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UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREY DE DE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSIQUE DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029

THESE prsente par

Grichka BOGDANOFF

En vue d'obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSIT DE BOURGOGNE

Spcialit : Mathmatiques

FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA MTRIQUE L'CHELLE DE PLANCK _________

Soutenue publiquement lEcole Polytechniquele 26 Juin 1999

devant le jury compos de

Gabriel SIMONOFF Prsident

Dimitri GOUREVITCH Rapporteur Costas KOUNNAS Rapporteur Shahn MAJID Rapporteur

Igniatios ANTONIADIS Examinateur Michel SEMENOFF-TIAN SHANSKI Examinateur Daniel STERNHEIMER Examinateur

Manuscrit dpos le 31 Janvier 2000

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REMERCIEMENTS

Je tiens en premier lieu exprimer toute l'motion suscite par la disparition brutale de Mosh Flato quiavait accept d'tre la fois le fondateur et le guide irremplaable de cette recherche. Un hommage toutspcial lui est donc destin pour son soutien continuel, sa disponibilit amicale et crative ainsi quel'exprience scientifique unique dont il m'a gnreusement fait profiter et qui donne toute sa signification cetravail. Daniel Sternheimer, qui a bien voulu en diriger la soutenance et n'a jamais mnag sa prsence auxmoments les plus difficiles, trouvera ici la marque de notre amiti et de notre profonde gratitude.Je veux aussi saluer la mmoire d'Andr Lichnerowicz, dont les conseils exceptionnels et toujours amicauxont vivement clair ma comprhension de la gravitation et contribu l'orientation de ce travail.

Je tiens galement remercier les membres du Laboratoire de Physique Mathmatique de l'Universit deBourgogne pour leur accueil et l'aide scientifique qu'ils m'ont apporte au cours de ces dernires annes. Mesremerciements vont plus particulirement Daniel Sternheimer, Georges Pinczon, Michel Semenov- Tian-Shanski , Jacques Simon, Christiane Martin et Jean-Claude Cortet. Je remercie galement Marylise Debretpour les aimables dmarches effectues par elle dans l'administration de la prsente thse.La phase prliminaire de cette recherche a t labore grce Gabriel Simonoff, du Laboratoire de Physiquede Bordeaux I . Son aide extrmement amicale, sa profonde vision d'homme de science et ses conseils m'ontt prcieux ds l'origine de cette longue recherche, voici dj bien des annes. Qu'il trouve ici le tmoignagede ma gratitude particulire. Que Jol Sternheimer, dont la pense libre et originale a fortifi monengagement dans cette recherche, soit galement remerci pour les mmes raisons. Et mon amical hommageva vers Jean-Claude Simon, mon tout premier matre en science.

Quant au fond, je tiens dire ma plus profonde gratitude Shahn Majid, du Laboratoire de Mathmatiques duQueen Mary et Westfield College, pour les trs nombreux changes et l'aide constante qu'il a bien voulum'apporter tout au long de ce travail. Sans ses conseils infaillibles et son exceptionnelle crativit dans ledomaine des groupes quantiques, cette recherche n'aurait jamais atteint les objectifs que je m'tais fix.Ma reconnaissance va galement Costas Kounnas, de l'Ecole Normale Suprieure, dont la pense gnreuseet la vision tonnamment intuitive clairent ce travail, notamment dans les domaines de la gravitquantique. Les changes toujours stimulants que j'ai eu le privilge d'avoir avec lui ont t le fondement denombre de mes ides ou rsultats les plus significatifs. Igniatios Antoniadis, de l' cole Polytechnique, aquant lui orient ma progression en thorie des cordes et je l'en remercie. De mme, Gabriel Veneziano, duCERN, a enrichi de sa vision mon approche de la cosmologie primordiale. Et tout comme Shahn Majid,Dimitri Gourvitch de l'Universit de Valenciennes a inspir certaines de mes recherches dans le domaine dela q-dformation. Qu'il en soit galement remerci, comme tous ceux qui ont accept de faire partie du jury.Que A.M. Poliakov, S. Deser, M. Takesaki, E. Witten, M.Dubois-Violette, G. t'Hooft, J. Demaret, F.Combes, D. Lambert, S.K. Donaldson, C. Vafa, L.L. Vaksman, M. Shifman, R. Jackiw, R. Engeldinger,O. Ogievetsky, N.Yu. Reshetikhin, S. Ferrara, C. Kiefer, R. Haag, T. Damour, L. Alvarez-Gaum, J.M.Souriau, J. Frhlich, A. Ashtekar, S. Parmentier, R. Stora, A. Chakrabarti, M. Gromov, P. Fr, E.V.Shuryak, C. Olive, S. Helgason, S.Coleman , M.A. Rieffel, M. Winnink, S.L. Woronowicz, et biend'autres tout au long des annes trouvent ici le tmoignage de mes remerciements pour les changesparticulirement enrichissants que nous avons pu avoir et l'accueil toujours chaleureux qu'ils m'ont rserv.

Enfin, ma reconnaissance sincre va vers ceux qui ont relu et supervis la dernire version de ce travail : S.Majid et D. Gourvitch pour la partie groupes quantiques, C. M. Marle, de Paris VI, pour la partie groupesclassiques et gomtrie, E. Leichtnam, de l'ENS, pour les algbres d'oprateurs, C. Kounnas pour les aspectsphysiques. Je remercie galement P. Cartier et M. Enock qui m'ont fait l'honneur de lire attentivementcertaines parties de ce travail. Qu'ils soient tous remercis pour le temps qu'ils m'ont consacr.

Dans le mme esprit, je salue avec reconnaissance Martine Bauer, dont l'aide si gnreuse a permis laralisation matrielle de ce travail.

Enfin, mon affection me porte vers Jacqueline Beytout, inspiratrice de mon tout premier engagement danscette longue recherche et indfectible soutien depuis.Nous tenons remercier le gnral Novacq, Directeur Gnral de l'Ecole Polytechnique et toutes lesautorits comptentes qui ont permis la soutenance de cette thse de Doctorat de l'Universit de Bourgogneau sein de l'Ecole Polytechnique.

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INTRODUCTION GENERALE___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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INTRODUCTION GENERALE

Les premiers fondements d'une thorie cosmologique explicitement fonde sur l'hypothse d'un changement designature de la mtrique de l'espace-temps ont t dvelopps par S. Hawking en 1978 [268]. L'hypothse deHawking postule le changement discret de la mtrique de Lorentz la mtrique Euclidienne dfinie positive.Inspire des mthodes Euclidiennes de C.Lanczos [324][325] puis J. Schwinger [454] ou Nakano [408] en thorieconstructive des champs, cette hypothse est aujourd'hui considre en cosmologie quantique, notamment par G.Gibbons [238] , G.F.R. Ellis et al [198] et d'autres, sur des bases qui restent cependant plutt formelles.

Notre tude, fonde sur les aspects mathmatiques des chapitres 1, 2 et 3 (notamment le chap. 3 o nous analysonsle changement de signature dans le cadre de la thorie des groupes quantiques) va dans le mme sens, mais enintroduisant, l'chelle de Planck, une phase de transition (i.e. superposition ) de la signature au cours du passageLorentzien Euclidien.

01.1 En gnral, pour 0 < t temps de Planck 10-43 s, les modles changement de signature de la mtriqueproposent la transformation globale, par rotation de Wick ( = - i t) et sans phase intermdiaire, de la mtriqueLorentzienne (+ + + -) en une mtrique statique purement Euclidienne (+ + + +), dcrite par la fonction d'onde :

< (h'ij, ', S2 ) | (h ij, S1 ) > = [g ] [ ] exp [- I (g , )] (0.1)

Contrairement au cas Lorentzien, tous les champs commutent dans le cadre Euclidien ( 0), de sorte que lesdirections genre espace et genre temps, dissymtriques l'chelle relativiste, sont symtrises l'chelle de Planckau sein d'une varit quadri-dimensionnelle sans bords, sans chelle et sans origine, sur laquelle agt SO(4). Ce typede gomtrie dfinit l'hypersphre du type S4 postule par Hartle-Hawking [266] en gravit quantique. Lacompatibilit de cette hypothse avec les contraintes relativistes a t tablie par G.F.R. Ellis et al [198] en 1991.Toutefois, dans les modles cits ci-dessus, (i) la principale justification l'introduction de la mtrique Euclidienneest de permettre la rsolution de l'intgrales de chemins par les mthodes de l'analyse complexe. La rotation deWick n'est alors qu'une transformation de coordonnes, sans fondement physique. Par ailleurs, (ii) l'existence d'unemtrique signature fixe (Lorentzienne ou Euclidienne) l'chelle de Planck ne parat pas compatible avec lescontraintes de la gravit quantique. Enfin, (iii) l'approche Euclidienne efface la notion de singularit initiale et entredonc en contradiction avec les thormes relativistes de singularit prdisant une origine singulire l'espace-temps.

Ds le dbut de notre travail, il nous est apparu que la mthode consistant "transporter" l'chelle de Planck lamtrique Lorentzienne g sans modifier sa signature s (3, 1), est difficilement compatible avec les contraintesde la gravit quantique. Par ailleurs, l'intressante proposition de S.Hawking et al [265][268] d'une mtriquestatique Euclidienne (++++), (rcemment dveloppe avec N. Turok [271] sous la forme d'un instanton singulierraccord l'espace-temps Lorentzien au voisinage de l'chelle de Planck) outre son aspect formel, ne rsout quepartiellement ces difficults tout en en crant d'autres au moins aussi profondes.

01.2 Nous proposons ici une solution nouvelle, fonde sur une possible fluctuation (3, 1) (4, 0) de lasignature de la mtrique l'chelle de Planck. Du point de vue mathmatique, nous partons des travaux pionniers deM. Flato, A. Lichnerowicz et D. Sternheimer sur les dformations d'algbres et produits - * (1974) [211], ceux deV.G. Drinfeld (1985) [189], M. Jimbo (1985) [290]291] et S. Majid (1988) [356][357] sur les groupes quantiques,ceux d'A. Connes (1973) [139] sur la classification des facteurs de type III. Du point de vue physique, nousconsidrons la thorie KMS (1967) [260] et les travaux de A.M. Polyakov (1975) [68] et G. t'Hooft (1976) [488]sur les configurations du type monopoles et instantons. Enfin, - partir notamment de certains rsultats de C.M.Hull et al [282], C. Kounnas et al [[311] - nous considrons la thorie topologique de E.Witten [518], Euclidienneet effective l'chelle 0, comme duale (i - duale) de la thorie quantique des champs (qui, elle, est Lorentzienne).Dans la suite, nous indiquons alors que l'intgrale de chemins dcrivant l'espace-temps entre l'chelle 0 et l'chelle

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de Planck devrait contenir deux formes d'actions, duales l'une de l'autre : l'action Lorentzienne ( ) et l'action

Euclidienne ( ) , combines sous la forme ( ) :

( ) = d4x g ( 12 lp x0) ( ) (x0

12 lp) ( ) (0. 2)

Nous suggrons que le poids de la signature physique Lorentzienne dans l'intgrale fonctionnelle I, dominant

l'chelle de Planck PGc

3

12

1, 7. 10-33 cm diminue l'approche de l'chelle 0 0. A l'inverse, celui de

la signature topologique Riemannienne, faible grande chelle, doit devenir dominant au voisinage de la singularitinitiale. Nos rsultats semblent donc indiquer qu'en de de la phase d'expansion physique de l'espace-temps (l'chelle > p), il pourrait exister, au voisinage de l'chelle = 0, une phase d'"expansion topologique" (au sensde la thorie topologique de Witten [518]), dans le secteur non perturbatif de la thorie, i - duale de la phasephysique. Nous appelons "flot topologique dilatant" le flot obtenu en temps imaginaire pur en remplaant t par itdans le flot temporel associ l'volution de Heisenberg. Ce flot est caractris par un courant tensorielantisymtrique B du type axion (partenaire du dilaton en supergravit N=2), et sa source est situe l'chelle 0.

01.3 Notre premier objectif a t de dfinir certains aspects mathmatiques de la fluctuation de la signature. Nousnous efforons d'abord de mettre en vidence (chap. 1 et chap. 2) l'existence et les proprits de la superpositionentre ds(3,1)

2, mtrique (3, 1) de l'espace-temps et ds(4)

2, mtrique (4, 0) de l'espace quadridimensionnel Euclidien.

Notre mthode consiste "unifier" (dans l'esprit de Flato) [210] les deux algbres de Lie so(3, 1) et so(4) associesau deux groupes SO(3, 1) et SO(4) agissant sur 3, 1 et sur 4. Nous ralisons cette unification des deux groupesLorentzien et Riemannien au sein de l'espace homogne symtrique

h =SO(3,1) SO(4)

SO(3)

A partir de h, nous construisons l'espace topologique quotient

top = 3, 1

4

SO(3)

dcrivant la superposition des deux classes de mtriques Lorentzienne et Riemannienne. Nous montrons que topcomporte une singularit l'origine, ce qui indique que l'espace de superposition des mtriques admet une originesingulire. Sur le plan cosmologique, la consquence intressate est que la notion de fluctuation de la signaturesemble alors constituer un argument en faveur de l'existence de la Singularit Initiale de l'espace-temps.

01.4 Notre hypothse de fluctuation de la signature l'chelle de Planck nous a ensuite conduit rechercher unlien possible entre quantification de l'espace-temps et dformation de la signature de la mtrique. Ceci est suggrdans le contexte de la q-dformation et des groupes quantiques.

Par quantification d'un systme, l'on peut entendre une * - algbre A (une * - sous-algbre d'oprateurs borns surun espace de Hilbert ) contenant les observables de position et de quantit de mouvement comme * - sous-algbrestelles que :

et

f e t

et ( f )^

,

et ( f )( x) f (

et (x)) (0.3)

dsignant l'action d'un groupe G sur une observable , les positions observables tant des fonctions C(X). Dansce cas, l'on a pour l'algbre A : A = C(X) G. Soit alors le diagramme de Majid [382] :

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III

C(S3) U(su(2)) Dformation BSq3

Uq (su(2)) ~ Uq(so(4))Quantification Quantification

C(S3) U(su(2)) Dformation BSq3 Uq(su(2)) ~ Uq (so(3, 1))

(0.4)

Ici BSq3

est l'anneau de coordonnes tress de la q-3-sphre [425]. Or, BSq3

BUq (su(2)) . Pour q 1, le membresuprieur de (0.4) est une version partiellement tresse de Uq(su(2) Uq(su(2)) = Uq(so(4)). En revanche,BSq

3 Uq(su(2)) est isomorphe au double quantique de Drinfeld (Uq(su(2)) [189-190] , lequel, pour q 1, estisomorphe Uq(so(3,1)). L'on observe ainsi partir de (0.4) que la quantification parat relie un possiblechangement de signature dans le cas q-dform.

Une autre approche suggre le mme rsultat, soit :

Uq(so(3, 1)) (Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(su(2)) (0.5)

En effet, dans le cas du carr twist de Reshetikhin - Semenov-Tian-Shanski [446], dual du double de Drinfeld[189][190],

reprsente un twisting supplmentaire du coproduit associ au cas Euclidien :

Uq(so(4)) = Uq(su(2))

Uq(su(2))

Un tel twisting correspond galement un type de quantification, dans l'approche de Drinfeld, de Uq(g) en thorie dequasi-algbres de Hopf [190]. Ces deux observations sont le point de dpart de notre tude.

Spcifiquement, nous obtenons dans les sections 3.2 et 3.3 certaines constructions algbriques nouvelles, motivespar nos considrations physiques des chaps 4, 5 et 6. En particulier, nous montrons l'existence du nouveau produitbicrois cocyclique

M (H) = Hop H (0.6)

Une telle construction est inspire par l'ide d'unifier les signatures Lorentzienne et Euclidienne au sein d'unestructure unique de groupes quantique , ce que nous parvenons faire sous la forme du produit bicrois cocyclique

Uq(so(4))op Uq (so(3, 1)) (0.7))

Par ailleurs, nous suggrons que la "semidualisation", transformation propose par S. Majid [382], permet dedcrire la transition du groupe q-Euclidien vers le groupe q-Lorentzien (et inversement) :

Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(4))semidualisation

Uq(su(2))* Uq(su(2)) Uq(so(3, 1))

En outre, nous avons montr en 3.4 que dans le domaine de la q-dformation de l'espace-temps, les structuresnaturelles q

4et q

3, 1

, covariantes sous Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) sont relies comme suit :

Uq (su(2))Dualit de - algbres de Hopf

SUq (2) ~ q4 / 1

Transmutation q - changement de signature

BUq (su(2)) Autodualit de groupes - tresss BSUq(2) = q3, 1 / 1

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o nous mettons en vidence l'existence d'une dualit entre q4

q3, 1

comme un genre de T-dualit. Notons qu'unetelle interprtation n'est possible que lorsque q 1 - i.e. est un effet de l'chelle de Planck-.

Pour finir, nous tudions de la mme manire les structures des groupes de q-Poincar

q3, 1

Uq (so (3 , 1))~

(0.8)

etc.. et les relions au groupe de -Poincar P [374] ainsi qu' leurs diffrentes dformations par twisting. Nousdiscutons alors la conjecture selon laquelle il existe peut tre un lien gnral entre cocycle de dformation ,courbure (gnralement de l'espace des phases du sytme mais ici courbure du pr-espace-temps) et anomalie(s) de lathorie.

Nos constructions algbriques du chapitre 3 suggrent ainsi que, pour tre compatible avec les contraintes de lasupergravit et de la gomtrie non commutative cette chelle, la superposition de signature (+ + + ) devraittre envisage comme un lment nouveau de la gravit quantique.

01.5 Notre deuxime objectif a t de mettre en vidence (parfois de manire heuristique) que le possiblechangement de signature de la mtrique l'chelle de Planck n'est pas seulement formel mais pourrait avoir uncontenu effectif. Ainsi, notre propos n'a pas t de construire (dans les chapitres 4 et 8) de nouveaux rsultatsmathmatiques concernant les algbres d'oprateurs mais plutt d'utiliser certaines notions de la thorie des algbresde Von Neumann (groupe modulaire, tat KMS), pour illustrer les motivations physiques de notre recherche. Nousesprons que de futurs dveloppements mathmatiques viendront tayer, dans ce domaine, nos premiers rsultats.

Il apparat (4.1.2) que du point de vue thermodynamique, la temprature de Planck

planck-1

Tp EPkB

c5

G

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kB1 1,4 1032 K

marque la limite de temprature physique du systme. Les rsultats de S. Weinberg [509] paraissent indiquer quel'espace-temps l'chelle de Planck forme un systme globalement en quilibre thermique. D'un point de vuealgbrique, un tat d'quilibre est un tat sur une C* - algbre quasi-locale, engendr par une sous-algbrecorrespondant aux observables cinmatiques du sous-systme. Partant de l'tat d'quilibre, nous tirons en 4.3.2 quele pr-espace-temps l'chelle de Planck peut tre vu comme soumis la condition de Kubo-Martin-Schwinger(KMS [319][387]). Dans les limites de la bande holomorphe KMS, la quatrime direction de la mtrique peut alorstre considre comme complexe. Nous suggrons donc l'existence d'un potentiel effectif une boucle, coupl ensupergravit N = 2 au dilaton complexe :

diag(1 , 1 , 1 , ei ) (0.9)

La signature de la mtrique (0.9), munie prsent d'un degr de libert supplmentaire sur la composante g44 , estLorentzienne pour = et peut devenir Euclidienne pour = 0. La thorie modulaire de Tomita [482], suggrealors la "dualisation" de la signature, donne par les automorphismes gnraliss de A que l'on peut crire :

c e

c H A e c H (0.10)

Le flot temporel associ (0.10) est formellement holomorphe en la variable c = r+ ii . Le groupe desautomorphismes modulaires

c engendre deux flots en dualit, soit d'une part :

r e

i i H A e i i H (0.11)

correspondant l'algbre des observables et au flot Lorentzien en temps rel et, d'autre part, le courant dual

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V

i e

r H A e r H (0.12)

donnant sur A un semi-groupe d'oprateurs non borns et non stellaires. Le flot i de A n'est pas dfini sur A

toute entire mais sur un idal { de A et coupl au flot topologique en temps imaginaire pur = i t. Dans lemodle que nous proposons, l'algbre des observables, dcrite par (0.11) est remplace l'chelle 0 de l'espace-tempspar une nouvelle algbre en (0.12), que nous suggrons d'appeler "algbre des pseudo-observables", duale selon nousde l'algbre de Heisenberg

rsous la forme (0.12). A l'chelle singulire = 0, il n'est plus possible de conserver

la notion d'observables physiques; la place, l'on considre les cycles d'homologie dans l'espace des modules desinstantons gravitationnels (de taille 0). Cette dernire conclusion reste vraie, en temps imaginaire pur, pour tout > 0 rel. Une telle approche nous a permis de distinguer trois domaines diffrents sur le "cne de lumirecosmologique", chacun de ces domaines tant dcrit par une algbre de Von Neumann spcifique. Plus prcisment,si nous appelons M0,1 = R F le facteur R0,1 de type II correspondant l'chelle singulire 0, comme toutes lestransformations ergodiques partir de M0,1 (flots associs l'chelle 0) sont faiblement quivalentes [149], M0,1est un facteur hyperfini, du type ITPFI d'Araki-Woods [31]. Le facteur M0,1 est alors canonique. Plusgnralement, il existe ainsi trois chelles (correspondant aux trois rgions du cne de lumire cosmologique dans leshma (0.1) ) :

(i) l'chelle topologique (chelle 0 associe =0) dcrit par l'ITPFI de type II

M0,1 ;

(ii) l'chelle quantique de superposition (0 Planck), dcrite par le facteur Mc de type I .

Pour finir, remarquons que le flot des poids associ au facteur M0,1 de type II l'chelle 0 de l'espace-temps estun invariant de M0,1. Or, nous allons voir au chapitre 7 que la singularit initiale est galement dcrite par uninvariant topologique, Is = tr(-1)s, que nous appelons "invariant de singularit", isomorphe au premier invariant deDonaldson. Nous retrouvons alors, par un tout autre chemin, la mme description de la singularit initiale sous laforme d'un invariant topologique. Ceci renforce notre description du "flot d'volution Euclidienne" en termes de flotdes poids.

01.6 Revenons aux aspects physiques de la thorie de superposition. Comme nous l'indiquons au chap. 4, ildevrait exister, l'chelle de Planck, une limite la temprature - et la courbure - du pr-espace-temps, limitepostule par Hagedorn, et prcise par Atick et Witten [38], au del de laquelle l'on devrait considrer un secteurpurement topologique, postul par la thorie topologique des champs de Witten ou Donaldson. Le premier invariantde Donaldson est une forme algbrique "Riemannienne" dont nous suggrons en 7.3.2 l'isomorphisme avecl'invariant topologique caractrisant, selon notre approche, la limite d'chelle 0. A cette chelle "topologique", lathorie ne devrait donc plus tre considre comme singulire mais devrait plutt tre redfinie sous une nouvelleforme Eucldienne. Cette approche repose sur deux ides essentielles :

((i) Conformment certaines rsultats en thorie des (super)cordes, notamment ceux de E. Kiritsis et C. Kounnasdans [313], nous considrons l'hypothse selon laquelle, trs haute courbure (i.e. l'chelle de Planck T

~ MPlanck) la gravitation classique, dcrite par l'approximation O(1/MPlanck) n'est plus valable. Nous proposons

donc d'introduire, dans le Lagrangien "quantique" de la thorie, des termes de drives suprieures en R2 (tout enconsidrant, en dimension 4, la possibilit d'un "cut off" des termes de drives plus hautes sur la limite R2, ce quilimine les termes en R3+ ... + Rn de la thorie des cordes). Nous conjecturons que ces termes peuvent autoriser lasuperposition (3, 1) (4, 0) de la signature de la mtrique dans le cadre d'une thorie largissant la gravitationclassique de type Einstein. A partir des indications du chap. 4 selon lesquelles l'espace-temps l'chelle de Planckdevrait tre vu comme soumis la condition KMS, nous postulons de manire naturelle l'existence de deuxpotentiels gravitationnels distincts. Nous conjecturons alors qu'en supergravit R + R2 (et en N = 2),l'approximation linarise de la mtrique de Schwartzschild peut tre considre comme une solution locale exacte de la thorie tendue. Nous en tirons la conjecture 4.1.1 selon laquelle la prsence de termes non linaires R2 dansle Lagrangien effectif de supergravit peut autoriser la superposition (3, 1) / (4, 0) de la signature de la mtrique partir de l'chelle de Planck

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VI

Au deuxime paragraphe du chap. 5, nous prcisons le contenu du Lagrangien quadratique qui nous parat le plusnaturellement adapt aux conditions de trs hautes courbures de la varit, lorsque l'chelle lPlanck (i.e. pourdes chelles de longueur "infrieures" la longueur de Planck). Notons qu'au sens strict, la notion "infrieur lalongueur de Planck" n'a plus de signification en termes de distance, en raison mme de la perturbation portant sur lamtrique Lorentzienne. Notre Lagrangien tendu est donc :

Lsupergravit = R

1g2

R2 RR* (0.13)

avec une composante physique Lorentzienne (le terme d'Einstein R ) et une composante topologique Euclidienne(le terme topologique RR*). L'interpolation entre ces deux composantes, selon un mcanisme que noussuggrons ci-dessous, nous incite donc considrer que Lsupergravit dcrit correctement les deux ples (physique ettopologique) d'une mme thorie (la superposition) ainsi que les deux mtriques associes.

Nous indiquons ainsi qu' la limite d'chelle = 0, la thorie, de dimension D = 4, rduite RR*, domine pardes instantons gravitationnels de dimension 0, peut tre vue comme purement topologique. Dans ce secteur, lamtrique est statique, dfinie positive Euclidienne (+ + + +). Le domaine de validit de l'volution Euclidiennes'tend jusqu' l'chelle de Planck ~ lPlanck. Au del de l'chelle de Planck ( lPlanck), la thorie est de typeLorentzien et galement de dimension D = 4. Enfin, dans le secteur de gravit quantique (0 lPlanck), lathorie, dfinie par la quantification du groupe de Lorentz, possde une dimension supplmentaire (D = 5), laquelleautorise la superposition des deux classes Lorentzienne et Euclidienne (ce qui induit une phase de "superposition"des signatures (3, 1) (4, 0). La dynamique du pr-espace-temps correspondrait alors l'expansion d'un monoplegravitationnel de dimension 5 tandis que la superposition peut tre associe (aprs compactification de la quatrimecoordonne spatiale du monople D = 5) une dualit monople-Instanton d'un genre nouveau en dimension 4.

Enfin, lorsque lPlanck , l'espace-temps entre dans la phase Lorentzienne conventionnelle de l'expansioncosmologique.

01.7 A partir de l'approche prcdente, nous entreprenons d'approfondir au chap. 6 la notion de superpositioneffective des mtriques. Pour cela, comme annonc en 01.6, nous suggrons d'associer les mtriques Lorentziennes des configurations gravitationnelles du type monoples de t'Hooft - Polyakov [488] 4 dimensions. Cesmonoples de dimension 4 rsultent de la compactification, au voisinage de l'chelle de Planck (limite infra-rougede la thorie), de la quatrime coordonne x4 du monople de dimension 5. De mme, nous associons la mtriqueRiemannienne la configuration du type instanton gravitationnel. Nous considrons alors que le i-dual de la thoriemonoplaire D = 4 (+ + + -) est la thorie topologique du type instanton D = 4, de signature (+ + + +). Dans lecadre de la S / T - dualit construite en thorie des cordes - o existe une dualit entre les champs T et S, la i-dualitmonople-instanton isodimensionelle (D = 4) est possible (il convient de noter ici que notre modle desuperposition, de dimension D = 5, se situe dans le secteur de basse dimension de la thorie des cordes et, de ce fait,peut se voir appliquer nombre de ses rsultats). Nous suggrons alors que la mtrique Euclidienne peut avoir uneexistence effective entre l'chelle 0 et l'chelle de Planck et n'xerce plus qu'un effet purement topologique l'chelle relativiste.

Plus gnralement, partir des S / T - dualits, nous suggrons que le secteur physique (chelle de Planck) et lesecteur topologique (chelle 0) peuvent tre vus comme relis par une symtrie gnrale, du type U-dualit enthorie des cordes [282], telle que U = S T. Cette U-dualit (qui change la S-dualit entre couplages fort et faibleavec la T-dualit) dfinit une dualit "de forme" (au sens de E. Verlinde [508]) entre l'origine singulire et la limite" grande chelle" (chelle de Planck) de la varit, i.e. entre le vide topologique (chelle 0) et le vide physique(chelle de Planck) de la thorie :

Vide physique ( = Planck, monopole, (+ + + -)) U dualit Vide topologique ( = 0, instanton, (+ + + +) )

La U-dualit, rappele en 7.2.1, applique le secteur physique de la thorie sur le secteur topologique et vice-versa.La limite topologique de dimension D = 4 correspond, selon nous, la limite de temprature du systme physiqueD = 3+1. Partant de la varit ferme M de dimension (3+1) et tant une varit lisse de dimension 3, l'invariant

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VII

Z(M) est donn par la fonction de partition Z, l'espace vectoriel Z( ) tant l'espace de Hilbert de la thorie.L'endomorphisme de Z( ) donn par Z( x Id) est alors l'oprateur d'volution en temps imaginaire e - H, avec = 0 sur la limite topologique non triviale associe l'invariant de singularit Tr(-1)s. Quoique la thorietopologique ne soit pas dynamique, il existe nanmoins un phnomne de "propagation topologique" ( outopologique), qui s'effectue suivant un cobordisme non trivial, analogue celui dj tudi par M. Atiyah [50] dansun autre contexte. Rappelons ici qu'une "amplitude topologique", au sens de Witten [518], reprsente uneinteraction, dans un systme, indpendante des distances entre les points du systme. Nous considrons au chapitre 7que les amplitudes "physiques" (au sens de [24]) de la thorie topologique de la gravitation sont les invariants deDonaldson. De ce point de vue, les amplitudes considres impliquent l'existence d'observables non locales (quenous appelons "pseudo-observables", relies la sphre S3 (bord de l'instanton gravitationnel singulier muni de latopologie de la boule B4).

Dans la perspective ci-dessus, nous considrons donc l'existence, au del de l'chelle de supersymtrie, d'une chellede symtrie plus haute, unifiant les deux seules composantes de l'espace-temps encore diffrencies l'chelle dePlanck : la direction genre espace et la direction genre temps. Il s'agt d'une symtrie de jauge, ralisant l'quivalenceentre les quatre directions du champ de jauge gravitationnel g La configuration de champ associe est du typeinstanton (super)gravitationnel de taille 0, construit par E. Witten en thorie de Yang et Mills [295] l'chelle = 0de l'espace des modules d'instantons. A cet gard, une bonne image de la symtrie Euclidienne correspond, sur lavarit Riemannienne sous-jacente de dimension 4, une "entropie topologique" nulle, par oppostion au cas de lavarit Lorentzienne habituelle. En effet, l'entropie topologique h

top(g) sur une varit M est :

h top (g) lim

r

1r

Log (# { / g( ) R} )

o est une godsique priodique et g( ) sa longueur mesure par la mtrique g. A prsent, sur une 4-varitmunie d' une mtrique dont la signature est Lorentzienne, l'entropie topologique du flot godsique est non nulle. Eneffet, la signature (3, 1) de g sur M confre M une structure hyperbolique. Or, selon G. Besson et al [79 - B.E.] toute varit hyperbolique X est un minima local de l'entropie topologique du flot godsique. Parcontraste, sur une varit Euclidienne M0 correspondant l' chelle 0 de l'espace-temps, l'entropie topologique estnulle. En effet, s'agissant de la boule B4 bord S3, il a t montr par A. Katok [306- B.E.] que son entropietopologique est nulle :

h top(g)B4 = 0

Parmi les consquences de la nullit de l'entropie topologique au voisinage de l'origine de l'espace-temps M0,sachant que le taux de croissance exponentiel p() des orbites priodiques sur une varit M est gal l'entropietopologique htop(), nous dduisons de h

top(g)M0 = 0 que le systme sous-jacent la boule B4 reprsentant M0n' est pas un systme dynamique. Plus prcisment, l'on montre qu'il s'agt, justement, d'une "pseudo-dynamiqueEuclidienne", de nature ergodique. Dans un tel cadre thorique, la transition de signature s'exprime alors par lepassage d'une entropie topologique nulle une entropie non nulle.

Pour conclure, il est intressant de remarquer que, hors mis cette dernire considration, l'on retrouve dans 01.6 et01.7 une image plus physique de certains de nos rsultats acquis en q-dformation, notamment ceux sur lasemidualisation et les dualits d'algbres de Hopf sous-jacentes la transition de signature.

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VIII

01.8 En quoi notre approche peut-elle, ce stade, dboucher sur une solution possible du problme de laSingularit Initiale du modle cosmologique type "Big Bang" ? Au chapitre 7, nous discutons notre reprsentationde l'chelle singulire 0. La singularit initiale, hors de porte de la thorie quantique mais bien dfinie par lathorie topologique des champs, peut donc tre regarde ici non en termes de divergences de champs physiques maisen termes de symtries de champs topologiques et d'invariants associs (comme le premier invariant de Donaldson[178-179]) :

I = ( 1)n ii

(0.14)

L'une des insuffisances (sans doute la plus proccupante) du modle type "Big Bang" reste en effet son impuissance fournir une image de l'origine singulire de l'espace-temps. Or, une rsolution possible de la Singularit Initiale,que nous proposons au chapitre 7, est de considrer que l'chelle 0, qui ne peut pas tre dcrite par la thoriephysique (perturbative) devrait l'tre par la thorie duale (non perturbative), de type topologique. L'on dfinithabituellement, partir de Witten [518], la thorie topologique comme la quantification de zro, le Lagrangien de lathorie tant (i) soit un mode 0, soit (ii) une classe caractristique

cn (V ) d'un fibr vectoriel V Mconstruit sur l'espace-temps. Nous proposons alors en (7.1.3) une nouvelle limite topologique de la thorie, nontriviale, fonde non plus sur H = 0 mais sur = 0 et donc indpendante de H. La limite topologique ordinaire de lathorie quantique des champs, dcrite par l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n est donne par la limite de la fonction departition Z = Tr(-1)ne -H pour les valeurs nulles (ou invariantes) de H. En revanche, dans notre cas, nouschoisissons le mode 0 de l'chelle ( = 0). Alors Z devient (s reprsentant le nombre d'instantons de la thorie) :

Z=0

= Tr (-1)s (0.15)

Ce nouvel invariant, isomorphe l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n, peut explicitement tre associ la singularitinitiale du pr-espace-temps, atteinte pour la valeur = 0 de la fonction de partition des tats. Nous proposonsd'appeler "invariant de singularit" ce nouvel invariant, associ l'instanton gravitationnel singulier de taille 0. L'onpeut alors tendre la dualit monople-instanton propose au chap. 6 en suggrant qu'une telle symtrie de dualitrelie l'anneau de cohomologie BRST (secteur physique de la thorie) et l'anneau de cohomologie de l'espace desmodules des instantons (secteur topologique). Les groupes de cohomologie BRST [217], ayant pour formegnrique

HBRST(g )

=

ker QBRST(g)imQBRST(g 1)

(0.16)

nous considrons que la thorie topologique ralise alors l'injection d'anneaux :

HBRST g 0 Uk

HBRSTg H mod

(k) i 0 dk H(i) mod

(k) (0.17)

qui fournit un chemin injectif du mode physique dans le mode topologique. En termes d'observables

O i et de cyclesd'homologie

Hi Mmod dans l'espace des modules

Mmod des configurations du type instantons gravitationnels[ (x)] sur les champs gravitationnels de la thorie, nous relevons l'quivalence :

O 1O 2 ... O n #(H1 H2 ... Hn) (0.18)

o le secteur physique de la thorie est dcrit par les observables

O i et le secteur dual, de type topologique, par lescycles d'homologie

Hi Mmod . L'oscillation de signature entre secteur physique et secteur topologique est alorsinduite par la divergence Uk j d4x du courant-fantme [73][217] j . Lorsque U = 0, comme iln'existe pas d'espace de plongement pour l'espace des modules, nous suggrons (Ch.7) que la thorie est alorsprojete dans la branche de Coulomb, l'origine de

Mmod , sur un instanton singulier de taille 0 [524] que nousidentifions l'espace-temps l'chelle 0. La thorie est ramifie sur le secteur purement topologique Hi , lasignature correspondant ce secteur tant Euclidienne (+ + + +).

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IX

01.9 Nous suggrons alors, toujours au chap. 7, que l'image de la symtrie 0, dcrite par le groupe de jauge nonbris du type SU(2) SU(2), est donne par le premier invariant de Donaldson [178][179], associ ici l'exsitenced'une "amplitude topologique" caractrisant la thorie. Lorsque la dimension dim de l'espace des modules desinstantons est non nul, les invariants de Donaldson sont donns par la fonction de corrlation de la thorie :

Z( 1 . .. r ) DX e S Wk 1 ii 1

r

Wk i

ii 1

r

(Dim k 0) (0.19)

Or, notre rsultat formel le plus surprenant est qu' l'chelle = 0 associe la limite des hautes tempratures,l'espace des modules des instantons tant nul sur cette limite, la fonction de partition, donne par

Z 0

Tr(-1)s e H (0.20)

doit redonner le premier invariant de Donaldson

I = ( 1)n ii

,

invariant topologique non polynomial, rduit un entier pour dim k = 0 [178]. Cette limite

Z 0

Tr(-1)s

de la fonction de partition (0.19) correspond une symtrie gnralise de tous les tats possibles de la mtrique,tous les tats instantoniques de g , donns par la charge topologique de l'instanton gravitationnel singulier, tantquivalents l'chelle 0. Nous appelons "symtrie 0" la symtrie gnralise caractrisant l'chelle singulire 0.L'approche ci-dessus -combine celle du chap. 6 tablissant, dans le cadre d'un modle , le couplage l'chelle dePlanck entre une gravit Euclidienne de dimension 3 et un "target space" de dimension 2 (secteur scalaire) fournitune image qualitative de la singularit initiale d'espace-temps en tant qu'orbifod conique (ou conifold) G telle que

iR2

Zn. En largissant ce dernier point de vue, une application conjecturale de la thorie des cycles

d'vanescence et polydres d'effondrement [326 B.E.] suggre nouveau que la limite de la thorie Lorentzienne estpurement topologique. En effet, en thorie des effondrements Riemannien et des polydres d'vanescence donnantdes cycles de singularit [419], la dgnrescence mtrique l' chelle 0 concerne non pas la mtrique Euclienne,bien dfinie, mais la mtrique Lorentzienne, dgnre sur cette limite. L'on peut alors conjecturer que la signaturephysique devient vanescente (au sens de Milnor [401]) au voisinage de 0, la signature dominante tantRiemannienne. Nous tirons en effet de t l'existence d'un polydre d'effondrement (ou d'vanescence) auvoisinage de l'chelle 0 tel que la mtrique Lorentzienne s'effondre sur la mtrique Riemannienne (+ + + +) autourdu point isol singulier 0. Nous retrouvons ici la notion d'effondrement de Cheeger et Gromov [419]. Nosrecherches prliminaires nous ont permis de constater que la thorie des polydres d'effondrement en dimension 4induit de manire naturelle d'une part l'existence d'un espace de superposition de dimension 5 (correspondant lacomplexification de la direction t de la mtrique) et, d'autre part, conduit une solution de la Singularit Initialecomme limite Riemannienne de type B4 effondr sur un point, limite du cycle d'effondrement d'une varit dedimension 5. Bien que les dveloppements que nous avons effectu cet gard ne soient pas inclus dans le prsenttravail, il a t pour nous encourageant de retrouver, par une toute autre voie, une structure topologique analogue celle de l'instanton gravitationnel intervenant dans la thorie (la topologie de la boule B4).

Nous suggrons en effet pour modle gomtrique de l'instanton la boule B4 borne par la sphre S3. Lapropagation de la solution dpend alors du support de l'instanton gravitationnel : au voisinage de la limite 0, ilexiste une accumulation de la charge topologique au dessus du point singulier S0 telle que la densit de chargetopologique RR* ; dans la situation duale, correspondant l'tat fondamental, le support de l'instanton esttendu l'infini et RR* 0. La transition de 0 l'infini est alors dcrite par les transformations conformes de lasphre.

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X

01.10 Nos hypothses du chap 8 suggrent ainsi, de manire conjecturale, l'existence d'une premire phased'expansion purement topologique du pr-espace-temps, paramtre par la croissance de la dimension de l'espace desmodules dim et dcrite par la "pseudo-dynamique" Euclidienne. Cette "pseudo-dynamique" peut tre vueheuristiquement comme un accroissement du diamtre de l'espace des tats d( ) en temps Euclidien (dual del'espace des observables en temps Lorentzien). Notre conjecture est que cette "dynamique Euclidienne" pourrait tredcrite de manire naturelle par le flot des poids (au sens de Connes-Takesaki) de l'algbre de type II dcrivant lespseudo-tats de la mtrique l'chelle = 0. Nous conjecturons galement que le flot modulaire Euclidienreprsentant l'volution d'un systme en temps imaginaire pourrait correspondre un accroissement de la distancespectrale sparant les tats du systme.

L'origine de l'espace-temps peut, in fine, tre vue comme rsultant de la brisure de la symtrie temps-espace l'chelle 0, brisure qui, bien en de de la brisure de supersymtrie l'chelle de Planck, engendre (i) l'mergence dutemps comme direction privilgie dans la 4-gomtrie initiale (ii) l'expansion topologique du pr-espace-tempsavant l'chelle de Planck et (iii) l'expansion physique au del de l'chelle de Planck.

En conclusion du chap. 8, nous suggrons partir de ce qui prcde l'existence d'un "principe de singularit" quenous formulons ainsi :

Principe de singularit : Tout point de l'espace-temps est reli la singularit initiale par un flottopologique.

Le principe de singularit, dcoule ici de l'invariant de singularit

Z 0

Tr(-1)s

lequel repose sur le fait que le bord de l'espace-temps peut tre identifi au bord S3 de l'instanton gravitationnelsingulier B4 de taille 0 reprsentant la singularit initiale de l'espace-temps. La propagation de la singularit initialeest induite par l'existence d'une amplitude topologique - du type charge de l'instanton gravitationnel singulier detaille 0, soit Q d4x R R , dtectable sur le bord S3 de l'instanton gravitationnel singulier muni de latopologie B4. Les pseudo-observables sont ici interprts comme cocycles sur l'espace des modules des instantonset sont associes aux cycles i de la 4-varit B4 (application de Donaldson). Considrant un point X de B4,l'amplitude topologique assurant la propagation de la charge instantonique prend alors la forme :

OS3 . O X #(S3, X)

L'amplitude topologique de la thorie est donne par les pseudo-observables du membre de gauche, tandis que lemembre de droite dsigne le nombre d'intersections des i B4. La fonction # (S3, X) est nulle si le point X estsitu hors de la sphre S3 et vaut 1 si X est l'intrieur de S3 (i.e. si X B4), cas o il existe une amplitudetopologique.

C'est dans cette perspective - et d'autres non voques dans ce prambule - que nous proposons de considrer dans larecherche qui suit le "modle hypersymtrique" - i.e. symtrie dcrite par SO(4) et fonde, l'chelle singulire =0,sur l'quivalence des trois directions genre espace et de la direction genre temps dans la mtrique d'espace-temps- .

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01.12 La prsente thse est donc organise comme suit :

Dans le chapitre 1 , nous introduisons nos rsultats en termes de groupes clasiques et suggrons l'existence d'un"chemin" algbrique dans l'oscillation de signature s de la mtrique : partir de (3, 1) - resp. de (4, 0) - s peutvoluer vers (4, 0) - resp. vers (3, 1) - mais jamais vers (2, 2).Dans le chap. 2 , nous construisons l'espace homogne symtrique susceptible de dcrire l'unification des deuxgroupes Lorentzien et Riemannien, ainsi que l'espace topologique quotient top dont l'on peut attendre unereprsentation correcte de la superposition des deux mtriques Lorentzienne et Riemannienne. .

Le chap. 3 contient nos principaux rsultats, acquis dans le domaine des groupes quantiques. Nous avons obtenucertaines constructions algbriques nouvelles, en particulier, les familles de produits bicroiss cocycliques. Cesconstructions explicitent la transition du groupe q-Euclidien vers le groupe q-Lorentzien ainsi que celle des espacessur lesquels agissent ces groupes.

Au chap. 4 nous abordons une approche plus physique et suggrons que l'espace-temps pourrait tre en tat KMS l'chelle de Planck, d'o nous tirons que le paramtre temporel devrait alors tre considr comme complexe. Dansce cas, les fluctuations quantiques du champ de temprature pourraient constituer la source des fluctuationsquantiques de la signature de la mtrique.

Au chap. 5 , nous proposons une extension de la gravit relativiste partir de l'chelle de Planck et adoptons unLagrangien de supergravit de la forme R + R2 + RR* . Dans ce nouveau cadre, la limite infrarouge lPlanck , ,la thorie est dcrite par le terme linaire en R (secteur Lorentzien) tandis que sur la limite ultraviolette 0, c'estle terme topologique RR* qui domine, la thorie ayant un contenu purement topologique (secteur Euclidien).

Au chap. 6 , nous proposons une dualit nouvelle, isodimensionnelle, entre instantons et monoples de dimension4. La relation de dualit, l'chelle de Planck, entre ces deux configurations du champ gravitationnel donne unebonne reprsentation semi-physique de la superposition des mtriques (3, 1) et (4, 0).

Au chap. 7 , nous indiquons une possible rsolution de la Singularit Initiale dans le cadre de la thorie topologiquede Witten (Euclidienne), duale de la thorie physique (Lorentzienne). La Singularit Initiale peut alors tre rsoluesous la forme d'un instanton gravitationnel singulier de taille 0.

Au chap. 8 , nous discutons la question de l'expansion primordiale du pr-espace-temps, depuis l'chelle 0 jusqu'l'chelle de Planck. Notre approche de la phase d'"expansion topologique" situe dans la rgion quantique du cne delumire est fonde sur des arguments algbriques (le flot des poids du facteur de type II associ l'chelle 0) ainsique sur des rsultats lis la thorie des instantons (en particulier la minimisation de la densit de chargetopologique divergente de l'instanton singulier de taille 0). Nous nonons en conclusion un "Principe deSingularit" fond sur l'existence d'amplitudes topologiques, de porte par construction infinie, ayant pour sourcel'chelle 0 de l'espace-temps.

Enfin, nous proposons, outre les rfrences cites dans le corps de notre recherche, une bibliographie indicative trsexhaustive, rassemblant nombre de publication (environ cinq cents rfrences) qui, directement mais aussiindirectement, nous ont paru apporter des contributions de nature former les bases d'une thorie venir de lasuperposition de la signature de l'espace-temps l'chelle de Planck.

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Chapitre 1 Domaine de Fluctuation de la Signature__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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DOMAINE (3, 1) (4, 0) DES FLUCTUATIONS DE LA SIGNATURE

Nous suggrons ici l'existence d'un "chemin" algbrique dans l'oscillation de signature s de la mtrique : partir de(3, 1) - resp. de (4, 0) - nous indiquons que s peut voluer vers (4, 0) - resp. vers (3, 1) - mais jamais vers (2, 2).De mme, partir de (2, 2), s ne peut jamais voluer vers (3, 1) ou vers (4, 0). La fluctuation de signature paraitsubir ainsi un confinement aux deux formes (3, 1) et (4, 0), dans les limites d'un "domaine de fluctuation"dpendant de contraintes algbriques.

1.1 CLASSE COMMUNE DE SIGNATURE (3, 1) (4, 0)

Nous commenons par remarquer que (3, 1) et (4, 0) appartiennent une "classe de signatures" commune, lie augroupe fondamental 1 = /2 commun au deux groupes, la diffrence de (2, 2).

Remarque 1.1.1 SO(3, 1) et SO(4) appartiennent la mme classe fondamentale, l'un et l'autre possdant, encommun avec SO(3), le mme groupe fondamental 1 = / 2 deux lments. SO(2, 2) a pour 1 = une infinit d'lments, et n'appartient pas la mme classe fondamentale.

Comme rappel en [405], les 1 de SO(3, 1) et SO(4) sont identiques - 1(SO(3, 1)) = 1(SO(4)) = / 2 ce quin'est pas le cas de SO(2, 2), dont le groupe fondamental est . Il est impossible de dformer continment/2 vers .

(3, 1) (4, 0) (2, 2).

Nous montrons prsent que /2 est galement le groupe fondamental de l'espace homogne symtriquecorrespondant l'unification gnralise (dans l'esprit de M. Flato) de SO(3, 1) et de SO(4).

Proposition 1.1.2 L'espace homogne symtrique h = SO(3 , 1) SO (4)

SO (3) reprsentant l'unification entre

le groupe de Lorentz et le groupe Euclidien a le mme groupe fondamental que SO(3, 1) et SO(4), soit / 2 .

Note : Nous utilisons ici une notation usuelle en physique exprimant, au niveau des groupes, le produit direct

G H par le produit tensoriel G H. Ainsi, SO(3, 1) SO(4)

SO(3) s' crira

SO(3, 1) SO (4)SO (3)

. A partir de la

thorie d'unification des algbres de Lie propose par M. Flato [210], nous indiquons au chap. 2 (2.1.2, 2.1.3) queh reprsente l'unification gnralise de SO(3, 1) et SO(4).

Dmonstration L'on choisit une identification possible de SO(3) comme sous-groupe de SO(3,1) et de SO(4).Commenons par dfinir l'action de SO(3) sur le produit direct

= SO(3,1) SO(4) (1.1)

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Soient les lments g1 SO(3, 1), g2 SO(4) et h SO(3). SO(3) tant un sous-groupe commun aux deuxfacteurs du produit (1.1), nous avons donc un plongement "semi-diagonal" caractris par une action gauche deSO(3) sur le produit (1.1). Le couple (g1 , g2) s'identifie alors :

(g1 , g2) h (h g1 , g2 h-1) (1.2)

L'action en (1.2) dfinit un fibr principal de groupe structural SO(3), l'espace des orbites de l'action de h surl'espace total tant . Dans notre construction du fibr , l'espace total est SO(4) SO(3, 1)), la base estSO(3, 1) SO (4)

SO (3) et la fibre est SO(3). Or, cette construction du fibr est quivalente celle de R. Mnimn et

F. Testard [405] selon laquelle, considrant le fibr principal G G H :

G H F SO(4) so(3) SO(3, 1)) (1.3)

En effet, dans ce cas, le groupe SO(3) opre librement droite sur SO(4)

SO(3, 1)) par :

(g2 , g1) h (g2 h-1, hg1 ) (1.4)

et l'on montre aisment que (1.2) est quivalent (1.4). L'espace des orbites SO(4) so(3) SO(3, 1)) est une varitfibre au dessus de SO(4) SO(3) de groupe structural SO(3) et de fibre type SO(4). Or, partant d'un fibr principalF, de base B et d' espace total T, x0 tant un point de T et F la fibre passant par F( x0 ), l' on considre la fibrationutile F T B. Alors, il a t tabli [405] l' existence de la suite exacte des i :

... 2 (B, (x0 )) 2 1(F(x0 ) ,(x0 ))i*

1(T,(x0 )) * 1(B, (x0 )) . . .

10 (F(x0 ),(x0 ))

i00(T, x0 ) . . . (1.5)

de sorte que dans le cas du fibr (1.3), avec B = SO(4) SO(3) = S3, F = (SO(3, 1) et T = SO(4) so(3) SO(3, 1)), nous avons la suite exacte :

... 2 (S3) 2 1(SO(3, 1)) i* 1(T) * 1(S3 ) (1.6)

Or, d' aprs (405), 2(S3) = 1(S3) = 0, ce qui implique ncessairement l' galit des deux termes mdians :

1(SO(3, 1)) 1(T) = 2et le groupe fondamental du fibr = SO(4) so(3) SO(3, 1)) est donc :

1( ) = 2 . (1.7)

Comme nous avons montr l'quivalence entre (1.2) et (1.4), nous en tirons donc que le groupe fondamental de h =

SO(3, 1) SO (4)SO (3)

est bien 1 = 2 , comme requis.

Le rsultat ci-dessus au niveau des groupes fondamentaux nous conduit considrer dans la suite l'existence d'unchemin continu de revtement auquel est associe l'oscillation de signature (3,1)- (4,0).

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1.1.3 Fluctuation de signature et chemin de revtements universels

Nous suggrons l'existence d'un "revtement de superposition" d'ordre 2, susceptible de contenir alternativement soitle revtement universel de SO(3, 1), soit le revtement universel de SO(4). En revanche, ce revtement d'ordre 2 nepeut tre ramifi sur le revtement de SO(2, 2).

Remarque 1.1.4 Le revtement universel du fibr h = SO(3, 1) SO (4)

SO (3) dcrivant l'unification gnralise

entre le groupe de Lorentz SO(3, 1) et le groupe Euclidien SO(4) est { }() = SL(2, C) SU(2).

Dmonstration Le revtement universel { } de SO(3, 1) SO(4) s'crit :{ }{SO(3, 1) SO(4)} = SL(2, C) SU(2) SU(2)

De mme :

{ }(SO(3)) = SU(2)

Or, partir (i) de l'action semi-diagonale de SO(3) sur le produit SO(3, 1) SO(4) dfinie en (1.2), puis (ii) del'existence d'une bijection entre le 1 et le revtement universel de h et enfin (iii), du fait que le 1 de h calculen (1.1.2) est 2 , nous pouvons conclure que le revtement universel { }() de h =

SO(3, 1) SO (4)SO (3)

est :

{ }() = SL(2, C) SU(2) (1.8)

comme requis.

Considrons maintenant SL(2 , )~

SL(2 , )~

, revtement universel de SO(2,2).

Corollaire 1.1.5 La fluctuation de signature de la forme quadratique Lorentzienne s'effectue l'intrieur duchemin de revtement { }() d' ordre 2 , simplement connexe, du type SL(2, C) SU(2) susceptible de se ramifier

soit vers SL(2, C) soit vers SU(2) SU(2). { }() ne peut se ramifier vers SL(2 , )~

SL(2 , )~

, revtementde SO(2, 2) d'ordre infini.

Dmonstration. Le revtement universel de SO(3) est SU(2) ~ S3, de centre fini et simplement connexe, celuide SO(3, 1) est, topologiquement, SL(2, C) ~ S3 3, galement de centre fini et simplement connexe (parnappe) tandisque celui de SO(4) est SU(2) SU(2) ~ S3 S3 et prsente les mmes caractristiques. En revanche,

{ }(2, 2) = SL(2 , )~

SL(2 , )~

(1.9)

a un centre infini et n'a pas de ralisation matricielle en dimension finie - i.e. { }(2, 2) n'est pas un groupe dematrices [242]. Il existe donc entre { }(3, 1) = SL(2, C) et { }(4) = SU(2) SU(2) un chemin continu, li lasimple connexit et l'ordre 2 des deux revtements cits.Un tel chemin prend la forme d'un "revtement desuperposition", { }() = SL(2, C) SU(2) d'ordre 2, simplement connexe, contenant soit { }(3, 1) soit { }(4).

Note : SO(2, 2) n'a pas de reprsentation matricielle, ce qui supprime la notion usuelle d'tat quantique.

Remarque 1.1.6 A la diffrence de SO(3, 1) et SO(4), le revtement universel de SO(2,2), d'ordre infini,n'admet pas de reprsentation matricielle. L'tat de signature (2, 2) ne peut donc pas tre un tat quantique.

Remarque Une reprsentation matricielle correspond ici une reprsentation de groupe de Lie.

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Dmonstration Il rsulte de la dm. (1.1.5) que SO(3, 1) et SO(4) ont chacun par bijection un revtementd'ordre 2 alors que le revtement de SO(2, 2) est d'ordre infini :

1(SO(3,1) Z/2Z 2 lments Z/2Z 1 (SO(4))

{ } SL(2, C) 2 lments { } SU(2) SU(2)Au contraire, dans le cas de SO(2, 2) :

1(SO(2, 2)) Z Z infinit d'lments { }{SL(2 , R)~ SL(2 , R)~ } (1.10)

Le revtement universel SL(2 , )~

SL(2 , )~

, de noyau infini, n'admet donc pas de reprsentations

matricielles, SL(2 , )~

SL(2 , )~

tant un groupe sans matrices. SO(2, 2) n'admet donc pas de reprsentationprojective, celle-ci tant fournie par la reprsentation matricielle de son revtement universel. L'absence dereprsentation projective supprime l'espace de Hilbert et ne permet pas de dfinir l'espace des tats quantiques. Lethorme de Wigner [438] a tabli que les symtries de l'espace projectif proviennent des oprateurs unitaires del'espace de Hilbert. L'absence d' espace projectif n'autorise pas la quantification en signature (2, 2).

1.2 CHEMIN DE CONNEXITE ET DE LACETS (3, 1) (4, 0))

Remarque 1.2.1 SOo(3, 1) et SO(4) possdent le mme o.

Soit le demi-cne de lumire orient du pass vers le futur. Il n'existe qu'une seule composante connexe - donne paro - dans l' espace sur lequel agt SOo (3, 1). De mme, SO(4) en tant que varit possde galement une seule

composante connexe. D'o :

o{SOo(3, 1)}= o{SO(4)}

Comme SO(2, 2) a deux composantes connexes, s'il est possible de passer continment de (3, 1) (4, 0) enlongeant la mme composante connexe, il n'existe pas de chemin continu de composantes connexes entre SOo(3, 1)et SO(2, 2) ou entre SO(4) et SO(2, 2).

La transition SO(3, 1) SO(4) n'existe pas seulement en terme de connexit mais en terme d'espace de lacets.

Proposition 1.2.2 La dformation de la signature Lorentzienne s'effectue dans un espace de lacets correspondant une dformation continue de l' espace des lacets (SO(3, 1) vers (SO(4). Une dformation continue de ce typen'est pas possible vers (SO(2, 2) .

Note Le symbole dsigne ici l' espace des lacets.

Elts de dmonstration. S'il est possible de rtracter sur un point l'espace des lacets de SO(3, 1), SO(4) etSO(3), cette trivialisation n'existe pas pour SO(2, 2)

~ SO(2) SO(2). Soient et les espaces

topologiques associs SO(3, 1), SO(4) et SO(2, 2). Or, et peuvent tre rtracts sur le point correspondant leur sommet ( a pour unique point rel son sommet ) et les deux espaces de lacets associspeuvent tre trivialiss. En revanche, SO(2, 2)

~ S1 S1 et l' espace des lacets associ se contracte sur le tore, non

contractile sur un point. L' on a donc un homomorphisme local entre et qui ne peut tre tendu .

Nous achevons sur la perspective d'un chemin d'oscillation en rgime q-dform.

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1.3 CHEMIN QANTIQUE DE FLUCTUATION (3, 1)q (4, 0)q

Aux diffrentes contraintes sur la fluctuation de signature vers (2, 2) observes en classique doivent correspondre lesobstructions en rgime q-dform. Sans entrer dans le dtail des groupes quantiques impliqus, il est possible defaire certaines remarques propos de ce que l'on peut attendre.

Premirement, nous remarquons que tandisque les reprsentations irrductibles de SO(3, 1) et SO(4) -et donc cellesdes groupes quantiques SOq(3, 1) et SOq(4)- sont troitement lies, celle de SO(2, 2) -et donc de SOq(2, 2)-, est trsdiffrente. Nous allons considrer au chapitre 3 l'quivalence algbrique des formes Lorentzienne et Euclidiennecomme une possibilit d'effectuer une "transformation de jauge" [190] ou "q-twist" [377] des structures algbriquesde SOq(4) celles de SOq(3, 1)) (modulo les * - structures donnant les formes relles des groupes concerns). Unetelle transformation de jauge est vue au chap. 3 comme un "chemin" dans l'espace des algbres de Hopf, chemin lelong duquel il est concevable que peut s'effectuer l'volution de la signature de la mtrique entre les deux formes.Toutefois, l'on ne devrait pas s'attendre trouver l'existence d'un tel chemin en direction de SOq(2, 2). En outre,nous rencontrons mme une difficult au niveau des reprsentations fondamentales, qui suggrent :

Conjecture 1.3.5 Il n' existe pas de q-dformation usuelle du revtement universel de SOq (2, 2).

Arguments Comme SL(2 , )~

SL(2 , )~

est un groupe non linaire et n'admet aucune reprsentationmatricielle, il n'est donc pas possible de construire sa q-dformation l'aide de matrices de gnrteurs de dimension

fine. En effet, la R-matrice ne peut pas tre construite partir de SL(2 , )~

SL(2 , )~

et par consquent, iln'existe aucune q-dformation usuelle du revtement universel de SOq(2 , 2).

D'un autre point de vue, pour qu'une dformation continue soit concevalbe, nous suggrons que les revtements desgroupes agissant sur les espaces sous-jacents doivent tre dformables l'un dans l'autre, l'intrieur d'une mmeclasse. Or, il est impossible de dformer un revtement d' ordre 2 en un revtement d' ordre infini et rciproquement.Nous en tirons donc qu'une dformation de signature n'est possible qu'entre les formes (3, 1) et (4, 0), sous lemme groupe d'homotopie

/ 2 , l'exclusion de (2, 2). Alors:

Conjecture 1.3.6 Le groupe fondamental 1 = / 2 commun SO(3), SO (3, 1) et SO(4), devrait resterrigide lors de la q-dformation de SO(3, 1) et / ou SO(4) et ne devrait donc pas tre dform vers , qui devraitrester rigide sous dformation de SO(2, 2).

La q-dformation ne modifiant pas les sous-groupes finis des groupes impliqus, (1.3.6) devrait donc tre valide.

A partir des directions qui prcdent, nous suggrons que l'oscillation de signature (i) peut exister en miieu q-dform et (ii) une telle oscillation devrait tre confine deux (et seulement deux formes) possibles : la formeLorentzienne (3, 1) et la forme Euclienne (4, 0).

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Chapitre 2 Algbre de Superposition de SO (3,1) et de SO (4)___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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ALGEBRE DE SUPERPOSITION DE SO(3, 1) ET DE SO(4)

Notre objectif consiste ici mettre en vidence quelques proprits typiques de la superposition entre la mtriqued'espace-temps ds(3,1)

2 et celle de l'espace quadridimensionnel Euclidien ds(4)

2. La mthode consiste unifier (dans

l'esprit de M.Flato [210]) les deux algbres de Lie so(3, 1) et so(4) associes aux deux groupes SO(3, 1) et SO(4)agissant sur 3, 1 et sur 4.

Dans la suite, en (2.3), nous montrons qu' partir de l'espace homogne symtrique h =SO(3,1) SO(4)

SO(3)dcrivant l'unification des deux groupes Lorentzien et Riemannien, l'on peut construire l'espace topologique quotient

top = 3, 1

4

SO(3) , espace topologique spar susceptible de dcrire la possible superposition des deux

mtriques Lorentzienne et Riemennienne. Nous montrons que top comporte un point singulier unique Scorrespondant l'origine de l'espace de superposition .

2.1 L'ALGEBRE UNIFIANTE DE SO(3, 1) ET DE SO(4)

2.1.1 Unification d' algbre de Lie

Dfinition 2.1.2 (Flato) . L'unification de deux algbres de Lie sur un mme corps commutatif K reprsente lasomme d'espaces vectoriels U = ( ) + ( ' ) de deux adL ( ) et ( ') isomorphes respectivement et '. Unealgbre de Lie U est unifiante de 1, , n si l'on peut dterminer des isomorphismes k de k dans U(k = 1. .. n ) tels que U = 1( 1) +. ... + n ( n ).

Soit l'intersection {I}de 1 et 2 :

- si {I} {0} dim U < dim 1 + dim 2

- si {I} = {0} dim U = dim 1 + dim 2

Prcisons qu'une unification de 2 algbres = U( ,. ) est dite :

- triviale si 1 2 et 1 2 = 1 2 2 .

- banale si et ou rciproquement et .

La distinction entre unification banale et triviale est importante dans la mesure o, pour une unification triviale,tout invariant de l'une des algbres est un invariant de l'unification, ce qui n'est gnralement pas le cas pour une

unification banale.

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2.1.3 Unification de so(3, 1) et de so(4)

= so(3, 1) et so ont en commun la sous-algbre so(3). Sur , cette sous-algbre est un facteur direct.D'aprs [210], si deux algbres de Lie ont un facteur direct en commun, leur produit direct, quotient par ce facteurdirect, est une unification dont l'intersection I {0} est le facteur direct commun aux deux algbres de dpart. De cepoint de vue, le produit direct quotient

cso(3,1) so(4)

so(3)

est une unification des algbres de Lie complexes so(3, 1) et so(4), au sens de (2.1.2). Sur , nous considronsdonc l'espace quotient

rso(3,1) so(4)

so(3)

comme une unification gnralise des algbres de Lie de SO(3, 1) et de SO(4).

Note so(3, 1) et so(4) apparaissent ici comme sous-espaces de l'espace vectoriel . La construction ci-dessus,valable au niveau de l'algbre de Lie, peut tre tendue au niveau des groupes. Ceci permet la construction de hcorrespondant l'unification des deux groupes SO(3, 1) et SO(4). h n'est pas un groupe de Lie mais un espacehomogne symtrique.

2.2 TOPOLOGIE DE L'ESPACE DE SUPERPOSITION DES METRIQUES

2.2.1 h et singularit initiale

Partant de h = SO(3,1) SO(4)

SO(3), donnant l'unification du groupe de Lorentz SO(3, 1) avec le groupe Euclidien

SO(4), nous tudions prsent l'espace topologique quotient top, dcrivant, dans notre approche, la situationphysique associe h, i.e. la "superposition" (au sens quantique) des mtriques Lorentzienne et Riemannienne.

top correspond l'ensemble des orbites de SO(3) sur 3, 1 4. Considrant les deux mtriques ds(3,1)2

et

ds(4)2 dont sont munis respectivement 3, 1 et 4, nous proposons d'identifier top l'espace de superposition des

mtriques ds(3,1)2

et ds(4)2 (et de leurs signatures) chacune de simension 4. Le calcul tablit que top a la structure

d'un cne plein convexe, possdant une origine singulire.

2.2.2 Espace des orbites de l'action de SO(3) sur R7 , 1

Considrons l'action de SO(3, 1) sur 3, 1 et de SO(4) sur 4 [405]. Pour identifier la structure topologique detop, nous considrons l'espace des orbites de l'action de SO(3) sur 3, 1 4 . Celui-ci est dfini par le quotient3, 1

4

SO(3) . Il existe alors trois dimensions possibles de l'orbite de l'action de SO(3) sur 7, 1 3, 1 4

:

la dimension 3, induite par les deux copies de 3

plongs dans 3, 1

et dans 4, la dimension 2, associe au bord del'espace topologique quotient top et la dimension 0 correspondant son origine singulire:

Action (SO(3)) sur 7, 1 3

3

SO(3)

.

Nous tablissons maintenant la structure de l'espace topologique spar top.

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2.2.3 Structure topologique de top

Soit la matrice [274] donnant { }3 compose de trois secteurs : (i) l'intrieur du demi - cne{ }3, varitsemi-algbrique issue de dt > 0 , (ii) sa frontire dont l'quation est de la forme x2 + y2 - z2 = 0 , et enfin (iii)son sommet - origine, ces trois rgions correspondant respectivement la varit quotient de superposition top dedimension 5 (+ + + ), au bord de dimension 4 et au point - origine singulier unique S (+ + + +).

Proposition 2.2.4 Soit la matrice quotient dcrivant la varit { }3 . L'application qui, X1 (1)3

et X2 (2)3

associe est une application surjective, qui dcrit l'ensemble des invariants rsultant de l'action deSO(3) sur X1

(1)3

et X2 (2)3

. Le dterminant de est positif ssi X1et X2 ne sont pas colinaires.

Remarque : Il existe trois cas selon {X1 , X2 }:

(i) {X1 , X2 } non colinaires (et non nuls) : est de rang 2 et dt > 0 et trace > 0 3

1 , 1

reprsentel'intrieur du cne { }3 ;

(ii) {X1 , X2 } colinaires (et non nuls) : est de rang 1 et dt = 0 dcrit le bord de 3

1 , 1

, i.e.l'enveloppe du cne{ }3 ;

(iii) {X1 , X2 } nuls : = 0 00 0 est de rang 0 et dt = 0 dcrit l'origine de (1)

3

(2)3

, i.e. le

sommet du cne { }3 correspondant au point singulier S, singularit initiale et origine de la varit de

superposition 3

1 , 1

et du bord de 3

1 , 1

.

Dmonstration Considrons l'action de SO(3) sur les deux 3

inclus dans 7, 1 : les invariants de cettetransformation sont les normes et les produits scalaires des deux vecteurs non-colinaires X1

(1)3

et

X2 (2)3

vivant dans les deux copies de 3 considres. L' espace quotient

3 1

, 1 donnant l' action de SO(3) sur7, 1

est canoniquement exprim par la matrice quotient 2 x 2 relle reprsentant les produits scalaires entre lesdeux vecteurs X1 et X2 des deux 3 . L'action de SO(3) sur 7, 1 se dcompose selon :

7, 1

SO(3) = (1)3

+

(2)3

SO(3) (1)3

(2)3

SO(3) (2.3)

SO(3) agt effectivement sur (1)3

(2)3

,

se situant hors de l'espace des orbites de l'action de SO(3) . La

structure topologique de (1)3

(2)3

SO(3)

est donc dtermine par la structure topologique de

(1)3

(2)3

SO(3) . Soit prsent deux vecteurs X1 (1)3

et X2 (2)3

linairement indpendants. La matrice

reprsentant les produits scalaires des deux vecteurs est donne par :

=

X1X1 X1X2X2 X1 X2X 2

(2.4)

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avec X1 = x1k

(k = 1, 2, 3) et X2 = x2k

(k = 1, 2, 3). La matrice - quotient , dont 3 lments sont linairementindpendants, est une matrice de 3

et s' crit :

i j = x1k

x2k

(i, j = 1, 2)

Examinons le dterminant de . Si l'on dfinit la projection qui, X1 , X2 associe X12 , X1X2 , X22 , l'onconstruit une application invariante sous l' action de SO(3). Le dterminant de dfinit ainsi une quadrique dont lesvariables sont X1

2 , X1X2 , X2

2 . Posons X1

2 = a , X2

2 b et X1X2 c. Le dterminant prend la

forme dt = (ab - c2 ). Nous observons alors trois cas possibles:

(i) dt > 0 (X1 0 et X2 0)

(ii) dt = 0 (X1 = 0 et X2 = 0)

(iii) = 0 (X1X1, X1X2, X2X1, X2X2 = 0)

Ces trois cas engendrent trois domaines dans h : l'intrieur de la varit, son bord et son origine. Selon que X1 etX2 sont colinaires ou non, la dimension de l'orbite de l'action de SO(3) sur

(1)3

(2)3

change :

- si X1 X2 (sont dans deux espaces diffrents), l'orbite de l'action de SO(3) sur (1)3

(2)3

est de dimension 3.

- si X1 X2 (sont parallles), alors le stabilisateur d'une action gnrique est SO(2) et l'orbite est de dimension 2.

- si X1 X2 = 0, alors est de rang 0 et l'orbite de l' action de SO(3) est nulle.

est symtrique et possde trois lments linairement indpendants : X1X1, X2X2 et X1 X2 ( X1 X2 tant gal X2X1). dtermine donc un hyperplan de 3. Dans la mesure o X1 et X2 vivent dans l'espace des matricessymtriques, l'enveloppe linaire de la varit est ncessairement de dimension 3. Ce rsultat implique une

consquence majeure : le quotient (1)3

(2)3

SO(3) correspond l'intrieur d'un cne tridimenisonnel { }3 de 3

dont la frontire, donne par dt = 0, reprsente le bord bidimensionnel. Le cne { } admet alors un unique point

singulier S sommet du cne, exprim lui-mme par la matrice nulle = 0 00 0 .

(i) Comme X1 et X 2 vivent dans deux espaces diffrents (les deux copies de 3), considrons le cas o ils ne sontpas parallles (donc non-colinaires), le dterminant de tant dans ce cas toujours positif. L'ingalit de Cauchy-Schwarz permet de poser, pour X1, X2 vectoriel V :

|X1.X2| < ||X1||. ||X2 || | X1.X2 | 2 < ||X1||2. ||X2 ||2 dans 3.Par ailleurs, le dterminant de a pour forme :

dt = ||X1||2. ||X2 ||2 - | X1.X2 | 2 ce qui implique, en raison de l' ingalit de Cauchy-Schwartz :

||X1||2. ||X2 ||2 - | X1.X2 | 2 > 0,dt > 0 si X1 et X2 sont linairement indpendants : dt > 0 et trace > 0, tant conserve par lesrotations. L'image de l'application qui envoie

(1)3

(2)3

dans l'espace des matrices est de dimension 3 etest singulire. tant de rang 2 , dt > 0 et trace > 0 h correspond l' intrieur tridimensionnel d' un

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cne { }3 lisse dans R3, dont le bord est donn par dt = 0. Notons que la projection ( ) exprime par (1)3

(2)3

SO(3) et conduisant de 6 3 dote l' intrieur du cne-cible de la mtrique dfinie positive ( + + + ).

La signature du cne plein { }3 est donc = (+ + +).

(ii) Si {X1 , X2 } colinaires (et non nuls) : est de rang 1 et dt = 0 dcrit le bord de h . Posons

X1X1 = z + y , X2X2 = z - y et X1X2 = X2X1 = x.

L'quation de { }3 correspondant dt 0 prend donc la forme : x2 + y2 - z2 0. L'image de l'applicationenvoyant

(1)3

(2)3

dans l' espace des matrices est donc le cne { }3 d'quation x2 + y2 - z2 0 , cetteimage tant conserve sous l'action des homothties de centre S, sommet de la varit. Le bord { }3 de { }3 estmuni de la signature ( + + ), la sous-varit { }3 { }3 hritant de la restriction de la signature (+ + + ) de

{ }3. Enfin, X1 = X2 = 0 implique que = 0 00 0 est de rang 0 et dt = 0 dcrit l'origine de (1)

3

(2)3

, c' est dire le sommet du cne { }3 correspondant au point singulier , singularit initiale et origine deh et du bord de h.

Le fait de considrer X1 ou X2 alternativement nuls ne modifie pas le rsultat gnral. En effet :

X1 = 0 et X2 0 = 0 00 X2X2

est de rang 1 et nous sommes renvoys au cas correspondant au bord de h. De mme pour X1 0 et X2 = 0 .Dans les deux cas, dcrit alors l' enveloppe du cne { }3 .

2.2.5 Varit de superposition h { }3 R

Rappelons que 3

1 , 1

(1)3

(2)3

SO(3)

. Comme (1)3

(2)3

SO(3) est dcrit par le cne trois

dimensions { }3 , la varit 3

1 , 1

5 dimensions rsulte donc du produit du cne { }3 par :

3 1

, 1 { }3 .

L'on a donc deux restrictions possibles de 3

1 , 1

: E1 = { }3 + et E2 = { }3 -. { }3 , designature (+ + + ), est diffomorphe un demi - cne 5 dimensions et admet le long des deux projections deuxgomtries correspondant deux mtriques distinctes.

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2.2.6 Sommet singulier du cne quantique X .

L'origine de 3

1 , 1

correspond {X1 , X2 } nuls : = 0 00 0 est de rang 0 et dt = 0 dcrit l'origine

de 3

3, i.e. le sommet du cne { }3 correspondant au point singulier S0. Les deux cnes X 4 = { }3 + et

X 3, 1 = { }3 - ont la mme origine singulire S dans la gomtrie affine de l'espace 4. S0 hrite d'unemtrique induite dfinie positive (+ + + +) non fluctuante. En effet, considrons nouveau le produit gnral

top = (1)3

(2)3

SO(3)

A l'origine du cne quantique, il existe le point singulier S0 correspondant (1)3

(2)3

SO(3) = 0. Or, auvoisinage du point singulier S, la demi-droite genre espace + inclut la demi-droite genre temps - de sorte que

(1)3

(2)3

SO(3) au point S devient (1)

3

(2)3

SO(3) +

, dont la signature prend la forme lie 3

+ soit la forme Euclidienne (+ + + +). Un autre argument est que, topologiquement, 3, 1 est inclus dans 4. Eneffet :

4 - {1 point} = 4 - {Origine} 3,1

de sorte qu' l' chelle 0, 3,1 4.

Nous trouvons galement la signature Euclidienne au point S en considrant la signature de l' espace tangent aucne quantique en ce point. En effet, considrons SU(2) inclus dans SO(6) correspondant

(1)3

(2)3

ainsi queson extension par . Une fois tablis les gnrateurs des deux adL concernes et de leur extension par , noustrouvons qu' il n' existe qu'une seule extension contenue dans l'algbre de Lie de SO(6). Nous prenons alors surcette extension unique la forme de Killing correspondante ainsi que sa restriction et nous trouvons qu'elle est dfiniepositive (+ + + +). L'espace tangent en S au cne quantique de superposition est donc muni d'une signatureEuclidienne (+ + + +) correspondant la symtrie temps-espace en ce point.te

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3 Q-DEFORMATION DE LA

SIGNATURE A L'ECHELLE DE PLANCK

Nous considrons dans ce chapitre la contrainte impose sur la signature de l'espace-temps par la gomtrie noncommutative dans le contexte de la q-dformation. Il a t propos [145][372] qu'au voisinage de l'chelle dePlanck, la gomtrie de l'espace-temps devrait tre plutt modlise par des coordonnes d'espace-temps noncommutatives, avec des symtries nouvelles associes aux groupes quantiques [376]. Il existe actuellement desmodles naturels fonds sur les groupes quantiques standard Uq(so(4)) et Uq(so(3,1)), modles que nous considronsici, avec les q-espace-temps associs. Ces derniers ont t dvelopps en particulier par U. Carow-Watumara et al [116], J.Wess et B. Zumino [413], S. Majid [368] [377] [382] et d'autres. Il ne s'agt pas des seuls modlespossibles; toutefois, dans le prsent contexte du moins, selon nos rsultats des chaps 1 et 4, nous pouvonsconclure qu'en dimension D=4, les seules signatures naturelles l'chelle de Planck sont des dformations dessignatures Lorentzienne (+ + + -) et Euclidienne (+ + + +). Ceci suggre que, pour tre compatible avec lagomtrie non commutative, seul le cas de la superposition des signatures (+ + + ) devrait tre envisag l'chelle de la gravit quantique, le cas ultra-hyperbolique (+ + - -) devant tre exclu. Nous montrons ceci du pointde vue de la symtrie q-Lorentzienne au 3.2 et du point de vue du q-espace-temps associ au 3.4. En mmetemps, nous obtenons dans ce contexte certaines constructions algbriques nouvelles, motives par lesconsidrations physiques dveloppes aux chaps 4, 5 et 6. En particulier, nous avons construit le produit bicroiscocyclique de la forme gnrale

M (H) = Hop H

o H est une algbre de Hopf du type groupe quantique et un 2-cocycle du type "twist". Une telle construction etplusieurs autres du mme type sont inspires par l'ide d'unifier les signatures Lorentzienne et Euclidienne au seind'une structure de groupe quantique unique, ce que nous parvenons faire sous la forme du nouveau produit bicroiscocyclique

Uq(so(4))op Uq (so(3, 1)) (3.1)

Ceci est le principal rsultat de 3.3. En tant qu'algbre de Hopf, (3.1) est isomorphe au produit tensoriel, cependantsa structure sous-jacente implique galement l'existence d'un double produit crois cocyclique de la forme possible

Uq (so(3, 1)) Uq (so(4))op* (3.2)

quoique nous ne soyons pas parvenus une construction explicite de (3.2). Par ailleurs, nous suggrons en section3.3 que la "semidualisation" propose par S. Majid [360] [382] permet d'accder une description de la transition dugroupe q-Euclidien vers le groupe q-Lorentzien :

Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(4))semidualisation

Uq(su(2))* Uq(su(2)) ~ Uq(so(3, 1)).

De mme, du point de vue des q-espaces, l'on remarque en 3.4 que la transition de l'espace q-Euclidien l'espace q-Minkowslien peut tre vue comme une transformation de dualit d'algbres de Hopf. Notons que la dualitd'algbres de Hopf a t rapproche de la T- dua

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jeanclaude simon