these magister iap belaid

République Algérienne Démocratique et Populaire / Ministère de l’Energie et des Mines

Institut Algérien du pétrole / Ecole d’Ingénieur de Boumerdès

Département Chimie Industrielle

Post Graduation : Génie Chimique

Mémoire de Magister

Thème :

Contribution à L’étude des Algorithmes de Simulation

des Colonnes à Plateaux de Séparation Liquide Vapeur

avec Implémentation de Modèles Thermodynamiques

Rigoureux

Etudié par : B. AIT AISSA

Ingénieur d’état en Génie Chimique

En vue de l’obtention du titre de Magister en Génie Chimique

de L’institut Algérien du Pétrole

Directeur de Thèse : Dr. A.NACER

Soutenu publiquement devant le jury composés de

AIT AMAR Président U.S.T.H.B HADJ MIMOUN Examinateur I.N.H.C Si SALAH ABDENOUR Examinateur I.A.P M. KANTOUR Invité B.R.C NACER ABDELAZIZ Rapporteur I.A.P

1999

Résumé

Ce travail a pour but le développement d’un programme de simulation fiable pour la

résolution des problèmes de séparation liquide vapeur (Distillation, Absorption, Absorption

avec rebouilleur ou avec reflux). Une étude détaillée a permis de revisiter les différents

algorithmes et de les classer en fonction du type d’utilisation. Afin d’améliorer la précision

des résultats et la convergence, nous avons intégré des modèles thermodynamiques rigoureux

et des modifications à certains algorithmes de base. Sur cette base, un programme

informatique général (COLSIM) a été développé pour la simulation de quatre types de

colonnes (Distillation, Absorption, Absorption avec rebouilleur et Absorption avec reflux). Ce

programme offre à l’utilisateur le choix entre cinq algorithmes (Bubble Point, Sum Rate,

2N-Newton, Corrections Simultanées, Inside Out) de calcul des colonnes de séparation tout

en intégrant cinq modèles thermodynamiques (Redlich Kwong, Soave Redlich Kwong, Peng

Robinson, Chao Seader, Grayson Stread).

Ce travail présente également une synthèse des méthodes de calcul des colonnes et une série

de recommandations facilitant le choix de la méthode adaptée à un problème de séparation

donné. Enfin, le programme confronté à des exemples typiques de l’industrie pétrolière a

donné des résultats très satisfaisants.

i

Sommaire

Introduction générale 1

I. Modélisation mathématique des colonnes multi-étagées de séparation liquide vapeur

I.1 Introduction 4

I.2 Présentation des différents types de colonnes 4

I.3 Formulation des équations du modèle 6

I.3.1 Hypothèses du modèle 6

I.3.2 Equations du modèle 7

I.3.2.a Formulation en terme de fractions molaires 7

I.3.2.b Formulation en terme de débits partiels 8

I.4 Choix des variables indépendantes 9

II. Approches fondamentales de la simulation des colonnes de séparation liquide vapeur

II.1 Introduction 11

II.2 Approche mathématique de la résolution du modèle MESH 11

II.2.1 Approche séquentielle 13

II.2.1.a Choix des variables d’état 13

II.2.1.b Découplage des équations du modèle en sous systèmes 13

II.2.1.c Association variables équations 15

II.2.1.d Ordre de résolution des groupes d’équations 15

II.2.1.e Principaux algorithmes de l’approche séquentielle 15

II.2.2 Approche des corrections simultanées 17

II.2.2.a Choix des variables indépendantes 17

II.2.2.b Arrangement des équations 17

II.2.2.c Méthode numérique de résolution 17

II.2.2.d Principaux algorithmes de l’approche corrections simultanées 17

II.3 Conclusion 19

III. Algorithmes de l’approche séquentielle

III.1 Introduction 20

III.2 Algorithme Bubble Point 20

III.2.1 Calcul des compositions liquides 20

III.2.2 Normalisation des compositions liquides 21

III.2.3 Calcul du profil de température 22

III.2.4 Calcul du profil de débit vapeur 24

III.2.5 Calcul du profil de débit liquide 25

III.2.6 Test de convergence 25

III.2.7 Calcul des quantités de chaleur échangée au rebouilleur et au condenseur 25

III.3 Algorithme Sum Rate 27

ii

III.3.1 Calcul des débits molaires partiels liquides 27

III.3.2 Calcul des profils de débit vapeur et de débit liquide 29

III.3.3 Calcul du profil de température 29


III.4 Algorithme 2N-Newton 33

III.4.1 Calcul des compositions liquides 33

III.4.2 Calcul du profil de débit vapeur et du profil de température 33

III.4.3 Calcul du profil de débit liquide 36


III.4.5 Calcul des quantités de chaleur échangées au rebouilleur et au condenseur 36

III.5 Conclusion 38

IV. Algorithme de l’approche des corrections simultanées

IV.1 Introduction 39

IV.2 Formulation du modèle 39

IV.3 Procédure de calcul 41

IV.4 Conclusion 41

V. Algorithme Inside Out

V.1 Introduction 43

V.2 Procédure de calcul 43

V.2.1 Boucle externe 43

V.2.2 Boucle interne 45

V.2.2.a Calcul des débits molaires partiels et des compositions liquide et vapeur 46

V.2.2.b Calcul de la température de Bulle par la ‘’ Kb Method ’’ 47

VI.2.2.c Résolution des équations de bilan d’énergie et des équations de spécification 48

V.2.3 Test de convergence 48

V.3 Conclusion 48

VI. Applications, synthèses et recommandations

VI.1 Application n°1 50









VI.10 Synthèse et recommandations 82

Conclusion générale 84

Perspectives de développement 85

Références bibliographiques 86

iii

Appendices A : Méthodes numériques

A.1 Méthode numérique de Broyden 92

A.2 Méthode numérique de Richmond 93

A.3 Méthode numérique de Thomas 94

A.4 Calcul de la matrice Jacobienne 96

Appendices B : Modèles Thermodynamiques et calcul des équilibres liquide vapeur

B.1 Modélisation de l’équilibre liquide vapeur 98

B.2 Equilibre liquide - vapeur à partir d’équations d’état 98

B.3 Résolution des équations d’état cubiques 99

B.4 Equilibre liquide - vapeur à partir de modèle d’activité pour la phase liquide, et à

partir d’équations d’état pour la phase vapeur

101

B.5 Calcul des équilibres liquide vapeur 104

Appendice C : Structure générale du programme COLSIM

C.1 Présentation du programme COLSIM 111

C.2 Structure du Programme 111

Appendice D : Initialisation des variables d’itérations

Procédure d’estimation Initiale des variables d’itérations 116

iv

Liste des Figures

N° Titre Page

I.1 Schéma général d’une colonne de distillation 4

I.2 Schéma général d’une colonne d’absorption 5

I.3 Schéma général d’une colonne d’absorption avec rebouilleur 5

I.4 Schéma général d’un plateau d’équilibre 6

VI.1 Schéma de la colonne de l’application n°1 51

VI.1.a Profil de température pour l’application n°1 52

VI.1.b Profil des débits liquide et vapeur pour l’application n°1 52

VI.1.c Profil des compositions liquides pour l’application n°1 52

VI.1.d Profil des compositions vapeurs pour l’application n°1 52







VI.3.a Profil de température pour l’application n°3 pour le cas 1 59

VI.3.b Profil des débits liquide et vapeur pour l’application n°3 pour le cas 1 59

VI.3.c Profil des compositions liquides pour l’application n°3 pour le cas 1 60

VI.3.d Profil des compositions vapeurs pour l’application n°3 pour le cas 1 60























VI.9.a Profil de température pour l’application n°9 pour le cas 1 79

VI.9.b Profil des débits liquide et vapeur pour l’application n°9 pour le cas 1 79

VI.9.c Profil des compositions liquides pour l’application n°9 pour le cas 1 80

VI.9.d Profil des compositions vapeurs pour l’application n°9 pour le cas 1 80

v

Liste des Organigrammes

N° Titre Page

II.1 Approches de résolution du modèle mathématique des colonnes multi-étagées

de séparation liquide

12

II.2 Subdivision et groupement des équations 14

II.3 Association variables et équations 16

II.4 Méthodes des corrections simultanées 18

III.1 Procédure FLASHVFP 23

III.2 Ajustement de la température 23

III.3 Méthode Bubble Point 26

III.4 Résolution itérative des équations de bilan de matière 29

III.5 Calcul de la matrice Jacobienne pour l’algorithme Sum Rate 31

III.6 Méthode Sum Rate 32

III.7 Calcul de la matrice Jacobienne pour l’algorithme 2N-Newton 35

III.8 Méthode 2N-Newton 37

IV.1 Méthode des corrections simultanées 42

V.1 Méthode Inside Out 49

VI.1 Recommandations d’utilisation des différentes méthodes 60

B.1 Calcul du point de bulle 84

B.2 Calcul du point de rosée 105

B.3 Ajustement de la température pour les calculs d’équilibre 106

B.4 Calcul de flash 107

B.5 Calcul de flash à pression et taux de vaporisation fixés 108

C.1 Structure général du programme 111

Liste des Tableaux

N° Titre Page

I.1 Equations du modèle 9

I.2 Liste des variables 9

I.3 Liste des variables à fixer 10

I.4 Variables indépendantes 10

II.1 Résumé des Principaux Algorithmes de l’approche séquentielle 15

III.1 Equations de spécifications pour l’algorithme 2N-Newton 34

IV.1 Equations de spécifications pour l’algorithme des corrections simultanées 40

V.1 Equations de spécifications pour l’algorithme Inside Out 48

VI.1 Liste des exemples d’applications 50

VI.1.a Résultats de simulation pour l’application n°1 53

VI.1.b Comparaison des résultats de simulation avec différents modèles

thermodynamique pour l’application n°1

54

VI.2 Résultats de simulation pour l’application n°2 57

VI.3.a Résultats de simulation pour l’application n°3, cas 1 61

VI.3.b Résultats de simulation pour l’application n°3, cas 2 61





vi


VI.9 Résultats de simulation pour l’application n°9, cas 2 81

VI.10.1 Types de colonnes pouvant être simulées par les différents algorithmes 82

VI.10.2 Comparaison de la flexibilité des différents algorithmes étudiés 83

VI.10.3 Applications professionnelles des différents algorithmes 83

vii

Nomenclature

Lettre Latine Aij Coefficient de la matrice tridiagonale de bilan matière partiel du composant i

B ij Coefficient de la matrice tridiagonale de bilan matière partiel du composant i

C ij Coefficient de la matrice tridiagonale de bilan matière partiel du composant i

D ij Coefficient de la matrice tridiagonale de bilan matière partiel du composant i

Aj Coefficient du modèle simplifié du coefficient d’équilibre du composé de base

Bj Coefficient du modèle simplifié du coefficient d’équilibre du composé de base

Cj Coefficient du modèle simplifié de l’enthalpie liquide

Dj Coefficient du modèle simplifié de l’enthalpie liquide

Ej Coefficient du modèle simplifié de l’enthalpie vapeur

Fj Coefficient du modèle simplifié de l’enthalpie vapeur

aij Coefficient du modèle simplifié du coefficient d’activité

bij Coefficient du modèle simplifié du coefficient d’activité

Kij Coefficient d’équilibre du corps i au plateau j

Kbj Coefficient d’équilibre du corps de base au plateau j

xij Fraction molaire du corps i du courant liquide quittant le plateau j

yij Fraction molaire du corps i du courant vapeur quittant le plateau j

lij Débit molaire partiel du corps i du courant liquide quittant le plateau j

Lj Débit du courant liquide quittant le plateau j

vij Débit molaire partiel du corps i du courant vapeur quittant le plateau j

Vj Débit Vapeur du Plateau j

Tj Température du Plateau j

Pj Pression du Plateau j

Uj Débit de soutirage liquide du Plateau j

Wj Débit de soutirage vapeur du Plateau j

Hlj Enthalpie du courant liquide quittant le plateau j

Hvj Enthalpie du courant vapeur quittant le plateau j

zl

ij Fraction molaire du corps i du courant liquide quittant le plateau j

zv

ij Fraction molaire du corps i du courant liquide quittant le plateau j

Flj Débit de l’alimentation liquide du plateau j

Fvj Débit de l’alimentation vapeur du plateau j

flij Débit molaire partiel du corps i de l’alimentation liquide du plateau j

fvij Débit molaire partiel du corps i de l’alimentation vapeur du plateau j

Tfj Température de l’alimentation du Plateau j

Pfj Pression de l’alimentation du Plateau j

Hflj Enthalpie de l’alimentation liquide du plateau j

Hfvj Enthalpie de l’alimentation vapeur du plateau j

HE

Enthalpie d’excès

HR

Enthalpie résiduelle

RL

j Facteur de soutirage liquide du plateau j

RV

j Facteur de soutirage vapeur du plateau j

Sij Facteur de stripping du composant i au plateau j

Sbj Facteur de stripping du composant de base au plateau j

∆H Ecart d’enthalpie

Lettre Grecque ω Facteur Acentrique

α Coefficient de Volatilité

Indice i désigne le corps

j désigne le plateau

Exposant l désigne la phase liquide

v désigne la phase vapeur

Introduction générale

1


Les opérations de séparation concernent respectivement le traitement de la matière première et la

séparation des produits issus de la réaction. De telles opérations occupent donc une place essentielle

dans tous les schémas de fabrication des produits, et surtout dans les filières énergétiques (pétrolière

et gazière notamment) et constituent souvent une part majeure du coût de fabrication. Les colonnes

à plateaux en particulier sont parmi les opérations les plus utilisées. Nous citerons entre autre la

distillation et l’absorption. Les premières applications de la distillation étaient destinées à la

concentration des alcools dans la fabrication de différentes liqueurs. La première colonne de

distillation continue a été développée en 1813, en France par Cellier-Blumenthal [1]. En Angleterre,

Perrier a introduit une première version des plateaux à calottes en 1822 [1]. Coffey a construit la

première colonne de distillation à plateaux perforés en 1830 [1].

La modélisation et la simulation de ces opérations permettent d’aboutir à une meilleure utilisation

de l’énergie, un accroissement de la productivité et une diminution des coûts de fonctionnement.

Beaucoup de travaux ont été menés dans ce domaine, ce qui a conduit à l’élaboration de plusieurs

algorithmes de simulation. Ces derniers se différencient en fonction de la manière de gérer les

équations descriptives de la colonne. Bien que celles ci soient d’apparence simple, elles sont

fortement non linéaires et interdépendantes. Ainsi leur résolution fait appel à des méthodes

numériques itératives et très compliquées. A cela vient s’ajouter la difficulté liée à la taille du

problème car souvent, le nombre d’équations à résoudre est très élevé.

La théorie de la distillation n’a été introduite qu’en 1893 par Sorel dans son recueil ‘’La

Rectification de l’alcool’’ [1]. Ce dernier a été le premier à présenter le modèle mathématique

décrivant les colonnes de séparation liquide-vapeur à plateaux. Plusieurs travaux se sont alors

succédés tels que ceux de Lord Rayleigh (1902), Lewis (1909) et Ponchon (1921) [1]. Les premiers

ouvrages ont été écrits par Robinson en 1922 et Young en 1923 [1]. Une méthode graphique a été

introduite par Mc Cabe & Thiele en 1925. Plus tard, les travaux de Lewis & Matheson en 1932 et

Thiele & Geddes en 1933 ont introduit des méthodes appliquées à la distillation des mélanges

multicomposants [2]. Cependant ces méthodes étaient utilisées manuellement, ce qui demandait un

travail laborieux et fastidieux.

Durant les années 1930, 1940 et le début des années 1950, les études ont été orientées vers le

développement de solutions analytiques pour des modèles simples et l’élaboration de modèles

approximatifs et empiriques à des fins de dimensionnement. Certaines de ces méthodes ont été

introduites par Fenske (1932) [2], Guilliland (1940) [2], et Underwoud (1932, 1948) [3,4].

Avec l’apparition des premiers calculateurs numériques, une attention particulière a été donnée aux

méthodes de Lewis & Matheson et de Thiele & Geddes. Parmi les pionniers, on citera Amudsun &

Pontinen (1958) [5] à qui revient le mérite d’avoir introduit le calcul matriciel pour la résolution des

équations de bilan de matière. Amudsun & Pontinen (1958) [5] ont calculé la température à partir

de l’équation de sommation. C’est la forme primitive de la méthode « Bubble Point ». Ensuite

d’autres chercheurs ont introduit des modifications et des améliorations de ces algorithmes de base.

Nous citerons en occurrence l’introduction par Wang & Henke (1966) [6] de la résolution des

équations de bilan de matière par la méthode numérique de Thomas. Pour sa part, Holland & al

[7,8] ont introduit la « θ-Method », la « Kb- Method » et la « Constant composition Method » afin

d’améliorer les propriétés de convergence et de minimiser le temps de calcul.


2

Pour les colonnes d’absorption, Sujata (1961) [9] et Friday (1963) [10] ont proposé

indépendamment l’algorithme « Sum Rate ». Ces chercheurs ont opté pour le calcul des

températures à partir des équations de bilan d’énergie et les débits vapeur à partir des équations de

sommation. C’est pour cela que le terme de Sum Rate a été attribué. Ces méthodes ont ensuite

connu de nombreuses améliorations dont celles proposées par Burningham (1967) [11] et Holland

(1980) [12].

Tierny & Yanosik (1969) [13], Tomich (1970) [14] et Bilingsley & Boynton (1971) [15] ont

proposé de résoudre simultanément les équations de sommation et de bilan d’énergie. Ce qui a

donné naissance à l’approche « 2N-Newton ». Cette approche a été appliquée à différents types de

colonnes. Plus tard, Holland (1980) [11,16] a introduit certaines modifications dans le but

d’améliorer les propriétés de convergence.

Ces méthodes dites séquentielles n’étaient pas bien adaptées à la séparation de mélanges fortement

non idéaux. Alors une autre approche dite Corrections Simultanées a été proposée pour la première

fois par Wang et Oleson (1964) [2] et par Naphtali (1965) [2]. Cette approche consiste à résoudre

toutes les équations du modèle simultanément. Naphtali & Sandholm (1971) [17] ont développé un

algorithme de corrections simultanées pour le cas opératoire. Goldstein & Stanfield (1970) [18]

ainsi que Ricker & Grens (1972) [19,20] ont proposé une adaptation de cette approche au cas du

problème de conception. Gallun & Holland (1976) [21,22,23] ont adapté une méthode numérique de

type Quasi-Newton pour la résolution des équations du modèle. Ces derniers [21,22,23] sont les

premiers à avoir parlé de l’introduction de modèle thermodynamique rigoureux de façon explicite.

Ces même auteurs [24] ont appliqué leur algorithme au cas de la distillation extractive. Ishii & Otto

(1973) [1,2] ont appliqué la méthode de Goldstein & Stanfield à l’absorption des gaz acides par les

amines. Maiti & al (1994) [25] ont développé un algorithme qui combine la méthode de Naphtali

Sandholm et la short cut méthode de Edmister pour les cas de conception de colonne complexe.

Christansen & al (1979) [26] ont appliqué la méthode de Naphtali & Sandholm à la séparation de

mélange de GNL dans la région du domaine critique. O'Neill & al (1994) [27] ont proposé une

adaptation de l’algorithme de Naphtali & Sandholm à la programmation parallèle afin d’optimiser

le temps de calcul.

L’utilisation de modèles thermodynamiques rigoureux conduit bien souvent à des problèmes de

divergence d’une part, et augmente considérablement le temps de calcul d’autre part. Ceci a poussé

Boston & Sullivan (1972) [28,29,30,31,32] à introduire un nouvel algorithme dit « Inside-Out ».

Cette approche repose sur la notion de modèle thermodynamique localisé. En effet au lieu d’utiliser

les procédures thermodynamiques complexes de façon directe, celles ci sont utilisées pour générer

les paramètres d’un modèle thermodynamique simple et propre à chaque plateau. Ce modèle simple

est alors utilisé dans une boucle interne (Inside loop) de calcul. Les paramètres du modèle simple

sont alors réactualisés de façon périodique dans une boucle externe (Out side loop). En 1983,

Russel [33] a présenté une version de Inside Out très efficace et plus générale. Jelinek (1988) [34] a

développé un algorithme inside-out inspiré de celui de Russel mais beaucoup plus simplifié. Il est à

noter toutefois, que dans ce domaine il n’y a que très peu de publications. On peut expliquer cela

par le secret professionnel, car cette méthode est à la base des meilleurs simulateurs commerciaux

(ASPEN, HYSYS, PROII ...). On citera aussi l’application et le développement de la méthode

Inside Out pour la distillation avec réaction chimique (Ventkaraman 1990) [41].

Quelques publications sur l’histoire du développement de la simulation et de la modélisation des

colonnes de séparation liquide-vapeur sont apparues dans la littérature, nous citerons entre autres les

travaux fondamentaux de Friday & Smith (1964) [10], King (1980) [36], Wang (1980) [2] et

Holland (1983) [1]. Il est aussi important de signaler une série d’articles publiés par C.D. Holland &

al [7,16,21,36,37,38,39,40] résumant les principaux algorithmes de simulation.


3

MS Ray [42,43,44,45] a présenté sous forme de liste bibliographique tous les travaux publiés dans

le domaine de l’étude des colonnes de séparation liquide – vapeur entre 1980 et 1994. Toutefois,

l’étude la plus complète dans ce domaine demeure celle proposée par Haas & Kister (1992) [41].

Dans ce travail, une étude de synthèse des algorithmes de simulation des colonnes de séparation

liquide vapeur est proposée. Notre contribution, apparaît notamment dans l’implémentation de ces

algorithmes en se basant sur des modèles thermodynamiques rigoureux (Redlich Kwong, Soave

Redlich Kwong, Peng Robinson, Chao Seader, Grayson Stread). Pour ce faire, nous y avons

introduit des modifications afin d’améliorer les propriétés de convergence (stabilité et robustesse).

Nous abordons dans le chapitre un, la présentation du modèle généralisé des différents types de

colonnes à plateaux (la distillation, l’absorption, l’absorption avec reflux). Le chapitre deux est

consacré au développement des différentes approches fondamentales de la simulation des colonnes

de séparation liquide vapeur.

Les chapitres trois, quatre et cinq portent successivement sur la description détaillée de chaque

algorithme étudié (Bubble Point, Sum Rate, 2N-Newton, Corrections Simultanées et Inside Out).

Enfin, le chapitre six, présente les résultats de simulation obtenus par les différents algorithmes

implémentés pour une grande variété d’applications (raffinage, pétrochimie, GNL). A l’issue de

quoi, une série de recommandations d’utilisation de ces algorithmes est présentée.

Chapitre I. Modélisation mathématique des colonnes multi-étagées de séparation liquide vapeur

4

I. Modélisation mathématique des colonnes multi-étagées de

séparation liquide vapeur

I.1 Introduction

Cette partie présente la formulation du modèle généralisé des différents types de colonnes à plateaux

qui font l’objet de cette étude à savoir la distillation, l’absorption, l’absorption avec rebouilleur ou

avec reflux. Le modèle est basé sur les lois de conservation de la matière et de l’énergie ainsi que

sur le concept thermodynamique d’équilibre de phases.

I.2 Présentation des différents types de colonnes

La figure (I.1) représente le schéma général d’une colonne de distillation comportant N plateaux

théoriques. Le condenseur quel que soit son type (partiel ou total) est l’étage n°1 et le rebouilleur

l’étage n° N. L’étage n°2 est dit plateau de tête et l’étage N-1 est dit le plateau de fond.

U1

W3

LN-1

L1

N-1

N

1

V1

QN-1

UN-1

WN-1

FN-1

2

Q2

U2

W2

F2

3Q3

U3

F3

VN VN

LN

N-2QN-2

UN-2

WN-2

FN-2

j

QjUj

Wj

Fj

Figure.I.1 : Schéma général d’une colonne de Distillation


5

Les colonnes d’absorption liquide - vapeur (figure I.2) ne comportent ni condenseur ni rebouilleur.

L’étage n°1 est le plateau de tête et l’étage n° N est le plateau de fond.

Les colonnes d’absorption avec rebouilleur (figure I.3), sont dépourvues de condenseur mais sont

munies d’un rebouilleur. L’étage n°1 est donc le plateau de tête et le plateau N-1 le plateau de fond.

L’étage N est le rebouilleur.

En fait, les différentes colonnes présentées sont basées sur le même modèle de plateau (voir figure

I.4). Chaque plateau j est alimenté par un débit vapeur Vj+1 et un débit liquide Lj-1 venant

V1

U1W2

LN-1

N-1

N

QN-1

UN-1

WN-1

FN-

1Q1

W1

F1

2Q2

U2

F2

VN V

LN

N-2QN-2

UN-2

WN-2

FN-

j

QjUj

Wj

Fj

Figure.I.3 : Schéma général d’une colonne d’absorption avec rebouilleur

U1W2

N

V1

QN

UN

WN

FN

1Q1

W1

F1

2Q2

U2

F2

LN

N-1QN-1

UN-1

WN-1

FN-

j

QjUj

Wj

Fj

Figure.I.2 : Schéma général d’une colonne d’absorption


6

respectivement des deux plateaux adjacents j+1 et j-1. De même, quittent le plateau j un débit

vapeur Vj et un autre liquide Lj pour alimenter respectivement les deux plateaux adjacents j-1 et j+1.

Sur chaque plateau peut être défini une alimentation vapeur FV

j et une alimentation liquide FL

j, un

soutirage liquide Uj, un soutirage vapeur Wj et une perte ou apport de chaleur Qj.

I.3 Formulation des équations du modèle

I.3.1 Hypothèses du modèle

Sur chaque plateau on considère les équilibres suivants :

1- Equilibre mécanique: la pression de la phase vapeur est égale à la pression de la phase liquide

Plj = P

vj = Pj

2- Equilibre thermique: la température de la phase liquide est égale à la température de la phase

vapeur

Tlj = T

vj = Tj

3- Equilibre thermodynamique: égalité des fugacités dans chaque phase pour chaque constituant

f fi

L

i

V=

On fait aussi l’hypothèse d’absence de réactions chimiques et que chacune des phases vapeur et

liquide sont parfaitement agitées.

I.3.2 Equations du modèle

Alimentation vapeur

Fj V , z

fvij , H

fvj , T

fj ,P

fj

Plateau j

Tj , Pj

Lj-1

xij-1

Hlj-1

Tj-1

Pj-1

Vj

yij

Hvj

Tj

Pj

Alimentation Liquide

Fj L , z

flij , H

flj , T

fj , P

fj

Lj

xij

Hlj

Tj

Pj

Vj+1

yij+1

Hvj+1

Tj+1

Pj+1

Soutirage Vapeur Wj

Transfert de Chaleur Qj

(+) : quittant le plateau

( -) : entrant au plateau

Soutirage Liquide Uj

Figure.I.4 : Schéma général d'un plateau d'équilibre


7

A chaque plateau d’équilibre, on associe les quatre équations suivantes :

• Bilan de matière partiel.

• Bilan d’énergie.

• Relations d’équilibre.

• Equation de sommation.

Ces quatre équations sont désignées sous l’appellation M.E.S.H [6]. Pour sa résolution, le modèle

peut être formulé de deux façons selon qu’on utilise les fractions molaires ou les débits partiels.

I.3.2.a Formulation en terme de fractions molaires

1- Equation Mij : représente le bilan matière pour chaque constituant i autour du plateau j.

M L x V y F z F z L U x V W yij j i j j i j j

L

ij

L

j

V

i j

V

j j ij j j ij= + + + − + − + =− − + + + +1 1 1 1 1 1 0, , , ( ) ( ) (I-1-a)

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N

2- Equation Eij: représente l'équilibre de phases pour chaque constituant i sur chaque plateau j.

E y K xij ij ij ij= − = 0 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-2-a)

3- Equation S: représente la sommation des fractions molaires de tous les constituants i sur le

plateau j pour les deux phases.

Pour la phase liquide :

S xj

L

iji

c

= − ==

1 01

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-3-a)

Pour la phase vapeur :

S yJ

V

iji

c

= − ==

1 01

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-4-a)

4- Equation Hj : représente le bilan d'énergie autour du plateau j.

H L H V H F H F H L U H V W H Qj j j

L

j j

V

j

L

j

Fl

j

V

j

Fv

j j j

L

j j j

V

j= + + + − + − + − =− − + + + +1 1 1 1 1 1 0( ) ( ) (I-5-a)

1 ≤ j ≤ N

I.3.2.b Formulation en terme des débits partiels


8

1- Equation Mij : représente le bilan matière pour chaque constituant i autour du plateau j.

0)1()1(1,1,1, =+−+−+++= +−+ ij

J

j

ij

J

jv

ji

l

ijjijiij vV

Wl

L

UfflvM 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-1-b)

2- Equation Eij: représente l'équilibre de phases pour chaque constituant i sur chaque plateau j.

Ev

v

Kl

lij

ij

k jk

C ij

ij

k jk

C= − =

= =

, ,1 1

0 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-2-b)

3- Equation S: représente la sommation des fractions molaires de tous les constituants i sur le

plateau j pour les deux phases.

Pour la phase liquide :

Sl

Lj

L ij

ji

c

= − ==

1 01

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-3-b)

Pour la phase vapeur :

Sv

Vj

V ij

iji

c

= − ==

1 01

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (I-4-b)

4- Equation Hj : représente le bilan d'énergie autour du plateau j.

0)1()1( 1

,

1

,

1

1,

11

1,1

1

1,1

=−+−+−

+++=

==

=+

==++

=−−

j

C

i

ji

J

jv

j

C

i

ji

J

jl

j

C

i

l

ji

l

j

C

i

v

ij

v

j

C

i

ji

v

j

C

i

ji

l

jj

QvV

WHl

L

UH

fHffHfvHlHH

1 ≤ j ≤ N (I-5-b)

A toutes ces équations s’ajoute celle du bilan de matière global

( )L V F F F U W Vj j j

V

m

V

m

L

m mm

j

= + + + − − −+ +=

1 11

1 (I-6)

Le passage entre les deux formes se fait facilement par les relations suivantes entre les débits

partiels et les fractions molaires :

v Viji

c

j=

=1

; l Liji

c

j=

=1

; yv

v

ij

ij

iji

c=

=

1

; xl

l

ij

ij

ij

i

c=

=

1

En plus des équations M.E.S.H, des corrélations sont nécessaires pour prédire les coefficients

d’équilibre, les enthalpies liquide et vapeur. Ces trois propriétés physiques Kij, HjL, Hj

V sont des

fonctions non linéaires des variables d’état du modèle (T, P, x, y). Leurs expressions sont

développées dans l’Appendice B. On peut les exprimer comme suit :


9

K K T P x yij ij j j j j= , , , (I-7)

H H T P xj

L

j

L

j j j= , , (I-8)

H H T P yj

V

j

V

j j j= , , (I-9)

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N

Le problème se résume alors à résoudre les N(3+2C) équations indépendantes répertoriées dans le

tableau suivant :

Tableau (I.1) : Equations du modèle

Equations Nombre Bilan de matière partiel N × C

Relation d’équilibre N × C

Equation de sommation 2 × N

Bilan d'énergie N

Total N(3+2C)

I.4 Choix des variables indépendantes

Le modèle généralisé des colonnes de séparation liquide vapeur à plateaux présente N(4C+17)

variables qui sont listées dans le tableau suivant :

Tableau (I.2) : Liste des variables

Variable Nombre Débit de soutirage liquide et vapeur à chaque plateau 2 × N

Quantité d’énergie échangée à chaque plateau N

Débits des alimentations liquide et vapeur 2 × N

Pressions des alimentations liquide et vapeur 2 × N

Températures des alimentations liquide et vapeur 2 × N

Composition des alimentations liquide et vapeur 2 × N × C

Débits liquide et vapeur de chaque plateau 2 × N

Température de chaque plateau N

Pression de chaque plateau N

Compositions liquide et vapeur des plateaux 2 × N × C

Total N(4C+17)

Afin de définir le problème, il est nécessaire de fixer un certain nombre de variables et le reste sera

calculé à partir de la résolution des équations MESH. Le nombre de variables à fixer est obtenu par

la différence entre le nombre total de variables [tableau : I.2] et le nombre d’équations

indépendantes [tableau I.1]. Il en résulte que N(2C+14) variables doivent être fixées.

Dans le cas ou on fixe, le nombre de plateaux, la position des alimentations et des soutirages, le

problème est dit opératoire. Dans le cas ou ces variables sont à déterminer, le problème est dit de

conception. Dans tout ce travail nous nous intéressons uniquement au cas opératoire.


10

Dans ce cas, on doit spécifier toutes les alimentations du point de vue composition, pression,

température, débit. On doit aussi spécifier tous les soutirages liquide et vapeur (en dehors de Ln et

V1), le profil de pression. Les échanges d’énergie de chaque plateau doivent aussi être spécifiés. La

position de chaque soutirage et alimentation doit être indiquée. Le tableau suivant résume les

variables qu’on fixe généralement.

Tableau (I.3) : Liste des variables à fixer

Variable Nombre Débit de soutirage liquide et vapeur à chaque plateau 2 × N

Quantité d’énergie échangée à chaque plateau N

Débits des alimentations liquide et vapeur 2 × N

Pressions des alimentations liquide et vapeur 2 × N

Températures des alimentations liquide et vapeur 2 × N

Compositions des alimentations liquide et vapeur 2 × N × C

Total N(2C+14)

Les variables indépendantes qu’on doit déterminer à partir de la résolution des équations MESH

pour connaître l’état du système sont résumées dans le tableau (I.4).

Tableau (I.4) : Variables indépendantes

Variables Nombre Compositions liquide N × C

Compositions vapeur N × C

Température N

Débit liquide et vapeur 2 × N

Total N(3+2C)

Comme on le verra plus loin, certaines méthodes nous offrent la possibilité de spécifier d’autres

variables que celle présentées dans le tableau (I.4). Par exemple, dans le cas de la distillation, on

choisit en général de spécifier le débit de reflux L1 et le débit de soutirage Ln. Donc on ne fixe pas

les charges thermique Q1 et Qn du condenseur et du rebouilleur [tableau I.3]. Elles seront alors

calculées dans une boucle externe. De même, dans le cas des colonnes d’absorption avec

rebouilleur, souvent on préfère spécifier le débit de résidu Ln. La charge thermique du rebouilleur Qn

sera alors calculée aussi dans une boucle externe. Pour les colonnes d’absorption ou de stripping, on

préfère retenir comme variables indépendantes, celles présentées dans le tableau (I.4).

Chapitre II. Approches fondamentales de la simulation des colonnes de séparation

liquide vapeur

11

II. Approches fondamentales de la simulation des colonnes de séparation liquide vapeur

II.1 Introduction

La simulation des colonnes de séparation liquide vapeur à plateaux, a fait l’objet d’un nombre très

important de travaux [42,43,44,45]. Une étude rétrospective, nous a permis d’identifier différents

algorithmes de base. Aussi, nous avons pu constater que chacun de ces algorithmes se caractérise

des autres par sa procédure de calcul et par l’application pour laquelle il est destiné. Toutefois très

peu de travaux [2,1,36,41] ont été menés dans l’objectif de synthétiser ces différents algorithmes et

de définir une approche fondamentale de résolution.

De ce fait, il nous est paru nécessaire d’établir une classification des différents algorithmes pour la

résolution du modèle MESH. Cette classification nous permettra par la suite de comprendre les

particularités de chaque approche et de préconiser leurs domaines d’applications appropriés.

II.2 Approche mathématique de la résolution du modèle MESH

Le modèle de la colonne à résoudre tel que présenté dans le premier chapitre est constitué d’un

grand nombre d’équations algébriques non linéaires. Les mathématiques nous offrent plusieurs

possibilités pour résoudre ce système d’équations [54,55]. Parmi ces méthodes numériques nous

citerons :

- la substitution et l’élimination.

- les méthodes directes (sans calcul des dérivées partielles).

- l’approche séquentielle.

- l’approche simultanée.

Les deux premières approches sont à éliminer car elles nécessitent des manipulations spéciales des

équations qui sont impossibles à effectuer sur le modèle MESH, par contre, les deux dernières sont

retenues. L’approche séquentielle consiste à découpler le système d’équations en sous systèmes qui

sont résolus séquentiellement selon une procédure itérative. L’approche des corrections simultanées

consiste à résoudre toutes les équations du système simultanément [voir Organigramme II.1]. Dans

les paragraphes qui suivent, nous présenterons en détail ces deux approches mathématiques

appliquées à la résolution du système d’équations du modèle M.E.S.H.


liquide vapeur

12

Organigramme (II.1)

Approches de résolution du modèle

mathématique des colonnes

multi-étagées de séparation

liquide-vapeur

Approche

séquentielle

Approche des

corrections

simultanées

Le modèle mathématique de

la colonne de distillation est

subdivisé en sous systèmes

qui seront résolus de manière

séquentielle

Le modèle mathématique

de la colonne de distillation

est résolu de manière

simultanée


liquide vapeur

13

II.2.1 Approche séquentielle

Elle consiste à fractionner le système MESH en sous-systèmes d'équations qui sont résolues

séquentiellement. Les équations de bilan de matière (I-1) sont résolues indépendamment pour

générer les profils de distribution des compositions. Ensuite, les profils de température et de débits

sont obtenus à partir des autres équations du modèle soit simultanément ou séparément.

Dans l’approche séquentielle, un choix judicieux doit être porté sur quatre aspects importants pour

la résolution du modèle, à savoir :

- le choix des variables indépendantes.

- le découplage du système d’équations en sous systèmes.

- l’association variables équations.

- l’ordre de résolutions.

II.2.1.a Choix des variables indépendantes

Le choix des variables indépendantes est très important aussi bien pour la réduction de la taille du

problème que pour définir l’état du système. Les variables généralement utilisées sont la

température, les compositions vapeur et liquide de chaque plateau ainsi que les débits liquide et

vapeur quittant chaque étage. Certains auteurs utilisent les débits molaires partiels au lieu des

fractions molaires. D’autres auteurs ont choisi d’utiliser comme variables d’itération les facteurs de

stripping ou d’absorption dans le but de combiner plusieurs variables.

II.2.1.b Découplage des équations du modèle en sous systèmes

Cette étape consiste à découpler le système d’équations MESH en sous systèmes pouvant être

résolus indépendamment. Le découplage peut se faire de deux manières :

soit on découple en trois groupes qui sont :

1- Les équations de bilan de matière combinées aux relations d’équilibre.

2- Les équations de sommation.

3- Les équations de bilan d’énergie.

soit on découple en deux groupes qui sont :

1- Les équations de bilan de matière combinées aux relations d’équilibre.

2- Les équations de sommation et les équations de bilan d’énergie.

Dans chaque cas, les groupes d’équations sont résolus de manière séquentielle [voir Organigramme

II.2].


liquide vapeur

14

Organigramme (II.2)

Subdivision et groupement

des équations du modèle

1. Equations de bilan de matière

partiel combinées aux

équations d’équilibre (1-2)

2. Equations de sommation (3)

3. Equations de bilan

enthalpique

(4)

1. Equations de bilan de matière

partiel combinées aux

équations d’équilibre (1-2)

2. Equations de sommation (3)

et équations de bilan

enthalpique

(4)

Exemple

• Bubble Point

• Sum Rate

Trois groupes

d’équations

Deux groupes

d’équations

Ordre de résolution

(1-2), (3), (4) Ordre de résolution

(1-2), (3 et 4)

Exemple

• 2-N Newton


liquide vapeur

15

II.2.1.c Association variables équations

L’association variables - équations [voir Organigramme II.3], doit tenir compte du fait que dans

chaque groupe d’équations il y a une variable dominante, les autres ayant un rôle secondaire.

L’équation est alors résolue pour la variable dominante après avoir initialisé les variables

secondaires.

Dans l’approche séquentielle, les compositions où les débits partiels sont toujours obtenus à partir

des équations de bilan de matière. La température peut être obtenue soit à partir des équations de

sommation où des équations d’énergie et vice versa pour les débits vapeur. Ceci dépend du type de

mélange utilisé.

Dans les colonnes de distillation, le mélange à séparer présente généralement une plage de

température d’ébullition relativement étroite. La séparation est donc conditionnée par la variation

des coefficients d’équilibre en fonction de la température [36,52]. Par contre, pour l’absorption et le

stripping la séparation est beaucoup plus influencée par la chaleur d’absorption associée au transfert

des constituants d’une phase à l’autre [36,52]. Les algorithmes adaptés pour un certain type

d’opérations peuvent ne pas être très efficaces pour d’autres types.

Certaines colonnes complexes peuvent même présenter des sections qui se comportent comme une

distillation et d’autres qui sont comparables à une absorption, c’est le cas notamment des colonnes

d’absorption avec rebouilleur.

II.2.1.d Ordre de Résolution des groupes d’équations

On commence toujours par la résolution des équations de bilan de matière partiel pour obtenir les

profils de composition ou de débit partiel des constituants sur chaque plateau.

Les équations de sommation sont toujours résolues avant les équations de bilan d’énergie dans le

but de calculer les enthalpies à partir des fractions molaires normalisées [10]. Dans le cas ou on

résoud ces deux groupes d’équations (sommation et énergie) simultanément, l’ordre de résolution

de ces dernières ne se pose plus.

II.2.1.e Principaux algorithmes de l’approche séquentielle

L’approche séquentielle a connu le développement d’un très grand nombres d’algorithmes.

Cependant, tous sont des variantes de trois algorithmes de base que nous verrons plus en détail au

chapitre trois avec les principales modifications que nous y avons introduites afin d’améliorer leurs

propriétés de convergence. Le tableau suivant met en évidence les particularités de chacun de ces

algorithmes selon les points qui viennent d’être présentés.

Tableau II.1 Résumé des Principaux Algorithmes de l’approche séquentielle

Algorithme Variables Découplage du Système

d’équations M.E.S.H Association Variables Equations

Ordre de Résolution

Bubble Point

xij, ou bien lij

yij, ou bien vij

Tj et Vj

• Bilan matière et équilibre

• Sommation

• Bilan d’énergie

• xij, ou bien lij à partir du bilan matière

• Tj à partir des équations de sommation

• Vj à partir des bilans d’énergie

1

2

3

Sum Rate

xij, ou bien lij

yij, ou bien vij

Tj et Vj


• Sommation

• Bilan d’énergie


• Vj à partir des équations de sommation

• Tj à partir des bilans d’énergie

1

2

3

2N-Newton

xij, ou bien lij

yij, ou bien vij

Tj et Vj


• Sommation et Bilan

d’énergie


• Tj et Vj à partir des équations de sommation

et des bilans d’énergie

1

2


liquide vapeur

16

Organigramme (II.3)

Association entre variables et équations

Correction des

compositions

Correction des

températures

Correction des

débits

Equations de

Bilan de matière

Equation de

sommation

Equations de

bilan d’énergie

Equations de bilan

d’énergie

Equations de

sommation

Corrections

simultanées des

débits et des

températures

Equations de

sommation et

équations de bilan

d’énergie


liquide vapeur

17

II.2.2 Approche des corrections simultanées

Contrairement à l’approche séquentielle, l’approche des corrections simultanées consiste à résoudre

l’ensemble des équations M.E.S.H simultanément. Dans l’approche des corrections simultanées, on

doit tenir compte des trois points suivants :

- le choix des variables indépendantes.

- l’arrangement des équations.

- la méthode numérique de résolution.

II.2.2.a Choix des variables indépendantes

Il y a plusieurs façons de choisir les variables indépendantes. En général, le choix doit être pris de

façon à réduire la taille du problème. Dans l’approche des corrections simultanées, le choix le plus

utilisé porte sur les températures des plateaux et les débits partiels liquide et vapeur (Tj, vij, lij).

II.2.2.b Arrangement des équations

Dans l’approche des corrections simultanées, toutes les équations étant résolues simultanément le

problème d’association variables - équations ne se pose plus. Par contre un autre type de problème

se pose : comment ordonner les équations et les variables ?

En effet deux possibilités s’offrent à nous :

1- par type d’équation.

2- par constituant.

Naphtali et Sandholm [17] ont proposé de les grouper par plateau. Par contre, Goldstein Stanfield

[18] ont groupé les équations par constituant. Le groupement par plateau est adéquat pour les

colonnes de distillation avec un grand nombre de plateaux et peu de constituants, par contre le

groupement par constituant est plus approprié pour les colonnes à faible nombre de plateaux et un

grand nombre de constituants [18]. Le premier choix présente aussi l’avantage de la possibilité

d’intégrer des modèles thermodynamiques rigoureux [18].[voir Organigramme II.4]

II.2.2.c Méthode numérique de résolution

La résolution simultanée des équations peut se faire par la méthode numérique classique de

Newton-Raphson. Une autre voie est celle des méthodes dites Quasi-Newton. Ces dernières ont la

particularité d’éviter de recalculer la Jacobienne et de l’inverser à chaque itération. En effet, elles

permettent une estimation directe de l’inverse de la Jacobienne, et diminuent ainsi l’effort de calcul.

II.2.2.d Principaux algorithmes de l’approche des corrections simultanées

Plusieurs algorithmes de l’approche corrections simultanées ont été développés depuis les premiers

travaux sur la simulation des colonnes de distillation. Les plus connus sont ceux de Naphtali &

Sandholm [17] et de Goldstein & Stanfield [18]. Sur la base de ces deux algorithmes, d’autres

auteurs ont développé des variantes améliorées. Nous citerons à titre d’exemple les travaux de

Gallun & Holand [22]. Pour notre part, nous proposerons dans le chapitre quatre une variante de

l’algorithme de Naphtali & Sandholm [17].


liquide vapeur

18

Organigramme (II.4)

Méthodes des corrections simultanées

Corrections

simultanées des

compositions,

débits et des

températures

Equations de bilan de

matière, sommation et

équations de bilan

d’énergie

Méthode numérique

Quasi-Newton

Méthode numérique de

Newton-Raphson

Exemple

- Naphtali-Sandholm

- Goldstein-Stanfield

- Ishii-Otto

Exemple

Almost band

Algorithm

Gallun-Holland


liquide vapeur

19

II.3 Conclusion

A la lumière de ce qui a été présenté dans ce chapitre, on distingue deux grandes classes de

méthodes de résolution des équations MESH: l’approche des corrections séquentielles et l’approche

des corrections simultanées.

Dans l’approche séquentielle, les différentes variables indépendantes ne sont pas calculées

simultanément. Ce point particulier peut poser des problèmes de convergence lors de l’utilisation de

modèles thermodynamiques rigoureux. En effet, les coefficients d’équilibre sont calculés en

utilisant les compositions de l’itération précédente. Bien que ce décalage se corrige au fur et à

mesure des itérations, il peut poser des problèmes de divergence pour le cas de mélanges fortement

non idéaux. Nous verrons dans le chapitre trois, les différentes techniques que nous proposons afin

de surmonter ce problème.

Pour l’approche des corrections simultanées, le problème précédent est résolu. Cependant, d’autres

difficultés liées aux propriétés de convergence de la méthode numérique de Newton-Raphson

apparaissent. La méthode de Newton-Raphson ne converge bien que si on lui fournit une bonne

estimation initiale de la solution. En fait, le domaine de convergence de la méthode de Newton est

très réduit. On verra dans l’Appendice (D), la procédure d’initialisation choisie. Dans le cas de

mauvais estimé initial, on peut aboutir à des solutions négatives. D’autres part, pour le cas des

mélanges non idéaux, les solutions peuvent présenter des oscillations. On verra dans le chapitre

quatre les solutions que nous envisageons pour éviter ces deux derniers problèmes.

Les propriétés thermodynamiques (Coefficient d’équilibre et enthalpie calculés à partir de modèles

thermodynamiques rigoureux) apparaissant dans le modèle MESH sont la principale source de non

linéarité du système. Ce qui complique le processus de convergence du système pour les mélanges

fortement non idéaux. Ceci a conduit à l’introduction d’un nouveau concept dit “ modèle

thermodynamique localisé ”. En effet au lieu d’utiliser les procédures thermodynamiques

complexes (non linéaires) directement dans la boucle de calcul, celles-ci sont utilisées pour générer

les paramètres d’un modèle thermodynamique simple (linéaire) propre à chaque plateau dans une

boucle externe. Ce modèle simple est alors utilisé dans la boucle de calcul (dite interne). Les

paramètres du modèle simple sont alors réactualisés de façon périodique. Nous verrons plus en

détail, l’application de ce concept dans le chapitre cinq.

A travers les chapitres suivants, nous aborderons en détail, l’implémentation de ces algorithmes de

base, avec l’introduction des différentes modifications pour résoudre les problèmes suscités.

Remarque

Historiquement les premiers algorithmes de simulation des colonnes de séparation liquide - vapeur

étaient de type séquentiel bien que la méthode numérique de Newton-Raphson (approche des

corrections simultanées) était connue et représentait l’approche la plus rigoureuse. Cependant, le

choix était conditionné par les ressources informatiques disponibles à l’époque. En effet, l’approche

des correction simultanée est consommatrice de beaucoup d’espace mémoire et d’un temps

d’exécution très lent, ce que la technologie de l’époque ne pouvait pas prendre en charge

correctement. De nos jours, ce problème ne se pose plus car des micro-ordinateurs très puissants du

standard 350 Mhz et de 32 Mo sont disponibles.

Chapitre III. Algorithmes de l’approche séquentielle

20

III. Algorithmes de l’approche séquentielle

III.1 Introduction

Les trois principaux algorithmes de base de l’approche séquentielle sont :

• L’algorithme Bubble-Point.

• L’algorithme Sum-Rate.

• L’algorithme 2N-Newton.

Ces algorithmes ont connu beaucoup de modifications relatives à l’amélioration des propriétés de

convergence et à la minimisation du temps de calcul. Cependant, dans tous les travaux publiés que

nous avons consulté [voir introduction générale], les auteurs se limitent à l’utilisation de modèles

thermodynamiques très simples. Nous avons alors, introduit des modifications à chacun de ces

algorithmes, en vue de permettre l’implémentation de modèles thermodynamiques rigoureux et

d’améliorer les procédures de calcul pour une meilleure robustesse, stabilité et précision des

résultats.

III.2 Algorithme Bubble-Point

Nous proposons dans ce qui suit, une version modifiée de l’algorithme « Bubble Point » proposé à

l’origine par Wang & Henke [6]. Sur la base de cet algorithme amélioré, nous avons développé un

sous programme DISTBP pour la simulation des colonnes de distillation.

La méthode « Bubble Point » découple le modèle (M.E.S.H) de la colonne de distillation en trois

groupes:

1. Le premier groupe est constitué des équations de bilan de matière combinées aux équations

d’équilibre (I-1-a et 1-2-a).

2. Le deuxième groupe est constitué des équations de sommation (I-4-a).

3. Le troisième groupe est constitué des équations de bilan d'énergie (I-5-a).

Les variables indépendantes sont les compositions, les températures et les débits vapeur de chaque

plateau. Nous avons adopté le schéma de résolution décrit par l’organigramme (III-3).

L’initialisation des variables d’état est obtenue telle que décrite à l’appendice (D).

III.2.1 Calcul des compositions liquides

La distribution des compositions sur chaque plateau est obtenue par la résolution des équations de

bilans de matière partiels composant par composant. La composition en phase vapeur yij est

substituée par K xij ij au niveau des équations de bilan de matière partiel (I-1-a). Alors on peut écrire

les équations de bilan de matière pour chaque composant i sur chaque plateau j sous la forme

suivante :

jjijjijjij DxCxBxA =++ +− 1,,1, 1 ≤ j ≤ N (III-1)

où

( ) 1

1 11 −

=− −−−+++==j

m mm

V

m

L

m

V

jjjj VUWFFFVLA 2 ≤ j ≤ N (III-2)


21

( ) ( )

+++−−−+++−=

=

++ ijjjj

j

m

mm

V

m

L

m

V

jjj KWVUVUWFFFVB 1

1

11 1 ≤ j ≤ N (III-3)

1,1 ++= jijj KVC 1 ≤ j ≤ N-1 (III-4)

V

ij

VL

ij

L

jj zFzFDj 11 ++

−−= 1 ≤ j ≤ N (III-5)

Ainsi, pour chaque composant i, le bilan pour l’ensemble des plateaux se résume par l’équation

matricielle:

=

−−−−

N

N

iN

iN

i

i

i

NN

NNN-

D

D

D

D

D

x

x

x

x

x

BA

CBA

CBA

CBA

CB

1

3

2

1

,

,1

,3

,2

,1

111

333

222

11

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

0 . . . 0

0 . . . 0

. . . 0

. . . .

. . . .

. .

.

0

(III-6)

On résoud alors simultanément les équations de bilans de matière partiels, pour chaque composant i,

sur tous les plateaux. La matrice (III-6) est de type tridiagonale. Sa résolution se fera par la méthode

numérique de Thomas (voir Appendice (A)). Cette procédure est réitérée pour chaque composant.

Il est à noter que les coefficients d’équilibre pour la première itération sont calculés dans la phase

d’initialisation (Appendice (D)). Pour les autres itérations, on utilise les coefficients d’équilibre

obtenus à partir des compositions et de la température de l’itération précédente.

III.2.2 Normalisation des compositions liquides

Les compositions obtenues précédemment ne sont pas forcément comprises entre zéro et un. Pour

cela, nous procédons à une normalisation des compositions sur chaque plateau. Cette étape est

d’une importance capitale dans le processus de convergence.

( )xx

xij

ij

ij

i

CNormalisé =

=

1

1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (III-7)


22

III.2.3 Calcul du profil de température

Dans les différentes variantes de l’algorithme « Bubble Point », le profil de température est obtenu

par le calcul du point de bulle sur chaque plateau. Ceci revient à résoudre l’équation de bulle

suivante.

K xij iji

c

− ==

1 01

Wang & Henke [6] ont résolu l’équation de bulle par la méthode numérique de Muller [54,55]. Ces

derniers ont utilisé des polynômes donnant le coefficient d’équilibre en fonction de la température

uniquement. D’autres méthodes numériques comme celle de Newton-Raphson, Regula Falsi ou

bien celle de Wegstein [54,55] peuvent aussi être utilisées. Holland & al [7,8] a proposé d’utiliser la

« Kb-Method » qui consiste à utiliser un modèle linéaire des coefficients d’équilibre. Cette

approche permet d’obtenir une estimation très rapide de la température. Néanmoins, ces deux

approches ne sont applicables que pour les mélanges proches de l’idéalité. En effet, la contribution

des compositions est absente.

Par ailleurs, l’intégration de modèles thermodynamiques rigoureux, nous a permis de générer des

coefficients d’équilibre qui sont fonctions des compositions liquides et vapeurs. Dans ce cas le

calcul de température à partir du point de bulle se révèle instable et conduit même à une divergence

pour les colonnes complexes. Pour remédier à ce problème, nous proposons de calculer la

température d’équilibre par une procédure (FLASHVFP) de calcul de flash à pression et taux de

vaporisation fixés. On constate alors une variation beaucoup plus douce des profils de température.

Ce calcul de flash permet aussi de corriger les compositions liquide et vapeur et donc, élimine le

décalage avec les coefficients d’équilibre. Nous remarquons également qu’il tient compte des débits

liquide et vapeur ce qui n’est pas le cas lors de l’utilisation du point de bulle. On obtient ainsi une

meilleure convergence.

Présentation de la procédure de flash à taux de vaporisation et pression fixés Une alimentation fictive est reconstituée à partir des débits liquide et vapeur quittant le plateau j

calculés à l’itération précédente :

F

j

ijjjijjjF

ijF

y)WV(x)UL(z

+++= (III-8)

avec )WV()UL(F jjjj

F

j +++= (III-9)

On définit le taux de vaporisation :F

j

jj

jF

WV +=β (III-10)

Le calcul de flash à taux de vaporisation et pression fixés revient à résoudre sur chaque plateau

l’équation de Rachford-Rice:

0yxM

1i

ij

M

1i

ijj =−= ==

Φ 1 ≤ i ≤ M ; 1 ≤ j ≤ N (III-11)


23

La substitution des équations (III-8, III-9, III-10) dans l’équation de Rachford-Rice nous donne la

forme suivante:

= −+

−=

M

1i ij

ijij

j)1K(1

z)K1()T(

βΦ (III-12)

Cette équation est résolue par la méthode numérique de la sécante [54,55] pour estimer la

température d’équilibre (voir Organigramme III-2). Les compositions vapeur et liquide sont alors

déduites à partir des relations suivantes qui sont une reformulation des équations (III-8) et (III-9):

)1K(1

zx

ijj

F

ij

ij−+

=β

(III-13)

)1K(1

zKy

ijj

F

ijij

ij−+

=β

(III-14)

Nos investigations ont permis de situer le problème de stabilité et de robustesse au niveau de

l’ajustement de la température et surtout celui des compositions. Pour l’ajustement de la

température (organigramme III-2), nous avons opté pour la modification de la méthode numérique

de la sécante [54,55] en imposant des limites afin d’éviter les variations brusques de la température,

ce qui pourrait provoquer des problèmes de stabilité.

Sortir avec Xi ,Yi , T

Non

X Yi i − ≤ ε

Entrez Zij , βj, ( Tj ) , Pj

( ) : Valeur initiale de la variable dépendante

Initialisation des compositions des phases vapeur et liquide

Calcul des coefficients d’équilibre à Tj, Pj, Xij , Yij

Ajustement de la Température

Ajustement des

Compositions de la Phase

Vapeur et Liquide

Organigramme. (III.1) Procédure FLASHVFP

Oui

Oui

NonY Y

X X

im

im

im

im

− ≤

− ≤

+

+

1

1

ε

ε

Entrez Φm , Tm

Tm+1 = 1.05 Tm

Tm+1 = Tm ± variation

permise

Tm+1 = Tm

Φm+1 = Xm

Sortir avec Tm+1

Organigramme (III.2)

Ajustement de la température

Non

Oui

Oui

Non

( )( )

T TT T

m m

m m

m m

m+

−

−−

−

−

1

1

1=

Φ ΦΦ

Première

itération

T Tim

im− ≤+1 ε


24

Concernant les compositions, nous proposons de les ajuster par une combinaison linéaire avec les

compositions obtenues à l’itération précédente. Dans notre cas, on a choisi de prendre la moyenne

arithmétique.

III.2.4 Calcul du profil de débit vapeur

Le profil de débit vapeur est obtenu par la résolution simultanée des équations de bilan d’énergie

autour de chaque plateau. On élimine le débit liquide des bilans d’énergie par substitution de

l’équation (I-6) dans l’équation (I-5-a) pour chaque plateau, on obtient alors la formulation

suivante :

α β γj j j j jV V+ =+1 (III-15)

avec

α j j

L

j

VH H= −−1 (III-16)

βj j

V

j

LH H= −+1 (III-17)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) j

L

j

V

jj

fL

j

L

j

L

j

fV

1j

L

j

V

1j

L

1j

L

j1

V

j

1j

1m

mm

L

m

V

mj

QHHWHHF

HHFHHVFWUFF

+−+−+

−+−

−+−−+= ++−

−

=

γ (III-18)

Le bilan d’enthalpie pour les plateaux allant de 3 à N est représenté par l’écriture matricielle:

β

α β

α β

α β

α β

2

3 3

4 4

2

0

0

0

0

0 .

.

. . . .

. . . .

. . .

. . .

0 . . . 0

0

0

N-2

N-1 N-1

.

N −

=

−

−

−

−

V

V

V

V

V

N

N

N

N

3

4

5

2

1

2

3

4

2

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

γ

γ

γ

γ

γ

(III-19)

La résolution de cette matrice Bidiagonale est obtenue facilement par la formule récurrente

suivante :

VV

j

j j j

j

=− − −

−

γ α

β1 1

1

3 ≤ j ≤ N (III-20)

Comme les débits de distillat vapeur V1 et le débit de reflux L1 sont spécifiés, le débit V2 alimentant

le condenseur est fixé par le bilan de matière autour du condenseur selon l’expression suivante :

1112 UVLV ++=

Ceci explique le fait que l’équation (III-20) n’est appliquée qu’a partir de V3.


25

III.2.5 Calcul du profil de débit liquide

Le profil des débits liquide est obtenu à partir du profil des débits vapeur par bilan de matière global

entre le condenseur et le plateau j.


V

m

V

m

L

m mm

j

= + + + − − −+ +=

1 11

1 1 ≤ j ≤ N

III.2.6 Test de convergence

A ce stade, on teste la convergence de la méthode en comparant les profils de température et des

débits vapeur obtenues à l’étape k avec ceux de l’étape k-1.

T T

T

V V

V

j

k

j

k

j

kj

Nj

k

j

k

j

kj

N−

+−

≤

−

=

−

=

1

1

2 1 2

1

ε (III-21)

Si le test est vérifié, on a donc atteint la convergence, sinon, on reprend les calculs à partir de la

résolution des bilans de matière, en gardant les valeurs des températures, des débits et des

compositions obtenus. Dans notre programme, nous avons choisi de fixer ε = 10-6

.

III.2.7 Calcul des quantités de chaleurs échangées au rebouilleur et au condenseur

Après convergence on peut calculer les charges thermiques au niveau du condenseur et du

rebouilleur.

a- La chaleur échangée au niveau du condenseur est obtenue par bilan d’énergie autour du

condenseur.

( )Q V H V H L U Hv v l

1 2 2 1 1 1 1 1= − + +( ) (III-22)

b- La chaleur échangée au niveau du rebouilleur est obtenue par bilan d’énergie global autour de la

colonne.

( )Q F Hf F Hf U H W H Q V H L HN j

V

j

v

j

L

j

l

j j

l

j j

v

j

N

jj

N

v

N N

l= + − − − − −= =

−

1 1

1

1 1 (III-23)


26

Début

Spécifier : tous les Fj ,zij ,condition de l'alimentation (Tf , P

f ,H

f )

Pj , Uj , Wj , Qj à l'exception de Q1 et QN

L1 ,V1 ,U1

Initialisation des variables d'itération

Tj , Vj et des coefficients d’équilibre Kij

Calcul des profils de composition liquide par la

résolution des équations de bilan de matière par la

méthode numérique de Thomas

Calcul du nouveau profil de température à partir d’un

calcul de flash à taux de vaporisation et pression fixés

par la procédure FLASHVFP.

Calcul du profil de vapeur à partir des

équations de bilan enthalpique. En déduire le

profil de débit liquide

Test de

Convergence

Calcul des charges thermiques du

Rebouilleur et du Condenseur

Affichage

des résultats

Organigramme (III-3)

Méthode Bubble-Point

Stop

OuiNon

Normalisation des fractions molaires

en phase liquide sur chaque plateau


27

III.3 Algorithme Sum-Rate

Nous proposons dans ce qui suit le développement d’un algorithme de type « Sum Rate » auquel

nous avons intégré des modèles thermodynamiques rigoureux. Nous avons alors implémenté cet

algorithme modifié en un sous programme (ABSSR) adapté à la simulation des colonnes

d'absorption et de stripping. Il est notamment recommandé pour les mélanges à large plage de

température d’ébullition [41]. Une adaptation au cas de la distillation est possible mais très

complexe [28,53]. Car cela revient à traiter le condenseur et le rebouilleur comme des plateaux

indépendants.

L’algorithme « Sum Rate » découple le modèle mathématique de la colonne en trois groupes:

1. Le premier groupe est constitué des équations de bilan de matière (I-1-b) combinées aux

relations d'équilibre et (I-2-c).

2. Le deuxième groupe est constitué des équations de sommation (I-3-b) et (I-4-b).

3. Le troisième groupe est constitué des équations de bilan d'énergie (I-5-a).

Les variables d’état sont les températures et les débits vapeurs. Les équations étant non linéaires une

procédure itérative s'impose pour la résolution du problème. Nous avons adopté le schéma de

résolution décrit par l’organigramme (III-6). L’initialisation des variables d’état est décrite à

l’appendice (D).

III.3.1 Calcul des débits molaires partiels liquides

La distribution des débits liquides partiels sur chaque plateau est obtenue par la résolution des

équations de bilan de matière partiel composant par composant. On substitue les débits partiels

vapeurs vij par lij Sij au niveau des équations de bilan de matière partiel (I-1-b). Les équations de

bilan de matière pour chaque composant i sur le plateau j sont alors exprimées comme suit :

ijjiijijijjiij DlClBlA =−+− +− 1,1, (III-24)

ou

Aij = −1 (III-25)

jijjij RvSRlB += (III-26)

C S Rvij ij j= + +1 1 (III-27)

v

ij

l

ijij ffD 1++= (III-28)

Sij étant le facteur de stripping défini comme suit : S KV

Lij ij

j

j

= (III-29)

Rlj et Rvj sont respectivement les facteurs de soutirage liquide et de vapeur définis comme suit :

j

j

jL

URl += 1 (III-7) et Rv

W

Vj

j

j

= +1 (III-30)


28

l’ensemble des bilans de matière partiels pour un composant i sur tous les plateaux peut être

représenté par l’écriture matricielle suivante :

=

−−−−

N

N

iN

iN

i

i

i

NN

D

D

D

D

D

l

l

l

l

l

CB

CBA

CBA

CB

1

3

2

1

,

,1

,3

,2

,1

NN

111-N

333

222

11

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B A 0

A 0

0 . . . 0

0 . . . 0

. . . 0

. . . .

. . . .

. .

.

0

(III-31)

La résolution de cette matrice tridiagonale par la méthode numérique de Thomas [54,55], nous

fournit la distribution des débits molaires partiels d’un composant sur tous les plateaux. Cette

procédure est répétée pour tous les composants du mélange. On peut alors déduire les fractions

molaires de chaque composant pour les phases liquide et vapeur comme suit :

=

=C

1i

ij

ij

ij

l

lx 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (III-32)

Le calcul des débits vapeurs partiels est obtenu par l’utilisation du facteur de stripping.

v S lij ij ij= 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (III-33)

On calcule alors les compositions vapeurs comme suit :

=

=C

1i

ij

ij

ij

v

vy 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (III-34)

Comme les coefficients d’équilibre sont fonction des compositions, ils seront basés sur les valeurs

des compositions obtenues à l’itération précédente. Ce décalage peut provoquer la divergence du

programme, surtout pour le cas des mélanges fortement non idéaux.

On propose alors de recalculer ces derniers en utilisant les compositions obtenues par la résolution

des équations de bilan matière. Ensuite, on compare les valeurs des coefficients d’équilibre obtenus

avec celles de départ. Dans le cas ou il y a concordance on poursuit les calculs, sinon on refait la

même opération que précédemment.

Notre expérience a montré qu’en général, trois itérations seulement sont suffisantes pour assurer

une bonne convergence. Cette étape est très importante. Ne pas l’appliquer conduira à la divergence

du programme, surtout pour le cas des mélanges non idéaux. L’organigramme (III-4) illustre en

détail cette modification.


29

III.3.2 Calcul des profils de débit vapeur et de débit liquide

Les débits totaux liquide et vapeur sont obtenus par simple sommation des débits partiels par

l’utilisation des équations de sommation.

=

=C

1i

ijj lL 1 ≤ j ≤ N (III-35)

=

=C

1i

ijj vV 1 ≤ j ≤ N (III-36)

III.3.3 Calcul du profil de température

Le profil de température est obtenu par la résolution simultanée des équations de bilan d’énergie sur

tous les plateaux. La variable température est normalisée en la divisant par une température de

référence. Nous avons choisi pour celle ci la moyenne des températures initiales de tête et de fond.

De même, les équations de bilan d’énergie sont normalisées en divisant par le flux d’énergie entrant

à chaque plateau.

uL H V H F H F H L U H V W H Q

L H V H F H F H Qj

j j

L

j j

V

j

L

j

Fl

j

V

j

Fv

j j j

L

j j j

V

j

j j

L

j j

V

j

L

j

Fl

j

V

j

Fv

j

=+ + + − + − + −

+ + + −

− − + +

− − + +

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) ( ) (III-37)

1 ≤ j ≤ N

L’ensemble de ces équations d’énergie forment un système algébrique non linéaire. La résolution de

ce type de système se fait en général par la méthode numérique de Newton-Raphson [54,55].

Etablir les coefficients de la matrice

tridiagonale

Résolution de la matrice tridiagonale

par l’algorithme de Thomas

calcul des compositions liquide et

vapeur

Calcul des coefficients d’équilibre I > 3

Itération = 1

Itération = Itération + 1

Non

Oui Fin


Résolution itérative des équations de bilan matière partiel


30

La linéarisation par expansion en série de Taylor au voisinage de la solution pour chaque bilan

d’énergie s’écrit comme suit :

u uu

TTj

r

j

r j

k

r

kk

N

+

=

= +

=1

1

0∂

∂∆ 1 ≤ j ≤ N (III-38)

On peut écrire ce système d’équations (III-38) sous la forme matricielle suivante:

...

... ... ...

...

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

u

T

u

T

u

T

u

T

T

T

u

u

N

N N

N N N

1

1

1

1

1 1

=

−

−

∆

∆

...

...

...

...

(III-39)

La matrice comportant les dérivées partielles des équations d’énergie par rapport aux variables de

températures est dite matrice Jacobienne. La résolution de ce système (III-39) nous fournit la

correction jT∆ à apporter aux températures pour approcher la solution. Le nouveau profil de

température est alors obtenu comme suit :

T T Tj

r

j

r

j

+ = +1 ∆ 1 ≤ j ≤ N (III-40)

Nous avons choisi de résoudre le système d’équations (III-39) par la méthode numérique de

Broyden [55] [Appendice (A)]. La solution de ce système est obtenue quand la moyenne

quadratique de toutes les fonctions uj est inférieure à une certaine tolérance ε.

ε≤

=

N

uN

1j

2

j

; ε ≈ 10-8

(III-41)

Dans sa présentation originale de l’algorithme « Sum Rate » [9], la matrice Jacobienne obtenue est

de type tridiagonale car les enthalpies sont obtenues à partir de modèles qui sont fonction

uniquement de la température (généralement des polynômes). Dans notre cas, les enthalpies sont

calculées à partir de modèles thermodynamiques rigoureux qui dépendent de la température et des

compositions. Ceci dit, lors du calcul de la matrice Jacobienne, les deux étapes précédentes (III.3.1

et III.3.2) doivent être imbriquées à chaque différenciation du bilan d’énergie d’un plateau par

rapport à une température. En effet, la variation de la température influe sur les valeurs des

coefficients d’équilibre, donc sur les débits partiels et alors sur les débits globaux. Dans ce cas la

matrice Jacobienne obtenue est pleine. L’organigramme (III-5) montre les différentes étapes de

calcul de la matrice Jacobienne.

D’autre part, afin d’éviter les oscillations de la solution et l’obtention de valeur négative, nous

avons introduit un changement de variable qui consiste à utiliser les logarithmes Népériens des

températures comme variables itératives.


31


A cette étape on teste la convergence de la méthode en comparant les profils de température et de

vapeur obtenus à l’étape k avec ceux de l’étape k-1.

ε≤

−

=

−N

jk

j

k

j

k

j

V

VV

1

21

(III-42)

Si le test est vérifié, on a donc atteint la convergence, sinon, on reprend les calculs à partir de la

résolution des bilans de matière (étape III.3.1) en gardant les valeurs des températures, des débits et

des compositions obtenues. Dans notre programme nous avons choisi de fixer ε = 10-6

.

Tj = Tj + (pas de différenciation)

Calcul des débits molaires partiels

liquide et vapeur (étape IV.3.1)

Calcul des débits globaux liquide et

vapeur (étape IV.3.2)

Calcul des coefficients d’équilibre et

des enthalpies liquide et vapeur

I > N

J = 1

J = J + 1

Non

Oui fin

Calcul des valeurs des fonctions

indépendantes uj et en déduire les

différenciations par rapport Tj


Calcul de la matrice Jacobienne pour l’algorithme Sum Rate


32

A refaire

trois fois

Début

Spécifier : tous les Fj , zij , conditions de l'alimentation (Tfj ,P

fj ,H

fj )

Pj , Uj ,Wj ,Qj ,L1 ,V1 ,U1

Initialisation des variables d'itérations Tj et Vj

et des coefficients d’équilibre Kij

Calcul des profils de débits partiels liquide par la



Calcul des débits partiels vapeurs par le facteur de stripping

Calcul des compositions en phase liquide et vapeur

Calcul des débits totaux liquide et vapeur par sommation directe

Calcul des profils de température

par la résolution simultanée des

équations de bilan enthalpique par

la méthode numérique de Broyden

Affichage

des résultats

Organigramme (III-6 )

Méthode Sum Rate

Stop

OuiNon

Calcul des coefficients d’équilibre à partir

de la procédure KVALUE

Test de

convergence


33

III.4 Algorithme 2N-Newton

Dans ce travail, nous avons développé un algorithme inspiré de l’approche de Tomich [14]. Nous

avons introduit toutefois des modifications au niveau du calcul de la matrice Jacobienne, liées

principalement au calcul des grandeurs thermodynamiques à partir de modèles rigoureux. Nous

avons implémenté cet algorithme en plusieurs sous programmes (distillation : DIST2N; absorption :

ABS2N; absorption avec rebouilleur: REAB2N).

Nous avons adopté le schéma de résolution décrit par l’organigramme (III-8). L’initialisation des

variables d’état est présentée à l’appendice (D).

L’approche 2N-Newton subdivise le système d'équations en deux groupes:

1. Le premier groupe est constitué des équations de bilan matière (I-1-a) et des relations d'équilibre

(I-2-a).

2. Le deuxième groupe est constituée de la différence des équations de sommations (I-3-a) et (I-4-

a) et des équations de bilan d'énergie (I-5-a).

Cet algorithme permet la simulation de plusieurs types de colonnes : distillation, absorption et

absorption avec rebouilleur.

III.4.1 Calcul des compositions liquides

La distribution des compositions sur chaque plateau est obtenue par la résolution des équations de

bilan de matière partiel (I-1-a) composant par composant. La formulation de ces dernières est

identique à celle utilisée dans l’algorithme « Bubble Point » (voir paragraphe III.2.1).

Comme pour le cas de la méthode « Sum-Rate », nous proposons de résoudre les équations de bilan

de matière partiel en trois itérations, afin que les compositions obtenues soient en concordance avec

celles que nous avons utilisé pour calculer les coefficients d’équilibre.

III.4.2 Calcul du profil de débit vapeur et du profil de température

Les profils de température et de débit vapeur sont obtenus par la résolution simultanée des bilans

d’énergie (I-5-a) et les équations (III-43) représentants la différence des équations de sommation (I-

3-a) et (I-4-a).

v V T y xi iji

c

iji

c

( , ) = −= =

1 1

1 ≤ j ≤ N (III-43)

Il est important de remarquer que dans l’équation (III-43), les compositions utilisées ne doivent pas

être normalisées. Aussi, afin de conditionner la matrice Jacobienne, les équations d’énergie sont

normalisées comme suit :

u V TL H V H F H F H L U H V W H Q

L H V H F H F H Qj

j j

L

j j

V

j

L

j

Fl

j

V

j

Fv

j j j

L

j j j

V

j

j j

L

j j

V

j

L

j

Fl

j

V

j

Fv

j

( , )( ) ( )

=+ + + − + − + −

+ + + −

− − + +

− − + +

1 1 1 1

1 1 1 1

(III-44)

1 ≤ j ≤ N

Pour les colonnes de distillation, on préfère ne pas spécifier les charges thermiques du rebouilleur et

du condenseur, pour cela on remplace les équations de bilan d’énergie u1 et un par l’une des

équations du tableau (III-1) exprimant les spécifications désirées.


34

Tableau (III.1) : Equations de spécifications pour l’algorithme 2N-Newton

Spécification Remplacement de u1 Remplacement de un

Taux de reflux ou de rebouillage

(L1/V1+W1) et (VN/LN) 01,

11

1

1, =

+− ii v

WV

Ll 01,1, =

− i

N

N

i lL

Vv

Débit des produits V1 ou LN 011, =− Vvi 0, =− NNi Ll

Le plus souvent on fixe le taux de reflux et le débit de tête. Pour le cas des colonnes d’absorption

avec rebouilleur, on remplace le bilan d’énergie autour du rebouilleur par l’équation spécifiant le

débit de fond. Dans le cas de l’absorption aucune modification n’est à introduire. On normalise

aussi les températures en divisant par une température de référence qui correspond à la moyenne

arithmétique des températures initiales de fond et de tête. D’autre part comme pour la méthode

« Sum-Rate », on propose le changement de variable qui consiste à prendre le logarithme Népérien

des températures réduites et des débits vapeur comme variable d’itération.

Le système d’équations obtenues est de type algébrique et non linéaire. Sa résolution est obtenue

par la méthode numérique de Broyden (voir Appendice (A) ). La linéarisation par expansion en

série de Taylor des équations u et v au voisinage de la solution donne:

v vv

VV

v

TTj

r

j

r j

k

r

kk

Nj

k

r

kk

N

+

= =

= +

+

= 1

1 1

0∂

∂

∂

∂∆ ∆ 1 ≤ j ≤ N (III-45)

u uu

VV

u

TTj

r

j

r j

k

r

kk

Nj

k

r

kk

N

+

= =

= +

+

= 1

1 1

0∂

∂

∂

∂∆ ∆ 1 ≤ j ≤ N (III-46)

On peut écrire le système d’équations obtenu pour tous les plateaux sous la forme matricielle

suivante:

... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ... .

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

u

V

u

V

u

T

u

T

u

V

u

V

u

T

u

T

v

V

v

V

v

T

N N

N N

N

N N

N

N

1

1

1 1

1

1

1 1

1

1

1 1

1

..

... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

...

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

T

v

V

v

V

v

T

v

T

V

V

T

T

N

N N

N

N N

N

N

N

1

1 1

1

1

∆

∆

∆

∆

...

...

=

−

−

−

−

u

u

v

v

N

N

1

1

...

...

...

(III-47)

Une fois qu’on résoud le système (III-47), on peut calculer les nouveaux profils de température et

de vapeur comme suit :

V V s Vj

r

j

r

j

+ = +1 ∆ 1 ≤ j ≤ N (III-48)

T T s Tj

r

j

r

j

+ = +1 ∆ 1 ≤ j ≤ N (III-49)


35

-1 < s < 1

La valeur du paramètre s est estimée par une formule proposée par Broyden. Sa valeur numérique

doit être comprise entre −1 et +1 de sorte que la condition suivante soit vérifiée:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]==

++ +<+N

1j

2r

j

2r

j

N

1j

21r

j

21r

j vuvu (III-50)

Lors du calcul de la Jacobienne, on doit résoudre les équations de bilan de matière à chaque

différenciation du bilan énergétique uj ou des équations de sommation vj d’un plateau par rapport à

une température ou un débit vapeur. En effet, la variation de la température influe sur les valeurs

des coefficients d’équilibre, donc sur les débits partiels et par conséquent sur les débits globaux.

Pour plus de détails voir l’organigramme (III-7).

La convergence est obtenue lorsque la moyenne quadratique des fonctions (u et v) est inférieure à

une certaine tolérance ε.

( ) ( )[ ]ε<

+=

++

N2

vuN

1j

21r

j

21r

j

(III-51)

Dans notre programme nous avons choisi de fixer ε = 10-10

.

Tj = Tj + (pas de différenciation)

Calcul des débits molaire partiels

liquide et vapeur (étape IV.4.1)

Calcul des coefficients d’équilibre et

des enthalpies liquide et vapeur

J > 2N

J = 1

Non

Oui Sortie Calcul des valeurs des fonctions

indépendantes uj et en déduire les

différenciations par rapport Tj

Vj = Vj + (pas de différenciation)

J > NOui

J = J + 1

Non

Organigramme (III-7 )

Calcul de la matrice Jacobienne pour l’algorithme 2N-Newton


36

III.4.3 Calcul du profil de débit liquide

Le profil de débit liquide global est facilement obtenu à partir du profil de débit vapeur par bilan

matière global.


V

m

V

m

L

m mm

j

= + + + − − −+ +=

1 11

1 1 ≤ j ≤ N (III-52)


Dans cette étape, on teste la convergence de la méthode en comparant les profils de débits liquides

obtenus à l’étape k avec ceux de l’étape k-1.

ε≤

−

=

−2

1

1N

jk

j

k

j

k

j

L

LL (III-53)

Si le test est vérifié, on a atteint la convergence, sinon on reprend le calcul à partir de la résolution

des bilans de matière en utilisant les valeurs des températures, des débits et des compositions

obtenues à la précédente. Dans notre programme nous avons choisi de fixer ε = 10-6

.

III.4.5 Calcul des quantités de chaleurs échangées au rebouilleur et au condenseur

Après convergence, nous pouvons obtenir les charges thermiques du condenseur et du rebouilleur.

a- Chaleur échangée au niveau du condenseur

( )Q V H V H L U Hv v l

1 2 2 1 1 1 1 1= − + +( ) (III-54)

b- Chaleur échangée au niveau du rebouilleur

( )Q F Hf F Hf U H W H Q V H L HN j

V

j

v

j

L

j

l

j j

l

j j

v

j

N

jj

N

v

N N

l= + − − − − −= =

−

1 1

1

1 1 (III-55)

Dans le cas des colonnes d’absorption avec rebouillage ou reflux, on calcule respectivement la

quantité de chaleur échangée au rebouilleur ou au condenseur. Dans le cas des colonnes

d’absorption le problème ne se pose pas.


37

Début

Spécifier : tous les Fj , zij ,conditions de l'alimentation (Tfj ,P

fj ,H

fj )

Pj , Uj , Wj , Qj à l'exception de Q1 et QN

L1 , V1 , U1

Initialisation des variables d'itération Tj

et Vj et des coefficients d’équilibre Kij

Calcul des profils de composition liquide par la



Calcul des compositions en

phase vapeur

Calcul des profils de température et de vapeur

par la résolution simultanée des équations de

bilan enthalpique et de sommation par la

méthode numérique de Broyden

Test de

convergence

Calcul des chaleurs

échangées au niveau du

rebouilleur et du

condenseur

Affichage

des résultats


Méthode 2N-Newton

Stop

OuiNon

Calcul des coefficients d’équilibre

à partir de la procédure KVALUE

Refaire trois

fois


38

III.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les trois principaux algorithmes de type séquentiel. Afin de

pouvoir intégrer les modèles thermodynamiques rigoureux, nous avons introduit une série de

modifications. Celles ci se résument comme suit pour chaque algorithme :

Bubble point : nous avons procédé à la modification de la méthode de calcul de la température

d’équilibre. Celle ci n’est plus calculée à partir d’un point de bulle mais à partir du calcul de flash à

pression et taux de vaporisation fixés. Ceci nous a permis d’intégrer les modèles thermodynamiques

rigoureux, d’améliorer la convergence et de résoudre le problème de décalage entre les coefficients

d’équilibre et les compositions.

Au niveau du calcul de la procédure de flash à pression et taux de vaporisation fixés, nous avons

amélioré les propriétés de convergence en introduisant une modification de la méthode numérique

de la sécante par une limitation de la variation de la variable dépendante (la température) d’une

itération à une autre. D’autre part, nous avons aussi proposé de combiner (linéairement) les

compositions obtenues à une itération avec ceux de l’itération précédente dans le but d’amortir les

oscillations de la température qui pourraient conduire à une divergence. La combinaison linéaire

que nous avons choisi est une moyenne arithmétique.

Sum Rate et 2N-Newton : nous avons proposé de résoudre le bilan de matière en trois itérations

afin d’obtenir une concordance entre les compositions obtenues et les valeurs des coefficients

d’équilibre utilisés pour leurs calcul. Cette étape est nécessaire pour assurer la convergence. D’autre

part, on doit imbriquer la résolution des équations de bilan matière partiel (et de sommation dans le

cas de la méthode « Sum Rate ») lors du calcul de la matrice Jacobienne. En effet, vu que les

grandeurs thermodynamiques sont fonctions des compositions, chaque variation de la variable

itérative (les températures pour la méthode « Sum Rate » et les températures et les débits vapeur

pour la méthode « 2N-Newton ») influe sur les compositions vapeur et liquide. Cette modification

est importante pour l’utilisation des modèles thermodynamiques rigoureux. L’ignorer conduirait à

des résultats erronés ou bien à la divergence. Nous avons aussi procédé à la normalisation des

équations (sommation et énergie) afin d’éviter le problème de mauvais conditionnement de la

matrice Jacobienne. Enfin, un changement de variable a été introduit aux variables d’itération afin

d’éviter les problèmes de solution négative et d’amortir les oscillations de cette dernière.

Ces algorithmes modifiés ont été implémentés en plusieurs sous programmes pouvant être appelés

par le programme principal COLSIM (voir Appendice (C)).

Chapitre IV. Algorithme de l’approche des corrections simultanées

39

IV. Algorithme de l’approche des corrections simultanées

IV.1 Introduction

Nous proposons dans ce qui suit un algorithme de corrections simultanées inspiré de l’algorithme de

Naphtali & Sandholm [17]. La formulation des équations du modèle et le choix des variables

indépendantes sont les mêmes que ceux de Naphtali & Sandholm [17]. La différence se situe au

niveau de la méthode numérique utilisée pour la résolution du modèle MESH. En effet, Naphtali &

Sandholm [17] ont utilisé la méthode numérique de Newton-Raphson, par contre, nous avons opté

pour la méthode numérique de Broyden. (voir appendice (A)).

Cette technique nous a permis d’intégrer facilement les procédures thermodynamiques. En effet les

dérivées partielles des coefficients d’équilibre et des enthalpies liquides et vapeurs sont obtenues à

partir des différences finies. Ceci évite le développement fastidieux des expressions analytiques des

dérivées partielles, spécifiques à chaque modèle thermodynamique utilisé.

IV.2 Formulation du modèle

Les équations du modèle sont exprimées en fonction des débits molaires partiels.

Pour alléger l’écriture, nous avons introduit les facteurs de soutirage RU

Lj

L j

j

= +1 pour la phase

liquide et RW

Vj

V j

j

= +1 pour la phase vapeur.

Les équations MESH sont alors exprimées comme suit:

- Bilan de matière partiel

01,1,1, =−−+++= +−+ ij

V

jij

L

j

v

ji

l

ijjijiij vRlRfflvM 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (IV-1)

- Relation d'équilibre

E K l

v

l

vij ij ij

k jk

C

k jk

C ij= − ==

=

,

,

1

1

0 1 ≤ i ≤ C ; 1 ≤ j ≤ N (IV-2)

- Bilan d'énergie

01

,

1

,

1

1,

11

1,1

1

1,1 =−−−+++= ===

+==

−−=

++ j

C

i

ji

L

j

l

j

C

i

ji

V

j

v

j

C

i

l

ji

l

j

C

i

v

ij

v

j

C

i

ji

l

j

C

i

ji

v

jj QlRHvRHfHffHflHvHH

1 ≤ j ≤ N (IV-3)


40

Afin d’éviter le problème de mauvais conditionnement de la matrice Jacobienne, nous avons

normalisé les équations de bilan d’énergie en les divisant par le flux d’énergie entrant à chaque

plateau. De même, nous avons normalisé les températures en les divisant par une température de

référence. Les équations sont groupées par plateau. La notation matricielle de l’ensemble des

équations (V-1), (IV-2) et (IV-3) peut s’écrire comme suit :

[ ]X X X X Xj N

T

= 1 2, ,..., ,..., (IV-4)

[ ]F F F F Fj N

T

= 1 2, ,..., ,..., (IV-5)

où Xj étant le vecteur des variables d'itération pour le plateau j qui sont ordonnées comme suit:

[ ]X v v v T l l lj j j C j j j j C j

T

= 1 2 1 2, , , , , ,, ,..., , , , ,..., (IV-6)

et Fj étant le vecteur des fonctions pour le plateau j ordonnées comme suit:

[ ]F H M M E Ej j j C j j C j

T

= , ,..., , ,...,, , , ,1 1 (IV-7)

Le problème se résume alors à résoudre le système

F(X) = 0 (IV-8)

Le modèle est alors représenté par N(2C+1) équations et N(2C+1) inconnues, qui sont les variables

lij , vij , et Tj.

En général, pour les colonnes de distillation, les charges thermiques du condenseur et du rebouilleur

sont calculées. On fixe alors deux autres variables telles que le débit de reflux et le débit de distillat.

Pour cela, il suffit de remplacer les équations d’énergie du plateau 1 et du plateau N par les

équations traduisant la spécification désirée. Les fonctions indépendantes pouvant être utilisées sont

résumées dans le tableau suivant :

Tableau (IV.1) : Equations de spécifications pour l’algorithme des corrections simultanées

Spécification Remplacement de H1 Remplacement de HN


(L/D) et (V/B) l

L

Dvi i, ,1 1 0 −

= v

V

Bli i, ,1 1 0 −

=

Température TD ou TB T1 – TD = 0 TN - TB = 0

Débit des produits D ou B v Di ,1 0 − = l Bi N, − = 0

Débit des constituants di ou bi vi,1 - di = 0 li,N - bi = 0

Fraction molaire dans les

produits, yiD ou xiB( )v v yi i i D, , ,1 1 0− = ( )l l xi N i N i B, , ,− = 0

De même, pour le cas des colonnes d’absorption avec rebouilleur, on remplace l’équation d’énergie

du rebouilleur par la spécification désirée.


41

IV.3 Procédure de calcul

L’organigramme (IV.1) présente le schéma de résolution adopté. La première étape concerne

l’initialisation des variables d’état. La qualité de l’estimation de ces dernières est très importante

dans les méthodes à corrections simultanées. En effet, dans la plus part des cas c’est elle qui

détermine la réussite ou l’échec du processus de convergence. Pour les mélanges fortement non

idéaux il est nécessaire d’adopter des techniques d’initialisation très spéciales. Bien souvent on

recommande d’initialiser les variables en faisant une itération par une méthode séquentielle adaptée

au type de colonne à étudier. Venkataraman & Lucia [35] ont présenté une excellente étude sur

l’estimation initiale des variables d’itérations. Gani & Jorgensen [56] ont montré la possibilité

d’existence de solutions multiples dans le cas d’un mauvais estimé initial pour des mélanges

fortement non idéaux (notamment dans le cas de formation d’azéotrope). La procédure

d’initialisation utilisée dans ce travail est décrite à l’appendice (D).

La deuxième étape consiste à résoudre le système d’équations (IV.8) par la méthode numérique de

Broyden. Afin d’éviter les problèmes de convergence, telles que les solutions négatives, les

problèmes d’oscillations (surtout pour les mélanges fortement non idéaux), on adopte la même

solution que celle présentée au chapitre précédent, c’est à dire on introduit le logarithme Népérien

aux variables indépendantes (Tj ,lij, vij).

La solution est alors obtenue lorsque la norme Euclidienne de toutes les fonctions est inférieure à

une tolérance ε.

( )ε<

+

++

= =

)1C2(N

EMHN

1j

C

1i

2

ij

2

ij

2

j

(IV-9)

Dans notre sous programme nous avons fixé la tolérance ε à 10-10

.

IV.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons repris l’algorithme des corrections simultanées de Naphtali &

Sandholm [17] auquel nous avons introduit une modification au niveau de la méthode numérique de

résolution du système d’équations. En effet, nous avons opté pour la méthode numérique de

Broyden. Celle ci nous a permis d’intégrer facilement le calcul des propriétés (coefficients

d’équilibre et enthalpie) à partir de modèles thermodynamiques rigoureux en évitant le

développement des expressions analytiques.

Aussi, afin d’éviter les problèmes d’oscillations et l’obtention de solutions négatives, nous avons

procédé au changement de variables qui consiste à introduire le logarithme Népérien pour les

variables d’état. Aussi, nous avons procédé à la normalisation des équations du modèle M.E.S.H

pour conditionner la matrice Jacobienne.

La procédure d’initialisation proposée est d’utiliser un algorithme de la classe des méthodes à

corrections séquentielles pour chaque type de problème. Pour la distillation, nous avons opté pour

l’algorithme « Bubble Point ». En ce qui concerne les problèmes d’absorption ou de stripping, nous

avons choisi l’algorithme « Sum Rate » et pour les colonnes d’absorption avec rebouilleur ou reflux

l’algorithme « 2N-Newton » a été retenu.


42

Nous avons adapté cet algorithme aux différents types de colonnes, à savoir : la distillation,

l’absorption et l’absorption avec rebouilleur : (distillation: DISTCS; absorption: ABSCS;

absorption avec rebouilleur: REABCS).

Ces sous programmes ont été testés sur plusieurs cas de colonnes conventionnelles et complexes

avec plusieurs soutirages et alimentations et échangeurs de chaleur intermédiaires. Les résultats

obtenus sont très satisfaisants. Ces derniers sont présentés au chapitre six.

Début

Spécifier : tous les Fj , zij , conditions de l'alimentation (Tfj ,P

fj ,H

fj )

Pj , Uj , Wj ,Qj ,L1 ,V1 ,U1 à l'exception de Q1 et QN

Initialisation des variables

d'itération Tj et lij , vij

Résolution des équations M.E.S.H par la

méthode numérique de Broyden

Test de

convergence

Calcul des chaleurs

échangées au niveau du

rebouilleur et du

condenseur quand elles

ne sont pas spécifiées

Affichage

des résultats

Organigramme (IV.1)

Méthode des Corrections Simultanées

Stop

OuiNon

Chapitre V. Algorithme Inside Out

43

V. Algorithme Inside Out

V.1 Introduction

De nos jours, les algorithmes de type « Inside-Out » sont les plus utilisés pour la simulation des

colonnes de séparation liquide-vapeur à plateaux. Ils sont à la base des meilleurs simulateurs

professionnels de procédés industriels. Ceci est dû à leur robustesse et à leurs capacités de résoudre

une grande variété de problèmes. De plus, ils offrent une plus grande flexibilité du point de vue

spécification aussi bien pour les paramètres opératoires, que pour les propriétés des produits. Les

méthodes présentées dans les sections précédentes, utilisent pour la résolution des équations

M.E.S.H, les températures, les débits globaux et les compositions vapeur et liquide comme

variables d’itérations. Ces mêmes variables sont utilisées pour le calcul des coefficients d’équilibre

et des enthalpies vapeur et liquide à partir de modèles thermodynamiques rigoureux.

La particularité de l’algorithme « Inside-Out », consiste à utiliser les modèles thermodynamiques

complexes pour générer des paramètres de modèles thermodynamiques plus simples. Ces

paramètres spécifiques à chaque plateau deviennent les variables de la boucle externe (Outside

loop). La boucle interne (Inside loop) consiste alors à résoudre les équations M.E.S.H par des

variantes des méthodes « Bubble Point », « Sum Rate » ou « 2N-Newton ». Comme les coefficients

d’équilibre et les enthalpies sont calculées à partir de modèles simples, la boucle interne est ainsi

très stable pour une grande variété de mélanges du fait qu’elle est faiblement affectée par la non-

idéalité du système.

A chaque étape de la boucle externe, les paramètres des modèles simplifiés sont réactualisés en

utilisant les variables d’itération (la température et les compositions vapeur et liquide de chaque

plateau) calculées par la boucle interne.

V.2 Procédure de calcul

On doit spécifier toutes les alimentations du point de vue compositions, pression, température, débit

et état thermique. On doit aussi spécifier tous les soutirages liquide et vapeur, le profil de pression,

les débits de produit de tête et de fond ainsi que le taux de reflux. Les échanges d’énergie de chaque

plateau doivent aussi être spécifiés. Les profils initiaux de température, de débits et de

compositions sont obtenus par la même procédure d’initialisation présentée dans l’appendice (D).

L’algorithme « Inside-Out » comporte deux boucles principales. La première boucle dite externe

consiste à actualiser les paramètres du modèle thermodynamique simplifié. La seconde boucle dite

interne résoud les équations MESH de la colonne étudiée. Les variables d’itération proposées pour

la boucle interne sont les logarithmes Népériens des facteurs de stripping et de soutirage.

L’organigramme (V.1) présente les étapes de calcul que nous détaillons dans les paragraphes

suivants.

V.2.1 Boucle externe

Les variables externes sont les paramètres des modèles thermodynamiques simplifiés que nous

définirons plus loin ainsi que les coefficients de volatilité relative de chaque composant sur chaque

plateau.

Le modèle simplifié du coefficient d’équilibre est basé sur l’approche de la ‘’Kb-Method’’ (voir

paragraphe V.2.2.b). On peut relier le coefficient d’équilibre d’un constituant du mélange à celui

d’un composé de base par le coefficient de volatilité relative comme suit :

K Kij ij jb= α (V-1)


44

Le coefficient d’équilibre du composé de base est obtenu à partir de la relation suivante

LnK AB

Tjb j

j

j

= − (V-2)

Les coefficients Aj et Bj sont obtenus en évaluant les coefficients d’équilibre des constituants du

mélange à deux températures distinctes à partir d’un modèle thermodynamique complexe (équation

d’état ou bien modèle d’activité). On obtient alors deux valeurs du coefficient d’équilibre du

composant de base K jb

( )1 et K jb

( )2 défini comme suit :

=i

ijijjb KwK lnln (V-3)

ou wij est un coefficient de pondération par composant et par plateau défini selon l’expression :

=

i

ij

ij

ijt

tw (V-4)

avec

j

ij

ijijT

Kyt

1

ln

∂

∂= (V-5)

On obtient alors les coefficients Aj et Bj comme suit :

B

K

K

T T

j

jb

jb

j j

=

−

ln

( )

( )

( ) ( )

1

2

2 11 1

(V-6)

( )A KB

Tj jb

j

j

= +ln ( )

( )

1

1 (V-7)

Pour les mélanges non idéaux, on peut introduire un modèle d’activité simplifié comme suit :

ln *γ ij ij ij ija b x= + (V-8)

Le calcul de l’enthalpie consiste à estimer l’enthalpie idéale obtenue à partir d’une expression

polynomiale à laquelle s’ajoute l’écart d’enthalpie obtenu à partir des modèles thermodynamiques

complexes. On propose alors un modèle simplifié pour l’enthalpie d’écart vapeur et liquide. Ce

dernier est choisi comme une forme linéaire de la température :

)(*

jjjj

V

j TTDCH −−=∆ pour la phase vapeur. (V-9)

)(*

jjjj

L

j TTFEH −−=∆ pour la phase liquide. (V-10)

Tj* : Température de référence que nous avons choisi comme étant le profil de température initial.


45

Les coefficients de chaque modèle sont alors calculés à partir de deux évaluations de l’enthalpie

appropriée à partir du modèle thermodynamique rigoureux choisi.

La boucle externe consiste alors à actualiser les paramètres du modèle simplifié des coefficients

d’équilibre, du coefficient d’activité, de l’enthalpie vapeur et liquide et des coefficients de volatilité

relative. Ces derniers seront utilisés par la boucle interne pour la résolution des équations MESH.

V.2.2 Boucle interne

Dans cette dernière, Russell [33] introduit de nouvelles variables d’itérations qui sont le facteur de

stripping du composant de base et les facteurs de soutirage liquide et vapeur. Ces derniers, sont

définis comme suit :

RlU

Lj

j

j

= +1 pour le soutirage liquide (V-11)

j

j

jV

W1Rv += pour le soutirage vapeur. (V-12)

On définit aussi le facteur de stripping selon la relation suivante:

S KV

Lij ij

j

j

= (V-13)

On exprime le coefficient d’équilibre en fonction du coefficient de volatilité et du coefficient

d’équilibre du composé de base comme suit :

jbijij KK α= (V-14)

Le coefficient de volatilité de chaque composant sur chaque plateau est calculé dans la boucle

externe et reste fixé tout au long du calcul de la boucle interne.

ijijbjij

j

j

ijbjij

j

j

ijij lSlL

VKl

L

VKv αα === (V-15)

Ensuite, on écrit les équations de bilan de matière en terme des débits partiels du liquide avec

l’introduction des facteurs de soutirage.

0fflvvRvlRlM v

1j,i

l

ij1j,i1j,iijjijjij =−−−−+= +−+ (V-16)

Après introduction du facteur de stripping, l’équation de bilan de matière pour chaque constituant

devient :

( ) v

1j,i

l

ij1j,i1ij1bjijjijbjj1j,i fflSlRvSRll ++++− +=−++− αα (V-17)


46

V.2.2.a Calcul des débits molaires partiels et des compositions liquide et vapeur

Les équations de bilan de matière sont résolues simultanément pour chaque composant sur tous les

plateaux. On peut alors les écrire sous la forme matricielle suivante :

ij1j,iijijij1j,iij DlClBlA =−+− +− (V-18)

avec

1Aij −= (V-19)

jijbjjij RvSRlB α+= (V-20)

C S Rvij bj ij j= + + +1 1 1α (V-21)

D f fij ij

l

ij

v= + +1 (V-22)

B C

A B C

A B C

B CN N

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1

0

.

.

. . . .

. . . .

0 . . .

0 . . . 0

0 . . . 0

0 A

0 A B

N-1

N N

.

− −

=

− −

l

l

l

l

l

D

D

D

D

D

i

i

i

N i

N i

N

N

1

2

3

1

1

2

3

1

,

,

,

,

,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(V-23)

La résolution de cette matrice tri diagonale par la méthode numérique de Thomas [54,55] nous

fournit la distribution des débits molaires partiels d’un constituant sur tous les plateaux. Cette

procédure est répétée pour tous les constituants du mélange. On peut alors calculer les débits totaux

et les fractions molaires de chaque composant pour les phases liquide et vapeur comme suit :

xl

Lij

ij

j

= (V-24)

L lj j jj

C

==

,1

(V-25)

Les débits molaires partiels vapeurs sont obtenus par l’expression suivante :

v S lij bj ij ij= α


47

On calcul ensuite les fractions molaires et les débits vapeur selon les expressions suivantes :

yv

Vij

ij

j

= (V-26)

V vj j jj

C

==

,1

(V-27)

V.2.2.b Calcul de la température de bulle par la ‘’ Kb Method ‘’

La température de chaque plateau est calculée par la « Kb-Method ». Cette méthode exploite le fait

que les logarithmes des coefficients d’équilibre soient linéairement dépendants de l’inverse de la

température sur de faibles intervalles, ainsi que le coefficient de volatilité relative [12]. Cette

méthode consiste d’abord à choisir un composant de base. Ce dernier est choisi soit à partir du

mélange étudié ou non. Il doit avoir une température d’ébullition correspondante à la température

d’ébullition moyenne du mélange [12]. Dans le cas de l’algorithme « Inside-Out » [41], ce

composant de base est choisi comme un corps fictif ayant un coefficient d’équilibre égal à une

moyenne pondérée des coefficients d’équilibre des constituants du mélange étudié ainsi qu’il a été

définit précédemment dans le paragraphe boucle externe (V.2.1).

on introduit l’équation K Kij ij jb= α (V-28)

dans l’équation de point de bulle 1xKyC

1i

ijij

C

1i

ij ====

(V-29)

on obtient alors 1xKC

1i

ijijijb ==

α (V-30)

1xKC

1i

ijijjb ==

α (V-31)

=

=C

1i

ijij

jb

x

1K

α

(V-32)

On estime alors la valeur de Kjb à partir de cette dernière relation dans laquelle les compositions

sont obtenues par la résolution des équations de bilan de matière et les coefficients de volatilité

relative calculés rigoureusement dans la boucle externe. On obtient alors la température du plateau

directement comme suit :

TB

A Kj

j

j jb

=− ln

(V-33)

Aj et Bj étant calculés comme il a été décrit dans la boucle externe. L’avantage de cette méthode par

rapport au calcul du point de bulle classique, est qu’elle nécessite une seule itération, et évite donc

le calcul fastidieux des coefficients de fugacité à partir des modèles thermodynamiques complexes.


48

V.2.2.c Résolution des équations de bilan d’énergie et des équations de spécification

On résoud les équations de bilan d’énergie et de spécifications simultanément pour réactualiser les

facteurs de stripping de base Sbj et les facteurs de soutirage liquide Rlj et vapeur Rvj sur chaque

plateau. L’équation d’énergie est présentée suivant l’expression :

H H v H l H Rl v H Rv l Hf f Hf f Qj j

v

i ji

C

j

l

i ji

C

j

v

j i ji

C

j

l

j i ji

C

j

v

ij

v

i

C

j

l

i j

l

i

C

j= + − − − − − =+ +=

− −= = =

+ += =

1 11

1 11 1 1

1 11 1

0, , , , ,

(V-34)

La résolution simultanée de ces équations est effectuée par la méthode numérique de Broyden.

Comme pour les autres méthodes utilisant l’approche Newtonienne, dans le cas de la distillation on

peut remplacer les équations de bilan d’énergie du condenseur et du rebouilleur par d’autres

spécifications parmi celles résumées dans le tableau (V.1).

Tableau (V.1) : Equations de spécifications pour l’algorithme Inside Out

Spécification Remplacement de H1 Remplacement de HN


(L/D) et (V/B) 01,1, =

− ii v

D

Ll v

V

Bli i, ,1 1 0 −

=

Température TD ou TB T1 - TD = 0 TN - TB = 0

Débit des produits D ou B v Di ,1 0 − = l Bi N, − = 0

Débit des constituants di ou bi vi,1 - di = 0 li,N - bi = 0

Fraction molaire dans les

produits, yiD ou xiB( )v v yi i i D, , ,1 1 0− = ( )l l xi N i N i B, , ,− = 0

Pour les colonnes d’absorption avec rebouillage, on peut substituer le bilan d’énergie du rebouilleur

par une autre équation représentant une autre spécification désirée, par exemple le débit de produit

de fond ou la teneur en certains composants. Pour le cas de l’absorption, on n'effectue aucun

changement.

V.2.3 Test de convergence La convergence du processus de calcul est obtenue lorsque le test suivant est vérifié :

= =

−

≤

−N

1j

C

1i

1k

ij

k

ij

NCε

αα (V-35)

Il consiste à comparer la variation des coefficients de volatilité pour deux itérations successives de

la boucle externe.

V.3 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté un algorithme de type ‘’Inside-Out’’ version Russell [33].

Nous avons implémenté ce dernier en sous programmes (distillation: DISTIO ; absorption: ABSIO;

absorption avec rebouilleur: REABIO) que nous avons testés sur plusieurs cas allant des colonnes

conventionnelles aux colonnes complexes avec plusieurs soutirages, alimentations et échangeurs de

chaleur intermédiaires. Les résultats obtenus sont très satisfaisants. Ces derniers sont présentés au

chapitre six.


49

Initialisation des profils de débit vapeur,

liquide, de température et de compositions

Calcul Kbj αij , Aj , Bj , Cj

Dj , Ej , Fj

Initialisation Sbj Rlj Rvj

Calcul des débits de liquides partiels par la

résolution des bilans matière par la méthode

numérique de Thomas

Calcul des débits liquide et vapeur totaux

par sommation des débits partiels

Calcul du nouveau profil de température par

la « Kb Method »

Calcul des nouveaux facteurs de stripping et les facteurs de

soutirage par résolution simultanée des bilans d’énergie et

des équations de spécification par la méthode numérique de

Broyden

Organigramme (V.1)

Méthode Inside Out

Stop

Test sur la

somme des F(j)

Test sur les

coefficients

de volatilité

Chapitre VI Applications, synthèses et recommandations

50

VI. Applications, synthèses et recommandations

Afin de tester les performances des différents algorithmes présentés, (à travers le programme

développé COLSIM), nous avons choisi un certain nombre d’exemples d’application qui reflètent

les différentes situations rencontrées dans l’industrie [voir tableau VI.1]. Chaque exemple est

simulé par les algorithmes étudiés. Les résultats obtenus sont comparés à ceux obtenus par le

simulateur professionnel HYSIM (Hyprotec). Comme on pourra le constater dans les tableaux

comparatifs, les résultats obtenus par les différents algorithmes concordent pour peu qu’on utilise le

même modèle thermodynamique.

Tableau VI.1 : Liste des exemples d’applications Exemple Type de colonne Type de mélange Type d’opération Référence

N° 1 Distillation avec reflux partiel de type complexe

Hydrocarbure léger C1-C6, plage d’ébullition réduite : 122 °F

Dépropaniseur [11]

N° 2 Distillation avec condenseur total

nC4 nC5 nC6 nC8 plage d’ébullition réduite : 108°F

Fractionnement [11]

N° 3 Absorbeur avec rebouilleur

C1-C9 spectre de température d’ébullition 151°F

Stabilisation [11]

N° 4 Absorption CO2, N2, C1-C10, large plage de température d’ébullition, avec présence d’incondensables

Lavage du gaz par une huile lourde.

[8]


C4-C6, paraffine, oléfine et aromatique

Débutaniseur [57]


Aromatiques, BTX, plage d’ébullition très réduite : 22°F

Fractionnement des aromatiques

[58]

N° 7 Stripping avec rebouilleur

N2, hydrocarbure C1-C6, très large spectre d’ébullition 329°F

stripping avec rebouilleur

[11]

N°8 Absorption avec rebouillage

N2, CO2, hydrocarbure C1-C6 Déméthaniseur [59]

N°9 Distillation avec reflux total de type complexe

Hydrocarbure C1-C10 Stabilisation [6]

VI.1 Application n°1

Le premier exemple d’application est celui d’un dépropaniseur [voir figure VI.1]. Le problème

consiste à faire la simulation de la colonne en maintenant constantes les spécifications suivantes :

1. un taux de reflux de 7.5

2. un débit de distillat liquide de 5 Lbmol/h

3. un débit de distillat vapeur de 15 lbmol/h

4. un débit de soutirage vapeur au plateau 13 de 37. Lbmol/h

5. un débit de soutirage liquide au plateau 3 de 3. Lbmol/h

6. une quantité de chaleur soutirée au plateau 3 de 200 000 Btu/h.

Pour cette application, nous avons choisi le modèle thermodynamique de Peng Robinson. Les

résultats de simulation obtenus par l’algorithme « Bubble point », sont présentés sous forme de

graphes. Les profils de température, des débits liquide et vapeur et des compositions vapeur et

liquide sont représentés par les figures (VI.1.a), (VI.1.b), (VI.1.c) et (VI.1.d). Le tableau (VI.1.a)

présente les résultas obtenus par les différents algorithmes étudiés et le simulateur HYSIM.

On déduit d’après ce tableau (VI.1.a) que les résultats obtenus sont indépendants de l’algorithme de

simulation. Les résultats obtenus par les différents modèles thermodynamiques sont représentés

dans le tableau (VI.1.b). On voit alors que les résultats diffèrent d’un modèle thermodynamique à

l’autre. On constate aussi que le modèle de Peng Robinson donne le temps d’exécution le plus lent.


51

15

13

9

6

3

2

243 psia

Rebouilleur

(Plateau 16 )

Alimentation N°2

230 °F, 275. Psia

Comp Lbmol / hr

éthane 0.5

propane 6.0

n-butane 18.0

n-pentane 30.0

n-hexane 4.5

Alimentation N°1

170. °F, 300. Psia

Comp Lbmol / hr

éthane 2.5

propane 14.0

n-butane 19.0

n-pentane 5.0

n-hexane 0.5

240. psia

238 psia

Ballon

séparateur

Condenseur

( Plateau 1 )

Débit de reflux

150. lbmol / hr

Distillat liquide

5. lbmol / hr

Distillat vapeur

15. lbmol / hr

Soutirage liquide

3. lbmol / hr

Refroidisseur

intermédiaire

200 000. Btu / hr

Soutirage vapeur

37. lbmol / hr

Figure (VI.1) : Schéma de la colonne de l’application n°1


52

Résultats de simulation de l’application n°1 par l’algorithme Bubble PointModèle thermodynamique : Peng Robinson

figure (VI.1.a) :

Profil de Température

50

100

150

200

250

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Plateau

Tem

péra

ture

° F

figure (VI.1.a) :


50

100

150

200

250

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Plateau

Tem

péra

ture

° F

figure (VI.1.b) :

Profil des Débits Liquide et Vapeur

0

50

100

150

200

250

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Déb

it M

ola

ire :

lb

mo

l/h

r

Vapeur

Liquide

figure (VI.1.b) :


0

50

100

150

200

250

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Déb

it M

ola

ire :

lb

mo

l/h

r

Vapeur

Liquide

figure (VI.1.c) :

Profil des Compositions en Phase Liquide

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Fra

cti

on

Mo

lair

e

Ethane Propane n-Butane n-Pentane n-Hexane

figure (VI.1.c) :

Profil des Compositions en Phase Liquide

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Fra

cti

on

Mo

lair

e


figure (VI.1.d) :

Profil des Compositions en Phase Vapeur

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Frc

tio

n M

ola

ire


figure (VI.1.d) :

Profil des Compositions en Phase Vapeur

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Frc

tio

n M

ola

ire



53

Tableau (VI.1.a) :

Résultats de simulation pour l’application n°1

BubblePoint

2N-Newton Corrections Simultanées

InsideOut

SimulateurHYSIM

Distillat vapeur Température °F

Ethane Propane n-butane n-pentane n-hexane

15.00 108.34

.172E+00

.810E+00 .175E-01 .150E-04 .841E-08

15.00 108.34

.172E+00

.810E+00 .175E-01 .150E-04 .841E-08

15.00 108.34

.172E+00

.810E+00 .175E-01 .150E-04 .841E-08

15.00 108.338

.172E+00

.810E+00 .175E-01 .150E-04 .840E-08

15.01 108.59

.172379 E+00

.810639 E+00 .169650 E-01 .160000 E-04 .970000 E-08

Distillat liquide Température °F


5.0 108.34

.747E-01 .878E+00 .472E-01 .982E-04 .129E-06

5.0 108.34

.747E-01 .878E+00 .472E-01 .982E-04 .129E-06

5.0 108.34

.747E-01 .878E+00 .472E-01 .982E-04 .129E-06

5.0 108.338 .747E-01 .878E+00 .472E-01 .981E-04 .129E-06

5.0 108.59

.739950 E-01 .880181 E+00 .457200 E-01 1.04000 E-04 1.42000 E-07

Soutirage liquide Température °F


3.0 130.108 .183E-01 .775E+00 .205E+00 .221E-02 .144E-04

3.0 130.109 .183E-01 .775E+00 .205E+00 .221E-02 .144E-04

3.0 130.109 .183E-01 .775E+00 .205E+00 .221E-02 .144E-04

3.0 130.101 .183E-01 .775E+00 .204E+00 .220E-02 .144E-04

3.0 130.05

.178830 E-01 .780551 E+00 .199302 E+00 .224800 E-02 .150000 E-04

Soutirage vapeur Température °F


37. 251.439 .637E-04 .295E-01 .683E+00 .274E+00 .135E-01

37. 251.439 .637E-04 .295E-01 .683E+00 .274E+00 .135E-01

37.0 251.439 .637E-04 .295E-01 .683E+00 .274E+00 .135E-01

37. 251.435 .636E-04 .294E-01 .683E+00 .274E+00 .135E-01

36.99 251.50 .000058 .028552 .683839 .274064 .013486

Résidus Température °F


40. 285.941 .323E-06 .138E-02 .264E+00 .623E+00 .112E+00

40. 285.941 .323E-06 .138E-02 .264E+00 .623E+00 .112E+00

40. 285.941 .323E-06 .138E-02 .264E+00 .623E+00 .112E+00

40. 285.946 .322E-06 .137E-02 .264E+00 .623E+00 .112E+00

40. 285.78

.271 E-06 .1284 E-02

.263905 E+00

.622372 E+00

.112439 E+00


54

Tableau (VI.1.b) :

Comparaison des résultats de simulation obtenus par l’algorithme Bubble point avec différents modèles thermodynamiques

Redlich Kwong

SoaveRedlich Kwong

Peng Robinson

Chao SeaderGrayson Stread

Distillat vapeur Température °F

éthane propane n-butane n-pentane n-hexane

101.468 .170593 .799328 .030002 .000077 .000000

107.427 .172190 .810790 .017006 .000013 .000000

108.340 .172099 .810354 .017532 .000015 .000000

110.851 .173484 .813266 .013241 .000009 .000000

108.305 .172675 .814654 .012665 .000006 .000000



101.468 .077733 .850418 .071471 .000377 .000001

107.427 .074459 .879169 .046281 .000090 .000000

108.340 .074666 .877993 .047242 .000098 .000000

110.851 .071937 .890603 .037398 .000062 .000000

108.305 .073087 .889621 .037243 .000049 .000000



124.655 .020214 .728734 .246091 .004911 .000049

129.105 .018169 .776160 .203544 .002113 .000013

130.108 .018280 .774929 .204571 .002205 .000014

131.259 .016387 .802847 .179114 .001641 .000010

128.774 .017637 .791031 .189828 .001495 .000009



238.606 .000102 .039979 .646029 .296438 .017451

250.384 .000064 .029053 .684440 .273154 .013289

251.439 .000064 .029460 .683109 .273900 .013467

252.839 .000025 .024876 .700670 .262207 .012223

248.451 .000095 .025159 .704740 .258496 .011511



269.209 .000001 .002691 .287238 .601400 .108670

284.977 .000000 .001349 .262921 .623208 .112522

285.941 .000000 .001375 .263758 .622509 .112357

287.907 .000000 .000854 .252263 .633374 .113509

283.795 .000001 .001081 .247930 .636820 .114168

Temps d’exécution (sec)* 12.79 21.14 27.19 20.71 22.74

* : le temps d’exécution correspond à un micro-ordinateur de type Pentium 233 Mhz.


55


Il s’agit d’une colonne de distillation complexe avec condenseur total, une alimentation et deux

soutirages [voir figure VI.2]. Pour cette application, on spécifie :

1. un débit de distillat liquide de 14.08 Lbmol/h.

2. un débit de soutirage liquide au plateau 11 de 19.53 Lbmol/h

3. un débit de soutirage vapeur au plateau 25 de 24.78 Lbmol/h

Le tableau (VI.2) comporte les résultats de simulation obtenus par les différents algorithmes. Les

figures (VI.1.a), (VI.1.b), (VI.1.c) et (VI.1.d) représentent respectivement les profils de

température, des débits liquide et vapeur et les profils de compositions vapeur et liquide obtenus par

la méthode « Bubble point » avec le modèle thermodynamique de Chao Seader.

29

25

15

11

2

25 psia

Rebouilleur

(Plateau 30 )

Alimentation

150. °F, 25. Psia

Comp Lbmol / hr

n-butane 14.08

n-pentane 19.53

n-hexane 24.78

n-Octane 39.94

Total 98.33

20. psia

Ballon

séparateur

Condenseur

( Plateau 1 )

Taux de reflux 20. Distillat liquide

14.08 lbmol / hr

Soutirage liquide

19.53 lbmol / hr

Soutirage vapeur

24.78 lbmol / hr



56

Résultats de simulation de l’application n°2 par l’algorithme Bubble Pointavec le Modèle thermodynamique : Soave Redlich Kwong

figure (VI.2.a):


0

50

100

150

200

250

300

350

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Tem

péra

ture

° F

figure (VI.2.b):


0

50

100

150

200

250

300

350

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Déb

it M

ola

ire (

Lb

mo

l/h

r )

Vapeur

Liquide

figure (VI.2.c):

Profil des compositions liquide

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Fra

cti

on

Mo

lair

e

n-Butane n-Pentane n-Hexane Octane

figure (VI.2.d):

Profil des Compositions Vapeur

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Fra

cti

on

Mo

lair

e

n-Butane n-Pentane n-Hexane Octane


57

Tableau (VI.2) :


Bubblepoint

2N-NewtonCorrections Simultanées

InsideOut

Simulateur HYSIM


n-butane n-pentane n-hexane n-Octane

14.08 47.793

.959873

.040127

.000000

.000000

14.08 47.793

.959874

.040126

.000000

.000000

14.08 47.809

.95948664

.04051335

.00000001

.00000000

14.08 47.793

.959875

.040125

.000000

.000000

14.08 48.03

0.958980 0.041020 5.85E-09 0.000000



19.53 117.676 .028972 .963153 .007872 .000003

19.530 117.676 .028972 .963153 .007872 .000003

19.530 117.677

.02925152

.96200974

.00873542

.00000332

19.530 117.676 .028971 .963155 .007872 .000003

19.53 115.66

0.029617 0.963770 0.006610 2.39E-06



24.780 201.305 .000000 .002264 .792886 .204850

24.780 201.305 .000000 .002264 .792887 .204849

24.78 202.499

.00000001

.00247989

.77518315

.22233695

24.780 201.304 .000000 .002264 .792899 .204837

24.78 200.72

5.42E-08 0.005177 0.947392 0.047431



39.940 293.152 .000000 .000002 .030428 .969569

39.940 293.152 .000000 .000002 .030429 .969569

39.94 292.516

.00000000

.00000293

.03374819

.96624887

39.940 293.152 .000000 .000002 .030426 .969572

39.94 293.03

0.000000 1.67E-06 0.029390 0.970608


58

VI.3 Application 3

Il s’agit d’une colonne de type absorbeur avec rebouilleur [ voir figure VI.3]. Ce type de colonne ne

peut être résolu ni par l’algorithme « Bubble Point » ni par l’algorithme « Sum Rate ».

Pour la résolution de cette application par les autres algorithmes, nous avons adopté le modèle

thermodynamique de Peng Robinson. Deux cas d’études ont été traités.

Cas 1 : Le premier problème consiste à tester les performances de la colonne lorsqu’on spécifie :

1. un débit du produit de tête de 103. Lbmol/h.

2. une charge thermique du rebouilleur intermédiaire de 1 000 000 Btu/h.

Le tableau (VI.3.a), regroupe une compilation de tous les résultats obtenus par les algorithmes

« 2N-Newton », « Corrections simultanées », « Inside Out » et ceux obtenus par le simulateur

HYSIM. Les figures (VI.3.a), (VI.3.b), (VI.3.c) et (VI.3.d) représentent respectivement les profils

de température, de débits liquide et vapeur et de compositions liquide et vapeur obtenus par

l’algorithme « 2N-Newton ».

Alimentation

120. °F, 230. Psia

Comp Lbmol / hr

méthane 46.00

éthane 42.00

propane 66.00

i-butane 13.00

n-butane 49.00

i-pentane 11.00

n-pentane 20.00

n-hexane 24.00

n-nonane 148.00

Total 419.00

15

13

9

1

Rebouilleur

(Plateau 16 )

Produit de tête

103. lbmol / hr

Huile d’absorption

60. °F, 230. Psia

Comp Lbmol / hr

n-nonane 40.00

Rebouilleur intermédiaire

1 000 000 Btu / hr

230. psia



59

Résultats de simulation de l’application n°3 par l’algorithme 2N-Newtonavec le Modèle thermodynamique : Peng Robinson

f ig u re (V I.3 .b ): P ro f i l d e s D é b its l iq u id e e t V a p e u r

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

P la te a u

Dé

bit

Mo

lair

e (

lbm

ol/

hr)

V a p e u r

L iq u id e

f ig u r e (V I .3 .a ) : P r o f i l d e T e m p é r a tu r e

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

P la te a u

Tem

péra

ture

° F

f ig u r e (V I .3 .a ) : P r o f i l d e T e m p é r a tu r e

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

P la te a u

Tem

péra

ture

° F


60

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Fra

cti

on

Mo

lair

e

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Methane Ethane Propane i-Butane n-Butanei-Pentane n-Pentane n-Hexane n-Nonane

figure (VI.3.c): Profil des compositions en Phase liquide

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Plateau

Fra

cti

on

Mo

lair

e

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Methane Ethane Propane i-Butane n-Butanei-Pentane n-Pentane n-Hexane n-Nonane

figure (VI.3.c): Profil des compositions en Phase liquide

0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

P la te a u

Fra

cti

on

Mo

lair

e

M e th a n e E th a n e P ro p a n ei-B u ta n e n -B u ta n e i-P e n ta n en -P e n ta n e n -H e x a n e n -N o n a n e

f ig u re (V I.3 .d ): P ro f il d e s c o m p o s it io n s e n P h a s e V a p e u r

0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

P la te a u

Fra

cti

on

Mo

lair

e

M e th a n e E th a n e P ro p a n ei-B u ta n e n -B u ta n e i-P e n ta n en -P e n ta n e n -H e x a n e n -N o n a n e

f ig u re (V I.3 .d ): P ro f il d e s c o m p o s it io n s e n P h a s e V a p e u r


61

Tableau (VI.3.a) :

Résultats de simulation pour l’application n°3 : Ca s 1


InsideOut

SimulateurHYSIM

Produit de tête lbmol/hTempérature °F

méthane éthane propane i-butane n-butane i-pentane n-pentane n-hexane n-nonane

103. 111.8

.446E+00

.386E+00

.157E+00 .446E-02 .384E-02 .258E-05 .728E-06 .277E-09 .173E-02

102.61 115.5

.448E+00

.387E+00

.155E+00 .437E-02 .372E-02 .244E-05 .711E-06 .307E-08 .171E-02

102.61 111.5

.448E+00

.387E+00

.155E+00 .437E-02 .372E-02 .244E-05 .689E-06 .260E-09 .171E-02

103. 111.98

.446596

.385797

.157887

.004354

.003635 2.57E-06 6.99E-07 2.33E-10 0.001728

Résidus lbmol/hTempérature °F

méthane éthane propane i-butane n-butane i-pentane n-pentane n-hexane n-nonane

356. 303.3

.827E-06

.621E-02 .140E+00 .352E-01 .136E+00 .309E-01 .562E-01 .674E-01 .527E+00

356.0 302.7

.870E-06

.653E-02 .140E+00 .353E-01 .136E+00 .309E-01 .562E-01 .674E-01 .527E+00

356.0 302.7

.869E-06

.653E-02 .140E+00 .353E-01 .136E+00 .309E-01 .562E-01 .674E-01 .527E+00

356.0 302.85

1.61E-06 .006357 .139713 .035257 .136589 .030898 .056180 .067416 .52759

Cas 2 : On veut tester les performances de la colonne pour les spécifications suivantes :

1. la teneur en C2- ne doit pas dépasser 0.5% (molaire) dans le produit de fond de la colonne.

2. la charge thermique du rebouilleur intermédiaire est de 1 000 000 Btu/h.

Ce type de problème ne peut pas être résolu par l’algorithme « 2N-Newton ». Par contre, il est très

facile de le résoudre par l’algorithme « Inside Out » ou celui des « corrections simultanées ». Il

suffit pour cela de remplacer l’équation de bilan d’énergie autour du rebouilleur par la spécification

désirée. Le tableau suivant présente les résultats obtenus par ces deux algorithmes.

Tableau VI.3.b : Résultats de simulation pour l’application n°3 : cas deux

Variables opératoires Inside Out Corrections simultanées

Température de fond ° F 305.755 305.762

Charge thermique du rebouilleur Btu/h 3 159 309.106 3 158 731.089

Résidu Lbmol/h 354.170 354.163

Méthane % .000067 .000068

Ethane % .499932 .499932

Total % .499999 .500000


62


Dans cette application, nous traitons le cas d’une colonne d’absorption liquide - vapeur [figure

VI.4], comprenant un très grand nombre de composants (quatorze). La plage de température

d’ébullition est très large. La pression de fonctionnement relativement élevée est de 800 psia.

L’huile absorbante alimente la colonne en tête et le gaz à traiter par le fond. A l’exception de

l’algorithme « Bubble Point », tous les algorithmes étudiés permettent de simuler ce type de

colonnes [ voir tableau VI.4]. Pour cette application, nous avons choisi le modèle thermodynamique

de Grayson Streed. les figures (VI.4.a), (VI.4.b), (VI.4.c) et (VI.4.d) représentent respectivement les

profils de température, des débits liquide et vapeur et les profils de compositions vapeur et liquide

obtenus par l’algorithme « Sum Rate ».

Alimentation Gaz

0. °F, 800. Psia

Comp Lbmol / hr

CO2 0.4703

N2 0.1822

méthane 88.700

éthane 6.6747

propane 2.7786

i-butane 0.6375

n-butane 0.3655

i-pentane 0.1158

n-pentane 0.0505

n-hexane 0.0146

n-heptane 0.0081

n-octane 0.0020

n-nonane 0.0

n-decane 0.0

Total 100.00

8

6

4

1

Huile d’absorption

2.9 °F, 800. Psia

Comp Lbmol / hr

CO2 0.0

N2 0.0

méthane 0.0

éthane 0.0

propane 0.0015

i-butane 0.0006

n-butane 0.0013

i-pentane 0.0067

n-pentane 0.0061

n-hexane 0.1495

n-heptane 0.5736

n-octane 1.8214

n-nonane 1.6866

n-decane 2.0619

Total 6.3092

800. psia


Produit de tête

Produit de fond


63

Résultats de simulation de l’application n°4 par la méthode Sum Rate avec le Modèle thermodynamique : Grayson Streed

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Te

mp

éra

ture

°F

figure VI.4.a Profil de température

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Te

mp

éra

ture

°F


0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Déb

it L

bm

ol/h

r

Vapeur

Liquide

figure VI.4.b Profil de débits liquide et vapeur

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Déb

it L

bm

ol/h

r

Vapeur

Liquide

figure VI.4.b Profil de débits liquide et vapeur


64

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

CO2 N2 Methane Ethane Propane

i-Butane n-Butane i-Pentane N-Pentane n-HexaneHeptane Octane N-Nonane N-Decane

figure VI.4.c Profil des compositions liquide

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

CO2 N2 Methane Ethane Propane

i-Butane n-Butane i-Pentane N-Pentane n-HexaneHeptane Octane N-Nonane N-Decane



65

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

0,900

0,905

0,910

0,915

0,920

CO2 N2 Ethane Propane i-Butane

n-Butane i-Pentane N-Pentane n-Hexane Heptane

Octane N-Nonane N-Decane Methane

figure VI.4.d Profil des compositions vapeur

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

0,900

0,905

0,910

0,915

0,920

CO2 N2 Ethane Propane i-Butane

n-Butane i-Pentane N-Pentane n-Hexane Heptane

Octane N-Nonane N-Decane Methane



66

Tableau (VI.4) :


SumRate

2N-Newton CorrectionsSimultanées

InsideOut

SimulateurHYSIM

Produit de tête lbmol/hr

Température °F

CO2 N2 Méthane éthane propane i-butane n-butane i-pentane n-pentane n-hexane n-heptane n-octane n-nonane n-decane

88.301

29.319

.00385548

.00200872

.93633637

.05123664

.00588869

.00004475

.00001102

.00002034

.00001418

.00012521

.00016839

.00019861

.00006911

.00002250

88.301

29.313

00385537 .00200874 .93634191 .05123470 .00588536 .00004468 .00001101 .00002034 .00001417 .00012520 .00016836 .00019857 .00006910 .00002250

88.301

29.313

.00385537

.00200873

.93634172

.05123480

.00588544

.00004468

.00001101

.00002034

.00001417

.00012520

.00016836

.00019857

.00006910

.00002250

88.313

29.311

.00385692

.00200853

.93630259

.05125872

.00589918

.00004485

.00001102

.00002034

.00001417

.00012518

.00016834

.00019856

.00006909

.00002249

88.44

29.16

.004469

.002019

.935896

.051261

.005788

.000040

.000009

.000017

.000012

.000101

.000141

.000162

.000057

.000027

Résidus lbmol/hr

Température °F

CO2 N2 Méthane éthane propane i-butane n-butane i-pentane n-pentane n-hexane n-heptane n-octane n-nonane n-decane

18.008

10.276

.00721130

.00026801

.33429127

.11942064

.12552938

.03522319

.02032952

.00677327

.00313753

.01006291

.03747836

.11933889

.11096687

.06996887

18.008

10.273

.00721168

.00026801

.33429328

.11942683

.12553994

.03522182

.02032856

.00677295

.00313739

.01006251

.03747668

.11933328

.11096156

.06996550

18.008

10.273

.00721166

.00026801

.33429260

.11942651

.12553987

.03522191

.02032861

.00677297

.00313739

.01006254

.03747678

.11933360

.11096185

.06996569

17.996

10.378

.00720619

.00026790

.33410636

.11935196

.12554759

.03524319

.02034133

.00677723

.00313936

.01006885

.03750031

.11940854

.11103155

.07000964

17.87

10.38

.004199

.000203

.331860

.119823

.126928

.035510

.020480

.006769

.003109

.008681

.031853

.101234

.094101

.115249


67


L’application suivante concerne un exemple de colonne rencontrée dans l’industrie pétrochimique

[voir figure VI.5]. Le condenseur est total et la pression de fonctionnement est de 77 psia. On

spécifie :

1. un taux de reflux de 1.954.

2. un débit de distillat de 485.02 Lbmol/h.

Le modèle thermodynamique choisi est celui de Redlich Kwong. Les résultats obtenus par tous les

algorithmes étudiés sont rassemblés dans le tableau (VI.5). les figures (VI.5.a), (VI.5.b) (VI.5.c) et

(VI.5.d) représentent les profils de température, de débits liquide et vapeur et de compositions

liquide et vapeur obtenus par l’algorithme « Bubble point ».

Alimentation

592.88 °R, 77. Psia

Comp

1-3 Butadiene 0.23791

i-Butene 0.30817

n-Pentane 0.09959

1-Pentene 0.13727

1-Hexene 0.08872

Benzène 0.12834

Total 1094.16 Lbmol / hr

Distillat Liquide

485.01951 lbmol / hr

Taux de

Reflux 1.954

29

7

2

Rebouilleur

(Plateau 30 )

Ballon

Séparateur

Condenseur

( Plateau 1 )

77. psia



68

Résultats de simulation de l’application n°5 par la méthode Bubble point avec le Modèle thermodynamique : Redlich Kwong

80

100

120

140

160

180

200

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Tem

péra

ture

°F

figure (VI.5.a): Profil de température

80

100

120

140

160

180

200

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Tem

péra

ture

°F

figure (VI.5.a): Profil de température

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Déb

its l

bm

ol/

hr

Vapeur

Liquide

figure (VI.5.b): Profil des débits liquide et vapeur

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Déb

its l

bm

ol/

hr

Vapeur

Liquide

figure (VI.5.b): Profil des débits liquide et vapeur

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

1-3-Butadiene i-Butene

N-Pentane 1-Pentene

1-Hexene Benzene

figure (VI.5.c): Profil des compositions liquide

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e


N-Pentane 1-Pentene

1-Hexene Benzene

figure (VI.5.c): Profil des compositions liquide

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e


N-Pentane 1-Pentene

1-Hexene Benzene

figure (VI.5.d): Profil des compositions vapeur

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e


N-Pentane 1-Pentene

1-Hexene Benzene

figure (VI.5.d): Profil des compositions vapeur


69

Tableau (VI.5) :


BubblePoint


InsideOut

SimulateurHYSIM

Distillat liquide

Température °F

1-3 Butadiene i-Butene n-Pentane 1-Pentene 1-Hexene Benzene

485.020

116.717

.406306

.590375

.000759

.002554

.000005

.000001

485.020

116.717

.406306

.590375

.000759

.002554

.000005

.000001

485.020

116.717

.406306

.590375

.000759

.002554

.000005

.000001

485.016

116.717

.406306

.590375

.000759

.002554

.000005

.000001

484.95

117.27

0.396864 0.595717 0.000806 0.006605 6.45E-06 1.44E-06

Résidus

Température °F

1-3 Butadiene i-Butene n-Pentane 1-Pentene 1-Hexene Benzene

609.140

199.834

.103827

.083468

.178283

.244536

.159358

.230528

609.140

199.834

.103827

.083468

.178283

.244536

.159358

.230528

609.140

199.834

.103827

.083468

.178283

.244536

.159358

.230528

609.141

199.833

.103827

.083468

.178283

.244536

.159358

.230528

609.21

196.10

0.111377 0.079273 0.178226 0.241284 0.159339 0.230502


70


Cette application concerne la séparation des aromatiques (BTX). Les spécifications sont les

suivantes :

1. Le taux de reflux est de 20.

2. le débit de distillât liquide est de 48.3 Lbmol/h

3. le débit de soutirage liquide au plateau 15 est de 285.9 Lbmol/h.

Le modèle thermodynamique choisi est celui de Soave Redlich Kwong. les figures (VI.6.a),

(VI.6.b), (VI.6.c) et (VI.6.d) représentent les profils de température, des débits liquide et vapeur et

ceux de compositions vapeur et liquide obtenus par l’algorithme « Inside Out ».

Distillat liquide

48.3 lbmol / hr

Taux de

Reflux 20.

41

22

15

2

Rebouilleur

(Plateau 42 )

Alimentation

241,933 °F, 14.7 Psia

Comp Lbmol / hr

Benzène 60.0

Toluène 270.0

o-xylene 270.0

Total 600.0

Ballon

séparateur

Condenseur

( Plateau 1 )

Soutirage liquide

285.9 lbmol / hr

14.7 psia



71

Résultats de simulation de l’application n°6 par l’algorithme Inside Out et le modèle Thermodynamique : Soave Redlich Kwong

Tableau (VI.6) : Résultats de simulation pour l’application N°6

BubblePoint

2N-Newton CorrectionsSimultanées

InsideOut

SimulateurHYSIM

Distillat liquide Température °F Benzene Toluene o-Xylene

48.3 176.76

.986664

.013336

.000000

48.3 176.76

.986666

.013334

.000000

48.3 176.76

.986780

.013220

.000000

48.3 176.76

.986665

.013335

.000000

48.3 177.3597 0.988167 0.011833 1.53E-10

Soutirage liquide Température °F Benzene Toluene o-Xylene

285.9 227.362 .043176 .942123 .014701

285.9 227.362 .043176 .942124 .014700

285.9 227.362 .043157 .942142 .014701

285.9 227.362 .043176 .942123 .014701

285.9 228.0565 0.042920 0.942352 0.014728

Résidus Température °F Benzene Toluene o-Xylene

265.8 292.916 .000000 .000011 .999989

265.8 292.916 .000000 .000011 .999989

265.799 292.916 .000000 .000011 .999989

265.802 292.916 .000000 .000011 .999989

265.7999 290.7629 0.000000 0.000037 0.999963

150

170

190

210

230

250

270

290

310

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

Plateau

Te

mp

éra

ture

°F

figure VI.6.a Profil de Température

150

170

190

210

230

250

270

290

310

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

Plateau

Te

mp

éra

ture

°F

figure VI.6.a Profil de Température

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Plateau

Dé

bit

en

lb

mo

l/h

rVapeur

Liquide

figure VI.6.b Profil de débit liquide et vapeur

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Plateau

Dé

bit

en

lb

mo

l/h

rVapeur

Liquide



72

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Benzene

Toluene

o-Xylene


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Benzene

Toluene

o-Xylene


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Benzene

Toluene

o-Xylene


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Benzene

Toluene

o-Xylene



73


C’est l’exemple [voir figure VI.7] d’une colonne de stripping avec rebouilleur (reboiled stripper)

qui opère à 150 psia. La charge alimente la colonne en tête. Les C3- et une fraction du butane sont

éliminés en tête (strippés par les vapeurs issues du rebouilleur). Le liquide ainsi stabilisé quitte la

colonne par le fond. Comme pour l’application n°3, cette colonne ne peut pas être simulée par les

algorithmes « Bubble Point » et « Sum Rate ». La seule spécification imposée est relative au débit

du produit de fond (- spécifié à 99.33 Lbmol/hr). Le calcul de l’équilibre et des propriétés

thermodynamiques est obtenu à partir du modèle de Chao Seader. Les profils de température, des

débits liquide et vapeur, de compositions vapeur et liquide sont respectivement représentés par les

figures (VI.7.a), (VI.7.b), (VI.7.c) et (VI.7.d). Ces profils ont été obtenus par l’algorithme « 2N-

Newton ». Les résultats correspondants aux autres algorithmes sont rassemblés dans le tableau

(VI.7).

Alimentation

39.2 °F, 150. Psia

Comp Lbmol / hr

Azote 0.22

méthane 59.51

éthane 73.57

propane 153.22

n-butane 173.22

n-pentane 58.22

n-hexane 33.63

Total 551.59

7

1

Rebouilleur

(Plateau 8 )

Produit de fond

99.33 lbmol / hr

150. psia


Produit de tête


74

Résultats de simulation de l’application n°7 par l’algorithme de 2N-Newton avec le modèle thermodynamique : Chao Seader

Tableau (VI.7) :Résultats de simulation pour l’application n°7


InsideOut

SimulateurHYSIM

Produit de tête Température °FAzote Méthane éthane propane n-butane n-pentane n-hexane

452.26 128.9

.488E-03 .132E+00 .163E+00 .339E+00 .330E+00 .292E-01 .608E-02

451.24 128.7

.487E-03 .132E+00 .163E+00 .340E+00 .330E+00 .292E-01 .606E-02

451.25 128.7

.487E-03 .132E+00 .163E+00 .340E+00 .330E+00 .292E-01 .606E-02

452.25 129.65

0.000486 0.131588 0.162677 0.338665 0.330960 0.029580 0.006044

Résidus Température °FAzote Méthane éthane propane n-butane n-pentane n-hexane

99.93 250.9

.153E-14

.793E-10

.538E-06

.627E-03 .236E+00 .448E+00 .309E+00

99.93 250.4

.154E-14

.804E-10

.549E-06

.643E-03 .241E+00 .449E+00 .309E+00

99.93 250.4

.154E-14

.804E-10

.548E-06

.643E-03 .241E+00 .449E+00 .309E+00

99.34 251.24

0.000000 0.000000 5.03E-07 0.000606 0.237002 0.451385 0.311007

120

140

160

180

200

220

240

260

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Te

mp

éra

ture

°F


0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Dé

bit

lb

mo

l/h

r

Vapeur

Liquide

figure VI.7.b Profil des débits liquide et

vapeur


75

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

N2 Methane Ethane Propane

N-Pentane n-Hexane n-Butane


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 2 3 4 5 6 7 8

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

N2 Methane Ethane PropaneN-Pentane n-Hexane n-Butane



76

VI.8 Application N°8

Cette application concerne l’industrie du gaz naturel. Nous étudions le cas d’un déméthaniseur du

type rencontré dans les unités à turbo-expander. La colonne est alimentée par un gaz riche en

méthane et éthane. L’objectif et de récupérer le méthane en tête et l’éthane au fond de colonne avec

pour spécification :

- Le pourcentage du méthane dans l’éthane produit ne doit pas dépasser 1% (molaire).

Ce type de problème ne peut pas être résolu par les algorithmes séquentiels. Pour sa résolution par

l’algorithme « Inside out » ou celui des « corrections simultanées », il suffit de substituer l’équation

de bilan d’énergie autour du rebouilleur par l’équation de spécification de la pureté voulue. Le

modèle thermodynamique adopté est celui de Peng Robinson.

Alimentation N°1

-142. °F, 330. Psia

Comp

N2 0.0034

CO2 0.0051

méthane 0.7886

éthane 0.1678

propane 0.0310

i-butane 0.0025

n-butane 0.0013

i-pentane 0.0003

n-pentane 0.0001

n-hexane 0.


Alimentation N°2

-135.4376 °F, 335. Psia

Comp

N2 0.0047

Co2 0.0037

méthane 0.7650

éthane 0.1379

propane 0.0594

i-butane 0.0115

n-butane 0.0090

i-pentane 0.0046

n-pentane 0.0028

n-hexane 0.0014


5

2

1

Rebouilleur

(Plateau 6 )

Produit de tête

330. psia


335. psia


77

Tableau VI.8 :Résultats de simulation de l’application N°8 par l’ algorithme des corrections simultanées

Plateau Température °F Vapeur lbmol/hr Liquide lbmol/hr

1 -136.342 48.503 11.394

2 -124.608 35.345 41.826

3 -78.537 28.861 36.738

4 -10.444 23.773 39.802

5 29.414 26.836 42.049

6 59.632 29.083 12.966

Profil des compositions liquide

Plateau N2 CO2 Méthane Ethane Propane

1 .00105248 .00732259 .72901255 .21878766 .03872279

2 .00034480 .00931315 .59602411 .27845923 .08067781

3 .00005120 .02020000 .31891310 .51810719 .10172311

4 .00000711 .02580491 .11967768 .69753160 .11679112

5 .00000098 .02326377 .03792209 .73289472 .15848454

6 .00000012 .01587394 .01000000 .61084446 .25050358

Plateau i-Butane n-Butane i-Pentane N-Pentane n-Hexane

1 .00304480 .00157855 .00035863 .00011979 .00000018

2 .01417284 .01080568 .00540043 .00321286 .00158908

3 .01670606 .01260119 .00620334 .00368208 .00181273

4 .01681281 .01236520 .00586410 .00346156 .00168390

5 .02099622 .01479331 .00632528 .00365013 .00166896

6 .04525959 .03464638 .01739321 .01035352 .00512520

Profil des compositions vapeur

Plateau N2 CO2 Méthane Ethane Propane

1 .00556169 .00086528 .97335633 .01974783 .00045799

2 .00232373 .00123759 .96580511 .02944428 .00112004

3 .00049965 .00636570 .85929722 .12913416 .00438307

4 .00007906 .02255944 .48739418 .46752832 .02057830

5 .00001049 .03060301 .17266791 .73941406 .05218861

6 .00000137 .02655828 .05037022 .78730675 .11746092

Plateau i-Butane n-Butane i-Pentane N-Pentane n-Hexane

1 .00000826 .00000248 .00000012 .00000002 .00000000

2 .00004622 .00002001 .00000218 .00000078 .00000006

3 .00020703 .00009517 .00001263 .00000490 .00000047

4 .00113298 .00057775 .00010039 .00004347 .00000611

5 .00306889 .00160017 .00029387 .00013174 .00002126

6 .01017921 .00594248 .00139102 .00066165 .00012811

Remarque Les mêmes résultats sont obtenus par l’algorithme « Inside Out ».


78

VI.9 Application N°9

Cette application est un exemple de l’industrie du raffinage. Nous avons choisi le modèle

thermodynamique de Soave Redlik Kwong. Deux cas d’étude sont proposés :

Cas 1 : Il s’agit de tester les performances de la colonne en spécifiant les paramètres opératoires

suivants :

1. Le débit de distillat vapeur est de 23.345 Lbmol/h .

2. Le débit de soutirage liquide au plateau 4 est de 15 Lbmol/h.

3. Le débit de soutirage vapeur au plateau 16 est de 25 Lbmol/h. 4. Le taux de reflux est de 3.12.

Les résultats de simulation obtenus par l’algorithme 2N-Newton sont représentés par les figures:

(VI.9.a ; VI.9.b ; VI.9.c ; VI.9.d).

Alimentation N°1

728.500°F, 265. Psia

Comp

Méthane .000000

Ethane .000000

Propylène .01527000

Propane .10687000

i-Butane .06107000

n-Butane .25954000

n-Pentane .23206000

n-Hexane .13740000

Heptane .06870000

Octane .06565000

n-Decane .05344000

total 65.500 Lbmol / hr

Alimentation N°2

577.1 °F, 265 Psia

Comp

Méthane .05797000

Ethane .29985000

Propylène .17392000

Propane .34783000

i-Butane .02898000

n-Butane .08696000

n-Pentane .01449000

n-Hexane .00000000

Heptane .00000000

Octane .00000000

n-Decane .00000000

total 34.500 Lbmol / hr

20

13

16

8

4

2

243 psia

Rebouilleur

(Plateau 21 )

264.7 psia

Condenseur

( Plateau 1 )

Taux de reflux

3.122

Distillat vapeur

23.3447lbmol / hr

Soutirage liquide

15. lbmol / hr

Soutirage vapeur

25. lbmol / hr



79

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Tem

péra

ture

°Ffigure VI.9.a Profil de température

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Tem

péra

ture

°Ffigure VI.9.a Profil de température

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Déb

it l

bm

ol/

hr

Vapor

Liquid


20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Déb

it l

bm

ol/

hr

Vapor

Liquid



80

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Methane Ethane Propylene Propane

i-Butane n-Butane N-Pentane n-HexaneHeptane Octane N-Decane


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Methane Ethane Propylene Propane

i-Butane n-Butane N-Pentane n-HexaneHeptane Octane N-Decane


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Methane Ethane Propylene Propanei-Butane n-Butane N-Pentane n-HexaneHeptane Octane N-Decane


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Plateau

Fra

cti

on

mo

lair

e

Methane Ethane Propylene Propanei-Butane n-Butane N-Pentane n-HexaneHeptane Octane N-Decane



81

Cas 2 : Afin de mettre en évidence les avantages de l’algorithme Inside Out, on propose de

reprendre l’exemple précédent mais cette fois ci en changeant les types de spécifications.

En fait, il ne s’agit plus de fixer les paramètres opératoires, mais de calculer ces derniers en tenant

compte des spécifications suivantes :

1- Récupération dans le distillat vapeur de 90% de l’éthane se trouvant dans l’alimentation N°1.

2- Fixer la température du quatrième plateau à 118 °F.

3- Le soutirage vapeur à partir du plateau 16 ne doit pas contenir plus de 10% de C3-.

4- La masse volumique du produit de fond doit être de 0.72 Lbmol/ft3.

Ce type de problème ne peut être résolu que par l’algorithme « Inside Out ». Les résultats

obtenus sont reportés dans le tableau (VI.9).

Tableau VI.9 : Résultats de simulation pour l’application N°9 , cas 2

Plateau Température

°F Débit Vapeur

Lbmole/hr

Soutirage Vapeur

Lbmole/hr

Débit liquide Lbmole/hr

Soutirage liquide

Lbmole/hr

1 79.741 23.366 .000 76.992 .000

2 100.839 100.358 .000 78.745 .000

3 110.511 102.111 .000 78.035 .000

4 118.000 101.401 .000 61.312 14.628

5 126.598 99.305 .000 58.920 .000

6 135.329 96.914 .000 56.744 .000

7 143.733 94.738 .000 55.456 .000

8 166.617 58.604 .000 56.377 .000

9 181.763 59.526 .000 56.473 .000

10 193.501 59.622 .000 55.885 .000

11 204.473 59.033 .000 53.743 .000

12 219.135 56.891 .000 47.146 .000

13 251.440 50.295 .000 111.850 .000

14 255.569 49.499 .000 113.249 .000

15 260.999 50.897 .000 114.824 .000

16 268.637 52.472 25.853 116.439 .000

17 276.730 79.942 .000 117.357 .000

18 286.551 80.860 .000 117.470 .000

19 299.989 80.973 .000 116.060 .000

20 320.861 79.563 .000 110.585 .000

21 359.178 74.088 .000 36.497 .000

Composition du soutirage vapeur à partir du plateau 16

Méthane Ethane Propylène Propane Fraction totale des C3-

.00000000 .00001151 .01081975 .08916874 0.100000

i-Butane n-Butane N-Pentane n-Hexane Heptane Octane N-Decane

.12784774 .52614237 .18142266 .04502998 .01155831 .00615688 .00184206

Masse volumique du produit de fond .7200000 lbmol/ft3

Taux de récupération de l’éthane dans le distillât vapeur

90.00001 %


82

VI.10 Synthèse et Recommandations

Il apparaît d’après les exemples d’application que nous avons présentés, que les algorithmes

implémentés permettent de résoudre une grande variété de problèmes de séparation par colonnes à

plateaux aussi bien en raffinage, en pétrochimie et en industrie du GNL.

Cependant, l’établissement de recommandations d’utilisation de ces différents algorithmes demeure

une tâche assez complexe. En effet, Haas & Kister [41], l’ont bien souligné dans leur étude, comme

l’illustre la phrase suivante : ‘’ In spite of what some salespeople may tell you, a method does not yet exist that solves all columns and work every time ’’[41].

Aussi, dans ce travail, nous avons dégagé deux critères fondamentaux qui permettent de

sélectionner, l’algorithme adéquat à chaque type de problème, nous citons:

Le type de colonne.

Le type de spécifications.

1- le type de colonne

L’algorithme « Bubble point » ne peut résoudre que les colonnes de distillation (c’est à dire munies

obligatoirement d’un rebouilleur de fond et d’un condenseur). La complexité de la colonne ne

dérange pas. De même pour l’algorithme « Sum rate », il est limité à la simulation des colonnes

d’absorption (c’est à dire des colonnes dépourvues de condenseur de tête et de rebouilleur de fond).

Par contre, les algorithmes « 2N-Newton », « Corrections simultanées » et « Inside out » peuvent

prendre en charge les différents types de colonnes [voir tableau VI.11.1].

Tableau VI.10.1 : types de colonnes pouvant être simulées par les différents algorithmes

Bubble Point

Sum Rate 2N-Newton Corrections Simultanées

Inside Out

Distillation Oui Non Oui Oui Oui

Absorption Non Oui Oui Oui Oui

Absorption avec rebouilleur

Non Non Oui Oui Oui

Absorption avec reflux

Non Non Oui Oui Oui

2- Type de spécification

Pour l’algorithme « Bubble point » les seules spécifications qu’on peut fixer sont le taux de reflux

et le débit de distillat. L’algorithme « 2N-Newton » pour sa part ne permet pas de résoudre les

problèmes qui comportent des spécifications sur la pureté ou le taux de récupération d’un produit,

comme on peut le voir dans l’application N°8. Ce type de problème ne peut être résolu que par

l’algorithme « corrections simultanées » ou « Inside Out ». Par l’application N°9, nous voyons que

la spécification d’une propriété physique telle que la masse volumique ne peut se faire que par

l’algorithme « Inside Out ». Le tableau (VII.11.2) illustre bien la supériorité de l’approche « Inside

Out » par rapport à la variété des spécifications pouvant être posées. L’algorithme « Bubble Point »

et l’algorithme « Sum Rate » sont les moins flexibles. Les algorithmes « 2N-Newton » et

« Corrections simultanées » se trouvent dans une position intermédiaire.


83

Tableau VI.10.2 : Comparaison de la flexibilité des différents algorithmes étudiés

Spécification Bubble Point Sum Rate 2N-NewtonCorrections Simultanées

Inside Out

Taux de reflux Oui - Oui Oui Oui

Taux de rebouillage Non - Non Oui Oui

Débit total des produits Oui Non Oui Oui Oui

Débit partiel d’un composant dans un produit

Non Non Non Oui Oui

Composition d’un plateau Non Non Non Oui Oui

Température d’un plateau Non Non Oui Oui Oui

Charge thermique Non - Non Oui Oui

Taux de récupération Non Non Non Oui Oui

Propriétés physique Non Non Non Non Oui

Aussi afin d’assurer la résolution de la plupart des problèmes rencontrés dans l’industrie, nous

avons développé le programme COLSIM basé sur les différents algorithmes étudiés. Cette idée est

d’ailleurs exploitée de nos jours, dans plusieurs logiciels professionnels, nous citerons à titre

d’exemple ASPENplus (ASPENTech) [61], HYSYS (Hyprotech)[60], (DESIGN II de

Winsim)[62], PRO/II (Simulation Science)[63] [Voir tableau VI.11.3].

On remarque d’après ce tableau que malgré que les algorithmes de types « Inside Out » sont les plus

utilisés, la tendance actuelle va dans le sens de proposer un choix de trois à quatre algorithmes de

simulation avec des recommandations d’utilisation. Ce qui n’était pas le cas il y a quelque années.

Par exemple, la version de HYSIM (Hyprotech) de 1994 ne dispose que d’une seule option pour la

simulation des colonnes. Cette option est basée sur l’algorithme « Inside Out » de Russel. Par

contre, la version de HYSYS (Hyprotech) (1999) propose jusqu’à quatre options de simulation des

colonnes.

Tableau VI.10.3 Applications Professionnelles des différents algorithmes Algorithme Logiciel

Bubble Point • COLSIM

Sum-Rate • ASPENPlus of AspenTech, Cambridge, Massachusetts.

• COLSIM

2N-Newton (Tomich) • COLSIM

Corrections simultanées (Naphtali – Sandholm )

• HYSYS, of Hyprotech of Calgary, Alberta.

• PRO/II of Simulation Sciences of Fullerton, California.

• COLSIM

Inside-Out (Russel)

• MULTIFRAC option for mutiple columns in ASPENPlus of AspenTech,

Cambridge, Massachusetts.

• HYSIM of Hyprotech of Calgary, Alberta.

• HYSYS, of Hyprotech of Calgary, Alberta.

• PRO/II of Simulation Sciences of Fullerton, California.

• Design II (Winsim, Houston, Texas)

• COLSIM

Conclusion

générale et perspectives de développement

84

Conclusion générale

L’étude de la simulation des opérations de séparation liquide-vapeur se révéle être un problème délicat

dû au grand nombre d’équations à résoudre et à la forte non linéarité qui s’accentue encore plus avec

l’intégration de modèles thermodynamiques rigoureux.

A travers ce modeste travail, nous avons apporté notre contribution à l’étude des différents algorithmes

de simulation des colonnes de séparation liquide-vapeur. Nous avons pu mettre en évidence les

particularités de chaque algorithme et nous les avons classés en trois familles (correction séquentielles,

corrections simultanées et Inside-Out).

Nous avons introduit des modifications aux différents algorithmes de base afin de permettre

l’intégration des modèles thermodynamiques rigoureux et l’amélioration des propriétés de

convergence.

L’ensemble de ces algorithmes a été implémenté en un seul programme informatique généralisé

(COLSIM) qui offre à l’utilisateur la possibilité de simuler quatre types d’opérations de base

(distillation, absorption, absorption avec reflux ou rebouillage) avec un choix de cinq algorithmes

(Buble Point, Sum-Rate, 2N-Newton, Corrections simultanées, Inside-Out) et de cinq modèles

thermodynamiques (Redlich Kwong, Soave Redlich Kwong, Peng Robinson, Chao Seader, Grayson

Stread).

Une synthèse de ces algorithmes, nous a permis d’établir les critères de base (type de colonne et type

de spécification) qui permettent à l’utilisateur, de faire le choix le plus approprié d’un de ces

algorithmes pour la résolution d’un problème posé.

Le programme élaboré COLSIM, permet de comprendre le fonctionnement des différentes opérations,

d’avoir accès aux différentes informations qui peuvent contribuer dans les études de conception de

nouvelles unités et d’optimiser celles qui sont opérationnelles, dans le but d’accroître la productivité,

de minimiser l’énergie et le coût d’exploitation, ainsi que l’amélioration de la qualité des produits.

Conclusion

générale et perspectives de développement

85

Perspectives de développement

Il est clair que beaucoup reste à faire dans le domaine de la simulation des colonnes de séparation.

Parmi les priorités que nous proposons figurent :

- l’étude des trains de colonnes reliées par différents courants de recyclage (application à la distillation

du brut).

- la séparation accompagnée de réactions chimiques (Industrie pétrochimique et purification des gaz).

- la résolution du problème de conception par une méthode rigoureuse.

- l’application des méthodes d’optimisation aux paramètres de fonctionnement.

Sur le plan thermodynamique un travail doit être mené au niveau de la caractérisation des fractions

pétrolières et des modèles d’activité.

Enfin sur le plan des outils de développement, il serait intéressant d’investir dans la programmation sur

la plate-forme Windows Win32 (par exemple le Visual C++ ou le Visual Basic). Ceci permettra

d’améliorer la flexibilité et la convivialité du programme afin d’obtenir un produit de qualité

professionnelle et commerciale.

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Appendice A

Méthodes numériques

Appendice A. Méthodes numériques

92

A-1 : Méthode numérique de Broyden

Introduction

La méthode Broyden [55] est une procédure numérique de résolution simultanée des systèmes

d'équations algébriques non linéaires de type:

f ( X ) = 0 f : vecteur de fonction de dimension N.

X : vecteur de variable de dimension N.

Algorithme

1- Initialisation du vecteur de variable X0 et estimation de la valeur de la fonction f0 = f ( X0 )

2- Approximation des éléments de H0, avec H0 étant défini comme suit: H J0 01= − −

Broyden approxime pour la première itération les éléments de J0 en utilisant la formule suivante:

∂

∂

f

x

f x h f x

h

i

j

i j i j

j

=+ −( ) ( )

avec hj = 0.001 xj

3- Sur la base des valeurs les plus récentes de H et f , à savoir Hk et fk on calcule ∆Xk

∆Xk = Hk fk

4- Rechercher sk de sorte que la norme euclidienne f (Xk + sk ∆Xk) soit plus petite que f (Xk). Pour le premier essai sk,1 = 1.

( ) ( )f X s X f Xi k k ki

N

i ki

N2

1

1 2

2

1

1 2

+

<

= = ∆

/ /

Si l'inégalité précédente est satisfaite, on passe à l'étape 5, sinon on calcule sk,2 en utilisant la

formule suivante proposée par Broyden:

( )[ ]sk ,

/

2

1 21 6 1

3=

+ −η

η avec

( )

( )η =

+=

=

f X s X

f X

i k k ki

N

i ki

N

2

1

2

1

∆

Si la norme n'est pas réduite, on retourne à l'étape 2 et on évalue la Jacobienne Jk en se basant sur

les valeurs Xk.

5- Le vecteur d'itération est alors incrémenté comme suit:

Xk+1 = Xk + sk ∆ Xk

On évalue la valeur de la fonction :

fk+1 = f ( Xk+1 )

On effectue le test sur la convergence de fk+1. Si la convergence n'est pas atteinte on calcule alors la

variable d'écart :


93

Yk = fk+1 - fk

et on réestime la matrice H :

( )H H

H Y s X X H

X H Yk k

k k k k k

T

k

k

T

k k

+ = −+

1

∆ ∆

∆

et on retourne à l'étape 3.

A-2 : Méthode numérique de Richmond

La méthode numérique de Richmond [50], permet de résoudre une équation non linéaire du type

f(x) = 0 , en utilisant le développement limité de la fonction f(x) tronquée au troisième terme. Le

développement de cette méthode est comme suit :

f x f x x x f x x x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "( )= + − + − =0 0 0 0

2

0

1

20 au voisinage de x0

f x x x f x x x f x( ) ( ) ( ) ( ) "( )0 0 0 0

2

0

1

20+ − + − =

D’après le développement limité de f(x) tronqué au deuxième terme on aura

f(x) = 0 = f(x0) + (x-x0)f’(x0) (x-x0) = - f(x0) / f

’(x0)

si on combine ces deux dernières équations on obtient :

02

1(

0

00

000)(xf

)(xf)f(x)-(xf)(x-x)xf =

′

′′′+

d’où

′

′′′

=

)(xf

)(xf)*f(x)-(xf

)f(x - xx

0

00

0

0

0

2

1

La solution est donc calculée itérativement par la relation suivante:

′

′′′

=+

)(xf

)(xf)*f(x)-(xf

)f(x - xx

r

rr

r

r

rr

2

11

La solution est obtenue lorsque le test de convergence suivant est vérifié :

ε<−

+

+

1

1

r

rr

x

xx


94

A-3 : Méthode numérique de Thomas

La méthode numérique de Thomas [54], est adaptée à la résolution des systèmes d’équations

linéaires à matrice tridiagonale.

Soit un système linéaire: MX = Y

M étant une matrice tridiagonale. La résolution de ce type de système peut être simplifiée, en tenant

compte de la structure particulière de M.

Adoptons pour les éléments non nuls de la matrice M, la notation suivante:

B C

A B C

A B C

A B C

A B

N- N N

N N

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

0

.

.

. . . .

. . . .

0 . . .

0 . . . 0

0 . . . 0

0

0

.

− −

=

− −

x

x

x

x

x

Y

Y

Y

Y

Y

N

N

N

N

1

2

3

1

1

2

3

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

La méthode de THOMAS est la suivante :

1- Normalisation de la première ligne du système :

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

/ 0

.

.

. . . .

. . . .

0 . . .

0 . . . 0

0 . . . 0

0

0

C B

A B C

A B C

A B C

A

N- N N

N

.

− −

B

x

x

x

x

x

Y B

Y

Y

Y

YN

N

N

N

N

=

− −

1

2

3

1

1 1

2

3

1

.

.

.

/

.

.

.

.

.

.

.


95

Ensuite on réduit la seconde en lui soustrayant A2 fois la première

1

0

1

2 2

3 3 3

1 1 1

/ B 0

( - A C / B ) .

.

. . . .

. . . .

0 . . .

0 . . . 0

0 . . . 0

0

0

1

2 1 1

C

B C

A B C

A B CN- N N

.

− −

.

.

Y

2

A B

x

x

x

x

x

Y B

A Y B

Y

Y

YN N

N

N

N

N

=

−

− −

1

2

3

1

1 1

2 1 1

3

1

.

.

.

/

( / )

.

.

.

.

.

On normalise la seconde ligne:

1

0 1

1 1

2

2 2 1 1

3 3 3

1 1 1

/ 0

.

.

. . . .

. . . .

0 . . .

0 . . .

0 . . . 0

0

0

C B

C

(B -A C /B )

A B C

A B CN- N N

.

− −

.

.

A B

x

x

x

x

x

Y B

Y A Y B

B A C B

Y

Y

YN N

N

N

N

N

=

−

−

− −

1

2

3

1

1 1

2 2 1 1

2 2 1 1

3

1

.

.

.

.

/

( / )

( / )

.

.

.

.

.

On continue ainsi pour les N lignes du système, on obtient un système à matrice tridiagonale

unitaire, (les éléments diagonaux égaux à 1 ).

1

1

1

1

2

3

1

0

.

.

. . . .

. . . .

0 . . .

0 . . . 0

0 . . 0

0 .

0 . 1

1γ

γ

γ

γ

.

. .

N −

=

− −

x

x

x

x

x

N

N

N

N

1

2

3

1

1

2

3

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

β

β

β

β

β

xN N= β et x xj j j j= − +β γ 1 pour N-1 ≤ j ≤ N


96

A.4 Calcul de la matrice Jacobienne

Le calcul de la matrice Jacobienne peut se faire soit à partir des dérivées analytiques soit à partir des

formules des différences finies. L’approche analytique est la meilleure sur le plan précision et

rapidité de calcul. Cependant, il est nécessaire de développer des expressions analytiques propres à

chaque modèle thermodynamique. Cette tâche n’est pas toujours simple surtout pour les modèles

d’activité et peut facilement être entachée d’erreurs. De plus, si on veut apporter de nouvelles

modifications au modèle thermodynamique cela nécessite de développer une nouvelle fois toutes les

expressions analytiques nécessaires. L’approche des différences finies évite tous ces inconvénients

mais au prix d’un effort de calcul assez important. Cependant, l’évolution de l’outil informatique

que se soit sur le plan de capacité de traitement ou de rapidité d’exécution, a fait que ce point est

devenu secondaire. Concernant la précision des résultats, il dépend du pas de différenciation qui

doit être bien choisi. [voir Organigramme (III.5)].

Organigramme (A.1)

Méthodes de calcul de la Jacobienne du système

Dérivées partielles

analytiques

Formule des différences

finies

- Estimation Précise

- Evite l’estimation de

la fonction

- Indépendant du modèle

thermodynamique

utilisé.

- Ne nécessite pas de

développement

analytique

- Limitée à l’équation d’état

choisie

- Développement fastidieux

des expressions analytiques

des dérivées partielles,

pouvant être facilement

entachées d’erreurs

- Estimation approximative

- Consomme beaucoup plus

de temps de calcul.

Appendice B

Modèles Thermodynamiques et Calcul des Equilibres

Liquide Vapeur

Appendice B. Modèles thermodynamiques et calcul des équilibres liquide vapeur

98

B.1. Modélisation de l’équilibre liquide vapeur

L’équilibre thermodynamique est exprimé par l’égalité des fugacités da chaque constituant i dans la

phase liquide et la phase vapeur, comme le montre l’expression suivante:

f fi

L

i

V= (B-1)

B.2 Equilibre liquide - vapeur à partir d’équations d’état

Dans cette étude, nous avons utilisé les trois équations d’état cubiques (Redlich Kwong, Soave

Redlich Kwong, Peng Robinson). L’expression générale de la fugacité du constituant i est:

pour la phase liquide: L

ii

L

i xf φ= (B-2)

pour la phase vapeur: yf v

ii

v

i φ= (B-3)

La condition d’équilibre est exprimée par:

x yi i

L

i i

v φ φ= (B-4)

xi et yi désignent les fractions molaires du composant i respectivement en phase liquide et vapeur. φiL

et

φiV

représentent respectivement les coefficients de fugacité en phase liquide et en phase vapeur, qui

sont calculés à partir de l’équation d’état choisie selon l’expression générale suivante:

ln ln

, ,

φ∂

∂i

i T V nVRT

p

n

RT

VdV Z

j

=

−

−∞

1

(B-5)

On exprime alors le coefficient d’équilibre Ki par :

x

yK

V

i

L

i

i

ii

φ

φ== (B-6)

L’enthalpie molaire liquide sur le plateau j est obtenue par :

=

=C

1i

R

Jii, jJ +h h xh (B-7)

de même pour l’enthalpie molaire vapeur sur le plateau j , elle est exprimée par:

=

=C

1i

R

Jii, jJ +H h yH (B-8)

Où hi représente l’enthalpie du gaz parfait du corps i à l’état de référence. Elle est calculée à partir

d’une expression polynomiale dont les coefficients sont tabulés dans la littérature [50].


99

=

+++++==

=C

1

)5432(,

C

1

*

i

Ti

FTi

ETi

DTi

CTi

Bi

Aji

y

i

i

hi, j

yH (B-9)

L’enthalpie résiduelle pour la phase liquide hR

j ou vapeur HR

j est calculée à partir de l’équation d’état

selon l’expression suivante :

H H H (Z- )RT+ TP

T - P dVR

V

P

= −

* = 1

0

∂

∂ (B-10)

Z étant le coefficient de compressibilité liquide où vapeur selon le cas.

Le tableau B.1. de la page suivante, résume pour chaque équation d’état, sa formulation, son

coefficient de fugacité, son enthalpie d’écart, ses paramètres caractéristiques ainsi que ses règles de

mélange.

B.3 Résolution de l’équation d’état cubique

Le coefficient de compressibilité Z est obtenu par la résolution d’état cubique de la forme suivante :

AZ BZ CZ D3 2 0+ + + = (B-11)

A l’instar de la méthode analytique (Cardan) et de la méthode de Newton, nous avons adopté la

méthode de Richmond parce que plus efficace et plus robuste que les deux premières [ voir

algorithme de la méthode en appendice (A) ].

Ap

pen

dic

e B

. M

od

èles

th

erm

od

yna

miq

ues

et

calc

ul

des

équil

ibre

s li

qu

ide

vap

eur

10

0

Ta

ble

au

B.1

Mo

dè

le E

qu

ati

on

s d

’éta

t

Re

dli

k K

wo

ng

S

oa

ve

Re

dli

k K

wo

ng

P

en

g R

ob

ins

on

()

ZZ

AB

BZ

AB

30

−+

−−

−=

²²

()

ZZ

AB

BZ

AB

30

−+

−−

−=

²²

ZB

ZA

BB

ZA

BB

B3

22

31

23

0−

−+

−−

−−

−=

()

()

(²

)

()

lnln

()

()

lnφ i

ii

iZ

BZ

BA B

AB

B Z=

−−

+−

′−′−

′+

11

()

()

[]

lnln

lnφ i

ii

iZ

BZ

BA B

AB

B Z=

−−

+−

′−′−

′+

11

()

lnln

()

()

ln(

)

()

.

. .φ i

ii

iZ

BZ

BA

BA

BZ

B

ZB

=−

−+

−′−

′−′

++

−−

12

21

21

15

05

05

HH

RT

ZA

B

B Z

−=

−−

+

*

.ln

11

51

+

−

−−

=−

ZB

dTda

aT

BAZ

RTH

H1

ln1

1*

()

Tda

dT

xx

ma

aT

rk

ij

ji

cjj

ijj

i

=−

−

(

).

05

1

HH

RT

ZA

B

T a

da

dT

ZB

ZB

−=

−−

−

+ −

*

.ln

. .1

21

241

4

041

41

5

()

Tda

dT

xx

ma

aT

rk

ij

ji

cjj

ijj

i

=−

−

(

).

05

1

bx

b ii

iN

=

bx

b ii

iN

=

a

i =

aci

α

i

()

cici

aci

p

RT

a

2

Ω=

()

Aap

RT

=²

Bbp

RT

=

′=

Bb b

i

i

0.4

2748

=Ω

a0.4

2748

=Ω

a0.4

57235

=Ω

a

0.0

8664

=Ω

b0.0

8664

=Ω

b

0.0

77796

=Ω

b

ax

ai

iiN

=

05

2

.(

)(

)a

xx

aa

ki

ji

jij

jN

iN

=−

05

1.

ax

xa

ak

ij

ij

ijjN

iN

=−

()

()

.0

51

50

=

.

ii

Tr

αα

ii

mT

r0

50

51

1.

.(

)=

+−

)1(

15.

05.

0

ii

iT

rm

−+

=α

--

mi

i=

+−

048

1574

0176

2.

..

ωω

22

69

92

.0

54

22

6.

13

76

46

.0

ii

im

ωω

−+

=

′=

A

a ai

i2

05.

()

′=−

A

aa

xa

ki

ij

ijN

ij

12

10

5.′=

−

Aa

ax

ak

ii

jj

ijjN

12

10

50

5.

.(

)


101

B.4 Equilibre liquide - vapeur à partir de modèle d’activité pour la phase liquide, et à partir d’équations d’état pour la phase vapeur

L’expression générale de la fugacité du constituant i est:

pour la phase liquide: f xi

L

i i i= fγ 0 (B-12)

pour la phase vapeur: f y f Pi

v

i i

v= (B-13)

La relation d’équilibre s’écrit: x yi i i

o

i i

v f Pγ φ= (B-14)

Soit P/f o

i

L

i =φ (B-15)

donc L

iii

v

i i xy φγφ = (B-16)

Le coefficient d’équilibre s’exprime comme suit :

P

f

x

yK

0

i

0

ii

i

ii

φ

γ== (B-17)

xi Fraction molaire du composé i en phase liquide.

yi Fraction molaire du composé i en phase vapeur

γi Coefficient d’activité du constituant i en phase liquide.

φiL Coefficient de fugacité du liquide pur i dans les conditions d’équilibre.

φiv Coefficient de fugacité en phase vapeur.

f0

i Fugacité à l’état standard correspondant à celle du liquide pur aux conditions de température et

de pression du système.

L’enthalpie en phase liquide est obtenue par l’expression : =

=C

1i

E

Jii, jJ +h h xh (B-18)

hJE

: est l’enthalpie d’excès du mélange. Elle est calculée à partir du modèle d’activité par l’expression

suivante :

T

RTh iE

∂

∂−=

γ (B-19)

hi est l’enthalpie idéale du corps pur i. Le calcul de l’enthalpie vapeur Hi se fait de la même façon que

pour le modèle par équation d’état.

1- Coefficient d’équilibre

Ki

i i

L

i

V=

γ φ

φ (B-19)

2- Coefficient de fugacité en phase liquide

log log logφ φ ω φi

L

i i i= +0 1 (B-21)


102

PrlogPr)(Pr)(log 2

98

2

765

3

4

2

32

1

0

0 −+++++++++= TrAATrATrAATrATrATrATr

AAiφ (B-22)

)6,0(Pr025,015224,322060,1

65808,823893,4log 31 −−−−+−= TrTr

Triφ (B-23)

φi0: étant relatif aux fluides parfaits.

ωi : Facteur acentrique.

3- Coefficient d’activité en phase liquide

ln γ

δ φ δ

i

i i k k

k

N

v

RT=

−

2

(B-24)

avec φi

i i

j jj

N

x v

x v

=

(B-25)

vi : Volume molaire

δi : Paramètre de solubilité

4- Coefficient de fugacité en phase Vapeur

Le coefficient de fugacité en phase vapeur est obtenu à partir de l’équation d’état de Redlich Kwong

(voir tableau B.1).

( )

+′−′−′−+−−=

Z

BBA

B

ABZBZ iiii 1ln)1()ln(lnφ (B-26)

6- Calcul de l’enthalpie liquide

=

−

−=

C

i xP

iL

P

iL

iiL

i

TRT

TRTHxH

1 ,

2

0

20 lnln

∂

γ∂

∂

ν∂ (B-27)

( ) ( )

−++

++++++−

=

2

122

1110

9654212

0

0

2

232

30258.2ln

ri

ri

i

ririririri

ri

ciP

iL

TAT

AA

PATAAPTAATAT

A

TTRT

ω∂

ν∂

(B-28)


103

Φ−−=

=

C

j

jjiiL

xP

iL vT

RT

i1,

2 lnδδ

∂

γ∂ (B-29)

Remarque : Les coefficients Ai sont listés dans le tableau B.2 pour les deux modèles de Chao & Seader et celui

de Grayson & Stread.

7- Calcul de l’enthalpie Vapeur

l’enthalpie en phase vapeur est déterminée à partir de l’équation d’état de Redlich Kwong (voir

tableau B.1).

Tableau B.2. Coefficients de la Corrélation de Chao Seader et de Grayson Streed

Coefficient

Chao Seader Grayson Streed

Fluide Simple

Méthane Hydrogène Fluide Simple

Méthane Hydrogène

A0 5.75748 2.43840 1.9671800 2.05135 1.36822 1.507090

A1 -3.01761 -2.24550 1.0297200 -2.10899 -1.54831 2.742830

A2 -4.98500 -0.34084 -0.0540090 0.00000 0.00000 -0.021100

A3 2.02299 0.00212 0.0005288 -0.19396 0.02889 0.000110

A4 0.00000 -0.00223 0.0000000 0.02282 -0.01076 0.0000000

A5 0.08427 0.10486 0.0085850 0.08852 0.10486 0.0085850

A6 0.26667 -0.03691 0.0000000 0.00000 -0.02529 0.0000000

A7 -0.31138 0.00000 0.0000000 -0.00872 0.00000 0.0000000

A8 -0.02655 0.00000 0.0000000 -0.00353 0.00000 0.0000000

A9 0.02883 0.00000 0.0000000 0.00203 0.00000 0.0000000

A10 8.65808

A11 1.22060

A12 9.45672


104

B.5 Calcul des équilibres liquide-vapeur

Le calcul des équilibres liquide-vapeur se présente sous plusieurs aspects qui dépendent des

variables connues et celles qu’on voudrait estimer. On distingue alors dans le tableau (B-3) les cas

les plus couramment rencontrés:

Tableau (B-3) : Différents calculs d’équilibre

Type de calcul Données Inconnues

Température de Bulle x , P y , T

Pression de Bulle x , T y , P

Température de Rosée y , P x , T

Pression de Rosée y , T x , P

Flash TP T , P x , y , V/F

Flash VFP V/F , P x , y , T

La détermination du point de bulle et du point de rosée, est basée sur la résolution respective des

fonctions suivantes :

=i

i 01- X iK (B-30)

01- =i i

i

K

Y (B-31)

La variable dépendante sera dans chacun des cas, la température à une pression donnée

(température de bulle / ou de rosée ), ou la pression à une température donnée (pression de bulle / de

rosée).

Les organigrammes suivants représentent l’algorithme de calcul du point de bulle (organigramme

B-1), l’algorithme du point de rosée (organigramme B-2) et l’ajustement de la variable dépendante

(organigramme B-3).

Le calcul de flash revient à résoudre la fonction suivante :

x yii

ii

− = 0 (B-32)

L’organigramme (B-4) présente les détails de la procédure de calcul de flash. L’ajustement de la

variable dépendante (température) est représenté par l’organigramme (B-3). L’organigramme (B-5)

présente les étapes de calcul du flash à pression et taux de vaporisation fixés.

Sur la base de ces algorithmes, nous avons développé une bibliothèque (E.L.V) de procédures de

calcul des équilibres sous forme de sous programmes en Microsoft Fortran 32 (Voir appendice C).


105

Sortir avec Y

P ou T

Entrer Xi ,

( T ) , P ou bien T, ( P )

( ) : Valeur initiale de la variable

dépendante

Initialisation de la composition de

la Phase vapeur


à T, P, Xi , Yi

Ajustement de la variable

dépendante

Ajustement des

compositions de la phase

vapeur

Organigramme B-1

Calcul du Point de Bulle

Non

Oui

Oui

Non

Calcul de Y Yi i et

Yi − ≤1 ε

Y Yi

m

i

m− ≤+1 ε


106

Sortir avec Xi

P ou T

Entrer Yi ,

( T ) , P ou bien T, ( P )


dépendante


la phase liquide


à T, P, Xi , Yi


dépendante

Ajustement des


liquide

Organigramme B-2

Calcul du Point de Rosée

Non

Oui

Oui

Non

Calcul de X Xi i et

X i − ≤1 ε

X Xi

m

i

m− ≤+1 ε


107

Entrer Xm

, Tm

Tm+1

= 1.05 Tm

T Ti

m

i

m− ≤+1 ε

Tm+1

= Tm ± Variation permise

Tm+1

= Tm

Xm+1

= Xm

Sortir avec Tm+1

Organigramme B-3 Ajustement de la Température pour les

Calculs d’Equilibre

Non

Oui

Oui

Non

( )( )

T TT T

X XXm m

m m

m m

m+

−

−−

−

−

1

1

1=

Xm

= ( 1. − Yi )m

: Point de Bulle

Xm

= ( Xi − 1. )m

: Point de Rosée

Xm

= ( Φ ( V/F ) )m

: Flash à P et V/F

Première

itération


108

( L / F )m+1

<<<< 0

( L / F )m+1

> 1

Entrer T, P, Zi

Initialisation de la composition

de la phase vapeur et liquide

Initialisation du

taux de liquide

L / F

Calcul de coefficients

d’équilibre

Calcul de Φ ( L / F )

et de Φ‘ ( L / F )

ΦΦΦΦ ( L / F ) ≤≤≤≤ εεεε

L

F

L

F

L

F

L

F

m m

====

−−−−

′′′′

++++1 φφφφ

φφφφ

( L / F )m+1

= ( L / F )m

/

2

( L / F )m+1

= ( ( L / F )m

+ 1 ) / 2

Ajustement des


vapeur et liquide

Sortir avec

Xi et Yi

Oui

Oui

Oui

Non

Non

Non

Oui

Non

Organigramme B-4

Calcul de Flash

Y Y

X X

i

m

i

m

i

m

i

m

−−−− ≤≤≤≤

−−−− ≤≤≤≤

++++

++++

1

1

εεεε

εεεε


109

Non

X Yi i −−−− ≤≤≤≤ εεεε

Sortir avec Xi ,Yi

P ou T

Entrer Zi , V/F

( T ) , P


dépendante


la phase vapeur et liquide


à T, P, Xi , Yi


dépendante

Ajustement des


vapeur et liquide

Organigramme B-5 Calcul de Flash à Pression et Taux de

Vaporisation Fixés

Oui

Oui

NonY Y

X X

i

m

i

m

i

m

i

m

−−−− ≤≤≤≤

−−−− ≤≤≤≤

++++

++++

1

1

εεεε

εεεε

Appendice C

Structure générale du Programme COLSIM

Appendice C. Structure générale du programme COLSIM

111

C. Structure générale du programme COLSIM

C.1 Présentation du programme COLSIM

Le programme de simulation général COLSIM que nous avons élaboré permet la simulation des

différents types de colonnes suivantes :

- Distillation

- Absorption

- Absorption avec rebouillage

- Strippeur

- Strippeur avec rebouillage

Ces différents types de colonnes peuvent être simulés par différents algorithmes :

- Bubble Point (BP)

- Sum Rate (SR)

- 2N-Newton (2N)

- Corrections simultanées (CS)

Le programme contient une banque de données de 40 composants qui peut être facilement étendue

et enrichie. Les modèles thermodynamiques implémentés sont au nombre de cinq :

- Redlich Kwong (RK)

- Soave Redlich Kwong (SRK)

- Peng Robinson (PR)

- Chao Seader (CS)

- Grayson Stread (GS)

C.2 Structure du Programme

Le programme COLSIM est structuré en plusieurs modules selon le schéma général suivant :

Programme

principal

module

mathématique

module

thermodynamique

module

Bilan

module

Interface

Entrée / Sortie

module

Banque de

données

module

Opération

unitaire

module

Equilibre liquide-

vapeur

module

Propriétés

thermo-physique


112

C.2.1 Module Interface

Le module interface contient les procédures de lecture des données et les procédures d’affichage des

résultats.

Lecture : cette procédure permet de lire les données nécessaires pour une simulation soit à partir

du clavier pour un nouveau projet ou bien à partir d’un fichier pour le cas d’un ancien

projet. Cette procédure permet aussi de stocker les données d’un nouveau projet.

Résultat : Cette procédure permet d’afficher les résultats de simulation dans un fichier.

C.2.2 Module opérations unitaires

Les procédures de simulation des colonnes de distillation sont les suivantes :

DISTIO : pour la méthode Inside Out

DISTBP : pour la méthode Buble Point

DISTCS : pour la méthode des corrections simultanées

DIST2N : pour la méthode de 2N-Newton

Les procédures de simulation des colonnes d’absorption ou de stripping sont :

ABSIO : pour la méthode Inside Out

ABSSR : pour la méthode Sum Rate

ABS2N : pour la méthode 2N-Newton

ABSCS : pour la méthode des corrections simultanées

Les colonnes d’absorption ou de stripping avec rebouilleur sont calculées par les procédures:

REABIO : pour la méthode Inside Out

REAB2N : pour la méthode 2N-Newton

REABCS : pour la méthode des corrections simultanées

Chacun des sous programmes d’opérations unitaires fait appel à un ensemble de procédures qui

représentent les différentes équations MESH. Ces dernières sont dans le module BILAN

C.2.3 Module Bilan

FLOWRATE : Etablit la matrice didiagonale des bilans d’énergie de tous les plateaux (Utiliser

par DISTBP).

SETMATRIX : Etablit la matrice tridiagonale des bilans de matière partiels sur tous les plateaux

pour un constituant i (Utilisé par DISTBP, DIST2N, DISTIO, ABSSR, ABS2N,

ABSIO, REABSR, REAB2N, REABIO).

FUNCCS : Etablit toutes les fonctions MESH. (utilisé par DISTCS, ABSCS, REABCS).

FUNCSR : Etablit le vecteur fonction bilan d’énergie. (utilisé par ABSSR)

FUNCIO : Etablit le vecteur fonction bilan d’énergie plus les équations de spécification. (utilisé

par DISTIO, ABSIO, REABIO)

FUNC2N : Etablit le vecteur fonction bilan d’énergie et les équations de sommation. (utilisé par

DIST2N, ABS2N, REAB2N)


113

C.2.4 Module Mathématique

Ce module est une collection de sous programmes de méthodes numériques :

BROYDN : Cette procédure permet de résoudre un système de N fonctions simultanément par

l’algorithme de Broyden. La procédure BROYDN fait appel aux procédures suivantes :

FDJAC : Procédure de calcul de la matrice Jacobienne par la méthode des différences finies.

FMIN : Cette fonction assure le calcul de la norme euclidienne de N fonctions.

LNSRCH : Cette procédure détermine le pas optimal d’incrémentation des variables inconnues

QRDCMP : Procédure de décomposition QR.

QRUPDT : Procédure de résolution d’un système de type QR.

ROTATE : Cette procédure permet d’orienter la recherche de la solution par rotation des axes.

RSOLV : Procédure permettant le calcul de la solution.

TRIDAG : Procédure de résolution d’un système d’équations linéaires à matrice tridiagonale par

l’algorithme de Thomas

C.2.5 Module thermodynamique

Le module thermodynamique est constitué d’un ensemble de procédures de calcul d’équilibre

liquide et vapeur et calcul des propriétés thermophysiques.

Les différents calculs d’équilibre traités sont :

1. la température de bulle.

2. la pression de bulle.

3. la température de rosée.

4. la pression de rosée.

5. le flash à pression et température fixés.

6. le flash à pression et taux de vaporisation fixés.

à partir des modèles thermodynamiques suivants :

1. Redlich Kwong (RK).

2. Soave Redlich Kwong (SRK).

3. Peng Robinson.

4. Chao Seader.

5. Grayson Streed.

Le programme développé comporte une banque de données de quarante constituants (des

hydrocarbures pour la plus part) les plus couramment utilisés. Cette banque de données comporte

les propriétés critiques et autres constantes.


114

• Calcul des propriétés thermodynamiques

Ce module est constitué des différentes procédures de calcul des propriétés Thermodynamiques.

FUGCOEF : Cette procédure permet de calculer les coefficients de fugacité des constituants du

mélange étudié.

ACTIVITY : Calcul du coefficient d’activité.

MIX : Cette procédure calcule les paramètres de mélange de l’équation d’état choisie.

CUBE : Cette procédure calcule le coefficient de compressibilité du mélange par l’équation

d’état choisie.

ENTHALP : Cette procédure permet de calculer l’enthalpie du mélange étudié.

HIDEAL : Cette procédure permet de calculer l’enthalpie idéale du mélange étudié.

HECART : Cette procédure permet de calculer l’écart d’enthalpie du mélange étudié à partir de

l’équation d’état choisie.

KVALUE : Cette procédure calcule le coefficient d’équilibre à partir de l’équation d’état choisie.

SECANT : Cette procédure résout une équation non linéaire par la méthode sécante.

ADJUST : Cette procédure ajuste la température de bulle ou de rosée.

PHILICCS : Cette procédure calcule le coefficient de fugacité en phase liquide par la corrélation

de Chao Seader.

PHILICGS : Cette procédure calcule le coefficient de fugacité en phase liquide par la corrélation

de Grayson Stread.

KBMETHOD : Procédure de calcul de la température de bulle par la ‘’Kb Method’’

• Calcul des équilibres liquide vapeur

Ce module renferme les différentes procédures de calcul des équilibres liquide vapeur.

ROSEE : Cette procédure calcule la température de rosée d’un mélange en utilisant le modèle

thermodynamique choisi.

FlASHVFP : Cette procédure effectue le calcul de flash à pression et taux de vaporisation fixé.

FLASH : Cette procédure effectue le calcul de flash à température et pression constantes.

BULLE : Cette procédure calcule la température de bulle d’un mélange en utilisant le modèle

thermodynamique choisi.

• Banque de données

Ce module comporte un fichier à accès séquentiel où sont stockés les paramètres critiques et

physiques des constituants répertoriés dans la banque de données.

DATABANK : Cette procédure renferme toutes les propriétés des corps purs nécessaires dans les

calculs des différentes propriétés.

Appendice D

Procédure d’initialisation des variables d’itération

Appendice D. Procédure d’initialisation des variables d’itérations

116

D. Procédure d’estimation initiale des variables d’itération

La procédure d’initialisation, commence par la caractérisation de l’état de chaque alimentation.

Ensuite on procède à l’estimation des profils initiaux de température, de débits liquide et vapeur.

Caractérisation des différentes alimentations Pour chaque alimentation, nous effectuons les calculs suivants :

1. Calcul de la température de bulle de l’alimentation

Le calcul de la température de bulle se fait par la procédure BULLE [voir appendice B]. Si celle ci

est supérieure à la température réelle de l’alimentation, alors on a affaire à un liquide sous refroidi.

Dans le cas d’égalité de la température de bulle et de la température réelle, alors l’alimentation est

un liquide saturé.

Dans le cas ou la température réelle de l’alimentation est supérieure à celle de bulle, on procède à un

calcul de la température de rosée à partir de la procédure ROSEE [voir appendice B].

2. Calcul de la température de rosée

Si la température de rosée est inférieure à la température réelle de l’alimentation, alors on a affaire à

une vapeur surchauffée.

Dans le cas d’égalité de la température de rosée et de la température réelle, il s’agit d’une vapeur

saturée.

Si la température réelle de l’alimentation est intermédiaire entre son point de bulle et son point de

rosée, l’alimentation en question est un mélange partiellement vaporisé.

3. Dans le cas d’un mélange partiellement vaporisé, on effectue un flash par la procédure FLASH

[voir appendice B] à la température de l’alimentation et la pression du plateau. Ceci nous permettra

de calculer l’enthalpie du mélange.

Initialisation du profil de température Le profil de température est choisi comme une variation linéaire entre les températures estimées de

tête et de fond. La température de tête est estimée par la température de rosée du mélange de toutes

les alimentations. La température de fond est estimée par la température de bulle de la combinaison

de toutes les alimentations.

Initialisation des profils de débits liquide et vapeurLe profil de vapeur initial est obtenu à partir des hypothèses de Lewis (constant molal overflow). On

en déduit alors le profil de débit liquide par simple bilan de matière.

Initialisation des compositions Comme on n’a pas d’estimation de la distribution des compositions, pour la première itération, les

coefficients d’équilibre sont estimés à partir du modèle d’Antoine. Les fractions molaires seront

alors calculées à partir de la résolution des bilans de matière par composant.

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