thick lévy plates re-visited

18
Thick L evy plates re-visited K.H. Lee a , G.T. Lim b , C.M. Wang b, * a Department of Mechanical and Production Engineering, The National University of Singapore, Kent Ridge, Singapore 119260, Singapore b Department of Civil Engineering, The National University of Singapore, Kent Ridge, Singapore 119260, Singapore Received 2 November 2000; in revised form 20 August 2001 Abstract This paper is concerned with the bending problem of L evy plates which are simply supported on two opposite edges with any combination of simply supported, clamped or free conditions at the remaining two edges. This study attempts to solve thick L evy plate problems in a novel way by establishing bending relationships that allow the prediction of Mindlin plate results using the corresponding Kirchho solutions. Based on the concept of load equivalence, these relationships obviate the need for complicated thick plate analyses that involve signi®cant computation time and eort. Numerical plate solutions are then determined from these relationships and the validity of these results is veri®ed using other known results and those generated using the ABAQUS ABAQUS software. It is through this study that the only analytical Mindlin plate solutions by Cooke and Levinson Int. J. Mech. Sci. 25 1983) 207) are found to contain errors. In this study, it is found that there are important distinctions between the Mindlin and Reissner plate theories. These dier- ences will also be substantiated by numerical comparison. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Bending; Thick plates; L evy solutions; Mindlin plate theory; Reissner plate theory 1. Introduction In the analysis of relatively thin plates, it is sucient to use the Kirchho plate theory. This classical plate theory can produce fairly accurate plate solutions until the thickness-to-length ratio reaches the limit of 1/20 Yuan and Miller, 1992; Reddy, 1999). Once over this limit, the errors become signi®cant enough to warrant the use of thick plate analysis. These errors arise because of the Kirchho plate assumption that the normals to the middle surface are to remain straight and normal after the plate has undergone deformation. This normality assumption is equivalent to the negligence of the eect of transverse shear deformation. For moderately thick plates with thickness-to-length ratios over 1/20, it is necessary to adopt a plate theory that accounts for the eect of the transverse shear deformation. Many shear deformable plate theories, mostly of higher order, have been proposed over the years for the analysis of thick plates Nelson International Journal of Solids and Structures 39 2002) 127±144 www.elsevier.com/locate/ijsolstr * Corresponding author. Tel.: +65-874-2157; fax: +65-779-1635. E-mail address: [email protected] C.M. Wang). 0020-7683/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII:S0020-768301)00205-0

Upload: kh-lee

Post on 02-Jul-2016

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Thick Lévy plates re-visited

����� ���� �� �� ������� ��

���� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� ���

� ���������� ��� ������ ��� �������� ������������ � � ������� ���������� ��������� ���� ������

�������� �� !"#� ��������� ���������� $���� ������������ � � ������� ���������� ��������� ���� ������ �������� �� !"#� ��������

�������� !"������ ###$ �� ������� %"�� # &'�'� ##(

��������

���� ��� �� �"������� )� � �� ������� �"���� "% ���� �� �� )���� ��� ���� �'"� �� "� )" ""�� � �����

)� � �� �"����� �"� "% ���� �'"� ��� ������ "� %��� �"��� �"�� � �� ��������� )" ������ ���� � '� � �� �

" �"��� ���� ���� �� � �"����� �� � �"��� )� � �� ��������� ������� ���� �"����� �� ���") �� ����� �"� "%

������� �� � ���'� � '���� �� �"����"����� ������"* �"�' �"��� +���� "� �� �"��� "% �"�� �,'��������� ����

���� �"����� "���� � �� ���� %"� �"����� �� ���� �� � ������� �� ���"��� �����-��� �"�' � �"� ��� ��� �*"� �

!'������� �� � �"�' �"�� ��� ��� �� ������� %�"� ���� ���� �"����� ��� �� ������ "% ���� ���'� � �� ����-�� '����

" ��� ��")� ���'� � ��� �"�� ������ �� '���� �� &+&./0&+&./0 �"% )���� 1 �� ��"'�� ��� � '� �� �� "�� ���� ����

������� �� � �"�' �"�� � �""�� ��� ������"� 21� � 3� ����� 0��� 4 2(5678 #98 ��� %"'�� " �"� ��� ���"��� 1� ���

� '�� � �� %"'�� �� ���� ��� ��"� �� ��� ��� �"�� �� )��� �� ������� ��� �������� �� � ��"����� ����� ��*���

����� )��� ���" �� �'�� �� �� �� � �'������� �"�����"�� � ##( :������� 0������ � �� &�� ���� � ���������

���%���& +������$ ����� �� ��$ ���� �"�' �"��$ ������� �� � ��"�$ �������� �� � ��"�

� ���� ������

1� �� ������� "% ���� ���� ��� �� ��� � �� �';���� " '�� �� ������"* �� � ��"�� ���� ����������� � ��"� ��� �"�'�� %���� ���'�� � �� � �"�' �"�� '� �� �� ��������� "����� � �� �" ������� �� ���� "% (< # 2='�� ��� ������� (55 $ ����� (5558� >��� "��� ��� ���� � �� ���"�� ���"�� �����-��� ��"'�� ")����� �� '�� "% ���� �� � �������� ����� ���"�� ����� ����'�� "% �� ������"* �� � ���'� �"� �� ���"����� " �� ������ �'�%��� ��� " ������ � ����� ��� �"���� �% �� �� �� � ��� '�����"�� ��%"��� �"������ �"����� ���'� �"� �� �,'������ " �� ���������� "% �� �*�� "% ��������� ����� ��%"��� �"��

?"� �"���� �� ���� �� �� )� � ��������� "����� � �� �"� "��� (< #� � �� �������� " ��" � �� � ��"� �� ���"'� � %"� �� �*�� "% �� ��������� ����� ��%"��� �"�� ��� ����� ��%"������ �� � ��"����� �"� � "% ������ "����� ���� ���� �""��� "��� �� ���� %"� �� ������� "% ���� �� �� 2!���"�

1� ���� �"��� 3"'���� "% 0"���� ��� 0 �'� '��� 75 2 ## 8 ( 9@(AA

)))�����������"�<�"�� �<�B�"�� �

� �"����"����� �' �"�� ����C DE4�69A� (49$ %�FC DE4�995�(E74�

�'���� �������& ���)��G�'����'��� 2���� ����8�

## #�9E67<#(<H � ��� %�"� �� �� � ##( :������� 0������ � �� &�� ���� � ���������

I11C 0## #�9E67 2#( 8## #4�#

Page 2: Thick Lévy plates re-visited

��� �"���� (59A$ ��������� (594$ �" � ���� (599$ ������"�� (56#$ ����� (56A8� ����� �������"���� �� � ��"���� ' ����� ���������� -���� �� �'��� � ���� "% ��*���� "����� �� �� ")�� ������ �F����"� ��"'�� �� �� � ��������� �� � �������"���� ���� �� �� ���������� -���� �� ������� ������"'� "% ���� �� �� ��� �� ����� �� �"�� ���'�� ��� �")����� � �� �" �� �� ������ ���'��� "% �� �"��� )� � ����� "% �"���� �"�' � �"� ��� ��� �*"� �

&� �� �� ���� ���� "�� ��� '�� � ����� ����� ��%"������ �� � ��"� �� ��" � � ���������� -��� "% �� ���� "���� �� �� ��������� ��� �� � ��"�� ��")� �� �� ������� �� � ��"� 2�������� (54(8��"��"�� ��%����� " �� � -�� �"���� ����� ��%"������ �� � ��"�� �� ������� �� � ��"� �����������F�� �� ������"*J� �"����� ���'� �"� � ���")��� �� �"����� " '�����" '��%"�� �" � �"� ��"' �� ������ �'�%��� �% �� ��%"��� �"�� 1� ���")��� �� �"����� " �" � � '��%"���� �� ������� �� � ��"������ ���� ���'��� �"�� �� ����� � ����� 2��� � ������8 ���"�� �� �� � ��������� ���� �")���� ��"�� �� ��� � ���� ��,'������ �� ����� � ������ ��� " ������ � �� %��� �'�%���� "% �� �� �� �" �"����� � %"��'�� �� ���"�� ������� �� �"�'��� � ����� �"���� �"� %�� "� " �"��% �� ����� �"�'�'��

�������� "� ���� �� � ������� ����� "� �� ������� �� � ��"� ��� �"� � ���� ��� ��� �� " �'�������� �����,'�� %"� �� ������ �"� "% ���'� �� ?"� ���� �� ��� ����������� ���" �'������� �� �"������ �� -�� � ������ �� �"� 2�'��� ��� ��� "�� (56A$ +����� ��� ����� (56A$ ��� "� ��� �'����(56E$ ='�� ��� ������� (55 $ K"�� � ���� (557$ K"�� ��� ���F���� �� ?��� ��� (55A8� �� -�� � � ���� �"� 2I� �"�� "� (55#8� �� ��*���� ��� ,'���� '�� ������ �� �"� 2��' ��� ���)� (5568 "� �� ������� � �"� �� �"� 2��� ��� ��� "�� (56#8 " �"�'�� ������� �� � �"�' �"��� 1� �� "�� �� ��� '��� ��"�� ���� ���� ������� �� � ���'� � "� ���� �� �� ���� ���� ��"� �� � �""�� ��� ������"� 2(5678����� ��� ���� %"'�� " �� ���"��"'� �� ���� � ��� 2(5558 ��� )��� �� �� �������� �� �� ����� � '�� ���" ��� �F�� �� � �"�' �"�� ��� �"����� � 0�����" ��� �"������ 2(5E#8 %"� ���� �� �� )���� �� �")��������� "� ��" ��� ����� ��%"������ �� � ��"�� �� �������� �� � ��"�� 1� �������� �� � �"�' �"��"� ����� � ��� ��� ��� "� 2(56#8 ���� ���� �"�������� �� �� ��������� %"� �"�����"� ��� ������� �"�� 1� ����� ����� ���� ��� ��� �")"����� 2���� ��� &�)��� (554$ ���� ��� ���� (55E$ �����(559$ ���� � ���� (555$ ���� ��� ���� (5558 ���� ��� �� �� � ��) �������� ����� �"� "� ���� �� �������� � �� ���� ���� ������� ' �� ������"* �� � �"�' �"�� )� � �� ������� �"'� ���� � �� � ������������� ���� �"����� L�� �� �"��� "% �"�� �,'��������� ���� �"��� ���� �"����� ���") ����������� ������������ " ���� '�� "% �� )���� ��������� ������"* �� � �"�' �"�� 2���"�����" ��� �"��")����������� (545$ ����-���� (5658 " ���� �"����� �� ���� �� � �������� 0" %��� ������� ���� �"������ '���� ��� �� �"� ���� ���� ������� %"� ����'��� ��� ���'��� �� ��� ��� "���� �� �� ��� "��"����� ���

&� �"'�� ������� ������"*@������� ������� ���� �"����� %"� ���� �� �� ���� ������ ���� '��������� ���� � ��� 2(5558� ��� ���� �� � ���'� � "% ��*���� �"'���� ��� �"����� �"��� �"�� ���� ����"�� �� �'� " �� ���� � ���� � �"� "% � �������� ����% �" �� ?'� ����"��� ���� �� �" %'� ��� �F���� �"�"� �� ���"�� ���� � �""�� ��� ������"� 2(5678 �� ���� � ��� 2(5558� �F�� )� � �"�� �'������� ����'� �� �"�� ����� ��� � '� )��� " %'����� ���� '�'������� �� � ���'� � "�� ��� )� � � �"�� ������������� �"� %"� �� ������"*@������� ������� ���� �"������ 1� ���� �"�� �� ���"�� � �""�� ��� ������"�2(5678 )��� �� �����-�� �� �� ���� �" ����'� � �� �"���� ���� "% �� ������� ���� �"������ �� �'��������� � ���'� � � �� ����� )"�� ��� ������ �� )� � �"�� "� ����� � " ��� ����������� ��� �"��� ���������� � )��� ��")� �"�������� �"% )���� &+&./0&+&./0 2(5598�

?������ �� ����� ��%"������ �� � ��"� �""��� � �������� 2(5AA� (5A4� (5A98 )��� �� �"� ��� �������� �� ������� �� � ��"�� 1 �� �������� �������� � �"�� ����������� �� )��� �� ������� �����%"��� �"���� �"� %�� "� �� �� " 4<E� �� ������� �� � ��"� ���'��� " �� �������� �� � ��"�� >� ���"� ��� " ��� ���� �"�� � )��� �� ��")� ������ �� ���� )" �� � ��"���� ��� ���������� �� ����%"��'�� �"�� ��� ���'� �"�� )���� ��� �����-��� � ������ �� ���'� �� ��� ����������� ��� �� )��� �� )" �� � ��"���� )��� �� �'�� �� �� �� )� � �� �'������� ���'� � �"�' �� �� �� ����� )"�� ��� �"��%�"� 0�����" ��� �"������ 2(5E#8 '���� �� �������� �� � ��"��

( 6 �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 3: Thick Lévy plates re-visited

� ��� ��� ����� ������

+���� "� �� ������� �� � ��"�� �� � ���� ���'� �� � "% � �� � �� ������� �� ��% �� %"��")����,'� �"�� "% �,'������'� 2���"�����" ��� �"��")����������� (5458

���

��� ���

��� � � #� �(��

����

��� ����

��� �� � #� �(��

����

��� ����

��� �� � #� �(��

?�"� �� �"�� � ' ��� �,'� �"��� �� ������� � ���� ���'� �� � �� ���� "% �� ���������� ��� �" � �"���� �� )�� �� �� 2��������� (5668

���� � �

���

��

�� �

���

��

�� � ��

���� � � �

���

��

�� ���

��

�� � ��

���� � (

� (� � �� ���

��

�� ���

��

�� � ��

��� � � �� ��

�� ��

��

�� � ��

��� � � �� ��

�� ��

��

�� � ��

)���� �� ��� �� ���" � �� �" � �"�� "% �� �"����� " �� ������ �'�%��� ��"' �� �� ��� 4��F��� ������ ����� ��� � �� �� ��������� ��M�� �"� "% �� ������ �'�%��� "% �� �� �� ��� �'������ � ���" ��������� �� � ,'�� � ���� &��"� �� 5 ��� � ��� �� �� � ������� ������ � ����� �"�'�'� ��� I"���"�J� �� �"������ ����� 1� :,�� 2 �8 ��� 2 �8� � �� ����� �"���� �"� %�� "� �� ��� ���� �� �"�'��� " �"��% �� ������"�'�'�� ���� ����� �"���� �"� %�� "� ������ �" "�� "� �� �� ����� ��� ��"�� ��� ����� ��� �' ���""� �� �"����� ��� �"'���� �"��� �"��� �������� %"� ��� ���'��� �� �� "% '��%"�� ��������� � ��� �� ���� " �� 4<E ��� ��� ���'� ��� ���� ��" �� ��"'��"' ��� � '��

&� �� ������� �� � ��"� ����'��� �� �*�� "% ��������� ����� ��%"��� �"�� �� ������� ����� %"������� �� "� ����� %�"� �� �"�� � ' ��� ���� �"������ �� ��")� �� :,�� 2 �8 ��� 2 �8� >�� �� ���" �� ������� �� ������� ����� %"���� � �'�� � ' ��� �� ������� ��� )�� ��� �"��� � �� :,�� 2 �8@2 �8 �� " ���,'������'� �,'� �"��� :,�� 2(�8 ��� 2(�8� ����� ����� �� � �� � �� ������� �,'������'� ����� %"���� ���

��� � �

���

���

��

��� ���

��

�� (

(� � �� �

�����

��

�� ���

��

��� �7��

��� � �

���

���

��

��� ���

��

�� (

(� � �� �

�����

��

�� ���

��

��� �7��

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 ( 5

Page 4: Thick Lévy plates re-visited

1� �"�'���� �� ������ �"��� "� �"��� �'� � � ���� �������(� ��� :,�� 27�8 ��� 27�8 ���"��

��� � ���

��� (

��(� �� �

�����

��

�� ���

��

�� �A��

��� � ���

��� (

��(� �� �

�����

��

�� ���

��

�� �A��

1� ���) "% :,�� 2(�8� 2A�8 ��� 2A�8� �� �"������� �,'� �"� "% � ������� �� � '���� ������� ��� ��)�� �� ��

� �� � �� � � ���

��

�� ���

��

�� � �

�� �4�

)���� � ��� � � ������ � � ������ �� �� �������� "��� "����� ������� �"������� �,'� �"� �� ���" �� "� ����� � �"��������� �� ��������� ����� %"���� �� :,��

2 �8 ��� 2 �8� ��� �� �,'������'� �,'� �"� �� :,� 2(�8� ���� �����

� �� � �

����

�� ��� �E�

1 ��� ���" �� �" �� �� �,'� ��� �� ����� %"���� �� :,�� 2 �8 ��� 2 �8 " �"�� �� :,�� 2A�8 ��� 2A�8������ ����� ��� ������� ��� �� ����'� �"��� �� �� �"����� "�� ��� ���'�� �� %"��")��� �,'� �"�C

� ���

��

�� ���

��

��

���

��

�� ���

��

�� �9�

)���� � � �����(� ���?������ �� '��"'��� �,'� �"� %"� �� ��������� ��M�� �"� ��� �� "� ����� � �"������� :,�� 248 ���

2E8 " ����

��A� � (

�� �� ��

��� �6�

& �� ���� ���� �� ���) "% :,�� 248 ��� 298� �� �F�����"�� %"� �� �"���� �" � �"�� �� �� )�� �� ��

�A�� � � (

�����

� ���

���

��

�� ���

��

�� �5��

�A�� � � (

�����

� ���

���

��

�� ���

��

�� �5��

:,� 268 �� �� )������")� '��"'��� �,'� �"� %"� �� ������� ��M�� �"�� ��� �� �� ���� �� �� ������� ��""�� ��� ������"� 2(5678� �")����� �� '��"'��� �,'� �"�� %"� �� �"���� �" � �"�� � �""�� ���������"� 2(5678 �" �" �"� ��� �� ��� ��� "� �� ���� ���� ���� "% :,�� 25�8 ��� 25�8� 1� �� "���� ��� '��� �� ���"����� "% �� ��� ��� )�� �"�� ���� ���� �� � �"��"� ��"F��� �"�� ���"�"'��� ��� ��� ��� ��� "�� �� "�� �� %"� �� ������ ���� "% � "��"��� �� � )� � ��� ����� ���� �'"� ������� �� ����'�� �� ������� ���� �� �""�� ��� ������"� ������ %"� �'�� �� ��� �� )��� �� �'�� �� �� ���� �� �� ��� ���� &� ��"� �� � ���� � ��� 2 ##(8 %"� ���� �� ��� " ���"�� �� ��� ��� )��� ���� ��'���������� � �*����� �*�� "� �� �� � ������� ������"'�� 1 ��"'�� ���" �� ��������� �� :,�� 248@25�8��� �" �� ���� ��� �"������� �,'� �"�� " �� ���� ����� �� :,�� 2(�8@2(�8 ��� ��� ����� �� ��"�� %"��'���,'�� �����"��� "% �� ������� ���� �"������

(7# �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 5: Thick Lévy plates re-visited

� �������� ����� ������

?"� ������"* �� ��� �� �,'������'� �,'� �"�� ��� ������� " :,�� 2(�8@2(�8� ��� �� ������"* � �������'� �� � �� ���� "% �� ���������� ��� 2��������� (5668

���� � ��

� �

��

�� �

� �

��

�� �(#��

���� � �� �

� �

��

�� � �

��

�� �(#��

���� � ���(� �� �

����� �(#��

)���� �� �'������ � ���" �� ������"* �� � ,'�� � ���� 0���� �� ��������� ��� �� � ��"� ������ � ��������� "% ��������� ����� � ����� �� ��������� ����� %"���� ��� "�� �� �� ������� %�"� �� �,'������'��,'� �"��� 1� ���) "% :,�� 2(�8� 2(�8 ��� 2(#�8@2(#�8� ���� ����� %"���� ��� �� �F������ �� ��� "% ������'� �"��� ��

��� � ��

���

�� �� � ���

��� �((��

��� � ��

���

�� �� � ���

��� �((��

?�"� :,�� 2(�8� 2((�8 ��� 2((�8� �� )������")� %"'� ��"���� �"������� �,'� �"� "% �� ������"* �� � ��"� ��� �� �� �������� ��

�A� � ��

� � �� � ��� �( �

� ������� ������������ ��� ��� ��� �������������

1 �� "������� �� ���������� "% �� �� � ��"����� �� ��������� �"�� �� ��� "� �� �� � �� �� ������� � ��� �"��� "% �"�� �,'��������� :,�� 248 ��� 2( 8 ���� " �� ������"*@������� ����'� �"��� ���� �"����C

� �� � � �� � �� � �� � �� �� �(7�)���� ���� �� �� � �������"��� %'�� �"� �� �� ��-�� �A� � #�

1� ���) "% :,�� 2E8� 2( 8 ��� 2(78 ��� �"����� �� -��� �F�����"�� "�� ��� "� ��� �� ������"*@���������M�� �"� ���� �"���� ��

� � � � ��

� ����� �� �(A�

)���� ���� �� �� � ����"��� %'�� �"� �� �� ��-�� �� ������ �,'� �"� � � � #� 1� "���� " ���� ��������� �"���� �" � �"�� " �� ������"* ��"��� �� ��*���� ��� �,'� �"�� ����� �� :,� 298 �� -�� �"������� � � �"�' �"� ��� �� �������� �F������ �� ���� ��� ���� � �'�� � ' ��� :,�� 2 �8� 2(78 ��� 2(A8 �� " :,�2A�8� � ��� �� %"'�� ��

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (7(

Page 6: Thick Lévy plates re-visited

�� � � ��

��� ���

�� ��

�� ���

� ���

�� (

����

� �(4��

��� �������� %�"� :,�� 2 �8� 2A�8� 2(78 ��� 2(A8�

�� � � ��

��� ���

�� ��

�� ���

� ���

�� (

����

� �(4��

1 �� " �" � �� "�� ��� ���" �F���� �� ������� �" � �"�� �� � ��� "� -��� ��� �� �����"� N �������� � �"� �� ����� �� �� &����F &� ����� �'�� � ������� � �"� ����� ������ �F�����"��� "�� ���� "�"��� ���� �� � �"������� �,'� �"�� " �� ������ �� ���"��� �� " �� �����

!")� " %'����� �� ������"*@������� � ��������'� �� ���� �"������ "�� ��� ���� �'�� � ' � :,��2(A8@2(4�8 �� " :,�� 2 �8@2 �8 ��� "� ���

���� � ��

�� � ��(� �� ���

���

�� ��

� �

��� ���

�� (

����

�� �� �� �(E��

���� � ��

�� � ��(� �� ���

���

�� ��

� �

��� ���

�� (

����

�� �� �� �(E��

���� � ��

�� � ��(� �� �

�����

� ��� �

��� ���

�� (

�� (

��

��

�� �(E��

��� � ��

� � ���

��� �� � ��(� ��

����

� �(E��

��� � ��

� � ���

��� �� � ��(� ��

����

� �(E��

�� � �� � �� �F�� ������"*@������� ������� ���� �"����� ���� ���� �������� ��� �"� ��� �� �������� � %'�� �"�� �� � ��� � �� �� �� �� �������� '��,'�� %"� �� �� � ���� "% ������� �"'���� ����"����� �"��� �"��� 1� �� ��F ��� �"�� ���� �F�� ������"*@������� ������� ���� �"����� )��� ������������ %"� ��� ���'��� ���� �� ���

� �� !� ����� "��#�������

�"������ �� ��" �"�� ��� �"�"����"'� ��� ���'��� ���� �� � )� � '��%"�� �������� � ���� � ��)�� � 6� �"�'�'� "% ���� ��� �� I"���"�J� �� �" �� ��� ����� �"�'�'� � � �� �(� ��� &�" ��� ����� ���'��� ��� ����� �""����� � �� �� �� ��")� �� ?��� ( )� � � � "����� � �� ������% ���� "% �� �� �� �� ����� � � # ��� � � � ��� ���� �'"� �� )���� �� " ��� )" ����� ��"�� � � � � ��� �� "% ���"����� �"� "% ���� �'"� ��� ������ "� %��� �"��� �"��� ��� %"�� "% �� ��������� �"����� "� ������ �� � �� �� ������ ������ �

���� �� �����(

����� ������� � �(9�

��� �"'���� �"��� �"�� ��"�� �� ����� � � # ��� � � � ��� �� ��������� �"����� �� :,� 2(98 ��� ���� ��-�� � �� ���������� %'�� �"�� "% �� %"��C

(7 �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 7: Thick Lévy plates re-visited

���� �� �����(

�� ��� ���

����

� �(6��

����� �� �����(

������ �"�����

� �(6��

����� �� �����(

������ �������

� �(6��

)������ �� ������"* ���������� %'�� �"� ��� �� ���� ��

���� �� �����(

����� ���

����

� �(5�

1� ���) "% :,�� 2(98@2(58� �� �� ������ �� � %'�� �"�� %"� ���� �� �� ���

���� �� �����(

�� ��

�(� �"������

�� � � ����

����

����

����

� � #��

���� �� �����(

�7� �"������

�� �A� ����

����

����

����

� � #��

���� �� �����(

�4� ���� ��� � �E� �"�� ��� �"����� � � #��

)���� � � ������ � ��� ��� �� � (� � � � � E� ��� �"�� �� � "% �� ���� �"� �� ��� �� �� ������� ������ �� �"'���� �"��� �"�� ��"�� �� ����� � � � � � 0������ ������� ���� �"����� ��� ���" ��%"'�� �� ���� � ��� 2(5558� +���� "� �� ������� �� � ��"�� ���� ��� ���� �"'���� �"��� �"�� �� ��� " �� �� ��-�� ��"�� ���� "% �� )" ������ ����� ��F ��������� �"'���� �"��� �"�� ��� �';���� %"��� �������� ��� �� ��F '���")� �"�� �� �� +��")� ���� �"�� �� � ���� ���� ����'� �� %"� ���� �� �� )� ����� �'"� �� ����� ��"�� � � � � � >�� ��� ��%�� " &����F + %"� �� �"�� �� � "% ���� �� �� )� �" ��� �"����� �"�� "% ���� �"��� �"�� ��"�� � � � � �

?��� (� ���� �� � ��� �� ��� ���'��� �""����� � �� ���

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (77

Page 8: Thick Lévy plates re-visited

7(�( ���� *���� ������

���� �� " ��� )" �� � ����� "% �� ���� �� � ��� ���" ���� �'"� ��� �� �� � ���'��� " � !������� � )� � �� %"��")��� �"'���� �"��� �"�� � �� ����� � � � � C

� � � � #� ���� � ��

�� � #� �� � #� � (����1� ���) "% :,�� 2(A8� 2(4�8� 2(E�8 ��� 2 #�8@2 #�8� � ��� �� ��")� ��

�(� � � � � �7� � �A� � �4� � �E� � #� � ������%"��� %"� ���� �'"� �� ���� �� �� 2"� !����� �� ��8� �� ������� ���� �"����� ��� ����� �

� � � � ��

� ��� � 7��

�� � � ��

��� �� � � ��

��� � 7�� ��

���� � ��

�� � ���� � ��

�� � � 7�� ��

���� � ��

�� � ��� � ��

� � ��� � ��

� � � 7%���1 ��� �� ��")� �� �� ��"�� ��M�� �"� ���� �"����� :,� 2 7�8 �� ���" ����� %"� ���� " ��� ��� ����� ��"����� �"��� �"�� 2���� ��� &�)��� (5548�

K'� " :,� 2 8 )���� �4� � �E� � #� � ��� �� ���'��� �� �� �� ������ �� � %'�� �"� � �� :,� 2 #�8���" ���"��� N��"� ��� ����� :,� 298 ��� �� ���'��� "

���

��� ���

��� � A�

���� ����%"�� ������ �� �� ����"���� ����'���� ������� �"�������� :,�� 25�8 ��� 25�8 �� �� '��"'����,'� �"�� %"� �� �"���� �" � �"�� � �""�� ��� ������"� 2(5678 ��� ����� %"� !����� �� �� "���

$ ��� ��� �� %������� ����� ��������

�" � �'�� � �� ������ �� ������"'� ��"'�� �� �� � �������� �� ����'��� �� �*�� "% �� �������������� ��%"��� �"�� �" � ������� 2(54(8 ��� �������� 2(5AA� (5A4� (5A98 ��� ��������� � �""��� ������ ��%"������ �� � ��"� %"� �������� �"���� �� ���� �� ��� ��� ����������� � ��� ���� �� ����� �"� �� �" � ��"���� ��� ����� ���� ������� �������� )��� �� ������� ����� �"���� �"� %�� "� �� ���� " �� 4<E ��� "% �� ���"��� � ��� "�� ��� �� �� ��������@������� �� � ��"�� �" �� �F �� � �"������������� �� ���� ��" �� "�� "% ���� �� � ��"���� �� ���� �� � ������� ��� � �"���� �����'������� �"�' �"�� ������ �"�� %'������� '���� �� " ��� �� � ��"��

&� �'��� � �� '��%'� " �� ������ �� ����������� �� )��� �" � �� � ��"���� �� ���� "% �� ������"*,'�� � ���� & ��B"� ��� ��� �"� �� )��� �" � ��"���� �� �� �� �������� �� � ��"� �� ������� %�"� ������� �"��� ������� "% �"������ �� � ���� ����� )� � �� ���'� �"� "% ������ ������� � ���� ��� ����' �"� ��� ����"��� ��������� ����� � ���� ��� ���' �"� ��"'�� �� ��������� >� �� " ��� ����� �������%"��'�� �� ��� ��"� � -�� ���'���� � ������ ����� �"� "% ���������� ���"�� �� �� � �������� )�������� ������ �� ��������� ���F �������� "% �� �� � ��������� ��� %"��'�� �"� "% �� �������� �� � ��"� ����� " �� ���������� ����� �"� �" ���������� ����� ������ ���"�� �� �� � �������� ��� ���"

(7A �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 9: Thick Lévy plates re-visited

�� �� � �������� ����� ��%"����� 1 �� "�� ��"'�� �� �� ����� "% �� �� '�� )"�� �"�� � �� � ������ " �� � �,'������ �"��� � "� %"���� �� �������� "� ����� �� )���� �� ������� "� �,'������ ���'��"% ���������� � ���"�� �� �� � ��������� >� �����)��� �� %"��'�� �"� "% �" � �� � ��"����� � �� ����������� �� �� �"���� � ���� �� ��� ���� ���"��� �� �� ������� �� � ��"� �� ""��� " � � �F�� ���� �� �� �������� �� � ��"��

&� ���� ��*������� �� )��� �" � �� � ��"���� ���� ���� �"��"�"�� �� ������� 2I���� (5948� �� '��"�� "% ��� ��� �"� �� " ��� ��� �"���� �� � '��,'� )�� �� ��� � -�� ������� �� ������� ����� �"����� �� )��� �� ������� ��� �������� �� � ,'�� � ��� ��� ��� �� )��� ������"* ��� ���������� � ,'�� � ���� &� ��*������ �� )��� �� �� � ��"���� ��� �� ���� ����� %�"� �� ������� ���� �"�������

!")� �� �������� � ���� ���'� �� � ��� ����� �� %"��")� 2��������� (5A98C

���� � ��

� �

��

�� �

� �

��

�� ��(� ��

��

����

��� �

(� ���

�� ���

��� � 4��

���� � �� �

� �

��

�� � �

��

�� ��(� ��

��

����

��� �

(� ���

�� ���

��� � 4��

���� � ���(� �� �

����� ��(� ��

��

����

��

�� ���

��

� � 4��

(

�� ��(� ��

���

���

� � �����

�� �� � ��(� �� (

��

�� (

��

�����

� � 4��

(

�� ��(� ��

���

���

� � �����

�� �� � ��(� �� (

��

�� (

��

�����

� � 4��

)���� �� �'������ � ���" �� �� �������� �� � ,'�� � ���� ?"� �"�"����"'� �� ��� �� ��� �� ��� ��%"'�� " �� 4���E ��� 4���E�� ����� ���� 2��������� (5A98� 0���� �� �,'������'� �,'� �"�� 2(�8@2(�8 ���"�� " �� �������� �� � ��"�� :,�� 2(�8� 2 4�8 ��� 2 4�8 ��� �� �"������ " �"���� �� %"'� ��"�����"������� �,'� �"� %"� �� �������� �� � ��M�� �"�

��A� � �� �(

��

�� (� �

��

�� �� � E�

?�"� :,�� 2 4�8 ��� 2 4�8� �� ����'� �"��� �� �� �������� �� � ��"� �� ����� �

�� � ��� � � �(

��

��

��

��� � 9�

0'���,'�� �� � �'�� � ' ��� :,� 2 98 �� " :,� 2 E8� �� �������� �"������� �,'� �"� �� ���� "% ������'� �"��� ��� �� �F������ �� %"��")�C

� ��

�� ��(� ��

����� ��� � 6�

/���� :,�� 248 ��� 2 68 ��� ����� "� �� �"��� "% �"�� �,'��������� �� ����'� �"��� ���� �"������ )��� �� ������� ��� �������� �� � ��"���� �� ����� �

�� � �� � ��(� ����

�� �� �� � 5�

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (74

Page 10: Thick Lévy plates re-visited

)���� ���� �� ��� �� �������"��� �"�� �� �� ��-�� �A� � #� ����� )� � �� �'�� � ' �"� "% :,� 2 58�� " :,� 2 98� ��� "�� ��� )� � :,�� 248 ��� 2E8� �� �������@�������� ��M�� �"� ���� �"���� ��� ��%'������� ��

� � � � (

��

�� (� �

��� (

� ��

��� ��� �� �7#�

)���� � � � #� + �"��������� �� ������ ���� "% � !����� �� � )���� �� ����'� �"��� �������� ��"�� �� � ����� ���� �'"� �� �� � ������ �� �� ������ �� � %'�� �"�� � ��� � )��� �������� ��'�� %"� ��"�"����"'� !����� �� �� � ����� �" � "% �� ��-�� �"� "% �� �� �� �������� �� � ��"� ��� � �� ���� � 4�E �� �� ������� �� � ��"�� �� �������@�������� ��M�� �"� ���� �"���� ���'���

� � � � (� ���

��� �7(�

+ �"��������� :,�� 2 7�8� 2 7���8 ��� 27(8� "�� ��� ���" ���'�� �� ������"*@�������� ��M�� �"� ����� �"���� ��

� � � � (

�� �(� �� �

����

���

� ��� �7 �

����� %�"� :,�� 2 7�8� 27(8 ��� 27 8 ��� � ����� �" � "% �� ��-�� �"� "% ��� � ��� �� ���� ������ � �� ���� �� �"���������� ��*������ �� �� ����� �"� "% ��M�� �"� � �" � ����� ��%"������ �� � ��"���� ���"�� �� �� � ���� ����� �'� " �� ��� �� �� �" ���"����

?"� ���� �� �� )� � " ��� �"'���� �"��� �"�� ��"�� � � � � � � �� �"����������� �� �� �� �������� � %'�� �"�� � ��� � �" �" ������� �" ��'���� � �� ��� ��� �"� �� �� �� � �"�' �"�� %'������� � �" ��� � ��"����� �'������� ���'� � "� �� ��������� ��M�� �"� � 0�����" ��� �"������ 2(5E#8 ���� ���� ��'�� �� �� ����� ( ������ �� ����� �"�' �"�� %�"� �� ������"*@������� ��M�� �"� ���� �"���� ��:,�� 2(A8� 2 #�8@2 #�8 ��� 2+�4�8@2+�4%8� ��� �"�� ������ �� � &+&./0&+&./0 2(5598 '���� ������� ����� 2�8�8������ � )� � � � 4�E� ����� ( ����� � �� �"���������"������� ��M�� �"� � ����"�A� %"� �,'���0?0? ���� �� �� %"� ��*���� ���'�� "% ���� '���� '��%"��� ��� ���' �� �"��� �"� )� � � ���� �� #�7�

?�"� ����� (� � ��� �� ���� ������ �� �� �� � ��M�� �"�� ����� �� � 0�����" ��� �"������ 2(5E#8'���� �� �������� �� � ��"� ��� �"���� �� � �")�� ��� �� ����� ������� �� � ���'� �� ��� ���'� ������ �� �� ����� ( ��� ��� �� ��"������ �"��� B'� �-�� �"�� ��") ������ �� ��*������� �� )��� �� )"�� � ��"����� ������ � �� ��"� �� " ��*���� �� � �" � ����� ��%"������ �� � ��"���� ��"��� ��)��� ����� " ���� �� � ��������

����� (

!"���������"������� ��M�� �"� "% 0?0? ���� �� ��

��� & �� ��� �� "% �� �� �� ��� � #� & �� ������� "% �� %��� ����� ��� � �� �0�����" ���

�"������

2(5E#8

&+&./0&+&./0 2(5598� I�����

���'� �

0�����" ���

�"������

2(5E#8

&+&./0&+&./0

2(5598�I�����

���'� �

#�(# #�#(7A( #�#(7AE &�&���$ #�#(449 #�#(4E# &�&��$&

#�(4 #�#(795 #�#(75( &�&��'� #�#(E#5 #�#(E(E &�&�$�$

#� # #�#(A77 #�#(A4A &�&���� #�#(E96 #�#(E5# &�&�$'&

#� 4 #�#(4# #�#(474 &�&���$ #�#(9E #�#(96( &�&�()�

#�7# #�#(46E #�#(E77 &�&�$�� #�#(6EA #�#(665 &�&�))'

�/���� A# A# �8� ����� ������ � ����� "� �� ������� �� � ��"��

(7E �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 11: Thick Lévy plates re-visited

( *�#������ �+�#���� �� !���,������

�� � �� �� ��������� "% �� ������"*@������� ������� ���� �"����� �� :,�� 2(A8@2(98 ��� )� � ���"�� �� � "% �� ���� �"� '��,'�� ��-��� %"� ���� �� �� "% ����"'� �"'���� �"��� �"�� �� :,�� 2 8@2 A8��� 2+�(�@�8@2+�(#%8� �'������� �"�' �"�� ��� �� ������ ��� ������� ������� �� � ���'� � )��� �� %'�������%"� �,'��� ���� �� �� )� � ���� ����� �"'���� �"��� �"��� ����� 0000� 0�0� ��� 0?0? ��� ��������"������� ���'� � %�"� �� �������� ��� '��� %"� �"�����"� 2��� ��� ��� "�� (56#$ ��� � (56 $ ='����� ������� (55 $ K"�� � ���� (557$ K"�� ��� ���F���� �� ?��� ��� (55A8� I�� � �"�' �"�� �"�' �� )� �&+&./0&+&./0 2(5598 '���� ������� ����� 2�8�8 ������ � ��� ���" '��� %"� ������ �"�� ?"� '��%"��� �"������ ��� ����"��� �'���� � �� ��"��� " ���'�� �"��������� ��� � ����� �"�����"�� &��"� � �� ���� " ��#�7 )���� �� ����� �"���� �"� %�� "� � �� 4<E�

��� �"���������"������� ��� ��� ��M�� �"� � ����"�A� "% '��%"��� �"���� �,'��� ���� �� �� )� ����� ����� �"'���� �"��� �"�� ���� � #� � ���� ���� ��'�� �� ��� ����� �� �� ����� � ?�"� ����� �� �� "������� �� �� ����� ���'� � ��") ��� �""� �������� )� � �� ���'� � %'������� � " ��� ������������� �F�� �"�� %�"� ��� 2(56 8� ���� �� ����'�� ��� 2(56 8 '��� � �������"���� �� � ��"� �� ���")� %"� � ,'���� �� ����� �"� "% ��������� ����� � ���� ��� � ������ ��� ���' �"� "% �� ��������� �"����� �����

1� �� �"�����"� "% �� �"���������"������� ��M�� �"�� )� � ����� " ��*���� �� � ����������� �� ��"�' �"�� "% 0?0? ���� �� ��� "� ����� � K"�� � ��� 2(5578 ��� K"�� ��� ���F���� �� ?��� �� 2(55A8 �������� �� ������ �� ����� ���'� � �� ����� 7� &����� � �""� ���� "% �������� ��� �� "������� )� ����'� � %�"� K"�� � ��� 2(5578 ����� �"���� ���� ��"��� " �� ����� �"�' �"���

&�" ��� )� "% �������� �� �"���� ���� "% �� ����� ������"*@������� ������� ���� �"����� �� "�"���� �� � ���� ���'� �� �� ��'�� �'������� �� � �"�' �"�� %"� �� � ���� ���'� �� � ��� %'������� '���� �� ��"�� ���� �"����� "�� ��� )� � �"�� �� ������� � ��� ��� ��� "� 2(56#8 %"� ��*���� �� � ����������� ������ A@E ��") �� ��'�� �� ���'� � %"� �� ������� � ���� ���'� �� � "% 0000�� 0�0�� ���

�����

!"���������"������� ��� ��� ��M�� �"� "% �,'��� ���� ����� ���� �� �� 2��� � #� �� � A#8

0000 0�0� 0?0?

��� 2(56 8 #�##A6## #�## 57# #�#(A7#A

��� ��� ��� "� 2(56#8 #�##A5## #�##7#(E #�#(AA5E

='�� ��� ������ 2(55 8 #�##A5#4 #�##7# ( #�#(A4A

&+&./0&+&./0 2(5598� #�##A5#4 #�##7# ( #�#(A475

I����� ���'� � &&&�'&� &&&�&�� &&����'

�/���� A# A# �8� ����� ������ � ����� "� �� ������� �� � ��"��

����� 7

!"���������"������� ��M�� �"� "% �,'��� 0?0? ���� �� �� )� � ��*���� ���������� 2� � A#8

��� & ��� �� "% �� � & ������� "% %��� ����

K"�� � ���

2(5578

K"�� ���

���F���� �� ?��� ��

2(55A8

I����� ���'� � K"�� � ���

2(5578

K"�� ���

���F���� �� ?��� ��

2(55A8

I����� ���'� �

#�(# #�#(7AE #�#(7A# &�&���$ #�#(4E #�#(4A5 &�&��$&

#�(4 #�#(75( #�#(764 &�&��'� #�#(E(9 #�#(E#9 &�&�$�$

#� # #�#(A4A #�#(AA6 &�&���� #�#(E5# #�#(E95 &�&�$'&

#� 4 #�#(474 #�#(4 6 &�&���� #�#(96( #�#(99( &�&�()�

#�7# #�#(E77 #�#(E 9 &�&�$�� #�#(65# #�#(695 &�&�))'

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (79

Page 12: Thick Lévy plates re-visited

0?0?����� �� �� "% ��*���� �� � ����������� ����� ����� ��� �'���� "% ����"���� '��� %"� ������ ��� �� ����� ���'� � '���� �� ������� ���� �"����� �� A#�

) -����� ��� ��#��.�

I����� �� ������ ��� �� �F�� ������"*@������� ������� ���� �"����� �����"�� )� � �� �"��� "%�"�� �,'��������� ����� ������� ���� �"����� �"� ��� ������� �� ������ �� � %'�� �"�� �� ��� �� ����� " �� �� � ���� "% ���� ��� �"'���� ��� �"����� �"��� �"��� >��� ����������� ���� ������� ����� �"����� ��� �� '��� " %'����� �F�� ������� �� � ���'� � '"� �'���� �� )���� ��������� �"�����"����� ������"* �� � �"�' �"��� 1� ��� � '�� ���� ������"*@������� ������� ���� �"����� ���� �������������� %"� ���� �� �� )� � ��*���� �"'���� �"��� �"��� ��� �'������� �� � ���'� � ������ �� '���� ���� ���� �"����� ��") ��� �""� �"����"������ )� � " ��� �"�' �"�� %�"� �� ��������� ?�"� �������� �"�� � )�� ����"����� �� �� ���� ���� ������� ���'� � %"� ���� �� �� � �""�� ��� ������"�

����� 4

!"���������"������� � ���� ���'� �� � "% �,'��� 0�0� ���� �� �� )� � ��*���� ����������

I"��

2���� ���80 ���� ���'��

�� �

������"*

�� � �"�'�

�"�

��� � #�# ��� � #�( ��� � #�

��� ���

��� "� 2(56#8

I�����

���'� �

��� ���

��� "� 2(56#8

I�����

���'� �

��� ��� ����

"� 2(56#8

I�����

���'� �

2#�4� #8 ������"� � #�# AA #�# AA &�&��� #�# 46 &�&��) #�# 5 &�&�'�

2#�4� #8 ������"� � #�#77 #�#77 &�&��� #�#77 &�&��� #�#77# &�&���

2#�4� #�48 ������"� � #�#E56 #�#E59 &�&$') #�#E95 &�&$)& #�#E E &�&$�(

2(�#� #8 �����"�� #� 75 #� 75 &���& #� A7 &���� #� 4( &����

2#�4� #�48 �����"�� #�4(E #�4(7 &���� #�4## &��&& #�A94 &��(�

����� A

!"���������"������� � ���� ���'� �� � "% �,'��� 0000 ���� �� �� )� � ��*���� ����������

I"�� 2���� ���8 0 ���� ���'� �� � ������"* �� � �"�' �"� ��� � #�#(�#�

��� ��� ��� "� 2(56#8 I����� ���'� �

2#�4� #8 ������"� � #�#A95 #�#A95 &�&�('

2#�4� #8 ������"� � #�#A95 #�#A96 &�&�('

2(�#� #�48 ������"� � #�#7 4 #�#7 A &�&���

2(�#� #8 �����"�� #�777 #�77 &����

2#�4� #�48 �����"�� #�776 #�779 &���)

����� E

!"���������"������� � ���� ���'� �� � "% �,'��� 0?0? ���� �� �� )� � ��*���� ����������

I"��

2���� ���80 ���� ���'��

�� �

������"*

�� � �"�'�

�"�

��� � #�# ��� � #�( ��� � #�

��� ���

��� "� 2(56#8

I�����

���'� �

��� ���

��� "� 2(56#8

I�����

���'� �

��� ���

��� "� 2(56#8

I�����

���'� �

2#�4� #8 ������"� � #�( 7 #�( &���� #�( &���� #�( 7 &����

2#�4� #8 ������"� � #�# 9( #�# E6 &�&�$) #�# 4E &�&��$ #�# 79 &�&��(

2(�#� #8 �����"�� #�AEA #�AE7 &��$� #�AE# &��$& #�A4E &���(

(76 �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 13: Thick Lévy plates re-visited

2(5678 ��� ���"��"'�� ����� ���"�� ���� ���� �� �������� �� ��� � '� ��� ��� ����� " ������� ���� �� ��'��"'��� �"������� �,'� �"�� %"� �� �"���� �" � �"���

&��" �������� �� �� ��� � '� ��� �� ��*������� �� )��� �� �������� ��� ������� �� � ��"���� �� ���� "% �� �"����"����� ������"* ,'�� � ���� ��� �"� ��"� �� ��*������ �� �� �� �������� �� � ��"� ���")� %"� ��������� �F �������� )���� �� ������� �� � ��"� �"�� �" � ���� ��*������ ��� ��,'�� �-�� �F���� � %"� !����� �� ���

����� �+ �

>�� ��� ��)�� �F���� �� ��� �� �� � ��� "� -��� � � �� �� # �� 0���� � �'� �� �"� ��'"'����*���� ������ � ��� �� ������� �� �� �� �'� "% �� ���" � �"��� ��� "� -��� )���� �� �� ������� "% � ������" �� ��� 9 ��� � �"���"���� ��� "� -��� )���� �� �� �'�� "% �� ��� "� " �� ��� / � �( � �7 �2�������� (5E58

� � ��

����

/� �&�(�)���� �

�� �� ��� ��*���� ��� "��� "�� ��� ������ " �� ��� 9 ��� ��� "� " �� ��� / �'� �� ��% ��%"��")��� �"��� �"��C

��

���

�� � &� �&� ��

��

� ���

/� � #� �&� ��

��

� / � #� �&� ����� )� "% �F������� � �� ��")� �� :,� 2&�(8 �� �"��"�� ��")� �� �� �����"� N ������� � �"�� !" � �� :,� 2&� �8 �� �� ���� �"��� ��,'������ ��"��� "� / " %����� � � �'���,'�� �����-�� �"�$ �'�� ����"�� �"� ���� � �� ��"��� "% /� ?"� �� �"���� �"�������� "�� ��� %'� ��� ���'�� �� �� " �� ���� 9��� / " �� ��������� "% : ��� ��� ����� " �� ;��"�"��� "% �� �"�'�� ��� "� ��

/� �� :,� 2&�(8 " �� N��"�

������ �� �'�� "% :,� 2&�(8 ��� %�"� :,�� 2&� �8 ��� 2&� �8� "�� "� ����

���

��� ���

��� � �7� �&�7�

)���� �� ���������� "% :,� 2&�(8 ����� �� %"��")���C

���

��� ���

��� � �� �&�A�

������ " �����% �'���,'�� ��������� ����'�� �"�� "�� �� )�� " ' �� " �� ��� 9 �� ���� "% ��������"* ��������� ��M�� �"� � ��

� � �� � ��� �&�4�0'�� � ' ��� :,� 2&�E8 �� " :,� 248 ������� �� �������"��� �� '�� "% ��

�A �� � #� �&�E�!") %�"� :,�� 2&�(8 ��� 2&�48� �� ������� �" � �"�� ��� �� ���)�� �� ��

����� �� � � ��

��� � ��

��� ��7

��� �&�9��

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (75

Page 14: Thick Lévy plates re-visited

����� �� � � ��

��� � ��

��� ��7

��� �&�9��

�" �� ������ �� ��� �7� "�� ��� �"���� :,�� 2&�9�8 ��� 2&�9�8 " �� �" � �"�@��"� ���� �"����� ����� ��:,�� 2(4�8 ��� 2(4�8 ��� "� ���

�� � �� ��

�� �� � ���� �&�6��

�7 � (

� ��� �&�6��

1 �� ����� �� �� �F�����"� %"� �� ����� �� :,� 2&�6�8 �� ��-�� �� �"��� �"� �� � � �� �� :,� 2&�E8� ����� �� ���'� "% �( ��� � �� �" �"�� �� �� ��"�� ������ �"�� �� ��� �� ���� " �� N��" " ���'�� ����������� "% :,� 2&� �8� )� �"' �� �"�� "% �������� � �� � �� ��� �7 �") ����� �� ��������� "�� ����"���� " ������ �� ������� ���� �"����� �� ����� �� �� :,�� 2(78@2(E�8�

����� �+ /

��� �"�� �� � "% �� ���� �"� %"� �� �� )� � ����� "% ����"'� �"'���� �"��� �"�� ��� ����� �� ���")�!" � �� ���� �"�� �� � ��� ����� %"� �� �� "% �"������ )�"�� ���� �� " �� �� ���� %"� ��� ��� �"�� �� ��� ������� " �� )" ���� �'"� �� ������

<(�( �$�$ *�=�� ������

?"� �� ������ ����� � � � � � � �� �"'���� �"��� �"�� ���

� � � � #� �� ���

��� #� �� � #� �+�(����

��� �'�� � ' �"� "% �� �"'���� �"��� �"�� :,�� 2+�(�@�8 �� " :,�� 2(A8@2(4�8 ��� 2 #�8@2 #�8 �����

�(� ���� �" � ��

� ���� � � ��

���"�� �

� �����

�� �� ����

�� � �"�� �

� �

� �� � (

���

� � �"�� ��

� ���� � � �

A�� ������ � ���� �

� � � �+� ��

� � ���� ��� ��

� �"�� � � ��

������ �

� �����

�� �� �"��

�� � ���� �

� �

� �� � (

���

� � ���� ��

� �"�� � � �

A�� ������ � �"�� �

� � � �+� ��

�7� � � A��

����� �

� � � ��� ����

�� �

� �+� ��

�A� � � A��

�" ��� �

�(� � ��� ����

�� �

� �+� ��

�4� � �

(� �����

� �����

�"���� �

� �

�� � ��

����

�� �+� ��

�E� � �

(� �����

� �����

������ �

�(�

�� � ��

����

�� �+� %�

(A# �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 15: Thick Lévy plates re-visited

)����

��� � ��

� � � � ���� �� � �

� ��� ��

� � ��� � � � ���

��� � � � ��

� �+�7�� ��

<(!( �>�> *�=�� ������

�"������ �� ���� �� � )���� �� ����� � � � � � ��� %���� ��� �"'���� �"��� �"�� "% ���� ��������

���� � ��

�� � #� ��� � � �

� � #� ���� � #� �+�A����

)���� � �� � ��

� � �������� �� �� ������"* �*�� ��� ����� %"����

1� ���) "% :,�� 2(E�8� 2(E�8� 2(E�8� 2 #�8@2 #�8 ��� 2+�A�@�8� �� �"�� �� � ��� %"'�� " ��

�(� ���� ��� ��

� � ��� � ���� � �

�� � � ���

� � ��� ��

� �7��

(��� � � ���

� �� ��

� ���� ��

� � � ���

��

� �� �"���� � ��� �

� ��

A� ���� �� �

� � � �+�4��

� � ���� �" � ��

� � ��� � �" �� � �

�� � � ���

� � �" � ��

� �7��

(��� � � ���

� �� ��

� �"�� ��

� � � ���

��

� �� ������ � �" � �

� ��

A� ���� �� �

� � � �+�4��

�7� � ���

�� ���

� ��

� � �

�� ��

� � �� ���

� � ����

�� �

� ���

� � A�" �

�� �

� ���

� � (� � (� �� �

�� �

� ��������

� � ����

�� �

�" ��

� (

(� ����

� � �� �� ��

� � A��

����� �

� ����

� ��

� �� ���

�� �

�" ��

�� �� �+�4��

�A� � ���

�� ���

� ��

� � �

�� ��

� � �� ���

� � ����

�� �

� ���

� � A ���

�� �

� ���

� � (� � (� �� �

��(�

� ��������

� � ����

�� �

����

� (

(� ����

� � �� �� ��

� � A��

�" ��� �

� ����

� ��

� ���" �

�� �

����

��(�� �+�4��

�4� � �

(� �����

������ �

� �

�� ���

� ���

� ����

�� �+�4��

�E� � �

(� �����

�"���� �

�(�

�� ���

� ���

� ����

�� �+�4%�

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (A(

Page 16: Thick Lévy plates re-visited

)����

��� � ������ � � ���

����� � � ��(� �� � ��� � ��

���� � � �������� � �

��(� �� � �+�E�� ��

��� � ����� � � � ��

���� � � � ��

� ��� � ����� � � � ��

���� � � � ��

� �+�E�� ��

<(.( ���$ *�=�� ������

!�F � �"������ �� ���� �� � )���� �� ����� � � � #� � � � ��� � � � � ��� ���� �'"� �� )���� �� ���� � � � � �� ������� ��� �"'���� �"��� �"�� ���

���� � ��

�� � #� � � � � #� �� � # %"� ���� �'"� �� ���� � � � � �+�9�������

� � � � #� �� ���

��� #� �� � # %"� ������ ���� � � � � �+�9��%�

1� ���) "% :,�� 2(A8@2(4�8� 2(E�8� 2 #�8@2 #�8� 2+�9�@�8 ��� 2+�9�@%8� "�� "� ����

�(� �����

��� ��� �

� ��

� �" � �

�� ��� ��� ��

� � ��� �" � ��

�� �� ����

�� � � �

� �� � (

���

� � �"�� ��

� ���� �� � � �

A�� �"�� �� � ���� ��

� � ����7 �� � ���� ��

� �� ����

�� �� ����

�� � �" � �

� � �

�+�6��

� � � �(� ����� �

� �+�6��

�7� � ���� ���� ���� "% :,� �+� ��� �+�6��

�A� � ���� ���� ���� "% :,� �+� ��� �+�6��

�4� � ���� ���� ���� "% :,� �+� ��� �+�6��

�E� � ���� ���� ���� "% :,� �+� %�� �+�6%�)���� ��

� ��� ��� ���� �� ���� �������� �� �� :,� 2+�7���8

<(3( ���> *�=�� ������

?������ �"������ �� ���� �� � )� � �� ����� � � � #� � � � ��� � � � � ���� �'"� �� ��� )� � �� ���� � � � � %���� ��� �"'���� �"��� �"�� ��� ����� �

���� � ��

�� � #� � � � � #� �� � # %"� ���� �'"� �� ���� � � � � �+�5�������

���� � ��

�� � #� ��� � � �

� � #� ���� � # %"� %��� ���� � � � � �+�5��%�

1� ���) "% :,�� 2(A8� 2(4�8� 2(E�8� 2(E�8� 2(E�8� 2 #�8@2 #�8� 2+�5�@�8 ��� 2+�5�@%8� �� �"�� �� � ��� %"'�� " ��

(A �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33

Page 17: Thick Lévy plates re-visited

�(� � #� �+�(#��

� � � #� �+�(#��

�7� � �����

� � ����� � � � ��

������ �

��� � � �+�(#��

�A� � �7� �" ��� �

� �+�(#��

�4� � �

(� ����

� ������ � ��

�����

����� � �+�(#��

�E� � �4� �" ��

� �+�(#%�

%�"�������

&+&./0&+&./0<0 ������ /���J� ���'�� �����"� 4�9� (559� L"��� (@7� ����� � ������"� ��� 0"������� 1���

+������ I���� ����� O�� (56A� .'������ ���� �� � ������� ������ � )� � ����� ��%"��� �"��� �"�' ��� ��� 0 �'� '��� (5� 4@7A�

�""��� K���� ������"�� ��� (567� ����� ��� ���'��� �� ���11� �� ����������� ���� �"�' �"�� 1� ���� �"��� 3"'���� "% ����������

0������� 4� #9@ (4�

K"��� =�?�� ���F���� �� ?��� ��� 3�&�� (55A� & ,'������ ���� ����� � ���� ������ %"� ������� �� �� ����� "� ���"�� ����

���������� �� 1� ���� �"��� 3"'���� %"� !'������� �� �"�� �� :���������� 79� 95@ 5E�

K"��� =�?�� �'� ����� ���F���� �� ?��� ��� 3�&�� (557� ��� ����� � ���� �"��� %"� �������@�������� �� �� ����� "� � � ����

" ���N� �"� �"��� �"�� �"�' ��� ��� 0 �'� '��� AE� 699@659�

��� "�� :�� �'���� ����� (56E� 0���� %"���� ��� )�� ��� �"��� � �� �� �� '���� ������� ������ �� :���������� �"�' � �"� 7� ( 5@

(A �

�'���� ����� ��� "�� :�� (56A� & ���� �"�� ���������� ������� �� � ������ )� � �������� ����� �� ��"�� �"�� :����������

�"�' � �"� (� 7E5@795�

��� � ��� (56 � !'������� ������� "% ���� �� ��� �"�' �� �� �"�� �� &���� ��������� ��� :���������� 7(� (@(6�

��� � ��� ��� "�� :�� (56#� !'������� ������� "% ��� ���'��� ������� �� �� � ������ � �"� �� �"�� ����� :���������� K��� ��� �

��"� C �<�<7E4<6#� /������� "% ������ 0)������

������"�� ��� (56#� &� ���'�� � ����� ��"� "% �� � � ��� ��� ������ "% ���� �� �� ��� ��������� �������� �"��'���� �"�� 9�

7A7@74#�

��'� ?���� ���)� ����� (556� 0 � �� ������� "% ��������@������� �� �� � ��*���� ��� ,'���� '�� ������ �� �"�� ������� �"�� "% ��

&0�:� 3"'���� "% &���� ��������� E4� 9#4@9(#�

�"� ����� ����� ������ ����� �'� :���� (599� & �������"���� ��"� "% �� � ��%"��� �"�� I�� (C �"�"����"'� �� ��� ������� �"��

"% �� &0�:� 3"'���� "% &���� ��������� AA� EE7@EE6�

�������� ��:�� (5E5� 1�C 1� �"�'� �"� " �� ��������� "% � �"� ��'"'� ����'�� I��� ��������� :����)""� ���*�� !3� � 4A6@44#�

����-���� :���� (565� 1�C ��� +������ ��� 0 �� ����� "% I�� ��� ���"�� ��� ��������� /������� I����� ���������� � 79@A#�

�������� ��K�� (54(� 1�M'���� "% �" �� ���� �� ��� ����� "� M�F'��� �" �"�� "% ��" �"��� ���� �� �� ��� ������� �"�� "% �� &0�:�

3"'���� "% &���� ��������� (6� (#7(@(#7E�

!���"�� ��+�� �"���� K���� (59A� & ��-��� ��"� %"� ������ �� "� �" �"�� �� ��� ������� �"�� "% �� &0�:� 3"'���� "% &����

��������� A(� (99@(67�

I���� L�� (594� 1�C ���"���� "% :��� �� I�� ��� !""���"* 1� ���� �"��� I'��������� ������ � 7A@A(�

I� �"�� "� 3�� (55#� :F�� -�� � � �� ������� "% ���� �� ��� 1�C ��� �)��% � &'� �������� �"�%������ "� �� ��������� "% 0 �'� '���

��� �� ������� � 7(@ 7E�

����� 3�!�� (56A� & ����� �������"���� ��"� %"� ������ �� �"�"�� � �� ��� ������� �"�� "% �� &0�:� 3"'���� "% &����

��������� 4(� 9A4@94 �

����� 3�!�� (555� ���"� ��� &������ "% :��� �� I�� ��� ���"� P ?������� I�����������

����� 3�!�� ����� ����� ���� ����� !�� ����� ##(� +������ �"�' �"�� "% �� ������"� ����� ��� �� �� �� ���� "% �� ���������

��"����� 1� ���� �"��� 3"'���� "% 0"���� ��� 0 �'� '��� 76 2 E@ 98� A9#(@A9 #�

�()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33 (A7

Page 18: Thick Lévy plates re-visited

��������� ��� (566� :��� �� I�� ��C ���"� ��� &���� �"�� ����� !�) ="���

��������� :�� (5AA� >� �� ��"� "% ������� "% ���� �� �� ��� 3"'���� "% �� ���� ��� ��� I����� 7� (6A@(5(�

��������� :�� (5A4� ��� �*�� "% ��������� ����� ��%"��� �"� "� �� ������� "% ���� �� �� ��� ������� �"�� "% �� &0�:� 3"'���� "%

&���� ��������� ( � &E5@&99�

��������� :�� (5A9� >� ������� "% ���� �� �� ��� .'�� ��� "% &���� �� ���� ��� 4� 44@E6�

��������� :�� (594� >� ��������� ������� "% �� �� ����'���� �� �*�� "% ��������� ����� ��%"��� �"�� 1� ���� �"��� 3"'���� "% 0"����

��� 0 �'� '��� ((� 4E5@497�

0�����"� L���� �"������� ��&�� (5E#� :*�� "% ����� ��%"��� �"�� "� �� ������� "% ��� ���'��� �� ��� 3"'���� "% &���� ���������

9� 4A@46�

���"�����"� 0�I�� �"��")����������� 0�� (545� ���"� "% I�� �� ��� 0������ �����) ����� !�) ="���

����� ����� (559� ���� �"����� �� )��� ������� ��� ������"* ������� �"�' �"�� %"� ����� ����'��� ��� ���'��� �� ���

:���������� 0 �'� '��� (5� 44@ 46�

����� ����� &�)��� ��&���� (554� 0��� �'"� �� ������� �� � ��M�� �"�� '���� ������"* �� ��� 3"'���� "% :����������

���������� &0�: ( (� (767@(764�

����� ����� ���� ����� (55E� K�M�� �"� ��� � ��������'� �� � "% �F����� ��� ������� �� �� �� ���� "% ������"* �"�' �"���

1� ���� �"��� 3"'���� "% ���������� 0������� 76� ((95@((64�

����� ����� ���� ����� (555� +������ �"�' �"�� "% ��� "���� ������� �� �� %�"� ������"* �� ��� 3"'���� "% :���������� ����������

&0�: ( E 2A8� 7E9@79 �

����� ����� ���� ����� ���� ����� (555� ���� �"����� �� )��� ������"* ��� ������� ������� �"�' �"�� %"� ���� �� ��� 3"'���� "%

&���� ��������� EE� 4A(@4A4�

='��� ?���� ������� ��:�� (55 � 1��"��� ��� ���'��� ������ %"� ����� ��%"������ �� ��� 3"'���� "% :���������� ���������� &0�:

((6� 7( @7 6�

(AA �()( *�� �� ��( + ,����������� -����� ����� ��� ���������� . /!##!0 �!12�33