tính kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

57

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VIII Hà Nội, ngày 6-7 /12/2007

Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Lương Xuân Bính Trường Đại học Giao thông Vận tải, Email: [email protected]

Đỗ Xuân Quý

Trường Đại học Giao thông Vận tải, Email: [email protected]

Nguyễn Xuân Lựu

Trường Đại học Giao thông Vận tải, Email: [email protected]

Tóm tắt. Trong các kết cấu kỹ thuật công trình, kết cấu có liên kết dị hướng được sử dụng khá phổ biến như: kết cấu dầm hoặc tấm trên nền đần hồi, kết cấu vỏ hầm tựa vào nền, kết cấu dây,… Đặc điểm làm việc của loại kết cấu này là các phản lực liên kết thay đổi theo độ lớn cũng như chiều của chuyển vị của điểm tựa gối liên kết. Điều này dẫn tới phương trình cân bằng của hệ là phương trình phi tuyến. Việc giải quyết các bài toán này bằng phương pháp giải tích đã được GS Vũ Đình Lai giới thiệu. Ở đây, các tác giả muốn giới thiệu cơ sở lý thuyết và thuật toán tính toán loại kết cấu này bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung phương pháp, thuật toán, các thí dụ tính toán và phân tích so sánh kết quả sẽ được trình bày trong bài báo này.

1. Đặt vấn đề

Khái niệm liên kết dị hướng trong bài toán này là liên kết trong đó quan hệ giữa ứng suất biến dạng thay đổi theo độ lớn cũng như chiều chuyển vị của điểm tựa liên kết. Có thể kể đến một số thí dụ trong thực tế như: dầm trên nền đàn hồi (đường ray, tà vẹt, dầm móng...), vỏ hầm với môi trường chỉ chịu nén - mô hình liên kết một chiều (hình 1a, 1b); liên kết giữa vỏ hầm, tường chắn với nền chịu nén có neo - mô hình liên kết đàn hồi dị hướng (chuyển vị về phía nền thì liên kết có độ cứng của nền, chuyển vị về phía ra khỏi nền thì liên kết có độ cứng của neo) (hình 1c); thanh liên kết với nền có tính phi tuyến - mô hình liên kết nhiều lần tuyến tính (hình 1d).

Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý, Nguyễn Xuân Lựu 58

Trong các mô hình liên kết dị hướng được mô tả ở trên, liên kết một chiều là trường hợp đơn giản nhất. Đây là bài toán phi tuyến. Việc giải bài toán thực chất là tìm xem khi có tải trọng, trong số các liên kết cấu tạo, có những liên kết nào làm việc. Phương hướng chung để giải bài toán là thử dần [1], hay sử dụng phương pháp biến phân và giải bằng phương pháp quy hoạch toàn phương [2]. Gần đây đã có lời giải giải tích để xác định tổ hợp các liên kết làm việc [3].

Trong phương pháp trình bày ở đây, các tác giả dùng phương pháp phần tử hữu hạn với phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton. Với thế mạnh của phương pháp số kết hợp sự hỗ trợ tính toán của máy tính, bài toán đã được mở rộng cho những bài toán có liên kết dị hướng như đã đề cập ở trên. Mô hình kết cấu trong bài toán cũng đa dạng và phức tạp hơn.

N

Δ

a)

OΔ0

k+

Δ0

N

Δ

b)

O

Δ0 k-

Δ0

N

Δ

c)

O

Δ0 k--

k+

Δ0

N

Δ

d)

O

k1

kn

k2

ki

Hình 1. Các mô hình liên kết dị hướng.

2. Mô hình toán của liên kết dị hướng

Quan hệ toán học giữa phản lực liên kết và chuyển vị điểm liên kết của các mô hình liên kết dị hướng có thể dễ dàng được xác định như sau.

Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 59

Với liên kết một chiều có khe hở ban đầu Δ0, ta có:

( ) 00 22ΔΔΔΔ −+−=

kkN (1)

Với liên kết đàn hồi dị hướng có khe hở ban đầu Δ0, ta có:

00 2)(

2ΔΔΔΔ −

−+−

+=

−+−+ kkkkN (2)

Từ các mô hình toán của các liên kết dị hướng ở trên, ta dễ dàng tổng hợp được mô hình toán cho liên kết phi tuyến (nhiều lần tuyến tính - hình 1d) như sau.

nan

n

jjajaja kkNN )()(

2111 Δ−Δ+Δ−Δ+= ∑

=−− (3)

trong đó: Δaj là các độ lệch chuẩn (so với gốc tọa độ) của điểm đầu đoạn thẳng N-Δ thứ j,

Na1 là phản lực liên kết ứng với chuyển vị điểm liên kết Δa1.

3. Tính kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu thông thường là hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng như sau:

[ ]{ } { }PK =Δ (4)

trong đó: [ ]K - ma trận độ cứng của kết cấu, { }Δ - véc tơ chuyển vị của kết cấu, { }P - véc tơ tải trọng nút.

Với kết cấu có liên kết dị hướng, véc tơ tải trọng nút ngoài các tải trọng tác dụng trên kết cấu còn có các phản lực của các liên kết dị hướng (ta coi các phản lực ứng với các liên kết dị hướng như là các ngoại lực). Tách véc tơ tải trọng thành hai véc tơ: 1) véc tơ tải trọng gồm các ngoại lực tại các nút như véc tơ { }P trong (4); và 2) véc phản lực liên kết dị hướng kí hiệu là { }N . Khi đó phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu có liên kết dị hướng có dạng như sau:

[ ]{ } { } { }PNK =+Δ (5)


trong đó các thành phần của véc tơ phản lực liên kết { }N được xác định theo (1) ÷ (3) tùy theo từng loại liên kết dị hướng.

Cần chú ý rằng véc tơ phản lực liên kết { }N là hàm của các chuyển vị nút Δ

và trị tuyệt đối của các chuyển vị nút Δ , nên (5) là hệ phương trình phi tuyến. Để tìm được lời giải cho kết cấu có liên kết dị hướng, ta phải giải hệ phương trình phi tuyến. Đó chính là sự khác biệt giữa bài toán tính kết cấu dị hướng và kết cấu thông thường bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

4. Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton

Hệ phương trình (5) được viết dưới dạng khai triển như sau:

∑ =Ρ−Ν+ΔΚ=

jiijijif 0

(6)

trong đó fi là hàm số của n biến Δi.

Khai triển Taylor với hàm một biến f(x) tại x = a có dạng:

...)(

!2)())(()()( 2

''' +−+−+= axafaxafafxf

(7)

Giá trị hàm số tại x = a + Δx được tính:

...

!2)()()()( 2

''' +Δ+Δ+=Δ+ xafxafafxaf

(8)

Nếu như Δx đủ nhỏ, ta có thể bỏ qua các vô cùng bé bậc cao kết hợp với điều kiện f(x) = 0, ta được:

0)()()( ' =Δ+≅Δ+ xafafxaf (9)

Nếu f là một hàm nhiều biến f = f(x) = f(x1,x2,..., xn), tại x0 = { }Tnxxx 00

201 ,...,,

công thức (9) trở thành:

0)(...)()()(0

22

0

11

00 =

∂∂

++∂

∂+

∂∂

+ nn

xxxfx

xxfx

xxfxf ΔΔΔ (10)

Kết hợp các phương trình (6) và (10) với chú ý rằng x0 = Δ0 ta thu được hệ phương trình sau:


)()(...)()(...

)()(...)()(

)()(...)()(

)()(...)()(

00

22

0

11

0

03

03

22

03

11

03

02

02

22

02

11

02

01

01

22

01

11

01

ΔΔδΔΔΔδ

ΔΔΔδ

ΔΔ

ΔΔδΔΔΔδ

ΔΔΔδ

ΔΔ

ΔΔδΔΔΔδ

ΔΔΔδ

ΔΔ

ΔΔδΔΔΔδ

ΔΔΔδ

ΔΔ

nnn

nnn

nn

nn

nn

ffff

ffff

ffff

ffff

−=∂

∂++

∂∂

+∂

∂

−=∂

∂++

∂∂

+∂

∂

−=∂

∂++

∂∂

+∂

∂

−=∂

∂++

∂∂

+∂

∂

(11)

Từ công thức (6) ta có:

i

iii

i

i

ijj

i

NK

f

Kf

ΔΔ

Δ

∂∂

+=∂∂

=∂∂

(12)

Thay phương trình (12) vào phương trình (11) ta được hệ:

)())((...

...

)(...))((

)(...))((

)(...))((

00

332211

0333

3

03

33232131

0223232

2

02

22121

0113132121

1

01

11

ΔΔδΔ

ΔΔΔδΔδ

ΔΔδΔΔ

ΔΔδΔδ

ΔΔδΔΔδΔ

ΔΔδ

ΔΔδΔΔδΔδΔΔ

nnn

nnnnnn

nn

nn

nn

fNKKKK

fKNKKK

fKKNKK

fKKKNK

−=∂

∂+++∂++

−=++∂∂

∂+++

−=++∂+∂

∂++

−=++∂++∂

∂+

(13)

Do đó, ta có trình tự các bước giải lặp như sau.

Bước 1. Cho véc tơ chuyển vị nút một giá trị ban đầu.

0ii ΔΔ =

có thể lấy: 0=Δ i

Bước 2. Tính giá trị các hàm số fi và các đạo hàm riêng phần của chúng,

j

ifΔΔ

∂∂ )( 0

tại Δ0.

Giải hệ phương trình (13) tìm được véc tơ số gia chuyển vị nút, δΔi.


Bước 3. Tính lại véc tơ chuyển vị nút.

Δi

1 = Δi0 + δΔi

Bước 4. Kiểm tra điều kiện dừng chương trình.

Sai số: )( 12 Δ= ∑ ifε

Kiểm tra sai số:

Nếu εε ≤ thì dừng chương trình lấy nghiệm 1ii ΔΔ = .

Nếu εε > tiếp tục thực hiện lặp với 10ii ΔΔ = .

Nếu số lần lặp nhiều qúa thì cho dừng chương trình, lúc này phép lặp không hội tụ.

5. Một số ví dụ tính toán và đánh giá kết quả

Thí dụ 01: Tính dầm trên nền đàn hồi.

Dầm trên nền đàn hồi có bề rộng b = 100 cm chịu lực như trên hình 2, môđuyn đàn hồi của vật liệu E = 1.105 daN/cm2 và mô men quán tính của mặt cắt ngang Jx = 426.104 cm4. Hệ số nền k0 = 6 daN/cm3. Số liệu về tải trọng như sau: P = 3.104 daN, M = 9.105 daNcm, q = 20 daN/cm.

4m

P qM

4m 4m

P M

Hình 2. Dầm trên nền đàn hồi.

Hình 3. Mô hình hóa nền đàn hồi bằng các lò xo thẳng đứng (liên kết một chiều).

Hai phương pháp tính đã được sử dụng: giải tích (phương pháp thông số ban đầu) và phương pháp kiến nghị (phương pháp phần tử hữu hạn). Quá trình tính toán được tiến hành với năm trường hợp: a) độ cứng chốn uốn của dầm là EJx, b) độ cứng của dầm là 0,75EJx, c) độ cứng của dầm là 0,50EJx, d) độ cứng của dầm là 0,25EJx, và e) độ cứng của dầm là 0,10EJx. Các số liệu tính toán khác cho năm trường hợp trên là như nhau. Mục đích của sự thay đổi độ cứng này là để khảo sát sự ảnh hưởng cũng như mức độ ảnh hưởng của hiện tượng dầm bị vồng lên (không


tiếp xúc với nền). Khi đó phương pháp thông số ban đầu vẫn coi nền làm việc bình thường (nền cũng chịu kéo). Thực tế nền không chịu kéo, và trong phương pháp đề xuất ở đây, nền được mô hình bằng các lò xo một chiều (chỉ chịu nén) nên những khu vực nền bị kéo, các liên kết đàn hồi này không làm việc.

Các kết quả tính được thể hiện trong các hình vẽ 4, 5. Hình 4 cho thấy khi độ cứng của dầm lớn (tương đối so với độ cứng của nền) thì dầm làm việc bình thường, tức toàn bộ dầm bị võng xuống, dầm luôn tiếp xúc với nền (Hình 4a, 4b và 4c). Khi này tất cả các liên kết đàn hồi đều làm việc nên ta nhận thấy kết quả của phương pháp thông số ban đầu và phương pháp kiến nghị là như nhau. Khi độ cứng của dầm giảm tiếp, dầm bị vồng lên (phần dầm có độ võng âm trên hình 4d và 4e), tại đó dầm và nền không tiếp xúc với nhau, kết quả là phương pháp kiến nghị có xét tới sự không làm việc của nền trong phạm vi dầm bị vồng lên cho kết quả khác với phương pháp thông số ban đầu.

§−êng ®µn håi

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 200 400 600 800 1000 1200z, cm

v, c

m

PP Th«ng sè ban ®Çu

PP PTHH

a) Độ cứng dầm EJx


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 200 400 600 800 1000 1200z, cm

v, c

m


PP PTHH

b) Độ cứng dầm 0,75EJx



-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 200 400 600 800 1000 1200

z, cm

v, c

m


PP PTHH

c) Độ cứng dầm 0,5EJx


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 200 400 600 800 1000 1200

z, cm

v, c

m


PP PTHH

d) Độ cứng dầm 0,25EJx


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 200 400 600 800 1000 1200

z, cm

v, c

m


PP PTHH

e) Độ cứng dầm 0,1EJx

Hình 4. Biểu đồ độ võng của dầm trên nền đàn hồi.


Hình 5 biểu diễn sự thay đổi của độ võng lớn nhất trong dầm theo độ cứng chống uốn của dầm. Đồ thị cho thấy hai phương pháp cho kết quả khác nhau từ khi độ cứng của dầm giảm đi 3/4, và sai số càng lớn khi độ cứng của dầm giảm dần. Mặc dù đồ thị trên hình 5 chỉ biểu diễn kết quả cho thí dụ cụ thể này, nhưng nó cho thấy mức độ ảnh hưởng của liên kết dị hướng là đáng kể trong những trường hợp cụ thể (sai số lên tới 22,73% khi độ cứng dầm giảm 90%).

Sù thay ®æi cña ®é vâng lín nhÊt theo ®é cøng dÇm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.25 0.5 0.75 1§é cøng dÇm, EJx

§é

vâng

lín

nhÊt

, cm PP Th«ng sè ban ®Çu

PP PTHH

Hình 5. Ảnh hưởng của liên kết dị hướng.

Thí dụ 02: Tính kết cấu vỏ hầm.

Vỏ hầm chịu tác dụng lực tập trung P = 10000 kN, như trên hình 6. Mặt cắt ngang đoạn vỏ hầm có diện tích F = 2680 cm2, Jx = 1840000 cm4. Vỏ hầm làm bằng vật liệu có môđuyn đàn hồi E = 2.104 kN/cm2. Tại A và B tựa có 2 liên kết ngàm cứng. Bề mặt của vỏ hầm tỳ vào đất và để chống chuyển vị tách vỏ hầm ra khỏi nền đất thì vỏ hầm còn được liên kết với nền đất bằng hệ thống neo.

Vỏ hầm được rời rạc hoá thành các phần tử thanh có liên kết với nền bằng hệ thống liên kết đàn hồi dị hướng như trên hình 6. Ở đây vỏ hầm được tính với 3 trường hợp.

Trường hợp 1: dùng mô hình nền của Winkler, quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị là hàm bậc nhất, độ cứng liên kết k = 1000 kN/cm (nền làm việc hai chiều: kéo và nén).

Trường hợp 2: nền được mô hình hóa bởi liên kết một chiều, liên kết có độ cứng biến dạng âm k- = 1000 kN/cm.

Trường hợp 3: nền được mô hình hóa bởi liên kết dị hướng có mô hình tính toán như hình 6, độ cứng liên kết k- = 1000 kN/cm, k+ = 100 kN/cm.


P

Vá hÇm

OR =5.2m

300

100

A B

Ν

Δ

M« h×nh liªn

O

Δ0 k--

k+

Δ0

Hình 6. Kết cấu vỏ hầm và mô hình tính với liên kết dị hướng.

Hình 7 biểu diễn các biểu đồ nội lực và chuyển vị của vỏ hầm trong trường hợp 3 (vỏ hầm có neo). Mặc dù không biểu diễn kết quả ở đây, nhưng theo kết quả tính toán thì mô hình nền Winkler thông thường (nền làm việc với cả hai chiều kéo và nén) cho chuyển vị toàn phần nhỏ nhất. Mô hình nền liên kết một chiều cho chuyển vị toàn phần lớn nhất. Sai khác về chuyển vị toàn phần lớn nhất trong hai trường hợp lên tới 36,91%.

a) Biểu đồ lực dọc trục d) Biểu đồ góc quay


b) Biểu đồ lực cắt e) Biểu đồ độ võng

c) Biểu đồ mô men uốn f) Biểu đồ chuyển vị toàn phần

Hình 7. Kết quả tính toán vỏ hầm

6. Kết luận

Các tác giả đã xây dựng được cơ sở lý thuyết, thuật toán cũng như chương trình tự động hóa tính toán kết cấu hệ thanh có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Các mô hình liên kết dị hướng cũng như các mô hình toán tương ứng đã được thiết lập khá đầy đủ tương ứng với những liên kết trong thực tế kỹ thuật. Các phân tích so sánh cho thấy độ tin cậy của phương pháp và mức độ sai số khi không xét đến sự làm việc của liên kết dị hướng là đáng kể. Nghiên cứu này là cơ sở tốt để mô hình hóa cũng như phân tích các kết cấu trong thực tế kỹ thuật.

Lời cám ơn

Nhóm tác giả trân trọng cám ơn sự hỗ trợ tài chính cho nghiên cứu và tham dự Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 8 từ Trường Đại học Giao thông Vận tải.


Tài liệu tham khảo [1] I. M. Rabinovich (1954). Giáo trình Cơ học kết cấu, Gosstroiizđat. Matxcơva. [2] Nguyễn Văn Hợi, Cao Chu Quang (2004). "Tính công trình ngầm có xét đến liên kết

tiếp xúc một chiều giữa kết cấu và môi trường đất đá theo phương pháp quy hoạch toàn phương", Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7. Tập 1. Nhà xuất bản ĐHQG. Hà Nội.

[3] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu (2006). "Tính kết cấu có liên kết dị hướng", Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8. Tập 1. Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ.

tính kết cấu có liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Education