application lineaire inversible, alors

(|||L−1||| − 1)+.|detL| ≤ (|||Λn−1L||| − 1)+ + (1− |detL|)+

Proposition 13. Soit U un ouvert convexe de Rn, et ϕ : U → Rn, une application bi-

Lipschitzienne. Alors, pour tout p ≥ 1,∫U×U

(|ϕ(x)− ϕ(y)||x− y|

− 1)p

+

dxdy ≤ 2−n|U |∫Ue1(ϕ)p dx.

Page 72: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 62

On va demontrer une proposition analogue a la proposition (3.11) de [28]:Proposition 14. Soit U = Un(0,1) et U ′ = Un(0,1/7). Il existe une constante C(n) telleque pour toute application bi-Lipschitzienne telle que ‖e3(u)‖ ≤ 1, et λ > 0, l’ensemble

Aλ =

(x,y) ∈ U ′ × U ′/ |x− y||u(x)− u(y)|

− 1 ≥ λ

verifie|Aλ| ≤ C(n)(‖e(ϕ)‖L1(U) + λ−1‖ep(ϕ)‖L1(U))

Preuve de la proposition 14Soit

U0 = x ∈ U : Dϕ existe , est inversible et D(ϕ−1)(ϕ(x)) = (Dϕ(x))−1

Comme ϕ est bi-Lipschitzienne, Hn(ϕ(U − U0)) = 0.ainsi,

H1(ϕ(x)ϕ(y)) ∩ ϕ(U − U0)

)= 0 (2.38)

pour presque tout (x,y) ∈ U × U. Pour tout couple (x,y) verifiant (2.38), on pose

α(x,y) =1

|ϕ(x)− ϕ(y)|

∫ϕ(x)ϕ(y)∩ϕ(U)

(||||Dϕ(z)||| − 1)+dz

F1 = (x,y) ∈ U ′ × U ′ : |ϕ(x)− ϕ(y)| ≥ 2|x− y|F2 = (x,y) ∈ U ′ × U ′ : (2.38) est verifiee et α(x,y) ≥ 1

2F3 = (U ′ × U ′)− (F1 ∪ F2).

D’apres la proposition 12, pour presque tout (z,w) ∈ u× u(F3),(|ϕ−1(z)− ϕ−1(w)|

|z − w|− 1)

+

≤ α(ϕ−1(z),ϕ−1(w)).

D’apres les lemmes 12 et et 14, on obtient:∫ϕ(U ′)×ϕ(U ′)

α(ϕ−1(z),ϕ−1(w))dzdw

=∫ϕ(U ′)×ϕ(U ′)

1|ϕ(x)− ϕ(y)|

∫ϕ(x)ϕ(y)∩u(U)

(|||Dϕ−1(z)||| − 1)+dz

≤ 2−n|ϕ(U ′)|∫ϕ(U)

(|||Dϕ−1(z)||| − 1)+dz

≤ 2−n|ϕ(U ′)|∫U

(|||Dϕ−1(ϕ(x))||| − 1)+|det(Dϕ)|dx

≤ 2−n|ϕ(U ′)|∫U

(|||(Dxϕ)−1||| − 1)+|det(Dxϕ)|dx

≤ 2−n|ϕ(U ′)|∫U

(|||Λn−1(Dxϕ)||| − 1)+ + (1− |det(Dxϕ)|)+dx

Page 73: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 63

On rappelle que |||Λn−1(Dxϕ)||| = λ2 · · ·λn. De plus, (1− |det(Dxϕ)|)+ ≤ Tp(e3(ϕ)), ainsi∫ϕ(U ′)×ϕ(U ′) α(ϕ−1(z),ϕ−1(w))dzdw ≤ 2−n|ϕ(U ′)|‖e2(ϕ) + Tp(e3(ϕ))‖L1(U)

≤ 2−n|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U)

On en deduit que

|u× ϕ(F3 ∩Aλ)| =∫u×ϕ(F3∩aλ)

1dzdw

≤∫ϕ×ϕ(F3∩aλ)

λ−1

(|ϕ−1(z)− ϕ−1(w)|

|z − w|− 1)

+

dzdw

≤ λ−1

∫ϕ×ϕ(F3∩aλ)

α(ϕ−1(z),ϕ−1(w))dzdw

≤ λ−1

∫ϕ(U ′)×ϕ(U ′)

α(ϕ−1(z),ϕ−1(w))dzdw

≤ λ−12−n|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U)

|ϕ× ϕ(F2)| ≤∫ϕ×ϕ(F2)

2α(ϕ−1(z),ϕ−1(w))dzdw

≤ 2∫ϕ(U ′)×u(U ′)

α(ϕ−1(z),ϕ−1(w))dzdw

≤ 2−(n−1)|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U)

De plus, la proposition 13 implique

|F1| ≤ 2−n|U ′|‖e1(ϕ)‖L1(U ′).

|ϕ(U ′)| =∫U ′|det(Dϕ)|dx ≤

∫U ′

1 + |det(Dϕ)− 1|dx = |U ′|+ ‖e3‖L1(U).

Comme ‖e3‖L1(U) ≤ 1, |ϕ(U ′)| ≤ |U ′|+ 1. Ainsi,

|F1| ≤ 2−n(|U ′|+ 1)‖e1(ϕ)‖L1(U ′).

En appliquant le lemme 13 aux inegalites

|ϕ× ϕ(F3 ∩Aλ)| ≤ λ−12−n|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U)

|ϕ× ϕ(F2)| ≤ 2−(n−1)|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U),

il vient

|F3 ∩Aλ) ≤ 2|U ′|‖e3(ϕ)‖L1(U ′) + ‖e3(ϕ)‖2L1(U) + |ϕ× ϕ(F3 ∩Aλ)|≤ (2|U ′|+ 1)‖e3(ϕ)‖L1(U ′) + λ−12−n|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U)

|F2| ≤ (2|U ′|+ 1)‖e3(ϕ)‖L1(ϕ) + 2−n+1|ϕ(U ′)|‖ep(ϕ)‖L1(U)

≤ (2|U ′|+ 1)‖e3(ϕ)‖L1(ϕ) + 2−n+1|ϕ(U ′)|‖e(ϕ)‖L1(U)

Page 74: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 64

On obtient donc comme|Aλ| ≤ |F1|+ |F2|+ |F3 ∩Aλ|

|Aλ| ≤ C(n)(‖e1(ϕ) + e3(ϕ)‖L1(U) + λ−1‖ep(ϕ)‖L1(U))

des que ‖e3(ϕ)‖L1(U) ≤ 1. 2

On rappelle une proposition due a Kohn (proposition (3.13) de [28])Proposition 15. Il existe r0(n) < 1 et C0(n) constantes telles que si

1. l > 0;2. θ1, · · · ,θn est une base orthonormale de Rn;3. x1, · · · ,x2n ∈ Rn avec

xi ∈ Bn(lθi,lr0), xi+n ∈ Bn(−lθi,lr0)

pour 1 ≤ i ≤ n.4. y1, · · · ,y2n ∈ Rn, ε1 ≥ 0, et

||yi − yj | − |xi − xj || ≤ ε1,

des que 1 ≤ i,j ≤ 2n.alors il existe γ ∈ R(n) deformation rigide telle que

1. |yi − γ(xi)| ≤ C0ε1, 1 ≤ i ≤ 2n,2. Des que z ∈ Bn(0,r0l), w ∈ Rn, ε2 ≥ 0, et |w−yi| ≤ |z−xi|+ε2 pour 1 ≤ i ≤ 2n, alors

|w − γ(z)| ≤ C0(ε1 + ε2).

Preuve du theoreme 14On effectue la preuve dans le cas r = 1

Γ2. Le cas general se deduit par changement

d’echelle. Dans la suite de cette preuve on pose U = Un(0,1) et U ′ = Un(0,1/7). Soit r0 etC0 donnees par la proposition 15. On pose l0 = (7(1 + r0))−1 et U ′′ = Un(0,r0l0). Enfin,(θi)i=1···n designe une base de Rn. Si ϕ : U → R

n est bi-Lipschitzienne, on applique laproposition 15 avec l = l0, yi = ϕ(xi) et w = ϕ(z) pour montrer que ϕ est proche d’unedeformation rigidifiante. Pour obtenir un resultat utilisable, il est cependant necessaire dechoisir habilement les points (xi)i=1···n. Ceci va constituer notre principal objectif.

Pour 1 ≤ i ≤ n, soit Di = Un(l0θi,l0r0) et Di+n = Un(−l0θi,l0r0). On definit

A = D1 × · · · ×D2n ⊂ R2n2.

Un element de A est note −→x =< x1, · · · ,x2n > . C’est l’ensemble des choix possibles auxquelson peut appliquer la proposition 15. Notons que pour tout i, Di ⊂ U ′.Pour tout x,y ∈ U ′ tels que x 6= y, posons

β(x,y) =∣∣∣∣ |ϕ(x)− ϕ(y)||x− y|

− 1∣∣∣∣ .

Page 75: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 65

et pour tout x ∈ U ′, p ≥ 1,

δp(x) =(∫

U ′′

(∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(y)x− y

∣∣∣∣− 1)p

+

dy

)1/p

.

Pour λ > 0, 1 ≤ i ≤ 2n et 1 ≤ j ≤ 2n, on pose:

Bλ,pi = −→x ∈A : δp(xi) ≥ λ

Cλi,j = −→x ∈A : β(xi,xj) ≥ λ

et

Aλ,p =2n⋃i=1

Bλ,pi ∪

2n⋃i,j=1

Cλi,j .

On souhaite choisir λ de sorte que A − Aλ,p 6= ∅. La methode consiste a montrer que l’onpeut choisir λ de sorte que la mesure de Aλ,p soit inferieure a celle de A.

|Bλ,pi | = |D1 × · · · ×Di−1 ×Di+1 × · · · ×D2n|

∫x∈Di:δ(xi)p≥λp

1dx

De plus, ∫x∈Di:δ(xi)p≥λp 1dxi ≤

∫Di

(δp(xi)λ

)pdxi

≤ λ−p∫U

[∫U ′′

(∣∣∣ϕ(x)−ϕ(y)x−y

∣∣∣− 1)p

+dy

]dx

≤∫U×U

(∣∣∣ϕ(x)−ϕ(y)x−y

∣∣∣− 1)p

+dxdy

En appliquant la proposition 13, il vient:

|Bλ,pi | ≤ |D1 × · · · ×Di−1 ×Di+1 × · · · ×D2n|2−n|U |λ−p‖e1‖pLp(U),

c’est a dire

|Bλ,pi | ≤ C(n)λ−p‖e1‖pLp(U) (2.39)

En notant que

|s− 1| ≥ λ⇒ (s− 1)+ ≥ λ ou (1s− 1)+ ≥ λ,

on en deduit que∣∣∣∣(xi,xj) ∈ Di ×Dj :∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(y)

x− y

∣∣∣∣− 1∣∣∣∣ ≥ 1

∣∣∣∣≤∣∣∣∣(xi,xj) ∈ Di ×Dj :

(∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(y)x− y

∣∣∣∣− 1)

+

≥ 1∣∣∣∣ · · ·

+∣∣∣∣(xi,xj) ∈ Di ×Dj :

(∣∣∣∣ x− yϕ(x)− ϕ(y)

∣∣∣∣− 1)

+

≥ 1∣∣∣∣ (2.40)

Page 76: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 66

et ∣∣∣∣(xi,xj) ∈ Di ×Dj :∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(y)

x− y

∣∣∣∣− 1∣∣∣∣ ≥ 1

∣∣∣∣≤∫U×U

(∣∣∣∣u(x)− u(y)x− y

∣∣∣∣− 1)

+

λ−1dxdy + |Aλ|. (2.41)

On notemi,j = |D1 × · · · ×Di−1 ×Di+1 × · · · ×Dj−1 ×Dj+1 ×D2n|

Or ∣∣∣Cλi,j∣∣∣ = mi,j

∣∣∣∣(xi,xj) ∈ Di ×Dj :∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(y)

x− y

∣∣∣∣− 1∣∣∣∣ ≥ 1

∣∣∣∣ainsi, ∣∣∣Cλi,j∣∣∣ ≤ mi,j

∫U×U

(∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(y)x− y

∣∣∣∣− 1)

+

λ−1dxdy + |Aλ|.

En appliquant la proposition 13 et la proposition 14, des que ‖e3(ϕ)‖L1(U) ≤ 1, il vient∣∣∣Cλi,j∣∣∣ ≤ mi,j

(2−n|U |‖e1(ϕ)‖L1(U) + C(n)‖e(ϕ)‖L1(U) + λ−1‖ep(ϕ)‖L1(U)

).

soit

|Cλi,j | ≤ C ′(n)(‖e(ϕ)‖L1(U) + λ−1‖ep(ϕ)‖L1(U)

). (2.42)

Ainsi, d’apres (2.39) et (2.42), des que ‖e3(ϕ)‖ ≤ 1,∣∣∣Aλ,p∣∣∣ ≤ C ′′(n)(‖e(u)‖L1(U)

|U |+‖ep(ϕ)‖L1(U)

λ|U |+

1|U |

(‖e1‖Lp(U)

λ

)p). (2.43)

On pose

ε0 = min|U |−1,

|A|4C ′′(n)

λ = (4C ′′(n)/|A|+ 1)

‖ep(ϕ)‖Lp(U)

|U |1/p.

Si‖e1(ϕ)+e3(ϕ)‖L1(U)

|U | ≤ ε0,

C ′′(n)ε0 ≤14|A| (2.44)

C ′′(n)λ−1 ‖ep(ϕ)‖L1(U)

|U | ≤ C ′′(n)λ−1 ‖ep(ϕ)‖Lp(U)

|U |1/p

≤ C ′′(n) λλ−1

4C′′(n)/|A|+1

≤ C ′′(n) |A|4C′′(n)+|A|

≤ C′′(n)4C′′(n) |A|

Page 77: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 67

Soit

C ′′(n)λ−1‖ep(ϕ)‖L1(U)

|U |≤ |A|

4. (2.45)

De plus,

λ−1 ‖e1(ϕ)‖Lp(U)

|U |1/p≤ λ−1 ‖ep(ϕ)‖Lp(U)

|U |1/p=

14C ′′(n)/|A|+ 1

≤ 1,

d’ouC ′′(n)

λ−p‖e1‖pLp(U)

|U | ≤ C ′′(n)λ−1‖e1‖Lp(U)

|U |1/p

≤ C ′′(n)λ−1‖ep‖Lp(U)

|U |1/p

≤ C′′(n)4C′′(n) |A|

Soit

C ′′(n)λ−p‖e1‖pLp(U)

|U |≤ |A|

4. (2.46)

On conclut a l’aide de (2.44), (2.45), (2.46), que

|Aλ,p| ≤ 34|A| (2.47)

Ainsi, des que‖e1(ϕ)+e3(ϕ)‖L1(U)

|U | ≤ ε0, il existe −→x ∈ A−Aλ,p. −→x est tel que

||ϕ(xi)− ϕ(xj)| − |xi − xj || ≤ diam(U ′)β(xi,xj) ≤ λ

et (∫U ′′

(|u(xi)− u(y)| − |xi − y|)p+ dy)1/p

≤ diam(U ′)δp(xi) ≤ λ.

En appliquant la proposition 15 a yi = ϕ(xi) et w = ϕ(z), on sait alors qu’il existe γdeplacement rigide tel que

|ϕ(xi)− γ(xi)| ≤ C0λ pour tout 1 ≤ i ≤ n.

et tel que pour tout z ∈ U ′′,

|ϕ(z)− γ(z)| ≤ C0

(λ+

2n∑i=1

(|ϕ(xi)ϕ(z)| − |xi − z|)+

).

Ainsi,‖ϕ− γ‖Lp(U ′′) ≤ C0λ(|U |1/p + 2n).

On rappelle que

λ = (4C ′′(n)/|A|+ 1)‖ep(ϕ)‖Lp(U)

|U |1/p.

Page 78: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 68

il vient:

‖ϕ− γ‖Lp(U ′′) ≤ C0(|U |1/p + 2n)(4C ′′(n)/|A|+ 1)

|U |1/p‖ep(ϕ)‖Lp(U).

Inegalite qu’on peut mettre sous la forme

‖ϕ− γ‖Lp(Un(0,r)) ≤ C2r‖ep(ϕ)‖Lp(Un(0,Γ2r)) (2.48)

(ce qui est l’inegalite souhaitee).Enfin, si ‖e1 + e3‖L1(U) > ε0, l’inegalite (2.48) est quasiment triviale. En effet, d’apres laproposition 13, il existe x0 ∈ U ′′ tel que

δp(x0) ≤ 2−n/p‖e1(ϕ)‖Lp(U).

soit γ un deplacement rigide tel que γ(x0) = u(x0), alors, pour tout y ∈ U ′′,

|u(y)− γ(y)| ≤ |ϕ(y)− ϕ(x0)|+ |γ(x0)− γ(y)|

≤ |y − x0|(

2 +(|ϕ(x0)−ϕ(y)||x0−y|

)+

)≤ 2 +

(|ϕ(x0)−ϕ(y)||x0−y|

)+.

On a donc

‖ϕ− γ‖Lp(U ′′) ≤ 2|U ′′|1/p + 2−n/p‖e1(ϕ)‖Lp(U). (2.49)

On conclut en notant que ‖ep(ϕ)‖Lp(U) est minoree. En effet, supposons ‖ep(ϕ)‖Lp(U) < 1,on a alors

1 > ‖ep(ϕ)‖pLp ≥ ‖e1‖pLp(U) + ‖Tp(e3)‖pLp(U)

≥ ‖e1‖pLp(U) + ‖χe3<1e3(ϕ)‖pLp(U) + ‖χe3≥1e3(ϕ)1/p‖pLp(U)

≥ ‖e1‖pLp(U) + ‖χe3<1e3(ϕ)‖pLp(U) + ‖χe3≥1e3(ϕ)‖L1(U)

≥ |U |p−1(‖e1‖pL1(U)+ ‖χe3<1e3(ϕ)‖p

L1(U)) + ‖χe3≥1e3(ϕ)‖p

L1(U)

≥ C(n,p)(‖e1‖L1(U) + ‖χe3<1e3(ϕ)‖L1(U) + ‖χe3≥1e3(ϕ)‖L1(U))p

≥ C(n,p)‖e3 + e1‖L1(U)

≥ C(n,p)ε0.

2

5.2 Cas des domaines images bi-Lipschitziennes de boules

On rappelle l’argument de recouvrement de [28] (theoreme (4.13)), qui stipule queTheoreme 15. Soit Ω une image bi-Lipschitzienne de Un(0,1); Soit Γ0 ≥ 1 et 1 ≤ p <n,q = np

n−p . Si ϕ : Ω → Rn est continue et telle qu’il existe e ∈ Lp(Ω;R) telle que pour tout

x ∈ Ω, 0 < r < Γ−10 dist(x,∂Ω) il existe γ ∈ R(n), deformation rigide, telle que

‖ϕ− γ‖Lq(Bn(x,r)) ≤ ‖e‖Lp(Bn(x,Γ0r)),

alors il existe γ0 ∈ R(n) tel que

‖ϕ− γ0‖Lq(Ω) + ‖ϕ− γ0‖Lp(∂Ω) ≤ C(Ω,p,Γ0)‖e‖Lp(Ω)

En appliquant ce resultat a e = C.ep(ϕ), on en deduit le theoreme 7 pour les domainesΩ, images bi-Lipschitzienne d’une boule.

Page 79: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 69

5.3 Cas des domaines Lipschitziens quelconques

La demonstration est identique en tous points a celle effectuee par Kohn dans la section 5de [28], quitte a remplacer e par ep. Elle repose sur le fait qu’on peut recouvrir de maniere sym-pathique un domaine Lipschitzien par une famille finie d’ouverts, images bi-Lipschitziennesde boules.

6 Annexe

Lemme 4 Il existe C tel que pour tout ϕ ∈W 1,4,

|e2(ϕ)|2 ≤ CW (Dϕ).

PreuveOn rappelle que λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 sont les valeurs singulieres de Dϕ, que

e1(ϕ) = (λ3 − 1)+

e2(ϕ) = (λ2λ3 − 1)+

e3(ϕ) = |λ1λ2λ3 − 1|

etW (Dϕ) =

µ

4((λ2

1 − 1)2 + (λ22 − 1)2 + (λ2

3 − 1)2)

8(λ2

1 + λ22 + λ2

3 − 3).

Enfin,e2(ϕ) = e1(ϕ) + e2(ϕ) + T2(e3(ϕ)),

ou T2 : R→ R est defini par

T2(x) =x si x < 1x1/2 si x ≥ 1.

Comme|e2(ϕ)|2 ≤ 2(|e1(ϕ)|2 + |e2(ϕ)|2 + |T2(e3(ϕ))|2),

il suffit de prouver que chaque termes du membre de droite est majore par une constante.W (Dϕ).On commence par majorer le terme e1(ϕ)2,

e1(ϕ)2 ≤ |λ3 − 1|2

≤ |λ3 − 1|2(λ3 + 1)2

≤ 4µW (Du).

La majoration du terme e2(ϕ)2 s’obtient egalement simplement;

e2(ϕ)2 ≤ |λ2λ3 − 1|2

≤ (λ2|λ3 − 1|+ |λ2 − 1|)2

≤ ((λ3 + 1)|λ3 − 1|+ |λ2 − 1|)2

≤ 8µW (Dϕ).

Page 80: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 70

Reste le dernier terme. On considere separement les cas e3(ϕ) > 1 et e3(ϕ) ≤ 1. Si e3(ϕ) > 1,e3(u) = λ1λ2λ3 − 1 et λ3 > 21/3. Ainsi,

e3(ϕ) ≤ λ3 − 1≤ (λ3 − 1)(λ2

3 + λ3 + 1)≤ (λ3 − 1)(λ2

3 + 1)2

≤ λ3 − 121/3 − 1

(λ3 − 1)(λ23 + 1)2

≤ 121/3 − 1

(λ23 − 1)2.

et

e3(ϕ) ≤ 121/3 − 1

W (Dϕ). (2.50)

On considere le cas e3(ϕ) ≤ 1, on a

e3(ϕ) = (λ1 − 1)(λ2 − 1)(λ3 − 1) + (λ1 − 1)(λ2 − 1) + ( lambda1 − 1)

d’oue3(ϕ)2 ≤ 2

µW (Dϕ) + |(λ1 − 1)(λ2 − 1)(λ3 − 1)|2.

Comme e3(ϕ) ≤ 1, λ1 ≤ 21/3 et |λ1 − 1|2 ≤ 1,

|e3(ϕ)|2 ≤ 2µW (Dϕ) + (λ2 − 1)2(λ3 − 1)2

≤ 2µW (Dϕ) + (λ3 + 1)2(λ3 − 1)2

≤ 6µW (Dϕ). (2.51)

De (2.50) et (2.51), on obtient qu’il existe C ′′ > 0 telle que

T2(e3)2 ≤ C ′′W (Dϕ),

ce qui acheve la demonstration. 2

On rappelle un lemme du a Kohn (lemme 4.11 de [28]):Lemme 15. Il existe une constante C telle que si g ∈ A; x1,x2 ∈ R3; r1,r2 > 0; et r1,r2 > 0;et 1 ≤ p ≤ ∞, alors

‖g‖Lp(B(x2,r2) ≤ C(r2

r1

)1/2(1 +

r2

r1+|x2 − x1|

r1

)‖g‖L6(B(x1,r1)

On va montrerLemme 6 Soit g ∈ A, il existe C telle que pour tout ε > 0, pour tous x0,y0 ∈ R,

‖g‖L6(]x0−ε,x0+ε[×]−ε,ε[2) ≤ C(

1 +|x0 − y0|

ε

)‖g‖L6(]y0−ε,y0+ε[×]−ε, varepsilon[2)

Page 81: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 71

Preuve du lemme 6En appliquant un lemme 15 a x2 = (x0,0,0); r2 =

√3ε; x1 = (y0,0,0) et r1 = ε/2, il vient:

‖g‖L6(B(x2,√

3ε) ≤ C

(√3

2

)1/2(1 +√

32

+|x2 − x1|

)‖g‖L6(B(x1,ε/2)),

ou C est une constante independante de x0 et y0. On conclut en remarquant que

]x0 − ε,x0 + ε[×]− ε,ε[2⊂ B(x2,√

3ε)

etB(x1,ε/2) ⊂]y0 − ε/2,y0 + ε/2[×]− ε,ε[2.

2

6.1 Sur les distributions de derivee nulle suivant une variable.

On designe par θ(t) ∈ D(]− 1,1[) une fonction a support compact telle que∫ 1

−1θ(t) dt = 1

et ∫ 1

−1tθ(t) dt = 0.

Dans la suite de cette section, U designe un ouvert de Rn−1, x = (x1, · · · ,xn−1) et pU laprojection de U×]− 1,1[ sur U.

Si ψ est une distribution de D′(U×] − 1,1[), on note∫ 1

−1ψ(x,t)θ(t) dt, la distribution

definie par

<

∫ 1

−1ψ(x,t)θ(t) dt,u >=< ψ,u(x)θ(t) > pour tout u ∈ D(U).

Pour tout ψ element de D′(U), on definit ψ pU ∈ D′(U×]− 1,1[) par

< ψ pU ,u >=< ψ,

∫ 1

−1u(x,t) dt > pour tout u ∈ D(U×]− 1,1[).

Lorsque ψ est une fonction integrable, ces definitions coıncident avec les definitions classiques.Lemme 16. Soit ψ ∈ D′(U×]− 1,1[) telle que ψ,n = 0, alors

ψ =(∫ 1

−1ψ(x,t)θ(t) dt

) pU .

Page 82: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 72

PreuveSoit u ∈ D(U×]− 1,1[). On pose

v(x,xn) =∫ xn

−1

(θ(z)

∫ 1

−1u(x,t) dt− u(x,z)

)dz.

Comme θ et u sont a support compact et

v(x,1) = 0,

v est un element de D(U×]− 1,1[).

<

(∫ 1

−1ψ(x,t)θ(t) dt

) pU ,u > =<

∫ 1

−1ψ(x,t)θ(t) dt,

∫ 1

−1u(x,t) dt >

=< ψ,θ(xn)∫ 1

−1u(x,t) dt >

=< ψ,θ(xn)∫ 1

−1u(x,t) dt− u(x,xn) > + < ψ,u(x,xn) >

=< ψ,v,n > + < ψ,u >= − < ψ,n,v > + < ψ,u > = < ψ,u > .

2

Lemme 17. Soit U un ouvert de Rn−1; Soit ψ ∈ Lp(U×] − 1,1[) tel que ψ,nn = 0 alors ilexiste a ∈ Lp(U), b ∈ Lp(U) tels que

ψ = a+ x3b

de plus, ψ,n ∈ Lp(U×]− 1,1[) et pour presque tout (x,xn) ∈ U×]− 1,1[,

ψ,n(x,xn) = b(x).

PreuveUn calcul simple nous montre que (ψ − xnψ,n) ,n = 0 ainsi, d’apres le lemme precedent,

ψ − xnψ,n =(∫ 1

−1(ψ − tψ,n)(x,t)θ(t) dt

) pU

=(∫ 1

−1ψ(x,t) dt−

∫ 1

−1tψ,n(x,t)θ(t) dt

) pU .

Comme ψ,nn = 0, en appliquant de nouveau le lemme precedent, on obtient

ψ,n =(∫ 1

−1ψ,n(x,t)θ(t) dt

) pU .

On note b =∫ 1−1 ψ,n(x,t)θ(t) dt. Soit u ∈ D(U),

<

∫ 1

−1t(b pU )(x,t)θ(t) dt,u > = < t(t(b pU )(x,t),u(x)θt >

= < b pU (x,t),u(x)xnθt >

= < b(x),∫ 1

−1u(x)tθt dt >

= 0.

Page 83: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Plaques en flexion et Γ-convergence 73

On a donc

ψ − xnψ,n =(∫ 1

−1ψ(x,t) dt

) pU .

On pose a =∫ 1−1 ψ(x,t) dt,

ψ = a pU + xnb pU .

Comme ψ ∈ Lp(U×] − 1,1[), a ∈ Lp(U). Enfin d’apres l’equation precedente, b pU est unelement de Lp(U×]− 1,1[) et b ∈ Lp(U). 2

Corollaire 5. Soit ψ0 ∈ Lp(U×]− 1,1[) tel que ψ0,n = 0, alors, il existe ψ ∈ Lp(U) tel que

ψ0(x1,x2,x3) = ψ(x1,x2).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 74

Chapitre 3

Un modele de solide avecauto-contacts, sans frottements,sans auto-intersection

Notations

Sk Sphere de dimension k.I [0,1].Imm(X,Y ) Ensemble des immersions de X dans Y.Plon(X,Y ) Ensemble des plongements de X dans Y.ν(P,M) Fibre normal de P dans M , c’est a dire TPM/TP.jBA Injection de A dans B.cA Complementaire de AX −A Ensembles des elements de X n’appartenant pas a A.f × g (x,y) 7→ f(x)× g(y)4(X) (x,y) ∈ X ×X : x = y.Hk(X,A) kieme groupe d’homologie singuliere relative a coefficients entiers de (X,A).Hk(X,A) kieme groupe de cohomologie singuliere relative a coefficients entiers de (X,A).∂c Bord de c.δf Cobord de f .[[X]] Si X est orientable, de dimension n, generateur de Hn(X,∂X).[[X]]Y i∗([[X]]) ou i est l’injection de la sous variete orientable (X,∂X) dans (Y,∂Y ).u ∪ v “cup product” de u et v.α ∩ a “cap product” de α et a.< α,a > Crochet de dualite de α et a.a • b Produit d’intersection de a et b.φSk Generateur de Hk(Sk).ε∗ Augmentation.]γ Nombre de tours de γ.deg(γ) Degre de l’application γ.

Page 85: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 75

1 Introduction

On cherche a modeliser le comportement d’un solide hyperelastique, soumis a diversescontraintes en deplacement et en force, tout en permettant les auto-contacts sans frottementmais pas les auto-intersections. On represente notre solide par une variete M de dimensioninferieure ou egale a celle de l’espace ambiant Rn (n = 2 ou 3). La deformation ψ estl’application de M a valeurs dans Rn qui a chaque point x du solide associe sa positionψ(x). L’approche variationnelle consiste a decrire la deformation a l’equilibre comme etantle minimum d’une fonctionnelle energie I(ψ) de la forme

I(ψ) =∫MW (x,Dψ,D2ψ, . . . )dx+ L(ψ),

ou L est une forme lineaire dependant des forces appliquees et W est la densite d’energieinterne qui est fonction du type de materiau dont est constitue notre solide.Remarque 12. Classiquement, la deformation du solide est plutot decrite comme une applica-tion de Ω vers Rn ou Ω est un ouvert de Rn, etat de reference du solide, choisi le plus souventcomme etant l’espace occupe par le solide au repos. Ici, l’espace source de la deformationest une variete et non un ouvert de l’espace ambiant. Un des avantages de ce choix est depermettre de decrire dans un cadre identique des solides de dimension n ou de dimensioninferieure.

Fig. 3.1 – Deformation physiquement non-admissible.

Si on choisit un espace affine comme ensemble des deformations admissibles, on s’ex-pose a quelques deconvenue. En effet, certaines deformations, physiquement non admissibles,possedent alors une energie finie et peuvent de ce fait etre solution du probleme de minimi-sation. Par exemple, si dim(M) = n, une deformation reguliere telle qu’il existe x tel quedet(5ψ(x)) < 0 n’est pas physiquement admissible : On ne peut pas retourner localementl’espace. De meme, si det(5ψ) > 0 et si deux domaines distincts inclus dans M ont la memeimage, ψ n’est pas physiquement admissible : deux elements de solide ne peuvent occuper la

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 76

meme portion d’espace (voir la figure 1). Un point commun a ces deformations est de ne pasappartenir a l’adherence des plongements de la variete de reference M dans l’espace ambiantou celui-ci se deforme. Il est donc a priori naturel de choisir comme ensemble de minimisationun ensemble inclus dans l’adherence des plongements (pour une norme adaptee au probleme).Remarquons que cette definition autorise a priori les auto-contacts sur la frontiere. On dirapar la suite qu’une deformation est sans auto-intersection si elle fait parti de l’adherence C0

des plongements. Le probleme d’un tel choix est que cet ensemble n’est pas defini de maniereexplicite. Nous n’avons a priori aucun moyen de determiner si une deformation donnee enfait partie ou non.

Plusieurs modelisations ont ete proposees pour resoudre ce probleme dans le cas oudim(M) = n. Notre objectif est d’obtenir des formulations similaires dans les cas dim(M) ≤n. Une premiere idee etait d’utiliser le modele de Ciarlet et Necas [15] et d’etudier sa (( li-mite )) lorsque l’une des dimensions de M (( tend vers zero )) en appliquant des techniquesadaptees a l’etude des structures minces. Une telle demarche ne peut en fait pas aboutir. Laraison est due a la relative faiblesse du critere utilise par Ciarlet et Necas. Dans la section6.3 nous reviendrons sur ce point particulier.On a donc cherche un critere explicite caracterisant les deformations (( physiquement admis-sibles )), applicable quelles que soient les dimensions du solide et de l’espace ambiant. Un telcritere doit remplir un certain nombre de conditions :

– L’ensemble ainsi defini doit etre suffisamment ferme, de sorte que si le probleme initial,sans contrainte de non auto-intersection, etait bien pose, il en soit de meme pour lenouveau probleme de minimisation.

– Les plongements doivent verifier notre critere.– Quitte a supposer que la solution est suffisamment reguliere, on doit pouvoir retrouver

les equations d’Euler-Lagrange.On definit un ensemble de deformation admissible, base sur des outils de topologie algebrique,qui repond a ces contraintes dans les cas dim(M) = 1, n = 2 et dim(M) = n. Cependant,nous n’avons pas obtenu de reponse definitive dans le cas dim(M) = 2 et n = 3.

La consideration de ce probleme nous a amene a utiliser des outils de topologie algebriquequi apparaissent assez rarement en calcul des variations. C’est pourquoi on a pris le partide suivre le cheminement le plus naturel et progressif possible et d’eviter une presentationpurement axiomatique. Ce choix impose quelques redondances, mais permet (du moins nousl’esperons) de montrer en quoi les objets introduits apparaissent naturellement. Le criteregeneral n’est presente que dans la partie 6. Enfin, on fera de frequentes references a l’annexeou sont rassembles divers resultats de topologie algebrique et de geometrie differentielle. Lelecteur peu familier avec les groupes d’homologie et de cohomologie singuliere y trouvera unebreve presentation de leur definition 8.2.1. Pour plus de details, on peut consulter n’importequel cours elementaire sur le sujet comme celui de Bredon [6] ou Massey [33].

La premiere partie est essentiellement qualitative. On y montre comment on peut decrirel’intersection geometrique de deux poutres a l’aide de consideration purement algebriques.Les trois suivantes sont consacrees a l’etude du cas particulier M = S1 et n = 2. Dans un pre-mier temps (section 3), on definit l’ensemble des deformations admissibles de deux manieresdifferentes : a l’aide d’un critere algebrique (section 3.1), puis par un critere geometrique (sec-

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 77

tion 3.2). On demontre en 3.3 l’equivalence des deux definitions. La partie 4 est dediee a lamodelisation proprement dite. On donne la formulation variationnelle du probleme (section4.1) et on etablit l’equivalence (pour les immersions) avec les equations d’Euler-Lagrangeassociees en 4.2. Dans la section 5, on construit un probleme penalise permettant la miseen place d’applications numeriques. On donne en 6 une generalisation en toutes dimensionsdu modele precedemment etudie. Le cas des surfaces deformees dans R3 est aborde en 6.2,tandis que le cas dim(M) = n est developpe en 6.3. Enfin, on conclut en 7 sur differentesremarques et sur la possibilite d’etendre notre demarche a des problemes d’evolution.

2 Intersection geometrique, physique et cohomologie

Dans cette section, on cherche a illustrer comment l’intersection physique de deux poutresest naturellement decrite par un cocycle. Tous les developpements ulterieurs reposent sur lesidees tres simples presentees ici.

On note S1 le cercle de R2 centre a l’origine, de rayon un, tandis que I est l’intervalle ferme[0,1]. On considere deux poutres incluses dans un plan. On cherche a decrire l’intersectionphysique de deux poutres. On dira que l’intersection physique est nulle si les poutres ne sepenetrent pas l’une l’autre.

Soit ψ1,ψ2 : I → R2, les deformations respectives de chacune des poutres. On suppose

que ψ1 et ψ2 sont des immersions et que

ψ1(∂I) ∩ ψ2(I) = ψ1(I) ∩ ψ2(∂I) = ∅.

Soit d(ψ1,ψ2) l’application de I × I dans R2 qui a tous couples (x,y) associe ψ1(x)− ψ2(y).

d(ψ1,ψ2)(x,y) = ψ1(x)− ψ2(y).

On appelle l’intersection geometrique de ψ1 avec ψ2 le sous-ensemble de I × I

d(ψ1,ψ2)−1(0) = (x,y) ∈ I × I : ψ1(x) = ψ2(y).

Si l’intersection geometrique de ψ1 avec ψ2 est vide, l’intersection physique des deux poutresest evidemment nulle. Cependant, ce n’est pas une condition necessaire. Deux poutres peuventetre en contact l’une avec l’autre sans pour autant se penetrer. Malgre tout, un tel critere estcorrect dans le cas ou ψ1 est transverse a ψ2 (voir annexe 8.1.1). Autrement dit, si ψ1 t ψ2,l’intersection physique est nulle si et seulement si l’intersection geometrique est vide. Mal-heureusement, meme si la transversalite est generique, toutes les deformations ne sont pastransverses. De plus, si deux poutres sont en contact l’une avec l’autre sans se penetrer, lesdeformations ψ1 et ψ2 sont justement non-transverses !

Supposons ψ1 et ψ2 transverses. Dans ce cas, l’intersection geometrique d(ψ1,ψ2)−1(0) estune sous-variete de dimension nulle de I × I. C’est une collection finie de points. On peutassocier a chaque point (x,y) de d(ψ1,ψ2)−1(0) un signe s(x,y) de la maniere suivante:

s(x,y) =

+1 si (ψ2(x),ψ1(y)) forme une base directe−1 si (ψ2(x),ψ1(y)) forme une base indirecte.

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 78

1

2

Supposons de plus d(ψ1,ψ2)−1(0) ne comporte qu’un unique element (x,y) et, pour fixer lesidees, que s(x,y) = +1 (voir figure ci-dessus). On pose

γ : S1 → I × Iu 7→ (x,y) + ru.

etθ : R2 − 0 → S1

z 7→ z/|z|.

On choisit r > 0 assez petit de sorte que γ soit correctement defini. L’image de γ est unepetite boucle entourant (x,y). On pose

α = d(ψ1,ψ2) γ.

L’image de α est un lacet de R2 qui tourne autour de l’origine dans le sens trigonometriquecomme l’illustre la figure qui suit. Ainsi, on a

deg(θ α) = +1 = s(x,y).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 79

Perturbons legerement ψ1 et ψ2 en norme C0 . Soit ψ1 et ψ2 les deformations ainsi obtenues.On pose

α = d(ψ1,ψ2) γ.

L’intersection geometrique de ψ1 et ψ2 peut etre extremement complexe. Cependant, α estproche en norme C0 de α et lui est homotope dans R2−0. Ainsi, θα et θ α sont homotopeset

deg(θ α) = deg(θ α) = +1 = s(x,y).

Considerons cette fois le cas de deux poutres, comportant toujours un unique point d’in-tersection en (x,y), mais qui cette fois ne s’interpenetre pas. On designe par ϕ1 et ϕ2 les

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 80

deformations associees.

1

2

Comme les de poutres ne se penetrent pas l’une l’autre, il existe ϕ1 et ϕ2 proches de ϕ1 etϕ2 telles que

ϕ1(I) ∩ ϕ1(I) = ∅.

On pose β = d(ϕ1,ϕ2), β = d(ϕ1,ϕ2) et γt = (1− t)γ.

L’application γt est une homotopie de γ a l’application qui a tout point de S1 associe (x,y).De meme, θd(ϕ1,ϕ2)γt est une homotopie dans S1 qui contracte θ β sur θd(ϕ1,ϕ2)(x,y).

Page 91: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 81

On a doncdeg(θ β) = deg(θ β) = 0.

Pour deux deformations ψ1 et ψ2 quelconque, on note φ(ψ1,ψ2) l’application qui a toutlacet γ de I × I − d(ψ1,ψ) associe l’entier

< φ(ψ1,ψ2),γ >= deg(θ d(ψ1,ψ2) γ) .

Il semble au vu des deux exemples precedents que l’intersection physique de ψ1 soit bienmieux decrite par φ(ψ1,ψ2) que par l’intersection geometrique. On peut conjecturer que l’in-tersection physique des deux poutres est nulle si et seulement si φ(ψ1,ψ2) = 0.

On rappelle maintenant rapidement quelques notions de topologie algebrique. Pour plusde detail, le lecteur pourra se referer a l’annexe ou mieux a un cours elementaire sur le sujet([6], [33]). Pour un espace topologique X, Hk(X) et Hk(X) designent respectivement le kiemegroupe d’homologie et de cohomologie de X. Si X est une variete orientable de dimensionn, Hn(X) est isomorphe a Z. De plus, a toute orientation (au sens classique du terme), onpeut associer de maniere canonique un generateur de Hn(X). Ainsi, dans le cas X = S1,H1(S1) est isomorphe a Z. On note φS1 le generateur de H1(S1) associe a l’orientationtrigonometrique du cercle. En petite codimension (ce qui est notre cas), le groupe Hk(X)peut etre vu comme l’ensemble des sous-varietes sans bord de X de dimension k quotientepar le bord des sous-varietes de X de dimension k + 1. En particulier, un representant deH1(X) est une somme de lacets. Enfin, si f est une application continue de X a valeurs dansY, f induit des morphismes de groupes f∗ et de Hk(X) vers Hk(Y ) et f∗ de Hk(Y ) versHk(X). Si c est un element de H1(X), il existe une famille finie γi de lacets de X tels que

c =∑i

γi,

etf∗(c) =

∑i

f γi.

Toujours dans le cas particulier k = 1, H1(X) est isomorphe au dual de H1(X), et f∗ n’estautre que l’application adjointe de f∗. Ainsi, si < .,. > designe le crochet de dualite, et si ψest un element de H1(Y ), f∗(φ) est defini par son action sur les elements c de H1(X) par

< f∗(φ),c >=< φ,f∗(c) > .

On rappelle enfin que si f et g sont homotopes, f∗ = g∗ et f∗ = g∗. Pour finir, si f est uneapplication de X vers X, f∗ est un morphisme de H∗(X) vers H∗(X). Comme Hn(X) estisomorphe a Z, l’action de f∗ sur Hn(X) n’est autre que la multiplication par un entier d,appele degre de l’application f.

f∗ : Hn(X) → Hn(X)φ 7→ dφ.

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 82

Cette definition du degre d’une application est compatible avec la definition classique.Ainsi, φ(ψ1,ψ2) n’est autre qu’un element de H1(I × I − d(ψ1,ψ2)−1(0)) defini par

φ(ψ1,ψ2) = (θ d(ψ1,ψ2))∗(φS1) ,

ou φS1 est le generateur canonique de H1(S1).

3 Ensemble des deformations admissibles d’un cercle dans leplan

3.1 Une definition algebrique

3.1.1 Preliminaires

Dans cette section, on definit un nouveau groupe de cohomologie H∗K utilise lors de ladefinition de l’ensemble des deformations admissibles.

Soit X un espace topologique. On definit les groupes HkK(X) comme limite inverse des

groupes de cohomologie de H∗(K) ou K parcourt les compacts de X :

HkK(X) = lim←−

K

Hk(K).

Pour etre plus precis, l’ensemble des compacts de X est partiellement ordonne par la relationd’inclusion K ⊂ L. De plus, pour tout couple de compacts K et L tel que K ⊂ L, l’injectionjLK de K dans L induit un homomorphisme de Hk(L) dans Hk(K). Le groupe de cohomologieHkK(X) est l’ensemble des applications u, qui a chaque compact K de X associe un element

uK de Hk(K), telles que, si K ⊂ L, jLK∗(uL) = uK .

Soit g : X → Y . On note g∗K l’application de Hk(Y ) dans HkK(X) qui a tout element v de

Hk(Y ), associe l’element u = g∗K(v) de HkK(X) definit par uK = (g jXK )∗(v).

Remarque 13. L’utilisation de cette limite inverse est necessaire afin de pouvoir prouverla fermeture C0 de l’ensemble des fonctions admissibles. Cependant, on aurait pu en fairel’economie dans le cas d’un cercle se deformant dans R2, en utilisant le fait que

H1(X) = Hom(H1(X)),

ou Hom(H1(X)) est le dual de H1(X). Nous avons prefere retenir la formulation la plusnaturelle, meme si ce n’est pas la plus simple. On pourrait donc, jusqu’a la section 6, remplacerH1K(X) par H1(X) ou meme Hom(H1(X)).

3.1.2 Deformations admissibles

Soit K un compact de S1 × S1, pour tout couple (ψ1,ψ2) d’applications de S1 dans R2,telles que (ψ1 × ψ2)−1(4(R2)) ⊂ K, on definit dK(ψ1,ψ2) : cK → R

2 − 0 par

dK(ψ1,ψ2)(x,y) = d(ψ1,ψ2)(x,y) = (ψ1(x)− ψ2(y)).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 83

Si ψ est une application de S1 → R2. On pose

4(ψ) = (ψ × ψ)−1(4(R2))dψ = d4(ψ)

Soit jS1 : S1 → R

2 l’injection de reference de S1 dans R2. On pose

φR2−0 = θ∗(φS1).

D’apres l’etude effectuee dans la section precedente, on conjecture que les auto-intersectionsde ψ sont correctement decrites par

(θ d(ψ,ψ))∗(φS1) = dψ(ψ,ψ))∗ θ∗(φS1) = dψ(ψ,ψ))∗(φR2−0),

qui est un element de H1(S1 × S1 − 4(ψ)). Et que si ψ est sans auto-intersection commel’est j

S1 , quedψ(ψ,ψ)∗(φR2−0) = dψ(j

S1 ,jS1))∗(φR2−0),

condition qui est equivalente a

dψ(ψ,ψ)∗ = dψ(jS1 ,jS1)∗.

Ceci nous conduit a definir l’ensemble des deformations admissibles par

A(jS1) = ψ : S1 → R

2; dψ(jS1 ,jS1)∗K = dψ(ψ,ψ)∗K .

Par la suite, on omettra, sauf ambiguıte, la dependance de A en jS1 . On notera donc A(j

S1)simplement A. De plus, jψK designera l’injection de K dans c4(ψ).

3.1.3 Proprietes elementaires

Dans cette section, on etablit que A est ferme pour la topologie C0 (proposition 16),qu’il contient les deformations sans auto-intersection isotopes a jS1 (proposition 17) ainsi quel’invariance de A par composition a droite et a gauche avec des homeomorphismes preservantl’orientation (18 et 19).Proposition 16. A est ferme pour la topologie C0

PreuveSoit ψ ∈ C0(S1;R2) et ψn une suite d’elements de A, tels que

ψn → ψ pour la topologie C0 .

Soit K un compact de c4(ψ). On pose

ε = inf|ψ(x)− ψ(y)|; (x,y) ∈ K > 0.

Il existe N tel que |ψ−ψN | < ε/2. Soit ψt(x) = (1−t)ψ(x)+tψN (x). Quel que soit (x,y) ∈ K,

|ψt(x)− ψt(y)| = |(1− t)(ψ(x)− ψ(y)) + t(ψN (x)− ψN (y))|≥ |ψ(x)− ψ(y)| − t(|ψ(x)− ψN (x)| − |ψ(y)− ψN (y)|> ε− ε/2− ε/2 = 0.

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 84

Ainsi, pour tout t, dψ(ψt,ψt) jψK est bien defini sur K. C’est une homotopie de dψ(ψ,ψ) jψKa dψN (ψN ,ψN ) jψNK . Ainsi,

(dψ(ψ,ψ) jψK)∗ = (dψN (ψN ,ψN ) jψNK )∗

= (dψN (jS1 ,jS1) jψNK )∗

= (dψ(jS1 ,jS1)) jψK)∗.

2

Remarque 14. En particulier, si p > n,A∩W 1,p(S1;R2) est ferme pour la topologieW 1,p(S1;R2)faible. Si on se donne une energie coercive, sequentiellement semi-continue inferieur faibledans W 1,p(S1;R2), elle admettra un minimiseur sur A ∩W 1,p(S1;R2).

Rappelons que deux plongements g et h sont isotopes s’il existe une homotopie reguliereψt, telle que ψ0 = g, ψ1 = h et quel que soit t, ψt soit un plongement.Proposition 17. L’adherence C0 des plongements isotopes a j

S1 est incluse dans APreuveD’apres la proposition precedente, il suffit de montrer que tout plongement isotope a

jS1 est un element de A. Soit ψ un plongement isotope a j

S1 , d4(S1)(ϕ,ϕ) est homotope ad4(S1)(jS1 ,jS1),

(dψ(ψ,ψ))∗ = (d4(S1)(ψ,ψ))∗ = (d4(S1)(jS1 ,jS1))∗ = (dψ(jS1 ,jS1))∗.

d’ou on conclut(dψ(ψ,ψ))∗K = (dψ(jS1 ,jS1))∗K.

2

Pour tout espace topologique X, 1∗ designe l’application identite de H∗(X). Ainsi, si Gest une application continue de X dans X,

G∗ = 1∗ ⇔ (G∗(φ) = φ pour tout φ ∈ Hk(X) et pour tout entier k).

Proposition 18. Soit G : S1 → S1 un homeomorphisme de S1 dans S1 tel que G∗ = 1∗.

(ψ ∈ A)⇒ (ψ G ∈ A).

PreuveSoit ψ un element de A et G un homeomorphisme de S1 dans S1 tel que G∗ = 1∗.On note

ϕ = ψ G.

Soit K un compact de S1 × S1 −4(ϕ). On pose

L = (G×G)(K).

Le compact L est inclus dans S1×S1−4(ψ). On note G×G|K la restriction de G×G a Kqui est a valeurs dans L. On a

dϕ(ϕ,ϕ) jϕK = dψ(ψ,ψ) jψL (G×G|K).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 85

Comme ψ ∈ A,

(dϕ(ϕ,ϕ) jϕK)∗ = (G×G|K)∗ (dψ(ψ,ψ) jψL)∗

On note G×Gc∆(S1) la restriction de G×G sur S1×S1−4(S1) a valeurs dans S1×S1−4(S1).Comme G est un homeomorphisme tel que G∗ = 1∗, on a

(G×G|c4(S1))∗ = 1∗.

Enfin,

(dϕ(ϕ,ϕ) jϕK)∗ = (d4(S1)(jS1 ,jS1) G×G|c4(S1) jc4(S1)K )∗

= (jc4(S1)K )∗ (G×G|c4(S1))

∗ (d4(S1)(jS1 ,jS1)∗

= (jc4(S1)K )∗ (d4(S1)(jS1 ,jS1)∗

= (dϕ(jS1 ,jS1) jϕK)∗.

c’est-a-dire ϕ ∈ A. 2

Proposition 19. Soit G un diffeomorphisme de R2 dans lui-meme preservant l’orientation.

(ψ ∈ A)⇒ (G ψ ∈ A).

PreuveSoit G un homeomorphisme de R2 preservant l’orientation. Le diffeomorphisme G×G|c4(R2)

de c4(R2) dans lui-meme est tel que

(G×G|c4(R2))∗ = 1∗.

Soit ψ un element de A. On pose ϕ = G ψ.On note Θ l’application de R2 × R2 dans R2, qui a (x,y) associe x− y.Comme 4(ϕ) = 4(ψ),

dϕ(ϕ,ϕ) = Θ G×G (ψ × ψ|c4(ψ)),

on a

(dϕ(ϕ,ϕ))∗ = (ψ × ψ|c4(ψ))∗ (G×G|c4(R2))

∗ Θ∗

= (ψ × ψ|c4(ψ))∗ Θ∗

= (dψ(ψ,ψ))∗

On en deduit que comme ψ ∈ A, ϕ ∈ A. 2

3.1.4 Deformations admissibles et auto-intersections transverses

On prouve dans cette partie que dψ(ψ,ψ)∗K contient des informations permettant de decrireles intersections de ψ avec elle-meme.On rappelle que φR2−0 est le generateur de H1(R2 − 0) defini par

φR2−0 = θ∗(φS1)

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 86

(voir section 3.1.2 et 2).Lemme 18. Soit F : R2 − 0→ R

2 − 0 une application lineaire telle que det(F ) 6= 0. On a

< φR2−0,F∗([[S1]]R2−0) >= signe(det(F )).

PreuveSoit

G(x) : S1 → S1

x 7→ θ(F (x)) = F (x)|F (x)|.

On a

< φR2−0,F∗([[S1]]R2−0) > = < φS1 ,G∗([[S1]]R2−0) >

= deg(G).

Pour tout y ∈ S1,

deg(G) =∑

x∈G−1(y)

signe(det(TxG)).

Comme G est un diffeomorphisme, pour tout x ∈ S1,

deg(G) = signe(det(TxG)). (3.1)

Soit e1 = ∂∂t , base directe de TxS1,

det(TxG) = n(G(x)) ∧ TxG(e1),

ou n(G(x)) est le vecteur unitaire normal exterieur a S1 en G(x).

det(TxG) = G(x) ∧ TxG(e1).

De plus,

TxG = Tx (F (x)/|F (x)|)

=TxF

|F (x)|+ F (x)Tx (1/|F (x)|) ,

d’ou

det(TxG) = G(x) ∧ TxG(e1)

=G(x) ∧ TxF (e1)

|F (x)|.

Ainsi,

signe(det(TxG)) = signe(G(x) ∧ TxF (e1))= signe(F (x) ∧ F (e1))= signe(det(F )).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 87

On conclut grace a (3.1). 2

Proposition 20. Soient ϕ et ψ des fonctions continues de S1 a valeurs dans R2. S’il existe(x,y) ∈ S1 × S1, tel que ϕ(x) = ψ(y),

ϕ de classe C1 sur un voisinage de x,ψ de classe C1 sur un voisinage de y,

et ϕ transverse a ψ en (x,y), alors

< d(x,y)(ϕ,ψ)∗|V (φR2−0),(jVD2−0

)∗([[S1]]D2−0) >= s(x,y),

ouV = U − (x,y) ;U est un voisinage de (x,y) dans S1 × S1 tel que ϕ× ψ soit de classe C1 sur U ;jVD2(a,b) = (x,y) + r(a,b) est une injection de D2 − 0, disque unite de R2 prive de

l’origine, dans V (r est un petit reel positif) ;s(x,y) est le signe de (x,y) defini comme en (2).

PreuveOn pose

A =< d(x,y)(ϕ,ψ)∗|V (φR2−0),(jVD2−0

)∗([[S1]]D2−0) >

etF (h) : B(0,1/h)− 0 → R

2

(a,b) 7→ 1h(ϕ(x+ ha)− ψ(y + hb)).

Pour tout (a,b) ∈ R2 − 0, des que h assez petit,

(a,b) ∈ B(0,1/h),

de plus,

F (h)(a,b) =1h

[d(ϕ,ψ) jV

D2−0(h(a,b))− d(ϕ,ψ) jV

D2−0(0)]

h→0−−−→ T(0,0)(d(ϕ,ψ) jVD2−0

).(a,b).

On noteF (0) : R2 − 0 → R

2 − 0(a,b) 7→ T(0,0)(d(ϕ,ψ) jU

D2).(a,b).

On a

A = < φR2−0,(d(ϕ,ψ) jVD2−0

)([[S1]]D2−0) >

= < φR2−0,(F (h))∗(([[S1]]D2−0) > .

des que h < 1.Ainsi, en faisant tendre h vers 0,

A = < φR2−0,(F (0))([[S1]]D2−0) >= signe(det(F (0))) d’apres le lemme 40.

Page 98: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 88

Reste a calculer le signe du determinant de l’application lineaire F (0). On a

det(F (0)) = det(T(x,y)(d(ϕ,ψ))) det(T(0,0)jU

D2)= det(T(x,y)(d(ϕ,ψ))).

CommeT(x,y)(d(ϕ,ψ)) = (ϕ(x),− ψ(y)),

det(T(x,y)(d(ϕ,ψ))) = det(ψ(y),ϕ(x))

et

A = signe(det(T(x,y)d(ϕ,ψ)))

= signe(det(ψ(y),ϕ(x))) = s(x,y),

ce qui acheve la demonstration. 2

Corollaire 6. Soit ψ : S1 → R2, une application continue. S’il existe (x,y) ∈ 4(ψ) tel que

ψ de classe C1 en x et y, si de plus, ψ t(x,y) ψ, alors ψ /∈ A.Preuve

D’apres la proposition 40,

< dϕ(ϕ,ϕ)∗(φR2−0),(jD2−0

)∗([[S1]]D2−0) >= ±1.

ou jD2−0

est l’injection de D2 − 0 dans S1 × S1 −4(ϕ) definie comme precedemment.D’autre part,

< dϕ(jS1 ,jS1)∗(φR2−0),(j

D2−0)∗([[S1]]D2−0) >=

< d4(S1)(jS1 ,jS1)∗(φR2−0),(jc4(S1)

D2 )∗([[S1]]D2) > .

Or S1 est le bord du disque D2 :[[S1]]D2 = ∂[[D2]].

[[S1]]D2 est donc nul comme element de H1(D2).

[[S1]]D2 = 0 dans H1(D2).

Ainsi,< dϕ(j

S1 ,jS1)∗(φR2−0),(jD2−0

)∗([[S1]]D2−0) >= 0

etdϕ(ϕ,ϕ)∗K 6= dϕ(j

S1 ,jS1)∗K.

ϕ /∈ A.

2

Page 99: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 89

3.2 Une definition geometrique

On cherche a donner un critere geometrique explicite definissant les immersions sans auto-intersection. La premiere partie est consacree a la definition du critere geometrique. Dans undeuxieme temps, on montre que l’ensemble AG ainsi defini est inclus dans l’adherence C1 desplongements de S1 dans R2.

3.2.1 Une caracterisation geometrique de l’adherence des plongements

Soit ϕ une immersion de S1 dans R2. On note

4/(ϕ) = 4(ϕ)−4(S1)= (x,y) ∈ S1 × S1;ϕ(x) = ϕ(y) et x 6= y.

On note E(ϕ) l’ensemble des composantes connexes de 4/(ϕ) et Λϕ : 4/(ϕ) → E(ϕ), l’appli-cation qui a tout element (x,y) de 4/(ϕ) lui associe Λϕ(x,y), unique composante connexe de4/(ϕ) contenant (x,y).On pose

gϕ : S1×]− T ;T [ → R2

(x,t) 7→ (ϕ1(x)− ϕ2(x+ t) + ϕ2(x),ϕ2(x) + ϕ1(x+ t)− ϕ1(x))

Pour T assez petit, gϕ est un diffeomorphisme local en tout point (voir annexe 8.1.2) et

D(x,0)gϕ = |ϕ(x)|(τx, nx), (3.2)

ou τx designe le vecteur unitaire tangent a Imϕ en x et nx la normale a la courbe au memepoint telle que (τx, nx) soit une base directe. Comme S1 est compact, il existe δx, δh et r0

reels positifs tels que pour tout x ∈ S1, si

Vx(ϕ) =]x− δx;x+ δx[×]− δh; δh[,

alors gϕ|Vx(ϕ) est un diffeomorphisme sur son image et la boule B(ϕ(x),r0) de centre ϕ(x) etde rayon r0 est incluse dans gϕ(Vx(ϕ)). Afin d’alleger les notations, on n’a pas fait apparaıtrela dependance de δx, δh et de r0 en ϕ. Par la suite, on fera souvent cet abus.

x

g

( , )B ( )x r

Pour tout x ∈ S1, on definit les applications

Hx(ϕ) : B(ϕ(x),r0) → ]− T ;T [z 7→ PR (gϕ|Vx)−1(z)

Page 100: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 90

etPx(ϕ) : B(ϕ(x),r0) → S1

z 7→ PS1 (gϕ|Vx)−1(z).

ou PS1 et PR sont respectivement les projections de S1 × R sur S1 et R. On pose

V4(ϕ) = (x,y) ∈ S1 × S1; |ϕ(x)− ϕ(y)| < r0.

V4(ϕ) est un voisinage de 4(ϕ). Enfin, on definit

hϕ : V4(ϕ) → ]− T ;T [(x,y) 7→ Hx(ϕ(y)).

L’application hϕ est de classe C1 . Pour tout element (x,y) de V4(ϕ), hϕ(x,y) est la hauteurdu point ϕ(y) dans le systeme de coordonnees locales induit par gϕ|Vx sur son image.

h (x,y)

x

y

Remarque 15. Des que x et x sont suffisamment proches, Px(ϕ) = Px(ϕ) et Hx(ϕ) = Hx(ϕ)sur leur ensemble de definition commun. En particulier, on a alors hϕ(x,y) = hϕ(x,y). Onutilisera souvent ce fait par la suite sans plus de precisions.

On note P1(ϕ) et P2(ϕ) les propositions suivantes:P1(ϕ) : Quel que soit Λ ∈ E(ϕ) composante connexe de 4/(ϕ),

il existe (x,y) ∈ Λ tel que sur tout voisinage V ⊂ V4(ϕ) de (x,y), hϕ|V 6= 0.P2(ϕ) : Quel que soit Λ ∈ E(ϕ) composante connexe de 4/(ϕ), il existe un voisinage Vϕ(Λ)

de Λ tel que• soit h(x) ≥ 0 pour tout x ∈ Vϕ(Λ),• soit h(x) ≤ 0 pour tout x ∈ Vϕ(Λ).

Si P2(ϕ) est vraie, la hauteur hϕ(x,y) du point ϕ(y) dans le systeme de coordonnees localinduit par gϕ|Vx est de signe constant sur un voisinage de Λ. La proposition P1(ϕ) signifieque hϕ ne peut-etre nulle sur un voisinage de Λ et que les deux brins se decollent en (x,y).

On poseAG = ϕ ∈ Imm(S1;R2);P1(ϕ) et P2(ϕ) vraie .

Dans la section 3.2.3, on prouve que AG est inclus dans l’adherence C1 des plongements.Les deux conditions P1(ϕ) et P2(ϕ) sont indispensables. La figure ci-dessous represente uneimmersion, verifiant P1(ϕ) mais pas P2(ϕ). Son nombre de tours est nul. Elle n’appartient

Page 101: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 91

donc pas a l’adherence des plongements, pour lesquels le nombre de tours vaut ±1 (voirannexe 8.3)

x0x1

y1

0(x )

y0

(x )1

1(y )

0(y )

D’autre part, en identifiant S1 a R/2πZ, si ϕ(θ) = (cos(2θ), sin(2θ)), ϕ verifie P2(ϕ) maispas P1(ϕ). Le nombre de tours de ϕ est +2. L’immersion ϕ n’appartient pas a l’adherencedes plongements.

3.2.2 Description des auto-contacts

On rappelle que E(ϕ) est l’ensemble des composantes connexes de

4/(ϕ) = (x,y) ∈ S1 × S1;ϕ(x) = ϕ(y);x 6= y.

On definit σ l’application de S1×S1 dans lui-meme qui a tout couple (x,y) associe le couple(y,x). Pour toute immersion ϕ ∈ AG, on definit Pϕ, Oϕ deux applications de E(ϕ) vers−1; +1 comme suit:

Pϕ(Λ) = signe(hϕ(x,y)) ou (x,y) ∈ Vϕ(Λ) et hϕ(x,y) 6= 0Oϕ(Λ) = nx.ny ou (x,y) ∈ Λ.

L’existence d’un couple (x,y) ∈ Vϕ(Λ) tel que hϕ(x,y) 6= 0 est assuree par la propositionP1(ϕ). La proposition P2(ϕ) assure l’independance du signe de hϕ(x,y) par rapport au couple(x,y) choisi. L’application Pϕ est donc correctement definie.Le lemme ci-dessous nous assure que nx.ny = ±1 pour tout (x,y) ∈ Λ. L’ensemble Λ etantconnexe et nx.ny continue, le produit scalaire nx.ny est constant sur Λ. L’application Oϕ estdonc egalement correctement definie.Lemme 19. Soit ϕ ∈ AG, pour tout (x,y) ∈ 4(ϕ),

nx.τy = 0.

(x)

(y)

y

xn

Preuve

Page 102: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 92

La projection canonique de R2 sur la deuxieme coordonnees est notee p2.Soit ϕ une immersion de S1 dans R2, telle que ϕ ∈ AG. Soit (x,y) ∈ S1 × S1 tel que(x,y) ∈ 4(ϕ), c’est a dire tel que ϕ(x) = ϕ(y). On rappelle que V4(ϕ) est un voisinage de4(ϕ). Il existe donc ε > 0 tel que x×]y − ε; y + ε[⊂ V4(ϕ). Pour tout t ∈]− ε,ε[, on a

hϕ(x,y + t) = PR gϕ−1|Vx(ϕ(y + t))

= PR gϕ−1|Vx(ϕ(y)) +Dϕ(y)(PR gϕ−1

|Vx)ϕ(y)t+ o(t)

= Dϕ(y)(PR gϕ−1|Vx)ϕ(y)t+ o(t)

= p2((D(x,0)gϕ)−1ϕ(y))t+ o(t)

D’apres (3.2), D(x,0)g = |ϕ(x)| (τx, nx) . Ainsi,

(D(x,0)gϕ)−1 = |ϕ(x)|−1 (τx, nx)

ethϕ(x,y + t) = nx.

ϕ(y)|ϕ(y)|

t+ o(t) = nx.τyt+ o(t).

Comme P2(ϕ) est vraie, le signe de h est constant sur un voisinage de (x,y), d’ou nx.τy = 0.2

Les figures qui suivent illustrent les diverses definitions introduites.

Page 103: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 93

0(x )(x )1

1(y ) 0(y )

x0x1

y1 y0

x0 y1 y0

∆ 1(S )

1S

1S

1x

x0

1x

y1

y0

( )

Dans le cas represente, E(ϕ) compte deux elements : Λ et σ(Λ). La valeur de Oϕ(Λ) indiquesi les deux brins ϕ([x0;x1]) et ϕ([y1; y0]) sont ou non orientes dans le meme sens. Ici,

Oϕ(Λ) = Oϕ(σ(Λ)) = −1;

les deux brins sont orientes en sens oppose.La valeur de Pϕ(Λ) indique dans quel sens pousser le brin ϕ([y1; y0]) afin de le decoller dubrin ϕ([x0;x1]). Dans le cas represente,

Pϕ(Λ) = +1.

Il faut pousser le brin ϕ([y1; y0]) dans le sens indique par la normale en x afin le decoller lesdeux brins.

nx

0(x )(x )1

1(y ) 0(y )

x

Proposition 21. Pour toute immersion ϕ ∈ AG, pour tout Λ ∈ E(ϕ),

Oϕ(Λ) = Oϕ(σ(Λ)).

Page 104: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 94

PreuveSoit Λ ∈ E(ϕ) et (x,y) ∈ Λ,

Oϕ(Λ) = nx.ny = ny.nx = Oϕ(σ(Λ)).

2

Proposition 22. Pour toute immersion ϕ ∈ AG, pour tout Λ ∈ E(ϕ),

Pϕ(σ(Λ)) = −Oϕ(Λ)Pϕ(Λ).

Proposition 23. Pour toute immersion ϕ ∈ AG, quels que soit Λ−, Λ+ elements de E(ϕ),quels que soit x−, x, x+ elements de S1, tels que ϕ(x) = ϕ(x−) = ϕ(x+), et

Pϕ(Λϕ(x,x−)) = −Pϕ(Λϕ(x,x+));

alorsPϕ(Λϕ(x−,x+)) = Pϕ(Λϕ(x−,x)).

Notation : Si a = ±1, Ra designe soit R+, soit R− suivant la valeur de a. De meme pourR∗a.

Preuve de la proposition 22Soit ϕ ∈ AG, x, x−, et x+ comme dans l’enonce de la proposition. D’apres P1(ϕ), il existe

(x,y) ∈ Λ tel que hϕ restreint a tout voisinage de (x,y) soit non nul. Il existe W voisinagede ϕ(x) = ϕ(y), Ux et Uy respectivement voisinages suffisamment petits de x× 0 et de y× 0dans S1 × R tels que gϕ|Ux et gϕ|Uy soient des diffeomorphismes a valeurs dans W.Pour tous y et x appartenant respectivement a des voisinages suffisamment petit de y et dex,

signe(h(x,y)) = Pϕ(Λ) ou signe(h(x,y)) = 0

Ainsi,ϕ(Uy ∩ (S1 × 0)) ⊂ gϕ(Ux ∩ (S1 × RPϕ(Λ))),

et

gϕ(Ux ∩ (S1 × R∗−Pϕ(Λ))) ∩ gϕ(Uy ∩ (S1 × 0)) = ∅, (3.3)

ou gϕ est le voisinage tubulaire defini dans la section 3.2 (et aussi en annexe 8.1.2). On peutchoisir Ux de sorte que gϕ(Ux∩ (S1×R∗−pϕ(Λ))) soit connexe. On en deduit alors de (3.3) quel’une des deux situations suivantes se produit:

gϕ(Ux ∩ (S1 × R∗−Pϕ(Λ))) ⊂

gϕ(Uy ∩ (S1 × R∗+))

ougϕ(Uy ∩ (S1 × R∗−)).

On agϕ(x,t) = ϕ(x) + t|ϕ(x)|nx(ϕ) + o(t),

puis(gϕ|Uy)

−1 gϕ(x,t) = (y,0) + (0,t|ϕ(x)||ϕ(y)|−1nx(ϕ).ny(ϕ)) + o(t).

Page 105: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 95

Ainsi, pour t petit, tel que signe(t) = −Pϕ(Λ),

(gϕ|Uy)−1 gϕ(x,t) ∈ Uy ∩ (S1 × R∗−(nx.ny)Pϕ(Λ)).

Ainsi,gϕ

(Ux ∩ (S1 × R∗−Pϕ(Λ))

)⊂ gϕ

(Uy ∩ (S1 × R∗−(nx.ny)Pϕ(Λ))

).

gϕ|Ux et gϕ|Uy etant des diffeomorphismes, on en deduit que

gϕ(Ux ∩ (S1 × R−Pϕ(Λ))

)⊂ gϕ

(Uy ∩ (S1 × R−(nx.ny)Pϕ(Λ))

).

Il existe (y,x) proche de (y,x) tels que hϕ(y,x) = hϕ(y,x) 6= 0. On a

ϕ(x) ∈ gϕ(Ux ∩ (S1 × 0)

)⊂ gϕ

(Ux ∩ (S1 × R−Pϕ(Λ))

).

D’ouϕ(x) ∈ gϕ

(Uy ∩ (S1 × R−(nx.ny)Pϕ(Λ))

),

et

Pϕ(σ(Λ)) = hϕ(y,x) = hϕ(y,x)= −(nx.ny)Pϕ(Λ) = −Oϕ(Λ)P (Λ).

2

Lemme 20. Pour toute immersion ϕ ∈ AG, quels que soit x−, x, x+ elements de S1, telsque ϕ(x) = ϕ(x−) = ϕ(x+), il existe x−, x, et x+ elements de S1, tels que

ϕ(x) = ϕ(x−) = ϕ(x+),

Λϕ(x,x−) = Λϕ(x,x−) ; Λϕ(x,x+) = Λϕ(x,x+) ; Λϕ(x−,x+) = Λϕ(x−,x+),

et sur tout voisinage de (x−,x+), hϕ 6= 0.Preuve du lemme 20On pose

Λ = (x−,x+) ∈ Λϕ(x−,x+) : ∃x ∈ S1; (x,x−) ∈ Λϕ(x,x−),(x,x+) ∈ Λϕ(x,x+),et hϕ = 0 sur un voisinage de (x−,x+).

Supposons le lemme est faux, on a alors

Λ = (x−,x+) ∈ Λϕ(x−,x+) : ∃x ∈ S1; (x,x−) ∈ Λϕ(x,x−),(x,x+) ∈ Λϕ(x,x+),et hϕ = 0 sur un voisinage de (x−,x+) 6= ∅.

et Λ est un ferme de Λϕ(x−,x+).On va montrer par ailleurs que Λ est un ouvert de Λϕ(x−,x+). Comme Λϕ(x−,x+) est connexe,on aurait alors

Λ = Λϕ(x−,x+),

Page 106: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 96

et pour tout (x−,x+) ∈ Λϕ(x−,x+),

hϕ = 0 sur un voisinage de (x−,x+);

ce qui contredit P1(ϕ). Il reste donc a prouver que Λ est un ouvert de Λϕ(x−,x+).Soit (x−,x+) ∈ Λ. SoitW un voisinage connexe suffisamment petit de (x−,x+) dans Λϕ(x+,x−).Soit (x−,x+) ∈W. On pose

x = Px(ϕ)(ϕ(x+)) = Px(ϕ)(ϕ(x−)). (3.4)

On a0 ≤ hϕ(x,x+) = hϕ(x,x−) ≤ 0

d’ou hϕ(x,x+) = hϕ(x,x−) = 0. On deduit de (3.4) et de cette derniere equation que

ϕ(x) = ϕ(x−) = ϕ(x+),

c’est a dire

(x,x−) ∈ 4/(ϕ)et (x,x+) ∈ 4/(ϕ).

(3.5)

On designe par π1 et π2 les projections de S1 × S1 sur S1 :

π1(x,y) = x,

π2(x,y) = y.

D’apres (3.5),(Px(ϕ) ϕ)× π1(W ) ⊂ 4/(ϕ)

et (Px(ϕ) ϕ)× π2(W ) ⊂ 4/(ϕ).

De plus, W etant connexe, (Px(ϕ) ϕ) × π1(W ) et (Px(ϕ) ϕ) × π2(W ) sont egalementconnexes. On a donc

(Px(ϕ) ϕ)× π1(W ) ⊂ Λϕ(Px(ϕ)) ϕ× π1(x−,x+) = Λϕ(x,x−).

De meme,(Px(ϕ) ϕ)× π2(W ) ⊂ Λϕ(x,x+),

et W ⊂ Λ. Ce qui acheve la demonstration. 2

Preuve de la proposition 23Quitte a echanger le role de x− et de x+, on peut supposer que

Pϕ(Λϕ(x,x−)) = −1 et Pϕ(Λϕ(x,x+)) = +1.

De plus, d’apres le lemme 20, on peut supposer que sur tout voisinage de (x−,x+), hϕ 6= 0.En utilisant la meme demarche que lors de la preuve de la proposition 22, on peut trouverVx, Vx− et Vx+ voisinages de x× 0, x− × 0, et x+ × 0 dans ν(S1;R2) respectivement tels que

gϕ(Vx+ ∩ S1 × 0) ⊂ gϕ(Vx ∩ S1 × R+) (3.6)

Page 107: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 97

et

gϕ(Vx ∩ S1 × R+) ⊂ gϕ(Vx−(∩S1 × RPϕ(Λϕ(x−,x)))). (3.7)

Il existe (x−,x+) pr oche de (x−,x+) tel que

hϕ(x−,x+) 6= 0.

D’apres (3.6) et (3.7),

ϕ(x+) ∈ gϕ(Vx− ∩ (S1 × RPϕ(Λϕ(x−,x)))

)d’ou

signe(hϕ(x−,x+)) = Pϕ(Λϕ(x−,x)) ou ) signe(hϕ(x−,x+)) = 0

Or hϕ(x−,x+) = hϕ(x−,x+) 6= 0. On a donc

Pϕ(Λϕ(x−,x+)) = signe(hϕ(x−,x+))= signe(hϕ(x−,x+)) = Pϕ(Λϕ(x−,x)).

2

On a represente dans la figure ci-apres un cas d’application de ces propositions.

x-x+

x

+(x )

-(x )

1S

x-

x+

x

x x+x-

1S

(x ,x )+ -

(x ,x )- + +(x,x )

(x,x )-

-(x ,x) (x ,x)+

Page 108: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 98

Oϕ(Λϕ(x,x−)) = −1; Pϕ(Λϕ(x,x−)) = −1;Pϕ(Λϕ(x,x+)) = +1; Pϕ(Λϕ(x−,x+)) = −1.

On a bienPϕ(Λϕ(x−,x+)) = Pϕ(Λϕ(x−,x)).

Proposition 24. Pour tout ϕ ∈ AG, pour tout z ∈ Im(ϕ), et pour tout vecteur unitaire nnormal a Im(ϕ) en z, il existe une famille (xi)i=0,··· ,N d’elements de S1 tels que

ϕ−1(z) = x0, · · · ,xN;

et pour tout l,k ∈ 0, · · ·N tels que l > k, alors

Pϕ(Λϕ(xk,xl)) = n.nxk(ϕ).

Preuve de la proposition 24Soit ϕ ∈ AG, z ∈ R2 et n un vecteur unitaire orthogonal a Im(ϕ) en z. La relation

x y ⇔ ((x = y) ou (x 6= y et Pϕ(Λϕ(x,y)) = n.nx(ϕ)))

est une relation d’ordre total sur ϕ−1(z). En effet:1. Soit x,y ∈ ϕ−1(z) tel qu’on n’ait pas x y. On a alors x 6= y. Ainsi,

Pϕ(Λϕ(x,y)) = −n.nx(ϕ).

D’apres la proposition 22,

Pϕ(Λϕ(y,x)) = −Oϕ(Λϕ(y,x))(−n.nx) = (nx.ny)(n.nx) = n.ny,

et y x. On a montre quex y ou y x .

2. Soit x,y ∈ ϕ−1(z) tels que x y et x 6= y. Par le meme calcul que precedemment, onobtient que Pϕ(Λϕ(x,y)) = n.nx implique que Pϕ(Λϕ(y,x)) = −n.ny. Ainsi, on n’a pasy x. On a montre que

(x y et y x)⇒ (x = y) .

3. Soit x−,x et x+ ∈ ϕ−1(z) tels que x− x et x x+ et x− 6= x et x 6= x+. On a,

Pϕ(Λϕ(x,x+)) = n.nx = (nx.nx−)(n.nx−) = Oϕ(Λϕ(x,x−))Pϕ(Λϕ(x−,x)));

D’apres la proposition 22, il vient

Pϕ(Λϕ(x,x+)) = −Pϕ(Λϕ(x,x−)).

D’apres la proposition 23, on a donc

Pϕ(Λϕ(x−,x+)) = Pϕ(Λϕ(x−,x)) = n.nx− ,

c’est a dire x− x+. On a montre que

(x− x et x x+)⇒ (x− x+) .

Il suffit d’ordonner ϕ−1(z) a l’aide de cette relation afin d’obtenir la famille souhaitee. 2

Page 109: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 99

3.2.3 Inclusion des deformations geometriquement admissibles dans l’adherencedes plongements

Dans cette section, on montre queTheoreme 16. AG est inclus dans l’adherence C1 des plongements.

Notons que AG n’est pas l’adherence C0 des plongements et n’est donc pas l’espace desdeformations sans auto-intersections de classe C1 . En particulier, tout element de AG est uneimmersion. Par exemple, la deformation representee ci-dessous est physiquement admissiblemais n’appartient pas a AG.

Pour tout ϕ ∈ AG, on definit

BG(ϕ) = ψ : S1 → R2 ; ψ immersion ; 4/(ψ) ⊂ 4/(ϕ) ;

Pour tout (x,y) ∈ 4/(ψ),nx(ψ).ny(ψ) = Oϕ(Λϕ(x,y))

et signe(hψ) 6= −Pϕ(Λϕ(x,y))sur un voisinage Wψ(Λ) de Λ ∩4/(ψ).

Soit α une fonction de classe C1 positive, de support inclus dans ]−1/2,1/2[, telle queα([−1/4,1/4]) = +1. Pour tout φ ∈ C1(S1; [0,1]), ε > 0 tels que ε2‖φ‖C1‖α‖C1 < 1, ondefinit les fonctions T+

ε (φ) et T−ε (φ) de ν(S1;R2) ' S1 × R dans lui-meme par

T±ε (φ)(x,t) = (x,t± ε2φ(x)α(t/ε)),

Les applications T+ε (φ) et T−ε (φ) sont des diffeomorphismes.

Soit ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]) tels que ψ soit injective le support de φ note K. Lafonction gψ est injective sur un voisinage de K × 0. Il existe donc U voisinage de K etr > 0 tels que gψ restreint a U×]−r; r[ soit un diffeomorphisme sur son image. On poseV = gψ(U×]−r; r[). Pour ε < r, on definit

F+ε (φ,ψ) et F−ε (φ,ψ) : R2 → R

2 par

F±ε (φ,ψ)(x) =

gψ T±ε (φ) gψ−1

|U×]−r;r[ si x ∈ gψ(U×]−r; r[)x sinon.

Pour ε assez petit, F+ε (φ,ψ) et F−ε (φ,ψ) sont des diffeomorphismes de R2 tels que

F±ε (φ,ψ)(V ) = V.

De plus, F±ε est independant de r.On definit egalement les applications ΠU et HU par

ΠU : V → U

x 7→ PS1 gψ−1|U×]−r;r[

Page 110: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 100

etHU : V → U

x 7→ PR gψ−1|U×]−r;r[.

On poseA1 = U ∪ ψ−1(cV )A2 = cA1 ∩ (HU ψ)−1(R∗)A3 = cA1 ∩ (HU ψ)−1(0)

A1, A2 et A3 sont deux a deux distincts et

A1 ∪A2 ∪A3 = S1.

Enfin, on definit S+ε (φ,ψ) et S−ε (φ,ψ) fonctions de S1 a valeurs dans R2 par

– Pour tout x ∈ A1,S±ε (φ,ψ) = ψ(x);

– Pour tout x ∈ A2,

Si HU (ψ(x)) > 0, on pose

S+ε (φ,ψ)(x) = F+

ε (φ,ψ) ψ(x),S−ε (φ,ψ)(x) = ψ(x).

Si HU (ψ(x)) < 0, on pose

S+ε (φ,ψ)(x) = ψ(x),S−ε (φ,ψ)(x) = F−ε (φ,ψ) ψ(x).

– Pour tout x ∈ A3, on a (ΠU ψ(x),x) ∈ 4/(ψ) ⊂ 4/(ϕ). On pose Λ = Λϕ(ΠU ψ(x),x).Si Pϕ(Λ) = +1, on pose

S+ε (φ,ψ)(x) = F+

ε (φ,ψ) ψ(x),S−ε (φ,ψ)(x) = ψ(x).

Si Pϕ(Λ) = −1, on pose

S+ε (φ,ψ)(x) = ψ(x),S−ε (φ,ψ)(x) = F−ε (φ,ψ) ψ(x).

Les figures ci-dessous illustrent l’action de S+ε (φ) sur un element ψ ∈ AG.Dans la premiere

figure, on a represente l’image de ψ dans un voisinage de l’image du support de φ. La figure

Page 111: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 101

suivante represente S∗(φ,ψ).

La preuve du theoreme 16 repose sur une serie de propositions :Lemme 21. Pour tout ϕ ∈ AG, pour tout ψ ∈ BG(ϕ), pour tout φ ∈ C1(S1; [0,1]) tels que ψsoit injective le support de φ, F±ε (φ,ψ) converge vers l’identite de R2 en norme C1 .

Lemme 22. Quel que soit φ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ), φ tel que ψ soit injective sur le support deφ, on a, pour tout x ∈ S1,

Page 112: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 102

Sµε (φ,ψ) = Fµε (φ,ψ) ψ, sur un voisinage de xou Sµε (φ,ψ) = ψ sur un voisinage de x.

Proposition 25. Pour tout ϕ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]), tels que ψ restreinteau support de φ soit injective, alors S±ε (φ,ψ) est une immersion et

S±ε (φ,ψ) ε→0−−→ ψ

dans C1(S1;R2).

Lemme 23. Pour tout ϕ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]), tels que ψ restreinte ausupport de φ soit injective, alors

4/(S±ε (φ,ψ)) ⊂ 4/(ψ).

Lemme 24. Pour tout ϕ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]), tels que ψ restreinte ausupport de φ soit injective, alors

nx(S±ε (φ,ψ)).ny(S±ε (φ,ψ)) = Oϕ(Λϕ(x,y))

Lemme 25. Pour tout ϕ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]), tels que ψ restreinte ausupport de φ soit injective, alors

signe(hS±ε (φ,ψ)) 6= −Pϕ(Λϕ(x,y)).

sur un voisinage de (x,y).

Proposition 26. Pour tout ϕ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]), tels que ψ restreinteau support de φ soit injective, alors

S±ε (φ,ψ) ∈ BG(ϕ).

Proposition 27. Pour tout ϕ ∈ AG, ψ ∈ BG(ϕ) et φ ∈ C1(S1; [0,1]), tels que ψ restreinteau support K de φ soit injective. Soit ε+ > 0 et ε− > 0 suffisamment petits de sorte queψ = S−ε−(φ,S+

ε+(φ,ψ)) soit correctement defini, on a

ψ(K) ∩ ψ(cK) = ∅.

Proposition 28. Pour tout ϕ ∈ AG, BG(ϕ) est inclus dans l’adherence C1 des plongements.Preuve du theoreme 16La conclusion decoule trivialement du fait que ϕ ∈ AG(ϕ) et de la proposition 28. 2

Preuve de la proposition 28Soit ϕ ∈ AG. Il existe une partition de l’unite (Uk,φk)k=1,··· ,N telle que pour tout k,φk ∈ C∞(S1 : [0,1]) et Uk ouvert de S1;l’application ϕ restreinte a Uk est injective;le support Kk de φk est inclus dans Uk;

Page 113: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 103

et∑φk = +1.

Soit ψ ∈ BG(ϕ), et ε > 0. On definit la famille d’elements de BG(ϕ) (ψk)k=0,··· ,N parψ0 = ψψk+1 = S+

ε+k(φk+1,S

−ε−k

(φk+1,ψk)).

ε+k et ε−k sont des reels positifs suffisamment petit de sorte que ψk+1 soit correctement defini.

D’apres la proposition 25, on peut les choisir de sorte que

‖ψk+1 − ψk‖C1 < ε/N. (3.8)

Pour tout k, d’apres le lemme 23,

4/(ψk+1) ⊂ 4/(ψk).

Ainsi,

4/(ψN ) ⊂N⋂k=0

4/(ψk)

et

N⋃k=0

c4/(ψk) ⊂ c4/(ψN ). (3.9)

Comme ϕ est injective sur tout Kk, on a

c4/(ϕ) ⊃N⋃k=1

Kk ×Kk.

On en deduit, comme ψ0 ∈ BG(ϕ), que

c4/(ψ0) ⊃N⋃k=1

Kk ×Kk. (3.10)

Enfin d’apres la proposition 27,

c4/(ψk) ⊃ Kk × cKk. (3.11)

De (3.9),(3.10) et (3.11) on deduit que

c4/(ψN ) ⊃ ∪

(N⋃k=0

c4/(ψk)

)⊃

(N⋃k=1

Kk ×Kk

)∪

(N⋃k=1

Kk × cKk

)= S1 × S1,

et4/(ψN ) = ∅.

Page 114: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 104

L’immersion ψN est donc injective, c’est un plongement. De plus, d’apres (3.8)

‖ψN − ψ‖C1 < ε,

ce qui acheve la demonstration. 2

Preuve du lemme 21On rappelle que

F±ε (φ,ψ)(x) =

gψ T±ε (φ) gψ−1

|U×]−r;r[ si x ∈ gψ(U×]−r; r[)x sinon.

etT±ε (φ)(x,t) = (x,t± ε2φ(x)α(

t

ε)).

On a

D(x,t)(T±ε (φ)) =

(1 0

ε2φ(x)α(Tε

)1± εφ(x)α

(Tε

) ) .Ainsi,

D(x,t)(T±ε (φ)) ε→0−−→ I2

en norme C0 fort. La conclusion decoule alors du fait que

DxF±ε (φ,ψ) =

Dgψ D(T±ε (φ)) Dgψ−1

|U×]−r;r[ si x ∈ gψ(U×]−r; r[)x sinon.

.

2

Preuve du lemme 22Soit µ = ±1.

On a Sµε (φ,ψ) = ψ sur l’ouvert A1. De meme, remarquons que

A2 = x ∈ S1;x ∈ ϕ−1(V ) et HU (ψ(x)) 6= 0.

A2 est donc un ouvert. Pour tout x ∈ A2, il existe un voisinage connexe Ux de x inclus dansA2. La fonction HU ψ etant non nulle sur A2 et donc en particulier sur Ux, signe(HU ψ)est continue sur Ux. On en deduit que signe(HU ψ) est constant sur Ux. Ainsi,

Sµε (φ,ψ)(x) = Fµε (φ,ψ) ψ(x), sur Uxou Sµε (φ,ψ)(x) = ψ(x) sur Ux.

Enfin, soit x ∈ A3. Comme HU (ψ(x)) = 0 et x /∈ U, (ΠU ψ(x),x) ∈ 4/(ψ) ⊂ 4/(ϕ). SoitΛ = Λϕ(ΠU ψ(x),x). Il existe un voisinage Ux de x tel que

ΠU ψ(Ux)× Ux ⊂Wψ(Λ),

ou Wϕ(Λ) est l’ouvert introduit lors de la definition de BG(ϕ); Pour tout x ∈ Ux,– Si HU ψ(x) 6= 0, alors

signe(HU ψ(x)) = signe(hx(ΠU ψ(x),ψ(x))) = Pϕ(Λ),

Page 115: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 105

d’ou

Sµε (φ,ψ)(x) =Fµε ψ(x) si µ = Pϕ(Λ),ψ(x) sinon.

(3.12)

– Si HU ψ(x) = 0, alors (ΠU ψ(x),x) ∈ 4/(ϕ). Soit

Λ′ = Λϕ(ΠU ψ(x),x).

Si Λ = Λ′, on a (3.12). Dans le cas contraire, supposons x > x (ceci a un sens, x et xappartenant a Ux, diffeomorphe a un intervalle ouvert de R (Le cas x < x se traite demaniere identique). On pose

x < x = minz ∈ Ux;HU (ψ([z,x])) = 0; x ≤ x.

(ΠU (x),x) est un element de Λ′. De plus, pour tout voisinage W ⊂ Ux de x, il existey ∈W tel que HU ψ(y) 6= 0, et (ΠU ψ(y),y) ∈Wψ(Λ′) ∩Wψ(Λ). On a donc

Pϕ(Λ′) = signe(hϕ(ΠU ψ(y),ψ(y))) = Pϕ(Λ),

et finalement on a de nouveau (3.12).Ce qui acheve la demonstration. 2

Preuve de la proposition 25D’apres le lemme 22, on a S±(φ,ψ) de classe C1 . De plus, pour tout x, DxS

±ε (φ,ψ) est

egal soit a Dψ(x)F±ε (φ,ψ)Dxψ, soit a Dxψ. D’apres le lemme 21, F±ε converge vers l’identite

en norme C1 lorsque ε tend vers 0, on a

S±ε (φ,ψ) ε→0−−→ ψ

en norme C1(S1;R2). Quitte a choisir ε assez petit, S±ε (φ,ψ) est une immersion, l’ensembledes immersions etant ouvert pour la topologie C1 . 2

Preuve du lemme 23On note

V + = gψ(U×]0; r[).

D’apres la definition de S+ε (φ,ψ), on voit que

S+ε (φ,ψ)(x) ∈ V + ⇒ S+

ε (φ,ψ)(x) = F+ε (φ,ψ) ψ(x),

S+ε (φ,ψ)(x) /∈ V + ⇒ S+

ε (φ,ψ)(x) = ψ(x).

On verifie facilement dans chacun des cas ci-dessus que S+ε (φ,ψ)(x) = S+

ε (φ,ψ)(y)⇒ ψ(x) =ψ(y). En effectuant le meme raisonnement sur S−ε (φ,ψ), il vient

4/(S±ε (φ,ψ)) ⊂ 4/(ψ).

2

Preuve du lemme 24

Page 116: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 106

Soit µ = ±1. On pose ψ = Sµε (φ,ψ). Soit (x,y) ∈ 4/(ψ). D’apres le lemme 22, on a

ψ = Fµε (φ,ψ) ψ, sur un voisinage de xou ψ = ψ sur un voisinage de x.

etψ = Fµε (φ,ψ) ψ, sur un voisinage de y

ou ψ = ψ sur un voisinage de y.

Il est facile de constater que les cas suivants couvrent toutes les situations envisageables:1. ψ = ψ sur un voisinage de x et de y.2. ψ = ψ sur un voisinage de x, ψ = Fµε ψ sur un voisinage de y etψ(x) = ψ(y) ∈ ψ(U), y /∈ U, Pϕ(Λϕ(ΠU ψ(y),y)) = µ.

(a) x ∈ U.(b) x /∈ U et Pϕ(Λϕ(ΠU ψ(x),x)) = −µ.

3. ψ = ψ sur un voisinage de y, ψ = Fµε ψ sur un voisinage de x etψ(x) = ψ(y) ∈ ψ(U), x /∈ U, Pϕ(Λϕ(ΠU ψ(x),x)) = µ.

(a) y ∈ U.(b) y /∈ U et Pϕ(Λϕ(ΠU ψ(y),y)) = −µ.

4. ψ = Fµε ψ sur un voisinage de x et de y, ψ(x) = ψ(y) ∈ gψ(U×]−r; r[),y /∈ U, x /∈ U et Pϕ(Λϕ(ΠU ψ(x),x)) = Pϕ(Λϕ(ΠU ψ(y),y)) = µ.

Les cas 2 et 3 sont equivalents, quitte a remplacer (x,y) par (y,x).Cas 1Dans ce cas, nx(ψ).ny(ψ) = nx(ψ).ny(ψ) et la conclusion decoule du fait que ψ ∈ BG(ϕ).Cas 2 et 3Etudions le cas 2. On a

˙ψ(y) = Dψ(y)F

µε (φ,ψ).ψ(y)

avecDψ(y)F

µε (φ,ψ) = Dgψ D(z,t)(T

µε (φ)) Dψ(y)gψ

−1|U×]−r;r[.

et (z,t) = (gψ |U )−1(ψ(y)). Comme ψ(y) ∈ ψ(U), t = HU (ψ(y)) = 0. On a donc

ψ(y) = gψ(z,ε2µφ(z)).

Enfin, ψ(y) = ψ(x) = ψ(x) ∈ U. On a donc HU (ψ(y)) = 0 et φ(z) = 0. Comme φ est unefonction positive de classe C1 , on en deduit que φ(z) = 0. On rappelle que

D(z,t)(Tµε (φ)) =

(1 0

ε2φ(z)α(tε

)1± εφ(z)α

(tε

) ) .Dans le cas present, on a donc

D(z,t)(Tµε (φ)) = I2.

Finalement,˙ψ(y) = ψ(y),

Page 117: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 107

et ny(ψ) = ny(ψ). On conclut comme precedemment.Cas 4On a

˙ψ(x) = Dψ(x)F

µε (φ,ψ).ψ(x) = |ψ(x)|Dψ(x)F

µε (φ,ψ).τxψ,

et˙ψ(y) = Dψ(x)F

µε (φ,ψ).ψ(y) = |ψ(y)|Dψ(x)F

µε (φ,ψ).τyψ.

Or τx(ψ) = Oϕ(Λϕ(x,y))τy(ψ), d’ou

|ψ(y)| ˙ψ(x) = Oϕ(Λϕ(x,y))|ψ(x)| ˙ψ(y),

etnx(ψ).ny(ψ) = Oϕ(Λϕ(x,y)).

2

Preuve du lemme 25Soit µ = ±1 et (x,y) ∈ 4/(ψ). On pose ψ = Sµε (φ,ψ), tandis que V designe un voisinage

suffisamment petit de (x,0) dans ν(S1;R) sur lequel g eψ realise un diffeomorphisme sur sonimage. On envisage les meme cas que lors de la preuve du lemme 24. On designe par (x,y)des points de S1 × S1 appartenant a un voisinage suffisamment petit de (x,y).Cas 1On a h eψ = hψ sur un voisinage de (x,y). La conclusion decoule alors du fait que ψ ∈ BG(ϕ).Cas 2 et 3Dans ce cas, ψ(x) = ψ(y) ∈ gψ(U×]−r,r[). Quitte a choisir V assez petit, on peut doncsupposer que

ψ(V ) ⊂ gψ(U×]−r,r[).

On pose alorsW = (gψ |U×]−r,r[)

−1 gψ(V );

z = ΠU ψ(x);

et s = Pϕ(Λϕ(z,y)) si z 6= y, s = −Pϕ(Λϕ(z,x)) sinon. On verifie aisement que dans chacundes cas envisageables,

gψ(W ∩ (S1 × R∗s)

)∩ g eψ

(V ∩ (S1 × 0)

)= ∅. (3.13)

Or g eψ(V ∩ (S1 × 0)

)separe g eψ(V ) en deux composantes connexes distinctes: g eψ

(V ∩ (S1 × R∗+)

),

et g eψ(V ∩ (S1 × R∗−)

). Comme gψ

(W ∩ (S1 × R∗µ)

)est connexe, on deduit de (3.13) que

gψ(W ∩ (S1 × R∗s)

)est inclus soit dans g eψ

(V ∩ (S1 × R∗+)

), soit dans g eψ

(V ∩ (S1 × R∗−)

).

On agψ(z,t) = ψ(x) + nz(ψ)|ψ(z)|t+ o(t),

et

PR (g eψ |V )−1 gψ(z,t) =(τx(ψ)nx(ψ)

).nz(ψ)|ψ(z)|| ˙ψ(x)|−1t+ o(t).

Page 118: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 108

Ainsi, pour t assez petit tel que signe(t) = s, on a

signe(PR (g eψ |V )−1 gψ(z,t)) = s(nx(ψ).nz(ψ))

= s(nx(ψ).nz(ψ)).

Ainsi,gψ(W ∩ S1 × R∗s) ⊂ g eψ

(V ∩ (S1 × R∗s(nx(ψ).nz(ψ)))

).

Comme gψ |W et gψ |V sont des diffeomorphismes sur leur image, on a

gψ(W ∩ S1 × Rs) ⊂ g eψ(V ∩ (S1 × Rs(nx(ψ).nz(ψ)))

).

Enfin,ψ(y) ∈ gψ(W ∩ S1 × Rs).

On en deduit queψ(y) ∈ g eψ(V ∩ S1 × Rs(nx(ψ).nz(ψ))),

etsigne(h eψ(x,y)) 6= −s(nx(ψ).nz(ψ))

Cas 2aOn a z = x et s = Pϕ(Λϕ(z,y)), d’ou

s(nx(ψ).nz(ψ)) = Pϕ(Λϕ(x,y)).

Cas 2b et 3bOn a nx(ψ).nz(ψ) = Oϕ(Λϕ(x,z) et s = Pϕ(Λϕ(z,y)) = −Pϕ(Λϕ(z,x)). d’apres la proposition22,

s(nx(ψ).nz(ψ)) = Pϕ(Λϕ(x,y)),

et d’apres la proposition 23,

s(nx(ψ).nz(ψ)) = Pϕ(Λϕ(x,y)).

Cas 3aOn a z = y et s = −Pϕ(Λϕ(z,x)) = −Pϕ(Λϕ(y,x)). De plus,

nx(ψ).nz(ψ) = nx(ψ).ny(ψ) = Oϕ(Λϕ(y,x)).

On a donc d’apres la proposition 22,

s((nx(ψ).nz(ψ)) = Pϕ(Λϕ(x,z)).

On a donc montre que dans les sous-cas 2a, 2b, 3a et 3b,

signe(h eψ(x,y)) 6= −Pϕ(Λϕ(x,y))

qui etait l’equation recherchee.Cas 4

Page 119: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 109

Quitte a modifier V voisinage de x× 0 dans ν(S1;R2), il existe W voisinage de ψ(x), Vvoisinage de x × 0 dans ν(S1;R2), tels que Fµε gψ |V et g eψ |eV soient des diffeomorphismes a

valeurs dans W .De plus, Fµε gψ |V = g eψ |eV

sur V ∩(S1×0) = V ∩(S1×0) et det(D(Fµε gψ)) = det(g eψ) > 0.

On en deduit que

F+ε gψ(V ∩ S1 × R+) = g eψ(V ∩ S1 × R+) (3.14)

F+ε gψ(V ∩ S1 × R−) = g eψ(V ∩ S1 × R−). (3.15)

Pour tout (x,y) dans un voisinage de (x,y), on a

hψ(x,y) 6= −Pα(Λα(x,y)),

c’est a dire(x,y) ∈ gψ(V ∩ S1 × RPα(Λα(x,y))).

D’apres (3.14) et (3.15),

(x,y) ∈ F+ε gψ(V ∩ S1 × RPα(Λα(x,y)))

eth eψ(x,y) 6= −Pα(Λα(x,y)),

ce qui acheve la demonstration. 2

3.3 Equivalence partielle des definitions geometrique et algebrique

Dans cette section, on montre que pour les immersions, les definitions algebrique etgeometrique des deformations admissibles sont equivalentes. Pour etre plus precis, on montrequeTheoreme 17. A ∩ Imm(S1;R2) = ϕ ∈ AG; ]ϕ = +1.

Le nombre de tour ]ϕ est defini dans l’annexe 8.3. De plus, on aTheoreme 18. L’ensemble des plongements isotopes a j

S1 est dense pour la topologie C1

dans A ∩ Imm(S1;R2).On decompose la preuve en deux lemmes:

Lemme 26. Quel que soit ϕ ∈ A tel que ϕ soit une immersion, ]ϕ = +1.

Lemme 27. Quel que soit ϕ ∈ A, tel que ϕ soit une immersion, ϕ ∈ AG.Preuve des theoremes 17 et 18On demontre tout d’abord le theoreme 17. D’apres les lemmes 26 et 27, on a

A ∩ Imm(S1;R2) ⊂ ϕ ∈ AG; ]ϕ = +1.

Il suffit donc de prouver l’inclusion inverse. Soit ϕ ∈ AG tel que ]ϕ = +1. D’apres laproposition 16, pour tout ε > 0, il existe un plongement ψε tel que

‖ϕ− ψε‖C1 ≤ ε.

Page 120: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 110

Comme l’application qui a ϕ ∈ Imm(S1;R2) associe ]ϕ est continue pour la topologie C1 ,des que ε est assez petit, on a

]ψε = ]ϕ = +1.

Ainsi, d’apres la proposition 46, ψε est isotope a jS1 . La deformation ϕ appartient donc a

l’adherence C0 des plongements isotopes a jS1 , d’ou ϕ ∈ A, par application de la proposition

17. Ceci acheve la demonstration de 17. Le theoreme 18 est alors trivial. En effet, on vientde prouver que les plongements isotopes a j

S1 etaient denses dans

ϕ ∈ AG; ]ϕ = +1 = A ∩ Imm(S1;R2).

2

Preuve du lemme 26Soit ϕ ∈ A ∩ Imm(S1;R2). On rappelle que le nombre de tours ]ϕ de ϕ est le degre de

l’application

τ(ϕ,h)(x) =ϕ(x+ h)− ϕ(x)|ϕ(x+ h)− ϕ(x)|

,

qui est definie des que h est assez petit. On a donc

]ϕ =< φS1 ,(τ(ϕ,h))∗([[S1]]) > .

Or φS1 = jS1∗(φR2−0), d’ou

]ϕ = < jS1∗(φR2−0),(τ(ϕ,h))∗([[S1]])

= < φR2−0,(jS1 τ(ϕ,h))∗([[S1]]).

On poseγh : S1 → S1 × S1 −4(ϕ)x 7→ (x+ h,x).

La fonction dϕ(ϕ,ϕ) γh = ϕ(x+ h)− ϕ(x) est homotope a jS1 τ(ϕ,h). On a donc

]ϕ = < φR2−0,(dϕ(ϕ,ϕ) γh)∗([[S1]]) >= < (dϕ(ϕ,ϕ)∗(φR2−0),(γh)∗([[S1]]) > .

Comme ϕ ∈ A, d’apres la definition des deformations admissibles, on a

]ϕ =< dj(j,j)∗(ϕR2−0),(γh)∗([[S1]]) >= ]j = +1.

2

On decompose la preuve du lemme 27 en deux parties:Lemme 28. Quel que soit ϕ ∈ A ∩ Imm(S1;R2), P1(ϕ) est vraie, c’est a dire:Quel que soit Λ ∈ E(ϕ), il existe (x,y) ∈ Λ tel que sur tout voisinage V ⊂ V4(ϕ) de (x,y), ona

hϕ|V 6= 0.

Page 121: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 111

Lemme 29. Quel que soit ϕ ∈ A ∩ Imm(S1;R2), P2(ϕ) est vraie, c’est a dire:Quel que soit Λ ∈ E(ϕ) composante connexe de 4/(ϕ), il existe un voisinage Vϕ(Λ) de Λ telque hϕ|Vϕ(Λ) ≥ 0 ou hϕ|Vϕ(Λ) ≤ 0.

Preuve du lemme 28Supposons le lemme faux. Soit ϕ ∈ A ∩ Imm(S1;R2) tel que P1(ϕ) soit faux. Par com-

modite, on note Px(ϕ) simplement Px. Il existe Λ ∈ E(ϕ), tel que pour tout element (x,y) deΛ, il existe des voisinages connexes suffisamment petits Ux de x et Uy de y tels que

h|Ux×Uy = 0.

On a

4/(ϕ) ∩ (Ux × Uy) = (x,y) ∈ Ux × Uy ; h(x,y) = 0 et x = Px(ϕ(y))= (x,y) ∈ Ux × Uy ; x = Px(ϕ(y))

Quitte a choisir Uy plus petit, on peut supposer Px(ϕ(Uy)) ⊂ Ux. On a alors

4/(ϕ) ∩ (Ux × Uy) = (x,y) ; x = Px(ϕ(y)); y ∈ Uy. (3.16)

4/(ϕ) ∩ (Ux × Uy) est donc connexe et

4/(ϕ) ∩ (Ux × Uy) = Λ ∩ (Ux × Uy).

En particulier,

Λ ∩ (Ux × Uy) = (x,y) ; x = Px(ϕ(y)) et y ∈ Uy.

Pour x assez proche de x, on a Px = Px sur leur ensemble de definition commun, on a donc

Λ ∩ (Ux × Uy) = (x,y) ; x = Px(ϕ(y)) et y ∈ Uy. (3.17)

L’application Px ϕ etant de rang maximal sur un voisinage de y, la composante Λ est unesous-variete sans bord de S1× S1 , compacte et de dimension un. Λ est donc diffeomorphe aS1. On note jΛ l’injection de Λ dans S1 × S1 −4(S1).Soit U∗(0,π) la boule ouverte de R2, centree a l’origine de rayon π, privee de son centre. Lavariete S1 × S1 −4(S1) est diffeomorphe a U∗(0,π) par l’application

Θ : U∗(0,π) → S1 × S1 −4(S1)reiθ 7→ (θ − r,r + θ),

ou S1 est identifie a R/2πR.On rappelle que θ est l’application de R2 − 0 vers S1 definie par

θ(x) = x/|x|.

L’application Θ−1jΛ est donc un plongement de S1 dans R2. D’apres le theoreme de Jordan-Brouwer, le nombre de tours effectues par la courbe Θ−1 jΛ autour de l’origine est soit nulsoit egal a ±1 :

< φS1 ,(θ Θ−1 jΛ)∗([[S1]]) >=±1

0

Page 122: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 112

On note π1 et π2 les projections canonique de S1×S1−4(S1) sur la premiere et la deuxiemecoordonnees. Les applications π2 et θ Θ−1 sont homotopes. On a donc

< φS1 ,(π2 jΛ)∗([[S1]]) >=±1

0. (3.18)

D’apres (3.17), π2 jΛ est une immersion de S1 dans S1. On a donc

deg(π2 jΛ) = ±Card((π2 jΛ)−1(y)).

Or deg(π2 jΛ) =< φS1 ; (π1 jΛ)∗([[S1]]) > . Ainsi, d’apres (3.18), on a

Card((π2 jΛ)−1(y)) = +1,

et π2 jΛ est un diffeomorphisme. Il en est de meme pour π1 jΛ.Soit x0 ∈ S1. D’apres ce qui precede, Card(ϕ−1(ϕ(x0))) > 1. On identifie a nouveau S1 aR/2πR. On construit par recurrence une suite xk d’elements de S1, definie par

xk+1 = (π1 jΛ) (π2 jΛ)−1(xk).

Pour tout k, on a ϕ(xk+1) = ϕ(xk) = ϕ(x0). Comme le cardinal ϕ−1(x0)) est fini, il existeun entier N > 0 minimum, et un entier k tel que xk = xk+N . En appliquant k fois (π2 jΛ) (π1 jΛ)−1 a cette equation, on obtient

x0 = xN ,

avec N > 0 minimal. On assimile S1 de nouveau a R/2πR et on choisit des representantsdes xk dans R tels que xk+1 > xk et |xk+1 − xk| ≤ 2π. On designe par ck la chaıne c0(t) =tx0 + (1− t)x1, et ck+1 =

((π1 jΛ) (π2 jΛ)−1

)#

(ck). On voit que ck et txk + (1− t)xk+1

sont homotopes. Les intervalles ([xk,xk+1[)k=0,··· ,N recouvrent S1, eventuellement de faconmultiple : Il existe p tel que

N−1∑k=0

ck = p[[S1]].

L’entier p est le nombre d’entiers k, 0 ≤ k < N tels que x0 ∈ [xk,xk+1[.La chaıne

(ϕ′

|ϕ′|

)#

(ck) est un cycle. Comme

]ϕ =< φS1 ,

(ϕ′

|ϕ′|

)∗

([[S]]1) >

on a donc

p]ϕ =N−1∑k=0

< φS1 ,

(ϕ′

|ϕ′|

)#

(ck) > .

Pour tout k, on posedk = (π2 jΛ)−1(ck).

Page 123: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 113

On a (ϕ′

|ϕ′|

)#

(ck) =(ϕ′

|ϕ′| (π2 jΛ)

)#

(dk).

Comme (ϕ π2)|Λ = (ϕ π1)|Λ, il vient:(ϕ′

|ϕ′|

)#

(ck) =(ϕ′

|ϕ′| (π1 jΛ)

)#

(dk),

c’est a dire (ϕ′

|ϕ′|

)#

(ck) =(ϕ′

|ϕ′|

)#

(ck+1)

On en conclu que

p]ϕ = N < φS1 ;(ϕ′

|ϕ′|

)#

(c0) > .

Comme ϕ est un element de A ∩ Imm(S1;R2), d’apres le lemme 26, ]ϕ = +1. On a donc

p = N | < φS1 ;(ϕ′

|ϕ′|

)#

(c0) > |.

Or p ≤ N, il vient

| < φS1 ;(ϕ′

|ϕ′|

)#

(c0) > | = 1

etp = N.

Pour tout k, on a donc x0 ∈ [xk,xk+1[. En particulier,

x0 ∈ [xN−1,xN [.

Comme |xN−1 − xN | ≤ 2π et x0 = xN , on a

|xN−1 − xN | = 2π

etxN−1 = x0.

On en deduit que(π1 jΛ)−1(x0) = (π2 jΛ)−1(x0).

Ainsi, (x0,x0) ∈ Λ, ce qui est absurde vu que Λ ⊂ S1 × S1 −4(S1). 2

Preuve du lemme 29Soit ϕ ∈ A ∩ Imm(S1;R2). Supposons P2(ϕ) faux. Par commodite, on note Px(ϕ) sim-

plement Px et hϕ sera note h.Il existe Λ ∈ E(ϕ) tel que quel que soit V voisinage de Λ, il existe (x+,y+),(x−,y−) dans

V tels que h(x+,y+) > 0 et h(x−,y−) < 0. Par compacite, on en deduit qu’il existe (x+,y+)

Page 124: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 114

et (x−,y−) dans Λ tels que quel que soit V+, V−, voisinages respectifs de (x+,y+) et (x−,y−),il existe (x+,y+) ∈ V+,(x−,y−) ∈ V− tels que h(x+,y+) > 0 et h(x−,y−) < 0.

Soit V+ et V− voisinages connexes suffisamment petits de y+ et y− et U+, U− voisinagesconnexes suffisamment petits de x+ et x−. Il existe (x+,y+) proche de (x+,y+) et (x−,y−)proche de y− tels que

hϕ(x+,y+) > 0 et hϕ(x−,y−) < 0.

Il existe j− : [−1,0]→ V− injection telle que

j−(−1) = y− et j−(0) = y−.

De meme, il existe un injection j+ : [0,1]→ V+ tel que

j(0) = y+ et j(1) = y+.

On pose

Λ+ = (x,y) ∈ S1 × S1;x = Px+(ϕ(y)) et y ∈ Im(j+)Λ− = (x,y) ∈ S1 × S1;x = Px−(ϕ(y)) et y ∈ Im(j−)

Λ = Λ−+∪Λ∪Λ+ est diffeomorphe a un intervalle compact non reduit a un point. Pourtout element (x,y) ∈ Λ,

Px(ϕ(y)) = x. (3.19)

Soitj0 : [−1; 1] → Λ

t 7→ (x0(t); y0(t)).

un diffeomorphisme, tel que y0(−1) = y− et y0(+1) = y+.Soit ε un petit reel positif. On definit j1 l’injection qui a (t,h) associe j0(t) + (h,0). Onnote B = Im j1. L’application j1 est un homeomorphisme sur son image. On note ∂j1 larestriction de j1 au bord de [−1,1]× [−ε; ε]. ∂j1 est un homeomorphisme sur son image. Onmontre maintenant que ∂j1 est a valeurs dans S1 × S1 −4(ϕ) :Soit en effet (x,y) ∈ Im(∂j2). On a quatre possibilites:

1. (x,y) = j1(t) + (ε,0), t ∈ [−1; 1]

2. (x,y) = j1(t) + (−ε,0), t ∈ [−1; 1]

3. (x,y) = j1(−1) + (h,0), h ∈ [−ε; ε]

4. (x,y) = j1(+1) + (h,0), h ∈ [−ε; ε]Dans le cas 1,

Px(ϕ(y)) = Px0(t)(ϕ(y)) = Px0(t)(ϕ(y0(t)).

D’apres (3.19), comme (x0(t),y0(t)) ∈ Λ,

Px(ϕ(y)) = x0(t).

Page 125: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 115

Ainsi, x = x(0) + ε 6= Px(ϕ(y)) et (x,y) /∈ 4(ϕ).Dans le cas 3,

Hx(ϕ(y)) = Hx−(ϕ(y)) = Hx−(ϕ(y−)) < 0.

Ainsi, Hx(ϕ(y)) 6= 0 et (x,y) /∈ 4(ϕ). Les deux autres cas se traitant de maniere identique,on en deduit que

Im(∂j1) ⊂ S1 × S1 −4(ϕ). (3.20)

On posed = min|ϕ(x)− ϕ(y)|; (x,y) ∈ Im(∂j1).

D’apres (3.20), on a d > 0. Il existe ψ ∈ Imm(S1;R2) tel que ψ t ϕ, et ‖ϕ − ψ‖C1 < d.ϕt = (1− t)ϕ+ tψ est une homotopie de ϕ a ψ. Enfin, pour tout t,

Im(ϕt(∂j1)) ⊂ R2 − (0,0). (3.21)

Le groupe H2([−1,1]× [−ε,ε]; (∂([−1,1]× [−ε,ε])) est isomorphe a Z. On note Γ un de sesgenerateurs. Soit γ = ∂(Γ). C’est un generateur de H1(∂([−1,1]× [−ε,ε])) ' Z.D’apres (3.21), dϕ(ϕ,ϕ)∂j1 et dϕ(ϕ,ψ)∂j1 : ∂([−1,1]×[−ε,ε])→ R

2−(0,0) sont homotopes.On a

< φR2−(0,0),(dϕ(ϕ,ϕ) ∂j1)∗(γ) > = < φR2−(0,0),(dϕ(ϕ,ψ) ∂j1)∗(γ) > . (3.22)

L’ensemble (ψ × ϕ)−1(4(R2)) est une variete de dimension nulle: c’est un ensemble discretde points munis d’une orientation (i-e d’un signe). Soit (pn)n=0,N les points de cet ensembleinclus dans B = Im(j1). A chaque xn, on peut associer une boule Bn contenant xn, inclusedans B = Im(j1), de sorte que les Bn soit deux a deux d’intersection vide. La chaıne j1∗(Γ) ∈H2(B; ∂B) ⊂ H2(B −∪nBn; ∂(B −∪nBn)) induit un generateur Γ′ de H2(B −∪nBn; ∂(B −∪nBn)). L’operateur de connection ∂ fournit une orientation ∂(Γ′) sur H1(∂(B − ∪nBn)). Ilexiste donc une famille d’elements unique γn ∈ H1(∪∂Bn) telle que

∂(Γ′) = (∂j1)∗γ +N∑0

γn.

Ainsi, comme elements de H1(B − ∪Bn), on a

(∂j1)∗γ = −N∑0

γn.

On pose Q = (ϕ× ψ)−1(4(R2)). On a

dϕ(ϕ,ψ) ∂j1 = dQ(ϕ,ψ) ∂j1.

Ainsi, d’apres (3.22),

< φR2−(0,0),(dϕ(ϕ,ψ) ∂j1)∗(γ) >= −N∑0

< φR2−(0,0),(dQ(ϕ,ψ))∗γn > . (3.23)

Page 126: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 116

D’apres la proposition 20, pour tout n, < dQ(ϕ,ψ)∗(φR2−(0,0),γn > impair.

< dQ(ϕ,ψ)∗(φR2−(0,0),γn >= 1 mod [2]. (3.24)

D’un autre cote, comme ϕ ∈ A,

< φR2−(0,0),(dϕ(ϕ,ψ) ∂j1)∗(γ) > = < dϕ(ϕ,ϕ)∗(φR2−(0,0)),(∂j1)∗(γ) >= < dϕ(j

S1 ,jS1)∗(φR2−(0,0)),(∂j1)∗(γ) >= < d4(S1)(jS1 ,jS1)∗(φR2−(0,0)),(∂j1)∗(γ) >= < d4(S1)(jS1 ,jS1)∗(φR2−(0,0)),∂((j1)∗(Γ)) >= 0. (3.25)

D’apres (3.23), (3.24) et (3.25), on obtient que le nombre d’intersections de ϕ avec ψ est pair :

N = 0 mod [2]. (3.26)

On va montrer que N est egalement impair, pour en conclure que P2(ϕ) ne peut etre fauxdes que ϕ ∈ A. On a

B ∩ (ϕ× ψ)−1(4(R2)) = (x,y) ∈ B;Px(ψ(y)) = x et Hx(ψ(y)) = 0

ou encore

B ∩ (ϕ× ψ)−1(4(R2)) = (x,y) ∈ S1 × S1 ; (x,y) = (x0(u) + v,y0(u)) tel quePx(ψ(y)) = x et Hx(ψ(y)) = 0 avec (u,v) ∈ [−1; 1]× [−ε; ε]

Comme v est petit, Px0(u)+v = Px0(u) et Hx0(u)+v = Hx0(u). On a en deduit

B ∩ (ϕ× ψ)−1(4(R2)) = (x,y) ∈ S1 × S1 ; (x,y) = (Px0(u)(ψ(y0(u))),y0(u)) et

Hx0(u)(ψ(y0(u))) = 0 avec u ∈ [−1; 1]

Ainsi, le nombre N de points de B ∩ (g × ϕ)−1(∆) est egal au nombre de zeros de lafonction Hx0(u)(ψ(y0(u))) de [−1,1] a valeurs dans R. Cette fonction est de classe C1 et saderivee est non nulle sur l’ensemble des points u tels que Hx0(u)(ψ(y0(u))) = 0. De plus,

Hx0(−1)(ψ(y0(−1))) = h(x−,y−) < 0

etHx0(+1)(ψ(y0(+1))) = h(x+,y+) > 0.

On en deduit le nombre de zeros de cette fonction est impair, c’est a dire N impair. 2

4 Modelisation d’un cercle elastique contenu dans un plan

On donne ici un modele de cercle elastique contenu dans un plan, avec contacts, sansfrottement. Le cercle est libre, soumis a des forces f. On aurait pu egalement obtenir unemodelisation identique pour une poutre. Les modifications a apporter par rapport au casdu cercle sont minimes. Il faut notamment prendre en compte la presence de bords (∂I =0 ∪ 1).

Page 127: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 117

4.1 Formulation variationnelle

Pour tout ϕ et ψ dans L1(S1;R2), on dit que

ϕ ∼ ψ si et seulement si∫S1

ϕ(x) dx =∫S1

ψ(x) dx.

C’est une relation d’equivalence. Pour tout p > 1, on note

Φp = ϕ ∈W 1,p(S1;R2);ϕ ∈ A/ ∼ .

Theoreme 19. Soit f ∈ L1(S1;R2) tel que∫S1 f(x) dx = 0. Soit W une application continue

et convexe de R2 a valeurs dans R. On suppose qu’il existe p > 1 tel que W verifie lesconditions de croissance et de coercivite suivantes:

∀u ∈ R2, |W (u)| ≤ C(1 + |u|p) (3.27)

∀u ∈ R2, W (u) ≥ α|u|p + β. (3.28)

ou C, α, β sont des constantes.Soit I : W 1,p → R la fonctionnelle definie par

I(ψ) =∫S1

W (Dψ(x)) dx−∫S1

f(x).ψ(x) dx.

Alors, le probleme consistant a trouver ϕ tel que

ϕ ∈ Φp et I(ϕ) = infψ∈Φp

I(ψ) (3.29)

admet au moins une solution.Preuve

La quasi-convexite de W ainsi que les conditions de croissance et de coercivite impliquentque I est sequentiellement semi-continue inferieur faible. Soit ϕn une suite minimisante deI|Φp . D’apres la condition de croissance, ϕn est bornee dans W 1

p (S1;R)/ ∼ . On peut doncen extraire une sous-suite ϕnk convergente pour la topologie W 1,p faible. Soit ϕ la limite dela suite ϕnk . Comme I est faiblement s.s.c.i,

I(ϕ) ≤ lim I(ϕnk) = infψ∈Φp

I(ψ).

Enfin, l’injection de W 1,p(S1;R2) dans C0(S1;R2) etant compacte,

ϕnk → ϕ dans C0(S1;R2) fort.

Or d’apres la proposition 16, A est fermee pour la topologie C0(S1;R2). On en deduit queϕ ∈ A et ϕ ∈ Φp, ce qui acheve la demonstration. 2

Page 128: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 118

4.2 Equation d’Euler-Lagrange associees

Dans cette section, on montre que si ϕ une solution du probleme variationnel (3.29) estune immersion de classe C2 , elle verifie un systeme d’equations d’Euler-Lagrange. Notonsqu’on doit pouvoir etablir ce resultat pour des immersions de classe C1 . Cependant, il paraıtdifficile d’obtenir une formulation equivalente pour des solution ϕ qui ne seraient pas desimmersions. En effet, on utilise de maniere essentielle le fait que ϕ appartient a AG et enparticulier qu’elle possede un voisinage tubulaire.Theoreme 20. Soit W ∈ C2(R2;R) verifiant les conditions de croissance et de coercivite(3.27) et (3.28). S’il existe une constante C ′ telle que pour tout u ∈ R2,

|DW (u)| ≤ C ′(1 + |u|p−1) (3.30)

et si ϕ une solution du probleme 3.29 telle que ϕ soit une immersion de classe C2, alorspour tout z ∈ Im(ϕ), soit n une normale unitaire a Im(ϕ) et (x0, · · · ,xN ) la famille d’elementsde S1 donnee par la proposition 24, il existe (λk)k=−1,··· ,N famille de reels positifs telle que

λ−1 = λN = 0,

et pour tout k ∈ 0,...,N,

−d(DW (ϕ))dx

(xk) = f(xk) + (λk−1 − λk)|ϕ(xk)|n.

En particulier, pour tout x ∈ S1 tel que ϕ−1(ϕ(x)) = x, on obtient

−d(DW (ϕ))dx

(x) = f(x).

De meme, si ϕ−1(x) = x,y, et nx designe la normale en x tel que (τx,nx) forme une basedirecte, il existe λ tel que signe(λ) = Pϕ(x,y) et

−d(DW (ϕ))dx (x) = f(x)− λ|ϕ(x)|nx

−d(DW (ϕ))dx (y) = f(y) + λ|ϕ(y)|nx.

Par exemple, si Pϕ(x,y) = +1, ϕ(y) est situe du cote pointe par la normale nx par rapportau brin contenant ϕ(x). Ainsi, il exerce une force −λ|ϕ(x)|nx de direction opposee sur ϕ(x).

Des conditions de croissance imposees a DW, on deduit de maniere classique le lemmesuivantLemme 30. Si W verifie les hypotheses du theoreme 20, I est differentiable au sens suivant:Si γ(t) ∈ C1([0; 1];W 1,p(S1;R2)), alors I γ est derivable en 0 et

˙(I γ)(0) =∫S1

DW

(dγ(0)

dx

).

(dγ(0)

dx(x))

dx−∫S1

f(x)γ(0)(x) dx. (3.31)

Page 129: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 119

Afin de prouver le theoreme 20, on etablit tout d’abord les deux lemmes suivants:Lemme 31. Quel que soit W verifiant les hypotheses du theoreme 20, si ϕ est une solutionde classe C2 du probleme variationnel (3.29), alors∑

y∈ϕ−1(z)

(d(DW (ϕ))

dx(y) + f(y)

)|ϕ(y)|−1 = 0 pour tout z ∈ Im(ϕ).

Lemme 32. Quel que soit W verifiant les hypotheses du theoreme 20, si ϕ est une solutionde classe C2 du probleme variationnel (3.29), alors(

f(x) +dDW (ϕ(x))

dx

).τx = 0,

ou τx = ϕ(x)|ϕ(x)| .

Preuve du lemme 32Soit u ∈ C2(S1;R2). On pose γ(ε) = ϕ(x + εu(x)). D’apres la proposition 19, γ(ε) ∈ A

des que ε et assez petit. On a donc

I(γ(ε)) ≥ I(γ).

Comme γ(0) = ϕ(x)u(x), d’apres le lemme 30, il vient∫S1

DW (ϕ(x)).dϕudx− f.ϕu dx = 0,

et ∫S1

(dDW (ϕ(x))

dx.ϕ+ f.ϕ

)u dx = 0.

On en conclut que (dDW (ϕ(x))

dx+ f

).ϕ = 0.

2

Preuve du lemme 31Soit ϕ une solution de classe C2 du probleme (3.29). Soit z ∈ Im(ϕ) et

x0, · · · ,xn = ϕ−1(z).

Il existe U0 un voisinage de x0 dans S1 et r > 0 tels que

g : U0×]−r,r[ → gϕ(U0×]−r,r[) = V0

x 7→ gϕ(x)

soit un diffeomorphisme.Soit φ : S1 → R

2 une application de classe C1 de support inclus dans u0. On definit

F (φ) : S1 × R → R2

(x,h) 7→ φ(x)α(h/r),

Page 130: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 120

ou α est une application de classe C1 de R dans R, de support inclus dans ]− 1/2,1/2[ telleque α([−1/4,1/4]) = 1.Le suppor t de F (φ) est inclus dans U0×]−r,r[ et l’application

G(φ) : R2 × R → R2

x 7→

(F (φ) g−1)(x) si x ∈ V0,0 si n /∈ V0

est de classe C1 .Des que t > 0 assez petit, Id +tG(φ) est un diffeomorphisme de R2 dans lui-meme, preservantl’orientation. D’apres la proposition 19,

γ(t) = (Id +tG(φ)) ϕ ∈ A.

On a doncI(γ(t)) ϕ) ≥ I(ϕ),

et˙(I γ)(0) ≥ 0.

Or γ(0) = G(φ) ϕ, d’ou d’apres le lemme 30,

0 ≤∫S1

DW (ϕ)).(

dG(φ) ϕdx

(x))

dx−∫S1

f(x).G(φ) ϕ(x) dx

= −∫S1

d(DW (ϕ))dx

.G(φ) ϕ(x) dx−∫S1

f(x).G(φ) ϕ(x) dx

Il existe (Uk)k=1,··· ,N famille de voisinages distincts des xk tels que pour tout k,

PS1 (g|U0×]−r/4,r/4[

)−1 ϕ|Uk

soit un diffeomorphisme sur son image.Comme S1 est compact, il existe un W voisinage de ϕ(x0) dans R2 tel que

g−1ϕ (W ) ⊂

N⋃k=0

Uk.

On suppose que le support de φ est inclus dans U0 ∩ g−1ϕ (W ). On a alors

0 ≥∫S1

(d(DW (ϕ))

dx+ f

).G(φ) ϕ(x) dx

=∫g−1(W )

(d(DW (ϕ))

dx+ f

).G(φ) ϕ(x) dx

=N∑k=0

∫Uk

(d(DW (ϕ))

dx+ f

).G(φ) ϕ(x) dx.

Page 131: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 121

En remplacant G(φ) par son expression, on obtient

N∑k=0

∫Uk

(d(DW (ϕ))

dx+ f

).φ(PS1 g−1(ϕ(x))α(PR g−1(ϕ(x))/r) dx. (3.32)

Pour tout x ∈ U0, PR g−1(x) = 0, et

α(PR g−1(x)/r) = 1. (3.33)

De plus, pour tout k et pour tout xk ∈ Uk,

ϕ(x) ∈ g(U0×]−r/4,r/4[),

etPR g−1(ϕ(x)) ∈]−r/4,r/4[.

De nouveau, on a

α(PR g−1(ϕ(x))) = 1. (3.34)

De (3.32), (3.33) et (3.34), on deduit

0 ≥N∑k=0

∫Uk

(d(DW (ϕ))

dx+ f

).φ(PS1 g−1(ϕ(x)) dx.

Sur chaque Uk, on effectue le changement de variable induit par

sk = PS1 g−1 ϕ|Uk .

On a

0 ≥N∑k=0

∫Uk

(d(DW (ϕ))

dx(s−1k (y)) + f(s−1

k (y))).φ(y)

(Jk(s−1

k (y)))−1 dy

ou Jk(z) = |sk(z)|. Cette inegalite etant verifiee pour tout φ a support dans U0 ∩ g−1ϕ (W )

voisinage de x0, on en deduit que

0 =N∑k=0

(d(DW (ϕ))

dx(s−1k (x0)) + f(s−1

k (x0)))(

Jk(s−1k (x0))

)−1.

Enfin, s−1k (x0) = xk et

Jk(xk) = |ϕ(x0)|−1|ϕ(xk)|,

d’ou

0 =N∑k=0

(d(DW (ϕ))

dx(xk) + f(xk)

)|ϕ(x0)||ϕ(xk)|−1.

Page 132: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 122

etN∑k=0

(d(DW (ϕ))

dx(xk) + f(xk)

)|ϕ(xk)|−1 = 0 .

2

Preuve du theoreme 20Soit ϕ une solution de classe C2 du probleme (3.29). Soit z ∈ Im(ϕ), n un vecteur unitaire

normal a Im(ϕ) en z et (x0, · · · ,xN ) la famille obtenue par la proposition 24. On rappelleque

ϕ−1(z) = x0, · · · ,xN

et pour tous k < l,Pϕ(Λxk,xl) = n.nxk .

Soit m ∈ 0, · · · ,N − 1. On pose µ = n.nxm . Il existe Um voisinage de xm dans S1 et r > 0tels que

g : Um×]−r,r[ → gϕ(Um×]−r,r[) = Vmx 7→ gϕ(x)

soit un diffeomorphisme. Il existe (Uk)k 6=m famille de voisinages distincts des (xk)k 6=m telsque pour tout k 6= m,

PS1 (gUm×]−r/4,r/4[

)−1 ϕUksoit un diffeomorphisme sur son image. Comme S1 est compact, il existe W voisinage deϕ(xm) dans R2 tel que

g−1ϕ (W ) ⊂

N⋃k=0

Uk.

On poseV = g−1

ϕ (W ) ∩ Um.

Soit ϕ ∈ C∞0 (V ;R+) tel que‖φ‖C1 ≤ r−2‖α‖−1

C1 ,

ou α est definit comme dans la preuve du theoreme 16. L’application

γ(t) = Sµr (tφ,ϕ)

est alors correctement definie pour tout t < 1. Par un raisonnement analogue a celui effectuelors de la preuve du lemme 22, on montre aisement que

γ(t)(x) =Fµr (tφ,ϕ) ϕ(x) si x ∈

⋃k>m Uk,

ϕ(x) sinon.

On definitH :

⋂Uk → R

x 7→ PR(g−1(ϕ(x))

)et

Π :⋂Uk → Umx 7→ PS1

(g−1(ϕ(x))

)

Page 133: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 123

De ImH ⊂]− 1/4,1/4[, α([−1/4,1/4]) = 1 et de la definition de Fµr , on deduit que

γ(t)(x) =gϕ(Π(x),(Id +µr2φ)(H(x))

)si x ∈

⋃k>m Uk,

ϕ(x) sinon.

On a donc

γ(0)(x) =Dg−1ϕ(x)gϕ.

(0,µr2tφ H(x)

)si x ∈

⋃k>m Uk,

0 sinon.

D’apres l’expression de Dgϕ,

γ(0)(x) =

µr2

(−ϕ2(Π(x) +H(x))ϕ1(Π(x) +H(x))

)φ(Π(x)) si x ∈

⋃k>m Uk,

0 sinon.

D’apres la proposition 26,γ(t) ∈ BG(ϕ).

De plus, ]γ(t) = ]ϕ = +1. D’apres 28, γ(t) appartient a l’adherence C1 des plongementsisotopes a j

S1 , d’ou d’apres la proposition 17,

γ(t) ∈ A.

On a doncI(γ(t)) ≥ I(γ(0))

et d’apres le lemme 30,∫Sk>m

Uk

(dDW (ϕ)

dx(yk) + f(yk)

).

(−ϕ2(Π(yk) +H(yk))ϕ1(Π(yk) +H(yk))

)φ(Π(yk))µdyk ≤ 0.

Sur chaque Uk, on effectue le changement de variable x = Π ϕ(yk). On obtient∑k>m

∫V

(dDW (ϕ))

dx(yk) + f(yk)

).

(−ϕ2(x+H(yk))ϕ1(x+H(yk))

)φ(x) (Jm,k(yk))

−1 µdx ≤ 0,

ou Jm,k(y) = |DyΠ| et yk(x) = (ΠUk)−1(x). Cette inegalite etant verifiee pour tout φ ∈C∞0 (V ;R+), des que sa norme C1 est inferieure a une constante, on en deduit que∑

k>m

(dDW (ϕ))

dx+ f

)(yk(x)).

(−ϕ2(x+H(yk(x)))ϕ1(x+H(yk(x)))

)(Jm,k(yk(x)))−1 µ ≤ 0. (3.35)

CommeJm,k(xk) = |ϕ(xk)|/|ϕ(xm)|,

en appliquant l’inegalite (3.35) a x = xm, il vient∑k>m

(dDW (ϕ))

dx(xk) + f(xk)

).

(−ϕ2(xm)ϕ1(xm))

)|ϕ(xm)||ϕ(xk)|

(n.nxm) ≤ 0,

Page 134: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 124

et ∑k>m

(dDW (ϕ))

dx(xk) + f(xk)

).n|ϕ(xk)|−1 ≤ 0. (3.36)

Pour tout −1 ≤ m ≤ N, on pose

λm = −∑k>m

(dDW (ϕ))

dx(xk) + f(xk)

).n|ϕ(xk)|−1 ≥ 0,

D’apres le lemme 31,

λ−1 =N∑k=0

(dDW (ϕ))

dx(xk) + f(xk)

).n|ϕ(xk)|−1 = 0.

Evidemment, λN = 0. Pour tout 0 < m < N − 1, on a

λm−1 − λm =(

dDW (ϕ))dx

(xm) + f(xm)).n|ϕ(xm)|−1,

ou encore (dDW (ϕ))

dx(xm) + f(xm)

).n = |ϕ(xm)|(λm−1 − λm).

De plus, d’apres le lemme 32,(dDW (ϕ))

dx(xm) + f(xm)

).τxm = 0.

On en conclut que

dDW (ϕ))dx

(xm) + f(xm) = |ϕ(xm)|(λm−1 − λm)n,

ce qui acheve la demonstration. 2

5 Penalisation

Dans cette section, on suggere une methode afin de resoudre numeriquement le problemevariationnel (3.29) de la section 4.1. Supposons que le terme elastique I soit aise a minimi-ser sur W 1,p(S1;R2), la seule difficulte consiste alors a s’assurer que, a chaque iteration, ladeformation ϕ reste dans l’espace des fonctions admissibles. Evidemment, sans precautionsparticulieres, ceci n’a aucune raison de se produire. Deux solutions viennent naturellementa l’esprit : soit penaliser les deformations non-admissibles, soit definir une projection deW 1,p(S1;R2) sur Φp. La deuxieme solution serait ideale. La question est alors la suivante : Siϕ /∈ Φp, comment determiner ψ ∈ Φp, tel que

‖ϕ− ψ‖W 1,p = infeψ∈Φp

‖ϕ− ψ‖W 1,p ?

Page 135: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 125

Cette section est organisee comme suit :Dans la section 5.1, on propose une reponse heuristique a un cas simple. Cette etude nousconduit dans la section 5.2.1 a introduire une fonctionnelle J de W 1,p a valeurs dans R+, quiestime la distance d’une deformation a l’ensemble des fonctions admissibles. On demontre en5.2.2 que J est nul sur l’ensemble des deformations admissibles, en 5.2.3 que J(ϕ) est invariantpar reparametrisation et en 5.2.4 que J est semi continue inferieure pour la topologie C0 .Dans la section 5.3.2, on indique comment calculer numeriquement J. Enfin, la section 5.4est consacree a la definition d’un probleme penalise dont les solutions convergent vers unesolution du probleme initial (3.29) de la section 4.1.

5.1 Etude heuristique d’un cas simple

Soit ϕ une immersion de S1 dans R2. On suppose que 4/(ϕ) ne comporte que quatreelements : (a,c), (b,d) et leur image par la symetrie σ. On suppose de plus que le nombrede tours ]ϕ de ϕ vaut +1. La figure ci-dessous represente l’image de ϕ au voisinage del’auto-intersection.

(d)=(b)

(a) (c)=

([c,d])

([a,b])

Soit X un espace fonctionnel inclus dans W 1,p. On cherche ψ admissible tel que

‖ϕ− ψ‖X = infeψ∈Φp

‖ϕ− ψ‖X . (3.37)

Pour X = Lq, il semble clair que ϕ et ψ vont coıncider en dehors des segments [a,b] et [c,d],et que

ψ([a,b]) = ψ([c,d]). (3.38)

Page 136: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 126

En effet, si ψ ne verifie par (3.38), on peut construire une deformation admissible plus prochede ϕ que ψ comme l’illustre la figure ci-dessous.

(a) (b)=

(c) (d)=

([a,b])

([c,d])

([a,b])

On designe par u : I → R2 la courbe le long de laquelle on va recoller ϕ([a,b]) et ϕ([c,d]). On

a

u(0) = ϕ(a) = ϕ(c)et u(1) = ϕ(b) = ϕ(d).

(3.39)

Pour chaque t, on note γ1(t) l’element de [a,b] qu’on va coller sur u(t). On definit de memeγ2 : I → [c,d]. Par ce procede, nous obtenons une deformation ψu : S1 → S1, definie par

ψu(x) = ϕ(x) pour tout x /∈ [a,b] ∪ [c,d],ψu(γ1(t)) = u(t)ψu(γ2(t)) = u(t)

pour tout t ∈ I

u(t)

(t)

1

2

(c) (d)=( )(t)

( )

(a) (b)=

Supposons γ1 et γ2 fixe, on cherche a trouver la fonction u : I → R2 verifiant les conditions

(3.39) telle que

‖ϕ− ψu‖X = infv‖ϕ− ψv‖X . (3.40)

Page 137: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 127

On poseγ = (γ1,γ2) : I → S1 × S1,

etLXϕ (γ) = inf

v‖ϕ− ψv‖X .

Dans un premier temps, on calcule ‖ϕ− ψv‖X en fonction de v. Par la suite, on cherche unminimiseur explicite u qui nous permet de calculer LXϕ (γ). Choisissons X = L2(S1;R2). Ona ∫ b

a|ϕ(x)− ψv(x)|2 dx =

∫ 1

0|ϕ(γ1(t))− ψv γ1(t)|2|γ1(t)|dt

=∫ 1

0|ϕ(γ1(t))− v(t)|2|γ1(t)|dt.∫ d

c|ϕ(x)− ψv(x)|2 dx =

∫ 1

0|ϕ(γ2(t))− ψv γ2(t)|2|γ2(t)|dt

=∫ 1

0|ϕ(γ2(t))− v(t)|2|γ2(t)|dt.

Ainsi, on obtient

‖ϕ− ψv‖2L2 =∫ 1

0|ϕ(γ1(t))− v(t)|2|γ1(t)|+ |ϕ(γ2(t))− v(t)|2|γ2(t)|dt. (3.41)

Il est aise de voir que le minimum est atteint en u defini par

u(t) =|γ1(t)|ϕ γ1(t) + |γ2(t)|ϕ γ2(t)

|γ1(t)|+ |γ2(t)|

qui verifie bien les conditions (3.39). Ainsi, pour X = L2,

LXϕ (γ)2 =∫ 1

0|ϕ γ1(t)− ϕ γ2(t)|2 |γ1(t)||γ2(t)|

|γ1(t)|+ |γ1(t)|dt.

Il ne reste plus qu’a minimiser Lϕ en fonction de γ afin de determiner ψ verifiant (3.37).Bien qu’il n’existe pas de metrique sur S1 × S1 telle que la fonctionnelle Lϕ soit la fonction-nelle longueur associee, elle en a toutes les caracteristiques :

• Lϕ(γ) est independant du parametrage de γ : Si g est un diffeomorphisme de I surlui-meme, on a

LXϕ (γ g) = LXϕ (γ).

• Soit γ : I → S1 × S1, tel que γ(1) = γ(0), si on pose

γ = γ + γ =γ(2t) pour t ∈ [0,1/2],γ(2t− 1) pour t ∈ [0,1],

,

il vientLXϕ (γ)2 = LXϕ (γ)2 + LXϕ (γ)2.

Page 138: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 128

Par analogie avec le cas metrique, on appellera geodesiques les minimiseurs de (Lϕ)2.

On peut effectuer bien d’autres choix que X = L2(S1;R2). L’espace naturel sur lequel onsouhaiterait travailler est X = W 1,p(S1;R2). Cependant, la justification du calcul precedentest alors plus douteuse. Le minimiseur ψ de (3.37) peut tout a fait ne pas etre egal a ϕ endehors de [a,b] et [c,d]. Ceci delocalise le probleme. Cet effet est illustre par le fait que lecalcul precedent ne conduit pas pour p > 1 a l’obtention de fonctionnelles LXϕ assimilables ades longueurs. Pour p = 1 cependant, le resultat est simple et “naturel”.On a ∫ b

a|ϕ(x)− ψv(x)|dx =

∫ 1

0|ϕ γ1(t)− ψv γ1(t)||γ1|dt

=∫ 1

0

∣∣∣∣d(ϕ γ1 − v)dt

∣∣∣∣ dt.∫ d

c|ϕ(x)− ψv(x)|dx =

∫ 1

0

∣∣∣∣d(ϕ γ2 − v)dt

∣∣∣∣ dt.et

‖ϕ− ψv‖W 1,1 =∫ 1

0

∣∣∣∣d(ϕ γ1 − v)dt

∣∣∣∣+∣∣∣∣d(ϕ γ2 − v)

dt

∣∣∣∣ dt.De nouveau, il est aise de determiner le minimum de ‖ϕ−ψv‖W 1,1 , atteint pour u de la forme

u(t) = αϕ γ1 + (1− α)ϕ γ2),

ou α est une constante, 0 ≤ α ≤ 1. On obtient ainsi

LXϕ (γ) =∫ 1

0

∣∣∣∣d(ϕ γ1(t)− ϕ γ2(t))dt

∣∣∣∣ dt.Si on note

d(ϕ,ϕ) : S1 × S1 → R2

(x1,x2) 7→ ϕ(x1)− ϕ(x2),

LXϕ (ϕ) est tout simplement la longueur de la courbe d(ϕ,ϕ) γ.Pour tout a et b ∈ I, tels que a < b, pour toute fonction g : I → R

2, la longueur V ba (g) de g

restreinte au segment [a,b] est definie comme etant le supremum den∑i=1

|g(ti)− g(ti+1)|

sur l’ensemble des familles ti telles que a = t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn ≤ tn+1 = b.On a

LXϕ (γ) = V 10 (d(ϕ,ϕ) γ).

Remarque 16. Pour X = W 1,2, on obtient une expression plus complexe, et LXϕ ne possedepas les proprietes d’une fonctionnelle longueur. On propose dans ce cas de remplacer LXϕ par∫ 1

0

1|γ1|+ |γ2|

∣∣∣∣d(ϕ γ1 − ϕ γ2)dt

∣∣∣∣2 dt.

Page 139: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 129

5.2 Estimation de la distance a l’ensemble des deformations admissibles

Le but de cette section est de definir une fonctionnelle J, a valeurs dans R+, estimant ladistance d’une deformation a l’ensemble des fonctions admissibles. Cette fonctionnelle nouspermet par la suite (section 5.4) de penaliser le probleme initial.La premiere partie est consacree a la definition de J. En 5.2.2, on montre que J(ψ) est nul siet seulement si ψ est une deformation admissible; en 5.2.4, on prouve que J est semi continueinferieure pour la topologie C0 . Le fait que J soit a priori a valeurs dans R+ et non R esta priori handicapant. Cependant, on prouve que J est fini et calculable sur l’ensemble densedans W 1,p des immersions dont les auto-intersections sont transverses (section 5.3).

5.2.1 Definition de l’estimation J

On s’inspire de l’etude realisee dans la section 5.1. On a pris le parti afin de definir Jd’utiliser la fonctionnelle LXϕ dans le cas X = W 1,1. Ce choix n’est justifie que par la sim-plicite de l’expression de LXϕ qui en decoule. Tous les resultats demontres par la suite (mis apar la propriete d’invariance 32) peuvent etre etablis avec des choix differents.

Soit ψ ∈W 1,p(S1;R2) une deformation. On pose

Kε(ψ) = (x,y) ∈ S1 × S1 : |ψ(x)− ψ(y)| ≥ ε.

C’est un compact inclus de c4(ψ). Par commodite, on notera Kε(ψ) simplement Kε. Onrappelle que j

S1 designe la deformation de reference. On pose

φε(ψ) = dψ(ψ,ψ)∗(φR2−0)− dψ(jS1 ,jS1)∗(φR2−0) ∈ H1(Kε),

etuε(ψ) = φε(ψ) ∩ [[S1 × S1]] ∈ H1(S1 × S1,cKε).

(voir annexe 8.2.3).De nouveau on omettra par la suite la dependance de uε(ψ) en ψ. On note Eε l’ensemble deschaınes de S1 × S1, representant de uε(ψ) dans H1(S1 × S1,cKε) :

Eε(ψ) = v ∈ C1(S1 × S1) : v = uε dans H1(S1 × S1,cKε(ψ).

Pour tout γ ∈ C0(I;S1 × S1), on pose

Lψ(γ) = V 10 (d(ψ,ψ) γ),

c’est a dire la longueur de la courbe qui a tout t de I associe ψγ1(t)−ψγ2(t). Evidemment,Lψ est a priori a valeurs dans R+ et peut prendre la valeur +∞. De meme, pour toutv ∈ Eε(ψ), on definit

Lψ(v) =∑p

Lψ(γp),

ouv =

∑p

γp,

Page 140: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 130

γp ∈ C0(I;S1 × S1), et pour tout p et q, γp 6= −γq. Enfin, on definit

Jε(ψ) = infv∈Eε(ψ)

Lψ(v)

etJ(ψ) = sup

εJε(ψ).

Lemme 33. Pour tout v element de Eε(ψ), il existe une famille finie γi de fonctions conti-nues a valeurs dans S1 × S1 telle que

∀i γi(∂I) ⊂ S1 × S1 −Kε(ψ),

(∑i

γi

)≤ Lψ(v)

ou ∑i

γi ∈ Eε(ψ).

PreuveSoit v un element de Eε(ψ), il existe une famille finie γi de fonctions continues a valeurs dansS1 × S1 telle que

v =∑i

γi

et γi 6= −γj pour tout i 6= j.Soit V un voisinage de 4(S1). On a H1(S1 × S1 −4(S1)) ' Z, et

γh(t) = (t,t+ h) : I → S1 × S1 ' R/Z× R/Z

est un generateur de H1(S1 × S1 −4(S1)).On designe par i l’injection de (S1 × S1 −4(S1)) dans (S1 × S1,V ). Pour h assez petit, ona ih γ(I) ⊂ V, et i∗(γh) = 0.Ainsi, tout element de γ ∈ C0(I;S1 × S1) tel que γ(I) ∩ 4(S1) = ∅ et ∂γ = 0 dans C0(Kε)est tel que

γ = 0 dans H1(S1 × S1,S1 × S1 −Kε).

On peut donc supprimer de v tout les cycles γi tels que γi ∩4(S1) = ∅. On obtient ainsiun element v0 de C1(S1 × S1) tel que

v = v0 dans H1(S1 × S1,S1 × S1 −Kε(ψ))

etLψ(v0) ≤ Lψ(v).

Par commodite, on note de nouveau γi la famille d’elements de C0(I;S1 × S1) telle que

v0 =∑i

γi. (3.42)

Page 141: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 131

Si γi est un cycle, il existe donc t0 ∈ I tel que γi(t0) ∈ 4(S1). On pose

γi(t) =γi(t0 + t) pour tout t ≤ 1− t0,γi(t0 + t− 1) sinon.

On note v1 l’element de C1(S1 × S1) obtenu en remplacant dans la somme (3.42), les cyclesde la famille γi par γi. On designe de nouveau par γi la famille ainsi obtenue. On a

v1 = v0 dans H1(S1 × S1,S1 × S1 −Kε(ψ))

etLψ(v0) = Lψ(v1).

Soit i tel que γi(1) ∈ Kε(ψ). Comme ∂v = 0 dans C0(Kε), il existe j tel que

γi(1) = γj(0).

De plus, comme γi ne peut-etre un cycle, on a i 6= j. On note

γi,j(t) = (γi + γj)(t) =γi(2t) si t ≤ 1/2,γj(2t− 1) sinon.

On pose alorsv2 = γi,j +

∑k 6=ik 6=j

γk.

On a de nouveau Lψ(v2) = Lψ(v1) et v2 = v1 dans H1(S1 × S1,S1 × S1 −Kε(ψ)).En repetant l’operation un nombre fini de fois, on obtient l’element v annonce. 2

Lemme 34. Soit ψ ∈ C0(S1;R2), ε > 0 et γ ∈ C0(I;S1 × S1) tel que

γ(∂I) ⊂ S1 × S1 −Kε(ψ).

Alors, il existe γ = (γ1,γ2) ∈ C∞(I;S1 × S1) tel que

Card

((dγ1

dt

)−1

(0)

)< +∞ ; Card

((dγ2

dt

)−1

(0)

)< +∞

etγ = γ dans H1(S1 × S1,S1 × S1 −Kε(ψ)).

PreuveSoit p la projection de R× R dans S1 × S1 = R/Z× R/Z.Soit ψ et γ comme dans l’enonce du lemme. On note K ′ε = p−1(Kε(ψ)). Comme γ estcontinue, elle peut-etre relevee dans R2. En d’autres termes, il existe γ ∈ C0(I;R2) telle que

γ = p γ.

Il est aise de voir qu’il existe un suite γ(n) de fonctions de classe C∞ , telles que

γ(n) n→+∞−−−−→ γ

Page 142: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 132

et

Card

((dγ(n)1

dt

)−1

(0)

)< +∞ ; Card

((dγ(n)2

dt

)−1

(0)

)< +∞.

De plus, pour n assez grand,Γ(t) = tγ + (1− t)γ(n)

est une homotopie de γ(n) a γ telle que pour tout t,

Γ(t)(∂I) ⊂ R2 × R2 −K ′ε.

On a alorsγ = γ(n) dans H1(R2,R2 −K ′ε),

et γ = p γ(n) repond a la question. 2

Proposition 29. Pour tout ψ ∈W 1,p(S1;R2), pour tout ε > 0,

Jε(ψ) < +∞.

PreuveSoit v un element de Eε(ψ), et γi la famille d’elements de C0(I;S1 × S1) comme dans lelemme 33. D’apres le lemme 34, on peut supposer que pour tout i,

Card

((dγi1dt

)−1

(0)

)< +∞ ; Card

((dγi2dt

)−1

(0)

)< +∞ (3.43)

On poseN i

1 = supt∈I

Card((γi1)−1(t))

etN i

2 = supt∈I

Card((γi2)−1(t))

d’apres (3.43),N i

1 <∞ et N i2 <∞.

On a donc

Lψ(γi) =∫ 1

0

∣∣∣∣d(ψ γi1)− (ψ γi2)dt

∣∣∣∣ dt≤

∫ 1

0

∣∣∣∣d(ψ γi1)dt

∣∣∣∣ dt+∫ 1

0

∣∣∣∣d(ψ γi2)dt

∣∣∣∣ dt=

∫S1

|ψ(t)|Card((γi1)−1(t)) dt+∫S1

|ψ(t)|Card((γi1)−1(t)) dt

≤ ‖ψ‖W 1,1(N i1 +N i

2) <∞.

Ainsi,Lψ(v) =

∑i

Lψ(γi) <∞

Page 143: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 133

etJε(ψ) = inf

v∈Eε(ψ)Lψ(v) < +∞.

2

Proposition 30. Soit ε1 et ε2 deux reels positifs tels que ε1 ≤ ε2, on a

Jε1(ψ) ≥ Jε2(ψ).

PreuveIl suffit de remarquer que Eε1(ψ) ⊂ Eε2(ψ). 2

5.2.2 Nullite de J et ensemble des deformations admissibles

Proposition 31. Pour tout ψ ∈ C0(S1;R2), J(ψ) est nulle si et seulement si ψ ∈ A.Preuve

Soit ψ ∈ A, on a

dϕ(ψ,ψ)∗(φR2−0) = dϕ(jS1 ,jS1)∗(φR2−0) dans H1(Kε),

d’ouφε(ψ) = 0,

etuε(ψ) = 0.

Ainsi, v = 0 est un element de Eε(ψ) et

Lψ(v) = 0.

On a donc Jε(ψ) = 0 pour tout ε et J(ψ) = 0.Reciproquement, soit ψ ∈ C0(I;R2) telle que J(ψ) = 0. On deduit du lemme 30 que

Jε(ψ) = 0

pour tout ε > 0.Soit ε, et ε′ > 0 tels que ε > ε′ > 0. Comme Jε′(ψ) = 0, il existe

v =∑p

γp,

γp ∈W 1,2(I;S1 × S1), γ(∂I) ⊂ cKε′ , et

Lψ(v) =∑p

Lψ(γp) < ε− ε′. (3.44)

Supposons qu’il existe p tel que γp(I)∩Kε 6= ∅. Il existe t ∈ I, tel que γp(t) ∈ Kε. On a donc

Lψ(γp) = V 10 (d(ϕ,ϕ) γ)

≥ V t0 (d(ϕ,ϕ) γ)

≥ |(ϕ(γ1(t))− ϕ(γ2(t))− (ϕ(γ1(0))− ϕ(γ2(0))|≥ |ϕ(γ1(t))− ϕ(γ2(t)| − |ϕ(γ1(0))− ϕ(γ2(0)|≥ ε− ε′.

Page 144: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 134

Ce qui contredit l’inegalite (3.44). Ainsi, pour tout p, on a

γp(I) ⊂ cKε,

etuε = v = 0 ∈ H1(S1 × S1,cKε).

Pour tout ε, on a donc

dψ(ψ,ψ)∗(φR2−0) = dψ(j,j)∗(φR2−0) dans H1(Kε). (3.45)

Pour tout K compact de c4(ψ), il existe ε assez petit, tel que K ⊂ Kε, et d’apres (3.45),

(dψ(ψ,ψ) jc4(ψ)K )∗(φR2−0) = (dψ(j,j) j

c4(ψ)K )∗(φR2−0),

En d’autres termes,dψ(ψ,ψ)∗K(φR2−0) = dψ(j,j)∗K(φR2−0),

d’oudψ(ψ,ψ)∗K = dψ(j,j)∗K

et ψ ∈ A. 2

5.2.3 Invariance par reparametrisation

Cette propriete est a mettre en parallele avec l’invariance de A par composition a droiteavec les homeomorphisme preservant l’orientation (proposition 18).Proposition 32. Si G : S1 → S1 est un homeomorphisme de S1 dans S1 tel que G∗ = 1∗,alors pour tout ψ ∈ C0(S1;R2),

J(ψ) = J(ψ G).

PreuveIl suffit de remarquer que si v ∈ E(ψ G), alors (G×G) v ∈ E(ψ), et

LψG(v) = Lψ((G×G) v).

2

5.2.4 Semi continuite inferieure de J

Lemme 35. Pour tout ψ ∈ C0(I;R2), si ψn est une suite de fonctions convergeant vers ψen norme C0 et γ est une fonction continue de I a valeurs dans S1 × S1, alors

Lψ(γ) ≤ lim inf Lψn(γ).

PreuveSi lim inf Lψn(γ) = +∞, il n’y a rien a montrer. Dans le cas contraire, on peut extraire unesous-suite ψnk telle que Lψnk (γ) soit borne et

limkLψnk (γ) = lim inf

nLψn(γ).

Page 145: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 135

On notera desormais ψn en lieu et place de ψnk .Notons que toute fonction f continue telle que V 1

0 (f) < +∞ est une fonction a variationbornee. De plus, si f est a variation borne, sa derivee df est une mesure de Radon, c’est adire un element du dual des fonctions continues a support compact que l’on note M(I;R2).On designe par ‖.‖M la norme associee a M(I;R2). Pour toute fonction continue f de I avaleurs dans R2, on a

V 10 (f) = ‖df‖M . (3.46)

On rappelle que si fn est une suite de fonctions a variation bornee telle que ‖f‖L1 + ‖dfn‖Mreste borne, alors il existe une sous-suite fnk de fn, f une fonction a variation bornee telleque

fnk → f dans L1 fort,

et‖df‖M ≤ lim inf ‖dfnk‖M

Pour ce resultat, on peut consulter [22]. C’est plus qu’il nous en faut pour conclure. En effet,le seul fait que nous utiliserons est le suivant :Si fn → f dans L1 fort alors,

‖df‖M ≤ lim inf ‖dfn‖M .

On applique ce resultat, combine a l’egalite (3.46), a fn = d(ψn,ψn) γ et f = d(ψ,ψ) γpour conclure que

V 10 (d(ψ,ψ) γ) ≤ lim inf V 1

0 (d(ψn,ψn) γ).

En d’autres termes,Lψ(γ) ≤ lim inf Lψn(γ),

ce qui est justement le resultat annonce. 2

Proposition 33. J est sequentiellement semi continue inferieure pour la topologie C0 .

PreuveSoit ψ un element de C0(S1;R2) et ψn une suite convergeant vers ψ pour la topologie C0 .Soit ε > 0, il existe N > 0 tel que quel que soit n > N,

‖ψ − ψn‖C0 ≤ ε/2.

En raisonnant comme dans la preuve de la proposition 36, on obtient que pour tout n > N,

φε(ψn) = φε(ψ).

De plus,Kε(ψn) ⊂ K2ε(ψ).

En d’autres termes,Eε(ψn) ⊂ E2ε(ψ),

Page 146: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 136

On a donc

infv∈E2ε(ψ)

Lψn(v) ≤ infv∈Eε(ψn)

Lψn(v) = Jε(ψn) ≤ J(ψn). (3.47)

Ainsi,J2ε(ψ) = inf

v∈E2ε(ψ)Lψ(v)

≤ infv∈E2ε(ψ)

lim infn

Lψn(v) d’apres le lemme 35

≤ lim infn

(inf

v∈E2ε(ψ)Lψn(v)

)≤ lim inf

nJ(ψn) par (3.47)

etJ(ψ) = sup

εJ2ε(ψ) ≤ lim inf

nJ(ψn).

2

5.3 Intersections transverses et calcul de J

A ce stade, rien ne nous indique qu’il existe des deformations non-admissibles pour lesquelsJ est fini. Si ce n’etait le cas, le probleme penalise (voir 5.4) defini en ajoutant le terme J/α al’energie I serait identique au probleme initial et donc aussi difficile a resoudre. Heureusement,ce n’est pas le cas.On note

T (S1;R2) = ψ ∈ Imm(S1;R2) : ψ × ψ transverse a 4(R2) sur c4(S1).

L’ensemble T (S1;R2) est dense dans l’ensemble Imm(S1;R2) des immersions, lui-meme densedans W 1,p(I;R2). Dans la section 5.3.1, on montre que J est fini sur T (S1;R2). Par la suite,on explicite comment calculer J sur ce sous-ensemble de W 1,p(S1;R2) (section 5.3.2).

5.3.1 Penalisation finie pour les deformations transverses

Pour tout element de ψ de T (S1;R2), on pose

N(ψ) = d(ψ,ψ)−1(0)−4(S1).

N(ψ) est une sous-variete de S1×S1 de dimension 0, c’est a dire un ensemble fini de points.De plus, on peut munir chaque point d’un signe (voir section 2) : Pour tout x ∈ N(ψ), onnote

s(x) =

+1 si (ψ(x2),ψ(x1)) forme une base directe de R2,−1 sinon.

Pour tout r > 0, on note

Ur(ψ) = x ∈ S1 × S1 : dist(x,4(ψ)) < r.

Page 147: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 137

Il est facile de constater que pour r assez petit, (S1 × S1,4(ψ)) est une retraction forte de(S1 × S1,Ur). En d’autres termes, il existe Γr : I × S1 × S1 continue telle que

Γr(0)(x) = x pour tout x ∈ S1 × S1,Γr(t)(x) ∈ Ur pour tout t ∈ [0,1]

et Γr(1)(x) ∈ S1 × S1 −4(ψ) pour tout x ∈ Ur.

On en deduit que l’inclusion i de (S1 × S1,4(ψ)) dans (S1 × S1,Ur) est une equivalencehomotopique. Ceci nous assure que les applications suivantes sont des isomorphismes (pourplus de details, consulter [33], p.168 et 174).

H∗(S1 × S1,4(ψ)) i∗−→ H∗(S1 × S1,Ur)

H∗(4(ψ)) i∗−→ H∗(Ur)

H∗(S1 × S1 −4(ψ)) i∗−→ H∗(S1 × S1 − Ur).

De plus, il est aise de verifier que

H∗(S1 × S1 − Ur) ' H∗(S1 × S1 − Ur)

car S1 × S1 − Ur est un E.N.R (Euclidian Neighborhood Rectract) (voir [6], p.536 a 540).Ainsi, le “cap product” par [[S1 × S1]] definit un isomorphisme de

∩[[S1 × S1]] : H1(S1 × S1 −4(ψ))→ H1(S1 × S1,4(ψ)).

De plus, d(ψ,ψ) definit une fonction continue de c4(ψ)→ R2 − 0. On pose

φ0(ψ) = d(ψ,ψ)∗(φR2−0)− d(φ,φ)∗(φR2−0) dans H1(c4(ψ)).

etu0(ψ) = φ0(ψ) ∩ [[S1 × S1]] ∈ H1(S1 × S1;4(ψ)).

Enfin, on definit

E0(ψ) = v ∈ C1(S1 × S1) : u0 = v dans H1(S1 × S1,4(ψ)).

Notons que pour tout ε,E0(ψ) ⊂ Eε(ψ).

On pose enfin,J0(ψ) = inf

v∈E0(ψ)Lψ(v).

Proposition 34. Pour tout ψ ∈ T (S1;R2), on a

J0(ψ) = J(ψ) < +∞.

Afin de demontrer cette proposition, on aura besoin du lemme suivant:Lemme 36. Pour tout ψ ∈ T (S1;R2), il existe L0 > 0 tel quesi γ ∈ C0(I;S1 × S1), γ(∂I) ⊂ 4(ψ) et Lψ(γ) < L0, alors

γ = 0 dans H1(S1 × S1,4(ψ)).

Page 148: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 138

PreuveComme nous l’avons note precedemment, il existe un voisinage V de 4(ψ) tel que l’injectioni de (S1 × S1,4(ψ)) dans (S1 × S1,V ) induise un isomorphisme de H1(S1 × S1,4(ψ)) dansH1(S1 × S1,V ). On pose

L0 = supd(ψ,ψ)(x) : x ∈ S1 × S1 − V .

Comme S1 × S1 − V est un compact, L0 > 0.Soit γ ∈ C0(I;S1 × S1) tel que Im γ ∩ S1 × S1 − V 6= ∅. Il existe t0 ∈ I tel que

γ(t0) /∈ V.

On a

Lψ(γ) ≥ V t00 (d(ψ,ψ) γ)

≥ |d(ψ,ψ) γ(t0)− d(ψ,ψ) γ(0)|= |d(ψ,ψ) γ(t0)|≥ L0.

Ainsi, si γ ∈ C0(I;S1 × S1) est tel que γ(∂I) ⊂ S1 × S1 −4(ψ) et Lψ(γ) < L0, on a

Im(γ) ⊂ V

etγ = 0 dans H1(S1 × S1,V ).

Comme i∗ est un isomorphisme de (S1 × S1,4(ψ)) dans H1(S1 × S1,V ),

γ = 0 dans H1(S1 × S1,4(ψ)).

2

Preuve de la proposition 34Soit ψ ∈ T (S1;R2). Soit L0 comme au lemme 36. Soit r > 0 petit tel que si

Ur = x ∈ S1 × S1 : d(x,4(ψ)) < r,

l’injection de (S1 × S1,S1 × S1 − 4(ψ)) dans (S1 × S1,S1 × S1 − Ur) soit une equivalencehomotopique et

2r‖ψ‖C1 < L0.

Pour tout ε > 0 assez petit, on a

S1 × S1 − Ur ⊂ Kε(ψ).

Il existe v ∈ Eε(ψ) tel queLψ(v)− r < Jε(ψ).

Page 149: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 139

D’apres le lemme 33, on peut choisir v tel que

v =∑i

γi,

avec γi 6= −γj pour tout i et j et γi(∂I) ⊂ S1 × S1 −Kε(ψ) pour tout i.Pour tout i il existe xi+ et xi− elements de 4(ψ) tels que

dist(γi(0),xi−) < r et dist(γi(1),xi+) < r.

On pose alors

γi−(t) = (1− t)xi− + tγi(0) et γi+(t) = txi− + (1− t)γi(1).

On a

Lψ(γi−) =∫ 1

0

∣∣∣∣d(d(ψ,ψ) γi−)dt

∣∣∣∣ dt ≤ r‖ψ‖C1 .

De meme,Lψ(γi+) ≤ r‖ψ‖C1 .

On poseγi = γi− + γi+ = γi+.

On aLψ(γi) ≤ 2r‖ψ‖C1 + Lψ(γi).

Soit γik la famille extraite de γi telle que pour tout k,

Lψ(γi) > L0 − 2r‖ψ‖C1 .

On note N le nombre d’elements de γik . On a

N ≤Lψ(v)

L0 − 2r‖ψ‖C1

.

On pose alorsv =

∑γik .

D’apres le lemme 36,v =

∑γi dans H1(S1 × S1,4(ψ)).

De plus,i∗(v) = v = u0 dans H1(S1 × S1,V )

et comme l’injection i est une equivalence homotopique,

v = u0 dans H1(S1 × S1,4(ψ)).

On a doncv ∈ E0(ψ).

Page 150: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 140

Enfin,

Lψ(v) ≤ Lψ(v) + 2Nr‖ψ‖C1

≤ Lψ(v)(

1 +2r‖ψ‖C1

L0 − 2r‖ψ‖C1

).

Ainsi,

J0(ψ) ≤ Lψ(v) ≤ (Jε(ψ) + r)(

1 +2r‖ψ‖C1

L0 − 2r‖ψ‖C1

), (3.48)

etJ0(ψ) < +∞.

En passant au sup sur ε dans (3.48), il vient

J0(ψ) ≤ (J(ψ) + r)(

(1 +2r‖ψ‖C1

L0 − 2r‖ψ‖C1

).

Cette inegalite etant valable pour tout r, on a donc

J0(ψ) ≤ J(ψ).

Enfin, comme E0(ψ) ⊂ Eε(ψ) pour tout ε, on a

J0(ψ) ≥ J(ψ),

ce qui acheve la demonstration. 2

Remarque 17. Pour ψ /∈ T (S1;R2), J(ψ) peut a priori prendre la valeur +∞. Nous n’avonspas construit d’exemple explicite. Il semble que cela soit possible, si ψ comprend des spiralesqui s’entrecroisent indefiniment.

5.3.2 Calculabilite de J

On cherche a calculer J pour les elements de T (S1;R2). Le seul veritable probleme dansce programme consiste a identifier de maniere explicite E0(ψ). C’est l’objet de la proposition35. Par la suite, S1 × S1 est identifie a R/Z× R/Z.

On designe par i l’injection de (S1 × S1) dans (S1 × S1,4(ψ)) :

i : (S1 × S1)→ (S1 × S1,4(ψ))

et par k l’injection de (S1 × S1 −4(ψ)) dans (S1 × S1). La suite courte

H1(S1 × S1) i∗−→ H1(S1 × S1,4(ψ)) ∂−→ H0(4(ϕ)) (3.49)

est exacte. En d’autres termes, Ker ∂ = Im i∗. De plus,

γ∆(t) = (t,t) et γ⊥(t) = (t,− t),

Page 151: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 141

sont des generateurs de H1(S1 × S1). Comme Im(γ∆) ⊂ 4(S1) ⊂ 4(ψ), on a

i∗(γ∆) = 0,

et i∗(γ⊥) est un generateur de Im i∗.Soit r assez petit tel que si

Ur = x : S1 × S1 : dist(x,4(ψ)) < 2r,

l’inclusion de (S1 × S1,4(ψ)) dans (S1 × S1,Ur) soit une equivalence homotopique. On pose

γh(t) = (t,t+ h) : I → S1 × S1 ' R/Z× R/Z.

La chaıne γh peut-etre vue comme un element de H1(S1 × S1 −4(ψ)). On pose enfin

φ⊥ = DS1×S1(γr) ∈ H1(S1 × S1,4(ψ)).

Lemme 37.< φ⊥,i∗(γ⊥) >= +2.

PreuveOn a le diagramme commutatif suivant:

H∗(S1 × S1) k∗−−−→ H∗(S1 × S1;4(ψ))

∩[[S1×S1]]

x x∩[[S1×S1]]

H∗(S1 × S1) i∗←−−− H∗(S1 × S1 −4(ψ)).

On a donc

< φ⊥,i∗(γ⊥) > = < DS1×S1γr,i∗(γ⊥) >= < i∗(DS1×S1γr),γ⊥ >= < DS1×S1(k∗(γr)),γ⊥ > .

D’apres (3.60),< DS1×S1(k∗(γr)),γ⊥ >= ε∗(DS1×S1(k∗(γr)) ∩ γ⊥)

D’apres le definition du produit d’intersection •,

γε • γ⊥ = DS1×S1(k∗(γr)).

On a donc< φ⊥,i∗(γ⊥) >= ε∗(γr • γ⊥).

Or γr(I) et γ⊥(I) sont des sous-varietes de S1 × S1 transverses, d’apres la proposition 27,

< φ⊥,i∗(γ⊥) >= ε∗([[γ⊥(I) ∩ γr(I)∩]]).

Page 152: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 142

Enfin, il est aise de constater que l’intersection de γ⊥(I) ∩ γr(I) comporte deux points, etque l’intersection en chacun d’eux est positive (voir la figure ci-dessous). On a donc

< φ⊥,i∗(γ⊥) >= +2.

+1

+1

2

On rappelle que ]ψ designe le nombre de tours de ψ.Lemme 38. Soit ψ ∈ T (S1;R2),

< φ⊥,u0 >= ]j − ]ψ.

Preuve

< φ⊥,u0 > = < φ⊥,φ0 ∩ [[S1 × S1]] >= < φ⊥ ∪ φ0,[[S1 × S1]] > par (3.59)= − < φ0 ∪ φ⊥,[[S1 × S1]] > par (3.58)= − < φ0,φ⊥ ∩ [[S1 × S1]] > par (3.59)= − < φ0,γr >

Ainsi, d’apres la definition de φ0,

< φ⊥,u0 > = − < d(ψ,ψ)∗(φR2−0),γr > + < d(j,j)∗(φR2−0),γr >= − < φR2−0,d(ψ,ψ)∗ γr > + < φR2−0,d(j,j)∗ γr > .

Comme r est petit, on a]ψ =< φR2−0,d(ψ,ψ)∗ γr >

et]j =< φR2−0,d(j,j)∗ γr > ,

ce qui acheve la demonstration. 2

Page 153: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 143

Lemme 39. Soit ψ ∈ T (S1;R2),∂u0 = N(ψ).

PreuveOn note (xp)p=1···N la famille des points de N(ψ). Soit Bp les boules fermee de centre xp, derayon r. Soit kp et k0 les injections

(4(ψ)) kp−→ ((S1 × S1 −Bp) ∪ xp,S1 × S1 −Bp)(4(ψ)) k0

−→ (4(ψ),N(ψ)).

Notons que

H0((S1 × S1 −Bp) ∪ xp,S1 × S1 −Bp) ' H0(4(ψ),4(ψ)− xp)' H0(xp)

H0(4(S1)) ' H0(4(ψ),N(ψ))' H0(4(S1))

Ainsi, kp induit une application kp∗ a valeurs dansH0(xp), et k0∗ a valeurs dansH0(4(S1)).

Soit i0 et ip les injections(xp)

ip−→ (4(ψ))

(4(S1)) i0−→ (4(ψ)).

CommeH0(4(ψ)) = H0(4(S1))⊕

⊕p

H0(xp),

∂u0 = (i0 k0)∗(∂u0) +∑p

(ip kp)∗(∂u0).

Il suffit donc de calculer k0∗(u0) et kp∗(u0) pour determiner completement ∂u0.

On rappelle que σ est l’application de S1×S1 dans lui-meme qui a (x,y) associe (y,x). Il estaise de constater que

σ∗(φ0) = φ0.

On en deduit que

σ∗(u0) = −u0

σ∗(∂u0) = −∂u0.

Ainsi,(σ k0)∗(∂u0) = −k0

∗(∂u0).

Comme σ∗ = 1∗ : H0(4(S1))→ H0(4(S1)),

k0∗(∂u0) = 0

Page 154: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 144

Reste a calculer kp∗(∂u0) pour p 6= 0. Le diagramme

H2(S1 × S1,S1 × S1 −4(ψ))∩[[S1×S1]]−−−−−−→ H0(4(ψ))

j∗p

y ykp∗H2(Bp,Bp − xp)

∩[[S1×S1]]−−−−−−→ H0((S1 × S1 −Bp) ∪ xp,S1 × S1 −Bp)

est commutatif, ou jp est l’injection de (Bp,Bp − xp) dans (S1 × S1,S1 × S1 −4(ψ)).On a

∂u0 = ∂(φ0 ∩ [[S1 × S1]])= δφ0 ∩ [[S1 × S1]] par (3.61).

Comme le diagramme ci-dessus est commutatif,

ε∗(kp∗(∂u0)) = ε∗(j∗p(δφ0) ∩ [[S1 × S1]]).

On a donc∂u0 = < j∗p(δφ0),[[S1 × S1]] > par (3.62).

= < δφ0,jp∗([[S1 × S1]])

= < δφ0,[[Bp]] >= < φ0,∂[[Bp]] >= < φ0,[[∂Bp]]S1×S1 > .

Enfin, d’apres la section 6.1.3,

< d(jS1 ,jS1)∗(φR2−0),[[∂Bp]] >= 0,

et< d(ψ,ψ)∗(φR2−0),[[∂Bp]] >= s(xp),

ce qui acheve la demonstration. 2

Proposition 35. Pour tout ψ ∈ T (S1;R2) et v ∈ C1(S1 × S1), tel que ∂v ∈ C0(4(ψ)),

v ∈ E0(ψ)⇔ (< φ⊥,v >= ]j − ]ψ et ∂v = N(ψ)) .

PreuveSi v ∈ E0(ψ), v = u0 dans H1(S1 × S1,4(ψ)). Ainsi, d’apres le lemme 39

∂v = ∂u0 = N(ψ)

et d’apres le lemme 38,< φ⊥,v >=< φ⊥,u0 >= ]j − ]ψ.

D’autre part, soit v0 tel que∂v0 = N(ψ)

et

< φ⊥,v0 >= ]j − ]ψ. (3.50)

Page 155: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 145

On a ∂(v0 − u0) = 0. Ainsi, la chaıne (3.49) etant exacte,

v0 − u0 ∈ Ker(∂) = Im(i∗).

Or i∗(γ⊥) est un generateur de Im(i∗). Ainsi, il existe c entier tel que

v0 − u0 = ci∗(γ⊥).

D’apres le lemme 37,< φ⊥,v0 − u0 >= 2c.

Du lemme 38, et de (3.50), on deduit que c = 0 et

v0 = u0 dans H1(S1 × S1;4(ψ)).

2

On a represente ci-dessous une deformation ϕ ∈ T (S1;R2) et un element v de E0(ϕ).La variete N(ϕ) comporte quatre elements : (y1,x1), (x0,y0), (x1,y1) et (y0,x0). Les bases(ψ(y1),ψ(x1)) et (ψ(x0),ψ(y0)) sont directes, tandis que les bases (ψ(x1),ψ(y1)) et (ψ(y0),ψ(x0))sont indirectes. Ainsi,

s((y1,x1)) = s(x0,y0) = −1

ets((x1,y1)) = s(y0,x0) = +1.

0(x )(x )1

x0x1

y1y0

0(y )1(y )

0(x )

0(y )

(x )1

1(y )

Page 156: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 146

x0 y1 y01S

1S

1x

x0

1x

y1

y0

+

+

-

-

v

v

Afin de calculer J(ψ), il est a priori necessaire de minimiser Lψ(v) sur toutes les compo-santes connexes de E0(ψ), qui en compte une infinite ! Ce n’est evidemment pas envisageable.Dans la pratique, on peut se contenter de minimiser Lψ(v) sur un petit nombre de compo-santes connexes. Correctement choisies, cela devrait fournir un resultat raisonnable.

5.4 Le probleme penalise

On note Iα la fonctionnelle definie sur W 1,p(S1;R2) par

Iα(ψα) = I(ψα) +1αJ(ψα),

ou I est une fonctionnelle comme au theoreme 19. On note (Pα) le probleme consistant atrouver ϕα ∈W 1,p(S1;R2) tel que

Iα(ϕα) = infW 1,p/∼

Jα(ψα).

Theoreme 21. Le probleme (Pα) admet au moins une solution.Preuve

La demonstration est identique a celle du theoreme 19, la semi-continuite inferieure faible deJ resultant de la proposition 33. 2

Theoreme 22. Soit ϕα solutions de (Pα). Il existe une sous-suite de ϕα convergente pourla topologie W 1,p(S1;R2) faible. De plus, quelle que soit la sous-suite choisie, elle convergevers un solution du probleme initial (3.29).

Page 157: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 147

PreuveLe premier point est trivial, ϕα etant bornee dansW 1,p(S1;R2).On note ϕα une suite extraite,et ϕ0 sa limite. Tout d’abord, comme J est sequentiellement semi continue inferieure pour latopologie W 1,p faible,

J(ϕ0) ≤ lim inf J(ϕα).

De plus, J(ϕα)/α est borne. Ainsi,J(ϕα)→ 0,

etJ(ϕ0) = 0.

D’apres la proposition 31, on a doncϕ0 ∈ Φp

Soit ϕ une solution du probleme variationnel initial (3.29). On a pour tout ε,

I(ϕα) ≤ Iα(ϕα) ≤ Iα(ϕ) = I(ϕ).

Comme la fonctionnelle I est sequentiellement semi continue inferieure faible,

I(ϕ0) ≤ I(ϕ)

et ϕ0 est une solution de (3.29). 2

6 Cas des dimensions superieures

Dans cette section, on generalise l’etude effectuee dans le cas particulier d’un cercle in-clus dans S1 a des solides, representes par une variete M de dimension m, se deformant dansRn (n = 2 ou 3). La variete M peut-etre avec ou sans bord et jM : M → R

n designe ladeformation de reference de M.La section 6.1.1 est une generalisation des resultats obtenus en 3.1. Les differentes propo-sitions et preuves sont quasiment identiques a celles obtenues dans le cas particulier d’uncercle se deformant dans R2.Dans la section 6.2, on etudie le cas particulier des structures bidimensionnelles se deformantdans R3 pour lesquelles on n’a pas obtenu de reponse definitive. On indique une piste afin deresoudre se probleme delicat qui est l’objet d’un travail en cours.Le cas de solide de volume non nul est aborde dans la section 6.3 . On montre que l’ensembledes deformations admissibles que nous definissons est plus petit que celui obtenu par Ciarletet Necas dans [15]. En particulier, toute deformation reguliere, solution du probleme varia-tionnel, de determinant strictement positif, verifie les equations d’Euler-Lagrange associee.De plus, contrairement a Ciarlet et Necas, il n’est nullement necessaire de supposer quel’energie interne W est telle que W (F ) = +∞ si det(F ) ≤ 0, pour obtenir une modelisationcorrecte. En particulier, on peut appliquer notre demarche au solide hyperelastique le plussimple, c’est a dire a un solide de type Saint Venant Kirchhoff.

Page 158: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 148

6.1 Une modelisation dans le cas general

6.1.1 Definition de l’ensemble des deformations admissibles

Soit K un compact de M ×M , pour toutes applications ϕ et ψ de M dans Rn, telle que(ϕ× ψ)−1(4(Rd)) ⊂ K, on definit dK(ϕ,ψ) : cK → R

n − 0 par

dK(ϕ,g)(x,y) = (ϕ(x)− ψ(y)).

Si ϕ est une application de M → Rd. On pose

4(ϕ) = (ϕ× ϕ)−1(4(Rd))dϕ = d4(ϕ)

On definit l’ensemble des deformations admissibles par

A(jM) = ϕ : M → Rn/dϕ(jM ,jM)∗K = dϕ(ϕ,ϕ)∗K.

6.1.2 Quelques proprietes de l’ensemble des deformations admissibles

Ces propositions sont les equivalents en dimension quelconque des propositions 16, 17, 18et 19. Les demonstrations sont identiques quitte a remplacer S1 par M et R2 par Rn.Proposition 36. A(jM) est ferme pour la topologie C0

Proposition 37. L’adherence C0 des plongements isotopes a jM est incluse dans A(jM)

Proposition 38. Soit G : M →M un homeomorphisme de M dans M tel que G∗ = 1∗.

(ψ ∈ A(jM))⇒ (ψ g ∈ A(jM)).

Proposition 39. Soit G un diffeomorphisme de Rn dans lui-meme preservant l’orientation.

(ϕ ∈ A(jM))⇒ (g ϕ ∈ A(jM)).

6.1.3 Deformations admissibles et auto-intersections transverses

On prouve dans cette partie que dψ(ψ,ψ)∗K contient des informations permettant de decrireles auto-intersections de ψ avec elle-meme. On designe par θ l’application

θ : Rn − 0 → Sn−1

z 7→ z/|z|.

Lemme 40. Soit F : Rn − 0→ Rn − 0 une application lineaire telle que det(F ) 6= 0. On a

< φRn−0,F∗([[Sn−1]]Rn−0) >= signe(det(F )).

PreuveSoit

G(x) : Sn−1 → Sn−1

x 7→ θ(F (x)) = F (x)|F (x)|.

Page 159: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 149

On a

< φR2−0,F∗([[S1]]R2−0) > = < φS1 ,G∗([[S1]]R2−0) >

= deg(G).

Pour tout y ∈ Sn−1,

deg(G) =∑

x∈G−1(y)

signe(det(TxG)).

Comme G est un diffeomorphisme, pour tout x ∈ Sn−1,

deg(G) = signe(det(TxG)). (3.51)

On designe par n(G(x)) le vecteur unitaire normal exterieur a Sn−1 enG(x). Soit (e1, · · · ,en−1)une base orthonormale de TxSn−1, tel que (e1, · · · ,en−1, − n(G(x)) forme une base directede Rn.

det(TxG) = −TxG(e1) ∧ · · · ∧ TxG(en−1) ∧ n(G(x)).

det(TxG) = −TxG(e1) ∧ · · · ∧ TxG(en−1) ∧G(x).

De plus,

TxG = Tx (F (x)/|F (x)|)

=TxF

|F (x)|+ F (x)Tx (1/|F (x)|) ,

d’ou

det(TxG) = −TxG(e1) ∧ · · · ∧ TxG(en−1) ∧G(x)

=−TxF (e1) ∧ · · · ∧ TxF (en−1) ∧G(x)

|F (x)|n−1.

Ainsi,

signe(det(TxG)) = signe(−TxF (e1) ∧ · · · ∧ TxF (en−1) ∧G(x))= signe(−TxF (e1) ∧ · · · ∧ TxF (en−1) ∧ F (x))= signe(det(F )).

On conclut grace a (3.51). 2

Soit ϕ et ψ fonctions continues de M a valeurs dans Rn. On designe par d(ϕ,ψ) l’appli-cation de M ×M dans Rn qui a tous couples (x,y) associe ϕ(x)− ψ(y).

d(ϕ,ψ)(x,y) = ϕ(x)− ψ(y).

Si ϕ et ψ des fonctions continues de M a valeurs dans Rn. S’il existe (x,y) ∈M ×M, tel que

ϕ de classe C2 sur un voisinage de x,ψ de classe C∞ sur un voisinage de y,

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 150

et ϕ transverse a ψ en (x,y), alors il existe un voisinage U de (x,y) tel que ϕ transverse a ψsur U et Q = d(ϕ,ψ)−1

|U (0) est une sous-variete orientee de U de dimension 2m− n.On designe par e l’application exponentielle de ν(Q,M ×M) a valeurs dans M ×M. Sur unvoisinage de la section nulle, c’est un diffeomorphisme. De plus, le fibre normal est orientede sorte que si (u1, · · ·un) designe une base directe de la fibre de ν(Q,M ×M) en (x,y),

(T(x,y)d(ϕ,ψ).u1, · · · ,T(x,y)d(ϕ,ψ).un) (3.52)

soit une base directe de Rn.Proposition 40. Si ϕ et ψ des fonctions continues de M a valeurs dans Rn. S’il existe(x,y) ∈M ×M, tel que

ϕ de classe C∞ sur un voisinage de x,ψ de classe C∞ sur un voisinage de y,

et ϕ transverse a ψ en (x,y), alors

< d(x,y)(ϕ,ψ)∗|V (φRn−0),(jVDn−0)∗([[Sn−1]]Dn−0) >= +1,

ouV = U −Q ;U est un voisinage de M ×M tel que ϕ× ψ soit de classe C∞ sur U et ϕ et ψ soienttransverses sur U ;Q = d(ϕ,ψ)−1

|U (0). C’est un sous-variete orientee de M ×M.

jVDn(a,b) = e(((x,y),r(a,b))) est une injection du disque unite prive de l’origine Dn − 0de Rn dans V (r est un petit reel positif).

Remarque 18. Dans la definition de jVDn , on a identifie implicitement la fibre de ν(Q,M ×M)a Rn de sorte a ce que les orientations respectives des deux espaces soient coherentes.

PreuveOn pose

A =< d(x,y)(ϕ,ψ)∗|V (φR2−0),(jVDn−0)∗([[Sn−1]]Dn−0) >

etF (h) : B(0,1/h)− 0 → R

n

(a,b) 7→ 1hd(ϕ,ψ) jVDn−0((ha,hb)).

Pour tout (a,b) ∈ Rn − 0, des que h assez petit,

(a,b) ∈ B(0,1/h),

de plus,

F (h)(a,b) =1h

[d(ϕ,ψ) jVDn−0(h(a,b))− d(ϕ,ψ) jVDn−0(0)

]h→0−−−→ T(0,0)(d(ϕ,ψ) jVDn−0).(a,b).

Page 161: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 151

On noteF (0) : Rn − 0 → R

n − 0(a,b) 7→ T(0,0)(d(ϕ,ψ) jUDn).(a,b).

On a

A = < φRn−0,(d(ϕ,ψ) jVDn−0)([[Sn−1]]Dn−0) >

= < φRn−0,(F (h))∗(([[Sn−1]]Dn−0) > .

des que h < 1.Ainsi, en passant faisant tendre h vers 0,

A = < φRn−0,(F (0))([[Sn−1]]Dn−0) >= signe(det(F (0))) d’apres le lemme 40= +1

d’apres (3.52). 2

Comme pour le corollaire 6, on en deduitCorollaire 7. Soit ψ : M → R

n, une application continue. S’il existe (x,y) ∈ 4(ψ) tel queψ de classe C∞ en x et y, si de plus, ψ t(x,y) ψ, alors ψ /∈ A.Remarque 19. Dans cette section, on suppose que les deformations sont localement de classeC∞ , hypothese plus forte que celle retenue dans le cas particulier du cercle se deformant dansR

2. En fait, les propositions precedentes restent valables si l’on remplace C∞ par C1 . Ce-pendant, il faut alors utiliser autre chose que la fonction exponentielle pour definir l’injectionjVDn−0, qui induit une perte de differentiabilite. Ceci pourrait etre fait a l’aide du theoremedes fonctions implicites.

6.1.4 Formulation variationnelle

Pour tout ϕ et ψ dans L1(M ;Rn), on dit que

ϕ ∼ ψ si et seulement si∫Mϕ(x) dx =

∫Mψ(x) dx.

C’est une relation d’equivalence. Pour tout p > 1, on note

Φp(jM) = ϕ ∈W 1,p(M ;Rn) : ϕ ∈ A(jM)/ ∼ .

Theoreme 23. Soit f ∈ L1(M ;R) tel que∫M f(x) dx = 0. Soit W une application continue

quasi-convexe de Mn,m a valeurs dans R. On suppose qu’il existe p > 1 tel que W verifie lesconditions de croissance et de coercivite suivantes:

∀u ∈ R2, |W (u)| ≤ C(1 + |u|p) (3.53)

∀u ∈ R2, W (u) ≥ α|u|p + β. (3.54)

Page 162: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 152

ou C, α, β sont des constantes.Soit I : W 1,p → R la fonctionnelle definie par

I(ψ) =∫MW (Dψ(x)) dx−

∫Mf(x).ψ(x) dx.

Alors, le probleme consistant a trouver ϕ tel que

ϕ ∈ Φp(jM) et I(ϕ) = infψ∈Φp(jM )

I(ψ) (3.55)

admet au moins une solution.Preuve

Identique a la preuve de la proposition 19, quitte a remplacer S1 par M et R2 par Rn. 2

6.2 Cas des surfaces

La modelisation obtenue dans ce cas n’est pas totalement satisfaisante. En effet, il existedes deformations ϕ ∈ A(jM) possedant des auto-intersections. En d’autres termes, A(jM)n’est pas inclus dans l’adherence C0 des plongements. De plus, dans le cas general, onpeut meme construire des immersions appartenant a l’ensemble des deformations admis-sibles A(jM) n’appartenant pas a l’adherence C0 des plongements (voir section 6.2.1). Ainsi,si ϕ est une solution du probleme variationnel (3.55), meme en supposant que ϕ est uneimmersion reguliere, on ne peut pas, en general, montrer que ϕ verifie un systeme d’equationdu type Euler-Lagrange.Dans la section 6.2.2, on propose une definition plus contraignante de l’ensemble des deformationsadmissibles. Cependant, elle laisse encore echapper des deformations non physiquement ad-missibles.Malgre tout, il ne faut pas perdre de vue que l’ensembleA(jM) ne contient aucune deformationpossedant des auto-intersections transverses.

6.2.1 Un contre-exemple

On considere le cas ou M est un tube fini, c’est a dire M = S1×I. L’injection de referenceest

jM(θ,h) = (cos(θ), sin(θ),h).

Soit k ∈ N, on poseϕk = (cos(kθ), sin(kθ),h).

Proposition 41. ϕk ∈ A(jM).Preuve

Il suffit de construire une homotopie Ht de dϕk(ϕk,ϕk) vers dϕk(jM ,jM). On peut construire

Page 163: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 153

une telle homotopie de la forme dϕk(ψ1t ,ψ

2t ). Les deux composantes ψ1

t et ψ2t sont des homo-

topies de ϕk a jM . Voici un exemple explicite:

ψ1t = ϕk ψ2

t = (1− t)ψ1t si t ∈ [0,1/5],

ψ1t = ϕk ψ2

t = 4/5ψ1t + 10(t− 1/5) si t ∈ [1/5,2/5],

ψ1t = (3− 5t)ϕk + (5t− 2)jM ψ2

t = 4/5ψ1t + 2 si t ∈ [2/5,3/5],

ψ1t = jM ψ2 = 4/5ψ1

t + 2− 10(t− 3/5) si t ∈ [3/5,4/5],ψ1t = jM ψ2 = tψ1

t si t ∈ [4/5,1].

Les 2 premieres parties de l’homotopie consistent a isoler l’image respective de ψ1t et ψ2

t

dans des boules distinctes, tandis que les deux dernieres realise l’operation inverse. Ces deuxetapes sont necessaires afin de s’assurer que dϕk(ψ1

t ,ψ2t ) est correctement defini. 2

Proposition 42. Pour tout n ∈ N∗, ϕk n’appartient pas a l’adherence C1 des plongements.Preuve

On considere l’intersection de ϕk avec le plan z = 1/2. L’intersection est transverse et estdonc stable en norme C1 . Si on considere ψ proche de ϕk en norme C1, ψ−1(z = 1/2) estun cercle. De plus l’application ψ restreinte a ψ−1(z = 1/2) est proche de l’injection de ϕkrestreinte a ϕ−1

k (z = 1/2) dans le plan. Or cette injection n’est pas proche d’un plongement.ψ ne peut donc etre un plongement.

2

6.2.2 Un autre critere

On presente ici un critere permettant d’eliminer, lorsque k est pair, ϕk de l’ensemble desfonctions admissibles. Lorsque k est impair, ce critere est egalement mis en defaut. Je exposece critere de maniere rapide, sans aucune demonstration sur les resultats annonces. Il peutservir de base pour aller plus loin et resoudre le cas general.

On considere la varieteM×M/σ, c’est a direM×M quotiente par la relation d’equivalence

(x,y) ∼σ (y,x).

De plus, on note M ×M × (Rn−0)/ζ, c’est a dire M ×M × (Rn−0) quotiente par la relationd’equivalence

(x,y,z) ∼ζ (y,x,− z).

Page 164: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 154

t Soit ϕ : M → Rn. On pose

dϕ(ϕ) : M ×M −∆f → M ×M × Rn(x,y) 7→ (x,y,f(x)− f(y))

etdϕ(jM) : M ×M −∆f → M ×M × Rn

(x,y) 7→ (x,y,jM(x)− jM(y))

Les fonctions df (f) et df (j) se factorisent en applications de M × M/σ a valeurs dansM ×M × (Rd − 0)/ζ. On definit notre nouvel ensemble de fonction admissible comme etantl’ensemble des deformations ϕ qui verifient

dϕ(ϕ)∗K = dϕ(j)∗K.

6.3 Le cas des solides de volume non nul

Dans leur article [15], Ciarlet et Necas proposent un modele avec contact, sans “auto-intersection”. Leur idee est de definir les fonctions admissibles comme l’ensemble des deformationsverifiant : ∫

Mdet(5ϕ(x)) ≤ Vol(Im(ϕ)) (3.56)

etdet(5ϕ(x)) > 0 presque partout.

La deuxieme contrainte traduit le fait qu’une deformation physiquement admissible doit etrelocalement injective, et ne peut “retourner” l’espace. Dans [15], cette contrainte est imposeepar le fait que l’energie interne W (F ) tend vers l’infini lorsque le determinant de F tend verszero, et vaut +∞ sur l’ensemble des matrices de determinant negatif.Les deformations admissibles sont les fonctions injectives presque partout. Ceci resulte de lacontrainte (3.56) et de l’identite∫

ϕ(M)Card(ϕ−1(x′))dx′ =

∫M

det(5ϕ(x))dx.

verifiee par les fonctions W 1,p, telles que det(5f(x)) ≥ 0.Notre critere differe de celui utilise par Ciarlet-Necas sur plusieurs points : Tout d’abord, ilest applicable meme lorsque W (F ) ne tend pas vers +∞ lorsque le determinant de F tendvers zero. Enfin, il est plus fort que le critere de Ciarlet-Necas. Certaines deformations (memetres regulieres) verifient le critere de Ciarlet-Necas sans verifier le notre. La figure suivante

Page 165: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 155

en donne une illustration :

Deformation verifiant le critere de Ciarlet-Necas, non physiquement admissible.L’ensemble d’auto-intersection est de mesure nulle et det(5ϕ) > 0 p.p.

Proposition 43. Tout ϕ ∈ A(jM) ∩W 1,p tel que det(5ϕ(x)) > 0 presque partout, verifie lecritere de Ciarlet-Necas.

PreuveSoit ϕ ∈ A(jM) ∩W 1,p. Soit x et y deux elements distincts de M tels que

ϕ(x) = ϕ(y).

On se place dans une carte g : B(0,2)→M, telle que y /∈ Im g et g(0) = x. Pour tout r < 1,on note

Sn−1r = g(Sn−1(0,r))

l’image par g de la sphere de centree a l’origine, de rayon r. Supposons que ϕg(Sr)∩ϕ(x) =ϕ g(Sr) ∩ ϕ(y) = ∅. Dans ce cas,

< d(jM ,jM)∗(φRn−0),(y × g)∗([[Sn−1r ]]B(0,2)−0) > =

< d(jM ,jM)∗(φRn−0),(x× g)∗([[Sn−1r ]]B(0,2)−0) > = ±1.

D’autre part, comme ϕ ∈ A(jM),

< d(jM ,jM)∗(φRn−0),(y × g)∗([[Sn−1r ]]B(0,2)−0) >= 0.

Ce qui est en contradiction avec l’equation precedente. On en deduit que pour tout r,

ϕ g(Sr) ∩ ϕ(x) 6= ∅.

On a montre que pour tout z ∈ Rn,

Card(ϕ−1(z)) > 1⇒ Card(ϕ−1(z)) = +∞. (3.57)

On noteP = z ∈ Rn : Card(ϕ(z)) > 1.

On a+∞ >

∫ϕ(M)

Card(ϕ(z) dz =∫P

Card(ϕ(z) dz +∫ϕ(M)−P

Card(ϕ(z) dz

Page 166: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 156

D’apres (3.57),

+∞ > +∞|P |+∫ϕ(M)−P

Card(ϕ(z) dz

Ainsi,|P | = 0.

On en deduit que ∫ϕ(M)

Card(ϕ(z) dz = Vol(Im(ϕ)),

ou encoreVol(Im(ϕ)) =

∫det(5ϕ(x))dx.

En d’autres termes, ϕ verifie le critere de Ciarlet et Necas. 2

7 Quelques remarques complementaires

Dans le cas de structures minces se deformant dans R3, il n’y a a priori aucun obstacle ageneraliser l’etude effectuee dans la section 5 et par la meme a realiser une implementationnumerique. Cependant, cette derniere reste avant tout a faire dans le cas plus simple d’uncercle se deformant dans un plan, ce qui est en projet.Notre demarche peut de plus s’etendre a des problemes d’evolution. Le modele correct neconsiste pas, contrairement a ce que l’on pourrait imaginer au premier abord, a definir l’en-semble des fonctions admissibles ϕ(t)(x) comme etant les fonctions telles que

ϕ(t) ∈ A(jM) pour tout t.

En effet, cette condition n’est pas assez forte, comme le montre le petit ((film)) representeci-dessous (M = [0,1]).

t=0 t=1 t=2

t=3

t=4 t=5

La tige mobile est fixee par une rotule a la tige fixe. A chaque instant, la deformation ϕ(t)est sans auto-intersection. A l’instant t = 4, la partie mobile traverse la partie fixe, ce quin’est pas physiquement raisonnable.

Page 167: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 157

La bonne formulation semble etre

ϕ ∈ A(jR×M),

ou jR×M est l’applicationjR×M : R×M → R× Rn

(t,x) 7→ (t,jM(x)).

On exclut ainsi le contre-exemple precedent. L’application t×ϕ : R× I → R×R2, comporteen effet une auto-intersection transverse sur une partie de l’intersection geometrique :

t=0

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

8 Annexe

8.1 Geometrie differentielle

On rappelle ici brievement quelques notions de geometrie differentielle. Pour plus dedetails, on peut consulter [30] et pour un expose plus general encore [26].

8.1.1 Intersections transverses

Soit N, P, Q des varietes differentiables.Definition 1. Soit Q est une sous-variete de P. Soit g ∈ C1(N,P ), et K ⊂ N. On dit que gest transverse a Q sur K si pour tout x ∈ K ∩ g−1(Q),

T g(TxN) + Tg(x)Q = Tg(x)P.

On note alorsg tK Q

Page 168: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 158

Si g est transverse a Q sur tout N , on dit simplement que g est transverse a Q (g t Q).Theoreme 24. Soit g ∈ C1(N,P ), si g est transverse a Q, alors

g−1(Q) est une sous-variete de N

de meme codimension que Q. De plus, si N, P et Q sont orientables, g−1(Q) est muni d’uneorientation canonique.

g(N)

Q

g(N)

Q

Intersection transverse Intersection non transverse.

De facon analogue,Definition 2. Soit g ∈ C1(N,P ), et h ∈ C1(Q,P ). On dit que g est transverse a h, si

g × h ∈ C1(N ×Q,P × P ) est transverse a 4(P ).

On note alors g t h.Si Q est une sous-variete de P , et h l’injection de Q dans P , il est equivalent de dire que

g t h ou g t Q.Enfin, l’ensemble applications transverses a une variete sont generiques. On a notamment letheoreme de densite suivant :Theoreme 25. L’ensemble des deformations g de N dans P transverses a Q est dense ennorme C1 dans C1(N,P ).Remarque 20. La notion de genericite est en fait plus forte que celle de densite. Par extension,on dit qu’une propriete est generique si l’ensemble des elements verifiant cette propriete l’est.C’est un abus de langage malheureusement tres repandu, mais bien pratique.

8.1.2 Voisinages tubulaires

Soit M et N deux varietes differentiables de dimension respectives m et n.Une immersion est une application de classe C1 , sans point critique. L’ensemble des immer-sions de M dans N est note Imm(M,N).

Imm(M,N) = ϕ ∈ C1(M,N) : rang(Txϕ) = m pour tout x.

Un plongement est une immersion injective. L’ensemble des plongements est note Plon(M,N).

Plon(M,N) = ϕ ∈ Imm(M,N) : Cardϕ−1(z) ≤ 1 pour tout z.

Page 169: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 159

Le fibre normal ν(M,N) d’une sous-variete M de N est l’espace quotient TMN/TM.

ν(M,N) = TMN/TM.

C’est un fibre vectoriel de base M, de fibre Rn−m. La section nulle du fibre normal est M ×0.

Si M et N sont des varietes differentiables regulieres et N est muni d’une metriqueriemanienne, alors pour tout plongement regulier

ϕ ∈ Plon(M,N),

le fibre ν(M,N) est alors realise par un sous-fibre de TMN

ν(M,N) ' (x,u) ∈ TMN :< u,TxM >= 0.

Cette identification effectuee, on definit la fonction exponentielle eϕ comme suit.Soit (x,u) ∈ ν(M,N). On note γx,u(t) la geodesique telle que

γx,u(0) = x et γx,u(0) = (x,u).

On poseeϕ(x,u) = γx,u(1).

On noteT (r) = (x,u) ∈ ν(M,N) : |u| < r

appele tube de rayon r. Pour r assez petit, eϕ restreinte a T (r) est un diffeomorphisme surson image appele voisinage tubulaire de M dans N. Si ϕ est uniquement une immersion, laconstruction decrite ci-dessus est toujours realisable. Cependant, l’application exponentiellerestreinte a T (r) n’est qu’un diffeomorphisme local.

Remarque 21. Dans [30], toutes les fonctions et espaces sont supposes de classe C∞ . Tra-vailler avec une regularite uniquement C1 peut etre source de quelques troubles. La fonctionexponentielle notamment est alors uniquement continue et, restreinte a T (r), ne definit pasun diffeomorphisme.

Dans le cas particulier M = S1 et N = R2, le fibre normal ν(S1;R2) est trivial

ν(S1;R2) ' S1 × R.

Pour toute immersion ϕ de S1 dans R2 admet un voisinage tubulaire, sans hypothese deregularite superieure. Cependant, il est necessaire de remplacer la fonctionnelle exponentiellepar une fonctionnelle notee gϕ, qui n’induit pas de perte de regularite.Quitte a choisir r > 0 assez petit, l’application

gϕ : S1×]−r,r[ → R2

(x,t) 7→ (ϕ1(x)− ϕ2(x+ t) + ϕ2(x),ϕ2(x) + ϕ1(x+ t)− ϕ1(x))

Page 170: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 160

repond a la question. En effet,

D(x,0)gϕ =(ϕ1(x) −ϕ2(x)ϕ2(x) ϕ1(x)

).

d’oudet(D(x,0)gϕ) > 0.

La fonction gϕ etant C1 , et S1 compacte, pour r suffisamment petit, det(D(x,t)gϕ) > 0 surS1×]−r,r[. D’apres le theoreme d’inversion local, gϕ est un diffeomorphisme local.On designe par τx(ϕ) le vecteur unitaire tangent ϕ/|ϕ|, et par nx(ϕ) le vecteur unitairenormal a la courbe en ϕ(x) tel que (τx(ϕ),nx(ϕ)) forme une base directe de R2.

D(x,0)gϕ = |ϕ(x)|(τx,nx).

8.2 Topologie algebrique

Pour un expose detaille sur les groupes d’homologie et de cohomologie singuliere, on peutconsulter [6], [21] ou [33].

8.2.1 Groupes d’homologie et de cohomologie singuliere

On rappelle brievement comment sont definis les groupes d’homologie et de cohomologiesinguliere, ainsi que les quelques proprietes que nous utiliserons.

Les groupes d’homologie singuliere d’un espace topologique X, sont definis a l’aide d’uncomplexe (C∗(X),∂∗), c’est a dire une suite de groupes abeliens (Ck(X))k∈Z et une suite demorphismes ∂k : Ck(X)→ Ck−1(X), verifiant ∂k−1 ∂k = 0.

· · · ∂k+1−−−→ Ck(X) ∂k−→ Ck−1(X)∂k−1−−−→ · · ·

Les elements de Ck(X) sont appeles des chaınes, les elements de Bk(X) = Im(∂k+1) desbords et les elements de Zk(X) = Ker(∂k) des cycles. Comme ∂ ∂ = 0, on a Bk ⊂ Zk. Ondefinit Hk(X) comme etant le quotient de Zk(X) par Bk(X).

Afin de definir le groupe d’homologie singuliere, il suffit de definir les groupes Ck(X),ainsi que les morphismes ∂k.Definition 3. Un k-cube singulier est une application T : Ik → X.

Qk(X) designe le plus petit groupe abelien libre engendre par l’ensemble des k-cubessinguliers.Definition 4. Un k-cube singulier T est dit degenere s’il existe un entier i, 1 ≤ i ≤ k, telque T (x1, · · · ,xk) soit independant de xi.

Page 171: THESE de DOCTORAT - École Polytechnique

Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 161

On note Dk(X) le sous-groupe de Qk(X) engendre par l’ensemble des k-cubes singuliersdegeneres. Le groupe Ck(X) est alors defini comme le quotient de Qn(X) par Dn(X)

Ck(X) = Qk(X)/Dk(X).

Pour tout 1 ≤ i ≤ k, on definit les applications Ai et Bi des k-cubes singuliers a valeurs dansl’ensemble des k − 1-cubes singuliers par

AiT (x1, · · · ,xk−1) = T (x1, · · · ,xi−1,0,xi, · · · ,xk−1)BiT (x1, · · · ,xk−1) = T (x1, · · · ,xi−1,1,xi, · · · ,xk−1).

On definit alors un morphisme de groupe ∂k par son action sur les k-cubes singuliers.Definition 5. Pour tout k-cube singulier T, k > 0,

∂k(T ) =n∑i=1

(−1)i[AiT −BiT ].

Il est aise de verifier que ∂ definit bien un morphisme du groupe Ck(X) vers Ck−1(X) etque

∂k−1 ∂k = 0.

Les groupes d’homologie singuliere sont alors obtenus par le procede decrit ci-dessus.Les groupes de cohomologie singuliere Hk(X) sont construits de maniere duale. On noteCk(X) le groupe des morphismes de Ck(X) a valeurs dans Z. Les elements de Ck(X) sontappeles des cochaınes. On note < .,. > le crochet de dualite.On definit alors

δk : Ck(X)→ Ck+1(X)

par< δkc,γ >=< c,∂kγ > ,

ou c est une cochaıne (i.e. un element de Ck(X)), γ une chaıne (i.e. un element de Ck+1(X)).Ici, δk agit de Ck(X) vers Ck+1(X), et non de Ck(X) vers Ck−1(X). On dit que (C∗,∂∗) estun complexe de degre -1, alors que (C∗ ,δ∗) est un complexe de degre +1.

· · ·δk−1−−−→ Ck(X) δk−→ Ck+1(X)

δk+1−−−→ · · ·

Comme precedemment, on aδ δ = 0.

Le groupe de cohomologie singuliere est defini par

Hk = Ker(δk+1)/ Im(δk).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 162

Soit Y un espace topologique. Si f est une application continue de X dans Y, f induit unmorphisme de groupe f# de Qk(X) dans Qk(Y ). Il est entierement determine par son actionsur les cubes singuliers

f#(T ) = f T.

Comme f#(Dk(X)) ⊂ Dk(Y ), f# se factorise en un morphisme de Ck(X) dans Ck−1(X).Enfin, comme f# commute avec ∂, f# induit un morphisme f∗ de Hk(X) vers Hk(Y ). Dememe, on definit f# : Ck(Y )→ Ck(Y ) de maniere duale par

< f#(c),γ >=< c,f#(γ) > .

De nouveau, f# commute avec δ et induit un morphisme f∗ de Hk(Y ) vers Hk(X). Letheoreme suivant est fondamental :Theoreme 26. Si f et g sont homotopes alors,

f∗ = g∗ et f∗ = g∗.

De meme, si X et Y sont deux espaces homeomorphes,

H∗(X) ' H∗(Y ) et H∗(X) ' H∗(Y ).

En d’autres termes, H est un foncteur de la categorie des espaces topologiques, munis deshomeomorphismes, vers la categorie des groupes abeliens munis des morphismes de groupes.On peut definir d’autres groupes d’homologie et de cohomologie. Notamment les groupes decohomologie relative. Soit A un sous-ensemble de X. On note i : A → X l’injection de Adans X. L’injection induit un monomorphisme i# : Ck(A)→ Ck(X). Ainsi, Ck(A) peut-etreconsidere comme un sous-groupe de Ck(X). On note Ck(X,A) le groupe quotient de Ck(X)par Ck(A). Comme ∂k(Ck(A)) ⊂ Ck−1(A), le morphisme ∂ se factorise en un morphisme deCk(X,A) dans Ck−1(X,A).

· · · ∂k+1−−−→ Ck(X,A) ∂k−→ Ck−1(X,A)∂k−1−−−→ · · ·

De nouveau, on note

Zk(X,A) = ker ∂k,Bk(X,A) = Im ∂k+1.

On definit alors le groupe d’homologie relative

Hk(X,A) = Zk(X,A)/Bk(X,A).

On designe par paire les couples de la forme (X,A) ou A ⊂ X. Si (X,A) et (Y,B), f : (X,A)→(Y,B) est une application continue telle que f(A) ⊂ B. A nouveau, f induit un morphismef∗ de Hk(X,A) dans Hk−1(Y,B).Les groupes H∗(X,A) sont definis de maniere duale. Et tout f : (X,A) → (Y,B) induit unmorphisme f∗ de H∗(Y,B) vers H∗(X,A).Pour finir, l’application ∂ induit un morphisme

∂ : Hk+1(X,A)→ Hk(A).

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 163

De plus, si j : X → (X,A) designe l’injection de X dans (X,A), la longue suite

· · · j∗−→ Hk+1(X,A) ∂−→ Hk(A) i∗−→ Hk(X) ∂−→ · · ·

est exacte, c’est a dire que

Im(j∗) = Ker(∂)Im(∂) = Ker(i∗)Im(i∗) = Ker(j∗).

On obtient les memes resultats sur δ par dualite.Les groupes H∗(X) et H∗(X) contiennent des informations sur la topologie de X. Parexemple, H0(X) ' Za ou a est le nombre de composantes connexes par arcs de X. Si Xest une variete topologique de dimension n,

Hk(X) = Hk(X) = 0

pour tout k > n. Si X est compacte, orientable, sans bord

Hn(X) ' Z

Si X est compacte, orientable avec bord,

Hn(X,∂X) ' Z.

SiX est orientable, on designe par [[X]] un generateur deHn(X,∂X).Deux choix sont possible.Se donner un tel generateur equivaut a choisir une orientation surX. SiX n’est pas orientable,Hn(X,∂X) = 0.Enfin, si X est une variete topologique orientable et i : (X,∂X)→ (Y,∂Y ) une injection, onpose

[[X]]Y = i∗([[X]]) ∈ H∗(Y,∂Y ).

En petite codimension, tout element de H∗(Y ) peut-etre realise par une sous-variete regulierede Y. En d’autres termes, pour tout γ ∈ H∗(Y ), il existe un espace topologique X orientableet un injection i : X → Y tels que

γ = [[X]]Y .

Ainsi on peut, du moins pour les petites dimensions, considerer H∗(X) comme l’ensemble dessous-varietes de X sans bord, quotiente par les bords des varietes. Ceci donne une assez bonneintuition geometrique du groupe H∗(X). Il n’existe malheureusement pas de representationgeometrique aussi simple pour les groupes de cohomologie.On definit pour finir l’augmentation : Soit c ∈ Q0(X), c =

∑x∈X

nxx. On pose

ε(c) =∑x∈X

nx ∈ Z.

L’application ε : Q0(X) → Z est un morphisme. De plus, si d est un 1-cube singulier,ε(∂d) = 0. Ainsi, ε induit un morphisme appele augmentation

ε∗ : H0(X)→ Z.

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 164

8.2.2 “Cup” et “Cap products”

On peut definir sur les groupes d’homologie differents produits. Le “cap” et “cup” produitnotamment. Nous n’en donnerons pas ici la definition, mais seulement les quelques proprietesqui nous sont utiles.Soit X une variete topologique de dimension n, A et B des sous ensembles de X. Le “cupproduct” est une application bilineaire de Hp(X)⊗Hq(X) dans Hp+q(X) :

∪ : Hp(X)⊗Hq(X)→ Hp+q(X).

Le “cap product” est une application bilineaire de Hp(X,A)⊗Hq(X,A∪B) dans Hn−p(X,B) :

∩ : Hp(X,A)⊗Hq(X,A ∪B)→ Hn−p(X,B).

Soit α ∈ Hp, β ∈ Hq, γ ∈ H∗, c est une chaıne et f une cochaıne de degre p, g une applicationcontinue. On a les relations suivantes :

α ∪ β = (−1)pqβ ∪ α. (3.58)

< α ∪ β,γ >=< α,β ∩ γ > . (3.59)

deg(α) = deg(γ)⇒ ε∗ =< α,γ > . (3.60)

∂(f ∩ c) = δf ∩ c+ (−1)pf ∩ ∂c. (3.61)

< g∗(α),γ >=< α,g∗(α) > (3.62)

8.2.3 Dualite

On rappelle la definition de la cohomologie de Cech-Alexander-Spanier, qui peut-etrevue comme une limite directe de groupes de cohomologie de singuliere. Pour un expose plusprecis, on peut consulter [21].Soit M un espace topologique et K un ferme de M, on a

Hp(K) = lim→Hp(U) : K ⊂ U,U ouvert

=⋃U⊃K

Hp(U)/∼∨

ou ∼∨ est la relation d’equivalence definie par

(jVU )∗(φ) ∼∨ φ

pour tout φ ∈ Hp(V ), U ⊂ V. Soit N un espace topologique et f une fonction continue de Mdans N, f∗ induit une application de Hp(N) dans H(K) que nous noterons egalement f∗.

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 165

Theoreme de dualite de Poincare-Alexander-Lefschetz Soit M une variete to-pologique de dimension n, eventuellement a bord et [[M ]] ∈ Hn(M,∂M) une orientation deM. Soit K un compact de M, alors le “cap product”

∩[[M ]] : Hp(K)→ Hn−p(M,(M −K) ∪ ∂M)

avec [[M ]] est un isomorphisme. Pour la preuve de ce theoreme, on peut consulter Bredon[6]. Nous n’exposerons pas ici la definition du “cap product,” ce qui nous emmenerait troploin. De plus, nous n’en n’aurons pas l’utilite. On note DM = (∩[[M ]])−1.

8.2.4 Theorie de l’intersection

Soit M une variete orientable, on peut definir un nouveau produit, le produit d’intersec-tion de Hi(M)⊗Hj(M) dans Hi+j−n(M) par

a • b = DM (b) ∩ a.

Theoreme 27. Soit K et N des sous-variete de M telles que K et N soient transverses,alors

[[K ∩N ]]M = [[N ]]M • [[K]]M .

8.3 Isotopie et nombre de tours

Soit γ ∈ C0(S1;R2) injective. Soit h ∈]0; 2π[. On definit

τ(γ,h) : S1 ' R/2πZ → S1

x 7→ γ(x+ h)− γ(x)|γ(x+ h)− γ(x)|

.

Le nombre de tours de γ, note ]γ, est le degre de l’application τ(γ,h). Il est independant dela valeur h choisie, les applications τ(γ,h) etant toutes homotopes. On peut egalement definirle nombre de tours d’une immersion comme etant le degre de l’application τxγ. Dans le casou γ est un plongement, les deux definitions coıncident.Remarque 22. L’emploi de l’expression x+ h est abusive, mais est rendue claire par l’identi-fication de S1 a R/2πZ. Nous l’utiliserons par la suite sans precision particuliere.

Soit γ0 et γ1 deux applications de S1 dans R2 continues et injectives. Une isotopie deγ0 a γ1 est une application γ ∈ C0([0,1]; C0(S1;R2)) telle que γ(0) = γ0, γ(1) = γ1 et telleque pour tout t, γ(t) soit injective. Si une telle application existe, on dit que γ0 et γ1 sontisotopes. C’est une relation d’equivalence.Proposition 44. Soit γ0 et γ1 deux applications de S1 dans R2 continues et injectives. Siγ0 et γ1 sont isotopes, alors ]γ0 = ]γ1.

Preuveτ(γ(t),h) definit une homotopie de τ(γ0,h) a τ(γ1,h) qui ont donc meme degre. 2

Proposition 45. Soit γ0 et γ1 deux immersions. S’il existe une homotopie γ(t) de γ0 a γ1,telle que γ(t) soit une immersion pour tout t alors,

]γ0 = ]γ1.

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Modele avec auto-contacts sans auto-intersection 166

Preuveτx(γ(t)) definit une homotopie de τxγ0 a τxγ1 qui ont donc meme degre. 2

On designe par jS1 l’injection canonique de S1 dans R2, par s la symetrie

s(x,y) = s(x,− y)

de R2 dans lui-meme.Proposition 46. Tout plongement de S1 dans R2 est isotope soit a j

S1 soit a s jS1 .

Nous n’avons pas trouve de reference, dans la litterature de la topologie algebrique, a ceresultat qui semble susciter assez peu d’interet, car trop “trivial”. Nous en avons effectue unepreuve “a la main”, que nous ne retranscrivons pas ici.Notons que comme ]j

S1 = +1 et ](s jS1) = −1, les applications j

S1 et s jS1 ne sont pas

isotopes.Pour toute application γ ∈ C0(S1;R2), on definit egalement le nombre de tours ]zγ de γautour d’un point z /∈ Im(γ) comme etant le degre de l’application qui a x associe γ(x)−z

|γ(x)−z| .On rappelle le theoreme de Jordan-Brouwer:Theoreme 28. Si γ : S1 → R

2 definit un homeomorphisme sur son image, alors R2− Im(γ)est constitue d’exactement deux composantes connexes. Une composante non bornee A et unebornee B. De plus,

∀z ∈ A, ]zγ = 0,

∀z,y ∈ B, ]zγ = ]yγ = ±1.

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