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Teste de hipóteses
Tiago M. Magalhães
XLVII Programa de Verão - IME-USP
São Paulo, 23 de janeiro de 2018
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 1 / 43
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 2 / 43
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 3 / 43
Teste de hipóteses
Hipótese estatística
É uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quantoa natureza da população (testes não-paramétricos).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 4 / 43
Teste de hipóteses
Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quantoa natureza da população (testes não-paramétricos).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 4 / 43
Teste de hipóteses
Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quantoa natureza da população (testes não-paramétricos).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 4 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses
H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa
Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 5 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa
Teste de hipóteses
É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 5 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa
Teste de hipóteses
É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 5 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa
Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 5 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa
Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 5 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de erro
Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 6 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α).
Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 6 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 6 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.
Erro do tipo II (β).
Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 6 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 6 / 43
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 6 / 43
Teste de hipóteses
DecisãoRejeitar H0 Aceitar H0
H0 verdade Erro do tipo I Decisão corretaH0 falsa Decisão correta Erro do tipo II
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 7 / 43
Teste de hipóteses
DecisãoRejeitar H0 Aceitar H0
H0 verdade Erro do tipo I Decisão corretaH0 falsa Decisão correta Erro do tipo II
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 7 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.4 Calcular a estatística do teste
(Z = X̄−µ
σ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associadaao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.4 Calcular a estatística do teste
(Z = X̄−µ
σ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.4 Calcular a estatística do teste
(Z = X̄−µ
σ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Teste de hipóteses
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.4 Calcular a estatística do teste
(Z = X̄−µ
σ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 8 / 43
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 9 / 43
Valor-p
Definição
O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatísticade teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, soba hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 10 / 43
Valor-p
DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatísticade teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, soba hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 10 / 43
Valor-p
DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatísticade teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, soba hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 10 / 43
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 11 / 43
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 11 / 43
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 11 / 43
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 11 / 43
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 11 / 43
Valor-p
Interpretação
Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor daestatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim àrejeição da hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 12 / 43
Valor-p
InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor daestatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim àrejeição da hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 12 / 43
Valor-p
InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor daestatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim àrejeição da hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 12 / 43
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 13 / 43
Teste de hipóteses para média µ
1o caso.
A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 14 / 43
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 14 / 43
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 14 / 43
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 14 / 43
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 14 / 43
Figura 1: Região crítica para H1 (a), bilateral
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 15 / 43
Figura 2: Região crítica para H1 (b), unilateral à direita
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 16 / 43
Figura 3: Região crítica para H1 (c), unilateral à esquerda
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 17 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.
(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 18 / 43
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal.
Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 19 / 43
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm.
Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 19 / 43
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 19 / 43
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 19 / 43
Teste de hipóteses para média µ
2o caso.
A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:
tc = X̄ − µ0S/√
n .
A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade. Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 20 / 43
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:
tc = X̄ − µ0S/√
n .
A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade. Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 20 / 43
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:
tc = X̄ − µ0S/√
n .
A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade.
Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 20 / 43
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:
tc = X̄ − µ0S/√
n .
A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade. Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 20 / 43
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:
tc = X̄ − µ0S/√
n .
A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade. Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 20 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 21 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 21 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 21 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 21 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.
(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 22 / 43
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia.
Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 23 / 43
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas.
A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 23 / 43
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 23 / 43
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 23 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso.
As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 24 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 24 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 24 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 24 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 24 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 24 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.
(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 25 / 43
Exercício
Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para oseguinte resultado amostral:
Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.
Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 26 / 43
Exercício
Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para oseguinte resultado amostral:
Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.
Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 26 / 43
Exercício
Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para oseguinte resultado amostral:
Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.
Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 26 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
2o caso.
As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com n1 + n2 − 2 grausde liberdade.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 27 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
2o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com n1 + n2 − 2 grausde liberdade.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 27 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
2o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com n1 + n2 − 2 grausde liberdade.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 27 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
2o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com n1 + n2 − 2 grausde liberdade.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 27 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
2o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com n1 + n2 − 2 grausde liberdade.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 27 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.
(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.
(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√
1n1
+ 1n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 28 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3o caso.
As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com graus de liberdadedados por
(S21/n1 + S2
2/n2)2
(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2
2/n2)2/(n2 + 1)− 2.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 29 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com graus de liberdadedados por
(S21/n1 + S2
2/n2)2
(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2
2/n2)2/(n2 + 1)− 2.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 29 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com graus de liberdadedados por
(S21/n1 + S2
2/n2)2
(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2
2/n2)2/(n2 + 1)− 2.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 29 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com graus de liberdadedados por
(S21/n1 + S2
2/n2)2
(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2
2/n2)2/(n2 + 1)− 2.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 29 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com graus de liberdadedados por
(S21/n1 + S2
2/n2)2
(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2
2/n2)2/(n2 + 1)− 2.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 29 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.
(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.
(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.
4. Calcular a estatística do teste:
tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2
1n1
+ S22
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 30 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 31 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 31 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 31 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 31 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 31 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.
(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 32 / 43
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 33 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tabelas de contingência
São tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas oumais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 34 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tabelas de contingênciaSão tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas oumais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 34 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tabelas de contingênciaSão tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas oumais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 34 / 43
Tabelas de contingência
Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.
Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.
CursoSexo
TotalMasculino Feminino
Enfermagem 15 85 100Estatística 90 10 100
Total 105 95 200
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 35 / 43
Tabelas de contingência
Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.
Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.
CursoSexo
TotalMasculino Feminino
Enfermagem 15 85 100Estatística 90 10 100
Total 105 95 200
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 35 / 43
Tabelas de contingência
Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.
Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.
CursoSexo
TotalMasculino Feminino
Enfermagem 15 85 100Estatística 90 10 100
Total 105 95 200
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 35 / 43
Tabelas de contingência
Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.
Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.
SituaçãoProfessor
TotalA B C
Aprovado 50 55 60 165Reprovado 10 10 15 35
Total 60 65 75 200
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 36 / 43
Tabelas de contingência
Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.
Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.
SituaçãoProfessor
TotalA B C
Aprovado 50 55 60 165Reprovado 10 10 15 35
Total 60 65 75 200
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 36 / 43
Tabelas de contingência
Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.
Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.
SituaçãoProfessor
TotalA B C
Aprovado 50 55 60 165Reprovado 10 10 15 35
Total 60 65 75 200
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 36 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existênciade associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 37 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existênciade associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 37 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus deliberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunasda tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 38 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus deliberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunasda tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 38 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus deliberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunasda tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 38 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus deliberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunasda tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 38 / 43
Figura 4: Região crítica para o teste χ2.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 39 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 40 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 40 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 40 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão:
aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 40 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 40 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 40 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 41 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são:
H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 41 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 41 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 41 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 41 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1
Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 42 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 42 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Exercício 2
Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 42 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.
Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 42 / 43
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.
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Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 43 / 43