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République Algérienne Démocratique Et Populaire Ministère de l'enseignement supérieur de la recherche scientifique Université DR Moulay Tahar de Saida Faculté de technologie
Département : Génie civil et hydraulique
Spécialité : Master 2 structure
Mémoire pour l’obtention du diplôme de Master LMD en génie civil
Thème :
Présenté par : Sous la direction de :
Mlle.Rihi Wafaa -Dr Rabhi Mohamed
Mlle.Zaoui Khadouma Sara
Président du jury : M.Benlekhal N
Examinateur : M.Yeghnem R.
Année universitaire 2019/2020
Étude d’une tour à usage
multiple (RDC+12 étages) situé
dans la zone III
Remerciements
Avant tout nous remercions الله le tout puissant, de nous avoir guidé tout au long
de nos années d’études, ensuite l’aide et le support de plusieurs personnes, on
tient donc à témoigner notre reconnaissance aux personnes qui nous ont aidé de
loin ou de près afin de réaliser ce travail.
Nous tenons d’abord à remercier très chaleureusement notre encadreur
Dr.RABHI. Mohamed. Pour son aide, ses conseils, son encouragement et ses
critiques constructives, en saluant en lui son savoir faire, sa compétence et ses
connaissances dont il nous a fait profiter.
A notre président DR BENLAKHAL.N, nous vous remercions pour l’honneur
que vous nous faites en acceptant de présider le jury de notre travail. Recevez
cher maitre, l’expression de notre profonde reconnaissance et de notre estime.
On remercie Dr YEGHNEM.R, d’avoir accepté d’examiner notre travail. On est
très heureuses de vous voir participer à notre jury.
Et aux respectueux enseignants du département de génie civil en particulier les
enseignants de la spécialité structure, et a tous les étudiants et étudiantes de notre
promotion. Enfin, à toutes les personnes qui nous ont aidés à achever ce modeste
travail.
Dédicace
Après une grande vénération, soumission et obéissance a dieu tout puissant qui
nous a tous donné. Je dédie ce modeste travail :
A mon père pour son soutien et ses sacrifices durant toute ma vie et son souhait
de me voir réussir dans mes études.
A ma très chère mère pour l’appui moral et affectif
A mes sœurs, mes oncles et mes tantes
A toute ma famille (Benouis et Zaoui)
A mes chers amis(es).
A ma chère amie et binôme Rihi Wafaa qui a eu la patience de me supporter
durant la réalisation de ce mémoire, et qui ma soutenue et encouragée durant
tous les moments difficiles vécus.
A tous mes enseignants pour leurs orientations et leurs assistantes pour avoir le
maximum d’informations relatives a notre projet.
A mon encadreur DR.Rabhi Mohamed que je n’oublierai jamais ses bons
précieux conseils et ses importantes orientations.
Zaoui khadouma sara
Dédicace Je remercie Allah le tout puissant qui grâce à lui m’as fait trébucher pour me
permettre d’arriver à élaborer la présente thèse que je dédie à :
-A mes parents grâce à eux j’ai pu étudier. Et qui m’ont soutenu tout au long mon
cursus .En guise de reconnaissance, trouve ici mon amour filial.
Les inestimables sacrifices que vous m’avez consentis, vous avez tant souhaités
que je parvienne à ce but.
Je vous serrai reconnaissante toute ma vie, Qu’Allah vous accorde longue vie et
bonne santé.ma réussite et la votre.
-A mes sœurs votre présence à mes cotés m’a toujours donné l’impression d’être
proche de toute l’affection que j’ai pour vous. Je vous aime.
-A mon binôme ma confidente : Mlle Zaoui Sara conserve-moi ta profonde
amitié et ton immense amour et sois convaincue qu’il en est de même pour moi.
-A mes tantes et oncles (Kechra et Rihi).
-A tous ceux qui m’ont dispensé le savoir, A tous ceux qui ont participé de prés
ou de loin à l’élaboration de ce travail. A toutes les personnes participées
activement.
-A tous ceux qui me sont chers et que j’ai omis de citer.
Rihi Wafaa
ملخص :
طابقاً، للاستخدام السكني الواقع 12سمح لنا هذا المشروع بمعرفة إدراك وتصميم هيكل ذات طابق أرضي بالإضافة إلى
تمكنا من تحديد منطقة الجزائر القانون الواقي للزلازل في الجزائر هادئ وآمن، بموجب حي في الجزائر العاصمة في
العاصمة التي تعتبر المنطقة الثالثة.
للبناية العناصر المقاومة كل وتسليح الأبعاد تحديديتم ضمان استقرار الهيكل من خلال الأعمدة والعارضات والجدران،
(. وقد تم دراسة وتحليل هذا المشروع CBA93 BAEL 91) الجزائر في بها المعمول القوانين و المعايير طبق صمم
.(AutoCad 2014)تمت ترجمتها على مخطط تنفيذي باستخدام برمجة ( .Robot 2014)بواسطة برنامج
. الأعمدة والعارضات ,لجدران: البناء ، االكلمات المفتاحية
Abstract:
The objective of this work is the study and design of a multiple-use building (basment+ 12
floors) located in Algiers, classified as a zone of high seismicity zone (III). The resistance of
the structure to horizontal and vertical loads is ensured by a mixed bracing system (portal
frames / walls).
The sizing and calculation of all the resistant elements have been established in accordance
with the regulations in force (CBA93, BAEL91 / 99 and RPA99 version).
2003), the dynamic study was conducted using the numerical method based on finite elements
with software (ROBOT 2014). This study was translated into execution plans (formwork and
reinforcement) by AutoCAD 2014 software.
Keywords: Building, walls, gantries, bracing system, dynamic study.
Résumé :
L’objectif de ce travail est l’étude et la conception d’un bâtiment à usage multiple (RDC + 12
étages) implantée à Alger, classée comme une zone de sismicité élevée zone(III). La
résistance de la structure aux charges horizontales et verticales est assurée par un système de
contreventement mixte (portiques/voiles).
Le dimensionnement et le calcul de tous les éléments résistants ont été établis conformément
aux règlements en vigueur (CBA93, BAEL91/99 et RPA99 version 2003).
L’étude dynamique a été menée suivant la méthode numérique basée sur les éléments finis
avec le logiciel (ROBOT 2014). Cette étude a été traduite en plans d’exécution (coffrage et
ferraillage) par le logiciel AutoCAD 2014.
Mots clés : Bâtiment, voiles, portiques, système de contreventements, étude dynamique.
SOMMAIRE
Résumé
Introduction général
Chapitre I : Présentation du projet
I-1- Introduction…………………………………………………………………….01
I-2- Présentation de l’ouvrage……………………………………………………….01
I-3- Caractéristiques géométrique du projet………………………………………....01
I.4- Caractéristiques géométrique du sol…………………………………………....01
I-5- Règlement utilisés......................................................................................... .......01
I.6- Conception de la structure……………………………………………………...02
I.7- Méthode de coffrage………………………………………………………........03
I.8- Caractéristiques des matériaux…………………………………………….........03
I.8.1- Béton………………………………………………………………...…...03
I.8.2- Acier……………………………………………………………………...04
I.9- Les actions et sollicitations.........................................................................….......07
I.9.1- Les actions………………………………………………………………...07
I.9.1- Les sollicitations de calcul………………………………………………….....09
Chapitre II : Pré dimensionnement des éléments structuraux
II.1- Introduction……………………………………………………………………10
II.2- Pré dimensionnement et descente des charges………………………………...10
II.2.1- Pré dimensionnement des planchers……………………………………........10
II.2.1.1- Plancher à corps creux………………………………………………..10
II.3- Évaluation des charges et surcharges……………………………………..........12
II.3.1- Les charges permanentes ………………………………………………13
II.3.2- Les charge d’exploitation……………………………………………...15
II.4- Pré dimensionnement des poutres ……………...……………………………..15
II.4.1- Poutres principale………………………………………………………...16
II.4.2- Poutres secondaires………………………………………………………17
II.5- Pré dimensionnement des poteaux……………………………...……………..18
II.5.1- Loi de dégression………………………………………………………19
II.5.2- Exemple de calcul………………………………………………………22
II.6- Les voile de contreventements………………………………………………....27
Chapitre III : Etude des planchers
III.1- Introduction…………………………………………………………………...29
III.2- Calcul des planchers à corps creux…………………………………………....29
III.2.1- Pré dimensionnement des poutrelles…………………………………...29
III.2.2- Ferraillage des poutrelles……………………………………………....32
III.2.4- Ferraillage de la dalle de compression……………………………….. 59
Chapitre IV : Etude des éléments secondaire
IV.1- Introduction………………………………………………………………….61
IV.2- Étude de l’acrotère……………………………………………………….......61
IV.2.1- Définitions……………………………………………………………61
IV.2.2- Evaluation des charges……………………………………………….61
IV.2.3- Calcul des sollicitations………………………………………….........62
IV.2.4- Calcul de l’excentricité……………………………………………......62
IV.2.5- Calcul des armatures……………………………………………..……63
IV.2.6- Vérification de l’effort tranchant……………………………………..………64
IV-3- Étude de balcon……………………………………….………………..65
IV.3.1- Le pré dimensionnement………………………………………...65
IV.3.2-Evaluation des charges…………………………………………………66
IV.3.3 Calcul des sollicitations……………………………………….....67
IV.3.4- Calcul de ferraillage ...........................................................….....68
IV.3.5- Vérifications …………………………………………………………..69
IV.3.6-Calcul de longueur de contre poids………………………………….…70
IV.3.7- Calcul des sollicitations………………………………………………..70
IV.3.8 Calcul de ferraillage …………………………………………………....71
IV.3.9 Vérification……………………………………………………………..72
IV.4-Etude d’escalier……………………………………………………………...75
IV.4.1-Dimensionnement des marches et contres marches……………..75
IV.4.2-Descente des charges…………………………………………………...77
IV.4.3-Ferraillage de l’escalier……………………………………….......78
IV.4.4 Etude de l’ascenseur…………………………………………………..…..86
IV.4.1 Introduction…………………………………………………………..…..86
IV.4.2 Principe………………………………………………………………..….86
IV.4.3 Caractéristiques de l’ascenseur…………………………………………...88
IV.4.6 Combinaison fondamentale……………………………………………....93
IV.4.7 Etude du plancher……………………………………………………...…93
Chapitre V : Etude sismique
V.1-Introduction …………………………………………………………………..107
V.2- L’objectif de l’étude dynamique…………………………..………………….107
V.3-Définition de logiciel Autodesk robot Structural Analyse…………………….107
V.4-Les étapes de modélisation…………………………………………….............107
V.5-Choix de la méthode de calcul………………………………….......................108
V.6-CALCUL DE LA FORCE SISMIQUE TOTALE …………………...............111
V.7 Les résultats de l’analyse dynamique………………………….........................114
V-8 Analyse des résultats…………………………………………………………..118
V.8.1 Vérifications de la résultante des forces sismique …………......................118
V.8.2-Vérification de la période : [RPA99version 2003/4.2.4.4] .…………….…119
V-8-3.Vérification de l’effort normal réduit ………………………………….….119
V.8.4.Vérification de déplacement …………………………………………….…120
V.8.5.Vérification de l’effet P-Delta…………………………………....................121
V.8.6.Vérification de renversement……………………………………………..…125
Chapitre VI : Étude des portiques
VI.1-Introduction…………………………………………………………………....127
VI.2-Définitions……………………………………………………………………..127
VI.3 : Ferraillage des poutres………………………………………………………..128
VI.3-1: Calcul des sollicitations…………………………………………………....130
VI.3-2 : Exemple de calcul…………………………………………………………131
VI.4 Étude des poteaux ………………………………………………..........138
VI.4.1 recommandations du RPA99 (article 7.4.2.1) ……………………………..139
VI.4.2 Exemple de calcul ……………………………………………....................142
VI.4.3 Ferraillage longitudinal …………………………………………………....142
VI-4-4 Ferraillage transversal ………………………………………………….….147
VI.5 ETUDE DES VOILES DE CONTREVENTEMENT ………………………..150
VI.5.1 Introduction ………………………………………………………………..150
VI.5.2 Combinaison d’action …………………………………………………..….150
VI.5.3 Ferraillage des trumeaux ……………………………………………..........151
VI.5.4 Calcul du Ferraillage……………………………………………………....153
Chapitre VII : Etude de l’infrastructure
VII.1 Introduction…………………………………………………………….........158
VII.2 Choix de type de fondation ………………………………………………....158
VII.3 Etude du radier général ……………………………………………………...160
VII.3.1 Le pré dimensionnement…………………………………………………..161
VII.3.3 Calcul de l’épaisseur du radier …………………………………………...162
VII.3.4 Détermination de la hauteur de poutre de libage …………………………162
VII.3.4 Vérification de la stabilité du radier ……………………………………....162
VII.3.5 Evaluation des charges pour le calcul du radier ……………………...........163
VII-3-6 Ferraillage du radier ……………………………………………………….163
VII.3.7 Ferraillage des dalles ………………………………………………………163
VII.3.8 Ferraillage de la poutre de libage ……………………………………….….167
VII.3.9 Ferraillage de longrines ……………………………………………...........173
VII.2 Etude des voiles périphériques ………………………………………………174
VII.2.1 Introduction ………………………………………………………..............174
VII.2.2 Les dimensions du voile …………………………………………………....174
VII.2.3 Caractéristiques du sol ………………………………………………….….175
VII.2.4 Évaluation de charges et surcharges …………………………………….…175
VII.2.5 Ferraillage du voile ……………………………………………………….....175
Liste des Tableaux :
Tableau II.1 Descente des charges du plancher terrasse.
Tableau II.2 Descente des charges (Plancher étage courant).
Tableau II.3 Les charges d’exploitation.
Tableau II.4 Dimension des poutres principales.
Tableau II.5 Dimension des poutres secondaires.
Tableau II.6 Dimensions des poutres.
Tableau II.7 La dégression des charges pour le bâtiment.
Tableau II.8 La dégression des charges pour le bâtiment.
Tableau II.9 Tableau récapitulatif de vérification de longueur de flambement
Tableau III.1 Charge et combinaison de charges pour les poutrelles.
Tableau III.2 Les résultats de calcul à ELU méthode forfaitaire.
Tableau III.3 Les résultats de calcul à ELS méthode forfaitaire.
Tableau III.4 Les résultats de calcul à ELU méthode de Caquot.
Tableau III.5 Les résultats de calcul à ELS méthode de Caquot.
Tableau III.6 Les sollicitations maximales.
Tableau IV.1 Descente des charges pour balcon.
Tableau IV.2 Descente des charges de mur.
Tableau IV.3 Charge permanente de la volée.
Tableau IV.4 Charge permanente de palier.
Tableau IV.5 Combinaison d’action.
Tableau IV.6 Les dimensions de l’ascenseur.
Tableau IV.7 Caractéristiques des câbles.
Tableau IV.8 Tableau récapitulatif des résultats.
Tableau IV.9 Tableau récapitulatif des sollicitations maximales.
Tableau V.1 valeur de pénalités 𝑝𝑞.
Tableau V.2 Tableau section des poteaux.
Tableau V.3 Tableau section des poutres.
Tableau V.4 Résultat par robot.
Tableau V.5 Vérification de l’effort normal réduit au niveau des poteaux.
Tableau V.6 Vérifications des déplacements.
Tableau V.7 Vérifications P delta sens x.
Tableau V.8 Vérifications P delta sens y.
Tableau V.9 Vérifications renversement sens x.
Tableau V.10 Vérifications renversement sens y.
Tableau VI.1 Tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.
Tableau VI.2 Tableau récapitulatif des moments fléchissant et des efforts tranchants
Tableau VI.3 Tableau récapitulatif du ferraillage des poutres.
Tableau VI.4 Tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.
Tableau VI.5 Détermination des sollicitations des poteaux.
Tableau VI.6 Tableau récapitulatif.
Tableau VI.7 Tableau condition de l’espacement.
Tableau VI.8 Récapitulation de calcul des armatures longitudinales.
Tableau VII.1 Tableau récapitulatif des sections d’armature.
Tableau VII.2 Ferraillage des Voiles périphériques à l’ELU.
Tableau VII. 3 Vérifications des contraintes à l’ELS.
La Liste des figures
Figure I.1 : plancher a corps creux.
Figure I.2 : schéma de l’escalier.
Figure I-3.Diagramme de déformation – contrainte (εbc ; σbc) de béton.
Figure I-4.Diagramme de déformation de contrainte (εs ; σs).
Figure II.1.Coupe d’un plancher à corps creux.
Figure II.2 : Terrasse inaccessible.
Figure II.3 : coupe d’un plancher à corps creux.
Figure II.4 : Les dimensions d’une poutre.
Figure II.5 : Surface afférente du poteau central.
Figure II.6 : Voile de contreventement.
Figure III.1 Coupe transversale d’un plancher a corps creux.
Figure III-2 Schéma des poutrelles.
Figure III-3 Type d’une poutrelle continue.
Figure III-4 Terrasse ELU ; Terrasse ELS.
Figure III-4.Etage courant ELU ; Etage courant ELS.
Figure III-5 Terrasse ELU ; Terrasse ELS.
Figure III-5 Etage courant ELU ; Etage courant ELS.
Figure III-6 Diagramme des moments de terrasse ELU.
Figure III-6 Diagramme des moments de terrasse ELS.
Figure III-6 Diagramme des moments d(étage courant ELS.
Figure III-6 Diagramme des moments d(étage courant ELU.
Figure III-7 Terrasse ELU ; Terrasse ELS.
Figure III- 7 Etage courant ELU ; Etage courant ELS .
Figure III-8 Diagramme des moments terrasse ELU.
Figure III-8 Diagramme des moments terrasse ELS.
Figure III-8 Diagramme des moments Etage courant ELU.
Figure III-8 Diagramme des moments Etage courant ELS.
Figure III-9.Schéma de ferraillage de poutrelle.
Figure III.10 .Disposition constructive des armatures de la table de compression.
Figure IV-1.Schéma statique de l’acrotère.
Figure IV-1.Coupe verticale sur l’acrotère.
Figure IV-2 Schéma de ferraillage de l'acrotère.
Figure IV-4 Schéma de ferraillage du balcon.
Figure IV-5 Schéma de l’escalier.
Figure IV-6 Schéma de ferraillage de l’escalier.
Figure IV-7 Ascenseur électrique.
Figure IV.8 : Abaque de détermination des suspentes.
Figure IV.9 : schéma de la surface d’impact.
Figure IV.10 : Schéma de la dalle pleine d’ascenseur.
Figure IV.11 chargement de panneau.
Figure VI.12 panneau de la dalle.
Figure V-1 Modélisation de la structure.
Figure V-2 Spectre de réponse.
Figure VI-1- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre principale.
Figure VI.2- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre secondaire
Figure VI.3 : Direction des moments et efforts normal dans un poteau.
Figure VI-4 : schéma de la zone nodale.
Figure VI.2 : Ferraillage du poteau
Figure VI.3 Schéma de ferraillage du voile
Figure VII.1 Schéma d’une semelle isolée.
Figure VII.2 Schéma d’une semelle filante.
Figure VII.3 Schéma du radier.
Figure VII.4 Schéma de la dalle du radier.
Figure VII.5 Schéma statique du débord.
Figure VII.6 Dimensions du voile périphérique.
Figure VII.7 Diagramme des contraintes.
Figure VII.8 Schéma de ferraillage du voile périphérique.
Introduction générale :
L'aboutissement d'un projet de construction d'ouvrage de génie civil en général est le fruit d'un long
travail fait par une équipe ayant des domaines de compétences assez variés. L'ingénieur en structure
occupe une place de choix dans ce dispositif car ayant la lourde tâche de concevoir, d’analyser et de
dimensionner les différents éléments porteurs de l'ouvrage pour assurer sa fonctionnalité, sa résistance
mécanique pendant toute sa durée de vie sans risque pour l'usager et à moindre coût.
Etant des étudiantes futur ingénieurs en fin d’étude, On a réalisé notre mémoire spécialisé dans divers
domaines notamment celui du bâtiment. Le thème à traiter est l’étude d’ingénierie d’un bâtiment R+
12 dans la wilaya d’Alger Il porte donc sur le dimensionnement des structures qui est une étape
primordiale dans le processus de la conception des ouvrages.
Il s’agira dans le cadre de notre travail de faire une étude technique détaillée d’une tour R+12 dans la
zone III, afin de présenter une note de calcul, le plan de coffrage et de ferraillage de la structure. Le
présent document est une synthèse des travaux effectués. Il détaillera en annexe les différentes
démarches de calcul utilisé ainsi que les plans d’exécutions.
Il sera étudié dans le présent rapport plusieurs points à savoir :
La présentation du projet.
Les caractéristiques des matériaux.
Le pré-dimensionnement des éléments structuraux.
Le dimensionnement des éléments pré-dimensionnés.
L’étude des éléments secondaire.
L’étude sismique.
L’étude des portiques.
L’étude de l’infrastructure.
Chapitre I
Présentation du
projet
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 1
I.1) Introduction :
Le projet de fin d’étude consiste à étudier la structure d’un bâtiment en béton armé à usage
d’habitation.
Ce bâtiment est classé dans le groupe d’usage N°02 implanté à Alger, cette zone est classée
selon le règlement parasismique algérien comme une zone de forte séismicité (Zone III), le
site est considéré comme un site meuble (S3).
Cette structure est composée de :
- Le rez de chaussée a usage d’habitation.
- 12 étages à usage d’habitation.
- une terrasse inaccessible.
- Un acrotère h = 0.60 m.
I.2) Présentation de l’ouvrage :
Ce bâtiment est classé dans le groupe d’usage 02 implanté à Alger, cette zone est classée
selon le règlement parasismique algérien comme une zone de forte séismicité (Zone III) , le
site est considéré comme un site meuble (S3).
I.3) Les caractéristiques géométriques du projet :
La hauteur d’étage : 3.06 m
La hauteur totale sans acrotère : 39.78 m
La hauteur totale avec acrotère : 40.38 m
La longueur totale : 23.70 m
La largeur totale : 20.10 m
La surface totale : 476.37 m2
I.4) Les caractéristiques géométriques du sol :
Les essais mécaniques ont permis de déterminer une contrainte de sol de 1.6 bar.
- Le terrain est relativement plat.
- L’ancrage est de 2.00 m.
- Ce bâtiment est implanté sur un sol meuble.
I.5) Les règlements utilisés :
- BAEL 91.
- DTR.
- RPA.99 version 2003 (Règlement parasismique algérien).
- CBA 93.
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 2
I.6) Conception de la structure :
1) ossature de l’ouvrage :
On appel ossature l’association des éléments verticaux et horizontaux , on opte pour un
système de contreventement défini par poteaux , poutres et voiles qui assure la stabilité de ce
dernier , l’ossature a la fonction de résister a des efforts verticaux engendrés par les
surcharges permanente , d’exploitation , séisme et vent.
2) Plancher :
On distingue un type de plancher dans notre projet :
plancher à corps creux dans RDC et les 12 étages :
Figure I.1 : plancher a corps creux.
3) Escalier :
Sont des éléments non structuraux situé d’une suite régulière de marche , permettant
d’accéder a un étage , de passer d’un niveau a un autre en montant ou en descendant.
Dans notre cas on a un seul type d’escalier :
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 3
Escalier à deux volées et un palier de repos.
Figure I.2 : schéma de l’escalier.
4) Maçonnerie :
La maçonnerie de notre bâtiment sera exécutée en briques creuses, de murs extérieurs et intérieurs
avec des différentes épaisseurs suivant leur emplacement qui a pour objet d’isolation thermique et
phonique.
5) L’acrotère :
Est un élément de façade situé au dessus de la terrasse d’une hauteur de 60 cm.
6) Ascenseur :
L’ascenseur est un appareil fut indispensable pour faciliter le déplacement entre les différents étages
Les dimensions de la cabine carrée : L = m ; hauteur : m, La cage d’ascenseur sera réalisée en mur
voile de 20 cm d’épaisseur.
7) Fondation :
La fondation est l’élément qui permet de transmettre les charges et surcharges de la superstructure au
sol.
8) Revêtement :
Le revêtement du bâtiment est constitué par :
Étanchéité en ciment pour les faces extérieures de mur de façade, et en plâtre pour les
murs intérieurs.
Carrelage pour les planchers.
I.7) Méthode de coffrage :
Nous utilisons le coffrage traditionnel (en bois) et métallique de façon à limiter le temps d’exécution.
I.8) Les caractéristiques des matériaux :
I.8.1) Le béton :
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 4
1) Composition du béton :
Le béton est un assemblage de matériaux de construction composé de gravier, sable, ciment et
de l’eau.
Il a une bonne résistance à la compression et une faible résistance à la traction.
a) Gravier :
Est un granulat de roche, ensemble des petits Cailloux rouler.
b) Ciment :
Est un liant hydraulique (qui durci sous l’action de l’eau) utilisé dans la préparation du béton.
gravier 800 l/m3.
sable 400 l/m3.
ciment 350 Kg/m3 (7 sacs).
l’eau 160 ÷ 180 l/m3 (il est différent de l’été à l’hiver).
2) Resistance caractéristique du béton :
a) résistance a la compression :
Le béton est défini par sa résistance a la compression a 28 jours cette valeur est notée fc28 , elle est
déterminée par des essais de compression.
A partir de la résistance moyenne obtenue on calcule la résistance fc28 (dans notre cas fc28 =
25 Mpa).
b) Resistance a la traction :
Le béton résiste mal à la traction, sa résistance est donnée en fonction de la résistance à la
compression.
ftj = 0.6 + 0.06fcj
3) Déformation longitudinale du béton :
Module instantané : Ei = 11000 √fc283 = 32164,195MPa pour les charges d'une durée d'application
inférieure à 24 h.
Module différé : Eν = 3700 √fc283 = 10818,865 MPa pour les charges de longue durée d'application.
4) Méthode de calcul :
La Contrainte limite ultime :
σbc =0.85fc28
θ.γb
θ: coefficient qui dépend de la durée « d » d’application des charges.
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 5
θ = 1 si d > 24h (cas des bâtiments)
θ = 0,9 si 1h ≤ d ≤ 24h
θ = 0,85 si d < 1h
b : Coefficient de minoration du béton. ( b =1,50 cas courant, b =1,15 accidentelles).
Dans notre cas b =1.5 θ=1.
σbc= (0,85×25)
(1×1.5)= 14,17𝑀𝑃𝑎 (situations durables).
La contrainte limite ultime de cisaillement est :
𝜏u =Vu
bd
b : largeur de la section.
d : hauteur utile.
Vu : Effort tranchant.
La contrainte limite admissible de cisaillement est :
𝜏𝑢 = min [ 0,20׃cj
γb; 5] = 3,33MPa (Fissuration peu préjudiciable).
𝜏𝑢 = min [ 0,15׃cj
γb; 4] = 2,50MPa (Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable).
Parabole
b
cbc
f 2885,0
Rectangle
2‰
3,5‰
εbc ‰
MPabc
Figure I.3: Diagramme de déformation – contrainte (εbc ; σbc) de béton.
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 6
Etat limite de service :
σbc = 0.6fc28 = 0.6 × 25 = 15 Mpa
Coefficient de poisson :
Le coefficient de poisson ν est égal à la déformation transversale sur la déformation longitudinale :
Pour le calcul a l’état limite ultime ν = 0,2.
Pour le calcul a l’état limite de service ν = 0.
I.8.2) Acier :
Les aciers utilisés dans la construction sont des alliages de fer et de carbone avec un faible
pourcentage de carbone, leurs rôle est d’absorbé les efforts de traction, cisaillement et de torsion.
a) Les armatures utilisées :
Pour les armatures longitudinales, on utilise des aciers à haute adhérence (H.A) de nuance FeE
400.
Pour les armatures transversales, on utilise des aciers ronds lisses (R.L) de nuance FeE 235.
Pour les dalles de compression, on utilise des treillis soudés (T.S).
Dans notre projet les armatures utilisées sont de type 01 ; FeE 400
b) Contrainte limite de l’acier :
- Etat limite ultime :
σs =fe
γs
Allongement
10‰
Raccourcissement
s
ef
- 10‰ ε s ‰
Figure I.4: Diagramme de déformation de contrainte (εs ; σs)
s
ef
s
ss
e
E
f
.
ss
e
E
f
.
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 7
ƒe : résistance élastique d’acier.
Pour FeE 400 :
σs = 400 Mpa (γs = 1.00 Cas accidentel).
σs = 348 Mpa (γs
= 1.15 Cas courant).
σs = ε × Es si ε ≤ 𝜀𝑙 (la loi de HOOK).
εl = ƒe
Es×γs
= 400
(1,15×2×105)= 1,74‰
Es : Module d’élasticité de l’acier Es = 2 × 10 5 Mpa.
Si εs ≤ εl σs = εs × Es
Si εs ≥ εl σs =fe
γs =
400
1.15 = 348 Mpa .
- Etat limite de service :
On ne limite pas la contrainte de l’acier sauf en état limite d’ouverture des fissures :
Fissuration peu nuisible : pas de limitation ;
Fissuration préjudiciable :
σst ≤ σst̅̅ ̅̅ = min (2
3× fe; 110 × √ηftj)
Fissuration très préjudiciable :
𝜎𝑠𝑡 ≤ 𝜎𝑠𝑡̅̅ ̅̅ =𝑚𝑖𝑛 (1
3× 𝑓𝑒; 90 × √𝜂𝑓𝑡𝑗)
𝞰 : Coefficient de fissuration
𝞰=1 pour les ronds lisses (RL)
I.9) Les actions et sollicitations :
I.9.1) Les actions :
γs: Coefficient de sécurité γs = 1.15 Cas courant.
γ s = 1.00 Cas accidentel.
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 8
Ce sont l’ensemble des forces et couples dus aux charges appliquées à la structure ainsi que les
conséquences des modifications statiques ou d’états (retrait, les variations de température, tassements
d’appuis) qui entraînent des déformations de la structure, elles proviennent donc :
Des charges permanentes
Des charges d’exploitation
Des charges climatiques
On distingue trois types d’actions.
Des charges permanentes (G) :
Ce sont des actions dont les variations de l’intensité sont rares ou négligeables par rapport à la valeur
moyenne, elles comportent :
Poids propre des éléments de construction.
Le poids et les poussées des terres des solides ou des liquides.
Le poids de revêtement et cloisons.
Les actions variables (𝑸𝒊):
Ce sont des actions d’une courte durée d’application dont l’intensité varie fréquemment dans le
temps, elles comportent en particulier :
Surcharge d’exploitation.
Charges appliquées au cours d’exécution (équipement de chantier).
Charges climatiques (vents, neige).
Actions de températures, du retrait ….etc.
Les actions accidentelles ( FA) :
Ce sont des actions dues à des phénomènes qui se produisent rarement et avec une faible durée
d’application citons :
Séisme.
Chocs de véhicules routiers.
Explosion.
Vent.
Hypothèse de calcul :
Les sections droites restent planes.
La résistance du béton tendu est négligée.
Il n'y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton.
Le raccourcissement relatif de la fibre de béton la plus comprimée est limité à :
Chapitre I Présentation du projet
Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 9
En flexion : εbc = 3.5 ‰
En compression : εbc = 2 ‰
I.9.2) Les sollicitations de calcul :
Etat limite ultime :
p = 1.35G + 1.5Q {G ∶ charge permanente.
Q ∶ charge dexploitatoin.
Etat limite de service :
p = G + Q
situation accidentelle :
P = G + Q + E. P = G + Q + 1,2 E. P = 0,8 G + E.
Conclusion :
Dans ce chapitre, On a cité les caractéristiques de notre projet, la description, le rapport
géotechnique et les différents matériaux qu’on a choisi pour le projet.
Chapitre II
Pré dimensionnement
des Eléments
structuraux
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 10
II.1 Introduction :
Le pré dimensionnement a pour but de pré calculé des différents éléments résistants en
utilisant les règlements RPA 99 version 2003 et B.A.E.L 91. Cette étape représente le point
de départ et la base de la justification à la résistance, la stabilité et la durabilité de l’ouvrage
aux sollicitations verticales et horizontales, On pourra estimer les charges (Poids propres) et
les surcharges après déterminer les différentes épaisseurs et surfaces de chaque élément
porteur.
Une fois définie les sollicitations dans les sections ci-dessous on fera les calculs exact :
Sollicitations verticales : Elles sont dues aux charges permanentes et aux surcharges
d’exploitation de plancher, poutrelles, poutres et poteaux transmises au sol par les fondations.
Sollicitations horizontales : Elles sont dans la plupart du temps d’origine sismique et sont
prescrit par les éléments de contreventement constitué par les portiques.
II .2 Pré dimensionnement et descente des charges :
II.2.1 Pré dimensionnement des planchers :
Introduction :
Les planchers sont des aires planes séparant entre deux niveaux de construction supportant
des charges d’exploitations, des charges permanentes (cloisons, revêtement….) en les
transmettant sur des éléments porteurs verticaux (poteaux, voiles…) ,il constitue des dalles,
poutres principales, poutres secondaires et poutrelles.
On distingue deux types de planchers :
Plancher à corps creux.
Plancher à dalle pleine.
II.2.1.1 Plancher à corps creux :
Il est composé de 03 principaux éléments :
- Des éléments qui servent de coffrage perdu « Les entrevous ou corps creux ».
- Les poutrelles en béton armé ou précontraint qui assurent la tenue de l’ensemble et
reprennent les efforts de tractions grâce à leur armatures.
- Une dalle de compression « hourdis » coulée sur les entrevous qui reprend les efforts de
compression.
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 11
Figure II.1 : coupe d’un plancher à corps creux.
Le pré dimensionnement fait à partir de la condition de rigidité :
𝒍
𝟐𝟓≤ 𝐡𝐭 ≤
𝒍
𝟐𝟎
Avec :
L: la distance maximale entre axe, si les dimensions des appuis poteaux sont inconnus
selon C.B.A 93 :
ℎ𝑡 ≥ 𝐋
𝟐𝟐,𝟓
Tel que :
ht : L’épaisseur totale de ce plancher.
h : L’épaisseur du corps creux.
h0 : L’épaisseur de la dalle de compression.
L : est la plus grande portée entre nus d’appuis.
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 12
Dans ce cas L = 400 − 30 donc L = 370 cm
ℎ𝑡 ≥ 370
22,5= ht ≥ 16,44 cm
On doit choisir un plancher à corps creux de type
(16+4) ⇒{Hauteur de corps creux = 16 cm
hauteur de la dalle de compression = 4 cm
Condition d’isolation acoustique :
Le choix s’effectue à raison d’assurer une isolation acoustique :
L’isolation contre le bruit d’impacte : 2500 h ≥400 Kg/m2
⇒ h ≥ 16 cm
Contre le bruit aérien : 2500 h ≥350 Kg/m2
⇒ h ≥ 14 cm
Condition de résistance au feu :
E = 7 cm le plancher coupe feu une heure (1h).
E = 11 cm le plancher coupe feu deux heures (2h).
E = 17,5 cm pour quatre heures de coupe de feu (4h).
II.3 Evaluation des charges et surcharges:
Les charges réglementaires :
Les charges réglementaires sont en général deux types :
Les charges permanentes (G)
Les charges d’exploitations (Q)
a) Les charges permanentes :
Les charges permanentes sont obtenues à partir des dimensions géométriques des éléments de
l’ouvrage, déduit des plans et du poids volumique des matériaux les constituants.
b) Les charges d’exploitations :
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 13
Les planchers d’étage courant, Les charges d’exploitations sont définies par le document
technique règlementaire (D.T.R) et souvent l’utilisation d’étage.
Plancher de RDC usage d’habitation : Q = 1,50 KN/m2
Les planchers terrasse inaccessible : Q = 1 KN/m2
II.3.1 Les charges permanentes :
Plancher terrasse inaccessible :
Figure II.2 : Terrasse inaccessible.
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 14
Charge permanente totale : Gterrasse= 6.79 KN/m2
Plancher étage courant corps creux :
Figure II.3 : coupe d’un plancher à corps creux.
Tableau II.1 : Descente des charges du plancher terrasse.
Chargement Poids volumique
(KN/𝐦𝟐)
Charge
(KN/𝐦𝟑)
Gravier roule de protection (4cm).
20 0,8
Étanchéité multicouche (2cm) / 0,12
Forme de pente (12cm) 22 2,64
Isolation thermique en liège (4cm)
/ 0,16
Plancher à corps creux (16+4) / 2,8
Enduit en ciment (1,5cm) 18 0,27
∑𝐆𝐭𝐞𝐫𝐫𝐚𝐬𝐬𝐞 6,79
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 15
Charge permanente : G = 5,17 KN/m2
II.3.2 Charge d’exploitation :
Tableau II.3 : Les charges d’exploitations.
Etage Usage 𝐐 (𝐊𝐍 /𝐦𝟐)
Terrasse Terrasse inaccessible 1
Du
𝟏𝐞𝐫é𝐭𝐚𝐠𝐞 𝐚𝐮 𝟏𝟐 è𝐦𝐞é𝐭𝐚𝐠𝐞𝐬 Habitation 1,5
II.4 Pré dimensionnement des poutres :
Une poutre est l’élément de construction dont la longueur est très supérieure à ses autres
dimensions, employé dans de nombreux types de structures, son rôle est de supporter le
plancher et de transmettre directement les charges aux éléments porteurs (poteaux).
Le pré-dimensionnement des poutres se fait généralement en deux étapes :
Tableau II.2: Descente des charges (Plancher étage courant).
Chargement Poids Volumique
(KN/𝐦𝟑)
Charge
(KN/𝐦𝟐)
Carrelage (2cm) 20 0,4
Mortier de pose (2cm) 22 0,44
Lit de sable (2cm) 18 0,36
Plancher corps creux (16+4) / 2,8
Enduit en ciment 18 0,27
Cloison légère / 0,9
∑𝐆é𝐭𝐚𝐠𝐞 5,17
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 16
1-Choix des sections des poutres selon les formules empiriques données par le « BAEL 91
modifié 99 » et vérification après « RPA 99 version 2003 ».
2-Vérification de la flèche pour la section choisie
Le règlement RPA 99 (version 2003) impose section minimale des poutres [RPA 99
(Version 2003) ART 7.4.1] :
Min (a ; b) ≥ 30 cm en zones III.
Conformément au règlement BAEL 91 révisé 99 le pré dimensionnement des poutres doit
satisfaire aux :
Critère de flèche : L
15 ≤ hp ≤
L
10
Figure II.4 : Les dimensions d’une poutre
b : la largeur de la poutre.
h : la hauteur de la poutre.
L : la longueur de la poutre entre nus si les dimensions des appuis sont
connues.
Condition imposée par le R.P.A 99 (version 2003) [ART 7.5.1] :
h ≥ 30 cm
h ≥ 20 cm
h
b≤ 4
II.4.1 Poutre principale (P.P) :
Poutres principale P.P (b*h) cm2. h : La hauteur de la poutre h.
b : La largeur de la poutre b.
L : distance entre axe.
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 17
Tableau II.4 : Dimension des poutres principales
𝐋𝐦𝐚𝐱(𝐜𝐦) 𝟏
𝟏𝟓≤ 𝐡𝐩 ≤
𝟏
𝟏𝟎
(cm)
𝟎. 𝟑𝐡 ≤ 𝐛 ≤ 𝟎. 𝟕𝐡
(cm)
Le choix adopté
(𝐛 × 𝐡)
480 30 ≤ hp ≤ 45 13.5 ≤ b ≤ 37.5 (30× 45)
Vérification des conditions imprimées par RPA99 (Version 2003) :
h =30 ≥ 30 cm………C. V
b =30≥ 20 cm………C. V
h
b= 1 ≤ 4……… . . C. V
II.4.2 Poutres secondaires (P.S) :
Tableau II.5 : Dimension des poutres secondaires
𝐋𝐦𝐚𝐱(𝐜𝐦) 𝟏
𝟏𝟓≤ 𝐡𝐩 ≤
𝟏
𝟏𝟎
(cm)
𝟎. 𝟑𝐡 ≤ 𝐛 ≤ 𝟎. 𝟕𝐡
(cm)
Le choix adopté
(𝐛 × 𝐡)
450 30 ≤ hp ≤ 35 13.5 ≤ b ≤ 37.5 (30× 35)
Vérification des conditions imposées par RPA99 (version 2003) :
b=30
h=45
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 18
h =30 ≥ 30 cm………C.V
b = 30≥ 20 cm………C. V h=35
h
b= 1 ≤ 4……… . . C. V
La section des poutres pré dimensionnées est représentée dans le tableau suivant :
Tableau II.6 : Dimensions des poutres.
La largeur (b) La hauteur (h)
Poutres principales 30 35
Poutres secondaires 30 45
II.5 Pré dimensionnement des poteaux :
Un poteau est un élément qui assure la transmission verticale des charges d’une structure vers
un autre élément porteur, ou a la fondation. Les poteaux sont pré dimensionnés en
compression simple en effectuant les poteaux les plus sollicités de la structure, on utilise un
calcul basé sur l’évaluation des charges, on appliquant la loi de dégression.
On dimensionne la section des poteaux comme suit :
a- Critère de résistance.
b-Condition de stabilité.
c- Critère de stabilité de forme.
Donc la procédure de pré dimensionnement est :
Calcul de la surface reprise par chaque poteau.
Évaluation de l'effort normal ultime de la compression à chaque niveau.
La section des poteaux est alors calculée aux états limites ultimes (ELU) vis-à-vis de
la compression simple du poteau.
La section du poteau obtenue doit vérifier les conditions minimales imposées par le
règlement RPA99 version 2003.
Vérification des sections à l'ELS selon le CBA93.
b=30
b=30
b=30
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 19
II.5.1 Loi de dégression :
Comme il est rare que toutes les charges d’exploitations agissent simultanément, nous
appliquons pour leur détermination la loi de dégression qui consiste à réduire les charges
identiques à chaque étage de 10% jusqu’à 0,5Q.
Q : Charge d’exploitation.
Ce qui donne :Q0 +3+n
2n(Q1 + Q2 +…………+Qn) Donnée par 𝐥𝐞 𝐁𝐀𝐄𝐋 𝟗𝟏.
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 20
Tableau II.7 : La dégression des charges pour le bâtiment
Niveau des
planchers Surcharge
Surcharge
𝐊𝐍/𝐦𝟐
Terrasse Q0 1.00
12eme étage Q0 + Q1 2.5
11eme étage Q0 + 0.95(Q1 + Q2) 3.85
10eme étage Q0 + 0.90(Q1 + Q2 + Q3) 5.05
9eme étage Q0 + 0.85(Q1 + Q2 + Q3 + Q4) 6.10
8eme étage Q0 + 0.85(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6) 7.00
7eme étage Q0 + 0.75(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7) 7.75
6eme étage
Q0 + 0.71(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8)
8.455
5eme étage
Q0 + 0.687(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9) 9.244
4eme étage Q0 + 0.666(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9 + Q10) 10
3eme étage Q0 + 0.65(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9 + Q10 + Q11) 10.75
2eme étage Q0 + 0.636(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9 + Q10 + Q11
+ Q11) 12.13
1eme étage
Q0 + 0.625(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7+. . . …… . Q12)
13.5
RDC Q0 + 0.625(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7+. . . …… . . . +Q12) 16.38
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 21
Calcul de la surface afférente :
Le pré dimensionnement est déterminé en supposant que les poteaux sont soumis à la
compression selon la formule suivante :
Nu = α [Br×fc28
0,9×γb+Asfe
γs]………. (1)
Nu = 1.35G + 1.5Q
NG: Effort normal dû aux charges permanentes.
NQ: Effort normal dû aux charges d′exploitations.
B : Surface de la section du béton (B = a × b).
γb: coefficient de sécurité pour le béton (γb = 1.50)……… . . situation durable.
γs: coefficient de sécurité pour le béton (γb = 1.15)……… . . situation accidentelle.
fe: Limite élastique de l′acier fe = (400MPa).
fc28: Contrainte caractéristique du béton à 28 jours ( fc28 = 25MPa).
As: Section d′acier comprimée.
Br: Section réduite d′un poteau, obtenue en réduisant de sa section réelle 1cm d′épaisseur sur toute sa
Périphérie[Br = (a − 0,02)(b − 0.02)] (cm2).
α =0.85
1+0.2(γ
35)2
Pour γ ≤ 50
α = 0.6(50/γ)2 Pour 50 ≤ γ ≤ 70
α =0.85
1+0.2(1)2⇒ α =
0.85
β
Br ≥β×Nu
σbc0.9
+0.85(A
Br).feγs
Avec :
σbc: résistance de calcul de béton
σbc = 0.85 ×fc28
γb= 14.17 MPa
Suivant les règles BAEL91 : il est préférable de prendre λ ≤ 35
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 22
β = 1 + 0.2(λ
35)2 ⇒ β = 1.2
A
Br= 1% =
1
100
D’après le [BAEL91 r99/art B.8.4.1]
Br ≥1.2×Nu
σbc0.9
+0.85(1
100).fe1.15
= 0.064.Nu
Conditions de RPA99/ (2003) : [RPA99 V 2003/art 7.4.1] :
Les dimensions de la section transversales des poteaux doivent satisfaire les conditions
suivantes :
{
Min(a, b) > 30𝑐𝑚…………(𝑎)
Min(a, b) ≥he
20…………(b)
1
4<
a
b< 4………………(c)
II.5.2 Exemple de calcul :
Pré dimensionnement du poteau du RDC :
3.7 0.3 3.7
Figure II.5 : Surface afférente du poteau central.
Saff = (3,8+4,2
2) × (
3,7+3,7
2)
Saff = 14,8 m2
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 23
Les longueurs afférentes :
PP ⇒ Laff =𝟒,𝟐+𝟑,𝟖
𝟐= 4 m
PS ⇒ Laff =3,7+3,7
2= 3,7 m
PU⇒ NPlancher+NPP+NPS+NPot
Nu =1,15 . Pu
GTotale = (GTerrasse + 12Gétage) = 6,79+6,05+(11× 5,17) = 69,71 KN/m2
QTotale =16,38 KN/m2
NPlancher = (1,35G + 1,5Q) ×S
=(1,35× 69,71 + 1,5 × 16,38)×14,8
NPlancher =1756,44 KN
Npp = 1,35(0,3 × 0,45 × 13) × 4 × 25 = 236,92 KN
Nps = 1,35(0,35 × 0,30 × 13) × 3,7 × 25 = 170,45 KN
Npoteau = 1,35(0,30 × 0,30 × 13) × 3,06 × 25 = 120,83 KN
Pu = 2284,64 KN
Nu = 1,15 × 2284,64 = 2627,33 KN
Section réduite du poteau :
βr = 0,64 × Nu = 0,64 × 2627,33 = 1681,49 cm2
βr = (a − 2) × (b − 2) ≥ 16 cm2
Avec : a = b
a = √1681,49 + 2 = 41,03 cm
Donc on prend une section de (50× 50) cm2 pour les poteaux de RDC
Vérification du RPA :
Poteau rectangle Zone III du RDC
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 24
{
Min(a, b) > 30𝑐𝑚……… . . (𝑎)
Min(a, b) ≥he
20…………… . (b)
a
b< 4……………………… . . (𝑐)
{
Min(50,50) > 30𝑐𝑚…………𝐶 𝑉
Min(a, b) = 50 ≥he
20…………C V
a
b= 1 < 4………………………𝐶 𝑉
Vérification de Longueur de flambement :
La longueur de flambement :
C’est la longueur du poteau, supposé articulé encastré, qui aurait même section et même
charge critique d'Euler que le poteau considéré
Pour un bâtiment à étages multiples, on a :
lf = 0,7 I0 Poteau au flambement :
λ =lf
imin⇒ imin = √
I
S Tel que ∶ λ ≤ 35
Calcul de la section et de moment d’inertie :
S = A × B ⇒ S = 50 × 50 = 2500 cm2
I =(b×a3)
12 ⇒ I =
(50×503)
12= 520833,33 cm4
Rayon de giration 𝐢𝐦𝐢𝐧:
imin = √I
S=
520833,33
2500= 14,43 cm
lf = 0,7 I0 = 0,7 × 408 = 285,6 cm
λmin =285,6
14,43= 19,79 < 35 → C V
Donc il n’y a pas de risque de flambement :
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 25
Tableau II.8 : La dégression des charges pour le bâtiment.
Étage
𝐒𝐀𝐟𝐟 (cm²)
𝐍𝐏𝐋𝐀𝐍𝐂𝐇𝐄𝐑
(KN)
𝐍𝐏𝐏
(KN)
𝐍𝐏𝐒 (KN)
𝐍𝐏𝐎𝐓
(KN)
𝐏𝐔
(KN)
𝐍𝐔
(KN)
𝐁𝐫 (cm²)
a
(cm)
a×b
(cm²)
RDC 14,8 1169,02 236,92 230,10 120,83 2284,64 1881,44 1204,12 34,70 36,70
1 14,8 1077,47 218,70 212,40 111,53 2275,34 1734,85 1110,30 33,32 35,32
2 14,8 985,70 200,47 194,71 102,24 2266,05 1588,01 1016,32 31,87 33,87
3 14,8 907,31 182,25 176,99 92,95 2256,76 1456,53 932,17 30,53 32,53
4 14,8 829,90 164,02 159,30 83,65 2247,46 1326,20 848,76 29,13 31,13
5 14,8 751,22 145,8 141,60 74,12 2237,93 1194,41 764,42 27,64 29,64
6 14,8 674,54 127,57 123,90 64,85 2228,66 1064,9 681,53 26,10 28,10
7 14,8 595,35 109,35 106,20 55,59 2219,4 932,53 596,81 24,42 26,42
8 14,8 515,63 91,12 88,49 46,32 2210,13 799,52 511,69 22,62 24,62
9 14,8 441,18 72,9 70,79 37,06 2200,87 672,60 430,46 20,74 22,74
10 14,8 343,41 54,67 53,09 27,79 2191,6 518,84 332,05 18,22 20,22
11 14,8 252,30 36,45 35,39 18,53 2182,34 372,76 238,56 15,44 20,22
12 14,8 157,86 18,22 17,69 9,26 2173,07 222,81 142,52 11,94 17,44
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 26
Tableau II.9 : tableau récapitulatif de vérification de longueur de flambement
Etage
Section (𝐚 ×
𝐛)
(𝐜𝐦)
Inertie (f)
(𝐜𝐦𝟒)
𝐢𝐦𝐢𝐧
(𝐜𝐦)
𝐥𝐟
(𝐜𝐦)
𝛌𝐦𝐢𝐧
(𝐜𝐦) Commentaire
RDC (45*45) 21333,33 11,54 214,2 18,56 c.v
1 (45*45) 21333,33 11,54 214,2 18,56 c.v
2 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v
3 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v
4 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v
5 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v
6 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v
7 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v
8 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v
9 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v
10 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v
11 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v
12 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 27
II.6 Pré dimensionnement des voiles :
Les voiles sont des éléments rigides en béton armé, leurs pré dimensionnement est justifié par
l’article RPA99 Version 2003.Ces voiles servent à contreventer le bâtiment en reprenant les
efforts horizontaux (séisme et/ou vent) et à reprendre les efforts verticaux qu’ils transmettent
aux fondations D’après le RPA99 version 2003 les voiles sont considérés comme des
éléments satisfaisant la condition L > 4𝑒, et ils sont considérés comme des éléments linéaires
(poteaux) dans le cas opposés.
Figure II.6 : Voile de contreventement.
a) les voiles de contreventement :
L’épaisseur de voile doit satisfaire la condition de RPA99 :
{L ≥ 4 × A
A ≥he
20
D’où :
L : largeur du voile correspond à la portée maximale.
A : épaisseur de voile.
ℎ𝑒: la hauteur Libre d’étage.
L’épaisseur des voiles doit être déterminée en fonction de la hauteur libre de l’étage 𝐡𝐞 et les
conditions de rigidité aux extrémités selon le « RPA99 version 2003 ».
Dans notre cas :
RDC (𝐡𝐞 = 𝟑. 𝟎𝟔 𝐦)
Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 28
A ≥he
20=
3.06−0.5
20= 0.128 m
amin ≥ max [15cm;he
20]
amin ≥ max [15cm;256
20]⇒ amin ≥ 15 cm
Nous adoptons alors : A = 15 cm
Conclusion :
Après le pré dimensionnement des éléments structuraux et l’application de toutes les
vérifications nécessaires, nous avons adopté les sections suivantes :
Poutre principales : 30× 45 cm2.
Poutre secondaire : 30 × 35 cm2.
Poteau du RDC au 1er étage : 45 × 45 cm2.
Poteau du 2 ème au 7 ème étage : 40 × 40 cm2.
Poteau du 8 ème au 12 ème étage : 35 × 35cm2.
Voile de 15 cm d’épaisseur.
Chapitre III
Etude des
planchers
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 29
III.1 Introduction :
Les planchers sont des éléments porteurs horizontaux, ils séparent le bâtiment a plusieurs
niveaux, parmi les principales fonctions que rempli un plancher, On peut citer :
- Support des charges verticales (permanentes et d’exploitations).
- Transmission des efforts horizontaux aux éléments de contreventement.
- isolation thermique et acoustique.
Dans notre étude on a deux types de planchers, un plancher à corps creux (16+4), et un
plancher en dalle pleine d’une épaisseur de 16 cm.
III.2 Plancher à corps creux :
Le plancher à corps creux est constitué par des éléments porteurs (poutrelles) et par des
éléments de remplissage.
Figure III.1 : coupe transversale d’un plancher à corps creux.
III.2.1 Le pré dimensionnement des poutrelles :
Dalle de compression Poutrelles
Corps
creux
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 30
- Les méthodes utilisées :
{
ht = 20 cmh1 = 16 cmh0 = 4 cm
Selon le BAEL 91 on a :
0.3 ht ≤ b0 ≤ 0.7 ht
b1 = min{
(Ln−b0)
2L
10
6h0 ≤ b1 ≤ 8h0
Avec :
Ln ∶ La distance entre axes des nervures (Ln= 60 cm) «DTRB.C.3/Annexe B».
[Selon le « DTR.B.C-22 » la distance Ln est généralement égale à 60 cm]
b0 : L’épaisseur de la nervure.
L : La distance maximale entre nus d’appuis de la travée considérée.
L = 4.2 – 0.3 = 3.90 m
h0 : La hauteur de la nervure.
0.3 × 20 ≤ b0 ≤ 0.7 × 20
6 cm ≤ b0 ≤ 14 cm
h0
h1
b
Ln
b0 L
Figure III.2 : schéma des poutrelles
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 31
Donc on prend : b0 = 12 cm
b1 = min{
(Ln−b0)
2L
10
6h0 ≤ b1 ≤ 8h0
b1 = min{
(60−12)
2= 24 cm
390
10 = 39 cm
6 × 4 ≤ b1 ≤ 8 × 4 → 24 ≤ b1 ≤ 32
Donc on prend : b1 = 24 cm
La largeur de la dalle de compression est :
b = 2× b1 + b0
b = 2 × 24 + 12 = 60 cm
Les types de poutrelles :
Type 01 :
A B C
4.5 4.1
ht = 20 cm
h0 = 4 cm
b = 60 cm
b0 = 12 cm
b1 = 24 cm
d = 0.9h = 18 cm
b = 60 cm
h0 = 4 cm
ht = 20 cm
b0 = 12 cm
b1 = 24 cm
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 32
Type 02 :
A B C D
4.5 2.9 4.5
Type 03 :
A B C D E F
4.1 4.5 2.9 4.5 4.1
III.2.2 Ferraillage des poutrelles :
Méthode de calcul :
Les méthodes utilisées pour le calcul des poutres sont :
- méthode forfaitaire (annexe E.1 du BAEL 91).
- Méthode de Caquot (BAEL91art b.6.210).
Méthode forfaitaire :
Pour l’application de cette méthode il faut que ces conditions soient vérifiées :
Les conditions d’application :
1) La charge d’exploitation Q ≤ max (2G, 5KN/m²).
2) fissuration peu préjudiciable
3) Les moments d’inerties sont identiques pour toutes les travées.
4) Le rapport des portées : 0.8 ≤𝐿𝑖
𝐿𝑖+1≤ 1.25 ……. Condition non vérifiée
Si une de ces conditions n’est pas vérifiée, On passe à la méthode forfaitaire.
Evaluation des charges :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 33
Vérification des conditions de la méthode forfaitaire :
1) La charge d’exploitation Q est au plus égale à deux fois la charge permanente :
Q KN/m2 ≤ max {2 × G
5 KN/m2
- Plancher terrasse :
Q = 1KN/m2 ≤ max {2 × 6,39 = 12,78
5KN/m2 ….CV
- Plancher étage courant :
Q = 1,5 KN/m2 ≤ max {2 × 5,17 = 10,34
5KN/m2 ….CV
2) Le moment d’inertie est constant dans toutes les travées ….CV.
3) rapport des deux portées successives est compris entre [0,8 ; 1,25] :
Type 01 :
0,8 ≤Li
Li+1=
4,5
4,1= 1,09 ≤ 1,25
⇒ Condition Vérifiée.
0,8 ≤ Li
Li−1=
4,1
4,5= 0,91 ≤ 1,25
Type 02 :
0,8 ≤Li
Li+1=
4,50
2.90= 1,44 > 1,25
⇒ Condition non Vérifiée.
Tableau III.1 : charge et combinaison de charge pour les poutrelles.
Etage G
(KN/𝐦𝟐) Q
(KN/𝐦𝟐) b
(m)
ELU
(1,35G+1,5Q)×𝐛
ELS
(G+Q)× 𝐛
Terrasse
inaccessible 6,79 1 0,6 6,39 4,67
Etage
courant 5,17 1,5 0,6 5,53 4
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 34
0,8 ≤ Li
Li−1=
2.9
4,5= 0.64 ≤ 1,25
Type 03 :
0,8 ≤Li
Li+1=
2.9
4,5= 1.44 > 1,25
⇒ Condition non Vérifiée.
0,8 ≤ Li
Li−1=
4,5
2.9= 0.64 ≤ 1,25
4) La fissuration est non préjudiciable ……CV
Conclusion :
Les 04 conditions sont vérifiées pour Le types 01 de poutrelle de ce bâtiment on peut utiliser
la méthode forfaitaire.
Pour les types 2 et 3 les conditions ne sont pas vérifiées donc on calcule avec la méthode de
Caquot.
Application de la méthode forfaitaire :
Moments sur appuis :
0.2M0 0.6M0 0.2M0
0.2M0 0.5M0 0.5M0 0.2M0
0.2M0 0.5M0 0.4M0 0.4M0 0.5M0 0.2M0
1 2 3 i j n-1 n
Appui de rive Appui voisin de rive Appui intermédiaire
Figure III.3 type d’une poutrelle continue.
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 35
Moments en travées :
Mt +Mw+Me
2≥ max {
(1 + 0.3α)M0
1.05M0
Vérification :
Travée de rive : Mt ≥(1.2+0.3α)
2M0
Travée intermédiaire : Mt ≥(1+0.3α)
2M0
𝐌𝟎: Le moment maximal dans la travée indépendante.
𝐌𝐭: Le moment maximal dans la travée étudiée.
𝐌𝐰: Le moment sur l’appui gauche de la travée.
𝐌𝐞: Le moment sur l’appui droit de la travée.
𝛂: Le rapport de charge d’exploitation (Q) a la somme de charge permanente (G) et la charge
d’exploitation (Q). α =Q
G+Q
Efforts tranchants :
Tw =Mw−Me
L+
q.L
2
Te =Mw−Me
L−
q.L
2
Détermination des sollicitations (Terrasse) :
Type 01 :
α =Q
G+Q=
1
6,39+1= 0,13
1 2 3
4,5 m 4.1m
A l’état limite ultime (ELU) :
Calcul du moment en appuis :
M01 =Pu×L
2
8=
6,39×4,52
8= 16,17 KN.m
M021 = max{
M01 =Pu×L
2
8=
6,39×4,52
8= 16,17 KN.m
M02 =Pu×L
2
8=
6,39×4.12
8= 13,42 KN.m
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 36
M012 = 16,17 KN.m
Donc les moments en appuis sont :
0,2 M01 0,5 M012 0,2M02
4,5 m 4,1 m
Calcul des moments en travées :
a) Travée 1 :
3,23 9,70
4,5 m
Mt1 +Mw+Me
2≥ max {
(1 + 0,3 × α) × M0
1,05 × M0
Mt1 +3,23+9,70
2≥ max {
(1 + 0,3 × 0,13) × 16,17 = 16,801,05 × 16,17 = 16,97
Mt1 + 6,46 ≥ 16,97
Mt1 ≥ 16,97 − 6,46
Mt1 ≥ 10,51 KN.m
Vérification :
Mt1 +(1+0,3×α)×M0
2
Mt1 +(1+0,3×α)×16,17
2
Mt1 ≥ 10,51 KN.m
Donc : Mt1 ≥ 10,51 KN.m
a) Travée 02 :
9,70 2,58
4,1 m
Mt1 +9,70+2,58
2≥ max {
(1 + 0,3 × 0,13) × 13,42 = 13,941,05 × 13,42 = 14,09
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 37
Mt1 + 6,14 ≥ 14,09
Mt1 ≥ 14,09 − 6,14
Mt1 ≥ 7,95 KN.m
Vérification :
Mt1 +(1+0,3×α)×M0
2
Mt1 +(1+0,3×0,13)×14,09
2
Mt1 ≥ 7,31 KN.m
Donc : Mt1 ≥ 7,95 KN.m
Calcul des efforts tranchants :
a) Travée 01 :
3,23 9,70
4,5 m
Tw =P×L
2+
Mg−Mw
L
Tw =6,39×4,5
2+
9,70−3,23
4,5= 15,81 KN
Te = −P×L
2+
Mg−Mw
L
Te = −6,39×4,5
2+
9,70−3,23
4,5= −12,93 KN
b) Travée 02 :
9.70 2.58
4,1 m
Tw =P×L
2+
Mg−Mw
L
Tw =6,39×4,1
2+
2,58−9,70
4,1= 11,36 KN
Te = −P×L
2+
Mg−Mw
L
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 38
Te = −6,39×4,1
2+
2,58−9,70
4,1= −14,83 KN
A l’état limite de service (ELS) :
Calcul des moments en appuis :
M01 =Pu×L
2
8=
4,67×4,52
8= 11,82 KN.m
M021 = max{
M01 =Pu×L
2
8=
4,67×4,52
8= 11,82 KN.m
M02 =Pu×L
2
8=
4,67×4.12
8= 9,81 KN.m
M012 = 11,82 KN.m
Donc les moments en appuis sont :
2,36 7,09 1,96
4,5 m 4,1 m
Calcul du moment en travées :
a) travée 01 :
2,36 7,09
4,5 m
Mt1 +2,36+7,09
2≥ max {
(1 + 0,3 × 0,13) × 11,82 = 12,281,05 × 11,82 = 12,41
Mt1 + 4,72 ≥ 12,41
Mt1 ≥ 12,41 − 4,72
Mt1 ≥ 7,69 KN.m
Vérification :
Mt1 +(1+0,3×α)×M0
2
Mt1 +(1+0,3×0,13)×12,41
2
Mt1 ≥ 6,44 KN.m
Donc : Mt1 ≥ 7,69 KN.m
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 39
b) Travée 02 :
7.09 1.86
4,1 m
Mt1 +7,09+1,86
2≥ max {
(1 + 0,3 × 0,13) × 9,81 = 10,19 KN1,05 × 9,81 = 10,30 KN
Mt1 + 4,47 ≥ 10,30
Mt1 ≥ 10,30 − 4,47
Mt1 ≥ 5,83 KN.m
Vérification :
Mt1 +(1+0,3×α)×M0
2
Mt1 +(1+0,3×0,13)×10,30
2
Mt1 ≥ 5,35 KN.m
Donc : Mt1 ≥ 5,83 KN.m
Calcul des efforts tranchants :
a) Travée 01 :
2,36 7,09
4,5
Tw =P×L
2+
Mg−Mw
L
Tw =4,67×4,5
2+
7,09−2,36
4,5= 11,55 KN
Te = −P×L
2+
Mg−Mw
L
Te = −4,67×4,5
2+
7,09−2,36
4,5= −9,45 KN
b) Travée 02 :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 40
7.09 1.86
4,1 m
Tw =P×L
2+
Me−Mw
L
Tw =4,67×4,1
2+
1,86−7,09
4,1= 8,29 KN
Te = −P×L
2+
Me−Mw
L
Te = −4,67×4,1
2+
1,86−7,09
4,1= −10,85 KN
Tableaux récapitulatifs des résultats obtenus :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 41
A L’ELU :
A ELS :
Tableau III.2 : Les résultats de calcul à ELU méthode forfaitaire.
Etage Travée L
(m)
A ELU
𝐌𝟎
(KN.m)
𝐌𝐰
(KN.m)
𝐌𝐞
(KN.m)
𝐌𝐭
(KN.m)
𝐓𝐰
(KN)
𝐓𝐞 (KN)
Terrasse
inaccessible
0-1 4,5 16,17 3,23 9,70 10,51 15,81 -12,93
1-2 4,1 13,42 9,70 2,58 7,95 11,36 -14,83
Etage
courant
0-1
4,5
13,08
2,61
7,84
8,51
13,60
-11,28
1-2
4,1
11,61
7,84
2,32
7,11
9,99
-12,68
Tableau III-3 : Les résultats de calcul à ELS méthode
forfaitaire.
Etage Travée L
(m)
A ELS
𝐌𝟎
(KN.m)
𝐌𝐰
(KN.m)
𝐌𝐞
(KN.m)
𝐌𝐭
(KN.m)
𝐓𝐰
(KN)
𝐓𝐞 (KN)
Terrasse
inaccessible
0-1 4,5 11,82 2,36 7,09 7,69 11,55 -9,45
1-2 4,1 9,81 7,09 1,86 7,95 11,36 -14,83
Etage
courant
0-1
4,5
10,12
2,02
6,07
6,58
9,90
-8,10
1-2
4,1
8,40
6,07
1,68
4,95
7,12
-9,27
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 42
Diagrammes des moments type 01 :
Diagrammes des efforts tranchants type 01:
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 43
Méthode de Caquot :
Moment en appuis :
MAppuis = −q×(L1
′3+L2′3)
8.5(L1′+L2
′)
𝐿 : La longueur des travées
q : Le chargement
L′ = { 0.8L ∶ Travée intermediaire L ∶ travée de rive
Moment en travée :
MT =q×L
2x − (q ×
x2
2) − (Mi ×
x
L) − (Mi × (
x
L)) − (Mi−1 × (1 −
x
L))
x =L
2+
Mi−1−Mi
q×L
Tw =q×L
2+
Mi−1−Mi
L
Te =q×L
2− (q × L) +
Mi−1−Mi
L
Exemple de calcul de la méthode de Caquot :
Type 02 :
Terrasse à ELU :
qu = 6.39 KN/m
Calcul de moment en appuis :
MAppuis = −qu×(L1
′3+L2′3)
8.5(L1+L2)
MA = 0
MB = −6.39×(4.53+2.323)
8.5×(4.5+2.32)= −11.42 KN.m
MC = −6.39×(2.323+4.53)
8.5×(2.32+4.5)= −11.42 KN.m
MD = 0
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 44
Calcul du moment en travées :
Travée 1 :
x =L
2+
Mi−1−Mi
qu×L=
4.5
2+
0−11.42
6.39×4.5= 1.85
MT =qu×L
2x − (qu ×
x2
2) − (Mi ×
x
L) − (Mi−1 × (1 −
x
L))
MT =6.39×4.5
2× 1.85 − (6.39 ×
1.852
2) − (11.42 ×
1.85
4.5) = 10.96 KN.m
Tw =qu×L
2+
Mi−1−Mi
L=
6.39×4.5
2+
0−11.42
4.5= 11.83 KN
Te =qu×L
2− (qu × L) +
Mi−1−Mi
L=
6.39×4.5
2− (6.39 × 4.5) +
0−11.42
4.5= −16.91 KN
Travée 2 :
x =L
2+
Mi−1−Mi
qu×L=
2.9
2+
11.42−11.42
6.39×2.9= 1.45
MT =qu×L
2x − (qu ×
x2
2) − (Mi ×
x
L) − (Mi−1 × (1 −
x
L))
MT =6.39×2.9
2× 1.45 − (6.39 ×
1.452
2)—(11.42 ×
1.45
2.9) − (11.42 × (1 −
1.45
2.9)) =
6.63 KN.m
Tw =qu×L
2+
Mi−1−Mi
L=
6.39×2.9
2+
11.42−11.42
2.9= 9.26 KN
Te =qu×L
2− (qu × L) +
Mi−1−Mi
L=
6.39×2.9
2− (6.39 × 2.9) +
11.42−11.42
2.9= −9.26 KN
Travée 03 :
x =L
2+
Mi−1−Mi
qu×L=
4.5
2+
11.42−0
6.39×4.5= 2.64
MT =qu×L
2x − (qu ×
x2
2) − (Mi ×
x
L) − (Mi−1 × (1 −
x
L))
MT =6.39×4.5
2× 2.64 − (6.39 ×
2.642
2) − (11.42 × (1 −
1.85
4.5)) = 10.96 KN.m
Tw =qu×L
2+
Mi−1−Mi
L=
6.39×4.5
2+
11.42−0
4.5= 16.91 KN
Te =qu×L
2− (qu × L) +
Mi−1−Mi
L=
6.39×4.5
2− (6.39 × 4.5) +
11.42−0
4.5= −11.83 KN
Les tableaux présentant les résultats obtenus :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 45
Tableau III.4 : Les résultats de calcul à ELU méthode de Caquot
ELU
Terrasse : 𝐆 = 𝟔. 𝟑𝟗 𝐊𝐍/𝐦
𝐌𝐚(𝐊𝐍.𝐦) Travées X 𝐌𝐭(𝐊𝐍.𝐦) 𝐓𝐰(𝐊𝐍) 𝐓𝐞(𝐊𝐍)
Type 02
0 A - B 1.85 10.96 11.83 -16.91
-11.42 B - C 1.45 6.63 9.26 -9.26
-11.42 C - D 2.64 10.96 16.91 -11.83
0 / / / / /
Type 03
0 A - B 1.61 8.37 10.34 -15.85
-11.28 B - C 2.38 6.83 15.21 -13.53
-7.51 C - D 1.45 6.71 9.26 -9.26
-7.51 D - E 2.11 6.85 13.53 -15.21
-11.28 E - F 2.48 8.39 15.85 -10.34
0 / / / / /
Types 02
Etage courant : 𝐆 = 𝟓. 𝟓𝟑 𝐊𝐍/𝐦
0 A - B 1.85 9.49 10.24 -14.63
-9.88 B - C 1.45 2.20 8.01 -8.01
-9.88 C - D 2.64 9.49 14.63 -10.24
0 / / / / /
Types 03
0 A - B 1.91 7.72 8.29 -13.34
-8.24 B - C 2.32 6.64 12.83 -12.21
-6.49 C - D 1.45 2.20 8.01 -8.01
-6.49 D - E 2.17 6.64 12.21 -12.83
-8.24 E - F 2.65 6.49 13.34 -8.29
0 / / / / /
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 46
Tableau III.5 : Les résultats de calcul à ELS méthode de Caquot
ELS
Terrasse : 𝐆 = 𝟒. 𝟔𝟕 𝐊𝐍/𝐦
𝐌𝐚(𝐊𝐍.𝐦) Travées X 𝐌𝐭(𝐊𝐍.𝐦) 𝐓𝐰(𝐊𝐍) 𝐓𝐞(𝐊𝐍)
Type 02
0 A - B 1.85 8.01 8.65 -12.36
-8.35 B - C 1.45 1.86 6.77 -6.77
-8.35 C - D 2.64 8.01 12.36 -8.65
0 / / / / /
Type 03
0 A - B 1.61 6.12 7.56 -11.58
-8.24 B - C 2.38 5.12 11.11 -9.89
-5.49 C - D 1.45 4.90 6.77 -6.77
-5.49 D - E 2.11 5.01 9.89 -11.11
-8.24 E - F 2.48 6.08 11.58 -7.56
0 / / / / /
Types 02
Etage courant : 𝐆 = 𝟒 𝐊𝐍/𝐦
0 A - B 1.85 6.86 7.41 -10.58
-7.14 B - C 1.45 1.45 5.80 -5.80
-7.14 C - D 2.64 4.20 10.58 -7.41
0 / / / / /
Types 03
0 A - B 1.61 4.24 6.47 -9.92
-7.06 B - C 2.38 4.27 9.52 -8.47
-4.70 C - D 1.45 4.20 5.8 -5.08
-4.70 D - E 2.04 4.26 8.47 -9.52
-7.06 E - F 2.48 5.24 9.92 -6.47
0 / / / / /
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 47
Diagrammes des moments Types 02 :
Diagrammes des moments Type 03 :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 48
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 49
Diagrammes des efforts tranchants Types 02 :
Diagrammes d’effort tranchant Type 03 :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 50
Les sollicitations maximales :
A ELU :
Terrasse :
Tableau III-6 : Les sollicitations maximales.
𝐌𝐚 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐭 𝐦𝐚𝐱 𝐓𝐦𝐚𝐱
Terrasse
ELU 11.42 10.96 16.91
ELS 8.35 8.01 12.36
Etage
courant
ELU 9.88 9.49 14.63
ELS 7.14 6.86 10.58
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 51
{
Ma = 11.42 KN/mMt = 10.96 KN/mT = 16.91 KN/m
Mtu = b × h0 × fbu(d −h0
2)
h0 = 0.04 m ; d = 0.9ht= 0.18 m ; b = 0.6 m
fbu =0.85×ft28
θ×γb=
0.85×25
1×1.5= 14.17 Mpa
Mtu = 0.6 × 0.04 ×14.17× (0.18 −0.04
2) × 103
Mtu = 54.51 KN.m
Mt(max) = 10.96 KN.m < Mtu = 54.41 KN.m
Vérification de l’existence des armatures comprimées :
At =Mt max
Z×δS
μu =Mt max
b×d2×fbu
μu =10.96×10−3
0.6×0.182×14.17 = 0.039
α = 1.25 (1 − √1 − 2μu)
α = 1.25× (1 − √(1 − 2 × 0.039)) → α = 0.049
Z = d (1−(0.4 × α))
Z = 0.18 (1−(0.4 × 0.049)) Z = 0.176
δs =fe
γs=
400
1.15= 348 Mpa
At =Mt max
Z×δs= (
10.96×10−3
0.176×348) × 104
At = 1.78 cm2
La condition de fragilité :
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe
ft28 = 0.6 + 0.06fc28
ft28 = 0.6 + (0.06 × 25) = 2.1 Mpa
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 52
Amin = (0.23 × 0.6 × 0.18 ×2.1
400) × 104
Amin = 1.30 cm2
At = 1.78 cm2 > Amin = 1.30 cm2
At = max(At ; Amin) = 1.78 cm2
Le choix des barres : 3T12 → A = 3.39 𝐜𝐦𝟐
Détermination des armatures au niveau des appuis :
Mau = b0 × h0 × fbu (d −h0
2)
Mau = 0.12 × 0.04 × 14.17(0.18 −0.04
2) × 103
Mau = 10.88 KN.m
Mappuis(max) = 11.42 KN.m > Mau = 10.88 KN.m
Vérification de l’existence de l’armature comprimée :
Aa =Map(max)
Z×δs
μu =11.42×10−3
0.6×0.182×14.17= 0.041
α = 1.25(1 − √1 − 2 × 0.041) = 0.053
Z = 0.18(1 − (0.4 × 0.053)) = 0.176
δs = 348 Mpa
Aa = (11.42×10−3
0.176×348) × 104
Aa = 1.86 cm2
Les conditions de fragilité :
Amin = 0.23 × b0 × d ×ft28
fe
ft28 = 2.1 Mpa
Amin = (0.23 × 0.12 × 0.18 ×2.1
400) × 104 = 0.26 cm2
Aa = 1.86 cm2 > Amin = 0.26 cm
2
Aa = max(Aa; Amin) = 1.86 cm2
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 53
Choix des barres : 2T12 = 2.26 𝐜𝐦𝟐
Vérification a ELS :
Pour le béton : δb ≤ δbc̅̅ ̅̅ = 0.6fc28
Ou : α ≤γ−1
2+
fc28
100 avec γ =
Mu
Ms
En travée :
γ =Mu
Ms=
10.96
8.01= 1.36
α = 0.057 ≤1.36−1
2+
25
100= 0.43 C. V
En appui :
γ =Mu
Ms=
11.42
8.35= 1.36
α = 0.060 ≤1.36−1
2+
25
100= 0.43 C. V
Alors : δbc ≤ δbc̅̅ ̅̅ = 0.6fc28
Vérification de l’effort tranchant :
τlim = min ( 0.2fc28
γb ; 5 Mpa )
min ( 3.33 Mpa ; 5 Mpa )
τlim = 3.33 Mpa
Contrainte tangente :
τu =Tu max
b0×d=
16.91×10−3
0.12×0.18= 0.78 Mpa
Donc : τu = 0.78 Mpa < τlim = 3.33 Mpa C. V
Armatures transversales :
∅t ≤ min ( h
35 ; ∅l ;
b0
10 )
∅t ≤ min ( 5.71 ; 10 ; 12 )
∅t ≤ 5.71
On prend ∅t = 6 min
Choix 2 ∅ 6 → At = 0.57 cm2
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 54
Calcul d’espacement des armatures transversales :
D’après le BAEL91 :
𝑆𝑡 ≤0.9×𝑓𝑒×𝐴𝑡×(cos𝛼+sin 𝛼)
𝑏0×𝛾𝑠×(𝜏𝑢−0.3𝑓𝑡𝑗×𝐾)
K = 0 reprise de bétonnage
𝛼 = 90𝑜
𝑆𝑡1 =0.9×235×0.57×10−4
0.12×1.15×(0.76−0.3×0)= 0.1149 𝑚 = 11.49 𝑐𝑚
𝛿𝑡2 ≤ min(0.9𝑑 ; 40 𝑐𝑚)
𝛿𝑡2 ≤ min(16.2 ; 40) } 𝛿𝑡2 ≤ 16.2 𝑐𝑚
𝛿𝑡3 ≤𝐴𝑡×𝑓𝑒
𝑏0×0.4
𝛿𝑡3 ≤0.57×235
12×0.4→ 𝛿𝑡3 ≤ 27.90 𝑐𝑚
𝑆𝑡 = min (𝑆𝑡1; 𝑆𝑡2 , 𝑆𝑡3)
𝑆𝑡 = min [(16.2), (27.90), (10.52)]
On adopte : 𝛿𝑡 = 15 𝑐𝑚
Calcul de la flèche :
a) h
L≥
1
16
b) h
L≥
1
16×
Mt service
Ma service
c) A
b0×d≤
4.2
fe
L : La portée de la travée entre axes d'appuis.
Figure III.9 : Schéma de ferraillage de poutrelle.
En appuis En travées
3T10
3T10
1T10 2T12
2∅6
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 55
h : La hauteur totale de la section droite.
d : La hauteur utile de la section droite.
b0: La largeur de la nervure. Mt service: Le moment en travée maximal à E.L.S.
Ma service: Le moment en appui maximal à E.L.S. A : La section des armatures tendues.
fe: La limite élastique de l'acier utilisé (en MPa).
Vérification des conditions :
a) h
L=
20
450= 0.044 ≥
1
16 → C. N. V
b) ht
450=
20
450= 0.044 ≥
1
10×8.01
8.35= 0.095 → C. N. V
c) A
b0×d=
3.39
12×18= 0.016 ≤
4.2
400= 0.011 → C. N. V
Les trois conditions ne sont pas vérifiées donc le calcul de la flèche est nécessaire.
Etage courant :
{
G = GTOT × b
P = (G + Q) × b J = (Pplancher + cloison) × b
Pour b = 0.6 𝑚
{
G = 5.17 × 0.6 = 3.10 KN/ml
P = (5.17 + 1.5) × 0.6 = 4 KN/ml
J = (2.8 + 0.9) × 0.6 = 2.22 KN/ml
Calcul des moments fléchissant :
{
MG = 0.85 .
G .L2
8= 0.85 ×
3.10×4.52
8= 6.66 KN.m
MP = 0.85 .P .L2
8= 0.85
4×4.52
8= 8.60 KN.m
MJ = 0.85 .J .L2
8= 0.85 ×
2.22×4.52
8= 4.47 KN.m
Modèle de déformation longitudinal :
Ei = 11000 . √fc283 = 11000× √25
3= 32164.2 Mpa
Ev = 3700 . √fc283 = 3700 × √25
3= 10818.86 Mpa
Calcul du moment d’inertie :
𝑉2 =∑𝑆𝑖𝑌𝑖
𝑆𝑖
V2 =[(b×h0)(h−
h02)]+[b0(h−h0)(
h−h02
)]+[( η×As)(h−d)]
(b×h0)+b0(h−h0)+( η×As)
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 56
Avec :
η = 15 ; b = 0.6 ; h0 = 0.04 ; h = 0.2 ; As = 3.39 ; b0 = 0.12
V2 = 0.1235 m = 12.35 cm
V1 = ht − V2 = 20 − 12.35 = 7.65 cm
I0 =b×V1
3
3+
b0×V23
3−
(b−b0)(V1−h0)3
3+ η × As(d − V1)
2
I0 =60×7.653
3+
12×12.353
3−
(60−12)(7.65−4)3
3+ 15 × 3.39(18− 7.65)2 = 21157.65 cm4
Les contraintes dans l’acier suivant les sollicitations :
σs =M.η
I0. y
y : La distance entre armature tendue et l’axe neutre.
y = d − V1 = 18 − 7.65 = 10.35 cm
Calcul des contraintes suivant les sollicitations :
{
σSG =
MG .η
I0. y =
6.66×15
21157.65× 10.35 × 103 = 48.87 MPa
σSP =MP.η
I0. y =
8.60×15
21157.65× 10.35 × 103 = 63.11 MPa
σSJ =MJ .η
I0. y =
4.47×15
21157.65× 10.35 × 103 = 32.80 MPa
Le calcul de 𝛍𝐆 ; 𝛍𝐏 ; 𝛍𝐉 :
ρ =A
b0.d=
3.39
12×18= 0.016
{
𝜇𝐺 = 1 − (
1.75𝑓𝑡28
4.𝜌.σSG+𝑓𝑡28) = 1 − (
1.75×2.1
4×0.016×48.87+2.1) = 0.29
𝜇𝑃 = 1 − (1.75𝑓𝑡28
4.𝜌.σSP+𝑓𝑡28) = 1 − (
1.75×2.1
4×0.016×63.11+2.1) = 0.40
𝜇𝐽 = 1 − (1.75𝑓𝑡28
4.𝜌.σSJ+𝑓𝑡28) = 1 − (
1.75×2.1
4×0.016×32.80+2.1) = 0.12
Calcul des moments d’inertie fictif :
If =1.1×I0
1+λ.μ
{ λi =
0.05ft28
(2+3b0b)ρ=
0.05×2.1
(2+3×12
60)×0.016
= 2.52
λv =2
5λi =
2
5× 2.52 = 1.01
IfiG =
1.1×I0
1+λi.μG=
1.1×21157.65
1+2.52×0.29= 13446.62 cm4
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 57
IfvG =
1.1×I0
1+λv.μG=
1.1×21157.65
1+1.01×0.29= 18000.93 cm4
Ifip=
1.1×I0
1+λi.p=
1.1×21157.65
1+2.52×0.40= 11590.34 cm4
Ifij=
1.1×I0
1+λi.μi=
1.1×21157.65
1+2.52×0.12= 17869.63 cm4
Calcul de la flèche :
fGi =MG .L
2
10.Ei.I fiG =
6.66×4.82×107
10×32164.20×13446.62= 0.35 cm
fGv =MG.L
2
10.Ev.I fvG =
6.66×4.82×107
10×10818.86×18000.93= 0.78 cm
fPi =MP.L
2
10.Ei .I fiP =
8.60×4.82×107
10×32164.20×11590.34= 0.41 cm
fJi =MJ .L
2
10.Ei .I fiJ =
4.47×4.82×107
10×32164.20×17869.63= 0.26 cm
∆ft = (fGv − fJi) + (fPi − fGi) = (0.78 − 0.26) + (0.41 − 0.35) = 0.58
La flèche admissible :
∆fmax =L
500=
450
500= 0.90 cm
Donc : ∆ft = 0.58cm < ∆fmax = 0.90 cm …………………. Condition vérifiée
Les contraintes dans l’acier suivant les sollicitations :
σ𝒔 =Mx×η
W= σs =
Mx
I0× y
y = d − V1 ⇒ y = 18 − 7,65 ⇒ y = 10,35
Calcul des contraintes suivant les sollicitations :
σsg =My×η
I0× y =
6.66×15
21157,65× 10,35 × 103 = 48.86 MPa
σsp =Mp×η
I0× y =
8.60×15
21157,65× 10,35 × 103 = 63.10 MPa
σsj =My×η
I0× y =
4.47×15
21157,65× 10,35 × 103 = 32.79 MPa
⇒ Calcul de 𝛍𝐲 ; 𝛍𝐩 ; 𝛍𝐣
Ρ =A
b0×d=
3,39
12×18= 0,016
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 58
μj= 1− [
1,75ft28
4×ρ×σsj+ft28] = 1 − [
1,75×2,1
4×0,016×32.79+2,1] = 0,12
μG= 1 − [
1,75ft28
4×ρ×σsg+ft28] = 1 − [
1,75×2,1
4×0,016×48.86+2,1] = 0,29
μp= 1− [
1,75ft28
4×ρ×σsp+ft28] = 1 − [
1,75×2,1
4×0,016×63.10+2,1] = 0,40
Calcul des moments d’inertie fictif :
If =1,1×I0
(1+λ×μ)
λi =0,05×ft28
(2+3b0b)×ρ
=0,05×2,1
(2+3×12
60)×0,016
= 2,52
λv =2
5× λi =
2
5× 2,52 = 1,01
Ifig=
1,1I0
(1+λi×Ug)=
1,1×21157,65
1+(2,52×0,29)= 13446.62 cm4
Ifvg=
1,1I0
(1+λv×Ug)=
1,1×21157,65
1+(1,01×0,29)= 18000.93 cm4
Ifip=
1,1I0
(1+λi×Up)=
1,1×21157,65
1+(2,52×0,40)= 11590.34 cm4
Ifij=
1,1I0
(1+λi×Uj)=
1,1×21157,65
1+(2,52×0,12)= 17869.63 cm4
Calcul de la flèche :
fgi =Mg × l
2
10 × Ei × Ifig =
6.66 × 4,52 × 107
10 × 32164,20 × 13446.62= 0,31 cm
fgv =Mg × l
2
10 × Ev × Ifvg =
6.66 × 4,52 × 107
10 × 10818,87 × 18000.93= 0,69 cm
fji =Mj × l
2
10 × Ei × Ifij =
4.47 × 4,52 × 107
10 × 32164,20 × 17869.63= 0,23 cm
fpi =Mp × l
2
10 × Ei × Ifip =
8.60 × 4,52 × 107
10 × 32164,20 × 11590.34= 0.36 cm
La flèche totale :
Δfr = (fgv − fji) + (fpi − fgi) = (0.69 − 0,23) + (0,36 − 0,31) = 0,51 cm
La flèche admissible :
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 59
Δf max =L
500=
450
500= 0,96 cm………( L ≤ 5m)
Donc :
Δft = 0,51 cm < Δf max = 0,90 cm ⇒ CV
III.2.3 Ferraillage de la dalle de compression :
Pour le ferraillage de la dalle de compression, il faut suivre les conditions de BAEL(B.6.8,
42) :
La dalle de compression doit avoir une épaisseur minimale de 4 cm et être armée de
quadrillage des barres dont les dimensions des mailles ne doivent pas dépasser :
20 cm pour les armatures perpendiculaires aux nervures 𝐴⊥.
30 cm pour les armatures parallèles aux nervures 𝐴∏.
La section minimale de l’armature doit être :
Ln ≤ 50 cm ⇒ As ≥200
fe (cm2)
50 ≤ Ln ≤ 80 cm ⇒ As ≥ 4(Ln
fe)
Avec : fe = 400 MPa ; Ln = 60 cm
armatures perpendiculaires aux nervures 𝐴⊥
50 < Ln ≤ 80 cm ⇒ As ≥4×60
400= 0,6 cm2
φ ≤h0
10=
4
10= 0,4 cm
𝐎𝐧 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐩𝐨𝐮𝐫 ∶ φ = 6 mm
On prend : 5∅6/ml ⇒ A⊥ = 1.41 cm2/ml avec e = 20 cm
armatures parallèles aux nervures 𝐴∏
A∏ ≥A⊥
2 ⇒ A∏ ≥
1.41
2= 0.70cm2/ml
On prend : 5∅6/ml ⇒ A∏ = 1.41 cm2/ml avec e = 20 cm
Donc on a un treillis soudé d’un quadrillage à maille ∅6(200 × 200)mm2
Chapitre III Etude des planchers
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 60
TS∅𝟔
Figure III.10 : Disposition constructive des armatures de la table de compression.
Conclusion :
Dans ce chapitre on a calculées le plancher à corps creux avec deux méthodes de
calculs (forfaitaires et Caquot).
100 cm
100 cm
St
St/2
Chapitre IV
Etude des
éléments non
structuraux
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 61
IV.1 Introduction :
Les éléments non structuraux dans le bâtiment sont les escaliers, l’acrotère, l’ascenseur et le
balcon ou (murs, cloison…ect).
IV.2 Etude de l’acrotère :
IV.2.1 Définition :
L’acrotère est assimilée à une console encastrée dans le plancher terrasse, son rôle est de
protéger le revêtement de la terrasse contre les eaux pluviales.
L’acrotère sera calculé en flexion composée sous l’effet d’un effort normal dû à son poids
propre WP et un moment de flexion de l’application de la charge FP.
Selon le RPA99 version 2003 (6.2.3) détermine l’application de la force horizontale FP pour
le calcul secondaire.
IV.2.2 Evaluation des charges :
a) Charges permanentes
Les dimensions de l’acrotère :
10 15cm cm
60cm
8cm 2cm
Lx
WP
60cm
Figure IV.1: Schéma statique de l’acrotère Figure IV.1: Coupe verticale sur l’acrotère
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 62
{h = 60 cme = 10 cm
Surface de l’acrotère :
𝑆 = 0.1 × 0.6 + 0.08 × 0.15 +0.02×0.15
2= 0.073 m2
Le poids propre de l’acrotère :
Wp = γb × s × 1 = 25 × 0.073 × 1 = 1.825 KN/ml
b) charges d’exploitations :
Q = 1 KN/ml
La force sismique :
Fp = 4.A. cpwp
A coefficient de l’accélération de zone ( zone 3 ) → A = 0.25
𝐶𝑝 facteur de force horizontale 𝐶𝑝 = 0.8
Fp = 4 × 0.25 × 0.8 × 1.825 = 1.46 KN/ml
IV.2.3 Calcul des sollicitations :
Etat limite ultime :
Mu = 1.5Fp × h = 1.5 × 1.46 × 0.6 = 1.314 KN.ml
Nu = 1.35Wp = 1.35 × 1.825 = 2.463 KN/ml
Etat limite de service :
Ms = Fp × h = 1.46 × 0.6 = 0.876 KN.ml
Ns = Wp = 1.825 KN/ml
IV.2.4 Calcul de l’excentricité :
Vérification de flambement
A état limite ultime :
Avec :
e1 : Excentricité de résultante.
e2 : Excentricité due aux effets de second ordre.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 63
ea : Excentricité additionnelle.
e1 =Mu
Nu=
1.314
2.463= 0.533
e2 =3Lf
2
104 .h(2 + α. ∅)
𝐿𝑓 ∶ Longueur de flambement.
∅ ∶ Le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous
charge considérée, ce rapport est généralement pris égal à 2.
𝛼: Le rapport du premier ordre, du aux charges permanentes et quasi-permanentes, au
moment total du premier ordre, ce moment étant pris avant application des coefficients 𝛾.
Lf = 2L0 = 2 × 0.6 = 1.2 m
α = 10 (1 −MU
1.5Ms) = 10 × (1 −
1.314
1.5×0.876) = 0
e2 =3×1.22
104 .0.1(2 + 0 × 2) = 0.000864 m
ea = max [2 cm ;L
250] = max [2 cm ;
60
250]
ea = 2 cm = 0.02 m
e = e1 + e2 + ea = 0.533 + 0.000864 + 0.02 = 0.55 m
e = 55 cm
IV.2.5 Calcul des armatures :
Ѱ1 =Nu
b×h×fbu=
2.463×10−3
0.1×1×14.17= 0.0017
Le tableau 𝜀 = 𝑓( Ѱ1) BAEL 91 P174 donne le coefficient égal 0.1666
𝑒𝑁𝑐 = 0.1666 × 1 = 0.1666
𝑒 > 𝑒𝑁𝑐 → La section est partiellement comprimée on calcul un moment de flexion fictif
Mfec = Nu (e + d −h
2) Tel que : d = 0.9h
Mfec = 2.463 × (0.55 + 0.9 −1
2) = 2.339 KN.m/ml
On calcule les armatures de la section étudiée soumise à une flexion simple de moment 𝑀𝑓𝑖𝑐
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 64
a) Les armatures longitudinales :
µu =Mfec
b×d2×fbu=
2.339×10−3
0.1×0.92×14.17= 0.002
µbu = 0.002 < µlim = 0.392 → section sans armatures comprimées A′ = 0
Bu = 1 − √1− 2µu = 1− √1 − 2 × 0.002 = 0.002
As fic =Bu×d×b×fbu
σs= (
0.002×0.9×0.1×14.17
348) × 104 = 0.08 cm2/ml
La section réelle d’acier tendue vaut :
As = As fic −Nu
σst= (0.08 × 10−4 −
2.463×10−3
348) × 104 = 0.009 cm2
La condition de non fragilité impose une section minimale d’armatures :
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= (0.23 × 0.1 × 0.9 ×
2.1
400) × 104 = 1.08 cm2
Choix des barres :
As = max(As; Amin) = 1.08 cm2
On adopte : 4T8 = 2.01 cm2 → St = 25 cm
b) Les armatures de répartition :
At =As
4 At =
2.01
4= 0.50 cm2
Le choix d’armature :
At = 0.50 cm2 4∅6 = 0.85 cm2 → St = 20 cm
IV.2.7 Vérification de l’effort tranchant :
Tmax = 1.5 Fp Tmax = 1.5 × 1.46
Tmax = 2.19 KN/ml
τmax =Tmax
b.d τmax =
2.19×10−3
0.1×0.9
τmax = 0.024 MPa
τadm = min[0.15 × fc28 ; 4 MPa ] min[0.15× 25 ; 4 MPa]
τadm = 3.75 MPa
Tmax = 2.19 KN/ml < τadm = 3.75 MPa…………… . . CV
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
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Vérification au séisme :
Fp ≤ 1.5Q
Q = 1KN/ml Fp = 1.46 ≤ 1.5 × 1
Fp = 1.46 ≤ 1.5……………CV
Schéma de ferraillage :
IV.3 Etude de balcon :
Le balcon est constitué d’une dalle pleine il est considéré comme une console encastrée au
niveau de la poutre de rive.
Dans notre projet on a 2 types de balcon :
Type 01 : L = 1.40 m.
Type 02 : L = 1.90 m.
Le calcul ce fait pour une bande de 1 mètre linaire.
IV.3.1 Le pré dimensionnement :
L
30≤ eb ≤
L
10
{eb ∶ epaisseur du balcon.L ∶ la largeur du balcon.
Type 01 :
140
30≤ eb ≤
140
10 ⟹ 4.66 cm ≤ eb ≤ 14 cm
Figure IV.2: Schéma de ferraillage de l'acrotère
4∅6
4T8
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 66
Donc on adopte : 𝑒𝑏 = 15 𝑐𝑚
Type 02 :
190
30≤ eb ≤
190
10 ⟹ 6 cm ≤ eb ≤ 18 cm
Donc on adopte : eb = 15 cm
IV.3.2 Evaluation des charges :
Charge permanente G :
Tableaux IV.1 : Descente des charges pour balcon
Chargement Poids volumique
(KN/𝐦𝟑) G
(KN/𝐦𝟐)
Carrelage (2 cm) 22 0.44
Mortier de pose (2 cm) 20 0.40
Lit de sable (2 cm) 18 0.36
Dalle pleine (15 cm) 25 3.75
Enduit en plâtre (2 cm) 10 0.20
Simple cloison / 0.90
∑𝐆 6.05
Pour une bande de 1ml :
G = 6.05 KN/m2
Charge d’exploitation Q :
Pour une bande de 1ml :
Q = 3.50 KN/ml
Charge concentrée F :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
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Tableau IV.2 : Descente des charges de mur.
Chargement Poids volumique
(𝐊𝐍/𝐦𝟑) Charge (𝐊𝐍/𝐦𝟐)
Brique creuse (10 cm) / 0.90
Enduit en plâtre (2 cm) 10 0.20
Enduit extérieur (2 cm) 20 0.40
∑𝐅 1.50
La hauteur du mur est h = 1.2 m
F = 1.50 × 1.20 = 1.80 KN/m
IV.3.3 Calcul des sollicitations :
Type 01 :
A L’ELU :
qu = 1.35G + 1.5Q = 1.35 × 6.05 + 1.5 × 3.5 = 13.16 KN/ml
Pu = 1.35 F = 1.35 × 1.8
Pu = 2.43 KN
Mu =qu×L
2
2+ Pu × L =
13.16×1.42
2+ 2.43 × 1.4 = 16.29 KN.m
1.40 m
G , q
𝐏
Figure IV-3 : Schéma du balcon.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
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Tu = qu × L+ Pu = 13.16 × 1.4 + 2.43 = 20.85 KN
A L’ELS :
qs = G+ Q = 6.05 + 3.5 = 9.55 KN/ml
Ps = F = 1.80 KN
Ms =qs×L
2
2+ Ps × L =
9.55×1.42
2+ 2.43 × 1.4 = 11.87 KN.m
Ts = qs × L + Ps = 9.55 × 1.4 + 2.43 = 15.17 KN
IV.3.4 Calcul de ferraillage :
b = 1 m ; h = 0.15 m ; d = 0.135 m
1) Les armatures longitudinales :
µbu=
Mu
σb×b×d2 =
16.29×10−3
14.17×1×0.1352= 0.063
µbu= 0.063 < µ
l= 0.392 ⟹ section non comprimée (A′ = 0)
α = 1.25(1 − √1 − 2µ) = 1.25 (1 − √1 − (2 × 0.063)) = 0.081
Zb = d × (1 − 0.4 × α) = 0.135 × (1 − (0.4 × 0.081)) = 0. .13
Acal =Mu
σs×zb= (
16.29×10−3
348×0.135) × 104 = 3.60 cm2
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= (0.23 × 1 × 0.135 ×
2.1
400) × 104
Amin = 1.63 cm2
At = 3.60 cm2 > Amin = 1.63 cm2
At(max) = 1.63cm2
Choix des barres : 4T12 ⟹ At = 4.52cm2
b) Armatures de répartition :
𝐴𝑟 =𝐴
4=
4.52
4= 1.13 𝑐𝑚2
𝐴𝑟 < 𝐴𝑚𝑖𝑛
Donc : 𝐴𝑟 = 1.63 𝑐𝑚2
Choix d’armatures : 4𝑇10 ⟹ At = 3.14 𝑐𝑚2
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
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IV.3.5 Vérifications :
Vérification de la contrainte de cisaillement :
Tu = qu × L + Pu = 13.16 × 1.4 + 2.43 = 20.85 KN
τmax =Tmax
b×d=
20.85×10−3
1×0.135= 0.15 MPa
τadm = min {0.2 ×fc28
γb; 5 MPa} ⟹ min {0.2 ×
25
1.5; 5MPa}
τadm = 3.33 MPa
τmax = 0.15 MPa < τadm = 3.33 MPa………C. V
Vérification des contraintes :
Contrainte de béton comprimé :
σbc ≤ σbc̅̅ ̅̅
σbc̅̅ ̅̅ = 0.6 fcj = 15 MPa
Ou bien : α ≤γ−1
2+ 0.01fcj
γ =Mu
Ms ⟹ α ≤
MuMs−1
2+ 0.1 fcj
⟹ α = 0.081 < 0.207……… . C. V
Fissuration peu préjudiciable aucune vérification pour 𝜎𝑠
Vérification de la flèche :
Pour les éléments supportés en console la flèche f est :
f1 =qser×L
4
8 EI pour une charge uniformément répartie
f2 =pser×L
3
8 EI pour une charge concentrée
Donc : 𝑓𝑖 = 𝑓1 + 𝑓2
E : Le module de Young de béton E = 32164.20 Mpa
centre de gravité :
𝑌𝐺 =∑𝐴𝑖𝑌𝑖
∑𝑌𝑖=
100×15×8+15×4.52×13.5
100×15+15×4.52
Donc : 𝑉1 = 8.23 𝑐𝑚 ⟹ 𝑉2 = 7.71 𝑐𝑚
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
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Moment d’inertie :
I =b×V1
3
3+
b×V23
3+ 15. As(d − V1)
2 ⟹ I = 36798.52 m4
f1 =qser×L
4
8 EI=
9.55×1.44
8×EI= 0.038cm
f2 =pser×L
3
8 EI=
1.80×1.43
8 EI= 0.0052 cm
fi = f1 + f2 = 0.043
fadm =L
250=
140
250= 0.56 cm
fi = 0.043 < fadm = 0.56………C. V
IV.3.6 Calcul de longueur de contre poids :
Poids du balcon :
ep = 15 cm
G1 = 0.15 × 1.4 × 1 × 25 = 5.25 KN
Poids de contre balancement :
𝑒𝑝 = 20 𝑐𝑚
G2 = 0.20 × Lc × 1 × 25 ⟹ G2 = 5 × Lc
60%× 𝐺1=𝐺2
0.60× 5.25 = 5 × Lc
Lc = 0.63 m
Donc on prend : Lc = 0.65 m
IV.3.7 Calcul des sollicitations :
Type 02 :
A L’ELU :
qu = 1.35G+ 1.5Q = 1.35 × 6.05 + 1.5 × 3.5 = 13.16 KN/ml
Pu = 1.35 F = 1.35 × 1.8
Pu = 2.43 KN
Mu =qu×L
2
2+ Pu × L =
13.16×1.92
2+ 2.43 × 1.9 = 28.37 KN.m
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 71
Tu = qu × L + Pu = 13.16 × 1.9 + 2.43 = 27.43 KN
A L’ELS :
qs = G+ Q = 6.05 + 3.5 = 9.55 KN/ml
Ps = F = 1.80 KN
Ms =qs×L
2
2+ Ps × L =
9.55×1.92
2+ 2.43 × 1.9 = 21.85 KN.m
Ts = qs× L+ Ps = 9.55 × 1.9+ 2.43 = 20.57 KN
IV.3.8 Calcul de ferraillage :
b = 1 m ; h = 0.15 m ; d = 0.135 m
1) Les armatures longitudinales :
µbu=
Mu
σb×b×d2 =
28.37×10−3
14.17×1×0.1352 = 0.109
µbu= 0.109 < µ
l= 0.392 ⟹ section non comprimée (A′ = 0)
α = 1.25(1 − √1− 2µ) = 1.25 (1−√1 − (2 × 0.109)) = 0.144
Zb = d × (1− 0.4 × α) = 0.135 × (1 − (0.4 × 0.144)) = 0.127
Acal =Mu
σs×zb= (
28.37×10−3
348×0.127) × 104 = 6.41 cm2
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= (0.23 × 1 × 0.135 ×
2.1
400) × 104
Amin = 1.63 cm2
At = 6.41 cm2 > Amin = 1.63 cm2
At(max) = 6.41 cm2
Choix des barres : 𝟔𝐓𝟏𝟐 ⟹ 𝐀𝐭 = 𝟔. 𝟕𝟗 𝐜𝐦𝟐
2) Armatures de répartition :
Ar =A
4=
6.79
4= 1.69 cm2
Ar > Amin
Donc : Ar = 1.69 cm2
Choix d’armatures : 𝟒𝐓𝟏𝟎 = 𝟑. 𝟏𝟒 𝐜𝐦𝟐
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 72
IV.3.9 Vérifications :
Vérification de la contrainte de cisaillement :
Tu = qu× L+ Pu = 13.16 × 1.9+ 2.43 = 27.43 KN
τmax =Tmax
b×d=
27.43×10−3
1×0.135= 0.20 MPa
τadm = min {0.2 ×fc28
γb
; 5 MPa} ⟹ min {0.2 ×25
1.5; 5MPa}
τadm = 3.33 MPa
τmax = 0.20 MPa < τadm = 3.33 MPa………C.V
Vérification des contraintes :
Contrainte de béton comprimé :
σbc ≤ σbc̅̅ ̅̅
σbc̅̅ ̅̅ = 0.6 fcj = 15 MPa
Ou bien : ≤ α =γ−1
2+ 0.01fcj
𝛾 =Mu
Mser⟹α ≤
(MuMser
−1)
2+ 0.01fcj
⟹ 𝛼 = 0.144 ≤ 0.359……… . 𝐶. 𝑉
Contrainte des aciers :
Fissuration peu préjudiciable aucune vérification pour 𝜎𝑠.
Vérification de la flèche :
Pour les éléments supportés en console la flèche f est :
f1 =qser×L
4
8 EI pour une charge uniformément répartie.
f2 =pser×L
3
8 EI pour une charge concentrée.
Donc : fi = f1 + f2
E : Le module de Young de béton E = 32164.20 Mpa
centre de gravité :
YG =∑AiYi
∑Yi=
100×15×8+15×4.52×13.5
100×15+15×4.52
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 73
Donc : V1 = 8.23 cm ⟹ V2 = 7.71 cm
Moment d’inertie :
I =b×V1
3
3+
b×V23
3+ 15.As(d− V1)
2 ⟹ I = 36798.52 m4
f1 =qser×L
4
8 EI=
9.55×1.94×107
8×EI= 0.13cm
f2 =pser×L
3
8 EI=
1.80×1.93×107
8 EI= 0.013 cm
fi = f1 + f2 = 0.14
fadm =L
250=
190
250= 0.76 cm
fi = 0.14 < fadm = 0.76………C.V
Calcul de longueur de contre poids :
Poids du balcon :
ep = 15 cm
G1 = 0.15 × 1.9 × 1 × 25 = 7.12 KN
Poids de contre balancement :
ep = 20 cm
G2 = 0.20 × Lc × 1 × 25 ⟹ G2 = 5 × Lc
60%×G1=G2
0.60× 7.12 = 5 × Lc
Lc = 0.85 m
Donc on prend : Lc = 0.85 m
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 74
Figure IV.4 : schéma de ferraillage du balcon.
1,40 m 0,85 m
4cm
16cm
4T10 4T12
4T10
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 75
IV.4 Etude d’escalier :
Les escaliers sont des éléments non structuraux constitués d’une succession des gradins et
permettant le passage à pied entre les différents niveaux d’un bâtiment.
Figure IV.5 : Schéma de l’escalier
La marche : surface plane de l’escalier sur laquelle on pose le pied pour monter ou
descendre.
Le giron : la largeur. de la marche.
La contremarche : la face verticale située entre deux marches consécutives.
Palier de repos : L’escalier est équipé avec une petite dalle dite palier de repos, elle permet
aux utilisateurs de se reposer.
Garde corps : pour éviter le risque de chute.
IV.4.1 Dimensionnement des marches et contres marches :
Selon la formule de BLONDEL :
58 ≤ g + 2h ≤ 64
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 76
Avec :
h : hauteur de la marche (contre marche).
g : largeur de la marche. On prend : 2ℎ + 𝑔 = 64 cm H : hauteur entre les faces supérieurs des deux paliers successifs d'étage.
(𝐻 = 𝑛 × ℎ =ℎ𝑒2)
n : nombre de contre marche.
L : projection horizontale de la longueur total de la volée : 𝐿 = (𝑛 − 1)𝑔
On a {9 contre marches et 8 marches}
Donc on a 18 contre marches
h =H
n=
306
18= 17 cm
g =L
n−1
{g =240
9−1≅ 30 cm
Donc on prend {h = 17 cmg = 30 cm
D’après BLONDEL il faut que :
58 ≤ g + 2h ≤ 64 → 58 ≤ (30 + (2 × 17)) = 64 ≤ 64…………CV
L’inclinaison de la paillasse :
tan 𝛼 =ℎ
𝐿=
1.53
2.40= 0.637 → 𝛼 = 32.49 𝑜
La longueur de la paillasse :
L′ =L
cosα=
2.40
cos(32.49)= 2.84 m
Epaisseur de la paillasse :
L′
30< ep <
L′
20
284
30< ep <
284
20
9.46 cm < ep < 14.20 𝑐𝑚
On prend : 𝑒𝑝𝑎𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 15 𝑐𝑚
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 77
Epaisseur de palier :
epalier ≥Lpalier
10 epalier ≥
1.20
10
epalier > 0.12 𝑚
On prend : epalier = 15 cm
IV.4.2 Descente des charges :
a) Volée :
Tableau IV.3 : charge permanente de la
volée
Chargement L’épaisseur
(cm)
Les charges
(KN/𝒎𝟐)
Carrelage horizontal 2 0,44
Mortier de pose horizontal 2 0,40
Enduit en plâtre sous volée 0,23
Béton paillasse 15 4,62
Carrelage verticale 2 0,25
Mortier de pose verticale 2 0,25
Marche / 2,13
Gard Corps / 1
∑𝐆 9,12
Avec :
G = 9,12 KN/m2 𝑄 = 2,5 𝐾𝑁/𝑚2
b) Palier :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 78
Tableau IV.4: charge permanente de palier
Chargement Epaisseur 𝑮
Carrelage 2 0,44
Mortier de pose 2 0,40
Enduit en plâtre 2 0,20
Dalle de palier 15 3,75
∑𝑮 4,80 KN/𝒎𝟐
Avec :
G = 4,80 KN/m2 𝑄 = 2,5 𝐾𝑁/𝑚2
Combinaison d’action :
Tableau IV.5 : combinaison d’action
Palier (KN/𝐦𝟐) Paillasse (KN/𝐦𝟐)
ELU 1.35G+1.5Q (1.35 × 4.8) + (1.5 × 2.5) = 10.23 (1.35 × 9.12) + (1.5 × 2.5) = 16.06
ELS G+Q 4.8 + 2.5 = 7.3 9.12 + 2.5 = 11.62
IV.4.3 Ferraillage de l’escalier :
Le calcul se fait par une bande de 1 ml
Calcul des sollicitations :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 79
La figure ci-dessous présente un système hyperstatique. Les méthodes de résolution :
Méthode de trois moments (Clapeyron).
Méthode des forces.
Méthode des déplacements.
Schéma statique :
Degrés d’hyperstaticité :
D = nombre d’appuis : 2
D = 3 − 2 ⟹ D = 1
Donc le Système est 01 fois hyperstatique.
IV.4.4 Etude de la poutre palière :
Méthodes des trois moments :
Application de la méthode des forces et la méthode des 03 moments :
qeq =(qpail × Lpail) + (qpalier × Lpalier)
Lpail + Lpalier
2.40 1.20
qpail = 16.06 (KN/m2)
qpalier = 10.23 (KN/m2)
2.4 1.2
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 80
qeq =(16.06 × 2.40) + (10.23 × 1.20)
2.40 + 1.20= 14.11 KN/m2
0-1-2 :
{M0. L1 + 2M1(L1 + L2) + M2. L2 + 6EI. Δ1p = 0
M0 = 0 ; M2 = 0 ; L1 = 3.60 m ; L2 = 0
⟹ 7.20 M1 + 6EI. Δ1p = 0……… . (1)
Calcul des réactions et des moments en travées :
Travée 0-1 :
R0. L − 1 = 0 ⟹ R0 =1
L
m1(x) = R0. x ⟹ m1(x) =1
L. x
{m1(0) = 0 KN.m
m1(L) = 1 KN.m
Travée 1-2 :
𝑅1𝑑 . 𝐿 + 1 = 0⟹𝑅1
𝑑 = −1
𝐿
𝑚2(𝑥) = 𝑅1𝑑 . 𝑥 +1⟹ 𝑚2(𝑥) = −
1
𝐿. 𝑥 +1
L1 = 3.60 L2 = 0
M1 M1
3.60
qeq = 14.11 KN/m2
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 81
{𝑚2(0) = 1 𝐾𝑁.𝑚
𝑚2(𝑙) = 0 𝐾𝑁.𝑚
Les diagrammes des moments 𝒎𝟏,𝒎𝟐,𝑴𝒑:
Le calcul de 𝑴𝟏:
Δ1p = ∫Mp .m1
EI
l
0dx + ∫
Mp .m1
EI
l
0dx
Δ1p =qL3
24.EI
7.20M1 + 6EI ×q3
24EI ⟹ 7.20M1 +
qL3
4= 0
7.20M1 = −qL3
4 ⟹ M1 = −22.85 KN.m
Les moments en travées et en appuis :
𝑀𝑝
𝑚1
𝑚0
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 82
{Ma = 22.85 KN.mMt = 12.85 KN.m
Ferraillage d’escalier :
{Mau = 22,85 KN.m
Mtu = 12,85 KN.m
;{Maser = 16.49 KN.m
Mtser = 9,27 KN.m
1) En appui :
µbu =Ma max
b. d2. fbu=
22.85 × 10−3
1 × 0,1352 × 14,17= 0,08
µbu < µLs = 0,391 ⇒ Section non comprimée (A′ = 0)
α = 1,25. (1 − √1 − 2µbu) = 1,25 × (1 − √1 − (2 × 0,08)) = 0,10
z = d(1 − 0,4α) = 0,135 × (1 − 0,4 × 0,10) = 0,13
Aa =Mamax
z. σs= (
22.85 × 10−3
0,13 × 348) × 104 = 5,05 cm2
Vérification de la condition de non fragilité :
Amin =0,23.ft28 .b.d
fe
𝐴𝑚𝑖𝑛 =0,23×2,1×1×0,135
400= 𝟏, 𝟔𝟑 𝒄𝒎𝟐
⇒ 𝐴𝑎 > 𝐴𝑚𝑖𝑛 ………….. C.V
Le choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟐 → 𝐀𝐭 = 𝟓.𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐 Avec espacement 𝑆𝑡 = 25 𝑐𝑚.
2) En travée :
µbu =Mt max
b.d2.fbu=
12.85×10−3
1×0,1352×14,17= 0,04
µ𝑏𝑢 < µ𝐿𝑠 = 0,392 ⇒ Section non comprimée (A′ = 0)
α = 1,25(1 − √1 − 2µbu) = 1,25 × (1 − √1 − (2 × 0,04)) = 0,05
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 83
z = d(1 − 0,4α) = 0,135 × (1 − 0,4 × 0,05) = 0,13
At =Mt max
z. σs= (
12.85 × 10−3
0,13 × 348) × 104 = 2,84 cm2
Vérification de la condition de non fragilité :
Amin =0,23.ft28 .b.d
fe
Amin =0,23×2,1×1×0,135
400= 1,63 cm2
⇒ At > Amin ………….. C.V
Choix des barres : 4T12 → A = 4,52 cm² Avec espacement 𝑆𝑡 = 25 𝑐𝑚.
Vérification à l’ELS :
Fissuration peu préjudiciable
{Flexion simple
section rectangulaire sans A′
Acier FeE400
→ α ≤γ−1
2+
fc28
100→ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15Mpa
En appui :
𝛾 =𝑀𝑎𝑢
𝑀𝑎𝑠𝑒𝑟 =
22,85
16.49= 1,38
𝛼 = 0,11 <1,38 − 1
2+25
100
𝛼 = 0,11 < 0,44……………… C.V
En travée :
𝛾 =𝑀𝑡𝑢
𝑀𝑡𝑠𝑒𝑟 =
12,85
9,27= 1,38
𝛼 = 0,06 <1,38 − 1
2+25
100
𝛼 = 0,06 < 0,44……………… C.V
Donc les armatures calculées à l’ELU conviennent à l’ELS.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 84
Vérification de l’effort tranchant :
{VA = RA = 19.04 KNVB = RB = 31.74 KN
Pour l’effort tranchant, la vérification du cisaillement suffira. Le cas le plus défavorable
(𝑇𝑚𝑎𝑥 = 31.74 𝐾𝑁.𝑚) donc il faut vérifier que :
𝝉𝒖 ≤ 𝝉
𝜏𝑢 =𝑇𝑚𝑎𝑥
𝑏.𝑑=
31.74×10−3
1×0,135=0,23 MPa.
Fissuration peu préjudiciable :
τ = min {0,2
fc28
γb
5 MPa⇒τ = min {
3,33 MPa5 MPa
⇒ τ = 3,33 MPa
⇒ τu = 0,23MPa ≤ τ = 3,33 MPa…………………………… C.V
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 85
Schéma de ferraillage de l’escalier :
Figure IV.6 : Schéma de ferraillage de l’escalier
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 86
IV.4.4 Etude de l’ascenseur :
IV.4.1 Introduction :
Un ascenseur est un dispositif mobile assurant le déplacement des personnes (et des objets) en
hauteur sur des niveaux définis d’une construction.
Les dimensions, la construction et le contrôle en temps réel pendant l’usage des ascenseurs
permettent l’accès sécurisé des personnes, Cet appareil élévateur est installé la plus part du
temps dans une cage d’ascenseur (une trémie verticale fermée en générale à l’intérieur de
l’édifice), composée de trois constituants principaux :
-Cabine : organe de l’ascenseur destiné à recevoir les personnes et les charges à transporter :
-Treuil de levage de la poulie :est un cylindre horizontal mobil autour de son axe, sur lequel
se roule ou déroule un câble qui sert à entrainer la cabine et roule ses mouvements de monté
et de descente.
-Le contre poids : a pour objet d’équilibrer la cabine et la charge utile.
IV.4.2 Principe : Par ailleurs l’ascenseur est équipé d’un moteur situé dans la gaine permettant de gagner
d’avantage de place relativement simple, voici son mode de fonctionnement :
Un moteur électrique assure l’élévation de l’ascenseur ; suspendue à des câbles
métalliques la cabine d’ascenseur est munie d’un contrepoids destiné à la contrebalance
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 87
Figure IV.7 : Ascenseur électrique
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 88
IV.4.3 Caractéristiques de l’ascenseur :
Charges nominales : on distingue les charges suivantes (en kilogramme) 320-400-630-
800-1000-1250-1600-2000-2500.
Vitesse nominales : les vitesses les plus utilisées en mètre par seconde (m/s) sont : 0,4 -
0,62 - 1 - 1,6 – 2,5.
D’après la norme française NF-P82-209 répartit les ascenseurs en cinq classes suivantes :
Classe I : Ascenseurs destinés au transport des personnes.
Classe II : Ascenseurs destinés principalement au transport des personnes et,
accessoirement, des charges. Ils diffèrent des ascenseurs des classes I et III
essentiellement par l'aménagement intérieur de la cabine.
Classe III : Ascenseurs destinés au transport des lits.
Classe IV : Ascenseurs destinés principalement au transport des charges qui sont
généralement accompagnées par des personnes.
C’est ainsi que la norme NF-P82-208 a adopté plusieurs types de cabine selon la charge à
transporter et pour notre projet on a opté pour un ascenseur réservée pour 8 personnes, donc
on a une charge nominale de 630Kg pour une vitesse de 1,6m/s.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 89
IV.4.4 Les dimensions de la cabine de l’ascenseur :
Descente des charges :
Charge d’exploitation : Q = 6,30 KN(8 personnes) Charge permanente :
1) Masse de la cabine :
Elle est composée de la somme des masses suivantes :
2 ) Masse de cotés :
La masse de la surface des côtés, augmentée de 15% à raison de 11,5 Kg/m2
3) Masse de la cabine :
Surface latérale 𝑆1:
S1 = (Lc + 2 × Pc) × Hc = (1,10 + (2 × 1,40)) × 2,20 = 8,58 m2
M1 = (11,5 + 0,1 × 11,5) × 8,58 = 1.085 KN
Tableau IV.6 : Les dimensions de l’ascenseur
Dimensions
𝐋𝐜: Largeur de la cabine 1,40m
𝐏𝐜: Profondeur de la cabine 1,40m
𝐋𝐆: Largeur de la gaine 1,60m
𝐏𝐆: Pronfondeur de la gaine: 1,60m
𝐇𝐜: Hauteur de la cabine 2,20m
𝐋𝐩; Largeur du passage libre 0,80m
𝐇𝐩: Hauteur du passage libre 2,00m
e : Épaisseur de la dalle machine 15cm
C : Hauteur de la course 41.98m
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 90
4) Masse du plancher 𝐌𝟐:
S2=Lc × Pc = 1,10 × 1,40 = 1,54 m2
M2 = 70 × 1,54 = 1.078 KN
5) Masse du toit 𝐌𝟑:
La masse du toit à raison de 20 Kg/m² :
S3 = Lc × Pc = 1,54 m2
M3 = 20 × 1,54 = 0.308 KN
6) Masse de l’arcade 𝐌𝟒:
La masse de l’arcade à raison de partie fixe de 60 Kg plus 60 Kg/m de largeur de cabine de
300 Kg à 600 Kg de charge :
M4 = 60 + (60 × Lc) = 60 + (60 × 1,10) = 0.126 KN
7) Masse de la porte de la cabine 𝐌𝟓 :
Partie fixe de 80 Kg plus 25 Kg/m² de surface de porte :
M5 = 80 + (25 × 0,80 × 2) = 0.120 KN
8) Masse du parachute 𝐌𝟔:
M6 = 0.100 KN (à prise amortie) ; (V >1m/s)
9) Masse des accessoires 𝐌𝟕 :
M7 = 0.80 KN
10) Masse des poulies de moulage𝐌𝟖:
Deux poulies supplémentaires (30 Kg environ par poulies) :
M8 = 30 × n = 30 × 2 = 0.60 KN(n = 2 poulies)
Donc le poids mort est égal à :
Pm = ∑ Mi8i=1
Pm = 108,54 + 107,80 + 30,8 + 126 + 120 + 100 + 80 + 60 = 7.731 KN
11) Masse du contre poids :
Mp = Pm +Q
2
Avec :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 91
Mp:masse du contre poids
Pm: Poids mort
Q: charge en cabine
Mp = Pm +Q
2= 7.731 +
6.30
2= 10.88 KN
12) Masse du câble :
{D/d= 40 ⇒ d = D/40= 500/40= 12,5 m
Cs = 13
Figure IV.8 : Abaque de détermination des suspentes.
Avec :
D: diamètre de la poulie de moulage pris entre 400 et 800mm.
d : Diamètre du câble.
Cs: coefficient de sécurité (abaque de détermination des suspentes).
Cs =Cr
M⇒ Cr = Cs ×M
M : égal à la somme de la charge utile Q, poids mort Pm et la masse des câbles qui est
considérée comme négligeable par rapport aux deux autres.
Cr : charge de rupture effective.
Cr = Cs ×M ⇒ Cr = 13 × (6.30 + 7.731) = 182.40 KN
Pour obtenir la charge de rupture minimale nécessaire Cm , il convient de faire intervenir le
coefficient de sécurité de câblage qui est égal à 0.85 donc :
Cm =Cr
0.85=
182.40
0.85= 214.59 KN
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 92
Cm: Égal aussi
Cm = Cr(cable). n. m
Avec :
M: type de moulage
N: nombre de câble
Cr(Câble) : charge de rupture par câble en fonction du diamètre
d = 12.5 mm ⇒ Cr(câble) = 8152 Kg (voir tableau suivant) :
Caractéristiques des câbles :
Tableau IV.7 : caractéristiques des câbles
Diamètres des
câbles (𝐦𝐦) Diamètres des fils
(𝐦𝐦) Sections (𝐦𝐦𝟐)
Masse
linéaire (𝐊𝐠/𝐦)
Charge admissible
totale 𝐂𝐫(𝐊𝐠)
7.87 0.50 21.05 0.203 3223
9.48 0.60 30.26 0.293 4650
11.00 0.70 41.27 0.396 6232
12.60 0.80 53.34 0.515 8152
14.20 0.90 67.98 0.656 10805
15.50 1.00 83.84 0.810 12830
n =Cm
Cr×m=
214.59
81.52×2= 1.32
On prend : n = 2 câbles
13) Masse totale des câbles 𝐌𝐜:
Mc = ML × n
Avec :
ML:: Masse linéaire du diamètre d’un seul câble d = 12.5mm →ML= 0.515 Kg/ml
C : Course du câble (hauteur du course) ⇒ C = 47.26 m
Mc = 0.515 × 10−2 × 2 × 41,97 = 43.23 KN
14) Masse du treuil :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 93
Mg = 12.00 KN
Résumé :
-Poids mort = 7.731KN
-Masse du câble = 43,23 × 10−2KN
-Masse du contre poids = 10.88 KN
-Treuil en haut + moteur = 12.00 KN
G = 31.04 KN
IV.4.6 Combinaison fondamentale :
Etat limite ultime :
qu = 1.35G + 1.5Q = (1.35 × 31.04) + (1.5 × 6.30) = 51.35 KN
Etat limite de service :
qs = G+ Q = 31.04 + 6.30 = 37.34 KN
IV.4.7 Étude du plancher :
a) Vérification de la dalle au poinçonnement :
Il y’a un risque de poinçonnement de la dalle à cause de la force concentrée appliquée a l’un
des appuis de moteur (supposé de 4 appuis), chaque appui prend un quart (1/4) de la charge
totale.
Pour chacun des quatre appuis
qau =
qu
4=
51.36
4 ⇒ qa
u = 12.84 KN
qas =
qs
4=
37.34
4 ⇒ qa
s = 9.33 KN
D’après l’article A 5.2.4. Du B.A.E.L 91 :
Si : qau ≤
0.045×Uc×fc28×h
γb ⇒ Les armatures transversales ne sont pas nécessaire.
Avec :
𝐪𝐮:Charge utile pour chaque appui.
𝐔𝐜: Périmètre du contour au niveau du feuillet moyen défini par L’article A3.25.
𝐡: Epaisseur totale de la dalle 𝐞 = 𝟏𝟓𝐜𝐦
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 94
𝐔,𝐕 : Représentent les côtes du rectangle sur lequel la charge Qu s’applique, compte tenu de
la diffusion à 45 degré dans le béton tel que :
{𝐔:Dimension parallèle à Lx𝐕:Dimension parallèle à Ly
(a × b) : Surface d’impact= (10 × 10)
Figure IV.9 : schéma de la surface d’impact
U = V = a + 2 ×h
2= 10 + (2 ×
15
2) = 25 cm
U = V = b + 2 ×h
2= 10 + (2 ×
15
2) = 25 cm
Uc = 2 × U × V = 2 × [25 + 25] = 100 cm
qau = 12.84KN ≤ (
0.045×1000×25×150
1.5)= 112.5 KN ……….. Condition vérifiée
Conclusion : La dalle résiste au poinçonnement
b) Calcul des sollicitations :
L’étude des dalles soumise à des charges localisées sera faite à l’aide des abaques de
PIGEAUT et en plaçant les charges au centre : leur moment sera par mètre linéaire.
{Mx = qa × (M1 + V × M2)
My = qa × (M2 + V ×M1)
Avec :
𝐕: Coefficient de poisson
𝐌𝟏𝐞𝐭𝐌𝟐 : Ses dimensions, sont données à partir des rapports U/Lx ;U/Ly dans les abaques
suivants :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 95
ρ =Lx
Ly
Etat limite ultime (ELU) :
Mxu = qa
u ×M1
Myu = qa
s ×M2
Etat limite de service (ELS) :
Mxser = qa
ser × (M1 + 0.2.M2)
Myser = qa
ser × (M2 + 0.2.M1)
La charge en 𝑚2 sera :
{
Qau =
qau
V × U=12.84
0,252= 205.44 KN/m2
Qaser =
qaser
U × V=9.33
0,252= 149.37 KN/m2
c) Calcul des moments dus aux charges concentrées :
Lorsque la charge n’est pas concentrique, on procède de la façon suivante :
Soit pour Fig. V.5 une dalle de dimension (Lx × Ly) soumise à une charge concentrique
(A) répartie sur un rectangle (U × V).
On divise la dalle en rectangles fictifs donnant les charges symétriques :
- 04 rectangles symétriques A.
- 02 rectangles symétriques B.
- 02 rectangles symétriques C.
- 01 rectangle au centre D.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 96
Figure IV.10 : Schéma de la dalle pleine d’ascenseur.
On divise la dalle en rectangle fictif donnant des charges symétriques comme suite :
I
II
III VI
diII
V
Fig. : c Fig. : d
Fig. : a Fig. : b
UI UII
UIII UVI
VI
VIII
VIV
VII
Figure IV.11: chargement de panneau.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 97
On cherche des moments produits par les rectangles :
I = 2A + 2B + 2C + D Fig. a
II = 2B + D Fig. b
III = 2C + D Fig. c
IV = D Fig. d
Il est évident que les moments produit par la charge non concentrique A seront donnés par :
A =I−II−III−IV
4
ρ =Lx
Ly=
1,90
2.10= 0,90 > 0,4 ⇒ La dalle porte dans les deux sens
Donc :
Mxc =MxI−MxII−MxIII−MxIV
4
Myc =MxI−MxII−MxIII−MxIV
4
Avec :
Mx = (M1 + v.M2) × qu = (M1 + v.M2) × (4 × Qa) ⇒ Mx/4 = (M1 + v.M2) × Qa
Mx = (M2 + v.M1) × qu = (M2 + v.M1) × (4 × Qa) ⇒ My/4 = (M1 + v.M2) × Qa
Q′a = Qa × S
S = U × V
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 98
Tableau IV.8 : Tableau récapitulatif des résultats.
/
I II III IV
𝐔 𝐞𝐧 [𝐦} 0.800 0.300 0.800 0.300
𝐕 𝐞𝐧 [𝐦] 0.800 0.800 0.300 0.300
𝐒 𝐞𝐧 [𝐦𝟐] 0.640 0.240 0.240 0.090
𝐔/𝐋𝐱 0.421 0.157 0.420 0.157
𝐕/𝐋𝐲 0.380 0.380 0.142 0.142
𝐌𝟏 0.118 0.178 0.130 0.235
𝐌𝟐 0.098 0.132 0.136 0.208
𝐐,𝐚𝐮 𝐞𝐧 [𝐍] 131483.6 49306.5 49306.5 18489.6
𝐐,𝐚𝐬 𝐞𝐧 [𝐍] 95539.2 35827.2 35827.2 13435.2
𝐌𝐱 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 15515.06 8776.55 6409.84 4415.55
𝐌𝐲 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 12885.39 6508.45 6705.68 3845.83
𝐌𝐱 𝐬𝐞𝐧 [𝐍.𝐌} 11178.08 6377.24 4657.53 3157.27
𝐌𝐲 𝐬 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 9362.84 4729.19 4872.50 2794.50
𝐌𝐱𝐜 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌}
8779.25
𝐌𝐲𝐜 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌]
7486.33
𝐌𝐱𝐜 𝐬 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌} 6342.52
𝐌𝐲𝐜 𝐬 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 5439.75
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 99
D) Descentes des charges :
Dalle machine : (ep= 20 cm) ⇒ G = 0,20 × 25 = 5 KN/m2
La dalle n’est pas accessible, alors la surcharge d’exploitation Q = 1 KN/m2
Conditions fondamentales :
Etat limite ultime (ELU) :
qu = 1,35G + 1,5Q
qu = (1,35 × 5 + 1,5 × 1) = 8.25 KN/m2
Pour une bonde de 1m de largeur :
qu = 8.25 × 1 = 8.25 KN/ml
Etat limite de service (ELS) :
qser = G + Q
qser = 5 + 1 = 6 KN/m2
Pour une bande de 1 ml de largeur :
qser = 6 × 1 = 6 KN/ml
e) Détermination des sollicitations :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 100
État limité ultime (ELU) :
A ELU⇒ {Mxu = µx
u. qx. Lx2
Myu = µy
u. Mxu
État limite de service (ELS) :
A ELS ⇒ {Mxu = µx
u. qx. Lx2
Myu = µy
u . Mxu
α =Lx
Ly=
1.9
2.10= 0.90 > 0.4 ⇒ 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑠
Selon l’annexe E3 de BAEL 91 page 142 en déduit les valeurs des coefficients 𝜇𝑥 𝑒𝑡 𝜇𝑦 :
État limite ultime :
{µx = 0.046µy = 0.778
État limite de service :
{µx = 0.053µy = 0.846
Calcul des moments dus aux charges réparties :
État limite ultime :
0.5𝑀𝑦
0.75𝑀𝑦
0.5𝑀𝑦
0.5𝑀𝑥
0.75𝑀𝑥
0.5𝑀𝑥
𝐿𝑦 = 2.10
Figure VI.12 : panneau de la dalle.
𝐿𝑥 = 1.9
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 101
{Mxu = µx
u. qx. Lx2 = 0.046 × 825 × 1.902 = 136.99 Kg.m
Myu = µy
u. Mxu = 0.778 × 136.99 = 106.578 Kg.m
État limite de service :
{Mxu = µx
u . qx . Lx2 = 0.053 × 600 × 1.902 = 114.790 Kg.m
Myu = µy
u. Mxu = 0.846 × 114.790 = 97.112 Kg.m
Moments totaux sollicitant la dalle machine :
Ce sont les moments dus aux charges concentrées et les moments dus aux charges réparties :
État limite ultime :
{Mxtu = (Mxc
u +Mxu) = (8779.25 + 1369.9) = 10149.15 KN.m
Mytu = (Myc
u +Myu) = (7486.33+ 1065.78) = 8552.11 KN.m
État limite de service :
{Mxts = (Mxc
s +Mxs) = (6342.52+ 1147.90) = 7490.42 KN.m
Myts = (Myc
s +Mys) = (5439.75 + 971.12) = 6410.87 KN.m
Moment max en travées : Mt = 0.75 × Mxt
Moment max en appuis : Ma = −0.5 × Myt
Tableau IV.9- Tableau récapitulatif des sollicitations maximales.
𝐌𝐱𝐭𝐮
[KN.m]
𝐌𝐱𝐭𝐬
[KN.m]
𝐌𝐚𝐱𝐮
[KN.m]
𝐌𝐚𝐱𝐬
[KN.m]
𝐌𝐭𝐲𝐬
[KN.m]
𝐌𝐭𝐲𝐬
[KN.m]
𝐌𝐚𝐲𝐮
[KN.m]
𝐌𝐚𝐲𝐬
[KN.m]
Moment
Panneau 7611.84 5617.81 -5074.57 -3745.21 6414.08 4808.15 -4276.05 -3205.43
f) calcul du ferraillage de la dalle pleine :
Sens X-X :
En travée :
A ELU :
Mxtu = 7611.84 N.m
µu =Mtx
b×d2×fbu=
7611.84×10−6
1×0.1352×14.17
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 102
µu = 0.0295
µu = 0.0295 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimé ( A′ = 0)
α = 1.25 × (1 − √1 − 2µu) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.0139))
α = 0.037
β = 1 − 0.4α ⇒ β = 0.985
Atx =Mtx
β×d×σs= (
7611.84×10−6
0.985×0.135×348) × 104 = 1.64 cm2/ml
Condition de fragilité :
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×
2.1
400
Amin = 1.63 cm2
Choix des barres :
As = max(Acal, Amin) = 1.63 cm2
On adopte : 𝟒𝐓𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝐜𝐦𝟐 → St = 25 cm
A ELS
Mtxs = 5617.81 N.m
Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs
Flexion simple
Section rectangulaire sens A′
Acier FeE400
}⇒α ≤γ−1
2+
fc28
100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa
Avec :
𝛾 =𝑀𝑡𝑢
𝑀𝑡𝑠 =
7611.84
5617.81⇒ 𝛾 = 1.35
1.35−1
2+
25
100= 0.42 > α = 0.037 ⇒ Condition vérifiée.
Conclusion :
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées en ELU sont maintenues.
En appuis :
A ELU :
Maxu = − 5074.57 N.m
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 103
µu =Max
b×d2×fbu=
5074.57×10−6
1×0.1352×14.17
µu = 0.019
µu = 0.019 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimée ( A′ = 0)
𝛼 = 1.25 × (1 − √1 − 2𝜇𝑢) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.019))
𝛼 = 0.024
𝛽 = 1 − 0.4𝛼 ⇒ 𝛽 = 0.990
𝐴𝑡𝑥 =Max
𝛽×𝑑×𝜎𝑠= (
5074.57×10−6
0.990×0.135×348) × 104 = 1.09 𝑐𝑚2/𝑚𝑙
Condition de fragilité :
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×
2.1
400
Amin = 1.63 cm2
Choix des barres :
As = max(Acal, Amin) = 1.63 cm2
On adopte : 𝟒𝐓𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝐜𝐦𝟐 → St = 25 cm
A ELS
Maxs = − 3745.21 N.m
Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs
Flexion simple
Section rectangulaire sens A′
Acier FeE400
}⇒α ≤γ−1
2+
fc28
100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa
Avec :
𝛾 =𝑀𝑎𝑢
𝑀𝑎𝑠 =
5074.57
3745.21⇒ 𝛾 = 1.35
1.35−1
2+
25
100= 0.42 > 𝛼 = 0.024 ⇒ Condition vérifiée.
Conclusion :
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées en ELU sont maintenues.
Sens y-y :
En travée :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 104
A ELU :
Mtyu = 6414.08 N.m
µu =Mty
b×d2×fbu=
6414.08×10−6
1×0.1352×14.17
µu = 0.025
µu = 0.025 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimée ( A′ = 0)
𝛼 = 1.25 × (1 − √1 − 2𝜇𝑢) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.025)
𝛼 = 0.031
𝛽 = 1 − 0.4𝛼 ⇒ 𝛽 = 0.987
𝐴𝑡𝑥 =Mty
𝛽×𝑑×𝜎𝑠= (
6414.08×10−6
0.987×0.135×348) × 104 = 1.38 𝑐𝑚2/𝑚𝑙
Condition de fragilité :
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×
2.1
400
Amin = 1.63 cm2
Choix des barres :
As = max(Acal, Amin) = 1.63 cm2
On adopte : 𝟒𝐓𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝐜𝐦𝟐 → St = 25 cm
A ELS
Mtys = 4808.15 N.m
Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs
Flexion simple
Section rectangulaire sens A′
Acier FeE400
}⇒α ≤γ−1
2+
fc28
100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa
Avec :
𝛾 =𝑀𝑡𝑢
𝑀𝑡𝑠 =
6414.08
4808.15⇒ 𝛾 = 1.33
1.33−1
2+
25
100= 0.41 > 𝛼 = 0.031 ⇒ Condition vérifiée.
Conclusion :
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées en ELU sont maintenues.
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 105
En appuis :
A ELU :
Mxtu = −4276.05 N.m
µu =May
b×d2×fbu=
4276.05×10−6
1×0.1352×14.17
µu = 0.016
µu = 0.016 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimée ( A′ = 0)
𝛼 = 1.25 × (1 − √1 − 2𝜇𝑢) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.016))
𝛼 = 0.031
𝛽 = 1 − 0.4𝛼 ⇒ 𝛽 = 0.987
𝐴𝑡𝑥 =May
𝛽×𝑑×𝜎𝑠= (
4276.05×10−6
0.987×0.135×348) × 104 = 0.92 𝑐𝑚2/𝑚𝑙
Condition de fragilité :
Amin = 0.23 × b × d ×ft28
fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×
2.1
400
Amin = 1.63 cm2
Choix des barres :
As = max(Acal, Amin) = 1.63 cm2
On adopte : 𝟒𝐓𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝐜𝐦𝟐 → St = 25 cm
A ELS
𝑀𝑡𝑥𝑠 = −3205.43 𝑁.𝑚
Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs
Flexion simple
Section rectangulaire sens A′
Acier FeE400
}⇒α ≤γ−1
2+
fc28
100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa
Avec :
𝛾 =𝑀𝑎𝑢
𝑀𝑎𝑠 =
4276.05
3205.43⇒ 𝛾 = 1.33
1.33−1
2+
25
100= 0.41 > 𝛼 = 0.031 ⇒ Condition vérifiée.
Conclusion :
Chapitre IV Etude des éléments non structuraux
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 106
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées en ELU sont maintenues.
Vérification des contraintes de cisaillement :
Calcul de 𝐓𝐮 max :
Txu = qa
u + qu ×Lx
2
Txu = 12.84 + 8.25 ×
1.90
2= 20.67 KN
Calcul de 𝐓𝐮 :
Tu =Tmaxu
b×d=
20.67×10−3
1×0.135= 0.15 MPa
τu̅̅̅ = 0.05 × fc28 = 1.25 MPa
τu = 0.12 MPa < τu̅ = 1.25 MPa
Il n′y a pas de reprise de bétonnage}
⇒ Les armatures transversales ne sont pas nécéssaire
Vérification de la flèche :
Condition de la flèche :[ BAEL 91/B.7.5] :
hd
Lx>
Mtxs
20.Mtxs
ρ =A
b×dx<
2
fe
Vérification si la flèche est nécessaire :
hd
Lx>
Mtxs
20.Mtxs ⇒
hd
Lx=
15
1.90. 0.079 >
5617.81
20×7490.42= 0.037………C. V
ρ =A
b×dx<
2
fe⇒
4.52
100×13.5= 0.0033 <
2
400= 0.005………C. V
Les 02 conditions sont vérifiées, donc le calcul de la flèche n’est pas nécessaire
Conclusion :
Dans le présent chapitre, nous avons jeté un coup d’œil sur tous les éléments qui concernent
l’ascenseur, et quelques méthodes de calcul soit les éléments : électriques, mécaniques et
électromécaniques, surtout la partie de la machine qui joue un rôle très intéressant.
Chapitre V
Etude sismique
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 107
V Étude sismique :
V.1 Introduction :
Le séisme est un phénomène naturel, qui peut induire des dégâts naturels et humains
s’accompagne d’une libération soudaine d’une grande quantité d’énergie qui se traduit en
surface par des vibrations du sol, caractérisé par des secousses qui propagent sous forme
d’ondes dites « onde sismique ».
V.2 L’objectif de l’étude dynamique :
C’est la détermination de la caractéristique dynamique propre, prenant en considération le
comportement en vibration libre non-amortie, de ceci nous pouvons calculer les efforts et les
déplacements maximum au cours d’un séisme.
Le calcul de l’étude dynamique est souvent très complexe, C‘est pour cela la majeur partie du
temps on utilise la modélisation qui nous autorise de simplifier les problèmes pour pouvoir les
analyser.
La modélisation ce fait a l’aide d’un logiciel Autodesk Robot Structural Analyse
V.3 Définition de logiciel Autodesk robot Structural Analyse :
Logiciel robot permet d’exécuter rapidement des analyses et des simulations détaillées de
nombreuse structure et il est capable de calculer des modèles les plus complexes et de vérifier
les résultats obtenus.
V.4 Les étapes de modélisation :
La modélisation et le dimensionnement d’une structure se fait en différentes étapes :
1- La modélisation géométrique de la structure et de son chargement dans un premier
temps.
2- Description des propriétés des matériaux et des sections des éléments : les propriétés
du béton (Chapitre I).
3- Chargement de la structure :
- Charge permanente G : la charge permanente distribuée par les poutres
principales et secondaires.
- Charge d’exploitation Q : ce sont les charges distribuées par les poutres.
- Les forces sismiques E : contient les masses concentrées au centre de gravité de
chaque niveau et le spectre de réponse selon (X et Y).
4- Le calcul des combinaisons de charge ensuite, en tenant compte de la réglementation :
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 108
a. 1.35G+1.5Q
b. G+Q
c. 0.8 G±E
d. G+Q±E
e. G+Q±1,2 E
5- La vérification de tous les éléments contenus dans la structure.
6- Lancement de l’analyse.
7- Interprétation des résultats.
Figure V.1 : Modélisation de la structure
V.5 Choix de la méthode de calcul :
Le RPA.99 version 2003 propose 03 méthodes de calculs de sollicitations :
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 109
1) La méthode statique équivalente.
2) La méthode d’analyse modale spectrale.
3) La méthode d’analyse dynamique par accélérogrammes.
La méthode statique équivalente :
La méthode consiste à remplacer les forces dynamiques qui se développent dans la structure
par des forces statiques fictives dans les effets sont considérés équivalents à ceux de l’action
sismique.
Les forces sismiques équivalentes sont appliquées dans le plan horizontal et considérées
suivant deux directions orthogonales, généralement sont les axes principaux du plan
horizontal de la structure.
Vérification des conditions de la méthode statique équivalente :
Régularité en plan :
Lx
Ly=
23.70
20,10= 1,17 < 4 Condition vérifiée
Sens-X : l1+l2
Lx≤ 0,25 ⇒
1.50+1.50
23.70= 0.12 < 0,25 condition vérifiée.
Sens-Y : l1+l2
Ly≤ 0,25 ⇒
4.10+4.10
20.10= 0.40 > 0,25 condition non vérifiée.
La régularité en plan selon RPA.99 fig3.2n’est pas vérifier.
Régularité en élévation:
Sens-X : BMx
Bx≥ 0,67 ⇒
23.70
23.70= 1 > 0,67 condition vérifiée.
Sens-Y : BMy
By≥ 0,67 ⇒
23.10
20,10= 1.14 > 0,67 condition vérifiée.
La régularité en élévation selon RPA.99 fig.33 est vérifiée.
La conclusion :
Les conditions de la méthode statique équivalente ne sont pas vérifier, donc on va appliquer la
méthode dynamique modale spectrale.
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 110
Méthode dynamique modale spectrale :
L’analyse dynamique se prête probablement mieux à une interprétation réaliste du
comportement d’un bâtiment soumis à des charges sismiques que le calcul statique prescrit
par les codes. Elle servira surtout au calcul des structures dont la configuration est complexe
ou non courante et pour lesquelles la méthode statique équivalente reste insuffisante ou
inacceptable ou autre non-conforme aux conditions exigées par le RPA 99/version2003 pour
un calcul statique équivalent.
Hypothèse de calcul pour cette méthode :
Les planchers et les fondations doivent être rigides dans leurs plans (vis-à-vis des
déplacements horizontaux).
Les masses sont supposées concentrées au niveau du plancher.
seuls les déplacements horizontaux des nœuds sont pris en compte.
Le minimum de modes à retenir est de trois (3) dans chaque direction considérée.
Par cette méthode, il est recherché, pour chaque mode de vibration le maximum des effets
engendrés dans la structure par les forces sismiques représentées par un spectre de réponse de
calcul suivant
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 111
Figure V. 2 : Spectre de réponse.
V-6) CALCUL DE LA FORCE SISMIQUE TOTALE :
La force sismique totale V, appliquée à la base de la structure, calculée dans directions
horizontales orthogonales selon la formule 4.1 de RPA2003.
𝐕 =𝐀. 𝐃. 𝐐
𝐑. 𝐖
A : coefficient d’accélération de zone, donnée par le tableau 4.1 de RPA2003 suivant la zone
sismique et le groupe d’usage du bâtiment
D : facteur d’amplification dynamique qui dépend de la catégorie du site, de la période
fondamentale de la structure « T » et du facteur de correction d’amortissement « η » (formule
4.2 de RPA2003).
Q : facteur de qualité (formule 4.4 de RPA2003).
R : coefficient de comportement globale de la structure (tableau 4.3 de RPA2003).
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 112
W : poids totale de la structure.
Coefficient d’accélération de zone A :
Zone «III »a Alger, groupe d’usage « 2 »A = 0,25 (tableau 4.1 RPA2003).
Facteur d’amplification dynamique D :
D = {
2.5η 0 ≤ T ≤ T2
2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ T2 ≤ T ≤ 3 s
2.5η(T2 3)⁄ (2 3)⁄(3 T)⁄ (5 3)⁄
T ≥ 3 s
T2 : période caractéristique associée a la catégorie du site (tableau 4.7 de RPA2003).
η: facteur de correction d’amortissement (formule 4.3 de RPA2003)
η = √7/(2 + ε) ≥ 0,7
Où est le pourcentage d’amortissement critique fonction du matériau constitutif (tableau 4.2
de RPA2003) ε = 7 béton armée remplissage dense.
η = √7/(2 + 7) = 0.88 ≥ 0.7 ….. Condition vérifiée.
Estimation de la période fondamentale de la structure :
Les deux formules empiriques: (formule RPA.99)
𝑻 = 𝟎. 𝟎𝟗 ×𝒉𝒏
√𝑫
𝐓 = 𝐂𝐓 . 𝐡𝐧𝟑/𝟒
hn : La hauteur totale de la structure (hn = 39.78 m ).
D : la dimension du bâtiment mesurée à la base dans la direction de calcul considérée.
CT : coefficient fonction de système de contreventement et de type de remplissage (tableau 4.6
de RPA.99)
CT = 0,050 (contreventement assuré partiellement ou totalement par des voiles en béton armé,
des palés triangulaire et des murs en maçonnerie).
Sens- X {𝑇 = CT. hn
3/4 = 0.050 × 39.783 4⁄ = 0.79
𝑇 = 0.09 ×ℎ𝑛
√𝐷= 0.09 ×
39.78
√23.70= 0.73
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 113
Sens-Y {𝑇 = CT . hn
3/4 = 0.050 × 39.783 4⁄ = 0.79
𝑇 = 0.09 ×ℎ𝑛
√𝐷= 0.09 ×
39.78
√20.10= 0.80
On prend la valeur minimale :
TX = 0.73 s.
𝑇𝑌 = 0.79 𝑠.
D = {
2.5η 0 ≤ T ≤ T2
2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ T2 ≤ T ≤ 3 s
2.5η(T2 3)⁄ (2 3)⁄(3 T)⁄ (5 3)⁄
T ≥ 3 s
D’après le RPA.99(𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞𝐚𝐮 𝟒. 𝟕),Site meuble(S3) {𝑇1 = 0.15 𝑠 .𝑇2 = 0.50 𝑠.
Sens-X :TX = 0.73 s ⟹T2 ≤ T ≤ 3 s
DX = 2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ ⟹ DX = 2.5 × 0.88 × (0.50
0.73)
2 3⁄
DX = 1.69
Sens-Y:TY = 0.79 s ⟹T2 ≤ T ≤ 3 s
DY = 2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ ⟹ DY = 2.5 × 0.88 × (0.50
0.79)
2 3⁄
DY = 1.60
Le facteur de qualité Q :
(Formule 4.4 de RPA2003)
𝐐 = 𝟏 + ∑ 𝐩𝐪
𝟔
𝐪=𝟏
.
Avec pq : valeur de pénalité :(voir tableau 4.4 de RPA2003)
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 114
Tableau VI.1 : valeur des pénalités Pq .
Critère de qualité q
Pq
Sens-X
Sens-Y
Condition minimale sur les files de contreventement 0,05 0,05
Redondance en plan 0.05 0.05
Régularité en plan 0 0.05
Régularité en élévation 0 0
Contrôle de la qualité des matériaux 0,05 0,05
Contrôle de la qualité d’exécution 0,1 0,1
𝐐 = 𝟏 + ∑ 𝐩𝐪
𝟔
𝐪=𝟏
1,25 1,30
Le coefficient de comportement R :
R = 5 (Un contreventement mixte voiles- portiques avec justification de l’interaction).
Poids totale de la structure :
Wi = ∑ WGi + β . WQi
Avec :
Wi : Le poids concentré au niveau du centre de masse du plancher.
WGi : Poids dû aux charges permanentes.
WQi : Surcharge d’exploitation.
𝛽: C’est le coefficient de pondération il est fonction de le type d’ouvrage et de la charge
d’exploitation, pour les étages a usage d’habitation β = 0.2 (tableau 4.5RPA.99).
V.7 Les résultats de l’analyse dynamique :
Les poteaux :
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 115
Tableau V.2 : tableau section des poteaux.
Les étages
Sections pré dimensionnées
Section finale
RDC
45 × 45
60 × 60
01
45 × 45
60 × 60
02
45 × 45
60 × 60
03
40 × 40
55 × 55
04
40 × 40
55 × 55
05
40 × 40
55 × 55
06
35 × 35
50 × 50
07
35 × 35
50 × 50
08
35 × 35
50 × 50
09
35 × 35
45 × 45
10
35 × 35
45 × 45
11
35 × 35
45 × 45
12
35 × 35
45 × 45
Les poutres :
Tableau V-3 : tableau section des poutres.
Les poutres Section pré dimensionnée Section finale
Poutre principale 30 × 45 35 × 45
Poutre secondaire 30 × 35 30 × 40
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 116
Les résultats donnés par le robot :
Tableau V.4 : résultats par robot.
Mode Période
[sec] Masse cumulée
UX % Masse cumulée
UY %
Masse modale
UX %
Masse modale UY %
Masse totale [t]
01 0,75 68,79 0,00 68,79 0,00 6616,09
02 0,73 68,79 67,13 0,00 67,13 6616,09
03 0,56 69,75 67,13 0,96 0,00 6616,09
04 0,23 84,90 67,13 15,15 0,00 6616,09
05 0,20 84,90 84,81 0,00 17,68 6616,09
06 0,17 84,90 85,91 0,00 1,11 6616,09
07 0,17 85,20 85,91 0,30 0,00 6616,09
08 0,16 85,44 85,91 0,24 0,00 6616,09
09
0,12 85,85 85,91 0,41 0,00 6616,09
10
0,11 90,92 85,91 5,06 0,00 6616,09
11 0,09 90,92 91,93 0,00 6,02 6616,09
12 0,08 91,29 91,93 0,37 0,00 6616,09
Les modes nécessaires :
Le premier mode :
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 117
Le deuxième mode :
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 118
Le troisième mode :
V.8 Analyse des résultats :
V.8.1 Vérifications de la résultante des forces sismique :
W = 66160.90 KN
Vérification si ∶ 𝑉𝑡 < 0.8𝑉.
𝐯 =𝑨 × 𝑫 × 𝑸
𝑹× 𝑾
Sens x :
𝑉𝑋 = (0.25×1.69×1.25
5) × 66160.90 = ⟹ 0.8 × 6988.24 = 5590.59 KN
VDyn > 0.8𝑉 ⟹ 6207,33KN > 5590.59 𝐾𝑁…. CV.
Sens Y :
𝑉𝑌 = (0.25×1.60×1.30
5) × 66160.90 = ⟹ 0.8 × 6880.73 = 5504.58 KN
VDyn > 0.8𝑉 ⟹ 6521,62KN > 5504.58 KN…. CV.
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 119
V.8.2 Vérification de la période : [RPA99version 2003/4.2.4.4] :
Sens x :
𝑇𝑑𝑦𝑛 𝑋 = 0.75 < 𝑇𝑠𝑡𝑠 𝑋 = 0.73 × 1.3 = 0.94……CV
Sens Y :
𝑇𝑑𝑦𝑛 𝑋 = 0.75 < 𝑇𝑠𝑡𝑠 𝑋 = 0.79 × 1.3 = 1.02……CV
V.8.3 Vérification de l’effort normal réduit :
L’effort normal réduit doit être vérifié pour éviter l’écrasement du béton, limiter le risque de
rupture fragile sous sollicitations d’ensemble dues au séisme, l’effort normal de compression
de calcul est limité par la condition suivante (7.2 de RPA2003).
𝐯 =𝐍𝐝
𝐁𝐜𝐟𝐜𝟐𝟖
≤ 𝟎, 𝟑𝟎
Nd : l’effort normal de calcul (N).
Bc : section brute de calcul (m²).
fc28 : la résistance caractéristique du béton fc28 = 25 Mpa.
Tableau V.5 : Vérification de l’effort normal réduit au niveau des poteaux.
Niveau (A×B) (𝐜𝐦𝟐)
𝐁𝐜 (𝐜𝐦𝟐)
𝐍𝐝 (KN)
𝐍𝐝
𝐁𝐜 . 𝐟𝐜𝟐𝟖 𝐕 =
𝐍𝐝
𝐁𝐜 . 𝐟𝐜𝟐𝟖≤ 𝟎. 𝟑𝟎
9+10+11+12étages (45 × 45) 2025 666.69 0.13 Vérifier
6+7+8 étages (50 × 50) 2500 1257.85 0.20 Vérifier
3+4+5 étages (55 × 55) 3025 1905.07 0.25 Vérifier
RDC + 1+2 étages (60 × 60) 3600 2589.84 0.28 Vérifier
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 120
V.8.4 Vérification de déplacement :
Selon le RPA99 2003 Les déplacements relatifs inter étage ne doivent pas dépasser les
1% 𝐡𝐞 .
Les déplacements sont calculés par la formule définie par le RPA99 2003 :
𝛅𝐊 = 𝐑 × 𝛅𝐞𝐤
𝜹𝑲 : Déplacement horizontal au niveau k.
R : Le coefficient de comportement.
𝜹𝒆𝒌 : Déplacement horizontal dû aux forces sismiques obtenues par robot2014.
Le déplacement horizontal relatif au niveau (K) par rapport au niveau (K-1) est égal :
∆𝐤= 𝛅𝐤 − 𝛅𝐤−𝟏
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 121
Tableau V.6 : Vérifications des déplacements.
𝛅𝐤 = 𝐑 × 𝛅𝐞𝐤
(cm)
∆𝒌= 𝜹𝒌 − 𝜹𝒌−𝟏
(cm)
𝐕𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧
Sens X Sens Y Sens X
Sens Y
< 𝟏%𝐡𝐞 = 𝟑. 𝟎𝟔
Niveau 𝐡𝐞
(cm)
12 306 13.50 14.20 0.90 1.10 Vérifier
11 306 12.70 13.0 1.0 1.20 Vérifier
10 306 11.70 11.80 1.10 1.30 Vérifier
09 306 10.70 10.50 1.20 1.30 Vérifier
08 306 9.50 9.20 1.20 1.30 Vérifier
07 306 8.30 7.90 1.30 1.30 Vérifier
06 306 7.10 6.60 1.30 1.30 Vérifier
05 306 5.80 5.30 1.30 1.20 Vérifier
04 306 4.50 4.10 1.20 1.20 Vérifier
03 306 3.30 2.90 1.10 1.0 Vérifier
02 306 2.20 1.90 1.0 0.90 Vérifier
01 306 1.20 1.0 0.80 0.70 Vérifier
RDC 306 0.40 0.40 0.40 0.40 Vérifier
V.8.5 Vérification de l’effet P-Delta :
Les effets de second ordre (ou effet P-Δ) peuvent être négligés dans le cas des bâtiments ou la
condition suivante est satisfaite à tous les niveaux :
𝛉 =𝐏𝐤×∆𝐤
𝐕𝐤×𝐡𝐤≤ 𝟎. 𝟏𝟎 RPA99/V2003 (Article 5.9)
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 122
𝐏𝐤 : Poids total de la structure et des charges d’exploitations associes au-dessus du niveau (k).
𝐕𝐤 : Effort tranchant d’étage au niveau k.
∆𝒌 : Déplacement relatif du niveau k par rapport au niveau k-1.
𝐡𝐤: Hauteur d’étage (k).
- Si 𝟎, 𝟏𝟎 < 𝛉𝐤 < 𝟎, 𝟐𝟎 les effets P-peuvent être pris en compte de manière approximative
en amplifiant les effets de l’action sismique calculés au moyen d’une analyse élastique du 1°
ordre par le facteur 𝟏
(𝟏−𝛉𝐤)
- Si 𝜃𝑘 > 0.20 la structure est partiellement instable et doit être redimensionnée.
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 123
Sens x :
Tableau V.7 : Vérifications P delta sens x.
Etage H
(m)
W
(KN)
𝐏𝐤
(KN)
∆𝐤
(m)
𝐕𝐤
(KN) 𝛉 observation
RDC 3.06 5584.20 69085.30 0.004 6186,39 0.014 Vérifier
01 3.06 5584.20 63501.10 0.008 6123,96 0.026 Vérifier
02 3.06 5584.20 57916.90 0.010 5963,61 0.031 Vérifier
03 3.06 5381.70 52332.70 0.012 5722,84 0.035 Vérifier
04 3.06 5402.80 46951.0 0.012 5424,11 0.033 Vérifier
05 3.06 5402.80 41548.20 0.013 5067,79 0.034 Vérifier
06 3.06 5217.90 36145.40 0.013 4653,60 0.032 Vérifier
07 3.06 5217.90 30927.50 0.013 4175,84 0.031 Vérifier
08 3.06 5217.90 25709.60 0.01 3631,57 0.023 Vérifier
09 3.06 4950.40 20491.70 0.012 3034,29 0.026 Vérifier
10 3.06 4950.40 15541.30 0.011 2361,68 0.023 Vérifier
11 3.06 4950.40 10590.90 0.010 1549,33 0.022 Vérifier
12 3.06 5640.50 5640.50 0.009 1563,67 0.010 Vérifier
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 124
Sens Y :
Tableau V.8 : Vérifications P delta sens y.
Etage H
(m)
W
(KN)
𝐏𝐤
(KN)
∆𝐤
(m)
𝐕𝐤
(KN) 𝛉 0.0
RDC 3.06 5584.20 69085.30 0.004 6502,15 0.013 Vérifier
01 3.06 5584.20 63501.10 0.007 6424,41 0.022 Vérifier
02 3.06 5584.20 57916.90 0.009 6241,05 0.027 Vérifier
03 3.06 5381.70 52332.70 0.010 5982,95 0.028 Vérifier
04 3.06 5402.80 46951.0 0.012 5677,42 0.032 Vérifier
05 3.06 5402.80 41548.20 0.012 5319,25 0.031 Vérifier
06 3.06 5217.90 36145.40 0.013 4900,91 0.030 Vérifier
07 3.06 5217.90 30927.50 0.013 4416,04 0.029 Vérifier
08 3.06 5217.90 25709.60 0.013 3863,72 0.028 Vérifier
09 3.06 4950.40 20491.70 0.013 3256,86 0.026 Vérifier
10 3.06 4950.40 15541.30 0.013 2565,04 0.025 Vérifier
11 3.06 4950.40 10590.90 0.012 1706,76 0.024 Vérifier
12 3.06 5640.50 5640.50 0.011 1632,51 0.012 Vérifier
Dans ce cas l’effet 𝑃 − ∆ est négligeable dans les deux sens X et Y.
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 125
V.8.6 Vérification de renversement :
𝐌𝐬
𝐌𝐫
=∑(𝐰𝐤 × 𝐛𝐢)
∑(𝐅𝐤 × 𝐡𝐤)≥ 𝟏. 𝟓𝟎
Ms : Moment de stabilité.
Mr : Moment de renversement.
wk : Le poids de chaque niveau.
Fk : La somme des forces sismique a la base.
hk : La hauteur d’étage.
bi : Centre de gravité de la structure plus 1 m.
Sens-X :
Tableau V.9 : Vérifications renversement Sens x.
Niveaux 𝐡𝐤 W 𝐛𝐢 𝐅𝐤 𝐌𝐫 𝐌𝐬
RDC 3.06 5584.20 10.20 294.82 868.91 56958,84
01 6.12 5584.20 10.20 366.37 2242.18 56958,84
02 9.18 5584.20 10.20 472.58 4338.28 56958,84
03 12.24 5381.70 10.20 589.66 7217.43 54893,34
04 15.30 5402.80 10.20 737.27 11280.23 55108,56
05 18.36 5402.80 10.20 916.74 16831.34 55108,56
06 21.42 5217.90 10.20 1066.09 22643.75 53222,58
07 24.48 5217.90 10.20 1263.55 30931.70 53222,58
08 27.54 5217.90 10.20 1499.38 41292.92 53222,58
09 30.60 4950.40 10.20 1563.28 47836.36 50494,08
10 33.66 4950.40 10.20 1970.54 66328.37 50494,08
11 36.72 4950.40 10.20 2247.18 82516.44 50494,08
12 39.78 5640.50 10.20 2326.20 92536.23 57533,1
∑(𝐾𝑁)
426864.14
704670,06
Chapitre V Etude sismique
Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 126
𝐌𝐬
𝐌𝐫=
704670.06
426864.14= 𝟏. 𝟔𝟓 ≥ 𝟏. 𝟓𝟎……….CV
La condition du renversement est vérifiée suivant X.
Sens-Y :
Tableau V.10 : Vérifications renversement Sens y.
Niveaux 𝐡𝐤 W 𝐛𝐢 𝐅𝐤 𝐌𝐫 𝐌𝐬
RDC 3.06 5584.20 10.34 182.32 557.89 57740,628
01 6.12 5584.20 10.34 245.63 1503.25 57740,628
02 9.18 5584.20 10.34 369.40 3391.09 57740,628
03 12.24 5381.70 10.34 444.57 5441.53 55646,778
04 15.30 5402.80 10.34 658.15 10069.69 55864,952
05 18.36 5402.80 10.34 854.36 15682.19 55864,952
06 21.42 5217.90 10.35 983.24 20884.01 54005,265
07 24.48 5217.90 10.35 1121.45 27453.09 54005,265
08 27.54 5217.90 10.35 1275.69 35132.50 54005,265
09 30.60 4950.40 10.36 1455.30 44532.18 51286,144
10 33.66 4950.40 10.36 1654.46 55689.12 51286,144
11 36.72 4950.40 10.36 1968.10 72268.63 51286,144
12 39.78 5640.50 10.36 2136.84 85003.49 58435,58
∑(𝐾𝑁)
377150.77
714908,373
𝐌𝐬
𝐌𝐫=
714908.373
377150.77= 𝟏. 𝟖𝟗 ≥ 𝟏. 𝟓𝟎……….CV
La condition du renversement est vérifiée suivant Y.
Chapitre VI
Etude des
portiques
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 127
VI.1 Introduction :
Après avoir calculé les sollicitations, Nous allons étudier le ferraillage des éléments
structuraux (poteaux, poutres), à travers le logiciel d’analyse des structures (ROBOT 2014) ,
Qui a pour but la détermination des différents efforts internes des sections des éléments pour
différentes combinaisons de calcul, nous proposons de déterminer les sections d’aciers
nécessaires à la résistance et à la stabilité des éléments constructifs de notre ouvrage. Le
calcul des sections sera mené selon les règles du calcul de béton armé (C.B.A.93 et
R.P.A.99/V2003 et BAEL91 revisées99).
VI.2 Définitions :
Poteaux :
Ce sont des éléments porteurs chargés de reprendre les charges et surcharges issues des
différents niveaux pour les transmettre au sol par l’intermédiaire des fondations, leur rôle est
destiné à reprendre les actions horizontales dues aux séismes et aux vents et aux efforts
ramenés par les poutres , les sollicitations sont faites en flexion composée ou compression
simple.
Flexion composée :
Une section est sollicitée à la flexion composée lorsqu’elle est soumise à :
Un moment fléchissant (M)
Effort normal (N)
Effort tranchant (T)
Une section soumise à la flexion composée peut être l'une des trois cas suivants :
Section entièrement tendue SET
Section entièrement comprimée SEC
Section partiellement comprimée SPC
Poutres :
Les poutres sont des éléments porteurs horizontaux chargés de reprendre les charges et les
surcharges se trouvant sur les planchers pour les retransmettre aux poteaux. Leur mode de
sollicitation est la flexion simple, étant donné qu’elles subissent des efforts normaux très
faibles.
Flexion simple :
Une section est sollicitée en flexion simple lorsqu’elle est soumise à :
Un moment fléchissant (M)
Un effort tranchant (T)
Portiques :
C’est l’assemblage entre les poteaux et les poutres
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 128
Combinaisons d’actions :
Les combinaisons d'actions permettent de regrouper dans un même cas de charge plusieurs
actions différentes en supposant que chaque charge variable doit être, au moins une fois, une
charge dominante et les autres des charges d'accompagnement.
Pour faire le calcul nous distinguons les types de combinaisons suivantes :
Combinaisons fondamentales :
Selon le règlement BAEL91 (situation durable) :
{ELU : 1.35G + 1.5Q ELS ∶ G + Q
Combinaisons accidentelles :
Selon RPA 99 (situation accidentelle) :
{G + Q ± E0.8 G ± E
VI.3 : Ferraillage des poutres :
Les armatures sous l’effet des sollicitations les plus défavorables seront calculés à l’état
limite ultime.
Puis à l’état limite de service, Le calcul doit satisfaire les conditions de RPA 99 et BAEL
91.
On a deux types de poutres à étudier :
- Poutres principales (35× 𝟒𝟓).
- Poutres secondaires (30× 𝟒𝟎).
Recommandation exigées par le RPA99 (Version 2003) :
Armatures longitudinales :
1- Les armatures longitudinales doivent être à haute adhérence, et sans crochets.
2- Leur pourcentage totale minium sur toute la poutre sera de 0,7% en (zone III).
3 - Leur pourcentage total maximum sera de 4% en zone courante, et 6% en zone de
recouvrement.
4 -L’ancrage supérieur et inférieur dans les poteaux de rive et d’angle doit être effectué
conformément à la figure RPA 99 (Fig. 7.5) avec des Crochets à 90°.
5- La longueur minimale de recouvrement est de : 50 Ø en (zone III).
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 129
6- Les cadres des nœuds sont constitués de « 2U » superposés formant un carré ou un
rectangle.
7- On doit avoir un espacement maximum de 10 cm entre deux cadres et un minimum de trois
cadres par nœud.
8- Les poutres supportant de faibles charges verticales et sollicitées principalement par les
forces latérales sismiques doivent avoir des armatures symétriques avec une section en travée
au moins égale à la moitié de la section sur appui.
Armatures transversales : 1- La quantité d'armatures transversales minimales est donnée par : Atmin = 0.003 × s × b
2- L'espacement maximum entre les armatures transversales est déterminé comme suit :
{St = min (
h
4; 12∅1) … … … … en zone nodale
St ≤h
2… … … … … en zone courante
Avec :
b : largeur de la section.
h : la hauteur de la section.
St : L’espacement des armatures transversales.
∅1: Le diamètre utilisé le plus petit.
Recommandations exigées par le BAEL 91 Révisé 99 :
{Amin ≥ 0.23 × b × d ×fc28
fe… … … … … . . la condition de non fragilité
- Le pourcentage minimal des armatures longitudinales :
{Amin ≥ 0.001 × b × h
- Le diamètre des armatures transversales :
φt ≤ Min (h
35; φI;
b
10)
Avec :
φt : Diamètre des armatures transversales
φI : Diamètre des armatures longitudinales
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 130
Les armatures longitudinales sont déterminées sous deux cas de sollicitations suivantes :
1ercas : 𝐍𝐦𝐚𝐱 → 𝐍𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭
2èmecas : 𝐌𝐦𝐚𝐱 → 𝐌𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭
Tableau VI.1: tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.
𝐀𝐦𝐢𝐧 𝐑𝐏𝐀
𝐜𝐦𝟐
𝐀𝐦𝐢𝐧 𝐁𝐀𝐄𝐋
𝐜𝐦𝟐
𝐀𝐦𝐚𝐱 𝐑𝐏𝐀
𝐜𝐦𝟐
Zone courante
𝐀𝐦𝐚𝐱 𝐑𝐏𝐀
𝐜𝐦𝟐
Zone de
recouvrement
Poutre
principale
(𝟑𝟓 × 𝟒𝟓)
7,875 1.46 63 94.5
Poutre
secondaire (𝟑𝟎 × 𝟒𝟎)
6 1.30 48 72
VI.3.1 Calcul des sollicitations :
Les efforts (M et N) obtenus avec le logiciel ROBOT 2014 sont récapitulés dans les tableaux
suivants :
Tableau VI-2 : Tableau récapitulatif des moments fléchissant et des efforts tranchants
²
Moment en appuis (KN. m) Moment en travée (KN. m)
Effort
tranchant
T (KN)
𝐌𝐚𝐮 𝐌𝐚
𝐬 𝐌𝐚𝐚𝐜𝐜 𝐌𝐭
𝐮 𝐌𝐭𝐬 𝐌𝐭
𝐚𝐜𝐜 T
Poutre
principale
(𝟑𝟓 × 𝟒𝟓)
79.57 57.76 162.23 72.90 52.88 158.80 113.08
Poutre
secondaire (𝟑𝟎 × 𝟒𝟎)
76.62 55.64 149.58 44.46 32.26 117.62 111.22
VI.3.2 : Exemple de calcul :
Ferraillage longitudinal :
Béton : γb = 1.5 ; fc28 = 25 MPa ; σbc14.17 MPa
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 131
Acier : γs = 1.15 ; FeE400 ; σs = 348 MPa
h = 45 cm ; b = 35 cm
Ferraillage en appuis :
État limite ultime (ELU):
Mau = 79.57 KN. m
µbu =Ma
u
b×d2×σbc=
79.57×10−3
0.35×0.4052×14.17= 0.097
µbu = 0.097 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimé (A′ = 0)
α = 1,25(1 − √1 − 2µ = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.097)) = 0.12
z = d × (1 − 0.4α) = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.12)) = 0.38
As cal =Ma
u
σs×z= (
79.57×10.−3
348×0.38) × 104 = 6.01 cm2
État limite de service (ELS) :
Mas = 57.76 KN. m
Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs
Flexion simple
Section rectangulaire sens A′
Acier FeE400
} ⇒α ≤γ−1
2+
fc28
100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa
Avec :
γ =Ma
u
Mas =
79.57
57.76⇒ γ = 1.37
1.37−1
2+
25
100= 0.43 > α = 0.12 ⇒ Condition vérifiée.
Conclusion :
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées a ELU sont maintenues.
Situation accidentelle :
Maacc = 162.23 KN. m
45 cm
A
35 cm
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 132
μu
=Ma
acc
b×d2×σbc=
162.23×10−3
0.35×0.4052×18.48= 0.15
μu
= 0.15 < μlim
= 0.392 → section sans armature comprimé ( A′ = 0)
α = 1.25 × (1 − √1 − 2μu) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.15)) = 0.20
z = d × (1 − 0.4 × α) = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.20)) = 0.37
As cal =Ma
acc
z×σs= (
162.23×10−3
400×0.37) × 104 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟔 𝐜𝐦𝟐
At = max (As cal ; As acc ; Amin RPA ; Amin
BAEL) = 10.96
Choix des armatures : 𝟔𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟔 𝐜𝐦𝟐
1- Ferraillage en travée :
État limite ultime (ELU) :
Mtu = 72.90 KN. m
µbu =Mt
u
b×d2×σbc=
72.90×10−3
0.35×0.4052×14.17= 0.089
µbu = 0.089 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimé (A′ = 0)
α = 1,25(1 − √1 − 2µ = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.089)) = 0.12
z = d × (1 − 0.4α = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.12)) = 0.38
As cal =Mt
u
σs×z= (
72.90×10.−3
348×0.38) × 104 = 5.51 cm2
État limite de service :
Mts = 52.88KN. m
Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs
Flexion simple
Section rectangulaire sens A′
Acier FeE400
} ⇒α ≤γ−1
2+
fc28
100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa
Avec :
γ =Mt
u
Mts =
72.90
52.88⇒ γ = 1.37
1.37−1
2+
25
100= 0.43 > α = 0.12 ⇒ Condition vérifiée.
Conclusion :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 133
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées en ELU sont maintenues.
Situation accidentelle :
Mtacc =158.80 KN. m
μu
=Mt
acc
b×d2×fbu=
158.80 ×10−3
0.35×0.4052×18.48= 0.15
μu = 0.15 < μlim = 0.392 → section sans armature comprimé ( A′ = 0)
α = 1.25 × (1 − √1 − 2μu) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.15)) = 0.20
z = d × (1 − 0.4 × α) = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.20)) = 0.37
As cal =Mt
acc
z×σs= (
158.80×10−3
400×0.37) × 104 = 10.72 cm2
At = max (As cal ; As acc ; Amin RPA ; Amin
BAEL) = 10.72 cm2
Choix des armatures : 𝟔𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟔 𝐜𝐦𝟐
Vérification des armatures tangentielle :
Tumax = 113.08KN
τu =Tu
b.d=
113.08×10−3
0.35×0.405= 0.79 MPa ≤ τu̅ = min (0,2
fc28
γb
; 5 MPa) = 3.33 MPa
τu ≤ τu̅ … … … … … condition vérifiée.
Ferraillage transversal :
ϕt ≤ min (h
35; ∅L min;
b
10)
h : hauteur totale de la poutre
∅L min : Diamètre maximal de l’armature longitudinale
b : la largeur de la poutre
ϕt ≤ min (45
35; ∅L min;
35
10)
⟹ On prend ∅t = 8 mm
Le choix : 4∅8 = 2.01 cm2
L’espacement des armatures transversales :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 134
Selon le B.A.E.L 83 [1]:
δt1 ≤0.9×Fe×At(sin α+cos α)
b0×γs×(τu−0.3ft28 .K)
Avec :
α = 90∘
K=1 (Flexion simple)
Donc :
δt1 ≤ [0.9×235×2.01×10−4
0.35×(0.79−0.3×2.1×1)] × 102
δt1 ≤ 75.91 cm
δt2 ≤ min (0.9d ; 40 cm) = min (0.9 × 40.5 ; 40) cm = min (36.18; 40) = 36.18 cm
δt3 ≤At×fe
0.4 b=
2.01×235
0.4×35= 33.73 cm
Selon le RPA99 :
Zone nodale :
δt1 ≤ min (h
4; 12∅) = min (
45
4 ; 12 × 1.4) = 11.25 cm
Zone courante :
δt1 ≤h
2=
45
2= 22.5 cm
Donc on prend :
δt = 10 cm en zone nodale.
δt = 15 cm en zone courante.
Vérification des armatures transversales :
Zone nodale :
At = 0.003. s. b
At min = 0.003 × 10 × 35 = 1.05 cm2
Zone courante :
At min = 0.003 × 10 × 35 = 1.05 cm2
Vérification des contraintes à l’état limite de service (ELS) :
a. Contrainte de béton :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 135
σbc =Mser
Iy < σbc̅̅ ̅̅ = 0.6 fc28
σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.60 fc28 = 0.6 × (25) = 15 MPa
Position de l’axe neutre :
y = 15.(As+A′s)
b[√1 +
b(d .As+d′.A′s
7,5(As+A′s)²
− 1] Avec A′s = 0
y = 15.14.20
35[√1 +
35×(45×14.20)
7,5(14.20)2− 1] ⟹ y = 23.40 cm
I =b.y3
3+ 15 × [As × (d − y)2 + A′
s(d − d)2] Avec A′s = 0
I =35×23.403
3+ 15 × [14.20 × (45 − 23.40)2] ⟹ I = 248861.16 cm4
Ms = 57.76KN. m Le cas le plus défavorable
σbc =Mser
Iy = [
57.76
248861.16× 23.40] × 103 = 5.43 MPa
σbc = 5.43 MPa < σbc̅̅ ̅̅ = 15 MPa … … … … … … CV
Contrainte d’acier :
Aucune vérification dans le cas de fissuration peu nuisible.
Vérification de la flèche de la poutre principale :
Le calcul de la flèche n’est pas nécessaire si les conditions sont toutes vérifiées
a) ht
L≥
1
16… … . . CV
b) ht
L≥
1
10.
M1
M0… … … . CV
c) A
b0.d≤
4,2
fe… … … … CV
Donc la vérification de la flèche n’est pas nécessaire
Recouvrement des armatures longitudinales :
Lr = 50∅ (𝐙𝐨𝐧𝐞 𝐈𝐈𝐈)
Lr ∶ Longeur de recouvrement.
∅ = 14 mm … … … … … … … … … Lr = 70 cm en 𝐳𝐨𝐧𝐞 𝐈𝐈𝐈 Pour ∶ ∅ = 1,4 cm
Le calcul de la poutre secondaire ce fait de la même façon que la poutre principale.
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 136
Tableau VI.3 : Tableau récapitulatif du ferraillage des poutres.
Section position 𝐀𝐬 𝐜𝐚𝐥 𝐀𝐬 Choix
des barres
𝐀𝐬𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐯 𝛅𝐭
Zone
courante
𝛅𝐭
Zone
nodale
Poutre
principale
Appuis 10.96 12.06 𝟔𝐓𝟏𝟔 4∅8 15 10
Travées 10.72 12.06 𝟔𝐓𝟏𝟔 4∅8 15 10
Poutre
secondaire
Appuis 9.01 9.24 𝟑𝐓𝟏𝟒 + 𝟑𝐓𝟏𝟒
4∅8 15 10
Travées 7.01 8.01 𝟑𝐓𝟏𝟒 + 𝟑𝐓𝟏𝟐
4∅8 15 10
Schéma de ferraillage des poutres :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 137
40cm 40cm
30 cm 30 cm
4∅8
3T14
3T14 + 3T14
4∅8
3T14
+ 3T12
3T14
Figure VI.2- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre secondaire
45cm 45cm
35 cm 35 cm
4∅8
3T16
6T16
4∅8
6T16
3T16
Figure VI-1- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre principale
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 138
IV.4.1 Étude des poteaux :
Les poteaux sont des éléments verticaux constituant l’élément porteur du système planchers
poutre par point d’appui isolé. Donc les poteaux dans une structure représentent plusieurs
rôles.
Supporter les charges verticales (effort de compression dans les poteaux)
Participer à la stabilité transversale par le système poteaux-poutres pour reprendre les efforts
horizontaux :
1- Effet des efforts sismique.
2- Effet du vent.
3- Effet de changement de la température.
4- Effet de la dissymétrie des charges.
Les poteaux sont sollicités dans les deux sens (voir figure VI.3) ; ils sont calculés en fonction
de l’effort normal N et le moment M selon les cas suivants :
Nmax → Mcorr
Mmax → Ncorr
Nmin → Mcorr
Figure VI.3 : Direction des moments et efforts normal dans un poteau.
Les sollicitations sont calculées à l’aide de logiciel ROBOT 2014 sous les combinaisons
d’actions suivantes :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 139
Combinaisons fondamentales :
D’après le BAEL 91 on a les cas suivants
Etat limite ultime (E L U)….. 1.35G+1.5Q
Etat limite de service (E L S)……… G+Q
Combinaison accidentelle :
D’après le RPA99 (Art5.2) on a le cas suivant
G + Q ± 1.2E
Nous distinguons 2 types de situation.
Situation durable :
Béton : γb = 1,5 ;fc28 = 25 MPa ; σbc = 14.17 MPa
Acier : γs = 1,5 ; Nuance E400 ; σs = 14.17 MPa
Situation accidentelle :
Béton : γb = 1,5 ;fc28 = 25 MPa ; σbc = 18.48 MPa
Acier : γs = 1,00 ; Nuance E400 ; σs = 400 MPa
VI.2.1 recommandations du RPA99 (article 7.4.2.1) :
A) Les armatures longitudinales :
Les armatures longitudinales doivent être à haute adhérence, droites et sans crochets.
Amin = 0,9 % de la section de béton (en zone III).
Amax = 4 % de la section de béton (en zone courante).
Amax = 6 % de la section de béton (en zone de recouvrement).
φmin = 12mm(Diamètre minimal utilisé pour les barres longitudinales).
La longueur minimale de recouvrement est de 50 ∅ (en zone III).
La distance ou espacement (St) entre deux barres verticales dans une face de poteau ne
doit pas dépasser 20 cm (en zone III).
Les jonctions par recouvrement doivent être faites si possible, en dehors des zones
nodales (zone critique).
Les longueurs à prendre en compte pour chaque barre des armatures longitudinales
dans la zone nodale sont l′eth′.
Avec :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 140
l′ = 2h
h′ = max (he
6 ; b1 ; h1 ; 60cm)
he : la hauteur d’étage.
(b1 × h1) : La section du poteau.
Figure VI-4 : schéma de la zone nodale.
Les valeurs numériques relatives aux prescriptions du RPA sont apportées dans le tableau
suivant :
B) Les armatures transversales :
Les armatures transversales des poteaux sont calculées à partir de la formule suivante :
At
δt=
ρa × Tmax
h1 × fe
Tableau VI.4 : tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.
Section du poteau
(cm²)
Amin RPA
(cm²)
Amax RPA (cm²)
Zone courante Zone de
recouvrement
60 × 𝟔𝟎 32.4 144 216
𝟓𝟓 × 𝟓𝟓 27.23 121 181.5
50 × 𝟓𝟎 22.5 100 150
45 × 𝟒𝟓 18.23 81 121.5
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 141
Avec :
Tmax : L’effort tranchant de calcul.
h1: Hauteur totale de la section brute.
fe : Contrainte limite élastique de l’acier d’armature transversale.
ρa: Coefficient correcteur qui tient compte du mode fragile de la rupture par effort tranchant,
il est pris égale à :
{2,5 si λg ≥ 5
3,75 si λg < 5 λg:Élancement géométrique.
δt: L’espacement des armatures transversales.
La valeur maximum de cet espacement dans la zone III est fixée comme suit :
{δt ≤ min(10∅l ; 15cm) Dans la zone nodale
δt′ ≤ 15∅l Dans la zone courante
Avec :
∅l: Diamètre minimal des armatures longitudinales du poteau.
Atmin = {
0,3% × δt ′ × b1 si λg ≥ 5 (1)
0,8% × δt′ × b1 si λg ≤ 3 (2)
Interpoler entre (1)et (2) si 3 < λg < 5
Avec :
λg: élancement géométrique du poteau qui est égale à :
λg = [lf
a ou
lf
b]
a et b : les dimensions de la section droite du poteau dans la direction de déformation
considérée.
lf : Longueur de flambement du poteau.
Les cadres et les étriers doivent ménager des ménagers des cheminées en nombre et
diamètre suffisants (Φ > 12 mm) pour permettre une vibration correcte du béton sur
toute la hauteur des poteaux.
Les cadres et les étriers doivent être fermés par des crochets à 135° ayant une longueur
droite de 10∅min.
Détermination des sollicitations :
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 142
Tableau VI-5: Détermination des sollicitations des poteaux.
𝟔𝟎 × 𝟔𝟎 𝟓𝟎 × 𝟓𝟎 𝟓𝟓 × 𝟓𝟓 𝟒𝟓 × 𝟒𝟓
ELU
Nmax 2589.84 1905.07 1257.85 666.69
Mcorr 3.45 21.27 25.85 26.43
Tmax 82.34 66.65 47.20 38.47
ELS
Nmax 1885.84 1386.84 915.68 483.58
Mcorr 2.50 13.48 18.71 19.14
Tmax 60.04 48.58 34.38 27.94
𝐆 + 𝐐± 𝟏. 𝟐𝐄
M max 251.39 122.38 121.53 111.49
Ncorr 2614.46 1220.98 482.89 104.96
Tmax 185.61 175.95 157.22 127.10
VI.2.2 Exemple de calcul :
Nous allons détailler le calcul du poteau au niveau du RDC, de section (60x60) cm2, ce
dernier sera calculé comme suite :
𝐍𝐦𝐚𝐱 → 𝐌𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭
𝐌𝐦𝐚𝐱 → 𝐍𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭
VI.2.3 Ferraillage longitudinal :
Combinaison fondamentale :(𝟏, 𝟑𝟓𝐆 + 𝟏, 𝟓𝐐)
Cas 1 :
{Nmax = 2589.84 KNMcorr = 3.45 KN. mTu = 82.34 KN
Situation durable :
Béton :γb = 1,5 ; fc28 = 25 MPa ; σbc = 14,17 MPa
Acier : γs = 1,15 ; Nuance E400 ; σs = 348 MPa
Calcul de l’excentricité :
ea = max {2cm ; L
250} = max {2cm ;
306
250= 1,29 cm} = 2 cm
e1 =Mu
Nu+ ea =
3.45
2589.54+ 0,02 = 0,0213 m = 2,02 cm
b = 60
cm
h = 60 cm
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 143
a) Sollicitations ultimes corrigées par le flambement :
Elancement géométrique :
lf = 0,7. l = 0,7 × 3,06 = 2,14 m
λg =lf
h=
2,14
3.45= 0.62
20 ×e1
h= 20 ×
2,02
60= 0,67
⇒ λg = 0.67 < 𝑚𝑎𝑥{15 ; 0,67}…………………C.V
Calcul en flexion composée en tenant compte de l’excentricité du second ordre
forfaitairement.
e2 =3lf
2
104 . h(2 + αφ)
Avec :
lf : Longueur de flambement.
φ : Le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous charge
considérée.
{α = 10 (1 −
Mu
1,5Mser) = 10 (1 −
3.45
1,5 × 2.50) = 0,80
φ = 2
e2 =3 × 2,14²
104 × 0.60(2 + 0,80 × 2) = 0.0082 m
e0 = e1 + e2 = 0,0202 + 0.0082 = 0.0284 m
b) Sollicitations ultimes corrigées pour le calcul en flexion composée :
Mu = Nu × e0 = 2589.84 × 0.0284 = 73.55 KN. m
c) Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :
eA = e0 + (d −h
2) = 0.0284 + (0,54 −
0,60
2) = 0,268 m
MUA = Nu × eA = 2589.84 × 0,268 = 694.07 KN. m
d) Ferraillage :
µbc = 0,8 ×h
d(1 − 0,4
h
d) = 0,8 ×
0,60
0,54(1 − 0,4 ×
0,60
0,54) = 0,49
µbu =MUA
fbu. b. d²=
694.07 × 10−3
14,17 × 0,6 × 0,54²= 0,27
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 144
µbu = 0,27 < µbc = 0,49 Section partiellement tendue (on calcule la section à la flexion
simple).
µbu = 0,27 < µlu = 0,392 Pas d’armatures comprimées (A′ = 0).
α = 1,25 (1 − √1 − 2µbu) = 0,40
β = 1 − 0,4α = 0,84
As =MUA
β. d. σs
=694.07 × 10−3
0,84 × 0,54 × 348× 104
⇒As = 43.96 cm²
Armatures en flexion composée :
A′ = 0
A = As −Nu
σs
= (43.96 × 10−4 −2589.84 × 10−3
348) × 104 = −30.46 cm²
A = −30.46 cm² < 0 On prendra Amin
Section minimale :
Selon le BAEL :
Amin =0,23 × ft28 × b0 × d
fe
Avec : ft28 = 2,1 MPa
Amin =0,23 × 2,1 × 0,60 × 0,54
400× 104 = 3.91 cm²
Selon le RPA 99 :
Amin = 0,9 % b. h = 0,009 × 60 × 60 = 32.4 cm²
On adopte 12 T 20 = 37.70 cm²
Combinaison accidentelle :
Cas 2 :
{Mmax = 251.39 KN. m Ncorr = 2324.27 KN Tu = 185.61 KN
Situation accidentelle :
Béton :γb = 1,15 ; fc28 = 25 MPa ; σbc = 18,48 MPa
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 145
Acier : γs = 1,00 ; Nuance E400 ; σs = 400 MPa
Calcul de l’excentricité :
ea = max {2cm ; L
250} = max {2cm ;
306
250= 1,22 cm} = 2 cm
e1 =Mu
Nu+ ea =
251.39
2324.27+ 0,02 = 0,116 m
b) Sollicitations ultimes corrigées par le flambement :
Elancement géométrique :
lf = 0,7. l = 0,7 × 3,06 = 2,22 m
λg =lf
h=
2,22
0,60= 3.70
20 ×e1
h= 20 ×
11.6
60= 3.86
⇒λg = 3,86 < 5
Calcul en flexion composée en tenant compte de l’excentricité du second ordre
forfaitairement.
e2 =3lf
2
104 . h(2 + αφ)
Avec :
lf : Longueur de flambement.
φ : Le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous charge
considérée.
{α = 10 (1 −
Mu
1,5Mser
) = 10 (1 −3.45
1,5 × 2.50) = 0,80
φ = 3.75
e2 =3 × 2,22²
104 × 0.60(2 + 0,80 × 2) = 0,009 m
e0 = e1 + e2 = 0.116 + 0,009 = 0,125 m
b) Sollicitations ultimes corrigées pour le calcul en flexion composée :
Mu = Nu × e0 = 2324.27 × 0,125 = 290.53 KN. m
c) Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :
eA = e0 + (d −h
2) = 0,125 + (0,54 −
0,60
2) = 0,365 m
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 146
MUA = Nu × eA = 2324.27 × 0,365 = 848.35 KN. m
c) Ferraillage :
µbc = 0,8 ×h
d(1 − 0,4
h
d) = 0,8 ×
0,60
0,54(1 − 0,4 ×
0,60
0,54) = 0,49
µbu =MUA
fbu .b.d²=
848.35×10−3
18,48×0,6×0,54²= 0,262
µbu = 0,262 < µbc = 0,49 Section partiellement tendue (on calcule la section à la flexion
simple).
μbu = 0,262 < μlu = 0,392 Pas d’armatures comprimées (A′ = 0).
α = 1,25(1 − √1 − 2µbu) = 0,387
β = 1 − 0,4α = 0,845
As =MUA
β. d. σs=
848.35 × 10−3
0,84 × 0,54 × 400× 104
⇒As = 46.75 cm²
Armatures en flexion composée :
A′ = 0
A = As −Nu
σs= (46.75 × 10−4 −
2324.27 × 10−3
400) × 104 = −11.35 cm²
A = −11.35 cm² < 0 On prendra Amin
Section minimale :
Selon le BAEL :
Amin =0,23 × ft28 × b0 × d
fe
Avec : ft28 = 2,1 MPa
Amin =0,23 × 2,1 × 0,60 × 0,54
400× 104 = 3.91 cm²
Selon le RPA 99 :
Amin = 0,9 % b. h = 0,009 × 60 × 60 = 32.4 cm²
On adopte 12 T 20 = 37.70 cm²
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 147
Résultat du ferraillage longitudinal des poteaux :
VI-2-4 Ferraillage transversal :
Selon le RPA 99 :
At =δt × ρa × Tmax
h1 × fe
Dans la zone nodale :
St ≤ 10 cm ⇒ en zone III
λg = {Lf
a ou
Lf
b
⇒ λg = 2.14
0.60 = 3,56 < 5 ⇒ ρa= 3,56
⇒ At= ρa .Vu.t
h1.fe =
3.56 × 129330 × 15
60 × 235 × 100 = 4,89 cm²
Amin = 0,9 % b.h= 0,009 % × 0,60 × 0,60= 0,003 cm²
Dans la zone courante :
⇒St ≤ min (b1
2;
h1
2; 10 ∅1) ⇒ en zone III
At= ρa .Vu.t
h1.fe =
3.56 × 129330 × 18
60 × 235 × 100 = 5,87 cm²
Donc on prend :
St = 10 cm en zone nodale.
St = 15 cm en zone courante.
Vue le nombre important des poteaux à étudier, nous avons présenté un exemple de calcul
d'un type de poteau (60 × 60) cm². Le reste des calculs est présenté dans le tableau qui nous
Tableau VI.6 :Tableau récapitulatif.
Cas Section
(cm²)
N
(KN)
M
(KN.m)
Ainf
(cm²)
Asup
(cm²)
Amin
(cm²)
Amin
(cm²)
1 er cas 60 x 60 2589.84 3.45 - 30.46 0 3.91 32.40
2 ème cas 60 x 60 2324.27 251.39 - 11.35 0 3.91 32.40
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 148
indiquera les différentes sections d'armatures longitudinales et transversales pour chaque type
de poteau et selon les règlements utilisés BAEL 91 et le RPA 99.
Longueur de recouvrement :
Selon le RPA 99 (version 2003)
Lr = 50∅ Zone III
⇒ Lr = 50 × 2 = 100 cm
Calcul des espacements :
Selon le RPA99 :
At =φa .δ1 .Tmax
h .fe
Dans la zone III l’espacement entre les barres doit respecter les conditions suivantes :
{St ≤ 10 cm en zone nodale
St ≤ min (b1
2;
h1
2; 10 ∅1) en zone courante
Avec : ∅L Diamètre minimal des armatures longitudinales du poteau.
Donc on prend : St = 10 cm → en zone nodale.
St = 15 cm → en zone courante.
φa: Est en fonction de λg.
λg: Est l′elancement géométrique du poteau.
λg =lf
h=
286
60= 4.76 < 5
Tableau VI. 7:Tableau condition de l’espacement.
Section 𝐓𝐦𝐚𝐱
(KN) 𝐛𝟎 d 𝛕𝐮 𝛕𝐮 Commentaire
60× 𝟔𝟎 82.34 0.60 0.54 0.254 1.00 C.V
55× 𝟓𝟓 66.65 0.55 0.495 0.244 1.00 C.V
50× 𝟓𝟎 47.20 0.50 0.49 0.192 1.00 C.V
45× 𝟒𝟓 38.47 0.45 0.405 0.211 1.00 C.V
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 149
Donc : φa = 3.75
Tmax = 185.61 KN
𝑓𝑒 = 400 𝑀𝑃𝑎
Donc :
At =3.75×10×1865.61×103
60×400×100=
τu =Tmax
b0 × d=
34,17 × 10−3
0,60 × 0,585= 0,097 MPa
τu = ρd × fc28
Avec :
{ρd = 0,075 si λg ≥ 5
ρd = 0,04 si λg < 5
Tableau VI-8 : Récapitulation de calcul des armatures longitudinales
Poteau
(𝐜𝐦𝟐)
𝐀𝐦𝐢𝐧𝐑𝐏𝐀
(𝐜𝐦𝟐)
𝐀𝐦𝐢𝐧𝐁𝐀𝐄𝐋
(𝐜𝐦𝟐)
𝐀𝐚𝐝𝐨𝐩𝐭
(𝐜𝐦𝟐)
Choix
(𝐜𝐦𝟐)
𝐀𝐚𝐝𝐨𝐩𝐭
(𝐜𝐦𝟐)
Choix
(𝐜𝐦𝟐)
𝐒𝐭
(cm)
𝐒𝐭
(cm)
𝟔𝟎 × 𝟔𝟎 32.40 3.91 12T20 37.70 4T10 3.14 10 15
𝟓𝟓 × 𝟓𝟓 27.23 3.28 10T20 31.42 4T10 3.14 10 15
𝟓𝟎 × 𝟓𝟎 22.50 2.72 6T20+4T16 26.89 4T10 3.14 10 15
𝟒𝟓 × 𝟒𝟓 18.23 2.03 10T16 20.11 4T10 3.14 10 15
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 150
Détermination de la zone nodale :
{h’ = max(
he
6 , b1 , h1 , 60 cm)
L’ = 2h⇒{
h’ = max (306
6 , 60, 60, 60 cm) = 60cm.
L’ = 2 × 60 = 120 cm.
VI.3 ETUDE DES VOILES DE CONTREVENTEMENT :
VI.3.1 Introduction :
Les voiles sont des éléments destinés à reprendre les efforts horizontaux tels que le vent et
le séisme, et aussi à équilibrer la structure vis à vis de la rotation autour de l'axe vertical
passant par le centre de torsion.
Ils deviennent indispensables quand les portiques (poteaux, poutres) ne sont pas capables
de reprendre la totalité de ces efforts, et lorsqu’on veut atteindre la rigidité nécessaire.
VI.3.2 Combinaison d’action :
Les voiles seront calculés dans les deux directions horizontales et verticales, à la flexion
composée sous un effort normal de compression (F) et un moment de flexion (M), tirés à
partir des fichiers résultats du ROBOT 2014, sous les combinaisons de calcul suivantes :
G + Q + E …… (1).
0,8G± E ……… (2).
G + Q ± 1,2…… (3).
60 cm
60 cm
4∅10
5T20
5T20
Figure VI.2 : Ferraillage du poteau
2T20
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 151
VI.3.3 Ferraillage des trumeaux :
Pour le calcul des sections d'aciers nécessaires dans les voiles en flexion composée, on
procèdera de la manière suivante :
1) Détermination des sollicitations suivant le sens considéré.
2) Détermination de la nature de la section en flexion composée selon 3 cas :
Soit section entièrement tendue.
Soit section entièrement comprimée.
Soit section partiellement comprimée.
Tout en admettant que :{N > 0 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛.N < 0 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛.
3) Lorsque l'effort normal est un effort de compression, il est nécessaire de vérifier l'état
limite ultime de stabilité de forme de la pièce. C'est à dire que les sections soumises à la
flexion composée avec un effort normal de compression doivent être justifiées au
flambement.
Ferraillage minimum :
Le pourcentage minimum d'armatures verticales et horizontales des trumeaux dans la section
est donné comme suivant :
Globalement dans la section du voile : Amin=0,15%.h.b
En zone courante : Amin=0,10%.h .b[1]
On devra disposer le ferraillage suivant :
Des aciers verticaux.
Des aciers horizontaux.
a. Aciers verticaux :
- Lorsqu'une partie du voile est tendue sous l'action des forces verticales et horizontales,
l'effort de traction doit être pris en totalité par les armatures, le pourcentage minimum des
armatures verticales sur toute la zone tendue est de 0,2%.
- Il est possible de concentrer des armatures de traction à l'extrémité du voile ou du
trumeau, la section totale d'armatures verticales de la zone tendue devra rester au moins égale
à 0,20% de la section horizontales du béton tendu.
- Les barres verticales des zones extrêmes devraient être ligaturées avec des cadres
horizontaux dont l'espacement ne doit pas être supérieur à l'épaisseur du voile.
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 152
- Si des efforts importants de compression agissent sur l'extrémité, les barres verticales
doivent respecter les conditions imposées aux poteaux.
- Les barres verticales du dernier niveau doivent être munies de crochets. Mais au niveau
des parties courantes, la partie supérieure, toutes les autres barres n'ont pas de crochets
(jonction par recouvrement).
- A chaque extrémité du voile (trumeaux) l'espacement des barres doit être réduit de moitié
sur 1
10 de la largeur du voile (voir figure VII.4) cet espacement d'extrémité doit être au plus ou
égale à 15 cm.
b. Aciers horizontaux :
Les barres horizontales doivent être munies de crochets à 135° ayant une longueur de 10∅.
Dans le cas où il existe des talons de rigidité, les barres horizontales devront être ancrées
sans crochets si les dimensions des talons permettent la réalisation d'un ancrage droit.
Remarque :
L'espacement des barres horizontales et verticales doit être inférieur à la plus petite des
deux valeurs suivantes :
- St ≤ 1,5b.
- St ≤ 30 cm.
Avec :
{b ∶ L′épaisseur du voile en (cm).
Les deux nappes d'armatures doivent être avec au moins 4 épingles au mètre carré (m²).
Dans chaque nappe, les barres horizontales doivent être disposées vers l'extérieur. Le diamètre
des barres verticales et horizontales des voiles ne devrait pas dépasser 1
10 de l'épaisseur du
voile.
Les longueurs de recouvrement doivent être égales à :
40∅ pour les barres situées dans les zones où renversement du signe des efforts est
possible.
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 153
20∅ pour les barres situées dans les zones comprimées sous l'action de toutes les
combinaisons possibles de charge.
Le long des joints de reprise de coulage, l'effort tranchant doit être pris par les aciers de
couture dans la section doit être calculée avec la formule :
Avj =
1,1 × V
fe
Cette quantité doit s'ajouter à la section d'aciers tendus nécessaires pour équilibrer les
efforts de tractions dus aux moments de renversement.
VI.3.4 Calcul du Ferraillage
Le ferraillage se fera pour le panneau le plus défavorable suivant les deux directions.
Les sollicitations (M, N, T) :
On calcule une bande de largeur 1m et de 15 cm d’épaisseur.
Verticalement :{Nmax = − 261.08 KNMmax = 12.40 KN. m
- T = 5.02 KN
Horizontalement :{Nmax = −2035.64 KNMmax = 132.57 KN. m.
- T = 24.44 KN
Exemple de calcul :
a. Ferraillage de sens vertical : {Nmax = −261.08 KNMmax = 12.40 KN. m
Calcul de l'excentricité :
Le calcul du ferraillage de voile se fait avec une bande de 1 ml tel que :
h = 15 cm ; d = 13.5cm
eT = e1 + e2 +ea
15 cm
100 cm
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 154
⇒e1 = Mmax
Nmax
[2]= 12.40
261.08 = 0,047 m <
h
6 = 0,025 ⇒ on calcul la section à la Flexion simple
e2 = max {2cm ; L
250} = max {2cm ;
306
250= 1,22 cm} = 2 cm
e3 =3lf
2
104 . h(2 + αφ)
Avec :
lf : Longueur de flambement.
φ : Le rapport de la déformation finale du au fluage à la déformation instantanée sous charge
considérée.
∅ = 2 ; lf = 0.7 × h =2.14 m
Mmax= 12.40 KN.m
µ = Mt
σb.b.d² =
12.40× 10−3
14,17 ×1 × 0,135² = 0,04
µ < µAB = 0,186 ⇒ A
MPa
f
A
Apoivot
s
es 348
15,1
400
0
α = 1.25(1 − √1 − 2µ) = 0.05
e3 =3×2,14²
104×0.60(2 + 0,05 × 2) = 0,0018 m
ea = e1 + e2 + e3 = 4.7 + 2 + 0.18 = 6.88 m
β = 1 − 0.4α = 0.98
Acal = Mt
β.d.σs=
12.40×10−3
0.98 × 13,5 × 348× 104= 0,026 cm²
- La condition de non-fragilité impose une section minimale d’armature :
Amin = 0,23.b.d.ft28
fe= 0,23 × 100 × 13,5 ×
2.1
400= 1,63 cm² (BAEL91 p 275)
Choix des barres :
As = 0,026 cm2 2T12= 2,26 cm2
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 155
Vérification à l’ELS :
Ms= 9.07 KN.m
Fissuration peu nuisible
Flexion simple⇒σs < σ¯s
Section rectangulaire
Acier FeE 400
On vérifie si : α ≤ γ−1
2 +
fc28
100
γ=Mu
Ms =
12.40
9.07 = 1.36
α = 0,05 < 1.36 ……………………………………………Condition vérifiée.
⇒Donc les armatures calculées à l’ELU conviennent.
- Selon BAEL modifier 99 :
A′s ≥ max{100× 15
1000 ; 0,23 × 100 × 13,5 ×
2,1
400}⇒A′s ≥ max{1,55 ; 1,63}= 1,63 cm²
A′s = 1,63 cm²
22, 63,1;004,0; cmcmAA ss
- Selon RPA modifier 99 :
Amin = 0,15% × b × h = 0,15% × 100 × 15 = 2,25cm²
Choix des barres :
𝟓 𝐓𝟏𝟐 ⟹ 𝐀 = 𝟓. 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐
b. Ferraillage horizontal :
{Nmax = −2035.64 KNMmax = 132.57 KN. m
Calcul de l'excentricité :
eT = e1 + e2 +ea
⇒e1 = Mmax
Nmax =
132.57
2035.64 =0,065 m <
h
6 = 0,51 ⇒ on calcul la section à la Flexion simple
Mt = 132.57 KN.m
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 156
µ = Mt
σb.b.d² =
132.57× 10−3
14,17 ×1 × 0,135² = 0,50
µ < µAB = 0,186 ⇒A’
MPa
f
A
Apoivot
s
e
s 34815,1
400
0
α = 1.25(1 − √1 − 2µ) = 1.25
β = 1 − 0.4α = 0.50
Acal = Mt
β.d.σs=
132.57×10−3
0.50 × 13,5 × 348× 104= 0,56 cm²
- La condition de non-fragilité impose une section minimale d’armature :
Amin = 0,23.b.d.ft28
fe= 0,23 × 100 × 13,5 ×
2.1
400= 1,63 cm² (BAEL91 p 275)
Choix des barres :
As = 0,56 cm2 2T12 = 2,26cm2
Vérification à l’ELS :
Ms= 96.56 KN. m
Fissuration peu nuisible
Flexion simple⇒σs < σ¯s
Section rectangulaire
Acier FeE 400
On vérifie si : α ≤ γ−1
2 +
fc28
100
γ=Mu
Ms =
132.57
96.56 = 1.37
α = 1.25 < 1.37 ……………………………………………Condition vérifiée.
⇒Donc les armatures calculées à l’ELU conviennent.
- Selon BAEL modifier 99 :
A′s ≥max{100× 15
1000 ; 0,23 × 100 × 13,5 ×
2,1
400}⇒A′s ≥ max{1,55 ; 1,63}= 1,63 cm²
Chapitre VI Étude des portiques
Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 157
A′s = 1,63 cm²
22, 63,1;66,0; cmcmAA ss
- Selon RPA modifier 99 :
Amin = 0,15% × b × h = 0,15% × 100 × 15 = 2,25cm²
Choix des barres :
𝟓 𝐓𝟏𝟐 ⟹ 𝐀 = 𝟓. 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐
L’espacement :
Dans la zone courante s ≤ min(1.5a; 30 cm) = 30 cm
On adopte : s = 20 cm
Dans la zone nodale 𝑠
2= 10 cm
Schéma de ferraillage du voile :
Figure VI.3 Schéma de ferraillage du voile
Chapitre VII
Etude de
l’infrastructure
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 158
VII.1 Introduction :
Les fondations d’une construction sont constituées par les parties de l’ouvrage qui sont en
contacte avec le sol auquel elles transmettent les charges de la superstructure ; elles
constituent donc la partie essentielle de l’ouvrage puisque de leurs bonnes conception et
réalisation découle la bonne tenue de l’ensemble.
Les éléments de fondation transmettent les charges au sol, soit directement (radier, semelle
simple sur le sol), soit par l’intermédiaire d’un autre organe (pieux).
VII.2 Choix de type de fondation :
Le choix de la fondation dépend de plusieurs termes, on peut citer :
La capacité portante de sol (σ sol).
Le tassement (est ce qu’il y a un risque de tassement ou pas?).
Le type de la structure.
La charge transmise au sol.
La raison économique.
La facilité de la réalisation.
La distance entre axes des poteaux.
Après avoir déterminé le choix de type de fondation, On passe à la vérification des semelles
(semelle filante et semelle isolée), Si ces deux fondations ne sont pas applicables, On passera
au radier général.
Semelles isolées :
Vérification de la condition suivante :
𝐍
𝐒≤ 𝛔𝐬𝐨𝐥̅̅ ̅̅ ̅
𝐍 : L’effort normal agissant sur la semelle.
𝐒 : Surface d’appui de la semelle S = A × B
𝛔𝐬𝐨𝐥̅̅ ̅̅ ̅ : Contrainte admissible du sol.
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 159
C C’
Vue en plan Coupe C C’
Figure VII.1 : Schéma d’une semelle isolée
Avec :
a b : Les dimensions du poteau.
A B : Les dimensions de la semelle isolée.
Semelle intermédiaire (sous le poteau le plus sollicité) :
Le poteau le plus sollicité a une section carrée (b × h).
Nmax =2589.84 KN ; σsol̅̅ ̅̅ ̅ = 2 bars
On a :
a = b ; A = B et a
b=
A
B= 1 = K
N
S≤ σsol̅̅ ̅̅ ̅ ⇒ A × B ≥
N
σsol̅̅ ̅̅ ̅
A = B ⇒ B = √N
σsol̅̅ ̅̅ ̅
A = B = 3.59 m
Conclusion :
D’après les résultats, on a observé qu’il y a un assemblage entre les semelles suivants les deux
directions, donc le choix des semelles isolées dans notre cas ne convient pas.
Semelles filantes :
Choisissons une semelle filante, de largeur B et de longueur L située sous un portique formé
de 9 poteaux c’est le portique le plus sollicité.
Avec :
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 160
B : Largeur de la semelle.
L : Longueur de la semelle.
σsol̅̅ ̅̅ ̅ ≥N
S=
N
B × L⇒ B ≥
N
σsol̅̅ ̅̅ ̅ × L
N = ∑ Ni
Figure VII.2 : schéma de la semelle filante.
N1 = 1247.62 KN ; N2 = 1519.05 KN ; N3 = 2080.53 KN; N4 = 2324.27 KN ;
N5 = 2589.84 KN ; N6 = 2324.27 KN ; N7 = 2080.53 KN; N8 = 1519.05 KN
N9 = 1247.62 KN
N = ∑ Ni = 16932.78 KN
Donc :
B ≥ N
σsol̅̅ ̅̅ ̅̅ ×L=
16932.78
200×23.70⇒ B ≥ 3.57 m
Conclusion :
On observe qu’il y a un rapprochement des semelles filantes entres eux, donc on passe à un
radier général.
VII.3 Etude du radier général :
Le radier est une fondation superficielle travaillant comme un plancher renversé, La dalle prend appuis
sur des nervures. Il assure une bonne répartition des charges sous le sol donc il représente une bonne
solution pour éviter le tassement.
VII.3.1 Le pré dimensionnement :
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9
0.6 0.6 1.5 3 3.7 2.6 3.7 2.6 3 1.5
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 161
Pré dimensionnement de la nervure :
Poids de la superstructure :
𝐆𝐭 : La charge permanente totale.
Qt : La charge d’exploitation totale.
𝐆𝐭 = 28353,10 KN
𝐐𝐭 = 10673,50 KN
Combinaison d’action :
ELU : Nu = 1,35 Gt + 1,5 Qt = 54286.93 KN
ELS : Nser = Gt + Qt = 39026.6 KN
Surface du radier :
La surface du radier est donnée par la formule suivante :
N
S≤ σsol̅̅ ̅̅ ̅
Selon le rapport du laboratoire de la mécanique des sols la contrainte du sol est :
σsol̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟐 𝐛𝐚𝐫𝐬
Donc :
N = Nser = 39026.6 KN
S ≥N
σsol̅̅ ̅̅ ̅= 195.13 m²
On prend un débord de 60 cm de chaque côté dans les deux directions ce qui nous donne
une surface d’assise : Sradier = 530.37 m²
Vérification de l’effet de sous pression :
On doit vérifier que sous l’effet de sous pression hydrostatique, le bâtiment ne soulève pas.
P > α × S × γw × Z
Avec :
P : Poids de la structure.
α ∶ Coefficient de sécurité vis-à-vis du soulèvement, on prend α = 1,5.
S : Surface du radier.
γw : Poids volumique de l’eau.
Z ∶ Profondeur de l’infrastructure (Z = 2m)
1,5 × 530.37 × 10 × 2 = 15911.10 KN
P = 66160.90 KN > 15911.10 KN ⇒Il n’y a aucun risque de soulèvement de l’ensemble
VII.3.3 Calcul de l’épaisseur du radier :
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 162
L’épaisseur nécessaire du radier sera déterminée à partir des conditions suivantes :
1ère condition :
τu =Vu
b. d≤ 0,06 × fc28
Avec :
Vu : L’effort tranchant ultime Vu = Qu × L 2⁄
L : La longueur maximale d’une bande de 1m,
L = 4.80 m
Qu =Nu
Sradier=
54286.93
530.37= 102.35 KN/m²
Vu = 102.35 ×4.80
2 = 245.64 KN
Vu
b. d≤ 0,06 × fc28 d ≥
Vu
0,06 × fc28 × b
d ≥245.64 × 10−3
0,06 × 25 × 1 = 0,16 m
2ème condition :
L 25 ≤ d ≤ L 20⁄⁄ 0,19 ≤ d ≤ 0,24
On prend :
𝐝 = 𝟐𝟓 𝐜𝐦
h = d + e = 25 + 5 = 30 cm
𝐡 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦
VII.3.4 Détermination de la hauteur de poutre de libage :
Pour pouvoir assimiler le calcul du radier à un plancher infiniment rigide, la hauteur de la
poutre de libage doit vérifier les conditions suivantes :
L 9⁄ ≤ h ≤ L 6 ⁄ 54 cm ≤ h ≤ 80 cm
On prend : 𝐡 = 𝟖𝟎 𝐜𝐦 ; 𝐛 = 𝟔𝟎 𝐜𝐦 ; 𝐝 = 𝟕𝟐 𝐜𝐦
La section de la poutre de libage : (60 × 80)cm²
VII.3.4 Vérification de la stabilité du radier :
Vérification des contraintes :
En tenant compte du poids propre du radier (radier + poutres).
Grad = γb
× [hrad × Srad + hp × b × ΣL]
Grad = 25 × [0,30 × 530.37 + 0,80 × 0,60 × 263.40] = 9245.77KN
E.L.S Nser = 9245.7 + 39026.6 = 48272.37KN
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 163
Nser
Srad=
48272.37
530.37= 91.01 KN/m2 < σsol̅̅ ̅̅ ̅ = 200KN/m2 … … 𝐂. 𝐕
Vérification de condition de rigidité :
Pour un radier rigide, il faut que :
𝐋𝐦𝐚𝐱 ≤𝛑
𝟐× 𝐋𝐞 ; 𝐋𝐞 = √
𝟒𝐄𝐈
𝛃𝐛
𝟒
Avec :
Le :La longueur élastique, qui permet de déterminer la nature du radier (rigide ou
flexible).
I : Inertie de la poutre
I = bh3 12⁄ = 0,60 × 0,803/12 = 0,025 m4
E : Module d’élasticité du béton E = 32164,20 MPa
b : Largeur de la poutre b = 0,60 m
β : Coefficient de la raideur du sol β = 50 MN/m3
𝐿𝑒 = √4 × 32164,20 × 0,025
50 × 0,60
4
= 3.69 𝑚
𝐿𝑚𝑎𝑥 = 4.80𝑚 <𝜋
2× 𝐿𝑒 = 5.79 𝑚 … … … 𝑪. 𝑽
VII.3.5 Evaluation des charges pour le calcul du radier :
Poids unitaire du radier :
σrad = γb × h = 25 × 0,30 = 7,50 KN/m²
Q = σmax − σrad = 102.35 − 7,50 = 94.85 KN/m²
Donc la charge en « m² » à prendre en compte dans le calcul du ferraillage du radier
Q = 94.85 KN/m²
VII-3-6 Ferraillage du radier :
Le radier se calcule comme un plancher renversé appuyé sur les voiles et les poteaux, les
panneaux seront calculés comme des dalles appuyées sur 4 cotés et chargées par la contrainte
du sol.
VII.3.7 Ferraillage des dalles :
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 164
Figure VII.3 : Schéma de dalle du radier.
Pour l’exemple, on prend le panneau le plus défavorable (le plus grand). On fait le ferraillage
pour une bande de 1m.
α =Lx
Ly=
4.20
4.80= 0.87 > 0,4 la dalle porte dans les deux sens.
A l’ELU :
α = 0.87 {μx = 0.0486μy = 0.7244
Les moments :
{M0x = μx × Q × Lx
2 = 0.0486 × 94.85 × 4,22 = 81.31 KN. m M0y = μy × M0x = 0.7244 × 81.31 = 58.90 KN. m
Moments en appuis :
{Max = 0,5M0x
May = 0,5M0y{
Max = 40.65 KN. mMay = 29.45 KN. m
Moments en travées :
{M𝐭x = 0,75M0x
M𝐭y = 0,75M0y{
M𝐭x = 60.98 KN. m M𝐭y = 44.17 KN. m
En appui :
Sens X :
Max = 40.65 KN. m
μbu =Max
b. d2. fbu=
40.65 × 10−3
1 × 0,272 × 14,17= 0,039
μbu = 0,039 < μlim = 0,392 → sec𝐭ion sans arma𝐭ures comprimées(A′ = 0)
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,039 ) = 0,049
Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,049) = 0,26 m
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 165
As cal =Max
Zb.σs=
40.65×10−3
0,26×347,82= 4.49 cm2/ml
Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐/𝒎𝒍
Sens Y :
May = 29.45 KN. m
μbu =May
b. d2. fbu=
29.45 × 10−3
1 × 0,272 × 14,17= 0,028
μbu = 0,028 < μlim = 0,392 → section sans armatures comprimées(A′ = 0)
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,028 ) = 0,035
Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,035 ) = 0,26 m
As cal =May
Zb. σs=
29.45 × 10−3
0,26 × 347,82= 3.25 cm2/ml
Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥
En travée :
Sens X :
Mtx = 60.98 KN. m
μbu =Mtx
b. d2. fbu=
60.98 × 10−3
1 × 0,272 × 14,17= 0,059
μbu = 0,059 < μlim = 0,392 → section sans armatures comprimées(A′ = 0)
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,059 ) = 0,076
Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,076) = 0,26 m
As cal =Mtx
Zb. σs=
60.98 × 10−3
0,26 × 347,82= 6.74 cm2/ml
Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟒 = 𝟕. 𝟕𝟎 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥
Sens Y :
Mty = 44.17 KN. m
μbu =Mty
b. d2. fbu=
44.17 × 10−3
1 × 0,272 × 14,17= 0,042
μbu = 0,042 < μlim = 0,392 → section sans armatures comprimées(A′ = 0)
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 166
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,042 ) = 0,054
Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,054) = 0,26 m
As cal =Mty
Zb. σs=
44.17 × 10−3
0,26 × 347,82= 4.88 cm2/ml
Choix des barres :
𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥
Section minimale d’armatures : (BAEL 91 P 211) :
As min = 0,23. b. d.ft28
fe= 0,23 × 1 × 0,27 ×
2,1
400= 3,26 cm2/ml
Calcul d’espacement selon le B.A.E.L.99 :
St ≤ min(3h ; 33cm)
St ≤ min(240 cm ; 33cm) ⇒ St = 20 cm
Tableau VII.1 : récapitulatif des sections armatures.
Moments
(𝐊𝐍. 𝐦)
𝐀𝐬 𝐜𝐚𝐥
(𝐜𝐦𝟐
/𝐦𝐥)
𝐀𝐬 𝐦𝐢𝐧
(𝐜𝐦𝟐
/𝐦𝐥)
Choix
des
barres
𝐀𝐬 𝐚𝐝𝐨𝐩
(𝐜𝐦𝟐
/𝐦𝐥)
𝐒𝐭
(𝐜𝐦)
Sens
X .X
appuis 40.65 4.49 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20
travées 60.98 6.74 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20
Sens Y.Y appuis 29.45 3.25 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20
travées 44.17 4.88 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20
Figure VII.4 : Schéma de ferraillage de radier.
5T14 5T14
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 167
VII.3.8 Ferraillage de la poutre de libage :
Le rapport 𝛼 =𝐿𝑥
𝐿𝑦> 0,4 pour tous les panneaux constituants le radier, donc les charges
transmises par chaque panneau se subdivisent en deux charges trapézoïdales et deux charges
triangulaires. Pour le calcul du ferraillage, on prend le cas le plus défavorable dans chaque
sens et on considère des travées isostatiques.
a. Sens longitudinal Y :
Calcul de Q’ :
C'est la charge uniforme équivalente pour le calcul des moments.
Q′ =Q
2[(1 −
LX12
3 × LY12 ) × LX1 + (1 −
LX22
3 × LY12 ) × LX2]
Avec :
LX1 = 4.80 m
LY1 = 4,20 m
LX2 = 4.80 m
Q = 94.85 KN/m2
Q′ =94.85
2[(1 −
4.802
3 × 4,202) × 4.80 + (1 −
4.802
3 × 4,202) × 4.80] = 257.01 KN/m
Donc :
M0 =Q′ × L²
8=
257.01 × 4.802
8= 740.18 KN. m
Calcul du ferraillage :
Section minimale d’armatures : (BAEL 91 P 211) :
As min = 0,23. b. d.ft28
fe= 0,23 × 0,60 × 0,855 ×
2,1
400= 6,19 cm2
En travée :
Mt = 0,75M0 = 555.13 KN. m
b = 60 cm ; h = 80 cm ; d = 72 cm
μbu =Mt
fbu × b × d²=
555.13 × 10−3
14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,12
μbu = 0,12 < μlu = 0,392
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 168
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,12 ) = 0,16
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,16) = 0,67 m
At =Mt
Zb × σs=
555.13 × 10−3
0.67 × 347,82= 23.82 cm2
As = max(As cal et As min) = 23.82 cm2
Choix des barres :
𝟓𝐓𝟐𝟎 + 𝟓𝐓𝟏𝟔 → 𝐀 = 𝟐𝟓, 𝟕𝟔 𝐜𝐦𝟐
En appui :
Appui intermédiaire :
Ma = 0,5M0 = 370.09KN. m
μbu =Ma
fbu × b × d²=
370.09 × 10−3
14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,083
μbu = 0,083 < μlu = 0,392
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,083 ) = 0,10
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,10) = 0,69 m
Aa =Ma
Zb × σs=
370.09 × 10−3
0.69 × 347,82= 15.42 cm2
As = max(As cal et As min) = 15.42 cm2
Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟔(𝐟𝐢𝐥) + 𝟓𝐓𝟏𝟒(𝐜𝐡𝐚𝐩) = 𝟏𝟕. 𝟕𝟓 𝐜𝐦𝟐
Appui de rive :
Ma = 0,2M0 = 148.03 KN. m
μbu =Ma
fbu × b × d²=
148.03 × 10−3
14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,033
μbu = 0,033 < μlu = 0,392
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,033 ) = 0,041
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,41) = 0,60 m
Aa =Ma
𝑍𝑏 × σs=
148.03 × 10−3
0.60 × 347,82= 7.09 cm2
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 169
As = max(As cal et As min) = 7.09 cm2
Choix des barres :
𝟓𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟓 𝐜𝐦𝟐
b. Sens Transversal X :
Calcul de Q’ :
C'est la charge uniforme équivalente pour le calcul des moments.
Q′ =2
3× Q × LX1
Avec :
LX1 = 4.80 m
Q = 94.85 KN/m2
Donc :
Q′ =2
3× 94.85 × 4.80 = 303.52 KN/m
M0 =Q′×L²
8= 874.13 KN. m
Calcul du ferraillage :
En travée :
Mt = 0,75M0 = 655.59 KN. m
μbu =Mt
fbu × b × d²=
655.59 × 10−3
14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,14
μbu = 0,14 < μlu = 0,392
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,14 ) = 0,20
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,20) = 0,66 m
At =Mt
Zb × σs=
655.59 × 10−3
0.66 × 347,82= 28.55 cm2
As = max(As cal et As min) = 28.55 cm2
Choix des barres :
𝟓𝐓𝟐𝟎 + 𝟓𝐓𝟐𝟎 → 𝐀 = 𝟑𝟏. 𝟒𝟐 𝐜𝐦𝟐
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
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En appui :
Appui intermédiaire :
Ma = 0,5M0 = 437.06 KN. m
μbu =Ma
fbu × b × d²=
437.06 × 10−3
14,17 × 0,60 × 0,72²= 0,10
μbu = 0,10 < μlu = 0,392
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,10 ) = 0,13
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,10) = 0,60 m
Aa =Ma
β × d × σs=
437.06 +× 10−3
0.60 × 347,82= 20.94 cm2
As = max(As cal et As min) = 20.94 cm2
Choix des barres :
𝟓𝐓𝟐𝟎(𝐟𝐢𝐥) + 𝟓𝐓𝟏𝟔(𝐜𝐡𝐚𝐩) = 𝟐𝟓, 𝟕𝟔 𝐜𝐦𝟐
Appui de rive :
Ma = 0,2M0 = 174.82 KN. m
μbu =Ma
fbu × b × d²=
174.82 × 10−3
14,17 × 0,60 × 0,72²= 0,039
μbu = 0,039 < μlu = 0,392
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,039) = 0,049
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,049) = 0.70 m
Aa =Ma
Zb × σs=
174.82 × 10−3
0.70 × 347,82= 7.18 cm2
As = max(As cal et As min) = 7.18 cm2
Choix des barres :𝟓𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟓 𝐜𝐦𝟐
Armatures de peau :
Selon le BAEL 91, la hauteur de l'âme de la poutre :
ha ≥ 2(80 − 0,1fe) = 80 cm.
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 171
Dans notre cas ha = 80 cm (vérifiée), donc notre poutre est de grande hauteur, dans ce cas il
devient nécessaire d'ajouter des armatures supplémentaires sur les parois de la poutre
(armatures de peau).
Donc pour une poutre de section (h × b0) = ( 0,95 × 0,60 )m²
On a :
Asp = 3 × 2(b0 + h)[cm²]
Asp = 3 × 2( 0,60 + 0,80 ) = 8.4 cm²
On adopte :𝟒𝐓𝟐𝟎(𝐟𝐢𝐥) = 𝟏𝟐, 𝟓𝟕 𝒄𝒎²
Calcul du débord :
Le débord est considéré comme une console encastrée d’une longueurL = 60 cm
Le calcul se fait sur une bande de 1m
Figure VI.5 : Schéma du débord.
Sollicitations maximales :
qu =Nu
S× 1 =
54286.93
530.37× 1 = 102.35 KN. m
Mu =qu × L2
2=
102.35 × 0,62
2= 18.42 KN. m
qser =Nser
S× 1 =
39026.6
530.37× 1 = 73.58 KN
Mser =qser × L2
2=
73.58 × 0,62
2= 13.24 KN. m
60 cm
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 172
Calcul du ferraillage :
μbu =Mu
fbu × b × d²=
18.42 × 10−3
14,17 × 1 × 0,272= 0,017
μbu = 0,017 < μlu = 0,392
α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,017 ) = 0,021
Zb = d(1 − 0,4α) = 0.27 × (1 − 0,4 × 0,021) = 0.26 m
As =Mu
Zb × σs=
18.42 × 10−3
0.26 × 347,82= 2.03 cm2/ml
Armatures de répartitions :
Ar =As
4=
2.03
4= 0,50/ml
Armatures minimales :
Amin =0,23 × ft28 × b × d
fe=
0,23 × 2,1 × 1 × 0,27
400= 3,26 cm2/ml
Choix des armatures :
Pour une bande de 1ml, on adopte : 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥 pour les armatures longitudinales
et de répartitions.
VII.3.9 Ferraillage de longrines :
Une longrine est une poutre en béton armé disposée horizontalement, assure la répartition des
charges des éléments supportés (murs, poteaux, dalles)
La force maximale du poteau :
Nmax = Nu = 2589.84 KN (effort normal maximal du poteau)
Les longrines auront les dimensions minimales de (30 x 40)cm².
Les longrines doivent être calculées pour résister à la traction sous l’action d’une force égale à
F= (N/) 20 KN
Avec :
= coefficient fonction de la zone sismique et de la catégorie de site considéré (selon R.P.A
(=10)).
Donc :
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 173
F =N
F = 2589.84
10
F = 258.984 KN
As F
σs
As ≥ (258.984×10−3
348) × 10−4
AS 7.44 cm²
La section minimale :
Amin =0.6% x b x h
Amin =7.2 cm²
AS =7.44 cm² Amin =7.2 cm²
On adopte : 6T14 =9.24 cm²
Armatures transversales :
t min (h/35 ; b/10)
t min (400/35 ; 300/10)
t min (11.43 ; 30) t = 8 mm
Calcul de l’espacement :
St min (20 cm ; 15)
St min (20 cm ; 18 cm) St =15 cm
VII.2 Etude des voiles périphériques :
VII.2.1 Introduction :
D'après RPA99 version 2003, Le voile périphérique fonctionne comme un mur de
soutènement chargé en une surface, ou bien en d’autres termes est une caisse rigide assurant
l’encastrement de la structure et la résistance contre la poussée des terres.
le voile périphérique doit avoir les caractéristiques minimales suivantes :
- Épaisseur ≥ 15 cm.
- Il doit contenir deux nappes d’armatures.
- Le pourcentage minimal des armatures est de 0.1 % dans les deux sens.
- Les ouvertures dans le voile ne doivent pas réduire sa rigidité d’une manière importante.
Il est calculé comme une dalle supposée uniformément chargée par la poussée des terres.
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 174
VII.2.2 Les dimensions du voile :
La hauteur : h = 2 m
La longueur : L = 4.8 m
L’épaisseur : e = 20 cm
Figure VII.6 : Dimensions du voile périphérique.
VII.2.3 Caractéristiques du sol :
Le poids spécifique :γh
= 18 KN/m2
Angle de frottement : φ = 35°
La cohésion : C = 0
VII.2.4 Évaluation de charges et surcharges :
1. Calcul de la force de la poussée des terres :
p = γh
× h × (tg2 (π
4−
φ
2)) − 2 × C × tg (
π
4−
φ
2)
p = 18 × 2 × (tg2 (π
4−
35
2)) − 2 × 0 × tg (
π
4−
35
2)
p = 9.75 KN/m2
2. Surcharge accidentelle :
q = 10 KN/m2
Q = q × tg2 (π
4−
φ
2) = 10 × tg2 (
π
4−
35
2) = 2,71 KN/m2
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 175
VII.2.5 Ferraillage du voile :
Le voile périphérique sera calculé comme une dalle pleine sur quatre appuis uniformément
chargée, l’encastrement est assuré par le plancher, les poteaux et les fondations.
Etat limite ultime (E.L.U) :
Calcul des contraintes :
Figure VII.7 : Diagramme des contraintes.
σmoy =3σmax + σmin
4=
3 × 17.22 + 4,07
4= 13.93 KN/m2
qu = σmoy × 1ml = 13.93 × 1 = 13.93 KN/ml
Le voile périphérique se calcule comme un panneau de dalle sur quatre appuis, uniformément
chargé d’une contrainte moyenne tel que :
{
Lx = 2 Ly = 4.8
h = 20 cm ; b = 1 ml ; d = 18 cm
Calcul des sollicitations :
α =Lx
Ly=
2
4.8= 0.45 ⇒ dalle travail dans les deux sens.
α = 0,45 {μ
x= 0.1036
μy
= 0.2500
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 176
{M0x = μ
x× qu × Lx
2 = 0,1036 × 13.93 × 22 = 5.77 KN. m
M0y = μy
× M0x = 0,2500 × 5.77 = 1.44 KN. m
Moment en appuis :
{Max = 0,5M0x
May = 0,5M0y{
Max = 2.88 KN. mMay = 0.72KN. m
Moments en travée :
{M𝐭x = 0,75M0x
M𝐭y = 0,75M0y{
M𝐭x = 4.32 KN. m M𝐭y = 1.08 KN. m
Calcul du ferraillage :
Les résultats de calcul sont représentés dans le tableau suivant :
Avec :
- AminRPA = 0,1% × b × h
- AminBAEL = 0,23 × b × d ×
ft28
fe
Calcul d’espacement selon le RPA99 :
St = min(30cm ; 1,5h)
St = min(30cm ; 30cm) ⇒ St = 30cm
Etat limite service (E.L.S) :
σmin = Q = 2,71 KN/m2
σmax = G + Q = 12.46 KN/m2
Tableau VII.2 : Ferraillage des Voiles périphériques à l’ELU.
Moment
𝐊𝐍. 𝐦 𝛍𝐛𝐮 𝛂
𝐙𝐛
(𝐦)
𝐀𝐬 𝐜𝐚𝐥
(𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥)
𝐀𝐦𝐢𝐧𝐑𝐏𝐀
(𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥)
𝐀𝐦𝐢𝐧𝐁𝐀𝐄𝐋
(𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥)
𝐀𝐬 𝐚𝐝𝐨𝐩
(𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥)
Sens
xx
Appui 2.88 0,062 0,080 0,17 0.45 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓
Travée 4.32 0,094 0,023 0,17 0.69 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓
Sens
yy
Appui 0.72 0,015 0,018 0,17 0.11 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓
Travée 1.08 0,023 0,029 0,17 0.17 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 177
σmoy =3σmax + σmin
4=
3 × 12.46 + 2,71
4= 10.02 KN/m2
qser = σmoy × 1ml = 10.02 × 1 = 10.02 KN/ml
α = 0,76 {μ
x= 0.1063
μy
= 0.3234
{M0x = μ
x× qser × Lx
2 = 0,1063 × 10.02 × 22 = 4.26 KN. m
M0y = μy
× M0x = 0,3234 × 4.26 = 1.37 KN. m
Moment en appuis :
{Max = 0,5M0x
May = 0,5M0y{
Max = 2.12 KN. mMay = 0.68 KN. m
Moments en travée :
{M𝐭x = 0,75M0x
M𝐭y = 0,75M0y{
M𝐭x = 3.19 KN. m M𝐭y = 1.02 KN. m
Vérification de l’effort tranchant :
Pour α > 0.4 𝑜𝑛 𝑎 ∶
{Tux =
qu×Lx
2×
1
1+ρ
2
=9.75×2
2×
1
1+0.45
2
= 7.95 KN
Tux =qu×Lx
2=
9.75×2
2= 9.75 KN ≤ Tux = 7.95 KN
τu =Tu max
b0×d=
7.95×10−3
1×0.18= 0.044 MPa
- La contrainte limite :
τ̅u =0.07×fc28
γb
=0.07×25
1.5= 1.17 MPa
On a : τu = 0.044 MPa < τ̅u = 1.17 MPa ⟹ CV.
Donc il n’y aura pas d’armature d’âme (les armatures qui reprennent l’effort tranchant).
Vérification des contraintes à l’ELS :
- Pour le béton :
σbc =Mser
Iy
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 178
On vérifier : σbc ≤ σbc̅̅ ̅̅ = 0,60ƒc28
= 15 Mpa
- Pour l’acier :
Fissuration préjudiciable ⇒ σs = 15 ×Mser
I(d − y) ≤ σs̅̅̅ = min (
2ƒe
3 ; 110√η. ƒ
t28)
Schéma de ferraillage :
Tableau VII. 3 : Vérifications des contraintes à l’ELS.
𝐌𝐬
𝐊𝐍. 𝐦
𝐲
𝐜𝐦
I
𝐜𝐦𝟒
𝛔𝐛𝐜 ≤ 𝛔𝐛𝐜̅̅ ̅̅̅
𝐌𝐏𝐚 Obs
𝛔𝐬 ≤ 𝛔𝐬̅̅ ̅
𝐌𝐏𝐚 Obs
Sens
x-x
Appui 2.12 4,74 18451.27 0.54 < 15 C.V 22.82 < 201,63 C.V
Travée 3.19 4,74 18451.27 0.81 < 15 C.V 34.38 < 201,63 C.V
Sens
y-y
Appui 0.68 4,74 18451.27 0.17 < 15 C.V 7.33 < 201,63 C.V
Travée 1.02 4,74 18451.27 0.26 < 15 C.V 10.99 < 201,63 C.V
Chapitre VII Etude de l’infrastructure
Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 179
Figure VI.8 : Schéma de ferraillage du voile périphérique.
Conclusion générale :
Tout au long de la préparation de notre projet de fin d’étude, on a pu apprendre
connaissance des principales étapes à mesurer, il nous a aussi permis de
comprendre plusieurs facettes du métier d’un master et d’utiliser le logiciel
[Robot 2014 version 2003] pour modéliser une structure, nous nous sommes
rendus compte que le but d’un travail de recherche n’est pas forcément de
donner des réponses concrètes mais d’essayer de contribuer aux études, même si
cela pouvait être problématique par moment, cette étude a enrichi nos
connaissances le long de notre cursus, et on a tiré de nombreuses conclusions,
parmi celles-ci, on a pu obtenir ce qui suit :
La modélisation qui doit englober tous les éléments de la structure pour
permettre d’avoir un comportement proche de la réalité.
La disposition des voiles qui a un rôle important pour assurer la stabilité
et la sécurité d’une structure.
La réduction des efforts internes de flexion et de cisaillement au niveau
des poteaux à cause des voiles, qui ont donné lieu à des sections de
poteaux soumises à des moments relativement faibles.
Finalement nous espérons que ce travail soit le premier pas vers la vie
professionnelle et un guide pour ceux qui s’intéressent au métier d’ingénieur en
génie civil.
Bibliographies:
Règlements:
RPA 99 règlement parasismique algerien 2003.
BAEL 91calcule Béton armé aux Etats limites ultimes.
CBA 93 Conception et calcul des structures en béton armé.
DTR
Autres documents:
Memoire de fin d’étude.
Cahiers de cours.
Logiciels:
Robot structural 2014.
AutoCAD 2011.
Word 2007.
Excel 2007.
Les annexes:
Annexe 01:
Annexe 02:
𝛼 =𝐿𝑥𝐿𝑦
ELU 𝑣 = 0 ELS 𝑣 = 0.2
𝜇𝑥 𝜇𝑦 𝜇𝑥 𝜇𝑦 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45
0.46 0.47 0.48 0.49 0.50
0.41 0.52 0.53 0.54 0.55
0.56 0.57 0.58 0.59 0.60
0.61 0.62 0.63 0.64 0.65
0.66 0.67 0.68 0.69 0.70
0.71 0.72 0.73 0.74 0.75
0.76 0.77 0.78 0.79 0.80
0.1101 0.1088 0.1075 0.1062 0.1049 0.1036
0.1022 0.1008 0.0994 0.0980 0.0966
0.0951 0.0937 0.0922 0.0908 0.0894
0.0880 0.0865 0.0851 0.0836 0.0822
0.0808 0.0794 0.0779 0.0765 0.0751
0.0737 0.0723 0.0710 0.0697 0.0684
0.0671 0.0658 0.0646 0.0633 0.0621
0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0561
0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500
0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500
0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500
0.2500 0.2582 0.2703 0.2822 0.2984
0.3075 0.3205 0.3338 0.3472 0.3613
0.3753 0.3895 0.4034 0.4181 0.4320
0.4471 0.4624 0.4780 0.4938 0.5105
0.5274 0.5440 0.5608 0.5786 0.5959
0.0121 0.1110 0.1098 0.1087 0.1075 0.1063
0.1051 0.1038 0.1026 0.1013 0.1000
0.0987 0.0974 0.0961 0.0948 0.0936
0.0923 0.0910 0.0897 0.0884 0.0870
0.0857 0.0844 0.0831 0.0819 0.0805
0.0792 0.0780 0.0767 0.0755 0.0743
0.0731 0.0719 0.0708 0.0696 0.0684
0.0672 0.0661 0.0650 0.0639 0.0628
0.2854 0.2924 0.3000 0.3077 0.3155 0.3234
0.3319 0.3402 0.3491 0.3580 0.3671
0.3758 0.3853 0.3949 0.4050 0.4150
0.4254 0.4357 0.4456 0.4565 0.4672
0.4781 0.4892 0.5004 0.5117 0.5235
0.5351 0.5469 0.5584 0.5704 0.5817
0.5940 0.6063 0.6188 0.6315 0.6447
0.6580 0.6710 0.6841 0.6978 0.7111
0.81 0.82 0.83 0.84 0.85
0.86 0.87 0.88 0.89 0.90
0.91 0.92 0.93 0.94 0.95
0.96 0.97 0.98 0.99 1.00
0.0550 0.0539 0.0528 0.0517 0.0506
0.0496 0.0486 0.0476 0.0466 0.0456
0.0447 0.0437 0.0428 0.0419 0.0410
0.0401 0.0392 0.0384 0.0376 0.0368
0.6135 0.6313 0.6494 0.6678 0.6864
0.7052 0.7244 0.7438 0.7635 0.7834
0.8036 0.8251 0.8450 0.8661 0.8875
0.9092 0.9322 0.9545 0.9771 1.0000
0.0617 0.0607 0.0956 0.0586 0.0576
0.0566 0.0556 0.0546 0.0537 0.0528
0.0518 0.0509 0.0500 0.0491 0.0483
0.0474 0.0464 0.0457 0.0446 0.0441
0.7246 0.7381 0.7518 0.7655 0.7794
0.7932 0.8074 0.8216 0.8358 0.8502
0.8646 0.8799 0.8939 0.9087 0.9236
0.9385 0.9543 0.9694 0.9847 0.1000
Annexe 03: