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d'ordre: 1211 THESE DE DOCTORAT Présentée à . L'UNIVERSITE DES SCIENCES & TECHNOLOGIES DE LILLE Pour obtenir le grade de ' SIMULATION NUMERIQUE D'UN ECOULEMENT VISQUEUX INCOMPRESSIBLE DANS UNE GEOMETRIE COMPLEXE PAR LA METHODE DES MATRICES D'INTERPOLATION. Soutenue le 7 Mars 1994 devant la commission d'Examen: Président: Mr P. MICHEAU, Professeur et Directeur du L.M.L à l'D.S.T. de LILLE. Rapporteurs: MM. M. LESIEUR, Professeur à LEGI/IMG de GRENOBLE; O. DAUBE, Chargé de Recherche C.N.R.S Doc. D'Etat IMSI- ORSAY. Examinateurs: MM. K. D. NGUYEN, Professeur à l'Université de CAEN; P. A. BOIS, Professeur à l'D.S.T. de LILLE.

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Page 1: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

N° d'ordre: 1211

THESE DE DOCTORAT

Présentée à

. L'UNIVERSITE DES SCIENCES & TECHNOLOGIES DE LILLE

Pour obtenir le grade de

'

SIMULATION NUMERIQUE D'UN ECOULEMENT VISQUEUX

INCOMPRESSIBLE DANS UNE GEOMETRIE COMPLEXE PAR LA

METHODE DES MATRICES D'INTERPOLATION.

Soutenue le 7 Mars 1994 devant la commission d'Examen:

Président:

Mr P. MICHEAU, Professeur et Directeur du L.M.L à l'D.S.T. de LILLE.

Rapporteurs:

MM.

M. LESIEUR, Professeur à LEGI/IMG de GRENOBLE;

O. DAUBE, Chargé de Recherche C.N.R.S Doc. D'Etat IMSI- ORSAY.

Examinateurs:

MM.

K. D. NGUYEN, Professeur à l'Université de CAEN;

P. A. BOIS, Professeur à l'D.S.T. de LILLE.

Page 2: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier Monsieur K.D. NGUYEN, Professeur à l'université de Caen, qui

a dirigé et suivi ce travail dans son évolution avec beaucoup d'attention. Qu'il trouve ici

l'expression de toute ma gratitude.

Je remercie Messieurs M. LESIEUR, Professeur à LEGI/IMG de Grenoble, et O.

DAUBE, Chargé de recherche C.N.R.S Docteur d'Etat à l' IMSI-ORSAY, qui m'ont fait

l'honneur de s'interesser à mon travail et ont accepté ·de le juger.

Je remercie Monsieur P. MICHEAU, Professeur à l'université de LILLE qui m'a

fait l'honneur de présider le jury de cette thèse, et Monsieur P.A. BOIS, Professeur à

l'université de LILLE, pour avoir accepté de faire partie du jury. Qu'il me soit permis de

leur exprimer ma profonde gratitude.

Enfin, je voudrais dédier ce travail à ma famille pour sa confiance et son encouragement

durant la réalisation de ce travail.

Page 3: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

RESUME

La méthode des matrices d'interpolation (rviMI) a été proposée pour la première fois par Eoshizuka et al (1988) comme une méthode de différences finis (i\IDF). La Mi\II se révèle intéressante par sa simplicité dans la formulation et par son codage des problèmes de la dynamique des fluides dans un système de coordonnées généralisées.

A l'origine I\oshizuka et al, utilisaient une fonction d'approximation elu second or­dre pour approximer n'importe quelle variable. La MMI classique (1\:oshizuka et al) a été testé sur deux problèmes de repère. Les résultats obtenus, montrent que, dans le cas d'un espacement non-régulier des points, ou dans le cas d'un système de coor­

données non-orthogona.l, la fonction d'approximation proposée par Koshizuka et al, in­duit d'importantes erreurs de troncature. L'objectif de notre travail consiste: i) à étudier l'importance des erreurs de troncature, dùes à l'utilisation de la i\li\II classique. ii) de proposer une autre fonction d'approximation afin d'améliorer cette méthode. iii) de pro­poser un algorithme de résolution des équations de Navier-Stokes pour un écoulement bi-dimensionnel incompressible laminaire ou turbulent. L' algori t hrne utilisé ici est basé sur la. méthode S.M.A.C (Sirnplified-Ma.rker-And-Cell), et modifié pour être stable dans une configuration non-décalée. iv) de présenter des cas- tests a.c adémiques (écoulement en a\·a.l cl 'une marche descendante, écoulement dans une cavité inclinée, écoulement insta­tionna.ire autour d'un cylindre circulaire ... etc) pour démontrer la. fiabilité et la ~~abilité

de la. méthode proposée.

ABSTRACT

The lnterpola.ting :\Iatrix :\Iethod ( E\IM) is first proposed by Koshizuka and al ( 1988) as a. finite difference mcthocl (FDM). The L\L\I is revea.lecl interesting by its simplicity to fonnula.te and to code flow problems in a generalized curvilinea.r coordinate system. - In the original I:\L\I, I\:oshizuka. and al used a :2nd-order parabolic function to approx­

irna.te any variable. The classica.l I.\1:-.I (I\:oshizuka and al) is testcd on tv . ..-o Benchmark problems. The results from both of these tests show that, in the case of the unuqual spaciug of the grid !ines or for a non-orthogonal coordinate system. the approximating fuuction proposee! by I\:oshizuka and al produces an important truncation error. The aim of this work is: i) to study trunca.tion numerical errors that result from using the classica.l Ii\1?-.I. ii) to propose another approximating function for improving the classical nL\1. iii) to propose solutiou algorithms for two dimensionnel incompressible, laminar or turbulent Navier-Stokes equations. The algorithm usee! here is based on the S\1:-\.C ~methocl a.ncl modifiecl to be stable in the non-staggered configuration. iv) to present (flO\v

O\·er a. backwarcl faciug stcp, flo\v in a skewed driven cavit.y, unsteacly flow past a. circula.r cylinder ... etc) to demonstra.te the utility and stability of the proposee! mcthocl.

Page 4: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Table des matières

Notations ............................................................................ 1

Introduction ......................................................................... 3

I. Aperçu sur quelques méthodes numériques pour la

résolution des équations aux dérivées partielles. . ............................. 6

I.l. Méthodes de différences finies. . ........................................ 6

Ll.l. Cas d'une frontière régulière .................................... 6

1.1.2. Cas d'une frontière curviligne. . ............................... 10

1.2. Formulation variationnelle ............................................ 15

1.2.1. Problème de Dirichlet ......................................... 15

1.3. Méthodes des éléments finis. . ........................................ 18

1.3.1. Eléments finis curvilignes isoparamétriques

du second ordre. . ............................................. 19

1.3.2. Mise en oeuvre de la méthode ................................. 21

I.4. Conclusion. . ......................................................... 23

II. Description de la méthode des matrices d'interpolations. . ................. 25

ILL Description de la MMI. ............................................. 25

II.l.l. Forme primitive de la MMI. .................................. 2.j

II.1.2. Principales caractéristiques. . ................................. 28

II.2. Introduction d'une transformation des coordonnées ................... 30

II.2.1. Cas général. ................................................. 30

II.2.2. Cas bidimensionnel. ......................................... 32

II.2.3. Etude de l'erreur de troncature .............................. .42

Page 5: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

II.3. Conclusion. . ........................................................ 45

III. Méthodes numériques de résolution. . ....................................... 46

III.1. Méthodes numériques de résolution. . ............................... 46

III.l.l. Introduction. . .............................................. 46

III.l.2. Modèle de base: Equations de Navier-Stokes ................ .47

III.1.3. Méthode SMAC ordinaire. . ................................. 48

III.1.4. Méthode SMAC modifiée .................................... 50

III.2. Traitement des termes de convection ................................ 53

III.3. Discrétisation spatialle. . ........................................... 54

III.4. Conditions aux limites. . ........................................... 55

III.5. Traîtement numérique des conditions aux limites .................... 57

III.6. Conclusion. . ....................................................... 59

IV. Tests de validation en laminaire .............................................. 61

IV.l. Ecoulement visqueux dans un canal. ................................ 61

IV.2. Marche descendante ................................................ 72

IV.3. Ecoulement dans une cavité inclinée. . .............................. 87

IV.4. Ecoulement instationnaire autour d'un cylindre. . ................... 93

V. Modélisation des écoulements turbulents. . ................................. 114

V.l. Introduction ....................................................... 114

V.2. Modèles statistiques en un point. ................................... 116

V.2.1. Modèles de fermeture au premier ordre ...................... 116

V.2.2. Modèles de fermeture au second ordre ....................... 119

V.3. Simulation Directe: ................................................ 123

V.3.1. Fermeture en deux points et modélisation sous-maille ........ 12.5

V.4. Cas-tests turbulents ................................................ 127

V .4.1. Ecoulement de Poiseuille. . .................................. 127

V.4.2. Ecoulement de Couette pur. . ............................... 127

V .4.3. i\'!arche descendante ......................................... 133

VI. Conclusion. . .................................................................. 140

Page 6: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

VII. Annexes . .................................................................... . 142

ANNEXE A: Méthodes itératives ................................... 143

ANNEXE B: Résolution de l'équation de Poisson. . ................. 146

ANNEXE C: Transformation du Laplacien. . ........................ 148

ANNEXE D: Modèles à deux équations de transport ................ 151

Références. . ...................................................................... . 153

Page 7: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

x;, (i = 1,2,3)

Ç;, (i = 1,2,3)

t

f:J.t

U;

u'· '

p

p'

k- lu··u· - 2 ' '

j NOTATIONS 1

coordonnées du système physique.

coordonnées du système de transformation.

temps.

pas du temps.

composante de la vitesse instantanée dans la direction z.

composante de la vitesse moyenne dans la direction i.

composante de la vitesse fluctuante dans la direction z.

presszon instantanée.

presszon moyenne.

fluctuation de la pression.

tenseur de Reynolds.

energze cinétique de la turbulence.

taux de dissipation de k.

échelle de longueur des grosses structures.

lm longueur de mélange.

Cl-', C.:1, Câ, cr!:, CTk constantes dans les modèles k- ê.

E D f f f termes' et fonctions d'amortissements dans les modèles k - ê. ' ' 1' 2' IJ.

u-,. vitesse de frottement.

m masse.

p masse volumique.

1

Page 8: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

J.L viscosité dynamique.

f.Lt viscosité turbulente dynamique.

li viscosité cinématique.

lit viscosité turbulente cinématique.

y+ = ~ distance adimensionnée.

Ret= k2

nombre de Reynolds de la turbulence. v::

8ii symbole de Kronecker.

o- tenseur des contraintes.

T tenseur des contraintes vzsqueuses.

n sous - ensemble de R2•

r frontière de n.

n adhérence (fermeture) de n.

e fonction exponentielle.

lviI, l'If Iç matrices d'interpolation dans les x; et Çi respectivement.

T(E,,x) matrice de transformation des coordonnées.

vt transposée de v.

A-1 inverse de la matrice A.

'1/Ja dérivée de 'lj; par' rapport ' la variable a. a

2

Page 9: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1 INTRODUCTION 1

En Mécanique des fluides, tout écoulement est régi par un système d'équations géné­

ralement appelées équations de Navier-Stokes. Ces équations font intervenir un certain

nombre de variables telles que: la vitesse, la pression, la température ... etc.

Une fois données des conditions aux limites suffisantes pour définir un problème de

mécanique des fluides, ces équations permettent théoriquement de le traiter et d'en

rechercher la ou les solutions. Malheureusement, on ne sait pas résoudre ces équations

dans le cas le plus général. Des difficultés mathématiques considérables apparaissent

généralement et, sauf quand on a affaire à des écoulements géométriquement simples, on

ne sait pas trouver de solution analytique. C'est pourquoi, on fait appel aux méthodes

numériques pour déterminer une approximation de la solution.

Dans cette perspective et dans le cadre de la modélisation des écoulements de flu­

ides à géométrie complexe, nous nous proposons de présenter la méthode des matrices

d'interpolation. Cette méthode de type différences finies a été proposée pour la première

fois en 1988 par Koshizuka et al /1/.

Le travail présenté ici consiste:

1- à présenter les éléments de base de la méthode des matrices d'interpolation.

2- à apporter des améliorations sur la méthode; en introduisant des modifications sur

la fonction d'approximation proposée par Koshizuka et al.

3- à proposer une méthode numérique de résolution des équations de Na vier-Stokes

pour des écoulements bidimensionnels, visqueux, incompressibles laminaires ou tur­

bulents.

4- La mise en oeuvre numérique de la méthode proposée.

3

Page 10: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

5- de vérifier la précision, la stabilité et la fiabilité de la méthode à travers des cas-tests.

6- de préciser les avantages et les inconvénients de la méthode numérique proposée.

x En pratique, les problèmes rencontrés, qu'il s'agisse de :fluides industriels ou géophysi­

ques, sont formulés sur des domaines à géométrie complexe et sont en général difficiles à

approcher par les méthodes de différences finies classiques (Taylor & Peyret (198:3) /2/).

Pour traîter ce genre de problèmes, plusieurs approches ont été développés, nous citerons

à titre d'exemple:

i) la méthode A.L.E (Arbitrary-Lagrangian-Eulerian) développée dans les laboratoires

de Los Alamos (Amsden et al (1974) /3/), combinée avec la méthode des éléments

finis. Cette méthode est de type cellule dont la discrétisation temporelle est basée sur

le concept des méthodes à pas fractionnaires et la discrétisation spatiale se fait par

une méthode des volumes finis, considèrée comme un cas particulier des méthodes

des éléments finis.

ii) la méthode des maillages adaptatifs (Boundary-Fitted Grid Generation Method),

développée par Thompson et al (1982) /4/. Cette méthode est basée sur l'int­

roduction d'une transformation entre l'espace physique en un espace de coordonnées

curvilignes. Les équations de base sont directement transformées en termes de coor­

données curvilignes comme variables indépendantes et la discrétisation se fait d'une

manière classique par une méthode de différences finies. 1-

Dans le premier chapitre de ce travail, nous rappelons premièrement les éléments de

base des méthodes de différences finies classiques dans le cas d'un domaine à frontières

régulières. Pour les domaines à frontières curvilignes, nous présentons une description

des techniques de génération des systèmes. Dans la deuxième partie et après un rappel

des méthodes d'approximations variationnelles (Fletcher (1988) /5/). Nous décrivons

briévement, la méthode des éléments finis curvilignes isoparamétriques du second ordre.

4

Page 11: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Notre objectif est d'essayer de dégager les principales caractéristiques de chacune de ces

deux méthodes.

Au deuxième chapitre, nous décrivons les aspects mathématiques de base de la méthode

des matrices d'interpolation. Ce chapitre est divisé en deux parties: la première sera con­

sacrée à l'analyse mathématique de la méthode, sous sa forme primitive en tant que

méthode d'approximation. Dans la seconde partie de ce chapitre, et après une étude de

la méthode proposée par Koshizuka et al, nous proposons d'introduire des améliorations

sur la fonction de transformation des coordonnées proposée par ces derniers.

Au troisième chapitre, Nous proposons une méthode de résolution des équations pour

un écoulement bi-dimensionnel incompressible et visqueux. L'algorithme de résolution est

basé sur la méthode S.M.A.C (Simplified-Marker-And-Cell) (1970) /6/ et modifiée pour

être stable dans une configuration non-décalée (non-staggered grid).

Dans la dernière partie de ce travail, nous présentons des exemples d'application qui ont

été effectués sur des cas-tests numériques. Ces cas-tests sont vérifiés par des écoulements

laminaires et turbulents.

Pour les écoulements turbulents et devant la multiplicité des modèles, nous avons adopté

deux modèles de turbulence de type (k, .::): modèle de Chien (1982) /7/ et un modèle

proposé par Kourta & Ha Minh (1991) /8/. La raison de ce choix est justifié par la

facilité de mise en oeuvre numérique des modèles à deux équations de transport.

Les résultats obtenus sont satisfaisants et nous permettent d'implanter la méthode

proposée dans un code de calcul.

Page 12: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

CHAPITRE I

APERCU SUR QUELQUES METHODES NUMERIQUES POUR LA RESOLUTION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

De nombreux problèmes de la Physique sont régis par un système d'équations aux

dérivées partielles (EDP) (Ecoulement d'un fluide, propagation des cincles, transfert de la

chaleur .. . etc). Ces équations font intervenir un certain nombre de variables (vitesse,

pression, température ... etc).

Naturellement, la résolution analytique (où exacte) de tels problèmes est généralement

impossible. C'est pourquoi, d'une manière générale, le problème de départ est approché

par un problème discret formulé sur un espace de dimension finie, ce qui conduit à la

résolution d'un système linéaire (Fig 1.1).

Problème régi par

des EDP ===> + conditions aux limites

Discrétisation des EDP ===> système d'équations ===>

algébriques

Obtention d'un

Fig 1.1 Procédure de la résolution numérique.

Approximation de la

solution

Diverses méthodes d'approximations ont été successivement utilisées pour résoudre

de tels problèmes. Dans ce premier chapitre, nous souhaitons rappeler les éléments de

base de quelques techniques numériques utilisées pour la résolution des EDP.

I.l METHODES DE DIFFERENCES FINIES

1.1.1 CAS D'UNE FRONTIERE REGULIERE

La méthode de différences finies (MDF) est l'une des méthodes adaptées à la

résolution des EDP. Elle s'applique aux problèmes stationnaires ou d'évolution.

La mise en oeuvre de cette méthode utilise la formulation différentielle du

problème à résoudre et elle consiste à remplacer chacun des opérateurs différen­

tiels par un quotient aux différences appropriés.

6

Page 13: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Pour la simplicité de l'exposé, nous allons étudier les éléments de base de la

MDF à travers le problème de Dirichlet suivant. Trouver une fonction r.p(x, y)

telle que:

' A _ ô2 cp ô2cp OU urp - ôx2 + ôy2

{ D.<p + f = 0 cp Ir= 0

sur sur

D est un sous-ensemble de R 2 et r = fJD sa frontière.

I.l.l.l DISCRETISATION PAR UNE MDF

(1)

Pour résoudre numériquement le problème ( 1), on commence par établir un

maillage (ou réseau) constitué d'un nombre fini de points l'vf;,j de n appelés

"noeuds du maillage". On désigne respectivement par N et JVI deux entiers 2: 0

et par h = N~l et k = Al~l deux paramètres de discrétisation déstinés à tendre

vers zéro (Fig 1.2).

On note par D~ l'ensemble des noeuds du maillage et par r~ celui des points qui

sont à l'intersection de ret d'une ligne horizontale ou/et verticale du maillage.

Sauf cas particulier, il n'y'a aucune raison pour que les points de r~ soient des

points de D~.

1

1 1 - ~ JvJ. v ..

'

j

1

Fig 1.2 Maillage en MDF (• points de D~.)

7

Page 14: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Le problème discret associé à (1) et au maillage choisi, consiste à trouver une

fonction <p~ définie sur n~ ur~ telle que:

sur n~

r k sur h

où 0.~ est une approximation de l'opérateur différentiel .6. = l:2 + ::2. 1.1.1.2 APPROXIMATION DES DERIVEES

(2)

Soit <p(x, y) une fonction à deux variables indépendantes que nous supposons

suffisamment différentiable. Si nous écrivons son développement de Taylor en

un point i'.I(x + h, y+ k), nous avons:

<p(x+h,y+k)

avec:

{

En= },_!(hlx + k:Y)(n)<p(x + f,h, y+ T)k)

O<f,<l,O<ry<l

Les deux principes de base de la MDF, sont alors:

(4)

i) effectuer une troncature dans le développement de Taylor à partir d'un

certain rang dans lequel En est "petit" (ce rang représente l'ordre de la

méthode).

ii) écrire que (1) est satisfait en tous les points ivf;,j du maillage, le terme 0.<p

étant approché conformément à (i) par des quotients aux différences.

Si on désigne par (i,j) un point lvf;,j du maillage (Fig 1.3). On obtient alors

les approximations suivantes:

8

Page 15: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

~~ li,j= ( 'Pi+l,j- 'Pi-l,j )/2h erreur en O(h2) (schéma centré)

Ôcp 1· ·-(cp· . cp· ·)/h ôx 1,]- . l+l,J- l,J erreur en O(h) (schéma progressive) (5)

~~ lï,j= ('Pi,j- 'Pi-l,j)/h erreur en O(h) (schéma régressive)

( 1 ,J) (I ,J)

_.; nx ;-+ 1

l'' 1

j+1 41

• j t

• \ 1 'J '

1

.4 r j -1

L i.-1 i L+l

(1 '1) " cr. 1 l

Fig 1.3 Le point (i, j) et ses 4 points voisins.

De même nous obtenons:

82"' 1· ·- (r"· · 21,. · + r,. ·)jh2 (schéma de Cranck- Nicholson) ~ l,J- r•+l,J- r•,J rt-l,J (6)

On définira de la même façon des approximations de ~·: lï.j et ~:~ ki, nous

obtenons alors:

~~cp lï,j= ('Pi+l,j- 2cpi,j + 'Pi-l,j)/h2 + ('Pi,j+l- 2cpi,j + 'Pi,j-I)/k

2 (7)

Avec la prise en compte· de la condition au limite <p~ lrk = 0, le problème discret h

(2) s'écrit sous la forme matricielle suivante:

Lfk k _ fk .lv. h 'Ph - h

où <p~ vecteur de composantes (cp(Jvfi,j)i,j·

9

(8)

Page 16: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Cette matrice est tridiagonale par blocs et elle est régulière. Pour la résolution

du système (8), on utilise généralement des méthodes itératives (Jacobi, Gauss­

Seide!, Relaxation ... etc). Naturellement, il s'agit là des principes de base des

méthodes de différences finies qui peuvent être utilisées dans des cas beaucoup

plus généraux, qu'il s'agisse de la dimension de l'espace n ou de l'ordre de

dérivation. Pour les détails on peut consulter l'ouvrage de Forsythe & Wasow

(1960) /9/.

1.1.1.3 ETUDE DE LA CONVERGENCE

L'étude de la convergence de la solution approchée vers la solution exacte est

un problème délicat; il faut tout d'abord établir les propriètés de consistance

et de stabilité. Ces études n'ont rien de systématique; elles sont étroitement

liées aux données du problème et la méthode de différences finies choisie. A

ce propos on peut consulter les travaux de: Collatz (1960) /10/, Forsythe &

vVasow /9/ et Mikhlin & Smolitsky (1967) /11/.

1.1.2 CAS D'UNE FRONTIERE CURVILIGNE

En général, les problèmes intéressants de la mécanique des fluides sont formulés sur

des domaines à géométrie complexe (notamment les frontières).

Avec l'utilisation d'une grille de calcul cartésienne, les frontières du domaine ne

peuvent coïncider avec aucune ligne de coordonnées. Les frontières courbes sont

seulement approximées en forme d'escaliers (Fig 1.4). Cela d'une part, déforme les

frontières du domaine et donc induit une influence sur le phénomène physique à '

étudier (représentation des conditions aux limites) et d'autre part, risque de fournir

des résultats erronés au voisinage des frontières, à moins que la grille de calcul soit

localement raffinée, mais dans ce cas le calcul devient très coûteux.

10

Page 17: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

./ ---/ -~ / ~

1 ~ 1 ~

\ l"' [".. '\

-:- --- 1 \ ............ ~L/ "\. / ...............

\ 1 \. .._ _./

Fig 1.4 Cas d'une frontière curviligne

Pour une meilleure résolution de ce genre de problèmes, il faut en général une

discrétisation qui posséde une adaptation avec la géométrie et spécialement avec les

frontières (pour une représentation correcte des conditions aux limites). Pour con­

struire une telle adaptation, plusieurs approches ont été proposés, nous citerons en

particulier ceux de Gough et al (1975) /12/, Yanenko et al (1979) /13/, Schonauer

et al (1980) /14/ et Dwyer et al (1980) /15/.

A partir de ces necéssités, les techniques de génération des systèmes interviennent

pour une organisation de la discrétisation sur une région arbitraire. Le système de

coordonnées généré couvre la région de façon à ce que:

i) Tout bord de la région coïncide avec une ligne curviligne (surface en dimension

trois) du système, ceci constitue le point fondamental d'un tel système.

ii) La distribution des lignes peut se concentrer dans les régions de fortes variations

de la solution et s'adapter pour les résoudre.

Leurs concept de base consiste alors à introduire une transformation de l'espace

physique (x, y, z) en un système de coordonnées généralisées ( Ç, 7J, () (Fig 1.5) de

11

Page 18: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

telle sorte que les frontières coubres coïncident parfaitement avec les lignes de co­

ordonnées. On peut classer les procédures de transformations de façon générale en

deux types (Thompson et al) /4/:

1- Les systèmes obtenus comme solutions numériques d'EDF (Moretti (1976) /16/, Chu (1971) /17/, Thompson et al/4/ et Eiseman (1980) /18/).

2- Les systèmes obtenus par des interpolations algébriques (Daly (1975) /19/, Viviand & Ghazzi (1976) /20/ et Gibeling et al (1977) /21/).

Dans le premier type les EDP peuvent être elliptiques, paraboliques ou hyper­

boliques et on peut inclure dans ce type les représentations conformes et quasi­

conformes qui sont des cas spéciaux de génération des coordonnées curvilignes or­

thogonales en résolvant des problèmes aux limites elliptiques. Elles sont restreintes

au cas plan et moins flexibles dans l'espacement des lignes de coordonnées.

A signaler à titre de comparaison, que dans la génération des systèmes de coor­

données curvilignes par des EDP de type elliptique, la spécification et la donnée de

tous les segments qui forment le bord de la région s'impose. Par contre si on génére

le système par des EDP de type parabolique ou hyperbolique, la spécification du

bord tout entier n'est pas nécéssaire (Thompson et al) /4/.

Dans le deuxième type, la transformation peut s'obtenir directement d'une façon

analytique par des procédures algébriques; en faisant des interpolations à partir

des valeurs au bord ou en plus aux valeurs de certaines dérivées au bord et même

ailleurs pour déterminer les coefficients constants qui interviennent dans la fonc­

tion d'interpolation. Cette fonction permet d'exprimer les valeurs des coordonnées

cartésiennes en fonction des coordonnées curvilignes. Comme exemple les plus

courants de procédures algébriques de génération des systèmes de coordonnées, il

y'a les interpolations mono-directionnelles (genre Lagrange, Hermite, les fonctions

splines), et les interpolations multi-directionnelles.

12

Page 19: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Fig 1.4 Transformation de l'espace physique (x, y, z) en un

espace de coordonnées généralisées ( (, 7J, ().

La transformation des équations de base peut se classer en deux catégories: trans­

formations directe et indirecte.

1- TRANSFORMATION DIRECTE

Cet approche consiste à transformer directement les équations de base en termes des

coordonnées généralisées ( Ç, 7J, (), comme variables indépendantes et la discrétisation

de ces équations se fait d'une manière classique par une méthode de différences finies

dans cet espace. Dans cet approche, le choix de bases locales est nécessaire afin

d'exprimer les vecteurs et les tenseurs métriques. A ce propos, on peut citer les

travaux de: Moretti & Salas (1969) /22/, Tannehill et al (1975) /23/ qui utilisent

comme base locale un système de coordonnées polaires. Peyret & Viviand (1973)

/24/ et \Veilmuenster & Graves (1981) /25/ qui utilisent un système de coordonnées

paraboliques et Victoria & vVidhopf (1973) /26/ qui utilisent un système de coor­

données sphériques.

13

Page 20: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

2- TRANSFORMATION INDIRECTE

Dans le second approche, les équations de base ne sont pas directement transformées;

la transformation de l'espace physique (x, y, z) en celui de coordonnées généralisées

(Ç, ry, (), se fait uniquement au moment de la discrétisation à l'aide des approxi­

mations des dérivées partielles comme suit (plusieurs méthodes d'approximations

peuvent être utilisée: différences finies (Viviand & Veuillet (1978) /27/, Le Balleur

et al (1980) /28/), volumes finis (Deiwert (1975) /29/) ou par éléments finis (Baker

(1978) /30/, Cook & Blanchard (1979) /31/)):

= [ j1.;IJ ] 3x3 <I>o (9)

où <I> désigne la valeur d'une grandeur scalaire, les indices 0, -1, +1 indiquent le

point de calcul et ses deux points voisins amont et aval respectivement. j'vf I est la

matrice d'interpolation qui permet de transformer localement l'espace physique en

celui de coordonnées généralisées. L'équation (9) présente le principe de la méthode

des matrices d'interpolation que nous allons décrire dans le chapitre II.

14

Page 21: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1.2 FORMULATION VARIATIONNELLE

La formulation différentielle du problème (1) s'avère souvent insuffisante pour la

prise en compte des problèmes mécaniques ou physiques généraux. D'où l'idée

d'utiliser la formulation faible et de lui associer une famille de problèmes discrets

pour lesquels les quotients aux différences sont compatibles avec une formulation

variationnelle. Ce type de méthode est qualifié de méthodes d'approximations vari­

ationnelles de différences finies. Nous allons étudier les éléments de base de ces

méthodes à travers le problème de Dirichlet (1).

1.2.1. PROBLEME DE DIRICHLET

Soit D un ouvert borné de Rn de frontière f C1 par morceaux; on considère le

problème de Dirichlet (1): étant donné une fonction fE L2 (D), trouver une fonction

u définie dans D et solution de:

-~u = f sur D ( 10)

u = 0 sur r (11)

Supposons la solution u de ( 10-11) suffisamment régulière, par exemple u appartient

à l'espace de Sobolev H 2 (D.). Alors en multipliant les deux membres de l'équation

(10) par une "fonction test" v E HJ(D.) et en intégrant sur 0.., on a:

- f0 (.6.u)vdx = fn fvdx

En utilisant la formule de Green et en tenant compte du fait que vr = 0 on obtient:

1 ~J fJu fJv J VvE H0 (D), ~ -{) . -{) . dx = fvdx i=l n x, x, n

(12)

D'autre part, (11) et que HJ(D.) représente le noyau de l'application trace surf de

H 1 (D.) dans L2 (f) (i.e HJ(D.) =v E H 1(0..); v Ir= 0) entraînent queuE HJ(D.). Ceci

15

Page 22: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

étant, on remplace le problème (10-11) par le suivant: Etant donné une fonction

f E L2(D), trouver une fonction u E HJ(D) vérifiant (12). C'est la formulation

variationnelle du problème de Dirichlet (10-11).

On vient de voir que toute solution u suffisamment régulière de (10-11) est solution

du problème précédent. Réciproquement, une solution u de HJ(D) est solution de

(12) si et seulement si:

~1 âu Ô<p 1 Vry E D(n), 6 ~~dx = fr.pdx i=l n ux, uxt n

(13)

puisque par définition HJ(D) est l'adhérence de D(D) (espace des fonctions in­

définiment différentiables sur D et à support compact dans D) dans H 1 (D). Par

conséquent, si u vérifie (12), alors (10) est vérifié au sens des distributions sur D et

comme fest donnée dans L 2 (D), (10) est vérifié dans L 2 (D), donc presque partout

sur D. Enfin l'appartenance de u à HJ(D) implique (11) au sens de trace sur r.

Posons:

V= HJ(D) muni de la norme Il v 11=11 v lh.n= (Il v IIÔ,n + 1 v IÎ,n) 112,

n âu âv a(u,v) = 2: r ~71.dx,

i=I ln ux, ux, (14)

L(v) = fn fvdx.

Il est évident que la forme bilinéaire a(.,.), respectivement la forme linéaire L(.), est

continue sur HJ(D) x HJ(D), respectivement sur HJ(D). De plus puisque la forme F

bilinéaire a(.,.) est HJ(D) elliptique et d'après le lemme de Lax-Milgram, il existe

une fonction u E HJ(D) et une seule vérifiant (13). Puisque a(.,.) est symétrique,

on montre que cette fonction u minimise la fonctionnelle quatratique:

1 n 1 âu 1 J(v) = :- L 1 -;:;----- 12 dx- fvdx

2 i=l n ux; n (1.5)

16

Page 23: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Lorsque la forme bilinéaire a(.,.) est symétrique, le problème (1:3) correspond donc

à un problème de minimisation d'une fonctionnelle quadratique sur un espace de

Hilbert V, ce qui n'est autre que la formulation abstraite d'un certain nombre de

problèmes de calcul des variations. Ceci explique pourquoi le problème (13) est

appelé problème variationnel.

Terminons ce paragraphe par l'étude de la méthode de Galerkin. Cette méthode

peut être considérée comme le percurseur de la méthode des éléments finis. On

suppose ici que V est espace de Hilbert séparable (ceci n'est pas restrictif, puisque

tout sous-espace fermé V de H 1 (D) est séparable). De plus, on sait que tout espace

de Hilbert séparable admet une base hilbertienne (l'espace vectoriel engendré par

les combinaisons linéaires de cette base est dense dans V).

Etant donné une base hilbertienne de V, la méthode de Galerkin consiste à chercher

l'élément Um de Vm solution de:

(16)

ou, de façon équivalente, tel que

( 17)

où Vm est le sous-espace de V engendré par les m premiers éléments de la base hilber­

tienne. Lorsqu'en outre la forme bilinéaire a(.,.) est symétrique, la solution Um de

(16) est caractérisée comme étant la solution du problème de minimisation de la fonc­

tionnelle J. Dans ce cas pa~ticulier, Um est généralement appelée l'approximation

de Ritz-Galerkin de u dans Vm.

Montrons enfin, que la résolution du problème (16), revient encore à résoudre un

système linéaire: soit ( wi)~ 1 une base de l'espace Vm. Ecrivant

m

Um = LÇiWi i=l

17

(18)

Page 24: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

le vecteur u = (Çi)~ 1 apparaît comme la solution du système linéaire suivant:

Au= b, où A= (a(wj,wi)), b = (L(w;)

!.3 METHODES DES ELEMENTS FINIS

La méthode des éléments finis (MEF) est apparue dans les années 1950-1955 pour

la résolution des problèmes posés en mécanique des milieux continus déformables.

A compter de 1965 l'audience de la méthode s'accroît largement, en particulier avec

la publication en 1967 du livre de Zienkiewicz /32/. C'est alors que commence à se

dével<?pper l'analyse mathématique de la méthode (Zlàmal (1968) /33/).

Le fondement en est la méthode de Galerkin, décrite en 1.2.

Pour résoudre, par les éléments finis, une EDP, dans un domaine n, on la transforme

tout d'abord en une forme intégrale I discrétisée du type Galerkin. Le domaine D

est décomposé en éléments De, où l'intégrale Ie, discrétisée, est exprimée sous forme

matricielle, ces formes élémentaires sont ensuite assemblées en une matrice globale

qui donne un système qu'on résout en tenant compte des conditions aux limites.

La méthode des éléments finis est donc basée sur l'application systématique des

formulations intégrales. Elle correspond, en effet, au choix des fonctions d'appro­

ximation qui sont des fonctions polynômiales par morceau et qui assurent la conti­

nuité de la fonction inconnue et sa dérivabilité par morceau. Le degré des fonctions

polynômiales choisies caractérise l'ordre de la méthode, donc les particularités de sa

mise en oeuvre. L'objectif de ce paragraphe consiste à exposer d'une manière bréve, ,

la méthode des éléments finis curvilignes isoparamétriques du second ordre. Nous

dégagerons par la suite les principales avantages et inconvénients de cette méthode.

Pour construire des éléments finis courbes, il est commode d'approcher le côté

curviligne de chaque élément par un arc paramétré à l'aide de fonctions polynômiales.

Ceci revient à associer à chacun des éléments curvilignes, un élément curviligne

18

Page 25: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

approché, ce qui conduit à approcher le domaine initial n par un domaine nh. Il

existe au moins deux types de méthodes pour construire une telle approximation:

a) les méthodes du type isoparamétrique décrites par Zienkiewicz. Dans ces mé­

thodes, la fonction de transformation est construite de manière intrinsèque,

c'est à dire indépendamment d'une représentation paramétrique donnée de la

frontière r.

b) les méthodes introduites par Zlàmal /33/. Dans ces méthodes la fonction de

transformation est construite indépendamment de tout choix préalable d'un

élément fini. Mais cette transformation ainsi construite, dépend en général de

la représentation paramétrique de la frontière r.

Ces deux types de méthodes sont en concurrence pour la construction de sous­

espaces d'éléments finis inclus dans H 1 (D).

Dans ce qui suit, nous chosissons l'étude des éléments finis curvilignes isoparamé­

triques du second ordre.

1.3.1 ELEMENTS FINIS CURVILIGNES

ISOPARAMETRIQUES DU SECOND ORDRE

Les éléments finis du second ordre, s'ils sont plus complexes que les éléments

finis du premier ordre (voir Zienkiewicz), permettent de réduire, lors du dé­

coupage, le nombre des éléments, donc le volume des données. En outre, la

notion d'élément curviligne du second ordre permet de traîter des problèmes '

dans lesquels la géométrie est définie à l'aide de courbes du second ordre, ce qui

est souvent le cas.

Le principe fondamental de la méthode des éléments finis curvilignes iso­

paramétriques du second ordre consiste, à partir d'un élément de référence

(Zienkiewicz /32/) défini dans le plan (Ç,ry), à approcher les coordonnées dans

19

Page 26: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

le plan cartésien (x, y) d'un point d'un élément quelconque à partir des coor­

données Xk, Yk des sommets, k variant de 1 à N S (où N S désigne le nombre

de sommets), de cet élément et des fonctions de forme associées à l'élément de

référence.

Soit .N1 (Ç,ry),1V2 (Ç,ry), .. ·,.Nn(Ç,ry) les fonctions de forme de cet élément de

référence, <p1 , <p2 , · · · , 'Pn les valeurs de la fonction inconnue aux sommets de

coordonnées x 1 , y1 , · · ·, Xn, Yn de l'élément réel. On peut à l'aide de ces données,

calculer les coordonnées x, y et la valeur de <p de la fonction inconnue en un

point quelconque de l'élément:

NS

x= L XkNk(Ç, TJ) (19) k=l

NS

y= :L yd'h(ç, TJ) (20) k=l

NS

<p = L 'PkNk(Ç, TJ) (21) k=l

On voit que x, y et <p sont des fonctions explicites de Ç et 7J et donc que <p

est une fonction implicite de x, y. Nous allons illustrer l'application de cette

méthode au traîtement du problème (1).

L'application de la méthode de Galerkin (qui coïncide avec la formulation de

Ritz (Raviart (1975) /34/), donne:

.. I = j 1. (D.ry + J)Nidxdy = 0 (22)

Après intégration par parties, on obtient alors:

J [ 8N· 8r.p 8N· 8ry J [ I = - ln ( ax] ax + By] 8y )dxdy + ln l-ijfdxdy = 0 (23)

En introduisant l'expression de <p dans (23) on obtient:

20

Page 27: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

2:] { (âNk ~Ni+ âNk âNi)dxdy = J { N·fdxdy k ln âx âx ây ây ln 1 (24)

1.3.2. MISE EN OEUVRE DE LA METHODE

1.3.2.1 CALCUL DES TERMES DE LA MATRICE

Si on considère un découpage, on va devoir, pour chaque couple de noeuds i et

j, calculer les contributions de chacun des éléments associés à ces noeuds. Pour

un élément donné dont les sommets locaux ). et f..1. correspondent aux noeuds i

et j, on devra calculer Nil~ sur l'élément (e) en question. L'évaluation de JVI,~~

s'écrit:

( ) J 1 éJN(e) ÔN(e) éJN(e) âN(e) kf>.e = (-

8>. -8 ~-' +-

8-' -8 ~-' )dxdy

~-' n. x x y y (2.5)

où Nie) et JV~e) sont la restriction des fonctions Ni, définies par morceaux

sur tout le domaine. Si l'on définit une transformation géométrique qui, à

partir d'un élément de référence (carré, triangle équilatéral) /35/, permet de

générer automatiquement n'importe lequel des éléments quadrangulaires ou tri­

angulaires du découpage (Fig 1. 7). On peut alors effectuer un changement de

coordonnées dans le calcul du terme JV!l~ qui devient:

J j âN(e) 8 ~(e) âN(e) âN(e)

Af(e) = (-'\-~ + --'---~-'-)dét(J(f,,ry))df,dry (26) ,\~-' y âx âx ây ây

' ou:

- dét( J( Ç, Tf)) déterminant du jacobien de la transformation des coordonnées.

- Y domaine de l'élément de référence (carré, triangle équilatéral).

Le calcul de l'intégrale double de (26), est calculée par la méthode de quadra­

ture de Gauss, qui consiste à remplacer cet intégrale par une somme finie

21

Page 28: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

pondérée. Pour les détails de calcul etles coordonnées des points d'intégration

de Gauss sur un élément de référence donné sont donnés dans /35 j.

, 1-I.IJ 11.11

1 1 1

1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 11.-1 ' j 1-1. -Il

L 1 • 0

Local coord1n~tcs

C.Jrt~un m.J.p

Fig 1.7 Transformation de quelques éléments en dimension 2.

(a) Elément de référence (b) Elément curviligne.

Après le calcul des éléments des matrices élémentaires lvf(e) de chaque élément,

on constitue par la suite, la matrice globale lvi (assemblage). Le problème (1)

se raméne à la résolution d'un système linéaire suivant:

i.'vfcp = f (27)

où r:p vecteur dont les composantes sont les valeurs de r.p aux noeuds du maillage,

et F est le second membre.

1.3.2.2 INFLUENCE DE LA LARGEUR DE BANDE

D'UNE MATRICE

La méthode des éléments finis aboutit à la résolution d'importants systèmes

d'équations linéaires.

22

Page 29: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

La largeur de bande de la matrice du système final dépend essentiellement des

dimensions de la matrice de chaque élément et du système de numérotation

imposé pour les noeuds du maillage. Une mauvaise numérotation des noeuds

rend la bande de cette matrice plus éparse, ce qui augmente le temps de calcul.

Un contrôl optimal de numérotation s'impose. S'il est possible de réduire la

largeur de la bande, on réduit en même temps le temps de résolution et la place

occupée dans la mémoire.

Une des méthodes consiste à adopter une subdivision systématique et un

système approprié de numérotation des noeuds. Si ces numéros forment la

base de la numérotation des déplacements nodaux, la largeur de bande de la

matrice générale dépend de la plus grande différence entre deux numéros des

noeuds externes pour un seul élément.

Soit D la différence maximale constatée pour tous les éléments de l'assemblage.

La demi-largeur de bande B est alors donnée par:

B = (1 + D)J

avec f nombre de degrés de liberté à chaque noeud. Cette équation montre

que le système de numérotation doit minirnimaliser D. Elle fait aussi ressortir

l'importance d'une variation aussi faible que possible des numéros des noeuds

d'élément à élément.

I.4 CONCLUSION

Dans ce premier chapitre, nous avons étudié deux types de méthodes pour résoudre

des EDP: celles aux différences finies (MDF) et celles des éléments finis (MEF).

On note au passage que to'utes deux s'appliquent à la résolution des équations

différentielles avec conditions aux limites, qui sont des cas particuliers, à une di­

mension d'EDP. A partir de cette étude, nous avons pu dégagé les points essentiels

suivants:

• Un avantage essentiel de la MEF, et qui pour certains problèmes lui assure la

suprématie sur les iviDF, est la souplesse considérable dans le choix du maillage:

23

Page 30: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

on peut, choisir de façon quasiment arbitraire, la position et le nombre de noeuds

et donc le nombre, la forme, et la répartition des domaines .élémentaires. Avec

l'utilisation d'une MEF, tout contour pouvant être approché d'aussi près que l'on le

veut par une ligne polygonale (éléments finis du premier ordre) ou par une courbe

du second ordre (éléments finis curvilignes isoparamétriques du second ordre).

• En revanche, la matrice, représentative de la discrétisation en éléments finis du

domaine d'étude, comporte de nombreux éléments nuls (matrice creuse). La numé­

rotation des noeuds du domaine influe sur la répartition des éléments non nuls à

l'intérieur de cette matrice et une numérotation adaptée permet de regrouper les

éléments non nuls autour de la diagonale principale. On cherche donc des méthodes

pour minimiser, lors de la numérotation, l'écart des numéros de deux sommets adja­

cents au sein d'un même élément. Ce qui a pour inconvénient d'augmenter le temps

de calcul et la place mémoire.

• Les maillages classiques utilisés en différences finies ont souvent le défaut de décrire

imparfaitement les frontières du domaine d'étude. Les frontières courbes sont seule­

ment approximées par des lignes polygonales, ceci d'une part, déforme la nature

de la frontière et d'autre part, induit une influence sur le caractère physique du

problème à étudier (mauvaise représentation des conditions aux limites). Pour sur­

monter ce problème, les techniques de génération des maillages interviennent pour

une organisation de la discrétisation sur une région arbitraire de telle sorte que:

i) tout bord de la région coïncide parfaitement avec une ligne curviligne.

ü) la distribution des lignes'peut se concentrer dans les régions de fortes variations

de la solution.

Compte tenu de ces remarques, nous allons présenté la méthode des matrices

d'interpolation.

24

Page 31: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

CHAPITRE II

DESCRIPTIONS DE LA METHODE DES MATRICES D'INTERPOLATION

L'objectif de ce deuxième chapitre, est de décrire les aspects mathématiques de base

de la méthode des matrices d'interpolation (MMI). Ce chapitre est divisé en deux parties:

La première est consacrée à l'analyse mathématique de la MMI en tant que méthode

d'approximation. Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous introduisons dans la MMI,

la transformation isoparamétrique. Cette technique largement utilisée dans les méthodes

des éléments finis (MEF), va nous permettre de simplifier l'analyse des problèmes formulés

sur des domaines à géométrie complexe.

II.l DESCRIPTION DE LA MMI

II.l.l FORME PRIMITIVE DE LA MMI

Soient D un ouvert borné de Rm (m = 2, 3), de frontière r, supposé un domaine

physique défini dans un système de coordonnées cartésiennes et W une fonction

suffisamment différentiable sur n.

Soit P un point quelconque de D et soient N P1 , N P2 , · · · , N Pn ses n points voisins

(on suppose que D est discrétisé en un nombre fini de points) (Fig 2.1).

On suppose de plus que W peut être approximée dans un voisinage du point P par

l'expression polynômiale suivante:

n

'li( x)= L C{.h(x) (28) k=O

où x= (x 1 ,x2 , · · · ,xm), (n > m), les coordonnées d'un point de D, {Po, P 1 , · · ·, Pn}

des fonctions polynômiales connues et {ct' cr' ... ' c:} sont les paramètres de

l'approximation.

25

Page 32: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

x

+ .

x p x

Fig 2.1. Domaine n discrétisé

d'une manière arbitraire.

Dans le but de déterminer les coefficients C{', k = 0, · · · , n de l'équation (28) nous

avons besoin de ( n + 1) relations indépendantes. Pour cela et à partir des ( n + 1)

points de la discrétisation y compris le point P, nous obtenons le système linéaire

suivant:

C[.Po(x0) + C['.P1(x 0

) + · · · + Cf:.Pn(x0) = lli(x0

)

C[.P0(x 1) + C{'.P1(x 1

) + · · · + C!.Pn(x 1) = lli(x 1

)

(29)

où les xi = (xi, x~,···, x~)~ pour i = 0, · · ·, n sont les coordonnées des points P,

N P1 , · · ·, N Pn respectivement.

Le système (29) peut se mettre sous la forme condensée suivante:

lli(P) = A(P).C(P) (30)

ou:

26

Page 33: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

~(xo) ct ~(xl) cr

~(P) = C(P) =

~(xn) cP n

et

Po(x0) P1(x0

) Pn(x0)

Po(x1) P1 ( x1) Pn(x1)

A(P) =

Nous supposons que les points P, N P1 , · · · , N Pn sont tous distincts. Evaluons la

matrice inverse de A( P), on obtient alors:

C(P) = A-1(P).Ilf(P) (31)

En différençiant la fonction d'approximation de (28) dans le voisinage du point P,

on obtient pour tout j variant de 1 à met a= 1, 2:

(32)

La substitution des coordonnées du point P dans l'expression (32) fournit alors:

D(P) = lvf.C(P) (33)

Page 34: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

où:

(D(P))t = (w(P), aaw (P), ... ' aaw (P), hazw (P), ... ' aazf (P), .. ·) Xl XTn Xl Xm

et 1VI est la matrice composée des valeurs de Pk ainsi que des valeurs des dérivées 88,::,<, pour k variant de 0 à n et j variant de 1 à m respectivement.

J

En combinant les équations (31) et (33), nous obtenons:

D(P) =lvi I(P). ii!(P) (34)

avec

JIIJI(P) = ivf.A-1 (P) (3.5)

L'équation (34) représente les formes aux différences des opérateurs différentiels

de W au point P. Les coefficients de ces formes aux différences sont rangés dans

un tableau J'vi I(P) défini comme étant une matrice d'interpolation au point P, qui

dépend des coordonnées du point P, ainsi que des coordonnées de ces n points voisins.

Les matrices .lVI I(P) de tous les points de la discrétisation peuvent être évaluées

lorsque le polynôme d'approximation et les coordonnées des points de la discrétisa­

tion sont données.

II.1.2 PRINCIPALES CARACTERISTIQUES

• Dans la MMI, gardons le nombre de points voisins constant, par la même

procédure décrite en II.l.1, nous pouvons construire différentes formes aux

différences.

• Les coefficients des formes aux différences sont individuellement évalués et

stockés comme une matrice d'interpolation. De ce fait, les équations de base

sont systématiquement transformées en celles aux différences, il suffit pour

cela d'appliquer (34), cela facilite l'écriture et la lecture des programmes.

28

Page 35: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

• La relation (34) lie le point de calcul uniquement à n points voisins, ceci

nous permet d'une part de contrôler la matrice des équations algébriques

et d'autre part nous offrir la possibilité d'utiliser des méthodes classiques

telles que l'ADI (Alternating Direction Implicit Methods), SOR (Successive

Over Relaxation Method) et d'autres (Roache (1982) /36/).

Comme on l'a signalé dans le chapitre I, l'utilisation d'une grille cartésienne a

l'inconvénient de décrire imparfaitement les frontières du domaine, notamment pour

les problèmes formulés sur des géométries complexes, ce qui est souvent le cas. Cela

nous incite à introduire une technique de transformation des coordonnées dans la

MMI.

29

Page 36: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

II.2 INTRODUCTION D'UNE TRANSFORMATION

DES COORDONNEES

II.2.1 CAS GENERAL

La technique de transformation des coordonnées peut être introduite dans la MMI.

Cette technique est largement utilisée dans les MEF, où l'on distingue les méthodes

de type isoparamétrique décrites par Zienkiewicz (1977) /32/ et étudiées théorique­

ment par Raviart (1975) /34/. Pour ces méthodes, la fonction de transformation des

coordonnées est construite de manière intrinsèque (indépendamment d'une représen­

tation paramétrique donnée de la frontière f). L'idée de base de cette transformation

se résume ainsi:

Les fonctions de transformation des coordonnées sont identiques aux fonctions

d'approximations. Ceci implique, que les noeuds géométriques soient confondus

avec les noeuds d'interpolations.

Notons par x( x;) et Ç(Ç;) les coordonnées dans le système physique et le système de

transformation respectivement. On suppose que la fonction W est approximée dans

l'espace Ç(Ç;) par l'expression polynômiale suivante: n

'li(Ç) = L Cf.Pk(Ç) (36) k=O

L'introduction de la transformation isoparamétrique, nous permet d'écrire: n

x;(Ç) = L Cfi.Pk(Ç) (37) k=O

Il est essentiel, que le système de transformation soit donné en tout point de la

maille, ceci entraîne que, les 'points voisins d'un point de calcul ont un certain ar­

rangement bien fixe. Par la même procédure décrite dans le paragraphe II.l.l, on

obtient dans l'espace Ç(Ç;):

Dç(P) = lvffç.'l!(P) (38)

·où Dç(P) est un vecteur dont les composantes sont les valeurs des dérivées de W

au point P et iv! fe est une matrice d'interpolation au point P dans le système Ç( Ç;).

30

Page 37: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Dans le but de déterminer la matrice d'interpolation dans le système x(x,), il est

nécessaire d'introduire la matrice de transformation des coordonnées notée T(ç,x)·

Cette matrice est formée par les coefficients, qui permettent le passage des opérations

de dérivation entre les systèmes x(x;) et Ç(Ç;), on aura alors:

D(P) = T(f.,x)(P).Dç(P) (39)

En combinant les équations (38) et (39) on obtient:

D(P) = JVII(P).ii!(P) ( 40)

où:

};J I(P) = T(ç,x)(P).ivf Iç ( 41)

La matrice iv! 1 ( P) ainsi obtenue, est une matrice d'interpolation au point P dans

le système x(x;). On peut remarquer que, cette matrice réalise la transformation

locale entre les coordonnées des deux systèmes et fournit une approximation des

opérateurs différentiels de W au point de calcul P.

31

Page 38: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

II.2.2 CAS BIDIMENSIONNEL

II.2.2.1 METHODE DE KOSHIZUKA et al (1988)

Soient les variables indépendantes (x, y) et ( Ç, 7]) définies dans le plan physique

et le plan de transformation respectivement.

Auparavant koshizuka et al /1/ utilisaient une fonction d'approximation de la

forme suivante:

( 42)

où \]! 0 est la valeur de W au point de calcul P et les C; sont les paramètres

d'approximation.

La transformation des coordonnées se fait de telle sorte que le point P et ses

quatres points voisins N P1 , N P2 , N P3 et N P4 soient disposés comme dans la

figure 2.2. Les coefficients C; pour i = 1, · · ·, 4 s'obtiennent en substituant les

coordonnées des quatres points voisins de P dans l'expression ( 42).

y. A- '1

J .. ~?~ /Jp;,/ ... ~.

'l( ---1 /JpZ. p . loJpl

~ ""'pZ .. tJp3 <t-- ... 1

•f'lp1 tlp11

-~

Fig 2.2 Transformation des coordonnées utilisée

' par Koshizuka et al.

Les dérivées de W au point P par rapport à Ç et 7], s'obtiennent en dérivant

l'expression de W dans (42) et en évaluant ces dérivées au point P, nous obtenons

32

Page 39: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

(

lJiç ) ( 01 -~ ~ ~ ) ( lJ11- lJ!o ) lJ1 -- 0 0 - lJ12- lJ!o 11 - 2 2 lJiçç - 0 1 1 0 lJ13- lJ!o lJ11111 1 0 0 1 lJ14 - lJ1 0

(43)

La matrice de l'equation (43) représente la forme normale aux différences. Elle

peut s'obtenir, en écrivant le développement de Taylor de la fonction W autour

du point de calcul P.

L'expression de la matrice d'interpolation au point P dans le plan (x, y), est

donnée par ( pour les détails de calcul voir Koshizuka /1/):

Tl x

T/y

Tl xx

T/yy

(44)

Il suffit alors d'effectuer le produit des deux matrices des équations (43) et (44)

pour obtenir l'expression de la matrice d'interpolation au point P dans le plan

(x, y):

( 4.5)

Qui peut se mettre sous la forme condensée suivante:

D(P) =lvi I(P).i!J(P)

où Af I(P) est la matrice d'interpolation au point P dans le plan (x, y) et <I>(P)

est le vecteur de composantes w(N Pï)- w(P) pour i = 1, · · ·, 4.

Laissons-nous examiner les formes aux différences obtenues par Koshizuka et

al. Pour cela, nous allons commencer par établir les formules de transformation

des opérateurs de dé ri vat ion entre les plans (x, y) et ( Ç, Tl).

33

Page 40: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

II.2.2.2 TRANSFORMATION DES OPERATEURS DE DERIVATION

Dans ce paragraphe, on suppose que tous les calculs ont un sens.

ô - c ô ô ôx - '.x ôÇ + TJx Ô1]

ô - c ô ô Ôy - ',y ôÇ + T]y Ô1]

Que l'on écrit sous la forme matricielle suivante:

( : ) = ( Çx 1Jx ) ( :( )

ôy Çy 1]y Ô1)

(46)

La matrice définie dans 1 'équation ( 46), représente la matrice Jacobienne de la

transformation des coordonnées.

En dérivant la relation ( 46) par rapport à x et y respectivement, nous obtenons

les relations suivantes:

En regroupant les équations obtenues, comme dans (39) on obtient alors:

lliy '- Çy 1Jx 1]y

0 0 0 0

(

llix ) ( Çx

1li xx - Çxx 1Jxx ç; 1]; 1Tr t: t:Y2 1Jy2 ~yy ~yy 1]yy ~

lliç 1li1]

1li çç

1li 1)1)

1li Ç7)

(49)

La matrice de l'équation ( 49) n'est autre que la matrice T(f.,x)(P) de l'équation

(39). En combinant les équations (43) et (49) et après quelques arrangements

on obtient:

34

Page 41: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

(.50)

REMARQUE

Un premier point de différence entre les relations ( 44) et (50) est la présence du

terme\]/ ç7J dans (50). Par contre dans ( 44) ce terme est ignoré, ceci est correct si

le système des coordonnées est orthogonal. Comme nous allons le voir, ce terme

joue un grand rôle si le système de coordonnées s'écarte de l'orthogonalité et

son absence induit de grandes erreurs.

Compte tenu de cette remarque et tout en conservant l'originalité de la méthode

( 5 points en 2D), nous allons pouvoir introduire des modifications sur la fonction

d'approximation ( 42) proposée par Koshizuka.

3.5

Page 42: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

11.2.2.3 METHODE MMI AMELIOREE

Dans le but d'améliorer la méthode proposée par Koshizuka, nous allons étendre

le développement ( 42) de la fonction W.

La transformation des coordonnées se fait de telle sorte que le point P et ses

quatre points voisins N P1 , N P2 , N P3 et N P4 forment une grille rectangulaire

dans le plan de transformation (Ç, 7]) (Fig 2.4). Fletcher (vol. 2 pp. 58) /5/ suggére que pour obtenir un meilleur contrôle de la distribution du jacobien

de la transformation, il est préférable d'utiliser une grille rectangulaire, mais

non-uniforme dans le plan ( Ç, 7]) où rç et r TJ représentent les rapports entre deux

pas d'espaces successifs dans les directions Ç et 7] respectivement.

La fonction d'approximation est donnée dans le plan (Ç,7J) par:

(51)

y Tf

x NP: r I l'.'P,

T)

p 1'iP2 p NPJ

x j

f re ">

-1 -1

l NPt

Fig 2.4 Transformation des coordonnées entre les plans:

(x, y) Plan physique et (Ç, T)) Plan transformé.

Wo représente la valeur de W au point P et Rw est une estimation des erreurs

de troncature avec Rw(O, 0) = 0 (il est clair que R,It = O. dans le cas d'une

grille orthogonale). La transformation des coordonnées est telle que dans le

plan (Ç,7J), les points NP1 et l'..fP2 , ont pour coordonnées (0,-1) et (-1,0)

36

Page 43: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

respectivement, pour une grille non-uniforme, les coordonnées des points N P3

et N P4 sont (re, 0) et (0, r11 ). Les coefficients de l'équation (51), s'obtiennent

en remplaçant les coordonnées des quatre points voisins de P dans la relation

(51).

Les dérivées de W au point P par rapport à Ç et ry s'obtiennent en dérivant W

dans l'équation (51) et en évaluant ces dérivées au point P, on obtient alors:

0 _2L 1 0 0 \fe l+re re(l+re) wl- 'llo 'liry

rry 0 0 1 0 w2- 'llo -l+r'l rry(l+rry)

'liee 0 2 2 0 0 w3- 'llo (52) l+re re(l+re)

'lfT/11 2 0 0 2 0 w4- 'llo l+r'l r'l(l+rry)

'l'eT) 0 0 0 0 1 Rwe'~

Pour déterminer les coefficients de la matrice d'interpolation au point P dans

le plan (x, y), il suffit d'appliquer les formules de transformation des opérateurs

de dérivation entre les plans (x, y) et ( Ç, ry). On obtient alors:

( ::x ) = [ MI ] ( :~ = :: ) + W~T) 'liyy '1'4-Wo

(53)

où i'vf 1, une matrice d'interpolation au point P qui permet de réaliser locale-

ment la transformation des coordonnées et d'approximer les valeurs des dérivées

de W au point P. Le terme \]!e11 est calculée d'une manière explicite (voir Nguyen

& En-Nefkhaoui (1993) /37/ et Annexe C ).

On note que la relation (53) lie le point P uniquement aux quatre points

voisins. Les expressions }le iV! I et de \]! e11 sont données par:

Si on pose:

~IT)- 1 12 - rry{l+rry)

on obtient alors pour la matrice d'interpolation [ iv! I ]ta forme suivante:

Page 44: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

et:

TJ Î2T/x

TJ Î2T/y

li TJxx + 2/i TJ?:

liTJxx + 2iiTJ?:

La transformation isoparamétrique, nous permet de déterminer l'expression

des coefficients de la matrice iVJI. En effet, les dérivées de x (resp. de y) par

rapport à Ç et TJ, s'obtiennent de la même façon que dans l'équation (52). Il

suffit alors de remplacer W par x (resp. par y) dans (52).

0 _ _!L 1 0 0 xç l+r~ r~(l+r~) Xt- Xo

~ 0 0 1 0 Xry l+r'l rry(l+rry) X2- XQ

Xçç 0 2 2 0 0 X3- Xo (54) l+r~ rç{l+r~)

XTJTJ 2 0 0 2 0 x4- xo l+r'l rry(l+rry)

Xçry 0 0 0 0 1 Rx~'l

La même procédure de calcul est effectuée pour la variable y et les coefficients

de la matrice T(cx)(P) sont donnés par:

• EXPRESSIONS DE Çx, TJx, Çy ET T/y

Notons par J = xç.yTJ- Xry-Yç le Jacobien de la matrice de transformation des

coordonnées (on suppose que la transformation inverse existe). on a alors:

(.5.5)

ce qui donne alors:

(56)

38

Page 45: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

• EXPRESSIONS DE Çxx' Çyy, TJxx ET T]yy

Pour pouvoir donner les expressions de Çxx, Çyy, T/xx et T/yy, effectuons les

dérivations des expressions présentes dans le système (56) par rapport à x et y

respectivement. On obtient alors:

TJxx = ]J (xççYçY~ + XTJTJYl- Yççxçy~- YTJTJxçyf-2yfyTJxETJ + 2xçyçy71 yç71 )

- 1 ( 2+ 2 2 3 T]yy- J3 xççyçxTJ xTJTJXçYç- YççxçxTJ- y71TJxE-2xçxTJyçxçTJ + 2xTJx~yçTJ)

(57)

Il suffit alors d'effectuer le produit des deux matrices des équations (52) et (5:3)

pour obtenir l'expression des coefficients de la matrice d'interpolation JI.I I au

point P.

39

Page 46: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

II.2.2.4 TESTS DE COMPARAISON

Pour illustrer l'importance des modifications apportées sur la fonction de trans­

formation, nous avons effectué deux tests de repère:

Le premier test consiste à approximer la dérivée première de la fonction:

1Tr( ) ? + 2 •t ÔW 1Tr ') 'J:' x, y =x- y , SOI ôy = '!'y= ~·Y·

en faisant varier le rapport entre deux pas successifs d'espace.

Le second test consiste à approximer le Laplacien de la fonction:

~(x,y) = e(O.Snl.cos(0.5rry), soit 6.~ =O.

en faisant varier l'angle d'inclinaison entre deux lignes de coordonnées.

! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l' 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 ..

(a)

' • / / / •• ' ' l' / /' / / / , / 1 / / / / / / / / 1 / / / / 1 / / 1 / ,' / / .. //;;/';////// // //////// // //1'/j

,~,;; //,/1'1// / 1 ;;; 1// 1 11 Il;// /// 1// j//1 // / //;/1' // /jj'

; ;//,///1'' 1/// 1/ 1 / ///1'//•

ll••t•' ;;;;//////// /.t !/;/ ;;; 11 /11!11'//1//1'/lj/t////l;j /jf//1

t./;;;;,;; ;f'·ll/11 /;; 1 11'111/ Il ////1/•t/ / /1'//11/ //1/// 1 //; ;/ 1

/ / / 1 / / / .' 1 / / 1 / / / / 1 / ) / ) 1 ) 1 ) / / 7 / 1 / 1 1 1 1 1 1 1•///;.'•/.J'// ·'i"/1//1'1// /// l//f//

'1'1/1 /':/11'/1 If/ //; l/ // // /////;

(b)

Fig 2.3 Maillages utilisés pour les tests

(a) maillage à pas variable (rapport de pas compris entre 0.5 et 2).

(b) maillage incliné d'un angle compris entre 30° et 90°.

40

Page 47: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Le tableau ILl ci-dessous regroupe les résultats numériques obtenus par la

méthode de Koshizuka et ceux obtenus par la méthode MMI modifiée. Comme

on le remarque, la MMI classique proposée par Koshizuka, induit d'importants

erreurs, lorsque le maillage est non régulier ou non-orthogonal.

\li( x, y)= x2 + y2, soit Wy = 2.y.

ry 1 'llyez ·'lly(42) 1

max Wu. 1 'llyez ·~y(5l) 1

max Wu.

0 . .5 0.170 0.000 0.9 0.026 0.000 1.2 0.045 0.000 1..5 0.100 0.000 1.7 0.144 0.000 1.9 0.213 0.000 2.0 0.250 0.000

w(x,y) = e(o.sul.cos(0.5r.y), .6.Wex =O.

e maxl.6. W_(_42 )1 maxl.6. W_Isl)l

30° 15.44 0.78.10-06

4-o .) 5.060 0.90.10-07

60° 1.720 0.11.10-06

70° 0.710 0.9.5.10-07

80° 0.045 0.82.10-07

90o 0.80.10-o~· 0.80.10-07

Tableau II.l Comparaison des résultats obtenus par Koshizuka et al

et par la MMI améliorée proposée.

41

Page 48: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

II.2.3 ETUDE DE L'ERREUR DE TRONCATURE

Tous les calculs vont être effectués dans le plan ( Ç, TJ). Dans la région trans­

formée, le maillage est rectangulaire et la géométrie est formée d'un ensemble

de cellules rectangulaires, ce qui facilite le traitement des équations de base.

II.2.3.1 EXPRESSION DE L'ERREUR DE TRONCATURE

POUR LA DERIVEE PREMIERE.

l'expression de la dérivée première Wy est donnée par:

où J = XçYTJ- XTJYE. le Jacobien de la transformation.

(58)

(59)

(60)

L'utilisation de la MMI améliorée, pour la discrétisation de l'équation (60)

donne:

où Ey est l'erreur de troncature commise. A l'aide d'un développement de

Taylor on obtient:

Ey peut se mettre sous la forme suivante:

42

Page 49: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1- Erreur dûe à l'espacement irrégulier des points

Thompson et al (1982) /4/ ont montré que l'évaluation de l'erreur de tronca­

ture commise dans le plan physique (x, y) est beaucoup plus difficile à évaluer;

cette erreur dépend non seulement de l'espacement irrégulier des points de la

grille, mais aussi de l'écart à l'orthogonalité. Ces effets peuvent être illustrés

dans le cas mono-dimensionnel (Fig 2.5), en effet:

j-1 j j+l j-1 j+1 y T)

t\ ., -~ r .J:~.1J

-1 0 r~

Fig 2.5 Transformation entre le domaine

physique y et le domaine de calcul T} (cas mono-dimensionnel).

Dans ce cas, on obtient, donc:

' ou:

( 61)

43

Page 50: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

(62)

a) Méthode de Koshizuka

Dans ce cas rry = 1. Le premier terme est dû à l'espacement entre les deux

points j - 1 et j + 1. Le second terme apparaît du fait de l'irrégularité dans

l'espacement des points et introduit une diffusion numérique. Ce second terme

ainsi que son correspondant ~YT/T/ Wyyy intervienent dans l'erreur de troncature

de Wyy et ont été donnés par De Rivas (1972) /38/.

L'expression de Wy est du second ordre si et seulement si YT/T/ :::::: y; ( d'après

les expressions de yT/ et yryry), donc l'espacement entre les points de la grille ne

doit pas changer trop rapidement. Forester (1981) /39/ suggére que le rapport

entre deux pas d'espace successifs ne doit pas dépasser 2 (voir aussi Fletcher

(1988) /5/).

b) Méthode MMI modifiée

Dans ce cas le rapport 0L = 1, ce qui entraîne yT/T/ = 0.. La méthode lVI ?vii rry

modifiée est du second ordre quelque soit le rapport de pas.

2- Erreur dûe à la non-orthogonalité.

Si le système est non-orthogonal, l'erreur de troncature Ey prend la forme suivante:

où e est l'angle d'intersection entre deux lignes de coordonnées suivant les deux

directions. ( on note ici que cot e = x~ = ~ ). Pour une précision du second ordre, Yry Y~ry

et compte tenu des relations (61) et (62), il est nécessaire que:

44

Page 51: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Cette expression de l'erreur de troncature dans le cas mono-dimensionnel, coîncide

parfaitement avec les résultats obtenus par Thompson et al /4/. Forester /39 j montre que l'angle d'intersection ne doit pas être inférieur à 45°.

II.3 CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons exposé les éléments de base de la méthode des ma­

trices d'interpolation (.MMI). Cette méthode a été proposée comme une nouvelle

méthode de différences finies (MDF), elle se révèle intéressante d'une part, par sa

simplicité dans la formulation et d'autre part, par son codage par rapport aux MDF

en coordonnées généralisées.

La technique de transformation des coordonnées peut être introduite dans la MMI,

cela permet de traiter les problèmes à géométrie complexe et d'éviter le problème

inhérent des MDF: les maillages classiques en différences finies ont souvent le défaut

de décrire imparfaitement les frontières du domaine.

Deux tests de repère ont été effectués. Ces tests montrent l'incapacité de la M.MI

classique (Koshizuka et al), à prendre en compte la non-uniformité ou la non­

orthogonalité du maillage. Cela, nous a incité à introduire des modifications sur

la fonction d'approximation utilisée par Koshizuka et al. Ces tests de repère et

l'étude de l'erreur de troncature (néanmoins dans le cas mono-dimensionnel) mon­

trent, l'importance de ces modifications.

L'avantage de la MMI par rapport aux méthodes des éléments finis (MEF) vient du

fait qu'avec la MMI, le nombre de points nodals utilisé dans le système des équations

algébriques reste constant. Cela nous permet de contrôler la matrice des équations

algébriques et nous offre la possibilité d'utiliser des méthodes itératives classiques

telles que l' ADI, SOR ou d'autres. Les méthodes itératives sont très attractives, car

à l'inverse des méthodes directes, elles n'exigent ni stockage d'éléments ni l'inversion

d'une matrice, donc le coût de calcul est moins élevé par rapport aux ;\IEF et des

MDF.

45

Page 52: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

CHAPITRE III

METHODES NUMERIQUES DE RESOLUTION

III.l METHODES NUMERIQUES DE RESOLUTION

III.l.l INTRODUCTION

Dans la plupart des cas, la résolution par la v01e analytique des équations de

Na vier-Stokes est impossible et il faut utiliser des méthodes numériques ou des ap­

proximations spécifiques.

Pour le calcul des écoulements incompressibles, nous avons deux possibilités de

formulation.

1) Formulation des variables primitives Ü = (u,v), p.

2) Formulation fonctions courant-vorticité.

La première formulation offre une facilité pour un passage d'un problème bi­

dimensionnel en un problème tri-dimensionnel. Mais la difficulté principale ren­

contrée lors de l'utilisation de cette formulation est liée au traîtement des conditions

aux limites pour la pression. La formulation fonctions courant-vorticité pose un

problème difficile à résoudre; celui de la détermination des conditions aux limites

pour la fonction de vorticité. Un autre inconvénient de cette formulation est dû

au fait que la pression ne peut être directement obtenue, il nous faut des calculs

supplémentaires pour la déterminer.

Les méthodes numériques applicables aux équations de Navier-Stokes écrites sous

forme de variables primitives, ont fait l'objet de développements intensifs au cours

des 20 dernières années (Roache /36/, Richtmeyer /40/, Peyret & Taylor /2/, Fletcher /5/ ... etc).

46

Page 53: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

La résolution numérique de ces équations, consiste à évaluer les variables indépen­

dantes u, v, p, à l'instant tn+l = (n + l).6.t connaissant leurs valeurs à l'instant

tn = n.6.t. Cette résolution doit être faite pour chaque point du maillage; elle

nécessite donc une double discrétisation en espace et en temps.

Dans ce chapitre, nous proposons d'examiner la méthode S.M.A.C (Simplified­

Marker-And-Cell) ordinaire (1970) /6/. Nous proposons par la suite une méthode de

résolution des équations de Navier-Stokes écrites sous forme de variables primitives.

L'algorithme de la méthode numérique proposée est basé sur la méthode S.M.A.C

ordinaire, et modifiée pour être stable dans une configuration non-décalée (Non­

staggered Grid).

III.1.2 MODELE DE BASE: EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Avec les hypothèses cl 'un milieu homogène, isotrope et pour un écoulement isothe­

rme, laminaire, les équations de conservation de la masse (continuité) et de conser­

vation de la quanti té de mouvement fournissent le modèle de base de Navier-Stokes.

• La première équation (de continuité), exige la conservation de la masse de la

particule fluide et permet d'établir une relation entre certaines caractéristiques

du fluide et ses mouvements, indépendamment des causes qui les produisent.

• La seconde équation (la conservation de la quantité de mouvement), permet

d'établir des relations entre les caractéristiques du fluide, celles de ses mouve­

ments et les causes qui les produisent (forces).

Pour un fluide incompressible (p(x, y, t) = constante) et en absence des forces de

gravité, les équations de Navier-Stokes instantanées dans le cas d'un écoulement

bi-dimensionnel, s'écrivent:

au av -+-=0 ax ay

47

(63)

Page 54: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

âu âu âu 1 âp 82u 82u -+u-+v- =---+v(-+-) ât âx ây p âx âx2 ây2

âv âv âv 1 âp 82v 82v - + u- +v-=---+v(-+-) ât âx ây p ây âx2 8y2

Avec v = 1:!:. est la viscosité cinématique du fluide. p

(64)

(6.5)

Les équations de Navier-Stokes ( + les conditions aux limites), dans le cas d'un

écoulement laminaire, forment un système fermé, c'est à dire que nous disposons

d'autant d'équations que d'inconnues.

III.1.3 METHODE S.M.A.C ORDINAIRE

La méthode S.M.A.C a été proposee par Amsden & Harlow (1970) /6/. Sa

procédure de résolution est basée sur les méthodes à pas fractionnaires de Mar­

chouk (1980) /41/. Dans le premier pas et après une discrétisation temporelle des

équations ( 64-65), on calcule la valeur provisionnelle de la vi tesse par:

Ut= Ui- 6.t 88

Pn + 6.t(convect-iont + 6.t(dif fusiont p Xi

(66)

Notons que le second membre de l'équation (66) est évalué au pas de temps n.

Dans le second pas, on procéde à une correction de la pression et de la vitesse Ut.

En considérant les deux équations suivantes:

U:'-+1 = u~ - 6.t âpc ' ' p ÔXi

(67)

(68)

où pc est une correction de la pression. Ces deux équations peuvent être combinées

et on obtient ainsi l'équation de Poisson pour pc:

48

Page 55: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

(69)

(70)

REMARQUE

L'utilisation d'un schéma centré du 2éme ordre pour la discrétisation de l'équa­

tion (69) dans le cas mono-dimensionnel, présente une relation entre les valeurs

U* t TT* ·t· i-l e v i+l SOl .

tl.t Pftl-2pf+pf_l _ Uifl -U;'_I p tl.~ - 2tl.x

donc à partir de (66) qui fait intervenir le terme-~;, présente une relation

entre les valeurs pf_2 , Pi et pf+2 soit:

Cela, comme Patankar (1980) /42/, l'a mentionné provoque des oscillations

dans la résolution de l'équation de Poisson et par suite produit un champ de

pression et de vitesse complétement irréaliste. Pour remédier à ce problème, on

a les possibilités suivantes:

i) Soit l'utilisation d'une grille de calcul décalée, où les variables sont disposées

comme dans la figure 3.1 ci-dessous.

'i "i. t 1.. ~(2 1.. 'il

Uj -Jl • "i Uj. Yl .,j ·1 Uj + J/2

1. :. lt :.

'j "i • t 1.- '!~ 1.- yl

Fig 3.1. Grille de calcul décalée

49

Page 56: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

ü) Soit de modifier l'algorithme de résolution précédent: En éliminant les ter­

mes de pression présents dans l'équation de quantité de mouvement. Un

exemple d'application de cette technique est donné par Kim et al (1987)

/43/ et J. Rutledge & C.A. Sleicher (1993) /44/.

III.1.4 METHODE S.M.A.C MODIFIEE

L'utilisation d'une grille décalée (Fig. 3.1), présente l'avantage de ne rien imposer

pour la pression sur les frontières du domaine. Cependant, elle présente un disa­

vantage pour la vitesse, où seulement l'une des composantes de la vitesse est définie

sur chaque face de la frontière (Fig. 3.1). Donc il est nécessaire d'employer un

schéma aux différences décentré au voisinage des frontières (Peyret & Taylor /2/ pp. 155-156).

Nous avons donc opté pour le second choix: la modification de la méthode S.M.A.C

ordinaire et l'utilisation d'une grille non-décalée. En s'inspirant de la méthode de la

projection proposée indépendamment par Chorin (1968) /45/ et par Temam (1969)

/46/. La procédure de résolution proposée ici repose sur les deux étapes suivantes:

1- Etape de convection-diffusion:

Dans cette étape, et après une discrétisation temporelle, on calcule explicite­

ment la valeur provisionnelle de la vitesse Ut en excluant le gradient de pression

présent dans (64- 65). On obtient:

u:-- un '.6. ' + (convectiont + (diffusiont = 0

1 t (71)

Notons que les te:-mes de convection et de diffusion présents dans (71) sont

prises au pas de temps n.

-50

Page 57: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

2- Etape de correction:

Dans cette deuxième étape, on procéde à une correction de la pression et de la

valeur de U;*, en utilisant les deux équations suivantes:

ij:'-+1 - u~ 1 âpn+l t t +---=0

t::.t p ô x;

eu:t+l t = 0

âx;

(72)

(73)

En prenant par la suite la divergence de l'équation (72) et en utilisant l'équation

(73) qui n'est autre que la forme implicite de l'équation de continuité, on obtient

l'équation de Poisson:

(74)

Qui peut se mettre sous la forme:

(75)

avec

(76)

où pc est une correction de la pression.

L'équation (7.5) après discrétisation par la MMI, lie le point de calcul unique­

ment à quatre points voisins (cas bi-dimensionnel) et peut être résolue par une

méthode telle que l' ADI où SOR. Une fois obtenue la valeur de pn+l, on procéde

à une correction de la vitesse à l'aide de l'équation suivante:

u:t+l = u~ - t::.t Ôpn+l t ' p Ôx;

(77)

51

Page 58: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Les conditions aux limites pour la pression sont obtenues, en projetant l'équa­

tion (72) suivant la normale extérieure N à la frontière. Nous obtenons la

condition de Neumann:

(2.P...)n+l _ _ _L(un+l _ u~) N eN r - ~t r r ··

Remarquons que dans ce cas la résolution de l'équation de Poisson (74) présente

seulement une relation entre les valeurs Pi+1 , Pi et pf-1 .

52

Page 59: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

III.2 TRAITEMENT DES TERMES DE CONVECTION

III.2.1 CAS MONO-DIMENSIONNEL

Le processus de convection présent dans l'équation de quantité de mouvement

et les equations de transport (modélisation des écoulements turbulents chapitre

V) est traité par un schéma de Leith (1965) (Roache /36/). Cette méthode a été

introduite par Noh & Frotter (1963) /47/ dans sa version mono-dimensionnelle.

Considérons le problème de convection suivant ( u est constant):

87}; &1/; -· +u- = 0 &t âx

(78)

La méthode de Leith est basée sur le développement de Taylor à l'ordre 3:

(79)

(80)

L'utilisation d'un schéma centré du 2éme ordre et après une analyse de stabilité

de Von Neumann, on montre que ce schéma est stable si la condition (CFL)

C = u ~! :::; 1 est satisfaite (où C est le nombre de courant).

Pour l'évaluation des erreurs de phase et de dispersion de ce schéma, on peut

consulter Fromm (1968) /48/ pour les détails.

III.2.2 CAS BI-DIMENSIONNEL

Un point essentiel de' la méthode de Lei th est son adaptation au cas bi­

dimensionnel. Considérons l'équation de convection pure suivante:

Leith (Roache) /36/ propose une extension du schéma (80) dans le cas bi­

dimensionnel.

.53

Page 60: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

·'·~tt = ?//':-.- lC (·'·~ . - ·'·~ ·) + lC2(1f,~ t . - 2·'·~. + ·'·~ ·) 'f/ 1,] y 1,] 2 x 'f/ •+ 1,] 'f/ 1-1,] 2 x y •+ ,] 'f/ 1,] 'f/ 1-1,]

(81)

Qu'on peut écrire sous la forme suivante:

(82)

Ce schéma, est stable (Leith 1965), si les conditions, Cx = u ~!,Gy= v~~ ~ 1

sont satisfaites.

Nous avons adopté le schéma de Lei th (Eq. 81) pour le traîtement des termes -

de convection présents dans les équations de quantité de mouvement et de

transport.

III.3 DISCRETISATION SPATIALE

La discrétisation des équations (71-77) est faite par la méthode des matrices

d'interpolation (chapitre II, paragraphe II.2.2). A près le calcul des coefficients

notés coeff(i,j,k) des matrices d'interpolation en tout point du maillage, où

les indices i, j, k désignent respectivement le numéro du point voisin, l'opérateur

de dérivation (1 --+ :x, 2 -· :Y, 3 --+ ::2,4 --+ ::2) et le numéro du point

de calcul.

La discrétisation des équations (71-77) se fait donc d'une manière systématique,

ce qui facilite l'écriture et la lecture du programme. A titre d'exemple nous

présentons la discrétisation des termes de convection de l'équation de quantité

de mouvement (64):

U·n+t _ u·n ( " )&U ln c· ·" )BU ln (u.6t)2

â2U ln , (v.6t)

2 â

2U ln,. · - · - uu.t - · - v:...:..t - · + -- · ,.:.._---..:._

1 1 âx 1 ây 1 2 âx2 1 2 ây2 (83)

L'utilisation de la MMI fournit la discrétisation suivante:

54

Page 61: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

UN(IJ) = U(IJ) & -DT* U(IJ) * ( & coeff(1, 1, IJ) * (U(neigh(1, IJ))- U(IJ)) & + coef !(2, 1, IJ) * (U( neigh(2, IJ)) - U(I J)) & + coeff(3, 1, IJ) * (U(neigh(3, IJ))- U(IJ)) & + coeff(4, 1, IJ) * (U(neigh(4, IJ))- U(IJ))) & -DT* V(IJ) * ( & coeff(1, 2, IJ) * (U(neigh(l, IJ))- U(IJ)) & + coeff(2, 2, IJ) * (U(neigh(2, IJ))- U(IJ)) & + coeff(3, 2, IJ) * (U(neigh(3, IJ))- U(IJ)) & + coeff(4, 2, IJ) * (U(neigh(4, IJ))- U(IJ)))

UN(IJ) = UN(IJ) & +DT* U(IJ) *DT* U(IJ)/2.0 * ( & coef /(1, 3, I J) * (U( neigh(l, IJ)) - U( IJ)) & + coeff(2, 3, IJ) * (U(neigh(2, IJ))- U(IJ)) & + coeff(3, 3, IJ) * (U(neigh(3, IJ))- U(IJ)) & + coeff(4, 3, IJ) * (U(neigh(4, IJ))- U(IJ))) & +DT* V(IJ) *DT* V(IJ)/2.0 * ( & coef f(l, 4, IJ) * (U(neigh(l, IJ))- U(IJ)) & + coef f(2, 4, IJ) * (U(neigh(2, IJ))- U(IJ)) & + coeff(3, 4, IJ) * (U(neigh(3; IJ))- U(IJ)) & + coef f( 4, 4, I J) * (U( neigh( 4, I J)) - U(I J)))

où neigh( i, I J) représente un tableau dont les éléments sont les numéro des 4

points voisins du point de calcul I J.

III.4 CONDITIONS AUX LIMITES

Les conditions aux limites sont d'un grand intérêt, car elles exigent un traite­

ment particulier pour chaque point frontière du domaine d'étude.

Il existe deux catégories de conditions aux limites:

• Les conditions aux 'limites physiques: sont généralement dictées par la

physique du problème (présence de paroi solide).

• Les conditions aux limites imposées sur les frontières où les caractéristiques

de l'écoulement ne sont pas connues à priori; par exemple: entrée, sortie .

. j.)

Page 62: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1- PAROIS

Dans le cas des écoulements visqueux, les conditions aux limites physiques

sur les parois sont les suivantes:

- Condition de non-glissement (adhérence): toutes les composantes du

vecteur vitesse sont prises égales à celles de la vitesse de la paroi:

01r = Opa.roi

où Ûpa.roi vitesse de déplacement de la paroi. Elles sont prises nulles

dans le cas particulier où la paroi est immobile.

2- SORTIE

A la sortie, on impose la pression, la composante tangentielle de la vitesse

est nulle.

Pour les autres grandeurs scalaires <I>, on utilise une condition de type Neu­

mann ( ~~ = 0). Ces con di ti ons sont basées sur 1 'hypothése de 1 'écoulement

établi.

3- ENTREE

Les conditions aux limites à l'entrée: La composante tangentielle de la

vitesse est nulle.

- Si la condition de Dirichlet est imposée pour la pression, dans ce cas la

valeur de la composante normale de la vitesse est calculée à partir de la

condition de Neumann.

- Si on impose le profil de vitesse à l'entrée. La condition suivante ~:~ = 0

est utilisée pour le calcul de la pression. Cette condition annule la

divergence de la 'Vitesse, ce qui satisfait bien l'équation de continuité.

4- SYMETRIE

Les conditions classiques imposées sur l'axe de symétrie de l'écoulement

sont:

- La composante tangentielle de la vitesse est nulle.

- Les dérivées normales de toutes les autres grandeurs scalaires sont nulles.

56

Page 63: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

III.5 TRAITEMENT NUMERIQUE DES CONDITIONS

AUX LIMITES

Le traitement numérique des conditions aux limites par la M:MI, exige un calcul

de points fictifs sur les frontières du domaine de l'écoulement. On insére par la

suite, un plan auxiliaire (a.,/3), entre les plans (x, y) et (Ç,ry) pour calculer les

coordonnées de ces points fictifs.

III.5.1 PAROIS:

Pour les points, situés sur les frontières par01s, un système de coordonnées

auxiliaires (a.,/3) est inséré entre les deux systèmes (x,y) et (Ç,ry) (Fig 3.2).

Comme, les conditions aux limites pour la vitesse sur les parois, sont données

en tant que composantes tangentielle et normale, le système ( a.,/3) est introduit

pour calculer de telles composantes.

Le système (x, y) subit une rotation, telle que la composante de la vitesse suiv­

ant la direction ,6 soit égale à zéro.

Trois points voisins NP2 (a. 2 ,f32 ), NP3(a.3,/33) et NP4(a.4,(34) ((a.;,,B;) sont les

coordonnées du point NP; dans le système (a., (3)) sont localisés. Le point

N P1 ( a.1, /31) est considéré comme un point fictif. Le système ( a.,,B) est défini de

telle façon que la composante ,82 soit égale à /33 . Les coordonnées du point fictif

N P1 sont données par:

57

Page 64: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

y {3 T]

Çl

tNP, r NP,

~,:La~ 1

---? NP~ NPJ x ç ~ p ~

-1 p 1 rç

x NPl -1 SP1

Fig 3.2 Insértion d'un système de coordonnées auxiliaires (a,,B)

entre les plans (x,y) et (Ç,ry)

Dans ce cas, la composante normale de la vitesse U[J est égale à zéro (le plan

auxiliaire (a, ,8) est défini de cette façon). Pour la composante tangentielle de

la vitesse uet est égale à la vitesse de la paroi nous adoptons donc la condition

d'adhérence ( uCt = up où up est la vitesse de la paroi).

III.5.2 ENTREE-SORTIE:

Trois points voisins N P1 , N P4 et N P3 sont localisés. Le point N P2 est considéré

comme un point fictif. Les coordonnées de ce point sont données par:

Suivant que la condition de Dirichlet est séléctionnée pour la vitesse ou la

pression, la procédure de résolution suit les étapes suivantes:

58

Page 65: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

• Condition de Dirichlet est imposée pour la vitesse

i) La valeur intérmédiaire u;aroi est calculée en utilisant la condition de

Neumann~~= O.

ii) Dans l'équation de Poisson, on impose ~ = 0 sur toutes les frontières

du domaine.

iii) La valeur de p;:,.~i est calculée en utilisant l'équation (77) et ~ = O.

• Condition de Dirichlet est imposée pour la pression

i) La valeur intérmédiaire u;aroi est calculée en utilisant la condition de

Neumann ~~ = O.

ii) Dans l'équation de Poisson, les conditions de Dirichlet sont imposées.

iii) La valeur de u;a~~i est calculée en utilisant l'équation (77) et ~:i = O.

III.5.3 SYMETRIE

Trois points N P1 , N P2 et N P3 sont localisés. Le point N P4 est considéré

dans ce cas comme un point fictif. Les coordonnées de ce point sont données

par:

/34 =-,Br

Dans ce cas, la composante normale de la vitesse est prise égale à zéro. Pour

les autres grandeurs scalaires, la condition de Neumann est séléctionnée.

III.6 CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons proposé, une méthode numérique de résolution ' des équations de Na vier-Stokes pour un écoulement bi-dimensionnel, incom-

pressible et visqueux. L'algorithme de résolution de la méthode proposée est

basé sur le principe de la méthode S.M.A.C et modifié pour être stable dans

une configuration non-décalée.

Nous nous sommes concentré par la suite sur le traîtement des termes de

convection présents dans les équations de quantité de mouvement et de trans-

59

Page 66: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

port. Pour cela, nous avons adopté le schéma de Leith. Ce schéma est stable,

si le critére de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) est satisfait. Ce schéma, bien

entendu, favorise l'utilisation de la MMI.

60

Page 67: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

CHAPITRE IV

j TESTS DE VALIDATION EN LAMINAIRE j

Nous avons, dans un premier temps, effectué tous nos tests de validation en lami­

naire. La principale raison de ce choix est d'éviter que des erreurs dûes aux différents

schémas numériques, ne soient attribués aux modèles de turbulence.

Les tests de validation portent sur les capacités de la méthode:

• à atteindre un état stationnaire (régime établi).

• à donner un bon profil de vitesse (vérification de 1 'équation de conservation de

la quantité de mouvement).

• à donner une bonne répartition de la pression (vérification de la résolution de

l' équation de Poisson).

• s'assurer de la convergence de la méthode (calcul de l'écart-type [Root-rvieaning­Square (rms)] de la vitesse:

Il Ucalculée - Uexo.cte llrms= (Ucalculoe-Ue.racto )2

) •

nxxny

IV.l ECOULEMENT VISQUEUX DANS UN CANAL.

La première configuration testée et la plus simple est le canal de largeur infinie.

L'analyse de ce type de problème est fondamental en mécanique des fluides. On

considére alors, l'écoulement établi d'un fluide incompressible entre deux plaques

planes de largeur infinie (Fig 4.1).

ECOULEMENT PLAN DE POISEUILLE

Les deux parois sont au repos, donc u = 0 pour y = 0 et y = h (où h est la

hauteur du canal. Cet écoulement fournit la solution analytique suivante:

61

Page 68: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1 6.p .., u = ---(hy- y~)

2p. 6.x

La répartition des vitesses est parabolique.

a) Principales caractéristiques

• Ecoulement visqueux dans un canal.

• Fluide: Air

• Régime laminaire

• Masse volumique: 1.166 kgfm3

• Viscosité moléculaire: 1.56 x 10-5 m 2 / s

b) Géométrie

V//////~ ///////////h/////~ ///// //'/

Fig 4.1 Configuration Géométrique du canal.

c) Conditions aux limites

• Parois solides (condition de non-glissement): u = v = O.

• Entrée: Pression constante ou profil uniforme de la vitesse.

• Sortie: Pression constante.

d) Maillages

(84)

Les calculs ont été effectués avec des maillages variés et ceci afin de mettre

en évidence l'influence de l'existence ou non de mailles "déformées" (non

62

Page 69: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

rectangulaires), ainsi que le bénéfice apporté par les améliorations sur la

MMI. trois maillages sont présentés sur la figure ( 4.2).

e) Résultats:

La figure ( 4.3) présente le RMS de la vitesse (maillage 1).

La figure ( 4.4) présente le profil de vitesse obtenu par la MMI et comparé

à celui obtenu par la relation (84).

La figure (4.5) présente la répartition de la pression pour l'écoulement de

Poiseuille.

La figure (4.6) présente le RMS de la vitesse (maillage 2).

La figure (4.7) présente le profil de vitesse obtenu par la MMI et comparé

à celui obtenu par la relation (84).

La figure ( 4.8) présente les RMS de la vitesse ( maillage 3) obtenus par la

MMI modifiée et celle de Koshizuka.

La figure ( 4.9) présente les profils de la vitesse obtenus par la MMI modifiée

et celle de Koshizuka en comparaison avec la solution fournie par la relation

(84).

La figure ( 4.10) présente le champ de vitesse obtenu par la M.MI modifiée.

La figure ( 4.11) présente le champ de vitesse obtenu par la {vfl\H modifiée

(condition à l'entrée: profil uniforme de la vitesse).

f) Discussion

Le but des tests ci-dessus est de montrer que la i\IMI est capable de prédire

l'écoulement dans un canal et de bien mettre en évidence les améliorations

apportées à la MMI.' Ce problème simple et fondamental est intéressant pour

toute méthode numérique d'une part, il fournit une solution analytique et

d'autre part, nous permet de vérifier la résolution de l'équation de Poisson

pour la pression.

Les tests effectués montrent la parfaite coïncidence entre les résultats

numériques obtenus par la MMI modifiée et ceux obtenus analytiquement.

63

Page 70: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

le cas test effectué avec le maillage 3 montre, l'incapacité de la méthode

de Koshizuka à simuler correctement un tel écoulement, lorsque les cellules

de la maille de calcul ne sont pas rectangulaires et peut générer de grandes

erreurs (de l'ordre de 50%) (écart-type (rms) Fig 4.8), par contre il montre

l'importance des modifications introduites dans la MMI.

L'examen des RMS montre que la convergence de la méthode est assurée

au bout de 600 itérations dans le cas d'un maillage régulier (maillage 1). Ce

RMS augmente, si les cellules de la maille de calcul sont déformées (7000

itérations dans le cas du maillage 3).

64

Page 71: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

ECOULEMENT VISQUEUX DANS UN CANAL

6.5

Page 72: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

' !1 _j_

-1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1

' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 '

\ 1 \ \ 1 1 \ 1 1 \ \ 1 1 1 1 1

1 ' 1 ' ' 1 1

1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 \ 1 1 1

' ' ' 1 1 ' 1

' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 -

\ 1 1 1 1 1 1

1 1 \ 1 1 \ 1 1 1 1 1

l 1 1 1 1 \ l 1 1 \ i 1 1 \ 1 ...

Fig 4.2 Maillages pour le canal bidimensionnel.

66

Page 73: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

I ->.

\ ' 0-;~--------~====~-----,-----,----~----~~

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

nombïe d ïtéïations.

Fig 4.3 R:VIS de la vitesse (maillage 1).

Fig 4..! Profil de la vitesse (maillage 1).

67

Page 74: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

F!g 4.5 Répart[tion de la pression (maillage l).

68

Page 75: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …
Page 76: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

~ Cll ~ o-

Cf)

Ôl c "ë Cll Cil ~

0 0 a:

0.7 r----r----.---.-----.-----r---.-----,

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

Q

' ' ' ' ' ~ ' ' ' ' ~ ' ' '

r- ~ ' '

~ ' ~ ' ' ~ ' ~ ' ~

~

0.1 r-~ ~

~

0

0.8

0.6

0.4

~<)~- •

-~

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Numbers of iteration

Fig 4.6 R:\IS de la vitesse (maillage 2).

--~-----

__ ..... ---~-~-

-----~-

~-~-­... ---

-----

~­--v

-~-

'Analytique' r-+--~ 'Modifiee' -+--·

--~.

·-~ ' t ' .;.

'

o+=~--~-------L-------L------L-----~~-----L------~

0 0.01 0.02 0.03 0.'14 0.05 0.06 0.07

Fig 4.ï Profil de la vitesse (maillage 2).

69

Page 77: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.7

0.6

0.5 ~ Cil ::J 0"

Cil 0.4 01 c ë Cil Ql

0.3 2 ' 0

0 a:

0.2

0.1

0 0

0.8

0.6

0.4

0.2

'Koshizuka' 'modifiee' l-V-i

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 numbers of iteration

Fig 4.8 RMS de la vitesse (maillage 3).

---;.. __ _ ----.....

---.;.. __ _

\ ---;..._

f

---------t"' ------

0.01 0.02 0.03 0.04

Fig 4.9 Profils de la vitesse (maillage:)).

70

'Koshizuka' -r­'Analytique'

'Modifiee' 1-+--i

-- i;

'

+ '

0.05 0.06

Page 78: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.2 0.18 0.1 ô 0.14 0.12

0.1 0.08 O.Oô 0.04 0.02

0

y

- -E==-= ------->

f-

<

i-- - -0

1

"' 1-)

,.. -0

t~ .--.·

"' 1-.-.., 0 1

1 , ___ ,_, , ___

0 1 0 0

velocity field for the fully developed chanel flow .... - - - - - - - 1 - - - - - t:. -- - - - -- -- -~--- --+ - - _____. ____...._..--.-... ------> -----> -----> --------. -----> --+---> ---+-> --+-Jo ~ ---?

'

~ l l

D ~ )

j ; t j )

J ) ) )

i j j : i J J ) t t ' < ' ) )---7 ' --7 --- ____. ---> ---- ~ - --

0.2

--· ---.· --,• --··

1 1

0.4 O.ô 0.8 1.2

Fig 4.10 Champ de vitesse (maillage 3).

----è> 1=--, r ,....___:. ----~---~----~---~~---~---~~-----··

--· '.----··'r---~------'--->--1· " ;--i

----=----;-----";----;----;----;----..,...._--r··----;-~ ---;----;:. ------' ... ---·~ ---;:----:1

-->

fig 4.11 Evolution du profil de la vitesse

(profil uniforme à l'entrée).

71

~~~ 1

Page 79: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

IV.2 MARCHE DESCENDANTE

La deuxième configuration testée est l'écoulement en aval d'une marche de­

scendante (Fig 4.12). L'analyse de cet écoulement est un test important qui

permet de montrer l'aptitude de la méthode à simuler correctement une zone

de recirculation. Ce type d'écoulement a fait l'objet de plusieurs investigations

autant sur le plan numérique qu'expérimental. Ceci est dû essentiellement au

fait que, même si la configuration géométrique est simple, l'écoulement met en

jeu des caractéristiques très compliquées et ses applications industrielles sont

nombreuses (diffuseur, brûleur ... etc).

La hauteur de la marche testée est notée h. La zone amont a une dimension

transversale de 2h et la zone aval de H = 3h (ce qui fournit un rapport Hr:_h = 1.5. La largeur de la zone amont est de 10h et celle de la zone aval est de 30h.

Le nombre de Revnolds associé à cette confi00'uration est noté Re= Umacr-(H-h)

- v

avec Umax la vitesse maximale dans la zone amont.

En aval de la marche, du fait de l'élargissement brusque, il se produit un

décollement de l'écoulement et une zone de recirculation. Le test effectué sur

cet écoulement est la mesure de la longueur de recollement. Cette longueur

notée ici Xr peut, entre autre en ce qui concerne la simulation numérique, être

déterminée par l'emplacement où la composante longitudinale de la vitesse à la

paroi change de signe.

a) Principales caracéristiques

• Ecoulement visqueux dérrière une marche.

• Fluide: Eau

• Régime laminaire.

• Masse volumique: 1.0 x 103 kgjm3•

• Viscosité moléculaire: 1.0 x 10-6 m 2 js.

• Pas du temps 6.t = 0.0018s.

• Nombre de points: 1533 noeuds.

72

Page 80: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

• Nombre de Reynolds: 150. 200. 300. 500. 750. 1000.

b) Géométrie

Fig 4.12 Configuration géométrique de la marche descendante.

c) Maillage

Dans ce cas de figure, le calcul a été effectué avec un maillage généré par

un programme personnel basé sur la technique numérique de génération

des maillages B.H. Gilding (1988) /49/, et comporte 15:3:3 noeuds (7:3 x

21). Le raffinement au voisinage de la marche est obtenu à l'aide de cellules

non-orthogonales dont l'angle d'inclinaison () est compris entre 74° et 85°.

Un agrandissement de la partie non-orthogonale est présenté dans la figure

(4.13).

d) Conditions aux limites

Parois solides ( Condition d'adhérence ): u = v = O.

Sortie: p = 0, ~~ = O.

Entrée: profil de vitesse parabolique (obtenu à partir de la relation (84) ).

73

Page 81: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

e) Résultats:

Nous présentons sur la figure ( 4.14) l'évolution de la longueur de recolle­

ment en fonction du nombre de Reynolds Re en comparaison avec les valeurs

numériques obtenues par T. Ikohagi et al (Différences finies 1991) /50/,

par Thomas et al ( éléments finis 1981) /51/ et les valeurs expérimentales

obtenues par D.J. Atkins et al (1980) /52/ et J.L. Kueny et al (1984) /53/. La figure ( 4.15) présente le champ de vitesse obtenu par la MMI pour un

nombre de Reynolds Re = 150.

La figure (4.16) présente la répartition de la pression (Re= 150.).

La figure (4.17) présente le champ de la fonction de vorticité obtenu par la

MMI correspondant à un nombre de Reynolds Re = 150.

Les figures (4.18-4.19) présentent les champs de vitesse et des lignes de

courant obtenus par la MMI pour un nombre de Reynolds Re = 200.

Les figures ( 4.:20-4.21) présentent les champs des lignes de courant et de

la fonction de vorticité obtenus par la MMI pour le nombre de Reynolds

Re= 300.

La figure ( 4.22) présente le champ de vitesse obtenu par la MMI pour un

nombre de Reynolds Re = 750., sur lequel on voit nettement la zone de

recirculation en aval de la marche qui se développe.

La figure ( 4.2:3) présente le champ de vitesse obtenu par la MMI pour un

nombre de Reynolds Re= 1000 ..

f) Discussion

• Les calculs ont ~té réalisés pour différents nombres de Reynolds Re.

Ghoniem & Cagnon (1987) /54/ ont montré l'importance du choix cor­

rect d'un profil de vitesse à l'entrée, pour pouvoir obtenir les bonnes

longueurs de recollement, ce qui nous a motivé ici d'imposer un profil

parabolique obtenu analytiquement.

• La comparaison des longueurs de recollement obtenues par la MMI avec

74

Page 82: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

les résultats obtenus par les précédents auteurs permet de mettre en

évidence l'aptitude de la MMI à simuler correctement une zone de re­

circulation.

• L'examen de la répartition de la pression (Fig 4.16) montre l'importance

des modifications introduites dans la méthode SMAC ordinaire et per­

mettent par la suite, de supprimer les oscillations qui surgissaient lors

de la résolution de l'équation de Poissson pour la pression.

En conclusion, les tests de validation concernant l'écoulement dérrière une

marche montrent que la méthode proposée est capable de prédire ce type

d'écoulement avec une assez bonne précision.

75

Page 83: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

MARCHE DESCENDANTE

76

Page 84: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

-1 ~1

0.02 0.015

0.01 0.005

Computational grid nx*ny = 73*21

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- __L y y -, -, -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Fig;. 'l.l:L Do111aine de calcul de la marche descendante.

Page 85: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0

Fig 4.14 Evolution de la longueur de recollement en fonction du nombre de Reynolds Re

( HH_h = 1.5).

Q • mesures. x A;f/vfi

ï8

Thomas etal I kohagi et al

Page 86: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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79

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Page 87: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Fig 4.16 Répartition du champ de la. pression (Re= 150).

1

j

Fig 4.lï Champ de la fonction de vorticité (Re = 150.)

80

Page 88: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 89: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 90: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 91: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 92: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 93: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 94: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

IV.3. ECOULEMENT DANS UNE CAVITE INCLINEE

La troisième configuration testée est l'écoulement dans une cavité inclinée (Fig.

4.24). Ce problème de repère (Benchmark problems) a été récemment proposé

par Demerdzic et al (1992) /55/, afin de comparer les différentes méthodes de

discrétisation dans une grille non-orthogonale. Une étude récente a été menée

par Oosterlee et al (1993) /56/. Dans leur travail, Oosterlee et al, ont adopté

une méthode de volumes finis dans un système de coordonnées curvilignes, et les

équations algébriques obtenues ont été résolues par une méthode multi-grille.

Les résultats obtenus par ces derniers, sont en bon accord avec ceux obtenus

par Demerdzic et al. Les difficultés que présentent ce cas test, est la présence

de points de discontinuités; la vitesse de l'écoulement subit des discontinuités

aux points A et B de la cavité (Peyret & Taylor /2/ pp. 199), de plus le choix

d'un angle d'inclinaison égal à 45°, qui représente la limite fixée par Forester

pour avoir une précision du second ordre, nous permettera à nouveau, de tester

la capacité de convergence des deux MMI proposées (Koshizuka et modifiée)

dans une grille non-orthogonale.

Nous proposons alors d'étudier cet écoulement à l'aide des deux MMI pro­

posées. Les résultats obtenus seront comparés avec ceux de la référence /56/.

a) Géométrie:

L=1 1 '

Fig. 4.24 Géométrie de l'écoulement dans une cavité inclinée.

Page 95: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

b) Principales caracéristiques:

• Ecoulement stationnaire dans une cavité inclinée.

• Fluide: Eau

• Régime laminaire.

• Masse volumique: 1.0 x 103 kgjm3.

• Viscosité moléculaire: 1.0 x 10-6 m 2 /s.

• Nombre de points: 4096 noeuds (64 x 64).

• Angle d'inclinaison: () = 45°.

• Nombre de Reynolds: Re= uo;L = 1000.

c) Conditions aux limites:

Parois solides u = v = O.

Surface libre (AB): vitesse u0 = este, v= O.

d) Résultats et discussion:

Les calculs ont été effectués avec un nombre de Reynolds Re = 1000., le

nombre de points de discrétisation est de 4096 (64 x 64) et l'angle d'incli­

naison de la cavité est de 45°. Le test effectué sur cette géométrie consiste,

à comparer les profils des composantes u et v de la vitesse suivant les di­

rections C L1 et C L2 (voir Fig. 4. 24).

• La figure 4.25 présente le champ de vitesse obtenu par la MMI. Sur

cette figure, on peut voir nettement deux zones de recirculation qui se

développent.

• Les figures ( 4.26~4.27) présentent les profils des composantes u et v de

la vitesse suivant les lignes C L 1 et C L2 • Les profils obtenus par la MMI

sont comparés avec ceux obtenus par C.vV. Oosterlee et al (1993) /56/. Nous remarquons la parfaite coïncidence entre les deux résultats. Nous

avons ensuite, utilisé la méthode classique de Koshizuka et al /1/ pour

analyser cet écoulement. La convergence vers la solution n'a pas été

atteinte.

88

Page 96: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

En conclusion, le test de validation concernant un écoulement dans une cavité

inclinée, montre:

i) que la MMI proposée est capable d'analyser correctement un écoulement

dans une grille non-orthogonale.

ii) L'importance des modifications introduites sur la fonction d'approximation

proposée par Koshizuka. L'absence de ces modifications entraîne d'impor­

tants erreurs, lorsque la maille de calcul s'éloignent de l'orthogonalité, ou

risque de ne pas fournir de solution comme dans le cas de cet écoulement.

89

Page 97: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

ECOULEMENT DANS UNE CAVITE INCLINEE

90

Page 98: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

velocity fields for ang= 45, Re=1000, NX*NY= 64*64 0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Fig. 4.25 Champ de vitesse obtenu par la M,\II

(0 = 45°, Re= 1000.) .

...

0.8 ...

0.6 +.

J: >.

0.4

0.2

0 -0.2 0 0.2 0.4 O.ô 0.8

Fig. 4.26 Profil de la composante u de la vitesse.

(0 = 45°, Re= 1000.).

91

Page 99: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.2 f-

o. 1 i-

-o~~r-r-------------------~----------·~·~----~ x • .. •

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Fig. 4.2ï Profil de la composante v de la vitesse.

(8 = 45°, Re= 1000.).

92

Oo>1erlee et aL (1393).

M~[l

Page 100: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

IV.4 ECOULEMENT INSTATIONNAIRE AUTOUR D'UN CYLINDRE

La quatrième configuration géométrique testée, est un cylindre circulaire (Fig

4.28) de diamétre d, placé dans un écoulemnt de vitesse uniforme U00 , vitesse

perpendiculaire à l'axe du cylindre. Cet écoulement est un problème fondamen­

tal pour toute méthode numérique d'une part, par ses caractéristiques physiques

mises en jeu et d'autre part, par ses applications industrielles. Cet écoulement

a fait l'objet de beaucoup de travaux tant sur le plan numérique (0. Daube

& Ta Phuoc Loc (1978) /57/, M. Braza P. Chassaing & H. Ha 1\Iinh (1986)

/58/, G. Alfonsi & A. Giorgini (1991) /59/, G. Ren & T. Utnes (1993) /60/) qu'expérimental (R. Bouard & M. Coutanceau (1980) /61/, C.H.K. \Villiamson

(1989) /62/ ... etc). L'étude du sillage d'un cylindre circulaire à travers les nom­

breuses expériences qui lui ont été consacrées, a permis de mettre en évidence

l'existence de différents "régimes", ceux-ci sont rappelés sur le tableau (IV.4)

ci-dessous. Ces résultats sont classés en fonction du nombre de Reynolds global

basé sur le diamétre d du cylindre Red = u~.d. Une étude détaillée de cet

écoulement est donnée par Tritton (1977) /63/.

Dès que le nombre de Reynolds Red dépasse l'unité, un décollement se produit

à l'arrière du corps, donnant naissance à deux tourbillons cylindriques d'axes

parallèles à celui du cylindre et de structure laminaire. Ces tourbillons aug­

mentent de volume et s'allongent quand le nombre de Reynolds croît.

A partir d'une valeur de Red voisine de 50., les tourbillons, tout en conser­

vant une structure laminaire, se déplacent alternativement d'un côté et de

l'autre, constituant ainsi une allée de tourbillons alternés. Il y'a ainsi pas­

sage d'un régime station~aire (tourbillons at tachés) à un régime instationnaire

(tourbillons détachés), mais périodique. L'étude expérimentale des tourbillons

alternés a été faite par Bénard, mais Von Karman a pu retrouver une partie

de leurs propriètés (d'où le nom de tourbillons de Von Karman). La fréquence

f de détachement des tourbillons est mise sous la forme adimensionnelle par

l'intermédiaire du nombre de Strouhal: Sr = ft;.

93

Page 101: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Dans le domaine des tourbillons alternés, du fait de la périodicité du phénomène

dissymétrique, la force résultante qui agit sur le cylindre n'est plus parallèle à

Uco; il existe une portance alternativement dirigée dans un sens et dans l'autre,

la fréquence du changement de sens étant égale à f.

La structure laminaire des tourbillons alternés se maintient jusqu'à un nombre

de Reynolds voisin de 5000.

Red DENOMINATION PROPRIETES

Red< 1. Rampant - Pas de décollement - Ecoulement symétrique

1 <Red< 40. Régime laminaire - Décollement avec deux décollé rouleaux contrarotatifs

captifs - Stable - Ecoulement symétrique

40 < Red < 300. Régime laminaire - Apparition des allées instationnaire de Von Karman

- Instationnaire - Transition dans l'allée pour Red > 150. (Roshko 19.54)

300 < Red < 200.000. Régime subcritique - Allée tourbillonnaire de nature turbulente - Couche limite laminaire avant décollement - Existence d'un régime pseudo-périodique

Red > 200.000. Régime trans et - Transi ti on de la couche supercritique limite sur le cylindre

avant décollement ,. - Aspect chaotique de

l'écoulement plus prononcé - Modification de la position de décollement et la valeur de la trainée

Tableau IV.4 Principales caractéristiques de l'écoulement

autour d'un cylindre circulaire.

94

Page 102: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

L'objectif de ce cas test est de montrer l'aptitude de la MMI à simuler correcte­

ment des écoulements présentant un obstacle (notamment un cylindre circu­

laire), et d'essayer de retrouver certaines de ces caractéristiques globales mises

en jeu (caractère périodique de l'écoulement, valeur moyenne du nombre de

Strouhal, allées de Von Karman).

a) Principales caractéristiques

• Ecoulement instationnaire autour d'un cylindre.

• Fluide: Eau

• Régime laminaire.

• Masse volumique: 1.0 x 103 kg/m3•

• Viscosité moléculaire: 1.0 x 10-6 m2 /s.

• Pas du temps 6.t = O.OOls.

• Nombre de points: 5162, 9256 noeuds.

• Nombre de Reynolds: Red = 175.

b) Géométrie et conditions aux limites

au è1n- O,v 0

.. m

u = 0.035-s

10.025 rn , 0.005 rn

v=O • )

'0.025 rn t -- 0.075 rn - ....

p:o

dv -=0 a x

Fig 4.28 Configuration géométrique et conditions au.-:: limites

de l'écoulement autour d'un cylindre.

95

Page 103: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

c) Maillages

Les calculs ont été effectués avec deux maillages qui présentent un raf­

finement autour du cylindre obtenu à l'aide de cellules non-orthogonales

et comportent 5162 et 9256 noeuds respectivement et ceci afin de mettre

en évidence l'influence du maillage. Un agrandissement du maillage (5162

noeuds) est présenté sur la figure (4.29).

d) Résultats et discussion:

• Dans un premier temps, tous nos calculs ont été effectués avec le maillage

comportant 5162 noeuds. Ce maillage présente le même raffinement que

la maille de calcul de Ren & Utnes en aval du cylindre et ceci dans le

but de comparer nos résultats avec ceux obtenus par Ren & Utnes /60/.

Ces derniers, ont adopté une méthode des éléments finis pour résoudre

les équations de Navier-Stokes. Dans leur cas, le raffinement autour du

cylindre est obtenu à l'aide d'éléments triangulaires.

• Les figures ( 4.30-4.31) présentent les champs de vi tesse aux instants

t = 0.08 s et t = 0.8 s, obtenus par la MMI et par Ren & Utnes

respectivement. Sur ces figures, on peut voir nettement deux tourbillons

symétriques d'axe parallèle à celui du cylindre. Ce phénomène est en

bon accord avec les résultats expérimentaux, comme il a été signalé

dans /60/. A partir de l'instant t = 4.0 s, la symétrie de l'écoulement

disparaît et les tourbillons se détachent du cylindre, donnant naissance,

ainsi à une allée de tourbillons (non-alternés) (Fig. 4.32).

• Les figures ( 4.:36-,4.37) présentent les champs de vitesse obtenus par la

MMI aux instants t = 0.08, 0.4, 0.6, 0.8 s repectivement (cas du maillage

comportant 9256 noeuds, soit à peu près le double du nombre de points

utilisés dans le premier test). Sur ces figures, on peut voir nettement le

développement de deux tourbillons symétriques cl 'axe parallèle à celui

du cylindre. A partir de t = 0.4 s, ces tourbillons augmentent de volume

et s'allongent suivant la direction x, comme le montre la figure (4.37).

96

Page 104: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

• A partir del 'instant t = 3.0 s (cas du maillage comportant 9256 noeuds),

la symétrie de l'écoulement disparaît et les tourbillons se détachent du

cylindre, constituant ainsi une allée de tourbillons alternés (Fig. 4.38-

4.39). Notons que dans le cas du maillage comportant 5162 noeuds,

ce phénomène n'a pas été capté. Ceci peut être illustré, lorsqu'on

représente les champs de la fonction de vorticité (Fig. 4.41-4.42), où

on peut voir nettement les allées de Von Karman qui se développent en

aval du cylindre (On note ici, l'absence des allées de Von Karman, dans

le cas du maillage comportant 5162 noeuds (Fig. 4.35) ainsi que dans

les résultats obtenus par Ren & Utnes /60/).

• La figure (4.43), présente les variations de la vitesse en fonction du

temps pour deux points situés dans le sillage. L'évolution de la vitesse

(Fig. 4.43), montre que le caractère périodique de l'écoulement est bien

prédit dans ce cas. La valeur obtenue pour le nombre de Strouhal est

de Sr = 0.189. C.H.K Williamson /62/ rapporte cette valeur à 0.1902

pour Red = 175.

En conclusion, les tests de validation concernant l'écoulement autour d'un

cylindre montrent:

i) l'importance dans le choix d'un maillage raffiné au voisinage du cylindre.

L'utilisation d'un maillage grossier ne peut mettre en évidence certaines

caractéristiques mises en jeu par cet écoulement (cas, par exemple, de

l'apparition des allées de Von Karman).

ii) Les résultats obtenus par la MMI, confrontés aux résultas expérimentaux de

vVilliamson (1989) /62/ ainsi qu'aux résultats numériques de Ren & Utnes

(Eléments finis 1993) /60/, montrent que la MMI modifiée est capable de

prédire correctement ce type d'écoulements avec une assez bonne précision.

97

Page 105: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

ECOULEMENT INSTATIONNAIRE AUTOUR

D'UN CYLINDRE

98

Page 106: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 107: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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0.004

0.003

0.002

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(:t)

(b)

Fig '!.30 Champs de vitesse à l'instant t= 0.08 s

(a) ~lMI (b) Ren & Utnes (1993 éléments finis).

100

0.01

:o::tQ·l

Page 108: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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-0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

(a)

.-.: tO·l t=O.::> s

(h)

Fig 4.3l Champs de vitesse à l'instant t= 0.8 s

(a) :\1:\[[ (b) Ren & Utnes (1993 éléments finis).

101

Page 109: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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102

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Page 110: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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\ -0.02 0 0.02 0.~

(b)

fig '1.3:3 Champs de pression à. 1 'instant t= 4.0 s

(a) ~I:.II (b) Ren & Utnes (1993 éléments finis).

103

0.06

J

1

J

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Page 111: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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·0.0:5~----------------------~------------------------------------------------~ .o.o: 0 0.02 o.e-:. O.Co

(b)

Fig 4.3·! Champs de pression à l'instant t= 4A s

(a) M.\II (b) Ren & Utnes (199:3 éléments finis).

104

Page 112: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.02

O.Oî

0

-O.Oî

-0.02

-0.02 -O.Oî 0 O.Oî 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

(a)

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0

-O.Oî

-0.02

-0.02 -O.Oî 0 O.Oî 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

(b)

(<1.) t= ·LO:; (b) t= ·U ,;.

105

Page 113: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.005

o.oo..:

0.003

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0

-0.001

-0.002

-0.003

-0.004

-0.005 -0.005 0 0.005 0.01 O.Q15 0.02

(h) r.= OA .-;.

Fig 4.36 Champs de vitesse (9256 noeuds).

(a) t= 0.08 s (b) t= 0.4 s.

106

Page 114: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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107

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Page 115: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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0 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008

-0.01 -0.005

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

Velocity field at ti me t= 3.4 s for Re= 175, nx•ny=89*1 04.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

Fig. '1.:18. Champs de vitesse d'un écoulement autour

d'tnt cyliudre (a) l= :LOs (b) l= 3.'1 s.

Page 116: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

...... 0 co

0.01 0.000 0.006 0.004 0.002

0 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008

' -0.01 -0.005

0.01 0.008

0.006

0.004 0.002

0 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008

-0.01 -0.005

J \ .>/ i

~

Velocity field at ti me t= 3.6 s lor Re= 175, nx'ny=89*1 04.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

Velocity field at ti met= 4.0 s for Re= 175, nx*ny=09*1 04.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

Fi~. •1.:1D. Champs Je vitesse J'tllt écoulement autour

d'un cyliudre (a) l= :u; s (h) t= •1.0 s.

Page 117: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

- 0.02

- O.Oî

- 0

- -O.Oî

- -0.02 1 1 1

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

(a) t= ·LOs

0.02

------- O.Oî

0

-0.01

-0.02

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

(Il) t= ·LI~.

Fig 4.40 Champs de presston (9256 noeuds)

(a) t= 4.0 s (b) t= 4.4 s.

110

Page 118: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.02

O.Oî

0

-O.Oî

-0.02

-0.02 -O.Oî 0 O.Oî 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 (a) t= 0.0 s

0.02

O.Oî

0

-O.Oî

-0.02

-0.02 -O.Oî 0 O.Oî 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

(h) t= ·LOs .

Fig 4.41 Champs Je la fonction de vorticité (92.)6 noeuJs)

(a) t= 0.8 s (b) t= 4.0 s .

111

Page 119: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

0.02

O.Oî

0

-O.Oî

-0.02

-0.02 -O.Oî 0 O.Oî 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Fig. 4.42 Cbamp de la fonction de vorticité

à l'instant t= 6.85 s.

112

Page 120: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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-0.015 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Time (sec)

(a) J = l.092

0.025 1 1 '· 1 A '

0.02 r- '·1c 1 1' ~ -

0.015 - -0.01 - -

0.005 r- -0 1-····· ........................................................................................................ ·-

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1-

Il v v v v \1 v v \1 v \1 \1 v

1...:

1

v v v v v \1 ~ 1 1 1

6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)

(b) J = ·LGG::l.

Fig 4.43 Variations de la vitesse en fonction du temps (Sr = O.l89)

(a) J = l.092 (b) J = 4.668.

113

Page 121: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

CHAPITRE V

MODELISATION DES ECOULEMENTS TURBULENTS

V.l. INTRODUCTION

.Manifestement, la turbulence est un phénomène physique important qui inter­

vient dans grand nombre d'écoulements d'un grand intérêt technologique et pra­

tique (fluide tournant dans un réacteur, jet qui s'echappe d'un turbo-réacteur,

... etc).

En effet, un siécle est déjà passé depuis que O. Reynolds (1894) et Boussinesq

(1877), ont fondé les premières bases de calcul de la turbulence en fluides.

Les variations "irrégulières" des grandeurs physiques observées par les deux

précédents auteurs les ont conduit à introduire le caractère aléatoire dans le

traitement des écoulements turbulents. Cette démarche, a une conséquence: le

recours à un traitement statistique de la turbulence pour résoudre des problèmes

pratiques.

L'idée de base dans la modélisation de la turbulence à partir des grandeurs

statistiques définies en un point est d'utiliser en chaque point des grandeurs

moyennes non fluctuantes définies de façon conventionnelle à partir des grandeu­

rs instantanées fluctuantes. On peut ainsi, établir un système d'équations moye­

nnées qui font apparaître des contraintes turbulentes (Contraintes de Reynolds),

qui représentent les transferts associés aux fluctuations. Le problème central de

la détermination des éco~lements turbulents consiste en la modélisation de ces

contraintes. Ce problème est généralement désigné sous le nom de problème de

fermeture.

Il est maintenant admis que presque tous les écoulements turbulents contien­

nent simultanément des caractères organisés et aléatoires. Les proportions de

leurs présence dépendent principalement des configurations géométriques du do-

114

Page 122: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

maine d'écoulement, du nombre de Reynolds, des conditions initiales et des con­

ditions aux limites. De ce fait, à l'heure actuelle, personne ne pense sérieusement

qu'il est possible de proposer un modèle de turbulence, à schémas de fermeture

en un point, suffisamment universel pour décrire tous les écoulements turbulents

complexes à caractère industriel.

Les écoulements instationnaires sont caractérisés par une forte présence des

structures ordonnées. Bien souvent, la présence de ces structures dans des

écoulements à caractère industriel est la cause des imperfections au niveau

des prédéterminations numériques par modélisation statistique. Des voies in­

termédiaires ont été élaborées pour combler cette lacune en particulier par la

simulation des grandes échelles (L.E.S Large Eddy Simulation) accompagnées

d'une modélisation de Sous-Maille (Sub-Grid Modelling). Les travaux réalisés

par les centres de recherche tels que l'I.M.G. (1991), O.N.E.R.A. (1987) ...

etc ont conduit à de bons résultats dans des configurations plus au moins

académiques.

L'objectif de ce chapitre, consiste à faire le point sur des modèles déjà exis­

tants, non pas dans le but de comparer les mérites respectifs de chacun, mais

de montrer, que nous disposons à l'heure actuelle d'une collection assez variée

de modèles de turbulence pour simuler numériquement des écoulements tur­

bulents. Ces modèles peuvent fournir des résultats satisfaisants dans certains

cas. Ils peuvent aussi, s'avérer insuffisants dans d'autres cas, et ceci s'explique

soit par certaines limitations dûes à des hypothéses faites sur certains modèles

(modèles à concept de viscosité turbulente), ou par la complexité de la structure

mathématique des équations obtenues (modèles de transport des contraintes de

Reynolds), ou par la lourdeur et le coût des calculs (Simulation directe).

Dans ce chapitre, nous allons tenté de prédire deux types d'écoulements:

écoulement dans un canal (écoulement de Poiseuille, écoulement de Couette

Pur) et l'écoulement en aval d'une marche descendante.

u.s

Page 123: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

V.2. MODELES STATISTIQUES EN UN POINT

Depuis une vingtaine d'années, divers modèles statistiques de la turbulence

ont été développés. Ces modèles, basés sur des schémas de fermeture dits à

un point, parce que les différentes corrélations et grandeurs moyennes ont été

reliées entre elles par des valeurs exprimées aux mêmes points dans l'espace et

aux mêmes instants.

Malgré la diversité des modèles en un point, on peut les regrouper en deux

grandes classes:

i) Ceux qui s'appuyent sur le concept de la viscosité turbulente (hypothèse de

Boussinesq).

ii) Ceux qui déterminent les moments d'ordre deux, à partir des équations

aux dérivées partielles (équations de transport) exprimant leur bilan et leur

évolution dans l'espace et dans le temps.

Entre les deux classes précédentes, il convient d'en ajouter une troisième, qu'on

peut désigner par A.S.M (Modèles algébriques pour les contraintes turbulentes),

dans laquelle une anistropie des contraintes de Reynolds peut être prise en

compte sans recourir aux équations de transport à résoudre.

V.2.1. Modèles de fermeture au premier ordre

La première classe des modèles est basée sur une analogie formelle avec la loi

linéaire du comportement newtonien:

(85)

où k = lu~u~ est l'éner00"ie cinétique turbulente et 5;1· 2 t. t

l[~ +~]est le 2 OXJ ox;

tenseur des déformations moyennes.

Dans cette loi de comportement (85), la viscosité turbulente v~, qui n'est plus

une proprièté intrinséque du fluide mais une proprièté de l'etat local de la tm·bu­

lence, doit être exprimée en fonction d'une échelle de longueur et une échelle de

116

Page 124: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

vitesse, toutes les deux caractéristiques des structures turbulentes qui contrôlent

les mécanismes de transfert au sein de l'écoulement. C'est précisement la façon,

dont il faut exprimer ces deux échelles, qui fait la distinction entre les différents

modèles de cette classe à concept de viscosité turbulente.

Parmi les modèles basés sur le concept de viscosité turbulente, à deux équations

de transport d'échelles, le modèle ( k, ~) développé à 1 'origine par Jones & La un­

der (1973) /64/. Il existe cependant de nombreux autres modèles à deux

échelles, de la même famille que le modèle ( k, c ). Dans cette catégorie de modèle,

la première échelle est toujours issue, sans exception, de l'énergie cinétique

de la turbulence k. Ce choix est dû essentiellement à la facilité d'obtention

d'une équation de transport de cette quantité, à partir de la manipulation des

équations de Navier-Stokes. Dans le modèle de Jones & Launder, la deuxième

échelle caractéristique choisie a été la partie isotrope du taux de dissipation de

l'énergie cinétique de la turbulence ë, qui combiné avec k, fournit les échelles

temporelles et spatiales de la turbulence. Autres deuxièmes échelles ont été

proposées: Soit le produit k.L comme dans le modèle de Rotta (1951), soit le

carré du rotationnel fluctuant w 2 de Wilcox-Rubesin (1980), soit de l'échelle

temporelle ~ comme dans le modèle de Speziale et al ( 1982).

Bien que dans de nombreux cas d'écoulements (écoulements bi-dimensionnels

cisaillés minces, couches limites attachées, écoulements en conduite avec gradi­

ents de pression modérés ou faibles, avec ou sans aspiration, quelques écoule­

ments à recirculation) les modèles à deux équations avec concept de viscosité

turbulente, aient fourni des résultats satisfaisants, il convient de ne pas oublier

les points suivants (Ha Niinh /65/):

• L'utilisation du concept d'une viscosité turbulente isotrope a un avantage

sur le plan numérique: elle a permis au modèle d'être incorporé dans tout

code de résolution des équations de Navier-Stokes.

• Les modélisations fondées sur l'hypothèse de viscosité turbulente sont sou­

vent contestées à cause de l'hypothèse d'isotropie de la viscosité. Cette

117

Page 125: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

hypothèse peut conduire à des résultats incorrects, par exemple en amont

des obstacles (cas d'un écoulement autour d'un cylindre). Une autre faib­

lesse du concept de viscosité turbulente est la représentation des trois con­

traintes turbulentes normales par leur demi-somme (énergie cinétique tur­

bulente) ce qui revient à admettre que l'évolution de ces trois composantes

se fait de la même façon. De ce fait, dans des écoulements où ces trois con­

traintes normales varient de façon différentes (zones internes près des parois,

canaux courbes, chocs, zones à recirculations, canaux dissymétriques ... ) ,

les modèles à concept de viscosité, ne sont pas toujours satisfaisants.

Les modèles à deux équations de transport ont fait l'objet de très nombreuses

applications, même en situations complexes. Rodi (1984) /66/ a présenté et

discuté les résultats de calcul dans des configurations tellesque: couche limite

de paroi avec ou sans gradients de pression, parois courbes, canaux plans ou ax­

isymétriques de révolution, écoulements cisaillés libres, avec ou sans convection

naturelle, écoulements décollés.

Les comparaisons faites entre les expériences et les prédictions des modèles de

Chien /7/, de Launder & Sharma (1974) /67/ et de Lam & Bremhorst (1981)

/68/ montrent que les trois modèles prédisent correctement le profil de vitesse

d'un écoulement de Poiseuille. Les modèles de Chien et de Launder & Sharma

présentent des profils de u+ similaires, qui sont en accord avec les mesures

expérimentales de El Telbany & Reynolds ( 1980) /69 j. Par contre le modèle de

Lam & Bremhorst prédit une zone de transition importante. Les trois modèles

sur-évaluent la viscosité turbulente dans la partie centrale de l'écoulement. Les

prédictions de l'énergie cinétique de la turbulence obtenues par les trois modèles

pour un écoulement de Poiseuille réalisé par Clark ( 1968) /70/ montrent la

même évolution de k dans la partie centrale de l'écoulement, et qu'elle est

supérieure en niveau aux mesures expérimentales. Dans les zones pariétales, le

modèle de Chien donne la meilleure estimation de l'énergie turbulente, tandis

que le modèle de Launder & Sharma sous-estime le pic pariétal de k.

118

Page 126: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Pour les prédictions d'un écoulement de Couette Pur. Les trois modèles don­

nent des profils de vitesse très similaires, mais Launder & Sharma et Chien sem­

blent en meilleur accord avec l'expérience. Les trois modèles donnent des profils

de Vt relativement semblables. Ils ne reproduisent pas le plateau de viscosité

turbulente dans la partie centrale de l'écoulement. La meilleure évoluation est

donnée par le modèle de Launder & Sharma. L'énergie cinétique de la tur­

bulence est d'une manière générale assez mal estimée. Launder & Sharma ne

prédisent pas de pic pariétaux de k, tandis que les deux autres modèles donnent

des profils relativement corrects dans les zones pariétales. Par contre, ces trois

modèles surestiment le niveau d'énergie turbulente dans la partie centrale de

1 'écoulement.

V.2.2. Modèles de fermeture au second ordre

La première cause apparente, pouvant expliquer ces mauvais résultats, est la

relation (85). Celle-ci impose à la viscosité turbulente de s'annuler en même

temps que le gradient de vitesse, ce qui a été infirmé par les essais de El Telbany

& Reynolds. Pour s'affranchir de cette hypothése. Une alternative à cette loi

de comportement (85) de type gradient consiste à considérer des équations de

transport et de bilan relatives à chacun des moments d'ordre deux, représentants

des flux turbulents, d'où le nom de modélisation au second ordre. Ils nécessitent

dans le cas le plus général le résolution de sept équations de transport pour

les six contraintes de Reynolds et le taux de dissipation ê. L'anisotropie du

tenseur de Reynolds à proximité des parois peut ainsi être prise en compte.

Afin d'éliminer les approximations liées à l'hypothése précedente, on peut es-'

sayer d'évaluer directement les composantes du tenseur de Reynolds. On déduit

l'équation gouvernant les contraintes de Reynolds et après modélisation prend

une forme générale ( pour les écoulements incompressibles, et en absence des

effets de rotation) suivante:

119

Page 127: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

-a[P·- 1 8··Pkk]- f3[Q··- 1 8··Pkk]- Îk[2Ili + ~] '1 3 11 11 3 '1 ÔXj ôx;

(86)

,., = -~ f3 = _sC,-2 Î = _30C,-2 '-' 11 ' 11 ' 55

P _ (-~ + --2Ili.) Q (-ôUs + --ôUk) ij-- UiUka UjUka , ij =- UiUka .. UjUka. XJc XJc X 1 X 1

On constate alors que, comme pour les modèles à deux équations à concept

de viscosité turbulente, il est nécessaire de déterminer une échelle temporelle

de retournement de la turbulence par une équation de transport du taux de

dissipation de l'énergie cinétique du mouvement fluctuant.

Une tentative de calculer les écoulements de Poiseuille et de Couette avec ou

sans gradients de pression à l'aide d'un modèle de transport des contraintes de

Reynolds (en adoptant les modèles de SO & Yoo (1986) /71/ et de Jones &

Musonge (1988) /72/). On a abouti à la conclusion que ce dernier n'apporte

que peu d'améliorations aux résultats obtenus avec les modèles (k,ë).

Il en résulte que la médiocre prédiction des résultats d' El Telbany & Reynolds

pour les écoulements de type Poiseuille ne semble pas être liée à l'hypothèse

précedente. En effet, les modèles aux tensions de Reynolds ne sont pas basés sur

cette hypothèse, ils ont cependant abouti aux mêmes écarts que les fermetures

au premier ordre, notam~ent pour les profils de vitesse moyenne dans les zones

de gradient de vitesse nul. On pense alors que cette discordance est plutôt liée

au non-établissement de 1 'écoulement dans la section de mesure. De plus, le

saut d'énergie turbulente mis en évidence par El Telbany & Reynolds lors du

passage d'un écoulement du type Couette à un écoulement de type Poiseuille

n'est pas non plus confirmé par les fermetures au second ordre.

120

Page 128: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Bien que la modélisation au second ordre soit développée depuis une qum­

zaine d'années, elle n'a pas été souvent appliquée aux écoulements turbulents

complexes, là où elle trouve sa raison d'être. Car, la complexité numérique

de résolution fait que la modélisation au second ordre n'est appliquée qu'aux

écoulements cisaillés minces, là où la les configurations sont simples et ont per­

mis aux modèles à concept de viscosité turbulente d'être souvent suffisants. En

fait, si la modélisation au second ordre n'est pas souvent appliquée aux con­

figurations d'écoulements complexes, ce n'est pas principalement à cause du

coût élevé des calculs, mais à cause d'une part, de la structure mathématique

complexe des équations à résoudre et d'autre part, elle nécessite un grand

nombre de constantes lors de la modélisation des termes inconnus et il n'y

a pas assez d'expériences disponibles pour une évaluation de ces constantes.

Une autre conséquence de ces constantes est le manque de généralité de la

modélisation, puisqu'elles sont calibrées sur des écoulements spécifiques. En

soulignant, l'avantage des modèles à concept de viscosité turbulente: le ren­

forcement des termes linéaires dans les équations convection-diffusion. Il est

alors facile de respecter des nombres de Reynolds locaux peu élevés. Cet avan­

tage disparaît ici: les contraintes de Reynolds n'agissent que comme des termes

sources, et l'équation de quantité de mouvement a une nature hyperbolique de

type Euler.

Parmi les constantes empiriques apparues dans les modèles à concept de vis­

cosité turbulente et à deux échelles, la constante C J.I. est probablement celle qui

est mise en cause. Cette valeur de CJ.I. a été déterminée à partir des mesures

expérimentales de k dans les zones pariétales et sous hypothése d'équilibre en­

tre la production et la dissipation de k (production ~ dissipation) on admet

généra.lement une valeur de 0.09 pour cette constante. Ha Minh (1993) /65/

pense que la valeur numérique de cette constante doit être révisée: il a remarqué

que dans les écoulements à fortes recirculations, les résultats expérimentaux ont

montré que la constante CJ.I. < 0.025 dans ces zones, où les contraintes de ci-

121

Page 129: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

saillement turbulentes sont anormalement faibles par rapport aux contraintes

normales de Reynolds.

Dans le cas de la marche descendante, à grands nombres de Reynolds, la plu­

part des calculs effectués avec les modèles ( k, ê) classiques, ont conduit à une

longueur de recollement faible par rapport à la valeur expérimentale. Une anal­

yse du phénomène physique considéré montre une nature très particulière de la

turbulence dans la zone de recirculation, Otl la contrainte turbulente de cisaille­

ment est anormalement faible par rapport au niveau des contraintes normales

dont la somme a été prise pour déterminer la diffusivité turbulente,....... (:2

). La

nature de la turbulence dans cette zone est en fait la conséquence des structures

organisées issues d'une instabilité de type Kelvin-Helmhotz dans la couche de

cisaillement prenant naissance au droit de la marche, et dont les caractéristiques

dépendent de celles de la couche limite au point de décollement (Ha Minh /65/).

Kourta & Ha Minh /8/ ont ainsi proposé une autre approche, la modélisation

semi-déterministe. Cette démarche consiste à adopter une décomposition de

toute grandeur physique instantanée en une moyenne d'ensemble et une partie

incohérente (les modèles (k, ê) classiques ne peuvent faire la distinction entre

les structures turbulentes (incohérentes) et cohérentes et par suite produisent

une grande intensité turbulente et spécialement juste en aval de la marche). La

moyenne d'ensemble est, fonction de l'espace et du temps, contient la moyenne

temporelle et la partie instationnaire cohérente: elle sera déterminée directe­

ment par la résolution des équations de Na vier-Stokes moyennées. Par contre

les effets de la partie incohérente seront pris en compte par la résolution des

équations de fermeture 'de la manière des modèles statistiques de la turbu­

lence classique (notamment avec un modèle de Jones & Launder). Dans leur

étude, Kourta & Ha Minh différentes réalisations de la contrainte turbulente ont

été testées pour calibrer leur modèle. Ces derniers auteurs, ont constaté que

lorsqu'ils réduisent la contrainte turbulente de cisaillement de 50% de sa valeur,

ils obtiennent une longueur de recollement de 5. 7 et avec 20 % de réduction,

122

Page 130: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

ils obtiennent une valeur moyenne de 7.87, laquelle est en bon accord avec les

résultats expérimentaux ( Kim et al (1978) /73/ donne une valeur de 7 ± 1 à

cette longueur).

V.3. SIMULATION DIRECTE

Une autre méthode pour calculer les écoulements turbulents consiste à

résoudre directement les équations de Navier-Stokes instationnaires. Une

simulation numérique directe doit prendre en compte toutes les échelles

du mouevement, des plus grandes, déterminées par les frontières physiques

du problème, jusqu'aux plus petites, les échelles dissipatives de Kolmogorov

(voir M. Lesieur (1990) /74/). Elle permet cependant, de calculer les valeurs

instantanées de la pression et de la vitesse en tout point d'un maillage tridi­

mensionnel et en fonction du temps. La seule connaissance des conditions

aux limites et initiales suffit pour résoudre le problème. Il est alors pos­

sible de calculer des grandeurs inaccessibles à l'expérience telles que les

corrélations pression-vitesse ou les corrélations triples de vitesses qui ap­

paraissent dans les équations de transport des contraintes de Reynolds et

dans l'équation pour le taux de dissipation isotrope c, utilisées dans les

modélisations de fermeture au second ordre.

La puissance actuelle des calculateurs ne permet pas de simuler les écou­

lements à nombre de Reynolds Remax supérieur à environ 20.000 pour des

écoulements présentant des symétries (écoulements de Poiseuille ou de Cou­

ette pur), ou à 10.000 pour des écoulements asymétriques (écoulements de

Couette-Poiseuille). On démontre (voir Tennekes & Lumely (1972) /75/)

que le rapport entre'les échelles les plus grandes et les petites est propor-3

tionnel à Rel. On en conclut que le nombre de points qu'il faut utiliser

pour réaliser une simulation numérique directe d'un écoulement turbulent 9

tridimensionnel est proportionnel à Rel. Afin d'illustrer cette remarque,

prenons les exemples suivants:

Dang & Deschamps (1988) /76/ ont calculé un écoulement de Poiseuille pur

123

Page 131: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

à l'aide d'un schéma aux différences finies d'ordre 4 en espace et d'ordre 2

en temps. Ils ont utilisé 21.060 points de discrétisation pour un écoulement

dont le nombre de Reynolds Rema.x était de 4.000. Dang & deschamps ont

également montré que leurs calculs de la plupart des termes des équations

de transport pour les différentes contraintes de Reynolds (moments d'ordre

2), étaient très semblables à ceux obtenus par Kim et al (1987) /43/ par une

méthode spectrale. Des écarts ne commencent à apparaître que pour les mo­

ments d'ordre supérieur tels que le terme de diffusion turbulente (corrélation

triple de vitesse). Kim et al avaient eu recours à environ 4.000.000 de points

de discrétisation pour simuler un écoulement de Poiseuille pur dont le nom­

bre de Reynolds Rema.x était de 6600. Le nombre de points de maillage était

donc 100 fois plus élevé que celui de Dang & Deschamps.

Un écoulement de Couette pur a été étudié par Lee & Kim (1991) /77/

pour un nombre de Reynolds Req, basé sur la vitesse débitante et la hauteur

du canal de 6000. La méthode est celle employée par Kim et al pour

un nombre de points d'environ 3.000.000. Le profil de la vitesse moyenne

simulé est en bon accord avec celui mesuré par El Telbany & Reynolds

pour un nombre de Reynolds notablement plus élevé de 28 .. 500. Par contre

il est relativement différent de celui mesuré par Reichardt (1959) /78/ à un

nombre de Reynolds de 2900.

Des travaux importants ont été développés plus récemment par simulation

directe dans le cadre des écoulements turbulents en présence de parois. Par

exemple, Kim et al (1987) et Rutledge & Sleicher (199:3) /44/ ont étudié un

écoulement turbulent dans un canal plan, obtenant des résultats promet­

teurs dans le cadre de la transition vers la turbulence. Normand & Lesieur

( 1990) /79/ ont développé une étude sur une couche limite compressible

en montrant des structures cohérentes caractéristiques de cet écoulement.

Cependant, tous les efforts dans ce sens sont limités à des valeurs du nombre

de Reynolds faibles.

124

Page 132: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

En raison des tailles et des coûts de calcul prohibitifs, la simulation directe

est particulièrement utilisée pour générer des données utiles à tester des

modèles de fermeture de la turbulence. Pour des écoulements complexes ou

des dimensions géométriques importantes, il n'est pas possible de mailler

aussi finement et l'on doit faire appel à la méthode de la simulation des

grandes échelles.

V.3.1 La fermeture en deux points et la modélisation sous-maille

Les méthodes de fermeture en un point ne font intervenir que les quantiés

prises au même point. Or la turbulence est, par nature, dépendante de

son histoire spatio-temporelle. Pour prendre en compte le comportement

non-local de la turbulence, il faut utiliser des corrélations en deux points,

selon l'espace et le temps (voir M. Lesieur (1990)).

La simulation des grandes échelles (Large eddy simulation) a été proposée

par Smagorinsky (1963) /80/. Elle implique l'utilisation d'une nouvelle

génération de modèles de la turbulence: la modélisation sous-mailles (Sub

Grid Scale Modelling), qui consiste à résoudre explicitement toutes les insta­

bilités de taille plus grande que la taille du maillage, de façon à prendre en

compte la non-homogénéité de l'écoulement, et à modéliser l'action des pe­

tites structures (les échelles sous-maille) sur celle-ci (voir Clark et al (1979)

/81/, M. Lesieur (1991) /82/). On applique en tout point du champ de

vitesse un filtre de largeur directement liée à la taille des mailles, filtre qui

définit un champ filtré u; de large échelle. le champ de vitesse se décompose

alors en ce champ filtré et un champ d'échelles de sous-mailles ui qui sont

la représentation de~ fluctuations du champ réel par rapport aux valeurs

filtrées.

Des études ont été développées pour étudier des écoulements plus com­

plexes. Moin et al (1978) /83/ ont calculé un écoulement turbulent dans

un canal rectangulaire. Le modèle sous-maille de Smagorinsky a été utilisé,

sauf à proximité des parois, où une approximation fondée sur le concept de

125

Page 133: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

longueur de mélange a été utilisée. Moin & Kim (1985) /84/ présentent

une investigation numérique très complète d'un écoulement turbulent dans

un canal, à l'aide de la simulation des grandes échelles, avec un maillage de

63 x 64 x 128 noeuds. Le nombre de Reynolds basé sur la largeur du canal est

de 13.800. Le modèle sous-maille utilisé, dû à Schumann (1975) /85/, est

une variante du modèle de Smagorinsky. Les résultats obtenus représentent

bien la région centrale de l'écoulement par rapport aux expériences. Dans la

région proche des parois, les résultats sont moins représentatifs, l'intensité

turbulente calculée étant supérieure aux valeurs expérimentales.

Récemment, Silveira Neto (1991) /86/, a présenté une étude statistique et

topologique d'un écoulement turbulent complexe en aval d'une marche de­

scendante. Son étude a été réalisée au moyen des techniques de simulation

directe et de simulation des grandes échelles. La simulation directe a été

utilisée pour montrer l'influence d'une stratification stable sur la couche de

mélange. Les écoulements tri-dimensionnels ont été étudiés à l'aide de la

simulation des grandes éhelles. Le modèle sous-maille utilisé repose sur est

une adaptation locale dans l'espace physique du concept de viscosité turbu­

lente dans l'espace de Fourier (Métais & Lesieur (1991) /87 /). Les résultats

obtenus, montrent la capacité de la méthode à simuler des écoulements

présentant des caractéristiques proches de celles des écoulements industriels.

En conclusion, nous dirons que nous disposons actuellement d'un nombre

assez varié de modèles pour simuler numériquement les écoulements turbu-,

lents. La modélisation de la turbulence ne pourrait être réalisée que grâce à

une forte collaboration entre des expériences fines, des travaux de la simu­

lation directe, par exemple ceux de Rida & Dang (1991) /88/, et des efforts

en modélisation, aussi bien avec le concept de viscosité turbulente qu'avec

des schémas de fermeture au second ordre.

126

Page 134: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1 V.4. CAS-TESTS TURBULENTS

V.4.1. ECOULEMENT DANS UN CANAL

a) Ecoulement de Poiseuille

La figure (5.1), présente le profil de l'énergie cinétique turbulente calculé par la

MMI ( modèle de Chien), et comparé avec les études expérimentales de Clark

/70/ ainsi qu'avec les résultats numériques obtenus par le modèle de Launder

& Sharma /67/. Nous constatons que les résultats obtenus, montrent la même

évolution de l'énergie cinétique k dans la partie centrale de l'écoulement.

Dans les zones pariétales, le modèle de Chien adopté par la MMI et le modèle de

Launder & Sharma sous-estiment le pic pariétal de l'énergie cinétique turbulente

k.

Sur la figure (5.2), nous avons présenté, les prédictions de la viscosité turbu­

lente Vt, obtenues par Chien et par les mesures expérimentales d'El Telbany &

Reynolds /69/. On constate la parfaite coîncidence entre les résultats obtenus

par la MMI (modèle de Chien) et les résultats fournis par Chien /7 j. Par

contre ces deux modèles sur-évaluent la valeur de Vt au centre de l'écoulement.

Une nette dimunition de la viscosité turbulente Vt observée par les mesures d'El

Telbany & Reynolds n'a pas été détectée par le modèle de Chien.

b) Ecoulement de Couette Pur

La figure (5.3) présente les profils de la vitesse d'un écoulement de Couette pur,

obtenus par la MMI (modèle de Chien), par les mesures réalisées par Reichardt ,

/78/, par celles de Robertson & .Johnson (1970) /89/ et celles fournies par El

Tel ban y & Reynolds /69/. Ces résultats fournissent la même évolution de la

vitesse.

La figure (5.4) donne les prédictions de l'énergie cinétique turbulente k obtenues

par la i\tHv!I, par Chien et par El Telbany & Reynolds. On remarque, la parfaite

coïncidence entre les valeurs obtenues par la MMI et celles de Chien. Par

127

Page 135: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

contre, ces deux modèles sur-estiment le niveau de k dans la partie centrale

de l'écoulement. Cette surestimation est dûe à la constante Cp., car au centre

de l'écoulement nous avons un équilibre entre les termes de production et de

dissipation de l'équation de transport pour k, elle se réduit:

k 1 3 3 2= ;r;-=·· Ur yCJJ.

Cette valeur de CP. a été déterminée à partir des mesures expérimentales de k

dans les zones pariétales où il y'a un équilibre relatif entre la production et la

dissipation de k, mais à partir des mesures d'El Telbany & Reynolds, on trouve

que 4 est environ de 2.6 au centre d'un écoulement de Couette Pur. A notre Ur

avis, la valeur de CP. doit être révisée, si on veut superposer les prédictions et

les mesures de k dans la partie centrale de l'écoulement.

La figure (5.5) présente les prédictions de la viscosité turbulente Vt obtenues

par la MMI, par le modèle de Lam & Brernhorst /68/ et les mesures expé­

rimentales d'El Telbany & Reynolds. Les modèles utilisés par la MMI et par

Larn & Bremhorst, ne reproduisent pas le plateau de la viscosité turbulente

dans la partie centrale de l'écoulement, mais cet te mésestimation n'a qu'une

faible influence sur la prédiction du profil de la vitesse (Fig .. 5.3). La meilleure

évaluation de Vt est donnée par le modèle de Chien utilisé par la MMI.

128

Page 136: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

ECOULEMENTS TURBULENTS DANS UN CANAL

129

Page 137: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 138: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Fig 5.3 Profil de la vitesse. * MMI. - - - Robertson & Johnson.

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Fig 5.4 Profil de l'energie cinétique turbulente.

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131

Page 139: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Fig 5.5 Profil de la viscosité turbulente. \

* MMI. Lam & Bremhorst.

• El Telbany & Reynolds .

132

Page 140: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

V.4.2. MARCHE DESCENDANTE

La marche descendante a été choisie comme géométrie pour ce deuxième

cas test. Cet écoulement présente des caractéristiques proches de celles des

écoulements industriels.

Les écoulements turbulents les plus simples peuvent être classés, selon leur

nature, dans l'une des deux catégories suivantes: les écoulements turbulents

cisaillés libres (mélange des courants de fluides de vitesses différentes) et les

écoulements cisaillés autour d'un obstacle ou proche d'une paroi (couche limite,

écoulement dans un canal, ... etc). Généralement un écoulement turbulent

complexe se présente comme une combinaison des deux catégories décrites.

L'écoulement en aval d'une marche descendante est un exemple complexe com­

binant les deux types de turbulence dans une géométrie simple. Sa dynamique

est le résultat de l'interaction des instabilités caractéristiques des écoulements

cisaillés libres et des écoulements pariétaux. Cette géométrie est un cas test les

plus répandus dans le domaine des recherches fondamentales de la dynamique

des fluides, expérimentales (Kim et al (1978), Eaton & Johnston (1981) /90/ ... etc) et numériques (Kourta & Ha Minh (modèle (k, s) de Jones avec modifi­

cation de la valeur de CJJ.) (1991) /8/, Silveira Neto et al (199:3) (Simulation

des grandes échelles) /91/, Farhanieh et al (R.S.M) (1993) /92/, ... etc). Il

s'agit d'une géométrie intéressante puisqu'elle génère des écoulements instables,

présentant des régions bien individualisées qui interagissent, dont la prédiction

constitue un test rigoureux pour une méthode de calcul numérique.

Pour l'écoulement en av~l d'une marche descendante, le critère de comparaison

de la performance des modèles de turbulence porte sur la longueur de recolle­

ment XR. Rodi (1984), citant les expériences de Kim et al (1978), rappellent

que pour le cas d'écoulements turbulents, la longueur de recollement est de 7±1.

Nous proposons alors d'étudier cet écoulement à l'aide de la MMI modifiée.

a) Résultats et discussion

133

Page 141: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Dans un premier temps, nous avons adopté le modèle de Chien /7 j pour simuler

l'écoulement en aval d'une marche.

Les figures (5.6-5.7), présentent le champs de vitesse et le profil de la com­

posante u de la vitesse obtenus par la MMI. La valeur de la longueur de recolle­

ment obtenue avec ce modèle est de 6h, (où h est la hauteur de la marche) qui

est inférieure de 25 % par rapport à la valeur expérimentale. En réduisant de 25

% la valeur standard de C Jk (les résultats expérimentaux montrent que la valeur

de C'" est inférieure à 0.025 dans les zones de fortes recirculations (Kourta & Ha

Minh /8/) dans la zone de recirculation, nous obtenons une longueur de recolle­

ment de 7.77h (Fig. 5.8-5.9), qui est en bon accord avec la valeur expérimentale.

Ceci justifie que la sous-estimation de la longueur de recollement obtenue avec

le modèle de Chien, est dûe essentiellement à ce modèle de turbulence adopté

par la MMI.

Le tableau V.4 ci-dessous, donne les prédictions de cette longueur obtenues par

d'autres auteurs. Nous remarquons, que la meilleure estimation de la longueur

de recollement est donnée par la méthode de simulation des grandes échelles

(L.E.S /91/). Cependant, la valeur obtenue par la MMI, dans le cas où la

valeur de Ci-', réduite de 25 %, corrobore celles obtenue par Kourta & Ha Minh

/8/ et par Farhanieh et al /92/.

Reférence ~ -h

Kourta & Ha Minh (1991) 7.87 Neto et al (1993) 8.1

Farhanieh et al (1993) 7.908

Tableau V .4 Prédictions de la longueur de recollement

données par d'autres auteurs.

134

Page 142: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

MARCHE DESCENDANTE

13.5

Page 143: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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Page 144: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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139

Page 147: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

CHAPITRE VI

CONCLUSION

Dans ce travail de thése présenté ici, nous avons premièrement commencé

par présenter les éléments mathématiques de base de la Méthode des Matri­

ces d'Interpolation (MMI) sous sa forme primitive. A partir de cette analyse,

nous avons dégagé les principales caractéristiques de la MMI. Cette méthode se

révèle intéressante par sa simplicité dans la formulation et le codage par rap­

port aux méthodes des différences finies classiques (MDF) ou volumes finis en

coordonnées généralisées. L'avantage de la MMI par rapport aux méthodes des

éléments finis (MEF) vient du fait qu'avec la MMI, la matrice du système des

équations algébriques reste toujours en cinq diagonales (cas bidimensionnel).

Cela nous permet, d'une part, de contrôler la matrice de ce système, et d'autre

part, d'utiliser des méthodes itératives classiques pour la résolution d'un tel

système. Le coût de calcul est donc moins élevé par rapport aux MEF et MDF.

Bien que la M~H a été présentée pour le cas bidimensionnel, l'extension de la

méthode au cas tri-dimensionnel est possible.

De manière à simplifier l'analyse des problèmes à géométrie complexe, nous

avons introduit dans la MMI la technique de transformation des coordonnées

(transformation isoparamétrique). L'utilisation d'une telle transformati-on nous

a permis d'aligner les lignes de coordonnées avec les frontières ·du domaine

physique à étudié et a offert à la MMI la possibilité de manipuler avec souplesse

le problème des maillages.

Ensuite, nous avons passé en revue les équations de Navier-Stokes pour un

écoulement incompressible visqueux et nous avons proposé une méthode numé­

rique de résolution de ces équations. Les termes de convection présents dans

ces équations sont traités par un schéma de Leith. Ce schéma, favorise, bien

entendu, l'utilisation de la MMI. Cependant, ce schéma risque de fournir des

140

Page 148: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

valeurs négatives aux endroits où les gradients des grandeurs physiques sont

forts et par suite entraîne des oscillations numériques. Cette difficulté mérite

une étude très approfondie afin de développer une technique appropriée à la

MMI, traitant les termes de convection.

Enfin, nous avons effectué des cas-tests laminaires et turbulents. Les résultats

obtenus des cas tests efféctués sur les écoulements, en aval d'une marche descen­

dante, dans une cavité inclinée et autour d'un cylindre, confirment la fiabilité

et la convergence de la méthode MMI proposée.

141

Page 149: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

J ANNEXES J

142

Page 150: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1 ANNEXE A 1

METHODES ITERATIVES

Etant donné une matrice inversible A et un vecteur b, on souhaite calculer la

solution du système linéaire:

Au= b (8ï)

Les méthodes que nous allons décrire sont des cas particuliers de la méthode

suivante: supposons que l'on puisse écrire la matrice inversible A sous la forme

d'une décomposition:

.4. = }.;J- N (88)

où ki est une matrice inversible et "facile à inverser" c'est-à- dire pratiquement

diagonale ou triangulaire. On a donc les équivalences:

Au= b ~ lvfu =Nu+ b ~ u = lvf- 1 Nu+ .LV!- 1b (89)

La dernière équation étant de la forme u = Bu + c, on lui associe la méthode

itérative:

(90)

1- Méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel

Dans ces cas, la décomposition (88) de la matrice A = ( aii) est telle que:

(.LVJ);j = a;j ou 0 selon ( i, j) (91)

a- Méthode de Jacobi

On suppose que a;; =! 0, 1 :::; i :::; n et posons A= D-E- F.

Les lettres D, E, F désignent des matrices d'ordre n vérifiant respective­

ment:

(D);i = a;ioii

( -E)ij = a;j si i > j, 0 autrement.

143

Page 151: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

(-F);j = a;i si i < j, 0 autrement.

On écrit donc les équivalences:

Au= b ~Du= (E + F)u + b-{::=::> u = n-1 (E + F)u + n-1 b (92)

Ce qui conduit à la méthode itérative de Jacobi:

(93)

La matrice de cette méthode itérative est par conséquent:

(94)

Pour calculer une composante quelconque u7+1 du vecteur llk+l, on utilise

donc (n- 1) des composantes du vecteur llk, qu'il faut garder en mémoire

pendant tout le calcul du vecteur llk+l· Autrement dit, une itération de la

méthode immobilise 2n mémoires, n mémoires pour les n composantes de

llk et n mémoires pour les n composantes de llk+l·

b- Méthode de Gauss-Seide!

La méthode de Jacobi peut être améliorée, en utilisant mieux les quantités

déjà calculées. Ainsi, pour calculer la composante u7+1 du vecteur uk+t,

pourquoi ne pas utiliser les nouvelles valeurs ll;+l, u~+t, ..... , ll7~11 plutôt que

les anciennes valeurs ll~,ll~, ..... ,ll7_ 1? Cette remarque conduit à remplacer

la méthode de Jacobi par la méthode de Gauss-Seide!:

(95)

La matrice de cette ,méthode itérative:

(96)

Un avantage de cette méthode par rapport à la méthode de Jacobi, réside

dans le fait: une itération de la méthode de Gauss-Seide! immobilise seule­

ment n mémoires, au lieu de 2n mémoires pour la méthode de Jacobi. C'est

un avantage, en particulier, pour les grands systèmes.

144

Page 152: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

2- Méthode de relaxation

Si la méthode de Gauss-Seidel converge, on peut songer à introduire un

paramètre réel w =/:. 0, de telle façon que le système linéaire associé à la

méthode de Gauss-Seidel soit remplacé par:

{D- E}uk+1 = Fonction(uk,w) w

(97)

On obtiendra ainsi une méthode itérative qui converge déjà pour w = 1. La

décomposition A= J'vi-N correspondant au choix l'vi= Q- E etant: w

D 1-w A= {-- E}- {-D + F}

w w (98)

Une itération de la méthode itérative associée à cette décomposition s'écrit:

D 1-w {-- E}uk+l = {--D + F}uk + b k ~ 0

w w (99)

La matrice de cette méthode itérative est:

Lw= (D- wE)-1 {(1- w)D + wF} (100)

Si la matrice A est hermitienne définie positive, la méthode de relaxation

converge si 0 < w < 2.

14.5

Page 153: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

j ANNEXE B l RESOLUTION DE L'EQUATION DE POISSON

Considérons l'équation de Poisson:

2 EF!/J a 21/; .6. 1/; = 8x 2 + 8y2 = ( (101)

où ( est le terme source.

La forme discrétisée de (101) par un schéma aux différences peut s'écrire sous

la forme suivante:

avec e;j < O.

1- Méthodes de Richardson et Liebman

Résoudre (101) par une méthode itérative revient à résoudre le problème

d'évolution suivant (Frankel, 1950) /36/:

81/; = .6. 21}; - ( 8t . (103)

Si on utilise un schéma aux différences du premier ordre par rapport au

temps, on obtient la forme discrétisée suivante:

?;,~tl - w~. Yt,] · 1,) 1k b ;k Jk d ;k ,/,' ·k (

.6.t = a;i7f.Ji+1,j + i)7!Ji-1,j + Cij7!J;,j+1 + iil!Ji,j-1 + eij'f/t,J - ij

(104)

que l'on peut mettre sous la forme suivante:

.t,k+l - (1 +;'te· ·)•!,k + ;'t(a· ·?f,k + b· .. t.k + c· .,f,k + d· __ ,_k r-. ·) '1-'i,j - l...l 1] Y,i,j U IJ Yi+1,j 1] '1-'i-l,j 1) Yi,j+l IJ 'f'i,j-1 - '>1]

(105)

La condition de stabilité de l'équation (101) ou de (10.5) est (voir Roache

/36/) .è;.t ~ _ _!__. On prend la valeur la plus maximale possible, ce qui e,J

correspond à 6.t = - _l_, on obtient alors: e,J

?;,k+l --~(a· ·?i>~ . 1 b···'·k . + c···'·~. -L d .. ,,,k. - (· ·) YÏ,j - e .. I)YI+1,) T l)'f/1-1,] l]'f/I,J+1 1 I)Yt,)-1 1) 1)

(106)

146

Page 154: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

Ce qui correspond à la méthode de Richardson (.Jacobi).

Si dans la méthode de Richardson, au lieu cl 'utiliser les valeurs ?/,~ 1 . et Y:- ,]

'lj;L_1 , utilisons les nouvelles valeurs 7j;';!1~j et 7/lf,j~ 1 , nous obtenons la mé­

thode de Liebman (Gauss-Seidel):

(107)

2- Méthode de sur-relaxation successive

Ajoutons à l'équation (107) 1/lfi- 7/Jfi = 0, nous obtenons alors:

En utilisant une sur-relaxation du terme entre crochets (résiduel de la

méthode), pour accélérer la convergence, on obtient la méthode SOR:

1t,k+1 _ 11,k ::!....(a· .• 1,k + b· .• 1,k+1 + c· .11,k + d· .1t,k+1 + e··"'.k (· ·) Yi,j -yi,j-e·· IJ'f'i+1,j IJ'f'i-l,j l)Yi,j+l IJYÏ,j-l IJCf.li,j- 1) 1)

(109)

Pour la convergence de la méthode, le paramètre de relaxation w doit être

compris entre 1 et 2.

147

Page 155: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1 ANNEXE C 1

TRANSFORMATION DU LAPLACIEN

Soit f = f (x, y) une fonction à deux variables on a:

fx = Jçf,x + JryT/x

===> fxx = /çf.xx + JryT/xx + /çxÇx + fryxT/x

or:

et comme:

et:

Ce qui nous permet de déterminer hx et on aura aussi fTJx:

+[(Y;Yçe- 2YeYTJYf.TJ + YZYTJTJ)(xTJfE.- xefT])+

(y;xee- 2yçyTJxf.TJ + yzxT]T])(yef'~- yryfxi)]/ J3

L'expression de /yy se déduit à partir de celle de fxx; il suffit de changer dans

la formule ci-dessus x en y.

Dans le but de faire des simplifications dans les écritures, on introduit les nou­

velles variables suivantes:

a= x2 + y2 '7 T]

f3 = XçXry + YE.YTJ

148

Page 156: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

~~=x~+ Y€ D X = axçç - 2f3xeT/ + /X TITI

DY = ayçç - 2/3yçT/ + IYT/T/ _ (y5DX -xe DY)

(j- J

_ (x71 DY -yryDX) T- J

devient alors:

Estimation des dérivées croisées (. )çT/

Nous nous placons dans le cas de la figure 6.1. Désignons par P un point de

calcul et soit N P1 , N P2 , ... , N P8 les 8 points voisins de P.

Fig 6.1 Transformation des coordonnées.

Par un développement de Taylor nous obtenons l'estimation suivante:

82oe _ ~(2....) _ -~2....("'" _ 6 ) 1 .2...(+ _ 6 ) 8118€ - ÔT/ ôÇ - l+re Ô71 '+'- · 0 + rç(l+re) ÔT/ '1-'3 · 0

En utilisant les approximations de la dérivée par rapport à ry, on obtient alors:

149

Page 157: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

En rapportant les expressions ci-dessus dans l'expression de ~~~~, on obtient

après quelques arrangements:

1.50

Page 158: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

1 ANNEXE D 1

MODELES A DEUX EQUATIONS DE TRANSPORT (k- c)

1- EQUATIONS DE TRANSPORT POUR k & ë

Dans ce cas la longueur caractéristique de la turbulence est reliée à l'energie

cinétique de la turbulence k et à son taux de dissipation ê. La viscosité turbu­

lente est donnée par:

k et e: sont obtenues à partir des équations de transport suivantes:

fJs _ fJ€ fJ fJs E fJu; fJu; fJuj

fjt + u1-fJ = -fJ [v~-a ] + Cdh -k vt-fJ ( -fJ + -fJ ) Xj Xj Xj . Xj Xj Xi

-2 - c . ..,f..,~ ..LE -- - k 1

avec:

2- CONSTANTES EMPIRIQUES ET FONCTIONS

D'AMORTISSEMENTS DANS LES MODELES (k- e:)

(110)

(112)

Nous regroupons dans les tableaux ci-dessous les principales constantes em­

piriques ainsi que les fonctions d'amortissements recommandées par certains '

auteurs.

Modèle ::.pa. roi CJ.L cd 1 câ fJk ()'!!; 1

Standard .(St) Loi de paroi 0.09 1.44 1 1.92 1.0 1.3 1 Jones-Launder (.JL) o. 0.09 1.4.5 1 2.0 1.0 1.3 1

Chien (Ch) O. 0.09 1.:3.5 1 1.8 1.0 1.3

Lam-Bremhorst (LB) B"k v 3y2 0.09 1.44 IL92 1.0 IL3

Constantes Empiriques recommandées par les auteurs.

1-51

Page 159: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

!p. fl !2 D E 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0

exp( - 2t_) 1.0 1.- -2.v( 8ifyk )2 ') C'2ü )2 1.+ 50

~.li lit ôy2

0.3exp(- Ri) 1.- 1.0 1.- -2.v4 _') Il~

0.22exp( -( lff )2)

y- ~- y2

exp( -O.Ol15.Rt) exp( -0.5.R,.) 1.- exp( -0.0165.Rk) 2 1 + ( 0.05)2

JJ.I. 1.- 0.0 0.0

(1 + 2~~5) exp( -Ri)

Fonctions d'amortissements recommandées par les auteurs.

152

Page 160: THESE DE DOCTORAT L'UNIVERSITE DES SCIENCES …

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