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N° d’ordre 01 ISAL 0019 Année 2001

THESE Présentée

DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQU EES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

FORMATIO N DOCTORALE : Mécanique

ECOLE DOCTO RALE : MEGA

PAR

Sajjad, HAIDER

( DEA Génie Civil, INSA de Lyon)

CONTRIBUTIO N A LA MODELISATIO N D’UNE INONDATIO N EN ZONE URBANISEE. APPROCHE

BIDIMENSIO NNELLE PAR LES EQUATIONS DE SAINT VENANT

Soutenue le 27 juin 2001 devant la Commission d’Examen

Jury MM. Rémy Pochat Rapporteur

Denis Dartus Rapporteur

Robert Morel Directeur de thèse

Jean Yves Champagne Examinateur

Richard Perkins Examinateur

Bernard Gay Examinateur

André Paquier Examinateur

Christophe Bouvier Examinateur

Cette thèse a été préparée au Cemagref de Lyon et au Laboratoire de Mécanique des Fluides

de l’INSA de LYON

Résumé

L’objectif principal de cette étude est d’appliquer un code de calcul résolvant les équations deSaint Venant bidimensionnelles à la simulation d’une crue en zone urbaine. Ces équationsforment un ensemble de trois équations couplées, non-linéaires, hyperboliques qui sontrésolues par un schéma explicite en volumes finis.

L’ écoulement dans le milieu urbain est très compliqué vu la présence du réseaud’assainissement et de nombreux obstacles. Dans un premier temps, nous avons utilisé desmodèles physiques pour comparer les résultats numériques obtenus sur des écoulementsincluant plusieurs obstacles avec des mesures. Deux cas très différents ont été considérés : lepremier était celui d’un écoulement autour d’un obstacle ponctuel avec des mesures laser devitesses et le deuxième un écoulement avec une géométrie en forme de vallée incluantplusieurs obstacles. Pour ce dernier cas, on disposait des mesures des hauteurs d’eau enplusieurs points.

L’utilisation d’un code 2D dans un milieu urbain a plusieurs avantages par rapport à un code1D car il permet de décrire les carrefours en topographie et de connaître l’étendue de la zonesubmergée. Pour la crue du 3 octobre 1988 à Nîmes, une zone comprenant une cinquantainedes rues a été modélisée et les résultats comparés aux laisses de crue. Plusieursreprésentations topographiques du réseau de rues et des carrefours ont été testées.

Mots clés : Saint Venant equation, inondation, zone urbaine, calcul numerique, ecoulement,obstacle, modele physique, mesure laser.

Summary

The principal objective of this dissertation is to study the phenomenon of fl oods in urbanareas by using a Computational Fluid Dynamics software package which solves the 2D SaintVenant equations. These equations form a set of three coupled, non-linear, hyperbolic partialdifferential equations which are solved by an explicit finite volume method.

The analysis of the flow in an urban environment is quite difficult given the presence ofnumber of obstacles and the interaction with the drainage network. In the first instance, weused physical models to compare the computational results with the measurements. Two verydifferent cases are considered : the first one is the simulation of a flow around an obstacle inthe laboratory flume with laser measurements of the velocity field in the region surroundingthe obstacle and the second pertained to a physical model of a real valley including differentobstacles for which water height measurement were available.

The use of a 2D approach in an urban milieu has the advantage of allowing a more completetopographical description of the street intersections and helps better calculate the extent of theflooded zone. The flood of 3 October 1988 in the city of Nîmes is simulated for an areacomprising around 50 streets and the calculated water heights are compared with the floodmarks. Different street profiles were used to obtain the computational grids of variedprecision.

Key words : Saint Venant equation, floods, urban area, scientific calculation, flow, obstacle,physical model, laser measurement.

Table des Matières

1

TABLE DES MATIERES

INTRO DUCTIO N GÉNÉRALE…………………………………………………………….7

I. PARAM ÈTRES DE LA MODÉLISATION ...............................................................................................7

I.1 LE RÔLE DU RÉSEAU D'ASSAINISSEMENT....................................................................................7I.2 LA PRÉSENCE DE VOLUMES DE STOCKAGE ................................................................................8I.3 LES SINGULARITÉS.............................................................................................................................9I.4 VARIABILIT É DES CARACTÉRISTIQUES DE L'ÉCOULEMENT...................................................9I.5 LE CHOIX DU MODÈLE.....................................................................................................................10

II. PLAN DE L'EXPOSÉ................................................................................................................................. 10

1. INTRO DUCTIO N AU SUJET ET APERCU BI BLIOGRAPHIQUE ……………….13

I. LES ÉQUATIONS DE SAINT VENANT BIDIMENSIONNELLES .....................................................13

I.1 INTRODUCTION .......................................................................................................................................13I.2 LES HYPOTHESES....................................................................................................................................13I.3 LES EQUATIONS......................................................................................................................................14

II. EVALUATIO N DU COEFFICIEN T DE VISCOSITÉ TURBULEN TE...............................................15

II.1 INTRODUCTION .......................................................................................................................................15II.2 APPROCHE ANALYTIQUE .........................................................................................................................15

II.2.1. Modèle de Boussinesq....................................................................................................................15II.2.2. Le modèle k-ε .................................................................................................................................16

II.3 LA STRUCTURE DE LA TURBULENCE DANS L'ECOULEMENT A SURFACE LIBRE.........................................16II.4 APPROCHE EMPIRIQUE ............................................................................................................................18

III. LE COEFFI CIENT DE RÉSISTANCE À L'ÉCOU LEMENT ..............................................................18

III.1 PRINCIPALES FORMULES UTILISEES DANS UN CODE UNIDIMENSIONNEL ..................................................19III.2 L'EVALUATI ON DU COEFFICIENT DE RESISTANCE DANS L'ECOULEMENT A SURFACE LIBRE......................19

IV. ECOULEMEN T AUTOU R DES OBSTACLES......................................................................................21

IV.1 ECOULEMENT AUTOUR D'UN EPI..............................................................................................................21IV.2 MODELISATION FINE D'AUTRES ZONES DE RECIRCULATION ....................................................................23IV.3 MODELISATION D'UN MUR VERTICAL ......................................................................................................26IV.4 MODELISATION D'ELEMENTS DE BATI .....................................................................................................27

V. LA SIMULATION NUM ÉRIQUE D'INO NDATIO N EN ZONE URBAINE.......................................28

VI. MODÉLISATIO N EN HYDROLOGI E URBAINE ................................................................................30

VI.1 LES MODELES DE RUISSELLEMENT..........................................................................................................31VI.2 LES MODELES D'ECOULEMENT EN RESEAU D'ASSAINISSEMENT...............................................................33

VI.2.1. Les modèles mécanistes..................................................................................................................33VI.2.2. Les modèles conceptuels................................................................................................................34VI.2.3. La modélisation des singularités....................................................................................................35VI.2.4. La mise en charge..........................................................................................................................35VI.2.5. Débordement du réseau.................................................................................................................36

VII. SYNTHÈSE DE LA BIBLIOG RAPHIE ................................................................................................... 37

Table des Matières

2

2. EFFET D'UNE TOPOGRAPHI E COMPLEXE I NCLUANT PLUSIEURSOBSTACLE S : MODÈLE PHYSIQUE D' UNE VALLÉE SOUMISE À UNE O NDE DERUPTURE DE BARRAGE…………………………………………………………………39

I . PRÉSENTATION DU MODÈLE PHYSIQUE........................................................................................40

I.1 DESCRIPTION GÉNÉRALE................................................................................................................40I.2 DIFFÉRENTS ÉLÉMENTS DU MODÈLE PHYSIQUE......................................................................41

I.2.1 Les conditions en entrée et en sortie du modèle............................................................................41I.2.2 Le pont..........................................................................................................................................42I.2.3 Les Maisons................................................................................................................................... 43I.2.4 La retenue.....................................................................................................................................44

II. LES DONNÉES REÇUES..........................................................................................................................46

II.1 CADRE GÉNÉRAL...............................................................................................................................46II.2 LES POINTS DE MESURE DES HAUTEURS....................................................................................47

III. LA REPRÉSENTATION DES DIFFÉRENTS ÉLÉMENT S DE LA MAQUE TTE DANS LEMODÈLE NUMÉRIQUE ................................................................................................................................... 49

III.1 LE MAILLAGE DU CALCUL.......................................................................................................49III.1.1 Les caractéristiques du mailleur utilisé ........................................................................................49III.1.2 La génération du maillage............................................................................................................49III.1.3 Comment faire pour mailler finement une zone particulière.........................................................52

III.2 LA REPRÉSENTATION DES MAISONS DANS LE MODÈLE....................................................54III.2.1 Le regroupement des maisons.......................................................................................................54III.2.2 La représentation du pont et de la retenue....................................................................................56

IV. LES CONDITION S DE CALCUL ............................................................................................................57

IV.1 LE MAILLAGE ET LES DIFFÉRENTES SIMULATIONS............................................................57IV.2 PRÉSENTATIONS DES RÉSULTATS............................................................................................59

IV.2.1 Général..........................................................................................................................................59IV.2.2 Comparaison à P1........................................................................................................................60IV.2.3 Comparaison à P26.......................................................................................................................61IV.2.4 Les observations aux autres points...............................................................................................62IV.2.5 L'effet des obstacles (maisons et pont)..........................................................................................63IV.2.6 La série 'C' : maillage raffiné autour des obstacles......................................................................66IV.2.7 La comparaison entre les séries 'A' et 'B'......................................................................................68

V. CONCLUSIONS .........................................................................................................................................69

3. ECOULEMEN T DANS UNE ZONE URBAINE DENSE : ÉVÉNEMENT DU 3OCTOBRE 1988 À NÎMES…………………………………………………………………71

I. L'INON DATIO N DU 3 OCTOBRE 1988................................................................................................. 71

II. DESCRIPTION DE LA ZON E D'INO NDATION ..................................................................................73

II.1 PRÉSENTATION GÉNÉRALE............................................................................................................73II.2 DESCRIPTION PAR ZONE.................................................................................................................74

II.2.1 Zone1..............................................................................................................................................74II.2.2 Zone 2.............................................................................................................................................75II.2.3 Zone 3.............................................................................................................................................76

III. LES DONNÉES REÇUES..........................................................................................................................77

IV. LA MISE AU POINT DU MODÈLE TOPOGRAPHIQUE D E LA VIL LE .........................................78

IV.1 LES DIFFÉRENTS PROFILS EN TRAVERS......................................................................................78IV.1.1 La représentation des carrefours...................................................................................................80

IV.2 L'OBTENTION DU MAILLAGE GLOBAL ........................................................................................83

Table des Matières

3

IV.2.1 Le maillage de Nimes: la mise en œuvre et les difficultés..............................................................84

V. LA PRÉSENTATION DES CALCULS EFFECTUÉS............................................................................85

V.1 CALCULS AVEC DIFFÉRENTES REPRÉSENTATIONS TOPOGRAPHIQUES............................85V.1.1 Calcul à 11 points..........................................................................................................................85V.1.2 Calcul à 7 points............................................................................................................................85V.1.3 Calcul à 5 points............................................................................................................................85V.1.4 Calcul à 4 points............................................................................................................................86V.1.5 Calcul en remplaçant les deux murs d'une rue par des ouvrages hydrauliques............................86

V.2 LES CONDITIONS DU CALCUL........................................................................................................87V.2.1 Le pas d'espace..............................................................................................................................87V.2.2 Les conditions aux limites..............................................................................................................87V.2.3 Hydrogrammes d'entrée.................................................................................................................87V.2.4 Autres paramètres du calcul numérique........................................................................................88V.2.5 La discrétisation dans les rues et aux carrefours...........................................................................89

V.3 LA PRÉSENTATION DES RÉSULTATS............................................................................................90V.4 PREMIER GROUPE DE CALCULS....................................................................................................91

V.4.1 Eléments généraux sur l'interprétation des résultats.....................................................................91V.4.2 Simulation avec une correction localisée de la topographie.........................................................93V.4.3 Avancée de la crue.........................................................................................................................95

V.5 SECOND GROUPE DE CALCULS.....................................................................................................96V.5.1 Simulation d'un espace de stockage...............................................................................................96V.5.2 Sensibil ité au coefficient de Manning-Strickler .............................................................................98V.5.3 Simulation d'un obstacle.............................................................................................................100V.5.4 Simulation avec augmentation des débits entrants......................................................................103V.5.5 L'influence du coefficient de viscosité νt ......................................................................................104V.5.6 La comparaison entre différents calculs......................................................................................106V.5.7 Calculs effectués à nombre de Courant maximal constant..........................................................109

VI. CONCLUSION..........................................................................................................................................110

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES…………………………………………….…113

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ………………………………………………………....115

Annexe 1. PRESENTATION DES OUTILS DE MODELISATION UTILISES….……121

I. LE LOGICI EL CANOE...........................................................................................................................121

I.1 DES OUVRAGES SPÉCIAUX.............................................................................................................122I.1.1 Définition .....................................................................................................................................122I.1.2 Les composants structurels et fonctionnels..................................................................................123I.1.3 La création d'un ouvrage spécial.................................................................................................123

I.2 SIMULATI ON HYDROLOGIQUE ET HYDRAULIQUE..................................................................124I.2.1 Simulation quantitative du réseau par temps sec.........................................................................124I.2.2 Affectation spatiale des pluies......................................................................................................125I.2.3 La transformation pluie-débit......................................................................................................125

I.3 MODÉLISATION DU FONCTIONNEMENT HYDRAULIQUE DU RÉSEAU................................126I.3.1 Simplification du réseau...............................................................................................................126I.3.2 Les paramètres de simulation pour le calcul par les équations de Barré Saint Venant...............127I.3.3 Paramètres avancés.....................................................................................................................128I.3.4 Conditions initiales......................................................................................................................128I.3.5 La visualisation des résultats.......................................................................................................128

II. RUBAR 20.................................................................................................................................................129

II.1 PRINCIPES DE BASE DE LA MÉTHODE DE VOLUME FINIS......................................................129II.2 LES ÉQUATIONS RÉSOLUES DANS RUBAR 20............................................................................130II.3 DESCRIPTION GÉNÉRALE DU SCHÉMA NUMÉRIQUE..............................................................131

II.3.1 Schéma numérique.......................................................................................................................132

Table des Matières

4

II.3.2 Traitement du second membre.....................................................................................................133II.3.3 Les conditions aux limites............................................................................................................134

II.4 INTÉGRATION DES OUVRAGES DANS LE CODE........................................................................135II.5 PRÉ ET POST PROCESSEURS...........................................................................................................137

II.5.1 Introduction..................................................................................................................................137II.5.2 MOCAHY- préprocesseur............................................................................................................137II.5.3 MOCAHY- postprocesseur...........................................................................................................138

Annexe 2. INFLUEN CE DU RÉSEAU D'ASSAINISSEMENT SUR LESDÉBORDEMENTS: EXEMPLE D'UN QUARTIER D’OULLINS……………………...139

I. INTROD UCTIO N DU PROBLÈME ......................................................................................................139

I.1 LA SITUATION GÉOGRAPHIQUE....................................................................................................139I.2 LES CRUES DE L'YZERON................................................................................................................140I.3 LA CRUE DES 5 ET 6 OCTOBRE 1993............................................................................................140

II. LE DÉTAIL DE S CALCULS EFFECTUÉS..........................................................................................142

II.1 LA ZONE INONDÉE............................................................................................................................142II.2 LE RÉSEAU D'ASSAINISSEMENT ET DES BASSINS VERSANTS..............................................142II.3 RÉSULTATS DES CALCULS.............................................................................................................143II.4 LES CONCLUSIONS RELATIVES AU CALCUL .............................................................................145

III. LA MODÉLISATION DES DÉBORDEMENTS...................................................................................145

III.1 UN EXEMPLE DE LA MODÉLISATION AVEC INTERACTION ENTRE LE RÉSEAUD'ASSAINISSEMENT ET L'EAU DÉBORDÉE...........................................................................................146

III.2 MODÉLISATION INTÉGRÉE DE L'ÉCOULEMENT: INTERACTION ENTRE LE RÉSEAUD'ASSAINISSEMENT ET LE RUISSELLEMENT......................................................................................147

Annexe 3. ECOULEMENT AUTOUR D'UN OBSTACLE : EXPÉRIMENTATION ENCANAL……………………………………………………………………………………...149

I. EXPÉRIMENTATIO N EN CANAL .......................................................................................................149

I.1 MATÉRIELS ET MÉTHODES........................................................................................................150I.2 LA DESCRIPTION DES CARACTÉRISTIQUES DE L'ÉCOULEMENT.....................................152

II. LA SIMULATION NU MÉRIQU E 2D.................................................................................................... 153

II.1 LES CALCULS MENÉS ET LEUR COMPARAISON AVEC LES OBSERVATIONS................153II.1.1 Influence de la condition à la limite aval.....................................................................................156II.1.2 Influence du type de représentation de l'obstacle........................................................................157II.1.3 Influence de la diffusion (coefficient de viscosité turbulente)......................................................157

I.2 DISCUSSION DES RÉSULTATS...................................................................................................158

III. LA SIMULATION N UMÉRIQU E 3D.................................................................................................... 160

III.1 CONSTRUCTION DU MAILLAGE ...............................................................................................160III.2 LES RÉSULTATS............................................................................................................................161

III.2.1 Les profils de vitesses...................................................................................................................161I.1.2 Les profils de hauteur d'eau.........................................................................................................164

IV. CONCLUSIONS .......................................................................................................................................165

Annexe 4. NIMES : LES DIMENSIONS DES RUES…………………………………..166

Annexe 5. NIMES : LES CONDITIONS A L’ENTREE DU MODELE……………….168

Table des Matières

5

Annexe 6. NIMES : L’AVAN CEE DE LA CRUE……………………………………….171

INDEX DES FIGURES………………………………………………………………………...176

INDEX DES TABLEAUX……………………………………………………………………….178

TABLE DES NOTATIONS………………………………………………………………………179

Table des Matières

6

Introduction générale

7

INTRODUCTION GENERALE

Les inondations ont à leur origine des événements météorologiques-hydrologiques qui, à

cause de leur nature stochastique, sont très difficiles à prévoir quant à leur période de retour et

leur intensité. Elles sont d’autant plus à redouter lorsqu’elles se produisent en ville, là où se

situe une forte concentration des activités humaines. Par conséquent, les activités

économiques sont fortement perturbées et les coûts pour la société deviennent exorbitants

d’où la nécessité de prévoir et d’empêcher le retour de ces catastrophes. Cela demande un

travail interdisciplinaire dont les acteurs principaux sont les hydrologues, les hydrauliciens,

les aménageurs et les gestionnaires de la ville. Si le travail d’un hydrologue peut se résumer

en la recherche de la distribution des pluies en espace et en temps, le travail d’un hydraulicien

concerne le passage du débit correspondant à cette distribution à travers la ville.

Cette tâche est difficile car les lois de l’hydraulique ont été établies pour des cas beaucoup

plus simples qu’un écoulement en ville. L’application des modèles classiques incarnant ces

lois aux écoulements en ville est loin d’être automatique. En effet, quelque soit le type

d’urbanisation et la densité d’habitat, le milieu urbain se caractérise par un compartimentage

très hétérogène et une complexification du cheminement de l’eau. Les points suivants sont à

étudier particulièrement :

I. Paramètres de la modélisation

1. Le rôle du réseau d’assainissement.

2. La présence de volumes de stockage.

3. La présence de singularités.

4. Une très grande variabilité des caractéristiques du frottement et de la turbulence.

5. Le choix du modèle.

I.1 Le rôle du réseau d’assainissement

Un schéma de modélisation qui divise la ville en éléments drainants (la voirie et les

collecteurs), imperméables et stockants peut être envisagé (Hingray 1999). On s’aperçoit que

cette schématisation nécessite non seulement un modèle d’écoulement à surface libre, qui,


8

dans tous les cas, est indispensable mais aussi un modèle d’écoulement en réseau. Ces deux

modèles décrivent deux niveaux d’écoulement qui ne communiquent qu’en un certain nombre

de points. Chaque modèle, à un moment donné, est, soit récepteur, soit donneur du débit,

mais leurs rôles peuvent s’inverser au cours du temps, ce qui demande une modélisation en

fonction du temps. Cet aspect de la modélisation ne peut être réalisé que lorsqu’on effectue un

couplage des deux modèles. Bien qu’à l’heure actuelle, ce couplage soit diffic ile à mettre en

œuvre, notamment à cause d’une mauvaise maîtrise du passage de l’écoulement à surface

libre à l’écoulement en charge dans les modèles de réseau d’assainissement, sa réalisation à

terme est faisable. Cependant, on peut négliger la capacité d’évacuation du réseau

d’assainissement si les débits s’évacuant par cette voie sont faibles, ce qui est une supposition

assez raisonnable dans le cas où l’inondation est due au débordement d’un cours d’eau. On est

donc conduit à l’alternative suivante :

I.2 La présence de volumes de stockage

Ces volumes peuvent être les bâtiments eux-mêmes (entrée de l’eau par les portes), des caves,

des jardins, des pelouses, des parkings souterrains etc, qui stockent l’eau lors de l’inondation.

Leur incorporation dans le modèle peut être individualisée ou globalisée. La réponse à cette

question dépend de la finesse avec laquelle on veut modéliser les phénomènes. Au vu des

incertitudes, une représentation individualisée n’aurait pas une influence significative sur les

résultats finaux sauf s’il s’agit de grands espaces de stockage comme un parc. Une

représentation globalisée des pertes en débit peut être soit une quantité fixe par unité de

longueur de rue ou bien une quantité qu’on calcule en fonction de la hauteur d’eau et du

temps.

Est-ce que le rôle du réseaud’assainissement peut être négligé ?

oui

Application d’un seul modèle del’ écoulement de surface suffit.

Couplage du modèle del’ écoulement de surface avec unmodèle de l’écoulement en réseaud’assainissement

non


9

I.3 Les singularités

Au regard de l’écoulement, les singularités sont des discontinuités. Ils obligent l’ écoulement à

s’adapter à leur contour. Ils sont aussi à l’origine de pertes de charge hydraulique en raison de

la turbulence qu’ils créent. Ces pertes de charge sont difficile à quantifier car, étant tributaires

des propriétés de l’écoulement et du fluide, elles dépendent aussi de la forme précise d’un

obstacle, de son orientation et de la rugosité de sa surface, etc. Tout cela ne concerne qu’un

obstacle ponctuel alors que dans un milieu marqué par la présence d’un grand nombre

d’obstacles, il y aura des effets supplémentaires dus à l’interaction entre obstacles, par

exemple, raccourcissement du sillage d’un obstacle à cause de la proximité d’un autre à

l’aval. Il est bien établi que l’écoulement au voisinage d’un obstacle a une structure

pleinement tridimensionnelle avec une forte composante de la vitesse verticale. Cela implique

que, près de l’obstacle, l’usage d’un modèle basé sur les équations de Saint Venant n’est pas

strictement correct. L’usage d’un modèle 3D est-il la solution ? En fait, bien que ces modèles

soient utilisés de plus en plus fréquemment dans la simulation numérique de l’écoulement,

leur usage reste limité aux situations où une connaissance assez précise du champ de vitesse

est requise ; en général, ce sont des modèles 2D reposant sur les équations de Saint Venant

qui sont utilisés le plus couramment. La raison de l’usage restreint des modèles 3D est qu’ils

exigent un temps de calcul et des ressources informatiques considérables ce qui les rend très

coûteux et lourds à utiliser. Il faut, donc, examiner l’usage des modèles 2D afin de connaître

leurs limitations et les bornes de leurs applications en distinguant entre un domaine de

l’ écoulement proche et un domaine lointain par rapport à l’obstacle.

Un autre type de singularité qu’on trouve assez fréquemment en milieu urbain correspond à

l’ écoulement à travers un orifice (caniveau, passage sous la chaussée) ou au dessus d’un seuil.

L’estimation du débit à travers ces ouvrages est réalisée grâce à des formules empiriques.

On peut, donc, conclure que, à cause de la présence de nombreux obstacles en milieu urbain,

l’ écoulement est très complexe et l’application d’un modèle numérique de l’écoulement sur

ces cas nécessite une validation adaptée du code.

I.4 Variabilité des caractéristiques de l’écoulement

La discrétisation en espace et en temps introduite dans un modèle numérique est une

caractéristique très intéressante car elle ouvre la voie à une spécification par domaine des

paramètres (coefficient du frottement, coefficient de viscosité turbulente, …).


10

I.5 Le choix du modèle

(Gallati, Braschi et al. 1990) ont utilisé un modèle 1D sur un réseau maillé des rues pour

modéliser l’i nondation de Florence de 1966. Ce modèle représente assez bien l’écoulement

dans les rues qui est fondamentalement 1D mais le problème se pose aux carrefours car un tel

modèle ne permet pas de les décrire topographiquement. Un carrefour est alors représenté

comme une boîte noire, qui répartit le débit selon les cotes des rues au niveau du carrefour.

De la même manière, un modèle 1D n’est pas en mesure de représenter des espaces de

stockage. Par contre, un modèle 2D offre un plus grand choix aux modélisateurs avec une

représentation explicite, c’est-à-dire une topographie des carrefours. Il peut aussi nous aider à

connaître les zones qui peuvent être touchées par la crue car le domaine de calcul est

directement un plan (2D).Cependant, son utilité ne peut être avérée que lorsqu’on dispose

d’un mailleur adapté à la géométrie compliquée d’une ville. Ceci doit permettre d’obtenir des

résultats dans un délai raisonnable et d’effectuer plusieurs simulations afin de tester

différentes hypothèses.

II. Plan de l’exposé

La méthodologie adoptée dans cette étude repose principalement sur la résolution numérique

des équations de Saint Venant bidimensionelles. Cette approche peut être considérée comme

une voie complémentaire à l’approche expérimentale. L’exposé est divisé en trois chapitres.

Le premier chapitre « Introduction au sujet et aperçu bibliographique » est en partie consacré

à l’étude de l’écoulement autour d’un obstacle. En complément, une deuxième partie examine

quelques thèmes liés au débordement du réseau d’assainissement et à son interaction avec

l’ écoulement de surface.

Le deuxième chapitre a pour titre « Effet d' une topographie complexe incluant plusieurs

obstacles: modèle physique d' une vallée soumise à une onde de rupture de barrage ». On

applique le logiciel bidimensionnel RUBAR 20 à un écoulement dans un modèle physique

pour lequel on dispose des mesures de hauteur d’eau en plusieurs points. Ce modèle inclut

plusieurs obstacles de tailles et de formes différentes, ce qui nous a permis d’essayer plusieurs

méthodes pour représenter les obstacles dans le modèle numérique.


11

Le troisième et dernier chapitre constitue le travail le plus important. Il s’intitule

« Ecoulement dans une zone urbaine dense: événement du 3 octobre 1988 à Nîmes ». Il s’agit

d’une simulation numérique de l’inondation qui avait sévèrement touché la ville de Nîmes en

1988. La zone considérée consiste en une cinquantaine de rues et une attention particulière a

été apportée à la modélisation des carrefours. Plusieurs types de représentations

topographiques ont été essayées et les résultats du calcul comparés avec les laisses de crue.

L’annexe 1 est consacré à la présentation des outils de modélisation utilisés. Elle décrit les

deux principaux logiciels utilisés dans cette étude, CANOE pour les écoulements en réseau

d’assainissement et RUBAR 20 pour la résolution des équations de Saint Venant 2D.

L’annexe 2 s’intitule « Influence du réseau d' assainissement sur les débordements: exemple

d' un quartier d' Oullins » et elle présente le cas d’un quartier riverain dans la commune

d’Oullins touché par les inondations, où on a étudié l’interaction entre le réseau

d’assainissement et l’écoulement de surface provoqué par le débordement de la rivière

Yzeron. L’écoulement en réseau d’assainissement lors de l’inondation a été simulé au moyen

du logiciel CANOE, ce qui nous a aidé à clarifier l’état du fonctionnement du réseau pendant

la crue.

L’annexe 3 a pour but la validation du code RUBAR 20 sur le cas simple d’un obstacle. Elle

s’intitule « Ecoulement autour d' un obstacle: expérimentation en canal » et elle présente les

résultats des mesures de vitesse autour d’un parallélépipède immergé dans un canal de

laboratoire.


12

Chapitre 1 Introduction au sujet et aperçu bibliographique

13

1. INTRO DUCTIO N AU SUJET ET APERCU

BIBLIOGRAPHIQUE

Ce chapitre résulte d'une recherche bibliographique orientée vers des thèmes liés aux modes

de traitement des inondations en milieu urbain. Dans ce contexte, il donne un aperçu du

problème en fonction de la méthodologie adoptée dans cette étude.

Les équations de Saint Venant méritent d'être mentionnées car elles constituent le cœur de la

modélisation choisie. La question d'écoulement autour d'un obstacle se présente de façon

naturelle lorsque l’on s'intéresse aux zones urbaines, compte tenu de la présence d'un grand

nombre d'obstacles dans ce milieu. La turbulence est une caractéristique permanente des

écoulements que l’on aspire à modéliser et la question se pose alors de savoir comment

l'intégrer dans le modèle numérique. Dans ce but, nous nous sommes intéressés à l’évaluation

du coefficient de viscosité turbulente qui est particulièrement important dans le cas d’un

écoulement autour d’un obstacle.

I. Les équations de Saint Venant bidimensionnelles

I.1 Introducti on

Les équations de Saint Venant sont utilisées dans des cas aussi variés que l'écoulement dans

un cours d'eau de géométrie non-prismatique, l'onde à l'aval d'une rupture de barrage ou

encore le déversement par une brèche dans une digue. Bien que l'écoulement dans ces

conditions soit fondamentalement 3D, on peut simplifier l'analyse en le considérant comme

2D. Les équations de Saint Venant bidimensionnelles sont obtenues par intégration sur la

verticale des équations de Navier-Stokes. Les variables principales sont la hauteur d'eau et les

deux composantes de la vitesse dans le plan horizontal (Chaudhry 1993).

I.2 Les hypothèses

Les équations sont obtenues en faisant les hypothèses suivantes (Chaudhry 1993) :


14

♦ La pression est hydrostatique ; c’est une hypothèse raisonnable si les lignes de courant

n' ont pas de fortes courbures.

♦ La pente du fond dans les deux directions longitudinale et transversale est petite; par

conséquent, la hauteur d' eau mesurée verticalement est approximativement la même que

celle mesurée normalement au fond.

♦ La perte de charge dans l' écoulement transitoire est estimée de manière similaire à sa prise

en compte dans un écoulement uniforme (formules de Chézy ou Manning-Strickler).

I.3 Les équations

Les équations de Saint-Venant 2D s' écrivent pour un fluide incompressible :

Equation de conservation de la masse

0=∂∂

+∂∂

i

i

x

U

t

h(1.1)

Equations de conservation de la quantité de mouvement

( ) ( ) ( ) ( )j

ijsibi

i

b

j

iji

x

h

x

zhgh

x

Uu

t

U

∂∂

++−=∂+∂

+∂

∂+

∂∂ τ

ρττ

ρ

~11~ (1.2)

),( txh i , hauteur d'eau.

ui, composante instantanée de la vitesse

),( txz ib , cote du fond

dzuh

us

b

z

z

ii ∫= 1~ = composante de la vitesse intégrée sur la hauteur

ii uhU ~= , débit par unité de largeur

ρ , masse volumique

biτ , contrainte au fond

siτ , contrainte à la surface libre due au vent

ijτ~ , contraintes effectives comprenant les contributions des contraintes laminaires, turbulentes et celles dues

à l'intégration sur la hauteur (dispersion)

i, j=1,2


15

II. Evaluation du coefficient de viscosité turbulente

II.1 Introduction

Le coefficient de la viscosité turbulente νt, aussi appelé coefficient de diffusion dans ce

document, caractérise la turbulence. Il peut être évalué soit par l’approche analytique

s’appuyant sur des modèles de turbulence (modèle de Boussinesq, modèle κ-ε , etc ) soit par

une approche empirique s’appuyant sur des expérimentations.

II.2 Approche analytique

Un modèle de turbulence sert à exprimer les termes du tenseur de Reynolds uvvu ,, 22 en

fonction des grandeurs moyennes de l' écoulement afin de fermer le système d' équations. Les

différents modèles contiennent toujours des coefficients ou constantes empiriques qui sont

déterminés à partir du type d’écoulement . Ils représentent l' effet de la turbulence sur les

grandeurs moyennes d' une façon globale. Les deux modèles de turbulence, à savoir, le modèle

de Boussinesq et le modèle κ−ε , que l’on décrit brièvement ci-dessous sont très souvent

utilisés dans la modélisation numérique de l' écoulement à surface libre.

II.2.1. Modèle de Boussinesq

Un modèle de turbulence doit déterminer la répartition de la viscosité turbulente, νt, sur tout le

domaine. Ce paramètre νt a été introduit par Boussinesq (1877) en supposant que comme les

contraintes visqueuses dans l' écoulement laminaire, les contraintes turbulentes sont

proportionnelles aux gradients de vitesse moyenne. Cette relation peut s'écrire sous la forme

suivante (ASCE Task Committee on Hydraulic Computations, 1988), (Prinos et Zeris 1995) :

iji

j

j

itji x

U

x

Uuu κδν

3

2−

∂

∂+

∂∂

= (1.3)

jiuu composantes du tenseur de Reynolds

U vitesse moyenne

δij symbole de Kronecker, δij =1 si i=j, sinon δij =0

κ énergie cinétique de la turbulence par unité de masse, iiuu2

1=κ


16

ΙΙ.2.2. Le modèle κ−ε

Ce modèle admet le transport de turbulence par convection et la diffusion aussi bien que la

génération et la dissipation de cette dernière. Deux équations de transport, équations aux

dérivées partielles, sont résolues pour déterminer la répartition dans l'espace et le temps des

paramètres k et ε qui représentent, respectivement, la génération et la dissipation de l'énergie

cinétique de la turbulence. Le coefficient de viscosité turbulente, νt, est exprimé de la manière

suivante:

εκν µ

2

ct = (1.4)

µc est une constante empirique.

Cette valeur de νt est ensuite substituée dans l'équation (1.3) pour trouver les valeurs du

tenseur de Reynolds.

II.3 La structur e de la tur bulence dan s l 'écoulemen t à surface l ibre

La viscosité turbulente, νt , est le produit d'une vitesse par une longueur (dimensions : m2/s).

La turbulence, peut être caractérisée par le produit d'une échelle de vitesse et d'une échelle de

longueur.

Dans l'écoulement peu profond, on distingue deux structures de turbulence: la turbulence à

grande échelle générée par le cisaillement transversal et la turbulence à petite échelle générée

par le fond. La tendance dominante est de négliger la turbulence à grande échelle. La

turbulence générée par le fond dont l'échelle de longueur est celle de la hauteur d'eau est

considérée comme la source principale de la turbulence (Babarutsi, Nassiri et al. 1996). Cette

dernière est exprimée sous la forme

∗= khutν (1.5)

h, hauteur d'eau

ρτ 0=∗u = vitesse de frottement

0τ contrainte à la paroi

ρ masse volumique de l’eau

k coefficient empirique


17

(Yulistiyanto, Zech et al. 1998) ont utilisé un modèle 2D pour modéliser l'écoulement autour

d'un cylindre. Afin d'approcher la viscosité turbulente, ils partent de l'analogie de Reynolds

qui suppose une équivalence entre le flux de quantité de mouvement et le flux de masse ce qui

se traduit par une équivalence entre la viscosité turbulente νt et la diffusivité turbulente

verticale εtz . Finalement, ils supposent que le rapport ∗hu

tν vaut 0,1.

(Mayerle, Toro et al. 1995) ont testé plusieurs approches pour exprimer νt . La viscosité

turbulente est reliée à la turbulence générée au fond en supposant un profil de vitesse

logarithmique et une répartition de la contrainte de cisaillement linéaire sur la hauteur. Cette

hypothèse conduit à la relation suivante:

∗

−= u

h

zzt 1κν (1.6)

h hauteur d'eau.

z distance verticale jusqu’au fond.

∗u vitesse du frottement.

κ le coefficient de Von Karman supposé égal à 0.4 par les auteurs.

En intégrant sur la verticale, cette approche permet d’obtenir :

∗= hut 067.0ν (1.7)

(Nokes et Wood 1988) cité par (Babarutsi et Chu 1998) ont effectué des mesures dans un

canal avec un écoulement dont la largeur était grande par rapport à la profondeur et ont trouvé

que le coefficient ∗hu

tνétait constant et que sa valeur était dans la gamme 0.08-0.13.

Yotsukura et Sayre cité par (Babarutsi et Chu 1998) ont calé des données du terrain pour des

rivières avec des méandres et ont trouvé que le rapport ∗hu

tν est égal à 3.4.

(Babarutsi, Nassiri et al. 1996) ont présenté un modèle de turbulence qui distingue entre la

turbulence générée par le fond et la turbulence transversale. Ils proposent la valeur de 0.08

pour le coefficient ∗hu

tν.


18

II.4 Approche empirique

Cette approche consiste à choisir une valeur de viscosité turbulente en s'appuyant soit sur des

expériences menées dans le passé ou par une recherche dans la littérature scientifique ayant

trait à ce genre de problème, etc. Des expériences numériques sont ensuite effectuées faisant

varier cette valeur afin d'obtenir une meilleure correspondance avec les mesures. Cependant,

ces valeurs sont particulières au type de cas étudié et en conséquence ne peuvent pas être

généralisées.

(Molls et Chaudhry 1995) ont utilisé les mesures faites par (Rajaratnum et Nwachukwu 1983)

pour estimer la valeur de νt. Ils transposent l'équation de Boussinesq afin d'exprimer νt de la

manière suivante:

∂∂+

∂∂

=

y

v

x

ut

τν (1.8)

τ contrainte de cisaillement au fond.

u, v deux composantes de la vitesse.

Ensuite, ils ont utilisé les résultats des mesures faites par des mêmes auteurs pour trouver la

valeur de la contrainte au fond et les gradients de vitesse près de l'épi ; ces valeurs ont été

substituées dans (1.8) pour évaluer la valeur de νt égale à 0.00128 m2/s. Cette valeur, bien

qu'estimée près de l'épi, est par la suite supposée constante dans tout le domaine.

(Mayerle, Toro et al. 1995) prennent νt =3*10-4 m2/s pour un écoulement autour d'un épi.

(Babarutsi, Nassiri et al. 1996) ont créé une zone de recirculation par un élargissement dans

un canal et prennent νt égal à 6.7*10-3 m2/s en tous points.

III. L e coefficient de résistance à l'écoulement

La variation de vitesse dans une section normale à l'écoulement est à l'origine du fait que les

hydrauliciens ont été obligés d'utiliser des relations quasi-empiriques pour lier la vitesse

moyenne dans une section à la pente de la ligne d'énergie par le biais d'un coefficient de

résistance à l'écoulement (Abbot et Basco 1989).


19

III.1 Principal es fo rmul es ut i l isées dans u n code unidimensio nnel

Les formules les plus couramment utilisées en hydraulique à surface libre sont celles de

Chézy et Manning-Strickler. Les deux formules expriment la vitesse moyenne de l'écoulement

stationnaire, uniforme en fonction de la forme de la surface mouillée et de la pente de la ligne

d'énergie.

La formule de Chézy est obtenue en considérant l'équilibre des forces de gravité et de

frottement s'exerçant le long des parois (French 1986).

La formule de Manning-Strickler : 21

321

JRn

V = (1.9)

La formule de Chézy : RJCV = (1.10)

n coefficient de Manning et k=1/n coefficient de Strickler.

V vitesse moyenne de l'écoulement.

R rayon hydraulique. R =S/P, S surface de l'écoulement, P périmètre mouillé.

J pente de la ligne d'énergie.

La valeur de 'n' dépend principalement de la rugosité du périmètre mouillé, de la végétation,

de la variation de la forme de la surface de l'écoulement et, dans un moindre degré, de la

hauteur d'eau, de l'érosion et du dépôt et de l'alignement du cours d'eau (Chaudhry 1993).

III.2 L'évaluatio n du coe fficien t d e résistan ce dan s l 'éc oulement à

surf ace l ibre

Les hydrauliciens traitant des écoulements à surface libre utilisent de préférence le coefficient

n de Manning-Strickler ou C de Chézy qui peuvent être évalués à partir de tableaux et

graphiques (French 1986; Abbot et Basco 1989). Ces tableaux donnent le coefficient de

Manning-Strickler pour différents types de cours d'eau ; ils mettent à la disposition des

ingénieurs l'expérience accumulée par les chercheurs et ingénieurs qui ont précédemment

travaillé dans ce domaine. Compte tenu du nombre de paramètres intervenant dans le choix de

n, la relation précise entre eux étant souvent mal connue, les ingénieurs en hydraulique optent

pour l'expérience plutôt que pour la rigueur mathématique.


20

Néanmoins, on pourrait s'inspirer de la manière dont le coefficient du frottement f de la

formule de Darcy-Weisbach est calculé pour les différentes gammes de l'écoulement en

conduites afin de trouver une valeur calculée du 'C' de Chézy ou 'n' de Manning-Strickler ne

dépendant que de la hauteur de rugosité ks et du rayon hydraulique, R . Un paramètre

important d’écoulement en conduite est le nombre de Reynolds qui représente le rapport de la

force d’inertie à la force de viscosité (Douglas, Gasiorek et al. 1985). Dans l’écoulement à

surface libre, il est calculé à partir de la vitesse du frottement et de la hauteur des aspérités du

matériau constituant le fond et les berges (French 1986) selon la relation suivante:

νsku

R ∗∗ = (1.11)

u* vitesse de frottement

ks hauteur des rugosités

ν viscosité cinématique

Suivant la valeur du nombre de Reynolds, on distingue trois types d’écoulement, les

écoulements hydrauliquement lisse, rugueux et lisse-rugeux. Les écoulements

hydrauliquement lisse n'offrent pas d’intérêt particulier puisqu'il est rare de les rencontrer en

hydraulique à surface libre.

Pour les écoulements rugueux et turbulents ( ∗R ≥ 100), la formule suivante est proposée pour

le coefficient de Chézy (French 1986 ; Abbot et Basco 1989).

=

sk

RC

12log18 (1.12)

Cette formule déterminée à partir d’expériences effectuées en conduites, peut être utilisée

pour des petits cours d'eau à parois relativement lisses (Chaudhry 1993).

Christensen cité par (Chaudhry 1993) a étudié la gamme de validité de la formule de

Manning-Strickler en supposant que l'équation de Nikuradse donnant le coefficient de

frottement en conduites est valable en écoulement à surface libre. Avec cette hypothèse, il

démontre que le paramètre 'n' de l'équation de Manning-Strickler est donné par l'expression

suivante:

2625.8

61

61

ss k

g

kn ≈= en système S.I. (1.13)


21

ks hauteur des aspérités étant à la puissance 1/6 dans cette formule, une erreur dans

l'estimation de sa valeur a moins d'influence sur la vitesse moyenne que l'erreur commise dans

l'évaluation de n (Chaudhry 1993).

(Bahram et Sturm 1998) dans leur modèle numérique 2D approchent les contraintes au fond

en utilisant le paramètre cf :

2

log75.56

−

+=

sf k

hc (1.14)

cf = f/8;

f coefficient de frottement de Darcy-Weisbach

ks rugosité équivalente

h hauteur d'eau

(Babarutsi, Ganoulis et al. 1989) calculent le coefficient de frottement par la formule qui a

été recommandée par la ''ASCE Task force on friction factor in open channel flow (1963)'':

+−=

f

s

f cRh

k

c

25.1

12log4

1 (1.15)

ks rugosité équivalente à celle des particules constituant le lit

h hauteur d'eau

U vitesse moyenne

νUh

R4=


IV. Ecoulement autour des obstacles

IV.1 Ec oulement aut our d'u n épi

(Mayerle, Toro et al. 1995) présentent des travaux concernant la simulation numérique

d'écoulements au voisinage d'épis par un modèle 3D. Les résultats numériques sont comparés

avec des mesures en canal de laboratoire.

Le canal a une largeur de 2,5 m et les épis de 0,25 m de longueur sont disposés

perpendiculairement à l'axe d'écoulement. Pour comprendre l'effet du modèle de turbulence,


22

les auteurs ont choisi six approches différentes pour déterminer le coefficient de diffusion.

Les trois premières approches sont basées sur la turbulence isotrope et les trois dernières sur

la turbulence anisotrope.

Leurs principales conclusions peuvent être résumées de la manière suivante:

♦ Aucune des approches utilisées pour décrire le coefficient de diffusion ne conduit, de

manière systématique, à des résultats qui soient en accord avec les mesures.

♦ Loin des épis, les résultats numériques de tous les modèles s'accordent bien avec les

mesures.

♦ A l'extrémité des épis aucun modèle, donc aucune façon de calculer le coefficient de

diffusion, ne donne des résultats cohérents avec les mesures.

♦ En dehors du sillage, à l'aval des épis, aucune approche n'était capable de bien représenter

la diminution de la vitesse longitudinale près de la surface libre.

♦ Une comparaison de la hauteur d'eau le long de l'axe du canal, c'est-à-dire à 1 m de

l'extrémité des épis montre que tous les modèles donnent de bons résultats. Près de l'épi,

aucune comparaison concernant la hauteur d'eau n'est présentée.

♦ La longueur de la zone de rattachement observée, qui est la zone où la vitesse

longitudinale est dans le sens inverse de l'écoulement principal a pour valeur 11.8d, où d

est la longueur des épis ; la longueur calculée la plus proche vaut 10.8d.

(Bahram et Sturm 1998) ont modélisé l'écoulement dans un lit composé en présence de piles

de pont dans le lit majeur. Ils ont utilisé les équations de Saint-Venant 2D avec le modèle κ−ε,

et concluent que la vitesse moyenne sur la hauteur près des piles ainsi que les profils

longitudinaux des hauteurs d'eau à l'extrémité aval d'une pile sont assez bien simulés.

(Molls et Chaudhry 1995) ont employé un modèle numérique 2D qui résout les équations de

Saint-Venant. La turbulence est simulée par le modèle de Boussinesq avec une valeur du

coefficient de diffusion constante partout dans le domaine. Ils ont modélisé plusieurs cas

parmi lesquels l'écoulement autour d'un épi disposé perpendiculairement à l'axe de


23

l'écoulement ; ce dernier avait une longueur de 0,152 m pour une largeur de canal de 0,9 m.

La taille d'une maille de calcul près de l'épi était de un centimètre.

La comparaison calcul - mesure en terme de vitesse résultante démontre que la

correspondance est satisfaisante près de l'épi. La longueur de la zone de recirculation a été

calculée comme égale à douze fois la longueur de l'épi ce qui correspond aux mesures.

Les tests de sensibilité avec le coefficient de diffusion tν et le coefficient de Chézy montrent

l'influence clef du premier paramètre alors que les résultats ne sont pas modifiés par

l'évolution du deuxième. Une augmentation de νt entraîne la diminution de la longueur de la

zone de recirculation tandis que sa décroissance avait l'effet inverse. En outre, un changement

de la viscosité turbulente modifie les vitesses aval tandis que les vitesses à l'amont de l'épi ne

sont pas affectées.

(Tingsanchali et Maheswaran 1990) ont calculé l'écoulement autour d'un épi avec un modèle

numérique 2D. Les termes de turbulence ont été modélisés avec un modèle κ−ε. Il s estiment

que le modèle 2D est capable de bien représenter la réalité physique lorsque le rapport

largeur/hauteur de l'écoulement est grand et le mélange sur la verticale important.

Ils ont trouvé que le modèle κ−ε standard sous-estimait la longueur de la zone de recirculation

et sa largeur d'une façon importante. Afin de pallier à ce problème, ils ont incorporé un terme

de correction dans le modèle κ−ε standard. Après avoir effectué cette modification, ils ont

obtenu une assez bonne concordance entre les profils de vitesse moyenne sur la hauteur

calculés et les résultats expérimentaux dans la zone affectée par la présence de l'épi.

IV.2 Modé lisati on fine d'autr es zon es de recirculation

Les travaux de (Bravo et Holly 1996) concernent l'écoulement dans une installation de

navigation. Dans les barrages mobiles, les vannes, disposées transversalement à l'axe du

fleuve, assurent le transit de débit à travers l'ouvrage sans une recirculation importante pour

que les bateaux puissent passer au travers sans risque. L'installation d'une usine

hydroélectrique sur un tel barrage peut conduire à une situation de débit de transit localisé


24

avec une forte turbulence. Cela exige une bonne connaissance de l'écoulement, en particulier,

les vitesses à contre sens et la taille des tourbillons dans cette zone.

Les auteurs ont modélisé l'écoulement avec un modèle 2D qui résout les équations de Saint

venant en tenant compte de la turbulence de deux manières: dans un premier temps, un

modèle de type Boussinesq avec νt constante partout et dans un deuxième temps par un

modèle κ−ε .

Il s ont essayé trois valeurs de νt , à savoir 1, 10 et 0.1 m2/s, parmi lesquelles νt égale à l'unité

donne la meilleure correspondance avec les mesures. Ils ont noté que la forme de la

recirculation calculée était similaire à celle mesurée. Toutefois, la vitesse inversée dans la

zone de recirculation n'était que 40% de la valeur mesurée. L'usage du modèle κ−ε améliore

les résultats; toutefois, la vitesse inversée dans la zone de recirculation reste sous-estimée à

63% de la valeur mesurée.

Dans un but de calage, ils ont traité le cas d'un écoulement simple dans un canal rectangulaire

νt valant 10-3 puis 10-1 m2/s. Keller et Rodi, 1980 avait traité ce cas avec un modèle κ−ε. Ils

constatent que leurs profils de vitesses correspondent bien avec ceux de Rodi si on utilise νt

égale à 10-3 m2/s.

(Yulistiyanto 1997 ; Graf et Yulistiyanto 1998)ont employé un modèle 2D moyenné sur la

hauteur afin de simuler l'écoulement autour d'un cylindre vertical. Les termes du tenseur de

Reynolds ont été approchés avec le modèle de Boussinesq ; de plus, ils ont tenu compte des

contraintes créées par l'intégration sur la hauteur. Près du cylindre, les dimensions de pas

d'espace ∆x et ∆y étaient 6,6 mm. La validation des résultats numériques a été faite par les

mesures dans un canal expérimental. La validation a consisté à choisir des sections faisant des

angles de 0°, 45°, 90°, 157,5° et 180° avec la ligne centrale du cylindre. Ensuite, les deux

composantes de vitesse u, v dans le plan ont été mesurées en balayant la section du lit à la

surface libre. Ces composantes de vitesses ont été intégrées afin d'obtenir la vitesse moyenne

sur la hauteur. La correspondance entre les résultats numériques et expérimentaux est

globalement assez bonne avec une bonne représentation du sillage et de la hauteur d'eau. La

seule divergence était la sous-estimation, par les calculs, des tirants d'eau le long de la

circonférence. Toutefois, les auteurs signalent la difficulté de mesurer de façon précise la

hauteur d'eau près du cylindre où la fluctuation de la surface fait que la hauteur mesurée était

plutôt la limite haute de 'h' que le niveau moyen.


25

(Babarutsi, Nassiri et al. 1996) ont examiné l'effet du frottement sur la recirculation. La zone

de recirculation est produite par l'élargissement brusque de l'écoulement. Les calculs sont

effectués avec trois modèles de turbulence: (1) le coefficient de diffusion turbulente

constant ; (2) une version du modèle κ−ε moyennée sur la hauteur avec une échelle de

longueur ; (3) un modèle avec deux échelles de longueur qui distingue entre la turbulence

générée par le fond et les bords.

Les résultats de calculs et l'analyse montrent l'influence capitale exercée par le nombre de

frottement du lit S, où S est donné par

h

dcS f

2= (1.16)

cf coefficient du frottement du lit

h tirant d'eau

d augmentation de la largeur du canal de laboratoire

Le coefficient S leur permet d'identifier deux gammes d'écoulement: la gamme d'écoulement

profond avec S inférieur à 0,05 et la gamme d'écoulement peu profond avec

S supérieur à 0,1. L'écoulement peu profond a comme facteur prédominant le frottement au

fond. Dans cette gamme, bien que les trois modèles de turbulence donnent des valeurs

différentes pour la viscosité turbulente, la longueur de recirculation ainsi que le débit

traversant la zone de recirculation étaient à peu près pareils. La longueur de la zone de

recirculation, L, dans l'écoulement peu profond, est indépendante de la taille d'obstacle ou

d’élargissement; en revanche, il dépend du frottement au fond exprimé par le coefficient cf.

(Vreugdenhil et Wijbenga 1982) dans leurs travaux modélisent l'écoulement dans la plaine

d'inondation avec un modèle 2D. Les résultats numériques sont ensuite vérifiés avec des

mesures. Ils témoignent de l'importance cruciale de la viscosité turbulente νt sur leurs

résultats. D'après eux, sont assez mal connues les valeurs de νt dans les diverses conditions

rencontrées sur le terrain. Les résultats de calcul, en faisant varier νt, montrent qu'une plus

grande valeur de cette dernière conduit à augmenter la hauteur d'eau.


26

IV.3 Modé lisati on d'u n mu r verti cal

(Bahram et Sturm 1998) ont modélisé un cas de lit composé. A l'interface du lit mineur et

majeur, le mur vertical leur pose des problèmes de représentation. Comme leur modèle 2D ne

leur permettait pas d'avoir des points de coordonnées horizontales x, y identiques et de

coordonnée z différente, ils ont été obligés de représenter ce mur par une pente très raide. En

plus, ils définissent une région d'interface qui est une bande mince le long de l'interface et,

dans cette zone, un maillage dense était utilisé. Ensuite, ils ont calculé la contrainte de

cisaillement dans cette zone par l'équation suivante:

22

cos

1VUUc ifbi += ρ

θτ (1.17)

τbi contrainte de cisaillement

cf coefficient du frottement

ρ masse volumique

U, V composantes de vitesses, moyennées sur la hauteur longitudinale et transversale

i= 1,2

θ angle d'inclinaison transversale entre le lit et l'horizontale

Puis, cette contrainte unitaire est intégrée sur la surface du mur d'interface afin d'obtenir une

force. Celle-ci est ajoutée dans le terme source de l'équation de la quantité de mouvement au

nœud le plus près de l'interface du côté du lit majeur.

(Francisco, Simoes et al. 1997) traitent du phénomène de mélange dans un canal à lit

composé, ont expliqué avoir modélisé le mur vertical d'interface entre le lit majeur et mineur

par un mur incliné à 85° avec le lit.

(Keller et Rodi 1988), quant à la modélisation du lit composé et des processus de transferts,

notent la nécessité d'améliorer la modélisation du mur vertical submergé qui sert d'interface

entre les lits majeur et mineur. Dans leur étude, ils l'ont modélisé avec une pente très raide

(88-89° ) car ils utilisaient un modèle 2-D et ont finement discrétisé la région des deux côtés

de l'interface lit mineur-majeur. Ils pensaient que modéliser le mur vertical par une pente

transversale très raide conduisait à lier la contrainte à la paroi avec une hypothétique

répartition verticale de vitesse et non pas à une répartition latérale de vitesse ce qui était plus


27

juste à leurs yeux. A leur avis, le couplage de la contrainte au fond avec la vitesse intégrée sur

la hauteur était inadéquat là où la pente transversale du fond était importante.

IV.4 Modé lisati on d'élément s d e bâti

[Testa, 1998] présentent leur modèle numérique 2D simplifié en négligeant les termes

convectifs. Afin de modéliser l'écoulement au travers des zones bâties, ils associent une

porosité qui sert à représenter la diminution de surface disponible à cause de la présence du

bâti. La présence des différentes singularités hydrauliques est prise en compte par des

formules donnant le débit en fonction de la charge hydraulique. L'écoulement sous le pont en

présence des piles est corrigé afin de tenir compte de la force de traînée due aux piles.

(Hervouet, Samie et al. 2000) utilisent Telemac-2D, un logiciel développé par Electricité de

France, qui résout les équations de Saint-Venant. Ils voulaient représenter les zones urbaines

d'une façon globale sans représenter le détail de chaque maison. Ils ont utilisé le concept de

porosité qui est le rapport entre la surface d'une maille de calcul occupé par la zone bâtie à la

surface totale de la maille. La modification dans les équations de la quantité de mouvement

consiste à représenter la force de traînée qui interagit entre l'obstacle et l'écoulement.

La force de traînée sur un cylindre de diamètre D, immergé, autour duquel un fluide de masse

volumiqueρ s'écoule à la vitesse moyenne U est exprimé ainsi:

dDhCUF 2

2

1 ρ= (1.18)

où h est la hauteur mouillée et Cd le coefficient de traînée. Si, A désigne la surface du cylindre

parallèle à l'écoulement, la contrainte de cisaillement supposée constante est égale à F/A. Le

terme qui s'ajoute à droite de l'équation de quantité de mouvement est, donc, DCdU2/2A; ce

dernier terme est semblable au terme que l'on ajoute pour représenter les frottements au fond

sauf que dans ce dernier, on fait intervenir le coefficient de Chézy ou de Manning alors que

dans le cas présent c'est le coefficient de traînée Cd qui intervient.


28

V. L a simulation numérique d'inondation en zone urbaine

On se restreint au cas où les modèles simulent les inondations résultant du débordement d'un

cours d'eau, ce qui permet de négliger le réseau d'assainissement en considérant que les débits

mis en jeu sont beaucoup trop importants pour être influencés par un quelconque réseau de

collecteurs.

Taro(1993) cité par (Hingray 1999) utilise un 'vrai' modèle 2D (2323 mailles) pour modéliser

l'inondation de la ville de Hamada City (Japon) suite au débordement de la rivière Kousa et de

ses affluents. Il souligne les difficultés pour déterminer les coefficients de rugosité des

différentes mailles urbaines du modèle.

Il y a relativement peu de travaux concernant la simulation d'inondation en ville. De ce fait, le

travail de (Gallati, Braschi et al. 1990) sur l’inondation de Florence en 1966 est précieux et

est détaillé ci-dessous.

Les échelles d'étude

Il s commencent par établir une distinction entre les échelles de modélisation. Pour eux, une

description globale de la ville qu'ils nomment 'l'échelle externe' est celle d'un milieu fracturé

dont les cellules sont petites par rapport au milieu mais quand même suffisamment grandes

pour qu'elles puissent contenir des maisons, des carrefours etc. Un paramètre représentant la

porosité ainsi qu’un tenseur des coefficients de rugosité sont considérés comme nécessaires à

ce niveau de découpage du milieu pour bien décrire les phénomènes.

Une deuxième échelle de milieu a comme longueur caractéristique la longueur d'une rue. A ce

niveau de discrétisation, on doit tenir compte des directions préférentielles de l'écoulement

déterminées par les routes et les rues. Dans cette approche, une rue constitue un élément

hydraulique ayant une largeur nulle qui sert à acheminer l'eau vers un nœud ou se rejoignent

d'autres éléments de rues. Un nœud est doté d'une capacité de stocker une certaine quantité

d'eau déterminée par les lois de l’hydraulique.

La troisième échelle est caractérisée par la largeur d'une rue. A ce niveau, la rue elle-même est

divisée en plusieurs parties et la répartition des débits et vitesses dans une rue peut être

calculée. D'après les auteurs, ce niveau de discrétisation bien que réalisable entraîne un niveau


29

très important de difficultés si bien que celui n'est convenable que pour des petites zones afin

d'évaluer l'effet des obstructions locales telles que les voitures, les passages souterrains, etc.

Conditions aux limites

D'après (Gallati, Braschi et al. 1990) les « bonnes » conditions aux limites à l'entrée sont le

débit ou la hauteur d'eau alors que pour la sortie ce sera soit, une condition décrivant la

relation débit-hauteur d'eau. Dans leur calcul, ils ont utilisé la sortie libre comme condition

limite à l'aval. Ils considèrent que les conditions aux limites correctes, en un point donné, sont

obtenues à partir des calculs sur une grande zone. Cette information est ensuite utilisée dans le

calcul sur la zone plus réduite.

Calculs

Les données dont ils disposaient étaient l'hydrogramme d'entrée, des témoignages, des laisses

de crue, etc.

Les équations qu'ils ont utilisées comprennent l'équation de conservation de la masse écrite de

la manière suivante:

qt

hdivQ =

∂∂+ψ (1.19)

Q débit unitaire dans les deux directions orthogonales

h hauteur d'eau

ψ coefficient de la porosité

q source locale de débit par unité de surface

L'équation de la quantité de mouvement est simplifiée et elle n'inclut pas les termes

convectifs.

Un premier calcul a été fait à l'échelle globale. Le maillage comprenait 1440 mailles de forme

carrée avec une taille de 125 m ; les valeurs du coefficient de Manning-Strickler de 33 et de

porosité de 0,5 sont utilisées. La simulation est faite pour une période de crue de 18 heures.

L'évolution de l'inondation dans les rues est en accord avec les témoignages recueillis.

Un deuxième calcul à l'échelle de la longueur d'une rue a été effectué dans lequel chaque

carrefour a été considéré comme un nœud. A ce nœud, a été affectée une surface avoisinante


30

corrigée par une valeur de la porosité pour tenir compte des bâtis. Deux nœuds étaient

connectés par un canal dont la section et la pente correspondent à celles de la rue

correspondante. Ensuite à chaque nœud a été appliquée l'équation de conservation de la masse

reliant le produit de la hauteur d'eau par la surface à la somme algébrique des débits sortant et

entrant de ce nœud. Le débit traversant une rue est fonction des cotes d'eau aux nœuds aux

deux extrémités de cette rue. Ce débit est calculé par les formules d'écoulement uniforme.

L'application successive de l'équation de la conservation de masse à tous les nœuds donne un

système d'équations différentielles non-linéaires. Le réseau des rues a été discrétisé par 291

biefs et 165 nœuds.

En conclusion, ils mettent l'accent sur l'importance d'une description précise de la topographie

et estiment que la porosité urbaine ne joue pas un rôle important. Quant à la condition à la

limite sortante, ils croient à un effet localisé. Enfin, ils notent que l'écoulement dans une ville

peut avoir des courbures importantes non seulement dans la direction principale mais aussi

dans la direction transversale et pour cette raison les modèles unidimensionnels ne sont pas

adéquats à simuler les phénomènes.

VI. Modélisation en hydrologie urbaine

Introduction

L’hydrologie urbaine est définie comme " la science interdisciplinaire de l'eau et de ses

relations avec les différentes activités humaines en zones urbaines". Les trois thèmes

fondamentaux abordés par cette science sont les suivants:

1. La pluie.

2. Le ruissellement en surface.

3. Les écoulements en canalisation.

La distribution spatio-temporelle des pluies étudie le problème de la probabilité d'occurrence

d'une pluie apportant une certaine hauteur d'eau sur une superficie donnée. Cette étape n'est

ici citée que pour maintenir la séquence logique des processus, et le lecteur intéressé pourra se

référer par exemple à (Chocat, Seguin et al. 1987).


31

Le processus de ruissellement est modélisé en deux étapes : une estimation des pertes par

infiltration, évaporation, la détention dans les dépressions, etc, afin d'obtenir une pluie nette à

partir d’une pluie brute et une transformation de la pluie nette en un débit à l'exutoire.

La modélisation de l'écoulement en canalisation traite la propagation des débits. Plus

précisément, il s'agit de l'obtention d'un hydrogramme en un point donné du réseau à partir

d'un hydrogramme injecté à l'entrée du réseau.

De manière générale, le passage de la pluie au débit à l’exutoire s’effectue à travers trois

grandes familles de modèles :

- Les modèles mécanistes, fondés physiquement sur la description des processus

hydrologiques internes au bassin versant considéré, en appliquant les lois classiques de la

mécanique des fluides.

- Les modèles conceptuels, qui se rattachent généralement à une représentation physique

simplifiée du bassin versant, en utilisant des équations empiriques pouvant générer des

réponses (débits ou quantité de pollution) à la sortie des sous-bassins assimilés à un ou

plusieurs réservoirs.

- Les modèles globaux, qui ne font pas référence aux processus internes du bassin versant

et se comportent comme des " boîtes noires", exprimant sous une forme mathématique et

empirique, des relations directes entre variables d'entrées et de sorties du système

hydrologique.

VI.1 Les modèles de ruissellement

Les méthodes globales

Parmi ces méthodes, la méthode rationnelle est la méthode la plus ancienne et la plus

couramment utilisée (Bourrier 1997). Elle consiste à estimer les débits à partir d'un

découpage du bassin versant en secteurs. Ensuite, chaque secteur est caractérisé par son aire

A, un temps de concentration tc , un coefficient de ruissellement en fonction de l'utilisation des

sols C et une intensité moyenne de pluie i constante sur le secteur. Le débit du bassin versant

est calculé en faisant une somme sur tous les secteurs. Cette méthode fournit une évaluation

certes limitée, mais rapide du débit de pointe de crue. Sa principale limitation est de ne


32

pouvoir être utilisée que sur des superficies très réduites (100 à 200 ha au plus) (Hingray

1999).

La méthode de l'hydr ogramme unitaire dans son esprit est très différente des autres

méthodes. On ne se donne pas a priori une ou plusieurs lois décrivant les principes de

fonctionnement de la transformation pluie-débit; on représente directement son

fonctionnement en recherchant l'opérateur qui relie mieux un ensemble d'entrées à un

ensemble de sorties. En entrée, on rentre la chronique de pluies et la chronique de débits est

obtenue en sortie.

L'hydrogramme unitaire est défini comme l'hydrogramme résultant d'une pluie nette de 1 cm

apportée par une averse d'une durée spécifiée. Comme les caractéristiques physiques du

bassin (taille, forme, pente, etc) sont constantes, on peut s'attendre à une grande similarité

dans la forme des hydrogrammes à l'exutoire du bassin ayant à leur origine un événement

pluvieux de mêmes caractéristiques. Afin d'établir un hydrogramme unitaire, relatif à une

averse de durée donnée et pour un bassin versant donné, on ne se contente pas d'étudier un

seul hydrogramme, mais plusieurs évenements pluvieux sont pris en considération. Une fois

que cet hydrogramme unitaire est établi, on peut calculer le ruissellement résultant d'une

averse de même durée, mais de différentes intensités en multipliant cette dernière avec les

ordonnées de l'hydrogramme unitaire (Linsley, Kohler et al. 1982).

La méthode élaborée n'est pas décisionnelle puisqu'elle ne permet pas de mesurer l'influence

d'un changement structural du bassin versant. Son extension aux bassins versants comportant

un réseau ne permet pas de tenir compte de leur complexité structurale (Chocat, Seguin et al.

1987).

Les méthodes détaillées ou spatialisées

Ces méthodes procédent à une discrétisation de l'espace, de telle sorte que chaque partie

possède des caractéristiques homogènes. Parmi ces caractéristiques sont inclus la couverture

végetale, le type de sol et la pente. On sait que le ruissellement commence dès que les pertes

initiales sont satisfaites. Ainsi, le problème est ramené à calculer l'acheminement des

particules de fluides à travers un espace maillé par les équations de Saint Venant ou par la

formule de Manning-Strickler. Pour rendre le problème simple, on suppose que l'écoulement

est bidimensionnel et commence au même instant sur chaque élément d'un bassin versant.


33

VI.2 Les modèles d’écoulemen t e n r éseau d' assainissement

Les modèles d'écoulement en réseau sont, soit des modèles conceptuels, soit des modèles

mécanistes. Ces modèles mécanistes correspondent, en général, aux équations de

l'hydraulique à surface libre (Saint Venant et dérivées) et, plus rarement, à celles des

écoulements en charge.

VI .2.1. Les modèles mécanistes

La propagation d'un écoulement à surface libre dans un réseau d'assainissement peut se

représenter par les équations unidimensionelles de Saint Venant (Yazdi 1995).

Equation de continuité qx

Q

t

S =∂∂+

∂∂

(1.20)

Equation de la quantité du mouvement ( )JIgx

hg

x

VV

t

V −=∂∂+

∂∂+

∂∂

(1.21)

Q le débit

S section mouillée

q débit latéral

V vitesse moyenne sur la section

h hauteur d'eau

I pente du fond

J pente de la ligne d'énergie.

Différentes simplifications des équations sont couramment utilisées.

Modèle de l'onde cinématique

Lorsque l'écoulement est uniforme et permanent, on obtient l'égalité entre la force de gravité

et le frottement, seuls termes non nuls. Ce type d’écoulement est habituellement résolu par

des formules de Chézy ou de Manning-Strickler. Par contre, l’équation de continuité reste

valable sous sa forme la plus simple et courante, à savoir que le débit entrant est égal au débit

sortant sur un tronçon donné sans stockage possible car l’existence de ce dernier impliquerait


34

l’existence des termes de dérivation en temps ce qui n’est pas possible pour un écoulement

uniforme et permanent.

Ce modèle est facile à résoudre, sa solution numérique nécessite une condition limite à

l' amont et des conditions initiales. En revanche, il est incapable de prendre en compte une

influence aval.

Modèle de l'onde de crue diffusante

Lorsque l' écoulement est sensiblement uniforme, mais lorsqu' il existe une influence aval, on

ne peut pas négliger le terme de pression. L' équation dynamique du mouvement s' écrit alors

de la manière suivante:

JIx

h −=∂∂

(1.22)

L' équation de continuité reste inchangée. Ce modèle prend en compte l' influence aval d' une

manière plus simple que le système complet.

Modèle d'onde dynamique quasi-permanent

Si on néglige le terme non permanent dans l' équation dynamique, on obtient ce modèle qui est

très effi cace dans la représentation d' un écoulement fortement non-uniforme et faiblement

non-permanent, Yen cité par (Yazdi 1995).

( )JIgx

hg

x

VV −=

∂∂+

∂∂

(1.23)

La résolution numérique de ce modèle ainsi que celle du modèle de l' onde de crue diffusante,

nécessite deux conditions limites à l' aval et à l' amont et des conditions initiales.

VI .2.2. Les modèles conceptuels

Les modèles conceptuels représentent globalement le fonctionnement d'un réseau : ils

considèrent le réseau comme un transformateur de l' hydrogramme d' entrée en hydrogramme

de sortie.

Le modèle de Muskingum assimile le fonctionnement d'un tronçon à un réservoir qui se vide

et se remplit. Un réseau peut donc être représenté par plusieurs réservoirs en série ou en

parallèle. Le système d' équations de ces modèles est basé sur les principes suivants :


35

♦ La loi de stockage: le volume stocké dans un tronçon est proportionnel au débit.

♦ Principe de conservation des débits: la variation du volume stocké est égale à la différence

entre le débit entrant et le débit sortant.

La formulation mathématique de ces deux lois nous donne deux équations qui regroupées

fournissent l'équation suivante:

)()()()( 321 ttQCtQCttQCtQ sees∆−++∆−= (1.24)

Qs(t) et Qe(t) représentent les valeurs du débit à la sortie et à l'entrée du tronçon au temps t.

C1, C2 et C3 sont les coefficients exprimés en fonction de K, ∆t et α. La constante de temps du

modèle K, représente le décalage temporel entre les centres de gravité de l'hydrogramme à

l’amont du tronçon et celui de l'hydrogramme à l'aval du tronçon, α est le coefficient de

pondération et ∆t le pas du temps. Lorsque ces coefficients prennent les valeurs différentes,

les modèles produits peuvent être divers, chacun ayant un contenu particulier.

Le modèle linéaire représenté par l'équation 2.3 est élaboré en supposant que la vitesse

d’entrée est égale à la vitesse de sortie et ne varie pas dans le temps. Dans le cas des modèles

non-linéaires, on suppose que la vitesse est variable et dépend de la valeur de débit.

VI .2.3. La modélisation des singularités

Chaque singularité est représentée par un modèle indépendant qui est, soit issu d'un modèle

empirique calé sur des séries d'observations du comportement de la singularité, soit issu

d'hypothèses destinées à simplifier la représentation du système. Une hypothèse d'égalité des

cotes entre l'amont et l'aval d'un nœud est souvent effectuée par exemple à chaque confluence

ou défluence du réseau. Pour des singularités telles que les déversoirs, les orifices et vannes,

différents modèles permettent de relier les charges hydraulique amont et aval au débit transité

par la singularité. En pratique, ce sont fréquemment les cotes de la surface libre au lieu des

charges hydrauliques qui sont utilisées.

VI .2.4. La mise en charge

Un écoulement en canalisation est en charge lorsque le débit transité est supérieur au débit

maximum que peut écouler cette canalisation à surface libre (Chocat, Seguin et al. 1987). La


36

nécessité de pouvoir modéliser cet état de fonctionnement pour un logiciel destiné à aider la

gestion du réseau est indéniable car ce sont des écoulements en charge qui introduisent des

désordres lorsque la pluie est forte et que le réseau ne peut écouler les quantités d'eau

correspondantes. Malheureusement, cette transition de surface libre à écoulement en charge

est difficile à traiter et les logiciels de calcul ne font que contourner le problème en adoptant

des artifices de calcul. Un modèle de stockage consiste à stocker le débit excédentaire, calculé

par un modèle d'écoulement à surface libre, jusqu'à ce que l'écoulement puisse à nouveau se

faire à surface libre. Un autre modèle considère la canalisation comme ouverte à sa partie

supérieure et reliée à l'atmosphère par une section rectangulaire de très faible épaisseur. Avec

cette hypothèse, on peut toujours utiliser un modèle d'écoulement à surface libre, la hauteur H

représentant fictivement une hauteur de mise en charge. Cette méthode a l'avantage de définir

une zone de mise en charge et de mesurer, même artificiellement, la valeur de la charge.

VI .2.5. Débordement du réseau

Le débordement du réseau en un point se produit lorsque la charge hydraulique devient

supérieure à la cote de terrain naturel. Les modèles d'écoulements dans ces conditions

fonctionnent mal. En fait, le devenir de l'eau qui déborde à une bouche dépend de la

topographie avoisinante et c'est en fonction de cette dernière que, soit elle retourne au réseau à

un point aval, soit se perd définitivement par infiltration ou stockage dans une dépression.

Pour construire un modèle global et général prenant en compte tous ces phénomènes, il faut:

1. Une description très fine de la surface se trouvant au-dessus du réseau et ce aussi bien

en topographie qu'en nature de sol.

2. Une bonne connaissance des pertes en tout genre, que subissent les eaux ayant débordé

car il faut déterminer quelles sont les quantités d'eau qui rejoindront le réseau, quand

et à quel endroit (Chocat, Barraud et al. 1991).

Il est clair, qu'afin de modéliser le débordement généralisé du réseau, le couplage d'un modèle

d'écoulement dans le réseau d'assainissement et le modèle de propagation des eaux de surface

semble la solution la plus mieux adaptée. Cela devient d'autant plus important, lorsqu'il a une

inconnue de plus telle que le ruissellement de surface ou le débordement d'un cours d'eau à

côté qui vient s'ajouter à la complexité du problème. C'est justement ce dernier cas qui va


37

faire l'objet d’une recherche plus approfondie lorsqu'on examinera l'inondation dans le

quartier riverain d'Oullins.

VII. Synthèse de la bibliographie

Au travers de cette analyse, on a pu montrer l'usage extensif et courant des modèles

numériques qui résolvent les équations de Saint-Venant pour répondre à une large gamme de

problèmes hydrauliques. Ceci inclut des problèmes aussi variés que la rupture de barrage

(Akanbi et Katopodes 1988; Fennema et Chaudhry 1990) (Mohapatra, Eswaran et al.

1999) ;(Jha, Akiyama et al. 2000) (Fraccarollo et Toro 1995), la modélisation d’écoulement

dans des changements de section (Rahman et Chaudhry 1997), la modélisation des courants

de marée dans un modèle de port (Li et Falconer 1995) et l’écoulement dans un canal de

section variable (Garcia-Navarro, Alcrudo et al. 1992). Leur usage dans la plupart des cas a

été destiné à une modélisation fine bien qu'ils soient aussi employés pour estimer

l'acheminement de l'eau dans une vallée inondée ou dans une ville.

Les obstacles ont pour effet de créer une zone de perturbation avec génération de la

turbulence. Cette turbulence joue un rôle important et doit être prise en compte pour une

meilleure évaluation des hauteurs d'eau, vitesses et contraintes. Cependant, dans le choix de

modèle de turbulence, on n'a pas constaté d'avis unanimes ou majoritaires privilégiant de

façon conclusive un modèle. Un article (Bravo et Holly 1996) montre que l'usage d’un modèle

κ−ε a conduit à une petite amélioration par rapport au modèle à viscosité turbulente constante

alors qu'un autre (Mayerle, Toro et al. 1995) utilise six modèles de turbulence et constate que

près de l'obstacle tous les modèles s'éloignent des mesures. En plus, on a pu recenser un

important nombre de travaux de recherches faisant le choix du modèle de Boussinesq à

viscosité turbulente constante et qui disent avoir obtenu des résultats précis.

Cet effort bibliographique met aussi en évidence le fait que comme l'écoulement est peu

profond, l'influence du frottement au fond est prépondérante. Par suite, même un modèle de

turbulence simple peut calculer la longueur de la zone de recirculation et le débit traversant

cette zone avec la même précision que les modèles plus sophistiqués (Babarutsi, Nassiri et al.

1996).


38

Un paramètre clef dont la valeur influence de façon très importante les calculs près des

obstacles est la viscosité turbulente, tν . Bien évidemment, un choix correct de ce paramètre

est crucial pour la précision des résultats numériques. Si, on opte pour une évaluation

analytique de tν , le tout premier choix est de la relier au produit de la hauteur d'eau par la

vitesse de frottement à une constante près (équation1.5). Dans l'autre cas, on pourra essayer

des valeurs constantes s'inspirant de la littérature.

Cette bibliographie se focalise aussi sur la recherche de formules analytiques pour le

coefficient de résistance en fonction de ks, la hauteur de rugosité au fond, en empruntant

l'approche adoptée dans les conduites. Cette approche est justifiée dans la mesure où

l'écoulement se fait dans des petits canaux de géométrie assez régulière et en l'absence de

végétation.

En ce qui concerne la représentation des obstacles dans le modèle numérique, on note le rôle

d'un terme faisant intervenir le coefficient de traînée. Ce terme joue le rôle d'un frottement

supplémentaire. L'autre voie est celle de mailler finement près de l'obstacle et de calculer la

contrainte de cisaillement avec la même formule que le frottement au fond, puis intégrer cette

contrainte sur la surface de l'obstacle afin d'obtenir la force. Ensuite, cette force est ajoutée

directement au second membre dans l'équation de la quantité du mouvement. En somme, cette

méthode essaye de tenir compte d'une surface additionnelle sur laquelle l'écoulement frotte.

On constate que les modélisations de l'inondation avec prise en compte des zones urbaines ont

souvent représenté ces dernières d'une manière globale sans entrer dans les détails. Cette

approche est plutôt pertinente dans le cas où l'étendue de la zone modélisée est grande et si le

but est de déterminer la hauteur d'eau en tout point soumis à un certain scénario de

l'inondation. Cette perspective ne garantit pas qu'un profil de vitesse calculé va correspondre

précisément à celui mesuré mais que l'estimation de la vitesse moyenne sur la hauteur ne

s'éloignerait pas trop de la valeur réelle assurant ainsi une répartition du débit suffisamment

précise et par conséquent une hauteur d'eau, convenant aux besoins de l'ingénierie .

Chapitre 2 Effet d’une topographie complexe incluant plusieurs obstacles : modèle physique d’une vallée

soumise à une onde de rupture de barrage.

39

2. EFFET D’UNE TOPOGRAPHI E COMPLEXE

INCLUANT PLUSIEURS OBSTACLES : MODELE

PHYSIQUE D’UNE VALLEE SOUMIS E A UNE ONDE

DE RUPTURE DE BARRAGE

Un travail de modélisation numérique a toujours besoin d'être confronté aux données

mesurées pour la validation des résultats. Ainsi la logique incarnée par les principes physiques

est correctement traduite en langage numérique et nous montre les éventuelles limites de notre

modélisation ainsi que l'amélioration à y apporter. Alors que l'approche numérique peut être

appliquée relativement facilement à un grand nombre de problèmes, la mise en œuvre des

essais traduisant un tel niveau de complexité est limitée par des moyens financiers et

technologiques disponibles. Cette contrainte induit que la validation expérimentale est

souvent basée sur des cas assez simples par rapport à la réalité simulée.

Ce chapitre est consacré à la modélisation d'un écoulement dans un modèle physique d'une

vallée inondée à la suite d’une rupture de barrage. Le point commun qui rapproche les essais

effectués dans ce modèle avec l’objectif de cette étude sur la modélisation des inondations en

milieu urbain, est que, à cause de la présence de nombreux obstacles (retenue, groupes de

maisons, pont) isolés, ce milieu ressemble à une zone périurbaine de faible densité des

habitats. Il est donc, intéressant de simuler l’écoulement dans ce modèle afin de voir

l’influence des obstacles sur les résultats et leurs écarts par rapport aux mesures ; cet aspect

est le plus important dans les calculs menés dans ce chapitre.

CADAM (Ac tion concertée sur la modélisation de l’onde de rupture de barrage) forme le

cadre du travail décrit dans ce chapitre. Elle a rassemblé des experts des différents pays de

l’Uni on Européenne travaillant sur la modélisation de l’onde de rupture de barrage afin de

faciliter un échange d’informations. Un autre objectif était de pouvoir comparer et valider les

différents codes de calcul utilisés par différents organismes de recherche, universités et

industriels. Afin d’atteindre cet objectif, le modèle physique de la vallée de Toce, bâti par

l’ENEL (entreprise de production électrique italienne) pour étudier le risque à l’aval d’un

barrage, a été réutilisé afin d’appliquer différents codes de calculs sur ce cas et d’avoir, en

référence, les mesures sur le modèle physique. Le modèle physique a été construit à Milan



40

dans le laboratoire d' ENEL qui est l' homologue d' EDF en Italie dans le cadre de l’analyse des

risques liés à la rupture des barrages amont. L'ob jectif recherché était de construire un modèle

physique afin de rendre compte de la complexité du milieu naturel puis de mesurer la hauteur

d' eau en différents points par des sondes. Ces observations constituent la référence pour les

modélisateurs et permet une comparaison avec les modèles numériques.

I. Présentation du modèle physique

I.1 Descriptio n générale

Le modèle est construit à l’échelle de 1 :100.

Le modèle est en béton, 55 m de long et 13 m de large (fig. 2.1). Le modèle peut être

décomposé en quatre parties. La première partie s' étend de l' entrée du modèle jusqu’au début

du réservoir (fig. 2.2). Dans cette partie, la largeur de lit est assez grande et la pente

longitudinale est la plus faible, à savoir, 1 pour 70.

Fig. 2.1 : Une vue générale du modèle depuis l’aval

La longueur de cette zone est à peu près 20 m. Elle est relativement libre d’obstacles à

l' exception d’un groupe de maisons en rive droite du modèle et du pont qui se trouve près de

la fin de cette zone. La rive gauche dans ce secteur est marqué par une absence complète



41

d’obstacles ce qui se traduit au plan physique par un écoulement libre de l’eau de l' entrée du

modèle jusqu’à son impact avec la digue de la retenue. La deuxième partie comporte la

retenue et une gorge étroite. A l' amont de cette partie, l' eau bute contre le pied de digue et crée

un écoulement avant d' entrer dans la gorge et de couler dans le lit mineur qui alors bien

marqué tout au long de la digue. A la sortie de cette zone, l' eau se répand dans une plaine avec

augmentation de la largeur de l' écoulement. Cette zone comporte un barrage et le bief contrôlé

par ce barrage. Un deuxième pont est localisé à l’extrémité aval de cette partie. La pente dans

le sens de l' écoulement est de 1 pour 58 (1,7%). Il s’y trouve une importante concentration des

maisons (31 sur un total de 173). La quatrième et la dernière partie se caractérise par

l' existence de méandres et un rétrécissement du lit suivi par la chute libre qui marque la sortie

du modèle. Cette quatrième partie est la plus pentue de tous les quatre secteurs ayant une

pente de 1 pour 40 (2,5%).

Fig. 2.2 : Le plan du modèle avec les différentes zones

I.2 Différent s éléments d u modèl e physique

I .2.1 Les conditions en entrée et en sortie du modèle

A l' entrée, les pompes alimentent un réservoir dans lequel le niveau d’eau monte. Lors de

cette montée, l’écoulement qui se forme tourne à angle droit avant d' entrer dans le modèle

(fig. 2.3). La manière dont l' eau entre dans le modèle conduit à une certaine turbulence ; le

régime n' est pas parfaitement établi et les conditions en entrée ne sont pas régulièrement

réparties. La modélisation numérique que l’on a mise en œuvre ne prend pas en compte ce

réservoir amont, la montée du niveau, la formation de la vague et le virage dans le réservoir.

Les conditions morphologiques dans la vallée de Toce (vallée étroite et forte pente) font qu’à

l’aval, l' eau sort librement. Le modèle Toce a été bâti afin de reproduire cette même

condition, c' est-à-dire qu’à la sortie, la hauteur critique est obtenue par la chute libre. Cette

Zone 1

Zone 4

Zone 3

Zone 2

sortieentrée



42

condition est une manière de dire que l' écoulement à l' aval de la chute n’influence pas

l' écoulement à l' amont car les ondes ont une célérité inférieure à la vitesse de l' écoulement

donc ne peuvent pas remonter et changer les conditions à l' amont.

Fig. 2.3 : Le réservoir à l’entrée du modèle qui sert à inonder le modèle.

I .2.2 Le pont

Le pont se trouve à la fin de la première partie suivant la classification décrite précédemment

(fig. 2.5). Ce pont comporte deux piliers qui supportent un tablier. Chaque pilier est un

parallélépipède rectangle de longueur 4 cm suivant l’axe longitudinale du modèle et de

largeur de 1,5 cm dans la direction perpendiculaire. Les deux piliers ont une hauteur de 6,5

cm au dessus du fond du lit mineur qui est large de 57 cm. Le tablier n' est haut que de 1,5 cm

(fig. 2.4).

57 cm

6,5 cm

1,5 cm

15 cm

tablier

23 cm

Fig. 2.4 : Le détail du pont.



43

Fig. 2.5 : Une vue du pont.

I .2.3 Les Maisons

Sur le modèle physique 173 maisons éparpillées sont représentées. Elles consistent en blocs

de béton de hauteur variée destinés à représenter les vraies maisons de la vallée (fig. 2.6). Une

maison type est une cube de 60 ou 70 mm. En certains points, les maisons sont très proches

l' une de l' autre et à d' autres endroits isolées. Lorsqu’elles sont très proches, elles forment un

groupe. Les trois plus fortes concentrations de maisons sont notables. Les deux premières se

situent dans la partie amont et la milieu de la zone 1 et la troisième dans la zone 3 (fig.2.2).



44

Fig. 2.6 : Les maisons

I .2.4 La retenue

Elle occupe la partie centrale du modèle (fig. 2.7). La figure 2.8 montre les courbes de

niveaux dans le secteur de la retenue afin d' illustrer l' étendue de celle-ci. La cuvette délimitée

par des courbes de niveaux représente la retenue avec un fond assez plat. L' écoulement à

gauche, à l' amont de la retenue a une grande largeur. Lorsqu’il rencontre la digue, il la

contourne et entre dans une zone où le lit mineur est bien défini et étroit en pied de digue. La

retenue dans cette partie est munie d’évacuateurs de crue. La forte densité des courbes de

niveaux dans cette zone indique que la digue est bien distincte du terrain plat. Par contre, la

digue en amont semble moins bien définie là où la hauteur entre la crête de la digue et le lit du

modèle est faible.



45

Fig. 2.7 : L’image de la retenue

Fig. 2.8 : La retenue illustrée par des courbes de niveaux.

retenue

gorge



46

II. Les données reçues

II.1 Cadr e général

Dans le cadre de CADAM , ENEL a transmis à tous les modélisateurs des données nécessaires

pour la simulation numérique. Celles-ci comprenaient des données topographiques, deux

hydrogrammes en amont du modèle, des données concernant les singularités (maisons, ponts,

barrage), les coordonnées des points de mesures et des images du modèle.

Les données topographiques ont été fournies sous deux formes: un fichier du modèle

numérique de terrain (MNT) et un fichier des 67 profils en travers. Le MNT avaient 141985

points disposés sous la forme d' une grille de 5 cm de côté et chaque nœud de cette grille était

décrit en trois coordonnées x, y, z. Le fichier de sections était beaucoup moins volumineux

que le MNT et avait 14438 points. Les singularités étaient décrites dans d' autres fichiers de

formats divers.

Deux hydrogrammes ont été fournis : l' hydrogramme 1 avait un pic de 0,21m3/s et

l' hydrogramme 2 atteignait le débit maximum de 0,356 m3/s. Avec l' hydrogramme 2, l'eau

submergeait le réservoir alors qu’avec le premier hydrogramme, l' eau n' entrait pas dans le

réservoir. Chaque hydrogramme a été défini pour une période de 180 secondes avec un pas de

temps d' une seconde. Les deux hydrogrammes ont exactement la même allure avec un pic

aigu et une descente lente. La figure 2.9 montre le deuxième hydrogramme.

0

0,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

tem p s (s)

débi

t (m

3 /s)

Fig. 2.9 : L’hydrogramme 2 à l’entrée du modèle.



47

II.2 Les points de mesure des hauteurs

Au départ, il était prévu que les mesures de hauteur d’eau seraient faites aux 29 points, mais

des problèmes techniques n' ont pas permis aux expérimentateurs de faire des mesures à tous

les points et à la fin, les données n'ont pu être recueillies qu’en 21 points.

La figure 2.10 illustre la position de toutes les stations de mesure.

Le point de mesure P1 est le plus près (2,9 m) de l' entrée du modèle. A droite de ce point se

trouvent trois gros groupes de maisons très proches l'un de l' autre.

A l' aval de P1, à 2 m, se trouvent les trois points de mesure P3, S4 et P2 quasiment alignés sur

une droite transversale au sens de l' écoulement. Entre le point P3 et l' entrée du modèle se

trouvent les trois groupes de maisons cités dessus.

Les stations de mesure S6D, P4 et S6S sont approximativement à 8 m de l' amont et alignées

sur une droite transversale au sens de l' écoulement.

S8D et P5 elles aussi sont alignées sur une droite transversale et elles sont à 11 m de l' amont.

Le point de mesure S8D est à environ 15 cm du grand groupe de maisons n° 6.

La sonde P9 se trouve juste avant la digue de la retenue à peu près à 19 m du début du

modèle. La sonde P10 est à peu près sur la même ligne droite que P9 mais elle est au point

bas, là où la section de l' écoulement commence à se rétrécir pour entrer dans le lit mineur

étroit le long de la digue de retenue. Le P13 est en gros 1 m à l' aval de P13 au point où la

transition de la section de l' écoulement se termine et la zone étroite débute.

P12 est la seule sonde située à l' intérieur de la retenue. P18 est vers la fin de la zone étroite

juste avant la transition.

P19 est dans le lit mineur juste à l' aval de la retenue.

P21 est à 33 m du début du modèle dans le lit mineur. Ce point de mesure est important du

fait de sa proximité (65 cm) du treizième groupe de maisons.

P23 est le dernier point de mesure dans la zone relativement droite, juste après que le modèle

se rétrécit et que la cote du fond diminue fortement juste en amont des méandres et de la fin

du modèle marquée par la sortie libre. C' est dans cette dernière partie que se trouvent P24 et

P26.



48

Fig

. 2

.10 : L

a p

osit

on

des

stat

ion

s de

mesu

re s

ur le

mo

dèle

ph

ysiq

ue



49

III. L a représentation des différents éléments de la maquette

dans le modèle numérique

III.1 Le maillage du calcul

La solution numérique des équations à dérivées partielles requiert une discrétisation de la

surface de calcul en un ensemble de points ou de mailles. Pour être efficace, la discrétisation

du domaine demande une organisation. Elle permet d' identifier des mailles ou des points dans

le domaine de calcul. Cette organisation est assurée dans un système de coordonnées adapté.

La répartition en espace se fait couramment par des courbes qui parcourent la totalité du

domaine. Ces courbes doivent être continues avec une densité forte dans les zones où les

variations de la solution sont fortes (Thompson, Warsi et al. 1985).

III.1.1 Les caractéristiques du mail leur uti l isé

Le mailleur que nous avons utilisé emploie un système de coordonnées orthogonales et génère

un maillage structuré. Les mailles peuvent être des quadrilatères ou des triangles. Le choix de

la taille de maille est possible dans deux directions: la direction de l' écoulement et la direction

transversale. Dans la direction de l' écoulement, ce choix de la longueur de maille est

applicable à l' ensemble du domaine du calcul ; autrement dit, la dimension des mailles suivant

l' axe de l' écoulement reste constant sur tout le domaine. Contrairement à la direction de

l' écoulement où le contrôle sur le choix de la longueur de maille est assez limité, l’utilisateur a

un plus grand choix sur la largeur de maille suivant l' axe transversal.

Le mailleur dont la description est donnée dans les paragraphes suivants résulte des travaux

de recherche de P. Farissier (Farissier 1993).

III.1.2 La génération du mail lage

A l' entrée, le logiciel de génération du maillage accepte un fichier des profils en travers

parcourant le domaine du calcul. Chaque profil en travers peut contenir un nombre différent

des points. Un profil en travers est un ensemble de points définis par leurs coordonnées x, y et

z. Afin d' avoir un contrôle sur la taille de maille dans le sens transversal, dans tous les profils



50

en travers, on désigne certains points par une combinaison de trois lettres alphabétiques. Le

logiciel enchaîne tous les points portant la même combinaison de lettres alphabétiques dans

tous les profils en travers, créant ainsi, une ligne directrice parallèle à l' axe de l' écoulement et

identifié par une unique combinaison de lettres. Une ligne directrice sert à diviser le champ du

calcul en deux parties dans le sens de l' écoulement ( figure 2.11). On peut créer plus de lignes

directrices pour pouvoir mailler plus finement dans les zones où la solution montre un fort

gradient.

Fig. 2.11 : Un jeu des profils en travers avec des lignes directrices.

Sur le plan physique, une ligne directrice peut représenter des caractéristiques marquantes et

permanentes de la topographie de la zone d' étude, comme par exemple, les deux bords de la

rivière, le point le plus bas du lit mineur, etc.

Le mailleur demande à l' utilisateur de fournir la taille de maille dans la direction de

l' écoulement (ou la direction de progression des profils en travers). Cette valeur sera valable

pour l' ensemble de la zone d' étude. Ensuite, concernant chaque bande de la zone d' étude

délimitée par deux lignes directrices dans le sens de la largeur, le mailleur affiche sur l' écran

la largeur maximum, la largeur minimum et la largeur moyenne et demande la taille de maille

souhaitée. Utilisant la valeur entrée par l' utilisateur et la largeur moyenne de la bande, le

programme calcule le nombre de mailles pour chaque bande.



51

Fig. 2.12 : Les mailles se contractent lorsque les lignes directrices se serrent.

Cette valeur va demeurer constante sur toute la zone d' étude, c' est-à-dire que les mailles se

serrent là où la largeur de la bande est faible et elles se dilatent lorsque la largeur est grande

(fig. 2.12). Cela a l’inconvénient de ne pas pouvoir donner une taille de maille qui reste

constante dans la direction transversale.

Cependant, le mailleur a été developpé en vu des besoins de calcul du Cemagref qui avait très

souvent une plaine d' inondation comme zone d' étude type ; dans ce cas la nécessité de garder

une dimension de maille constante n' est pas aussi importante que celle de trouver une hauteur

moyenne de la ligne d' eau.

A la sortie, le mailleur génère un fichier de maillage qui consiste en des profils en travers

ayant un nombre identique de points. Son rôle comme interpolateur travaille dans les deux

sens (figure 2.13). Dans le sens de l' écoulement, en tenant compte de la longueur de maille

souhaitée par l' utilisateur, le programme décide de créer ou de ne pas créer des sections

supplémentaires entre les sections.



52

Fig. 2.13 : L'illustration du sens d'interpolation.

III.1.3 Comment faire pour mail ler finement une zone particulière

En cours d' étude sur le modèle physique de la vallée de Toce, on modélise l' écoulement de

façon plus fine autour des maisons pour pouvoir l' étudier de plus près. Cet objectif demande

de pouvoir choisir une taille de maille de calcul suffisamment petite dans les deux directions

principales uniquement dans la zone autour des maisons car mailler finement aux endroits

loin de l' obstacle ne sert à rien. Premièrement, on ne s' intéresse pas à y étudier l' écoulement et

deuxièmement cela conduira à un très gros calcul qui sera à la fois coûteux et long. Pour

atteindre l' objectif recherché sans avoir recours à la modification du mailleur, cela nécessite

une stratégie dans chacune des deux directions principales.

Fig 2.14 : Le maillage autour des obstacles : la nécessité d’entourer l'obstacle

Interpolation dans la direction

de l' écoulement

Ligne directrice 'rbd'

Ligne directrice 'xec'

Ligne directrice 'rbg'

Sec i Sec i+1 Sec i+2 Sec i+3

Bande ou zone entre

les lignes directrices

xec et rbg

Interpolation

Dans une

zone formée

Par deux

lignes

directrices

maille ' m' Un Groupe

de maisons

Ligne directrice j

Ligne directrice j+1

Fin du

domaine

du calcul

Début du

domaine

de calcul

maille 1 maille 1

maille ' m'

A B

CD



53

On a vu que le nombre de mailles choisi pour une zone entre deux lignes directrices

particulières reste constant tout au long de la longueur du domaine de calcul. La figure 2.14

montre un groupe de maisons situé entre les deux lignes directrices ' j' et ' j+1' avec un nombre

de maille ' m' . Elle montre clairement que l' approche habituelle cesse d' être efficace dans ce

cas car choisir un ' m' très petit signifie un choix de très petites mailles partout dans la zone

ABCD alors que ce qu'on cherche vraiment à faire, c' est de pouvoir mailler finement à

l' intérieur du groupe de maisons.

On résout ce problème en faisant venir une ligne directrice superposée/ confondue avec une

autre ligne directrice qui décrit une caractéristique, disons, permanente de la topographie et

qui parcourt toute la longueur du domaine du calcul. A un point juste à l' amont de l' obstacle

cette ligne directrice se détache de la ligne avec laquelle elle était confondue et encercle

l' obstacle faisant une boucle et puis se confond encore une fois avec la ligne directrice

' porteuse'. L' intérêt de cette démarche est illustré dans la figure 2.15 où on entoure le groupe

de maisons par la nouvelle ligne directrice EF qui émerge au point E et rentre au point F dans

la ligne directrice ' j' . De cette manière, on ne maille plus finement qu’à l' intérieur de la zone

entre les lignes directrices ' j' et ' j+1' qui est beaucoup plus petite que la zone ABCD.

Fig. 2.15 : L’intérêt de la démarche

La solution qu' on a élaborée est valable dans le sens transversal à l' écoulement. Dans la

direction de l' écoulement, la démarche consiste à découper la zone d' étude en trois sous-zones

AGID, GHFI et HBCF (fig. 2.15). Ensuite, chaque zone est considérée séparément ce qui

nous permet de choisir la longueur de maille différente dans chacune des trois zones et de

E

La nouvelle

ligne directrice

j+1

Ligne directrice j

Ligne directrice j+2

Fin du

domaine

du calcul

Début du

domaine

de calcul

A B

CD

F

G H



54

générer trois maillages. Le maillage final est obtenu en assemblant les trois sous-maillages

(méthode multi-bloc).

III.2 La représentatio n des maison s dan s l e modèle

III.2.1 Le regroupement des maisons

La prise en compte individuelle de chaque maison est difficile du fait que cela demande un

maillage très fin avec une taille de maille du même ordre de grandeur que la dimension type

d' une maison. Comme cette longueur type est inférieure à 10 cm, bâtir un maillage

suffisamment fin aurait conduit à un temps de calcul très long avec un nombre de mailles de

calcul supérieur à 40000. Pour cette raison, on a préféré considérer des groupes de maisons au

lieu des blocs individualisés. Afin d' obtenir les coordonnées d' un groupe, on a tracé le

périmètre autour du groupe formant ainsi un polygone. Partant de 173 maisons, on a ainsi

formé 17 groupes.

On se trouve alors face au fait que dans chaque groupe les maisons avaient des hauteurs

différentes : quelle hauteur donner à un groupe? La solution retenue a été de calculer la

hauteur moyenne, les hauteurs minimum et maximum. Le tableau ci-dessous (tableau 2.1)

essaie de caractériser les groupes par différentes grandeurs afin de mieux apprécier leur

influence sur l' écoulement.

Les approximations introduites

Les maisons n’étaient pas intégrées au fichier de sections qui décrivait la topographie de

l' ensemble du modèle mais les détails les concernant ont été fournis dans un autre fichier. Une

fois qu' on les a regroupées et déterminé les coordonnées des sommets des polygones, il a fallu

inclure cette information concernant les maisons dans le maillage général. Comme le maillage

est structuré, il n’est pas aisé de créer de nouveaux nœuds dans le maillage qui correspondent

aux sommets des polygones. La solution retenue a été de chercher les nœuds les plus proches

des sommets des polygones auxquels on a affecté la cote ' z' représentative du groupe de

maisons. Cette représentation en topographie d' un obstacle comporte donc deux types

d' approximations : la première concerne le regroupement des maisons individuelles en un



55

grand groupe et la deuxième résulte de l' affectation des sommets aux nœuds les plus proches

du maillage. La première approximation peut être complètement supprimée en raffinant le

maillage ce qui nous libérera de la nécessité de représenter les maisons collectivement ; cette

mesure réduira aussi la deuxième source d' approximation.

Un troisième type d' approximation provient de la structure du modèle topographique

qu’utilise RUBAR 20. A l’intérieur d’une maille, la cote du centre de la maille et celle des

milieux d’arête sont interpolés linéairement à partir des cotes des nœuds, sommets de maille.

Il n’est donc pas possible de représenter un mur vertical dans le modèle. La figure 2.16

explique cette manière de représentation de l' obstacle par le modèle numérique. La forme

correcte de l' obstacle est le rectangle en trait solide mais le modèle la perçoit comme le

rectangle originel plus les deux petits triangles adjacents. Cela a pour l' effet l' agrandissement

de l' obstacle et un rétrécissement de la section de passage de l’écoulement.

Tableau 2.1 : Les caractéristiques des groupes de maisons.

Numéro du

groupe

Surface (m2) Hauteur

moyenne (cm)

La plus grande

dimension

dans le sens de

l' écoulement (m)

La plus grande

dimension

perpendiculaire à

l' écoulement (m)

1 0,49 8,50 0,83 0,84

2 0,21 5,07 0,50 0,50

3 0,55 6,60 0,65 1,00

4 0,01 7,15 0,11 0,33

5 0,11 7,29 0,45 0,08

6 1,34 8,00 1,43 1,96

7 0,26 4,64 0,60 0,88

8 0,01 3,90 0,67 0,32

9 0,02 7,58 0,13 0,29

10 0,02 6,94 0,35 0,14

11 0,21 7,32 0,60 0,41

12 0,03 9,20 0,13 0,41

13 2,09 7,00 3,47 1,06

14 0,07 7,28 0,81 0,22

15 0,58 6,43 2,00 0,38

16 0,28 7,80 0,60 0,69

17 0,06 7,02 0,31 0,28



56

Fig. 2.16 : La représentation de l'obstacle dans le modèle numérique.

Afi n de diminuer l' erreur provenant de l' interpolation linéaire de la cote ' z' qui augmente le

volume de l' obstacle, on doit mailler finement et essayer de compenser en réduisant la largeur

et/ou la longueur de l' obstacle. Mais seul un maillage raffiné pourra réellement limiter l' erreur

sur le volume de l’obstacle en évitant une forte distorsion, conduisant ainsi à une modélisation

plus proche de la topographie réelle.

III.2.2 La représentation du pont et de la retenue

Le pont a été représenté dans le modèle numérique par les deux sections à l' amont et à l' aval

des piles séparées de 1,5 cm (l’épaisseur du pont) dans la direction de l’axe principal

d’écoulement (fig. 2.17).

7,38

7,48

7,58

7,68

7,78

7,88

7,98

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

distance (m)

altitude (m)tude (m )

Fig. 2.17 : La section pour représenter le pont dans le modèle numérique.

nœud 1 nœud 2 nœud 3 nœud 4



57

La représentation de la retenue n’a pas demandé des mesures spéciales (ajout des sections)

étant donné que sa topographie était défini dans le jeu des sections qui décrivait la

topographie d’ensemble de la maquette. Cependant, il a fallu assurer que la digue est bien

définie c’est-à-dire que l’altitude de sa crête est incluse et qu’il n’ y avait pas de brèche qui

pouvait laisser entrer l’eau dans la retenue.

IV. Les conditions de calcul

La valeur du coefficient du frottement Manning ' n' utilisée dans tous les calculs était de

0,0162 (soit un coefficient de Strickler de 60) qui a été recommandée par ENEL. En général,

ceux qui construisent le modèle physique s’assurent que la rugosité du modèle correspond à

celle du terrain et que l’écoulement modélisé est pleinement turbulent (NR > 2000) (Douglas,

Gasiorek et al. 1985). Cette vision est nécessaire afin de pouvoir transposer les résultats du

modèle physique à la vallée représentée. Dans notre travail, cette préoccupation n’a pas été

prise en compte car nous ne modélisions l’écoulement qu’aux dimensions du modèle

physique pour lequel nous avions des mesures.

La condition limite amont était fournie sous forme d’un couple du débit global ‘Q’ et hauteur

d’eau mesurée à un point de la première section du modèle physique ‘h’. Ces couples ont été

fournis pour chacune de 180 secondes de l’événement simulé. Les données mesurées ainsi ne

prenaient pas en compte la répartition latérale du débit sur les arêtes entrantes. Cette condition

a été implémentée numériquement par une répartition à peu près uniforme du débit global sur

l’ensemble de la section donnant une vitesse identique sur chaque arête. Cette valeur de

vitesse reste constante le long de l’arête et le profil de vitesse en entrée consiste en paliers. On

a aussi la possibilité d’appliquer un débit tangentiel à l’arête dans le cas où le débit n’entre

pas perpendiculairement. Ce débit va être transformé en profil de vitesse tangentielle. A l' aval,

aucune condition n’était imposée (sortie libre).

Les résultats présentés concernent, dans la plupart des cas, l’hydrogramme 2.

IV.1 Le mail lag e et l es di fférentes simulations

Comme on a déjà expliqué précédemment, la nécessité de raffiner le maillage dans certains

secteurs du domaine d' étude amène à désigner des lignes directrices qui servent à créer des

zones parallèles à l' axe de l' écoulement. Pour notre calcul, on a crée trois lignes directrices

suivantes: xec, rbd et rbg (fig. 2.18). La ligne directrice ' xec' relie les points le plus bas dans



58

chaque section; elle est censée représenter l' axe de l' écoulement ou le centre du lit mineur. Le

choix de l' axe de l' écoulement sur le critère du point le plus bas dans la section en travers

donne des bons résultats lorsque la forme de section est régulière mais il ne marche pas

quand le lit est irrégulier (fig. 2.18).La nécessité de définir la ligne ' rbg' a été ressentie pour

isoler la retenue du reste du domaine sans qu’il soit utile de mailler cette zone de manière très

fine. Pour cela, on a fait coïncider cette ligne directrice avec le sommet de la digue de la

retenue. En dehors du secteur de la retenue, les positions des lignes directrices ' rbd' et ' rbg'

correspond à peu près celles montrées dans la figure 5.18a.

Fig. 2.18 : (a)Lit de forme régulière. (b) Lit de forme irrégulière.

Le maillage a été bâti en prenant dans chacun des quatre secteurs (bord1- rbd, rbd-xec, xec-

rbg, rbg-rbd ) 9 mailles ce qui en gros veut dire, un découpage en 18 mailles pour le lit

mineur.

La largeur des mailles dans les zones amont et aval de la retenue est en moyenne 15 cm mais

dans la gorge étroite au long de la retenue elle se réduit en moyenne à 8 cm. Ce découpage de

base est ci-dessous nommé série A de calculs. Il a été effectué avec une longueur de maille

égale à 30 cm. Le modèle avait alors 8388 mailles. Deux autres séries de calcul ont aussi été

définies.

La série B de calculs a été effectuée avec une longueur de maille égale à 15 cm. Le modèle

avait alors 15803 mailles.

La série C représente le calcul où on a choisi une zone autour du grand groupe des maisons

n°13 pour construire un maillage très fin (raffinement local du maillage). La taille de maille

dans cette partie était de l'o rdre de 5 cm. L'ob jectif était de pouvoir entrer individuellement les

maisons dans le maillage. Le modèle avait alors 15777 mailles.

En outre, les variantes suivantes de la série ' A' ont été effectuées:

xec

(a)

rbd rbg

bord 1 bord 2

xec

(b)



59

1. Sans maison: ce calcul représente la version finale de plusieurs tentatives ayant pour but

de mieux représenter la topographie, notamment autour de la retenue.

2. have: on affecte à un groupe de maisons, la hauteur moyenne des maisons qui font partie de

ce groupe.

3. hmin: on affecte à un groupe de maisons la hauteur minimum de toutes les maisons dans ce

groupe.

4. frottement: on identifie les mailles dans lesquelles se trouvent les maisons et on spécifie

pour ces mailles le coefficient du frottement de Manning ' n' à 0,04 qui correspond à un

fond rocheux (gros blocs) (Chow 1959).

5. hmin+frottement: elle combine les approches 3 et 4.

Les calculs ont été effectués avec un pas de temps fixe de 0,01 seconde (Haider et Paquier

1999).

IV.2 Présentation s d es résultats

IV .2.1 Général

La forme générale de la courbe hauteur d' eau en fonction du temps correspond assez bien

avec les mesures ou autrement dit, qualitativement, la modélisation arrive à représenter les

caractéristiques marquantes du phénomène. Quantitativement, hormis P26 où la divergence

entre le pic mesuré et celui calculé est de 10 cm, l' écart moyen sur la pointe de la courbe varie

de 3 à 5 cm.

Il est à noter que les limnigrammes montre l’évolution du niveau de la surface libre au cours

du temps. Comme la discrétisation du domaine résulte en un nombre fini de points où les

valeurs des équations de Saint Venant sont évaluées (nœuds du maillage), il n’est pas toujours

possible de trouver un point dans le maillage qui correspond exactement à la position du point

de mesure (la sonde) dans le plan. Le modèle, alors, cherche le point le plus proche de

l’emplacement de la sonde et stocke les deux composantes de la vitesse et la hauteur d’eau

évalués à ce point pour comparer avec la sonde. Cette approximation fait que la cote de fond

n’est pas identique entre mesure et résultat du calcul. Cet effet se manifeste lorsque on

observe la partie des limnigrammes dans la phase précédente de l’arrivée d’eau.



60

IV .2.2 Comparaison à P1

Cette sonde est la plus proche (5 m) de l’entrée. Lorsque le calcul est effectué sans maisons,

la hauteur d’eau calculée est proche des mesures bien que la représentation topographique ne

soit pas en accord avec la réalité, mais l’inclusion des maisons est suivi par une nette

dégradation des résultats. L’observation précédente est valable quelque soit le calcul (fig.

2.19). Il peut y avoir plusieurs raisons pour ce phénomène. Elles sont :

• Comme évoqué dans la section I.2.1 de ce chapitre, les conditions en entrée sont

turbulentes et l’ écoulement n’entre pas le domaine perpendiculairement. Cela fait qu’il y

a aussi un débit tangentiel et un profil de vitesse tangentiel que nous ne prenons pas en

compte. En outre, la répartition égale du débit sur les arêtes entrantes aussi n’est pas tout

à fait correcte.

• Il est rappelé que les équations qui décrivent la répartition de vitesse pour un écoulement

turbulent dans les conduites sont toujours dérivées pour une section suffisamment loin de

l’entrée pour que l’écoulement soit pleinement turbulent ; la distance minimale est

appelée longueur de développement (Douglas, Gasiorek et al. 1985). (Yulistiyanto 1997)

rapporte une formule pour cette longueur de développement dans un canal de laboratoire.

Ce dernier utilise cette formule pour calculer la distance à partir de l’entrée du canal afin

de fixer la section de mesure.

• Les chercheurs sont conscients de la nécessité d’avoir des résultats indépendants des

effets des conditions aux limites. (Shettar et Murthy 1996) disent avoir éloigné l’entrée et

la sortie du modèle de la bifurcation de l’écoulement qu’ils modélisaient avec un modèle

bidimensionnel afin d’obtenir des résultats indépendants des conditions aux limites.



61

•

7,50

7,55

7,60

7,65

7,70

7,75

7,80

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

m esureAsans-m aisonBsans-m aisonAm aisonBm aison

tem ps (s)

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

Fig. 2.19 : Limnigramme à P1.

IV .2.3 Comparaison à P26

Cette sonde est la dernière est se trouve juste avant la sortie du modèle physique. Le calcul B

qui discrétise deux fois plus finement approche plus de la valeur mesurée. Cette zone est

caractérisée par des méandres et une discrétisation fine simule les phénomènes physiques

avec plus de précision qu’un maillage moins fin.

6,7

6,75

6,8

6,85

6,9

6,95

7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

m esure

A-sans m aison

B-sans m aison

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

tem ps (s)

Fig. 2.20 : Limnigramme à P26. La série B approche la mesure de façon plus précise à P26.

Le maillage de la série A étant clairement insuffisant.



62

IV .2.4 Les observations aux autres points

- Aux sondes de mesures P9, P10, P19, une très bonne correspondance mesure-calcul existe

(fig. 2.21). Cela est vrai indépendamment du fait de l' inclusion des maisons.

7 ,4

7 ,4 5

7 ,5

7 ,5 5

7 ,6

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0

te m p s (s )

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

m e s u rem a is o ns a n s _ m a is o nfro tt

Fig. 2.21 : Limnigrammes à P9.

On observe une très bonne concordance mesure-calcul. Les résultats des trois calculs

s’accordent avec la mesure.

Aux points P13, P18, tous les calculs ont tendance à donner les mêmes résultats. Ces points

ne réagissent pas aux différentes modifications (fig. 2.22).

7 ,2

7 ,2 5

7 ,3

7 ,3 5

7 ,4

7 ,4 5

7 ,5

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0

te m p s (s )

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

m e s u r em a is o ns a n s _ m a is o nfro tt




63

IV .2.5 L’e ffet des obstacles (maisons et pont)

L' inclusion des maisons ne conduit à la modification des résultats qu’aux sondes très proches

de l' obstacle. En fait, ce ne sont que les trois grands groupes de maisons qui exercent une

influence sur les résultats. Dans ces trois groupes, sont inclus, les trois premiers groupes qui

du fait de leur proximité agissent comme un obstacle, groupe 6 et groupe 13.

Le fait que l' effet d' un obstacle soit resté limité à son voisinage immédiat s' explique par la

nature de l' écoulement qui, en général, était torrentiel et fortement transitoire. Par conséquent,

la généralisation de ces résultats au cas d' une plaine d' inondation à moindre pente n' est pas

tout à fait évidente où les vitesses sont plus faible et l’écoulement fluvial ce qui fait que l’effet

d’un obstacle est propager sur longues distances en amont. Il se traduit par une hausse de

niveau, exemple étant l’effet des piliers du ponts dans une rivière.

Le pont comme obstacle n' avait pas des dimensions suffisamment grandes pour pouvoir

changer la hauteur d' eau de façon importante. En plan, son surface ne mesure que 0,01 m2

avec une hauteur de 8 cm (fig. 2.4). Les trois groupes de maisons qui ont une influence sur les

résultats ont une superficie125, 134 et 209 fois plus grande que le pont (Tab. 2.1).

La modélisation des maisons par un frottement élevé fait relever le niveau d' eau mais

qualitativement il y a de petites différences qui font que la forme de la courbe ne correspond

pas à celle de la courbe mesurée. Cela est dû au fait que l’augmentation du frottement induit

une perte d’énergie diminuant ainsi les vitesses et remontant la hauteur d’eau alors que la

représentations des maisons altère la topographie est joue sur la longueur des trajets des

particules du fluide. La présence des maisons oblige les particules du fluide de mettre plus de

temps pour arriver à une sonde ; ce retard change le dh/dt ou la valeur de pente et simule

mieux les phénomène mais nécessite plus de temps pour la description de la topographie.



64

7,5

7,55

7,6

7,65

7,7

7,75

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

tem ps (s)

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

m esurem aisonsans_m aisfrotthm n+f

Fig. 2.23 : Les résultats des 4 calculs à P3 (série A).

Le calcul par le frottement élevé « frott »fait monter le niveau d’eau mais qualitativement il

ne décrit pas le phénomène aussi bien que les 2 calculs avec maisons.

La figure 2.24 illustre la situation près du groupe 6 où les trois stations de mesure se trouvent

alignées sur une section. L' inclusion des maisons cause un réajustement de la ligne d’eau par

rapport au calcul sans maison de telle façon que le niveau d' eau baisse à P3 et augmente à S4

et P2, voir figures 2.25 et 2.26. Le pic calculé à S4 dans le calcul « maison » est en accord

avec le pic mesuré mais il se produit plus tôt que la mesure.

Fig. 2.24 : La position des stations de mesures près du groupe 6.

Groupe de

maisons n° 6

P3

S4

P2

écoulement



65

7 ,5

7 ,5 5

7 ,6

7 ,6 5

7 ,7

7 ,7 5

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0

m e s u re

A s a n s -m a is o n

B s a n s -m a is o n

A m a is o n

B m a is o n

te m p s (s )

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)


Résultats avec et sans maison pour les séries de calcul A et B. On note que la hauteur d’eau

baisse pour les calculs avec maisons car l’eau est partiellement bloquée à l’amont des

groupes de maisons. On note également un petit fléchissement des courbes maisons vers la

droite qui correspond mieux avec la mesure.

7 ,5

7 ,5 5

7 ,6

7 ,6 5

7 ,7

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0

m e s u reA m a is o nB m a is o nA s a n s -m a is o nB s a n s -m a is o n

te m p s (s )

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

Fig. 2.26 : Résultats à S4 pour les séries A et B avec et sans maisons.

L’introduction des maisons sert à dériver un plus grand débit vers S4 dû à la présence des

groupes des maisons,( voir figure 2.24). Les pics calculés sont quasiment aussi grands que la

mesure mais se produisent avant. On note que ce décalage est moins important pour la série

B qui est un calcul avec deux fois plus de mailles que la série A.



66

IV .2.6 La série ‘C’ : mail lage raffiné autour des obstacles

Près du groupe des maisons 13 se trouve la sonde P21, à trois quarts de la distance de l’amont

du modèle. Ici, dans la série A, le calcul avec maison améliore le résultat vis à vis du calcul

sans maison (fig. 2.27). Dans la série B, le calcul avec maison fait monter le niveau d'eau un

peu plus que celui mesuré mais la courbe ainsi obtenue est qualitativement mieux que celle de

la série A car elle arrive à reproduire les petits paliers de montée qui sont absents dans le

calcul série A (fig. 2.28).

7,1

7,15

7,2

7,25

7,3

7,35

0 50 100 150 200

mesuremaisonsans_maisonfrotthm+f

temps (s)

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

Fig. 2.27 : Limnigrammes de la série A à la sonde P21.

La représentation des maisons par un frottement élevé représente la limite basse de la courbe

de mesure et celle qui choisit la hauteur minimum d’une maison dans un groupe comme

caractéristique de ce groupe plus frottement (hm+f) représente la limite haute de la mesure.

Entre ces deux limites se trouvent le calcul maison qui représente un groupe par la hauteur

moyenne des maisons dans ce groupe.



67

7,1

7,15

7,2

7,25

7,3

7,35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

m esureAm aisonBm aison

tem ps (s)

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)


Le calcul “Amaison” donne un résultat quantitativement supérieur mais moins bien au niveau

de la qualité car il ne simule pas les deux petits paliers que le calcul ‘Bmaison’ arrive à

représenter.

Ce groupe de maisons n° 13 en raison de sa grande distance de l' entrée du modèle est libre des

effets qu' une répartition non-uniforme de l' hydrogramme aux arêtes rentrantes peut avoir sur

la hauteur d' eau. De ce fait, il est mieux placé pour montrer l' influence des maisons sur les

résultats. Cette motivation nous a conduit à effectuer un calcul avec un maillage fin dans une

zone d' approximativement 10 m par 2 m autour du groupe 13 de maisons. La taille de maille

était de l' ordre de 5 cm par 5 cm qui nous a permis de représenter chacune des 31 maisons

individuellement. Ce mode de représentation a été comparé avec la représentation collective

sous forme d’un grand groupe. Le résultat pour les maisons individuelles est quasiment le

même que celui de la série B avec une hauteur d’eau calculée en moyenne 1 cm plus forte que

celle mesurée. Par contre, la représentation par le grand polygone donne une meilleure

estimation à P21 (fig. 2.29) la station de mesure le plus près du groupe des maisons, mais fait

remonter le niveau d’eau à l’amont sur la sonde P19 de façon importante (4 cm). Le fait que

les séries B et C donnent une hauteur d’eau un peu plus grande que celle mesurée bien que le

maillage soit plus fin que pour la série A semble plutôt dû à la difficulté de simuler un mur



68

vertical dans le modèle numérique. Cela implique que les mailles adjacentes au périmètre des

maisons sont perçues par le modèle comme des rampes et comme l’eau ne peut pas occuper

ces mailles, la section d’écoulement est diminuée et par conséquent la hauteur d’eau monte

ailleurs dans la section d’écoulement.

7,1

7,15

7,2

7,25

7,3

7,35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

mesuremaison-indmaispolyBmaison

temps (s)

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)

Fig. 2.29 : Limnigramme à la sonde de P21.

La représentation individuelle des maisons (série C) ainsi que la série B calculent un niveau

d’eau plus haut que celui mesuré.

IV .2.7 La comparaison entre les séries ‘A’ et ‘B’

La comparaison entre les séries A et B montre que, en général, la modélisation avec une

petite taille de maille améliore les résultats non seulement en termes de quantité mais aussi de

qualité. Quantitativement l’amélioration est très nette à P26 (voir fig. 2.20) alors qu’aux

autres sondes, elle est moins importante. Qualitativement, la courbe calculée approche de plus

près les différentes phases de la courbe mesurée. Une phase se distingue d’une autre

principalement par la valeur de la pente. Ce fait est évident dans la fig. 2.30 qui montre les

limnigrammes à P10. On note qu’à gauche, le petit pic et le creux qui correspondent aux

mesures apparaissent sur le limnigramme de la série B alors qu’il sont absents dans la série

A



69

7,41

7,44

7,47

7,5

7,53

7,56

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

m esure

Asans-m aison

Bsans-m aison

tem ps (s)

niv

eau

de

surf

ace

libre

(m

)


La série B apporte une amélioration qualitative dans la simulation des différentes phases de

montée et descente d’eau à P10.

V. Conclusions

Le principal résultat de cette étude réside dans le fait que, même en présence d’obstacles, avec

des vitesses fortes, la simulation d’écoulement avec les équations de Saint Venant

bidimensionnelles donne des résultats tout à fait réalistes. Cela n’est pas vrai tout près de

l’obstacle où l’écoulement est tridimensionnel (Ahmed et Rajaratnam 1997) et les hypothèses

fondatrices de ces équations ,à savoir, les pentes faibles dans les deux directions et une

composante verticale de vitesse négligeable, ne sont plus vérifiées. Cependant, loin de

l’obstacle, les résultats ne sont pas affectés et ils sont assez proches des mesures.

En ce qui concerne la manière dont on a représenté les obstacles dans le modèle, on peut

conclure que utiliser la seule topographie est un choix acceptable qui ne demande pas une

capacité de calcul particulière et permet d’introduire d’une façon simple l’effet des obstacles

dans le modèle. En outre, qualitativement, il conduit à une meilleure simulation, l’exemple

type étant l’effet de stockage derrière les maisons. Ce comportement provient du fait que la

présence d’obstacle conduit au contournement des lignes de courant et joue sur le temps

d’arrivée de la vague. Plus grand le niveau de détail de l’obstacle, plus on approche la



70

description physique des phénomènes. Cependant, il faut tâcher de trouver le juste équilibre

entre deux exigences concurrentes : une représentation suffisamment fine de l’obstacle (en

terme de taille de maille de calcul) qui résulte de la précision recherchée sur les résultats et en

même temps assurer que le coût vis à vis du temps de calcul et des ressources informatiques

reste raisonnable.

Ce dernier objectif est alors bien servi par le regroupement de maisons en un seul obstacle qui

donne des résultats suffisamment précis. Cependant, les règles concernant le regroupement

restent à préciser, à savoir, la relation entre le volume et la hauteur réelle de l’obstacle et sa

représentation dans le modèle. Faut-il augmenter le volume de l’obstacle pour mieux tenir

compte de sa présence dans le modèle ? Y a –t-il un rapport hauteur-aire de l’obstacle qui

conduit à des résultats plus précis ? Quel effet a la position d’un obstacle dans l’écoulement,

(lit mineur ou majeur) sur sa représentation ? La réponse à ces questions nécessite de suivre

une double voie de recherche expérimentale et numérique.

Les simulations menées dans cette étude ont montré qu’une approche fine d’inclusion des

maisons n’est pas forcement plus efficace qu’une représentation collective et moins fine. Ceci

permet de penser que pour les besoins de l’ingénierie qui a pour objectif la connaissance des

grandeurs moyennes de l’écoulement, une représentation collective est un choix raisonnable.

Des simulations complémentaires sur des cas variés mèneront à infirmer ou confirmer cette

conclusion provisoire.

Chapitre 3 Ecoulement dans une zone urbaine dense : événement du 3 octobre 1988 à Nîmes

71

3. ECOULEMEN T DANS UNE ZONE URBAINE DENSE :

EVENEMENT D U 3 OCTOBRE 1988 A NIMES

Ce chapitre concerne la simulation numérique de la crue de 3 octobre 1988 (de l’ordre de 350

mm de pluie en quelques heures) qui a fait des dégâts importants, matériels et humains dans la

ville de Nîmes. On considère plus particulièrement le quartier Richelieu qui a été sévèrement

touché par la crue.

Cette étude s’inscrit dans les efforts de modélisation des inondations dans les zones

urbanisées dont un des premiers exemples était le cas de l’inondation de Florence de

novembre 1966 causé par le débordement de la rivière Arno. La simulation de ce cas a été

effectuée avec un modèle 1D maillé des rues avec résolution des équations de Saint Venant

simplifiées où les termes convectifs n’étaient pas considérés. La discrétisation d’espace était

assez grossière avec une taille de mailles de l’ordre de 100 mètres.

Notre étude simule l’inondation de la zone inondée avec un modèle bidimensionnel des

équations de Saint Venant complètes. Cela est important car les deux modèles résultant de la

simplification des équations de Saint Venant (cinématique et diffusion) n’arrivent pas à rendre

les phénomènes lorsque la topographie est irrégulière et la surface d’eau change brusquement

(Tayfur, Kavvas et al. 1993). La zone comprenant une cinquantaine des rues a été discrétisée

assez finement et une attention particulière a été apportée à la modélisation des carrefours.

Les carrefours étant les lieux du partage de débit vers différentes rues occupent naturellement

une place très importante dans l’objectif d’une modélisation précise. Cette étude considère

plusieurs représentations topographiques différentes pour une rue et, en fonction de la

représentation choisie, on débouche sur une représentation du carrefour en terme de nombre

de mailles utilisé pour sa discrétisation.

Cette étude fait partie d’une collaboration regroupant quelques laboratoires français afin

d’étudier le risque d’inondation en ville. Dans le cadre de leur travail, ils se sont fixés

l’objectif de la simulation hydraulique des inondations dans les villes de Bordeaux et Nîmes.

Sur l’inondation de Bordeaux, il existe une première étude (Bacca 1998).

I. L’inondatio n du 3 octobre 1988

A travers l’histoire, la ville de Nîmes a subi de nombreuses inondations. Les statistiques sur

les inondations dénombrent 39 crues décrites entre 1334 et 1988, correspondant à 654 ans et


72

donnant une périodicité d’une crue tous les 17 ans. Les 18e et 19e siècles totalisent à eux deux

56,4 % des crues, soit 22 des 39 crues décrites (Desbordes, Durepaire et al. 1989).

Cette inondation avait à son origine un événement pluvieux d’une ampleur exceptionnelle qui

a fait déborder des cadereaux (« ruisseaux nîmois »). Le tableau, ci-après, donne les hauteurs

de pluie tombée durant des périodes de 1 heure à 8 heures, le 3 octobre 1988, pour trois

stations de mesure à Nîmes et dans ses environs(Desbordes, Durepaire et al. 1989).

lieu 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h

Courbessac ≈ 80 ≥ 110 160 190 230 260

Kennedy 95 135 175 215 260 295 310

Mas de

Ponge

>220 300/350

Tableau 3.1- Hauteurs de pluie du 3 octobre 1988 (en mm).

On observe des écarts assez importants entre les hauteurs tombées aux différentes stations

ainsi qu’une forte incertitude sur les valeurs mesurées à une même station. En effet, la rareté

d’un tel événement peut être évoquée pour expliquer l’incertitude et le manque de mesures à

certaines stations. Il convient d’ajouter la remarque suivante concernant ces mesures « En

raison du type d’appareillage, des modes d’enregistrement et de divers incidents survenus aux

appareils, il s’agit de valeurs probablement minimisées » (Desbordes, Durepaire et al. 1989).

L’inondation de Nîmes a suscité un vif intérêt parmi les hydrologues concernant la période de

retour de la pluie ayant donné lieu à cette catastrophe. Dans leur analyse, ils ont commencé

par identifier la durée de crue caractéristique pour le bassin versant de Nîmes ; durée qui se

situait entre 2 et 6 heures. Cette durée s’entend comme la durée des précipitations pouvant

donner lieu à des débits maximum aux exutoires d’un système hydrologique donné. Ils ont été

handicapés par le fait qu’ils ne disposaient des observations de précipitations sur des durées

brèves qu’à partir de 1963. N’ayant à leur disposition qu’une série de 25 ans, ils ne pouvaient

pas déterminer de façon précise les probabilités d’occurrence de phénomènes rares, et ceci

d’autant plus que le climat méditerranéen est irrégulier par nature. Toutefois, une analyse

statistique des précipitations leur a permis de situer la période de retour entre 150 et 250 ans.


73

II. Description de la zone d’inondation

II.1 Présentatio n générale

Le quartier sélectionné pour la simulation numérique du passage de la crue a une longueur de

1200 m et une largeur variable de l’ordre de 1050 m. La direction de l’écoulement est en gros

nord-sud avec l’entrée en deux points au nord et la sortie dans la partie sud. Les limites est et

nord sont constituées de remblais de la voie ferrée alors que le côté ouest est formé par des

collines

Fig. 3.1 : Une vue générale de la zone modélisée.

qui délimitent bien le secteur retenu pour la simulation numérique. Les deux points

d’application des hydrogrammes d’entrée sont, respectivement, la rue Calvas et le début de la

rue Vincent Faita. La sortie du modèle a été fixée au niveau de la rue Pierre Sémard. Le

dénivelé entre l’entrée et la sortie varie et dépend du point d’entrée considéré. Par rapport à la

rue Calvas où le premier hydrogramme est appliqué, le dénivelé est de 18 m alors qu’il n’est

Rue Pierre Sémard

Rue Pitot

Rue de laBiche

Rue Kleber

Rue Sully

Début de la rueVincent Faita

Fin de la rueVincent Faita

Rue Calvas

N

S

EO


74

que de 13 m vis à vis de la deuxième entrée du modèle. Cette variation importante de la cote à

travers la zone inondée impose l’utilisation d’un code de calcul apte à gérer le passage du

régime torrentiel au régime fluvial.

Le secteur d’étude peut être subdivisée en trois zones comme mentionné sur la fig. 3.2. Cette

division est en large partie motivée par l’orientation des rues et leur ramification.

Fig. 3.2 : un schéma de découpage du secteur d’étude.

II.2 Description par zone

II.2.1 Zone1

L’ école d’artillerie anti-aérienne occupe le centre de la première zone. A ces deux côtés se

trouvent les deux groupes de rues qui sont les lieux d’entrée des hydrogrammes. Tout au long

de la limite nord de l’école court le remblai de la voie ferrée et les lieux d’injection des deux

hydrogrammes qui correspondent à l’emplacement des deux passages à travers lesquels l’eau

entre dans le domaine de calcul.

Zone 1

Zone 2

Zone 3


75

Fig. 3.3: la première zone est découpée en deux par l’école d’artillerie. La partie gauche est

plus haute que celle à droite.

Il est rappelé que la cote du point où on injecte l’hydrogramme 1 est de 63 m alors que celle

de l’hydrogramme 2 est 58 m.

II.2.2 Zone 2

Ce secteur est marqué par une géométrie des rues difficile du point de vue de la modélisation

et une convergence des deux cours d’eau provenant des deux hydrogrammes. A l’ ouest, la

frontière est marquée par la rue de la Biche alors que à l’est c’est la rue Vincent Faita qui sert

à former la limite. Entre ces deux rues se forme un petit réseau de rues. A l’extrême est la rue

Pitot qui se rejoint la rue Vincent Faita un peu au-dessous du carrefour de cette dernière avec

la rue Fulton.

Ecole d’artillerieAnti-aérienne

Rue Kleber

Rue HocheRue JeanBouin

Hydrogramme 1

Hydrogramme 2


76

Fig. 3.4 : la deuxième zone a comme trait marquant la convergence des deux rues entre

lesquelles se trouve un petit réseau de rues. Ici, le modèle atteint sa largeur minimum.

II.2.3 Zone 3

Cette zone comprend un réseau maillé constitué de six rues dans un sens et six dans la

direction perpendiculaire. Elle a des limites bien distinctes sur les côtés nord, sud et est alors

que, à l’ouest, la fin de la zone inondée est marquée par le versant de la colline. La limite nord

de cette zone est la rue Vincent Faita. Dans cette rue, débutent les rues (Catinat, Villars,

Anatole France, Turenne) qui traversent la partie maillée verticalement. Ces rues débouchent

sur la rue Pierre Sémard qui est la limite sud de l’ensemble du modèle numérique ainsi que de

la zone 3. La rue Sully sert de limite Est pour cette zone. Ici, commencent les rues (Cuvier,

Papin, Flamande, Richelieu, Bons enfants) qui traversent la zone 3 horizontalement. Au nord

ouest, dans le triangle formé par les rues Vincent Faita, Anatole France et Richelieu se trouve

la place Jean Robert.

La largeur des rues intérieures se situe dans la plage de 5 à 9 mètres. La régularité des rues

facilite l’interpolation des carrefours et la tâche de créer le maillage est moins ardue. En outre,

les mailles des carrefours ont une forme régulière contrairement aux autres zones où la

nécessité de confondre et de faire émerger les lignes directrices a conduit à des formes

relativement tourmentées et des mailles biscornues.

Les détailles concernant les rues des trois zones sont illustrés dans l’annexe 4.

Rue de laBiche

Rue Vincent Faita

Rue Pitot

CentreHospitalier

Rue Fulton


77

Fig. 3.5 : La zone 3.

Elle ressemble plus à un réseau maillé bien régulier.

III. Les données reçues

Dans le premier temps la DDE de Gard nous a fourni les données suivantes :

- Un fichier des profils en travers. Il comprenait 258 profils concernant 69 rues. L’annexe

6.1 présente la longueur et la largeur des 50 rues qui faisaient partie de la zone retenue

pour modélisation. Le nombre de profils pour une rue variait de 2 à 10. La plupart des

rues ont été décrites avec deux profils mais les grandes rues avec des changements de

direction avaient plus de profils. Un profil est un ensemble de 13 points avec chaque point

décrit par ses trois coordonnées x,y et z en Lambert.

- Une carte des zones inondées avec l’i ndication des deux points d’injection des

hydrogrammes.

- Sur la même carte décrite ci-dessus sont marquées les couples constitués d’une hauteur

d’eau observée et de la cote du sol au même point. Ces 80 observations relevées après la

crue, donnent le niveau maximum et permettent de vérifier les résultats des calculs.

Rue Sully

Rue Pierre Sémard

Rue Vincent Faita

Place JeanRobert


78

- Deux hydrogrammes d’entrées. Il est à noter que les hydrogrammes ne sont pas issus des

mesures de débit effectuées en un point donné mais représentent le résultat d’une

transformation pluie-débit.

Plus tard, la DDE nous a fourni, en complément, des fichiers sous format Autocad contenant

des informations topographiques de la zone inondée. Plus précisément, il s’agissait des

altitudes de points éparpillés sur l’ensemble du quartier inondé. Il a plutôt le rôle de

vérification et de correction des cotes.

IV. La mise au point du modèle topographique de la ville

IV.1 Les di fférents profi l s en travers

Les profils en travers varient en fonction de la largeur de la rue, des trottoirs de la chaussée et

de la pente transversale. Il y aussi des profils avec un seul trottoir.

Comme expliqué précédemment, à l’origine tous les profils ont été décrits avec 13 points à

l’exception d’une rue à 11 points et d’un boulevard à 19 points. De ce profil type on a

supprimé les deux points afin d’obtenir un nouveau profil type à 11 points. Le profil à 7

points provient de celui à 11 points lorsque on supprime les deux paires de points

correspondant au bas du trottoir et au début de la chaussée des deux cotés du point de milieu.

Le profil à 5 points ne contient que les deux murs décrits avec deux points chacun plus le

point du milieu de la chaussée. Finalement, le profil à 4 points est dérivé de celui à 5 points en

supprimant le point du milieu. La figure 3.6 présente tous les types des profils.

Fig. 3.6a : profil à 13 points

1

2

3 4 5 6 7


79

Fig. 3.6b: profil à 11 points

Fig. 3.6c: profil à 7 points

Fig. 3.6d : profil à 5 points

1

2

3 4 5 7

1

23

7

1

27


80

Fig. 3.6e : profil à 4 points.

Fig. 3.6 : profils décrits avec un nombre différents des points. Uniquement la moitié des

points ont été indiqués par des ronds noirs, l’autre moitié étant pareille.

Une description minimum d’une rue nécessite l’élaboration des deux murs ce qui veut dire 2

points par mur ou 4 points au total. L’addition de points supplémentaires correspond à

différents niveaux de détail mais cela ne change pas le caractère fondamental des résultats.

Sachant qu’une description à 4 points peut donner des résultats suffisamment précis au vu des

incertitudes associées à un tel phénomène, on a toutefois décidé de retenir un profil à 11

points comme point de départ pour les calculs. La raison pour laquelle on a opté pour plus de

détails est que de cette façon on pourrait aisément effectuer des calculs à plusieurs niveaux

de détail en diminuant le nombre de points dans un profil en travers alors que le contraire,

aurait été beaucoup plus difficile et laborieux. On voulait aussi voir si les résultats des

différents calculs s’accordent entre eux et comment le choix d’un type de profil se répercute

sur la stabilité numérique.

IV .1.1 La représentation des carrefours

Les données fournies ne concernaient que les rues et pour créer le maillage du calcul, nous

devons ‘étendre’ ces données afin de mailler les carrefours. D’ailleurs, un des intérêts

d’utiliser un code de calcul bidimensionnel est qu’il nous donne la possibilité de décrire la

topographie des carrefours ce qui n’est pas possible avec un calcul unidimensionnel. Cela est

aussi intéressant car l’écoulement aux carrefours est naturellement 2D et un calcul 2D doit

1

2


81

représenter la dynamique des phénomènes physiques plus précisément et plus fidèlement

qu’un calcul 1D.

Pour représenter les carrefours dans le modèle numérique, on a choisi de les interpoler à partir

des profils en travers les plus proches des rues dont le croisement constitue ce carrefour.

L’obtention des profils en long

Les profils en long d’une rue sont obtenus à partir des profils en travers de cette rue, en

joignant entre eux, les points de même numéro dans chaque section. Le croisement des profils

en long de 2 rues sécantes donne le maillage du carrefour (voir figs. 3.7, 3.8, 3.9, 3.10).

Fig. 3.7: Carrefour à 11 points.

rue n° 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

rue n° 2

12

345

6

789

1011


82

Fig. 3.8 : carrefour à 7 points.

Fig. 3.9 : carrefour à 5 points.

12

6

1011

rue n° 2

rue n° 1

1 2 3 6 9 10 11

12

3

6

9

1011

rue n° 1

rue n° 2

1 2 6 10 11


83

Fig. 3.10: carrefour à 4 points.

Le trait hachuré en gras représente le bas du trottoir et marque la limite entre le trottoir et la

chaussée. Le trait hachuré représente la zone de la chaussée et le trait solide continu le

trottoir.

IV.2 L’obtenti on du mai l lag e gl obal

La création du maillage du calcul est une étape très importante dans la réalisation des calculs,

généralement, elle est la partie qui consomme le plus de temps et d’énergie dans ce type de

simulation numérique (Shaw 1992). Pour créer le maillage de Nîmes, vue la forme

compliquée du domaine de calcul, on pouvait soit opter pour le développement d’un nouvel

outil de maillage adapté à la complexité de la tâche soit utiliser l’outil habituel utilisé au

Cemagref à Lyon. Cet outil est adapté à la création d’un maillage d’une vallée riveraine et son

adoption pour une ville impliquait certainement beaucoup de manipulations et une mise en

bonne forme de données avant qu’il puisse être mis en œuvre. Cependant, cette deuxième

option avait potentiellement plus de chances d’aboutir dans un temps limité. Ce pragmatisme

nous a conduit au choix d’utiliser le mailleur existant du Cemagref. Ce mailleur exige que les

rues soient reliées entre elles afin de former des groupes, appelés section. Chaque section

regroupe un ensemble de rues qui traversentl’ensemble du domaine d’ouest en est (fig. 3.11).

De la même façon,les sections traversant l’ensemble du domaine du Nord au Sud sont

appelées des lignes directrices.

1 2 10 11

12

1011

rue n° 2

rue n° 1


84

IV .2.1 Le mail lage de Nimes: la mise en œuvre et les difficultés

Dans le cas du quartier Richelieu de Nîmes (et dans le cas pratique d’une manière générale), il

est nécessaire de traiter les cas de confluences et de defluences de sections ou de lignes

directrices. Ceci amène à accepter des portions de sections et de lignes directrices communes.

Les sections et les lignes directrices sont rajoutées en “paquet” de 11 (ou 7, 5, 4) pour générer

la rue complète. On obtient ainsi 37365 points d’intersection entre sections et lignes

directrices dont 18223 points doubles pour assurer la structure regulière du maillage.

Fig. 3.11: Le modèle topographique du secteur d’étude. Les lignes vertes désignent les lignes

directrices et les sections sont en noir.


85

V. La présentation des calculs effectués

V.1 Calcul s av ec différent es représentations top ographiques

Les calculs ont été effectués avec 5 différentes représentations topographiques pour la rue. Ce

sont les suivantes:

1. Calcul à 11 points.




5. Calcul à deux points pour la rue en modélisant les deux murs limites par des ouvrages

(murs imperméables).

La durée de simulation de la crue a été limitée à 4 heures de crue. Le temps final correspond à

la phase de décrue et une simulation jusqu’à ce point suffit à calculer l’étendue maximum de

la crue.

V .1.1 Calcul à 11 points.

Le Calcul à 11 points comprenait 20500 mailles. Il était numériquement stable mais le fait

d’avoir un temps de calcul très long ( environ 4 jours sur un pentium III , 450 Mhz) le rendait

moins intéressant.


Le calcul à 7 points avait 9100 mailles et il durait relativement moins longtemps que le calcul

à 11 points. Le temps de calcul sur un pentium III, 450 Mhz est environ 60 heures. Le temps

de calcul donc est moins long et les résultats très proches de ceux du calcul à 11 points.


Le calcul à 5 points a aussi été effectué. Ce calcul avait 5070 mailles et il donne des résultats

assez proches de ceux obtenus avec 11 et 7 points. Toutefois, la stabilité de schéma

numérique explicite tel qu’utilisé dans RUBAR 20 impose la réduction du pas de temps en

cours de calcul de 0,01 secondes à 0,005 secondes. A condition de respecter cette exigence, le

calcul s’achève normalement.


86

V.1.4 Calcul à 4 points.

Le calcul à 4 points comprenant 3530 mailles souffrait des instabilités numériques. Les

résultats ont été marqués par des oscillations (fig. 3.12). On a essayé de régler ce problème en

réduisant le pas de temps mais en vain.

V .1.5 Calcul en remplaçant les deux murs d’une rue par des ouvrages

hydrauliques.

La discrétisation des carrefours et des rues choisie pour le calcul à quatre points introduit des

petites mailles (fig. 3.7 à fig.3.10) le long des murs qui pourrait être à l’origine de ces

instabilités. Afin de réduire cette source probable d’oscillations numériques, on a voulu

éliminer les mailles au long des murs en s’appuyant sur une fonctionnalité du modèle

numérique qui nous permet de définir des ouvrages hydrauliques sur des arêtes spécifiques. Il

est à noter que ces petites mailles avaient été introduites pour représenter les murs verticaux

par une pente raide, deux points de projection identique sur le plan horizontal ne pouvant

avoir des cotes différentes. Dans cette nouvelle simulation, tous les murs définissant les deux

limites d’une rue ont été remplacées par des ouvrages de type paroi imperméable dont le

nombre total était supérieur à 2000. Malgré l’adoption de la stratégie décrite ci-dessus, le

calcul reste très instable, même beaucoup plus que celui à 4 points avec de fortes vitesses

physiquement inatteignables.

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3,0

8400 9000 9600 10200 10800 11400 12000 12600 13200 13800

Temps (s)

Hau

teur

d'e

au (

m)

calcul à 11 pt

calcul à 4 ptcalcul à 7 pt

Fig. 3.12 : L’instabilité numérique se manifeste par l’apparition d’oscillations pour le calcul

à 4 points. Contrairement à ce dernier calcul, ceux à 11 et 7 points sont très stables.


87

V.2 Les conditions du calcul

V.2.1 Le pas d’espace

Le pas d’espace dans les rues (groupement de sections ou groupement de lignes directrices)

est noté dx et pris égal à 50 m. Par contre dans les carrefours, tous les points sont pris en

compte.

V .2.2 Les conditions aux l imites

L’application de correctes conditions aux limites est une nécessité incontestable afin d’obtenir

des solutions précises des équations différentielles à dérivée partielle; or, dans notre cas, il y a

des incertitudes assez importantes sur les hauteurs d’eau à l’entrée et à la sortie du modèle

ainsi que, à un moindre degré, sur la localisation des arêtes sortantes du modèle. Les deux

entrées du modèle ont été indiquées par la DDE du Gard et vu la topographie de la zone

modélisée, ce choix semble assez correct. Par contre, rien ne nous a été transmis qui peut nous

renseigner sur la hauteur d’eau à l’entrée de la zone inondée. Ces dernières valeurs ont été

calculées en supposant que la hauteur maximum ne dépasse pas de 3 mètres. L’annexe 5

donne ces valeurs pour les deux hydrogrammes sous formes de tableaux ainsi que la hauteur

critique pour chaque pas de temps. Les hauteurs critiques pour les deux hydrogrammes sont

calculées avec une largeur de 11,40 m et 15,23 m pour l’hydrogramme 1 et 2 respectivement.

Cette annexe montre que la valeur de la hauteur d’eau que nous avons stipulée est à peu près

trois fois plus grande que la hauteur critique (au voisinage du débit maximum).

La sélection des conditions aux limites correctes à la sortie est assez diffic ile car la circulation

d' eau dans ces rues n' est pas bien connue. Cependant, comme la rue Pierre Sémard, alignée

est-ouest, constituait la limite sud du modèle, il était logique de la désigner comme la limite

sortante avec une sortie libre. En absence de toute autre information concernant les hauteurs

d’eau sur les arêtes sortantes, elle a le mérite de dire que les zones situées à l’aval du modèle

n’ont pas d’influence majeure sur l’ écoulement en amont ou dans la zone modélisée.

V .2.3 Hydrogrammes d’entrée

Deux hydrogrammes ont été fournis pour une durée de 7 heures de crue (fig. 3.13). Ils étaient

décrits en 85 valeurs de débit avec un pas de temps de 5 minutes. L’hydrogramme 1 avait un

pic de 51,449 m3/s et l’hydrogramme 2 un pic de 59,785 m3/s. L’emplacement des

hydrogrammes est décrit en fig. 3.3. Afin de réduire le temps de calcul, la durée de simulation


88

a été limitée à 4 heures de crue ou à 240 minutes. Ce temps correspond à la phase de décrue et

une simulation jusqu’à ce point suffit à calculer l’étendue maximum de la crue.

0

10

20

30

40

50

60

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480

hydr ogra mme 1 ( oues t)

hydr ogra mme 2 (es t)

temp s (min)

débi

t (m

3 /s)

Fig. 3.13 : Les hydrogrammes.

V.2.4 Autres paramètres du calcul numérique

Tous les calculs ont été effectués avec un coefficient de Manning-Strickler de 40 sauf un pour

lequel on a choisi 30 comme valeur.

Les schémas numériques explicites sont en général stables lorsque la condition de stabilité de

Courant est observée. Elle s’écrit de la manière suivante:

ghu

xt

+∆≤∆ (3.1)

xt ∆∆ , pas de temps et pas d’espace, respectivement.

ghu, vitesse d’écoulement et la célerité d’une onde, respectivement

Pour la stabilité, le nombre de Courant

∆+∆

x

ghut )( doit être inférieur à l’unité (Fletcher

1991). Pour certains schémas explicites cette condition est plus sevère et n’est que 20% de la

valeur de (3.1) (French 1986).

Le schéma explicite utilisé dans RUBAR 20 est stable, hors singularité marquée, lorsque le

nombre de Courant maximal est inférieur à l’unité. La plupart des calculs ont été menés avec

un pas de temps fixe de 0,01 seconde et un nombre de Courant variable. Pour une vitesse de


89

quelques mètres par secondes et une hauteur d’eau de quelques mètres, le pas de temps de

0,01 s permet de vérifier cette condition pour un pas d’espace de l’ordre de 20 cm (taille de

maille minimale).

V .2.5 La discrét isation dans les rues et aux carrefours

Définition

On dit que le maillage aux mailles A et B a (fig. 3.14):

Un rapport d’expansion = ∆XB/∆XA

Un rapport d’aspect ou de distorsion(‘aspect or distortion ratio’) = ∆XA/∆YA

Fig. 3.14 : les rapports aspect/expansion

Le maillage de ce calcul permet une discrétisation assez fine des carrefours (pour le calcul à 7

points, 36 mailles) alors que dans le cas des rues elles ont été finement discrétisées selon la

largeur mais pas selon la longueur, le pas d’espace étant 50 m. Ce pas d’espace nous permet

d’économiser sur le temps de calcul et les ressources informatiques. En outre, l’écoulement

predominant dans les rues est unidimensionel et les gradients de vitesses suivant son axe

longitudinal sont assez faibles sauf près des carrefours. Tous ces facteurs favorisent le choix

d’un pas d’espace de 50 m. Cependant, ce choix a l’inconvénient de donner pour des mailles

de rues, d’une part un rapport d’aspect/distorsion de l’ordre de 100-125 et d’autre part aux

croisement des rues avec des carrefours, un rapport d’expansion de l’ordre de 150.

(Oslen 1999) remarque que les rapports d’aspect de 10-50 donne une convergence

extrèmement lente et que l’expérience montre que les rapports d’expansion aux alentours de

10 peuvent donner des résultats non-physiques. Dans un autre document (le manuel d’aide

pour le logiciel de simulation numérique d’écoulement SSIIM qui emploie la méthode

SIMPLER) (Oslen 2001), dit que “certaines personnes recommandent de prendre une valeur

du rapport de distorsion n’excédant pas 2, mais d’autres gens ont obtenus des bons résultats

∆XA ∆XB

∆YAA B


90

pour une valeur de 10. Et des fois, les rapports de distorsion jusqu’à 100 ont aussi été utilisés

donnant des résultats raisonnables mais cela demande un très grand nombre d’itérations pour

la convergence”. L’auteur ne précise pas la méthode numérique utilisée (implicite ou

explicite) mais il est probable que ces observations concernent une méthode implicite (la

notion des itérations pour la convergence de solution ne fait pas partie de la stratégie de calcul

mise en oeuvre dans les schémas explicites). Par contre, cette notion est employée dans la

méthode SIMPLER (Patankar 1980)).

Un autre avis est celui de (Patankar 1980): ”un malentendu semble prévaloir qui dit qu’un

maillage non-uniforme conduit à moins de précision que celle obtenue avec un maillage

uniforme. Il n’y a pas de base saine pour supporter cet avis. Le pas de maillage doit être lié à

la variation de la variable hétérogène dans le domaine de calcul. En outre, il n’y a pas de règle

universelle concernant les valeurs du rapport maximales (et minimales) que les intervalles

adjacents de maillage doivent avoir”.

Notre expérience montre que, malgré le fait d’avoir un maillage non uniforme et un rapport de

distorsion de l’ordre de 150, les résultats sont numériquement stables.

V.3 La présentatio n des résultats

Les résultats des calculs sont présentés sous trois formes suivantes:

1. Des limnigrammes.

2. Des tracés en plan de la hauteur d’eau et de la vitesse avec une échelle de couleurs.

3. La comparaison avec le niveau maximum de l’eau observé.

4. Les statistiques concernant la vitesse absolue maximum.

Essentiellement, les calculs effectués peuvent être classés en deux groupes. Le premier groupe

se distingue par le fait qu’il était destiné à une simulation correcte de l’inondation sur le

domaine ou plus concrètement il comprend quelques premières séries de calcul plus celles

avec une topographie corrigée. Les calculs à différents points sont aussi compris dans ce

groupe.

La deuxième groupe de calculs avait pour but d’essayer de modéliser quelques situations qui

typiquement font partie du milieu urbain telles qu’une rangée de voitures qui bloque la rue, un

stockage d’eau sur une place, etc . C’est dans ce groupe que sont inclus les calculs qui

examinent l’influence du coefficient de viscosité turbulente et du coefficient de Manning-

Strickler sur l’écoulement.


91

V.4 Premier groupe de calculs

V.4.1 Eléments généraux sur l ’ interprétation des résultats

Ces calculs qui avaient pour but une simulation précise de la crue ont été effectués avec un

maillage à 7 points.

La validation des résultats numériques se fait en les comparant avec les hauteurs maximales

observées en 80 points dans le domaine de calcul. L’incertitude sur les observations est très

importante (jusqu’à 2 m de divergence sur le niveau à quelques mètres de distance) ce qui

implique qu’une comparaison entre observations et résultats des calculs ne peut avoir qu’un

sens statistique. Il est donc important de choisir des estimateurs statistiques qui peuvent nous

renseigner sur les calculs et leurs écarts vis à vis des observations. Deux paramètres ont été

choisis.

1. La racine carrée des moyennes des biais qui s’exprime de la manière suivante:

∑=

−r

ii xx

r 1

2)ˆ(1

2. La moyenne des biais, qui correspond à la moyenne des erreurs:

∑=

−=r

ii xx

r 1

)ˆ(1ε

où x̂ est la valeur calculée ou interpolée, x la valeur observée et r la taille des échantillons.

Dans les tableaux qui résument les résultats des calculs, le premier estimateur est appelé

“erreur moyenne” et le deuxième “biais”.

Ces estimateurs ont été appliqués sur l’ensemble du secteur d’étude et sur les régions ou

zones qui montrent une tendance particulière. En effet, l’objectif était de regarder certaines

zones afin de discerner ces tendances et savoir comment elles influencent les résultats

globaux. La sélection de la zone 3 a été effectuée parce qu’on y dispose d’observations

quasiment à chaque carrefour et que la sous-évaluation des niveaux d’eau par le calcul y était

la tendance dominante. Compte tenu de l’incertitude sur les conditions aux limites, il se

pourrait que les hauteurs calculées dans le voisinage immédiat des limites du modèle aient un

comportement particulier. Comme à la sortie du modèle, on avait 11 points d’observation, on

les a regroupés afin de les traiter séparément.


92

Alt itude du fond Hauteur d’eau Niveau d’eauDescription

de la zone Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

% des points où

le calcul surestime

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

Ensemble (80 pt.) 0,42 +0,16 0,81 -0.30 32 0,78 -0.14

Zone 3 (27 pt.) 0,55 +0,27 0,93 -0,80 0 0,69 -0,53

La sortie du

Modèle (11 pt.)

0,4 +0,05 0,37 +0,27 82 0,54 +0.33

Tableau 3.2 : Le tableau récapitulatif du premier calcul.

Le tableau 3.2 résume les principaux résultats de la confrontation des laisses de crue avec les

résultats numériques. La tendance dominante est la sous-évaluation mais elle est beaucoup

plus forte dans la zone maillée (zone 3). Par contre, près de la sortie du modèle, contrairement

à ce qui se passe partout (sous-estimation) les niveaux sont surestimés. Il est probable que les

calculs à ces points soient influencés par le choix des conditions aux limites sortantes qu’on

ne connaît pas précisement. Autrement dit, il faut être prudent car ils ne sont pas

suffisamment éloignés des limites du modèle pour être un vrai indicateur des grandeurs

physiques qu’on cherche à calculer. Cette hypothèse est renforcée lorsqu’on examine les

hauteurs d’eau calculées en deux points d’observation très près des limites entrantes. Pour ces

points, l’erreur sur le niveau ou hauteur d’eau est de 2,28 et 1,71 m (inférieur à l’observation)

ce qui est beaucoup plus que la moyenne. Si on ne considère pas les observations sur la sortie

du modèle, la sous-évaluation des niveaux ou hauteurs concerne trois quarts des points ce qui

se reflète sur le biais. Ceci est particulièrement net puisque après avoir surestimé l’altitude du

fond (tableau 3.2) on sous-évalue l’altitude de la surface d’eau.

Pour le second calcul, nous avons modifié la topographie afin de la rapprocher des cotes

fournies par la DDE (points cotés ou données levées en même temps que les laisses de crue).

Les cotes à certains carrefours, notamment dans la zone maillée (zone 3) ont été définies

comme toutes égales à une cote commune représentative. Les résultats sont résumés dans le

tableau 6.3


93



(m)

Biais

(m)

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

% des points où

le calcul surestime

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

Ensemble (80 pt.) 0,25 +0,026 0,93 0 45 0,97 +0.025

Zone 3 (26 pt.) 0,13 -0,02 0,84 -0,32 23 0,82 -0,35

La sortie du

Modèle (11 pt.)

0,32 +0,01 1,29 +1,13 90 1,44 +1,23

Tableau 3.3 : Quelques statistiques sur le calcul avec la topographie modifiée.

Le tableau 3.3 montre que, sur l’ensemble, il y a une légère dégradation des estimations bien

que l’erreur sur la topographie soit réduite. Cela peut être dû à la méthode adoptée pour

modifier les cotes aux carrefours. La surestimation à la sortie est probablement due au fait que

dans les sections immédiatement en amont de la sortie la modification de la topographie a

consisté en général à la baisse des cotes du fond alors que la cote de la toute dernière section

n’a pas été modifiée. En conséquence, la pente des biefs sortants a diminué et comme

l’ écoulement près de la sortie du modèle est pseudo-uniforme (sortie libre) cela entraîne la

réduction des vitesses qui se traduit par une augmentation des hauteurs d’eau à débit donné.

V .4.2 Simulat ion avec une correction localisée de la topographie

En regardant les résultats des calculs en plan 2D, il a été noté que la modélisation du carrefour

où se rejoignent les rues Calvas, Biche, Hoche et Gal Faidherbe ne correspond pas à la réalité.

En effet, c’est un rond point avec une géométrie assez compliquée. Il est à l’ouest du modèle

et exerce une influence assez importante sur la répartition du débit car c’est ici que l’eau qui

provient du premier hydrogramme se divise avec une partie allant vers la rue Vincent Faita à

l’est pour rejoindre l’écoulement provenant du deuxième hydrogramme tandis que l’autre

partie est dérivée vers la rue Biche (fig. 3.15)


94

Fig. 3.15 : Le schéma illustratif du carrefour

Afi n de corriger la représentation de ce carrefour, on a procédé à une modification de la

topographie de cette place et un calcul a été mené pour voir les effets de ce changement sur

les résultats. La fig. 3.16 présente les hauteurs d’eau à ce carrefour avant et après la

modification.

Nous avons repéré tous les points où s’était produit une variation de la hauteur d’eau

supérieure à 10% de la valeur avant la modification de la topographie. Le nombre de points

remplissant ce critère était égal à 17. Un calcul d’estimation d’erreur sur ces points montre

que l’erreur moyenne a diminué de 11 cm (de 60 cm avant à 49 cm) après l’amélioration alors

que en même temps l’erreur sur la topographie n’a pas du tout changé. Cela indique que la

réduction d’erreur était entièrement dûe à la correction apportée dans la représentation du

carrefour. Le tableau 3.4 résume la situation avant et après les modifications.

Alt itude du fond Hauteur d’eau Niveau de la surface libre

Err. Moy. (m) biais (m) Err. Moy. (m) biais (m) Err. Moy. (m) biais (m)

Avant 0,32 +0,07 0,60 +0,26 0,72 +0,33

Après 0,32 +0,07 0,49 +0,21 0,48 +0,28

Tableau 3.4 : l’influence des modifications du carrefour Nord Ouest.

Rue de la BicheRue Hoche

Rue Gal Faidherbe

Rue Calvas


95

Fig. 3.16 : Au-dessus est illustrée la situation (3 heures et 20 minutes après le début de la

simulation) avant la modification du carrefour alors que l’image au-dessous est celle après.

Une conséquence immédiate de ce changement était le passage de l’eau par la rue Hoche (fig.

3.16) qui a conduit à réduire l’erreur à un point d’observation situé juste à la confluence de

cette rue avec la rue Vincent Faita de 40 cm. Cet exemple est très intéressant car il nous

montre l’intérêt d’utiliser un code bidimensionnel pour la modélisation des carrefours dans la

mesure où il nous permet d’avoir ainsi à la fois un meilleur contrôle et une plus grande

souplesse dans la description correcte de la topographie du milieu urbain.

V .4.3 Avancée de la crue

Comme expliqué précédemment, les résultats du calcul 2D peuvent aussi être visualisés en

plan afin de montrer l’avancée de l’eau au fur et au mesure du passage de l’eau à travers le

quartier inondé. Les hauteurs d’eau à différents points sont représentées par des couleurs; les

plus foncées signifient une plus grande hauteur d’eau et les claires une faible profondeur

d’eau. On peut se servir de ces images pour connaître l’étendue de l’eau à différents instants

de la crue et avec leur aide reconstituer l’événement. L’annexe 6 retrace l’avancée de la crue

avec quelques une de ces figures. Ci-dessous, est reproduite l’avancée de la crue après 200

minutes; ce temps correspondant à peu près à l’expansion maximum de l’inondation.


96

Fig. 3.17 : L’expansion de la crue à 200 minutes du début de la simulation.

V.5 Second groupe de calculs

Les calculs figurant sous cette classification sont soit ceux qui sont destinés à examiner

l’influence de certains paramètres comme le coefficient de Manning Strickler, le coefficient

de diffusion, etc, soit ceux destinés à simuler quelques situations typiquement rencontrées en

milieu urbain comme le stockage de l’eau et l’effet d’un obstacle.

V .5.1 Simulat ion d’un espace de stockage

Un espace de stockage a été créé dans la rue Vincent Faita en aval du point où la rue Hoche la

croise, en rabaissant la cote des mailles concernées, permettant ainsi à l’eau d’entrer dans

l’espace ainsi créé. Cet espace est relativement réduit si on considère le fait qu’au bout d’une


97

simulation sans stockage, le volume d’eau dans le modèle est 60604 m3 et la création du

stockage crée une capacité supplémentaire de 6179 m3 soit 10% environ de la capacité de

reténtion initiale. D’ailleurs, le volume d’eau injecté dans le modèle pendant 4 heures de crue

est 425638 m3.

Fig. 3.18(a) : Avant la création de l’espace de stockage.

Fig. 3.18(b) : Après la création de l’espace de stockage.

Pour savoir comment la création du stockage influence l’évolution de la hauteur d’eau à

l’aval, on a sélectionné un point à l’aval de la brèche de l’espace du stockage. Sur la fig. 3.19


98

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270

san s stockage

sto ckage

temp s (min)

haut

eur

d'ea

u (m

)

Fig. 3.19 : L’évolution de la hauteur d’eau à l’aval de l’espace de stockage.

sont montrés les deux limnigrammes qui indiquent que l’effet voulu, à savoir, la baisse du pic

à l’aval, a été atteint. Le volume du stockage étant faible, la baisse n’est pas très importante

mais on peut augmenter la capacité du stockage afin de diminuer le pic jusqu’à ce qu’il

atteigne le niveau souhaité.

V .5.2 Sensibil i t é au coefficient de Manning-Strickler

Le coefficient de Manning-Strickler est un paramètre vital dans l’hydraulique à surface libre.

Son rôle est d’englober toutes les sources de pertes d’énergie de l’écoulement. Cependant,

dans les équations de Saint Venant, on l’utilise pour approcher les contraintes au fond

(Chaudhry 1993) alors que νt, le coefficient de viscosité turbulente sert à l’évaluation des

contraintes turbulentes de manière globale.

Afi n de tester la sensibilité au coefficient du frottement, un calcul a été effectué avec la valeur

30 de ce coefficient. Les principaux résultats sont résumés dans les tableaux 3.5 et 3.6 alors

que la fig. 3.20 présente une comparaison des deux calculs à un point donné par un

limnigramme.


99



(m)

Biais

(m)

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

% des points où

le calcul surestime

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

Ensemble (80 pt.) 0,42 +0,15 0,79 -0,22 36 0,79 -0,06

Zone 3 (27 pt.) 0,55 +0,27 0,89 -0,74 26 0,64 -0,46

La sortie du

Modèle (11 pt.)

0,4 +0,05 0,51 +0,46 100 0,66 +0,52

Tableau 3.5 : Le tableau récapitulatif du calcul avec coefficient de Manning-Strickler de 30.

L’augmentation du frottement a comme conséquence la diminuation des vitesses ce qui fait

que l’énergie cinétique est transformée en énergie potentielle remontant le niveau d’eau. Cet

effet attendu est justement ce qui s’est produit car on observe par rapport au tout premier

calcul une petite hausse des niveaux d’eau diminuant l’erreur moyenne de 2 cm. Cependant, il

reste des écarts assez importants.

Le tableau 3.6 illustre d’une manière plus nette le ralentissement des vitesses dû à

l’augmentation du frottement. La comparaison porte sur la vitesse absolue maximum calculée

aux 4447 nœuds en eau avec le coefficient du frottement 40 et 30. On observe pour le calcul

avec le coefficient Manning-Strickler 30: (1) un plus grand nombre des points dans

l’intervalle entre 0-2 m/s (de 61% à 68%) ainsi qu’une diminution des nombre de points dans

les intervalles 2-4 et 4-6 m/s et (2) une réduction de la vitesse absolue maximum moyenne de

1,57 à 1,48 m/s.

calcul % des nœuds

avec (Vabs)max

entre 0-2 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 2-4 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 4-6 m/s

% des nœuds avec

(Vabs)max supérieur

à 6 m/s

(Vabs)max moyenne

pour des vitesses

entre 0-4 m/s

Écart type

de (Vabs)max

moyenne

Strickler

40

61 29 8 1 1,57 0.97

Strickler

30

68 26 4 1 1.48 0.94

Tableau 3.6 : la confrontation des deux calculs sur les valeurs de la vitesse absolue maximum


100

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 40 80 120 160 200 240 280

M anning-Strickler =40

M anning-Strickler =30

haut

eur

d'ea

u (m

)

temp s (m in)

Fig. 3.20 : limnigramme au carrefour des rues Catinat et Flamande.

V.5.3 Simulat ion d’un obstacle

Les résultats montrent très clairement une sous-évaluation des niveaux dans la zone maillée

constituée de rues étroites se coupant quasiment à angle droit. Cette tendance se maintient

malgré les efforts pour rapprocher la topographie interpolée des cotes réelles des carrefours et

l’utilisation d’un coefficient du frottement plus élevé. Il ne faut pas perdre de vue que notre

modèle ne comprend aucun obstacle ce qui ne cadre pas avec la réalité observée en ville.

Surtout, la zone considérée est très sensible à ce problème au vu de la faible largeur des rues.

La présente simulation concerne la définition d’un obstacle afin de reproduire l’effet d’une

rangée de voitures. Pour ce faire, un bief de la rue des Bons enfants entre les rues Villars et

Nicot a été choisi (fig. 3.21). La longueur du bief était de 95 m alors que la longueur totale de

la rue était de 517 m. L’obstacle à été simulé en remontant la cote ‘z’ du cinquième point dans

le profil en travers de 1,25 m.

Le profil en travers de la rue ainsi modifié est illustré dans la figure 3.22. Il est issu du profil

en travers à 7 points (fig. 3.6 (c)) dans lequel le point correspondant au trottoir a été relevé.


101

Fig. 3.21 : La position du bief dans lequel l’ obstacle a été créé.

Fig. 3.22 : La représentation de l’obstacle dans le profil en travers à 7 points.

Les résultats de la simulation montre une augmentation de niveau d’eau dans la rue où

l’obstacle a été créé (fig. 3.23). La montée de niveau due à la présence de l’obstacle de 1,25 m

est d’environ 9 cm.


102

0

0,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1

1 ,2

1 ,4

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270

san s obst ac le

obst ac le

tem p s (m in)

haut

eur

d'ea

u (m

)

Fig. 3.23 : limnigramme sans et avec obstacle.

Une autre manière de suivre les évolutions des hauteurs d’eau est de dessiner un plan avec

report des hauteurs d’eau à un temps donné. La figure 3.24 présente ces deux graphiques

(avec et sans obstacle) après 3 heures de simulation. Les profondeurs d’eau à différents points

dans le plan sont représentées en bleu, la plus foncée représentant la plus grande hauteur

d’eau et la plus claire la plus faible.

Fig. 3.24 (a) : La carte des hauteurs d’eau sans obstacle.

Fig. 3.24 (b) : La carte des hauteurs d’eau avec obstacle.

Le bief considéré


103

La première figure 3.24 (a) montre que les niveaux d’eau dans la rue sans obstacle sont

uniformes alors que celle en bas est caractérisée par l’existence de deux bandes de différentes

teintes. Cela montre clairement qu’une plus grande part du débit est transitée par la zone non-

occupée par l’obstacle qui fait monter le niveau d’eau dans cette partie.

Afi n de faire monter le niveau d’eau sur l’ensemble de la zone, il faudrait créer des obstacles

dans plusieurs rues et essayer différentes combinaisons d’obstacles partant des hypothèses sur

le degré de l’encombrement des voies lors de l’inondation. La présente simulation d’un

obstacle ponctuel et de très faible dimension par rapport à la zone simulée montre que cela est

possible et peut ouvrir une voie vers une modélisation plus précise de l’inondation en ville.

V .5.4 Simulat ion avec augmentation des débits entrants

Les premiers calculs que nous avons effectués ont clairement montré une tendance très nette à

la sous-évaluation des hauteurs d’eau. Il est possible de relier cette tendance à la sous-

estimation des apports. Deux éléments concourent à cette opinion :

1) les hydrogrammes injectés correspondent à une période de retour estimée à 100 ans alors

que l’événement de 1988 est sans doute plus rare.

2) les hydrologues et les gestionnaires de la ville de Nîmes semblent penser que les apports

pluvieux, durant l’événement du 3 octobre 1988, ont été sous-estimés pour diverses

raisons (Desbordes, Durepaire et al. 1989) telles que le fonctionnement défecteux des

appareils de mesure expliqué par la nature exceptionelle de la pluie et la grande variabilité

spatio-temporelle de l’orage qui a introduit des incertitudes sur l’estimation des débits.

Afi n de tester l’effet sur les niveaux d’eau calculés, on a augmenté de 20% la totalité des

débits injectés dans le modèle. Pour mieux évaluer l’influence de cette mesure, il faut

comparer le calcul de base sans accroître les hydrogrammes et celui avec des hydrogrammes

accrus. Les tableaux 3.7 et 3.8 présentent les statistiques concernant ces deux calculs. On

constate que, malgré la diminution du nombre de points d’observation où la hauteur était

sous-estimée (de 57% à 46%), globalement l’acroissement des débits n’a pas conduit à la

réduction de l’erreur moyenne ; au contraire, il y a une faible dégradation de 3 cm sur

l’ensemble du domaine. Dans le tableau 3.7, on voit aussi que le biais sur la hauteur d’eau est

nul, c’est à dire que, déjà en moyenne, la hauteur d’eau était bien estimée. En revanche, pour

la zone 3, l’erreur moyenne a diminué de 90 cm à 84 cm et le biais de –20 cm à –18cm. Cela

montre que l’accroissement des débits a bien fait remonter le niveau d’eau dans cette partie.


104

Il est bien clair que l’erreur moyenne est due à plusieurs raisons et pas seulement à de trop

faibles débits.



(m)

Biais

(m)

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

% des points où

le calcul surestime

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

Ensemble (80 pt.) 0,25 +0,02 0,93 0 43 0,95 +0,03

Zone 3 (27 pt.) 0,13 -0,03 0,90 -0,20 30 0,88 -0,23

La sortie du

Modèle (11 pt.)

0,32 +0,01 1,35 +1,21 90 1,51 1,30

Tableau 3.7 : Le calcul de base sans accroissement des débits.



(m)

Biais

(m)

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

% des points où

le calcul surestime

Err. Moy.

(m)

Biais

(m)

Ensemble (80 pt.) 0,25 +0,02 0,96 +0,12 54 0,99 +0,14

Zone 3 (27 pt.) 0,13 -0,03 0,84 -0,18 31 0,82 -0,21

La sortie du

Modèle (11 pt.)

0,32 +0,01 1,44 +1,28 100 1,6 +1,38

Tableau 3.8 : Le calcul de base avec accroissement des débits.

V .5.5 L’influence du coefficient de viscosité ν t

Il est évident que l’écoulement réel était très turbulent compte tenu de l’encombrement

caractéristique d’une ville et de la densité de l’habitat. Dans ces conditions, l’ importance du

modèle de turbulence et plus précisément celle du coefficient de viscosité turbulente sur

l’ écoulement est cruciale. Cependant, peu d’estimations existent à propos de sa valeur dans

les conditions de terrain (Vreugdenhil et Wijbenga 1982). Sa détermination est d’autant

diffic ile car une diffusion numérique est toujours présente et difficile à éstimer.

Numériquement, la diffusion peut servir à stabiliser les schémas numériques et sa valeur

dépend alors de la méthode numérique utilisée (Pozrikidis 1998). Par contre, sa valeur réelle

physique dépend du type d’écoulement (Gee et Macarthur 1981). Il est à noter que cette

valeur représente une manière simplifiée de tenir compte de la turbulence sur l’ensemble du

domaine en vue de l’hypothèse sous-jacente de turbulence isotrope.


105

D’après (Gee et Macarthur 1981), ce coefficient est associé aux tourbillons dont la résolution

demande un maillage très fin. Il trouve que la valeur du coefficient de viscosité cinématique

dépend de la finesse de discrétisation. Cela lui a conduit à réduire la valeur de νt avec le

raffinement de maillage. Il affirme aussi l’insensibilité des résultats à la valeur de νt et pense

qu’il faut des données dans des conditions complexes sur ce coefficient pour bien le calibrer.

(Vreugdenhil et Wijbenga 1982) utilise une valeur de 2,3 m2/s pour calibrer un écoulement de

débit de 3750 m3/s.

Les calculs menés sur le cas d’inondation de Nîmes ont été tous effectués avec un νt =0,01

m2/s. Cependent, pour examiner la sensibilité à ce coefficient, on a effectué trois autres

calculs avec νt égal à 0, 0,1 et 0,2 m2/s. Les résultats de ces calculs en termes de comparaison

avec les laisses de crue sur l’ensemble de zone (80 points) sont présentés ci-dessous.

Hauteur d’eauνt (m2/s)

Err. Moy.(m)

Biais(m)

% des points oùle calcul surestime

0,01 0,96 +0,12 54

0 0,88 -0,06 41

0,1 0,96 +0.04 46

0,2 0,98 +0.075 49

Tableau 3.9 : Calculs avec différentes valeurs de νt

Un autre aperçu sur les calculs est fait en considérant la valeur maximum de vitesse absolue

calculée à chaque nœud de domaine du calcul.

L’analyse porte sur 4504 de 9093 mailles (ou nœuds) en eau.

νt

(m2/s)

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 0-2 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 2-4 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 4-6 m/s

% des nœuds avec


à 6 m/s

(Vabs)max moyenne

pour des vitesses

entre 0-4 m/s

Écart type

de (Vabs)max

moyenne

0,01 58 32 8 2 1,67 1,09

0 57 32 9 2 1,69 1,08

0,1 59 31 8 2 1,65 1,09

0,2 57 32 9 2 1,72 1,05

Tableau 3.10 : La vitesse absolue maximum pour différents calculs


106

Il est à noter que les vitesses élévées se produisent aux arêtes rentrantes puis vite s’amortisent.

Un examen des résultats (tableaux 3.9 et 3.10 et fig. 3.25) montre qu’ils sont très peu

sensibles à la variation du coefficient de la viscosité turbulente ce qui confirme les

observations citées par (Gee et Macarthur 1981). Contrairement au coefficient de Manning-

Strickler, νt exerce son influence sur l’ écoulement d’une manière plus subtile qui étant liée à

la discrétisation numérique, dépend, à la fois, du moyen par lequel on modélise le phénomène

physique (méthode numérique, finesse de maillage) ainsi que les facteurs inhérents au

phénomène physique comme la turbulence, le champ de vitesse, etc. Il apparaît que la

diffusion influence faiblement les résultats. L’incertitude sur les valeurs de coefficient à

utiliser et leur répartition spatiale fait que les variations engendrées sont finalement du même

ordre de grandeur que celle due à l’incertitude sur les frottements au fond. La dynamique de la

crue serait nécessaire pour mieux caler ce facteur.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 40 80 120 160 200 240 280

dif=0,1

dif=0,01

haut

eur

d'ea

u (m

)

temp s (min)

Fig. 3.25 : Limnigramme au carrefour entre les rues Sully et Cuvier.

V.5.6 La comparaison entre différents calculs

Calcul à 5 points

Le calcul à 5 points bien que stable est moins précis que le calcul à 7 points. Cela est

démontré par le fait que sur les 80 points où les laisses de crue étaient relevées, ce calcul n’a

pu obtenir les hauteurs d’eau qu’en 71 points, le reste des 9 points n’étant pas en eau. Ceci


107

montre l’erreur commise sur l’étendue et l’avancée de la crue à cause de la discrétisation

relativement grossière.

Le tableau 3.10 récapitule les résultats. Une dégradation des résultats pour le calcul à 5 points

est assez évident, de même que l’augmentation de l’erreur un peu plus élévée sur la cote du

fond due, sans doute, aux tailles des mailles de calcul plus grandes.

Alt itude du fond Hauteur d’eau Niveau d’eauCalculla comparaisonporte sur 71 de 80points)

Err. Moy. (m) Biais (m)

Err. Moy. (m)

Biais(m)

% despoints oùle calculsurestime

Err. Moy. (m)

Biais (m)

5 points 0,27 +0.076 1.05 +0.22 42 1.12 +0.30

7 points 0.23 +0.037 0.82 0 40 0.85 +0.04

Tableau 3.11 : comparaison sur 71 points entre les calculs à 7 et à 5 points.

Le tableau 3.11 montre que le calcul à 5 points augmente le nombre de points avec des

vitesses maximum élevées. Ces vitesses se produisent aux arêtes rentrantes mais elles

s’amortissent vite. Toutefois, pour le calcul à 5 points, cette zone amont était plus grande ou

autrement dit, il a fallu une plus grande distance pour atteindre le même degré

d’amortissement qu’un calcul à 7 points. Cependant, il ne faut pas perdre de vue que par

rapport au calcul à 5 points, le calcul à 7 points utilise environ 2,5 fois plus de mailles.

Pour le calcul à 5 points, les statistiques concernent les 1830 mailles en eau sur un total de

5040 mailles.


9093 mailles.

calcul % des nœuds

avec (Vabs)max

entre 0-2 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 2-4 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 4-6 m/s

% des nœuds avec


à 6 m/s

(Vabs)max moyenne

pour des vitesses

entre 0-4 m/s

Écart type

de (Vabs)max

moyenne

5 points 49 33 10 8 1.76 1.00

7 points 60 30 8 2 1.60 1.04

Tableau 3.12 : Les vitesses absolues maximum.


108

La fig. 3.26 montre un limnigramme afin d’illustrer les calculs à 5 et à 7 points. On note une

petite instabilité au voisinage du pic de la courbe (calcul à 5 points) bien qu’en gros les deux

courbes évoluent de la même manière.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 40 80 120 160 200 240 280

calcu l à 5 points

calcu l à 7 points

temp s (min)

haut

eur

d'ea

u (m

)

Fig. 3.26 : limnigramme (calcul à 7 et 5 points) au carrefour Richelieu Anatole France.

Calcul à 11 points

Les principaux résultats pour les calculs à 11 et 7 points sont résumés dans les tableaux 3.12

et 3.13. Les tableaux 3.13 et 3.14 denotent que quantitativement les deux calculs sont très

proche de l’un et l’autre.

Alt itude du fond Hauteur d’eau Niveau d’eaucalcul

Err. Moy. (m) Biais (m)

Err. Moy. (m)

Biais(m)

% despoints oùle calculsurestime

Err. Moy. (m)

Biais (m)

11 points 0.39 +0.094 0.79 -0.26 39 0.80 -0.17

7 points 0,42 +0,05 0,81 -0,30 32 0,78 -0,14

Tableau 3.13 : comparaison sur 80 points entre les calculs à 11 et à 7 points.


109


20498 mailles.


9093 mailles.

calcul % des nœuds

avec (Vabs)max

entre 0-2 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 2-4 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

entre 4-6 m/s

% des nœuds

avec (Vabs)max

supérieur à 6

m/s

(Vabs)max

moyenne pour

des vitesses

entre 0-4 m/s

Écart type

de (Vabs)max

moyenne

11 points 61 29 9 2 1.59 0.94

7 points 60 30 8 2 1.60 1.04

Tableau 3.14 : Les vitesses absolues maximum.

V .5.7 Calculs effectués à nombre de Courant maximal constant

Tous les calculs ont été effectués avec un pas de temps fixe de 0.01 seconde qui a donné des

résultats stables. Afin de voir l’influence d’un calcul mené à pas de temps variable en

respectant la limite imposée par la stabilité du schéma explicite, on a effectué deux calculs en

imposant un nombre de Courant maximal (CFL) constant de 0.5 et 0.9 respectivement(fig.

3.27). Les résultats dans les deux cas sont très similaires sauf que les calculs à pas de temps

variable se heurtent aux problèmes d’instabilités autour du pic ; instabilités qui restent

bornées. Au contraire, le calcul à pas de temps fixe reste très stable. Au niveau du temps de

calcul, ce dernier est aussi le plus rapide. Les problèmes d’instabilités rencontrés à pas de

temps variable sont vraisemblablement dus à la brusque variation du pas de temps que cette

condition entraine à la traversée du flux d’une petite maille à une grande.


110

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 40 80 120 160 200 240 280

CFL =0,5

Dt = 0,01 s

CFL=0,9

tem ps(m in)

haut

eur

d'ea

u (m

)

Fig. 3.27 : Comparaison entre les calculs à nombre de Courant maximal constant et à pas de

temps fixe. Limnigramme au carrefour Catinat Papin.

VI. Conclusion

Ce chapitre concerne la simulation de l’inondation dans une zone d’habitat dense. Ce type de

géométrie se prête plus facilement à une modélisation de type réseau maillé convenablement

résolu par des modèles unidimensionnels. Toutefois, ce dernier mode de représentation ne

permet pas de représenter les détails topographiques des carrefours. Afin de pallier ce

problème, on a choisi d’utiliser un modèle bidimensionnel basé sur les équations de Saint

Venant.

L’originalité de ce travail réside premièrement, dans l’application du modèle 2D dans la

forme complète sur une géométrie complexe avec un dénivelé important entre l’amont et

l’aval du modèle et deuxièmement sur la génération du maillage de calcul qui repose sur les

éléments structuraux d’une rue pour sa définition.

Discrétisation du milieu

Partant des profils en travers des rues, il semblait naturel de bâtir des carrefours en interpolant

entre les profils des rues concernées. Afin de décrire une rue avec un différent degré de détail

plusieurs profils ont été utilisés (11,7,5 et 4 points). Chaque niveau de détail retenu pour la

description d’une rue dicte la discrétisation aux carrefours. Ainsi, plusieurs calculs ont été


111

effectués employant différents niveaux d’information concernant les rues et les carrefours.

Ces efforts ont conduit à reconnaître qu’un niveau minimal de discrétisation notamment aux

carrefours est essentiel pour la bonne marche du calcul 2D. En outre, on peut conclure qu’une

discrétisation à 7 points est suffisante car elle conduit à un calcul qui est à la fois stable et très

proche du calcul à 11 points. Le calcul à 5 points suit l’évolution des phénomènes et , en

général, est en accord avec les calculs à 7 et 11 points mais n’est pas à l’abri d’instabilités

occasionnelles et demande un pas de temps plus faible pour son achèvement. Des critères

pour un choix optimal du degré de discrétisation doivent donc être élaborées en prenant en

compte le pas de discrétisation spatial et temporel.

Une limitation de notre méthodologie est due au fait que le degré de détail employé pour une

rue transversalement décide de la forme de maillage aux carrefours. Une piste de recherche

serait de pouvoir bâtir un maillage où la configuration des mailles aux carrefours est

indépendante de celle des rues.

La représentation des autres éléments du milieu urbain

Ce travail ne prétend pas avoir représenté l’hétérogénéité du milieu urbain en sa totalité.

Rappelons que le modèle topographique ne comporte que trois éléments : les rues, les

carrefours et les obstacles. Cette catégorisation résulte des données brutes qui étaient en forme

de profils en travers. Cependant, pour représenter d’autres éléments du milieu et profiter au

maximum des possibilités offertes par l’usage d’un modèle 2D, on pourrait exploiter les zones

d’obstacles. Ce sont des zones autres que les carrefours et les rues. Dans cette étude, un

exemple de ce type d’usage a été montré à travers la création d’un espace du stockage. Il peut

être un parking, un jardin public, un hôpital etc. De la même façon, on peut simuler l’effet des

encombrements dans les rues (rangées des voitures, etc) pour mieux approcher les conditions

existantes lors de l’invasion des eaux. L’ importance des caractéristiques et de la mise en

forme des données initiales servant à la mise au point du modèle topographique est évidente

car il détermine la forme du maillage et la manière dont on intègre les caractéristiques du

milieu dans le modèle.

Sensibilité aux coefficients de viscosité turbulente et frottement

Les calculs effectués pour examiner la sensibilité aux coefficients de frottement au fond et le

coefficient de viscosité turbulente montrent une influence négligeable de ces paramètres.

Nous avons testé quatre valeurs de νt (0, 0,01, 0,1 et 0,2) mais en gardant une valeur constante


112

sur l’ensemble du domaine. Il serait souhaitable de prendre en compte un νt variable car son

rôle est différent aux carrefours où le rôle de la turbulence est primordial et dans les rues du

fait de la grande taille des mailles de calcul des rues, ce qui génère une diffusion numérique

importante.

La confrontation entre les calculs et les laisses de crue

La comparaison entre les résultats des calculs et les laisses de crue montrent un écart

quadratique moyen persistant variant de 0,8 m à 1 m pour un niveau moyen similaire. Ceci

encourage la recherche sur la prise en compte plus précise des processus complémentaires

(stockages, véhicules, obstacles aléatoires, etc), problème qui n’a été qu’effleuré.

Conclusion générale et perspectives

113

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

Les principales conclusions de ce travail de recherche sont :

• La simulation d’écoulement avec les équations de Saint Venant bidimensionnelles en

présence d’obstacles, avec des vitesses fortes, donne des résultats tout à fait réalistes. Ce

constat n’est pas valable dans une zone très proche de l’obstacle à laquelle nous ne nous

intéressons pas car notre but est de pouvoir modéliser avec une précision suffisante les

grandeurs moyennes d’ l’écoulement. Ce dernier objectif est atteignable avec les

équations de Saint Venant.

• Dans le cas d’habitat dispersé, une représentation collective des obstacles allie l’économie

de calcul avec une précision largement suffisante. Il est donc à privilégier à une

représentation fine qui demande une puissance de calcul conséquente et ne conduit pas

forcément à des meilleures résultats.

• Dans le cas d’un habitat dense, un niveau minimal de discrétisation s’avère nécessaire aux

carrefours pour la bonne marche du calcul 2D. Ceci est dû au fait que les carrefours étant

les lieux où se produisent des forts gradients de vitesse, demandent une discrétisation

spatiale plus fine que les rues. Le calcul à 7 points semble satisfaire au mieux les critères

d’économie de discrétisation et la précision sur les résultats obtenus.

• L’utilisation d’un modèle bidimensionnel ouvre la voie à une simulation plus précise de

l’inondation en zones urbanisées. Il peut être utile aux aménageurs qui, grâce à cet outil,

peuvent évaluer l’impact des aménagements vis à vis de l’inondation.

• Le temps de calcul bien que conséquent n’est pas prohibitif et l’utilisation de cette

méthode aux cas d’intérêt à l’ingénierie pratique est tout à fait envisageable. Elle constitue

un de ces points forts.

Les orientations de recherche pour obtenir une meilleure estimation des inondations en ville

sont :

Conclusion générale et perspectives

114

• Les résultats numériques concernant les carrefours doivent être validés à la fois sur le

terrain et en laboratoire.

• La mise au point d’un mailleur adapté aux zones urbanisées est nécessaire pour que

l’automatisation de cette tâche réduise nettement le temps requis pour obtenir des résultats

fiables. Cela doit aussi permettre de générer des maillages différenciés et d’inclure des

obstacles plus facilement.

• Il est intéressant d’exploiter d’autres sources d’informations concernant la topographie

d’une ville. Rappelons que dans cette étude nous nous sommes basés sur des profils en

travers des rues pour bâtir la grille du calcul ce qui nous a obligé à créer la topographie

aux carrefours par l’interpolation. L’exploitation des banques de données topographiques

(comme il existe dans certaines grandes villes françaises) pour créer la grille de calcul

peut conduire à des cotes plus correctes en se libérant de la nécessité d’interpoler aux

carrefours.

• Ce serait intéressant d’envisager une configuration du maillage aux carrefours qui soit

indépendante du nombre de points utilisé pour décrire le profil d’ une rue. Dans ce but, le

choix d’un maillage irrégulier semble pertinent.

• Pour la simulation de l’inondation en zone urbanisée dense, un test de différents styles de

représentation des carrefours et de leur influence sur les résultats doit être prévu. Des

simulations exhaustives doivent permettre de définir comment l’intr oduction d’obstacles

dans les rues influence les hauteurs d’eau. Il devrait en être de même pour l’effet des

espaces de stockage de l’eau. On devrait aussi spécifier différentes valeurs du coefficient

de Manning-Strickler selon l’occupation de l’espace.

Références bibliographiques

115

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419-429.

Annexe 1 Présentation des outils de modélisation utilisés

121


Le travail de recherche sur l’i nondation en zones urbanisées a été effectué à l’aide de deux

outils principaux. Ils sont les suivants :

1. CANOE.

2. RUBAR 20.

CANOE est un outil assez complet avec une interface graphique intégrée. Par contre, RUBAR

20, est uniquement le code de résolution des équations ; la visualisation de maillage du calcul

et des résultats se fait par le biais d’un autre programme MOCAHY.

I. L e logiciel CANOE

La présentation du logiciel ci-dessous se réfère à son manuel d’utilisation (Insa 1999).

CANOE est un logiciel d' hydrologie urbaine qui, à partir de données sur les pluies, sur le

réseau d' assainissement et sur le bassin versant, détermine la propagation des eaux jusqu' à

l' exutoire. Suivant les cas, il peut servir comme un modèle mécaniste ou un modèle global. Le

modèle mécaniste correspond au choix des équations de Saint Venant pour la propagation

d' écoulement en conduite tandis que le modèle global s' appuie sur la méthode de

Muskinghum. Ce logiciel a été conçu afin de fournir un outil de gestion et de diagnostic aux

personnels des services techniques chargés de l' assainissement.

CANOE résulte d' une alliance entre deux des logiciels français les plus utilisés dans le

domaine de l' hydrologie urbaine: CEDRE, développé par le laboratoire URGC-Hydrologie

urbaine de l' INSA de Lyon et CAREDAS, mis au point par le bureau d' étude SOGREAH.

CANOE dispose de quatre applicatifs. Ce sont les suivants:

1. Gestion des données structurelles.

2. Gestion des catalogues d'ouvrages.

3. Gestion de données hydrométriques.

4. Simulations hydrologique et hydraulique.


122

Gestion des données structurelles. Cet applicatif permet de saisir, de consulter, de mettre à

jour l'ensemble des données nécessaires aux différents applicatifs de traitement. Il se

caractérise par une interface très conviviale qui permet la manipulation et la définition

graphiques des objets. L'applicatif dispose également d'outils permettant la récupération et la

remise en forme de données existantes, en particulier à partir des bases des données urbaines

et des SIG.

Gestion de catalogue d'ouvrages. Cet applicatif considère les différentes formes de conduites

et de sections en travers de l'écoulement, ouvertes ou fermées. Il permet, en particulier, la

construction automatique des formes de sections (trapézoïdales, circulaires, ovoïdes, etc).

Gestion de données hydrométriques. Cet applicatif constitue un système autonome de gestion

des données hydrométriques. Il permet l'archivage et l'exploitation des mesures de pluie, débit

et qualité des eaux.

Simulation hydrologique et hydraulique. Cet applicatif permet la simulation quantitative du

fonctionnement des réseaux d'assainissement, par temps sec et par temps de pluie.

Il repose sur quatre sous- applicatifs :

1. Simulation quantitative du réseau par temps sec.

2. Affectation spatiale des pluies.

3. Transformation pluie-débit.

4. Modélisation du fonctionnement hydraulique du réseau.

I.1 Des ouvrages spéciaux

I .1.1 Définit ion

Un ouvrage spécial est un ouvrage ponctuel installé dans un réseau d'assainissement et destiné

à en permettre ou à en améliorer le fonctionnement ou l'exploitation (Chocat 1997). La

simulation des ouvrages spéciaux est indispensable à la modélisation correcte des systèmes

d'assainissement. En fait, ce sont généralement les ouvrages spéciaux qui conditionnent le

fonctionnement global des réseaux.


123

I .1.2 Les composants structurels et fonctionnels

Ce sont des éléments modifiant le débit à l'intérieur d'un ouvrage. Ces composants sont à

placer sur les liaisons définies à l'intérieur d'un ouvrage spécial ou d'un bassin de retenue une

fois la structure de l'ouvrage définie. Les composants disponibles sont les suivants:

-Orifice

- Etranglement

-Changement de forme de section

-Chute ou décrochement du radier

-Clapet

-Confluence seuil

-Siphon

-Station de pompage ou de relèvement

-Chambre de stockage

-Exutoire

-Grille

-Régulateur

Dans la catégorie de composant fonctionnel, sont inclus:

-Débit imposé

-Hauteur imposée

-Perte de charge singulière

I .1.3 La création d'un ouvrage spécial

Un ouvrage spécial est représenté par une boîte rectangulaire. Lorsque l'utilisateur veut

affecter un ouvrage à un nœud du réseau, il choisit la commande qui ouvre cette boîte. A

l'intérieur de cette boîte, sont positionnées les connexions et des liaisons entre ces points de

connexion. Les liaisons représentent les différents flux à l'intérieur de l'ouvrage. Les liaisons

vont d'un point de connexion à un autre. Les connexions correspondent aux arrivées des

tronçons amont de l'ouvrage ainsi qu'aux départs. Ensuite, l'utilisateur choisit le ou les

composants qu'il place sur les liaisons obtenant, ainsi, un ouvrage qui correspond mieux à la

manière dont il envisage de modéliser le fonctionnement du réseau d'assainissement.


124

Fig. A1.1 : Boîte de création d'ouvrage spécial

La légende des symboles

Représentation d’une chute dans le réseau

d’assainissement

L’image en face signifie des composants fonctionnels, qui peuvent être :

hauteur imposée

débit imposé

pertes de charge singulière

I.2 Simulation hydrologique et hydraulique

I .2.1 Simulat ion quantitative du réseau par temps sec

Ce sous-applicatif permet le calcul des débits par temps sec en tout point du système. Il

repose sur l'utilisation d'hydrogrammes journaliers définis au pas de temps d'une heure. Ces

hydrogrammes sont définis par bassin versant. Ils peuvent être construits automatiquement en

fonction de la population et de la consommation d'eau ou saisis directement par l'utilisateur.


125

I .2.2 Affectation spatiale des pluies

Le module d'affectation spatiale des pluies permet le calcul direct automatiquement ou par

affectation manuelle de la lame d'eau précipitée sur chaque bassin versant à partir de données

radar ou/et de données observées sur différentes stations pluviométriques. Le principe utilisé

consiste à calculer les intensités moyennes sur une grille rectangulaire régulière, qui est

ensuite superposée au bassin versant à simuler. Ce principe permet de tenir compte de la

variabilité spatiale des précipitations. Il est particulièrement intéressant pour les grands

bassins versants (surface supérieure à quelques milliers d'hectares).

I .2.3 La transformation pluie-débit

CANOE demande que tous les nœuds à la tête du réseau soient saisis comme des bassins

versants ce qui nécessite de fournir un certain nombre de données : type, surface, pente, etc

( nécessaires pour calculer l'hydrogramme de débit à l'entrée.)

Les bassins versants sont classés comme urbain strict, rural strict et mixte. Le type de bassin

versant mixte est sous-divisé en urbain-urbain modifié et urbain-rural.

Les pluies sont classées sur le critère de la hauteur d'eau précipitée en 2 heures comme étant

faible à moyenne si celle-ci est inférieure à 25 mm, ou moyenne à forte si la hauteur est

comprise entre 25 et 80 mm, ou très forte si la hauteur est supérieure à 80 mm.

Le choix de type de bassin versant et la pluie détermine les rapports Cs1 et Cs2; ils sont

définis de la manière suivante:

Cs1 = les surfaces imperméables directement raccordées au réseau / la surface totale du BV

Cs2 = les autres surfaces imperméables / la surface totale du BV

On a aussi la possibilité de saisir les valeurs de ces coefficients directement à l'écran.

En fonction des paramètres choisis, le programme calcule les pertes initiales, les pertes

continues et la hauteur d'eau ruisselée.


126

En ce qui concerne la propagation des écoulements sur la surface du bassin versant, CANOE

emploie la méthode des réservoirs linéaires en séries ou/et en parallèle. Il est demandé à

l'usager de saisir le nombre de réservoirs ainsi que le temps de décalage qui représente le

temps de réponse du bassin versant.

Les équations de Saint Venant unidimensionelles sont résolues en appliquant une méthode

implicite de différences finies permettant une discrétisation du temps et de l'espace, selon un

schéma de Preissmann.

I.3 Modé lisati on du fonctionnemen t hydrau liqu e d u r éseau

Les calculs hydrauliques se font dans l'applicatif simulation hydrologique et hydraulique de

CANOE. Avant de lancer le calcul, le programme demande d'associer une pluie de la

bibliothèque de pluies qui fait partie du projet. Les bassins versants sont ensuite sollicités par

cette pluie afin de générer les hydrogrammes d'entrée. Le menu propose trois modes de

calcul: simulation Saint Venant, simulation simple et simulation qualité. La simulation

simple est basée sur la méthode de Muskinghum alors que la simulation qualité concerne une

analyse du transport de polluants.

I .3.1 Simplif icati on du réseau

Si le projet est très grand, il est souhaitable de simplifier le réseau en utilisant le choix de

regroupement de tronçon disponible dans l'applicatif simulation hydrologique et hydraulique.

Il existe aussi la possibilité de regrouper les bassins versants, mais celle-ci a moins d'influence

sur la stabilité de calcul, par contre, le regroupement des tronçons réduit le nombre des nœuds

et améliore nettement les performances de réussite du calcul (Gourdol 2000).

Le regroupement des tronçons se fait en appliquant certaines règles. Un tronçon est regroupé

avec son tronçon aval s'il ne possède pas plus d'un tronçon amont et un seul tronçon aval, si

ces deux tronçons sont du même type de conduite et ont une différence de cote radier

inférieure à une valeur que l'on fixe, et enfin si la ligne de pente moyenne reste à l'intérieur

des conduites amont et aval, i.e. qu'elle ne coupe ni la ligne du bas de conduites ni celle du

haut. La ligne de pente moyenne représente la droite reliant le point situé au milieu de l'entrée

de la conduite amont à celui situé au milieu de la conduite aval. CANOE essaie d'abord de


127

regrouper tous les tronçons de même type qui sont consécutifs puis il effectue le test de la

pente moyenne, et s'il échoue, il recommence sur la moitié des tronçons et ainsi de suite.

Fig. A1.2: Exemple de regroupement de tronçons

Dans ce cas, les quatre tronçons ne sont pas regroupés et CANOE va effectuer le test sur les

ensembles tronçon 1-tronçon 2 et tronçon 3-tronçon 4.

I .3.2 Les paramètres de simulation pour le calcul par les équations de Barré

Saint Venant

Ces paramètres exercent une influence très importante sur l'aboutissement réussi ou non du

calcul.

Ces paramètres sont le pas d'espace, le pas de temps, le débit de fuite et le débit injecté

minimum. Les deux premiers paramètres définissent la discrétisation en espace et en temps.

Le débit de fuite correspond à un débit minimum assuré au travers de certains ouvrages pour

éviter un assèchement des conduites qui serait fatal au calcul. Le débit injecté minimum

correspond à un débit assuré aux extrémités amont du réseau afin aussi d'éviter un

assèchement des conduites qui serait fatal au calcul. Le choix de ces valeurs est très important

par sa forte influence sur la stabilité de la simulation. Une valeur de débit injecté trop forte ou

trop faible entraînera une erreur fatale et de plus il faut noter que la plage de valeurs

Tronçon 1

Tronçon 2

Tronçon 3

Tronçon 4


128

autorisées varie suivant la pluie en entrée. De plus, l'injection de ces débits peut fausser

considérablement les résultats pour les faibles débits (Gourdol 2000).

I .3.3 Paramètres avancés

Il existe aussi des paramètres avancés qui donnent plus de choix et de contrôle sur les calculs

à un usager averti. On peut modifier le coefficient de Manning-Strickler ainsi que le nombre

d'itérations par cycle de calcul. Dans les conditions du régime torrentiel, la solution complète

des équations de Saint Venant devient compliquée à cause de l'apparition d’instabilités

numériques. On peut remédier à cette situation en faisant le choix de négliger le terme

convectif. L'influence de ce terme dans le réseau d'assainissement à forte pente est en effet

souvent négligeable.

I .3.4 Conditions init iales

Une simulation doit démarrer à partir d'un état initial déterminé. Cet état initial doit

représenter une situation d'écoulement réaliste.

Le choix Construit automatiquement construit cet état qui représente la condition de régime

permanent tel que le débit à chacun des points d'injection correspond au temps zéro de la

simulation.

Le choix reprise à partir des résultats de simulation permet de prendre un état hydraulique

i.e. débit, hauteur d'eau comme les conditions initiales à partir des résultats d'un calcul

précédent à un temps donné.

I .3.5 La visualisation des résultats

Une fois que le calcul s'achève, on peut visualiser les résultats sous la forme des

histogrammes de hauteurs, vitesses, débits en tout point d'un tronçon sélectionné ou les

histogrammes pluies et eaux usées pour les bassins versants. On a aussi la possibilité de

visualiser les données issues de la simulation par tronçon ou par bassin versant.

La commande bilan vue en plan permet de faire apparaître le tracé du réseau en affectant les

couleurs aux tronçons selon le taux de remplissage du tronçon (débit calculé/débit


129

admissible): la couleur noire signifie un taux de remplissage de moins de 1% alors que le

rouge dénote un remplissage de plus de 150%.

II. RUBAR 20

Depuis plus de 20 ans le Cemagref s'est investi dans la mise au point de modèles numériques

afin de résoudre les équations de Saint Venant bidimensionnelles. Le code RUBAR 20

proprement dit a été développé depuis 1990.

On peut trouver une description complète du modèle RUBAR 20 et de son schéma numérique

dans (Paquier 1995).

II.1 Princip es d e base d e la méth ode d e volum e finis

Rubar 20 est un code en volumes finis. Les méthodes de volumes finis sont actuellement très

utilisées pour le développement et la conception des codes de calcul de mécanique des fluides

pour deux raisons: premièrement, elles assurent que la discrétisation est conservative c'est-à-

dire, en particulier, dans notre cas, que la masse est conservée. Deuxièmement, ces méthodes

ne requièrent pas une transformation des coordonnées afin d'être appliquées à un maillage

irrégulier si bien qu'elles peuvent être utilisées sur des maillages non-structurés comprenant

des polyèdres quelconques en 3D ou des polygones quelconques en 2D. Cette souplesse est

très utile pour générer des maillages dans les géométries complexes (Lomax, Pulliam et al.

2001) (Versteeg et Malalasekera 1995).

La méthode des volumes finis considère la forme intégrale des lois de conservation.

Supposons que Q soit la variable à conserver dans le volume V, que F désigne le flux de cette

variable et P désigne le terme source. La loi de conservation sous la forme intégrale s'écrira

de la manière suivante:

∫∫∫ =+)()()(

.tVtStV

PdVFdSnQdVdt

d (A1.1)

L'idée fondamentale de la méthode des volumes finis est de satisfaire (A1.1) avec un certain

degré d'approximation pour chacun des petits volumes c'est-à-dire les mailles qui forment le


130

domaine de calcul à chaque pas de temps. On représente Q par sa valeur moyenne pendant un

pas de temps, qui est:

∫=V

QdvV

Q1

(A1.2)

Les différentes étapes dans la mise au point de cette méthode sont les suivantes:

1. Pour chaque maille, à partir de la valeur de Q , on construit une approximation linéaire de

Q en utilisant les valeurs sur 5 mailles par une méthode de moindre carrés. Des valeurs

différentes de flux seront obtenues à la limite entre deux mailles.

2. Cette approximation est utilisée pour évaluer Q à la frontière de la maille qui à son tour

sert à évaluer le flux F. On intègre le flux sur l’interface entre deux mailles afin de trouver

le flux net franchissant cette surface

3. Le terme source ou second membre est intégré sur la surface de la maille.

4. On additionne les différents termes pour trouver les valeurs deQ au temps suivant.

II.2 Les équations résolues dans RUBA R 20

Le système d' équations que résout RUBAR 20 correspond aux équations de Saint Venant

bidimensionnelles. Il comprend donc 3 équations: une équation de continuité et deux

équations de conservation de la quantité de mouvement dans les directions x et y qui sont

écrites ainsi :

0)()( =

∂∂+

∂∂+

∂∂

y

vh

x

uh

t

h(A1.3)

ρτν sx

ts y

hu

x

hu

Kh

vuug

x

Zgh

y

huv

x

hghu

t

hu +

∂

∂+∂

∂++−∂∂−=

∂∂+

∂

+∂

+∂

∂2

2

2

2

23/1

22

22

)()()(2)(

………………. (A1.4)


131

,

libresurfacefrottement

sy

sturbulenteescontra

t

fondaufrottement

s

fondaupente

convectifstermes

etransitoirterme

y

hv

x

hv

Kh

vuvg

y

Zgh

x

huv

y

hghv

t

hv

ρτ

ν +

∂

∂+∂

∂++−∂∂−=

∂∂+

∂

+∂

+∂

∂

��

int

2

2

2

2

23/1

22

22

)()()(2)(

……………… (A1.5)

h(x,y,t) hauteur d'eau

u(x,y,t), v(x,y,t) deux composantes de la vitesse dans la direction x, y

Ks coefficient de Manning-Strickler.

νt coefficient de viscosité turbulente

τsx, τsy composantes de la contrainte à la surface libre due au vent

ρ la masse volumique

Z cote du fond

En outre, lorsqu'une paroi imperméable est située en limite du modèle, RUBAR 20 peut

ajouter un frottement le long de cette surface dans les mailles adjacentes à la paroi.

Il est à noter que les contraintes turbulentes ont été approchées avec le modèle de Boussinesq

qui ne prend pas en compte les termes de dérivées croisées. Un nombre significatif des

chercheurs a ainsi simulé les termes du tenseur de Reynolds.

(Bravo et Holly 1996), (Vreugdenhil et Wijbenga 1982), (Szymkiewicz 1993) et (Cetina et

Rajar 1994) utilisent un modèle 2D moyenné sur la hauteur et approchent les termes du

tenseur de Reynolds par les dérivées secondes. En plus, (Bravo et Holly 1996) note que les

dérivées secondes constituent les contributions dominantes dans le modèle de Boussinesq.

(Casuilli et Stelling 1998) et (Ye et Mccorquodale 1998) présentent leurs travaux avec un

modèle 3D et afin de représenter les contraintes turbulentes ne retiennent que les dérivées

secondes dans les équations.

II.3 Descriptio n général e du schém a numéri que

Le système d'équations exposé ci-dessus est invariant par rotation c'est-à-dire que quelle que

soit l'orientation des axes Ox et Oy, on retrouve exactement les mêmes équations pour les

nouvelles variables u, v, h.


132

Le système d'équations (A1,3), (A1,4), (A1,5) peut se mettre sous la forme abrégée:

),,,())(( tyxWSWfdivt

W =+∂

∂(A1.6)

où W est la variable tridimensionnelle (h,u,v).

f = (f1, f2).

T

T

ghhvhuvhvf

huvgh

huhuf

+=

+=

2,,

,2

,

22

2

22

1

S, représente l'ensemble des termes du second membre.

II.3.1 Schéma numérique

Le schéma numérique est en volumes finis, explicite et du second ordre en espace et en temps.

Le schéma comprend quatre étapes:

1. Le calcul de la pente de chacune des trois variables h, hu, hv dans chaque maille suivant x,

y est effectué à chaque pas de temps par la méthode des moindres carrés et puis une

limitation de pente est appliquée.

2. Le calcul de W=(h,hu,hv) au pas du temps intermédiaire tn+1/2 au milieu de l'arête mij de la

maille i.

[ ] ni

nyi

ni

nxi

ni

nLm

nLm tSWWfWWftWW

ijij∆+′+′∆−=+ 5.0)()(5.0 21

2/1 (A1.7)

f1, f2 flux sur les axes de coordonnée x, y

S second membre

nyi

nxi WW , pentes de W suivant x, .y au temps n et à la maille i

L, R état côté gauche et droite de l'arête

3. La résolution d'un problème de Riemann dans la direction normale à l'arête (équation

similaire aux équations A1.3, A1.4 et A1.5 sur l'axe de coordonnée x car ces équations restent

invariables après une rotation) au temps tn+1/2 afin de calculer les flux à travers les arêtes pour


133

la partie conservative des équations. Il est possible d'utiliser une linéarisation de type Roe qui

donne directement une estimation des flux.

( )( )( )( )

>=

<=

=+

+

+

+

+

0 si ,

0 si ,

0

2/1

2/1

2/1

2/1

1

xm

xW

xm

xW

Wxt

W

Wt

Wt

f

n

ij

n

ij

Rn

Ln

∂∂

∂∂

(A1.8)

4. L'intégration du second membre sur la surface de la maille afin d'ajouter les contributions

correspondantes. La valeur finale de la variable 1+niW est obtenue en ajoutant le second

membre aux flux calculés au temps intermédiaire et provenant des mailles ayant une arête

commune avec la maille concernée. Cette valeur s'écrit de la manière suivante:

( ) tSWtfA

lWW n

in

mj i

ijijni

ni ij

∆+∆+= +++ ∑ 2/12/11

1ε

(A1.9)

où la sommation sur j porte sur les éléments ayant une arête commune avec Mi et εij prend la

valeur 1 ou -1 selon l'orientation de l'arête mij . Un lecteur intéressé pourra trouver plus de

détails sur RUBAR 20 dans (Paquier 1995)

II.3.2 Traitement du second membre

Le second membre se compose de plusieurs termes (pente, frottement au fond, effet du vent,

viscosité, etc) qui sont traités de manière différente.

Le terme de pente du fond (x

Zgh

∂∂

ou y

Zgh

∂∂

) apparaît comme le produit du gradient de la

cote du fond par le carré de la célérité (=gh). Il est donc naturel d'essayer de le traiter comme

un flux de manière analogue au premier membre. Ainsi, on cherche à maintenir un plan d'eau

horizontal immobile quelle que soit la topographie du fond, par exemple, l'intégrale

dxdyx

Zgh∫∫ ∂

∂− calculé sur une maille est exprimé de la manière suivante:

gZZhhL ciiciarêtes

i ))((5.0 −+∑α (A1.10)


134

αi normale sortante suivant x

Li longueur de l'arête

hi, Zi hauteur d'eau et la cote du fond au centre de l'arête i

hc, Zc hauteur d'eau et la cote du fond au centre de la maille

Le terme de frottement au fond est discrétisé de façon implicite car la formulation explicite de

ce terme peut conduire à des problèmes de stabilité numérique en cas de forte variation de

vitesse lors d'un pas de temps.

Les dérivées secondes du terme de viscosité turbulente sont calculées par l'application

successive d'opérateur de la dérivée première. Dans la première étape, on calcule les gradients

de variables comme évalués auparavant pour le calcul du problème de Riemann. Dans la

deuxième étape, les dérivées secondes sont évaluées comme dérivées premières de ces

gradients par la méthode de moindres carrés.

II.3.3 Les conditions aux l imites

La résolution numérique des équations aux dérivées partielles fournit les valeurs des variables

aux nœuds intérieurs. Sur les nœuds aux limites du modèle, on définit les valeurs des

variables pour chaque instant du temps. La solution des équations peut, dans ce sens, être vu

comme une extension de ces conditions aux limites à l'intérieur du domaine en accord avec

les principes physiques exprimés par les équations qui régissent le phénomène. En

hydraulique, les variables à définir sur les arêtes limites rentrantes sont cote d'eau ou

hydrogramme alors qu'aux arêtes limites sortantes, on applique, en général, une relation

connue entre la cote d'eau et le débit ou on donne une cote connue. Cette dernière peut

prendre la forme d'un régime critique ou d'une courbe du tarage qui a la forme d'un jeu de

couples hauteur-débit.

Les conditions aux limites sont choisies par l'utilisateur en fonction des variables qu'il est

susceptible de fournir sur les arêtes limites. On obtient ainsi, dans le logiciel, les possibilités

suivantes :


135

variable fixée effet remarque

entrée

Débits normal et tangentielainsi que cote d'eau

Entrées fluviale et

torrentielle (toutes les

deux sont possibles).

Les trois variables

seront utilisées s'il y a

entrée torrentielle.

Seules deux des

variables seront

utilisées s'il y a entrée

fluviale.

Aucune variable n’est fixée Sortie libreCorrespond au régime

torrentiel.

La cote ou la hauteur d'eau est

fixée

Sortie fluviale

Si le régime devient

torrentiel, la cote est

maintenue mais

l'utilisateur est prévenu

de l'incohérence.

sortie

Une loi de tarage Sortie fluviale

Tableau A1.1 : Les conditions aux limites dans RUBAR 20.

II.4 Intégrati on des ouvrag es dan s le c ode

La modélisation d'écoulements à travers des ouvrages hydrauliques par les équations de Saint

Venant est souvent impossible du fait de la forte pente locale, du resserrement prononcé qui

implique que les vitesses verticales ne peuvent plus être négligées, etc. Classiquement, la

modélisation de l'écoulement au droit d'ouvrages repose sur un ensemble de formules

essentiellement empiriques qui ont été établies en régime permanent. Ces formules destinées à

la modélisation unidimensionnelle décrivent le débit traversant l'ouvrage en fonction de la

charge hydraulique en amont de l'ouvrage, de la charge hydraulique en aval de l'ouvrage et

des caractéristiques de l'ouvrage. L'intégration de ces ouvrages dans le code RUBAR 20 a


136

pour effet la suspension du calcul du problème de Riemann dans les mailles où les ouvrages

se trouvent et en sa place l'utilisation des formules d'ouvrages pour déterminer le débit à

transférer dans la maille adjacente.

Le code RUBAR 20 peut modéliser les deux types d’ouvrages suivants: l'orifice et le seuil.

Suivant le régime d'écoulement qui peut être noyé ou dénoyé, on distingue quatre cas dont

deux pour chaque type d'ouvrage. Dans le régime noyé, le débit ne dépend que du niveau

d'eau à l'aval, alors que le cas dénoyé signifie que le débit est une fonction des deux hauteurs

d'eau, à l'amont et à l'aval de l’ouvrage. Le tableau ci-dessous résume les différentes formules

en fonction du type d'ouvrage, du régime et des conditions d'application.

ouvrage régime Formule de débit en m3/s Conditions d’application

dénoyé ( ) 5,112 dzzgL −µ dzzz

3

1

3

212 +< et wkzz d 11 2

3+≤seuil

noyé ( )( ) 5,02122 zzzzgL d −−′µ dzzz

3

1

3

212 +≥ et wkzz d 22 +≤

dénoyé5,0

1 22

−− w

zzgLwc dd

dzzz3

1

3

212 +< et wkzz d 11 2

3+> et

wzz d 2

12 +≤

orifice

noyé ( ) 5,0212 zzgLwcd − dzzz

3

1

3

212 +≥ et wkzz d 22 +> ou

dzzz3

1

3

212 +< et wkzz d 11 2

3+> et

z2 > zd + w2

1

Tableau A1.2 : Les formules d’ouvrages dans le modèle numérique.

z1 , z2 cote amont et aval

L longueur de la crête du seuil

w ouverture ou hauteur de l'orifice

µµ ,′ , cd coefficients de débit


137

k1, k2 coefficients ayant des valeurs égales à 0,75 et 0,58 respectivement

Les coefficients de débit peuvent être exprimés comme des multiples du coefficient de débit

du déversoir dénoyéµ . Les coefficients pour un orifice noyé ou dénoyé sont égaux ; chacun

étant égal à µ51,1 . Dans le cas du déversoir noyé, le coefficient est µ6,2 .

II.5 Pré et Post Pro cesseurs

II.5.1 Introduction

La simulation numérique de l'écoulement est usuellement réalisée grâce à de puissants codes

de calcul qui sont des solveurs. Certes, leur rôle est principal mais la génération de maillage

avant et la visualisation des résultats après le calcul sont aussi importantes pour un traitement

complet du problème. Dans la phase avant les calculs, on doit traiter des données qu'il faut

mettre sous le format approprié, souvent en fonction des contraintes imposées par les outils ou

méthodes utilisés, puis on doit créer le maillage tandis que la visualisation des résultats va

décider des modifications à apporter dans les calculs suivants. Tout cela est réalisé grâce à des

outils graphiques adaptés à la nature du problème traité. Au Cemagref, dans l'unité de

Recherches Hydrologie-Hydraulique nous disposons d'un logiciel MOCAHY (M odeleur

Cartographique pour l'Hydraulique) qui nous sert de pré et post processeur.

II.5.2 MOCAHY - préprocesseur

Les données brutes qu'un modélisateur impliqué dans la modélisation des processus dans la

plaine d'inondation reçoit consistent en informations concernant la topographie de la zone

concernée. Très souvent cette information topographique est sous la forme de profils en

travers d'une vallée comprenant des coordonnées x,y,z des points mesurés par rapport à un

repère. MOCAHY permet d'afficher ce jeu de sections en travers en plan x,y. Afin

d'apercevoir le profil d'une section, il suffit de la sélectionner ce qui permet aussi d'éditer tous

les points de cette section, et de modifier les coordonnées. De la même manière, on peut

afficher le maillage de calcul, en choisir une courbe, une section ou une maille puis modifier

les données (voir figure A1.3). Cela permet de repérer les mailles qui se chevauchent ou plus

généralement ne sont pas conformes et de les corriger avant de lancer les calculs évitant ainsi

certains problèmes de stabilité numérique.


138

MOCAHY peut aussi afficher les courbes de niveaux fournissant ainsi aussi bien une forme

générale de la vallée qu'une aide pour contrôler la précision des données reçues.

II.5.3 MOCAHY - postprocesseur

Après les calculs, l'utilité de MOCAHY réside dans le traitement des énormes fichiers de

ligne d'eau, des vitesses et la présentation de ces chiffres sous une forme graphique. Il illustre

les hauteurs d'eau ou les vitesses à un temps donné sur la zone d'étude par une gamme de

couleurs. On a également la possibilté de superposer le maillage aux résultats du calcul.

Fig. A1.3: Affichage d'un maillage du calcul dans MOCAHY

Annexe 2 Influence du réseau d'assainissement sur les débordements: exemple d'un quartier d'Oullins

139

Annexe 2 Influence du réseau d’assainissement sur les débordements :

exemple d’un quartier d’Oullins

L'inondation en ville peut avoir comme cause le débordement d'un cours d'eau ou le

débordement du réseau d'assainissement. En raison de la quantité énorme d'eau qu'elle apporte

et des dégâts qui en résulte, l'inondation due au débordement d’une rivière est souvent bien

plus grave. Cela explique le constat fait par (Hingray 1999) que les différents modèles décrits

dans la littérature scientifique modélisent les inondations résultant du débordement d'un cours

d'eau et négligent le réseau d'assainissement en considérant que les débits mis en jeu sont

beaucoup trop importants pour être influencés par un quelconque réseau de collecteurs.

Cependant, l'interaction entre le réseau d'assainissement et l'inondation de surface est bien

réelle et sa prise en compte nécessaire ne serait ce qu’au vu du nombre de cas où le

débordement du réseau a causé seul des inondation dans les villes.

La commune d'Oullins est située dans la partie Ouest de l'agglomération lyonnaise à l'amont

de la confluence entre le ruisseau d'Yzeron et le Rhône. L'Yzeron, quelques kilomètres avant

de se jeter dans le Rhône traverse la partie nord d'Oullins. Plusieurs fois dans le passé récent,

lors d'inondations dues à l'Yzeron, la partie d'Oullins riveraine a été inondée à cause du

débordement du ruisseau. Ci-après, on examine l'état de fonctionnement du réseau de

collecteurs lors de la crue des 5 et 6 octobre 1993. Le réseau d'assainissement est modélisé au

moyen de CANOE avec pour entrée la pluie tombée pendant la crue. La présentation des

résultats de calculs est suivie par quelques réflexions concernant la possible voie à suivre pour

la mise en œuvre de l'interaction entre réseau de collecteurs et inondation provenant de la

surface.

I. Intro duction du problème

I.1 La situati on géographique

L'Yzeron prend sa source aux environs de 780 m d'altitude sur la commune de Montromant,

sur le versant Est des Monts du Lyonnais. Situé intégralement dans le département du Rhône,

l'Yzeron draine un bassin versant d'environ 144 km2 avant de se jeter dans le Rhône, en rive

droite, au niveau de l'agglomération lyonnaise. Son principal affluent, le ruisseau de

Charbonnières qui conflue en rive gauche, draine pour sa part un bassin versant de 67 km2.


140

La partie amont du bassin versant en raison de l'altitude élevée et des pentes fortes est à

dominante rurale. L'urbanisation se présente sous la forme de villages plus ou moins compacts

entre lesquels les milieux naturels et l'agriculture se partagent l'espace.

La partie aval du bassin versant jusqu'au confluent avec le Rhône se développe au sein de

l'agglomération lyonnaise. Elle est donc principalement urbaine. Les espaces verts font place

aux surfaces imperméabilisées et sur plusieurs kilomètres en amont de la confluence avec le

fleuve, le lit de l’Yzeron est entièrement bétonné, fonds et berges. Cette partie aval du bassin

versant, englobée dans l'agglomération lyonnaise, représente environ 40 km2 soit 28% de la

superficie totale du bassin (syndicat d'étude pour l'aménagement et la gestion de l'yzeron

1997).

I.2 Les cru es d e l 'Yzer on

Nous avons à notre disposition la chronique de débit de l'Yzeron à la station de mesures de

Taffignon. Elle est située environ 2 kilomètres en amont de la zone inondée d'Oullins. La

chronique couvre la période commençant le 16.9.1988 et se terminant le 31.12.1996.

L'analyse de cette chronique de débits nous a permis de recenser que durant ces 8 années, un

pic excédant 30 m3/s a été mesuré à 13 occasions .

Parmi ces 13 occasions, 5 appartiennent à une même séquence pluvieuse de Septembre-

Novembre 1993. C’est durant cette période que s’était produit le pic de 84,63 m3/s qui était

sans précédent et qu'après celui-ci le deuxième plus haut pic de 59,13 m3/s, lui aussi, faisait

partie de cet épisode pluvieux.

I.3 La cru e des 5 et 6 octobre 1993

La crue des 5 et 6 octobre était précédée par deux semaines très pluvieuses qui avaient vu

tomber 170 mm de pluie. La cause immédiate de la crue était la pluie qui avait commencé à

12h12 le 5 octobre, 1993 et avait continué jusqu'à 20h30 le même jour apportant 53 mm avec

une intensité moyenne de 6,38 mm/h.


141

0

5

10

15

20

25

30

plui

e en

mm

/h

12:12 5/10début

20:30 5/10fintemps

Fig. A2.1: La chronique de pluie provoquant l’inondation

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

16:28, 5/10 17:38, 6/10

le pic 23:20, 5/10

débi

t m3 /s

temps

Fig. A2.2: L' hydrogramme de la crue des 5 et 6 octobre, 1993


142

II. L e détail des calculs effectués

II.1 La zone inondée

Il existe peu d'informations concernant les zones inondées dans le quartier d’Oullins comme

par exemple une carte qui montre ces zones pour une crue particulière. La relative rareté des

événements pluvieux à l’origine de ces inondations ainsi que les faibles superficies touchées

expliquent que les autorités de la commune n’ont pas pris la peine d’établir une carte de zone

inondée précise. Ce dernier fait nous a conduit à limiter la modélisation des écoulements sous

CANOE. De toute façon, pour modéliser les écoulements dans le réseau d’assainissement, on

peut se contenter de connaître la zone concernée de manière approximative et ne pas inclure

des zones non-inondées dans notre projet sous CANOE afin que la taille de projet ( le nombre

des nœuds et des tronçons) reste modérée.

La zone ainsi retenue pour les calculs s’étend sur les deux rives d’un tronçon de l’Yzeron

délimitées à l’ouest par le pont Blanc et l’est par le pont d'Oullins, la distance entre ces deux

ponts étant 1075 m. Sur la rive gauche la topographie est marquée par les collines qui se

situent derrière la première rangée des maisons, formant ainsi la limite nord de la zone

inondée. Vers le sud la zone s’étend jusqu’à la place Claude Jordery. Entre cette place et la

rive droite de l’Yzeron se situent trois rangs de rues qui courent parallèle au ruisseau.

II.2 Le réseau d’ assainissemen t e t d es bassin s versants

Une fois qu’on a marqué sur la carte la partie qui, a priori, a été touchée par les inondations, il

a fallu entrer le réseau appartenant à cette partie dans CANOE. Cette étape consiste à décrire

le réseau en le représentant par des nœuds et des tronçons. Pour un nœud, il faut donner ces

coordonnées en Lambert, la cote sol et la cote radier. Pour un tronçon, il faut donner la forme

de section, son coefficient Strickler et les deux nœuds de rattachement. Il est clair que c’est un

travail énorme de répertorier toute cette information même pour une partie du réseau.

Heureusement, depuis quelques années, les gestionnaires de la Communauté Urbaine de Lyon

(COURLY) ont adopté CANOE comme l’outil de gestion de leur réseau et ont construit une

base des données du réseau convenant au format requis par ce logiciel. La COURLY nous a

fourni deux informations : le fichier du réseau d’assainissement de la zone étudiée et la

délimitation des bassins versants qui se trouvaient en dehors de notre zone mais qui


143

généraient un débit qui ensuite entrait dans la zone inondée. Comme les bassins versants

servent à générer les hydrogrammes ou les charges hydrauliques agissant sur la réseau, il a

fallu les quantifier de manière adéquate pour une simulation précise.

Le réseau initial comprenait 622 tronçons. Celui-ci a été simplifié dans le but d’alléger les

calculs et de réduire les possibilités d’échec du calcul. La simplification s’est faite dans

l’applicatif simulation hydrologique et hydraulique de CANOE sur le critère du regroupement

de tous les conduites ayant une hauteur de niveau inférieure à 20 cm (voir la partie sur

CANOE dans le chapitre sur outils de modélisation). Cette opération nous a donné un réseau

de 295 tronçons qui a été réduit en enlevant une partie située dans le sud est qui a finalement

été jugée hors de la zone inondée. Le réseau final comptait 153 tronçons .

Les bassins versants

Il y a trois grands bassins versants à l’extérieur de la zone d’étude. Celui vers le nord mesure

88 hectares et il se jette sur la rive gauche. La partie sud a un bassin versant dont la taille est

de 65 hectares. Le bassin versant qui exerce la plus grande influence sur la simulation est le

grand collecteur qui amène l’eau des communes à l’ouest d’Oullins ; on le désigne par BV

Ouest. Il subsiste une incertitude sur le débit amené par ce collecteur qui passe sur la rive

gauche de l’Yzeron car on n'a pas pu délimiter son bassin versant. Tous les autres bassins

versants en dehors de notre zone sont d’une taille assez faible, le plus grand d’entre eux ne

mesurant que 12 hectares.

A l’intérieur de la zone étudiée le bassin versant en rive droite mesure 72 hectares et en rive

gauche 14 hectares.

II.3 Résultat s d es calculs

Pour donner une valeur au BV ouest, on prend en compte la taille de bassin qu’il draine et la

chronique de pluies qu’on modélise. Premièrement, ce collecteur a comme bassin tous les

communes en rive gauche de l’Yzeron et deuxièmement, la pluie simulée est précédée par des

semaines très pluvieuses. Il semble logique que lors de la crue, cette conduite ait transité un

débit élevé. En outre, faire passer un débit un peu trop élevé s’approche plus du cas critique

qui nous renseignera sur le fonctionnement du réseau d’assainissement en période de crise.


144

Tenant compte de toutes ces considérations, on attribue au BV ouest une superficie de 250

hectares et on prescrit les pertes initiales comme nulles. Sous ces conditions, le débit

maximum généré est égale à 4,62 m3/s. On observe que 2 tronçons de ce collecteur transitent

un débit plus grand que 1,5 fois le débit de projet et un tronçon plus à l’aval a un débit entre 1

et 1,5 fois le débit de projet. Partout ailleurs, à l’exception d’un très court tronçon, le réseau

transite un débit inférieur au débit de projet, (fig. A2.3) :

La légende des couleurs

Bleu: Q entre 1 et 100 % de Qc

Jaune: Q entre 100 % et 150 % de Qc

Rouge: Q plus que 150 % de Qc

Noir: Q entre 0 et 1 % de Qc

Q, le débit et Qc, le débit de projet.

Fig. A2.3: Résultats de calcul sur les tronçons

Rappelons que la chronique de la pluie dure 8h 18 minutes et que le calcul a été effectué sur

une durée de 15 h dès le début de pluie ou autrement dit, jusqu' à 6h et 40 min après la fin de

BV Sud Ouest

BV Nord

BV Nord Ouest


145

la pluie. Les hydrogrammes du débit sur des tronçons montrent qu’une heure après l’arrêt de

pluie, l’écoulement dans le réseau redevient nul.

Le coefficient de rugosité (Strickler) était de 72 pour toutes les conduites, défini dans le

fichier des conduites fourni par la COURLY.

II.4 Les conclusions relatives au calcul

On était obligé de prendre une valeur supposée du débit généré par le BV Ouest. Elle était

inférieure au débit du projet du tronçon en tête de ce collecteur lorsqu’il entre dans la zone

d’étude. Malgré cela, il y a eu des cas de débordement localisé en rive gauche de l’Yzeron.

Par contre, le réseau sur la rive droite transitait partout un débit bien inférieur à sa capacité

maximum. En conclusion, on pourrait dire que lors de la crue des 5 et 6 octobre 1993, la

majeure partie du réseau d’assainissement fonctionnait normalement, c’est à dire au-dessous

de sa capacité d’évacuation. Ceci dit, on ne pourrait pas dire la même chose concernant le

grand collecteur qui assainit les communes à l’amont et traverse la zone inondée sur la rive

gauche. Il est probable qu’il soit à l’origine des débordements localisés dans cette zone.

Une caractéristique importante de cette étude était la différence de taille de bassin versant de

l’Yzeron et la zone inondée d’Oullins. Cette dernière avait une superficie beaucoup moins

grande (< 200 hectares) que le bassin versant de l’Yzeron et étant urbanisée elle a un temps

de concentration Tc de moins d’une heure. Par contre, l’Yzeron avec un BV de 144 km2 a Tc

de l’ordre de 9 à 10 heures. Il est donc peu probable que la rivière et le réseau

d’assainissement d’Oullins passent, en même temps, le débit de pointe et on peut dire que,

lors de la crue, le réseau d’assainissement avait déjà transité le débit maximum généré par

cette averse.

III. L a modélisation des débordements

Comme évoqué auparavant, la modélisation des eaux débordantes implique la connaissance

de la topographie au voisinage de la bouche d'égout car le chemin emprunté par l'écoulement

est dicté par la cote du terrain. De ce fait, les logiciels traitant les écoulements dans le milieu

confiné du réseau d'assainissement se trouvent confrontés au milieu non confiné où la section

de l'écoulement n'est pas définie à priori. En plus, la pente et la rugosité, les deux paramètres


146

déterminants sont très variables, même sur une très petite superficie. Il est clair que

l'écoulement n'est plus défini dans le cadre unidimensionnel qu'on lui impose à l'intérieur de

la conduite. Cela suggère, naturellement, un schéma de modélisation bi-couche, chacune

répondant à des besoins spécifiques de son milieu et communiquant entre elles.

III.1 Un exempl e de l a modé lisati on av ec interacti on entr e le réseau

d' assainissemen t et l 'eau débord ée

(Kinoshita, Sato et al. 1996) présente son travail qui décrit un modèle dont la caractéristique

importante est la prise en compte du débordement. Ce modèle a été motivé par le besoin de

mieux répondre au fonctionnement complexe du réseau d'assainissement dans le climat très

pluvieux de Tokyo (1400 mm de pluie par an) où le problème de l'inondation urbaine est bien

réelle.

Le modèle comporte plusieurs sous modèles indépendants l'un de l'autre, la figure A2.4

illustre le modèle.

Fig. A2.4 : L'illustration du modèle de KINOSHITA

Le modèle de ruissellement a pour tâche la génération des hydrogrammes à injecter aux

entrées du modèle des conduites. Le plus intéressant est le couplage entre le modèle des

conduites et celui de l'inondation qui s'effectue par le biais d'un bassin de retention supposé

situé sur un point du débordement. Ce bassin est aussi connecté à un modèle de l'inondation

de la surface. Ce bassin a la capacité de recevoir l'eau lorsqu’elle déborde et d’alimenter le

réseau d'assainissement lorsque le niveau d'eau baisse. La quantité restante d'eau alimente le

Modèle de l'inondation

Modèle des conduitesModèle deruissellement

Station de pompage

Modèle du bassin de rétentionLa quantité du débordement


147

modèle de l'inondation. Celui-ci est constitué des mailles qui sont considérées comme des

réservoirs d’eau. La propagation de l'inondation est simulée par le mouvement d'eau d'un

réservoir à l'autre. Ces transferts d'eau sont décrits par les deux équations de conservation de

la masse et de la quantité du mouvement. Cette dernière est simplifiée avec la suppression du

terme de convection. Ensuite, le système d'équation est résolu par une méthode explicite.

L'application du modèle a permis d’établir l'étendue de la zone inondée. Elle correspond bien

aux zones réellement touchées dans le passé.

III.2 Modé lisati on intégr ée de l 'écoulement : interactio n entr e le

réseau d' assainissemen t e t l e ruissellement

L'influence du réseau d'assainissement dans l'inondation en ville reste mal quantifiée bien que

son importance soit reconnue par tout le monde. Une approche déterministe pour la solution

de ce problème nécessite de séparer les écoulements de surface de l'écoulement en conduite et

de résoudre chaque écoulement indépendamment de l'autre et puis d’effectuer des transferts

aux points d'interface entre les deux types d'écoulements. Ces points sont des bouches

d'égouts et les ouvertures à la paroi du trottoir pour évacuer l'eau de rue. Comme le montre

l'exemple de Kinoshita (Kinoshita, Sato et al. 1996) , pour bien cerner la dynamique des

phénomènes le calcul doit être effectué en continu pour chaque écoulement car chacun a la

capacité de recevoir aussi bien que de donner un débit à l'autre. Si le réseau d'assainissement

au début fonctionne au-dessous de sa capacité maximum, il va recevoir du débit de la part du

ruissellement de surface qui va vite lui amener à atteindre la mise en charge. Ensuite, lorsque

la hauteur de mise en charge sera plus grande que la hauteur d'eau à un point donné de la

surface, le réseau va transférer de l'eau vers la surface.

Stratégie de mise en œuvre sur Oullins

Supposons qu'une zone dont les limites sont connues soit inondée à un instant 't' et que l'on

suive la propagation de cette inondation par un modèle 2D. Cela implique que nous possédons

un modèle numérique de terrain (MNT) pour cette zone qui décrit sa topographie et que à

l'aide de ce modèle, on puisse localiser les caractéristiques (des rues, des jardins, des maisons

etc) de cette zone. Ce MNT nous permet également de localiser des points de transferts entre

l'écoulement de surface et le réseau d'assainissement.


148

Les deux calculs, quant à eux, à chaque pas de temps, à chaque bouche d'égout et à chaque

avaloir, évaluent la charge hydraulique et décident la direction de transfert de l'eau.

L'intégration de ce cas dans RUBAR 20, plus vraisemblablement, se fera par l'introduction

d'un nouvel ouvrage avec une loi d'échange de débit. Il faudrait aussi modifier le logiciel pour

le réseau d'assainissement afin de le faire communiquer avec un modèle 2D de surface.

Ce couplage a plus de chance de réussite si on peut améliorer la performance des logiciels de

l'écoulement en réseau en situation de crise telle que celle qui règne lorsqu’une inondation se

produit. Toutefois, en l’état actuel, ces logiciels ne sont pas faits pour simuler de telles

situations exceptionnelles ; en particulier, le passage surface libre-mise en charge n'est pas

très bien maîtrisé. Tout ça implique de fortes difficultés pour réussir ce couplage. Le temps

nous a manqué pour mener à bien ces tâches.

Annexe 3 Ecoulement autour d’un obstacle : expérimentation en canal

149


Dans le cadre du Programme National de Recherches en Hydrologie (PNRH), un financement

a été accordé pour construire un canal expérimental dans le hall du Laboratoire Mécanique

des Fluides de l’INSA de Lyon. Le projet PNRH99-04 a permis de construire un canal dont

une partie vitrée permettant de faire des mesures de vitesse autour d’obstacles.

Dans un premier temps, un obstacle parallélépipédique s’appuyant sur une paroi du canal a

été installé et une campagne de mesure a pu être menée. Il s’est agi de mesures de vitesse dans

un plan horizontal et de mesures des lignes d’eau suivant l’axe longitudinal du canal. Cette

campagne devrait être reprise afin de faire des mesures de vitesse dans d’autres plans dans le

voisinage de l’obstacle. Par la suite, ces mesures seront faites avec d’autres configurations

d’obstacles. En parallèle à cette expérimentation, il a été proposé de simuler l’écoulement

dans le canal avec le modèle bidimensionnel RUBAR 20. La confrontation des mesures et des

calculs va permettre de valider le modèle numérique mais aussi de mettre en évidence ses

limites, notamment près de l’obstacle. Les mesures serviront aussi à améliorer le modèle par

calage de certains paramètres.

L’objectif de ce projet, à savoir l’évaluation du modèle RUBAR 20 autour d’un obstacle, est

très proche de l’esprit de ce travail de thèse, qui l’utilise pour calculer la répartition des débits

et le champ de vitesse en espace et temps dans un milieu marqué par la présence de nombreux

obstacles. Il est intéressant d’examiner les résultats de cette série de mesures même s’ils ne

sont pas complets pour pouvoir mieux comprendre les phénomènes physiques intervenant

autour d’un obstacle et leur représentation dans le modèle numérique.

I. Expérimentation en canal

Une large partie de ce qui suit sur l’expérimentation a fait l’objet d’une communication au

colloque annuel du PNRH en 2000 (Paquier, Riviere et al. 2000)


150

I.1 Matériel s et méthod es

Un canal horizontal (pente nulle), de longueur utile L = 8 m, et de section rectangulaire

constante (largeur l = 1200 mm ; hauteur H = 400 mm) a été conçu et réalisé pour ces études.

Des parois en PVC transparent équipent la section de mesure de 2 m de longueur.

8 m

1,2 m

1,4 m2 m

0,4 m

Section transparente

Seuil avalinclinable

Dispositif detranquilisation

x

z

y

Fig. A3.1 : Description du canal

L’ obstacle Canal : écoulement uniforme sans obstacleLargeur=1,2 m

hauteur(mm)

largeur(mm)

épaisseur(mm)

Q(m3/s)

Re U(m/s)

H(m)

B/h

ρτ ou =∗

(m/s)

Strickler, ks

(m1/3 /s)Fr

200 400 20 0,072 48000 0,4 0,15 8 0,0767 111 0,47

Tableau A3.1 : Les paramètres de l’écoulement et du canal


151

L’alimentation en eau est assurée par une pompe centrifuge. Le débit varie de quelques litres

à 150 l/s. Il est contrôlé par un débitmètre électromagnétique (Promag F de Hendress-

Hauser). L’eau arrive dans un bac d’alimentation puis passe par un dispositif de

tranquilisation avant de pénétrer dans la section utile du canal. Un seuil réglable situé à l’aval

du canal permet d’obtenir des hauteurs d’eau entre 40 et 350 mm.

Un soin important a été apporté à la tranquilisation. L’eau traverse un convergent, suivi d’un

nid d’abeille, puis de deux tampons de grillage. Les vibrations provenant du circuit

d’alimentation ont été éliminées par l’ajout d’un raccord souple à l’entrée du réservoir

d’alimentation. Ceci a permis d’obtenir un écoulement à surface libre faiblement perturbée

(variations inférieures au mm).

Les vitesses sont mesurées par anémométrie laser Doppler, à l’aide d’un système BSA-Flow

de DANTEC et d’un laser Argon (Argon-Ionisé de SPECTRA-PHYSICS) de puissance

nominale 5W, à deux composantes (488 et 514,5 nm). Le diamètre du volume de mesure est

de 1,3 mm. L' accès par les parois latérales permet de mesurer simultanément les composantes

u et w (respectivement selon x et z) de la vitesse locale. L' accès par le fond du canal permet la

mesure des composantes u et v (axes x et y). Pour ce second cas, les faisceaux laser

initialement horizontaux sont déviés par un miroir à 45° situé sous le canal.

Les valeurs locales des vitesses résultent d' une moyenne sur 500 à 1000 mesures.

Les hauteurs d’eau sont mesurées à l’aide d’un limnimètre. La précision est de ± 0,5 mm dans

les zones où la surface libre est faiblement perturbée. Ailleurs, elle peut atteindre ± 2 mm.

Un premier champ de vitesses non perturbées (sans obstacle) a été étudié sur une demi-

section transversale du canal, avec un pas de 50 mm dans la direction transversale (y) et un

pas de 20 mm dans la direction verticale (z) ; l' écoulement étant quasiment parallèle aux

parois (vitesses transversales inférieures à 2 cm/s pour une vitesse longitudinale de 20 à 45

cm/s).

Pour étudier l’influence d’un obstacle, un parallélépipède émergé (épaisseur 20 mm, hauteur

200 mm, largeur 400 mm) a été placé contre une des parois latérales, à 260 cm du seuil aval.

Les vitesses sont étudiées dans un plan situé à z = 110 mm du fond du canal, dans une région

allant de 300 mm à l’amont et 600 mm à l’aval de l’obstacle. Le pas adopté pour les mesures

est de 50 mm selon l’axe transversal et l’axe longitudinal. Ces expériences ont été conduites

avec un débit de 72 l/s.


152

I.2 La descripti on des caractéristi ques de l ’écoulement

La présence de l'obstacle crée de fortes perturbations dans l'écoulement (fig.A3.2). Cela se

traduit notamment par :

a) L’apparition d’une zone de recirculation à faibles vitesses (quelques cm/s), située dans

l’alignement de l’obstacle et qui s’étend jusqu’au seuil aval, avec des cellules de courants

secondaires relativement stationnaires.

Compte tenu de la valeur de la « longueur de rattachement » - considérée comme la distance

entre l’obstacle et le point où l’écoulement rapide raccroche la paroi, et évaluée dans la

littérature (Ouillon et Dartus 1997) à 10 fois la largeur de l’obstacle, soit 4 m dans notre cas -,

il n’est pas surprenant que la zone de recirculation se prolonge jusqu’au seuil, situé à environ

3 m à l’aval de l’obstacle (un marqueur injecté à 50 cm en amont du seuil remonte jusqu’à

l’obstacle).

b) La formation d’une veine liquide qui contourne l’obstacle et accélère au niveau de la

section opposée à l' obstacle (vitesses de l’ordre de quelques dizaines de cm/s)

c) L’observation d’une zone de transition, aux alentours de y = 60 cm, fortement cisaillée,

lieu de naissance de structures turbulentes

Fig. A3.2 : Champ de vitesses mesuré dans un plan horizontal ( z=110 mm) avec obstacle


153

d) D’importantes variations spatiales des hauteurs d’eau.

On observe, en particulier :

(i) Une diminution des hauteurs d’eau – par rapport à la hauteur à l’amont -, dans la

zone où les vitesses augmentent (cf. fig. A3.3, profil y = 95 cm) et dans la zone de

recirculation (profil y = 25 cm).

(ii) une légère augmentation du tirant d’eau juste en amont de la digue (+ 6 mm)

(iii) une augmentation de 2 cm à proximité du seuil, pour le profil y = 95 cm, due – entre

autres - à la redistribution du débit sur toute la largeur du seuil, qui conduit à une diminution

des vitesses dans la zone 120 > y > 60 et donc à une augmentation de la hauteur d’eau. On

aboutit ainsi à une différence entre la hauteur amont moyenne et la hauteur aval moyenne

d’environ 3,6 cm. Cette variation est discontinue au droit de l’obstacle (y = 25 cm) ; pour y =

60 cm, la pente de la surface libre est de 10 %, alors qu’elle est de 2,5 % pour y = 95 cm.

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-300 -200 -100 0 100 200 300

x (cm)

z (cm)

y =25cm y=95cm

y=60 cm

Fig. A3.3 : Profils en long de la ligne d'eau mesurés

II. L a simulation numérique 2D

II.1 Les calculs menés et leu r comparaiso n av ec l es observations

Les calculs 2D ont été effectués au moyen du logiciel Rubar 20. Les calculs ont été, en

premier, effectués sur un maillage carré de 10 centimètres de côté et l' obstacle a été introduit

comme un mur sans épaisseur arrêtant tout écoulement. La condition limite aval imposée est

une loi de tarage (débit en fonction de la cote) déterminée en fonction des mesures

expérimentales. La viscosité est choisie nulle ainsi que le frottement à la paroi. Le coefficient

de frottement (Strickler) est pris égal à 111. Ensuite, le calcul a été effectué avec un maillage


154

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-300 -200 -100 0 100 200 300

x (cm)

y=60cm : mesure

y=25cm : mesure

y=25 cm (dx=2 cm)

y=60 cm (dx=2 cm)

y=60 cm (dx=10 cm)

y=25 cm (dx=10cm)

z (cm)

Fig. A3.4 : La comparaison des lignes d’eau pour les deux maillages (dx=10 et 2 cm).

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-300 -200 -100 0 100 200 300

x (cm)

y=60cm mesure

y=25cm mesure

y=95cm mesure

y=25cm dif=0,005

y=60cm dif=0,005

y=95cm dif=0,005

z (cm)

Fig. A3.5 : Profils en long de la ligne d' eau calculés (dx = 2 cm) et mesurés


155

Fig. A3.6 : Modules des vitesses calculées (dx = 2 cm, diffusion : 0,005m2/s)

(les teintes du plus clair au plus foncé jusqu’à 0,4 m/s par pas de 0,1 m/s)

Fig. A3.7 : Différences de vitesses entre calculs (avec diffusion 0,005 m2/s, dx = 2 cm) et

mesures.

(le rapport du module de la différence des vitesses mesurées et calculées sur le module de laplus forte vitesse a des valeurs inférieures à 20 % pour le plus clair et supérieur à 60% pourle plus foncé)


156

carré de 2 cm autour de l’obstacle représenté par la topographie du fond. Les résultats des

deux calculs sont très proches et sont qualitativement similaires aux mesures mais des

différences apparaissent sur la ligne d’eau et sur le champ de vitesses: en particulier, le niveau

d’eau est plus bas de 1 cm à l’aval immédiat de l’obstacle (fig. A3.4).

Pour les deux simulations, le champ de vitesses est globalement similaire aux mesures, la

recirculation apparaît bien derrière l’obstacle et l’ordre de grandeur des vitesses est retranscrit

(figure A3.6). Dans la zone autour de l’obstacle où les mesures détaillées par vélocimétrie

laser ont été effectuées, on peut comparer mesures et calculs. Les plus fortes différences (fig.

A3.7) sont concentrées à l’extrémité de l’obstacle, juste à l’aval et le long de la paroi plus à

l’aval.

les deux derniers points étant clairement dus à une vitesse de retour bien supérieure dans le

calcul. Ceci peut être dû à une mauvaise représentation de la condition à la limite aval ou une

dissipation d’énergie trop faible près de la paroi, les tests effectués en modifiant la condition à

la limite aval (changement de la loi imposée, représentation par un déversoir) et en

introduisant un frottement à la paroi n’ont toutefois pas fourni des améliorations nettes.

D’ailleurs (Tingsanchali et Maheswaran 1990) avait aussi noté un désaccord entre les calculs

et les mesures le long de la paroi dans la zone de recirculation. La structure tridimensionnelle

peut évidemment être la principale cause des différences constatées.

II.1.1 Inf luence de la condit ion à la l imite aval

Dans le maillage à 10 cm, à la condition limite aval comme loi de tarage uniforme,

déterminée en fonction des mesures et qui donnait un niveau de 15 cm pour le débit moyen,

on a substitué une cote constante d’abord égale à 15 cm puis à 14 cm. Les résultats sont dans

tous les cas fortement détériorés puisqu’on n’observe plus le « creux » en aval de l’obstacle. Il

en est de même si on essaie d’imposer d’autres types de conditions limites qui n’arrivent pas à

rendre le différentiel de niveau d’eau à l’aval. Par ailleurs, on peut imposer à l’aval une cote

fixée mais variable dans la largeur et plus conforme aux mesures ; cette condition limite

permet « évidemment » d’obtenir sur les derniers points une bonne concordance avec les

mesures mais cela se détériore vers l’amont et on observe ensuite un niveau toujours plus

faible. On conclura ici de la forte influence, à la fois du niveau moyen de la condition aval

mais aussi de son profil transversal, qui s’accompagne sans doute d’une non-uniformité des

vitesses, mal rendue par le modèle.


157

II.1.2 Inf luence du type de représentation de l ’obstacle

Dans le calcul avec maillage à 10 cm, le remplacement de l’obstacle sans épaisseur par une

épaisseur de 10 cm n’amène pas à un changement important mais plutôt à une amélioration

(bien que la largeur réelle ne soit que de 2 cm). Dans le maillage fin, l’effet d’une

représentation différente de l’obstacle soit en topographie soit par un ouvrage imperméable

comme avec le pas d’espace de 10 cm ne change que peu le résultat. On observe toutefois que

les représentations qui accentuent l’effet de l’obstacle (la représentation topographique que

nous avons choisie en particulier) semblent mieux représenter la perte de charge au niveau de

l’obstacle. Ce résultat similaire à celui du pas d’espace de 10 cm suggère que l’effet 3D

autour de l’obstacle impliquerait de le représenter en 2D par un volume supérieur à son

volume réel.

II.1.3 Inf luence de la diffusion (coefficient de viscosité turbulente)

Afi n d’examiner l’effet de la diffusion, le calcul avec le maillage fin a été repris avec un

coefficient de diffusion de 0,01 m2/s. Il apparaît que l’introduction d’une diffusion même

constante permet d’obtenir des résultats plus en accord avec les mesures ; avec le coefficient

de diffusion choisi, on passe ainsi d’un niveau plus bas de 1 cm à un niveau plus haut de 0,5

cm. Un calcul effectué par ailleurs avec le logiciel PCFLOW2D de l’Université de Ljubljana

et un modèle de turbulence k-ε a montré que le coefficient de diffusion se situait entre des

valeurs de l’ordre de 0,008 et 0,004 m2/s derrière l’obstacle et de l’ordre de 0,0005 à 0,001

m2/s dans les autres zones. Le calcul a alors été repris avec un coefficient constant de 0,005

m2/s et les résultats montrent un bon accord avec les mesures. Nous avons aussi testé le calcul

avec un coefficient de diffusion D=khu* ou k est un coefficient constant, h la hauteur d’eau et

u* la vitesse de frottement. Deux calculs simples ont été effectués pour u* soit à partir du

coefficient de frottement, mais cela donne des valeurs de diffusion faibles derrière l’obstacle

ce qui n’est pas conforme aux résultats du modèle k-ε, soit à partir du gradient de niveau

d’eau, ce qui donne des diffusions plus proches du modèle k-ε, car plus fortes en aval

immédiat de l’obstacle. Les résultats en terme de profil en long ou de largeur de recirculation

ne sont pas fortement modifiés.

Une comparaison détaillée des résultats aux deux pas d’espace semble montrer qu’un pas

d’espace plus grand introduit un surcroît de diffusion . En première approximation, on peut

dire que les résultats avec un pas d’espace de 10 cm sont proches de ceux à 2 cm avec un

coefficient de diffusion en moyenne diminué de 0,002 m2/s. Il est vraisemblable que cette


158

diffusion numérique dépend non seulement du cas considéré mais aussi du schéma numérique

utilisé. Les résultats sur des cas où la diffusion joue un rôle doivent donc systématiquement

être vérifiés à des pas d’espace plus faibles.

II.2 Di scussio n des résultats

Une des caractéristiques de cette expérimentation est que la longueur de l’obstacle est de un

tiers de la largeur de l’écoulement. Si on admet, comme indiqué dans (Molls et Chaudhry

1995), que la longueur de la zone de recirculation est de 12 fois la longueur d’obstacle, la

zone de recirculation doit être de 4,8 m, or le seuil aval est à 2,6 m de l’obstacle. En

conséquence, la zone de recirculation continue jusqu’au seuil aval ce qui est effectivement

observé expérimentalement. La condition à la limite aval a donc un effet primordial sur les

caractéristiques de la recirculation.

Concernant l’influence cruciale du coefficient de la diffusion ou de viscosité turbulente dans

notre étude, il est à noter que d’autres chercheurs, notamment (Molls et Chaudhry 1995), ont

aussi témoigné de son importance. (Molls et Chaudhry 1995) ont utilisé une viscosité

turbulente constante de 0,0012 m2/sec, qui est quasiment cinq fois moins grande que la nôtre ;

cela s’explique par le fait que la longueur de l’épi dans leur étude est de un sixième de la

largeur du canal, donc la turbulence est beaucoup moins importante que dans notre cas.

L’ importance du coefficient de diffusion dans la zone de recirculation qui se distingue par de

forts gradients des composantes de vitesse est évidente, car dans cette partie, les contraintes

turbulentes sont le mode principal de dissipation d’énergie et un moindre changement dans la

valeur de ce paramètre peut changer d’une manière très significative la perte d’énergie due à

la turbulence.

Dans RUBAR 20, on a la possibilité d’approcher les contraintes au fond soit par un

coefficient de type Manning-Strickler soit par un coefficient de type Chezy. Cette approche

est correcte dans le cas d’un fond rugueux où l’application de la loi logarithmique de vitesse

est inappropriée ce qui est souvent le cas dans les conditions du terrain (Keller et Rodi 1988),

or dans notre canal vitré le fond est très lisse. Afin de distinguer la gamme d’écoulement dans

le canal, on évalue la valeur de la relation suivante (French 1986) :

νsku

R ∗∗ = (A3.1)


159

∗uρ

τ o= = vitesse de frottement

sk hauteur des rugosités à la paroi


Pour ks, on ne dispose pas de mesure mais (French 1986) fournit un tableau des valeurs

indicatives pour différents types des matériaux de paroi dont le plus lisse est un béton de type

4 qui a un ks de 0,0005.Un soin important a été apporté à la mise en place de ce béton pour

obtenir une surface très lisse. Si un considère la paroi de PVC 5 fois plus lisse que ce béton,

on a un ks de 0,0001. Substituant toutes ces valeurs dans équation (A3.1), on trouve une

valeur de ∗R égale à 7,67. D’après le critère donné par (French 1986) un valeur

de ∗R comprise entre 4 et 100 définit un écoulement de transition entre un écoulement

hydrauliquement lisse et rugueux. Il recommande d’utiliser la formule de Colebrook pour

estimer la valeur du coefficient de frottement f, homologue du coefficient de Manning-

Strickler. Cette formule s’écrit de la manière suivante :

+−=

fRR

k

f e

s 5,2

2log2

1(A3.2)

R rayon hydraulique

Re nombre de Reynolds ramené à R

sk hauteur des rugosités à la paroi

L’adoption de coefficien du frottement f au lieu de Manning Strickler ou de Chezy (ces deux

modes de représentation donnent des résultats équivalents pour le cas de ce canal), pourrait

être intéressante au vu du canal expérimental, mais dans les conditions de terrain que RUBAR

20 traite le plus souvent, cette modification n’aura pas beaucoup de sens dans la mesure où

l’ écoulement est invariablement rugueux et donc pour lequel un frottement de type Manning-

Strickler est suffisamment précis, vu le degré d’incertitude sur les données. Il est aussi

important de se rappeler que le choix d’une formule plus précise pour le frottement au fond ne

résout pas le problème de la dissipation d’énergie autour d’un obstacle, où le phénomène

dominant est la turbulence et non la perte d’énergie par frottement sur le fond.

Par ailleurs, on doit aussi considérer le fait que le modèle numérique calcule les vitesses

moyennées sur la hauteur alors que la présente série de mesures de vitesses a été effectuée

dans le plan situé à 11 cm du fond. Une comparaison rigoureuse entre les calculs et les

mesures ne peut être effectuée que dans le cas où l’on parcourt toute la profondeur de

l’ écoulement du fond jusqu’à la surface libre avec un pas d’espace convenable suivant la


160

verticale et dans chaque plan, on mesure les deux composantes de vitesse. Ensuite, on intègre

ces valeurs suivant la verticale afin de déterminer la valeur moyenne des deux composantes

de vitesse dans le plan u, v. La comparaison entre ces valeurs moyennées sur la hauteur et les

calculs serait plus instructive.

Le profil logarithmique de la vitesse avec une valeur nulle au fond peut être intégré sur la

profondeur afin de trouver la position de la vitesse moyenne dans la verticale. Par ce genre de

raisonnement mathématique, on peut dire que la vitesse moyenne sur une verticale se trouve à

0,6 fois la hauteur d’écoulement de la surface libre (French 1986). L’écoulement uniforme

dans le canal était de 15 cm (tableau A3.1), donc, le plan de la vitesse moyenne sur la hauteur

se trouve à 9 cm du fond, or les mesures de vitesse ont été faites à 11 cm du fond. Par ailleurs,

en présence de l’obstacle, la composante verticale de l’écoulement n’est plus négligeable

ce qui modifie le profil logarithmique et le positionnement de la vitesse moyenne sur la

hauteur n’est plus le même que celui calculé précédemment.

Un autre facteur limitatif des équations de Saint-Venant est l’hypothèse de pression

hydrostatique, or ceci n’est pas vrai près de l’obstacle du fait d’importantes variations

spatiales de hauteurs d’eau dans les directions longitudinale et transversale d’écoulement . Ce

fait va à l’encontre de l’hypothèse fondatrice de ces équations qui postule que les pentes du

fond sont faibles et qu’une hauteur mesurée verticalement est quasiment la même que celle

mesurée perpendiculairement au fond (Chaudhry 1993). Dans ces conditions la pression ne

résulte plus du poids d’une colonne d’eau stationnaire mais il s’y ajoute une composante

dynamique qui peut être positive ou négative en fonction de la courbure de la surface.

III. L a simulation numérique 3D

Les mesures dans le canal vitré ont été effectuées en collaboration avec le laboratoire de

Mécanique des Fluides de l’INSA de Lyon (LMF). Les partenaires du LMF ont utilisé le

logiciel commercial FLUENT pour la modélisation tridimensionnelle de l’écoulement. Les

résultats que l’on présente ci-après sont issus de leur travail.

III.1 Construction du maillage

Le canal a une géométrie assez simple, avec ou sans obstacle. Ceci est mis à profit pour

utiliser un maillage structuré composé en 3D d' hexaèdres. On peut alors facilement diminuer

la taille des cellules dans les zones voulues (zones à fort gradient : proches des parois ou de


161

l' obstacle). Afin de limiter le nombre total de cellules, la taille des mailles est de 10x5 cm

suivant x et y dans les régions où l' écoulement est peu perturbé (faible gradient de vitesse) à

l' amont de l' obstacle, et de 3x5 cm dans les zones à l' aval de l'ob stacle (fig. A3.8). Selon la

verticale, on considère une hauteur de cellule de 3 cm. Les cellules sont resserrées au niveau

de la surface libre, près de l' obstacle et près du fond. Le nombre de nœuds obtenu varie entre

40000 et 50000 pour le canal (avec et sans obstacle).

Fig. A3.8 : Vue de dessus du maillage sans obstacle

III.2 Les Résultats

III.2.1 Les profi ls de vitesses

Les calculs 3D ont été menés avec le modèle k-ε que le logiciel de simulation propose par

défaut. Les figures A3.9 et A3.10 présentent respectivement la comparaison quantitative des

profils de vitesse axiale 3D dans le plan de mesure et 2D (issus de RUBAR 20) avec les

résultats expérimentaux.

On note que bien que les profils calculés aient une allure semblable aux mesures, mais il reste

toutefois des écarts importants entre les mesures et les calculs.

Curieusement, on voit approximativement les mêmes tendances de variation de vitesse axiale

dans les résultats numériques 3D et 2D. Derrière l’obstacle, pour y=0,21 et 0,41 les deux

calculs sous-évaluent la vitesse axiale alors que, au droit de l’obstacle les deux calculs la

surévaluent pour y=0,41 ; cette surévaluation est plus importante pour le calcul 2D que pour

celui 3D. Par contre pour y=0,21, les deux approches s’accordent et donnent des résultats qui

sont assez proches des mesures. En ce qui concerne les positions plus éloignées de l’obstacle,

c’est à dire y=0,61 et y=1,03, on note que pour y=0,61, le calcul 2D correspond mieux aux

mesures alors que le calcul 3D tend plutôt à sous-estimer les valeurs de vitesse longitudinale.

Pour y=1,03, on constate que la différence entre d’une part les deux calculs et d’autre part les


162

mesures diminue nettement, bien que derrière l’obstacle, la simulation 3D sous-évalue encore

un peu la vitesse alors que l’approche 2D, quant à elle est très proche des mesures.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0,2 0,4

0,6 1

0,215 0,41

0,61 1,03

y(m)

Fig. A3.9 : Résultats d’une simulation 3D : profils de vitesse axiale u

expérimentaux (symboles) et numériques (trait continu)

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

y=0,21y=0,41y=0,61y=1,03Mesure y=0,21Mesure y=0,41Mesure y=0,61Mesure y=1,03

Fig. A3.10 : Résultats d’une simulation 2D : profils de vitesse axiale u expérimentaux

(symboles) et numériques (trait continu)


163

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0,2 0,4

0,6 1

0,215 0,41

0,61 1,03

y (m)

Fig. A3.11 : Résultats d’une simulation 3D : profils de vitesse transversale v expérimentaux


-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

y=0,21

y=0,41

y=0,61

y=1,03

Mesure y=0,21

Mesure y=0,41

Mesure y=0,61

Mesure y=1,03

Fig. A3.12 : Résultats d’une simulation 2D : profils de vitesse transversale v expérimentaux



164

La comparaison des vitesses transversales calculées par les modèles 2D et 3D (fig. A3.11 et

A3.12) met aussi en évidence la similarité entre les résultats numériques obtenus par ces deux

approches. Cela montre que dans ce cas de figure (canal de laboratoire) l’utilisation d’un

modèle 2D avec un coefficient de diffusion constant donne des résultats d’une précision

comparable à ceux obtenus avec un modèle 3D avec modélisation de type k-ε .

III.2.2 Les profi ls de hauteur d’eau

La figure A3.13 compare les hauteurs d'eau obtenues expérimentalement et numériquement,

sur trois lignes longitudinales (y = 25; 60 ; 95 cm). Le comportement de la surface libre est

assez semblable. La hauteur d' eau est systématiquement sous-estimée par le calcul, de l' ordre

de 0,5 cm, soit 3,5% environ. Cependant, une comparaison plus avancée souffre de la

difficulté à localiser précisément la surface libre par le calcul. On notera toutefois que le profil

en long est très similaire (en particulier, minoration de la perte de charge au droit de

l’obstacle) à celui obtenu par un modèle 2D horizontal avec une modélisation k-ε ou une

diffusion variable plus forte derrière l’obstacle.

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

y=0,25m - num

y=0,65m - num

y=0,95m - num

y=0,25m - exp.

y=0,6m - exp

y=0,95m - exp

Fig. A3.13 : Valeurs expérimentales (points) et numériques (trait plein)des hauteurs d'eau

longitudinales.


165

IV. Conclusions

Dans cette annexe, les résultats de la première campagne de mesures dans le canal de l’INSA

ont été comparés avec ceux obtenus par la modélisation numérique de l’écoulement. La

comparaison entre ces deux approches a pu montrer un écart important près de l’obstacle.

Toutefois, les résultats du calcul sont qualitativement semblables aux mesures. Les prochaines

mesures vont être effectuées sur plusieurs plans horizontaux avec un obstacle moins large,

générant ainsi une zone de recirculation moins importante. Il est aussi envisagé de se munir

d’un dispositif de mesure de ligne d’eau plus précis. Dès à présent, quelques conclusions

peuvent être mentionnées :

- l’effet très important de la condition limite aval. Dans un milieu urbanisé, ce pourra être

l’effet d’un autre obstacle.

- Le rôle non négligeable de la diffusion qui crée des variations de niveau localisées dont

l’ampleur reste diffic ile à caler.

- La difficulté d’une représentation convenable des obstacles, bien que la sensibilité à cet

aspect ne soit pas très forte.

Annexe 4 Nîmes : les dimensions des rues

166


Zone 1

N° Nom de rue Longueur (m) Largeur

Maximum (m)

Largeur

Minimum (m)

1 Pitot prolongé 193,32 15,80 6,70

2 Impasse Vimille 87,27 6,10

3 Marcel Cerdan 55,21 8,90

4 Jean Bouin 414,19 12,80 5,00

5 Vincent Faita 1199,19 28,60 11,50

6 Hoche 418,63 12,60

7 Calvas 792,98 18,58 8,57

8 Gal Faidherbe 81,43 6,60 5,60

9 Péronne 192,41 7,39 6,20

10 Bonfa 173,12 7,71 6,60

11 Edmond Rostand 393,36 14,60 6,24

12 Boulevard Chabaud

Latour

356,86 10,90

13 Rue Chabaud Latour 166,77 8,60

14 Jules Vernes 290,87 8,60

15 Kleber 662,09 10,00 6,50

16 Leo Lagrange 125,22 8,55

Zone 2


Maximum (m)

Largeur

Minimum (m)

1 Fulton 116,71 8,83

2 Watt 136,52 6,20

3 Arnal 46,68 5,09

4 Cubière 101,14 8,10

5 Pitot 444,16 14,10 6,50

6 Becquerel 587 14,60 6,50

7 Paulet 282,50 8,60 5,70

8 Jacquard 112,07 6,89

9 Chemin de ronde 131,97 8,40

10 Avenue Peladan 122,65 12,20

11 Poudrière 171,60 5,20


167

12 Aquitaine 248,28 6,89

13 Cité Docteur Reboul 94,71 20,80 8,40

14 Avenue du Mont Duplan 109,25 20,40

15 Septimanie 52,35 6,90

Zone 3


Maximum (m)

Largeur

Minimum (m)

1 Sully 564,28 15,30 10,40

2 Pierre Semard 561,94 18,30 11,40

3 Papin 298,94 5,70

4 Catinat 357,50 6,70

5 Villars 673,26 8,80 5,80

6 Turenne 221,31 5,60

7 Anatole France 172,96 6,00

8 Flamande 388,23 7,80 6,20

9 Cuvier 51,01 5,00

10 Richelieu 471,32 6,50

11 Bons enfants 177,29 5,50

12 Nicot 202,27 5,50 4,90

13 Gabriel Ferrier 116,66 12,40

14 Numa Boucoiran 99,00 8,70

15 Ernest Daudet 207,19 10,60 8,60

16 Beaucaire 878,12 13,70 7,50

17 Notre Dame 468,58 10,20 9,30

18 Ecluse 176,26 6,50

Annexe 5 Nîmes : les conditions à l’entrée du modèle

168

Annexe 5 Nîmes : Les conditions à l’entrée du modèle

• Les hauteurs critiques pour les deux hydrogrammes sont calculées en supposant une

section rectangulaire avec une largeur de 11,40 m et 15,23 m pour l’hydrogramme 1 et 2

respectivement.

N° Temps (s) hydrogramme débit (m3/s) hauteur d’eau

imposée (m)

hauteur d’eau critique (m)

1 0.018 0.06 0.0061 0

2 0.055 0.06 0.011

1 0.167 0.15 0.0282 300

2 0.169 0.11 0.023

1 0.409 0.24 0.0513 600

2 0.310 0.16 0.035

1 0.707 0.34 0.0734 900

2 0.463 0.20 0.045

1 1.045 0.43 0.0955 1200

2 0626 0.24 0.055

1 1.410 0.52 0.116 1500

2 0.798 0.27 0.065

1 1.793 0.60 0.1367 1800

2 0.974 0.31 0.074

1 2.189 0.68 0.1558 2100

2 1.154 0.35 0.083

1 2.593 0.76 0.1749 2400

2 1.336 0.38 0.092

1 3.002 0.83 0.19210 2700

2 1.519 0.41 0.100

1 3.415 0.91 0.20911 3000

2 1.703 0.44 0.108

1 3.830 0.98 0.22512 3300

2 1.888 0.47 0.116

1 4.248 1.04 0.24213 3600

2 2.073 0.50 0.123

1 4.666 1.11 0.25714 3900

2 2.259 0.53 0.131

1 5.085 1.17 0.27215 4200

2 2.444 0.56 0.138


169

1 5.505 1.23 0.28716 4500

2 2.630 0.58 0.145

1 5.926 1.30 0.30217 4800

2 2.816 0.61 0.151

1 6.346 1.35 0.31618 5100

2 3.002 0.64 0.158

1 6.767 1.41 0.33019 5400

2 3.188 0.66 0.164

1 7.188 1.47 0.34320 5700

2 3.374 0.68 0.171

1 7.609 1.52 0.35621 6000

2 3.560 0.71 0.177

1 8.030 1.58 0.37022 6300

2 3.746 0.73 0.183

1 8.451 1.63 0.38223 6600

2 3.932 0.76 0.189

1 8.872 1.69 0.39524 6900

2 4.118 0.78 0.195

1 9.293 1.74 0.40725 7200

2 4.304 0.80 0.201

1 9.714 1.79 0.42026 7500

2 4.490 0.82 0.207

1 10.135 1.84 0.43227 7800

2 4.676 0.85 0.212

1 10.556 1.89 0.44328 8100

2 5.074 0.89 0.224

1 11.280 1.97 0.46429 8400

2 6.970 1.10 0.277

1 13.677 2.24 0.52730 8700

2 11.159 1.50 0.380

1 18.181 2.7 0.63731 9000

2 18.013 2.05 0.522

1 24.507 3.03 0.77832 9300

2 27.087 2.69 0.685

1 32.235 3.03 0.93433 9600

2 36.389 3.02 0.834

1 39.199 3.03 1.06434 9900

2 43.731 3.02 0.943


170

1 42.874 3.03 1.12935 10200

2 48.206 3.02 1.007

1 43.008 3.03 1.13236 10500

2 49.821 3.02 1.029

1 40.317 3.03 1.08437 10800

2 49.035 3.02 1.018

1 35.644 3.03 0.99838 11100

2 46.927 3.02 0.989

1 30.705 3.03 0.90439 11400

2 44.324 3.02 0.952

1 26.390 3.03 0.81740 11700

2 41.601 3.02 0.912

1 22.747 3.03 0.74041 12000

2 38.935 3.02 0.873

1 19.602 2.84 0.67042 12300

2 36.424 3.02 0.835

1 16.821 2.57 0.60543 12600

2 37.983 3.02 0.859

1 14.319 2.31 0.54344 12900

2 43.032 3.02 0.933

1 12.043 2.06 0.48445 13200

2 43.055 3.02 0.934

1 9.955 1.82 0.42646 13500

2 39.682 3.02 0.884

1 8.025 1.58 0.36947 13800

2 35.531 3.02 0.821

1 6.229 1.34 0.31248 14100

2 31.281 2.95 0.754

1 4.665 1.11 0.25749 14400

2 27.811 2.73 0.697

Annexe 6 Nîmes : l’avancée de la crue

171

Annexe 6 Nîmes : L’avancée de la crue pour l e calcul de base avec

modification du carrefour nord ouest

T=15 min


172

T= 30 min


173

T= 1 heure


174

T=2 heures


175

T=3 heures

176

INDEX DES FIGURES

Fig. 2.1 : Une vue générale du modèle depuis l'aval...............................................................40Fig. 2.2 : Le plan du modèle avec les différentes zones..........................................................41Fig. 2.3 : Le réservoir à l'entrée du modèle qui sert à inonder le modèle................................42Fig. 2.4 : Le détail du pont......................................................................................................42Fig. 2.5 : Une vue du pont.......................................................................................................43Fig. 2.6 : Les maisons..............................................................................................................44Fig. 2.7 : L'image de la retenue................................................................................................45Fig. 2.8 : La retenue illustrée par des courbes de niveaux......................................................45Fig. 2.9 : L'hydrogramme 2 à l'entrée du modèle................................................................... 46Fig. 2.10 : La position des stations de mesure sur le modèle physique.................................. 48Fig. 2.11 : Un jeu des profils en travers avec des lignes directrices.......................................50Fig. 2.12 : Les mailles se contractent lorsque les lignes directrices se serrent.......................51Fig. 2.13 : L'illustration du sens d'interpolation......................................................................52Fig 2.14 : Le maillage autour des obstacles : la nécessité d'entourer l'obstacle......................52Fig. 2.15 : L'intérêt de la démarche.........................................................................................53Fig. 2.16 : La représentation de l'obstacle dans le modèle numérique................................... 56Fig. 2.17 : La section pour représenter le pont dans le modèle numérique.............................56Fig. 2.18 : (a)Lit de forme régulière. (b) Lit de forme irrégulière..........................................58Fig. 2.19 : Limnigramme à P1.................................................................................................61Fig. 2.20 : Limnigramme à P26..............................................................................................61Fig. 2.21 : Limnigrammes à P9...............................................................................................62Fig. 2.22 : Limnigramme à P18...............................................................................................62Fig. 2.23 : Les résultats des 4 calculs à P3 (série A). .............................................................64Fig. 2.24 : La position des stations de mesures près du groupe 6...........................................64Fig. 2.25 : Limnigrammes à P3...............................................................................................65Fig. 2.26 : Résultats à S4 pour les séries A et B avec et sans maisons................................... 65Fig. 2.27 : Limnigrammes de la série A à la sonde P21.........................................................66Fig. 2.28 : Limnigrammes à P21.............................................................................................67Fig. 2.29 : Limnigramme à la sonde de P21...........................................................................68Fig. 2.30 : Limnigramme à P10..............................................................................................69Fig. 3.1 : Une vue générale de la zone modélisée.................................................................. 73Fig. 3.2 : Un schéma de découpage du secteur d'étude..........................................................74Fig. 3.3: La zone 1................................................................................................................75Fig. 3.4 : La zone 2................................................................................................................76Fig. 3.5 : La zone 3................................................................................................................77Fig. 3.6a : Profil à 13 points.................................................................................................... 78Fig. 3.6b: Profil à 11 points.................................................................................................... 79Fig. 3.6c: Profil à 7 points.......................................................................................................79Fig. 3.6d : Profil à 5 points.....................................................................................................79Fig. 3.6e : Profil à 4 points.......................................................................................................80Fig. 3.7: Carrefour à 11 points................................................................................................81Fig. 3.8 : Carrefour à 7 points.................................................................................................. 82Fig. 3.9 : Carrefour à 5 points.................................................................................................. 82Fig. 3.10: Carrefour à 4 points.................................................................................................83Fig. 3.11: Le modèle topographique du secteur d'étude..........................................................84Fig. 3.12 : L'instabilité numérique se manifeste par l'apparition d'oscillations.......................86Fig. 3.13 : Les hydrogrammes................................................................................................88

177

Fig. 3.14 : Les rapports aspect/expansion................................................................................89Fig. 3.15 : Le schéma illustratif du carrefour..........................................................................94Fig. 3.16 : Au-dessus est illustrée la situation (3 heures et 20 minutes après le début de la

simulation) avant la modification du carrefour alors que l'image au-dessous est celleaprès.................................................................................................................................. 95

Fig. 3.17 : L'expansion de la crue à 200 minutes du début de la simulation...........................96Fig. 3.18(a) : Avant la création de l'espace de stockage..........................................................97Fig. 3.18(b) : Après la création de l'espace de stockage.........................................................97Fig. 3.19 : L'évolution de la hauteur d'eau à l'aval de l'espace de stockage............................98Fig. 3.20 : Limnigramme au carrefour des rues Catinat et Flamande................................... 100Fig. 3.21 : La position du bief dans lequel l'obstacle a été créé............................................101Fig. 3.22 : La représentation de l'obstacle dans le profil en travers à 7 points.....................101Fig. 3.23 : Limnigramme sans et avec obstacle.................................................................... 102Fig. 3.24 (a) : La carte des hauteurs d'eau sans obstacle.......................................................102Fig. 3.24 (b) : La carte des hauteurs d'eau avec obstacle......................................................102Fig. 3.25 : Limnigramme au carrefour entre les rues Sully et Cuvier.................................... 106Fig. 3.26 : Limnigramme (calcul à 7 et 5 points) au carrefour Richelieu Anatole France.... 108Fig. 3.27 : Comparaison entre les calculs à nombre de Courant maximal constant et à pas de

temps fixe........................................................................................................................110

178

INDEX DES TABLEAUX

Tableau 2.1 : Les caractéristiques des groupes de maisons....................................................55Tableau 3.1 : Hauteurs de pluie du 3 octobre 1988 (en mm)..................................................72Tableau 3.2 : Le tableau récapitulatif du premier calcul.........................................................92Tableau 3.3 : Quelques statistiques sur le calcul avec la topographie modifiée.....................93Tableau 3.4 : L'influence des modifications du carrefour Nord Ouest................................... 94Tableau 3.5 : Le tableau récapitulatif du calcul avec coefficient de Manning-Strickler de 30.………………………………………………………………………………………………...99Tableau 3.6 : La confrontation des deux calculs sur les valeurs de la vitesse absolue

maximum...........................................................................................................................99Tableau 3.7 : Le calcul de base sans accroissement des débits. ...........................................104Tableau 3.8 : Le calcul de base avec accroissement des débits............................................104Tableau 3.9 : Calculs avec différentes valeurs de nt.............................................................105Tableau 3.10 :La vitesse absolue maximum pour différents calculs.....................................105Tableau 3.11 : Comparaison sur 71 points entre les calculs à 7 et à 5 points........................107Tableau 3.12 : Les vitesses absolues maximum.................................................................... 107Tableau 3.13 : Comparaison sur 80 points entre les calculs à 11 et à 7 points......................108Tableau 3.14 : Les vitesses absolues maximum.................................................................... 109

179

Table des notations

C coefficient de Chezy

cd coefficients de débit

Cd coefficient de traînée

θ angle d'inclinaison transversale entre le lit et l'horizontale

D diamètre du cylindre

δij symbole de Kronecker

ε moyenne des biais

εtz diffusivité turbulente verticale

f coefficient de frottement de Darcy-Weisbach

F force de traînée

f1, f2 flux sur les axes de coordonnée x, y

ψ coefficient de la porosité

g accélération gravitationnelle

h hauteur d'eau

i, j=1,2 indices désignant l’axe des coordonnées x, y

I pente du fond

J pente de la ligne d'énergie

κ coefficient de Von Karman

ks hauteur des rugosités

L longueur de la crête du seuil

n coefficient de Manning

P périmètre mouillé

ρ masse volumique

Q débit

Qc débit de projet

q débit latéral

r taille des échantillons

R rayon hydraulique

R* nombre de Reynolds dans l’écoulement à surface libre

S représente l'ensemble des termes du second membre

t temps

180

Tc temps de concentration

∆t pas de temps

biτ contrainte au fond

siτ contrainte à la surface libre due au vent

ijτ~ contraintes effectives comprenant les contributions des contraintes laminaires,

turbulentes et celles dues à l'intégration sur la hauteur (dispersion)

0τ contrainte à la paroi

τsx x-composante de la contrainte à la surface libre due au vent

τsy y-composante de la contrainte à la surface libre due au vent

u x-composante de la vitesse

iu~ composante de la vitesse intégrée sur la hauteur

ii uhU ~= débit par unité de largeur

jiuu composantes du tenseur de Reynolds

∗u vitesse de frottement

v y-composante de la vitesse

νt coefficient de viscosité turbulente, coefficient de diffusion

V vitesse moyenne de l'écoulement

(Vabs)max vitesse absolue maximum

w ouverture ou hauteur de l'orifice

W variable tridimensionnelle (h,u,v)

x direction longitudinale de l’écoulement

x̂ valeur calculée ou interpolée

∆x pas d’espace

y direction transversale de l’écoulement

zb cote du fond

z distance verticale jusqu’au fond

these - insa lyontheses.insa-lyon.fr/publication/2001isal0019/these.pdfthe obstacle and the second...

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