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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

“IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS RESPOSTAS DA ESTRUTURA”

-Identificação Estocástica de Subespaço e Decomposição no Domínio da Freqüência-

THIAGO CAETANO DE FREITAS

Orientador: Prof. Dr. João Antônio Pereira

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica

Ilha Solteira – SP

Julho/2008

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RESUMO

Este trabalho apresenta o estudo, a implementação e a aplicação de duas técnicas de identificação de parâmetros modais utilizando apenas as respostas da estrutura, denominadas: Identificação Estocástica de Subespaço (IES) e Decomposição no Domínio da Freqüência (DDF). A IES é baseada na Decomposição em Valores Singulares (DVS) da projeção ortogonal do espaço das linhas das saídas futuras no espaço das linhas das saídas passadas. Uma vez realizada a DVS da projeção ortogonal é possível obter o modelo de espaço de estado da estrutura e os parâmetros modais são estimados diretamente através da decomposição em autovalores e autovetores da matriz dinâmica. A DDF é baseada na DVS da matriz de densidade espectral de potência de saída nas linhas de freqüências correspondentes a região em torno de um modo. O primeiro vetor singular obtido para cada linha de freqüência contém as respectivas informações daquele modo e os correspondentes valores singulares levam a função densidade espectral de um sistema equivalente de um grau de liberdade (1GL), permitindo a obtenção dos parâmetros do respectivo modo. Os métodos são avaliados utilizando dados simulados e experimentais. Os resultados mostram que as técnicas implementadas são capazes de estimar os parâmetros modais de estruturas utilizando apenas as respostas.

Palavras Chave: Análise Modal Experimental, Identificação Estocástica de subespaço, Decomposição no Domínio da Freqüência, Decomposição em Valores Singulares.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 1

1.1 Objetivos do Trabalho ............................................................................................................. 5

1.2 Organização do Trabalho ........................................................................................................ 6

2 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO ............................................................................................. 7

2.1 Análise Modal Baseada Apenas nas Respostas ............................................................................. 8

2.2 Métodos de Identificação dos Parâmetros Modais no Domínio do Tempo ................................ 10

2.3 Métodos de Identificação dos Parâmetros Modais no Domínio da Freqüência .......................... 12

3 FERRAMENTAS GEOMÉTRICAS E NUMÉRICAS ..................................................................... 15

3.1 Espaço Vetorial, Subespaço e Base ............................................................................................. 15

3.1.1 Espaço Vetorial .................................................................................................................... 16

3.1.2 Subespaço ............................................................................................................................. 17

3.1.3 Base ...................................................................................................................................... 18

3.2 Projeção Ortogonal ...................................................................................................................... 19

3.3 Decomposição QR ...................................................................................................................... 21

3.3.1 Expressões para as operações geométricas .......................................................................... 23

3.4 Decomposição em Valores Singulares ........................................................................................ 26

3.4.1 O posto de uma matriz ......................................................................................................... 26

3.4.2 Decomposição em valores singulares ................................................................................... 27

3.5 Ângulos e Direções Principais .................................................................................................... 30

3.6 Ferramentas Geométricas no Contexto Estatístico ...................................................................... 30

4 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS BASEADOS APENAS NAS RESPOSTAS ... 35

4.1 Identificação Estocástica de Subespaço – IES ............................................................................ 35

4.1.1 Modelo de Espaço de Estado............................................................................................... 36

4.1.2 Propriedades dos Sistemas Estocásticos ............................................................................... 41

4.1.3 Matrizes de Hankel, Observabilidade e Controlabilidade .................................................... 43

4.1.4 Estados do Filtro de Kalman ................................................................................................ 47

4.1.5 Teorema Principal da IES................................................................................................... 49

4.1.6 Variantes dos Algoritmos de Identificação .......................................................................... 52

4.1.7 Cálculo do Sistema de Matrizes ........................................................................................... 54

4.1.8 Identificação dos Parâmetros Modais ................................................................................... 57

4.1.9 Diagrama de Estabilização ................................................................................................... 58

4.2 Decomposição no Domínio da Freqüência ................................................................................. 60

4.2.1 Identificação dos Parâmetros Modais ................................................................................... 63

4.3 Criação da Interface Gráfica ....................................................................................................... 66

5 EXEMPLOS SIMULADOS .............................................................................................................. 71

5.1 Simulação de Uma Estrutura do Tipo Frame ............................................................................. 71

5.2 Resultados da Identificação Estocástica de Subespaço .............................................................. 73

5.3 Resultados da Decomposição no Domínio da Freqüência ........................................................ 77

5.4 Conclusões do Capítulo .............................................................................................................. 81

6 RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................................................................................. 82

6.1 Estrutura Frame ........................................................................................................................... 83

6.1.1 Modelo Experimental ........................................................................................................... 83

6.1.2 Modelo Analítico.................................................................................................................. 88

6.1.3 Testes Experimentais ............................................................................................................ 89

6.1.4 Análise Modal Utilizando a IES ........................................................................................... 91

6.1.5 Análise Modal Utilizando a DDF ........................................................................................ 95

6.1.6 Comparação entre IES e DDF ........................................................................................... 100

6.2 Avaliação da IES e DDF com dados do software ARTeMIS Extractor® .............................. 102

6.2.1 Análise Modal do HCT Utilizando a IES ......................................................................... 105

6.2.1 Análise Modal do HCT Utilizando a DDF ....................................................................... 107

6.3 Conclusões do Capítulo ............................................................................................................. 108

7 CONCLUSÕES ................................................................................................................................ 110

REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 112

APÊNDICE ......................................................................................................................................... 119

A.1 Demonstração do Teorema Principal da IES ........................................................................... 120

Capítulo 1: Introdução 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 INTRODUÇÃO

Atualmente, a crescente competitividade do mercado tem gerado a necessidade do

desenvolvimento de produtos cada vez mais elaborados, com maiores capacidades de

produção, desempenho e confiabilidade. A figura 1.1, mostra a vista frontal da maior

aeronave de passageiros já construída, o Airbus A-380. Esta aeronave, é um ótimo exemplo

de como o mercado tem se desenvolvido, propiciando aos consumidores produtos de alta

tecnologia e performance.

Figura 1.1 - Airbus A-380

Fonte: http://viagem.hsw.uol.com.br/airbus-a3804.htm, acesso em maio de 2008.

O desenvolvimento de produtos de alta qualidade envolve o atendimento de uma

série de especificações e normalizações que estabelecem as condições de operação ou

utilização destes produtos. Neste cenário, cresce cada vez mais, a necessidade de serem

utilizadas técnicas de modelagem mais robustas, envolvendo a análise de um maior número

de detalhes do sistema, buscando a definição de modelos capazes de representar

adequadamente, não só o comportamento estático do sistema físico, mas também o seu

comportamento dinâmico estrutural.

Neste contexto, o interesse pelo estudo e desenvolvimento de modelos e técnicas de

identificação de parâmetros modais mais eficientes e que possam ser utilizadas para a análise

de desempenho e integridade de sistemas estruturais, principalmente quando se trata de

questões ligadas à segurança, conforto e ao meio ambiente tem sido um desafio.


Uma das principais técnicas utilizadas para o estudo do comportamento dinâmico de

sistemas estruturais é a Análise Modal. Esta técnica permite estudar o comportamento

dinâmico estrutural do sistema a partir de um modelo matemático adequado, envolvendo uma

formulação matricial, que permite estabelecer uma relação entre entradas (forças de excitação

da estrutura) e saídas (respostas causadas pelas respectivas forças de excitação). Neste caso,

os parâmetros de vibração do modelo podem ser obtidos, tanto através da abordagem analítica

(Análise Modal Teórica) quanto da experimental (Análise Modal Experimental).

Na Análise Modal Teórica, o procedimento consiste inicialmente na formulação de um

modelo matemático descrito através das matrizes de massa e rigidez da estrutura, obtidas, por

exemplo, utilizando o método de Elementos Finitos (ZIENKIEWICZ, 1985). Em seguida, a

solução do modelo matricial leva a formulação de um problema de autovalor e autovetor,

cuja solução, fornece as características dinâmicas da estrutura, ou seja, os modos normais de

vibração e suas respectivas freqüências naturais (MEIROVICH, 1977). Na Análise Modal

Experimental, a relação entre a entrada e a saída é calculada a partir da excitação e das

respostas capturadas respectivamente nos pontos de excitação e de medição previamente

selecionados (EWINS, 1984). Neste caso, obtém-se um conjunto de funções complexas, em

que cada função representa a função de transferência ( )sH ij entre a força de excitação

aplicada no ponto j e a resposta medida no ponto i da estrutura. As funções de transferências

podem ser avaliadas no domínio da freqüência, levando à definição das chamadas Funções de

Resposta em Freqüência (FRF(s)) ou suas equivalentes no domínio do tempo, as chamadas

Funções de Resposta ao Impulso (FRI(s)). A identificação dos parâmetros modais do sistema

pode ser obtida tanto utilizando técnicas de identificação no domínio da freqüência como

técnicas de identificação no domínio do tempo.

A Análise Modal Experimental neste caso, envolve o conhecimento (medição) tanto das

entradas como das saídas do sistema, as quais são usadas para a construção das respectivas

FRF(s) do modelo. Medir as forças de entrada em um sistema real nem sempre é possível e

geralmente os testes de análise modal são realizados em laboratórios, em condições de ensaio

bem controladas, em que a excitação possa ser medida. Neste caso, a excitação da estrutura é

feita artificialmente, utilizando uma excitação eletromagnética (shaker) ou um martelo

instrumentado, Fig. (1.2).


(a) – Shaker (b) - Martelo

Figura 1.2 – Testes experimentais em condições controladas.

Fonte: (a) – (BORGES, 2006) (b) – (FREITAS, 2006)

Entretanto, o comportamento vibro - acústico de uma estrutura em condições de

operação, por exemplo, um veículo em movimento, Fig. 1.3, pode apresentar um

comportamento diferente da situação de um teste de laboratório, devido a efeitos de pré-

tensão, suspensão, condições ambientais e outros.

Figura 1.3 – Mini-Baja – Equipe Kpeta – DEM/FEIS em uma pista de competição.

Fonte: (BORGES, 2006)

Neste contexto, o estudo do comportamento dinâmico estrutural de um sistema em

operação parece mais representativo do que em testes realizados em laboratório e a

identificação dos parâmetros modais do modelo, exceto devido às limitações técnicas dos

algoritmos de identificação, é mais realística.

As técnicas de Análise Modal baseadas nas condições de operação do modelo fazem

parte da Análise Modal Operacional e atualmente vêm se consolidando nesta área, visto que

elas permitem a obtenção dos parâmetros modais a partir das próprias condições de operação


da estrutura e a identificação dos parâmetros modais neste caso é baseada apenas nas

respostas do modelo.

Dessa forma, existe uma forte demanda para que os métodos de identificação modal não

sejam usados somente para dados obtidos sob condições de laboratório bem controladas, mas

também para a resposta dinâmica de estruturas reais de engenharia como aeronaves, prédios,

pontes, automóveis e torres. A figura 1.4, vista da ponte Vasco da Gama, localizada em

Lisboa, Portugal, mostra um exemplo desse tipo de aplicação. Nessa gigantesca estrutura

Cunha e Caetano (2004) realizaram vários ensaios de vibração em condições naturais de

operação (vento e tráfego), a fim de se determinar seus parâmetros modais.

Figura 1.4 - Ponte Vasco da Gama, Lisboa, Portugal.

Fonte: (CUNHA; CAETANO, 2004).

As vantagens encontradas na Análise Modal baseada apenas nas respostas é que esta

pode utilizar dados obtidos em condições reais de carregamento, o que difere

significativamente das condições de um teste de laboratório, proporcionando uma avaliação

do comportamento do sistema sob influência das condições ambientais. Outro aspecto

importante, é o fato de que, em muitos casos, produzir uma excitação forçada com

equipamentos padrões é muito difícil ou mesmo impossível.

Na formulação da Análise Modal baseada apenas nas repostas assume-se que as forças

que atuam no sistema sejam do tipo ruído branco gaussiano. Este fato leva a uma rediscussão

do problema, que não é mais determinístico. Portanto, os dados passam a ser tratados

estatisticamente, em termos de médias, variâncias, desvio padrão e etc. Ferramentas

geométricas e estatísticas ganham importância nesta análise, e as funções de correlação são

fundamentais para análise de sistemas utilizando somente a resposta.


No Brasil, nota-se que a Análise Modal baseada apenas nas respostas é ainda

incipiente, trabalhos como Brasiliano (2005), Borges et al (2005), Nunes Jr. et al (2005),

Cardoso (2006) e Freitas e Pereira (2007) mostram algumas aplicações desenvolvidas neste

sentido. Acredita-se que esta é uma área de grande interesse para o país e que apresenta um

potencial de aplicação muito vasto tanto em estruturas mecânicas como em estruturas de

engenharia civil (pontes, viadutos, etc). A realização deste trabalho de dissertação busca

contribuir com o desenvolvimento e consolidação das técnicas de Análise Modal baseada

apenas nas respostas, visando ampliar sua utilização no país.

O trabalho discute a formulação, a implementação e a aplicação dos métodos de

Identificação Estocástica de Subespaços - IES (OVERSCHEE; MOOR, 1996) e

Decomposição no Domínio da Freqüência - DDF (BRINCKER, 2000) para a identificação

dos parâmetros modais utilizando apenas as respostas da estrutura. Adicionalmente, procura

realizar uma avaliação crítica entre os resultados e potencialidades das duas técnicas para

aplicações práticas. Numa primeira etapa foram utilizados exemplos simulados obtidos pela

análise de elementos finitos, visando confrontar os resultados com dados de referência, que

permitem uma avaliação da existência de erros ou não nos dados estimados e posteriormente,

é estudada a eficiência dos métodos utilizando dados experimentais de estruturas reais.

1.1 Objetivos do Trabalho

Estudar os conceitos básicos da análise modal baseada apenas nas respostas e discutir os

aspectos numéricos e computacionais da Identificação Estocástica de Subespaço e da

Decomposição no Domínio da Freqüência, bem como proceder à comparação e uma avaliação

crítica entre os resultados e potencialidades das técnicas para aplicações práticas.


1.2 Organização do Trabalho

A dissertação é organizada em 7 capítulos de forma a apresentar uma seqüência lógica

dos tópicos necessários para o desenvolvimento e entendimento do trabalho.

O primeiro capítulo apresenta uma introdução do assunto discutido neste trabalho,

mostrando sua importância e o posicionando num contexto atual, além dos objetivos e de

como a dissertação está organizada.

O capítulo 2 apresenta o levantamento bibliográfico deste trabalho, mostrando como as

técnicas de identificação de parâmetros modais vêm se desenvolvendo ao longo dos anos.

No capitulo 3 é apresentado as principais ferramentas numéricas e geométricas

necessárias para o entendimento e implementação das técnicas baseadas apenas nas respostas

da estrutura.

Os conceitos básicos e os fundamentos dos métodos de identificação implementados são

apresentados no capítulo 4.

Os resultados dos exemplos simulados são mostrados no capítulo 5.

No sexto capítulo são apresentados os procedimentos e resultados dos testes

experimentais realizados, bem como a comparação entre as duas técnicas, verificando suas

potencialidades e aplicações.

Por fim, o capítulo 7 traz as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

Capítulo 2: Levantamento Bibliográfico 7

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2 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO

O estudo do comportamento dinâmico estrutural vem sendo ao longo das últimas

décadas um grande desafio para a comunidade científica. A grande demanda do mercado por

produtos de alta qualidade e performance têm exigido cada vez mais a análise de um maior

número de detalhes do produto em questão.

Neste contexto, a obtenção de um modelo matemático confiável e que seja capaz de

reproduzir fielmente as características dinâmicas dos vários componentes presentes na

estrutura é geralmente um problema difícil de resolver quando se utiliza apenas ferramentas

analíticas e numéricas, e portanto, testes experimentais também são indicados para se obter

um bom modelo, que represente adequadamente o verdadeiro comportamento dinâmico de

uma estrutura. Modelos experimentais são baseados nas medidas realizadas diretamente na

estrutura, de forma que os resultados obtidos, a menos dos erros de medição, levam a um

modelo mais representativo.

A Análise Modal teórica teve um grande avanço nas últimas décadas. No passado

recente, a grande preocupação dos engenheiros estruturais foi o desenvolvimento e aplicação

de métodos numéricos mais eficientes para a análise estática e dinâmica de estruturas. Neste

contexto, o rápido desenvolvimento do método dos elementos finitos (BATHE; WILSON,

1976, ZIENKIEWICZ, 1985) e o grande progresso tecnológico no campo dos

microcomputadores permitiram aos engenheiros desenvolver pacotes de softwares, com os

quais era possível simular o comportamento estrutural dos modelos.

Entretanto, o desenvolvimento e construção de estruturas civis e mecânicas mais

complexas e ambiciosas, como barragens, pontes suspensas, edifícios, aeronaves, navios e

outras estruturas especiais, fez com que os engenheiros estruturais sentissem a necessidade de

desenvolver também ferramentas experimentais que pudessem ser capazes de estimar com

precisão as mais relevantes propriedades estruturais, provendo dados confiáveis para a

calibração, ajuste e validação dos modelos numéricos no estágio de desenvolvimento.

A Análise Modal Experimental começou a se tornar popular na década de 70, devido

ao grande avanço da informática e ao desenvolvimento de algoritmos que realizavam

eficientemente o cálculo computacional das séries de Fourier (COOLEY; TUKEY, 1965).


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Desde então, a Análise Modal, tem sido muito utilizada em várias aplicações como

acoplamento de estruturas, ajuste de modelos, detecção de falhas estruturais, análise vibro -

acústica e outros.

A obtenção das características dinâmicas de uma estrutura geralmente é feita a partir de

técnicas de identificação de sistemas, utilizando métodos que operam, tanto no domínio da

freqüência, quanto no domínio do tempo. A identificação de sistemas pode então ser definida

como o processo de desenvolver ou melhorar uma representação matemática de um sistema

físico usando dados experimentais.

De uma maneira geral nas últimas décadas, a Análise Modal apresentou uma grande

evolução e tem se consolidado como uma importante ferramenta para o estudo dos problemas

de dinâmica estrutural. Embora ainda existam pesquisas focalizando esta área, ela atingiu um

status de maturidade tanto em relação aos testes experimentais quanto em relação à

modelagem analítica. Existem vários textos que fornecem uma completa descrição dos

métodos de estimação dos parâmetros modais utilizando a relação entre a entrada e a saída,

tanto no domínio da freqüência como no tempo (EWINS; GRIFFIN, 1981, ALLEMANG,

1982, ROST et al, 1985, LEURIDAN et al, 1990, SNOEYS et al, 1987, EWINS, 1984,

HEYLEN et al, 1995, MAIA et al, 1997, ALLEMANG, 1999). Esses autores colocam, de

uma forma clara e sistemática, a maioria dos conhecimentos disponíveis nesta área associados

às suas respectivas experiências. Maia e Silva (2001) apresentam um panorama histórico e

geral do desenvolvimento ao longo do tempo das técnicas de identificação da Análise Modal.

Já as técnicas de Análise Modal baseadas apenas nas respostas são mais recentes e ainda

possuem um vasto potêncial a ser explorado como mostra a próxima seção.

2.1 Análise Modal Baseada Apenas nas Respostas

A Análise Modal baseada apenas nas respostas vem despertando um crescente

interesse na comunidade científica na busca e obtenção de uma base sólida para a

identificação dos parâmetros modais utilizando apenas as respostas. Isso pode ser verificado

através do crescente número de publicações recentes nesta área.


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A área de engenharia civil contribuiu com grande quantidade de trabalhos relativos à

aplicação das técnicas de identificação de parâmetros modais utilizando apenas as respostas

da estrutura. Uma vez que, ensaios experimentais controlados em estruturas civis são

freqüentemente impraticáveis e de custo muito elevado e em contrapartida a excitação

ambiente como vento, tráfego ou mesmo pequenos tremores, ao contrário, está disponível

livremente. Cunha e Caetano (2006) fazem um breve levantamento da evolução da Análise

Modal Experimental, partindo dos métodos baseados nas entradas e saídas até os métodos da

Análise Modal baseada apenas nas respostas.

Uma vasta gama de técnicas e aplicações voltada para a identificação de sistemas a

partir das condições de operação têm sido apresentadas, Moller e Gate (2004) discutem a

identificação dos parâmetros modais do sistema de transmissão de um automóvel em

funcionamento. Yang et al (2005) realizam a análise operacional de uma plataforma offshore

excitada pela ação de ondas e do vento. Jacobsen et al (2006) mostram uma técnica de

identificação no domínio da freqüência robusta a presença de componentes harmônicos.

Magalhães et al (2006) realizam a identificação dos parâmetros modais da cobertura de um

estádio de futebol durante a realização de uma partida. Andersen et al (2007) realizam a

avaliação de estruturas a partir de excitações sísmicas.

No Brasil, o estudo e a aplicação de métodos de identificação de parâmetros modais

baseados apenas na resposta são incipientes, isso pode ser observado pelo pequeno número de

trabalhos focando esta área. Alguns trabalhos como Brasiliano (2005), Rebolho (2006) e

Cardoso (2006) mostram algumas aplicações desenvolvidas mais recentemente nesta área.

Brasiliano (2005) estuda a avaliação das condições estruturais de construções civis através da

Análise Modal Operacional. No trabalho de Rebolho (2006) é proposta a identificação modal

de estruturas em tempo real e no trabalho de Cardoso (2006) é discutido a aplicação da

transformada wavelet na identificação modal operacional.

Nesta linha de atuação, o Departamento de Engenharia Mecânica da Faculdade de

Engenharia de Ilha Solteira tem tido uma atuação bastante efetiva, ao longo da última década,

tendo conseguido estruturar um grupo de pesquisa com uma considerável experiência no

campo da Análise Modal Experimental, incluindo o desenvolvimento e apresentação de várias

dissertações bem como a publicação de vários artigos técnicos. Mais recentemente, o grupo

coordenado pelo orientador deste trabalho, tem voltado suas atividades para o campo da

Análise Modal baseada apenas nas respostas, incluindo os trabalhos de Borges (2006) que


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realiza o estudo e implementação de uma metodologia utilizando uma técnica de identificação

baseada apenas na resposta, denominada, Decomposição no Domínio da Freqüência e Nunes

Jr. (2006) faz um estudo do método de Identificação Estocástica de Subespaço, onde é

mostrado que uma estrutura vibrando excitada por forças não conhecidas pode ser modelada

como um modelo de espaço de estado estocástico.

A seguir serão apresentados alguns dos métodos mais relevantes de identificação de

parâmetros modais baseados apenas na resposta tanto no domínio do tempo como no

domínio da freqüência

2.2 Métodos de Identificação dos Parâmetros Modais no Domínio do Tempo

Nas técnicas de identificação modal baseadas apenas nas respostas o trabalho de

Clarkson e Mercer (1965) merece um destaque especial. Neste trabalho os autores estudaram

a aplicação das funções de correlação cruzada entre a excitação (ruído branco) e a resposta

para determinação das características das FRF(s) de uma estrutura ligeiramente amortecida.

Embora assuma o conhecimento das forças de excitação, o procedimento merece destaque

pela contribuição na disseminação da idéia da utilização das funções de correlação em lugar

das tradicionais funções de resposta ao impulso, quando a excitação não pode ser medida.

Segundo os autores, quando um sistema é excitado por uma força que tem densidade espectral

constante, a correlação cruzada da excitação e da resposta é conhecida por fornecer o conjunto

de FRI(s). Esse fato possibilita a utilização dessas funções de correlação nos algoritmos de

identificação no domínio do tempo, originalmente formulados para a resposta ao impulso.

Conforme discutido em James et al (1995), o procedimento proposto por Clarkson e

Mercer (1965), aliado às técnicas de extração de parâmetros modais no domínio do tempo tais

como o Método de Ibrahim - ITD (IBRAHIM; MIKULCIK, 1977), Método Exponencial

Complexa de Polireferência - PRCE (VOLD et al, 1982) e o Algoritmo de Realização de

Sistemas - ERA (JUANG; PAPPA, 1985), deram origem a uma poderosa ferramenta para a

Análise Modal de estruturas naturalmente excitadas, denominada Técnica de Excitação

Natural (NExT). O novo método contribuiu para disseminar, na comunidade de engenharia

mecânica, a idéia de que é possível extrair os parâmetros modais de estruturas excitadas por

forças desconhecidas.


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A técnica de Excitação Natural (NExT) permite a extração dos parâmetros modais de

estruturas sob a ação de excitação natural utilizando para tanto as técnicas clássicas de

identificação determinística. A método de identificação NexT (JAMES et al, 1995) é baseado

no fato que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO), excitado por

forças aleatórias, produz funções de autocorrelação e correlação-cruzada que são somas de

“senos amortecidos”. Além disso, cada seno apresenta uma freqüência natural amortecida e

um fator de amortecimento idêntico aos correspondentes parâmetros dos modos estruturais.

Conseqüentemente, se as funções de correlação da resposta são equivalentes à função resposta

ao impulso, elas podem ser utilizadas em métodos convencionais de identificação, tais como

PRCE, ITD ou ERA, conhecidos e extensamente testados para a extração de parâmetros

modais em modelos estruturais.

A utilização de técnicas de identificação estocástica vem se consolidando apenas mais

recentemente, entretanto, a sua aplicação tem se mostrado bastante adequada para trabalhos

de engenharia mecânica. Por exemplo, Pappa e Juang (1988) obtêm os parâmetros modais de

uma aeronave durante testes de vôo utilizando os dados do sistema excitado naturalmente

diretamente no algoritmo ERA. Hermans e Auweraer (1999) estudaram a aplicação da técnica

NExT em três casos industriais, analisando suas capacidades e limitações. Tanto a técnica

NExT quanto o ERA obtiveram sucesso na caracterização modal de um sistema de suspensão

traseira de um carro durante testes de rodagem, na análise de flutter de uma aeronave

comercial em vôo e na identificação dos modos de uma ponte de concreto em condições

normais de operação.

O algoritmo de predição linear baseado no modelo Auto-Regressivo de Médias Móveis

- ARMA (GERSCH, 1970), destaca-se como sendo a mais clássica das técnicas de

identificação estocástica. Este método é fundamentado na teoria de séries temporais e foi

inicialmente aplicado a problemas de engenharia elétrica e automação, sendo posteriormente

transferido com sucesso à Análise Modal Experimental. Na formulação do método, os

parâmetros do modelo estrutural ARMA guardam informações relativas à dinâmica do

sistema, uma vez que estes estão relacionados com a covariância equivalente do sistema e ao

processo de excitação. Infelizmente os parâmetros de Média Móvel – MA podem causar

problemas de não-linearidade, e o método apresenta ainda problemas de convergência, alta

sensibilidade às condições iniciais e excessiva carga computacional (PEETERS; ROECK,

1999).


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A classe de métodos de identificação estocástica baseados em modelos em espaço de

estado, denominada Identificação Estocástica de Subespaço - IES (OVERSCHEE; MOOR,

1996), é uma alternativa ao modelo ARMA.

Os métodos baseados na identificação de subespaço executam primeiramente uma

redução no conjunto de estados do sistema e só então o modelo em espaço de estado é

identificado a partir do subconjunto encontrado. A terminologia subespaço surgiu na teoria de

controle e define o grupo de métodos que compõe a classe de problema denominada

estocástica. Este grupo está relacionado com a realização determinística que retrocede ao

algoritmo de Ho-Kalman e aplica a Decomposição em Valores Singulares (DVS) para o

tratamento de sinais contaminados por ruído (KUNG, 1978).

Uma das desvantagens dos métodos no domínio do tempo é que embora estruturas reais

tenham infinitas freqüências e infinitos modos de vibrar, o limite dinâmico real faz com que o

número de coordenadas independentes do modelo seja reduzido drasticamente, restringindo a

análise a uma faixa de freqüência previamente estabelecida. Assim é fundamental na

identificação no domínio do tempo, a determinação correta do número de modos de vibrar

contido nos sinais observados (ordem do modelo), de forma a evitar a presença de modos

computacionais. Esse problema é discutido em vários artigos como (PEETERS; ROECK,

1999, AUWERAER; PEETERS, 2004, SCIONT; LANSLOTS, 2005) e uma das propostas

para reduzir o efeito dos modos computacionais é a construção e utilização do diagrama de

estabilização.

2.3 Métodos de Identificação dos Parâmetros Modais no Domínio da

Freqüência

Os métodos de identificação dos parâmetros modais utilizando apenas as respostas no

domínio da freqüência podem ser agrupados basicamente em duas classes: Método Diretos

no Domínio da Freqüência - BFD ou Peak Picking - PP e o método de Decomposição no

Domínio da Freqüência - DDF. Neste caso, é possível traçar um cronograma temporal da

evolução dos métodos de identificação utilizando apenas as repostas no domínio da

freqüência. Neste contexto, o método PP amplamente utilizado na análise modal experimental

é um dos percussores.


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A formulação sistemática e a implementação do método PP para análise modal baseada

apenas nas respostas são atribuídas a Felber (1993), embora a idéia fundamental já tivesse

sido formulada antes. Nesta linha, Andersen (1997), dando prosseguimento ao trabalho de

Felber (1993), apresenta os conceitos básicos do método DDF. Posteriormente, Brincker

(2000) discute de uma forma mais completa a aplicação do método DDF para análise modal

baseada apenas nas respostas em estruturas reais. Ainda nesta mesma linha, Brincker (2001)

propõe uma extensão do método DDF. Neste extensão, é acrescido o uso dos coeficientes

MAC - Valores para identificação da função de densidade espectral relacionada com um grau

de liberdade correspondente ao k-ésimo modo de vibrar. Este fato permite a identificação dos

coeficientes de amortecimento do sistema com uma maior precisão e eficácia.

Nos três métodos citados acima a identificação dos parâmetros modais é feita

diretamente a partir das funções de densidade espectral de potência da resposta do sistema.

Estas funções são utilizadas na construção de uma matriz de densidade espectral de potência,

a qual é formada pelas funções de densidade espectral de potência na diagonal principal, e as

funções de densidade espectral de potência cruzada nas demais posições. Uma vez encontrada

a matriz de densidade espectral de potência, o procedimento para extração dos parâmetros

modais do sistema é ligeiramente diferente em cada um dos métodos.

No método Peak Picking, Felber (1993) propõe fazer a normalização e a média das

funções de densidades espectral a fim de se obter a média normalizada da densidade espectral

de potência (ANPSD), que em um primeiro momento, mostra todos os picos de ressonâncias

correspondentes aos modos de vibrar do sistema. A identificação das freqüências desses picos

fornece uma primeira idéia das freqüências dos modos de vibrar do sistema.

O problema das forças de entrada não serem medidas representa uma dificuldade extra

para a identificação dos parâmetros do modelo neste método. Esta limitação é

freqüentemente superada pela adoção de uma técnica derivada da identificação dos

parâmetros modais convencional, onde um sensor de referência é colocado em um

determinado grau de liberdade, e posteriormente, usado como a “entrada” do sistema. As

estimativas das funções de transmissibilidade e coerência são obtidas a partir da relação do

sinal de referência e do sinal dos pontos de medida do sistema. Esta relação serve, não

somente para ajudar na identificação das ressonâncias, mas também para estimar os modos

operacionais de deflexão. De fato estes modos não são os modos de vibrar do sistema, mas de


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

qualquer forma, a diferença entre eles torna-se insignificante para sistemas com modos bem

separados e levemente amortecidos.

Uma das principais vantagens das técnicas baseadas no domínio da freqüência é a sua

facilidade de interação (amigável) com o usuário. As técnicas são rápidas, sua utilização é

simples e dá ao usuário um “sentimento” físico dos dados usados. Entretanto, as técnicas no

domínio da freqüência, tal como a PP, que são baseadas no simples processamento do sinal

utilizando a Transformada Discreta de Fourier - FFT, fornecem uma estimativa razoável do

amortecimento e dos modos de vibrar, apenas se os modos forem bem separados. Para modos

próximos elas podem apresentar alguma dificuldade na identificação, mesmo que os modos

possam ser identificados, a estimativa fica contaminada. Um outro aspecto é a limitação na

estimativa da freqüência devido aos problemas relacionados com a resolução do espectro de

potência, assim como a incerteza na estimativa do amortecimento.

Conforme discutido em Brincker (2001), a utilização da técnica DDF pode reduzir os

inconvenientes de modos próximos e da resolução do espectro de freqüência, associados

com as técnicas clássicas, ainda mantendo a características de ser “amigável” com o usuário.

Segundo Brincker (2001) no método DDF, para cada freqüência discreta a matriz de

densidade espectral é decomposta em valores e vetores singulares utilizando a Decomposição

em Valores Singulares - DVS. A matriz de densidade espectral é decomposta para a

contribuição dos diferentes modos da estrutura, em que cada pico de freqüência contribui para

a resposta do sistema. Neste caso, o primeiro vetor singular para o pico de freqüência do k-

ésimo modo é a própria estimativa deste modo, e a partir da análise dos valores singulares é

possível identificar a função de densidade espectral relacionada com um dado grau de

liberdade correspondente ao k-ésimo modo de vibrar do sistema.

Os métodos de identificação vistos acima, tem um grande potencial de aplicação e

pode-se dizer que os mesmos são o futuro da análise modal. Assim, torna-se muito

importante o estudo das técnicas IES e DDF, de forma que se possa contribuir com o

desenvolvimento e consolidação das técnicas de análise modal baseada apenas na resposta.

A formulação, implementação e aplicação dos métodos IES e DDF serão mais

detalhados nos próximos capítulos, fornecendo informações necessárias para o entendimento

das técnicas.

Capítulo 3: Ferramentas Geométricas e Numéricas 15

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3 FERRAMENTAS GEOMÉTRICAS E NUMÉRICAS

A proposta deste capítulo é fornecer as informações necessárias a respeito dos conceitos

geométricos e numéricos que estão envolvidos na implementação da IES e da DDF e assim

possibilitar um maior entendimento dos algoritmos propostos neste trabalho. Salienta-se que

estes tópicos poderiam ser abordados em anexo, entretanto, dado a sua importância para o

trabalho e buscando um texto auto-contido, o mesmo será apresentado como parte do corpo

de texto.

Nas seções 3.1 e 3.2 será apresentado a partir do ponto de vista da álgebra linear um

esboço dos conceitos das principais ferramentas geométricas utilizadas no desenvolvimento

deste trabalho. As seções 3.3 e 3.4 abordarão as ferramentas numéricas utilizadas na

implementação dos algoritmos de identificação e finalmente a seção 3.5 discutirá como as

ferramentas geométricas podem ser expressas dentro de um contexto estatístico.

3.1 Espaço Vetorial, Subespaço e Base

O método da Identificação Estocástica de Subespaço – IES faz uso da projeção

ortogonal do espaço das linhas dos dados de saída futuros no espaço das linhas dos dados de

saída passados agrupados numa matriz de blocos de Hankel. Tal projeção é calculada a partir

da Decomposição QR da matriz de Hankel e a ordem do sistema é obtida através da

Decomposição em Valores Singulares - DVS dessa projeção. Portanto, é de suma

importância, o entendimento dos conceitos geométricos e numéricos que estão envolvidos na

formulação e implementação das técnicas de identificação de parâmetros modais baseado

apenas nas respostas.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.1.1 Espaço Vetorial

Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são chamados de vetores, na qual

estão definidas duas operações: a adição, que a cada par de vetores u,v E∈ faz corresponder

um novo vetor u v E+ ∈ , chamado a soma de u e v, e a multiplicação por um número real,

que a cada número α E∈ e a cada vetor v E∈ faz corresponder um vetor α.v chamado o

produto de α por v. Essas operações devem satisfazer, para quaisquer α ,β∈� e u,v,w E∈ ,

as condições abaixo, denominadas os axiomas de espaço vetorial:

• Comutatividade: u v v u+ = +

• Associatividade: ( u v ) w u ( v w )+ + = + + e ( αβ )v α( βv )=

• Vetor nulo: existe um vetor 0 ∈� chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal que v 0 0 v v+ = + = para todo v ∈�

• Inverso aditivo: para cada vetor v ∈� existe um vetor v− ∈� chamado o

inverso aditivo, ou simétrico de v, tal que v v v ( v ) 0− + = + − = • Distributividade: ( α β )v αv βv+ = +

e α( u v ) αu αv+ = +

• Multiplicação por 1: 1.v v=

Para todo número natural n, o símbolo n� representa o espaço vetorial euclidiano n-

dimensional. Os elementos de n� são as listas ordenadas 1 n 1 nu (α ,...,α ), v ( β ,...,β )= = de

números reais.

Os números 1 nα ,...,α são chamados as coordenadas do vetor u. As operações do

espaço vetorial n� são definidas fazendo:

1 1 n nu v (α β ,...,α β )+ = + +

1 nα.u (αα ,...,αα )=

A matriz m x nijA [ a ]= ∈� é uma lista de números reais ija com índices duplos, onde

1 i m≤ ≤ e 1 j n≤ ≤ . Costuma-se representar a matriz A como um quadrado numérico com m


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

linhas e n colunas, no qual o elemento ija situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-

ésima coluna:

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a a

a a aA

a a a

=

…

…

� � � �

…

O vetor ni1 i2 in( a ,a ,...,a )∈� é o i-ésimo vetor linha da matriz A e o vetor

m1 j 2 j mj( a ,a ,...,a )∈� é o j-ésimo vetor coluna de A. O conjunto ( m x n )M de todas as

matrizes ( m x n ) torna-se um espaço vetorial quando nele se define a soma das matrizes

ijA [ a ]= e ijB [b ]= como ij ijA B [ a b ]+ = + e o produto da matriz A pelo número real α

como ijαA [αa ]= . A matriz nula ( m x n )0 ∈M é aquela formada por zeros e o inverso

aditivo é ijA [ a ]− = − .

3.1.2 Subespaço

Um subespaço vetorial do espaço vetorial E é um subconjunto F E⊂ que,

relativamente às operações de E, é ainda um espaço vetorial.

Seja E um espaço vetorial. Um subespaço vetorial (ou simplesmente um subespaço) de

E é um subconjunto F E⊂ com as seguintes propriedades:

• 0 F∈

• Se u,v F∈ então u v F+ ∈

• Se v F∈ então, para todo α ,αv F∈ ∈�

Segue-se que se u e v pertencem ao subespaço F e α ,β são números reais quaisquer

então αu βv F+ ∈ . Mais geralmente, dados 1 mv ,...,v F∈ e 1 mα ,...,α ∈� tem-se

1 1 m mv α v ... α v F= + + ∈ .


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O conjunto {0}, com o único elemento 0, e o espaço inteiro E são exemplos triviais de

subespaços de E. Todo subespaço é, em si mesmo, um espaço vetorial.

O conjunto de vetores 1 2 jX { a ,a ,...,a } E= ⊂ é linearmente dependente se existir

escalares 1 2 jβ ,β ,...,β não nulos, tais que j

i ii 1

β a 0=

=∑ . Por outro lado os vetores

1 2 j{ a ,a ,...,a } são linearmente independentes se a condição j

i ii 1

β a 0=

=∑ implicar que todos

os escalares 1 2 jβ ,β ,...,β sejam nulos.

O conjunto de todas as possíveis combinações lineares de 1 2 j{ a ,a ,...,a } é um

subespaço x E∈S referido como uma extensão de 1 2 j{ a ,a ,...,a } e é denotado por:

x 1 2 j 1 1 2 2 j jspan{ a ,a ,...,a } { β a ,β a ,...,β a }= =S , para todos os escalares 1 2 jβ ,β ,...,β .

Se o conjunto de vetores 1 2 j{ a ,a ,...,a } é linearmente independente então o espaço xS

e dito ter dimensão j. Para qualquer espaço xS de dimensão r, sempre existirá vetores

independentes 1 2 ra ,a ,...,a em xS tais que x 1 2 rspan{ a ,a ,...,a }=S .

Existem dois importantes subespaços associados com a matriz A:

• O espaço das colunas de A é o espaço compreendido pelas n colunas de A, sendo

cada coluna considerada um vetor separado. O posto das colunas de A é o número

máximo de vetores linearmente independentes formados pelas colunas de A.

• O espaço das linhas de A é o espaço compreendido pelas m linhas de A, sendo cada

linha considerada um vetor separado. O posto das linhas de A é o número máximo de

vetores linearmente independentes formados pelas linhas de A.

3.1.3 Base

Uma base de um espaço vetorial E é um conjunto E⊂B linearmente independente que

gera E. Isto significa que todo vetor v E∈ se exprime, de modo único, como combinação

linear 1 1 m mv α v ... α v= + + de elementos 1 mv ,...v da base B . Se 1 m{ v ,...v }=B é uma base de


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E e 1 1 m mv α v ... α v= + + , então os números 1 mα ,...α chamam-se as coordenadas do vetor v

na base B .

Os vetores 1 ne (1,0,...,0 ),...,e (0,...,0,1 )= = constituem uma base 1 n{ e ,...e } de n� �,

chamada a base canônica. Analogamente, os monômios n1,x,...,x formam uma base para o

espaço vetorial nP�dos polinômios de grau ≤n. O conjunto n{1,x,...,x ,...} dos monômios de

graus arbitrários constitui uma base (infinita) para o espaço vetorial P� de todos os

polinômios reais.

Uma maior explanação sobre os conceitos de espaços vetoriais pode ser encontrada em

Kolman e David, (2001).

3.2 Projeção Ortogonal

Sejam dadas as matrizes p x jA∈� , q x j

B ∈� e r x jC ∈� . Os elementos das linhas

destas matrizes podem ser considerados como as coordenadas de um vetor em um espaço com

dimensão j. Assim as linhas das matrizes A, B e C, definem uma base para um espaço vetorial

linear de dimensão j.

O operador B∏ realiza a projeção do espaço das linhas de uma dada matriz no espaço

das linhas da matriz B, Eq. (3.1).

T T †B B .( BB ) .B∏ =

def

(3.1)

onde: †( )• denota a pseudo-inversa de uma matriz.

A / B é a notação para a projeção do espaço das linhas da matriz A no espaço das linhas

da matriz B, Eq. (3.2).

def

B T T †BA / A AB ( BB ) B= ∏ = (3.2)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Note que na notação A / B a matriz B é colocada em negrito, isto indica que o resultado

da operação A / B se encontra no espaço das linhas de B. Esta notação será utilizada também

nas operações geométricas seguintes, isto facilita a leitura das fórmulas referentes as

projeções.

Por outro lado, B

⊥∏

é o operador geométrico que projeta o espaço das linhas de uma

matriz no complemento ortogonal do espaço das linhas da matriz B, Eq. (3.3) e Eq. (3.4).

BA / A

⊥⊥= ∏

def

B (3.3)

j BB

I⊥∏ = − ∏ (3.4)

onde: Ij é a matriz identidade.

Os operadores projeção ( B∏ e

B⊥∏ ) podem ser interpretados geometricamente em

um espaço de dimensão j como mostra a figura 3.1.

Figura 3.1 – Interpretação da projeção ortogonal no espaço de dimensão j. (Neste caso j=2).

A combinação das projeções B∏ e B

⊥∏ decompõe a matriz A em duas matrizes das

quais o espaço das linhas são ortogonais, Eq. (3.5).

BB

A A A ⊥= ∏ + ∏ (3.5)

Alternativamente, as projeções podem decompor a matriz A como uma combinação

linear das linhas de B e das linhas do complemento ortogonal de B, Eq. (3.6) e Eq. (3.7).

A / B B

A

B⊥

A / ⊥B


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

def

BBL B A /= (3.6)

BL B A /

⊥ ⊥⊥ =

def

B (3.7)

B⊥ é uma base para o complemento ortogonal do espaço de linhas de B, então se tem que,

Eq. (3.8).

BB

A L B L B⊥

⊥= + (3.8)

A equação (3.8) é a decomposição de A como a soma das combinações lineares das linhas de

B e B⊥

. A ferramenta numérica utilizada para este tipo de projeção é a Decomposição QR.

3.3 Decomposição QR

A decomposição QR é uma ferramenta numérica amplamente utilizada em códigos

computacionais para a solução de problemas de autovalores de uma matriz, resolução de

sistemas lineares e para o cálculo de aproximações pelo método dos mínimos quadrados.

Neste trabalho essa ferramenta é utilizada a fim de se obter a projeção ortogonal do espaço

das linhas das saídas futuras sobre o espaço das linhas das saídas passadas, necessária no

desenvolvimento dos algoritmos da IES.

A matriz p x jA∈� com colunas linearmente independentes pode ser decomposta como

mostra a equação (3.9).

A QR= (3.9)

As colunas de p x jQ ∈� formam uma base ortonormal (

TQ Q I= ) do espaço das colunas de

A. A matriz j x j

R ∈� é uma matriz triangular superior não singular.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sendo 1 2 ja ,a ,... ,a as colunas linearmente independentes de A e a / e a projeção

ortogonal das colunas de A na base 1 2 je ,e ,...,e pode-se obter uma base ortonormal

1 2 ju ,u ,...,u para o espaço das colunas de A (GOLUB; VAN LOAN, 1996).

11 1 1

1

uu a , e

u= = (3.10)

22 2 2 2

2

uu a a / , e

u= − =1e (3.11)

33 3 3 2 3

3

j 1j

j j j j j ji 1 j

uu a a / a / , e

u

uu a a / e u , e

u

−

=

= − − =

= − + =∑

1 2

i

e e

e

� (3.12)

Rearranjando as equações acima, tem-se:

1 1 1a e u= (3.13)

2 2 2 2a a / e u= +1e (3.14)

3 3 3 3 3

j 1

j j j ji 1

a a / a / e u

a a / e u−

=

= + +

= +∑

1 2

i

e e

e

� (3.15)

Como a base e é formada por vetores unitários, têm-se as seguintes relações:

1 1 1a e u= (3.16)

T2 2 1 1 2 2a ( a e )e e u= + (3.17)

T T3 3 1 1 3 2 2 3 3

j 1T

j j i i j ji 1

a ( a e )e ( a e )e e u

a ( a e )e e u−

=

= + +

= +∑

� (3.18)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O lado direito das equações acima pode ser redefinido em uma forma matricial, dada por:

T T1 2 1 3 1

T2 3 2

1 n

3

u ( a e ) ( a e )

0 u ( a e )( e e )

0 0 u

Q

R

�

��

� � � ��

∣ ∣ (3.19)

Realizando o produto de cada linha e coluna das matrizes na equação (3.19) têm-se as

respectivas colunas de A. Dessa forma:

1 nQ ( e e )= �∣ ∣ (3.20)

T T TT T1 1 2 1 3 11 2 1 3 1

T TTT 2 2 3 22 3 2

T3 3 3

a e ( a e ) ( a e )u ( a e ) ( a e )

0 a e ( a e )0 u ( a e )R Q A

0 0 u 0 0 a e

= = =

��

��

� �

� � � � � �

(3.21)

onde j j ju a e= , T

j i( a e ) 0= para j i> e TQQ I= então

T 1Q Q−=

Assim pode-se fatorar a matriz A em uma matriz Q ortogonal e uma matriz R

triangular superior.

3.3.1 Expressões para as operações geométricas

Os dados contendo as informações sobre as resposta do sistema são, como será

mostrado na seção 4.3, agrupados em uma matriz chamada matriz de bloco de Hankel H , a

qual é fatorada através da decomposição QR, a fim de se obter as projeções ortogonais do

espaço das saídas futuras no espaço das saídas passadas do sistema.

A fim de facilitar o entendimento, simplifica-se a matriz H como mostra a equação

(3.22):


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

T11 1

T21 22 2

T31 32 33 3

6 x6 T41 42 43 44 4

T51 52 53 54 55 5

T61 62 63 64 65 66 6

R 0 0 0 0 0 Q

R R 0 0 0 0 Q

R R R 0 0 0 Q

R R R R 0 0 Q

R R R R R 0 Q

R R R R R R Q

=

H (3.22)

Será utilizada a notação [ 4:6 ],[ 1:3 ]R para uma submatriz de R consistindo do bloco de

linhas de 4 a 6 e do bloco de colunas de 1 a 3 e a notação T

[ 3:4 ]Q para a submatriz Q. Por

exemplo:

44

[ 4:5 ],[ 4:6 ]

54 55 56

R 0 0R

R R R

=

(3.23)

e

11

[ 1,4 ],[ 1,3 ]

41 43

R 0R

R R

=

(3.24)

Para matrizes transpostas, o subscrito tem prioridade sobre a transposição:

T T

[ 1,4 ],[ 1,3 ] [ 1,4 ],[ 1,3]R [ R ]= (3.25)

T T

3:4 3:4Q [ Q ]= (3.26)

Uma projeção ortogonal pode ser expressa em função da decomposição QR.

Tomando-se o caso geral A / B , onde A e B consistem de um número qualquer de linhas de

H , estas podem ser escritas como uma combinação linear da matriz TQ , Eq. (3.27) e Eq.

(3.28) .

T

AA R Q= (3.27)

T

BB R Q= (3.28)

Assim, temos que:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B T T †A / AB ( BB ) B= (3.29)

B T T T T † T

A B B B B

I I

A / [ R Q Q R ][ R Q Q R ] R Q= (3.30)

B T T † T

A B B B BA / R R [ R R ] R Q= (3.31)

Em muitos casos, a equação (3.31) pode ser ainda mais simplificada, Eq. (3.32) e Eq. (3.33).

A [ 5:6 ],[ 1:6 ]R R= (3.32)

B [ 1:4 ],[ 1:6 ]R R= (3.33)

e assumindo que BR tem posto completo, tem-se que:

B T T 1 T

[ 5:6 ],[ 1:6 ] [ 1:4 ],[ 1:6 ] [ 1:4 ],[ 1:6 ] [ 1:4 ],[ 1:6 ] [ 1:4 ],[ 1:6 ]A / R R [ R R ] R Q−= (3.34)

B T T 1 T

[ 5:6 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] 1:4A / R R [ R R ] R Q−= (3.35)

B T T 1 T

[ 5:6 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] [ 1:4 ],[ 1:4 ] 1:4

I I

A / R R R R R Q− −=��

(3.36)

B T

[ 5:6 ],[ 1:4 ] 1:4A / R Q= (3.37)

De uma maneira similar, a projeção do complemento ortogonal do espaço das linhas de

uma dada matriz pode ser calculado. Por exemplo:

T T †

jAI A [ AA ] A⊥∏ = −

(3.38)

T T † T

j A A A AAI QR [ R R ] R Q⊥∏ = − (3.39)

T T † T

2( m l )i A A A AAQ[ I R [ R R ] R ]Q⊥ +∏ = − (3.40)

A expressão (3.40) também pode ser simplificada. A projeção no complemento

ortogonal do espaço das linhas de uma dada matriz pode ser escrita como:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( )T

T 1 T11

2( m l ) 11 11 11A

RQ[ I i [ R R ] R 0 ]Q

0⊥

−+

∏ = −

(3.41)

mi T

2( m l )A

I 0Q[ I i ]Q

0 0⊥ +

∏ = −

(3.42)

T

2:6 2:6AQ Q⊥∏ = (3.43)

As expressões mostradas acima serão utilizadas nos algoritmos da IES para o cálculo

da projeção ortogonal do espaço das saídas futuras no espaço das saídas passadas.

3.4 Decomposição em Valores Singulares

No método da Decomposição no Domínio da Freqüência - DDF a identificação dos

parâmetros modais é baseada na Decomposição em Valores Singulares - DVS da matriz de

densidade espectral de potência de saída do sistema.

Técnicas de decomposição matricial, como a DVS, são utilizadas para reduzir uma

matriz a uma forma mais simplificada ou canônica. Estas técnicas têm uma grande

importância na engenharia, principalmente na análise computacional de matrizes.

3.4.1 O posto de uma matriz

O conceito de posto de uma matriz está diretamente relacionado com a dependência

linear das linhas ou colunas da matriz. Por exemplo, se uma matriz de ordem nxn, possui

todas as linhas linearmente independentes ela tem posto n. Se uma linha é combinação linear

das outras, a matriz tem posto n-1. Em outras palavras, o posto de uma matriz é igual ao

número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Uma matriz mxn com m>n possui

posto completo se possui posto n, ou posto deficiente se possui posto < n. Uma matriz

quadrada com posto deficiente implica necessariamente que a matriz é singular, isto é,

determinante igual à zero.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Uma forma de se calcular o posto de uma matriz é através da eliminação de Gauss.

Dada uma matriz nxn com posto r < n, tem-se n–r linhas de zeros depois de efetuada a

eliminação de Gauss. Supondo que as linhas de uma matriz sejam vetores, afirmar que duas

linhas são linearmente dependentes é o mesmo que dizer que os vetores são paralelos e que

duas linhas são totalmente independentes que os vetores são perpendiculares.

Na prática pode-se encontrar algo intermediário entre estes dois extremos, ou seja, os

dois vetores comparados podem não ser exatamente paralelos, neste caso, as duas linhas da

matriz são bem próximas de serem linearmente dependentes, resultando em linhas não

exatamente iguais a zeros após a aplicação da eliminação de Gauss, mas com elementos com

valores muito pequenos. Estas linhas de números pequenos devem ser comparadas com as

outras linhas da matriz a fim de avaliar corretamente o posto da matriz. A comparação das

linhas da matriz ou vetores não é uma tarefa muito fácil, especialmente para matrizes grandes.

O problema se torna ainda mais complicado se os elementos das matrizes forem complexos e

neste caso é adequado ter um meio para comparar estes vetores na forma escalar. A

decomposição de valores singulares permite essa comparação.

3.4.2 Decomposição em valores singulares

Seja [A] uma matriz real de ordem pxj, a decomposição em valores singulares desta

matriz é dada por:

T[ A] [U ][ S ][V ]= (3.44)

onde a matriz [U] é de ordem pxp e a matriz [V] é de ordem jxj e ambas as matrizes são

ortogonais, de modo que:

T T[U ] [U ] [U ][U ] [ I ]= = (3.45a)

T T[V ] [V ] [V ] [V ] [ I ]= = (3.45b)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

2

j

0 0

0[ S ]

0 0 0

0 0

σσ

σ

=

…

� …

…

(3.46)

onde 1 2 3 r r 1 j... 0σ σ σ σ σ σ+≥ ≥ ≥ ≥ = =

[S] é uma matriz diagonal de ordem jxj, cujos elementos diagonais σj são chamados de

valores singulares da matriz [A] (MAIA, 1991).

A relação entre esta decomposição e o posto da matriz [A] é dada pelo número de

valores singulares não nulos (iguais à zero). Por exemplo, uma matriz de ordem 3x3, com uma

linha linearmente depende, teria necessariamente algum valor singular σj igual à zero. A

vantagem de se usar a DVS para o cálculo do posto é que se as linhas da matriz não são

totalmente dependentes, obtêm-se valores reais de σj bem próximos de zero, o que facilita

compará-los com os outros valores singulares encontrados na matriz e assim estabelecer um

critério para definir se os vetores (linhas) são linearmente dependentes ou não.

Se a matriz [A] é complexa, a equação (3.44) torna-se:

H[ A] [U ][ S ][V ]= (3.47)

onde: [U] e [V] são matrizes unitárias e superescrito H significa matriz hermitiana.

A designação “unitária” substitui o termo “ortogonal” quando as matrizes são complexas, de

modo que:

H H[U ] [U ] [U ][U ] [ I ]= = (3.48a)

H H[V ] [V ] [V ][V ] [ I ]= = (3.48b)

E ainda,

H 1[U ] [U ]−= (3.49a)

H 1[V ] [V ]−= (3.49b)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Os valores singulares σj são as raízes positivas dos autovalores da matriz T[ A] [ A]

quando a matriz [A] é real e as raízes de H[ A] [ A] quando a matriz [A] é complexa. Desde

que T[ A] [ A] é simétrica e H[ A] [ A] é hermitiana, seus autovalores são sempre reais,

então ambas as equações (3.44) e (3.47) resultam em valores singulares reais.

As colunas de [U] e [V] são respectivamente os autovetores de T[ A][ A] e T[ A] [ A] ,

e são chamados de vetores singulares. Por esta razão, os algoritmos usados para calcular a

decomposição em valores singulares são similares aos usados para calcular os autovetores e

autovalores. Isso possibilita também o uso do DVS para o cálculo dos autovalores e

autovetores de sistemas dinâmicos.

Com um particionamento apropriado de U e V, a equação (3.44) pode ser reescrita numa

forma mais adequada para interpretação dos autovalores e autovetores, Eq. (3.50).

( )T

1 T1

1 2 1 1 1T

2

S 0 VA U U U S V

0 0 V

= =

(3.50)

Ou, equivalentemente:

T T

1 1

T

2

U A SV

U A 0

=

(3.51)

( ) ( )1 2 1AV AV U S 0= (3.52)

Que implica em:

T

1 1U AV S= (3.53)

2AV 0= (3.54)

T

2U A 0= (3.55)

A matriz U1 contém o número máximo de vetores colunas independentes que

compreendem o espaço das colunas de A e a matriz V1 contém o numero máximo de vetores

linhas independentes que compreendem o espaço das linhas de A.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.5 Ângulos e Direções Principais

Dada as matrizes p x jA∈� e q x jB ∈� e a decomposição em valores singulares:

T T † T T † TA ( AA ) AB ( BB ) B USV=

(3.56)

As direções principais entre o espaço das linhas de A e B são iguais as linhas de UT e VT.

Os cossenos dos ângulos principais entre o espaço das linhas de A e B são definidos como os

valores singulares (diagonal de S). As direções e ângulos principais entre o espaço das linhas

de A e B são denotados por:

T[ A B ] U→→ = (3.57a)

T[ A B ] V→→ = (3.57b)

[ A B ] S=� (3.57c)

O conceito dos ângulos e direções principais será utilizado nos algoritmos da IES, e

com esses ângulos e direções calculados será possível encontrar os ângulos principais entre o

espaço das saídas futuras e o espaço das saídas passadas, permitindo encontrar o número de

valores singulares diferentes de zero e assim se obter a ordem do modelo.

3.6 Ferramentas Geométricas no Contexto Estatístico

Nesta seção será abordado como as propriedades geométricas de um conjunto de dados

podem ser expressas em um contexto estatístico, visto que o uso de ferramentas estatísticas é

importante para o melhor entendimento dos conceitos envolvidos na IES.

Dadas duas seqüências aleatórias naka ∈� e ne

ke ∈� , com k = 0,1..., j. Onde a

seqüência ek possui média zero e não é correlacionada com a seqüência ak, tem-se que:

E k[ e ] 0= (3.58)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E Tk k[ a e ] 0= (3.59)

onde: E é o operador esperança.

Assumindo que as seqüência sejam infinitas (j → ∞) e os processos ergódigos, o

operador esperança E tomado ao longo de várias amostras pode ser substituído pelo operador

Ej aplicado a uma única amostra. Assim a correlação entre as seqüências ak e ek é agora dada

por, Eq. (3.60):

=

= ∑∑

==∞→

j

0i

T

ii

j

0i

T

iij

T

kk eaeaj

1lim]ea[ jEE (3.60)

onde:

def

jEj

1[ ] lim [ ]

j→∞• = •

(3.61)

Considere por exemplo ak como sendo uma seqüência referente a dados de entrada de

um certo processo e ek sendo uma seqüência de ruído presente neste mesmo processo.

Assumindo-se novamente que se tenha uma grande quantidade de dados amostrados, que o

processo é ergódigo e as seqüências não correlacionadas, tem-se:

jEj

Ti i

i 0

a e 0=

=∑

(3.62)

Agora, considere a construção de dois vetores com os dados das seqüências ak e ek, Eq. (3.63)

e Eq. (3.64).

a = (a0 a1... aj) (3.63)

e = (e0 e1... ej) (3.64)

Conseqüentemente, a partir da equação (3.62) tem-se que:

jE 0Tae = (3.65)

Da equação (3.65) pode-se constatar que o vetor de entrada a é perpendicular ao vetor

de ruído e. Então geometricamente, para j → ∞, observa-se que as linhas dos vetores de ruído


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

são perpendiculares as linhas dos vetores de entradas (e também as outras variáveis que não

são correlacionadas com o ruído). Esta propriedade é utilizada nos algoritmos de identificação

de subespaço para minimizar os efeitos do ruído no processo.

Neste caso, o ruído pode ser eliminado projetando o vetor de ruído no vetor de entrada,

Eq. (3.66).

jE ae / 0 = (3.66)

onde: e / a representa a norma da projeção de e em a.

A equação (3.66) é ilustrada numericamente na figura 3.2.

Figura 3.2 – Norma da projeção da seqüência de ruído na entrada

Fonte: ( Adaptada de Overshee e Moor (1996)).

Da figura acima verifica-se que a norma da projeção tende a zero com um fator j/1 .

Quando j é grande o suficiente e é uma seqüência com média zero, os vetores e e a podem ser

considerados perpendiculares um ao outro (║e / a║ = 0). Isto mostra porque os algoritmos de

identificação de subespaços funcionam bem, mesmo com a presença de ruído, quando existe

um grande número de amostras disponível. Em contrapartida, é possível verificar que a

identificação de subespaços em geral não é adequada quando se tem amostras com um

pequeno número de dados.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Uma outra ferramenta importante na identificação estocástica é a covariância.

Estatisticamente, a covariância [ A,B ]Φ entre duas matrizes p x jA∈� e q x j

B ∈� é definida

utilizando o operador jE , Eq. (3.67):

T[ A,B ]Φ [ A.B ]=

def

jE (3.67)

As propriedades geométricas introduzidas anteriormente, em um contexto

determinístico são agora estendidas para o caso estocástico. Esta redefinição consiste

simplesmente na substituição do produto das matrizes TAB pela matriz de covariância, em

todas as definições anteriores, Eq. (3.68).

T[ A,B ]AB Φ← (3.68)

As equações (3.2) e (3.3) para as projeções ortogonais no caso estocástico são

redefinidas como:

†[ A,B ] [ B,B ]A / Φ Φ BB = (3.69)

†[ A,B ] [ B,B ]A / A Φ Φ B

⊥ −B = (3.70)

e os ângulos e direções principais, obtidos da DVS da equação (3.71):

1 / 2 1 / 2[ A,A] [ A,B ] [ B,B ]Φ Φ Φ USV− − = (3.71)

são redefinidos como:

T 1 / 2[ A,A ][ A B ] U Φ A−→→ = (3.72)

T 1 / 2[ B,B ][ A B ] V Φ B−→→ = (3.73)

[ A B ] S=� (3.74)

As ferramentas apresentadas neste capítulo poderiam ser discutidas e apresentadas em

um anexo, entretanto optou-se por incluí-las neste capítulo dada sua importância para o

entendimento e implementação das técnicas utilizadas neste trabalho. O próximo capítulo traz

a teoria e a formulação necessária para o desenvolvimento e implementação da Identificação


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Estocástica de Subespaço - IES e da Decomposição no Domínio da Freqüência - DDF, ambas

utilizadas para a identificação de parâmetros modais com base apenas na resposta.

Capítulo 4: Identificação de Parâmetros Modais Baseados Apenas Nas Respostas 35

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS

BASEADOS APENAS NAS RESPOSTAS

A proposta deste capítulo é apresentar a formulação e os principais conceitos das

técnicas de Identificação Estocástica de Subespaço - IES e Decomposição no Domínio da

Freqüência - DDF utilizadas na identificação de parâmetros modais utilizando apenas as

respostas da estrutura. As seções do capítulo foram organizadas com o objetivo de fornecer

os subsídios necessários para o entendimento e posterior implementação das técnicas.

4.1 Identificação Estocástica de Subespaço – IES

A IES é baseada na projeção ortogonal do espaço das saídas futuras sobre o espaço das

saídas passadas e sua formulação está relacionada com a obtenção do modelo em espaço

de estado da estrutura utilizando apenas seus respectivos dados de saída. A seção 4.1.1

discute a formulação dos modelos de espaço de estado contínuo, discreto e estocástico,

sendo este último a base para a identificação de parâmetros modais quando apenas a

resposta da estrutura é medida.

A seção 4.1.2 apresenta as propriedades de um sistema estocástico, nela são escritas as

equações de Lyapunov em função das matrizes de covariância dos estados e dos dados de

saída e também é mostrado que as funções de correlação dos dados de saída são

equivalentes a resposta livre do sistema. Já a seção 4.1.3 apresenta a formulação das matrizes

de Hankel, observabilidade e controlabilidade utilizadas no desenvolvimento do teorema

principal da IES e na implementação do algoritmo.

Na IES a utilização dos estados do filtro de Kalman tem um importante papel, pois a

partir deles é possível estimar o estado através dos dados de saída e sua formulação é

apresentada na seção 4.1.4.


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A seções 4.1.5, 4.1.6 e 4.1.7 apresentam os conceitos do teorema principal da IES,

neste teorema são discutidos os principais aspectos da IES que levam aos procedimentos para

a realização da identificação do sistemas de matrizes do modelo de espaço de estado

estocástico. A partir da identificação do sistema de matrizes A e C do modelo estocástico os

parâmetros modais desejados podem ser obtidos através da decomposição em autovalores e

autovetores da matriz A e o diagrama de estabilização utilizado na escolha da ordem do

modelo pode ser construído, esses passos são apresentados nas seções 4.1.8 e 4.1.9

respectivamente.

O desenvolvimento do modelo matemático que permitirá a implementação do

algoritmo e posterior identificação dos parâmetros modais inicia-se neste momento. Para

isso, serão utilizados como ferramentas os conceitos previamente discutidos no capítulo 3.

4.1.1 Modelo de Espaço de Estado

As equações de movimento de um sistema dinâmico com n graus de liberdade, linear e

invariante no tempo, podem ser representadas por um sistema de equações diferenciais

ordinárias de segunda ordem, Eq. (4.1):

Mq( t ) Cq( t ) Kq( t ) F( t )+ + =��

(4.1)

onde M, C e K são respectivamente as matrizes de massa, amortecimento e rigidez da

estrutura. Essas matrizes são de ordem n x n, sendo n o número de coordenadas generalizadas

(ngl), que compõe o vetor q(t). O vetor F(t), de ordem nx1, representa as forças de entrada do

sistema.

Em sistemas estruturais envolvendo parâmetros distribuídos essa equação é geralmente

obtida por elementos finitos, onde o sistema físico é representado por um modelo discreto

aproximado contendo n graus de liberdade. A equação (4.1) representa o comportamento

estrutural de um sistema em vibração, entretanto, essa representação não é a forma mais

adequada para ser utilizada diretamente na IES.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1.1.1 Sistema em tempo contínuo

Uma forma mais adequada de representar o modelo neste caso é utilizar a formulação de

estado (MEIROVITCH, 1980, LJUNG 1999) em que a equação original de segunda ordem, é

reescrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem através do modelo de

espaço de estado, Eq. (4.2) e Eq. (4.3).

c cx( t ) A x( t ) B u( t )= +� (4.2)

c cy( t ) C x( t ) D u( t )= + (4.3)

onde:

{ }Tx( t ) q( t ) q( t )= �

c 1 1

0 IA

M K M C− −

= − −

1c

f

0B

M B−

=

fF( t ) B u( t )=

A matriz Ac, de ordem NxN, sendo N duas vezes o número de graus de liberdade do

sistema, é a matriz de estado que descreve a dinâmica do sistema, a matriz Bc, de ordem Nxm,

sendo m o número de entradas, é a matriz de entrada. A matriz Cc, de ordem lxN, sendo l o

número de saídas, é a matriz de saída e a matriz Dc, de ordem lxm, é a matriz de transmissão

direta. O vetor x(t), de ordem Nx1, é o vetor de estado e o vetor u(t) é o vetor de entrada que é

assumido ser um sinal de característica aleatória. O vetor de interesse neste caso, vetor de

saída y(t), é um estado ou uma combinação linear dos estados do sistema. O número de

elementos do vetor de estado é o número de variáveis independentes necessário para

descrever o estado do sistema.

A matriz de estado Ac é dada em função dos parâmetros do sistema, matriz de massa,

amortecimento e rigidez. Já a matriz de entrada Bc depende também das entradas e, portanto, é


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

necessário antes conhecer o número de entradas u e suas localizações. A matriz de saída Cc

depende do número e localização dos sensores usados para medir a saída do sistema.

As Equações (4.2) e (4.3) constituem o modelo de estado de um sistema dinâmico

determinístico contínuo no tempo. Contínuo neste caso significa que as expressões podem ser

avaliadas a cada instante de tempo t e determinístico significa que a entrada u(t) e a saída y(t)

são conhecidas.

4.1.1.2 Sistema em tempo discreto

A identificação das matrizes Ac, Bc, Cc e Dc é apropriada para modelos contínuos e

determinísticos, no entanto, nos procedimentos experimentais as medidas são representadas

por sinais discretos no tempo. Assim, se faz necessário à representação do modelo em

espaço de estado em tempo discreto. Isso é feito considerando as variáveis medidas em

intervalos de tempo igualmente espaçados de t∆ , ou seja, a variável t é definida para os

instantes t 0, t ,...,k t ,( k 1 ) t ,...( l 1 ) t∆ ∆ ∆ ∆= + − , sendo l o número de pontos (discretização)

da variável medida. Neste caso, as matrizes do sistema de estado contínuo são redefinidas

na forma discreta (JUANG; PHAN, 2001). A matriz de estado e a matriz de entrada no tempo

discreto são dadas pelas equações (4.4) e (4.5).

cA t

dA e∆= (4.4)

c

t

A

d c

0

B e d B

∆α α

= ∫

(4.5)

As matrizes representadas no tempo discreto e continuo mantém uma relação direta

entre elas, dadas por:

c d c d

1A t ln A A ln A

t∆

∆= ⇔ =

(4.6)

cA t 1 1

d c c d c cB [ e I ] A B [ A I ] A B∆ − −= − = − (4.7)

d cC C= (4.8)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d cD D= (4.9)

Desta forma, o modelo de estado em tempo discreto é dado pelas equações (4.10) e

(4.11).

k 1 d k d kx A x B u+ = + (4.10)

k d k d ky C x D u= + (4.11)

A variável xk+1 é o vetor de estado do processo no tempo discreto k+1 e contém os valores

numéricos dos n estados.

4.1.1.3 Modelo de Espaço de Estado Estocástico

No modelo de espaço de estado discutido acima, além da entrada ku existe a presença

de ruído nos dados medidos e incertezas do modelo, associadas ao ruído no processo e na

medição. No processo o ruído está presente devido às perturbações e erros de modelagem e

nas medidas devido à influências externas não controladas. Se os componentes estocásticos,

ruído do processo kw e da medição kv são incluídos nas equações (4.10) e (4.11), o modelo

do sistema discreto pode ser redefinido para incluir também as incertezas, Eq. (4.12) e Eq.

(4.13).

k 1 d k d k kx A x B u w+ = + + (4.12)

k d k d k ky C x D u v= + + (4.13)

A determinação correta das características de cada componente individual de ruído é

muito difícil e, portanto, fazem-se necessárias algumas suposições. Neste caso é assumido que

as componentes do ruído, embora não medidas, sejam estacionárias, com média zero e que

possuam as características de um ruído branco gaussiano, com matrizes de covariância dadas

pela equação (4.14). Adicionalmente, as seqüências kw e kv são assumidas independentes

uma da outra.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( )E E

EE E

T T

p q p qp T T

q q pqTT Tp

p q p q

w w w vw Q Sw v 0

v S Rv w v v

= = ≥

δ (4.14)

onde pqδ é o delta de Kronecker, n xn n xl l xlQ ,S ,R∈ ∈ ∈� � � são as matrizes de covariância

das seqüências de ruído kw e kv .

Nos testes de vibração baseados nas condições de operação, somente as respostas da

estrutura são medidas e é assumido que a entrada é aleatória com características de um ruído

branco gaussiano , portanto, é impossível distinguir a entrada ku dos termos de ruído kw e

kv nas equações (4.12) e (4.13). Se a característica da entrada é típica de um ruído branco

então, a entrada ku pode ser modelada implicitamente pelos termos de ruído kw e kv ,

resultando em um sistema puramente aleatório, equação (4.15) e (4.16).

k 1 d k kx A x w+ = + (4.15)

k d k ky C x v= + (4.16)

A figura 4.1 mostra esquematicamente um modelo estocástico linear, invariante no

tempo, formado pelas saídas ky , os temos de ruídos kw e kv , os estados kx e o sistema de

matrizes A e C, descrito pelas equações (4.15) e (4.16).

Figura 4.1 - Sistema linear, estocástico e invariante.

O símbolo ∆ representa a defasagem.

∆ C

yk

wk

xk+1 xk

vk

A


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

As equações (4.15) e (4.16) formam a base para a identificação de sistemas no domínio

do tempo quando apenas as respostas do sistema são medidas, ou seja, testes de vibração

ambiente.

4.1.2 Propriedades dos Sistemas Estocásticos

Nesta seção serão apresentadas as principais propriedades de um processo estocástico

linear e invariante no tempo, com o objetivo de fornecer as informações teóricas necessárias

para o entendimento da formulação da IES.

Se o processo estocástico representado pelas equações (4.15) e (4.16) é estacionário, a

matriz de covariância do estado xk, pode ser definida como:

def

E T

k k k[ x ( x ) ]=∑ (4.17)

sendo a matriz ∑ independente do tempo k.

Na formulação de espaço de estado, conforme discutido em Van Overschee e De

Moor, (1994.b), existem várias representações de modelos de espaço de estado estocásticos e

todas as representações são equivalentes, no sentido de que todas as informações estatísticas

geradas pelo modelo são as mesmas, ou seja, as seqüências das covariâncias dos dados de

saída são idênticas. Neste trabalho foi utilizado um modelo recursivo com avanço (Modelo

Forward) descrito abaixo.

4.1.2.1 Modelo Forward

Nesta seção são desenvolvidas algumas relações estruturais para processos

estocásticos lineares e invariantes no tempo. Como kw e kv são considerados ruídos brancos,

independentes do estado kx , tem-se que:

T

k kE[ x v ] 0= (4.18)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

e

T

k kE[ x w ] 0= (4.19)

Das equações (4.17) e (4.18) é possível encontrar a equação de Lyapunov para a

matriz de covariância do estado k 1x + , dada por :

E T

k 1 k 1 k 1[ x ( x ) ]+ + +=∑ (4.20-a)

E T

k 1 k k k k[( Ax w )( Ax w ) ]+ = + +∑ (4.20-b)

E ET T T

k 1 k k k kA [ x ( x ) ] A [ w w ]+ = +∑ (4.20-c)

T

k 1 kA A Q+ = +∑ ∑ (4.20-d)

As equações de Lyapunov possuem um importante papel na análise de estabilidade de

sistemas. Na equação (4.20-d) como ∑ e Q são maiores que zero o sistema k 1 d kx A x+ = é

estável (LYAPUNOV, 1966).

A matriz iΛ é definida como a matriz de covariância dos dados de saída yk:

Edef

T

i k i k[ y y ]Λ += (4.21)

Para i = 0 encontra-se:

E T

0 k k[ y y ]=Λ (4.22-a)

E T

0 k k k k[( Cx v )( Cx v ) ]= + +Λ (4.22-b)

E ET T T

0 k k k kC [ x ( x ) ]C [ v v ]= +Λ (4.22-c)

T

0 kC C R= +∑Λ (4.22-d)

Também pode-se escrever a matriz de covariância G entre o estado xk+1 e os dados de

saída yk :


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

def

E T

k 1 kG [ x y ]+= (4.23-a)

E s s T

k k k kG [( Ax w )( Cx v ) ]= + + (4.23-b)

E Es s T T T

k k k kG A [ x ( x ) ]C [ w v ]= + (4.23-c)

T

kG A C S= +∑ (4.23-d)

Quando um sistema é excitado por uma força que tem densidade espectral constante, a

correlação cruzada da excitação e da resposta é conhecida por fornecer o sistema de funções

de resposta ao impulso (Parâmetros de Markov). No caso onde a excitação não é medida, mas

a estrutura e as forças podem ser modeladas conforme descrito acima, as funções de

correlação de saída iΛ são equivalentes à resposta livre do sistema (JAMES et al, 1995).

Para ( i = 1,2, ...) tem-se que:

i 1

i CA GΛ −= (4.24)

A equação (4.24) é muito importante, pois ela indica que as matrizes de correlação de saída

podem ser consideradas como a resposta ao impulso e, portanto pode ser aplicada aos

algoritmos de identificação estocástica.

Adicionalmente, os algoritmos de identificação de subespaço, conforme Van Overschee

e De Moor (1996) mostram , fazem extensivo uso das matrizes de Hankel, Observabilidade e

Controlabilidade da estrutura em análise. Essas matrizes serão definidas na próxima seção.

4.1.3 Matrizes de Hankel, Observabilidade e Controlabilidade

A matriz de Hankel possui um importante papel nos algoritmos de identificação de

subespaço, pois é nela que os dados da saída do sistema ficam agrupados . Estas matrizes

podem ser facilmente construídas a partir dos dados de saída. A matriz de Hankel H é

definida em termos das saídas passadas e saídas futuras, Eq. (4.25).


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

def

0 1 j 1

i 2 i 1 i j 3

i 1 i i j 2

0 2i 1i i 1 i j 1

i 1 i 2 i j

2i 1 2i 2i j 2

y y y

y y y

y y yY

y y y

y y y

y y y

−

− − + −

− + −

−+ + −

+ + +

− + −

= =

H

…

… … … …

…

…

…

…

… … … …

… (4.25)

ou

def def0 i 1 p

0 2i 1fi 2i 1

Y YY

Y Y

−

− −

= = =

H (4.26)

O número de blocos de linhas (i) é um parâmetro definido pelo usuário. Teoricamente

seu valor deve ser maior que o maior indice de observabilidade, mas como no entanto esse

indice é desconhecido assume-se que i deve ser maior que a ordem do sistema que se deseja

identificar.

O número de colunas (j) é usualmente igual a s 2i 1− + , sendo s o número de pontos

dos sinais de saída medidos, isto implica que todos os dados amostrados serão utilizados.

Neste trabalho por razões estatísticas será sempre assumido que j ,s → ∞ .

Os subscritos de 0 i 0 i 0 i

Y , Y , Y 2 −1 −1

denotam o subscrito do primeiro e último

elemento da primeira coluna da matriz de Hankel. O subscrito “p” denota passado e “f “

futuro . As matrizes pY (entradas passadas) e

fY (entradas futuras) são definidas dividindo-se

a matriz 0 i

Y2 −1

em duas partes iguais de i blocos de linhas. As matrizes pY+ e fY

− por outro

lado são definidas mudando-se a borda entre as regiões de passado e futuro um bloco de

linhas para baixo. (O subscrito “+” denota a adição de um bloco de linha enquanto o

subscrito “-” denota a retirada de um bloco de linha), Eq. (4.27).

j

“passado”

“futuro”

i

i


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

def def

0 1 j 1

i 2 i 1 i j 3

i 1 i i j 20 i p

i i 1 i j 1 fi 1 2i 1

i 1 i 2 i j

2i 1 2i 2i j 2

y y y

y y y

Y y y y Y

y y yY Y

y y y

y y y

−

− − + −+

− + −−

+ + −+ −

+ + +

− + −

= =

…

… … … …

…

…

…

…

… … … …

… (4.27)

Embora a distinção entre passado e futuro possa parecer sem sentido, esta notação é

usual em um contexto intuitivo, pois os termos passado e futuro se referem aos instantes de

tempo em que as respostas foram obtidas, ou seja, o conjunto de todas as respostas futuras

foi obtido em instantes de tempo posteriores àqueles que foram obtidas as respostas passadas.

Note também que as saídas passadas e futuras têm muitos elementos em comum, por

exemplo, iy pode ser encontrado tanto em pY como em pY

+ . Entretanto as colunas de pY e

pY+ não têm elementos em comum, desta maneira é feita a distinção entre passado e futuro.

A matriz de observabilidade iΓ (onde i indica o número de blocos de linhas) é definida

como:

defli xn2

i

i 1

C

CA

CA

CA−

= ∈

Γ �

…

(4.28)

Assumindo-se que o par {A,C} é observável, isso implica que o posto de iΓ é igual a n.

A matriz de controlabilidade estendida estocástica c

i∆ (onde o subscrito i denota o

número de bloco de colunas e o sobrescrito c denota “covariância” ) é definida como:

( )def

c i 1 i 2 nxli

i A G A G AG G∆ − −= ∈… � (4.29)

j

“passado”

“futuro” i -1

i +1


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Assumindo-se que o par 1/ 2{ A, Q } é controlável e todos os modos de A são estáveis, isto

implica que todos os modos dinâmicos do sistema são excitados pelo ruído de processo.

As Matrizes de Toeplitz iC e iL são construídas a partir das matrizes de covariância

dos dados de saída, Eq. (4.30) e Eq. (4.31).

i i 1 2 1

i 1 i 3 2def

lixli

i i 2 i 1 4 3

2i 1 2i 2 i 1 i

C

Λ Λ Λ ΛΛ Λ Λ ΛΛ Λ Λ Λ

Λ Λ Λ Λ

−

+

+ +

− − +

= ∈

…

…

… �

… … … … …

…

(4.30)

0 1 2 1 i

1 0 1 2 idef

lixli

i 2 1 0 3 i

i 1 i 2 i 3 0

L


Λ Λ Λ Λ

− − −

− −

−

− − −

= ∈

…

…

… �

… … … … …

…

(4.31)

As matrizes Ci e Li tem um importante papel no método de identificação estocástica

baseado na análise das covariâncias de saída, pois a partir da DVS das matrizes de Toeplitz é

possível obter as matrizes de observabilidade e controlabilidade estocásticas (PEETERS,

2000). No entanto, o método estudado neste trabalho é baseado diretamente nos dados de

saída, sem a necessidade de se ter uma formulação explicita da covariância. Neste caso, as

matrizes de Toeplitz serão utilizadas diretamente na formulação da estimativa dos estados do

filtro de Kalman, como mostra a seção 4.1.4.

Finalmente, uma importante consideração deve ser observada sobre a estimativa da

matriz de covariância dos dados de saída. Neste caso, assume-se que ela pode ser estimada

diretamente a partir das equações (3.62) e (3.67) (ver seção 3.6 para a definição de jE e de

[ A,B ]Φ ).

(4.32)

i i 0 0i [ Y , Y ]

=Λ Φ (4.33)

Da observação acima, conforme discutido em Van Overschee e De Moor (1994.a), segue que:

j 1T

i j k 1 k

k 0

E [ y y ]Λ−

+=

= ∑


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f pi [ Y ,Y ]C Φ= (4.34)

p pi [ Y ,Y ]L = Φ (4.35)

f f[ Y ,Y ]L = Φ (4.36)

4.1.4 Estados do Filtro de Kalman

O filtro de Kalman possui um papel crucial no entendimento da formulação da IES. A

teoria apresentada em Anderson e Moore (1979) e Jazwinski (1970) mostra que o filtro de

Kalman é um procedimento recursivo que permite determinar um estimador ótimo do vetor de

estado xk, a partir das informações dos dados de saída do sistema até o tempo k.

O filtro de Kalman é um conjunto de equações matemáticas que constitui um processo

recursivo eficiente de estimação, uma vez que o erro quadrático é minimizado (WELCH;

BISHOP, 1995). Através da observação da variável denominada “variável de observação”

outra variável, não observável, denominada “variável de estado” pode ser estimada

eficientemente. Podem ser estimados os estados passados, o estado presente e mesmo

previstos os estados futuros. O filtro de Kalman é um procedimento aplicável quando os

modelos estão escritos sob a forma de espaço de estado.

Nesta seção, será introduzido uma formato para o estado do filtro de Kalman gerando

uma seqüência de estados estimados, possibilitando assim, a avaliação das matrizes do

sistema. A seqüência de estado estimada será denotado por kx̂ .

A partir do estado inicial estimado ( 0x̂ 0= ), da covariância inicial do estado

estimado ( T

0 0 0ˆ ˆP [ x x ] 0= =E ) e das medidas dos dados de saída 0 k 1y ,..., y − , o estado estimado

do filtro de Kalman kx̂ pode ser explicitamente escrito como (VAN OVERSCHEE; DE

MOOR, 1993):


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0

1c 1

k k k

k 1

y

yx̂ L

y

∆ −

−

=

… (4.37)

A equação (4.37) é muito importante, pois indica que o estado estimado do filtro de

Kalman pode ser escrito como uma combinação linear das medidas de saídas passadas

0 k 1y ,..., y − .

Esta observação permite a definição da seqüência do estado do filtro de Kalman que

será utilizada nos algoritmos de identificação de subespaço, Eq. (4.38).

( )i i i 1 i j 1ˆ ˆ ˆ ˆX x x x+ + −= … (4.38)

ou

c 1

i i i pX̂ L Y−= ∆ (4.39)

Esta seqüência de estado é gerada por um banco de estado de filtros de Kalman

trabalhando em paralelo com cada coluna da matriz de bloco de Hankel das saídas passadas.

A figura 4.2 ilustra esse conceito.

Figura 4.2 – Interpretação da seqüência iX̂ como uma seqüência do filtro de estado de Kalman estimada sobre

i medidas de ky .


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Os bancos do filtro de Kalman percorrem a direção vertical sobre as colunas, Eq.

(4.40).

q

c 1

i q i i

i q 1

y

x̂ L

y

∆ −+

+ −

=

�

(4.40)

A equação acima indica que o filtro de Kalman que gera a estimativa de i qx̂ + , usa

apenas i medidas de saída q i q 1y ,..., y + − , em vez de todas as medidas de saída até o tempo i+q-

1, ou seja, 0 i q 1y ,...y + − , como seria esperado.

4.1.5 Teorema Principal da IES

O teorema principal da IES permite estabelecer o espaço das linhas da seqüência de

estado iX̂ e o espaço de colunas da matriz de observabilidade estendida iΓ diretamente dos

dados de saída, sem qualquer conhecimento prévio do sistema de matrizes A e C, como

exemplificado na figura 4.3.

Figura 4.3 – Visão geral do teorema principal da IES

iΓ

Dados de Saída yk

iX̂

Sistema de Matrizes

A e C

Teorema Principal


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

No decorrer da apresentação deste teorema serão utilizadas as matrizes de ponderação

1W e 2W , as quais, determinam a base do espaço de estado na qual o modelo será

identificado. A interpretação e significados destas matrizes serão apresentados

posteriormente na seção 4.1.6.

O teorema principal da IES é sustentado pelas seguintes considerações:

1. O ruído de processo kw e o ruído de medida kv não são nulos;

2. O número de pontos utilizados na medição dos sinais de saída tende ao infinito

( j → ∞ );

3. As matrizes de ponderação lixli

1W ∈� e jxj

2W ∈� são tais que 1W tem posto completo

e 2W obedece a igualdade: p p 2posto(Y ) posto(Y .W )= ;

4. O espaço das saídas futuras é projetado no espaço das saídas passadas, através da

projeção ortogonal iO , Eq. (4.41);

Ydef

i f pY /=O (4.41)

5. A projeção ortogonal iO ponderada pelas matrizes 1W e 2W é decomposta em valores

singulares, Eq. (4.42).

( )T

1 T1

1 i 2 1 2 1 1 1T

2

S 0 VW W U U U S V

0 0 V

= =

O (4.42)

A demonstração dessas 5 afirmações são mostrada no apêndice 1 e ela mostra que:

I. A projeção ortogonal iO é igual ao produto da matriz de observabilidade estendida

e da seqüência de estado do filtro de Kalman:

i i iX̂Γ=O (4.43)

II. A ordem do sistema (4.15) - (4.16) é igual ao número de valores singulares S1 na

equação (4.42) diferentes de zero.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

III. A matriz de observabilidade estendida iΓ e a matriz de controlabilidade estendida

são iguais a:

1

1 2i 1 1 1W U S TΓ −= (4.44)

f p

c †

i i [ Y ,Y ]∆ Γ Φ= (4.45)

IV. A parte da seqüência de estado iX̂ que se encontra no espaço das colunas de 2W

pode ser obtido de:

1

1 T2i 2 1 1X̂ W T S V

−= (4.46)

V. A seqüência de estado iX̂ é igual a:

†

i i iX̂ Γ= O (4.47)

4.1.5.1 Interpretação Geométrica

A equação (4.41) mostra que o espaço das linhas dos estados iX̂ pode ser encontrados

através da projeção ortogonal do espaço das linhas das saídas futuras fY no espaço das linhas

das saídas passadas pY . Este conceito é ilustrado na figura 4.4.

Figura 4.4 – Ilustração Gráfica do Teorema Principal da IES.

Yp

i i iX̂Γ=O

Yf


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1.6 Variantes dos Algoritmos de Identificação

Existem algumas variantes que podem ser aplicadas nos algoritmos da IES. Elas

diferem entre si quanto a ponderação da projeção ortogonal dos dados de saída antes da

aplicação da DVS . Esta ponderação determina a base do espaço de estado na qual o modelo

será identificado. A Tabela 4.1 mostra algumas variantes já bem conhecidas da literatura:

Análise Canônica (CVA), Componentes Principais (PC) e Componentes Principais não

Ponderados (UPC). Esta última variante algumas vezes é chamada também de Realização

Balanceada (BR). Os nomes, abreviações e a descrição destas variantes correspondem a

convenção mostrada em Arun e Kung, 1990.

Tabela 4.1 – Ponderações 1W e 2W

1W 2W

PC liI

p p

T 1/ 2

p [ Y ,Y ] pY YΦ −

UPC liI jI

CVA f f

1/ 2

[ Y ,Y ]Φ − jI

Neste trabalho foi utilizada a variante CVA e esta seção mostrará como o teorema

principal da IES pode ser relacionado com a variante CVA (AKAIKE, 1975). Para maiores

detalhes das outras variantes ver (VAN OVERSCHEE; DE MOOR, 1996).


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1.6.1 Variação Canônica (CVA)

Através do algoritmo CVA é possível calcular os ângulos e direções principais entre o

espaço das linhas das saída passadas pY e das saídas futuras

fY . Este algoritmo se relaciona

com o teorema principal da IES através das matrizes de ponderação 1W e 2W , escolhidas

como mostram as equações (4.48) e (4.49)

f f

1/ 2

1 [ Y ,Y ]W −= Φ (4.48)

2 jW I= (4.49)

A partir da escolha acima, encontra-se a matriz de covariância da projeção iO ponderada

pelas matrizes 1W e 2W e sua respectiva DVS:

f f f p p p p f f f

T 1/ 2 1 1/ 2

1 i 1 i [ Y ,Y ] [ Y ,Y ] [ Y ,Y ] [ Y ,Y ] [ Y ,Y ](W )(W ) − − −=O O Φ Φ Φ Φ Φ (4.50)

T 2 T

1 i 1 i 1 1 1(W )(W ) U S U=O O (4.51)

Comparando-se estas expressões com a equação (3.71), verifica-se que a diagonal de

1S contém os cossenos dos ângulos principais. Para esta escolha de pesos, e com 1 1 1U ,S ,V a

decomposição em valores singulares da projeção iO é dada por:

f f

1/ 2

1 i [ Y ,Y ] iW −=O OΦ (4.52)

f f f p p p

1/ 2 1

1 i [ Y ,Y ] [ Y ,Y ] [ Y ,Y ] pW Y− −=O Φ Φ Φ (4.53)

T

1 i 1 1 1W U S V=O (4.54)

Utilizando as equações (3.72) - (3.74), mostra-se que:

T

p f 1[Y Y ] V→→ = (4.55)

f f

T 1/ 2

p f 1 [ Y ,Y ] f[Y Y ] U YΦ −→→ = (4.56)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

p f 1[Y Y ] S=� (4.57)

Além disso, encontra-se a partir do teorema principal que as matrizes de observabilidade e

controlabilidade podem ser escritas como:

f f

1/ 2 1/ 2

i [ Y ,Y ] 1 1U S=Γ Φ

T1 p

c 1/ 2

i 1 [V ,Y ]S=∆ Φ

e que a seqüência de estado pode ser expressa como:

1/ 2 T

i 1 1X̂ S V= (4.58)

4.1.7 Cálculo do Sistema de Matrizes

O sistema de matrizes Ad e Cd pode ser calculado a partir das informações descritas no

teorema principal da IES. O sistema de matrizes pode ser obtido a partir de um algoritmo

que utiliza a seqüência de estados iX̂ e a matriz de observabilidade iΓ . A matriz de

observabilidade estendida iΓ e a a seqüência de estados iX̂ são obtidas a partir do teorema

principal da IES utilizando as equações (4.44) e (4.47) respectivamente

De uma maneira similar ao raciocínio apresentado no teorema principal, pode obter uma

nova projeção dando um deslocamento de t∆ nas respostas passadas e futuras:

i 1 f pY Y− +

− = O (4.59)

i 1 i 1 i 1X̂− − +=O Γ (4.60)

Assim, i 1−O pode ser facilmente calculado a partir dos dados de saída. É fácil checar também

que retirando as l últimas linhas de iΓ calculado de (4.44), encontra-se i 1Γ − :

i 1 iΓ Γ− = (4.61)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Onde iΓ denota a matriz iΓ sem as últimas l linhas. Agora i 1X̂ + pode ser calculado, Eq.

(4.62).

†

i 1 i 1 i 1X̂ Γ+ − −= O (4.62)

A formulação apresentada mostra que o objetivo final da identificação é encontrar as

matrizes Ad e Cd. Até este momento, temos calculado iX̂ e i 1X̂ + usando apenas os dados de

saída.

Então, pode-se formar o seguinte conjunto de equações lineares:

( )

i 1 d w

i

d vi iConhecido

ResiduosConhecido

X̂ A pX̂

Y C p

+

= + ��

(4.63)

onde: i i

Y

é a matriz de bloco de Hankel com apenas um bloco de linhas. Este conjunto de

equações pode ser facilmente resolvido para A e C. Intuitivamente, desde que os resíduos não

sejam correlacionados com iX̂ pode-se resolver o conjunto de equações pelo método dos

mínimos quadrados:

i 1d †

i

d i i

X̂AX̂

YC

+

=

(4.64)

A figura 4.5 resume os passos deste algoritmo.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Figura 4.5 – Visão geral esquemática do algoritmo da IES.

Calcular as Projeções

def def

i f p i 1 f pY / e Y /− +

−= =Y YO O

Calcular a decomposição em valores singulares da projeção ponderada

T

1 i 2W W USV=O

Determine a ordem através da inspeção dos valores singulares em S e particione á

decomposição para obter 1

U e 1

S

Determine i

Γ e i 1

Γ − como: 1 1/ 2

i 1 1 1 i 1 iW U S ,Γ Γ Γ−−= =

Determine iX̂ e i 1X̂ + como: † †

i i i i 1 i 1 i 1ˆ ˆX , XΓ Γ+ − −= =O O

Resolva A e C como:

i 1d †

i

d i i

X̂AX̂

YC

+

=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1.8 Identificação dos Parâmetros Modais

A aplicação do método de identificação de sistemas descrito anteriormente leva a

identificação das matrizes de estado do sistema no tempo discreto e o cálculo dos

autovalores e autovetores da matriz de estado contínua Ac caracteriza o comportamento

dinâmico da estrutura. Entretanto a extração dos parâmetros modais não é tão imediata e é

necessário uma readequação para o tempo contínuo.

Uma vez obtida a matriz de estado discreta Ad, cuja decomposição em autovalores e

autovetores caracteriza o comportamento dinâmico da estrutura, é possível obter os

parâmetros modais do modelo. A equação (4.65) mostra a decomposição em autovalores e

autovetores da matriz A.

1

dA −=ΨΛΨ (4.65)

Em que n xn∈Ψ é uma matriz cujas colunas são os autovetores do sistema discreto e

n x n

idiag( )= ∈Λ λ , com i=1,2,...,n, é uma matriz diagonal que contém os autovalores do

sistema discreto 1 2 n

( , ,..., )λ λ λ . Os autovalores discretos são relacionados com os autovalores

iµ da matriz de estado no tempo contínuo pela equação (4.66).

i i

1ln( )

t=µ λ

∆ (4.66)

Os autovalores de Ac são pares de valores complexos conjugados. A razão de

amortecimento modal i

ξ e a freqüência natural i

ω da estrutura são obtidas a partir dos

autovalores contínuos da estrutura, Eq. (4.67)

2

i i i i i i, j 1= − ± −µ µ ξ ω ω ξ (4.67)

Onde 2j 1= − . Os autovetores do sistema (colunas de n xn∈Ψ ) são os mesmos para a

representação no tempo discreta como para a representação no tempo contínua. Os modos de

vibrar (definidos como colunas de l xn∈Φ ) são a parte observável dos autovetores do

sistema e são então obtidos usando a equação de observação, Eq. (4.68).

C=Φ Ψ

(4.68)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dessa forma, os parâmetros modais i i,ω ξ e

iΦ são obtidos a partir das matrizes do

sistema A e C identificadas no tempo discreto e posteriormente adaptadas para tempo

contínuo.

4.1.9 Diagrama de Estabilização

A determinação da ordem do modelo é um problema típico presente na estimativa de

um modelo de espaço de estado a partir de um conjunto de dados experimentais. Na dinâmica

estrutural costuma-se superestimar a ordem do modelo a fim de reduzir erros e permitir a

captura de todas as características relevantes da estrutura. Entretanto, como conseqüência, da

utilização da ordem superestimada e também devido a presença de ruído nas respostas

medidas, pode ocorrer o surgimento de modos espúrios ou modos numéricos que não

apresentam correlação com o problema estrutural. Neste caso, os modos espúrios podem ser

identificados como modos físicos e contaminam a identificação dos parâmetros modais do

modelo, comprometendo a confiabilidade dos resultados.

Uma ferramenta adequada para a estimativa da ordem do modelo a ser usado no cálculo

dos parâmetros modais é a construção de um diagrama de estabilização. A idéia básica na

construção do diagrama de estabilização (VAN DER AUWERAER; PEETERS, 2004) é

proceder a repetição do processo de identificação, variando a ordem do modelo e

posteriormente verificar a estabilidade (variação) dos parâmetros estimados em função da

ordem utilizada.

1 1 1

n n n

2 2 2

n n n

p p p

n n n

Ordem 1 , ,

Ordem 2 , ,

Ordem p , ,

= ⇒

= ⇒

= ⇒

ω ξ Φ

ω ξ Φ

ω ξ Φ

�

Isso é feito comparando os parâmetros estimados, freqüências naturais, razões de

amortecimento e modos de vibrar correspondentes a ordem p com os parâmetros estimados

para a ordem superior p+1. Se os parâmetros estimados não variam de uma ordem para a

outra, os mesmos são considerados estáveis e correspondem a um modo físico, caso contrário

são considerados como modos numéricos.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A tolerância para a estabilidade de um parâmetro modal é dada pelo usuário e pode ser

assumida como uma porcentagem do respectivo parâmetro. Geralmente são usados os

valores para o critério de estabilidade da ordem de até 2% para a estabilidade em freqüência,

5% para o amortecimento e correlação de 95% dos modos, Eq. (4.69), Eq. (4.70) e Eq. (4.71).

1

100% 2%p p

n n

p

n

+−<

ω ωω

(4.69)

1

100% 5%p p

n n

p

n

+−<

ξ ξξ

(4.70)

1{1 ( , )}100% 5%p p

n nMAC +− <φ φ

(4.71)

onde � é a ordem do modelo.

Os modos físicos ou estruturais tendem a permanecerem estáveis (constantes) com o

aumento da ordem enquanto que os modos computacionais não permanecem dentro dos

critérios de estabilidade.

Teoricamente na IES a ordem do modelo é o número de valores singulares diferentes de

zero, encontrados na Eq. (4.42), entretanto, na prática, devido a presença de ruído, todos os

valores singulares são diferentes de zero o que torna praticamente impossível a

determinação desse parâmetro utilizando esse conceito, assim a construção de um diagrama

de estabilização tem se mostrado uma ótima ferramenta para se obter a ordem do modelo e

conseqüente estimativas dos parâmetros modais de forma confiável para aplicações reais.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.2 Decomposição no Domínio da Freqüência

A Decomposição no Domínio da Freqüência – DDF é baseada na decomposição da

matriz densidade espectral de potência dos dados de saída utilizando a técnica da

Decomposição em Valores Singulares - DVS, apresentada no capítulo 3. A decomposição da

matriz densidade espectral de potência nas linhas de freqüências correspondentes as regiões

em torno dos picos de ressonância permite a estimativa dos modos de vibrar do sistema. O

primeiro vetor singular obtido com a decomposição contém as respectivas informações

daquele modo e o correspondente valor singular leva a uma estimativa da função densidade

espectral equivalente a sistema de um grau de liberdade (1GL). Posteriormente, esses dados

são transformados para o domínio do tempo, utilizando a transformada inversa de Fourier, e

as razões de amortecimento são estimadas utilizando o conceito de decremento logaritmo.

A relação entre a entrada (excitação) f(t) de um sistema e a sua respectiva saída y(t),

pode ser expressa no domínio da freqüência, pela equação (4.72) (PAPOULIS, 1991,

BENDAT; PIERSOL, 1986).

( ) ( ) ( ) ( )T

yy ffS j H j S j H jω ω ω ω = (4.72)

onde: o sobrescrito (-) denota o complexo conjugado, [Sff (jω)] é a matriz densidade espectral

de potência (PSD) de entrada e [Syy

(jω)] é a matriz de densidade espectral de potência de

saída (BENDAT; PIERSOL, 1993, MAIA, 1997). Para r entradas, [Sff

] é uma matriz de

ordem rxr e a matriz de saída [Syy

] é de ordem mxm, sendo m o número de respostas medidas.

[H(jω)] é a matriz Função de Resposta em Freqüência (FRF) de ordem mxr.

A equação (4.72) pode ser rearranjada em uma forma mais conveniente, escrevendo

as FRF(s) em termos de frações parciais. Neste caso, a matriz [H(jω)] é expressa em termos

dos respectivos polos e resíduos (HEYLEN et al, 1995), Eq. (4.73).

[ ]1

( )n

k k

k k k

R RH j

j j=

= +− −∑ω

ω λ ω λ (4.73)

onde: n é o número de modos, λk é o k-ésimo pólo e Rk é o resíduo.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A substituição da equação (4.73) na equação (4.72), permite escrever a matriz de

densidade espectral de potência de saída em termos dos parâmetros λk e Rk da matriz de

densidade espectral de potência de entrada, Eq. (4.74).

1 1

( ) ( )

H Tn n

k k k kyy ff

k kk k k k

R R R RS j S j

j j j jω ω

ω λ ω λ ω λ ω λ= =

= + + − − − −

∑ ∑ (4.74)

Na análise modal baseada apenas na saída a equação (4.74) é simplificada assumindo

que a excitação da estrutura tem o caráter de um ruído branco gaussiano, isto é, um processo

estocástico com densidade espectral constante em uma larga faixa de freqüência. Esta

consideração permite identificar os picos dos espectros de potência das respostas com os picos

das funções de resposta em freqüência, podendo a partir destes, serem estimadas as

freqüências naturais da estrutura. Neste caso, dado as características das forças de entrada, a

matriz de densidade espectral de entrada, [Sff (jω)], é igual a uma constante C. Portanto,

escrevendo a equação (4.74) na forma de frações parciais, e substituindo a densidade

espectral de entrada pela constante C, têm-se, Eq. (4.75).

1 1

( ) k

Hn n

k s sxx

k s K K s s

R R RRS j Cj j j j

ωω λ ω λ ω λ ω λ= =

= + + − − − − ∑∑ (4.75)

O resíduo Rk é dado pela equação (4.76).

T

k k kR = φ γ

(4.76)

onde: kφ o vetor com os modos de vibrar e kγ o vetor de participação modal.

Multiplicando as duas frações parciais por um fator e fazendo uso do teorema das frações

parciais, a densidade espectral de saída pode ser reduzida na forma de pólos e resíduos

apenas, Eq. (4.76).

1

( )n

k k k kxx

k k k k k

A A B BS j

j j j jω

ω λ ω λ ω λ ω λ=

= + + +− − − − − −∑ (4.77)

Ak

é a matriz de resíduos da densidade espectral de saída. Assim como a matriz de densidade

espectral, a matriz de resíduo é de ordem mxm e é dada pela equação (4.78).


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

T Tnk S

k K

s K S K S

R RA R C

λ λ λ λ=

= + − − − −

∑ (4.78)

A contribuição do resíduo do k-ésimo modo é dada por:

K

T

Kk

k

RCRA

α2= (4.79)

αK

é o negativo da parte real de KKK jωαλ +−= . No caso de um sistema pouco

amortecido o termo T

k KR CR torna-se dominante e, portanto, o resíduo passa a ser proporcional

ao modo de vibrar do sistema e pode ser escrito em termos do k-ésimo modo para uma dada

freqüência ω, pois apenas um número limitado de modos contribuirá significativamente para o

resíduo, tipicamente um ou dois modos.

k K KA R CR∝ (4.80)

ou

T T T

k k k k k k k kA C dφ γ γ φ φ φ= = (4.81)

onde: dk é um escalar constante.

Isso permite fixar o número de modos de interesse e a densidade espectral de saída no caso

de sistemas levemente amortecidos, pode ser definida em termos desse conjunto de modos,

denotado por Sub (ω ).

[ ]( )

( )T T

k k k k k kxx

k sub k k

d dS j

j j∈

= +− −∑

ω

φ φ φ φωω λ ω λ

(4.82)

A equação (4.82) leva a resultados similares aos obtidos diretamente pela equação

(4.72) e a decomposição modal da matriz espectral é dada em termos dos modos desse

subespaço, os quais formam o conjunto de modos dominantes. Neste caso, a matriz de

densidade espectral de potência de saída é expressa em termos dos parâmetros próprios do

modelo e a identificação dos parâmetros modais é feita a partir da DVS da equação (4.82).


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.2.1 Identificação dos Parâmetros Modais

Uma vez obtida a matriz de densidade espectral de potência de saída nos pontos

discretos de freqüência (ω=ωi), a mesma é decomposta para cada ponto de freqüência,

utilizando o conceito de Decomposição em Valores Singulares (DVS), Eq. (4.83).

( ) H

yy i i i iS j U S Uω = (4.83)

Se a excitação for exatamente um ruído branco e a estrutura for levemente amortecida e

apresentar modos geometricamente ortogonais a decomposição da matriz densidade espectral

de saída leva a um conjunto de autofunções. Os parâmetros modais do modelo, neste caso,

são obtidos diretamente a partir da matriz de densidade espectral de potência de saída.

A matriz iU é uma matriz unitária formada pelos vetores singulares iju e iS é uma

matriz diagonal contendo os valores singulares ijs da matriz de densidade espectral de saída

nas proximidades de um pico correspondente ao r-ésimo modo. As amplitudes dominantes

são devidas àquele modo ou a um outro modo próximo. No caso de um único modo

dominante existe apenas um termo na equação (4.82), portanto o primeiro vetor singular é

uma estimativa do próprio modo, Eq. (4.84).

1ˆ

iuφ = (4.84)

ou seja, a decomposição da matriz de densidade espectral em valores singulares exatamente

no pico máximo de amplitude associados ao respectivo vetor singular, permite a estimativa

daquele modo de vibrar do sistema. Tem-se ainda que, o primeiro vetor singular de cada linha

de freqüência próxima ao modo fornece as informações daquele modo e o correspondente

valor singular leva a função de densidade espectral equivalente a um sistema de um grau de

liberdade (1GL) que corresponde àquele modo.

A função densidade espectral equivalente a um sistema de um grau de liberdade é

estimada comparando o modo identificado na freqüência de ressonância (modo próprio) com

os vetores singulares para os pontos de freqüência em torno do pico. Quando o vetor singular

apresenta uma alta correlação com modo o identificado, este pertence à função densidade do

sistema 1GL, caso contrário ele não pertence àquele modo. A correlação dos vetores neste

caso é avaliada a partir do valor do coeficiente MAC-valor (ALEMANG, 82), que é calculado


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

para cada linha de freqüência. Uma vez identificado à freqüência em que nenhum vetor

singular possui MAC-valores acima de um dado valor pré-definido, a procura por partes

coincidentes com a função de densidade espectral é terminada e as linhas de freqüências

restantes são completadas com zeros.

A partir da identificação da função de densidade espectral do sistema equivalente de

1GL, pode-se obter a freqüência natural e o amortecimento do referido modo, transformando

a função densidade espectral para o domínio do tempo, utilizando a transformada de Fourier

inversa.

Identificado a função de densidade espectral de um grau de liberdade correspondente ao

r-ésimo modo, o coeficiente de amortecimento é obtido utilizando o conceito de decremento

logaritmo. Primeiramente todos os extremos rk correspondentes aos picos e vales da função de

autocorrelação são encontrados e o decremento logarítmico δ é dado pela equação (4.85):

=

kr

r

k

0ln2δ (4.85)

r0

é o valor inicial da função de autocorrelação e rk

é o k-ésimo extremo. O decremento

logarítmico é obtido por regressão linear e o fator do amortecimento é calculado pela

expressão (4.86):

( )22 4πδ

δς+

= (4.86)

Um procedimento similar é adotado para a determinação das freqüências naturais não

amortecidas. Com o auxílio da regressão linear, obtida a partir dos vales e picos da função de

autocorrelação de 1GL, construída para o cálculo do fator de amortecimento, é possível

encontrar o período e assim a freqüência natural amortecida. Encontrada a freqüência natural

amortecida e o fator de amortecimento é possível calcular a freqüência natural não

amortecida, equação (4.87).


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( )21

dn

ωωδ

=−

(4.87)

A figura 4.6 resume os passos do algoritmo implementado para a DDF.

Figura 4.6 – Visão geral dos passos da DDF

Obter as Densidades Espectrais de Potência de Saída Syy.

Realizar a Decomposição em Valores Singulares em cada ponto de freqüência em

torno do pico de ressonância:

( ) H

yy i i i iS j U S Uω =

Realizar a busca dos vetores singulares correlacionados com o primeiro vetor singular

obtido no pico de freqüência através dos valores de MAC, definindo assim a função densidade

espectral de potencia de um sistema equivalente de 1 GL.

Transformar a função densidade espectral de potência do sistema equivalente a 1 GL para o domínio do tempo, utilizando a transformada

de Fourier inversa.

Obter o amortecimento utilizando o conceito do decremento logarítmico:

( )22 4πδ

δς+

=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nas seções 4.1 e 4.2 foram apresentados os conceitos básicos e a formulação da IES e

da DDF necessários para a implementação dos algoritmos utilizados na identificação dos

parâmetros modais utilizando apenas as respostas. A próxima seção mostra o processo de

criação de uma interface gráfica, utilizando os algoritmos da IES e da DDF, de forma a

auxiliar o usuário nos procedimentos necessários para a determinação dos parâmetros

modais.

4.3 Criação da Interface Gráfica

As técnicas IES e DDF foram implementadas em ambiente MATLAB® utilizando

interfaces gráficas, as quais obedecem uma sistemática modular, possibilitando ao usuário

uma maior interação com os procedimentos de identificação. A figura 4.7 mostra a primeira

janela do programa. Esta janela contém os menus que dão acesso as técnicas IES e DDF.

Figura 4.7 – Menu de acesso as técnicas IES e DDF

O programa também contém rotinas que importam os dados experimentais obtidos com

o sistema de aquisição Data Physics Corporation Signal Calc Ace, Fig. 4.8 .

Figura 4.8 Menu para importar os dados experimentais.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Com os dados importados é possível realizar uma visualização prévia das informações

no domínio do tempo e da freqüência em cada ponto de medida da estrutura. A figura 4.9

mostra um exemplo simples dessa interface gráfica, a resposta no tempo e sua respectiva

densidade espectral de potência para um sistema massa- mola de 2 graus de liberdade.

Figura 4.9 – Interface de visualização dos dados experimentais no tempo e freqüência

As várias interfaces gráficas no módulo implementado para a IES contém diversas

ferramentas de auxílio ao usuário, que possibilitam selecionar as freqüências de corte, filtrar e

decimar o sinal, inserir o valor do bloco de linhas e a faixa de ordens utilizada no diagrama de

estabilização e etc. A figura 4.10 mostra essa janela.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Figura 4.10 – Módulo de Pré-Identificação da IES

Após a seleção dos parâmetros de interesse o programa mostra o diagrama de

estabilização, utilizado na estimativa da ordem do modelo, Fig. 4.11.

Figura 4.11 – Diagrama de Estabilização


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O módulo desenvolvido para a identificação dos parâmetros modais utilizando a DDF

também contém interfaces gráficas como ferramentas de auxílio ao usuário, que possibilitam

selecionar as faixas de freqüência em torno dos picos de ressonância com o uso do mouse e

fazer uma verificação prévia dos valores das freqüências naturais, como mostra a figura 4.12:

Figura 4.12 – Módulo de Pré-Identificação da DDF

As funções de densidade espectral de potência de um sistema equivalentes de 1 GL e

suas respectivas transformadas inversas também podem ser visualizadas, como mostra a

figura abaixo:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Figura 4.13 – Visualização das funções de 1 GL e suas respectivas transformadas de Fourier

A validação da implementação dos algoritmos será feira com dados simulados, conforme

apresentado no capítulo 5 e finalmente, no capítulo 6, será feita a avaliação das

potencialidades dos mesmos com dados experimentais.

Capítulo 5: Resultados Simulados 71 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5 EXEMPLOS SIMULADOS

Este capítulo apresenta os resultados obtidos através das técnicas IES e DDF descritas

no capítulo anterior utilizando dados de um exemplo simulado. A utilização de dados

simulados no processo de identificação e validação das metodologias é muito importante,

pois, uma vez que se tem o conhecimento exato dos dados utilizados no modelo e

conseqüentemente, o valor dos parâmetros que deverão ser obtidos no processo de

identificação é possível estabelecer uma base de dados de referência para a avaliação das

metodologias propostas, possibilitando assim uma avaliação mais segura dos resultados

obtidos.

5.1 Simulação de Uma Estrutura do Tipo Frame

Os dados utilizados nesta seção foram provenientes da simulação das respostas de uma

estrutura do tipo frame. A estrutura frame é simulada como sendo formada por barras de aço

não ocas ABNT (1010) e com dimensões de 0.55 m de comprimento por 0.34 de largura e

0.69 de altura. A seção de área transversal das barras é de (0.01 x 0.01) m e sua densidade de

7830 Kg/m³. A figura (5.1) mostra a geometria da estrutura e os pontos de medição.

Figura 5.1 – Estrutura Frame Simulada


As matrizes de massa e rigidez foram obtidas utilizando o método de elementos finitos.

A estrutura foi discretizada com elementos de viga, com seis graus de liberdade por nó e o

amortecimento é considerado proporcional as matrizes de massa e rigidez.

A tabela (5.1) mostra os valores das freqüências naturais e das razões de amortecimento

obtidas pelo método dos elementos finitos.

Tabela 5.1 – Valores dos parâmetros modais de referência.

Modo Freqüência (Hz) Razão de Amortecimento (%) 1º 42.3 0.0202 2º 92.5 0.0115 3º 120.6 0.0104 4º 155.0 0.0100 5º 177.6 0.0101 6º 211.2 0.0104

Neste caso, os resultados encontrados são tomados como referência (exatos) uma vez

que são obtidos diretamente das matrizes de massa e rigidez do modelo, resolvendo o

problema de autovalor.

As respostas do sistema foram obtidas através da formulação do modelo de espaço

utilizando rotinas disponíveis no software comercial MATLAB® sendo que os dados

utilizados na simulação foram as próprias matrizes de massa e rigidez obtidas no modelo de

elementos finitos.

As respostas foram definidas assumindo que a estrutura esta engastada em sua base, ou

seja, os pontos de 1 a 4 estão fixos. O modelo é excitado simultaneamente nos pontos de 5 a

16 na direção x por um ruído branco Gaussiano. Por conveniência, as respostas foram

tomadas apenas na direção coincidente com a direção de excitação (eixo x) em todos os

pontos. Este procedimento é equivalente a medir somente as repostas para um sistema

excitado naturalmente.

As respostas do modelo foram simuladas na faixa de freqüência de 0 a 250 Hz, essa

faixa de freqüência inclui os seis primeiros modos do modelo. Como discutido na seção 3.6,

pode-se minimizar o efeito do ruído na identificação dos parâmetros utilizando amostras

com um elevado número de pontos. Após a realização de vários testes, variando-se o

número de pontos, optou-se por utilizar uma amostragem de 40960 pontos, valor esse


suficiente para garantir uma boa estimativa dos parâmetros em função do esforço

computacional.

Visando uma representação mais próxima da prática, as respostas foram contaminadas

com ruído não correlacionado com a entrada do sistema. O ruído foi quantificado em termos

da relação sinal-ruído, denominada nível de ruído, estabelecida de acordo com a energia do

ruído, isto é, de acordo com o número obtido pela raiz média quadrática RMS do ruído em

relação à RMS da resposta:

( )

( )

RMS ruídoNR

RMS resposta= (5.1)

onde RMS(resposta) representa o maior valor RMS dentre todos os sinais de resposta

considerados. Neste trabalho foi considerado NR = 5%.

5.2 Resultados da Identificação Estocástica de Subespaço

As respostas do modelo, conforme discutido anteriormente, foram definidas para os

diferentes pontos de medidas apenas na direção x. A figura (5.2) mostra o sinal de resposta no

domínio do tempo, medido no ponto 6 da estrutura.

Figura 5.2 – Sinal no tempo medido no ponto 6 da estrutura

Uma vez definidas as repostas do modelo é possível iniciar a identificação dos

parâmetros. O número de blocos de linhas i é um importante parâmetro e, como discutido na

seção 4.1.3, seu valor deve ser maior ou igual a ordem que se deseja determinar. Neste caso i


foi considerado igual a 12. A ordem máxima que pode ser encontrada é igual ao produto do

número de sinais medidos, neste caso os 12 pontos (5 - 16) da estrutura frame, pelo número

de bloco de linhas i , assim a ordem máxima que poderá ser obtida é de 144.

O teorema principal da IES diz que a ordem do modelo é o número de valores

singulares diferentes de zero obtidos da equação (4.42) . Da seção 3.6 sabe-se que esses

valores singulares são os cossenos dos ângulos principais entre o espaço das saídas futuras e o

espaço das saídas passadas.

A figura (5.3) mostra o gráfico de barras contendo os valores singulares (ângulos

principais) obtidos através da equação (4.42). Pode se observar claramente que todos os

valores singulares são diferentes de zero, dessa forma, deve-se usar um outro critério para

estimar a ordem do modelo. Um critério seria verificar a diferença entre dois valores

singulares sucessivos. O valor singular onde a máxima diferença ocorre determina a ordem do

modelo. Da figura (5.3), verifica-se que esta diferença ocorre em 12, resultado esperado,

uma vez que existem 6 modos na faixa de freqüência analisada.

Figura 5.3 – Ordem do Modelo

Para relações sinal – ruído maiores que 5% foi observado que essa diferença não está

bem definida e se torna praticamente impossível determinar a ordem do modelo através da


inspeção dos valores singulares, portanto, este critério não deve ser aplicado isoladamente.

Um critério mais objetivo é a utilização do diagrama de estabilização.

A figura (5.4) mostra o diagrama de estabilização para a faixa de freqüência analisada,

como critério de estabilização foram utilizados respectivamente 1% e 5% para a freqüência e

amortecimento e MAC valor de 98% para os modos.

Figura 5.4 – Diagrama de Estabilização

Os pólos numéricos tendem a não se estabilizarem com o aumento da ordem do modelo

enquanto que os pólos físicos se estabilizam, no gráfico acima, pode-se observar que a partir

da ordem 12 os pólos se tornam estáveis, assim a partir desta ordem é possível encontrar o

sistema de matrizes A e C e iniciar a identificação dos parâmetros modais através da

decomposição em autovalores da matriz dinâmica A .

A tabela (5.2) mostra a comparação entre os resultados encontrados pela IES e os

resultados de referência. As freqüências naturais e razões de amortecimento podem ser

comparadas diretamente e os modos de vibrar são comparados através do MAC-valor. A


figura (5.5) mostra a visualização dos dois primeiros modos de vibrar identificados pela IES e

a figura (5.6) um gráfico de barras contendo os valores de MAC .

Tabela 5.2 – Comparação entre a IES e os resultados de referência

Modo

REFERÊNCIA IES MAC MAC Freqüência

(Hz) Razão de

Amortecimento (%) Freqüência

(Hz) Razão de

Amortecimento (%) 1º 42.30 0.0202 42.26 0.0191 1.00 2º 92.50 0.0115 92.53 0.0098 1.00 3º 120.60 0.0104 120.63 0.0097 1.00 4º 155.00 0.0100 154.95 0.0097 1.00 5º 177.60 0.0101 177.60 0.0140 1.00 6º 211.20 0.0104 211.16 0.0127 1.00

1º Modo 2º modo

Figura 5.5 – Visualização dos modos identificados pela IES


Figura 5.6 – Valores de MAC entre os resultados de referência e IES

5.3 Resultados da Decomposição no Domínio da Freqüência

A identificação dos parâmetros modais neste caso é baseada na freqüência e os

parâmetros modais são estimados a partir da matriz de densidade espectral de potência de

saída (Syy). As densidades espectrais de potência foram obtidas a partir da transformada das

respostas no domínio do tempo utilizadas na IES para o domínio da frequência utilizando os

comandos psd e csd disponíveis no software MATLAB®. A figura (5.7) mostra a função de

densidade espectral de potência medida no ponto 6 da estrutura frame.

Figura 5.7 – Densidade espectral de potência


Uma vez definidas as densidades espectrais de potência da estrutura passa-se a fase de

identificação dos parâmetros modais utilizando a técnica DDF. A identificação dos

parâmetros neste caso é feita para cada modo individualmente. A figura (5.8) mostra a região

selecionada em torno do 1º pico de freqüência (1º modo).

Figura 5.8 – Região selecionada em torno do 1º pico de freqüência (1º Modo)

Numa primeira etapa é realizada a DVS da densidade espectral de potência para as

linhas de freqüências da região selecionada. Identificado o modo de vibrar referente ao pico

de interesse é feita uma busca dos vetores singulares, em torno do pico de freqüência

correlacionado com o modo, que serão utilizados no cálculo da função de densidade

espectral de potência do sistema equivalente de 1GL. Essa correlação é definida para MAC-

valores maiores que um dado valor pré-definido pelo usuário. Neste caso, o índice utilizado

foi 0.6 e o processo termina quando é encontrado algum valor singular com correlação

inferior a este índice. A figura (5.9) mostra a função de densidade espectral de potência do

sistema equivalente de 1 GDL relacionado com o primeiro modo.

Figura 5.9 – Funções de densidade de potência espectral de 1GDL


A razão de amortecimento neste caso é obtida a partir da função de densidade

espectral de potência no domínio do tempo. A Figura (5.10) mostra a transformada inversa

da função de densidade espectral de potência estimada para o primeiro modo, conforme

discutido na seção 4.2.1, a transformada inversa equivale à resposta livre do sistema de 1 GL

no domínio do tempo.

Figura 5.10 – Transformada inversa de Fourier da função de densidade espectral de potência do 1º modo

Para os demais modos, os parâmetros são estimados de forma similar.

A tabela (5.3) mostra a comparação entre os resultados encontrados pela DDF e os

resultados de referência. A figura (5.11) mostra a visualização dos dois primeiros modos de

vibrar identificados pela DDF e a figura (5.12) um gráfico de barras contendo os valores de

MAC .

Tabela 5.3 – Comparação entre a DDF e os resultados de referência

Modo

REFERÊNCIA DDFDDF MAC MAC Freqüência

(Hz) Razão de

Amortecimento (%) Freqüência

(Hz) Razão de

Amortecimento (%)

1º 42.30 0.0202 42.25 0.0185 1.00 2º 92.50 0.0115 92.55 0.0149 1.00 3º 120.60 0.0104 120.63 0.0096 1.00 4º 155.00 0.0100 154.94 0.0127 1.00 5º 177.60 0.0101 177.01 0.00876 1.00 6º 211.20 0.0104 211.11 0.0126 1.00


1º Modo 2º modo

Figura 5.11 – Visualização dos modos identificados pela DDF

Figura 5.12 – Valores de MAC entre os resultados de referência e DDF


5.4 Conclusões do Capítulo

Os resultados obtidos mostram que as técnicas IES e DDF são capazes de estimar os

parâmetros modais do modelo sem medir a entrada do sistema.

Os resultados mostrados nas tabelas (5.2) e (5.3) indicam uma ótima concordância das

freqüências naturais estimadas pelos dois métodos, o valor do amortecimento se mostra

altamente adequado, uma vez que a estimativa desde parâmetro em muitos casos é incerta.

Finalmente, todos os modos apresentam valor máximo para o MAC.

Em relação a DDF pode-se perceber que ela possui uma maior interação com o

usuário, pois o mesmo ao analisar as densidades espectrais de potência, já pode ter uma

estimativa prévia dos valores das frequências naturais e proceder a identificação apenas dos

modos de interesse. A DDF se mostrou uma técnica rápida, de simples utilização, fornecendo

ao usuário um sentimento físico dos dados utilizados.

Na IES notou-se a importância de se realizar a identificação com uma grande

quantidade de número de pontos (amostras), embora este procedimento aumente o esforço

computacional, os valores encontrados são muito mais próximos dos valores de referência.

O uso do diagrama de estabilização também foi muito importante, pois a distinção entre os

valores singulares obtidos pode não ser clara e a determinação da ordem do modelo pode

ficar comprometida. No diagrama de estabilização da figura 5.4 se vê claramente que a partir

da ordem 12 todos os pólos encontrados nas ordem superiores são estáveis, permitindo que a

partir dessa mesma ordem, seja possível identificar os parâmetros modais da estrutura.

O estudo de exemplos simulados tanto na IES como na DDF foi importante para

avaliação da implementação das metodologias, entretanto, é imprescindível que o próximo

passo seja a verificação e comparação das metodologias com base em dados experimentais,

coletados de estruturas físicas reais.

Capítulo 6: Resultados Experimentais 82 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

No capítulo anterior foram realizadas as avaliações das técnicas IES e DDF utilizando

dados simulados. Este procedimento foi muito importante para a validação da

implementação dos algoritmos, pois a partir da base de dados de referência foi possível

verificar a coerência dos resultados encontrados. Entretanto, dados simulados, por mais

elaborados que sejam, não representam exatamente uma situação real e assim para uma

avaliação mais realística dos métodos, se faz necessário a utilização de dados experimentais

medidos diretamente em uma estrutura real.

Neste capítulo serão apresentados os estudos de dois testes experimentais. No primeiro

caso, utilizou-se uma estrutura do tipo frame que representa de forma simplificada e reduzida

o esqueleto de um prédio de três andares. No segundo caso, a estrutura é bem mais complexa,

trata-se de dados de resposta capturados em uma estrutura real de um prédio.

Nos dois casos a identificação dos parâmetros modais foi realizada utilizando a IES e a

DDF. No primeiro caso (estrutura frame) os resultados identificados pelas duas técnicas

foram comparados entre si e com os resultados obtidos do modelo de elementos finitos da

estrutura. A comparação dos resultados visa avaliar a capacidade de cada método e identificar

os parâmetros modais do modelo bem como avaliar a existência de eventuais discrepâncias

entre os resultados, para uma avaliação mais criteriosa das potencialidades das técnicas. Já

no segundo caso (prédio real) os resultados obtidos pela IES e DDF foram comparados com

o software comercial ARTEMIS EXTRACTOR, visando avaliar as potencialidades das

técnicas implementadas para aplicações reais de engenharia.


6.1 Estrutura Frame

6.1.1 Modelo Experimental

O modelo avaliado neste caso é uma estrutura do tipo frame que foi construída em

laboratório utilizando tubos de aço de seção quadrada, soldados de forma a representar o

esqueleto de um prédio de três andares em modelo reduzido. O fator de escala utilizado foi

1:10, ou seja, a estrutura é equivalente à décima parte de um prédio. A estrutura é feita de

tubos de aço (ABNT 1010) de seção quadrada e apresenta dimensões de 0.4 m de

comprimento por 0.3m de largura por 0.7m de altura, Figura (6.1).

Figura 6.1 – Estrutura Frame

A seção de área transversal das barras horizontais é de (20 x 20 x 0.8) x 10-3

m, a seção

de área transversal das barras verticais de (30 x 20 x 0.5) x 10-3

m e a massa total da estrutura

é 5,5 kg. A Tabela (6.1) resume as principais propriedades da estrutura.

Tabela 6.1 – Propriedades da Estrutura Frame

Propriedades Valores Módulo de Elasticidade 2.1 x 1011 N/m²

Densidade 7850 kg/m³ Coeficiente de Poisson 0.33


Para a simplificação do modelo não foram simulados os efeitos de pré-tensão existentes

em uma estrutura real deste porte, como por exemplo, o peso suportado pela estrutura em cada

piso (laje) e outros, resumidamente esta é apenas uma representação que tem caráter

ilustrativo de como uma estrutura de um prédio poderia ser avaliada.

Os testes foram realizados no Laboratório de Vibrações e Instrumentação do

Departamento de Engenharia Mecânica da UNESP – Campus de Ilha Solteira, utilizando o

sistema de aquisição de sinais Data Physics Corporation Signal Calc Ace – 32 bits. A

Tabela 6.2 apresenta uma descrição dos instrumentos e materiais utilizados.

Tabela 6.2 Equipamentos Utilizados nos testes experimentais

Nos testes realizados, procurou-se utilizar uma condição para as forças de entrada que

simulassem um tipo de excitação semelhante a das próprias condições de operação. Neste

caso, as forças de entrada são do tipo aleatória, com as características de um ruído branco

gaussiano. Este procedimento foi realizado utilizando um excitador eletromecânico

Itens Especificações Sistema de aquisição

SignalCalc Ace – 32 bits Fabricante: Data Phisics Corporation Freqüência máxima de operação: 20Khz 2 entradas e 2 saídas

Acelerômetro axial

Fabricante: PCB Piezotronics, Inc Sensibilidade: 97,8 mV/g Erro de amplitude: 0.1%

Condicionador de sinais

Ganho: 1, 10 e 100V Banda de freqüência: 0,15 Hz a 100kHz Fonte de alimentação: Baterias

Shaker

Freqüência de operação: 15 a 5000 Hz Fator de transmissão: 15 N/A Pico máximo: ±3 mm

Microcomputador Processador: Pentium / 256 MB – RAM Estrutura

Tipo: Frame Fabricação: aço ABNT 1010


(shaker), visando simular alguns tipos de excitações as quais o prédio poderia estar sujeito.

Em condições reais a estrutura estaria sujeito a excitações de caráter aleatório provocadas pelo

vento, pessoas em movimento e outros. A excitação não foi medida e, portanto, não são

utilizadas diretamente na análise, apenas as respostas da estrutura são consideradas para a

determinação dos parâmetros modais e as forças de entrada no frame são desconhecidas.

A Figura 6.2 mostra esquematicamente o aparato experimental utilizado, neste caso, o

sinal de excitação é gerado pelo software Signal CalcAce, este sinal passa por um

amplificador de sinais e assim chega ao shaker, que por sua vez transmite a força de excitação

ao frame através de uma haste flexível.

Figura 6.2 – Esquema do Aparato Experimental

A figura 6.3 mostra a bancada experimental utilizada para a realização dos testes.


Figura 6.3 – Bancada Experimental

Os ensaios foram realizados com os 4 “pés” do frame fixos por parafusos em uma

mesa inercial, buscando assim uma condição de engaste rígida. A figura 6.4 mostra o

detalhe do engaste em um dos “pés” da estrutura.

Figura 6.4 – Condição de Engaste da Estrutura

A figura 6.5 mostra os detalhes da fixação e conexão do shaker na estrutura. Para que

o shaker pudesse operar livremente, sem sobrecarga evitando assim sua quebra, o mesmo


foi pendurado através de cabos de aço em um pórtico sobre o frame, de modo que a

estrutura fosse excitada naturalmente, com um minimo de interferência externa.

Figura 6.5 Detalhes da Excitação da Estrutura utilizando o Shaker

Um outro aspecto importante a se ressaltar é a fixação correta do acelerômetro no

ponto exato de medida, pois a fixação irregular do acelerômetro pode acarretar distorções no

sinal medido. A figura 6.6 mostra os detalhes da fixação dos acelerômetros utilizados no

frame.

Figura 6.6 – Detalhes da Fixação do acelerômetro no Frame

A discretização do modelo e a definição dos pontos de medição são muito importantes

nos testes experimentais para a definição das condições de ensaio da estrutura. A Figura 6.7

mostra o modelo experimental discretizado e os respectivos pontos de medição, nós de 1 -

12.


Figura 6.7 – Modelo Experimental Discretizado.

O modelo acima mostra os pontos de medidas onde os sinais de saída da estrutura

foram capturados. Neste caso, a malha foi gerada levando em consideração a topologia dos

pontos de medidas do modelo experimental, de tal forma que todos os pontos de medida

tivessem um nó correspondente no modelo analítico de elementos finitos.

6.1.2 Modelo Analítico

Paralelo a realização dos testes experimentais, criou -se um modelo teórico através do

método de elementos finitos, denominado modelo analítico. Os resultados obtidos no

modelo de elementos finitos foram utilizados tanto para o planejamento dos experimentos

como foram tomados como referência para o estudo e a avaliação dos parâmetros modais

extraídos com o uso das técnicas IES e DDF.

A estrutura foi modelada utilizando o software comercial Ansys® versão acadêmica.

Foram utilizados elementos de placa 3D (Shell) e a malha foi gerada levando em consideração

a topologia dos pontos de medição do modelo experimental, de tal forma que todos os pontos

de medida tivessem um nó correspondente no modelo analítico, como mostra a figura 6.8.


Figura 6.8 – Modelo Analítico

A tabela 6.3 mostra os valores das freqüências naturais obtidas pelo método dos

elementos finitos.

Tabela 6.3 – Freqüências Naturais obtidas pelo método dos elementos finitos

Modo Freqüência (Hz) 1º 49.84 2º 76.60 3º 175.23 4º 229.39 5º 271.39

6.1.3 Testes Experimentais

Nos testes realizados as respostas da estrutura foram capturadas por acelerômetros

fixados nos pontos de medição mostrados na figura 6.7. A força de excitaçaõ da estrutura foi

aplicada no ponto 5, enquanto que as respostas foram medidas em todos os pontos, tanto a

excitação quanto a captura das respostas foram realizadas na direção do eixo x.


Os sinais de resposta foram amostrados com uma frequência de Nyquist de 1000 Hz

para um tempo total de aquisição de 16 segundos com discretização de 40960 pontos. Os

sinais no tempo foram capturados simultaneamente através de dois acelerômetros e

posteriormente processados pelo próprio sistema de aquisição para gerar as respectivas

funções de densidade espectral.

A figura 6.9 mostra o sinal no tempo medido no ponto 1 e a sua respectiva função de

densidade espectral de potência.

Figura 6.9 – Sinal de resposta medido no ponto 1.

Na faixa de freqüência coletada, verifica-se que existe aproximadamente 15 modos de

vibrar. Por motivos de simplificação da análise e devido ao fato de que geralmente em análise

estrutural os modos mais baixos são mais importantes, optou-se por estudar apenas os

primeiros 5 modos naturais. A faixa de freqüência utilizada para a identificação dos

parâmetros foi de 0 a 300 Hz.


6.1.4 Análise Modal Utilizando a IES

Os parâmetros modais da estrutura frame foram identificados na faixa de freqüência de

0 a 300 Hz, a qual compreende os 5 primeiros modos da estrutura frame. A fim de diminuir

o esforço computacional e reduzir a presença de pólos numéricos devido a valores de

freqüências que estão fora da faixa analisada, os sinais foram decimados por um fator 3

(OPPENHEIN, 1998), este procedimento consistiu em filtrar os sinais com um filtro digital

passa-banda com freqüências de corte entre 5Hz e 300 Hz e reamostrá-los em uma freqüência

de Nyquist de 1000/3 Hz. Esta operação reduz o número de pontos para 13653 e torna a

identificação mais precisa na faixa de freqüência considerada.

A figura 6.10 mostra a interface gráfica em que o usuário pode observar o sinal

original, o sinal decimado, o sinal filtrado e definir alguns parâmetros do algoritmo.

Figura 6.10 – Interface gráfica de parâmetros de entrada utilizados na IES

O número de blocos de linhas i como dito anteriormente deve ser maior que a ordem do

modelo que se deseja identificar. Neste caso o número de blocos de linhas i foi considerado


igual a 50, assim a ordem máxima que pode ser encontrada é igual ao produto do número de

sinais medidos, neste caso os 12 pontos , pelo número de bloco de linhas i , assim a ordem

máxima que poderá ser obtida é igual a 600.

Definidos os principais parâmetros de entrada do software, inicia-se o processo de

identificação dos parâmetros modais propriamente dito. A figura (6.11) mostra a interface

gráfica do programa que apresenta o diagrama de estabilização para a faixa de freqüência

analisada.

Figura 6.11 – Diagrama de Estabilização – (*) Estável; (x) Freqüência e Amortecimento; (o) Freqüência e Modo; (+) Freqüência

Neste caso, os critérios de estabilidade foram 1% para a freqüência, 2% para os modos

de vibrar (MAC) e 5% para o amortecimento. Da figura acima observa-se que a partir da

ordem 46 os pólos se tornam estáveis para os primeiros cincos picos de freqüência, indicando

a provável ordem do modelo e conseqüentemente permitindo identificar as matrizes A e C, a

partir dos dados de resposta do frame.

Os parâmetros modais do modelo são obtidos através da decomposição em

autovalores da matriz dinâmica A como discutido na seção 4.1.8. A tabela 6.4 mostra os


resultados obtidos utilizando a técnica IES, os valores de MAC foram obtidos comparando os

modos estimados com os resultados do modelo analítico obtidos utilizando o software

ANSYS.

Tabela 6.4 – Resultados da IES

Modo

IES Modelo Analítico MAC Freqüência (Hz) Amortecimento (%) Freqüência (Hz)

1º 47.10 3.25 49.84 0.86 2º 79.57 2.11 76.60 0.85 3º 171.75 1.40 175.235 0.80 4º 226.33 0.56 229.39 0.84 5º 283.25 0.43 271.39 0.85

A interface gráfica também permite a animação dos modos de vibrar através da

visualização da estrutura deformada e não deformada, rotação de eixos, entre outras. A Figura

6.12 mostra os cinco primeiros modos de vibrar estimados.

1 º Modo [47.1001 Hz]

2º Modo [79.5745 Hz]


3º Modo [171.7583 Hz]

4º Modo [226.3356 Hz]

5º Modo [283.2572 Hz]

Figura 6.12 – Modos de Vibrar identificados pela IES

A figura 6.13 mostra um gráfico de barras com os valores de MAC entre os modos

estimados pela IES e os modos analíticos.


Figura 6.13 – Valores de MAC entre a IES e o modelo analítico

Analisando as figuras e as tabelas acima é possível verificar que foi possível obter os

parâmetros modais da estrutura frame utilizando a técnica IES. Os valores encontrados

quando comparados com o modelo analítico se mostram satisfatórios. Verifica-se também a

importância da construção do diagrama de estabilização, pois para a ordem escolhida apenas 5

modos são estruturais sendo os 18 modos restantes são computacionais. Esses modos

poderiam ser identificados como modos físicos comprometendo a qualidade da identificação.

6.1.5 Análise Modal Utilizando a DDF

Na DDF a identificação dos parâmetros modais do modelo envolve mais a participação

do usuário, pois o mesmo, irá selecionar as regiões de freqüência de interesse. Uma vez

importadas as densidades espectrais de potência, passa-se a fase de identificação dos

parâmetros propriamente dita . A figura 6.14 mostra o módulo do programa onde é a

realizado a escolha das faixas de freqüências em torno dos picos de ressonância. Neste caso,

conforme pode ser observado na figura, foi selecionado o primeiro pico de freqüência,

correspondente ao primeiro modo.


Figura 6.14 – Interface gráfica para seleção dos picos de interesse

Após a seleção das faixas de freqüência em torno dos picos de ressonância de interesse

é realizada a DVS das respectivas funções de densidade espectral de potência para cada linha

de freqüência da região selecionada, que irá fornecer o respectivo modo de vibrar.

Finalizado a estimativa do modo de vibrar referente ao pico de interesse, é feita uma busca

dos vetores singulares correlacionados com aquele modo em torno do pico de freqüência.

Essa correlação é definida para MAC-valores maiores que um dado valor pré-definido pelo

usuário. Neste caso, o índice utilizado foi 0.8 e o processo termina quando é encontrado

algum valor singular com correlação inferior a este índice.

Cada vetor singular obtido tem um correspondente valor singular, os quais definem uma

função de valores singulares, que corresponde à função de densidade espectral de potência

equivalente a um sistema de um grau de liberdade para o respectivo modo.

Identificado as funções de densidade espectral de potência do sistema de 1GL, pode-se

obter o amortecimento do referido modo, transformando a função de valores singulares para o

domínio do tempo, utilizando a transformada inversa de Fourier. O amortecimento é obtido

com base no conceito de decremento logaritmo, equação (4.84). A Figura 6.15 mostra a

função de densidade espectral de potência de 1GL obtida para o primeiro modo e a sua

respectiva transformada inversa.


Figura 6.15 – função de 1 GDL e sua respectiva transformada inversa.

A tabela 6.5 mostra os resultados obtidos utilizando a técnica DDF, assim como na

IES, os valores de MAC foram tomados utilizando os resultados do modelo analítico

utilizando o software ANSYS.

Tabela 6.5 – Resultados da DDF

Modo

DDF Modelo Analítico MAC Freqüência (Hz) Amortecimento (%) Freqüência (Hz)

1º 46.87 3.05 49.84 0.95 2º 79.37 2.12 76.60 0.93 3º 170.63 1.23 175.23 0.70 4º 225.63 0.64 229.39 0.75 5º 283.13 0.58 271.39 0.76

A Figura 6.16 mostra a visualização dos modos de vibrar estimados.


1 º Modo [46.875 Hz]

2º Modo [79.375 Hz]

3º Modo [170.630 Hz]

4º Modo [225.630 Hz]


5º Modo [283.130 Hz]

Figura 6.16 – Modos de Vibrar identificados pela DDF

A figura 6.17 mostra o gráfico de barras com os valores de MAC entre os modos

estimados pela DDF e os modos analíticos.

Figura 6.17 – Valores de MAC entre a DDF e o modelo analítico

Assim como na IES, também foi possível obter os parâmetros modais da estrutura frame

utilizando a técnica DDF. Os valores encontrados quando comparados com o modelo

analítico se mostram satisfatórios. É importante salientar que os modos da estrutura frame


são bem espaçados, facilitando assim a identificação dos parâmetros, uma vez que os modos

não sofrem influência dos modos vizinhos.

6.1.6 Comparação entre IES e DDF

Visando uma melhor avaliação dos resultados obtidos pelas duas técnicas, os valores

dos parâmetros modais identificados pela IES e DDF foram confrontados. Neste caso, as

freqüências naturais e o amortecimento podem ser comparados diretamente e os modos de

vibrar são comparados a partir dos valores de MAC.

A tabela 6.6 mostra os valores identificados pelas duas técnicas.

Tabela 6.6 – Comparação entre a IES e DDF

Modo

IES DDF Erro MAC Freq. (Hz) Amort. (%) Freq. (Hz) Amort. (%) Freq. (%) Amort. (%)

1º 47.10 3.25 46.87 3.05 0.48 6.19 0.94 2º 79.57 2.11 79.37 2.12 0.25 0.57 0.89 3º 171.75 1.40 170.63 1.23 0.66 12.64 0.79 4º 226.33 0.56 225.63 0.64 0.31 12.48 0.84 5º 283.25 0.43 283.13 0.58 0.04 24.43 0.74

A figura 6.18 mostra o gráfico de barras com os valores de MAC obtidos da

comparação entre a IES e a DDF.


Figura 6.18 – Valores de MAC entre a IES e a DDF

Os resultados encontrados pelas duas técnicas apresentaram praticamente os mesmos

valores para os parâmetros modais, os valores das freqüências naturais estimadas pelas duas

técnicas apresentam diferenças muito pequenas, mostrando uma ótima concordância na

estimativa deste parâmetro. Já o amortecimento, que em muitas vezes apresenta valores

incertos, devido a dificuldade de sua estimativa, neste caso, parece se mostrar adequado, uma

vez que a discrepância apresentada está dentro do aceitável, e até pode ser considerada

pequena se comparado com os encontrados na literatura. Já o valores de MAC mostraram

uma relativa discrepância, evidenciando, que algum problema possa ter ocorrido durante a

realização dos experimentos, causada pela escolha do ponto de referência ou alteração nos

ganhos do equipamento durante o teste ou mesmo a fixação dos acelerômetros.


6.2 Avaliação da IES e DDF com dados do software ARTeMIS Extractor®

Os resultados obtidos na seção anterior mostraram que foi possível identificar os

parâmetros da estrutura frame e que os valores encontrados pelas duas técnicas são

coerentes. Para uma avaliação mais realista das técnicas implementadas na identificação dos

parâmetros modais utilizando apenas as respostas, procedeu-se a análise de um edifício real.

Neste caso, os dados experimentais utilizados foram obtidos por outros pesquisadores e se

encontram disponíveis na página da internet do software ARTeMIS Extractor®.

O ARTeMIS Extractor® é um software utilizado na análise modal operacional e faz uso

da Identificação Estocástica de Subespaço e Decomposição no Domínio da Freqüência para

estimar os parâmetros modais de estruturas mecânicas e civis.

Adicionalmente, os resultados obtidos pela IES e DDF implementadas neste trabalho,

foram comparados com os resultados obtidos com o próprio software ARTeMIS Extractor®.

Sua representante comercial, a Structural Vibrations Solutions, disponibiliza gratuitamente

em seu site (http://www.svibs.com – acessado em 09/04/2008) uma versão demonstrativa do

ARTeMIS Extractor®, afim de que usuários possam conhecê-lo e realizar seus próprios

testes. Juntamente com o progama, a Structural Vibrations Solutions também disponibiliza

alguns dados de testes experimentais realizados por alguns pesquisadores.

Os dados utilizados neste caso, foram os dados obtidos em testes experimentais

realizados em um edíficio chamado Heritage Court Tower – HCT, localizado na cidade de

Vancouver – Canada. A figura 6.19 mostra uma das vistas do Heritage Court Tower.


Figura 6.19 – Vista do Heritage Court Tower – Vancouver Canada

A figura 6.20 mostra alguns dos sensores utilizados na aquisição dos sinais.

Figura 6.20 – Sensores utilizados nos testes do Heritage Court Tower

Os detalhes das características do HCT e os procedimentos experimentais são

discutidos em (VENTURA et al, 2001).

A figura 6.21 mostra o HCT discretizado e os locais onde foram colocados os sensores

para a aquisição dos sinais. As setas na cor azul representam os pontos de referência.


Figura 6.21 Discretização e pontos de medida do HCT

Há disponível no site da Structural Vibrations Solutions os dados de resposta no

tempo de 4 sistemas de canais de aquisição distribuídos pelos pontos mostrados na figura

6.21. Estes dados foram utilizados na identificação dos parâmetros modais do HCT através

da IES e DDF implementadas, os quais posteriormente foram comparados com os resultados

obtidos utilizando o ARTeMIS Extractor®.

Os sinais de resposta foram amostrados com uma frequência de Nyquist de 20 Hz

para um tempo total de aquisição de 327 segundos com discretização de 13108 pontos. As

densidades espectrais de potência foram estimadas para 1024 linhas de freqüência utilizando

rotinas disponíveis no software MATLAB®.

A figura 6.22 mostra a resposta no tempo medida no ponto 45-x e sua respectiva

densidade espectral de potência.


Figura 6.22 – Sinal no tempo e sua respectiva densidade espectral medidos no ponto 45-x do HCT

A identificação dos parâmetros foi realizada para os 7 primeiros modos, englobando a

faixa de 0 a 7 Hz.

6.2.1 Análise Modal do HCT Utilizando a IES

Para cada canal de aquisição um conjunto de modelos de diferentes ordens foi

identificado e assim pode-se estabelecer o diagrama de estabilização. A figura 6.23 mostra o

diagrama de estabilização do primeiro canal de aquisição utilizado na identificação dos

parâmetros pela IES. O número de blocos de linhas i foi igual a 36 e os critérios de

estabilidade foram 1% para freqüência, 2% para freqüência e modo (MAC) e 5% para

freqüência e amortecimento .


Figura 6.23 – Diagrama de Estabilização – (*) Estável; (x) Freqüência e Amortecimento; (o) Freqüência e Modo; (+) Freqüência

Da figura acima, observa-se que a partir da ordem 20 existe estabilidade em todos os

picos na faixa de freqüência analisada. A partir desta ordem, as matrizes A e C são obtidas e

os parâmetros modais são encontrados resolvendo o problema de autovalor. A tabela 6.7

mostra os valores identificados pela IES, juntamente com os valores de referência tomados do

software ARTeMIS Extractor®.

Tabela 6.7 – Comparação entre a IES e ARTeMIS Extractor®

IES ARTeMIS® Erro Modo Freq. (Hz) Amort. (%) Freq. (Hz) Amort. (%) Freq. (%) Amort. (%) MAC

1º 1.23 1.81 1.23 2.12 -- 14.62 0.90 2º 1.29 1.59 1.29 1.68 -- 5.35 0.90 3º 1.45 1.20 1.45 1.24 -- 3.22 0.88 4º 3.85 1.14 3.85 1.17 -- 2.56 0.92 5º 4.25 1.46 4.25 1.43 -- 2.05 0.87 6º 5.35 1.97 5.33 2.07 0.37 4.83 0.89 7º 6.42 1.51 6.39 1.36 0.46 9.93 0.88


Da tabela acima nota-se que foi possível identificar os parâmetros modais do HCT

utilizando a técnica SSI. Como o método IES é baseado diretamente nos dados medidos no

tempo, a presença de modos próximos não prejudica a identificação dos resultados. Mais uma

vez se nota-se a importância do diagrama de estabilização, pois a ordem encontrada foi igual

a 20, evidenciando que nem todos os modos são estruturais.

6.2.1 Análise Modal do HCT Utilizando a DDF

Nesta análise foram identificados 7 modos, a figura 6.24 mostra a função de densidade

espectral de potência equivalente de 1GDL obtida através da DVS das linhas de freqüência

em torno do 5º modo e a sua respectiva transformada inversa utilizada para determinar o

amortecimento.

Figura 6.24 – funções de 1 GDL e a transformada inversa do 7º modo

A tabela 6.8 mostra a comparação dos valores identificados pela DDF com os valores de

referência tomados do software ARTeMIS Extractor®.


Tabela 6.8 – Comparação entre a DDF e ARTeMIS®

DDF ARTeMIS® Erro Modo Freq. (Hz) Amort. (%) Freq. (Hz) Amort. (%) Freq. (%) Amort. (%) MAC

1º 1.23 1.56 1.23 1.81 -- 13.81 0.85 2º 1.27 1.38 1.26 2.04 0.78 32.00 0.81 3º 1.45 1.57 1.44 1.70 0.68 7.64 0.91 4º 3.87 1.48 3.87 1.50 -- 1.33 0.91 5º 4.24 1.0967 4.24 1.63 -- 32.52 0.90 6º 5.35 1.14 5.35 2.13 -- 46.47 0.91 7º 6.40 0.8452 6.40 1.56 -- 46.15 0.86

Com a técnica DDF também foi possível identificar os parâmetros modais do HCT,

no entanto, como os modos na faixa de freqüência analisada estão próximos, existe certa

dificuldade da DDF em se separar as regiões em tornos dos picos de ressonância, pois a

resolução em freqüência não é suficiente para uma boa separação dos modos. Como

conseqüência existe a influência de um modo sobre o outro, afetando principalmente o valor

do amortecimento.

6.3 Conclusões do Capítulo

No primeiro caso experimental, o estudo da estrutura frame, os resultados identificados

pelas duas técnicas foram primeiramente comparados com dados obtidos pelo método dos

elementos finitos. As pequenas diferenças encontradas entre os valores identificados pelas

duas técnicas em relação ao modelo analítico, comprovam que os resultados obtidos são

satisfatórios, principalmente devido ao fato de os testes serem realizados para uma condição

de engaste bastante complexa, quando comparada com o modelo analítico. Posteriormente

os resultados das duas técnicas foram comparados entre si e se mostraram bastante

consistentes.

Quanto a potencialidade de cada método para esta aplicação, nota-se que não houve

diferenças significativas entre os resultados estimados pelas duas técnicas, a maior diferença

esta quanto a praticidade de cada método. A IES exige uma maior experiência do usuário,

quanto aos procedimentos de pré-identificação, como a aplicação de filtros, decimação e


interpretação do diagrama de estabilização, enquanto que na DDF é apenas necessário

selecionar as regiões em torno dos picos de freqüência. Dessa forma, pode-se dizer que para

estruturas simples, com os modos bem espaçados, como é o caso da estrutura frame, o uso

da DDF se mostra mais viável, pois é mais rápido, exige menos conhecimento do usuário e

necessita de um menor esforço computacional.

No segundo teste, realizado no HCT, os valores de referência foram tomados da versão

demonstrativa do software de análise modal operacional ARTeMIS Extractor®. Este teste

representa uma estrutura bem mais complexa, excitada pelas próprias condições de operação,

o que possibilita uma avaliação mais consistente das técnicas. Neste caso, ambas a técnicas

estimaram adequadamente os parâmetros do HCT, no entanto percebe-se que os resultados

da IES são mais próximos dos resultados tomados como referência. Como os modos na faixa

de freqüência analisada estão próximos, existe certa dificuldade da DDF em se separar as

regiões em tornos dos picos de ressonância, pois não se consegue obter uma resolução em

freqüência que permita uma boa separação. Como conseqüência existe a influência de um

modo sobre o outro, afetando principalmente o valor do amortecimento. Já na IES, este

problema não influência os resultados, pois o método é baseado diretamente nos dados de

resposta medidos no tempo. Adicionalmente, na identificação utilizando a DDF percebe-se

que a funções de valores singulares de 1GDL, Fig. 6.24, não possuem um comportamento

suave como nos casos simulados e no frame, isso pode ter prejudicado a estimativa dos

parâmetros.

Para o caso mais complexos, identificação estrutural de estruturas civis de grande porte,

a IES mostrou mais viável que a DDF, pois a mesma demonstra ser mais robusta a presença

de modos pouco espaçados, garantindo assim resultados mais precisos. De uma maneira geral,

os resultados obtidos nos dois casos mostram que as técnicas são capazes de estimar os

parâmetros modais do modelo sem medir a entrada e possuem um grande potencial a ser

explorado na área de identificação estrutural.

Capítulo 7: Conclusões 110 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7 CONCLUSÕES

O presente trabalho mostrou os principais aspectos da Identificação Estocástica de

Subespaço (IES) e da Decomposição no Domínio da Freqüência (DDF). O dois métodos

foram confrontados, visando avaliar suas potencialidades para o uso em aplicações práticas.

As técnicas em um primeiro momento foram avaliadas com dados de exemplos

simulados de uma estrutura do tipo frame. A utilização de dados simulados foi muito

importante, pois com ela se tem uma base de resultados de referência que permitem uma

avaliação sistemática das técnicas.

Os resultados obtidos nesta fase mostraram-se bastante consistentes, os parâmetros

modais do sistema foram estimados com exatidão. Contudo, a avaliação utilizando modelos

simulados é limitada, pois, por mais bem elaborados que sejam os modelos, a simulação é

incapaz de reproduzir toda a complexidade de um experimento. E portanto, exemplos

experimentais são decisivos para avaliação das potencialidades da metodologias, o que

demanda a realização de testes em estruturas reais.

Numa segunda fase, as técnicas foram avaliadas com dados experimentais de duas

estruturas reais. No primeiro caso, os testes foram realizados em laboratório para uma

estrutura do tipo frame. No segundo caso foi utilizado dados experimentais de outros

pesquisadores, mais especificamente, foram utilizadas as respostas de um prédio real, o

Heritage Court Tower - HCT, localizado na cidade de Vancouver – Canada.

Os resultados obtidos nos testes experimentais foram satisfatórios, pois as duas técnicas

foram capazes de estimar os parâmetros modais das estruturas analisadas. Verificou-se que

para casos mais simples, como a estrutura frame a utilização da DDF é mais viável, uma vez

que elas possui uma maior praticidade. Já no caso do HCT onde os modos estão muito

próximos a identificação com a IES foi mais precisa, mostrando que a técnica neste caso é

robusta a presença de modos pouco espaçados.

De uma maneira geral, os resultados obtidos em todos os casos, exemplos simulados e

experimentais, mostraram-se bastante promissores. Os parâmetros modais dos sistemas

estimados com as técnicas propostas têm a mesma ordem de precisão dos resultados tomados

Capítulo 7: Conclusões 111 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

como referência. Isto demonstra que as metodologias foram capazes de identificar os

parâmetros modais dos modelos e que podem ser aplicadas na identificação de estruturas

reais, utilizando apenas as respostas.

O próximo passo deste trabalho é a realização da identificação da presença de

componentes harmônicos nos resultados obtidos pelas técnicas, uma vez que tanto a IES

quanto a DDF consideram as forças de entradas como sendo um ruído branco gaussiano

fazendo com que a presença de harmônicos possa levar a resultados errôneos e também

realização de testes em estruturas com condições reais de operação nos laboratórios do

Departamento de Engenharia Mecânica da UNESP de Ilha Solteira.

Referências 112 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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ZIENKIEWICZ, O. C. The finite element method. 3rd ed. McGraw-Hill Book Company, 1985.

Apêndice 119 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

APÊNDICE

Apêndice 120 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.1 Demonstração do Teorema Principal da IES

Das equações (4.34), (4.35) e (4.36) encontra-se para a equação (4.41) que:

1

i i i pC L Y−=O (A.1)

Da teoria de realização estocástica, (KUNG, 1978), encontra-se para a seqüência de

covariância Ci:

i i 1 2 1

i 1 i 3 2

i i 2 i 1 4 3

2i 1 2i 2 i 1 i

C

−

+

+ +

− − +

=


Λ Λ Λ Λ

…

…

…

… … … … …

…

(A.2)

i 1 i 2

i i 1 2

i 1 i 3 2i

2i 2 2i 3 i i 1

CA G CA G CAG CG

CA G CA G CA G CAG

C CA G CA G CA G CA G

CA G CA G CA G CA G

− −

−

+

− − −

=

…

…

…

… … … … …

…

(A.3)

( )i 1 i 22

i

i 1

C

CA

C A G A G AG GCA

CA

− −

−

=

…

�

(A.4)

c

i i iC = Γ ∆ (A.5)

O que implica em:

c 1

i i i i pL Y−=O Γ ∆ (A.6)

Usando (4.39), determina-se que:

i i iX̂=O Γ (A.7)

Apêndice 121 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

As equações (A.1) - (A.8) provam a afirmação 1 do teorema principal da IES.

A segunda afirmação que discute a ordem do sistema, vem do fato de que uma vez

que 1W possui posto completo e o posto da matriz p 2Y W é igual as posto de pY , pode-se

afirmar que 1 i 2W WO tem posto igual ao de iO , o qual é igual a n (ordem do sistema). Isto

vem do fato de que iO é igual ao produto de duas matrizes 1 iW Γ (n colunas) e i 2X̂ W (n

linhas). Uma vez que estas duas matrizes possuem posto n este produto também possui posto

igual a n.

A decomposição em valores singulares da projeção iO , equação (4.42) pode ser

dividida em duas partes (onde nxnT ∈� é uma matriz arbitraria não singular representando a

transformação de similiariedade ).

1

21 i 1 1W U S T=Γ (A.8)

1

1 T2i 2 1 1X W T S V

−= (A.9)

As equações (A.8) e (A.9) conduzem a terceira afirmação do teorema, provando as

equações (4.44) e (4.46), respectivamente. A equação (4.45) vem do fato de que :

c

f p i i i[Y ,Y ] C= =Φ Γ ∆ (A.10)

A prova da afirmação 5 segue a prova da afirmação 1, pois é fácil notar que de

i i iX̂=O Γ segue que †

i i iX̂ Γ= O .

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